【カントールの】対角線論法【にぎりっ屁】

対角線論法って１対１対応の二重基準の上に成り立ってるから、
だめだ。
詳しくは話せない。準備ができてない。
要するにですよ、自然数と偶数は１対１対応だといってるわけですよね。
でも、普通に考えて、偶数の方が少ないじゃないですか。
でも、無限に対応させられるから、１対１だと。
偶数の気持ちになってみてほしい。
「にゃろめ〜、こっちがあたらしい玉出すたびに倍になりやがって、
いつまでたっても倍、でもな、でもな、おれはいつまでもおめぇを
追いかけられるぜベイベー」

１対１対応は２種類ある。
カントルちんは知らぬ振りをしたぽ。
その罪は大きすぎるな。
対角線論法が誤りだと広く知られるのは、、、
５０年後くらいかな。そのとき、２１世紀はじめに
そのことにいちはやく気づいていた日本人が２ｃｈにいた、と
記事に書かれることはないか。まぁ、そのとき、あぁ、そういえばと、
この書き込みを思い出して欲しい。

2

別に、数が少ないか多いかは関係ないんだよ。

AとBが1:1関係のとき、同じ濃度って決めてるだけで
個数が同じとは言っていないでしょう

私も対角線論法に少し疑問を持ってました。表に現れない数を考えられるけど、その数って具体的に
なんだ？とか思ったりしました。
でも、実数でないと表に現れない数とか考えられませんものね。
やっぱり正しいんだと思いました。
１さんありがとう。
素人が失礼しました。

また同じような議論を繰り返すのか・・


カントールの対角線論法は間違っている
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061842550/

いや，あの頃のような香具師はもういない。(>>1は除く。)
俺はそう信じる。

「ぶつぶつ、ひろすえって裏切り者じゃない。やっぱ牧瀬りほが
純真なんだよね。」とかなんとか猛スピードの自転車に乗りながら
口走っちゃてる香具師、は俺じゃないよ。

>>3
個数が同じ１対１と個数の違う１対１があると？
対角線論法はどちらで仮定してるのかな？ｗ

>7
そもそも無限集合に個数なんて存在しませんが

>>8
そうか。じゃぁ一体なんなんだ？全体的に一体なにが
どうなってるんだ！おかしいよっ！それは分かるんだ。
おかしいんだ。どうにかして下さい。

とりあえず、個数と濃度の区別も付かないヴァカが吠えるのはやめなさい。

液体の濃度

水が９０�c
食塩が１０�cなら
濃度は１０：９０＋１０で、１０％だよ

>>10
キミは今、人生のおおきなおおきな舞台に立ち、
どうする？踊るか？それともそういう風にヤサグレて
いるのか？

偶数と奇数の個数っておなじじゃなーい？（きゃぴっ）
正の数と負の数の個数っておなじじゃなーい？（きゅんっ）

個数が違うのに濃度は同じって変じゃない？（みー！？）
３の倍数も４の倍数も、、、、ぜんぶぜんぶ自然数と１対１対応で
濃度が同じ！？
濃度っておかしいね。そんなおかしなものに振り回されて、
「わたしは見た。だが、信じられない」とかなんとか言ってるの
見てらんないｗ。

やっぱり、　　ま　　　た　　　お　　　ま　　　え　　　か　　　。

1/2=0.500000・・・
1/3=0.333333・・・
2/3=0.666666・・・
1/4=0.250000・・・
2/4=0.500000・・・
3/4=0.750000・・・
・・・・

で対角線論法を行う（成分が１だったら０、１以外だったら１）と、
出てくる少数は無理数。

-----------------
これをなんかいじって面白げなことできないかな？

>>14
できない。直感。

無限になってくると、並１対１対応と追１対１対応と２種類ある
わけだよ。うん。詳しくは述べられない。
そこでだ。対角線論法は並１対１対応を仮定していると睨んでいる。
でだ、追１対１対応は残っている。それが可能でないとは述べられていない。
「半端もんや！」
ちゅうわけだ。
わかるだろ。この板の人なら。

n→2n という写像でも、n→4n でも
自然数の集合から偶数の集合への単射になってるだろ。

だけど A, B が有限集合で、A の個数が B の個数より多い場合は、
A から B への単射はない。

A→Bが全射なら濃度は
Aの大きい

> Aの大きい
これは明かに意味不明だが、
Aのほうが大きい、という意味ではないので間違ってるわけではない。

そう言いたいのか?

いや、Aのほうが大きいって言いたかったんだよ。

本当は三通り有るんだけどね。一対一。

Ａ→Ｂが全射なら集合の濃度はＡのほうが大きい
Ａ→Ｂが単射なら集合の濃度はＢのほうが大きい
Ａ→Ｂが全単射ならどちらも同じ濃度である。

昨日授業で習ったんだけど、全くわかんなかったっす…対角線論法…

わからなくてもいいよ。
対角線論なんてしらなくても多分数学をやるのに困らないし。

すくなくとも、俺は対角線論をしっているが、その論をしっていて
得したことは一度もない。ただ、実数全体の濃度が、自然数全体の濃度より
大きいということだけは知らなきゃあとで困る。

とりあえず覚えろ。実数の濃度＞自然数の濃度

眠い。おやすみ。
３種類あるの？なんだろね？

>>17
nが１のとき２ｎは２だけど、その２は自然数の２でもあるわけで、
そのとき、自然数は２までとなる。
ｎが２のとき２ｎは４だけど、その４は自然数の４でもあるわけで、
そのとき、自然数は４まである。

眠い。

1は対角線論法以前に、全射や単射が理解できていない(できない?)ということで終了。

どうも、対角線論法を議論すると平行線になりがちだ。

>>27

実にセンスあるレス

落ち着け、おちけつ、陣伍朗。
自然数ｎ、偶数２ｎ、んが、２ｎは自然数。
自然数２ｎの立場は？有限なら問題ないけど、無限だから。

あぅあぅ、おっとせいおっとせい、ぶんげんまるちんまにあ、。
無限集合は膨張しているわけだな。膨張する宇宙（ソラ）。
がくがくぶるぶる、ソラは無限集合なんだ。
世界は集合ですか？
違うね。
「規定するな俺を」
生活は写像そのものだな。

あ、どうでもいいや。

無限の１対１対応は見せかけの１対１対応だな。
見かけ上そう見えるわけだ。そこんとこ厳密に考え直さないといかんね。
濃度って数学らしからぬ非厳密だな。

じゃあおまえが新しい概念を考えろ。

集合っていうのは数学とは全く関係がない。
物事を、より考えやすくするための方法にすぎない。
考え方の考え方っていうのかな。別に集合から直接導き出せる数学の定理なんて存在しないし

１さん
コンピュータで実数を扱うことを考えて見て下さいなどといって見る。test

１対１対応ってのは置換公理を
逆さにしたものだろ

まったく関係がない、は言い過ぎだろ。

普通の人は、何かについて疑問をもったとき「どうしてこれはこうなんだろう？不思議だな」
と思ってそれを勉強する励みにするんだけど、たまーに1みたいに「どうしてこれはこうなん
だろう？いや、こんなはずはない！これは間違っている！」と思うやつが居るんだよね。
何なんだろうね。

一般向けの啓蒙書で取り上げられるネタは、>>1のようなデンパから
よくちょっかいを出される。(対角線論法、不完全性定理、四色問題、etc)
基本ができてないのに、背伸びしてそういう本を読もうとするからでしょう。

５０年後だよ５０年後、、、。
「真実は埋もれるのか。でも、でも、でじもん」
「たかとぉ〜、あはっ」

カントールの写真て見たことあるよな。あのおっちゃんが、にぎりっぺするとこ
想像してみるとわらう。対角線論法というにぎりっぺ。おまいら喜んでかいで
るんだよなぁｗ

いつまでも同じ行動パターンで
板の人間に構ってもらえると考えている君が
笑えます

>>24
＞俺は対角線論をしっているが、
＞その論をしっていて得したことは
＞一度もない。

そりゃそうだ。
そもそも濃度って数学的には不毛。
連続体仮説だって決定不能だし。

「板の人間」なのかよｗ。

板前の人間もいますよ。お客さん。w

出前はいません。

>>39
> 連続体仮説だって決定不能だし。
ZFC で連続体仮説は決定可能です。

>>1
点滴でも打って寝てろ。

>>1
点滴でも打って50年寝てろ。

相対性理論は間違っている！
速く動くものが時間が遅れるとか意味不明だしｗ

>>46

相対性理論ってホント？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/sci/1053135849/
相対性理論は間違っていたのか？！
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/sci/1044879475/

>>46,47
点滴でも打って50年寝てろ。

で、何の話してるの？

まぁ、いいや。

こういう議論をしていると分からなくなります。
何が正しくて何が間違いなのか。

「自然数の個数っていくつ？」
「無限集合に個数なんてないよ」
「それはさそれはさそれはさ、貴下の信じている数学のむーちょむーちょな
わけで、正しさを固定しないでくれ」

ナニガタダシクテナニガアヤマリナノカ？
？カノナリマヤアガニナテクシダタガニナ

見かけ上の１対１対応。それをもとにした濃度という概念。
そして、見かけ上の１対１対応を背理に使う対角線論法。
１対１対応の分類下では対角線論法は必要十分ではないという事実。

、、、５０年後か、、、。

板の人間で濃度を信じてる人って、実は少数派かも？

少ない・個数の定義をまず自分でしろ。

まず無限集合があって次にその部分集合があって
自然数の集合を作るために選択関数を決めて、一つ
一つ出て来たものを自然数を含む集合とする。（一つだけではない）
最初の無限集合から出てくる部分集合の中から上の
自然数を含む集合を全部集めてその共通集合
をとったものが自然数という集合なんですか？

定義って禁句にしない？
なんかなぁ、違うんだよ。今、定義は必要ないと思われる。
５０年後というわけじゃないけど。
てかさ、定義の定義をしてくれよ。ってな感じ。
「もっとこうさー！」（涙目で咆哮）

分かる数学。これからの時代、高卒の人がちょこっと読んだら
分かるような、そういう数学でないと、数学は氏ぬ。

個数の定義：
みかんが１っこ、あんまんが１っこ、おまんじゅうが１っこ、
それが個数だよ。

これで、分かりやすくない？うん、うん、うん。俺はそう思う。

で、何の話してるんだっけ？
論点が絞れてないよな。
俺に司会進行は荷が重いぽ。
それが１の役目ではあるのだけれど。
なんてのかな、レベルの差って議論しにくいよね。
教授レベルがでばってくれないと、俺では役不足だな。

わかりやすくない。それでどうやって奇数の個数と自然数の個数を比べりゃいいんだ

>>53
そうか？
どうわからないよ？

>>1
ふざけるなら、もうちょっと面白くしてください。

>>55
わかいなぁ。

>>1
「見せかけの１対１対応」とそうでない１対１対応の違いを詳しく説明せよ。

>>52
やくぶそく 【役不足】

(1)俳優などが与えられた役に満足しないこと。
(2)能力に対して、役目が軽すぎること。
「―で物足りない」

ttp://www.mainichi.co.jp/life/bebe/news/2003/0620-2.html

もう確信犯の用法に「悪いことと分かっていながらの行為・犯罪」を加えてもいいだろ…

> 高卒の人がちょこっと読んだら
> 分かるような、そういう数学でないと、数学は氏ぬ。

そうしないと氏ぬならやむなし。

死ぬのは高卒でしょ。　それはホントっぽい。　どうしようか？ >>63

定義せずに語る馬鹿は哲板逝け

高卒程度の数学はどうにか理解できる気がするから、
「高卒の人がちょこっと読んだら〜」というレベルの数学は許容する。
それ以上のレベルでは自分の理解力が及ばないのを認めたくないから、
数学の方が間違っているんだとか分かりにくすぎるんだとか主張する。

0から1までの無限小数展開された実数は
ちゃんと定義されていない
自然数とそのような定義されていない実数を
どうやって対応させていくのか？

あっ定義されてることを
仮定してたんですね。
ゴメンナサイ

おはよう

１さん
めげない根性を分けて下さい。

てすつ

実の代数的数を並べられると仮定して、その小数展開を列挙して表に並べておく。
(縱も横も可算無限の欄を持った紙が必要だが)
そうして、その対角線を集めた実数を構成できたとしてみよう、すると
その実数はこの表には表われていない。
よって、代数的数は可算ではない。
さて、この証明の誤りはあるやいなや、あるとすればどこが間違っている
かを答えよ。(15点)

>>70
「よって」の意味が分からない。
構成した実数が表に現れてないと何か矛盾が生じるの？

>>71
生じません。正解。

>>71強ええ・・・
意味分かってないのに答えやがった(笑)

いやちゃんと分かってるから
って、野暮か

んじゃ俺も「誤り見つけ問題」を一つ。
今思いついた自作。

>>75
あ，俺ｱﾌｫ工房だから。手加減してくれ。(氏

有理数を下のように列挙する。（重複を含むが問題ないので無視）

1/2=0.500000・・・
1/3=0.333333・・・
2/3=0.666666・・・ 　　------------------（☆）
1/4=0.250000・・・ 　
2/4=0.500000・・・
3/4=0.750000・・・
・・・

これを
「表の一番上にある、小数第１位が０以外である有理数」を１番目に、
「残った中で一番上にある、小数第２位が０である有理数」を２番目に、
「残った中で一番上にある、小数第３位が０以外である有理数」を３番目に、
「残った中で一番上にある、小数第４位が０である有理数」を４番目に、・・・
という規則でソートしなおす。

こうして並び替えた上で対角線論法を行う（成分が０以外なら０に、０なら１に）と、
出てくる数は有理数になってしまう。
つまり（☆）に含まれない有理数が存在するわけである。

第一突っ込みーーーーーーーーーーーーーーー！
「つまり（☆）に含まれない有理数が存在するわけである。」
(☆)に含まれない有理数はたくさんありますが，なにか？

って突っ込んでいこうと思ったけど，意外と良問。。。

ソートできない罠か。おもろいな。これ失敬(汗)

1/99がsageでどんどん沈んでdat落ちする罠？

単に特定の有理数を抽出して並べてるだけでは？

最初のリストには全ての有理数が出てきているけど、
並べ替えを行なった後はそうではない。
i.e. 1/3は何番目にいくのか？

>70
文章に「対角線を集めて各桁の数を違うものにする、するとこの
実数は表に表れない」と訂正してください。

>>81
1/3は3番目でしょ。

んで、最終的に出来る表には1/99以外は全部登場するんかいな?

1/99,2/99,・・・・9/99,
102/9999,103/9999・・・
いくらでもdat落ちではないでしょうか。

横の長さより、対角線は長い。長さが違う。これいかに？
長さが違うんじゃ、実数の種類が違うじゃん。
もう、むちゃくちゃだよ、たいかくせんろんぽーって。

>>85
将棋盤って知ってる。あれは縦９マス、横９マスあるのね。
じゃあ、対角線に斜めに数えたら何マスだと思う？

>>86
なるほど。いやはや、はやとちりでした。
しかし、横の長さと縦の長さは同じなの？
実数の桁の個数と実数自身の個数が同じという保障はあるの？

>>87
どちらも同じと仮定して矛盾を導くのが対角線論法なのだが（´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

仮定がおかしんですよ。尽くしてるという仮定がおかしい。
無限なんだから尽くせないんです！
自然数は余分があるんです。対角線の１つの実数に
対応させる自然数は＋１すれば出てくるんです。

>>87
横の長さは少数で表わした時の桁数で、縦の長さが自然数ね。
少数の桁数は第１位、第２位……って自然数で数えるでしょ。
だから、同じものなのね。
こうして可算無限のマス目ができるけど、このマス目じゃ
実数全体を収められないっていうのが対角線論法。

>>90
いいですか？自然数は無限なんです。
＋１すれば、新たな自然数が出てくるんです。
その表に現われなくても、横の余白に書けばいいのです。
そうして、実数と自然数はいつまでも対応させることができます。

>>91
つまり定義域が無限集合の場合は、写像を確定したものとは
認めないって事だね。認めないのは勝手だけど、そうすると
今までの数学のほとんどを拒否する事になるだろうね。

1さん
自然数は無限で＋1すれば次の数が出てきますね。加算無限ですものね。
では、実数はどうすれば次の実数が出てくるのですか？

>>93
加算　×
可算　○
字間違えた。

>>92
そーなのです。革命なのです。僕たちは今、数学革命の最中にいる。
一皮脱ぐのです。数学の精神。ワレワレハススマネバナラヌ。
西暦２０００年を過ぎました。数学、ステップアップするころじゃ
ないでしょうか。天国へ連れていってくれるのは、天国へ行く手段は
紛れもなく数学なのです。今、革命のときです。過去の栄光との決別。
進むのです。新しい時代へ。ノアの箱舟に定員があるように、天国への
階段は細く長い、細い、か細いくらいにほんとに細いけれど、繋がってい
るのです。ワレワレノイクバショヘ。にゃん。

>>93
論点を明確にしてください。主張を明確にしてください。
誘導尋問には答えられません。

>>95
ほうほう、ノアが大洪水に備えて箱舟をつくったように
革命の準備をしているってわけか。そりゃすごい。
でもさあ、ホントに洪水が来たから箱舟は役に立ったけど
そうじゃなかったら人生の無駄遣いだよね。ま、頑張ってね。

>>97
あなたは２ｃｈで時間を費やすことが無駄だと思いますか？
僕は思わない。
まぁ、そういうことです。

ボクハカミニシュクフクサレテイル。
頑張らなくたっていいんだもん。りゅんっ。

＞あなたは２ｃｈで時間を費やすことが無駄だと思いますか？
　
はっきりいおう。無駄だ。なんべんこの問題を自問自答して鬱になったことか。

>>91
いくら新しい自然数を足しても1対1対応はできない。
それぞれの段階で、1対1対応でない写像（値となる実数が一つずつ増えるが）
が出来るだけ…というのが対角線論法の意味。

>>91
＞自然数は無限なんです
でも"表のサイズ"も無限なのだから、
後から付け足した実数は
最初から表に含めておくこともできたはずだろ。

表に入らない実数があるたびに
新しい自然数を連れてきて対応させる、というステップを
繰り返して、それで残りの全ての実数が取り尽くせるなら
はじめから一つ残らず実数を含む表が作れる。

しかし、こうしてできた表について同じ議論をすると、
やはり含まれない実数が存在してしまう。
「一つ残らず」と言っているのだから、
一つでも入らないものがあったらおかしい。

>>101
自然数と偶数の１対１対応を考えてみてください。・・・１
自然数と負の整数の１対１対応を考えてみてください。・・・２
どちらも同じ１対１対応ですよね。が、明らかに、偶数の個数は自然数の
個数の半分です。このへんが、１対１対応のアバウトさだね。
で、対角線論法では、アバウトなはずの１対１対応が、なぜか制限されている。
ひとつも残らず尽くす１対１対応。２の方だね。強い制限だと思います。
ボキャ貧でうまく言えないんだけど、その強い制限下での帰結では証明は
不完全だ。

アバウトじゃないよ

>>102
＞２の方だね。強い制限だと思います。
違う。１のようなものも許す。
すなわち、君の感覚では例えば
自然数よりも「２倍多い」、整数全体への対応も許すの。
ところが、自然数を２倍、３倍にふくらませる
君の言う「アバウトさ」をもってしてもなお、
実数と自然数の壁を越えられないと言うことなんだよ。

>>104
説明が足りてません。詳しく述べてください。

101と104は相反する主張をしています。どちらが正しいのでしょうか？

>>105
むしろ、どこが相反するのか、説明を求めたいところだが。

>>101=105
＞ひとつも残らず尽くす１対１対応。２の方だね。強い制限だと思います。
一つ残らずってのは、対象となる集合について言っているだけ。
どの元についても、ちゃんと対応する相手があるってこと。
対象の集合をどう選ぶか（自身の部分集合をとってもよいか）の話とは別。
そっちの問題については、１の例のような
自身と真部分集合との対応は否定してないよって言ったわけ。

てすつ。すまんぽ。

カントールの論法により矛盾を出す方法についての解釈の余地としては、
「だから(カントールの思っているような)実数は存在しない」
という立場もありえる。

>>109
＞「だから(カントールの思っているような)実数は存在しない」
＞という立場もありえる。

これは本当？誰か異論ある人居る？

>>109
アンタ実数って何か分かっているの。
無限に続く各桁の数字が確定しているのだからあるに決まっているだろ。

>>110
異論はないんじゃないの？ただ、
「"カントールの思っているような実数"以外は実数ではない」
と反論されておしまい

「実数全体の集合」が実際に存在することを、構成的に示してみせて欲しい。
その証明中には、いわゆるごまかしの 「… 」は使ってはならない。

>>113
馬鹿だなー。実数は可符番個じゃないから並べられないんだよ。
どんな小さな区間でも可符番個より大きな無限が存在するんだ。
この証明はだから無理だといっているだけ。
言いたいのは可符番個以上の無限がある事さ。

>>113 簡単だからかくね。
まず 0<x<1 の有理数を可附番個用意する。方法は簡単次のようにする。
1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,・・・・・・・
これから外れる実数を示せばよい。有理数は割り切れるか、循環するかどちらかだ。
１より小さい無理数はすべてこの中から外れる。無理数を代数的実数だから
可附番だと言われたら、１より小さい超越数がこれにあたる。
なっ。いくらでもあるだろ。超越数の方が多いんだから。

お、上がってる。おもわずかきこむ。
なんだっけ、論点も忘れたけど、１対１対応は個数を数えない。
ただ、番号が付けられるということをいうだけ。
それだけだ。
濃度は個数を数えない。有限集合の個数を濃度って言うな！
濃度の定義をみたことがない。
可付番集合の別名がアレフゼロで実数の別名がアレフな罠。
濃度は何にも捉えていない。意味がわからん。

>>116
＞濃度の定義をみたことがない。

ﾊﾊﾊ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｲｷﾃﾞｷﾈｰﾖ
　　　∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　ﾊﾗｲﾃ- 　　　　　　ｹﾞﾗｹﾞﾗ
.　　（　´∀｀）　＜　定義知らないのかよ！∧＿∧　　 　　　　〃´⌒ヽ　　　　　　　ﾓｳ ｶﾝﾍﾞﾝ
.　　（ つ ⊂ ）　　＼＿＿＿＿＿＿＿　　　（´∀｀ ,,）､　　　　　（　＿　；）　　　　　　　 ｼﾃｸﾀﾞｻｲ
　 　.）　 ）　） 　　○ 　∧＿∧ 　　　　　 ,, へ,, へ⊂）, 　　　＿（∨　∨　）＿　　　　　∧＿∧　○,
　　（_＿）＿）　⊂ ´⌒つ´∀｀)つ　　　　（＿（＿_）_丿　　　　　　し￣￣し　　　　　⊂（´∀｀⊂ ⌒ヽつ
　　　　　　　　　　ﾀｯﾃ ﾗﾚﾈｰﾖ
　　　　　　　　　　　ﾜﾊﾊﾊ

官途−るの事が書いてある本を読みました。
良く判らないけど、１の中の無限も、２の中の無限も１００の中の無限も
そして、無量大数の中の無限も統べて等価であり同じってこと？
でも、当たり前だよね。
ｏ点からある距離に’１’の大きさが存在し、また離れた所に’２’が
存在し、ｏ点から放射線を引けば各々のスケール内には等価な無限がある
事が図形的に一目瞭然だし、、、
ひねって、放射線ではなくてある関数式的に引いてもその中を輪切りに
した場合のスペース内には等価な無限があるよね。
この放射させる角度が’０’の時は１も２も存在しなく統べて’０’に、
放射角が’１８０’の場合も１も２も無く統べて無限になると、、、
この２角の場合のみスカラが存在しなく成る唯一の関係だよね、、、
本当、奥が深い。

>>118 desu!!
追加、ある連続的に存在するある区間ａ−ｂは、また別に連続的に
存在するある区間ｃ−ｄと等価な関係として置換、変換可能である
と言う事も言えますね。たぶん

「濃度が等しければ一対一の写像が存在する。」
という定義と同値な命題から
「そのような写像を具体的に構成出来る」とする間にはギャップがある。
カントールの背理法を使う為には、
実数の区間の要素の集合なるものがちっとも具体的ではないのに
不思議にもそのような写像が具体的に構成できるとしなければ
ならないが、それはなんらかの別の命題を仮定しなければ無理だろう。

>>120
間違ってる派？

>>120

選択公理認めないと、そういうことになりますわな。
一般に濃度を比較不能になりますね。でも、濃度が
等しいことの定義を

「1:1写像が『実際に構成できるとき』、濃度が等しいとする」

と言う風に変えても、やっぱり実数と自然数は濃度が異なるよ。
一方では自然数から実数への単射が構成できるので、
card(N) <= card(R)
だし、全射は存在しない事が対角線論法で示せるから

card(N) < card(R)

