0<x<1 で xが有理数になる確率は?

これどうやったら求まるんですか?
可算無限/不可算無限
0 は明らかにおかしいし・・・？

0から1までの実数を書き込んだルーレットを回して実験してみるといいよ

>>1
ルベーグ積分を勉強してみよう。

いえルベーグを勉強したからこういう疑問をもったんですけどね。
というかこういう確率を考えることってコロモゴロフの公理には
反しないですかね？

実は伊藤積分とルベーグ積分で悩んでるんです。

ブラウン運動は有界変分でなくて微分が定義できないから
伊藤積分を定義した・・・
でも伊藤積分って平均収束が前提。
各点収束が前提のルベーグ積分の方が偉いんじゃないの？
大体、ディリクレ関数も有理点での微係数は定義できない(±∞)のでは?
伊藤積分の偉さをルベーグ積分と比較して教えてください。

>>1
> 0 は明らかにおかしいし・・・？
なんでおかしーの？

何かの極限を求めて 0 に収束するっていうのじゃないでしょ。
具体的に有理点として存在するものを 0 って言ってもいいものかと。
そもそも確率っていうのは大数の法則っていう無限試行

スマソ最後の行は無視してください。

>>7
> 具体的に有理点として存在するものを 0 って言ってもいいものかと。
なんでよくないの？

というか、「無視してください。」な最後の行の続きが重要な気がするのだが。

いやうまくまとめられないから無視してくださいと言ったんですけどね。

逆に
>なんでよくないの？
なんでいいの？

おまえら、sageすぎ。ageでやれ。

>>10
いいって言うか、そう「決めてる」のが標準だから。
「標準」に反対するからには、それなりの理由なり哲学なりがあるんだろうから、言ってみ、
理由がないのによくないとわめくようなら煽り厨房と同程度と見なされる虞があるのでやめたほうがいいよ、ということ。

はっきり言ってスレタイより
伊藤積分 vs ルベーグ積分
を知りたいので、そっちを教えてくださいな

>>12
"標準"で片付けられたら数学になりませんがな。端的に説明できるなら
してみ

自然数に0を入れるかどうかとか、0!とか0^0をどうするかとかと同じで、
スレタイの確率も、不都合ない定義ならどう定義してもいいのよ。

伊藤積分は確率微分方程式の中でしか登場しない

age

1/2<=>1/√2
とか対応つけようとしてみたら？
でも、logとかあるしなーー???

>>18
代数方程式の根の濃度は可算無限個だよ。

>>1は白痴ですね？

「0<x<1 で xが有理数になる確率は? 」

そもそも、xってどうやって決定されるの？
有理数に「なる」とは？

たぶん１が考えてる問題は

　開区間(0,1)上の一様確率密度に従う確率変数Ｘについて
　P[{　X　∈　Q　}]　の値を求めよ

で，有理数はたくさん存在しているのに，この確率が０になるのは
納得がいかない，と．つまりルベーグ測度の構成法を理解してい
ないわけだ．

さらに>>7の最後の行で

　確率＝無限試行によって経験的に求めるべきもの

という前コルモゴロフ的な発言を思わずしてしまったところからも
>>1が公理論的確率論をまったく理解していないことが明らかで
あるような気が．大数の弱法則すら，証明を理解できないんじゃ
ないかな，>>1は？

>>1は確率積分を知っているかのような口ぶりだが，どれだけの
もんだか．

測度論が分かってたとしてもわだかまりが残る事はあるよ。
煽りだとしてもちょと妄想入った決め付けは良くない。

有理数が加算集合であることを示し、
トータルの長さがいくらでも小さい区間の和で被覆できることを
示せば納得いくかな？

あるいは、実数xは無限小数で表せるが、
各桁ごとにランダムな数を割り当てることで順にx決定していくとき、
ある箇所より先で永遠に同じパターンを繰り返す確率を考えてみるとか。

1は「1=0.999…」で悩んでいる人と同じ疑問を持ってこのスレを立てたのか、
それとも13に書いてあるように伊藤積分とルベーグ積分について知りたくてこのスレを立てたのか、どっちだ？

>>24
前半部分は点の長さが0であることの証明、
後半は可算と不可算の証明かな？

ただこの確率は
lim x/exp[x] = 0
っていうのと意味が違うように思う。
0 = P(空集合) と比較して釈然としないでしょ。

>>22
>つまりルベーグ測度の構成法を理解してい
>ないわけだ
測りたい測度 Q、予め定められた Q を含を測度 M、
M-Q = Q'、Q'の被覆Q'(ε)としたとき
M-Q'(ε) をもって Q のルベーグ測度 m(Q) とするって奴か？
その結果、ディリクレ関数を積分して得られる結果が
0(点の長さ) x 可算無限個 = 0
ルベーグに関してはこれぐらいしか知らないよ。
知ってるなら、伊藤積分とルベｰグ積分を比較してくださいな。




>>25
後者
#]0,1[ 区間じゃなくて ]-∞,∞[ とした場合の確率は？

知ったかぶりして人を罵倒する奴って往々にして何も知らん奴が多いんだよなぁ。
>>22
説明してやれよ

>>26=>>1
> 後者
> #]0,1[ 区間じゃなくて ]-∞,∞[ とした場合の確率は？

>>22ぐらい的確に問題を整理してから質問しろよ。

↑
>>22 自己弁護もほどほどにしとけ 大藁

任意の正の実数を割り当ててもそれより小さくなるんだから
表題の確率としては、0を割り当てるしかあるまい。

ものがいきなり非可算だからよくわからん。
とりあえず、自然数全体からある有限個の数の組を取り出せる確率はどうだろう。
あまりかわらないか？

無限小超実数なる概念がある超準解析ではどう考えられているのだろうか？

>26
後半は、例えばA,B２人がジャンケンでどちらかが勝つまで勝負するとき
それぞれが勝つ確率が1/2となり、「永遠に決着がつかない」確率を０とみなす、
それと同じ感覚だが・・・

確率０だと、そのような事象は起こりえないという意味に思えて
気持ち悪いということ？

コロモゴロフの公理からすると
確率 = 0
とは空集合の場合です。

じゃあ1は問題の確率がいくつだったら納得いくわけ？

>>21
が言っとるように、1はどういう手続きで0<x<1の区間から数字を選び出そうとしているのか、
その手続きをオシエレ。

確率を求めるのは、それからだ。

>>32
必ずしも空集合でなくても確率＝０はあり得るのでは？
極端に有理数の個数＜＜無理数の個数であれば有理数の確率＝０になるんだし。
誰かわかる人は計算して。

このスレには参加する資格のない >>21 や >>34

>>1 は >>21 と >>34 から確率の意味を教えていただきました。
さて >>1 はこの二人のいっていることが理解できたのでしょうか。

次回、「>>1 の返答」

乞うご期待!!

誰かLoeb測度の解説ｷﾎﾞﾝﾇ

Loeb測度が子持ち昆布測度といわれる所以を考えれば
簡単に理解できるよ。

>>32 ネタとは思うが公理では
　P(Ω)=1
　A∩B=空 ならば P(A+B)=P(A)+P(B)
と言ってるだけ。

＞　0<x<1 で xが有理数になる確率は?

