巨大数探索スレッド6

巨大数研究室
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/

前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。

「前の数＋1」
「1/x　x→0」
「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」

という類の投稿は放置推奨。

美光

H.E.Rose,
Subrecursion: functions and hierarchies, (Oxford logic guides 9),
Oxford University Press, 1984.
ISBN 0-19-853189-3

の pp.16--17 より

DEFINITION k-recursion. A function is k-recursive if it can be
defined using elementary functions and a finite number of k-recursions
given by the following scheme for φ,

φ(x,y_1,...,y_k)=0 if y_1・y_2・...・y_k=0
φ(x,y_1+1,...,y_k+1)=g(x,y_1,...,y_k,φ1,...,φk)
where for i=1,2,...,k, φi is given by

φi=φ(x,y_1+1,..,y_{i-1}+1,y_i,
　　　　f_1^i(x,y_1,...,y_k,φ(x,y_1+1,...,y_{k-1}+1,y_k)),
　　　　...
　　　　f_{k-i}^i(x,y_1,...,y_k,φ(x,y_1+1,...,y_{k-1}+1,y_k))),

and where g and f_j^i (j=1,2,...,k-i) have been defined previously.

Rose の本で elementary function と言っているのは、次の class に
属する関数です。

the class of functions containing the successor, projection, zero,
addition, multiplication, and modified subtraction functions and
closed under composition and bounded sums and products

前のスレッドの 7 の分析はかなり進んできているようですから。すこし、10
あるいは 14 について考えてみました。14 に
f5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x) があります。

自然数 x が与えられると定義されているもののようです。
m(1) だけは自然数から自然数への関数 f で与えてもよいようにした方が
7 のようなもので定義された関数を使いやすいように見えます。
k>1 において m(k)^n m(k-1) = m(k-1)^(x^n) をn について帰納法で証明
します。 n=1 のときはよい。
n のとき成立することを仮定する。
m(k)^(n+1) m(k-1) = m(k) m(k-1)^(x^n) = (m(k-1)^(x^n))^x
= m(k-1)^((x^n)^x) = m(k-1)^(x^(n+1))

次に k<x において (...((m(x)m(x-1))...m(x-k)) = m(x-k)^(x^(x^...))
をk に関する帰納法で証明します。
k=1 では m(x)m(x-1) = m(x-1)^x
k から k+1 へはすぐ前のことを使えばよい。
つまり 原始帰納的関数 F を F(1,x) = x, F(n+1,x) = x^F(n,x) で
定義すると、はっきりしますが、
(...((m(x)m(x-1))...m(x-k)) = m(x-k)^F(k,x) つまり
((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))f)(x) = f^F(x-1,x) (x)
であり f がとくに与えられてないときは m(0) = x として形式的に
処理すれば f5(x) = F(x,x) で、これは原始帰納的関数です。また
m(1) を f であたえれば、 f^F(x-1,x) (x) ですから、f に関して
原始帰納的関数となりますから、7 が3重あるいは4重帰納的関数なら
その範囲におさまっているということでしょう。

>>5
＞m(k)^n m(k-1) = m(k-1)^(x^n) をn について帰納法で証明

左辺に無い変数xが右辺にある時点で、
このような式は成立しえません。

>>5
M(0)=N,
M(1)=N^N,
M(2)=(N^N)^(N^N)
M(3)=((N^N)^(N^N))^((N^N)^(N^N))
一般にM(n+1)=M(n)^M(n)です。

f_n∈M(n)に対して、m(n+1)(f_n)=g_nを以下で定める。
　　f_{n-1}∈M(n-1)に対して、g_n(f_{n-1})=g_{n-1}を以下で定める。
　　　　f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_n(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
　　　　　　　　･･････
　　　　　　　　f_0∈M(0)に対して、g_1(f_0)=g_0を以下で定める。
　　　　　　　　　　　　g_0=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0

この部分の意味をよくお考えください。
m(n+1)f_n=f_n^f_0
とは全く違うことがご理解いただける筈です。

>(m(k-1)^(x^n))^x= m(k-1)^((x^n)^x)

何これ？

a'' := (a)_lh(a)　　（aが表す列の末尾）
a' := a / (p_lh(a)^a'')　　（aから末尾を除いたもの）
m\n := (Π[j=1,n]p_j)^m　　（n個のmからなる列のコード）
便宜上m\0=1とする

f_n(a,b,c)
=b^c　　if lh(a)=0 (i.e. a=1)
　a''^b　　if lh(a)=1 & (b=1 or c=1)
　f_{n-1}(a''\b-2,a'',a'')　　if n>1 & lh(a)=1 & b>1 & c=2
　f_n(a',a'',b)　　if lh(a)>1 & (b=1 or c=1)
　f_n(a,f_n(a,b-1,c),c-1)　　otherwise


これで前スレ7の関数と一致すると思います。
cもaの中に組み込んでしまえば2重帰納になるんじゃないでしょうか？

自分で書いてても混乱しかけたのでちょっと補足。

lh(a)=1であるということは、aが2の冪であるということであり、
その場合a=2^a''となっています。
これはaがa''だけからなる長さ1の自然数列のコードである
ということを意味しており、
f_n(2^a'',b,c)=↑n(a'',b,c)というふうに対応します。

で、巨大数に関するめぼしい論文は出てないのか

>>11
もっと地道なことをしてるんじゃないの?
お馬鹿さんの 11 さん!

bもaの中に組み込んでしまえば原始帰納になるんじゃないでしょうか？
なんつって。

>>6 >>7
>>5 にある f5 は m(1),...,m(x) が定義されていて初めてきまる関数
です。しかし、その定義がハッキリしないので x が与えられているとき次々
と与えられるものとして解釈しました。このスレッドの >>7 による定義は
f5とは違うように思いますが、それよりも定義になっていない点を指摘しま
す(この点は前のスレッドの 11 にあるので、当然以前から問題にすべき点
なのですが)。
ここで f_n は何かすでに定義のあるものではないわけで、f_{n-1} ... f_0
はすべてそのようなものになります。たぶん、f_0 = x なのだろうと推測しま
す。ですから g_0 は f_n, f_{n-1}, ..., f_1 が与えられなければ決まらな
いものです。m(1) および m(2) をどのように定義しているかはっきりさせる
ところから始まるべきだと思います。それはご自身が前の 10-14 でやら
れたことですが、>>5 あるいは、それに近い理解以外にf5 が定義となってい
る理解はできそうにないので、定義できる形のひとつとして書いたものが
>>5 です。
>>9
だいぶ整理、理解が進んでいられるようですね。ひとつだけ問題点を指摘
します。a が自然数列のコードでないとき(たとえば 3^2) otherwise に入る
と、そのまま b,c の値が下がりますが、そのとき定義されるところに
帰着していないようです。基本的には a がコードでないときは 1 にして
おいていいはずだと思います。あとは前のスレッドの 7 とコードを使った
形を通じて合わせればよいだけですから。
c を a にとり込むのは、2 重帰納的関数についての補題を準備しておかない
で直接すると2 重帰納的関数になっているか定かでなくなってしまうの
ではないか? と思います。

ここでは巨根数は、あつかわないのですか？

ちなみに巨根数とは巨大数を生成する関数から任意の巨大数を求める場合に
与えられる根のことです。

決して卑猥な用語ではありません。

>>14
m(1)は関数（つまり自然数から自然数への写像）（つまり数列）ですが、
m(2)は関数から関数を作る操作（つまり数列から数列への写像）です。
f_0は関数ではなく単に任意の自然数です。

定まったf(x)を使い、数列のi番目の数を取り出してx_i→f(x_i)とする
のもM2変換の一種と言えますが、これは結局関数の合成であり、
f(x)と数列が原始帰納なら出てくるのも原始帰納です。
Ackermannは前の行を関数として利用しているのがポイント。

Ackermann関数ってこういう理解でいいですか？

x*(0) = 0
x*(n) = x+(x*(n-1))

x**(0) = 1
x**(n) = x*(x**(n-1))

x***(0) = 1
x***(n) = x**(x***(n-1))

x****(0) = 1
x****(n) = x***(x****(n-1))

x***...(*がk個)...*(0) = 1
x***...(*がk個)...*(n) = x***...(*がk-1個)...*(x***...(*がk個)...*(n))

Ack(x,n,1) = x*(n)
Ack(x,n,2) = x**(n)
Ack(x,n,3) = x***(n)
Ack(x,n,4) = x****(n)

Ack(x,n,k) = x***...(*がk個)...*(n)

そしてAck(x,n,k)が原始帰納関数ではないことをAckermannが
証明したという理解で正しいですか？

>>14
繰り返しますが、以下でm(n)は厳密に定まります。

[1] 集合Mn(n=0,1,2,...)を以下のように定める。
　M0=自然数の集合
　Mn+1=写像Mn→Mn全体の集合
　Mnの元をMn変換と呼ぶ

[2] Mn変換m(n) (n≧1) を定める。
f_n∈M(n)に対して、m(n+1)(f_n)=g_nを以下で定める。
　　f_{n-1}∈M(n-1)に対して、g_n(f_{n-1})=g_{n-1}を以下で定める。
　　　　f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_n(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
　　　　　　　　･･････
　　　　　　　　f_0∈M(0)に対して、g_1(f_0)=g_0を以下で定める。
　　　　　　　　　　　　g_0=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0

ご理解いただけない方もいらっしゃるようなので、
n=2でご説明いたしましょう。

m(2)∈M2を定めるためには、
各f_1∈M1に対して、m(2)(f_1)=g_1を定めればよい。
ここで、g_1∈M1を定めるためには、
各f_0∈M0に対して、g_1(f_0)=g_0を定めればよいが、
それはg_0:=(f_1^f_0)(f_0)と定める。

数学の基本ですが、どの時点で何が与えられているか？
にご注意してお読みください。
これがご理解いただければ、一般のnでも容易でしょう。

数学の玄人？には、以下の定義が分かりやすいかも知れません。

ご存知の式Hom(X,Hom(Y,Z))=Hom(X×Y,Z)を用いると、
M(n+1)=Hom(M(n),M(n))=Hom(M(n-1)×M(n),M(n-1))=Hom(M(n-2)×M(n-1)×M(n),M(n-2))=
…=Hom(M(0)×M(1)×…×M(n-1)×M(n),M(0))となる事を用いて、

m(n+1)∈M(n+1)を、f_i∈M(i)に対して、
m(n+1)(f_0,...,f_n)=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0
とおく事により定める。

>>19
確かに定義されていますね、失礼しました。
>>20
どうも有り難うございました。そのように書き直した方がわかりよいです。

しかし、そうすると、>>5 に書いたものはそのものずばりであったという
ことになりますね。ただ書き方が少し粗雑なので正確な表現にします。

k>1 において
(... (m(k)^n m(k-1))...m(1))x =
(... m(k-1)^(x^n)m(k-2)...m(1))x をn について帰納法で証明できます。
証明は 5 のとおりです。

次に k<x において
(...(...(m(x)m(x-1))...m(x-k))...m(1))x =
(...m(x-k)^(x^(x^...))...m(1))x
をk に関する帰納法で証明します。証明は 5 のとおりです。

それで 5 の結論ということになります。m(k) の定義域で使う部分がほんの
一部であることもわかります。そのため、>>7 はそのとおりなのですが、
f5(x) の計算に関する範囲で成り立っているということですね。
結論は f5(x) = F(x,x) ということで、自然なものであったということ
でしょうか?

＞(... (m(k)^n m(k-1))...m(1))x =
＞(... m(k-1)^(x^n)m(k-2)...m(1))x をn について帰納法で証明できます。
＞証明は 5 のとおりです。

誤解されていると思います。
n=2でご検討ください。

>>22
なるほど、もう少し複雑ですね。考えてみます。

>>22
あわてて勘違い。いいみたいですよ。5 に書き間違いがあったのです。
(x^n)x であるべきところが x^n)^x となっていました。

(...(m(k)^(n+1) m(k-1))...m(1))x
= (...(m(k) m(k-1)^(x^n))...m(1))x
= (...(m(k-1)^(x^n))^x ...m(1))x
= (...m(k-1)^((x^n)x)...m(1))x
= (...m(k-1)^(x^(n+1))...m(1))x

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln043.html

>>14
たしかにコードでないときが怪しいですね。
aがコードでない場合に1とするのは原始帰納でできるので
そうしてしまうのが簡単そうですね。
コードでないaに対する値はいわばどうでもいいわけですから。

>>24
1行目から2行目が不味いようです。

m(k)f_{k-1}f_{k-2}...f_1x=f_{k-1}^xf_{k-2}...f_1x
は良いけど、これから
f_k(m(k)f_{k-1})f_{k-2}...f_1x=f_kf_{k-1}^xf_{k-2}...f_1x
とは変形できない。

>>27
m(k) の k は最大ですから m(k) の左はカッコだけです。

>>24でn=1としてください。
>>27でf_k=m(k)とした変形を用いています。

参考までに前スレ58よりコピペ。


以下、((m(3)m(2))f)(x)=(m(2)^xf)(x)を計算してみます。

より一般にF(x,y,z):=(m(2)^xf)^y(z)とおく時、次式を示します。
[1] F(x,y,z)=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z))
[2] F(x,1,z)>F(x-1,1,F(x,1,z-1))
[1]より関数((m(3)m(2))f)(x)は多重帰納的です。
[2]より関数F(x,1,z)=(m(2)^xf)(z)は、アッカーマン漸化式よりも"増大度が大きい"事が分かります。
。

【証明】簡単のためm:=m(2)とおきます。
F(x,y,z)=(m^xf)^y(z)
=(m(m^{x-1}f))((m^xf)^{y-1}(z))
=(m^{x-1}f)^{(m^xf)^{y-1}(z)}((m^xf)^{y-1}(z))
=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z))

F(x,1,z)=F(x-1,z,z)=(m^{x-1}f)^z(z)
>(m^{x-1}f)^z(z-1)
=(m^{x-1}f)((m^{x-1}f)^{z-1}(z-1))
=(m^{x-1}f)((m^xf)(z-1))
=F(x-1,1,F(x,1,z-1)) QED

>>29
確かに違ってますね。30 はチェックしてないですが、考えてみます。

>>29
なかなか面白いですね。楽しんでます。自然だけど難しいって
感じですね。

新スレが立ったのでホームページを更新しました。
http://49.dip.jp/img-s/99.zip

もやしっ子さん、よろしくお願いします。

定義をちゃんと読めていなかったので苦労しました。
まだ f5(x) が帰納的関数となるということの証明はされていない
ように思いますが、これはどうなっているのでしょうか?

前スレは、帰納的なのは当たり前、という発言の後は、
多重帰納その他に話題が移ったんだったか？

f5(x)が帰納的である事の証明をして頂ければ、
盛り上がると思いますよ。その前に、
m(n)m(n-1)…m(1)(x)の（多重？）帰納性は簡単でしょうか？
>>30の方針で、変数を自然数のある種のリストにすれば、
ある順序関係についての漸化式が立つ事までは、
いえると思ったけど、そこで前スレの時は挫折しました。

前スレ>>948の
「定義を見たとたんに計算ができるということがわかる関数の増大度は
たかが知れているという定理」
だとか、Kleeneの高階帰納関数論だとかは、
f5の帰納性を保証してくれないんでしょうかね？

帰納的関数を考えると扱いにくそうなので
λを持ち出してみました。

とりあえずm(n)は
m(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0． f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
といったところでしょうか。
そうするとm(n)m(n-1)…m(1)(x)の帰納性は出てくると思いますがどうでしょう。

λとは何でしょうか？それにより帰納性が保証されるんでしょうか？

(type free)λ-calculusです。

http://www.folli.uva.nl/CD/1999/library/pdf/curry-howard.pdf
これの第一章に書いてあります。
帰納性の証明まではありませんが。

ありがとうございます。よく見てませんが、とにかく

1.5.20 Theorem (Kleene) All recursive functions are λ-definable.
The converse also holds.

なわけですか。m(n)m(n-1)…m(1)(x)に使えるなら、
f5(x)にも使えないんでしょうか？

nを止めるごとにはうまく書けるんですが
>>37のままではnが動くと引数の数が変わってしまってまずいです。

ひとつの方針として、
適当なコード化(たとえばDef1.5.21とか)のもとで
「cはm(n)のコードである」がcだけでなくnについても帰納的述語であることを示す
というのを考えてはいますが・・・

結局37は正しいの？

>m(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0． f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0

こんなんできちんとした定義になってるの？

>>42
>>37 では、Church numeral というものを使っているのでしょう。
λ計算では、数字 n も「関数」として定義されていて、関数 f に
n を作用させた値 n(f) は通常の記法では、f^n になります。

さらに、普通は括弧を省略するので
f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 というのは、
((...((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2}) ...)f_1)f_0
を表しています。

λ計算における関数とは、通常の意味での、
定義域と値域の固定された写像ではなくて、
何かもっと普遍的なものとして捉えるのでしょうか？

というのは、((...((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2}) ...)f_1)f_0
という表現のみから、ここで話題のm(n+1)が回復されるとは、
到底思えないのですが。

λ記法の説明をする必要がありますね。

λf_0. f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 は
入力 f_0 に対し、f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 を出力する関数。

λf_1 f_0. f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 は
入力 f_1 に対し、λf_0. f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 を出力する関数。

...

λf_n f_{n-1} ...f_1 f_0. f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 は
入力 f_n に対し、λf_{n-1}...f_0. f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 を出力する関数。

という具合に、元の m(n+1) の定義そのままを表しています。

各f_nがどこからどこへの写像なのかに関して、全く触れていませんよね。
その意味で、m(n+1) の定義そのまま、ではなくて
その定義の一部しか表していない様に思えるのですが。

あるいは、例えば約束事として
「fgという並びが現れたときは、gは関数fの定義域に入っているとする」
としているとしても、それでも各f_iの定義域・値域がただ一つに定まるとは思えない。
だから、>>37のような表記は、定義の骨格の部分が同じであるような、
関数の同値類を表しているんでしょうか？

f_nは数字ですか？ それとも関数ですか？

>>46
そのあたりの疑問は当然出てくると思いますが、
詳しくはλ計算についての文献をご覧ください。

ここでの話で必要なことは、f_0, f_1, ..., f_n が
m(1), m(2), ..., m(n+1) の定義域に属していれば、
m(n+1)(f_0,f_1,...,f_n) と f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0 は
同じ値になるということだけです。それはわかりますよね。

残念ながら詳しいことを勉強する時間は、当分なさそうです。
結局、

＞>>37のような表記は、定義の骨格の部分が同じであるような、
＞関数の同値類を表している

そして、それらすべてについて>>40の定理は
帰納性を保証する。（N＾ｎ→Nという制限のもとで？）

という、理解ではまずいでしょうか？

syntaxとsemanticsを分けて考えないと混乱してしまいそうですね。

無限集合Vを固定して、Vの元を変数と呼びます。
このとき、以下の三つの規則によりλ式が定義されます。
1) 変数はλ式
2) xが変数でMがλ式ならλx.Mはλ式
3) M,Nがλ式ならMNはλ式

2)と3)の操作をそれぞれ関数抽象、関数適用といいます。
関数を作る操作と関数の変数に何かを代入する操作みたいなものですが、
3)にあるように、どんなλ式の組も一方を他方に適用することができます。
定義域も何もあったものじゃありません。
実際には意味のあるものしか考えない訳ですが。

本当は束縛変数の入れ換えで移りあうものは同一視しますが
だいたいsyntaxはこんなところです。

どうもありがとうございます。
関数の同値類どころか、もっとそれ以前の
定義の骨格だけ見ている感じがしますね。

1.5.4の(λxysz．xs(ysz))c_nc_m =β c_{n+m}
が良い例だな。多少分かった気がします。
試しに>>37をきちんと書くと、記号を変えて、

λ式
m~(1)=λ f_0．f_0f_0
m~(2)=λ f_1f_0．f_0f_1f_0
・・・
m~(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0．f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
に対し、
m~(n+1)m~(n)…m~(1)c_x =β c_{m(n+1)m(n)…m(1)x}
が全ての自然数xで成立する。

という辺りでしょうか。

確かにこう書くと、主張における定義域の曖昧さは払拭されているな。
λ-definableならばrecursive、ってのは
λ式の長さあたりに帰納法でも用いて示すんでしょうか。

いきなりm(n+1)m(n)…m(1)xの帰納性だけ直接示すのは、
できても相当複雑になりそうなだけに、
λ-definableという概念のうまさを感じるな。

わかっているとは思うのですがちょっと不安なので書いておきます。

λ-definable というのは、λ項で書けるだけでは保証されなくて、
全域性にあたることを別に証明する必要があります。

詳しくいうと、自然数上で定義された関数 f(x_1,x_2,...,x_k) が
λ-definable とは、λ項 M が存在し、すべての自然数 n_1,n_2,...,n_k,n
に対し、次が成り立つことです。

f(n_1,n_2,...,n_k)=n ⇔ M n_1n_2 ... n_k → n

この右辺は、M n_1n_2 ... n_k を変形していくと n となるという意味です。

今の場合、λ項で関数を定義しようとしているので、どんな数字 n_1,n_2,...,n_k
に対しても M n_1n_2 ... n_k が数字に変形できることの保証が必要です。

>>52
そういうことです。

λ-definableならばrecursiveであることの証明は
>>39のテキストで挙げられていた文献[7]を見てみたところ
「λ計算はrecursively axiomatedだから」というような一言で終わってました。
Goedel数を使うということなのでしょう。

こんな感じで示せるのはないかと思ってます。
T(e,x,y)
⇔コードeを持つterm Mがあって、
　yはM c_xで始まりあるChurch Numeralで終わる簡約列のコード
（命題だが0か1を取る関数とみなせる）
U(y):yがc_kで終わる簡約列のコードのとき、kを返す関数
みたいなものを定義すると、M c_n =β c_f(n)のとき
f(n)=U(μy.T(#(M),n,y))
とかけるから、TとUが帰納的ならfも帰納的になる。

わからなくなって頭が痛くなっていた間にλ計算の方で話が進んで
いるようですね。もとの形はλ計算の形にぴったりなんですね、
なるほど。
たぶん、recursively axiomatizable ということから Kleene の
recursion theorem を使えば部分帰納関数となることは明らかだって
ことと >>55 に書いてあることとほぼ同等なのだろうと思います。
それで次に >>54 のことが問題になるんだと思います。λ計算の
標準的解釈では全域で定義されているわけですが、これが、>>43
の Church numeral というのにどのように関係して示すことができる
かってことがわかるといいんですかね。
でもこのf5(x)のつくり方は、x^x を除けばλ計算としてはすごく
標準的だからこれがわかるとλ計算と帰納的関数論を結びつきが
わかるような感じです。ともかく、帰納的関数であることを示す、
峠は見えてきた感じはします。ただ、ここを越さないといけないの
ですけど。

>>54
>>56

ちょっと良く分からないのですが、
>>39の文献における、f:N^m→Nがλ-definableの定義

あるFが存在してFc_{n_1}…c_{n_m} =β c_{f(n_1,…,n_m)}
が全ての(n_1,…n_m)で成立。

と、>>54における、Church numeralを用いない定義

λ項 M が存在し、すべての自然数 n_1,n_2,...,n_k,n
に対し、次が成り立つことです。
f(n_1,n_2,...,n_k)=n ⇔ M n_1n_2 ... n_k → n

の差異を問題にされているのでしょうか？
これらが同値でないことがあるんでしょうか。

>>57
それらの同値性はChurch numeralがbeta-normalであることと
Church-Rosserの定理から証明できそうです。

>>54の指摘はおそらく、書き直してくれた>>52の
>m~(n+1)m~(n)…m~(1)c_x =β c_{m(n+1)m(n)…m(1)x}
>が全ての自然数xで成立する。
の部分が本当に成り立つことはチェックしないといけないのではないか、
ということだと思います。
それは一応>>37を書く前に確認はしたつもりです。

>>58
結局、52 で書かれている式に関して、各々の自然数 x について
確認されたというのは、つまり、c_{m(n+1)m(n)…m(1)x} への
β-reduction があるということだと思います。そのことが帰納的関数で
あることを示すことになると思われますが、そこでは、この
m(n)の特徴が使われるはずで、そこが証明の峠ではないか? と思う
のですが、、、。つまり、この特別な λ-term の分析をして、その
β-reduction がある確認はどのようになされたのでしょう？それこそ
が肝心なとこだと思うのです、どうでしょう?

いえ、一般の場合に確認したのはChurch numeralになるということだけです。
自分でもどこまで確認したのかあやふやになっていて
紛らわしい書き方をしてしまいました。
ちゃんとc_m(n)...m(0)xになることはよく考えてみると厄介ですね。
n=2のときはうまくいったので大丈夫だろうと思って
軽く考えすぎていたようです。

方針を一つ考えたので、うまくいったら書きます。

書き忘れ。
ひとつ例外を見落としていました。
m~(1)c_0はc_0に簡約できません。

どうやら証明できそうです。
が、けっこう長くなってしまいました。
何回かに分けて書きます。

>>61については
m~(1)= λx. if zero?x then c_0 else xx
とすれば済むことですね。
もともとのm(1)では0に対する値は定義されていませんでしたが。

Def 1.
(1)集合M_nを以下のように定める。
M_0=N, M_{n+1}=(M_n)^(M_n)

(2)集合M~_n ⊂ Λ/=β を以下のように定める。
M_0 = { [c_n] | n∈N }
M_{n+1} = { [P] | ∀Q ( [Q]∈M_n ⇒ [PQ]∈M_n ) }

（注意）以下ではM~_nの元[P]を単にPと略記する

Def 2.
M_nの元とM~_nの元の間の関係≡を次のように定める：
x∈M_0, X∈M~_0のとき
X=[c_y]となるようなy∈Nが一意的に定まる。このyを使って
x≡X ⇔ x=y

f∈M_{n+1}, F∈M~_{n+1}のとき
f≡F ⇔ ∀g∈M_n ∀G∈M~_n ( g≡G ⇒ fg≡FG)

ここでFGは次のように定義される：
F', G'を各々同値類F∈M_{n+1}とG∈M_nの代表元とするとき、
FG := [F'G'] ∈ M_n
=β の性質から次のことがわかる。

Prop 0.
(1)F∈M_{n+1}, G∈M_n のときFGはwell-defined.
(2)関係≡はwell-defined.

流れだけ先に書きます。m~(1)は>>62のです。

Prop 1.
g∈M_{n+1}, G∈M~_{n+1}とするとき、g≡Gは次の条件と同値：
f_j≡F_jなる任意のf_j∈M_j, F_j∈M_~j (0<j≦n) と 任意のx∈N に対して
g f_n f_{n-1}...f_1 x ≡ G F_n F_{n-1}...F_1 c_x

Prop 2.
f,g∈M_{n+1}, F,G∈M~_{n+1}, f≡F, g≡G
⇒ fg ≡ λx. F(G x)
（左辺は合成関数）

Prop 3.
f∈M_{n+1}, F∈M~_{n+1}, f≡F ⇒ f^m ≡ c_m F
（この左辺もm回合成したもの）

Prop 4.
m(n) ≡ m~(n)

Thm
m(n)...m(1) ≡ m~(n)...m~(1)
特に左辺はλ-definable

【1の証明】
n=0のときは≡の定義そのままなのでOK

n>0とし、n-1までよいとする。
定義により
g≡G ⇔ ∀f_n∈M_n ∀F_n∈M~_n ( f_n≡F_n ⇒ g f_n ≡ G F_n )
g f_nとG F_n に帰納法の仮定を使うと結論が得られる。

【2の証明】
合成と適用が紛らわしいので、合成関数はf・gのように書く。

h∈M_n, H∈M~_n, h≡H となるh,Hを任意にとる。
g≡Gなので gh≡GH
これとf≡Fから (f・g)h=f(gh)≡F(GH)=(λx. F(G x)) H
よって≡の定義から主張が従う。

>>65
証明されていることは、54 にあることを示していることになるのでしょうか?
つまり、標準的な解釈をすると定義されるということを示しているだけのよう
に見えるのですが、、、。54さんではないのですが、、、。

>>66
m(n)...m(1) ≡ m~(n)...m~(1) が示されれば任意のxについて
m(n)...m(1)x ≡ m~(n)...m~(1)c_x となりますが、
両辺はM_0とM~_0に属するので
>x∈M_0, X∈M~_0のとき
>X=[c_y]となるようなy∈Nが一意的に定まる。このyを使って
>x≡X ⇔ x=y
この定義から右辺=c_{m(n)...m(1)x}でなければなりません。

【3の証明】
mに関する帰納法で示す。
m=0のとき、g∈M_n, G∈M~_n, g≡Gとすると
f^0 g=g≡G=c_0 F G
なのでよい。
mまで成り立つとするとProp2より
f・f^m ≡ λx. F (c_m F x) = λx. F (F^m (x)) = c_{m+1} F

【4の証明】
n=1のときはm>0ならc_m c_n = c_{n^m}なのでよい。
nまで成り立つとする。
j=1,2,...,nに対しf_j∈M_j, F_j∈M~_j, f_j≡F_j となるものを任意にとる。
さらにx∈Nを任意にとる。
m(n+1)f_n ... f_1 x = f_n^x f_{n-1} ... f_1 x
であった。Prop3より f_n^x ≡ c_x F_n なので、Prop1を使うと
右辺≡c_x F_n F_{n-1} ... F_1 c_x
= m~(n+1) F_n ... F_1 c_x
すなわち
m(n+1)f_n ... f_1 x ≡ m~(n+1) F_n ... F_1 c_x
が得られた。これに再びProp1を使って
m(n+1) ≡ m~(n+1)

【Thmの証明】
Prop4よりj=1,2,...,nについてm(j)≡m~(j)
これとx≡c_xにProp1を適用して
m(n)...m(1)x ≡ m~(n)...m~(1)c_x
これを
(m(n)...m(1)) x ≡ (m~(n)...m~(1)) c_x
とみてn=0のときのProp1を適用すれば結論が得られる。

λ計算の文献がなかなか読めないのと、ここに書いてあることも
長くなってきたので時間がとれない状況で確認できないのですが、
ひとつ気になることを書きます。
52 の m~(1)=λ f_0．f_0f_0 はおかしいのではないでしょうか?
Church numeral を使うとすると、このスレッドにあった文献に
よれば、c_n = λs.λz.s^n(z) となっているのですが、
m~(1) c_n = c_{n^n} となるようには思えないのです。
ここが違うと後に影響がでるはずだと思うのですが、、、。

>>69
いえ、それで大丈夫です。
>>62でちょっと修正してますが本質的には変わりありません。

直観的な理解としては

c_n c_n
= c_nをn回施す操作
= "n回施す操作" をn回施す操作
= n^n回施す操作

という感じでいいと思います。

詳しい所は良く見ていないけど、（というか私にとって最も非自明に思えるのは>>40の定理の方。）
M~_1は帰納関数全体と同一視出来るわけですよね。（≡による像のM_1の部分集合と区別する必要ある？）
M~_nが（何度か出てきた単語の）高階帰納関数というやつなんでしょうか？

＞M~_0 = { [c_n] | n∈N }

これが潰れていない（[c_n]=β[c_m]ならn=m）事は、
定義にのっとるとどう示すことになるのでしょうか？

>>72
異なる(β同値でない)ものが同じ関数に対応することもありますが、
M~_1は帰納的関数全体と思っていいと思います。
高階帰納関数については知らないのですが
たぶんそうなんじゃないかと思ってます。

>>73
一般に、M=βNならば、MとNはある同じtermに簡約できます。
(Church-Rosserの定理から比較的容易に示せます)
ところがc_nはβnormalかつnごとに異なるtermなので、
異なるChurch numeralがβ同値になることはありません。

>>70 >>71
質問ばかりで恐縮ですが、他のひとも興味をもっていられるようなので
もういちど伺います。
c_n c_n が Church numeral c_{n^n} とβ 同値であることをいわないと
あとの大きなところをいくらやっても証明したことが求めるものになって
いることがいえないのではないでしょうか?

