【微積分】dxやdyの意味３

テーマ
> 高校生です。
> 「dy/dxは分数じゃない。一つの記号だー」
> とのたまわった先生が、微分方程式の授業で
> f(x)dx＝g(y)dyなどと意味不明の式を書きおった。
> 師曰く「こういうもんなんだー大学行って調べろ」
> 大学まで待てません。dxやdyって何なのでしょうか。
過去スレ
http://cheese.2ch.net/math/kako/1008/10082/1008225843.html
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1010097468/l50

※突っ込みはもちろんの事、「○○は放置」というレス自体ご遠慮下さい。
　 放置というのは何もレスをしない事を指します。

今井入室禁止

＞今井入室禁止

今井を入室禁止してはこのスレの存在意義はない。

下記ページで万事解決です。

http://imai48.hp.infoseek.co.jp/english/kekan/no013.html

以降レスを書くものは全て蛆虫である。

ガイシュツだとは思うが
ベクトル空間とか線形写像とか連続、極限とかの概念がわかる人、
または理解しようとする人だけ議論に参加してほしいものだ。
とりあえず>>4は問題外。

>>1で書かれている事がだいぶ守られているようで。
おかげで寂れたスレと化すとはねぇ…

例えば
dy/dx=2
だったとき、
実際
dy=2dx
である（この式は正しい）が、
例えば左辺だけを取り出して
dy=0・・・�@
右辺だけを取り出して
2dx=0.∴dx=0・・・�A
とかやると、
�@�Aより
dy=dx
となって、嘘の式が出てきてしまう。
ので、こういうことが起きないように、（なるべくなら）dy/dxを
１つの記号のように見ましょう。
程度の話だと理解してますが･･･

ちなみに超準解析ていうのは（自分は理解していないが）
結果として、０でない無限小量がちゃんと（？）定義できて、
dy=2dx
みたいな式をちゃんと（たぶん）かけるらしい。
で、それを教育の場で使う試みが行われている
ということが岩波辞典の超準解析の項に書いてありました。
ここまでは本で読んだ知識。
で、実際自分は昔某Ｓ○Ｇ塾に行って微積分入門みたいな講座
を受けたことがあるのだが、本当に超準解析の記号使って式とか書いてました。
（当然超準解析なんて単語は使用せず、ただ＝が、ふにゃっとしてるだけ（ｗ

経験的には
本とかでは絶対dy/dxは切り離さない。dyやdx単体には意味はないと明言してある。
でも、実際数学やってる人に聞くとみんなdxやdyは無限小量と軽い気持ちで理解してて
そのとおりに考えてる罠。
あと、本でも問題集とかだと、急に解答で微分係数でなく微分そのもの等式
とかをばーんて書いてあって平然と先に進んでいく罠（ｗ
最近（？）よく本屋に置いてある「dxとdyの解析学」て本はこういう嘘が横行してる
状況に対して文句いってる本だと思うけどあまり影響力が無い罠

ネットで手に入るnon-standardのテキストはありますか？

ライプニッツは、微分積分学の記号を考えたとき、dxやdyや∫自体に意味を持たせていたと思う。

「dxやdyとは何か？」
「無限小とゼロはどう違うんだ？」
という疑問が出てきたので、

dy/dx ∫ dxをまとめて扱うようにしたり、
極限という概念を導入したのだろう。

超準解析というのは、dxやdy自体に意味があるという考え方の復権だと思う。

アブラハム・ロビンソンという学者が超準解析を考えたようだ。

dx,dyとかを現代数学の枠内でどう解釈するかって話しでとりあえず
１.微分形式として微分幾何であつかう。
２.無限小として超準解析であつかう。
という２つの意見が前スレからでてた。１.の流儀は厳密な定義も書籍の紹介も
前スレ、前々スレででてたわけだが２.の方は書籍情報もどうやってたとえば
　
　d(sinx)=cosxdx
　
みたいな議論を正当化するのかとかいうカキコがいまんとこまったくない。
(Part3にもかかわらず)まあそれだけ超準解析というのがマイナーということ
だと思うんだがだれかきちっとしたんをかいてちょ。
･･･マイナーな理論だからな。だれも知らんかな？

