大好き★代数幾何

Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。

そもそも座標環って考え方がうまいよね

代数幾何は、何代もの数学者のエネルギーを吸い尽くしてきたんだね。
何代吸う気か、代数幾何？

代数多様体上の点と座標環の極大イデアルが一対一に対応するんだもん
そりゃ代数多様体と極大イデアル全体の集合を同一視したくなるよね
だって多様体を有限生成ｋ代数として扱えるようになるもの

代数幾何の下に何人の有能な数学者が眠っているんでしょうか？
人柱みたいなものなんですかね。

極大イデアルっていうのもなんか中途半端だから
素イデアルまで拡張したくなるよね普通
そうすると代数多様体の点が増えて解析の方法が増えるけど
もはや代数多様体じゃなくなってるからスキームなんて対象が出てきたんだ
でもまだスキームを幾何学的な対象として扱うには不十分だったんだね

>>1=>>2=>>3=>>4=>>5=>>6?

代数幾何が専門と言っている日本人研究者の半分は可換環の研究者なんだ
間違いない

代数幾何の最も基本的かつ重要な対象は、代数体上定義された
非特異射影多様体だろう。

良スレ保守

>>7

1=2=4=6=i

あれだな、まるでブルーバックだね。

NT系だと比較的見る回数の少ないBSODのこと？

>>9
言い換えると、代数体係数（有理数係数としてもいい）の同次多項式達
の零点集合のことだ。素朴かつ具体的な対象である。
この定義自体は、何も抽象的訓練を必要としないで理解出来るもの。

>>8
ワラタ

>>1=>>11
面白いからもっと書け。

代数幾何をやるには代数的方法、コホモロジー的方法だけなく
位相幾何的および複素解析的方法の知識が必須だろう。

　　　　　 .l''',!　　　　 .r-、　　　　　 .,､�＝@　　　　　　.l''',!　　　　 ./ｰ､,,,_　　　　 .r-，　　　　　
　　 .广''''″.¨ﾞﾞ!　 .,,,丿 {,,､､，　　.ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､　　广''''″.¨ﾞﾞ!　　　.!､,　　lﾞ　　　　 | .｝　,�＝@　　
　　 .ﾞl---， ぃ"　 .|　　　　 .|　　 .|　　 _,,{ﾞl .ヽ　 ヽ--i､ .ぃ"　　.,,,,,,,,二ｉ"　　 .,..-" .ヽl、ﾞl　　　
　　 r---┘.―'i､　"',! ./ﾆﾆﾆ、　 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､　 .|　　　 :,!　　 |　　　　.l　.|、　　
　　 |＿＿　._,,,,｝　　ﾉ .| |　　 lﾞ　　.／　　　ﾞ'i､　.|＿＿　._,,,,｝　　"''''ﾂ ./　　　"''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl　　　
　　　.,―-" |　　　 .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'"　 ,i´,�〕ﾞﾞ^'i､ |　　.,―-" |　　　　 ../　 `i､　　　 lﾞ ,lﾞ |　|.ﾞl.,ﾉ　　
　　 .lﾞ .,,,,,,　.＼　　.lﾞ .lﾞ ,，　　　 .lﾞ .|.｝ |　　| .|　 / .,,,,,,　.＼　　 ../　.,.i､ |　　　 lﾞ .lﾞ .| .,! .゛　　　
　　 |　し,,lﾞ .、 ﾞ,!　,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"!　ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ　 | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,!　,/｀／ .| ."'ﾞﾞl　./ .lﾞr┘,lﾞ　　　　　
　　 .ﾞl,　　.,/｀∪　 ﾞ〃 .`ｰ--丿　.ﾞ'--ヽ{,,,.／　 .ﾞl,,　　_/｀∪　.ﾞl.,i´　 .!,_,,,／ .lﾞ../ |　.,i´　　　　

>>1さん面白いのでもっと書いてください。

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>>19.

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>>1
とても面白いです。
続編ｷﾎﾞﾝ。

名スレの予感

グロタンディークはホモロジー代数と位相空間論しか知らなかったんだ
間違いない

＞＞１を頃しにきますた。

もうネタ切れ

>>1
彼との間がおかしくなってから彼に連絡を取りたくてずっと電話をしていたのに全然
連絡が取れなくて悩んでいました。
そしてこのスレを読みました。最初は半信半疑でしたが、読んでから一週間後に
なんと彼の方から電話をくれました。
本当に神様とこのスレのおかげです。
これからも信じて今までみたいに付き合っていけるようお願いしていこうと思います。
もちろん私も復活できるよう頑張りたいです。
とにかく今は感謝の気持ちでいっぱいです。
有難うございました。

>>1さん、楽しく読ませてもらいました。
次が楽しみです。

specAを幾何学的な対象と捉えるにはどうしても位相空間じゃなきゃならない
だからspecAに位相を定義しようと考えてみたんだね
代数多様体にはザリスキ位相が入ってるから
これがそのまま極大イデアル全体の集合の位相になる訳だ
するとイデアルを元とする位相が定義できたからこれをそのままspecAにもってく
そしたらうまいことちゃんとspecAにも位相が定義できたんだね
これでspecAが位相空間になって幾何学的な対象っぽくなってきたよ

数学者の９割は環を輪っかの意味だと思ってるんだ
間違いない

環ってringでしょ
ringって輪って意味じゃなくてプロレスリングと同じ意味でのring
リングに〜稲妻はしり〜ってあったでしょ？そのring　競技場ね
つまりfieldみたいに野原で自由な感じじゃなくて
戦いとかがあって熱いんだよ　ringは
わかった？環に輪なんて意味ないからね
ただの誤訳　簡単にだまされちゃだめだよ

>>1さんへの絶賛が続々と寄せられています。
　
●
1世代前のＣＰＵでも快適になりました。
（埼玉県／鎌田 信彦さん）[1]
●
自動設定機能が充実している。使い安さと、効果から多く のユーザーに幅広く受け入れられる。
（滋賀県／松本 淳さん）[2]
●
すべての動きが速くなったと体感しています。
（大阪府／西垣 猛さん）[3]
●
速い！！の一言。
（北海道／児玉 勝彦さん）[4]
●
驚速98から使っていますが、バージョンアップするたび にパソコンの速度が速くなっているような気がします。
（神奈川県／加藤 照美さん）[5]
●
パソコンがとても速くなり、大変満足しています
（静岡県／出口 幸治さん）[6]
●
大変満足しています。パソコン初心者から、上級者まで。 ユーザを選ばないところがｇｏｏｄです。驚速シリーズ、 これからも期待大です。
（広島県／世良 篤さん）[7]
●
驚速95から使用していますが，アクセスが早くなりいら いら感も少なく最初はＣＰＵクロック133Mhzを使用してい ましたがその時は快調でした。900mhzに
変更してからは少 しの間使用していませんでしたが，色々ソフトの数などが 増え，アクセスが遅くなり出し思い出し今回も購入しまし た。これでまた，少
し楽が出来ます。
（愛知県／梅田 友昭さん）[8]

>>30
君こそ間違ってるよ。もともと、代数のringは輪の意味から
名付けられたんだよ。ぐるっと回って元に戻るという意味。
ヒルベルトが名付けたじゃないかな。
代数的整数の環Z[α]を数環と名付けた。
何故そう名付けたか簡単に想像出来るだろ。

ｺﾋﾟﾍﾟにﾏｼﾞﾚｽ（ｒ

>>33
くやしまぎれ。ｗ

kを体。Aをk上有限生成の可換代数。
P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。
Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体,
Hom(Spec(A), P^n)を決定したいんですが。
わかる人、教えてくれませんか。

誰か>>35に答えてやってくれ。

>>35
Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で
階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって
いるもの全体と1対１に対応する。

位相空間specAをどうやれば多様体と見なせるか
そのために多様体をより厳密に空間として定義する必要があったのかなあ
環付き空間なんて考え方が出てきたんです
それを可能にしたのが層みたい

哲厨の香りが漂っています。

ここは>>35にすぐ答えられないような人が、代数幾何を語る
スレですか？

そうですが何か？

>>41
>>35に答えられないということは、代数幾何がよく分かってないと
いうことになる。よく分からないものを語って何が面白い？

X=Spec(A)というのは、任意の環BにX(B) = Hom(A, B)を対応
させる関手としてとらえるのが本質的な見方だろうな。

>>43
何が言いたいの？
それ以外の捉え方ってある？

>>44
それが分かってるんなら何故>>35に答えられないんだ？

>>38
環付き空間はGrothendieckの抽象代数幾何で
最初に出てきたわけじゃない。
多変数複素関数論でのカルタンが最初だろう。

>>37を誰か証明してください。
私には出来ません。

昨日このスレを見つけました。
未熟ですが、代数幾何に興味を持つものです。
全部スレの内容も理解できていませんが、なんとなく感じが
つかめたような気になって大変嬉しいです。
>>1さん、その他の方々どうかこのスレを盛り立てていって
下さい。参加は出来るほど実力無いですが、楽しみに
読んでいますので。

48の未来に幸あらんことを。

>>49
どうも、ありがとうございます。

高2まではクラブ活動でのんびりしていたため、クラス35人中34位の成績でした。
高3になりK大学の農芸化学科への受験を決意しましたが、合格率ランクはD以下でした。
好きな数学をミミテックで学習したら問題がすんなり解け、他の科目にも取り組んだところ、
4ヶ月で全国統一模擬試験で偏差値15アップし先生もクラスメイトもびっくり。
ただ一人推薦で合格しました。
M・Aさん(高3女子)

母からすすめられ、初めは半信半疑でしたが、ミミテックを使ってみると不思議に頭に入る事が判り、
2週間、期末試験に向けて一生懸命学習したところ、いつも40点台、50点台だった私が英語87点
はじめ全ての科目80点台のクラス2位になりました。
S・Tさん(中3女子)

層というのはよくわからないが役に立つものらしい
というのが小平邦彦の層に対する最初の印象
確かに層というのは定義が天下りでいまいちピンとこないよね
でも実はとっても自然な考え方だったみたい
特に全体の構造がよくわからないものに対して局所的な写像を見てって
そこから全体を捉えようとするみたいな多様体の考え方には合致するんだろうね
層っていうのは全体にはとどいていない写像から全体の写像を構成できたりするんだね
局所的なものから大域的なものが得られる訳だ
局所的な情報から大域的な情報を得るってかっこいいよ
こんな感じで多様体上の写像を層として扱っていく感じになってきました

位相空間Xの開集合U上の実数値連続関数全体をΓ(U)とする。
Γ(U)は自明に可換環（したがって加法に関してアーベル群）となる。
VをUに含まれる開集合とする。
制限写像: r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が自明に定義される。
r[U, V]は環の準同型になっている。
この制限写像はU ⊃ V ⊃ W　のとき結合律を満たす。
この対応 U →Γ(U) と制限写像: r[U, V]の組を
X上の実数値連続関数のなす層という。
同様にXが微分可能多様体であれば微分可能関数のなす層が
定義される。さらにベクトル場や微分形式のなす層が定義される。
層はもっと一般的に定義されるが、ここで述べた例が最も典型的
な層の例である。もっと一般に開集合Uにたいしてアーベル群
Γ(U)が定義されて、さらに準同型r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が定義
され結合率が満たされるときこれを前層という。
これを層と言わないで前層というのは、上の例の層が満たす
局所性を必ずしも満たさないからである。局所性というのは、
各点の近傍における情報で大域的な情報が決まることを言う。
つまり：
U が開部分集合U_iの族の和集合となっていて、各U_iに
対してΓ(U_i)の元f_iが与えられていてるとする。
任意の添え字i, jに対して、制限写像Γ(U_i) → Γ(U_i ∩ U_ j)
とΓ(U_j) → Γ(U_i ∩ U_ j)が定義されているが、この写像
によるf_iとf_jの像が一致すると仮定する。
このときΓ(U)の元fが一意に存在して、fの Γ(U) → Γ(U_i)
による像がf_iとなる。
この性質を満たす前層を層と言う。
前層から自然に層が構成出来る。
もっと述べることは当然あるが、このへんでやめとこう。

スレタイなぜ
「大好きか？★代数幾何」
にしなかったんだろ？

>>53
それ俺(>>43, >>46その他)が書いた。我ながら良く書けてるな。

道具ヲタと代数幾何の人の区別は可能ですか？

特異点の解消って任意標数で解決したの？
石井志保子「特異点入門」に「最近解いたと主張する数学者が現れた」
みたいなこと書いてあったけど審査結果はどうだったの？

誰か>>37を証明してやれ。あれは重要な結果だぞ。
いやしくも代数幾何をやる人間はあれを証明出来なきゃ駄目だ。

使い古された煽りの手口ですね。

>>59
あれを煽りと思うのか。悲しいやつだ。
あれは非常にいい問題だよ。問題の為の問題ではない。
豊富な内容を持っている。しかも、難問ではない。

>>60
コピペ用にいただきますた

>>58
代数幾何をやらない人間なので答えおしえてください。

>>62
問題自体の意味は分かるのか？
例えば、Spec(A)とかProj(k[X_0,...,X_n])の意味。

>>58
代数幾何をやるダメ人間なので答えおしえてください。

>>63
なんとか意味はわかります。

誰かが考えました。
誰かは知らないんだけど
位相空間と層があればそれから多様体が構成できるんじゃない？
幾何学的な空間のとらえ方が少しずつ実体よりもその存在のあり方にシフトしてきました
周りとの関係っていうかね、実体の存在より関係の存在が先っていうか
えっと、考える故に我有りだっけ？そんなのと似てるかも
似てないか

　　　　　　　↑
詐欺に引っかかりやすいタイプ

>>65
Spec(A)上の可逆層とA上の階数１の射影加群が本質的には
同じものというのは？

>>68
ピカール群とかいうやつですか？なんとなく聞いたことはあるという程度です。
ステートメントはみたことありますが証明をおったことはありません。

>>69
じゃあ基礎的なことからまったりと証明してやろう。
時間はかかるけどな。あせらず待て。

>>70
よろしくおながいします。気長にまちます。

じゃあ証明開始といくか。
基礎からいくから、かなり長いぞ。
今後、特別に断わらない限り、環と言ったら単位元を持つ
可換環とする。環準同型は単位元を単位元に写すものとする。

命題１
Xを環付き空間。Aを環とする。
Γ(X)をX上の大域切断のなす環とする。
このとき、Hom(X, Spec(A))とHom(A, Γ(X))は標準的に同型である。

証明せよ。

↑同型というのはおかしいな。標準的な全単射が存在すると
置き換えてくれ。

>>72
これにだれかが答えないと先にすすんでくれないの？

>>74
原則として誰かが答えるまで先に進まない。
そうしないと、諸君が理解してるかどうか分からないから。

終了か(･∀･)、今後の展開はどっち？

たかが多項式　されど多項式

>>72の訂正。スマン。
Xは局所環付き空間。Hom(X, Spec(A))は局所環付き空間としての射の集合。

>>78
やっぱり･･･めっちゃ考えたのに･･･

>>79
その考えは無駄じゃないよ。で答えは？

>>75
答えいきつくまでにあと何ステップぐらいあるの？この原則だと答えみたい場合
ずっと２ｃｈ見続けて設問にづっと答えつづけないとダメだけどそんなの不可能なんですが。
あと２、３ステップですむんなら可能だけどそうじゃないならヘタしたら２、３週間つづけて
２ｃｈ漬けになってしまう。もしそれぐらいかかるならもう答えわかんなくてもいいし。
せめて何ステップで終わるのかだけでも先におしえてもらえません？

>>81
そうだな、端折れば５ステップ、丁寧にやれば１０ステップくらいかな。
丁寧なほうがいいだろ？

>>80
答えは結構めんどいんですが･･･
あたえられた環の準同型φ:A→Γ(X)に対し連続写像fをp∈Xにたいし合成写像
A→Γ(X)=O_X(X)→O_{X,p}によるO_{X,p}の極大イデアルの引き戻しをf(p)とする
写像とさだめる。つぎにspecA上の環の層の準同型f^#:O_specA→O_Xを
f^#(specA):O_specA(A)=A→O_X(X)=Γ(X)がφになるようなものとする。
（そのようなf^#の存在の証明は略。）
逆の対応は与えられた(f,f^#):(X,O)→(SpecA,O_SpecA)に対し
A=O_(specA)(specA)→f_*(specA)=O_X(X)=Γ(X)で定められる環準同型であたえられる。
　
この程度でいいすか？

>>83
まあいいだろ。各自、詳細を詰めてくれ。

定義１
Xを環付き空間とする。O_X 加群の層 F が局所的に階数１の自由層であるとき
可逆層という。

後は明日の夜。期待して待ってくれ。

乙です

昨日の続きと行こう。
可逆層についての基本事項を述べる。

命題２(層の張り合わせ)
Xを位相空間とし{U_i}をXの開被覆とする。
各U_i上に層F_iが与えられており、任意のi,jに対して
同型ψ(i,j): F_i|U_i ∩ U_j → F_j|U_i ∩ U_j
が存在するとする。
さらに、任意のi,j,kに対してψ(j,k)ψ(i,j) = ψ(i,k)が
U_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つとする。
このとき、X上の層Fと同型η_i: F|U_i → F_iが存在し、
ψ(i,j) = η_j(η_i)^(-1)が成り立つ。

証明
開集合Uと各iに対して、U ∩ U_i上のF_iの切断s_i の列{s_i}で
s_j = ψ(i,j)(s_i) となるもの全体をF(U)とする。
対応 U → F(U) は層となり、これが求めるもの。
詳細は各自にまかす。
QED.

命題３
Xを環付き空間とする。O_XのO_X加群としての自己同型群はΓ(X)の
可逆元全体のなす群Γ(X)^*と標準的に同型である。

証明は自明だろう。

Xを環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。
定義によりXの開被覆{U_i}が存在し、各U_iで
LはO_Xと同型である。
この同型ψ_iを固定しておく。
i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。
従って、命題３よりΓ(U_i ∩ U_j)^*の元が定まる。
これをθ(i,j)と書く。
i,j,kに対して、θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_k
で成り立つ。θ(i,i)はΓ(U_i) における単位元である。

命題４
逆に上の関係式を満たすθ(i,j)があると、X上の可逆層L
が定り、θ(i,j)は上記のように求めたものと一致する。

命題２から明らかだろう。

命題５
Xを環付き空間とする。
1) L_1, L_2をX上の可逆層とする。
　L_1とL_2のテンソル積L_1(x)L_2も可逆層である。

2)LをX上の可逆層とするとHom~(L, O_X)も可逆層である。
ここでHom~はHomの層。この層をL^と書く。

3) L(x)L^はO_Xと同型である。

これを証明せよ。
命題５からX上の可逆層の同型類はアーベル群をなすことが分る。
これをXのピカール(Picard)群といい、Pic(X)と書く。

.>>89
以下前層Fの層化をF~と書く。
―補題―
位相空間X上の前層Fとその層化F→F~についてある開集合Uが存在しF|Uが層であるなら
任意のV⊂UについてF(V)→F~(V)は同型。
∵層化の具体的表示F~(V)={s∈Π[p∈V]F_p|∃V=∪V_λ∃s_λ∈F(V_λ)∀p∈V_λs_p=(s_λ)_p}
をみれば(F|U)~=(F~)|Uがわかる。仮定よりF|U=(F|U)~。これから主張が成立。□
　
―命題５の証明―
1),2)X=∪U_λ=∪V_μをL_1|U_λ、L_2|V_μが自明層になるようにとる。
W=W_λμ=U_λ∩V_μ上で前層L_1(x)L_2|_W、Hom(L_1,L_2)|Wは層である。
ゆえに(L_1(x)L_2)~|W=(L_1(x)L_2)|W、Hom(L_1,L_2)~|W=Hom(L_1,L_2)|WであるがこれらはともにO|Wにひとしい。
3)前層の射f:L(x)Hom(L,O)→Oをa(x)f→f(a)でさだめられるものとする。L|W、Hom(L,O)|Wが自明になる
W上でこれは同型写像。補題よりL(x)Hom(L,O)|WとL(x)Hom(L,O)~|Wは同型なので主張が成立。
　
こんなもんでいいすか？

>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

　 　 　 　 　 　　 ＿＿＿
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>>73
集合の圏の同型は全単射

>>88
>i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
>Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。

O_XのU_i ∩ U_j における同型を与える、の間違いだった。

>>93
普通は全単射と言うな。まあどうでもいいが。

>>90
なんか難しく考えてないかな。1) なんか、O_X(x)O_XがO_Xと同型
であることを使えば自明なんだが。
でもまあいいや。

>>93,>>95
（bifunctorとして）同型、と言う方が、
ただの全単射より内容が深い。
標準的な、だけでは意味が不明確。

いよいよ本題に入る。
kを体とし、S = k[x_0,...,x_r]をk上の多項式環とする。
Sは、n次同次多項式のなすk-部分加群S_nの直和であり、次数環と考えられる。
S+ = S_1 + S_2 + ...とおく。S+はSの同次イデアルである。
Sの同次素イデアルでS+を含まないもの全体をProj(S)と書く。
同時イデアルIを含むProj(S)の元全体をV+(I)と書く。
D+(I) = Proj(S) - V+(I) と書く。D+(I) の形の部分集合を
開集合としてProj(S)は位相空間となる。
fをSの同次元としたとき、局所化環 S_fは、次数環となる。
つまり、aを同次元としたとき、a/f^n の次数をdeg(a) - n deg(f)
で定義する。S_fの0次部分のなす環をS_(f)と書く。
D+(f)にS_(f)を対応させてProj(S)に前層が定義される。
これの層化をProj(S)の構造層 O と定義する。
pをProj(S)の元としたとき、O_p は　S_p の0次部分のなす環S_(p)
と同型である。fをS+の同次元としたとき、D+(f)はProj(S)の開集合
の基となる。D+(f)は局所環付き空間として
Spec(S_(f))と同型である。したがって、Proj(S)はスキームである。
このスキームを体k上のr次射影空間と呼び、P^r_kまたは単にP^rと書く。

>>97
百も承知してるんだが、それを言いだすと、随伴関手とか
言わなきゃならなくなる。今は面倒なのでさらっと流してる。
標準的全単射で間違いってことはない。

>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

昨夜の続き。

P^rを体k上の射影空間 Proj(k[x_0, ... x_r] とする。
U_i = D+(x_i)とおく。nを任意の整数とする（負の整数も可)。
θ(i,j) = (x_i/x_j)^nはΓ(U_i ∩ U_j)^*の元である。
θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つ。
従って、命題４よりX上の可逆層が定まる。この層をO(n)と書く。
さて、S上の次数付き加群Mがあると、S+の同次元fに対して、
D+(f)にM_fの次数0成分M_(f)を対応させることにより、
O加群の層M~が定まる。
S上の次数付き加群S(n)をそのp次成分を S(n)_p = S_(p + n)で定義する。

命題６
O(n) = S(n)~ である。

これを証明せよ。

ごくろう。

射影スキームとというのはアフィンでないスキームとしては
最も重要なものである。完備な非射影スキームというのは、
かなり例外的なものであり通常考える必要はない。
従って、代数幾何をやるものは射影スキームに親しむ必要がある。

命題７
Γ(P^r, O(n)) は S_nとk-加群として同型である。

これを証明せよ。

やだ。

ここで環付き空間の射による加群の層の順像と逆像について述べる。
X, Yを位相空間とし、f:X→Yを連続写像とする。
GをX上のアーベル群の層とする。
Gのfによる順像f_*(G)を、
f_*(G)(U) = G(f^(-1)(U))で定義する。
これは、Y上のアーベル群の層である。

FをY上のアーベル群の層とする。
VをXの開集合とし、Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる写像ψで、
局所的にO_Yの切断から誘導されるもの全体をΓ(V)として
得られる層をFのfによる逆像といい、f^(-1)(F)と書く。
詳しく述べると、xのある開近傍Wに対して
f(W) を含むYの開集合Uと、U上のfの切断sが存在し、
ψ(p) = s_f(p) がWの全ての点pにおいて成り立つ。

命題８
Hom(f^(-1)(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。

これを証明せよ。

順像と逆像は環の層でも同様に定義され命題８が成り立つ。

>>106
訂正：
Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる　⇒ Vの点xに対して
F_f(x)の元を対応させる　

局所的にO_Yの切断から誘導 ⇒ 局所的にFの切断から誘導

X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
定義から、射: O_Y → f_*(O_X) が存在する。
命題８より、随伴射: f^(-1)(O_Y) → O_X が存在する。

GをO_X-加群の層とする。f_*(G)はf_*(O_X)-加群の層となる。
射: O_Y → f_*(O_X) により、これはO_Y-加群の層となる。
これをO_X-加群 Gの f による順像と呼び、同じ記号f_*(G)で表す。

FをO_Y-加群の層とする。f^(-1)(F)はf^(-1)(O_Y)-加群の層となる。
射: f^(-1)(O_Y) → O_X により、O_X はf^(-1)(O_Y)-加群となり、
f^(-1)(O_Y)上のテンソル積f^(-1)(F) (x) O_X　が定義される。
これをO_Y-加群 Fの f による逆像と呼び、f^*(F)と書く。

命題９
Hom(f^*(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。

これを証明せよ。

命題１０
X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
LをY上の可逆層とすると、f^*(L)も可逆層である。
対応は、L → f^*(L) は 準同型 Pic(Y) → Pic(X) を与える。

これを証明せよ。

ここで局所環についての基本事項を復習しておく。

命題１１(中山の補題)

Aを局所環、mをその極大イデアルとする。
Mを有限生成A-加群とする。
M = mM なら M = 0 である。

証明
M ≠ 0 と仮定する。
M は有限生成だからZornの補題より極大な部分加群 N が存在する。
L = M/N は 単純加群だから κ= A/m と同型である。
従って L ≠ mL 即ち L/mL = L (x) κ ≠ 0
M → L → 0 は完全だから、
M (x) κ→ L (x) κ → 0 も完全。
従って、M (x) κ ≠ 0
即ち、M ≠ mM
QED.

