大好き★代数幾何 Part 2

代数幾何に関する話題なら何でもOK。
現在 Hartshorne, Algebraic Geometry の演習問題を解く作業が
進行中！

前スレ：
大好き★代数幾何
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1065022897/

関連スレ：
グロタンディックだが質問あるかね？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1011949239/
グロタンってさ。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1067672952/
層
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1003853278/
スペクトル系列
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1031726106/
【代数幾何学】広中平祐氏【フィールズ賞】
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1032524347/

33333333333333333333

大好き★代数幾何 ２
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1070390175/

( ﾟ Д ﾟ )　　『　壹　よ 、　逝　き　て　宜　し　！　！　（昭和八年五月八日 東亰朝日） 』
　　　　　　　　　いち　よ　　ゆ　き　て　よろ　し

下手人たる壹、「貳ちやんぬる（東亰市王子區赫�鋳ｬ）」なるインタネツト掲示板
（球網會合場）に古今未曾有の糞スレツド（議題）建てり。
壹は定職にも就かず毎日（まいにち）／＼上掲示板に下卑なる書込をつゞけ、
周圍の人間の嘲笑（てうせう）を買ふも飽き足らず、
終に自(みづ)からスレツドを建てり。しかし壹の智恵は足るものに在らず、
結局（けつきよく） 嘲笑の書き込みすらされず「ダツト逝き」（書庫移設）さるるが、
その直前に情けなくも自からの手により自からを勵ませり。
またこの時態々（わざわざ）人の目にさらさるるやうに「挙げ」と呼ばるる邪法を用う。

壹には聖上への不敬及び治安維持法違反の容疑（ようぎ）も掛けられ皇宮警察、
警視廳特高課からの追及もさるる見込み。
壹の御母堂は落涙しつつ「息子のうつけたる不始末を悲しく思へども
潔く死すべき也」と申せり。

社説：
今囘（こんかい）の壱のやうな下司(げす)下郎(げらう)を人は
「黄金厨」「ドリチン」と云ひて馬鹿にす。
このやうなことに陷ればもはや生きていく價値もなし。
もはや不逞滿人・鮮人･土人との比較にもならず。

記者：山田拾平衞

〇王子區赫�鋳ｬ（おうじくあかばねちょう）：現：北区赤羽
〇聖上：天皇陛下 （玉體ぎよくたゐ、とも云ふ）
〇土人：國際聯盟委任統治領（南洋廳/南洋庁所管）＞南洋諸島

重複スレ。
↓へどうぞ。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1070390175/l50

>>6
嫌です。そっち糞スレだし

　　　　　　　 ＼　　　　 　　 　　　 　.人　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　＼　　　　　 　 　 　（＿）　なんと。　／　　＿＿_
ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　　　　　　＼ｳﾝｺｱｹﾞﾙｰ　（＿＿）　　　　／ ＿／　　 ::（
　　　　　(　　)　　　　＼（ ･∀･)ﾉ（＿＿＿）　　／　/　　　　　:::::::＼.　　ｳﾝｺｳﾏｰ
　　　　ﾉ(　*　)ヽ　　　　＼　　　　　　　　　 .／　 　~）　　　　:::::::;;（~　∧＿∧
　　　　　ﾉωヽ　ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　 ＼ ∧∧∧∧ ／　　　　 ＼＿――（＿__,（・д・　）
(　　) 　　 ｜　　　　 (　　)　＜　ウ.　こ　＞　／￣――ヽ＿＿/　　∪　:::⊂　）
ﾉ(　* )ヽ　●　　　ﾉ( *　)ヽ ＜　ン　の　＞（　　　 　●　ヽ　 /　 ●:::::::::::::::）ﾉ
　ﾉωヽ　ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　 ﾉωヽ　 ＜　コ　 ス　＞　＼　　　　　　ヽ/ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ∪
─―────────‐＜　 な　.レ　＞───────────────
　　　人　　　　　　　　　　 /＜　予　は　＞　
　　（＿_）　　　　　　　　　/ ＜　感　 　　＞　　　　　　　　　　　　　　　　　ひぃ
　 （＿＿）火 /ＶＶＶＶＶ./　　 ∨∨∨∨＼ＶＶＶＶＶＶＶＶＶＮ＼　　　　∧＿∧
　（　・∀∩┌┴┐￣　/ 人　　　　　　　　 ＼.＿　 ／　　　　　 ＼　　（・∀・；）
　/　ヽつ丿　　／　＿/（＿_）　　　　　　　　　＼∠―＼　　　　／　　 （　　　　）
　>　>　>　Ｙ^ＶＶＶＶ/（＿＿）　　　　　　　　　.　＼ ＶＶＶＶＮ／　　　 │ │ │
（＿_） （＿_） .　　　/ （ ・∀・ ）∩ ウンコビ━ヴ　 ＼　　　　　　　　 .（＿（＿_）

　　　ｽｯｷﾘｼﾀﾓﾅ
　　　　∧＿∧
　　　 （　´∀｀）
　　　／　　 つ
　　 （_(＿_⌒）　 |^lヽ､　　(´･ω･`) >>1
　　┌─（＿）─┘.|　)　　(∩　∩)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣


　　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　　 （　´∀｀）
　　　　　　　　　/ 　　 ヽ､
　　　　　　((　（_'（＿,　）´　ふきふき
　　　　　　　　(:･:ω:･:)
　　　　　　　　(∩　∩) 　←>>1

演習問題の続きはこのスレでいいんじゃない？
他のスレもつかっちゃえばいいじゃん
もっとお気楽に代数幾何の話もしたいしサ！

了解

じゃあ、お気楽に質問
古典的な射影代数多様体の斉次座標環ってk[X_0,X_1,…,X_n]
っていう風に書いてるけど、ただの多項式環と思ってよいの？

他の2つのスレ、消えたね

生命保険は明治生命のＬＡで。かいじん２１めんそう。
http://tv3.2ch.net/test/r.i/musice/1062209956/1-
http://bubble.2ch.net/test/r.i/beatles/1060815327/l50
http://school.2ch.net/lifework/i/
http://money.2ch.net/test/r.i/tax/1070469193/i

>>12
べつにただの多項式環なのだが。ただ、射影代数多様体の座標環を考える場合は、
次数環の構造を考えると便利なので、それを合わせて考えることが多い。

ｎ変数の代数的数を係数とする同次多項式がいくつか与えられたとする。
これで定義される代数多様体を既約成分に分解し、
各成分の特異点を還元して非特異代数多様体を得る。
この各非特異多様体上の主要な層、例えば構造層とか余接層を係数と
するコホモロジー群が具体的に計算できたら素晴らしい。

>>16
それは俺が別のスレで書いたものだ。無断でコピペするな。

>>17
ｎ変数の代数的数を係数とする同次多項式がいくつか与えられたとする。
これで定義される代数多様体を既約成分に分解し、
各成分の特異点を還元して非特異代数多様体を得る。
この各非特異多様体上の主要な層、例えば構造層とか余接層を係数と
するコホモロジー群が具体的に計算できたら素晴らしい。

>>18
なんだキティちゃんだったのか。スマンかった。

>>19
ｎ変数の代数的数を係数とする同次多項式がいくつか与えられたとする。
これで定義される代数多様体を既約成分に分解し、
各成分の特異点を還元して非特異代数多様体を得る。
この各非特異多様体上の主要な層、例えば構造層とか余接層を係数と
するコホモロジー群が具体的に計算できたら素晴らしい。

>>20
おらおら、どうした？ もっとあげろや、このアフォ。

>>21
ｎ変数の代数的数を係数とする同次多項式がいくつか与えられたとする。
これで定義される代数多様体を既約成分に分解し、
各成分の特異点を還元して非特異代数多様体を得る。
この各非特異多様体上の主要な層、例えば構造層とか余接層を係数と
するコホモロジー群が具体的に計算できたら素晴らしい。

>>22
もっとあげろや、このど阿呆。

黙らっしゃい！
　　　 _, ,_ 　　ﾊﾟｰﾝ
　（　‘д‘）　　
　　　⊂彡☆))Д´） ←>>2

Shafarevich の Basic Algebraic Geometry は勉強しやすいですか?

>>25
schemeの前にそういうことは知っておいた方が後々いいかも。
人によりますけどね。

代数で切れ者の先生って誰よ？

オレオレ

>>26
scheme を使わない代数幾何ということですね。
機会があれば、読んでみよう。

>>29
ｽﾏｿ、前半はscheme使わない古典的な代数幾何ですが、
後半はschemeです。
前半もscheme使わないといっても層は出たりするので
HartshorneのI章よりちょいschemeよりかもしれません。

>>988(←パート１)
＞因みに EGA II p140 でも宮西の
｢代数幾何学｣　p123 でも(x_1)B ≠ B を証明せずに使っている。

EGAだからといって鵜呑みにしては駄目ということですな。

ここで問題
次の命題を証明せよ。

A を体 k 上有限生成の可換代数とし、G を A の k-自己同型の
なす有限群とする。A^G を G で不変な元全体のなす A の
部分代数とすると、A^G は k 上有限生成である。

Hartshorne II Ex.4.12 (a) の解答

証明
K は k 上の１変数有理関数体 k(x) の有限次拡大体である。
k(x)/k 付値はすべて離散付値である。よって補題
(Part I の>>991)より K/k の付値はすべて離散付値である。

Hartshorne II Ex.4.12 (b) の (1) の解答

証明
Y の閉点 y をとる。X は非特異だから Hartshorne I Th.5.1
より O_y は正則局所環である。よって UFDである
(Harsthorne II 6.11.1A) 。Y に対応する O_y の素イデアルを
p とする。R = O_x_1 は、O_y の p のおける局所環と
同型である。p は O_y の 0 でない素イデアルで高さ１だから
O_y の既約元で生成される単項イデアルである
(Hartshorne I 1.12A)。よって DVR である。

>>35
この証明は、II 6.11.1A で引用されている結果を使っているが、
読者がこの問題を解く時点では、これを知っていることは仮定
出来ないよね？ ということは、この問題は正則局所環がUFDで
あるという事実を使わなくても証明できるということか。

Hartshorne II Ex.4.12 (b) の (2) の解答

証明
この問題では X' が非特異とは書いていないが、
X' を非特異と仮定して証明する。
Y' の生成点を y' とする。(b) の (1) より O_y' は DVR
である。f(y') = x_0 であるから O_y' は O_x_0 を支配する。

(注) X' が非特異じゃないと O_y' が DVR とは一般には
言えないと思うんだけど。

Hartshorne II Ex.4.12 (b) の (3) の解答

証明
各 O_x_i は K の部分環であることに注意する。
O_x_i の極大イデアルを m_i とし全 m_i の合併を m' とする。
m_i ⊆ m_(i+1) であるから m' は R_0 のイデアルである。
m' = R_0 とすると, 1 ∈ m' だから 1 ∈ m_i となる i が
あるから矛盾。よって m' は R_0 の真のイデアルである。
x ∈ R_0 を R_0 の非単元とする。x ∈ O_x_i となる i が
ある。x は O_x_i の非単元でもあるから x ∈ m_i である。
よって x ∈ m' である。よって m' は R_0 の唯一つの
極大イデアルであり、R_0 は局所環である。
R を R_0 を支配する K/k の付値環とする。
R_0 は R_x_0 を支配するから R も R_x_0 を支配する。
Ex.4.11 (a) より R_0 がネーター環なら R として DVR
を取れる。

>>38
これはあまり自信ない。R_0 がネーターになるのはどういう
ときか？

今までかなり問題を解いてきたんだけど、君達なんか意見、
質問、感想とかないの？　俺の証明読んでる？ 反応が無いと
張り合いがないんだけど。

>>40
できれば LaTeX で書いてくれ。あとで TeX にして dvi で読むほうが楽だから。
前スレも半分くらいまでは書き換えたが、それ以来放ってある。

>>41
古い人間なんでTeXとかLaTexを使ったことがない。前にも
書いたけど俺は数学に関してはアマチュアなんだ。どうしても
必要になったら覚えるけど。

別に強要はしないよ。気が向いたらでいい。一応参考までに記す。

ほとんどはエディタでうまく置換してやればいいので、簡単なことでいい。
やって欲しいのは数式を $ $ ではさむこと。
たとえば>>33なら

$A$ を体 $k$ 上有限生成の可換代数とし、$G$ を $A$ の $k$-自己同型の
なす有限群とする。$A^G$ を $G$ で不変な元全体のなす $A$ の
部分代数とすると、$A^G$ は $k$ 上有限生成である。

この程度のことで十分違う。数式が長かったり添え字とかがあったりすると
エディタで置換するのも大変だし。

もうちょっとお願いするとしても、ダブルスクリプトとかがうまくいかない
ので、例として >>38なら

証明
各 $O_{x_i}$ は $K$ の部分環であることに注意する。
$O_{x_i}$ の極大イデアルを $m_i$ とし全 $m_i$ の合併を $m'$ とする。
$m_i \subseteq m_{i+1}$ であるから $m'$ は $R_0$ のイデアルである。
$m' = R_0$ とすると, $1 \in m'$ だから $1 \in m_i$ となる $i$ が
あるから矛盾。よって $m'$ は $R_0$ の真のイデアルである。
$x \in R_0$ を $R_0$ の非単元とする。$x \in O_{x_i}$ となる $i$ が
ある。$x$ は $O_{x_i}$ の非単元でもあるから $x \in m_i$ である。

みたいなかんじに。数学記号とかはべつに TeX のコマンドにする必要は
ないけどね。

後はどうとでもなるけど、証明も 証明の開始と終わりを常に同じ方法で明示
してくれればエディタで一気に置換出来てマークアップが済んだりするし、
命題や補題・定義なんかも開始と終了を明示して書式をそろえてくれたり
すると随分いろいろ弄れるのでその辺もできればよろしく。

>>43
>後はどうとでもなるけど、証明も 証明の開始と終わりを常に同じ方法で明示

例えばどういう風に？

>>44
TeX でただ整形したいってだけなら、数式以外は別に気にしなくていいんだけどね。
そろえてくれるってならそろってればなんでもいいんだけど。例えば

証明.

〜本文〜

QED.

で十分。置換のしやすさを考えれば [[証明]] と [[/証明]] とかいうふうに
他とかち合わないようなものならなおありがたい。

最終的には私は

\begin{proof}[Hartshorne II Ex.4.12 (b) の (3) の解答]
〜〜〜〜
\end{proof}

のように置換するつもりなので, こう書いてくれると個人的にはうれしい。
一つの書式に統一してくれないといちいち一個づつ書き換えないといけなく
なってつらいってことなんで、気楽に考えてくれるといい。

>>45
今さら聞くのも何だけど、どうしてＴｅＸで整形したいの？

石井志保子先生ってすごいの？
代数幾何の分野で。
なんかすごく頭良さそうな顔してるけど。

45ではないが、単に記号が見やすいからじゃない？

>>48
今でもあまり問題ないんじゃないの？ サブスクリプトを
例えば x_i と書いても特に見ずらくないと思うんだけど。

II Ex.4.7 とか他にも少し残ってるけど II章 §5 の問題にいく。
これら未解決の問題もいずれやるつもりだけど。
解答出来るひとは残った問題だけでなく他の問題も遠慮しないで
投稿してね。

Hartshorne II Ex.5.11 (a) の解答

O_X を環付き空間、E を有限階の局所自由 O_X 加群の層、
E^ = Hom~(E, O_X) とする。ここで Hom~ は Hom の層を表す。
(E^)^ は E と標準的に同型である。

証明
標準的準同型 E → (E^)^ を以下のように定義する。
各開集合 U と s ∈ Γ(U, E) に対して、Γ(U, (E^)^) の
元 h を以下のように定義する。
V を U に含まれる開集合としたとき、
t ∈ Γ(V, E^) = Hom(E|V, O_X|V) に対して、
(h|V)(t) = t(s|V) ∈ Γ(V, O_X)
s に h を対応させることにより準同型 E → (E^)^ が定まる。
これが同型であることを見るには E = (O_X)^n の場合に確かめれば
よいが、この場合は明らかである。

Hartshorne II Ex.5.11 (b) の解答

O_X を環付き空間、E を有限階の局所自由 O_X 加群の層、
F を任意のO_X 加群の層とする。
Hom~(E, F) は E^(x)F と標準的に同型である。

証明
各開集合 U と s ∈ Γ(U, E^) と t ∈ Γ(U, F) に対して、
Hom(E|U, O_X|U) の元 u を以下のように定義する。
V を U に含まれる開集合としたとき、
z ∈ Γ(V, E) に対して、u(z) = s(z)(t|V)
(s, t) に u を対応させることにより準同型
E^ (x) F → Hom~(E, F) が定まる。
これが同型であることを見るには E = (O_X)^n の場合に確かめれば
よいが、この場合は明らかである。

なんか簡単な問題ばっか解答してるね。
見てて恥ずかしくなっちゃうよ。

Hartshorne II Ex.5.11 (c) の解答

O_X を環付き空間、E を有限階の局所自由 O_X 加群の層、
F を任意のO_X 加群の層とする。
Hom(E(x)F , G) は Hom(F, Hom~(E, G)) と標準的に同型である。

証明
f ∈ Hom(E(x)F , G) にたいして、Hom(F, Hom~(E, G)) の
元 g を以下のように定義する。
開集合 U と s ∈ Γ(U, F)、U に含まれる開集合 V と
t ∈ Γ(V, E) に対して、g(s)(t) = f(s(x)t)。
ここで s(x)t は s の V への制限と t とのテンソル積を
略記したもの。
これが同型であることを見るには E = (O_X)^n の場合に確かめれば
よいが、この場合は明らかである。

補題
f: (X, O_X) → (Y, O_Y) を環付き空間の射、
G_1, G_2 を O_Y-加群の層とする。
標準的同型 f^*(G_1) (x) f^*(G_2) => f^*(G_1(x)G_2)
が存在する

証明
f^(-1)(O_Y)-加群の層としての準同型
f^(-1)(G_1) (x) f^(-1)(G_2) → f^(-1)(G_1(x)G_2) が標準的に
存在する。よって O_X-加群の層の準同型
f^*(G_1) (x) f^*(G_2) → f^*(G_1(x)G_2) が得られる。
これが同型なのはこの準同型によりストークの同型が引き起こ
されることから分かる。

補題
f: (X, O_X) → (Y, O_Y) を環付き空間の射、
F をO_X-加群の層とする。
標準的準同型 f^*(f_*(F)) → F が存在する。

証明
G をO_Y-加群の層とする。
標準的同型 Hom(f^*(G), F) => Hom(G, f_*(F)) が存在する
(Harsthorne 本文 p.110)。
G = f_*(F) とすると、Hom(f^*(f_*(F)), F) は
Hom(f_*(F), f_*(F)) に標準的に同型である。よって、
恒等写像 : f_*(F) → f_*(F) に対応する
準同型 f^*(f_*(F)) → F が存在する。

Hartshorne II Ex.5.11 (d) の解答
f: (X, O_X) → (Y, O_Y) を環付き空間の射、
F をO_X-加群の層、E を有限階の局所自由 O_Y-加群の層とする。
f_*(F (x) f^*(E)) は f_*(F)(x)E と標準的に同型である。

証明
補題より準同型 f^*(f_*(F))(x)f_*(E) → F (x) f_*(E)
が存在する。一方、補題 より f^*(f_*(F)(x)E) は
f^*(f_*(F))(x)f_*(E) と同型である。
よって標準的準同型 f^*(f_*(F)(x)E) → F (x) f_*(E) が
存在する。これは準同型 f_*(F)(x)E → f_*(F (x) f_*(E)) を
引き起こす(同型 Hom(f^*(G), F) => Hom(G, f_*(F)) より)
(Harsthorne 本文 p.110)。
この準同型 f_*(F)(x)E → f_*(F (x) f_*(E)) が同型なのは、
E = (O_Y)^n の場合から明らか。

>>51
>Hartshorne II Ex.5.11 (a) の解答

Hartshorne II Ex.5.1 (a) の解答の間違い。
以下(b) (c) (d) も同様。

>>53
順番にやってるだけだけど。難しいものだけ選んでやって欲しいのか？

>>45じゃないけど、思うところを。

>>49
例えばさ、直和が (+) とかテンソル積が (x) とかさ、無理やりすぎじゃん。
ま、文脈から意味を取り違えることも無いけどね。
添え字とかも、単独で付くならまだしも、複数組み合わせになるとﾜｹﾜｶﾗﾝ。

読み易さとかいう話では空きや体裁などの問題もあるし、できれば全部 TeX で
書いて欲しいところだよ。

>>60
＞ま、文脈から意味を取り違えることも無いけどね。

だったら、いいじゃん。
見やすく書きたいのは俺もやまやま。
だいたいこの板でTeX なんて読めないでしょ。
ないものねだりしないでよ。俺は問題解くだけで精一杯。
TeXで書き直してどこかのホームページに載せたい人は
自由にやってちょうだいよ。ただし、ここがソースだという
ことは一言書いてね。

Hartshorne II Ex.5.2 (a) の解答

証明
X = Spec(R) の生成点をζとする。
X の空でない開集合は X と{ζ}のみである。
F を O_X-加群とする。M = Γ(X, F) とし、L = F_ζとする。
M は R-加群であり、L は K-加群である。
制限写像: M → L は単射 R → K と両立するから、
ρ: M(x)K → L を誘導する。
逆に K 準同型ρ: M(x)K → L が与えられると、R → K と
両立する加群の準同型 M → L が得られる。よって、
M = Γ(X, F)、L = F_ζと定義することにより O_X-加群 F
が定義される。

Hartshorne II Ex.5.2 (b) の解答

証明
F が準連接なら、M(x)K は F_ζと同型である。
逆に M(x)K と F_ζが同型なら X の空でない開集合は X と{ζ}
のみであることから M は準連接である。

>>61
じゃここに LaTeX で書いたものを
LaTeX をかけて表示するプログラムかサイトを作れば幸せになれる?
LaTeX で書くときは書き込みのはじめの行に、
なんか呪文を書いておくことにするとか適当に仕様を決めて。

Hartshorne II Ex.5.3 の解答

証明
F を O_X-加群とする。M → Γ(X, F) を A-加群の準同型と
する。f を A の元とする。Γ(D(f), F) は A_f 加群である。
制限写像 Γ(X, F) → Γ(D(f), F) は標準的準同型 A → A_f と
両立する。よって、A_f-加群の準同型 M_f → Γ(D(f), F) が
得られる。これにより O_X-加群層の準同型 M~ → F が
得られる。
この対応により写像 α: Hom(M, Γ(X, F)) → Hom(M~, F)
が得られる。

逆にO_X-加群の準同型 M~ → F が与えられると、
A-加群の準同型 M → Γ(X, F) が得られる。
この対応により写像 β: Hom(M~, F) → Hom(M, Γ(X, F)) が
得られる。αとβが互いに逆写像であることは明らかであろう。
よって、Hom(M, Γ(X, F)) と Hom(M~, F) は同型である。
これが関手的同型であることも明らかである。

>>64
ここはここで、このままにしたい。第一に、ここに俺がLaTeXで
書くのは面倒。題２にLaTeXはここではそのまま読めない。
第３にここで書いたものをそのサイトで読むのも
わずらわしい。第４に修正が面倒。その他、いろいろ問題が
考えられる。誰かがTeXかLaTexで書き直して他のサイトに載せる
のが一番だと思う。

>>66
いえいえ、LaTeX で書くのを強制するわけじゃなくて、
LaTeX で書きたい人が LaTeX モードで書けるようにしたらどうでしょうということです。
もっとも、今問題解いている人がほぼ一人という状況では意味がないですね

>>67
ASCIIというかS-JISのテキストにTeXで書いたものを
混ぜるのは勘弁して。TeXを知っている人じゃないと
チンプンカンプン。いくら他のサイトに行けば分かる
といっても面倒すぎ。このスレが１０００を超えたとき
はオンラインで読めないんだからなおさら。

Hartshorne II Ex.5.4 の解答

証明
F を準連接な O_X-加群とする。定義より X は
アフィン開集合 U_i = Spec(A_i) による被覆と A_i 加群 M_i で
F|U_i が (M_i)~ と同型となるものがある。M_i は
A_i 加群だから完全系列
(A_i)^(I) → (A_i)^(J) → M_i → 0 が存在する。
ここで、(A_i)^(I)、(A_i)^(J) はそれぞれ I, J を添字集合と
する自由加群を表す。よって、
(O_X|U_i)^(I) → (O_X|U_i)^(J)→ F|U_i → 0 は完全である。

逆に X がアフィン開集合 U_i = Spec(A_i) による被覆を持ち、
各i に対して
(O_X|U_i)^(I) → (O_X|U_i)^(J)→ F|U_i → 0 が完全とする。
(A_i)^(I) → (A_i)^(J) の余核(cokernel) を M_i とすると、
F|U_i は (M_i)~ と同型である。