だからね。

1>>1
何も分かってないんだね。
無限個の対応をしても余りがあると書いてあるんだよ。
本当はカントールの対角線論法と同じだけれど
ちょと具体的だろ。分かんねえだろうな。

>>123
個ってのは関係ないよ。１，２，３、、、と番号が付けられるかどうかだよ。
僕は個数に興味があります。濃度は個数を数えない。ので、どうでもいいや。
整数の個数と自然数の個数ってプラスマイナス２つの符号の分で、２倍はある
のって、小学生でもわかるじゃん。このことすら把握できない濃度って、、、。

もしかして、きまっちゃった！おれ。（ズビーシ（効果音））

>>124
＞プラスマイナス２つの符号の分
個数数える際にマイナス使うのはおかしいってママンに教わらなかったのかい！
このボーヤはどうしようもないね！！
整数も何とかして全部１，２，３、、、って数えていくんだよ！！！
どうすればそんな事出来るかは自分で考えな！！！！

>>125

>個数数える際にマイナス使うのはおかしいって

突如としてわけわかな話。保育園児ですか？ｗ

>>126
あんたこそ保育園でマイナス付けて個数数える話でも教わったんですかね？
どこの保育園ですか？

>>120
あんたバカぁ？

「写像が構成できると矛盾する」って背理法でいうのに
写像を実際に構成するバカがあんた以外にどこにいるのよ。

>>122
選択公理なんか持ち出さないでよ。

>>128
アンタは選択公理を排除した新しい集合論でも研究しなさい。
できんだろうけど。
ただ一般の集合論とは区別してしゃべりなさい。
濃度の定義が出来なければしなければいい。
でここの対角線論法で立ち往生の数学に終わるわけだが。
低脳やろう。分かったか。

>>120
前も全く同じ主張を数学板で目にしたが
本当に釣りか？マジでわかってないのか？

集合Aの濃度をa、集合Bの濃度をbとする。
「濃度aは濃度bより大きい」：＝「AからBへの全射が存在する」
「濃度aと濃度bは等しい」：＝「aがbより大きく、かつbがaより大きい」

上の定義から、aとbが等しいこととAとBの間に全単射が存在することは同値

選択公理を排除した数学って、基礎論では別に珍しくもないような

>>131
初等数学ですか。ようするに今の数学の部分集合。

要するに　１　は初頭数学がやっとと言うことで
そろそろお開きにしましょう。

良いお年を。

>>124=1
その「整数の個数は自然数の個数の２倍」という主張は
正の数nと負の数-nとの"自然な"対応に基づいているわけだが
別の対応の仕方をすれば、（あるいは、集合の元の表示方法を変えれば）
「整数と偶数の個数は同じ」といった、異なる結論が得られる。
何が"自然"であるかという感覚や、元の表示方法によらないのが濃度の良さ。

包含関係がある場合など、君の考えるように、"自然な対応"に基づいて
濃度より細かい判定ができる場合があるのは確かだが、
いつも比較できるとは限らないのが欠点。
（特に、まったく独立に定義された２つの集合に対して、
唯一つの"自然な対応"をどう定めるか？）

無限の大きさを比較すると整数と自然数の大きさは等しい。なぜならば一対一に対応できるから。
可附番個の無限集合が可附番個集まってもやはり可附版個の無限でしかない。
これが理解出来ないと実数のなす無限と比べるなんで出来ない。
だから分からないのと違う。

＞アンタは選択公理を排除した新しい集合論でも研究しなさい。

>>128は単に対角線論法は選択公理と無関係に成り立つと
言いたいだけのように思うが、どうか？

自然数Nと集合Xの濃度が等しいと仮定すると、NからXへの一対一写像Fが存在する。
F(i)となるXの要素をXのi番目の要素とする。
はい、自然数と濃度が等しい集合に、選択公理使わずに番号いれたよ。

>>120がいってるのは
任意の集合X,YについてXはYの部分集合と濃度が等しいかまたは
YはXの部分集合と濃度が等しい
↑これが選択公理なしにはいえないといってるんじゃないの？正しいかどうかはしらないけど。

アンカーまちごた。>>120じゃなくて>>122

120=122じゃないの？
「カントルの対角線論法では具体的に写像を構成しなければならない
そのために選択公理が必要なんだ」ってずーっと言ってる人。
はじめの頃は、背理法であることを理解せずに
「一対一であることを証明するには…」とか言ってた人。

あ、122は120の前段に同意してるのか。すまん

濃度判定のベルンシュタインの定理に
選択公理が使われてないのは有名
なのだが‥

選択公理よりもある集合にある関数が与えられると
その関数の値域が集合であるという置換公理（分出）の
理解が大切だと思うのですよ

自然数にある関数を与えてその値域を導き出して
新しい集合（値域）を作っていくということがね

例えば自然数に、ある関数（1対1対応の）を使って
その値域が実数になるようにすることが出来るかどうか
を考える
それは対角線論法で否定される

つまり2つの集合間で1対1対応の関数があるかどうか
ではなくて1対1対応の関数の値域を利用して所定の
集合が作れるかどうかを考えたほうが濃度判定につい
て納得しやすいのではと‥

集合の大小関係は
置換公理（分出）と1対1対応の関数から無理やり
決めたシロモノと考えればいいのでは‥

ようするに

1.どんな集合の間でも濃度は比較可能であることを示すには選択公理が必要。
2.しかし、NとRの濃度を比較するのに選択公理は不要。

ってことでよろしいか？

>>134
センスで数学しようよ。楽しいのか楽しくないのか、
分かるのか分からないのか、ぐっとくるのかこないのか、
気持ちで数学しようよ。見えない数学はきらいだぁ〜！！！

>>144
貴方、小川って苗字じゃありませんか？

>>144
まともに反論できないからってセンスだの気持ちだのって・・・。

君の作りたい「個数」の概念ってのは、
同じ集合でも見る人の感覚によって個数が違ったり、
元の名前を変えただけで個数が変わってしまったりする可能性があるのだが、
それでもいいのか？
センス優先だから、そんなことお構いなし？

>>145
わたくし、匿名トクジロウというものでございます。おほほ。
野暮なことはききっこなしですぜ旦那。

>>146
無限集合においては、番号を付ける≠個数を数える、だからなぁ。
分かってる？
それにｎとーｎって対応じゃなくて独立じゃん。数直線知らないの？

{1/1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, 11/6, …}

という集合を考えると、分子に注目すれば奇数がでているので、この集合は
自然数の半分だけ個数があることになる。分母に注目すれば、自然数がそのまま
でてくるので、この集合は自然数と同じだけあることになる。

1さん。どっちの見かたが「自然」なんでしょう？

>>148
おかしいね。その数え方がわるいんだよ。だから、どちちらでもないという
ことだね。どちらでもないということが分かっただけでもよしとしよう。うん。
で、実際、その集合の要素の個数はいくらよ？って言われても分からん。
たとえば、｛1/1,1/2,1/3,・・・｝なら、自然数と同じ個数だし、
｛1/1,1/3,1/5,・・・}なら奇数と同じ個数だけど、貴下が出されたやつは
とりあえず分かりません。難しい問題だな。五里霧中だな。

>>147
「個数」ってのは、君が新たに定義しようとしている物のことなのだが・・・
それは「番号付け」とは違って、曖昧でも良いという事？

あと、やはり整数と自然数の話では、どこかでnと-nの対応を考えていると思うが。
（とりあえずnからn自身への埋め込みは許容するとしても）
そうでなければ、例えば-nと2nの対応を考えると、
負の整数と正の偶数（正の整数の"半分"）とが同じ個数という事になるから、
整数全体は自然数の1.5倍程度ではないかという主張もできる。

それと数直線うんぬんを根拠にするってことは、個数の概念が
「図形的なものへの対応付け」「配置」に依存することになるが。

>>149
＞｛1/1,1/3,1/5,・・・}なら奇数と同じ
すると{1/2,1/4,1/6,...}は偶数と同じなんだろうなあ。
ところで、0でない数aに対して、
{a/1,a/2,a/3,...}は、自然数と同じなんだろうか？

一対一で対応すれば同じだよ。
自然数だの奇数だの偶数だのと言っていては無限の大きい小さいは
分からない。根本的学力不足でこの問題は理解不能の領域ですよ。

むしろ、一対一で対応しないなら同じでない、というべきだろ。

自然数と実数は一対一で対応しない、よって自然数と実数の個数は同じでない、終了。

>>152
そんなことは分かっているが、それでは>>1が納得しそうにないので。
そこで、>>1の感覚の通りのものが構成できたとした上で話を進めて、
でもそうするとこんなおかしな事になるよって話をしようとしてるの。
そのための準備。

>>1の論法だと、{1/1,1/2,1/3,・・・}と{1/2,1/4,1/6,・・・}の濃度は等しいが異なるということになるな。
{1/1,1/2,1/3,・・・}＝{2/2,2/4,2/6,・・・}だし。

>>1は小川か（プ

>>150
番号付けの方が曖昧じゃん。てか、番号付けるだけで、意味がないぽ。
あーた、対応って言ってる時点でずれてるね。ｎ個目のｎと言ったとき、
それはあくまでも数えているｎであって、問題の集合の、たとえば、負の
整数の個数を示すものではない。無限集合にいくら番号をふっても個数を
数えたことにはならないのだ。素朴な感覚を根拠にしる。偶数、奇数は
自然数の半分だとか、整数は２倍＋１個とかは、実は公理な罠。ふ。

>>155
既約した方が正解である。素直にシンクしようよ。
まぁ、いい「悪い見本」にはなってるけどな。
それと、おれ、濃度は知らんよ。

>>1よ、じゃあ、たとえば、

{1,2,3,4,5,…}
と
{1,4,9,16,25,…}
では、どっちがどのくらい多いんだい？二倍？三倍？

>>158
そだな〜、自然数の個数をN
それ、平方数だよな、その個数をｎとすると、
ｎ＝√(N)だな。

釣りですか？

>>1
素数全体の集合{2, 3, 5, ....}の個数はいくつですか？

>>159

「自然数の個数」ってのはルート取ったりできるんですか？

>>160
わかんね。難しいね。N/2よりは少ないよな。で、√(N)よりは多いよな。

>>161
いいじゃん。かたいこというなよ。

実数は可算個しかない
なぜなら
個別の実数を定義する式や級数
その他諸々が出てきたらその都度
数え上げていけばいいだけだからだ

濃度の大小なんて1対1関数でこじ
つけた物にすぎん

対角線論法の背理法の仮定中の自然数ってなぜか、最大値を持ってるんだよなｗ。
表に現われないなら＋１すればいいだけだし、表にないことが矛盾だってぇのも
、２倍ある整数には番号振っといて、なぜか、その仮定では自然数と実数が
ぴったり同数となっているしｗ。もう、むちゃくちゃだよぉ〜。

>>157
＞実は公理
やっぱりな。あんたは自分の感覚にもとづいて
「こうであるはずだ」っていう前提が先にあって、
それを覆すような１対１対応などは否定していくんだな。
だが、感覚によってその都度「公理」を作っていって、
それらの間に矛盾が生じないか、それが問題。

＞既約した方が正解である
分子がπで分母が偶数にすると約分できないよな。
でも2πだったら約分するのかな？なんかおかしいな。
どうしてπは特別なのか？

>>164
＞表に現われないなら＋１すればいい
以前の説明を聞いていないのか。
「現れないものがあるたびに＋１する」操作を繰り返すことで
本当に全て取れるかどうかが問題であって、
もしそれが可能であるなら、最初からそれを表に入れておくことが可能。

＞自然数と実数がぴったり同数
そう仮定して矛盾を導くんだから。
その仮定がおかしいという主張は、「結論は正しい」という主張になるが・・。
より早い段階で仮定の矛盾点を指摘できれば、そこで終了しても構わないのだよ。

1の論法だと

{x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x…}

という集合の「個数」はxに2を代入すると自然数全体の個数の半分で、
3を代入すると自然数全体の個数の1/3で、と言う風に代入する数によって
個数が違う事になるが、これは素朴な直感に反するような気がするよ。

{1/2,1/4,1/6,・・・}は、
平面上の点の集合{(1,2),(1,4),(1,6),・・・}
の個数と等しいと考えるのが自然。
そして、それはさらに{(2,2),(2,4),(2,6),・・・}の個数とも等しいだろう。
だって、x方向に平行移動しただけだもの。
すると{2/2,2/4,2/6,・・・}とも等しくなるな。

>>1よ。ひょっとして集合の個数を

Nより小さい元の個数（Nの関数）

で規定しようとしてるのか？

そうだとしたら、素数の集合に関してはそんな関数で見やすいものは
知られていないぞ。
素数定理により漸近的にN/logNにはなるが…。

だいたい整数以外の（たとえば有理数の）集合についてはどう規定するんだ？

定義できる個々の実数をだな一つ一つ数え上げていけばいいんだよ
これを人類から実数集合への1対1関数とする。
そうすると実数は可算だ(数え上げた時間順に番号を割り当てるまた定義域
の人類については同一人物でも数え上げた時間が違えば違う物として扱う)
関数はその出力値が一定でなければならないが自然数の集合だって適当に
粒粒を一つ一つ順番に加えたものであり、集める人や時間が違うと当然違う
粒々を集めることになる。
例えば人がそれぞれ粒々を5個集めて自然数5を作ったとしよう‥　　4個まで
は同じ粒を集めて5個目に違う粒を集めたとしてもそれは自然数5として同じ
ように数え上げられる。自然数の集合の中の粒々は集めた人によって違うんだ
しかし、それらは全て同一の自然数の集合になる

人類から実数集合への1対1関数も予め決まった物ではないが次々に具体的にで
も間接的にでも定義される実数を上の自然数と同じように数え上げていけばよい
つまり実数は可算である

ではここで人類から実数集合への1対1関数を対角線論法で仮定されてる自然数
から実数への1対1関数としよう。
そして並んでいる1番目の実数の少数点以下1桁目をそれとは違う数にして、更
に2桁目を同じようにして‥　　これを繰り返し新しく実数を作る。
この実数は人類から実数集合への1対1関数に含まれるから当然自然数から実数
への1対1関数の表にも含まれることになる。
この実数が仮に500番目に出てきたとすると、この実数の少数点以下500桁目は
どのように決めたらいいのだろう？
卵が先か鶏が先かという議論になって結局これ以上作れなくなる。
カントールの対角線論法によって作られる可附番でない実数は実は
作れる代物ではなかったのだ！
あるいは関数の定義を少し緩めると対角線論法は成立しないインチキ
論法なのだ！！

>>170
何で名前欄消したの？

>>170
人類の歴史の中で１つ１つ具体的に扱っていける実数が高々可算個である
ということと、
扱う対象となりうる実数（選び方のバリエーション）が可算個である
ということは違う。

また、非可算個の元をもつ実数という集合を考えることはできる。

忙しいので、レスはぼちぼちな。
１７０の話は俺には難しめでわからなぽ。

>>170
例えば、「１〜１０の整数の中から最大３つ選んでください」
と言った場合の１０と３が、それぞれ実数全体の濃度と
人類の扱える実数の濃度（可算個）に相当する。
後者が可算だからといって、前者が可算だとは結論付けられない。
でも無限なんだから取れないものがあっても＋１すれば云々
という話は、既出なので過去レス参照。

ある集合の定義を述べる（ある元がその集合に含まれる条件を述べる）ことと、
その集合の元を列挙する（有限の時間では有限個しか列挙できないとする）ことは異なるのだから、
前者は可能だが後者は不可能という場合もある。

有限の時間で実数を定義することは可能なのだし、
「任意の実数xについて○○が成り立つ」といった定理を述べることも可能なのだから
列挙できないからといって、実数を考えることに意味が無いということにはならない。

>>166
自然数とぴったり同数でない⇒非可付番である
じゃないだろ！
有理数とか代数的数とか可付番だぜｗ

>>167
その集合は何の集合なの？
何の集合なのか、そして、その要素の個数はいくらか？という単純な
話だぜ。

>>168
分数は平面上の点ではない。

>>169
むずかしい話はわかりません。有理数は数えられなかった。約分できるの
除かなきゃいけないわけだけど、おれにはできん。N個の分母と分子の
組み合わせだからN＾２よりは少ないんだけどな。

>>175
「ぴったり同数」ってのは、例の、自然数と偶数の個数を区別するやつのことか？
でも同時に「可付番」と言っているあたり、１対１対応による「濃度」は認めたうえで、
それより細かい基準として「ぴったり同数」というものを考えてるってことかな？
その辺をはっきりしないと、話がややこしくなる。
対角線論法による証明は、両者を区別するようなことはしていない立場なわけだから、
とりあえず、ここで同数というのは全て濃度の意味だと思っておけばいいだろう。
ではそれより細かい基準ではどうかと言うと、
濃度ですら実数と自然数は区別されるんだから、細かければ尚更区別されるということになる。

＞分数は平面上の点ではない
そんなことは言っていない。個数の比較の話だ。
>>1の言う「素朴な感覚」に従うと、これらの個数は等しいと思うがね。

相手が平面上の点だと駄目ってことになると、
個数を比較できる場合がかなり限定される上に、
その基準もよく分からない。

それなら、>>1が以前言ってた
｛1/1,1/2,1/3,・・・｝と自然数の個数が同じという主張も、
「分数は自然数ではない」とか言われたらどうする？

>>176
正の整数と負の整数はぴったり同数だよな。偶数と奇数はぴったり同数だよな。
濃度は知らない。
ちみとコンセンサスは得られてないので、、、おれは、濃度はアバウトだぁ、
細かくして区別される、という。

「分数は自然数ではない」
「そうですね！」

素直になろうよ。自然数の逆数じゃん。両方ともスカラーだし。
平面上の点を持ち出すのはセンスがわるいね。

166さんの反論まだぁ？（チンチンッ（ちゃわん））

朝早くから元気ですな。その元気を少し分けてください

>>177

×平面上の点を持ち出すのはセンスがわるいね。

○平面上の点を持ち出されると自分の主張が崩される
可能性があるのでそこは触れないでほしい

>>170
＞定義できる個々の実数をだな一つ一つ数え上げていけばいいんだよ

問題は、定義したものが実数をあらわしているかどうか
確実に判断することができない点にある。

つまり、定義したものの中に「定義できる実数」は
あるだろうと思っているだけで、誰もそれを完全に
取り出すことはできないってことだ。
そんなものを並べることはできないだろう。

つまり並べられるならそれは「定義される実数」の全体ではない、
だから全体をとってきても並べられないというのが対角線論法。

>>180

＞…定義したものの中に「定義できる実数」は
＞あるだろうと思っているだけで、誰もそれを完全に
＞取り出すことはできない

人は取り出せないが、神には取り出せるという反論もあるかもしれない（ｗ

スコーレム・レーヴェンハイムの逆理は、このあたりのことを述べている。
つまり「外から見て可算であっても、体系の中では非可算」ということが
ありえるってことだ。

>>177
あの証明では、濃度という基準のもと、例えば偶数と自然数は同数と考えている。
君の感覚では「アバウト」なのかもしれないが、
「実数と自然数は、そのアバウトな濃度でさえ区別される」というだけの話なのだから、
君の考えるような、より細かい基準があろうとなかろうと
関係なく、理解されるべき。
濃度についてよく分かっていないなら、
君はまだこの問題について議論する段階ではないということだ。
（尚、アバウトってのは、例えば包含関係による比較とか、
君の考える基準に比べると細かくないってことで、
濃度の定義自体が曖昧だという意味ではないことに注意。
どんなときに濃度が等しいかは厳密に定義されている。）

>>177
(1){1/1,1/2,1/3,..}と{1,2,3,...}
(2){1/1,1/2,1/3,..}と{(1,1),(1,2),(1,3),...}

自然数なら、例えば有限のところまでに現れる偶数の割合などと考えることができるが
その話を自然数以外にどう適用するのか不明。
({1/n}は、1までにすべて出尽くしてしまうから。)
また、濃度より厳しい基準だとすると、
「逆数という対応があるから等しい」とするのには疑問がある。
自然数の間隔を２倍に広げる操作（自然数と偶数を対応）は許さないのに、
自然数全体を[0,1]区間内に圧縮する操作は許すのか。不思議だな。

これらの問題にもかかわらず、何も考えずに(1)を認めてしまえるのだから
(2)を等しいとしてしまっても、問題なかろう。(2)も(1)と同じくらい自然。
というか(1)だと、何故分子は1でなければならないのか、
分子が2や3だったら等しくないのかという若干の疑問もあるしな。

スカラーだのベクトルだのと言うのなら、実数を複素平面の実軸へ埋め込めばよし。
（同じ集合に入っていなければ個数を比較できないというのも問題だが・・・）

>>180
カントールの対角線論法で、定義されてる
実数がすべて論証の中で自然数と1対1で並んで
いるのだが‥

人類の定義し得る実数を発見する作業は永遠に
続く。よってこのような発見された実数を全て含む
集合（複数）が存在する。
問題はそのような集合から要素を取った時にそれが
実数であることが保証されてるかどうかだ
それはその集合全ての共通集合をとればよろしい
ということになる

論理の演繹や証明はすべて可算の範囲でしか行い得ない。これは記号による
記述というものの性格である。さて自然数を含む体系の範囲では
無矛盾性を示せない命題が常に存在するという定理がある。
カントール流の証明も、実数を議論しようとすれば体系に矛盾が生じると
解釈すればよくて、実数の集合が可算より大きな濃度を持つと解釈しない
という立場もあってよいだろう。
実数の集合の濃度は、自然数よりも真に大きいという命題を公理として
付け加えると考えれば良いのだ。

>>カントールの対角線論法で、定義されてる
>>実数がすべて論証の中で自然数と1対1で並んで
>>いるのだが‥

自然数と実数を一対一に対応させた場合漏れた実数が少なくても
１あると言っている。だから実数は自然数の無限より大きい
と言っている分けだ。

>>問題はそのような集合から要素を取った時にそれが
>>実数であることが保証されてるかどうかだ

総ての桁に数字さえあれば当然実数である。
そして並べた実数とは必ず一致しない。

>>それはその集合全ての共通集合をとればよろしい
>>ということに

これは意味分からない。

>>184
＞カントールの対角線論法で、定義されてる
＞実数がすべて論証の中で自然数と1対1で並んで
＞いるのだが‥

すべては、並んでいないのだが（ｗ

つまり「全て並んでいたとすると、対角線論法で
そこに並んでいるもののどれとも一致しないものが
作られてしまうので矛盾する。したがって、
全てではなかった」といっているのだが。

ところでもし（実数になるかどうかわからない）
定義全体を並べた場合には、対角線論法によって
作られた列は、定義のいずれかと一致する。
しかしその場合、対角線との交差は数字が
決定しない。どの数字になったとしても
矛盾するからである。

「定義全体」って何よ？

>183
二倍に広げるとか、なんちゃら圧縮するとかいう考え方が、また不自然だよな。

>>190
１，２，３･･･と1/1，1/2，1/3･･･が対応するって
自然っていうより素朴、いや幼稚といったほうが（ｗ

たった一つ多いのが言えるってのが弱いのでもめてるのかな。
０から１までの実数総ての個数は１０進法では

実数の個数　n は桁数　　10^n n--->無限大


１０＾無限大ー無限大

これで実数は可附番集合的無限より遥かに大きいことが
すぐに分かるだろう。

>>190
君の「個数」の考え方は、集合の元が数直線上に
どう配置されているかということまで考慮してるんだろ。
だったら、各点がどのように動かされたということに
目を向けるのは当然だ。
数直線上の点1,2,3,...について、1を2に、2を4に、3を6に、・・・
と動かしたら偶数と同じ。こういう操作は許さないんだろ。
にもかかわらず、それよりも大胆な操作（全ての自然数を
[0,1]に集めてくる）を許している。
このような不自然さを無条件で認めてしまえるのなら、
{1/1,1/2,1/3,..}と{(1,1),(1,2),(1,3),...}の事なんて、まったく問題ないと思うが。

あっ、上の「〜を許す」というのは、
「その操作を施しても個数は保存される」ということだと思って。

>193
さちこさんの瞳を見つめ僕はいう。
「君、大胆だね」
（よーし、おれも大胆になるぞ。ストリートキングしる）

ぼくは走った、無我夢中で走った。空気の冷たさにスピリットオブファイアを
感じながら。中年のぽりこうなんて余裕のよっちゃんで振り切るナイスガイな
おれ。

ちみの「大胆だから他の大胆が許される」という話は、なんら数学的、また、
論理的議論から遠く外れている。

小川は数学的でも論理的でもないだろ（ｗ

>>1
一つ一つ数え上げていく無限が
自然数であり
線分とかを分割していく分割無限が
実数ということでOK？

>>195
>ちみの「大胆だから他の大胆が許される」という話は、なんら数学的、また、
>論理的議論から遠く外れている。

センスとか感覚とか言い出したのは君の方だが・・・。
論理的な議論がしたいのならまず、
君がこれまで感覚でごまかしてきた部分を、全て厳密に説明する必要がある。
例えば、濃度よりも厳しい個数の基準のもと、
逆数を取っても変わらないといえる理由。
また、それが可能にもかかわらず、分数と平面上の点の対応が駄目な理由。
（というか、そもそも君の考える「個数」の定義自体がはっきりしないのだが）

