代数学総合スレッド Part2

代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。

前スレ
代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50

ﾔﾀｰ
素数ゲット

ﾔﾀｰ
素数ゲット

【渋谷109】ペッドボトル【マジシャン疑惑】
http://ex.2ch.net/test/read.cgi/net/1045685839/
１０９◆V5uhgNfeAUはマジックの種を明かす代わりに
SEX、炉利動画、現金を要求。しかし、１０９の送信したメールアドレス*********<***@yahoo.co.jp>か
ら本名らしきものがばれる。なんと*********はナイナイサイズに出演していたマジシャンの名前。
１０９＝某マジシャンという説が浮かび上がる。
１０９に質問してもはぐらかす解答のみ。そして、物理板では関係各所に問い合わせのメールを送信。
すると、某マジシャンのHPに１０９氏は私でないとの声明が出された。
しかし、声明の内容にいろいろと１０９と思わせる発言が見られた。
そして、驚愕の１０９の自作自演書き込みが発覚。
さらに有名コテハンのトリップを５つ表示する１０９。
同日、某マジシャンの先輩友人が某マジシャンは無実だとの書き込み。
某マジシャンの先輩のHPには、書き込みは私ですとあるところに書かれている・・・。
某マジシャンの先輩であることは真実かもしれない・・・。
謎が謎を呼ぶばかり。推理ゲームを髣髴とさせる事件に頼む協力してくれ。

類体論を1から勉強したいのですが、
Milne氏のページにある類体論のノートはどうなんでしょうか？

けっこうわかりやすかったとおもうで

1から，の意味による．例えばセールのLocal Fieldsの第一部
の内容とかは前提にされている．

＞セールのLocal Fieldsの第一部

それは具体的にどういった内容でしょうか？

付値とか完備化，Dedekind環の分岐とか惰性群とか．

MilneのCourse Notes "Fields and Galois Theory"や"Algebraic Number Theory"の
内容を理解していることが前提。

>>9　>>10
ありがとうございます。
まずそっちが先ですね。ｳﾋｰ

よろしくおながいします。

p：奇素数とし、Ｋを標数0の体とする。このとき（1）と（2）は同値であることを示せ。
(1)X^(p^e)　-a　∈Ｋ［Ｘ］がＫ上既約。

(2)a=b^p なるb∈Ｋは存在しない。

ﾔﾀｰ
素数ゲット

(1)⇒(2)の証明

(2)を否定して、a=b＾pとなるbが存在すると仮定する。

x＾(p＾ｅ)-a={x＾(p＾(e-1))-b}*{(x＾(p＾(e-1)))＾(p-1)+(x＾(p＾(e-1)))＾(p-2)+・・・+1}

となって、x＾(p＾ｅ)-aがＫ上既約である事に反する。

必要条件は俺でもできたんですけどねえ…
その反対が途中で挫折してしまいまして。。。

>>16
初めからそういってくれ！



と言ってみるテスト

>>12
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａがＫ［Ｘ］で可約なら
ｂ∈Ｋ，ａ＝ｂ＾ｐとなるｂが存在することの証明。
（１）１の原始ｐ乗根がＫにないとき。
Ｋの代数閉包の元ｃ，ｄでａ＝ｃ＾（ｐ＾ｅ），ｄは原始ｐ＾ｅ乗根となるものをとる。
定数項を比較してｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ∈Ｋとなるｕが存在することが分かる。
ｄ＾（ｐｕ）＝（ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ）＾ｐ／ａ∈Ｋからｄ＾（ｐｕ）＝１。
よってｂ＝ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕとすればいい。
（２）１の原始ｐ乗根がＫにあるとき。
ｅがより小さいとき成り立つとする。
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａが二つのＸ＾ｐの定数でない多項式の積で表せるなら
Ｘ＾（ｐ＾（ｅ−１））−ａが可約になるので条件を満たすｂが存在する。
そうでないとき１の原始ｐ乗根の一つをｄとし
ｆ（Ｘ）を最高次の係数が１のＸ＾（ｐ＾ｅ）−ａの既約約元とすると
Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式の積なので
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａ＝Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）。

>>18
＞Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式の積なので
Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式なので

（＾＾）

これも

代数が得な方に質問です。

(1) ネーター環のできるだけ簡単(素朴)な例を１、２個教えてください。

(2) ネーター環のようなものを考えると、何がうれしいのですか?
　　ネーター環のありがたみが実感できるような分野、例を教えてください。

http://www.eonet.ne.jp/~nohohon/osaka-band.htm

アメーバについて教えてください

>>23
おまえが思いつくような環はおそらくすべてネーター環だ

>>26
Noether 環でない環の例をあげよ

無限個の変数の多項式環はNoether 環でない

>>23
(2)グレブナベース計算は計算機に実装されている。

某所で今の抽象代数の道具を使えば類体論は１頁で証明できるというのですが、
誰かそれを披露してくださいな。

＞某所で
どこですか？
＞今の抽象代数の道具を使えば
抽象代数とはどの範囲のことでしょうか？
＞1頁で証明できる
無理です。Neukirchの書のものが最短だと思うけど。

＞Neukirchの書のものが最短だと思うけど。

それは半世紀以上前の証明法で、非常に周りくどいもの。
本自体は薄いが・・。
加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列を使えば５行で証明が出来る。（９０年代）
スペクトル系列の理解にもそれ程時間はかからない。
ゼロから準備をはじめても３０ページあれば類体論の証明が理解できる。

＞加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列を使えば５行で証明が出来る。（９０年代）
　
これなにもの？てかそもそも類体論の証明ってなに？いわゆる相互写像の存在って
やつのこと？類体論って最大Abel拡大のGalois群を局所体の乗法群であらわすって
はなしだよね。それが５行で証明が出来るってこと？そいつぁすっげ。
加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列ってなににのってるの？まだ論文よまないといかんの？
英語でもいいから教科書かなんかになってません・・・まだだろうな。

何に載ってますか？

「一般論といえる部分の割合が増えただけ」ってオチはナシよ。

＞「一般論といえる部分の割合が増えただけ」ってオチはナシよ。

その「オチ」だろうな・・。

加藤ｾﾝｾの大きな仕事って、類体論関係じゃなかった？
自分でも何言っているかわかりません、スマソ。

>>32
5行で証明できるなら、ここにその証明を紹介してください。

ぐぐりたいんだけど"ホンテーヌ"のスペルがわからん。だれか教えてたも。
加藤は“Kato”かな？

プロが２ｃｈを見るはずがないと思いました。どこかに書いてある文章を適当に抜粋して、それが自分の意見であるかのような書き込みをするのですね。

fontaine

>>32
今日はエイプリルフールですね。

えっ？こっちもネタなん？勘弁してよ。

>>43
今朝、本人に聞きました。

ネ　タ　で　す　。　　

アルティン・テイトによる群コホモロジによる証明が最短らしいです。

>>44
まじっすか。
＞今朝、本人に聞きました。
これ加藤先生本人ってこと？知り合いなの？

＞これ加藤先生本人ってこと？

　はい。

＞知り合いなの？

そんなたいそうなものではありません。たんなる学部生です。

>>46
へえ〜そうなんだ。じゃちょっと聞いてもらえん？加藤先生がからんでる
岩波の数論１、２、３ってのがあるんだけどそんなかで命題７．１３ってのが
あるんだけど証明は数論３の保型形式の章でやるって書いてあるんだけど
どこさがしてもみつかんないんだけどどーなってんねんって聞いてもらえん？
１章のモーデル予想の一般の場合の証明もみつからんし。たいがいにせーっていっといてよ。

>>47
むりぽ・・。
漏れもあの本は適当過ぎるとおもう。

Mordell予想の証明なら
http://www.kusm.kyoto-u.ac.jp/lecture/index.html
にある「Diophantus幾何入門」にのってるよ。

そうか、むりぽか・・・。じゃ加藤先生に直接きくかどうかはともかくとして
命題７．１３で保留されてる命題
　
　関数Fvを以下でさだめる
　
　　Fv=
　　　Ovの定義関数　(vが有限素点のとき)
　　　exp(-|x|^2)　(vが無限素点のとき)
　
　さらに関数FをF=ΠFvでさだめるときFは以下をみたす
　
　(1)F(δy^(-1))=|D|^(1/2)|y|F(y)
　(2)|δ|=|D|^(-1)
　
　δはあるAkの元でDはある定数である。
　
これの証明だれか知らん？森田先生の教科書でもうまいぐあいにかわされてるし。
和公式つかうらしいんだけど。

>>49
thx。そっちのほうはなんとか解決したんだけど。

>>50
WeilのBasic Number Theoryの7章をよめばわかるよ。

>>52
thx。あたってみる。

>>47
> １章のモーデル予想の一般の場合
モーデル予想の証明?
モーデルの定理ではなく?

>>54
ああ、定理のほうっす。

５行ってのは文字数の制限じゃないからな
一行に何文字書こうと改行しなければ一行のままだ

ってことだろ！！！

保守sage

ほしゅったらあげろ

気分により、age中止。

行列について質問です。

ある行列 M に対して、
M^2 = M
となっているような行列にはなにか名前がついていたと思うのですが、
その名前を教えてください。

冪等(巾等)

ハバナド行列

>>60
　 ∧＿∧
　（　´∀｀）＜いでぽ

>>60-61
「冪等行列」は　∃k M^k=M

M^2=M なら「射影行列」かな。

>>61-64
皆さんありがとうございます。
よく知られた名前がついているわけではないみたいですね。;

なんだか、こちらが別のものと勘違いしていたようです。

>>64-65
M^2 = M なる行列は、冪等行列なわけだが。

（＾＾）

今日学校で習った行列がなんとなくわかった気がして面白かったです。
なんか高校生みたいですが今年で２２です。
何年ダブってるのか忘れてしまいました。
なんとなくカキコ

その時の新鮮な気持ちを忘れんでくれ

Mitchel-Freydのアーベル圏の環上の加群圏への埋め込み定理の証明をだれか教えてくれませんか？
大学図書館に簡単にいけないので、彼等の本をみることが出来ないんです。
以下のところまで理解しています。
Aを小さいアーベル圏とします。BをAからアーベル群の圏Abへの左完全加法的functorのなす圏とします。
Bにはinjectiveなcogenerator Qが存在します。QはBからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。

次がわかりません。
Qのendomorphismのなす環をRとすると、QはR-加群の圏R-Modへの充満な埋め込みとなる。
QがR-modへの忠実なfunctorであることは分かりますが、充満なことが証明できません。

>QはBからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。

当然ですが、以下のように訂正します。
QはAからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。

>>71
たぶんCをsmallなAbel圏、Add(C)をCからmodZへの加法関手の全体として
Ad:C→Add(C)をX→C(〜,X)で定義される関手とするときこれがFully Faithfullまでは
わかったんでしょ？まあ、こいつは完全ではないと。どうするかというとTorsion Theory
というのをつかう。Add(C)のobjectのclass S,TとFをそれぞれ
S={Cok(〜,f) | ∃f:X→Y;epimorphism}
F={Y∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀X∈S}
T={X∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀Y∈T}
とさだめると(T,F)がhereditary torsion theoryというものをさだめAdd(C)/(T,F)という局所化という
圏が定義される。abel圏A上のobjectのsubclassの対(T,F)がhereditary torsion theory
であることの定義はobjectのsubclassの対(T,F)で以下を満足するもののこと。
∀X∈T、∀Y∈F A(X,Y)=0
∀X∈A (∀Y∈F A(X,Y)=0⇒X∈T)
∀Y∈A (∀X∈T A(X,Y)=0⇒Y∈F)
∀X∈T (∀Z∈A ∃f:Z→X;monomorphism⇒Z∈T)
を満足するもの。アーベル圏Aとそのhereditary torsion theory (T,F)がとれるとき局所化
とよばれる完全関手l:A→B=A/(T,F)が次を満足するものとして定義される。
1)∀f:X→Y kerf,cokf∈T⇒l(f)はisomorphism
2)k:A→Cが1)を満足するときあるf:B→Cが一意にさだまりk=flを満たす。
でこの理論で存在が保証されるl:Add→B=Add(C)/(T,F) ((T,F)はさっき定義したやつ)を使うと
l･Adが完全関手となってしかもBにはinjective cojenerator Eが存在することが
証明できる。これをつかってBはmod End(E)のfull subcategoryにexactにうめこまれる。
つまり任意のsmall abelian category は環の加群の圏にcontravariantに完全に埋め込まれる。
covariant にしたければ埋め込むまえに自己半完全関手C→C^opを作用させてから
C^opの方をうめこめばよい。

有難うございます。

＞これをつかってBはmod End(E)のfull subcategoryにexactにうめこまれる。

初めに書いたように、ここがなぜ充満(full)に埋め込まれるのかが分からないのです。
exactかつfaithfulなことはわかります。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

>>74
ちょっとまちがったかも
Eが無限直積について閉じてるabelian category Aのinjective cogeneratorとする。
Sをobj(A)の部分集合とするとき各X∈obj(A)についてcardinal number c,dを
0→X→E^c→E^dがexactとなるようにとれるようにとっておく。さらにmをこれらc,dすべてより
おおきい基数としてとっておきE'=E^mと定めておく。するとすべてのSの元Xについて
自然数p,qを0→X→E'^p→E'^qとなるようにえらべることが示せる。
するとR=End(E')、F=A(〜,E'):A→mod Rは完全忠実ですくなくともX,Y∈Sについては
A(X,Y)≡Hom(F(Y),F(X)になる。これがまったくすべてのX,Yについて成立するように
できるかどうかはしらないけどすくなくともこれで当初の目的は達成できてるとおもう。

「単元ならば零因子でない」を証明しなさいチミ達

宿題は自分でやれよ

信じてもらえないでしょうが宿題ではないです。
あーなんでできないんだろ
簡単そうなのに

http://homepage.mac.com/hitomi18/

>>79
人を頼るな、クソ野郎！
さっさと学校辞めて働け！

>>81
うるせー童貞のくせに

自明な環なら>>77は成り立ちませぬな。

もしかしたら本当にできないんじゃないかと思ってやってみた。


一瞬で0=1が出たのだが・・・

>>84
それは可換じゃないと仮定してもできました？
可換だったらできるのですが・・

＞可換だったらできるのですが・・

そりゃそーだろ。

　
u:単元　0:零元　1:単位元　とすると
∃v,uv=1.
if ∃x,ux=0. or xu=0.
・・・・・・・・・・・
ここから先が解らんのだよチミ達

>>87
それは問題文を書き換えただけなわけで、
「ここから先が解らん」というのは、要するに
全くお手上げと言うことだな。

ab=1からba=1を根性で求めれ。

ちゃんと証明しようとしたら可換とはかぎらない場合にできてないことが判明。
ごめんなさい。

ab=1から(ba)=(1)はすぐ出るんだけど・・・

u*v = 1 なら、v も単元なわけだが。

>>90
( )は何？　イデアル？
ab=ba=1さえ示せればいいんですけど
そうすれば
(ca)b=c(ab)=c(ba)=c=(ab)c=(ba)c=b(ac)　なので
ac=0,or,ca=0 ⇒ c=0　となり
「aは零因子でない」が導けるのですが

>>92は私です

>>91が答え言ってるじゃん・・・

>>94
ごめんマジでわからん
血祭りにあげてくれ

というか>>77がききたいのは
Rが非可換環、aがその元のとき
∃x xa=1 ⇒∀y “ya=0⇒y=0”
が成立するか？ではないの？これは成立しない。
−反例−
Vを無限次元ベクトル空間、Rをその準同型環とするときa∈Rに対し
∃x xa=1⇔aは単射
∀y “ya=0⇒y=0”⇔aは全射
なので“単射⇒全射”がいえるかだけどこれはＮＯ。
∃x xa=1 ⇒∀y “ay=0⇒y=0”
はもちろんいえる。

勘違いをしている事に気付きました。
単元の定義は「uv=vu=1」でしたね。本を見たら載ってました。
皆さん、ありがとう。

>>96丁寧なご説明、感謝します。
反例が私のキャパを超えているので理解できないのが残念です。
精進精進



それと、公明党に一票おねがいします。

>>97

創価うるせー

完備な体の有限次拡大体はまた完備であるということの証明がわかりません。

http://homepage.mac.com/ayaya16/

>>99

体が完備であることの定義を教えてください

>>101
付置をいれるんだろ。

「Ｃ上の多元環でＣ上有限次元のものは全てＭ(n,Ｃ)の部分環として表せる（nは適当な自然数）」
は正しいですか？
もしそうなら証明の方針（または参考書）も一緒に教えてください。
実は他の問題解いてて、これが言えたら楽になるなと思って考えてみたのですが。

>>103

RをC上のn次元多元環とする。xをRの元とする。
RをC加群とみたときの自己準同型写像f(x)をf(x)(y) = xyで定義すると。
fはRからM(C, n)への多元環としてのC-準同型であり、Rが単位元eをもてば、fが単射であることがわかる(f(x) = 0なら、f(x)(e) = xe = x = 0)。従って、RはfによりM(C, n)の部分多元環と同型になる。

http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

>>104
ありがとうごさいます。
なるほど、こういう風に扱えばよかったのか。

C-alg が M(n,C) に入れば central simple になりそうだが、それでいいのかな？

あー central とは限らないか・・・；

http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1047993277/439

とりあえずこおいう馬鹿者に天誅を！

>>109
見てきた。ちょっとカキコしてみた。だめだ。

>>110
君もか。
俺も書きこんでみたが、罵倒ばかりで誰がどっちやら・・・

>>110>>111
　すまない…。同じ哲学徒（？）として、恥ずかしい限りです。
　
　定義も概念も、明確にすべきは当然です。

まあまあ、哲板の人もﾏﾀｰﾘしましょうよ。
数学科も哲学科も両方大切だ、てことで。

この分野で有名な未解決問題。なんだろ

「？」を最後につけるの忘れてた

Re:114
Whether real part of any non-trivial root of Riemann's Zeta function, is 1/2 or not.

