なんで圏論なんてもんがあんのよ？

やはり、なきゃ困るのか？
いや、便利なのか？

なんでこんな名前で書き込んでるんだろ…？まぁいいや

前スレへのリンクくらい貼ってください。

前すれ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1047674196/l50

BINGO！！　ワタクシ　ぺリーが　2get　デース！
　　　　　　＿,,-―- ､__　　　　　　　　　　　　　　>>3　ねえ・・・
　　　　_,,/;;;;;;ヾヾ　､,;;;;;;;;''ヽ_　　 　 　 　 　　　　 >>4　開国してください
　　　ノ;_;,-―--''''ﾞﾞ￣　ﾌ::::;;:'-、　　　　 　　　　 >>5　開国してくださいよー
　　／/　　　　　　　　　 l、::::::: l、　　　 　 　　　 >>6　このチョンマゲ！！
　(ヾ:::l　 　 　　 　　　　 |::::::､::､::::.ヽ,　　　　 　　 >>7　いーじゃない開国。
､ノ:::::.| ＿,,､ 　 ,､､＿_　 |:::::::::::ゝ::::::>　 　 　 　　 >>8　あなた尊皇派？攘夷派？
ゝ:::::::|''=・-`l　ﾄ'=･=ｰ`　ヽ:::::::::::ゞ:::ゝ　　　　　　 >>9　シカトですか？
　 ヽ.|　｀　　　　　ｰ　　　,ヽ::,-;:::;;::/　　　　　　　 >>10　そんなに黄色くないのネ日本人て
　　　|　 　 ､_,､,｀ 　　　 　 l/6l::::ノ　　 　 　 　 　 >>11　ペリーね、この間孫が生まれたの。
　　　|　　 　 ! 　　　 　,　, l_ ﾉ:／　　 　　 　 　 　>>12　「R」と「L」の発音の区別もできないくせに！
　　 __|　　 -'ー-ヽ 　 ／ ／`) 　 　 　 　 　 　 　>>13　お茶もださないの？
　 ヽ　 |　,　￣　 　 __l_／,,-'=i＿＿＿＿＿＿　 >>14　寝ましょか？ここで？
＿_,,＼｀､_ ｰ-―' _//='''_-;;;;;;（( oo（（　　　　）） >>15　風呂桶がぬるぬるする〜
;;;;;;;;;;○>＼￣￣//○'.;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;|l |l |l |l |l || >>16　外人ナメると後がコワイヨ〜？

ドラえもんのポケットみたいなもので、
ある数学的対象が、かくかくしかじかの性質を満たすかどうかさえ
判定できるのであれば、それをどういう方法によるのかをまったく伏せた
ブラックボックスとして、全部集めてきて（しかも可算ですらなくてよく）
ひとくくりにして、はい出来上がり、という信じられないような操作が
ワンステップでできるのが、集合を定義する「操作」です。
　こんなの、絵に描いた嘘に決まっているジャン。

A=｛x｜xは実部が1/2よりも大きいリーマンゼータ関数の零点｝
とすれば、A＝Φ　ならばリーマン予想は成立しない。逆に
AがΦでなければ、リーマン予想は成立する。

では、もうそれでリーマン予想は終わりじゃないかとは誰も思わないだろ。

髪の毛が薄い人は一般にハゲと呼ばれるが、
彼(もしくは彼女)の髪の毛が１本増えたところで
ハゲであることには変わりはない。
今ここに髪の毛が１本しかない人がいるとする。
当然ながら、彼(もしくは彼女)はいわゆるハゲである。
すると、ここから全ての人がハゲであるという驚くべき事実が導き出せる。
これは数学的帰納法の簡単な応用例ではあるが、
実はここにこそ集合の本質がある。

【厨房の為の煽り煽られ講座】

煽られて反論できなくなった
　　→　○○ 必　死　だ　な　（ｗ
　　→　このスレの空気嫁
　　→　【厨房の為の煽り煽られ講座】

予期せぬ自分の無知で煽られた
　　→　釣れた
　　→　わーマジレス返ってきたよ
　　→　【厨房の為の煽り煽られ講座】

言い返せないけど負けは認めたくない
　　→　( ´,_ゝ`)ﾌﾟｯ
　　→　無知白痴は黙ってろ
　　→　知能障害をおこす
　　→　ｶﾞｲｼｭﾂ
　　→　【厨房の為の煽り煽られ講座】

大勢のスレ住人に反感を買った
　　→　自作自演必死だな（ｗ
　　→　ハァ？束にならねーと何も出来ないチキンが。
　　→　関係無い香具師が口出すな。
　　→　【厨房の為の煽り煽られ講座】

>>8 必　死　だ　な　（ｗ

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

一昨年倒産した米エネルギー会社のことだな。

みてね〜♪
http://www1.free-city.net/home/s-rf9/page004.html

あの会社の存在意義って結局なんだったの?
CO2取り引き市場とかつくったりした?
と、ひっぱってみる。

>>11
それは円論

>>1が圏の厳密な定義を知らないに　100MEGUMI

大工さんは木の分子レベルの構造を知らなくても家が建てられる
これっていうのは大工さんは木のある特定の性質を知ってるからで
別に家を立てるのに木の分子レベルの構造は知らなくてもいい
圏の発想もこれといっしょ
リーマン予想は分子レベルの問題
ミラー対称性は大工レベルの問題

志村　圏　　だっふんっだ♪

良スレ保守

>>15が圏論を、厳密な定義を含め概説してくれるそうです。期待しましょう。

厳密な定義自体は難しくもないわけで。

(´･∀･｀)ﾍｰ

>>20はクラスの定義を知らないに　100さち子

圏論は凄いよ。大抵の数学者は圏論の有り難さ、凄さを理解していない。
２０世紀における最大の数学的発見は圏論と言える。

>>20は神or無知。

柳田國男『蝸牛考』が圏に革命をもたらした。

実数b、d、αをとりb>0,d>=0とする。曲線Cを極方程式
(1/r)=bcos(θ-α)+dにより定める。
（1）d=0とした曲線C'を直交座標に関する方程式に書き直すと
■になる。
(2)d>0とする。曲線C上の点Pから直線C'へ垂線PHを下ろす。
PHをb,d,rを用いて表すと、PH=■となる
（1）は、bcosαx+bsinαy=1となりましたが、
（2）ができません。

よろしくおねがいします。

>>26
高次元圏論を使うと簡単に計算できるYO!

高次元圏論って何だよ

>>28
深谷さんの論説に1次元以上の圏の話がでてきたな。
深谷さんはよくこういう記事を書く。
ただ、深谷さん自身は慎重に俯瞰しているような感じだが。

Categories for the Working Mathematician ってどうなんすか?

あの…圏の定義って対象と、射の性質３つ述べるだけのを指すんじゃなかったの？

http://melon.math.sci.hokudai.ac.jp/tjst/12

http://coolee.tripod.co.jp/kenron.html

圏て何？

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>31
そうなんだけど、その３つを述べるためには
ユニバース、クラス、集合の区別が必要になる。
その区別がかなりの曲者。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

首吊ってきました。許してください。

>>38
warota.
オレは許す。

漏れも首吊らなきゃいけない…？

>>36
漏れの手元のテキストでは，
コレクション・クラス・集合
の区別が重要なように(implicitに)書いてあるような気がするんだが，
ユニバースってなんですか？

ぜんぶ？

全部集めちゃうとラッセルの逆理にかかっちゃいません？

そういうときは、見なかったことにします。

全部集めたのは集合にゃならんから大丈夫ですだ。

相当多くの分野で圏論の言葉はつかうけど、
クラスだの何だのの定義が本質的に関わるってくるような
分野なんてほんの一部だろ。
漏れ的にはsmallで十分。

＞クラスだの何だのの定義が本質的に関わるってくるような
＞分野なんてほんの一部だろ。

そんなはずはない。
ほとんどの議論で「対象」を拾ってくることを行うが、
集合から飛び出してしまうと、
選択公理がそのままの形では適用出来なくなり、
その正当性を得るにはクラスについての
かなり詳細な知識が必要になる。

それって、「本質的」なんですかぁ？

>>48
もっと勉強しな。

>>48
本質的かはともかく

20 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/07/09 21:09
厳密な定義自体は難しくもないわけで。

☆頑張ってまーす！！☆女の子が作ったサイトです☆
　　　　　　　☆見て見て！！
http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp2/linkvp2.html

>>49
つまらない事を勉強してもしょうがないよ。

圏論の用途
1)数学の諸々の分野への応用
2)オートマトンと関係があるらしい（知らん）
3)ひまつぶしに哲厨と遊ぶためのネタ

>>53
4)われわれ数ｦﾀこそが人類最大の英知のように錯覚できる

哲厨って圏論はすきなのか？

>>53
自動羊と関係あるのかよ。
んじゃそのうち勉強しなきゃいけなくなるのかな…

>>55
「ぐろたんでぃえくゆにばーさるせっと」の単語ひとつで哲厨と１時間は遊べるぞ

単語じゃないな
×単語
○用語

数板のまともな住人の大部分は、「哲厨と１時間遊ぶ」ことにさほど
魅力を感じないと思われ。

んなこたどうでもいい

MacLane、ウホォいい男・・・
それはそうと、圏論って集合論のパラドックスを
発生させないようにするというのが、そもそもの
動機なんですか？

Re:>61 集合論のパラドックスを発生させないようにする動機でできたのは、公理的集合論だ。
圏論は、準同型系の概念を一般化させたものである。

>>62
それが一般的な捉え方だが、ではクラス等の定義の煩雑さは、本当に必要なのか？

>>63
まさか。
例えば>>47のいう選択公理も、公理として置くことの必要性を、
本当に感じている数学者は、１パーセントに満たない。
同様にユニバース、クラスの概念も、通常の数学内での必要性は皆無。
残り９９パーセントは、その道の専門家に表面上の敬意を払っているだけ。

圏論っていうと何でクラスだのラッセルのパラドックスなどが真っ先に出てくるんだ？
圏論を分かっていない証拠。

>>60
正直、すまんかった。「びっくりするほどユートピア！」って１００回叫ぶ
から、今回は見逃してくれ。
>>64
いくら何でもおまい。
チホノフだのウルトラ何ちゃらだのベクトル空間だの、どうすんのよ。

>>65
オブジェクトの全体はクラスじゃないといけないわけだが、何か？

スコーレム関数って

要約すると､
基礎論屋の舌先三寸でコロコロ変わりうる部分に拘るのは無意味、
という事？

20 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/07/09 21:09
厳密な定義自体は難しくもないわけで。


　　　　　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　>>20まだ〜
　　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿ )　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣ ／|
　　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　　|　.愛媛みかん.　 |／

>>70
38 名前：20[sage] 投稿日：03/07/10 07:23
首吊ってきました。許してください。

許してやれよ

>>71
だめだよ
その>>20は俺だし

>>72
じゃあ、おまいでいいから
厳密な定義自体は難しくもないわけで。


　　　　　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　>>20まだ〜
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　　　　　　　　|　.愛媛みかん.　 |／

＞圏論っていうと何でクラスだのラッセルのパラドックスなどが真っ先に出てくるんだ？

圏の定義をしないことには圏論は語れない。
厨房は早く寝な。

>>74
じゃあ、早くおまいが定義して圏論を語ってくれよ。

>>75
いいから寝とけ。

アキレス圏

>>７４
定義の定義をしないことには定義は語れない。
厨房は早く寝な。

>>76
マジで訊くんだけどさ、ベクトル空間の同型が functorial ってどう云うこと？

>>36には>>31のじゃ足りないけど、>>70-78には>>31程度ので十分。

あーﾏﾝﾄﾞｸｾｰなー．
対象を集めたものと射を集めたものを考える．
↓誰か続き書いて．

定義0.0.0 Uinuverse

クラスなんざ、無定義語ですませりゃいーじゃん。
それで気がすまないヤシは、そういうヤシ同士で勝手にやればいい。

>>79
natural transformation からくるisomrphismということだろ

http://kojiro.free-city.net/page003.html

isomorphismな

今日はここで祭り？

>>80
ねぇねぇ、位相空間 X 上の Sheaf の成すカテゴリが、
X の開集合系に包含写像を考えたカテゴリから集合の成すカテゴリへの
反変関手からなるカテゴリってのはどういうこと？

>>84
う、全然ワカラン；自然変換ってなんだっけ・・・？
すまんことに、圏論を碌に知らないのに、表現の話で、フロベニウス相互律が
表現の取替えに関して functorial とかいうのが出てきて意味ワカランのです;

>>88
正確に言うとPresheaf. どういうことも何も簡単なことだろう。
開集合U⊃Vに対してF(U) --> F(V) という制限写像が与えられ、
結合律を満たすっていうのがPresheafの定義。そのまんま反変関手だ。

>>90
言われてみれば、そのとおりですな・・・；
いや, Bernshtein-Zelevinskii の GL の表現論に関する論文を読んでて
l-Sheaf というのが stalk と cross-section から定義が始まってるんで
そのカテゴリがどう云うものなのかよく判らず、ちょっと調べてたんス。

subsheaf と sheaf の morphism がまだよく判らんのでがんがります。

>>89
それくらい自分で調べろよ

どうでもいいけど、Serreの群の表現の本を読んでいるところ、に500バーツ

局所体の本に400ペソ

圏論のいい本ありませんかね？

>>94
>>30

いい本ありますよ！

う〜ん。。。あいにく圏外。

ちょっと昔の生物学のそれ系の本は笑えるぞ

複雑系に圏論が必要なんかね。その前にやる事あるよな気が

100ｹﾞｯﾂ

>>91
>Bernshtein-Zelevinskii

A. Berensteinじゃなくて？

ところで、数学基礎論てあれ何か意味あるんですかね？
集合よりも圏の方が基本的なんじゃないですか？

>>99
複雑系に圏論？？？
…きっと、漏れも>>99も甘いんだよ。

複雑系は「カテゴリー全体を考えたときの怪しい挙動（？）」みたいな研究を
しているのかもしれないな（ｗ

>>88
多少遠回りになるかも知れないが、そういう感じのことをやりたいなら、
一度、グロタンディエク位相（エタール位相）についても勉強しておくと
知識に厚みが出ると思う。
（Deligne-Lusztigを読むにはどうせ必要だし。）

「・」＋「→」フェチって結構多いんだね

>>103
カテゴリーって挙動するんですか？

オイラは挙動不審ですが何か

>>96
どの本でつか？

(･∀･)ｶｶﾝｶｰﾝ論の人はいないのかな

(･∀･)ｽｷｰﾑ論は(･∀･)ｶｶﾝｶｰﾝ論に入りまふか？

これからの流行はやっぱり非ｶｶﾝｶｰﾝ論じゃないれすか？

65が正解だな
クラスうんぬんは基礎論
基礎論を信頼すれば圏論は展開できる

>>ベクトル空間の同型が functorialってどう云うこと？
>>natural transformation からくるisomrphismということだろ

fanctorはなに？

基礎論を信頼云々とか、そんなしがらみはどうでもいいじゃん。

で、厳密な定義は？

厳密ってどういう意味で厳密って言ってんのよ？
クラスの定義も厳密にってことか？

>113
しがらみの意味もわからん
どういうしがらみ？

>>112

functorだろ？

(･A･)ｽｷﾑｩ

まあね、ｽｷｰﾑなんかも圏論に吸収されちゃうんだから驚くよ。

>>118
むしろ圏論を強く意識してできたものだが。

>>116
thank you very mach!

>>ベクトル空間の同型が functorialってどう云うこと？
>>natural transformation からくるisomrphismということだろ

functorはなに？

natural transformationは二つのfunctor間のmorphism
functor間のisomorphismであるような
natural transformationをnatural equivalenceという

しかしこれじゃベクトル空間の同型がfunctorialは意味がわからん
もう少し前後の話きかないと答えられないな

整数論⊂ｶｶﾝｶｰﾝ論⊂ｽｷｰﾑ論⊂圏論⊂基礎論

基礎論が一番偉いんだよなぁ、まったく。

>>120
「functor間のmorphism」の意味は調べたか？

基礎論偉くないっつーの

その包含関係まちがってる

>>122
なにが言いたいの？
fanctor categoryの話しろってことか？

またまちがった

functor categoryの話しりってことか？

例えばVec kにおける自然な射V→V^**はfunctorial。
これはfunctor間の射 1→( )^**とみれる。
つまり任意のV→Wに対して次は可換
V→V^**
↓　　↓
W→W^**

functor categoryの話しろってことか？

>>121
基礎論だけやってて整数論の定理がでてくるのか？

>>121

基礎論⊃圏論⊃ｽｷｰﾑ論⊃ｶｶﾝｶｰﾝ論⊃整数論

整数論が一番偉いんだよなぁ、まったく。

>>129

非ｶｶﾝｶｰﾝ論や数論幾何はどこに入るのでつか？

129の方がどっちかと言えば正しい

定理証明系にｼｺｼｺ導出させるとか

>>130
つか、幾何解析の立場は？

ベクトル空間V、V^**の同型はfunctorialの意味は126の内容

>>133
幾何解析って何ですか？

>>130
もちろん基礎論に包括されますが、何か？

>>136

そもそも基礎論とは何なのでつか？

代数幾何　代数解析
幾何代数　幾何解析
解析代数　解析幾何

代数幾何、代数解析、解析幾何は既出
解析代数は解析数論が芽か
幾何代数、幾何解析はいまだ存在せず
あなたにとっての幾何代数、幾何解析を述べて下さい！

>>137
数学の始まりにして、終わり。
メタです。

樹木希林はどうするよ

>139
それいいね　おきに！

ﾒﾀに対するﾒﾀはありますか？

ここは裏祭りスレですか？

>>142
哲学と思われ。哲学はﾒﾀに関して閉じきってるので、哲学最強でふ。

>>138 ホモトピー代数はあるけどね。

>145
なるほどね！
じゃホモロジー代数とホモトピー代数を幾何代数の芽としましょう！

幾何解析募集中

解析は代数の一種じゃないんですか？

>>99 >>103

高次元圏論の意義について（「生命と複雑系」より）
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tujisita/doc/n-cat/

>>148

ｻﾝｸｽ!

うあ、バイトでヒィヒィ言ってる間にすげぇススンデル；

>>101
えと、I.N.Bernshtein and A.V.Zelevinkii と書いてありまつ。

>>104
ありがとう。機会があれば読みたいと思います。
しかし、今読んでる論文を早く読まないと、実は既に修論が絶望的だったり；
(いや、そういうときほどあちこち論文を漁るべきなのか・・・)

>>61
＞圏論って集合論のパラドックスを
＞発生させないようにするというのが、
＞そもそもの動機なんですか？

ん？圏論でもLawvereの不動点定理とかあるけど。

http://homepage.mac.com/maki170001/

>>120
functor category って何なに？ 教えてホスィ（￣σ ￣

なんか>>126氏が書いてくれてるみたいなことなんだけれども、

完全不連結局所コンパクト群 G とその閉部分群 H について,
G の smooth 表現 π, H の smooth 表現 ρ に対して同型
　　Hom_G(π, Ind_H^G ρ) ≅ Hom_H(π|_H, ρ)
が成り立ち, この同型は π, ρ に関して functorial である.

みたいな感じに・・。あ、原文は This isomorphism depends functorially
on π and ρ. と書いてある.

