Ackermann(n,0)ゲットするスレ（アッカーマン関数）

何か関係が？？？
実数では無限は数じゃありませんので。
それに0で割るっていうのは無限と何にも関係ないので。

せめて2^∞なら話は分かるんだけどね

非加算無限個になるから

数直線の両極端をつなげて、∞を数に入れるっていうのは、
それなりに定義できる。ただし∞は０とおなじく符号がない。

∞は複素平面の外にある

∞はリーマン球の表面にある

∞は射影空間にある

無限遠は点か直線か

俺の性欲は∞

>>43の性欲をkとする。
k+1はカニバリズムである。よって>>43の性欲が増えてはいけない。

巨大数探索スレって巨大数学習スレだな

巨大数の逆で、極小数ってのは既存の概念なのかな？

loglogNのようなさ

1/巨大数で作り出せるから結局同じ事

自然数をn進法で表し、指数の肩に現れる数をまたn進法で表し、
そのまた指数の肩に現れる数をn進法で表し...
と続けてできた表記を完全n進表記と呼ぶ。
例えば、10を完全2進表記で表すと、
10 = 2^3 + 2 = 2^(2+1) + 1 となる。

いま自然数mを完全2進表記で表し、その2を全て3に置き換え1を引く。
そしてその数を改めて完全3進表記として表す。
// 10の例でいえば、
// 2^(2+1) + 1 -> 3^(3+1) + 1 -1　= 3^(3+1)
またさらにその3を全て4で置き換え1を引き、完全4進表記に書き換える。
// 3^(3+1) -> 4(4+1) -1 = 3*4^4 + 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3
これを繰り返して、n回めのステップで初めてこの数が0になったとき
f(m) := n とするとf(m)は非常に急激に増加する関数となる。

下から3行目訂正
誤:// 3^(3+1) -> 4(4+1) -1 = 3*4^4 + 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3
正:// 3^(3+1) -> 4^(4+1) -1 = 3*4^4 + 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3

巨大数を生成する関数の逆関数で得られた値は巨根数

たいがい自然数→自然数のバラバラな全射でない写像だから
逆関数は無理じゃね？

逆数関数のことじゃないかな。

アッカーマン関数を複素数に拡張するにはどうやったらいいんですか？

>巨根数
いいな、その呼び方

巨根数は０か１の値を取る

漏れの巨根数は０ぽ

アッカーマン関数を用いて三変数アッカーマン関数を定義せよ。

「一番大きな数」のスレに書いた内容です。こちらが本スレみたいなので来ました。

x↑y = x^y
x（↑n個）1 = x
x（↑(n+1)個）y = x（↑n個）（x（↑(n+1)個）(y-1)）
　　　　　　　　　　= x（↑n個）x（↑n個）・・・・・（↑n個）x（↑n個）x
　　　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘがｙ個登場
x（↑z個）y = x→y→z
x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ→1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ
x→ｙ→ｚ→・・・・・→m+1→n+1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→（x→ｙ→ｚ→・・・・・→m→ｎ+1）→n

このとき、グラハム数をＧとすると、G = 3→3→64→2　と表せる。

これを拡張して、→を↑と同様に、
x（→n個）1 = x
x（→(n+1)個）y = x（→n個）（x（→(n+1)個）(y-1)）
　　　　　　　　　　= x（→n個）x（→n個）・・・・・（→n個）x（→n個）x
　　　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘがｙ個登場
x（→z個）y = x↓y↓z
x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓ｎ↓1 = x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓ｎ
x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓m+1↓n+1 = x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓（x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓m↓ｎ+1）↓n

以下同様に、→ｎを定義できる。（→1＝→、→2＝↓、→3＝←、・・・）

（→1）を→とし、ｐ≧2のとき
x（（→(p-1)）z個）y = x（→p）y（→p）z
x（→p）ｙ（→p）ｚ（→p）・・・・・（→p）ｎ（→p）1 = x（→p）ｙ（→p）ｚ（→p）・・・・・（→p）ｎ
x（→p）ｙ（→p）ｚ（→p）・・・・・（→p）m+1（→p）n+1 =
x（→p）ｙ（→p）ｚ（→p）・・・・・（→p）（x（→p）ｙ（→p）ｚ（→p）・・・・・（→p）m（→p）ｎ+1）（→p）n
と定義する。

x（→z）y = x⇒y⇒z
x⇒ｙ⇒ｚ⇒・・・・・⇒ｎ⇒1 = x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）ｎ
x⇒ｙ⇒ｚ⇒・・・・・⇒m+1⇒n+1 =
x⇒ｙ⇒ｚ⇒・・・・・⇒（x⇒ｙ⇒ｚ⇒・・・・・⇒m⇒ｎ+1）⇒n