それが嫌なら（感覚的な議論で構わないというなら）
「大胆だから他の大胆が許される」というのを
否定することもできなくなるぞ。

>>198
まぁ、よく考えてみなさい。
素直になりなさい。
素朴になりなさい。
そして、幼稚になりなちゃい。

>>197
貴下の立場を明確にしていただきたい。
「誘導尋問には答えないって言ったじゃないかー！」

ひとりごと。
こぞってセンスのねぇ小物ばかりだなぁ。２CHってこんなもんか。
おれに数学的帰納法を納得させたかのひとは降臨されますぬか？

一次式aX-b(a≠0)を考える。
方程式aX-b=0はただ一つの解b/aを持つのだから
有理数b/aと一対一に対応する。

よって集合{X-b|b=0, 1, ...}と{0, 1, 2, ...}は一対一に対応し、
{X/2-b|b=0, 1, ...}と{0, 2, 4, ...}も一対一に対応する。

一方、{X-b}と{X/2-b}も明らかに個数は等しい。
よって{0, 1, 2, ...}と{0, 2, 4, ...}は個数が等しいと言わなければならない。

>>199=1
＞まぁ、よく考えてみなさい。
＞素直になりなさい。
＞素朴になりなさい。
＞そして、幼稚になりなちゃい。

もう、まともな反論はできないということですか。

>>199
＞おれに数学的帰納法を納得させた
納得したんじゃなくて、煽りのネタが尽きたんだろ？（′,_ゝ｀）ｸｸｸ

>>203
自作自演が頑張っているな。

>>200
考えようとしている集合が何の集合なのか明確に把握しよう。
X含みの集合で漠然と演繹したところで何にもならない。

ひとりごと、、、
議論は平行線か、、、。

理解力な無い人にいくら書いても無駄だもんね。
永遠に平行線。

なんか怖いよね。正しさって。革命（トランプ）が起きたとき、
立場は逆転してしまうのだから。正しさを超えて、天国へ行きたい。
正しさとか間違いとかじゃなくて真っ直ぐ背筋を伸ばしてスキップできる
ようなハートが必要ではないですか？このスレッドは正しいとか間違い
とか、そういうのじゃなくて「君はハートに魂のルフランを飼っていますか？」
このことを逆照射しているのです。
それぞれ好きなイリュージョンを見ればいい。それがサイバーワールドの
フリーダムさ。あぁーーー （ターザンという奇人変人）。
驚愕のカゴメ算。
まっすぐなハートを見せてくれ。

>>204
多項式環の元としてのXだろ。
対応する相手がただの「数」なのが嫌だったら、
それも定数式として多項式に含めてもいいぞ。

それはそうと、早く>>198に答えてよ。
「センスのねぇ小物」でもいいからさ。
今までのように感覚的な議論でもいいのか、厳密な議論に乗り換えるのか。
その場その場で都合のいい方を選択しないように。

>>207
厳密でないとか厳密であるとか、まだ、２者択一の思考をしているの
ですか？

すでに答えています。

１対１対応は自然数と同数であることを言うものではない。
対角線論法では同数であることを仮定し、矛盾を導き、同数で
ないことは証明している。
先生！？おわかりいただけだでしょうか？

>>208
＞まだ、２者択一の思考を〜
それは、厳密な議論でも感覚的な議論でも勝ち目が無いと判断したってことかな？

＞対角線論法では〜
前にも言ったが、あの証明は「１対１対応が付く＝同数」という立場で述べられたもの。
１対１対応より細かい「同数」の概念を作るなら、それとは区別すること。
１対１対応が付くと仮定し、矛盾を導き、１対１対応は付かないと証明している。
証明中に細かい意味での「同数」の概念は現れないが、
最終的に１対１対応は付かないことが証明されるのだから、細かい意味では尚更区別される。

>>204
X-1とかX/2-2, ...とかいった多項式の集合だよ。
どこが明確でないの？

ここで頑張っている人に勝ち目はない。
始めっから間違っているんだから。

>>206
ヤバイぞ。小川（ｗ
正しさなんてどうでもいいなら、数学なんてやめとけ。
お前が一番正しさで人を従わせることにこだわってるぞ。

>>209
同数の１対１対応と同数でない１対１対応ってのがあるわけじゃん。
だから、かたっぽ示しても、もう一方も不可能性を示さなきゃ１対１対応が
できないとは言えないわけじゃん。

>>210
方程式とその集合が完全にリンクしてないじゃん。＝０と限らないじゃん。

>>213
＞だから、かたっぽ示しても、もう一方も不可能性を示さなきゃ
対角線論法を見る限り、どのような一対一対応でも
（それが一対一対応である限り）矛盾が導かれますが何か？

＞方程式とその集合が完全にリンクしてないじゃん。＝０と限らないじゃん。
>>200まで読み返せ。
一次の多項式X-aとその零点aの間には自然な一対一対応X-a←→aがある。
同じようにX/2-aとその零点2aの間にも自然な一対一対応がある。

何か反論あるかね？

>>214
ばかちぃんがぁっ！

正方形じゃないと同種の実数にならないんだよーだ。

ｘ−ｂ＝０　だったり　ｘ−ｂ＝１　だったり　ｘ−ｂ＝２　だったり
限定されないじゃん。あほ？

>>213
あの証明は、１対１対応は１種類しかないと
いう立場で述べられているのだが、
仮に２種類に分けられるとしても、その２つをあわせた意味での
「１対１対応」は考えられるわけだろ。

どちらの種類であろうと、「１対１対応」ができると仮定したら矛盾するんだよ。
（特に、自由度の高い方の１対１対応ですら、対応付けることは不可能。）

同数の１対１対応ができる、または、同数でない１対１対応ができる
が否定されるのだから、
同数の１対１対応ができない、かつ、同数でない１対１対応ができない。

>>215
多項式X-aと方程式X-a=0も一対一に対応するだろ。
同じようにX-aとX-a=1もな。

X-aに対応する方程式として
X-a=cのcがいろいろ考えられるというなら、
{X-a}はcを決めるごとに得られる解の集合のいずれとも個数が等しく、
特にc=0に対する集合とも等しいのだ、と考えればいい。

あまり反論の余地がなくなると、
また>>1の意味不明な発言が始まるかもなw

>>219
小川にもこまったものだ。
中卒なら中卒らしく諦めればいいものを（ｗ

　　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　　あけましておめでとう
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　 ございます
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

>>216
「立場じゃない立場じゃないんだ！」（コックピットコックピット）
「立場という免罪符。大人はいつもそうさ」（中尉）
「あなたの立場がどうであろうと見て見ぬふりが許されると思って？」
「君は見過ごしているのだよ」（どーん）
「君って言うな！ぼくはこどもじゃないぞ！」
「でも私、君のそういうコドモっぽいところ好きよ」
「ありがとうございます」（しゃきーん）
（「キミ」という呼称の葛藤）
あの娘には「キミ」って呼ばれたい。でも216に「キミ」って呼ばれるの
やだ。

ゆーあーあーほー？かってに、「または」を足すな！
あわせ味噌はないし。

>>218
いずれとも？
不自然だね。無理すんな。

>>222
やっぱり来たな・・・。

勝手じゃないよ。>>1の感覚でいうと「同数でない」ように思える
偶数と自然数の対応のようなものも含めて、
どんなものでもいいから１対１対応ができたと仮定するんだ。
証明中に、そっちの種類の１対１対応を除いておくようなことが書かれているというのか？
（「同数」と言われていたとしても、それは濃度の意味でしかない。）

>いずれとも？
>不自然だね。無理すんな。
c=0だけが特別なのはおかしいというから、
「いや、0以外でもすべて同じだよ」と言っただけ。何か問題ある？

やっぱり
「不自然だ」＝「自分にとって都合が悪いので、ごまかしたい」
なのかな？

>>223
貴下の力量は計れたので、もういいや。

ここまで読んで、ちゃんと反論できるような、
もちっと、レベルのいい人いないの？（ちんちんっ（ちゃわん））
かの人はいないの？（ちんちんっ（ちゃわん））

役不足か、、、ｗ。

>>224
そっちこそ、ちゃんと反論してないじゃん(w

>>1のごまかし集

・相手の使った言葉をもとにストーリーを作る
・いきなり哲学的な主張を始める
・センスがないね。
・不自然だな。
・素直になろうよ。
・（相手が>>1に合わせて感覚で語ると）数学的、論理的でない。
・低レベルな奴ばかりだな。かの人はいないの？

>>221
お年玉として股開いて下さい

ニュース速報板　　　相互リンク
対角線論法ってこんな感じ??
http://news4.2ch.net/test/read.cgi/news/1072933017/l50

>>226
強烈に賛同。

>>222
＞ゆーあーあーほー？かってに、「または」を足すな！

どこが勝手だ？

｢一対一対応である｣と｢同数である一対一対応か、または同数でない一対一対応である｣
というのは同じことではないか。

一対一対応（＝同数である一対一対応か同数でない一対一対応のどちらかであるもの）が
存在すれば、矛盾する、以上。

>>230
だーかーらー、対角線（正方形）では同数である１対１対応しか否定できてないん
だよーん。ゆえに対角線論法は不十分だ。

前の発言を読めおやじ。

>>230
挑発に乗るな。遊ばれるぞ。

>>231
お前の文章を読んだが｢対角線論法は同数でない一対一対応はカバーしてない｣なんて
主張はどこにも出て来てないぞ。

で、なんで同数でない一対一対応じゃダメなんだ？
一対一であろうと無かろうとどんな対応でも｢nに対応する実数のn桁目｣と
異なる数をn桁目に持ってる実数は構成できるだろうが。で、その実数は
どんな自然数とも対応してないから、その対応は｢同数でない一対一対応｣
ではないどころか、全射ですらないよな。

というか、同数である一対一対応を否定したんだったらつまり
｢自然数の集合と実数の集合は同数でない｣と認めたってことだな。それでいい？

さあ、あーだこーだの名人どー出るか。

>>233
>>1は、実数と自然数が「同数」でないことには、異論は無いんじゃなかろうか。
自然数と偶数を区別するぐらいだから。
問題は「同数でない」対応でも不可能かってことだが、
また以前の議論を繰り返しになりはしないか・・

>>231
＞対角線（正方形）では
もしかして、「同数」でないから「正方形」にならないとか思ってるのか？
この場合、「辺が等しい」とはどういうことかというと、
証明の内容を考えれば分かるように、それぞれの辺（実数と自然数）に
（広い意味での）１対１対応ができるということ。
必ずしも「同数」の意味で等しい必要はない。

＞＞２３５
おいおい、マジカ。

>>236
ん？どこが問題？

1 は対角線論法ではみ出した実数は見つけ次第新たに
加えていけば何時までもはみ出すが永遠に可附番個だと
言っているように思うが。

それは表に入れることのできる実数が可附番個だというだけ。
いつまでもはみ出すのなら、それは「はみ出さないような対応は作れない」
ことを意味するのだから、主張は成り立つ。

「入らない実数を追加していけばいい」と感じる理由は、>>170あたりにも関連するが
ある１つの実数に注目すれば、それは必ず表に含むことが可能ということ。
だが、それらを１つずつ順番に拾っていく操作を無限回繰り返して、
本当に全て表に入れることができるかどうかが問題。
つまり、どの実数についても、いつかは自分の順番が回ってくるような
順番の付け方があるかってことだが、
前にも言ったようにそれは不可能。

>>238
それもひとつの線だけど、おもったんだけど、背理法だからさ、
それで可付番だと帰結するのはおかしいな。
だから、同数の可付番でないという線だな。

対角線論法への批判としては、
同数の１対１対応がある。（正の整数と負の整数とか）
同数でない１対１対応がある。（自然数と偶数とか）
ってことを踏まえて、
でさ、論法中の肝は正方形なんだよ。だから、１対１対応を仮定するといっても
それは同数の方を仮定してることになるんだよ。で、対角線上の１個の
実数が表に現われないから、矛盾だと、すなわち、同数の１対１対応は
できへんというわけだ。
したがって、対角線論法は片落ちしてるわけだな。同数の１対１対応に
ついては不可能であることが見事に証明されているが、同数でない１対１
対応については何ら触れられていないということだ。
対角線論法への批判としてはここまでで十分だ。もう片方の１対１対応が
可能かどうかとか、結局、実数は可付番なのかどうかという問題はここでは
関係ない。あくまでも対角線論法への批判である。

>>240
＞論法中の肝は正方形なんだよ。だから、１対１対応を仮定するといっても
＞それは同数の方を仮定してることになるんだよ。
人の話を聞いていないのか。
実数と自然数が「同数でないものも含めた１対１対応」の意味で等しいという仮定を
「正方形」と表現しているだけ。なぜ同数と仮定したことになるのか？

＞同数でない１対１対応については何ら触れられていない
同数でない対応が触れられていないのではなく、
同数であるかどうかという区別自体に触れられていない。
つまり、同数の対応も同数でない対応もまとめて不可能だと証明されているわけだ。

>>240
＞でさ、論法中の肝は正方形なんだよ。だから、１対１対応を仮定するといっても
＞それは同数の方を仮定してることになるんだよ。

>>233が目に入ってないの？
》一対一であろうと無かろうとどんな対応でも｢nに対応する実数のn桁目｣と
》異なる数をn桁目に持ってる実数は構成できるだろうが。で、その実数は
》どんな自然数とも対応してないから、その対応は｢同数でない一対一対応｣
》ではないどころか、全射ですらないよな。

この四行に記されていることが｢対角線論法｣の本質。
同数であることはおろか、一対一対応であることすら本質的ではない。

「同数でない1対1対応」ってのも凄い妄想だよな。
>>1には抽象とか演繹とかいう概念は存在しないのだろう。

>>241
同数と仮定しないと対角線の＋１個が矛盾にならない。
区別していないから見逃している。

>>242
正直、その四行の意味が皆目分からんのです。
順序良く端的に解説お願いします。

>>244
四行についてどこが分からんのだ？

fを自然数全体の集合Nから実数全体の集合Rへの写像とする。
f(n)の小数点以下第n位をa_nとする。
実数rを
小数点以下第n位が2(a_n≧5のとき)
小数点以下第n位が7(a_n≦4のとき)
となる実数として定義すると（整数部分は何でもよい）
f(n)=rとなる整数nは存在しない。
だからfは一対一対応でないのはもちろん、全射ですらない。

こういうことだろ。2とか7とかいうのは一例でしかないけど。

>>245
「全射」と「単射」の説明もしてやらないと

>>245
それってさ対角線論法なの？

>>244
同数でなくても矛盾する。
どちらの種類だろうと１対１対応である以上、全射でなければならない。

以前「一つ残らず」の意味を勘違いしていたようだが、
まだ分かってなかったのか。

>>247
とりあえず、>>245は理解できるのか？

>>248
偶数は自然数の半分だよ。同数でない１対１対応だよね。これもゼンシャ？

>>249
できません。
対角線論法って、たとえば、
１，２，３
４，５，６
７，８，９
ってならんでるときに、対角線の１，５，９の並びは横の並びと
一致することはありえないってことだろ？

>>250
集合Aから集合Bへの写像fで、どんなBの要素bに対しても
f(a)=bとなるaが存在するのが全射。

で、>>245のどの部分が理解できないのだ？

・以下、0か1を値に取る関数を単に関数と略することにする。
・一般に集合Sについて、s∈Sに関数fs(x)（x∈S）が対応してる時、
常にg(s)≠fs(s)となる関数gを新しく作ることができる（g(s)=1-fs(s)と決めればいい）。
・g(x)はどのfs(x)（s∈S）とも等しくない。なぜならx=sのとき両者の値は等しくないから。
・よって、fs(x)（x∈S）は0か1を値に取る関数をすべて尽くしてはいない。

これのどこが間違い？

>>250
やはり、以前注意したことが分かってなかったな。

「自然数全体の集合」から「偶数全体の集合」への写像(n->2n)なのだから、
どの偶数2nについても、対応する自然数nがあるので全射と言える。

包含関係で混乱してるのかな？
比較対象となる集合が何かを考えないと。

>>1
さては
集合論の本を1冊も買ったことがないな
ケチらずに買え

ふにゃらげら。ぴぴー。ぴよこちゃん。
同数でない１対１対応ができると仮定する。
I＝｛ｘ１、ｘ２、ｘ３、・・・
でさ、同数でないから右側の｝が付けれないんだよ。
だからさ、対角線上の数値を参照して新たな実数αを作ったとき、
αはIに属させることが可能。よって矛盾しない。
なにがしかの無限可付番集合と同数であると仮定した場合は、
Iが閉じるから矛盾が生じるわけだね。

>>255
Iってなに？}がつけられないってどういう意味？

とりあえず、1, 2, 3, ...に対応している実数をx1, x2, x3, ...とおこう。
その実数αがnに対応しているとすると、α＝xn。
αの作り方からxnのn桁目はαのn桁目と異なる。よってα≠xn。

これが矛盾でなくて何なのか？

なんだかんだと仮定する前に並べてみない？
だーーーー。並べました。すると、対角線を参照して並びにない実数が
ぽこぽこ作れます。それを並べた上にでも置いておきましょう。
並べたので可付番個です。ぽこぽこ作るのだからそれは可付番個である。
可付番個足す可付番個は可付番個です。よって実数は可付番個です。

俺、あたまわるいなｗｗｗ

やっぱ同数でない１対１対応から攻めてみるわ。充電してくるのでしばし
お別れです。

ﾆｹﾞﾀﾆｹﾞﾀ

>>257
＞実数は可付番個です。
実数の中で、ここまでに並べることのできたものが可付番個だというだけ。
可付番個ということは、最初と同じ理由により、やはり含まれないものが存在する。

>>258=1
反論できない発言がたまってきたので
リセットするために一旦逃走したのだ

と思われないよう、帰ってきたときにきっちり答えてください。

特定区別できる数として実数を扱う場合には、それをあたかも可算集合の元
であるかのようにして取り扱っても矛盾は生じない。
いずれにせよ、証明論理で扱える対象は可算濃度の集合の元だから、
実数全般に関する性質の言明は極めて限定的なものにしかならない。
人類史上今だかつて未来永劫、特定的に指定記述されたことのない
実数がいくらでも存在し続ける。数論として対象になる実数は、あくまでも
可算の範囲に留まり、決してそれを超えることはない。
有限長の記号で記述指定出来ない実数ばかりであるから、當然だ。
我々が取扱いうるのは実数のうちで測度0の例外集合である。


T＝{実数であって、ある体系S上で有限長の記号で指定記述できる}
としたときに、Tの任意の元を与えたときにその符号を決定する
アルゴリズムは存在しない。

>>257
新しく実数ができるというのは、
どんな自然数→実数の写像を持ってきても、写像の行き先に含まれない
実数が｢少なくとも一つ｣存在するということ。
新しい実数をつくる捜査を繰り返してできた実数（可算無限個）をすべて
写像の行き先に含めても、やはり新しい実数が｢少なくとも一つ｣できてしまう。

>>263
加算無限個＋１＝やはり加算無限個
じゃあない。
この証明は少なくても１個以上はみ出すでは弱い。
遥かに超える無限個存在すると言う必要がある。

>>264
どんな自然数→実数の写像であっても、
｢少なくとも一個、その写像の行き先にならないものができる｣
ってことなのだよ。
だから、自然数と実数の間には同数でない一対一対応すら存在し得ない。

よってはじめの写像について言えば、その写像の行き先にならないものも
一個や可算無限個ではなく、非加算無限個存在するという結論がちゃんと出てくる。
なぜならその写像の行き先にならないものが可算無限個しかないなら
実数全体の個数は
写像の行き先（可算無限個）＋写像の行き先で無いもの（可算無限個）＝可算無限個となって、
自然数と実数の間には一対一対応ができることになって矛盾するから。

>>実数全体の個数は
>>写像の行き先（可算無限個）＋写像の行き先で無いもの（可算無限個）＝可算無限個となって、
>>自然数と実数の間には一対一対応ができることになって矛盾するから。

分からない人は　実数の個数-加算無限　＞＞　加算無限
を示さないと理解できない思うけど。なんとか成らない。

数学的センスはいまいちだが、逃げ足の速さはピカ一な1がいるスレはここであってますか？

>>267
当たっりです。！！！！！！！！。
でアンタ誰。

ム板から数学板へ散歩しにきている者です。

>>269
知らないところを散歩して迷子にならないように。

>>264
１対１対応があると仮定して、その１つをfとしたら、
fとしては
「あと１つ足せば１対１対応が完成する」ようなものではなく、
「その１つを足すことで１対１対応が完成した」ものの方が
選ばれていなければおかしい。（１つ→有限個、加算個でも同じ）

「ある対応では全て取れなかった。
だが、１個足しても変わらない「加算個」の自由度を
駆使すれば、まだまだ取れるぞ。」ではなく、
「その自由度を駆使して得られる全ての対応について、
取れないものが少なくとも１つある」というのだから、
実数と自然数の"差"はその自由度を超えているってことだ。

>>271
無限の話なんだから足しても足してもいつまでも追いつかないのは
当たり前では。なんせ如何なる区間にも可算個の有理数が存在するのだから
足し忘れは幾らでもあるはず。また可算個の集合は有理数だけとは
限らない。とにかく１個だの可算個多いというのでは濃度が大きいと
言うにはまだ説明不足だと思うが。

>>272
どんな増やし方をしても同じ。
別に、値域が（包含関係の意味で）どんどん大きくなっていくような
写像の列があったとしても、
また、どんなに多くの"割合"の実数が値域に含まれる写像があったとしても、
値域が完全に「すべての実数」となるような写像が存在しないのなら、
主張は成立する。もしそんな写像があるなら、それをfとする。
無いなら、それで終わり。

>>273
可附番個の無限は可附版個以上無いことが証明されて無い
と思うが。

＞１個だの可算個多いというのでは
１個で十分。

自然数から実数への対応fを１つ固定し、
fの値域に含まれない実数が少なくとも１つ存在することが示せたとする。
その１つを値域に含むような対応を構成することは可能だが、
少なくともf自身が全射でないのは確かだ。
fとしてどのような対応を選んでも、これを示すことが可能なのだから、
すべての自然数から実数への対応は全射でない、となる。

ある特定の対応fについて、はみ出すものを１つ与えるだけでは
あまり意味は無いだろうが、
「全ての対応fについて、必ず１つははみ出す」
となると違ってくる。

>>274
>可附番個の無限は可附版個以上無い
とは？

>>276
可附番個の無限が実数と同じ個数あったとしたら(用意できたら）。

>>277
それを否定しているわけだが。
まさか、言葉を違う意味で使ってる？

>>274
可付番の無限と可付番ってどう違うんだ？
前者は可付番であって有限でないもので、
後者は有限の場合も含むってこと？
どんな無限集合も有限集合よりは多いし、
それ以外は同じだから問題ないと思うが。

０〜１．０までの実数に収束する可算無限個の有理数を用意する。
実数に一番近い有理数と実数とを一対一に対応させる。
可算無限個の集合が実数の個数用意できた。
一方０〜１．０までの有理数の全個数は可算無限個である。
故に実数の個数は可算無限個と等しい。

＞実数に一番近い有理数

ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ


　∧_∧　　　 　　∧_∧ 　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼ ＼　 　└＼ ＼　　 └＼ ＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ

Aがｎ個の要素から成る有限集合であるとき、Aのあらゆる
部分集合の集合は２＾ｎ個の要素からなる。
って意味わかんにんだけど（２日考えてもわからん）。
おしえて、ちゅ。
持ってる本には、
「２つの容器を用意してAの要素を１つずつとりあげては
どちらかに入れるかを決めることに相当する。一方の容器に入れられた
ものの集合を１つの部分集合と考えればよいからである。」
って書いてあるんだけど、いみぶーですう。
前にどっかで聞いて納得した覚えがあるんだけど、わすれちった。

３つめの偶数６があったとき自然数はいくつある？
この違和感を解消すべく集合論の基礎の基礎を勉強中にだ。

>>282
具体例で考えてみ。n=3とか。
A={1,2,3}のとき、Aの部分集合は、φ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}
の6個。たしかに6=2^3になってる。

なぜそうなるかというと、3つの要素1,2,3のそれぞれについて、「取るか」「取らないか」
を決めるたびに部分集合がひとつ定まるから。2択が3回で2^3

いかんミスだ。

誤＞の6個。たしかに6=2^3になってる。

正＞の8個。たしかに8=2^3になってる。

意味不明のこの文章↓に引きずられた…

＞３つめの偶数６があったとき自然数はいくつある？

パスカルの3角形で組合せとか部分集合
考えたらどうですか‥

部分集合の個数を考えるっていうのは、

nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn = 2^n

の直観的証明になるんだったな。

ちなみに「パスカルの3角形」は、要するに、r行目に nC0, nC1, …, nC(r-1) が並んでいる。

>>283とか
わかったわかった。状況的にそうなることが明らかなんだな。
２択がｎ回か。本の著者より説明うまいね。よいしょ。
厳密には286に出てる等式を証明すればいいんだな。まぁいいや。
状況的に明らかだし。