1-(0<x<1 で xが無理数になる確率)
あってる？

＞４１
あってるよ。

>>36
>>21 >>34はどういう確率測度を入れるのか>>1が明示してないってことじゃないの？
まぁ普通なら(0,1)上のLebesgue測度だろうけど、
数の選び方の手順によっては違う測度になる可能性もある。

>>1
ある可測集合をある測度で測ったら確率0になったからといって、
その集合が空集合だなんて言えないよ。念のため。

>>26
「集合」と「測度」が混同されてないか？

いや21も34も有理数の定義すら知らないと見た。
ただこの場合、測度論まで話を広げる必要あるか？
単なる濃度の比だろ？

>>44
漏れの意図は>>43の言う通りで、
「なる」というからには、何らかの手続きを踏んだ結果
そのような数が選ばれるという事だろうが、そこを明示しろと。
有理数の定義云々を問題にしているわけではない。

で、とりあえずはこういう場合は>>22のように解釈するのが
暗黙の了解なのだと納得したわけだ。

>>44
濃度の「比」って何？有限集合での|2^x|=2^|x|から類推しろってこと？

この前は不機嫌だったようで，自分で読みかえしてもぎょっとするような
書き込みでありました．すまんな>>1．

それにしても，伊藤積分とルベーグ積分が区別できないのはおかしな話
だ．　ひょっとして

　　伊藤積分　＝　ブラウン運動Ｂ=(Ｂ_ｔ)を適当な閉区間（t∈）[a,b]上で
　　　　　　　　　　　積分するもの

だと思ってないか？つまり，被積分関数が「通常の」関数ではなくブラウ
ン運動になったものが伊藤積分であると？

伊藤積分はブラウン運動をある種の測度として用いたスティルチェス積分
のことだぞ，大雑把に言えば．

とりあえず，伊藤積分とルベーグ積分のなにがこんがらがってるんだ？
前の書き込みじゃ分からん，もう一度説明してくれ．

で、実際のところいくつになるのよ？
∞／∞形ってこと以上わからないよ。

>>48
>>22 の言ってることは正しい。

>>1は確率ってわかってるか？

>>48
確率が求まるなら、０しかないだろ。
(問題を普通に解釈すれば。)

例えば>>24前半のような被覆を考えると、
全ての有理数を長さ(測度)εの部分集合で被覆できたなら、
xがそこに入っている確率はεだから
(xが有理数である確率)<ε

任意のε>0についていえるので、
求める確率は０しかありえない。

だから、可能性としては
・確率は０である
・そのような確率を考えること自体に問題がある
ぐらいしかないだろ。

一言でいえば無限小です

っていうか超準解析はつまり無限小を合法的に現代数学に復活させる為の呪文
だと思います.
考え方をダイジェストに言うと：
普段我々が用いる「可算」という概念は先天的なものなので
実は「可算」より真に大きな濃度を「可算'」としても全く
等価な「数学'」が構成できる.
この「数学'」のなかでは「可算」は「可算'」より真に低い
濃度をもつので「有限'」である.
とくに「非可算」＝「可算」×「可算」も「有限'」である.
「可算／非可算」も「０でない数'」となる.
実際にどんな「数'」になるかは「可算'」の導入の仕方による.

と言う訳で超準解析の下では
確率＝濃度の比
という古き良き時代の真実を復活できます！

「有理数」を含む「有限集合'」は作れても、
「有理数」そのものを「有限集合'」とするのは無理だぞ。

たとえば任意の自然数から1つ数をとってきたときそれが1から100までの自然数である確率を求めてみる。
これを求めると100/∞=0となるが無限大は極限で定義されている。
つまりこの0という値は全体の集合を1からnまでの自然数として(n>=100)そこから1つ数をとってきたときそれが1から100までの自然数である確率を求め、
nを大きくしたらその確率が0に近づいていくという意味である。
よって全体の個数が無限大であれば確率は本来の意味を持たない
よって上の問題の確率も本来の意味を持たない

＞＞５３
そーでした. 有難うございます.

一言でいうとルベグ測度、ルベグ積分のXXXが不十分だからウィナー測度や伊藤積分を定義した
っていうXXXをはっきり知りたいってことなんです。

1.リーマン->ルベグ(ルベグ積分の教科書)
2.リーマン->伊藤(確率微分方程式や確率システム、金融工学の教科書)
を説明してる教科書は多いんですが　ルベーグ測度は登場しても、
ルベーグ積分->伊藤を引き合いに出してるのがほとんどないんですよ。
1.の教科書は
(ルベーグ測度、ルベーグ積分)は(リーマン積分、ジョルダン測度)より偉い。
ってなってる。これは納得できたけど。
2の教科書は
ブラウン運動は微分が定義できないって理由で伊藤積分が定義されてる。
ブラウン運動は有界変分じゃないから微分は定義できないっていうけど、ルベグの説明
で登場するディリクレ関数も有理点では微係数が±∞で、これはどう
なるのって思ったわけです(ディリクレ関数を積分するのに微係数を算出する必要は
ないんですけど)。
ディリクレ関数は有理点で不可算無限個の不連続点を持つから伊藤積分では計算
出来ないですよね？
そもそも
・リーマン積分:一様収束
・伊藤積分:平均収束
・ルベグ積分:各点収束
で議論が進められるわけだし、やっぱりルベグに足りないXXXってのがよくわからない。

>>47

>　　伊藤積分　＝　ブラウン運動Ｂ=(Ｂ_ｔ)を適当な閉区間（t∈）[a,b]上で
>　　　　　　　　　　　積分するもの

伊藤積分 = 伊藤の微分方程式を積分方程式に書き換えたときの右辺第2項の積分を定義す
るもの

と思ってます。
もっと具体的に言うとブラウン運動の経路上でのある関数の積分と解釈してるんですが。

関数解析を勉強してないので、
無限次元っていうのがよくわからない。

http://ms326.ms.u-tokyo.ac.jp/otobe/math/math.html
現代確率論は、確率的な影響を受けながら刻々と変化していく状態を扱います。このよう
な状態を数学的に解析するにはきわめて高度な理論が必要になりま
す。すな
わち、「どんな影響を受けても実現可能な（時間発展すべてについての）状態のすべて」
から出発します。一言で言えば、「函数全体の空間」が考える基礎
となる空間
です。その上の解析学ですから、必然的に確率論は「無限次元解析」と呼ばれることもあ
ります。有限次元空間での解析学には、よく知られているように
Lebesgueの積
分論があります。Lebesgueの積分論から見れば、微積分学がうまくいくのは、Lebesgue測
度が実数の空間の自然な群作用に対して不変であるからです。つ
まり、
Lebesgue測度が平行移動不変であるから微積分がすべてうまくいきます。ところが、無限
次元空間にはそのような測度は存在しません。そのため扱いがきわ
めて困難
になるのですが、伊藤積分・伊藤微分の概念によって実は解析が可能です。伊藤微分は超
函数の意味での微分といってもよいかもしれませんが、超函数の理
論の出
現よりもずいぶん以前であり、しかも超函数では積分はできませんが、伊藤解析は逆に積
分から出発しました。連続函数の解析としては、伊藤公式によって
伊藤微分と
伊藤積分は有機的に結びつけられ、微積分の理論ができあがります。

>>51
そしたら、無理数の確率も０になってしまうじゃんか。
>>51の「有理数」を「無理数」に読み替えればわかる。
有理数の確率が０でもいいんだけど、>>51の説明では釈然としない。

>>59
>>24前半を読みましたかな？
有理数が可算個だから為せる業。

あッ書いてて勘違いに気づいた気分
も一回読み直してみます。スマゾ
わからなかったらも一回聞きます・・・なーんてね

>>59
>>24から逆に、長さが１より小さい集合では
すべての無理数を覆うことはできない、
すなわち、無理数全てを覆うためには長さ１が必要であることが分かる。

ブラウン運動をルベーグ積分することは可能です。
また、
ブラウン運動そのものを伊藤積分することも可能です。

>>63
確率空間が定義されればルベーク積分は定義できる。
確率空間が定義されれば伊藤積分は定義できるか？
伊藤積分は平均２乗収束しないとだめだったと思うけど、
この２つの積分は何か関係しているの？

>>60
>>24の前半を読んでも何のことか理解できない。
でも、後半を読んでなんとなく理解できた。
小数点以下がパターン化された数は、パターン化されてない数より
明らかに少ないね。
感覚的に無理数の確率＝１という感じがする。

