1=0.999… その7.999…

4.999･･･
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1066827477/
5.999･･･
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1079604383/
6.999･･･
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086554506/l50

6.999･･･は最終スレではなかった!?　さあ、みんな大いに議論しよう。

3.999･･･以前のURLが分からなかったのだが。
前スレのURLではNot Foundになる。もう見れないのかな。

1 = 0.999ry - REBIRTH -

そもそも、極限とはなにかについて考えてみる。
極限をとるということを数式で描くと↓のようになる。
lim_{n→a}f(n) = b
これは、「nを限りなくaに近づけると、関数f(n)は限りなくbに近づく」ということを表している。
すなわち「どのような値に限りなく近づくか？」が極限の意味である。

一方、0.99999・・・の「・・・」は何を表しているかというと、9がそれ以降ずっと続くと言うことを
表していると考えることができる。
よって、「0.999・・・の桁数を無限に増やしてやるとその値は1に限りなく近づく」ということができる。

しかし、ここで、単純に「0.999・・・」なる表記では、「その桁数を増やしたときにどのような値に近づくか？」
などという文脈を読み取ることはできない。


「0.999・・・」に、「どのような値に収束するのか？」という命題を付加することによって初めて、
「0.999･･･」を「lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」とすることの正当性が出てくる。

よって、
「lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) = 1」
（「0.999・・・の桁数を無限に増やしてやるとその値は1に限りなく近づく」）
は正しいが、

単純に「0.999・・・ = 1」とは、言えない。

前スレの自作自演かまって君か？

>>4
定義が不明確。ちゃんと数式で定義せよ。

もう少し正確に言うと、「限りなく近づく」を数式を用いて定義せよ。

1.0000… ＝ 0.9999… ？

>>4
桁が1つ増えるたびに誤差が1桁減るのだから
えーと
対数グラフを書くと直線になって
えーと
バカな俺はこれ以上わからない。

>>8
(1 + lim[n→∞](10^-n)) = 1 = lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)

>6-7 「限りなく近づく」を数式を用いて定義せよ

教科書に書いてあるから自分でさがして嫁よマヌケ
>>4　は、そのぐらいはわかっている人間を相手に書いてるんだろうよ


それから
「自作自演かまってくん」と勝手にきめつけているようだが
それは、おまえ自身のくさった根性が反映した誤解である

0.999･･･ := lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) = 1

∴ 0.999･･･ = 1

終了

終了してるのはおまえだ>>12

>4
今ここでは0.9999・・・がどんな値か？ってのを議論してんだろ。
ってことは、a=0.9999・・・(小数点以下9が無限に続く)とすると、
要するに、aってなによ？ってことだ。
ここで、0.9より、0.99の方が、0.99より0.999の方が、
よりaに近い値であることは自明。

なら、次は、このまま桁をどんどん増やすとaってどうなるの？と考える。
となると、次に、aをある数列と捉えて、その極限を考えることでaを求める。

以上の過程から極限が出てくる。

でも、これを話をすり替えてるから違うというなら、
それはもはや数学の問題ではない。

というかですね、
0.999... = Σ[k=1,∞](9×10^-k) と定義すれば、
0.999... = 1 は正しいわけだし、
そう定義しなければ、正しくないんですよ。
ただそれだけの話でしょ。

1-0.999...=0.000... 無限に0が続く
あらゆる観測点において差が 0 つまり 1=0.999...

>>15
その通り。
そして、それは>>4の言ってることと同じこと。

>>14
言ってることは、>>4とほとんど同じだな。
結論が違うだけで。

「0.999･･･」だけじゃ、桁が”無限に続く”くらいしか読み取れない。
これだと、亀とウサギのパラドックスと同じで、桁をいくら増やしたところで、
「1」にたどり着くことは無い。
ただし、「極限」としての「１」は存在する。

だから、わざわざ
0.999･･･ := lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) （左辺を右辺で定義する）
と一段階おいて、問題を定義しなおした後、
lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) = 1
としてるわけだ。

１にも何種類かあるってことでしょ

ここに来て、反対派と賛成派の立場が近づいてきたように思う。
このまま、スレを消費すればこのまま収束していくのだろうか？
それとも、発散するのだろうか？

しかし、いくらレスを重ねたところで、収束はすれど完全に一致することは無いように思う。

要は納得出来るか出来ないかじゃなくて
納得するかしないかってことだろ？

このスレは

1.数学あんまり知らない人を、数学板の人々が説得する時期
と
2.数学知らない人はいなくなったけど、なんとなく数学板の人の間で
教育法などについて話し合われる時期

の二つがあって、今は2の時期なわけだ。

釣るヤツ、釣られるヤツ、釣りを排除するヤツの駆け引きしかないと思ってた

１＞０.９
１＞０.９９
１＞０.９９９

１＞０.９９９・・・

勝手に・・・を極限を取る記号と決め付けている人が居ますが
いつまでも９が続く（決して１０にはならない）と解釈するのが当然。
どれだけ続こうが、１＞０.９９９・・・ の関係は変わりませんよ。

前から気になっていたのだが、
0.999... を××と「定義する」って何だ？
勝手に定義すれば何だって証明可能だろう。

>>26
じゃあ、円周と面積の比を円周率と定義してもいいか？

>>26

「0.999...」というのは記号にすぎないわけで、それに意味を与えないと
いけない。それを「定義する」と言っているのだ。

def.　　0.99ry = lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)

ある一点を除いて, どんな点へも収束しないことを証明してあげればいいのでは.

極限の一意性はRの稠密性から自明。

(　´,_ゝ｀)ﾌﾟｯ

>Rの稠密性から
何だ？このアホ丸出しの発言は…。
稠密って何のことか分かってますか？

１≠０．９９９・・・を証明する。

公理「ｘ＝ｙならばｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ）」・・・（１）
対偶を取ると、
「ｆ（ｘ）≠ｆ（ｙ）ならばｘ≠ｙ」・・・・・・・（２）

ここで、ｘ＝１、ｙ＝０．９９９・・・、int(ｔ)は ｔ の整数部とする。
int(ｘ）＝１、int（ｙ）＝０　より、
int(ｘ）≠int（ｙ）
（２）よりｘ≠ｙ
∴１≠０．９９９・・・（証明終）

>>34
力スみたいな議論してないで、いっぺん氏んでこい
そしたら直るかも知らん｡

じゃぁ「0.9999....」を「２」とか「０」とかだと勝手に定義して
１≠0.9999....である
と結論付けていいわけ？

>>36
おまいに言ってやれるのは>>4をよく読んでみろって琴田｡

>34
0.999.......で表記される　ｙが 何ぞや　と論じてるときに
intなる関数について　int(y) がどんな値になるかは
何の論証もなく言えるわけがない。

>>4 の記述できれいにまとまっていると思う。
>>31 極限の一意性は R がハウスドルフ空間だから。

>>31

完備な距離空間という視点から考えてもよい。

まだこの話やってたの？

「勝ち目のない対戦は引き分けか無効試合に持ち込め」という教訓（？）があるが、
>>4はそれを実践しているだけだろ

>>34
４≠２＋２を証明する

ｌｅｆｔ１（ｘ）はｘの左１文字を取得する関数とする
ｌｅｆｔ１（４，１）＝４、ｌｅｆｔ（２＋２，１）＝２
∴４≠２＋２

>>40
一意性だけだったらハウスドルフで十分

まあ、距離空間だから当然ハウスドルフなわけだが。

>>43
まず「x = y ならば left(x) = left(y)」を証明しる

>>46
逆に、
ある写像Fが、ある x=y に対して F(x)≠F(y)
となるようなF, xは存在するの？

時々貴君達の議論を覗きに来るがまるで極限的概念を理解していませんね。
微少数程度の誤差の存在を承認する立場に立ってこそ厳密な数学解析学が展開できるのであろうに。

>>48
↑こやつはどういう類の勘違いくんだろう？
あるいはどういう種類の釣り師だろう？

しかし、読めば読むほど>>4は出鱈目だな。

＞一方、0.99999・・・の「・・・」は何を表しているかというと、9がそれ以降ずっと続くと言うことを
＞表していると考えることができる。
これは自然な解釈だ。
＞よって、「0.999・・・の桁数を無限に増やしてやるとその値は1に限りなく近づく」ということができる。
上の文章とのつながりが全く無い。

＞しかし、ここで、単純に「0.999・・・」なる表記では、「その桁数を増やしたときにどのような値に近づくか？」
＞などという文脈を読み取ることはできない。
あたりまえだ。
そんな出鱈目を勝手に読み取ってはいけないだろ。

+0と-0は違うもの？

>51
たし算と引き算の違い

たぶん

lim[x→+0]

とかの+0を言ってるんじゃないか？

>>51
1に下から漸近していくのが 0.9999…(=1)

ちんぷんかんぷんなレスです

下？

>>53
そうです。

>>57

右極限と左極限が違う場合には大事。

右？　左？

0.1 0.01 0.001 0.0001 …… ときて 0 になるのが +0
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 …… ときて 0 になるのが -0

lim[x→+0]f(x) = b

というのは
任意のε>0に対し、あるδ>0があって、0<x<δならば、|f(δ) - b| < ε
ということ。これを右極限という。

lim[x→-0]f(x) = b

というのは
任意のε>0に対し、あるδ>0があって、-δ<x<0ならば、|f(δ) - b| < ε
ということ。これを左極限という。

すまそ。

|f(δ) - b| < ε

じゃなくて

|f(x) - b| < ε

だな。

稠密性でも正解じゃね？

>>63
何の問題に対して正解って言ってるの？

位相空間が稠密、というのはなんだ？
部分集合が密かどうかってのは分かるが。

>>64
「下は大火事、上は洪水、なーんだ？」

>>66

で、答えが「稠密性」か。シュールすぎて笑えません。

>>66-67
解説ｷﾎﾞﾝﾇ

>>51
制御の数学だと、f(0+)でfの右極限を表わしたりするね。

思い出したので言ってみますた。

0.9999…が0.の後に9が無限回続く数字を表しているとする。
0.の後に9が有限回続く数字は0.9+0.09+0.009+…と表すことができると思うが、
それが無限回続いたとして、0.9+0.09+0.009+…で表すことができるという保証はあるの・・・？

もうさ1≠0.999...とかいうやつはさ
極限を使わない数学（？）でもやってればいいんじゃねーの？

0<1/∞<2/∞<3/∞...
(1/∞)+(1/∞)=2/∞
(2/∞)*(3/∞)=6/∞^2
(2/∞)/(3/∞)=2/3
こんな感じで頑張ってくれよ
無限を滅茶苦茶に使えば都合のいい実数ができるんだろ

1/∞ってなんですか？

1/∞のように∞で割る操作が認められるのですか？

+ 0 と - 0 の話で思い出したよ。
結局さ、
0.99...... = 1 - 0
なわけでしょ。だから数値としてみたとき、1 と本質的な差はない。
だけど、f が不連続な関数のときに
lim_{x → 1 - 0} f(x) ≠ f(1)
になることはあるよな。結局そういう使い分けなんじゃないの？

>>70
それなら、
0.の後に9がｎ個続くときに Σ[k=1,ｎ](9×10^-k) と表していいときに
ｎ＋１個続くときに Σ[k=1,ｎ+1](9×10^-k) と表していいかどうかも
疑問に思わないと、疑問の一貫性にかけると思うが。

1 - 0.99999… ＝ 0.00000…
0.00000… ＝ 0
よって、1 ＝ 0.99999…

>>75
ナンセンス

有限個の場合証明は簡単にできる

>>75
たとえて言うなら、AとBの集合が有限集合なら、
A⊂BかつA≠B⇒Aの濃度<Bの濃度
が成り立つが、無限では常には成り立たないのと同じ感じ。

あと
76は75に対するレスね。

1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001 = 1 - (1/10^3)
1 - 0.99‥99(n個の9) = 0.00‥01(n-1個の0と1個の1) = 1/10^n

1 - 0.99‥(無限個の9) = 1/10^∞ = lim[n→∞](1/10^n) = 0

0.9999‥ という表現を lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) であると好意的に解釈できるのなら
lim[n→∞](1/10^n) = 0.0000‥ と好意的に解釈しても良いだろう。

1 - 0.9999‥ = 0.0000‥
0.0000‥ = 0
よって 1 = 0.9999‥

lim を “‥” という記号の中に隠したというだけで、
悪い証明ではない。

>>80
>0.9999‥ という表現を lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) であると好意的に解釈
なぜできるのか、そこを厳密に議論する必要があるだろ。それができるなら誰で
も証明できるだろ。

>>81
するかしないか、だ。
必然性や決まりがあって、そう解釈するわけじゃない。
書き手の意図を斟酌してする人はするし、しない人はしなければいいだけ。
「好意的に解釈できるのなら」というのはそういうことだろう。

そこは議論するような場所じゃない。

>>82
議論の余地があるのを理解できなのか？あいまいにしたまま議論を進めるのは数学をやる上でよくない態度だな。

>>83
では先ず君から議論を始めてみてください。

>>84
81で出したはず

>>85
>>81は精々のところ議題の提示であって、議論ではありません。
議論はまだ始まっていません。

議論をして決めることではない。
それぞれが勝手に解釈すればよい。
そもそも、>>80は、そう解釈しろなどとは一言も言っていない。

「・・・」という表記は、数学的に厳密には定義されているものではない。
「正しい解釈」というのは最初から存在しない。
だから、
0.999… （＝ Σ[k=1,∞](9×10^-k) ）＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
の解釈が正しいかそうでないかには答えは無い。
議論のしようが無い。

>>81
｜１＝２、２＝３を認めるのなら、１＝３も認められるだろう。

という書き込みに、

｜＞１＝２、２＝３を認める
｜なぜできるのか、そこを厳密に議論する必要があるだろ。それができるなら誰で
｜も証明できるだろ。

というレスを返してるのと同じだな。
完全にズレてる。

>>89
>１＝２、２＝３を認めるなら、１＝３も認められるだろう。
１＝２、２＝３と定義することに何か利益が得られるのなら、そう定義するのもありでしょう。
しかし、
0.999････というのは、ちゃんとした定義の前に、人間の直感的な捉え方があるだろう。
その捉え方を厳密に式にあらわす議論しようではないか、といってるのだ。
８９は馬鹿。εδだって、定義だと主張する奴がいるだろうが、その前に直感的な捉え方
があって、その捉え方に適う厳密な定義をした結果ε-δ論法が生まれたのであって、
定義が一人歩きしているように勘違いする奴はただの馬鹿。

結局、極限の概念を認めるかどうかの問題だと思う。

nが無限大のとき、
0.9999・・・ = Σ[k=1,n](9×10^(-k))
　　　　　　　= 0.9×((1-10^(-n))/(1-10^(-1)))
　　　　　　　= 1 - 10^(-n)

（limの定義にε−δ論法が出てきて事実上0.000・・・・=0を認めているので、あえてlimを使わなかった）

ここでリミットの概念を使えば 10^(-n)=0 だけど、リミットの概念を認めなければ 10^(-n)>0

>>91
極限の概念は認めているんだよ、ただそれを
0.999…
に適用できるかを議論する必要があるんだ

対数グラフで直線となる収束を見せる関数は
人間の直感として極限を適用するかしないかの境界線上にあるため
いつまでも話が終わらない

というのがこのスレに参加してみての俺の感想。

>>91
数学のよくわかってない数学科生の言いそうなせりふですね

>>91
> （limの定義にε−δ論法が出てきて事実上0.000・・・・=0を認めているので、あえてlimを使わなかった）

???