とりあえず、先輩に訊いて"自然な"可換図式は作ったわけなんだけど, 何を
してるのやらよくワカランし、先輩は忙しいらしく、あまり詳しい事は教えて
くれない。(というより、自力で調べろというのがうちの研究室の伝統みたい)

ありゃ、同型を実体参照で ＆cong； と書いたんだが、俺の環境じゃトーフだ・・・；
見えてる人はそれで良いんだけどね。

ﾒﾀﾒﾀ

>153

>>Hom_G(π, Ind_H^G ρ) = Hom_H(π|_H, ρ)
>>が成り立ち, この同型は π, ρ に関して functorial である.

bifunctorとしてnatural equivalence:

Hom_G(-, Ind_H^G -) = Hom_H(-|_H, -)

が成り立つってことかなあ

functor categoryっていうのは
objectとしてfunctor
morphismとしてnatural transformation
をとったcategoryのこと
だからfunctor categoryではnatural equivalenceがobjectの同型になる

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

良スレage

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz09.html

>>153
圏C,Dと共変関手F:C→D,G:D→Cに対して、
同型θ(X,Y):Hom_C(X,GY)→Hom_D(FX,Y)がX,Y毎に存在する、って状況ね。
この時、射a:X→X', b:Y'→Yが与えられると図式
θ(X,Y)Hom_C(X,GY)→Hom_D(FX,Y)
　　　　　　　　a↓Gb　　　　Fa↓b
θ(X',Y')Hom_C(X',GY')→Hom_D(FX',Y')
が出来るわけだけど、これの可換性を仮定するのは自然でしょ。
これがθがfunctorialの意味で、この時FをＧの左adjoint, GをFの右adjointと呼ぶ。
こういう状況はFrobenius相互律を典型として、あらゆる分野に現れる。
これで分からなければ、気にせず先に進むべし。こんなのは形式で、すぐに慣れる。

圏論はおもしろい　と言ってみる。

>>161 お前は誰だ、と言ってみる。

某コテの生まれ変わり　と言ってみる。

Qｳｻﾞの生まれ変わりですか？

Ｑｳｻﾞじゃないな
ぼるじょあの臭いがプンプンしやがる

あれだよ、(¬＿¬)y―ξ じゃねーの？

んなことより、Category の正確な定義はまだか？

>>167
質問だけど
「○○とは次の公理を満たす物である。#1〜〜。#2〜〜。#3〜〜…」
って正確な定義だと君は思う？

>>168
さぁ？

168の疑問に答えてもらわない事には167の期待には応えられない

>>170
んじゃあ、思うって事にして、どうぞ。

駄目だ…ごめんなさい

>>172
へ？

数学のほとんどの分野に群が登場するので、群の一般論を展開しておくことで、
そのつど個別に調べなくてもいろいろな結果が得られることになる。
より重要なことは、複雑な対象から群を抽出してくることで、
はじめは見えなかったある現象が浮き彫りになる。
（たとえばフェルマーの小定理は群構造を考えると容易に気付くことだが、
　整数の側だけ見ていればその事実を発見することすら容易ではない。）
圏の概念もそれと同じで、数学ではある物全体が圏になることがよく起こるので、
それらを系統的に調べてしまおうっていうのが動機の一つになっている。
たとえば２つの物の「直積」とか「ファイバー積」を定義したい時、どう
定義すべきであるかが、圏の構造を意識することで自然に見えてくる。
「コホモロジー」の概念を抽象して導来函手を得たことは最大級の結果だと思う。
それによって今までのコホモロジ−理論が統一されただけでなく、今後思いもよらない
ところでコホモロジー理論を展開したい時の指針になる。
省エネの観点から圏論を見るとこんなところかな？
本質的なところはオレにはほとんど分からないが、少し条件を付けると、
２つのK3曲面が同型である必要十分条件はそれらの上の連接層のなす圏から得られる
導来圏が同型であることが比較的最近証明されている。証明は知らん。
この結果は「代数多様体の構造が ”完全に”ある種の圏で決まってしまう」
ということを示唆している意味で、圏の概念が「本質的」であるといえよう。

圏を使えばﾓﾁｰﾌの定義もできるんですか？

>>174
で、何処を縦読みするんだっけ？

>>175
分からん。
根拠はないけどもっと別の概念が必要な気がする。

圏が最初に定義されたのは、位相幾何において自然同値を定義する必要からだった。
自然同値とはfunctorial(or natural) equivalenceのことであり、これを定義するために
functorを定義する必要があり、functorを定義するにはcategoryを定義する必要があったわけだ。
つまり、functorialに考えることが圏論の出発点であったわけだ。
これは圏論のポイントでもある。categoryよりfunctor、functorよりfunctorial morphismのほうが
重要であるといえる。圏論とはfunctorialに考えることである。

モチーフって
様々なコホモロジーを発生させている源ってことでしょ？
ちがうかな？
これが当たってるならモチーフは
様々なコホモロジーのある種の共通部分あるいはある種の合併をとることで見えてきそうじゃない？
どう？

>178
ふむふむ。
そういえばnatural equivalenceがfunctorより先だったって聞いたな
位相幾何における自然同値ってなに？

>174

>>２つのK3曲面が同型である必要十分条件はそれらの上の連接層のなす圏から得られる
>>導来圏が同型であることが比較的最近証明されている。証明は知らん。
>>この結果は「代数多様体の構造が ”完全に”ある種の圏で決まってしまう」
>>ということを示唆している意味で、圏の概念が「本質的」であるといえよう。

これはすごいね
誰のなんて言う論文？

横レス。

>>181
最近の川又氏の論文を読んでみたら？
【代数多様体の構造が、その上の連接層のなす圏から得られる導来圏で決まってしまう】付近で
精力的に研究しているから。
そのイントロに論文紹介があるんじゃない？
代数幾何セミナーでその結果を紹介してたし。
たしかエンリケス曲面についても同じ結果があったはず。

>>180
詳しくは知らないがCech homologyでのconnecting homomorphism
とlong exact sequenceを定義するため、Cech homology が 被覆の細分と、
空間の連続写像に関して自然であることを証明する必要があった。

祭りでもないのによく伸びるスレですね。

>182
おー　さんきゅー

川又さんいいね
優秀なひとなんだろうね
研究指導してほしい

>>184
私が板の流れを読めたからだ。

>>185
＞86 ：１３２人目の素数さん ：03/07/10 14:15
＞K又大先生の名言＠修論発表会
＞M2の某氏による修論解説直後
＞「　そ　れ　の　ど　こ　が　ノ　ン　ト　リ　ビ　ア　ル　な　ん　で　す　か　？　」

＞川又さんいいね
＞優秀なひとなんだろうね

現役の代数幾何学者のなかではベスト５に入ると言われている。
しかし性格がな・・・。>>187が彼の性格を如実に表している。

>183

へぇ
connecting homomorphismを各空間の被覆間の連続写像から求めようとしたのかな
空間の連続写像から被覆間の連続写像は誘導されるだろうし
空間の連続写像からCech homology間のhomomorphismも誘導されるだろうから
被覆間の連続写像とCech homology間のhomomorphismは関係があるだろうってことかなあ
そうすると
空間からCech homologyを求めるfunctorと
被覆からCech homologyを求めるfunctorがnatural equivalenceなら
被覆間の連続写像から求めたconnecting homomorphismは
空間の連続写像から得られたconnceting homomorphismと等しい

んー　推測だけだから一数学徒の戯言と思って下さい

おっと上げ忘れた。

>187
キビシーッ！
実際、川又さんってどういうひと？
川又さんの人柄おしえて

K又セミナー中の出来事（友人から聞いた）

K又「それは・・なんじゃないですか？」
学生「でも（続きを言おうとする）」
間髪入れずに
K又「でもじゃないんだよ！・・なんだよ。」

自分こそが絶対的だと思っているような人なんです＞K又氏

>188
例えば川又さんの研究室へ訪ねて
「はじめまして。○○大学修士の○○と申します。
　博士過程で川又先生の御指導を受けたいのですが・・」
と言った場合、川又さんの返事はなんと推測される？

>192
じゃ川又さんに逆らわなければ良い先生なのかな？

川又ネタはどっか他所でやれ

川又さんいくつ？

５０前後。

>195
そうだな
ここは圏の良スレだもんね
堀川えいじスレへ移動するゾ

導来圏について語ってくれ！

chain complexのcategoryをhomotopyで割って
quasi-isomorphismで局所化したものがderived categoryだＹＯ！

アーベリアンとは限らないcategoryで（コ）ホモロジーを取り出すためのルーチン。
>>導来圏

(･∀･)ノ■ﾊﾝﾍﾟｰﾝﾋﾄﾂ ｸｴ!

> 導来圏

ラーメン屋の名前ぽいと思ったド素人。

それは誰もが一度は通る道だ。

藁他

数理研の裏に道来軒という中華料理屋があって、
柏原さんそっくりのおやじがいるらしい

数理研の代数解析の院生は、そこでラーメンを
食べて D加群を勉強するそうな

>>72
騙るなヴォケェ。

不透明な理論にゃな

一年ぶりに数学板にきたが、このスレは殆ど知ってる人が話してるな。
おまいら、Ｋ又先生の人柄とか、書いてていいのかｗ?　分野がその道なら
生きていけんぞ。

それに、数学者の性格について論ずるなんてナンセンス極まりない。数学者は
数学が全て。他はどうでも良かろう。ちゃんと圏論について語るのがこのスレの趣旨だろう?

>>206
おもろい。その話の発案者は誰？

そうだったのか

数学＝コホモロジーだよな？

導来軒の名物料理にハンペンはありますか？

だれか反応したらどうだ？ｗ

>>214
今の話題は、数理研の裏の道来軒にファンカンペンって
料理があるかどうかだ。もっと空気嫁

>>215

まともなこと書いてみろよ（ｗ

頭の悪い等号の使い方すんなや

>>212
私は組み合わせ論専攻ですが何か？

ｷｬﾃｺﾞｩﾘ

組み合わせ論は数学なのか？ パズル遊びだろ？

ｷｮﾌｫﾓﾛｩｼﾞ

ﾜｯｱｰﾕｰﾄｰｷﾝｱﾊﾞｩ?

>>220
お前みたいな奴が多いから、日本はIT後進国なんだよ。

>>223

お前みたいに責任転嫁する奴が多いせいだろ（ｗ

214から突然おかしな雰囲気になったな
みんなもう少し落ち着いたら(･∀･)ﾄﾞｰﾗｲ?



…すまん、許してくれ

212 祭りでつか？

IT後進国？はじめて聞いた

>>225
まあ、導来軒のラーメンでも食って来いや。
おっちゃんは少しどもりだが、味はいいぞ。

>>220
ロシアのえらい数学者は組合せ論に強い人が多いわけだが、、、

だいぶ釣れたようだなｗｗｗ

釣れたって言葉は必死な厨房しか使っちゃダメですよ。

マジレスしたやつ、1人もいないじゃん
釣ったつもりが釣られちゃった恥ずかしい212のいるスレはここですか？

>>232
おまえがいちばん熱くなってたんじゃないのかよ（ﾌﾟ

さっきから笑ってばかりの人がいるけど、気持ち悪いね。
普段から一人でニヤニヤしているのかな。

（ﾆﾔﾆﾔ

>>206
> 数理研の裏に道来軒という中華料理屋があって、
> 柏原さんそっくりのおやじがいるらしい

それは栢原さん本人だよ

内輪ネタやめれ

栢原って何て読むの？

ももはら

内　輪　ネ　タ　や　め　れ　、い　い　な　？

やだ

道来軒ネタなら栢原さんは内輪ネタでもなんでもない。

内　輪　ネ　タ　続　け　ろ　、い　い　な　？

うん。

ここは数理研の奴がいるようだな。

ｷｬﾃｺﾞｩﾘ

あと、10レス後くらいに栢原さんのAAのﾖｶﾝ
100レス後には、栢原さんが萌えキャラになっているﾖｶﾝ

だから栢原って何て読むのさ？

良スレがねたスレになったな。

>>236 あたりから線が一本増えてる気がする・・・。
というか、>>236 は日本語として成り立ってない？

かやはら

内　輪　ネ　タ　も　う　な　い　の　か　？

内　輪　ネ　タ　も　う　な　い　の　か　？

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

近ごろのあほ学生は世界の栢原も知らんのか

内　輪　ネ　タ　は　も　う　終　わ　り　な　の　か　？

終わり。

本　題　に　戻　ら　な　い　か　？

本題は「なんで圏論なんてもんがあんのよ？」
こんな話題が本題でいいのか疑問だ。

本題ってーと↓コレか？
＞栢原って何て読むの？

「なんで圏論なんてもんがあんのよ？」
「栢原って何て読むの？ 」

あきらかに、後者が数学板にふさわしい話題。
よって、以下は

道来軒で栢原さんの作ったラーメンを食べながら圏論に語るスレ その8

過去ログ他は >>262-268 あたりで

どうでもいいが、アホが多いなここも。

前スレは
集合の本質とは何か
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1047674196/

関連スレは
グロタンディックだが質問あるかね？
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011949239/
基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ},{φ,{φ}}}
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/
情報科学と数学の接点
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1006221787/
代数学総合スレッド Part2
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
京都大学数理解析研究所について
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1001529787/

でよろし？

>>263
え〜？

>263
なんで基礎論とか集合とかと関連させようとするわけ？
カテゴリーの本質的な効用はそういうとこじゃないよ
ただ理論構成の基礎にしてるってだけ
理論そのものは代数幾何、位相幾何、環論などで発展してきたんだよ
基礎論とかからじゃderive functorは出てこないでしょ？
ageるの嫌になってきた

哲学のためだよｗ

>>265
私にそこまで考えろと要求されても困りますだ。

関連とは何か、を定義せずに、>>263の是非を論じることはできないね。

★無臭性画像をご覧下さい★有臭作品もあります★
　　　　　　★見て見てマムコ★
★http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html★

このスレで基礎論に執着してるのはごく１人と思われ

>>265
ごもっともなんだが、ごくまれな場合に集合論の微妙な問題が
重要になってくるらしい。まあここで集合論うんぬんといっている奴には関係ない
話だが。

いろんなコホモロジーを学習してみたら、
まじでモチーフが存在する気がしてきた。
代数多様体と古典力学を対応させると、
モチーフは量子力学に対応しそうなことも悟った。

悟りはオナニーにすぎない。

>>270
栢原に執着してるのは最低2人はいると思われ

http://www.39001.com/cgi-bin/cpc/gateway.cgi?id=ookazujp

>>272

量子化を圏の言葉で表現するとどうなるんですか？

>>276
知るはずがない。
根拠はないが、それが発見されればモチーフの定義に数ミリ近づく気がする。

そう言えば、量子化は一種のアデール化とみなせる
などと言う人がいますが、本当なんでしょうかね。
もしその見方が妥当なものであれば、圏に対しても
アデール化の類似を定義することでモチーフの構成
ができそうですね。

モチーフってのは圏の中で定義すべきものなのかな？
多様体に対して定義すべきものなんじゃない？

＞代数多様体と古典力学を対応させると、
＞モチーフは量子力学に対応しそうなことも悟った。

ｦｲｦｲ
ﾀﾞｲｼﾞｮｰﾌﾞｶ？

>280
確かになんで代数多様体が古典力学なんだろ？
stringでは代数多様体は素弦に対応してその導来圏がD-brainに対応するんだけど
古典力学って解析に依ってるんじゃないの？

>>281
なんかおもろそうな話。解説きぼん。ソースは？

古典力学 -> シンプレクティック・トポロジー
とか。

>282
数理物理学スレあるよ

栢原も知らねーばかども

＞代数多様体は素弦に対応してその導来圏がD-brainに対応する

いったい誰がそんなでたらめなことを言ってるんだ？
よほど物理を知らない人間か数学のセンスの無いヤシだろう。

関手が与えられたときに、それを表現する対象を求めるのってどうやったらできるんですか？
普通こうするとか方法あります？

>>287 そもそも関手が表現可能とは限らないのだが。

>>288
そうですけど、表現可能かどうかも含めて求めると書いたつもりでした。
すみません。

>>287
１、いくつか点を抜いたところでの表現可能性を論じる
２、貼り合わせ

１はそれこそ分野によってモノによって色々違うんだろうけど、例えば
楕円曲線のモデュライとかなら、別の表現可能関手の、部分関手として
記述してあげて、証明するね。

他の例を良く知らないのでアレですが。

＞確かになんで代数多様体が古典力学なんだろ？

古典力学では物理量がすべて可換になるからだろ。
そんなことより>>286に早くレスしてくれないか？
だれが言ってんだよ、そんなこと？
簡単にだまされるなよ（ｗｗｗ

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz07.html

>>290
う　こりゃ難しい。
実は群スキームなんですが
Xをスキームとして、群スキームGが
Xスキームの圏から集合の圏への反変関手G:Sch/X→Setsであって
忘却関手Ab→Setsとfactorするものとして具体的に与えられているとします。
つまりGを前層の形で与えます。
そのとき反変関手Gが本当のXスキームGで表現されているときGも群スキーム
このスキームGを求めるという方法です。

例えば群スキームG_aはUをΓ(U,O_U)に移す前層として与えられていますが
スキームとしてはX×_(SpecZ)SpecZ[T](XとSpecZ[T]のSpecZ上のファイバー積)なんだそうです。

代数多様体が素弦って弦の軌道って意味なんじゃない？

>>290に勝手に補足
>>294
点を抜く以前にまずXの生成点でどんな群が出てくるのか考えよう！

>>295

訳の分からないことを言ってんじゃないぞ。

あいかわらず数学を知らんﾔｼが多いな。

>>298
じゃあ、お前が語れ。

ごたごた言ってねえで300ゲット汁！

>>281

答えられねーのかよ！（ｗｗｗｗｗｗ

すごいよ〜♪

http://angely.h.fc2.com/page001.html

age

>297
訳がわかってないのはあなたでは？
例えば閉じた弦の軌道がトーラスになる例があります
この場合ひとつの弦はその軌道の中でいったんふたつになり再びひとつの弦になる

＞stringでは代数多様体は素弦に対応してその導来圏がD-brainに対応するんだけど
なるほど。この文章の前半部分は弦の軌道が代数多様体に対応するという意味なんですね。
で後半部分はどういう意味？

栢原正樹
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kashiwara/

グロタンディックスペクトル系列(R^p)G((R^q)F(A)⇒R^n(GF)(A)に関しての質問です。
F,G:関手　GF:GとFの合成射　　A:アーベル圏の対象　　(R^p)(G):Gのp次導来関手　　です。

定義より右辺はフィルターを持っているわけですが、
具体的にどういうフィルターがR^n(GF)(A)に入っているのですか？

ここの住人は
学部生はいなそうだな…

>>307
グロタンディークスペクトル系列の存在定理の証明は理解しているのかな？

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あいかわらず数学を知らんﾔｼが多いなｗ
物理も分かっとらんようだな（ﾌﾞﾂﾌﾞﾂ

>305
後半の導来圏のところはよくわかりません。
おそらく構造層の導来圏のことを言っていると思うのですが。
前レスにもあるように構造層の導来圏は代数多様体を決定する例があります。
だからDbrainがstringを決定するということでしょうか？

