1=0.9999999999999999999999999999・・・その２

R* = { {An} | {An} は任意の実数列 }
とかやって、実数を拡張して、R*の２つの要素 {An}と{Bn}の間に
An < Bn for any n のときかつそのときに限り {An} < {Bn}
と、「<」を定義して、
1 = {An} where An = 1 for any n
0.999... = {Bn} where Bn = Σ [m=1, n] 9*10^(-m)
と定義したら、一応、
0.999... < 1
になるけど、この 「<」 は順序にならないんでしょうね。

[1-{Σ [m=1, n] 9*10^(-m)}]　は？あるかな？０かな？

>>352
I⊂2^N={x⊆N}(I≠φ)を
(1)∀A,B⊆N(A⊆B,A∈I→B∈I)(2)∀A,B∈I(A∩B∈I)
(3)φはIに入らない(4)∀A⊆Nに対しA∈IまたはN-A∈I
を満たすように置いといて、
D={n∈N|An>Bn}がIに含まれる⇔{An}>{Bn}と、さらに一般的に
このような命題の列φ(n)に対して
D={n∈N|φ(n)が真}がIに含まれる⇔{φ(n)}は真
と定義すれば上手くいくよ。
この時∃n∈N({n}∈I)だったら今までと何も変わらないけど

>>354
このような I がフィルタですか？
一応、本棚に齋藤正彦さんの超準解析の本がお眠りに
なっているのですが、ずいぶん前に気の迷いで買ったのと
今は数学から離れきっているので見てもほとんど
分からないのですが（と言うか、読めない）。

とりあえずこれで順序を定義できるかだけやって見ます。

最後の一文がよく分からないのですが、そのような要素を含む
フィルタだと、結果は実数と１：１に対応がついてしまうと
いうこと？

素人考えでスマンが、
0.99999........のイメージを、

0.9
↓
0.99
↓
0.999
↓
以下続く

と、１に向かって走りつづける点の様な物だと思っているヤシが多いように感じるんだが。
極限値って(現実では不可能だろうが)その走りつづける作業が「完了」した場合の値だって気付いてない。
無限＝限りなく大きい有限数　だと思っているようだが。

結局、
1=0.99999999.......
だが、それを確認するためには無限時間かかる、という考えはダメか？

>>356
ダメ

>356
「アキレスと亀」を用いて説明せよ。

355の続き
順序ということの証明ですが、とりあえず書いておくと
（１）反射律　∀a a <= a
　　A⊆B,A∈I→B∈IかつIは最低1個は元を持つので、N∈I
　　a = {An} とすると、 {n | An <= An} = N ∈I だから、∀a a <= a
　　ということで、反射律が言える。
（２）推移律　a <= b & b <= c ---> a <= c
　　a={An}, b = {Bn}, c = {Cn} とし、a <= b かつ b <= c とする。
　　A = {n| An <= Bn}, B = {n|Bn <= Cn} とすると、A∩B⊆{n | An <= Cn}
　　A∩B∈Iだから、{n | An <= Cn}∈Iといことで a <= c となり
　　推移律が言えた。
（３）反対称律　a <= b & b <= a ---> a = b
　　これは、実はこの世界では等号がまだ定義されてなかったので、
　　この矢印の左側自身で定義するというオチではないでしょうか？
　　だって、D∈IでD=/Nなるものが存在すれば、Dに入ってない部分で
　　二つの数列が違っていても、その２つの数列は <= の関係も
　　>= の関係も満たすわけですから。
ということでしょうか？

359の続き
一応このように定義した順序は
(4)∀A⊆Nに対しA∈IまたはN-A∈I
から、全順序でもあるんですね。

360の続き
これで定義した体系では、
　{0.9, 0.99, 0.999, ...} =/= {1.0, 1.0, 1.0, ...}
になるのかな〜？　だって、
　{0.9, 0.99, 0.999, ...} <= {1.0, 1.0, 1.0, ...}
は言えるけど、
　{0.9, 0.99, 0.999, ...} >= {1.0, 1.0, 1.0, ...}
が言えないから。

ということで、
　0.999... = {0.9, 0.99, 0.999, ...}　...（１）
　1 = {1.0, 1.0, 1.0, ...}　　　　　　...（２）
の表記だと思えば、めでたく
0.999... < 1
という体系ができたということでしょうか？

もっとも（２）は良いとして（１）の解釈は強引だが。

順番にレス。

>>355
354の(1)〜(3)を満たすのがN上のフィルターでそれに(4)かそれと同値な条件
(4)' Iを真に含むフィルターが存在しない　を加えたのが超フィルターって奴です。
＞D={n∈N|φ(n)が真}がIに含まれる⇔{φ(n)}は真
のIに超フィルターを使います。（この定義の仕方、ちょと正確じゃないのでごめんなさい）
集合や記号で構成される命題の列{φ(n)}の各φ(n)が決まってる時
{φ(n)}も必ず決まるようにするのにこの(4)が必要………って、貴方が360で言ってますね。
ここら辺個人的には貴方がどこまで知っているのか教えて欲しいもんです。
（実は知らない振りしてて私より良く知っていたりしてたらちょと恥ずかしいです）

∃n∈N({n}∈I)、つまりNの一要素nを含む超フィルターを単項超フィルターと呼びます。
N上の有限集合A={a1,a2,…an}がA∈Iを満たす時、{a1}〜{an}のどれかはIに含まれるわけだから
単項超フィルターになります。
この場合、例えば{c}∈Iとすると命題の列{φ(n)}の真偽は{φ(c),φ(c)…}と等しくなり、
これはφ(c)と一対一対応して今までの実数と何ら変わりない物になるわけです。
これに対し(5)単項でない=全てのn∈Nに対し{n}∈Iとならない、もしくはそれと同値な条件
(5)' N上の有限集合の補集合全体I_0={x⊆N|N-xは有限集合}で出来るフィルターをIは含む
ってのを加えたのが非単項超フィルターです。
非単項超フィルターを使った場合{1,2,3,4,…}は{1,1,1…}や{2,2,2…}のどれとも違うわけですから
実数と全く同じ物になるとは限らなくなるわけです。
ってのが354最後の一文の補足です。

>>359
等号の定義を「a <= b & b <= a ⇔ a = b」で定義するのは困ります。
ただφ(n)=∀a(n),b(n)∈R( a(n)<=b(n) & b(n)<= a(n) ⇔ a(n)=b(n) )は真になりますから
{φ(n)}=「a <= b & b <= a ⇔ a = b」は結局真になるのですけど。
ここら辺は>>354の一般化した定義を使ったほうがいいと思います。
（この定義もかなーり間違いっぽいので訂正したいけど、今眠いので今度に回させて下さい）

>>362
0.999... = {0.9, 0.99, 0.999, ...}で 1 = {1, 1, 1, ...}なら0.999...<1となるけど、
その場合でも0.9,0.99…の極限値が1である事には変わらないと補足しておきます。
普通の実数の体系で真な命題はそれを拡大したこの体系でも真になる事には変わりないので。

>（実は知らない振りしてて私より良く知っていたりしてたらちょと恥ずかしいです）
これはありえないです。大昔に齋藤正彦先生の 超積と超準解析の
超フィルタを使って超実数体を作るところあたりまでは読みましたが、
前にも書いたとおり、ずいぶんと遠ざかっているので、今は、なんとか
354の内容を論理で追っているだけです。しかも一般化されたφ(n)の
話にはついていけてなかったり。

で、
> 等号の定義を「a <= b & b <= a ⇔ a = b」で定義するのは困ります。
なんですが、このときの＝の定義は何ですか？
　{An} = {Bn} <=> An = Bn for any n ?　　（１）
なんでしょうか？ とすると、これって本当になりたちます？
363に書かれているmを含む単項フィルターを使えば、Am=Bmなら
{An}<={Bn} & {An} >= {Bn} なんですが、（１）の意味で
等しいとはかぎらないでしょう？

極限値は１でしょうが、やはりこれまでの<=, = の定義のもとには
　0.999... < 1.000...
でよいわけでしょう？

0.999999………
=lim[n→∞]{�納m=1,n] 9*10^(-m)}
=lim[n→∞]{1-(1-�納m=1,n] 9*10^(-m))}
=lim[n→∞]{1-(10^(-n))}
=1

>>366
馬鹿？

数は人間が作った記号です。　初めに定義ありき。

0.9999999999999999999999999999・・・を数として使うのか使わんのか？　使うとすればそれが何を表す数として使うのか？　これを定めてかからないと数学としての議論が絶対に成立しないのよ。

じゅんかんしょうすう

実数の拡大体の要素という定義だと、途端にレスする人がいなくなる悲しさ…

この種のトピはヤフーでも何回も登場しました。ここでは議論が尽き
て完全な結論が出てしまったらしく、今ではありません。２ちゃんは
遅れていますよ。投稿者の平均的学力が相当に低いと言わざるを得ま
せん。

今まで「今井弘一」って「いまいこういち」って読んでたけど違うのか。

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365への自己レスですが
> これはありえないです。大昔に齋藤正彦先生の 超積と超準解析の
> 超フィルタを使って超実数体を作るところあたりまでは読みましたが、
これって最初の２０〜３０ページ読みましたってことなんですよね。
もともと、この本は119ページ以降が付録で、134ページ〜152ページ
までは齋藤正彦、広瀬健、倉田令二郎が座談会やってるような本なの
ですが。

あとがきを読んでみると超準解析は、1961年にロビンソンが
発表したとあるので、古い理論ではあるんですよね。

>372 一はひいふうみい（一二三）の「ひい」と読む字です。弘は「ぐ」という読みの漢字です。

ここは0.9999999999999999999999999999・・・がテーマですよ。「弘一」をどう読むか？
こんなことを問題としては、トピの製作者が泣きますよ。

超準解析の話がでているときに一人ズッコケ話すんなや >>376 = 今井
http://imai48.hoops.ne.jp/bbs/
で、ここの内容のコピペでもして一人でレスでも付けてろ
ついでに、ここにくるな、yahoo にも行くな、数学の散歩道掲示板にこもってろ

超準解析？？？

ここは「0.999999・・・は１と同じところを表す数として使いますよ」という
約束を設定すれば万事解決。落ちこぼれの大学教授の中にある数学を持ち出す
必要は全く無いのである。

>>378
L'Hospitalの定理は？？？

そこのキチガイ >>348 読め、話の流れを無視して
自分の好きな話題ばかりを闇雲に書くな、この自己中心野郎。

大学の数学を拠り所にして今井に対抗なさいますか。そんなものは全然
駄目ですよ。そんなものを軽く蹴飛ばして、そして、今井数学が出来て
います。

おめーよー、対抗とかじゃねぇだろうがよ、話の流れに沿ってレス付けろ。

「0.999999・・＝１かどうか」これは小中学校の算数の問題でしょう。

「0.999999・・・は１と同じところを表す数として使います」ということにすれば、１＝0.999999・・・になり、
そうしないならば、１＝0.999999・・・とはならない。たったこれだけのことでしょう。ここに大学の数学が嘴
を出す余地は全く無い。

「0.999999・・・は１と同じところを表す数として使います」が
成立しない意味ある体系についての話題が今の話の流れ。

「0.999999・・・は１と同じところを表す数として使います」にしたいのはお前の都合、
好きなんだろうその話題、自分の掲示板でやってろ。

＞「0.999999・・・は１と同じところを表す数として使います」が成立しない意味ある体系についての話題が今の話の流れ。

あぁ、そうですか。馬鹿の考えることはよく分からんので、これにてレスを終わります。

lim[n->∞](0.999999・・・)^n
の、計算デモしたら？

あと12時間寝させて…

387さんって354=363さん？
すごい時間の勤務 or 学業なんですね。
私は明日朝から１週間くらい海外出張なので、しばらくの間
レスできませんが、気にしないでくださいね。

本当は、出張に備えて英語の猛勉強をしなければならないのに、
現実逃避でこちらに遊びに来てしまった。もっと現実を直視せねば。

いなくなる前に一言。
超フィルタの存在は証明できるようなので、
0.999... = {0.9, 0.99, 0.999, ...} < {1.0, 1.0, ...} = 1.0
となるような体系はできると思うのですが、そんな体系を作ることの
意味はなんでしょう？　私に思いつくのは、次のようなことです。
（１）0.999... と 1.0000 の区別がついて気持ちが良い
　　　（ただし、0.999... = {0.9, 0.99, ...} のように定義するとしてですが）
（２）∞を{1, 2, 3, 4, ...} などで明示的に数として扱うことができる
（３）無限小を{1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} などで明示的に数として扱うことができる
（４）無限小のひとつを Monad として、微分を割り算
　　　　f'(x) = (f(x + Monad) - f(x))/Monad
　　　で定義できて、極限の概念を使わなくてすむ
他にもメリットがあるのかもしれませんが、よく分かりません。
またこれらが十分なメリットと言えるかどうかは人によって違いますよね。

計算機で1÷3×3をすると（・∀・）ｲｲ!!
馬鹿な発言でｽﾏｿ

簡単な仕組みのデジタルの機械に無理言っちゃいけないよ。

0<無限小

0.9999.......=1-無限小

よって1>0.99999........

