数学の質問スレ【大学受験板】part101

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://mathmathmath.dotera.net/

２ちゃんが落ちた時や、規制されてる人はこちらで
http://jbbs.livedoor.jp/school/21000/（避難板）

前スレ
数学の質問スレ【大学受験板】part100
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1310126010/

はつ

１＋１を教えてくだぱい

１１

はい

テーラー展開の関連問題として
　　　　　　　　　1　　　　　∞
W_(n-1) (x) = ーーーーーー =　Σ W_(n-1) (m') x^m'
　　　　　　　(1-x)^(n-1)　　m'=0

のとき
　m
　Σ　W_(n-1) (m') = W_n (m)
m'=0

の関係式を導けっていう問題なんですけど
どういう風に解けばいいんでしょうか？

ちなみに
　　　　　W_n ^(m) (0)
W_n (m) = -----------　　（テーラーの真中部分）
　　　　　　　m!
です

2Σ[k=1 , 8]k+1C2 = Σ[k=1 , 8](k^2+k)
になるのはなぜでしょうか。
右辺は等差数列の和の公式なんですが
なぜそうなるのかわかりません。

k+1C2 = (k+1)k /2
定数の1/2をΣの外に出せば右辺の形

ちょっとは考えたの？
k+1C2=(k+1)k/2=(k^2+k)/2
この式変形すら自分でやってみなかったわけだ。手を動かさず、式だけ見て分かろうとするなんて
よっぽど頭の良さに自信があるんですね。羨ましい限りです。

補足事項としてnCr=n!/[(n-r)!r!]
は自分で作れるようにした上で結果の暗記が必要です。
nPrもね

基本的な質問ですいません。
3^n＋3^n ってなんですか？

コイン５枚を同時に投げ、表が出た枚数をaとし、点Pの座標を(a,0)と定める。
楕円(x^2/25)+(y^2/16)=1の焦点のx座標が正の点をFとする。
点Pと点Fが一致する確率を求めよ。

確率と二次曲線の融合問題を初めて見た。
この問題自体は簡単だが、過去に確率と二次曲線の融合問題を出題した
大学ってある？もしあれば出典を教えてください

>>11
こんなんで融合って言うのか？

半径rの定円の周上に点A,B,Cがあるとき
ベクトルABとベクトルACの内積の最小値と最大値を求めよ

円の中心をOとおいて座標を張っても手詰まりです。お願いします。

一点をどっかに固定しても一般性失われないよね

>>13
原点中心の半径rの円をDとし、点Aを(-r,0)に固定して考える。
B(rcosα,rsinα)、C(rcosβ,rsinβ)として
AB↑=(r(cosα+1),rsinα)、AC↑=(r(cosβ+1),rsinβ)
AB↑・AC↑=r^2(cosαcosβ+cosα+cosβ+1)+r^2sinαsinβ

ここで、さらにCを固定して考えてcosβ=a、sinβ=b 、|a|≦1、|b|≦1、a^2+b^2=1―�@として
AB↑・AC↑=r^2(acosα+bsinα+cosα+a+1)
=r^2{(a+1)cosα+bsinα+a+1}
=r^2{√(a^2+2a+1+b^2)sin(α+γ)+a+1}
=r^2{√2(a+1)sin(α+γ)+a+1} (∵�@より)

ただし、上式においてsinγ=(a+1)/√2(a+1)=√{(a+1)/2}、
cosγ=b/√2(a+1)=√{b^2/2(a+1)}=√{(1-a^2)/2(a+1)}={√(1-a)/2}を満たす。

よってAB↑・AC↑はsin(α+γ)=0の時、最小値m(a)=(a+1)r^2を取り、
sin(α+γ)=1の時、最大値M(a)=r^2{√2(a+1)+a+1}を取る。

次にm(a)について、cosβ=aから、a=-1の時、m(a)は最小値m(-1)=0を取る。
またM(a)について、cosβ=aから、a=1の時、M(a)は最大値M(1)=r^2{√(2・2)+1+1}=4r^2を取る。