>>312
今の場合導来圏を考える対象はCYなのでBondal-Orlovは無理。

学部生ですがラーメン屋さんには行ってみたいと思いました。

＞導来圏がD-brainに対応するんだけど

だいたいそんなこと書いてて恥ずかしくはないのか？

導来圏の良書を教えて下さい。

誰か圏論の素人向けの本を書いてくれないかな〜
プログラムやっているとメチャメチャ重要そうな予感がするんだけど難しくてよめなゃい

理系全般板の情報数学スレで聞きなされ

>>316
道来軒のおやじに聞く。
COEの代表者だったね、あそこのおやじ。

煽り専門がただ１人いると思われ

道来軒ってひょっとして行列のできるラーメン屋さん？

もう聞き飽きたからその駄洒落はよせ。子供じゃあるまいし。

グロに聞け。グロに

（*´Д｀)ノ＜美人おねーさんのオッパイもいっぱい！

美人おねーさんのオッパイと圏論。この両者の関係は重要かもしれない。

>>306
ほんと、道来軒のおっちゃんそっくりだな。
実は兄弟とか？

＞導来圏がD-brainに対応するんだけど

どっからそんな発想が出て来るんだよｗｗｗ

Douraiken
D-brain

Dが同じじゃないか。

しつこい人がいるようで。

柏原先生の専門って解析じゃなかった？？
あの人が圏論詳しいの？
解析ではホモロジー代数なんて絶対使わねえだろ！

>>330
どこを縦読みするの？

＞導来圏がD-brainに対応するんだけど

で、説明はまだなのか？

>>332
粘着うざい

圏はべんきょしといたほうがいいかもとかいってみるテスト

>柏原先生の専門って解析じゃなかった？？

ネタだすか？
台数懐石や砂糖一派をしらないボケェだすか？

佐藤せんせの意見をききたい

柏原先生なかなかの男前ですね。惚れました。

しつこい導来圏煽りバカ１名は>>272と思われ
自分の考えを否定されたことがよほど悔しいようで
ストーカー的素質十分ありと見た

案外>>280,>>286…>>332が一人の煽り屋さんによって為されているだけだったりしてな。

間違い。粘着するぐらいじゃないと数学はできんよｗｗｗ

自分の人としての終り具合を数学のせいにしないで下さい。

>>272=>>280=>>286=…=>>332=>>340はトリビアルです。
こいつの「ｗｗｗ」見てると気色悪い

>>342
ｗｗｗ

>>330
学部1年なら目を瞑るが、2年になったら殺されます。

＞>>272=>>280=>>286=…=>>332=>>340はトリビアルです。

こいつがもしかして例の基礎論専攻！？

272≠280≠286だよｗｗｗ　

>>344
いくら京大でも学部２年じゃまだ殺されないでしょ
３年で半殺し　４年で殺

D加群の理論は導来圏駆使するよ
佐藤幹夫先生も代数解析の研究の中でスクリュー圏という導来圏とほぼ同等な概念に達しています

>>347
スクリュー圏と導来圏はどこが違うんですか？

導来圏ではコホモロジーのisomorphismを誘導するmorphismが圏のisomorphismである
が基本的な発想でよろしいのでしょうか？

スクリュー圏の定義は知りませんが命名からして三角圏に近そうですね

いい加減なことを言ってるなよ。

＞D加群の理論は導来圏駆使するよ
＞佐藤幹夫先生も代数解析の研究の中でスクリュー圏
＞という導来圏とほぼ同等な概念に達しています

スクリュー圏の定義を知らんだと？
中身のないこと書いてんじゃねーぞコラ。

キティうざい‥

>>353
自分の無知を棚に上げて何がキティだよボケ。

みなさん、煽りの相手をするのはやめましょうね。
無視しても煽りは続くでしょうが仕方ないことと諦めましょう。
ここのカキコは2chとは思えないほど良い感じです。
ときどき誤りがカキコされることもあるでしょうがここにいる院生なら大概見分けられるでしょう。
誤りの指摘はあくまで良心的に。

>>349
いいんじゃないの？基本的にはまずChainのなすCategory C(A)をかんがえて
そのなかのmorphismのなかで H^n(f)がすべてisoであるもの
(Hartshornの教科書ではquasi-isomorphismとよばれているもの)をisomorphismとする
、つまり仮想的な逆元というか逆射というか、を追加してえられる圏。
つまりC(A)の導来圏とは圏D(A)と関手q:C(A)→D(A)の組で
(1)fがquasi-isomorphism→q(f)はD(A)のisomorphism
(2)E,qが(1)の条件を満足する組のとき関手f:D(A)→Eが一意に存在し
r=fqをみたす。
の２つを満足するもの。存在すれば同型を除いて一意であることは容易にしめされる。
存在証明はHartshornのLNM20(ぐらいだと思う)にのってる。
最近このアプローチで導来圏の解説してる本があったんだけどなんだったかな？

>>356
丁寧な解説ありがとうございます。おおよそ理解できました。
(2)の条件は導来圏のuniversal propertyって感じですね。
objectだけじゃなくcategoryに対してもuniversal propertyが出てくるとは。
これからの勉強がおもしろくなりそうです。

HartshorneのResidues and Duality(LMN20)のchap.1に導来圏ありますね。
S.I.GELFAND, YU.I.MANINのMethods of Homological Algebra(Springer)は導来圏中心で書いてますね。

>>356
本に載ってることそのまま書き込むのやめてね。

はーい。みなさん。
煽りの相手をしてはいけませんよー
数学の中身の話題を続けて下さいねー

釣られるなよｗ

脳内世界で勝手に釣ってろ。

＞はーい。みなさん。
＞煽りの相手をしてはいけませんよー
＞数学の中身の話題を続けて下さいねー

なんかバカっぽいね。釣りか？ｗ

そうか！カテゴリー論は釣りのためにあったんだ。

早く気づけよ（ｗ

Categories for working tsurishi

大漁ですな。

煽りはひとりですよー
自作自演ですよー
だまされないようにねー
数学の話しましょうねー

>>367
>>367。

必死？

基礎論も知らずに導来圏を語るなんて、
21世紀の数学のﾚﾍﾞﾙの低さが如実に分かるスレだね。

>>370
ですな。
２１世紀は泥沼から始まった。
必至

そんなにかきたきゃ自分で基礎論と圏論のかかわりかいてきゃいいじゃん。ききたかないけど。

つーか数オタって、20世紀論理学が分からないから代数幾何とかに逃げた人が大半だよね。
だから、導来圏とか基礎論紛いの事を言って、「偉くなった」気になっているんだよね。

＞20世紀論理学が分からないから代数幾何とかに逃げた

いったい何を言っておるのだね？

だからきいてやるからその“20世紀論理学”を駆使した圏論かたってみろよ。
それ研究したらどんなことができそうなのか夢をかたってみろよ。

>>373

逃げた？ 逃げてるのはおまえだろ？ 答えてみろや、論理オタ君。

で、厳密な定義は？

ん？ 圏論を知らん厨房か？

>>373
"現代数学が分からないから基礎論に逃げた"って悪口は聞いたことあるけど…

論理学オタの373は哲学板から来ているらしい。
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1055538165/552-560

圏論は"基礎論紛い"のことだったのか。そうだったのか。

>21 ：考える名無しさん ：03/06/14 06:53
>なんかタイトルの割に良心的だなぁ
>しかしその良心的な気持ちが僕には罪悪感になってきた。
>なんせ学歴なしだし、もう中学校から音楽しかやっとらんもんで
>最近は割り算もあやしいかと・・・つーか数学って積み重ねだし

哲学板は中卒、高卒の人が多い板で知ったかぶりばっかりなんだから
そんな本気になって怒るのは無意味です

>>381
なぜにそういう結論になるんだ？

空気読めてなくてすいませんが質問させてください。

圏論はどのような経緯で出来たのか教えてください。

３日ぶりに来たら既に終わったスレになってる・・・
基礎論バカ１名に支配されますた
院生はすみやかに身を引かせていただきます
バイバイ圏スレ

オレの想像だが、やはりホモロジーを“関手として”（←当時もちろんこの用語はなかったが）
捉えようとしたのが発祥なんじゃないか？

　位相空間Ｘ　→　群Ｈ_n（Ｘ）
　ＸからＹへの連続写像　→　Ｈ_n（Ｘ）→Ｈ_n（Ｙ）に誘導される準同型

この両方の対応を“写像のように”捉えたいという思想が萌芽ではないかと思う。

>384
前レスにあります
さがしてみて下さい
位相幾何のconnecting homomorphismについて書いてあるレスです

>386
それは違います
歴史的にはfunctorよりnatural equivalenceが先に発生しています
位相幾何におけるnatural equivalenceを正確に捉えようとしてfunctorひいてはcategoryの概念が発生しました
前レスを参照してみて下さい

追記

>386
connecting homomorphismはホモロジーのhomomorphismですから
386さんの言ってることも妥当かもしれません

スレのこういう良い展開と荒れ方を同時に見てると
やはり人間は度し難いと思わざるを得ない

「世界が歪んでいるのはぼくのせいだかもしれない・・・」

大変失望しました

＞世界が歪んでいるのはぼくのせいだかもしれない・・・

と言うより、日本語がおかしくありませんか？

>392
それチェインギャングの歌詞だよ

>>388
サンクス！　そうか、natural equibavalenceですか。
これは確かに“関手”の概念がないと定義できないですね。

>>337
337が女性ならともかく、そっちの趣味はなさそうだが・・・
数学801本でもつくるか。
栢原×皮合はありきたりなので、栢原×三輸 が面白そうだな。

今時は数学博士どころか数学教授にさえ、例えば連続体仮説の独立性に関して素人程度の知識しかない連中がいる。
そんな連中が、解析学を用いて皮相的な論文を量産しているものだから、数学は必然的に低迷する。

基礎論の話題は基礎論のスレでお願いします。
こちらは圏のスレです。

数学基礎論＝数学くそ論

>>396
何か勘違いしてるね。基礎論を知らなくても数学は出来る。

400ｹﾞﾄ

せっかくの良スレがキチガイのせいで台無しですね。

荒らしてるのは哲学版のﾔｼ？

問　Q(⊂ＩＲ)は連結でないことを示せ

いやなこった。

最近、東京大学の解析の先生あたりが連続体仮説を意識した解析学が構築できるかって研究をしているんじゃないですか。
休刊した「数学の歩み」に無限をテーマにした三者会談という形で話題に上がっていたかと思います。

基礎論の話題は基礎論のスレでお願いします。
こちらは圏のスレです。

圏の厳密な定義に集合論は必要なのですか？

＿＿＿＿＿＿＿＿.　 　|　　・・・｢からけ｣？
|||　　　　　　　　　　｜　　＼＿＿＿＿　＿＿
|||　　　　　　　　　　｜　 )＼ 　 　 　 　∨
||| 　 　空 　気.　　 ＜⌒ヽ　ヽ
|||　　　　　　　　　＼ （　´ー｀）　　　 ∧∧
|||＿＿＿＿＿＿___V(　 　丿Ｖ^ 　●Дﾟ,,)　←>>407
|,,|　　　　　　　　　 |,,| ヽ　（ 　 　　　と　　,）
　　　　　　　　　　　　　 ﾉ　）　　　　　|　　|〜
　　　　　　　　　　　 ∧ 　 　 　 　　　.し`Ｊ,,.
￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣＼
　空気読めてないよ･･･

もともと空気なんてないだろ？ 空気読んだら？ｗ

圏論と集合論の関係がメイントピックだろ。

既に終わったスレになってる・・・
基礎論バカ１名に支配されますた
バイバイ圏スレ

まだいたのか？

>>201
>>アーベリアンとは限らないcategoryで（コ）ホモロジーを取り出すためのルーチン。
>>導来圏

これって正しい？
abelianでないcategoryからそのderived categoryを構成する方法ってどういうの？

スレ復活を願ってage

闘う意志がある限り、トーキョー・ゲームは終わらぬ

>>413
単に、三角圏がアーベル圏でない事と混同してるんじゃあ？

>>416

じゃやっぱ「導来圏はアーベル圏からのみ構成できる」が正しいんだよね？

>>417
＞じゃやっぱ「導来圏はアーベル圏からのみ構成できる」が正しいんだよね？
「三角圏はアーベル圏からのみ構成できる」が正しいんだよねと聞いてるんなら
そんなことはない。Stable Homotopy Categoryという応用上もめちゃめちゃ
じゅうようなChainからつくったのではないTraiangulated Categoryもある。

>>418
じゃ結局「導来圏はアーベル圏からのみ構成できる」はtrueなのね？

>>419
例えば、どんな加法圏もアーベル圏に埋め込めるわけだから、
そこに拘るのではなく、>>201の真意を知りたい。

>>419
微妙だけど。強引にたしか完全圏とかいうのを定義してその導来圏を定義してる話は
なんかきいたことはあるな。その論文の作者とか支持者からすればもっと一般化できるし
すべきだというのかもしれない。でもまだまだ少数派だとおもう。
つまり“市民権を得た導来圏”という意味でならそうかな？

クラスの厳密な定義から始めるべきだと思います！

>>422
クラスって無定義概念じゃないの？

springerの「層のコホモロジー」の完全圏のとこちょっと覗いたことあるけど、アーベル圏は完全圏だった。
正確な定義は忘れてしまったがkernelとcokernelは定義された圏だったと思う。
やっぱり完全圏の場合もchainをつくってhomotopyとquasi-isoから導来圏つくるって手順はいっしょかな。
あした調べてみる。

調べた？

まだ今日ですよ

>>425
調べた。
完全圏っていうのはkernelとcokernelが定義され、im=coimが成り立つような圏
アーベル圏から加法圏の条件を除いた感じ
これならexact sequenceは定義できるしコホモロジーも定義できるから導来圏も構成できるかも
しかし「層のコホモロジー」でも導来圏はアーベル圏から構成してた

>>427

よく勉強してますね。ｻﾝｸｽ。

コホモロジーと導来圏というのは結局同じものなのかな？

まったく違う。

まったく？

導来圏はコホモロジーのための圏となら言えるかも

導来関手もそうだけどderivedっていうのはコホモロジーに関わるときに使われるよね

代数多様体の構造がその構造層がなすアーベル圏の導来圏から完全に決まるって話詳しく知りたい
これ関係の川又さんの論文ってなんていう雑誌で読めるの？論文の所在教えて

432以外でも代数幾何で導来圏って使うの？

ああ、すみません。
428の導来圏は導来関手の間違いです。

正しくは、
コホモロジーと導来関手というのは結局同じものなのかな？、
でした。

夢とか悪夢もとどの詰まりは同じかな？
育てると生き続ける？

論文ぐらい自分で調べろ。ヴォケ。

ちなみに、僕は夢を持つのはｲｲｺﾄだと思う。

だれにも解らんのだろう。

>>432
僕も専門外なんだけど、興味があったので調べてみました。
以下の論文が>>182で言っている内容に近いと思います。
http://jp.arxiv.org/abs/alg-geom/9712017
http://jp.arxiv.org/abs/alg-geom/9606006
http://jp.arxiv.org/abs/alg-geom/9712029

で、何か分かった？

割と基本的な所だけど、
Xを位相空間として、O(x)を、Xの開集合をobjectとし、U⊂VのときHom_{O(X)}(U,V)={包含写像},それ以外の時Hom_{O(X)}(U,V)=空集合
で定めるとき、関手P:O(X)→Ab(小さなアーベル群全体)を、0を零対象とし、P(空集合)=0を仮定するときとしないときでは結果がどのように変わるのですか？
また、前層の定義はP:O(X)→Ab,P:O(X)→(小さな環のなす圏),P:O(X)→(小さなR-加群のなす圏)の他にはあるのですか？

※ついにひろゆきのトリップが漏れた！！！
28日午前11時頃、ひろゆきが久々に経済板のとあるスレに書き込んだところ、
誤ってトリップパスの#を大文字にしてしまったことにより、そのトリップをテストした
名無しさんが「ひろゆきのトリップになったよ〜」となって、その後次々とひろゆきトリップを
つけた２ちゃんねらーが増加して祭りになっております！
しかもひろゆきはそのことに全く気づいておりません！
是非、この祭りに参加してみませんか？

↓ひろゆきのトリップパスが漏れて祭りになっているスレッドはこちら
http://money.2ch.net/test/read.cgi/eco/1059357528/l20

>>440
空集合 |→ 0 を仮定しないとどうなるのかはよくわかりません。
空集合に対して 0 でない対象が対応されうることしかわかりません。
(S_1)「被覆の開集合に制限して0ならもともと0」という条件だけ満たせば
空集合 |→ 0 が要請されます。

前層の定義は P:O(X)→集合の圏 (集合の前層)なんかもあります。
>>440の関手に続けてさらに忘却するのと変わりませんが。

>>442
「変わりませんが」っていうのが誤解をまねきますね。
もちろんそれを忘却したものだけじゃないです。

あと関手は反変関手ですね。

Re:>442
レスありがとうございます。

さて、universe u (aがuの元ならばaの冪集合もuの元で、a,bがuの元ならば{a,b}もuの元で、aがuの元ならばaの要素もuの元で、uの元Iを添字集合とする和集合に関して閉じている)
で、集合xを元にもつものが集合になる、という命題は正しいのだろうか？

>>444
なんだろこれ？
＞で、集合xを元にもつものが集合になる、という命題は正しいのだろうか？
{A|x∈A}が集合になるか？ならならないが答えだろうけど？？疑問の意味はこれ？

基礎論・・・か、やっぱ。。

>>445
{A|x∈A}は、単に集合を元にもつ集合ということで、更に言えばその元Aは
それ自体が集合であり、共通して元xを持つものでもあるということではないかと。
つまり{A|x∈A}は集合になるんじゃないだろか…。
なんで集合にならないのでしょうか？

>>447
おれも基礎論･集合論はかじった程度なんであやしいんだけど分出公理･置換公理とか
いうのがあってこれをつかえば
xが集合でyからxへの単射があるときyもまた集合である。
というのが証明できるみたい。そこで集合xに対しつぎのようなclassをかんがえる。
S={y|∃z <x,z>={x,{x,z}}=y}
SはT={A|x∈A}のsubclassなのでもしTが集合なら上でのべたことからSも集合になる。
でも一方で全集合をあらわすクラス(たしかバーサスクラスとかいう名前だった)
V={z}からSへの単射f(z)=<x,z>を構成できるのでSが集合ならVも集合になってしまう。
しかしVは集合でないので矛盾。つまりSもTも絶対集合になることはない。
つまり“xを含む集合”という条件ではあまりにもゆるすぎてクラスが大きくなりすぎて
集合にはなりえないという感覚。
･･･
しかし･･･いちおうは勉強したけどこういう理論が必要不可欠な知識とはあんまり思えないんだよね。
まあせっかく勉強したんだからやっぱり知っとくに越したことはないかもとかいってみるテスト。

以前に比べてこのスレ、ﾚﾍﾞﾙが上がったな。

集合論の細かい話は圏論にとってそれ程重要ではない。
素人ほど瑣末で重要でない部分にこだわる傾向があるね。

つーか、玄人なら２ちゃんなんかに来るなよ

集合論の話は圏論にとって核心的な部分である。
素人ほど瑣末で重要でない部分にこだわる傾向があるね。

厳密な定義自体は難しくもないわけで。

第一、そんな基礎論とのからみなんて面白くないだろ。
面白い話題を話せ。

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>>448
なるほど、勉強になりました。

{A|x∈A}だとx∈Aの部分があいまいすぎるということなんでしょうか。
結構、奥が深いですね。
ありがとうございました。

圏論における集合論の役割は、多様体論における位相空間論の役割みたいなもんだな．

2行目に[444]を要約しよう。
Xを集合とする。Xを元にもつuniverse uは集合になるといえるか？

ちなみに、uが集合にならないのはXがどんなときだろう？

Ｘが無限集合のとき

>>458
＞Xを集合とする。Xを元にもつuniverse uは集合になるといえるか？
ならないだろコレ。いづれにせよもうやめようぜ。集合論の話は。

集合論的に危なっかしいときは、small categoryで考えれば大抵の場合十分。
基礎論は基礎論の専門家にまかせておけばいい。

ほんと頼むから基礎論の話は基礎論のスレッドでやって下さい
基礎論の立派なスレがちゃんとあります>>基礎論なぜなにスレッド
ここでは圏論の話題を扱いたいのです。

また基礎論のひとたちをばかにするような書き込みもやめましょうよ。

>>462
>>基礎論のひとたち

基礎論のひとたちじゃなくて基礎論ひとり
自作自演
簡単にだまされるなよ

>>463
> 基礎論のひとたちじゃなくて基礎論ひとり

>>462の
> 基礎論のひとたちをばかにするような書き込みもやめましょうよ。
というのは別に、
・基礎論の話題しかついていけないから圏論スレなのに基礎論の
　話にもっていきたい
・しかし基礎論も生半可にしかわかっていないから基礎論スレにも
　行きたくない
という特定の1人を馬鹿にするな、と言ってるわけじゃないでしょ。
このスレに粘りついてる基礎論kittyがあまりに馬鹿だからといって、
基礎論という分野の重要性まで否定したり、基礎論を真面目に研究
している人達のことまで悪く言うのはよそう、ってことじゃないの。