X がネーターなら上記の I, J は有限集合にとれる。

Hartshorne II Ex.5.5 (a)の解答

k を体、k[x] を k 上の１変数多項式環とする。
X = Spec(k[x]), Y = Spec(k) とし、f:X → Y を構造射とする。
f_*(O_X) は (k[x])~ と同型である(II Prop.5.2 (d))。
k[x] は k-加群として有限次ではないから f_*(O_X) は
連接でない。

Hartshorne II Ex.5.5 (b)の解答

証明
f: X → Y を閉埋入とする。 U = Spec(A) を Y の
アフィン開集合とする。f^(-1)(U) は Spec(A/I) と同型である。
A/I は A-加群として有限生成だから、f は有限射である。

Hartshorne II Ex.5.5 (c)の解答

証明
X, Y をネータースキームとし、f: X → Y を有限射とする。
F を連接な O_X 加群層とする。
Y のアフィン開集合 U_i = Spec(B_i) による有限被覆を取る。
f^(-1)(U_i) = Spec(A_i) とすると、A_i は B_i 加群として
有限生成である。F|f^(-1)(U_i) は (M_i)~ と同型である。
ここに、M_i は有限生成 A_i 加群である。f_*(F)|U_i
は (M'_i)~ と同型である。ここに M'_i は B_i → A_i により
M_i を B_i 加群とみたもの。M_i は有限生成 A_i 加群であり、
A_i は B_i 加群として有限生成であるから、M'_i は B_i 加群
として有限生成である。よって、f_*(F) は連接である。

Hartshorne II Ex.5.6 (a)の解答

証明
p ∈ X - Supp(m) とする。定義より sm = 0 となる元
s ∈ A - p が存在する。よって p ∈ X - V(Ann(m)) である。
同様に逆も言える。よって Supp(m) = V(Ann(m)) である。

Hartshorne II Ex.5.6 (b) の解答

証明
p ∈ X - Supp(M~) とする。定義より M_p = 0 である。
M の有限個の生成元を {x_i} とする。(s_i)(x_i) = 0 となる
s_i ∈ A - p がある。s_i の全ての積を s とすれば s(x_i) = 0
がすべての i で成り立つ。よって sM = 0 であり、s ∈ A - p
だから、p ∈ X - V(Ann(M)) である。
よって、X - Supp(M~) ⊆ X - V(Ann(M)) である。
逆の包含関係は明らか。

サブスクリプトを x_i と書くとか テンソル積を A(x)B と
書くのが気持ち悪いんだろうけど、慣れればどうってことない。
少なくとも意味は分かる。それをわざわざ見易さだけのために
ＴｅＸで書き直す価値はないんじゃないの？

Hartshorne II Ex.5.6 (c) の解答

証明
X をネータースキーム。 F を連接な O_X 加群の層とする。
X のアフィン開集合 U_i による被覆をとる。
II Ex.5.6 (b) より、Supp(F) ∩ U_i は U_i の閉集合である。
よって Supp(F) は X の閉集合である。

ペットボトルに小便してる。トイレ行きたくなって部屋見渡したら見た瞬間に即決した。
なま温かい、マジで。そして早い。500ccを超えるとあふれ出す、マジで。ちょっと
コツがいる。しかも色が似てるから日本茶と間違われて危ない。ごみ箱にあったやつはフタが無いと言わ
れてるけど、個人的にはあふれないと思う。便器と比べるとそりゃちょっとは違うかもし
れないけど、そんなに大差ないってサントリーも言ってたし、それは間違いないと思う。
ただ坂道とかに置いとくとちょっと怖いね。まき散らしながら転がってくし。
匂いにかんしては多分便器もペットボトルも変わらないでしょ。便器にしたことないから
知らないけど水が流れるか流れないかでそんなに変わったら小便臭くてだれもペットボトルにな
んてしないでしょ。個人的にはペットボトルでも十分に早い。
嘘かと思われるかも知れないけど東関東自動車道で１４０キロ位でペト尿しながらマジで総武線快速を
抜いた。つまりは電車のトイレですらペットボトルには勝てないと言うわけで、それだけでも個
人的には大満足です。

Hartshorne II Ex.5.6 (d) の解答
A をネーター環、X =Spec(A)、M を A-加群、F = M~、
I を A のイデアル、Z = V(I) とする。
Γ_I(M) = {m ∈ M | ある n > 0 に対して (I^n)m = 0} とおく。
このとき、Γ_I(M)~ は (H^0)_Z(F) と同型である。

証明
U = X - Z, j: U → X を標準単射とする。
II Ex.1.20 (b) より
0 → (H^0)_Z(F) → F → j_*(F|U) は完全である。
仮定より A はネーター環だから U はネータースキームである。
よって、II Prop. 5.8 (c) より j_*(F|U) は連接である。
よって II Prop. 5.7 より (H^0)_Z(F) は連接である。
II Ex.5.6 (a) より、m ∈ M に対して Supp(m) = V(Ann(m))
である。よって、m ∈ Γ_Z(F) なら V(Ann(m)) ⊆ V(I)
である。よって I ⊆ rad(Ann(m)) である。A はネーターだから
I^n ⊆ Ann(m) となる n > 0 がある。よって (I^n)m = 0
である。逆に、(I^n)m = 0 なら V(Ann(m)) ⊆ V(I) である。
よって、Γ_I(M) = Γ_Z(F) である。
Γ(X, (H^0)_Z(F)) = Γ_Z(F) であるから、
Γ_I(M)~ は (H^0)_Z(F) と同型である。

Hartshorne II Ex.5.6 (e) の解答

証明
II Ex.5.6 (d) より明らかである。

>>75
サブスクリプトは気持ち悪くない。テンソル積は何とかして欲しい。

Hartshorne II Ex.5.7 (a)の解答

証明
問題は局所的だから X はアフィンスキーム Spec(A) と仮定して
よい。M を A-加群として、F = M~ とする。点 x ∈ X に
対応する A の素イデアルを p とする。仮定より M_p は
A_p 上の有限階の自由加群である。x_1/f, ..., x_n/f を M_p の
A_p 上の自由加群としての基底とする。ここで、各 x_i は M の
元であり、f は A - p の元である。
Φ：(A_f)^n → M_f を Φ(e_i) = x_i/f で定義する。
ここで、{e_i} は (A_f)^n の標準基底である。
N = Ker(Φ) とおく。Φは全射であるから、
0 → N → (A_f)^n → M_f → 0 は完全である。
仮定より、N_p = 0 である。
U = X - Supp(N) とおくと、p ∈ U である。
II Ex.5.8 (b) より U は X の開集合である。
よって、p ∈ D(g) ⊆ U となる A の元 g が存在する。
完全列 0 → N → (A_f)^n → M_f → 0 を g で局所化すると
完全列 0 → N_g → (A_g)^n → M_g → 0 が得られる。
一方、q ∈ D(g) なら N_q = (N_g)_q = 0 であるから
N_g = 0 である。よって、M_g は A_g 上の自由加群である。
即ち、F|D(g) は自由である。

>>80
個人の好みの問題だろ。俺は(x)で我慢できる。
きみが我慢出来ないなら自分で好きなように書き換えればいい。

Hartshorne II Ex.5.7 (b) の解答

証明
II Ex.5.7 (a) より明らかである。

>>80
数学の記号に妙なロマンを持ってるんじゃないの？
記号を変えても実質は変わらないよ。

Hartshorne II Ex.5.7 (c) の解答

証明
II Ex.5.7 (b) より x ∈ X に対して F_x が階数１の自由加群で
あることを示せばよい。(F (x) G)_x = F_x (x) G_x だから、
F_x (x) G_x = O_x となる。k(x) を O_x の剰余体とする。
F_x (x) G_x = O_x の両辺に k(x) とのテンソル積をとることに
より、F_x (x) k(x) の k(x) 上の次元が１であることが分かる。
よって、中山の補題より F_x は O_x/I と同型である。
ここで I は O_x の真のイデアル。同様に G_x は O_x/J と同型
である。(O_x/I) (x) (O_x/J) = O_x/(I + J) だから、
0 → I + J → O_x → O_x → 0 が完全となる。
よって I + J = 0 であり、I = 0 である。即ち F_x は O_x 上
階数１の自由加群である。

>>85
逆の証明を忘れていた。F が可逆層なら F^ = Hom~(F, O_X)
とすれば F (x) F^ は O_X と同型になる。この証明は簡単
なので省略。

この板でテンソル積の記号（即ちマルの中にＸ）を表示する方法
ってあるのか？

ペットボトルに小便してる。トイレ行きたくなって部屋見渡したら見た瞬間に即決した。
なま温かい、マジで。そして早い。500ccを超えるとあふれ出す、マジで。ちょっと
コツがいる。しかも色が似てるから日本茶と間違われて危ない。ごみ箱にあったやつはフタが無いと言わ
れてるけど、個人的にはあふれないと思う。便器と比べるとそりゃちょっとは違うかもし
れないけど、そんなに大差ないってサントリーも言ってたし、それは間違いないと思う。
ただ坂道とかに置いとくとちょっと怖いね。まき散らしながら転がってくし。
匂いにかんしては多分便器もペットボトルも変わらないでしょ。便器にしたことないから
知らないけど水が流れるか流れないかでそんなに変わったら小便臭くてだれもペットボトルにな
んてしないでしょ。個人的にはペットボトルでも十分に早い。
嘘かと思われるかも知れないけど東関東自動車道で１４０キロ位でペト尿しながらマジで総武線快速を
抜いた。つまりは電車のトイレですらペットボトルには勝てないと言うわけで、それだけでも個
人的には大満足です。

>>87
これがどう見える？
上が直和、下がテンソル記号のつもり。
⊕
⊗

ブラウザに依存するね。

ブラウザがHTML4 / ISO10646に対応していれば読めるはず。

汎用性がないから駄目だな。

とりあえず、x で積の代用をしてしまうセンスが　ｲｸﾅｲ!!(・A・)

>>85
I = 0 の証明は以下のように訂正する。
I = Ann(F_x) ⊆ Ann(F_x (x) G_x) = Ann(O_x) = 0

>>93
意味不明。x は積の記号だから代用もなにもない。

まあアルファベットのｘだと少し下にずれるけどね。
で、ここはＡＳＣＩＩで数学記号をどう書くかというスレになったのか？

君達に素晴らしいものを紹介しよう。俺が偶然見つけた。
知ってる人もいるだろうけど。
http://www.grothendieck-circle.org/

特に "The Cohomology Theory of Abstarct Algebraic Varieties"
はHartshorneを読むのに参考になるだろう。

>>95
漏れには『えっくす』にしか見えないんだが？

>>98
積の記号は元来エックスである。現に手で書くと区別つかないだろ。
ローマ数字がアルファベットのIとかVを使うのと一緒。印刷のときに
フォントを変えてるだけ。だけど、こんなことはどうでもいい。
数学の話をしろ。

> 現に手で書くと区別つかないだろ。
> ローマ数字がアルファベットのIとかVを使うのと一緒。
> 印刷のときにフォントを変えてるだけ。

どこでそんなこと覚えてきたんだ？

>>99
ローマ数字にアルファベットを使うのは関係ないね。
IV は "IV" で一つの合字ではないのは
10 が "10" で一つの合字ではないのと同じだ。
数字を表すエレメントが、ローマ数字は、I, V, X, ...
アラビア数字は、0, 1, 2, ..., 9 なのですよ。

どうでもいいんだよ。どっか別の板でスレ立ててやってくれ。

楕円曲線はこのスレでいいのかな。
「数論入門講義 数と楕円曲線」J.S.Chahal著 織田進訳 というの読んでて
E:y^2 = x^3 + Ax から E':y^2 = x^3 - 4Ax への準同型
P = (x,y) -> (x+A/x, y/x*(x-A/x))
を利用して E の２倍写像を作る話が出てくるんですが
この (x+A/x, y/x*(x-A/x)) はなんかの背景があるんでしょうか。
それともいろいろいじっているうちに思いついちゃうもんでしょうか。

>>103
オレもよくしらないけどいわゆる｢同種写像｣という香具師だとおもう。
まずグロタンディックの定理（の一部）
　
　Xが代数的閉体上の代数群多様体でGがその有限部分郡ならX/Gも
　代数群多様体になる。
　
というのがある。（もっとゆるい条件で成立するけど。）で楕円曲線Eについて
あるEの2分点のなす部分群GでわればE/Gというあたらしい代数群多様体ができる。
それは(Krull次元が)１次元であるので１次元の固有代数群となり楕円曲線となる。
それを具体的に定理にしたがって計算するとE'みたいな簡単な形になるというカラクリのハズ。
↑この議論をより正確にするにはスキームのはなしをもちださないといけないハズ。
楕円曲線勉強してるならそのうちアーベル多様体の話を勉強しなくちゃいけなくなるので
そのあたりまで勉強すればわかるようになるハズ。

同種写像をキーワードにぐぐったら「Veluの定理とその応用」という論文を
見つけました。Veluの定理のΓ=Z/2Zのときが上のケースみたいですね。
格子が1/2倍になったときのトーラスに対応するのかな。
104さん、ありがとう。

前スレの>>751の II Ex. 3.11 (d) の解答は間違いだった。

f: Z → X をスキームの射とする。O_X → f_*(O_Z) の核が
準連接であればあのやり方でよいが一般にはこの核は準連接
でない。そのためこの核に含まれる最大の準連接イデアルを
とればよい。これはこの核に含まれる準連接イデアル全体の和
である。これが準連接であることは、準連接層の直和が準連接で
あることと、準連接層の像が準連接であることからわかる。
この最大の準連接イデアルにより定まる X の閉部分スキームを
Y とすればよい。この問題は準連接層に関する知識が
無いと無理だと思う。３節の問題としては不適当だろう。
Hartshorneは錯覚していたのではないか。

Hartshorne II Ex.5.8 (a)の解答

証明
Fをネータースキーム X の連接層とする。x ∈ X における
局所環 O_x の剰余体をκ(x) とし、
ψ(x) = dim F_x (×) κ(x) (over κ(x)) とする。
ψ(x) < n とする。中山の補題よりF_x の生成元として
m 個(m < n) が取れる。F は有限生成だから
x の開近傍 U と Γ(U, F) の元 s_1, ..., s_m が有り、
各 y ∈ U において F_y は (s_1)_y, ..., (s_m)_y で生成
される。よってψ(y) ≦ m < n である。
よって X の部分集合 {x ∈ X | ψ(x) < n } は X の開集合で
ある。

トーリック多様体の性質が詳しく調べられる、というのは、
どんなトリックによるのですか？

トーリック多様体って言う聞いたことあるけど、自分にはまだ定義も分かっ
ていないものと、楕円曲線、トーラスというイメージのつかめるものが
このごろ出てきているようですが、何か関係あるのですか？
代数幾何には興味は持っていますが、ハーツホーンもまだ持っていない
です。＾＾；
基礎の勉強中ですが、ちょっと先の見通しの為に、初心者にも分かりやす
く少し解説してくださったらありがたいのですが・・・。

大好き★代数幾何part1ってもう倉庫の中！？
２〜３ヶ月でhtml化されるって書いてあるけどいつごろhrml化されそうなの？
html化されたらどこで見れるの？
てか必ずhtml化されるの？

見たいのなら↓で依頼してみればどうでしょ

読めないdat落ちスレのhtmlミラー作ります [40]
http://that.2ch.net/test/read.cgi/gline/1073552217/

>>107で以下の補題を使った。

定義
(X, O_X) を環付き空間、 F を O_X 加群の層とする。
X の各点 x に対して x の開近傍 U と整数 n > 0 が存在し、
(O_X)^n|U → F|U → 0 が完全となるとき、 F をO_X 加群として
有限生成であるという。

補題
(X, O_X) を環付き空間、 F をO_X 加群の層で有限生成とする。
X の点 x において x の開近傍 U とその上の F の切断
s_1, ..., s_n があり、(s_1)_x, ..., (s_n)_x が F_x の
O_x 上の生成元であるとする。このとき、V ⊆ U となる x の
開近傍 V で各 y ∈ V に対して (s_1)_y, ..., (s_n)_y が F_y
の O_y 上の生成元となるものが存在する。

>>112の補題の証明

F は有限生成だから、W ⊆ U となる x の開近傍 W とその上の
F の切断 t_1, ..., t_m で 各 y ∈ W に対して
(t_1)_y, ..., (t_m)_y が F_y を生成するものがある。
(s_1)_x, ..., (s_n)_x が F_x の O_x 上の生成元であるから、
(t_i)_x = Σ (g_ij) (s_j)_x となる O_x の元 g_ij が
存在する。よって、V ⊆ U となる x の開近傍 V と Γ(V, O_X)
の元 f_ij で (f_ij)_x = g_ij,
t_i|V = Σ (f_ij)|V (s_j)|V となるものが存在する。
この V が求めるものである。

Hartshorne II Ex.5.8 (b) の解答

証明
F は局所自由であるから、ψ(x) は局所定数である。
X は連結だからψ(x) は定数である。

補題
A を環、 M をｎ個の元で生成される A 加群とする。
M のｎ次外積加群 (Λ^n)M が階数１の自由加群であれば、M は
階数ｎの自由加群である。

証明
M の生成元を x_1, ..., x_n とする。
L を A 上の階数ｎの自由加群とし、e_1, ..., e_n をその基底
とする。全射準同型 Φ: L → M をΦ(e_i) = x_i で定義する。
この核を N とする。
(Λ^n)M は ((Λ^n)L)/ N' に同型である。ここに N' は
g_1 Λ... Λg_n の形の元で生成される。
ここで、どれか一つの i に対して g_i ∈ N。
この証明は、例えば Bourbaki, Algebra III §7.2
Prop. 3 にある。N ≠ 0 と仮定すると N' ≠ 0 であり、
(Λ^n)L は階数１の自由加群だから、(Λ^n)Mが階数１の自由加群
であることに矛盾する。よって N = 0 であり、
M は階数ｎの自由加群である。

Hartshorne II Ex.5.8 (c) の解答

証明
まずψ(x) が恒等的に１のときに F が階数１の局所自由である
ことを証明する。X の点 x において F_x (×) κ(x) の κ(x)上
の次元は１だから中山の補題より F_x は O_x 上１個の元で生成
される。よって >>112 の補題より、x のアフィン開近傍 U と
Γ(U, F) の元 t が存在し、U の各点 y で F_y は t_y で生成
される。U = Spec(A), Γ(U, F) = M とする。
A 加群の準同型 Φ: A → M を Φ(1) = t により定義する。
Coker(Φ) = N とすれば、A → M → N → 0 は完全である。
仮定より U の各点 y で N_y = 0 だから N = 0 である。
Ker(Φ) = I とすれば、 I は A のイデアルであり、M は A/I と
同型である。よって Ann(M) = I となる。Ex.5.6(b) より
Supp(M) = V(I) であるが、U の各点 y で M_y ≠ 0 だから
Supp(M) = U である。よって I は A のベキ零元イデアル nil(A)
に含まれる。X は被約スキームだから I = 0 である。よって M
は自由である。
(続く)

>>116の続き

次にψ(x) が恒等的に n > 1 の場合を考える。
上と同様にして X の任意の点 x に対して x のアフィン開近傍 U
とΓ(U, F) の元 t_1, .., t_n が存在し、U の各点 y で F_y は
各 (t_i)_y で生成される。U = Spec(A), Γ(U, F) = M と
すれば、M は t_1, .., t_n で生成される。
M の n 次外積 T = (Λ^n)M を考える。U の各点 y で
T_y = (Λ^n)M_y であり
T_y (×) κ(y) = (Λ^n)(M_y (×) κ(y)) であるから、
dim T_y (×) κ(y) = 1 である。よって>>116から T は 階数１
の自由加群である。よって 補題(>>115)から M は 階数 n の
自由加群である。
QED.

大好き★代数幾何Part1読めるようになったよ

>>http://ruku.qp.tc/dat2ch/0401/11/1065022897.html

演習問題の解答の続きはもう少しかかる。
最近、酒の飲みすぎで．．．

>>119
お仕事お疲れ様です。
仕事とHartshorneの両方なんて、頭が下がります。

>>120
有難う。今、EGA II を勉強してます。

素晴らしいリンクを見つけた。
代数幾何のOnline lecture notesへのリンク集。

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/LN/LN-algeo.html

041

2

マッカイ対応だかマッケイ対応だかマッコイ対応だが知らないんだけど
それって何？
教えて下さい

>>122
thx
Jean-Pierre DemaillyのDLしてみた

どうもマッカイ対応というのは各ディキン図形の対応のことのようですね
その対応の記述にヒルベルトスキームやモジュライが用いられるということで
代数幾何の話題に出やすいようです
代数幾何を用いてディキン図形を扱ってるというようなものでしょうか
もしかしたら数理物理の方のテーマなのかもしれません

ポアンカレの完全可約性定理とかいうのがあるらしいんですが（岩波数学辞典のアーベル多様体の項）
証明のってる教科書しりませんか？

>>128
アーベル多様体と名の付く本には大抵証明が載っていると思うが。
ポアンカレの完全可約性定理とは呼ばれてないかもしれんけど。
和書なら、岩波講座の清水英男著「保型関数」のP209辺りから
読んでいけばわかる。

ttp://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-kato/vol-kato-eng.html

>>129
thx

う〜ん。>>129の教科書かりてきた。おもしろそうな本なので春休みよんでみまつ。
ありがとござました。
で話変わりますが･･･というか変わってないんですが･･･専攻の都合上/Cでなく一般の体の上での
話もしりたいんですが。一般の(代数的閉体という仮定を利用しない)体の上で議論してる
教科書ありませんか？

>>132
たまたま手元にあったLangのAbelian Varietiesで確認。
II,§1Theorem6にある。
これを読むためにはWeilのFoundationをある程度読んど
かないとあかんけどね。

>>133
thx。しかし今日借りてきた本で貸出し制限数いっぱいになりました。どうすべか。
保型関数は後回しにして一旦かえしてしまうか･･･。

アーベル多様体の本って少ないよね。あっても絶版が多い。
重要かつ美しい理論なのに。

>>135
では、TeX などであなたが書いて、何処かにうｐされては如何だろうか。

C上の場合なら、S.Lang“Introduction to Algebraic and Abelian Functions"や
又、Cornell＆Silverman（ed.)“Arithmetic　Geometry"（Springer)にも載っています。
J.S.Milneの論考は彼のHPからダウン・ロードできます。（アーベル多様体の講義録もあるはずです）

Milneの論考は、一般の体上で議論しています。

Milneのあのシリーズはどうも。説明が端折り過ぎのような。
ちょっと面倒な証明は参考文献を挙げてそれを読めと。
まあこれは彼に限らないが。

やっぱ、Mumford の教科書を紐解いたほうが早いかも。

Mumfordの教科書代数的閉体仮定してるけどね。

797

あげとく

>>141
どんな体も代数閉体の部分体ってこと知らないの？ﾌﾟｯ
だからその仮定を置いても一般性を失わないんだよ。
Galoa理論も知らないのに代数的幾何を語らないでねﾌﾟﾌﾟ。

>>144
Galois 理論なら知っているが、Galoa 理論とはどんな理論だ？

>>144
一般性は失うだろ。例えば定義体が R か C でも大きな違いに
成りうる。

>>144
ガロア群の表現をアーベル多様体から作ろうとかいう話のとき（Tate表現など）
に代数閉体仮定できない。べつに代数的閉体の絶対Galois群研究したいなら止めはしないが。

つーか>>144は間違いだらけでしらじらしすぎる。
板を盛り上げたいなら、もう少しましなネタふりしろよ。

>>148
板→スレ

特異点解消ってどうやるの？
普通にイデアルからやって終わることを納得させてくれ。

初歩的質問ですみません。

イデアルの２乗ってどういう幾何学的イメージなんですか？
ｍ/ｍ^2　っていうのがcotangentってイメージができない。
mだけなら多様体上の点ということですが、m^2で割るってなんだろう。

>>151
多項式の２次以上の項を無視するってこと。つまり一次近似。
つまり微分を考えるってこと。

レス、サンクス

しかし、それだとtangentになるじゃんと思うのですが。
tangentはm/m^2の双対で定義するんですか？

読んでる本は桂（共立）と飯高（昔の岩波講座）と宮西（しょう華房）
対応としては
Ω→微分形式の層
導分→ベクトル場、テンソル場
という理解でいいと思うが、Ωとcotangentの違いもよくわからん。

ようするに、どこが分らないかも分ってないけど、tangentの理解が突破口になると考えている。
教えて君すいません。よろいしくお願いします。

>>153
Xを代数的閉体ｋで定義された非特異多様体、p をＸの点、
O_p をpにおける局所環、m をO_pの極大イデアルとする。
Ｔ = Hom(m/m^2, k) の元Φというのは、微分作用素ｖと
考えられる。つまり点ｐにおける接ベクトルと考えられる。
fをO_pに含まれる有理関数としたとき、
v(f) = Φ(f - f(p) mod m^2) と定義すればいい。
T の双対はm/m^2だからこれは余接ベクトル空間と見なせる。