>>92
δ→＋０　としたとき、
0,999・・・=1-δ
のような気がする。。。

>>95
極限の定義にはε−δ論法が使われているのだが・・・。
ttp://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/limit.htm


考えようによっては、
0.999・・・≠lim[n→∞](1-10^(-n))
なのかも知れない。。。

>>90
> 0.999････というのは、ちゃんとした定義の前に、人間の直感的な捉え方があるだろう。
> その捉え方を厳密に式にあらわす議論しようではないか、といってるのだ。

その議論をするためには、一点問題がある。「人間の直感的な捉え方」というものが
万人において共通であるとする前提が、そもそも成立しないからだ。

もしも>>90氏が、自身の直感的な捉え方を披露すれば、
「>>90氏自身の直感的な捉え方を厳密に式にあらわす議論」はできるかもしれない。
議論するならこの方向でいくしかないと思うが、如何か？

ちなみに私の直感的な捉え方においては、
0.999…＝Σ[k=1,∞](9×10^-k)
として、些かも問題は無い。

0.999… < 1とすると、x = 1-0.999…という数が自然に考えられるわけだけれど
xの小数展開は0.000…となるから、任意の数aに対して、aの小数展開とa+xの
小数展開は、一致してしまうことになる。つまり、小数展開に対して、そのような
展開を持つ数を一つに特定する事が出来なくなる。

だから、「0.999…」や「1」という表記では、特定の「数」を表せていない、という事に
なると思うんだが。

0.999…≠1　とすると、じゃあどの程度違うの？ってことになって、違いは0.000…　あ、違いはゼロじゃん。ってね。

>>97
上にも書きましたが0.の後に9が無限に続く数字です。けっして、
�納k=1,∞](9×10^-k)
が直感的な定義ではないです。有限の場合
0.999…＝Σ[k=1,n](9×10^-k)
が成り立つのは認められますが、それを無限の場合に適用するのに
一種の危険を感じるのです。
その危険を感じるからこそ、多くの人がそれを正しいとしていいはずなのに
安易には
1=0.9999・・・
を認められないのでしょうか？もちろん
0.9・・・・・
という表記が許されるのなら、それを1だと考えたほうが、あらゆる演算が
矛盾なく行えるので、
0.999999・・・=�納k=1,∞](9×10^-k)=1
とすべきだと思いますが。

結局、無限の存在を認めるか認めないかの問題に帰結されるような気がする。

Re:>101 無限を認めなくても、εδ論法は健在だがね。

>>101
少なくとも無限は数と認めていません。しかし、無限集合の存在などは認めています。

>>101

それはあんまり関係ないと思うよ。

0.1=1/10
0.01=1/100
0.001=1/1000
・・・

だから

0.1=1/(9+1)
0.01=1/(99+1)
0.001=1/(999+1)
・・・

つまり

(9+1)*0.1=1
(99+1)*0.01=1
(999+1)*0.001=1
・・・

すると
0.9+0.1=1
0.99+0.01=1
0.999+0.001=1
・・・

となる。

>>100
貴方が感じる「一種の危険」は、次の(1)、(2)のどちらの命題に付随していますか？
（なお lim は n→∞の極限を表すものとしています。）

(1) ふたつの数列 { a_n }、{ b_n } が任意の n に対して a_n = b_n を満たすならば lim a_n = lim b_n

(2) 数列 { a_n } を a_1 = 0.9、a_2 = 0.99、a_3 = 0.999、…と定義するとき、lim a_n = 0.999…

>>90
＞>>89
＞>１＝２、２＝３を認めるなら、１＝３も認められるだろう。
＞１＝２、２＝３と定義することに何か利益が得られるのなら、そう定義するのもありでしょう。

完全にズレている。
「１＝２」「２＝３」は例だよ。その式に意味は無い。
どう書けば理解してもらえるのだろうか。

｜Ａ＝Ｂ、Ｂ＝Ｃを認めるのなら、Ａ＝Ｃも認められるだろう。

｜＞Ａ＝Ｂ、Ｂ＝Ｃを認める
｜なぜできるのか、そこを厳密に議論する必要があるだろ。それができるなら誰で
｜も証明できるだろ。

これで理解できるか？

無限を認めるとか認めないとか言ってる人、
εδ論法が何のためにあるのかくらい知っておきましょうよ。。

考えてみれば、ε−δ論法の中に無限は一度も登場しなかった。欝だ氏のう。

問題は、ε-δが無限の適切な捉え方かどうか、というところなわけだが。

0.9999・・・の数字が「無限」に続く（増える、伸びる）と、
0.9999・・・が１に「無限」に近づく、で「無限」の意味は違うんじゃないか？

>107
・・・・。
ようするにあなたが言いたいのは、
0.9999・・・=�納k=1,∞](9×10^-k)と認めるなら0.9999・・・=1と認められるだろう。
ということに対し、0.9999・・・=�納k=1,∞](9×10^-k)を認めるか認めないかは定義をどうするか
の問題なので議論する必要がないといいたいんですよね。
ちゃんと、
>90
を読んでください。読んでないでしょ？

>107
あと、はっきり言っておくと、
1=0.9999・・・
は日常（？）において僕も認めています。が、それを認めるときにしようする際に
生じる危険について提示したかっただけです。
>1=2,2=3なら1=3・・・
に対するレスがナンセンスだといっていましたが、あなたのレス自体がナンセンス
だったので、ナンセンスに返したのです。そんなことも理解できなかったのですか？？

>>112

直観的な捉え方があるかないか、あるとしても、人間全体に共通の直観が
あるかないか、とかそういう不毛な議論がはじまるわけですね。

＞１１４
しかし、多くの人に認められる捉え方があるはずです

>>113
危険があるなら、具体的にどういう危険があるのか教えてくれないか。

＞＞１１６
上に書きました。ちゃんと嫁

>>117

どれが君の発言で、どれがそうでないか判断する事は難しい。

＞１００を読んでくれ

>>119

>>有限の場合
>>0.999…＝Σ[k=1,n](9×10^-k)
>>が成り立つのは認められますが、それを無限の場合に適用するのに
>>一種の危険を感じるのです。

これか？「一種の危険」ってなに？「漠然とした不安」ってこと？

>>106にも問いかけがあるけど、答えてないよね。

有限で成り立つことは無限で成り立つとは限らない、から生じる不安（？）です。
>>79
とか。

>121
それは失礼。どちらかといえば(b)かな。(a)は納得しているが。

おっと(2)でした

>>79
0.9・・・(9を可算個)と0.(アレフ1個の9)の違いみたいな？

>74
そういうことになるのかな？？あえてそのたとえを持ち出してくる理由がよくわかりませんが。

>>100
気持ちはわかる

∀ε>0∃n∈N(m>n⇒1-0.99・・・9（小数点以下m桁が9）<ε)
は成り立つから（n=-logε-1）、極限をとれば
lim[m→∞]0.99・・・9（小数点以下m桁が9）＝1
が成り立つ。

0.9999・・・・・・=lim[m->∞]0.999・・・・9(小数点以下m桁が9)
は成り立つのですか？もうそれを言い出したら数学が成り立たなく
なるような気もしてきましたが。

>>129

「0.999…」という文字列自体は単なる記号に過ぎないんだよ。
「0.999…」というのは「0.999の後に9が無限個続いている」という「意味」
だと解釈するのは構わないけれど、「0.999の後に9が無限個続いている」
というなんというか「空間の中に9が並んでいるイメージ」というのは、
具体的な「数」を表しているわけではない。それは単なる「絵」であり
「記号」である。

当たり前の話だけれど「9が無限個続いている」というのを書く事は出来ない
わけで、（だからこそ…を使うわけだ）書けもしない記号に対応する数字に
ついてあーだこーだ言うのはナンセンス。

暴言だ！

>>130
結論を言われてしまうとこのスレの意味がないんだが・・・。

というわけで、0.999…という記号には、9が無限に続くとかいう、
わかるようでわからないような意味を与えるよりも、有限の範囲で
話が済む「ある数列の極限」という意味を与えるほうが健全だと
思うのです。

そもそものlimの意味って、ある値に限りなく近づくという状態のことだと思う。
lim[m→∞]0.99・・・9（小数点以下m桁が9）＝1
は、mを大きくすれば0.99・・・9（小数点以下m桁が9）が限りなく１に近づくということを言っているだけで、
0.99・・・9（小数点以下m桁が9）=1 を言っているわけではない。

あるmについて0.99・・・9（小数点以下m桁が9）=1 と仮定すると、
1-10^(-m)=1
⇔10^(-m)=0
となるが、これを満たすmは存在しない。
よって任意のmについて0.99・・・9（小数点以下m桁が9）≠1

いつのまにか微妙に表現がすりかえられているようだが、

  �納k=1,∞](9×10^-k)

と

  lim[n->∞]{�納k=1,n](9×10^-k)}

は別物

＞１３４
高校生チックな捉え方ですね

>>135
スマソよくわからないんだが
�納k=1,∞]Akの定義が、
lim[n->∞]{�納k=1,n]Ak}じゃないんか？

>>135

極限の立場にたたなければ二つは同一視できないね。

極限の立場にたたず、�納k=1,∞](9×10^-k) をどう定義するのかは知らないけれど。

よくわからないので、同一にならないケースを挙げてくれませんか？

>>135
どう違うのかの説明が無ければ
無意味なレス。
説明できるとは思わないけどね。

そもそも、「�納k=1,∞](9×10^-k)」が正しい式だとは誰も言ってないわけだが。

>>112
＞0.9999・・・=�納k=1,∞](9×10^-k)と認めるなら0.9999・・・=1と認められるだろう。
＞ということに対し、0.9999・・・=�納k=1,∞](9×10^-k)を認めるか認めないかは定義をどうするか
＞の問題なので議論する必要がないといいたいんですよね。

全く違う。完全にズレてる。
故意にやってるのか？

>142
どう違うんですか？それを説明してもらわないと。ひょっとして130の結論に至った上で
話てるんですか？

>>143
まず確認したいのだが、>>80の話をやっているんだろうね？
「違う」というならそれまでだが。

>143
よくわからないがそうだろう。

おっと事故レス
>>144ね。

135じゃないが
上のnはω(超限順序数)
下のnは自然数だろう。

135の例はおいといて
自然数の範囲での命題と超限順序数を含んだ範囲での命題とでは
真偽が異なることはよくある。

無矛盾とω無矛盾が違う概念なのかがいい例。

>>147

知識ひけらかし厨か？

>>146
80の、
＞0.9999‥ という表現を lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) であると好意的に解釈できるのなら
＞lim[n→∞](1/10^n) = 0.0000‥ と好意的に解釈しても良いだろう。
この部分は、
「0.9999‥ ＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」と
「0.0000‥ ＝ lim[n→∞](1/10^n)」の類似性を言っているだけで、
前者を妥当だと思うのなら、後者も妥当だと思うだろう、という事。
「0.9999‥ ＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」自体の解釈の妥当さは議論の外。
妥当だと思わないのなら、後者も妥当だとは思わないだろうというだけ。
それが>>81のズレている部分だ。


>>80 に問題があるとすれば、その類似性だ。
本当に「前者を妥当だと思うのなら、後者も妥当だと思うだろう」と言えるのかどうか。

>>147
で、この場合は異なるのか？
それが問題なわけだが。

>149
つまり君は誰でもできる議論を展開しただけにすぎない、ということを言いたいわけですね？

>149
議論の外、という表現だが、つまり、
する必要があるが今回はしない
という意味なのか、
する必要がないのでしない
という意味なのか、ってことだよ。俺は下と受け取ってそれに対する反論を述べたまでで。
上であるなら別に（どうでも）いい。

>>151
結局、君は、メンツに拘っているだけなんだな。

>153
議論にそういうのを持ち出すともはや議論が形骸化してくる。そんなことはない。

>>152
別の例えを試してみよう。

｜「Ａ」を「エー」でなく「エィ」と発音する人なら
｜「Ｂ」は「ビィ」と発音するだろう。

という書き込みに、

｜＞「Ａ」を「エー」でなく「エィ」と発音する
｜なぜできるのか、そこを厳密に議論する必要があるだろ。それができるなら誰で
｜も証明できるだろ。

別に「エー」と発音しても良いよ。
「エィ」と発音する人なら「ビィ」と発音するだろう、というだけの話で、
「エー」でなく「エィ」と発音する事を議論しても意味無いだろ。

ようするに諸悪の根源は、>>155の喩えのわかりにくさなんではないかと思う。

>155
また、ループか。ちゃんと
>100
を嫁。どうしてその議論をする必要があるかちゃんと書いただろ。

>>157

「AならばB」である。ってのはAが偽なら常に真なんだから議論する必要は
ないんじゃないの？たとえAというのが起こりえないことであっても、
「AならばB」という命題自体は真だよ。

>>155
「A」を「アィ」と発音する人たちもいる

>158
このスレのタイトルを読め。

もっとわかりやすく言うと
0.9999‥ という表現を lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) であると好意的に解釈できる⇒
0.9999・・=1
この命題が真か偽かが問題なのではない。スレタイトルの命題が真か偽かに問題
がある。

>>160

じゃあ最初から「80はスレ違い」と言えばいいじゃないか。
議論の必要があるない、の話じゃないだろう。

要するに、>>80は
最終的な到着地である「1=0.999…」に向かう道で、
「�納k=1,∞](9×10^-k)」あるいは「lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」
を避けて通っているんだよ。
通っていない道の危険性を論じる無意味さはわかりますか？

>163
通ってると思いますが？君がいいたいことがよくわからんが、εーδ論法で無限を扱わないのと
同じようなことを言っていると類推していいですか？

てか>>80は、かいつまんで言えば

「0.999…を数列の極限で定義すれば、それは1に等しい」

と言ってるだけだと思うんだけど。誰もが知っている事を繰り返しているだけでは？

>>165
ナイス！

>有限の場合
>0.999…＝Σ[k=1,n](9×10^-k)
>が成り立つのは認められますが、それを無限の場合に適用するのに
>一種の危険を感じるのです。

危険はわかるよ。たぶんみんなわかってる。
重要でないともいえない。議論の余地もあるだろう。
有用な議論になるに違いない。
しかし、それは80とは無関係だ。
80への反論として提出した、それが81の致命的なミス。

>>166

アホか。>>80は何も間違った事を言ってないという事だよ。

>>166
ナイスじゃねーよ。
だったら、なぜオマエはそれに反発しているんだ？

ま、ようするに80は
スレタイの命題を証明したといってたわけではなかったわけですね。

>>170

君以外皆わかってたことだよ。
>>100を嫁！と人に言う前に、君がしっかり>>80を読めばよかったのだ。

すますま。80の書き込みでは正直気がつかなかった。
正直すまんかった（´・ω・｀）ショボーン

>>168
いや、
0.9999‥を直感的にΣ[k=1,∞](9×10^-k)の表現だ解釈したとしても、
0.0000‥がlim[n→∞](1/10^n)の表現だと思うかどうかは怪しいぞ。
0.9999‥の方に出てくる数字の9は解釈式に出てくるけど、
lim[n→∞](1/10^n)の1はどこにあるんだ？と言われたらおしまいのような飢餓。
これは80の説明のキモの部分じゃないかな。
まぁ、81の指摘部分とは関係ないけどね

で、80はいったい何をやったんだ？オナニーですか？

任意のn桁目が0になることがわかるから、0.000…でいいんじゃないかとは思う。

しかし、0.000…0001（0は無限個続く）とか平然と書く輩が存在したのも事実だからなあ。

>>174
80がオナニーなら
オナニーでないレスが、このスレにあるかね？

12くらいか。

>>174

もう80の事は忘れろ。

>>175
あ、それオレ。
すこし以前のレスから思いついた釣りだったんだけどね（笑）

世界的に見れば、他にもいるかも知れんけど。

ざっとスレを眺めて思ったんだが、今議論してる人たちは
十進小数表記についてどう考えてるの？
例えば十進小数のシステムを
・数字の0〜9をアルファベットとし
・そのアルファベット上の列を左から順に読み取ってある決まった計算を行う機械が定義されている
といったものとすれば
0.999…=lim{n→∞}�倍k=1,n}(9*10^-k)
で全然問題ないと思うのだが。
（もちろん実数のシステムは先に定義されているものとしてね）

>179
突っ込みどころはあるが、どうせ130の結論に至るだろうからもう突っ込まない。

>>179
1の位が0のm桁の小数で、小数点以下ｎ桁目がAnであるとすると、
0.A1 A2 A3 … = �倍n=1,m}(An*10^-n)

これが無限桁の場合に適用できるかを問題視する人もいる。

>>179
つか、その機械はいつ計算が終わるんですか？

>>182
無限桁だと終わらないよな。
この考え方で行くと、1にはならないような。

>>182
ちょっと笑ったｗ

オメガチューリングマシンなんじゃない？

>183
1秒後に1回、1/2秒後に1回、1/4秒後に1回、・・・という風にしていけば、
2秒後には終わってるんじゃないか？ｗ

コテハンうざい
区別の必要があったのは80に突っかかっていたときだけだ
誰もお前にスター性を見いだしてコテハンを乞い願ったわけじゃない

そう突っ込まれることを考慮してこのコテハンにしたわけだが（´・ω・｀）

計算機で無限回の演算を行なったとする.

>>182
機械ってコンピュータみたいなのを想定してるんだろうけど
コンピュータの数学モデルであるチューリングマシンでは
任意の実数は扱うことができません。

入力値はあくまで有限の桁で表現されている必要があるので。

ええ、まだこのスレあったのﾜﾛﾀ

１÷３＝０．３３３３・・・
０．３３３３・・・×３＝０．９９９９・・・＝ぬるぽ

計算して1になるかどうかじゃなくて
0.999…はlim{n→∞}�倍k=1,n}(9*10^-k)として解釈されるのが自然か？という話なので。
こうすれば「到達可能な最小の無限」で話が終わると考えたのだけど…。

計算して1になる、という議論をするなら
循環小数に同値関係を入れる公理系を考えたほうがいいだろう。

>>173
>>175

その 1 は、どこから出てきたの？

っていうか、
lim[n→∞](1/10^n) = 0
lim[n→∞](2/10^n) = 0
lim[n→∞](3/10^n) = 0
・
・
・
ということは、
1 - lim[n→∞](1/10^n) = 1
1 - lim[n→∞](2/10^n) = 1
1 - lim[n→∞](3/10^n) = 1
・
・
・
なわけで、
もし、
0.9999・・・(9は無限)・・・9
0.9999・・・(9は無限)・・・8
0.9999・・・(9は無限)・・・7
・
・
・
やめとこ。
ありえないですね。

>>195
>>71
ｶﾞｲｼｭﾂ
ありえないというより無限多値論理

貴君達の議論には「枝葉末節」の論理が多数見受けられる。
私も学生の頃はそうであったのかもしれない。院にいたころはよく志村教授に叱られましたよ。

ﾌﾟ

0.9999・・・≦1
�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<0.999・・・・
は認められるものとする。
0.9999・・・<1と仮定すると、
0.9999・・・<a<1を満たすaが存在する。
ε=1-aとおくと、
ε>0より
ε>10^(-m)を満たす自然数mは存在する。より、
a=1-ε<1-10^(-m)=�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<0.999・・・・
より矛盾する。より、
0.999・・・≧1
ゆえに、
0.999・・・=1

訂正
�納k=1,m]{0.9×10^(-k)<0.999・・・→�納k=1,m]{0.9×10^(-k+1)<0.999・・・
1-10^(-m)=�納k=1,m]{0.9×10^(-k)→1-10^(-m)=�納k=1,m]{0.9×10^(-k+1)

＞ε>10^(-m)を満たす自然数mは存在する。

↑は何故そういえるの？

>201
そんなことまで証明しなくちゃいけないの？

>>202

実数の公理そのものだろ。

そうだなぁ。すべての整数αに対して、あるδが存在し、
|x|<δ⇒|10^(-x)|<α

整数→正数

いや、それじゃだめか。

>>203
実数までは必要ないでしょう。有理数で十分。dense。

アルキメデスの原理より
m>log(1/ε)/log(10)
を満たす自然数mが存在するので、
10^m>1/ε⇔
ε>10^(-m)

>>207

まあ、有理数が実数の中で密なことを認めるけど、
0.999…=1を認めない人が居るとは思えないけど。

で、199で、極限を使わずに示せたと思いますがいかがですか？

>>210

極限を使うよりは、アルキメデスの原理のほうが口当たりはいいかもね。

>>209
あ、ごめん、やっぱ実数が必要だね。
完備だから、０．９９９・・・は実数だといえるわけですね。すまそ。
それで「あるきめですの原理」で「ＮはＲ上で幽界ではない」というわけですね。

>211
極限には100に書いたような危険性がありますが、199では、そのような危険性
を回避してると思いますが。実数上での話だから、アルキメデスの原理を使用
することに問題はないと思いますが。