>>116
Qｳｻﾞはシニナサイ。

くだらないことだけど、 google で etale cohomology　を日本語検索したら、
一番トップにすごいページがヒットするね。

>>118
日本最古の国立大学.ac.jp に、あんなページ作っていいのかなぁ。

ヲタサイトならヲタサイトなりにデザインに凝れよ。
数学科のヲタなのにデザインに気を使わないなんておじちゃん悲しいよ。

質問スレにも書いたのですが、よくわかりませんでした。

以下の私の考えは正しいのでしょうか？

正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていてい、
これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。

Ｓの成分Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
すると、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。

証明）

ア）Ａ，Ｂが三角行列の場合、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ　も「三角行列」となるので、「行列式」は「対角成分」の積となる。
つまり、Π（ａiiＢ−ｂiiＡ）
各（ａiiＢ−ｂiiＡ）は、三角行列でii成分が０。この積が０になることは計算することでわかる。

イ）一般の場合。
（Ａ＊Ｂ）・（Ｃ＊Ｄ）＝（ＡＣ）＊（ＢＤ）となることがわかる。

Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ，ＰＢＱをともに三角行列とすることができる。

Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）

この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。

>>121, >>310＠さくらスレ
>正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていて、
これ、どこかで使ってますか？　閉じないと、何か困るのでしょうか？

>これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
>「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。
非可換でも、そういったものを考えることはできませんかねー？

以下、要するに「AとBは可換である」という素朴な前提で考えたとして。

>すると、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。
なると思います。私は特に、間違いを見つけられなかったす。
（間違ってたら、ゴメンね）。

>Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
ならねっす。

>>122
B=Iの場合はケーリーハミルトンになってない？

うーん、私は>>121が、
det [ [A, B], [C, D] ] = (det A)(det D) - (det B)(det C)
という勘違いをしている、と踏んだのですが・・・。

>>124
なんか意味が分からないんですが・・・

あ、二行目の式が正しくないのはわかりますよ

ケーリー・ハミルトンの右辺の０はあくまでも行列でしょう。

>なんか意味が分からないんですが・・・

すみません。馬鹿の言うことだと思って、スルーして下さい(^^;

>>127
でも行列成分の行列ですから、行列式も行列ですよ。

ﾔﾔｺｼｲ

そ・・・そうか(^^;
最後の最後まで、行列式と「行列式」を区別しなくちゃいけないんだ。
じゃあ、>>122は間違いかー、うーんまいったね。
説明thank you >>128

ケーリー・ハミルトンの、立派な拡張になってるってこと？
これって、既知なの？（いや、何かしら既知なんだろうけどさ・・・）

既知だろうが未知だろうが、何ら価値はありません。
税金の無駄遣いです。

>>121
根本的に、行列環の部分集合で、
和と積とスカラー波で閉じていて、
さらに可換なものというのは
対角行列全体の部分空間にしかならない気が・・・

>>122
＞>正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていて、
これ、どこかで使ってますか？　閉じないと、何か困るのでしょうか？

いわれてみれば、確かに。最初から、Ａ，Ｂが可換としたときに、その多項式全体
の集合を考えればいいですね。で、「そういう行列の集合をＳとする」というのが抜けていた。

>>131
ジョルダン標準形にして対角行列にならないものを一つ持ってきて、その多項式の全体とか、
同時に対角化できない互いに可換な複数の行列の多項式全体とか、

工学部さんてこの人なんだね。今気づいた。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052471246/l50
税金の無駄とか、田中康夫か猪瀬見たいなこと言って何かと思った
私は単に趣味で数学やってるだけなんで、税金は関係ないです。

論文は書いたことがありません。

東京大学出版　「線形代数」

の次に読むべき書籍を紹介してください。

a

b

c

d

e

f

g

部分群

正規部分群

>>144
hの代わりに「部分群」ってことなんだろうから、
そこはiの代わりってことで「イデアル」にすべきだったと思われ。

素数

( ﾟДﾟ)ﾊｧ?　

>>145
ごめん

>>145
では、j の代わりにジャコブソン根基ですか？

じゃあ、kからでいい？

素体

束

加群

自然数

整数環

放物型部分群

有理数体

実数体

対称群

ねじれ加群

開近傍

↑(･A･)ｲｸﾅｲ 　単数群

ヴェット群

線型空間

次は W で良いのか？

ワイル群

不定元

マジンガーZ

Yが飛ばされてるぞ。>>168 Yを頼みます

二つ目の不定元

小遣い稼いでみる？
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ζ　もしくは　Z武

整数全体のZってなんの略？

>>171

Zahlen だよ
ヴァカ無教養死ね

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>>171
>>172
自作自演・・・ぷ

>>172
ZはZahlenの略じゃなくてdie Zahlenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）

>>171-172
今井並（藁

>>175

は？

dieは定冠詞だから、あってもなくてもいいようなものだが。

>>172
ZはZahlenの略じゃなくてZahmenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）

Cはcomplexじゃなくてcomplex numbersの略だよね

R は real じゃなくて the set of real numbers の略だよね

>>178
定冠詞は必要じゃないの？

>>181
the set of all real numbers じゃないのか？

>>177
は？
ヴァカ？

>>183
はじめにtheがついてるからallはいらない

代数が全然わからないんですけど、買うなら「すぐわかる代数」がいいですかねぇ？

買え

>>186
何でもいいから買え。

わかりやすい本がいいっす。
ビギナー向けの。

>>189
万人にとって判りやすいものなど無い。とっとと買え。

じゃあ「すぐわかる代数」にしときます。
おすすめの本の話を聞きたかったけど、代数に慣れてからまた聞きます。

だってそれでいいもの

そうなんすか。
じゃあその本でがんがりやす。

分かりやすいけど深くつっこまない

とりあえず理解した気分に浸りたいなら「すぐわかる代数」

疲れた。
もういいよ。
呆れたからこのスレにももう来ないわ。
　
ずーっとそうやって負のイメージを吐き出し続けてください、さようなら。

>>195

おまえなんか二度ど来んな！ ヴァカが

>>196
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

>>196
(・∀・)ﾆﾄﾞﾄﾞ

「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）
http://members.tripod.co.jp/nichkirai/index.htm
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
☆反２ｃｈまゆタンスレ2☆
http://ex.2ch.net/test/read.cgi/net/1053411931/

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

>>121の証明で穴を指摘されました。
＞Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。

Ｐ，ＱがＡ，Ｂと可換とは限らないので、Ｑ＊Ｑ、Ｐ＊Ｐは、Ｓの元を「成分」とする行列とは言えない、つまり、可換環を成分としているとは限らないので、「積の行列式」＝「行列式の積」が使えないとの指摘です。

よって以下のように訂正します。

Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
Ａ，Ｂが可換なら、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。


証明）
（Ｗ＊Ｘ）・（Ｙ＊Ｚ）＝（ＷＹ）＊（ＸＺ）となることがわかる。

Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ＝Ｃ，ＰＢＱ＝Ｄをともに三角行列とすることができる。

Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝ＱＣＰ＊ＢーＱＤＣ＊Ａ＝（Ｑ＊Ｉ）（Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ）（Ｐ＊Ｉ）
※　Ｉは単位行列。だから、Ｓの元。

この「行列式」は通常の行列式同様に、Ｑ＊Ｉ、Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ、Ｐ＊Ｉ、それぞれの「行列式」の積になる。
Ｃ、Ｄが三角行列だからＣ＊Ｂ−Ｄ＊Ａも「三角行列」。よってその「行列式」は「対角成分」の積
Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）＝ＱＰ｛Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）｝ＱＰ＝Ｑ｛ΠＰ（ｃiiＢ−ｄiiＡ）Ｑ｝Ｐ＝Ｑ｛Π（ｃiiＤ−ｄiiＣ）｝Ｐ
各（ｃiiＤ−ｄiiＣ）は、三角行列で、ｉｉ成分が０、これらの積が０行列となることは計算でわかる。

f,g,h∈R,　Rは環(PIDとかUFDとかの仮定はない）
このとき
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
を示したい。

いまのところ、
1∈(f,g) ⇒ 1∈(f^n,g^n)
と
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
とはなんとか言えてますが
もうちょいがうまくいきません。

R=K[X, Y]のときを考えるとX+Y∈(X, Y)だけど、
(X+Y)^2∈(X^2, Y^2)は成立する？
もしそうならXY∈(X^2, Y^2)なのだが・・・

>>206さまレスありがとうございます。
たしかにそのとおりですね。

h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
の「証明」をみなおしてみると
実際に言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^3∈(f^2,g^2)
でした。

ということは、
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
はなりたたないということで・・・

でもすこし弱めるとなにか言えそうな気がするのですが。

ちなみにすぐに言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g)
です。

n≧k+l なら h^n∈(f^k, g^l)
ぐらいならいえるけど・・・

>>206
それは簡単すぎかな。
h=Af+Bgをn乗すれば一発。

（＾＾）

A;単位元をもつ可換環　A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。

>>211
でた。。。

>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・

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212 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/05/26 00:13
A;単位元をもつ可換環　A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。

214 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/05/26 17:56
>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・


そんだね。なんなんだろね。

単項イデアル環は整域とは限らない、って点を気にしているのだろう。

ちなみに、ぱっと見
A[X]が単項イデアル環である必要十分条件は、Aが体であることっぽい。
Aが体で無いと、その0でないイデアルIに対して、
A[X]のイデアルI+(X)は単項ではないのでね。

p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，Aは体ではない．

>>219
212です。ありがとうございました。

>p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，

A[X] のイデアル ( p , X ) の生成元は?

>>221
pq=6だと
(2X+3)(3X+2)=X
4(3X+2)=2
3(2X+3)=3になるから
(X,2)=(3X+2) (X,3)=(2X+3)になるけどねぇ・・。
んで、またA=Z/6ZはA[X]は単項イデアル環だけどAは体でない
例になってるとおもう。一般のpqはどうなんでしょうかね？
ap+bq=1になるa,bがあってもうま〜い元がとれるのかなぁ・・・。

222です。やっぱいけそうです。A=Z/(pq)Zとして
(px+q)(qx+p)=(p^2+q^2)x
で、p^2+q^2はpでもqでもわりきれないからAの単元
だから、さらに逆元でもかけてやるとXはつくれる。
んで、p,qは互いに異なる素数だからap+bq=1になる整数a,bが
あるから(1-ap)(pX+q)=q となってぇ〜(X,q)=(pX+q)になる。

A=\Z/(pq), B=A[X]とおく．
J≠0をBの任意のイデアルとする．
今，f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り，a=LC(f)∈A（主係数）とおく．
(1) a∈A^*のとき，J=fB.
(2) a∈pAのとき，（必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて）a=pとしてよい．
このとき，qf∈J, deg qf<nより，qf=0だから，モニックなf'∈Bが存在してf=pf'.
さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
[主張1] ∀h∈Jに対して，deg h<m ⇒ h∈fB.
∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し，dが最小のものを取る．
b=LC(h)/∈pAと仮定すると，up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より，
k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと，deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾．
よって，b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと，deg h'<dだから，h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾．
[主張2] J=fB+gB.
∵) ∀h∈Jに対して，h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると，r∈Jより，r∈fBだから，h∈fB+gB.
[主張3] J=(f+qg)B.
∵) J'=(f+qg)Bとおく．J'⊂Jは明らか．
一方，up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より，J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'.
このとき，h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと，deg h=m, LC(h)=up+vq=1.
よって，k=g-h∈Jとおくと，deg k<mより，k∈fB⊂J'だから，g=h+k∈J'.
(3) a∈qAのときも同様．
以上より，Bは単項イデアル環．

[訂正]
>さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．

∀h∈Jに対してLC(h)∈pAならば，J=fB.
∃h∈J, LC(h)/∈pAのとき，∃g∈J, LC(g)=1だから，m=deg gが最小であるものを取る．

単項イデアル環の直積は単項イデアル環

pが素数のとき，A=\Z/(p^2)はArtin単項イデアル環だが，A[X]は単項イデアル環ではない．

それで？

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

すごく初歩的な質問をさせてください。

有利整数環 Z に対して、 Q は Z の商体である、という理解でよろしいでしょうか?
さらに初歩的なこととして、Z は Q の部分環である。

>>230
それでよいです

有限整域はどんな整域ですか？

>>232
体

>>233
んなこたぁない

>>234
んなこたぁない

>>233
特に説明もなく「有限整域」という言葉が出てきたので、どんな整域なのかと思ったのですが。

>>236
その位数が有限である整域。

有限整域ならば体
ってことは、有限体なら可換？

整域は可換だろ。

>>238
可換ですが何か？

>>238
前スレにも同じ話題が…
ウェダバーンの補題だっけ？うろおぼえ

>>238
有限斜体は可換体となるってやつか､円分多項式を使ったヴィットの証明が有名だね。

ところで、自由群ってどういう定義をされるものなんでしょう？
群Gが与えられたときにGが自由群であるというのはどういうことかね？

>>242

んなもん本読ぬで自分で調べられるだろーが

板の死

すれ違いかもしれませんが、共立講座の佐武線形はいい本ですか？

>>242
relation が free.

(既約な)代数多様体Vで特異点のcodimensionが１の例を教えていただけますか？

dim(V) = １　のときは　Ｖ(ｙ^２−ｘ^３−ｘ^２)　があるんだけど
もう少し高次元の例を教えていただけると助かります。

>>247
ホイットニー傘ってのがなかったっけ？
はずしてたらｽﾏｿ

皿上げ

釜揚げ

>>248
ありがとうございます。
あとは自分で調べます。

V( X_1*(X_2)^2 - X_(n+2) ,...., X_1*(X_n)^2 - (X_2n) ) だね、
確かに>>247の例になってる。

も一つ

ある点がnormalでない(その点での局所化が整閉でない)　→　その点は特異点

って成立しますか?

>>253
成り立つ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>253
非特異点→DVR→normal

E,Fを（可換）体で、
（代数的構造は無視して、）F は E の部分集合、とします。
このとき、E は F の拡大体といえるでしょうか？

Re:>257
いえる。

>>257
いえません。上体とはいうでしょうね。

>>257-258
ブルバキでも読んどきなw

それはつまり、EとFは、同じ演算構造を持っているとは限らないからということか？

だね。例えば、F_pをRの集合として埋め込んでも、RはF_pの拡大体ではないね。

２６２さんの指摘で納得しました。
Thanks!!

>>258
うわぁぁ・・・・

うわぁぁ

↑これはいろんなスレでアホなレスしてるから
みなさん放置してやって下さいね

>>256
それって１次元のときだけじゃないの？
Hartshorneの本には１章のNonsingular　Curveのところでそんな記述があったけど、
次元が高い時には局所化してもDVRにはならないんじゃないかと思うんだけど・・・？

どっかにいい記述があれば教えていただけるとうれしいです

>>267
DVRは1次元。

>>268
です．
>>267
非特異点→UFD→normal
たぶんザリスキーサミュエルにあると思う．

>>267

環と体１　岩波　の最後の方に載っている。

「ネター局所環に対し、正則⇒UFD⇒正規　が成り立つ。」

あぼーん

あぼーん

みんな、よく、おべんようしてらっさいますね

>>271-272
ここ何が書かれてたの？

>>274 くだらないサイトの宣伝。

厳選サイトです
http://pleasant.free-city.net/

>>274
>>276みたいなやつ。

線形代数専用のスレッドもほしいなぁ、、、
代数学というほど高度じゃない話題を質問したい。

線形性を持つ対象ならいいのだから
程度の高低はあまり関係ないような

このあたりのスレを適当に再利用してみるとか

線形とは
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052546466/
○●◎行列○●◎
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1050154598/
線形代数の余因子行列の解法
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/996052458/

線型代数に関する話題はこちら
http://cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html
★何が違う？？ベクトル空間とユーグリット空間★
http://science.2ch.net/math/kako/1002/10023/1002316255.html
楽しい演習---線形代数編
http://science.2ch.net/math/kako/1014/10142/1014209237.html

こんな感じのスレを勃てちまえ

>>268-270
ありがとうございます、助かります。

>>280
さすがに「線形代数の余因子行列の解法」の再利用は厳しいだろ（ｗ
いまだに落ちない名スレ

>>274
実はわしが削除依頼だしてたりする

>>281
たてたよ。

線形代数/線型代数 総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/

検索しやすいように、
「線形代数/線型代数」
と両方の漢字をスレ名に含めておいた。

>>282
べっくウザイ。

有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？
無限体ならわかるのですが。
変数の適当な一次変換で、０でない非単元がWeierstrass多項式と同伴になることを
示したいのですが。

ageぇ。

L/Kがガロア拡大のときに
Lの単数群/Kの単数群
は有限群ですか？

L=Q(√2),K=Qとすると<1±√2>/{±1}は無限群。

>>288
単数群だよ？

>>289
L^*/K^*の事なら、これも無限群。（例えばa+√2(a∈Q)という元全体を考えよ）
単数群って、普通は整数環の単数群を意味すると思うが。

>>290
ここでは前者の意味でつかってました。
有難うございました。

>>287
修論ですか？

>>292
有限群じゃないんだろ？

>>285
＞有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？
Weierstrassの予備定理ってなんすか？

多変数関数論の基本定理。
この定理により、n変数冪級数環の問題が(n-1)変数冪級数環上の1変数多項式環の問題に帰着出来る。

>>295
正確にはどういうステートメントでつか？なにに載ってます？

大抵の多変数関数論の入門書に載っている。
以下は、俺が以前書いたもの。
本来の定理はk=C(複素数体)でRは収束冪級数環。

Definition
Let k be a field.
Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k.
Let f be an element of R.
We say f is regular of order s with respect to Y
if it satisfies the following condition.
1) f(0,..,0, Y) is not zero.
2) Consider f(0,..,0, Y) as a formal power series of one variable Y.
Then s is the least integer such that
Y^s has non-zero coefficient in f(0,..,0, Y).