（⇒1）を⇒とし、ｐ≧2のとき
x（（⇒(p-1)）z個）y = x（⇒p）y（⇒p）z
x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）ｎ（⇒p）1 = x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）ｎ
x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）m+1（⇒p）n+1 =
x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）（x（⇒p）ｙ（⇒p）ｚ（⇒p）・・・・・（⇒p）m（⇒p）ｎ+1）（⇒p）n

と定義したときの

　3（⇒G）3

は、おそらくフィッシャー数やバード数よりも遥かに大きい。
但しＧはグラハム数とする。

失礼ながら、定義が煩雑すぎて見る気が起こらない。
本質を損なわず簡潔にまとめられませんかね。

>>59
こんな感じでどうでしょうか？

x↑y = x^y
x（↑n個）1 = x
x（↑(n+1)個）y = x（↑n個）（x（↑(n+1)個）(y-1)）
　　　　　　　　　　= x（↑n個）x（↑n個）・・・・・（↑n個）x（↑n個）x
　　　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘがｙ個登場
x（↑z個）y = x→y→z
x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ→1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ
x→ｙ→ｚ→・・・・・→m+1→n+1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→（x→ｙ→ｚ→・・・・・→m→ｎ+1）→n

このとき、グラハム数をＧとすると、G = 3→3→64→2　と表せる。

x（→1）y = x→y
x（（→(p-1)）z個）y = x（→p）y（→p）z （p≧2）
４つ以上の数を繋げるときは、（→p）を→と同様に拡張する。

さらに、
x（→z）y = x⇒y⇒z
４つ以上の数を繋げるときは、⇒を→と同様に拡張する。
（⇒p）は（→p）と同様に拡張する。

このとき、

　3（⇒G）3

は、おそらくフィッシャー数やバード数よりも遥かに大きい。 但しＧはグラハム数とする。

訂正。
＞x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ→1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→ｎ
＞x→ｙ→ｚ→・・・・・→m+1→n+1 = x→ｙ→ｚ→・・・・・→（x→ｙ→ｚ→・・・・・→m→ｎ+1）→n
は、

a→b→・・・→x→y→1 = a→b→・・・→x→y
a→b→・・・→x→1→z = a→b→・・・→x
a→b→・・・→x→y→z = a→b→・・・→x→(a→b→・・・→x→y-1→z)→z-1

です。

正直、4段階も踏んでいるのが、本質的とは思えない。
この手のアイデアは、矢印など奇抜な記号を使わずに、
リストの関数f(x,y,･･･)に関する漸化式の形で書くほうが、遥かに見やすいと思う。
すると、矢印の種類を変化させることは、せいぜい変数を1個か2個増やす事しか相当しないので、
単純な1種類＋αの漸化式で、十分に本質は表せる筈なのだが。

>>62
上の矢印表記での拡張は、アッカーマン関数を数段階に拡張することに相当すると思います。

アッカーマン関数ak(x, y, z)を
ak(x, y, 0) = x + y,
ak(x, y, 1) = xy,
ak(x, y, 2) = x^y,
ak(x, 0, c + 1) = x,
ak(x, y + 1, z + 1) = ak(x, ak(x, y, z+1), z)
と定義すると、

ｘ（↑がz個）ｙ＝ak(x, y, z+1)
となる。ここで、akをリストの関数に拡張すると、

ak(a, b, c, ・・・・, x, y, 1) = ak(a, b, c, ・・・・, x, y)
ak(a, b, c, ・・・・, x, 1, z) = ak(a, b, c, ・・・・, x)
ak(a, b, c, ・・・・, x, y+1, z+1) = ak(a, b, c, ・・・・, x, ak(a, b, c, ・・・・, x, y, z+1), z)
とすると、グラハム数Ｇは

　ak(3, 3, 64, 2) ＜ G ＜ ak(3, 3, 65, 2)　＜ ak(3, 3, 3, 3)

となる。

ここで、
ak（x, x, x, ・・（全部でy個）・・, x）＝ak_2（x, y）
ak_2(x, y, 1) = ak_2(x, y)
ak_2(a, b, c, ・・・, x, y, 1) = ak_2(a, b, c, ・・・, x, y)
ak_2(a, b, c, ・・・, x, 1, z) = ak_2(a, b, c, ・・・, x)
ak_2(a, b, c, ・・・, x, y, z) = ak_2(a, b, c, ・・・, x, ak_2(x, y-1, z), z-1)