>>213

0.999…が実数である事の証明ができるかどうかなのだが。

>214
0.999・・・を実数と証明、はする必要はないんじゃないですか？
そこまでくると話が別の次元へ飛ぶような気がしますが。実数上
でみな議論してるような気もしますが。

>>215

つまり君は、0.999…に

1)�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<x
2)x≦1

を満たす実数。という定義を与えて、それが1に等しい事を示したわけだね。

>>215

０．９９９・・・が実数（または有理数）でないと、↓がいえないと思う。

＞0.9999・・・<a<1を満たすaが存在する。

>216
そういうことになりますか、しかし多くの人の0.999の捉え方に適ってると思ったんですが。
詐欺ですか？
>217
そんなことはわかってます。

>>216

詐欺ではないと思うし、構わないと思うけれど、「極限に関する不安」が
回避されたかどうか、というと疑問だ。という事。

いや、結局あなたが極限の何が不安なのか全然わからないからその辺、よく
わからないんだけどね。

>>216じゃなくて>>218だな。

>>218
＞そんなことはわかってます。

というか、このスレは実数の完備性に対する理解が足りないから
延々と議論が繰り返されているんだと思うが。
０．９９９・・・が実数であることを認めた瞬間に０．９９９・・・＝１は
自明でしょう。
コーシー列の定義には「無限」とか「収束」とか「極限」とか含まれているでしょ。
すべてはそこに、つまり、実数の完備性にいきつくってことです。

>219
別に極限という操作について不安を持っているんではないんですが。
みんなが納得しやすい証明を出しただけですが。219なら中学生も
納得してくれるんじゃないですか？

>221
すいません一応学部生なのですが、実数の完備性というのがよくわかりません。
証明したいというよりは、みんなが納得しやすい（受け入れやすい）証明を提示
したいという意図ですが。0.9999・・・=1が受け入れられないというわけではないです。

>>222

えー。

>>極限には100に書いたような危険性がありますが、199では、そのような危険性
>>を回避してると思います

って言ってたの誰だよ。

>>223

完備性も知らなかったのか。しょぼーん。

>222
極限の危険性というよりは、
0.9999・・・=�煤iｒｙ
とおく危険性。
>225
すんまそん。聞いたことはあるんだすが・・・。

0.999… = lim[n→∞] �納k=1,n]{0.9×10^(-k)}

とおくのは危険だけど

0.999…は実数、と決め付けたり
0.999… <= 1と決め付けたり
任意のnについて�納k=1,n]{0.9×10^(-k)}<0.999…、と決め付けたりするのは
危険じゃない、というのが納得できないんだよね。同程度に危険な仮定だと思うんだけど。

>227
0.9・・・・が実数でないとしたら、その数字に何らかの意味意義はありますかね？

うへっ。
ここでループかよ。

もうね、杉浦解析でも読めと。

理屈じゃないんですよ。
uzai様が危険だと思えば、それが危険、
uzai様が納得すれば危険でない。
uzai様は宇宙真理であり、他人によって諭されるような存在ではないのです。

今井みたいなもんか。

どうせ130のような結論に至るんだろ？だったら一人でも多くの人
が納得しやすい説明がいいだろ？

130は結論でもなんでもない。
逃げやすい方向に逃げただけ。
つーか、誰も誉めてない（というか相手にもしてない）130を
１人で必要以上に神聖視してるな、おまえは。

>>30 へ戻る。

�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<x
が認められなかったり、循環小数を有理数と認められないこと自体、0.9・・・・の定義が
一人歩きをしている感を受ける。

>>130という話にもならない駄レスを結論だとすると
自分が恥ずかしい存在でない事にできると信じて疑わないのですよ

>237
ぬるぽ

>>238
ガッするまえに1＝1を証明してよ

>>199で納得しました。

コテハンやめたんですか（藁

uzaiが納得すれば証明不要
既知の事柄でもuzaiが危険だと思えば証明が必要

今井と思考パターンが全く同じだな
数学をやる人間の思考ではない

>>241
240は俺じゃねぇぞ（´<_`　）
やっぱり199の説明が受け入れられやすいんだろ(´∀｀)

>242
煽りうざいぞ。

>>243
受け入れやすいって。。。
数学を詐欺の道具か何かと思ってんじゃないだろうね？
イメージで勝負したいなら、数学やらないほうがいいと思うぞ。

>245
だって最終的には循環小数をどう定義するかっていう話になるじゃないか。
直感的に受け入れやすい定義を提示したのだが。

証拠が無ければ何でも通ると思ってるな。

そうだという証拠も無いが、
どちらにも証拠がない場合は、人は直感でそうだと思う方を取るし、
それは、たいてい当たっている。

危険：0.999… = lim[n→∞] �納k=1,n]{0.9×10^(-k)}
安全：0.999… <= 1
安全：�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<0.999…

これが理解できない人は蛆虫です
説明は不要です

>0.999… <= 1
0.999･･･が1を超えないってのは自明。

>�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<0.999…
mを任意の自然数とすれば、必ずm+1が存在する。
0.999･･･てのは桁をいくらでも増やせるって考えていいとすると、これも自明。

×　mを任意の自然数とすれば、必ずm+1が存在する。
〇　mを任意の自然数とすれば、必ずm < nとなる自然数nが存在する。

>>106
100じゃないが、危険だと思うというか、納得できないというか、説明が足りないと思うのは、(2)。
そもそも、極限とはなにかということから説明して欲しい。

貴君達に一つだけ助言をさせていただきたい。
カントールの対角線論法も視野に入れて議論に励みなさい。

カントールの対角線論法の方が、1=0.999・・・よりもうさんくさい

>>253
そうか？

普通は使った証明と使わない証明の両方を習う.

256げっと！

直感主義のかたって確か対角線論法のまさに
この部分に文句言ってたのでは？

直観、ね。

http://www.interq.or.jp/power/itachi/up/files/file0973.gif
↑図で説明してみたんですが、どうよ？

実数直線上の
閉区間[0,1]で最大値を考えると１になる。
それなら
開区間(0,1)では最大値はどうなるか？

実数は密だから無理かな？

>>260
> 実数直線上の
> 閉区間[0,1]で最大値を考えると１になる。

理由を説明してもらおうか

このスレはあほの集団ですか？？？

>>262

>>199の定義は、もしかしたらあなたにとっては数列の極限より
受け入れやすい定義なのかもしれない。だけど、一般の人にとっても
そうであるとは限らないだろ？

アルキメデスの原理を認めてくれない人だって居るかもしれないしね。
実際、「どんな数より小さい無限小がある」というのはそれほど不自然な
考えではない。

>263
一般の人もそうであるとは限らない、といいますが、おそらくほぼ認めてくれると思いますが。
僕は別に数列の極限が受け入れにくいわけじゃない。
>アルキメデスの原理を認めてくれない・・・
中学生や高校生だったら何も考えずに認めそうなところだし、学部生なら絶対認めてくれるで
しょう。もし認めてくれない人がいるとして、それはいったいどんな人ですか？

それと、あほばっかり、と書いたのは[1,1]の最大値が1であることを証明しろ、
とか、(1,1)の最大値・・・などといってることに対してですよ。

>>264

>>中学生や高校生だったら何も考えずに認めそうな

そうかなあ。話がこんな風に進んでいくこともあると思う。

A:「0.999… < 1だよ絶対。」
B:「いや、それはおかしいよ。そうだとするとアルキメデスの
原理と矛盾してしまうよ。」
A:「じゃあ、そのアルキメデスの原理がおかしいんだよ」

B:「いや、お前の頭がおかしいんだよププッ (￣m￣*）」

>>266

それ言っていいなら

A:「0.999… < 1だよ絶対。」
B:「バーカ」

で終了なわけだが。

「自分個人が納得できるかどうか」だけが
問題なんだとさ。

今井を相手にしてるのと、全く同じだよ。
それでも相手にするかい？

>268
煽りｷﾀ━━━(ﾉﾟ∀ﾟ)ﾉ ┫:｡･:*:･ﾟ’★，｡･:*:♪･ﾟ’☆━━━!!!!
そんなに自信満々な君は何なの？院生？卒業生？それとも学科生ですか？

漏れはuzai ◆zlkh4nwMQEに

「いや、お前の頭がおかしいんだよププッ (￣m￣*）」

と言ってやりたい。

>>269

自分も>>262で煽ってたじゃん、、、

uzaiの感性は世間一般の普通の感覚です
ずれているのはあなた達です
はずかしくありませんか

uzaiの発言は煽りではありません
真実を言ったまでです

世間一般の人たちは1と0.9999…が等しいか等しくないかなんて事に
全く関心はないと思うけど。

一般人の考えそうなこと

1-1/∞=0.999…

>>275
1/∞＞0
も追加で。

1/∞ ＝ lim[n→∞] (1/n)
とすれば、
1 - 1/∞ = 1 - 0 = 1 = 0.999…
別に間違ってないよな。

1/3 は有理数
(1/3)*3 は有理数

任意の自然数mに対して、
1) x >= 0
2) x < 10^(-m)
なる性質を持つ実数をxとする。
以下、x = 0となることを証明する。

証明）
x > 0と仮定すると
x > a > 0を満たすaが存在する。
a > 10^(-n)を満たす自然数nが存在するので、
a > 10^(-n) > x
となり、仮定と矛盾する。
よって、
x ≦ 0
ゆえに
x = 0　（証明終了

以下、0.999･･･を求める。
0.999･･･ > �納k=1,m]{9×10^(-k)}< 1 - 10^(-m)　であるから、
1 - 0.999･･･ = xとおくと、
ｘ < 10^(-m)　性質2)
となる。また、
0.999･･･ <= 1なので、
x >= 0 性質1)
よって、x = 0
すなわち、
0.999･･･ = 1

×　0.999･･･ > �納k=1,m]{9×10^(-k)}< 1 - 10^(-m)　であるから、
〇　0.999･･･ > �納k=1,m]{9×10^(-k)}= 1 - 10^(-m)　であるから、

0/0=1.1111111111111111111・・・・・・・

任意の正の実数εに対して、
1) x >= 0
2) x < ε
なる性質を持つ実数をxとする。
以下、x = 0となることを証明する。

証明）
x > 0と仮定すると
x > a > 0を満たす実数aが存在するので、
性質2)に矛盾する。
よって、
ｘ <= 0
ゆえに
x = 0 （証明終了


|α - f(y|y→∞)| = x
とおく。
但し、f(y|y→∞)は、y→∞としたときのf(y)の値と定義した。
また、α=lim[y→∞]f(y)

x は性質 1)、2)を満足する。
よって、
ｘ = 0
すなわち、
f(y|y→∞) = lim[y→∞]f(y)

これでもいいのか？

直観主義は背理法を認めないので(ry

無限回の操作が要求される場合はね。

>281
下の証明でxはどうして性質2)を満たすんだ？
あと、問題の本質からずれるが、そもそも、
f(y|y->∞):=lim[y->∞]f(y)
だと思うんだが。

>>284
f(y|y→∞) は 0.999・・・のことを暗示していて、
lim[y→∞]f(y) は lim[m→∞] Σ[k=1,m]{0.9×10^(-k)} を暗示しているのでしょう。

>>284
任意の実数εに対して、
|α - f(y)| < ε
となるようにyを選べるから、というのはどう？
（十分yを大きく取れば↑を満たす）

██ ████ ████ ████ ████ ████ █
████ ████ ████ ████ ████ █ ██
██ ████ ████ ████ ████ ███ ██
████ ████ ████ ███ █ ████ ███
██ ████ ████ ███ █ ███ █ ██ █ █
████ ████ ████ ██ █ ██ █ █ █ ██
██ ████ ████ ██ █ ∵(･)∴∵(･)∴█ ███
████ ████ ████ █ █ ██ █ ██ █ ██　　　　　　　　tanasinn

1≒0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

「≒」を使うならそもそも議論の余地はないな

>>288
当たり前のことを書くなＹＯ

「≒」＝「≠」

1≒1

「≒」は近似の意味だから、そもそも数学の記号ではないと思う。
物理とか工学の分野から生まれた記号ではないだろうか。とマジレス

よく考えると、２つのものが等しいと言い張るのは
気が狂っている証拠だ。

ものとして等しいと言ってるわけでなくて、それらのもののある性質
（例えば実数としての値）が等しいと言ってるのだ

何をいいわけしてるんだ。不安なのか？

日本評論社「数学っておもしろい」p.32にこの話題を扱った記事があった.
それによると (1)1/3=0.3333…, (2)1/3×3=0.3333…×3, (3)1=0.9999…
を10年間大学で主に1年生に○×解答させた結果が載っている. （内訳を省いて
合計だけ書くと, 1907人中(1)×が420人,(2)×が1188人,(3)×が1403人だそうだ.
(1)○で(2)×というヤシはa=bだがa×3≠b×3ということがありうると思っている
のだろうか.）

その記事に「納得」の1方法が紹介してあって, なかなか面白い：
1/9 = 0.1111…
2/9 = 0.2222…
…
8/9 = 0.8888…
9/9 = 0.9999…

>>297

分数ならぬ、極限の出来ない大学生ということだな。

っていうか、（２）で×が激増してるほうが気になるな。これ。

>>299
確かに。
3)×
と答えたﾔｼより、
1)〇、2)×
と答えたﾔｼの方が重症だ。

いやいや、1/4の｢大学生｣が(1)×って
小中学校でマトモな教育を受けてないってことだろ。
極限がどうの、というレベルの話ではないと思われ。

つか、これどこの大学よ?
桐堂大学か?

>>301
いや、1=0.999･･･がこのスレでこれだけ話題になるのだから、それは妥当なところだと思う。

まとめると
｢日本の将来は暗い｣でFA?

>(3)×が1403人だそうだ

1907人中約74％が可能無限派なのか。

///

>>304
可能無限でも○だろ。
その74％の人間は超準モデル厨と見た。

パトラッシュの法則だな

「…」の表記に懐疑的なら、(１)から×でも悪くはない。
ただ、(１)を○にしておいて (２)や(３)を×にするのはおかしい。

(1),(2) をバツにして(3)を丸にした人も居るのでは.

1/3=0.333･･･
は1÷3を計算する過程で現れるが、
9/9=0.999･･･
は9÷9=1となってしまって、計算する過程で0.999･･･が現れないことから、
1)〇、3)×は、説明がつく。これに関しては、>>297でフォローしてるし。

しかし、
1)〇、2)×
は一体どういう理屈でそう答えたのかｻｯﾊﾟﾘわからんｗ

>>310

理屈なんて無いんだろう。世の人間の90%くらいは、論理のろの字も知らない
ような人たちだという事を忘れちゃいかんよ。

普通に計算したら、
1/3×3=1
となるから、
2)×
って答えたんだろうな。

>>311
論理の根拠の所在が問題なのをお忘れでは？

>>313

アンケートに答えた人は、このスレの住人ではないし、いい加減に答えた
だけだろう。

問題文を読まずに適当に答えた人間がいるだろうというのはわかるが、
1)〇 2)×
とした人間が全員そうだったとは思えない。
何か根拠があってそう答えた者がかなり多数いるハズだが。

適当に答えただけですが何か

いずれにせよ、論理的な根拠は無かったと思われるが。

324

人は成長して、(３)を解くまでに、反抗期に入ったんだよ。

xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9
9x＝9
x＝1
あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？

>>320

過去ログ嫁。

>>321
すみません。過去ログ読めません
出来たら答えのところをコピペしてまらえませんか？

このスレだけみても大体のことはわかるよ。

わからん・・・

わからないのは0.999…という数を扱うには、数学の知識が足りないからだろう。
数学を勉強して（しなおして）納得する。というのが一番まっとうな方向だと思う。

頑張って高校数学やり直せ。

ついにマルチ君が本スレにやってまいりました。

>>320
> xを0.99999999・・・・とする。
> 10xは、9.99999999になる。

あかんわ、智ちゃん・・・

>>320
つうか、「1 = 0.999･･･」ならその結果でも矛盾しないだろ。

xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9.00000000・・・・である。
9x＝9.00000000・・・・
x＝1.00000000・・・・

よって

0.99999999・・・・ > 1

「よって」がさっぱり分からないんだけど。

もっと前を突っ込めよ.

[>329]の三行目か。

題とは違って、すみませんが。

２進数１０００００００＝−１２８　cpuの中身。
　　　０１１１１１１１＝１
　　　１００００００１＝１２７
　　　１１１１１１１１＝−１

データは８ビットの二進数で表わされ、先頭ビットは符号を表わす
。負数は２の補数で表わされる。がわかりません。教えてくだされ。
　　　

Re:>333
四行目と五行目がどうにも分からぬ。

Re:>333
私は
-128以外は、各ビットを反転して1足した結果が負数となり、
0から127は通常の二進数と同じ、
というシステムをよく知っているから、貴方の問いにはどう答えてよいのやら？

マイナスが、わかりません。コンピューターの考え方。

Re:>336
上位一ビットが0ならば非負、上位一ビットが1ならば負。

０１１１１１１１＝＋１２７
０００００００１＝＋１
００００００００＝０
１１１１１１１１＝−１
１００００００１＝−１２７
１０００００００＝−１２８

でした。これが、わかりませんが。反転？

Re:>338
例えば、10100010の各ビットを反転すると、01011101となる。これにさらに1を加えると、
01011110となる。
続きは質問スレでやろう。

各ビットを反転して1足した結果が負数となり、
　は、暗記ですか？数学でも。それから、−１２８は、なぜ、
１００００００になるのですか？
教えてください。＞FeaturesOfTheGod さん

例えば、10100010の各ビットを反転すると、01011101となる。これにさらに1を加えると、
01011110となる。

は、なぜ　勝手にこんな計算をしてもいいのですか？他の何かの数とかちあわないのでしょうか？不思議！
＞ 339

質問スレどこですか？

Re:>342
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(31桁略)8841
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088852403/

>>340

10100010 (-46) + 01011110 (46) = 100000000

Re:>344
その上位一ビットは捨てられる。(フラグレジスタのCFビットには反映される。(Intelの場合。))

>>331
いや、もっと前はさんざん既出だから。

>>344
勝手にビット（桁）一個増やしちゃいかんよ。

>>340
コンピュータ内では>>338という風に解釈すると定義してるだけ。
8ビットで表される整数の半分を負の整数に割り当ててる。

ちなみに、符号（＋−）なし整数の場合（−を考えない場合）、
０１１１１１１１＝＋１２７
０００００００１＝＋１
００００００００＝０
１１１１１１１１＝＋２５５
１００００００１＝＋１２９
１０００００００＝＋１２８
となる。

>>348
>となる。

と金？

>>348
> 8ビットで表される整数の半分を負の整数に割り当ててる。

厳密でない.