すみません：
c_n c_n = c_{n^n} は成り立っていることが、12 頁(このスレッド
で紹介された文献) にありました。
また時間ができたとき 64 以下を読みます。

A(3,3)
=A(2,A(3,2))
=A(2,A(2,A(3,1)))
=A(2,A(2,A(2,A(3,0))))
=A(2,A(2,A(2,A(2,1))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,A(2,0)))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,A(1,1)))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,A(0,A(1,0))))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,1))))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,A(0,2)))))
=A(2,A(2,A(2,A(1,3))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(1,2)))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,A(1,1))))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,2))))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,3)))))
=A(2,A(2,A(2,A(0,4))))
=A(2,A(2,A(2,5)))

=A(2,A(2,A(1,A(2,4))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(2,3)))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(2,2))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,1)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,0))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,1))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,0)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,1)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,2))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,3)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,2))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,1)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,2)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,3))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,4)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,5))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,4)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,3))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,2)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,3)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,4))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,5)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,6))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,7)))))

=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(1,6))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,5)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,4))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,5))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,6)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,A(0,7))))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,A(0,8)))))
=A(2,A(2,A(1,A(1,9))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(1,8)))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(1,7))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,6)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,5))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,4)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1))))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))))))))))

=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2))))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3)))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4))))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,5)))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,6))))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,7)))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,A(0,8))))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,A(0,9)))))
=A(2,A(2,A(1,A(0,10))))
=A(2,A(2,A(1,11)))
=A(2,A(2,A(0,A(1,10))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(1,9)))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(1,8))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,7)))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,6))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,5)))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,4))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3)))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2))))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))))))

=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3))))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4)))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,5))))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,6)))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,7))))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,8)))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,9))))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,A(0,10)))))
=A(2,A(2,A(0,A(0,11))))
=A(2,A(2,A(0,12)))
=A(2,A(2,13))
=A(2,A(1,A(2,12)))
=A(2,A(1,A(1,A(2,11))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(2,10)))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,9))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,8)))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,7))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,6)))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,5))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,4)))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,3))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,2)))))))))))))
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=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(2,0)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,1)))))))))))))))
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=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,3)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,4))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,5)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,4))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,3)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,2))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,3))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,4)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,5))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,6)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,7))))))))))))

=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,6)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,5))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,4)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,5)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,6))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,7)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,8))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,9)))))))))))

=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,8)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,7))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,6)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,5)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,4))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,5))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,6)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,7))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,8)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,9))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,10)))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,11))))))))))

=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,10))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,9)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,8))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,7)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,6))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,5))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,4)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,5)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,6))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,7)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,8))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,9)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,10))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,11)))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,12))))))))))

=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,13)))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(1,12))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(1,11)))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,10))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,9)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,8))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,7)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,6))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,5)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,4))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,3)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,2))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))))))))))))))))

=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,3))))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,4)))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,5))))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,6)))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,7))))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,8)))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,9))))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,10)))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,11))))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,A(0,12)))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,A(0,13))))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(0,14)))))))))
=A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,A(1,15))))))))

(中略)
=61

移転
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085245554/l50

スレッド移動してたのに今頃気付きました。
ので>>33の更新データがどっかいっちまってます故、
よろしければ再アプお願いします(;´Д`)

>>90
サーバー移転処理して再アプしました。
http://49uper.com:8080/img-s/1993.zip

更新しましこヽ(´ー｀)ノthx

過去ログになった？

536

511

なんか最近ライバルスレが立ったみたいですね（ｗ

これか。一応はっとこ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087387897/l50

>>97から
25 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/06/18 03:31
そして、巨大数スレで行われていることはすでに
昔々ヒルベルト学派のペーテルらによってやり尽くされている感がある、
というかやりつくされている、と。

ペーテルって誰？なにをやったの？

100

age

本家age

592

201

261

148

481

ここ10レスくらいでは>>103が一番大きい

771

このスレもう終わりか
では巨大濃度(基数)･巨大順序数にせよ

で結局、ふぃっしゅ関数だかが
2重帰納とか言ってた人は、デマカセだったの？

デマカセっつーか、勘違いでしょ。

>>97のスレに書き込んだものの人が来ない・・・。

覚えている香具師もいるかはわかりませんが
久しぶりのカキコです。結局Ver5ふいっしゅ数がどのくらいか
未だにわからず、6スレ目に入ってもなかなか進まんですね。

気になる静岡数ですが、どうやら>>97のスレに似たような
考えで作った巨大関数もあって、まだまだ発展の余地はありそうですね。
次Verの静岡数も構想中ですが、そろそろ順序数も入れようかと
思っているところです。
ただ順序数ではε = ω^ω^・・・のところが気になるところですが。

age

418

なかなか進まないね。あげ。

640

ご無沙汰です。巨大数研究室のurlが変更になるのでお知らせです。
http://www.geocities.jp/ooooxxxx00/

>>119
ご苦労様です

254

使用中ビーバー機能上のNotes1964年には、ミルトン・グリーンが、
回路理論および論理的な設計を切り替えることについて
1964年IEEEのシンポジウムの議事録で公表された使用中のビーバー機能
のための下限を開発しました。
ハイナーMarxenおよびJuergen Buntrockはそれを、
「不自明な(再帰的な原始人ではない)下限」と評しました。
この下限は計算することができるが、複雑すぎるので、nでは単一の表現として
述べることができません。
レイ・カーツワイル、彼の1999年の本の中で使用中のビーバー機能について議論します。
私は、彼の記述が、Ackermann機能を、およびBB(8)に対する値の近い合意のために
暗示するので、彼がｸﾞﾘｰﾝまたはMarxenの結果およびBuntrockを引用していたと信じます。
カーツワイルは、6-状態テューリング機械が「加えることができ」、BB(6)が35である、
と述べます;7-状態機械は増加することができます、また、BB(7)は22961である、また、
8-状態機械ができる、exponentiateする、また、BB(8)はそうです、約1043""。
その後、彼は、BB(10)がその高さが与えられる解説者の別のスタックによって解説者の
スタックの高さが与えられる記法を要求すると次に言います...など;これは一般化された
hyperオペレーターと等価かもしれません。推測上、BB(9)は、類似のhyper4あるいは
hyper5の間で中へ何かです。彼は、BB(12)が「さらに新種の記法」を要求し、人知の範囲
がBB(100)の前に到達する、と言います。少なくとも1つの可能なBB(6)候補が繰り返された
累乗(hyper4の相当物)を実行することはその後示されました。使用中のビーバー機能の実価
を見つけることへの直接のアプローチは、それが何を行うか確かめる規則の個々の可能な
セットを試みて、コンピュータ・プログラムを備えたテューリング機械をシミュレートする
ことです。これにとっての第1の障害は、テストする機械の数が非常に速く増大するという
ことです。林とRadoはforumla(2N-1)4N2N-2(それは以下にリストされた規則のうちの
いくつかを具体化する)を与えます:

明らかに英語のままのほうが読みやすい

938

416

こんにちわ。グラハム数の下10桁の計算が終わりましたので報告します。
下10桁はズバリ 2464195387 です。3↑↑11 らへんからもうずっとこれです。
そして証明はしていませんが、グラハム数の下n桁は、3↑↑(n+1) の下n桁と同じようです。

そして、何を意味するかわからないけど面白いことに気づいたんで↓
3^7 = 2187 ≡ 87(mod 100)
3^87 ≡ 387(mod 10^3)
3^387 ≡ 5387 (mod 10^4)
3^5387 ≡ 95387 (mod 10^5)
…
3^(グラハム数の下(n-1)桁) ≡ グラハム数の下n桁(mod 10^n)

これが証明できれば、グラハム数の下n桁を簡単に計算できる気がします。

もうすこし掘り下げて考察したいのですが、なにしろ大学受験真っ最中ですので、このへんで。
大学に合格したら、あらためてこのプロジェクトに参加させてください。

>>126
何となく面白そうなんで思いつきで書き込み

ちょっと計算したら n>1 のとき
3^(10^n)=522*10^(n+1)+1 (mod 10^(n+4))
が成り立つようです。特に
3^(10^n)=1 (mod 10^(n+1))
なのでこれを使えば統一的に書けるかも。
あと、 3^20=1 (mod 100)　とか。

例えばこんなような感じで
3^G = 3^7 = 87 = G (mod 100)

なんかこんな感じかもしんないです。

x=y+Nq & a^N=1 (mod N) ⇒ a^x=a^y (mod N)
(∵ a^x = (a^y)*((a^N)^q) = (a^y)*1 (mod N))
特に
3↑↑x=3↑↑y (mod 10^n) ⇒ 3↑↑(x+1)=3↑↑(y+1) (mod 10^n)
だから、ある程度小さいkがあって(log G以下ぐらい)
3↑↑(k+1)=3↑↑k (mod 10^n)
となるなら
3^G=G (mod 10^n)

ビジービーバー関数に関する覚え書

１９６４年　ミルトン・グリーンは、ビジービーバー関数における
下限を発見し、１９９４年のスイッチ回路と論理設計に関する
IEEEシンポジウムの議事録にて公表した。

Heiner MarxenとJuergen Buntrockはこれについて
「自明でない(原始再帰的でない)下限」と述べた。

この下限は計算可能だが、あまりに複雑なため、
nを用いた簡単な表現では述べられない。
ｎ=8のとき、この方法では
BB(8) >= 3 × (7 × 392 - 1) / 2 ≅ 8.248×1044
という結果を与える。

>>122 を見ると、人知の範囲はせいぜいＢＢ(100)だと読み取れるが それは、

「人間が知覚できる具体的な数はＢＢ(100)程度」
という意味なのか？それとも

「人間が数学のシステム【構成的な関数等】を駆使して、
　たどりつける数学的概念上の巨大数はＢＢ(100)程度」
という意味なのだろうか？
当然、この両者はぜんぜん別物(後者のほうがより大きい)だから‥‥‥。

それと、過去このスレで話題・提唱された数(グラハム数、ふぃっしゅ数Ver1〜6、バード数、)
は、それぞれＢＢ(？)なのだろう？

＞BB(10)がその高さが与えられる解説者の別のスタックによって解説者の
＞スタックの高さが与えられる記法を要求する‥‥
＞BB(12)が「さらに新種の記法」を要求し、‥‥

チェーン回転関数やふぃっしゅ関数は、上で言うところの「新種の記法」なのだろうか
それともBB(12)は、もっと上の概念を言ってるのだろうか？
　以前にﾌｨｯｼｭ氏がﾛﾊﾞｰﾄ氏にフィッシュ数Ver3を送った時の評価は
当初は、BB(1000000〜100）で後にBB(100以下)に格下げだったようだが‥‥‥。

>>130
私はこんな感じに解釈しました。

Ackerman関数みたいな一種の新しい記法を用いると
BB(9)以降がまともに記述できるようになる。
しかしそれもBB(11)までで、BB(12)をAkで書こうとすると例えば
「Ak(100,100)を階乗だけで表す」
というのと同様に無茶な話になってしまう。
だから「新種の記法」が必要である。
たとえそのようにして新しい記法を生み出していっても、
BB(100)以前に人間の思考力が限界に到達するだろう。

＞　以前にﾌｨｯｼｭ氏がﾛﾊﾞｰﾄ氏にフィッシュ数Ver3を送った時の評価は
＞当初は、BB(1000000〜100）で後にBB(100以下)に格下げだったようだが‥‥‥。

よりシンプルな定義で書ければ、
より小さな値の*によるBB(*)で評価出来るんだから、
どっちかっつ〜と「格上げ」なんじゃね〜の。

宇宙人のチカラでも借りるかw

>>131　解釈ありがとうございます。

ところで、3ｽﾚあたりで出てくる
「O-machine」というのはＢＢ関数をﾁｭｰﾘﾝｸﾞﾏｼｰﾝに取り込んで
新たな関数を生成するシステムってことなのでしょうか？

>>134
Turing machine に関しては不勉強であんまりよく分かってないんですが、
たぶんそんな感じです。
"oracle machine" とかで検索するといろいろ出てくるようです。

流れを読まずに質問するけど
BB関数ってのは計算不可能なんでしょ
ってことは結局∞を別の言葉で言い換えただけで意味ないんじゃないの？

計算不可能 ⇒ ∞を別の言葉で言い換えただけ

という推論が成り立ってしまう藻前のファンタジーの開陳を要望

ま、何にしてもBBは反則だな
論外

941

210

>>97のスレに書いたものを少し手直ししてこっちのスレに書きます。長文失礼。

a→b→c→dをf(a,b,c,d)のように表記する。
f(a)=a
f(a,b)=a^b
f(a,…,x,y,1)=f(a,…,x,y)
f(a,…,x,1,z)=f(a,…,x)
f(a,…,x,y,z)=f(a,…,x,f(a,…,x,y-1,z),z-1)

ここまでなら普通の→表記だが、一つ変数を加える。
f((a,…,z),(1))=f(a,…,z)
f((a),(n))=a
f((a,b),(n))=f((a,…,a),(n-1)) ただしaはb個
f((a,…,x,y,1),(n))=f((a,…,x,y),(n))
f((a,…,x,1,z),(n))=f((a,…,x),(n))
f((a,…,x,y,z),(n))=f((a,…,x,f((a,…,x,y-1,z),(n)),z-1),(n))

さらに、加えた変数をリストへと拡張する。
f((*,…,*),(1,b))=f(*,…,*)
f((*,…,*),(a,b))=f((*,…,*),(f((*,…,*),(a-1,b)),b-1))
f((*,…,*),(a,…,x,y,1))=f((*,…,*),(a,…,x,y))
f((*,…,*),(a,…,x,1,z))=f((*,…,*),(a,…,x))
f((*,…,*),(a,…,x,y,z))=f((*,…,*),(a,…,x,f((*,…,*),(a,…,x,y-1,z)),z-1))

そして、どんどんリストを増やしていく。
(*,…,*),…,(*,…,*)をリストの列と書く。

f(リストの列,(1))=f(リストの列)
f(リストの列,(1,b))=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b))=f(リストの列,(f(リストの列,(a-1,b)),b-1))
f(リストの列,(a,…,x,y,1))=f(リストの列,(a,…,x,y))
f(リストの列,(a,…,x,1,z))=f(リストの列,(a,…,x))
f(リストの列,(a,…,x,y,z))=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z)),z-1))

f(リストの列,(1),(n))=f(リストの列)
f(リストの列,(a),(n))=f(リストの列,(a))
f(リストの列,(1,b),(n))=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b),(n))=f(リストの列,(a,…,a),(n-1)) ただしaはb個
f(リストの列,(a,…,x,y,1),(n))=f(リストの列,(a,…,x,y),(n))
f(リストの列,(a,…,x,1,z),(n))=f(リストの列,(a,…,x),(n))
f(リストの列,(a,…,x,y,z),(n))=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z),n),z-1),(n))

こうして、リストが二重になった関数ができた。さらに、三重以降に拡張する。
三重以降も上と同様に、一番最後の一重リストから計算していく。
f(m重リストの列,(a,b),(n))=f(m重リストの列,((a,…,a),…,(a,…,a)),(n-1))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はm重リストで、各リストの要素はb個。
例えばm=3,a=4,b=2のとき(((4,4),(4,4)),((4,4),(4,4)))となる。

これで、多重リストの関数fができた。次にf_2を定義する。
f_2の計算法はfとほとんど同じだが、下の式が違う。
f_2(a,b)=f((a,…,a),…,(a,…,a))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はb重リストで、各リストの要素はb個。
同様にf_3以降も定義する。
f_n(a,b)=f_(n-1)((a,…,a),…,(a,…,a))

このときのf_64(3,3)の大きさはどのくらいだろうか。

具体的な例を挙げてみます。()の数が見づらいですが注意して見てください。
f((a,b),(c,3,3))=f((a,b),(c,f((a,b),(c,2,3)),2))
f((a,b),(c,3,3),(4))=f((a,b),(c,f((a,b),(c,2,3),(4)),2),(4))
f(((a,b),(c,3,3),(4)),((5)))=f(((a,b),(c,f(((a,b),(c,2,3),(4)),((5))),2),(4)),((5)))
f((a,b),(4,3))=f((a,b),(f((a,b),(3,3)),2))
f((a,b),(4,3),(6))=f((a,b),(4,4,4),(5))
f(((a,b),(4,3),(6)),((7)))=f(((a,b),(4,4,4),(5)),((7)))
f(((a,b),(c,d)),((4,3)),((6)))=f(((a,b),(c,d)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((5)))
f(((a,b),(c,d)))=f((a,b),(c,d))
f(((a,b)),((c)))≠f((a,b),(c))
リストの途中に1があればそこから後は消去できますし、
リストの最後に1を付け足すこともできます。
f((a,b,1,c,d),(x,y))=f((a,b),(x,y))
f((a,b),(1),(c,d))=f((a,b))=f(a,b)
f((a,b),(c),(2))=f((a,b),(c,1),(2))=f((a,b),(c),(1))=f((a,b),(c))
f_2(4,3)=f(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)))

がんばってはりますな〜。

でもぶっちゃけ、
でかい関数作るだけなら、
変数増やして派手な漸化式
でっちあげたらできるんよね。

ふぃっしゅが受けたのは、
あれにはちょいとした
工夫があったからね。
で、チェーンとの競争という
手ごろな２ちゃんネタも
あったわけ。でも
ふぃっしゅは何重帰納的か？
ってのは、
2ちゃんネタとしては
重すぎたみたいね。

2次ブームには、そこら辺、
要は手頃な玩具が必要かな。

>>144
確かに、141-143の関数は考えとしては
・a→b→c→d=a→b→(a→b→c-1→d)→d-1
・a↑↑b=a↑a↑a↑…(aがb個)…↑a↑a↑a
の二つしか使ってないので新発想はほとんどない。
だから>>97のスレでは「→を使った表記を拡張」として
書いていたけど、やっぱり面白みはないか。

188

バード数と大きさを大雑把に比較してみた。
バード数の定義は巨大数研究室(>>119)を参照。
また、矢印回転表記は巨大数探索スレッド5の7を参照。
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)ということから、
↑n(a,b,2)=f((a,b,1),(n))
↑n(a,b,c)=f((a,b,c-1),(n))
Gはグラハム数とすると、
G<3→3→3→3=f(3,3,3,3)

N＝3(↑G)[4]3
=3(↑G+1)3(↑G+1)4
=↑G+1(3,3,4)
=f((3,3,3),(G))
=f((3,3),(G+1))
<f((3,3),(f(3,3,3,3)))
=f((3,3),(f((3,4),(2))))
<f((3,3),(f((3,3),(3))))
<f((3,3),(f((3,3),(f(3,3)))))
=f((3,3),(3,2))

X(1)＝N(↑N)[N]N
=f((N,N,N-1),(N))
<f((N,3),(N+1))
<f((N,3),(f(N,3)))
=f((N,3),(2,2))
<f((3,3),(3,N))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,f((3,3),(3))))))
=f((3,3),(3,3,2))

X(n)＝X(n-1)(↑X(n-1))[X(n-1)]X(n-1)
=f((X(n-1),X(n-1),X(n-1)-1),(X(n-1)))
<f((X(n-1),3),(X(n-1)+1))
<f((X(n-1),3),(f(X(n-1),3)))
=f((X(n-1),3),(2,2))
<f((3,3),(3,X(n-1)))

X(2)<f((3,3),(3,X(1)))
<f((3,3),(3,f((3,3),(3,3,2))))
=f((3,3),(3,4,2))
以下同様にして、
X(n)<f((3,3),(3,n+2,2))

X_2(1)＝X_1(N)=X(N)
<f((3,3),(3,N+2,2))
<f((3,3),(3,3,N))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,3))))
=f((3,3),(3,3,2,2))

X_2(2)＝(X_1)^2(N)＝X_1(X_1(N))
<f((3,3),(3,X_1(N)+2,2))
<f((3,3),(3,3,X_1(N)))
<f((3,3),(3,3,f((3,3),(3,3,2,2))))
=f((3,3),(3,3,3,2))
以下同様にして、
X_2(n)<f((3,3),(3,3,n+1,2))

X_3(1)＝X_2(N)
<f((3,3),(3,3,N+1,2))
<f((3,3),(3,3,3,N))
<f((3,3),(3,3,3,f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3,3,f((3,3),(3,3,3))))
=f((3,3),(3,3,3,2,2))

以下同様にして、
X_n(1)<f((3,3),(3,…3がn個…,3,2,2))
<f((3,3),(3,n+2),(2))

H＝X_N(N)=X_(N+1)(1)
<f((3,3),(3,N+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(N))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3))))
=f((3,3),(3,3),(2,2))

以下の説明では入れ子操作をn回行った数をY_nと表す。
Y_1=X_H(N)=X_(H+1)(1)
<f((3,3),(3,H+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(H))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3),(2,2))))
=f((3,3),(3,3),(3,2))

Y_2=X_(X_H(N))(N)=X_(Y_1)(N)=X_((Y_1)+1)(1)
<f((3,3),(3,(Y_1)+3),(2))
<f((3,3),(3,3),(Y_1))
<f((3,3),(3,3),(f((3,3),(3,3),(3,2))))
=f((3,3),(3,3),(4,2))
以下同様にして、
Y_n<f((3,3),(3,3),(n+2,2))

バード数=Y_(X_H(N))
<f((3,3),(3,3),(X_H(N)+2,2))
<f((3,3),(3,3),(3,X_H(N)))
<f((3,3),(3,3),(3,f((3,3),(3,3),(3,2))))
<f((3,3),(3,3),(3,f((3,3),(3,3),(3,2,2))))))
=f((3,3),(3,3),(3,3,2)))
<f((3,3,3),(3,3,3),(3,3,3))
<f(((3,3)),((2)))

∴バード数<f(((3,3)),((2)))
無論、バード数よりf_64(3,3)のほうがずっと大きい。

この関数の計算法に関して大雑把に説明してみる。
基本的には、a→…→x→y→z=a→…→x→(a→…→x→y-1→z)→z-1
のようなことを繰り返して最後のほうから数を減らしていく。
例:f((a,b),(c,x),(y,z))=f((a,b),(c,x),(f((a,b),(c,x),(y-1,z)),z-1))
リストの途中に1が出たら、そのリストのそこから後は消去できる。
例:f((a,b),(c,x),(y,1))=f((a,b),(c,x),(y))
例:f((a,b),(c,x),(1,z))=f((a,b),(c,x))
注:f(((a,b),(1,x)),((y)))=f(((a,b)),((y)))　（左のyは消去できない）
括弧の中身が数一つになったら、ひとまずその数を無視してその前を計算する。
例:f((a,b),(c,x),(y))=f((a,b),(f((a,b),(c-1,x),(y)),x-1),(y))
数一つの括弧の左に数二つの括弧となったら、下の例のようにする。
例:f((4,3),(n))=f((4,4,4),(n-1))　（4を3個並べる）
例:f(((4,3)),((n)))=f(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((n-1)))　（括弧が何重なのかは合わせる）
注:f((a,b),(x),(y))=f((a,b),(x,1),(y))=f((a,b),(x),(y-1))=…=f((a,b),(x),(1))=f((a,b),(x))
　　（1を補って考える。最後の括弧の中身が1になったら消去する。）
全体が多重括弧で囲まれたら、一重括弧にする。
例:f((a,b,c))=f(a,b,c)
例:f(((a,b),(x,y)))=f((a,b),(x,y))
最後に数が二つだけになったら、下のようにする。
例:f(a,b)=a^b
例:f_3(4,3)=f_2(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)))
　　（3重括弧にして、4を3つずつ並べる）

書いていることが理解されているのか、そもそも誰か読んでくれる人がいるのか、それが分からない。

いるよ。でも記数法としては、ふぃっしゅ数の2.3あたりの
ｓ変換回数をどんどん上位の対角関数化していくのと、どっちが効率がいいんだろ

ふぃっしゅ数と大きさを比較してみようとしたけれど、
ふぃっしゅ数はバード数と違って独特な方法で巨大な数を作り出しているので
そう簡単には比較できそうにない･･･。
果たしてふぃっしゅ数はこの表記法で表せる大きさなのか、
それともこの表記法ではとても表せないほどの大きさなのだろうか。

ご無沙汰です。
バード数の具体的な大小比較というのは今回が初めてだったでしょうか。
巨大数サイトのゼミ成果ページに加えようかと思うのですが、
いかがでしょう。

>>154
別にかまいませんよ。

ありがとうございます。ぼちぼち更新しようと思います。

Oh! NO

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

年の瀬の忙しい時期になりましたね。
どうぞ、皆様よいお年を。

ふぃっしゅ関数

>>156「超巨大数への挑戦」というリンクのリンク先が移転したようです。修正おねがいします。

★★★★★でかい数の格付け★★★★★
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/ranking/1086774385/

巨大数 (Wikipidia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0

紙に書くのとは違うから、括弧のくくりとかが非常にわかりにくいですね。
空白を多用し、例えば>>151 の 4 行目

例:f((a,b),(c,x),(y,z))=f((a,b),(c,x),(f((a,b),(c,x),(y-1,z)),z-1))
を
f( [a,b] , [c,x] , [y,z] ) = f( [a,b] , [c,x] , [ f( (a,b),(c,x),(y-1,z) ),z-1 ] )

のように表記すると非常にわかりやすいと思います。

めちゃくちゃ久しぶりにあげます。
こっちも卒研追い込み中。

すみません(;´Д`)更新やるやる言ってさっぱりです。
もし明日の仕事がオフなら一気にやってしまおうと思います。
あのサイトってwikipediaで参照されてるんですね。驚き。

すべて、もやしっ子さんのおかげです。乙(^Ξ^)

超巨大数への挑戦のリンク修正とバード数比較をやっておきました。
コピペしただけですが(;´Д`)ミス指摘等あればよろしくどうぞ

９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９の９９９９９９９９９９９９９９９９９９９乗

>>169
今更そんな小さな数書かれてもなー

ゲーデル数とグラハム数どっちがでかい？

>>171
ゲーデル数というだけでは「ある１つの数」を指さないので
比較不可能。たとえば、
http://www.shayashi.jp/history/diggression.html

例えば、”Godel” という文字列ですと、G, o, d, e, l
という４文字のＡＳＣＩＩコードが３桁の１０進数で、
071 111 100 101 108 なので、そのゲーデル数は、
71111100101108　となります。

この"Godel"よりはグラハム数の方が大きい。

じゃあ、ペアノ算術を元にした自然言語による自然数論に存在する最も小さいゲーデル数は？
我々が日常使う推論では絶対到達できない正しい命題だから、そーとー複雑（大きい）のではないかと。
グラハム数はずるがしこい小学生なら理解で競うじゃん。

まずゲーデル数の作り方を明示しなきゃ・・・
でもどうやってもたいした大きさにはならないような気がするが

173

321

708

854

はじめまして。
いきなりですが、急激に増加する関数はたとえば、1面がｎ×ｎ個のブロックで出来るルービックキューブ
のすべての組み合わせとかはどうでしょう？

>>179
ちゃんと計算してないけどAck(5,n)ぐらいで十分抑えられそうな気が。

f(x) = x+1

N{f,x,1} = f(x)
N{f,x,2} = f(f(x)) :f(x)を2回合成
N{f,x,3} = f(f(f(x))) :f(x)を3回合成
...
N{f,x,n} = f(f(f(...f(x)...))) :f(x)をn回合成

f[1](x) = N{f,x,f(x)}
f[2](x) = N{f[1],x,f[1](x)}
f[3](x) = N{f[2],x,f[2](x)}
...
f[n](x) = N{f[n-1],x,f[n-1](x)}

f[1,1](x) = N{f[x],x,f[x](x)}
f[1,2](x) = N{f[1,1],x,f[1,1](x)}
f[1,3](x) = N{f[1,2],x,f[1,2](x)}
...
f[1,n](x) = N{f[1,n-1],x,f[1,n-1](x)}

f[2,1](x) = N{f[1,x],x,f[1,x](x)}
f[2,2](x) = N{f[2,1],x,f[2,1](x)}
f[2,3](x) = N{f[2,2],x,f[2,2](x)}
...
f[2,n](x) = N{f[2,n-1],x,f[2,n-1](x)}

f[3,1](x) = N{f[1,x],x,f[1,x](x)}
f[3,2](x) = N{f[3,1],x,f[3,1](x)}
f[3,3](x) = N{f[3,2],x,f[3,2](x)}
...
f[3,n](x) = N{f[3,n-1],x,f[3,n-1](x)}

f[1,1,1](x) = N{f[x,x],x,f[x,x](x)}
f[1,1,2](x) = N{f[1,1,1],x,f[1,1,1](x)}
f[1,1,3](x) = N{f[1,1,2],x,f[1,1,2](x)}
...
f[1,1,n](x) = N{f[1,1,n-1],x,f[1,1,n-1](x)}

f[1,2,1](x) = N{f[1,1,x],x,f[1,1,x](x)}
f[1,2,2](x) = N{f[1,2,1],x,f[1,2,1](x)}
f[1,2,3](x) = N{f[1,2,2],x,f[1,2,2](x)}
...
f[1,2,n](x) = N{f[1,2,n-1],x,f[1,2,n-1](x)}

f[1,3,1](x) = N{f[1,2,x],x,f[1,2,x](x)}
f[1,3,2](x) = N{f[1,3,1],x,f[1,3,1](x)}
f[1,3,3](x) = N{f[1,3,2],x,f[1,3,2](x)}
...
f[1,3,n](x) = N{f[1,3,n-1],x,f[1,3,n-1](x)}

f[2,1,1](x) = N{f[1,x,x],x,f[1,x,x](x)}
f[2,1,2](x) = N{f[2,1,1],x,f[2,1,1](x)}
f[2,1,3](x) = N{f[2,1,2],x,f[2,1,2](x)}
...
f[2,1,n](x) = N{f[2,1,n-1],x,f[2,1,n-1](x)}

f[2,2,1](x) = N{f[2,1,x],x,f[2,1,x](x)}
f[2,2,2](x) = N{f[2,2,1],x,f[2,2,1](x)}
f[2,2,3](x) = N{f[2,2,2],x,f[2,2,2](x)}
...
f[2,2,n](x) = N{f[2,2,n-1],x,f[2,2,n-1](x)}

f[2,3,1](x) = N{f[2,2,x],x,f[2,2,x](x)}
f[2,3,2](x) = N{f[2,3,1],x,f[2,3,1](x)}
f[2,3,3](x) = N{f[2,3,2],x,f[2,3,2](x)}
...
f[2,3,n](x) = N{f[2,3,n-1],x,f[2,3,n-1](x)}

f[3,1,1](x) = N{f[2,x,x],x,f[2,x,x](x)}
f[3,1,2](x) = N{f[3,1,1],x,f[3,1,1](x)}
f[3,1,3](x) = N{f[3,1,2],x,f[3,1,2](x)}
...
f[3,1,n](x) = N{f[3,1,n-1],x,f[3,1,n-1](x)}

f[3,2,1](x) = N{f[3,1,x],x,f[3,1,x](x)}
f[3,2,2](x) = N{f[3,2,1],x,f[3,2,1](x)}
f[3,2,3](x) = N{f[3,2,2],x,f[3,2,2](x)}
...
f[3,2,n](x) = N{f[3,2,n-1],x,f[3,2,n-1](x)}

f[3,3,1](x) = N{f[3,2,x],x,f[3,2,x](x)}
f[3,3,2](x) = N{f[3,3,1],x,f[3,3,1](x)}
f[3,3,3](x) = N{f[3,3,2],x,f[3,3,2](x)}
...
f[3,3,n](x) = N{f[3,3,n-1],x,f[3,3,n-1](x)}

F(x) = N{f[x,x,x],x,f[x,x,x](x)}

このF(x)の巨大数生成具合はどんなもんでしょう？

二重帰納かなあ・・・確信は無いけど見た感じは。

>>181の
f[3,1](x) = N{f[1,x],x,f[1,x](x)}

は間違いで

f[3,1](x) = N{f[2,x],x,f[2,x](x)}

が正しいです。

>>185
どうやって評価すればいいでしょう？

ちょっと真面目に計算してみたら三重帰納な気がしてきました。
[]の中に入ってる列の長さと、列の最後尾の数と、ネストした回数についての帰納法なので。
もしかしたら二重で書けるかもしれないですが。

F(l,0,x)=x
F(0,1,x)=x+1
F(l+1,1,x)=F(l,F(l,1,x),x)
F(l,n+1,x)=F(l,n,F(l,1,x)) (n>0)
とすると
F(l,n,x)=N{F(l,1,-), x, n} になるから f[l](x)=F(l-1,F(l-1,1,x),x) は三重帰納で書ける。
ただ n,x はまとめられるのではないかという気がして、二重帰納になるかなと。

あと、
f[l] が n 重帰納 ⇒ f[m,n] は n+1 重帰納
f[m,n] が n 重帰納 ⇒ >>182以降のものも n 重帰納
がいえると予想しています。

>>187
書き直してみました。
いかがでしょう。

f(x) = x+1

N(f,0,x) = f(x)
N(f,n,x) = N(f,n-1,f(x))

f[0](x) = f(x)
f[n](x) = N(f[n-1],f[n-1](x),x)

f[0,0](x) = f[x](x)
f[0,n](x) = N(f[0,n-1],f[0,n-1](x),x)
f[m,n](x) = N(f[m-1,n],f[m-1,n](x),x)

f[0,0,0](x) = f[x,x](x)
f[0,0,n](x) = N(f[0,0,n-1],f[0,0,n-1](x),x)
f[0,m,n](x) = N(f[0,m-1,n],f[0,m-1,n](x),x)
f[l,m,n](x) = N(f[l-1,m,n],f[l-1,m,n](x),x)

f[0,0,0,0](x) = f[x,x,x](x)
f[0,0,0,n](x) = N(f[0,0,0,n-1],f[0,0,0,n-1](x),x)
f[0,0,m,n](x) = N(f[0,0,m-1,n],f[0,0,m-1,n](x),x)
f[0,l,m,n](x) = N(f[0,l-1,m,n],f[0,l-1,m,n](x),x)
f[k,l,m,n](x) = N(f[k-1,l,m,n],f[k-1,l,m,n](x),x)

f[0,0,0,0,0](x) = f[x,x,x,x](x)
...