>464
ごもっとも！

基礎論スレはクズ哲引き取り所じゃないぞ！ﾌﾟﾝﾌﾟﾝ

>>451
玄人が２ちゃんに来て何故悪い？
数学板は、たまに高度な話題が出る。泥の中に、まれにキラリと光るものがある。
これが２ちゃんの魅力でもある。

あ、そう。

麻、生。

暗号スレがないのは何故？

>>470
別スレでも聞いていたな。
そんなに欲しいなら自分で立てろ。

ム板にあるぞ＞暗号スレ

>>472
ム板って何ですか？

クリプト・アナーキズムを標榜するデフコンのように、
アンダーグラウンドでパテントに抵触しないような新発想で
H社に負けない暗号のカバエバを目指すわ！
という人たちのスレってないですか？

ねえよ

190: 暗号総崩れ-素数判定が多項式時間で可能 (488)
673: ■暗号化スレ■ (390)


それで、暗号と圏論とどんな関係があるんだ？

/ヘ;;;;;　　
';=r=‐ﾘ　　ム板とは私専用板じゃないか
ヽ二/　 　君たちはそんなことも知らないようだね

圏論は暗号なんだ！

ムスカ板？

＞475
えぇ〜っ？つまんなーい！

暗号破りの天才と言えば？

セマエフ

アラセターリヤブルニカチューシャ
ナービソーキナーブルニークルトイ

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

ウッ　ハッ　ウッ　ハッ　フゥーッ

ラッセルあげ

米田さげ

あんのよ？

http://homepage.mac.com/miku24/

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

この本ってどう？

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000053841/qid=1061016877/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/250-3922434-9246647
コホモロジーのこころ
加藤 五郎 (著)

目次

1 カテゴリーと関手(数学の舞台、カテゴリー
カテゴリー論の大黒柱、米田の補題
ずっと行った先が帰納的極限、ずっと戻った先が射影的極限
カテゴリーと前層)
2 コホモロジー代数(使われているすべてのコホモロジーは、みな導来関手
数学自然に現れるスペクトル系列とは
スペクトル系列三羽烏に何ができる
コホモロジーを取らずにコホモロジーを捕らえる
コホモロジー論の作りなおし)
Appendix コホモロジー代数史とその展望

>>491
糞本。
おとなしくカルタン・アイレンベルク読んどけ。

>>492
カルタン・アイレンベルクの扱っていない層のコホモロジー
を扱っている。

（ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝｲﾀｽｷﾞ

米田さん、なんで計算機科学者になっちゃったの？

ブラック魔王

圏論て論理学やプログラミング言語理論なんかでも
使われるのはどういうことなんでしょうか？
圏論というのは単なる道具に過ぎないのですか？

道具というかなんと言うか…
論理のことを道具というなら（圏論の中の人以外は）道具だな

随伴関手ってさ
主にどんなとき使えるの？
対角関手の右随伴関手が積だとかさ
随伴関手は積とか核とか保つとかさ
そういうのが随伴関手のいい結果なの？
それとももっと違うところで威力発揮するものなの？

KANに聞けよ

>501
以前多くの院生が参加したスレだったようですが
彼らはもうここには来ていないようですね
誰も答えられるひとはいないんでしょう

>>503
ざっと斜め読みしてみると、100番台のころはこのスレはすごく盛り上がってますね。
数学板は突発的に深い議論がされたりするから侮れない。
少し前の複素解析のスレッドも熱かったし。

>>503
煽るのは勘弁してちょ

11

最近「Fourier-Mukai変換」ってよく聞くんだが、
どういうものなのか教えてくれたまえ。

>>507
R/Z上の関数に対するがフーリエ変換を、アーベル多様体（R^2n/Z^2n）上の
層（のなす圏）に対して拡張したもの。

>>508 なんとなくわかった。
ちゃんとした定義は向井先生の原論文にのってまつか？

>>509
原論文にFourier-Mukai transformationとは書いてないだろうけどね。

>508
R/Zってなに？

>>511
おいおいまじかよ

コンピュータサイエンス屋さんが最近カテゴリー論をよく研究してる
って話を聞いたんですが、コンピュータサイエンスとカテゴリー
ってどんな関係があるんですか？
全然イメージわかない・・・

>>513
計算というものは文字列の変換に還元できて
文字列の集合は連接を積と考えれば代数的な構造を持つ。
そういうことから見ても計算機科学と代数って密接な関係があるわけで
カテゴリーを使った研究ってのも自然と出てくるんじゃないかな。
詳しいことは知らん。

>>513
http://mitpress.mit.edu/catalog/item/default.asp?sid=86A82595-444E-4CEA-8E6A-A51F9F37FEA8&ttype=2&tid=7986
http://titles.cambridge.org/catalogue.asp?isbn=052157188X

>>513
サンクス。計算機科学が代数（一般代数みたいなやつ？）と関係ありそうなのは
なんとなくわかります。
ただ、カテゴリー論まで対象を広げなきゃないってのがよくわかんない。

>>515
どうもです。上のほうの本は amazon で内容をちょっとだけ見れたんですが、
最初のほうだけだったんで計算機科学での応用はよくわかんなかった。

計算機科学の研究者の方がいましたら、カテゴリー論をどんな風に計算機科学に
応用できるのか、数学者向けに説明してもらえると嬉しいです。

>>516
私も専門化ではないんでよくわからないけど、たとえばこういうのが
あるね。

A. Bauer, D.S. Scott. "A New Category for Semantics".
Available from: ttp://www-2.cs.cmu.edu/Groups/LTC/papers/EQULogic.ps

関数型言語と関連があるらしい。

>512
おおまじ！
R/Zってなんだー！？
実数体を整数環で割った剰余環？
おしえろー

>512
おおまじ！
R/Zってなんだー！？
実数体を整数環で割った剰余環？
おしえろー

そだよ

もうちょっと真面目にいうと、実数環を整数環で割った剰余環。

と思ったが、位相アーベル群として見ているだけのような気もする。

>521
さんきゅ！

じゃさフーリエ変換するのになんでR/Z上で変換すんの？

>>523
正解
>>524
フーリエ変換は知ってるの？

>525
一応単位は取ったぞ
関数を三角関数の無限級数展開すんだっけかな
まーあんときはほとんどマニュアル通りみたいな感じで試験受けたし
正直全く理解しとらんな
なんで代数幾何でフーリエ変換が出てくんのかわかんね

降臨中華？

フーリエ変換とR/Zってどういう関係なんだー
おしえろー

トーラス上の解析

周期関数はR/Z上の関数とみなせる。

R/Zとe^iθ=cosθ+isinθを見比べれいれば自ずと（ｺﾞﾆｮｺﾞﾆｮ

5

圏論をメジャーなものにしたのは誰ですか？

人から聞いた話。
>>501
圏論の中でもかなり基本的な道具だから「何ができる」と一言ではいえない。
とりあえずモナドが作れるよなぁ。

>>513
>514 も書いているけど計算を文字列操作ととらえると、データと関数を
同列に扱わなければならない、そこが集合論となじまないとか、圏の言葉で
書いとくと再帰的プログラムが止まるかどうかが、その圏が limit を
持つかどうかに帰着されてうれしい、とかいう話。
詳しくは理系板の情報科学スレッドで聞いてくれい。

圏に変なロマンもってんじゃねーよ
このど素人ども

>>534
なんとなくイメージがつかめた。ありがとう。

Categoryってlargeとsmallがあるでしょ。
これの存在意義って何なんでしょう？

small…基礎論厨除けの魔法の呪文
large…基礎論の専門家さんがんがってくださいと意味の呪文

基礎論で集合について拘るとき以外はその二つの違いは考えなくても良いってことですか？

んにゃ、基礎論で集合について拘るとき以外は、largeの話はお茶を濁そうということ（ｗ
smallだけ考えておけば、とりあえず十分というのは…どうだろ？
分野によるだろうな

折れは、足りなくなったらUniverseを大きく取り直せばいいから、いつでもsmallだけを考えてればいい、
ってなんとなくテキトウに考えているが・・（ｗ
SGA4にそこらへんのことが確か書いてあったんで見てみれば？
あとは基礎論のほうで「クラスと集合」の違いとかって話しになるんだろうが、一般数学者にはよくわからんね。

local set theory?

ある空間の上の層の圏というのは，集合全部とかアーベル群全部とかの
圏よりは，大きいはず．

これがenough injectiveということを示すためには，やっぱり空間が
集合になっている事を使わないといけないらしい．

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

age

>>543
＞これがenough injectiveということを示すためには，やっぱり空間が
＞集合になっている事を使わないといけないらしい．

それ以前に底空間が集合になってない位相空間（というか位相クラスというか）上の加群の層の圏
なんて定義できなるの？

>>543の指摘は尤も。
前層というのはCからSetsとかへの反変関手で、したがって一般にはクラス。
前層のなす圏とかはつまりクラスの集まりであってクラスより大きい。
だからグロタンディークは普遍集合を考えたりして矛盾が生じないようにしたんだな。
又これはＺＦＣやＢＧが本質的でないことを示している。
基礎論屋はこの辺りのことをよく理解していないんだろうな。

いい忘れた。
多くの数学者は普遍集合を考える意味を理解していない。黒木とかいう偉そうなダメ数学者もそうだ。
君たちは前層のなす圏を考えるだけで既に矛盾に陥る危険を冒しているんだよ。
矛盾の起きないように細心の注意を払ったグロタンに感謝しなさい。そしてＳＧＡを読みなさい。

>>546　1行目・2行目共に意味不明。

>>548
なんで？まず一般にある空間上の層の圏というのはその開集合全体をObjectとして包含写像を射とする圏からの
関手のなす圏と定義されるけど（いわゆるFunctor Category）Functor Categoryが定義されるためにはそもそも
もとの圏がsmallでないとダメじゃん。底空間の位相空間が集合になっていないならその開集合のなす圏が
smallになる保証がそもそもないからその上のFunctor Categoryなんて定義できないんじゃないの？
というかそもそも空間が集合になってない位相空間とはどう定義するんだ？
たとえばXが集合でないproper classとしてX上の位相構造Tはどう定義するの？
普通にXの部分集合の集合でφとXを含んでいて任意個数の合併と有限個数の共通部分について
閉じてるの｢集合｣の部分を｢クラス｣に書き換えようとするとTはXをふくんでいないといけないけどXはsmallじゃないんだから
そこですでに破綻するじゃん。

＞だからグロタンディークは普遍集合を考えたりして矛盾が生じないようにしたんだな。

「矛盾が生じないように」なんつー高級なレベルじゃない。
グロタンも、数学者の例に漏れず、基礎論を恐れていた。

>>549
ttp://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math732.html
のSitesの章を読むといい
Functor Categoryは定義し得るかどうかではなくて、「定義されるべきもの」
私が批判しているのは、無神経に巨大なものを考える態度のことだ。
君のように「定義し得るかどうか」注意するのはとても大事なことだ。
ここでクイズ。「一般の圏の上のFunctor Category」はどのように定義されるべきか？
この問いの解答の一部は「点集合論を放棄すること。」あとは自分で考えてくれ。

（なんか口調が偉そうになっちゃったなぁ。547をもっとまろやかに書くべきだった。）

また言い忘れた。
「一般の圏の上のFunctor Category」を正確に定義すること自体にあまり意味はない。
重要なのは集合論に依存しない形で数学の本質を展開するということであって、つまり量子化である。

>>552
＞「一般の圏の上のFunctor Category」を正確に定義すること自体にあまり意味はない。
わけわからん。ともかく>>543の書きこみをにたいしてやったおれの>>546の書きこみを
>>548のように批判するならまず
･集合でないproper class上の位相構造とはなにか定義する。
･そのうえでそのような構造の上で層の圏を定義する。
･そのうえでその圏はEnough Injectiveでないものが構成可能な実例を定義する。
↑これやった上でいえよ。なんか答えもってんのか？

>私が批判しているのは、無神経に巨大なものを考える態度のことだ。
>君のように「定義し得るかどうか」注意するのはとても大事なことだ。

>「一般の圏の上のFunctor Category」を正確に定義すること自体にあまり意味はない。
>重要なのは集合論に依存しない形で数学の本質を展開するということであって、つまり量子化である。

プ

555ｹﾞﾄ

また基礎論がらみの話かよ。危なっかしいときは常にsmallで
考えればいいだろ。っていうことでこの話は終わり。

層の圏はsmallにならないので556はサヨナラ．

一応Uと，それを含むVという二段階の宇宙を考えることにして，
U-small category; U-category ; V-small categoryという階層を
考える．

U-smallな圏からU-smallな集合全体やアーベル群全体への函手全体は，U-圏にはなる．
しかしU-圏からU-smallな圏への函手全体はV-smallにはなるが，U-圏ではない．
ではU-圏，たとえばU-smallな位相空間全体のなす圏を考えて，その上の層全体の
圏を考えると，何も考えないと，V-smallにしかならないが，良く考えると，この圏は
U-圏になる．543とか547-は，そのあたりを，ちっと聞いたんだろう．

546-は正しい事を言ってるが，勉強が足りない．

なんかともかく｢small｣という縛りを呪文みたいにつけときゃいいって意見があるけどそれはダメ。
たとえばCがsmallでもC上のfunctor categoryは一般にはsmallにならない。だからなんでもかんでも
smallってバカみたいに仮定してりゃすむってもんでもない。small、largeのちがいぐらい
集合論の教科書の最初の2,30ページよみゃわかるんだから圏論つかうジャンルを
(代数的位相幾何、代数幾何、表現論など)専攻したけりゃ最低でもsmall、largeの
意味ぐらいしっとかないと通用しない。しかし勉強してもなんの役にもたたないが。

>>557
それで>>553はどうするんだよ。ともかくオレのレスがまちがってるってんなら
まちがってるとこを指摘しろよ。でオレが指摘してる問題点について答えろよ。

それで>>553はどうするんだよ。

無意味なことを理解するんだよ．

>ともかくオレのレスがまちがってるってんなら
>まちがってるとこを指摘しろよ。でオレが指摘してる問題点について答えろよ。

553の指摘は間違ってはいない，ただ無意味なだけ，多分，
問題点があると思うなら自分で答えなさい．SGA4は見た方が良いけど．

>>560
＞553の指摘は間違ってはいない，ただ無意味なだけ，多分，
　
は？意味不明とかさんざん毒づいてくれた理由を説明しろっていってんだよ！？

553-は知ったかブリのいろいろよりは正しい．

>>562
あ、そ。ども。ではそゆことでよしとしましょう。俺もいいすぎたかな。スマ

あらゆる位相空間上のアーベル群の層全体の成す圏は，enough injectiveということを
証明すれば，みんな納得するんじゃないの．

>>564
＞あらゆる位相空間上のアーベル群の層全体の成す圏は，enough injectiveということを
＞証明すれば，みんな納得するんじゃないの．
　
この｢あらゆる位相空間上のアーベル群の層全体の成す圏｣というのが
位相空間として“small”でないのをとってこるとどうなるかというのがここ一連の問題。
この位相空間が“small”ならなんてことはない。アーベル群に値をとる層の圏全体は
Grothendieck CategoryなのでEnough Injective。

ちなみに
　
＞位相空間として“small”でないのをとってこるとどうなるかというのがここ一連の問題。
　
この問題というのがEnough Injectiveである、ない以前に定義が破綻してしまわないか？という問題。

破綻しなかったら，驚き．

>アーベル群に値をとる層の圏全体はGrothendieck CategoryなのでEnough Injective

嘘はいかんな，

つまり，どういゆこと？

>>568
なんでGrothendieck Categoryになるじゃん。

ああ、書き方がまずいって。まずいな。
　
アーベル群に値をとる関手のなす圏はGrothendieck Categoryなので
　
と書かんといかんな。

>>569
どのレスにたいして聞いてるの？

基礎論オタクはいらない．普通の数学をするときの，
基礎を知りたい．

どうでもいいから，使っていい事；問題のないことをちゃんといってほしい．

代数幾何専攻してますが、圏のsmallとlargeの区別やユニバース等について今まで
定義を読んだくらいで、まともに勉強/注意したことがありませんでした。

ここのカキコを見てたらそれじゃまずそうな気がしてきたので、ちょっと勉強してみよ
うと思ってます。詳しいかた、読むべき本・論文を教えてくれませんか？
やっぱ、まず SGA4でしょうか？

豪華圏論

同値な圏は同じもの、という考え方が必要なのはなんとなくわかる。
「単位群の圏」というと普通には対象は1個だけと考える。
しかし「0だけの群」「1だけの群」「山田花子だけの集合に自明な演算を定めた群」
などを別のものと思うと、対象全体は巨大になって集合とはみなせない。
しかしこれは明らかにどうでもいいことであり、圏の同値という概念で処理できる。

>>577
もしかして同値な対象を同一視すればいつでもsmallな圏になるか？という問いなら
一般には成立しないよ。非同型な対象の類がsmallでない圏もあるから。
たしか対象全体はsmallでないが対象の類はsmallとかいう圏は“スケレタリー”small
とかいうハズ(spell 忘れた)。“スケレタリー”smallな圏ならFunctor Categoryは定義できるけど
そうでないなら(そしてそうでない圏はいっぱいある)それはUniverseをふくらますか
なんかしないとダメ。

>>575
オレも勉強したいぞage

スケレタリー＝骨格的に＝骸骨的に
だね。

>正確に定義すること自体にあまり意味はない。
やら
>勉強してもなんの役にもたたないが。
やら言いつつ、
そこにこだわり続ける香具師一名。

>>575
Mac Lane でいいんじゃないの？

>>558
必要に応じて(つまり、危なっかしいときは)smallを仮定すればいいだろ
ということを俺(>>556)は言っている。largeで考えて問題なければ
当然、largeでいいんだよ。ということで、この話は終わり。

>>501
右随伴関手は射影的極限と可換だし、左随伴関手は
帰納的極限と可換である。
随伴関手は数学の至る所に現れる。
例えば、環上の加群のテンソル積は Hom の左随伴関手だ。
これから テンソル積が帰納的極限と可換であることが
ただちに出る。
さらに、Hom が左完全なことが分かれば、
テンソル積が右完全なことが自動的にわかる。

>>575
代数幾何に使うなら基礎論的なことを気にする必要はない。
必要に応じてsmallで考えればいい。手段を目的と混同しない
ことが肝心だ。

>>582
Mac Lane "Categories for the Working Mathematician" ですか？
一応、大半読みました。前半の "Foundation" のところにユニバース
について多少書いてありますが、Functor category や site 上の層の
圏等について注意すべき点など、私の知りたいことはこの本には書い
てないです。

>>585
いや、だから今までそういう態度でやってきたんすけど・・・それだと
まずいのかなと思ったんですが。

まあ全部自作自演ってやつなんだけどな。 　 　 　　 　　 ∧＿∧
　　　　　　　　　　　∧＿∧　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （´<_｀ ；）　･･さ、流石だな、兄者
　　　　　　　　　　 （　´_ゝ`）　　　　　　　　　　　　　　　　　　/　　 ⌒i 　
　　　　　　　　　　／　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　/ ｨ　　 |　|
　　　　　/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
＿_　＿/　 Prius　 //　 FMV 　//　 VAIＯ　// Ｍeｂiｕｓ //　LaVie　 /＿＿＿＿
　　 ＼/_/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
　　 ＿ /ThinkPad //ＷinＢook//DynaBook//Ｌｉbretto // Presariｏ/
　　 ＼/_/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
　　 ＿ / Inｓpｉｒon //Endeavor//InterLink //　　Ｅvo　 //Let'sNote/
　　 ＼/＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿/
　　　　　　　　　│　 　 　 　 │　 　 　 　 │　 　 　 　 │　 　 　 　 │　

>>586
まずいわけない。
まずいかどうか、具体的に応用するときに考えてみればすぐわかる。
エタールコホモロジーの場合、考える圏というのはスキームの上の
エタール被覆全体だろう。これはsmallと思っていい。