適当にやったから間違ってるかもしらん

計算して無いからわからないけど
図形の雰囲気的に最大値は両方直径の時っぽいから合ってると思う。
最小値は鈍角の時があり得るから少なくともマイナスにならない？

AB=c, BC=a, CA=b ∠BAC=θ とすると
内積=bc*cosθ
余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc cosθ から
bc*cosθ=(b^2+c^2-a^2)/2 (≧0) (三角形の成立条件)
となるのでマイナスにはなりません。

>>18 の続きを書くと

明らかに a=0 ，b=c=2r のとき最大で，最大値 4r^2 。
最小になるのは，a=2r のときで，このとき θ=π/2。よって，内積の最小値は0.

その三角形の成立条件ってのはどっから持ってきたの？
少なくとも13の問題からはそんなの読み取れない。
常識的に円に内接する鈍角三角形はあるだろ。

回答者のレベルが低すぎて>>13がかわいそうだｗ
最大値は明らかなので(4r^2)最小値について考える
Oを円の中心とする。Aを適当に取り∠OAB=2θ(0≦θ<π/4)となるようにBを取る。
最小値はABの延長上の点から下ろした垂線が円と接するときになる(正射影を考えれば明らか。
必ず図に書いてくれ)
|AB|=2rcos2θ,|AC|=2rcos(π/2-θ),∠BAC=π/2+θとなる。(図を書けばわかる)
あとは内積の計算で最小値を求めればよい。θ=π/6で最小値を取る。内積の最小値は-(r^2)/2
このときAB=ACとなる。対称性よりこのときに最小になると予測しながら計算しよう。
>>15と>>18は黄チャートからやり直しだなｗ

>>11

楕円の焦点は√(25-16)=√9
したがって焦点は(±3,0)
焦点Fのx座標は正より点F(3,0)
コイン５枚を同時に投げて３枚表が出れば点Fと点Pは一致する。

>>12
楕円の方程式が数C（新課程で数�V）ってことを考えると融合問題
なんだろう。

中堅私立大理系の小問集合の1題と出題出来るレベルだと思う。
よって確率は、5C3(1/2)^3(1/2)^2=10/32=5/16

>>21
あーすまん、sin(α+γ)=-1の時が最小値だったわ。
この時、m(a)=r^2{-√(2a+2)+a+1}で、
f(a)=-√(2a+2)+a+1 (-1≦a≦1)とおくと
f'(a)={√(2a+2)-1}/√(2a+2)で、増減表考えるとa=-1/2でf(a)が最小値f(-1/2)=-1/2
m(a)=r^2f(a)の最小値はm(-1/2)=r^2・(-1/2)だね。

白チャートでシコシコしてくる。

>>10お願いします

>>24
質問の意味が不明。

>>21
君の回答もあまり感心したものではないけどね

>>26
何所が？

>>27
4行目の日本語が意味不明。
大数の悪影響かと思われる、正射影による図形に頼った直感的な説明。

大数の法則？

平面上に1辺の長さが2の正三角形OABと、中心O、半径1の円周Cがある。
→ 　→　→　 →
OP ＝aOA OQ＝bOB
をみたすP、Qをとる。

直線PQがCに接するときのa、bの条件

>>30
|OA↑|=|OB↑|=2、OA↑・OB↑=2
円周とPQの接点をHとして、OH↑=xOP↑+(1-x)OQ↑とおいて
OH↑・PQ↑=0　と　|OH↑|=1 より実数xが存在する条件を考える

