有理数と無理数はどちらが多いか

どっちだよ？

2get

3get

うるせえな。糞。
無理数。では話が終わってつまんないから、有理数と言ってみるテスト。

有理数だよ。

>>5
数学を１からやり直せ

「数学を１からやり直せ」って、理解に苦しまないか？
数学を１からやり直せと言うけど、数学の１ってなんだろう？

>>7
マイナス１００ぐらいからやり直す事をお勧めします。

っていうか、有理数も無理数も無限にある。
ゆえに数の大小の比較はムリ。

>>2-9
未だにマジレスが出ていないのが不思議だ。

おもしろいから、もっとこの方向で混乱させてみれ。

だいたい、未だにこんな糞みたいな質問する方もどんなもんかと思うしな。
単発だし、、、。

マジレスすると
多い ってどういうことよ

少なくないって程度の意味です。

つまり、君は多いわけであるわけでもないってわけでもないと
そういいたいんですね。

バカじゃね？果ての果てまで数えればどっちが多いかなんて明らかだろう。

そうは言うがね。君。果ての果ての果てはどうなっているんだい？

果てまで考えなくたって、０から１の間までで考えればいいじゃないか。

なるほど、それで？
0から１までの間だとどうなるんだい？

マジレスすると２０げっと

たとえば有理数kがあるとするだろ？
それに大して無理数k + πが存在する。
もうこれで有理数勢は倒される。

それで、倒れるとどうなるんだい？
君はまだ、同じかそれとも多いって事しか言ってない訳だが、、、。

>>4-5
>>9
>>21

数学板のレベルの低さを体現しているようだな。

>>22
結論に一つ近づいたで穂。君も何か述べたまえ

結論は闇の中、、、

嫌だ。俺はむしろ混乱させたいんだ。
ただ、>>21が結構近かったんで産婆法でならつきあってもいいかなって思っただけだ。

あーあ、言っちゃった。。。

自分で考えようともしない馬鹿に教えてやるほど俺はしんせつじゃない。

>>22
みんなでちょっとずつ結論に持っていくタイプのスレじゃないの？

いや。飽きてるんだ。俺としては、
有理数と無理数のどっちが好きですか？ってスレの方が個人的に楽しい。
俺は無理数の方が好き。

そんなもん虚数のほうが好きに決まってるだろう。
バカなことを言うな。

だいたい、考えてもみろ。説明したら、次のレスでスレ終わるんだぞ。
話をできるかぎり脱線させ、ちょうど１０００で説明。
これが理想だ。

君は虚数派か。
超順数なんかも捨てがたいな。

じゃあ俺十六元数

ｋに対してｋ＋πだけでなくてｋ＋√２とかｋ＋√３とか
ｋ＋π＋√２＋√３とか
有理数と無理数の和は無理数だから
有理数と一対一対応を作ると無理数が余分にできるはず
大小はこれで分かったとして
じゃあ大小比較してどのくらいの比の値になるかという問題になるね

∃k∈Q∀p∈Q( p≠0 ⇒ (k+pπ∈(R-Q)) )

>>36
なんかのＡＡか？
途中に陽気な顔が混ざってるぞ。

>>35
君、数えてるかぎり、一対一対応がついて同数になってしまうよ。

俺が見た限り>>21が天才だな

俺も同意。カントールまで、もう一歩だもんな。

カントールって食べ過ぎるとお腹が緩くなるらしいよ。うん

俺の足りない頭で適当に考えてみたぞ。

自然数１，２，３，４，５，…について
２＋√２，２＋√３，２＋√５，２＋√７，…
３＋√２，３＋√３，３＋√５，３＋√７，…
５＋√２，５＋√３，３＋√５，３＋√７，…
が存在する。
これらに対し、２＋√２＋√２，２＋√２＋√３，…が存在する。
このようにして、有限個の自然数に対し無限個の無理数が存在する。
任意の自然数ａに対し、有理数ｂ（０＜ｂ＜１）を考える。
ａ，ａ＋ｂ，ａ＋ｂ＋ｂ，…
ａからａ＋１の間に１／ｂ個の有理数が存在する。
先ほどと同様に、これらに対し、すべて無限個の無理数が存在する。
ここでｂを０に限りなく近づけていくと有理数の個数→∞となるが
無理数の個数ははすでに∞であるためえーとなんちゅーか
無限の先の無限という天文学的ならぬインド哲学的な無限が人知を超越した輪廻の外側へと向かう。
よってとにかく有理数＜＜＜（越えられない壁）＜＜＜無理数。

>>42
無理数√2について
(√2)^2,(√2)^4,(√2)^6,(√2)^8,…
が存在する。
無理数√3について
(√3)^2,(√3)^4,(√3)^6,(√3)^8,…
このようにして有限個の無理数に対して無限個の有理数が存在する。
以下天文学だのインド哲学だののはなしはどうでもいいけど
無理数＜＜＜(超えられない壁)＜＜＜有理数。

って反論きたらどないすんじゃぁ！ゴルァ

対角線論法以外に証明方法ある？

そしてその有理数に対してまた無理数が無限に……
もうわけわかんね

>>43
πに対しては？

小川ホイホイですか？

>>46
えーっと 1 = π/π でも対応させとく？

要するに２つの有理数の間には無理数が無限に存在するぞ、と

でも２つの無理数の間にも無限に有理数が存在するよね。

自分がx-y平面の座標の原点に立っていると想像してみる。x∈Z, y∈Zとなる格子状の各(x,y)に幅０の棒をたてると、どのような景色に見えるか。見渡す限り棒なのか、それとも隙間だらけなのか、それとも何もない景色が広がっているのか。

>>50
しかし、その間の２つの有理数の間には無理数が無限に存在する。
では始まりはどこか？
始まりは整数という有理数であり、
これが２つの無理数の間に挟まれているとは考えられない。
つまりは、有理数＜無理数

無理数が有理数の穴を埋めるものとして構成されたからといって
２つの無理数の間に無限の有理数が挟まれていないと論じることは
ムリがあるよ。

実際、任意の二つの無理数の間には無限の有理数が存在する。

まず、有理数そのものがその部分である自然数と同数である事を認識する必要がある。
無限を対象にすると部分が全体と等しい事があると言う事。

この見地に立って、自然数と同数な物（数えられる対象）をあげていく事をお勧めします。
しかるのち、では無理数は数え上げられるのかって議論になります。

>>53
俺は無理数の間に有理数がないとは言ってないよ？

>>55
そうするとあなたが52で言わんとしているのは何？
どうして「有理数＜無理数」という結論がこうも簡単に
でてしまうのかがわからない。

まて有理数と無理数の間には無限の有理数と無理数が（ｒｙ

つうか今まで一度も「濃度」や「可算集合」といった単語が出てこない事に驚いた。
数学板ってこんなレベルなの？

「多い」が単なる個数の比較なら両者無限集合なので比較不能。
濃度の大小なら無理数の方がデカイ。
現に有理数全体は可算集合だが無理数は違う。
証明は自分で集合論の入門書でも読めやﾊﾞｶﾁﾝ。

>>58
ﾏｼﾞﾚｽしたらそこでスレが終わるだろうがこのｳﾞｧｶﾁﾝｶﾞｧ(ﾟДﾟ＃

君はものごとの楽しみ方を知らないな。
レベルを言うなら、スレの立ち方で悟ってしかるべきだ。

５８は典型的な空気の読めない数ヲタ。
以後このスレは５８を叩くスレになります。

>>58は空気を読めない黄金

以後このスレは>>58の数学のレベルを検証するスレになります。

、、、58ってつまらない人間だね。

まったく、雰囲気がぶちこわしだ。せっかく用語使わないで誘導したりしなかったり
を楽しんでるのに、なんたる事だ。あいつはテロリストか何かか？

つーか、自然数の集合の濃度<実数の集合の濃度 を知ってれば一瞬で結論が出るのだが。

>>58みたいな奴がいるから数学やってる人間が色眼鏡で見られるんだよ。
迷惑な話だぜ、まったく。

やっぱり、有理数の方が多いんじゃないのか？
具体的に考えて見よう。
知られている無理数よりもどう考えても有理数の方が多い気がする。

無理数なんか、せいぜいπやeやルート２とか３ぐらいだろう。

>>66も空気を読めていません。>>58と同一人物ですか？
わかってないなー

有理数と無理数より自然数が多いんだよ。

>>69
√5も2の3乗根もlog_2(3)も無理数ですが。

>>70
自然数全体から有理数への単射
f(p)=1/pが存在しますが何か？

お前の発言はションベンもらすより恥ずかしいぜ(ﾜﾗ

なぜマジレスをするのか理解できない。

>>58,66
ここまでのスレの流れを読んで、貴様の言いたいことぐらいは
みなわかっていることに気づかないとは。正論言えば「糞スレたてんなヴォケ」
で終わってしまうだろーに。

つまらん。知られている無理数と有理数はそんなに変わりません。

まあまあ、間を取って同じって事でどうです。
そう目くじら立てなくても、πが３だってどうって事なかったんだし、、、。

58は釣氏だろ。

有理数＋無理数＝無理数
無理数＋有理数＝無理数

有理数−無理数＝無理数
無理数−有理数＝無理数

有理数×無理数＝無理数
無理数×有理数＝無理数

有理数／無理数＝無理数
無理数／有理数＝無理数

>>78
つまり無理数の方が多い、と言いたい？

0×無理数=0
0/無理数=0
だと小一時間(w

有理数＋無理数≒有理数
無理数＋有理数≒有理数

有理数−無理数≒有理数
無理数−有理数≒有理数

有理数×無理数≒有理数
無理数×有理数≒有理数

有理数／無理数≒有理数
無理数／有理数≒有理数

＞無理数＋無理数＝無理数

ダウト

有理数と無理数を比べても面白くないから有理数と代数的数を比べよう。
有理数と代数的数はどちらが多い？

>>82
π+(-π)=0 だしな。

そこで-πが無理数でないという主張を…
しかし有理数であっても、都合が悪いので、不思議数という主張を

無理数から有理数を作ってみよう。
ある有理数をＡとすると、Ａ＋Π、Ａ＋２Π、Ａ＋３Π、、、、Ａ＋ｎΠ
といくらでも無理数を作る事が出来る。従って無理数のほうが多い。
Ａ＋ｎΠ　が無理数というのは、背理法を使えば簡単に証明できる。

>>86
まあ、結構な話なんですが、第一行目に期待していただけに
それ以降に非常に落胆させられました。

>>87
全くだ

ふと思うんです。
全体は部分より大きい、という真理についてなんですが。

これって部分が無かったら成立しませんよね。
全体は部分から成立するという考え方が問題になると私は思っているんです。

数という考え方が観念の中でしか成立しないというか。
全体が部分より大きいというのは有限でしか成立しない。

部分なんか実在しないんじゃないかと。

私が言いたいのは、部分は全体の在り方であり否定関係では無い、ということです。
部分は人間の認識の在り方を反映しているのではないかと。

有理数＋無理数＝無理数
無理数＋有理数＝無理数

有理数−無理数＝無理数
無理数−有理数＝無理数

有理数×無理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
無理数×有理数＝無理数（ただし、有理数≠０）

０×無理数＝０
無理数×０＝０

有理数／無理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
無理数／有理数＝無理数（ただし、有理数≠０）

０／無理数＝０

無理数＋無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数−無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数×無理数＝無理数
無理数／無理数＝無理数ｏｒ有理数

０　⊂　自然数　⊂　整数　⊂　有理数　⊂　複素数

正の整数　∪　０　∪　負の整数　⊂　整数

有理数　∪　無理数　⊂　実数

実数　∪　虚数　⊂　複素数

>>90
>無理数×無理数＝無理数
√2 * √2 = 2

>>92
ごく一部は有理数となるが一般には無理数×無理数＝無理数だ

>>93
「一般には」ってどういうこと？

Re:>>93 中学校で何を聞いてきた？

>>93
ワロタ
一つでも例外があったら"一般には"とは言えないんだよ(数学においては)。

ごく一部は有理数となるが一般には無理数×無理数＝有理数ではない

と否定形で書くのが「一般には」の用法だが。

>>93
π * (π)^(-1) = 1

>>94>>95>>96
ハァ？それくらい文脈から推測しろや。
お前らこそ小学校の国語からやり直せ。
ごく一部の例外を除いて殆どは無理数ってことだ。

顔真っ赤ｗ

>>99
大学受験はまだ先だと思うけど、君は数学への適正がまるでないから理系への進学はやめといたほうがいいよｗ

その「ごく一部」の判断基準は何？ｗ

有理数＋有理数＝有理数
有理数−有理数＝有理数
有理数×有理数＝有理数
有理数／有理数＝有理数（ただし、分母の有理数≠０）

有理数＋無理数＝無理数
無理数＋有理数＝無理数
有理数−無理数＝無理数
無理数−有理数＝無理数
有理数×無理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
無理数×有理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
０×無理数＝０
無理数×０＝０
有理数／無理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
無理数／有理数＝無理数（ただし、有理数≠０）
０／無理数＝０

無理数＋無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数−無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数×無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数／無理数＝無理数ｏｒ有理数

>>101
ごく一部の例外は無限個存在するよ。

結局、自分の間違いを指摘されて逆切れするGW厨ってことでFA?

>>104
×>>101 → ○>>99

無理数に決まってるだろ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

>>107
どちらも無限に存在するよ！

>>99
　　　　　　　　,..-‐−-　､、
　　　　　　,ィ":::::::::::::::::::;;;;;:ii>;,
　　　　　/:::::::::::::::;;;;;;;;iii彡" :ﾔi､
　　　　 .i::::::::::::;:"~￣　　 　 ::i||li　　　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　 .|:::::::::j'_,.ィ^' ‐､　_,,. ::iii》　　／
　　　 　.|:::i´｀ 　`‐-‐"^{" ｀ﾘ"ﾞ　＜　失せろや
　　　　　ヾ;Y　　　　　,.,li｀~~i　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　｀i、 　 ･=-_､,　.:/
　　　　 　 　 ヽ　　　 ''　 :/
　　　　　　　 　` ‐- ､、ノ

３＜πより有理数＜無理数
よって無理数のほうが多い。

はぁ？

ある男がらくだと共に砂漠を旅していました。
しかし思った以上に長く続く砂漠に、若い男の性欲は耐える事が出来ませんでした。
そこで男は思い付きました。
「そうだ！らくだとやろう！」
男はらくだの後ろへまわると早速自分のものを入れようとしました。
しかしその時らくだはトトッと数歩前へ。それに男が近づき再びチャレンジ。
しかしらくだはまたもやトトッと数歩前へ。その後、何度も試したけど同じ事の繰り返し。
男は行為をあきらめ、再びらくだと旅を続けました。
そしてしばらく歩いていると、なんと前方にきれいな女性が倒れているではありませんか！
男は女性に言いました。
男：「大丈夫ですか？」
女：「あ…あの、のどが乾いて死にそうなんです…」
男はここぞとばかりに言いました。
男：「じゃあ、水をあげたらなんでも言う事をきいてくれますか？」
女：「はい…言う通りにします……」
男は水をあげた。
女：「ああ、ありがとうございました。おかげで助かりました」
男：「よし。言う事をきいてもらうぞ」
女：「…はい……」
男：「じゃあ、らくだ押さえといて」

>>103
無理数＋無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数−無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数×無理数＝無理数ｏｒ有理数
無理数／無理数＝無理数ｏｒ有理数

はほとんど情報を与えていない。その前の「一般に」とか
「ごく一部は」とかいうのとは違い、正しいが、ほぼ無意味。

無理数＋無理数＝実数
無理数−無理数＝実数
無理数×無理数＝実数
無理数／無理数＝実数

と書いているのと同じ。

どっちだっていいじゃん

だいたい、この世の中に無理数なんてものが存在するのか？
所詮はデジタルなんだろが。

どちらが多いかじゃなくて、「有理数しかない」が正しい。

>>109
ムスカ様 キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!