>>347
> 勝手にビット（桁）一個増やしちゃいかんよ。

キャリーフラグやオーバーフローフラグの概念を勉強しよう.

127+1+(-128)=0
b01111111+b00000001+b10000000=b00000000

糞ｽﾚになってまいりましたっ

「補数」の概念を分かってないと思われ。

10進数の場合、
0001 + 9999 = 0000
0002 + 9998 = 0000
従って、
9999 を -0001
9998 を -0002
と考えても問題ない。

>>352
元々糞スレだろ？

>>354
正直ｽﾏﾝｶｯﾀ（AA略）

1÷3×3=1ではあるが

1÷3=0.333…
0.333…×3=0.999…

よって
1=0.999…

またループ厨が出てきたな

0.999… ＝ lim[n→∞] �納k=1,n]{0.9×10^(-k)}
を無条件で信じることと

0.333…×3=0.999… つまり
lim[n→∞] �納k=1,n]{0.3×10^(-k)} ×３ ＝ lim[n→∞] �納k=1,n]{0.9×10^(-k)}
を無条件に信じることとの差は
どれほどのものなんだ？

lim の位置がおかしくないか

>>358
> 0.333…×3=0.999… つまり
> lim[n→∞] Σ[k=1,n]{0.3×10^(-k)} ×３ ＝ lim[n→∞] Σ[k=1,n]{0.9×10^(-k)}
> を無条件に信じることとの差は
> どれほどのものなんだ？

0.333…＝lim[n→∞] Σ[k=1,n]{0.3×10^(-k)}
はどうよ？

lim[n→∞] Σ[k=1,n]{0.3×10^(-k)} ×３
って不明瞭だぞ

(a+b)(c+d)って何でac+ad+bc+bdになるんだっけ？

>>361
誤爆？

一応まじれすしとく？

分配法則(と結合法則)から直接分かること。

らららら

>>350
>厳密でない.
初心者に教えるんだから、多少砕けた感じがいいんだよ。

>キャリーフラグやオーバーフローフラグの概念を勉強しよう.
そもそも、>>347は>>340の質問の答えになってないだろ。

×　そもそも、>>347は>>340の質問の答えになってないだろ。
〇　そもそも、>>344は>>340の質問の答えになってないだろ。

そもそも、スレ違いだろ！

>>355
>キャリーフラグやオーバーフローフラグの概念を勉強しよう.
いや、最上位ビットがそうだと断ってるのならともかく、勝手に増やしたらイカンでしょ。

×　>>355
〇　>>350

良スレ!

(a+b)(c+d)って何でac+ad+bc+bdになるんだっけ？

>>372
激しく概出
分配法則(と結合法則)から直接分かること。

明らかに
1>0.9999...

　　　｜
　　　｜
　　　Ｊ

いや、
おまえらは
1≦0.9999...
を証明しろ。
＝じゃないぞ。≦だ。いいな。

1＝0.9999...
∴1≦0.9999...

　　　｜
　　　｜
　　　Ｊ

　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜
　　　｜

　　　　　／V＼
　　　　/◎;;;,;,,,,ヽ
　＿　ﾑ::::(;;ﾟДﾟ)::|　ん？
ヽﾂ.（ﾉ::::::::::.:::::.:..|）
　 ヾソ:::::::::::::::::.:ﾉ
　　 ｀ ー U'"U'

結論

１＝０．９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・

結論が出たようなので


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊終了＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

ひとりで終了してるやつ

結論が出たら終了。ってんならもう最初のスレの時点で終了してるわけで。

どう考えても
１＞０．９９９９９９９････････

>>385

君の数学ではそうなんだろうけど、グローバルスタンダードでは違うよ。

>>385
＞どう考えても
なにを「考え」たんだか。
藻前の「気分」だろ。

このスレまだあったんだ。
ageるね。

２ちゃんねるの人達はイコールの意味をよく分かっていないようですね。

結論

１＝０．９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・

１＝０．９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・
じゃなくて
０．９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・＝１
だと思う

中黒がもっとあったほうがいいと思う

　

なかぐろを数学的に厳密に定義しようぜ。

>>392
０．９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

こんなもんでどう？

厳密に定義された数学記号なんて無いだろ。

０．００００・・・で何かを割ってみろ

>>397

スレ違い。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088780048/l50

>>395
ちょっと多すぎると思う

X=0.9999
１０X=9.9999
９X=9
X=1

>>400
> X=0.9999
> １０X=9.9999

何だってぇっっー！！！

ケアレスミスか！

初歩的なミス！

決定的なミス！

スレの流れが悪くなったな。
数学板は他の板と違って夏休みは厨が減る証明かな？

夏休みに増える厨と客層が合わないんだろう。

命題「∀ε > 0: |�納k=1,n]{0.9×10^(-k)}-1| < ε」を証明すればいいわけだろ。
これを否定して矛盾を導けばよい。

命題「∀ε > 0, ∃n_0∈N, ∀n∈N, n>n_0: |�納k=1,n]{0.9×10^(-k)}-1| < ε」を証明すればいいわけだろ。
これを否定して矛盾を導けばよい。

いつまでたっても
0.9999・・・・
が定義できないのだよな

定義したとおもったら　1の再定義ばかりだよ

そんなもんだ。このスレは

「・・・」が定義できるというのなら
やってみろ。

>>411
で、お前はツッコミ所を必死で探すわけですね。

いま「ガイアの夜明け」でＵＦＪ銀行の信託売却ネタやってたけど、「破談の可能性は」
と聞かれたＵＦＪの返事が「限りなく０に近い」。限りなく０に近い…しかし予想外の展
開（三菱の行動）が…とナレーションが続いたところをみると、「限りなく０に近い」と
「０」は違うとみな思ってるのだろうな。

実数じゃなくて、整数なんだよ。限りなく0に近いってのは1ってことだ。
つまり、絶対破談するってこった。

0.999999・・・は長くて言いにくいから1にするってさ初めに数字つくった奴の遺言

流れが悪い。

1=1/3*3=0.33333333・・・・*3=0.99999999・・・・

※1/3*3→（1/3）*3

厨房ネタはつまらにょ

1/3*3=1-(-0)

1/(1-0.99999・・・・・)は無限大なので、1-0,9999・・・・・=0

>>421
> 1/(1-0.99999・・・・・)は無限大なので

詳しく

１−０．９９９９９９９９９９９・・・・・＝？

>>422
1-0.999999....=lim[x→0]x=0
1/(1-0.99999....)=∞

ただ、０に近づくのであって、真に0ではない
すべての数には、ある不定の要素が含まれているのかもしれない。
まあ、自分にはさっぱりですが。

君が数学をさっぱり理解してない、って事は読めば分かるよ。

x が無限大であるのは, x^-1が無限小であるときである.

2-1=1 なので 1+1=2

なぜ 2-1=1 なのか？詳しく

1+1=2 なので 2-1=1

１÷３×３＝１
　　　　　≠１÷９＝０．１１１・・・

１×３÷３＝１
　　　　　≠３÷３＝１

３×１÷３＝１
　　　　　≠３÷３＝１

３÷３×１＝１
　　　　　≠３÷３＝１

３÷１×３＝９
　　　　　≠３÷３＝１

３×３÷１＝９
　　　　　≠９÷１＝９

３÷３÷３＝？

どうせなら超準解析とかp進体とかそっち系の話題にしてくれよ。

誘導しろよ。
自作自演で。
>>429

>>429
ほんのさわりくらいなら何回か出てるんだけどね。
議論出来る人が少ないのかな（俺が出来る人間という意味ではないよ）。

しかし超準解析ではそもそも0.999…の解釈は一つに定まらないんじゃないか？
で標準部を取ったら結局1と同値だし。

497

糞スレsage

↑クソそれ自体

0.999…で9の数が増えれば増えるほど1に近づくのはわかる。
これは1/nがｎが大きくなれば0に近づくのと一緒。
こういう状況を現代の数学では
1=0.999…と書いたりlim(1/n)=0
と書くのでは。ここでゴネると先に進めない。

>>435
完全に間違った理解だな。

>>436
0.999…と1/nで近づき方が違うような気はしているんだが。
何か言いたい事があるなら解説をキボンヌ。

状況ってなんだよ。状況って。

183

近づき方が一緒なんじゃなくて、
どちらも極限の操作が必要ですよ　というだけの話だろう。
ゴネる人間が出てきて そいつに対して言うのならともかく
今このタイミングでそんな事を書く理由が全く分からないけど。

それはそれとして、
436の表現の不正確さが、そのまま436の理解の不正確さなんだろうな。

両辺を２乗したらどうなるのですか？
(1)^2=(0.999…)^2
(0.9)^2=0.81
(0.99)^2=0.9801
(0.999)^2=0.998001

1に収束するよ。

そもそも無理数に掛け算をして正確な答えが出るってのが間違いなのさ（´ー`）

Re:>443 お前は何を言っているのか？

もうこんな難しい話はわかんない。全裸で。

キングよ、粘着を止めよ！

発言したかったら、しばらくコテ外せ！

結果的にお前が荒らしたことになる。不徳の致す所だ、恥を知れ。

０．９９９…＝１でいいじゃん。
困るときは０．９９９…＝０．９９９…にすりゃいいし。

Re:>445 お前何やってんだよ？
Re:>447 そもそも、…とは何なのか？

キングよ、粘着を止めよ！

発言したかったら、しばらくコテ外せ！

結果的にお前が荒らしたことになる。不徳の致す所だ、恥を知れ。

あぼーん

Re:>450 捏造すんな。

保守

20進数表記で、
10〜19を a〜j で書くとする

0.9 (10進数) = 0.i (20進数)
0.99 (10) = 0.ii (20)
...
0.99... (10) = 0.ii... (20)

明らかに 0.ii...(20) と 1 の間の実数が存在する
0.99... (10) = 0.ii...(20) < 0.j(20) < 1

よって、
0.99... ≠ 1

>>453
これ
正解！

＝１派なら、
0.ii...(20) ＝ 0.j(20)
だとか言い出して、
「だから間の数なんかない！」とか言い出しそうだな。

>>455
っていうか、実際そうだろ。
0.ii・・・（２０進数）＝ 0.j（２０進数）

変なネタだ。

>>453
>0.99 (10) = 0.ii (20)

ダウト!

0.09(10)≠0.0i(20)

計算してみ。

ようやく一人釣れたみたいだな。

店長
釣り宣言出ました

ぼくは、みんなが>>4よりあとのれすをよみかえせばいいとおもいます。

>>4は、いいたい事はわかるんだが
肯定しづらい。
曖昧すぎる。

唐突だが、自然数の集合の族F（したがってP(N)の部分集合）で
次の性質を満たすものがあるとしよう。
a: Fはφを含まない
b: A∈F,A⊂B⇒B∈F
c: A∈F,B∈F⇒A∩B∈F
d: A={n|nは有限集合Cに含まれない}⇒A∈F
e: A∪B=N,A∩B=φ⇒A∈FまたはB∈F

実数列{a_n},{b_n}に対して
{a_n}〜{b_n} iff {n|a_n=b_n}∈Fで同値関係〜を定義して
これをR^*とでも書くとR^*でも四則演算が定義できる
順序も{a_n}<{b_n} iff {n|a_n<b_n}∈Fで定義するとRはR^*の部分集合だと考えることが出来る。

ここで、a_n=0.999……9（n桁）、b_n=1とすると、R^*で
0.999……<1となっている。

そのかわり{n}と{n^2}は違う無限大になるし
{1/n}と{1_n^2}も同様。archimedianにもならない。

勝手に某ページからパクって来たものだけど
まああの人が考えたんじゃ無いだろ

ｘ = 0.9999999999999999999...(無限小数)
10ｘ = 9.9999999999999999999...(無限小数)
10ｘ = 9 + 0.9999999999999999999...(無限小数)
10ｘ = 9 + ｘ
9ｘ = 9
ｘ = 1

∴ 1 ＝ 0.9999999999999999999...(無限小数)

数学的には0.999・・・=１
なんでしょ？
ふしぎだね

国土】剱岳　新標高2999メートル。
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1099019102/

ﾆｭｰ速+からきました、記念ｶｷｺ

>>463
君の言うR^*において0.999……とはどう定義されるものなんだ？
それを云わないと全く無意味な議論だぞ

0.9999999999999999999...=1-1/∞
で、1/∞=０なのか、1/∞≠0なのか。

＞0.9999999999999999999...=1-1/∞
なにそれ。
1/∞が lim 1/n の意味だとしても
その式の右辺と左辺が等しいという説明は必要。

こんなことして楽しい？
つーかこれなんか社会の役に立つの？
馬鹿じゃねーの？

>>471

ええとご自分の書き込みについての自己言及文、ということで
よろしいですね？

おまいらのいう少数展開を定義してくれ

結論的に言うと。

7=6.999999999999999.... で、8=7.9999999999999999....

でしょ？そしたら、7+8=15ってすくなくね？
いやそれじゃなくて、15=14.999999999999........でしょ？


6.999999999999999.....+7.9999999999999999.....=14.99999999999999....なのかって話ですよ。

結論から言えば、「結論的」の意味が判らん。

>>474
ここから来たな・・・！？


7+8=15って少なくね？？
http://tmp4.2ch.net/test/read.cgi/bakanews/1099039250/l50

すごいスレだな・・ここ。
つまりここだと　１/∞はどうなるんだ？

∞は数じゃないんだよね。

1÷3=0.3333333333333333......
両辺3倍して
1=0.999999999999999999......

>>477　ここでも1/∞＝０

>>477
1/∞ というのを
lim[n→∞] 1/n だと解釈すれば
1/∞＝０

0.9999… を
lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」
と解釈すれば
0.9999…＝１

１＋１＝２
できた、えらい？？

二元体ではえらくない。

Kingさん使ってください。

　　　　　　　　　　　　　|二二二二二二二二二二二二二
　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　　　|　　　　 　　　| |
　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　　　|　　　　　 　　| |
　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　　　|　　　　　　 　| |
　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　　 人　　　 　　　 | |
　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　 .（ 　）　　　　 　 | |　
　　　　　 　　　　　　　.//|　　　　　　　　￣　　　　　 　|　|
　　　　　　　　　　　　// .|　　　　　　　　　　　　　　　　|　 |
　　　 　　　　　　　　//　.|　　　　　　　　　　　　　　 　 |　　|
　　　　　　　　　　　//　 .|　　　　　　　　　　　　　　 　 |　　 |
　　＿＿＿＿＿__//＿__.|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|＿＿|＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ＼　　　　　　 　　　 .￣~~|￣￣￣￣￣￣￣￣'~|￣　　　　　　 　　　　　／　　
　　　| |＼　　　　　　　 ＿___|＿＿＿＿＿＿＿＿__|＿＿　　　　 　　　　| |
　　　| |　 ＼　　　　　 　　|　　　　　　　　　　　　　 　　|　　　　　　　 ／　| |
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）

>ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw,
King、おまえ、恥ずかしくないか？
いいかげんに引っ込め、くそ荒らし。

　||￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣||
　|| ○荒らしは放置が一番キライ。荒らしは常に誰かの反応を待っています。
　|| ○重複スレには誘導リンクを貼って放置。ウザイと思ったらそのまま放置。
　|| ○放置された荒らしは煽りや自作自演であなたのレスを誘います。
　||　　ノセられてレスしたらその時点であなたの負け。
　|| ○反撃は荒らしの滋養にして栄養であり最も喜ぶことです。荒らしにエサを
　||　　与えないで下さい。 　　　　　　　　　　　　　　　　 Λ_Λ
　|| ○枯死するまで孤独に暴れさせておいて　　 ＼　(ﾟДﾟ,,)　ｷﾎﾝ。
　||　　ゴミが溜まったら削除が一番です。　　　　　 　⊂⊂ |
　||＿＿＿ ∧ ∧＿＿∧ ∧＿＿　∧ ∧＿　　　　　 |￣￣￣￣|
　　　　　　(　 ∧ ∧__ (　　 ∧ ∧__(　　 ∧ ∧　　　　￣￣￣
　　　　〜（＿(　　∧ ∧＿ (　 ∧ ∧＿ (　　∧ ∧ 　は〜い、先生。
　　　　　　〜（＿(　 　,,)〜（＿(　 　,,)〜（＿(　 　,,)
　　　　　　　　〜（＿__ﾉ　　〜（＿__ﾉ 　　〜（＿__ﾉ

1/3*3=1
0.333…*3=0.999…
とすると、
1/3=0.333…
なので
1=0.999…

これでいいんじゃないか？

>>487
過去ログ100回読んで首吊って氏ね

これってまともな数学者の見解ってどうなの？

多数派意見という意味だったら0.999…を数列の極限（によって定まる実数）
を表しているものとみて、1と等しいとする人が多数派だと思われる。

少数展開表示なんて、数の省略記号だろｗ

多数派などと言う物はない。
1=0.999…
は、単に自明なだけだ。

0.3333…*3なんてそもそもできるの？

できる、というのが何を表しているのかがイマイチわからんが、
0.3333…と3の間の掛け算がきちんと定義されているかどうか、
ということならされている。

0.3333… + 0.3333… + 0.3333…

487も
そんに悪い証明でもないと思うがな。
具体的に何が悪いと指摘できる人は居るか？

>>496

過去ロ（ry

Re:>496 1/3=0.333…の証明は？

あぁそうか。
循環論法だったな。

そこなんだよな。少数表現での1/3は
0.3余り0.1
0.33余り0.01
0.333余り0.001
0.333333…3余り0.000000…1
であって余り無しの計算では解無しなんじゃないのかと。
0.3333…自体がどんなに桁を増やそうが1/3の近似値でしか無い。

ショッボイ議論にまた戻ってるのでビックリした.