Theorem (Weierstrass's Preparation Theorem)
Let k be a field.
Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k.
Let f be an element of R, regular of order s with respect to Y.
Then f can be uniquely expressed in the form:
f = u(Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0),
where u is an invertible element of R, i.e. u(0, ... ,0) is not 0
and each h_i is an element of k[[X_1, .., X_n]].
Moreover, h_i(0,..,0) = 0 for all i.

>>296
この三冊には載っています。後の話は複素関数論スレッドでどうぞ。
ここはまったり代数学（ｗ

大沢健夫「多変数複素解析」岩波講座　現代数学の展開２
山口博史「複素関数　応用数学基礎講座」朝倉書店
西野利雄「多変数函数論」東京大学出版会

>>297
thx. てかこれは>>285の質問への肯定的な解答になってる？

>>298
形式的冪級数環でのWeierstrassの予備定理は、代数学に属します。

わからないなら顔出すな。それだけ。

>>299
いや、>>285の質問がちょっと間違っていた。有限体上の任意の冪級数がWeierstrass多項式と同伴になるか、
というのが問題。つまり変数の適当な変換でWeierstrassの予備定理が適用出来るようになるか。
つまり、f(0,..,0, Y) が非０になるか。
無限体の場合は簡単。

>>302
当然、f(0,...,0) ≠ 0が前提。

>>303
間違えた(汗
f≠0かつf(0,...,0)=0が前提。

>>302
つまり問題は解決してないと。
すいません。問題をもうすこし具体的にかいてもらえません。おもしろそうなので。
(もちろんかいてもらってもとけないけど)
設定はkが(有限)体、R=k[[X1･･･Xn,Y]]、f∈Rについて
fがどんなときになにが成立してほしいんですか？どこまでは確認済みっすか？

>>305
f≠0かつf(0,...,0)=0のときに変数X1,..,Xn,Yの適当な可逆変換
X1 = u_1(X'1,...,X'n,Y')
X2 = u_2(X'1,...,X'n,Y')
...
Xn = u_n(X'1,...,X'n,Y')
Y = u_(n+1)(X'1,...,X'n, Y')
でf(X1,...,Xn,Y) = g(X'1,...,X'n, Y')
としたとき、g(0,...,0, Y') ≠ 0 となるか？
ここで、u_1, u_2,...,u_(n+1) はn+1変数の冪級数(または多項式)。

関数体のABC予想ってなんですか？

ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!
http://cgi32.plala.or.jp/mg916/bbs.cgi

http://cgi32.plala.or.jp/mg916/log.txt

　__∧＿∧_
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　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

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中山の補題って、Zornの補題を使わないと証明できないんですか？
もしえてください。

http://cgi32.plala.or.jp/mg916/accuse/

>>312
ネーター環でなければ中山の補題はZornの補題が必要。
Rをネーター環でない可換環、IをRのRと異なるイデアルとする。
このときIを含むRの極大イデアルの存在はZornの補題が必要。
中山の補題はこれを使っている。

写真集だよん☆☆☆☆☆☆
http://www.sexpixbox.com/pleasant/sexy/index.html

>>306
こんなんできた。まちがってるかも。まちがってたら or 論点がズレてたらｺﾞﾒｿ。
　
以下kを体、R=k[[X1,･･･,Xn]]とする。d=(d1,･･･,dn)に対し
X^dをX^d=(X1)^d1･(X2)^d2･･･(Xn)^dnで定める。さらに|d|を
|d|=d1+･･･+dnとする。加法的離散付値v:R→Zを
v(�蚤_dX^d)=min{|d||a_d≠0} (if �蚤_dX^d≠0) v(0)=∞
で定める。Rはこのvから誘導される距離に関して完備になる。
VをX1･･･Xnによって張られるk係数のベクトル空間とする。
G=GL(V)の作用はk[[X1,･･･,Xn]]にk代数の準同型として
自然に拡張される。またY1,･･･,YnをRのv(Yi)≧2なる元の組、
g∈GL(V)とするときk代数の準同型φ:R→Rで
φ(Xi)=gXi+Yiをみたす連続準同型が一意にさだまる。
このような準同型を座標変換とよぶこととする。
このとき以下が成立する。
　
−定理−
0≠F∈R、v(F)=δであるときある座標変換φとRの単元u、
k[[X2･･･Xn]]の元の組G0,･･･,Gδで
　
　uφ(F)=�納i=0,δ]Gi(X1)^i、Gδはk[[X2･･･Xn]]の単元
　
を満足するものが存在する。
　
これを以下で示す

−補題−
H=�納|d|=δ]a_d(X^d)を次数δ＜∞のRの斉次元とするとき座標変換φで
φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満足するようにとれる。
　
(∵)nに関する帰納法。n=1では容易。n未満で成立していると仮定する。
H=�納|d|=δ]a_d(X^d)を斉次元とする。m=max{k|∃d=(m,*,･･･,*) a_d≠0}
とおく。H=�巴_e(X1)^m(X2･･･Xn)^e+�把_d(X^d)、c_d=0 (if d=(m,*,･･･,*))
と分解しておく。K=�巴_e(X2･･･Xn)^eはk[[X2･･･Xn]]の０でない斉次元ゆえ
帰納法の仮定からk[[X2･･･Xn]]の座標変換ψを
ψ(K)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満たすようにとれる。
これをk[[X1･･･Xn]]に自然に拡張したものもおなじくψとかくこととする。
このときGL(V)の元gをg(X2)=X1+X2,g(Xi)=Xi (if i≠2)でさだめられるものとし
φをφ(A)=gψ(A)でさだめられる座標変換とするときこれが求められる
条件を満足することは容易にわかる。□

(定理の証明のスケッチ)Rの付値vをk[[X2･･･Xn]]に制限したものをwとしておく。
0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
補題により座標変換φをφ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。このとき
F=�蚤_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]、w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)
が成立する。次をしめす。
　
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
　
u=0ではあきらか。uまで構成できたとする。
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解しておく。
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)ゆえ特にw(a'_δ)=0。つまりa'_δはk[[X2･･･Xn]]の
単元である。ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)
　
上Claimで構成したr_0,r_1,r_2,･･･をとるとき((1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u))_uは
RのCauchy列となる。Rは完備ゆえこれは極限値uをもつ。このuがもとめるものである。□

>>318

非常に興味深いが良く分からない。

φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？

w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？

(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？

>ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)

説明希望。
なお、r_u+1はr_(u+1)と書いたほうがいいね。

みてね〜♪
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こんなに見えちゃってヤバクない？？？
抜いても抜いても また勃起しまくり・・・
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＞φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？
　
これはこれでいいす。つまりxy^2+xyzみたいな元を座標変換でx^3+･･･の
形にできるという話です。
　
＞w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？
＞(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？
　
はい。まちがいっす。すんまそん。
　
あとClaimの主張で要求する条件に一つ追加です。
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)、
w(a'_δ)=0　←これ！
を満足するようにとれる。
　
これを示すには次がいえればいいっす。
　
補題 F∈RをF=�蚤_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解したときδ+1≦v≦u+1について
w(a_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a_δ)=0、a_k=0 (for v＜k≦u+1)
を満足するときs∈Rを(1-s)F=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･
　
Xn]]と分解したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_δ)=0、a_k=0 (for v≦k≦u+1)、v(s)≧u-δ
を満足するようにとれる。
　
(∵)w(a_δ)=0なのでa_kはk[[X2･･･Xn]]の可逆元ゆえ(a_δ)･b=1となるb∈k[[X2･･･Xn]]
がとれる。そこでsとしてs=b(Xn)^(v-δ)ととるとこれがもとめるものである。

>>322
残念だが、まだ分からない。
ひとまず、r_0をどうやって求めるのか説明してもらえると有り難い。
ただし、r_0はr_1の間違いかな、ひょっとして？

気合入っているな。
読む気がしない・・。

　まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土建屋にゴツイ
いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる
けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、
もう多元もオシマイや。ついでにワシも。

すみません。modular formのスレよりこちらの方が読者
が多いと思って投稿させていただきます。
この板のmodular formのスレのフサギコ教授の説明から
ヒントを得てy~2=（xの重根を持たない3次式）って言うのを
考えた場合にもペー関数など考える時あそこで書いてある
個有値ってものに成るんじゃないかと思ったのですが。
違いますか？
つまり、Ｃ（複素平面）がぺー関数によってトーラス上
に何重にも重なって写像される。
間違っていたらすみませんが誤りも教えて下さい。

>>323
もういちどr_0,r_1,r_2,･･･のみたすべき条件を再確認します。
　
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
　
ここでu=0の場合要求される条件は(for δ+1≦k≦δ+u)に相当するkが存在しないゆえ
事実上要求されるのはw(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0だけでこの条件はもとの
a_kがすでにみたしているのでr_u=0ととれば十分です。
　
いささかしょぼい例ですがr_uを構成してゆく例をしめしてみます。
n=2としX1=X、X2=Y、F=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
のような例でやってみます。この場合v(F)=3でw(X^2)=2、w(1+X)=0ゆえ
前提条件をみたしてます。r_0はでよいことはすでに述べたとおり。
r_1はY^4の係数を消すためにr_1=X/((1-X)(1+X))ととります。
これはY^3の係数である1+Xがk[[X]]の可逆元なので可能です。
そしてFに(1-r_0)(1-r_1)をかけてみると
F(1-r_0)(1-r_1)
=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･
-X^2/((1-X)(1+X))Y^3-X/(1-X)Y^4-X^2/((1-X)^2(1+X))Y^5+･･･
=XY^2-{(1+X)-X^2/((1-X)(1+X))}Y^3+(1+X)Y^3+0+･･･
となりY^4の係数を消すことができ、またY^3の係数も変化はしますがもともと
要求されていた条件をみたしている範囲内での変化にとどまっています。
もちろん(1-r_0)(1-r_1)･･･とかけていくとどんどん変化していきますが全体がCauchy列で
あるためyに関するべき展開の係数もやっぱりCauchy列になることがしめせるので
それは収束してその収束先でもa_δは可逆元、とくにa_δ(0･･･0)≠0であることが
示せます。
あってるような気がしてまふ。確認してよかったらつかってやってくさい。

>>326
わーたーしのきおくがたーしかならばー。
たしかそれは正しい。(とおもふ。)

>>328
どうもありがとうございます。

>>327
正しいような気はするが、一つ疑問があります。

>0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
>補題により座標変換φをφ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0
>と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。

この事実はどこで使ってるのかな？

>>316-318の証明まちがってました。ただし補題の部分はあってるとおもいます。
それ以外の部分を以下にさしかえます。すんまそん。
　
以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
R=S[[X]]に付値vを
v(�把_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
Rの元F=�把_iX^iにたいしT_i(F)をT_i(F)=c_iX^iでさだめる。
Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
F=�把_iX^iが次数pのよい元のとき
w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
容易にF,Gがそれぞれ次数p,qのよい元のときFGは次数p+qのよい元である。
　
Rの元Fと非負整数の組p≦q≦rについて次の条件をかんがえる。
(P1)Fは次数pのよい元である。
(P2)v(T_i(F))≧r-1 (p+1≦i≦q)
(P3)v(T_i(F))≧r　 (q+1≦i≦r)
　
この条件を(p,q,r)条件とよぶ。
　
補題１ Fがよい元ならばFは(p,p+1,p+2)条件をみたす。
(∵)自明である。□
　
補題２ Fがよい元で(p,p,r)条件をみたすならば(p,r,r+1)条件もみたす。
(∵)自明である。□

補題３ Fがよい元で(p,q,r)条件をみたし、p≦qであるならあるG∈Rで
v(G)≧r-p-1、F'=F(1-G)が(p,q-1,r)条件をみたすものがとれる。
(∵)F=�把_iX^i (c_i∈S)とする。Fは次数pのよい元なのでc_pは
可逆元である。そこでG=(c_q/c_p)X^q-pと定める。
仮定よりw(c_q)≧r-1-qゆえv(G)≧r-1-p。
よってF'=F(1-G)が(p,q,r)条件を満足することを示せばよい。
1-Gは次数0のよい元ゆえF'は次数pのよい元である。よって(P1)は成立。
またv(F)≧pゆえv_i(FG)≧r-1 (∀i)。
さらにp+1≦i≦q-1についてFが(p,q,r)条件をみたすという仮定から
v_i(F)≧r-1であるからv_i(F(1-G))≧r-1。よって(P2)も成立。
最後に(P3)をチェックする。i=qについてはT_q(F(1-G))=0ゆえよい。
q+1≦i≦rをとる。T_i(F(1-G))=(c_i-c_(i-q+p)c_q/c_p)X^i。
p+1≦i-q+p≦r-q+pゆえw(c_(i-q+p))≧r-1-(i-q+p)≧r-i。
また仮定よりv(c_i)≧rであるのでv(T_i(F(1-G)))≧rである。
以上で(P3)を満たすことがしめされた。□

非負整数の組について半順序≦を
(p,q,r)≦(p',q',r') iff p=p' ＆ (r＜r' or (r=r' ＆ q≧q'))
で定める。上の３補題から次が成立する。
　
主張４ Fが次数pのよい元であるならば非負整数の組の列
(p,q_1,r_1)＜(p,q_2,r_2)＜(p,q_3,r_3)＜･･･とRの元の列G_1,G_2･･･で
以下をみたすものがとれる。
(1) v(G_i)≧r_(n)-p-1
(2) F(1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n)条件を満たす。
(∵)補題１〜補題３により帰納的にさだめていけばよい。□
　
このとき列((1-G_1)･･･(1_G_n)は(p,q_n,r_n))_nはCauchy列でRは完備ゆえ
極限Uが存在する。このときUが可逆であることとF'=FUがT_i(F')=0 (i≧p+1)
をみたす次数pのよい元であることは容易に確認できる。よって以下が成立する。
　
定理５ Fが次数pのよい元であるとき単元UをT_i(FU)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
　
さらに次の補題を利用する。
補題６ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φによって
φ(F)が次数pのよい元であるようにとれる。
(∵)>>317の補題□
　
よってこのとき次が成立する。
定理７ S=k[[X1･･･Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φと
単元Uをφ(F)Uが次数pのよい元でT_i(φ(F)U)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。

>>330
次数δの元Fにたいして(Xn)^δの係数はもし０でなければその係数は
可逆元ですが０であるかもしれません。０でないように可逆元をかける調整
だけでは不可能です。これが０にならないようにするには座標変換を
する必要がありまんもす。

>>331
時間が無くてまだ証明を読んでない。もうチョット待ってください。

全スレがこのように機能すればなあ・・・。

今月号の数学セミナーで森脇さんの記事によると広中さんの講義録が再版されるそうですが、
「書店で手にとってください」などとが書いてあったから、普通の出版社から出版されるのですか？
大学図書館のような一部の場所でしか手に入らないものではなく。

>>331
CDVRって何？　DVRが離散付値なのは知ってるが。

C=complete

>>331
>Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
>F=�把_iX^iが次数pのよい元のとき
>w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。

T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
それとs_pは何を表すのかな？

>>331
>以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。）
>=S[[X]]に付値vを
>(�把_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。

(R,v)はDVRとはならないんだが。例えばkを体としたときk[[X, Y]]はDVRでは無い。
何故なら、DVRなら極大イデアルが単項イデアルだが、k[[X, Y]]の極大イデアルは
単項ではない。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku04.html

>>311
Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
従って補題が証明できればいいんだが、君の補題の証明は良く分からん。
もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。