今井弘一様に清き一票を！
http://curoco.com/2chvote/vote700/tvote.cgi?event=math

ルベーグ測度をμとかく。
μ([0､1])＝1ゆえμは確率測度となる。
すると、μ(Ｑ)＝０．
よって求める確率は０．

これでだめ？

>>67
>>65にはルベーグ測度自体を教えないと意味がないと思われる。

>>68
むしろルベーグ測度=確率というのが腑に落ちないんでは？

>>56を読むと、やっぱり>>1は>>47の言うような誤解をしている感じだな。

スティルチェス積分というのは要するに（非減少）関数g(t)による積分 ∫f(t)dg(t)
のことであって、ルベーグ・スティルチェス積分はルベーグ積分の一般化といえる
（g(t)=tの場合が普通のルベーグ積分）。だから>>1の言い方だと「ルベーグ積分より
スティルチェス積分の方が「偉い」。

スティルチェス積分というのは、g(t)がC1級だったりするといわゆる線積分になるが、
g(t)は不連続でもかまわない。g(t)により定義される測度がルベーグ測度に対して「絶対
連続」と呼ばれる性質を持つ場合には、∫f(t)dg(t) はルベーグ積分に帰着できる（g(t)
がC1級の場合に∫f(t)dg(t)=∫f(t)g'(t)dtと表せることの一般化）が、g(t)にジャンプ
があったりするともうルベーグ積分では表せない。だから「スティルチェス積分」はルベ
ーグ積分を特殊な場合として含む「互いに異なるいろいろな積分」の集まりといえる。

しかしルベーグ積分に帰着できないとはいっても、ルベーグ測度とは異なる測度（g(t)に
よるスティルチェス測度）を用いているだけで、積分の定義のやりかた（方法論）は通常
のルベーグ積分と変わらない。その意味では通常の「ルベーグ式積分論」の範疇にある。
（続く）

（続き）
さて実は、スティルチェス積分が定義できるためには、g(t)が「有界変分」でなければな
らない。ブラウン運動のパスB(t)は、ほとんどすべてのωに対し連続ではあっても、有界
変分ではないので、スティルチェス積分∫f(t)dB(t) は定義できない。…はずだが、確率
論的なトリックを用いてそれをうまく定義したのが伊藤積分。

だから伊藤積分をスティルチェス積分の一種の拡張と考えれば、伊藤積分はスティルチェ
ス積分よりさらに「偉い」。？

とはいえ、トリックがうまくいくための条件がみたされなければならないという制約もあ
るわけで、どれが「偉い」とか考えるのは物事を単純化しすぎじゃないかと思われ。

∫f(t)dB(t) とか書いてるが実際は ∫f(t,ω)dB(t,ω) であって、ω依存性を本質的に使
用しているので、理論の土俵がすでに違うだろ。

それから>>58で紹介してある文はかなりイイカゲンだ。「超関数」がドートカ気分で書い
てるし、ファインマン−カッツとかとも混じってるし（ブラウン運動＝ウィーナー測度は
たしかにルベーグ測度のパスの空間＝無限次元空間における代替物だけど、そのことと伊
藤積分は直接には関係ないのでは）。

そういえば

>>57で>>1が

>もっと具体的に言うとブラウン運動の経路上でのある関数の積分と解釈してるんですが。

と書いているが、これはつまり伊藤積分を線積分のようなものと理解しているということ
だろう。線積分は>>70にあるように普通g(t)がC1級の場合に定義する。だからスティルチェ
ス積分も使わず ∫f(t)g'(t)dt で定義したりする。（“曲線”g(t)のパラメータtの取り
方によらないことを言っておく必要があるが）
（このへんの関係については
ttp://wazemipc1.mdas.ous.ac.jp/~forum/log-kiji/stieltjes-measure.htm
をみるといいかも）。

ベクトル解析とか幾何学的な話では条件を強くしておくことが多いから、リーマンもルベー
グもどうでもいい。
このレベルを相手に伊藤積分を解説しているのが>>56の言う

>2.リーマン->伊藤(確率微分方程式や確率システム、金融工学の教科書)

だろ。

>ブラウン運動は微分が定義できないって理由で伊藤積分が定義されてる。

というのは、線積分を∫f(t)g'(t)dt と理解しているヤシ向けの解説？ しかしg(t)が微分
可能でなくても有界変分ならルベーグ・スティルチェス積分 ∫f(t)dg(t) は定義できる。
有界変分はものすごくゆるい条件だが、それさえも満たされなければ普通はどうしようもな
い。極端な話、g(t)をディリクレ関数にとることはできない。（>>57=>>1は被積分関数f(t)
をディリクレ関数にできるという話と混同しているようだが。）
ただブラウン運動B(t,ω)の場合はω依存性（ちなみにウィーナー測度というときの「測度」
が測るのはこのωのほう。ここも混同してないか？）を利用して、伊藤積分∫f(t,ω)dB(t,ω)
が定義できるというわけ。

>>68 >>69
たしかに、ルベーグ測度や公理的確率論をよく理解できてない
ヤシ（>>65とか）もいるみたいだから、整理して啓蒙しておい
たほうがいいかもな。

ルベーグ測度について、このスレで必要なレベルなら、次のよう
な説明でどうだ？

（1次元の）ルベーグ測度ってのは、数直線上の集合の「長さ」
を測るもので、普通に長さがわかる場合を自然に拡張して、で
きるだけ多くの｢変な」集合にまで長さを定義したもの。それに
よれば、有理数の全体Ｑの「長さ」は０になる。

※理由の簡単な説明：適当に小さい正の数εを固定して、

ε/2, ε/4,ε/8, …, ε/(2^n), …

という数列を考える。無限個あるこれらの数を「全部」足しても、
合計でεにしかならないことに注意。
で、有理数は背番号をつけて並べることができる。数直線上での
配置とはぜんぜん関係ないが、とにかく番号がつく（これが「可
算」ということ）。そしたらn番目の有理数を、長さε/(2^n)の区
間で覆えば、有理数全体Ｑは長さの合計がεの区間で覆われる。
（これらの区間は重なりまくっているだろうが、大きく見積もるの
に無駄が多いぶんにはかまわないから、少なくともＱの「長さ」が
ε以下であることはわかる）。ところがεはどんなに小さい数に
とることもできるから、Ｑの「長さ」は０にならざるをえない。
これが>>24の前半。このくらい丁寧に書けば>>65もわかるかな？
同様に、可算な集合はつねに長さ（ルベーグ測度）０になる。

もうひとつの説明：一点の長さは０である。普通の「長さ」は有
限個の合計ができるが、「長さ」の拡張であるルベーグ測度は可
算無限個の合計まで許す。したがって可算集合の測度は０の合計
で０。

（なお、非可算集合でも測度０になるものがある。カントール集
合など）

>>43のいうように>>21や>>34が「xを選ぶ状況をきめろ」というのは、
どんな確率空間を設定するのか決めないと確率も定まらないから。

空間として[0,1]、測度としてルベーグ測度をとると、ひとつの確
率空間がえられるが、この状況はたとえば、[0,1] に上から針を落
としたとき、[0,1]の外には絶対に落ちないようにし、かつ[0,1]の
どこにも偏らないように、公平に落とすというモデルだろう。この
場合、ある区間に落ちる確率がその区間の長さに一致することは異
論がないだろうし、区間以外の変な集合にまで確率を考えるなら、
長さの拡張で平行移動不変（つまり一様）な「ルベーグ測度」をそ
の確率と考えるしかない。

これを認めると、一点の「長さ」は０だから、ある一点を指定した
ときそこに針が落ちる確率は０になる。必ずどこか一点に落ちるの
に、一点の確率が０というのは気持ち悪いが、「区間に落ちる確率
がその区間の長さに一致する」というなら、やむをえない結論だ。
（超準解析では一点の測度が０でなく「無限小」になるから、気持
ち悪さが少しは減るが）