いいや、この世は皆アナログ。
実在するのは無理数だけ。有理数なんてのは数学者がでっち上げたもの。
よく言えば理想、悪く言えば近似のためにある実在しない数だ。

実数がすべて入った袋の中から、数を１つ取り出して、
それが有理数である確率と、非有理数である確率は？

判定不可能な数が出る予感…

確率測度の決め方によるよるよるりる

君たち、なに馬鹿なこと言ってるんですか。
自然数こそ神がつくりたもうた。
無理数なんてものはないんですよ。
ｂｙクロネッカー

そのネタは暗黙の了解かかいかい

クロネッカーって馬鹿だったんだな。

クロネッカー青春の夢精

クロネッカーの言いたかったことは別に宗教めいたことではなくて、
りんごだの動物だの物を数えるときに出てくるモノ、すなわち「自然数」がまさに自然の数であって、
分数だの小数だの負数だの無理数だの虚数だのは人間が思考によって生み出した「約束事」としての「数」だ、
ってことを言おうとしたんだよ。
学校でこれらの数をどういうふうに教わったか思い出してごらん。
分数も小数も負数も無理数も虚数も、
「あたらしい数です。こうするとこうなる数ですよ。」って
それまでの「数」の概念にお約束を追加する形だっただろ。
つまりは、そういうこと。自然数以外は全て思考の存在だとクロネッカーは言った。
もっとも自然数だって物事を抽象化して考えるために人間が生み出したものであるから、
すべては人間が創った、ともいえるわけだけどね。

クロネッカーのデルタδ

>>125
それはそうなんだろうけど、数学者を含めた自然科学者って何らかの信念があるような気がする。
アインシュタインの「自然は単純を好む」？とか。
ピタゴラス学派はすでに宗教団体と化してたけど、ピタゴラスの定理で無理数のルートを発見してしまって、門外不出の秘密にしたそうな。
クロネッカーの考えも幾分はそういうのが背景にあると思うな。
カントールへの執拗な嫌がらせとか読んでるとそう思う。

無理数とかのはなしになってくると必ず「無限」の概念が出てくるけど、カントールにしろゲーデルにしろ、現在の数学大系の中では独立した問題で
解答のない一般連続体仮説にとりつかれて精神をやまれたのはなんか人間の理性の限界以上の事をしようとしてたからなのかと思う。
人間理性の限界とオッペンハイマーに言わせたゲーデルの不完全性理論があるけど…

>>127
おまいはアルツハイマー。

>>127
俺は21〜22世紀の科学の問題は計算量、最適化問題に集中すると思っている。

んじゃ、もう一度「数」について一から考え直そうか
科学の問題を再定義するためにも

>>129
実は私は文学部の史学出身なもんで「計算量、最適化問題」とはどう言ったものか、寡聞にも聞いたことないです（当たり前か）
どういった問題なんでしょうか？

コンピュータに計算をやらせるときにできるだけ短時間で
終わるような計算法とかを考えることじゃない？知らんけど。

それが数学の主流になるかどうかはしらんが科研費が当た
りやすそうなテーマではある。

で、なぜ1はこんなことが知りたいんだ？

>>133
違うよ。すでに数学的に結論の出ている話を敢えてネタを振ったりして
おもしろおかしく進めていこう、っていうスレだよ。
だから濃度とか言い出さないし、言っても叩かれるってわけ。

おまいら原点にもどろうぜ

21 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 04/05/03 20:49
たとえば有理数kがあるとするだろ？
それに大して無理数k + πが存在する。
もうこれで有理数勢は倒される

たとえば無理数aがあるとするだろ？
それに対して有理数 a/a が存在する。
もうこれで無理数勢は圧倒される。

間違ってない！！

たとえば偶数kがあるとするだろ？
それに大して奇数k + 1が存在する。
もうこれで偶数勢は倒される

スレッドは、日本語の文法的に間違い。
正しくは、
【有理数と無理数とでは　どちらが多いか】。

>>136
それじゃあ無理数に対して一つの有理数しか存在してないことになるよ。
残念。

素でほんとの答が知りたい。

ほんとの答えは自然数だ

素の答えはどちらが多くてもどうでもいい

ゆうりすう
むりすう
　　ゆうりすう　の方が字数多い。

四角形の頂点は４つ
内部の面積は有限で点で数えると４点より多い
ゆえに無理数の方がある連続（？）な領域で多く存在する

R:実数　V:無理数　Q:有理数
A:{π,２π,3π,4π,........}

h:R->V
を次のように定義
　　 1) xが有理数の時、
　　　　有理数は可付番なので　ある自然数iがあってxはi番目の有理数となる
　　　　h(x) = (2i-1)*π

2) xがＡの元の時
　　　　 ある自然数iがあって x = i　* πとなる。
　　　　h(x) = (2i)π

　　　3) 上記以外の時、(xは無理数でπの自然数倍ではない)
　　　　h(x) = x　　　　　

こうすれば hは全単射。無理数は実数と同じ濃度

>>145
うんこ

>>145
スレ違い

よし、よくぞ>>145までがんばった。えらい。
しかし、真剣に到達できてないやしがいるような気がするのは気のせいか？
少し、ネットで調べれば、それほどこむずかしい議論もなく、結論はでているのだが、、、？

>>146,147
アホかw

>>148-149
は現実でも空気読めてないんですか？

いや、>>149を対象とするのは妥当ではなかった。すまない。


うんこぶちぶち

有理数の方が有利

無理数に勝つのは無理

結局、有理数のほうが多いってこと？

カントール集合は容量次元が0.6309297で、ルベーグ測度は０、
しかも実数[0,1]と１対１に対応してしまうと言う優れものです。

今日、テレビでやってた。
非可算でも測度０。

同じではないだろうか？

同じだよ

すばらしい。結論がでました。同じです。

>>150
空気も何も、正しいことが分かれば終了だろ。

スレタイに含まれるニュアンスを感じ取ること＝空気を読む

バカの読み「有理数と無理数はどっちが多いか（答えを説明しなさい）」

常人の読み「有理数と無理数はどっちが多いか（建設的な議論をしよう）」

ネタ師の読み「有理数と無理数はどっちが多いか（説得力のある嘘を考えよう）」

サイコロを振って、１と６が出れば有理数が多く、
２と５が出れば無理数が多く、３と４が多ければ同じ個数であるとします。

たった今、２が出たので、無理数が多いことは確認されました。

>>155
カントール関数は単調連続だから区間[0, 1]上のカラテオドリ式外測度を
これから作るとカントール集合が可測でなんと、測度が1。このとき当然
カントール関数が分布関数になってルベーグ絶対連続でない閉区間上の連
続測度の出来上がり。ラドン=ニコディムの定理は偉大だ。

有理数と無理数の数を比べるだって　笑っちゃうぜ
無理数の個数なんて数えられねーっての
連続なんだから個数なんかないの。
なだらかなんだから区切る場所がないの。

だから答えは　数が数えられません　だ

>>160
むしろ

平均的な板住人の読み｢有理数と無理数はどっちが多いか（答えと証明を教えてください）｣
→質問は質問スレ逝け！終(ry

では？

>有理数と無理数はどちらが多いか
>どっちだよ?

とくれば答えと証明を書けば終わりだろ。

ちょうど、濃度を習っているので、演習をかねて証明してみる。

Q = {m/n| m,n ?N}
従って、Q ~ N^2 ~ Nより、
|Q| = アレフゼロ
R-Q ~ R が示されれば、|Q| < |R-Q| = アレフ
が証明される。

R-Qは無限集合だからそこに加算部分集合を含む
それを{an}とすると、

R-Q = (R-Q-{an}) + {an} ---(1)

また、Rは、

R = (R-Q-{an}) + Q + {an} ---(2)

と書けて、ここで加算集合と加算集合の和の
濃度は加算であることを考慮して(1),(2)
を比べて、

(R-Q-{an}) ~ (R-Q-{an})
{an} 　 ~ Q + {an}

従って、
|Q| < |R-Q| = アレフ　//

オウム真理教でつか？

>>167
加算集合を定義してくれ。

結論が出たようだな。>>1も満足のことであろう。

>>169
ｺﾞﾍﾝｶﾝ

Re:>>171 漢字に無頓着な人が居なくならないのは何故だろう？

>>168
違う。改名して今はアーレフだよ。

>167
つうか、
”無限集合に可算集合を加えても濃度はかわらん”
を定理として使用可能という前提なら証明も何もいらん。

母さん、集合！！

>>174
集合論を勉強し直して来い

ねぇねぇ、そろそろ対角（ｒｙ

そんなことより、なぜrational number を有理数と
訳したのか。
有比数のほうがいいだろ。英語３の俺でもわかるぞ。

そんなことより、何故rational numbers を有理数と訳したのか？
理想的数の方がいいだろ。

Dedekind...

背理法とか帰納法とか、そういう胡散臭いものを
使わずに有理数と無理数の多さを較べてくれ。

>>179
なんで？
レシオって比じゃないの？

>>178
うちの高校のときの数学の先生もそんな事をいってた記憶がある。
有比数、無比数、とするべきだったとか…

>>183
元ネタがあるんだＹＯ！

>>181　なにがうさんくさくないか教えてくれ
まずはそこからだ

＞183
うひすう　むひすう
と読むのか。
　ウヒウヒ？

>>184
元ネタを読んだ記憶がある。
矢野健太郎あたりか？

>>185
有理数全部の集合と無理数全部の集合の濃度とを較べるとき
その証明に背理法を使うでしょ。背理法を使わない証明って
できないものなのかなぁ?と思っただけ。

有理数全体の集合のように要素が無限に存在するときにも
簡単に「有理数全て」とかいわれるとなんとなく、(あくまでも
なんとなく)ひっかかるし。これって選択公理とかもからんで
くる話しなのかな?

濃度の比較を理解してる？「集合Aの濃度が集合Bの濃度よりも
真に小さいとはBからAへの単射が存在しないこと」なんだけど。
「単射が存在しないこと」を示すんだから、背理法以外にやり
ようがない。

ああ、そうか。そうだね。

誰かそういう写像を一緒に作ってみないか？

>>188
背理法がいかんという立場は直観主義とか構成的数学とか
いうと思った。しかし流行っていない。

>>192
計算機科学との関係で、むしろ昔より流行ってますが。

体格線論報以外に、うまい証明ってあるんですか？

>>1-194
何言ってるかさっぱりわかんねー
宇宙人の会話だ

>>193
どう流行ってるのか無知な漏れにやさしくおしえて

>194
>体格線論報以外
この誤変換　案外　味がある。

体格の線について論じた報告書。。。
”くびれるべき箇所はくびれるべき”
とか書いてある。

有理＜無理の背理法の証明なら、次のようにもできる。

有理数と無理数が一対一に対応すると仮定する。
ある無理数Ｍを代表値とする。

すると、すべての無理数は、ある有理数Ｑを用いて
Ｑ＋Ｍと表すことができる。

さて、ここで（−Ｍ）という数を考える。
（−Ｍ）は、もちろん無理数のように思えるが、
Ｍの定義により（−Ｍ−Ｍ）＝（−２Ｍ）は有理数のはずである。
よって矛盾する。（証明終わり）

>>198
有理数⇔無理数の一対一対応から、
全ての無理数がＱ＋Ｍだとは言えないのでは？

>>199
俺もｵﾓﾀ

>>198
Ｍ＝√２　のとき、
Ｑ＋Ｍ　は√３　を含まない。

>>194
等比級数を使う高校レベルの証明もある。
そもそも、カントールも４〜５回目ぐらいの別証明として
対角線論法を使ったはず。うまいかどうかは別として、最
初の証明も区間縮小法を使うヤツだった（と思う）。

有理数？無理数？

話にならんよ

>>203
超越数か有理数か無理数かわからないような数が
偉いんだよ。

>>202
区間縮小法を使うとn進展開が要らないけど、ちょっとわかりにくい
証明になるよね。「区間縮小公理を満たすアルキメデス的順序体」で
実数を定義すると、公理から直接証明できるという利点があるけど。

ﾘｭﾝﾘｭﾝ

>>203
自分は話にならんと言っているのと同じだぞ。

>>203
ぼくは話になるのかな？

ｎが平方数でない時の√ｎ
ｎが或る条件を満たす場合の自然数ｍ乗根
オイラー数
ブルンの双子定数
対数表示の場合の双子定数
もっとあるだろうが、俺は知らん

「あなたの知っている具体的な有理数」
　　　　　　　　　と
「あなたの知っている具体的な無理数」

はどちらが大井競馬場？

Re:>>210
それは自明なことだ。
有理数に無理数(√2など)を足すと無理数になるから、無理数の方が多い。

ええと

「あなたが書き出せる有理数」
　　　　　　と
「あなたが書き出せる無理数」

はどちらが多いんですか？

マジレスすると僕の身長（単位cm）は超越数。πが超越数であることの証明より難しい。無理数であるか有理数であるか証明されてない数は沢山ある。もしζ（奇数）が有理数だとすると有理数と無理数の個数は等しくなる

有理数と無理数ﾏｼﾞﾚｽするとどちらも多い。

それを言ったら「1無量大数以下の自然数」でも十分多い。
有理数全体に比べたら限りなく小さいが。

なにしろ数えたことがないからな

794

んじゃ、ちょっと数えてみよう！
最初は有理数から数えるね〜！

有理数がひとつ、
有理数がふたつ、
有理数がみっつ、
有理数がよっつ、
有理数がいつつ、
・・・
・・・

（１時間経過）
（２時間経過）
（３時間経過）

ぐ〜ぐ〜・・・。

>>213
確かにそういわれてみりゃ、有理数か無理数かの証明の仕方の見当さえ付かない数はいくらでもあるな。

http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&q=%97L%97%9D%90%94
http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&q=%96%B3%97%9D%90%94

よって有理数

>>220
藻麻衣、馬鹿か

あれふ

有理数が　ゆうり
無理数は　むり

ZとQが同じ濃度というのが納得できません
明らかに１から10まで考えても Qのほうが数が多いと思うのですが
どうなんですか?

>>224
なぜ明らか？

>>220
確かに有理数の方が多いな・・・

223に笑ったおれはあほですか

普通に無理数だろと思う俺はいってよし？
だって有理数って可算じゃん。

>>224
濃度の定義を確認しなおしましょう。
Z⊂Q だからと言って Q のほうが濃度が大きいということになりません。

>>89から醸し出されてる空気にﾜﾛﾀ
あと普通にスルーされてるのにﾜﾛﾀ

有理数 30角 < 無理数 36角

>>213
>もしζ（奇数）が有理数だとすると有理数と無理数の個数は等しくなる

は？ζ（奇数）は無理数だ、と主張したいの？

>>1

有理数は可算集合で、無理数は非可算集合だから、無理数の方が多いと考え
る。可算集合・非可算集合については「集合・位相入門」（松坂和夫　著）
を参照。

ﾏｼﾞﾚｽ出ちゃったよ

測度で比較すると
無理数==有理数だっけ？

>>235
お前の測度は何測度だ！？
大抵は　無理数 in [0,1]>>>超えられない壁>>>有理数 in [0,1]
だと思うが

そもそも多いって，何が多いんだよ？元か？測度か？測度も元？

>>236
普通の1次元上の長さでお願いします

>>231
画数です

>>238
可算集合のルベーグ測度は0。

ごく一部の例外ねえ。
でも成り立つ場合と成り立たない場合どっちが多いかっていえば。。。

510

>>236
ふと思ったんだけど、有理数よりも無理数が小さくなる、そんな測度って作れるのかな？

ねえ関係ないけど君らは彼女とかいるのかい？

>>243 作れる。

A∈2^R に対して、μ(A)：=1(if 0∈A), 0 (otherwise)　[Dirac測度]
とすれば、(R, 2^R,μ) は測度空間。この空間上では、
μ(Q)=1 > 0=μ(R-Q)．

μ を Lebesgue可測集合全体 M (⊂2^R) に制限した (R, M, μ|M) 上でも
やはり μ(Q)=1 > 0=μ(R-Q)．

>>245
むぅ、ルペグ積分の勉強中なので、まだちょっと分りません、暫く考えて見ます。
しかし、無限の彼方は実質なんでも在りなんですかね？
部分集合の一部に長を対応して、若干の拘束条件をつけただけだから、
なんとなく、何でも在りの予感はしているのですが、いったい何処まで変なものができちゃうんでしょう？

>>247
漏れはあまり奇妙な測度空間は（不勉強のため）まだ知らないけど、
測度の定義はシンプルだから、おそらく相当変な測度も作れるのでしょうね。

測度と濃度はどちらも集合の「大きさ」をはかる概念だけども、両者の間にも
なにか面白い関連があるのかも。

ゆうりすうとむりすうってなんですか

>>249
有理数urineおしっこ
無理数うんこ

むりむりっと出るからなあ

有比数、無比数と書いたほうが
意味的には自然だな

レス読んでないけど、これって濃度の話だろ？

>>245
実数値の平行移動で変化しない測度でなら無理？

Ｑ＋√（２）⊂Ｒ−Ｑ。

まったく数学知らないが、有理数を無限個足せば無理数になるんじゃないの？

>>256
Σ[n=1〜∞]2^(1-n)

>>257

そんな例を出すまでも無く、0+0+0+0+…=0

>>258
ぬるぽ

Σ[n=1〜∞]1/(n^2) = π^2 / 6
これはどう説明するの？

929

>>260
スレ違い。
とりあえず「ゼータ関数」とかでぐぐれ。

>>259
ｶﾞｯ

918

868

953

素数をひとつひとつ丹念に調べてみたこともないくせに、偉そうな事言ってんじゃ
ねーよ。俺なんかな、あれだぞ、この間からそれしかしてねーんだぞ。
もう死にそうだ。

あぼーん

Re:>268 お前何考えてんだよ？

　　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

551

有理数のほうが多いにきまっとるがな

6時ごろから少しずつage・ｶｷｺが増えてくるが、
今日は金曜だから少し早いか?