上の>>311は>>331の間違いでした。
他人の事言えんね。

＞T_v(F)(F)≠0の意味が分からない。V(F) = i としたとき T_v(F)= c_iX^i
＞だから、T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積を表すのかな？
＞それとs_pは何を表すのかな？
　
c_pはs_pの間違い。T_v(F)(F) はc_iX^iとFの積です。
v(F)=3のときa+bX+cX2+dX^3+･･･とかいたときw(a)≧3、w(b)≧2、w(c)≧1、w(d)≧0、
ですがw(d)=0、つまりdが可逆元になるときよい元とよびます。
　
＞もう少し丁寧に、正確に証明してくれんかね。
＞どうも君の証明はケアレスミス(例えば記号の書き間違い)が多いし、
＞論理の飛躍がある。お互いの時間を無駄にしないためにも丁寧な証明を望みます。
　
まあ、ミスが多いのはみとめます。けど代数専攻の学生なら十分行間うめられると思うけど。
主張はまちがいがない(と思う)からオイラの証明よむより自分でやったほうが早い思います。
というかオイラの主張
　
定理 Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式Pでuφ(F)=P、Pの最高次の係数はk[[X1･･･Xn]]の可逆元であるものがとれる。
　
はあなたの望むものなの？そうならもすこし詳しく書く気にもなるけど。どうなの？
これそんなに証明むずかしくないと思うんだけど。なんか勘違いしてるのかな？

>>343
あ、なるほど。補題がおかしいと。つまり
−問題−
kを体、G=GL(n,F)、Vをk[x]のtじ斉次式のなすベクトル空間とするとき
GをVに自然に作用させたときv∈V＼{0}をとるときGv=V＼{0}か？
たしかにこれFが有限体のときあやしいっすね。たしかに証明まちがってます。
おさわがせでした。
ちなみに
＞Weierstrassの定理は、未定係数法により簡単に証明出来る。
これはどういう意味っすか？つまり
−問題−
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]のv(F)=pである元のとき単元uと座標変換φとk[[X1･･･Xn]]係数の
多項式P(Y)でuφ(F)=Pであるものがとれる。
ならば簡単に証明できるということ？

>>346

Weierstrassの予備定理というのは
Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の元でF(0,...,0,Y)が0でなければ、
uF = Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0
と一意に書けるということ。ここで、uはk[[X1･･･Xn,Y]]の単元で、
h_iはk[[X_1, .., X_n]]の元。

これは、未定係数法で簡単に解ける。

私が問題にしているのは、Fがk[[X1･･･Xn,Y]]の任意の0でない元としたとき
座標変換φでφ(F)(0,...,0,Y)が0でないように出来るかということ。
これが証明出来れば、k[[X1･･･Xn,Y]]の構造はk[[X1･･･Xn]]上の多項式環
の問題に帰着できる。

>>347
因みに、この場合の未定係数法による証明のヒントを示します。
簡単の為に２変数のベキ級数の場合を考えます。３変数以上の場合も
記述が面倒なだけで同様です。
F(X, Y) = �蚤(i, j)(X^i)(Y^j)
u(X, Y) = �巴(i, j)(X^i)(Y^j)
と置いて、uFをYのベキで整理したときY^n(n > s)の係数が0に
なるようにb(i, j)を決めていくことが出来ることを示せばよい。

>>347-348
昨日ねながらかんがえた。前補題
G=GL(n,K),V_t=(K[x]のt次斉次多項式のなすG加群)
とするとき任意のv∈V＼{0}に対しvx=�把_tx^t (c_t≠0 for some t=(0,･･･,0,*)
は反例がある。
　
−反例−
k=(2元体)、t=3、F=xy^2+x2yとおくときFはGの作用にかんし不変である。
よってもとめる形に変形することは不可能。
　
ちなみにF∈k[[x,y]]=Rとみたとき任意の座標変換φとRの単元uについて
uφ(F)の３次までの項は(x,y)=(0,Y)を代入したときk[[y]]の元として０になってしまう。
ただし３次以上の項までしらべれば０でない。前補題はkが無限体のときは成立してるので
結局まとめるとこうなった。
　
−定理−
kを体、R=k[[x1･･･xn,y]]とし0≠f∈Rをとる。v(f)=pとするとき座標変換φと単元u∈Rを
とってuφ(F)=P(x1･･･xn,y)∈k[[x1･･･xn]][y]となるものがとれる。
さらにP=�把_ty^t (c_t∈k[[x1･･･xn]])と表示するときあるc_tは単元にとることができる。
とくにkが無限体のときはdegP(x1･･･xn)=pであるmonic多項式をとることができる。
　
ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。

>>349
>ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ？どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
>ってuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。

確かにuniqueな極大イデアルだけど、DVRではない。
DVRであるためには、それが単項イデアルであること、即ちただ一つの元で生成
されなくては成らない。

>>350
ああ、そうだった。Thx。

local ringとDVRを混同しては、いけません。

基本的なことでお恥ずかしいのですが，教えてください。
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
これって明らかですか？

「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積」というのが
剰余群 G/H の演算という意味なら
(aH)(bH)=abH は定義であっては示すことではありません。
むしろ示すのはうまく定義できていることです。

>>354
お答えいただき，ありがとうございます。
G/Hが剰余群であるためには，Ｈが正規部分群である必要がありますが，
ここではＨが正規部分群であるとは仮定していません。
それにも関わらず，(aH)(bH)=abHは成り立つのでしょうか？

>>355
成り立つよ

いや、成り立たない・・・

>>356
証明を教えてくださいませ。
>>357
反例をお願いします。

まずaHの定義は大丈夫かい？

aHbH=cHとする。
c∈cH だから∃h, k∈H s.t. ahbk=c.
するとaHbH=cH=ahbkH=ahbH.
両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
よってaHbH=abH.

これでできてるかな。なんか自分でもすっきりしないんだけど･･･

>>360
きみは根本的にヤヴァイ

確かにヤヴァイな・・・

やっぱり？
でも何がヤヴァイのかわかんない。
冷静にもう一回見直してみます。

＞aHbH=cHとする。

>>364
それはない
>>353には
>Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。
とある。

ちゃんと証明書こうかと思ったんだけど・・・
それ以外に変なところがないならやめる
何かまだ問題ある？

>>366
ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここ。それよりこうやったほうがいいとおもう。
aHbH=cHとする。 ab∈aHbH=cHだからab=chとなるh∈Hがとれる。
∴abH=chH=cH。

>>353も当然おかしいのだけど、そのおかしさにそのまま乗ってしまっている。
というか>>354で終わりだと思うけど。（具体的には定義通り計算してwell defを確認するだけ）

>>367
うわぁ・・・

>>367
＞ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.

どこがまずいの？

>>368
353のどこがおかしい？

>>367
どうまずいのかよくわかんないけど･･･
確かにそのほうが簡潔でいいね

何を出発点にして何を示す必要があるのか
もう一度じっくり考えたほうがいいよ

出発点は独自性０でいいっていうか
むしろ０じゃなきゃ駄目なわけで
つまり教科書を読め、と

やっぱりちゃんと確認しながらいきますか
方針は>>367を拝借することにした。
以下Gは群、eをその単位元とする。

定義：
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}

命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.

主張(>>353はこれから従う)：
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。

証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H.　　　//

釣りじゃなさそうなんでレスするか・・

>>353
>「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
>の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
>a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」

↑この文章を素直に上から読んでいくと
>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ところがそもそもその積の定義というのは
>(aH)(bH)=abH　（←この式を☆とする）
であって
これ自身は証明すべき対象ではない
問題というか確認すべきことは☆が定義となっているか否か（well defined）
つまり剰余類の積が類の代表元によらずに定まるかどうかを見る必要がある

それにはc,dをそれぞれa,bと同値なGの元（すなわちaH=cH,bH=dH）として
(aH)(bH)=abH ならば (cH)(dH)=abH となることを確認すればよい。
（この確認作業のときにHが正規であることが生きてくる）

つまり>>353は主張になってないわけです

>>375
374の定義のところに書いたのを左剰余類の定義としたのだが・・・

間違い
正しくは左剰余類の積の定義

いや、それも違った
部分集合同士の積の定義だ

それで、二つの左剰余類を部分集合としてかけたとき
たまたまその結果がまた左剰余類になっていた、という仮定でしょ？

連続でｽﾏｿ

374の命題2でHは部分群ではなくて部分集合だった

ＨＫってのはただの集合の話（演算ではない）
aH・bHってのは集合G/Hに新たに導入した積「・」の話

cがあるもないも、(aH)(bH)と表記した時点で
新しい演算を用いてるんだよ。で、その新しい演算の定義が
(aH)(bH)=abHそのものなの。
(aH)(bH)=何々=abHなんてイコールの間に何かあっちゃダメなの

あーだから見た目の親しみ易さから離れて
写像Fを

F：G/H × G/H　→　G/H
F(aH , bH)：=abH

と定義するって書けばいいのかな
このときFがG/H × G/H上の写像として定義されるためには
a,bによらないことを示せば良い
ってこう書いたほうがいいか

後は他の人に任せる

でも、G/HはGの部分集合族でしょ？
だからaHとbHの部分集合としての積が考えられる。
その積はまたGの部分集合になるが、
それがある左剰余類に一致していたと仮定している。
だからそれをcHとおいた。
それで何がまずいのかよく分からない。

そもそもG/Hの演算なんて始めから考えていない。

群論というより、同値類や商集合のお勉強からしたほうがよいのでは？

わかった

>>375の
>>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
>と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ここが間違い。

そもそも、どういう文脈で出てきたの？
教科書名は？

>>383
他の人に任せると言ったが、こんなレスを見ては・・・
嫌味じゃなく本当に勉強し直したほうがいい
ルールを知らず参加してもしょうがない
能力の問題ではなく参加する姿勢の問題

あのね、集合が二つあったときに自然に積が考えられるなんて
どの数学の本にも載ってないと思うよ

>>375
あと
>ところがそもそもその積の定義というのは
>>(aH)(bH)=abH　（←この式を☆とする）
>であって
ここもたぶん違う

>>388
Euclid空間では普通に部分集合の和を考るし
一般の群でも正規部分群の積なら考えられる。
そのアナロジーで>>374のように定義するのは自然だと思ったんだけど･･･
自然かどうかは感覚の問題だからあまり拘ることじゃないかもしれないが

>>388は>>383に対するレスね

まあ、一般の部分集合の積を考えることを否定するというのなら
>>353の質問が意味をなさないという主張は当然だと思うけど、
そういう考え方は全く思いつかなかったもので。

あとはもう質問者本人が登場してくれないとしょうがないですな。

今線形代数のプリント見たら

群Gの部分集合S, Tが与えられたとき、Gの部分集合STを
ST={st; s∈S, t∈T}
と定義する。

と書いてあった。
これが頭のどこかにあったのかな。

>>388
群の場合は？Ｇを群としてＨ，Ｋをその部分群としたら
ＨＫは自然に積を考えるでしょ。

非常にどうでも良い事で盛り上がってるな・・・

4次の対称群 S_4 を考えたときに、その位数は 4! = 24 あると思うのですが、
4 はその対称群にとって、何という名前の数ですか？
次元?次数?
英語では何というのでしょうか？

>>395
たぶん次数でいいと思う
英語ではdegree

レス読み返して勝手に纏めてみる

群Gのべき集合P(G)には元同士の積全体のなす集合として積が入る。
これによりP(G)は半群となる。
このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。

漏れはここまでは暗黙の了解とみなして言及せず、>>360を書いた。
>>361以降でそれはおかしいという人が出てきた。
彼（等？）の主張はそもそもP(G)に演算など自然には入らず
>>353は問題として成立してしないというものだったようだが
漏れは彼等も上記の読みを了解していると思い込んでいたので
話がまったくかみ合わなかった。

こんなところか。
しかし>>383とか>>389とか、かなり必死だなｗ

で、結論は？

>>396
どうも。
degree っぽいですね。

>>397
Hがnormalじゃないときの
(aH)(bH)∈G/H の証明をおながいします

なんかすごいことになってるね。
　
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
　
ともかくさ。この文章が要求してることは
∃c (aH)(bH)={xy|x∈aH,y∈bH}=cH⇒cH=abH
を示せっていってるとしか思えないけどね。つまりまあ、>>397さんのいうとおりなんだが。
“問題文中に(aH)(bH)の定義がない！”とかいえないこともないけどこれはさすがに
{xy|x∈aH,y∈bH}以外かんがえられないし左剰余類といえばcHの形にかけるGの部分集合と
いうのが一般的解釈だろう。たとえばこれが定期試験ででてできなかったとき
さっきみたいないちゃもんつけてもふつうとりあってもらえんだろな。

>>400
？？？
それは一般には成り立たないでしょ

>>401
＞＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここのどこがまづいの？

>>403
いや、いま読みなおしたら問題なかった。へんないちゃもんつけてｺﾞﾒｿ。

そろそろその話は止めない？簡単な問題だけど、口直しになる事を期待。

（問）Gを有限群、Hを部分群とし、a,b,c∈Gを固定する。
double cosetsをHaH=∪_iHa_i, HbH=∪_jHb_j, HcH=∪_kHc_kと表す時、
#{(i,j)|Ha_ib_j=Hc_k}はa,b,cに依存する事を示せ。

a,b,cに「のみ」依存する

>>402
ではもう一つ
集合Ａが半群であることの定義は？

３６０と３６７は本当にもう一度勉強したほうがいいよ
数学の方法論がわかってないから

まだわかってないのがひとりいるね。

>>408
オマエガナー

>>360 >>367のほうがまともだね。彼らがおかしいと言ってるやつらは
「剰余群の定義」の話と混同してるんだろ。それで「漏れはちゃんと定義しって
るもんねー」見たいな感じでいい気になってるんだろ。
>>408がその口の代表！
最初の問題（>>353）よく読め！

>>353
貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
『Gを群、Hをその部分群、{a,b,…}をHを法とする左完全代表系とする。
　このとき、代表系の任意の元a,b　に対して　aH・bH = abH が成り立つならば、
H はG の正規部分群である。』
証明）　上の関係式より (b~Hb)H ＝ H を得る。（但し、b~はｂの逆元を表す)
　H は G の部分群より、b~Hb は H に含まれる。これより、代表系の元は
Hの正規化群の元であることがわかる。
　次に、Gの任意の元ｇを取ってきて、ｇ＝ah とする。（すなわち、
ｇはHを法とするaのcoset の元とする）　このとき、
g~Hg = (ah)~ H(ah) = h~a~Hah = h~Hh = H .
よって、ｇもHの正規化群N(H)の元となり、G=N(H)　といえる。これは、
H は G の正規部分群であることを示している。
　メデタシ、メデタシ！！　　　(完）

>>407
写像f:A×A -> A　で任意のa,b,c∈Aに対して
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
を満たすものが与えられていること

まさかP(G)にそんな写像が与えられてないなんて言うんじゃなかろうな

>>412
>貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
その言い方は変では？むしろ
「G/HがP(G)の部分半群となることとHが正規であることが同値」
とか
｢主張が成り立つならばHは正規である｣
とでも言うべきだと思うのだけど。

>>353
明らか。

aH・bH ∋ab
仮定および上記より、aH・bH はabを含む左剰余系になる。
∴　aH・bH = abH

>>415
あ、ほんとに明らかだ

すっきりしますた

訂正：１行目のNは、H の間違えです。どうもすみません。

お馬鹿な人達も増えてきたんでそろそろちゃんとした話を書きましょうか

G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
ためには H が正規部分群であることが必要十分。奇しくも >>402 において自分自身で
それを示しているのだが。ところで >>397 や >>374 などでは G/H を半群と仮定しているので、
実はその時点で H を正規部分群としているわけである。
ここで「 H が正規部分群である＝任意の a∈G に対して aH=Ha　（※）」に注意

集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。その積の定義が
(aH)(bH)=abH である。
ここで問題なのは積が well defind かどうかということのみ。 Hが正規部分群なので、集合と
して aHbH=abH なのは当たり前。実際 ahbh'∈aHbH とすれば、（※）よりある h''∈H があって
hb=bh'' となるから ahbh'=abh''h'∈abH 。逆も同様で abh∈abH に対して bh=h'b となる h'∈H
があるから abh=ah'b∈aHbH 。
（３６０派は一生懸命 aHbH=abH を計算していたが、Hの正規性を認識できていれば
こんなのは当然のこととすぐわかったはず）
また積が G/H 上で well defind であることを見るには、aH=cH , bH=dH である c , d に対して
c'HdH=abH となることを確かめれば良いが、これも H の正規性を用いればすぐわかる。

結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
という非常に基本的な事柄である。
これがわかってないから >>353 を変に解釈して元々当たり前のことを
問題として設定してしまい、必要のない計算までしてしまう。

夏休みなので教科書を初めから読むなりして下さい。

>>397
＞このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
＞通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。

G/Hが半群＝積について閉じてる＝Hが正規＝剰余集合は剰余群
となるのだから↑の２行目は同じことを言ってるっていうか、すでに１行目に答えを含んでる

この場合は半群であることはイコール群ね

>>419
だからそれを証明しろという問題でしょ

>>418
＞ G/H において閉じているためには H が正規部分群であることが必要十分。
を示す問題が>>353だと気付かないなんて、救えない。

>>418の
c'HdH はミスです。
c' じゃなくて c でした。

群の演算から群のある部分群による剰余類の空間に演算が「誘導」されるのは
部分群が正規なときだが、元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
どうするつもり？>>418