おんなじページで、
「A＝｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝、B＝｛ｘ｜１≦ｘ≦２｝ならA⊂Bである。
この関係をAが空集合であるばあいについていえば、仮定が矛盾を
含むような条件文は結論が何であっても命題として真であるという
ことになる。」
って書いてあるんだけど、いみぶー。
空集合＝矛盾なの？？？

結局此処も、偉そうにしてた>>1がみんなにお勉強を教えてもらうスレに成り下がるのか。

>>289
違うよ、うろ覚えの丸暗記数学をからかおうとしてるんだよ。
分かっていないから直ぐボロを出しそうだから。

結局、数学知ってるといっても猿回しの猿のごとく
教えられたとうりにテンテコの踊っているだけか。

教授が猿回しってわけか。情けね。

>>288
A⊂B と P⇒Q (P ならば Q) は
A⊂B が x∈A⇒x∈B という意味なので、そこには対応があるわけです。
で、 A が空集合なら、A⊂B は常に成り立つ、
つまり、P (x∈A) が常に偽なら P⇒Q (x∈A⇒x∈B) は常に成り立つってこと。

まあ、そういうようなことを言おうとしてるのだろうけど、
そこで「偽」ではなく「矛盾」と表現したり、なんかアレな感じがする。

>>292
ふーむぅ。感じはわかつた。対応してるからって集合の話をそこまで
同調させるのもどうなの？何か御利益があるのかに？っておもたけど、
まぁ、いいや。サンクス。

話が盛り上がっていますね。もしかして自作自演。

ベン図とオイラー図。あなたはどっち派？
俺はベンに一票だな。なんか、犬の名前みたいでかわいいじゃん。
「これ、ベンや、よちよち」

正しい証明を分かったふりして丸暗記してそのとおりを書いたとしても、
もちろんそれは正しい証明であるので、外部から見たときにその人間が
本当にその証明を分かって書いているのか、それとも分かった振りをして
書いているのかはそれだけでは判断出来ない。
それと同じように、誰か(たとえばカント-ル)の行った証明が、結果が
もっともらしければ、その証明の過程が暗黙の仮定を含んでいたとしても
その証明の方針を丸暗記して、ただ単に反復再現するのみの者が居たとしても
なかなかその危険性(理解の形骸化)を認識することは難しい。
批判的な証明の検証を行うことを鍛錬として、ある時代の数学は前の時代の
数学の証明や定義を常に厳しい目でみ直して洗い直してきた。ある時代には
それでとくに問題がないとされた証明も、暗黙の仮定や病的な判例が見付かり
などして、その都度再考を迫られたのである。最初から完全な定理や定義が
今の基準で完璧に得られていたのではなくて、やはり各時代における認識
力の限界、概念の把握に段階を追った発展発達の過程が伴い、その違いこそが
数学の進歩の証人だといえるであろう。

>>296
今の若い奴は、真似ができれば分かったと思っているんだから
馬の耳に念仏だと思うけど。

>>296
それが本当ならまたその過程を繰り返すのであろうから、そのままにしておけばいいのではないか
このような過程というのは人為的にコントロールできるものではないと考えるが

>>297
若い奴に責任転嫁するなよ

>>298
真似でお仕舞いでは、日本の技術は終わりじゃないの。
もっとも教えて分かるものでもなし。
自分で分かろうする人が居なくなった。
まあ　煽って　見ても無駄なのだが。
せめて　理解　していないことは分かってほしい。
真似では駄目なのだ。

今も昔も関係なく、若い奴の大部分はそんなもんだろうよ。
だから悲観するには及ばない。

>>297さんは何を根拠に「今の若い奴は」なんて言ってるんですか?
どっかの大学の教授でもやってるのですか?

その昔本屋には科学書が溢れていた。
数学の本もすごかった。
今は科学書も数学書も読む人がいないから書く人もいない。
寂しくなったものだ。

今は Amazon で洋書が簡単に手に入るようになったから、
邦書が売れなくなったってだけだよ。

>>296
ところで、３つめの偶数６があったとき自然数はいくつありますか？
みんなも答えろ！あー（おたけび）。

１対１対応の厳密化をしたいんだけど、なんとも無策、考え中。

だから、質問の意味が分からんと。

>>305
またまた、ふりですか？ニィ
センスで答えてよ。グフ
それにあなたさまは２９６さんでつか？ドム

３つめの偶数６が「あったとき」
って何なんだろうね。
無い場合も考えるんだろうか？

>>307
なにもそんなに石橋叩く場面でもなかろう。気持ちでさ、こうだっての
ないのかな！？まず、気持ちありきじゃない、数学も、けっきょく、
世界はアートなわけで、「ラウルッ！！！」
感情の入っていない数学は毛の生えてるおぱいにさえ遠く及ばない。
いいのか？それで？途中で犬が歩いて面白かったです、なんて、そんなの
リアルじゃないじゃん、かっこわるいよ（ぞの）。なんてかな、
アートという麻薬がどこにでもすぐ側にあるのに身体が資本だから、
だめだ。うん。あーーー！！！巨大なペンギンが宇宙戦艦ヤマトを背負って
都庁からダイビングジャンプ。新手のティロか。闘いますか？あなたの
背負っている誇りはなんですか？気持ち弾けろっ！

自然数の定義が変わらない限り
常に「３つめの偶数６がある」のだから、これは無意味な仮定となり
単に「自然数はいくつあるか」と質問するのと変わらないのだが、
これでいいのか？

>>309
それを対応と呼んでいる。
数字の３とりんごの三個を一対一に対応してりんごが３個ある
といっているわけだ。
１　---->　　りんご
２　---->　　りんご
３　---->　　りんご
何かと何かが等しいことはこの対応を使う。
無限でもこれを使っただけ。

カントールの対角線論法、か・・・

パチスロが斜めに揃った瞬間
電撃的にひらめいたんだろうな、きっと

>>311
全ての無限は等しいか？。
もし自然数と偶数とが等しいとして
自然数に　２列縦隊　と号令すると個数が倍になる。
　　　　　５列縦隊　と号令すると５倍になる。
これはまずい。必死に考えて加算無限個を加算無限と集めても
加算無限個になると結論づけた（証明した）
でこれ以上の無限は無いか。
必死に考えて　対角線論法　が生まれた。
ついでに　同じ論法で　いくらでも　大きい無限が存在する。
まで調べた。

あのころは　パチスロ　無かったから大変だったろうよ。

>>310
そんな事を聞いているのではないのだが。

>>1は電波お花畑にｶｴﾚ

>>>309
大根役者！！！！！
だいこーん、だいこーん、だいこーん。
もう、すねちゃうから、プリリ。

>>313
それなら、何を聞いているのか。
自然数が何か分かっているのか。
１００進法とか３５６７進法とか分かっているのか。
数えるとは何か分かっているのか。

>>316
そのままの意味では前半が関係なくなってしまうので、
>>1が本来意図していた内容とは違うんじゃないかってこと。
およそ想像はつくのだが、はっきりさせるためにあえて質問したわけ。
期待するような返事は返ってこなかったが。

なんも思い浮かばねぇ。無限集合における１対１対応の扱いが
おかしいことは確かなんだけど、それをどう料理してみるか
レシピが浮かんでこない。うーん。集中してないのかなぁ。
まぁ、そんな今日この頃。
よいこのみんなは調子はどうかな？
誰か応えろよぅ、ｎ個めの偶数２ｎがあったとき自然数はいくつ
あるの？のってこないなぁ。のりわるいぞ、この〜（おでこにゆびつん）。

＞なんも思い浮かばねぇ。無限集合における１対１対応の扱いが
＞おかしいことは確かなんだけど、それをどう料理してみるか
　
そうなのよね。まず｢間違ってる｣って結論が先にあるのだ。
途中のロジックなんか適当にごじゃごじゃいっときゃいいんだよね。

>>誰か応えろよぅ、ｎ個めの偶数２ｎがあったとき自然数はいくつあるの？

当然無限個です。無限個の話だからです。
偶数のn個ある場合自然数何個集めれば同じ演算2*nで偶数を作れるか。
と考えるのが一対一の対応です。

>>319
>>320
ごじゃごじゃ言ってるな〜。

Nっていう無限と１０＾Nっていう無限って、１対１対応できるよな？
無限なんだから、いくらでも後出しできるわけで、延々と後出しして
対応してりゃいいじゃん。限りが無いんだからね。
でも対角線論法では否定される。
もしかしてパラドクですか！？
遠い祖先にパラドクには手を出しちゃいけねぇっていわれてんだけどな。
どうなんだろ？

>>1
ごじゃごじゃ言ってるな〜。

1対1の関数の"関数"に注目ｽﾚ
関数とは最初からその出力値が
決まっているという制限がある
y=f(x)
ではxに対して、その場その場で人間が
勝手に都合のいい物を選んだり、選ぶ
人間が違えばyも違うというものは関数で
はないのﾀﾞﾖ

よって後出しで出る物を追加した関数は
"関数"ではないというｺﾄ

自然数集合でも選択関数という神のような関数
によって選ばれたものが正式な定義ﾀﾞ

>>321
＞Nっていう無限と１０＾Nっていう無限って、１対１対応できるよな？

もし自然数の集合と実数の集合が1対1対応できるという意味なら
そんな対応できませんが何か？どういう対応を考えて1対1対応できると言ってるの？

みなさん。このスレは｢対角線論法はまちがってる｣という主張をいかにして
正当化するか論じるスレです。対角線論法をもちいた証明が正しいかどうか
議論してる香具師はあふぉです。｢対角線論法はまちがってる｣ように｢ただしい証明｣の
基準をあたらしく創設するのです。

>>321
＞１対１対応できるよな？
できません。

＞無限なんだから、いくらでも後出しできるわけで
ところが、残りの実数も無限個あり、
「延々と後出し」する操作をしても、本当に残りの実数が
全て取れるかどうか分からない。
それを無条件で認めてしまうなら、それは
最初から実数と自然数が同程度の無限であると仮定しているようなものだ。

>>322
「後出し」というのは、元の関数fを拡張した別の関数f'を新しく作ることになり、
ひとつの関数自体にそのような自由度があるのではない、ということだな。

値域がより広くなる新しい関数を次々に取り直すことは可能だが、
「１対１対応ができる」といえるには、
最終的にはある一つの関数fを確定させて
それが１対１対応になっている必要がある。

>>325
総ての実数は、その実数を収束値とする無限個の有理数からなる集合が
用意できる。出来ないとすれば計算できない実数が存在する事になる｡
実数と有理数の個数が同じでないならば四則演算の極限で計算できない
実数が存在する事にになる。
　出来ないとすればデデキントの切断も意味がない。
総ての実数位置で切断できなことになる。

>>326
何が主張したいのか、論点が判らんのだが。
{有理数の無限列} の濃度は有理数のそれとは一致せんよ？

324 の主張が正しいと思う。
その線の論証：
対角線論法を使うと、自然数の個数と実数の個数が異なることが
証明される。しかし、これらの個数は無限である。無限というのは
数えられないから無限というのであり、それらの個数が異なると
いうのは矛盾である。よって、対角線論法は間違っている。
対角線論法は

>>327
>>{有理数の無限列} の濃度は有理数のそれとは一致せんよ？

なぜ。

>>329
じゃ、 有理数の無限列の全体の成す集合 と 有理数 の間の一対一対応を教えてくれ。

無限集合における１対１対応って無力だよな。と、ふと思った。個数とは無縁だし。

ところで、有限集合の要素の数がｎのとき、その集合の濃度はｎとする
っていう定義って、やばいよね。濃度と個数関係ないのに、あたかも、
それっぽくみせるための意識誘導ってのかな、くさすぎる。
みなさんどう思いますか？

>>330
総ての実数の位置でデデキントの切断が可能ならば
それに収束する有理数の無限列も存在する。
存在しないなら実数の存在も無い。

>>332
「有理数の無限列の全体」と「有理数全体」の一対一対応だぞ？

>>322
有理数ってのは止まってる点なんだよな。
イクラでも近似はできるけど、近似してる最中の有理数は
止まっていない有理数なんだよ。だから、それは、もはや
有理数ではないのだ。だから、
実数は動的な有理数である、といってもいいだろう。
どうも、年を取った数学家は「動的な」ということに過敏に
反応するので、そう表現するのは恐縮なのだが、ふと思ったので
書く。書かなきゃ、ココロは伝わらない。だから、魂のるふらん。
「ふと」数学をしよう。あはは。

>>324
ウソツキゲームなんて悪趣味だな。

＞無限集合における１対１対応って無力だよな。と、ふと思った。

小川の「無限集合の個数の定義」は胡散臭いが
この疑問に関しては、ごもっとも。

＞実数は動的な有理数である、といってもいいだろう。

「動的な」の後に有理数という名詞をもってきたらだめだろ。
せめて「実数は、有理数の変化の歴史」くらいのこといってほしい。

それはともかく、実数の正体が「動き」にあるという指摘は
ごもっともである。動きを全体として捉えることで、いわば
「凍らせる」のが数学の詐術ともいえる。

実数は可算無限個以上存在するという。
一方総ての実数は有理数の極限値として定義できるという。
どっちが嘘か？。

>>337
「どちらか一方は嘘である」と思う理由は？

>>338
極限値として含まれる数は有理数だから
結局可算無限個だ。だからこれ以上の個数の数字は無いことになる。
デデキントの意味での切断も出来ないことになる。

>>339
"極限値"は有理数とは限らんぞ。
（だから有理数の中で「収束する」という表現は少し問題がある。
元の集合のコーシー列に対して、極限値となる元を添加した集合を考える、というべきか。）

勿論、実数が既に構成済みであるなら、単に
（実数の部分集合としての）有理数列は
有理数に収束するとは限らない、というだけ。

>>326
一つの実数に収束していく有理数列を適当に
一つ取って、更にその有理数列から一つの
有理数（異なるように）を適当に取っていく
そして、その有理数と実数を1対1に対応させ
るということ？
そうすると実数は可算ということ？

実数と1対1対応するそれぞれの有理数を少数
展開して並べて対角線論法で一つの実数を作る

この実数は1対1対応には含まれていない

終了ｼﾏｽﾀ

>>342
有理数が実数と１対１で対応すれば改めて対角線論法を使う必要はない。
すでに一対１だからだ。
総ての実数に収束する有理数があるとすれば有理数は実数と同じ
個数を持つ。
実数は可算無限個。実数は可算無限個より可算無限個以上大きい。
ようするにどっちにしても矛盾するのさ。

>>343
＞総ての実数に収束する有理数があるとすれば有理数は実数と同じ
＞個数を持つ。

だから｢収束する有理数｣って何だよ？収束というのは数列や関数に
対して使う言葉。

実数に対応するのは、その実数に収束する有理数列。
そこから有理数を一つ選ぶというやり方で実数→有理数の対応を作っても
単射にならない。

>>344
それじゃ有理数の極限で表せない実数が存在することになる。
そんな実数あるか？。あるなら示せ。

>それじゃ有理数の極限で表せない実数が存在することになる。

なぜ？

各々の実数に対応する各々の有理数列は明らかに存在する。
つまり、その有理数列の濃度は実数の濃度と等しい。
そこで、有理数列と有理数とは濃度が等しいか？が問題なわけだが、
ここで、ひとつの有理数列を考えてみよう。
｛q1,q2,q3,・・・}
さて、ｑｎは有理数なわけだが、この有理数列を代表するようなもの
は取ることができるか？
３４３さんはおそらく、この有理数列の一番右の有理数を持ってきて、
そして、それが、実数と１対１だから、有理数と実数が同じ濃度だと
言いたいのだと思う。違ってたら指摘してくれ。
が、しかし、当然だが、そんな一番右のなどという有理数を取り出すこ
とはできない。

＞有理数列の濃度は実数の濃度と等しい

厳密には、収束しない数列の存在や
複数の数列が同じ実数へ収束する場合があることから、
有理数列の方が大きい可能性が残っている。
有理数列＝有理数がいえれば十分、ということには変わりないけど。

>>348
やんや、やんや。面白いね。

>>348
分からん。アイアムノットアンダースタンド。
分からないということを伝えておく。

>>350
一つの実数に対する有理数列がただ一つとは限らないし、
有理数列の中には収束しないものもあるから
実数全体の集合の濃度と有理数列全体の集合の濃度が等しいとは限らない
という主張のどこが理解できないの？

実際、有理数列全体の集合と実数全体の集合は一対一に対応するが…

>351

最後の一行は間違いだな。

>>351
主張そのものの正誤以前に論点にどう絡んでいるのか分からない。

>>346
可算無限個しかない有理数で
それ以上あるといわれる（仮説）実数に収束できたとしたら
多いはずの実数はそれ以前の実数と同じ数があった事になる。

有利数列のことを有理数と言ったあたりから無駄な

有理数列の全体 Map(Z,Q) と有理数全体 Q の区別がつかない人がいるスレは此処ですか？

そういえば、思いついちゃったよ、カントールの対角線論が不十分だという
ことを示す方法が。けっこう、さいきん、進展してなくて、なんやかんやと
生活に追われたり自慰したりして過ごしてたわけだけど、昨日ね、もう、そろそろ
それじゃいかんと、昼飯食べた後、もう、必死に考えたよ、で、３０分くらいうんうん
唸ってたんだけど、ぜんぜんアイデア思い浮かばなくて、で、眠くなってきて、
あぁ、また、寝てしまうのかと、こらえたよ、必死に眠気をこらえたよ。で、考え続けて
考え続けて、１０分くらい眠気と格闘して考えて、考えて、それでも何にも浮かばなくて、
あ、寝ながら考えよう、いつもそうしてた気がする、そのほうが考えやすいしって、
布団に入ったんだ。で、布団をかぶって、引き続きうんうん唸って考えていたんだ。
でも、考えても考えても何も浮かばない。でも、考えて、、、で、いつのまにか眠って
しまっていた。はっと起きたのは２時間後くらいだたかな、あぁ、また、寝ちったと
少し自己嫌悪が出てきて、でも、そこで、また、考え始めたんだ。どうしたもんか
どうしたもんか、うんうんうんと、途中、晩飯はどうすんべと、材料はまだあったな
とか確認しつつ、でも、考え続けたんだ、すると、ふと、僕は思い出したんだ。
考えが浮かんだというか思いついたとかひらめいたとかっていってもいいけど、
ふと何かを思い出す、そういうのが一番適当だと思う。思い出したんだ。
で、キターって感じであわてて布団から起き上がってノートにメモをした。
で、しばし、検証をして、うん、これはいけそうだと、小躍りしてしまった。
そんな感じだ。まぁ、まだ、検証が完全かといわれても自信はないけど、まぁ、
大丈夫そうだから、清書して、で、また、うんうんと検証して、よさそうなら
HPにアップしようと思っている。そしたら、まぁ、リンクはどうしようか
貼るかな。うん。乞うご期待。

やめとけ。どうせまた途中でごまかして逃げることになるだろうから

>>354
「それ以前の実数」とは？

>>356
有理数列の全体 Map(Z,Q) と有理数全体 Q の違いを自分の
理解した言葉でのべよ。

先生、教科書の受け売りは駄目だよ。
それは分かってるんじゃなく、えらいさんが行ったから正しいだろうと
いう宗教に近い。

>>359
＞＞「それ以前の実数」とは？
対応が終了した実数。

>>361
対応が「終了」？
何との対応？

>>362
少しは前後関係から推測しな。
これでは只の馬鹿と思われる。

>>360
こういっちゃなんだが、あんたは教祖のようにふるまってるよ

>>364
そうかもね。

こんなのはどうよ？

http://groups.google.co.jp/groups?dq=&hl=ja&lr=lang_ja&ie=UTF-8&oe=UTF-8&newwindow=1&c2coff=1&frame=right&th=60dfe3bf75781984&seekm=8mr6vt%24ed2%40goat.ipc.ulis.ac.jp#s

実数rに対してそれに収束する有理数列q_1(r), q_2(r), ...が存在するのは定義より明らか。

そして実数rに対して自然数nを選んで、q_n(r)を対応させるという方法で
実数から有理数への対応をつくるのは簡単。

で、これが一対一対応になるとでも言いたいの？

>>363
重要なことだよ。
対応する相手として考えているのが本当に「有理数」なのかどうか。
もしそうなら、与えられた実数にどんな有理数を対応させていくつもりなのか、
早く示して欲しいのだが。
その実数に収束する有理数列をとって、そこからどうするのか。

>>357
自己レス。
おいおいおい、聞いてくれよ、カントールの対角線論法の不十分性の
証明ができたと思ったら、すぐに実数の可算性の証明ができちまったよ。
まいったなこりゃ。数学基礎論界、激震だね。おまいら祭りの準備はいいか？
って祭りのシステムってかどういうものかも知れないけど。まぁ、今月末か
来月頭くらいにノートまとめて、アップするから、まぁ、待ってろ。
自分でも驚いたね。いやはや。

（冷静な俺）
とうとう俺もやきがまわっちまったのかも知れない。アップしたあと、
ぼそぼそって指摘あって撃沈てのが関の山ぽい。
まぁいいや、恥も勉強だから、、、。

【執り付かれた】数学的帰納法は無効【悲劇】
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1069681926/


17 １ 03/11/24 23:15
やばいよ。数学界、激震じゃない！？
ドキドキしてきたよ。

>>370
あっはっは。そんなのがあったか！なんか自分を見せ付けられた
ような不思議な感覚。ワロタ。
２度目の正直だぜ、ベイブー。

>>368
有理数を四則演算しても結果は有理数だ。
たかだか可算無限解級数などで演算した結果は実数になるという。
これから明らかに実数は有理数だと言える。

>>372
1/2+(-1/2)+1/2+(-1/2)+1/2+(-1/2)+1/2+(-1/2)‥‥‥　発散
とか
1+(4/10)+(1/10^2)+(4/10^3)+(2/10^4)+(1/10^5)‥‥‥√2
はどの有理数に収束するんですか？

>>372
四則演算で閉じているのは有限回の演算においてのみ。
可算無限回でも閉じているというなら証明して。
まあ発散する場合は除くとしても、「収束するなら有理数である」、と。

>>373
どちらにしても、ただの有理数の演算です。その結果は当然
有理数です。√2 に収束はして行きますが最後まで有理数で
ある事には変わりません。無限の桁数の発想に間違いが
在るのです。

無理数は有理数のコーシー列で有理数に収束しないものですが何か。

>>375
なるほど
１つの実数に収束していくまでの個々の
段階での有理数と実数が対応してるわけ
ですね。
例えば異なる実数を5個取って
それぞれに収束する有理数列もまた
5個取る。そしてその
5個の有理数列から1番目にくる有理数
5個を選びそれを5個の実数と対応させる

これを繰り返し順次n番目に来るそれぞれの
有理数をそれぞれの実数に対応させていくん
でつね

実数に有理数を対応させていく段階で2つの同じ
有理数が出て来た時は適当に順番を繰り上げて
違う有理数が対応できるようにするんですか？

>>376
あんたそれ只の丸暗記。
有理数でいくら近似しても何桁でも正解値に収束するが
残りの無限桁はいつまでたっても一致しない。

>>378
収束の定義を理解してないようだね。

まあ、俺のことはほっといてくれ。
こっちもバカの相手はしたくないんだ。

つか、収束の定義を理解してる云々以前に、
>>376に>>378は噛み合ってないわな。

>>379
収束の定義と１対１の対応は別だよ。
収束すれば等しいならその一歩手前の有理数と同じだけ
しか実数はないことになり実数と有理数の数は等しい。
収束しないなら実数を無限桁表示できないから
カントールの対角線論法も実現できない。表現不能では
打つ手がない。

>>381
「その一歩手前」とやらが一意に決定できるのでなければ、一対一とは言い切れまい。

>>381
なんか、また、ずれた返事が…。

知ってて理解できないのか。
知らずに語ってるのか。
どっちだろう。

>>382
有理数を無限に足せば全ての実数になるのなら有理数＝実数
で同じ個数用意できる。収束すれば同じならこのパターンだ。
有理数はどのような演算をしても実数にならないのなら収束はありえない。
収束するのか、しないのか。

>>385
なあ、アンカー付け間違えていないか？

>>386
収束すれば実数と有理数とは数が同じになるじゃん。
収束しないなら平方根の計算も有理数の無限回の演算
だから無理数は小数点表示では存在しない。
存在しない実数でどう対角線論法を行う。

>>387
どうして収束したら数が同じになるの？

故雨宮教授がデデキントの切断が分らないといってたらしい。
「切断ってどうやってするの?｣

>>388
無限桁の計算が可能なら無限桁目有理数を最後に加えれば
OKじゃん。
対角線論法では無限桁目の比較が出来るんだから無限桁目の
計算もできて当然。なら実数と同じ数だけ有理数は存在できる。