有理数は加算無限なんだろ？
だから無理数の方が多そうな気がする

6時から増えてきた。平日と変わりないな。

俺は無理数と有理数とを一対一に対応させる方法をついに見つけた。
対角線論法には穴があった！なんで誰も気づかなかったんだ！

穴があるのは、実数から有理数だけ除いた数直線か
それとも、実数から無理数だけ除いた数直線か
はたまた、俺の脳みそか、
いやきっと>276のレスだな。

（　*　）

674

たった今、おれは恐るべき定理を見出した。
無理数より有理数のほうが実は多かったということが判明した。
無限の考え方に革新的な発展をもたらすのは間違いない。

702

>>280
証明してみろ








と、煽ってみる。

>>280
植木算とかいったら怒るぞ

892

どっちだよ？

235

678

代数的無理数同士の和が有理数になる事ってあるの？

√2+(1-√2)=1

超越数でも
π+(1-π)=1

844

>>283
地味にワロタ

856

（無理数の濃度）÷（有理数の濃度）っていくつになるの？

（無理数の濃度）=2^（有理数の濃度）ってのは聞いたことがあるような気がする。

>>294
濃度とは何かちゃんと勉強したらわかるよ。

Re:>295 とりあえず、Rの同値関係∼を、a∼b⇔a-b∈Qとして、R/∼の濃度がどうなるのか教えてくれ。証明つきで。

>>294は（無理数の濃度）＝（有理数の濃度）×（求める濃度）なんだから、
求める濃度＝無理数の濃度　なんじゃないの？

>>294,>>297
「有理数の濃度」すなわち可算濃度の特殊性から、この場合の“答”は「無理数の濃度」
と考えてもよいが、一般に濃度の割り算は定義できない。
たとえば、（無理数の濃度）×（無理数の濃度）＝（無理数の濃度）、（無理数の濃度）×
（有理数の濃度）＝（無理数の濃度）なので、（無理数の濃度）÷（無理数の濃度）は一意的に
定まらない。∞÷∞が定まらないのと同様。

>>296
そのように解釈すればR/〜の濃度は「無理数の濃度」と明確に答えられるな。
証明はたとえば、R/〜の各集合からひとつずつ代表元xを選んでR＝∪_[x]{x+q; q∈Q}
のように共通部分をもたない合併に書いたとき、各{x+q∈Q}の濃度は可算だから、もし
R/〜が可算集合だとすると、Rも可算となってRが非可算であることに矛盾するので、R/〜
は非可算、したがって（正確にはベルンシュタインの定理等により）R/〜は連続体の濃度
（無理数の濃度）をもつ。

Re:>298 とりあえず、可算濃度より真に大きくて、高々連続体濃度であることは分かったが、連続体濃度であることはどうやって分かるの？

R = Q×(R/∼) の濃度が連続体であることから分かる。

Re:>300 何故？

Re:>300 可算より大きい濃度を持つ集合Xの濃度はX×Nに等しいということか？

しまった、間違えた。Xの濃度はX×Nの濃度に等しい。

うん。可算に限らず Card A ≦ Card B ⇒ Card (A×B) = Card B だったはず。

Re:>304 A,Bが無限集合の場合ね。

剰余群などのときも>>296のように同値関係をいれますが、
そうするのが自然な（？）理由って何ですか？
何であの入れ方が採用されることが多いんですか？
（スレ違い気味ですが、教えてほしいです）

剰余：つまり余りの考え方そのまんまじゃん

636

>>307
遅レスですみませんが、ありがとうございます。
確かに有理整数環の場合にはその通りですが、
たとえば>>296の場合にはどういう意味で余りといえるんですか？

＞301-303,305
詐称。ｳｻﾞｲ。
数板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

Re:>310 何の詐称だよ？

490

234

整数に比べれば非整数などものの数でない。

多数決をとれば多いほうが有利数。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,､ _,. --――‐-　､
　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ／/´　　　　　　　　　 ｀丶、
　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 / /　　　　　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ /　　　　　　　　　　 　 　 　 ／｀ヽ
　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 !　!　＿＿＿_　　　　　　　　／　:::::::!
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　j:,rT,.ニニ､ ―-　.._　 ｀`'´　　　 .::::::::j
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 〃:_| ,r;==､　　　　―-｀､ヽ　　　 :::::::::/
　　　　　　　　　　　 　 　 　 ／.::::{`!　ﾄｯ::}　　　　 r;==､ ｀|　　　　::::/
　　　　　　　　　　　　　 　 / .:::::::::Y　 ﾞー'　　　　 /:ｯ::} 〉 |　　　　:::|
　　　　　 　 　 　 　 　 　 / .:::::::::::::! :::::::　,､_　　　ヽrソ 　 !　　 　 :::!､
　　　　　　　 　 　 ,. '"´￣｀ヾ｀ヽ＜ヽ　　l　 ｀j　 :::::::::　　 |　　　　.::|ヽヽ 　有理数と無理数はどっちが多いの？
　 　 　 　 ,. -‐―（　　　 ,　　 }:::::}::::{:::＼_｀　´__ 　 _,. -‐'´l:::::..　 .::ﾉ､ |｀`
　 　 ,. -‐'　::　　　 `ー‐'---‐'⌒ヽ::ヽ:.　　￣　 ￣　　.:::::∧:::::::::::::|｀ ヽ
　 _ノ::::.　::::　　　　　　　　　　　 ::::　｀`ヽ､__　__　_,. -‐:::::/:::ヽ::::::::::j
／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　:::ヽ´　｀ヽ:::::::::/　.::::ヽ::::::ﾊ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　..::::ヽ:::.　 !､_/_..:::::::::::ヽ'::::!、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.:::::::::::::',ｰ:::.|　l　｀ヽ:::::::::::::::|::!
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.::::::::::::::::!:::/::::.|....::::::::::::::::::::j:::l
　　　　 .::.　　　　　　 .:::::..　..　　　　　　::::::::::::::::::}'´::::::ﾉ::::::::::::::::::::::/::::ヽ

そもそも無理数は、数でない！！

470

427

無理数と有理数の間って中理数ですか？

じゃあ、超越数とか作図可能数とか代数的数とかいろんな数の大小関係を整理してくれ

>>320
大沢数だよ

有理数なら作図可能。作図可能なら代数的。

有理数＜作図可能数＜代数的数＜＜＜（超えられない壁）＜＜＜超越数＜実数

>>323
その不等号は何を意味してるんですか？

>>324
包含関係。必ずしも濃度の大小を表しているわけではない。

よく考えると、超えられない壁のところは、包含関係じゃないな。

無理数は勝手に無数つくることが可能だが、有理数には限界がある。
よって無理数のほうが多い。

無理数とは有利化できない数である。
有利化とはアレすること。
アレはソノアレなので、マクローリン展開して同値。
∴無理数と有理数は同じだけ濃ゆい。



証明破綻

>>327
どちらも「作れる」のは可算無限個。その論法では無理数のが多いとは言えんな。

有理数は循環小数、無理数は非循環小数なんだよね。
じゃあ、組み合わせ的に考えても、「循環小数の個数＜非循環小数の個数」になるね。
つまり、「有理数の個数＜無理数の個数」だね。

どっちが近寄りやすいかといえば有理数。

この問題は、オレの発明であるナンパ群に当てはめると、うまく調べられる。
いいか、ナンパ群とは、ナンパのしやすさに数を当てはめる手法だ。

無理数→ 超美人
有理数→ ほどほどの美人
整数→ 並
自然数→ ブス
フィボナッチ数→ ドブス

超美人をナンパするなんて、オレには無理。

そこで虚数を発明する。
偽りの肩書き、偽りの自分よ。
これで落とせる。

Re:>>332 だったら私が代わりにナンパしてきてやろうか？

どう見ても私はナンパの柄ではない。

一つの無理数の数の配列
1.41421356･･･
に対して、
1.4
1.41
1.414
って、有理数が無限になくね？

Re:>>334 実数空間において有理数全体の集合は稠密である。

実数のうち、有理数と無視数の数を比べると、無理数が圧倒的に多く、
そのほとんどが超越数であることが知られている。従って有理数より
無理数のほうが圧倒的に多い。

>>21
>>42
理論が無茶苦茶
>>43
それは素人の考え

kingは秋葉原に遠洋漁業にでかけて、皇居のお堀でナンパ

>>337
いまごろそのあたりにレスしても無理ッス

Re:>>336 どういう話の展開してるんだよ？
Re:>>338 私は一度皇居からの距離が10km以内のところには行ったけど、皇居には行ってないぞ。

渋谷にはナンパをまっていることかれしをまっているこのどちらが多い？

Re:>>341 かれしをまっているこはナンパもまっているのでナンパをまっているこのほうが多い。

詭弁乙 to me.

ナンパしたらヤンキーだったら怖いよね。

黄色いアクセサリーとかでナンパＯＫ印つけてて欲しいよね

Re:>>343 私は王の中の王であるぞ。ヤンキーが襲ってきたらカウンターで墨アタックして逃げるとしよう。

関西では高校であそぼうよはラブホいこうよです。

授業中にデイープキスはやめてください。

階段教室でこしを使うと。。。ビッグウエーブが走ります

一説

有理数はそれ自身に1等を足すと更に増える為無限に存在する。
無理数は平方数で無い数の平方根を含む為無限に存在する。

すなわち同じだけある。

一説

有理数はそれ自身に1等を足すと更に増える為無限に存在する。
無理数は平方数で無い数の平方根を含む為無限に存在する。
無理数に1を足しても無理数が出来る為更に増える

すなわち無理数のほうが多い

書くだけ無駄でした。

無理数は、有利数×無理数だけ存在する。
有理数は、有理数×有理数とした時に、重複があるので、その数だけはない。
　よって、無理数の方がおおい。
ッン、最初無理数がいくつあったのだ？

階段教室で数学教わる奴は、必ずDQNです。

はたして平方数でない整数の平方根が有理数な場合があるだろうか？

ない

age

デデキントによれば、１コの有理数に対して、
少なくとも２コの無理数があると考えられている。
　そして、無理数に対しても上記の事が言える。
だから、無理数の方が多い。
　カントールの証明は不完全、只単に、
有理数が無限に存在し、それにより、
自然数が無限に存在する事が証明されただけ。

age

>>351
京大数学教室にはまだ階段教室あるぞ

>>351
＞階段教室で数学教わる奴は、必ずDQNです。

階段教室はハーバード大学やパリ大学にもあるな。

>>357-358
外国の大学の事までは、考えなかったが、
４〜５０人の階段教室があるなんて、授業料高そう。
兄弟のその教室は、建築基準法に遡及しているのか？

さりげなく>>355が電波飛ばしてるのに、みんな階段教室に夢中。
平和なスレだ。

>>359
法律に遡及する、ってなんだ（法律用語？）
大分昔からあるから今の建築基準法に則ってるかどうかはわからん。
建築基準法で、階段教室を作る事って制限されてるの？

どちらが多いか、という比較はできません。
濃度という概念で、無理数の濃度が有理数の濃度より大きいのです。
有理数全体の集合、無理数全体の集合はそれぞれ有限集合ではありません。
なので、要素の個数はそれぞれ無限です。
濃度という概念で比較するのです

>>361
それはカントールは偉大で、デデキントは馬鹿だっていう意味か？

無限が有限ならば、無限は無限に存在するって？

マァ、何言っているかわからないだろうし、書き込んだ本人も。

無限に存在するものを、有限であると言って、
その議論を避ける為に、集合を考えついた。
だから、大小関係ではなくて、濃度という概念を持ちだした。
という事ではないの？

>>1
有理数全体は可算で、無理数全体は非可算。よって無理数全体の方が「多い」。

今、有理数の数を数えているところ。
数え終わったら無理数を数えるからちょっと待っててね。

√(36)=6

>>364
＞無理数全体は非可算
どうして？証明して？

お前らヒマ人だな！おれは調べなきゃいけなかったからこのページをたまたま見たんだけど・・・お前らみたいな奴いるんだなぁ！！！

お前らヒマ人だな！おれは調べなきゃいけなかったからこのページをたまたま見たんだけど・・・お前らみたいな奴いるんだなぁ！！！

>>367
対角線論法でよかったら書こうか

有理数の方が存在感がある。

でも、πの存在感もすごい

e感じ

πとeがあれば、宇宙を現せる





















e　←かお
π　←足（考えるのはこっち）

e感じ

eoπ

(.)(.)
　x
　Y

>>1
今日高校の図書室で読んだ。
∴無理数。
俺って超数学的。自分に惚れ惚れするぜｗ
HAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHOAHOAHOAHOAHOAHOAHOA4

>>370
対角線論法の完全性を理解しているのならば、
書き込んでみてくれ。
　オレはあの論法は、正しくはないと疑っている。

age

��　対角線論法　最強スレ

をたててくれ。
俺はこのまえクソスレを立てたので無理なんだ。

つ
　Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122625618/l50

あそこは数学的に病んでいる物の集うスレだろ。

age

1.4+π・1.41+π・1.414+πにしたら無理数になるよねぇ

世の中数が多い方が有利
有理数はともかく
有利数の方が多い・

すべての無理数は有理数で近似できるー＞無理数と有理数はおなじ濃度

有理数は加算無限、無理数は加算無限じゃない

無理数も有理数も稠密でも不加算と加算のちがいだけ

どんなに近い2つの無理数をとってもその間に∞個の有理数がある、って考えると無理数の方が多いってちょっと不思議だな
まあどんなに近い2つの有理数をとってもその間に∞個の無理数があるんだけど

有理数＝ＮｘＮ
無理数＝Σ（ＮＸＮ）＝ΣＮ

どちらも無限個だからおおさの大小はない
連続無限か加算無限かの差だけ

測度０かそうでないかの差だけ

実数aを小数点表示して、その各小数x10^-nを係数にもつx^nの
テイラーを考えて、実数に対してテイラー級数を対応つけると
Rは関数空間の一部になる。対角線論法は樹形図にすれば実数はすべて
整列できるけど、樹形図にはナンバーリングができない。でも関数空間に
埋め込めば、ファンクショナルでノルムを定義して順列にできる。
でも大小関係はあっても、次の数がピックできないから。。。微小実数を
定義する必要がある。やっぱり超準の世界なのだろうか？

対角線論法のいんちきくさいところは対角線の値が異なる実数は
無限にずーっとあとの順番の実数になるけど。。。無限につづく
実数に最後がないのに。。。あたかもそれがあったとして、どの
位置にもそれが含まれないといってるとこ。　
これってバグっているんじゃないか？