イタタタ
それじゃぁ、0.9999・・・≠１になっちまうよ。

1/3=0.333… と 1=0.999… は同時に成立する。

少数というのは、何か実数と関係ある新しい数学ですか？

ageてまで言う事かよ。。。そーいうのはｺｿｰﾘとsageで言うもんだろ。

少数派のやる学問かも知れぬ。

このすれでひたすら\not =
（もっと言うと0.999999……\not =\Sigma_n 9・10^{-n}）
を主張している人は
\pai=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510……
の値はどうやって定義するんですか？
つまりf:\mathbb{N} \rightarrow {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}が
与えられているときに、0.f_1f_2f_3f_4……の値の定義の仕方を考えてください、ということ。
現行の方法以外になにかうまいやり方がもしあったら教えてよ

Re:>506 聞きかじっただけの話ではあるが、超準解析の世界では1≠0.999…らしい。

>>506
単純に「πは小数表記できない(3.14・・・は近似値)」。
桁が無限に続いているモノは考察不能の立場です。

Re:>507 全くの誤解だね。
超準解析では、無限小、例えばεを通常の数として扱えるように公理を拡大する。
だから、1≠1-εになる。
しかし、1-εが0.999…と等しいわけではない。
0.999…の問題は単に表記の約束の問題に過ぎない。
こんなことは超準解析なんて知らなくてもわかること。
ま、もうちょっと数学を勉強したまえ、偽者くん。

いやそのはなしは漏れが>>463で書いてるから。
無限小数は極限で定義することに変わりは無いと思う。

で、Cantor流の実数のモデルの構成では
\mathbb{R}は\mathbb{Q}のCauchy列の同値類だと考えて元を増やすんだけど
\mathbb{R}^*はさらに\mathbb{R}の数列にフィルターを使って
同値関係、部分順序を入れてさらにRを太らせるわけ。
というかあんまりNonstandard Analysis知らないんだけどね。

lim(n->∞)(1-10^(-n))=0.9999999,,,,,で
1-εではないのか？

>>508
考察不能というのは、>>508さんには考察不能、ということですか？
それともそのようなものを考えるのは矛盾に陥るから数学的にナンセンス、ということ？
もしくは無限を考察の対象とすることは出来ない、という有限主義の立場？

あ、ちなみに>>510は>>507に当てたつもりのレスね。

Re:>511 違う。もしそうなら、例えば1-2εはどう小数表示される？

2ε=εとかならないんだ。ごめん。知った気になってた。
形式的に矛盾なく扱えるってしか知らないんだな、多分。

ごめん、\paiじゃなかった、\piだ……

鬱出し脳

Hi-Fi, Wi-Fi. 読めるか？

　超準解析でなくても、0.99999... が 1 にならない例はある。
ゲーデルは、有名な不完全性定理の証明の中で、A(1), A(2), A(3) のように、具体的
な自然数を代入したものはすべて証明可能なのに、(∀n)A(n) は証明不可能、という命
題 A(x) を具体的に構成した。
　そこで、この命題 A(x) を使って、A(n) が真なら a_n=9, A(n) が偽なら a_n=0 と
置くことによって数列 { a_n } を定義し、a=Σ{n=1〜∞}a_n*10^(-n) と定義する。こ
のとき、a を小数展開すれば 0.9999... となるが、この実数 a は、数学が無矛盾であ
る限り 1 に等しいことを証明することは不可能である。

どうゆうこと？

超準解析であっても　0.99999.. は 1 だよ.

>>517

その場合その数列が0.999…と等しいかどうかも証明できないんじゃ。

>>520
0.999… の意味が実はポイントで、これを(∀n)(a_n=9) という意味に取れ
ば、これは a=1 と同値だからもちろｎ証明できないが、もしこれを、具体的
に「○億桁まで」小数展開したり、「○兆桁まで」小数展開してみれば、それ
がいくら大きな桁数であっても、必ず 9 のみが並ぶ、という意味ならば、
a=0.999… という式は正しい。

>>517
何電波なこと書いてんの？
\omega 不完全性は単に特定の自然数論の独立命題の中に、
それを公理に加えると\mathfrak{N}をモデルに取ることができないような
不自然な命題が存在する、というそれだけのこと。
証明可能性は、どの理論の内部でのものか指定しないと意味が無い。
多分メタレベルとオブジェクトレベルの区別がついてないんじゃないですか？

証明可能と真の区別かもしれない

522=523ね

>>517
>ゲーデルは、有名な不完全性定理の証明の中で、A(1), A(2), A(3) のように、具体的
>な自然数を代入したものはすべて証明可能なのに、(∀n)A(n) は証明不可能、という命
>題 A(x) を具体的に構成した。
A(x)は証明可能なだけで真であるとは書いてないよな？
おかしくね？
具体的に構成したならそれを書いてみてくれよ

たいした知識もないやつがでしゃばるとこうなる

>>525
>>517じゃないけど具体的に構成するなら、
自然数論を含む無矛盾な理論Tをとってきて、
そのゲーデル文\phi を具体的に構成すると
（具体的に書くのは量化記号が何十個何百個とつくから人の手では無理だけど）
\phi と[\phiはTで証明できない]は同値になる。Tの公理にnot \phiを加えて
T'とするとＴ'が求めるものになる。（題意を満たす単項述語Aが存在する）
詳しくは不完全性定理関係の本を参照。
というか、
>>証明可能なだけで真であるとは書いてないよな？
あきらかに証明可能なら真になるんですが……

なんにせよ、このスレとは関係ない話だな。

522=527だけど同感

もし親に、あなたはは0.9999…だから１と同じだといって育てられたら1に対してコンプレックスもつだろうなぁ。

順序数のベキと濃度のベキの違いのようなもんですな。
結局、反対派は無限列の存在を認めておらず、0.999...を順序数のベキのような感覚で
考えてるんだよね。

0.999...が含まれるように想定した空間から
Ｒへ&一視しないちおう立画

>>532

？？

漏れも意味分からんかった

＞Ｒへ&一視しないちおう立画
誰かこれを日本語に訳してくれ！

>>525
ゲーデルのオリジナルに忠実なバージョン
「"の２度繰り返しは証明不能"
　の２度繰り返しは証明不能」

厳密にいえば「証明不能」のところを算術化する必要がある。
ただ、これを認めれば、実際に証明不能であれば正しいことは
分かるよな。

>>532-535
たぶん、「同一視しない立場」あたりの文字が化けたかなんかだろう。
「≠１」派の話かな？

　A(1),A(2),A(3),… がすべて証明可能なのに (∀n)A(n) が証明不可能というのは、
一見奇妙に見えるが別に不思議じゃない。
　そもそも「証明可能」というのはメタな概念で、実際に数学を展開している紙の上と
かコンピューターのメモリの中では、「証明された命題」というのがあるに過ぎない。
　つまり、個々の数学の推論が展開されている媒体上では、証明可能だからと言って証
明されているとは限らない、というわけだ。
　どんな媒体上でも証明されている命題は有限個しかないから、A(1),A(2),A(3),…
がすべて証明「されている」ということはありえない。ゲーデルの命題と言うのは、ど
んな具体的な数 n が与えられても A(n) が証明可能、すなわち「証明された状態にす
ることができる」ということ、すなわち A(n) を証明するアルゴリズムを与えたという
ことに過ぎない。これと (∀n)A(n) が証明されている、という状態の間には大きなギ
ャップがある。そのギャップは通常は数学的帰納法が補ってくれるのだけれど、ゲーデ
ルの命題は巧妙に作られていて、(∀n)A(n) が数学的帰納法では証明できないようにな
っているわけだ。

>>538
なんだか変な気がするが
それは、ペアノの公理系で(∀n)A(n)が証明できないといっているのか？

全然関係ない話を続けて、自分の知識をひけらかしている人がいますな。

>>538
ちゃんとゲーデルの定理を勉強してからまた来てくれますか？
ゲーデルは（ゲーデル以外の人も）「実際に数学を展開している
紙の上と かコンピューターのメモリの中」の話なんてしてないよ。
まあ「実際に数学を展開している頭の中」に取り替えれば
直観主義者が考えていた事に近くなるがゲーデルはそんなことは言っていない。
>>517の0.999............\not = 1の説明は完全に間違いなんだけど気付きませんか？

ガイドラインから来たが、とんでもないスレに迷い込んだみたいだ・・・・
おまいらの力なら、この超難問も解決できる。2chがノーベル賞に載るのも近い。

ガイドラインにそんなスレがあるのか･･･。
ここは確かに息の長いスレではあるが

てか普通、顔文字に使われてる記号が
平気で出てくるあたりが怖いというかなんと言うか・・・

おっと、ここはゲーデルも知らないような人がいるスレじゃないな。
みんな、せいぜい頑張ってくれい。

わーいｲﾐﾜｶﾝﾈ(ﾉ∀`)

fromｶﾞ板

どのスレだ, ゴルァ.

だって>>517の内容は電波だよ？きちんと勉強したら分かるけど

>>547
電波は分かる人には問題ないが、分からない人には酷く邪魔になるよな

超準解析でも「１＝０．９９…」というのは良く聞くけど、反対もよく聞くな。
どっちが正しいんだ（ｗ

１と同一視すれば「＝」だし、
同一視しなければ「≠」。

だから, 超準

だからR^*（Rに無限大とか無限小とか付け加えたもの）のなかで
数列0.9,0.99,0.999,.........と0.999999.........を同一視すれば\not =

>>539
＞ それは、ペアノの公理系で(∀n)A(n)が証明できないといっているのか？
　考察している自然数論より強い無矛盾な体系の中では証明できない、という意味だが。

＞ >>517の0.999............\not = 1の説明は完全に間違いなんだけど気付きませんか？
　誰も 0.999............\not = 1 が証明できるとはいっていない。
　 0.999............ = 1 が証明できないと主張しているだけだ。
　ただし、任意に具体的な桁数（例えば1兆桁でも１無量大数桁でもよいが）を指定されたら、
その桁まで小数展開したら、その桁まで9が並ぶことは証明できる、と言っているのだ・

>>541
＞ゲーデルは（ゲーデル以外の人も）「実際に数学を展開している
紙の上と かコンピューターのメモリの中」の話なんてしてないよ。

　あなたが何をイメージしているか知らないが、私が書いているのは「実際の数
の推論における」話なのだから、「実際に数学を展開している紙の上と かコンピ
ューターのメモリの中」の話になるのは当然だ。
　私はゲーデルの証明の中で出てきた命題 A(n) を利用してゲーデルの不完全性
定理とは別の話をしているのだから、その別の話の中でゲーデルが使っていない
表現が出てきても不思議ではないだろう？

訂正
＞ 誰も 0.999............\not = 1 が証明できるとはいっていない。
　 0.999............ = 1 が証明できないと主張しているだけだ。
というのは書き間違いで、

誰も a \not = 1 が証明できるとはいっていない。
a = 1 が証明できないと主張しているだけだ。

に訂正する。a は例のゲーデルの命題を使って作った数だ。

>>549-552
なるほど、超準解析では「どっちでもよい」と。定義次第ってとこかな。

そうじゃない.

だから証明できない、という場合は
どういう公理から証明できないか
かかないと意味がないっちゅうのに

>>558
ま、電波なんて相手しても無駄かと

479の言ってる事が正しい→知識のひけらかし。
479の言ってる事は間違い→間違いを偉そうに語るバカ

よって479は恒等的に嫌な奴。放置しる。

あぼーん

0.9999…というのは1に少し足りないという定義だから
イコールはおかしいだろ普通に考えて
実質というか事実上イコールとみなす
というのが一般的な考えだ

あなたの脳みそも少し足りないみたいですね。

釣れた釣れた。
ageたら釣れないかと思ってたけど。
脳みその足りない人もいるもんだなぁ。

あぼーん

>>564
脳みその足りなさと煽られた悔しさがいい感じで滲み出してるレスですね(^o^)

脳みそが足りてる人っているのだろうか。ガウスとかは余ってたのかもしれんが。

これ証明したらどんなｲｲことがあるの？

Re:>568 これは一般の級数計算からの帰結であるにすぎない。特別いいことがあるとは思えない。

あぼーん

あぼーん

深夜や休日など、込み合った時間を避けてカウント厨や
糞スレが立ったり上がったり
ウザイあぼーん候補レスが沢山つくのは数学版の仕様でつか?

>>517
そもそも数列（無限小数）とかその同値性とかをどう公理化するのかが与えられてないから
∀n.A(n)の証明可能性と0.999…=1の証明可能性を結び付けられない。

だから超準解析でも0.999...は1と等しくなるんだってば。

堀江由衣
お前女か?

このスレ終了

オワ

１/∞は０として、
じゃぁ、１/∽はいくつですか？

>>578
C

>>578
3ぐらいじゃないか？

age

いい加減に終われよ

ここまでのあらすじ

根拠もなく妄想を垂れ流す＝派の大量発生によって
≠派が正しいにもかかわらず劣勢の模様。

ふと思ったんだけど。
この問題に極限を使うのは間違いじゃね？

>>584
では、何を使うのがよいのかを述べよ
若しくは、何が間違いかを述べよ

9の数が有限個なら≠
無限個なら=じゃないのか

おもろい

age

何でこんな簡単なことが分からないんだろうか？
意外・・・というか、ネタスレにマジレスなんだろうけど。
証明します。

（証明）
1÷3×3=（1÷3）×3=3×0.333･･･=0.999･･･�@
1÷3×3=1×（3÷3）=1×1=1･･･�A

�@,�Aの左辺は等しい。よって
1=0,999･･･　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　//

これで･･･の定義を改めてしなおさなくても、
証明できました。

>>589
釣れますか

>>589
証明の1行目の最後の等号
3×0.333･･･=0.999･･･
が成り立つのはなぜですか？

>>591
成り立つに決まってるでしょうが。
むしろなぜそんな質問をするのかが謎。
成り立たないと考える根拠は？

>>591
釣りかよ･･･
しまった・・・

でもこれで妙な釣り師以外
納得したようだな

>>591

　　lim (0.333...3) = 1/3
だから
　　1 = 3 * lim (0.333...3) = lim (0.999...9)

http://book3.2ch.net/test/read.cgi/mystery/1087714432/578

age

>>592
成り立たないと考えているのではなくてなぜ成り立つかの理由が記されていないと考えているのです。
「必ず成り立つ」の否定は「必ず成り立たない」ではなくて「成り立たない可能性がある」ですよ。

>>591
釣れてますね。
程度低いけど。

age

>>597
では成り立たない場合を示してください。

Q:ピタゴラスの定理を証明してください。
A:簡単です。神様が定理が成り立つと言ってます。だから成り立ちます。
Q:それじゃあ証明になりませんよ。ほんとに成り立つんですか？
A:では成り立たない場合を教えてください。

保守

>>594

　Lim(0.999...9) = 1
だから
　1/3 = Lim(0.999...9) / 3 = Lim(0.333...3)

俺のような低学歴が茶々入れて申し訳ないんだけど、
おれも>>589と同じこと考えてた。
3×0.333･･･=0.999･･･が成り立たない可能性なんて微塵も感じてなかったが、
なぜ、成り立たない可能性があるんだ？
0.333･･･は３が無限に続くし0.999･･･は9が無限に続くんだろ？

「無限に続く」とかあっさりと書いてますが、「無限に続く」って
どういうことなんです？この問題って「無限に続く」の解釈に
全てがかかっているんだけどさ。

>>604
成り立たない可能性がないことを証明する必要があると感じても不思議ではない。ということです。
>>589のどこにも3×0.333･･･=0.999･･･が成り立つ理由に関して言及している部分がみられないことが
証明として適切かどうかという問題です。

>>606
メール欄にて自分で釣り師を名乗ってる香具師に
何を言っても納得しないと思うが念のため。

3×0.3=0.9は納得してくれるかな？
3×0.33=0.99
3×0.333=0.999
3×0.3333=0.9999
3×0.3333･･･=0.9999･･･

お分かり？

釣師どうしで何をやってるんだ。。。

3×0.3<1は納得してくれるかな？
3×0.33<1
3×0.333<1
3×0.3333<1
3×0.3333･･･<1

お分かり？

>>607
釣れますか？

3×0.3≦1は納得してくれるかな？
3×0.33≦1
3×0.333≦1
3×0.3333≦1
3×0.3333･･･≦1

お分かり？

609に釣られてみよう。

3×0.3<1
3×0.33<1
3×0.333<1
3×0.3333<1

たしかに左辺は1より小さい。
しかし、下の不等式ほど左辺が大きくなっている。
よっていつまでも左辺が1より小さいという保証はない。

そして、589の�Aによって、
3×0.3333･･･=1÷3×3=1
が示されている。

3×0.4>1
3×0.34>1
3×0.334>1
3×0.3334>1
3×0.3333･･･4>1

まあ高校レベルならそれでいいだろ。とか釣られてみる。

>>604
このスレにとうとうけりがついたようだな。
いわゆるコロンブスの卵。
高校レベルなどと、負け惜しみはいわんでええぞ。

過去何回このスレけりがついたんだろう。

3×0.2<1
3×0.32<1
3×0.332<1
3×0.3332<1
3×0.3333･･･2<1

>>617
それで？

おれ数学者になろうかな？

　3×0.3333･･･≦1
と仮定する.

　3×0.3333･･･2<1
により
　 3×0.3333･･･2 < 3×0.3333･･･
となる. また,
　0.3333･･･ - 0.3333･･･2 = 0.0000...1 = 0
により
　 3×0.3333･･･2 = 3×0.3333･･･
である.

矛盾するから
　3×0.3333･･･>1
である.