同様に、
ak_(n-1)(x, x, x, ・・（全部でy個）・・, x）＝ak_n（x, y）
とし、ak_n を ak_2 と同様に拡張する。

ak_z(x, y) = ak^2(x, y, z) とし、ak^2 を ak と同様に拡張する（ak^2_2、・・・、ak^2_n）。

このとき、

　ak^2_G(3, 3)

は、おそらくフィッシャー数やバード数よりも遥かに大きい。 但しＧはグラハム数とする。

参考文献：
「グラハム数」
ttp://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html
「関数と表記法」
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/function.html


これ以上の拡張（ak^n など）が思いつきません・・・○|￣|＿

>>62
リストの関数の漸化式だけでは表し切れない拡張を表現したつもりですが、
実は>>63-64もリストの関数で表すことが出来るのでしょうか。

>リストの関数の漸化式だけでは表し切れない拡張を表現したつもりですが、
>実は>>63-64もリストの関数で表すことが出来るのでしょうか。

もちろんです。
ak^m_n(a, b, c, ・・・・)を
ak(m, n, a, b, c, ・・・・)と書けば良いだけです。
お書きになられた漸化式ですが、

ak(1, 1, x, y) = x + y
ak(m+1, n, x, y, z) = ak(m, z, x, y)
ak(1, n+1, x, y) = ak(1, n, x, x, x, ・・（全部でy個）・・, x)
ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x, y, 1) = ak(m, n a, b, c, ・・・・, x, y)
ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x, 1, z) = ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x)
ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x, y+1, z+1) = ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x, ak(m, n, a, b, c, ・・・・, x, y, z+1), z)

おそらくこれで十分でしょう。
こうしてみると、違和感を感じませんか？

>>66
＞ak(m+1, n, x, y, z) = ak(m, z, x, y)
これは
ak(m+1, 1, x, y, z) = ak(m, z, x, y)
だと思いますけど、どちらにしても引数が増えてしまいますね・・・。


何が変だとは具体的には言えませんけど、何か変な感じがします。
自分が言い出したことに対して言うのも変ですけど。

>>67
62 とは別人ですが、リストの関数というものがどういうものか
わからないまま返事を書いていませんか。

>>68
いい加減なレス内容ですみませんでした。

リストの関数は、リストからリストor数への関数でよろしいでしょうか？
リストは数の並びという理解でよろしいでしょうか？
違ったらｽﾏｿ

ここもすすんでないなー

→を使った表記を拡張してみた。長文失礼。

a→b→c→dをf(a,b,c,d)のように表記する。
f(a)=a
f(a,b)=a^b
f(a,…,x,y,1)=f(a,…,x,y)
f(a,…,x,1,z)=f(a,…,x)
f(a,…,x,y,z)=f(a,…,x,f(a,…,x,y-1,z),z-1)

ここまでなら普通の→表記だが、一つ変数を加える。
f((a,…,z),1)=f(a,…,z)
f((a),n)=a
f((a,b),n)=f((a,…,a),n-1) ただしaはb個
f((a,…,x,y,1),n)=f((a,…,x,y),n)
f((a,…,x,1,z),n)=f((a,…,x),n)
f((a,…,x,y,z),n)=f((a,…,x,f((a,…,x,y-1,z),n),z-1),n)

さらに、加えた変数をリストへと拡張する。
f((*,…,*),(a))=f((*,…,*),a)
f((*,…,*),(1,b))=f(*,…,*)
f((*,…,*),(a,b))=f((*,…,*),(f((*,…,*),(a-1,b)),b-1))
f((*,…,*),(a,…,x,y,1))=f((*,…,*),(a,…,x,y))
f((*,…,*),(a,…,x,1,z))=f((*,…,*),(a,…,x))
f((*,…,*),(a,…,x,y,z))=f((*,…,*),(a,…,x,f((*,…,*),(a,…,x,y-1,z)),z-1))

そして、どんどんリストを増やしていく。
(*,…,*),…,(*,…,*)をリストの列と書く。

f(リストの列,1)=f(リストの列)
f(リストの列,(a))=f(リストの列,a)
f(リストの列,(1,b))=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b))=f(リストの列,(f(リストの列,(a-1,b)),b-1))
f(リストの列,(a,…,x,y,1))=f(リストの列,(a,…,x,y))
f(リストの列,(a,…,x,1,z))=f(リストの列,(a,…,x))
f(リストの列,(a,…,x,y,z))=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z)),z-1))

f(リストの列,1,n)=f(リストの列)
f(リストの列,(a),n)=f(リストの列,a)
f(リストの列,(1,b),n)=f(リストの列)
f(リストの列,(a,b),n)=f(リストの列,(a,…,a),n-1) ただしaはb個
f(リストの列,(a,…,x,y,1),n)=f(リストの列,(a,…,x,y),n)
f(リストの列,(a,…,x,1,z),n)=f(リストの列,(a,…,x),n)
f(リストの列,(a,…,x,y,z),n)=f(リストの列,(a,…,x,f(リストの列,(a,…,x,y-1,z),n),z-1),n)