系１
NをM の部分加群とし、M = N + mM とする。
このとき、M = N となる。

これを証明せよ。

系２
M/mM = M (x) κ はκ上の有限次ベクトル空間である。
この基底の代表元x_1, ... ,x_n はM の生成元である。

これを証明せよ。

>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

命題１２
Xを局所環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。
Xの点xに対してm_xをO_xの極大イデアルとする。
sをLの大域切断とする。s_x のL_x/(m_x)L_x における像
をs(x)と書く。s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。

これを証明せよ。

つか嫉妬してる人間がいるな。

shit?

X, Yを局所環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
LをY上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。
sはf^(-1)(L)の大域切断tを誘導する。
t (x) 1 はf^*(L)の大域切断である。
これをf^(*)(s)と書く。

命題１３
xをXの点とする
s(f(x)) ≠ 0 なら f^(*)(s)(x) ≠ 0　である。

これを証明せよ。

命題１４
X, Yを局所環付き空間とする。
{U_i}をXの開被覆とし、各i に対して射 f_i: U_i → Y
が与えられていて、任意のi, j に対して
f_i | U_i ∩ U_j と f_j | U_i ∩ U_j が一致するとする。
このとき、射 f: X → Y で f|U_i = f_i となるものが一意に
存在する。

証明は自明だろう。

命題１５
Xを局所環付き空間とする。
LをX上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。
命題１２より s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。
これをUと置く。t をLの任意の大域切断とする。
Γ(U)の元 f で t_x = f_x s_x が　U の任意の点
で成り立つものが一意に存在する。

これを証明せよ。

上のfをt/s と書く。

kを体。P^r = Proj(k[x_0, ... x_r]) をk上の射影空間とする。
命題７よりΓ(P^r, O(1)) は S_1とk-加群として同型である。
従って、x_0, ... x_r は、可逆層 O(1) の大域切断である。
x_i(p) ≠ 0 となる p の集合は D+(x_i) である。
このことから、P^rの各点pにおけるO(1)のストークO(1)_pは
x_0, ... x_r の像により生成されることがわかる。
この事実を、O(1)は大域切断 x_0, ... x_r で生成されると言う。

Xをk上の局所環付き空間とする。すなわち、構造射 X → Spec(k)
が与えられているとする。
命題１からこれは、環準同型 k → Γ(X) が与えられていることと
同値である。

f: X → P^r をk上の局所環付き空間としての射とする。
命題１０より、f^*(O(1))は可逆層である。
U_i = f^(-1)(D+(x_i)) と置く。
命題１３より、U_i の任意の点 p で f^*(x_i)(p) ≠ 0 である。
即ち、f^*(x_0), ... , f^*(x_r) は f^*(O(1)) を生成する。

命題１６
Xをk上の局所環付き空間とする。LをX上の可逆層とする。
s_0, ... , s_r を L の大域切断で L を生成するものとする。
k-射 f: X → P^r で L = f^*(O(1)),
s_0 = f^*(x_0), ..., s_r = f^*(x_r) となるものが一意に
存在する。

証明
s_i(p) ≠ 0 となる p の集合を X_i と書く。
命題１５よりこれは、開集合であり、
任意の j に対して s_j/s_i は Γ(X_i) の元である。
一方、U_i = D+(x_i) は P^r のアフィン開集合で
Γ(U_i) = Spec(k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i]) である。
従って、x_j/x_i → s_j/s_i により
準同型 k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i] → Γ(X_i) が定まり、
命題１から射 X_i → U_i が定まる。
この射は、X_i ∩ X_j で一致する。従って命題１４より
射 X → P^r が定まる。残りは各自に負かす。
QED.

Aをk-代数とする。X = Spec(A)上の可逆層 L は準連接である。
従って、A-加群 M が存在して、M~ = L (同型) となる。
そこで、M~が可逆層となるようなA-加群Mの性質を調べる。

命題１７
局所環 A 上の有限生成射影加群 M は自由である。

証明
κ= A/m とおく。M/mM = M (x) κ はκ上の有限生成加群だから、
その基底の代表元はM の生成元である
(命題１１(中山の補題)の系２)。
従って 有限自由な L と完全列 L → M → 0 が存在し、
L (x) κ→ M (x) κが同型となるものが存在する。
L → M　の核をN とする。
0 → N → L → M → 0 は完全である。
Mは射影的だから、この完全列は分解する。
従って 0 → N (x) κ→ L (x) κ→ M (x) κ → 0 も分解する
完全列である。よって、N (x) κ = 0 となる。
NはLの直和因子だから、有限生成である。
中山の補題より、N = 0 となる。即ち、L と M は同型。
QED.

ところで、照明の最後についてるQED.って何？

命題１８
Aを環。MをA-加群とする。
任意の素イデアル p に対して, M_p = 0 なら、M = 0 である。

これを証明せよ。

命題１９
Aを環。f:M → N をA-加群の準同型とする。
f_p: M_p → N_p が任意の素イデアルに対して全射なら、
fも全射である。

これを証明せよ。

命題１９
有理数体上定義された楕円曲線はモジュラーである。

これを証明せよ。

>>126
訂正
命題１９⇒命題２０

>>123
証明終わりという意味。ラテン語の頭文字。
英語の辞書に載ってるよ。
そんなことより、証明、分かってるのか。

定義２
Aを環。MをA-加群とする。
有限自由なL_1, L_2で
L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在するとき、
Mを有限表示を持つ加群という。

命題２０
Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。
NをA-加群、pをAの素イデアルとする。
Hom(M, N)_p = Hom(M_p, N_p) が成り立つ。
ここで、Hom(M_p, N_p)はA_p-加群としてのHom

証明
N, p を固定する。
F(M) = Hom(M, N)_p
G(M) = Hom(M_p, N_p)
とおく。
F, G は加法的関手である。
射: F → G が存在する。
即ち、Hom(M, N)_p → Hom(M_p, N_p)
これは、f:M → N に、f_p: M_p → N_p を対応させるもの。
M が有限自由のときは、これは同型である。
Mが有限表示を持つから、A_pによるテンソル積が完全列を保存すること
(A_pの平坦性)と可換図式により、命題が成り立つ。
詳細は各自にまかす。
QED.

定義３
Aを環とし、MをA-加群とする。
任意のA-加群の列 N' → N → N'' に対して
これが完全であることと
N'(x)M → N(x)M → N''(x)M
が完全であることが同値となるとき、
Mを忠実平坦であるという。

命題２１
Aを環。MをA-加群とする。
以下は互いに同値である。
1) Mは忠実平坦である
2) Mは平坦で、N ≠ 0 なら N(x)M ≠ 0
3) Mは平坦で、M ≠ mM がAの任意の極大イデアルm
に対して成り立つ。

これを証明せよ。

命題２２
Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。
0 → G → F → M → 0 が完全で、
Fが有限生成なら、Gも有限生成である。

証明
有限自由なL_1, L_2で
L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在する

従って以下の可換図式が成り立つ。

　　L_1 → L_2 → M → 0
↓ 　　↓ 　↓
0 → G → F → M → 0

ここで、M → Mは恒等写像。
Snake lemma より Coker(L_1 → G) = Coker(L_2 → F)　(同型)
よって、Coker(L_1 → G)は有限生成。
Im(L_1 → G)も有限生成だから、Gも有限生成である。
QED.

命題２３
環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。
MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限表示を持てば、
MもA-加群として有限表示を持つ。

証明
M(x)B はがB-加群として有限生成だから、
Mの部分加群Nで有限生成で、N(x)B → M(x)B が同型と
なるものが存在する。BはA-加群として忠実平坦だから、
NはMと一致する。従ってMは有限生成。
よって有限自由なFと以下の完全列が存在する。
0 → G → F → M → 0

BはA-平坦だから、
0 → G(x)B → F(x)B → M(x)B → 0
は完全。M(x)BはB-加群として表示を持ち、
F(x)Bは有限生成だから、命題２２より
G(x)Bも有限生成である。BはA-加群として忠実平坦だから
最初に述べた方法と同様にGも有限生成である。
QED.

命題２４
有限生成射影加群は、有限表示を持つ。

これを証明せよ。

命題２５
BをA-代数で、BはA-加群として平坦とする。
Mを有限表示を持つA-加群とする。
NをA-加群とする。
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)が成り立つ。
ここで、Hom(M(x)B, N(x)B) はB-加群としてのHom

証明は、命題２０と同様。

命題２６
環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。
MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限生成射影加群
なら、MもA-加群として有限生成射影加群である。

証明
命題２４より、M(x)B は有限表示を持つ。
従って命題２３より、M は有限表示を持つ。
従って命題２５より、任意のA-加群Nに対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)となる。
任意の完全列　N → N' → 0　に対して、
N(x)B → N'(x)B → 0 も完全である。
M(x)Bは射影加群だから、
Hom(M(x)B, N(x)B) → Hom(M(x)B, N'(x)B) → 0 も完全。
従って、Hom(M, N)(x)B → Hom(M, N')(x)B → 0 も完全。
Bは忠実平坦だから、Hom(M, N) → Hom(M, N') → 0 も完全。
即ち、Mは射影加群である。
QED.

命題２７
Aを環。{f_i} をAの元の有限列で、単位イデアルAを
生成するとする。A_f_i の直和環をBとする。
BはA-加群として忠実平坦である。

証明
各A_f_iはA-平坦だから、BもA-平坦である。
仮定より、{D(f_i)} はSpec(A)の開被覆である。
従って、pをAの素イデアルとすると、
p はあるD(f_i) に含まれる。pA_f_i はA の素イデアル
である。これよりpB ≠ B が分かる。
命題２１より、BもA-忠実平坦である。
QED.

命題２８
Aを環、MをA-加群とする。
X = Spec(A)とおき、O_X-加群 M~ を考える。
M~が可逆層なら、Mは有限生成射影加群である。

証明。
M~が可逆層であるから、Spec(A)の開被覆 {D(f_i)}
で各M_f_iがA_f_iとA_f_i加群として同型なものがある。
M_f_iの直和 T を考える。 T = M (x) B である。
TはBとB-加群として同型だから、B-加群として
有限生成射影加群である。
命題２７より、BはA-加群として忠実平坦である。
従って、命題２６よりMは有限生成射影加群である。
QED.

>128
quantum electrodynamics.
電子をはじめ荷電粒子，電磁場からなるミクロな系を支配する力学体系を
量子電磁力学という.（中略）
しばしば英語の頭字をとってQEDと略称される(→･････).
［岩波 理化学辞典，第3版,岩波 (1971)］

量子電気力学 [文部省 学術用語集 物理学編(1954)]

命題１７より、階数１の有限生成射影加群の層化がSpec(A)上の可逆層
となることは、明らかである。
これと、命題２８より、階数１の有限生成射影加群と可逆層は、
同型を除けば、同じものと考えることが出来る。

命題１６と命題２８などから、我々の目的である
以下の定理が出ることは明らかだろう。
詳細は各自に任す。

主定理
kを体。Aをk上の(有限生成とは限らない)可換代数。
P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。
Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体,
Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で
階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって
いるもの全体と1対１に対応する。

>>141
上の定理のkは体でなくても環であればいい。
今までの証明を見ればkが体であることを、どこにも使って
ないことが分かるはずだ。

>>先生
乙！

TeX打ちでもするか

すでに知ってる人もいるだろうが、俺の種本を教えてあげよう。
命題１６の証明などは、HartshorneのAlegebraic Geometry,
命題２８の証明などは、BourbakiのCommutative Algebra(1-7).
O(1)の解釈などは、SerreのFACを参考にした。
SerreのLocal Algebraも中山の補題の証明に使った。
命題１は、Hartshorneにも載っているが、局所環付き空間
でなくスキームを扱っていたと思う。局所環付き空間であの命題を
述べたのはEGAかな。よく覚えてない。
命題１６もXはスキームでなく局所環付き空間で成り立つが、
これに気づいたのは、今回の証明を書いているときだ。
あと主定理自体は、あるオンラインの代数幾何入門からヒントを得た。
今は著者名と題名を思い出せない。

スキームではない環付き空間で
代数幾何的に重要だったりおもしろそうな例ってどんなのがありますか？

門外漢でわからないけど、
「A上の階数１の射影加群で階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子と
なっているもの全体と1対１に対応する」
っていうのは、
「A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する」
って言う意味でいい？
「A上の階数１の射影加群の同型類でA^(n+1)の直和因子で
代表されるもの全体と1対１に対応する」
というようにも読めるけど、そういう意味ではないよね？

>>145
代数幾何的に重要かどうかは知らないが、
例えば代数的でない複素多様体。

>>146
｢A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する｣
という意味。
例えば、Aが体の場合を考えてみれば分かる。
この場合、階数１の直和因子とは、１次元の線形部分空間のことだ。

Milne先生のところ？＞オンラインの代数幾何講義

>>149
違う。ロシアまたは東欧系の名前の数学者だった。

命題１６により可逆層がなぜ代数幾何で重要かがわかるだろう。
非特異代数多様体では可逆層と因子とは線形同値を除けば同じ
ものと考えていい（証明せよ）。この見方からすると、O(1)には
射影空間の超平面が対応する。O(1)の逆像には、超平面の逆像が
対応するはずだが、超平面の逆像の定義は？　一般に因子の逆像とは何か？

命題１６でXをスキームでなく局所環付き空間として述べたのは、
そのほうが証明の本質がわかりやすいから。より一般化された問題の
ほうが、その本質がよく分かる場合が多い。問題が難しかったら、
その問題を一般化せよというのは、よく言われる。

命題２８の証明って、Bourbakiでしか見たことない。
基本的な命題なのに。Bourbakiの可換代数は、非常にいい。
Atiyah-MacDonaldの本は、Bourbakiのエッセンスをまとめたものだろう。

>>6 の続きって何なんでしょうか？
代数空間とか代数スタックのことですか？

Hartshorneの本の演習問題をここで解かないか？

オンラインで、一章の解答を見た記憶がある。

俺も見た。だから2章から行こう。

>>156
リンク希望

2ch発のHartshorne解答集ができたらおもしろいね。

大好きか？代数幾何

死ぬ前に１度は勉強してみたい。

今日は代数幾何な気分でつ。

２次曲線age

モジェライ理論age

シツモソです。Ｋを体とするときＫ上有限生成な代数群スキームのなす圏は
アーベル圏でしょうか？十分入射的でしょうか？もしＹＥＳなら何よめばわかるでしょうか？
ＮＯならどんな反例（Cokが有限生成代数群スキームにならない例とか）が
あるでしょう？しってるひといたら情報ください。

晒しあげ

>>164
おいおい、abelならadditiveだぞ。
二つの射をどうやって足すんだ？

>>166
おまい馬鹿？？

馬鹿はオマエ

ｗｗｗｗｗｗｗ

根拠の無いレスを繰り返すのはお止めなさい

はい

>>166
ああ、すいません。有限生成な可換代数群スキームの圏のまちがいです。
こいつアーベル圏でしょうか？KernelについてはとじてるんですがCokernelが
よくわかりません。いくつかの特殊な場合に成立するのはわかったんですが
一般の場合成立するのかも反例があるのかもわかりまへん。おながいします。

直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
フランス語だが。

>>173
＞群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
　
ダウンロードできるんですか･･･しかし膨大な量になりそうな･･･
　
＞直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
＞詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
＞書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
　
連結成分が固有とかいう条件つけてもだめすか？

>>174
SGAはダウンロードしなくてもオンラインで見れるよ。

いい加減SGAは卒業しろよ・・。

ここのみんなで
ttp://www.math.leidenuniv.nl/~edix/public_html_rennes/sgahtml/
これに参加しないか？

スルー

参加するーってことかな

代数幾何的素数判定

>>180
知ってる言葉並べただけだろ

では、HartshorneのAlgebraic Geometry(Springer-Verlag, 1977)
の演習問題を解いてくれ。２章からいく。
ほとんど自明な問題は除く。

II.1.3.(b)
以下の条件を満たすX,F,G,と射F → G 及びXの開集合U の例を示せ。
F, G を位相空間X上の層。F → G を層としての全射とする。
開集合U があって、F(U) → G(U) は全射ではない。

>>177
そのプロジェクトって少しは進展してるのかな？
全然、結果を見たことがないんだが。

プロジェクトSEX

>>184
死ねアホ

>> 182

X = C（複素数体）
F = G = 正則関数の層
φ：F → G：f → f'（導関数）

とする。

φは層として全射（ローカルには原始関数は必ず存在するから）。
だが、U = C - {0} とすると、φ(U)：F(U)→G(U) は全射でない。
たとえば f∈G、f(z) = 1/z を考えよ。

>>186
偶然だな。俺は１日考えて同じ例を思いついた。

II.1.11
{F_i} を ネーター空間X上での層のdirect system とする。
前層 U → lim F_i(U) は層であることを示せ。

>>188

これにもチャレンジしてみますた。

＜層の一意性条件＞
s、t ∈ dirlimit F_i(U)、U の開被覆を{U_α}とし、
∀α s|U_α = t|U_αと仮定する。
（以下、sやtの適当な代表元を「s_i」「t_i」等で表す）

この仮定は、正確に書くと

∀α ∃i(α) s_i(α)|U_α = t_i(α)|U_α （「i(α) 」はαに依存する添え字）。

今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α)の最大値をj と
おくと、この j に対して

∀α s_j|U_α = t_j|U_α。

よって、F_j が層であることから、結局グローバルにs = t。

（続き）

＜層の貼り合わせ条件＞
U の開被覆を{U_α}、{s(α)} ∈ Πdirlimit F_i(U_α)とし、

∀α, β s(α)|U_α∩U_β = s(β)|U_α∩U_βと仮定する。

この仮定は、正確に書くと

∀α, β ∃i(α, β) s(α)_i(α, β)|U_α∩U_β = s(β)_i(α, β)|U_α∩U_β。

今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αとβをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α, β)の
最大値をj とおくと、この j に対して

∀α, β s(α)_j|U_α∩U_β = s(β)_j|U_α∩U_β。

よって、F_j が層であることから、s_j | U_α = s(α)_j をみたすグローバルな
貼り合わせ s_j ∈ F_j(U) が存在する。このs_j を代表元とする
s ∈ dirlimit F_i(U) が、明らかに最初の {s(α)} の貼り合わせとなる。

以上。間違いあったら指摘も求む。

しかし、なんか疲れた。こういう問題はちょっとつまんないかも...

乙

今読み直して気付いたが、i(α)とかの「最大値」ってのはヘンだな。
「上界の1つ」と読み替えてくれ。

Hartshorneの演習問題
II.1.16(b)
Fを位相空間X上の層とする。任意の開集合 U ⊃ V
に対して、制限写像: F(U) → F(V) が全射のときFを軟弱(flasque)と言う。
0 → F' → F → F'' → 0 を層の完全列とする。
F' が軟弱なら、任意の開集合 U に対して、
0 → F'(U) → F(U) → F''(U) → 0 が完全であることを示せ。

とりびある

>>194
そりゃ正しい命題はすべてトリビアルだ。
それじゃ演習問題にならん。

>>193
ヒントをあげよう。F → F'' は全射だから、
局所的にF(V) → F''(V) は全射である。
従って F"(U) の任意の切断 s に対して、
Ｕの空でない開部分集合 V と、その上の F の切断 t が
存在して、t の像が s|V となる。V ≠ U なら、
F'が軟弱だから、t の定義域 V を真に拡大できることを示す。
次に、Zornの補題を使って V = U と出来ることを示せ。

>>193
またまたチャレンジ！ なんかクセになってきた。
本見ずに考えたら半日くらいかかってしまったが・・・。
>>196 のヒントのやりかたとはちょっと違うかも。

II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F'(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および c_ij が「チェインルール」 c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすこと
が容易にわかる。
今、{c_i} ∈ ΠF'(U_i) を次のように(超限)帰納的に定義する。
・「最初の元」0の値：
　c_0 := 任意の元 ∈ F'(U_0)。
・ i の「1つ後の元」i'（= min{j | i <j})の値：
　c_i + c_ii' ∈ F'(U_i∩U_i') の定義集合を U_i' に拡大したものを
c_i' ∈ F'(U_i')とする。F' が軟弱であることからこのような c_i' が
常にとれる。
この {c_i} が、∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たすことが容易に
わかる（チェインルールを使う）。
この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。

以上。

>>197の証明は取り下げる。

「(超限)帰納的に」という部分、あまり深く考えずに、超限帰納法からこういう
議論ができるかと思って書いたがいたが、やっぱヘンだ。I が可算なら
この証明でOKだが・・・。

>>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。
II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。

ここで、
∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*)
を超限帰納法で示す。
k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して
∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j')
が成り立つと仮定する。
今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、
制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。
F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。
この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、
j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、
j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。
よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、
結局 (*) が示された。

この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。

以上。

>>198
可算の場合だけで実用上は十分だろうな。
可算基を持たない位相空間というのは、代数幾何（に限らず他の数学でも）
ではまず扱わない。

話は変わるが、俺はHartshorneの講義を聞いたことがある。
コホモロジーがどうとか言ってた。講義の内容は
さっぱり解らなかったが。w
あれは、1973年頃だったと思う。
長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが
俺の印象だった。俺は修士課程のほやほやだった。
歳がばれるな。

グーグル的代数幾何学

>>201

>長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが

「ヒッピーみたい」というより真性ヒッピーかもね。
バークレー（≒ヒッピー発祥の地？）の先生だし。

>>203
Grothendieckに影響されたのかもしれない。
俺はあの当時、彼のことは知らなかった。　同僚に彼はヒッピーみたいだな
と言ったら、奴は、あの人はハートショーンといって有名な数学者
なんだよと教えてくれた。ｗ
ハーツホーンが正しいと知ったのはだいぶ後だ。

うｙｆ

HartshorneのAlgebraic Geometryを持っている奴って、このスレで
どのくらいいるんだ？ >>197は持ってるのかな？

Grothendieckってその頃、糞真面目に数学やってたころなんですけど。

>>207
あの頃はサバイバル運動なんかをしていて、数学から足を洗った頃
じゃないか？
それは別として、Grothendieckの考え方は、現役時代も今も変わって
ないと思うが。反戦論者で自然志向。裸足で講義していた。

>>206

持ってる

>>209
じゃあ、II.1.21(Some examples of sheaves on varieties)を
解いてくれ。君だけでなく、誰でもいい。
ついでに本を持ってない人のために問題を翻訳してくれるとなおいい。

OK。じゃ、とりあえず問題翻訳するぞ。

II.1.21 (Some examples of sheaves on varieties)

Xを代数閉体k上の（第I章の意味での）代数多様体、O_X をX上の正則関数の
層（1.0.1）とする。

(a) Y を X の閉集合とする。各開集合 U⊆X について、Y∩U上のすべての点でゼロ
になる正則関数からなる、環O_X(U)のイデアルをI_Y(U)とする。UにI_Y(U)を対応
させる前層は層になることを示せ。この層をYのイデアル層と呼ぶ。この層は
環の層O_Xの部分層である。

(b) Yを部分多様体とすると、商層O_X/I_Yはi_*(O_Y)（訳注：iによるO_Yのpull-back）
と同型であることを示せ。ここでi: Y → X は包含写像、O_Y はY上の正則関数の層
とする。

---疲れたので残りはまた後で

とりびある

>>211
有難う。

II.1.21 (a), (b) の両方を一挙に証明しよう。
開集合 U⊆X 上の正則関数 f に対して、f の U ∩ Y への
制限 f|U ∩ Y を対応させることにより
射 φ: O_X → i_*(O_Y) が得られる。
Xの各点での両者のストークにおいて、これは明らかに全射である。
従ってφは全射である。
φの核が I_Y であることは明らか。
従って、O_X/I_Yはi_*(O_Y) に同型である。

>>211
問題を解いて悪かったかな。
II.1.21 (c),(d),(e)の翻訳と解答はまかせた。

II.Ex.1.21
(c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします.
このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します.
ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です.
ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像
Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい.
これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます.
(それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ)

(d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします.
κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします.
自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい.
商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい.
ここで,
I_P は 群 K/O_P を,
i_P(I_P) で 点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を
表します.
(訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです)

(e) 最後に, (d) の場合の列
0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0
が完全であることを示しなさい.
(これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です.
GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.)