>>620
0.0000...1 = 0
なにこれ？

>>621

10^(-1) = 0.1
10^(-2) = 0.01
10^(-3) = 0.001
10^(-4) = 0.0001
...
lim 10^(-n) = 0.0000...1

なぜ０になるの？と聞いてるんだが

1 - 10^(-1) = 0.9
1 - 10^(-2) = 0.99
1 - 10^(-3) = 0.999
1 - 10^(-4) = 0.9999
...
1 - lim [10^(-n)] = 0.999... = 1


lim [10^(-n)] = 0

>>624
なぜ証明しようとする式を証明の中で使ってるんだ？

1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001
1 - 0.9999 = 0.0001
1 - 0.9999...9 = 0.0000...1

0 = 1 - 0.9999...9 = 0.0000...1

>>626
＞1-0.9999...9=0.0000...1
はOKだが
＞0=1-0.9999...9
とはどういうことだ？ 有限で止めているから明らかに≠なんだが
まだ≒ならわからんこともないが＝ということはないだろう。

>>627
> 有限で止めているから

3×0.3=0.9 (有限で止めているから)
3×0.33=0.99 (有限で止めているから)
3×0.333=0.999 (有限で止めているから)
3×0.3333=0.9999 (有限で止めているから)
3×0.3333･･･=0.9999･･･9333･･･ (有限で止めているから)

3×0.3333･･･≒0.9999･･･ ?

私が "私は嘘つきだ" と言ったとする. このとき,

本当に私が嘘つきなら, その発言も嘘であるから, したがって私は正直である.

もし私が正直なら, その発言も本当であるから, したがって私は嘘つきである.

飛んでいる矢は止まっている.

なぜなら, 飛んでいる矢でもある瞬間には止まっている. 止まっている状態を
いくら集めても止まっている.

だから飛んでいる矢は動いていない.

3×0.333･･･=0.999･･･っていうのは、
・「0.333・・・」「0.999・・・」という文字列表現と、それに対応する数は何なのか？
・その「0.333・・・」という文字列（で表される数）に3を掛けるのはどういう操作なのか？
・その計算の結果の数と「0.999・・・」という文字列（で表される数）が等しいのはなぜなのか？
といった問題を含んでいる。

それらの問題が「当たり前」という根拠が
3x0.3=0.9
3x0.33=0.99
3x0.333=0.999
・・・
とやるのは、さらに
・良く知られている範囲で成り立つことを「0.333・・・」とかに拡張してもいいのか？
という、さらなる問題を含んでいるわけです。

>>631
もう飽きたから。
そろそろ別パターンを用意して来い。
いつまでも、そんな低レベルなネタで釣ろうとするな。

実数の構成の真髄は有理数の "Dedekind cut" であるから, 実数論を展開する
ためには "有理数の部分集合" の概念が必要である.ここでの問題は2つ.

1) 変数が一種類では個体とその集合を区別できないために逆理が生じるかも
しれない. したがってx∈Xの表現だけを許すことによって混同を避ける.

2) 実数論では "有理数の部分集合" を考えるわけだが, ある集合というのは
"全ての部分集合" を用いて定義される. すなわちこれから定義すべき集合
を定義の内に使ってしまうのである. 自然数で例えれば, 集合をある性質
を満足する自然数全体として定義する. このような集合の定義は内包公理
を原理とする. こういう現象を悪循環といい, 一般に実数の定義では避け
ることができない.

Detekint Cut を認め、実数を定義すると、同時に「単純増加数列はその上限に収束する」
ってのも成り立つから、結局自動的に「1=0.999…」なんじゃないのか？

Detekint Cut を認めない！実数も変な実数を認める！って立場で1=0.99…を証明できん
のかいな？

よく考えたら、
1/3 = 0.333...
が正しいなら、
1/1 = 0.999...
も同じようにして導けるんじゃない？


あるいは、
1 = 9/10 + 1/10
= 9/10 + 9/100 + 1/100
= ...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ...
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 0.999...
とか。

既出かもしれんが。

補足）
1÷３を計算するときは↓のようにするでしょ。

1/3 = 9/30 + 1/30
= 9/30 + 9/300 + 1/300
= ...
= 9/30 + 9/300 + 9/3000 + ...
= 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...
= 0.333...

でその演算て無限回できるの？

>>637
できる。

>638
無限回できることを証明してくれ

>>639
そりゃ、同じ手続きを繰り返すだけだからな。
何回でもできる。


1 = 9/10 + 1/10
= 9/10 + 9/100 + 1/100
= ...
= 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + 1/10^n

n回の演算をすると↑のようになる。
n+1回目の演算は次のようになる。
=9/10^1 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 9/10^(n+1) + 1/10^(n+1)

nはいくらでも増やせるから、演算はいくらでもできる。
つまり無限回できる。

>>640
いくらでも（任意にｎ回）出来る、のと、無限回できる、は違うぞ

>>641
何回でもできる操作は無限回できるんですよ。
たとえば二つの開集合の共通部分
O1 ∩ O2
は開集合でしょう？　で、３つの開集合の共通部分
O1 ∩ O2 ∩ O3
も開集合ですよね？　一般に開集合の何個の共通部分をとっても開集合ですよね。
だから開集合の無限個の共通部分も開集合になりますよ。

例えば R の開集合 On を開区間
On=( 0 , 1+(1/n) )
で定めると ∩[n=1〜∞]On=(0,1] は開集合ですね。

>>642
無限に関して基本的なところがわかってないようだね。
数学に不向き。

>>642
>何回でもできる操作は無限回できるんですよ。

こんなことを言っている段階で駄目だね。

マジレスなのか、あえて釣られてるのか、・・・・自作自演なのか・・・
わからなくなってきた・・・

>>643-644
おまいら優しいな
>>645
ネタにマジレス逝ってよし

>>641-645
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ

>>647
　　 ∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣
　　（　´∀｀）＜　オマエモナー
　　（　　　　） 　＼＿＿＿＿＿＿
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

>>641
じゃぁ、その違いを説明してみろよ。

そもそも、無限というのは限りが無い、つまりいくらでも増やせるという意味なんだが。

0.9
0.99
0.999
・・・
といくら増やしても=1にならないのに、無限になったら=1になるっていうのが
そもそもの問題じゃないのか？

>>651
スレレタイを見る限り、そもそもの問題は
1=0.999...
が正しいかどうかだな。

んで、
>>635では、
1=0.999...
は、
1/3=0.333...
と同じレベルで正しいと言ってる。

皆さん、1/3=0.333...は納得してるみたいなので、なら、1=0.999...も同じことだから
問題解決じゃね？

A1 = 9/10
A2 = 9/10 + 9/10^2
A3 = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3
...
An = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n
とする

|1-An| = 1/10^n → 0 だから 0.999... = 1

>>653
それは lim[n→∞]An=1 を証明しているように見えるのですが
それが 0.999...=1 と何の関係があるのでしょうか？

それが定義だから

何よりも最初に
0.9999…… ＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
と定義してやらんとね。
ただ、その場合、653はただの遠回りでしかないんだが
間違っても無いし嘘でもないので全然ＯＫ。

こないだTVのクイズ番組で

”2.999999.....”が表す職業は？
答え　保母さん　（ほぼ３ということらしい）

というのがあった。。
問題は字幕表示されてて２．９９９....　と表記されていたように思う。

すると　
”ほぼ”では
なくなるな。。。

>>657
「ほぼ」は｢丁度｣を含む。

１/３＝０．３３３３３３３３３３・・・
２/３＝０．６６６６６６６６６６・・・
３/３＝０．９９９９９９９９９９・・・
３/３＝１
ってことは、０．９９９９９９９９９９・・・は、１になる。

>658
そうだったのか。これで解決だ。。

保母は〇〇を含むのだろう？。。。

1になるというのは奇しい
1と0.999...という10進表現が唯一つの同じ数を表わすだけのこと

>661
"なる”　という語の用法にどれだけの厳密さをもたせるかの問題じゃないかい

”〇〇を別の表記法で表すと□□になる”

みたいないい方だってありといえばありでしょ。

1+1 は２になる。

なんでこのすれはループするんだろう。
この問題は実数体（もしくは有理数体）の位相構造を考えることで初めて解決する問題だよ。

>>664
その実数体の定義からして、1=0.99…が約束されているんじゃないのか？
ずるい。

(-1)×(-1)はなぜ1なんだ

そうなるように作ったからです■

>>666
-1はあくまで1の加法逆元だから、そうなるように作ったというのはどうかと。

あけおめ！

等しくないものを
等しいと言い張る人がいるスレはココですか

p=3.14159265358979323846264338.....=3.14
1=1.00000000
1+1=2
1-0=1
1/3=0.3333333.....-0.33(a)
2/3=0.6666666.....=0.67(b)

(a)+(b)
0.33+0.67=1.00=1

参ったか、カス共がっ。

>>644
で？

>>670
ネタ的にはπをpiでなくpとしているところで厨臭さをかもし出してはいるが
式変形がいささかわかりにくいという点でネタとしての簡潔さに欠き
なおかつ = を - と打ち間違うという致命的なミスを犯している。
また、メール欄のぬるぽに対して自身の文末でがっを入れるという
レスが付かない場合の対策をしているあたりに自信のなさがうかがえる。

結論としては修行不足です。出直しましょう。

知能が高くなる食べ物http://food6.2ch.net/test/read.cgi/toba/1092208482/

>>672
で？

>>674
>>670が修行して出直せばいいんじゃないの？

>>675
それから？？

>>672
４行目ワロタ

>>676
お前つまんないからもう帰ったらいいよ

んで？？

は？

>>679,680
gagagagggaagaaagaaggagagagagaggagaggagagagagagaggagagagagagaggaaagagaaggagagagagaggagggagaggagagagggggggggaaagagagagagagagagagaggagagaggagaggagggagagaggagagagaaaaagaaaaaaaaaaaaagagagagaagaggaagagagaaggaaagaaaaggaaggagagggggagga

>>667
加法逆元だからって(-1)×(-1)=1になるとは限らないじゃないか。
分配則が成り立つと都合がよいから、そう設定したんだろ。

「都合が良いから、そう設定する」ってのは数学の基本では？

そうなるように設定したのと
偶然そうなるのでは
意味合いが全く違う

>>683
数学って偶然をよそおってそれやるからなｗ
結局同じだろ。

まだあるのか、このスレ

　　 ∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣
　　（　´∀｀）＜　
　　（　　　　） 　＼＿＿＿＿＿＿
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

１≠0.999・・・は神のみぞ知る。人間には到底理解不能。




結論　

現世に存在する唯一神又吉イエスなら解き明かしてくれようぞ。

イコールです。

神よorz

あ、ゴメン。
ちょっと違うかも。

ニヤリーイコールっていうことにしといて。

もうやめ

結論

１＝０．９９９９９９９９９９・・・・・・・・・・

要するに、0.999…は、整数なんだね。
数学は楽しいね。

Re:>693 その通りというべきなのかいうべきでないのか？

Re:>694
こらっ、偽者！せめてage荒らしはやめてくれ。

x=1/3=0.3333…とすれば、2x=2/3=0.6666…、3x=0.9999…=1であるから、
1=0.9999…である。

まだ終わってなかったのかこのスレ

a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=9
a=1

∴1=0.9999･･･

1=0.999...
の...を極限を意味するとして、それでも納得できないってのは
x^2を微分して2x+hが2xになるのが納得いかないのと同じ事？

無限ってものが頭にでてこない
どこかでｵﾜｯﾄﾙとしかイメージできない
1000でも1万でもどこかで終わっちゃうジャンとしか理解できない

宇宙の果てなど妄想すらできない

>>700
そりゃそうだ。本物の無限を直接的に表すのはできないよ。
無限大を∞と表しても、あまり本質的な意味はないやね。
だから、イメージ可能な有限な記号の組み合わせというか、
手順というのか、そういうもので間接的に表すしかないんだよ。
ε-δ論法なんて、結局そういうもんだろ。

τはＣ(複素空間)の元，Im(τ)>0に対し，
Ｌ_τ＝Ｚ＋Ｚ_τとおき，
Ｅ_τ＝Ｃ/Ｌ_τを考える．

Ｅ_(τ+1)＝Ｅ_τ　⇒　｜Im(τ)｜<=1/2
Ｚ＋Ｚ_{1/τ}＝1/τ(Ｚ＋Ｚ_τ)　⇒　｜τ｜>=１

どのＥ_τもＥ_i=Ｃ/(Ｚ＋iＺ)と微分同相であることを示せ。

どうやんの？？　

０．９９９・・・　だけじゃ　０．９９９・・・は何をあらわしてるのかわからない。
極限を取れといってるのかもしれないし永遠に足してるだけかもしれない。

よって>>1答えをだすことはできない。




・・・とか書いてもおまえらどうせやめねえんだろうけどサ・・。

p=((Ex)(x=1.111...))
q=((Ex)(x=1.000...))
r=((Ex)(x=0.999...))
s=((Ex)(x=7.777...))
t=((Ex)(x=1.357...))
u=((Ex)(x=1.234...))

命題p,q,r,s,tのどれが真で、どれが偽か。その理由は。

誰かいっしょに
1≠0.99999
となる代数を考えよう

1≠0.9999.......
ね

既にあるし

>>707
>>670-680のoriか。修行して出直してきたにしては面白くないレスだな。

都合の良いように「1=0.999...」と定義すればよいのというのはよくわかった。
では数学における「...」の使用法と意味を定義してくれ。

その定義によると　x=1.234...　とした場合のxはどんな対象を意味するのか。

>>641で書いてある
>いくらでも（任意にｎ回）出来る、のと、無限回できる、は違うぞ
がわかってない人が多すぎるね。

A_n = Σ_{1<=k<=n} 9^(-k) とおく。

「0.999... が 1 と等しくない」という命題は、
「集合 {A_n} が 1 を含まない」という命題だと解釈すれば正しい。
(単に集合の集積点がその集合に含まれていないだけの話)。

ただし∞にした A_∞ = lim_{n->∞} A_n は A_∞ = 1 となる。
これは任意の n の話とはまったく別の話。

640
>そりゃ、同じ手続きを繰り返すだけだからな。
何回でもできる。


1 = 9/10 + 1/10
= 9/10 + 9/100 + 1/100
= ...
= 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + 1/10^n

n回の演算をすると↑のようになる。
n+1回目の演算は次のようになる。
=9/10^1 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + 9/10^(n+1) + 1/10^(n+1)

nはいくらでも増やせるから、演算はいくらでもできる。
つまり無限回できる。


ここでわからないのは、なぜ各行が前行と「同じ操作をくりかえした」ことになるのか、だ。
「同じ操作」とは「...」を言い換えただけではないか。
「...」を用いずに「同じ操作の繰り返し」を定義するか、「同じ操作の繰り返し」を用いずに「...」の使用を定義してほしい。
その結果として「0.999...」や「1.234...」が何を意味するのかわかるようにしてほしい。

１＞0.9999.......

>>709
> では数学における「...」の使用法と意味を定義してくれ。

「空気読め」が定義だ

「・・・」が厳密に定義されていないから議論は無意味
と主張する人はそれで終了。
もうこのスレに来る必要はありません。

>>713
>>714

1=0.999...をそれがわからない可愛そうな香具師に説明するというのは、「...」を説明すること以外にどんなことでありえるのか。
「空気を読め」が定義なら、このスレを立てたときに「空気嫁」としなかったのはなぜか。
いろんな説明を試みた人は何がしたかったのか。

空気の組成について説明してたんだろう。

>>715もそうとう可哀相なヤツだな。

1=0.999...も分からず、そのうえ空気の組成の説明聞かされ、二重に可哀想。

大雑把にスレを読んだんですが、極限を使わずに

0.9999…をＡ　0.3333…をＢとする

Ａ＝３Ｂ
　＝３＊1/3
　＝１

これじゃダメなんですか？

1 - 0 = 1
1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001
1 - 0.9999 = 0.0001
1 - 0.99999 = 0.00001
1 - 0.999999 = 0.000001
1 - 0.9999999 = 0.0000001
と続くので極限0。1-0.9･･･=0になるから1=0.9999･･･
でええやん

もう聞き飽きた。

>>719
> Ａ＝３Ｂ

ここは成り立つ？

成り立たないんですか？
0.3333・・・は三倍したら0.9999…になるのは当然だと思ってしまうんですが。

証明しようとすると極限つかって　0.999…を定義する事になるから
結局だめなのか。

>>722
成り立つ。

722で問題なのは、Ｂ＝1/3を無条件に使っているところ。
これはＡ＝1を前提としているのと同じ。

証明すべき結論を使うような証明法を「循環論法」と言う。

>>722
それも聞き飽きた
馬鹿はしんでも直らないんだろうな

0.9999…＝Ａ　0.3333…＝Ｂ　Ｂ＝1/3　のときに
Ａ＝３Ｂ　が成り立たなかったら
Ａ＝１　も成り立たねえだろうがよ

は？

デデキントの切断とかいうの使うんでしょ

>>724
その観点から言えばA=3Bが成立するという
根拠はどこにあるんだ？

前提がはっきりしないからなんとも言えないと思うぞ。

んで、前提をはっきりさせようとすると、だいたい極限の話に収まる。

>>725
＞0.9999…＝Ａ　0.3333…＝Ｂ　Ｂ＝1/3　のときに
おまえアフォだろ

1/3=0.3333･･･+αってこと？
じゃあ1=0.9999･･･+3α？

>>729
誰にレスしてるのかわからん、誤解を生んでしまうぞ。

>>719

A = 1 だから A = 3B が言える. では逆は真か.