こうして、リストが二重になった関数ができた。さらに、三重以降に拡張する。
三重以降も上と同様に、一番最後の一重リストから計算していく。
f(m重リストの列,(a,b),n)=f(m重リストの列,((a,…,a),…,(a,…,a)),n-1)
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はm重リストで、各リストの要素はb個。
例えばm=3,a=4,b=2のとき(((4,4),(4,4)),((4,4),(4,4)))となる。

これで、多重リストの関数fができた。次にf_2を定義する。
f_2の計算法はfとほとんど同じだが、下の式が違う。
f_2(a,b)=f((a,…,a),…,(a,…,a))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はb重リストで、各リストの要素はb個。
同様にf_3以降も定義する。
f_n(a,b)=f_(n-1)((a,…,a),…,(a,…,a))

このときのf_64(3,3)の大きさはどのくらいだろうか。
>>58の3（⇒G）3よりはずっと大きいと思うが。

多分かなり分かりにくいと思うので、分からなければ聞いてください。

3（⇒G）3との比較。

x（→z個）y = x↓y↓z = f((x,y),z)
x↓ｙ↓ｚ↓・・・・・↓m↓n = f((x,y),(z,…,m,n))
x（↓2個）y = f((x,x),(x,y-2),2) < f((x,x),(x,y),2)
x（↓z個）y < f((x,x),(x,y),z)
x（（→p）z個）y < f((x,x),…,(x,x),(x,y),z) ただし(x,x)はp-1個
x（→z）y = x⇒y⇒z < f((x,x),…,(x,x),(x,y)) < f(((x,z)),2) 注：f(((x,p+1)),2)≠f((x,p+1),2)
ただしyがxよりも非常に大きいとき上の行の不等号は成り立たないことがある。
x（⇒z個）y = x（⇒2）y（⇒2）z < f(((x,y-1),z),2)
x（（⇒2）z個）y < f(((x,x),(x,y),z),2)
x（（⇒p）z個）y < f(((x,x),…,(x,x),(x,y),z),2) < f(((x,z)),3) ただし(x,x)はp-1個
x（⇒z）y < f(((x,x),…,(x,x),(x,y)),2) < f(((x,z)),3)
ただしyがxよりも非常に大きいとき上の行の不等号は成り立たないことがある。
3（⇒G）3 < f(((3,G)),3) < f(((3, f(((3,3)),3) )),3) = f(((3, f(((3,2,2)),3) )),3)
< f(((3,3,2)),3) < f_2(3,3) < f_64(3,3)
よって3（⇒G）3よりf_64(3,3)のほうがずっと大きい。

>>64
ak_2（x, y） ≒ x（→2個）y
ak_z(x, y) = ak^2(x, y, z) ≒ x（→z個）y = x（→2）y（→2）z
ak^2_G(3, 3)は大きさとしては3（（→2）G個）3くらいでしかないと思います。
3（⇒G）3を表すにはもっと拡張が必要でしょう。

>>73
＞f(m重リストの列,(a,b),n)=f(m重リストの列,((a,…,a),…,(a,…,a)),n-1)
(a,b)の部分が((a,b))とか(((a,b)))とかになっていても同様です。
>>74
＞注：f(((x,p+1)),2)≠f((x,p+1),2)
例えば、f((4,3),2)=f((4,4,4),1)=f(4,4,4)
f(((4,3)),2)=f(((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4)),1)=f((4,4,4),(4,4,4),(4,4,4))
こういう場合もあるので(　)は勝手にはずせません。
(　)をはずしていいのは、
・中身が数一つのとき
例：f(((a,b),(c,d)),((e)))=f(((a,b),(c,d)),e)
・一番外側の括弧が二重以上のとき
例：f(( (a,b),(c,d) ))=f((a,b),(c,d))
です。

あぼーん

Re:>77 お前はもう一生飯はう■こだけでいいだろう。

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＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに独創的な人。それが必要条件よ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
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　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
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まちがった。f(2)は∞^2^2で∞^4、f(3)は∞^4^2で∞^8

せめて2^∞なら話は分かるんだけどね

ｱﾌｫ

アッカーマンの業績に関するサイトってないの？