>>215
とりあえず (c) の解答。
まず、O_P と O_Q は k （定数層）と同型であることに注意する。
O_X → F を次で定義する。
X 上の開集合 U に対して、O_X(U) → F(U)：f → (f(P), f(Q))。
これの kernerl がI_Y(U)になることは明らか。あとは
∀x ∈ X について stalk 上の O_R → F_R が全射になることを示せばよい。
x = P（または Q）の場合、F_x = k (+) 0 (または 0 (+) k) = k（同型）であり、
O_x → F_x は正則関数 f にxでの値 f(x) を対応させる写像だから、明らかに全射。
x ≠P, Q の場合、F_x = 0 だからO_x → F_xは明らかに全射。これで
0→I_Y→O_X→F→0 が層としての完全列であることが示せた。
Γ(X, O_X)→Γ(X, F) が全射でないことは、Γ(X, O_X) = k、Γ(X, F) = k (+) k
に注意すれば明らか。 以上

>>216

スマソ。途中の「O_R → F_R」は「O_x → F_x」の間違い。

●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●● http://natto.2ch.net/mass/kako/1011/10115/1011522150.html
84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R
>>78
たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴
したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに
ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」
をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。

87 名前： 86 投稿日： 02/01/31 04:04 ID:7TpZZIy4
>>84
調べ直したが、「恋のチカラ」はデザイナーの話だね。
その番組には俺のネタも多数含まれているよ。
主役の「藤子」も読みは「ふじこ」ではなく「とうこ」で、
去年のHNK大河ドラマ「北条時宗」の水軍の娘と同じ発音だね。

>>55
>人によっては「脅迫」すら感じとるようだ。
デザイナーの話の「恋のチカラ」が始まったのは2002年1月10日だが、
その次の日の1月11日に「グラフィックデザイン第一人者　田中一光氏死去」というニュースがあった。
死因は急性心不全で、死亡は偶然だろうけど、その日（2002/01/11）夜のＴＶ朝日「トリック２」は
「毎年1月11日になると誰かが死ぬ」という話だった。

>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

>>215
次に (d) の解答。
「自然な単射 O→κ が存在すること」は自明なので省略。
層準同型 κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) を次で定義する。
X の開集合 U に対して
κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
f → {f~}_P∈U（f~はf の K/O_P での類を表す）。
これが well-defined であること、つまり高々有限個の P∈U を除いて f~ = 0
になることは、有理関数 f が高々有限個の点を除いて正則であることからい
える。また、kernel がO(U)になることも定義から明らか。
さらにこの層準同型は、各点 P∈X の茎上でみると、
κ_P = K → Σ_{P∈X} i_P(I_P) = K/O_P
f → f~
となっており、これは明らかに全射なので、元の層準同型κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
も層として全射。以上からκ/O がΣ_{P∈X} i_P(I_P)と同型であることが示された。

>>215
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
m a_j
g(t) = Σ --- (a_j ∈ k)
j=1 t^k
かつ
f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）

スマソ。分数をかいたがヘンになった。修正版
---
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
g(t) = Σ a_j/t^j (j = 1, ... m, a_j ∈ k)
かつ f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）

（222の続き）(e) の証明：
Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O) が全射であることを示せばよい。
以下、(d)によりΓ(X,κ/O) = Σ_{P∈X} K/O_P とみなす。
{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P をとる（f_P∈K、(f_P)~ はK/O_Pにおけるその類）。
(f_P)~ ≠ 0 なる（つまりf_Pが正則でない）点を P_1, P_2, ... , P_nとする。
P_1, P_2, ... , P_n のいずれとも異なる点Qを勝手に1つとり、以下、
U= X - {Q} =~ A^1 (1次元affine空間）=~ k で考える。
また、O_P_i ⊂ K = k(t) （t：不定元）と見なし、P_1, P_2, ... , P_n に対応
する k の元を p_1, p_2, ... , p_nとする。
いま、補題から、各 f_P_i に対して、
g_i(t) = Σa_{i,j}/(t - p_i)^j (j = 1, ... m_i, a_{i,j} ∈ k)
f_P_i ~ g_i mod O_P_i
なる g_i が存在する。
h := g_1 + g_2 + ... + g_n とおけば、各 i について g_i 以外は P_i で正則だから、h ~ g_i ~ f_P_i mod O_P_i。したがって、この h ∈K は、
元の{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P の逆像となっている。
以上

II.Ex.2.16はどうかな？

>>224
とりあえず翻訳。
II. Ex. 2.16
X をスキーム、f ∈ Γ(X, O_X) とし、X の部分集合 X_f を、f の x ∈ X での茎
f_x が局所環 O_x の極大イデアル m_x に含まれないような点 x ∈ X 全体とする。
(a) U = Spec B を X の開「アフィン」サブスキーム、f~ = B = Γ(U, O_X|U) を
f の制限とするとき、U ∩ X_f = D(f~) となることを示せ。また、これから X_f
が X の開集合であることを示せ。
(b) X が準コンパクト(quasi-comapct)であると仮定する。A = Γ(X, O_X) とし、
a∈AをそのX_fへの制限が0になるような元とする。ある n>0 が存在して
(f^n) a = 0 となることを示せ（ヒント：Xの開アフィン被覆を使え）。
(c)いま、各 U_i∩U_j が準コンパクトとなるような有限開アフィン被覆U_iを、
X が持つと仮定する（この仮定はたとえばsp(X)がネーター空間なら満たされる）。
b∈Γ(X_f, O_X_f) とする。ある n>0 が存在して (f^n)b が A のある元の制限と
なることを示せ。
(d) (c)の仮定の下で、Γ(X_f, O_X_f) =~ A_f となることを示せ。

とりびある

もちろん問題が解けるようになることは大事なことであるが、
それ以上に幾何学的な解釈が与えられるようになる方が重要。

スマソ。(a) の「f~ = B = ...」は 「f~ ∈ B = ...」の間違い。
まず(a)の解答。定義から、
U ∩ X_f = {p ∈ Spec B| f_p ≠ 0 mod pB_p}、
D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
だから、g ∈ B、p ∈ Spec B について g_p ∈ pB_p ⇔ g∈p であることを示せ
ばよい。定義に戻れば、g_p ∈ pB_p ⇔ ∃s∈B-p ∃h∈p sg = h であるが、
pが素イデアルであることから、これは g∈p と同値。

間違い多くてゴメン。
> D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
は、正しくは
D(f~) = {p ∈ Spec B| f が p の元でない}
ね。

>>225
(a)X_fが開集合であることは、Xが局所環付き空間でも成り立つな。

釣り師

一匹も釣れなかった>>231を晒し上げ

>>230の間違い・・ギャ〜！

次に(b)の解答。
X が準コンパクトなのでXの有限開アフィン被覆U_i = Spec B_iをとれる。
a|U_i = b_i、f|U_i = f とおく。(a) および a|X_f = 0 より、
b_i = 0 in B_i_g。B_i_g の定義から ∃n_i>0 (g_i^n) b_i = 0。
よって、n := max{n_i} とすると各U_i上で((f^n) a)| U_i = 0。
よって、(f^n) a = 0 in A。以上

またナンセンスなことを・・。

ああ、また間違い...

「f|Ui = f」は「f|U_i = g_i」ね。

そんなことやっていたら、読了に半年以上かかっちゃうよ。

>>230
だね。証明はこれでよい？
x ∈ X_f とする。f_x ∈ O_x - m_x だから f_x は O_x で可逆。よって
∃g_x∈O_x - m_x s.t. f_x g_x = 1。これは x の近傍 V と g_x の代表元
g ∈ O_X(V) をとって (f|V) g = 1 とできることを意味する。
よって、∀y∈V f_y は可逆、つまりf_y ∈ O_y - m_y、つまり V ⊂ X_f。
よってX_fは開集合。

>>238
OK

定数層って何なんですか？

>>240
Aをアーベル群とする。
Aに離散位相を入れる。
位相空間 X 上の A に値をとる連続関数のなす層を
Aに値をとる定数層という。
これは、A に値をとる関数で局所的に定数となるもののなす層と
言ってもいい。

>>240
任意の開集合 U に対して A を対応させる前層を作り、それを
層化するって考えてもいいね。結局241と同じものになるけど。

>>239の晒し上げ

大好きで〜す！！代数幾何

2ch は突発的に高度な話題が展開されるから、侮れない。
少し前の複素解析のような雰囲気だ。

このスレのどこが高度なんだ？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

さいと

ネーター環って何？

>>241
ｻﾝｸｽです。Aに離散位相を入れるところがﾐｿですね。

あと、可逆層というのが解らないのですが･･･。

>>249
>>84あたりから説明してある。
読んでみて、それでも解らないときは、どこがわからないか質問してくれ。

シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(R→Hom(specR,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？

訂正です
シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(A→Hom(specA,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？

>>250
いろいろとすみません。可逆層はだいたい分かりました。

実は、以前から分からなくて困っていることがあります。
最近あまり読んでいないのですが、motivic cohomology
に関する論文などを見ておりますと、H(X,Z(n))やH(X,Q(n))
などの形のコホモロジーが頻繁に出てきます。
ここでXはscheme、Zは整数環、Qは有理数体です。
実は、この中のｎの意味が分かりません。どうやら、Z(n)やQ(n)
は、それぞれZ(1)、Q(1)をｎ回テンソル積したものらしいです。
Z(1)やQ(1)などはいったい何を表しているのでしょうか。
説明もなしにいきなり出てくるものですから･･･。
よろしければご教示よろしくお願いします。

>>253
手元のフーズモラー「ファイバー束」によると（p.183）
> 成分が Ｆ にある n × n 行列からなる多元環に記号 Ｆ(n) を用いる。
とあるね。
要するに M_n(Ｆ) のことか。

>>254
ありがとうございます。
Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました。
(n)というのはTate Twistと呼ばれるもので、どうやらZ(k)=
(SpecZ,id,k)と表されるTate Objectのことらしいです。
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/vol-08/04.pdf
の中で定義が記されていますが、Chow Correspondenceによるもので
どうも分かりにくいです。もっと単純な説明はないものか･･･。

>>252
EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
Mumfordの"Lectures on Curves on an Algebraic Surface"も
いいかもしれない。はずしてたらスマン。

因みに、それがFully-faithfullな埋め込みであることを誰か証明
してくれないかな。難しくないよ。

>>252
もっといいのがあった。
http://www.refuter.com/max/mathtexts.php

ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).

グラタンディックのディセントage

＞定数層って何なんですか？
＞可逆層というのが解らないのですが･･･。
＞motivic cohomology
＞に関する論文などを見ておりますと
＞Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました

ネタですか？なんかバランス悪すぎません？

>>259
ネタというより、probe かな？
ここのleader の知識を試すみたいな。

>>259
それおれもおもた。

で II.Ex.2.16 (c) (d) の解答は？
197でなくても誰でもいいでしょ？

>>260
当人ですか？わざとらしすぎて>>255にもマジレスしていいのやら
悪いのやら・・・

>>262
197だ。II. Ex.2.16 (c) の解答。
(a) より、各 U_i = Spec B_i 上で、
b|U_i∩X_f = c_i/(f|U_i∩X_f)^m_i, c_i∈B
とかける。よって、iによらない十分大きいmをとって
d_i := (f|U_i)^(m - m_i) * c_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(d_i - d_j)|U_i∩U_j∩X_f = 0。
ここで、U_i∩U_j を X と考えて (b) を適用すると、
(f^l_i_j) * (d_i - d_j)|U_i∩U_j = 0
となる l_i_j が各 (i, j)について存在する。
よってi, j によらない十分大きい l をとって
e_i := (f|U_i)^l * d_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(e_i - e_j)|U_i∩U_j = 0。
よって{e_i} はグローバルに貼り合わせることができ、
それを e∈Γ(X, O_X) = Aとし、さらにn := m + l とすれば
e | X_f = (f^n) * b
となる。以上

まあ他人を試すようなマネするような香具師にろくな香具師はいないわけで･･･

>>262
最後、II. Ex.2.16 (d) の解答。
f|X_f は Γ(X_f, O_X) で可逆だから、A→A_f のuniversal property より
（適当な図式が可換になる）A_f → Γ(X_f, O_X) が存在する。
A_f → Γ(X_f, O_X) が単射であることが(b)より、全射であること
が(c)よりいえる。
以上

有難う。
II. Ex.2.17 に行こうか。

勝手に行ってろ。

>>267
OK。とりあえず翻訳
II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件）
(a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、
各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。
このとき f は同型であることを示せ。
(b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が
存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成
する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。

>>269
真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！
これからは位相空間の時代。
とくに整係数ホモロジ−なんかがヤバイ。

もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。

そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？
開集合ってなんだよ！！！
ぜんぜん開いてねーじゃん！！

晒しあげ

しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！
そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！
するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。

離散位相

ロベ−グ積分はいい線いっていると思う。
しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。
そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。

>>275
何もかもが開いている香具師だろ？
それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。
たとえば良くある問題

（・∀・）は開集合であることを示せ。

[新理論による解答]
すべての集合は開集合である。
とくに（・∀・）も開集合である　　u.e.d

かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！
どこか問題ある？？

すると

開集合＝閉集合にならないか？

矛盾か？

明らかに矛盾だな。
ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。
だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。

少し分かってきた。
俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。

まだしっくり来ないな＞開集合
S田先生に質問してきまつ。
でも、この人滅多に見ないんだよな・・。

すべての図形は位相空間である。

↑は正しいの？

正確には「目に見える図形」だな・・。
トーラスとかは目に見えない図形だけど、
位相空間になるらしいからな。

オマコンボール

積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？

ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、

>>256-257
＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).
　
フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が
いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので
英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。
希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。
関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが
なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。
うるおぼえスマソ。

>>286
残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に
やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は
いないだろう。

>>287
＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
　
そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。
で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。

ぜんぜん違う。
外に出て頭冷やして来い。
これこそ真の「外出」だな（爆笑）。

>>289
pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？

>>288
保つと思う。自信は無い。ｗ

A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。
Fを問題の関手とすると、
F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。
ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。
一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは
知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ

難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。
遠くの美人より身近の女だ。

命題が偽なので解けません。

>>293
どんな反例があるの？

反例1
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹
反例2
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ
反例3
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ

>>286
"The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197
のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。
漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか
が書いてあるぞ。

>>296
ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。
と自分をあまやかしてみるてすと。

Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答：
仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。
付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。
... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？

続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答：
(b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、
φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に
{g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。
各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。
また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x
とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が
アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合
D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の
条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり
X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で
Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射
に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、
よってXはアフィン。以上。

>>298
いいと思う。

前に戻ってHartshorn II Ex. 2.8と行こう。

>>301
とりあえず翻訳
Hartshorn II Ex. 2.8.
Xをスキームとする。任意の点 x∈Xに対して、Xのxでの「ザリスキ接空間T_x」を、
k(x)-ベクトル空間 m_x/m_x^2の双対空間と定義する。今、Xがk上のスキームで
あるとし、k[ε]/ε^2を k 上"ring of dual numbers"とする。k-morphism
Spec k[ε]/ε^2 → X をひとつ与えることは、k上の「有理点」 x ∈X（つまり
k(x) = k なる点）をひとつとT_xの元をひとつ与えることと同等であることを示せ。

ところで以前>>199に書いた>>193の証明だが、超限帰納法とか鬱陶しいもん
使わずにもっと簡潔にできることに気付いた（もちろん選択公理は暗に使っ
てるが）。

>>193 Hartshorneの演習問題 II.1.16(b)の解答（再修正版）
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃U の開被覆 {U_i}(i∈I) ∃t_i∈F(U_i) s.t. t_i → s|U_i。
任意のi, j に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_ii = 0, c_ij = -c_ji, c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすことが容易にわかる。
いま、0∈Iをひとつとって固定する。F' が軟弱だから、各c_0i∈F'(U_0∩Ui)を
c_i∈F'(U_i)に延長することができる。この{c_i}は、
∀ i, j c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j)
を満たしていることが容易にわかる。
{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、
これが求めるs の逆像となる。
以上。

このスレむちゃくちゃだな・・。

ベクトルは大切に。

>>304 このスレむちゃくちゃだな・・。

は、W不 ◆v.V7zKGUME。
語尾の「・・。」でわかる。
きちんと名乗るように。じゃないと無視できないんで。

>>284
確かTamme" Introduction to etale cohomology" ( Springer) に載っていたはず。
発想法だけなら、永田らの「抽象代数幾何」でも得られる。

>>306
ハズレ

煽っているわけではない。ただ「激しい」という意味で言っただけ。

確かに、２ちゃんらしからぬ良スレですね。

W不君は数学の才能ないみたいだから諦めた方がいいな。

そもそもリアルでは数学をやっていない気がする。

>>311
胴衣。すくなくともM2はありえない。

>>288
>で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。

pull backとprojective limitを保つのは、定義から明らか。
スキームのprojective limitが必ず存在するかどうかは、知らない。

>>313
以下のようにしてsch/Rがprojective limitが構成できると思うんですが
どうでしょう？
　
Π=(Xi,πij)がprojective system、X=proj.limXi (ただし位相空間の圏におけるprojective limit)
とおく。πi:X→Xiを(位相空間の圏の)cannonical projectionとする。
πi^*(O_{X_i})はX上のR代数の層のinductive systemになる。このinductive systemの
inductive limitをO_Xとおく。(前層のinductive limitの層化が層のinductive limitになる。)
　
でたぶん(X,O_X)はΠのprojective limitになってると思うんですが。もひとつ自信がありません。
どうでしょう？

どうでしょう？

>>314
無条件では成り立たないと思う。
i ≦ j のとき X_j → X_i がアフィン射なら存在する(と思う)。
この場合、任意の添え字 0 を固定して S = X_0 とおく。
0 ≦ i のとき (f_i_0)*(O_X_i)を考える。
これは、f_i_0 がアフィン射だから、準連接なO_S-algebra の層である。
従って、(f_i_0)*(O_X_i) の帰納的極限 A~ も準連接な
O_S-algebra の層となる。
従って、スキーム X とアフィン射 X → S が存在して、
O_X = A~ (同型)となる。この X が　proj.lim X_i である（と思う）。
詳しくはEGA IV (4) に書いてある。

>>302
悪いが先に解答する。
k上の有理点 x ∈X と T_xの元 ψ が与えれたとする。
O_x の元は、a + t の形に一意に書ける。ここで、a は k の元で
t　は m_x の 元。そこで、f(a + t) = a + ψ(t mod m_x)ε と置く。
f が O_x から k[ε]/ε^2　への局所環のk-準同型を与えることは
簡単な計算で解る(ε^2 = 0 を使う)。
このfにより Spec k[ε]/ε^2 → X　が定まる。
逆は、もっと簡単。

Birger Iversen

Hartshorn II Ex. 2.3.

スキーム X は任意の開集合 U に対して, O_X(U) が0以外の
ベキ零元を持たないとき、被約と呼ばれる。

(a) スキーム X が被約であるための必要十分な条件は、
任意の点 x で O_xが 0 以外のベキ零元を持たないことである。

(b) X をスキームとする。前層 U → O_X(U)_red から層化により
得られる層を、(O_X)_red と書く。ここで、環 A に対してA_red
は、A/nil(A) を表す。nil(A) は A のベキ零元イデアル。
(X, (O_X)_red) がスキームであることを示せ。
これを、スキーム X に付随する被約スキームと呼び、X_red と書く。
射 X_red → X が存在し、これは、sp(X_red) と sp(X) の位相同型を
引き起こすことを示せ。ここでsp(X) は X を位相空間と考えたもの。

(c) X →　Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。
X →　Y_red が一意に存在し、X →　Y は
X →　Y_red → Y と分解される。

ここで俺が問題を出す。
X を複素多様体とする。
X は局所環付き空間と見なせる。
さらに、標準的射 X → Spec(C) が存在するから、
C上の局所環付き空間と見なせる。
ここで、C は複素数体。

X と Y を複素多様体とする。
f: X → Y をC上の局所環付き空間としての射とする。
f は複素多様体としての射、即ち解析写像とみなせることを示せ。

>>320
それ正しいのか？

>>321
さあどうかな。教えないよ。
間違っていると思うなら反例を示せ。

Hartshorn II Ex. 2.13.
位相空間の任意の開被覆が有限部分被覆を持つとき準コンパクトという。
位相空間 X の閉集合の任意の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... に対して
整数 r が存在して、F_r = F_(r+1) = ... となるとき
X をネーター空間という。

(a)　位相空間がネーター空間であるためには、任意の開集合が
準コンパクトであることが必要十分であることを示せ。

(b) X がアフィンスキームなら sp(X) は準コンパクトであることを
示せ。X がアフィンスキームで sp(X) がネーター空間でない例を
示せ。

(c) A がネーター環なら、sp(Spec(A))はネーター空間であることを
示せ。

(d) sp(Spec(A))はネーター空間だが、A はネーター環でないような
環 A の例を示せ。

>>323
いい加減にして下さい。

>>322
解答を教えて下さい。

>>324
>>323を解いたら(どれか一つでいい)、>>322の解答を教えてあげよう。

>>316
>>314の証明まちがってますか？

試してみるか
(d) k[x_1,x_2,･･･]/(x_1^2,x_2^2,･･･)

書き間違い
k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2

>>325
じゃ(c)の解答

閉集合の減少列をとる。
そのラジカルをとるとイデアルの増大列が出来る。
この増大列は有限で止まるので、それが定義する閉集合を
考えれば証明おわり。

>>323
Hartshorn II Ex. 2.13.
(c) の解答
sp(Spec(A))の閉集合の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... をとる.
F_i = V(I_i) (I_i は A のイデアル) とかける(∀i).
V(I_1) ⊃ V(I_2) ⊃ ... から
昇列 I_1 ⊂ I_2 ⊂ ... がいえ, A がネーター環であるから
整数 r>0 が存在して I_i = I_r (∀i>r) が成立.
よって F_r=V(I_r)=V(I_i)=F_i (∀i>r) となるから
sp(Spec(A)) はネーター空間である.

>>326
>>314はそもそも完全な証明でないでしょ。
Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？

Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？
Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？
Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？

333ｹﾞｯﾂ!

>>331
なるだろうなとおもってたんですが。なりそうにないですか？

>>334
頭冷やして来い。

>>320の解答
ψを f に付随する射 O_Y → f_*(O_X) とする。
x を X の点とし、f(x) = y とおく。
U を y の開近傍とする。h を O_Y(U) の元とする。
ψ(h) はO_X(f^(-1)(U)) の元となる。
ψが誘導する局所環の C-準同型 O_y → O_x は
剰余体の準同型 C(y) → C(x) を引き起こすが、
C(x) = C(y) = C だから、これは C の恒等写像である。
h の y における芽 h_y の剰余類は、h(y) であるから、
h(y) = ψ(h)(x) となる。即ち、hf = ψ(h) となる。
これから、h として局所座標関数 y_i をとれば
f のi_成分 f_i = (y_i)f が正則であることが解る。
即ち f は正則である。
証明終

おまえら、もっとまともな議論しませんか。
教科書に書いてある事はそれを見ればよいのでは？

>>328
k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2 が Hartshorne II Ex. 2.13.(d)
を満たすことの証明は？

いいかげんにしろよボケ。算数だろがそんなもん。

>>337
Harshorneには解答が書いてないんだけど。

>>339
念のためだよ。勘に頼るだけで証明出来ない人もいるんでね。

Harshorneの解答ぐらいどっかに転がってないかな？

>>338
ヒント
(i) Specを求めよ
(ii) イデアルの無限昇鎖を構成せよ

>>342
俺の知る限りネットにはI章の解答しかない。

いくらなんでも>>328さんが証明できないとは思えないけど

>>345
誰でもいいから証明してみてくれ。

宿題でもでたのか？

R=k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2としてx_iの類をr_iとする。
またp={f∈R|fの定数項=0}とおく。R/p≡だから極大イデアル。
逆にqを任意の真の素イデアルとするでf∈pをとるときf^2=0∈qだからf∈q。
∴p⊂q。pは極大イデアルなのでp=q。つまりspecRは一点。当然noether sp.
イデアル列(r_1)⊂(r_1,r_2)⊂･･･は真の無限増大列なのでRはnotherでない。
　
いくらなんでもちょっと他人を馬鹿にしすぎだと思う。

面白い実例・反例のための伏線であることに期待

>>338
簡単。
R = k[x_1,x_2,･･･]、m = (x_1,x_2,･･･) とおく。
R/m = k だから、m は極大イデアル。
よって Spec(R/m^2) = 一点（一般論からでる）。
m^2 ⊂ (x_1) + m^2 ⊂ (x_1, x_2) + m^2 ⊂ (x_1, x_2, x_3) + m^2 ⊂ ・・・
なのでR/m^2はネーターでない。

>>337
確かに>>323は俺も簡単すぎると思ったが、いろんな
レベルの人がいるんだから別にいいのでは？
337は「まともな議論」をしたかったら自分でそれを
提示すればよい。

>>344
I章の解答のURL求む。検索したけど見つかんなかった。

>>350
>イデアル列(r_1)⊂(r_1,r_2)⊂･･･は真の無限増大列なので

何故？

Hartshorn II Ex. 2.13.の(a), (b) の解答は？
それとHartshorn II Ex. 2.3.の解答は？

いいか皆、Hartshorneの問題を解こうと決めたんだろ。
簡単だろうとそうでなかろうと解けばいいんだよ。
ごたごた言うんじゃない。

>>353
本当にそれがわからないのか？ ネタか？

>>355
胴衣。簡単だからとばすとかいうのはいくない。

Hartshorn II Ex. 2.14.
(a) S を次数付き環とする。Proj(S) が空であるためには
S+ = S_1 + S_2 + ... のすべての元がベキ零であることが
必要十分であることを示せ。

(b) ψ: S → T を次数付き環の(次数を保存する)射とする。
U = {P ∈ Proj(T) ; P は ψ(S+) を含まない} とする。
U は Proj(T) の開集合であることを示せ。
さらに、ψ は射 f: U → Proj(S) を定めることを示せ。

>>356
簡単な問題だと威勢がいいな。ｗ

>>352
Google で "solutions to hartshorne" で検索すればいい。

>>360
ありがとう！ 見つかった

ほんとに初歩的な質問で申し訳ないんですが、
大学で線形代数--行列とか線型空間とか--の授業が「幾何」って名前だったん
だけど、いわゆる幾何学って図形とかでしょ？でも線形代数では図形はまず出て
来ないのに、何で「幾何」っていうんですか？
一応大学は卒業しましたが、最後まで線形代数には図形はほとんど出てこなかった。
回転変換とか合同変換などでほんのわずかに出てきましたが...