あと一つだけお願いします。

Ω_p*O_p/m=m/m^2

の幾何学的意味は？

>>155
m/m^2の元は余接ベクトルつまり共変ベクトル。
微分(differential)と言ってもいい。複素数体上の微分形式
というのはその積分を考えることが出来るから重要なんだけど、
一般の体上の微分形式の幾何的意味はよくわからない。
俺が聞きたい。Serreの双対定理がキーかな。

>>156Ｃ上でも、上の式って意味あるの？

>>155
まず、その質問を考える前に、
君はその等式の証明は知っているのか？

本は持ってるので読んだことはある。理解が十分かは疑問。

>>159
じゃあ証明してみてくれ。

両辺のHomをとって、Der(O,k)=Hom(m/m^2,k)を示せばよい。云々って議論が続いているが。
教科書写すだけになるよ。てかヌレを虐めたいだけなら分ってないんで勘弁してください。

今裳華房の台数幾何学宮西著を読んでるんだが
だれかP８１の補題１．４の（２）の説明をしてくれ
D（ｆ）はこれspec(s-1R)とspec(R)の部分集合のどっちとして
考えてるのかよくわからん

>>161
その証明を理解するのが先決だろ。どこがわからないのか言ってみ。

>>162
横着するな。その本は持っているがいちいち捜して見る気にならん。
俺は質問者じゃないから横着してもいい。

問題は執筆者が横着しているかどうかだな

えと補題の内容は
spec(S^-1R)=D(f)の共通部分（ｆはS上を動く）
ってことだけどこれ考えてる集合が違うように思える

D(f)はｆを含まない素イデアル全体ね

test

>>166
spec(S^-1R) をspec(R)の部分集合と同一視すればいい。
そうすれば、spec(S^-1R)は S と交わらない R の素イデアル
全体になる。

>169
そこのところがよくわからん
ひきもどしによってspec(S^-1R)からspec(R)への写像が
つくれるのはわかるけどこれって単射になるの？

すまん
よく考えたら単射になることがわかったよ

グロタンの代数幾何原論読んだ人いる?
漏れはもう氏にかけてる学部生です。

EGAはよみやすいとおもうがな

>>173
ただ、予備知識が結構いるよね。
BourbakiとかZariski-SamuelとかCartan-Eilenbergとか
Tohokuとか。Tohokuが結構しんどい。

ＥＧＡは読みやすいと書いたものですが、読んでいません。
なにせＥＧＡを読んでいる時間がないので。
でも読みやすいとは思います。
私はTohokuも読んでいません。こんど読んでみます。
IversenやKashiwara-Shapiraの初めの部分で間に合うのでしょうか？

>170

ならないよ。単射になることとはSpecの部分になることとは無関係

＞１６２
本が見つからないので性格に説明希望

＞１７６
単射がつくれないのに部分とみなすっておかしくないか？
つーか単射になるぞ。可換環論の本読んでわかった。
おれのほうは解決したけど
あんたのやりかたをもう少し詳しく教えてくれ。

だって、乗法系Ｓに0-divisorがあるとたんしゃにはならないよ

ごめん。意味を間違えていました。

motiveの研究をしようとおもっているけど、
なにから勉強すれば良いかなー

>166の答えは＞１６９ですね

＞１７９
ごめんSは０をふくまないって条件をいってなかった

Sが０を含んでても、Spec(S^{-1}R)もD(0)も食う集合になるので
その場合も成り立つよ

すなわちいつも成り立つよ

お前等、可換代数の基礎から勉強し直せ。
そして半年後にここに来い。

どこの394だ？

有理数体上で定義された代数多様体Ｖに対して素数ｐに関する
還元(reduction) V_p をスキーム的に定義するにはどうすれば
いいんだろう？ ちょっと考えてみる。因みに俺はこの話題に
関しては素人であるのでお手柔らかに。

簡単のためにＶは絶対既約な方程式 F(X) = 0 で定義された
アフィン超曲面とする。F(X)の係数の分母に現れる素数のみを
素因数とする整数全体をＳとする。S による有理整数環 Z の
局所化を A = Z[1/S] とする。F(X)の係数はＡに含まれるから
X = Spec(A[X]/(F(X)) が考えられる。p を S に含まれない
素数とし、A_p を A の素イデアル pA による局所化とする。
A_p の剰余体を k(p) とする。 X_p = X × k(p) を A 上の
ファイバー積とする。この X_p は有限体 k(p) 上で定義された
代数スキームである。X_p が多様体、即ち絶対被約かつ
絶対既約な代数スキームのとき、これをＶの素数ｐに関する還元
V_p と呼んでいいのではないか。

>>188
F(X)は整係数としてよいから A = Z と仮定してよかったな。
問題は X_p の絶対既約性が有限個の素数を除いて成り立つ
ことの証明だ。

X_p = Spec(k(p)[X]/(F(X)) が絶対既約ということは
F(x)=（x-a)^n と書けるということ？（aは標数ｐの代数閉体の数）

X_p = Spec(k(p)[X]/(F(X)) が絶対被約かつ絶対既約ということは
F(x)=（x-a) mod p と書けるということ？（aは標数ｐの代数閉体の数）
それなら、このようなpは明らかに有限個

まちがってたらごめんなさい

>>191
X は (X_1, ..., X_n) の略記。つまり F(X) はｎ変数の多項式。

190は成り立つと思うけど、適当な本を探すと良いんじゃない？

↑１８９の誤り

A=Z[X]/（F(x)）の素イデアルの分岐かなんかの理論からしょうめいできるのだろう

任意の加群は入射的加群にうめこめるって定理を
示したいんだけどどの文献あたるのがいいかな？

Maclane[Homology]の99ページ？１００ページあたり？

またはEisenbud「CommutativeAlgebra」

>>193
その本、誰か紹介して。

何事も基礎が大事だとおもうよ。

tohokuはhttp://kolmogorov.unex.es/~navarro/res/
のSur Quelques Points d'Algebre Homologique

FGA はhttp://kolmogorov.unex.es/~navarro/res/

EGA はhttp://www.numdam.org/numdam-bin/search
でgrothendieckを検索

SGA はここ
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/pdf/index.html

SGA5はここ
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga5/index.html

Les Derivateursはここ
http://www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs.html

>>200にふさわしい内容でした

ただでございますねェ・・・・・・
ＥＧＡ、ＳＧＡと申しますのは、それはそれは膨大な学問でございます。
その全てを修め、身につけるとなると
それはそれは・・・・・・
とてもとても・・・・・・
薄皮を貼り重ねていくように功をいかなる条件にも屈すること無く
筆舌に尽くし難い時間（とき）を永く永く堪えた者のみが身につける
人ならぬ技巧（ワザ）！
その技を身につけたとき
彼のペンは悉く難問を破砕してゆくのでございます。

んなこたあない。

どうでもいいけどハーツホーンの演習問題はどうなった？

>>204
それこそどうでもいい。

>>205
おまえは誰だ？

質問です
Rはｋ[x1,x2,・・・・,xn]/Iとし（ｋは代数的閉体、Iはイデアル）
spec(R)の閉点全体をMとする
このときMの開集合はspec(R)の開集合UによってUとMの共通部分とかけるが
これはMの開集合に対してUが一意的だということを示してください

>207

M=ΩSpec(R)である。
すると、実は、ｋが代数閉体の場合、Spec(R)の位相構造も代数構造もΩSpec(R)のそれらから完全に決定される。
特に、
VをSepc(R)の閉集合とし、WをVとMの共通通部分とすると、Wの閉包＝V　が成り立つ。
これはHilbertNullstellensatzに他ならない。

これでいいの？

↑ｋは体でさえあればいいのかもしれない

すいません、ぜんぜんわかりません
オメガspec(R)ってなんですか？
あとhilbertnullstellensatzっていうのもわかりません

極大iであるの全体をΩSpec(R)と書くこともある。
Hilbert　nullstellensatz（ヒルベルトの零点定理）
「　kを体とし、Iをｋ[x1,x2,・・・・,xn]のidealとすると
　　√I　＝（　Iを含む素ideal ｐの共通部分　）　　」

↑まちがえた
Hilbert　nullstellensatz（ヒルベルトの零点定理）
「　kを体とし、Iをｋ[x1,x2,・・・・,xn]のidealとすると
　　√I　＝（　Iを含む極大ideal ｐの共通部分　）　　」

すなわち、数学辞典（p.６８８）にも述べられているように
「ｋが体の場合、ｋ上有限生成被約スキームの全体のなすカテゴリーと
ｋ上の代数多様体の全体のなすカテゴリーはカテゴリー同値である」ということ。

ｋは体であれば、代数閉である必要はない。

どうもありがとうございます。
なっとくしました。

Hom(X,Y)（X,Yはある位相空間上のアーベル層）って
芽のレベルで行き先が等しければ同じ元とみていいの？

行き先ってなに？

ｆ：X→Yとｇ：X→Yはgermとして同じならば、
層をfunctorとみるならばf,gはnatural　transformationsということになるけど、
ｆ＝ｇ
なぜなら、層の張り合わせから直ちに得られる。

えとHom(X,Y)の元を芽のレベルでみると
普通の準同型になるでしょ
それが各芽で等しければ等しいってことにしていいのかな？
って質問です

217がこたえです

ども
つーかかなり明らかだたね・・

だいすうきかだいすうきなどというふざけたすれはぶろーあっぷして
こんぱくとにつぶすべきではないか?

２ｃｈをやってると数学者になれないと思う。
だから２ｃｈを卒業します。
もう戻ってこないので後はよろしく

>>222
2chをやっていようがいまいが(ry

(ryってどういう意味？

>>224
略(ry

>>200を読んでるやついますか?どれから始めたらいいのでしょうか?
今年から始めた初学者なのですが。

あげます

http://liaison.ms.u-tokyo.ac.jp/Gallery.html

グロタンディエクによろしく

ほっす!　おら悟空。

244

ハーツホーンのこたえだよ!
ttp://modular.fas.harvard.edu/AG.html

>>232
dviってどうやって読むの？
それからgzの解凍のしかたもわからない。

自分で調べろ

>>234
お前に聞いてない。誰か親切な人、教えてください。

>>235
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/dviout.htmlを参照しる。
gzの解凍は"gz""解凍"でググってね ♥

>>233
>それからgzの解凍のしかたもわからない。
ここで解凍ソフトをだうんせよ。explzh,zeldaがおすすめ
ttp://www.vector.co.jp/vpack/filearea/win95/util/arc/index.html

>dviってどうやって読むの？
ここでTeXの標準インストールをすればdviはみれるだろう
TeXごといれたほうが簡単だろう
ttp://members.jcom.home.ne.jp/kakuto/w32tex.html

>>236, >>237
感謝です。

>>238
windows専用の説明だったがよかったんだろうか?
windowsでない場合はリンク先のソフトは動きません。

教えてもらって何だけど、TeXのインストール面倒ですね。
dvi形式はやめてほしい。

dvi
fontがないってメッセージが出てくるんだけど

freeの解凍ソフトはない？

>>241

>>237のリンクで必要なものをダウンロードしてtexinst752.zip
を起動すれば自動的にインストールされるはず。むずかしくない。
dviはTeXをちゃんとインストールしないとfontがないってでるよ。
pathの設定を自分でやる必要があったとおもう。
dviはどうしてもだめならps.gzを別のソフトでみるという手もある。

まあwindows専用ソフトにくらべればTeXのインストールは難しいだろう

そこのps.gzファイルはgsviewでちょくせつみれるし
distillerとかでもそのままへんかんできる

>>244
コンピュータに関心ない一般人はまず無理だろう。
バッチコマンドを起動してからautoexec.batを書き換えるとか。
知ってる人間にとっては何でもないけど。

>>242
お手軽、フリー、ＤＬＬ不要のならリンク先の初めの５個くらいを動かしてみて
気に入ったのをつかうとよい。フリーのはフリーと表示されている。

>>232の解答って何問くらい解いてるの？
前スレとこのスレの解答と較べてどうなのかな？

答えは詳しく書いてあるよ。数はわからない。
まばらに２章、３章の答えがといてある。
あと３章のノート、解説がおいてある。

難しいのだけ、重要なのだけ、解いてるんじゃない？

age

varietyのde Rham cohomologyとmanifoldのde Rham cohomology
とはどんな関係があるの？それともあんま関係はない？
教えてエロい人！

varietyのde Rham cohomologyとmanifoldのde Rham cohomology
はどんな関係にあるの？それともあんまり関係はない。
教えてエロい人！

variety X の De Rham cohomology は H^i(X, \Omega^j) のハイパーコホモロジー X がmanifold なら両者は同型

variety X の De Rham cohomology は H^i(X, \Omega^j) のハイパーコホモロジー
X がmanifold なら両者は同型

>>255
ｱﾘｶﾞ�d

698

次数つき環に対して
「D+(f）がD+(g)を含むときにｇは（ｆ）のルートに含まれる」ってなりたつ？

スレタイがダジャレだということに今頃気付いたよ

誰か次数環の射影スキームのいれかたを教えてくれ。
ちょっとわからなくなってきた

そんなことよりグロたんのスレがないじゃねーか

>>２５８
なりたつ

＞２６２
なりたつなら証明してくれ。なんかおれが考えた範囲だと
Specのときとちがって０次の元を考えたときに無縁イデアルを含む範囲を
考えなきゃいけなくなってうまくいかないように思えるんだが。

A:graded ring
I:homogenous ideal
このとき、Iを含む（homogenopus不必要か？）prime の共通部分はIのnilradicalだったはず。

>264
そうだけどそれだけだと無縁イデアルを含むところでの話ができないから
問題になってくると思う。ふつうの多項式環なら問題ないけど。

＞２６２
たとえば、D+(f）＝Spec（A_（f））とD+(ｇ）＝Spec（A_（ｇ））が成り立っていて、
Spec（A_（ｇ））＜Spec（A_（ｆ））がopeImmersionであることいえそう。
でなくても直接証明できるはずだけど。

だからA_（ｇ）＝A_（ｆ）[1/a]が成り立つ。
よって、1/ｇ＝ｂ/a^m＝ｈ＾ｋ/ｆ＾ｓ　と書ける。
従って、ｈ＾ｋ・ｇ＝ｆ＾ｓ
間でしかいえないみたい。

訂正
1/ｇ＝ｂ/a^m＝ｈ＾ｋ/（ｃ＾ｔ・ｆ＾ｓ）
ゆえに
ｈ＾ｋ・ｇ＝ｃ＾ｔ・ｆ＾ｓ

もう少し分かりやすい日本語でお願いします

訂正

Let i=deg(f),j=deg(g).
Since A_（ｇ）＝A_（ｆ）[1/a] and f^j/g^i is an element of A_（ｇ）,
there exists h with deg(h)=ik and f^j/g^i=h/f^k.
Therefore g^i・h=f^{j+k} holds.
すなわち、gは（fのベキ乗）の因子である。
graded でなく　affine の場合でも、ここまでしかいえない。
多項式環の場合は、UFDであるから、gそのものがfのべき乗であることになる。
この最後の式　g^i・h=f^{j+k}

>>258
成り立つ。
V+(f) = Proj(A) - D+(f) とおく。
V+(f) に属す同次素イデアル全体の共通集合を I とし
I ∩ A+ の任意の同次元 h に対して h^n ∈ (f) となる整数
n > 0 が存在することを示せばよい。
A を A/(f) に置き返れば結局 A+ の元 h が冪零でないとき
D+(h) が空でないことを示せばよい。
これは、 D+(h) = Spec(A[1/h]_0) より明らか。
ここで、A[1/h]_0 は A[1/h]の０次部分。

変じゃない？
gはIの元とは限らないけど？

>>272
D+(f) ⊇ D+(g) だから V+(g) ⊇ V+(f)
よって g ∈ I

追加で質問だけど可換環Aの元ｆでの局所化したものと
A[x]/(1-fx)ってｆがベキ零でなければ同型になる？
ちょっとこれも気になった。

証明してみろ！ボケ

２７５は２７３へのメッセージ

２７４に割り込まれました。

>>274

いい気になってレベルの低い質問をするのはやめて。
教科書レベルを自分で考えれないなら代数幾何などやらないで

275はおお馬鹿ですね

271はすごい。
271のレベルじゃないと数学者にはなれない。

>>258
D+(h) = Spec(A[1/h]_0) の証明って結構面倒だよ。

２７４のやつは意外と簡単だった＾＾
＞２７１
ｈが０次でなければある程度納得いくのでたぶんこれでよさげだね
もうすこし２７１参照しながら考えてみる

>>282
>ｈが０次でなければある程度納得いくのでたぶんこれでよさげだね

おめえ、いつから一人前になった？

769

552

数学のたのしみに出てた川又さんの記事おもしろそうだね
導来圏とかモジュライとか憧れちゃうなあ

>>274
のアナロジー
Z_p = Z[[x]]/(x - p)

>>286
只の追っかけじゃないか

>>287
位相間としての同型

位相環でした。

シツモソです。体k上の代数的スキームX,Yに対し
XとY上の加群層Mod(X)とMod(Y)が圏同値ならば
XとYはkスキームとして同型である。という主張を
どっかできいたようなきかないようななんですが正しいですか？
正しいなら何にのってますか？もしかしたらkとかXとかYに
なんか条件がいったかも。だれか情報ください。

>>291
森田同値を調べるべし。

代数幾何のより非可環幾何の文献を調べた方がよいかもね。

>>292
ども。森田同値はしってるつもりなんですが。
mod(X)とmod(Y)が圏同値⇒XとYは同型
を田理論からどうだすんですか？できれば

（つづき）
教科書おしえてください。

Rosenberg, Noncommutative schemes, Comp. Math.のどっか。

>>296
ありがとござます。
ついでにもひとつシツモソです。X=proj(k[x1,･･･,xn])とするときmod(X)が (qco(X)かも)
R=k[x1,･･･,xn]の次数付き加群の圏をなんか操作したらえられるとかいう話ってだれか
聞いたことありませんか？こういうのってXがより一般的なprojective schemeの場合も
成立します？X=specAのときQco(X)とModAが圏同値ってのはしってるんですが
それのprojective space版(projective schemeかな？)みたいのが次数付き加群の圏を
なんかしたら得られるってのをエライセンセがいってたのを漠然と聞いたことがあるだけ
なのでハッキリしたことはいまいちよくわからんのですがなにかしってるヒトいたらなんか
おしえてやってくらはい

>>297
>>296は一般のアーベル圏を「空間」とみなす試みで書かれたもの。
そういうことも書いてあったと思う。うろおぼえだけど。

アーベル圏 X に対し Spec (X) を定義しようとする試みは色々あるようだが、
現在の流行は何ですか？

>>297
長さ有限の加群のなす圏でquotientを取れば良い。

>>298
ありがと。とりあえずRosenbergの本あたってみます。量子群の先生にも一回よんどけと
いわれてた本なのでこれを機会によんでみます。
>>300
もすこし詳しくおねがいしまつ。お勧めの教科書なんかあります？

代数的スキーム上の準連接層や加群層のもってる性質を勉強するのにお勧めの教科書
ありませんか？

以下は成り立つのでしょうか。どなたか教えて下さい。

アフィンスキーム X = Spec(A) の開集合 U をとる。
j: U → X をその埋め込みとする。
X 上の準連接な加群の層 F に対して F|U = j^(*)(F) となる。
ここで j^(*)(F) は F のｊによる引き戻しである。

>>301
俺は>>300じゃないけど、
二つの有限生成次数付き加群で定義される層は元の次数付き加群が
ある次数以上で一致すれば一致する。
つまり長さ有限の部分を無視すれば一致する。
この無視するというのを圏の言葉に翻訳すればいいんだろう。
どう翻訳するのかは詳しくは知らないが。

小さいアーベル圏 C の充満部分圏 D があり、
0 → E → F → G → 0が完全で E と G が D に属すなら F も
属すとする。
C の射: E → F でその核も余核も D に属すとき
E と F を同値と定義する。これは同値関係を満たすだろう。
この同値関係で C を割ったものを C/D と書く。
C/D はアーベル圏に多分なるだろう。

>>305
ならない。
C ： 有限生成アーベル群の全体（実質的に small）
D ： 有限アーベル群の全体
f : Z → Z ： 2倍する写像とすると、恒等写像に同値だから
逆写像を持つはずであるが、持たない。
よってアーベル圏でない。

>>305>>306
同値の定義を読み違えていた。射の定義はどうするのだ？

>>305はちょっと間違えてた。
Ob(C/D) = Ob(C) とする。
C/D における Hom(E, F) は C における Hom(G, H) の
帰納極限とする。ここで G は E の部分対象で E/G が D に
属すものを動く。 H は F の商対象で Ker(F → H) が D に
属すものを動く。

>>308
何となくアーベル圏になりそうにないなあ。
反例を考えてみよう。
D に関する条件は本当にそれだけで良いんだね？
例えば部分対象・商対象は属さなくて良い・・・・

>>309
>>例えば部分対象・商対象は属さなくて良い・・・・

お前、知ってて書いてないか。
必要な条件は適当に追加すればよい。今は試行錯誤の段階だからな。
正確な条件と完全な証明を知りたいならそれなりの本を見ればいいん
だからな。

圏論スレに演習問題として出したが、レスが付かないのでこちらに。

X を位相空間、 その上の環層（勿論可換とは限らない） O_X の上の加群層の圏を C とする。
(i) C には十分多くの injective object が存在する。（これは易しいから答えなくとも良い）
(ii) C の対象は injective hull を持つ。
(iii) C は十分多くの projective object を持つ

>>311
なんだかえらい、御大層な口調のお方だな

>>311
>(iii) C は十分多くの projective object を持つ

これは必らずしも成り立たないと思う。X がネータースキームで、
連接層の圏なら成立するけど。

>>312
>>309の言い方にちょっとカチンときたもんでね。
別に偉ぶっちゃない。口がわるいだけ。

>>313
>X がネータースキームで、 連接層の圏なら成立するけど。

勘違い。この場合も、成立しないな。

>>314はカチンと来ると偉そうに演習問題を出す変態さんですか？

いまさら気が付いたがスレタイは駄洒落か…

>>316
何、寝ぼけたこと言ってるんだよ。俺は演習問題なんて
出してないよ。

>>317
つまらん独り言はあげなくていい。

>>318
寝ぼけているようだな。>>312をちゃんと読んでみろ。

>>320
演習問題なんて出したつもりはない。商アーベル圏について知りたい
ないらそれなりの本を見ればいい。本に書いてあるような定理を
演習問題にだしてもしょうがない。俺は面倒なんでその証明を
捜す気は今のところないだけ。だから、自分で考えたところを
書いた。

>>310

試行錯誤段階ということは、>>308は全て自分で考えたわけですね（ｗ

>>321
>>311と>>321が別人だとしたら、あなた、ちょっと変わった人ですね。

>>322
そんなこと言ってないだろｗ

>>323
何故だ？（もうこのくだらない話は飽きたんだげど）

311 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/07/23 07:41
圏論スレに演習問題として出したが、レスが付かないのでこちらに。

>>324
うろ覚えの内容を思い出す事は、普通、試行錯誤とは呼ばんわな。

>>325
演習問題を出しといて、「出したつもりはない」（ｗ


くだらない話のネタにされるような、頓珍漢な発言が問題かと（ｗ

>>327
しょうがねえな。スレを初めから読めや。俺が解答を知ってたら
>>305のようなレスを書くわけないだろ。
だから演習問題とは違うだろ。
もいいいから、アホなレスをするなよ。いいかげんしろ。

もいいいから、アホなレスをするなよ。いいかげんしろ。

>311 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/07/23 07:41
>圏論スレに演習問題として出したが、レスが付かないのでこちらに。

>318 １３２人目の素数さん 04/07/24 00:21
>>>316
>何、寝ぼけたこと言ってるんだよ。俺は演習問題なんて
>出してないよ。

↑病名：若年性痴呆症

要するに>>328は日本語がわからないただの基地外ってことかあ。

311： 圏論スレに演習問題として出したが、レスが付かないのでこちらに。
＞312： >311 なんだかえらい、御大層な口調のお方だな
314： >312 >>309の言い方にちょっとカチンときたもんでね。別に偉ぶっちゃない。
＞316： >314はカチンと来ると偉そうに演習問題を出す変態さんですか？
318： >316 何、寝ぼけたこと言ってるんだよ。俺は演習問題なんて出してないよ。
＞320： >318 寝ぼけているようだな。>>312をちゃんと読んでみろ。
321： >320 演習問題なんて出したつもりはない。
＞323： >321 >>311と>>321が別人だとしたら、あなた、ちょっと変わった人ですね。
325： >323 何故だ？
＞327： >325 演習問題を出しといて、「出したつもりはない」 頓珍漢な発言が問題かと
328： >327 俺が解答を知ってたら>>305のようなレスを書くわけないだろ。だから演習問題とは違うだろ。

だれも>>305の話なんかして無いぞ？ >>311 は間違いなく「演習問題をだした」
と言っている。

おいおい、あんまり追い詰めると、開き直って暴れだすぞ。

ようするにあれだろ、>>311宛ての>>312を>>310あてだと勘違いしたアホの>>310は
>>320あたりがちゃんと教えてくれたことを無視して頓珍漢なことを言い続けてる
という池沼ですよ、と。

どうせ例のおっさんだろ。冷静な判断なんて出来やしない、自己顕示欲の塊
でしかないんだ、ほっとけって。

代数幾何の内容に関係ないといきなり盛り上がるな、お前等は。
>>334
自己顕示欲って、匿名で書いてるのにか。

>>331
ご苦労なこったなｗ

つーか、おっさんの被害妄想だろ。

ほんとに暴れ始めたな（ｗ

つまり>>312は俺(>>304)と>>311を同一人物と思ったわけね。
>>311の言葉使いは俺と違って別になんでもないだろ。

>>333が図星かｗ

まあ、つまらん勘違いがあったようだな。
それにひきずられたお前らも(ry

>>339
>>311のみに向けて発した言葉ですが？
>これは易しいから答えなくとも良い
この辺りの口調にね

なんだ、もうギブアップか。
おっさん、年で元気が今ひとつか。

>>342
別になんでもないだろ。むしろ、お前の無意識が反発してる
んだよ。それは、お前にとって易しい問題じゃないんだろ。
だから、>>311がいくら口調が丁寧でも、お前は反発するだろう。

あんまり無理して噛み付くと、体に毒だぞ

さ、いつものはぐらかしが始まったわけだが。

>>344
>それは、お前にとって易しい問題じゃないんだろ
そのとおり、injective objectの定義すら知らんからね

しかし自分が勘違いしてたからって、俺に噛み付くのはお門違い。

>>347
それとこれとは別。別に噛み付いたわけでもないし。
事実を指摘したまで。

>>308の定義で C/D がアーベル圏をなすことの証明の前に
圏をなすこと、つまり射の合成が定義できることを示さなければ
ならない。誰か示せる？
因みに C/D の定義を始めてしたのは、多分 Grothendieck
のTohokuの論文が最初だろうな。それには、証明はないが、
彼はその証明は非常に面倒くさいと書いている(難しいとは書いてない)。

>>305と>>308に補足。
誰かが書いたように D の任意の対象の部分対象と商対象も
D に属すという条件が必要。

>>281にも書いたけど、
D+(h) = Spec(A[1/h]_0) の証明はちょっと面倒。
Hartshorneは、この証明を書いてない。

EGAってネーター性を極力排する努力が凄いんだけど、これって
応用上何かの役に立つんでしょうか。

ぐろたんでぃっくデュアリティはネターいるんじゃなかった?