「有理数の全体Ｑ（のどこか）に落ちる確率」も、そういうものを
考えたければルベーグ測度で測ることになり、確率は０となる。

「無理数に落ちる確率」は１だ。測度論的確率論では、「確率０の
事象は絶対起こらない」とか「確率１の事象は必ず起こる」などと
いう先入観は捨てたほうがいい。

測度を考えず濃度の比（？）を考えるのは間違い。たとえばカント
ール集合は非可算だが、ルベーグ測度０だから、「カントール集合
に落ちる確率」も０となる。

>>26

>]0,1[ 区間じゃなくて ]-∞,∞[ とした場合の確率は？

　]-∞,∞[ は、[0,1]と違って全体の測度が1ではなく∞だから、ルベーグ測度
を使う限り確率空間とみなすことはできない。

>>74
おつかれ。
わかりやすい説明だと思うよ。

>必ずどこか一点に落ちるのに、一点の確率が０というのは気持ち悪いが

連続体の濃度なんていう頭の中にしかないフィクションと現実体験のイメージのギャップ
間の気持ち悪さだね。
一生懸命考えても、結局フィクションでしかないんだよね。

＞１
確率は１/２だと思うがね。
勘だがね。

>>78
連続体までいかなくても、（可算）無限を考えている時点ですでにフィクション
ですよね。結局、無限を直観で扱うのは無理があるから、現代数学は無限を矛盾
なく扱えるよう定義とかいろいろ工夫されているけど、直観がおいつかない局面
も多いのは仕方ない。

>>78
無限とか０とかじゃなくても、あれに似てない？ 小針「確率・統計入門」
にも載ってるあれ→「確率の小さい事象を“珍しい”と定義する。１から
１００００までの番号のついた札１万枚を入れて、任意に一つを抽出する。
どの一つが出ても、その出る確率は１／１００００であるから、“非常に
珍しい”と感激しなければいけないか？」

札を一枚引くたびに、確率１／１００００の事象が起こっていることにな
るが、引けばどれか一枚が出るのは当たり前。

（≒「針を落とすたびに、確率０の事象が起こっていることになるが、落
とせばどこか一点に当るのは当たり前。」）

じゃぁ、Loeb測度を導入しれ！ちょっとは気が済むだろ

>必ずどこか一点に落ちるのに、一点の確率が０というのは気持ち悪いが

そうかなー
牛乳を床にぶちまけてできる形の再現確率が0より大きい気はしないけど。

現実世界を考えれば、針が一点に落ちると考えるのは間違いだ。
針には大きさもあるし、ハイゼンベルグの不確定性原理もある。

数学世界でもルベーグ積分論によるなら、針が一点に落ちると
考えるのは無意味だ。一点からなる空間は零測度なので、
そこで起こることは一切気にしないことにしているからだ。
これを、ルベーグの不確定性原理という。

>>83
>牛乳を床にぶちまけてできる形の再現確率が0より大きい気はしないけど。

「再現」というところがミソですな。
「１から１００００までの…」の解答ページには、「仮に3726番の札を引こうと思って、
その札がピタリと１回で引き当てられたのなら、それは珍しいといえるが、何の予測も
なしに任意に一枚の札を引けば、１枚出てくるのは当たり前である。」とある。

>>84
ネタか？（藁

じゃ漏れも「確率変数がとる値そのものは１つの実数、つまり一点だろ」な
どとマジレスしたりせずネタで返すか。

ルベーグ積分論では測度零の集合は無視する。一点の測度は零だから一点で
起こることは無視される。どの点についても同様だから、すべての点が無視
される。これを量子マクロ効果という。

確率0=ほとんど起こらない
ですよね？

almost surely 起こらない　だな

20%くらいじゃないの？

>一点からなる空間は零測度なので、
>そこで起こることは一切気にしないことにしているからだ。
一点だけなら考えないが連続濃度だと考える。
連続濃度っていうのが非現実なんだよね。
無限大と連続濃度、両方とも状態を表すんだけど、無限大には近づけていく
っていう感覚がわかりやすいが、既に連続っていう具体的な状態がそこに存在
してるっていうのが気持ち悪い本質。

以上、>>90の激白ですた。

>>90
超準的な立場でなければ、無限大は状態じゃなくて過程じゃねえの？
個数の延長として無限を考えるときに無限大を持ち出すのは分かるけど、
濃度の等しさが集合の対等によって与えられることはもう分かってるんだから、
個数の延長として考えようとするってのはどうよ。
[0,1]のすべての点を最低1回ずつ叩く離散プロセスは存在しないんだし。

>>92
整列定理は？

>>93
順序は数えあげと関係ないだろ

90って個数の延長として考えてるの？
あと離散プロセスってなに？

>>95
無限大という言葉から延長として考えてると思った。

「一点に落ちる」っていう話なので「落ちた点」が可付番であることをいいたかった。
つまり落ちるという事象は可付番でその事象が続く過程を離散プロセスといった。
それが暗黙されていないと >>90 の気持ち悪さはなさそうだけど、
他に 90 の気持ち悪さを解釈する方法ある？

延長と考えられないから連続濃度が気持ち悪いんだろ

そもそもどうやって実数を1つとってくるかが問題。
例えば0から9まで数字が書いてあるルーレットを無限回まわしてそれが循環小数になる確立ということにすると、
その確立は0となる。ただしこの０という値は確立そのものではなく確立の極限なので有理数になる事象が空集合というわけではない

別に１点を取ってくるのに有理数も無理数もないだろ？

>>98
つか、なんで物理乱数を使って数を作る必要があるの？
いわゆるルベーグ測度を構成せよという問題じゃないの？

>>97
それはそうかもな。
考え直してみたら無限集合自体の気持ち悪さは不問にできるのかが気になった。
無限集合だと自身から真部分集合への全単射が存在するから
枚挙しても同じ集合に近付くとは限らんのだが、そこんとこはいいのか？ >>90
可算無限ですら「近づけていく」ということから目をつぶっている部分はあるんだが。

98はどういう確率空間を考えてんだ?

>>94
整列定理から、集合内のある元に対して常に「次の元」を決められるだろ？
これは、「[0,1]のすべての点を最低1回ずつ叩く離散プロセス」の存在を意味するんでない？

そもそもこの問題は０から１の実数から適当に１つとってきたときその数が有理数である確率をもとめよということだろ？

適当に・・・

素朴な確率しか知らないのは許すとして、
無限回試行のどこが「適当」なのか説明してくれ。

適当にとってくるには選択公理が必要だよな。
・・・だから何だって言われても困るんだが。

１個だけとってくるのには、選択公理は要らない。
知識は正しく身につけよう。

>>90
　これはもしかして「可能無限」と「実無限」の話？
「無限大」vs「連続濃度」と書いてるが、可算か非可算かは本質ではないと思
う。
　たとえばx→∞（xがどんどん大きくなる）というのが「可能無限」で、自然数
でも実数でもいいが、とにかくいくらでも大きな（あるいは小さな）実数が次々
ととれる、という観念。自然数なり実数なりの全体が無限集合としていきなり存
在していて、それをマルゴト扱うのが「実無限」。

　>>92の指摘も、この言葉でいえば「無限大という言葉で表しているのは状態す
なわち実無限ではなく、過程としての無限すなわち可能無限では？」という意味
だろう。

　カントール以前の大昔から無限はもちろん扱われていたが、それはすべて「可
能無限」であり、「実無限」を本気で扱ったのはカントール以後で、いろいろ逆
理も生じた……なんて話は数学史の本にはよく書かれているよ。

　有理数全体を長さの合計がεの区間で覆える、という話にしたって、論理的には
納得できるが、その状態が想像できるかというと、漏れにはできない。

>>103
割り込みｽﾏｿ｡
でも、そうすると[0,1]を整列集合にして小さい方から順番に数えていけば自然数の
集合から連続濃度をもつ集合への全単射が存在する事になってしまうことになる気もする｡

やっぱり、何らかの理由で全てを叩く事は出来ないと考えるしかないのでは？
直観的にはわからないけど。

>>110
自己レス｡
直観的にも納得できる例があった｡
自然数の直積NxNに順序を導入すると､これは整列集合になっているけど､
(0,0),(1,0),(2,0)...と小さい方から順番に数えていった場合､いつまでたっても
(0,1)には辿り着けない｡

この例だと実は自然数からの全単射が存在するけど､少なくとも､
『任意の元に「次の元」が存在する』ことと、『全てを数え上げる事ができる』
ことは違う事が納得できると思う｡