誤解を招くのが目的なんですよきっと

言語ゲームが成立してないわけだな。

また無限桁の演算は認めない教信者か。

>>733
>A = 1 だから A = 3B が言える
証明してみてください

誰か３×３＝９を証明して見せろよ
そうしたら認めてやるよ

600番代のレスをよんで
Ａ＝3Ｂが当たり前に成り立つものでないのはわかりました。

ただ　0.333・・・＝1/3　は分数の意味からして当然なような。
それを否定する事は　１÷３＝0.333・・・　を否定することになるのでは？

なんか変な方向に話が行ってるな。

>>739
別に誰も否定はしてないぞ。当たり前でない、というだけであって。
適切な定義のもとでは当たり前だし。

>>739
＞ただ　0.333・・・＝1/3　は分数の意味からして当然なような。
その辺を当たり前として処理することと
"1=0.9999…"を当たり前として処理することに大差がないということだ。
ＯＫ？

a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=8.9999・・・
a≠1

∴1=0.9999･･･

>>743
a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=8.9999・・・
a≠1

∴1≠0.9999･･･

これが最終結論
a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=9・・・
a=1

∴1=0.9999･･･

>>745
X=・・・・99999とする。

10X=・・・・99990
X=・・・・99999
9X=-9
X=-1

∴ ・・・・99999=-1

>>746はなにがいいたいのかわからんが

>>746
発散するものの引き算は、不定形だから、
-９になるとは限らないよ。
うしろについている「…」を前にした場合の、
ある種のアナロジーのつもりなんだろうけど、
もう少しまともな議論をしないとだめだよ。

>>748は付値とか知らないんだろうな>>746が知ってるとも限らんが

数学スレだから、数学でないものは知らんでもよろしい。

746は証明にならん。
745は矛盾なく証明している。
これでこのスレの問題も解決か。
淋しくなるな・・・

>>750
付値って数学の言葉じゃないのか､へぇ

>>745
a=1・・・
から
a=1
へ移る手続きって
1=0.999・・・
をそのまま受け入れるのと同じではないの？

>>753
>a=1・・・
から

そんなこと書いてないよ

なんにせよ、証明にはなってないけどね。
説明にはなると思うけど、頑固な人に対しては説明にすらならないだろうね。

>>755
頑固な人というよりも数学的才能に欠けた人
といったほうがいいと思う

>>745
> 10a=9.9999･･･

左辺はaという数を考えてから10を掛けたもの
右辺は10を掛けてからその数を考えたもの

10a=10(0.99999･･･) が 9.9999･･･ となるかがここの肝

>>745の証明の「まずいところ」を見抜ける人こそが、真の才能ある人な気もする。

>>758
9a=9・・・
のとこか？これは空気嫁ない。

>>757
>左辺はaという数を考えてから10を掛けたもの
右辺は10を掛けてからその数を考えたもの

いやいや、両辺ともその数の意味を考えてから
10を考えてる。

>>759
それはケアレスミス

これが最終結論
a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=9
a=1

∴1=0.9999･･･

>>761
これでみんな満足してた19世紀はいい時代だったなあ。

>>762
人類が馬鹿になったとでも言いたいの？
それとも急に問題が複雑化したなんていう思い込み？

>>761
10*(0.999･･･)-0.999･･･=9
と
1=0.999…
が主張していることは大差ないわけで…

無限小数を厳密に定義せず議論することのなんと愚かしいことか
定義したから満足するのもどうかと思うけどね｡

いやあ、だって19世紀には、実数論も集合論も無く、
前半に到っては収束の定義すらないわけでさ。

幸せな時代だろう。

>>761
つーか、上の行の式がなりたつから
下の行の式が成り立つと示せるわけで、
コロンブスの卵ってやつです。

負け惜しみはイクナイ

無限小数
小数点第一位以下無限に9が続く循環小数ってことでしょ

このスレができてから何度目の最終結論なんだろうね。
この論法が最終結論に採用された回数もたぶん二桁行ってると思うし。

つまりそのたびにごねる素人が紛れ込むと言うわけか

「なんでこれじゃだめなのさ！」とごねる。

「俺にはまったく分からなかった証明が
こんなにあっさりされるなんて、くやしい。きーっ!！」
とごねる。

0.9999・・・≦1
0.9999・・・<1と仮定すると、
0.9999・・・<a<1を満たすaが存在する。
ε=1-aとおくと、
ε>0より
ε>10^(-m)を満たす自然数mは存在する。より、
a=1-ε<1-10^(-m)=�納k=1,m]{0.9×10^(-k)}<0.999・・・・
より矛盾する。より、
0.999・・・≧1
ゆえに、
0.999・・・=1

ε>10^(-m)を満たす自然数mは存在する。 = アルキメデスの原理

が成立するかどうかがポイントだな。

>>773
それ以前に0.999…の定義を・・・

>>772
0.999…の定義は？
級数で定義するとしてその収束は？
君のやってる議論には穴がありすぎる

>>774
0.9999・・・の定義ですが、いかなるnを持ってきても、
1-10^(-n) = Σ[k=1,n]9*10^(-n) = 0.9...9(９がn回続く)<0.9999・・・
という性質を満たす実数としています無限級数は使用していません。

>>775
それで>722の
0.9999・・・≦1
はどういう理由から言えるの？

>>775
それじゃあその定義から
0.999…≦1 はどうやってだすんだ？

適当にやっても意味無いぞ、穴ぼこだらけだな

被った orz

おっと失礼。それも定義にいれといてください。
0.999.... := lim[n→∞]Σ[k=1,n]9*10^(-n)
とすることに違和感を感じる人がいるわけですよね？
0.999....
の定義を
・いかなるnをとってきても
　-10^(-n) = Σ[k=1,n]9*10^(-n) = 0.9...9(９がn回続く)<0.9999・・・
　が成り立つ
・0.999...≦1
を満たす、という定義にしたら、違和感を感じる人が少ないのではないしょうか。という話。

しかも他の論証もそういう意味ではあやういでしょ？そんなに突っ込まれても。
ちゃんと定義してないでしょ。
例えば、よくある、
n=0.999......
10n=9.99......
10n-n=9
∴n=1
なんて、10n=9.999.....となるかどうかは、0.9999....の定義によるわけだし、
同様に10n-n=9となるかも0.9999...の定義による。
それを明らかにしないで議論を進めて、イメージ的にかなっているように
見せかけてなるほどとさせている。
定義について突っ込むならこのスレッドの証明ほとんどにいえるわけであって。

>>780
つっこんで意味が無い奴には突っ込まない
というかその議論を持ち出す奴は相手にする気がしない

なあ、
∞+1=∞　なのか？
(∞+1)-∞=0　　？

そもそも、無限って何だ？

なあ、もしかして、無限なんて最初から存在しないんじゃないのか？
無限の存在を認めたら、１＋１＝２すら破綻するんじゃないか？
おれは、ダメ人間か？

そもそも「0.999…」という表記自体が数学的でない罠

>>783
無限の存在認めなかったら、
1+1=2
2+1=3
・・・
・・・
どこかで終ることになる

Re:>785 実際に有限個の加法しか認識できないわけだが。

√2 とかって小数表記で無限に続くみたいだけど
無限に続く場合ってそれが実数かどうか議論の対象になることがあるの？
それとも考えなくとももはや実数なの？
０.９９９９９９・・・って実数だけどなんという実数か特定できないって話？

>>782
おい君
∞ - ∞をいつ定めたというのだ？

ある無限大超実数∞1を取るだろ, そのモナドmonad(H)から∞2を取ってみよう.
∞1と∞2は無限に近いから∞1 - ∞2は無限小. したがって,

　std(∞1 - ∞2) = 0.

おっと訂正:

ある無限大超実数∞1を取るだろ, そのモナドmonad(∞1)から∞2を取ってみよう.
∞1と∞2は無限に近いから∞1 - ∞2は無限小. したがって,

　std(∞1 - ∞2) = 0.

>>787
実数の定義を知ってますか？

>>790
それは超準解析のお話？

>>787
ある実数がいろいろな表現をもつこと、その表現の中に無限に続く小数表記が
あるということ、これらが理解できないヤシが後を絶たないのでこんなスレが
いつまでも続いている。
2乗すると2になる正の実数は、√2と書くこともできるし、1.41421356…と書く
こともできる。1という実数は、1と書くこともできるし、0.99999…と書くこと
もできる。ただそれだけの話。

>792
　1を0.99999･･･と書くことも出来る。
それは結果の話じゃないんだろうか？結果を知っている人間が、結果をあたかも定義のように
見せかける、といった。
e^f(x)=x
を満たすf(x)をlog(x)と定義する。
とかそういう感じ。

結果を受け入れられないならどっちでも同じでしょーが

>>793
(´-`)..｡oO(だれが1=0.999…が定義だといったんだろう)

２ｃｈの仲良し学級VIPに出張お願いします

1/3＋1/3＋1/3＝1っておかしくね？
http://ex7.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1107215236/

>>796
おかしいのはお前の頭だ。病院逝け

>>792
それじゃ「…」という記号の意味は、
「有名な（多くの人の予想が一致する）数字列の省略」ってこと？
数学の話じゃないね。

>>798
「…」に定義がないということは
最初からハッキリしている。

このスレが続く理由の一つに、
お前みたいなヤツが後を絶たないから
というのもある。

[1]=0
[0.9999・・・]=0

∴1!=0.9999・・・

[1]=1
[0.9999・・・]=0

∴1!=0.9999・・・

>>801
馬鹿23号

[0.999…]=0
[0.999…]=1

どっち？

>>803
そもそも [0.999…] という書き方がおかしい

>>803
記号の定義による
0.9999･･･:=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]9*10^(-k)
[ ]：ガウス記号
と考えるならば
[0.9999･･･]=1
>>801がどういう意味で0.9999･･･および[ ] を使ったのかは知らない

0.999・・・=1に対する疑問というのは、実数１＝自然数１に対する疑問なんだ
と私は思っているのだが。

>>806
たぶん君だけ。
「実数１＝自然数１」を疑問視する人は存在するが
それと1=0.999… は関係ない。

n=0.999......
10n=9.99......
10n-n=9
∴n=1

この10n-n=9 はおかしい
9.9999・・・・-0.99999・・・・の
９の数は同数なんだから
8.9999･････99991
　　　　　↑∞
とならないといけないのに
なぜ９と言い切る？

級数の勉強しろ。
1=0.999…

コテハンなら、もう少しいい釣りエサを用意しろ

>>808
このスレに完璧な証明をもたらした者だ。

>９の数は同数なんだから
∞に同数も何もない。どこまでも9だから
引き算したら9が残ると言い切れる。

分かったかな?

>>811
アホ

>>812
反論は数学的にしましょう。
負け惜しみにしか聞こえないぞ

もっと分かりやすく
これが最終結論
a=0.9999･･･とする。
　 a=0.9999･･･
10a=9.9999･･･

10a-a=9.9999･･･-0.9999･･･
9a=9.0000・・・
9a=9
a=1

∴1=0.9999･･･

1個のケーキを0.99999･･･切り取っても
切ったケーキも存在してるから1

>>815
そのケーキはどうやって0.9999９９･･･の大きさを測ったの？

実は私未来から来ました。
未来では1=0.99999･･･が証明されています。

以上耳より情報。

ここにいるのはみんな中学生かな?
高校生以上なら
1=0.999…
はわかるはずなんだけど。
0.999…　のことを
0.999…9
と勘違いしてるんじゃない？

>>814
> 　 a=0.9999･･･
> 10a=9.9999･･･

ここを正確に説明して欲しい

高校行くと１＝０、９９９９・・・・・になるんですか？

>>819
何が分からないか分からん

中学生ぐらいだと>>808
みたいなレベルでしか考えれない人がまだまだいるから。
高校行くと無限級数を習うから1=0.999…
を一応証明できる

>>821
0.999・・・がどういう意味か自分で理解してるのか？ってことだよ。
0.999・・・に10を掛けるのは、具体的にどういう計算なんだ？
字面だけ見て小数点を移動しただけ、なんてことじゃないだろうな？

>>823
１０進法の世界では10をかけることは小数点を移動させることを
意味するんですが、もしや理解されてなかったとか？

結局0.999…という「記号」と、それによって表される「数」がごっちゃに
なってるから、間違うんだよね。

「無限に9が続く」とか「どこまでも9」とか、これって「9という記号が
ずらずら並んでいる」という記号に関するビジュアルイメージなんであって
数そのものとは何の関係もない。しかも無限に9が並んだ状態なんてありえ
ないわけだから、存在しないイメージに関するイメージだ。

ビジュアルに考えてるから

9.999… - 0.999… = 9

は「小数点以下が(記号として見た目が）同じだから相殺しあう」みたいな
発想になるんだろう。

小数展開があまりに良くできすぎていて、イメージによる推測が大抵正しい
結果を導いてしまうために、混乱が残るんだろうね。得られた結果自体は
正しいから、自分の推論が間違っている事に思い至らない。

>>10進法の世界では10をかけることは小数点を移動させることを
>>意味する

これなんかも典型的なビジュアルイメージですね。

>>824
じゃあ、10進法の世界で0.999・・・はどういう意味なんだ？

この疑問って、ゼノンの逆理みたいなもんだろ。
０．９＜１
０．９９＜１
０．９９９＜１
・・・
で、いつまでたっても１にたどり着かないはず、みたいな。

>>827
それが分からないから814で証明したわけでしょ。
証明で1になることが分かりました。

>>829
数の実体は分からないのに、それに10を掛ける操作は明らかに分かってるっていうのか？
思考回路が狂ってるな

ビジュアルイメージで、記号あそびしてるだけだからね。

>>830
たとえるなら掛け算が分からない子供は足し算してはいけません
ってことか。どっちがおかしいんだか・・・

1/2+1/3=2/5
と計算するタイプだな。ビジュアル系のやつは。

結局記号のイメージの世界から出てこれないのね。

しょうがない。噛み砕いて教えてやろう。
10進法では10を、2進法では2をかけることで
小数点をひとつずらすことができるんだ。
それは定義に直結している。

あーあ。またイメージの話だよ。

>>835
じゃあ2進法で0.1を書いてみろ

>835
それより10進法の世界で0.999・・・の定義を説明してくれ

>>838
小数点第一位以下無限に九が続く数です。

どうせ"9が無限に続く"とか記号のイメージでしか定義できないだろ。

>>840
あれま、9が有限個しか続かないと思ってるんですか？

「小数点第一位以下無限に九が続く」のはせいぜい記号であって、数ではないだろ。

>>842
ならばあなたは0.999・・・を数だと思ってないの？

>>843
あなたの言う「0.999…」は記号であって数ではない。当たり前だろう。
「小数点第一位以下無限に九が続く」ってのは記号の定義であって
数の定義ではない。

「0.999…」という「記号」で表される「数」を定義して欲しいんですけど。

小数点第一位以下無限に九が続く、だったら
0.九九九・・・　
だな

>>845
あやまって漢字変換したことをつっこむなんて
くるしまぎれもいいとこ。

>>844
いえいえ、小数点以下無限に続こうが数は数ですよ。
√２やらπは数ではないと言いたいの?

>839の説明なら、
10進数の0.111・・・と
2進数の0.111・・・は
同じ数なのか？

>>846

あなたはまだ「記号」と「記号によって表される数」の違いが分からないの？
√2やπは「記号」であって、そしてそれによって表される「数」がある。
「√2」だったら、「二乗して2になる数のうち正のもの」とかね。

「小数点以下無限に続く」のは「9」という「文字」でしょ？文字がいつまでも
続いているってのは「絵」の説明でしょ？そんなのじゃ「数」を定義した事に
ならないでしょ？

>>847
もう少し考えてからものを言って。
10進数の10と
2進数の10は
同じ数なのか？

ときいてるようなもの。

こういって分からなければ諦めて

>>848
数というと漠然としすぎてるな。
実数というのは数直線で表せるもの

さあ、盛り上がってきました！
とりあえず、846=843=841=835 らしき人はコテハンかトリップつけてくれ

つけたよ

>>837の質問に答えられる？

>>838
とりあえず循環小数になりそうだね。
計算すればできるけど自分でして。

アンカー間違えた
>>853ね

　　　　　　　．
0.999・・・=0.9
なの？

>>856
そのとおり

実数とは数直線で・・・
なんていってる奴は実数を直感でしか理解していない。

間違いない！
>>850 ←典型的
＞数というと漠然としすぎてるな
人のふり見てわがふりなおせ

結局の結論

0.9999････=　lim n =1
　　　　　　　n→1-0

＞＞７４６はp進体の話に似てない？

>>860
ここにくる椰子にそんな話をしても理解できないからな
困ったもんだ

2年ぶりにきたがまだあった。しかも7.9？

(X+1)-X=0　　X＝∞
であることを証明しない限り俺は納得せん

こうした話が延々と二年も続くと言うのは、その背後に数学の秘密のようなものがあるからなのか。
無限か何か知らないが。それともアホに限界がないということなのか。
数学の偉い人に是非聞きたい。あほより。

二年どころではないし質問スレなんかもそれ以上続いてるし
誰かが納得しても別の誰かがやってくるし
人はどんどん生れてくるんだから終わるわけないし。

ゼノンのパラドックスなんか、話が延々と2000年以上続いてますが。

じゃこの話、基本的にはゼノンのパラドックスと同じなの。
イコール派は矢が飛んでいるといい、非イコール派は止まっているといっているの。
このスレは2000年も続くのか。体力つけよう。

標準的な実数の概念を認めればそれで終わりなんだけど、実数の定義って
論理的に循環があるともとれるから、何か納得しない、という人はでてく
る。ウィトゲンシュタインなんかも、実数の非可算性の証明について、ぐ
じぐじとよく分からないイチャモンをつけてるし。

１という数はある。任意のＮについて、「０．９９９・・９」というように
９がＮ並ぶ数はあるが、「０．９９９・・・」なんて数はない。
故に「１＝０．９９９…」は偽、なんちゃって。

>>858
変な言い方だね。
自慢じゃないが、あなたよりは数を理解している
と思う。

>>869
>>9がN並ぶ数はあるが
いや、自分独自の数学定義を持ち出されても・・

>>868
スコーレムの定理はどうすんのよ

>>870
じゃあ、数直線の定義は何ですか？

>>871
俺は知らんよ。ウィトゲンシュタインに聞いてくれ。

俺に訊かれてもなぁ……

どうも標準的実数概念、というのがいろんなことの分かれ目みたいだね。
ゼノンは認めただろうか。

別に実数は可算だっていいんでしょ

>>876
ｱﾌｫ

0.999… とは、１から無限小を引いた数である。
故に、無限小を認める範囲では、0.999…と１とは異なる。

>>877
スコーレムの定理はどうすんのよ

可算な実数のモデルは、非標準的な気がする。

とか言ったら、基礎論の人は怒るかもしれないけど。

１−0.9999････＝0.00000・・・・・１　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　↑∞

ん、なんかわかりかけてきた

>>881
それは違うな。
１−0.9999････9＝0.00000・・・・・１　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　↑∞
ならそうだけどな。