それでもすべての実数は小数点表示できるから。。。小数点の昇順に並べたら
どこかにあるのだが、永遠に確定できない対角線不一致小数を確定したところに
矛盾があるよーだ、ダースベーダ。

デスカバリーこんどはフラップが出ない？

デスカバリーこんどは燃料電池が爆発？

>>394
小数を昇順に並べたら、０の大海に溺れて、始りに辿り着けない。

>>395
お前のそのやり方、そもそも並んでない

たとえば「決定的な手順では出力できない実数は実数から除外する」という方針もありうる？
それでもＲの完備性なんかは保たれるのだろうか？？？

>>400
Computable Real Numberで検索しる。
計算可能性まで考えると、（計算可能）実数はR.E.じゃないから対角線論法は使えないそうな。

ウィキペディア（Wikipedia）に記載されている、
カントールの対角線論法の証明方法がカントールの考えた方法だとすると、
仮にｎに対応する様に番号付けをしたとすると、
ａ00＝0、ａii＝9となるから、ｂi＝１となって、
単純に循環小数が無限に続くという事を証明しているだけと思うのだが。
　どこが間違ってるんだろ？

>>402
いってることは良くわからんが、wikipediaのやつは単に
実数すべてに自然数の番号を対応できると仮定しても、それぞれに対してある桁の数字が異なる実数が取れるから
対応させることはできないといっているだけだ。

>>403
どの様にに対応させるのかを示していない事が、そもそもの問題と思っている。

＞それぞれに対してある桁の数字が異なる

この『＞それぞれ』ってどういう意味なんだ？

言ってる意味がよく解らないので、それぞれなんて言う勝手な表現を使わずに
厳密に説明してくれないか？

>>404
wikipediaで十分と思うんだが。厳密に書いてたらwikipediaのと変わらんくなったのでやめ。

＞対応
∀x∈R, 0<=x<1にたいし全単射の写像φ(n)=x|n∈Nとなるφで対応させる。
まあ矛盾するのでφは存在しないが。
とにかく　なんか実数が来たら「これはn番目」と言える　と仮定すること。

＞それぞれ
実数z：zの小数第n位はn番の実数（もしくはφ(n)=x|n∈N, x∈R, 0<=x<1となるx)の小数第n位を+1(9+1=0とする)した数字
とすればいずれの∀xに対しxとzは小数第n位が異なるのでx≠z

＞で十分と思うんだが

それが分からない。

＞実数z：zの小数第n位はn番の実数（もしくはφ(n)=x|n∈N, x∈R, 0<=x<1となる
＞x)の小数第n位を+1(9+1=0とする)した数字
＞とすればいずれの∀xに対しxとzは小数第n位が異なるのでx≠z

ｎは多分ｎ＋１の間違いではと思うが、それにしても、ｎ番目の実数は、
１０進数であれば、ｎ／１０桁ですむ。
ｎ番目までの実数を表現するのに、ｎ桁使う事は冗長すぎる。
ｎ桁まで使うとすると、ｎ＊１０＾１０の実数が定義できる事になる。
だから、ｎ桁まで使うとすると、ｎ番目の実数はもうすでに規定されている事となるのでは？
　どこが間違っているのだろう？

対角線論法の無限にランダムな数値を取れる、ってのはもしかして
選択公理が前提？
教えて偉い人。

0.0000000....
...
0.1000000....
...
0.2000000....
...
...
0.900000....
....
0.99999...
(a,b)=(0,0)->(9,∞)
すべての実数はこのなかにある。
対角線論法の実数もね。

板さん

0のつぎの実数を出しておくれ。。。

そ。。。それだけはご勘弁を。。。

連続選択公理

0のすぐ隣の実数を0eと定義する。

新しい算数の始まり。

実数xは0edx

>>407
選択公理は関係ない
整数から実数への写像 φ が存在して〜〜
とできるのは、述語論理が勝手な仮定を置くことを許してるから

>>411
背理法なので勝手な仮定は許される。
こう言ってしまうと身も蓋もないので、補足すると、
仮定に反するからと言って、
自分の得たい結論が証明されたと考えずに
証明したいと思った結論が得られているかの検証が必要という事だと思う。
　と、書き込んだのは良いのだが、当時の蒼々たる数学者が、
根本的な反論を述べられなかったという事は、
もっと完成された形で、対角線論法は発表されたのではないかと思っているので、
その辺が知りたいと思っている。

↑蒼々たるは錚々たるの間違いです。
為にする書き込みではありません、悪しからず。

>>404
どのように対応させるかが判ってしまったら、それは並んだ＝実数と自然数の対応発見ということでは？

別にならんでない事を証明しようとしている訳ではないのだから、
ならんでいて不都合でもあるの？
　どうあろうとも、写像を考えるのならば、写像の放送区政には言及するべきでは？
>>414
何が言いたいのかハッキリさせてくれ？
カントールの対角線論法による証明は、これ以上ないほどの完璧な証明と言われているのだから、
正しいと思う立場であれば、原点に触れて理解する方が早道では？

↑原点→原典

>何が言いたいのかハッキリさせてくれ？
原点うんぬん以前意に理屈的できないだろうとする物を、挙げてみろというのがナンセンスな気がするのですが・・・

>>401
てことは対角線論法は古典論理で（もっと性格にはＺＦで？）
十分できるということなのでせうか？
直感主義論理だとたぶんこけそうなので（いや、これも適当に
書いているので、偉い人がいたら訂正おながいすます）、ＡＣ
がいるのかどうかが知りたかったんだが。。。
う〜ん、ＺＦだけでもべき集合は取れそうな気もするのだけど、
対角線論法全部、てのは“直感的には”無理っぽい気がしたん
だけどなぁ。。。。(-_-)

うげ！
>>401 →　×
>>411 →　○

うげげ！
性格　→　×
正確　→　○

対角線論法のどこで選択公理が必要だと思うんだ？
古典論理とＺＦは同じと思っているのか？
どうせ古典論理とか直「感」主義論理で何を意味しているのかも分かってないんでしょ？
後半も意味不明だし。ちゃんとした本で勉強したら、そんなこと考えずにすむよ。

>>420
うん、こんどは間違えてない。

> 対角線論法のどこで選択公理が必要だと思うんだ？
選択関数の存在なしにどうやって自然数からの全射の例外を構成する？

> 古典論理とＺＦは同じと思っているのか？
アホか、論理と公理系の違いくらい分かってくれ。
雑な書き方だったかも知れんが、論理とそこで普通に数学を構成する
場合によく使う公理系だ。まともに数学やってる人間だったら分かる
と思ったんだが、どうやらそうではなかったらしい。

> どうせ古典論理とか直「感」主義論理で何を意味しているのかも分
> かってないんでしょ？
国語が小学生並みにできることは認めてあげるから、なにか意味のか
ることを書けよ、もう、、

> 後半も意味不明だし。ちゃんとした本で勉強したら、そんなこと考
> えずにすむよ。
ぼうや、KunenのSet Theoryとかちゃんと読んだことあるかい？
ACの独立性証明の論理にはどれくらいの強さの論理が使われるか考え
たことはあるかい？

ともかく、対角線論法には、可算ACくらいは必要な気がするんだけど、
ちゃんと説明してくれるまともな人間は、、、まぁ、２ｃｈとかやっ
てないで研究しているんだろうなぁ。。。。ふにゃ、、、(- -)

ていうか、ニュートンに載ってたのような

>>421
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
この証明の中で選択公理を使っている部分があるって事?
使ってないように見えるけど。
仮に全射φがあったとすると、ここに書いてあるような自然数a_ijが一意に定まり、
従って自然数b_iが一意に定まって、反例である0.b_1b_2…が一意に定まって証明終了じゃない?

もうちょっと言うと、NからRへの(全射と仮定しない)写像φに対し、
φの像φ(N)に属さないRの元の一つを
(選択公理を用いずに)(φに対して)一意に構成していると思うんだけど。

そう言う問題ではないと思うが、
その様に仮定して、どの様に物事を解釈するというのだ？
ｎ番目の自然数（実数）は、ａ（ｎ）（ｎー１０）で表現しきって、
ａｎ，ｎは冗長って言ってるのだ。
その意味が分からないバカか？

>>425
ごめん意味が良く分からない。
俺は自分の事が>>425の書き込みが理解できないほどのバカだと思うので、
バカの俺に分かるように丁寧な説明をお願いしたい。

ａｉｉでどこまでの実数が表現できるか考えてみればいいだろ。
その時に、ａｉｉだと表現し切れていない実数の存在にきずくだろうけれど。

>>427
「aiiで実数を表現する」ってどういう意味?

age

>>425,427
お願いですから、どうしようもなくバカでクズで
>>425,427の意味が理解できない俺が理解できるくらいの
丁寧で厳密な説明をして頂けると大変嬉しく思います。
どうか宜しく御願い致します。

>>421
＞選択関数の存在なしにどうやって自然数からの全射の例外を構成する？
もしかして、>>423の(b_n)を定めるのに可算ACが必要と思っているのか？
それなら証明をもう一度読んでみろよ。（くねんなんか読む前にな！）

／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
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　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 |
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　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　|
　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　|
　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ
　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi
　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､
　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､

>>433
＞それなら証明をもう一度読んでみろよ。

オレは>421ではないが、どの証明を読めというのだ？
>>423の(b_n)が一意に定まるというのは、
ａ_ijがa_nnで定義されるという前提だからではないのか？
φ（n）で定義される、（1,0］の実数がｎ桁まであるとするのがおかしいのでは、
カントールの考えた事は、ｎがアレフ０又はn+1がアレフ０と考えて、
ｎ番目に自然数がｎ桁まで有効と考えての事ではないのか？
　だけれども、実際には、n桁まで有効とすると、
10＾n個の自然数が定義される（可算？）と言う事になるのでは？

これがオレの疑問。どうなのか教えて、エロい人。

>>435
やっぱり言ってる意味が分からない。
まず、今問題になっている事は『NからRへの全射が存在しない事』だが、
それは分かってる?

で、「ａ_ijがa_nnで定義される」「φ（n）で定義される」「（1,0］の実数がｎ桁まである」
「ｎがアレフ０」「ｎ桁まで有効」「10＾n個の自然数が定義される」ってどういう意味?
曖昧過ぎて全く伝わらない。

ともかく、『NからRへの全射が存在しない事』の証明は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
に書いてある通りで、ここでは選択公理は使われていない。

>>436
オレは選択公理が使われているなどとは意っていない。
wikipediaに書かれている証明は、『NからRへの全射が存在しない事』
の証明にはなっていないのではと言っている。
では、例えば、jが２だとすると、iが９９までを表せると言いたいのだが、
その意味は分かるかな？

「ａ_ijがa_nnで定義される」　（件のページのどこにそんな定義が？？）
「φ（n）で定義される、（1,0］の実数がｎ桁まである」
　（「ただし、0.1は0.09999...のようにし」云々により、全ての実数は無限桁あります）
「ｎ番目に自然数がｎ桁まで有効」「10＾n個の自然数が定義される」　（コメント不能）
「jが２だとすると、iが９９までを表せる」　（jがいくつでもiは無限まであります）

上記から推理するに、
φ(0) = 0. a00 a01 a02 a03 ・・・
φ(1) = 0. a10 a11 a12 a13 ・・・
φ(2) = 0. a20 a21 a22 a23 ・・・
　・　　　　　　　　　　・
　・　　　　　　　　　　・
　・　　　　　　　　　　・
という表記を何か誤解しているのではないだろうか？
じっちゃんの名にかけて。

>>437
んじゃwikipediaの証明を細かく追ってみるか。
任意の実数a (0<a≦1)は一意に小数展開
(ただし有限小数は9を無限個並べる形)ができる事は良いか?

つまり、任意の実数a (0<a≦1)に対し、ある0から9までの自然数から成る数列
{a_0, a_1, a_2... } (ただしある番号から先が全て0となることはない)が存在して、
a=Σ_[i=0]^[∞] a_i/10^(i+1)が成り立つ。
そして、他の0から9までの自然数から成る数列{b_0, b_1, b_2, ... }
(ただしある番号から先が全て0となることはない)について、
a=Σ_[i=0]^[∞] a_i/10^(i+1)=Σ_[i=0]^[∞] b_i/10^(i+1)を満たすなら、
任意の非負整数iについてa_i=b_iとなる。

従って、任意の実数a (0<a≦1)について、0から9までの自然数から成る数列
{a_0, a_1, a_2... } (ただしある番号から先が全て0となることはない)が一意に対応する。

ここまではいいか?

あと、数列って言うのは非負整数全体を定義域とする写像である、っていうのも分かってるか?

上の小数展開の場合、数列{a_0, a_1, a_2, ... }てのは正確には、
写像ψ: N∪{0}→{0, 1, 2, ..., 8. 9}であって、任意の非負整数iについて
ψ(i)=a_iなるものの事。
こういう「写像の全体」を(N∪{0})^{0, 1, 2, ..., 8. 9}で表す。

なので、>>439で述べた事から、
半開区間(0, 1]から(N∪{0})^{0, 1, 2, ..., 8. 9}への写像を得た事になる。
つまり、a∈(0, 1]に対応するψ∈(N∪{0})^{0, 1, 2, ..., 8. 9}は、
a=Σ_[i=0]^[∞] ψ(i)/10^(i+1)であって、「任意の非負整数iに対し、
あるj≧iが存在して、ψ(i)≠0」を満たす唯一つの(N∪{0})^{0, 1, 2, ..., 8. 9}の元。

>>440で(N∪{0})^{0, 1, 2, ..., 8. 9}は{0, 1, 2, ..., 8. 9}^(N∪{0})の間違い。

ageとくか。
あと>>440の最後の「任意の非負整数iに対し、あるj≧iが存在して、ψ(i)≠0」の
ψ(i)はψ(j)の間違いね。

最近の数学の学校教育では、証明問題を解かせる事は、
いつ頃から始めているの。
　証明問題の解答の書き方というのをちゃんと教えているのかな？
それがキチンと出来る事が数学の基本なんだけど。

>>443
中二から図形の証明を始める

>>444
レスくれたので聞いてみるが、
>>439-440は証明の形態（形式）に、なっているのか。
いくら補足だと言っても、変数に対する定義が分かってない？

>>445
>>439-440を書いたものだが、何が変?

確かに数列を{a_0, a_1, ... }って書くのは、
集合として{2, 1, 1, 1, ... }={1, 2, 1, 1, ... }={1, 2}になってしまうのでおかしいとか、
>>440の2段落目は数列a_0, a_1, a_2, ... が先に存在するのか
写像ψが先に存在するのか意味不明とか、変なところはあるかも知れん。
だがそれぐらい文脈から分かるだろうと。

あと、>>439-440はまだ証明の途中(どころか前置き)で、小数展開の一意性の意味と
その厳密な解釈((0, 1]から{0, 1, 2, ..., 8. 9}^(N∪{0})への写像として捉える)を述べただけ。

それ以外に何か?