じゃダメか？

こんな単純な事も分からんのか（藁
１≠0.99999999999....　で決まり。
9が永遠に続くということは、永遠に繰り上がらない。つまり、永遠に１に辿り着けない。

こんな単純な事も分からんのか（藁
１≠0.99999999999....　で決まり。
9が永遠に続くということは、永遠に繰り上がらない。つまり、永遠に１に辿り着けない。

場の雰囲気を読めないあんた(393,394)の存在が（藁

まだやってんのか。

無限小がゼロと等しいか、等しくないかという問題ですか？
「離散濃度の無限」≠「連続体濃度の無限」である場合、
無限小も１種類ではなく、
ゼロに等しい無限小と等しくない無限小の両方があるのでは？

>>397
>無限小がゼロと等しいか、等しくないかという問題ですか？

違います〜！！　無限小は無限小であって、ゼロに等しくなる
なんてことは、ぜ〜〜〜ったいに有り得ないです。
ゼロに「より近い」無限小という観点からはいくつかの種類が
考えられるかもしれませんがね。
とにかく0.99999999999....というのは極限値を簡略表現した
だけのもので、極限値は１だから1=0.99999999999....は当然。
ところが１と0.99999999999....は見かけがあまりに異なるので、
=で結ぶことに抵抗感を覚える人が多いみたいなのですよ。
そんなことを言い出せば、1と2/2は見かけがあまりに異なるので
等しくないということになってしまうんですがね（ｗ

まったくもって不毛の地だな

>>398

以下、離散濃度の無限をω、連続体濃度の無限をω’と表記することにします。
また、カントールによる式　　n^ω = ω’（ n は　2以上の自然数）が正しいとします。

0.9 + 1/10 = 1
0.99 + 1/(10^2) = 1
0.999 + 1/(10^3) = 1

したがって、9が無限に続く無限小数であるばあい、
その桁数は離散濃度の無限ωとなるので、

0.999... + 1/(10^ω) = 1

となります。したがって、0.999... = 1 である場合、

1/(10^ω) = 0

また、n進数について同様に考えれば、

1/(n^ω) = 0 （ n は 2 以上の自然数）

となる。ここから、n^ω = ω’により、

1/ω’ = 0

したがって、1 を連続体濃度の無限で分割すると、ゼロになります。

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> したがって、1 を連続体濃度の無限で分割すると、ゼロになります。

まあ、これを無限小と呼ぶかというと、呼ばないかもしれませんが。

0.9999999999999..........
と永遠に続くってことは１との差がいくらでも縮まってゆくってこと。
つまりある地点を捉えていったん停止した状態で考察すれば確かに差が存在する。
しかし何故無限に続くものの「ある地点」を想起するのだろう。無限とは「無限である」
と言う事が重要であってその中のどこがどうであるという事は本質的じゃないだろ。

いくら1との差が縮まっても、決して差が埋まる事はない。
1≠0.99999999999999999.....
こんな簡単な事を何故理解できない（藁

＞４０４
つーか、そんなふうに簡単に還元しないと理解できないんだろオマエ。（藁

既出だが，循環小数を分数に直す公式に当てはめれば，

0.999・・・=1

は自明なのだが。

>>406
で、あるか？

1=0.999999・・・・999と表せるとする。
すると、1-(1-1)=0.999999・・・999-(1-0.999999・・・999)=0.999999・・・998となる。
同様に、1=0.999999・・・998=0.999999・・・997となる。
この操作を繰り返すと、1=0となるので、1=0.999999・・・999とは表せない。
よって、0.999999・・・と表記するのは間違い。

> すると、1-(1-1)=0.999999・・・999-(1-0.999999・・・999)=0.999999・・・998となる。

無限小数に「最後の桁」は存在しません。。。

やっぱり！？無理があったか・・・

>>404
> いくら1との差が縮まっても、決して差が埋まる事はない。

すなわち、アキレスは亀に永遠に追いつけない。
ってことでよいですか？

全射とか単射とかは？

>>411
アキレスと亀は関係無いだろ（ｗ

>>407

>で、あるか？

循環小数を分数に直す公式があるかってこと?

1*9/9=1/9*9=1
9/9=(0.1111111111......)*9=1
9/9=(0.9999999999......)=1 //

クックックックック・・・・

ようこそここへ〜>>416

>>417
遊ぼうよ

四捨五入して変わらなければいいじゃねえか

>>418
パラダイス

1≠0.99999999999999999.....派の人間は、
「0.99999999999999999.....は、1よりも0.00000000000000.....1だけ小さい」
と勝手に妄想している。

無限に続くなら>>415で充分じゃん

>>421
でもそれを論破できないアフォ大学生が多いのも事実
このスレにもたくさん（以下略）

http://tigers-fan.com/~pppnn

　　中高生とHな出会い
　　　 即アポ即H出来る
　　　超最高なH＆Hが・・　

>>420
夢のりんごむいて

アホな友人に
３÷３＝１
３÷３＝０.９９９９９９９９９９９……
よって
１＝０.９９９９９９９９９９９……
って説明した。こんな説明する俺の方がアホ。

>>426
大人は見えない

極限をとれば、結局同じということでしょ。

極限はどのような場合にも存在するのかな。

たとえば、連続 (稠密) でない数体を考えた
場合だと、極限まで充分に近づけるのかな。

>>428
貴方は本当に何も知らないのですね。
東大に入学をしたのいうのはネタですね。

この程度の学力で入れましたが、何か?

>>430
貴方は別スレの２２３のニセモノですが、何か？

何が起こった？？？？？？？

えっ。そんなに頭がよさそうに見える?
うれしーな。

イギリスの取引先から、結婚するまで
私は休みにしてもよいという許可をもらいました。

異国情緒あふれるなーー

日本にいながら異国情緒を味わえる
ところはあるかもよ。実際に今まで
自分が行ったことのある外国はハワイ
(アメリカ)だけだが。

ディズニーシーはヨーロッパ風の
ところもあればアメリカ風のところもあり、
また、アラビア風のところもあったよ。

全部まわり切れなかった。ぷ

一度で回れない大きさなのは、
　友達と行き、全部回れない
　友達が他の友達と行き全部回れたとしても、
　　この時連れてきた友達がまた全部回ろうと他の友達と来る。
　・・・・・・
で、いっぱい来る。

無限小という数を定義する。
h_0 = 10^-n (n=1,2,3,・・・)

0.999・・・ = 1 - h_0

1=0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999...

約1=0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999...

先ず0.9999999999999999999999999999・・・の
「・・・」ってのが何かを定義してくれ。
話はそれからだ。

カレーライス≠ライスカレー

1 !≡ 0.99999999999999999・・・

1 !＝ 0.99999999999999999・・・
1　＝ 0.99999999999999999・・・の極限値

0.999.....というのが何かの極限値というのは　全く無意味な議論にしかならないようだ
循環小数として　1/1＝0.999...と定義されてるというのでおしまい
もちろん、証明はできない

>>1
１個の白い碁石がはじめにある。

９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９。
９９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９９。
９９９個の黒い碁石と一緒にする。このとき黒い碁石の濃度は０．９９９。

この操作を無限に繰り返しても、黒い碁石の濃度は１にはならない。
これでいいでしょ。現実的に考えようよ。

だけど、いろいろな計算をする際に

1=0.99999999999999...

と定義しておくと、いろいろなことに使えて、便利ですよ。ってことですね。

>>445
>この操作を無限に繰り返しても、黒い碁石の濃度は１にはならない。

よく考えろよ。
逆を言うと「1」になっていないってことは「無限」に繰り返してないってことだぜ。

「無限」っていう概念は文字通り「限りが無い」ってことなんだから
「99999999999999999999999999999999999個の黒い碁石と一緒にする。
このとき黒い碁石の濃度は0.99999999999999999999999999999999999」
なんていう観測をした時点で「限り」をつけてしまったことになる

だから限り無く繰り返した場合の黒い碁石の濃度は１

同じ条件で、最初のいっこ目の碁石が、常に目の前にあって観測できる状態でも？そうなる？

グラフの原点に、白い碁石をいっこ置く。ここからは思考実験です。
無限の大きさのグラフの上で、黒い碁石が、どんな碁石とも重なり合わずに、
密着しつつ、無限に増えますよ。あなたの頭の中で、自由に増やしてください。
でも、白い碁石は、いつも目の前にありますよ。
この時、黒い碁石の濃度は、どんなときも、１にはならないでしょ。

あなたは、自分のことを、Ｍｒスポックの友達で、不滅の魂を持つバルカン星人だと考えて
結論を出して下さいね。

黒い碁石は、１回につき、９×10＾（ｎ−１）、ずつ増えます。

>>449
無限個の碁石全部に含まれる無限個の黒い碁石の濃度は
どう定義してるの？
単純に割り算して１じゃない値になるのは
碁石が有限の場合だから当たり前。
>>447-448の繰り返しなのでsage

1≠0.9999... って考える人は、（ ...は無限少数）
1/3≠0.3333... って考えているのだろうか？

1/3＝0.3333...　が理解できない人は、理解できるまで以下の計算を繰り返してください。

0.333....
________
3 )1 0
9
---
10
9
--
10
9
--
1

ズレた。。
　　０．３３３．．．
　＿＿＿＿＿＿＿
３）１　０
　　　　９
　　−−−−
　　　　１０
　　　　　９
　　　　−−−
　　　　　１０
　　　　　　９
　　　　　−−−
　　　　　　１

それでも理解できない人は、理解できるまで以下の計算を繰り返してください。
　　０．９９９．．．
　＿＿＿＿＿＿＿
１）１　０
　　　　９
　　−−−−
　　　　１０
　　　　　９
　　　　−−−
　　　　　１０
　　　　　　９
　　　　　−−−
　　　　　　１

結論：有効桁数一桁の１と、有効桁数無限大の数値(0.999...)は比較できない。

これで納得できる人はもうここに書き込まなければ良い。

だけど、いろいろな計算をする際に

1=1.00000000000000...

と定義しておくと、いろいろなことに使えて、便利ですよ。ってことですね。

そんな感じ。

このスレまだ続いてんの？（ｗ

>>449の言うように

いくら黒石が増えようと、白石が存在する限り「黒石の割合＝１００％」にならない。
小学生でも分かるっての（ｗ

ttp://santaro.theory.cs.ritsumei.ac.jp/math/number01.html
これを読んだらみんな納得すると思う

>>454
ワロタ

>459
そんなんで納得できたらこのスレこんなに続かないって（和良

>>458
君が何故そんな書き込みをしたかについてよく考えてみれば
今になっても同じようなレスが続いている理由が分かるよ。

0.99999999999999999999999999999999999999999.....
=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009+0.0000009+..........
=(1-0.1)+(0.1-0.01)+(0.01-0.001)+(0.001-0.0001)+.............
=1+(-0.1+0.1)+(-0.01+0.01)+(-0.001+0.0001)+...........
=1+0+0+0+...............
=1

>>463
でかした。これで完結。

−−−終了−−−

>463-464
必ずしも
a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+・・・
=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+・・・
が成り立たないこと知ってる？

>459
0.[9]≠0.9999... でよろしいでつか？

1=0.9999999999999999999999999999・・・
http://cheese.2ch.net/math/kako/1004/10048/1004837995.html

１＞０．９９９９９９…… の証明ができた！
http://cheese.2ch.net/math/kako/1001/10016/1001663346.html

0.9999999.........って実数なんですか？

↑すみません間違えました。0.9999999.........って無理数なんですか？

>>465
>必ずしも
>a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+・・・
>=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+・・・
>が成り立たないこと知ってる？
1-1+1-1+1-1+・・・
かな？
アゲ

>>469
実数で良いんじゃない？
循環小数とか？

0.999..... → 1 の説明が多いが
1 → 0.999..... の説明は無いのか

0.999... = 1 なんだろ

0.999.....→1の説明はあんまりないと思うよ。そしてそれは間違ってる。

1-10^(-n)→1(n→∞)の説明なら結構あると思う。
書き込む前にそれぞれの記号が何を表しているかもうちょっと考えてみるといい。

>>469

有理数です。

今時に理屈として役に立つ説明としたら、
数の精度がδで表現できるとした場合に、
0．9999999…と1はδの精度で区別できるかできないか
できないから、両者は一致とする
という理解でいいんじゃないの？

なんで同じ数のものがふたつも違う名前で存在しているのかが不思議です。

π=3.141592654 …
√2=1.41421356…
1/3=0.33333333…

も、同じ数のものをふたつも違う名前で存在しているよ。

>>477
なんかそうだけど、なんか違う。

>>478
0．9999999…と1の差をここに書いてごらん。

>>479
０．００００００００００００００００００００００・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ってあって最後に１

>>480
ふむふむ、最後があるってことはその差って有限なんだよね。
てことは、あなたが言っている 0．9999999…の…の部分は有限の位置で終わるってこといだよ。
あなた風に書かせてもらえば
０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ってあって最後に９

>>481
でも、０．９９９９９９９９９９９９９９９・・・・・・・・・・・
って無限に続くんだよね。

無限小という数を定義する。
h_0 = 10^-n (n=1,2,3,・・・)
0.999・・・ = 1 - h_0
無限小は動いていることに注意しよう。

無論、無限小自身は目には見えない。が、瞬間瞬間の値、というか、その軌跡は単に、
0.1
0.01
0.001
とかだね。
０、虚数、そして、無限小、今、君は数の歴史をまの当たりにしている。
んっがんん。

下手な定義はすぐに突っつかれて終わり、もしくは発言した人間が厨房化。

>>482
そうそう、０．９９９９９９９９９９９９９９９・・・・・・・・・・・
は、無限につづくてことは最後はないよね。
じゃつぎに1/3=0.3333333333…は納得できる？

＞４８４
つっついてぇ、あーん。

「動いている」「n=1,2,3,・・・」などを定式化するのは無理だろね。

>>483
＞無限小は動いていることに注意しよう。
馬鹿ですか？

487「このままじゃ」って修飾詞付けとこ

＞４８７
「動いている」ということが「ｎ＝１、２、３、・・・」によって
表されているのですが。

>>490
それは「数列」だろ？
死ねよ屑。

>>490
むか〜しむか〜しの人はそういう事をふか〜く考えて
実数を定義しましたとさ。

メデタシメデタシ

＞４９１
だから、それを数として定義する。
無限小という数を定義する。
h_0 = 10^-n (n=1,2,3,・・・)

ｎには一個ずつしか数は入らないから、h_0も１つずつの値を取る。
問題ねえじゃん。

問題ないし、特に新しい事もありません。

＞４９４
やたー

>>493
だからそういうのを「数列」って言うんだよ！
少しは勉強して出直してこいよ。白痴め。

＞４９６
いや、あれだよ、数列というものが実は動いている数だったということだな。

1/3=0.333333…
2/3=0.666666…
3/3=0.999999…
4/3=1.333333…
5/3=1.666666…
6/3=1.999999…

>>497
なにが「数だったということだな」だよ馬鹿。
数列は数列だろうが。死んでしまえ。

1/3=0.333333…
2/3=0.666666…
3/3=0.999999…=1
4/3=1.333333…
5/3=1.666666…
6/3=1.999999…=2

>>497
ここで主張するからには
大小関係、同値条件、四則演算ぐらいは定義出来るよね？
あとただの実数との関係。

それが出来なきゃただのバカ。

>501
h_0の瞬間瞬間の値は有理数ですから、何も問題ありません。

kyokugenka?