>>103
すでに >>96 でいったように可付番であることをいいたかったが、
離散的ということばが曖昧だったのは認める。
「離散位相」のよう離散ということばがなんらかの分離性を意味することもあるから、
直後の元の存在をもって離散ということもできなくはない。
つまり「離散的」が「可付番」を含意しないという見方もあるだろう。
直後の元の存在が自然数の順序型を意味するとは限らないってことだ。 >>111

>>109
いいたかったのはそういうこった。
可能無限だの実無限だのいわずにできるだけ素朴にいいたかったわけよ。
やってくれたように可能無限だの実無限を説明する必要があるし。

もっとも、どこに気持ち悪さを感じてるのかには興味はある。
　キモＡ：無限集合の存在が気持ち悪い（>>101にあげた例）
　キモＢ：無限大と無限集合の違いが気持ち悪い（たぶん>>90）
　キモＣ：可算と非可算の違いが気持ち悪い（たぶん>>78）
３つくらいは区別して議論することもできるんじゃねえかな。
少なくとも数学史的にはそうだ。キモＡには（Cantorの）対等概念を認める、
キモＢには過程と対象を区別する（ＺＦの無限公理を認める）という解消法があるが
キモＣはそれほど簡単ではなさそうだ。
実数が非可算であることを示すには対角線論法が標準的だが、
対角線論法には選択公理が必要で、結果的に病理的なものまで持ち込むことになる。
よく例にあげられるのは Banach-Tarski の定理だな。
あと、唯一の後者の存在が可付番を意味しないのもそうかもしれん。
この辺は sci.math FAQ: Relevance of AC に少しまとまってはいるが解決はしてない。
ttp://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/AC/relevance/

対角線論法に選択公理は必要ないだろ！自分の挙げたペイジに出てるクイズぐらい解け。

N={1,2,3,...}, P(N)= N の部分集合全体, I 集合, F: I -> P(N) 函数
なら選択函数 f: I -> N を f(i):=min F(i) で構成できるから、選択公理など要らんわな。

一般の無限集合 X についても X から P(X) への全射がないことを
選択公理抜きの(ラッセル式)対角線論法で示せるが、これは読者の宿題とす。

対角線論法に選択公理が必要だって主張は初めて見たなあ。
目から鱗が落ちたよ。

取り敢えず強い公理に頼っとけ、みたいな姿勢にね。

>>115 にちゃんではありがちな間違い。あるいは同一人物なのだろうか？
ちなみに下の512も俺

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/995535913/511-512

511 ：　　 ：02/01/29 06:13
カントールの対角線論法にはその主張の前提として
選択公理が黙って使われている。
＃
おそらく実無限の立場というものは、実無限を認めるという何らかの
仮定（公理）を加えた体系を前提としていることに他ならないのだろう。
そのような仮定を加えた体系が無矛盾かどうかは証明しなくてもよいのかな？


512 ：１３２人目の素数さん ：02/01/29 08:11
＞対角線論法にはその主張の前提として選択公理が黙って使われている。

はつみみです

よし、気合入れてまとめれスだ！

>>108
１個だけとってくるのには、選択公理は要らない。
知識は正しく身につけよう。

？？
実数ってのは、N→{0,1}への写像全体だろ。
可算個の集合から、「いっせいに」0か1かを選択しなけれならんのだから、
選択公理でないの？

>>110
でも、そうすると[0,1]を整列集合にして小さい方から順番に数えていけば自然数の
集合から連続濃度をもつ集合への全単射が存在する事になってしまうことになる気もする｡

でも順番に数えていって最後までたどり着く保証はない。

>>111
『任意の元に「次の元」が存在する』ことと、『全てを数え上げる事ができる』
ことは違う事が納得できると思う｡

それは全然違う。整列定理の主張は、
「適当に順序を定義することによって」・・・とすることが「可能」ということだ。

とりあえず他人の発言の引用と自分の発言には区別をつけてくれ。

>>118
>>実数ってのは、N→{0,1}への写像全体だろ。
>>可算個の集合から、「いっせいに」0か1かを選択しなけれならんのだから、
>>選択公理でないの？
ハァ？
なんでわざわざ写像N→{0,1}をつくりだそうとしてるの？
「実数＝N→{0,1}への写像全体」という短絡思考はやめた方がよいよ。
２つの集合が同型だというだけで、別に同じというわけではない。
「実数を１個取ってくる」といったときに、「N→{0,1}への写像を１個取ってくる」と
勝手に読み替える必然性はどこにもない。というか不自然。

>>118
>でも順番に数えていって最後までたどり着く保証はない。
いや、だから>>110-111ではまさにそのことが言いたかったわけだが・・・｡

>それは全然違う。整列定理の主張は、
>「適当に順序を定義することによって」・・・とすることが「可能」ということだ。
何が全然違うのかわからんが、整列定理は[0,1]の点全てを１回ずつ叩くよう
な離散プロセス(?)が存在することを保証しないということを言いたかっただけ。
あくまでも、>>103を受けての話だからね｡

「離散プロセス」の意味が分からない漏れは逝ってよしですか？

>>114
「ラッセル式」ってのがまんま答えになっているような気が…

>>122
俺もよくわからんが､可付番という意味で使っていると思う｡

「濃度論の誤謬」
奇数や偶数や整数や有理数を自然数と１対１対応させるときは、追いかけて対応できるから
可能と主張しているのに、実数の場やい、完全に１対１対応できると仮定し、結果として、
完全１対１対応できないと論じられるわけだが、問題は追っかけ１対１対応できるかどうかではなかったか。
先に追っかけ１対１対応を採用しているのだから、今、完全１対１対応はまったく関係ないのだ。では、先に完全１対１対応を採用するか？いや、そうす
ると何もかも完全１対１対応でなくなるだけだ。
追っかけ１対１対応と完全１対１対応の２重基準は言語道断の詭弁である！

フェルマーの定理の証明を書いてください。

>>125
「追っかけ１対１対応」の定義を述べよ。

>>125
恥ずかしいから馬鹿なことを書くなよ。

>>126
この掲示板の行数制限では狭すぎて書けません。

>>31がいいこと言った！

＞１３０
要するに、有理数と実数の個数を数えればいいんだろ、で、例えばその２つの個数の
比が１：１なら、確率は１/２だろ？
無限を数えるばやい、絶対的な個数はどうしようもないから、相対的な関係が明らかになれば
いいんだよな？
有理数の個数を数えるのに苦戦しているが近々、証明でなく、計算的にであるが、それが明らかに
なる予感。いよかん。

＞問題は追っかけ１対１対応できるかどうかではなかったか
それは君だけです。

>>120
「実数＝N→{0,1}への写像全体」という短絡思考はやめた方がよいよ。
２つの集合が同型だというだけで、別に同じというわけではない。

すると、「同じ」って何？「同じ」の定義が必要だな。
私の場合は、同じ=同型だが。

>>120
「実数を１個取ってくる」といったときに、「N→{0,1}への写像を１個取ってくる」と
勝手に読み替える必然性はどこにもない。というか不自然。

あるいは、「実数」の定義をちゃんとするか。
同型を「不自然」に使ってはいけないとなると、
どのタイプの実数を指しているのか、明確にしないといけないだろう。
確かに読み替える必然性はないが、読み替えてもいけないってこともないだろ？

>>121
何が全然違うのかわからんが

ふたつの>>111の『』の中身が。って、これほど離れると見づらいな〜
確かに>>118の内容だと、何が違うのか分からん文章になってしまった。

>>133
あなたさー、解析の証明とかで普通に
「○○を満たすような実数aをひとつ固定する」ってやるときも、
選択公理使ってるとか思ってるわけ？
田中尚「選択公理と数学」を読破することをオススメするよ。