>>352
そんなことではぐろたんのこころはいつまでたっても見えてこない。

>>354
役に立つのか立たないのか聞いているわけで、他意
(例えばGrothendieckは無駄な一般化をしているとか)
は無いんだけど。

志村五郎さんの論文・著作を読むには、
やっぱWeilのFoundation は読んどくべきでしょうか?

これお願いします↓ちなみに自分の下三桁は130です。
(1)自分の学籍番号の下三桁のうち、一の位の数字一桁と百・十の位の数字を反転させた数字二桁の二つの数が固有値になるような、2×2次正方行列Aを求めよ。ただし、正方行列の要素に0を含めてはいけない(求める固有値の例：学籍番号の下三桁が456なら6と54)。

>>356
WeilのFoundation(を含めた例の３部作)の結果をschemeの言葉に
翻訳するのはscheme理論に詳しければ簡単だろう。実際、EGAの目的
(主目的ではないだろうが)の一つはそれにあったような気がする。
ただし、翻訳出来るほどのscheme理論の知識を得るのは並大抵じゃ
ないよ。だからと言ってWeil流の代数幾何だけしか知らないというのも
数論幾何をやるのなら今の時代では問題あるだろう。
結論としてWeilの結果を知るためにも読んでおいたほうがいい。
ただ、証明の細かいところまで追う必要はないように思う。

ヴェイユの本はムズイんですがどうしたらいいですか？グロタン、セールはいい感じ。

>>359
だからschemeの言葉に翻訳すればいいんだって言ってるだろ。

>>359
van der Waerden の代数幾何入門と Lang のIntroduction to
algebraic geometry と Abelian Varieties も参考になるだろう。

圏の局所化については成書も多い。
そのうち書く。

>>362
そうか

部分対象とか商対象って何でつか

>>364
ほかのスレでも似たような質問してなかったか?

マルチは禁止です。帰ってください。

あ、誤解のないように言っておきますが、365≠366です。

>>358
助言有難うございます。
この夏は、Mumfordの諸教科書を再読しながら、「スキーム理論に翻訳しながら
Weil３部作を読む」事にします。

Weil３部作てなんだたっけ。

WeilのFoundationの主目的は交点理論を打ち立てることにあった
わけで、これをschemeの言葉に翻訳するには骨が折れる。
Fultonの本があるけど、俺はまだ読んでない。
ただ、通常は余次元１の交点理論だけでなんとか間に合う。
この場合は比較的簡単。

>>368
水をさすようだけど EGA IV を読んでおいたほうがいい。
前にも書いたけどFoundationをschemeの言葉に翻訳するのに
必要な知識は並大抵じゃないよ。

すまん　だれかおしえてくれ
右導来関手は左完全関手に対して定義されることについてなんだが
Aのinjective resolution:

0→A→I_0→I_1→...→I_p→...

に左完全関手Fを施すと、

0→F(A)→F(I_0)→F(I_1)→...→F(I_p)→...

が得られる。すると

0→F(A)→F(I_0)→F(I_1)→...→F(I_p)→...

これは零列であるが完全系列とは限らない。
そこでそのp次コホモロジ−群をp次右導来関手R^(p)Fと定義する....

というのだが、Fは左完全関手なのだから、

0→F(A)→F(I_0)→F(I_1)→...→F(I_p)→...

は完全系列ではないのか？だから

0→F(I_0)→F(I_1)→...→F(I_p)→...

これは0以外で完全であって、
よって右導来関手R^(p)Fはp＝0以外では0となるのではないか？

どこが間違っているか教えてくれ　カモーン

>>372
F が完全なら
0→F(A)→F(I_0)→F(I_1)→...→F(I_p)→...
は完全となるが、F は左完全なだけで完全とは限らないから。

>>373いいこといった。
>>372は左完全＋完全のことを左完全と勘違いしているよ

谷山が書いていたけどWeilは(数学的な)腕力が強いんだよな。
数学の問題を力ずくでねじ伏せるところがある。
Grothendieckはその点、Weilと対照的だ。

Grothendieckは数学的には女性的と言える。数学の問題を概念
の海で包み込む。そして、その問題は自然に解けてしまう。
これはDeligneの感想。

どこかで読んだことがある。むなしいぞ

どこかって、誰が言ってるか書いてるんだから当たり前だろ。
何言ってるんだお前は。アレか

質問くんスマソ

K/kが（ガロア）拡大のとき
Gal(K/k)∋σ
Spec(σ):Ｓｐｅｃ(K)→Spec(K)
なるkスキームのAutが自然に定まると書いてあったのですが、
全然、自然に定義できなくて困っています。
そもそもSpec(K)って一点しかない気がします。

読んでる本の文脈だど、
kスキームXのK/kによるbase changeを考えて、X_KにGal(K/k)を作用させたいっぽいのですが。。

>>379
K を k-algebraと考えたらどうかね。

Spec(K)のstalkはKそのもの。Aut(K/ｋ)が定まるということ。

>>380に補足すると Spec(K) は位相空間として１点であっても
その構造層は K なる定数層だよ。

もっとしつこく書くと A を 体とは限らない k-algebraとして
σ ∈ Auto(A/k) とすれば σ は自然に Spec(A) の
Spec(k)-同型を引き起こす。Spec(A) は１点とは限らない。

早々とレスthx
まだ、スキームの定義がしっかり頭に入っていないのがバレてしまった。
構造層込みで考えたら、確かに作用しそうです。
もう一回よく考えてみます。

層＝functor　としてみると、Spec（K）はKそのもの。

>>373
左完全関手と完全関手の定義教えて
特に違いを明確に
頼む

左完全関手は
完全列をうつした時に
系列の[←]こっち側がきゅってしまってるんだけど
系列の[→]こっち側はしまってなくてふわーって開いちゃって困っちゃうんだよねー。
完全関手ならその点大丈夫で左右両方きゅっとしまってくるよ。

よくわかんないなあ完全関手

Fが完全関手、X→Y→Zが完全列のとき
FX→FY→FZは完全となる
これはいいよね？
だから372の完全列0→A→I_0→I_1→…→I_p→…に対しても
0→FA→FI_0→FI_1→…→FI_p→…は完全列になる
これもいいよね？

Fが左完全関手、0→X→Y→Z→0が短完全列のとき
0→FX→FY→FZは完全となるがFY→FZは全射と限らない
じゃなかったっけ？
でもこの定義だったら左完全関手は完全関手になっちゃう

どこが間違ってる？

教科書汁！

>>388
>でもこの定義だったら左完全関手は完全関手になっちゃう

ならないって。

「>>388のような勉強不足の奴」を相手にするのは時間の無駄。無視無視

導来函手の勉強不足

[完全関手 F]
X→Y→Z が完全なら FX→FY→FZ が完全
[左完全関手 F]
0→X→Y→Z が完全なら 0→FX→FY→FZ が完全

漏れもかつて同じ勘違いをしていたことがあったのう。おはずかしや。
仮定が左完全関手のときの方がものすごく強いですよね。
X→Y が単射的じゃないといけないんだもんね。
一方完全関手のときの仮定は X→Y は単射じゃない場合も含んでいる。
単に H(X→Y→Z)=0 というだけだから、より一般的な仮定なんですね。

でもこういうのは自分で加群などの簡単な場合で例を作ってみた方がいいよね。

[完全関手 F]
0→X→Y→Z→0 が完全なら 0→FX→FY→FZ→0 が完全
[左完全関手 F]
0→X→Y→Z→0 が完全なら 0→FX→FY→FZ が完全

と定義しても同じ。
だから、ちょっとの差だよ。

それにしても最近レベルが落ちてるな。

でも馬鹿な漏れはむしろ嬉しいぜ

岩波数学辞典第１版では、交点理論がすべての基礎と書いてあったが、
第二版では変形理論がすべての鍵と書いてあった
これからどうなるの?

何ページに書かれているか教えて。

>>398
失礼
第2版が交点理論だった。
118p左の一番下。
第3版は今手元にないので分からん。

第３版しかないので、項目名を教えてください。

>>400
「代数多様体」の最後の方です。
でも第3版では変わっていたような。

calabi-yau の Calabi さんはいつの時代の人？
まだ生きてますか？

>>402
とっくに死んでる。
ヒルツェブルフ、代数幾何学における位相的方法
の付録の Calabi-Eckmann 多様体参照

>>403
ヒルツェブルフは存命中。
つい最近も京都に来てた。
勝手に人を殺すなよ、知ったか君。

>>404＝意味取り違えてるよ。

Eckmann は何かの雑誌のチーフエディタをやってたな。

>>404
激しく笑った。

>>404
どう意味を取り違えたんだ？

>>404は馬

>>404
まだ笑いが止まらん

またお笑いネタあげてくれ、他スレでも。

403は まだ日本語に不慣れなのです。
許しておやりなさい、ドドリアさん

>>404は山田

>>404
わｒた

>>404はﾌﾞﾗｸﾗ

>>404 not found

座布団1枚

座布団が見当たりません

>>404が大好き

>>404>>404>>404>>404>>404>>404>>404>>404

しょぼい質問かもしれませんが、
Mayer-Vietoris を使って、リーマン面のコホモロジーでH^2X = R
を示せと言うのですが、
H^1X → H^1U +0 → H^1(U∩V) → H^2 X → 0+0
と、H^1 は H^1U と isomorphic なので（これは既知とする）、
H^1(U∩V) = R （これも既知）と H^2 X は isomorphic で、
H^2X = R とありました。

ここの、「H^1 は H^1U と isomorphic なので
H^1(U∩V) = R と H^2 X は isomorphic 」
ってなんでわかるのでしょうか？
僕は、0 → A → B → 0 の時しかしらない初心者なので…。

ImやKerを丁寧におっていけばよい。

>>404が教えてくれる

>>421
もっと詳しくプリーズ。
isomorphic と思えません（涙）。

>>423
isomorphicである必要はないんじゃないの？
示すべきなのは
H^1X → H^1U +0
↑これが全射ということ。

びえーん。やっぱり分かりません。
H^1X → H^1U +0
が isomorphic というのは既知なのです。
すると、H^1U +0 の全ての元は、
H^1(U∩V) の Kernel になると思うのですが、
H^1U +0 → H^1(U∩V) → H^2 X
から、その Kernel が H^2 X の Kernel になりますよね。

で、これからなんで、
「H^1(U∩V) = R と H^2 X は isomorphic」と言えるのですか？？

＞H^1X → H^1U +0
＞が isomorphic というのは既知なのです
　
↑これがisomorphicなら特にCok(H^1X → H^1U +0)=0でしょ？
　
　H^1X → H^1U +0 → H^1(U∩V) → H^2 X → 0+0
　
は完全でCok(H^1X → H^1U +0)=Im(H^1U +0 → H^1(U∩V))=Ker(H^1(U∩V) → H^2 X)
なのだからH^1(U∩V) → H^2 Xは単射。

一方でH^1(U∩V) → H^2 X → 0+0が完全なのだから
H^1(U∩V) → H^2 Xは全射。つまりH^1(U∩V) → H^2 Xは全単射。
ちなみにA→B→0が完全⇔A→Bが全射、0→B→Cが単射⇔B→Cが単射
はよく使うのでおぼえときたまへ。

ありがとうございます。
Ker(H^1(U∩V) → H^2 X) = 0
ということが理解できました。

>>404
復活をｷﾎﾞﾝﾇ

フィールズ賞受賞の小平邦彦さんの常設展示場、甲府市立図書館に　／山梨

　数学界のノーベル賞といわれるフィールズ賞を日本人で初めて受賞し、晩
年を甲府市で過ごした数学者、小平邦彦さん（故人）のメダルや賞状など３
２点を飾った常設展示場がこのほど、甲府市立図書館（同市城東１）に整備
された。
　小平さんは現代数学の確立と発展に貢献し、「調和積分論」で世界的な業
績を上げた。晩年は小平さんの長女、橋本康子さんの住む同市に移り住み、
９７年に亡くなった。橋本さんは、子供たちに見てもらうことで数学への興
味を持ってもらおうと、フィールズ賞のメダルなどの遺品を同市に寄贈した。
　１１日にあった除幕式には橋本さんや宮島雅展市長らが出席。橋本さんが
「フィールズ賞と父」と題して講演も行った。【藤野基文】

８月１７日朝刊　（毎日新聞）
[8月17日16時45分更新]

スレタイ洒落かよ。やめてくれよ

>>431
今頃言うな

大好きか？代数幾何のほうがよかった。

>>430
マルチ

>>404
その後どうした。

>>402
> calabi-yau の Calabi さんはいつの時代の人？

カラビ(Eugenio Calabi, 1923.5.11-.)
　イタリア，ミラノの生れ．ペンシルヴァニア大学教授(1964-93)．
微分幾何，代数幾何，複素解析．カラビ予想．カラビ・ヤウ多様体．

http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_k.htm#Calabi

Calabi, Eugenio
4N65 tel: 8-7848 Thomas A. Scott Professor of Mathematics Emeritus
Differential Geometry, Non-Linear PDE.
http://www.math.upenn.edu/FacData.html

>>436が>>404だったらいいな

404だったらいっいな、でっきたらいっいな♪

ちなみに404ってfile not foundだよね。

>>439
Mac の話か？

>>404
サーバーの話だよ。

>>436
Calabi は干からびて生きていたのか。

>>430

今日見てきたけど、あんなもんかっていう感じだった。

そんなもんだよ。

質問です。
１０００�o角の正方形の四隅が１００�oの半径で曲がっています。
この物体は１０００角の中心（P）を軸に回転、上下、左右の運動が出来ます。
この物体を１００�oの半径の中心(L)を軸にした９０度回転運動をしたいとき。
たとえば、Pを45度回転させた時、400√2-400下げて、左右に400移動させると、
この物体は(L)を中心に回転している様な動きをします。
Pの回転角度(A)と左右、上下の移動量の関係は、
４００√２＊（cos(A-135)-cos(-135))
４００√２＊（sin(A-135)-sin(-135))
だそうですが、回転軸(P1)が１０００�o角の中心(P)と左右にXmm上下にYmmずれていたときは？
又、(L)点は4ヶ所あるので式も4つ必要ですか？（90度回転を繰り返し一周したい）
簡単な式で、P1をPに変換？出来ませんか？
又、P1点の回転角度と１００�o半径の回転角度との関係は？

>>445
意味不明の上にスレ違い

意味不明ですか？どこのスレに行くべきですか？
これは、問題を解くための問題ではありません。
機械の制御に関する公式です。制約が有ります。簡単な関数電卓で計算出来ること。
式は沢山組み込めない。など、

誰か面白い事書いてくれ。

〜ドラゴンボールの知られざる真実〜

・ナッパ様の東の都でのｸﾝｯは、諸説あるが、東の都の人々を救うための行動。虐殺ではない。
・Ｚ戦士は「キレやすい若者」で、ナッパ様の愛栽培マンを遊び半分に虐殺していた。
・天津飯の腕に悪性の腫瘍を発見されたナッパ様。すぐに切断手術をするものの、事の真意に
　気づかない彼はナッパ様を逆恨みして気功砲を放つ。結果力尽きて死亡。
・餃子はナッパ様の背中にはりつき、自らの命を犠牲にしてナッパ様の肩こりを治した偉人。
・クリリンは気円斬で遠方のリスを殺そうとした残虐な人間。ナッパ様は気円斬を頬にかす
　らせることで軌道をずらしてリスを助ける。
・ピッコロは悟飯にまとわりついた蜂を撃退しに悟飯のところに向かうも、同じくナッパ様
　が蜂を撃退すべく放った気功弾に運悪くぶつかり命を落とした不運な人。
・悟空はドラゴンボールを盛り上げるためにナッパ様が行ったナイスな演技（弱いふり）
　にまんまと騙されて得意げに暴れまくった恥ずかしい香具師。
・ベジータはナッパ様の人気をねたみ、一休みしているナッパ様を放り投げて
　DB劇中から消し去った最悪な外道。心優しいナッパ様はこの予想外の出来事にも
　ナイスな演技で応える。
・ナッパ様こそが真の超サイヤ人。DBの金髪達は勘違いをした「キレやすい若者」
　変身しても外見に変化は見られない。

>>449
スレ違い

クレパントレゾリューションとは何者でしょう？何よんだらわかるでしょう？

前後関係はなんですか?

前後関係といわれても。今週末勉強会に参加したら
｢射Y→Xをクレパントレゾリューションとするとき〜｣
みたいな話をしてる人がいたんだけど
｢クレパントレゾリューション？なんじゃそりゃ？説明せーや｣
などとは口がさけてもいえなかったもんで。なんなんでしょうこれ？

私も知らんが、その文脈では
レゾリューション = desingularization
のような感じだな。

>>454
それだとするとなんですか？

>>455
残念ながらその関係では知りません。
特異点関係で話題になっている事の一つに、
equisingularity
があるが、それでググッて見たら?

ぐぐりたいんだけど｢クレパントレゾリューション｣の綴りが分からん。
しゃぺってたひとが外人サンだったので一番ちかいカタカナ表記が
｢クレパントレゾリューション｣なのかどうかもあやしいのです。どうにもこうにも･･･
たしかf:Y→XなるクレパントレゾリューションがあるときQch(Y)とQch(X)は
導来同値らしいんですが。そのぐらいしかわかりません。

crepant resolutionだって。

＞口出したく無かったんだが
　
そんなこといわずに。
　
＞crepant resolutionだって。
　
これなんすか？

今ぐぐってみたら
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/review2.html
に
＞crepant resolution $\Leftrightarrow$ 標準因子の引き戻しが標準因子)．
なるものを発見。
しかしたとえばこいつから
＞たしかf:Y→XなるクレパントレゾリューションがあるときQch(Y)とQch(X)は
＞導来同値らしいんですが。そのぐらいしかわかりません。
こんなのどうやってしめすんでしょう？なんかいい教科書ないすか？

>>460
＞Qch(X)
ってなぁに? Q は rational? ch は Chow?
ちゃうか

Ｘ上のOuasi-coherent sheavesのなす圏じゃないの？
Ｆ∈Qch(X)とするとアフィン開集合ｓｐｅｃＡ上にＦを制限すると
あるＡ加群Ｍの層化になっているというのが定義じゃないのかな。

>>462
それそれ。証明どこにのってるんだろう？

>>463
この辺とか。
http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&q=crepant+derived&c=&n=40&s=Listings

>>464
おおお！！！すばらしいぃ！！！Thx！！！

少し解ってきた

131

711

＞crepant resolution
の具体例求む。

なんつーか、みなさんスペシャリストなんですなぁ…

＞crepant resolution
でない resolution の具体例求む。

resolution の具体例求む。

体例求む

む

藻前らは残像に口紅をですか

らは残像に口紅をですか

像に口紅をですか

紅をですか

X ですか？

213

13

3

終わり

オワリ

ワリ

リ

じゃ、始めるか!

ゃ、始めるか!

始めるか!

めるか!

るか!

か!

!

（＾＾）

K を任意の多様体とするとき、
A^2 と P^2 は、 Zariski 位相で同相とはならないことを示せ。

訂正
K ： 任意の体

A^2 は K-完備でないが P^2 は K-完備である。
K-完備な多様体にK-同形な多様体はK-完備である。

あぼーん

あぼーん

Re:>500 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>501 お前に何が分かるというのか？

>>499
勘違いしてませんか
ザリスキ位相ですよ。
A^1 と P^1 は同相になる。

>>503
ザリスキ位相で A^1 と P^1 が同相になって何がうれしいの？
単に興味か？

>>504
A^2 と P^2 が同相でないことを示してくれと云ってるんだよ
日本語も通じない馬鹿か？

どうなんだろ？勘ではA^2は可縮でP^2は可縮でないとかいってみる。

>>499
497の問題は、（Zariski）位相構造のみ考えて同相ではないか、ということ。
VarietyあるはSchemeとして同型かどうかなんてことなら、
Global Sectionを比較すれば自明？なんか自信ないけど。
で、本題の499は意外にむずかしいの？

訂正
本題は、497でした。

>>507-508
＞で、本題の499は意外にむずかしいの？
　
どうなんだろ？真剣にかんがえてみてないからわかんないけど。
なんせ代数スキームの底空間の位相的性質だけをかんがえるってのはあんまり
やらないからな。k=RとかCならともかく。いっぱんのkでどうかって問題って
あんまり話題にのぼらないじゃん。でもいわれてみればたしかにA1とP1の底空間って
位相空間としては同相なんだな。確かに。ちょっとへぇ〜って思ってしまった。
とりあえずA^2の底空間は位相空間としては可縮じゃなかろか？

P^1 to A^1 no curve no intersection wo kangaerebayou.

>>510
無茶苦茶言うな

>>510
P^2 , A^2 だな。少し分かった。

代数幾何入るためにどの程度基礎知識が必要ですか？

初等可環環論と、初等複素解析

>>514
どうも。まだまだ足りないですねー、がんばって勉強しなきゃ。

初等位相幾何、多様体の基礎なんかもあればのなおよし。

>>516
またまたどうも。おっしゃーもっとがんばんなきゃ。

基礎知識なしでやるなら、

中野茂男、代数幾何入門、共立

初歩的な質問だけど
スキームの閉集合に被約閉スキームをいれるってのは
どうやるの？

冪零元イデアル層で割ればよい

にるぽ

うまい！

>>522
何？かにが？

>>523は数学的内容を理解していない
という事でFA?

ぬるぽ

ゆにぽ

>>524
フリーエージェントの行く当てが無いから
自由契約

あいでんぽ

ﾃｨﾑﾎﾟ

>>529

chimpotent という数学用語があるとでもいうのか
冪珍？

GERMAN SUPLEX!!!