小川って、無限が絡むと今井以下になるよな。

もともと今井以下だと思うが

この前電卓さわってたら、
１２３／９９９　＝　０．１２３１２３１２３１２３・・・
どして？
詳しく解説ｷﾎﾞﾝﾇ

はんぶんのはんぶんをはんぶんにしていったら
けっきょくどうなるのでしょうか。

>>502
ちゃんと説明してみ。
(1)a_n(n=1,2,3,…)+b_n(n=1,2,3,…)はいくつ？
(2)a_n(n=1,2,3,…)>b_n(n=1,2,3,…)となる条件は？
(3)a_n(n=1,2,3,…)=b_n(n=1,2,3,…)となる条件は？
(4)普通の実数aはこれでどう表すの？

まぁ君には出来ないだろうけど。てきとーにしか考えていないんだから。

>508
動いている数は、無限小と無限大の２つしか設定しないので、例えば、
h_0 + h_0 = 2h_0 とか、h_0・h_0 = h_0^2 とか計算できます。
大小関係は、例えば、h_0^2 < 2h_0 とかですね。こういう簡単なのは
すぐに分かりますが、まぁ、ケースバイで検討することもあります。
等号の条件てのは何の話なのか分からないのですが、仮にいくつもの動いている数を
設定したとすると、数列が違えば異なるし、同じなら等しいというだけですよね。
実際は２つしか（逆数のなので実質１つですが）設定しないので、h_0 = h_0 だし、
等号うぬんは意味が分からん。
あくまでも、無限小と無限大の２つの動いている数しか設定しないので、普通の実数は
そのまま同じです。まぁ、１＋h_0とか、普通の実数と無限小、無限大の２つの動いている数との
多項式になるというだけのことです。
ひとつ、問題というか、無限小、無限大の２つの動いている数を導入するにあたって、
単調でない場合が出てくるというのがあります。例えば無限大h_i = 1/h_0 として、sinh_i なんてのは
とあるh_iの値（１０、１００、１０００）とかにおいては１つの値ですが、しかし、単調でない。-1<sinh_i<1 の間で
非単調に振舞うということになります。こういう場合、これと他の数との大小関係は決まりません。
これが、ひとつ、無限小、無限大という動いている数を導入する際の、従来との大きな違いになります。
ここで、それじゃぁダメだ、実数の公理を満たしていないからと言われるところでしょうが、
まぁ、僕としてはこれが「動いている数を導入した場合の実数」の性質だと言うほかはない。

ハイ電波！

小川さんが今まで誰の書いた本を読んできたのか知りたいです。
教えていただけませんか？

無限小という数を定義する。
h_0 = 2^-n (n=1,2,3,・・・)
0.999・・・ = 1 - h_0
無限小は動いていることに注意しよう。

無論、無限小自身は目には見えない。が、瞬間瞬間の値、というか、その軌跡は単に、
0.5
0.25
0.125
とかだね。
０、虚数、そして、無限小、今、君は数の歴史をまの当たりにしている。
んっがんん。

＞こういう場合、これと他の数との大小関係は決まりません。
＞これが、ひとつ、無限小、無限大という動いている数を導入する際の、従来との大きな違いになります。
＞ここで、それじゃぁダメだ、実数の公理を満たしていないからと言われるところでしょうが、
＞まぁ、僕としてはこれが「動いている数を導入した場合の実数」の性質だと言うほかはない。

自分で結論出してるじゃん。
「これは無限小さえ定義できればいいだけの自慰的理論です。それ以外には全く使えないです」って。

もう少し考えてみなよ。数列の集合使っても実数とほぼ同じ理論が作れるんだよ。

＞５１２
とあるひとつの議論において、無限小、無限大は１種類しか使いません。
２種類３種類を混在させても何にもならない。１種類で事足りるからです。
その例も、ひとつの無限小ですが、どうも、もっとも自然な１０＾−ｎが
何かと便利のようです。便利というか、結局、何でも設定してもいいんだが、
何でも設定していいとなると、逆に迷うよな。１０＾−ｎが自然だというわけだな。自然が一番だね。

＞５１３
いや、意義は、解析的な等号に対するアンチテーゼなんだね。それは本当に等号なのか？ってこと。
僕は等号を愛している。１＝０．９９９・・・　とか現代数学において正しいわけだが、
僕には、その等号は泣いているかのように感じる。等しいということの追求、正義の等号、僕は等号への愛をもって、
真っ直ぐな等号の確立なる任務を遂行する。

>511
数学の本はいくつか持ってるけど、あんま読まないつーか、読むと寝てしまうから。
持ってる本のタイトルと著者を全部挙げろってか？めんちいのぉ。やじゃ。
無限小、無限大のついては特にそういう分野の本はもってないよ。超準解析の本は
欲しい欲しいと思っているんだが、まぁ、自分で、てきとーに考えて間に合っているので、
手に入れていないんだ。

一冊くらいカキコしてよ。

＞５１６
「相対性理論」　佐藤勝彦著　岩波書店

数学の本だって言ってるのに・・・

>>514
＞いや、意義は、解析的な等号に対するアンチテーゼなんだね。それは本当に等号なのか？ってこと。
＞僕は等号を愛している。１＝０．９９９・・・　とか現代数学において正しいわけだが、
＞僕には、その等号は泣いているかのように感じる。等しいということの追求、正義の等号、僕は等号への愛をもって、
＞真っ直ぐな等号の確立なる任務を遂行する。
全部主観。単なる自己満足。

＞いや、意義は、解析的な等号に対するアンチテーゼなんだね。それは本当に等号なのか？ってこと。
＞僕は等号を愛している。１＝０．９９９・・・　とか現代数学において正しいわけだが、
＞僕には、その等号は泣いているかのように感じる。等しいということの追求、正義の等号、僕は等号への愛をもって、
＞真っ直ぐな等号の確立なる任務を遂行する。

　　　　ﾊﾊﾊ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｲｷﾃﾞｷﾈｰﾖ
　　　∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　ﾊﾗｲﾃ- 　　　　　　ｹﾞﾗｹﾞﾗ
.　　（　´∀｀）　＜　あほか　　　　　　　　　　∧＿∧　　 　　　　〃´⌒ヽ
.　　（ つ ⊂ ）　　＼＿＿＿＿＿＿＿　　　（´∀｀ ,,）､　　　　　（　＿　；）
　 　.）　 ）　） 　　○ 　 ∧＿∧ 　　　　　,, へ,, へ⊂）, 　　　＿（∨　∨　）＿
　　（_＿）＿）　⊂ ´⌒つ´∀｀)つ　　　　（＿（＿_）_丿　　　　　　し￣￣し
　　　　　　　　　　ﾀｯﾃ ﾗﾚﾈｰﾖ
　　　　　　　　　　　ﾜﾊﾊﾊ

＞僕には、その等号は泣いているかのように感じる。
禿同！！
禿同禿同禿同禿同禿同禿同禿同










　　　　　　　　　














んなこたぁない。

>とあるひとつの議論において、無限小、無限大は１種類しか使いません。
>２種類３種類を混在させても何にもならない。１種類で事足りるからです。
>その例も、ひとつの無限小ですが、どうも、もっとも自然な１０＾−ｎが
>何かと便利のようです。便利というか、結局、何でも設定してもいいんだが、
>何でも設定していいとなると、逆に迷うよな。１０＾−ｎが自然だというわけだな。自然が一番だね。

迷うと言う事は自然じゃないわけです。わかる？

んなこたわかってるからそういってん雀！

随分無駄なエネルギー使うね？

銀河鉄道９９９始まったし、無限軌道乗っちゃえば？

等号への愛は結構なのですが、
思ったとおり、ろくな本を読んでいないようなので正直なところ話にならんなと思います。

基礎の基礎ですが、小平先生や田島先生の書かれた解析入門をお読みになってはいかがでしょうか。
和書で読みやすいと思います。

>>493の定義は「(n=1,2,3…)」というのが何を表しているのかどうか
意味が分からない…というか本人も分かってないと思う。

少なくとも新たな数h_0とやらを導入しているのは確か。
次に瞬間瞬間の値が有理数とかほざいているけど、
だったらその有理数のどれでもない…有理数の演算はまるっきり使えない、つまり
全然問題無い。じゃなくて全部問題だと思う。

ついでに四則演算もこのままじゃ成り立たない。
1+sin(log_10(1/h_0)π-π/2)という数列は2,0,2,0,2,0…となるけど、本人の弁によるとこれは0じゃない。
しかしこれは0で除算する事が出来ない。だから体ですらない。
本来、超準解析なら0と2しか並ばない数列は0か2のどちらかであるのでこんな問題は起きないのだけど。

だからただ無限小入れたいだけなら端っから数列で表すべきじゃないよ。
ただ新たな数cを導入し0<c<1、0<c<1/2、0<c<1/3…という公理を付け加えれば
ちゃんと元の実数と同じように大小関係や四則演算が成り立つんだからさ。

逆に数列で表す以上は全部の数列を含んだ集合でちゃんと定義しなきゃ
↑のように何も出来なくなっちゃうよ。

ついでに0.999…が数列の極限ならやっぱり1になるんだけどね。
下手な定義で等号を泣かせてるのはむしろ小川君だね。

昔や今の数学者に丁寧に扱われてきた等号がほんと可哀相…

>527
例えば、１−h_0　の数値化は、
h_0　≒　０．１　のとき　０．９
h_0　≒　０．０１　のとき　０．９９
、、、、、、、、、、
と瞬間瞬間の値で計算できるんだね。

2,0,2,0,2,0… などは振動数と呼べばいいでしょう。
瞬間0のときは除算はできないが、瞬間２のときは除算できるというだけの話です。
動いている数ということでこういう従来の枠組みでは収まらないケースも出てきますが、
ことさら、悪意的に解釈しなければ、実際、致命的な問題はない。この意味で、無限小、無限大は
ウェルデファインドである。

>>529
ぜんぜん目新しいアイデアが無いよね。そういう時は
言葉を決めただけじゃ新しい事はなぁ〜んにも出て来ないよ。

>>529
何がwell-definedなのよ？
x=(2,0,2,0,2,0…)
だったらx(x-2)=(0,0,0,0,0,0,…)だけど
これは0なの？
0でなかったら致命的だし0だったら「x(x-2)=0 ⇔ x=0 or x=2」が成り立たなくなって
well-definedじゃなくなって致命的だよ。

ちょっと横レスついでに入れさせてくれ。
しかし「374=英語版の書き込みを見てさん」には悪い事をしてしまった。
もう一ヶ月ぐらい放置してしまってその間に別スレの223だの小川だのDQNな方々のレスで
すっかり埋まってしまったよ。

見てないかもしれないけど、一応レスはさせてもらうね。
あと小川を相手した後なので口調変わってるのは許してね。

>>365
「困ります」というのは言い方が悪かったです。
別に貴方の定義でも矛盾は起きないんだけど、そうやって行き当たりばったりの定義をしていくだけじゃ
超準解析で重要と思われる2つの事が使えないんだよ。

一つはモデル同値の原理。乱暴に言ってしまえば
「実数で成り立つ事は、そこで使われた記号を超実数の体系で解釈した場合も成り立つし、その逆も然り」って奴。

もう一つは共起性の原理。同じく乱暴に言ってしまうと
「ある条件の集合があった時、その中からどのように有限個条件を選んでもそれら条件全部を
　満たす数・集合が実数の中にある時、もとの条件全部を満たす数・集合が超実数にある。
　さらには超実数から有限個選んで成り立つ場合も超実数の中に全部の条件満たす数・集合がある」って奴。

んでこれら2つの原理が成り立つようにするためには
{An} <= {Bn} <=> {n| An <= Bn}∈I
{An} >= {Bn} <=> {n| An >= Bn}∈I
と同じように
{An} = {Bn} <=> {n| An = Bn}∈I
と定義すればいいんだよ。
ようはどんな二項関係prに対しても
{An} pr {Bn} <=> {n| An pr Bn}∈I
と定義してしまえばいい。これはn項関係に対しても同じね。

>>389
超準解析のメリットの中には上に挙げたように２つの原理が成り立つ事があると思う。
こういうのが成り立つおかげで無限というのをもう少し身近な物として扱えるんじゃないかな。

＞５３１
０ですね。で、ｘ＝０　or ｘ＝２　を満たしていますが何か？

n = 0.999999・・・　 (1)
10n = 9.99999・・・ (2)

(2) - (1)
9n = 9

よって
n = 1

＞５３２
んなぁ、原理はしらねぇ。
が、具体的に、例えを示してくらはい。

１に近づく。

実際の所0.9999999999999999999999999999・・・・・は
「息苦しいんでどうしようもないから仕方ないから１として扱わせて下さい」って
程度の物だとうちの名誉教授は言っていた

だから俺も仕方なく１として扱わせて頂いている

1>0.999999...と主張する人は
1-0.999999...はいくらなのか示してください。

>>534
＞０ですね。で、ｘ＝０　or ｘ＝２　を満たしていますが何か？
んじゃ一々
＞2,0,2,0,2,0… などは振動数と呼べばいいでしょう。
なんて言わないでよ。これは2か0なんでしょ？
このようにして1と0が並ぶ数列は1か0って事になる。
そうすると大小関係定義出来るよ。