確率の意味論スレと思っていたら、いつのまにか基礎論スレになってる…？
面白いから(･∀･)ｲｲ!けど

そういえばルベーグ測度の構成には選択公理（可算選択だけど）が使われていると
いう話があったなあ。

>>133

>>119を考慮してくれ。読みづらいょ。

>>136
ああ・・・あのコメントは漏れか。
>>数字
文章
の形態は、引用で、単に文章だけなら私の文だ。

引用文全体に>>を使うと変なところで改行されたりして
かえって読みずらくなると思うんだが。
書いた文章と掲示板に出る文章とが、空白も含めてまったく同じように
出るなら、やりやすいんだけどぇ

>>134
田中尚「選択公理と数学」を読破することをオススメするよ。

探してみよう。

>>137
>引用文全体に>>を使うと変なところで改行されたりして
>かえって読みずらくなると思うんだが。
べつにそんなことはないでしょう。
この方が読みやすいと思いますが。

あ、ブラウザの文字サイズの問題なのかな。

このスレに来た男の確率は

追いかけて１対１　って記号で処理するとするとどう表現するんでせうか

>>141

On Mon, 18 Nov 2002 18:26:39 +0900
"katsuhiko ogawa" <[email protected]> wrote:

> (snip)

> 感じなければいけません。数式以前のものを、数という存在を感覚するのです。
> ｛１，２，３、、、｝
> ｛２，４，６、、、｝
> ６が存在するならば、
> ｛1，２，３，４，５，６、、、｝
> ｛２，４，６、、、｝
> となっているはずです。
> 偶数は自然数を追いかけているのです。
> これが１対１対応の正体だ。
> このような１対１対応を追っかけ１対１対応と呼びます。

>>137
「田中尚」でなくて「田中尚夫」だった。スマソ。

amazonの書籍データ：
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4795268908/ref=sr_aps_b_/249-7611977-6322729

あと、ぐぐって見つけた本の紹介ページ（真ん中辺りにあり）：
ttp://www2.odn.ne.jp/yuseisha/sugaku4.htm
もしよければ参考にしてちょ。

「選択公理と数学」眺めてみた。
「実数全体から１つ実数を選択するには選択公理が必要かどうか。」
についての知見は得られなかった。

どこ読めばいいのでせう。

>>141
感覚を表現していただければ助かりますが・・・・・・・・
楕円関数はモジュラーであるというのも感じとれますか？感覚で

>>144
んー、なんというのかな、>>143とかは、なんつーのかな、
色々な例を通して、「どういうときに真に選択公理が必要なのか」を
「感覚として」掴んでくれるのを望んでいたと思うのだが。
もし>>143にそういう教育的配慮(?)があってオススメしたのかは知らんが。

実数を無限２進列とみなすのはまあ良いとして、
「『無限２進列全体の集合』から数列を１個もってくる」のと、
「無限２進列を１個もってくる」のは違うことだということじゃない、要は。

「何にせよ、選択公理と数学」は何気に良書だと俺も思うので、
もし選択公理に興味があるなら、今回のこととは関係なく
じっくり読んでみると面白いと思うよ。

何か１段落目の日本語がメチャメチャだな、俺。逝ってくる。

20%くらいじゃないの？

そうなのか・・・
選択公理については、ある程度知っていたつもりだったが。
>>146氏指摘の「無限2進列」の違いも分からないし。

>>149
選択公理の要不要に関しては違わないのでは?
f:N->{0,1} が存在することは選択公理無しで示せる。
例えば f(n) = 1 とおけば十分。
それ以外の f でも好きなように作れば良い。

むしろ「適当に」の意味が問題。 >>104 = >>98
「適当に」が「ランダムに」という意味で、
それが「[0,1)上の一様分布に従って」ということなら、
>>75 >>74 のようなごく普通の話になる。
「適当に」がそれ以外の意味なら
「適当に」をきちんと定義してもらう必要がある。

>>150
>>例えば f(n) = 1 とおけば十分。
確かにそうだ。すまん。

２０％くらいじゃないの？

無限直積空間の存在の時点で選択公理を使う様な気がする．
実数の公理系を満たすものとして有限集合の
可算無限直積空間を採用する事が対角線論法の要で
選択公理を暗に使っているというのは
的を得ている気がするんですがどうでしょう？

＞楕円関数はモジュラーであるというのも感じとれますか？

知ったか君のsarashiage

>>153
Nの可算無限直積の存在は、ZFどころか、RCA0ですら保証されてるが？

迷ってる方々は、集合の作り方についてまずは学ぶといいんじゃないかと思う。

RCA0って何？

既に存在がわかっている集合A,Bに対して、「AからBへの関数」全体の集合も存在する、
って命題は、少なくともＺＦまで仮定すれば示せる(ので、選択公理は不要)。
集合論の必須演習問題なんだが、最近は教養のときに集合論をやらないところも多いのかな。

AからBへの関数はA×Bの部分集合とみなせるから、
AからBへの関数全体の「集まり」はA×Bの冪集合の部分。
で、「fは関数である」という論理式はZFの言語で記述できるから、
分出公理(なければ置換公理)によって存在が証明できる。

で、外延性の公理とかから「∀a(a≠φ→∃b(b∈a))」がいえるから、
「実数(無限２進列)の集合から元を１つ持ってくる」ことは、
少なくとも古典論理の体系の中では選択公理なしで可能。

>>157
２階算術っていう、「何でもアリ」なカンジ(実際は違うけど)の集合論の言語を制限して、
「数」と「数の集合」までしか使えないようにした枠組みがあるんだけど、
その枠組みで基本的な土台となる公理系。もちろんZFより遙かに弱い。

例えば、↓こことか参考になるかも。
ttp://members.tripod.co.jp/nbz/ref/revmath.html

>158
で、追っかけ１対１対応について、何か所見はおありでしょうか？

とりあえずその対応でBurnsideの定理でも証明してください。

>>158
教養でZF集合論なんてやるだろうか。
素朴集合論なら分かるけど。

数学科で単位の一つとして選べる程度が精々だと思う。

うちでは教養時代にやったが。

東北大？でもみんなそれやってるってわけじゃないでしょ？そこも

>>165
そうね、俺は東北大卒です。わかっちゃうってことは、やっぱやる方がマイナーなのか。
学部一年前期の必須だから、俺と同期の数学科ならみんなやったよ。
素朴集合論→ラッセルのパラドックス→ZF集合論、という流れ。
もちろんACの独立性の証明とかの詳しいことはやってないんだけど、
「これだけの公理系でどれだけの数学が展開できるか」って感覚をつかもうってことで、
関数の存在とかは演習として授業でやった。
まあ、俺の１つ上ではやってなかったみたいだから、教官によるのかもね。

有理数か無理数かを区別しなきゃならんのは数学科だけ。

陽子・電子の質量比が有理数か無理数かを問うのは意味があると思うんだけどな。
一般に無次元物理量だったら、意味があると、思いたい。

リサージュ波形（ぼそ

>>168
　質量ってのは、小数点以下X桁以降は無効っていう測定しかできん罠。
こんなもの同士の比を求めることになんか意味あるの？

ボキャ貧困で須スマソ
有効数字
だよな

>>1
確率ってのは

「定　義　な　ん　で　す　よ」

だから、0<x<1 で xが有理数になる[確率]は
なんの前提もないなら、どのように定義しても良い。
もし他のモデルの確率と整合性を考えるなら、
まず、このケースにおける確率分布を定義しないと
はじまらないっす。

−−−−−−　以上　このスレは終了しますた　−−−−−−

トグロ弟が本気出して、100％中の100％でいい？
あんな、マッチョでいいの？？
肩にお兄ちゃんのっけていいの？

>>170

理論的に導出される比のことでは?　