冪満

あぼーん

温泉と代数幾何ってどこが関係あるの？

>>510>>512
Kが代数閉体の時はそれで良いが一般の時はどうするんだよ？
（なお、有限体なら明らか）

hartshone の「代数幾何」を今更邦訳を出す必要はあるのだろうか？
SpingerTokyo の見識の無さに吃驚！
（ブルバキ・セミナーの版権とって、テーマ毎に出版したらそこそこ売れると思うのだが・・・）

他の（日本の）書店なら、誤植を訂正するばかりか、
演習問題に解答を付けて訳すのになぁ

ｈ−つほーん邦訳でるの？

DELL

邦ー訳ーはーやくー

この本
俺の教科書だけど
和訳でなくていい

もう読んだ人が邦訳いらないのは当たり前だと思うが

ハーツホーン出すんだったら演習問題には解答付けてね

ハクションの訳書ﾝが出るのか

訳者は勿論「大魔王」

3分冊されるそうです。

訳書なのに初本（ハツホン）とはいんちきだ

役所から出版スレ

ハーツホーンの本の翻訳を出す意味があるのか知らん
可換環論やホモロジー代数に付いては認めているばかりでなく、
最近その重要性が再認識されている消去理論や終結式も
eliminate されている・・・

その前に本当にでるのか
訳者はどこのどいつだ

代数幾何に限った層の入門書ってある？

>>551
普通に代数幾何の入門書読めばいいんじゃない？

coherent sheaf ,qusi-coherent sheaf?

>>553
Let (X,O)：Scheme ,F:O-module

F:qusi-coherent sheaf/X
⇔∀x∈X ,∃U：nbh of x ∃I,J：set s.t.
there exist an exact sequence"O^I|U → O^J|U → F|U → 0 "
(rem. 　O^I：directsum of O)

F:finitely generated
⇔∀x∈X ,∃U：nbh of x ∃n∈N s.t.
there exist an exact sequence"O^n|U → F|U → 0 "

F:coherent sheaf
⇔F:finitely generated and
∀U⊂X ∀n∈N ,∀g：O^n|U → F|U , Kerg：finitely generated

>>554
付けたし、>>554のUは全てopenで

＞qusi-coherent sheaf/X
quasi-coherent sheaf/X

綴り間違えてたorz

Thanks!

あぼーん

なんていうか石田正典の代数幾何の基礎って一番やさしそうな入門書ですな

Springerからメール来ますた

■『代数幾何学　�T』　 【12月出版予定】
　　R. ハーツホーン 著　松下 大介ほか 訳
　　ISBN 4-431-71135-X　A5　約384頁
　　本体予価　3,800円＋税

例によって分冊ですか。
値段も原書より大して安くも無い。

>>560
ほ、ほ、本当だったのか

category theory for working mathematicianも出るっぽいね

>>563
まじで？4000円までなら買いだな。

二次元Jacobian Conjectureが解けたそうだ。
解いたのは15年以上論文を書いていない
ミシガン大の講師で現在の専門は数学教育だそうだ。

係数体は一般で?

肯定的に？否定的に？

係数体はCで、肯定的。
多分、高次元では反例があるんじゃないかな。

>>568
レスthx
遅いので何も知らない馬鹿かと思ったよ。
久しぶりに反例考えてみるべ。

多分15年間長い間Jacobian conj.に取り組んでたんだろうなあ
Publish or Perishの国でよく頑張ったもんだ

アメリカで、しかも
＞専門は数学教育
なら、必ずしも
＞Publish or Perish
では無いと思うよ。

>>564
訳者によりけりです。
>>565　
preprint 出回ってるの?

ハーツホーン３分冊か。。。微妙。

>>572 preprintは一般にはまだ出回っていません。

証明は込み入ってるけど、大道具は使っていない。
Bassの結果(1989)さえ認めれば、学部生でも読める。
Abhyankar(1977)などの結果を使って、のっけから
反例を仮定して、執拗にそれを追い詰めていくという感じ。
そもそも存在しない対象について、よくそれだけ集中
出来たなと思いました。並々ならぬ執念を感じました。

>>574 すごいっすね。
mathworldも更新されてる。
ttp://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html

math.AG/0411245

Koremo miyo!

Mel.Hochster mo mitometeru!!

Abhyankar wa soutou yabai jinnbutsurashii!!

日本語が書けん奴が最近増えたな。

日本語が書けん奴が最近増えたな。

エコーでつか？

二本後が科研八つが細菌笛棚。

orldも更新されてる。
ttp://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html

576 ：１３２人目の素数さん ：04/11/14 15:01:17
math.AG/0411245

Koremo miyo!

577 ：１３２人目の素数さん ：04/11/14 15:05:19
Mel.Hochster mo mitometeru!!

578 ：１３２人目の素数さん ：04/11/16 10:35:46
Abhyankar wa soutou yabai jinnbutsurashii!!

579 ：１３２人目の素数さん ：04/11/16 12:26:37
日本語が書けん奴が最近増えたな。

580 ：１３２人目の素数さん ：04/11/17 03:42:26
日本語が書けん奴が最近増えたな。

581 ：１３２人目の素数さん ：04/11/17 04:07:51
エコーでつか？

582 ：１３２人目の素数さん ：04/11/17 04:28:29
二本後が科研八つが細菌笛棚。

>>574
Bassの結果ってなに？
っていうかBassってだれ？

>>584 Bassってだれ？

Hyman Bass at the University of Michigan.

広中の代数幾何学講義が出ました。

おそっ。スレまでたってるちゅうねん。

どこどこ?

>>588
ほれノ
「代数幾何学」京大出版を読もう。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1098448793/

>>584
ここに書いてある。
ttp://www.leuschke.org/log/archives/2004/11/05/index.html

どこどこ?
OreOre

広中の「代数幾何学講義」は買いなのかどうか情報きぼんぬ。
近くの大きな本屋にいっても置いてないので内容確認できない。

>>592
詳しくは見ていないが、代数幾何の本を一冊も持っていない人には、
漫画を読む気で寝転がって読むのがお勧め。
きちんとした勉強は他の本で。

地球上の全生物の集合で位相空間が作れるか論じよ。

>>594
discrete topologyを入れれば良い。
意味不明。

密着位相

>>596には大きな愛を感じる。

人類全体に密着位相を入れるのは、人類補完計画だな。

日本語が書けん奴が最近増えたな。

Aをgraded algebraで、integral domainとし、
X=Proj(A)上のline bunle　E~　が、A-module　E　で与えられているとする。
今、uをEの次数０である E_0 の元で、u　は０ではないとする。
d=dimXとする。
c1(E)をEの第１ChernClassとすると、c1(E)・[X]＝[E/(u)]_{d-1}であることを説明してほしい。

これを、CartierDivisorによって証明してほしい。
だれか、たのんます。

マルチ

海外の高校生です。高校生用質問板にも書いてしまいましたが、
すいません、どうしても答えが分からないのでここに来ました。

[n x n]のマトリックスAについて、
A = UDU’
を満たすeigen-valueマトリックスDとeigen-vectorマトリックスUを
ヤコビ方（jacobi Method）を使って探せ、と言われました。

何の事だかさっぱりです。どこを見たら良いかも分かりません。
手始めにjacobi Methodが何だか分かりません。
誰かお願いします教えて下さいっっっ！！！

Jacobi法の基本は、２時の正方行列の対角化にある。
与えられた２次の行列Aに対し、A=P(t)DP(ｔ)’となる角度ｔの回転の行列P(t)と
対角行列Dが存在し、P(t)もDも用意に求めることが出来る。
そのとき、D＝P(t)’AP(ｔ)の非対角成分の２乗和は０である。

一般の正方行列Aの場合でも、その(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)成分からなる２次の部分行列に注目して、
同様のことを実行することが出来る：A=PBP'　をえる。（ただし、このBは対角とは限らない）
このとき、「Aの非対角成分の２乗和＞Bの非対角成分の２乗和」　が成り立つ。
同じことを、Bについて繰り返し、B=QCQ'　をえる。
このとき、「Bの非対角成分の２乗和＞Cの非対角成分の２乗和」　が成り立つ。
これを繰り返していくと、最後には、「非対角成分の２乗和＝０」の行列Sが得られる。
その得られた「非対角成分の２乗和＝０」の行列Sは、対角行列である。
よって、A=（PQ・・・）S（・・・Q'P'）＝（PQ・・・）S（PQ・・・)'　をえる。

>>602の　U,D　は、>>603の　U=（PQ・・・）で　D=S

dolbeaultってどう読むのですか？

>>605
だるぶー

違う人だよそれ。と一応マジレスしておく。

「ドルボー」って日本の本には・・・？

http://www.google.co.jp/search?q=dolbeault%E3%80%80%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%9C%E3%83%BC&hl=ja

だるぶーはDarboux
みんな今までありがとう。

;y=ｰ( ﾟдﾟ)･∵. ﾀｰﾝ

置いときますよ。。。
つttp://133.67.72.110/~kanie/tosm/humanind/jinmei.htm
勝手にリンクしちゃ迷惑かもしれないが、先生ごめんなさいorz

Hartshone の訳本には、演習問題の解答がつくらしい。
（これ既出ですか？）

>>612
そもそも訳本がでることさえ知らなかった。
いつでるの？

Hartshone の訳だ出る出るいうウワサがあるが，
どこのどいつが訳して，どの出版社から
いつ出て，いくらなのか

ハッキリしろ！てめえ

>>614
半年ROMったらいいと思うよ。

>>614
スプリンガー東京の数学書目録最新版に、載っているよ!
但し近刊予定で価格も刊行時期も記されていないが。

>>614
>>560

せめてHartshorneとかハーツホーンで検索くらいしたほうが。。。

217

deformationとvariationって同じ変形っていう意味ですか？
使われる数学的意味も同じですか？
(そういうのどこ見たらわかるんでしょう)

ぜんぜんちがうよ
deformation　変形(モデゥライ空間、小平ーSpencer理論など）
variation　変分（測地線、極小曲面、モース理論など）
ググって見ろ

モデゥライ空間でぐぐって出てきたりするかなあ

ググッ

モジュライのほうがいいかも

モデゥライ空間でぐぐったら、該当しないってさ。

そりゃそうだろうな

ハーツホーンage

Toric singularity

Mixed Hodge

日本語が書けん奴が最近増えたな。

真似すんなヴァカ

　〜〜〜終了〜〜〜
　

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

エコーでつか？

420

Y.Manin の整数論の本を載せているHPのアドレス、誰か教えてください！

>>632
そんなんがあるんだったら
俺も知りたいわ

どっかのスレットに紹介されていたが、
過去擦れになってしまってわからん！すまん！！

>>634
このクズがっ！

全部おまえが悪い

戦争が起こるのもおまえのせい

>>632
今はもう置いてないみたいだよ。

>>620
variation of hodge structure はホッジ構造の変分ってことですか?

>>637
文字通りに捉えるとそうだが、通常は有限個のパラメタで考えるので、
ある種の微分といって方が良いかもしれない。
Kodaira-Spencer 微分のように。

じゃ変形理論の話に近い？

Kodaira-Spencer 微分の定義は？

>>639
単なる変形ではなくて、スペクトル系列
（それも高次の）
が出てくるから単純ではない。

>>640
＞Kodaira-Spencer 微分の定義は？
小平全集参照。

この全集を見れば分かるように、一番いい結果ただ一篇のみ
Kodaira-Nirenberg-Spencer となっている。

？？？

ある大学の先生が次のような文章を書いていましたが、正しいのでしょうか？
＞東大、京大、早稲田の純粋培養超秀才以外が代数幾何で然るべきポストを得る事
＞は至難の技だと思ってよい。しかし、○○○○はそうでもない。超エリート校
＞以外の出身者でも、何らかの形で数学者のポストについて、立派な研究を次々
＞に行っている例は少なくない。

>>643
○○○○は数学の別の分野名が書いてあったのですが、私が
あえて伏字にしました。

>>643>>644
「東大、京大、早稲田の純粋培養超秀才以外が」でググったら
一発でしたよｗ

しかし「東大、京大」はまあいいとして、なんで「早稲田」なんだ？
# 学歴ｦﾀを呼び込みそうな悪寒・・・

>>643
正しくないでしょう。

>>646
そうなの？

学習意欲にかかわってくるので、ちゃんと説明して。

>>643　は、○○○○の専門家で、その分野を宣伝したかった
だけのことでしょう。代数幾何の専門家ではないので、
スルーすべし。

>>647
代数幾何のいい先生がいる大学はその3つ以外にもたくさんある
（たとえば、首都圏であげれば東工や都立）
学部の偏差値で比較するのはナンセンス。

東大の「純粋培養超秀才」だって博士崩れになるご時世なんだから、
大学で比べても意味がない。

>>649
博士崩れになっているのは、東大の凡才なのでは？

早稲田よりは東工大でしょう。早稲田は所詮３流

>>651　つられてやろう。
正確には、早稲田のトップ＞東工大トップ＞東工大底辺＝早稲田の底辺

理論計算機科学なんかだと、日本の第一人者は電通大卒。
代数幾何は世界が狭いということですか？
ところで、○○○○って何？

組合せ論？あたりが怪しそう

>>653,654
ググれよ
可換環論だ

>>652

早稲田のtopといっても受験科目数がすくないから東京・京都にいけないのね　
高いかねだして場過大にいくなんて

というか、トップ一、二名の頭の良さなんて
もうどっちが上かは誤差の範囲じゃないんですか？
まあ早稲田の方が一芸に秀でた学生が来やすい要素はあるけど、
東大、京大と一緒に並べて話をするようなレベルじゃないと思う。

local cohomology nani?

Grothendieck no Harvard Lecture wo yomu.

〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜

〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜
〜終了〜終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜 終了〜

>>Grothendieck no Harvard Lecture wo yomu.

motto saikinnoyatsu!!

Eisenbud no [Commutative Alg] nimo gokugoku sukosidakedo kaiteiru.

リファレンスするなら
ネットで見れるものだけにしろカスが

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521372860/qid=1106366129/sr=1-2/ref=sr_1_0_2/249-2081919-7057145
koreja,man-zoku dekinaino?

勝手に寝ながら読んで炉

代数幾何勉強したいんですが例題とか豊富で読みやすい本教えて下さい

モジュライとシーフカテゴリーの対応って知ってる？
教えて　そのこと扱ってる本とか論文ある？

こういっちゃなんだが２、３冊比較しながら読むのが一番いいと思う

線形代数得意な方いますか？

>>670
ここにいますが何か？

Jordan標準形の理論が成り立つためには、行列の成分の存在する係数環Rにどのような条件があればいいのか？おせーて

pid?

K\"orper

コンプレックスナンバーフィールド

ｳﾞｧｶ

>>672
は十分条件を聞いているんだけど、それがわかってない人がいる？

984 ：週刊新潮 ：05/01/28 21:55:18
うｐしますた。
http://f20.aaa.livedoor.jp/~merc/sasaki_shincho1.jpg

>>677
行列の成分が K の元か、 K[x] の元か不明。

おそらく、pidダヨネ

単因子論はアーベル群の構造定理に同等か？

線形代数とは、ホモロジー代数まで含めてのこと？

>>681
Z も K[x] もユークリッド整域である点では同じ。

単因子論はPID上で成り立つ

>>684
何が言いたいんだ?

>>672>>677
「Jordan標準形の理論」っつーのは何を指してるんだ？
「係数環R上のどんな正方行列もJordanブロックを並べたものに同値」が成り立つためには、
「Rが代数閉体であること」が必要十分だと思うが。

ところで何で代数幾何スレに書くんだ？

ごめん。Jordan標準形の証明法のひとつである「単因子論」はどの係数環まで拡張可能か？という質問でした。

非可換でもPIDで

>>688
どう言う意味だ。非可換体はPIDだが、何が成立するのだ。
四元数体でJordan標準形が出るのか?

どうでもいいですよ〜

そんなことより川又氏は最近どんなことやってるの？

>>689
君は基本的なカンチガイをしているね
体上の加群は簡単だろ

単因子論がPID上で成立するなんて
大抵の代数の教科書に書いてあると思うんだが
代数幾何やるまえに基本的な代数ぐらい知っておけ
って感じだな。

Dedekind環ではどうですか

だめに決まってるだろ。
元の割り算をどう決めるんだよ。

意味がわかりません

じゃあ単因子論を勉強してから出直せ

とは言うものの、俺の言い方もまずいな。
デデキント環だと最大公約元とかとれんだろ？

とれないのはわかりませすが
だめな理由がわかりません

で　できん　ドカーン

ひょっとして単因子論の拡張を考えてる？
何をしようとしてる？

ひ　み　つ

せちがらいのぉ

せちがらくないよ
解決したら論文書けばいいじゃん

で、なぜ２ちゃんできく？

どこかの誰かがきいてたから
便乗しただけ

どうでもいいですよ〜
時報レオパルドンいきます！
どうでもいいですよ〜
代数幾何スレで単因子論
どうでもいいですよ〜

佐々木の学生の学位の審査にはいつものように岡本が参加している。
佐々木は上野とも非常に仲が良い。
佐々木はこうして数学に「浸透」しつつあった。
今回のセクハラ騒動で岡本や上野にも影響が
何か及ぶのかどうかは不透明。
期待している人は多いようだけどね。

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/17

アカハラ・トカゲ著
『佐々木力入門』こまば新書　2005年4月刊行予定

〈アカハラ・トカゲ教授〉
大明神大学大学院千年後先端数学研究科教授。世界的なセクハラ研究家。
アカハラ・トカゲ教授の主な翻訳書：
『フロイトの童貞論』（あくま学芸文庫）
『性なる飢餓――性的カニバリズムの文化人類学』（青矢社）
『逃走の佐々木力――思考のセクシュアリティ』（左流社）

〈目次〉
はじめに　批判的痴性――佐々木力の方法
　第１章　科学史の〈罠〉
　第２章　狂気の数学史――『デカルトの数学思想』『セクハラの誕生』
　第３章　痴の考古学の方法――『言葉と一物』『痴の考古学』
　第４章　真理への背信――『セクハラと処罰』
　第５章　性が与える権力――『痴への意志』
　第６章　ユーラシア数学と独裁権力
　第７章　遁走の美学――『快楽の悪用』『事故への配慮』
おわりに　セクハラというゲームを超えて

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/

『「知」の欺瞞』関連情報

●ｂｋ１の『「知」の欺瞞』のページ
* 佐々木力、ポストモダン思想の軽薄さを完膚なきまでに暴露した、知的刺激溢れる書物、2000/07/10
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/FN/#links



このページは黒木玄個人の責任で維持しております。
クレームその他は黒木個人におよせください。

★2002年新学習指導要領の中止を［上野、戸瀬、黒木］→NAEE2002で署名を！★
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/index-j.html

515

483

接続 ∇:E→E(x)Ω ("(x)"はテンソル積) などと、
接続というぐらいだから何かを接続しているのでしょうけど
未だに何を接続しているのかわかりません。
どなたか教えてください。

接ベクトル空間を接続してるんじゃないの？

こういう質問ってよくあるけどあんまり深く考えなくて
いいと思う。
どっちかっつーとある種の微分って考えたほうがいいと思うし。

接続 ∇:E→E(x)Ω ("(x)"はテンソル積) などと、
接続というぐらいだから何かを接続しているのでしょうけど
未だに何を接続しているのかわかりません。
どなたか教えてください。

Levi Civita connection. parallel displacement.

だから、曲線に沿ってEのヴェクトルを移動できるんじゃないの？

Langlandｓ予想、Galois表現、岩沢理論のどれかで研究しようと思うのだが、どれが面白くて重要だろうか？だれかアドバイスを・・・

>>718
Langlandｓ予想は大規模な枠組み、
岩沢理論は中規模な既成理論
Galois表現はどこまでを考えるかによって大きくも小さくもなる。

これら３つの理論はオーバーラップしてるみたいだけど、どういう関係になっているんでしょうか。
また、重要性の観点からは、どういう順序になるのでしょうか。
宜しくお願い・・・

代数幾何を学ぶには代数、幾何それぞれの分野のどれくらいわかっていなけばならないでしょうか？
また他の分野も必要でしょうか？

レビチビタのおでん

>>721
そんな漠然とした質問には答えようがないが・・・。
とりあえず代数は松坂「代数系入門」、幾何は松本「多様体の基礎」くらいの
知識は最低限必要かと。

代数幾何で解けない問題は、どう処理するのですか？

＞723

ありがとうございます。代数幾何の入門書を見て、１ページ目から知らない用語が出てきたので
不安になったので質問させていただきました。多様体の基礎は読んで大分分かったつもりなので、
代数系入門を春休み中に読んでみようと思います。

Ganbare!!

　　　　　　 , 　 ＿ ﾉ）
　　　　 　γ∞γ~　 ＼ 　　はにゃーん
　とて　　 |　 /　从从) ）
　 　 　 　ヽ　| |　l　 l |〃 　 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 　　　 ｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　　>>725さんがんばってね♪
　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　`,─ 可換環 ─'
　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて
⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ >
　　人　　｀ヽ｀二二二´'´
Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

321

代数幾何、だいすきかぁ

SGAのきれいなfileはどこで手に入るのですか。
汚いのはharvardで手に入るが

>>７３０
数学図書室に行って、コピーと取ればいい。

アーベル賞 ： 津川光太郎 ＝ Ｐｅｔｅｒ Ｄ． Ｌａｘ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908/

heitan......

490

What is flattening stratification
and De Jong's alteration?

おまえら、代数幾何におけるRiemann-Rochの定理を理解してる？

いいえ。

次の方、どうぞ。

グロタンディークの隠れ家知ってる？

はい。よく知ってます。

次の方、どうぞ。

Painleve方程式の代数幾何的側面って何かわかる？

いいえ。

次の方、どうぞ。

Is a stably rational variety actually rational?

No.

Next, please.

Do you know any arithmetic version of a theorem saying
that Hirzebruch-Zagier divisors on a Hilbert modular
surface are the coefficients of an elliptic modular
form of weight two.

Yes. One example is: math.NT/0310201.

Next, please.

2週間ほど前から咳がひどく背中の激痛が始まり
シップを1週間ほどしましたが効き目がありません
喫煙すると胸が苦しくなります
どんな薬を飲めばいいでしょう？

「肺失清降・肺熱上壅」という状態だと想像されます。
おすすめの漢方は加減瀉（しゃく）白散という煎じ薬です。

次の患者さん、どうぞ。

いつも不思議な音が聞こえてきます。
いつも誰かに脳を読まれています。
のれはほいほとで、狐乞いきもす。

統合失調症です。
脳内の神経伝達物質に働きかけるお薬をどうぞ。

次の患者さん、どうぞ。

p進的な手法によるグロタンディークの遠アーベル幾何予想の解決
など双曲的代数曲線の数論幾何に関する研究で有名です。
私は誰でしょう？

知りません。

はい次の患者さん、どうぞ。

数学は人類文明の最深部に位置して
科学全体の基盤となる基礎的学問分野であり
現代社会における科学・技術を支えていますが
私は、数学全般における長期的な視野のもとに
次世代研究者として先端的数学を研究ぢて行きます。

あっそ。

はい次の患者さん、どうぞ。

反日デモの暴走は中国のカントリーリスクを露呈した。

中国の反日サイトには「（反日機運の高まりで）中日合資企業
が破産すれば、何万もの出稼ぎ農民が餓死する」と日中経済関係の深さ
を指摘する書き込みや、「大規模反日抗議活動が政府に対する突然の攻撃
となっては結果は制御が難しくなる」と、内政攻撃、社会不安を招くことに
強い懸念を示す書き込みがある。

と書かれていましたが、これが事実なら、日本の勝ち。もっとやらせて、
中国を自滅させればいいのではないかと思うのですが。

そうね。そうすればぁ。

はい次の患者さん、どうぞ。

アメリカやイギリスは、歴史において日本と同じことをやっても、非難されない。気がするが。

Pai Pai Hoshii!!