適当な数列x={x_1,x_2,x_3,…}、y={y_1,y_2,y_3,…}があったとする。
この時x_n<y_nだったらa_n=1、x_n>=y_nだったらa_n=0とすると
a={a_1,a_2,a_3,…}は1と0が並ぶ数列だから1か0だね。
aが1だったら全てのnに対して(x_n-y_n)*a_n-(1-a_n)<0でa=1だからx_n<y_n。
aが0だったら全てのnに対して(x_n-y_n)*(1-a_n)>=0でa=0だからx_n>=y_n。

但し(0.2,1,0,1,0.01,3…)と全部0以上の数列は0以上とかいうのを使ったけど
これは君自身が言った事だよ。

こうやって必ず数列に対して大小関係が定義出来るし、
他の関係も成り立つ。
つぅかこれぐらい考えてみなよ。

[命題]　1≠0.9999･･･である
[命題の証明]
最大の正の実数をｎとする。・・・・・（１）
（１）より　　ｎ＾２≦ｎ・・・・・（２）が成り立つ。
（２）の両辺をｎ（＞０）で割ると、
　　　　　　　ｎ≦１・・・・・（３）を得る。
ｎは最大の正の実数、１は正の実数であるから（３）よりｎ＝１
一方、２＞0.9999･･･であるから0.9999･･･は最大の正の実数ではない。
よって1≠0.9999･･･である　□
なんでこんな簡単なことがわかんねーんだよ

>>536
あんた誰？

[命題]　1＝0.9999･･･である
[命題の証明]
最大の正の実数をｎとする。・・・・・（１）
（１）より　　ｎ＾２≦ｎ・・・・・（２）が成り立つ。
（２）の両辺をｎ（＞０）で割ると、
　　　　　　　ｎ≦１・・・・・（３）を得る。
ｎは最大の正の実数、１は正の実数であるから（３）よりｎ＝１・・・・・（４）
次に０.１≦１だが、両辺に１０をかけると１≦１０。だが１は最大の正の実数なので
１＝１０より０.１＝１である。
一方、０.１≦0.9999･･･であるから0.9999･･･≧１となる。同じようにして1＝0.9999･･･である　□

>>541
アホですか？

[最大の正の実数]ってなんやねん

吉田もまだネタとして使うには知名度が不十分というこった

1=0.999999999.........
を否定する人は、
0=0.000000000.........
も否定するのだろうか？
その人達にとって、
x=1-0.9999999999...............
の値は何になるのだろうか

もちろん否定、つぅか0.000…を0より大きいけどあらゆる正の実数より
小さい数として定義してる。んでそれがx。そして0.999…を1-xで定義する。

もちろん実数の集合内じゃこんなん無理だから、
実数より大きい集合で考えてるわけだけど。

おまいら、これ読め
「無限論の教室」　野矢茂樹　著　講談社現代文庫　

無限は数でも量でもありません。僕だ出会った軽くて深い哲学講義

このスレは５００を超えますた。
　好い加減終ろうよ

>>547
0より大きいけどあらゆる実数より小さい数 x が存在
すると仮定すると、任意の実数 ｎ > 0 に対して
x/n > x
よっていかなる実数も1より小さいことが証明できる。
あなたは、1は実数ではないし、1より大きな実数が
存在しないと主張してるのですか?

>>550
だから実数より大きい集合を考えて、
その中の正の実数全てより小さい数xを取ってきてるんだってば。
「x/n」も実数じゃない以上「x/n > x」は成り立たない。
頼むからもうちょっとレスを読んでくれ。

上の方に数列を使って実数と同じような性質を持つ集合を考えているから
それを見てくれ。

>>551
１，0.9999.....は共に実数だからx=1-0.9999.....も当然実数

>>552
0.999…も実数に入らないんだってば。547では0.999…を
実数の数列の極限値として定義してないのよ。
ホントにキミ、文を良く読んでくれないか？

トンデモくんが発生中ｗ

>>547
∀a∈(0.∞)に対して
0<x<aなるxを0.00000....と書くと貴方は言っているんだよね。

貴方がいうにはxは実数でないと。
実数と実数でないものを比較するわけだから
この定義の不等号 「<」をどういう風に定義しているのか
教えてください。

ていうか、超準解析とか超実数の話なら、別スレ建てたら？
普通の実数とごっちゃになって分かりにくいだろ。

>>556
超準解析とか超実数とかぜんぜんわからん。

>>547
は大学の数学を学んだひとなの？

空想世界に入りこんだ人を相手にしてもね。

>>556
そうでない話は既に語りつくされてしまった感もあるのだが‥

動いているんだってば、なんで、こんな簡単なことがわからないかなぁ。
イメージしてよ。

>>561
数学においてイメージは大切ですが
イメージで理論は組み立てられません。
勿論、証明もできません。

しかも今井にも及ばないトンデモイメージ。

論点ズレまくり

>>564
おまえがずらしたんだろ。
超実数とか分かってるか？

超実数とは動いている数である。
でだ、振動数とかあるわけだけど、これは従来の実数の公理を満たさない。
が、実数論としての解釈（瞬間瞬間の値としてみる）をすれば何ら問題はないと
いうこと。
動いている数という原理を理解できるかが、超準解析を理解できるかどうかの鍵だじょ。
ちなみに、超準解析はひとつではないｗ
まぁ、僕のh_0,h_iによる超準解析が最も簡単明瞭だがな。なんてったって高校数学レベルでしからね。
近々、ＨＰにアップするので楽しみにしてろ。（リニューアルで再アップなんだが）
ウヒャヒャ

面白い結果も無いのにさぁ、言葉だけ決めてどーすんのかなぁ。
無駄だよねぇ。フシギフシギ

結果が先にあるわけねぇだろあふぉ。

実数列A=(a_n)の集合に(a_n)=(b_n)⇔{n∈N | a_n=b_n}∈I　（Iは>>354参照）
という同値関係を入れて作られる商集合をR*と書いて、
まずこれで超実数の定義をする事にするよ。

次にR*内での順序の定義を(a_n)≦(b_n)⇔{n∈N | a_n≦b_n}∈Iとすれば、
これが>>359-360>>364>>532-533よりR*は全順序集合になる。

ちなみにこの集合内で実数xに対応する元は(x_n=x ∀n∈N)ね。

∀a∈Rに対して0<a→0<x<aなるxは(0.1^n)とでもすればいい。

>>555
569は555へのレスね。
あと小川の言ってる事は無視してね。

あれは540すらも理解出来ない彼が定義ですらない電波の決め付けに
よって作ったオナニー解析だから。

５４０って、反復してるだけじゃんｗ
瞬間瞬間の値で比較すれって言ってるじゃんよ。特別な定義はいらない。

>568 名前：小川 ：02/10/19 21:01
>結果が先にあるわけねぇだろあふぉ。

こういう所、今井と同じだよねぇ。将来的ヴィジョンも無いのに、
言葉を既存のものとちょっと変えて喜んでるだけ。アホラシ

何を反復しているか、何故反復なのか言ってみ。無理だろうけど

>>572
むしろ彼の方がまず結果を優先してる(>>514、>>566後半をみたす事を優先したいだけ)。
普通なら結果が役に立つかどうかよりもそれがきちんとした言葉で定義されているかどうか
を優先するもの。

＞５７２
またズレてるし、、、

＞５７３
分からなければそれでいいんじゃないの。別に。まぁ、お互いさまだけどなっ！

５６７ＶＳ５７４
ファイトっ！

>>575
お互い様って…あなた結局分かってないのですね。
大体「大小関係が必ずしも成り立たない」⇔「大小関係が必ず成り立つ」って感じで
結論からして違うのに反復のわきゃないでしょ。

せめて等号の定義だけでいいから言ってくれ。
何も分かってないなんてオチは悲しすぎる。

>>576
君はホント読解力が無いんだね。
574と567は相反しないよ。
君は面白くもない結果を得ようと言葉を「書いてるだけ」なんだよ。頭に何の考えも無く。

＞５７７
超実数の瞬間瞬間の値は実数なんだから、等号などは瞬間瞬間に実数とまったく
同様に決められる。
ある超実数、イ、ロが合った場合、
瞬間、イ＝ロ　のときもあるし、
瞬間、イ＞ロ　のときもあるし、
瞬間、イ＜ロ　のときもあるし、
ってこと。
実数の顔色を伺うような超実数はきょうびはやんねぇんだよゴラァ

反復っていうのは君の５４０の定義が反復になっているだけで、定義になってない
といってるの。
＞x_n<y_nだったらa_n=1、x_n>=y_nだったらa_n=0とすると
＞、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
＞aが1だっったら、、、x_n<y_n、aが0だったら、、、、x_n>=y_n。
ｗ

＞５７８
きれいな矛盾だね。
さわやかぁ〜

オガワ〜、病院から貰った薬飲んで早く寝ろ〜

>581
はにゃ〜ん
きゅっ！

にしても、ガンダムシードいいっすねぇ。
でも、見た後うつになって少し寝た。
おれも、ガンダムみたく空をほんとうに飛べるのかなぁって。
神はそれぐらいの幻は用意してくれてるよなっ！
なっ！
まぼろしまぼろしっと。

小川って本当に「若くてつまらない今井」にしか過ぎないな。

>>579
数列全体で一つの数を表してるんだよ。
数列の中の項と数列全体の区別も付かないなんて…君は馬鹿ですか？
>>569を見て違いに気付いて欲しい

それと等号関係ってのは「a=b」であり「a≠b」である、なんて事はないんだよ。
君は瞬間的に「a=b」で瞬間的に「a≠b」である、とか電波を振りまくだけで
結局どっちになるか言えてないんだよ。
ようは等号関係が全然定義出来ていない。等号が泣いてるよ？可哀相に

一つ、成立するということと解釈するということの違いをわきまえるベシッ！
二つ、数式以前に論理感覚を養うベシッ！
三つ、人を見ずに、真っ直ぐと数を見るベシッ！

おおきくなれよぉ〜

えと‥このスレで論議したい皆様へ
小川は無視してください。話が先に進みません。

>>585
電波に逃げるんだね。結局。

>>586
だって進める話も無いし。
これで質問してくれる人でもいればいいんだけど。

ていうかこの題って
1≠0.999・・・
ということを前提にして
話を進めるって事じゃなかったっけ？

それが前提で何の話をするの？
つぅか一体どこを読めばそういう解釈が出来るのよ？

>483 ：小川 ：02/10/14 23:22
>無限小という数を定義する。
>h_0 = 10^-n (n=1,2,3,・・・)
>0.999・・・ = 1 - h_0
>無限小は動いていることに注意しよう。
>
>無論、無限小自身は目には見えない。が、瞬間瞬間の値、というか、その軌跡は単に、
>0.1
>0.01
>0.001
>とかだね。
>０、虚数、そして、無限小、今、君は数の歴史をまの当たりにしている。
>んっがんん。

アタマ悪すぎ（藁

必死だなｗ

結局、結論は出たの？

＞>527
＞例えば、１−h_0　の数値化は、
＞h_0　≒　０．１　のとき　０．９
＞h_0　≒　０．０１　のとき　０．９９
＞、、、、、、、、、、
＞と瞬間瞬間の値で計算できるんだね。

これ何？

>593
h_0の瞬間値で１−h_0の瞬間値を表しているということだな。
で、h_0は０．００１、０．０００１、とずっと動き続けるのだから、
１−h_0も０．９９９、０．９９９９、とずっと動き続ける。
だから、
０．９９９・・・＝１−h_0　と書けるのだよ。
動いている数という理解をとっととしてくり。

小川とか今井とかアタマ悪い奴ほど自分の変な論理にこだわる。
そして、危なくなると電波な発言に逃避。
数学が出来ないのは恥ずかしくないけど、性格病気なのは恥ずべきだよ。
それが出来ないとすると、人格障害なんだろうね、やっぱり。

トンデモ小川は無視すること。
今井の出来そこないはいらん。

>>553
あなたが0.999....をどのように定義しようと、0.9999999...が実数である
ことにかわりはないと思うのですが。

＞５９７
僕の方への反論は止まっているようなので、５５３の変わりに大便しよう。

０．９９９・・・は実数論の立場においては実数だし、超実数論の立場においては超実数だというだけのことでし。
既出だろうが、このスレの結論は
０．９９９・・・＝１　　（実数論の立場）
０．９９９・・・＝１− h_0 ≠１　（超実数の立場）
というわけだよ。

ここで、「いや、超実数の立場でも０．９９９・・・＝１ですよ」という
トンチンカンが現れるに１００ペソ！

考えてる集合がどうであれ、極限値と定義してしまえば0.999…=1となるからね。
実際∀a∈R∃n∈N（0<a → |1-Σ[1≦k≦n]9*10^(-k)|<a ）という命題は
ここで使われてる集合R,Nをそれぞれ超実数の集合R*、超自然数の集合N*にした場合も成り立つしね。

>>597
598を見ずに単純に考えてください。
547は0.9999999...が実数より大きい集合内の実数でない元として定義されてます。
それと貴方が555でなければいいなと思います。

>>594
あのさ…君はただ文を並べていって、
その中で君の言う「動いてる数」に該当する場所を変えているだけのを
超実数論などと言ってるの？まさか。

>599
超実数を使う場合の極限は近づいていく先の値を指すのでなく、その値自身を
表すのだから、極限を取って０．９９９・・・＝１とかいってるの見てらんない。
それにその命題だけど、例えば、h_0 > h_0^2 とかだし。

＞６０１
あなたの日本語がいまいち意味不明瞭なんだが、まぁ、無限小、無限大という２つの動いている数を
新たに導入するのが超実数論なんだが。

＞６０１
日本語勉強したら？？

とりあえず＝の定義と、０．９９９・・・・の「・・・・」の定義を明らかにしてくれ。
+0と-0は違うよ、とかいう話？

＞６０４
とりあえず、＋０とー０の定義をしてくれｗ

＝と・・・の定義ですか、なかなか難しいなぁ。ことさら、必要なのかよって気もするが。

＝の定義は、ある元aがウェルデファインドな演算によって元ｂと計算され、かつ、それが可逆なとき、
a=b と書く。なお、a=a は明らかとする。

・・・は実数論では実無限を表す。超実数論では可能無限を表す。

>>600
あなたの言ってることは、例えとして
「林檎は普通、果物の集合の1要素だが、ここでは食物という集合を
定義して、その要素の一つとすることにする。だから、林檎は果物で
はない」といってるのと同じように聞こえます。