書き間違い
１−0.9999････9＝0.00000・・・・・１　
だった。

>>881
0.333・・・＋0.333・・・＋0.333・・・
はいくつになる？

>>875
ゼノンが認めるわけないでしょ。無理数の存在だってきっと認めない。
まして無限級数の収束なんて論外です。ｗ

Re:>886 その時代はまだ無限の解釈があいまいだったのだ。

認めるとかじゃなくて定義だからな

なんにせよ、存在は認めないだろう。定義に無理がないこととかは
認めるかもしれないが。

まあ、死んだ人間についてあれこれ言ってもしょうがないけど。

ゼノンは認めないとかじゃなくて、釣り師だったんだろ？

最近出たオイラー本の前書きに∞ + √2 = ∞というのは奇しい云々と書いて
あったがオイラーの結果は今でも使われているわけだから, オイラーの言う実
数といま標準的なあの実数が違うものだというそれだけのことだ

>>885
0.9999････

低学歴の俺のために丁寧なことしてもらってわるいな。

Re:>891 ゼノンは当時の無限の弱さを突いたとも考えられる。今の無限の概念ができたのもゼノンのおかげかもしれない。

岐阜林檎はもう書かなくてよろしい。

>>870
じゃあ俺より理解している証拠として
実数についてその定義及び性質について少し語ってくれよ

見物だな！

ゼノンの話は物理学も絡んでくるから…
実際の矢は、量子力学的距離で微少時間毎に量子飛躍しているやも知れず…。
あるいは、時間や空間そのものが連続していない可能性もあるわな。

でも…そうなると、0.9999…そのものが実際の物理現象に当てはめて考えることが
意味をなさないつーかなんつーか。

文系の俺が気付いたことと言えば
0.9999の十倍は9.9999にはならんように、
無限に続く数字に掛け算を試みる時点で間違い。
歪みが産まれても無限と言う言葉にあやふやにされてしまうよ。

最近流行りなのか知らないけれど、数学ができないことを
あなたが文系であることのせいにするのはやめない？
文系でも研究の性質上高度な数学を必要とする人、
趣味で数学やっているうちに高みに上ってしまった人、
いろいろといる訳で、そういう真面目に数学をやっている人たちに
対して失礼だと思わない？

>>899
でも文系の香具師に分数の計算すら出来ない香具師が多いのは事実

それは文系とは関係なくただアホなだけです。
その意味では理系にもアホはいます。

>>901
弟から聞いた話だが、理系の大学に入っていながら √49 がワカラン奴が
いたらしい。確かに理系にもアフォはいるな。

>>899
別に、俺が理系の皆さんにとっちゃ散々既出の事を言ってて何を今更って言われるのもあれやし、そもそも勉強してる範囲が違うから前置きしただけだけど。
俺がバカだと判断したのか知らんが、何様のつもりだ、と。
理系なりの優越感があるのか知らんが、人にゴチャゴチャほざく前に「文系」つう単語がいきなり言い訳に聞こえるあんたの高慢な心をなんとかしなさい。話はそれからだ。

お、馬鹿の朝は早いな

>>903
そもそも数学の議論に発言者が文系か理系かなんて関係ないし
それに一々言及する人は経験上言い訳目的がほとんどだ。
こっちとしても無限が歪みをあやふやにするためのトリックだと思ってるような人に
一から説明する時間も気力もないんでね。

>>905
だからその上からの物言いをなんとかしろよタコ。
こう言えば分かりやすいか？

俺は理系の皆さんとは違って数３数Ｃも勉強してないし、大学専門的なことを勉強しているわけではないので、もしこれから言うことが当然のことなら申し訳ないですが

数学に関してここの皆より明らかに勉強量も勉強分野も少ないから、低姿勢で入ろうと思っただけなんだが。
だいたい数学を頑張ってる文系を擁護するって言う大義名分のもとで、文系つう言葉は言い訳だって最初から決めつけるアンタの考え方こそ文系を馬鹿にしてるんだと思うが。矛盾してるよ。
だいたい「文系の俺」の四文字にいつまで絡んでんだよキチガイ。


ところで、俺が感じたのは、少数点が無限に続く物を十倍しても元来のようにさ
十倍と言うのは対象にする全ての数字の桁を左に一つずらすってことが出来てないんじゃないかと思って。重々承知なら申し訳ないが。
10a＝9.9999････て言うのがさ、いかがわしいのよ。これはaに9を足してるだけであって、本当は10a≒9.9999になるんじゃないか、と。
ならa≒1で1≒0.9999で納得がいくんだが。

もし1＝0.9999が成立するなら誰か馬鹿の俺に分かるようにその理論を教えてくれないか？

1-0.9999=0.0001

文型理系以前に、論理的な思考ができてないだけちゃうんかと。

>>906
a=0.999… としているのですね。
で、あなたのおっしゃるように十倍すると全ての数字の桁が左に1個ずれるわけです。
したがって 10a の１の位の数字は a の小数第1位の数字、すなわち 9 になります。
10a の小数第1位の数字は a の小数第2位の数字、すなわち 9 になります。
10a の小数第2位の数字は a の小数第3位の数字、すなわち 9 になります。
一般に、「十倍すると全ての数字の桁が左に1個ずれる」ということを認めるならば
10a の小数第 n 位の数字は a の小数第 (n+1) 位の数字になる。ということがどんな自然数 n についても成り立ちます。
a の小数第 (n+1) 位の数字は、n がどのような自然数のときにも 9 です。
したがって 10a の小数第 n 位の数字は 9 である。ということがどんな自然数 n についても成り立ちます。
よって 10a=9.999… です。
もちろんあなたのおっしゃるとおり a+9=9.999… も成り立ちます。
10倍するという操作と 9 を加えるという操作は異なる操作ですが、その異なる操作を施した結果がたまたま同じになってるというだけのことです。
ということくらい少し考えればわかりそうなもんだろ

>>906
というかおまいは>>814あたりがこのスレの最終結論だとか
本気で思ってるのか？

あれはよく降って湧く馬鹿
そもそも0.999･･･なんていう曖昧な表記に定義をせず
議論したところで、いちゃもんつけるやつがでてくるだけ｡
例えば一つの解釈として
0.9999･･･:=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]9*10^(-k)
と定義することが多い(大学生なら右辺の記号は理解できるよな)
Σ[k=1〜n]9*10^(-k)=0.9*{1-10^(-n)}/{1-(1/10)}
=1-10^(-n)　であるから
0.9999･･･:=lim[n→∞]{1-10^(-n)}=1 ・・・☆ となる。
よくある無限小数展開を用いての議論は便宜的なもの
(小中学生あたりを納得させるためのもの)であり
論理的にきちんと構成されているわけではない｡

実数を連続体として導入すれば(構成することもできる)
無限小数展開(実数をΣ[k=n〜-∞]a_k*10^k ,a_k∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} の形で表すこと)
に一意性が無い(上記の☆参照)というのがこういう物議を引き起こす要因の一つ。

"無限小数展開の全体が成す集合"(Xとしよう)を実数だと認識している人にとっては
1=Σ[k=0〜-∞]a_k*10^k
0.999･･･=Σ[k=0〜-∞]b_k*10^k
と書いた時 a_0=1 a_k=0 (k＜0) ,b_0=0 b_k=9 (k<0) となり
展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至るが
そもそもXに加減乗除が適正に定義できるのかという問題がある。
大抵の自然な演算を入れるとそこから1=0.999･･･が導かれ
元々の考えと矛盾してしまうからだ｡

こういうところにはε-δが云々といった話とは別の問題がある｡
最後に、数学で云う実数がただの数理モデルだということを強調しておきたい。

　・
0.3=1/3
　・
0.9=3*(1/3)=1

証明終了

丁度いいので付け加えると>>908の
>一般に、「十倍すると全ての数字の桁が左に1個ずれる」ということを認めるならば
このあたりが
＞大抵の自然な演算を入れるとそこから1=0.999･･･が導かれ
に関わっている。

"自然な"という言葉は感覚的なものであって数学的な定義は無い
その数理モデルがどれだけ"しっくり"くるかというくらいの意味しかない｡
だから、今よりもっと良い実数のモデルが出てくる可能性もある｡

>>909
後半の議論は、不要だな。

>>909がいいたいのは、数字１は１とも0.9999・・・・
ともかけるから、証明がどうのこうのという
話ではないってこと？

>>909
アホやねえ。
大学生どころかボンクラ高校生でも分かることで偉そうね。
で、909は何が言いたかったのかい？結論がないんだが。

>>914
ボンクラ高校生でも分かることなんだろ？
お前はそれ以下なんだな。

1/3 = 0.3333333....
1/3 * 3 = 0.999999.....= 1 じゃらめれすか

いやいや、909がボンクラなんだよ。
結論を書いてない。

「あれはよく降って湧く馬鹿」が結論だろ

>>918
ああ、909のことね。

850も
たいがい必死だな。

てか、>>909の言う事がわからない。ってのもおかしな話だよね。
まあ理解できないから全部スルーしてるだけなんだろうけど。

909は分かりやすく書くとこう。

「2は4/2とも書けるし√4とも書け、同じ数なのに
いろんな書き方が出来る。同じ数なのに
いろんな書き方ができて一義的じゃない。
一義性が実現できないのは数の仕組みの矛盾だ。
単純な加減乗除は出来ないと言う何よりの証拠だ。」


ハァ！？
アホか！

すべての教科の基礎となる国語の時間を増やすという案を
早く実現して欲しいな

>>922

いや、煽るならもうちょっと上手くやらないと。それだとただの頭悪い人
みたいに見えてスルーされて終わっちゃうからさ。

>>924
そうだな。909は所詮スルーされておしまい
だったのに俺がまともにレスつけちまったよ。
わらってくれ。

てかまじで850必死だな。

850じゃないんだが。痛いな909

>>850か、そうでないかに関らずだめぽな事は変わらんけどね。

だめぽというだけなら誰でも出来る

>>909を読んで>>922のように解釈する人はだめぽだろう。
いやまあ僕は>>922じゃないよ。と言うなら言えばいいけど。

>>909のだめぽさ加減がそもそもの原因だ

>>909をどうまとめたって>>922のようにはならないだろう。
これは>>909が正しいか間違っているかとは関係ない問題だ。

>>909
>展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至るが
この引用文を�@としましょう。
さて、そんな結論にはいたりませんが、根拠は?

>>大抵の自然な演算を入れるとそこから1=0.999･･･が導かれ
元々の考えと矛盾してしまうからだ｡
�@の根拠がない以上、矛盾もなにもありません。

"無限小数展開の全体が成す集合"が実数だと思ってたら、
1と0.999…は明らかに違う元だろう。何を言ってるんだ？

>>933
> >展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至るが
> さて、そんな結論にはいたりませんが、根拠は?

「"無限小数展開の全体が成す集合"(Xとしよう)を実数だと認識している人にとっては」
っていう条件っていうか前提がある。

>>909の根拠はね。
>1=Σ[k=0〜-∞]a_k*10^k
0.999･･･=Σ[k=0〜-∞]b_k*10^k
と書いた時 a_0=1 a_k=0 (k＜0) ,b_0=0 b_k=9 (k<0) となり
そもそもXに加減乗除が適正に定義できるのかという問題がある。


つまり、
「1と0.999･･･の見た目を比べてごらんよ。
片方は1で始まりもう片方は0で始まってるよ。
外観が異なるだろう？だから1≠0.999･･･なんだよ。」

909よ。書いてて恥ずかしくならないか?

「○○という仮定の下では、□□が成り立つ」っていう文が理解できないのかよ。。

>>909
>"無限小数展開の全体が成す集合"(Xとしよう)を実数だと認識している人にとっては
1=Σ[k=0〜-∞]a_k*10^k
0.999･･･=Σ[k=0〜-∞]b_k*10^k
と書いた時 a_0=1 a_k=0 (k＜0) ,b_0=0 b_k=9 (k<0) となり
展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至る

つまり
「0.999･･･が実数だと認識している人にとっては、
1と0.999･･･の見た目を比べたとき、
片方は1で始まりもう片方は0で始まってるよ。
外観が異なるだろう？だから1≠0.999･･･なんだよ。」

あほか。
0.999･･･が実数だと認識している人がなぜ見た目で判断しない
といけないんだよ？

たくさん書いてくれるのはいいんだけど、全部同じところで躓いてるのはどうかと。
「"無限小数展開の全体が成す集合"(Xとしよう)を実数だと認識している」んだから
見た目が全てに決まってるだろう。

てかほんとにあなた「仮定」ってものが分かってないみたいね。

実数だと認識してる（つもりの）奴が
「１０を掛けるのは小数点をずらすことです」
と見た目で判断した話ばっかりしてる

>>939
いやいや、同じところで躓いてるのはあなたですよ。

>>見た目が全てに決まってるだろう
なぜ決まってるんですか?

>>939
ではあなたは0.333･･･や0.999・・・は実数だとは思わないんですね？

>>941

だって"無限小数展開の全体が成す集合"なんだよ？「展開の集合」なんだよ？
1.00000…と0.999…は展開が異なるでしょ？実際一桁目から違うじゃない。

あなたは1.00000…と0.999…は同じ展開だと言うの？

>>942

あなたほんとに「仮定」が分からないみたいね。
今は 「"無限小数展開の全体が成す集合"(Xとしよう)を実数」と仮定したら
どうなるかって話なんでしょ？僕がどう思うかは関係ないでしょ？

>>943
あっそ。所詮は言葉遊びか。

>>944
あなたが思うか思わないかにかかわらず
0.333･･･や0.999・・・は実数です。

うわあ。まじで仮定が理解できないのか。終わってるな。

945に有理数の定義を聞いてみたい・・・気がする

>>946
独りよがりの言葉遊びして楽しいの？はずかしい・・・

「見た目で　1≠0.999･･･を確信している人にとって
大抵の自然な演算を入れるとそこから1=0.999･･･が導かれ
元々の考えと矛盾してしまう｡ 」
のは当たり前でしょうが。

見た目で1≠0.999･･･を確信したのが間違いということですよ。

>>948

ようやく正しい解釈にたどり着けたね。

>>>展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至るが
>>この引用文を�@としましょう。
>>さて、そんな結論にはいたりませんが、根拠は?

から考えると大きな進歩だよ。

やっと言葉遊びが出来るようになったのか。
学問を身に付けるのはまだまだ先のようだな。

>>949
その結論って誰でもはじめから分かりきった言葉遊びに
過ぎないものですがなにか？
こんな単純な結論にもいたれなかった909ってはずかしいですよね。

「見た目で　1≠0.999･･･を確信している人にとって
大抵の自然な演算を入れるとそこから1=0.999･･･が導かれ
元々の考えと矛盾してしまう｡ 」

なぜ矛盾が起きたのか
909のコメント
「加減乗除が適正に定義できるのかという問題がある。 」

はずかしい〜〜〜。矛盾の理由として
909は四則演算のほうが間違いだと思ったらしい。

>>950
ようやくただの言葉遊びにすぎないことに気づいたか。
でもそれが数学的な意味をまるで持たないということには
まだ950は気づいてないようだね。

あのさあ。どこをどう読んだらそういう解釈が出てくるの？
>>909を読んで、あなたは本当に「矛盾が出るのは、四則演算が適切に定義できないから」
だと思ったわけ？本気？

>>953
よおく、909を読み返してみなよ。

>>948は、見た目で
10x0.999・・・＝9.999・・・
を確信してる人なんでしょ？

>>955
948は私が書いたが、いつ私がそんなこと言った?

「展開の係数が異なるため　1≠0.999･･･ という結論に至るが
そもそもXに加減乗除が適正に定義できるのかという問題がある。」

これって普通に読んだら一行目は「1≠0.999･･･ という結論に至る」のは「展開の係数が異なる」からである
って事ですよね？
そんでそのあと二行目は「そもそも」って続いてるんだから「1≠0.999…」以前の問題として、
「Xに加減乗除が適正に定義できるのかという問題がある。」って事ですよね？

>>956
あ、そりゃ失礼。850の人がずっと書いてるのかと思ったんで。

まじで>>850タソおもろいな。てか、味方が一人も居ないのがさみしいな。

天然だとしても釣りだとしても、面白いからよし

なぜそこで>>850が出てくる？
言葉遊びしてるだけの>>909よりはるかにいいがな。

まあ、自演かどうかは本人が一番わかってるはずだからな。

紛らわしいから、909を言葉遊びとバカにしてる人もコテハンつけてよ

909もコテハンつけるなら考えてもいい。

別にコテハンなくてもいいだろ。自演あっての2chだからな。
やって一番空しいのは本人だし。

>>965
さすが、よく分かってるじゃないかw

まあとりあえず、実数の定義をはっきりさせとくか。

やはり「有理数の収束無限列全体のなす集合を適当な同値類で割ったもの」が、
この話題については妥当だと思うんだが、どうでしょう。

ごめん。

同値類で割る→同値関係で割る

だね。

>>850のシンパの方々、どうすか？この定義で問題ないですか？

この定義を採用すると、とりあえず>>850の議論は全部無意味になっちゃんだが。
大丈夫だろうか。

1 ≠0.111… (2進数)

収束列じゃなくてコーシー列ね。

言葉遊びと思うかどうかは当人の勝手だけど
言っていることを理解しないで間違っている
と言いだすのはそれ以前の話だと思った

うざいな909

>>972

ごめん。その通り。

そろそろ>>850さんか、そのシンパの反論もとむ。
「実数とは数直線で表せるもの」とかそんな定義を上のほうでなさってた
みたいですが。

>>974
あ、>>850タンいんしたお

0.1を2進数で表すと、無限級数表現になるけど、納得しない人が多そうね

>>978
ああ。909は納得できまい

数列の極限が分かってる人が、無限小数展開を納得できないなんてのは
ありそうもないことだが。

数列の極限って高校一年レベルの数学でしょ？
分かってて当然。

高校出て何年も経ってるから、数列をいつ習うかは憶えてないが
今でも高校では数列は教えてもε-δは教えないんじゃないのか？

たしかに偏差値の低い高校なら教えないかも

偏差値の高い学校では実数の定義とかもやるのかね。やっぱり。
小話としてくらいはやりそうだよね。「デデキントの切断」ってのが
あってうんぬん。とか。
>>850さんもそういう学校に入れてれば、ここで恥さらさなくて
すんだろうにね。

>>981
今の高校だと数列は高１でやるが、極限は高３でやると思われ。

>>984
自演ウザい