>>28 直感？？どこが？？？？？？？？
正射影が教科書に書いてないとか低レベルなことは言うなよ　そんなの実際の答案に書けばいいだけだか

>>30
それで出来たら苦労しねえよ。
そんなのもわかんないカスか

うわー、頭おかしい人に手を出してしまった・・・

>>25
すいません。足した答えです。

>>34
アンカみすは31じゃなくて32にじゃないの？
俺も別に難しいとは思わんけど正射影に気付ける奴は、そもそも悩まないと思うしな。

>>35
あまりにレベルが低すぎて、質問の真意を皆はかりかねてる。記入ミスなのかと疑うレベル。

2+2,9+9,a+a,x^2+x^2
これらがいくつになるかわかる？
同じ数同士を足すとどうなる？

あなた冗談抜きで小学校二年生レベルの掛け算のお約束を理解してないかもよ

>>32
たいした回答も書けないのに他人をバカにする奴は許せないんだよ。
正射影なんか使わなくても、>>１５の方針で少し工夫をすれば
2次関数の最小値の問題に帰着できる。図は一切いらない。
図を描いて眼で見て判断すると失敗するリスクがある。

>>36
いえ、３の二乗＋３の二乗は計算すればわかりますが
3のn乗＋３のn乗はどうまとめるか困ったんです。

>>38
何か別のものになると思ったのかな？
3＾n + 3^n = 2 ・3^n　としか変形のしようがないよ。

>>38
分かってねぇじゃん。

お前3^2+3^2=9+9=18って計算してんだろ。
3^2+3^2=2・3^2って計算してるやつならそんな事悩まない。
3+3ぐらいならそのまま計算してもいいかもしれないけど
3+3+3+3+3+3+3+3+3+3みたいなの律儀に
一個ずつ足してたらマジで小二以下だぞ

xy平面において
準線が x=17/4、軸がy=2で、
y={(1/2)x}+6 に接する放物線の方程式を求めよ

今まで軸は全てx=0またはy=0だったのでよく分かりません
青チャートや手持ちの問題集も見たのですが放物線について問題が少なすぎて参考になりませんでした
どうかお願いします

今高2で河合塾の英国65 数学39(私文いくつもりだったので1年の時から勉強してない)なんだけど
今から数学やったとして間に合うの？
一橋行きたい

>>37
>たいした回答も書けないのに他人をバカにする奴
お前のことか？ｗお前は答案すら書いてないがｗ
別に方針なんてなんでもいいよこんな糞問。まあ俺は見た瞬間-r^2/2だとわかったが
答えのだいたいの予想もつかずに式をいじくりまわして最小値が負数にならないくらいなら
図を書いて多少の考察をしたほうがよほどマシだろう
正直>>21の解答も計算しすぎな気すらする

>>39>>38
本当にすまない。マジで感謝します。
ゲシュタルト崩壊しました。助かりました。

>>43

> 別に方針なんてなんでもいいよこんな糞問。まあ俺は見た瞬間-r^2/2だとわかったが

糞問ではないよ、君の回答が糞なだけ。

> 正直>>21の解答も計算しすぎな気すらする

確かに、正射影（笑）を持ち出した割には計算しすぎだねw

l、m、nを3以上の整数とするとき、
{(n/m)-(n/2)+1}l=2
を満たす l、m、nの組を全て求めよ

手のつけようがないくらい分からないので教えて下さい

>>45
たいした回答も書けないのに他人をバカにする奴

>>46
正多面体

>>45あの問題で
>図を描いて眼で見て判断すると失敗するリスクがある。
>正射影による図形に頼った直感的な説明
とかいうゴミみたいなことしか言えないクズがなにいってんだｗｗｗｗｗ
お前だけだよそんな失敗するのはｗ
これが糞問には変わりないよ。受験問題なんてほとんど糞だが
なんなら良問教えてやろうか？ｗお前じゃまず解けないだろうがｗ

この計算方法を教えてください。

6÷2（1+2）

x,yは0≦x≦90,0≦y≦90であり、cosx+cosy＝1を満たしている。
このとき
1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2を示せ。

解）cosx+cosy＝1より
2cos(x+y)/2*cos(x−y)/2=1・・・�@
-90≦x-y≦90より
-45≦(x-y)/2≦45だから
1/√2≦cos(x−y)≦1・・・�A