>>422
違うじゃん。>>353では「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する」ってしてるんだから
ここでHが正規だと仮定してるでしょ

正規でなければそもそも演算など入らないと言うつもり？

>>425
その仮定が、H が正規と仮定するのと同値 というのを示す問題。
頭大丈夫？

>>424
＞元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
＞どうするつもり？
何を言ってるのかよくわからない。
元の群とは G のこと？
そして元の群とは関係のない演算とは？
またその演算は何と何を処理するもの？

>>426
G/H上には入らないよ。正規じゃなくても
たんなる集合としてaHbHは考えられるけど
それがG/Hに入るかは別問題

>>428
ぷ。君は一つの集合に入る群演算は天賦のもので唯一つとでも言うんだね？

>>429
香具師は P(G) 上に入るっていってるんだと思うが・・・？
んでそれが G/H に入る条件が正規ということであり>>353という問題になる。

>>428
たとえば
H<Gが正規でないとしてG'を別の群とする時
全単射G/H -> G'
によってG/HにGと無関係な演算を入れたらどうか、
というように読んだ。
でもそれってここでの話とは関係ないよ･･･
Gから誘導される演算しか考えないのが前提でしょう

>>429
あ、そうか。失礼
でもP(G)には入るよね
それで部分半群云々と言う話になる

>>427
>>353をそう読むとしたら日本語を独自に解釈し過ぎてる
大学の教官にでも同じこと聞いてみな

>>432
いや、>>418のあまりにも狭量な見解にどうしても言いたかったので。

>>431
G/Hが半群（G/H内で積が閉じている）ならば
ってはっきり書いてあるけど

>>434
関係ない話をすることが狭量じゃないことなのか？

>>433
おいおい；

G/Hが半群って書いたらもうHは正規だって言ってることになりますよ

>>436
関係なくは無いだろう？>>418には
＞結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
＞また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
＞という非常に基本的な事柄である。
なんてことが書いてある。

>>435
どこで書いたか覚えてないけど
正しくはP(G)の部分半群ね
紛らわしい書き方をしてたなら悪かった

>>424の「どうするつもり？」が全く意味不明なんだけど

元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
今回の場合に何がどうなっちゃうわけかね

>>440
紛らわしいというか、今の場合それは決定的に状況が異なるよ

>>353が入れ食いっぷりに笑ってます

>>441
もともとの>>353を忘れたの？ 剰余類の積が剰余類になるってかいてる時点で
その「積」が何なのかって事から話がこじれたんだろうに。

>>442
もしかして>>419に書いてあるもののことを言ってる？

>>439
積が具体的に書かれてるのにか？ｗ
aHbHとまで書いてあって「どんな演算が入るかわかんねーぞ」
とか言うのなら降伏します

>>424
>元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
>どうするつもり？>>418

どうもこうも積はaHbHだって初めから書いてあるじゃんよ
だから関係ない話だってのに・・・　はあ

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/2ch.html

>G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
ということはP(G)に演算が入っていることを仮定しているのではないかと思う

>>446
ちゃんと嫁。積が閉じているという仮定の後 (aH)(bH)=(abH) とは書いて
あるから、「積」は P(G) における自然な積のことだろう。
と考えるのが自然で, 漏れもそう思う。

で、そこで G/H における(G から誘導される)自然な積だと言い張ってるのが
>>418なわけだ。
漏れは、>>418に落ち着いて問題を把握しろと言いたいだけ。

>>447
あのな、剰余類の積と書いてあるのを G/H に入った積と思い込んでる
>>418 に「それしか積が入らないのか？」と訊くのが「関係ない」のか？

>>451訂正
「H の正規性を仮定して」G/H に入った積と思い込んでる

>>450-451
ある集合に様々な積を入れられる可能性があることと
それらを考察する必要性は別の話だと思うけど
あなたは後者を言ってるわけだよね、「関係ない」ことを否定してるのだから
それならば今回の場合に様々な積の可能性を考察することが
どう関係してくるかを具体的に書けばいいと思う

蛇足ながら漏れがいってる aH と bH の積は

P(G)における積：aHbH={ah_1bh_2 | h_i ∈ H}
G/H における積：aHbH=abH （こちらは H が正規でないと well-defined じゃない）

剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。

そのうえで、G/H が P(G) の積で群になるなら aHbH=abH 若しくは同じことだが
H が正規となることを言えと言う話が >>353 だろ。

というのが漏れの主張。

（ａＨ）（ｂＨ）＝ｃＨならば（ａＨ）（ｂＨ）＝ａｂＨを示せ。

ちなみに
＞剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
＞「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。
ここでいう aHbH は P(G) における積という意味でいってるのでは無い。
aH・bH とでも書いておいたほうが良かった・・・。

>>418
>G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
>ためには H が正規部分群であることが必要十分。
ここは正規でなくてもG/Hより大きい集合、たとえばP(G)
の中では演算が考えられることを示唆している。
それは大方の見解と一致してるし異論はない。
たぶん>>418本人もP(G)における演算を考えていたと思う。

>集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
>（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。
つまり何度も出てきているように
G/HがP(G)の部分半群⇔Hが正規
である。ここも全くその通りだと思う。

それにも拘らずこれに続いて
>その積の定義が (aH)(bH)=abH である。
とある。
いきなりP(G)の演算がどこかへ消えてしまっている。

どういうことなのか説明してほしいのだが

>>456
それは積と呼ばなくてもいいけど積になるよね？
P(G)上の二項演算でしょ

>>353だけでなく>>353-355と読んだほうがいい

ごめん、読み間違い

>>458
ごめん。だから、単に漏れが P(G) における積というときは、>>454 の
上のほうでことわった「自然な」積の意味のつもりですた・・・。

てか、肝心のおヴァカ>>418が他に発言したのはどれとどれ？
それとも逃げた？

レベル低いね、このスレ。

>>361以降で異議を唱えているのはほとんど418なのかな？
一昨夜の人はなんとなく違うような気もするが

>>463
漏れのせいかな
だったらｽﾏｿ

>>427
>>355

>>465
何が言いたいの？>>353では H の正規性が仮定されて無いのに
なんで正規でないと成り立たないような条件を証明するの？って
>>353は訊いたんだろ？
そこにアンカーをはることで、何の意味が存在するの？

>>459
あれだろ、>>354が間抜けなことを言ってるってことだろ？

で、>>418の言い訳マダー？

３５３＠こんなに伸びるとは・・です。
みなさん，レスありがとうございます。
元の問題>>353は，「代数系入門」松坂和夫著（岩波書店）p65の演習問題の１１番
がベースになっています：
『Ｈを群Ｇの部分群とし，Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積は，Ｈを法とす
る１つの左剰余類になるとする。そのとき，ＨはＧの正規部分群であることを
示せ。』ここで，集合Ａ，Ｂの積ＡＢは，ＡＢ={ab｜a\in A, b\in B｝と定義
されています（p62参照）。
この問題の答えがp347に書いてあります：『問題の仮定が成り立つならば，任意の
a,b\in Gに対して，当然(aH)(bH)=abHでなければならない。・・・』
これが私が尋ねた問題です（１時間考えても証明できなかったので，本当に
成り立つのか疑う方向に頭が逝ってしましました）。

結論としては，>>367で私は納得できました。
Infinitely many thanks to all of you, especially >>360

ほとんどの奴は、問題を正しく認識することすら出来てない。
>>415が正解だよ。

>>470=>>415

>>415をもう少し丁寧にやったのが>>367

>>471
はずれ。

結局のところwell-definedが問題なんじゃないの？

>>474
おまいもDQN。

あほくさ、オレはもう降りる。
厨房同士で空虚な議論でもしてろ。
お前達にも理解できる内容は久しぶりだろうからな。

晒し上げ

こんなに自作自演が横行しているスレも最近では珍しいね。
しかし、そろそろ自分の愚に気づいてもよいのではないか。>>360

>>477は放置しる！

＞しかし、そろそろ自分の愚に気づいてもよいのではないか。>>360

>>360は正しいわけだが・・。

☆貴方を癒す美女が待ってます（＾−＾）☆
http://endou.kir.jp/yuminet/link.html
http://endou.kir.jp/marimo/link.html

自作自演を堪能させて貰いますた(ｹﾗｹﾗ

もしかして傍から見たら漏れがピエロですか

本日の無料ムービーはホットラインストーリー33と本物！！！素人 2 みゆき１？才
の二本です。素人ハメ撮りならやっぱりここ
http://www.cappuchinko.com/

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/kaz04.html

「自作自演」という言葉は厨房がそれ以外に何も言えなくて困った時に使う物ですよ。

>>477の沙羅氏安芸

自作自演を堪能させて貰いますた(ｹﾗｹﾗ

お前ら釣られすぎｗｗｗ

このスレのレベルを下げる（＝aHbHが積云々のやり取り）
のは程々にして下さい。お願いします。

>>360はピエロというより自作自演野郎ですpu

あんな糞問で100レス以上消費するとは・・。

>>360は、特別にスレをたてることを許すのでそこで一人でやれ。
そもそもお前は数学に向いていないから、この板には二度と来ない
ことをお勧めする。

別に書き込んでも構わないでしょ。
余計な煽りをする人がいるからレスが増えてしまった訳で。その人がいなくなった方が良い。

>>469
質問自体の解答が>>415 で、引用された問題の解答が>>412,
ということですね。

みんな！！違法取立てバカの闇金、八島総業が名前と電番変えて必死だぞ！！
イタ電だ！！！
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【闇金融】違法取立て馬鹿の自称八島総業を叩くスレ！！
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>>492
>>360は別に間違った事は書いてないと思うのだが・・・？
どっちかっつーと、>>418他を書いた（恐らく一人と思われる）香具師が問題で(ry

>>418 は痛いな！！　如何にも上辺だけの知識晒してどうすんの。

（・３・）　エェー　aHbH=abHはあくまで定義であって、証明すべきことは、
　　　　　　　　　　その定義がwell-definedであるこだYO！
　　　　　　　　　　>>360はそこのところが理解できていないないように思うYO！
　　　　　　　　　　G/HはGとHから作られる別の空間であると思った方が
　　　　　　　　　　いいかもNE！

（・３・）　エェー　例えば、こんな風に考えたらどうかNA？
　　　　　　　　　　集合としての全射φ：G→G/HをつくるYO！
　　　　　　　　　　G/Hに積をφ(a)φ(b)=φ(ab)で定義すると、
　　　　　　　　　　これが矛盾のない定義になるということだYO！

５００

>>499
well-definedなのかと。

>>501
（・３・）　エェー　aHという書き方で誤解している人がいるみたい
　　　　　　　　　　だから書き換えただけだYO！

>>498
たぶんそうしてる本が多いんだろうね。
別にaHbH=abHを定義にしてもいいんだよ。
その場合には当然P(G)がどうのとかいう話は不要で、
そのかわりにwell-definednessが証明すべきことになる。
それぐらいわかってるんだけどなあ。

上のほうで散々書いてたのは、
それと同値な別の定義が存在するという話。

ネタにしては中途半端だしなぁ・・・
もしかして本気で議論してる人がいるの？

>>504
漏れは半信半疑ながらﾏｼﾞﾚｽしてたんだけど
もうやめたほうがいいかな

↑自分のことを客観視できないせいでこの有様。アホには限りがない。

360につっかかった方も悪いと思うけどな。

>>503
そんな面倒な定義しなくてもいいだろ。
まったくもってくだらない。
こんなつまらないことしてる暇があれば、先進め。

本筋から離れた議論が続いているが、当人たちは気づいているのか？
「もとの群の演算を左剰余類の間に適用したときに、
たまたま剰余類上の２項演算になったならば」という仮定を
理解していない香具師が多すぎ。

理解してるが、そもそもに馬鹿が多いだけ。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

300代前半の力の入った書き込みが懐かしい。

別に情報クレクレ君でも無い限り他人の書き込みに執着する事もないかと。

Gelfand & Manin によるホモロジー代数の本で
Homological Algebra と Methods of Homological Algebra
の２冊があるのですが、それぞれどういう特色がありますか？

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

Homological Algebraは、Methodsの要約兼続編じゃないかな？
ページ数も1/3以下の薄い本。

>>514
methods は、有志によるセミナーを元に、Verdier 以降の
導来圏/関手、三角化圏を解説する事を目的としている（ようです）。　
もう一方の本は、EMSの一巻だった事から判るように、この分野のsurveyとして、
（特に前書に比べて）D-modules 等応用面を中心に書かれています。
（こんなんでいいですか？）

ｎ次一般線形群の定義がよくわからないんですが、、、
教えてください

わからない問題はここに書いてね124
に書くのでここへレスをつけないでください。
たびたびすみません。

丁寧に報告してくれてありがと。　了解した。　いや、自分にゃ答えられないが。

保守

保守ったら雨の日にでもageろ。

Macauley
これってどう発音するの？

マコーレー
シンギュラー
マグマ
パリ/ジーピー
ギャップ
リサ/アジール

Hecke L関数についてのシツモソです。χをHecke指標とするとき
Hecke L関数 L(s,χ)の領域 1/2≦Re(s)≦1 についての評価式ってなんかありませんか？
できれば多項式P(t)かなんかで |L(s,χ)|≦P(|s|) とかなりたっててほしいんですが
手元の教科書(岩波の基礎数学の数論１、２、３)にはそういう評価式のってません。
Dirichlet L関数の場合はそういう多項式がとれることは知ってるんですがおんなじ
証明は通用しないようです。成立すらしないのかもしれませんが。
どなたか見覚えあるひといませんか？

修論ですか？

いえいえ、修論カンケーありません。てか整数論専攻ですらありません。
まるで関係ないジャンルでもないんですが。今しりたいのは素数定理の誤差項、
|π(x)-x/logx|みたいな項を上から評価してやりたいのです。ランダウの記号とかで
じゃなくて具体的な数字で。π(x)の誤差項を２、３日前からチャレンジしてて
それはもうできそうなんですがついでなので同じことをチェボタレフ密度定理とかでも
できないかなと思って。でオレの知ってる誤差項の表示つーのがζ関数とかL関数の
1/2≦Re(s)≦1における上からの評価を利用する証明でおんなじ事がHeckeL関数でも
できないものかと思って。オレの知ってるチェボタレフ密度定理の証明っていわゆる
池原-Winner-Landauの定理を使う香具師でそれだと誤差項を計算するのが大変
（というかできるのかどうかすら不明）なのでζとかDirichlet Lと同様の方法がつかえない
ものかと思って。

525の質問に答えられる奴はおらんのか?

>>528=525

ほしゅ。

hoshu

くだらないことですが、 adele の名前の由来は何ですか？

だいあごなる

代数勉強したいのですが入門書にはどのようなものがいいんでしょうか？
みんな○○群や○○環など専門的な本ばっかりで何を初めに読めばいいのか・・

>>534
シャファレヴィッチの代数学とは何かでも読んどけば？

代数入門とかいう類の本が普通にあるだろ

代数の入門書って、詰まらない事多いよね。代数概論とか、最低。
道具を要領よく解説する、という側面ばかり拘ってるというか。
それもまぁ、いいんだけど、センスの無い人がやっても・・・って感じ。

同感。よくある例：
「1.1自然数」...「2.1有理数」...
はぁ？
「1.1正多角形」...「2.1ユークリッドの正多面体」...
折紙遊びしてる暇はねえんだと小一時間

>>538
はぁ？

>>538は小学生。これは定説。

>>537
なら君が書くならどういうふうに書くの？

>>302
ブルバキの可換代数に載ってた。
さすが、ブルバキ。スマートに証明してた。

>>542
担当は Serre?