どちらかというと微積分の授業で図形が出てきましたがその授業の名前は「解析」
だったりする。内積、外積、ストークスの定理とかは「解析」の授業でやりました。
ベクトル解析という名前で。

n次元空間R^nは最も基本的な幾何学的対象だから。
拘っても無駄。

>>355
同意。じゃ、とりあえず簡単なのから
Hartshorne II Ex. 2.13. (a) (>>323) の解答：
（以下⊂は真の包含関係を表すとする）
X がネーターでないとする。つまりU_1 ⊂U_2⊂ ... という開集合の真の増大列
が存在する。U = ∪U_i とおけば、U は準コンパクトでない。
逆に、準コンパクトでない開集合 U が存在したとする。つまり有限部分開被覆が
とれない U = ∪U_i が存在する。まず V_1 を {U_i} の中から勝手にひとつ取る。
仮定から V_1 ≠ U、よってV_1 ⊂ V1∪U_2 なるU_2が{U_i} の中に存在する。
V_2 := V1∪U_2 とおく。仮定から V_2 ≠ U、よって V_2 ⊂ V1∪U_3 なるU_3
が{U_i} の中に存在する。V_3 := V2∪U_3 とおく。以下同様にV_i を構成すれば
開集合の真の増大列が得られる。以上。

続いてHartshorne II Ex. 2.13. (b) (>>323) の解答
X = Spec A とおく。以下、A のイデアル I に対して X - V(I) を D(I) と書く。
X の開被覆 {U_i} が与えられたとする。U_i = D(I_i) とかける。
X = ∪U_i = ∪D(I_i) = D(ΣI_i) となるので、ΣI_i = (1)。よって有限個の
f_1, f_2, ..., f_n (f_i∈I_i) が存在して f_1 + f_2 + ... + f_n = 1。よって
X = D(I_1) ∪ ... ∪D(I_n) となる。
アフィンスキームでネーター空間でない例は、Spec k[t_1, t_2, ...] 。
素イデアルの列 (t_1) ⊂ (t_1, t_2) ⊂ ... に対応する閉部分集合の列を考え
ればネーター空間でないことがわかる。

>>363
それってベクトル(n行1列行列)を扱うから幾何って意味ですか？失礼ですがそれだけ？
「幾何」という名前にずいぶん混乱させられたけどなあ。

あなたは「幾何」ってどんなものだと思ってるの？

>>362
時勢や人事の影響を受けて大学の講義の名前は内容を表さないことも多い。
幾何という講義名にしてあるのが失敗だろう。数学Iとか数学IIとか、
数学序論Iとか数学序論IIとかにしてあればそういう疑問が生じない。

>>355
そうなのか？

漏れとしてはもっと有意義な議論をして欲しい。
最近スキーム論を勉強し始めたので、将来の展望などが知りたい。

貼りなおしておきます。

X を複素多様体とする。
X は局所環付き空間と見なせる。
さらに、標準的射 X → Spec(C) が存在するから、
C上の局所環付き空間と見なせる。
ここで、C は複素数体。

X と Y を複素多様体とする。
f: X → Y をC上の局所環付き空間としての射とする。
f は複素多様体としての射、即ち解析写像とみなせることを示せ。

>>370
>>336で解答済。

>>369
すればいい。誰も止めないよ。そのことと問題を解くのとは排他的関係
ではないだろ。

スキームによる恩恵って何？

>>373
pull back, non-reduced object
なんかが存在するようになった。

>>374
そういうことが何故うれしいの？

>>374
lisp のスキーム?

誰か>>353に答えてやってくれ。

>>358の続き
Hartshorne II Ex. 2.14.

(c) 射 f はψ が同型射でなくても同型射と成り得る。
例えば、ある整数 d_0 があって、d ≧ d_0 なら
ψ_d : S_d → T_d が同型とする。
このとき、U = Proj(T) で f: Proj(T) → Proj(S) は
同型であることを示せ。

(d) V を射影多様体で同次座標環 S を持つとする(I,§2)。
t(V) とProj(S) が同型であることを示せ。

(注) t(V) はV に付随するスキームを表す。II. prop.2.6 参照。

>>378
せめてsage進行でやってくれ

>>375
例えば、Weil予想が解けるようになった。

>>379
2ch用語に疎いんで意味がわからない。
わかるように説明してくれ。

Hartshorne II Ex. 2.15.
(a) V を代数的閉体 k 上の代数多様体とする。
点 P ∈ t(V) が閉点であるためには、その剰余体が k である
ことが必要十分であることを示せ。

(b) f: X → Y を k 上のスキームの射とする。
点 P ∈ X の剰余体が k なら、f(P) の剰余体も k である
ことを示せ。

(c) V, W を k 上の代数多様体とする。
標準的写像 Hom(V, W) → Hom(t(V), t(W)) が全単射である
ことを示せ。(単射であることは簡単。難しいのは全射を示すこと。)

>>381
数学では分からないものをだましだまし使ってみるのも有益ですが
私の知る限り２ｃｈはそうではありません

初心者の質問
http://etc.2ch.net/qa/

>>383
もったいぶらないで、さっさと説明しろや。
それがイヤなら黙ってろ。

>>384
おまいが黙ってろ
リア工は学コンでもやってお休み

Hartshorne II Ex. 2.18.
この問題では環準同型のある種の性質とそれから誘導された
スペクトル間の射の性質を比較する。

(a) A を環、X = Spec(A), f ∈ A とする。
f がベキ零であるためには、D(f) が空であることが必要十分である。

(b) ψ: A → B を環準同型とする。f: Y = Spec(B) → X = Spec(A)
をψにより誘導された射とする。
ψが単射であるためには、f^#: O_X → f_*(O_Y) が単射であることが
必要十分である。
さらに、この場合、f は支配的、即ち f(Y) が X において稠密で
あることを示せ。

(c) 上と同じ記号で、ψが全射なら、f は Y から X のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) は全射であることを示せ。

(d) (c) の逆を証明せよ。即ち、f: Y → X が Y のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射なら、ψは全射である。

(ヒント) X' = Spec(A/ker ψ) を考えよ、さらに (b) と (c) を使用せよ。

>>385
意味不明。日本語を話せ。

お前等、ひょっとして２ｃｈ用語を得意になって使ってないか？
だとすると、おめでたいぞ。

337=369=379か？

> 最近スキーム論を勉強し始めたので、将来の展望などが知りたい。

最近勉強し始めたんだったら Hartshorne の問題をじっくり
解くのはとても役立つと思うぞ。

「将来の展望」なんかその後に考えればよい。

>>353

m^2 ⊂ (x_1) + m^2 ⊂ (x_1, x_2) + m^2 ⊂ (x_1, x_2, x_3) + m^2 ⊂ ・・・
が真の増加列になることの説明：
x_2 ∈ (x_1, x_2) + m^2 だが、x_2 は (x_1) + m^2 には入ってないだろ。
わかった？ イデアルの２乗の定義とかは分かってる？

何だったら別スレ立てたらどうかな。そのほうが、うるさくなくて良くないか？
題は｢Hartshorneの演習問題を解くスレその１｣はどうかな？
賛成が多かったら、この題で誰か立ててくれ。
俺は、スレを立てるのに慣れてないんで。

わざわざ新スレをたてなくても、このスレを Hartshorne 専用にしてしまっていいんじゃないの？

そろそろかな

>>392
そうすると、演習に興味ない人が迷惑しないか？

せっかくHartshorneの演習問題を解いて盛り上がっているのに、荒らすDQNは
氏んでください。

>>394
このスレは最近たったスレだし、書き込みの多くはHartshorneがらみだから問題ないと思うけど？

>>395
だからさ、賛成が多かったらの話だよ。反対の方が多いなら当然このまま行くよ。

>>397
じゃあオマエに賛同する香具師がいないことはもうわかってるだろ？
これ以上ここを荒らす気か？ さっさと出て行けよ。

>>398
ほんとに出ていってほしいのか？

>>367
> あなたは「幾何」ってどんなものだと思ってるの
「幾何」という言葉ではユークリッド幾何学をイメージします。平面図形、多角形、作図問題、
正多面体、ピタゴラスの定理、作図問題、二次曲線、二次曲面…
ある作図問題などは5次方程式の解が解けないので作図不能と証明できた、
なんてのを聞いたような憶えがあります。
私の大学一般理系学部時代にはそこまで行きませんでしたが、線形代数とか群環体などを勉強して
行けばユークリッド幾何学の問題などは数式的に解けるようになるのかな、と想像してました。
非ユークリッド(リーマン?)幾何学などは図を書いて理解するようなものではないようですし。

>>368 さん、回答ありがとうございます。結局そういうことなんですかね。先に進めば
なるほどと思えるようになるのではと思ったのですが…

>>362
俺が思うに、昔は大学初年度の数学は「解析」と「代数・幾何」に分かれてて、
「代数・幾何」のほうでは行列や行列式に加え、たとえば初等的な微分幾何
なんかもやってたのではないかな？ それが、（たとえば量子力学でヒルベルト
空間が必要になるなどの理由から）「線型代数をもっと重視すべき」っつ
ーことになり、「代数・幾何」→「線型代数」になったんだと思う。362の
大学で線型代数が「幾何」って呼ばれてたのはこの名残でしょう。

ところで362はここが「代数・幾何」のスレだと思って書き込んだのかも
しれないが、それはスレ違いです。

>>399
はい。

>>402
馬鹿野郎。俺がそもそもHartshorneの演習問題をやろうって言った本人だぞ。
問題の翻訳も俺だ。一部手伝ってもらったがな。

>>401
>ところで362はここが「代数・幾何」のスレだと思って書き込んだのかも
しれないが、それはスレ違いです。

素人：ご専門は何ですか?
数学者：代数幾何です。
素人：あれってまだ研究の余地があるんですか？
教養でやるやつでしょう？

>>403
目的がわからん。
分からない問題があれば、その都度聞けばいいだけだろ？

>>403
だったら「将来の展望が知りたい」とか意味不明なことを言ってないで
このまま黙々と問題演習を続けろよ。

>>403
なら、消えてよ。

ﾏﾝｾｰ!

>>405
馬鹿野郎。俺をなめすぎ。

>>406
馬鹿野郎。俺はそいつじゃないよ。

>>407
馬鹿野郎。お前が消えろ。

Hartshorne II Ex. 2.19
A を環とする。以下の条件は同値であることを示せ。
(1) Spec(A) は不連結

(2) A の 0 でない元 e1, e2 で、(e1)(e29 = 0, (e1)^2 = e1 (e2)^2 = e2
となるものが存在する(これらは、直交するベキ等元と呼ばれる)。

(3) A は 二つの 0 でない環の直積 A1 x A2 となる。

馬鹿野郎。おもしろいぞ

Hartshorne II Ex. 2.9
X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。
Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。
ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。
X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点
を持つことを示せ。

Hartshorne II Ex. 2.10
R を実数体とする。Spec(R[X]) はどのようなものか述べよ。

Hartshorne II Ex. 2.11.
k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。
Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。
各点における剰余体は何か。
与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。

バーターしないか？
つまりHartshorneの問題の解答を出し合うわけだ。
おれに解いて欲しい問題と自分が解く問題を指摘してくれ。
ただし、今までに書かれた問題の中だけだ。
あまり難易度が不釣合いなものは駄目だよ。

>>416の解答：
Spec(R[X]) は点集合としては、実数直線を含む複素上半平面の点全体と
それ以外の一点 {*} からなる集合と一対一に対応する。
この空間の閉集合は、複素上半平面の有限個の点の集合と
Spec(R[X])自体である。

いやに静かになったな。
人が解くのを待ってちゃ駄目だな。
俺はいくつか解いたぞ。もっと解けるが、そうするとなおさら
君たち解かないだろ。
簡単なやつでもいいから解いてくれ。

>>420
自作自演。
どうしてこんなに必死なんだ？
人を利用してハ−ツホーンの解答を作る気なのか？

421も必死やね

>>420
＞君たち解かないだろ。
＞簡単なやつでもいいから解いてくれ。
　
こういう他人を見下したような書きこみをどうして平気でできるんだろう？

それは423が見上げてしまうからさ

見下すも見上げるもないんだよ。
ごたごた言わずに解け。こんなところで躓いてちゃ代数幾何なんて
出来ないぞ。

ハ−ツホーンの解答に関係しない書き込みは一切禁止します。

話は変わるが、今日、紀ノ国屋で衝動買いしてしまった。
西野利雄の多変数関数論
金子晃の超関数入門
斎藤正彦の線型代数演習(これはジョルダン標準型の幾何的証明につられた)
高瀬正仁の評伝岡潔
山下純一のグロタンディーク

最後の本は電車の中で読んでみたが、すごく面白い。

忘れてた、Algebraic Geometry 3 by Kenji Ueno も買った。

Algebraic Geometry 3 の後書きで上野さんがこう書いている。

We do not necessarily recommend [2] (Hartshorne)
as an introduction (or as a reference) to algebraic geometry.
Even though [2] contains many exercises, some important results
are among those exercises which are quoted in proofs of theorems.
If one can solve those exercises by oneself, then [2] is a very
useful book. The cohomology theory of coherent sheaves,
including a proof of Serre's duality, is treated much more
carefully in [2] than in other books. One can read [2]
focusing on cohomology theory. In [2], only a projective
morphism is considered in proofs, which does not cause any problems.
It is more important to be able to use cohomology than to be
able to prove cohomological results.

>>427

厨房ですが、最後の３つは、特に興味深いです。
ジョルダンの標準形の幾何的証明なんてあるんですね！

とすると、ここで1人で延々やったって別に構わないという事か

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 ＿＿＿＿　　　＿＿＿＿　　 ＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　| （・∀・） ｜　| （・∀・） ｜　 | （・∀・） ｜
　　　　　　　　　　　　 　　 　　 　　 　|￣￣￣￣　　|￣￣￣￣　　 .|￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　 ∧ 　　 　　　　 ∧
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 <⌒> 　 　　　 <⌒>　　 　 　　.<⌒>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／⌒＼　　　　／⌒＼　　　　 ／⌒＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　］皿皿［　　 　 ］皿皿［　　　　 ］皿皿［
　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ／ 田 田 ＼　／ 田 田 ＼ 　／ 田 田 ＼　　　　　　　　　 大ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ帝國時代
　　　　　＿＿＿＿　　　　　　　］∩皿皿∩［ _］∩皿皿∩［＿］∩皿皿∩［、　　　　　＿＿＿＿　
　　　　　| （・∀・） |　　／三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三 三三 ヽ　| （・∀・） ｜
　　　　　￣￣￣￣|　　 |＿_|￣田￣田 /￣￣Π . ∩ . Π￣￣ヽ田￣田￣田 . ［＿|￣￣￣￣_　　　＿＿＿＿
＿＿＿＿　　　／三三三三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三三三.三 ,,|「|,,,|「|ミ^!、　　　| （・∀・） ｜
| （・∀・） |　　＿_|￣田￣田￣田 ￣田. 田　 | | |..田..| | |. 田 .田￣田￣ 田￣田￣田￣|,,|「|,,,|「|ミ^!|￣￣￣￣　
￣￣￣￣|＿/==／＼＝ハ, ￣￣|「|￣￣￣￣|ハ＝／＼= |＿_＿_ヽ「|￣￣￣￣￣￣|_|'|「|'''|「|||:ll;|| .|
　　　　　　|　　 ロ ロ 　　 ロ ロ 「￣￣￣| |田 |「|　 田 田　|　「田￣￣￣ | ロ ロ 　|ヽ .　￣￣￣￣|「|［［［［|
　　　　　　|.l⌒l　　ll.l⌒l. |ロ ロ,/| l⌒l.ｌ⌒l| | 　 　|「| 　l⌒l.ｌ⌒l |「| .|⌒l.ｌ⌒l.|. ロ. ロ,.|　ll.l⌒l..l⌒l　 .||l|ミミミミミミ|

>>429
何をいまさら…

お前馬鹿だな、このスレは全部、お前も含めて俺一人が書いてるんだよ。
つまり、お前は俺の想像の産物であり存在しないんだよ。

>>433
勘違いしてるな。問題を解けば非常にいい本だと書いてあるだろ。
だから解くんだよ。

要約すると

Hartshorneﾏﾝｾｰ厨房は暇人ﾋｷｰ
他にやることないのか？(ﾌﾟ

こう書いてあるようだが

>>436
冗談を真に受ける馬鹿と見た

つまらない冗談が通じないからって八つ当たりするなよ。

(・∀・)厨が消えてレベルが一気に上がりましたね

>>436>>439
煽りは止めて頂けると嬉し

正直言わせてくれ、>>427-429よ。
おまい、金持ちすぎ！！！

そんなの図書室で借りるれろ！

>>441
俺は社会人だ。図書館に行くヒマが無い。

>>419
複素上半平面というより、
複素平面を共役で同値関係を取って出来る商空間といったほうが
いいのでは。早々、それに”生成点”を付け加えなければいけません。

Ex.2.11 は、有限体F_p　の代数閉包に各点の既約方程式で同値関係を入れたモノの商空間プラス生成点。

EX2.11 の残りの部分は簡単（？）な代数の問題だからパスね。

>>443
> それに”生成点”を付け加えなければいけません。
それ以外の一点 {*} って書いてありますよね?

>>445
ご指摘有難うございます。　ちなみに、生成点は全ての閉集合に含まれます。
（これは書いてないよね！？）

訂正：４４６の後半の文章全部抹消！　（早とちりしてしまった！）

●●●マスコミの 「盗聴／盗撮」 は許されるの？その７Ａ●●●　　　　http://natto.2ch.net/mass/kako/1004/10049/1004950940.html
523 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/12/19 16:23 ID:B/gE+ll0
>>520
フジテレビもそうですが、ＴＢＳドラマも盗聴ネタが多いです。
被害者によって、より多くネタにされるドラマというのが
あるみたいですね。残念なことです。

今まで盗聴・盗撮ネタを使った番組や出版物を、このスレに具体名で
一覧にするのはどうでしょう・・・
少しは制御できないかな。

38 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co
フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。
とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、
カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。
マスコミをとにかく用心するに超したことはない。
取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。

以下の問題が解けなくて困っています。
ぜひ、教えてください。

k個のシンボルからなる長さｎの文字列ｘと、掛け算表が与えられたとき、
結果がある値になるようにｘを（）でくくること方法が存在するかどうかを調べる
アルゴリズムを与えよ。
ただし、n,kの多項式時間で求めること（総当り以外）。

例)
a b c
_________
a| a c c
b| a a b
c| c c c

bbbbaの場合、(b(bb))(ba)=a。

すまん、書き込む場所を間違えました…

ぐっない

>>319 の解答
Hartshorn II Ex. 2.3.

(a) スキーム X が被約であるための必要十分な条件は、
任意の点 x で O_xが 0 以外のベキ零元を持たないことである。

証明
証明の前に言葉を定義する。
環 A が 0 以外のベキ零元を持たないとき、被約と呼ぶ。

さて、X が被約であるとする。
U を x を含む開集合とする。
f を O_X(U) の元で (f_x)^n = 0 とする。
ここで f_x は f の x における芽を表す。
(f_x)^n = (f^n)_x であるから、f^n | V = 0 となる
x を含む開集合 V がある。X は被約であるから O_X(V) も被約である。
従って、f | V = 0 となる。故に、f_x = 0 となる。
即ち、O_x は被約である。

逆に X の任意の点 x で O_xが被約であるとする。
任意の開集合 U に対して, O_X(U) が被約であることを示す。
f を O_X(U) の元で f^n = 0 とする。x を U の任意点とすると、
(f_x)^n = 0 となる。仮定により O_x は被約であるから、f_x = 0
となる。従って、x の十分近い近傍で f = 0 となる。
x は U の任意の近傍であり、O_X は層だから U において f = 0 となる.
即ち、O_X(U) は被約である。

http://jbbs.shitaraba.com/music/6029/yasuko.html

>>319 の解答
Hartshorn II Ex. 2.3.

(b) X をスキームとする。前層 U → O_X(U)_red から層化により
得られる層を、(O_X)_red と書く。ここで、環 A に対してA_red
は、A/nil(A) を表す。nil(A) は A のベキ零元イデアル。
(X, (O_X)_red) がスキームであることを示せ。
これを、スキーム X に付随する被約スキームと呼び、X_red と書く。
射 X_red → X が存在し、これは、sp(X_red) と sp(X) の位相同型を
引き起こすことを示せ。ここでsp(X) は X を位相空間と考えたもの。

証明
X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定してよい。
Spec(A/nil(A)) が X_red であることは見やすい。
標準的射 A → A/nil(A) より、射 X_red → X が存在する。
これが位相同型であることは明らか。

>>427-429>>441にだれもつっこまないのか？

>>441じゃなくて>>442だった。

>>319 の解答
Hartshorn II Ex. 2.3.

(c) X →　Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。
X →　Y_red が一意に存在し、X →　Y は
X →　Y_red → Y と分解される。
証明
まず、環の射 A -> B があり、B が被約なら、
A/nil(A) → B が存在し、A -> B は、A -> A/nil(A) → B と
分解することに注意する。
さて、U を Y の開集合とする。射 X →　Y に付随して
射 O_Y(U) → O_X(f^(-1)(U)) が存在する。
O_X(f^(-1)(U)) は被約であるから、上の注意より
O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) が存在し、
上の射は、O_Y(U) → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) → O_X(f^(-1)(U)) と
分解する。O_Y_red は前層 U → O_Y(U)/nil(O_Y(U)) の層化だから
(c) は直ちに得られる。

>>358 の解答
Hartshorn II Ex. 2.14.

(a) S を次数付き環とする。Proj(S) が空であるためには
S+ = S_1 + S_2 + ... のすべての元がベキ零であることが
必要十分であることを示せ。

証明
Proj(S) が空であるとする。
f を S_n (n > 0) の元とする。
D+(f) は空だから、f はベキ零である。
従って、S+ のすべての元がベキ零である。

逆にS+ のすべての元がベキ零であるとする。
f を S_n (n > 0) の元とすると、D+(f) は空である。
Proj(S) は D+(f), f ∈ S_n, n > 0 の形の開集合の和集合であるから、
それ自体が空である。

>>358 の解答
Hartshorn II Ex. 2.14.

