◆ わからない問題はここに書いてね４６ ◆

936 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:09

＞９２８高校生？
厳密にやろとおもてコーシーの判定法まで持ち出して失敗・・・。

とりあえず自然数だと考えずらいので、
n=1/xとおいて1/(xsin1/x)=1/x/(sin1/x)と見て
ロピタルを使ってやると-(x^2)cos1/xの極限を求めるのと同値。
これは|-(x^2)cos1/x|<x^2で上に有界なことがわかるので
題意の極限も存在して、x→0とするとその値は0。
じゃダメ？

an=1/(nsinn)に対してΣanを評価してやってその収束が言えれば
an→0なので、こちらを使っても出来ると思う。

０　で　合　っ　て　る　？

937 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:19

>>923
cosx + sin2x - tan3x = 0

の式変形はどこまで出来た？

938 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:38

＞９３６の別解の続き。
∑1/n^2が収束する事は既知とする。良くある不等式sinx>2x/πを使ってやって
2n^2/π < nsinｎ　<　2ｎ^2より、∑1/2n^2 < ∑1/(nsinn) < ∑π/(2n^2)
上式の両辺は収束するので真ん中の級数も収束する。
よって1/(nsinn)→0がわかる。
でもこれだと工房は解けないね。ロピタル大学入試じゃ使えないし。
院受かってぼーっとしてた漏れにはいいリハビリになた。

939 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:44

> sinx>2x/π

あほか？xの範囲はどこなんだよ。

940 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:45

ほんとだ・・・。

941 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:46

逝って芳

942 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:47

>938
> 上式の両辺は収束するので真ん中の級数も収束する。
ほんとにアホだ。こんな奴が行ける院って何？
精神病院くらいしかないだろ。

943 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 03:54

まったく分かりませんでした。
答えがまだ配布されていないので、できたら詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

【問】f(x)はx＞0で定義された関数で、f''(x)＜0をみたすものとする。
　a＞0、b＞0、0＜t＜1に対して、
　不等式　f((1-t)a + tb)≧(1-t)f(a) + tf(b)
　を証明せよ。

ヒントに「平均値の定理を使わず、文字を固定する方法で考えよ」なんて
あったのですが、もうさっぱりで・・・。よろしくお願いします。

944 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 04:12

>>943
典型的な凸不等式って奴。
このスレでもしょっちゅう出てくる重要な不等式
出来る限り自分で考えて見ることが一番得になる。
これ使って相加平均＞＝相乗平均も出せるし応用性が高いから。
背理法と中間値の定理駆使すれば証明できる。

945 ：１３２人目の横山やすし：02/08/24 05:26

>>928
1/πのDiophantos近似か？
未解決問題だったらオコるでしかし

946 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 05:35

>>943
平均値の定理使いてぇー
アホみたいに簡単に証明出来るー

947 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 06:09

>>946
平均値の定理を使うとできますか？
証明がどうも苦手で・・・(^^;)。
よかったら、教えてください。

948 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 06:54

>>947
じゃヒント(細部の突っ込みは他の人に任す。)
F(t)=f(ta+(1-t)b)-tf(a)-(1-t)f(b)とおく。
1)F(0)=F(1)=0を示せ
2)F''(t)<0を示せ(0<t<1)
3)F'(t)は(0<t<1)で単調減少であることを示せ
4)F(s)<0となる0<s<1があったとすると....s<t<1でF(t)は増加しなけれ
ばならないことを示せ
5)目的の不等式を示せ。

949 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 07:07

>>947
a＜b として c=(1-t)a + tb とおいて
与式の右辺-左辺 = t{f(b)-f(c)} - (1-t){f(c)-f(a)}
に平均値の定理を3回つかう。
・・・けっきょく948とおなじなんだろうけど

950 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 08:03

すいません
ここの
http://www.interq.or.jp/student/suugaku/suuron/node16.html
練習問題4.1の（５）の解答で
使われている大きな記号は
はじめてみるんですけど
いったいどの分野で使われている記号なんでしょうか？

951 ：質問です：02/08/24 08:06

0≦x≪2πのとき、次の方程式をみたすxの値を求めよ。

sin(3x)+sin(2x)+sin(x)=0

952 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 08:30

再度誘導。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1030124153/l50

953 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 08:49

>>951
和積
sin3x+sinx=2sin2x・cosx

954 ：１３２人目の素数さん：02/08/24 10:30

>>953
ありがとうございます。解けました。