>>390
＞対角線論法では無限桁目の比較が出来るんだから

「n桁目」のnの取り方に上限が無いということと、
「無限桁目」というものを考えることとは違う。

>>390
取り敢えず
大学1年次の微分積分の参考書
や集合論の本を一通り見てから
出直してｺｲﾖ

実数の定義にもデデキント以外に
カントルの方法、コーシーの方法
上界を持つ単純増加数列の上限とか
色々あるから‥

>>392
本に書いてりゃ正しいと思っている凡人。

下らん話でめちゃめちゃもりあがっとるな。
相対論関係でも勘違い多いけど、この勘違いめっちゃ程度が低い。。。

>>390
「最後に」って何だよ。

>>395
永遠の最後。

いつまでたっても「最後」が来ないのに
「無限桁目有理数を最後に加えれば
OKじゃん。 」とは。

>>397
無限なんだからあせってはいけません。
一致するまで頑張ります。一致する最後の瞬間までそれが
出来なければ無限は語れません。

>>398
およそ数学的でなくなってきているような・・・

「無限番目に足す有理数」を、n番目の有理数のn→∞の極限で定義するなら０だが、
「最後」に辿り着くまでに無限回の足し算をしているわけで、
その結果が有理数になるかどうか不明なのだから結局同じこと。

>>398　まだその論理(?)で戦ってたのかよ。いい加減あきらめな。

>>393
だったら，その「本に書いてあること」全てに反論きぼんぬ．

>>401
残念ながら彼には本の中に明示的に書かれている
証明の論理すら追うことができない。

まずいことを言われると
「教科書の受け売り」「丸暗記」などといって話をそらすのか。
そんな奴は>>1だけで十分だ。

ども、下書きおわりますた。もうじき、革命がおきるぞ。
新聞の記事で、
「大変なことになった」（某大学某数学教授）
とか、書かれちゃうな。うひゃ。

なんか議論してるようだけど、みんなの文章ってか論述を読んでると
俺より頭わるくないか？ってふと思ったな。
なんだこいつ、１より頭わるそ〜とか噂されてるかもよ。
くしゃみだいじょうぶかな？

へっくしょんっ。

>１００年後の２ちゃん数学でさ、昔の数学の話題で、昔はさ、
>数学的帰納法っていういんちき論法が誰疑うことなく使われて
>たんだってｗ、てなレスが飛び交うのではないか。
>興奮だ、興奮だ、歴史が動いているそのさなかに僕たちはいる。
>数学的帰納法が崩れ去るとき（そのとき歴史は動いた）。
>皆さん、皆さん、証人ですよ証人ですよ、歴史の、はぁ、はぁ、
>数学史の証人ですよ。ライブだ。楽しいねぇ。あばあばあば、、、。

>>405
でもさ、自分の発言見てさ、ほんと自分でアハァアハッうけるのって
どうなの？普通だよな。
「普通の道を歩んでどうする？」
「そういのが逆に固定観念になってないですか？いわば、自由に意味を与える
ように。普通でいい。普通じゃなくていい。個性なんです。普通とかそういう
のじゃなくて、ハートなんです。気持ちなんです。収穫と撒いた種なんです」
「キミね、知ったかは寒いよ」
「いいじゃないですか。どんな言葉でも言ってしまえば、芸のひとつみたいな
もので、つまらなかろうが面白くなかろうが箸にも棒にもかからなかろうが、
それが実在なんです。電波なんです。アルファ波（なみ）なんです。リンクリンク
リンクリンク共鳴シンクロ、そして、少尉は海に朝月の照り返しをすくいに
行きました」

神よ･･･１日もはやくうｐお願いしまつ。迷走する数学界をおすくいたまへ。

>>400
有理数を加えているから何時まで立っても有理数だよ。
実数の桁数もどんなに頑張っても加算無限個。
有理数も加算無限個は用意できる。

いま初めてこのスレ見た。で、1は小川だな〜と思って過去ログみたら
他にもそう思っているひとがいた。

>>408
有理数から実数への上への対応
があるとして１つの実数に対応して
る有理数が１つしかないということは
どのようにして証明するのですか？

どんどん、その有理数がある実数に
近づいていってもその有理数と実数
の間には別の実数が必ず存在します
実はその有理数は間にある別の実数に
対応してるかもしれませんよ。

>>408
＞何時まで立っても有理数
それは「任意の部分和は有理数である」というだけ。
それだけでは、極限が有理数になるかどうかは分からない。
「任意の部分和が有理数⇒極限も有理数」だというならその証明を。

>>411
有理数の演算でなんで無理数になるの。考えれば分かるでしょ。
なるわけない。収束という言葉にだまされているだけだ。
無限も同じで正しく使わないと幾らでも混乱するわけだ。
数学だと言うのならエレガントに矛盾とつけ。

>>412
ではまず√2 やπが有理数であることを示してください

>>413
無限小数では無理数は表現できないのです。
分数表記なら証明できることはその辺の本にあります。
結局はカントールの物まね以外はないんでしょ。

>>414
なぜにカントール？　ギリシア時代がせいぜいの話だと思うけど…

>>414
√2を求める計算をひたすら
無限回繰り返して無限回目に出てきた
一番近い数値（有理数でも無限桁の少数でも）
が√2じゃないの？

>>416
無限を使えば小数表示では有理数か無理数の判定ができない。
分数なら分母より小さい循環が起こるといえるが
無限小数でいっている場合分母を無限に出来るため
どこまでも循環しないなんて言える。

>>414
要するに証明できるということですね?　

>>418
いやなとこついて来たな。
できると言えば見せろ。出来ないといえば変なこと言うななど。
それじゃ遊べないでしょ。
無限はへたに使えば矛盾の山。カントールの証明は誤魔化しにも
見える。
ただ勉強は自分で反論を色々考えてその反論の矛盾を自分で
見つける作業なんだよ。
只覚えているのでは猿回しの猿同然。

>>419
> 只覚えているのでは猿回しの猿同然。

じゃあそのセリフはいつ覚えたんだい？

>>419

証明自体に興味はないです。

でもπの方はともかく、√2の無理数性の証明はいくらあなたでも認めるしかないでしょ。
すると、無理数は確かに存在するということになる。

あなたは「実数」は「有理数」という。ではこの「無理数」は実数ではないのか。
このままではあなたの言っていることは矛盾してしまうわけです。

このことについてカントールは何か言ってましたか?

>>421
無理数は無限小数では表すことが出来ない。
それだけです。

>>422
有理数列の人とは違う人ですか?

>>422
1.414213‥　で区間が
縮小していくわけだから
√2は無限小数で表される

>>412
「なるわけない。」と断言できるなら証明を。
"無限を正しく使った"証明を見せてくれ。
それができないなら、
「ならない気がする。」ぐらいにしとけ。

あと、もともと「矛盾している」とする主張に対する反論なんだから
矛盾を突いても意味が無い。
その内容では矛盾しているとは結論付けられないと言っているだけで、
必ずしも無矛盾性が証明できると主張しているのではない。（個人的には。）

>>424
有理数でもで区間が 縮小していくわけだから
√2は有理数で表される。

>>421 >>426
一体√2は有理数なのか無限小数で表せないのかのどっちなんだよ！

>>427において>>421は>>422の間違い

>>426
有理数でも無理数でもそうなるね、というだけで、
√2が有理数なんて言えない。

有理数で「表す」というのは、極限を取る操作もするってことかな？
でも、いまだに「有理数が極限で閉じている」という証明はしてくれていないしな。

>>412
有理数から四則演算を有限回繰り返したものが有理数になるだけ。
有理数の極限値が全てそのようなやり方で得られるとでも言うのか？

√2は整数の比で現せない。したがって有理数から四則演算を有限回繰り返したのでは表せない。
√2は有理数の極限値で表される（有理数の中には、√2にいくらでも近い数が存在する）。

こうじゃないのか？

>>430
違うよ。無限に一桁づづ加えれば同じになるわけだがこの無限の意味は
なにか？。無限桁√2に等しい有理数の単なる総和問題だが。

>>431
だからさ、有理数を「無限に一桁づづ加えたもの」がまた有理数になるのかと。
なるのなら証明してよ。

>>432
有限桁では完全に有理数でしょ。
一桁づつ無限に足しても有理数は当りまえでしょ。

>>433
「任意の有限桁では有理数」だからといって
無限桁でも有理数かどうか分からない。
そこを証明しろと言っているのだ。

>>434
貴方は無限に足す意味が分かっていない。
分かっていれば簡単にこんな理屈ひっくり返すことが
出来るのだ。まだ初心者の段階だね。

>>435
で、あなたは分かっているの？
分かっているなら早く証明してみせてよ。

>>436
種明かしをしよう。
無限に一桁をづつ足したとする。その無限の次の桁は０のはず。
つまり無限と言いながら有限の話になっているわけだ。
収束というのもいんちきでいくらでも真値に近づくが
いつも無限桁違うのだ。
なまじ収束なんかを知っているから引っかかる嘘なのだ。

>>437
では、「その無限の次の桁は０のはず」 を証明してください。

>>437
＞無限に一桁をづつ足したとする。その無限の次の桁は０のはず。
＞つまり無限と言いながら有限の話になっているわけだ。
なっているのではなくて、
自分で勝手に「無限の次の桁」とかいう概念を作って
有限のような話にしてるんだよ、あんたが。

＞収束というのもいんちきでいくらでも真値に近づくが
＞いつも無限桁違うのだ。
最初から、そういう場合に「収束する」と言うのだと定義しただけ。
いつも無限桁違う。それで、どんな問題があるの？

>>最初から、そういう場合に「収束する」と言うのだと定義しただけ。
>>いつも無限桁違う。それで、どんな問題があるの？

これを知っていれば１対１など無いとすぐ分かる。
有理数なら無限桁違うわけだから。

>>440
ん？どっちの立場なんだ？
「実数は可算」とか言ってたのとは違う人なのか。

確かに実数と有理数の１対１対応はできないが
「有理数なら無限桁違う」では不十分だろう。

>>441
実は最初はカントールの対角線論法は正しいで参加していた。
途中でどうも１対１の対応の意味が分かっていない人が多い
と気がついた。それで一番騙しやすいのは収束するこれだと
思った。数字の数を数えているのだから彼方此方の桁があって
いないなら勘定に入れなければならない。
収束すると言えば勘定するのを忘れるなと思って戯れに
書いたら誰も気がつかない。ちょと困っていた。

>>442
ﾊｧ?(ﾟДﾟ#)

おがわ　おがわ　おがわ〜♪

対角線論法まったくわからん…

414 ：１３２人目の素数さん ：04/01/15 09:33
>>413
無限小数では無理数は表現できないのです。
分数表記なら証明できることはその辺の本にあります。
結局はカントールの物まね以外はないんでしょ。

で，「カントールの物まね」ってなんのこと？

俺は匿名だっちゅの〜。まぁ、運命のノートをアップしたときは正体が
わかるわけだが。いや、しかし、今日は残業で１１時ちょい前に帰宅。
ので、ノート進めてない。明日も早出なのにまだ起きてる。いかん。
まぁ、今月中は確定だな。激震。関東大震災が今月中起きたら、困る。
僕のニュースが省かれちまう。
>>442
実数の正体か。なんなんだろうね。正体のない数が実数なのかも。
てことはその正体を探ろうとする行為、これ如何に！？なんか、
正体が不明だときもちわるいけど、たとえば、数直線上に自然数の１が
あったとき、２をプロットしてくれといったとき、正確にそれを行うことは
できるか？てーとできないよな。関係性が明らかというだけで、実質的には
ワレワレは２の位置を知ることはできない。自然数でもそんなもんだから、
無限桁で表示される実数というものの把握感の乏しさは特別なことではない。

デデキントの切断を公理とする、あるいはそれと結果的に等価な公理を
持ち出すことで実数全体の集合の存在を公理が保証しているわけだが、
その存在は有限の手段では到達出来ない任意の実数というものになっている。
このような公理は、可算有限の立場からでは採用できない。
可算有限の立場からは、有限の規則によって生成される有理数の列あるいは
区間の列のみしか取り扱うことは出来ない。無限での極限の操作は、
無批判には使うことが出来なく、その利用は極めて限定的なものになる。

＞もうじき、革命がおきるぞ。

ネットでは革命は日常茶飯事だね。いつも変わらぬ光景（ｗ

＞新聞の記事で、
＞「大変なことになった」（某大学某数学教授）
＞とか、書かれちゃうな。うひゃ。

まず、新聞は数学の記事はまず載せない。
載せたところで大学の先生はコメントしたがらない。
コメントしたところで、漠然としたことはまず言わない。
ありそうもないことが二つ続く可能性はないとはいわないが
三つ続くことはそれこそありそうもない。

>>447
おお、神よ。もうすぐ、もうすぐなのですね。おお、私はこのような数学の大革命を
目の当たりにできる幸せをなんと感謝すればよいのでしょう。ぜひぜひ１日も早く
ノートのうｐをお願いします。｢ネットからはじまる数学革命｣。こんな新聞記事がでたら
感無量だろうなぁ。

今だ人類史上、循環せざる実数の全ての桁を書き下したものは居らない。
宇宙の果てがどうなっているか知らなくても物理ができるし生活もできるのと
同様に、実数の無限の彼方の桁がどうなっているかは気にしなくても
数学もできるし、社会も破綻はしない。
遠いものに対する憧れはわからんでもないが、近くのつきあいをこそ
まず第一に考えるべきだ。

どうでもいいけど、その革命ってのマダぁ？（チンチン
ま、毎度毎度のパフォーマンス、楽しませてもらってるよ（笑
で、また「２ちゃんねるは便所の落書き」っていわれちゃうんだよなあ。
そういうこといってるヤシにかぎって落書き書いてたりするんだが（笑

お待たせしております。いや、きょうアプできるとおもたんだが、
なんか、昼寝のつもりがさっき起きたんだ。清書するだけだけど、
まだ手をつけてない。今日はむりかな〜。５頁くらいだと思うから
ちょちょいのちょいなんだけど、これから夕飯の材料を買ってこなきゃ
いけないしそれで作らなきゃいけないし、きょうはシャワーの日だから、
それもしなきゃいけないし、時間が過ぎていくのだよ。ユパさまぁ〜。
今月中は確実だからしばし待たれよ。もりもとれお。

http://members12.tsukaeru.net/ogawa/jikasyo.html
アップしたずら。４５２がせかすからがんばったよ。
やはり速攻撃沈ですか？ひえーん。
問題なかったら祭りしてくれよ。カウンタばんばんだ。いえーい。

>>454
「0.a_1 a_2 ... や 0.b_1 b_2 ... を構成しただけでは
まだ矛盾とはいえないよ」というだけだろ。
「可付番という仮定からはいかなる矛盾も導かれない」
ことを証明したわけではない。

Aを仮定して矛盾が出れば
Aが成立しないというミソ
がないように感じる‥

背理法が二重の意味で使われているけど混乱しないように。

非可付番であるなら、可付番と仮定することで矛盾が出る(1)はずだと。
ところが可付番と仮定しても矛盾を出すことはできない(2)。
だから非可付番ではない＝可付番である、と。

だが(1)というのは
可付番という仮定から導かれたある結論に矛盾がある
ということなので、それを否定する(2)は、
可付番という仮定から導かれたどのような結論も矛盾を含まない
ということ。
ところが実際に示しているのは、
ある結論（B_1とB_2にそれぞれ含まれない元が構成できる）は矛盾していない
というだけであり、
他の方法で矛盾を導ける可能性は依然としてあるわけだし、実際導ける。

「属さないとは限らない」って・・・属していた場合は矛盾が発生しないのは確かだが、
属していなかったら矛盾じゃん。「属さないとは限らない」って・・・。

>>454
それは革命的な論法ですね。素晴らしいです。
それを利用して素数の有限性を証明できましたよ。

最大の素数 P が存在するとする。
2 から P までの全ての素数の積にある素数 p を足したものを Q とする。
Q は P より大きいが、p で割り切れるので素数ではない。
よって、矛盾は生じない。

次に、素数は無限にある(最大の素数はない)と仮定する。
素数が無限にあるならば、最大の素数が在ると仮定したときに、
必ず矛盾が生じるはずである。
いま、最大の素数が在ると仮定してみよう。
すると、前段で見たように、Q の作り方の工夫よっては、
矛盾しない作り方もある。これは矛盾である。
よって、素数は無限には無い。

2からPまでの全ての素数の積に1を足したら、1になってしまって、だから
2からPまでの素数のどれでわっても1余るのかもしれないことを排除
しなければならないが、ユークリッドの証明に置いては、標数0の仮定は
自明とされている。

まぁ、わかる人にはわかるんだが、わからない諸君にいちいちレスを
してあげよう。
>>455
いかなる、は必要ない。ひとつでも矛盾しない方法があればいい。
反例だから。
>>457
矛盾しない方法がひとつでもあればいい。対角線論法そのものは
否定せずに用いてることに注意されたい。
>>458
限らなければ、十分だ。
>>459
対角線論法そのものはそのまま使っているが矛盾しないケースもあると
いうのが永谷園。貴下の場合も元の論理をそのまま使いながら、なお、
矛盾しないことを言わねばならぬ。

いいか、引越ししたいとして、荷物が１台のトラックに積めなかったら
引越しは不可能か？違うだろ。２台にすればいいだけだろ。
問題の集合を１枚の平面で並べられないなら、並べることは不可能か？
違うだろ。２枚にすればいい。そういうことだ。

>>454

「(＊)Bを可付番である」と仮定する。

このとき排中律から
　　(�@) Bは可付番
　　(�A) Bは非可付番
のどちらかである。

(�@)のとき、仮定(＊)に反しない（つーか仮定そのもの）
(�A)のとき、仮定(＊)に反するので、「(�A)Bは可付番」は成り立たない。

よって「(�@)Bは可付番である」は成り立つ。

以上により454が示すことが出来たのは、
　　(＊)Bは可付番である　ならば　(�@)Bは可付番である
である・・・自明じゃんかよ・・・

＞わかる人にはわかるんだが

小川と同類の馬鹿しかひっかからんよ（ｗ

小川の馬鹿は、どの実数も必ずある自然数に対応することが示せない

小川！貴様の完全な敗北だ。わはははははは

>>461
>いかなる、は必要ない。ひとつでも矛盾しない方法があればいい。
>反例だから。
「いかなる結論も矛盾している」に対する反例なら良いけど、
そうだとすると、逆に小川は普通の背理法において
「仮定から導かれるどのような結論も矛盾している」ことを示しているわけ？大変だな。
というか不可能ではないか。

>>462
Bは非可付番とも仮定してるよ。
全部読んでない？

しばし、静観します。
ではでは。

＞しばし、静観します。

（小声で）
小川「くっそー、反論できねー！！！」

>>466

「(＊)Bを可付番である」と仮定する。

このとき排中律から
　　(�@) Bは可付番
　　(�A) Bは非可付番
のどちらかである。

(�@)と　”仮定する”　と、仮定(＊)に反しない（つーか仮定そのもの）
(�A)と　”仮定する”　と、仮定(＊)に反するので、「(�A)Bは可付番」は成り立たない。

よって「(�@)Bは可付番である」は成り立つ。

以上により454が示すことが出来たのは、
　　(＊)Bは可付番である　ならば　(�@)Bは可付番である

466のいってる
> Bは非可付番とも仮定してるよ。
は「(�A)と　”仮定する”」の部分では？
そうならばこの「(�A)と　”仮定する”」という仮定は排中律の使用により落ちている。

>>461
平面に並べるとか言うのは、今回のとは関係なくて
以前の「表」のことでいいのかな？
２枚で可能なら、１枚でも可能。しかしその１枚では否定されている。

それに、２枚なら可能であることは証明できるの？

ついでに468の流れを図示するとこんな感じ


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[仮定*]Bは可付番　　[仮定�A]Bは非可付番
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-------------------------------------
　(排中律)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矛盾
　Bは可付番 or　　　　　----------------　　　　-------------------------------------
　Bは非可付番　　　　　[仮定�@]Bは可付番　　　　　　　　　　　　　　Bは可付番
------------------------------------------------------------------------------仮定�@�Aは落ちる、仮定*は残っている
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Bは可付番
　　　　　　　　　　　　　　-------------------------- 仮定*が落ちる、残った仮定はなし
　　　　　　　　　　　　　　　Bは可付番ならばBは可付番

論理厨というクレームは却下。

ヤツが「仮定が落ちる」ということを理解できるだろうか・・・

99 1 04/01/19 22:26 HOST:p20060-adsau14honb8-acca.tokyo.ocn.ne.jp
削除対象アドレス：
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1070401660/l50/463:464:467

削除理由・詳細・その他：
中傷。

100 海王 ◆POSEIDONgg ＠削除海王 ★ 04/01/19 22:35 ID:???
>>99
中傷と言うことなら削除要請板で依頼してください。
こちら＝削除整理板の判断としては、削除するほどのことはないかとおもいます。

>>468とか
じきに修正します。欲張り過ぎた。カントールの対角線論法が不十分であると
いうことだけをいえれば十分だった。

>>473
以前それを言おうとして、断念して逃げたんじゃなかったか？

同数でない１対１対応とか、自分で作った用語の意味ははっきりさせるように。
全射の意味が分からんとかいうのはやめろよ。

小川は単に無限が理解できないアフォ

>>474
だいたい固まってきた。
結論としては、対角線論法による背理法では実数が非可付番であることは
証明できない、ってことになる。他の論法が必要だけど、（以下感情論）
なさそだし、てことは、背理法では非可付番であることを証明できないな。
背理法以外でしなきゃいけないけど、できなさそうだし、てことは、
非可付番であることは証明できないじゃん。ってことは、結局、可付番じゃん。
いや、しかし、今アップしてるやつの後段で、非可付番であると仮定する。
で、可付番であると仮定するって、その時点で矛盾してるわけで、あぁ〜、
ワラタ。すんまそ。次はばっちしだから、まぁ、今週中にはアプし直せると
思う。

「これでは証明したことにならない」という指摘ではなくて
「証明できない」という主張なの？

さて、>>1と別の電波もいなくなったし、>>1も帰ってきたし、話を続けるか。

>>321
＞Nっていう無限と１０＾Nっていう無限って、１対１対応できるよな？

どう1対1対応させるんだ？

>>477とか
http://members12.tsukaeru.net/ogawa/katafu.html
ひぃひぃはぁはぁ。あぷしたずら。

>>478
いつの時代の話してるんだよ。古いよ、ちみ。ついてこい。きらーん。

>>479
小川よ。２つに分けたって
奇数組では奇数桁
偶数組では偶数桁
を選んで、カントルとまったく同じことができるから
両方に含まれないようにできるんだぞ。

ほんと小川って馬鹿だな。
実数が可算であると矛盾する。これは確か。

>>480
具体的にどうぞ。

>>481
これで必要な情報は全て与えた。
一日自分で考えてごらん。
思いつかないなら小川が馬鹿。
いいか馬鹿だぞ馬鹿。
つまり何も考えることができないってことだ。

>>479

仮定Rにより、Bの元に1, 2, ・・・と順番付けられると。
つまりBの元から1番目、2番目・・・と順番にとってこれると言うわけだ。
でこの順番にBの順番を並べた物を x1, x2, x3, ・・・とすると。
でこの並べ方が（並べ方１）

（並べかた１）とは違う並べ方を定める。
そして奇数番目のものを取ってきて順番に並べて、x1, x3, x5, ・・・
そして偶数番目のものを取ってきて順番に並べて、x2, x4, x6, ・・・
この並べ方を(並べ方２）とする。

疑問：
（並べ方２）って当然Bの元を1番目、2番目・・・と順番に並べた物なんですよね？
どのように並んでいるのですか？
　　x1, x3, x5, ・・・(奇数番号が全て並ぶ) ・・・ x2, x4, x6, ・・・ (偶数番号が全て並ぶ) ・・・
のように並んでいると思っていいですか？

>>497
１，２以外にも並び方のバリエーションは考えられるが、
それら並び方を作るうえでの条件は
可算個である（２なら２つの列をあわせて）ってことだ。
で、可算個なら１のようにもできるから、１だけで十分。

大体、並べ方２を用いた証明に対して「それでは不十分だ」という指摘なら分かるが
誰もそんな証明はしていないしな。

今回証明されたこと：

（仮定）
実数の集合B={ a∈R | 0 < a < 1 } が可付番であるとする。
すなわち、自然数全体Nと集合Bの間の全単射f:N->Bが存在する。

（帰結）
B21={ f(2*n-1) | n∈N } 及び B22={ f(2*n) | n∈N }とするとき、実数c, dを次のように定める。
　　・ 0<c, d<1
　　・f(2*n-1)の小数点以下n桁目が1でない⇒cの小数点以下n桁目は1
　　・f(2*n-1)の小数点以下n桁目が1である⇒cの小数点以下n桁目は2
　　・f(2*n)の小数点以下n桁目が1でない⇒cの小数点以下n桁目は1
　　・f(2*n)の小数点以下n桁目が1である⇒cの小数点以下n桁目は2
このときcはB21に含まれない、またdはB22に含まれない。

（補足）
cがB22に含まれるかどうかは分からない（らしい）。
dがB21に含まれるかどうかは分からない（らしい）。


感想：
並べるということを独自のイメージで解釈？
>>462(>>468, >>470)同様に仮定するということが(ry

仮定R, 並べ方1ができる, 並べ方2ができる
は全部同値。同値でないってのが間違ってる。
「異なる並べ方ができるから」ってのも意味不明。

そこを除けば(つまり、それらの並べ方が同値ではないなら)、
確かに論理的に筋が通ってる、一応。
でも、そこが肝心なとこだからね。
そこで間違っちゃあね。

さらに言うと、同値でないというだけでは弱いな。
対角線論法では
「仮定R⇒並べ方1ができる」
さえ言えればよい。
それ以外の並べ方があろうとなかろうと、
並べ方1ができさえすれば矛盾が出て終わり。

しかし、仮にその点が否定されたとすると
「並べ方1しかチェックしていない」と言えば
「カントールの証明は不十分」ということを言うのには十分なわけで、
その先の部分はいらないような。

バカな奴が多いなぁ
並べ方2から矛盾を出して（並べ方1に戻さないで）
実数の濃度がωより大だということを
証明しろと言ってるんだよ
サッサと出さんかい（ｵﾗ

以上（1を代弁ｽﾏｼﾀ

今回証明されたこと：

（仮定）
実数の集合B={ a∈R | 0 < a < 1 } が可付番であるとする。

（帰結）
Bを並べて x1, x2, x3, ・・・となるとき、
奇数番目のBの元の集合をB21={x1, x3, x5, ・・・}とし、
偶数番目のBの元の集合をB22={x1, x3, x5, ・・・}とすると、
B21に含まれないBの元cと、B22に含まれないBの元dが存在する。

感想：
で・・・何？

>>488
一応マジレス。
n桁目がB_21とB_22のn番目のn桁目のどちらとも違うように作るだけ。

でもこれは、別の証明を与えたというだけで、
元の証明が不十分か（並び方１の場合に加えて、
２の場合も証明する必要があるか）という話とは関係ないな。
あと、どのような場合に「並び方1に戻した」というのかも曖昧。

ところで>>1本人はまだ？

>>490
あれま、簡単に矛盾がでてる(ｼｮﾎﾞﾝ
しかし並び方1を今度は9個に
分割すればB_21、B_22、B_23〜B_29
回避できる・・
けど意味ないからもう止める

>>491
10進小数のかわりに、(ry

カントールの証明で背理法を用いて矛盾が出たからといって、
それは算術の体系が無矛盾ではないことを示さない限りは、
直ちにそれで「仮定が間違っていたのであるから実数は可算ではない」
は言えないはずだが。そのあたりはどうなっているのだろうか?