>>445
てか>>439-440は理解できた?
ならwikipediaの証明の追跡を続けるけど。
ああいう厳密な議論が理解できないなら、
いつまで経ってもトンデモな勘違いから抜け出せないと思う。

今月のNewtonには無理数のほうが多いって書いてあったよ

>>449
概略きぼんぬ

>>445=>>443=>>437=>>435=>>427=>>425=…
には逃げられてしまったか。
厳密な議論に対して、それをぶった切って電波を撒き散らすほどには
活きが良くなかったようだ。
中途半端なトンデモは面白くないな。

>>449
たいしたことは書いてないよ。カントールが有理数の濃度と無理数の濃度
についてどのように考えたかが申し訳程度に載ってるくらい。

今年は世界物理年で今月の特集が「宇宙に無限は存在するか」

昔

２＾ＮからＲの単射。って　話をしたとき


Nの部分集合　Aについて
a_i が　Aの元 c_i=1
a_i が　Aの元でない c_i=0
として　Aに対して 0.c_1 c_2 c_3 ..... (*)
とすれば単射
とした説明したとき
　
0.0111111111 ... =　0.1 みたいなこと考えると
　単射じゃない可能性あるじゃん

とツッコんでくる香具師がいた。
一瞬ヒヤッとしたが、冷静になると
(*) が２進表記じゃなくて１０進表記なら問題ないわな。

(*) が菊門にしか見えない

√１
＿＿
√９は、
１
＿
３だ。

QxR

有理数はびっちり区間を覆えるのに、それより無理数が多いっておかしくね？

まだ数えてる途中だから・・・

覆えてないし

有理数と無理数はどちらが稠密か

有理数のほうが稠密である。

そのことを背理法で証明しよう。

背理法ときくと丸大ハムのCMを連想する人は。。

>457
無理数の中の人が静かにしてるから・・・・・・・・・・・・

226

388

657

948

教科書や論文に出てくる数は、有理数が圧倒的に多い。
実数であっても、有理数で近似した途中までしか書かれていないし。

有理数の2乗個ぐらい無理数がありそう。

有理数と無理数はどちらかが多いのか・・・。

おれにはむりっす。

138

131

773

2003年の大阪大学後期理系で「円周率が無理数であること」を示す問題が出題されました．

検索してみたが、簡単な証明が見つからない。
（その場で証明を思いつく事を前提としてると思うが）
どういう解答（３０分ほどで思いついて、書けるような証明）を想定していたのだろうか？

>>476
http://www.math.clemson.edu/~rsimms/neat/math/pi/piproof.html

>>476
http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/Mathlinks/Pi.html

>>476
http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html

>>477-479
あらかじめ知っていないと無理かと。

はぁ

知ってなくてもできるっつうか問題見てないだろ

>115
その疑問についてだが、実際に√2やeなどは現実に｢存在する｣値だ。

むしろ(非整数の)有理数のほうが現実に存在するかどうか
素粒子のスピンとかクォークの電荷とかくらいしか思い浮かばない

> これ? http://homepage2.nifty.com/tangoh/oosaka03k4.html

Thanks. それのようだね。 後でまた見てみるが、えらく難しいように思う。

以下の問題なら、高校生の時なら解けたんだが。

「円周率 が 3.05 より大きいことを示せ」（2003年東大前期入試）

> むしろ(非整数の)有理数のほうが現実に存在するかどうか

はぁ???? (非整数の)有理数 == e.g. 1.5 --or-- 1.3 --or-- 1/3

>>485
数直線上で勝手に選んだ点が示す実数が有理数になる確率は0だから、
近似しなければ観測値は本来無理数と言いたいのでは？量子的な見方
からすると？かも。

数学で「現実に存在するかどうか」なんてこと自体を考える必要がない。
せっかく公理化が成功したんだから。

>>487
君が研究するようになればわかるが、公理は証明に必要になるので見つけるもの。
公理が先にあるのは学部生まで。まあ、ここの話とは直接は関係ないが。

二年。

無理数なんて架空の概念でしょ？
有理数なら実際にモノをつかって何分の何って証明できるけど、無理数ってのは所詮有理数の極限としての
仮想概念だろ？反論があるなら無理数の存在をモノを使って証明してくれよ。

円周／直径　は無理数だって知ってる？

正方形の対角線の長さ／辺の長さも無理数なんだ。数千年も前から知られてることだから、知っといたほうがいいよ。

669

円も正方形も実在しないけどな。

＞＞487衝撃！！！

＞＞490　実世界の無理数

2ｃｍ^2　の正方形の１辺の長さ

>>496
だからそんなものは実際にはないでしょ？

「実際にある」って何のことだ？
1/2は「実際にある」のか？

あるかないかっつったら実数は全て「在る」でしょ。
作図は無理っつーだけで。

>>498
無いと思うけど？

>>499
なんで？普通にないでしょ？

数が「実際に」あるという妄想がどこから生まれるかがわからん。

我思う、ゆえに我あり

http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf

796

360

308

行き過ぎの実在論議、カントールいじめに似ている。

>>490-500
>>496の説明より、
正方形の一辺の長さと、同じ正方形の対角どうしの距離との、比が１：√２
更に↓
１ｃｍ＾２の正方形の対角どうしの距離
の方が良くないか？

題意へ、集合論を参考せよ。

>>490
有理数もムリだぜ。

>>506捕追
>>44の言う通り
集合論　中　対角線論法

いまさらそんなこと書き込まなくても

age

数の比較は区間[0,1]で
lim[n→∞]B[n]/A[n]=0
を使う

あなたも簡単に小遣い稼ぎ＼(≧▽≦)丿
http://1hp.jp/?id=ragan

有理数と無理数ってなんだっけ？忘れちゃってます↓

排反概念

理がある数と理がない数

理系の数学と 理系でない数学ってことですか？

実数は無限に存在するから、どちらが多いなんて考える事自体がナンセンス。

じゃあ、数学者はみんなナンセンスだね。
ある意味あたってると思うけど、・・

数学者はみんな、なにかしらのどっちが多いかを考えてんの？

おまえ、まじで聞いてんのか？対角線論法でぐぐってこい

どっちが多いかを考えていない数学者はいると思うよ。

考えたことがない数学者は居ないけどな

対角線論法って、ある規則でリストアップし尽くした集合の外に少なくとも一つの例外があるっていう論理だけど、
それって最初のリストアップの規則が単に不備だったってだけの話で、ちゃんと並べれば例外なくリストアップできるはずじゃないの？
つまり、そのようなリストアップの仕方には不備がある、ってことが示されただけで、他のより精密なリストアップの
仕方がないということを証明したことにはなってないと思うんだが。

証明を自分で再現したことがないとそういった誤解をしてしまうのかもな。

選択公理なしでも実数ってリストアップしたと仮定しちゃっていいの？

リストアップできるとは言っていない。
リストアップできたと仮定すると矛盾するといっている。

任意のリストアップについて矛盾が発生する⇔リストアップが存在しない

という論理

並べるのではないリストアップのしかたが存在するかもしれない

並べると矛盾が発生する
リストアップすると矛盾が発生する

両方成り立つ

有理数Ａがあるとすれば、
それに対応する√Ａが存在する。
√Ａは有理数である場合もあるので、有理数の方が多い。

どこを笑えばいいんだ？

>>1

有理数より多くて無理数より少ない集合はあるともないとも証明できないんだよね？
じゃあ有理数より多くないことと無理数より少なくないことのどちらも証明できない集合がないことは証明されているの？

できないじゃなくてできてないじゃないのか。

>>533
できないよ

すまん証明できないことの証明は終わってたのか。

うん

なにせ有理数の方が多いからな！

>>535
とは言え、認めたくなるようなある種の仮定の下では丁度１つの濃度が間にあることがわかっている。

>>538
＞認めたくなるようなある種の仮定
＞丁度１つの濃度

どんなの？

MMとかPFAとか。

>>540
素人でもなんとなく理解できるように説明することは可能でしょうか？

無理

>>541
つり相手にしないほうが良い。

>>540
それ濃度の名前？

>>532
＞丁度１つの濃度が間にある
ゲーデルの直感は正しかったってこと？

>>540
詳しく

簡略に

>>543
Martin's Maximum と Proper Forcing Axiom

>>544だった

>>545
BSPFA+可測基数の存在から、2^アレフ0=アレフ2が言える。
ゲーデルの言っていることにはこれが近い。

アレフ0から2^アレフ0までに無限個の濃度を持たせることは可能？

うん

>>551
>>550によれば2^ｱﾚﾌ＝0らしいから、ｱﾚﾌ0と2^ｱﾚﾌ0(＝ｱﾚﾌ2)の間にはｱﾚﾌ1が考えられるな。

ところで、｢あらゆる曲線全ての集合｣の濃度がｱﾚﾌ2だって本当？ 中卒止まりには分からん。

>>554
連続体仮説を仮定すれば。
でも仮定しないほうが主流っぽい。

整数の濃度・実数の濃度に対応して
関数の濃度ってのを聞いたことがあるんですが
それのことなのかな？

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93
%E4%BB%AE%E8%AA%AC#pcf_.E7.90.86.E8.AB.96のアレフω4って何のこと？

>>554
>>556
アレフ2じゃなくて2^アレフ0では？
平面の部分集合全体と直線の部分集合全体を考えれば
それぞれ単射と全射がつくれる

>>557
オメガ４番目のアレフ

>>558
2^(2^アレフ0)のミス？教科書にもあるよね。ドイツ語？のｆを使って表したりする。

>>555
実数の濃度の一番人気はアレフ2らしいが、その手の学会で人気投票をしたところ、
「アレフ2の人、挙手を」に対し、そのアレフ2になることを最初に証明した人は苦笑しながら手を挙げなかったそうなｗ
数学者としては大変正しい姿勢だな。

>>560
ごめんなさい。そうですね。連続体濃度じゃ意味不明だ・・・orz

talk:>>547 お前誰だよ？

順序数の積の書き方ってなんか変な感じがします
例えば普通4ｘって言ったらｘが4個って思うじゃないですか
でも順序数では4ｘは4がｘ個で、ｘ4がｘが4個なんですよね

普通の掛け算ではaxbのことをaがb個というと思うが・・
あと、感覚的に気持ち悪いだけなんだったら
記号を定義しなおせばいい。

まあ慣れだ

2^アレフ0がアレフ2なら、2^2^アレフ0は今のところ何が有力なの？

アレフ2現象ってやつか。これって>>567みたいに上の濃度にも制限を与えるの？

知らん

↓は知ってる

http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/searchdiary?word=*%5B%CF%A2%C2%B3%C2%CE%C7%BB%C5%D9%5D

>>571
�d。面白いね。他のページも含めて参考になるよ。
ここの別ページによれば2^(2^アレフ1)は別問題で、研究はされているがまだ難しいってとこかな。

肩はアレフ0ね。今の前提なら同じだけど。

これから凄くヘンなことを言うので覚悟してほしい。

（あまり多くない）ものの個数を数えるとき、我々はいちいちものに番号を振ってその番号を数えたりはしない。
つまり、数えることと番号を振ることは同一の数学的操作ではない。
多数のものを数えようとするときは、確かに番号を振ってそれを数え上げることで個数を知ろうとする。
が、これは我々人間の認識力の限界から来るものであって、全ての集合を一瞥しただけで個数を瞬間的に
把握できる存在がいてもおかしくない。

つまり、集合の個数を数える方法は番号を付けてリストアップする以外にも何か我々の能力を超えて
一気に数え上げる方法があるかもしれない。
対角線論法はこのような超人的な方法を無視して論理が組み立てられている所に何かつけいるすきがあるように思う。

ヘンというか数学的センスがない文章だと思った。

一瞥しただけで対応がわかるだけになるよ。
もしくは把握できるなら無限集合でない。

>>574
番号を振る操作というのは素朴に写像を定義している行為と見る。。
「一瞥」云々は、この写像を定義するに選択公理を適用。
写像を定義し終えたところで、「数える」行為が終了と。
何か超人的なことをしているわけではないと思う。

対角線論法には選択公理は全く必要ないけどな

このスレって何時に書いてもほぼすぐに反応が返ってくるのが不気味

結構見る人が多いんだな

>>1
無理数の方が多いことは明らかである
Q.E.D

対角線論法の話はしていない。
数え上げる行為を問題にしている。

>>582
一般化した対角線論法は数え上げを使わないよ

>>583
「数え上げる」を定義してから話を進めなさい。

>>574じゃないから知らないけど、
順序を使わなければ流石に数え上げるとは言わないだろう。

なんで？

順番に数えるんだろう？

>584

PFAから得られる重要な成果って 2^アレフ0 = アレフ2 以外にはどんなのがあるの？

数学の話で8000までってスレたてたんでよろしくお願いします。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1158637075/l50

アナログ量をデジタルで計ろうとしてるのがそもそもの間違いだ。

アナログ⇔デジタルというのはあくまでも現実世界における情報記録の方法論に関する用語であって純粋数学とは何の関係もない

離散

>>589
よくわからんが組み合わせ論的な結果が導かれるらしい。
あとMAが証明できる。以外というのとは違うかもしれんが。

計算不可能な実数ってどんなの？

>>594
�d
MAっていうのは何のこと？

>>595
チャイティン数とか
>>596
Martin's Axiom

すみません強制法って何ですか＞＜

ググんなよ
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf#search=%22%E5%BC%B7%E5%88%B6%E6%B3%95%22

なぜググってはいけないのか、一瞬考え込んでしまった。
「ググるなよ」じゃなくて「ググりなよ」と言ってたのね‥

↑そのおじさん、その歳で強制法勉強してるなんてすごいですね。（嫌味じゃないよ

デデキントの切断って、本当にたった一つの数を確定できるの？

・・・━━━━━━━━●○━━━━━━━━・・・

>>602
そこは自分で考えないと・・

無理数の方が圧倒的に多いことを実感するにはどうすればいいんですか？

数直線上の点を勝手に選べば100%無理数

実数の集合は有理数体上連続濃度次元の線形空間。
有理数の集合は1次元部分空間。
無理数の集合はその補集合。

有理数だと1、無理数だと0を返す関数を以下のように定義する。

F(x) = lim_[n→∞]cos(2πn!x)^n

このF(x)の0から1までの定積分を求めれば0から1の間に存在する有理数の濃度が計算できます。

0から1までの有理数の濃度=∫_[0]^[1]F(x)dx

だれか計算してください。

0だべ？

こいつら有理数と無理数は１−１だとでも？

すべての無理数は有理数で近似可能だから同じ数だといったらつられる馬鹿が？

Q+（R-Q)＝R
メジャーを入れてみれば。。。

ゆうりすう
むりすう

　有理数の方が１文字多い。

>>614
隣りのユリちゃんは有理だった。おれには今でもユリスウだ。

造反無理

実際、3√2-√2=2√2すら満足に証明できない奴がほとんどだろｗ

>>609の関数が間違いな件について

有理数は順序をつけられない。。。選択公理が使えない

>>619
は？使えないとは？

１より小さい正の有理数を大きい順に並べなさい。。。え？

>>618
nは自然数、k,xは実数として以下のように定義すればいいいんじゃない。

F(x) = lim_[k→∞]cos(2・π・(x・lim_[n→∞]n!))^k

n={n|自然数}
k={k|実数}
x={x|実数}
p(x) = x・lim_[n→∞]n!
q(x) = cos(2・π・p(x))
F(x) = lim_[k→∞]q(x)^k

xが有理数の場合、p(x)の極限値は整数である。
p(x)が整数ならば、q(x)は1である。
ゆえに、F(x)の極限値は1である。

xが無理数の場合、p(x)の極限値は無理数である。
p(x)が無理数ならば、q(x)の絶対値は1より小さい。
ゆえに、F(x)の極限値は0である。

lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos(π・x・n!)^k

∫^[1]_[0]{lim_[n→∞]lim_[k→∞]cos(π・x・n!)^k}dx
って値はいくつなの？

0

>619
>有理数は順序をつけられない

>>621
それ、整数を大きい順に並べなさい　と同じだから。

>それ、整数を大きい順に並べなさい　と同じだから。

有理数は順序をつけられないってどういうこと？
有理数には自然に順序構造が入ってるよね
選択公理なしでは、整列順序を入れられないと言いたいんかな
選択公理が使えないっつうのは意味が分からんが

演算と両立させる必要がなければ有理数に整列順序なんて簡単に入れられると思うが。
実数なら選択公理抜きでは無理だが。

選択公理を使っていいから実数に入れた整列順序の例を具体的に見せてくれ、お願いだ。

具体的に書けたら選択公理要らんがな

小さいほうから順に並べればＯＫじゃんｗ

もう少し面白いジョークを考えたほうがいいよ

実数は無限に存在するから、有理数と無理数も無限に存在するんだよ。
どっちが多いなんて無意味な事考えるな。

そんな考えるななんてむりっす

どっちが多いとかじゃないんだよ。

みんな仲良くやろうぜ！

「多い」とかじゃなくて
どっちとも、「アレフ」なんだよ！

いや普通に違うぞ

有理数は数えられる。無理数は数えられない。

555

有理数は　アレフ０
無理数は　アレフ

乳首とクリ☆にピアスしたいなぁ

有理数は　ℵ_0
無理数は　ℵ

公理的集合論の本で連続体濃度を
alephと書いてるのって見たことないんだけど、
Wikipediaではalephって書いてあるところを見ると、
alephで書いてる本も結構多いのかな？