＞まあ全部自作自演ってやつなんだけどな。

全部なわけないだろ。自作自演はお前が思うよりはるかに少ない。

>>583
＞必要に応じて(つまり、危なっかしいときは)smallを仮定すればいいだろ
＞ということを俺(>>556)は言っている。
　
だからそれが無理なんだってば。smallな圏があってそれしか考えないなら
それはそれでいいけどたぶん役にたたない。一般的にいって圏論をバリバリ
つかうようなジャンルだとある最初の圏=Cがsmallでもその上のAbel群に値をもつ
関手の圏(modCなど)は一般にsmallでなくなる。圏論をあつかうほとんどの議論では
CだけでなくmodCやD(C)(←mod(C)の導来圏)などをあつかうものでこれらはもとのCが
smallでももはやsmallにならない。(スケレタリsmallですらない。)
smallな圏しかあつかわないという立場ではこのような重要な圏が一般には
smallにならないのでほとんど実質役にたたない。
オレは基礎論ほとんどしらないし2chの基礎論スレすらまったくついていけないけど
このすれの500番台前半の議論ぐらいにはついていけるしそのぐらいの知識は
代数幾何とか表現論やるなら絶対必要だとおもう。

>>590
圏論をやる前に日本語を勉強したほうがいい。
俺はsmallな圏だけ扱えばいいとは言ってない。

>>591
じゃあ君の主張を正確にのべてくれよ。君の論旨はsmall、largeなんて勉強する意味ない。
あやういときはsmallという仮定つけとけばよいじゃないの？

>>592
>>583の言ってる意味が分からないの？
largeで問題あればsmallで考えればいいということ。
largeで問題なければlargeでいいと書いてあるでしょう。
俺の言ってることは、Grothendieckのuniverseの考えと近い。
俺のやり方を数学的に厳密にやろうとするとuniverseの考えに
行き着く。

　　　　　　　　　　　 ヽ、　　､、　　　 .':，　 ､　　　　、
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　　　　　　　　 _,,lﾞ-:ヽ,;､、　　　　　　　　　　　　 ､､丶　 ﾞi､,,、
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　　　　　.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´　　　　lﾞ　 ﾞ).._
　　　 ,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､　 : ｀"｀｀｀¬――'''"｀ﾞ＾｀　　　　　: ..､丶　 .lﾞ ｀ヽ
　　　,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、　　 　 　 　 　 ､､...,,,､−‘｀　　 ､‐　　 |ﾞﾞ:‐,
　 ,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀　　　｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'":　　　　　 _.‐′　　丿　 ,!
　j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、　　　　　　　　　 　、._,、..-‐:'''′　　 .､,:"　　丿
　ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀　 ｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀　　　　　　､._.／｀　 ._/｀
　 ｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 　　　　　　　　　　　　　　　　　 、.,-‐'｀　　 、／｀
　　 ｀`ヽン'`"｀　 : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾　　　　,､‐'"｀
　　　　　 `"'ﾞ―-､,,,,..､、　　　　　　　　　　　　　　　 　: ..,､ー'"'｀
　　　　　　　　　　　: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""｀｀

>>593
＞largeで問題あればsmallで考えればいいということ。
　
ていったって圏論で応用上重要な圏はほとんどことごとくsmallじゃないからsmallで
かんがえればいいっていったって、そんなことしたら応用上全然役にたたないものしか
できないじゃん。それじゃまずいだろ？

>>593
結局LargeとかSmallとかは基礎論厨対策のためのおまじないであってべつに
勉強しなくてもいいということで桶なのですか？

>>596
折れもそれが知りたい。なんとなく情けない態度だが。

>>595
例えばアーベル群の圏 Ab をとる。Ab から集合の圏 Set への
反変関手の全体 Func(Ab, Set) は Hom が集合とならないから
通常の圏ではない。これを圏にするためには、Ab の
各アーベル群の台集合をある特定のuniverseの元に限ればいい。
そうすれば Ab はsmall となり、Func(Ab, Set) は圏となる。

>>596
集合の全体を集合と考えると矛盾が生じるとかくらいは
知っておく必要はある。それとuniverseの考えも知って
おいたほうがいい。さらに欲を言えば集合論のZF公理系
とはどういうものかざっとでも知っておくといい。

>>598
Func(Ab, Set) は func(Ab', Set) の間違いだった。 Ab' はAbの
双対圏。

>>598
Abはスケレタリーsmallでないって。
非同型なAbel群全体の“同型類”の個数はsmallじゃないでしょ？

>>598
＞反変関手の全体 Func(Ab, Set) は Hom が集合とならないから
これはウソではないけどFunc(Ab,Set)が定義不能なのはコレだけが理由じゃない。

>>601
だから何？ universeを使えばsmallになるという意味を
わかってないだろ。

>>602
他の理由って何ですか？

>>604
いっぱんに関手の圏がwell-definedであるためには“関手の全体”や“自然変換の全体”
が定義可能でないとダメ。しかしC=AbであるときmodCをかんがえようとすると
C上のAdditive Functorをパラメトライズするにはproper classだけの情報量が必要。
つまりAdditive FunctorF:Ab→AbとはOb(Ab)→Ob(Ab)とC(A,B)→Ab(F(A),F(B))で
××の条件をみたすものと定義されるけどそれをClassで具体的に記述すると
とても巨大なClassになる。(やってみそ)よってその全体
{F|FはCからAbへのAdditive Functor全体}を定義することができない。
つまりObjectすら無理ってこと。
実際にはmodCを考えるのは無理でUniverseをふくらますか
もしくはCをとりかえるか（←こっちをふつうは採用する。）
しないと無理。

>>603
わかってない。説明してよ。universeの話をどうつかうっての？
君の議論は危ないときは“small”というおまじないをつければいいって論旨じゃないの？

>>605
関手が定義できるならその全体も定義は出来るんじゃないの。
それはsetではなくclassだけど。

>>607
ごめん>>605まちがい。そもそも関手すら定義できない。

>>606
俺を誰かと間違えてないか？
君はuniverseが何かを知らないな。それなら自分で調べてくれ。
ここは、質問スレではない。

>>608
関手は定義出来るだろう、いくらなんでも。それが定義出来ない
なら圏論なんて成り立たない。

>>609
きみは上の方のスレで
　
　583 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/12/21 08:26
　　>>558
　　必要に応じて(つまり、危なっかしいときは)smallを仮定すればいいだろ
　　ということを俺(>>556)は言っている。largeで考えて問題なければ
　　当然、largeでいいんだよ。ということで、この話は終わり。
　
っていってた人じゃないの？
　
＞君はuniverseが何かを知らないな。それなら自分で調べてくれ。
　
だいたいしってるつもり。基礎論の専門家ほどじゃないのは確か。でもこの手の問題が
起こったときだいたいどうすればいいかわかってるつもり。
だけどそれどどう説明すれば>>583と>>598相いれる意見になるのかがわからん。
“small”ってことばを呪文みたいにはりつけるってのとuniverseをうまく利用するって態度には
天と地ほどのちがいがあると思うんだけど。

>>610
ではAbからAbへのAdditive Functorを定義してください。

あ、定義といってもその情報を適当なクラスにうめこみ可能であることを
しめさないとダメだよ。つまり“FがAbからAb関手である”という述語記号を
定義するだけではダメでそれと一対一に対応するクラスを構成してくださいという意味ね。

>>611
問題をすりかえないでくれ。たでさえ議論が収束しないのに余計
混乱する。君はuniverseを使えばsmallに出来るという俺の
意見がわからなかったんだろ。どこがわからないのか説明して
くれ。

>>613
問題をすりかえないでくれよ。君は関手が定義できないと言った
んだろ。関手は定義できる。

>>614
わからないのはたとえば最初CからはじめてmodCをかんがえたいとする。
Cはsmallでないので適当にUniverseをきめてCをU-smallとしてD=modCを
かんがえたとする。しかしすでにDはU-smallではない。さらにmodDをかんがえたいとき
はすでに“U-small”というおまじないをつけとくだけではダメで結局そうすると
あらたにuniverseをふくらますかもとのCに単にsmallという仮定をいれるだけではダメって
ことになるだろ？結局“Universe”とか“small”の意味もよくわからず
おまじないみたいに“small”という言葉をつければいいというもんでもないだろ？
すくなくとも↑こんな例は応用上いくらでもありうるケースで“small”って言葉をつけとけば
いいというわけではないことの実例になってると思うが？

>>615
ああ、定義できないといったのはいいすぎだった。しかしその全体の圏をつくる問題を
考えてるんだからそれと一対一対応してるクラスを構成できないとダメだよね？
その時点ですでに破綻するっていいたい。破綻しない構成法しってるの？

>>616
また問題をすりかえたな。universeを使えばsmallに出来るという
ことは分かったんだろ(やっとね)。

>>617
構成できないと定義できないのか？　君の問題は問題を
するかえることだ。

>>618
どこが問題をすりかえてるのかわからん。
君の論旨は
　
　583 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/12/21 08:26
　　>>558
　　必要に応じて(つまり、危なっかしいときは)smallを仮定すればいいだろ
　　ということを俺(>>556)は言っている。largeで考えて問題なければ
　　当然、largeでいいんだよ。ということで、この話は終わり。
　
なんだろ？だとしたら>>616のmodDをかんがえるときも“Dはsmallを仮定する”とかいとけばいいって
意味にしかよめないんだが。どこがすりかわってるんだ？いつでもsmallをつければいいって
主張の反例になってるじゃん。

するかえることだ→すりかえることだ。

>>619
できないだろ。今やりたいことは圏CについてmodCを定義したい。そのためには
modC=(O,M,Dom,Cod,Comp)というクラスの五つ組を定義するのが目標だろ？
つまりOはCからAbへのAdditive Functorと一対一に対応してる“クラス”でないといけない。
そのクラスをどう定義すればいいのか聞いてる。それが元の問題でしょ？
ひとつも問題すりかわってないんだが？？

>>620
君はuniverseを使えばsmallになるという意味がわからないと
>>606で書いただろ。俺が問い詰めると別の問題を持ち出してくる。
それが問題をすりかえるということだ。
一つの議題で不利になると別の議題を持ちだしてくる。
そういうのは卑怯だし、議論を混乱させる。

すり替えが始まりますタ。

>>623
論旨のすり替えをしたと思われたならあやまります。すいませんでした。
すくなくともmodCを構成したいとき適当なUniverseを固定してCにsmallという
仮定をいれればmodCは構成できます。
ではあらためて>>620に反論してください。>>620が私の真意であなたの>>583の
意見にたいする反論です。

>>622
かってに問題を変えないでくれ。元の問題はFunc(Ab, Set)を
classとして定義できるかどうかってことだ。

>>626
それでもかまいません。Func(Ab, Set)を定義するための五つ組
Func(Ab,Set)=(O,M,Dom,Cod.Comp)を定義するためにはFunctorと一対一対応している
クラス“O”を定義する必要があります。Oを定義してください。

ちなみにまた問題すりかえたといわれるといやなので注意しときますが
私がしってる方法ではOはおろかOの要素であるFと一対一対応する“クラス”
すら定義不能です。AbはsmallではないのでそれをSetsの対象と対応する
“対応表”は巨大になりすぎてクラスとして実現するのは困難なはずです。
もちろんその全体ももはやクラスとして実現するのは困難なはずです。
もちろん“絶対不可能”である証明をしってるわけではないのでできるかもしれませんが。

すいません。また間違えました。
　
＞AbはsmallではないのでそれをSetsの対象と対応する
＞“対応表”は巨大になりすぎてクラスとして実現するのは困難なはずです。
　
↑これはウソです。可能です。したがって>>608はウソです。撤回します。
しかしOは構成不能だとおもいます。可能だとおっしゃるかたは構成してみてください。

>>627
Func(Ab, Set)とはAb から Set への関手の全体だ。
これで立派な定義だろ。

>>630
それはマジでいってる？

おーい。

>>631
勿論だ。どこかおかしいか？

此処は話が面白いぐらい噛み合わないインターネットですね。

非常におかしいんだが･･･
おかしいことの説明たいへんながくなるんだけど。
やったほうがいい？

やってくれ。ただし、なるべく要領よく。

じゃあかいつまんで。
以下クラスにも順序対を定義するため<<?,?>>というのを
<<X,Y>>={<X,1>,<Y,2>}などと定めとく。(<X,Y>は通常の順序対)
まずFがFunctorというのを普通に定義してつまりOb(Ab)からOb(Sets)とMor(Ab)からMor(Sets)への対応
の２つぐみF=<<A,B>>だと考える。つぎにA,Bは通常の関数とおなじくグラフクラス
AはA⊂{<X,Y>|X∈Ob(Ab),Y∈Ob(Sets)}で〜をみたすもの
BはB⊂{<f,g>|f∈Mor(Ab),g∈Mor(Sets)}で〜をみたすもの
と定義する。(ここでも<<>>の方をつかっても<>の方をつかってもいいが本質的には違わない)
さてこれで“Functor”を“クラス”に翻訳することに成功したわけだが最初からわれわれは
“Functor”とは↑このようにしてつくられるクラスのことと同一視しておく。
（つまりこれは“関数”を“グラフ集合”で解釈する方法の延長である。）
さて問題はこの方法でえられる同一視によってえられる“関手”の全体をクラスをかんがえるときどうなるか
だけどつまり
Fun(Ab,Sets)={F|FはAbからSetsへの関手}と定義するとどうなるかだけどAbはsmallでもスケレタリーsmall
でもないのでFは非常に巨大なproper classであり他のいかなるクラスの要素となることはできない。つまり
このような通常の解釈のもとでは{F|FはAbからSetsへの関手}は空集合になってしまう。
これではまずいだろ？

訂正
＞以下クラスにも順序対を定義するため<<?,?>>というのを
＞<<X,Y>>={<X,1>,<Y,2>}などと定めとく。(<X,Y>は通常の順序対)
これうそ。ただしくは
<<X,Y>>={<x,1>|x∈X}∪{<y,2>|y∈Y}
などと定義しておく。ようは“Disjoint Union”。どう定義してもいいが。

寝よ。

>>634
みんな名無しにしてるから余計混乱してますね。

>637
>Fは非常に巨大なproper classであり他のいかなるクラスの要素となることはできない。つまり

つまり、問題を言い換えただけだろ。答えになってない。
関手 F と G があったとする。{F, G} は集合だろ。
君の理屈だと、これは空集合になる。

すみません。あまりにも初心者的な質問だと思うので、
話の腰を折ってしまうかもしれませんが、ふと疑問に感じたものですから。

空ではない集合のつもりで考えていたが、実はそれは集合でなく類だという
ことになってしまったとき、それは空集合になるのでしょうか？
集合と類は互いに素なものなのでしょうか？

>>642
空でない類を空集合という人は非常にまれ（我ながら穏やかな言い方だ）だろ。
集合は類だよ。逆は言えない。

>>641
とりあえず集合論の公理の最初の解説の一番さいしょの方よんでよ。
“集合の全体”とか“位相空間の全体”とかいうような巨大なクラスについて
素朴集合論の公理をそのままみとめたら矛盾するってのは桶？
だから素朴集合論の公理をすこし変更しないといけない。BGのばあい素朴集合論の
公理を以下のようにすこし変更する。(←ほんとはBGというともうすこしかえるんだけど
めんどうなので以下の形にしとく。)
(任意の命題φにたいし)
∃X∀Y (Y∈X⇔φ(Y)＆∃Z Y∈Z)
この“＆”以降がBG集合論での変更。つまりXを{x|φ(x)}とさだめたとしても
Yが命題φ(x)を満足したからといってY∈{x|φ(x)}はかならずしもいえない。
ではどんなときにあたえられたYについて∃Z Y∈Zがいえるかというと
(通常 Yが集合or Yがsmall:⇔∃Z Y∈Zと定義される)つぎのような
判定法がある。（いくつかの公理からみちびかれる。なんだったかわすれた。）
∃Y',Z,f f:Y→Y'単射＆Y'∈Z⇒Y∈Z
でだ。>>637で定義したFのクラスでの翻訳である対F=<A,B>は巨大なクラスで
集合全体のクラスV(バーサスクラスとよばれる)からFへの単射がつくれるので
もし>>637で構成したFがもし“small”なら先の判定法からVも“small”になる。
（続く）

しかしVはsmallでないとわかっているのでFもまたsmallでない。つまり
AbからSetsへの関手としての情報をクラスにとじこめようとすると“Ab”があまりに
巨大であるためFはとても巨大なクラスになり他のクラスの要素になることができない。
これがFunc(Ab,Sets)の“Object全体”のなすクラスを構成できない理由。
･･･つかれた。こんなの圏論の初歩の初歩なんだが。なんの教科書よんだんだ？
おおかた初学者むきの集合論にかかわってるような部分は適当にごまかしてるやつ
よんだんだろ？ともかく“small”とか“universe”とかについてなんか他人にかたりたかったら
そんな初学者むきの教科書は卒業してくれよ。おれはSGAなんかよんだことないけど
（ジャンルちがうから。）たぶん君が圏論バリバリつかうジャンルなら↑こういうのちゃんと
解説してる君のジャンル用の圏論のテキストあるから。ちなみにオレのジャンル
（表現論、ホモロジー代数）なんかだったらCarl FaithのAlgebraIとか嫁。
他にも今入手しにくいけど岩波の公理論的集合論って本嫁。めずらしい日本語の
BG集合論の教科書だ。全部読む必要ない。（というかオレ全部よんでないから。全部読んだら
オレ抜ける。）最初の２０ページぐらいにここ数レスでオレが書いたことのってるから。

>>642
ちがうよ。>>641でかいたとうり命題φ(x)をみたすYが存在したとしても
φによってさだめられるクラスX={x|φ(x)}の中にYがはいるとはかぎらない。
>>637のように命題φ(x):⇔“xはAbからSetsへの関手である。”（具体的定義は>>637の通り）
とするときφ(F)⇒Fはsmallでない。が証明できてしまう。つまりφ(F)をみたしてるものは
いっぱいあるけどどれひとつをとっても{x|φ(x)}の中にはいることはできないという
なんか奇妙なことがおこる。奇妙なんだけどこうしないとラッセルのパラドックスといわれる
問題が起こるのでやむおえない。で普通Functor Categoryとか考えるときは
元の圏をsmallと仮定しとく。あなたの専攻わからないからなんともいえないけど
>>645のCarl Faithはお勧め。たとえば上の方のレスで書いた
Grothendieck Category は Enough Injectiveである。
とか
smallなAbel圏はあるRingのLeft Moduleのなす圏にFully Faithfullにうめこまれる。
とか
重要なアーベル圏論の便利な定理の証明がのってておもろい。これしってると
たとえばある空間上の加群のなす層がアーベル圏になるとかいう定理の美しい証明が
えられる。ので代数幾何とかやってる人とかでもたのしめるかも。

>>646
すみませんが、もし面倒でなかったら今までのカキコの中でどれが646さんのものか
番号を教えてくれませんか？ >>646 さんのカキコを参考にして勉強したいんですが、
他の人のものと混ざって、アホな私にはどれが誰のなのかわかんないんで・・・

>>645
全然説明になってないでしょ。巨大なクラスだから他のクラスの
要素になれないの一点ばり。>>641に答えてくれないか。
{F, G} は空集合なのか、空でない集合なのか、それとも集合でないのか。

>>648
{F,G}を普通に命題φ(x):⇔x=F or x=Gと定義し、かつF,Gがたとえば>>637で定義した
AbからSetsへのFunctorなら{F,G}={x|φ(x)}=空集合。

おーい。もう落ちるぞー。

>>649
Ab をsmallとして F, G を Ab から Set への関手とした場合は
どうなるの？ やはり {F, G} は空集合なのか。

>>647
＞ >>646 さんのカキコを参考にして勉強したいんですが、
それは勘弁してちょ。こんな初歩的な議論は圏論習いたての頃勉強したきりで
結構ウソもまじってる。（上の方でFunctorをクラスとして表現できないとか
うるおぼえでウソを勢いでかいてしまったりしたやつとかある。他にも自分では気付かないで
ウソかいてる可能性ある。大筋あってるとおもうけど。）
それに圏論って各ジャンルによって似て非なるものだから自分のジャンル用にかかれてる
やつを探したほうがいい。担当教官に相談して。たとえばユニバースをとりかえるという操作はうちのジャンルでは
（少なくともオレは）ほとんどやらない。実際上のCarl FaithのAlgebraIではユニバースの
話は一章かなんかでちょこっとさわられてるだけだから。オレのジャンルでは
ユニバース＝バーサスクラスの一番基本的な場合しかあつかわないから。
にもかかわらずCarl Faithは一読の価値あり。（ななめよみで桶）