体系が矛盾的なら元々「可算ではない」「可算である」の両方が導けるので、
やはり「この体系のもとで実数は可算ではない」と述べても誤りではないのでは。

それより気になるのは>>1が言っていた、
「可算でないことが証明できない」→「可算である」という話。
仮定を、抽象的な意味での証明不可能だとしても、
ある命題の真偽どちらかは必ず証明可能なのかという問題があるから。
混乱させそうなので敢えて突っ込まなかったが。

>>483とか
２枚の平面をイメージしてくれ。上と下と呼ぶ。そこに並んでるんだな、
３次元空間に並んでるんです。のこぎりの刃のように数えてみれば、たしかに、
１，２，３,・・・と番号が付いてるんだな。
並べ方１は１枚の平面な。こっちは２次元空間に並んでるんだ。
この２つの並べ方が同じとは思えない。明らかに違うじゃん。
>>490
それってどうやってつくるの？

>>495
並べ方が同じなのではなく、
並べ方ができるという命題が同値だという話。
どうして同値でないといえるの？

>それってどうやってつくるの？
例えば、
どちらも０でなければ０、
一方が０でもう一方が１でなければ１、
０と１なら２
とすればいい。

ただし、元の証明にこの内容が不足している
という意味ではないことに注意。

>>495
> のこぎりの刃のように数えてみれば、たしかに、１，２，３,・・・と番号が付いてるんだな。

B21={x1, x3, ・・・}, B22={x2, x4, ・・・} として、そののこぎりの歯のように数えるというのは、
　　x1 ⇒ x2 ⇒ x3 ⇒ x4 ⇒ ・・・
のように数えるということですか？
だとすると、(並べ方2）によって 『Bの元全体』 を並べたとき、その並び方は(並べ方１)と変わりないのですね？

> ２枚の平面をイメージしてくれ。上と下と呼ぶ。そこに並んでるんだな、３次元空間に並んでるんです。

単にBの元をB21とB22の2つに分けただけで、
B21に入っていないBの元とB22に入っていないBの元を作っただけではないですか？
結局その証明で言えるのは>489だと思いますが。

>>496
同じ数は入らないから、作られた数を同時には並べられないから、
入ってるかと参照するときに、もう片方は任意だよな。すると、そのとき
数値が決まらないんじゃないの？
>>497
具体的に１０進少数で並べるとしてるわけだから、まず、平面が必要なんだよ。
イメージしてくれよ。平面がなければ並べられないだろ。ｘ１、ｘ２、とか
書いている段階じゃなくて、もう、平面に並んでるんだから、それを見なきゃ
いけない。すると、１枚の平面と２枚の平面では広さが違うじゃない。やっぱ
２枚の方が広いんだよ。荷物をかばんひとつに詰めるにのとふたつに詰めるのとでは
違うだろ。いち、と、に、は違うだろ！？１０進少数で並べるとしているんだから
そっちをイメージしてくれ。

>>498
「作られた数を同時に並べる」とか
「入ってるかと参照するときに、もう片方は任意」とか、よく分からんが。
各桁ごとに、二つの数の組み合わせに対して必ず１つの数字が定まっていく。
そうしてできた実数は、B_21,B_22のどちらにも含まれない。なんか問題ある？

んで後半。
平面の枚数が違う、と。
それで、そこからどうやって、
「仮定Ｒ」と「並べ方１ができる」と「並べ方２ができる」が
同値でないといえるの？

また、同値でないとして、
具体的にどの組み合わせのどっち向き(必要性、十分性)が成り立たないというの？

>>498
可付番ってのは1,2,3,4,5〜と対応付けられるものと定義し、
Bは可付番だって仮定しているのに、
なぜ平面が必要なのか不明。

>具体的に１０進少数で並べるとしてるわけだから、まず、平面が必要なんだよ。
10進少数だったら1列には並べられないってんなら、それ(B)って不可付番てことでは？

>>499
含まれないってのはどうやってわかるの？普通さ、はいってると仮定して
中に入れてみて、どこか交差する桁で数値だしてみたとして矛盾するから
って確認されるんじゃなかったか？ちがったかな？自信なし。

違う並べ方ができるんだから仮定Rは並べ方をなんら規定しないんだな。
１、と、２の違いによって、同値ではない。１≠２だ！
同値って真偽が一致することをいうんだろ。向きってあるの？

>>500
可付番の定義をよくみてくれ。番号が付いてればいいの。並び方はなんら
関係ない。可付番だから、「１」で並べられるってのは暗黙の飛躍ぽ。

>>501
> >>500
> 可付番の定義をよくみてくれ。番号が付いてればいいの。並び方はなんら
> 関係ない。可付番だから、「１」で並べられるってのは暗黙の飛躍ぽ。

コリャ手におえないので去ります。
皆さんほどほどに。

>>501
作り方からいって含まれない。あんたがB_1に含まれないものを構成したのと同じだよ。
B_21のどのような元も、その実数とはどこかの桁が違っている。B_22についてもそう。

>１、と、２の違いによって、同値ではない。１≠２だ！
だからさ、１と２が違うのはいいんだよ。
命題「並べ方１ができる」と「並べ方２ができる」が同値かって言ってるの。
そうでないなら、並べ方１ができるのに２ができない場合（あるいはその逆）があるの？

>仮定Rは並べ方をなんら規定しないんだな
>可付番の定義をよくみてくれ。番号が付いてればいいの。
確かに仮定Ｒでは「並べ方」には触れておらず、番号が付いているというだけだが、
それだけで並べ方１や２が可能であることがいえるんだよ。
実際、各元に1,2,3,4,...と番号が付いたとき、
どうやって１や２の形に並べればいいか、自分で示してるじゃないか。

>>501
＞可付番の定義をよくみてくれ。番号が付いてればいいの。

番号が付けられれば、n番目の実数のn桁目と違う数を
n桁目に持つ実数を作ることが出来る。以上。

しっかしなぁ〜。
寝るぽ。

実数が可算であることを証明するいちばん簡単な方法は、実際に番号を
付けられることを示す事だ。1は、カントールの証明の矛盾を一生懸命
さがすより、番号を付ける方法を探すほうが建設的だと思う。もし見つ
かれば、今までカントールを信じていた人も意見を改めるんじゃないかな。

まあ、いずれにせよ無駄な努力なわけだが

>>493
全てのことには、この体系は無矛盾っていう暗黙の仮定があるのだよ。
それが崩れると全部パァ。

標数＞0の宇宙があり,全ての自然現象に標数からくる制約が
あったとすれば,そのような宇宙では自然数や実数を論じることが
ありえるのだろうか? われわれの宇宙もひょっとすると,巨大な
標数によって近似的に標数0のように見えているだけなのでは
ないか. ...

>>503
にくまん１００個。紙袋１つじゃはいりきらないよな。
食いたいんだよ。１００個。紙袋１つじゃ入らないから
諦めるか？わかったかこんちくしょう！ひとりで無理でも
ふたりならできるふたりだからできる！って言ってたじゃないか。

>>503
どこかの桁で数値が違うのを、
どうやって確かめられるのか？と聞いている。違うんだ違うんだと
言い張ってるだけでは分からない。１面の場合と同様だっていうなら、
作られた小数を同じとこで横に並べられないから、確認できないよ。


決定的な反論がありませぬな。がんがれ！歴史の使途たちよ！

>>509
肉まんと紙袋という有限個の場合はそうだけど、
今は無限個だからな。２枚でできるなら１枚でもできるんだよ。

ところで、「仮定Ｒ⇒並べ方１ができる」などは認めるの？

>>510
どこが分からないの？
作られた実数のn桁目と、B_21,B_22のそれぞれn番目の数の
n桁目を比較したら、構成法を見れば、必ず異なる数字になってるだろうが。
「同じとこで並べる」ってどういうこと？

>>1
例えば
B_21　1番目　0.2365478‥
　　　 2番目　0.3568742‥
　　　 3番目　0.5874345‥

B_22　1番目　0.1874563‥
　　　　2番目　0.6947811‥
　　　　3番目　0.1678454‥

の時に
B_21の1番目の1桁目2とB_22の1番目の1桁目1と違う、
つまり2と1二つの数字と違う例えば3を選んで新しい
実数の小数点以下1桁目を1に決める。
同様に
B_21の2番目の2桁目5とB_22の2番目の2桁目9と違う、
つまり5と9二つの数字と違う例えば6を選んで新しい
実数の小数点以下2桁目を6に決める。
このように作った新しい実数はB_21、B_22のどの実数
とも一致しない。違う数字を選ぶのが曖昧なら予め
2組の数字から違う数字を対応させるような
（2,1）→3　　（5,9）→6　　（7,7）→1　‥‥
関数を作っとけばよろしいのでは？

>>511、511
うーんとね、それで示されるのは、新しく作られた実数が同じｎ番目で
並んではにB21とB22に含まれないということだな。新しく作られた実数が
同じｎ番目では属さないということしか言えない。でも、同じ数は属さない
んだから、それは当たり前で。どこのｎ番目でも、新しく作られた実数が
並んでは含まれないということをいってるだけで意味がない。

>511
仮定R⇒並べ方１ができるor並べ方２ができるor・・・
だよな。

>>513
「作られた実数が同時にB_21とB_22のｎ番目になる」ことを否定しているのではない。
「B_21のｎ番目と一致する」と「B_22のｎ番目と一致する」の両方を否定しているんだよ。

>>515
いや、構成法からいって、同時にということにしかならない。
B21とB22の対角線の数をセットで参照して作ってるんだから、別々だなんて
言えない。

>>514
仮定R⇒並べ方１ができる かつ 並べ方２ができる かつ・・・
だろ。
可付番でも１の並べ方ができない場合があるというの？
番号が付いてれば、１に対応するものを１番目に、
２に対応するものを２番目に・・・と並べるだけだぞ。
並べ方２だって、奇数と偶数で・・・ってあのページに書いてたじゃん。

>>517
だからさ、肉まんを紙袋に入れることができると仮定したとき、
１袋に入れられる　または　２袋に入れられる　または　・・・
だろ。ふつーに考えて。２袋いっぱいのものが１袋には入らないだろ。

だからさ、可付番なら「１」で並ぶってのが、分からん。それを当然と
するのはなぜだ？番号が付いているモノがあるわけで、番号だけじゃない
んだから、並べるにしても、どう並べるか、並べられるかというのは当然
問題になるじゃん。番号だけじゃないんだよ。モノだよモノ。

>>516
「セットで参照」というのがどうして根拠になるのか分からんが。
その数と、B_21のn番目と、B_22のｎ番目とは、
n桁目の数が互いに異なるだろ。

>>518
前から気になってたが、
「並べられる」っていう表現を一体どういう意味で使ってるんだよ？

で、仮にその点が当然のことではないというなら、
対角線論法が不十分という指摘としては、
「並べ方１ができるとは限らない」で終了してもよい気がするが。
そうしなかったのも不思議。

>>519訂正
その桁の数だけなら、あとの２つは一致してもよいから
作った数とB_21のn番目、作った数とB_22のｎ番目が異なる、だな。

豚まんは袋に入れるという
セコイことはせずにまず1個をロケット
に入れて宇宙に飛ばせ
2個目を2台目のロケットに入れて
宇宙に飛ばせ
3個目を3台目のロケットに入れて
宇宙に飛ばせ
　・
　・
　・

>>521
結局、
（（新しく作られた実数がB21のｎ番目と一致する、かつ、新しく作られた実数
がB22のｎ番目と一致する）の否定）
が示されているわけだけど、これは、
（新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、または、新しく作られた実数
がB22のｎ番目とは異なる）
ってことで、これが示せてるわけだけど、これは、どんな数を持ってきても、
（ある数がB21のｎ番目と異なる、または、ある数がB22のｎ番目と異なる）
は常に成り立つんだから、何も示せてない。

>>520
まぁ、欲ですよ。

>新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、または、新しく作られた実数
がB22のｎ番目とは異なる

↑
間違い

正解
↓

新しく作られた実数のn桁目がB21のｎ番目と異なる、または、新しく作られた実数
のn桁目がB22のｎ番目とは異なる

↑
上のnに順次1,2,3,4…を代入してみ

×　または
○　そして（かつ）

>>523
「新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、かつ、新しく作られた実数がB22のｎ番目とは異なる」
だろ。
どんな組み合わせの２数が来てもそうなるように作ってるだろうが。
１００通りの中で、新しく作った方が２つのどちらか一方とでも同じになるものがあるか？

それで、「並べられる」とはどういう場合をいうの？
最初の方では>>1自身、可付番なら当然そうできるかのように書いているが。
（「もしできるならば」等ではなく）
後で同値ではないとか言ってるけど。

>>523
後半修正。
結局、
（（新しく作られた実数がB21のｎ番目と一致する、かつ、新しく作られた実数
がB22のｎ番目と一致する）の否定）
が示されているわけだけど、これは、
（新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、または、新しく作られた実数
がB22のｎ番目とは異なる）
ってことで、これが示せてるわけだけど、またはじゃ仕方ない。

>>527
前半が違うといっているのだが。

>>524
意味がわからん。桁と数を比較してどうすんの？ｎ番目って、>>512参照せよ。

>>526
単独で参照されて作られているなら、わざわざ、両方のｎ番目で異なるなんて
言わない。そう言わなければならないのは、常にセットになっている証拠。
ｎ番目に無論異なる新実数が同時に２つ並ばないということしかいえてない。対角線論法の
強力さからいって、表が異なっている時点で、両方に属さない要素はないって
わかりそうなもんだが、ごじゃじゃと言ってるようで、まぁ、ね。

>>528
「新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、かつ、新しく作られた実数がB22のｎ番目とは異なる」
の否定をとると、
「新しく作られた実数がB21のｎ番目と一致する、または、新しく作られた実数がB22のｎ番目と一致する」
ってなるけど、もとの状況見て、この否定が成り立つか？

>>526
並べられるって、文字通り並べられるって意味ジャン。おまんじゅうを１０個
持ってて机に並べるとする、机の上に１０個全部おさまったら、１０個の
おまんじゅうが机に並べられたってことだよｗ
並べようとしてるものが並べようとしてる場所にすべておさまったなら、
並べられたという。並べられるとは、並べようとしているものが並べようと
している場所にすべておさまること。

>>529
単独かセットかとか、参照がどうのとか、
なんか妙な思い込みでもしてるのかねえ？
もっと詳しく説明を。

作った実数はB_21のn番目の数と異なる。
B_22のn番目の数とも異なる。それだけだろ。

>>530
成り立つだろ。

>>531
では、今の証明で「場所」に相当するものは何？

>>530
もとの状況と言うのが何を指してるのか知らんが
成り立つはずのないことが成り立ってるのは、
矛盾が導かれたってことだろう。

構成的でない無限回の操作を含んだ手段で証明された命題は,それを否定しても
構成的な範囲の有限回の操作のみを許す論理の中では破綻は生じない.

>>1
「新しく作られた実数がB21のｎ番目と異なる、かつ、新しく作られた実数がB22のｎ番目とは異なる」
の否定は
「新しく作られた実数がB21の、あるｎ番目と一致する、または新しく作られた実数がB22のあるｎ番目と一致する」

となるので喪マエさんの望んでいる結果になる

>>532
セットで作ってると、
B21 B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
新実数　　　　新実数
・・・・・　　・・・・・

ってならないことしか示せてない。確かに、新実数はB21,B22に含まれないけど、
同じ数が並ぶってことはそもそもないし、他の状態であるところの、

B21 B22
・・・・・ ・・・・・
新実数 ・・・・・
・・・・・ ・・・・・

とか、

B21 B22
・・・・・ ・・・・・
・・・・・ 新実数
・・・・・ ・・・・・

とか、

B21 B22
・・・・・ ・・・・・
・・・・・ 新実数
新実数 ・・・・・

にならないってことをぜんぜん示せてない。

>>537
どうして新実数がB_21とB_22の同じ番号に
並んでなきゃいけないんだ
漏れが>>512
でやさしく説明したのに悲しいｿﾞｫ

>>537
セットで作ってるのがどうして根拠になるんだ？
２つの数のどちらとも異なるように作っているんだから十分。

B21 B22
・・・・・ ・・・・・
新実数 ・・・・・
・・・・・ ・・・・・
とはならない。
B21のn番目と新実数とは
n桁目が異なるから。
他も同じこと。

1ページ目の並べ方１と並べ方２に何の関係もないのか〜。
せめて別記号で↓なふうに書いて欲しかったよ。

それらを1まとめに並べて B1={x1, x2, x3, ・・・} とおく。
この並べ方を並べ方１と呼ぶ。
それらを奇数番のものと偶数番のものとで2つに分けて並べて
B21={y1, y3, y5, ・・・}, B22={y2, y4, y6, ・・・}とおく。
この並べ方を並べ方2と呼ぶ。

(通常の対角線論法)
集合B={x∈R|0<x<1}が可付番とする。
⇒Bの要素全てに1,2,3,・・・と番号を付けることが出来る
⇒この対応付けを並べ方1とし、並べ方1をもとにBの元を並べた列 x1,x2,x3,・・・ をリストB1とする。
⇒リストB1をもとに実数a∈Bをうまい具合につくる。　(※1)
⇒aがリストB1に属さないことが示せる。
⇒集合としてみた場合BとB1は同じ物なので矛盾
⇒集合B={x∈R|0<x<1}が可付番でない

　ポイント
　(※1)でa∈Bとなるようにaを作ったこと
　もとのBを分割せずに並べた場合は矛盾が起こることは理解できているらしい。

(対角線論法は無力だ！説)
集合B={x∈R|0<x<1}が可付番とする。
⇒Bの要素全てに1,2,3,・・・と番号を付けることが出来る
⇒この対応付けを並べ方2(並べ方1とは別の並べ方・・とでもしとこう)とし、
　並べ方2で奇数番目のものの列 y1,y3,y5,・・・ をリストB21とし、
　並べ方2で奇数番目のものの列 y2,y4,y6,・・・ をリストB22とする。
⇒リストB21をもとに実数b∈Bを、リストB22をもとに実数c∈Bをつくる。　(※2)
⇒bはB21に属さない、またcはB22に属さないことが示せる。
⇒ついでにB21, B22を集合としてみた場合 B=B21∪B22なので、b∈B22 かつ c∈B21。
⇒対角線論法では矛盾が導かれなかった。(※3)
⇒対角線論法は無力だ！

　ポイント
　(※2)でb∈B21, c∈B22となるように作ってないのがダメ。
　B21,B22と分割し議論の対角線論法の上辺だけなぞっているが、対角線論法の本質部分がなくなっている。
　(※3)は”ここまでの議論では矛盾が導けない”が本当。
　2分割しようが3分割しようが、どのリストにも属さないがBに属す実数を作れば、リストが作れるということに矛盾する。
　この場合、リストB21, B22を用いて「d∈B21でない & d∈B22でない」ような実数d∈Bが>512さんの方法で構成できるので、矛盾が導ける。

そもそも並べ方２の場合を別個に証明する必要は無いのだから
「並べ方２の場合の対角線論法」というものの定義があるわけでもなく、
>>479にあるのは>>1が勝手に考えた
対角線論法の２列バージョンということ。
それで矛盾が示せないってことは結局、
「カントールの対角線論法」ではなく
「>>1の対角線論法(２列バージョン)」が不十分というだけだな。

> >>479にあるのは>>1が勝手に考えた
> 対角線論法の２列バージョンということ。
> それで矛盾が示せないってことは結局、

2列バージョンだろうが矛盾は示せる。
矛盾にたどり着く前に、矛盾は出てこないといっているだけ。

>>543
いや、そこで言ってるのは、
>>479にある、具体的にこういう実数を作るという手順まで限定して、
それだけでは矛盾が出ないという意味。
ちょっと紛らわしかったかも。

議論も疲れるな。応援望む。現時点で１の言い分の方があってそうという
ヤシ名乗り上げたまえ。で、適宜、援護射撃を頼む。
各々レスは、また、時間があるときに逐一しよう。とりあえず、援軍望むという
話しでした。では。あ、そうだ、属さないってのを背理法で確かめてみると
セットにならざるを得ないということが分かるよ。相方に何か数が並んで
ないと、桁の数値が決まらないからな。各々レスは追ってしまふ。んじゃ。

>>545
どっから、数値が決まるとか決まらないという話になったの？
B_21とB_22を決めると、その実数も一通りに決まるだろうが。
それとその実数が入るかどうかと言う話と、どんな関係が？

ちょっと1さんへ質問です。どちらの立場ですか？

１．実数全体Rの濃度>自然数全体Nの濃度
　　しかし、そのことは対角線論法では示せない。

２．実数全体Rの濃度=自然数全体Nの濃度
　　当然、対角線論法は間違っている。

ちょいレス。各々レスは追ってしまふ。
>>547
実数が非可付番であることを証明できないうちは、アレフは存在しない。
という立場。
「大変なことになった」と言われたいｗ

B1={b11, b12, ...},
B2={b21, b22, ...}
これを共に可算個の実数の集合とする。そこでB1, B2いずれにも含まれない
実数が存在することを示す。

b11=a1, b21=a2, b12=a3, b22=a4, ..., b1n=a(2n-1), b2n=a(2n)とおく。
対角線論法から、a1, a2, ...のどれとも異なる実数aが存在する。

すべての自然数nに対してa≠a(2n-1)=b1n.
また、すべての自然数nに対してa≠a(2n)=b2n.