2^ωか 2^aleph_0 と書くのが普通だと思ってた

>>646
アーレフで修行しなさい

アレフ
なんか　　”必”みたいな
ヘブライ語のαに該当する文字
ＩＭＥで出せる？

א

701

553

age

>>647
俺が言おうと思ってたのに。

三年。

『　　見ろっ


　　　　　　　　　数学板の奴らが


　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゴミのようだ！！！　』

我々は、有限の記号により定義された実数全体のうちの
ほんの可算な部分集合しかお目にかかることはないのです。
有限の記号により定義されない実数の実例を具体的に示す
ことなどできませんから、そのようなものは存在しないこと
にしても、おそらくボロはでないので、矛盾がないのではない
でしょうか？

実数空間を有限の記号で記述することはできるが、実数全体の外延的記述は可算の記号でできない。

>>657
代数的無理数に限っても、五次以上の方程式に解の公式がないんだから
それらの根は当然、根号と加減乗除の有限回の組み合わせで具体的には
表せないことになるんですけど。

>>659
それが何か？

>>660
いえ、ただ

> 有限の記号により定義されない実数の実例を具体的に示す
> ことなどできませんから、そのようなものは存在しないことにして

とした場合、一般の五次以上の方程式が「解なし」になるだけです。

>>661
は？

>>661
代数学の基本定理が成り立たない・・・ってこと？

>>661

>有限の記号
の定義不明なので>>657の言いたい事は不明だが、彼の理論によれば、
五次方程式の解は「その五次方程式の解である数」
としてに定義できるから「有限の記号により定義された実数」となり、
存在する事になるんじゃないのかな。
まぁ、>>657のような意味不明な文章を相手にしても時間の無駄な気がするが、、、

>>664
そりゃ、構成的というより泥縄ですな。

(π・x・n!) 閃いたぞ！
たぶん無理数の方が多いです
なんでかって言うと 例えば有理数 0,12 の場合 無理数のπ3.14159...
の小数点以下三桁目以下をくっつけた0.12159...も無理数になるわけ
他の無理数の小数点以下三桁をつけてもやっぱり無理数がつくれるよね
要するに有理数１つにつき無数に無理数があるので無理数の方が多い

(2・π・p(x))
あっでも...循環小数の場合は考えてないけど
だぶんこんなかんじだと思う

ちょっとだけ思いついた。
例えば全ての有理数に対して平方根をとってみる。
そうしたら、その全ての有利数の平方根うち、大半は無理数になるだろうが4の平方根だとか1/4の平方根は有利数だから、それを除くと無理数の方が少なくなると考えられる。同様に3乗根、1/2乗根などのn乗根(nは有利数)では同じ事が言えそう。

よって今考えた中では有理数の方が多い。

(有理数+無理数だとか範囲は考えてない…)

こんな考え方もある

まず例えば、整数部分をk(任意)、小数部分は小数点第1位までの数(とりあえず有理数)について考える。

つまり、最初は小数第何位までかを限定して考える方法だ。

ここで、最初に言ったのを並べてみる。

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

の10種類で、この中に無理数は存在しない。

同様に小数点第２位まで3､4…ｎ位までと拡張しても、小数第何位までか限定されている訳だから、どんなに無理数に近い数が出てきてもそれは無理数ではなく、無理数は出てこない。

そう考えると、無理数がでてくるのは小数点第何位…という制限をなくしたとき。

まぁそうしたら無理数が無限に出てくるわけだが、同時に1/3(0.333…)、1/7(0.1428571428571…)などの循環小数(有理数)も出てくることにも注意。


まとめると、小数点第ｎ位まで
(それが10位でも1億位まででもかまわない)
の時点では圧倒的に有理数の方が勝っている、というか無理数が存在しない。
(まあ当たり前っちゃ当たり前だが)

そのｎ位までを、∞にまでに解放したら…

まあ第ｎ位までの有理数の貯金を考慮に入れても少なくとも、無理数は小数点ｎ位＋1までの個数の和以上なので、結

こんな考え方もある

まず例えば、整数部分をk(任意)、小数部分は小数点第1位までの数(とりあえず有理数)について考える。

つまり、最初は小数第何位までかを限定して考える方法だ。

ここで、最初に言ったのを並べてみる。

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

の10種類で、この中に無理数は存在しない。

同様に小数点第２位まで3､4…ｎ位までと拡張しても、小数第何位までか限定されている訳だから、どんなに無理数に近い数が出てきてもそれは無理数ではなく、無理数は出てこない。

そう考えると、無理数がでてくるのは小数点第何位…という制限をなくしたとき。

まぁそうしたら無理数が無限に出てくるわけだが、同時に1/3(0.333…)、1/7(0.1428571428571…)などの循環小数(有理数)も出てくることにも注意。


まとめると、小数点第ｎ位まで
(それが10位でも1億位まででもかまわない)
の時点では圧倒的に有理数の方が勝っている、というか無理数が存在しない。
(まあ当たり前っちゃ当たり前だが)

そのｎ位までを、∞にまでに解放したら…

続き


まあ第ｎ位までの有理数の貯金を考慮に入れても少なくとも、無理数は小数点ｎ位＋1までの個数の和以上なので、結局は
小数第∞−１位

ＶＳ

無理数

となるだろう

>>670はミス…

結局は

小数第∞−１位＋循環小数

ＶＳ

無理数

所詮我々が相手にできる個別の無理数は、Well Definedなものだけであり,
その濃度は可算であって、有理数の濃度と等しい。
つまり、相手にできる実数の全体は有理数と同じ程度の濃度を持つ。

>>666->>671
ネタか？あるいは小学生か？
>>672
濃度とか書いているから小学生では無いらしいが、意味不明な言葉使うなよ。
>我々が相手にできる個別の無理数
この言葉の意味を定義せよ。
>Well Definedな
実数全体の集合がwell definedで無いとでも言うのかい？

>>673
何か特定の値を持つことがwell definedな個々の実数という意味なのでは？

10進法の有利数限定か。
2進法で考えた方がよくねぇ？

>>674
特定の値を持たない実数なんて存在しませんけど。

>>675
10進法と2進法で何か本質的な違いが有るのか？

>>677
すまん、そもそも進法が変わると有利数と無理数が違ってくる。笑って忘れてくれ。

>>678
いやいや、進法が変わっても違わないだろ。だから>>677を書いたわけで、、、まぁ、笑って忘れてやっても良いが、、、

>>676
それはどんな値かわからないが特定の値を持つという意味？

>>679
度々すまんが、実は変わる。
m/nはn+1進法で表示するとすべて循環少数になる。やってみそ。

>>681
横からスマンが、循環小数になるとなにかマズイのか？

あ、有理数じゃなくて 有利数の話なのか。
そりゃあすまんかった。

俺もすまんかった

>>676
全ての実数がそれぞれ特定の値を持つ。
もちろん、xを有る一つの実数とする。
と言った場合には、xがどんな値かは分からない。
しかし、ある特定の値をもつ。
xが不特定の値を持つばあいには、(実)変数と言う。
↑で答えになっているかな？別に実数に限った話では無いけどね。（有理数としても同じ事）

アンカーミス。
685のは>>680でした。

話がずれそうだし、面倒だからレスを待たずに書いてしまうが、私の言いたい事は、>>672
>所詮我々が相手にできる個別の無理数は、Well Definedなもの
の意味が不明だという事。
例えば、qをある素数とした時、√qはこいつが言うところの
「…個別の無理数」に含まれるの？含まれないの？

>>681はもう一度じっくり考えてみろ。

なるほど。

有理数＋無理数＝無理数
が証明できんかな。

Ｎ∋a,b,c,d
α＝無理数
この時
a/b+α＝c/d
と仮定すると
α＝（ad+bc）/bd
＝m/n
（Ｎ∋m,n）
より、α＝無理数に反する
よって有理数＋無理数＝無理数なので、実数の集合Ｕには有理数の要素Ｐだけ無理数の要素Ｐ＋αもあるとか（数論はわからん）。

何、お前ら馬鹿？

有理数以外は数じゃないんだから、有理数の圧勝だろうが

100歩ゆずって有理数以外は数じゃないとしよう。
しかし、それが何なのだ？なぜ、有理数の圧勝となるのだ？
例えば「りんごとみかんはどちらが多いでしょう？」
という場合だってりんごもみかんも数じゃないだろーが。
「数であるか数で無いか」と「多いか少ないか」は別問題。
もうちょっと気の利いた冗談書けよ。

＞所詮我々が相手にできる個別の無理数は、Well Definedなものだけであり,
＞その濃度は可算であって、有理数の濃度と等しい。

しかし、実際に1対1対応を作ろうとすると出来ない。
なぜなら、そういうものを作ろうとすると、対角線論法によって
「Well Definedなのに、表には現れない実数」
が出来てしまうから。

ああ、なんてこった（ｗ

つか「Well Definedな実数」ってなんだよ
「Definableな実数」のことか？

>>21でいいじゃん。
任意の有理数kに対して無理数k+πが存在する。
それぞれを１対１対応させるとして、
さらに無理数πが存在してこれに対応するkはない。
だから無理数のほうがいっぱいある。

πには0が対応してるぞ

>>696
そういやそうだな。
じゃぁ敵のk軍団にはk+π軍団でマンツーマンディフェンスをさせといて、
その間に√n軍団で中央突破させようぜ。
これで大勝利だ。

n×πも加勢するぞ！

うぉー盛り上がってきたなー

>>697
ところで奇数より偶数の方が多いって知ってるか？
奇数の二倍は偶数じゃん。
奇数2ｋ+1軍団には偶数4k+2軍団でマンツーマンディフェンスをさせておいて
その間に残った偶数4k軍団で中央突破だぜ。

だぶってるんだが

>>697

オレがk軍団の軍師なら山奥の断崖絶壁の細道に逃げ込んで、
追ってくる無理数軍団に対して、一人vs一人で撃破するだろうな。
これなら、最悪でも引き分けだからな。

>>700
おっと>>699のことを言っているならkは整数だから4kと4k+2はだぶらないんだな。

>>702
すまんこ

まぁ、オレが奇数軍団の軍師なら偶数2k軍団に対して奇数4k+1軍団を
マンツーマンディフェンス。その隙に残った4k+3軍団で中央突破を狙って、
奇数の圧勝だがな。

有理数も無理数も、仲良くしようよ。
偶数も奇数も。
同じ数の仲間じゃないか。
スレを読んでいたら涙が止まらなくなったよ。
もう諍いはやめよう。

>>695-704
この流れちょっと好きだｗ

映画化決定？全米が涙した？エンディングは竹内まりあの「けんかをやめて」？

けんかをやめてって流行ってんの？
他の場所でもそういう書き込みを見かけたんだが

>>699
どどど、どういうことなんだ

>>21が正しくないことはわかったけど
どこが正しくないのかがさっぱりわからん

この馬鹿に誰かご教授ください

>>709
もう闘いはやめようと言っているのに。
パイが有理数とか。

πは３だから有理数ですが？

>>709
ところで整数より奇数+偶数の方が多いって知ってるか？
整数の二倍は偶数じゃん。
整数ｋ軍団には偶数2k軍団でマンツーマンディフェンスをさせておいて
その間に残った奇数2k+1軍団で中央突破だぜ。

要するにオレが軍師として見方すれば負け知らずってことだ。

無理数軍団に勝てれば名軍師

オレが整数k軍団の軍師で敵が無理数軍団なら、
偶数2k軍団を率いて断崖絶壁の人が一人やっと通れるだけの
細道に逃げ込んで、 迫り来る無理数軍団に対して、一人vs一人で特攻相打だ。
その隙に伏兵として放っておいた奇数2k+1軍団が中央突破だ。

＞エンディングは竹内まりあの「けんかをやめて」？

そして３Ｐに突入（ｗ

>>711
マジかよ、、、これだからゆとり世代は、、、
πは正確には3.14だろ。これ常識。
まぁ3.14=314/100だから有理数ってのは間違いないがね。

ネタにマジレスしてる人がこんなところにｗ
しかも正確には3.14とかいって全然正確じゃないのｗ

ゆとり世代だがπ＝３だなんて習ってないぞ。
πはおよそ３だ。

だからπはおよそ有理数。

>>713
a[1]，a[2]，･･･，a[k]，･･･∈R-Q とする。
a[1] には自然数 1 を対応させ、
a[2] には自然数 2 を対応させ、
･･･
a[k] には自然数 k を対応させ、
･･･
その間に負の整数軍団が中央突破して楽勝勝ち

>>717
>ネタにマジレスしてる人がこんなところにｗ
これは君のこと？

>>719
その戦略は既に>>714が、、、

>>718
「全ての無理数はおよそ有理数である」オイラー

>>713
そうか、有理数軍団が本当に無理数軍団に勝てないのかって事が重要なのか
>>21は無理数軍団が有理数軍団に勝てるっていう事を示しただけなんだな

問題は有理数軍団が無理数軍団を打ち破れるかどうかって事なのか

>>720
いやキミのこと。
俺もな。

>>721
全ての有理数はおよそ無理数なんだろうか？
整数なんてどう見たって無理数っぽくないが‥

716が混じれ酢に見えるんなら半年ＲＯＭれよ

>>724
オイラー先生が間違ってるとでも？

すべての無理数はおよそ有理数
といっているだけで、あえて逆を言うなら
およそ有理数は無理数
なわけで、有理数がおよそ無理数なんて誰も言ってねえんだっぺよ？？

オイラー先生の金言をよく読め。
オイラー先生はこうも言った。
「逆は必ずしも真ならず。」

およそ有理数のほうがいっぱいあるかもしれんから
およそ有理数でも無理数とはかぎらんね

おっと。一足遅かった。ごめん。

>>729
たとえば？

およそ有理数には無理数と有理数があるんじゃないだろうか

なるほどぉぉん

うん。有理数はもろ有理数だから当然「およそ有理数」だね。
無理数もオイラー先生によって「およそ有理数」である事が保証されてるし。
でも、さすがに虚数は「およそ有理数」じゃ無いよねぇ？

虚数とか難しすぎます、研究社の方ですか？

おっとバレちゃったようだな。自分はおよそ研究者だよ。

じゃあ俺はおよそオイラー教授だぜ

そもそも何で「どちらが多いか」って二択なの？
常識的に考えてどちらも多いに決まってるじゃん。

よく女が言う「仕事と私どっちが大事なの」ってやつと一緒だね。
どっちも大事決まってんだろ。
そもそも比べるのがまちがってるんだよなぁ？

新展開か

そういうときは
「馬鹿、お前が大事だから仕事も大事なんだ、
そもそもお前がいなかったら俺は何のために仕事を云々‥」
などと言ってみる。

I=∫[0,∞]f(x)dx

f(x)=1(xが有理数)
f(x)=0(xが無理数)

I=?