(b) ψ: S → T を次数付き環の(次数を保存する)射とする。
U = {P ∈ Proj(T) ; P は ψ(S+) を含まない} とする。
U は Proj(T) の開集合であることを示せ。
さらに、ψ は射 f: U → Proj(S) を定めることを示せ。

証明
ψ(S+) で生成されるイデアルは同次イデアル I であり、
U = Proj(T) - V+(I) であるから、U は Proj(T) の開集合である。
ここで、V+(I) = {P ∈ Proj(T) ; P は I を含む} である。

ψ^(-1)(P) は S の同次素イデアルであることは明らかである・
しかも、仮定から S+ を含まないから、Proj(S) の元である。
これを f(P) と書く。
h を S_n, n > 0 の元とする。h ∈ ψ^(-1)(P) と ψ(h) ∈ P
は同値だから、f^(-1)(D+(h)) = D+(ψ(h)) である。
これから f: U → Proj(S) が連続であることが分かる。
S の局所化環 S_h = S[1/h] の 0-次部分を S[1/h]_0 と書く。
ψ は射 S[1/h]_0 → T[1/ψ(h)]_0 を定める。
これにより、射 f: U → Proj(S) が得られることは、Proj の
定義より明らか。

>>447
> 訂正：４４６の後半の文章全部抹消！　（早とちりしてしまった！）

「４４６の後半」つーか、そもそも>>419の解答で最初から合って
たんじゃん（説明が何もないのがちょっと気になるが）。

ちゃんと書かないとみんな混乱するよ。

>>452
>x は U の任意の近傍であり、O_X は層だから U において f = 0 となる.
即ち、O_X(U) は被約である。

訂正：
x は U の任意の近傍であり ⇒ x は U の任意の点あり

>>461
また間違った。（汗
x は U の任意の近傍であり ⇒ x は U の任意の点であり

>>454
>X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定してよい。

なぜ？

>>457
射 X →　Y_red の一意性は？

>>458
> D+(f) は空だから、f はベキ零である。

なぜ？

>>463
U を X のアフィン開集合とする。
定義より O_X_red | U = (O_X | U)_red だから、
(U, O_X_red | U) がアフィンスキームであることがわかる。

>>464
以下の事実から分かる。
A → B を環の射として、B を被約とすれば、
この射は A → A/nil(A) → B と一意に分解する。

>>465
D+(f) は Spec(A[1/f]_0) と同一視できる。
ここで、A[1/f] は A の局所化 A_f を表し、
A[1/f]_0 は、A[1/f] を次数環と見たときの 0-次部分。
D+(f) が空なら、A[1/f]_0 = 0 である。
従って、1 = f/f = 0. これから f はベキ零である。

>>378 の解答
Hartshorne II Ex. 2.14.

(c) 射 f はψ が同型射でなくても同型射と成り得る。
例えば、ある整数 d_0 があって、d ≧ d_0 なら
ψ_d : S_d → T_d が同型とする。
このとき、U = Proj(T) で f: Proj(T) → Proj(S) は
同型であることを示せ。

証明
P ∈ Proj(T) とし、ψ(S+) ⊆ P と仮定する。
h を T+ の任意の同次元とする。
h が P に含まれていないとすると、h の十分高いベキも P に
含まれない。しかし、これは、d ≧ d_0 なら ψ_d : S_d → T_d
が同型であり、ψ(S_d) = T_d ⊆ P に反する。
従って、P ∈ U 即ち、U = Proj(T) である。
f: Proj(T) → Proj(S)　が同型なことは、
ψが同型 S[1/h]_0 → T[1/ψ(h)]_0 を誘導することから分かる。

>>466、>>467、>>468
OK、サンクス。ちょっとツッコミが簡単すぎたかな。

コリバギン・フラッハ

>>378 の解答
Hartshorne II Ex. 2.14.

(d) V を射影多様体で同次座標環 S を持つとする(I,§2)。
t(V) とProj(S) が同型であることを示せ。

証明
h を S+ の任意の同次元とする。
D(h) = { P ∈ V ; h(P) ≠ 0 } とおく。
D(h) における正則関数のなす環は，S[1/h]_0 と同一視できる。
これから、(d) は明らか。

代数幾何は

　　　大　　好　　き　　か　　？

>>382 の解答
Hartshorne II Ex. 2.15.

(a) V を代数的閉体 k 上の代数多様体とする。
点 P ∈ t(V) が閉点であるためには、その剰余体が k である
ことが必要十分であることを示せ。

証明
V をアフィンと仮定してよい。A をその座標環とする。
P が閉点であることは、P が A の極大イデアルであることと
同値である。P が A の極大イデアルなら、ヒルベルトの零点定理より
P の剰余体 k(P) は, k の代数拡大である。k は代数的閉体であるから、
k(P) = k となる。逆は明らか。

>>382 の解答
Hartshorne II Ex. 2.15.

(b) f: X → Y を k 上のスキームの射とする。
点 P ∈ X の剰余体が k なら、f(P) の剰余体も k である
ことを示せ。

証明
f は、局所環の射 O_f(P) → O_P を誘導する。
さらに、これは剰余体の射 k(f(P)) → k(P) = k を誘導する。
これは、k 上の射だから、k(f(P)) = k となる。

>>382 の解答
Hartshorne II Ex. 2.15.

(c) V, W を k 上の代数多様体とする。
標準的写像 Hom(V, W) → Hom(t(V), t(W)) が全単射である
ことを示せ。(単射であることは簡単。難しいのは全射を示すこと。)
Hartshorne II Ex. 2.14.

証明
>>336 と殆ど同様に証明できる。

>>386 の解答
Hartshorne II Ex. 2.18.
この問題では環準同型のある種の性質とそれから誘導された
スペクトル間の射の性質を比較する。

(a) A を環、X = Spec(A), f ∈ A とする。
f がベキ零であるためには、D(f) が空であることが必要十分である。

証明
D(f) は Spec(A[1/f]) と同一視できる。
これから明らか。

>>386 の解答
Hartshorne II Ex. 2.18.

(b) ψ: A → B を環準同型とする。f: Y = Spec(B) → X = Spec(A)
をψにより誘導された射とする。
ψが単射であるためには、f^#: O_X → f_*(O_Y) が単射であることが
必要十分である。
さらに、この場合、f は支配的、即ち f(Y) が X において稠密で
あることを示せ。

証明
前半は明らか。
ψ: A → B が単射とする。
h を A の元で、D(h) が空でないとする。
(a) より h はベキ零でない。ψは単射だから、ψ(h) もベキ零でない。
f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) だから、D(h) ∩ f(Y) は空でない。
即ち f(Y) は X において稠密である。

>>386 の解答
Hartshorne II Ex. 2.18.

(c) 上と同じ記号で、ψが全射なら、f は Y から X のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) は全射であることを示せ。

証明
ψの核を I とすると、A/I は B と同型である。
従って、Spec(B) は Spec(A/I) = V(I) と同型である。
f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射であることは明らか。

>>386 の解答
Hartshorne II Ex. 2.18.

(d) (c) の逆を証明せよ。即ち、f: Y → X が Y のある閉集合への
位相同型であり、f^#: O_X → f_*(O_Y) が全射なら、ψは全射である。

証明
まず最初に A ⊆ B と仮定する。
f(Y) は X において稠密な閉集合だから、f(Y) = X となる。
I = { x ∈ A ; xB ⊆ A } とおく。
I は A のイデアルである。I ≠ A と仮定する。
I ⊆ P となる A の素イデアルがある。
f(Y) = X だから、P = f(Q) となる B の素イデアル Q がある。
仮定より O_X → f_*(O_Y) は全射だから、A_P = B_Q である。
従って、任意の B の元 b に対して b/1 ∈ A_P 即ち、
ある s ∈ A - P で sb ∈ A となるものが有る。
しかし、これは、I ⊆ P に矛盾する。
故に、I = A でなければならない。即ち、A = B となる。
A → B が単射でない場合は、 A → B を A → A/kerψ → B と
分解して考えればよい。

>>412 の解答
Hartshorne II Ex. 2.19

A を環とする。以下の条件は同値であることを示せ。
(1) Spec(A) は不連結

(2) A の 0 でない元 e1, e2 で、(e1)(e2) = 0, (e1)^2 = e1 (e2)^2 = e2
となるものが存在する(これらは、直交するベキ等元と呼ばれる)。

(3) A は 二つの 0 でない環の直積 A1 x A2 となる。

証明
(1) → (2)
X = Spec(A) は互いに交わらない空でない開集合 U, V の和集合となる。
U で 1、V で 0 となる X 上の切断を e1 とし、
V で 1、U で 0 となる X 上の切断を e2 とすればよい。

(2) → (3)
A1 = Ae1, A2 = Ae2 とすればよい。

(3) → (1)
Spec(A) は、Spec(A1) と Spec(A2) の直和となることから明らか。

>>481
すごい勢いだな。
とりあえずこれで、今のところ出された問題は全部解かれたのかな？

>>480の証明は間違いだった。（苦笑）
正しくは、A に含まれない B の元 b があったとして、矛盾を導く。
I = { x ∈ A ; xb ∈ A } とおく。
後は任せる。
こういうこともあるから、このスレの証明を鵜呑みにしたら駄目だぞ。
各自、自分でチェックしたほうがいい。

定義
f: X → Y をスキームの射とする。
Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 U_ij = Spec(A_ij) による
被覆をもち、各 A_ij が有限生成の B_i 代数であるとき、
f を局所有限型という。
もし、各 f^(-1)(V_i) が 有限個の U_ij による被覆をもつとき
f を有限型という。

Hartshorne II Ex. 3.1

以下を証明せよ。
スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
がアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、
各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。

Hartshorne II Ex. 3.2

スキームの射 f: X → Y が次の条件を満たすとき、準コンパクトという。
Y がアフィン開集合 V_i による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が準コンパクトとなる。

以下を証明せよ。
f が準コンパクトであるためには、任意のアフィン開集合 V ⊆ Y に
対して、 f^(-1)(V) が準コンパクトとなることが必要十分である。

Hartshorne II Ex. 3.3
以下を証明せよ。

(a) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、
局所有限型かつ準コンパクトであることが必要十分である。

(b) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
が有限個のアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、
各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。

(c) スキームの射 f: X → Y が有限型であれば、以下が成立する。
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) と、f^(-1)(V) の任意の
アフィン開部分集合 U = Spec(A) ⊆ f^(-1)(V)に対して、
A は有限生成の B-代数となる。

Hartshorne II Ex. 3.4

f: X → Y をスキームの射とする。
Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 Spec(A_i) であり、
各 A_i が有限生成の B_i-加群であるとき、
f を有限射という。

以下を証明せよ。
スキームの射 f: X → Y が有限射であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
がアフィン開集合 U = Spec(A) となり、
A が有限生成の B-代数となることが必要十分である。

Hartshorne II Ex. 3.5

f: X → Y をスキームの射とする。
任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき
f を準有限射という。

(a) 有限射は準有限射であることを示せ。

(b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の
f による像は閉集合となる。

(c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。

Hartshorne II Ex. 3.6

スキーム X の各開集合 U に対して、O_X(U) が整域となるとき
X を整スキームという。

X を整スキームとする。X の生成点 ζ における局所環 O_ζは
体であることを示せ。これを X の関数体と呼び、K(X) と書く。
U = Spec(A) を X の任意の開集合としたとき、K(X) は A の
商体と同型であることを示せ。

Hartshorne II Ex. 3.7

f: X → Y をスキームの射とし、Y を既約とする。
Y の生成点ζに対して、f(-1)(ζ) が有限集合のとき、
f を生成的に有限と呼ぶ。

射 f は、f(X) が Y において稠密なとき支配的と呼ぶ。

さて、X, Y をともに整スキームとし、f: X → Y を
支配的かつ生成的に有限な有限型の射とする。
Y の稠密な開部分集合 U が存在し、f により誘導される射
f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。
[ヒント：最初に X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である
ことを示せ。]

そろそろ、誰かがまとめのページ作ったほうがいいのかな。

練習問題を翻訳して、そのうちの簡単な問題を解いただけじゃん

http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/~tomonobu/ag.htm

導来圏がD-braneだと？ 妄想はいいかげんにしろな。

まったく詩的じゃない気がする・・・。

>>493
茶々入れるのはやめてね。簡単な問題も重要だよ。

今日も全然だめだめですた。

Hartshorneの演習問題を独力で全部(超難問**は除く)解いたら、
数学者の素質があるんじゃないか。

>>498
確かに数学者としての素養はあるかもしれないけど、この分野では…

>>499
「この分野では…」の後がビミョーに気になる。
どういうこと？

この分野では数学者どころか神になれるよ！

と続くのでは？

>>414 の解答
Hartshorne II Ex. 2.9

X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。
Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。
ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。
X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点
を持つことを示せ。

証明
F を X の既約な閉集合といする。
まず、X がアフィンスキーム Spec(A) のときは、F = V(P) となる。
ここで、P は A の素イデアル。この P が F の生成点である。
これが一意に定まることも明らか。
X が一般のスキームとする。F と交わる空でないアフィン開集合 U をとる。
U ∩ F は F の空でない開集合だから既約である。
従がって、U ∩ F は U の既約な閉集合である。最初に述べたことから
U ∩ F は生成点 ζ を持つ。U ∩ F は F の稠密な部分集合だから、
ζは F の生成点でもある。U ∩ F の生成点は一意に定まるから
F の生成点も一意に定まる。

しょうじき、そんな人はこの分野腐るほどいると。

>>503
仮に腐るほどいるとして、お前はその中に入れないんだろう？

>>485 の解答

証明の前に次の補題を証明しておく。

補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とし、
A が有限生成の B-代数とする。
V を Y のアフィン開集合とする。
f^(-1)(V) は X のアフィン開集合であり、Γ(f^(-1)(V)) は
Γ(V) 上有限生成である。

証明
f^(-1)(V) は X と V の Y 上のファイバー積 (X x V)/Y と見なせる。
これから、補題の主張は明らか。

>>485 の解答
Hartshorne II Ex. 3.1
以下を証明せよ。
スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
がアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、
各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。

証明
さて、スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるとする。
定義より、Y はアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 U_ij = Spec(A_ij) による
被覆をもち、各 A_ij が有限生成の B_i 代数となる。
補題により V はアフィン開集合 V_h = Spec(B_h) による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_h) はアフィン開集合 W_k による
被覆をもち、各 Γ(W_k) が有限生成の B_h 代数となる。
B_h は B 上有限生成だから、Γ(W_k) もB 上有限生成である。
Γ(W_k) の形の開集合全体は f^(-1)(V) の被覆をなすから、
これで問題が証明された。

>>486 の解答
Hartshorne II Ex. 3.2

スキームの射 f: X → Y が次の条件を満たすとき、準コンパクトという。
Y がアフィン開集合 V_i による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が準コンパクトとなる。

以下を証明せよ。
f が準コンパクトであるためには、任意のアフィン開集合 V ⊆ Y に
対して、 f^(-1)(V) が準コンパクトとなることが必要十分である。

証明
f が準コンパクトであるとする。
>>506 と同様にして、V = Spec(B) はアフィン開集合 V_h = Spec(B_h)
による被覆を持ち、各 f^(-1)(V_h) は準コンパクトとなることが分かる。
V はアフィンだから準コンパクトである。従がって、V_h は有限個と
考えてよい。故に、f^(-1)(V) が有限個の準コンパクトな
開集合の和となり、それ自体も準コンパクトである。
逆は明らか。

>>487 の解答
Hartshorne II Ex. 3.3
以下を証明せよ。

(a) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、
局所有限型かつ準コンパクトであることが必要十分である。

証明
Ex. 3.1 と Ex. 3.2 から明らか。

>>487 の解答
Hartshorne II Ex. 3.3
以下を証明せよ。

(b) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
が有限個のアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、
各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。

証明
これも II Ex. 3.1 と Ex. 3.2 から明らか。

>>487 の解答

(c)の証明の前に次の補題を証明しておく。

補題
A → B を環の射。Spec(B) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆
があり、各 B[1/f_i] が A 上有限生成の代数とする。
このとき、B も A 上有限生成の代数である。

証明
D(f_i) は Spec(B) の被覆だから
��(f_i)(g_i) = 1 となる B の元 g_i が存在する。
B[1/f_i] の A 上の有限個の生成元を b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,...
とする。B = A[f_i, g_i, b_ij; i,j = 1,2,...] となることを示す。
B の任意の元 b を取る。 b/1 ∈ A[b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,..]
だから (f_i)^r b ∈ A[f_i, b_ij, j = 1,2,..] となる
整数 r > 0 がある。r は各 i に共通としておく。
��(f_i)(g_i) = 1 だから、��(f_i)^r c_i = 1 となる
A[f_i, g_i, i = 1,2,..] の元 c_i がある。
何故なら、(f_i)^r で生成されるこの環のイデアルは
単位イデアルだから。
故に b = ��(f_i)^r b c_i は A[f_i, g_i, b_ij, i,j = 1,2,...]
に含まれる。

Hartshorne II Ex. 3.3

(c) スキームの射 f: X → Y が有限型であれば、以下が成立する。
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) と、f^(-1)(V) の任意の
アフィン開部分集合 U = Spec(A) ⊆ f^(-1)(V)に対して、
A は有限生成の B-代数となる。

証明
f: X → Y が有限型であるから U のアフィン開集合
W_i = Spec(C_i) による被覆があって、各 C_i は有限生成の
B-代数となる。W_i に含まれる Spec(A[1/h]) の形の開集合を
考える。h の W_i における像をh' とすると、
Spec(A[1/h]) = Spec(C_i[1/h']) と見なせる。
C_i[1/h'] は有限生成の C_i 代数だから、有限生成の B-代数でもある。
従がって、A[1/h] も有限生成の B-代数である。
>>510の補題から A は有限生成の B-代数である。

補題
A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。
M を A-加群とする。各 M[1/f_i] = 0 なら M = 0 である。

証明
x を M の任意の元とする。
x/1 は M[1/f_i] で 0 となるから、ある n > 0 があって
(f_i)^n x = 0 となる。n を十分大きく取れば、この n は
各 i に共通に取れる。一方、D(f_i) は Spec(A) の被覆だから
��(f_i)^n g_i = 1 となる A の元 g_i がある。
これから x = �肺 (f_i)^n g_i = 0 となる。
即ち、M = 0 である。

　　　　　　　　　　　　も　う　い　い　だ　ろ　？

補題
A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。
M を A-加群とする。各 M[1/f_i] が A[1/f_i] 上有限生成なら
M は A 上有限生成である。

証明
M[1/f_i] の A[1/f_i] 上の生成元を x_ij/(f_i)^n, j = 1,2,.. とする。
n を十分大きく取れば、この n は各 i に共通に取れる。
x_ij 全体で生成される M のA-部分加群を N とする。
仮定より、(M/N)[1/f_i] = 0 となるから >>512の補題より
M/N = 0 即ち M = N となる。

>>488の解答
Hartshorne II Ex. 3.4

f: X → Y をスキームの射とする。
Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、
各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 Spec(A_i) であり、
各 A_i が有限生成の B_i-加群であるとき、
f を有限射という。

以下を証明せよ。
スキームの射 f: X → Y が有限射であるためには、
Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V)
がアフィン開集合 U = Spec(A) となり、
A が有限生成の B-加群となることが必要十分である。

証明
仮定より、Spec(B) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があり
f^(-1)(D(f_i)) がアフィンとなり、Γ(f^(-1)(D(f_i))) が
有限生成の A[1/f_i]-加群となる(>>511の証明を参照)。
残りは、>>269 Hartshorne II Ex. 2.17 (b)(解答は>>299) と
>>514の補題を使えばよい。

>>513
ついていけなくて嫉妬してるﾔｼﾊｹｰﾝ

最近は、俺しか問題を解く奴はいないのかな？
初めの頃はもう一人いたが。なんか空しいな。
俺がいくら問題を解いても猫に小判、豚に真珠、
馬の耳に念仏なのか？

>>517
マジレスすると、そういうレスすると｢別人なんだろ？｣とか煽る香具師が出てくるから
トリップつけたほうがいいよ。

>>517
「初めの頃はもう一人いたが」のもう一人だ。最近忙しくて時間がとれん。
スマソ。一応、書かれてる解答はざっと読んでるよ。しかし、
> 俺がいくら問題を解いても猫に小判、豚に真珠、
> 馬の耳に念仏なのか？
こういうこと言われるとちょっとわけわかんないです。

別スレで質問したんだけど、誰も答えてくれなかったので、
こっちに貼っておきます。
665 ：１３２人目の素数さん ：03/10/30 01:27
グロたん先生に質問があります。

EGA IV 20.1 に、一般の環付き空間での有理形関数の定義があるんですが、
(20.1.3) に書いてあることにちょっと疑問があります。
「(X上の層) Sを、開集合 U に対してΓ(U, O_X) の非零因子全体 Γ(U, S) を対
応させる層とし・・・」というようなことが書いてあるんですが、一般の環付き
空間では（局所環付き空間でも）制限写像がうまく定まるとは限らないので、こ
のような S がいつでも定義できるわけではないですよね? X がスキームや解析空
間なら大丈夫ですが・・・。

これは、「上のような層 S が定義できたら〜」と
いう意味なんでしょうか？ それか、Γ(U, S) = {s | ∀x s_x∈O_x が非零因子}
と定義するというようなことですか？

それか僕のフランス語の読み方がおかしいのかも・・・
666 ：665 ：03/10/30 01:37
665 の続き。
局所環付き空間で「セクションの非零因子全体からなる層」が定義できない場合
として、次のようなのを考えてみました。

(A, m) を次元 1 の局所整域（たとえば Z_(p) := {a/b | p は b を割らない}、k[t]_(t)）
X を Spec A と同相な位相空間 {η, x}（自明でない閉集合は{x} のみ）
とし、構造層 O_X を O_X(X) = A、O_X({η}) = A/m（制限写像は標準全射）
で定める（Spec A の構造層だと O({η}) = 「A の商体」となるところを A/m で
入れ替えたもの）。

これ、局所環付き空間だけど、「非零因子全体からなる層」は定義できませんよね？

こんなところで、こんなことしてる使えない助手は消えろってことだよ。

>>519
ちょっと言い過ぎたたな。すまん。

>>517
ROMってる香具師は漏れも含めてたくさんいるでしょ。

>>519
誤解のないように言うと>>517は君に言ったんじゃないよ。
問題をまったく解こうとしないで、ただ解答を見るだけの
奴に言ったわけだ。

>>523
問題と関係ないとすぐレスがつくな。

>>521
誰に言ってるんだ？

>>520
(20.1.3) には、こう書いてある。
「SをO_X の集合の層としての部分層で、開集合 U に対して Γ(U, S) が
Γ(U, O_X) の非零因子全体となるようなものとする・・・｣

つまり、上は仮定であり常に成り立つ主張とは書いてない。

補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をスアフィンキームの射とする。
Y の点 P に対して κ(P) を P の剰余体とする。
f^(-)(P) は 位相空間として Spec(A (x) κ(P)) と見なせる。
ここで、A (x) κ(P) は、A とκ(P) の B 上のテンソル積である。

証明
0 → PB_P → B_P → κ(P) → 0 が完全だから、
A (x) PB_P → A (x) B_P → A (x) κ(P) → 0 は完全である。
A (x) B_P = A_P だから、A (x) κ(P) = A_P / PA_P と見なせる。
これから、補題の主張は明らか。

>>489 の解答
Hartshorne II Ex. 3.5

f: X → Y をスキームの射とする。
任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき
f を準有限射という。

(a) 有限射は準有限射であることを示せ。

証明
f はアフィン射だから X、Y を共にアフィンと仮定してよい。
X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。
Y の点 P に対して κ(P) を P の剰余体とする。
>>528 の補題より f^(-)(P) は Spec(A (x) κ(P)) と見なせる。
f はアフィン射だから A は B-加群として有限生成である。
したがって、A (x) κ(P) も、κ(P) 上有限生成。
故に、A (x) κ(P)　はアルティン環である。
アルティン環の素イデアルは有限個だから、f は準有限射である。

>>527
そうすると、そういう特別な仮定が成り立つときにのみ、有理形関数を
定義するっていうことなの？

>>527
原文は次のようになってます。
(20.1.3) Nous allons nous interesser ici au cas ou S est le sous-faisceau S(O_X)
de O_X tel que pour tout ouvert U, Γ(U, S) soit l'ensemble des elements reguliers
de l'anneua Γ(U, O_X);
"le sous-faisceau S(O_X)"と定冠詞が付いてたりするんで、「仮定」という感じ
ではないかなという気がしたんですが・・・

補題
X を位相空間とし、
開集合 U_i が X の被覆をなすとする。
X の部分集合 F が閉集合であるためには、
各 U_i ∩ F が U_i の閉集合であることを示せ。

証明は簡単だから省略。

>>531
｢我々は、ここでは、・・・となる場合に興味がある。｣
と書いてある。これからも仮定であることがわかる。

補題
f: X → Y を位相空間の射とする。
開集合 U_i が Y の被覆をなし、
各 i に対して、f の f^(-)(U_i) への制限が閉写像とする。
このとき、f も閉写像となることを示せ。

証明
f の f^(-)(U_i) への制限写像を f_i と書く。
F を X の閉集合とする。
f(F) ∩ U_i = f_i(F ∩ f^(-)(U_i)) となる。
仮定から、f_i(F ∩ f^(-)(U_i)) は U_i の閉集合である。
>>532の補題から、f(F) は Y の閉集合である。

>>489 の解答の続き
Hartshorne II Ex. 3.5

(b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の
f による像は閉集合となる。

証明
f はアフィン射だから>>534の補題より X、Y を共にアフィンと
仮定してよい。
X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。
X の任意の閉集合 F をとる。
F = V(I) と書ける。ここで I は A のイデアル。
Ψを f に付随する射 B → A とする。
標準的な単射 B/Ψ^(-1)(I) → A/I が存在する。
f は有限射だから、A は B-加群として有限生成である。
従がって、A/I も B/Ψ^(-1)(I) -加群として有限生成である。
故に、A/I は、部分環 B/Ψ^(-1)(I) の上に整である。
Cohen-Seidenberg の定理から、Spec(A/I) → Spec(B/Ψ^(-1)(I))
は全射である。これは、f(V(I)) = V(Ψ^(-1)(I)) を意味する。
即ち、f は閉写像である。