>>188
Ack(x+1,y)=N(Ack(x,-), y, 1)
ですよねえ・・・
まずこれとf[n](x)ってどれぐらい違うんでしょう？

Ack(x+1,y)=N(Ack(x,-), y+1, 1) でした。

計算してみたら
Ack(4n,x) > f[n](x)
らしいことがわかりました。
これが正しければ増大度の点ではあんまり変わらないといえます。
f[0,0]以降についてはまだ評価していませんが。

>>189-190
評価ありがとうございます。

f[n](x) はアッカーマン関数と同程度なんですね。

するとf[0,0]以降もアッカーマン関数を拡張して
こんな具合に表現すればいいのかもしれませんね。

第1アッカーマン関数
Ack(0,n) = n+1
Ack(m,0) = Ack(m-1,Ack(m-1,1))
Ack(m,n) = Ack(m-1,Ack(m,n-1))

第2アッカーマン関数
Ack(0,0,n) = n+1
Ack(l,0,n) = Ack(l-1,n+1,n)
Ack(l,m,0) = Ack(l,m-1,Ack(l,m-1,1))
Ack(l,m,n) = Ack(l,m-1,Ack(l,m,n-1))

第3アッカーマン関数
Ack(0,0,0,n) = n+1
Ack(k,0,m,n) = Ack(k-1,m+1,n+1,n)
Ack(k,l,0,n) = Ack(k,l-1,n+1,n)
Ack(k,l,m,0) = Ack(k,l,m-1,Ack(k,l,m-1,1))
Ack(k,l,m,n) = Ack(k,l,m-1,Ack(k,l,m,n-1))

第4アッカーマン関数
Ack(0,0,0,0,n) = n+1
Ack(j,0,l,m,n) = Ack(j-1,k+1,m+1,n+1,n)
Ack(j,k,0,m,n) = Ack(j,k-1,m+1,n+1,n)
Ack(j,k,l,0,n) = Ack(j,k,l-1,n+1,n)
Ack(j,k,l,m,0) = Ack(j,k,l,m-1,Ack(j,k,l,m-1,1))
Ack(j,k,l,m,n) = Ack(j,k,l,m-1,Ack(j,k,l,m,n-1))

第5アッカーマン関数
Ack(0,0,0,0,0,n) = n+1
Ack(i,0,k,l,m,n) = Ack(i-1,j+1,k+1,m+1,n+1,n)
Ack(i,j,0,l,m,n) = Ack(i,j-1,k+1,m+1,n+1,n)
Ack(i,j,k,0,m,n) = Ack(i,j,k-1,m+1,n+1,n)
Ack(i,j,k,l,0,n) = Ack(i,j,k,l-1,n+1,n)
Ack(i,j,k,l,m,0) = Ack(i,j,k,l,m-1,Ack(i,j,k,l,m-1,1))
Ack(i,j,k,l,m,n) = Ack(i,j,k,l,m-1,Ack(i,j,k,l,m,n-1))

こう書くとチェインっぽくなってますます二重帰納な感じがしてくるのですが、
二重帰納の形になってないんですよね。。。

突然ですがビジービーバー関数って何ですか？

過去スレ嫁

今ふっと思ったんだが、
フラクタルみたいに、巨大数を作るプロセスの部分が全体と相似で、
どこまでも無限数を生み出すプロセスが生みこまれているのってどうよ？
具体的にどうすればいいのかまではちょっとワカランが。

typo訂正
生みこまれて→埋め込まれて

435

153

200

c_0 = 0
c_1 = 1

f_0(c_0) = c_1
f_0(n_0) = f_0(n_0-c_1)+f_0(c_0)

f_1(c_0,n_0) = f_0(n_0)
f_1(n_1,c_0) = f_1(n_1-c_1,f_1(c_0,c_0-c_0))
f_1(n_1,n_0) = f_1(n_1-c_1,f_1(n_1,n_0-c_1))

f_2(c_0,n_1,n_0) = f_1(n_1,n_0)
f_2(n_2,c_0,c_0) = f_2(n_2-c_1,f_2(c_0,c_0-c_0,c_0),f_2(c_0,c_0,c_0-c_0))
f_2(n_2,c_0,n_0) = f_2(n_2-c_1,f_2(c_0,c_0-c_0,c_0),f_2(n_2,c_0,n_0-c_1))
f_2(n_2,n_1,c_0) = f_2(n_2-c_1,f_2(n_2,n_1-c_1,c_1),f_2(c_0,c_0,c_0-c_0))
f_2(n_2,n_1,n_0) = f_2(n_2-c_1,f_2(n_2,n_1-c_1,n_0),f_2(n_2,n_1,n_0-c_1))

f_3(c_0,n_2,n_1,n_0) = f_2(n_2,n_1,n_0)
f_3(n_3,c_0,c_0,c_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(c_0,c_0-c_0,c_0,c_0),f_3(c_0,c_0,c_0-c_0,c_0),f_3(c_0,c_0,c_0,c_0-c_0))
f_3(n_3,c_0,c_0,n_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(c_0,c_0-c_0,c_0,c_0),f_3(c_0,c_0,c_0-c_0,c_0),f_3(n_3,c_0,c_0,n_0-c_1))
f_3(n_3,c_0,n_1,c_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(c_0,c_0-c_0,c_0,c_0),f_3(n_3,c_0,n_1-c_1,c_1),f_3(c_0,c_0,c_0,c_0-c_0))
f_3(n_3,c_0,n_1,n_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(c_0,c_0-c_0,c_0,c_0),f_3(n_3,c_0,n_1-c_1,n_0),f_3(n_3,c_0,n_1,n_0-c_1))
f_3(n_3,n_2,c_0,c_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(n_3,n_2-c_1,c_1,c_1),f_3(c_0,c_0,c_0-c_0,c_0),f_3(c_0,c_0,c_0,c_0-c_0))
f_3(n_3,n_2,c_0,n_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(n_3,n_2-c_1,c_1,n_0),f_3(c_0,c_0,c_0-c_0,c_0),f_3(n_3,n_2,c_0,n_0-c_1))
f_3(n_3,n_2,n_1,c_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(n_3,n_2-c_1,n_1,c_1),f_3(n_3,n_2,n_1-c_1,c_1),f_3(c_0,c_0,c_0,c_0-c_0))
f_3(n_3,n_2,n_1,n_0) = f_3(n_3-c_1,f_3(n_3,n_2-c_1,n_1,n_0),f_3(n_3,n_2,n_1-c_1,n_0),f_3(n_3,n_2,n_1,n_0-c_1))

f_3(3,3,3,3)

>>141-143の規則を少し書き換えてみた。
ただ書き換えただけでなく、規則自体が変わっているところもある。(以下の10,11,13)

1. )が右端に来ている括弧は一番外側のもの以外省略できる。
　 例：f(a,b,(c,((d,e),f)))=f(a,b,c,(d,e),f)
2.f(…,a,b),c)),d),e)のようになっていて8〜11のパターンに当てはまらない場合は、
　 …,a,b)となっている部分を1,5〜7に当てはめる。
3.f(a)=a
4.f(a,b)=a^b
5.f(…,1)=f(…)
6.f(…,1,a)=f(…)
7.f(…,a,b)=f(…,★,b-1)
　ただし★=f(…,a-1,b)
8.f(…,(a),c)=f(…,a)
9.f(…,(a,b),c)=f(…,(a,(a,b-1),2),c-1)
10.f(…,<a>,c)=f(…,[a,a])=f(…,a,a)
11.f(…,<a,b>,c)=f(…,([a,a],<a,b-1>,c),c-1)
　　ただし<>は()がn重に重なったもの、[]は()がn-1重に重なったもの
　　例：f(…,(((a,b))),c)=f(…,(((a,a)),(((a,b-1))),c-1),c-1)
12.f_1(…)=f(…)
13.f_c(a,b)=f_(c-1)(<a,b>,2)
　　ただし<>は()がb重に重なったもの
14.f_c(…)は1,2,5〜13に従って計算する。

具体的な計算は下のようになる。
例1：f_2(3,2)
=f_1(((3,2)),2)　規則13
=f(((3,2)),2)　規則12
=f(((3,3),((3,1)),2),1)　規則11
=f(((3,3),((3,1)),2))　規則5
=f((3,3),((3,1)),2)　規則1
=f((3,3),((3)),2)　規則2,5
=f((3,3),(3,3))　規則10
=f((3,3),3,3)　規則1
=f((3,3),★,2)　規則7
★=f((3,3),2,3)
=f((3,3),☆,2)　規則7
☆=f((3,3),1,3)
=f((3,3))　規則6
=f(3,3)　規則1
=27　規則4
★=f((3,3),☆,2)
=f((3,3),27,2)
=f((3,3),◆,1)　規則7
=f((3,3),◆)　規則5
◆=f((3,3),26,2)=…

例2：f((3,3),27)
=f((3,(3,2),2),26)　規則9
=f((3,(3,(3,1),2),1),26)　規則9
=f((3,(3,(3),2)),26)　規則2,5
=f((3,3,(3),2),26)　規則2,1
=f((3,3,3),26)　規則2,8

グラハム数ってこういうこと？

a↑b=a^a^a^...^a(b個)
a↑↑b=a↑a↑a...a↑a↑a(b個)
a↑↑↑b=a↑↑a↑↑a...a↑↑a↑↑a(b個)

a→b→c=a↑↑↑...(c個)...↑↑↑b
a→b→c→d=a→b→(a→b→c-1→d)→d-1
a→→b=a→a→a...a→a→a(b個)
a→→→b=a→→a→→a...a→→a→→a(b個)

a↓b↓c=a→→→...(c個)...→→→b
a↓b↓c↓d=a↓b↓(a↓b↓c-1↓d)↓d-1
a↓↓b=a↓a↓a...a↓a↓a(b個)
a↓↓↓b=a↓↓a↓↓a...a↓↓a↓↓a(b個)

a←b←c=a↓↓↓...(c個)...↓↓↓b
a←b←c←d=a←b←(a←b←c-1←d)←d-1
a←←b=a←a←a...a←a←a(b個)
a←←←b=a←←a←←a...a←←a←←a(b個)

a↑^(2)b↑^(2)c=a←←←...(c個)...←←←b
a↑^(2)b↑^(2)c↑^(2)d=a↑^(2)b↑^(2)(a↑^(2)b↑^(2)c-1↑^(2)d)↑^(2)d-1
a↑^(2)↑^(2)b=a↑^(2)a↑^(2)a...a↑^(2)a↑^(2)a(b個)
a↑^(2)↑^(2)↑^(2)b=a↑^(2)↑^(2)a↑^(2)↑^(2)a...a↑^(2)↑^(2)a↑^(2)↑^(2)a(b個)

a→^(2)b→^(2)c=a↑^(2)↑^(2)↑^(2)...(c個)...↑^(2)↑^(2)↑^(2)b
a→^(2)b→^(2)c→^(2)d=a→^(2)b→^(2)(a→^(2)b→^(2)c-1→^(2)d)→^(2)d-1
a→^(2)→^(2)b=a→^(2)a→^(2)a...a→^(2)a→^(2)a(b個)
a→^(2)→^(2)→^(2)b=a→^(2)→^(2)a→^(2)→^(2)a...a→^(2)→^(2)a→^(2)→^(2)a(b個)

a↓^(2)b↓^(2)c=a→^(2)→^(2)→^(2)...(c個)...→^(2)→^(2)→^(2)b
a↓^(2)b↓^(2)c↓^(2)d=a↓^(2)b↓^(2)(a↓^(2)b↓^(2)c-1↓^(2)d)↓^(2)d-1
a↓^(2)↓^(2)b=a↓^(2)a↓^(2)a...a↓^(2)a↓^(2)a(b個)
a↓^(2)↓^(2)↓^(2)b=a↓^(2)↓^(2)a↓^(2)↓^(2)a...a↓^(2)↓^(2)a↓^(2)↓^(2)a(b個)

a←^(2)b←^(2)c=a↓^(2)↓^(2)↓^(2)...(c個)...↓^(2)↓^(2)↓^(2)b
a←^(2)b←^(2)c←^(2)d=a←^(2)b←^(2)(a←^(2)b←^(2)c-1←^(2)d)←^(2)d-1
a←^(2)←^(2)b=a←^(2)a←^(2)a...a←^(2)a←^(2)a(b個)
a←^(2)←^(2)←^(2)b=a←^(2)←^(2)a←^(2)←^(2)a...a←^(2)←^(2)a←^(2)←^(2)a(b個)

...

a↑^(n)b↑^(n)c=a←^(n-1)←^(n-1)←^(n-1)...(c個)...←^(n-1)←^(n-1)←^(n-1)b
a↑^(n)b↑^(n)c↑^(n)d=a↑^(n)b↑^(n)(a↑^(n)b↑^(n)c-1↑^(n)d)↑^(n)d-1
a↑^(n)↑^(n)b=a↑^(n)a↑^(n)a...a↑^(n)a↑^(n)a(b個)
a↑^(n)↑^(n)↑^(n)b=a↑^(n)↑^(n)a↑^(n)↑^(n)a...a↑^(n)↑^(n)a↑^(n)↑^(n)a(b個)

a→^(n)b→^(n)c=a↑^(n)↑^(n)↑^(n)...(c個)...↑^(n)↑^(n)↑^(n)b
a→^(n)b→^(n)c→^(n)d=a→^(n)b→^(n)(a→^(n)b→^(n)c-1→^(n)d)→^(n)d-1
a→^(n)→^(n)b=a→^(n)a→^(n)a...a→^(n)a→^(n)a(b個)
a→^(n)→^(n)→^(n)b=a→^(n)→^(n)a→^(n)→^(n)a...a→^(n)→^(n)a→^(n)→^(n)a(b個)

a↓^(n)b↓^(n)c=a→^(n)→^(n)→^(n)...(c個)...→^(n)→^(n)→^(n)b
a↓^(n)b↓^(n)c↓^(n)d=a↓^(n)b↓^(n)(a↓^(n)b↓^(n)c-1↓^(n)d)↓^(n)d-1
a↓^(n)↓^(n)b=a↓^(n)a↓^(n)a...a↓^(n)a↓^(n)a(b個)
a↓^(n)↓^(n)↓^(n)b=a↓^(n)↓^(n)a↓^(n)↓^(n)a...a↓^(n)↓^(n)a↓^(n)↓^(n)a(b個)

a←^(n)b←^(n)c=a↓^(n)↓^(n)↓^(n)...(c個)...↓^(n)↓^(n)↓^(n)b
a←^(n)b←^(n)c←^(n)d=a←^(n)b←^(n)(a←^(n)b←^(n)c-1←^(n)d)←^(n)d-1
a←^(n)←^(n)b=a←^(n)a←^(n)a...a←^(n)a←^(n)a(b個)
a←^(n)←^(n)←^(n)b=a←^(n)←^(n)a←^(n)←^(n)a...a←^(n)←^(n)a←^(n)←^(n)a(b個)

のとき、4↑^(64)4 がグラハム数？

なの？

グラハム数はそんなに大きくない。
f(x)=3→3→xと定め、f(f(x))=f^2(x)、f(f(f(x)))=f^3(x)のように表記したときの
f^64(4)がグラハム数。

>>202の訂正
1-1.f(…,(a))=f(…,a)
1-2.f(…,(a,b))=f(…,a,b)
として、このパターンに当てはまるときのみ括弧を外すことが出来るとする。

ただし、このように定めてもf(a,b,(c,((d,e),f)))=f(a,b,c,(d,e),f)の式などは成り立っている。

2.「f(…,a,b),c)),d),e)のようになっていて」というのをきちんと説明するなら、
「右側が「数字一つに ) が一つ以上」の繰り返しになっているとき」ということ。
「数字一つに ) が一つ以上」というのは例えば ,3) とか ,27)))) とかです。

>>208
追加して書くと、
3→3→64→2=f^63(27)＜グラハム数=f^64(4)＜3→3→65→2=f^64(27)

グラハム数ちっちぇー！

はじめまして
10^10^10（10^10回続く）と
3^3^3^3（3^3^3回続く）はどちらが大きいのですか？

age

10^10^10（10^10回続く）=10→10→(10^10)
=10→10→10000000000

3^3^3^3（3^3^3回続く）=3→3→(3^3^3)
=3→3→7625597484987

えーと

10^10^10（10^10回続く）
=10↑↑（10↑10）
<27↑↑(10↑10)
<3↑↑(3*(10↑10)) = 3↑↑(30000000000))
<3↑↑(762597484987) = 3↑↑(3↑3↑3)
=3^3^3^3（3^3^3回続く）

ありがとうございます。
３↑↑↑３になるのかな？
でも、グラハム数第１段階は
３↑↑↑↑３か。
10^10^10（10^10回続く）がちっぽけに思えてくるのが第１段階って
いったいどれほどの・・。

最近チェーンの記法を知って以来、気になって仕方がない。
2→3→2→2と3→3→4の大小の比較とか、そんなんやってばっか。
2→3→2→2
=2→3→(2→3→1→2)→1
=2→3→8
=2↑↑↑↑↑↑↑↑3
=2↑↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑↑↑2
=2↑↑↑↑↑↑↑4
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑↑2
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑↑4
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑4
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑2↑↑↑↑2↑↑↑↑2
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑2↑↑↑2↑↑2↑2↑2↑2
=2↑↑↑↑↑↑2↑↑↑↑↑2↑↑↑↑2↑↑↑2↑↑65536
えーと・・・
3→3→4
=3↑↑↑↑3
=3↑↑↑3↑↑↑3
=3↑↑↑3↑↑3↑↑3
=3↑↑↑3↑↑7625597484987
もうどうして良いか分からん。
なんとなく上のほうが大きそうだけど。
という訳でこういうのってどうにかして調べる方法って無いんでしょうか？
あと>215の式の５行目の762597484987は7625597484987の書き間違いでした。訂正します。

2→3→2→2
=2→3→(2→3→1→2)→1
=2→3→8

をどうやって変換したのか知りたい・・・。

チェーンの定義の説明を読んでそれに従ったつもりだけど・・・どこか間違ってました？

１．チェーンの最後の数が1のときはこれを落とすことができる。
　a→b→...→x→y→1
= a→b→...→x→y
２．チェーンの最後から2番目の数が1の場合、これと最後の数をまとめて落とせる。
　a→b→...→x→1→z
= a→b→...→x
３．次のような変形によって最後とその前の数を減らすことができる。
　a→b→...→x→y→z
= a→b→...→x→(a→b→...→x→y-1→z)→z-1

上の３．の性質から
2→3→2→2
の右から二番目を1減らした(2→3→1→2)が代わりにこの場所に入り、最後の2も１引いて
=2→3→(2→3→1→2)→1
最後の数字が１なら落とせるので
=2→3→(2→3→1→2)
（）の中も最後から２番目が１なので
=2→3→(2→3)
ここで、最後の１を落とせるというルールは、「チェーン表記された数字はそれ自身の最後に→１をつけても変わらない」
という意味になるはずなので、2→3　＝　2→3→1　＝2↑3　＝8
∴2→3→2→2 　＝　2→3→8

2→3→8
=2→(2→2→8)→7
=2→4→7
=2→(2→3→7)→6
=2→(2→4→6)→6
=2→(2→(2→3→6)→5)→6
=2→(2→(2→4→5)→5)→6
という感じで進めるのでないかな。

どっちにしてもわけわかめ。

一般に
x→y→z
=x→(x→y-1→z)→z-1
=x→(x→(x→y-2→z)→z-1)→z-1
=x→(x→(・・・(x→(x→1→z)→z-1)→z-1・・・)→z-1)→z-1
この式の中央の(x→1→z)の左右のxとz-1はそれぞれy-1個
よってf(n):=x→n→ｚ-1とおくと
x→y→z = f^(y-1)（x）

すると、2→3→8の場合はf(n):=2→n→7とおき、
f^2(2)を計算すればよい。
f^2(2)
=f(2→2→7)
=2→(2→2→7)→7
=2→4→7
どうもこんな事やってもあんまり上手く行かないな。

ふぃっしゅ数の大きさとかについて周りの知り合いに語りたいので
まずは話の順序としてグラハム数辺りから入ったほうが
インパクトが大きいだろうと思ってタワー表記の説明を始めようと思ったが
実際に始めてみると相手が3＾3＾3みたいに三つ以上の数を累乗した表記を見たことが無いと言い出したので、
「a^b^cとあったらまずb^cを計算して、その数をaの肩に乗せたもの、つまりaの『bのc乗』乗のことだ。
　四つ以上あっても同様に右上から計算を行う。」
などと述べたもののそもそも相手は指数の表記からして分かってなかったことが分かり、
「a^nはaをn回掛け合わせた数の事。例えば3^5 = 3*3*3*3*3 = 243だ」
とか教えてみるも相手は混乱しまくるばかりでちっとも話についてこれず結局
月一割の利子で10円借りて100年経つと（ｒｙ
前日の2倍の米粒を一ヶ月にわたって毎日もらい続けると（ｒｙ
とかのレベルの話をしただけで終わってしまった俺ｶﾞｲﾙ。

>>220

納得。
ありがとう。

ラッキーマン関数を定義したお！

f(a,0,0,0) = 0
f(a,0,0,n) = a+f(a,0,0,n-1)
f(a,0,m,0) = 1
f(a,0,m,n) = f(a,0,m-1,f(a,0,m,n-1))
f(a,l,0,0) = 1
f(a,l,0,n) = f(a,l-1,f(a,l-1,f(a,l,0,n-1),f(a,l,0,n-1)),f(a,l,0,n-1))
f(a,l,m,0) = 1
f(a,l,m,n) = f(a,l-1,f(a,l,m-1,f(a,l,m,n-1)),f(a,l,m,n-1))

√(225) = 15

>224
f(a,0,0,n)=an は明らかに成り立つ。

f(a,0,1,n)
=f(a,0,0,f(a,0,1,n-1))
=af(a,0,1,n-1)
n=1のときaf(a,0,1,0)=a なので、結局
f(a,0,1,n) = a^n

f(a,0,2,n)
=f(a,0,1,f(a,0,2,n-1))
=a^f(a,0,2,n-1)　同様にして
=a↑↑n

そこで、f(a,0,k,n)=a→n→k が成り立つと仮定すると、
f(a,0,k+1,n)
=f(a,0,k,f(a,0,k+1,n-1))
=a→f(a,0,k+1,n-1)→k
n=1のとき
=a→f(a,0,k+1,0)→k
=a→1→k =a→1→k+1
でこの式は成り立つ。そこで、上の仮定の下更にn=mで成り立つと仮定すると、
f(a,0,k+1,m+1)
=f(a,0,k,f(a,0,k+1,m))
=f(a,0,k,a→m→k+1)
=a→(a→m→k+1)→k
=a→m+1→k+1
よって、任意のkで「f(a,0,k,n)=a→n→kならばf(a,0,k+1,n)=a→n→k+1」
が成り立つ事が数学的帰納法で示されたので
「任意のmでf(a,0,m,n)=a→n→m」が成り立つ事が数学的帰納法で示されたことになる(続く)

キッコーマン関数

a:0:0:0:0 = 0
a:n:0:0:0 = a+(a:n:0:0:0)
a:0:m:0:0 = 1
a:n:m:0:0 = a:[a:(n-1):m:0:0]:(m-1):0:0
a:0:0:l:0 = 1
a:n:0:l:0 = a:[a:(n-1):0:l:0]:[a:(n-1):0:l:0]:(l-1):0
a:0:m:l:0 = 1
a:n:m:l:0 = a:[a:(n-1):m:l:0]:{a:[a:(n-1):m:l:0]:(m-1):l:0}:(l-1):0
a:0:0:0:k = 1
a:n:0:0:k = a:[a:(n-1):0:0:k]:[a:(n-1):0:0:k]:[a:(n-1):0:0:k]:(k-1)
a:0:m:0:k = 1
a:n:m:0:k = a:[a:(n-1):m:0:k]:{a:[a:(n-1):m:0:k]:(m-1):0:k}:{a:[a:(n-1):m:0:k]:(m-1):0:k}:(k-1)
a:0:0:l:k = 1
a:n:0:l:k = a:[a:(n-1):0:l:k]:[a:(n-1):0:l:k]:{a:[a:(n-1):0:l:k]:[a:(n-1):0:l:k]:(l-1):k}:(k-1)
a:0:m:l:k = 1
a:n:m:l:k = a:[a:(n-1):m:l:k]:{a:[a:(n-1):m:l:k]:(m-1):l:k}:[a:{a:(n-1):m:l:k}:{a:[a:(n-1):m:l:k]:(m-1):l:k}:(l-1):k]:(k-1)

宇宙にあるニュートリノの数は？

>>228
次の条件を仮定する。
宇宙は半径200億光年の球体。
ニュートリノは直系プランク距離の球体。
宇宙に隙間なくぎっしりとニュートリノがつまっている。

宇宙の半径＝200億光年×光速
宇宙の大きさ＝宇宙の半径^3

プランク距離＝プランク定数÷(光速×重力定数)
ニュートリノの半径＝プランク距離/2
ニュートリノの大きさ＝ニュートリノの半径^3

宇宙にあるニュートリノの数＝宇宙の大きさ/ニュートリノの大きさ

1.57677771×10^196個

ちっちゃいよ宇宙、少ないよニュートリノ！

氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね
氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね氏ね

>>227
そのキッコーマンで3:3:3:3:3はどんな値になるんだ。

もう夏休みか、早いな

>>226
すると３項のチェーンは、次の漸化式で精密に定義できるわけですね。

a→0→0 ＝ 0
a→n→0 ＝ a ＋ a→(n-1)→0
a→0→k ＝ 1
a→n→k ＝ a→(n-1)→(a→n→(k-1))

するとこれから興味深い以下の法則が導き出されますね。

0→0→0 ＝ 0
0→n→0 ＝ 0
0→0→k ＝ 1
0→n→k ＝ 1
1→n→k ＝ 1
2→2→k ＝ 4

a→1→k ＝ a
a→n→0 ＝ a×n
a→n→1 ＝ a^n
a→n→k ＝ a↑^(k)n

下４つはチェーンの項落としに活用しているわけですけど
上６つも項落としに活用できそうですよね。

>233
224のラッキーマン関数とやらでは変数が0のときの値も定義してあるけど
チェーンそのものは正の整数のとき以外の値は決まってなかったような。
項に0が出てくるときの値をラッキーマン関数にあわせても
その定義がタワーの自然な拡張になっているとは思えんし。それに
2→2→k ＝ 4
a→1→k ＝ a
a→n→1 ＝ a^n
a→n→k ＝ a↑^(k)n
あたりはチェーンの定義からすぐ導ける。
もともとの定義でもチェーンの項を端が1になるまで計算すれば
その時点でどうせその項は落ちるので残りの法則も意味無いと思う。

ところでチェーンの定義ってタワーを使わなくてもこういう書き方も出来るんだよね。
並んでいる数が二個のとき
x→y = x^y
n(≧3)個のとき
a_1→a_2→…→a_n は
(a_(n-1) - 1)(a_n - 1)=0のとき
　=a_1→a_2→…a_(n-1)
(a_(n-1) - 1)(a_n - 1)≠0のとき　
　=a_1→a_2→…a_(n-2)→(a_1→a_2→…a_(n-2)→a_(n-1) - 1→a_n)→a_n - 1
巨大数研究室で紹介してある書き方よりこっちのほうが簡潔なんじゃないでしょうか

>>234
1の段階で計算は次の項に進むから0の場合は考えなくていいんですね。

>217
a,b,cを２以上の自然数とする
まず、次の不等式が成り立つ
(a^b)^c ≦ a^(b^c)　(1)
これ以降、累乗を右から順に計算するときは()を省略してa^b^cと書く
証明：
(右辺)＝a^bcより、(a^b)^c ≦ a^b^c 　⇔　bc ≦ b^c
c = 2のとき(左辺) = 2b≦b^2 = (右辺)
c = kで成り立つと仮定するとc = k+1のとき
(左辺) = (k+1)b = b+kb ≦ b+b^k ≦ b^(k+1) = (右辺)
（∵(b+b^k)/b^(k+1) = b^(-k) + b^(-1) ≦ 1/2 + 1/2 = 1）
等号が成り立つのは b = c = 2 のとき
また、四つ以上の数に対しても一般に次式が成り立つ
a_1^a_2^…^a_n ≧ a_1^…(^a_k^…^a_h)^…^a_n　（1≦k≦h≦n）　(2)
つまり、右から順に計算していったものよりどこかを()でくくったものの方が大きくなる事はない
それは次の方法で示される
a_k以降のみに注目すると
(a_k^…^a_h)^…^a_n
=(a_k^(a_k+1…^a_h))^(a_h+1…^a_n)
≦a_k^((a_k+1…^a_h))^(a_h+1…^a_n)) = a_k^(a_k+1…^a_h))^(a_h+1…^a_n)
上の式の≦はもちろんa_k, (a_k+1…^a_h), (a_h+1…^a_n)に対して(1)を使っている。
同様にやっていけば左端の項がどんどん出てくるので(2)が示せる。

すると、ここからタワーに関する次のことが言える。
(x↑↑n)↑↑y ≦ x↑↑ny　(3)
つまり、n個のxがx^x^x^…と並んだものがy個だけ^で結ばれた数より、
初めからny個のxを^で結んだものの方が大きいという事である。
これを使えば例えば3＾3＾3に対しては
≦4＾4＾4 = (2^2)^(2^2)^(2^2) ≦ 2^2^2^2^2^2
と言うように考える事が出来るという事である。
ところで特に2の場合は2＾2も2↑↑2も＝4であり、2→2→n = 4は常に成り立つ
そこで、累乗のときと同様な性質が、タワーにも言えれば便利だろうなと考える。即ち
(a↑↑b)↑↑c ≦ a↑↑(b↑↑c)　とか、(a↑↑↑b)↑↑↑c ≦ a↑↑↑(b↑↑↑c)
とかが成り立ってくれるのではないかという事を調べたい。
(1)から(2)を導くとき^がどういう演算かという性質は(1)以外は使ってないので
(1)の形の不等式が言えればそれがどんな演算でも(2)と同様のことが言える。
この事をチェーン表記で表現すると、
(a→b→n)→c→n ≦ a→(b→c→n)→n　(*)
がn = 1(普通の累乗のとき)で成り立つのは分かったが、では2以上で成り立つのかという問題になる。
これが成り立ちさえすれば(3)を拡張して
(x→n→m)→y→m ≦ x→ny→m　(*)'
が導かれるし、これらの式を使って、
3→3→4 < 4→3→4 ≦ (2→2→4)→3→4 ≦ 2→6→4
と変形して行って2→3→8のほうが3→3→4よりずーっとずーっとおおきいという事がいえる。

では、果たして(*)は本当に成り立つのか。感覚的には明らかだが、証明はきちんと行わなくてはならない。
まず、(2)から(3)を導いた過程から、(*)がn=kでなりたてば(*)'はn=k+1で成り立つ事がいえる。
そこで、(*)がn=kで成り立つと仮定してn=k+1のときを調べるのに(*)'をn=k+1で使ってよいという事になる。
したがって、
(*)の左辺 = (a→b→k+1)→c→k+1 ≦ a→bc→k+1
(*)の右辺 = a→(b→c→k+1)→k+1
となり、bc≦b→c→k+1 を示せばよいことになるが、これは明らかである。
等号が成り立つのは b=c=2 のときであり、それ以外はチェーンを使っている右辺の方が圧倒的に大きい。

というわけで、以上の結果をまとめると、三つの数字の並んだチェーンに関して次の不等式が成り立つ。

a,b,c≧2, 　n,m≧1に対して
(a→b→n)→c→n ≦ a→bc→n ≦ a→(b→c→n)→n
特に
4→m→n ≦ 2→2m→n

世の中で一番大きい数って何なの？
無限状態の一歩手前ってなに？

有限の数は、どこまでいっても無限状態の無限歩手前なのです…

アインシュタインのE=mc^2で換算すると
物質1gあたり、9×10^13（90兆）Jのエネルギーが得られるそうですが
では宇宙上のすべての物質で得られるエネルギーは何ジュールかと考えたら