まずフィルターの話から始めよう。

本当に今井たん出てこないね。
急に引退宣言なんかして・・。

自分が関連したスレ全部に引退宣言だしてたからね。“今井弘一逮捕スレ”にまで。
当面でてこれないだろね。

ヤフーさんに閑古鳥が？？？
投稿者: imaigrjp (男性/石川県) 2003/ 1/23 23:27
メッセージ: 2956 / 2956

今井がご無沙汰していたせいですか？　どうですかねぇ・・・、これは確かめようがありませんが、ちょとお気の毒になり戻ってきました。

これは imaigrjp さんの 2955 に対する返信です

>>15
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1022253026/352-
こんな感じになっちまうぞ。

そもそも微分形式なら質問する人出るだろうけど、
超準解析だと質問する人出るんかな？
興味持ってる人は自分から本読んで勉強してる気がするぞ。

おれは興味がまったくないわけではないってぐらいかな？ひとりぐらいは
本よんで勉強したことがあってさらっとぐらい解説してやろうという
香具師はおらんかね？というか超準解析勉強するならこれっていう本の
情報ぐらいはでないかな。本気で読む気はせんけど眺めるぐらいはしてみたいな。

齋藤正彦「超積と超準解析」(東京図書)
デービス「超準解析」(培風館)

とかある。

…絶版になってるかも。

>>22
さらっとぐらい解説してくれあげ

>>23
後者なら図書館にあるかも。

解説終わり。

超準解析ネタはもりあがんないね。過去超準解析系スレでもりあがったことないの？
マイナーすぎてだめなのかな？ジャンルとして将来性とかないの？

>>20のリンク先にもあるように質問者にやる気が無いorトンデモが相手の
場合は盛り上がらない。

ガイシュツで何を今更、なことだと思われるが・・・
微分形式として理解するのが一番すっきりしている。（と思う）

だが微分幾何などと言いだす以前に、
まずは座標関数の（全）微分と解釈すればよい。
たとえば、R^n の座標を(x_1,x_2,...,x_n) としたとき、
i番目の成分を取り出す写像 (x_1,...,x_n) |→ x_i
のことを座標と同じ記号 x_iと書くことにする。
dx_iとは この写像x_iの全微分のこと。
多変数関数の全微分，多変数写像（ベクトル値関数）の微分
（含 各点での微分係数 つまりグラジェント，ヤコビ行列）
についてきちんと理解していれば、上の定義の意味がすぐにわかると思う。
各点ごとに線形近似済みの写像（＝導写像）を考えれば、
dx_iそのものの幾何学的な意味も非常に自然で、
重積分の変数変換などとも無理なく接続して理解できる。
あとは、多様体の接バンドル→余接バンドル→ 一般の微分形式
とスムーズに学んでゆけると思う。

ちなみに>>15の式 d(sinx)=cosx dx
も 関数sin x の（全）微分として何の抵抗もなく正当化される。
各点x=pに対してcosp がそこでの微分係数（＝勾配）ということ。

>27 禿同

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/dx.html
こんなサイトをハケーンしました。
数学者から見れば、逝って良しだろうけど・・・

>>10
それちがーよ。

>>22
両方とも絶版だな。

>>24
前者も図書館にあったりしますよ。

>>29
直感的な理解にはいいんでないの？

>>29
18世紀はこれでいってたんだね。
たぶんライプニッツ自身もこういう理解だったと思う。

>>15
d(sinx)=cosxdxみたいな表記にだれもが違和感をもたないのは、
暗黙のうちに脳内で、分母にds等を補完したものを
イメージしているからだろう。

>>29
おいっ。積分に関する記述が間違ってるぞ。
dxの逆数を掛けただけでは、積分したことにはならないぞ。

あげ
与える．「君にお土産をあげる．」

>>22--24
急げ！！
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489001886/qid=1046165718/sr=1-4/ref=sr_1_0_4/250-3521086-4565826

qid=1046165718/sr=1-4/ref=sr_1_0_4/250-3521086-4565826
この中のどれは人に見せちゃいけない情報なんだろ

ライプニッツの記号は結果的に代数的演算が出来ると習ったが、
どういう結果から分かったんでしょう？

>>39
定義.