例えば比が理論的に1である事が導かれる、
それが分かっても意味が無いと言う気にはなれない。

>>174
陽子・電子の質量比が理論的に導かれるの？
（物理には詳しくないが）

>>172
はぁ？ど素人はスッコンでろ

>>177
　　　 　"(;´Д｀)　ｽﾏｿ
　　　　　（ ヽ/
　　　　　　〉 〉

>>176
どうだろう。超ひもは、全ての物理量を求められる！と豪語しているが。（原理的に）

あー、ひもで生きたいなー。

>> 158, 155
丁寧な御説明を有難うございます．

ZFから直積集合が作れる事は良く分かったのですが
その論法から可算直積に限らず任意の(存在する集合の)濃度直積集合
が空でない事が分かってZFの公理系が選択公理を導く様な気がするのですが
良いのでしょうか？

RCA0でも超越的でない濃度の直積集合について同様の気がします．

え？
１/２でしょ？

無理数も無限にあり、有理数も無限にある。
よって、１/２

>>181
>>可算直積に限らず任意の(存在する集合の)濃度直積集合が
空でない事が分かって
どうして空でないとわかるの？

そうだね。
>>158の「外延性の公理とかから」うんぬんは間違いでした。
>>150のように具体的に構成できるから、
今の場合は桶ってだけだ。すまんかった。

>>179
そうなんだ？

でも結局>>170も書いてるけど有理数か無理数なんて判定できないよなぁ…

>>167
今日の授業で経済学でも有理数か無理数かが、重要らしい場合があることを知った。いわく、
「競争均衡（需要と供給が一致する点）の存在を示すのに
1個、2個、あるいは有理数個（？）の商品の供給があった場合は、
有限人の人の存在を仮定するだけでいいが、
原油のような連続量の商品の場合には、無限人必要」
なんだそうな。
でも、ゲーム論の話だから、数学だな。

>>187
多分まったく違うと思う。
あんたの話は
本は１冊２冊、
ミルクは a cup of
っていうのと同じじゃねぇか。

０から１までの有理数の確率って
０から∞までの整数の確率とは違うんですか？

つまり有理数に無限をかけると整数になるとおもうので。
そうすれば０ですよね。

好きなだけじゃ何も益をなさないよ

>>188
何のことだ？

間違えた。
>>188
どういう意味だ？
と、聞くべきだった。

>>187
競争均衡の範囲なら
有理数か無理数か、ではなくて、自然数か実数か、だと思われ。

市場を力学系で表現した場合は
何かの数値が有理数か無理数かが問題になることはあるかもしれない。

>>187
けーざいがくぶ？おまえらいわゆる文系数学での受験だったんじゃねぇ
だろうな？のーどをどーこーゆー前に初等関数の微積ぐらいはできるん
だろうな？

>>194
もちろんだ。元数学科だしナ。専門は微分幾何だった。
もっとも大学院は物理だったが。

>>193
なんか誤解しとるな。正確に説明できない私の力量もあると思うが。
有理数か無理数か、といっているのは商品の量ではなくて
商品の量が離散量→有理数（の価格）が登場
商品の量が連続量→無理数（の価格）が登場
という構図なのだが、
連続量だった場合、均衡の存在を言うのに、可算人のplayerが必要
ということだ。

>>194
そういうキミは、もちろんゲーム論の基礎ぐらいは知ってるんだろうな？
ここではブルーバックスぐらいでも可としておこう(藁

元数学科で媚文帰化やって,
大学院は物理,
ほんで今は経済学部？？？？

そりゃおもしろすぎる経歴是非語ってくれ！

>ゲーム論の基礎ぐらいは知ってるんだろうな？
知らんよ。ORは興味無し。芸が無くて(芸無)悪かったな。
だが、ゲーム理論のうんちくは他のスレにしてくれ

>>197
正確には今は無職。来年から院で経済の勉強をする。
なぜ、授業に出ていたのか？それは秘密

別にうんちくを語る気はないさ。
ただ、「こんなところに有理数/無理数の影響が！？」と思っていたところに
タイムリーにこのすれで話題を見つけたので書き込んだだけ。

>183
厨房だなー

ﾏｼﾞﾚｽもはばかられるが
有理数は可算だが
無理数は非可算なんです

＞１９９
電波ですか？

>>200
消防ﾊｹｰﾝ!!

>>200
そういうネタスレとして発展させる気なのか

発展もなく沈みっぱなし・・・

>183の論法だと、
自然数の中からランダムにひとつ選ぶとき、
それが３の倍数である確率は1/2
なぜなら３の倍数もそうでない数も無限個あるから。

同様に、「３の倍数＋１」となる確率も1/2
「３の倍数＋２」も1/2

>199が濃度の違いを持ち出すまでも無く、
同一濃度内で既に破綻している罠

独立事象じゃないんだよ、きっと。

>>204
確率の加法性を認めないという手もある。
そんなことして意味あるのかどうかは知らないが・・・

ていうか>>183は明かにネタっぽいが。

ていうかネタ進行なんだが。

>204
なるほど

ルベーグ積分って数学以外のいったいドーユー場面で役立つの？
概念としかないものを無理やり考えて行き着いた結果という感じがする。
自然科学にとって必要か？

よくわからんけど、（無限！無限）／（無限＾無限）でゼロでイイじゃん。

>>210
とりあえず
物理でルベーグ積分必要ですか？
http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1038508938/l50
参照。

ロクに知りもせずに「自然科学にとって」必要かどうか疑問に思うのは愚かだね。

limと∫の入れ替えに必要な条件が弱くなるのだ。

一様収束と各点収束

age

素人ですが、この答えは有理数なのですか。

>>215
過去ログ読んだ？

（＾＾）

0

確率が有限試行回数中の事象の成立する（デジタルにイエスノーが決まる
命題）割合であるとする立場において、（物理の観測問題も絡められたり
もするかもしれないが）ルベーグの意味の測度という概念とか実数そのもの
という概念は、実数の概念が有理数の切断もしくは、有理数の収束する
列という無限の数列の過程により定義されるものであることを考えると、
実数の方だけ先に収束列の極限を取っておいてから、次に試行の回数の
極限を取るという立場に該当するので、果たして本当にそれがよいこと
なのかどうかは、疑問符がつくなぁ。
　収束列の極限を取らず、つねに有限段階においてから試行の回数の
極限をとっておいてから収束列の極限をとっていくとか、
両方の極限の速度の比を調整しながら極限を取るとか、いろいろな
極限の取り方がありえるように思えるからだ。

０．ＸＸＸＸＸ・・・・

の無限に続く小数の各桁を一様にランダムに０〜９の数字を決めます。
その無限列が循環小数になる確率（つまり、有理数になる確率）は
ちょっと考えただけでも限りなく０に近いとわかるんじゃない？

＃　正確に０だろうけど

スロットマシーンのリールに０〜９までが一個づつあり、
そいつが無限個並んでるとしてみる。
有理数が出現するとは、
あるリール以降に無限の繰り返しパターンが出現することに相当する。
こう考えると、確率がゼロというのも感覚的に納得できないかな？

>>221
そうそう

例えば、ランダムにサイコロを無限回振って無限に繰り返しパターンが現れる確率と同じ。

あり得ません。確率０だ！

でも明らかに0<x<1に有理数あるじゃん。
確率ゼロなのになんであるの？
なんで？なんで？なんで？

>>223
釣りにしちゃストレートすぎるぞ

ランダムウォークのサンプル軌跡は、０〜１の任意の数を１つ決めて２進表記したときに
小数第１位から順番に０なら上げ、１なら下げとして決めることが出来る。

そのサンプルパスに規則性が生じる確率は、０〜１の任意の数で有理数を選び出す確率０です。

>223
たとえばこんな例ではどうかと。ある駅では３０分ごとに電車が来る。
ということは出鱈目な時間にうちを出て駅に着いた時、電車が来るまでの
待ち時間は０分から３０分の間。では待ち時間がちょうど１０分ジャストの
確率は？

なんとなく1/30って答えたくなるかもしれない。でも、それは分単位でって
限定した場合で、秒単位でもって言ったら答えは小さくなってくる。さらに
コンマ何秒って単位まで１０分ちょうど、って言ったらもっと小さくなる。

小数点以下どこまで行っても０であるような「ちょうど１０分」だと、
確率は０になる。だけど、そういう時間は明らかに存在する。

さらに待ち時間が１０分から２０分の間である確率は1/3となる。

連続分布と離散分布の違いがわかれば納得できるのではないかと。

各点の長さが0であることに依存したその説明だと、
10分ジャストじゃなくても√2分ジャストでもπ分ジャストでもいいわけで、
無理数は0にならないことを説明できないねえ。