すごいことになりそうですね。

物理的にはすごいことだ
巨大数的には話にならないけど

陛下、宇宙中の物質の質量を全てエネルギーに換算したら
どれだけになるか、それを今から示しましょう。
質量1グラムからでも膨大なエネルギーが得られると言う事実、
更にはこの宇宙の物質の量からそのあたりは想像もつかないものになると思うかもしれません。
1グラムの物質をエネルギーに換算したらいくらになるか、これを物理学者どもは90兆ジュールとしていますが、
私は反論の余地を残さぬよう一グラムあたり10^16ジュール、ただしそれより大きくはないと仮定します。
つぎに、宇宙にはどれほどの物質があるのか、今、最も小さい素粒子を試しに机の上に並べた所、
10＾37個ほど集めた所でケシの粒と同じくらいになりました。そこで、ここでも反論の余地を残さぬよう
余裕を取って最も小さな粒子は10＾38個でケシ粒と同じに、ただしそれより大きくはないと仮定します。
更に、ケシ粒の大きさも実際よりも小さめに、0.01cm、ただしそれより小さくはないと仮定します。
更にこの極小の粒子の一つ一つが1グラムもの質量をそなえ、ただしそれより重くはないと仮定します。
そしてこの宇宙の大きさは、観測できる範囲の100億光年の外側に更にその10^100倍の広さまで広がっており、
ただしそれより広くはないと仮定します。また、宇宙は球形とします。
そして、最も小さい粒子は全宇宙にぎっしりと詰まって、ただしそれ以外には存在しないとします。
これまでの仮定から最も小さな粒子が10^40個一列に並んで１cmですから、一光年を１０兆キロメートル
として計算すると宇宙は半径10＾110光年の球という約束でしたから、
最も小さい粒子と宇宙の長さの比は1：10^58となり、体積比だと更にその立方を取り、
この宇宙の質量は10＾174グラムより大きくはないといえ、したがってまた、
そこから得られるエネルギーも10＾190ジュールより大きくはないといえるのです。
すなわち、この宇宙のエネルギーもまた、人間の想像力に収まる現象なのです。
この事は平素から学問に縁のなき者にはにわかには信じられぬかもしれません。
しかし陛下、これは疑う余地のない緻密な推論の帰結であり、紛れもない事実なのです。

民明書房「エネルギーを算える者」より

全宇宙の光子の数って？

せいぜいエディントン数程度では？

タワー表記って
x↑↑↑↑y じゃなしに
x^^^^y じゃだめなの？こっちのほうがコンパクト。

あ、^^^でもよさげ。文献よく読んでなかった

age

Πexp(1/φ(x))　(φ=0　x=有理数,φ=1　x<>有理数)

f_0(0,b)=b+1
f_n(0,b)=f_n-1(b,b)
f_n(a,0)=f_n(a-1,1)
f_n(a,b)=f_n(a-1,f_n(a,b-1))
f_0(0,b)(0,d)=f_b+1(d,d)
f_n(0,b)(0,d)=f_n-1(b,b)(0,d)
f_n(a,0)(0,d)=f_n(a-1,1)(d,d)
f_n(a,b)(0,d)=f_n(a-1,f_n(a,b-1)(0,d))(d,d)
f_n(a,b)(c,0)=f_n(a,b)(c-1,1)
f_n(a,b)(c,d)=f_n(a,b)(c-1,f_n(a,b)(c,d-1))
f_0(0,b)(0,d)(0,f)=f_b+1(d,d)(0,f)
f_n(0,b)(0,d)(0,f)=f_n-1(b,b)(0,d)(0,f)
f_n(a,0)(0,d)(0,f)=f_n(a-1,1)(d,d)(0,f)
f_n(a,b)(0,d)(0,f)=f_n(a-1,f_n(a,b-1)(0,d)(0,f))(d,d)(0,f)
f_n(a,b)(c,0)(0,f)=f_n(a,b)(c-1,1)(f,f)
f_n(a,b)(c,d)(0,f)=f_n(a,b)(c-1,f_n(a,b)(c,d-1)(0,f))(f,f)
f_n(a,b)(c,d)(e,0)=f_n(a,b)(c,d)(e-1,1)
f_n(a,b)(c,d)(e,f)=f_n(a,b)(c,d)(e-1,f_n(a,b)(c,d)(e,f-1))
f_0(0,b)(0,d)(0,f)(0,h)=f_b+1(d,d)(0,f)(0,h)

・・・・・・・・以下同様に定義していく。

g(x,y)=f_0(x,x).....(y組).....(x,x)としたときの
g(3,63)は結構大きい気がする。

さらに拡張してみる。

f_0(0,b)=b+1
f_n(0,b)=f_n-1(b,b)
f_n(a,0)=f_n(a-1,1)
f_n(a,b)=f_n(a-1,f_n(a,b-1))
f_0(a,b,c)=f_a(b,c)
f_n(0,0,c)=f_n-1(c,c,c)
f_n(0,b,0)=f_n(0,b-1,1)
f_n(0,b,c)=f_n(0,b-1,f_n(0,b,c-1))
f_n(a,0,c)=f_n(a-1,c,c)
f_n(a,b,0)=f_n(a,b-1,1)
f_n(a,b,c)=f_n(a,b-1,f_n(a,b,c-1))
同様に、f_0(a,b,c,d)=f_a(b,c,d)・・・・・と定義していき、
n項漸化式f(a,b,c,.....)=f_a(b,c,.....)を定義する。
g_0(0,b)=b+1
g_n(0,b)=g_n-1(b,...<b個>...,b)
（同様の定義。ただし、g_n-1(b,b,.....,b,b)=g_n-1(0,0,.....,0,c)
=g_n-2(c,...<c個>...,c)、g_n(0,0)=1、g_n(0,1)=2とする。）
g_n(a,0)=g_n(a-1,1)
g_n(a,b)=g_n(a-1,g_n(a,b-1))
g_0(0,b)(0,d)=g_b+1(d,...<d個>...,d)
g_n(a,0)(0,d)=g_n(a-1,1)(d,...<d個>...,d)
g_n(a,b)(0,d)=g_n(a-1,g_n(a,b-1)(0,d))(d,...<d個>...,d)
g_n(a,b)(c,0)=g_n(a,b)(c-1,1)
g_n(a,b)(c,d)=g_n(a,b)(c-1,g_n(a,b)(c,d-1))
g_0(0,b)(0,d)(0,f)=g_b+1(d,...<d個>...,d)(0,f)
（=g_b+1(d,.....,d-1,g_b+1(d,...,d,d-1)(0,f))(f,...<f個>...,f)）
g_n(0,b)(0,d)(0,f)=g_n-1(b,...<b個>...,b)(0,d)(0,f)
・・・・・と定義していき、
g(x,y)=f_0(x,x).....(y組).....(x,x)としたときの
g(3,63)

失礼
g(x,y)=f_0(x,x).....(y組).....(x,x)としたときの
g(3,63)
じゃなくて
h(x,y)=g_0(x,x).....(y組).....(x,x)としたときの
h(3,63)　　　　　　です。

^は上向き矢印の縦線が消えたものだという。3^3(および3↑3)は3の上に3が乗っているという感じなのだろう。

常々疑問でした。！ってなに？

ああびっくりしたなって記号だよ
4!は4びっくりと読む
答えが4で意外なときに使う

うそくせーなぁ

いやいや本当だよ
意外だといっても、もちろん主観的なものじゃないよ。
たとえば、方程式の重解とかね。高校では教えないけど。

それとびっくりと読むのも仕方ない
もともと英語ではexclamation 4(four)と読むが、それの日本語訳だ

ほんまに、ﾋﾞｯｸﾘて読むんか

うん。マジです。

例
2_P_2=2! ｗｗ

もいっちょ例
1＋1=2!
ですが何か不都合でも？

！て、なんて読むんですか？

ここ読んで本当に信じる人がいたらアレなんでそろそろ書いとくか。

！は階乗を表す記号で４！は「４の階乗」と読む。
ただし「４のびっくり」と読むのも間違いではない。
その定義は>255のようなものではもちろんなく、正しくは以下の通り。
０！＝１
1以上のｎに対してはｎ！＝ｎ*（（ｎ-1）！）

ただし高校とかではこの書き方じゃなくてこう説明していると思う。
「ｎ！は１からｎまでの数を順に１×２×…×ｎと掛け合わせた数を表す。」
この言い方だと０！の値が分からないが、授業ではこれに加えて０！＝１は定義だという事で納得させる。
（それならはじめから上のほうの定義で説明すればいいと思うのだが…。大体数式に"…"が入るのも気に入らないし）

!nってかく乱順だよなあ

ｎ＄＝ｎ！＾ｎ！・・・・・ｎ！（ｎ！回する）
という定義がある例えば２＄＝２＾２＝４である
またｇはグラハム数をグラハム数乗したものとする
またｎ＄（２）＝ｎ＄＾ｎ＄・・・・＾ｎ＄（ｎ＄回する）
とし同じように増えていき
ｎ＄（ｘ）＝ｎ＄（ｘ−１）＾・・・（ｎ＄（ｘ−１））とする
以上の定義で
ｇ＄（ｇ）が僕の考えた数
これを基本グラハム＄数と呼ぶことにしよう
定義が長すぎてすまん

>266
まず、
ｎ＄＝ｎ！＾ｎ！・・・・・ｎ！（ｎ！回する）
この定義より
n＄＝(n!)↑↑(n!)
次に、
ｎ＄（２）＝ｎ＄＾ｎ＄・・・・＾ｎ＄（ｎ＄回する）
より、
n＄(2)＝((n!)↑↑(n!))↑↑((n!)↑↑(n!))
同様に、
n＄(x+1)＝n＄(x)↑↑n＄(x)
以上の事と>236-238の結果から
n＄(2)＝((n!)↑↑(n!))↑↑((n!)↑↑(n!))＜n!↑↑n!↑↑n!↑↑n!＝n!↑↑↑4
が言え、ここから
n＄(3)＝n＄(2)↑↑n＄(2)＜(n!↑↑↑4)↑↑(n!↑↑↑4)＜(n!↑↑↑4)↑↑↑(n!↑↑↑4)
ここで、n≧2のときn!≧4なので、このとき
　＜(n!↑↑↑n!)↑↑↑(n!↑↑↑n!)＜n!↑↑↑n!↑↑↑n!↑↑↑n!＝ｎ!↑↑↑↑4

つまり、n≧2のとき次の不等式が成立する。
n＄(x)＜ｎ!→4→(ｘ+1)
よってGをグラハム数としたとき
基本グラハム＄数＝ｇ＄(ｇ)＝G^G＄（G^G）＜(G^G)!→4→(G^G+1)

続き
基本グラハム＄数をｒ１と定義
１秒間にｒ１倍になるとし１０秒ごとに増加率がｒ１＄（ｒ１）倍に
なるとしｒ１＄（ｒ１）年増加させた物をｒ２とする
そして一般にｒｘ→ｒｘ＋１のとき
↑の定義のｒ１をすべてｒｘに変換し同じように使用
ｒｒｒｒｒｒｒｒｒｒ１などはｒ（１０）１と表す
そしてｒ（ｒｇ）ｒｇ＄（ｒ（ｒｇ）ｒｇ）を
第２基本グラハム＄数とする
（例えばｒｒ１はｒのｒ１番目の数という意味ｒｒｒ１はｒのｒｒ１番目
という意味である。）
またまた自分勝手な定義ですまん

続き
３↑３にまねて３！３など作ってみる
定義３！３＝３＾３！＝２７！
　　３！・・（ｘ個）・・３＝３！３！３・・！３（！はｘ個）
　　ｘ！・・（ｚ個）・・ｙ＝ｘ！ｙ！ｘ！ｙ・・・ｘ！ｙ（！はｚ個）
としまず第２基本グラハム＄数＝ｖ１とする
ｖ１・・（ｖ１個）・・ｖ１と置きこの数分次の段階では！があるとする
ｖ１＝１段階目
ｖ１・・（ｖ１個）・・ｖ１＝２段階目
としていくつまりｘ段階目はｖ１の間にｘ−１段階目個！があるとする
ｖ１段階目＝ｖ２とし
ｖｘ段階目＝ｖｘ＋１とする
ｖ（ｖｇ）ｇ（ｖ・・・（ｖｇ個）・・ｇ）これを第三基本グラハム＄数
としてまた同じ操作を繰り返し
第４第５と作って行く
第第１なども作る（第・第１基本グラハム＄数番目の基本グラハム＄数）
当然第第１＝第（２）１と表せる
この時第（第（第（第（第１）１は長いので第（第１）１←４とする
この時
第（第１）１←第（第１）１←第（第１）１←ｖ１００
を天地巨大グラハム数とする
あ〜〜疲れた読んでくれた人ありがとね

>>264
n! = ∫[0,∞] t^x e^-t dt
で無問題。

こりずに続き（またアイデアが浮かんだから）
それはｋでｋは第？基本グラハム数の頭文字
いちいち第？基本グラハム数というのはめんどいから
ｎ（ｋ１）＝第ｎグラハム数と置く
ｎ（ｋｘ）＝第・・（ｘ個）・・・第ｎグラハム数
ちなみに天地巨大グラハム数はｔと置く
ｔ（ｋｔ）これだけでもうそうとうでかい
ちなみに
１（ｋ１）でさえ
１（ｋ１）＝第１基本グラハム＄数＝ｇ＄（ｇ）
だからｔ（ｋｔ）のすごさがわかるちなみに
第（ｔ）ｔ番目の基本グラハム＄数とも言える
ちなみにこれだれかｘ→ｙ→ｚ系で表せる？
定義すら知らない僕にはどうにもこうにもならない

定義がわかったでもやっぱりどうしようもない
連レスすまない

すみませんタワー表記は
ｘ↑↑・・（ｚ個）・・↑ｘは
ｘ・・（ｚ−１個・・↑（ｘ・・（ｚー１個）・・ｘ）
でいいんですか
例
３↑↑↑↑３＝３↑↑↑（３↑↑↑３）＝３↑↑↑（３↑↑３↑↑３）
＝３↑↑↑（３↑↑３↑３↑３）
＝３↑↑↑（３↑↑３＾２７）
＝３↑↑↑（３↑（ここで３をいれるのか３＾２７か）↑３＾２７）
・・・・

>273
ｘ↑↑・・（ｚ個）・・↑↑y
=x↑↑・・(z-1個)・・↑↑x↑↑・・(z-1個)・・↑↑x↑↑・・(z-1個)・・↑↑x・・・・・
というのがy回続きます。
３↑↑３＾２７
=３↑３↑３↑３↑３↑３↑３.......(３＾２７回).......３↑３↑３↑３↑３
です。

>>274そんなにすごいの・・
じゃあ
上の式は（↑＝＾と表す）
３＾＾＾＾３＝３＾＾＾３＾＾＾３＾＾＾３
３＾＾＾３＝３＾＾３＾＾３＾＾３
３＾＾３＝３＾３＾３
３＾３＝２７
うはーーーーーーーーということは
３＾＾３＝３＾２７
３＾＾＾３＝３＾＾３＾＾（３＾２７）
＝３＾＾３＾３＾・・（３＾２７個）・・＾＾３
＝３＾３＾・・（３＾３＾・・（３＾２７個）・・３＾３）・・３＾３
＝３＾３＾・・（３＾３＾・・（７、６２５５、９７４８、４９８７個）・・３＾３）・・３＾３
３＾＾＾＾３どころか３＾＾＾３でもう破綻・・・

ようやく終わったついでに計算ミスも訂正
結局３＾＾＾３＝（３＾３（３＾３（３＾３＾２７）３＾３）３＾３）
（括弧ないの数字分３＾があるってこと）
ちなみにこれが３↓３↓２や３→→３とひとしいことが分かった
ちなみに３＾＾＾＾３は
３＾＾＾３＾＾＾３＾＾＾３で計算の余地すら無い・・

このスレ、最近目的を見失ってるな。
このスレの初めの頃は
「一定の条件を満たす関数のうちで最も速やかに無限大に発散するもの」
を追求するスレだったような。
単に大きな数を書いただけじゃ無意味だし。

>275
３＾＾＾＾３＝３＾＾＾３＾＾＾３
３＾＾＾３＝３＾＾３＾＾３　です。
３＾＾＾３＾＾＾３＾＾＾３＝３＾＾＾＾４　ですね。

>277
たしかにそうですね。
ところで私は過去スレに出てきたHardy関数というのが気になります。
F_0(x)=x+1
F_1(x)=F_0^x(x)
F_2(x)=F_1^x(x)
.........
F_ω(x)=F_x(x)
というように超限順序数をつかって繰り返していくと、添え字部分がε0=ω^^ωに到達します。
さらにω^^^ω、ω^^^^ω.......と繰り返せばすごいことになります。
ちなみにF_ε0(1)=2ですが
F_ε0(2)
=F_ω^2(2)
=F_2ω(2)
=F_ω+2(2)
=F_ω+1 F_ω+1 (2)
=F_ω+1 F_ω F_ω (2)
=F_ω+1 F_ω F_2 (2)
=F_ω+1 F_ω F_1 F_1 (2)
=F_ω+1 F_ω F_1 F_0 F_0 (2)
=F_ω+1 F_ω F_1 (4)
=F_ω+1 F_ω (8)
=F_ω+1 F_8 (8)
=F_ω+1 F_7 F_7 F_7 F_7 F_7 F_7 F_7 F_7 (8)
となりすでに手が付けられない大きさになります。

>>278なんだまだ良心的な数字なのか
なら３＾＾＾＾３＝３＾＾＾３＾＾＾３
＝３＾＾＾（３＾＾３＾＾３）＝３＾＾＾（３＾＾３＾３＾３）
＝３＾＾＾（３＾＾３＾２７）ここからが惨い
＝３＾＾＾（３＾３＾（３＾２７）＾３＾３）
＝（３＾＾３＾＾（３＾３＾（３＾２７）＾３＾３）＾＾３）
もうここから先は・・・・

>>279
だから単に「大きい数」とか「速やかに無限大に発散する関数」を
書いただけじゃ何の意味もないんだって。
「>>279の書いた数あるいは関数の2乗の方が大きい」とか言われて
反論できないだろうし、そんな事しても無意味だと思うでしょ?

↑やグラハム数などつかわずでかい数字に挑戦
まず関数ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】を定義この時
ｘｈ＄＄・・（ｙ個）・・＄＄＝ｘｈ＋１と定義、最初のｘはｘ１と定義し
同じように増やしていきｘｘｘ（ｚ個）ｘｘｘ１をｆ【ｘ、ｙ、ｚ】とする
ｆ【ｆ【ｘ、ｙ、ｚ　】】＝ｆ（２）【ｘ、ｙ、ｚ】と置く
ｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）【ｘ、ｙ、ｚ】の値をもう１度ｘ、ｙ、ｚと定義
しこの操作を１回とする。第ｎ→第ｎ＋１にするのに第ｎのｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）【ｘ、ｙ、ｚ】
の値分の操作を必要とする（第１→第２なら第１のｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）【ｘ、ｙ、ｚ】
回分操作する必要があるどんどん増やして
第第・・（第１個分）・・・第１になるまでするこれをまた第１段階目とする
第ｎ段階目の（）の中には第ｎー１段階目の数が入ってるとする
これが再び第第・・（第１個分）・・第１になるまで続け
これを再び最初の第第・・として増やし
この延々の繰り返しを最初の第第・・（第１個分）・・・第１回したもの
をｖ１とする最初のｘｙｚを１０としｘｙｚをｖ１としたものをｖ２とする
ｖ最初の第第・・（略）が僕の考えた数。これってグラハムやバードやふぃっしゅ
超えてるよね？

>>281
超えているかどうかを論ずる前に、それが関数を定義していることをきちんと示してくれないと。

>>278
F_ω(x) の段階で本質的に Ackermann 関数なので、
F_{ε_0}(x) の増大度は常人には想像がつかないでしょう。

>>282
ｆ【ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】】＝【】の中のｘｙｚがｆ【ｘ、ｙ、ｚ】という意味
後ｖ最初の第第・・（略）は長すぎなのでｖ（ｘ）と置く２８１の場合
このｘが１０なためｖ（１０）ちなみにｖ（１）＝１ではどっちが大きいか論議
まず最初のｘｈ＄＄・・（ｙ個）・・＄＄＝ｘｈ＋１を当てはめてみると
１０＄＄＄＄＄＄＄＄＄＄、ｘ＄はｘ！↑↑ｘ！といえる
すると・・・・
１０！＾＾１０！＄＄＄＄＄＄＄＄＄
＝１０！＾＾１０！＾＾１０！＾＾１０！＄＄＄＄＄＄＄＄
最後には１０！＾＾が１０２３個と１０！になるこれがようやくｘ２
するとｘ３は１０！＾＾が２＾１０！＾＾が１０２３個と１０！（ｘ２）個
ある（＋１０！はめんどくさいので書かないで置く
ｘｎ＋１は１０！＾＾が２＾ｘｎあることに
これの延々でｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ１まで行くのでもう
ｆ【１０、１０、１０】の時点でグラハム数超えてるかも知れない
それ以後は・・・・もう超えてる？？？？

>>284
何が目的(目標)なのか? それがはっきりしない。
最大の自然数は存在しないし、
最大の自然数を追求してもしょうがない事は分かってるんでしょ?

単に大きな数を書くスレじゃないよここは。
大きな数を書くだけならスレ違い。

>278の関数の添え字の超限順序数をアッカーマンを使って
(ω,ω,0)=ω+ω
(ω,ω,1)=ω*ω
(ω,ω,2)=ω^ω
.....
(ω,ω,ω)
(ω,ω,ω+1)
.....
(ω,ω,(ω,ω,ω))
(ω,ω,(ω,ω,...................(ω,ω,(ω,ω,ω)))))))....)=T(1)
とでもすればF_T(1) (x)はとてつもない増加関数になります。
このシンプルで強力な超限順序数を使ったシステムならふぃっしゅ数を超える
のではないでしょうか。（もしかしたらF_ε0で超えてる？）
まぁどうやって比較したらいいのか全くわかりませんが。
過去スレとか見てても思うのですが巨大数同士の比較ってかなり難しそうなので・・・
だれか見当つく人いないかな。

>>284
再帰的定義をしているのだから、計算が停止することの証明が必要と言っているのだが。

>>286
> もしかしたらF_ε0で超えてる？

はい。もっと小さい順序数のところで超えています。
F_ε0(x) は Peano Arithmetic と呼ばれる体系で存在することが証明できるどの関数よりも
速く増加することが知られています。

>>288
ということは、つまり F_ε0(x) という関数が存在することは
証明できない、ということですか？

>>289
Peano Arithmetic と呼ばれる体系では証明できないということです。

>>288
そうなんですか。
ところで超限順序数の生成は無限に続けられるのでしょうか？続けられるとしたら
>>286はさらにどう拡張していくのでしょう？
T(2)=(T(1),T(1),(T(1),T(1),...................(T(1),T(1),(T(1),T(1),T(1))))))))....)
とすればさらにTの()内に超限順序数を使えますが自然でないような気がします。

>>291
生成するというのは、順序数に有限の長さの記号列を対応させるということなので、
当然限界があります。(有限の長さの記号列全体は可算個なので、非可算順序数には届かない)
記号列の対応方法にある種の合理的な仮定をおくと、可算順序数の段階で限界が生じます。

知られているわかりやすい順序数の生成方法のひとつに、Veblen 関数を用いる方法があります。
Veblen 関数 φ_α(β) とは次で定義されます。
φ_0(β)=ω^β
φ_{α+1}(β) = 「φ_α(γ)=γ となる γ」 のうち β 番目のもの
φ_α(β) = 「すべての α'< α に対し φ_α'(γ)=γ となる γ」 のうち β 番目のもの (α: limit)

たとえば、ε_0 = φ_1(0) です。

この関数 φ_α と順序数の和 + を利用すれば φ_α(0)=α となる最小の順序数 α までは
生成することができ、この順序数を Γ_0 と呼んでいます。

>>285そんなこと言ってもな〜〜〜んもおもろくないでしょ
巨大数考えるのが楽しいからやってるの

>>293
単に大きい数を書く『だけ』で面白いと思ってるのは>>293だけ。
このスレの他の人は、単に大きい数を書く『だけ』では面白いと感じない。

>>293の一連の書き込みを面白いと思ってるのは>>293の1人だけ。
自己満足はチラシの裏に書け。
公衆の面前でオナニーするのは恥と知れ。

281が自分でもわかりにくいからコンパクトにまとめる
まずｘ（ｙ）ｘ＝ｘがｙ個と定義そして
ｘｈ＄（ｙ）＄＝ｘｈ＋１とし
ｘ（ｚ）ｘ１＝ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】とする
ｆ【ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】】＝ｆ（２）【ｘ、ｙ、ｚ】と置く
ｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】＝第２のｘｙｚと置く
そしてもう１度ｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】まで増やす
この操作を１回として最初のｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】
をｘ１と置くｘｎ→ｘｎ＋１にｘｎのｆ（ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】）ｆ【ｘ、ｙ、ｚ】
回分の操作が必要とする。
ｘ（ｘ１）ｘ１をと定義ｘ２と定義
ｘｎ＝ｘ（ｘｎ−１）ｘ１
このｘｎが再びまたｘ（ｘ１）ｘ１になるまでの増加過程を１回とし
これを最初のｘ（ｘ１）ｘ１回したものをｖ１とする
最初のｘｙｚ＝１０としたときのｖ最初のｘ（ｘ１）ｘ１が281のもの
また最初のｘｙｚが１０なのを利用して
ｖ最初のｘ（ｘ１）ｘ１【１０】と書くめんどくさいので最初をはずした
ｖｘ（ｘ１）ｘ１【１０】＝（ｖ、ｘ（ｘ１）ｘ１、１０）と置く
この（ｖ、ｘ（ｘ１）ｘ１、１０）をｖ関数と名付けることにしよう
後巨大数検索はそれぞれの考え方でいいんじゃないか無限とかはなしとして

>>292
確か、以前 λ-計算による帰納関数の定義でふぃっしゅ数の定義を書いている
人がいたときの流れでは、大体、n-重帰納関数のすべてより早く大きくなる関
数っていう程度のような気がしたんだけど、どうなったんですか?

ｖ関数の計算
（ｖ、ｘ、０）＝０
（ｖ、ｘ、１）＝１
（ｖ、ｘ（ｘ１）ｘ１、１０）＝>>281の数
（ｖ、（ｖ、ｘ（ｘ１）ｘ１、１０）、１０）
＝（ｖ、１０）→（ｖ、ｘ（ｘ１）、ｘ１、１０）
＝人類未踏の未知数
（チェーンの法則は同等とするｘ→（ｚ）→ｙ＝ｘ→（ｚ−１）→ｘ・・
・・（ｘがｙ個）＝ｘ↓ｙ↓ｚ
（ｖ、１０）→（ｖ、ｘ（ｘ１）、ｘ１、１０回転）（ｖ、ｘ（ｘ１）、ｘ１、１０）
→（ｖ、ｘ（ｘ１）、ｘ１、１０）＝？？？？？？
なんかどんどんすごいことに・・・・このｖ関数明らかにアッカーマン関数超えたかも・・
う〜〜んでもアッカーマン関数もすごいし・・・？？？

λ式書いてた人です。

>>296
ふぃっしゅ関数のことですか？
帰納的であることは示せたと思うんですが、多重帰納かどうかはたぶん未解決です。
λでは多重帰納の特徴付けがうまくできなかった記憶があります。

>>298
そうでしょうね。ただ、ふぃっしゅ関数は自然に定義されているところから
みると、n-重帰納法では定義できない、つまりωー帰納法のクラスかなと思った
のです。このあたりは研究が絶えてしまったところだと思いますが、計算数学
が注目されている状況になると、研究論文になっちゃうかな？と思うんですが
どうなんでしょう。

ふぃっしゅ関数で遊んでた人です。
有識者の方々が集ってきているようで、野次馬ながら嬉しい。
ふぃっしゅ氏にも再登場いただきたいものです。

増加率がすごい関数ｖ関数ですがこのｖを超えるべく新たに定義
１、ｖ＋１関数を定義
ｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）＝ｖ関数（ｖ、ｚ）→（ｖ、ｙ、ｚ）回転（ｖ、ｙ、ｚ）
→（ｖ、ｙ、ｚ）そしてこれをどんどん増やし
ｖ＋（ｖ＋１関数の（ｖ、ｙ、ｚ））（ｖ、ｙ、ｚ）を
ｖ＋（ｖ＋１関数の（ｖ、ｙ、ｚ））（ｖ、ｙ、ｚ）
＝ｖ＋（ｖ＋１関数）（ｖ、ｙ、ｚ）
＝ｖ＋ｖ＋１（ｖ、ｙ、ｚ）
＝２ｖ＋１（ｖ＋ｙ＋ｚ）と簡略
どんどん増やしてｖ（ｖ）ｖ＋１（ｖ、ｙ、ｚ）関数
を再びｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）と置く（２回目）この操作を１回とし
最初のｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）回したものを再びｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）
と置く（３回目）また同じように増やして行き（最初のｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）回目）
とした物を再びｖ＋１関数（ｖ、ｙ、ｚ）（４回目）この様にどんどん
ｖ＋１関数（ｖ＋ｙ＋ｚ）の種類を増やすとする
２、ｇ関数
ｇ（ｘ、ｙ、ｚ）＝ｖ＋１関数（ｖ＋ｙ＋ｚ）の種類をｖ＋１関数（ｖ＋ｙ＋ｚ）
種類にした物するとｇに関してもｖ＋１と同じ扱いができるこの用にして
関数の種類がｖ＋１関数（ｖ＋ｙ＋ｚ）（ｖ＋１関数（ｖ＋ｙ＋ｚ）種類目）
種類になった物をｖｖ関数と名付けることにする
ふ〜〜まいどながら疲れた後ｘｙｚはｖ関数と一緒だからね

F_{ω^{ω^ω}}(x) の段階で n 重帰納法 (n=1,2,3,...) で定義されるどの関数よりも速く増加します。

規制解除ｷﾀ(ry

（参考: 順序数についてきちんと解説されてるページ）
http://www.google.com/search?num=50&hl=ja&lr=lang_ja&q=cache:math.cs.kitami-it.ac.jp/~kada/etc/set/setpart2c.html

(前スレ60の)定義通りのHardy Functionを計算してみました。

H[0](x)=x+1
H[a+1](x)=H[a](x+1)　（a+1は後続順序数）
H[λ](x)=H[Λ(x)](x)　（λは極限順序数）

H[0](x)=x+1
H[1](x)=H[0](x+1)=x+2
H[n](x)=H[0](x+n)=x+n+1
……ωの時の基本列Λって0から始まる流儀と1から始まる流儀と
あるみたいですが前スレ190に従い0から始めてかつΛ(x)=xに
なるように先頭を0番目とします。
H[ω](x)=H[x](x)=2x+1
H[ω+n](x)=H[ω](x+n)=2x+2n+1
H[2ω](x)=H[ω+x](x)=4x+1
…… H[nω+ω](x)=H[nω+x](x)=H[nω](2x) なので
H[nω](x)=2^n*x+1
……ω^2の基本列は{ω, 2ω, 3ω, ...}
H[ω^2](x)=H[ωx](x)=2^x*x+1
H[ω^2+ω](x)=H[ω^2](2x)=2^(2x)*2x+1
H[ω^2+2ω](x)=H[ω^2+ω+x](x)=2^(4x)*4x+1
H[ω^2+nω](x)=2^(2^n*x)*2^n*x+1
H[2ω^2](x)=H[ω^2+ωx](x)=2^(2^x*x)*2^x*x+1

…… 2$x := 2^x*x と定義すると ( 2$2$x は右から計算 2$(2$x) )
H[ω^2](x)=2$x+1
H[2ω^2](x)=2^(2$x)*2$x+1=2$2$x+1
H[2ω^2+ω](x)=H[2ω^2](2x)=2$2$(2x)+1
H[2ω^2+nω](x)=2$2$(2^n*x)+1
H[3ω^2](x)=H[2ω^2+ωx](x)=2$2$(2^x*x)+1=2$2$2$+1
H[nω^2](x)=2$^n(x)+1
H[ω^3](x)=H[xω^2](x)=2$^x(x)+1
…… 2$$x := 2$^x(x) と定義すると ( ≧2↑↑(x+1) )
H[ω^3](x)=2$$x+1
H[ω^3+nω](x)=2$$(2^n*x)+1
H[ω^3+ω^2](x)=2$$(2$x)+1
H[ω^3+2ω^2](x)=2$$(2$2$x)+1
H[ω^3+nω^2](x)=2$$(2$^n(x))+1
H[2ω^3](x)=2$$2$$x+1
H[nω^3](x)=2$$^n(x)+1
H[ω^4](x)=2$$^x(x)+1=2$$$x+1
H[ω^n](x)=2$.($がn-1個).$x+1
H[ω^ω](x)=2$.($がx-1個).$x+1
……この先順序数の和だけではきびしい。

性質をまとめてみると
H[a+1](x)=H[a](x+1)
H[a+n](x)=H[a](x+n)
H[λ+ω](x)=H[λ+x](x)=H[λ](2x)
H[λ+nω](x)=H[λ](2^n*x)
H[λ+ω^2](x)=H[λ](2$x)
H[λ+ω^n](x)=H[λ](2$.($がn-1個).$x)
H[λ+ω^ω](x)=H[λ](2$.($がx-1個).$x)

H[ε0](1)=H[ω↑↑1](1)=H[1](1)=H[0](2)=3
H[ε0](2)=H[ω↑↑2](2)=H[ω^2](2)=H[2ω](2)=H[ω+2](2)
=H[ω](4)=H[4](4)=H[0](8)=9