>>489の(c) の例が思い付かないので、先に進む。

>>490 の解答の続き
Hartshorne II Ex. 3.6

スキーム X の各開集合 U に対して、O_X(U) が整域となるとき
X を整スキームという。

X を整スキームとする。X の生成点 ζ における局所環 O_ζは
体であることを示せ。これを X の関数体と呼び、K(X) と書く。
U = Spec(A) を X の任意の開集合としたとき、K(X) は A の
商体と同型であることを示せ。

証明
ζは生成点だから、U はζを含む。
局所環の定義から、(O|U)_ζ = O_ζである。
X は整スキームだから、A は整域である。
したがって、ζは A の 0 イデアルに対応する。
故に、O_ζは A の商体と同型である。

上のほうで(例えば>>529で) ｢f はアフィン射だから｣と書いたのは、
｢f は有限射だから｣の間違い。ビール飲み飲み書いてるもんで。(汗

>>521
誤解のないように言っておくが、俺は５０過ぎの社会人だ。
俺って、つまり上で問題を書いたり解いてる奴のこと。
酒を飲みのみな。ｗ

usodaro

>>540
嘘じゃないよ。Hartshorne の講義を 1973年頃に聞いたと書いた
のも俺だし、問題の解答を書いた時刻を見てみろ。
平日は、夜しか書いてないだろ。
つまり、平日の昼間は働いてるわけだ。

オマンコわっしょい！

>>533
んじゃ「仮定」なのかもしれないけど、そうすると有理形関数は
そういう特別な仮定が成り立つときにのみ定義できる/するって
いうことなんでしょうか？

しわだらけの中級の管理職ついたようなおっさんが
普通の人間なら誰もしらないような知識と技術を使って
問題を解くのか
なんで働いてるの？自分の道に後悔してる？若い僕たちになにかアドバイスはありますか？
煽ってるわけじゃないのでいやならスルーしていいですです

>>544
しわだらけじゃねえよ。俺は体も心も十分若いよ。
俺に気をつかわなくていい。タメ口きいていいよ。
なんで働いてるか？ 愚問だな。
俺は後悔なんかしてないよ。
アドバイスなんか、思い浮かばんな。
いいから問題を解け。

>>543
それ以外考えられるか？

>>543
スキームなら｢仮定｣が成り立つんだから、問題ないだろ。
X をスキームと思って読んでればいい。

>>546
たとえば、
Γ(U, S) = {s∈Γ(U, O_X | ∀x s_x∈O_x が非零因子}
と定義すれば、任意の環付き空間に対してSを定義できて、X が
スキームや解析空間のときは、Γ(U, S) = 「Γ(U, O_X) の非零因子全体」
となると思うんですが、こういう定義は意味ないっていうことですか？

それと「仮定」にしては、書き方が曖昧のような気がしないでもない。

>>547
Xがスキームの場合なら別に問題ないけど・・・って
最初から書いてあるだろ！ なんでそんな高飛車な言い方するのかよくわからん。

547 さんはあまりあてにならないことが判明したので、520 の質問に誰か
答えてもらえると嬉しいです。
EGA IV は以下で見ることができます。
http://archive.numdam.org/article/PMIHES_1967__32__5_0.pdf

>>549
別に高飛車のつもりはない。最初から書いてないと俺が言ったか？
スキームの本なんだから、スキームと思って読んでればいいと言った
だけ。質問者が妙に拘ってるんでな。

>>549
解答した人に向かって、そのいい草はないだろ。
俺が正しかったらどうする？

>>551
書き方が悪かったです。すいません。
だけど、そもそも一般の環付き空間で有理形関数の定義がどうなるのか
ってのが僕の疑問だったので、「スキームなら問題ない」じゃ答えにな
ってないんです。

>>520
＞これ、局所環付き空間だけど、「非零因子全体からなる層」は定義できませんよね？
　
自信ないけど一般には「非零因子全体｣は層でないに１０００あやや。
てか>>520は確かに反例になってるに１０００あやや。

>>550
いった本人が｢別に高飛車のつもりはない。｣っていう問題じゃないだろ？
高飛車かどうかは言った本人じゃなくて言われた側が感じることだろ？バカ？

>>550
誤解のないように言っておきますが、554は僕じゃないです。

>>552
だから、君も書いてるように一般の環付き空間では非零因子全体は
層にはならないから、あの本のやり方では有理型関数は
定義出来ないでしょ。

>>554
じゃ何か、俺がお前を高飛車と感じれば、罵倒してもいいのか？

>>557
いやだね。他人に高飛車な言い方はやめろっていわれたら自分にそのつもりがなくても
｢あ、言い方まずかったですか。すいません。｣っていうのが普通の会話だろ？
高飛車な言い方は絶対するなとはいわん。人間なんだから思わず言葉がすぎてしまう
ことだってあるだろう。でも自分の言葉で他人に｢その言い方は高飛車です｣と
指摘されたら｢そうかもしれない。わるかった。｣っていうのが普通だろ？ちがうか？
もちろん全然言葉の解釈が言われた側の勘違いに起因することもあるだろうけど
このスレで何度も指摘されてるとうりあんたの他人に対する人を見下したような書き方は
目に余るンだよ。わからんかそれが？なんども指摘されてるのに？なんど指摘されても
わからんから｢あなたはバカですか？｣ってきいたのよ？これだけわかりやすく書けばわかる？

>>558
よほど癪に障ったらしいな。だけど俺のこと誰と思ってんの？

このスレでなんども他人を見下したような書きこみをしてる香具師。ちがうのか？
ちがうんだったらスマ。

>>560
違うよ。問題を解いてるのは俺だが。

あっそ。スマ。でも>>520さんの質問にたいする君の受け答えは他人のオレから見ても
すくなからず高飛車にみえる。
>>520さんだってそう感じたんだから。それに対して>>550はないと思う。
表情が見えない掲示板なんだしお互い楽しくひまつぶしするために２ｃｈやってんだから
もうすこし慎重に言葉をえらぶべきだと思う。

>>558
一丁前の口をたたく前に問題の一つも解いて解答を書いたらどうだ？
ここは、問題を解くのがメインのスレだ。俺の解答以外のレスなんか
気にするなよ。俺の人格も関係ないだろ。そうだよ俺は人でなしの
悪人だよ。それがどうした？ 問題を解くのとの何の関係がある？

忠誠98の鍾会が登場一ヶ月目に寝返りますた
あいたたた…

>>562
君は2chの初心者か？ ここでは口の悪いのは当たり前なんだよ。
あれのどこが高飛車なんだ？

2ch上級者(・∀・)ｶｺｲｲ!

>>564
忠誠98の鍾会って？

こんなところでしか、ドロップアウターや使えない助手は自尊心を保つことができない。

>>547を丁寧に書くとこうなる。
スキームなら｢仮定｣が成り立つんですから、問題ないと思います。
X をスキームと思って読んでいけばいいのではないでしょうか。

前と内容はまったく同じだろ。どこが高飛車なんだよ？

>>568
馬鹿野郎。

>>566
とんでもございません。あなた様に較べれば、私なんてとても足元にも及びませんです。

>>491を誰か解いてくれないか？
俺に見下された思って怒ってる奴、チャンスだぞ。
俺を見返してくれよ。

その前に572は誰なのか。

俺だよ、俺

>>574
勝手に俺に成り代わるなよ。冗談としても許せない。

俺も俺

>>576
馬鹿野郎。紛らわしいこと言うなよ。子供じゃないんだろ。
屁理屈こくな。

520 です。あー、なんかわけわかんなくなってますね・・・

とりえあず「高飛車」って言ったのは謝りますので、その話題はもう
やめませんか?

520 について誰か助言もらえると嬉しいです。

謝っても高飛車は高飛車。

問題解けないからって荒らすなっちゅうに。

自分にとって都合の悪い書き込みは荒らしですか？

はい

>>578
EGAのあそこは、非零因子全体が部分層になるような環付き空間を
考えようと言ってるわけです。必ずしもスキームとしないのは、
複素多様体などの例もあるからでしょう。なるべく条件を弱くしようと
するのはGrothendieckの思想でもあるわけです。そのほうが、
問題の本質が見えやすい場合が多いからです。

>>578
レスありがとうございます。
そうすると、一般に有理形関数っていうのは「非零因子全体が部分層になる」
という仮定の下でのみ考えるっていうことになるわけですか？
たとえば520の例のような特殊な環付き空間では、有理形関数は
定義しない（できない？）ということでしょうか？

スマソ。
上の「>>578」は「>>583」の間違い。

>>584
EGAでの定義ではそうなりますね。

補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
さらに、A, B は整域とする。
f が支配的なら、付随する射 ψ: B → A は単射である。

証明
Ker(ψ) が 0 でないとする。h を 0 でない Ker(ψ) の元とする。
B は整域だから h はベキ零ではない。従がって、D(h) は空でない。
f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) = D(0) となるが、D(0) は空集合である。
つまり、D(h) ∩ f(X) は空である。これは、f(X) が Y で稠密で
あることに反する。

∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい

補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
A, B は整域とする。
f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。
このとき、X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である

証明
>>587の補題より、B ⊆ A と考えてよい。
>>528の補題より、Y の生成点 ζにたいして、
f^(-1)(ζ) = Spec(A (x) K) と見なせる。
ここに、K は Y の関数体、即ち B の商体であり、
A (x) K は A と K の B 上のテンソル積である。
f は有限型射だから>>511より A は B 上の有限生成の代数である。
従がって、A (x) K も K 上有限生成な代数である。
A (x) K は、A の 積閉集合 B - {0} による局所化であるから、
L を X の関数体としたとき、A (x) K ⊆ L と考えてよい。
さらに、A (x) K の商体が L であることも明らか。
さて、f は生成的に有限だから、Spec(A (x) K) は有限集合である。
即ち、dim A (x) K = 0。これは、L が K 上代数的であることを意味する。

補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
A, B は整域とする。
f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。
このとき Y の稠密な開部分集合 U が存在し、
f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。

証明
>>589の補題より、B ⊆ A と考えてよい。
さらに、A の商体 L は B の商体 K の有限次拡大である。
A は B 上の代数として有限生成だから、その有限個の
生成元を a_i とする。各 a_i は K 上代数的であるから、
b_i0 (a_i)^n + b_i1 (a_i)^(n-1) + ... + b_in = 0 となる
B の元 b_ij が存在する。この式の両辺を b_i0 で割ること
により、a_i は B[1/b_i0] 上整であることがわかる。
各 i にわたる b_i0 の積を b とする。各 a_i は B[1/b]
の上に整となる。従がって、A[1/b] は B[1/b] 上整となる。
A[1/b] は B[1/b] 上の代数として有限生成だから、
加群としても有限生成となる。
U = Spec(B[1/b]) とすれば、f^(-1)(U) = Spec(A[1/b])
だから、>>488より、f^(-1)(U) → U は有限射である。

まいった。降参。
>>491のHartshorne II Ex. 3.7 がわからない。
>>590で証明したように、X と Y がアフィンなら成り立つ。
しかし、一般の場合の証明が出来ない。
誰か証明してくれ。

Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化)

スキーム X の各局所環 O_x が整閉整域のとき、
X を正規スキームと呼ぶ。
X を整スキームとする。各アフィン開集合 U = Spec(A) に
対して、A~ を A のその商体における整閉包とし、
U~ = Spec(A~) とおく。各 U~ を張り合わせて X の正規化と
呼ばれるスキーム X~ が得られることを示せ。
さらに、射 : X~ → X が存在し、次の普遍性を持つことを
示せ。任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 f: Z → X
に対して、f は Z → X~ → X と一意に分解する。
もし、X が体 k 上有限型であれば、X~ → X は有限射である。

Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)

代数多様体の圏においては、二つの代数多様体の積の
ザリスキ位相は、積位相と一致しないことを思い出そう(I Ex.1.4)。
では、スキームの圏では、スキームの積の点集合は、積集合にさえも
ならないことを見よう。

(a) k を体とし、A^1 = Spec(k[x]) を k 上のアフィン直線とする。
A^1 x A^1 = A^2 (同型) を示せ。ここに、A^2 = Spec(k[x, y])
であり、A^1 x A^1 は、A^1 と A^1 の Spec(k) 上のファイバー積
である。さらに、積 A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積
とは一致しないことを示せ(たとえ k が代数的閉体であっても)。

(b) k を体とし、s, t を k 上の不定元とする。Spec(k(s)),
Spec(k(t)), Spec(k) はすべて一点からなる集合である。
Spec(k) 上のファイバー積 Spec(k(s)) x Spec(k(t)) とは何か
を説明せよ。

俺の目的の一つは、Hartshorneの問題を解くことだ。
一人で解いてるとどうしても甘えが出てくる。
分かるよね？ こうやって公に解答を書くことにより
真剣味が出てくる。それと解答のチェックもして欲しい。
もう一つの目的は、他人の解答を見てみたいということ。
それと自分の解答を較べるわけだ。別証を知りたいということも
ある。これらが全ての目的ではないが。例えば、偽善ぽく言うと
解答を提供して誰かの役に立てれば嬉しいとか。
ひとでなしの言うことなんであまり信用出来ないが。

定義
f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
k(y) を y の剰余体とし、Spec(k(y)) → Y を標準射とする。
このとき、X_y = X x Spec(k(y)) を 射 f の y 上のファイバー
と呼ぶ。ここで、X x Spec(k(y)) は Y 上のファーバー積である。

Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
sp(X_y) は、f^(-1)(y) と位相同型であることを示せ。
ここで、sp(X_y) は、f の y 上のファイバー X_y の台位相空間を
あらわし、f^(-1)(y) は、X の部分空間としての位相を考える。

(b) X = Spec(k[s, t])/(s - t^2), Y = Spec(k[s]) とし,
f: X → Y を s → s により定義される射とする。
y ∈ Y を点 a ∈ k, a ≠ 0 とする。このとき、ファイバー X_y
は、２点からなり、剰余体は k であることを示せ。
y が点 0 ∈ k に対応する場合は、X_y は被約でない１点からなる
スキームであることを示せ。
ηが Y の生成点のとき、X_ηは１点からなるスキームであり、
その剰余体は、ηの剰余体の２次の拡大体であることを示せ
(k を代数的閉体と仮定せよ）。

定義
閉埋入とは、スキームの射 f: Y → X で、sp(Y) から sp(X) の
閉部分集合への位相同型を誘導し、さらに
f による誘導射 O_X → f_*(O_Y) が全射となるものをいう。
スキーム X の閉部分スキームとは、閉埋入の同値類をいう。
ここで、f: Y → X と f': Y' → X は、同型 i: Y'→ Y で
f' = fi となるものが存在するとき、同値という。

Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)

(a) 閉埋入は基底の拡大で安定である：
すなわち、f: Y → X を閉埋入とし、X' → X を任意の射とする。
このとき、Y x X' → X' も閉埋入である。
ここで、Y x X' は X 上のファイバー積である。

今ふと思ったんだが、Hartshorneの演習問題を翻訳したら
まずくないか、著作権上？

>>599
いまさら何を。
翻訳どころか､解答集を発表するのだって著作権に触れますが何か？

>>599
別に大丈夫じゃない？ Springer や Hartshorne が２チャンを訴えたりするか？

>>600
解答だけならいいんじゃないか？

どこの国のどの法律の話をしているのか明確にしなければ意味はない。

著作権なんてそんな野暮なこと言われるわけない

「閉埋入」ｲｲ！

>>604
と言いながら写真屋とかをＭＸとかＮＹでパクって来る香具師

解答だけにするか

>>607
別に気にしなくていいと思うけど・・・

ベクトル図形の問題です。
三角形を表すベクトル方程式を１つ作りなさい。

定義
X を整スキームとする。
X~ を正規な整スキームとし、射 f: X~ → X が以下の性質を
持つとする。
U = Spec(A) を X の任意の空でないアフィン開集合とする。
f^(-1)(U) は、Spec(A~) と同一視され、射 f^(-1)(U) → U は
自然な射 Spec(A~) → Spec(A) と見なせる。ここで、A~ は、A の
商体における A の整閉包である。
このとき、X~ を X の正規化と呼ぶ。

>>609
スレ違い。

(´･∀･｀)ﾍｰ

補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X が正規なら、A は、その商体において整閉である。

証明
定義から A の各局所環は整閉である。
これから、A も整閉である。

補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
A~ を A の商体における A の整閉包とする。
X~ = Spec(A~) は>>610の意味の X の正規化である。

証明
f: X~ → X を標準射とする。
U = Spec(B) を X のアフィン開集合とする。
f^(-1)(U) は Spec(A~ (x) B) と見なせる。
ここに、A~ (x) B は、A 上のテンソル積。
f^(-1)(U) の商体は、X~ の商体、即ち X の商体である。
f^(-1)(U) は正規であるから、>>613の補代より
A~ (x) B は整閉である。これから、A~ (x) B は B の整閉包
である。

補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X~ を>>610の意味の X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X
に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。

証明
U = Spec(B) を Z の任意の空でないアフィン開集合とする。
g の制限 U → X を考える。
g は支配的だから、A → B は単射である。
B は整閉だから、A → B は、A → A~ → B と一意に分解する。
即ち、U → X は、U → X~ → X と一意に分解する。
U は任意の空でないアフィン開集合であったから、
補代がいえる。

補題
X 整スキームとする。
X~ を>>610の意味の X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X
に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。

証明
U = Spec(A) を x の任意の空でないアフィン開集合とする。
>>615より、g^(-1)(U) → U は、g^(-1)(U) → f^(-1)(U) → U
と一意に分解する。これより、補題がいえる。

補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X~ = Spec(A~) を X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
U を X の任意の空でない開集合とする。
f^(-1)(U) は、U の正規化である。

証明
>>614より明らか。

ここは派手なオナニースレですね。

>>592の証明
Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化)

証明
整スキーム X の各アフィン開集合 U = Spec(A) に対して、
A~ を A のその商体における整閉包とし、
U~ = Spec(A~) とおく。f_U : U~ → U を標準射とする。
V をもう一つのアフィン開集合 V = Spec(B) とする。
>>617より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) は、U ∩ V の正規化である。
同様に、(f_V)^(-1)(U ∩ V) も、U ∩ V の正規化である。
正規化の一意性(>>616)より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) と
(f_V)^(-1)(U ∩ V) は同型である。これより、U~ を
張り合わせてスキーム X~ が得られる。
これが X の>>610の意味の正規化であることは、明らか。
普遍性は、>>616から出る。
X が体 k 上有限型であれば、X~ → X が有限射である
ことは、k 上有限生成の整域 A の整閉包が A 上有限加群と
なる(環論の本を参照)ことからわかる。

>>592は演習問題ってレベルじゃないよな。
こんなの普通の初心者が解けるわけない。

普通の初心者にはHartshorneはお勧めできない。

>>621
例えば、Reid の本の知識があったらとしたら？
勿論、環論の知識(A-M 程度)は当然あるとして。

Reidでは足りない
Mumfordせめてfultonくらいが必要
ここまでが一章
二章以降は
ホモロジー代数も必要
つーか初めてスキーム勉強するのにHartshorneってのはよくなくない？
層だってぜんぜん不十分の記述だしさ
他の本で補いながら進まないと何も身に付かないんじゃないかな
やっぱHartshorneはガイドブックなんだよ　間違いない

>>623
EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。
ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg,
Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ
FACも読んどいたほうがいいな。

>>489
Hartshorne II Ex. 3.5
(c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。

この間から考えていてやっと見つけた。

A = Z[X] / (2X^2 + 1) とおく。
ここで、Z は有理整数環．
f: Spec(A) → Spec(Z) を標準射とする。
U = Spec(Z) - {(2)} とおく。
f^(-1)(U) → U が (c) の条件を満たす。

>>624
>EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。
>ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg,
>Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ

EGA 読む「前に」これら全部読んどきゃなきゃだめですか？ それは
ちょっとキツすぎるっす。

>>623
>Mumfordせめてfultonくらいが必要
Mumford っていってもいろいろあるけど、Springer の
"Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties" のこと？
Fulton は "Algebraic Curves" のことかな？

>>626
全部読む必要はまるで無い。必要なときに参照すればいい。
ただし、可換代数の基礎的なことはやっておく必要はある。
Atiyah-Macdonald がいいだろう。それとホモロジー代数の
基礎的なこともやっておいたほうがいい。河田なんかいいかも。

誰か、問題を解いてくれないか？
俺一人解くだけじゃつまらない。

>>629
解ける香具師がいりゃぁ解くだろぉよ。ウダウダ言うねぃ。

>>628
助言ありがとうございます。
Atiyah-Macdonald と河田ホモロジー代数はだいたい読み終えているので
EGA チャレンジしてみようと思います。
しかし EGA I〜IV をすべて制覇するのにどのくらい時間かかるかな。
ちょっと怖い気もするが・・・

実際、今の代数幾何の研究者の中で、EGA を読破した人って何割くらい
なんでしょう？ やっぱみんな読んでるんでしょうか？

研究者なら読んでるんじゃねーの？

>>631
EGAは通読するものじゃないだろう。レファレンスとして使うのがいい。
Hartshorneの補助として使うのがいいんじゃないか？

それと前にも書いたが、EGAを読む前にFACを読んどいたほうがいい。
FACは分かりやすいし、重要な論文だ。

↑本の名前ばっかいってないで問題解けば

俺は、位相幾何が専門だが、Hartshorneは輪講に参加させてもらった。

>>636
俺(>>635)がずっと解いてるんだが。
お前こそ解けば。

おま女

>>638
解けない

代数幾何はやることが多すぎで並みの人間には近寄りがたい雰囲気をかもし出している。

ふと思ったのだけど、これの解析概論バージョンをやれば多くの人が
参加できるんじゃない？

多くの人が参加できたら何か？

あんまりうれしくないな。

>>641
それは言える。代数幾何は数論とならんで深いからね。
他の全数学を道具とすると言っても過言ではない。

じゃあ p 進（簡約群あたりの）表現論やろうよ。というか、俺は出来ないのでやってくれ。

>>635
ありがとうございます。FAC 読んでみます。
ところで EGA 全部読んだっていう人いましたら、どの位時間かかったか
参考までに教えてもらえませんか？

いねーよ

つーか、そんなことやるぐらいなら、もっとやりたいこと勉強したほうがいいよ。

>>647
EGAを通読するなんて考えないほうがいい。
それより、シャファレビッチとかマンフォードのred book などの
代数幾何の入門書をまず読んだほうがいい。

入門書をセミナー用に読んだ人、TeX でうｐｷﾎﾞﾝ。

>>651
ﾊｧ?

Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)
(a)
k[X] (x) k[Y] = k[X, Y] (同型) だから、A^1 x A^1 = A^2 (同型)
となる。ここで、k[X] (x) k[Y] は k 上のテンソル積。

ここで簡単のため、k を代数的閉体とする。A^2 = Spec(k[X, Y]) は、
集合として、以下の素イデアルからなる。
(1) 生成点： 零イデアル
(2) 既約多項式により生成される単項イデアル
(3) 極大イデアル (X - a, Y - b)。この全体は、k x k の点と１対１に
対応する。

これから、A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積
とは一致しないことがわかる。

↑は>>593の解答

>>593の解答
Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)

(b)
Spec(k(s)) x Spec(k(t)) = Spec(k(s) (x) k(t))である。
k(s) (x) k(t) = k(s)[t]_S である。
ここに、S = k[t] - {0} であり、k(s)[t]_S は、環 k(s)[t]
の S による局所化である。
k(s)[t] の素イデアルは、k[s, t] の既約多項式で生成される
単項イデアルで、k[s] に含まれないものと零イデアルに
１対１に対応する。従がって、Spec(k(s) (x) k(t)) は、
k[s, t] の既約多項式で生成される単項イデアルで、k[s] にも
k[t] にも含まれないものと零イデアルに１対１に対応する。

>>651
そもそも、TeXで書き写すやつなんているのか・・・。

漏れはM1のときのセミナーでは、やったことをTeXで書いたノートを出せと
言われて、毎週必死こいてTeX打ちしてたぞ。

>>596の解答
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(a)
f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
f の y 上のファイバーは、X_y = X x Spec(k(y)) である。
ここで、k(y) は y の剰余体で、X x Spec(k(y)) は
Y 上のファイバー積である。
射影 X x Spec(k(y)) → X を p とする。
射影 X x Spec(k(y)) → Spec(k(y)) を q とする。
以下の図式は可換である。

X x Spec(k(y)) --> Spec(k(y))
↓ ↓
X ---------------> Y

>>658の続き。

z ∈ X_y とする。
ファイバー積の定義から、
f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は
標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。
逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。
g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。
ここで、ζはk(x)の生成点である。
f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。
これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。
fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に
存在し、pφ = g, qφ = j となる。
φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。
この z は、φの一意製より、一意に定まる。
以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として
sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。
U を X のアフィン開集合とすると、
U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、
>>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

>>659
>U を X のアフィン開集合とすると、
U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、
>>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

これを、以下のように訂正する。
x ∈ X で f(x) = y
U を X のアフィン開集合、V を Y のアフィン開集合とし、
x ∈ X, y ∈ V, f(U) ⊆ V とする。U x Spec(k(y)) を V 上の
テンソル積とする。U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と
位相同型であることは、>>528よりわかる。
故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

>>657
いい先生だね(ﾏｼﾞ

じゃぼくもＨａｒｔｓｈｏｒｎｅ読むわ
層のとこからゆっくり

61ページの(3)のとこで
Note condition(3)implies that s is unique
ってあるけどどういうこと？何に対してユニーク？
(3)の条件って層の既約性のことだと思うけど
これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）を除くためのものって理解してた
ちがう？

既約だからユニークなんだろうけど、なんで既約っていうのかは知らん

>>662
貼り合わせがユニークに存在するっていうこと。
(3) ∀i s|V_i = 0 ⇒ s = 0
っていう条件は、
(3)'∀i s|V_i = t|V_i ⇒ s = t
と書き換えられることに注意。

> (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど
> これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）
> を除くためのものって理解してた
> ちがう？

これはちょっと言っていることがいまいち掴めませんが（「A.S.前層」って何でしょう？）、
(3) の条件を満たさない前層なんていくらでも存在しますよ。「特殊な例」っていう感じじゃない。

>>659
>φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。
この z は、φの一意製より、一意に定まる。

これは、説明不足だった。
p(z) = p(w) として、z = w を言うには、k(z) と k(w) を
共に含む体 K を考え、Spec(K) → X x Spec(k(y)) の一意性を
言う必要がある。後は>>659と同様。

>>596の解答
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(b)
a ∈ k とし、k[s] のイデアル (s - a) を P とする。
これは、k[s] の極大イデアルである。
B = k[s, t] と置く。
ファイバー X_y は、Spec(B/(s - t^2) (x) k(y)) であり、
これは、B_P/(P(B_P) + (s - t^2)B_P) に
等しい。さらに、これは k[t]/(t^2 - a) に等しい。
これより、(b) の前半がでる。
ηが Y の生成点のとき、X_ηはSpec(k(s)[t]/(s - t^2)) となる。
これより、(b) の後半がでる。

>>598の解答
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)

(a)
問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I),
X' = Spec(C) と仮定してよい。
Y x X' = Spec(C/IC) であり、Spec(C/IC) → Spec(C)
が閉埋入であることから分かる。

>>664
おーそういうことか　なるほど　ありがとう！

P^1 上の O(1) の R 値点全体ってメビウスバンド？

>>667の補足
>問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I),
X' = Spec(C) と仮定してよい。

Hartshorne II Ex. 2.18d を使う。

>>664
＞「A.S.前層」って何でしょう？
河田のホモロジー代数にのってるよ。

Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)の解答

(b)
Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、
Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。
y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。
Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U
がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。
V_g' = D(g) ∩ Y となる。
ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と
制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、
V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。
さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の
アフィン開集合を以下のようにとる。
まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の
D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で
D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。
この D(f_i) の存在は上で証明されている。
Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは
有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから
D(f_i) 全体も有限個に出来る。
これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。
Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって
Y = Spec(A/I) となり Y → X は 自然な Spec(A/I)→ Spec(A)
と見なせる。
証明終

俺は、>>672を解くのに２日くらいかかった。勿論、その間ずっと
考えていたわけじゃない。ヒマな時に考えてたわけだ。
>>672は｢*｣が付いた問題だから少しは自慢していいかな？

>>417
>与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。

これ、わかる人いない？

岡潔は、数学の問題は情緒によって解くと言っていた。
これは、小平の数覚とも通じる。ペンローズの言うプラトン的世界とも
通じるな。

>>675
まあ、Hartshorneの問題を解くくらいのことでは、あまり関係ない
かもしれないが。

>>673
ｲｲ！(・∀・)

なぜ多様体を環付き空間と考えるのですか？
歴史的にはどのように発生した概念なのですか？
動機付けを教えて下さい
よろしくお願いします

>>678
歴史的にはカルタンが多変数複素関数論における岡の理論に
ルレイによる層およびそのコホモロジー論を応用したことに始ま
ると思う。岡の不定域イデアルが層と同じものと見抜いたから
じゃないか。クザンの問題は、層コホモロジーの問題として解釈
するのが一番すっきりする。

そしてThomは来日時、岡に会って感動したとか。

層を初めて導入したルレイはもっと認められていい。
層、層のコホモロジー、スペクトル系列。このすべてを
独力で開発した。驚くべき独創だな。彼に較べたら、
カルタン、セールなどは、独創的という面では１段落ちる。

>>674
n次monic既約多項式の個数がわかればよい。
一発でわかる公式があるかどうかは知らないけど、
帰納的に、可約多項式の数を組み合わせで算出して求める以外に方法ある？

>>417
＞Hartshorne II Ex. 2.11.
＞k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。
＞Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。
　この解答、ｋの代数閉包に、ｋ上の絶対ガロア群を作用させて出来る軌道としては駄目ですか？
（フロベニウス作用がひっかかるんです。誰か教えて！）

>>682
有限体 F_p 上の n次monic既約多項式全体の積をφ_n(X)とする。
Πφ_m(X) = X^(p^n) - X である。ここに、左辺の積は、n の正の
約数全体に渡るものとする。
これから、Σdeg(φ_m(X)) = p^n となる。
メビウスの関数 μ(n) をμ(1) = 1,
n がr個の互いに異なる素数の積のとき、μ(n) = (-1)^r,
上記以外のとき μ(n) = 0 で定義する。
メビウスの逆変換公式より、deg(φ_n(X)) = Σμ(m) p^(n/m) となる。
ここに、右辺の積は、n の正の約数 m 全体に渡るものとする。
これから、n次monic既約多項式の個数は
(Σμ(m) p^(n/m)) / n となる。

これであってると思うけど。面倒なんで、確かめてない。

>>683
それでいい。

>>683
「フロベニウス作用がひっかかる」って具体的に何がひっかかるの？

>>682
「体とGalois理論」に非常に詳しく載ってまっせ。

>>684
メビウス函数を使えば、スッキリとやれるんだ！納得！！

>>591
>>491のHartshorne II Ex. 3.7だけど、X と Y がアフィンの場合を示してある
のであれば次のようでいいんでない？

f が有限型であるから、空でないアフィン開集合 U = Spec B' ⊆ Y と f^-1(U)
のアフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して A_i
は B' 上 of finite type。各 V_i 上の誘導射f_i: Spec A_i → Spec B' は
generically finite であり（∵Xの生成点ηはUに入りf_i^-1(η)⊆f^-1(η)
だから）、また支配的である（∵Xが既約であるからV_iは稠密、よって
Y = Cl(f(X)) = Cl(f(Cl(V_i))) ⊆Cl(f(V_i))）。
よって「アフィンの場合」より f_i は finite。よって finite 射の定義（および
Ex. 3.4 >>488）より f^-1(U) → U は finite。以上。

はずしてたらスマソ。

>>689
f^-1(U)がアフィンであることを示す必要があると思うんだが。

>>690
ほんとだ。やっぱ思いっきしはずしてた（汗
ちゃんと考えてみます。

>>591
>>491のHartshorne II Ex. 3.7 の解答。
よく考えてやってみました。こんどはハズしてないといいんだが・・・

まず次の補題を示す。
【補題】
A を整域、B をその部分整域とし、A は B 上整とする。このとき、
p ∈ Spec A、p ∩ B = 0 ⇒ p = 0。
証明： p = 0 とし、x∈p-{0} をとる。x は B 上整であるから
x^n + b_1*x^(n-1) + ... + b_n = 0、b_1, ..., b_n ∈ B
となる次数最低の多項式をとれる。
b_n = -x(x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1)) ∈p
であり、b_n = 0 とすると x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1) = 0
となり次数が最低であることに反するから b_n ≠ 0。よって b_n ∈ p ∩ B ≠ 0。

>>692 の続き
【Hartshorne II Ex. 3.7 の解答】
X の生成点をξ、Y の生成点をηとする。
まず、f^-1(η) = {ξ} を示す。
ξ'∈f^-1(η)とし、Y の空でないアフィン開集合 U' = Spec B をとる。η∈U
だからξ, ξ'∈f^-1(U')である。f^-1(U') の空でないアフィン開部分集合
V' = Spec A で、ξ'の近傍となっており、かつ A が of finite type over B
であるものをとって f': V' → U' を考えると、f'は明らかにgenerically finite
であり支配的であるから、「アフィンの場合」よりf'は finite。付随する準同型
B → A を考えれば、ξはAの零イデアル、ηはBの零イデアルに対応しており、
ξ' に対応する A の素イデアルを考えれば、補題から ξ' = ξ となる。
次に、f が有限型であるから f^-1(U') の有限アフィン開被覆 V_i = Spec A_i
（各V_i は空でないとする）が存在して各 A_i は B 上 of finite type。
上と同様の議論により f_i: V_i → U'は finite。
finite 射は特に閉写像（Ex. 3.5. (b) >>535）だから、f: V → U' も閉写像である。実際、S を V の閉集合とすると、f(S) = f(∪(V_i∩S)) = ∪f_i(V_i∩S)
であり右辺は閉集合の有限和だから f(S) は閉集合。
今、W := ∩V_i とおく。i が有限だから W は空でない開集合であり、f が閉写像
であることから f(V - W) は U' の閉集合。また、f^-1(η) = {ξ} ⊆ W である
から、η は f(V - W) に入らず、よってf(V - W)≠U'。
U ⊆ U' - f(V - W) なる空でないアフィン開集合をとると、
f^-1(U) ⊆ f^-1(U' - f(V - W)) = V - f^-1(f(V - W)) ⊆ W。
よって、f^-1(U) は f_i^-1(U) (i はどれでもよい）と見なせるから、f_i が
finite であることから、f^-1(U) は affine であり f^-1(U) → U は finite
となる。以上。

>>693
スマソ。「V」の定義を書くのを忘れたが、単に V: = f^-1(U') ということ。

>>692
うーむ、ミスが多い・・・
補題の証明の「p=0とし」は「p≠0とし」の間違い。
スマソ。

>>693
>W := ∩V_i とおく。

これを読んだだけでピンときた。お主出来るな。
この調子で他の難しい問題もやってくれると有りがたい。

>>696
どうもです。
ところで翻訳済みでまだ解かれてない問題って残ってる？

>>625
ex.3.5(c)
は幾何的に考えると・・・って図書けないし・・・
とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。
Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、
SpecO_K-[P_1}→SpecZ
でいけると思う。

ex.3.7
は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」
だったような・・・

というか、ここまで読むのに（あんまり読めてない）めちゃめちゃ時間かかったし。

↑あれ、嘘やわ・・・prpper quasi-finiteならfiniteやけど・・・
ごめん出直してきます。

あ、ぼーっとしてた。
「f:X→Spec(k)」のときに>>698は正しいから大丈夫。

>>698
> ex.3.7
> は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」
> だったような・・・

すまん、言いたいことがよくわからないんだが・・・
ex 3.7 (>>491) を別の方法で解けるってこと？

えーっと何が大丈夫かと言うと
Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　がfiniteになるので解けてる。

それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は間違いがあると思う。
根本的に間違えてるかは分からんけど、irreducibleで無い限りXに生成点はないよね。
例えば題意を満たすようなＸを何枚かコピーしても大丈夫やし。
それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。
だから>>693の補題が正しい時点でもう証明は終わってる。

僕もそこまで真面目に考えてないんで間違えてたらごめんなさい。

あ、両方とも整スキームか・・・
風邪引いてるということで言い訳にさせて下さい・・・

>>702

> Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　
> がfiniteになるので解けてる。

これちょっとわからないんで、説明してもらえませんか？

> それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。

なるとは限らないです。

勘違いしてた。アホやった。確かに↑のおっしゃる通り。

だから、僕の考え方で解けてるかは分からんけど
f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteになるってのがぱっと頭に出て
それはkの有限生成代数でそのspecの個数が有限になる場合を考えるとArtin環しかないから。

ほんまごめんね、見てた皆さん。

generically finite だが quasi-finite でない例って
のはどういうのがあるのかな？

>>697
残ってないと思う。今後は翻訳しないで問題番号と解答だけ書くように
しないか？　著作権の問題もあるし、翻訳は面倒だし。

>>698
>とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。
Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、
SpecO_K-[P_1}→SpecZ
でいけると思う。

これが有限射でないことの証明はどうするのかな？

>>709
affine射にならないんじゃない？

>>710
だからaffine射にならないことの証明なんだけど。

ごめんなさいね、適当で。
えーと、SpecO_K-{P_1}がaffineだとするとO_Kのイデアルに対応してそれをIとする。
逆にイデアルに対応するからclosedとしてよく、よって{P_1}がopen pointになって矛盾。

>>709
698じゃないけど、整数環 O_K がPIDだったら、
確かに>>489の例になってると思う。

もっと具体的にしちゃえば、たとえば
f: Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] → Spec Z
とすれば、f は明らかに有限型、準有限で、f((2 - √-1)) = (5) だから全射。

だけど、1/(2 + √-1) ∈ Z[√-1, 1/(2 + √-1)] は Z 上整じゃないから、
特に f は有限射でない。

712 と 713、思いっきり矛盾してますねｗ

713 間違ってる？

>>713　だと思いっきり有限射になってるし

>>716
なぜ有限射？

なんか、話がかみあってないな。
Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = D(2 + √-1) = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)]
でしょ？ どうして affine じゃないんだ？

あれ、まだ間違えてるんかなぁ。
疲れたんで今日は寝ますね。ごめんなさい（熱上がったし・・・）

>>719
そう、きついことを言うようだが病気が完全に治ってから投稿してくれ。

>>720
病人ですがまた来てしまいました・・・寝てると考えることこればっかりなので・・・
また間違えてるかもしれないし、その時は指摘してください。

とりあえず>>712は間違えてます。イデアルに対応する、ってのが大嘘です。
だから>>698は今のところあってるか分かりません。
なんとなく幾何的に考えたんで、適当でした。

それとex3.7の方ですが
f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアルに対応するから整スキームより１点（genericのみ）
でこれは体の有限拡大K/kを表してます。
そのaffine近傍をとると、SpecB→SpecA　でB=A[x_1,・・・,x_n]という形。
（x_iは生成元で超越的とは限りません。）
またBの商体がK、Aの商体がkであるので、
x_i　はk上整でその最小多項式の分母の最小公倍元Nをとり、SpecAの開近傍U=D(N)とする。
Vをその逆像（上のSpec間の射での）とすると、V→Uはfiniteになっている（と思う←自信なくしつつある）

>>721
> それとex3.7の方ですが
> f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアル
> ...

なんか議論があいかわらず大雑把でよくわかりません。
上記の「証明」のギャップを細かく埋めてみてもらえませんか？
自信を取り戻すきっかけにもなるかもしれないよ。

>>721
具体的にいうと
> f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で
何で？

>左辺はXの極小イデアルに対応するから
「Xの極小イデアル」とは何？

>でこれは体の有限拡大K/kを表してます。
何故？

>そのaffine近傍をとると
どうとるの？

・・・という感じ

f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteなのは
「kが体なら　X→Speck　がfinite⇔quasi-finite&of finite type」を使う。
この「」の証明はk上有限生成代数で素イデアルが有限個な事からArtin環であることを使えばよい。
（これはきっと有名がlennmaなはず）

f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えるとその極小イデアルに対応してると言う意味。
今ｆXは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。
よって、Speck間のfinite射より有限拡大を表してる。

affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので
その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。

と思います。

>>724
> f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えると
f^(-1)(ξ) は空かもしれないけど、今の場合何故そうでないと言える？

>その極小イデアルに対応してると言う意味。
何故？

>今Xは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。
何が体？

> affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので
> その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。

最終的にはYの空集合U'をとってf-1(U')→U' がfiniteであることを言わなきゃいけないから、
この時点で「適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分」をとっちゃうとまずいと思うんですが。

スマソ。後半の「Yの空集合U'」は「Yの開集合U'」の間違い。

>>725
１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。
　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う）

２つ目　零イデアルの逆像だから。

３つ目　そのArtin環が体

４つ目　あれ、問題勘違いしてたわ。それなら僕の解等の後半はあかんわ。
　　　　　被覆の取り方とか工夫せんとあかんね。また考えます。

不自然な関西弁きもい。

>>727
>１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。
>　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う）
じゃあ、最初からちゃんとそう書かなきゃ。

> ２つ目　零イデアルの逆像だから。
なぜ？ f^(-1)(ξ) が一点なら確かにそうなるけど。今はまさにそれを示そうと
してるんじゃないの？ 話の順序が逆だと思うんだけど。たとえば今仮に f が
genrically finite という仮定をはずして f: Spec K[x, y] → Spec K[x] を考
えると、f の generic fiber f^-1(ξ) (=~ Speck K(x)[y]) の各点は K[x, y]
の極小素イデアルと対応している？ そうじゃないよね。

>>727
> ２つ目　零イデアルの逆像だから。
それとこれを読んでちょっと思ったんだが、もしかして f^(-1)(ξ)
の意味を取り違えてないか？ f^(-1)(ξ) はスキームのほうで考えれば
たしかに「零イデアルの逆像」だけど、環のほうで考えると
「逆像が零イデアルとなる素イデアル（の集合）」だよ。
まあ、この問題の場合、前半部のf^(-1)(ξ)→ξが体の有限次拡大になってい
るっていうのは確かに合ってるから別にいいと言えばいいんだけどね。

で、後半部が本質的な問題だと思うんだが。とにかく
> それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は
> 間違いがあると思う。
とか書いておいて、指摘することが全然間違ってたり大雑把だったりする
ので、ちょっと困ります。>>693 に何か問題ある？（ちなみに693を書いた
のは僕です）。

＞722さん
まず謝りたいのは>>693が間違いだと思ったのはXが整スキームという仮定を忘れてたからと
generic　pointの性質を間違えて思ってたからで問題はないと思います。
あと議論が大雑把だったりするのは、あんまりパソコンの前座ってると熱上がるんで・・・
（だから、治してから来てって言われたんやけど・・・）

>>729　genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。
　　　　　僕の説明が悪いのですが、零イデアルの逆像の座標環がArtin環になっているということです。
　　　　　（そこの例でのK(x)[y]のことかな）
　　　　　だから極小なイデアルしか逆像に入ってないんです。

後半が大事なのは当然です。ただ、genericallya finiteという言い方からもこういう方法でちょっとξ
の周りに伸ばせるのでは、と思ったので。
よかったらそんな方向で考えて教えて下さい。ヒントはその方向を示唆してるのだと思います。

>>731
考えを煮詰めてから書き込んでくれないか。
風邪で集中力がないからそれも難しいだろうが。
迷惑なやっちゃ。

>>731
> genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。
ちょっと勘違いしてるみたいですけど、僕はそんなことは最初からわかって
るんです。あなたの説明がいい加減だから指摘してるだけ。generic fiber が
の逆像が Artin 環の Spec になるっていうのは、generically finite
っていう仮定から出てくるんでしょ？ だったらそこからそれがどう導かれるのかを
ちゃんと書かなきゃ。いきなり「極小イデアルが云々」とかいってもわけわかんないよ。
ちなみに「極小イデアル」じゃなくて「極小"素"イデアル」ね。

大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？
風邪引いてるみたいだし。
少なくとも「極小イデアル」を”素”なしの意味で使う程分かってない奴じゃないだろ。
まぁ、間違いも多いから迷惑だが、方向としては間違ってないし。
それに細かく（ここまでみたいに）やってると何年もかかっちゃうよ。
で、今後の予定はどうすんだ？

>>734
１章を除いて約300題くらいあるのかな。一人でやるとなると
２，３年かかるな。だから共同で解こうじゃないか。二人なら
１年半。３人なら１年だ。

正直４章までしか読んでないし、かなり読み流した（代数幾何が専門ではない）ので
できるところだけなら。
次は２章の§４？

>>734
>大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？
>風邪引いてるみたいだし。

ですね。ちょっときつく書きすぎました。ごめんなさい＞731さん。

>>735
僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。

Ex.3.18. 構成可能集合(constractible set).
X をザリスキ位相空間とする.
X の構成可能部分集合(constractible subset)とは,
以下をみたす最小の、部分集合の族 F に属する部分集合のことである:
(1) 各開集合は F の元,
(2) F の元の有限個の共通部分は F の元,
(3) F の元の補集合は F の元.

(a) X の部分集合が局所的に閉であるとは, それがある開集合と
ある閉集合との共通部分になっていることである.
X の部分集合が構成可能であることの必要十分条件は
それが局所的に閉な部分集合の有限個の非交和と書けることであることを示せ.

(b) 既約なザリスキ空間 X の構成可能部分集合が稠密であることの必要十分条件が
それが生成点を含むことであることを示せ.
さらに, そのときそれは空でない開集合を含む.

(c) X の部分集合 S が閉であることの必要十分条件は
それが構成可能かつ特殊化で安定であることである.
同様に, X の部分集合 T が開であることの必要十分条件は
それが構成可能かつ一般化で安定であることである.

(d) f: X -> Y がザリスキ空間の連続写像ならば,
Y の構成可能部分集合の逆像は X の構成可能部分集合である.