すごく初歩的なことですけど、0 とある自然数との最大公約数はどういう風に定義されているのですか？
たとえば、 3 と 0 だと gcd は 0?
あるいは、そもそも 0 に対して、 gcd は定義されていない？

>>544
gcd(3,0)=3だよ。
3と0両方を割り切る（絶対値が）最大の数は3だから。
または3Z∪0Z=3Z∪{0}=3Zだから。

>>545
返事どうも。
0 にも gcd は定義されているのですね。

>>545
下の行は少しおかしい。
gcd(3,5)=1だが、3Z∪5ZはZではない。3Z+5ZならZだが。

>>547
∪じゃなくて∩だろ

>>542
どんなステートメントが証明されてたの？ステートメントと証明されてる場所キボン。
できれば証明もキボン。

>>547
ほんとだ。フォローサンクス

>>548
君が最小公倍数を求めたがっているのはよく分かったが、
残念ながら今話題にされているのは最大公約数だ。

>>551
ﾊｧ？

>>552
お前は 3Z∩5Z = 15Z から何が求まると思ってるんだ？

>>548=>>552は、∪と∩を逆に覚えていたというオチですか。

>>552
ﾜﾗﾀ

PIDであってユークリッド整域でない環は？

Z[√29]とか

２つの自然数の最小公倍数と最大公約数の間には
最小公倍数×最大公約数＝その２つの自然数の積という関係があるが
３つ以上の場合、綺麗な関係は見つかっていない

>>558
別に綺麗でも何でもないがな。

行列環はネーター環またはアルティン環になるでしょうか？
簡単な理由を添えていただけるとありがたいです。

>>560
一般には可換環にすらならないのだが・・。

>行列環はネーター環またはアルティン環になるでしょうか？

Rのnoether(or artin）性とM_n(R)のそれは同値。
両者の両側イデアルに一対一対応があるから。

>>562
ぷぷっ


クリスタリンヌコホモロジーあげ

>>563

順極限や逆極限を学ぶのにいい本ってありますか？

>>565
弥永・小平「現代数学概説」で用は足りると思われ。
それが不満なら、手堅いカテゴリー論の成書（但し、洋書）を紐解いてくれ。

K を体とし、その上の多項式環 K[t] を R とする。
R 係数の行列 F を用いて R^n 上の写像 φ(x) = Fx (x ∈ R^n)を定義すると、
K 上のベクトル空間として、dim[K] R^n/Imφ = deg det F
(dim[K]: K-ベクトル空間としての次元)

これがどうしてなのか分かりません。
堀田良之/代数入門 -群と加群-, 裳華房, p.81(2.§13.ジョルダン標準形)からです。

もしかして一般に単項イデアル整域 R と R 係数の行列 F に対し
R^n / F(R^n) 〜 R / (det F)R (〜:同型)が成り立つのかなとも思ってるのですが。
どなたかご教授ください。

>>567
RがPIDなら任意のF∈Mn(R)についてP,Q∈GL(n,R)を
PFQ=diag(f1,f2,･･･,fn) fi∈R,fi|f(i+1) を満足するようにとれる。
(ただしdiag(f1,f2,･･･,fn)はf1〜fnを対角線上にならべた行列。
R=K[t]ならRはPIDでかつ任意のF∈Mn(R)についてP,Q∈GL(n,R)に対し
dim R^n/Im(Fの引き起こす写像)=dim R^n/Im(PFQの引き起こす写像)
deg det F=deg det PFQ なので最初から対角行列のとき証明できればよい。
そしてそれは容易。

>>568
ありがとうございます。

# 件の本を読んだことのある方がいればお聞きしたいのですが、
# これくらいの行間は埋められないと、この本を読むのは難しいでしょうか？

代数学の基本定理
ヒルベルトの基底定理
ヒルベルトの零点定理
留数定理
コーシ・リーマンの関係式
晒しあげ

（A,ｍ）：North local ring　 A：C-M ring　 ：ideal
htI=r のとき
a1,・・・,aｒ∈I s.t ｈｔ（a1・・・,ai)=i (1<= i <=r)　とa1,・・・,arが取れる

とあったんですが　いまいちわかません
どうやって取るんですか？

>>571
Northって何？ ネーターのことならカタカナで書いてくれ。
それはC-M でなくても一般のネータ−環で成り立つ。
ht(a1・・・,ai)=i　(i < r) となる a1,・・・,aiまでとれたとする。
(a1・・・,ai) の極小素イデアルで高さ i のものを P1, P2, ... , Pk
とする。I の元 a(i+1) でどのP_j にも含くまれないものがある。
ht(a1・・・,ai, a(i+1)) >= i + 1 となるが、Krullの定理より、
ht(a1・・・,ai, a(i+1)) = i + 1　がいえる。
これから帰納的に a1,・・・,arが取れる。

>>571
>>572
North って Noether のことだったのか？

てか571は宿題丸投げっぽい。記号の使い方とか雑すぎるし。

>>572 さん返レスありがと
再度質問なんですが　４行目の　「高さｉ」　の部分がピンときません
ただの極小素イデアル　ではだめですか？
あとの部分はわかりました　

>>573 すみません　スペルまちがってましたね　以後気をつけます　m(_ _)m
>>574　宿題じゃありません　自主勉です　記号勉強し直してきます
　
　

>>575
ただの極小素イデアルだと高さが i より大きい可能性がある。
これだと I が (a1・・・,ai)の極小素イデアルの和集合と
一致するかもしれない。だから a(i+1) が取れるとは限らない。

どうやったらネーターをNorthと書くんだろう

>>576
ありがと　高さが大きい可能性があるか　そうでつね
>>577
Noethと書こうとオモテマシタ

>>577
eのとなりにrがある

>>578
念のために言うと>>572の以下の主張は自明ではないよ。

>(a1・・・,ai) の極小素イデアルで高さ i のものを P1, P2, ... , Pk
>とする。I の元 a(i+1) でどのP_j にも含くまれないものがある。

体とガロア理論の「RのQ上の超越次元が連続体の濃度を持つ」（p.308）というのが分かりません。
RのQ上の超越基底をB、その濃度をｂとするとき
「（Bが無限集合なら）B×B×・・・×Bの濃度もｂになる」
という事が書いてあったのですが、一般に無限集合の有限個の直積の濃度は元の集合の濃度と
同じでしょうか？それともここではBが可算か連続体の濃度を持つと仮定してるのでしょうか？

>>581
集合の濃度なんて数学にはあまり役にたたない。
深く考える必要ないよ。スルーしたほうがいい。

>>581
確か0<a≦b ,bは無限とするとab=bになるから
一般の無限集合でもいいはず。
証明は忘れてしまった。

>>581
583もいってるように一般の無限集合でも大丈夫。
ただし選択公理が必要になる。
証明はどんな集合論の本にも書いてある
（たとえば松坂「集合・位相入門」）

>>582
気持ちはわかるけど「あまり役に立たない」っていのは言い過ぎでは？
たとえば、Q上超越次元が連続体の濃度の代数閉体は全部Cと同型っての
は自分としては結構面白いしと思うし、基礎知識だとも思う。

>>582
べつに個人の自由だから止めはしないが。
濃度の話はすぐ基礎論の話に結びつく。
これを深く追求すると、結局、基礎論に行くことになって、
本来の数学とはあまり縁がなくなるんだ。

>>582-585
参考になりました。ありがとうございます。

Elements of Abstract and Linear Algebra
http://www.math.miami.edu/~ec/book/
これどう思いますか?

卣 増健関を１位に（現在、高見盛を抜いて２位） 卣
http://vote.mallkun.com/cgi-bin/1/comvote.cgi?id=kuku

相撲板から来ました。現在、力士の人気投票をおこなっています。
増健（ますつよし=通称；ぞうけん）という,競馬とパチンコをこよなく愛する
ギャンブラー力士・十両力士へのご投票にご協力をお願い致します。
みなさんの１票のお力添えを、どうかどうか、よろしくお願い申し上げます！

大数が苦

音が苦

>>587
ざっと見てみたけど、ちょっと変わってるね・・・。
具体的には抽象化のレベルがちょっと変だと感じた（無意味にカテゴリー論的
な記述がされているところとか）。
Computer Scientist が書いた本のようだね。
あなたが普通の数学をやりたいんだったら、もっと別にいい本がいくらでもあると思う。
コンピュータサイエンスをやりたいんだったら、もしかしていいのかもしれんが。

　　　　　 　　　　　 　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（|＿（|　　(-＿-　)＜　 保守すんねん。
（．　．＼ ⊂　　　）＿＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（● ノ　 ￣ノ　ノ　　　川
　　　'''|｜ (|_＿)ー|｜｜川
　　　（_（＿_）　　（_(＿_）

27

189 名前：某D 投稿日：03/05/21 16:23
まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土けん屋にゴツイ
いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる
けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、
もう多元もオシマイや。ついでにワシも。

多様体がnormalって言う仮定は強いんですか？
感覚的にでいいんですけど大抵のvarietyがnormalっていう感覚
は一般的なものなのでしょうか？

>>595
そんなことはない。例えば、y^2=x^3+1はnormalだけどy^2=x^3はnormalでない。

でも　y^2=x^3　ってなんかきれい過ぎませんか？
って思ってたですけど・・・

でもやっぱりnormalって仮定は強いって言う常識はあるんですね。
作ろうと思えばいくらでも作れる、と。

どうもありがとうございました

か、かかかか、かかんかかん

ほしゅ。

ほしゅ。

シツモソでつ
kが体、Aが有限生成k代数のとき∩[I:AのイデアルでA/Iはk上有限次元]I=0
にならない事ってありえますか？

可換環って、未解決の大問題ってどんなのがあるんですか？

275

すみません、質問スレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1073875222/
の44です。
教えて下さい。

>>604
SL(2,F_23):F_23係数の特殊線形群
C={([a 0][0 a]) ∈SL(2,F_23)}
PSL(2,F_23)=SL(2,F_23)/C
α=([1 1][0 1])
β=([5 0][0 1/5])
γ=([0 1][-1 0])
G=SL(2,F_23)とおく。α、β、γで生成される部分群をHとする。
まずx∈SL(2,F_23)について
x∈H⇔xα∈H⇔αx∈H⇔xβ∈H⇔βx∈H⇔xγ∈H⇔γx∈H
に注意しとく。x=([a,b],[c,d])をとる。x∈Hをしめす。
(i)a=d=1、b=0のとき
F_23=Z/(23Z) :位数23の有限体
乗法群は(F_23)^×=<5>、つまり、5で生成する巡回群なので
β^k=([-1 0][0 -1])となるkがとれる。
γαγβ^k=([1,0],[1,1])
なので(γαγβ^k)^c=([1,0],[c,1])=xなので桶
(ii)b=0のとき
a^(-1)=5^k (mod 5)なるkをとれば
β^k=([a^(-1) 0][0 (-a)^(-1)])=([a^(-1) 0][0 d^(-1)])となる。よって
x(β^k)=([1 0][c/a 1])∈H (∵ (i)) ∴この場合も桶
(iii)a≠0のとき
-d/a=k (mod 5)なるkをとれば
x(α^k)=([a 0][c d-ck])∈H (∵(ii)) ∴この場合も桶
(iv)a=0のとき
このときb≠0。よって
xγ=([-b a][-d c])∈H (∵(iii)) ∴この場合も桶
以下ry

>605
今、消化し終えました
ありがとうございます

自己レスでつ
>>601は解決しました。森田先生の｢代数概論｣（裳華房）の練習問題に
Rがnoether、mがRの極大イデアルのとき∩[n:自然数]m^n=(0)ということが成立するって
のがあってそれつかったらできました。

193

a,b,c,d,e(c>0)を整数とする。
gcd(a,b)=d,gcd(ca,cb)=eならば、
(1)eはcdで割り切れることを証明せよ。
(2)cdはeで割り切れることを証明せよ。
(3)cd=eを証明せよ。

簡単なのにわからないんで・・・すみません・・・。
これが出来ないと落第してしまうんです。。。はぁ。。。

>>609
マルチポストすんな死ね落第しろ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1075565264/269
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1075025294/855
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/609
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1069576920/58
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1047611920/47
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1076079149/378

現代数学のとこにもポストしてんのは、
「代数学」ってスレタイに入ってたからみたいだな。

代数体 F上の non-CM 楕円曲線 Eと素数 pに対してLを Fに、Eの総ての pべき分点を添加した体とする。
Mordel-Weil群 E(L)の非p-torsion部分が、有限群となることを簡潔に解説せよ。
また、この有限群の位数に現れる可能性がある素数は、Eに対して定まるある有限個の素数であることを証明せよ。

どなたか自信有る方おねがいします。

ジョルダンヘルダーの定理などを学びたいんですが、なにを読めばいいですか？

エロ本

保守。

森脇ネタツマンネ

保守。

856

hoshu

2

variety と manifold は、どうして同じ「多様体」という訳語が割り当てられているんでしょうか？

manifoldはゲルマン系。ドイツ語ではmannigfaltig, 名詞はMannigfaltigkeit.
varietyはロマンス語系。フランス語ではvarie'te'.

要するにworth(ゲルマン系)とvalue(ロマンス語系)のような英語の二重語彙。
日本語ならば「ひとつ」(やまとことば)と「一」(漢語)のようなもの。

>>622
戦争を挟んで世界の数学の中心がドイツからフランスに変わったことと
関係あるんでしょうかね。丁寧な解説どうもありがとうございました。

age

つーか、群Ｇの中心Ｚ（Ｇ）とか正規部分群ってなによ。
定義は分かるし演習もそこそこいけるが、
いったい何でこんな事言い出したのかがわからん。

>>625

代数学の初歩。。。。。。。でつまずいた。。。。。。。。 　From：福田和也|patriot.kwansei.ac.jp
04/04/16(Fri) 12:44:56 No. 9794 / 21 [RES]

群Ｇの中心Ｚ（Ｇ）とか正規部分群って何ですか。
定義は分かるし演習もそこそこいけるけど、
いったい何でこんな事言い出したのかがわからないです。

http://yuki.to/math/prybbs.html
マルチポスト

>>625
コピペで口調直してるんだねｗｗちょっと恥ずかしいよ

まー別の掲示板なんだし、マルチポストってさらしあげるのは
いかがなものかと。

>>626
例えば、Gを群、Hを部分群として、その剰余集合G/Hが群に
なるためにはHがどのような性質を満たさなければならないか
ということを考えるよろし。

>>628
いや、それぐらいならさすがにわかる(^^;
群って変換の集まりなわけでしょ？中心の元がどのような
性質の変換なのか、具体的な例に演繹しようとしてもさっぱりわからん。。。。。

>>629
１からやりなおし

代数学の究極の目的は何ですか?
何を目指して研究がされているのですか?
そこが聞きたい。

>>631
そういう疑問もつ人に逆に聞きたいけど、
数学は何のためにやってるの？

わからんからそう言う事言うんでしょ？
高校時代に居たなそう言う上っ面撫でて
偉そうな事言う奴。

633は>>630

>>629
ならガロア理論を勉強するよろし。

確かに群の中心っていうのはよく分からない。

漏れは冪零群のほうがよくわからない

群マニア　シャイン☆結城に聞け

群 G の内部自己同型群を I(G) とすると、標準的準同型
G → I(G) の核が G の中心 Z(G) だわな。

>>637
冪零群はp-群を一般化したものだろ。有限群の場合はp-群の直積
と思ってればいい。

>>640
ただ冪零群という概念は冪零リー群から来たものじゃないのか？
リー群と有限群というのは不思議な関係があるんで、冪零群は
よくわからないというのが正しいのかもしれない。

代数学と乱数って関係あるんですか？
メルセンヌツイスターとか。

>>642
代数学そのまんまやがな。
ちゃんと解説読んだ？

(@o@) [>>632]逝ってよし！
Re:>>631 代数学を考究する理由として、空間が類似する規則(大体の場合演算規則)を持つ場合に備えて、統一的な議論を先に作っておこうという目的があり、
また、代数幾何のように、幾何の対象を計算だけで研究できるようにしたい、あるいは計算だけで研究する、という目的がある。
まぁ、そう云っている吾自身は解析学が専攻で、代数学の研究よりもより有意義であると考えているが…。

＞逝ってよし！

リアルで使っている人初めて見ますた。

>>644
なんも答えになってねぇじゃん。

Re:>>631 代数学を考究する理由として、空間が類似する規則(大体の場合演算規則)を持つ場合に備えて、統一的な議論を先に作っておこうという目的があり、
また、代数幾何のように、幾何の対象を計算だけで研究できるようにしたい、あるいは計算だけで研究する、という目的がある。
まぁ、そう云っている吾自身は解析学が専攻で、代数学の研究よりもより有意義であると考えているが…。

って書いてるけど、別に日常に必要ねぇじゃん。・・・ってことを>>631は言ってるんだろうたぶん。
お前の発言はなんも説得力ないし、「なんのために複素数やるの？」って高校生に聞かれても、
また小難しい話すんのか？

Re:>>646 大体代数学を研究するmotivationなんて、代数学を知っている人じゃないと分からない。
だが、複素数になると、ちょっと事情がちがうのだ。
複素数は、三角関数の加法定理の証明に役立つ。
そして、渦なし湧き出し吸い込みなしの平面流体は、複素正則関数の議論を使える。

>>647
返信先のレスとお前のレスが全然一致してないな

群に於いてaとbが共役って事は根本的なダイナミズムにおいて同じであるわけ？
a＝（ｘ＾-1）・b・ｘ　　(for some x）
ってことは、ｘを集合G上のラベルの付け替え、（ｘ＾-1）をラベルの復元
ととらえればいいわけでしょ？

線型代数を知ってるものと仮定して。

正則行列のなす群において「中心」は何か。
正則行列のなす群において「共役」な二つの元は（線型代数の用語）で、どういうことになるか。

などを考えてみるのはいかが？＞福田

中心ってのはつまり群の中で共役である元が存在しない。
つまりダイナミズムにおいて個性的であるって事でしょ？

>>650
相似でしょ？って事は基底の変換というラベルの貼替えを抽象化して無視すれば、
２つは同じって事でFA?