よって、aはB1, B2いずれにも含まれない。

>>1よ、これで文句あるか？

>>549
それって>512, >541で言われてることと同じだから、>1は納得しないと思うよ。

>>512の構成（以下、B_21(n)で、B_21のn番目の実数をあらわすことにする）だと、
新しい実数aについて、

・aのn桁目≠B_21(n)のn桁目、かつ
・aのn桁目≠B_22(n)のn桁目

ということになる。

よって、当然ながらa≠B_21(n)かつa≠B_22(n)である。

ほれ見ろ、ちゃんとB_21(n)とB_22(n)の両方と異なってると言えるやないか。
これがすべてのnについていえるわけだから、当然aはB_21にもB_22にも含まれないよな。

>>539
それでさ、その新実数の隣はさ、どういう数が並んでるの？
任意なのかな！？だとすると、新実数が並んでるとは限らなくなるけど、
構成法からいって、新実数はあるｎ番目のB21とB22の数とそれぞれ異なる
ってわけで、矛盾しちゃうよな。

各々レスは追ってしまふ。

>>552
隣が何であろうと、あの位置に新実数が来ることは無い。
なぜならn桁目が違うから。

＞新実数はあるｎ番目のB21とB22の数とそれぞれ異なる
＞ってわけで、矛盾しちゃうよな。
正確にはあるnだけじゃなく、任意のnについて成り立つから矛盾するんだよな。
まあ、矛盾が出ることを認めたってことは、
やっと>>1もこの点については納得したってことだな。

なんかかみあってない気がするｗ

>>551

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・

この状態でさ、手でさ、右側隠すと、おぉ、B21には新実数は含まれないなって、
思って、で、次に左側隠して、おし、B22には新実数が含まれないなって思って、
よって、a≠B_21(n)かつa≠B_22(n)である。って思えるけど、
それでいいのかな？

ていうか、可算無限個並んでいる数字をどうやって手で隠すのか教えてケロ。

その例えで>>1が納得するのなら別に構わないのではないかと。

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
a　　　　　　a
・・・・・　　・・・・・
とはならない。
よって、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・
である。
しかし、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
xn　　　　　　xn
・・・・・　　・・・・・
とはならない。は常に成り立つから、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非xn　　　　　　非xn
・・・・・　　・・・・・
となって、xnが属さないことになってしまう。
おかしい。どこがおかしいのか？

>>558
だから、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
a　　　　　　a
・・・・・　　・・・・・
とはならない。
ことから、
aが属さないとは結論できない。

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
a　　　　　　a
・・・・・　　・・・・・
ではない。

と、

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・
である。

は、

同値だから、後者からも,
aが属さないとは結論できない。

>>559
結局、件の構成法では、矛盾は導かれない。

>558 や >559 もふくめてもうちっと脳内イメージでなく論理（言葉）で伝えてほしい気が。
「〜でない、　よって〜、　だから〜」とか、ことごとく理解不能。
「全ての〜に対して、　〜のような〜が存在して」という言い回しが1つもないのも気になる。
　>454⇒>462⇒>466⇒>468,469
からしてそこのところが心配。

>>558
「B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
a　　　　　　a
・・・・・　　・・・・・
とはならない。 」
とか言ってるのはあんただけだろ。

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
a　　　　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
ではなく、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　a
・・・・・　　・・・・・
でもない。
と言ってるんだろうが。

>>560
「どちらもaでない」という主張は
「同時にaとはならない」を含むわけだが
こちらは前者の強い主張をしているのに対して
>>1は「後者の弱い主張では矛盾にならない」と言っているわけで、
それがどうかしたのか？と。

× 件の構成法では、矛盾は導かれない。
○ >>1が言う「同時にaにはならない。」だけでは矛盾にならない。

>>562
なぜ突如として単独になっているのか？どう構成したのか忘れてしまったのか？
>>563
どう構成したかを考えてみれば、示せてることは
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・
である。
ということであって、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　 ・・・・・
・・・・・　　・・・・・
である。
かつ、
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・
である。
は示されてない。
すり替えだ。

>>564
突如として？最初からそうだろうが。
それを言うために、あのように構成したんだよ。
２数のどんな組み合わせに対しても、
構成した実数がその片方とでも等しくなるケースは無いだろ。
実際に１００通り確かめてみるか？

>>565
１００通りとも、新実数は両方と異なってるだろ。
手で覆って都合よく解釈しちゃだめだよ。

>>566
両方と異なってることが理解できて、あとは何が納得いかないんだろ？
手で覆うというのをどんな意味で捉えてるのか知らんが。
他の位置にどんな数があったとしても、
あの位置にaが入ることは無いだろ？

>>567
だから、>>564。

>>564
一番上のやつは、それでいいの？
それがいえれば、
２番目と３番目もいえるし、
仮にそれが納得できなくても、
１番目だけで、B21にもB22にも入らないことはいえる。

>>569
一番上はいい。
それから２番目と３番目はいえない。すり替えをしちゃいかん。

１番目だけでは矛盾しない。
>>558から>>560。
を読め。

>>570
「非a」というのは「そこにはaでない数が入る」っていう
意味だと思ってたが、
>>558を見ると
B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非a　　　　　　非a
・・・・・　　・・・・・
って書いてるのはむしろ

B21　　　　　　B22
・・・・・　　・・・・・
・・・・・　　・・・・・
非[a　　　a 　　　]
・・・・・　　・・・・・
とでも表されるべきものじゃないか？

とにかく、非とか「・・・」で書いてるあたりを
ちゃんとしたステートメントで書いてくれよ。

あと>>558のxnって何？

>>571
非aって、aでないって意味だよ。
xnは、任意の要素だよ。
ステートメントっていわれてもなぁ。あはは。

>>573
> ステートメントっていわれてもなぁ。あはは。

イメージはもういいので文章(ステートメント)でかいてください。

>>573

それじゃ、

非a　　　非a
と２つ並んでる場合、全体としてどういう主張になるわけ？

>>575
すべてのｎ番目で、非a　　　非a　である。
これは、
すべてのn番目で、a　　　　　a　とはならない。と同値だ。
これから、aが属さないとは言えない。
なぜならば、そう言えるとすると、
あるｘkについて、
すべてのn番目で、xk　　　　　xk　とはならない。のだから、
xkが属さないことになってしまうから。

そろそろわかっただろ！

>>576
何と同値かじゃなくて、
「非a　　　非a」が直接表す内容を聞いているんだが。

＞すべてのn番目で、a　　　　　a　とはならない。と同値だ。
ということは、「非a　　　非a」とは、「２つが同時にaとはならない」の意味でいいの？
「左はaでない、かつ、右もaでない」の意味ではなくて？
でもそうすると、xkが属さないとはいえなくなるな。
「同時にxkとなる」を否定しただけだからな。あんたが以前言ってたように。

>>577
意味は同時でいいよ。
その後に書いてることはどうも意味がわからん。
xkは属するじゃん。
576を読解してない予感。

(A かつ B) でない
⇔ (Aでない) または (Bでない)

( (Aでない) かつ (Bでない) ) でない
⇔ A または B

全てのnに対して、(B21のn番目≠a かつ B21のn番目≠a)
⇔ 全てのnに対して、(B21のn番目＝a または B21のn番目＝a)でない

全てのnに対して、(B21のn番目＝a かつ B22のn番目＝a)でない
⇔ 全てのnに対して、(B21のn番目≠a または B21のn番目≠a)

>>576
同時にaとはならない⇒aは属さない
という推論が間違っているという指摘は正しいが、
下の４行をその根拠とするのは問題があるな。
もし新実数aがどちらにも属さないといえたならば、
B21∪B22が実数全体になるという仮定に反するわけで、
それは最初に実数が可算と仮定した事に由来する矛盾なわけだ。
で、もしaが属さないと言えたならば、xkが属さないことがいえて、
それはおかしいと。
結局のところ、ある矛盾(aが属さない)が示せたならば
他の矛盾(xkは属さない)も示せるよってことで、
それは当たり前のことだろう。

まあ根拠はともかくとしても、
「同時にaとはならない⇒aは属さない」の推論が誤りなのは確か。
しかし元々誰もそんな主張はしていないよな。
「同時にaとはならない」しか言えていないってことに対する反論なわけで。
新実数が両方と異なることが分かって、どうして上のことが
その反論になるの？(>>568)
>>578より「非a　　　非a」=「２つが同時にaとはならない」
だよね？

>>576
同値ではないんだな。導かれるってことで。

いまいちすっきりしないなぁ。もうちょっと考えてみる。

B21とB22で、同じ要素は含まれないのだから、どんな数aに対しても常に、
(B21のn番目＝a かつ B22のn番目＝a)でない。
すなわち、
(B21のn番目≠a または B22のn番目≠a)であって、
(B21のn番目≠a かつ B22のn番目≠a)となることはない。

>>583
(B21のn番目≠a または B22のn番目≠a)から
(B21のn番目≠a かつ B22のn番目≠a)は直接は導かれないが
かといってこれだけでは、逆に成り立たないとも言えない。

>>584
(B21のn番目≠a かつ B22のn番目≠a)となる。と仮定すると、
(B21のn番目＝a または B22のn番目＝a)でない。となってしまうが、
これは、
常に(B21のn番目＝a かつ B22のn番目＝a)でない。
となることに反する。よって仮定は誤り。

>>585
反してないじゃん。

ひとつの数を同じ要素が含まれることのないB21とB22にまたいで参照
させるということがすでに禁則処理であって、件の構成法はその点ですでに
無効である。

>>586
反してるよ。

「(B21のn番目＝a または B22のn番目＝a)でない。」
⇒「(B21のn番目＝a かつ B22のn番目＝a)でない。」
反するどころか、成り立ってしまうじゃん。

>>587
B21とB22に同じ要素が含まれなかったら、どうして
B21とB22をまたいで参照してはいけないことになるの？

>>587
aがB21,B22に入っていないことと、
aがB21,B22に入っているか入っていないかのチェックができること
この2つの間に因果関係があるということですね？
どうしてですか？

>>590
件の構成法では、
どちらにも含まれている可能性を否定することになるわけだが、
はじめから、どちらにも含まれることはないから、その可能性が存在
してないので、意味がない。
>>591
チェックできないということが、すなわち、構成法の不備を表している。

>>592
紙袋が100個ある。
この中に肉マン入っていることを確認したい。
（入っていれば食べても良い）

普通の人⇒100個の紙袋を全部空けて入っているかどうか確認できる。
当然入っていれば食べられる。

1さん⇒100個の紙袋の内1つでも肉マンが入っていれば確認できるが、1つも入っていない場合は確認できない。
しかし入っているか入っていないかは空けてみなければ分からない。
よって入っていようが入っていまいが確認できない。
よって入っていようが入っていまいが食べられない。
損してますね。

>>592
＞どちらにも含まれている可能性を否定することになるわけだが、
「両方に含まれる」可能性も含めて
「少なくとも一方に含まれる」可能性の全てを否定するわけだ。
「両方に含まれる」の部分に関しては成立しないことは分かりきっているが
全部まとめて証明できる以上、分ける必要も無い。

>チェックできない
何故？

>593は>592の
>チェックできない
に対してです。それとちょっと変更

紙袋が100個ある。
この中に肉マン入っていることを確認したい。
（入っていれば食べても良い）
↓
紙袋が100個ある。
この中に肉マン入っていれば入っていれば食べても良いと言われた。
入っているかどうかは分からない。

>>593
わっかんないたとえだな〜ｗ

件の構成法は何を示しているのか？
作られた新実数aはn番目のB21の要素と一致しない、かつ、B22の要素とも
一致しない。つまり、a≠B21(n)　かつ　a≠B22(n)　となるわけだが、
ここで、明らかに不合理な点がある。それは、aが、かつで結ばれ２つあると
いうことだ。かつ、で使われているということはaをそれぞれに単独で参照し
ている。結果は属さないということだが、その参照の仕方はB21とB22が
互いに素であるという前提に反する。故に、その論証は無効だ。

>>594
>>565,>>566を読んでみよう。示されているのは両方いっぺんにだよ。

チェック。
aがB21に含まれていると仮定しよう。
aのてきとうな桁が対角線にくるとして、そのとき、作られる数の該当する桁の
数値は、、、B22にも数が入っていないと、新しい数の桁の数値は決まらない。
B22には何が入れられるのか？任意なら、桁の数値が決まらない。そこで、
B22にもaを入れざるを得ないわけだが、ここで、B21とB22は互いに素だから、
それはできない。よって、検証不能である。

>>597
「aが入っている入っていないということをチェックできること」と「aが入っていないこと」は別だという例。
それにあまり笑う(w)と後で恥ずかしくなるぞ。

なんだか、さっぱりわからなくなっちった。
休憩しよ。

>>597
構成法を見れば分かるように、B22の同じ位置にどんな数が
あろうとも、B21のn番目とaとはn桁目が異なるわけだ。
この事実は、たとえB22に、B21のどこかの数と同じものが入っていたとしても
依然として正しい。
仮定によって排除されている、本来チェックしなくても良い場合も含めて、
「B21のn番目とaとはn桁目は異なる」わけ。
だから、B21とB22が互いに素であるケースに限って見ても、勿論成り立つ。

とりあえずaのn桁目を決めることだけ考えよう。

これをB21(n)のn桁目と同じでないようにしたい。
だから、B21(n)のn桁目とは異なる9個の数から選ぶことになる。

つぎにB22(n)のn桁目とも同じでないようにしたい。
だから、9個の数の中で、B22(n)のn桁目とは異なる
8ないし9個の数から選べばよい。

これでn桁目を決めることができ、それはB21(n)のn桁目とも
B22(n)のn桁目とも異なる。これでどこに問題があるのか？

>>601
問題ないですね。あひゃあひゃひゃひゃ。おれ、うけた。じぶんにうけた。
あっひゃっひゃっっひゃ。

>>602
で、また新証明？

>>603
どうしたもんか。対角線論法の効かない並べ方を考案すればいいんだな。
ありそう？

>>604
その前に、そもそも並び方ごとに証明する必要があるのか
っていうことをはっきりさせてよ。
不十分性とは関係なく、この並び方に即した別証明を
考えてくれっていう問いのつもりなら別だが。

>>605
おれはいまざせつしている。あたままわりません。
意志を継げ、お、お、おれのしかばねを超えていけ。
ぐふっ、、、
みなさま、おさわがせしますた。では、またｗ。
、、、。

>>548
> 実数が非可付番であることを証明できないうちは、アレフは存在しない。という立場。
> 「大変なことになった」と言われたいｗ
>>603
> どうしたもんか。対角線論法の効かない並べ方を考案すればいいんだな。
> ありそう？

一般社会では「実数は非可付番」なので、どんなに頑張った所であなたの証明にはミスがあるはずです。
いままで言ってきたことがことごとく覆されてる(それも普通に数学やってる人は躓かない所で)のに、
対角線がどうのこうのより、>>462, >>579, >>600等のようなツッコミを貰う程に論理的思考力なさすぎです。
夢を見る前に論理力を身に付け、まずは「実数全体が非可付番」であることの証明を正しく理解しようとしたほうが賢明ですが、
それでも信じないってのなら一生証明しつづけてください。

>>606
挫折したのね・・・
リロードする前に>607書いちゃいました、申し訳ない。

対角線論法は間違ってます。>>1とは違う視点からの証明をします。

まず最初の実数を
0.4578961345545…
と定める
次に2番目の実数を作る
最初の実数の小数点以下1桁目の数字4と違う数字
3を決めて新しい実数1の小数点以下1桁目に置く
それ以下の桁は適当に定める
新しい実数1＝0.3(2_2)(2_3)(2_4)(2_5)(2_6)(2_7)…
とおく　　　
※(2_2)や(2_3)…は適当に決めた数字
(2_2)∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}　　(2_3)∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}　　〜

次に3番目の実数を作る
その小数点以下1桁目を新しい実数1と同じ3にして
小数点以下2桁目を(2_2)と違う適当な1桁の数(3_2)として定める
新しい実数2＝0.3(3_2)(3_3)(3_4)(3_5)(3_6)(3_7)…
※(3_3)や(3_4)…は適当に決めた1から9までの数字

次に4番目の実数を作る
その小数点以下1桁目を新しい実数1と同じ3にして
小数点以下2桁目を(3_2)として定める
小数点以下3桁目を(3_3)とは違う適当な1桁の数(4_3)として定める
新しい実数3＝0.3(3_2)(4_3)(4_4)(4_5)(4_6)(4_7)…
※(4_4)や(4_5)…は適当に決めた1から9までの数字
以下続く

続き
次に5番目の実数を作る
その小数点以下1桁目を新しい実数1と同じ3にして
小数点以下2桁目を(3_2)として定める
小数点以下3桁目を(4_3)として定める
小数点以下4桁目を(4_4)とは違う適当な1桁の数(5_4)として定める
新しい実数3＝0.3(2_1)(3_2)(4_3)(5_4)(5_5)(5_6)…
※(5_5)や(5_6)…は適当に決めた1から9までの数字

これを続けると上からn番目の実数nは
n=0.3(3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(8_7)(9_8)(10_9)(11_10)…(n_(n-1))(n_n)(n_(n+1))…
と表される。またこの実数の表に対角線論法を適用すると
0.3(3_2)……(n_(n-1))までは対角線論法で作られる実数と一致する。
nはいくらでも増加させることが可能だから対角線論法で作られる実数と
任意の桁で数字（1〜9）が等しくなる実数がこの表の中に存在していることになる

参照図
1番　0. 4 5 7 8 　9 6 1 3 4 5 5 4 5 …
2番　0. 3 (2_2)(2_3)(2_4)(2_5)(2_6)(2_7)(2_8)(2_9)(2_10)(2_11)(_)(_)(_)(_)(_)
3番　0. 3 (3_2)(3_3)(3_4)(3_5)(3_6)(3_7)(3_8)(3_9)(3_10)(3_11)(_)(_)(_)(_)(_)
4番　0. 3 (3_2)(4_3)(4_4)(4_5)(4_6)(4_7)(4_8)(4_9)(4_10)(4_11)(_)(_)(_)(_)(_)
5番　0. 3 (3_2)(4_3)(5_4)(5_5)(5_6)(5_7)(5_8)(5_9)(5_10)(5_11)(_)(_)(_)(_)(_)
6番　0. 3 (3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(6_6)(6_7)(6_8)(6_9)(6_10)(6_11)(_)(_)(_)(_)(_)
7番　0. 3 (3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(7_7)(7_8)(7_9)(7_10)(7_11)(_)(_)(_)(_)(_)
8番　0. 3 (3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(8_7)(8_8)(8_9)(8_10)(8_11)(_)(_)(_)(_)(_)
9番　0. 3 (3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(8_7)(9_8)(9_9)(9_10)(9_11)(_)(_)(_)(_)(_)
　・
　・
以下続く

続き
以上のことは
”ある種の実数の可算集合は対角線論法で作られる実数を既に要素として
含んでいる”ことを示している。

しかしながら
”任意の実数の可算集合は対角線論法で作られる実数を要素として含んでい
ない”ということが証明される

矛盾が発生→対角線論法は使えない

新しい実数1とか新しい実数2とか新しい実数3は無視
してくれ
1番目の数字が　0. 4 5 7 8 　9 6 1 3 4 5 5 4 5 …
ずれてしまった

>新しい実数1とか新しい実数2とか新しい実数3は無視
してくれ

というのは最後の新しい実数3を新しい実数4にでも適当に
変えてくれということです

>これを続けると上からn番目の実数nは
n=0.3(3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(8_7)(9_8)(10_9)(11_10)…(n_(n-1))(n_n)(n_(n+1))…

を
これを続けると上からn番目の実数は
n番目の実数=0.3(3_2)(4_3)(5_4)(6_5)(7_6)(8_7)(9_8)(10_9)(11_10)…(n_(n-1))(n_n)(n_(n+1))…
に訂正

ちょっと思いついたんだけど、実数がｎ進小数で表されるとき、ｎ枚以上で
並べれば、対角線論法で必ず桁が異なるようには新実数が作れなくなる。
よって、矛盾しない。
でも、どっちが先かだよな。ｎ進少数があって、ｎ以上で並べれば矛盾しない。
けど、ｎ枚で並べるとしたとき、ｎより大きい数進数で並べると矛盾する。

>>615
あ、どっちが先であってもおおむね矛盾したりしなかったりか。
矛盾しないケースがひとつでもあれば、不十分であるといえるから、
だいじょうぶそうだな。こんどこそ「大変なこと」になるぞ。アヒャ。

>>615-616
そのためにはまず、並べ方ごとに証明が必要だと言うことを明らかにする必要がある。
そうでなければ、単に不十分な証明の例を作ったに過ぎず、
対角線論法が不十分だという話とは関係が無い。
逆にそれが言えれば不十分だと言えるわけで、
いま君がやろうとしていることに何の意味があるのか不明。
そもそも違う並び方に対する対角線論法というものの定義があるわけでもないから
対角線論法が不十分という主張とは関係ないし、
かといって、どんな方法でも矛盾が導かれないことを示しているわけでもない。
「n列、n進の表示に沿った」証明（これもちゃんとした定義があるのではない）を与えることも可能だが。

書き込みボタンを押した後に気付いたよ
あの表の実数の列はある実数に収束する。
それは表からできる対角線論法の実数。
でその対角線論法の実数はやはり表に
含まれていなかった。

で609-614は終了

>>1
>矛盾しないケースがひとつでもあれば、不十分であるといえるから、
だいじょうぶそうだな。

2=5 両辺に0を掛ける
0＝0
この結果は正しいが仮定の2=5は間違っている
つまり間違った仮定から正しい結論がでることは
しばしばある。
論理についてもう一度再考されたし。

背理法で「間違った仮定→間違った結論」
の場合を扱うから、そのイメージが強いのかもしれんな。
間違った結論が出たことが、仮定が間違いである根拠になるというだけで
常に間違った結論が出るとは限らない。
>>1は並び方がどうこう言う前に、まず論理だな。

>616
何枚に分けようが無駄。Bをn枚に分けたとして、
　B1={b11, b12, b13, ・・・}
　B2={b21, b22, b23, ・・・}
　・・・
　Bb={bn1, bn2, bn3, ・・・}
となったとして、
　b11, b21, ・・・, bn1, b12, b22, ・・・, bn2, b13, b23, ・・・, bn3, ・・・
とすれば1枚の場合に還元できる。

大変なのは「とんでも」を撒き散らされることだと思う。

>>621
並べ方勝手に変えちゃだめだよぉ〜（厳欽）。

>>622
　B1={b11, b12, b13, ・・・}
　B2={b21, b22, b23, ・・・}
　・・・
　Bb={bn1, bn2, bn3, ・・・}
に対して、
b11の1桁目と違う数、
b21の2桁目と違う数、
・・・
bn1のn桁目と違う数、
b12のn+1桁目と違う数、
b22のn+2桁目と違う数、
・・・
bn2の2n桁目と違う数、
（以下同様）
のような順に各桁の数を決めて
新しい実数を構成するのだと思えばよい。

これは、
「ある並べ方で証明する」という条件がどんな制約をつけるのかが曖昧だということであり、
並べ方ごとに証明する必要は無いということでもある。

>>1もそろそろ
戦略の転換をして例えば100文字以内の日本語と
100文字以内の数学記号で定義できる実数と自然数
との間の対応を考えてみたらどうでつか？
とにかく実数を一列に並べるとどうしても対角線論法の
網に掛かってしまうので並べない形で実数の集合を
作ってそれと自然数を対応させるのでつよ。

>>623
並べかたはひとつじゃない。仮定と同値じゃない。背理法をわかってないな。
ハウユーケーリミックス。レコメンタルレコメンタル。ムウラフラガ。
素朴に考えてほしい。ものをならべるということ。ならべられないということ。
寅さんが、品物を台に並べる。ひとつの台では並べきれなかった。そこへ
田中さんがやってきて、台をもうひとつ用意してくれた。
「おう、ありがとよ。これで、明日の糧が稼げそうだぜ。恩にきる」
そこへ、鈴木さんがやってきて寅さんに言う。
「寅さん、あなたね、あなた、品物並べられないよ」
「はぁ、なにいってんだい。１台じゃ並べられなかったけど、田中のおじちゃんが
いい台もうひとつみつくろってくれたんだい。これでならべられらぁ」
「いや、違うんだよ寅さん。６２３曰く、１台で並べられなかったら、
並べられないということが決定するんだよ」
「なんだい、その６２３ってのは？２２６事件のはしくれか？おい。ぶっそうだね」
「いやいや、まぁ、ただの人だけど、数学というものの話しでね、そういうこ
とだと言われたら、こっちとしてはハイそうですかとしかいえないわけで、
まぁ、ひとつそう信じてみようかと思っていたんだ」
「いやしかしそいつはおかしいね。どうかんがえたって、１台で並べられないからと
いって、金輪際あーた並べられませんよとは、いったいどういう了見だい？
机にかじりついておてんとさまもおがまないでがりがりがりべんしてたやつの
いうことなんて聞くこたぁねえぜ。おれは、おれの目で見えるものを信じるぜ。
その話しはありえねぇ。わかったかい？」
「あぁ、寅さんがそういってくれるなら安心だ。うんわかった。方々言いまわって
たんだが、もう一度帰って、うそだと知らせておくよ」
「おう。まぁ、がんがってな」

>>625
他の並べ方があってもいい。
同じ集合の色々な並べ方ができる中の一つとして、
１の形で並べることができる。それだけで矛盾するんだよ。
「並べられる」というのに妙な思い込みでもあるのか知らんが、
ここで要求されるのは結局、
各自然数nに対応した実数のn桁目と異なる数をn桁目にもつ実数が構成できるということ。
つまり、「可付番」でさえあればいいわけだ。