あなたが0.9999....をどのような集合の元と定義しようが構いませんが、
それだけでは0.999...が実数でないとはいえません。

>>605
演算のところでいうウェルデファインドって？
例えば極限を取るという演算も、ウェルデファインド？

　で、・・・を実数論で実無限を指すって考え方が、他の人とはまずかみ合っ
てない気はする。
　その上で超実数論では何故可能無限なの？

>606
え〜、超実数に含まれる実数には従来の極限を経たものは入らない。
例えば、０．９９９・・・は超実数に含まれる実数には含まれません。
なぜ、このようなことになるのかというと実数と超実数では違う極限を使うからに他なりません。
従来の実数の集合と超実数に含まれる実数の集合は異なるのです。デリケートな状況だが、極限が岐路に
なっていることは明確ですから、んなぁ難しいことではない。

＞６０７
僕は君の先生でもないし、君に学ぶ気があるのか、素養があるのかも知らん。
ので、対等に議論できるレベルでないのなら口出し無用だぜ、べいびー。

君たちはなぜ知的障害者の相手をしているのかね？

1=0.9999といわれるときの「割り切れなさ」は、例えば
√２を連分数で表すときの割り切れなさや、πを級数展開
するときの割り切れなさに通じるものがあるね。
あるいは、定規とコンパスで角を三等分しようともがく
ときの感覚とか。

ところで、極限をとるという操作は最終地点を指定するという意味ではない。
実際には、範囲をいくらでも絞りこめるならば、それだけで「最終地点がある」
としちゃってるんだね。で、「＝」は、差をいくらでも小さくできるという
意味で使ってるんだね。

詐欺？いや、実数の定義がそうなってるからさ。
でも、そんなんでいいのか？といわれると、
まあ、実用上問題ないからいいんじゃないと
答えるしかないわな。

数学も肝心なところでは御都合主義だよな。

>>606
まぁ確かに君の言う通りなので説明しとく。
まず、>>354>>569を最初に見ておいてくれ。
ここでは{A⊂N|Aの補集合は有限集合}となるような集合N0を含むIを考える事にする。
このようなIはツォルンの補題より存在する事が分かっている。

その上で(a_n)=(0.9,0.99,0.99,…)という数列を0.999…の定義とするよ。
すると任意の実数xに対し、それは(x_n)=(x,x,x,…)と表せるから
{n∈N|a_n≠x_n} は N,もしくはNから一つ元を取り除いた物となる。
前者の補集合はφ、後者の補集合は有限集合なのでIの定義より共にIに属さない。
よって前者も後者もIに属するので(a_n)≠xと成り立つんだよ。

だから(a_n)はどの実数とも違う事が分かる。

全然場の空気を読んでないけど

もう多数決で決めちゃえばいいじゃん

んーわけわかめ

>>101
それが第一段階目の核心ですよね。有限か無限か。無限に続くとはなにか。
極限の定義を考える前段階で、
最後の「…」が何を表現しているのかっていうところから入ってもいいと思います。
その話なら算数好きな小学生にもわかってもらえる。

てか、小４対象の授業で「未満」と「以下」の違いを教えるときに、
必ずその話してます。

http://yahooo.s2.x-beat.com/

>>602
説明が足らなかったか。
実数で極限を取るのを超準解析でどう解釈するか、って話じゃなくて
超実数の集合の中で超実数の数列に対して同じような事を考えるとやっぱり1になるって事だよ。

例えば実数の数列と同じようにh_0, h_0^2, h_0^3…と並べていくと0に近づくよね？
そういう話をしているだけだよ。

＞実数と超実数では違う極限を使うからに他なりません。
等と君は極限の説明も無しにいきなりこんな事を言うもんでつい勘違いしてしまったよ。

＞それにその命題だけど、例えば、h_0 > h_0^2 とかだし。
「∀a∈R∃n∈N」これのRは実数の集合という意味ね。小川超実数は入ってないから。

ついでに
＞h_0の瞬間値で１−h_0の瞬間値を表しているということだな。
＞で、h_0は０．００１、０．０００１、とずっと動き続けるのだから、
＞１−h_0も０．９９９、０．９９９９、とずっと動き続ける。
＞だから、
＞０．９９９・・・＝１−h_0　と書けるのだよ。
＞動いている数という理解をとっととしてくり。

は「xをどんどん小さくしていけば1-xは1にはならないけど限りなく1に近づいていく。」以上の
意味を持っているの？

君の今までのレスを見る限りは「解析的な等号に対するアンチテーゼ」が目的のようだけど
"0.999…"と等号の定義を変えたんじゃ今までの理論を否定した事には全くならないよ。
それでも君の定義する等号の方が妥当性がある事が認められれば別にいいのだけど、
今の所君の定義するものに乗り換えようとしてる人は………

［問題］
０．９９９・・・に、無限小な数を加えることで、
１より大きくすることができることを証明せよ。

１＞０．９９９・・・だったのなら０．９９９・・・に差を２回足せば１より大きくなる。
１＝０．９９９・・・だったのなら無限小を足せば当然１より大きい。

循環小数については厨房の頃考えたことがある。

0.111……＝1/9
0.121212……＝12/99
0.123123123……＝123/999

であるが、このやり方でいくと、

0.999……＝9/9＝1

と、なってしまう。しかし、

　0.999999……
　--------
9）9
　 81
　 ---
　　90
　　81
　　---
　　　90

と、いうこともできる。
ちなみにスレとは関係ないが、

0.444……=4/9＝44/99＝444/999

などという不思議な現象もあったりする。

「4/9＝44/99＝444/999」
これ自体は不思議じゃねぇ。絶対不思議じゃねぇ。

>>623
確かに。
今思いついて書いたものが、厨房の頃より脳力が落ちてると実感。
欝なんで、光ファイバーで吊ってくる。（自慢）

線に太さが無い事とか円とそれに接する直線との為す角が0度とか、
そういうのも不思議に思う人って結構いるんだろうな。
それとか確率で無限が絡んでくる場合とかでもこのような事例はあるし。

定義ってのは非常に重要なんだと改めて認識する。

超実数とか準解析の話にいまなってるみたいだけど
実数では１＝０．９９９・・・はもう解決したんでしょ

時には自分で考える事も大切さ

小川君、飽きちゃったか

小数点以下第n位まで9の続く0.999…は、

(10^n-1)/10^n

と、表すことができる。
n=∞のとき、

10^n-1=10^n

ならば、

0.999…＝1

なんだが…。
無限ホテルのパラドックスを思い出す。
http://www.ed.noda.tus.ac.jp/~j6102609/inf4.html

〜〜〜今日はここまで考えた。〜〜〜

>>629
n→∞のとき
10^n-1,10^nは実数じゃないだろ。
何で比較できるんだよ。

>>630
そうか、スマン。
ようするに考えたのは、
(10^n-1)/10^n
のところだけだ。
あとは、無限ホテルのエピソードにつなげたかっただけ。

nが∞のとき(10^n-1)/10^nが1ってこと？

>>632
1に近づく

>>623 >>624
そう？初めて知った俺には面白いと思うが・・・。

4/9=8/18=12/27=16/36=20/45=24/54=28/63=32/72=36/81=40/90=44/99

>>635
なぜかﾜﾛﾀ

なるほど
4/9 = (4*11)/(9*11) = (4*111)/(9*111)
ってことがいいたいのね。

もうちょっと不思議感の大盛りｷﾎﾞﾝﾇ

特盛汁ダクで〜！！

【不思議の】循環のメカニズム【特盛り】

�@0.aaa…で表される循環小数について考えてみた。
0.aaa…=a/9
a=(9a+a)/10　であるから、
a/9={(9a+a)/10}/9
　　=(a/10)+(a/90)
　　=(a/10)+[{(9a+a)/10}/90]
　　=(a/10)+(a/100)+(a/900)
　　　　:
　　=(a/10)+(a/100)+(a/1000)+…
　　=0.aaa…

�A0.abcabcabc… 三桁の循環節がある場合。
0.abcabcabc…=(100a+10b+c)/999
a=(999a+a)/1000、b=(999b+b)/1000、c=(999c+c)/1000　であるから、
(100a+10b+c)/999
　　=(100a/999)+(10b/999)+(c/999)
　　=(100/999){(999a+a)/1000}+(10/999){(999b+b)/1000}+(1/999){(999c+c)/1000}
　　=(a/10)+(a/999000)+(b/100)+(b/9990000)+(c/1000)+(c/99900000)
　　　　:
　　=(a/10)+(b/100)+(c/1000)+(a/10000)+(b/100000)+(c/1000000)+…
　　=0.abcabcabc…

ついでにｎ進法の場合について考えてみた。

0.aaa…=a/(n-1)　と表すことができるが、
a={(n-1)a+a}/n であるから、
a/(n-1)={(n-1)a+a}/{n(n-1)}
　　　　 =(a/n)+[a/{n(n-1)}]
　　　　 =(a/n)+[{(n-1)a+a}/{(n^2)(n-1)}]
　　　　 =(a/n)+(a/n^2)+[a/{(n^2)(n-1)}]
　　　　　　:
　　　　 =(a/n)+(a/n^2)+(a/n^3)+…
　　　　 =0.aaa…

三桁は省略。
〜〜〜今日はここまで〜〜〜

１＋１＝２
２＋３＝６

よって
1=0.99999999999999999999・・・・・・・・・

自明と

全スレ読みましたが、どなたか
数学的な「無限」の定義をお教え願います。

集合Xが無限集合⇔Xの部分集合Yで、自然数全体の集合Nと
　　　　　　　　　1対1対応がつくものが存在する。

　味気ないけど、これが"無限"の定義

＞６４４
なるほど。有難うございました。

>>640の手法で>>622を数学的に示すことができる。(自己レスですが)

9=(9*9+9)/10　であるから、
1=9/9={(9*9+9)/10}/9
=(9/10)+(9/90)
=(9/10)+[{(9*9+9)/10}/90]
=(9/10)+(9/100)+(9/900)
:
=(9/10)+(9/100)+(9/1000)+…
=0.999…
∴1=9/9=0.999…
n進法においては、
n-1={(n-1)(n-1)+(n-1)}/n であるから、
1=(n-1)/(n-1)={(n-1)(n-1)+(n-1)}/{n(n-1)}
={(n-1)/n}+[(n-1)/{n(n-1)}]
={(n-1)/n}+[{(n-1)(n-1)+(n-1)}/{(n^2)(n-1)}]
=(a/n)+{(n-1)/n^2}+[(n-1)/{(n^2)(n-1)}]
:
={(n-1)/n}+{(n-1)/n^2}+{(n-1)/n^3}+…
∴1=(n-1)/(n-1)={(n-1)/n}+{(n-1)/n^2}+{(n-1)/n^3}+…

と、3日間自分なりに考えさせてもらいましたが、その感触として、
1=0.999…　というより0.999…という表記法自体に疑問を感じるに至りました。
分母を0にしないのと同様に、これは禁則扱いとすべき問題なのではないでしょうか。
よって結論。

・特殊循環小数理論
　10進法における循環小数については9を循環節としない。
・一般循環小数理論
　n進法における循環小数についてはn-1を循環節としない。

確かに9を循環節表記する事で実数の表記が一意的でなくなる。
だから一意的に決まらないと困る場合はそういう表記を
避けるようにするけど、だからって君の都合で一般的にも
禁止されちゃうのはやり過ぎってもんだよ。

届きそうで届かない。ううう。

なので

0.9999999999999999999999999999・・・

は

１

ではない。

9/2 = 4.5
2/9 = 0.222... = 1/4.5

9/4 = 2.25
4/9 = 0.444... = 1/2.25

9/5 = 1.8
5/9 = 0.555... = 1/1.8

9/6 = 1.5
6/9 = 0.666... = 1/1.5

9/8 = 1.125
8/9 = 0.888... = 1/1.125

逆数って知ってる？

改訂版。（で、たぶん決定版）
>>454を数式化してみた。

　 9+1
1=── であるから、
　　10
　 9+1　　　9　　1
1=── = ─ + ─
　　10　　 10　　10
　　 9　　9+1　 1
　=─ + ──・─
　　10　　10　　10
　　9　　　 9　　　 1
　=─ + ── + ──
　　10　　100　　100
　　9　　　 9　　　9+1　　1
　=─ + ── + ──・──
　　10　　100　　 10　　100
　　9　　　 9　　　　9　　　1
　=─ + ── + ── + ──
　　10　　100　　1000　 1000
　　　　：
　　9　　　 9　　　　9　　　　9
　=─ + ── + ── + ─── + …
　　10　　100　　1000　　10000
　=0.9999…

∴1=0.999…

n 進法においては、

　　(n-1)+1
1=──── であるから、
　　　　n
　　(n-1)+1　　 n-1　　 1
1=──── = ── + ─
　　　　n　　　　　n　　　 n
　　 n-1　　(n-1)+1　1
　= ── + ───・─
　　　n　　　　　n　　　n
　　 n-1　　 n-1　　　1
　= ── + ── + ──
　　　n　　　 n^2　　 n^2
　　 n-1　　 n-1　　(n-1)+1　　1
　= ── + ── + ───・──
　　　n　　　 n^2　　　　n　　　n^2
　　 n-1　　 n-1　　 n-1　　　1
　= ── + ── + ── + ──
　　　n　　　 n^2　　 n^3　　 n^3
　　　　：
　　 n-1　　 n-1　　 n-1　　 n-1
　= ── + ── + ── + ── + …
　　　n　　　 n^2　　 n^3　　 n^4

　　　 n-1　　 n-1　　 n-1　　 n-1
∴1= ── + ── + ── + ── + …
　　　　n　　　 n^2　　 n^3　　 n^4

>>648
差はありそうで、無い

　1/3=0.33333…
+)2/3=0.66666… 足して
　1=0.99999…

これで納得できたがなぁ。
右辺の計算で繰り上がりがないのは自明だから頭から計算できる。って教えられた。

>>654
高校までは1/3と0.3333...を同一視するための前提なんてとこまで
考えないからなあ。

昔は「無限に近づくってのも＝に含まれるんだ」と納得してた。

俺が思うに0.33333…はあくまで計算上のことで答えにたどりついていないから
３をかけるのはまだ早いってことで
１
―≒０.３３３３３３３
３
計算途中の0.333…に３をかけることは不可能（？）ってかんがえると
１
―×３＝１÷３×３
３
これではだめなんすか？
単純スマソ