>>742
過剰和と不足和が一致しないので、リーマン積分不可

ルベーグ積分でよろ

>>741
つまり
「馬鹿、有理数があるから無理数もあるんだ、
そもそもお前がいなかったら無理数はどうやって定義を云々‥」
と言うことですね。

>>745
もちろんだ。

なるほど、有理数を大事にしてあげなくちゃいけないんだな

なにせ有理数の方が圧倒的に少ないからね。大事にしてやらなくちゃ。

有理数たんと無理数たんの画像まだー？

多いか少ないかは相対的なもの
Cardinalityの問題はさておき
有限を無限で近似する立場をとるか
無限を有限で近似する立場をとるかで
どちらが多いかは変わりうる

多くの人がネタでボケている中、たまに真性のボケが現れる。

どちらも多いに決まってるじゃん
↓
仕事と私どっちが大事なの
↓
お前が大事だから仕事も大事
↓
有理数があるから無理数もある
↓
有理数を大事にしてあげなくちゃいけない
↓
なにせ有理数の方が圧倒的に少ない

矛盾

>>751
ボケは真性に限る！

>>748
えーと、仕事よりも彼女になってくれる女のほうが少ないってこと？

ピーナツは茹でに限る！

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く死んだ方が良い。

>>754
むむ。残念ながら、数学的にはそういうことになるな。

つまり女の子を実数のように考えると，無理数のように振舞う子と有理数のように振舞う子の二種類がいるということだな．

transcendental に振る舞う子もいるよ

それは無理数のように振舞う子に含まれてるだろ

彼女になってくれるのは有理数のほうだけだぞ。

有理数の子を二人連れてくるともれなくもう一人有理数の子が出てくるわけだが

>>762
それには二人を足す引くかける割るのうちどうすればよいのだ？
俺は二人にかけるのが一番いいなｗ

>>760
無理数にもいろいろある
そこが面白い
つきあってくれない娘にも
いろいろある
その娘たちを観察する方が
無理矢理彼女を作るより面白いかもしれない

二人の性格によっては「もれなく」ではなく
もれがあるような気がするな

いやしかし二人の中を引き裂くような「割る」という行為だけは避けたい

代数的無理数も有理数の仲間に入れてあげたい

結局どっちが多いんだ
もれなく教えてくれ

どっちも多すぎてわかんない







>>768的には無限にあるものに対して多い少ないをどう考えてるんだ

俺はまだ公房だから良く分からないけど
結局わからないってことでおｋ？

>>770
工房か、これでも見ろ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0
今はわかんなくてもいいけどな

ぱっとみ、無理数の方が多い気がする

無限の桁数を演算できる計算機で試してみようぜ　（＞＜）シ

(b/a) * ac = bc

有理数たんに特定の整数たんをかけることで別の整数たんが生まれる
故に有理数たんはレズ

虚数は仲間はずれか

無理数の方が(濃度的に)多いことは対角線論法以外に示す方法はあんの？

虚じゃあなあ‥

そろそろ数学板を挙げて数を擬人化する時期だよな

実数(有理数、無理数)
整数(素数、偶数、奇数、平方数、立方数、完全数、etc）
素数(双子素数、三つ子素数、メルセンヌ素数)

・自民党（唯一残された"政党"小選挙区は自民）
http://www.jimin.jp/index.html

・新風（超右翼、革命主義、比例は新風or自民）
http://www.shimpu.jp/

・公明党（創価、創価）
http://www.komei.or.jp/

・創価学会（公明母体、宗教団体）
http://www.sokanet.jp/sg/sn/index.html

・民主党（トップは元自民、売国奴）
http://www.dpj.or.jp/

・新党日本（分裂危機、ジャパーン）
http://www.love-nippon.com/

・日教組（教育問題、諸悪の根源、ゴミのあつまり、うんざり、死ね低学歴）
http://www.jtu-net.or.jp/

・部落解放同盟（これもゴミ、民主系、一生差別されとけやゴキブリ、死ね低学歴）
http://www.bll.gr.jp/

・社民党（護憲派、言うだけはタダ、オバチャーン）
http://www5.sdp.or.jp/

・共産党（今こそレッドパージを、共産主義封殺）
http://www.jcp.or.jp/

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く死んだ方が良い。

>>776
そもそもカントールの最初の無理数(実数)の非可算性証明がそう。
対角線論法は三〜四番目位に与えた証明。カントールだけでも五〜六個は証明を示していたと思う。

一番簡単なのは区間[0,1]が可算集合として各点に0からの順番kをふってから長さ(1/2)^(k+2)の閉区間で各点を覆う方法かな。長さ1の区間をそれらの閉区間達で覆うのに覆う閉区間の長さの合計は1/2以下になってしまう。

被覆の方法を工夫すれば覆えるっていう可能性はないの？
これこれこういう被覆の方法では閉区間の測度の和が1/2以下になってしまうってのは厳密に証明できることは理解できる。
が、その方法が考えうる最善の方法であるという証明はまだ与えられてないと思うのだが。

いや、長さが1/2以下の被覆で覆えてしまったんだからその時点で矛盾でしょ？

>>778
数集合の擬人化なら、まずはNZQRCだろう。
追加で、代数的複素数/実数、整数と四則と羃根の有限回合成でできる複素数/実数、Z[i]、Q[i]、etc...

複素数は聖母的なお姉さんで

計算可能な数不可能な数、S数U数T数。
解析集合とか逆数学の各体系によって存在が保証される数。

＞よく女が言う「仕事と私どっちが大事なの」ってやつと一緒だね。

全然違うってｗ

＞どっちも大事決まってんだろ。

ああ、ダメダメ。彼女の前では「お前に決まってるだろ」
といってキスをしながら押し倒すのが定石。
ああいう質問はいわゆる欲求不満の表れであるから
まず、それを解消することが重要。

そういって次の日足腰立たなくなるほど妻に犯されるのが俺の夢

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く死んだ方が良い。

＞次の日足腰立たなくなるほど妻に犯されるのが俺の夢

一つだけ質問ですが・・・奥さんは井川遥似ですか？（をひ

頭のｶﾀｰｲお前らにこれがよめるか？

√物

どうぶつ

>>791
素粒子

big bang

分子と分母があるなら分姉とか分妹とかもあっていいだろ
分父とかはいらんけど

分ょぅιﾞょ

しかし分数はエロイな
分子が上で分母が下だぞ？
これは近親相姦(しかも子が母に無理矢理)を暗示しているぞ
あとたまに分子と分母を逆に書いてしまう中学生や高校生がいるが、
彼らはもしかしたら歪んだ親子関係があるのではないのだろうか
とにかく分数はエロイ

いやいや 子や母を分ける 分数はコワイぞ
どう分けるんだろう
一家離散ならまだしも、重ねて２つにぶった切るかもしれん

息子と母が結婚するために親子の縁を切るんだろ
心温まるお話じゃないか

このスレ最初から見てたらものすごく頭悪くなってきそうな気がしてきたｗ
つまり、そういうスレですね？

>>532辺りから暫くはまともな内容もあったけどな

無理数のほうが当然多いが、意味のある具体的な実例は有理数と無関係な実例が多くは挙げられないってことなんだろう。

＞分数はエロイな

この前、代入でも同じこといってなかったか？
なんか挿入っぽいとかいって。

まあ本当にエロイのはπだけどな

π^2をﾊﾟｲﾊﾟｲと呼ぶのは俺だけか

無理数も有利数も無限にあるが無理数の方が密度が高い

整列してしまえば密度もへったくれもないがな

密度ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

むうり数に一票

有理数の方が多い

ゆうりすう
むりすう

ひらがなにしたとき　むりすう　の方がエロイので無理数の勝ち

√２　√３　・・・

このように自然数に対応しているので、無理数の部分集合である｛√ｎ：ｎ∈Ｎ（平方数を除く）｝は、自然数の濃度に等しいと言える。

ところで、僕たちにとっては無理数とは√ｎで表せる数のことでしたね？
つまり、無理数の濃度＝自然数の濃度と言えるのです。これで題意が示せましたね。　　　　　■

判例：√4は自然数

判例→反例

れいれいお

>>813

ｎ∈Ｎ（平方数を除く）、って言ってるから。

>ところで、僕たちにとっては無理数とは√ｎで表せる数のことでしたね？
いいえ。

>>816
君は“僕たち”に含まれていないから「いいえ」なんて言えるんだ。

ところで、上のレスで、無理数×無理数＝無理数とか言ってたけど、ｅ＾ｉπ＝−１があるではないか。実数からは外れるけど…。

>>817

>>817
じゃあ”僕たち”に含まれるのは君だけでいいよ

そろそろ補完してもいいかい？
って言ってもしないけど。

もういいじゃん。平等で。
世界平和だよ。
地球⊂愛⊂俺

>>819
そういう君はジョナサン・ジョースター

何をするだァーー！！

8=2^3

どっちが多くても実生活には役に立たない。

「多い」とはどういう意味ですか？

「確かな満足」

>>825
いや、ムリっす。

多い、とは天国への扉ッ！！

お前は素数でも数えていてください

>>829
数えてたら残り10個になりました

おい、おまえら！
それどころじゃないぞ！！

とうとう「無理数は実数ではないかも知れん」と言い出すやつが現われたｗｗｗ
もうどっちが多いとかそんなレベルの話ではないｗｗｗｗ
詳しくは↓
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180576855/64

落ち着け

>>832
無理数が実数かどうかと
有理数と無理数はどちらが多いかは
関係ありません。

8-3=5

697

駄スレ保守

無理はいけない

駄スレ保守

四年。

ありとあらゆる数字の中で

最も大切なのは0、二番目は1、という理解で良いですか

age

この連休は暇だったから有理数と無理数を数えた。
裏のおじいちゃんにも手伝ってもらったし
ちょうどお孫さんがいたからお孫さんの友達を呼んできてみんなで数えた。
そしてどちらが多いかわかったのだが
ただで教えるわけにはいかないな。
お金をくれと言っているわけではない。
調べ物があるので手伝ってくれよ。
それを数え終えたら教えてあげる。
何を数えるかって？
海にある砂粒の数なんだ。

だいぶ少なそうだな

このスレ、一覧じゃ843レスなのに 実際は844レスある。

お、なおった。 あぼんでもあったんかな？

age

A　「どちらが多いかを調べるのは大変そうだね」
B　「そうだね。何かいい方法はないかな」
A　「そうだ。どちらが多いかを調べるのは大変だから、どちらが少ないかを調べてみよう」
B　「それはいい。それだとずいぶん簡単になりそうだ」

age

ふつうに無理

アーッレフ0とアーッレフ1の違いだよ

分かるようになってから書けよ

有理数と無理数を１００ｇの水に溶かしてみて
チョットなめてみる
濃い味がしたほうが多いということになるので数えなくてもいい

どちらも溶けきらずに沈殿していますた。

水の温度を高くしてみろ

沸騰して水は蒸発しちゃいました。
解けてたものは底に焦げ付いて残ってます。

じゃあ水の量を増やせ

もう水槽は満杯です

んじゃプールでやれ

age

プールを買うお金が無いです。

有理数を100ｇの水に溶かしてチョットなめてみました。
以前自然数を100ｇの水に溶かしてなめたことがあるのですがよく似た味でした。

age

hoshu

hosyu!

有理数と無理数を数えていたら先生が通りかかって
それならオートバイを使えと言っていましたがどういうことですか。
そうだ、オートバイといわずに単車と言っていました。

車を洗ってたら、それじゃ二点足りない、と言われた

よく数えられないほど多いっていうけど無理数は本当に数えられないほど多い。
有理数は多いけど数えられる

無理数と有理数では無理数の方が若干多めで、
３，４個程度の差があると考えられています。

寝れないときは
無理数数えるよね。

>>870
半分ぐらい数え終わった頃には、ぐっすり寝てるよねー

>>870-871
おまえらすごいな

二晩で全部数え終えちゃうよね

ひつじがるーとにひき・・・

数えるときって小さい順に数えてるの？

わりと気分で。
いつだったか、大きい順に数えようとしたときがあったが
そのときは数える前から眠くて、すぐに寝てしまった。

小さい順のときもすぐ寝てるに違いない

無理数を数えるのって眠いときは大変だろうな。
√2，√3，√5，√7，√8，√9
しまった、√9は有理数だった。
あれ、今何個だったかな？
えーと、もういい。もう一度初めから。
√2，√3，√5，√7・・・

>>878
そんな時は、
√2、2√2,3√2・・・
で楽勝だぜ

√2、√3、√5、√6、√7、e、π、√10……orz

思考盗聴で個人の生活に介入する奴が永久停止すれば眠くならなくなるだろう。

きんぐがるーとにひき・・・

きんぐがーるとひきにーと

人名で、有 理数または有理 数　さんと、無 理数または無理 数　さんとではどちらが多いか？
という質問なんですよね。
これは難しいです。世界で１人か２人いるかどうかですよね。

俺の名前と兄貴の名前が有理数だから、これでもう2人だな

坂本 数

>>885
兄弟で同じ名前なのかよー
どうやって区別するんだー

Reply:>>882-883 何をしている。

　　　　 　　　　　 　　　 ____
　　　　　　 　 ,. ''"´￣　____｀'' - ､
　　　　 　.／ 　,. -''_二 -─‐-｀ヽヽ.
　　　　 ./　　./ ／´ 　,.　　　　　 ｀ヽ.　お願い この子の質問に答えてあげて
　　 　 .,'　　　i./　 ／　　　　　　　｀ヽ!
　　　　|　 　 i' 　 ,'　/__/i 　 i　 　ﾊ 　',　　　　　　　　　ｒ-､!ヽ/i /'L_
　　　　|　　 .i　　i '7__/_ i　/i　 /- i　 .i　　　　　　　　　｀ヽ:::::V::/::／
　　　 .|　____i　　|ｱi´　'i｀ﾚ'　ﾚｲ｀ﾄ,.! 　|　　　　　　　　　　　＼!_ﾚ'､
　　　 .! ｀ヾ |　　〈'弋_,ｿ 　 　 弋ﾉﾊ 　|ﾌ　　　　　　 　　　,ｨ'ﾆ　　 ヽ.
　　　 ,! i　　|　　.!""´　 　　 '　　"i 　.|ヽ､ 　　_,,..-‐ 'i"7'つ　ﾟωﾟ　:::i　1stVirtueってめっさ臭いの？
　　　,'　i.　　!.　 |.､　　　ヾ￣ﾉ 　ﾉ,i　 ﾊ-‐''"´　　　　Xi　ﾉゝ､　　　ノ
　　 ﾉ　ﾊ　/ﾊ　 ! ,/＞ .､, __,,. イ .｜/　　　　　 　　 〈　|--‐r'ヽr'"
　 ｲﾍ/､ ／/::ﾍ |´ヽ､　>　iヽﾝ　ﾄ !〈__　　　　　　　　Xi､:::::::!
　　／rく::::/／´〉ﾄ､::::::::::Y｀ｰ 'Y:::::::〉ir──-------ヽ-'‐'"
　　ヽ!::::i／　　ヽ!　|i:::ンi　　i　|l::::iVヽ!
　　 ｀／　　　　　!/!:::::/|　　 　i:::::::',
　 .／　　　　　　 /':::／::!　　::　!::::::::',
／ヽ_r､　　　　 /::::::::::::::!　　 　 !:::::::/
￣ヽ　X　　　 /ｧ'ｰ-─'　　/i　　'ヽi
__とンヽ)-､　/'　　　/　　 /　i 　 　 ヽ.