さてH[0](x)はよく見ると1回しか実行されない。
f(x)=x+1にS変換を何回もかけるのとはだいぶ違った状況である。
（H[0](x)=xと定義しても問題ないはずなのに何で+1なんだろう）
むしろ H[a+1](x)=H[a](x+1) ←のx+1が種になるf(x)だと
考えられればふぃっしゅ変換の描像と対応付けられるのではないか。
というわけでパターンを目で探してみると。
……やっぱり H[0](x)=x と定義させて下さい。

f(x)=H[1](x)=x+1として
H[n](x)=f^n(x)
H[ω](x)=f^x(x)=2x
H[nω](x)=H[ω]^n(x)
H[ω^2](x)=H[ω]^x(x)
どうやらωを掛けることはM2変換の例 (m(2)f)(x) := f^x(x)
(ふぃっしゅ数Ver.5案を参照のこと)に相当するみたい。
H[λ*ω](x)=(m(2)H[λ])(x)
H[ω^3](x)=(m(2)H[ω^2])(x)=(m(2)^3f)(x)
そしてω乗することはM3変換 ((m(3)m(2))f)(x) := (m(2)^xf)(x)
に相当するのではないか。
H[ω^ω](x)=(m(2)^xf)(x)=((m(3)m(2))f)(x) （ほぼfに対するS変換）
H[ω^2ω](x)=((m(3)m(2))^2f)(x) （S変換2回）
H[ω^ω^2](x)=((m(3)m(2))^xf)(x)=((m(3)^2m(2))f)(x)
とするとω乗を繰り返したらω^ω^ωに……これがM4変換？
H[ω^ω^ω](x)=((m(3)^xm(2))f)(x)=(((m(4)m(3))m(2))f)(x)
この先進められるのか不安だけどこれが合ってるなら……(了)

というかM5変換したら本当にω^ω^ω^ωになってくれるのでしょうかw

>>302
そうなんですか？結局 n 重帰納法というのは
F_{λ} < F_{ω^{ω^(n-1)}} みたいにおさえられるということですよね。

（ F_{λ}(x) = H[ω^λ](x) くらいかなと（計算もせず）予想）

↑二代目ふぃっしゅ氏か？

もしや、ご本人でしょうか‥‥？
なんとなく書き方が‥‥。

ごぶさたです。ここの巨大数とはものが違いますが
巨大基数の集合論という本を買いました。
部屋のインテリアになっています。

訂正
(誤) F_ω(x) の段階で本質的に Ackermann 関数なので、
(正) F_{ω^ω}(x) の段階で本質的に Ackermann 関数なので、

グラハム数のイメージ
定義ｘ（ｙ）ｘ＝ｘがｙ個
　　ｘ↑＾４＝ｘ↑↑↑↑としたとき
３↑＾ｘ３＝３↑＾（ｘ−１）（３↑＾（ｘ−１）３）
＝３↑＾（ｘ−２）（３↑＾（ｘ−１）３）↑＾（ｘ−２）３
となりよって３↑＾ｘ
＝３↑＾（ｘ−１）（３↑＾（ｘ−２）・・・・（３↑（３＾２７）↑３）・・
・・↑＾（ｘ−２）３）↑＾（ｘ−１）３となる
３↑＾４３＝ａ１なので
ａ２は３↑＾ａ１ー１・・・・ということになる
グラハム数のａ６４は３↑＾ａ６３−１・・・・・ということになる
グラハム数がイメージできたような・・・
（ちなみにグラハム数は３×３×３×・・が延々続く形なので３の倍数
ａ１＝３↑↑↑↑３＝３↑↑↑（３↑↑（３↑（３＾２７）↑３）↑↑３）↑↑↑３
である）

>>303のページを読んだけど、
集合ωそれ自体は、「自然数である」とはいえないものの、
自然数にきわめて似た性質を持っているのです。

と書いてあるし、このスレで扱っている巨大数には順序数は
含まれない、とするのがいいのではないでしょうか。
「関数」といったときには、順序数を含まない数から数への
関数をあらわす、とすると、もろもろの関数と順序数を比較
しても、そもそもの土俵が違うように思います。

304で$記号を使ったのは不適切でしたね。超階乗……
（なんか必然性が分からない定義だ）

>>307
いえいえ前スレ中盤にちょこっと参加しただけの素人です。
未だに矢印回転の定義をまともに理解してません。
当時から記法はふぃっしゅ氏l.b氏に合わせてました。

>>311
ω以上の順序数はそもそもどんな自然数よりも大きいので
数自体を比較する文脈でなら>1の禁止事項「∞」と同等です。
このスレで順序数が使われているのは関数列の対角化や抽象化の
過程が順序数に見られる構造と対応してるっぽいからです。
極限順序数での断絶（ω-1は存在しない）で区切って要するに別の
関数列を定義してるのだと考えて下さい。順序数を使う代わりに
2変数にしたりするのが通常のやり方といえます。
（結果n変数になったりリストが入れ子になったりして行き詰まる）

名前欄を元に戻してみる。

>>305 の考察を検証していたら適当な条件のもとで
H[α+λ](x) = H[α](H[λ](x))
が成り立つような気がしました。(λに関する超限帰納法で)
ちゃんと証明しようとしたらちょっとよく分からなくなってしまいましたが……

これが正しければ >>305 の考察も上手くまとめられるかなと思ったのですが。

アッカーマン関数に影響されたのでアッカンデー関数を作ってみる
基本定理
ｆ（ｘ、０）＝０
ｆ（ｘ、１）＝ｘ＾ｘ
ｆ（ｘ、ｙ、１）＝ｘ＾（ｙ）＾ｘ
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＝ｆ（ｘ、ｙ、ｚー１）（ｆ（ｘ、ｙ、ｚー１））ｆ（ｘ、ｙ、ｚー１）
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、ｄ、ｋ（ｎ）ｇ、Ｏ）＝ｆ（ｘ（ｎ）
＝ｆ（ｘ（ｎ−１）（ｆ（ｘ（ｎー１））ｆ（ｘ（ｎー１）
ｆ（ｘ（ｘ（ｙ）（ｘ（ｎ）＝ｆ（ｘ→ｙ（ｎ）
ｆ（ｘ→→ｙ（ｎ）＝ｆ（ｘ→ｘ→（ｙ）→ｘ→ｘ（ｎ）
（つまりチェーンと同じ）
これがアッカンデー関数、アッカーンデー関数＞アッカーマン関数？

やはり長いなあよし文字制限に挑戦
１０文字
９↓【９↓↓↓９】９
２０文字
９↓【９↓【９↓【９↓↓↓９】９】９】９
３０文字
９↓【９↓・（９↓９）・【９↓【９↓９】・（９↓９）・９】９
とりあえずこのくらいで文字制限も楽しいね
おまけ
１文字９
２文字９＄
３文字９↓９
４文字９↓↓９
５文字９↓↓↓９
６文字９↓【９】９
７文字９↓【９＄】９
８文字９↓【９↓９】９
９文字９↓【９↓↓９】９

訂正すべて↓を←として見てください
例３文字９↓９を９←９になする
ちなみに２文字以降ほぼ計算不可能
３文字ですでにグラハム数越え

今度は前768のhydra gameに目を向けてみます。
>>A{ε}(n)=n
>>A{_list_[ ]}(n)=A{_list_}(n+1)
>>A{_list1_[...[_list2_[ ]]...]}(n)=A{_list1_[...[_list2_]*(n+1)...]}(n+1)
この3行目の2箇所のn+1をnに変えた関数をAb{}()とします。
あと>305でH[0](x)=xと変更してしまったHardy関数はHb[]()とします。
あとここでもf(x)=x+1とします。

Ab{ε}(x)=x
Ab{[]}(x)=Ab{}(x+1)=x+1 =f(x)=Hb[1]
Ab{[]*n}(x)=x+n=Ab{[]}^n(x) =f^n(x)=Hb[n]
Ab{[[]]}(x)=Ab{[]*x}(x)=Ab{[]}^x(x)=2x =(m(2)f)(x)=Hb[ω]
Ab{[[]]*n}(x)=Ab{[[]]*(n-1)[]*x}(x)=Ab{[[]]*(n-1)}(2x)
　　　　　　　 =Ab{[[]]}^n(x) =(m(2)f)^n(x)=Hb[nω]
Ab{[[][]]}(x)=Ab{[[]]*x}(x)=A{[[]]}^x(x) =(m(2)^2f)(x)=Hb[ω^2]
Ab{[[]*n]}(x)=Ab{[[]*(n-1)]*x}(x)=Ab{[[]*(n-1)]}^x(x)
　　　　　　　 =(m(2)Ab{[[]*(n-1)]})(x)=(m(2)^nf)(x)=Hb[ω^n]
Ab{[[[]]]}(x)=Ab{[[]*x]}(x)=(m(2)^xAb{[]})(x)
　　　　　　　=((m(3)m(2))f)(x)=H[ω^ω]
……というようにこの2つはまるっきり同じになるみたいです。
ε_0までの順序数が任意の深さのリストと対応づくことになります。
>>313
このAbでの
Ab{_list1_ _list2_}(x)=Ab{_list1_}(Ab{_list2_}(x))
ならうまく証明できませんか？えーと
(i) Ab{_list1_ []*n}(x)=Ab{_list1_}(Ab{[]*n}(x))
(ii) 帰納法でAb{_list1_ _list2_}(x)=Ab{_list1_ []*n}(x)
　 ここでnは_list1_に影響されない
（(ii)は証明が煩雑そうで）

H[α](x) のような順序数を用いて定義された関数の増大度は、
α の大きさだけでなく、α に収束する基本列のとり方にも
大きく依存します。

A{}() と Ab{}() では、増加のしかたが随分と異なっていると
いう話を聞いた記憶があります。

>>317
> このAbでの
> Ab{_list1_ _list2_}(x)=Ab{_list1_}(Ab{_list2_}(x))
これだと直感的には当たり前っぽいです。
_list2_ があるうちは _list1_ には触らない定義になってるので。

証明は細かいところが未検証なのでまた今度書きます。

ふむふむ

考えてみたら hydra game の場合 well-definedness が非自明ですね。
それに伴って証明も案外難しそうです。

Hardy function のほうが楽に示せるかも。
>>313 で「適当な条件」と付けていますが、これは α+λ が
Cantor normal form の形になっていることを要求すればよさそうです。
というかそもそも canonical fundamenal sequence の定義自体が
Cantor normal form に対してなされていたようです。

参考
(1) Cantor normal form について
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number#Cantor_normal_form
(2) canonical fundamental sequence の定義が載っていた論文
http://www.lifl.fr/~touzet/Publications/hydre.ps.gz

そういえば。
まだふぃっしゅ関数をプログラミング言語で書いた人はいなかったと思うので
先日試しに lisp で書いてみました。
二通り書いていずれも25行程度に収まりましたが、非常に読みにくいです。

一番ネックになったのは
Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A×B,C)
の同一視です。
数学ではこれをほとんど暗黙のうちにやってしまうのですが、
プログラムを書こうとするとこれを明示的にやらなければならない
というところでややこしくなってしまいました。
最初と最後の引数を一番内側で使うので……

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｄ，ｇ，ｈ・・・・ｏ）
＝ｘ↑（ｙ↑（ｚ↑（ｄ↑・・（ｏ↑ｏ）・・・・・・↑ｘ【ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｄ，ｇ，ｈ・・・・ｏー１）】
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｄ，ｇ，ｈ・・・・ｐ、０）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｄ，ｇ，ｈ・・・・ｐ）
ｆ（０）＝１
ｆ（１）＝１とし記号の数をｘ記号の種類をｙとしたとき
ｆ（（ｘ、ｙ））と置く
う〜んなかなか大きいな〜〜

Hb[α+λ](x) = Hb[α](Hb[λ](x)) の証明、これでできてます？
なんか straightforward induction なんですが。

λ=λ'+1 のとき
 Hb[α+λ'+1](x)
= Hb[α+λ'](x+1)       Hb の定義
= Hb[α](Hb[λ'](x+1))  I.H.
= Hb[α](Hb[λ'+1](x))  Hb[1](x)=x+1

λ が極限順序数のとき CFS(λ)=Λ とすると
 Hb[α+λ](x)
= Hb[CFS(α+λ)(x)](x)  Hb の定義
= Hb[α+Λ(x)](x)       CFS の定義
= Hb[α](Hb[Λ(x)](x))  I.H.
= Hb[α](Hb[λ](x))     Hb の定義

α+λ が Cantor normal form であることは陽には使ってませんが
CFS の定義の中で暗に使ってると思います。

>>324
できてるような気がします。

超限帰納法でググったら名大の人のメモが。
>>288-290の位置づけがなんとなく分かったような。

（今度はSnake関数を計算中……根元の定義がどこだか）

ふっしゅ関数の定義ってどんなん？

そういえばこのスレには書いてないか。
ここを参照
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html#R10

>>325
> できてるような気がします。
チェックありがとうございます。

> （今度はSnake関数を計算中……根元の定義がどこだか）
確かに、前スレのは base case が抜けてますね。
Snake([1],x)=x+1 ぐらいでしょうかね。
これ、普通に二重帰納に見えるのですがどうなんでしょう実際。

>>292
Veblen関数ですか。どうやらまだまだ勉強不足のようなので出直してきます。
>>309
>>278の場合ですとF_ω(x)の段階で本質的にAckermann関数になります。
定義通りにしなかったのがいけませんでした。

Snake途中メモ。どうもH[ω^(ω^n)]止まりになる雰囲気です。

Snake([a<1>,･･･,a<n>],x)
=Snake([a<1>,･･･1],仮引数)^a<n>(x)

Snake([a<1>,･･･,a<m>,1],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,1],仮引数)^x(x)
=(m(2)^(a<m>-1)Snake([a<1>,･･･,1,1],仮引数))(x)

Snake([a<1>,･･･,a<m>,1,1],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,x],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,1],仮引数)^x(x)
=(m(2)m(2)^(x-1)Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,1,1],仮引数))(x)
=((m(3)m(2))Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,1,1],仮引数))(x)
=((m(3)m(2))^(a<m>-1)Snake([a<1>,･･･,1,1,1],仮引数))(x)

Snake([a<1>,･･･,a<m>,1,1,1],x)
=Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,x,x],x)
=(m(2)Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,x,1],仮引数))(x)
=((m(3)m(2))Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,x,1,1],仮引数))(x)
=((m(3)m(2))(m(3)m(2))^(x-1)Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,1,1,1],仮引数))(x)
=((m(3)^2m(2))Snake([a<1>,･･･,a<m>-1,1,1,1],仮引数))(x)
=((m(3)^2m(2))^(a<m>-1)Snake([a<1>,･･･,1,1,1,1],仮引数))(x)

Snake([a],x)=Snake([1],仮)^a(x)=f^a(x)
Snake([1,1],x)=Snake([x],x)=f^x(x)=(m(2)f)(x)
Snake([a,1],x)=(m(2)^(a-1)Snake([1,1],仮))(x)=(m(2)^af)(x)
Snake([1,1,1],x)=Snake([x,x],x)=(m(2)^xf)^x(x)=(m(2)(m(3)m(2))f)(x)
Snake([a,1,1],x)=((m(3)m(2))^(a-1)Snake([1,1,1],仮))(x)
=((m(3)m(2))^(a-1)m(2)(m(3)m(2))f)(x)

ｆ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ、（ｘ、ｙ−１）とする
ｆ（ｘ、０）＝ｘをｘ回ｘ乗する
これ地味に強いかも
ｆ（２，２）＝ｆ（２（２（２，０）
＝ｆ（２（２、１６）
＝ｆ（２・（１８個）・・（２、０）
え、これってもしかして無限ループ・・・

talk:>>331 さてはさっきまで昼寝していたな。

モーサー表記の定義（間違ってるかも）
まず最初が３角形でこの中の数をｎとする時ｎ＾ｎ
４角形は３角形の外側にさらに３角形がある状態
５角形は４角形の外側にさらに４角形がある状態
これをくりかえしていく
ｖ角形の中にあるｎはｎ↑↑２＾２＾（ｖ−３）と言える

330を見直しても間違いはないようです。でも何がどうなって
いるのか分かりづらいのでHb[]との合いの子をつくってみました。
（1,1,1,1とかx,x,xとかは無駄な複雑さのようなので排除）

Sb[･･･,n+1,0,0,･･･,0](x)=Sb[･･･,n,x,0,･･･,0](x)
Sb[･･･,n+1](x)=Sb[･･･,n](x+1)
Sb[0,･･･,0](x)=Sb[](x)=x

Sb[1](x)=x+1=Sb[]f(x)
Sb[n](x)=x+n=Sb[]f^n(x)
Sb[1,0](x)=Sb[x](x)=2x=(m(2)f)(x)
Sb[n,0](x)=Sb[n-1,x](x)=Sb[n-1,0](m(2)f)(x)=(m(2)f)^n(x)
Sb[1,0,0](x)=Sb[x,0](x)=(m(2)f)^x(x)=(m(2)^2f)(x)
Sb[n,0,0](x)=Sb[n-1,x,0](x)=Sb[n-1,0,0](m(2)^2f)(x)=(m(2)^2f)^n(x)
Sb[1,0,0,0](x)=Sb[x,0,0](x)=(m(2)^2f)^x(x)=(m(2)^3f)(x)

Sb[1,0,･･･,0](x)=(μf)(x)
ここでμはM2変換の元とする
（最終的にf^(g(x))(x)の形になりM2変換の定義に納まる）
変換規則(1)は末尾に,0を付け足しても不変であり（ってxは？）
変換規則(2)をSb[･･･,n+1,0](x)=Sb[･･･,n,0](m(2)f(x))に置き換えて
Sb[1,0,･･･,0,0](x)=(μSb[1,0])(x)=(μm(2)f)(x)
よってSb[1,(0がn個)](x)=(m(2)^nf)(x)

とすると次はリストの長さが単調非増加だという制限を付けて
もっと素性がいいものを定義してみます。H[ω↑↑n]に届くか？
（前スレで代表的な（とされた）n重帰納的関数はn変数でしたが
そうなると>>302>>306の話が出てきて）

訂正
ｆ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ、ｙ−１）（ｆ（ｘ、ｙ−１））ｆ（ｘ、ｙ−１）
ｆ（ｘ、０）＝ｘ↑（ｘ）↑【ｘ】ｘ＝ｆ（ｘ）
ｆ（ｘ、０）ｆ（ｘ、０）＝ｆ（ｘ、０）↑（ｆ（ｘ、０））↑【ｆ（ｘ、０】ｆ（ｘ、０）
例ｆ（３・２）＝ｆ（３・１）（ｆ（３・１））ｆ（３・１）
＝ｆ（３・１）（ｆ（３・１））ｆ（３）（ｆ（３））ｆ（３）
＝ｆ（３・１）（ｆ（３・１））ｆ（３）（ｆ（３））３↑↑↑【３】３
（以下３↑↑↑【３】３のみ計算）
３↑↑↑【３】３＝３↑↑３↑↑【３】３＝３↑↑３↑３↑【３】３
＝３↑↑【３】３＾２７＝３↑（３＾２７）↑【３】３以下表記不可能
なためこの数をＡとする
ｆ（３・１）（ｆ（３・１））Ａ（Ａ）Ａ
Ａ（Ａ）Ａ（Ａ（Ａ）Ａ）Ａ（Ａ）Ａ
Ａ（Ａ）Ａ＝Ｂとする
Ｂ（Ｂ）Ｂ＝Ｂ（Ｂ−１）ＢＢ＝Ｂ（Ｂ−１）Ｂ↑（Ｂ）↑【Ｂ】Ｂ
このようにたったｆ（３・２）でもそうとうでかい
さらにこの定義だと記号が増やせるのでｆ（３・（ｆ（３・３））・３）
なども可能ですごい増加の勢いである

付け足し
コンパクト可のため次のようにも定義
ｆ（ｘ・（ｙ）・ｘ）＝ｆ（ｘ・（ｙ−１）・（ｆ（ｘ・（ｙ−１）・ｘ）・（ｙ−１）・ｘ）
例ｆ（３・・３）＝ｆ（３・（ｆ（３・３）・３）
さらにｆ（ｘ・（ｙ）・ｘ）＝ｆ（ｘ・ｙ【１】）
※記号３つ以上の【ｘ】がつく場合は２個になるまで同じように減らす
※記号【２】以上はまた【１】の・を増やす
　例ｆ（ｘ・（ｙ）・ｘ【１】）＝ｆ（ｘ・ｙ【２】）

究極反則技
Ｍ文字で表示できる最大の数をＭＳと置く（例１Ｓ＝９）
とした時の１０Ｓ（１０Ｓ）Ｓ
この技が反則な分け
さきほどの１０Ｓ（１０Ｓ）Ｓは９文字で表示できるため９Ｓとなってしまう
解決策
できた９Ｓを９Ｓ【２】と定義するＭＳ【ｎ】はＭＳ【ｎ−１】文字で作れる
最大とする（なので９Ｓ【２】＝１０Ｓ（１０Ｓ）Ｓではない）
こうした時の
１０Ｓ【１０Ｓ】
ちと卑怯か？

＞Ｍ文字で表示できる最大の数
よくわかんないけど「M文字」「表示」のキチンとした定義が無いと
有名なパラドックスになっちゃう気がするけど、、

http://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox

>>338やっぱりそうか
ａｋ関数改変
ａｋ（０）＝９
ａｋ（０）ｘ＝９，ｘ＝９↑（ｘ）↑【９】９
ａｋ（ｘ）＝ａｋ（ｘー１）がａｋ（ｘ−１）個ならんだ数個分並んだ数
個分ならんだ数個分・・をａｋ（ｘ−１）回した物
ａｋ（ｘ、ｙ、ｚ、・・Ｇ）＝ａｋ（ｘ、ｙ、ｚ・・・Ｇー１）が・・・・
ａｋ（ｘ（ｙ）１つ１つがｘの記号がｙ個あることを意味

訂正
９↑（ｘ）↑【９】９→ｘ↑（ｘ）↑【ｘ】ｘ

今更ながら
>>328
> これ、普通に二重帰納に見えるのですがどうなんでしょう実際。
これ嘘だった気がしてきました。

あと H(α)(x) = Hb(α)(x) + 1　で合ってますよね？

つまり、n=4とおいた方がいいわけだな

age

スネークとかヒドラとか、いったいなんなんだよ？
ド素人のオレにも分かり易く教えれ

>>344
【スネーク】
ダンボール箱に身を潜め、メタルギア破壊のため基地に単身潜入する男。
双子のはずが実は三つ子で、さらに実はハつ子だった。
後方支援する愉快な仲間達としょっちゅう通信でしゃべくる、饒舌な男。
性欲をもてあましているという噂もあるが、もてあましているのは食欲のほうだ。
最近、めっきり老けた。

【ヒドラ】
単純な生物。水辺に生息。我々の祖先に近い構造をしている。
たくさんの触手を持ち、食物を捕らえる。口はあるが肛門は無い。
触手はちょんぎっても再生するので、生物学の実験に使われる。

ただの思いつきなんだが、
全ての素数を乗じる演算って数学的に意味ありそう？
N=2*3*5*7*11*13*…
とりあえず、累乗よりはずっと巨大な数になりそうだが……

>>346
素数は無限にある

#n=2*3*7*11*.........nって奴
数の事典に載ってたよな。
素数は全部掛けても、√2πしかならないんだが。

talk:>>348 5が無いのは何故だ？

5打つの忘れたよ。すまそ(汗

57もいれてね

>>345
【ヒドラ】
ギリシャ神話の方だろ。

[ω^ω^ω]ってなんかかわいい

>>400

ロクなデッバグ環境ないらしいよ。

しまった、ム板の書き込みをしてしまったぞ。

デバッグしどころ満載ですね

ぜんぜん進展ねーじゃん
もうこのスレの存在意義ないな

age

で結局増加率の最大は
計算不可能部門：ビジービーバー関数
計算可能部門：Hardy Function
でいいのか？

>>357出尽くしてもうなにをやっても二番煎じになってしまうからじゃ
ネーノ

質問です。
(3→3→3)→(3→3→3)→(3→3→3)
と
3→3→3→3
ではどちらが大きいのでしょうか。

age

>>361なんとなく後者・・・？
ちなみに前者は
３↑↑↑３↑↑・・（３↑↑↑３）・・↑↑３↑↑↑３
と表せる

そうだな。
(3→3→3)→(3→3→3)→(3→3→3)よりも
3→3→( (3→3→3) +1 )
の方が遥かに大きい。ちゃんと計算してないが………

>>359
Hardy Function　ってどのくらいデカイの？
今までに出てきた数（グラハム数など）と比較してもらえると
素人にもわかりやすいんだけど

超限順序数は反則？

an=an-1^(an-1)^[an-1]an-1
a(an)an=b1
z(zn)zn=a{1}n
a=10^(10)^10
n=10^(10)^[10]10
z{zn}n
地味にでかい

>>365
魚スキー氏が>>303〜>>305で計算を示してくれていますね。
グラハム数はアッカーマン関数に原始帰納的拡張
を繰り返しただけなのでH[ω^ω]^64(3)程度になるのだと思います。
いずれにしてもフィッシュ(関)数はH[ε_0](x)よりも小さいです。

>>368
そういうときは >>303-305 ってアンカー貼るんだよ。

グラハム数の下1桁の値って何？別にグラハム数じゃなく他の巨大数でも良いけど

3^3は7 3^(3^3)も、3^(3^(3^3))も、7......なんで、7?

>>370
グラハム数の下〜桁はグラハム数スレに出てた。他は知らない……

>>370
グラハム数って要は3×3×3×3×3×・・・・・・・・
っていうのが続いてるだけだから（その続き方が半端無いけど）
1,3,7,9のどれかになるよな

3*3....(偶数回掛ける)*3=1 or 9
3*3....(奇数回掛ける)*3=3 or 7

って事は、グラハム数は奇数乗だから、3か7じゃねえのかな

>>126 あたりでも出てるんですけど、
3^20=1 (mod 10) なんで
3^(20x+7)=3^7=7 (mod 10) ってことじゃないでしょうか

>>366
>超限順序数は反則？
>>312にも書かれているが、超限順序数それ自体は有限の数
ではないので駄目だけど「有限の巨大な自然数」を作るために
超限順序数の概念を用いるのは反則ではないと思う。
その例がHardy Functionでしょう。残念ながらHardy Function等について
書かれている日本語のページはほとんどない（てか皆無？）ですね……

巨大基数は、まただいぶ別の話になるね
というか名古屋大学あたりで勉強してください、とｗ

Veblen関数の意味がよくわからないので教えてください。

φ_0(β)=ω^β
φ_{α+1}(β) = 「φ_α(γ)=γ となる γ」 のうち β 番目のもの
φ_α(β) = 「すべての α'< α に対し φ_α'(γ)=γ となる γ」 のうち β 番目のもの (α: limit)

β番目の物というのがよくわかりません。定義によればφ_1(0)は「φ_0(γ)＝γとなる
順序数のうち0番目のもの」となりますが0番目は「最初の」ということでしょうか。
そうだとしたらφ_1(1)やφ_1(2)はどういう順序数になるのですか？

ｆ（ｘ）＝ｘ↑（ｘ）↑【ｘ】ｘとおく
このｘにｆ（ｘ）を代入したものをｆ（ｘ、１）とおく
ｆ（ｘ、ｎ）はｆ（ｘ、ｎ−１）の構成式に出てくるすべてのｘに
ｆ（ｘ、ｎー１）を代入したものとする
ｆ（ｘ、ｆ（ｘ、ｎ））をｆ（ｘ、ｘ、ｎ）と書くことにする
ｘ＝グラハム数として
ｆ（ｘ・・・（ｘ個）・・・ｘ）

日本語でもgoogolぐらいまでの約はキリがいいので決めてほしい。
１０の１００乗だしね。

>>380
使う漢字は当然のこと・・光、無限、超、巨大といったところだが
宇宙の表現法以外まったく使えてないからな。

>>378
> 0番目は「最初の」ということでしょうか。
yes

> φ_1(1)やφ_1(2)はどういう順序数になるのですか？
ε_1 と ε_2.

age

日本では何故、無量大数までしか無いのか？アメリカ並みにセンティリオンまできめればいいのにね。

っ

国連とかで万国共通の数とか統一できないものか？
せめてセンティリオンまででいいから・・・
このままでは、ややっこしすぎるよ、まったく。

兆まででいい、あとはいらねw

ω^γ=γとなる最初の順序数は
ε_0=ω^ω^ω^……=ω^^ω
となるのはわかりますが次のε_1やε_2ってどんな順序数でしょう？
具体的にε_0のようにωを使って構成できるのでしょうか？

集合論的な基数はこのスレで扱うんだっけ？

>>388
α_0=0, α_{n+1}=ω^{α_n} とするとき、ε_0=sup α_n.

α_0=ε_0 + 1, α_{n+1}=ω^{α_n} とすれば、ε_1=sup α_n.
α_0=ε_1 + 1, α_{n+1}=ω^{α_n} とすれば、ε_2=sup α_n.