>>647
人が議論してるんだから、一段落してからにしてくれないか。

>>651
>>637のように関手をクラスとして翻訳した場合
C,Dが圏、F:C→Dが関手のとき
Fがsmall⇔Cがsmall
になる。つまりとくにF,G:C→Dが関手のとき{F,G}が空⇔Cがsmallでない。になる。
証明は>>644-645に書いた判定法をつかって簡単にできる。
Fがsmall⇒Cがsmallをやってみれば
(証明)F=<<f,g>> (fはobjectの対応をあらわすグラフクラス、gがmorphismの対応を表すグラフクラス)
とする。クラスGをG={<<a,b>,1>|a∈obj(C)、f(a)=b}でさだめる。このときGは
obj(C)×Fのグラフクラスとなりこれは単射obj(C)→Fを定義する。よって
>>644-645でかいた判定法（←名前ついてたと思うけどわすれた。）よりCもまたsmallである。□
こんな感じ。逆も同様。

ちょっと訂正。obj(C)とすべきとこCになってるとこがある。
Fがsmall⇒obj(C)がsmallをやってみれば
(証明)F=<<f,g>> (fはobjectの対応をあらわすグラフクラス、gがmorphismの対応を表すグラフクラス)
とする。クラスGをG={<<a,b>,1>|a∈obj(C)、f(a)=b}でさだめる。このときGは
obj(C)×Fのグラフクラスとなりこれは単射obj(C)→Fを定義する。よって
>>644-645でかいた判定法（←名前ついてたと思うけどわすれた。）よりobj(C)もまたsmallである。□
こんな感じ。逆も同様。
Cがsmallの定義はobj(C)がsmallだからこのままでもいいんだけど。

ところで一言補足しとくと>>637-638でクラス用順序対<<A,B>>というのをわざわざ定義してるけど
なんでこんなものを容易してるかというと普通集合論の入門書にのってるZFの順序対
<A,B>={A,{A,B}}はBGではABが無条件だとつかえないから。
つまりZFでの対の公理
(任意の対象記号a,bに対し)∃x y∈x⇔y=a or y=b
がBGでは無条件には成立できないから。つまりA,Bがsmallでないと{A,{A,B}}は空集合に
なったりする。でしょうがないからたとえば>>638のようにBGのsmallでないクラスでも
つかえるようなクラス用順序対を容易しとかないとうまくいかないわけだ。

いいたいこといったので落ちます。

Ab がsmallでないときは、{F, G} が空って、正気かよ。
F とＧの対は、考えられないっていうのか？
現に考えてるだろ。

>>656
言葉遊びだろ。意味してることは集合と同じだろ。

全然わからんのだが、元である∈という関係だけに基づく世界を
造ろうとすると、ラッセルの逆理のようなものを回避するために
元になり得るのは集合だけ、ということになるのがポイントかな？
∈にも階層を設けて∈_{0},∈_{1},・・・みたいにするわけには
いかないのかな？

いずれにしろ、俺の立場では Ab がlargeのときは、Func(Ab, Set)
は考えない。よって、これが定義出来なくても痛くも痒くもない。
だから、残りの論点に移ろうじゃないか。
俺のやり方、つまり、largeで問題あるときはsmallで考えるって
いうことのどこがまずいのか、改めて説明してくれるかな。

無限で問題あるときは有限集合で考えるって
いうことのどこがまずいのか，説明できるかい．

まずくない場合だってあるが，それでは面白い例は
扱えない，と思っている人が多い，それといっしょ．

>>662
具体的にどういう面白い例が扱えないか指摘してみてくれ。
Ab がlargeだと、Func(Ab, Set) は定義できないんだろ。
だったら、Ab をsmall と仮定するしかない。

>>662
俺のやり方は、むしろ多数派じゃないのか。
Grothendieckもそうだし、Mac Lane の本もそうだし。

>>662
例をあげられないのかな。つまり、想像でものを言ってるのかな？

>具体的にどういう面白い例が扱えないか指摘してみてくれ。

ずっとみんながいっている層の圏．ただ確かに基礎論以外で，本質的な
応用があったのはGrothendieck位相だけかもしれない．

たとえsmall圏Cから出発しても，そのうえの層の圏Sh(C)はsmallに
ならないから，f: C -> D と函手があったら，f^* ; Sh(D) -> Sh(C)とか
f_* はもう一つ上のuniverseを考えるとか，super classを取っておかない限り
取り扱えない．

> Grothendieckもそうだし、Mac Lane の本もそうだし。

Mac Laneの本は，函手圏は確かに第一変数がsmall圏のときしか
書いてない．しかもSGA4-1.1.2でダメだと言われている定式化を
採用している．

SGA4-1ではuniverseというのを定義して，二つのuniverseの階層を
考えておく. U∈Vと．

U-small: U-categoryという区別をすれば，U-small上の層の圏は
U-categoryにしかならなし．

しかしこれらの大きさは，いわば形式的なものだということを
例えば1-7とか1-9で，きちんと調べている．そこで，これらを
V-small圏として取り扱うなら，層の圏の間のいろいろな函手が
アジョイントとか完全性を満たす事を証明し，またuniverseを
取り替えても理論が同値なことを確かめている．

>>666
>たとえsmall圏Cから出発しても，そのうえの層の圏Sh(C)はsmallに
ならないから，f: C -> D と函手があったら，f^* ; Sh(D) -> Sh(C)とか
f_* はもう一つ上のuniverseを考えるとか，super classを取っておかない限り
取り扱えない．

値となる集合の圏をsmallにすればSh(C)はsmallになるでしょ。

>>666
>>例えば1-7とか1-9で，きちんと調べている．

1-7とか1-9って何ですか？

なにか特定の集合Xなりアーベル群なりだけに値を取るsheaf全体なら
smallになりますが，そんなものにどういう意味があるのか．

すべてのsmallな集合なりアーベル群に値をとるpresheafに
こそ意味があるのではないの？それら全体はsmallにはならない．

> 1-7とか1-9って何ですか？

SGA4-1-7 って言う意味です．第一章第七章．

>>669
U をuniverse として U に値を持つ層を考えるってこと。

> U をuniverse として U に値を持つ層を考えるってこと。

Uより真に小さい基数をもつ集合に値を持つ層，です．

>>672
だから、そうやればいいんでしょ。

大体U自体はU-smallじゃない．

661は，なんか困ったら，適当に大きなuniverseをとって，smallに
したらいい，と言う事なのかもしれないけど，あとから条件つけたら
数学の証明とは言わない．

>>672
だから、そうやればいいんでしょ。

何を，ですか．一点上のU-smallな集合に値を取る層全体は，
つまりU-smallな集合全体になるから，U-smallではないでしょう．

>>675
何をって、圏論をですよ。
U-smallな集合全体も集合でしょ。

> U-smallな集合全体も集合でしょ。

U-setにはなりますが，U-smallではありません．
ひょっとして私かつがれてるんですか．

>>674
今は方針を述べてるわけであって、何も証明してるわけではない。

>>677
今問題になってるのは、層の圏をsmallにすることでしょ。
small であればそれが U-small でなくてもいいんじゃないの。
V-small でも W-small でもいいじゃない。U-small にこだわる
ことはない。

>>664
>>665

をみれば，GrothendieckやらMac Laneやらには，small categoryだけを
使った層の理論が書いてあるように思うでしょう．それが

>今は方針を述べてるわけであって、何も証明してるわけではない。

って，つまりどういうことですか．これがネタってやつなんですか．
U-smallな集合全体は，U-smallではないがU-setにはなることは，
当たり前と思うんですけど，つまり人を担ぐネタになるんですか．

>今問題になってるのは、層の圏をsmallにすることでしょ。

なんか出来てから，それがsmallかどうか議論するのは
あまり意味がないように思う．

SGA4でGrothendieckがやっているのは
まず‘最初に’二つのuniverseの階層U∈Vを考えておけば，
任意のU-small圏，あるいは場合によってはbig etale site
みたいなU-圏に対しても，skeletal V-smallな圏の中で
ホモロジー代数のいろいろな定理が成り立つ，というのが
SGA4第一巻の内容で，集合論的に難しい1-7とか1-9とかは，
本当のところ私はすべて理解してない．

でも661みたいに，なにもしなかったら，何もでないということは
理解出来たよ．

良スレ

>>680
意味不明。
あるuniverse U に値をとる層の圏 C(U) は smallでしょ
(U-smallではないが)。
もしlargeな集合の圏に値をとる層の圏では都合がわるいのであれば、
C(U) を考えようというのが俺のやり方。このやり方のどこが悪いの？

>>674
無条件に定理がなり立たない場合、条件をつけるのは当然だろう。
場当たり的なやり方が気にいらなければ、Grothendieckのように
やればいい。

>>681

あるuniverse U に値をとる層の圏 C(U) は smallでしょ

C(U)の対象fというのは，Cの対象cに対して，f(c)というUの
要素を対応させるのでしょうか．それは定数層というやつで，
定数層全体なら，たしかにCがsmallなら，smallになりますけど．

>>684
簡単のため層じゃなく前層を考えよう。
U をある universe とし、U-Set を U-small set の全体からなる
圏とする。さらに C を U-small category とする。
Ｕ に値をとる前層というのは、反変関手 F: C → U-Set のことである。
この反変関手全体のなす圏を C(U)と書いた。

>>685

それでは，
１．U-Setは，U-smallではないが，U-categoryにはなる．
２．CがU-smallならば，C(U)はU-categroyになる．
３．U-categoryは一般にはsmallにはならない．objectのことは何もいってないから．
４．しかしU∈V と二つuniverseを取っておけば，C(U)はV-smallにはなる．

まではいいですか．

だとしたら


>>667 値となる集合の圏をsmallにすればSh(C)はsmallになるでしょ。

はこの場合，smallをどういう風に解釈したらいいんですか．
最初のsmallはU-smallという意味だったけど，後のsmallはV-smallということなんでしょうか．

>>662 　俺のやり方は、むしろ多数派じゃないのか。 Grothendieckもそうだし、Mac Lane の本もそうだし。

Grothendieckは，単にsmallとはいわないし，Mac Laneは圏C(U)のようなのは扱わない．

>>686
＞最初のsmallはU-smallという意味だったけど，後のsmallはV-smallということなんでしょうか

正確にはそう。だけどそれは技術的なことであって、Sh(C) の object
全体がクラスではなく集合であるってことが、肝心なところ。

＞Grothendieckは，単にsmallとはいわないし，

俺は圏論の論文をここで書いたわけじゃないからね。論文を書くとしたら
当然、厳密にやるよ。

＞Mac Laneは圏C(U)のようなのは扱わない．

だけど基本的考えは Grothendieck と同じ。

まあ自分でsmallかlargeか判定できないなら常に“smallになるケースだけ考える”って
つけとけばいいかもな。かりにsmallのケースになることが絶対にありえなくてもソレ以降の記述は
無駄ではあってもウソにはならないんだし。

で、>>537-541あたりに戻る、と。

話の流れを途切れさせるようで申し訳ないが、圏論に関する詳しい本で、
Mac LaneのCategories for the Working Mathematician以外で
何か良い本があったら教えて下さいな。いつか詳しく勉強してみたいと
思っているので。それにしても、↑の題名は"応用工学者のための数学"
みたいで面白いな

ごく基本的なのはこれ。categoryの可能性を示す点でも優れている。
www.folli.uva.nl/CD/1999/library/pdf/barrwells.pdf
河田のホモロジー代数は少ないページ数でabelian categoryやsheafも扱って名著だとされるが、
categoryへの視野を極端に狭める本になっているので、この本だけでcategoryを済ましてしまうのはお勧めできない。
最強なのはHandbook of Categorical Algebra（著者忘れ）という本で、３巻計１０００ページを超える。
見たところ２巻までは興味深そうな内容だった。（第３巻はlogicが主体でよく分からない）

「興味深そう」て…
あんたお薦めで書名出しといて
読んでねぇのかよ…
著者かかねぇし

その本は普通のcategoryの本に載ってないことも書いてあるから挙げたんだよ。category単独を扱った本って少ないから。
他にも目を通してある本を挙げようと思ったんだけど、そういう意見があるなら止めた。
数学者が参考文献挙げるときって、必ずしも読んでるとは限らないと思うんだけどなー

必ずしも読んでないとしても、内容についてを尋ねられたら、
関連する箇所に関してはきちんと自分の言葉で説明できる状態のものを
参考文献に挙げてると思うぞ。

>>694
そんなことは無い。ほとんどの代数幾何の本の参考文献にEGAとSGAが挙げられているが
著者がこれらの本のどこに何が書いてあるか知っているとは限らない。
むしろ定理の引用という形が普通。

というか、親切心で691を書いたのに罵倒されるとは極めて不快。
Handbook of Categorical Algebraのようなencyclopediaを読んでいるのは専門家しかいないが、
かといってcategoryの本としてこの本を挙げないわけにもいかない。
>>692のようなやつはせいぜい"category"で検索して苦労してろ。
本当は"category"と名のつかない本や論文でcategory theoryの分かりやすいやつは沢山あるわけだが(FとかGとかLとか）、
そういうやつは色んな知識が無いと存在すら気づかない。自分で頑張って発見してくれ。

>>692
だったら、代わりに、お前が推薦書を挙げろ。
情報提供者を怒らせやがって。
落とし前をつけろ。

たった一人の煽りを真に受けるとは大人気ない…

>>697
例えだが、たった一人の犯罪者でも大きな被害は出る可能性はある。
数が問題ではない。

ていうか、情報提供者は怒っちゃイカンよ。
「ありがたい」と思ってるROMerはたくさんいる。

怒るか怒らないかは当人のかってだろ。
第三者がとやかくいう問題じゃない。

なんかスレが荒れてるけど、誰が罵倒したの？

>>696
君には謝っておく。俺が余計なこと書いたばかりに
せっかくの情報を教えてもらえなかったんだから。
悪かった。
他のみなさまにも申し訳ありませんでした。

でも、691には謝りません。

定理を引用するとき、わからないまま引用するのは無責任だと思う。
どこに何が書いてあるのかは知らなくていいけど、引用する定理は理解しておけ。

>>700
当人の勝手ではあるが、それで怒るというのは人間としての器が小さいことを明らかに示している

まあ全部自作自演ってやつなんだけどな。 　 　 　　 　　 ∧＿∧
　　　　　　　　　　　∧＿∧　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （´<_｀ ；）　･･さ、流石だな、兄者
　　　　　　　　　　 （　´_ゝ`）　　　　　　　　　　　　　　　　　　/　　 ⌒i 　
　　　　　　　　　　／　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　/ ｨ　　 |　|
　　　　　/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
＿_　＿/　 Prius　 //　 FMV 　//　 VAIＯ　// Ｍeｂiｕｓ //　LaVie　 /＿＿＿＿
　　 ＼/_/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
　　 ＿ /ThinkPad //ＷinＢook//DynaBook//Ｌｉbretto // Presariｏ/
　　 ＼/_/￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣//￣￣￣￣/
　　 ＿ / Inｓpｉｒon //Endeavor//InterLink //　　Ｅvo　 //Let'sNote/
　　 ＼/＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿//＿＿＿＿/
　　　　　　　　　│　 　 　 　 │　 　 　 　 │　 　 　 　 │　 　 　 　 │　

器が小さいからなんだと言うのだ。
バカかお前は。

漏れは>>704ではないのだが、でも言いたいことは大体同じかな。

>バカかお前は。

いや、確かにバカなんだけどね。漏れが世界一の天才だったら、
地球ヤバイよ(w

>器が小さいからなんだと言うのだ。

いや、別に何も。ただ間抜けに見えるだけ。もちろん間抜けなのは
「本人の勝手」ではある・・・。

>>706って罵倒だよね。

あ、でもやっぱり。

「間抜けだって、良いじゃないか。怒りたいときに怒る、それが
人間ってもんなんじゃないのか！」

・・・っていう気もしてきたな（すげーいい加減(w

なんか、いつのまにか凄くスレが荒れてるな...

>>691
ありがとうございます。少し触れる、という程度の本は見るのですが、
詳しい本はあまり知らなかったので。いつか、時間が出来たら勉強して
みたいと思います。他にも興味のあることはあるので、さぁ今から、という
わけではないけど。

例の情報提供者のほうを非難する人が多いけど、それは違うと思うぞ。
彼は少なくとも有益な情報を提供してくれている。
辞書みたいな３巻本を全部読んでから推薦しろなんて無茶だろ。
>>692はいわゆる悪い意味の完全主義者っていう奴で、何ごとも
成就しないだろうな。いい意味の妥協を知らないと短い人生では
失敗する。それに、ただで情報をもらっているんだ。そんな欲張り
な注文を出したら、情報を提供しようなんて気にならないよ。

>>711
君、691本人だったらちゃんと名乗った方がいいよ

>>712
違うよ。

スレ違いの罵りあいをしてて楽しい？
インテリ中のインテリってのは煽りに弱い低レベルの人間だね。

Michael Barr と Charles Wells のonline book "Toposes, Triples, and Theories"　http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html
の前書きで彼らはこう書いている。

---------------------------------
Foundational questions
It seems that no book on category theory is considered
complete without some remarks on its set-theoretic
foundations. The well-known set theorist Andreas Blass
gave a talk (published in Gray [1984]) on the interaction
between category theory and set theory in which, among
other things, he offered three set-theoretic foundations
for category theory. One was the universes of Grothendieck
(of which he said that one advantage was that it made
measurable cardinals respectable in France) and another
was systematic use of the refection principle,
which probably does provide a complete solution to
the problem; but his first suggestion, and one that
he clearly thought at least reasonable, was: None.
This is the point of view we shall adopt.
(続く)

For example, we regard a topos as being defined by
its elementary axioms, saying nothing about the set theory
in which its models live. One reason for our attitude
is that many people regard topos theory as a possible
new foundation for mathematics. When we refer to
"the category of sets" the reader may choose between
thinking of a standard model of set theory like ZFC and
a topos satisfying certain additional requirements,
including at least two-valuedness and choice.
We will occasionally use procedures which are
set-theoretically doubtful, such as the formation of
functor categories with large exponent. However,
our conclusions can always be justified by replacing
the large exponent by a suitable small subcategory.
----------------------------------

特に>>662には>>716の以下の文章を薦める。

We will occasionally use procedures which are
set-theoretically doubtful, such as the formation of
functor categories with large exponent. However,
our conclusions can always be justified by replacing
the large exponent by a suitable small subcategory.

>>714
>インテリ中のインテリってのは煽りに弱い低レベルの人間だね。

それは、あなた自身のことじゃないの。我々(>>711その他) は
罵りあっているわけじゃない。冷静な議論を罵りあいと取るのは、
議論を否定することにつながって、ヤバイよ。

まあ、煽る人間も低レベルなんだけどさ。。。（714含む）

それ以前や>>715-717はともかく
>>692-714
こういったレスのどの辺りが冷静な議論だと…？

まあ、煽りにのる人間も低レベルなんだよな

もうよせ、その話は。君達こそ、煽りに弱いことを証明してる
ようなもんだぞ。
圏論の話をしようじゃないか。>>715,>>716,>>717への反応はないのか？

the refection principle　って何ですか．

>>723
私に聞いてると仮定して答えますが、知りません。
興味もないです。
私は、Andreas Blass の最初の提案に従うことにします。

but his first suggestion, and one that
he clearly thought at least reasonable, was: None.