Reply:>>889 早く国賊と心中しろ。

昔々、まだ鉄砲とかがなかった頃のお話。
有理数という国と無理数という国がありました。
この２つの国が戦うことになりました。

誰が活躍したか良くわかるように、それぞれの兵隊は背中に番号を書いていました。
両軍が平野のど真ん中でぶつかり戦いが始まりました。

有理数の背番号５は
無理数の背番号√５と２√５と３√５と・・・
√５＋１と√５＋２と√５＋３と・・・
５の３乗根と５の４乗根と５の５乗根と・・・たくさんの敵に囲まれてしまいました。

その他の有理数の兵隊も同様に多くの敵に囲まれてしまい
短時間で勝敗が決まってしまいました。

この戦のあと「有理数より無理数の方が多い」と言われるようになりました。

>>890人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

2√5の兵隊は20の兵隊の相手もしないといけないんじゃないのか？

>>893
おー、そうだな。気がつかなかった。こんなところに気がつかない俺はおバカさんだ。
２√５には２０の相手をしてもらおう。
多少抜けたって大丈夫だろうから。
それ以後も同様に３√５や４√５は４５や８０の相手をしてもらう。

そだね

>>891
「兵隊」じゃ無くない？

自然数
整数
素数
有理数
無理数
虚数
２乗自然数　x^2=自然数
３乗自然数　x^3=自然数
２乗整数　x^2=整数
３乗整数　x^3=整数
・・・

Kingまだ〜？

king

Reply:>>898-899 私を呼んでないか。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

９００を超えたことだし
そろそろ核心に近づいてもいいのだろうか
まだ早いか
正解を書かれても大ボケするくらいはできるが

970くらいからで充分だと思う。

なんとか理由をつけて、
無理数＜有理数
という証明は出来ないものか。

無(12)+理(11)+数（13）=36
有(6)+理(11)+数（13）=30

よって無理数＞有理数

むりすう　 → 4文字
ゆうりすう → 5文字

よって　むりすう＜ゆうりすう

"むりすう"＜"ゆうりすう"

JISコード順ならふつうにこう。

＆#28961;+＆#29702;+＆#25968;=＆#84631;

＆#26377;+＆#29702;+＆#25968;=＆#82047;

よって　無理数＞有理数

エウクレイデス　原論　第十巻（中央公論社　世界の名著9「ギリシアの科学」）

定義1-3
・・・定められた線分が有理と呼ばれるとし、
それと長さと平方において、あるいは平方に
おいてのみ通約できる線分が有理、それと
通約できない線分が無理と呼ばれるとせよ。

この定義を素直に読めば、2の平方根は有理だぞ！！

皆さん聞いてください。先輩から自然数を数えろと言われました。
その先輩は怖いので逆らうことができません。

成績の悪い先輩で授業もほとんど出ないのですが、
たまたま出た授業で自然数は数えることができると教えられたそうです。

どうせごく一部しか聞いてないはずです。
だからはっきりわからないくせに数えようと思ったらしい。
でも自分で数えるのはイヤだから他人にさせようということです。

数え終わるまで部屋から出さないと言っています。
数えているか交代で監視をつけるそうです。

１時間に3600数えたとして10時間で36000
これくらいが限界のように思います。
どうしたらいいでしょうか。

>>909
成績が悪いからと言って、頭が悪いとは限らない。

一から数学を学習すれば納得するかもしれない。
まずは、

ヒルベルトの幾何学基礎論
http://www.amazon.co.jp/dp/4480089535/

をお勧めする。

がんがれ。

そんなものを進められても、数を数えるのには役に立たないよ

仕方ない
私が結論を出してあげよう
ソフィー･ジェルマンの素数に決定

皆さん聞いてください。大変なことになりました。
先輩に「数えたら何かご褒美がもらえるのですか」と聞いてしまいました。

今になってみるとバカなことを聞いたものだと思います。
すると先輩は「自然数が終わったら有理数を数えるのだ」と言ってきました。

自然数だけでも大変なのに有理数なんて数えられないと思っていたら、先輩は
自然数と有理数は近所なんだ。
俺の家とお前の家のようなものだから、と言ってきました。

確かに先輩とは近所です。回りは田んぼだらけの田舎に住んでいます。
でも、何のことかわからないので聞いてみました。
すると先輩はこう言いました。
「自然数と有理数は同じ農道なんだ」

私が変な顔をしていると先輩は続けました。
「俺もお前も田んぼの間にある同じ農道を通って家に帰るだろ。
同じ農道を通るということは近所なんだよ。
だから有理数を数えるのも同じようなものだから心配するな」

これが心配せずにいられるでしょうか。
先輩は何か勘違いしているのでしょうが、他人の話をおとなしく聞く人ではありません。
どうしたらいいでしょうか。

　　　　　 　 　 　 ,､‐ ''" ￣ ｀`'' ‐- 、
　　　　　　　　／イハ/レ:::/V＼∧ド＼
　　　　　　 ／::＾'´::::::::::::i､::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　‐'7::::::::::::::::::::::::ハ:ﾊ::|ヽ:::;､::::::::::::丶
　　　　 ／::::::::::::::/!i::/|/　 ! ヾ　ﾘハ:|;!､:::::::l
　　　　/´7::::::::::〃|!/_,,、　　 ''"゛_＾`''`‐ly:::ﾄ
　　　 　 /|;ｨ:::::N,､‐'゛_,,.＼　　 ´''""'ヽ　 !;Ｋ
　 　 　 　 ! |ﾊﾄ〈 　,r''"゛　 ,　　　　　　　ﾘｲ)|
　　 　 　 　 　`y't　　　　 ヽ' 　 　 　　 /／
　　　　　　　　 ! ぃ､ 　 　 ､;:=＝ｦ　　〃
　　　　　　　　　｀'' へ、 　 ` ‐ '゜ 　 .ｲ
　　　　　　　　　　　 　 `i;､　　 　 ／ l
　　　　　　　　 　　 　 　 〉　` ‐ ´ 　 l`ヽ
　　　　　　　　　　　　／　!　 　 　 　ﾚ' ヽ_
　　　　　　　　　_,､‐7　　 i|　　　　　 i´ 　 l ｀' ‐ ､_
　　　　 ,､-‐''"´　 ﾉ,､-､ /　､,_ ,.､-　{,ﾍ　 '､_　 　 ｀ヽ､_
　　　／ i　　　 ,､ｲ ∨　l.j__,,､..-‐::-:;」,ハ、　'､｀ ‐､_　　 ,`ヽ
　　/　　l ,､‐'´　/／ ',／!:::::::::;､--ｧ' /　　｀` ‐　　　｀'7゛ 　 ',
　/　　　l　 i　　´　　く 　 ';::::::l　 /　/　　　　　　　　 /　　 　 ',
/　　　　 !　l　　　　　 ＼　';:::l , ' 　/　　　　　　　　i/　　　　　',

>>913
一緒に数えてしまえばよい

アレフ

>>1
無理数

>>917

濃度で言えば無理数だが
数でいえばどちらとも言えないが正解。
無限同志は常に比較不可能だよ

あーあ、結論出ちゃったよ。
せっかく残り100切ってたのに。
おまえら空気と>>32くらい読んでから書き込めよ。

世の中には珍しい名前があるものです。
たまにテレビで珍名さんを紹介していることもあります。

そこに登場した名前に「有理数」と「無理数」がありました。
１人の苗字はよくある苗字だったのですが、もう１人は苗字も珍しかったです。

「多い」という苗字だったので記憶に残りました。
他の字で「おおい」ならよくいますが「多い」は珍しいです。

「有理数」と「無理数」はどちらが「多い」か
ですって？

それは「有理数」です。
「多い 有理数」さんと呼ばれていました。

丁度二年前辺りの話の続きを見たい

age

age

age

任意の無理数a有理数q,kについて
ka+qは無理数であるから、ある有理数qに対応する無理数ka+qがkを自由にとれることから無限に存在することが、全てのqに対していえるから無理数のほうが多いってことでいいんじゃね？

>>926

＞ 任意の無理数a有理数q,kについてka+qは無理数であるから、

有理数がびっしりと並んでいる。
循環小数も分数もびっしり詰まって、押し合いへし合い並んでいる。
キチンと並んでいて足の踏み場もないくらい。
足の踏み場どころではない。
隣の数との隙間はないと思われるくらいくっついている。

ところが、その間に入り込む奴がいるそうだ。
どんな奴なんだ。
こいつは満員電車でも人と人の間にお尻を割り込ませて無理やり座る奴なんだろうな。
周りが迷惑しても気にせずに割り込んでくる奴だ。
無理数と言うらしい。

>>928
それは「さしこみ」の寛次だよ。

>>167
アフロに見えた

結論が何度も出てしまっている今，＠残りで
このスレの理想的な終わり方について議論して1000でそれを実行b

これまでの中で好きなレスをあげてもらったらどうか。
自分が書いたものは選ばないという紳士協定を結ぼう。
全部のレスを読むのは大変だが、これから先だけ読めば面白いのが読めるとなればお徳だ。

>>928
無理数から見れば、有理数のほうがびっしり詰まった間に割り込んでくる奴。
エッシャーの絵みたいな関係。
（対等でなくて有理数のほうが肩身狭いはずだけどｗ）

有理数がk個存在すると仮定する.
k個の有理数すべてに円周率πを足した数はすべて無理数であり,
k個の有理数すべてに自然対数の底eを足した数はすべて無理数である.
（∵有理数＋無理数＝無理数）

この時点で有理数k個＜無理数2k個であるので,
有理数より無理数の方が多い.

>>21の証明を参考にしたが,果たしてこれで正解なのか？

ルパンのアニメでの話し
ルパンに泥棒の勝負を挑む。どちらが盗んだ金額が多いかという勝負。
途中で勝てないと思ったルパンは作戦を変更する。勝とうと思わなければ方法はあると言う。
小銭をたくさん盗み出す。数え切れないくらいたくさんの小銭を。
約束の時間となり２人が盗んだものを持ち寄る。
そしてルパンの小銭を数え切れないため勝負は引き分けになる。

数え切れなければ一方が多そうに思えても、結局のところどちらが多いとは言えないのでは。

有理数全体の集合から無理数全体の集合への写像で、単射なものは作れない。
この意味で、無理数の方が有理数よりずっと多い。

有理数と無理数はどっちが多いか？

この問題を東京大学−後期−総合科目�Uに出題したら
受験者はどんな解答をするだろうか？

正答率と平均点も気になるところだ

>>934
その意見だと偶数と整数では整数の方が多いということになる。
934は偶数より整数の方が多いと思うか？

あなたが最後に見た数は笑っていましたか？

>>937
「多い」の定義が不明確
が正解

>>938
そもそもk個(有限個)がおかしい

可算というけれど、人間には可算じゃない

スパコン使えばOKよ。

全部数えるのは大変そうだから０から１の間だけでいいか？

>>944
有理数と無理数に関してどっちが〜的なこと考えてるんだから有理数と有理数で挟んだら無理数が文句言ってくるだろ？
だから0とsin1°で挟むんだ
え？sin1°が無理数かって？
それについては>>950よろしくﾉｼ

実質高校レベル

松

竹

梅

sin1°は無理数です.
（証明）
有理数全体の集合をＱとする.
sin1°∊Ｑと仮定すると,
sin3°=sin3*1°=3*sin1°−4*(sin1°)^3∊Ｑ
sin15°=sin5*3°=16*(sin3°)^5−20*(sin3°)^3＋5*sin3°∊Ｑ
sin15°=(√6−√2)/4∉Ｑより,sin1°∊Ｑであることに矛盾する.
∴sin1°∉Ｑ

>>938
「n∈整数」かつ「n∈偶数でない」を満足する要素ｎが存在する。
「n∈偶数」である全てのnについて「n∈整数」を満足する。
という意味で偶数より整数のほうが多い。


多いの定義次第でどうにでもなる。

数直線上の集合A⊂Bについて,

(1) B-A≠φのときBはAより多いと定義 （B-AはAの補集合とBの共通部分のこと）
(2) μ(A)<μ(B)のときBはAより多いと定義 （μは集合の長さ(ルベーグ測度)のこと）
(3) |A|<|B|のときBはAより多いと定義 （|・|は集合の濃度のこと）

とすると、(3)の意味で多ければ自動的に(2)の意味でも多く、(2)の意味で多ければ
(1)の意味でも多いが、逆は必ずしも成り立たない（(1)の意味で多くても(2)の意味
では逆転はしないがイコールかもしれない。(2)の意味で多くても(3)の意味ではイコ
ールかもしれない）。

有理数を無理数の中に平行移動するという>>934のようなアイデアは、(1)よりむしろ
(2)に近い。
　しかも整数における偶数奇数の場合と異なり、有理数を無理数の中へ無限に何重にも
重複なく平行移動で入れ込める（>>934はそこまで感知してるぽい）。
　これは数学的に面白い事実で、これを逆手にとることで(2)の基準で測れない集合の
存在を証明したりもする）

>>952

＞ とすると、(3)の意味で多ければ自動的に(2)の意味でも多く、

>>952
A={1}、B={1,2}

|A|<|B| ‥(3)
μ(A)=μ(B) ‥(2)

>>952
A={1,2,3,4,5,6,7,8}、B={8,9}
B-A={9}≠φ → A⊂B … (1)

>>955
？？

うるさい。

>>938
偶数、奇数、整数の集合をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとすると
Ｃ＝Ａ∪Ｂ⊃Ａだから、偶数より整数の方が多い

つーかこんなのごく当たり前のことだろwww

>>958
A⊂Cのとき AよりCが多いということはそんなに当たり前のことなのだろうか？

まずは多いの定義を与えないとな

>>958に 負の奇数と正の偶数のどちらが多いかをきいてみたい

958の理屈だとA：正の整数 より B：非負整数 のほうが大きいようだ ∵A⊂B

1) 正の整数と負の整数
2) 負の整数と非負整数

これらはどちらが大きいのだろうか？

>>962
Ｃ＝（Ａ∪Ｂ）⊃Ａであって、Ｂ⊃Ａではないので…

>>958
＞つーかこんなのごく当たり前のことだろwww

「多い」というあいまいな表現のため、いろいろなことが考えられるわけだ。
整数 … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … に対して
それぞれの2倍の数 … -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8 … を対応させる。
そうすると、余っている整数はどこにある。ちょっと見せてくれないか。

有理数と無理数を比べてる場合じゃないなｗ
有限個の場合にごく当たり前だった事が無限個でも成り立つと思っちゃいかんというあまりに基本的なお話だ
というか釣りか？釣りなのか？

>>963
（Ａ∪Ｂ）なる集合にＣと名づけたとたんになにか変わるのか？

>>958
対象が有限だったら当たり前だが、
日常的な皮膚感覚による当たり前のことが、
当たり前じゃなくなってしまうのが無限の恐ろしさだ。
だから無限を考察するのは慎重を要するんだ。

どっかで有理数のが多いって話を読んだ希ガスｗ

んなことが書いてあるのはここくらいではないかと

何故なら無理数は存在しないから、
なんてオチじゃないだろうな

>>21 の論法が正しいとすると
実数＋iを考えれば 、実数よりも虚数のほうが多いことになる。

別に、>>21は
　有理数の濃度≦無理数の濃度
を示そうというんであって
　有理数の濃度＜無理数の濃度
じゃないから

>>972
どこをどう読むとそういう解釈になるんだ？

>>972じゃないが、>>21の意図はともかくとして
>>21の事実だけから数学的にいえることは
有理数の濃度≦無理数の濃度
であって
有理数の濃度＜無理数の濃度
ではない、ということが言いたいんだろう。

>>974
なるほど、ではこう言い換えればいいのだな。

>>21 の論法が正しいとすると 
たとえば実数rがあるとするだろ
それに大してr＋i が存在する。
もうこれで実数勢は倒される。

>>21から続いている「倒される」は何とかならんのかな
数学用語じゃないからな

>>972 の解釈では
AがBに「倒される」というのは「Bの濃度≦Aの濃度」という意味のようだよ。

俺は＜の方が意味的に近いと思うが。

無理数のが圧倒的に多い

>>975
ポイントは「倒される」ではなくて「大して」のほうだったのに残念ですねｗ

>>979
そうなんだよ。

たい‐して【大して】
［副］
１ （あとに打消しの語を伴って）特に問題にする程度ではないさま。さほど。それほど。「―気にかけてはいない」
２ 程度のはなはだしいさま。大いに。
・ 「角力になりましてからは―惣次郎も贔屓(ひいき)にして」〈円朝・真景累ヶ淵〉
[ 大辞泉　提供：JapanKnowledge ]

な？
A≦Bではなくて、A<Bだと主張してるだろ？

四年二百二十日。

四年二百二十日二十時間。

age

四年二百二十一日二十二時間。

alef₀<alef₁<=alef

四年二百二十三日十三時間。

次スレどうするんよ

四年二百二十四日。

次スレはいらん。
そろそろオチつけて。

どちらも無限にあるから大小つけられない

終

四年二百二十五日。

次スレは

どちらがどのくらい多いか

で

このスレがこんなに伸びたこと自体がそもそも間違い。

次スレはいらないだろう。その気になれば１レスで終わるところを
これまで面白おかしく続けてきたのだから。もうネタもなくなってきた。
そう考えると、1=0.999…は16スレまで続いているからすごい。
まあ、あれならいろいろ膨らませることもできるが、有理数と無理数ではこれ以上は大変だ。

これまで遊んでくれてありがとう。楽しかったよ。
そういうわけで、次の方に結論を書いてもらおう。よろしく。↓

次スレたてるお！

集合論スレでやればいいだろ

↓king

King氏ね

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。