あけましておめでとうございます。
2002年に始まった本シリーズもとうとう2006年か‥‥‥‥。

あけおめです。

>>390
ふむ。ということはφ_1(α)=ε_αだから
φ_2(0) =｛φ_1(γ)=γ となる γ のうち 0 番目のもの｝
= ε_ε_ε_ε_.....　ということか。

最近スレがあまり進展してないな〜。なんか新しい話題ないかな？
結局帰納的な関数はすべてH_αの範囲内なので計算可能な関数のみ
というルールで巨大数を作るのであればここで話が終わってしまう
ような気がするのですが。どんなにがんばって急増加関数を構成
してもBB(x)は超えられないというのも何かつまらないですね。
そういえばふぃっしゅ数ver.4は計算不可能なものを扱っていたと
思うんだけどあれはどうなんだろう。俺には意味不明なんだけど
わかるひとはいるのかな。

というかまだ巨大数に興味を持っている人がいるのかどうか不安ですが……

ver.4 は ver.3 の ak 的な部分を BB 的に書き換えたような印象です。

最近の巨大数は正直難しすぎる

たしかに話題が難しいということもあるし、話題がストップ
してしまってるね。

>>393
ver.4 についてはあまり話題にのぼってないようですが、
どう思います？

>>395
ver.4 では巨大数を作るのに oracle, BB を持ち出したわけですが、
ここで突然計算可能性の世界を飛び出てしまったんですよね。
それまで計算可能なものの中で考えていた姿勢がここで変わってしまった
ような印象がないこともないです。
別に悪いとは思いませんが、「あれっ？」という感じがちょっとあって。

それから、それまでオリジナルのアイデアを ver.1, ver.2, ver.3 と
発展させてきたのに比べて ver.4 は他からアイデアを輸入してきた感じなんです。
大雑把にいうと ver.4=BB+ver.3 みたいな。

ver.4 はふぃっしゅ氏らしくないという意見もあったと思うんですが、
それもそういうところが理由なのかなと思ってます。
当のふぃっしゅ氏も、これまでのと ver.4 はちょっと違う位置付け、
というような意識は持っていたと思いますが。

あまり話題にならないのは、 ver.3 との差分の部分(BB)が
あまり興味を惹かなかったか、あるいは BB の計算不可能性が
これまでの話の流れに乗りにくかったからでしょうか……

スレの中でふぃっしゅ氏が「ラージナンバーズ」サイト主宰のロバート氏に
メールで「ふぃっしゅ数」を送り、評価してもらった。
そこでロバート氏がふぃっしゅ数をＢＢにあてはめＢＢ(10000）くらいだったか
の評価を受けた、そこから一気にＢＢを取り込む方向に行ったと記憶
さらにＢＢ自体を関数化するという話になり‥‥‥。
　でも、４スレ目あたりで、ＢＢに頼らないVer５and６を提案しようとしていた
が、結局二重帰納法に過ぎないことがわかり、そこから停滞
という流れだったような気がする。

えっと二重帰納法の定義ってなんでしたっけ？
というかn重帰納の意味がまだよくわからないのですが、
掛け算や累乗が原始帰納、アッカーマン関数が二重帰納だったかな？
>>303-305の計算によればH[ω^ω^ω](x)でもまだふぃっしゅ関数に
追いつかないようなので、任意のn重帰納的関数よりは大きいのでは。

ふぃっしゅ関数は、λにより帰納性が保障されただけで、
2重帰納の定義さえ、それが有意義かはさておき、
誰も調べていない。

多重帰納の定義がよくわからない状態で停滞していたんでしたっけ。

>>3-4 に多重帰納の定義らしきものがあります。
が、今よく見ると添字が変な気がしました。

あと、前スレに別の定義が。

> 076 [03/04/07 22:40] １３２人目の素数さん <sage>
>
>  f という関数記号に関する、0−term とは f を含まないこと。
>  f(t_1,t_2,...t_n) として t_i が k-term なら これは k+1-term
>  g(t_1,t_2,...t_n) で g が f でないとき t_i が k-term なら これは k-term  
>  とする。
>  たとえば 3重帰納法のときは
>  f(0,y,z), f(x,0,z), f(x,y,0) が与えられていて  
>  f(x+1,y+1,z+1,a) が 3-term でそのなかに現われる f は f(x,*,*), f(*,y,*),  
>  f(*,*,z) という形である。
>  
>  これでよいと思います。ただ１の場合原始帰納関数の普通の定義より面倒になって
>  います（本質的には同等ですが）から、もう少し簡明な形があると思いますが、
>  定義されたものがk−重帰納法の中にはいっていることを調べる目的ではこの方が
>  便利かもしれません。

ＢＢ（ｘ）次元プラズマエーテル空間を飛ぶ無量大数対数

あ、あけましておめでとうございます。
(学んだことが頭から抜け落ちて投げ掛ける話題がない)

f(0)=9
f(x)=f(x-1)^f(x-1)^【f(x-1)】f(x-1)
f(x,1)=f(x)を作る過程の9をすべてf(x)に
f(x,y)=f(x,y-1)を作る過程の9をすべてf(x,y-1)に

f(100,100,100)を求めよ

訂正
f(0)=9
f(x)=f(x-1)^f(x-1)^【f(x-1)】f(x-1)
f(x,1)=f(x)を作る過程の9をすべてf(x)に
f(x,y)=f(x,y-1)を作る過程の9をすべてf(x,y-1)に

f(100,100)を求めよ

0^0

f(1)=9^^^^^^^^^【9】9

最近は巨大数から離れて、集合や位相や圏論、群論を眺めています。
モンスターと名づけたのはConwayだったのですね。
不勉強でした。

age

大きい数はありますが、逆に小さい数についてはいかがでしょうか？

逆数を取ればよい

小さい数
分（ぶ） 10-1
厘（りん） 10-2
毫（毳）（毛）（ひゃく） 10-3
絲（糸）（し） 10-4
忽（こつ） 10-5
微（び） 10-6
繊（せん） 10-7
沙（しゃ） 10-8
塵（じん） 10-9
埃（あい） 10-10
渺（びょう） 10-11
漠（ばく） 10-12
糢糊（もこ） 10-13
逡巡（しゅんじゅん） 10-14
須臾（しゅゆ） 10-15
瞬息（しゅんそく） 10-16
弾指（だんし） 10-17
刹那（せつな） 10-18
六徳（りっとく） 10-19
虚空（きょくう） 10-20
清浄（せいじょう）（しょうじょう） 10-21

小さい数で、グラハムやバードに該当する語句はあるでしょうか？

デシ d 10-1 deci　ラテン語で「十番目」の意味の「decimus」
センチ c 10-2 centi
ミリ m 10-3 mili　ラテン語で「千」の意味の「mille」
マイクロ μ 10-6 micro　ギリシャ語で「微小」の意味の「mikros」
ナノ n 10-9 nano　ラテン語で「小人」の意味
ピコ p 10-12 pico　ラテン語で「とがった先」の意味
フェムト f 10-15 femto　デンマーク語で「15」の意味
アト a 10-18 atto
ゼプト z 10-21 zepto
ヨクト y 10-24 yocto
ハーポ hr 10-27 harpo
グルーチョ gc 10-30 groucho
ゼッポ zp 10-33 zeppo
グモ gm 10-36 gummo
チコ ch 10-39 chico

>>410
0

結局、いままで巨大数スレで登場した数で最大のものはどれでしょう？

>414
マイナスグラハム数

自然数の話だったら最小は0か1だと思うけどな。

BBてそんなにすごいんですか？

BB(x)は計算可能などんな関数よりも急増加します。

このスレ的にはＢＢ最強でＦＡ？
それとも計算可能とやらを突破するアイディアを模索しているとか？

計算可能な関数の壁をどうやって越えるか考えて
たどり着いたのがＢＢでしょう。
ふぃっしゅ数ver.4はよく分からないのですが、一見
ＢＢに帰納的な拡張をしているだけと思えます。
ＢＢに帰納的な拡張をしてもそれはAckermannに原始帰納的拡張を
するのと同じで本質的にそれを超える関数はできないので、
ＢＢを真に超える関数はどうやったら定義できるのか知りたいところです。

結局、記号列を置換していくようなやり方は全部計算可能なわけですよね。
それを超えるとなるとまったく新しいアイディアが必要なわけで。
それだけで論文かけそうなキガス。

１０＾-１００で、マイナスのgoogolplex
１０＾８８で無量大数

スキューズ、センティリオン、バード、フィッシュ、エディントン、
グラハム、不可説不可説転・・・。その逆は、マイナスをつけるだけでよい。

１０＾６００とか、１０＾３０３とかいう、巨大な数である。
だが、１０＾７００とか、１０＾８００とか書いただけで、それを超える
数字になる。指数だの乗数だの、だけではもはや表記しきれないような
数だってあるはず。

９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９＾９

１０＾１０＾１０＾１０＾１０＾１０＾１０
１００＾１００＾１００＾１００＾１００
無量大数＾無量大数＾無量大数

７００万＾７００万＾７００万
と、なにを書いているのかよくわからないのですが

ヘッジとかいうのは天文学的数値のお金を奪取できるようですが

素人には、どうやって巨大な数を表現すればいいのかすら、よくわからない

３↑↑↑３
Ｇ＾６４（４）
３↑３
３↑３↑３
３↑↑３＝Ａ
３↑↑↑３＝Ｂ

３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾
３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾３＾

グラハム数＾グラハム数とか

グラハム数↑グラハム数↑グラハム数とか
なんか、仏教的な、遠い世界の話になりそうです
不可説不可説転だって大した数でもない　
カントールやゲーデルといった人は、晩年に神秘主義に走ったらしい
ですが、「完全なもの」になんかあこがれがあったのでしょう
１０００兆円の国債だって、大した数字でもない
１１兆のビル・ゲイツの私産も
無量大数だって、せいぜい１０の８８乗
不可説不可説転は、１０＾７×２＾１２２

地上的な数字を離れると、ちょっと神秘的な数になります
あの世とか、彼岸的な世界というのは、そういうものなのかもしれない
孫悟空は、釈迦の掌の上なのです
全宇宙は塵に過ぎないのかもしれない　

3→3→27 ＜ 2[ 2[5] ] (Moser's number) ＜ 3→3→3→2
＜ 3→3→64→2 ＜ グラハム数 ＜ 3→3→65→2

だそうですが、10[ 2[5] ]、さらに、2[ 10[5] ]
だとどうなるのでしょう？
さすがに、10[ 10[5] ]だとグラハム数は超えるんでしょうか？
モーサー表記をチェーンに置き換える計算がいまいち分からないもので…

今からこのスレは、いかに巨大数をスマートにかつわかりやすく表現するかを追及するスレになりました。

>>427
巨大数自体よりも、その表記方法のほうに研究がいっているのではないでしょうか？
グラハム数というのは、ギネスにも掲載された表現だったのですが

それだけのお金があったらなあ　グラハム数円

無限大マイナス１　、というのが、
無限大＝∞ではない、∞に一番近い、大きな数、ということには
ならないのでしょうか？
∞という数自体が、ひとつの定数というわけではないの？
∞-１、∞-２、∞-３、というふうに

>>384
やはり国家のスケールの違いなんじゃないですかね？

G^64(4)=3↑↑・・・・・・・↑３

冪乗って、どう読むの？

グラハムより２ｃｈのこのスレッドとかの方がはるかに巨大な数を出している
グラハムより巨大な数は、２ｃｈのみならず、研究がすすんでいるはず
グラハムはそれでもミクロなものだという

フィッシュやバード以外に、どんな表記や関数があるのだろうか？

例えばRiemann予想が正しくなく、虚部が1/2でないRiemann zetaの非自明零点が
ものすごい間隔で無限個離散的に存在しているとして、
f(1), f(2), f(3), ...をそういう零点の虚部の整数部分を小さい順に並べたものとすると、
fはえらい増加の速い関数だったりするかも(根拠0)。

他にもなんちゃら幾何とかで理論的に定義される
計算なんか出来そうにないなんかの不変量をf(n)としてみるとか。

計算可能関数はBBで抑えられるらしいから、
数論幾何でも数理物理でも何でもいいから、
計算可能性とは別の発想が無いと
本質的により大きな巨大数は人間には記述出来なそう。

既出な気がするけど。

>>411
空気清浄機

http://www.guru.gr.jp/~awa/blog/archives/2005/10/entry_232.html

３+３　３×３

３＾３

３＾３＾３＾３＾３

３↑３　３↑５

３↑３
３↑↑３　
３↑↑↑３
３↑↑↑↑３

３→３　

http://www.netlaputa.ne.jp/~hijk/memo/unit.html#A05

数学板にしては珍しく
優良スレだね、ここ。

●STEP0
比較的単純なマシンモデル（チューリングマシン）を定義することで、
どのような帰納的定義の関数よりも早く増大する関数、ビジービーバー関数が定義出来た。
ビジービーバー関数は「どのような帰納的定義の関数よりも早く増大する関数」の中ではほとんどＭＩＮの関数である。
BBに帰納的拡張をしていくことである程度大きくすることは可能。、
（BB^n(2)やBBのふぃっしゅ数的拡張など）

●STEP1
チューリングマシンにビジービーバーの値を返す動作を追加したマシンを考えてみる。
厳密にはたとえば、
各ステートの動作定義に１ビット加え、このビットが立っていたら
BB(テープ上のヘッド位置から右に続く１の数)個の１をヘッドの右側に書き込むという動作で良い。
このマシンｎステートでセット可能な１の数の最大をBB2(n)とすると、
この関数はビジービーバー関数に通常の多重帰納的定義を用いて拡張したどんな関数よりも早く増加する。
（BBのふぃっしゅ数的拡張もBB2に及ばない）

一般に、
『チューリングマシン＋関数f』のマシンｎステートで
セット可能な１の数の最大をBB｢f｣(n)とする。
BB｢f｣ は、fに通常の多重帰納的定義を用いて拡張したどんな関数よりも早く増加する。
BB｢恒等変換｣ = ビジービーバーであり、
BB｢ビジービーバー｣ が上の BB2 である。

BB｢f｣の｢｣の中に関数を入れることで新たな関数ができ、
帰納的定義の関数のように帰納的にBB｢f｣の定義が可能である。

●STEP2
STEP1の方法でマシンの帰納的定義を行っていけば大きい関数が作成できるが、
この方法にも限界がある。
この限界を超える為にはチューリングマシンに以下のような機能追加が必要である。

１．自然数から自然数への関数をテープに読み書きできる（可算無限のデータ量）
２．テープに関数の初期値（恒等関数で良い）をセット出来る
３．関数fからBB｢f｣をつくることが出来る
４．関数の値を返せる
といった感じであろうか。
（厳密な定義は他の人に任せる）

このようなマシンｎステートで表現できる最大の数をCC(n)とする。
これはいわば「STEP1の帰納的拡張をｎ文字以内で一番効率よく行った場合の数」
のようなものであり、CC(n)はBB｢｣のどんな帰納的拡張よりも早く増大する。

●STEP3
さらなる拡張はやはりマシン自体を定義できるようなマシンということになるだろう。
矛盾がおこらないような定義で最良のものはどんな感じになるのかな？

というような話は既出？

（やべえあげちまった）

グラハム数というのは、
Ｇ６４（４）ですから、↑が、Ｇ６３（４）個分あるということです。
ですから、もしそれより大きい数を作成したいなら、
Ｇ１００（４）でもよいことになります。
この場合は、↑表記は、Ｇ９９（４）個分に相当するということです。

ちなみに、Ｇ１（４）とは、↑が３↑↑↑↑３個分あるということです。

√4=√4=√4

今のとこ日本語のページで巨大数について一番
詳しく議論されているのはここでしょうね。
たぶん巨大数の魅力にとりつかれている人間は世界中に
いるでしょう。もしかしたら外人とかが我々の想像を
絶する巨大数を生み出しているかもしれない…
はたして人間はどこまで「大きな数」を定義できるのか………

>>440
ちょっと質問なんですが。

> ●STEP1
> チューリングマシンにビジービーバーの値を返す動作を追加したマシンを考えてみる。

これは過去に出てきたオラクルをもつ TM の BB とは違うんでしょうか？
同じようにも見えるんですけど、

> （BBのふぃっしゅ数的拡張もBB2に及ばない）

この「拡張」が ver.4 の事をさしているのだとすれば違うということですよね。

>>440-442
過去スレでパート３の>>245-246あたりでふぃっしゅっしゅ氏が
似たようなアイディアを示していますね。

>>446
ver.4の「f(x)を導入したO-machinesによって生成される
ビジービーバー関数」というのがつまりBB｢f｣(x)ってことでしょうか。
じゃぁver.4はＢＢに帰納的な拡張をしただけではないのか・・・
上で言っているBBのふぃっしゅ数的拡張ってのはふぃっしゅ数ver.3の
初期関数f(x)=x+1をBB(x)に置き換えたような拡張という意味でしょう、
よってver.4とは別だと思います。

おうっと失礼。
私が見ていた定義はふぃっしゅ数Ver3でした。
やはりBB｢f｣(x)といった概念は既出でしたか。

Ver3よりBBの方が大きく、
BBにVer3的拡張をしたものよりBB2の方が大きく、
Ver4よりCCの方が大きいといったところですか。

Ver3がBB(1000)位と仮定すると、
Ver4はCC(1000)位でしょう。

TMの状態数とテープ記号の数を変数にした
generalized Busy Beaver functionsの増大度はどうなんだろう。
BB(n,m)はn-state, m-symbolのTMが書き込む0以外のテープ記号の最大数
（あるいは最大ステップ数）と定義される。
http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaverによれば
BB(3,3)≧987522842126(ステップ数)がわかっている。
BB(x,m)とBB(n,x)ではどちらが増大度が大きいんだろう。

大雑把にはm * n = m' * n' の時にBB(n, m) ≒ BB(n', m')となりそう。
つまり、BB(x, x) は BB(x^2)程度。

ちなみに、BB(1, m) = BB(n, 1) = 1

悪いけどここでkingね

talk:>>451 私を呼んだか？

>>451
馬鹿！なんて事を…

Ｇをグラハム数と置くとき、
無量大数は塵に等しい、せいぜい１０＾８８である
スキューズ、やセンティリオンでさえ、塵だ
１円やそこらのはした金、小銭で恩を着せよう、恩を売ろう、というのはケチでセコくて安っぽい話である

バードやフィッシュ、ＢＢ関数で得られる数はＧより大きい
タワーよりはチェーン、おそらくモーサーよりチェーン

日本の国債なんて１０００兆円かそこら
ビル・ゲイツの私産は１１兆とか
孫正義だって大した額でない
個人の遺産なんてなおさらである
日本の政治家の賄賂なんて可愛いものだ、５０億程度
Ｇ円あればいい、でもヘッジファンドでも無理だ

Ｇ６４（４）から、Ｇ１００（４）へ
Ｇ＾Ｇ、Ｇ↑Ｇ、Ｇ→Ｇ　タワーがＧ数　Ｇを基数と置いて
さらになんらかの演算子を付帯すれば、巨大数が得られよう

人の命なんてせいぜい８０年かそこら
Ｇ年にくらべたら刹那にすぎない
５６億７０００万年後に現れるとされるマイトレーヤですら、
刹那の出来事を越えないのである
どうやらこの辺に地上や現実を、この世を越えた宗教的な
真理、神秘の世界がひそんでいるのではないか

BB関数の数の膨張はすごいらしい

ギネスに載るよ、このスレ
グラハムよりすごいんだもん
フィッシュとか。
バードは外国人だけど
ＢＢもそう。

ビシービーバー関数のオルガスムスというのはどうでしょうか？
味わってみたくない？
普通のセックスを１としたばあい
グラハム数倍のオルガスムス、体がとろけます
清らかな菩薩の境地ですぞ

第１部：バージョン５、帰納関数、Hardy、スネーク、ヒドラ (1-530)

これって、なんだろう？
帰納関数、Hardy、スネーク、ヒドラ という
関数や巨大数があるってこと？
どれくらいすごいの？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0

シュタインハウスのメガ
シュタインハウスのメジストン
これなんだろうね？

>>454
どうでもいいが、無量大数は１０＾６８という説の方が有力。

スレがあがると文系ちっくな書き込みが増えるからsage推奨。
（勝手に仕切ってみる）

ビジービーバー関数 Σ は、
発散速度が急速であるために計算不可能である関数の一例である。
ビジービーバー関数は、引数が比較的小さな値であっても
巨大な値を返す関数である。 n = 1, 2, 3, 4 に対して、
Σ( n ) の値はそれぞれ 1, 4, 6, 13 である。Σ(5)
は未知であるが、4098以上の値をとる。Σ(6) は少なくとも
1.29×10 865 である。

>>462
トイウコトハ、Σ（７）はΣ６より大きい数字であり、
Σ（Ｇ）は、相当な巨大数だといってよいわけか
Ｇはグラハム数

Σ（７）
Σ（８）
Σ（９）
Σ（１０）
Σ（グラハム数）

>>460
http://en.wikipedia.org/wiki/Steinhaus-Moser_notation
http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm

BB(1)が原始帰納関数でBB(2)が二重帰納関数だとかの
対応ってつきませんかね

BB(BB(BB(BB(G)))）
想像もつかん。

囲碁を人工知能に学習させて名人に勝てるまでにするにはどれくらいの時間が要りますかね。

BBΣ（Ｇ）

BBってそんなにすごいか？
説明のページ見てもようわからんだが、Σ(6) は少なくとも
1.29×10^865 である…ってたいした事なくない？

2$＝4だが、3$≒10↑(10↑(10↑(10↑36305)))・・・となる
N$＝N!↑↑N!の超階乗の方がよほどすご

すぐに追い越すんでしょ

誰かwikiの日本語版のビジービーバーの定義書いてほしいなあ

BB流行ってきたねｗ

巨大吸う
あるある

>>440-448は、なかなか面白いですね。
「計算可能な範囲内で巨大数を作る」といったルールをはみ出たVer.4に
ついてはそれ以上追求しなくなりましたが、BBという計算不可能関数の
存在を知ると、BBの上を追求したくなります。一度、「計算可能ルール」を
取り外して考えてみるのも悪くないと思います。

さて、●STEP1に記述されている『チューリングマシン＋関数f』のマシンが、
つまりチューリングが提唱したO-machinesです。
Ver.4の定義の中で「O(f)は関数fの値を返すオラクルを１つだけ持つ
O-machinesによって生成されるビジービーバー関数」という定義は、
BB｢f｣(n)の定義と等価です。Ver.4の本質は、この「関数fから得られる
いかなる帰納的関数よりも大きい関数O(f)を作る」という操作を基本として、
それに帰納的な定義を重ねることでした。

そして、このようなVer.4の方法の限界を超える方法が●STEP2に書かれて
います。ここが、非常に面白く感じました。ただ、3,4のあたりの定義を。
きちんとTM上に実装する形で書く必要があるように思います。
この点に関しては、たとえばO-machinesに「オラクルを変化させるオラクルクル」
を加えた「クルクルマシン」を定義することで、うまくいかないでしょうか。
つまり、関数fを与えるオラクルを、関数O(f)を与えるオラクルに変化させる、
とういう働きを持つ「オラクルクル」を定義するわけです。

だとすると、●STEP3として記述されるべき「マシンを定義するマシン」は、
どのように定義すれば良いのか。このマシンは、オラクルを定義するとか、
オラクルクルを定義するとか、オラクルクルクルを定義するといった作業が
すべてできるようなマシンでなければいけないので、きちんとマシンを定義
するのは大変そうですが、面白そうですね。

そして『「マシンを定義するマシン」を定義するマシン』を定義することで、
●STEP4に行くわけですが、このステップはどこまで続くことでしょう。

計算不可能な領域なので、すべて実際には計算できませんし、その大きさを
帰納的に記述することはできません。したがってその大きさを我々の頭で
想像することもできません。だけど、そういう数が定義できて、有限の自然数として
確かに存在する、ということが、私には非常に面白く感じます。

ふぃっしゅ氏ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ｯ!!

オラクルを持つチューリングマシンを使うってことは入出力から
見れば『任意の関数を種にできるS変換(M2変換)』と同じ形
ですからVer.5案の議論も踏まえて考えるとよさそう。

ふぃっしゅ氏大変お久しぶりです。
このスレも立ってから2年ぶりですね。（自分の書き込みも2年ぶり）
ちなみにこちらもときどき新たな静岡数とか考えてましたが
BB関数などとは別に帰納的かわからない超順数で
挑戦していこうと思います。
その前に超順数が帰納的かも解明していきたいですね。

ただ自分は就職して愛知に引っ越したので
静岡数ならぬナゴヤ数にでも命名していきます。
（ちなみに生まれは愛知です）
とりあえず各要素に超順数を入れたリスト次元の活用で
考えています。
できれば週末までにまとめていきたいと思います。

このスレの巨大数とか想像しようとすると発狂しそうになる。

＞ふぃっしゅ氏
このスレで最近から書き込み始めた者ですが、復活してくれて
嬉しいです。
>>477
同感です。「BBは計算できないから反則」という立場もあり
ますが、原始帰納からアッカーマン、さらにチェーンへの飛躍
と同様に帰納的関数を超えた最初の関数と考えればそれは１つの
進歩であると思います。ですから計算可能かどうかの議論を抜き
にして巨大数を定義していくのも面白いと思います。
>>479
僕もこのスレに出会ってから自分でいろいろ巨大数を考えて
みましたがいまいちこれといって発表できるものが出来ずに
終わってしまいました。
ナゴヤ数、楽しみにしてます。（笑）最近ネタが無くて退屈
してましたから。
超順数……って超限順序数のこと？

>>470
チューリングマシンの定義を見ればわかるけど、
階乗やべき乗はもちろんのこと、
掛け算や足し算までも定義されていない
非常に単純な機能しかないチューリングマシン語
たった６文字で1.29×10^864もの数を表せるなんて驚きじゃないかい？
（６文字の場合、文字の種類は７８４種）
数十以内でN$を追い越すのも確実だし。
もしかしたらBB(10) > 10$かもしれない。

>>476
c言語くらいの高級言語なら、
typedef int (*fn)(int);
fn BB(fn);
のように簡単に定義できるが、（ただし、intは多倍長整数）
TMのような簡単な機械で定義するのは大変だし、
無理やり定義すれば不自然になるし、
がんばれば厳密に定義できることも確実だし、
実際に値を調べるわけでもないので、
厳密に定義する必要もないかと。
どのように定義してもCC(100000)はふぃっしゅ数V4を超えているのは確実だしね。

ふぃっしゅ数V4はBBのような飛び道具を使ってるわりには、
それ以外の定義が帰納的で非常に原始的に感じます。
素直に計算可能なV3で止めておけば良いと思います。

超順数は超限順序数の略のつもりです。
順序数について、ω^^ω以降の定義は少し変えていく必要があります。
以下のように帰納的に定義してみました。
ω^^ω = e0
（ふいっしゅ関数ver5ではこの段階の説が強そうですが）
e0^e0 = e0^^2 = ω^^(ω+1)
e0^^n = ω^^(ω+n)
e0^^ω = ω^^(2*ω)
e0^^(ω^^ω) = ω^^(ω^^ω) = ω^^^3
ω^^^ω = e1
e1^^^n = ω^^^(ω+n)
e1^^^ω = ω^^^(2*ω)

以降、一般的に次のように定義できます。
e{n-2} = ω^…n個…^ω
e{n-2}^…n個…^n = ω^…n個…^(ω+n)
e{n-2}^…n個…^ω = ω^…n個…^(2*ω)
e{ω} = ak(ω , ω)
ak関数段階以降もak(ω+n,*), ak(ak(ω,*),*), …
の形で帰納的に拡張定義可能だと思います。
BB関数ではどのくらいになるのかも気になるところです。

Veblen関数は
φ_1(0)=ε_0、 φ_1(1)=ε_0^^ω、φ_1(2)=(ε_0^^ω)^^ω、……
で合ってます？
（自分でやっててε_0*ε_0^ω=ε_0^ωには驚いた）

483についてe0^^ωからe0^^(ω^^ω)までの詳細について。
ちなみに"="ではなく→で表記すべきでしたorz
(e0^^ω)^^ω → ω^^(3*ω)
(…(e0^^ω)^^ω…)^^ω → ω^^(ω^2) = e0_1とおく。
(…(e0_1^^ω)^^ω…)^^ω → e0_1^^(ω^2) = ω^^(2*ω^2)
(…(e0_1^^(ω^2))…)^^(ω^2) → ω^^(ω^3) = e0_2
(…(e0_{n-1}^^(ω^n))…)^^(ω^n) → ω^^(ω^(n+1))
e0_ω → ω^^(ω^ω)
(…(e0_ω^^(ω^ω))…)^^(ω^ω) → ω^^(ω^(ω+1)) = e0_{ω+1}
・・・
この間だけでも過程が結構長いから
e1ではどのくらいになるか想像しにくいです。

>>484
φ_1(n)=(ε_0^^ω)^^ω…)^^ω=ε_0^^(n*ω)になりますね。

1.29×10^865 が６のときで
５のときが４０９８以上
でも、７、８、９、１０と続いたら、
結構な数字になりそうな気がする
ＢＢΣ関数　Ａｋ関数はまだ勉強してない

＞φ_1(0)=ε_0、 φ_1(1)=ε_0^^ω、φ_1(2)=(ε_0^^ω)^^ω、……
＞で合ってます？
φ_1(1)=ε_1、φ_1(2)=ε_2じゃないっすか？
ε_αはγ=ω^γの解となる順序数です。

>487
ε_αの定義は知りませんでしたが、ということは484は
ε_αをωで陽に表したものってことですか？

>485
>ちなみに"="ではなく→で表記すべきでしたorz
イコールでいいような気も

>>480
imageの限界を超えていて、イメージしにくい

一円が１０枚あるならともかく、１００枚でも
１０００枚でも、数える気、ちょっとなくすのに　超階乗の世界とかわけわからん

けど、「無限」よりは小さいということに驚く。
「無限」ってなんかイメージできる気がするけど、
それはきっと気のせいで、実際は人間精神の限界を超えてるんだろうと思う。

f(x)=tan(π/2(1-1/x))
これの増加度はどんなもんだろう。

グラハム数のタワーの説明とかよくわからないでしょう
３↑３は、３＾３＾３だから、３＾２７＝７・６兆くらい
次に、３↑↑３となると、と計算すると、わけわからない。
３↑３↑３だから、右から計算して、３↑７・６兆
つまり、３を７・６兆回累乗するってことか。
３↑↑↑３となると、３↑↑３↑↑３
この↑が増える計算だけでもなんだか、わけわからない。

永遠というのがありますが、無限とか、限りなくつづくもの、
繰り返し、延々と続いていくイメージ、これは西洋思想にあるものです
完全なもの、というのもそうです
コンピュータのプログラムはピリオドひとつ間違えただけで作動しない
完ぺき主義　なんらかの完璧なもの、完全なもの、をイメージした
神秘主義、オカルティズム思想が数学の世界にもあるはず
晩年のカントールだかゲーデルなんかが、その例だというお話なのね
人間の脳とコンピュータは近いはずだものね　コンピュータは２進法で
動いているし、ロジックがある　論理的思考法、まさに数学そのものだ

>>488
ε_0^^ω≠ε_1じゃないかな？比較してないけど……
超限順序数を考えたところで巨大数にはなりませんよ。
あくまで自然数であることが条件です。

３+３+３は９
3*3*3は２７で、３＾３

３＾３＾３というのは、右から計算して３＾２７であるから、
すなわち、７・６兆くらいの数字になるはずである
これが、３↑３だろう

３↑↑３というのは、３↑３↑３のことである
同様に、３↑７・６兆、つまり３を７・６兆回累乗するという計算になる。
そこで出た値がＡなら、３↑３↑３↑３は、３↑Ａつまり、３をＡ回累乗した
数値となる。

３↑↑↑３をバラすと、３↑↑３↑↑３だから、３↑↑３↑３↑３と、
やはり右から崩して計算していくことになる。

３を７・６兆回累乗することさえ、もはや途方もない数のはずであるから、
タワーというのは、本当にすさまじい。だが、グラハム数でさえ、ミクロである。

巨大数の魅力は、数学の素人にも
その大きさが大きいということの凄さがわかるところ
グラハム数くらいなら、
おそらく、スパコンで計算できるだろうと思われる
円周率とか素数、メルセンぬ素数くらいならコンピュータで出せるのでは？

(^ω^)巨大数がAAに見える

>>496
いや、グラハム数の全桁計算は、スパコンでも無理でしょう
なにしろ、結果を格納するだけのメモリすら用意できないし

グラハム数の大きさでさえ、まともに想像しようとすると
発狂しそうになるほどの大きさで、その初代「グラハム数スレ」
を受けて、そのグラハム数よりも大きいふぃっしゅ数は
すごい、という感じで盛り上がったのがもう今から４年前。
それが、このスレの出発点だった。

グラハム数が計算できる、などといってるようではまだまだ。
まずは、グラハム数の大きさに驚かないと。

懐かしのグラハム数スレッドから。グラハム数の第一段階ですら、
まともに全桁を「表記する」とか「計算する」といったことは、
物理的に不可能な数字になっている。

78 名前：１３２人目の素数さん ：02/05/29 01:48
再々度
グラハム数の６３段階の出発の第一段階　3↑↑↑〜↑↑↑3の間の矢印の数を
具体的にモノに置き換えて言い表すとすると
　　　
宇宙に含まれる最も小さい粒子が10のマイナス40乗とする（実際はプランク定数を下回るので
この小ささは存在しない）と既知の宇宙空間には（半径？およそ150億光年）、この微粒子が　
10の200乗個詰め込む事が出来る。
この粒子を詰め込んだ宇宙を、また微粒子の一つと考えそれがまた10の200乗集まって一つの
宇宙という単位を作る。この繰り返しを10の10兆乗“10兆けた回”続ける（注：“10兆回”ではない）

次に、そこに含まれる粒子一つを数字一つにあてはめ、すべてつなげて超超超超巨大な想像を絶する
巨大数字に置き換える。

その数字の回数だけまた、前述の（10の200乗個の粒子が集まって宇宙を作りその宇宙を
粒子にして10の200乗個集まって一つの粒子を作る）という繰り返しを行う
すると最後の繰り返しが終わった時は、最初の粒子が信じられないほど膨大な数になる
その粒子をすべて数字に置き換え並べた数（粒子自体の数じゃなくてその粒子を一桁と考えて出来る数字）
‥‥‥その数が、
3↑↑〜↑↑3のあいだに挟まった矢印の数くらいだろう

再度計算して、具体的に置き換えたらこうなりました

まあ、あくまでおよその数字ですが

http://www.netlaputa.ne.jp/~hijk/memo/unit.html#A05

なんか、説明がまちまちのような気がするのですが、

たぶん、
グラハム数のタワーという矢印の表記は

３↑３のとき、３＾３＾３でしょう

これは、３*３が、３+３+３のようなものです

３＾３は、３*３*３ですからね

だから、３↑５だと、３＾３＾３＾３＾３と、３の累乗を５回する

同様に、３↑↑３だと、３↑３↑３と、３の↑を３回

すでに、３↑３の段階で、７・６兆ほどの数字になってるんじゃないかな？

３↑３が２７
だという説と
３↑３が、３＾３＾３
つまり、７・６兆という説があり、
たぶん、後者が正しいと思う

無限集合を比較するとき1対1対応が無いと本質的に大きい集合とする、ていう考え方があるじゃないですか。
あれとおなじで2つの関数が与えられたとき本質的に速く発散するというのはどういうことか定義できないもんでしょうか。

ある定数cが存在してｃ以上のすべての数に対して、f(x)<g(x)が成り立つときgはfより大きいという定義はこのスレ的に不十分だと思うのです。
関数の大きさをいい感じにクラス分けする方法は無いもんでしょうか。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC%E8%A1%A8%E8%A8%98
これを見る限りでは ３↑３ = ２７ のようだ。

BBは6のときについては下限がわかってるようですが、7以上については何もわかってないんでしょうか。

>>504-505
> 関数の大きさをいい感じにクラス分けする方法は無いもんでしょうか。
実はそれ、このスレを見るたびに思ってるんです。


F:関数のクラス
S:関数を生成する手法のクラス
に対して F に属するいくつかの関数に S に属する手続きを有限界適用して得られる
関数のクラスを S(F) とする。
F, G を関数のクラスとするとき、 F が G より本質的に大きいとは
∃H,∃S, s.t. S(H) は F を含む G の proper subclass

以前考えたことを大雑把に言語化してみました。
こんな感じのことを考えてはいるんですけど、あまりうまくいってないかも。
S があまりにも漠然としているのが一番の問題点なわけですが、
そこがうまく定義できたとしてもこれがどの程度意味をもつかはわからない。

このあたりの話とも関係しそうですね。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/notation.html

あまりにも漠然としすぎているような気がしたので例を。

F={constant functions, projections, successor}
P={composition, primitive recursion}
R=P∪{minimization}

とすると P(F) は原始帰納的関数全体、 R(F) は帰納的関数全体。
G={f|∃c. c≦x ⇒ f(x)≦ak(x,x)}
とすれば G は P(F) より本質的に大きく R(F) は G より本質的に大きい。