数字ってのは一つの決まった数で、
計算途中も計算完了もない。

1=0.9999…なら
最初から1=1と書けばいい

>>659
そーですね。

>>549
超準解析だそうだ。

だー誤爆

>>659おまい！まぎらわしいんだよ！

知るかボケ

知るかぼす
　えーとですね、かぼすはですね、えーと・・・!! 健康に良いです。

なんですか？この駄スレは…。

9進法で考えれば小数点が出ずに考えられるだろう？

または、連続する実数は表記できない。
1と0.9999…のあいだに入る実数は無い。
よって2つは同値である。

664の頭の中では「0.999…」がどのように定義されてるか気になる。

0.9と書いてある時点で１に負けを認めたのではないのかね？

「…」というのをまともに定義しない時点で、それをまともに定義した結果に負けを認めてるんだけどね。

http://saki.2ch.net/kouri/kako/997/997231133.html
http://saki.2ch.net/kouri/kako/997/997982451.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/973/973095099.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/985/985444076.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/988/988468600.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/997/997740296.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/998/998233109.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/998/998857461.html
http://cheese.2ch.net/math/kako/1001/10016/1001663346.html
http://natto.2ch.net/math/kako/1004/10048/1004837995.html
お化けスレより。これらと比べてみると、最近はﾄﾞｷｭｿよりﾄﾝﾃﾞﾓの方が多いなぁ…

0.999999999・・・・・・ を
Σ0.9(0.1)^n (n=0から∞）　　という数列の総和として考えるとする

Σar^n (n=0から∞)　　という等比数列の総和の公式が　　　　　
S=a/(1-r)　　　だから
a=0.9 r=0.1 　とすれば
S=0.9/(1-0.1)　で
S=1

ってダメなの？ＤＱＮ記法になってるかもしれないのでその時はスマソ

＞６７０
数学的には正しいけど、このスレでは不適。

0,9999...＝>>１ってことで
ーーーーーーーーーーーーーー糸冬アーーーーーーーーーーーーーーーーー

>>670
君の知っている公式の証明は、
＞x=0.9999999999.....　　　�@
＞とおく。
＞両辺を10倍して
＞10x=9.999999999......　　　�A
＞�Aから�@を引いて
＞9x=9
＞∴x=1
と同じような感じになっていないかい？
そうだったのなら、「......」って省略についてよく考えてみるといいかも。

>>654
＞　1/3=0.33333…
＞+)2/3=0.66666… 足して
＞　　 1=0.99999…

わかりやすくていいね。

1
=1/9
+11/99
+111/999
+1111/9999
+11111/99999
+111111/999999
+1111111/9999999
+11111111/99999999
+111111111/999999999

　小数が何か分からないならこれ関係の証明も全て無駄かと。

age

1/3=03333333333333……
という事実を踏まえて
両辺に*3をする
1=0.99999999999999……

＞６７８
ぷっ

＞６７９
ぽっ

９÷９

　0.９９９９９９９・・・
＿＿＿
9)９.0・・・
　８１
　　９０
　　８１
　　　９０
　　　８１
　　　　９０
　　　　８１
　　　　　９０
　　　　　８１
　　　　　　９０
　　　　　　８１
　　　　　　　９０
　　　　　　　８１

既出だったね

　０.９９９９９９９・・・
＿＿＿
７)７.0・・・
　６３
　　７０
　　６３
　　　７０
　　　６３
　　　　７０
　　　　６３
　　　　　７０
　　　　　６３
　　　　　　７０
　　　　　　６３
　　　　　　　７０
　　　　　　　６３

数値としては同値ではないが、
極限としての同値だから＝が用いられるってことで
いいんじゃないの？

この場合、＝が極限値を表してるのではなく…が極限値を表してるんだと思うが

じゃあ、

f(x)=x^2 　　　　だとかで
lim{f(x+h)+f(x)}/h=2x
h→0
　　　　　　　　　　　の場合の＝はどうなるんだ？

limはlimit(極限)の略。

じゃあ
０.９９９９９９９・・・
も、リミットだな。
1/2+1/4+1/8+...とか書くのと一緒で。
＝＝＝＝終了＝＝＝＝

lim(f)は有限値と解釈して問題ないよ。
ただ、lim(f)が発散するときはちょっとやっかい。
＝の記号を使うことは疑問なので。

「lim(f)は発散」とか、書いとけっ！
って違うか？
＝はまずいよな。

limという記号の発散する数列に対しての扱いって、てきとーな気がする。

大学の数学科の講義で　１＝０．９９９９９９９・・・
と教わった。

Ｋ田教授曰く「引き算をしてごらん、いつまでたっても０でしょ」

同じ物をあらわす別の表記法なのだと。

>>242
[×] 1 / 3 = 0.3333･･･
[×] 1 = 0.9999･･･
[×] 1 / 3 * 3 = 0.9999･･･
[○] 1 / 3 * 3 = 1
[○] 0.3333･･･ * 3 = 0.9999･･･

俺はこう思う。
[○] 0.3333･･･ * 3 = 1

[×] 0.3333･･･ * 3 = 1

間違った。最後はこうね。

>692

0.000000・・・＝0？

0でしょ

>>695

1.000000・・・＝0!

>697
なるほど

>698
ザ・

>699
できるな！

　ワ　ー　ル　ド

スレは止まる！！

>700
秋の祭典スペシャル！

>>702
恋人探し

お前らε−δ論法知らないの！？

>>703
恋人選び

おまえのかあさんニュートンそっくりだな

知らないのはおまえだろ。>>704
この話題になんの関係があるのか説明してみ。

おっぱい晒した女子高生、ジャージで学校ばれる
http://wow.bbspink.com/test/read.cgi/girls/1037885400/l50

ＭＸで共有しる！

>>707

じゃあお前さんが 0!=1を説明してみ。

証明する物とはチト違うような気がする。

何か『小数部分が限りなく続く分数ってありますか？？

1=1.0000…
2/7=0.285714285714…
とかじゃ駄目なの？

このスレまだあったんだ。。。。。。

669で挙げた過去ログ見てて面白い奴見つけた。
http://saki.2ch.net/kouri/kako/997/997982451.html
の167。

是非とも数学板に来て自分の考えを主張して貰いたいものだ（藁

ミスった…
http://saki.2ch.net/kouri/kako/997/997231133.html
の167ね。
>>714のリンク先には167なんていないし

あの、等比級数の和の極限でやるやつって、
もともとは、
S=lim(1→+∞)[a(1-r^n)/(1-r)]
ってやつだよね？
だったら、結局、
1=lim(1→+∞)[0.9(1-0.1^(+∞))/(1-0.9)
としかあらわせられない？

"としかあらわせられない？"って限定する理由は？
それがそのまんま普通の0.999…の定義なんだけどな。

0.999･･･というのは脳内だけに存在するものなので
取り扱いは人により異なりまつ。

0.999999・・・
=��0.9*0.1^(n-1)　(n=1〜∞)
=0.9{(0.1^∞)-1}/(0.1-1)
=0.9{1-(0.1^∞)}/0.9
=1-(0.1^∞)

よって0.999999・・・=1ならば
0.1^∞=0

0.1の∞乗は無限小ではなくゼロであるということになりますね。

以上で正しいですか？

0より大きいものを何回掛けても0にならない筈でないですか？

>>719
「∞乗」の定義は？
∞というのは、（超準解析とかを持ち出さない限り）数じゃない。

>>720
>0より大きいものを何回掛けても

「何回掛けても」の「何回」はあくまで数の範囲の話

おまいら、有理数は無限循環小数ではないのだよ。
http://members12.tsukaeru.net/ogawa/mjsyo.html

X=0.999999・・・�@とすると
10X=9.99999・・・�Aだから
�Aから�@を引いて9X=9
X=1
よって0.999999・・・=1

0.999999・・・
=��0.9*0.1^(n-1)　(n=1〜∞)
=0.9{(0.1^∞)-1}/(0.1-1)
=0.9{1-(0.1^∞)}/0.9
=1-(0.1^∞)
=1-1/(10^∞)
=1-1/∞

ここで、0.999999・・・=1だから1-1/∞=1
ゆえに、1/∞=0
つまり、無限小とゼロは等しい。

どなたか∞乗の公式を教えて頂けないでしょうか？
もしも1^∞=1かつ10^∞=∞ならば先述の証明は正しいことになりますが・・・

>>724
「∞」の定義は？
「∞」は通常の数のように＋、−、×、÷ができますか？

>>725
無限大を自然数とみなす超準拡大理論というのがあってそれを導入すればできるそうです。

∞乗の定義
a^∞≡lim[x→∞]a^x

公式１

a^∞＝∞　a＞1
1＾∞＝1
b＾∞＝0　0≦b＜1

公式２
a＾∞・b＾∞＝(ab)＾∞
a＾∞/b＾∞＝(a/b)＾∞　　（b≠0）

>>727

0
=0.1^∞　　（∞乗の公式　a＾∞＝0　（0≦a＜1）　より）
=(1/10)^∞
=1^∞/10^∞　　（∞乗の公式　a＾∞/b＾∞＝(a/b)＾∞　（b≠0）　より）
=1/∞　　（∞乗の公式　1＾∞＝1,　a^∞＝∞　（a＞1）　より）

つまり、0=1/∞
しかるに、超準解析の定義より1/∞は無限小である。
ゆえに、ゼロは無限小と等しい。

>>727
∞を普通の数として扱うなら当然、差や商が定義されているべきだけど
∞-∞や∞/∞はどう定義するの？


>>728=726
もし lim[N→∞]0.1^N を"無限小"と呼んでいるのなら、
0と"無限小"を同一視するのは通常の数の体系に基づく数学。

俺は詳しくは知らないけど、
超準解析ではゼロと無限小は等しくないはずだが。
あと>>727は超準解析ではないと思うのだけど。

ひょっとして>>719と同一人物ですか？

極限はある値に限りなく近づくって意味でしょ？

というか、ある値との間に別の数が入らない。

>>727
1=0.1^0=0.1^(∞-∞)=(0.1^∞)/(0.1^∞)=0/0
なんて物が成り立つのが超準解析になるわけがない。
超準解析では全ての実数について成り立つ命題は
それに超実数を入れた場合にも成り立たなきゃいけないんだよ。

人気スレあげ

矢は永遠に的に届きません。

ヘタッピだからです。

一般に∞-∞や∞/∞は未定義だろ

1-0.99999999‥‥‥‥=0.0000000‥‥‥‥
解の最後に１は永遠に登場しないから答えは０
って説明で納得しましたが、なにか？

(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

>>737
人はそれをε-δ論法とよぶ。

>>737
むりだな。堂々巡りする。命題を証明するのに、それを使って証明したようなものだ。
それなら(1/3)*3=1の方が説得力断然ある

740式堂々巡りを人に分かりやすく説明していただけると嬉しい。

>739
えっつ、そうなの

>>740堂々巡りってどこが？

X=0.99999999.....
10X=9.9999999.....

9X=8.99999999.....
じゃないの？素朴な疑問。
10X-X=9にはならないでしょ

>>744
どういう風に計算してる？

8.1
0.81
0.081
0.0081
...
希望者？

>>743
0.00000000000･････････＝0としてるとこに決まってんじゃん
1=0.9999999999999999999999999999・・・と一緒だろが

　X=0.999999.......
　　　-----∞個-------
10X=9.99999.......
　　　-----∞-1個-----

(10-1)X=8.99999..........1

例
　X=0.999
10X=9.99
(10-1)X=8.991

算数的な考え方だが間違ってる？

∞-1個ってのがﾔｳﾞｧｲな

やっぱﾔｳﾞｧｲのか・・(´・ω・｀)

「証明」ではなくて、たんなる説明だけなら
737のも740のも大して変わらない気がするけどね。

737の説明を好意的に解釈してみる。0.999…を
「数列0.9､0.99､…の実数内において収束する値（収束しない時は存在せずという結論になるとする）」
と考えて、1-0.999…=0.000…=0を
「1-0.9､1-0.99､1-0.999､…の絶対値が0に限りなく近づいていくから1=0.999…」と考える。

このように考えれば737は別に堂々巡りという訳ではない。

>752
なら、
0.9、0.99、0.999、･･･の値が限りなく1に近づいていくから1=0.999･･･
と言えるわけだな

>753
やっぱ手抜きはいけないか。
「1-0.9､1-0.99､1-0.999､…の絶対値が0に限りなく近づいていくから1=0.999…」
↓
「任意のε>0に対してあるNが取れて数列1-0.9､1-0.99､1-0.999…のN項目以降の
絶対値が全てε未満になるから1=0.999…」
と訂正。

ようは「1-0.999…=0.000…=0」の部分で（普通の数学の定義で）収束しているかどうかを
判定していると言いたい訳で。

「∀ε>0∃N>0(n>N→|1-(1-0.1^n)|<ε)」と書いた方がよかったか。

それで「1-0.9999999...」がε−δ論法なのか

まぁ、あくまで都合の良い解釈。
今日はコピペ荒らしがいないのをイヴで彼女と仲良くやってるからだと考えるぐらいに都合の良い解釈。

正直あきた

ヘタレめ

極限値を表す数式だったのに、一般の数式に演繹しようとしたのが、混乱の始まりなのじゃないのかなあ。
話を、極限値とか漸近線とかに局限しておけばよかったのに。

ぼくの友達のハリー・ポッターの、人間界での仮の姿、ダニエル・ラドクリフ君の、顎の縦割れ線も、ハリ
ウッドのCG技術で、極限まで消されてるみたいだけれど・・・。典型的なアメリカ顔だからね。彼。
関係ないお話ですみません。

混乱も起こったけど、そのおかげでダニエル君の人間としての尊厳が守られたんじゃないか。
喜ぶべき事じゃないか。

あげとくよ。

（＾＾）

ここもう終わり？

結論　1=0.999999999..................　