>>647
とりあえず代数学より解析学の方が有意義だとか
訳の分からんことをほざいている香具師は
もういっぺん大学一年からやり直したほうが良いよ。

>>650
>>根本的なダイナミズムにおいて
そう意味も無くダイナミズムなんて言葉使わないほうが
いいと思うよ。共役に関しては、或る対象に対する
可逆な操作は群をなすから、たとえば線型代数では
座標変換して考えることだし、もっと卑近な例として
ルービックキューブなら、二つの操作が同種の操作
（例えば隣り合ったエッジキューブを入れ替えるetc.）
であることを表している。

>>650
後半の主張を抽象化すると

a＝（ｘ＾-1）・b・ｘ　　(for some x）
ってことは、ｘを集合G上のラベルの付け替え、（ｘ＾-1）をラベルの復元
ととらえればいいわけでしょ？

になると思うわけだが。

>>654
写像 f(x) = a^{-1} x a は自己同型写像になってる。
同型なんだから、群の元を何らかの対象に対する変換の集まりと捉えた場合、
ラベルの付け替えという表現は(数学的ではないが)イメージとしては、
まあ間違っては居ないかもしれん。
ただ、抽象論においてこれらははあくまで抽象的なもので具体的な意味は無い。
共役や中心という概念は、群を実際に扱っていくときによく現れるもので、
それらを具体的なイメージを持って扱うことは悪いことではないが、
あまり具体的なイメージにこだわると話が進まない。
整数のなす加法群なんてダイナミズム？とはまったく関係なさそうなわけで。
(n に対して『n を足すという操作』を対応させれば関連付けることも出来るけど)

要するに何が書きたかったかというと
〜〜という群においては共役という関係は〜〜ということ、
中心は〜〜であり、〜〜という性質、などと考えるのは良いが
一般に共役とは、中心とは、と考えてもあまり意味無いよということかなあ。
うぱー

で、福田くんは一般線型群の中心はわかったのだろうか・・・

ダイナミズムの人は、正則行列全体のなす群の中心がまだわからないのだろうか。
いや、そんなことはないよな。線形代数ちゃんとやったんだから、あまりに簡単すぎて、
もうこのスレに出てこないんだよな。
きっと後者だよな。


そう信じたいのだが・・・・・・・・

福田と中川ってどっちが下？

劣るとも勝らず、まこと丙丁つけがたい好勝負。

>>659
中川。そもそも奴は数学の話をしない。できない。

こうして、またしても抽象代数学の入門で挫けた若者が発生したわけだが、
まあこの程度で萎んでるくらいでは早かれ遅かれだったか。

λ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　λ　　　Ｏ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　〇　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　λ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
但しλは非零

Re:>>653 数学の専門家は大きく分けて二種類居る。
一方は、自然現象の記述、研究を目的として数学をする者であり、
もう一方は、数理現象の根源を突き詰めることを目的として数学をする者である。
目的の違いによって、何が価値があるかが変わるのは自明だ。

>>663　不正解

俺は、極端に言うと天才的なのと頑丈な基礎を作る、という２種類がいるとおもう。
ヒルベルトとポアンカレとか。グロタンディークとヴェイユとか。

あ、勘違い。失礼、ごめん。

age

>>666
>ヒルベルトとポアンカレとか。グロタンディークとヴェイユとか。

ヒルベルトが天才でポアンカレが頑丈な基礎を作った人なのか？
グロタンディークが天才でヴェイユが頑丈な基礎を作った人なのか？
それとも逆なのか？

ガウディ

>>669
その逆。あと俺の勝手なイメージだけど、ガウス、アーベルは頑丈型、ガロアは天才型か。

>>671
WeilがGrothendieckの上をいく天才ってことはないだろ。

>>671
アーベルがどんな頑丈な基礎を作ったの？

>>672
Weil予想を目指してGrothendieckが基礎固めしたんだからもともとの
ネタはWeilのものだし、鋭さ、冴えはWeilのほうが上だと思う。
それにGrothendieck自身、自伝でのろまなカメのようだったというようなことを書いてた。

>>673
長生きしてたら頑丈な基礎をつくったと俺はおもう。

>>674
予想は１次元の場合はArtinが知っていたし、ｎ次元の
場合を予想するのは難しくない。Weilがいなくても誰かが
それ程遅れずに発見していたと想像するのも自然。
Weilは天才というより超秀才。Weilを尊敬していた谷山でさえ
Siegelのほうが独創性において上と書いている。

＞それにGrothendieck自身、自伝でのろまなカメのようだった
というようなことを書いてた。

謙遜を真に受けなさんな。

＞長生きしてたら頑丈な基礎をつくったと俺はおもう。

その根拠は？ Galoisはどうなの？

２ちゃんねら数学者たちよ、自らの言葉で語るんだ！

Weilの仕事の特徴は過去の偉大な数学者の仕事のアイデアを借りて
それを現代数学に応用することだ。例えばフェルマ、ガウス、
リーマン、エンリケス、カステルヌオーボなど。
Weilの代数幾何の基礎付けは、エンリケスなどイタリアの
代数幾何学者の仕事とファン・デル・ヴェルデンの仕事を結びつけた
ものだ。Weil予想はGaussからヒントを得ている。

>>674

Grothendieck は別の味で神がかりな特異な天才と思う

階乗ってなんていう？
たとえば『２！』って授業中なんていってる？
うちの教授は
『にびっくり』
だけど、いいのかなぁ

バカか？
んなこと、どーでもいいだろ

>>680
おめーがだよ

まじレス
２サプライズ

ちきしょー
コピペだったか
マジレスして損した

可換環論やってた人いる？
それと、永田先生の本、きちんと証明までおさえて、
読んだ人いるかな？
ぼくちん、わからん証明がたくさんあって、
辞書になってました。

>>684
「永田先生の本」ってどの本よ？
可換体論？ Local Rings?

>>685

紀伊国屋からでてた「可換環論」です。

むずい

確かにタイトルは１字違いでも大違いだな

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/852

Ｋ⊂Ｍ⊂Ｌが夫々体で、Ｌ：Ｋが冪根による拡大だが、Ｍ：Ｋは冪根による拡大でない例を教えて下さい。

有名なwaerdenの現代代数学ってどれのことですか？
AMAZONで検索してもたくさんあって、どれのことやら・・・

>>690
たくさんある？
独語版（オリジナル）、英語版、日本語訳のどれかから選べばいいだけだが。

>>690
ちなみに日本語訳は現在絶版。だけど大学の図書館には大抵あるはず。

１と2があるんですよね？

>>693
独語版、英語訳はIとIIに分かれてる。日本語訳はIが1と2、IIが3に対応している。

II は多元環論とかが中心で内容もさすがに古くなってるから、I（日本語訳の1、2）
を読めばいいんじゃないかな。

位数最小の非可換有限環（単位元付き）ってどんなのですか？
Z/2Z 上の2次上三角行列全体？

age

次の問題の証明をどなたか教えてください
(出典は「代数系入門」（松坂和夫著）p81の問題14）。

「Gは有限群，NはGの正規部分群とする。Nの位数ｍと（G:N）は互いに素とする。
ここで，（G:N）はGのNに関する剰余類の個数を表す。
このとき，N={x\in G | x^m=e}．」

>>697
(G:N) は剰余群 G/N の位数でもあることに注意。定義みたいなものだけど。

さて、x^m = e のとき、 x^m N = (xN)^m = N より、
G/N の元として、 xN の位数は m の約数。
一方、xN の約数は当然 n = #(G/N) の約数で無いといけない。
n, m は互いに素だから xN の約数は 1, すなわち xN = N

逆に x \in N とすると、N の位数が m なのだから、x^m = e となる。

> G/N の元として、 xN の位数
xN は一応 G の部分集合になってるので集合 xN の元の個数と
勘違いしないように強調したのだが、しかし普通はそういうのは
位数といわないので誤解の余地は無かった。単に『xN の位数』でいい。

↑何のこと？　って感じなら読み飛ばしてください。
まあ元の位数とか何とかは慣れです。

>>697
「正規部分群」のところをただの「部分群」に置き換えると命題は成り立たなくなる。
反例を挙げよ（カンタン杉？）

>>698
なるほど，納得です。
(G/Nの元としての）xNの位数を計算するわけですか。
あー，こんな証明はいくら考えても自分では思いつかなかっただろうなぁ。
修行を続けます。ありがとうございます。

>>695
位数7以下はｼｺｼｺやれば無いこと示せるね。

>>702
サンクスです。
やっぱｼｺｼｺやるしかないのかな?

>>701
修行したいなら、とりあえず>>700に答えてみて。

単純群は「単純」とはほど遠い。(by ウィキ　(現在も残っているかな？)
単純群はどうして単純という名が付いているのでしょう。

>>705
単純じゃない群はさらに「単純」とは程遠いだろ。
「正規部分群を持たない群」という単純な概念に
「単純」って名前を付けるのはごく自然なことだと思うが。

http://haiiro.info/etc/zukeiquiz.gif

どう考えてもわからない・・

>>707
比を考えましょう

>>700
>「正規部分群」のところをただの「部分群」に置き換えると命題は成り立たなくなる。
> 反例を挙げよ（カンタン杉？）

3次対称群S3の部分群N={σ\in S3| σ(3)=3｝はS3の部分群であるが，正規部分群
ではない。また，（S3:N)=3, Nの位数=(3-1)!=2だから，それらは互いに素。
そして，N={(1 2 3 ->1 2 3), (1 2 3 -> 2 1 3)｝であり，
(1 2 3 -> 1 3 2)\in V={σ\in S3 | σ^2=e} であるから，N⊂Vではあるが，
N=Vではない。

これでどうですか？（３０分かかりました）

証明の方針だけでも教えていただけないでしょうか。
Algebraic Number Theory §2のExercise4なのですが。

Ｄ≠０，１かつ平方因子を持たないＺの元とする。二次体Ｑ（\sqrt{D}）における
判別式d、ＫにおけるＺの整閉包Ｏ_{K}のＺ上の整基底は

d=D　，｛１，\frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } ｝　if　Ｄ≡１（mod4）
d=4Ｄ　，｛１，\sqrt{ D } ｝　if　Ｄ≡２，３(mod4)

で表される。

>>710
ax^2+bx+c=0(a,b,c∈Z)がmonicになるための条件を考えてみそ。

>>709
OK

う〜、考え直します。
レスありがとうございます。

>>713
よっぱらってたら変なレスになってしまーた。スマソ。
二次体の元をa/b + c/d√Dとしたとき、これを解に持つ
二次方程式がモニックになるため条件ということね。

>>712
Thanks a lot. ためになりました。

やっぱり証明していただけるとありがたいです･･･
バカでｽﾐﾏｾﾝ

>>716
(b+c√D)/aをZ上整な元とする。これの最小多項式x^2-(2b/a)x+(b/a)^2-(c/a)^2D
がZ上のmonicな多項式になればいいので、2b/a, (b/a)^2-(c/a)^2D∈Z
b/a∈Zとすると、Dは平方因子を持たないのでc/a∈Z
a=±2のとき、(b^2-c^2D)/4∈Z。このとき、b,cはともにevenかodd
b=2b'+1, c=2c'+1とすると(b^2-c^2D)/4=b'^2+b'+c'^2+c'+(1-D)/4なので
D≡1(mod4)のときのみ∈Z

って感じかな。判別式は自分で計算してね♥

>>717
ありがとうございます。
結局自分何もできてないし...
聞く前にもうちょっと努力してみようと思います･･･

局所環であって、体上の分離的代数であるものは
体になりますかねぇ？

だったと思う。

test

testったらageろ！

教えて
1/2*3/4*5/6*・・・*79/80＜1/9の証明

Re:>723 ここで訊くな。

>>722
age sage の違いをおせぇて。とまず、これはあげておこう。

Re:>725
ageと書き込むのはあまり意味がない。
sageと書いても下がらないが、同時に上がりもしない。

>>726 れすサンクス。
専用ブラウザか、何かの動作に影響するのか？
或は２ch側の表示にでも影響するのかと思っていたが？
少なくともメール欄を開けとけば ID が表示されることには気付いたが。

Re:>727 2chのガイドラインでも見ておけ。

　（１／２×３／４×．．．×７９／８０）＾２
＜（１／２×３／４×．．．×７９／８０）×（２／３×４／５×．．．×８０／８１）
＝１／８１。

代数的整数論の本というと、通常代数体の全整数環しか扱わない物が多いが、
ザギヤの整数論入門はその部分環(整閉でない)も扱っている。
これについて、もっと詳しく書いた本など知らないか？

>>730
東大数学教室セミナリーノートの多元環論だか
ゼータ関数だかの本に割と詳しく載ってるよ。

>>731
＞東大数学教室セミナリーノートの多元環論
って、あの印刷の薄いヤツか？
ゼータ関数の本では知らない。

このスレッドどんなスレッド？
非可換環の話題がないし、
ホップ代数・量子群・無限群・微分ガロア理論等々の話題もない。DGA も。
整数論と代数幾何のスレみたい。

少なくとも、代数に関する全ての話題を必死になって網羅するのが
目的のスレッドではないはずだ。

必死になって網羅したい

スレ立てるまでもない○○の話題を扱うのが○○総合スレという奴ですよ

>>736
では。
マイケル・アルチンの奥さんの名前がナイチンゲール

環Ｒが部分環Ｓ上整であるときＰがＳの素イデアル⇒Ｐの上にあるようなＲの素イデアルは必ず存在する。
の証明がわかりません。できれば詳しく教えてください。

>>738
どこがわからないの？

>>738
証明が分らないのか。真偽が分らないのか？

>>738
DS

1737．代数学の定理の証明について

名前：ゆう 日付：2004年7月4日(日) 16時53分
環Ｒが部分環Ｓ上整であるときＰがＳの素イデアル⇒Ｐの上にあるようなＲの素イデアルは必ず存在する。
の証明がわかりません。できれば詳しく教えてください。
(大学２年)

test

>>582
＞集合の濃度なんて数学にはあまり役にたたない。
＞深く考える必要ないよ。スルーしたほうがいい。

大いに関係がある。高々可算な可換環上の加群の圏の導来圏では
表現定理が成立するが、可算条件をはずすと成立しない。
Brown-Adams 型の表現定理は最近の代数幾何に有効に用いられている。

>>743
ふ〜む、なるほど。面白そうな結果だね。
Mordell-Lang予想がmodel theoryから証明されたようなことも
あったし、先入観はイクナイね。

>>743
そりゃ可算で成り立つが非可算で成り立たない現象なんて
いくらでもあるだろう。俺(>>582)はそういうことを問題に
しているわけではない。集合論における濃度の理論に
深入りしても得るところが少ないと言ってるだけ。
得るところが皆無とは言ってない。

>>754
深入りする必要はないが常識ぐらい知っとけ。

＞結局、基礎論に行くことになって、
＞本来の数学とはあまり縁がなくなるんだ

って>>585で言ってるけど、>>744でも言ったようにMordell-Lang予想
っていう、純粋な代数幾何の問題がmodel theoryという基礎論の
テクニックを使って証明されるというセンセーショナルな出来事があった。
人によっていろいろな考え方があると思うが、おれは細かいことでも
気になることがあったら徹底的に考え、調べるべきだと思う。
集合論だから、基礎論だから深入りせずにスルーしようという態度では
限られたものの見方しかできない。

Ax-Kochen の結果もモデル理論を使っている。

せっかくだから文献挙げとくね。

LNM1696, Bouscaren(Ed.), Model Theory and Algebraic Geometry, Springer

>>748
ついでに Ax - Kochen の定理も。
これは p 進整数環の m 元 n 次同時形式は、m ＞ n^2 の時、必ず自明でない零点を有するだろうという予想を否定的に解いた物(ここまでは他の人がやった)。しかも例外的な素数 p は有限個なる事までいった。 Serre の数論講義に書いてある。

>>745
自分が興味がない物は知ろうともしないし知りたくもないという典型。

>>747-748
そこらへんの結果にモデル理論はどの位本質的に働いてるの？
また、Mordell-Lang予想の方は、（モデル理論的でない）代数体上の証明が、
「関数体上の証明＋モデル理論」
という形に簡略化されたと聞いているけど、それは本当に「簡略化」なの？

質問のニュアンス、分かってくれるかな？

>>746
誰も常識を知らなくていいなんて言ってないだろ。

model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？
それはともかく、濃度の理論を突き詰めたいなら
そうすればいい。別に止めはしない。俺は真っ平御免だがｗ

>>752
＞そこらへんの結果にモデル理論はどの位本質的に働いてるの？

難しい質問だなー(；´Д`)
同じような数学的枠組みで働いているって感じかな？
ただ体裁をととのえただけってのとは違うよ。

>>754
＞model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？

ああそうだね。確かに感覚的にはそんな印象がある。
それだけの見識を持ってるのに・・・
まー人それぞれだね。みんなが同じことをやるのは不毛だからね。

>>751
それがまずいか？

>>754
> model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？
model theory を代数に応用するときに、無限個のものを有限個に落とす議論が
頻繁に出てくるけれど、それは logic の基本定理である完全性定理。

Mordell-Lang 予想への応用が可能になった背景には、与えられた理論のモデルの
分類にかかわる膨大な仕事があるわけで、その端緒となったのが「与えられた理論
が、ある非可算濃度においてモデルが一個しかないならば、任意の非可算濃度にお
いてモデルが一個しかない」という Morley の定理。

model theoryは基礎論から出てきたものなのか？

仮に基礎論のある理論が代数幾何に応用されたとしても、
代数幾何の研究をする前に基礎論を勉強をしたほうがいいと
いうことにはならない。それは迂遠すぎる。
俺は基礎論を否定しているわけではない。基礎論には
価値があるだろうし、やりたい人はやればいい。
ただ、ここは代数のスレだということを忘れないように。