だいたいこんな感じのつもりです。

少し遅れてしまいましたがそろそろナゴヤ数（というかナゴヤ関数）
のバージョン１でも発表していきます。
これはあいさつ程度のつもりで今まとめ中のバージョン2以降は
もっとすごいものになると思います。

第5スレ目にあるHardyFanctionの順序数が入る変数を
複数要素リストに拡張したようなものと考えていいと思います。
まず、任意関数f(x)、超限順序数ωに対して
L[1](x) = f(x)
L[n+1](x) = f(L[n](x))
L[ω](x) = L[x](x) とします。
以降、変数ωのみの関数Λ(ω)に対して
Λ(ω)のみの区切りの順序数では対角化して
L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）　とし、
L[Λ(ω)+n+1](x) = L[Λ(ω)](L[Λ(ω)+n](x))　とします。
ここまではHardyFunctionとほぼ同じですが、
以降、L[]の部分をリストに拡張して、
L[2 , 1](x) = L[ω](x)
L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)
L[m+1 , n+1](x) = L[m ,L[m+1 , n](ω)](x)
とアッカーマン関数のような要領にしていきます。

以下続き。3項以上も一般的に、
L[1_1 , … , 1_n](x) = L[ω_1 , *_2 , … , *_{n-1}](x)
L[a1 , … , a{n-1} , an](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , L[a1 , … , a{n-1} , an-1](ω)](x)
L[a1 , … , a{n-1} , 1](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , ω](x)
L[a1 , … ,a{n-2} , 1 , an](x)=L[a1 , … , a{n-2}-1 , an , an](x)
としていきます。

ここでナゴヤ関数N(x）を以下のように定義します。
N(x) = L[x1 , x2 , … , xx](x)

とりあえず第1バージョンはここまでにしますが、
要素a1〜anにはそれぞれ超限順序数が入りますので
この段階でもその関数の増大度は今までのふいっしゅ関数などと比べても
想像をはるかに越えるものになります。
第2バージョンではリスト自体をレベル１、２、…、nに拡張した
関数にしていくつもりで、Ver1よりはるかに大きい関数になります。
Ver1についてのより詳細的な説明と増大度の解析などについては
後でまとめてしていくつもりです。

ナゴヤ関数N(x)は、自然数xに対して自然数を与える関数ですか？
そうでないとするならば、定義域と値域はどのような集合になりますか？

ver.1来ましたか。
ちゃんと見てないですがHardy FunctionのH_α(x)のαをただ
大きくしたという風に見えます。自然数xに対して自然数を
与える関数だと思いますが、Busy Beaverを除けばこのスレ
で過去最高の大きさでしょう。増大度の解析は比較できる
ようなレベルのものが今のところないので難しいと思います。

> S:関数を生成する手法のクラス
いくつかの関数から新たな一つの関数を作るって事だよね。
こうしてみたらどうかな：

記号などの準備：
・集合Aに対し A^∞ := ∪_[n≧1] A^n = { (a_1, …, a_n) | n≧1, a_i∈A } と置く
・集合A, Bに対し、A「の部分集合」からBへの写像の全体を(A⇒B)と置き、
　T∈(A⇒B)の定義域をD(T)と置き、T(C)はC⊂D(T)のTによる像とする
・(自然数値を取る多変数自然数)関数の全体をLと置く(つまり L := ∪_[n∈ω] ω^(ω^n) )
・従って L = { f : ω^n → ω }, L^∞ = { (f_1, …, f_n) | n≧1; f_i ∈ L }

この準備の下、F⊂L, S⊂(L^∞⇒L)に対し、
　F_0 := F,
　F_(n+1) := F_n ∪ ( ∪_[T∈S] T( D(T) ∩ (F_n)^∞ ) )
　　　　　　= F_n ∪ { T(f_1, …, f_n) | (f_1, …, f_n) ∈ D(T); f_i ∈ F_n },
　S(F) := ∪_[n∈ω] F_n
と定める。

つまりSの元はいくつかの「一定の関数たち」から新たな関数を作る作用素。
作用素の定義域を制限する必要性は、例えばcomposition作用素では
2変数関数に3つの関数を代入する事は出来ない、などのため。
F_(n+1)は、F_nの元と、F_nの元にSの元を作用させたもの(ただし定義域に入る事)の全体。
従ってS(F)はFの元にSの元を有限回作用させたものの全体。

割と自然な形の定式化な気がするような気がするんですがどうでしょうか？
この定式化の下で、>>509の「P(F)は原始帰納的関数全体、
R(F)は帰納的関数全体」はちょっと帰納法すれば証明出来そう。
FとかS(特に関数を生成する手法S)を明確に把握する事で、
これまでの議論がかなり整理出来るんじゃないかな。

後は大小比較だけど、これがうまい方法を思い付かない。

>>508のように単に「部分集合」という形での比較では多分うまく行かないです。
関数の大小を比較するには、比較の際に許される操作もセットで考えないといけない。
例えばf(x)=xとg(x)=2^xとでは、四則演算だけならf<<gだけど指数演算を含めればf〜gなど。

多分、関数族と作用素族のセット(F, S)と関数fを比較する事になりそう。
するとすぐに「(F, S) << f ⇔ S(F) ≠ S(F∪{f})」という定義を思い付くけど、これは駄目。
それは例えば、(F, S)を>>509の(F, R)として(つまり再帰的関数族)、
fを再帰的でない非常に小さな関数(例えば値として0, 1のみを取るもの)
としてみると分かります。

だから関数値の大きさを比較しないといけないっぽい。
例えば、「(F, S) << f ⇔ fはS(F)の任意の関数gを支配する」
(つまり「ある番号から先はf>g」)などとしたい所。
だけどFとかS(F)には多変数関数も含まれ、しかも変数の個数も一定ではないので、
「ある番号から先はf>g」という条件は意味不明になってしまっている。
fもgも1変数に限れば何とか回避できそうに思えるけど、
(F, S)によってはS(F)の元gは全て2変数関数という事もあり得るので、厳しい。
ただSがprojectionsを含んでいればこれで一応問題無いのかな？

>>514
だいたい >>508 で想定していた内容を数学的にきちんとまとめてくれた感じです。
ちょっと思っていたのと違うのは S⊂(L^∞⇒L) としているところぐらいで、
もう少し狭い範囲をなんとなく考えていました。
でも、これぐらいにしてもいいような気はします。

>>515
> >>508のように単に「部分集合」という形での比較では多分うまく行かないです。
ですね。
小さい関数を付け加えたらうまくいかない例が作れそうだなあとは思っていました。

> 例えば、「(F, S) << f ⇔ fはS(F)の任意の関数gを支配する」
> (つまり「ある番号から先はf>g」)などとしたい所。
> だけどFとかS(F)には多変数関数も含まれ、しかも変数の個数も一定ではないので、
> 「ある番号から先はf>g」という条件は意味不明になってしまっている。
安易な方法としては
  ∃c. (xi,yj>c ⇒ f(x1, ..., xn) > g(y1, ..., ym))
とか……
もう少し工夫のしようがある気がしますけど。

検索してみると、多変数関数についての「支配」は
ttp://research.nii.ac.jp/~terui/mita05.pdf
なんかでは次のように定義しているようです：

1変数関数fがn変数関数gを支配するとは、
あるNが存在し、全ての x_1, …, xn > N について
g(x_1, …, x_n) ≦ f(max(x_1, …, x_n)) が成り立つこととする。

fを1変数に限ってますけど、
我々が興味あるのはその場合だけですから、問題無さそうです。
「∃c. (xi,yj>c ⇒ f(x1, ..., xn) > g(y1, ..., ym))」では
x_i (>c)を止めてy_jを動かした場合に不具合が生じると思います。

あと、「>>509のP(F)は原始帰納的関数全体、R(F)は帰納的関数全体」
は証明出来ました。というかほとんど直接の言い換えでした。
まぁこれ単体では新しい事は何もしてなくて、
既存の概念を厳密に整理しただけなのですが。
これを使って「〜は〜のHardy的な拡張より真に大きい」などの考察が出来れば。
「Hardy的拡張」を意味する作用素(変換)をどう定義するか…

それと二つの(F, S), (G, R)に対し、(F, S) >> (G, R)を、
「ある1変数関数f∈S(F)は(G, R)を支配する、即ちf >> (G, R),
即ち任意のg∈R(G)を支配する」
と定める事になりそうです。

>>512
ナゴヤ関数は順序数を使っているので自然数を対象とした関数です。
今の所大まかな推測ではL[ε_0](x) < L[2 , 4](x) = L[ak(2^ω , ω)](x)ぐらいで
ふいっしゅ数Ver5レベルに達する見込みですが…。
おそらく計算可能な関数だとは思いますが
ω^^ω以降のak(ω , ω)、n重帰納関数A(ω1 , … , ωn)
などの区切りでの定義次第で計算可能かの検証も
進めてはっきりさせればいいかもしれません。

>>519
なるほど。はじめは「超限順序数は実数じゃないから、それを
使うのはこのスレ的にはどうよ？」と思っていましたが、
最終的に出来上がるナゴヤ関数が自然数を生み出す関数で
あれば、なにも問題ないですね。そして、ふぃっしゅ関数を
超えているとなると、ますます面白そうです。

まだ、面白そうだという雰囲気だけしか分かりませんが、
順序数について勉強して、理解できるようになればいいなと
思います。

>>517-518
> 「∃c. (xi,yj>c ⇒ f(x1, ..., xn) > g(y1, ..., ym))」では
> x_i (>c)を止めてy_jを動かした場合に不具合が生じると思います。
確かに、失敗ですね、この定義は。

「支配する」の定義もひねくれた例を考えれば変なことになりそうですが、
(例えば偶数で 0 になるが奇数上では急速に増大する関数とか)
最終的な考察の対象が個々の関数ではなく関数のクラスだとすれば
ある程度自由に関数の操作(合成とか)ができるようなクラスだけ考えることで
その問題はクリアできるでしょう。

問題はこれを使って大きさの評価がうまくできるかどうかですが。

>>510-511でL[a1 , … , a{n-1} , an-1](ω)って書いてあるけど、
Lの変数がωのときの定義ってどれ？見当たらないんですが……

ちょっとまとめると、
巨大数には、モーサー表記、チェーン表記、タワー表記などがあり、

超階乗、スキューズ、エディントン、フィッシュ、バード、
グラハム、ＢＢ関数、階乗関数、ak関数などがあるということでしょうか？

抜けているものがあったら、上げてください

5=√(25)

いまさらですが、Hardy functionとふぃっしゅ数ver.1,2の比較を載せておきます。
ただ、関数のみの比較ですのでかなり大雑把になっていますが、だいたいの関数の
レベルはわかると思います。

わかりやすくするため、Hardy functionの定義を以下とします。

F_0(x)＝x+1
F_α+1(x)＝(F_α)^x(x)
F_α(x)＝F_α_x(x)　（αが極限順序数のとき）


ふぃっしゅ関数ver.1をG_1(x)とする。
最初のS変換でAckermann関数が生成される。
Ackermann関数はF_ω(x)に相当する。
S変換２回目で生成されるg(x)＝B(x,x)についてはそのままだと
わかりづらいので順を追って見ていく。

B(0,x)＝A(x,x) ≒ F_ω(x)
B(0,B(0,x)) ≒ F_ω(F_ω(x))
B(1,x)≒B(0,B(0,B(0,………(B(0,x)) ≒ (F_ω)^x(x)＝F_ω+1(x)
B(1,B(1,x)) ≒ F_ω+1(F_ω+1(x))
B(2,x)≒B(1,B(1,B(1,………(B(1,x)) ≒ (F_ω+1)^x(x)＝F_ω+2(x)
〜〜〜
B(x,x) ≒ F_ω+x(x)＝F_2ω(x)

<続き>

S変換３回目で生成されるC(x,x)については、

C(0,x)＝B(x,x) ≒ F_2ω(x)
C(0,C(0,x)) ≒ F_2ω(F_2ω(x))
C(1,x)≒C(0,C(0,C(0,………(C(0,x)) ≒ (F_2ω)^x(x)＝F_2ω+1(x)
C(1,C(1,x)) ≒ F_2ω+1(F_2ω+1(x))
C(2,x)≒C(1,C(1,C(1,………(C(1,x)) ≒ (F_2ω+1)^x(x)＝F_2ω+2(x)
〜〜〜
C(x,x) ≒ F_2ω+x(x)＝F_3ω(x)

以降同様にD(x,x) ≒ F_4ω(x), E(x,x) ≒ F_5ω(x)となっていく。
G_1(x)はx+1にこのS変換を有限回行ったものである。よって、

F_ω(x) ＜ G_1(x) ＜ F_ω^2(x)



ふぃっしゅ関数ver.2をG_2(x)とする。
ver.2ではSS変換がver.1と異なっている。ver.1のSS変換は最初の
関数にS変換を大量に繰り返した関数しか生成されないが、ver.2の
SS変換ではS変換を繰り返す回数を変数とする関数が生成されるため、
SS変換１回で既にふぃっしゅ関数ver.1を超える。

<続き>

ところで、そもそもS変換とはどのような変換なのだろうか。
B(0,x) ＝ F_α(x)とすると、

B(0,B(0,x)) ＝ F_α(F_α(x))
B(1,x)≒B(0,B(0,B(0,………(B(0,x)) ＝ (F_α)^x(x)＝F_α+1(x)
B(1,B(1,x)) ≒ F_α+1(F_α+1(x))
B(2,x)≒B(1,B(1,B(1,………(B(1,x)) ≒ (F_α+1)^x(x)＝F_α+2(x)
〜〜〜
B(x,x) ≒ F_α+x(x)＝F_α+ω(x)

つまりある関数f(x)にS変換をすると、f(x)を繰り返す関数、その関数を
繰り返す関数、その関数を………というのをx回繰り返す関数が生成される
のだ。これはHardy functionでいうと F_α→F_α+ω に相当する変換で
ある。
ver.2のSS変換で作られる関数はその変換を行う回数を変数とする。
よってF_α+ω^2に相当する関数が得られる。（定数を考えると混乱する
のでここでは無視する。）

SS変換１回でF_ω^2(x)
SS変換２回でF_ω^2+ω^2(x)

よって、SS変換６３回で得られる関数はおよそF_63ω^2(x)程度となる。

ver.2は定数を考えるとこれよりも関数は大きくなるでしょうが、
F_ω^3(x)には達しないでしょう。以前計算したところによると
たしかバード数はF_ω^3(x)を超えてたと思うのでふぃっしゅ数ver.2
より大きいのではないでしょうか。そのうちバード数やふぃっしゅver.3
の比較も載せようかと思います。

>>526-529
丁寧な説明ありがとうございます。Hardyの定義と比較する
ことで、これまでに出てきたもろもろの関数の大きさを
比較できそうですね。それが Hierarchy ということなので
しょうけど。

はじめてHardyが出たときには、なかなかイメージがつかめ
ませんでしたので、Ver.5がはたしてどのレベルのものなのか
皆目見当がつきませんでしたが、>>519のようにL[ε_0](x)
をこえているとすれば、けっこう大きなものを作ることが
できたんだなと私なりに満足です。

>>526-529
HardyFunctionについての説明お疲れ様です。

ふぃっしゅ数Ver1〜Ver3と多重帰納（多変数L）関数との
関係について簡単にまとめてみると、
Ver1
s変換x回 ： L[x,x,x] （ak(x, x, x)3重帰納レベル）
ss変換x回　： L^x[*, *, *] = L[1, 1, 1, x] （3変数L[*, *, *]関数をx回ネスト）
Ver2
ss変換x回 ： L[x,x,x,x] （ak(x, x, x, x)4重帰納レベル）
Ver3
s(n)変換x回 ： L[x1, x2, … xn] （n重帰納レベル）
ナゴヤ関数、HardyFunctionでL[ω^n] = F_ω^n(x)レベル

となると前からこうとらえています。
あとVer5では正確にはどれぐらいになるか楽しみです。

ところでL[ε0]以降にの増大度については途中経過ですが、
L[1]→L[ε0]への変換アルゴリズムをA1とおいて、
A2変換：A1[f = L'[1], L[n] = f^n] → A1[f =L'[ε0], L[m] = A1^m]
A3変換：A2[f = L'[1], L[m] = L'[m]] → A2[f =L'[ε0^2], L[m] = A2^m]
・・・
A_n+1変換：A_n[f = L'[1], L[m] = L'[m]] → A2[f =L[ε0^(n-2)], L[m] = A2^m]
（An^mはAn変換アルゴリズムm回繰り返す意味）
といった感じで、
A_ω変換でナゴヤ関数L[ε0^ω]、A_ε0でL[ε0^ε0] = L[ω^^(ω+1)]
に達すると考えられます。
したがって、ここまでの考察だけでも
ε0→ω^^^ωへの増大ステップは絶大なものとなり、
ak(ω, ω)レベルでは想像を絶するものとなることがわかります。

>>531で
痛いミス発見。
誤　L[ε0]以降にの増大度　→　正　L[ε0]以降での増大度
A_n+1変換右辺で
誤　A2[f =L[ε0^(n-2)], L[m] = A2^m]
正　An[f =L[ε0^(n-2)], L[m] = An^m]

変換について少しわかりやすく説明すると、
例えばA1[f →g, L[*]]変換では（f, gは任意関数、L[*]は1変数ナゴヤ関数）
L[0](x) = f(x)
L[n+1](x) = f(L[n](x))
g(x) = L[ε0](x)
であるとき、
A_n[f → g, L'[*]]においては
L'[0](x) = f(x)
A_{n-1}[L[0]](x) = L'[n](x)
L'[n+1](x) = A_{n-1}L[ε0^(n-1)](x)
g(x) = L'[ε0](x)
となります。
つまり、A1：L[n] → L[n+1] = [f → L[0](f(*))]、
A_n：L[n] → L[n+1] = A_n-1：L[0] → L[ε0]
となることです。

通帳の預金残高を一桁増やすだけでも大変なのに・・・

３円をタワー階乗すると、３↑３で７・６兆円

グラハム数円あれば、もう政治家の賄賂なんて塵に等しい

グラハム年の寿命があれば、人間の命なんてカゲロウにすぎない

ヨタという単位を接頭辞として、グラムにつければヨタグラムだ

３万冊の蔵書を持っているやつがいるが、３グーゴル読んではいない

グラハム数を知の大海とすれば、人知は０・０１にも満たない

孫悟空は釈迦の掌の上だ

グラハム数とかいう巨大数は、現実に使えるのか？
紙の上では、グラハム数の素粒子があるとか
グラハム数の札束があるとか書けるが
応用例があまりない　グラハム数の宝石
グラハム数年の命、ゼロの逆数は無限　グラハム数のお金

C(x,x)を力技で展開しようとしていた頃が懐かしいです。
うーん、まだまだ奥が深いですな。

グラハム数は、もともと数学の証明のために使われた数なので、
応用例があるけれど、現実的に応用できる数ではない。
ただ「グラハム数年の命があってもできない」とか、
「グラハム数円のお金をもらっても、これをやるわけには
いかない」といった、「大きな数」の代名詞として使う
分にはいいかと。大きければなんでもいいわけだし。

このスレに出てくる巨大数は、グラハム数よりもはるかに
大きな数ばかりで、応用できないのはたしか。
応用できるような小さな数は最初から相手にしていない、
とでも言うべきか。

あと、個人的には「不可説不可説転」が好きなのだけど、
これは「最も古い巨大数」といえそう。なにしろ出典が
「華厳経第45巻、阿僧祇品第三十」という経典なので、
これ以上古い文献はそうそうないだろう。

この経典では、なにを説明するためにこれだけ大きな
数を作ったのか、ということが気になる。それが
分かれば、その数が「意味するところ」が分かると
思うのだけど、
http://www.buddhist-canon.com/SUTRA/DCX/EHuaYan/T100237b.htm
難しくてよく分からない。

>>537
無量大数より大きい数字であり、無量大数の彼方へを読んでもわかるとおり、
孫悟空は釈迦の掌の上だということになる
で、そういった、この世的でないもの、神聖なもの、宗教・学問などは、
あの世のなんとか天上的な彼岸のものを表現しようとしたのだろう
だから不可説なんとかが出てくるのかもしれない
そんなあの世を知ったら、この世はすべてはかないのであり、すべて空しい
のだよ、という心境、境地にまでたどりつくのかもしれない
http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/largenumber.html

"想像を絶する"なんてアホな形容をするから
こういう痛い文系が湧いて出るんだよ

ん？まぁいいじゃん。
俺は理系だけど、文系的な話を全部拒否するほど狭い了見は
持ってないぞ。

宗教団体の名前に、アーレフというのがありますが、
あれはヘブライ語で、１なのか無限なのか、
とにかく巨大数を示す単語でもあるはず
だから仏教というかユダヤ教というか、
ゲマトリアとか数秘術とか、なんか、数の神秘が見えてくると思うの

宗教団体の名前に、アーレフというのがありますが、
あれはヘブライ語で、１なのか無限なのか、
とにかく巨大数を示す単語でもあるはず
だから仏教というかユダヤ教というか、
ゲマトリアとか数秘術とか、なんか、数の神秘が見えてくると思うの

カッバーラーはカバラ、数学でないの？

今更必要ないかもしれませんがふぃっしゅ数ver.3、バード数と
Hardy Functionの比較も載せておきます。
Hardy Functionの定義は>>526のと同じです。
あと、ふぃっしゅ数は関数のみの比較となっています。


SSS変換はSS変換を行う回数を変数とする関数を生成する。
よってそれは F_α+ω^3(x) レベルの拡張である。
同様にしてSSSS変換、SSSSS変換はF_α+ω^4(x)、F_α+ω^5(x)という
拡張に相当する。
そしてver.3で登場する、

ss(1):[m,f(x)] --> [n,g(x)]

where

s(m+1)^f(m):[m,f(x),s(1),s(2),...,s(m)] -->
[n,g(x),s'(1),s'(2),...,s'(m)]

という変換はSSS.....SS変換のSの数を爆発的に増やす変換である。
しかし生成されるg(x)は常にf(x)に一定の数のSSS...SS変換を行ったものである
のでF_ω^ω(x)には到達しないことがわかる。（あくまで関数のみに着目している
ことに注意。）

S(2)^63:[3,x+1,ss(1)] --> [F,F(x),ss'(1)]

このS(2)変換で生成される関数はf(x)にss(1)を行う回数を変数とする関数を生み
だす。つまり F_α→F_α+ω^ω という拡張に相当する。
よって、ふぃっしゅ関数ver.3はおよそF_63ω^ω(x)程度となる。

バード数との比較に入りますが、細かいところまで見ていくとわけが
分からなくなるので、ここではあくまで本質的な部分のみに
着目します。
バード数はアッカーマン関数→コンウェイのチェーン表記
→バードの矢印回転表記と拡張していって得られる数なので
順を追ってみていきます。


x→x→xはアッカーマン関数に相当するのでF_ω(x)レベル。
以降、

x→x→x→2
＝x→x→(x→x→(x-1)→2)
〜〜〜〜〜〜〜
＝x→x→( x→x→(x→x→(………(x→x→(x→x→1))

これはx→x→x、つまりアッカーマン関数を繰り返す関数
に相当すると考えられる。よってF_ω+1(x)レベル。
同様にして、

x→x→x→3
＝x→x→(x→x→(x→x→(……(x→x→1)……)→2)→2)→2 ≒ (F_ω+1)^x(x)＝F_ω+2(x)
x→x→x→4
＝x→x→(x→x→(x→x→(……(x→x→1)……)→3)→3)→3 ≒ (F_ω+2)^x(x)＝F_ω+3(x)
〜〜〜〜〜〜〜
x→x→x→x ≒ F_ω+x(x)＝F_2ω(x)
x→x→x→x→2
＝x→x→x→(x→x→x→(………(x→x→x→(x→x→x→1)) ≒ (F_2ω)^x(x)＝F_2ω+1(x)
x→x→x→x→3
＝x→x→x→(x→x→x→(…(x→x→x→(x→x→x→1→2)…)→2)→2　≒ (F_2ω+1)^x(x)＝F_2ω+2(x)
〜〜〜〜〜〜〜
x→x→x→x→x ≒ F_2ω+x(x)＝F_3ω(x)

<続き>

どうやら、「→x」を１つ伸ばすことはF_α→F_α+ωの拡張に相当
するようだ（すなわちS変換と同等）。そしてチェーンの長さを
変数とするx→→xはF_ω^2(x)レベルの関数といえる。

x→→→x＝x→→x→→x………x→→x ≒ (F_ω^2)^x(x)＝F_ω^2+1(x)
x→→→→x＝x→→→x→→→x………x→→→x ≒ (F_ω^2+1)^x(x)＝F_ω^2+2(x)
〜〜〜〜〜〜〜
x↓x↓x ≒ F_ω^2+ω(x)
x↓x↓x↓2 ≒ (F_ω^2+ω)^x(x)＝F_ω^2+ω+1(x)
x↓x↓x↓x ≒ F_ω^2+2ω(x)
x↓x↓x↓x↓x ≒ F_ω^2+3ω(x)
x↓↓x ≒ F_2ω^2(x)
x↓↓↓x＝x↓↓x↓↓x………x↓↓x ≒ F_2ω^2+1(x)
x←x←x＝ ≒ F_2ω^2+ω(x)
x←x←x←2 ≒ (F_2ω^2+ω)^x(x)＝F_2ω^2+ω+1(x)
x←x←x←x ≒ F_2ω^2+2ω(x)
x←x←x←x←x ≒ F_2ω^2+3ω(x)
x←←x ≒ F_3ω^2(x)

<続き>

パターンを見てみると、x→→xでF_ω^2(x)、x↓↓xでF_2ω^2(x)、
x←←xでF_3ω^2(x)に相当することがわかる。
どうやら矢印を回転させることはF_α→F_α+ω^2の拡張に相当
するようだ。よって矢印回転関数はF_ω^3(x)レベルの関数となる。

N＝3(↑G)[4]3 ≒ F_ω^3(G)
X(1)＝N(↑N)[N]N ≒ F_ω^3(F_ω^3(G))
X(N)＝X(N-1)(↑X(N-1))[X(N-1)](N-1) ≒ (F_ω^3)^N(G)≒F_ω^3+1(N)
X(N)＝X_1(N)
X_2(1)＝X_1(N)
X_2(2)＝(X_1)^2(N)＝X_1(X_1(N)) ≒ F_ω^3+1(F_ω^3+1(N))
X_3(1)＝X_2(N)＝(X_1)^N(N) ≒ (F_ω^3+1)^N(N)＝F_ω^3+2(N)
〜〜〜〜〜〜〜
H＝X_N(N) ≒ F_ω^3+N(N)＝F_ω^3+ω(N)
X_H(N) ≒ F_ω^3+ω(H)＝F_ω^3+ω(F_ω^3+ω(N))
(X_(X_H(N)))(N) ≒ F_ω^3+ω(F_ω^3+ω(F_ω^3+ω(N)))

X_x(N)はF_ω^3+ω(x)に相当するような関数みたいだ。
よって、入れ子操作をX_H(N)回行った結果生まれるのは
およそF_ω^3+ω+1(X_H(N))程度となる。

仮にＢＢより真に速く発散する関数が定義できたとしたらそれは何を意味するのでしょうか。

あぁ、ωの勉強しないと…何が書いてあるのか。

(；^ω^)

どうも、例によって久々に噛み砕いて読んでみようと思います。
ωに頭をひっかき回されている人もご一緒にどうぞ。
お題はナゴヤ関数です。

まず、とにかくωです。これが分からないとどうにもなりません。
ωとは超限順序数というもので、特に「最初の超限順序数」と呼ばれます。
他にも種類があるのでしょう。
これがいったい何者なのかというと、いきなり引用。

　http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/partexp.htm

　序数の方の自然数を考えてみよう。ここでは、話を有限から無限に拡張することはできない。つまり、
　「無限番目」というアトムが存在することはない。なぜか？　仮に、このような「無限番目」という
　アトムが存在するとしたとする。その無限を、集合論の記法にならって　ω　というふうに記すことにしよう。
　この　ω　は、超限順序数であり、自然数ではない。この　ω　は、「直前の数」（ω−１）をもたず、
　自然数としての性質を満たさないので、普通の自然数のように「無限番目」というものは生じない。つまり、
　「 ω 番目のアトム」というものは存在しないのだ。
　　この　ω　は、順序としては、決して到達できないところにある。
　　だから、「 ω回実行した場合」というのは、「到達できないところに到達した場合」となる。
　それはあくまでも仮想的な場合となる。そうした仮想的な場合を、考えることもできるが、特に考えなくても問題ない。

だそうです。よくわかりませんがそういうものらしいです。

あるいは、
　順序数全体の集合{0,1,2,・・・}をω（これを超限順序数といおう）
というのもありました。
そもそも、
「空集合だけで構成される集合を順序数という」
「任意の自然数がすべて順序数として生成される」
だそうです。
ナゴヤ関数ではωを何のために、どのように使用しているのかが
僕のような数学ポンチには見えてこない訳です。
ので、ナゴヤ数の定義をじっくり読んでいきましょう。

　*　まず、任意関数f(x)、超限順序数ωに対して
　*　L[1](x) = f(x)
　*　L[n+1](x) = f(L[n](x))
　*　L[ω](x) = L[x](x)

任意関数というのがあります。これも分かりません。
まあ関数であることは間違いないでしょう。
で、

　L[1](x) = f(x)
　L[n+1](x) = f(L[n](x))

この2つの行を見ると、
Lの添字がfと関わっていくルールを決めているようです。
例えば、

L[3](x) = L[2+1](x) = f(L[2](x))
= f(L[1+1](x)) = f(f(L[1](x)))
= f(f(f(x)))

こんな風に入れ子ができていくようです。

で、
　　L[ω](x) = L[x](x)

上の2行ではLに入る数が自然数ですが、3行目で
おもむろにωが現れます。
とりあえず先へ進みましょう。

　*　以降、変数ωのみの関数Λ(ω)に対して
　*　Λ(ω)のみの区切りの順序数では対角化して
　*　L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）　とし、
　*　L[Λ(ω)+n+1](x) = L[Λ(ω)](L[Λ(ω)+n](x))　とします。

変数はωしか使わん、ということですな(適当)。
というかωは変数なんでしょうか。
区切りの順序数では対角化というのは知りません。とにかく

　　L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）

というルールがあるようです。
Λも順序数のようですが、順序数(順序数)という形のものは関数なんでしょうか。
なんにせよ、L[n+1](x) = f(L[n](x)) と似たような
入れ子を作っている模様です。また、

　L[Λ(ω)+n+1](x) = L[Λ(ω)](L[Λ(ω)+n](x))

ですが、不思議な文字を気にしなければ、やっていることは

　L[●+n+1](x) = L[●](L[●+n](x))

といった入れ子操作のようです。
ここまでがHardyFunctionとほぼ同じだそうです。僕はあれを
知らないのでなんとも言えません。

さて、
　*　以降、L[]の部分をリストに拡張して、
　*　L[2 , 1](x) = L[ω](x)
　*　L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)
　*　L[m+1 , n+1](x) = L[m ,L[m+1 , n](ω)](x)
　*　とアッカーマン関数のような要領にしていきます。

僕はリストというものを全く理解しないで現在に至るので、
ひょっとしたらやばいかもしれません。でも続けます。

　L[2 , 1](x) = L[ω](x)
= L[x](x)

おっと、Lの中の次数が増えました。これがリストというやつでしょうか。
というかアッカーマンと似た形です。見た目は。

　L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)

危なくなってまいりました。具体例をバンバン出していきましょう。

　　L[2 , 3](x) = L[2 , 2+1](x)
= L[L[2 , 2](ω)](x)

こんなんなります。では、L[2 , 2](ω)とはどういうものでしょうか。
わかりません。次、例2。

　　L[5 , 4](x) = L[4+1 , 3+1](x)
　= L[4 ,L[4+1 , 3](ω)](x)
　= L[4 ,L[5 , 3](ω)](x)

xにωを入れていいのか分からないのでここで止めておきます。

さて次です。
　*　3項以上も一般的に、
　*　L[1_1 , … , 1_n](x) = L[ω_1 , *_2 , … , *_{n-1}](x)
　*　L[a1 , … , a{n-1} , an](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , L[a1 , … , a{n-1} , an-1](ω)](x)
　*　L[a1 , … , a{n-1} , 1](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , ω](x)
　*　L[a1 , … ,a{n-2} , 1 , an](x)=L[a1 , … , a{n-2}-1 , an , an](x)

なるほど、Lの中の要素がたくさん増えていく訳ですな。
それ以上のことは分かりません。

　L[1_1 , … , 1_n](x) = L[ω_1 , *_2 , … , *_{n-1}](x)

Lの中にn個の項があるようです。項を1つ減らす際に、
右辺のようなルールが適用されるということですか。

　L[a1 , … , a{n-1} , an](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , L[a1 , … , a{n-1} , an-1](ω)](x)

これも似たような操作についての記述に見えますが、上のルールとどう繋がっていくのか
分かりません(こればっか)。とにかく項が1つ減って(ω)がつくらしいです。

　L[a1 , … , a{n-1} , 1](x)=L[a1 , … , a{n-1}-1 , ω](x)

ケツが1のときはωに化けて、左側の項の値が-1されるという訳ですな。

　L[a1 , … ,a{n-2} , 1 , an](x)=L[a1 , … , a{n-2}-1 , an , an](x)

右から2番目の項が1のときは、右2項がanに化けて右から3番目の項の値が-1されます。

謎が山積みです。ここからどうやって巨大数が沸いてくるのでしょう。

　*　ここでナゴヤ関数N(x）を以下のように定義します。
　*　N(x) = L[x1 , x2 , … , xx](x)

分かりませんでした。

一番簡単なことを訊いてもいいでしょうか。
アッカーマンなどは核となる計算が「1を加える」でしたが、
ナゴヤ関数はどこいら辺でそういうことをやるのでしょうか。
あるいは、そういうことをしない関数なのでしょうか。
先にリスト関数を見ておけばよかったのかな…
よろしくお願い致します。

なにか、ものすごくトンチンカンな投稿をしたような…

つまり「素人にも分かるように解説お願い」ということですね。

申し訳ないけど、俺もお願い。

ナゴヤ(関)数は基本的にはHardy Functionなので
Hardy Functionがわかればわかるんじゃないかな？

　*　L[1](x) = f(x)
　*　L[n+1](x) = f(L[n](x))
　*　L[ω](x) = L[x](x)

f(x)は任意なので、x+1でもAck(x,x)でもなんでも良いという意味でしょう。
まずは順番に見ていきましょう。

L[1](x) = f(x)
L[2](x) = f(L[1](x)) = f(f(x))
L[3](x) = f(L[2](x)) = f(f(f(x)))
.....
L[n](x) = f^n(x)

ここまでは簡単です。L[n](x)はxにfをn回繰り返した関数、ということに
なります。しかし

L[x](x)

という関数はnが100だろうがグラハム数だろうが決して到達できない関数です。
それを極限順序数を使って

L[ω](x)

と表しています。「区切りの順序数」での対角化と言っているのはこの部分です。

続いて、先に進みます。

L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）　とし、（←規則Ａとする）
L[Λ(ω)+n+1](x) = L[Λ(ω)](L[Λ(ω)+n](x))　とします。　　　　　（←規則Ｂとする）

[]内にωの次の順序数であるω+1が入っている場合は規則Ｂより

L[ω+1](x) = L[ω](L[ω](x))となります。同様にして

L[ω+2](x) = L[ω](L[ω+1](x)) = L[ω](L[ω](L[ω](x)))
.....