>>630＝>>661？？

>>723
reflection principle って、

順序数全体のクラスを Ω とすると、Ω がある性質 P を満たすとすれば、
性質 P は κ < Ω なる κ ですでに成り立っている

っていうやつじゃないの？　巨大基数を扱ってる集合論の教科書をみれば
だいたい載ってると思うけど。

> the refection principle　って何ですか．

reflection principle なら知ってるけど、refection principle はさす
がに知らない。「気晴らし原理」。なんか、なげやりな原理だな(w

粘着か？（ｗ

>>727
詰まらん。スペルミスなんかであげるなよ。

このスレは死んだようだからいうけど、
たった一言の言葉にへそを曲げるなんてねぇ。
中学生だね。

このスレは死んだかと思うと突然息を吹き返すよ
またあるかはわからないけれども

疑問が生まれるのを待とう

時々、計算科学の文献で圏論を見るのですが、全然わかりません。
プログラムの意味論に関係しているようなのですが、
プログラムの意味論については、領域理論を使用したものをちょっと習っただけなのです。
自分のような圏論素人（というか数学素人）にもわかるように圏論を説明していただけないでしょうか？

ここで説明して理解できるような代物じゃないだろ。
つか、数学素人ってのがいかん。理解できる素養が無いってこった。

そこを何とか。

>>730
君こそ中学生？　単に話題が無くなっただけだよ。

(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

(´・ω・`)ｼｮﾎﾞｰﾝ
今すぐ理解はできないとは思いますが、
圏論がプログラムの意味論で使われる理由を知りたかったんです。
簡単に言うと「圏論を使うと計算科学のこの問題をこういう風に解くことが出来るのだぞ」、
みたいな例が欲しいのです。

そういう例があったら，知りたい人はたくさんいると思うけど，
ないんじゃないかな．

>>738
>>691のを読んでみれば。
数学プロパーじゃない人向けにも書かれてるような感じだったぞ。

>>733
それより意味論をもう少しやってみては？

意味論を勉強すると、プログラミングのどういった側面に
役立ちますか？　具体的な経験などお聞かせ下され。

>>742
スレ違いだろ

019

私が世界一　⇔　地球→∞

ファイバー積とか・・・

愛とか・・・・

フィブレ積とか・・・

崑崙とか混沌とか難しそう

図式が圏論の本質的な部分を表していると云っている本があるのだが、如何なものか？

何て題名の本ですか？

Re:>>751 残念だが、著者名を忘れてしまった。
タイトルは「圏論」
第一章が代数系の説明で第一章の終わりに具象的な圏の定義があり、
第二章が圏の定義がされていて、図式の説明もここでしている。

圏論の「非本質的な部分」とはどのような部分であるか？

106

550

>>733
似たような人がいてうれしい。

「プログラム意味論」(横内寛文)ISBN4-320-02657-8 という本を読んでいて
躓いた点を質問させてください。

「カテゴリSetでは、空集合が唯一の始対象である。」という記述があったんですが
自分は要素を１つだけもつ一点集合も始対象のような気がするのです。

Setの射は関数そのものですから定義域がφということは引数を持たない定数関数ってことで
任意の対象Aに対する定数関数は１種類づつしかありえませんから
φが始対象ってことは納得できるのです。

でも一点集合を定義域にもつ関数もタダ一つの固定値を引数に持つわけで
事実上は定数関数なわけで一点集合も始対象なような気がするんです。

この考えはどこがまちがっているのでしょうか？


ちなみに私はプログラム板のHaskellスレから
モナドつながりで圏論＆プログラム意味論に興味を持ち始めました。

プログラミング言語Haskellスレ↓
http://pc5.2ch.net/test/read.cgi/tech/1076418993/

お! Haskellスレの人か! ぼくも昔はあそこをよく見てたよ。

> 任意の対象Aに対する定数関数は１種類づつしかありえませんから

違う。A への定数関数は A の元の数だけある。

> 定義域がφということは引数を持たない定数関数ってことで

いや、定義域が φ ということはもはや値すらとらないとでも言うべきものなのだ。
関数が違うとは定義域のある元に関する値が違うことなのだが、値をとらないのなら違いようがない。
正確に言うと定義域を S と書けば、f ≠ g とは
f(s)≠g(s) となる S の元 s が存在することなわけだが、
S が φ だともちろんそんなものは存在しない。
よって φ からある集合への関数は全て等しい、つまり一つしかない。

だそく。

> 値すらとらない

これはもちろん定義域が φ だから許されることで、
そうでないと関数(写像)とは呼べない。
だから値域が φ の関数というのは定義域が φ の時にしか存在しない。

>>757
ありがとうです。
もやもやが晴れました。

「定義域がφの関数とは定数関数のことだ」との思い込みから
射の対象そのものとカテゴリSetの対象（集合）の要素を混同する誤解を
してしまっていということですね。

又ここにくるかもしれませんがそのときまた宜しくお願いします。

>>752
ひょっとしたら、”大熊正:圏論,槙書店”かな、昭和５４年の本だけど。

それかこれ？
F. William Lawvere with Stephen H. Schanuel:
CONCEPTUAL MATHEMATICS, A First Introduction to Categories

大熊本も絶版なんだよね。
内容的に、どんな評価なんでしょうか？

>>756
間違いです。一点集合からニ点集合への射は二個あるから、一点集合は
始集合ではない。

>>691に紹介されてる本の書誌

http://opac.dl.itc.u-toky
o.ac.jp/cgi-bin/opac/books-query?code=20348787&mode=1

京大にもあるみたいです。

ひとつひとつみてくと正しいのだけれども
全体としてみるといまいちなにやってるかわからん・・
なんか詐欺くせーぞ

なんで環論なんてもんがあんのよ？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1082477169/
パクられた…

∐

ほしゅったらageろ！

圏論の応用例は、例えば層がある。(圏さえ用意できれば前層の定義はすぐにできる。)
しかし、他の用途が思い浮かばない。
圏って何に使うの？

超弦理論では、Dブレーンのなす圏を考えるらしいよ。

>>768
例えば代数幾何学。スキームは代数多様体の一般化であるが
スキームのなす圏 Sch は集合の圏 Set の部分圏ではない。
従ってスキーム論を展開するには圏論が不可欠になる。
例えば代数群の一般化である群スキームは圏論の言葉で定義
される。群スキームにおいてはその台集合は一般に群とはならない。

Re:>>770 台集合？
吾は代数には向いていないのか。

まぁ、以前にどこかに代数が専門ではないと書いたが。

>>771
スキームは環付き空間だからその空間を集合とみたもの
をスキームの台集合という。

>>772
幾何はどうかね？

functorの自然変換ってきれいな関係だと思うんですがきつい要請のような気がして
「自然」って気になりません。どう「自然」なんでしょうか。

>>775

いまワインバーグの論文よんでたけど

な に か？

一昨日からカテゴリを勉強し始めた初心者です。
ワインバーグの論文（って何？）を読めばどう「自然」かが理解できるということですか？

>>775
圏論ってのは、そもそも自然変換を定義するために考え出されたもの。

たとえばベクトル空間 V に対して二重双対空間V**からVへの
線型写像が「自然に」定まるが、この「自然に」というのを正確に
言い表すために圏論が作られた。

詳しく知りたければ、Eilenberg & Mac Lane の原論文：
Eilenberg S., Mac Lane S.: General Theory of Natural Equivalenecs, Transactions of the AMS 58, 1945, 231--294
でも読んでみ。

「自然に」というときはいろんな図式がくるくるまわる感じ

スマソ。

>たとえばベクトル空間 V に対して二重双対空間V**からVへの

これ、「Vから二重双対空間V**への」とすべきだった。

どう違うの

>>781
Vが無限次元だと V→V** は同型にならない（全射にならない）ので
逆写像が定義できない。

ちなみに環上の加群の場合もV→V**は自然に定義できる（が、一般には
単射でも全射でもない）。

>たとえばベクトル空間 V に対して二重双対空間V**からVへの
>線型写像が「自然に」定まるが、この「自然に」というのを正確に
>言い表すために圏論が作られた。
へぇー。薀蓄語るときにこのフレーズ使わせていただきます。
この場合V,V**およびその間の同型はそれぞれ自然変換τ
functor F,G: C->D 　　f: X->Y 　　τ(X)*G(f)=F(f)*τ(Y)
の何に対応するんでしょうか。

>>783
C = D = 「ベクトル空間の圏」
F: 恒等関手、G: VにV**を対応させる関手
τが何になるかは自分で考えてみれ。

そこまでは自分でも考えたんですが恥ずかしながら　f: X->Y に対する f** が何なのか（その前に f* が何なのか）わからなくて考えてました。続けて考えまつ

>>785
線型代数の本を読むべし。
V に V* を対応させる関手は反変関手なんだが、それはわかってる？

自然変換の別の簡単な例では、群 G にそのアーベル化 G/[G, G]
を対応させる関手があるね。 ここで、[G, G] は G の交換子群。
G から G/[G, G] への標準的な準同型が恒等関手との自然変換に
なっている。

射が自然なとか標準的なとかいう定義は恒等射などからの自然変換のことだもんね。

>>788
自然なと標準的なとは(数学的用語として)意味が違うよ。

canonical と natural と functorial の違いは？

>>789
自然変換以外の標準的の定義あんの？

自然なも標準的も、圏論以前からある言葉だろ。

>>786
V の基底を (e_i) に固定してそれに対する V* の基底を (f_i) として
V ∋ Σa_i*e_i -> Σa_i*f_i ∈ V*
とか考えたんですがなんか同じ次元の空間に無理やり V の構造押し付けてる
だけみたいだし、なんで反変じゃなくてはいけないのかもわかってないでつ

>>792
定義があんの？

自然なよりは標準的なのが厳密な定義があることが
多い気がする

>>793
なんか関手と自然変換とを思いっきし混同してないか？
次の順序で考えてみれ。

1. VにV*を対応させる反変関手Ｔ: Vect →　Vectをきちんと定義せよ。
これは基底をとらずに定義できる。

2. 恒等関手 I: Vect →　Vect から T^2: Vect →　Vect への自然変換、つまり
V → V** なる「自然な線型写像」を定義せよ。これも基底をとらずに定義できる。

関手の変数のカテゴリを V、値のカテゴリを V*　でやろうとしてました。
カテゴリは線形空間全体ですか。

あー、>>784 にちゃんと
> C = D = 「ベクトル空間の圏」
と書いてありました。逝ってきます ＿|￣|●

ψ: V->V' に対して ψ': V'*∋f -> f*ψ∈V*
で反変でつね。情けなさをかみしめながら寝まつ。

圏論は線形代数とか位相とか基礎的なことやってからにしなさい。
基礎的なことを知らないで圏論をやるのは中学生が集合論やるようなもん。

ベクトル空間とアーベル化の例、やっと理解できました。これらの例の場合は確かに
「自然」と感じます。カテゴリの自然変換を「自然」と感じるまでの感性にはまだ届きま
せんが少し気持ちが理解できた気がします。ありがとうございますた。

圏の定義自体は、二項半演算と、類の概念があればできる。
でもやはり、R-moduleからやるのが普通だろう。

ちなみに、半演算とは、半写像、すなわち定義域が始域に一致するとは限らない二項関係のことである。

圏というのはmonoidつまり単位元をもつ半群の一般化と見なせる。
monoidはただ一つの元を持つ圏に他ならない。同様にgroupoid
（全ての射が同型射となる圏）は群の一般化になっている。
任意の圏においてgroup objectがが定義出来るように
monoid objectも定義出来る。つまりmonoid object X とは
Hom(T, X)にmonoidの構造がはいり、 任意の射 T' → T に対して
Hom(T, X) → Hom(T', X) がmonoid の準同型になっている
ようなもの。この考えをmonoidの一般化である圏に適用すると
任意の圏 C において C-圏というものが定義出来る。

>>804
訂正。
>monoidはただ一つの元を持つ圏に他ならない。

ただ一つの対象を持つ圏に他ならない。

圏の定義に
”対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ”
を入れてるのをみたことがあるのですが入れるのと入れないの
どっちが一般的ですか

Re:>>806 入れない方が一般的であるのは明白だ。

>>806
それは前提に、全てのHomが何かの部分集合であるという事が入っているのだろう。
その前提の方が特殊で、あまり具体例を見ないな。

Re:>>806　それとも、どちらがより広く用いられているかということか。
具象的な圏の定義(恒等射と対象を別々に考える)では、
”対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ”
を入れるのが普通だろう。
一般的な圏では、二項半演算が結合的(a(bc)と(ab)cのうち一方が定義されていれば他方も定義されていて、両者が等しい。)で、
十分多くの恒等射が存在する(すなわち、圏の任意の元fに対して、fA=f,Bf=fとなるA,Bが存在する。)ことを云う。
(他にも条件があったかなぁ？)

Re:>>806　あと一つあった。
fA,Ag(Aは恒等射)がともに存在すれば、fgも存在する。

オカシナ注釈を入れると不自然になる、という例だな。

件の条件は　http://coolee.at.infoseek.co.jp/kenron.html　で見ました

なるほど、axiomの個数を減らす工夫になっているのか。
同値なものから何をaxiomとして採用するか？
なんてのは好みのだから、どうでもいいけどね。

>>812
念のため。
http://coolee.at.infoseek.co.jp/kenron.html
の(Cat1)と(Cat2)だけでは、全然ダメ。

>>814
現代数学概説 I (彌永、小平）はその２つだけしか書いてないでつ

AとOを集合としてsとtをAからOへの写像とする。
K = {(f, g) ∈ A × A; s(f) = t(g)} と置く。
写像 c:K → A が与えられある種の簡単な条件を満たすと
小さい圏(small category)の定義が得られる。
このときAは射(arrow)の集合でありOは対象(object)
の集合である。sは射にその定義域(source)を対応させる
写像でありtは射にその値域(taget)を対応させる写像である。
射 c:K → A が満たす条件を正確に述べるのは簡単な演習問題。

この定義を大きい圏(large category)に拡張するのは自明。

Cを任意の圏としてAとOをCの対象、s, t: A → O を射として
>>816の定義を圏の言葉に翻訳すると>>804の C-圏の定義になる。

こう見てくるとmonoidというのは非常に自然かつ基本的な
数学的対象であることが分かる。

>802,803
> 圏の定義自体は、二項半演算と、類の概念があればできる。
説明希望．ちなみに 803 の「定義域が始域に一致しない」だけだと多値性を
許しちゃうから半写像にならない．

環論なり群論なり代数の知識と前順序集合の知識をもった上で圏論を勉強すると
不毛な感じが薄れるのでいいかもしれない．

個々の数学的対象よりその対象間の機能的関係に注目するという
圏論の思想はこれからますます重要になってくると思われる。
圏論の出現によってパラダイムが変化した。これは非常に重要
なことなんだけど認識してる人は少ない。

Re:>>819 [>>809-810]に書いた。

>821
厳密に圏の定義を書くか文献をあげてもらえますか．
809 はあれだけじゃよくわからん．

>>816は優秀な人だね。>>816の定義が最も正確なものであり、この定義で書かれた本は
本はほとんど（２冊くらいしか）知らない。

”対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ”
の条件は、ここから上の定義に見合う圏を作るときに、sourceとtarget写像をwell-definedにするため。

>>819
本当は類もいらない。２項半演算といくつかのoperatorがあればできる。
詳しくは、Freydの"categories, allegories"という本。（ただし、圏論に慣れてないとびっくりするかも）

>>816
写像 e: O → A で　s.e = 1_O かつ t.e = 1_O となるものの
存在と e と c が満たす関係式を定義する必要があった。
e(X) は X 上の恒等射を意味する。

adjointとはgeneralizationである、と哲学の本に書いてあいますたが、
どういう意味でしょう？

>>825
どういうコンテクストでの言葉かわからないと答えようがない。
気にしないほうがいいんでは？　数学と哲学は別物だし。
ただadjoint functorはuniversal problemの解だけど。

universal problemってなに

>>827
正確には universal mapping problem。日本語では普遍写像問題。
googleで調べてくれ。

>>826
ありがとう。なんとなく感じがわかりました。非常に漠とですが（笑


いくつか文献調べてみようとしたんですが、代数幾何か、コンピュータサイエンスの
プログラム意味論、物理の超弦理論とかで使われてるんですね。
どれも門外漢にはとっつきにくい。抽象的だし。
ただ、いろんなことを体系的かつ操作的に整理するのに適した「言語」って気がするんで、
気になってるところです。
門外漢でもとっつける圏論の入門書ってないもんですかねぇ。

>>829
意味論でも漁っとけば？
あるいはいっそ、『Categoties for working mathmatician』あたりを嫁。

>829,830
それは劇薬だ．備えてかからんと当たるぞ．

ちなみに，意味するもののイメージを持たずに言語の勉強するってしんどいよ．
諦めて代数幾何なり意味論なりとセットで勉強するのがよいと思う．多分計算機科学が
一番予備知識がいらない．
というわけで Barr-Wells の "Category theory for computing science" あたりはどうか．

universal problemってのは、一般的な問題のこと。
つまり、問題を一般化することで、圏論によって解くことができる。

>>830, >>831
ありがとう。２ｃｈに来てたすかったって気がするのはじめてかも（笑
Barr-Wells"Category Theory for computing science" 注文しますた。
届くまで「プログラム意味論」と「コホモロジーの心」ながめとくことにします。
領域理論とスペクトル系列でめげそうだけど。
日本語の圏論入門書ってほんっとにないんですねぇ…　なんでなんでしょ
数学やさん、書いてくださいよ。売れると思いますよ。

>>833
「コホモロジーのこころ」は電波なのでやめたほうがいい。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1070528774/
を見れ。

日本語で読みたかったら、河田「ホモロジー代数」岩波が手頃かも。

「コホモロジーのこころ」を読んで分かった気になるよりは
「コホモロジー」（安藤哲哉、日本評論社）を読んで分かった気になった方がよか

>>843
やっぱ電波系だよねー　買ってしまったけど（泣）

スマソ>>834だった　未来予告してるとのつっこみはかんべん

素人なんで、「コホモロジーのこころ」評価できるレベルじゃないけど、極限の説明なんかは
たしかにあっさりしすぎで、なんか、肝心なところで肩すかしくわされたって感じがしますね。
それにつけても、圏論って出だしがさりげないんでフムフｍ♪って読み飛ばしてたら大変なことになりそう。
「始対象」の意味も、前レス>>756->>758読んではじめてわかった。ここらへん誤解してると
極限概念も理解できなくなるんじゃないかって気がする。数学専攻の人には常識で、言うまでもないことなんだろうけど。
入門書の場合にはそこらの配慮がほしいな。

電波系ってことはないと思うよ、コホモロジーのこころ。
スペクトル系列のところは結構ユニークでそれなりに参考になる。
ただ、初学者がこれで勉強するべきではないな。
ちゃんと勉強して知識のある人が、ひまつぶしに寝っ転がって読む本。

「コホモロジーのこころ」のモットーは「考えるな！感じろ！」であります。

>>840 ﾜﾛﾀ
なにげに Appendix が一番良かったりする＜コホモロジーのこころ

>>841
激しく同意する.