ドリーニュはどうしてグロタンから嫌われてるの？

Re:>749 それはなんという名前の薬なのですか？文献はどこにありますか？

結局、俺の後にHartshorneの演習問題を解く奴はいないのか？

Ex5.8まで済んでるのかな？

　　　　　　　　　　 　 　 ﾉ
　　　　　　 __　　　　　/
　　　　　 /⌒ ヽ 　／　　　　　　　 ／
　　　 　 （　　 　 ）'ﾞヽ.　　　　　_／
.　　　　／iｰ-‐'"i　 　 ,;　　 ／
　 i !　（　ヽ.　 　 ）　 ﾉ/ .:／
　　　 （＼.ﾞヽ＿（_／,ｲ／
　 i !　（＼＼＿,＿）' ﾉ
　　　 （＼＼＿,＿,）'
　 i !　 l　,i＼ ヽ､ !　　ｸﾞﾁｭｯ ｸﾞﾁｭｯ
　　　　l　}!　 ヽ､ ）
　　 　 し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

翻訳本の略解で十分だと考えている香具師が多いということでは？

あそ。じゃ解くのやめた。

>>764
ひょっとして、前スレから
解答に奮闘された方ですか？
（個人的には、解答掲載の再会を心待ちしているんですが…）
　

そうだよ。

解答再開となると、Ex5.9からですか？

>>767
解答再開するなんて言ってないぞ。

残念！　（でも勉強しとこぉっと）

>>768
まあまあ、そう言わずにさっさと解いやがってください！

>>770
言葉に気をつけろ。それじゃ解く気も失せる。

失せて結構。

お前、何が気に入らないんだよ。焼餅か？
だとしたら恥かしいな。おお恥ずかしい。

私を騙って荒らすのはやめなさい。

>>774
なんじゃそりゃ？

偽者も本物もウザイ！
市ね！

>>776
別にいいだろ、言われなくても、ほとんどこのスレは死んでるんだから。

グロタン スレでも、こっちでも煽りを刺激しない様に
さらっと、書き込めば良いのだよ。

本を持ってない人間にも判る様に、定義、前提の補足を添えて
少しでも、役立てる読者が多くなるよ工夫してもらえば有り難いね。

中身のある書き込みを求めてウロウロしてネラーは多いのだから。

始めるときはトリップを入れたら良いと思うよ。

あと、あわててアップして訂正が多くなると、煽りを呼び込み
ますます、判りにくくなるから、そこん所を旨くやってくんなまし。

>>778
>グロタン スレでも、こっちでも煽りを刺激しない様に
さらっと、書き込めば良いのだよ。

グロタン スレでの俺のカキコが中身がないというのかね。
あっちが最近伸びてんのは俺のせい。あっちは中身も
けっこうあるだろ。
スレが伸びれば煽りも多くなるが、それは副作用でしかたない。
スレが死んでるよりよっぽどいい。

＞中身がないというのかね。

ちゃんと読め。期待を表明しているだけだ。
雑談、煽りに対する応酬にも中身が無いとは言わんし、糞スレにならずに
賑わうのは良い事だが、それ以上に数学の勉強になる書き込みを期待する者が
多数居ると思うぞよ。

>>781
あんたグロタン スレの俺(あっちでは197)のカキコちゃんと
読んでる？ ホモロジー代数を中心としてGrothendieckの
数学についてまじめに書いてるぞ。

観客は、初学者から PD クラスまで居るから、的を絞るのも良いが
分野違いの者の勉強の役にも立つ訳だから、手間の掛け甲斐は在る。

気張ってくれ。

>>782

大いに面白く為にもなったよ。煽りとの応酬を控えればもっと良かった。

>>784
お前等、タダで楽しんでんだろ。贅沢を言うんじゃない。
俺にも少しくらいアオラーを叩く楽しみをくれよ。

飲みながらでも書いているのか？
面白かったと言っているだろう。
悪い、とは一回も行っていないつもりだが。

より良くなる話をしているだけだ。

下らん煽りが入らん様にマメにレスを返している訳だが、
迷惑だったかな？

>>786
完全なしらふだよ。ということでこの話はお終い。

>>786
完全にしらふだよ。迷惑というより、余計なお世話って
いう感じ。悪いけど、俺は好きなようにさせてもらうよ。
ということで、この件は終わり。

＞グロタン スレでの俺のカキコが中身がないというのかね。

馬鹿を晒していることはよくわかったｗ

最近の加藤さん＋斉藤さんの論文の理解できる人いますか。
http://www.springerlink.com/media/927Y4CWVRR1JRDKT9T0M/Contributions/5/3/D/T/53DTAHWL34C815CY.pdf

こいつなにがしたいんだ

328 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2005/05/02(月) 21:10:27
最近の加藤さん＋斉藤さんの論文の理解できる人いますか。
http://www.springerlink.com/media/927Y4CWVRR1JRDKT9T0M/Contributions/5/3/D/T/53DTAHWL34C815CY.pdf

これが分かるレベルのやしがここにいるか知りたいのさ

こいつなにがしたいんだ

328 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2005/05/02(月) 21:10:27
最近の加藤さん＋斉藤さんの論文の理解できる人いますか。
http://www.springerlink.com/media/927Y4CWVRR1JRDKT9T0M/Contributions/5/3/D/T/53DTAHWL34C815CY.pdf

斎藤師の論文読み解きたいのなら、
森田「微分形式の幾何」程度の知識は持ち合わせていて損はない。

結局、760の精神年齢が幼稚であることだけが分かった。

森田「微分形式の幾何」は斉藤毅さんの論文とそんな関係ないじゃない？

>>763
あの翻訳は演習問題のほぼ全部の解答を載せてるの？

２章までだがだいたい載ってる。
それでもわからなければここに書けばいい。
少しは付き合うから

Bourbakiの代数１０章ホモロジー代数のスペクトル系列に関する
演習問題の翻訳と解答を書こうと思ったが、その前に
スペクトル系列のような複雑なものがどこから来たかという疑問
に多少とも答えようと思う。

A を単位元を持つ環。A-加群からなる複体
K = (K^n, d^n), n ∈ Z とその部分複体 F^p(K), p ∈ Z の降列
... F^p(K) ⊃ F^(p+1)(K) ... があるとする。
ここで Z は有理整数環を表す。K をフィルター付複体という。
簡単のために F^p(K) を F^p と略記する。
標準単射 F^p -> K はホモロジー加群の射 H(F^p) -> H(K) を
誘導する。この像を F^p(H(K)) または簡単のためにF^p(H)と書く。
ここで H(K) は次数加群 Σ(H^n(K)), n ∈ Z と見なしている。
F^p(H) により H(K) はフィルター付次数加群となる。
フィルター (F^p(H)), p ∈ Z の次数化加群
gr(H) = Σ(F^p(H)/F^(p+1)(H)), p ∈ Z を考える。
H(K) の情報は gr(H) からある程度わかる。
例えば、A が体で、K が A 上有限次元、(F^p(H)) が長さ
有限かつ H = ∪F^p(H), ∩F^p(H) = 0 なら gr(H) から
H(K) は同型を除いて決定される。

一方、フィルター付複体 K の次数化加群
gr(K) = Σ(F^p/F^(p+1)), p ∈ Z が考えられる。
gr(K) の各成分 F^p/F^(p+1) は複体となっている。
従って、そのホモロジー加群 (E_1)^p = H(F^p/F^(p+1)) が
考えられる。以下に見るように E_1 = Σ(E_1)^p は自然に複体と
なる。さらに、E_2 = H(E_1) = ΣH((E_1)^p) も自然に複体と
なる。このようにして複体の列、E_1, E_2, ...が得られるが
十分良いフィルター (F^p(K)), p ∈ Z が与えられた場合、
gr(H) は、ある意味でこの列の極限と見なせる。従って、gr(H)
が複体の列、E_1, E_2, ...で近似出来ることになる。この近似に
よりH(K) に関する有益な情報が得られることになる。

>>799
久々の有益なコメント！
やっぱ､こうじゃなくっちゃ。

このくらいまともな本には書いている

>>801
まともな本何冊も読んだの？お勧め教えて

Cartan&Eilenbergが一番お勧めらしい。おれは読んでないが。長ったらしいから。
Bredon「SheafTheory」
河田「ホモロジー代数」（７９９の内容は河田に乗っていると思う）
永田ホカ「中称代数幾何」にも簡単に書いているが、７９９のことは書いていない

その程度しか読んでない

>>799の続き
記号を簡単にするため複体 K の次数付けは無視することにする。
従って、K = (K, d) は微分付加群、すなわち A-加群 K と
d^2 = 0 となる自己準同型 d ∈ End(K) の組と見なす。
さて (E_1)^p = H(F^p/F^(p+1)) と置いたとき、
E_1 = Σ(E_1)^p は自然に複体となることを示す。
つまり射 d: (E_1)^p → (E_1)^(p+1) が自然に定義され
d^2 = 0 となる。
まず、次の完全系列に注目する。

0 → F^(p+1) → F^p → F^p/F^(p+1) → 0

これからホモロジー完全系列

→ H(F^(p+1)) → H(F^p) → H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1)) →

が得られる。ここで、∂:H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1)) は
連結射と呼ばれるものである。
一方、自然な全射 F^(p+1) → F^(p+1)p/F^(p+2) から
H(F^(p+1)) → H(F^(p+1)p/F^(p+2)) が誘導されるが
これと上の∂を合成して
d: H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1)/F^(p+2)) が得られる。
この射の記号 d は上の K の微分 d と同じだが、間違うことは
ないだろう。ここで、d^2 = 0 が成立つことは、d を具体的に
計算してもわかるが、以下のように図式的にもわかる。

まず、次の完全系列に注目する。

0 → F^(p+2) → F^(p+1) → F^(p+1)/F^(p+2) → 0

これからホモロジー完全系列

→ H(F^(p+1)) → H(F^(p+1)/F^(p+2)) → H(F^(p+2)) →

が得られる。これは完全系列だから、当然、隣合う射の合成は
0となる。つまり H(F^(p+1)) → H(F^(p+1)/F^(p+2)) と
H(F^(p+1)/F^(p+2)) → H(F^(p+2)) の合成は0となる。
射 d^2 は、この合成射を経由するから、当然0となる。

微分 d の(本質的には同じだが)やや異なる定義は、次のように
しても出来る。
まず、次の完全系列に注目する。

0 → F^(p+1)/F^(p+2) → F^p/F^(p+2) → F^p/F^(p+1) → 0

これから、連結射 H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1)/F^(p+2)) が
得られるが、これを d と定義する。
これが、前の d と同じものであることは、

短完全列 :

0 → F^(p+1) → F^p → F^p/F^(p+1) → 0

から短完全列 :

0 → F^(p+1)/F^(p+2) → F^p/F^(p+2) → F^p/F^(p+1) → 0

への自然な射とそれの誘導するホモロジー完全列間の
射を考えればわかる。

次にE_2 = H(E_1) = ΣH((E_1)^p) も自然に複体となることを
示す。その前に、ホモロジー完全列における連結射∂の定義を
復習しておこう。

複体の短完全列
0 → M → K → L → 0
があるとする。例によって各複体の次数付けは無視する。
ここで、各射に名前をつけておく。
f: M → K
g: K → L
H(L) の元は d(z) = 0 となる元(つまりcycle) z の剰余類
[z] として表現される。g(y) = z となる K の元 y をとる。
g(d(y)) = d(g(y)) = d(z) = 0 だから、上の列の完全性より
f(x) = d(y) となる M の元 x がある。
f(d(x)) = d(f(x)) = dd(y) = 0 だから d(x) = 0 となる。
つまり x は、M のcycleである。x の H(M) における剰余類 [x]
は、z の剰余類 [z] のみで定まり、代表元 z のとり方に
よらない。∂([z]) = [x] と定義することにより
連結射∂: H(L) → H(M) が得られる。

まず、H((E_1)^p) を具体的に求めよう。
それには、まず H(F^p/F^(p+1)) を具体的に求める必要がる。
ここで記号を導入する。

(Z_r)^p = {x ∈ F^p | d(x) ∈ F^(p+r)} と置く。

つまり、(Z_r)^p の元は、F^p における mod (F^(p+r)) での
cycleということになる。
すると、

H(F^p/F^(p+1)) = (Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1))

となる(各自、確かめること)。

微分 d(=連結射∂) : H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1)/F^(p+2))
すなわち
∂: (Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1)) →
(Z_1)^(p+1) / (d(F^(p+1)) + F^(p+2))

は、前に復習しておいたことから、d: (Z_1)^p → (Z_1)^(p+1)
により引き起こされることがわかる。

以上から 複体 ((E_1)^p, d) = (H(F^p/F^(p+1)), ∂) の
ホモロジー加群 H((E_1)^p) を具体的に求めることが出来る。

∂: (Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1)) →
(Z_1)^(p+1) / (d(F^(p+1)) + F^(p+2))

の核は、((Z_2)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
となる(各自、確かめること)。

∂: (Z_1)^(p-1) / (d(F^(p-1)) + F^(p)) →
(Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1))

の像は、(d((Z_1)^(p-1)) + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
となる(各自、確かめること)。
したがって、
H((E_1)^p) = ((Z_2)^p + F^(p+1)) / (d((Z_1)^(p-1)) + F^(p+1))
となる。
一方、次の簡単な補題から
上式の右辺 = (Z_2)^p / (d((Z_1)^(p-1)) + (Z_1)^(p+1))
となる。

補題
加群 X の部分加群 E, F, G があり、E ⊃ F とする。
このとき、(E + G)/(F + G) は E/(F + (E ∩ G)) と同型に
なる。

証明は簡単なので各自にまかす。

内積ベクトル空間の任意のベクトルaに対して、a0=0であることを証明せよ。お願いします！

何だおい、レスが止まったじゃないか。
お前等、大丈夫か？ 難しすぎるならやめてもいいぞ。

>>803
>Cartan&Eilenbergが一番お勧めらしい。

誰が勧めてるんだ？

>河田「ホモロジー代数」（７９９の内容は河田に乗っていると思う）

河田のどこにも書いてないよ。

>>801
>このくらいまともな本には書いている

ほう、そのまともな本というのを挙げてみてくれ。
少なくともCartan-Eilenbergと河田には書いてないよ。

>>810からの続き

以上から(E_2)^p = H((E_1)^p) =
(Z_2)^p / (d((Z_1)^(p-1)) + (Z_1)^(p+1))
となることがわかった。
従って、微分 d: (E_2)^p → (E_2)^(p+2) が
d: (Z_2)^p → (Z_2)^(p+2) により定義出来る。
これにより、E_2 が複体となる。

一般に、
(E_r)^p =
(Z_r)^p / (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + (Z_(r-1))^(p+1))
と定義すると、微分 d: (E_r)^p → (E_r)^(p+r) が
定義され、H((E_r)^p) = E_(r+1)^p となる
(各自、確かめること)。

今度は、gr(H(K)) を調べてみよう。
gr^p(H(K)) = F^p(H(K))/F^(p+1)(H(K)) であった。
ここで、F^p(H(K)) は、自然な射 H(F^p) → H(K) の像
である。

ここで記号を導入する。
(Z_∞)^p = F^p ∩ Z
(B_∞)^p = F^p ∩ B
と置く。
ここで、Z = Ker(d), B = Im(d)。

すると、H(F^p) = (Z_∞)^p/d(F^p) となる。
よって、F^p(H(K)) = ((Z_∞)^p + B)/B となる。
よって、gr^p(H(K)) = ((Z_∞)^p + B)/((Z_∞)^(p+1) + B)
となる。ここで、前記の補題を使うと、
gr^p(H(K)) = (Z_∞)^p/((B_∞)^p + (Z_∞)^(p+1))
となる。

簡単のために、F^0 = K, F^n = 0 と仮定してみよう。
n はある整数 n > 0。
すると、r が十分大きいと、(Z_r)^p = (Z_∞)^p となる。

(E_r)^p =
(Z_r)^p / (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + (Z_(r-1))^(p+1))
であった。
F^0 = K だから、r が十分大きいと、
d((Z_(r-1))^(p-r+1)) = (B_∞)^p である。
よって、(E_r)^p = gr^p(H(K)) となる。
つまり、複体 E_1 から初めて、E_2, ... と計算していくと、
gr^p(H(K)) が求まることになる。

スペクトル系列を扱うときのフィルターが満たすべき条件に
ついて述べみよう。
いつものように、複体 K の次数付けは無視する。

K = ∪F^p(K) となるとき、フィルター (F^p) はexhaustive
または co-separable という。ところで、exhaustive の日本語訳
でいいのないかな？ 枯渇的じゃおかしいか？
∩F^p(K) = 0 となるとき、フィルター (F^p) は
分離的(separable)という。

今後扱うフィルターは、特に断らない限りexhaustiveで
分離的とする。

F^n = 0 となる n があるとき、フィルター (F^p) は
離散的(discrete) または 下に有界(bounded-below) と言う。
F^n = K となる n があるとき、co-discrete
または 上に有界(bounded-above) と言う。
discrete かつ co-discrete なフィルター (F^p) は有限
または有界(bounded)という。

K = proj.lim F/F^p となるとき、フィルター (F^p) は、
完備(complete) と言う。

ここで、スペクトル系列でよく使う命題を証明しよう。
命題
K, L をそれぞれフィルター(F^p(K)), (F^p(L))を持った
A-加群とする。f: K → L をフィルター加群としての射とする。
つまり、f(F^p(K)) ⊂ F^p(L) が各pで成立つ。
f は gr(K) から gr(L) への次数加群としての射を誘導するが
この誘導射が同型であるとする。
このとき、フィルター(F^p(K)) が有限なら、f は同型となる。

証明
gr(K) と gr(L) が同型だから、フィルター(F^p(L)) も
有限である。
F^0(K) = K, F^2(K) = 0 の場合を証明すれば、帰納法を使って、
一般の場合も証明できる。よって、この場合のみ証明する。

完全列:
0 → F^1(K) → K → K/F^1(K) → 0
と
0 → F^1(L) → L → K/F^1(L) → 0
を考える。

仮定により、f: K → L は、同型 F^1(K) → F^1(L) と
同型 K/F^1(K) → K/F^1(L) を誘導する。
snake lemmaを使って(使わなくても簡単にわかるが)
f も同型になる。

命題(>>819)の系１
上の命題はフィルター(F^p(K)) が有限でなくても離散的
なら成り立つ。

証明
上の命題より、各pに対して f は同型 F^p(K) → F^p(L)
を誘導することがわかる。規約(>>818)により
フィルター(F^p(K))と(F^p(L)) はexhaustiveだから、
f は同型となる。

命題(>>819)の系２
上の命題はフィルター(F^p(K)) が完備なら成り立つ。

証明
上の系１(>>820)より、各pに対して f は同型
K/F^p(K) → L/F^p(L)を誘導することがわかる。よって同型
proj.lim K/F^p(K) → proj.lim K/F^p(L) を誘導する。

>>821
訂正
>上の命題はフィルター(F^p(K)) が完備なら成り立つ。

上の命題はフィルター(F^p(K))と(F^p(L))が完備なら成り立つ。

K をフィルター付き微分加群とする。
K のフィルター(F^p) が有限のときは>>817で見たように
r が十分大きいと、 、(E_r)^p = gr^p(H(K)) となる。
今度はフィルターの有限性を仮定しないで単に離散的とする。
このときスペクトル系列 (E_r) と gr^p(H(K)) の関係を
見てみよう。

(E_r)^p =
(Z_r)^p / (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + (Z_(r-1))^(p+1))
であった。

フィルター(F^p)は離散的だから、>>817で見たように
ある s(pにより決まる) があって、r ≧ s のとき、
(Z_r)^p = (Z_∞)^p, (Z_(r-1))^(p+1) = (Z_∞)^(p+1) となる。
一方、仮定(>>818)により K = ∪F^p(K) だから
(B_∞)^p = ∪d((Z_(r-1))^(p-r+1)) となる。
よって、r ≧ s のとき
∪(d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + (Z_(r-1))^(p+1)) =
(B_∞)^p + (Z_∞)^(p+1) となる。

gr^p(H(K)) = (Z_∞)^p/((B_∞)^p + (Z_∞)^(p+1)) だから、
以下に述べる補題により
gr^p(H(K)) = ind.lim (E_r)^p（r ≧ s) となる。

補題
E をA-加群、(F^p) を E のexhaustiveとは限らないフィルター
とする。このとき E/∪F^p = ind.lim E/F^p となる。
ここで、ind.lim は帰納極限を表す記号である。

証明
完全列
0 → F^p → E → E/F^p → 0 を考える。
加群の圏における有向帰納極限は完全関手だから、

0 → ind.lim F^p → E → ind.lim E/F^p → 0

は完全である。
∪F^p = ind.lim F^p だから E/∪F^p = ind.lim E/F^p となる。

もう、spectral　sequenceのことは忘れかけてるが、
799のことは本に書いてないにしても、本を読むときに自分で考えるんじゃないの？
spectral　sequenceを理解する上で。

上で書いたことが、たとえばCartan&Eilenbergやbourbakiのどこにどのように関係するのかとか
を説明しないと、読む気がしない。
なぜなら、すでに理解したことをわざわざ読む気がしないからだ。
通常の本の勉強で手に入らない内容なら読むが、
そのためにも、Cartan&Eilenbergやbourbakiのどこにどのように関係するのかとか
を説明してくれ。

たとえば、上の話はregularfiltrationの条件下で理論展開してるのかな？
それなら、BredonのAppendixがperfectだったと思うけど。

>>825

読む気にならないなら、スルーすれば良いのに、なぜ否定的な事を
書き込むのか？

これをちょうど学ぶべき段階に到達しながら、まだ知らないでいるものも、
居るだろうし、忘れかけた所を復習するのに役立てられるではないか。

俺は参考にさせてもらっているよ。

>>825
何この人・・・気持ち悪い

どこが如何いう風に気持ち悪いのか。

すまんかった。>>799がんばってくれ。
できればどっかにPDFでupしてくれたほうがうれしいな。

>829を代弁しよう！
2chに読みにくいのを書く間があったら、pdfでうぷしろ！
この腐れ崩れ代数ヲタがぁぁぁッ！

sage進行で荒らそうとしてるのが誰かさんで
age進行で荒らそうとしてるのがもう一人の誰かさん
　といった感じか。

とりあえず上げますね

今度は下げますね

>>799　とにかくさっさと書いて仕上げてくれ

↑　はやくまとめて読みたいので

799さんの講義を参考にゆっくり勉強してみます。
（続きをお願いいたします。）
質問：具体的に複体（Ｋ，ｄ）が与えている時、
　良いフィルトレーションを見つけるには、何か方法があるのでしょうか？

>>836
代数幾何で使われるのは２重複体のスペクトル系列がほとんど。
この場合、フィルトレーションは自明なもの(後で述べる予定)。
だから、その問題は気にしなくていい。

>>837
ご返答有難うございます。

提案：「exhaustive」(>>818)の訳語として
「完湧」「全湧」のようなものは如何でしょうか？
「Kの元は、フィルトレーションを通して全て汲み尽くせる」
といった意味合いですから。

HNを間違えました。すみません。
>>838の書き込みは>>836です。

>>822
>上の命題はフィルター(F^p(K))と(F^p(L))が完備なら成り立つ。

この訂正は不要だった。何故不要か、誰か分かる人、説明してくれ。

ttp://tv6.2ch.net/test/read.cgi/tv/1113568408/801-900

856 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:00:04 ID:tsdxeffQ
>>818
>太い直線を引くという答えが間違いである理由がわからない。

直線には面積なんてないから太いとか細いとかないよ
だからその答えは間違い

857 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:09:03 ID:19rbNtem
↑　釣りですか？
どんなに細くても　線には面積あるじょ

860 ：名無しでいいとも！：2005/05/15(日) 02:26:31 ID:iH/MecV4
太さが0.1mmでも1mでも、曲がらなければ直線なわけで。

894 ：名無しでいいとも！：2005/05/16(月) 00:47:03 ID:p2QlEvol
>>856
> >>818
> >太い直線を引くという答えが間違いである理由がわからない。
> 直線には面積なんてないから太いとか細いとかないよ
> だからその答えは間違い

↑この人何言ってんの？
どんな太さでも直線は直線なんだったら、あれは正解だろ
不正解とするには前もって直線の太さを限定しなければ駄目だ

ビニール袋オナニー@数学板
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115816836/

>>840
上の系１(>>820)より、各pに対して f は同型
K/F^p(K) → L/F^p(L)を誘導することがわかる。よって同型
proj.lim K/F^p(K) → proj.lim L/F^p(L) を誘導する。
次の可換図式を考える。

K → L
↓ ↓
proj.lim K/F^p(K) → proj.lim L/F^p(L)

左の垂直射↓は仮定より同型。
右の垂直射↓は、(F^p(L))が分離的だから単射である。
これから容易にK → Lが同型であることがわかる。

ここで、スペクトル系列に関するCartan-Eilenbergの方法と
我々の方法の関連を述べる。
はっきり言って彼らの方法は難解である。我々の方法との関連
を説明することにより多少とも彼らの方法の理解の補助になる
と思う。

その前にCartan-Eilenbergの方法でよく使われる補題を述べる。

補題
次の加群の完全列において、

E → F → G

E → F が E → T → F と分解されるとする。
ここで、T はある加群。
このとき、 Im(T → F)/Im(E → F) = Im(T → G) となる。
ここで、T → G は、T → F と F → G の合成。

証明は簡単なので各自に任す。

K をいつものようにフィルター付き微分A-加群
(filtered differential A-module)とする。

標準射 F^p/F^(p+r) → F^p/F~(p+1) により、

射 H(F^p/F^(p+r)) → H(F^p/F~(p+1)) が誘導される。

この射の像を Z(p, r) と置く。

一方、次の完全列を考える。

0 → F^p/F^(p+1) → F^(p-r+1)/F^(p+1) → F^(p-r+1)/F^p → 0

これから誘導される連結射 H(F^(p-r+1)/F^p) → H(F^p/F^(p+1))
の像を B(p, r) と置く。

次の二つの完全列を考える。

0 → F^p/F^(p+r) → F^(p-r+1)/F^(p+r) → F^(p-r+1)/F^p → 0

0 → F^p/F^(p+1) → F^(p-r+1)/F^(p+1) → F^(p-r+1)/F^p → 0

上の完全列から下の完全列への標準射がある。
よって二つのホモロジー完全列の間の射が得られる(各自、図を
書いて確かめられたい)。

従って、連結射 H(F^(p-r+1)/F^p) → H(F^p/F^(p+1)) は

H(F^(p-r+1)/F^p) → H(F^p/F^(p+r)) → H(F^p/F^(p+1))