>>582は例のｵｻｰﾝなのか？

小平邦彦は forcing を勉強したが良く理解出来なかったと本に書いていた。
しかし、 infinite forcing は多くの場面で重要。

広辞苑の第五版をもっている人は「小平邦彦」を引いてみてください。
「戦後の頭脳流出第一号」なんていうチョット否定的な（？）記述があります。

>>761
通りすがりだけど、２ｃｈで誰が誰かなんてどうでもいいだろ。
くだらねえ。

>>764
お前のレスが寒すぎ・・・

＞763
勿体ない流出と騒がれたほど優秀だった、と云うことなんだけど。
その騒ぎの裏には学者の待遇改善要求が在った。
当時の学界環境は、才能に活力を与えるものが不十分だったから流出したんでしょう。
一時的に招かれて行ってみたら、愉快な仲間がいっぱいできて帰るのが遅くなった。

>>765
どう寒いのか説明してみろ。

>>767
はじめてペラチヲしてもらった時に全身を走るゾクッとした、あの寒気みたいな感じ

>>768
もういいからレスすんな。オナニーでもしてろ。

>>767は２ｃｈ初心者　雰囲気を理解していない者のレスって初々しくていいね

>>769
通りすがりのｵｻｰﾝ、こんばんわ。

>>760
なぜ代数幾何の専門家ではない者が大きな未解決問題を解くことができたのか、
そのあたりの分析をしてもらえますか。

できる人はできる。
できない人はできない。

>>760
＞仮に基礎論のある理論が代数幾何に応用されたとしても、
＞代数幾何の研究をする前に基礎論を勉強をしたほうがいいと
＞いうことにはならない

基礎論を勉強した方がいい、ではなく、基礎論だからって避けない方がいい、
って言ってるんだと思います。>>547-578は。

レス番間違えた(´･ω･`)
>>747-748ですた。

そういやモデル理論をつかて代数幾何の問題とけたよ〜みたいなことかいてある
本本屋にならんでた。あれなんてタイトルだっけ？買う気にはならなかったんだけど
興味でてきた。

興味あげ

少し古いが
Robinson の
Model Theory and Algebra が
内容が多岐にわたり面白い。

>>774
しょうがねえなあ。代数幾何だけで手一杯だろ、普通は。
避けるもなにも、そんなものやってるヒマはないって。
小平みたいに引退してからなら別だけど。

>>779
何を勉強するかよりも価値ある結果がでるかどうかだと思う。
強い信念を持つなら挑戦するのもいいだろ。

>>780
だから、基礎論をやりたい奴はやりなさいと言ってるだろ。
基礎論が学問として駄目だなんてこれぽっちも言ってない。

>>779
＞しょうがねえなあ。代数幾何だけで手一杯だろ、普通は。

趣味で数学を勉強している方だったんですね。

趣味じゃない人は全ての分野を完璧に極めています。

>>783完璧とは言えないまでも精通している。
そこが数学者と数学屋の違いだな。

精通していない分野があると数学屋にはなれない。

>>782
駄目だ、こりゃ。

理科大生達の喧嘩ですか？

>>778
Model Theory and Metamathematics of Algebra

理科大性ではありません。

128

バカ大生です。

今日から仙台で代数学シンポジウムが開催。

>>792
シンポジウム・研究会のスレへ

代数学総合スレッド
http://cheese.2ch.net/math/kako/1011/10115/1011536232.html

818

ここも馬鹿と馬鹿のやじりあい。
A.Robinson でも嫁

ああ、
進んでない。

FeaturesOfTheGod ◆
は、馬鹿の見本
FeaturesOfTheGod ◆
は、馬鹿の見本
FeaturesOfTheGod ◆
は、馬鹿の見本
FeaturesOfTheGod ◆
は、馬鹿の見本

なんか言えよ
FeaturesOfTheGod

Re:>799
三次元ユークリッド空間内の3次曲面の分類をするか、
私に美女12人を十五分間貸してくれ。

北朝鮮の美女軍団が無いと出来ないのか?

Re:>801 いや、なんか言えよとかいわれるとさあ…。

お前も北か

784

stabilizer って日本語で何て言うんですか？
orbit は「軌道」だそうですが。

安定板

>>805
安定化・・、固定（化）・・

>>805
もめ事解決屋

>>800
15分で12発やるのか？？？

答えろ
UltraMagic ◆NzF73DOPHc

Re:>810 十五分で何ができよう？

Q様はシスプリかセングラにはまった痛い過去がある。
間違いない。

Re:>812 お前は何を言っているのか？

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイよ。消えてくれ。

FeaturesOfTheGod ◆
が出てくると全てｱﾌｫスレになるな

468

FeaturesOfTheGod ◆
が出てくると全てｱﾌｫスレになるな

Re:>817 アフォスレにしてるのはお前だ。

KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA
はｳｻﾞｲので削除

Re:>819 粘着必死だな。

あげるなよ

Re:>821 今頃文句言うなんて、何のつもりだ？

Kingはいつもア

413

ﾌｫ

336

410

367

あぼーん

Re:>829 捏造すんな。

>>829-830
自作自演するなよ
スカトロ板に帰れ！

Re:>831 お前連投規制も知らないのか？それにスカトロ板って何処だよ？

742

>>832
スカトロ板・・・・・・・・・それはお前の頭の中にある。

キューバへ行け

412

>>836
急場しのぎはよせ

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。アホ

射　精　加　群

ﾌﾝ！ﾊｯ！！　ｼｺｼｺ！！！　　ﾄﾞﾋﾟｭｰｰｰｰ

乳射加群

ﾋﾟｭﾋﾟｭｰｰｰｰｰｰｰｰ

あっちは大砲一門だけ
こっちのほうが上だな

管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
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管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣

448

まだ900にもいかんじゃないか

質問です。

「整閉整域Ｒの積閉集合Ｓとしてその局所化Ｒ_sも整閉となる」

どうやって示したら良いでしょうか。

>>847
Rを整閉整域Ｒ、SをRの積閉集合Ｓ、KをR、Rsの商体とする。
r∈Kとモニック多項式P(x)∈Rs[x]でP(r)=0であるものがとれたと仮定する。
するとa∈SをaP∈R[x]となるようにとれる。つまりPのすべての係数がa倍すると
Rの元になるようにa∈Sをとれる。(Pの係数の分母にあらわれるSの元の積をaと
すればよい。) degP=nとしてQ(x)=a^nP(x/a)とおくと容易にQ(x)はR係数のモニック多項式
になる。実際Qの最高次の係数は1であり、ソレ以外はすべてPの係数にaを1回以上かけた
ものになる。さらにQ(ar)=0である。よってRが整閉整域であるのでar∈Rである。
a∈Sゆえr∈Rs。以上によりRsは整閉整域。

>>848さん
私もそのように考えたのですが
最後の行で ＵＦＤでもないのに　「r∈Ｋ　a∈Ｓ　ar∈Ｒ　⇒　r∈Ｒｓ」
は言えないと思うのですが…

言えると思いますが何か

（ ´_ゝ`）ふーん

>>849
整域の局所化だぞ？R⊂Rs⊂K と見れるんだぞ？
局所化について勉強しなおしたら？

>>849
大体UFDという条件を持ち出す理由がわからん
UFDであるとして、どうやって示すんだ？

スマソ、俺の思い違いでいた（笑）

（ ´_ゝ`）ふーん

vanderwerden もってたらartin のガロア理論買う必要なしかな？

より分かりやすい本を買おう

以前2chでファンデルベルゲンと書いた人が居た

（ ´_ゝ`）ふーん

（´･∀･`）ﾍｰ

知らない奴らめ

>>857

どちらのほうがわかりやすいと思いますか？

>>862

横槍だが、ファンデルウェルデンはスタイルが古い分具体的で内容豊富。応用力がつく。

アルチンは読んでないから、何も言えないが比較的新しく抽象的じゃないかな？

両方、或はもっと新しい物と併用が理想的。

>>863

誤解を招く書き方をしたかもしれません。
vanderwerdenは既に持っています。
ガロア理論の記述があまりに重複しているので必要ないかと思ったんですが、
artinのは安いし、買いですかね？

ガロア群の計算に付いてはvanderwerdenのほうが詳しい。
ヒルベルトの定理90はartin

>>863
の第1行はその通りであると思う。
第3行に付いては、仮に積ん読となったとしても
金と場所に十分なる余裕があると言うならＯＫ

岩波でファイナルアンサー

岩波の何？

基礎数学シリーズかな

118

楕円曲線もvanderwerdenのほうが詳しい。

Van Der Waerden

ファンベルゲルデン

http://info.2ch.net/guide/map.htmlに載せる
紹介文を雑談スレで議論しています。
ご意見のある方は、ネタでも結構ですので是非いらしてください。

任意の体K において、1 + 1 ≠ 0 といえるでしょうか？

位数2の体, Z/2Z が反例

>>876 ありがとう。他に例はないでしょうか？

他にも無限にある。
標数2の体といわれる一族。

ありがとうございます。勉強になりました。

907

シローの第二定理をチョーわかりやすく教えてください。
本の写しはやめてください。

てめーには理解できねーよー
やるきないんだからー　ぉーん

なんだ>>882はわからんのか。

シローの第二定理って、pシロー部分群の個数n≡1(mod p)ってやつのことだっけ?
んで、何がわからないの?

マギーに聞けよ

マルチに親切な人たちですね。

シローの第二定理があるということは、シローの第一定理もあるのかな？
Gを有限群とするとき、任意の素数p||G|に対して、Gのpシロー部分群は存在する。

第一定理：
p-部分群は p-Sylow 部分群に含まれる。
（p-部分群　は自明群も含めて言う。）
系　p-Sylow 部分群　は存在する。

第二定理：
p-Sylow 部分群は全て共役

pシロー部分群の個数は？

そのくらい自分で数えろ

個数に関する定理は？と言いたかったんでは？

Ｒを可換で無い環とし、x,y∈Ｒとする。
１を乗法単位元として、
このときxy＝1であってyx≠1である環の例を示す。

可換で無い環の例が行列くらいしか思い浮かびませんが、
二次正方行列の(1,1)成分と(2,1)成分を実数とし残りを０とする
など、やってみたのですが、どうにも作れません、
何か無いでしょうか？

>>893
Z の無限直和の自己準同型環とか。
f(<a,b,c,d,...>)=<b,c,d,...>
g(<a,b,c,...>)=<0,a,b,c,...>
とすれば、fg=1 だが、gf≠1.

891 ：伊丹公理 ：04/12/08 21:13:40
そのくらい自分で数えろ

http://hobby7.2ch.net/test/read.cgi/shar/1103322500/17-18

427

887

891 ：伊丹公理 ：04/12/08 21:13:40
そのくらい自分で数えろ

URUSAI!!

146

R[X]を可換環R上の一変数多項式環とする．
f(X)∈R[X]が零因子ならば
af(X)=0となるような0≠a∈Rが存在することを示せ．

群論の星スレから来ました。

Brauer lifting
って、どうやって構成するんですか？
仮に構成できたとしても一意性はどうやってやるのですか？

891 ：伊丹公理 ：04/12/08 21:13:40
そのくらい自分で数えろ

jakamashiiwa!!!
BURUBURU!!

Ｚを整数全体の集合とし，Ｓ＝｛(m，n) | m，n∈Z,n≠0｝とする．
Ｓに関係〜を以下のように定義する．
　　　(m，n)〜(m'，n') ⇔ mn'＝m'n
C(m，n)で，(m，n)を含むこの関係による同値類を表す．
【問題】
同値類に対する演算@を，
　　C(m，n)@C(m'，n')＝C(mm'，nn')
と定義する．これはwell-definedであることを示せ．

well-dfinedであることを示すには、まずどういうことをすればいいんでしょうか？
何をすればいいのかわからないので証明ができません・・・、ご教授お願いします。

>>904
代表元の取り方によらないことをしめせ。

>>905
サンクスです、代表元に依らないってことはどういう操作でいえばいいのでしょうか・・・。
わからん・・・・・・・・

２つ代表元を取ってみる

C(m，n)から、(m，n)、C(m'，n')から(m'，n')を取りますた。
これからどうすれば・・・。無知で申し訳ないです。

「教科書読め」としか言いようがないな。

自己同型群のイメージが湧きやすい具体例としては、
どういうものがありますか？

>>909
問題しか書かれてねーんだよ・・・
例題も知らずに「well-definedであることを示せ」って言われても、
何をすればいいのかわからないじゃん。。
ググってるんだけど、いまいちわからん。。
解答を教えてくれってわけじゃなくて、代表元を取って何をすればいいのか教えてください

well-defined調べろよ
大　学　生　だ　ろ

で　っ　か　い　が　く　せ　い　だ　か　ら　な　！

で　っ　か　い　あ　か　ん　ぼ　う　み　た　い　だ　な　！

>>912
いや、本人じゃないけど、ググってると書いてあるだろ？

>>904
なんかちょっとかわいそうだから教えてあげるね。

任意の (a, b)∈C(m, n) と任意の (a', b')∈C(m,' n') に対して
(aa', bb')∈C(mm', nn')であることを示す。

omaera sukoshiwa yare!!!

日本語で書け

群Gを交換子群[G,G]で割った剰余群G/[G,G]は可換であることを示せ。

スケッチでかまわないので、お願いします。

一般に ab = ba ⇔ [a, b] = aba^{-1}b^{-1} = e に注意。
剰余群 G/[G, G] の2つの元で交換子を作るとどうなるか？

>>919
ab=baa~b~ab

>>919
もう少し剰余群の直感的理解が必要だな。
割ったものがどんなふうに群になるか
判ってるかどうかの問題だろ

>>922
> もう少し剰余群の直感的理解が必要だな。
> 割ったものがどんなふうに群になるか
> 判ってるかどうかの問題だろ

orz

>>923
おるず　ってなによ？

>>924
膝まづき、大地に接吻せよ！

orz 　ＯＴＺ　 OTZ otz

891 ：伊丹公理 ：04/12/08 21:13:40
そのくらい自分で数えろ

yakamashii!!!!

jakamashii!!!!

396

jakamashii!!!!

891 ：伊丹公理 ：04/12/08 21:13:40
そのくらい自分で数えろ

yakamashii!!!!

二年。

あげ

431

代数学の基本定理って、教科書だと関数論のリュービルの定理を使って
証明されてることが多いですよね。もちろん、他にもたくさんの証明がありますけど。
代数学の定理で、幾何学や解析学を用いた証明しか知られてないものって
あるんでしょうか？

Re:>934 それは代数学の定理ではないのではないか？現代数学において、何を代数学と呼ぶべきなのかはよく分からないが。

幾何学の問題だけどホッジの対称性は代数的な証明がまだないんだよね

Kodaira vanishing by Faltings, Illusie, Deligne Viehweg and Esnault

>>936
dim H^p (M, Ω^q) = dim H^q (M, Ω^p) の事?

>>936
標数 0 の体でいえるよ。

age

裳華房の代数入門 -群と加群-　著：堀田良之を読んでます。
この本のｐ７６　ジョルダン標準形の所に

「V：体K上のｎ次元ベクトル空間
f:V→V：線形写像
R=K[T] (1変数多項式聖域)を考え、RのVへの作用を
R×V→V　((p(T),x)→p(f)x, (p(T)∈K[T], x∈V)　と定義する。
p(f)は多項式p(T)にT→fという代入を行ったもの。
この作用によりK加群VはさらにR加群としての構造をもつ。」

とあるんですが、この作用の定義がどんなものなのか分からず困っています。
p(f)xというものが何を表しているか分からないのです。
はじめは、例えばp(T)=T^2+Tとすればp(f)=f^2+fで、
p(f)x=f^2(x)+f(x)という意味かなと思ったのですが、これだと
R加群とはみなせないことに気付いて、結局どう考えればいいのか分からない状態です。
よろしければ誰か教えてください。

＞R加群とはみなせない

なぜ？

加群の公理で1x=xとあるけど、この場合
K[T]∋p(T)=1に対しp(f)=1なのでp(f)x=1となり
満たさないのではと思ったんですが・・・

ｆ＾０＝１は恒等写像。

age

153

aomoto no heitan hanahan R kagun..

アーベル賞 ： 津川光太郎 ＝ Ｐｅｔｅｒ Ｄ． Ｌａｘ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908/

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aomoto no heitan hanahan R kagun.. aomoto no heitan hanahan R kagun..

任意の半単純リー代数には、カルタン部分代数は存在しますか？

標数0で有限次元なら存在する。

>>951
ﾘｰ代数入門　佐藤
の被害者がここにも一人
おいらも知りたい

>>951です。リー環＆群スレにも書いたけど・・・
佐藤の本だと、そこんとこが省略されてんのよね。
あたかも存在するかのように書かれてたから疑問に思ってた。
明日あたりほかの本探してみようかと思ってたけど。
有限次元じゃなければ存在しない例があるってのはなんとなく想像できた

>>954
載ってるの見っけたら教えてくらさい
ﾓｳﾀﾞﾒﾎﾟﾘﾀﾝ