「コホモロジー」（日本評論社）安藤先生の記事はしょりすぎ。
いい本だと思うが書き手による差が激しすぎる。
そんなわしは安藤先生の元弟子（藁

読みにくいかもしれないけどCartan-Eilenbergは目を通して
おいたほうがいいと思うよ。今でも価値はある。amazonで手にはいる。

C をcategory とする。 C のobject G がC-group であるとは
任意の object T に対して h_G(T) = Hom(T, G) が群になり、
T → T' に対して h_G(T') → h_G(T) が群の準同型となる
ことである。C を基点つき位相空間と基点を保つ連続写像の
ホモトピー類を射とする圏としたとき C-group をH-space
という。基点のある空間 (Y, *) に対して
(S^1, *) から (Y, *) への連続写像の全体 Ω(Y) に
compact-open位相をいれたものは H-space の例である。
ここでS^1 は単位円である。
Ω(Y)は基点のある位相空間と基点を保つ連続写像のなす圏 Top_*
からそれ自身へのfunctorであるがこれはadjointを持つ。
つまり任意の X に対して Hom(S(X)、Y) = Hom(X, Ω(Y))
となるS(X) が存在する。よってS(X)から Y への基点を保つ
連続写像のホモトピー類は群になる。X がn次元球面のときは
これは(n+1)-次元ホモトピー群そのものである。

C を small categoryで 任意の object X，Y に対して
Hom(X, Y) が高々一個の元からなるとする。
射 X → Y が存在するとき X <= Y と書くと C は関係 <=
に関して前順序集合になる。逆に前順序集合は圏となる。
さらに C のすべての射が同型射、すなわち C が
groupoid(亜群)だと関係 <= は同値関係となる。逆に同値関係の
与えられた集合はgroupoidとなる。

>>845
つまり、ホモトピー群が定義できる理由の一つは
S^n の被約懸垂 S(S^n) が S^(n+1) と同相であるという事実にある。

普遍写像問題の解と表現可能関手と随伴関手は密接に関連
している。

>>848
あたりまえ杉。何えらそうにかいてんの？

>>848
むずかし杉。何簡単そうにかいてんの？

集合の各要素を、同値類で同一視するのってよくありますよね。代数構
造作ったり位相で張り合わせたりpreorderをpartial orderにしたり。

同一視する前（C）とした後（D）を、それぞれ圏と思ったとして。
CはSetsだったりPreordersだったりする訳ですが。

1. CからDへの「同一視」は、arrow/morphismをどう移すのかよく
分からない（例えば「写像」の場合、定義不可能なケース）ことがある
と思うのですが。同一視は、函手にならないこともあると考えて良いの
でしょうか。

2. 逆にDからCへの「忘却」は、Dのarrow/morphismをどれに移した
ら良いのか分からないことがあるのですが。忘却函手ってのは、複数
あったりすることもあるんでしょうか。

日本語が変だったり質問が意味不明だったら、スルーして。

>>849
圏論の命題というのは当たり前のことが多い。
だが、そこに圏論の重要性とそれにもかかわらず誤解されやすい
性格が隠されている。表現可能関手をとことん突き詰めたのが
Grothendieckだ。当たり前を馬鹿にする人間は決して
Grothendieckの数学を理解出来ない。

>>852
先生、いつもありがとうございます

>>851
1について：
具体的に何を悩んでいるのかよくわからん。「どう写すかよくわからない」ケースを
具体的に書いてみて。

2について：
同値関係で類別したら1つの同値類の元は1つになるんだから、もとの同値類の元
を復活できるわけないと思うんだが。
普通、忘却関手ってのは(Group)→(Set)のように、強い構造が入っている対象の
「構造を」忘却する（構造を弱める）関手のことをいう。

すいません。モチーフってなんですか？

>>855
検索しろ

圏論を確率統計の分野で用いた仕事とか理論ってあります？
アホな質問でスマソ

>>856
検索してもほとんど何も出てきませんですた。

>>858
融通の効かないやつだな。
Googleで"motives" "Grothendieck"
で検索してみ。英語くらい読めるよね？

シット　サイト　トポス　シャン　モチーフ
http://natto.2ch.net/math/kako/1007/10076/1007625226.html
モチーフの哲学と志村多様体
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1048985715/

>>859、>>860
ありがとうございます。早速リンク先をあたってみます。

>>854
ご教示ありがとうございます。

>「どう写すかよくわからない」ケースを具体的に書いてみて。
えーと、こんなんで良いのかな。
A, Bを圏CのObjectとして。a, b∈Aとして、射（写像）f: A→Bが例えば
f(a) = p, f(b) = qか何かだったとして。

F: C→DでA, B, fがそれぞれFA, FB, Ffに写されるとして。
FAにおいてaとbが同一視されているにも関わらず、FBにおいて
pとqが同一視されていないとすると、Ffがwell-definedでなくなってしまう
なあ、と。

> 同値関係で類別したら1つの同値類の元は1つになるんだから、
>もとの同値類の元 を復活できるわけないと思うんだが。
そうですね、おっしゃる通りです。
勘違いしてました。

>>851,862
「一般に、objectが集合であるような圏で、objectを何らかの同値関係で割るって
いう操作が関手になるのか? 」っていう疑問なんだったら、そんな一般な状況で
は関手になるとは限らないに決まっている。

たとえば群の圏で、群G をその中心C(G) で割るって操作は関手にならない。

それはなんでなの

>>864
準同型 f: G→H に対して Ff: G/C(G) → H/C(H) をうまく決められないだろ。

えーと、Hをガンガン（？）デカくすりゃ、C(H)が小さくなって、各同値類の
サイズが小さくなって、G/C(G)の同値類からの写像が割れちゃう（？）、って
いう理解であってんのかな

>>866
なんでそう意味もなく複雑に考えるかな？
arrowの間の対応を自然に定められなきゃ意味ないだろ。

なんでもいいから関手にしたいなら
Ff: G/C(G) → H/C(H)
を全部単位元への準同型にしちゃえば関手にはなるが、
そんなもん考えても意味ないだろ？

なるへそ、あんた頭いいなー

どういう対応だと自然って範疇に含まれるんすか

前にも誰かが書いていたが、圏論はある程度普通の数学やってからじゃ
ないと勉強しても意味わからんと思うよ。

最低でも位相幾何や代数の初歩はおさえておいたほうがいい。

>>868
G　　→　　H
↓　　　　　↓
G/C(G)→H/C(H)
の可換性

>>870
それって変換1→-/C(-)の自然さであって
関手-/C(-)の「自然さ」とは違うんじゃ・・・。
それにH→H/C(H)が全部を単位元に送っちゃう準同型なら
>>867の関手F=-/C(-)についてその図が可換になっちゃう
気がするんだが。

まああれだろ、きっとH→H/C(H)はいわゆる射影っていう前提なんだろ。

>>872
当然。

>>871
>それって変換1→-/C(-)の自然さであって

当然。

>関手-/C(-)の「自然さ」とは違うんじゃ・・・。

「関手が自然」という言明に、
数学的な定義があるという事でしょうか。
ご教示ください。

>>871
> H→H/C(H)が全部を単位元に送っちゃう準同型

だから、こんなもん考えても意味ないんだって。

関手や自然変換てのはarrowの対応が重要なの。
arrowを全部自明なものにうつして、objectだけ入れ替えるようなものは、
（定義上は関手にはなるが）本質的には関手や自然変換とはいえない。

そういうことが感覚的にわからないなら、圏論を勉強する前に代数をもっ
と勉強したほうがいい。

圏論を勉強する前に、代数以外で勉強しといた方が良いものって例えば
どんなのがありますか。

>>875
位相幾何。ホモロジー群や基本群は最も基本的な関手。

書くの忘れてたけど、俺はずっと質問してた人とは別人なので。

>>873
> 「関手が自然」という言明に、 数学的な定義があるという事でしょうか。
それは>>867の
> arrowの間の対応を自然に定められなきゃ意味ないだろ。
にきいてくんな。俺自身は関手の「自然」にはカギ括弧つけたよ。

>>874
俺はその感覚はわかってるつもりだが、ずっと質問してた当該の人には
やっぱり「もっと勉強せよ、さすれば悟りは開かれん」としか言ってあげ
ようがないものかね、と思ったので。

>>877
この場合、
関手Fのarrowの対応 Ff: G/C(G)→H/C(H) が「自然に」定まるかどうか？
っていうことを具体的に言い表そうとすると、
「自然な」標準全射 G→G/C(G)が恒等関手とFの間の「自然」変換になるように、Ffを定められるか？
ってことになる。

まあ、ひどく当たり前のことだが。

おお、あんたら頭良い組のおかげで、漏れにも理解のきざしがー。

もっと勉強してあんたらに追いつくぜthx.

>>879
ｽﾚﾀｲwarota

>>800がすべてですな

中学生にも分かる圏論って本が書けない時点で必要なし

あ、でも漏れの友人のいとこは、確か中学受験の数学で圏論活用しまくって
満点取ったらしいぜ

（´･∀･`）ﾍｰ

>>883
そいつに本書かせろ。圏論活用してベストセラーにしてやる。

圏論活用して、かわいいあの娘を振り向かせるスレはここですか

>>886
振り向くことは振り向くけど圏論は強力すぎて首がちぎれるから
集合論で我慢しなさい。

>>887
そっかークラスなんて考えるとふられちゃうもんねー。

Re:>>886
かわいいあの娘じゃなくて吾が振り向いてきたりして。
まぁ、圏論は開拓途上だから、どうにかなるかも知れないし、どうにもならないかもしれない。

Re:>>887
高校卒業程度の人には集合論ぐらいが丁度いいか？

Re:>>888
クラスの要らない圏の定義があるとかなんとか…。

圏論を理解するためにこの順で本を読めという指針はありますか？

Re:>>890
先ずは集合と写像(写像の合成も)、そして、圏論に行けるかな？

集合と写像だけやって、そんで圏論理解できたら結構すげー

集合→写像→…→圏論

さて、あとは何だろう？

経験からいうと・・・
とりあえず環上の加群は最低限だろう

岩波の「ホモロジー代数」から入るのがまっとうでない？

そういえば、圏論にもker,coker,im,coimとか、完全列とかがあるからなぁ。
だから、R-module,ホモロジー代数も要るのか。

いや、これらの概念を定義するだけなら、別にその予備知識は要らないけどね。

数学屋さんは数学的な対象についてまったくの無理解のまま
代数ばっかり勉強してるような奴は認めないでしょ。
四則演算知らずに、群論理解できるかってそりゃ無理。
情報や哲学の人は勘違いしてる人多い。

>>895
いるというより、逆だな。
圏論は、例えばホモロジー代数の現象をすっきり記述するというだけ。

必要なときに単純な例をすぐ作れるから，Set と semi-lattice だけ知ってればいいと思うけどね．

集合、写像、群、環、束

あとは何かな？

集合、写像を知らないと圏のイメージそのものが湧かないよな。
群、環、束とかＫｅｒ，Ｉｍとかって圏論っていうより、圏論による記述の対象だろ？
でもそれを知らないと何言ってんのかわけがわからない罠。
理論物理とか情報科学だと、他の記述対象があるんだろうけど。

Category theory for computing scienceとか売ってないんですけど…
ここ1年以内に出版された圏論の本ってないですか？
圏論は既に過去の遺物なのでしょうか…

第三版が出るとかでないとかいう広告を見た事があるので
その都合かも

Topos, Triples and Theories　はWellsのWEBから落とせる。

代数とか幾何の方のことなら

Gelfand-Manin, Methods of Homological Algebra 2nd ed

あたりか。

高校で習った集合や写像しかわからない人が圏論を通じて、
群、環、束、ホモロジーが驚くほどによく分かる！！！
てな感じのストーリーな本を読んでみたい。…日本語で。

人に頼らず自分で勉強して作りなさい。





…その後に、僕がそれを読んで勉強させてもらうから…

素材を知らぬのに型だけ習ってどうするね？

今の世の中、型だらけ。要するに代数のブラックボックス化。

>>904
普通に「代数学とは何か（シャファレヴィッチ）」を呼んで理解しる

>>908
日本語だ。なんかよさげ。読んでみる。

ラムダ計算

>>908

参考になった。

790

Bousfield 等は、既に Hom(A, B) が集合にならないような（より広義の）圏を考えている。今やもうその時代。

ところでa,bが集合のときにHom(a, b)は集合になるの

>>913
詳しく

>>195
category の localization に由来する物だが、これまで大嘘が堂々とまかり通っていた論文や書物を正当化する物。詳細は長くなるので・・・

ところで、ｎ-カテゴリーでｎ→∞とするとどうなるの？

n - category は条件（公理）が強すぎて、 n → ∞
とする事自体余り意味がないように思う。
E^∞ - n - category なら、 n → ∞　とすれば
semispectra の様な物が得られるのではないか？

＞これまで大嘘が堂々とまかり通っていた論文や書物を正当化する物
カテゴリーは論理が見やすい構造になっているから正当化は容易だろうけど、
現代数学のほとんどは正当化できないだろうね。
公理的集合論がよく分かっていない人に限って
「数学は公理的集合論を用いて完璧に記述されるが、数学者はそのような理解の仕方をしていない」
などと言い張る。
本当は一流の数学者の方が細かなことに配慮している。
某フィールズ賞受賞者の論文見て思ったよ。

「アーベル圏に於いて一つの対象の部分対象全体は
同値を除いて集合をなす」

と言う大嘘が書いてあり、そのことを使って
基本的な命題が証明されていた。

へぇ、一見成り立ちそうな定理だ。加群のカテゴリーでは成り立ってる。
ところで、カテゴリーの専門家はアーベリアンカテゴリーをあまり好んでないように思うが、どうだろう。

>>920
何に使ったのか知らんが、実際に適用する場面でも嘘だったのか？

>>920
一見正しそうだが、正当化出来ない大嘘。
>>922
具体的な圏に対する適用場面では正しかったが、
一般論は構築出来ない。

>>920
くわしく。
その命題の反例もｷﾎﾞﾝﾇ

部分対象ってなに

>>920
いきなり｢書いてあり｣と書かれてもなあ。どこに誰がどういう
文脈で書いたものかを説明してくれ。
それはともかく、アーベル圏をuniverseで考えれば、その命題
は成り立つ。このスレで前にも書いたけど集合論的に危ないと
思ったらuniverseで圏論を展開すればいい。

(Chow motives) がアーベル圏にならないなんて。

アーベル圏に対して非アーベル圏てのもあるんですか？

このスレの最初の方に同じような質問があって、
明確な回答もあった。
四どけ。

>>927
詳細ｷﾎﾞﾝﾇ

>>920, >>924, >>926
以前図書館で見たのだが、調べ直そうとしたら、その本が紛失していた。

>>926
＞アーベル圏をuniverseで考えれば、その命題
＞は成り立つ。

どういう意味か分らないので詳しく。
（勿論 universe は知っているが、成り立つとは思えないので。）

enriched category というのは別の言葉で言い換えると何？

コミュニケーション不全な人は報われないですね

>>932
高倉圏

コミニュケーション不全な人は報われないですね
に訂正します。

>>935
communicationだから>>933で正解では？

松平圏を英訳すると？

志村多様体のコホモロジーの満たす性質を備えた線形系を、
Shimura category（志村圏）といい、ラグランズ予想等、数論幾何
において重要性が認識されつつある。

>937
当然 Matsudaira category (ほんとはまつひらさんとかしょうへいくんであったとしても)．
各射集合が群をなすのだがそれを自然に定義される正規部分群でわると八種類に分類される．
それを八大商群という．

暴れるんですか？

サンバに乗って

サンバか、大将。

つまり三馬鹿大将と掛けたわけだね？

圏論演習

位相空間と連続写像の圏 Top から Sets への忘却関手の
右随伴関手、左随伴関手を求めよ。

左は離散位相、右は密着位相を入れる関手

>>945
ご明察！

演習するぞ！演習するぞ！

圏論演習 (2)

今度は一寸むずいぞ。

群の圏に於いて、射（準同型写像）が圏論的な意味で単射（全射）であることと、
群構造を忘却した単なる写像として集合の圏で単射（全射）であることは同値。

>>948
単射については自明だから全射についてやってくれ。
それが難しければアーベル群の圏にすると易しくなる。。

群論演習くさいんだが・・・

確かにそうだとは言える。

GとGの自由積を考えて、それをHから対角的に来るもので割れば良いのか。
なるほど。

>>952
ご明察 !
今日はこれで終わり。

圏論演習 (3)

可換体 K 上の線型空間の圏 C は、その双対圏 C^op と圏同値でないことを示せ

双対があれば直和は直積に、直積は直和に移り、
直和から直積への標準写像はまた直和から直積への標準写像に移る。
kの無限直和と無限直積を考えた場合、非同型単射は非同型全射に移る筈なので矛盾。

>>955
双対によって単射が全射になるので何処が矛盾？

標準写像（単射）が標準写像（単射）に移るのが矛盾。

>>957
標準写像の定義によっても問題点が異なってくるが、
標準写像は何故常に単射なの？

考えているのはkの直和・直積の場合。
universalityから定まる\bigoplus k→\prod kは、
通常の単射と一致する。

ｋの必要は無いか。

>>959
標準写像の定義を、 k → \prod k なる写像の族を作って、直和の定義より、
\bigoplus k → \prod k を構成するという仕方で定義したのでは、
標準写像が標準写像に移ることが明らかではありませんね。

V_n→\bigoplus_nV_n→\prod_nV_n→V_nが恒等なら
F(V_n)→F(\prod_nV_n)→F(\bigoplus_nV_n)→F(V_n)も恒等でしょ。

その定義ならＯＫです。
（一寸余計なやりとりがあったが）ご明察 !

ネタ本とかあるん？

ネタ本はあることはあるが暫くは秘密。
取りあえず今日はここまで。

CはAB5だがcoAB5ではないではダメ？

>>966
それでもOK

応用上良く出てくる圏 C では、その双対圏 C^op と圏同値になる物は少なかったが、
同値になる有名な例として局所コンパクトハウスドルフ位相アーベル群と
連続準同型のなす圏があげられる。
（ポントリャーギンの双対定理）

では設問 有限アーベル群の圏 C は、その双対圏 C^op と圏同値になることを示せ。

メル欄

AB5ってなに

>>969
「メル欄」が今分った。
ご明察 ！

知ってる人間にはすぐの問題だから、メール欄にしますた。

圏論演習 (5)

単位元を有する環と、単位元を単位元に写す環準同型のなす圏を C とする。

F ： C → C を F(R) = M_n(R) ： n次全行列環とする。 F の随伴関手（右か左かは分るよねー。）
を G とすると、 G(Z[x]) を求む。

質問なんだけどね。例えばRを実数としてさ。
M(2; R)からRへの、単位元を単位元に写す環準同型って存在するの。

無い。左ajointを構成しろという問題だろう。

>>974存在しない。
M(2; R)は単純環だから、これから他の環への単位的準同型は単射。

>>975
一般に adjoint を記述するのは面倒だから、G(Z[x]) だけ作って下さい。

Sに対してGSを以下で構成する。

1\le i,j\le nに対してS_{ij}:=S, V:=\bigoplus_{1\le i,j\le n}S_{ij}とし、
x\in Sに対してx_{ij}\in Vを(i,j)成分x、他は0なる元とする。

T(V)をVのZ上のtensor代数とし、T(V)のideal Iを
(xy)_{ij}-\sum_{k=1}^nx_{ik}y_{kj}　　(x,y\in S,1\le i,j\le n),
1_{ii}-1　　(1\le i\le n)
1_{ij} 　　(1\le i,j\le n, i\neq j)
で生成されるものとし、
G(S):=T(V)/Iとおく。

G(Z[x]) だけ作って、正しく左ajointかどうか判定できるもんなん？

まさか。

じゃ、そもそも左ajointかどうか不明なナニモノカを構成せよ、と
こういう出題な訳なん？？

>>975と漏れは思ってるが。

>>978
ご明察 !

G(Z[x])って簡単に記述できるの？

>>981
左adjoint は頭の中では構成出来るから不明ではないが、個別の G(Z[x]) も直接構成出来る。と言うこと。
今日はこれで終わり。
次回から誰か交替で出してくれ。

>>984
だから Z 上 n^2 変数 tensor algebra.

>>986
Z 上 n^2 変数 tensor algebraをTとすると、
Ring→SetのfunctorとしてHom(T,?)=Hom(Z[x],M_n(?))。
一方、米田補題より、左adjoint Gが存在すればT=G(Z[x])。
という筋道ですか。

>>973は難しかった。

次スレでつー

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/

一年四日。

>>978の答え、よく理解できねーや。
誰か親切なヒト、漏れみたいな馬鹿にも分かるように、噛み砕いて説明して
下さいませんか。

>>990
ring hom f:S\to M_n(R)を与える事は、
group hom f_{ij}:S\to Rで
f_{ij}(xy)=\sum_{k=1}^nf_{ik}(x)f_{kj}(y)
f_{ij}(1)=\delta_{ij}
を満たすものを与える事と同値。

圏論って何。

>>970
任意の単射の帰納的極限がまた単射になるアーベル圏だったような。

一年五日。

この場合、ユニットS→F G(S)は具体的にどういう形になりまつか。