と分解される。これと、完全列

H(F^(p-r+1)/F^p) → H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p-r+1)/F^(p+1))

に補題(>>844)を適用すれば、

Z(p, r) / B(p, r) = Im(F^p/F^(p+r) → F^(p-r+1)/F^(p+1))

となる。

E(p, r) = Z(p, r) / B(p, r) と置く。

>>846
>Z(p, r) / B(p, r) = Im(F^p/F^(p+r) → F^(p-r+1)/F^(p+1))
>
>となる。

訂正

Z(p, r) / B(p, r) = Im(H(F^p/F^(p+r)) → H(F^(p-r+1)/F^(p+1)))

となる。

次の２つの短完全列とその射を考える。

0　→　F^(p+r)/F^(p+2r)　→　F^p/F^(p+2r)　→　F^p/F^(p+r)　→　0
　　　↓　　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　↓
0　→　F^(p+1)/F^(p+r+1)　→　F^(p-r+1)/F^(p+r+1)　→　F^(p-r+1)/F^(p+1)　→　0

これから次の可換図式が得られる。

Ｈ（Ｆ＾ｐ／Ｆ＾（ｐ＋ｒ））　→　Ｈ（Ｆ＾（ｐ−ｒ＋１）／Ｆ＾（ｐ＋１））
　　　　　　↓　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
Ｈ（Ｆ＾（ｐ＋ｒ）／Ｆ＾（ｐ＋２ｒ））　→　Ｈ（Ｆ＾（ｐ＋１）／Ｆ＾（ｐ＋ｒ＋１））

よって E(p, r) = Im(H(F^p/F^(p+r)) → H(F^(p-r+1)/F^(p+1))) から
E(p+r, r) = Im(H(F^(p+r)/F^(p+2r)) → H(F^(p+1)/F^(p+r+1))) への射が得られる。

この射を d_r: E(p, r) → E(p+r, r) と書く。

>>849
訂正
>この射を d_r: E(p, r) → E(p+r, r) と書く。

この射を (d_r)^p : E(p, r) → E(p+r, r) と書く。
さらに、(d_r)^p はd^pまたはdと略記する場合もある。

ここで、Ker(d^p) / Im(d^(p-r)) = E(p, r+1) を示すのが
問題となる。
E(p, r)が、我々が前(>>815)に定義した(E_r)^pであることはわりと
簡単に証明できる。これを使えば、この問題は既に証明されて
いる。ここで、E(p, r) = (E_r)^p を示す前に、この問題を
Cartan-Eilenbergの方法で直接、証明してみよう。
これは結構、骨が折れる。しかし、図式的な証明なので、
よりエレガントと言える。

『大学における縁故人事の社会的費用』について論じて欲しい。

■■ 有力教授のDQN子息の不祥事：　（他にもありますか？）
（有力経済学教授のDQN息子） U沢：　DQN論文３本で教授、COEリーダー、F原と詐欺申請共犯？
（有力化学教授のDQN息子） K沢：　捏造Pten論文、特許申請
（有力法学教授のDQN息子） ７戸：　親密交際中の女子院生が研究室の窓から奇怪な飛び下り自殺



【名古屋大学】多元数理科学研究科 [Chapter 5]
548 ：１３２人目の素数さん ：2005/05/28(土) 13:27:09
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116744640/

実は、現在の日本で30代半ば以降になって経済的・精神的余裕が得られた独身男性にとって、
結婚相手は選り取り見取りの状況である。なぜなら、現在20代の女性の結婚願望が高まって
いる上、外国人（中国人、フィリピン人等）の美女達は、このような日本人男性と結婚した
がっているからである。40代や50代でも、20代の美女と結婚することは珍しくない。ITの
普及等で出会いの機会が拡大した現在、30代半ば以降の独身男性の中には、このような状況を
楽しんでいる輩が少なくない。（2005年1月8日の日記）
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

財団法人の研究所に就職した同期のD君だけどね。
今日の日記に書いた女性を手込めにして楽しんで
いる輩も、実はD君を念頭に置いている。
2005年1月8日 (土) 01時36分28秒
http://geocities.yahoo.co.jp/gb/sign_view?member=arachan4553

７．博士号を取得しても職がなく、借金（奨学金）を返すことさえできない

もし、真剣に研究者を目指して、20代のすべてを研究に捧げ、それなりの成果をあげた
にも関わらず、７．のような状態に陥ったとしても、決して希望を捨てないで欲しい。
統計を取ったことはないが、このような状況での自殺者が結構いるのではないかと思う。
この状況は、1990年前後の受験戦争よりも、はるかに厳しい生きるか死ぬかの戦争で
ある。しかし、「勝ち負け」にこだわりすぎて、本当に死なないで欲しい。
（2004年12月14日の日記より）
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

あげんなバカ

>>あげんなバカ

Urusai!! AFOOOOOOO

記述を単純にするため、しばらくの間、H(F^p/F^q) をH(p/q)と
書くことにする。

可換図式

H(p/p+r)　→　H(p-r+1/p+1)
　　↓　　　　　　　↓
H(p+r/p+2r)　→　H(p+1/p+r+1)

から

Im(H(p/p+r)→H(p-r+1/p+1)) → Im(H(p+r/p+2r)→H(p+1/p+r+1))

が得られた。

この射は、

Im(H(p/p+r)→H(p-r+1/p+1)) → Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1))

と

Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1)) → Im(H(p/p+2r)→H(p+1/p+r+1))

の合成に分解される。

次の図式において、下の水平列は完全である。

　　　　　　H(p/p+r)　→　H(p-r+1/p+1)
　　　　　　　↓　　　　　　↓
H(p/p+r+1)→H(p/p+1)→H(p+1/p+r+1)

これから、

Z(p, r)/Z(p, r+1) は、Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1)) と同型になる。

次の図式においても、下の水平列は完全である。

　　　　　　　　H(p/p+r)
　　　　　　　　　↓
H(p-r+1/p+r+1)→H(p/p+1)→H(p-r+1/p+1)

これから、前(>>846)にみたように、

Z(p, r)/B(p, r) は、Im(H(p/p+r)→H(p-r+1/p+1)) と同型になる。

以上から、
射 Im(H(p/p+r)→H(p-r+1/p+1)) → Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1))
は、標準射 Z(p, r)/B(p, r) → Z(p, r)/Z(p, r+1) と同一視出来る。

次の図式において、下の水平列は完全である。

　　　　　　　H(p/p+r)
　　　　　　　　　↓
　　　　　　　H(p+r/p+2r)
　　　　　　　　　↓
H(p+1/p+r)→H(p+r/p+r+1)→H(p+1/p+r+1)

これから、
B(p+r, r+1)/B(p+r, r) は、Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1)) と同型
になる。

一方、Z(p+r, r)/B(p+r, r) は、Im(H(p+r/p+2r)→H(p+1/p+r+1))
と同型である(>>849)。よって、上の図から、
単射 Im(H(p/p+r)→H(p+1/p+r+1)) → Im(H(p+r/p+2r)→H(p+1/p+r+1))
は、標準単射 B(p+r, r+1)/B(p+r, r) → Z(p+r, r)/B(p+r, r)
と同一視できる。

以上から、
射 d^p: Im(H(p/p+r)→H(p-r+1/p+1)) → Im(H(p+r/p+2r)→H(p+1/p+r+1))
は

標準全射 Z(p, r)/B(p, r) → Z(p, r)/Z(p, r+1) と

同型　Z(p, r)/Z(p, r+1) → B(p+r, r+1)/B(p+r, r)

および、
標準単射 B(p+r, r+1)/B(p+r, r) → Z(p+r, r)/B(p+r, r)
の合成であることがわかった。
よって、Ker(d^p) = Z(p, r+1)/B(p, r)
Im(d^p) = B(p+r, r+1)/B(p+r, r)
となる。よって、
Ker(d^p)/Im(d^(p-r)) = Z(p, r+1)/B(p, r+1) = E(p, r+1)
となる。これで、(E(p, r), d^p) がスペクトル系列となることが
わかった。

ここで、E(p, r) が、我々が前に定義した (E_r)^p であることを
証明しよう。

Z(p, r) = Im(H(p/p+r)→H(p/p+1))
であった。

H(p/p+1) = (Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1))
H(p/p+r) = (Z_r)^p / (d(F^p) + F^(p+r))

よって、Z(p, r) = ((Z_r)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))

一方、
B(p, r) = Im(H(p-r+1/p)→H(p/p+1))
であった。

H(p-r+1/p) = (Z_(r-1))^(p-r+1) / (d(F^(p-r+1)) + F^p)
よって、B(p, r) = (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
よって、E(p, r) = Z(p, r)/B(p, r) =
((Z_r)^p + F^(p+1)) / (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + F^(p+1))
ここで、補題(>>810) より
上の右辺 = (Z_r)^p / (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + (Z_(r-1))^(p+1))
これは、定義(>>815)より
= (E_r)^p

Z(p, r) = Im(H(F^p/F^(p+r))→H(F^p/F^(p+1)))
において、形式的に r を∞にしたとき F^(p+r) = 0 と解釈して、
Z(p, ∞) = Im(H(F^p) → H(F^p/F^(p+1)))
と定義する。
同様に、
B(p, r) = Im(H(F^(p-r+1)/F^p)→H(F^p/F^(p+1)))
において、形式的に r を∞にしたとき F^(p-r+1) = K と解釈して、

B(p, ∞) = Im(H(K/F^p)→H(F^p/F^(p+1)))
と定義する。

E(p, ∞) = Z(p, ∞)/B(p, ∞) とおく。

　　　　　　　　H(F^p)
　　　　　　　　　↓
H(K/F^p) → H(F^p/F^(p+1)) → H(K/F^(p+1))
より、
E(p, ∞) = Im(H(F^p) → H(K/F^(p+1)))
となる。

一方、F^p(H(K)) = Im(H(F^p) → H(K)) と定義したことを思い
出そう(>>799)。

　　　　　　H(F^p)
　　　　　　　↓
H(F^(p+1)) → H(K) → H(K/F^(p+1))
より、
gr^p(H(K)) = F^p(H(K)) / F^(p+1)(H(K))
= Im(H(F^p) → H(K/F^(p+1)))
= E(p, ∞)
となる。

今までのところでわからないところがあったら質問して。

yoku wakaruzo!!!

悲しいとき

たこ焼きを買ったら、足の先しか入っていないとき

>>863

この手の話では、対象としている複体 F、K の対の具体例を幾つか提示して
それに絡めながら話を進められれば、未熟者にも大いに勉強になろう。

>>866
わかってるよ。ものには順序というものがる。
そうあせるな。この先、長いよ。

Z(p, ∞)とB(p, ∞)を具体的に求めよう。

(Z_∞)^p = F^p ∩ Z
(B_∞)^p = F^p ∩ B

と定義(>>816)したことを思いだそう。

Z(p, ∞) = Im(H(F^p) → H(F^p/F^(p+1)))
であった。

H(F^p) = (Z_∞)^p / d(F^p)
H(F^p/F^(p+1)) = (Z_1)^p / (d(F^p) + F^(p+1))

よって
Z(p, ∞) = ((Z_∞)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
となる。

B(p, ∞) = Im(H(K/F^p)→H(F^p/F^(p+1)))
であった。

H(K/F^p) = d^(-1)(F^p) / (d(K) + F^p)

よって
B(p, ∞) = ((B_∞)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
となる。

今まで述べたことより

B(p, r) ⊂ B(p, r+1) ⊂ B(p, ∞) ⊂ Z(p, ∞) ⊂ Z(p, r+1) ⊂ Z(p, r)

がわかる。これらはすべて H(F^p/F^(p+1)) の部分加群である。

B(p, 1) = 0
Z(p, 1) = H(F^p/F^(p+1))
よって
E(p, 1) = H(F^p/F^(p+1)) に注意する。

B(p, ∞) = ∪{B(p, r) | r ≧ 1}
であることは、
フィルター{F^p}がexhaustiveであることと、
>>861の
B(p, r) = (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
と
>>868の
B(p, ∞) = ((B_∞)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
よりわかる。

Janos Kollar' book

[rational curves on Algebraic Varieties]

deals with lot of applications of
Grothendieck's deformation theory
to show the existence of curves of varieties
having ample anticanonical line bundle.

【ついに立つ】上野健爾スレッド【親玉・本丸】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117714255

Z(p, ∞) = ∩{Z(p, r) | r ≧ 1}
は一般には成り立たない。

Z(p, r) = Im(H(F^p/F^(p+r)) → H(F^p/F~(p+1)))
Z(p, ∞) = Im(H(F^p) → H(F^p/F~(p+1)))
だから、フィルター(F^p)が離散的なら、
十分大きいrに対して Z(p, r) = Z(p, ∞) だから、
Z(p, ∞) = ∩{Z(p, r) | r ≧ 1} となる。
これは>>823でも述べておいた。

条件 Z(p, ∞) = Z(p, r) for r >> 1
がなぜ大事かというと、
これが成り立つと前(>>823)に述べたように
E(p, ∞) = ind.lim E(p, r) for r >> 1
となって、E(p, ∞) = gr^p(H(K)) が E(p, r) により決定される
からである。

フィルター(F^p)が離散的でなくても
条件 Z(p, ∞) = Z(p, r) for r >> 1
は成り立つ。

　　　　　H(F^p/F^(p+r))
　　　　　　　　↓
H(F^p) → H(F^p/F~(p+1)) → H(F^(p+1))

より、Z(p, ∞)/Z(p, r) = Im(H(F^p/F^(p+r)) → H(F^(p+1)))
となる。
H(F^p/F^(p+r)) → H(F^(p+1)) は
H(F^p/F^(p+r)) → H(F^(p+r)) → H(F^(p+1))
と分解されるから、H(F^(p+r)) = 0 for r >> 1 が成り立てば
Z(p, ∞) = Z(p, r) for r >> 1
となる。

あほ

K, K' をフィルター付き微分加群とし、
f: K → K' をフィルター付き微分加群としての射とする。
つまり、fd = df であり、f(F^p(K)) ⊂ F^p(K') がすべてのpで
成り立つ。
E(p, r) と E'(p, r) をそれぞれ K と K' のスペクトル系列とする。
E(p, r) = Z(p, r)/B(p, r) で
Z(p, r) = ((Z_r)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
B(p, r) = (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
であった(>>861)。
これから f(Z(p, r)) ⊂ Z'(p, r)
f(B(p, r)) ⊂ B'(p, r)
がわかる。
よって f は
(f_r)^p : E(p, r) → E'(p, r)
を誘導する。
fd = df だから (f_r)(d_r) = (d_r)(f_r)
となる。
よって、f_r は
H(f_r): H(E(p, r)) → H(E'(p, r))
を誘導する。
H(E(p, r)) = E(p, r+1)
H(E'(p, r)) = E'(p, r+1)
と見なせ(>>860)、この同一視により
f_(r+1) = H(f_r)
となる(各自、確かめられたい)。

さらに f は
(f_∞)^p : E(p, ∞) → E'(p, ∞)
と
H(f) : H(K) → H(K')
を誘導する。

命題
K, K' をフィルター付き微分加群とし、
f: K → K' をフィルター付き微分加群としての射とする。
K と K' のフィルターは離散的とする。
ある r ≧ 1 とすべての p に対して、
(f_r)^p : E(p, r) → E'(p, r)
が同型とする。
このとき
(f_s)^p : E(p, s) → E'(p, s)
がすべての s ≧ r で同型となり、
(f_∞)^p : E(p, ∞) → E'(p, ∞)
と
H(f) : H(K) → H(K')
も同型となる。

証明
f_r が同型なら H(f_r) も同型となる(例えば、ホモロジー完全系列よりわかる)。
H(f_r) = f_(r+1) だから、(f_s)^p : E(p, s) → E'(p, s)
がすべての s ≧ r で同型となる。
一方>>823より
E(p, ∞) = gr^p(H(K)) = ind.lim E(p, s)（s ≧ t)
E'(p, ∞) = gr^p(H(K')) = ind.lim E'(p, s)（s ≧ t) となる。
ここで、t は十分大きい整数。よって
(f_∞)^p : E(p, ∞) → E'(p, ∞)
も同型となる。
次の補題と>>820より
H(f) : H(K) → H(K')
も同型となる。

補題
K をフィルター付き微分加群とする。
K のフィルター (F^p(K)) が exhaustive なら、
H(K) のフィルター (F^p(H(K))) も exhaustive である。
ここで、いつものように、F^p(H(K)) = Im(H(F^p(K)) → H(K)) である。

証明
仮定より、K = ind.lim(p → -∞) F^p(K)
有向帰納極限(filtered inductive limit) は、
ホモロジー関手と可換だから、
H(K) = ind.lim H(F^p(K))
よって、H(K) = ∪ F^p(H(K))

>>873よりフィルター(F^p)が離散的でなくても
ある整数sに対して、H(F^p) = 0 for all p > s が成り立てば
>>876の命題は成り立つ。

いつも丁寧な翻訳ご苦労。
本富士警察署の上野警部補が感謝状を出したいそうです。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117834146/562

命題
K, K' をフィルター付き微分加群とし、
f, g: K → K' をフィルター付き微分加群としての射とし、
f - g = ds + sd が成り立つとする。
ここで、s: K → K' は加群としての射で、
s(F^p(K)) ⊂ F^(p-k)(K')
が全てのpについて成り立つとする。
kはpによらない整数 k≧1。
このとき、(f_r)^p = (g_r)^p が全てのpと全てのr＞kで成り立つ。
ここで、(f_r)^p と (g_r)^p は、それぞれfとgが
誘導する射：E(p, r) → E'(p, r)を表す。

>>880の命題の証明
Z(p, r) = ((Z_r)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
B(p, r) = (d((Z_(r-1))^(p-r+1)) + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
であった(>>861)。
よって、E(p, r) の元は (Z_r)^p(K) の元により代表される。
よって、x ∈ (Z_r)^p(K) のとき
f(x) - g(x) ∈ d((Z_(r-1))^(p-r+1)(K')) + F^(p+1)(K')
を示せばよい。

x∈(Z_r)^p(K) のとき d(x)∈F^(p+r)(K)
よって、sd(x) ∈F^(p+r-k)(K') ⊂ F^(p+1)(K') となる。
ds(x) = f(x) - g(x) - sd(x) であり、
f(x) - g(x) ∈ F^p(K') だから、
sd(x) ∈ F^(p+1)(K') ⊂ F^p(K') に注意して、
ds(x) ∈ F^p(K') となる。
一方、x∈F^p(K) だからs(x)∈F^(p-k)(K') ⊂ F^(p-r+1)(K')
となる。よって、ds(x) ∈ F^(p-r+1)(K') ∩ F^p(K')
= d((Z_(r-1))^(p-r+1)(K'))
証明終

藤原さん。この状況から、間違いの修正に成功して大論文を完成させれば
加藤、望月と並び称される「数論幾何大好き！」の数ヲタ達の憧れに必ず
なれますよ。がんばってくださいね！

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1103291936/506

>>880の命題の条件において、
(f_∞)^p = (g_∞)^p
も成り立つ。
これは、>>868の
Z(p, ∞) = ((Z_∞)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
B(p, ∞) = ((B_∞)^p + F^(p+1)) / (d(F^p) + F^(p+1))
から>>881と同様にしてわかる。

今まで複体の次数付けを無視してきたが、ここらへんで、それを
考慮しよう。K = (K^n, d^n) をフィルター付複体とする。
d^n は次数＋１の微分である。つまり、d^n: K^n → K^(n+1)
K のフィルター (F^p(K)) において各F^p(K)はKの部分複体である。
(F^p(K))^n = K^n ∩ F^p(K) と置く。
F^p(K) = Σ(F^p(K))^n である。
(F^p(K))^n はまた、F^(p,q)(K) とも書く。
ここで n = p + q である。
標準射 F^p/F^(p+r) → F^p/F^(p+1) により、
射 H^n(F^p/F^(p+r)) → H^n(F^p/F^(p+1)) が誘導される。
この射の像を Z_r(p,q) と置く(n = p＋q)。

連結射 H^n(F^(p-r+1)/F^p) → H^(n+1)(F^p/F^(p+1))
の像を B_r(p,q) と置く。
E_r(p,q) = Z_r(p,q) / B_r(p,q) と置く。

E(p, r) = ΣE_r(p,q) for q ∈ Z
となる。

微分 d_r: E(p, r) → E(p+r, r)
は K の微分 d によりひき起こされるから、
(d_r)^n: E(p, r)^n → E(p+r, r)^(n+1)
となる。
つまり、
(d_r)^n: E_r(p,q) → E_r(p+r,q-r+1)

E_r(p,q)のpをフィルター次数、qを補次数、nを全次数という。
E_∞(p,q)の定義もあきらかだろう。
E_∞(p,q) = gr^p(H^n(K)) である。
ここで、
gr^p(H^n(K)) = F^p(H^n(K)) / F^(p+1)(H^n(K))
であり、
F^p(H^n(K)) = Im(H^n(F^p(K)) → H^n(K))
である。

津川光太郎（名大多元数理・助教授）

非線形波動方程式の可解性、解の漸近挙動について研究しています。最近は特に、
水の表面波に興味を持っています。とても身近な対象であり、物理実験も行い易い
ため、多くの研究結果があります。これらの結果に対して数学的正当性を証明する
事と、その過程で解析手法を発展させる事が目的です。Bourgainによる理論以後、
ここ10年大きく発展中である調和解析的手法を用いて、新たな発見が得られるのでは
ないかと思っています。
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/people/faculty-07.html#tsugawa

スペクトル系列{E_r(p,q)}をイメージ的に思い浮かべるには、
重なった平面の列を考える。r番目の平面の座標(p,q)の
位置にE_r(p,q)が配置されていると考える。
(p,q)の位置から水平方向に+rだけ移動し、垂直方向に-r+1だけ
移動する（つまりr-1だけ真下に下がる）と、
そこに射 (d_r)^(p,q) : E_r(p,q) → E_r(p+r,q-r+1)
の標的 E_r(p+r,q-r+1) がある。
E_r(p,q) を標的とする射の定義域は、E_r(p-r,q+r-1) である。
つまり、(d_r)^(p-r,q+r-1) : E_r(p-r,q+r-1) → E_r(p,q)
E_(r+1)(p,q) = Ker((d_r)^(p,q))/Im((d_r)^(p-r,q+r-1))
だから、(p,q)の位置での複体E_rのホモロジー群をとると
次の平面の同じ座標(p,q)にある E_(r+1)(p,q) が得られる。
これを有限回または無限に繰り返すとE_∞(p,q)にたどりつく
(フィルターが良い条件を満たせば)。
nを固定したとき、直線 n = p+q にある点(p,q) にあるE_∞(p,q)
が gr^p(H^n(K)) である。

残念なことに、現在の理系大学院で学べることは「研究すること」だけと言っても良いのです。
そもそも研究者以外を育てる教育システムがありません。将来、研究者になることがはっきり
しているならば研究することだけを一所懸命やっていてもなんとかなるのかもしれません。
しかし、今は大学院を出た後で選ぶべきキャリアは研究者だけではないのです。逆に、大学院を
出たほとんどの人は研究者になれないのです。
そういう現実を踏まえたならば、大学院でただ指導されるままに研究だけやっていても
自分の将来にそれほど役に立たないかもしれないということはよくわかると思います。
大学院に入学したばかりの人に冷や水を浴びせるのは不本意なのですが、今から考え始めれば
まだ間に合うということで、明日の講義をお楽しみ（？）に。
http://shinka3.exblog.jp/1981001/

やはり、話を見やすくする為に、念頭に描くべき実務的な F^p , K の例を一つ
提示してくれ。

嗚呼北白川の望月よ

１　明くる数理の根本を　護る数学励（はげ）ぇまして
　　代数幾何を天地（あめつち）に　輝やかさんと征（い）でましし
　　ああ北白川の望月よ
２　数学オタ〜クの意気高く　ABC予想を攻略せんと
　　ホッジ・アラケロフの理論もち　健爾と笑（え）みて統（す）べませる
　　ああ北白川の望月よ
３　プリンストン〜出の御身（おんみ）にて　遠ア〜ベ〜ルの興隆に
　　グロ去りましてピレネーに　数論幾何を護る男（やつ）
　　ああ北白川の望月よ
４　想えグロタ〜ンの大偉業　掲げ奉（まつ）れる皇子（みこ）の如（ごと）
　　御魂（みたま）捧げし御勲（おんいさお）　いま大勝利収めゆく
　　ああ北白川の望月よ