となっていくのだと思います。
L[2ω](x)は規則Ａより、L[ω+x](x)となります。これも「区切りの順序数」での対角化
です。以降も3ω,4ω,....,ω^2,...,ω^ωというように続いていきます。
このような関数の拡張方法がまるで階層のようになっていることから「Hardy Hierarchy」
と呼ばれているのだと思います。（Hardyってどういう意味なんだろう？）
それとωが変数というのが私にも良く分かりません。例えば、

L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)

だそうですがこの後の計算はどうなるのでしょうか。L[2 , n](ω)というのがいまいち
ピンとこないのですが……制作者さん教えてくださいな。

682さま

>>510
>L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）　
>>526
>F_α(x)＝F_α_x(x)　（αが極限順序数のとき）

これらの解説をお願いします。
疑問点は皆さんと一緒と思います。

極限の順序数に対して、
それに収束する順序数の列を取っているのでしょうが、
質問は、そのような列をどのように取るのか、という点です。

以前のスレで、Hardy関数を見つけた方に同じ事を尋ねましたが、
その方は理解していなかったようです。
若干の専門的知識が必要でしょうか。

>>559氏
なるほど、あれは対角化と呼ぶのですね。
そして根っ子が任意関数とはそういう意味でしたか。
ということは、根っ子がどんな関数だろうが全体としては
大した差ではないというレベルの関数なんでしょうか。

> 極限の順序数に対して、
> それに収束する順序数の列を取っているのでしょうが、
> 質問は、そのような列をどのように取るのか、という点です。

おっしゃるとおり、Hardy 関数 F_α の定義は順序数αの大きさだけでなく、
α以下の極限順序数に対する収束列のとり方に依存しています。
この収束列のとり方の上手下手により、F_α の増大度には大きな差が出るのですが、
うまい収束列が知られている順序数はごく小さなもの(とはいっても巨大ですが)
に限られています。

http://members.aol.com/hedrondude/scrapers.html

>>560
>L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　（λはΛの1段階下の順序数）　とし、（←規則Ａとする）

すみません。基本的なことかもしれませんが教えてください。
「1段階下の順序数」とはなんでしょうか？

たとえば、L[ω^2](x) = L[●+x](x) となるような順序数●とはどんなものですか？
ω^2 はω, 2ω, 3ω, ... の先にあるものだと思うので、
L[ω^2](x) = L[ω x](x) となりそうな感じがします。

「ω^4+ω^2」の場合は、
「x ω^3 + ω^2」の極限ともとれるし、
「ω^4 + x ω」の極限ともとれるので、さらにわかりません。
（これは>>561の質問と同じことでしょうか？）

そもそも順序集合は、すべて大小関係がはっきりしているのでしょうか？
（順序集合というからにはそうであってほしいです）
そうだとすれば、考えられる極限の一番大きいものをとるのが、
一番 L が大きくはなりそうです。
（たとえば、「ω^4+ω^2」の例だと「x ω^3 + ω^2」より「ω^4 + x ω」の方が大きい）

1週間以上お待たせしました。
ナゴヤ関数の説明もまだわかりにくい所がありますが、
真剣に考えてくれただけでも嬉しく感謝に思う所です。

>>もやっしっ子氏他
順序数ωについてですが、ナゴヤ関数においては超限順序数と言うよりは
入れ子操作元の任意順序数（？）という表現が正しいかもしれませんね。
＞「任意の自然数がすべて順序数として生成される」
としてのωならまさにピッタリな表現と言えます。

＞任意関数f(x)
ここで言うf(x)はふぃっしゅ関数で出てきた初期（任意）関数と
同じ関数とみなしていいです。

>>553のΛ(ω)について
Λ(ω)は正確には2*ω, 2*ω^3, ω^(ω+2)など、
定数（自然数）項を含まない順序数ωについての式（？）です。
（ω自体が変数でないなら関数とは言えませんね。）
これも先ほどの順序数を入れ子元の変数（？）としてみなすことで
L[●+n+1](x) = L[●](L[●+n](x)) の入れ子操作という見方でいいです。

また区切りの順序数での対角化については
>>559の言うように関数中の任意変数xをωで置き換える
（つまり、Λ(ω)+x→Λ(ω)+ω）という意味で正しいです。
（>>559さんのわかりやすい説明に感謝です。）

グラハム数はＧ＾６４（４）だから、
Ｇ＾６５（４）と、段数を増やすだけで数が増大する
最初にタワーを増やすことが３↑↑↑↑３まで続けられ、
その後、そこで計算して出された数だけ↑を増やす、
この操作を６３段繰り返した果てにグラハム数が生まれる
ということは、６３段でなく、グラハム数の数の段階まで
増やすと、Ｇ＾Ｇ（４）という数字が得られる。その後、
似たような操作、たとえば↑を増やすとか、そのタワーの段階を６４段
くらいまで、と同じような操作をすれば増大するのは予測可能。
タワーと同じような演算子を開発する、というのもひとつの手。
グラハム数は可算有限回である以上、その数値が計算できない、というわけ
ではない。
Ｇをグラハム数とするとき、Ｇ↑Ｇ、Ｇ↑↑Ｇ，Ｇ↑↑↑Ｇ、Ｇ↑↑↑↑Ｇ、
Ｇ＾１（Ｇ）、Ｇ＾Ｇ（Ｇ）というところまでもっていけるのはグラハム数と
同じ理屈。
大体、ここのスレに書いてある大半の巨大数というのは、素人にはよくわからない。
説明がいるなあ、と思う。

スキュー図、スキューズでさえ、せいぜい１０＾１０＾１０＾３４とか
なんとか、１０↑５かそこらでおさまってしまう
だから、そういったもともと大きな数でさえ、
すぐに色あせてしまうのがおそろしい
たまねぎ構造的に、もっと大きいのが出てくるのね

>>566
>定数（自然数）項を含まない順序数ωについての式（？）です。

気持ちはわかるけどwell-defined?

続いて2変数以上のリスト形式について

まず　L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)　の L[2 , n](ω)　ですが、
ωを変数xとみなしたとき、この関数をxと + , * , ^ などの演算子で
表したときのxをωに置き換えた（関数ならぬ？）ωの式です。
例えば、L[2 , 2](ω) = L[L[2 , 1](ω)](ω) = L[L[ω](ω)](ω) = L[f^ω(ω)](ω)
となります。（ f(x) = x+1 のときはL[2*ω](ω) = ω*(2^ω) となります。）
L［3 , 1](ω)　なら　L[2 , ω](ω) = L^ω[ * ](ω)　になります。
つまり、一番外側のL[ ](x)の[ ]の中は必ず自然数とωのみの式になります。

また>>510-511での説明漏れですが、
L[m+1 , 1](x) = L[m , ω](x)
L[1_1 , … , 1_n](x) = L[ω_1 , *_2 , … , *_{n-1}](x) = L[x_1 , … , x_n](x)
となります。

それ以降の>>555の解釈についてはほぼ間違いないですが、
ここでのanは順序数ωと自然数の式です。
区切り順序数ではもちろん対角化を行います。

>>561
Hardy の場合は λ を極限順序数として

ω_n = n
(α+λ)_n = α+λ_n (ただし α+λ は Cantor normal form)
(ω^{β+1})_n = nω^β
(ω^λ)_n = ω^{λ_n}

こんなようなものではないかという話があったようななかったような……。
この定義は >>321 (2) の p.5 に載っているものです。

これだと ε_0 未満の順序数に限定しての定義になります。
# >>563氏の「ごく小さなもの」というのはそれを意識してる？

また一部訂正。
>>510で
L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)+x](x)　→　L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω , x)](x)
（λ(ω , x) はωと変数xを含む関数になります。）
に訂正です。

>>561
お久しぶりです。

今の訂正で少しややこしくなりますが、
L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)](x)　については、
以下のωの式についての例を示します。
Λ(ω) = n*ω　→　λ(ω) = (n-1)*ω + x
Λ(ω) = ω^2　→　λ(ω) = x*ω
Λ(ω) = ω^n　→　λ(ω) = x*ω^(n-1)
Λ(ω) = ω^ω　→　λ(ω) = ω^x
Λ(ω) = ω^(ω+n) → λ(ω) = x*ω^(ω+n-1)
これで順序数の列の収束関係がだいたいつかめると思います。

>>565
「1段階下の順序数」とは、
上の>>561の答えを見てわかるように、
Λ(ω)に対し対角化を行う前の順序数です。
また順序集合は順序と名づけられているので
基本的に大小関係ははっきりすべきものだと思っています。

Hardy関数の知識ですが、私自身もまだ表面的な所しか
理解していなくて、ナゴヤ関数はHardy関数の一部を参考にして
取り入れたものにすぎないと思っています。
とりあえず順序数の式Λ(ω)の変数xについての対角化についての
理解は必要になると思います。

というわけで超限順序数とHardyFanctinの概念も慣れないうちは
ふぃっしゅ関数同様つかみにくいと思います。
（私自身も最初はふぃっしゅ関数の概念をよく理解できませんでした。）

順序数ωについて>>483>>485の定義でいくとして
>>531-532での増大度も考えて、
超限（任意？）順序数の式をωの関数とみなして入れ子操作を
行うだけでも関数増大度がふぃっしゅ関数と比べても
想像を絶するほど爆発的に大きくなっていくのには自分もびっくりです。
例えばL[2 , 5](x) = L[ak(2^ω, ω)](x)、L[3 , 2](x) = L[2, L^ω[* ](ω)](x)
の時点で今までの巨大関数に比べてどれぐらいの増大度になるか
見当がつきにくいものです。
これからナゴヤ関数の増大度についてより深く研究していきたいと思い、
この関数をもびっくりさせるような関数が登場すればもっと面白く
なると思います。

それにしても超限順序数とHardyFanctionを考えた方には本当に感謝です。

＞ωを変数xとみなしたとき、この関数をxと + , * , ^ などの演算子で
＞表したときのxをωに置き換えた（関数ならぬ？）ωの式です。

おっしゃる意味がわかってきました。
xをωに置き換えることで順序数を爆発的に大きくしていく
プロセスということでしょうか。

>>571-572
ありがとう。
当方、集合論はZorn's lemma程度しか知らないけれど、
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_normal_form
が分かりやすいですね。

(1) 任意のordinalは、
あるordinal b_1>b_2>...>b_kと自然数c_1,c_2,...,c_kを使って
ω^{b_1}c_1+ω^{b_2}c_2+...+ω^{b_k}c_k
と一意的に書ける。これをCantor normal formという。

(2) 特にordinal bがそれより小さいordinal αとλを使って
b=α+λ
と書けない場合、b=ω^{b_1}という形をしている。

(3) ordinal ε_0とは、ε_0=ω^{ε_0}を満たす最小のordinal。

(4) 以上よりε_0より小さいordinal　bに対して、
ordinalの列b_1,b_2,b_3,...でbに収束するものを
>ω_n = n
>(α+λ)_n = α+λ_n (ただし α+λ は Cantor normal form)
>(ω^{β+1})_n = nω^β
>(ω^λ)_n = ω^{λ_n}
により定義できる、
という訳ですね。

>>570
Hardy functionを前提とするとして、
L[2 , 2](ω)の定義に現れるordinal L[ω](ω)は
well-definedなんだろうか？
ordinalの間の算法は限られたものしかないので、
fに何らかの制限が必要ですよね。

例えばf(x)=x^2とかだとL[n](x)=x^{2^n}
L[ω](x)=x^{2^x}
だからL[ω](ω)=ω^{2^ω}=ω^ω
と出来るけど、
f(x)=2^xだとL[ω](x)=2^2^...^2^x (x回)
するとL[ω](ω)は何だろう？

＞682氏
いくつかの初歩的な疑問が解けました。ありがとうございます。

余禄ですが、僕個人は「数学のロジックと集合論」というテキストで
勉強中(？)です。これはかなり初心者向きに解説されているので
おすすめかと思います。

さて、ordinalとは順序のことですね(多分…)
順序数そのものを指すニュアンスかもしれません。
順序数とは、自然数の拡張概念の一種です。
参考。
http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/anual/1999/peach-lecture/26

では順序とは何かということですが、数学において大小関係を
一般化したもの、だそうです。では関係とはなんでしょう。

R⊂X×Y　を「XからYへの関係」というそうです。このとき
(x,y)∈RをxRyで現すことがあるとか。
ちなみに(x,y)というのは順序対というもので、本来は
集合x,yに対して{{x}{x,y}}というのを簡単に書いたもの
らしいです。上の例では2項の組ですが、一般にn組に拡張する
ことができるそうです。
あとは狭義の全順序とか…何が言いたかったんでしょうか。えーと。

Cantor normal formのwikipediaによる説明はいずれ和訳
するとして、ここでは>>575のl.b.氏による解説と
向き合ってみましょう。

　(1) 任意のordinalは、
　あるordinal b_1>b_2>...>b_kと自然数c_1,c_2,...,c_kを使って
　ω^{b_1}c_1+ω^{b_2}c_2+...+ω^{b_k}c_k
　と一意的に書ける。これをCantor normal formという。

あるordinal b_1>b_2>...>b_kというのからいきなりつまづきますが、
「ある順序数b_1>b_2>...>b_k」ということでしょう。b_1>b_2>...>b_kは
順序があるということが見えているだけで、要するに集合です。
だから順序数です(や、やばい？)。
自然数c_1,c_2,...,c_kというのは複数の自然数を列挙したものでいいでしょうか。
とにかく、これらとωを用いて任意の順序数を一意的に書き下すことができる、と。
その事実がCantor normal formと呼ばれていると。

　(2) 特にordinal bがそれより小さいordinal αとλを使って
　b=α+λ
　と書けない場合、b=ω^{b_1}という形をしている。

これはそのまんまでしょう。

　(3) ordinal ε_0とは、ε_0=ω^{ε_0}を満たす最小のordinal。

これも(何もやっとらんな、私は…)。

　(4) 以上よりε_0より小さいordinal　bに対して、
　ordinalの列b_1,b_2,b_3,...でbに収束するものを
　>ω_n = n
　>(α+λ)_n = α+λ_n (ただし α+λ は Cantor normal form)
　>(ω^{β+1})_n = nω^β
　>(ω^λ)_n = ω^{λ_n}
　により定義できる

bがε_0より小さいということは、b=ω^bを満たすことができないと
いうことです。b=ω^{b_1}はいいみたいですが、違いが分かりません。
ここで、(1)より任意の順序数はCantor normal formが
一意的に書き下せると主張しているので、bをそっちの方法で書いてみようと。
ていうかbに収束しうる順序数の列を以下のルールで定義できると。

　ω_n = n
　(α+λ)_n = α+λ_n (ただし α+λ は Cantor normal form)
　(ω^{β+1})_n = nω^β
　(ω^λ)_n = ω^{λ_n}

ルールであるということは分かりますが何であるのかは分かりません。
さしあたり、「α+λ は Cantor normal form」という表現について、
wikipediaより
「This decomposition of α is called the Cantor normal form of α」
という表現があるので、Cantor normal formとはdecomposition(分解)のことでしょうか。
するとα+λは(1)にならって分解された形が本来の姿、ということでしょうか。

さて、和訳しよう…

>>576
>だからL[ω](ω)=ω^{2^ω}=ω^ω

2^ω = ω なのはなんで？

もやしっ子さま
昔勉強した事を思い出して書いてみました。

(1) まず、整列集合とは
(i) 全順序が決まっている集合Sで、
(ii) Sの元の無限下降列x_1>x_2>x_3>...が存在しない
ものです。
自然数の集合Nは整列集合ですが、
実数とか負の整数全体は(ii)を満たさないので整列ではありません。

(2) 順序数(ordinal)とは、整列集合の同型類の事です。
Nの同型類をωと書きます。
偶数や平方数全体はNと同型なので、その順序数はωです。

(3) 2つ順序数αとβがあった時、
これから新しい順序数をつくる方法がいくつかあります。
αとβがそれぞれ整列集合SとTで与えられる時、

(i) 和α+β
これは整列集合S∪Tの同型類です。
ただしx∈Sとy∈Tの間の順序は常にx<yと定めます。
例えばω+ωは
0<1<2<3<...<0'<1'<2'<...
という整列集合です。

(ii) 積αβ
これは整列集合S×T={(x,y)|x∈S,y∈T}の同型類です。
ただし(x,y)と(x',y')の間の順序は、
y<y'または(x<x'かつy=y')の時に(x,y)<(x'y')と定めます。
例えばωω(=ω^2)は
(0,0)<(1,0)<(2,0)<...<(0,1)<(1,1)<(2,1)<...<(0,2)<(1,2)<(2,2)<...
という整列集合です。

(iii) 冪α^β
これはちょっと面倒だったと思います。
帰納的に定義しますが割愛します。

>>581
自然数の2進展開を逆に並べて
ωから2^ωへの同型ができます。

>>584
ωとω+1の１対１対応は作れますが、
ωとω+1は別ものですよね？
ωとω^2も同様。
なぜ
「ωと2^ωの１対１対応が作れる」 => 「ω=2^ω」
と言えるのですか？

書き忘れましたが、自然数nを
整列集合{0,1,2,...,n-1}の順序数と同一視します。

(4) (3)の記号のもと、写像f:S→Tで
x<y⇔f(x)<f(y)
を満たすものが存在する時、
α≦βと書きます。
例えば1<2<3<...<ω<ω+1<ω+2<...<ω+ω<...<ω^2<...<ω^ω<...です。
これによって、順序数の間にも順序が定まります。

(5) 順序数αには2種類あります。
(i)　順序数βが存在してα=β+1となるもの。
(ii) そうではないもの。（例えばω。極限順序数と呼ぶ?）

Hardy function　L[α](x)は
αに関して帰納的に定義されますが
(i)と(ii)で分けて考える必要があります。

>>585
>>584の対応は、順序を保ちます。
一方、ωとω+1の間の全単射は
どのように作っても絶対に順序を保ちません。

>>586続き
(i)の場合は簡単で
L[α](x)=f(L[β](x))とします。

(ii)の場合は、
αよりも小さな順序数の列
β_1<β_2<β_3<...
を「あるやり方」で定めて、
L[α](x)=L[β_x](x)
とおきます。（巨大数スレで、類似のアイデアが何度も登場したと思います）

その「やり方」を定義しているのが
>ω_n = n
>(α+λ)_n = α+λ_n (ただし α+λ は Cantor normal form)
>(ω^{β+1})_n = nω^β
>(ω^λ)_n = ω^{λ_n}
です。

>>576
いいところに突っ込んでくれた質問ですね。
2^ωのような順序数の場合は
1 , 2 , 3 , 2^2 , … , 2^3 , … , 2^n , … , 2^ω
といった感じで収束すればよく、
対角化においては単純に2^ω→2^xとすればいいことで、
例えばω^{2^ω} = ω^{2^x}としておけばいいでしょう。

またa^a^...(x回)...^a^f(x)については個人的にも少し悩んでいるところで、
仮に関数 ^g(a , f(x) , x) としておきます。(aは定数)
^g(a , f(ω) , ω) → ^g(a , f(ω) , x) とすればいいでしょう。
以降同様にa^^a^^...(x回)...^^a^^f(x) = ^^g(a , f(x) , x) 、 …
といった感じで進めていきます。
ただa^a^ω , a^a^a^ω , …のような列集合では
一つのωにxと置き換えるのみでそのまま大きな定数になってしまいます。
つまり、w^aなどに比べて増大度があまり増えないということです。

> L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)](x)
って言い換えると
　L[Λ(ω)](x) = L[Λ(ω)_x](x)
でいいんですかね？

あとやや細かいことですが >>571 の定義に訂正箇所があります。
順序数の積は非可換なので……

× (ω^{β+1})_n = nω^β
○ (ω^{β+1})_n = (ω^β)n

いつのまにか書き込みが急に増えてきましたね。

>>581
ω+a、a*ωのような場合はそれよりも小さい
ω+a-1、(a-1)*ω+nなどの超限順序数がありますが、
a^ωではこの順序数に収束する小さい超限順序数が
存在しないからだと思います。
つまり、ωもa^ωもxから対角化することで
そのまま定数になるという意味で同じになる
・・・と個人的に思っています。

やはり私自身も順序数と集合関係についての勉強を
よりよくすべきですね。

また時間があればナゴヤ関数についていろいろ説明しようと思います。

>>589
>対角化においては単純に2^ω→2^xとすればいいことで、
>例えばω^{2^ω} = ω^{2^x}としておけばいいでしょう。

変数xをωに置き換えようとする（上手くいくか不安だけど・・・）のが
ナゴヤ数の2変数化だと思ってたけど、
ωを変数xに戻す事もしてましたっけ？
定義を勘違いしてたかな？

時間が空いているのでとりあえずレス。

>>590
>>586-588の説明からして
L[Λ(ω)](x) = L[λ(ω)_x](x)
としたほうがよりわかりやすいですね。

>>592
二つの式を＝で結んでいるのでx→ω、ω→xのどちらの置き換えで
みなすこともできますが、やはり後者のほうととらえればわかりやすいと思います。

682さま

[　]の中が何か良く分からなくなってきました。
Hardy関数を用いているとすれば、[　]の中は順序数なので、

>L[2 , n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)

この式が定義となるためには、
順序数L[2 , n](ω)を決める必要があります。
けれども本来、L[2 , n](x)は
自然数を定義域とする関数なので、
何らかの方法でxをωに置き換えよう
とするわけですが、それが上手く行くためには、
もう少し考えてみる必要があるように感じます。

個人的ないくつかの疑問

１．
L[α+n+1](x)=f(L[α+n](x)) と、
L[α+n+1](x) = L[α](L[α+n](x))
の定義の違いによる本質的な違いはあるのかどうか？

２．
対角化に使う順序数の列、
β_1<β_2<β_3<... < α
の具体例がいくつかあがっているが、 ( >>571 )
ずっと大きなαにも対応できるような
βの一般化は出来ないのだろうか？

>>589は
極限順序数αに対して
αに収束する列をどう定めるのか、
を解説して下さっているように感じます。
だから根っことなるHardy関数の部分を、
>>571とは別の列を使って定義しているのかな。

>>595
>ずっと大きなαにも対応できるような
>βの一般化は出来ないのだろうか？

単純な例ですが、最小の非加算濃度の順序数αに対しては、
どのようにβ_1<β_2<β_3<...を取っても、
sup{β_n}<αなのに
L[sup{β_n}](x)>L[α](x)となってしまって
上手く行かないような気がします。
ε_0で既にダメなのでは無いでしょうか。

>>596
ε_0 = ω^^ω ですよね？
ω^^n はε_0に収束する列の例になってますよね？

>>571
> # >>563氏の「ごく小さなもの」というのはそれを意識してる？
だいたいそうですが、>>292 のΓ_0 ぐらいまでならば簡単に定義できます。

>>569 スルーされてしまってますね。
皆さんわりと同じ疑問を持ってるような感じだし、重要な点だと思うので
具体的な形でひとつ質問してみます。

>>510 で f は任意とありますが、これは f:N→N を任意に与えると、それに
依存して L がひとつ定まるという意味に読めます。
だとすると、たとえば極端な例ですけど
　f(x)=[(√2)*x] (つまり x の √2 倍の整数部分)
などとしても構わないということでしょうか。そうであるならば、その場合に
L[2, 1](ω) はどういう順序数になるのでしょうか？

>>595
１の質問では
各右辺の関数の写像fとL[α]が明らかに違います。
L[α]はfよりもはるかに増大度が大きい写像(関数)です。
Hardy関数では前者を使っていると思われます。
２では
ナゴヤ関数でのω以降の順序数の対角化の定義が
>>571でのHardy関数の定義と微妙に異なると思います。

また一般化についてはまずε_0は対角化でε_0 = ω^^ω → ω^^xと置き換えることで
任意の可算順序数にすることができます。
ε_0以降は前までのとは少し定義を変える必要があり、
例えばε_{n+1} = ω^^(n*ω)のとき、
ε_{n+1} = ε_n^^ω、ε_{ω} = ω^^(x*ω)と定義すれば
ε_0以降でも少なくともak(ω , ω)あたりまでは
Hardy関数やナゴヤ関数を帰納的にさせることができます。

いつの間にか600get…はおいといて、

>>599
ak関数やふぃっしゅ数でもそうですが、
初期関数f(x)、変数xの値ともに自然数であることが前提条件です。
ここでの任意は関数の式の形です。

とりあえず今日はこれで休みます。お疲れさまです。

>>601
整数部分とってますから自然数から自然数への関数ですよ？
それとももっと制限があるということでしょうか。

「式の形」というところで制限をかけているということなのでしょうが、
正直なところそれだけではよくわからないです。
まず「式」をちゃんと定義しなければならないんじゃないでしょうか？

>>600
L[α]がH[α]より増大度が大きいのは明らかなんですが、
ちょっとαを大きくしただけでHがLを追い抜くようなら
べつにどちらの定義でも大して変わらず、
本質的には同じと言えるんじゃないかと。
たとえば、H[ω^^^^ω] > L[ω^^^ω]だったりしませんかねえ？

順序数の直観的理解に向けて。

(i) 『自然数n』と『n未満の自然数からなる集合』を対応づける。
（都合上自然数には0を含むことにする）
1 <=> {0}
2 <=> {0, 1}
3 <=> {0, 1, 2}
10 <=> {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
（理屈をつけると長くなるんで無条件で受け入れてくれ）

(ii) 集合のほうの条件を緩める。どうするかというと、『集合の
メンバ中で最大のものよりもさらに大きい数のうちで最小の数』
を返す関数sup()を定義する。
sup({3, 6, 9}) = 10
（(i)で出たような集合を与えれば(i)での対応通りの自然数が
出てくることを確認すること）

(iii) このsup()に{0, 1, 2, 3, ...}というように全ての自然数が入った
集合を与えるとどうなるか。どんな自然数を返しても定義を
満たせないので新たに『どんな自然数よりも大きい』『自然数
ではない』数を定義する必要がある。これをωとする。

(iv) ωも集合に入れられることにする。
sup({ω}) = succ(ω) （= ω+1）
（succ()はペアノ公理での後続関数）
sup({1, 2, ..., ω}) = ω+1 （っていうかいくら並べようと意味なし）

(v) 上手く加法を定義する。
A + B:
[1] Bを集合の形に変換する。　{b_0, b_1, ...}
（とりあえずωを変換すると{0, 1, 2, ...}になることにする）
[2] そのメンバそれぞれにAを加える。　{A+b_0, A+b_1, ...}
[3] 集合をsup()に与える。
1+2 = sup(1+{0, 1}) = sup({1+0, 1+1}) = sup({1, 2}) = 3
2+1 = sup(2+{0}) = sup({2+0}) = sup({2}) = 3
1+ω = sup(1+{0, 1, 2, ...}) = sup({1, 2, 3, ...}) = ω
ω+1 = sup(ω+{0}) = sup({ω}) = succ(ω)
ω+2 = sup(ω+{0, 1}) = sup({ω, ω+1}) = succ(ω+1)
（1+ω ≠ ω+1となることに注意）

(vi) ω+k（k: 自然数）を延長していくと『どんなω+kよりも大きな
数』を考える必要が出てくる。これをとりあえず2ωと表す。
ω+ω = sup(ω+{0, 1, 2, ...}) = sup({ω, ω+1, ω+2, ...})

(vii) 乗法を(v)と同様に定義する。……って待て。
[2'] {A*b_0+A-1, A*b_1+A-1, ...}　（sup()の定義がまずかったか）
1*2 = sup(1*{0, 1}) = sup({1*0+1-1, 1*1+1-1}) = sup({1, 1}) = 2
2*1 = sup(2*{0}) = sup({2*0+2-1}) = sup({1}) = 2
2*2 = sup(2*{0, 1}) = sup({2*0+2-1, 2*1+2-1}) = sup({1, 3}) = 4
2*ω= sup({2*0+2-1, 2*1+2-1, ...} = sup({1, 3, 5, 7, ...}) = ω
ω*2 = sup({ω*0+ω-1, ω*1+ω-1}) = sup({ω-1, 2ω-1}) = 2ω
（2*ω = ωであることに注意。『自然数と奇数は同じだけの
個数がある』って議論と同じ。）
（2ω≠2*ωである。書き方としてはグレーゾーン？）

>>602
f(x)の関数式がxにどんな自然数を入れてもf(x)の結果値が
必ず自然数になるという前提条件です。
（例えばx/3、sin(x)、log(x)などは対象外）
こういう条件を書かなかった自分の説明不足もありますね…。
f(x):任意の自然数xから別の自然数を生成する任意関数
としておくべきですね。

>>604
L[Λ(ω)+x] = L[Λ(ω)]^x(x)
H[Λ(ω)+x] = f^x(H[Λ(ω)](x))
なのでΛ(ω)が大きくなるほど
この差もかなり大きくなりますが、
L[ω^^ω]レベルだとそれほど違いがなくなるような感じですね。
まあどっちでもいいのですが
これについても時間があれば調べてみます。

ちなみに補足として対角化とは>>292limitに近い意味ですね。
今日は昼頃は用事があるのでとりあえずまた後で。

>>600
そういった具体例ではなく、
α=β+1と置けない任意の順序数αに対して
対角化に使う列をきっちり定義できるのかどうかということ。
それが出来ないようなら、
任意の順序数αに対してのH[α]が定義できたことにはならない。

>>607
>  f(x):任意の自然数xから別の自然数を生成する任意関数
それだと f∈N^N と同じに見えるのですが……

>>597-598
なるほど、そうですね。

>>608
要するに>>563でしょう。

>>all
ところでHardyって、Hardy-Littlewoodとか
Hardy-RamanujanのHardyなんでしょ〜か？

>>475->>477のふぃっしゅ氏の●STEP(1)→●STEP(n)のｎの増加をHardy関数で拡張

急に書き込みが増えましたね。

>>604
f_0(x)=x+1
f_α+1(x)=(f_α)^x(x)
f_α(x)=f_α_x(x) （αは極限順序数）

という定義と、

H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) （αは極限順序数）

という定義の場合ですとf_α(x)=H_ω^α(x)となります。
よってその差はα=ε_0の時点で吸収されてしまうようです。
前者の定義は知っていましたが、後者はこのスレで知りました。
H_α(x)<L[α](x)<f_α(x)なのでL[α](x)の定義でもα<ε_0のある
順序数の時点で本質的な差がなくなってしまうかと思われます。
個人的には出来るだけシンプルな方が良いです。