シンプルで難しい問題
「さくらスレ」の方が一枚上？
928 ：１３２人目の素数さん ：04/04/12 20:55
これの計算のしかたを教えて下さい．
Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
ただし, mは正の整数, nは正の偶数で, m>nとします．
952 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/04/13 07:57
とりあえず[>>928]は、nを固定したとき、mのn次多項式になることが分かった。
n=0のとき、1
n=1のとき、m^2
n=2のとき、m^4-4m^2+3m=(m-1)m(m^2+m-3)
n=3のとき、m^6-20m^4+45m^3-26m^2=(m-2)(m-1)mm(m^2+3m-13)
141 ：１３２人目の素数さん ：04/04/16 01:24
(1/2 +x+x^2)^m の展開式で x^(2m-2n) の係数を考えてみる･･･
それに (2n)! を掛けてみる･･･
224 ：141 ：04/04/17 16:29
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^(2n) の係数･･･
◆ さくらスレ １４２ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080180668/928,952
◆ さくらスレ １４３ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1081800988/83,141,224
928 ：１３２人目の素数さん ：04/04/12 20:55
これの計算のしかたを教えて下さい．
Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
ただし, mは正の整数, nは正の偶数で, m>nとします．
952 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/04/13 07:57
とりあえず[>>928]は、nを固定したとき、mのn次多項式になることが分かった。
n=0のとき、1
n=1のとき、m^2
n=2のとき、m^4-4m^2+3m=(m-1)m(m^2+m-3)
n=3のとき、m^6-20m^4+45m^3-26m^2=(m-2)(m-1)mm(m^2+3m-13)
141 ：１３２人目の素数さん ：04/04/16 01:24
(1/2 +x+x^2)^m の展開式で x^(2m-2n) の係数を考えてみる･･･
それに (2n)! を掛けてみる･･･
224 ：141 ：04/04/17 16:29
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^(2n) の係数･･･
◆ さくらスレ １４２ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080180668/928,952
◆ さくらスレ １４３ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1081800988/83,141,224
|
|
|
323 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 02:53
325 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:12
なるほどっ！
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^n の係数が、多項定理より
Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!) になってますね。
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | …。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^n の係数が、多項定理より
Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!) になってますね。
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | …。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
326 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:15
(1+y+(1/2)y^2)^m をいじった式を二項展開してy^nの係数を出せばいいんですね。
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | 続きは、このnCrヲタに やらせてください。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | 続きは、このnCrヲタに やらせてください。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
327 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:21
328 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:31
(1+y+(1/2)y^2)^m
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k](1+y)^(m-k)
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k]Σ[r=0,m-k]C[m-k,r]y^r
= Σ[k=0,m]Σ[r=0,m-k]C[m,k]C[m-k,r](1/2)^k*y^(2k+r)
におけるy^nの係数は 2k+r=nのときだから、
Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k なので、
Σ[k=0,n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | もっと簡単になるかなぁ…。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k](1+y)^(m-k)
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k]Σ[r=0,m-k]C[m-k,r]y^r
= Σ[k=0,m]Σ[r=0,m-k]C[m,k]C[m-k,r](1/2)^k*y^(2k+r)
におけるy^nの係数は 2k+r=nのときだから、
Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k なので、
Σ[k=0,n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | もっと簡単になるかなぁ…。
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
329 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:35
もとに戻ってる…
r〜〜〜〜〜
＿_ _ﾉ あああ‥‥
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
r〜〜〜〜〜
＿_ _ﾉ あああ‥‥
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′
330 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:46
＿＿＿
.／ nCr ＼. ☆ ﾋﾟｷｰﾝ！
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾋﾗﾒｲﾀ！
ヽ::::... .∀....ノ
.／ nCr ＼. ☆ ﾋﾟｷｰﾝ！
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ﾋﾗﾒｲﾀ！
ヽ::::... .∀....ノ
331 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 03:58
1+y+(1/2)y^2 = (1/2)(1+(1+y)^2) より
(1+y+(1/2)y^2)^m
= (1/2)^m(1+(1+y)^2)^m
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k](1+y)^(2k)
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k]Σ[r=0,2k]C[2k,r]y^r
のy^nの係数は、k≧n/2 かつ r=n のときだから
(1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n] である。よって
Σ[k=0, n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= (1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | 合ってるかなぁ…？
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
(1+y+(1/2)y^2)^m
= (1/2)^m(1+(1+y)^2)^m
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k](1+y)^(2k)
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k]Σ[r=0,2k]C[2k,r]y^r
のy^nの係数は、k≧n/2 かつ r=n のときだから
(1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n] である。よって
Σ[k=0, n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= (1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]
＿＿＿
.／ nCr ＼.
|::u ＼ .／ | 合ってるかなぁ…？
|:u: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ
332 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 04:02
左辺も二項係数を用いて表すと、こんな感じ。
Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k]2^(m-k) = Σ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]
Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k]2^(m-k) = Σ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]