メロディー：http://www.biwa.ne.jp/~kebuta/MIDI/MIDI-htm/AhAhKitashirakawanoMiya.htm

定義
フィルター付複体Kのフィルター(F^p(K))が以下の条件を満たすとする。

任意の整数nに対して整数s(n)が存在して、p > s(n) なら
常に H^n(F^p(K)) = 0 となる。

このとき、フィルター(F^p(K))は正則であるという。
ここで、暗黙に(F^p(K))はexhaustiveと仮定している。

>>873と同様にして、
Z_∞(p,q)/Z_r(p,q) = Im(H^n(F^p/F^(p+r)) → H^(n+1)(F^(p+1)))
となる。
H^n(F^p/F^(p+r)) → H^(n+1)(F^(p+1)) は、
H^n(F^p/F^(p+r)) → H^(n+1)(F^(p+r)) → H^(n+1)(F^(p+1))
と分解される。
よって、(F^p(K))が正則で、r > s(p+q+1) - p なら
Z_r(p,q) = Z_∞(p,q) となる。

>>889
これからたっぷりやるから、もうちょっと待ってくれ。

具体例を念頭に置かないと、折角の論議が頭に残らないのだよ。
逆に具体例を持っていれば、途中を省略しても議論を把握できる。

> 日本の賞は解析の中で談合してあげあってるだけでしょう。
> このなかから何人、ＩＣＭ行ってるの？
ラックスのアーベル賞は談合そのものだ。
応用数学って日本だけじゃなく世界的に
腐ってるんだねｗｗｗ

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117834146/735

まあ、予告編として、ちらっと紹介しよう。
例えば、CW複体Xをとる。Xのn-骨格をX^nとする。
Xの特異複体をK = S(X)、X^nの特異複体をS(X^n)とする。
F^p(K) = S(X^(-p)) とおけば、(F^p(K)) は K の部分複体F^p(K)
からなるフィルターとなる。これから得られるスペクトル系列は
E_1(p,q) = 0 が q が0以外で成り立つ。これから、
H^p(E_1(*,0)) = E_2(p,0) = H^p(K) となる(pは0または負の整数)。

>>893
だったら、具体例が出てくるまで読むのをやめればいい。
何も律儀に順を追って読む必要はない。

>>895
>H^p(E_1(*,0)) = E_2(p,0) = H^p(K) となる(pは0または負の整数)。

H^p(K) = H_(-p)(K) と定義する。右辺は普通の特異ホモロジー群。

>>799
thks

>>896

実際そうしているよ。コピーしておいて整形を進めているけど。

前にも書いたようにホモロジー代数というのは個別の命題の証明
は難しいもんじゃないんだが、motivationの維持が難しい。
この退屈さに挫折する人間がいかに多いことか。

ＩＣＭ自体が談合。全くの無意味

↑負け犬の〜

>>900
オイちゃん、それを言っちゃおしまいだよ

アホ

>>799
勉強されて戴いています。感謝！

そろそろ次スレを立てたらどうでしょうか?
放置状態なら暫くの間、参照できるでしょうから。

Tohoku･EGA翻訳進行中！
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117523095/50

>>891
>このとき、フィルター(F^p(K))は正則であるという。
>ここで、暗黙に(F^p(K))はexhaustiveと仮定している。

フィルター(F^p(K))が正則であるためには、(F^p(K))は分離的でなくともよい。

フィルター付複体Kのフィルター(F^p(K))が以下の条件を満たすとする。

任意の整数nに対して整数s(n)が存在して、F^s(n)(K) = 0 となる。

この条件が普通の応用ではよく現れる。
このとき、明らかにフィルター(F^p(K))は正則となる。

GodementやBourbakiなどは、この条件を満たすexhaustiveな
フィルターを正則といっている。

>>907
>任意の整数nに対して整数s(n)が存在して、F^s(n)(K) = 0 となる。

以下のように訂正する。

任意の整数nに対して整数s(n)が存在して、(F^s(n)(K))^n = 0 となる。
ここで、(F^s(n)(K))^n は部分複体 F^s(n)(K) の n次成分。

今更なんだけど念のために補足する。

>>873の図式

　　　　　H(F^p/F^(p+r))
　　　　　　　　↓
H(F^p) → H(F^p/F~(p+1)) → H(F^(p+1))

のように

　　T
　　↓
E → F → G

のような図式がよく出てきたが、
これは補題(>>844)における図式を略記したものである。
だから、E → T という斜めの射が省略されている。

ここで一息いれて今までのまとめをしよう。

フィルター付複体 K が与えられるとスペクトル系列 (E_r(p,q)) が得られた。
E_r(p,q) と E_∞(p,q) はフィルター(F^p(K))に何の条件もつけないで
定義されたことを注意しよう。(F^p(K))はexhaustiveでさえなくてもよい。
ただし、これだとE_r(p,q) から E_∞(p,q) が決まらない。

フィルター(F^p(K))がexhaustiveであると、
B_∞(p,q) = ∪{B_r(p,q) | r ≧ 1} となった(>>799)。
よって、
Z_∞(p,q) = ∩{Z_∞(p,q) | r ≧ 1} となれば、
E_r(p,q) からE_∞(p,q) が決まる。
このとき、Cartan-Eilenbergでは、スペクトル系列 (E_r(p,q)) は弱収束する
(weakly convergent)と呼んでいる。
>>891で見たように、フィルター(F^p(K))が正則なら、弱収束する。

(続く)

K, K' をフィルター付き微分加群とし、
f: K → K' をフィルター付き微分加群としての射とする。
>>875で見たように、f は
f_r : E_r(p,q)(K) → E_r(p,q)(K') と
f_∞ : E_∞(p,q)(K) → E_∞(p,q)(K')
を誘導する。

ここで、f_2 : E_2(p,q)(K) → E_2(p,q)(K') が同型だと仮定しよう。
すると、>>876の命題の証明でみたように、
r ≧ 2 なら f_r : E_r(p,q)(K) → E_r(p,q)(K') は同型となる。
フィルター(F^p(K)) と、(F^p(K')) が弱収束(>>910) すれば、
f_∞ : E_∞(p,q)(K) → E_∞(p,q)(K') も同型になる。
ここで、gr^p(H^n(K)) = E_∞(p,q) であったことを思いだそう(>>862)。
フィルター(F^p(K)) がexhaustiveなら H^n(K) のフィルター (F^p(H^n(K)))
もexhaustiveである(>>877)。
よって、(F^p(K))と(F^p(K))がexhaustiveかつ
H^n(K) = proj.lim H^n(K)/F^p(H^n(K)), p → ∞
(つまり、フィルター(F^p(H^n(K)))が完備)
で、フィルター (F^p(H^n(K')))が分離的なら、
H^n(K) → H^n(K') も同型になる(>>821と>>843)。

247 名前：１３２人目の素数さん ：2005/06/20(月) 14:12:48
Tohokuのオリジナルな部分って何なの？
最終章は読んでないのでわからないけど、それ以外は
CEのホモロジー代数をアーベル圏で展開しただけのような
気がする。
248 名前：１３２人目の素数さん ：2005/06/20(月) 15:06:19
そこが大事なんだよ
249 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/20(月) 16:26:35
大事なのはいいけど、それだけならBuchsbaumもCEの付録に
似たようなこと書いてるわけで。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117523095/247-

>>912
それ俺が書いたものなんだけど。
強いてあげれば、層係数コホモロジーをΓの導来関手として
定義したことかな。

>>913
グロタン様のご威光が低下しますね。

Tohokuのオリジナルな部分って
sheafcategoryがenoughinjectiveであることを示したっていうのはどう？

>>915
Godementが簡単かつ直接的な証明をしている。TohokuでもGodementの
証明を紹介している。

これからスペクトル系列を応用する場合に必要となるいくつかの
簡単な命題を証明していく。

あるフィルター付複体 K が与えられているとし、それから得られる
スペクトル系列 (E_r(p,q)) を考える。

ある r≧1 と整数の組 (p,q) に対して E_r(p,q) = 0 なら
E_s(p,q) = 0 が任意の s > r に対して成り立つ。

これは
B_r(p,q) ⊂ B_s(p,q) ⊂ Z_s(p,q) ⊂ Z_r(p,q)
から明らか(>>869)。

B_r(p,q) ⊂ B_∞(p,q) ⊂ Z_∞(p,q) ⊂ Z_r(p,q)
だから E_∞(p,q) = 0 ともなる。

ここでスペクトル系列を定義する複体 K のフィルター(F^p(K))
には何の条件もつけていないことに注意しよう。

q < 0 のとき E_2(p,q) = 0 とする。
つまり非零のE_2(p,q)は上半平面のみにあるとする。
>>917より q < 0 のとき E_r(p,q) = 0 が任意の
r≧2 で成り立つ。

d_2 : E_2(p,0) → E_2(p+2,-1) = 0
だから Z_3(p,0) = Z_2(p,0) となる。
同様に、r≧2 なら Z_r(p,0) = Z_2(p,0) となる。
よってフィルター(F^p(K))が正則(>>891)なら、
Z_∞(p,0) = Z_2(p,0) となる。
B_2(p,q) ⊂ B_∞(p,0) ⊂ Z_∞(p,0) = Z_2(p,0)
だから、全射 E_2(p,0) → E_∞(p,0) が得られる。
この核は B_∞(p,0)/B_2(p,q) である。
一方、E_∞(p,q) は gr^p(H^n(K)) = F^p(H^n(K))/F^(p+1)(H^n(K))
に同型であった(>>862)。ここで、n = p + q。
>>917より q < 0 のとき E_∞(p,q) = gr^p(H^(p+q)(K)) = 0 だから、
F^(p+1)(H^p(K)) = F^(p+2)(H^p(K)) = F^(p+3)(H^p(K)) ．．．
となる。よってフィルター(F^p(K))が正則(>>891)なら、
フィルター(F^p(H^n(K))) は離散的となるから、
F^(p+1)(H^p(K)) = 0 となる。
つまり、E_∞(p,0) = gr^p(H^p(K)) = F^p(H^p(K)) となる。
全射 E_2(p,0) → E_∞(p,0) と
単射 F^p(H^p(K)) → H^p(K) を組合わせて
射 E_2(p,0) → H^p(K) が得られた。

この射を上半平面スペクトル系列 (E_r(p,q)) の辺射と呼ぶ。

そろそろ誰か別スレを立ててくれないか？

p < 0 のとき E_2(p,q) = 0 とする。
つまり非零のE_2(p,q)は右半平面のみにあるとする。
>>917より p < 0 のとき E_r(p,q) = 0 が任意の
r≧2 で成り立つ。

d_2 : 0 = E_2(-2,q+1) → E_2(0,q)
だから B_3(0,q) = 0 となる。よって、E_3(0,q) = Z_3(0,q)となる。
同様に、r≧2 なら B_r(0,q) = 0、E_r(0,q) = Z_r(0,q)となる。
B_∞(0,q) = ∪{B_r(0,q) | r ≧ 1} (>>869) だから、
B_∞(0,q) = 0 となる。
0 = B_2(0,q) = B_∞(0,q) ⊂ Z_∞(0,q) ⊂ Z_2(0,q)
だから、単射 E_∞(0,q) → E_2(0,q) が得られる。

一方、p < 0 のとき E_∞(p,q) = gr^p(H^(p+q)(K)) = 0 だから、
F^0(H^q(K)) = F^(-1)(H^q(K)) = F^(-2)(H^q(K)) ．．．
となる。フィルター(F^p(K))はexhaustiveだから、
フィルター(F^p(H^n(K))) もexhaustiveとなる(>>877)。
よって、F^0(H^q(K)) = H^q(K) となる。
よって、標準全射 H^q(K) → E_∞(0,q) が得られる。
これと、単射 E_∞(0,q) → E_2(0,q) を組合わせて

射 H^q(K) → E_2(0,q) が得られた。

この射を右半平面スペクトル系列 (E_r(p,q)) の辺射と呼ぶ。
この射はフィルター(F^p(K))が正則でなくてもexhaustiveで
ありさえすれば得られたことに注意しよう。

q ≠ 0 のとき E_2(p,q) = 0 よって、とする。
つまり非零のE_2(p,q)はＸ軸のみにあるとする。

d_2 : 0 = E_2(p-2,1) → E_2(p,0)
だから、B_3(p,0) = B_2(p,0)となる。
d_2 : E_2(p,0) → E_2(p+2,-1) = 0
だから、Z_3(p,0) = Z_2(p,0)となる。
よって、E_3(p,0) = E_2(p,0)
同様にして、r≧2 なら、
B_r(p,0) = B_2(p,0)
Z_r(p,0) = Z_2(p,0)
E_r(p,0) = E_2(p,0)
となる。よって、フィルター(F^p(K))が正則なら
E_∞(p,0) = E_2(p,0)
となる。
一方、>>917より q ≠ 0 のとき E_∞(p,q) = gr^p(H^(p+q)(K)) = 0
となる。
フィルター(F^p(K))が正則なとき、
フィルター(F^p(H^n(K))) は離散的となるから、
H^p(K) = E_∞(p,0) となる。
よって、H^p(K) は、E_2(p,0) と同型になる。
この同型は、>>918 の辺射 E_2(p,0) → H^p(K) により
得られることは明らかだろう。

>>920
以下のように訂正する。

>d_2 : 0 = E_2(-2,q+1) → E_2(0,q)
>だから B_3(0,q) = 0 となる。よって、E_3(0,q) = Z_3(0,q)となる。
>同様に、r≧2 なら B_r(0,q) = 0、E_r(0,q) = Z_r(0,q)となる。
>B_∞(0,q) = ∪{B_r(0,q) | r ≧ 1} (>>869) だから、
>B_∞(0,q) = 0 となる。
>0 = B_2(0,q) = B_∞(0,q) ⊂ Z_∞(0,q) ⊂ Z_2(0,q)
>だから、単射 E_∞(0,q) → E_2(0,q) が得られる。

d_2 : 0 = E_2(-2,q+1) → E_2(0,q)
だから B_3(0,q) = B_2(0,q) となる。
同様に、r≧2 なら B_r(0,q) = B_2(0,q)となる。
B_∞(0,q) = ∪{B_r(0,q) | r ≧ 1} (>>869) だから、
B_∞(0,q) = B_2(0,q) となる。
B_2(0,q) = B_∞(0,q) ⊂ Z_∞(0,q) ⊂ Z_2(0,q)
だから、単射 E_∞(0,q) → E_2(0,q) が得られる。

>>921の条件が成立つとき、つまり非零のE_2(p,q)はＸ軸のみにある
とき、スペクトル系列 (E_r(p,q)) は退化しているという。
スペクトル系列の応用例の圧倒的多数は、この退化する場合である。

p ≠ 0 のとき E_2(p,q) = 0 とする。
つまり非零のE_2(p,q)はＹ軸のみにあるとする。

>>921と同様にして、フィルター(F^p(K))が正則なら
H^q(K) は、E_2(0,q) と同型になる(各自確かめられたい)。
この同型は、>>920 の辺射 H^q(K) → E_2(0,q) により
得られることは明らかだろう。

この場合もスペクトル系列 (E_r(p,q)) は退化しているという。

p < 0 または q < 0 のとき E_2(p,q) = 0 とする。
つまり非零のE_2(p,q)は第一象限のみにあるとする。
フィルター(F^p(K))が正則なら、以下の完全系列が得られる。

0 → E_2(1,0) → H^1(K) → E_2(0,1) → E_2(2,0) → H^2(K)

ここで、E_2(0,1) → E_2(2,0) は微分射であり、
その他(0 → E_2(1,0)を除く)は辺射である。

この列を第一象限スペクトル系列 (E_r(p,q)) の低次数の完全系列と呼ぶ。

H^n(K) を H^n と略記する。

>>925の 0 → E_2(1,0) → H^1 の完全性の証明：

E_2(1,0) を中心とする微分射の列、
E_2(-1,1) → E_2(1,0) → E_2(3,-1)
の両端は０だから、E_2(1,0) = E_3(1,0) となる。
同様に、E_∞(1,0) = E_2(1,0)

E_∞(1,0) = gr^1(H^1) = F^1(H^1)
だから(>>918)
E_2(1,0) → H^1 は単射となる。


>>925の E_2(1,0) → H^1 → E_2(0,1) の完全性の証明：
H^1 → E_2(0,1) は
全射: F^0(H^1) = H^1 → E_∞(0,1) = F^0(H^1)/F^1(H^1)
と単射: E_∞(0,1) → E_2(0,1) の合成だから(>>920)、
その核は、F^1(H^1) である。
これは、上でみたように E_2(1,0) である。

>>925の H^1 → E_2(0,1) → E_2(2,0) の完全性の証明：

上でみたように、H^1 → E_2(0,1) の像は、E_∞(0,1)
一方、d_2: 0 = E_2(-2,2) → E_2(0,1)
だから、
E_2(0,1) → E_2(2,0) の核は、E_3(0,1) である。
E_3(0,1) を中心とする微分射の列、
E_3(-3,3) → E_3(0,1) → E_3(3,-1)
の両端は０だから、E_3(0,1) = E_4(0,1) となる。
同様にして、E_3(0,1) = E_∞(0,1) となる。

>>925の E_2(0,1) → E_2(2,0) → H^2 の完全性の証明：

E_3(2,0) を中心とする微分射の列、
E_3(-1,2) → E_3(2,0) → E_3(5,-2)
の両端は０だから、E_3(2,0) = E_4(2,0) となる。
同様にして、E_3(2,0) = E_∞(2,0) となる。
よって、全射 E_2(2,0) → E_∞(2,0) の核は
E_2(0,1) → E_2(2,0) の像となる。

E_2(2,0) → H^2 は
全射 E_2(2,0) → E_∞(2,0) と
単射 F^2(H^2) → H^2 を組合わせて
得られた(>>918)ことに注意すればよい。

退化するスペクトル系列(>>921)の次に簡単なのは、ある整数 n ≧ 1 が
あり、q ≠ 0, n のとき E_2(p,q) = 0 となる場合である。
このときフィルター(F^p(K))が正則なら、以下の完全系列が得られる。

... → E_2(p,0) → H^p → E_2(p-n,n) → E_2(p+1,0) → H^(p+1)
→ E_2(p+1-n,n) → ...

この証明の前に次の補題を用意する。

補題
フィルター付加群 E のフィルター(F^p(E))が有限(>>818)とする。
さらにある整数 s, t (s > t) があって p ≠ s, t のとき
gr^p(E) = 0 とする。このとき、次の完全系列が得られる。
0 → gr^t(E) → E → gr^s(E) → 0

証明は簡単なので各自に任せる。

>>928の証明

E_r(p-n,n) を中心とする微分射は以下のようになる。

E_r(p-n-r,n+r-1) → E_r(p-n,n) → E_r(p-n+r,n-r+1)

よって、r≧2 なら、微分射 d_r が0とならない可能性のあるのは、
r = n+1 で d_(n+1) : E_(n+1)(p-n,n) → E_(n+1)(p+1,0)
のときだけである。
よって、
E_2(p-n,n) = E_(n+1)(p-n,n)
E_2(p+1,0) = E_(n+1)(p+1,0)
となり、
E_(n+1)(p-n,n) → E_(n+1)(p+1,0) の核は E_∞(p-n,n) となる。
一方、補題(>>928)より次の完全列がある。
0 → E_∞(p,0) → H^p → E_∞(p-n,n) → 0
これより、>>928の完全系列が得られる

>>928と対照的なケースとして、ある整数 n ≧ 2 が
あり、p ≠ 0, n のとき E_2(p,q) = 0 となる場合を考えよう。
このときフィルター(F^p(K))が正則なら、以下の完全系列が得られる。

... → E_2(n,q-n) → H^q → E_2(0,q) → E_2(n,q-n+1) → H^(q+1)
→ E_2(0,q+1) → ...

証明
E_r(p,q) を中心とする微分射は以下のようになる。

E_r(p-r,q+r-1) → E_r(p,q) → E_r(p+r,q-r+1)

よって、r≧2 なら、微分射 d_r が0とならない可能性のあるのは、
r = n で d_n : E_n(0,q) → E_n(n,q-n+1)
のときだけである。後は>>929と同様に証明できる。

自己満足厨が一人居るな

>>931

君には理解できまいが、読み手が何人もいるのだよ。
799 頑張れ。

オナニーだな

訂正
>>928
>補題
>フィルター付加群 E のフィルター(F^p(E))が有限(>>818)とする。

フィルター付加群 E のフィルター(F^p(E))はexhaustiveかつ分離的とする。

p ≠ 0, 1 のとき E_2(p,q) = 0 となる場合を考えよう。
このときフィルター(F^p(K))が正則なら、以下の完全系列が得られる。

0 → E_∞(1,q-1) → H^q → E_∞(0,q) → 0

証明は>>928の補題より明かだろう。

>>918以降のスペクトル系列の命題のそれぞれに対して、
双対的命題が成り立つ(ただし、退化する場合のように自己双対となる
場合もある)。

例えば、>>918の双対:
q > 0 のとき E_2(p,q) = 0 となるとする。
つまり非零のE_2(p,q)は下半平面のみにある。
このとき、射 H^p(K) → E_2(p,0)が得られる。

この射を下半平面スペクトル系列 (E_r(p,q)) の辺射と呼ぶ。

この命題の証明は省略する。
その他の双対的命題を記述し証明することも省略する(演習問題とする)。

任意の整数 n に対して、n = p + q で E_2(p,q) = 0 となる
(p,q) の組が有限個の場合、このスペクトル系列を有界という。
第一象限スペクトル系列は有界である。
正則なフィルター(F^p(K))から得られるスペクトル系列が有界のとき
E_2(p,q) ⇒ H^n
と書く。
p がフィルター次数であることを強調する場合は
E_2(p,q) ⇒_p H^n
と書く。

E_r(p,q) を中心とする微分射は以下のようになる。

E_r(p-r,q+r-1) → E_r(p,q) → E_r(p+r,q-r+1)

スペクトル系列が有界なら、十分大きい r≧2 に対して、この両辺とも
0 になる。よって、 s≧r なら
E_s(p,q) = E_r(p,q) となる。
よってフィルター(F^p(K)) が正則なら E_∞(p,q) = E_r(p,q) となる。
このとき、H^n のフィルター (F^p(H^n)) は有限である。
何故なら、gr^p(H^n) = E_∞(p,n-p) であり、n を固定したとき、
仮定から、E_∞(p,n-p) ≠ 0 となる p は有限個しかないし、
フィルター (F^p(H^n)) は 正則なフィルター(F^p(K)) から得られるから
exhaustiveで離散的だからである。

スペクトル系列は、p、q、r、s、t、と、どんどん
足を増やしていくことはできないんですか？

>>938
聞いたことない。これ以上複雑にしてもいいことありそうにないし。
スペクトル系列で手に負えない問題は導来圏に任すという手もある。

数学板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、蚊、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、豚野郎、畜生、鬼畜、悪鬼、邪気、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、ボッコ、ろくでなし、ヒ素、青酸、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、奥田碩、おおさか人、上新庄、あう使い、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

代数幾何でスペクトル系列が現れるのはそれが２重複体から
得られる場合がほとんどである。
よって、これから２重複体の話をしよう。

加群の圏、もっと一般にアーベル圏における２重複体 K
というのは２重次数のついた族 K = (K^(p,q)) (p,q は整数) で
２種類の射
d': K^(p,q) → K^(p+1,q)
d": K^(p,q) → K^(p,q+1)
があり、
関係式
d'd' = 0
d"d" = 0
d"d' = d'd"
を満たすものをいう。
d', d"をそれぞれ、水平微分、垂直微分と呼ぶ。

K^n = ΣK^(p,q), n = p+q
d^n = Σ((d')^(p,q) + (-1)^p (d")^(p,q)) とおけば、
d^(n+1)d^n = 0 となって、(K^n, d^n) は１重複体となる。
この１重複体を K の１重化と呼び Tot(K) と書く。
誤解の恐れのない場合 Tot(K) を単に K と書く場合もある。
アーベル圏で考えるときは、K^n = ΣK^(p,q) が無限直和になる場合、
この圏での無限直和の存在を仮定する。

p を固定して q を変化させると１重複体 K^(p,*) が得られる。
"H^(p,q)(K) = H^q(K^(p,*)) と置く。
"H(K)= ("H^(p,q)(K)) は２重複体である。
この垂直微分は 0 であり、
水平微分は K の水平微分 d' から誘導される。

同様に１重複体 K^(*,q) と
２重複体 'H(K) = (H^p(K^(*,q)) が得られる。

２重複体 K の部分複体 'F^p(K) を以下のように定義する。

i≧p のとき 'F^p(K) の(i,j) 成分は K^(i,j)。
i < p のとき 'F^p(K) の(i,j) 成分は 0。

('F^p(K)) を K の第１フィルターと呼ぶ。

２重複体 K の部分複体 "F^q(K) を以下のように定義する。

j≧q のとき "F^q(K) の(i,j) 成分は K^(i,j)。
j < q のとき "F^q(K) の(i,j) 成分は 0。

("F^q(K)) を K の第２フィルターと呼ぶ。