そんな事より１よ、ちょいと聞いてくれよ。スレとあんま関係ないけどさ。
このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。
で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。
１５０円だよ、１５０円。
なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。
よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、１５０円やるからその席空けろと。
吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。
お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。
吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、
ねぎだく、これだね。
大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。
ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。
で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。
しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前、１は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。

>>766
なんで今さらそのコピペなんだああ！！

吉野家コピペが見れてうれしいぞ

でも、もう流行らねーだろ
そんなことしてると数学板は今頃得意げに吉野家コピペがはられていたりして
なんてどっかで言われちゃってるぞ

1=0.99999999999999999999999999997

1=1

そんな事よりちょっと聞いてよ。
あのさあ、いつも漏れの部屋に来る可愛い雌猫がいるんだよ。
いや、来るっていっても、単に通り道なだけなんだけどね、猫だし。
この猫がまた可愛くてさあ、耳の後ろの毛なんかふわふわだし、尻尾はやわらかいし。
前から仲良くなりたいな、なんて思ってたわけ。
そしたら昨日、ここを読んでたときにその猫が通りかかってさあ、ディスプレイをちょっと見て、
「1=0.9999999999999999999999999999…なのは当然だにゃ」
とか言うんだよ。
びっくりして聞き返したら、
「0.99999…は9*10^-1+9*10^-2+…だから…。級数の収束が…」
なんて言って、お前はこんなことも分からにゃい、もとい、わからないのかって呆れた顔をしながら耳の後ろを掻いてさあ、危うく嫌われるところだったよ。
いや、これは漏れが書いたんじゃなくて、漏れはこんな馬鹿なことは書かない、って懸命に説明したんだけどね、そうしたら、じゃあ実数はどう構成するんだとか、解の存在と構成との違いは分かるか、とか突っ込まれてもう大変。
まあ、漏れは某トンデモ爺さんとは違うから何とか答えられたんだけどね。
「猫には当然のことも人間にはまだわからにゃいこういう馬鹿がいるのだにゃん」
なんて言われて、トンデモ爺さんと同じ人間なのが恥ずかしかったよ。
でも、そんなことを話しているうちにすっかり暗くなっちゃって、もう今日はここに泊まっていくって言うの。
いや、それでさっきまで一緒に寝ててやっと起きたとこなんだけど、もう大感激。
憧れてたし、それに彼女結構情熱的で、想像していたよりもずっとふわふわだったしね。
数学をやっていて本当に良かったよ。

>>748>>749
ということは∞-1=∞ですか？

∞-1って演算可能なんだっけ？立場によるの？

∞+1=∞だから、∞-1=∞。また、∞-∞は一般に不定。

いちわいちでしょうなんでれいてんきゅうきゅうきゅうきゅうてんてんてんてん
なんですかばか

無限小のことなんですが、少しはこの板に関係あるかと思われ。

球の表面積を求める恵さんの中で分からないことがあるので、
ご存知の方がいたら教えていただけませんか？

まず、半径aの円をえくーす軸の周りに回転させる状況を考えます。
このとき、わい軸に平行な二本の直線（間隔dx)
によって切り取られる部分の微小断面積
dS=dx*2π{（a^2)-(x^2）}^(1/2)
として計算すると球の表面積は　π^2*a^2　となり誤りです。

実際は微小断面積を
dS={(dx)^2+(dy)^2}^(1/2)*2π{(a^2)-(x^2)}^(1/2)
として計算しなければならない事がわかりました。

表面積を求めるときのdxと{(dx)^2+(dy)^2}の違いが
約２０％の違いを生み出してしまう結果となったのです。
理由はわかりませぬ・・・
多分無限小の概念に関連することと思われるので
ご存知の肩は高校生にも分かる範囲でご説明キボンヌ！

（センター２日前の受験生より）

777ｹﾞｯﾄｫｰ!!!

７７８get

祝７７９

>>776
半径aの円はどこにあるかちゃんと書きなされ。
あと切り取るのは直線じゃなくて平面。

それとその質問は無限小に関係無い。

そういうことを聞いてるんじゃねーよ、ボケが！
日本語を読め。
もう、そういうやつはねぇ、馬鹿かと，アホかと。
ミテラレネェナ

俺が聞いているのは
なぜ、そこに無限小の差が生まれるのかということで
根本的な部分のご説明をお願いします。
しがない浪人生だから，丁寧に答えろよ！

浪人生なら、うろついてないで勉強しろ。

ちゃんと計算式書けば答えてくれる人いるかもね。
丁寧に質問するとかそういう努力をすると丁寧に答えて貰える確率も高くなる。

ま、そんな事も出来ないから落ちたのかな？

>>776
微小断面積ではなく、微小な帯の面積で積分しなければならない。
dxていうのはその微小な帯のx方向成分だけで、(dx^2+dy^2)^(1/2)
は微小な帯の幅になってる。

（センター１日前の受験生より）

>>776>>781
両方マルチだな
>>784
君は数１・２で２００点取れる。ガンガレ。

帯は傾けて計算しれ。水平な帯を重ねても球にならんぞ。

aiueo

いまだに、1=0.999･･･
と思ってる奴が多いな。
柔軟な思考ができない奴はアレだな。

>>788
みえみえの釣りは面白くないよ。

小川の書き込みを見ても788のような事が嫌味でなく言えるのなら
788をちょっとだけ尊敬する。

このスレもう終わり？

＞しがない浪人生 ﾜﾗ

これを使って２角が90度の３角形を作ろう

>>793
球面の世界に行ってください。

Qman...

0.999・・・:=lim_{n→+∞}[1-(1/n)]=1

0.999・・・≠lim_{n→+∞}[1-(1/n)]≠1

lim_{n→+∞}[1-(1/n)]≠1では無いぞ。

797は
0.999・・・:=○○○≠lim_{n→+∞}[1-(1/n)]=1と書くべきだな。
○○○に適当な物は浮かばなかったけど。

0.999・・・:=1-(1/+∞)≠lim_{n→+∞}[1-(1/n)]=1

0.999…:=lim{n→∞}�倍k=1,n}(9*10^-k)
が定義としては妥当だと思うが。

緻密だな
吹けば飛ぶような誤差だ・・・

確かに800の定義が一番妥当。
言いたかったのは、0.999・・・を数学的にどう定義するかということ。
800の定義から等式の証明ができると思うよ。
後はｴﾛい人、頑張って(´・ω・｀)

↑796の間違い、逝ってきます。

そうだね、1/nの変化の仕方って（ｒｙ

超準解析とやらで799でいう∞にあたる物を上手く定義するのは可能ではあるけれど、
1≠0.999…(∞個)…9と終わりが出来てしまう。
まぁ間の……は取り外せない訳では有るが。

それでも人は納得してくれるのだろうか。

+∞≠lim_{n→+∞}[n]

まぁ、こういうことだな。

1÷3*3＝1なんじゃぼけ

このスレまだやってんのか？ メーテルはどうした？

１÷3*3=１／9だったりしてな文字の大きさ違うし

0.999…=lim{n→∞}�倍k=1,n}(9*10^-k)
=9/10*lim{n→∞}�倍k=1,n}{9*10^-(k-1)}
=9/10*lim{n→∞}(1-10^-n/1-10^-1)
=(9/10)*(10/9)
=1

10x=9.99･････
x=0.99････････
9x=9
x=1
だろうが、馬鹿かお前ら。
こんなくだらないことでスレ２つも使ってるからお前らもてないんだよ。

>>811
いろいろな証明が出てきていいじゃない。
単純なものにこそ真理が眠ってる。

>>811
あんた受験版にいたよな？

>>812-813
もてない君ﾊｹｰﾝ

>>814
煽りか・・・２ちゃんは楽しいな

.
0.9と1では字が違う
よって≠ .
1=3/3 1/3=0.3
. .
0.3×3=0.9

ぜーんぜんわからん

>>811
ほんとにそんな証明信じてんの？

>>816
>字が違う よって≠

字が違うから≠だったら、「1=3/3」 「1/3=0.3・・・」も≠なわけだが。

>>817
その前に>>811は散々がいしゅつ。

今ここに
1.0≠1.00
な世界が展開されているわけだが（ｒｙ

>>817
おまえ童貞だろ？ﾌﾟｯ

処女だが何か？

モテナイ811晒しアゲ

>>817
処女･･･ﾌﾟｯ

>>823
わたしの・・・アレ・・・奪って・・・

811は収束するかどうかが言えてない。80点減点。
まぁ811が中1だったら100点でもいいけど。

童貞、処女が煽りになるのは日本だけだそうな

0.999…＋0＝1

1-�倍k=1,n}9*10^-k=10^-n
(∀ε>0)(∃N:自然数)n≧N⇒10^-n<ε
従ってlim{n→∞}(1-�倍k=1,n}9*10^-k)=1-0.9999…=0
∴1=0.99999…

ｱﾎめ

>>1
自分で決めろ

自分にとって都合の悪い書き込み＝煽り，荒らし
って奴が多くて困る。

1/3=0.33333333･････
これを認めるのか認めないのか、
話はそれからだ。

認める

すれ違いだた。
ttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045042513/29
はどうなの？

2/3=0.66666666･････
これはどうだ。

>>836
等式だ。

２ｃｈのスレのＵＲＬ貼るのにｈを消す奴いるけど、なんで？

3/3=0.99999999･････
も認めて下さい。ｵﾈｶﾞｲｼﾏｽ
　　　　ヾ
　(´Д｀;)、　　ｺﾉﾄｵﾘﾃﾞｽ
　　 ノノＺ乙

>838
ime.nuのバナーがうざい。

>838
癖で、、
一応 >> を > とするのと同程度の効果はある。

hつけるとハイパーリンクして転送量が上がるから。
<a href="○○">http</a>

>>839
いいもの見させてもらった。

　　　　ヾ
　(´Д｀;)、　　これか？
　　 ノノＺ乙

>838
リンク先の referer_log に ime.nu が残らない

1=1だ。χ＝0.999999999.....99999999(�@)を10倍すると、
　　10χ＝9.999999999.....99999990(�A)になる。
�Aから�@をひくと9χ=8.9999999.....999991だ。従い、1≠0.99999....じゃないか。

>>846
　　_, ._
（　´д｀）・・・

0.999･･･*10=9.999･･･は成立しない

10を掛けたら9.99999･･･････0になるから

>835
a ＜ 1　の場合 a の取りうる最大値は 0.99999・・・・で、
a ≦ 1　の場合 a の取りうる最大値は 1
よって、a ＜ 1 と a ≦ 1 は同じ意味ってことだよね。
どうだろ？

>>848
何を言いたいの？

>>846
>χ＝0.999999999.....99999999(�@)を10倍すると、
>10χ＝9.999999999.....99999990(�A)になる。
無限に続くというのは、文字通り永遠に続く状態ということだよ。
上記のように途中で終わっている状態ではない。

循環小数は等比数列の和の極限で定義するべし
χ＝0.9999...＝9×lim[n→∞](Σ[i＝-1〜-n]10^i)だから
10χ＝90×lim[n→∞](Σ[i＝-1〜-n]10^i)
　　＝9×lim[n→∞](Σ[i＝0〜-n+1]10^i)
　　＝9×lim[n→∞](Σ[i＝0〜-n]10^i)
∴9χ＝9×(10^0)
∴χ＝1
即ち0.9999...＝1
さ。

>>851
じゃあ >>849 は認めるの。

>>853
極限で定義するからYo。
挟み撃ちの原理と童謡
χ＜1でもlim[n→∞]χ＝1に成りｳﾙのでは？

シモタ。
χは極限値ダッタ。
854に書いたχはlimの中身のことdeath
反省汁。。。

>>854
例えば
　n > 0 のとき 1/n > 0 だけど、lim[n→∞](1/n) ＝ 0
ってことだよね。ということは下記は正しいということか。
　a が実数の場合 a ＜ 1 と a ≦ 1 は同じ意味。

>>856
「n＞0ならば1/n＞0」はよいナ
「lim[n→∞]1/n＝0」もよいナ
また「1/nにn＝0を代入した数は定義されない」もよいナ
もうわかってくれたか？