>>736
次は II Ex.3.11 (c) と (d) だけど、これは今俺がやっている。
だけど早いもの勝ちってことで。誰がやってもいい。
それも、別に順番にやることもないと思う。
あまり飛ばなければ、多少番号が飛んでもいいと思う。

>>738
今後、問題は翻訳しないようにしないか？
著作権で問題を起こしたくない。
いずれにしても本を持ってない人は理解は難しいと思うし
(本文の結果を使うんで)。
ただこの方法で問題なのは、旧版と新版で問題が違うかもしれない
ってこと。俺が持ってるのは1977年のものだけど。だれか新版持ってる
人いる？

>>737
＞僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。

嬉しいね。大歓迎です。

>>740
新版ってあるんだ？ 知らなかった。ちなみに僕がもってるのも 1977 年版。

ところで著作権だけど、あまり気にしなくてもいいように思うんだが・・・
「引用」の範囲内ってことで大丈夫だと思うけど。

>>742
だけど300問も翻訳したら引用の範囲内ってわけにいかないと思うんだが。
沢山問題を解くとこのスレ有名になるような気がするし。

同じ問題を何人が解いてもいいんじゃない。
問題の翻訳は解く人が好きにすればいいと思うけど。

>>737　いえ、すいません、迷惑をおかけして。
とりあえず風邪がだらだら続くんで今から治すまでPCやめときます。

>>744
同じ問題を解くのは改良とか別証であればいいんじゃない。
問題の翻訳については、俺は反対だけど俺の意見を
強制する気はないし、そんなこと不可能だし。

�UEx3.13
(a)　f:X→Y　を　closed immersion とする。
Xの　open affine covering {U_i=SpecA_i}　をとる。この時示すべきことは各iに対して
f^(-1)(U_i)が有限個の open affine subset {V_i,j=SpecB_i,j} で覆えて、B_i,jが有限生成A_i algebra であることである。
今　Y×U_i/X→U_i を考えると　Ex.3.11(a)よりclosed immersionであり、Yがaffineの場合に帰着できる。
この場合はほとんど明らかである。(Y=SpecA とすると　X=SpecA/I　なので）

(b)　射、open coveringの取り方は上と同じとする。
今、f^(-1)(U_i)=U_i∩X　であり（XはYのopen subschemeと考えれる）
quasi-compact より有限個のopen affine subsets {V_i,j=SpecB_i,j}　で覆える。
V_i,j→f^(-1)(U_i)→U_i はopen immersionであるから、これまたほとんど明らか。

反省：Yのopen affineを任意にとってきた方が添え字が楽。

�UEx.3.13
(c)・・・被覆を丁寧にとっていくだけ・・・パス

(d)　f:X→Y をS上の射として、S'→S　でbase changeする。X'=X×S'　Y'=Y×S' としておく。
今fはof finite typeなのでYのopen affine cover {U_i=SpecA_i}でf^(-1)(U_i)がfinite open affine cover
{V_i,j=SpecB_i,j}をもち、B_i,jは有限生成A_i algebra となるものがある。
Y'→Y をpとするとY'はp^(-1)(U_i)=U_i×S'　でcoverできる。
Sのopen affine　cover {S_k}とその逆像のopen affine cover {S'_l}　をとると、
p^(-1)(U_i)は　U_i×S'_l/S_k （今までのそれ以外のfibre積はS上）で覆われる。
よってY'はさらにiを動かしたもので覆われる。
ここで　f':X'→Y' に対し、f'^(-1)(U_i×S'_l/S_k)　は V_i,j×S'_i/S_k （有限個）で覆えて、
これらはtensor積で表されてaffine有限生成は明らか。

・・・飽きた。(e)とか可換図式ないとつらいし・・・
(e)SがaffineのときS=SpecRとする。
　　X×Y→→Y　　　
　　　↓　　　 ↓
　　　X　→→S　　　上段の→→をp_2、下段の→→をf、左の↓をp_1、右の↓をg
　
仮定よりXの有限個のopen affine cover {U_i=SpecA_i}、Yも同様に{V_j=SpecB_j}　をとる。
(p_1)^(-1)(U_i)∩(p_2)(-1)(V_j)=U_i×V_j　なので（図式で示すか、定義に帰って示すか？）
U_i×V_j/S=SpecA_i×B_j/R 　（右辺はテンソルのつもり）
なので有限生成R代数になっている。
Sがaffineでない場合はSをaffineに分解しとけばできるでしょう（←適当）

(f)これまた頑張って被覆とるだけのような気がするのでパス
(g)noether環上有限生成な環はnoetherであり、有限枚のaffineで覆えるのも明らか。（←やっぱり適当）

II Ex. 3.11 (c) の解答

まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。
II Ex. 3.11 (b) より、アフィンスキームの閉部分スキームは
アフィンだから、Y, Y' もアフィンとなる。
Y = Spec(A/I), Y' = Spec(A/J) と仮定してよい。
V(I) = V(J) だから、rad(I) = rad(J) となる。
Y は被約だから, I = rad(I) である。故に I = rad(J) となる。
J ⊆ I だから、A → A/I は A → A/J → A/I と分解する。
これより、Y → X は Y → Y' → X と分解する。

X のアフィン開集合 D(f) に対して、
上記の分解の D(f) への制限
Y ∩ D(f) → Y' ∩ D(f) → D(f) は、
A_f → A_f/JA_f → A_f/IA_f から得られる。
これより、W = Spec(B) が X の任意のアフィン開集合のとき、
Y → Y' → X の W への制限
Y ∩ W → Y' ∩ W → W は、
B → B/J' → B/I' から得られることがわかる。
ここに、I', J' はそれぞれ Y ∩ W と Y' ∩ W に
対応する B のイデアルである。

一般の場合は、X のアフィン被覆をとることにより、
X がアフィンの場合に帰着する。
これは、次のことに注意すればよい。
U と V を X のアフィン開集合とする。
Y ∩ U → Y' ∩ U → U と
Y ∩ V → Y' ∩ V → V は U ∩ V で一致する。
これは、U ∩ V に含まれる任意のアフィン開集合 W
をとり、上記を適用すればよい。

II Ex. 3.11 (d) の解答

まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。
f: Z → X は φ: A → Γ(X) により定まる(II Ex.2.4)。
I = Ker(φ), Y = Spec(A/I) とおけば、Y が問題の
性質をみたすことは明らかである。

X がアフィンでない場合。
U を X のアフィン開集合とする。
f_U : f^(-1)(U) → U を f の制限とする。
Y_U を上記のようにして得られる U の閉部分スキームとする。
V を X のアフィン開集合とする。
Y_U と Y_V は U ∩ V で一致することは明らかだろう。
これより、Y が存在し、問題の性質をみたすことも
明らかだろう。

II Ex. 3.12 (a) の解答

U = Proj(T) は明らか。
φ: S → T の核を I とする。
T と S/I は標準的に同型だから、
Proj(T) = Proj(S/I) とみなしてよい。
h を S+ の同次元とする。
D+(h) = Spec(S[1/h]_0) であり、
f^(-1)(D+(h)) = Spec((S/I)[1/h']_0) である(>>459参照)。
ここに、S[1/h]_0 は局所化 S[1/h] の 0 次部分であり、
h' は h の S/I における像である。
(S/I)[1/h']_0 は S[1/h]_0/IS[1/h]_0 と見なせる。
従がって、f^(-1)(D+(h)) → D+(h) は閉埋入である。
D+(h) は S の開被覆となるから、f も閉埋入である。

デカルトの精神と代数幾何っておもしろいの？

>>753
スレ違い

>>754
別にいいんじゃない。

II Ex. 3.12 (b) の解答

I' ⊆ I だから射φ: S/I' → S/I が存在する。
これが誘導する射 Proj(S/I) → Proj(S/I') は
同型であることが II Ex. 2.14 (c) よりわかる(>>469参照)。
S → S/I は S → S/I' → S/I と分解するから、
Proj(S/I) と Proj(S/I') は同じ閉部分スキームを定める。

II Ex. 3.14 の解答

X はアフィンと仮定してよい。
X = Spec(A) とする。
f をベキ零でない A の元とする。
A_f ≠ 0 だから、A_f の極大イデアル P が存在する。
φ: A → A_f を標準射とする。φ^(-1)(P) = P' とおく。
A/P' → A_f/P をφから誘導される単射とする。
A_f は体 k 上有限型だから、ヒルベルトの零点定理より、
A_f/P は k 上有限次代数拡大である。
従がって、A/P' も k 上有限次代数拡大である
故に、P' は A の極大イデアルである。
P' ∈ D(f) だから、X の閉点全体は X で稠密である。
これで、問題の前半が証明された。

(B, m) を体でない局所整域とする。
f ≠ 0 を B の元で、m に含まれる元とする。
D(f) は 0 イデアルを含むから空でなく、m を含まない。
これより、 Spec(B) の閉点全体 {m} は Spec(B) で稠密でない。

�UEx3.13

ｆ：X:→Speck がof finite type なので
Xは有限個のopen affine covering {U_i=SpecA_i}をもち、A_iは有限生成k-alg.
Zをclosed points全体からなる集合とする。ZのclosureがXであることを示したいので、
任意のopen set Uと共通部分をもつ事を示せばよい。
U∩U_iとZ∩U_iが共通部分をもつ事を示せばよく、さらに
U∩U_iよりもさらに小さくとって、U_iの中でD(f)がZ∩U_iと共通部分をもつことを示せばよい。
ややこしいのでU_i=SpecA Aは有限生成k-alg.とおくと
SpecA_f∩Z=Φ　（in SpecA)　を示せばよい。
これから　A_f の極大イデアルでAでも極大イデアルになっているものがあることを示せばよい。
（A_fの極大イデアルという言い方は微妙かも。SpecA_f={p∈ApecA| pにfは含まれない}という意味で）
ところで、Aは有限生成k-algなので、A=k[x_1,・・・.x_n]/I　という形で
極大イデアルを考えてるので、A=k[x_1,・・・,x_n]としてよい。
そうなると、示したいことは明らか。
（m-SpecA_f={(α_1,・・・,α_n) | f(α_1,・・・,α_n)≠0}　だからこれが空だとf∈∩m = √(0)　）

後半の例としてはRをDVRとして、SpecRはclosed point 1つとopen point 1つからなるので
明らかにdenseでない。

あ、>>758　はEx3.14・・・ってかぶってるね>.757と
それと自分の解答（多分>>757さんの分も？）で気になるところが・・・

「Pがclosed point」⇔「PがU_iのclosed point （∀i）」⇔「PがUのclosed point （∃U）」
を示していない、ということで、僕の場合はD(f)とか勝手に小さくとってるんでこれを示す必要がありそう。

>>759
そうだった。

U を X のアフィン開集合とし、
P を U の閉点とする。P が X の閉点であることを示せばよい。
Q を {P} の閉包に含まれる点とする。
Q ∈ V となる任意のアフィン開集合 V = Spec(A) を取る。
P ∈ U ∩ V である。
P ∈ D(f) ⊆ U ∩ V となる、A の元 f がある。
P は D(f) の閉点だから、零点定理より、V の閉点でもある。
従がって、P = Q である。
故に P は の閉点である。

>>760 から Ex.3.14 は X が局所有限型でも成り立つな。

>>760 ご苦労様。かぶらないように次は・・・
�UEx.3.20

(a)　まずXのopen affine covering {U_i} について　dimX=supdimU_i=maxdimU_i
（�TEx.1.10、sup→maxになったのはof finite typeより有限個にできるから）
一方U=SpecA　をそのU_iのうちの一つとすると
Aは有限生成k-alg なので　dimU=dimA=height(p)+dim(A/p)=dimA_p+dim(A/p) （�TTheorem1.8A）
ここでpがmaximalならdimU=dimA=dimA_p=dimO_p
２つの開集合は必ず交わるので(integral）この議論より実はiによらずpによらず題意が成り立つ。

(b)上のようにopen affineをとると、dimU=dimXになるということと、K(X)=K(U)=O_ξ（ξ：generic）なので
最初からaffineの場合に示せばよい。
X=SpecA　とすると、dimX=dimA=tr.d.S(A)=tr.d.K(X)
（�TTheorem1,8A　S(A)はAの商体を表す）

(c)codim(Y,X)=inf[Z⊂Y：irreducible] codim(Z,X)　なので（定義）
codim(Z,X)を考えればよい。
dimX=dimU が(a)で示せていて、同様にdimZ=dim(U∩Z) も示せるので
codim(Z,X)=dimX-dimZ=dimU-dim(U∩Z)=codim(U,U∩Z)
これよりU=SpecA, U∩Z=V(p) （p：素イデアル）としてよく
codim(U,U∩Z)=height(p)=dimA_p=dimO_p
ここでZに対応する点PはYに含まれる点と対応する。

>>762(ｃ）でU∩Zが空でない場合の話です。

(d)Xのopen affine coveringを{U_i}とすると、
{Y∩U_i}はYのopen affine coveringで
dimY=dimY∩U_i　となるiが存在する。
（Yがirreducibleならiによらない事が(a)で示せてるが）
今、U_i=SpecA Y=V( I )　とおけて、この時
dimY=dimY∩U_i=height( I )=sup[p⊂I：素イデアル]height( p )
=dimA-infdim(A/p)=dimU_i-codim(U_i∩Y,U_i)=dimX-codim(Y,X)

(e)(a)で既に示している。

(f)Xのopen affine coveringを{U_i}とすると、
X'=X×k'のopen affine coveringとして{U_i'U_i×k'} がとれる。
X'のirreducible componentはintegralより、U_i'との共通部分の次元を調べればよく、
それはU_i'のirreducible componentであるから、Xをaffineとしてよい。
X=SpecA 、dimA=n　とする。
ここでAはk上有限生成algだからdimA=tr.dK(A)/k （K(A)はAの商体）
一方A×k'はirreducibleでない（nil(A')がprimeでない）かもしれないので、
極小素イデアルでわったものの次元を考えればよい。
その環は当然整域でk'上有限生成alg。
Aを多項式環k[x_1,・・・,x,n]上整とすると、
A'も多項式環k'[x_1,・・・,x_n]上整。
極小イデアルで割っても同じことなので、よって超越次数は等しい。
（なんか(f)は適当なところがある気がするけど、とりあえず）

>>753
>「デカルトの精神と代数幾何っておもしろいの？

一応それなりに面白いトピックは書かれてるが、個人的には
I高先生の文体がちょっと好きになれない・・・。対談とか
ちょっとキモい感じ。
いずれにせよ必読って感じではないと思うが。

俺は上野先生の論理展開が好きじゃない。

�UE.3.21
(a)dimX=dimR[t]=dimR+1 （RがUFDなので）
　　　　=2
一方、Xのclosed point Pを素イデアル(t)に対応する点とすると、πは含まれておらず
O_P=R[t]_(t)=K[t]_(t) でこれの商体はK(t)でよって次元は１

(d)Y=V((t^2))　とする。
t^2∈(t)⊂(t,π) よりdimY=2
一方 codim(Y,X)=infcodim(Z,X)=codim(V((t)),X)=1 よりfalse

(e)U=D(π)とする。
R[t]_(π)=K[t] なのでdimは１となりfalse

�UEx.3.22
(a)　Uをopen affine subset　s.t. U∩Y'=Φ　とする。
このとき、YをU、Xをf^(-1)(U)、Y'をU∩Y'、ZをZ∩f^(-1)(U) 等で置き換えてもよい。
（codim=(Z,X)=codim(Z∩f^(-1)(U),U)　等がEx3.20の証明より成り立つ）
よってYをaffineとしてよい。Y=SpecAとする。
ｒ=codim(Y',Y)　とおいて次の補題を使う。

「Y'はf_1,・・・,f_r∈AがあってV((f_1,・・・,f_r))のcomponentとなっている」
証明はrに関する帰納法で。難しくないんで省略。

補題よりY'はV((f_1,・・・,f_r))のcomponent。
今、g_i=f^*(f_i)　とする。（ここで、f^* : A→Γ(X,O_x)　）
V((g_1,・・・,g_r))を考える。
（厳密には各open affineでこの形で表されるclosed setの和集合。f^(-1)(V((g_1,・・・,g_r)))のこと）
このとき、Z⊂V((g_1,・・・,g_r))は明らか。
しかも、もしZ'をZを含むV((g_1,・・・,g_r))のirreducible componentとすると
Y'=f(Z)~⊂f(Z')~⊂V((g_1,・・・,g_r))。
Y'がV((g_1,・・・,g_r))のirreducible componentでf(Z')もirreducibleなのでY'=f(Z')~
よって、Z'⊂f^(-1)(Y')
Zはf^(-1)(Y')のirreducible componentだったから、Z=Z'。
つまり、ZはV((g_1,・・・,g_r))のirreducible component。
これよりcodim(Z,X)≦r

�UEx.3.22
(b) (a)より　codim(X_y,X)≦codim({y}~,Y)
左辺=dimX-dimX_y
右辺≦dimY　なので示せた。

(c) (a)同様にYはaffineとしてよい。
さらにfがof finite typeだから有限個のopen affine covering ofX {U_i}がある。
fの制限　f_i : U_i→Y を考えると、これもdominatingになっていて、
各U_iで問題のopen subsetV_iがあることを示せば、U=∩V_i（有限個）は題意を満たす。
よって、Xもaffineとしてよい。
X=SpecB→Y=SpecA でA,Bはk上有限生成、その商体をK,K'とする。
このとき、e=dimX-dimY=dimB-dimA=tr.d.K'/k-tr.dK/k=tr.dK'/K=tr.d(A×K/B)
よって、K[x_1,・・・,x_e]⊂A×K/B で⊂の拡大は代数的。
ここで、x_1,・・・,x_e∈Aとしてよい。
よって、B[x_1,・・・,x_e]⊂A　ここで⊂の拡大は代数的ではないかも知れない。
しかし、α∈AのK[x_1,・・・,x_e]上の多項式の共通分母gをとれば、αはB_g[x_1,・・・,x_e]上整。
今AはB上有限生成だったから、その生成元について考えれば、
B_g[x_1,・・・,x_e]⊂A_φ(g)　は整拡大　（φはB→A）
よってU=D(g)とすると、f^(-1)(U)=D(φ(g)) であり、
f^(-1)(U)→SpecB_g[x_1,・・・,x_e]=U×A^e→U
と分解できる。第１の射をa、第２の射をbとする。
aはfinite,surjectiveでbはproject、これが条件を満たすことを示そう。
U_yのirreducible componentをZとする。
(b)よりdimZ≧e なので逆の不等式dimZ≦e を示せばよい。
a(Z)~⊂{y}~×A^e よりdim(a(Z))≦e
一方aはfinite surjectiveより、dimensionをtr.degreeによって調べれば
dimZ=dim(a(Z))　なのでこれで示された。

>>764
「デカルトの精神と代数幾何」って昔買った覚えあります。
確かもってるはず。
分かり易い本で、少しは代数幾何学ぶのに役に立つなら
よんでみようかな・・・。
ちなみに私は代数幾何に興味を持っているものですが
まだまだ、ここのスレには何とはなしに読む事でしかついて
行けてないです。
誰かお答え下さい。よろしくお願いいたします。m(_ _)m

>>764
Ｉ高先生、の代数幾何の本は確か高度なんですよね。

それから、ハーツホーンを持っていないとこのスレについて
行きにくいって事ありますか？
ところどころ意味の分からない単語が出てきて、調べずに
読み流しているから、なんとなくしかわからないのかもしれません。

今、ハーツホーンを読むために必要な知識の書いてある本
を読んでいますが、いずれ理解できるようになればと
思い目を通してしますので、みなさん宜しくおねがいします。
m(_ _)m

>>770
とりあえず僕はハーツホーンで使ってる定理とかを使って問題解いてるし、
さらに解いてる問題はハーツホーンの問題ですよ。
ないと、分かりにく過ぎるんじゃないですか？？
単語も僕の場合日本語訳が逆に分からないんで英語のまま使ってますし。
ちなみに僕の場合はハーツホーンを読んでところどころ（特に最初のうちは）上野先生の本を参照してました。

>>771
上野先生のほんとは、岩波の本のことですか？初心者向けに
かかれた？

代数幾何なんて言うほど大層なものじゃないが、救済スレで代数多様体の有理数解の問題が聞かれている。
　http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/563
代数幾何の専門家の皆さんのご協力を請う。

>>772
岩波講座現代数学の基礎の「代数幾何1〜3」のことだと思われ。
この本は英訳も出てる。

しかし日本語版も英語版も結構最近出たはずなのに、
amazonではすでに「在庫切れ」だね・・・
結構いい本だと思うんだが。

>>770
Iitaka 先生の Springer GTM 版の Algebraic Geometry は結構読みやすいよ。
しかしこれも絶版みたいだが・・・

それと、いずれにせよ代数幾何やるんだったら（精読するかどうかにかかわらず）
Hartshorneは必携になると思うから、買っておいても損はないんじゃない？

Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。
あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。

そうそう岩波の基礎数学で１〜３まである奴。
１、２までは丁寧で使えると思うよ。３の後半は結果の紹介ばかりだった気がする。
あれってもう絶版なん？？

�UEx.3.22
>>768で(c)はUの使い道が間違えてる。f^(-1)(U)が(c)におけるUの役目だから問題ないけど。
(d)
(1)　(b)から明らか。

(2)　(c)から　E_h⊂X-U なので明らか。
　　（何故なら、ｘ∈U　なら　X_y∩U=U_y　の次元（=X_yの次元）がe）
　　（上で本当はX_yのirreducible componentをとるがあまり変わらない）

(3)　dimXに関する帰納法により示す。
　　h≦eの時は明らか。h>eの時を考える。
　　このとき、E_h⊂X-U であるからそのirreducible componentをZ_1,・・・,Z_nとすると
　　その次元は全てdimXより小さい。
　　よって、Z_i→f(Z_i)~ に対して帰納法の仮定が使えて、E_h,i　はclosedである。
　　よって、E_h=∪E_h,i はclosedである。

（e)　(c)の証明でのUを考えるとU⊂C_e。これはopen dense inY
　　C_h=f(E_h) だからconstructible setの像がまたconstructibleであることを示せばよい。
　　これは「f:X→Yの像がconstructible(dominateとは限らない)」を示せば十分。
　　dimYに関する帰納法により示す。
　　fがnot dominatingのとき、Z=f(X)~とすると、dimZ<dimYであり、よってinductionによる。
　　fがdominatingのとき、（ｃ）の証明でのUを使い、Y-Uのirreducible componentsをZ_1,・・・,Z_n
　　さらにf^(-1)(Z_i)のirreducible componentをW_i,1,・・・,W_i,,k_iとすると、
　　dimZ_i<dimY なのでf(W_i,j)はconstructible
　　よって、f(X)=U ∪ ∪f(W_i,j) なのでconstructible

多項式環の基本的な質問なんですが
体Kに対して多項式環K[X]をK上のベクトル空間と見た場合ベクトル空間の次元は有限ですか？無限ですか？
基底としては1,X,X^2,・・・,X^n,・・・を取るのでしょうが、
f∈K[X]に対してdeg(f)＜∞が多項式の定義なら基底は有限個のような気もするし、
でもK[X]の次元が無限個になってほしい箇所が今読んでる本で出てきています。
どっちなんでしょう？基本的ですみません。

次元は無限です。
次元が無限の定義（というかそもそも無限の定義）は
任意の自然数ｎに対してn個の基底があればいいので。

>>779
線型代数の教科書で、ベクトル空間の「無限次元」の定義をきちんと確認すべし！

>>779
>基底は有限個のような"気もするし"
>次元が無限個になって"ほしい"箇所

こういう曖昧な理解のまま数学書を読み続けていてもすぐわからなくなるよ。
その都度定義に戻って、このくらい自分で確認しなきゃ。
それに激しくスレ違い。

>>774
なるほど、私は少し考えが甘かったようです。私の考えていた本は初心者むけだけど
本当の初心者にむけてかかれたもので、しかし、>>774さんの言ってられる本ならハーツホーン
を読むのにも、私は詳しい事は分かりませんが有効なのかもしれません。
その本もひょっとして持っていたかもしれないので、探してみます。

>>775
> >>770
> Iitaka 先生の Springer GTM 版の Algebraic Geometry は結構読みやすいよ。
> しかしこれも絶版みたいだが・・・
ハーツホーンより読みやすいのですか？
>
> それと、いずれにせよ代数幾何やるんだったら（精読するかどうかにかかわらず）
> Hartshorneは必携になると思うから、買っておいても損はないんじゃない？
わかりました、ご親切にありがとうございます。


>>776
> Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。
> あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。
シャファレビッチとは？イタリア学派の本ではないのですよね？！
具体的に言うと何を扱った本なのでしょう？
イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。

>>777
そうですか、ご親切にありがとうございます。本棚しらべてなかったら
買いに行きます。本屋さんになかったら古本屋にでも・・。

>>779
基底が加算個だけど無限個あるので無限次元なんじゃないですか？
素朴にそう思ったのですが、他の方ちがうでしょうか？

>>783
> Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。
> あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。
シャファレビッチとは？イタリア学派の本ではないのですよね？！
具体的に言うと何を扱った本なのでしょう？
イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。

初心者が気にすることじゃない。

そもそも>>779はベクトル空間の基底の定義を理解している？
理解していないなら、有限か無限かも分からないのも納得だが。

>>785
> 初心者が気にすることじゃない。
初心者なら自分が読めるとおもった本ならなんでも読んだら良いって
ことですか？
それとも、イタリア学派って言うのは、ちょっとした良く勉強した知り合い
からの聞きかじりでして・・・。自分としては初心者ですよ。

>>785
シャファレビッチはロシアの有名な数学者だよ。
件の本については
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/3540548122/qid=1069177369/sr=8-1/ref=sr_8_1/104-8581170-3804719?v=glance&n=507846
を見れ（amazonにはなぜか "I" しかないが "II" とひとつながりの本なので一緒に購入すべし）
algebraic variety, scheme, complex manifoldを丁寧に解説した良書。

>>784
それでOK

�UEx.3.23
t(V×W)がVとWのfibre productのuniversal propertyを満たすことを示せばよい。
しかし、V×Wは�TEx3.16よりvariety/kのcategoryでfibre productになっている。
一方�UProposition2.6よりHomは全単射だから(fully faithful）
題意は明らか。

>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

age

>>788
どうも、ありがとうございました。

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>>794
なりすましはやめてください。

>>783
＞イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。

イタリア語読めるの？

「イタリア学派の書いた本」じゃなくて、
「イタリア学派による代数幾何を解説した本」
ということじゃないのか、ふつう。
まあ、>>796の可能性もなきにしもあらずだが・・・

コリバギン・フラッハ法

>>797
＞＞「イタリア学派による代数幾何を解説した本」
ということじゃないのか、ふつう。

何々学派の本と言ったら、何々学派の人が書いた本だろ、ふつう。
つまり、他の学派の人が書いた本ではないということ。
解説本ならそう書くべき。

英語でした。でも、内容よりどちらかというと
英語が難しくて、続かなかったので、これ以上
追求しないでください。
また教えてほしい事があったら、よろしくお願いします。

イタリア学派ってエンリケとかザリスキとかのこと？

ザリスキはイタリア学派じゃない。イタリア学派というと、
セグレ、エンリケス、カステルヌオーボ、セベリなど。

代数幾何大好きか？

ハーツホーンって
大学にはいってからの数学で

線形代数、位相空間論、群論、
可換環論（亜ティやー幕度レベル）
可換体論、あと可微分多様体の基礎
を勉強すれば
論理的には読みはじめれるよね。
わかるかわともかくとして。

http://www.shitamachi.net/ranking/cgi05/ranklink/ranklink.cgi?id=05mercur

>>801
私の｣読みかけた本はウォーカーの本です。

>>803
その本に書いてる事を授業で受けた事がありますが
それは、すごく引き付けられるものがありました。
全部ちゃんとわかってるわけでもないんですけどね。

ハーツホーンについては、まだまだ、なんとなくしか
理解できないので、判断しかねます。

>>804
ありがとうございます。
洋書に、挫折したので、一応、以前読んだ本も
ありますが、それらをやり直そうと考えてる
ところです。

>>804
紛らわしい表現していまいました。
以前は読んだ本があると言ってもいいかげんでした。
だから、もう一回読んだ本もきっちり読み直してみよう
と思っています。読んで無い本は勿論。

>>806
ウォーカーの本はイタリア学派じゃないよ。
あれはいい本だ。