１枚で駄目なら２枚で、とか言ってるが、
前にも言ったように無限集合の話だから、
２枚で並べられるものは１枚でも並べられる。
だが実は、そのことを示す必要すらない。
そもそもなぜ２枚で並べようとするのか。
全ての実数が２枚で並んだらどうだというのか。
それは、２枚使って並べたものはやはり可付番だから
実数が可付番ということになるからだろ。
２枚に並べたものがもし可付番でないなら、
定理の主張とは関係なくなってしまうから、不十分も何もない。

>>626
１０枚ですよ。並び方１と仮定は同値じゃないんです。
並べ方１が可付番の定義でしたか？違うでしょ。
そこんとこよろしく哀愁。

>>627
「並べ方１ができる」ということに、>>1の思い込みで妙な条件を課していなければ
同値だろ。
並べ方ができる、という表現に惑わされるのであれば
「可付番である」⇒「nに対応した実数のn桁目と異なる数をn桁目にもつ実数が作れる」
はどうだ？

久しぶりに来たのだが、あれ以降を読む気しねーな。眺めては見たが。
相変わらず、並べ方が同値じゃないとか言ってんのか?
10枚ってなんだ? 5百番台での議論に出てくるのかな。

>>627
２枚でも１０枚でも同じ。
何枚かで並べられるということにどんな意味があるのかって話だよ。

「背理法(>470辺り)」のときは２重仮定ですとか訳のわからないことを言い、
「否定(>579辺り)」のときは、not (A＆B) はnotA ¬Bとか言い出す始末。
これも理解できてるのかあやしいですが、1の言う「並べ方」という定義もあやしいので、
「並べ方」というのを曖昧な言い方でごまかさずに、まず全てを記号で書いてみなよ。

ちなみ普通の人は「Bが可付番」というのを、
　　Bと自然数全体Nの間に全単射fが存在する
と考えています。モット言っちゃうと、
　　１．任意のa, b∈Bに対して、a≠bならばf(a)≠f(b)
　　２．任意のa∈Nに対して、あるb∈Bが存在して、f(b)=a
　　となるような写像f:B→Nが ”存在する”
ことな訳で、そのような写像fをBの並べ方と考えます。

>>631
漏れもそう思った。

前から気になってたが、
証明するという行為（仮定をする、○○を言う等）自体が
また命題の述べる対象になっているようなのって、
安易に扱っていいものなんだろうか？

>>633
「〜〜が証明(※1)できない」ということを証明(※2)するってこと？
そうだとすると、※1の証明がどのような公理のもとで証明できない
といっているのかがはっきりしていれば、※2の証明は
普段と同じように証明すればいいです。

>>634
>>1は
「「非可付番」だとすると
「可付番と仮定すると矛盾が出る」」
とか言ってたんだけど
後半部分は一つの命題のレベルでありながら、
ある仮定を置いたら矛盾が出るという
論理学のシステムにまで言及しているわけで、
>>470のような図で表現できるものなのかな、と。

>>635
実際に「Bは非可付番」です。
でもってその証明は、「Bは可付番である」と仮定して「矛盾」を導きます。

　　　　仮定：Bは可付番
　　　　　　・・・・・・
　　　　　　　矛盾
　　　　--------------仮定は落ちる
　　　　　Bは非可付番

のような図でかけます。文章でかけていればいいので、あえて図の形で書く必要はないです。
『「非可付番」だとすると「可付番と仮定すると矛盾が出る」』という命題の証明は、
『』=排中律なのでいつでも成り立ちます。

あらためて読んでみると皆さんの言い分の方が正しい。
いまは、あとだしジャンケンに負けない方法を考えています。
ずるいよずるいよカントルちゃんあとだしじゃん。ずるいよずるいよ。ふにっこ。

実数の全体集合Rが非可算集合であるとして、Rよりも濃度の高い集合の存在を示そうとしたと
しよう。いま非可算集合SがRよりも濃度が高いのではないかと思っているときに、
SがRと同じ濃度であると仮定して、一対一対応が存在する、
RからSへの一対一の写像をfとしよう。しかし、このときには、カントール式の
証明法は使えない。なぜならRは可算ではないから、fによる写像の対応表を
作るということが出来ないからだ。(もしも出来るとすればRは可算だ)

このことは、問題にはならないのだろうか? Rよりも仮に濃度が高い集合が
あっても、証明が構成あるいは決定不能なのでは?

だからさ実数の小数点表示の時の対角線論法と
さらに一般化した一般対角線論法というのがある
んでつ

>>639
638 は対角線論法というものを平面の幾何的対象として実現できる
と思っているのだと思う。
少数表示だって、本人は漠然と思っているだけで、コンパクトに実現
するには数字をどんどん小さくしないといけないから、対角線といえる
か疑問だけどね?

>>638
一般の場合の対角線論法を知らなそうなので、一応書いてみた。
分かり易いように冗長に書いたのだけど余計分かり辛いかも。

集合 S の冪集合を 2^S と書くことにする。
冪集合とは S の全ての部分集合を集めた集合である。
もし 2^S の濃度が S の濃度より大きくないならば、
S から 2^S への全射が存在する。その写像を f と書く。
S の任意の元 s に対し f(s) は 2^S の元、つまり S のある部分集合である。
なので s が f(s) に属することもあれば、そうでないこともある。
ここで S の元 s で s∈f(s) とはならない元だけを全て集めた集合を A としよう。
A は S の部分集合なので 2^S の元であり、
また f は S から 2^S への全射なので、任意の 2^S の元 X に対し、
f(x)=X となるある S の元 x が存在する。
つまり S の元で f(a)=A となる元 a が存在する。
ここで、もし a∈A=f(a) ならば A の定義により a∈A ではない。
もし a∈A=f(a) ではないならば、A の定義により a∈A である。
どちらにせよ矛盾である。
つまり、2^S の濃度が S の濃度より大きくない、は間違いである。
冪集合の濃度は常にもとの集合の濃度より大きい。

>>639-640
一般の場合っつっても、対角線論法を直接使えるのは
ある集合とその冪集合との間だけなような。

でも、全射があるとして矛盾を導くなり、
冪集合を作っていって、それと濃度が等しいことを示すなりで、
大抵証明できそうな気はする。

補足。要点だけ述べるとこういうこと。

もし 2^S の濃度が S の濃度より大きくないならば、
S から 2^S への全射 f が存在する

A = {s∈S|¬s∈f(s)} とおく

A∈2^S なので f(a)=A となる a∈S がある

すると a∈A ⇔ ¬a∈A となって矛盾

>>638
Rの濃度<Sの濃度であっても、それがいつでも対角線論法で示すことができるとは限らない。
ただ「絶対に対角線論法では示すことが出来ない」という訳ではない。
実際、集合Aに対してその冪集合をP(A)で表すとき、
　　Rの濃度 < P(R)の濃度 < P(P(R))の濃度 < P(P(P)R)))の濃度 <・・・
は対角線論法で示すことが出来る。

この場合の対角線論法とは次のような物。
　　f:A->P(A)が全単射でありB={x∈A|not(x∈f(x)}⊂Aとすると、
　　f(b)=Bとなるb∈Aが存在するはずであるが、
　　　　b∈B⇔not(b∈f(b))⇔not(b∈B)
　　となって矛盾する。
この「not(x∈f(x)」の部分が、Nの濃度<Rの濃度の証明内でn桁目が異なる構成する所に相当する。

勝手に思い込む前に教科書の最初の数十ページ位は呼んだほうが
余計なことに悩む必要がなくなると思います。

>>641-642
被っちゃいましたごめんなさい。

S の部分集合 A と S から {0,1} への写像 b に対し
s∈S のとき s∈A ⇔ b(s)=1, ¬s∈A ⇔ b(s)=0 (¬ は否定)
という対応を考える。
これにより S の冪集合と、S から {0,1} への全ての写像が一対一に対応する。

また[0,1]に属する実数の二進数表示(0. の後に 0, 1 が無限個続く)は
n∈N に小数n桁目の数字(0か1)を対応させるので、N から{0,1}への写像と考えられ、
逆もまた然り。
よって、[0,1]に属する実数二進数表示の濃度は N の冪集合の濃度と等しく、
N の濃度よりも大きい。つまり非可算である。

[0,1]に属する実数とその二進数表示は一対一に対応はしない、
0.abc...def100000... = 0.abc...def011111... (各英字は 0 か 1 を表す)
となる数がある。
しかし、このようになる数は自然数 abc...def と一対一に対応するので、
可算個しかなく、実数とその二進数表示の濃度は等しい。

まとめると、実数の濃度は自然数の冪集合の濃度と等しく非可算、ということになる。

>>644
こちらこそすんません。
なかなかの被りっぷりですな。
一致度が高いというか。

>>638

さらに補足しておくと、集合AとBの濃度が常に比較可能である事を示すには選択公理が必要。
なので、あなたの問題意識は結構正しい。

>647
すると、やはりカント-ルの証明あるいは実数は非可算なりということの
証明には[選択公理]が仮定されているのですか?

対角線論法は、選択公理使わないよ。だから、Rが非可算であることを
示すには選択公理は要らない。

>>648
実数全体の集合の非可算性の証明においては仮定されていない。
実数から自然数への全射の存在が示せるから（たとえば[|x|]（[]はGaussの床関数）など）。

>>648-649
｢Sから2^Sへの全射が存在しない｣ことを言うだけなら選択公理はいらない。

ただ、それだけでは一般にはCars(S)<Card(2^S)は示せない。
2^SからSへの全射の存在をいうのに選択公理が必要なのでは。

>>651
必要ないよ。2^Sには{a}（a∈S)って形の元があるから、一点集合は、その一点に、
それ以外は全部あるひとつの元に移すような写像があるでしょ。

「どんな集合AとBを持ってきても、AからBへの全射があるか、BからAへの全射があるか
どっちかが成り立つ」を言うには選択公理が必要。

なるほど。結局選択公理の有無に関係なく|S|<|2^S|は必ず言えるが、
一般の集合については濃度の比較ができるかどうかも明らかでないということか。

しかし、選択公理を否定した集合論のモデルというのもどんなものだか
いまいち理解できないのだが…。

>>653
そんなもの直感的に理解できるくらいなら、集合論なんて易しいよ!

修正したにだ。
http://members12.tsukaeru.net/ogawa/kasasyo.html
ふぅ、やっと決着した。

Aを無限集合とする。A≠φよりある元a_1があってa_1∈A
集合A-{a_1}を考える。A-{a_1}=φとするとAが有限集合になるので矛盾。
ゆえ、ある元a_2があってa_2∈A-{a_1}　A-{a_1}⊆Aよりa_2∈A　
a_2∈A-{a_1}よりa_2≠a_1である。
A-{a_1,a_2}を考える。A-{a_1,a_2}=φとするとAが有限集合になるので矛盾。
ゆえにある元a_3があってa_3∈A-{a_1,a_2}　A-{a_1,a_2}⊆Aよりa_3∈A
a_3∈A-{a_1,a_}よりa_3≠a_1　a_3≠a_2である。
以下、同様にして順次a_4,a_5･･･を考える事ができるので
任意の自然数nについてa_n∈Aでi≠jならばa_i≠a_jとなる元が存在する。
よってAの要素には重複無く番号付けができるのでAは無限可付番集合である。
いま、Aに無限集合であること以外の条件は無いので
任意の無限集合は無限可付番集合である。

素朴でいいでつね｡

>>1
なんで、にぎりっ屁、なんですか?
臭いってだけなら、すかしっ屁とか、ふとん屁とか、色々ある
と思うですが、にぎりっ屁って誰かが意図的に他人の鼻先に
つきだすものなんじゃないですか?

ところで、６５６は反論なのか？
さらに、６５７は皮肉なのか？
そして、６５８はからかいなのか？
ブツブツブツブツ、、、、。
問うなら僕は答える。なぜ、にぎりっぺかって？
それは、僕はカントールを馬鹿にしているからだ。
濃度論は砂上の楼閣であった。カントールほどの人が、
なぜ砂上の楼閣を作ったのか？知らずに作ってしまったとは思えない。
そこには悪意があると思うのです。だから、にぎりっぺなんです。

>>1
ベルンシュタインの定理は知ってるのか？

>>655
＞偶数でさえ可付番ではなくなってしまう
まずこれを明らかにすること。


その定義だと、実数が無限可付番であるとは
自然数が実数に単射で埋め込まれるということ。
普通の定義で言えば、
実数は少なくとも可算無限濃度である、
つまり、実数は無限集合であるというだけだ。

全ての無限集合の大きさを同一視するような基準があっても構わないが
紛らわしいのでそれを可付番とか呼ばないように。

１００個の要素の集合と５０個の要素の集合って１対１対応できる？
できないんでしょ！？ならば、自然数と偶数って１対１対応できないじゃん。

１対１対応による可付番集合の定義はウェルデファインドじゃないんです。
結局、濃度は存在しないんです。

１００個と５０個ではできないが自然数と偶数ではできる。
「ならば」ってどういう事だよ。

>655
> 無限な対象に「すべて」という修飾はさけるの妥当である。

とおっしゃっているようですが、

> ある無限集合があって、その要素に重複なく1,2,3,・・・と番号を付けつづけることが出来るとき、
> Aを無限可付番集合という。

は、
　　ある無限集合Aが存在して、全てのAの元iに対して自然数a_iが対応し、
　　かつAの異なる2元i1, i2をとると、a_i1とa_i2は異なる
ということと同じ。つまり、
　　Aと自然数全体の間に全単射がある
といっていること同じでしょ。「全て」ということばを使っていないだけで、内容は一緒。
「全てじゃない！　番号を付けつづける だ！」　と言う気ですか？
「Aの異なる2元i1, i2を・・じゃない！　重複無くだ！」　と言う気ですか？
無限や全てに疑問を抱いてる人が「番号を付けつづける」と安易に言うなんて明快な答えがあるのでしょう！！！
あと、

> 無限な対象に「すべて」という修飾はさけるの妥当である。

なことを言うくらいだから、無限集合の定義も伺って見たいなぁ。というわけで、
　　「番号を付けつづける」とはどういうことか？
　　「重複無く」の定義は？
　　「無限集合」の定義は？
　　「無限は完了しない」とは？
　　「数の個数」の定義は？
　　「1対1対応」の定義は？
1枚目でとんでも率1000％なので、2枚目以降は目を通す気にもなりません。馬鹿馬鹿しい。

>659
臭いのは君の頭の中でしょう。

>Aと自然数全体の間に全単射がある
２枚目以降を見ると、全射性は要求していないように見える。
ただ、いまだに
いつまでも続けられる→全射にできる
と勘違いしている可能性もある。

君の定義を聞かせて欲しい。君とは何なのか？

１枚目の無限可付番の定義で
「重複無く」というのは、もちろん
「すべての」a,a'∈Aに対して
aに対応する番号とa'に対応する番号が異なるってことだよね？

でも、すぐ上に、「すべて」という表現は避けるべきとか何とか・・・
「すべて」を別の言葉で言い換えればＯＫなのかい？

>>1
0.a_11a_22a_13a_14a_15a_16a?17…
は何番目に番号付けられてるんだ？

当然、２〜３枚目で番号が重複しないというのも
無限個ある対象について述べているわけで。

「無限は完了しないから、無限な対象に
「すべて」という修飾は避けるのが妥当である」
↓
「この番号付けは完了しないから、無限個ある実数に対して
「重複なく番号を付け続けることができる」という表現は避けるのが妥当である。」

>>659
> そこには悪意があると思うのです。だから、にぎりっぺなんです。
おまえが悪意の塊。

「君」に反応する前に論理で反論しろよ、バ〜カ。

重複ってのは、同じ要素に違う番号を付けたり、違う要素に同じ番号を付けたり
だよ。重複しないでってことも番号を付けるってことも、すべてでなくていい。
限りなく続けられればいい。そういう定義だから、よろしく理解しろ。

>>668
番号付いてないなら、付けていいよ。
無限有限問わず、
可付番集合の合併は可付番集合であるってのも、再定義後も明らかに成り立つから。

>>663
折れは数の個数を数えているんだ。それによると、偶数の個数は自然数の
半分なんだよ。だから、１対１対応にならないんだよ。
自然数から偶数への写像はｆ（ｎ）＝ｎ/２
なんだよ。厳密には。

>>672
＞すべてでなくていい。
「何が」すべてじゃないの？よく分からん。

>>673
「再定義後も」じゃなくて「再定義後は」だろ。
通常の意味では、可付番集合の（任意の添字集合に対する）合併がまた可付番とは限らないから。

>>674
>>1の考える「無限集合の個数」ではそうなのかもしれんが、
通常の意味での１対１対応では違う。
そのfは向きが逆じゃないか？
別に分数の形になっていようと、偶数nに対してn/2が自然数になって、
さらにfが全単射になっているのだから、問題ない。

大体、以前「２枚なら並べられる」とか言ってたことの前提にあるものや、
また、今言ってた「可付番集合の有限個の合併が可付番集合」というのも
自然数と偶数の間に１対１対応が付くことを意味してるんじゃないか？

＞672
全てがいやなんだろ？なら全てという言葉をつかって説明するなボケ。

>>672
｢すべての要素に番号をつける｣ということができない、
よって自然数から実数への全射は存在しない

ってことだよ。

論点がはっきりしない。１対１対応では定義しないっていってるのに、
全車だ単車だって、話が見えてないじゃん。
すべての、ってのと、続けられるって、あからさまに違うじゃん。
、、、
見識ある反論なり評価を待つ。

>>678
結局、任意の無限集合は可付番だと言いたいわけね。
そうなるように定義するのは勝手だが、それが果たして有用な定義なのか…

>>678
まず、１対１対応を使わずに定義すべきだという根拠の、
偶数が可付番でないという部分に突っ込んでるんだよ。
それに、新しい定義の方にも、少なくとも単射性を要求する記述はあるんだから
その点に触れるのは当然だろう。
「すべての」を使うなという事の曖昧さとも関係してくるけどな。

＞すべての、ってのと、続けられるって、あからさまに違うじゃん。
その２つが同じだと言っているのではなくて、
「すべての」という表現を使わずに「続けられる」ということを正確に述べられるのかって話だ。

>>1
>>655の
n番を・・という部分は勿論
「全ての」自然数nについてそれができるってことだろ？
それとも特定のnについての話なのかな？
でも、全てのnでってことじゃないと、
どこまでも続けられるとは言えないよな。

>>678
｢自然数と実数では1対1対応はできない｣というのが対角線論法から出てくる結論。
この主張を問題にしないのなら、対角線論法の何を問題にしたいの？

ぐだぐだ言わずにとっとと答えろよ。
　　「番号を付けつづける」とはどういうことか？
　　「重複無く」の定義は？⇒>672
　　「無限集合」の定義は？⇒未回答
　　「無限は完了しない」とは？⇒未回答
　　「数の個数」の定義は？⇒未回答、>673でも使っているが、正式な定義は不明
　　「1対1対応」の定義は？⇒未回答、>678 1対1では定義しないと言ってるが、1の言う1対1の定義は不明
一般人と同じ用語を違う意味でつかってるんだから、
用語の定義を述べる必要があるって言ってるの。
そんなことも分からないの？

もっと根源的なところで、↓も追加
　　「番号を付ける」の定義は？

>>1に定義を求めても、まともに答える可能性は低いからな・・。

「普通に考えようよ。番号は番号だよ。」とか、
「１番目の肉まん、２番目の肉まん・・・」とか。

ふと思ったこと。従来のものは、かぞえのｎと全単車できると可付番集合
と呼んでいたのだろう。しかし、かぞえのｎは集合にはならないから、
どのみち全単車は持ち出せない。従来の可付番集合の定義の悪さってのが
問題だな。

>>686
かぞえのnって何？
節分にちなんでの発言かい？

> 従来の可付番集合の定義の悪さってのが問題だな。
悪いのは、きっと「自分が天才だ」と自惚れてる・・・な君だ。

以前みたいに決定的な反論がないなぁ〜。

>>688
そういうことは、
反論にちゃんと答えてから言ってくれ。

>>688
以前より本格的にトンデモ化してるから、反論に見えないだけ。

よくわからないんだけど、１は、（普通の意味での）可算無限集合を
含む集合は（１の意味での）可算無限集合だ、と言ってるってことなの？

別に新しい定義を採用するのはかまわんのだが、既存の論理を否定する事は
出来ないと思うぞ。。。

否定もなにも従来の可付番集合の定義はウェルデファインドではないことが
わかったのだから、そっちがなくなるということです。
偶数が可付番集合であると仮定する。
すると、G =｛x1,x2,x3,・・・}と並べられるはずである。
いま、xn=2nとする。
そこで、4nという偶数を考えると、これはGに属さない。
なぜならば、ｎをどんなに大きくしても、2n<4n　であるから。
これは、矛盾である。よって、Gは可付番集合ではない。

>>692
＞なぜならば、ｎをどんなに大きくしても、2n<4n　であるから。
何も矛盾してないよ。2nよりも4nの方が先にあるというだけ。

どんなnをとっても、自然数1〜nに対応していない偶数4nがある。
これはつまり、Ｇが無限集合だと言ってるだけだね。

自然数2nに対して、x_2n=4n
4nはＧに属している。

また仮に矛盾があったとしても、
「可付番集合の定義はウェルデファインドではない」ことを言うには
まだまだ弱いと思うが。

自然数が可付番集合であると仮定する。すると、
N =｛x1,x2,x3,・・・｝
と並べられるはずである。
いま、xn = n　とする。
そこで、n+1 という自然数を考えると、これはNに属さない。
なぜならば、ｎをどんなに大きくしても、n<n+1 であるから。
これは矛盾である。よって、自然数は可付番集合ではない。

おかしいなぁ〜ｗ

>>693
先にあるってなんですか？ｗｗｗ

>>695
より大きな自然数に対応しているということ。

同じnを使ってるのがおかしいな。
その半分、あるいは１小さい自然数までに
対応していなければならないという条件を、自分で課しているようなものだ。

>>695
人のことより、お前の定義を先に晒せ

>>694
＞自然数が可付番集合であると仮定する。すると、
＞N =｛x1,x2,x3,・・・｝
＞と並べられるはずである。
＞いま、xn = n　とする。
＞そこで、n+1 という自然数を考えると、これはNに属さない。

x_{n+1}=n+1∈Nですが、何か？（ｱｰｸｻｲｸｻｲ

>>694
n=10とすると
自然数11がNに入っているかどうかを調べるのに
「x1からx10までの中には無かった。
だから11はNには含まれない」と言ってるようなもの。

「nをどんなに大きくしても」と言うが、nを動かすと
調べる対象であるn+1も変わってしまうぞ。

固定した自然数m+1に対して、nをどんなに大きくしても
xn=m+1とならない。よってm+1はNに属さない
って話なら分かるんだが。

そうでなくて、同一のnを用いるなら
「11はx1からx10の中には無い。」
「12はx1からx11の中には無い。」
「13はx1からx12の中には無い。」
のようなことが言えただけで、別に矛盾はないし
実際x11=11,x12=12,..と、Nに含まれている。

ああ、>>1が言ってるのは
「この中には無い」っていうより

「x10は11ではない。だから11はNには含まれない」
の方が近かったかな？

なんか、皆さんの言い分、おかしいね。どうおかしいのか俺が言っちゃうと
つまらない。第三者求む。

>>702
いいから自分で言えこのクズ

結局1は「任意のx」とか「あるx」とかが、いやそればかりか、論理学全般が
まるで判ってないんですな。前も、似たような論理で「数学的帰納法は
間違い」とか言ってたよ。

1さん面白いね。
小学校の数学としては、優秀でしょう。
無限の概念が理解できないだけかも。

なんでも自然数の集合ってのは
0 0' 0'' 0''' 0'''' 0''''' 0'''''' ……
のようなものを集めたもので
{0 0' 0'' 0''' 0'''' 0''''' 0'''''' ……}
という集合には一意性がないんだそうです。
……の先の終着点が違うのか、0'''てな形以外の
ものがあるのかよく判らないのですが兎に角
1つの無限集合として
{0 0' 0'' 0''' 0'''' 0''''' 0'''''' ……}　という集合を取ってそこから
その部分集合としてまた同じような
{0 0' 0'' 0''' 0'''' 0''''' 0'''''' ……}という形の集合をすべて取り
その集合たちの共通集合を取るんだそうです。すると
その共通集合は
0 0' 0'' 0''' 0'''' 0''''' 0'''''' ……　を含む集合として最小の集合
になるそうです。その最小の集合を自然数の集合と呼ぶそうです。
>>1さん、
Nの理解としてどうでしょうか？

>>706
すべてはとれない。

いっちゃう〜、あっあっ。
>>699
ｎにｎ＋１を代入するなら、新自然数はｎ＋２になるだろ。で、そいつは
属さないぜ。
証明の構図は実数の場合とまったく同等なことに注意しよう。