同様に
　a が実数の場合 a ≠ 1 とは何の制限も無いことに等しい。

>>857
条件を n > 1 にしろとかそういうこと？

>>859
どう取り違えているのかわからん

とりあえず
「a が実数の場合 a ＜ 1 と a ≦ 1 は同じ意味。 」は間違い。

>>861
当たり前

a ＜ 1　の場合 a の最大値など存在しない。
もちろん上限は１。

なんか矛盾を感じる。

1 ＜ 1 ！？

>>864
愚痴る前に
極限の概念をつかめ。

>>865
上限の定義を述べよ！

>>861
これの証明は
　極限の概念をつかめ
ということらしい。

>>867
上極限ならわかるがなぁ。
上限って数学用語か？

>>869
もういい、退がれ！

＞上限って数学用語か？

普通にそうだろ！

a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、
a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される。

a ≦ 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、
a = 1 は許される。

1 = 0.9999・・・・ なら同じ意味に見えるな。確かに。

概念をつかめ、とかそんなんじゃなくて上手く説明できるヤシ募集中。

上極限を知っていて上限を知らないことなどあり得ない。

>>871
上極限との違いｷﾎﾞｎ

>>874
上極限の定義を述べよ！

>>782
？？？？

>>875
見苦しいな。弱いもの虐めはやめて君が説明してやったらどうだね。

　　_, ._
（　´д｀）… あんたら… まだやってたんかい…

弱いもの虐め？

>>872
>a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される。

1 = 0.9999・・・・ なら許されないのでは？

上極限の定義はまだですか？

知ったかぶりは金輪際やめてね（ｗ

無限小＝0？ or ≠0？

無限小って数なのか・・・？

今日の踊るヒット賞

869 ：１３２人目の素数さん ：03/02/15 21:31
>>867
上極限ならわかるがなぁ。
上限って数学用語か？

ﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟﾌﾟ

>881
ｲｲこと言うね
じゃあ漏れがやってしまおう。
数列{a_n}が有界のとき
A_N＝sup(n≧N)a_n
とおくと数列{A_N}は単調減少でかつ下に有界である。
したがってlim(N→∞)は収束する。
この値は{a_n}が収束するときには{a_n}の極限値に等しい。
このときlim(N→∞)A_Nの値を上極限と言い，

lim(n→∞)supa_n　あるいは
＿＿＿＿＿
lim(n→∞)a_n
と書く。

結局なんだったんだ？

それでは、上極限の定義に現れるsupとは何なのか、
>>874氏に説明してもらいましょうか（ｗ

ボブのことに決まってるだろ

>888
もうやめとけ
ホント見苦しい

>>890
知ったかｸﾝは氏んでください。見苦しいですよ。

>890
890=885ですが何か？

↑>890は誤爆
891も誤爆だなｗ

IDがないと、こういう時に困るな。

supの説明はまだですか？

ﾌﾟﾌﾟ

http://f-cc.com/~momonga/

ﾌﾟﾌﾟ

　　_, ._
（　´д｀）……

そもそも
0.9999999999999999999999999999・・・
って何？教えて>>1さん！

900＋ε　げ�d？

>>1
つまり、1/3=0.3333333・・・・
2/3=0.66666666666666666666666666666666666666666・・・・
1=0.999999999999999999999999999・・・・・・
4/3=1.333333333333333333333333333333・・・・・2
↑おっと、4/3から狂ってきた。

sup。上限だろ。

そろそろ終了ということで、よろしいでしょうか？

再開しまふ。

ごめん、過去ログみれないんだけど発端は？

>>901




　も　う　少　し　級　数　を　勉　強　し　た　ら　ど　う　で　つ　か　？

糞スレ認定

無限小ε？

結論きぼんぬ

0.9999・・・=lim{n→∞}�倍k=1..n}[9*10^(-k)]．

�倍k=1..n}[9*10^(-k)]は、項功0.9，公比1/10の等比数列第n項までの和．
従って、公式より

�倍k=1..n}[9*10^(-k)]=0.9*{1-(1/10)^n}/{1-(1/10)}=1-(1/10)^n．

極限をとってlim{n→∞}[1-(1/10)^n]=1．よって1=0.9999・・・　　　　■

とマジレスして

-----糸冬　了------

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html

>910
論点が激しく違うのでは？

等比級数の第n項0.9999…9＝1-0.0000…1＝1-10^(-n)
ここで
10^(-n)→+0　（n→+∞）
の式の意味は、nを限りなく大きくしたとき、
10^(-n)は限りなく+0に近づくが、どれだけ大きくしても0になることはない!!!

∴10^(-n)≠0
∴0.9999…≠1

>913
0.9999…は1に限りなく近いけど1じゃない数だってこと？

定義をおろそかにしたら自爆するだけということかと

＞定義をおろそかにしたら自爆するだけということかと


そういうことは級数を究めてから言えよ・・・。

>913の言ってることや>445の言ってることは非常に的を射ていうと思う。
結局極限値には限りなく近づき得るが到達はし得ないということだろう？
これに対してわかりやすい反論はないのか？

俺も非常に的を射ていうと思う。

一人で何やってんすか？

>919おいおい厨は帰っていいぞ。
漏れは真剣に問うてる。
自作自演だと思いたいのなら勝手に思ってろ。

「0.999…」の、極限を表す物でない定義を是非とも聞いてみたい物だ

射ていう。

そんなに釣る気マンマンじゃあ釣れるモンも釣れなくなるよ。

みんな何の話をしているのかｻﾊﾟｰﾘ

まじ勘弁してよ・・・

lim{n→∞}[1-(1/10)^n]=1
だよ？わからん人は解析学入門でも読んでくれ。

あ、あと、項功→初項ね。俺アホね。

>>912 論点ずれてたらｽﾏｿ。基本的に>>910は>>909へのレスです。
まぁ、>>911に答え書いてあるんだがね（´ー｀）

と必死にレスして今度こそ・・・


-----糸冬　了------

>926
そうあわてるなよ。>>913，>>872，>>445の言ってることはどこが間違っているんだ？
それを説明してから終了しろ。

0.9や0.99に成り立つ性質を言った所で
0.999…の性質を言った事にはならない、ってこと。

＞等比級数の第n項0.9999…9＝1-0.0000…1＝1-10^(-n)
＞ここで
＞10^(-n)→+0　（n→+∞）
＞の式の意味は、nを限りなく大きくしたとき、
＞10^(-n)は限りなく+0に近づくが、どれだけ大きくしても0になることはない!!!
＞
＞∴10^(-n)≠0
からどこをどうしたら
＞∴0.9999…≠1
が出るのか、まずはそれを言ってから終了に異議を唱えなされ。

（前略）
正n角形→円　（n→+∞）
（中略）
∴正n角形には角がある
∴円には角がある

913の論法を使えば円には角張った部分があるそうで。
今まで気付かんかった。あした辺り探してみるか。

>>928
>872はどう解決する？

>929
正n角形はnを限りなく大きくしたとき
円に限りなく近づくが円にはならないだろ。

>>930
＞a < 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、
＞a = 1 は許されないが　a = 0.9999・・　は許される。
どっちとも許されません。
どうせこの時、頭の中では「0.999…<1」を根拠も無しに
いきなり用いてるんでしょうな。

＞a ≦ 1 とは a が取りうる範囲を示したもので、
＞a = 1 は許される。
＞
＞1 = 0.9999・・・・ なら同じ意味に見えるな。確かに。
同じ意味になりません。目を洗ってきて欲しいです。
1=0.999…ならa<1はどっちとも駄目でa≦1はどっちとも許されるだけです

>>931
だって913が
＞nを限りなく大きくしても10^(-n)が0になることはない
から
＞∴10^(-n)≠0
＞∴0.9999…≠1
を出しているんですもの。

＞nを限りなく大きくしても正n角形は円にはならない
から
＞∴正n角形には角がある
＞∴円には角がある
としちゃっても仕方ないでしょうて

おいおい。913に従うのなら

＞nを限りなく大きくしても正n角形は円にはならないから
＞lim[n→+∞]正n角形≠円

としか言えんだろうが。お前かなり混乱してるな。

うぉぅおう。しもうた。
「0.999…」にあたる物がねぇんだよなぁ。困った。

最初っから「0.999…」なんて表記なんかなきゃいいんだ、と八つ当たりするか。

>>皆さん

0.9999…＝lim[n→+∞]{1-10^(-n)}
の定義はいいでしょう？この定義の意味は，

　数列{1-10^(-n)}のn→+∞のときの収束値

です。収束値は普通に極限計算して1ですね？
927君がさっきから言っている、「0.9999…は1になり得ない」というのは
正しいんだよ。0.9999…は1に限りなく近い値なのだから。
ただ0.9999…を、「その値」ではなく「収束値」と定義した以上

　0.9999…＝1

と書かざるを得ないわけだ。

違うかい？

＞「0.9999…は1になり得ない」というのは正しいんだよ。

ｱﾌｫ決定

>937
君も「お慌てクン」ですか？
0.9999…が1になり得ることを0.9999…の定義に従って述べよ

>>938
ﾊｧ？さんざんｶﾞｲｼｭﾂだろ

１＜0.99999999・・・・＜１
よって１。

>>939
0.9999…には２通りの意味が含まれている。わかる？

>>940
左の不等号はちゃんと証明してくれよ。

>>941
とりあえずオマエが電波だってことはわかった

>>943
1)0.9999…は10進法表記で小数点以下すべての数が9であるような数字。
2)0.9999…は数列{1-10^(-n)}のn→+∞のときの極限値。

みんなごっちゃにしちゃうからいけないんだと思う。
でもどちらを定義としても納得できる解答がほしい。

>>943
940の1<0.9999…はどうやって出てきたのさ？

>>944
なんだ、釣り師か・・・・

結局説明のできる香具師はいないってことか。
面白くないな。

お慌てクンへ。
>>13の言ってることは正しいと思うかい？

え、マジレスだったんですか？勘弁して下さいよ。

とりあえず一言、.9999…と書いた時点で貴方は極限という概念を使っている

>949
だれにレスしてんの？

>>950
みんなに言ってるんだよ

>>948
だれにレスしてんの？

>951
>>13に寄ればε-δを認める公理下とそうでない公理下で
結論が違うらしい。キミはどう思うかい？

>>953
ノンスタンダードでで1に限りなくく近いが1ではない数の一つを
0.999・・・と表記するかどうかは知らないが、おそらくそんな表記はしないだろう

いずれにしろ今の話とは関係ない

>>954
関係ない？んなわけないでしょ。同じ問題を考えてるんだから。
>>445のいうこともかなりいい線行ってる。
一度大学教授にでも聞いてみるか。ここの香具師どもはみんな知ったかぶりだからさ。

>>954
逆。0.9999…と表記された数が1に限りなく近いが1ではない数となり得るかどうかが論点。

>>956
成り得ない、という結論が散々出てるだろ？
誰がノンスタンダードの話をしているんだ？

>>955
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>>957
ε-δが成り立つ公理下でなり得ないのは納得できるがな。
納得のいかないシチュエーションが幾つかでてきてる訳だから、
それらに納得のいく説明を与えるべきだろ？
結論だけをギャーギャーと喚かないでほしい。

>>958
知ったかぶりというより
漏れはわからないから訊いてるんだよ
お前もわからないだろう？

>>960
で、誰がいつε-δが成り立たない公理の話なんかしているんだ？

つーか、ε-δが成り立つ公理下での話ではなかったのか？

>>962
>>13がしてる。これ正しいと思うのは漏れだけ？

かぶった。。。

>>962
ｺﾞﾒｿ今のは明らかに読み違いをしていた

>>964
>>13はただそういうものがある、と言及しただけ
もしここでノンスタンダードの話がしたいんなら、俺は消えるよ

>>13に対する話は>>73で終了。

公理が変わるんじゃなくて、定義が変わるの。
少しはあとの方のレス読んでみなよ。

964は自分にとって都合のいいレスしか読めない人かな？

>967
消える前に>913のいってることのどこが間違っているのかを
913や漏れの立場になって説明してくれ。
極限とりゃ1になることはアホにだってわかるんだから、
漏れがそういう答を要求してないってことはわかるだろ？

>>968
「ｺﾞﾒｿ読み間違いをしてました」
わかってくれた？

ついでに>>796-805も参考にしとけ。

>>967
>>928読んどけ

>>971
既読です
頭が悪くて申し訳ないな。

>>969
0.9999…という表記には、既に極限を取っていることが含まれている
極限を取ったら、ではなく極限そのもの

このスレは話があっちこっち飛ぶね。

















ﾌﾟ

>974
あとのほうは「極限値」だろう？

>>976
どっちも「極限値」

>>977
始めは「極限」をとってるのでは？

あるいは有理数列のコーシー列の同値類
{0.9,0.99,0.999,・・・}という有理数列が表す実数という意味で0.999・・・を用いた
としよう。その意味でも1=0.999・・・・

定義より「0.9999…は極限値である」→0.9999…＝1
この式の意味は
「数字0.9999…9はその“9”の個数を増やせば増やすほど1に限りなく近づくが1にはならない」
ここまでは絶対に合ってるはず

>>980に書いた内容は誤りですか？

>>978
実数列{a_n}に対して
lim{a_n}=1
となっているとき、この等式は実数の等式である、ということはわかっているか？

ここでa_n={0.9,0.99,・・・}としたときの左辺が0.9999・・・だ

>>980　ダメ

「このスレがdat落ちする事で過去ログ読んで既出質問避ける人が消えてしまうリスク」
と
「そういう人のために一応代表的な反応をピックアップしとく苦労」

まぁ普通に考えて後者の方が大きい。
それに話題が一回ループすれば二回目以降は少しずつループする
可能性が減っていくから、まぁいいか。

おまえら、まだやってるのか…

>>982
どこが違うのか指摘してくださいm(＿ ＿)m

納得していない人が納得するまで続けることに意味があるのさ

>>985
「1に限りなく近づくが1にはならない」

1に限りなく近づいたら1になる。

>>987
それが「極限」の定義ですか？
ではlim[x→+∞](1/x)＝+0だから
1/xは0になるんですか？
lim[x→+0](1/x)＝+∞だから
1/xは+∞になるんですか？

…次スレが立ちませんように。

>>989
それは、立てろということでつか？

10^(-n)もn→+∞のとき+0に収束します。
でもｎがどれだけ大きくても0にはならないでしょう？
0に近づくだけでしょう？

>>991 だが、"極限値"は 0 だ。

>>992
その通りです。

>>992
では987さんの発言は誤りですか？

限りなく近づく＝極限をとる

>>995
では1にはなるとは限らないということでしょ？
表記上は0.9999…＝1ですけど、
この右辺は極限値なのだから。

くどくどとすいません。厳密性を言及したいので。

極限値には「限りなく近づいて極限値になる」ときと
「限りなく近づくが極限値にはなりえない」ときが
あるでしょう？0.9999…＝1は後者じゃないですか？

>>996
左辺も極限。　limがついた式ね。

>>998
はい。そうです。で、997に対しては？

1000

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