>227
いや単に223の疑問に対して答えているだけでね。そりゃもちろんπ分ジャストに
なる確率だって当然０ですわな。あくまでも「確率０」だけど「存在」の
説明だけ。

例えばさぁ。
[0,1)の間の任意の有理数がでる「確率0」と
[0,1)の集合外の数字(例えば√2)の出る「確率0」　って同じ「確率0」なわけ？

↑[0,1]の間違いです。ｽﾏｿ

投稿した後に気づいた。たしかにこれだと論点がズレてる。スマソ。
逝ってくるわ。

とりあえず1/11くらいにしとけばいいじゃん。

>>229
yes

>>220-222
その方針で厳密に証明しようとするときにひとつ問題になりそうなのは、
繰り返しのパターンの種類がまた無限にある事だが・・・。
パターンが「可算個」という概念なしに証明できるのかな？

しかも可算に帰着させるのは十分ではあるが議論としては弱いし
非可算の零集合だってあるからな

文句はルベーグさんに言ってくれ。
もしくはルベーグメジャーを採用しちまったコルモゴルﾁｬﾝに。
少なくても、
ルベーグの意味で測度１という意味で確率を定義したら
有理数の出る確率は1になるのはしょーがない。

↑有理数の出る確率は0　でした。ｽﾏｿ

じゃあ別の測度を採用すればいいあじゃん

ﾙﾍﾞｰｸﾞﾒｼﾞｬｰ→おい、お前ら！、高々加算個のﾔｼらは無視でお願いします。

>>238
そうそう、と思って別すれで質問したのだが、なぜか煽られてなー
煽り返してやったから別にいいんだけど。

無限にサイコロとかルーレットのわっかがあった場合に、そもそも
無限回のサイコロを振っておいてでないと、試行が１回完了しません。
そんな行為（無限回振るという行為）はそもそも不可能なのに、
そういう試行をどんどんと数を増していったときの成立極限を取る
ことも、無理です。

つまり、無限の操作を必要とする試行（実数の桁を最後まで得たとするような）
を１回と数えることは、有限の立場では絶対に出来ないので、なんらかの
あらたな公理を導入しないかぎり数学的にはまともな議論とはいえない。
その公理は有限操作の立場からは超越している命題だから、いろいろな取り方
が可能であり、それのいかんによって結果が違っても、矛盾ではない。

＜血液型A型の一般的な特徴＞（見せかけの優しさ・もっともらしさ（偽善）に騙され
るな！）
●とにかく気が小さい(神経質、臆病、二言目には「世間」、了見が狭い）
●他人に異常に干渉し、しかも好戦的・ファイト満々（キモイ、自己中心）
●自尊心が異常に強く、自分が馬鹿にされると怒るくせに平気で他人を馬鹿にしようと
する（ただし、相手を表面的・形式的にしか判断できず(早合点・誤解の名人)、実際に
はたいてい、内面的・実質的に負けている）
●本音は、ものすごく幼稚で倫理意識が異常に低い（人にばれさえしなければＯＫ）
●「常識、常識」と口うるさいが、実はA型の常識はピントがズレまくっている（日本
の常識は世界の非常識）
●権力、強者（警察、暴走族…ｅｔｃ）に弱く、弱者には威張り散らす（強い者に弱く
、弱い者には強い）
●あら探しだけは名人級（例え10の長所があってもほめることをせず、たった１つの短所を見つけてはけなす）
●基本的に悲観主義でマイナス思考に支配されているため性格がうっとうしい（根暗）
●一人では何もできない（群れでしか行動できないヘタレ）
●少数派の異質、異文化を排斥する(差別主義者、狭量）
●集団によるいじめのパイオニア＆天才(陰湿＆陰険）
●悪口、陰口が大好き（Ａ型が３人寄れば他人の悪口、裏表が激しい）
●他人からどう見られているか、人の目を異常に気にする（「〜みたい」とよく言う、「世間体命」）
●自分の感情をうまく表現できず、コミュニケーション能力に乏しい（同じことを何度
も言ってキモイ）
●表面上意気投合しているようでも、腹は各自バラバラで融通が利かず、頑固(本当は
個性・アク強い）
●人を信じられず、疑い深い（自分自身裏表が激しいため、他人に対してもそう思う）
●自ら好んでストイックな生活をし、ストレスを溜めておきながら、他人に猛烈に嫉妬
する（不合理な馬鹿）
●執念深く、粘着でしつこい（「一生恨みます」タイプ）
●自分に甘く他人に厳しい（自分のことは棚に上げてまず他人を責める。しかも冷酷）
●男は、女々しいあるいは女の腐ったみたいな考えのやつが多い(例：「俺のほうが男
前やのに、なんでや！（あの野郎の足を引っ張ってやる！！）」）

>>170
質量の定義がもっと別の根源的なものから定義可能になったと仮にする、
で、その根源的何かは測定可能とする、しかも自然数だったりしたりとかする。
そこで、二つの質量が定義できて、比を調べると無理数だった。
みたいな事になってるとか
オレも物理はぜんぜん知らん。

1.常に妥当なメジャーは存在するのか？
2.存在したらユニークか？
3.存在するなら構成方法は？

＞241
無限の操作って言うけど、別にスロットマシーンのリールが無限個あるだけで
順番に一個ずつ止めてる訳じゃない。
バンと一瞬に止めたときの状態を考えてるだけ。
そこに例えば１００個め以降に１２３１２３１２３１２３...とかできてる状態は
あり得ないという感覚はありでしょ。

よく知らんけどハウスドルフ測度が使えるとか聞いたとこあるけど。詳細は不明。

>>244
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1039939141/l50

>>247
覚えてる人もいるもんだ。

任意の集合に確率を割り振れるという要請を、選択公理は相容れないと
何かの本で読んだんだけど、詳しい解説を希望。
だからルベーグ可測な集合に考察を限定するのだとかなんとか、書いて
あったが、よーわからん。

>>250
選択公理を認めなかったら
全ての集合は可測集合になるんじゃなかったっけ？

リーマン積分可能でルベーグ積分不可能な例ってあるの？

1/√x　を０から１まで積分するって、ルベーグ積分で出来たっけ？

>>252
∫{sin(x)/x}dx

１の方の質問は以下に述べる質問と同じ？
０＜ｘ＜１の有理数の「数」と無理数の「数」の比を求めよ。
両方とも無限集合だから、、私には分からん。

「広義」リーマン積分可能なら、ルベーグ積分不可能な場合がある。
狭義（と言うのか知らんが）リーマン積分可能なら、必ずルベーグ積分可能。

>>255
無限にも色々あります。
同じ無限でも「自然数全体の濃度（個数）」と「実数全体の濃度」は違います
でも「有理数全体の濃度」と「自然数全体の濃度」は同じだったり・・

集合論を勉強すれば面白い命題にいっぱい出会えます

>>257 255の比の値は？

>>258
その前に、あなたの比の定義は何？
ＡとＢの比の値というのは「Ａ／Ｂ」で算出するのがあなたの知識じゃない？
「無限で割る」というのが、どういうことかわからないと、答えを聞いても意味不明だよ。

,,,,.,.,,,,
ﾐ・д・ﾐ ＜ほっしゅほっしゅ！
　""""

>>258
０ですが何か？

平面上の三角形が鋭角三角形である確率を求めよ。

>>262
0

ほんとうかな？では平面上の三角形が鈍角三角形である確率はどうなる？

>>263
なんで0なんだ？おれの計算だと1/4になりそうなんだが。

＞＞264,＞＞265
簡単のため、2点(0,0)と、(1,0)を固定して、点(a,b)∈R^2をランダムにとってくることを考えよう。

2点固定：0
円周上から3点を取ってくると解釈：1/2

「円に弦を引いて長さが√3r以上の確率」同様に
禿　し　く　悪　問　の　予　感

捕手

だれもｲﾅﾋ

円周上の３点が為す三角形が鋭角三角形である確率は？

べるとらん

りゅっせお