�@�Aより
1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2

質問です。
�@�Aより
1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2
これはどうやって導いたのでしょうか。
お願いします。

x∫[0,x]f(t)dtをxで微分すると
∫[0,x]f(t)dt+xf(x)になると書いてありますが
なぜこうなるのか分かりません。

よろしくお願いします。

>>41

軸がx軸にある場合なら出来るなら
Y=y-2っておいてx,Y座標系で考えてから最後に元にもどせばいいじゃん

>>50

まず2は1/√2≦cos(x−y)/2≦1な
1式を変形してcos(x-y)/2=の形にして2式に代入したら出る。

>>51

f(t)の原始関数をF(t)っておいて積の微分するだけ

>>48

> なんなら良問教えてやろうか？ｗお前じゃまず解けないだろうがｗ

いや、遠慮しとくよ。君の物差しでの『良問』はｗ

>>53雑魚が涙目で逃走か
正射影（笑）とかｗｗｗｗｗｗ
大数コンプでもあるのか？ｗｗｗｗ射影なんてのはなにも特別な知識じゃないんだよ？ｗ
おまえはせいぜい受験数学でもしこしこ解いてろよｗｗｗｗｗ

>>52
ありがとうございます。

>>47
すいません、意味が分からないです
もう少し詳しくお願いします

初歩的な質問になるのかもしれませんが、教えてください。

異なるn個からr個選んで作られる順列の個数は、
n×(n-1)×…×｛n-(r-1)｝=nPr…�@
で表されるが、
�@は、とりあえずn個からr個の組合せを選んでから(この組合せがx通りあるとする)そのr個を並べて作られる順列の総数であるから、�@=x×rPr。
これよりxが得られます。このxがnCrに等しい。
(大数・解法の探求・確率 P7)

この考え方がいまいち理解できません。
n個からr個の組合せを選ぶとはどういう意味なのか教えてください。

>>56
{(n/m)-(n/2)+1}l=2.⇔(2n-mn+2m)l=4m⇔2n-mn+2m=4m/l
⇔mn-2n-2m=-4m/l⇔(m-2)(n-2)-4=-4m/l⇔(m-2)(n-2)=4-4m/l<4
よって、m-2>1、n-2>1から
(m-2)(n-2)=1,2,3のいずれかである。

[�T](m-2)(n-2)=1の時
(m-2,n-2)=(1,1)⇔(m,n)=(3,3)
この時、l=4

[�U](m-2)(n-2)=2の時
(m-2,n-2)=(1,2)、(2,1)⇔(m,n)=(3,4)、(4,3)
この時、l=6、8

[�V](m-2)(n-2)=3の時
(m-2,n-2)=(1,3)、(3,1)⇔(m,n)=(3,5)、(5,3)
この時、l=12、20

以上[�T][�U][�V]より
(l,m,n)=(4,3,3)、(6,3,4)、(8,4,3)、(12,3,5)、(20,5,3)

>>54
>>21の日本がおかしい事はｽﾙｰですか？
おっと、失礼半島の方でしたか。

>>57
一般に、異なるｎ個の中から異なるｒ個を取りだし、順序を考慮しな
いで一組にしたものを、「ｎ個からｒ個取る組み合わせ」といい、nCr
で表す(r≦n)。

例）４個から３個取る組み合わせ
例えば、４個の文字a,b,c,dの中から異なる３個の文字を選んで作ること
ができる組は、文字の順序を問題にしなければ
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}の４通り。4C3=4である。

>>58
ありがとうございます！

>>60
ありがとうございました。
なんかややこしい書き方してあったけど、つまりそういうことですね

２次の正方行列A、Bが
A^2=B^2=0
を満たすとする。このとき（A＋B）^2＝0、A≠0ならばB=ｔA　（ｔは実数）が成り立つことを示せ。

これと

Aは２行２列の行列でありE=単位行列、０=零行列とする
A^10＝（a b） 、（A−E）＾10=０を満たすAおよびa bの値を求めよ
　　 　　 (1 2)

>>62
ややこしいっていうか、組み合わせのnCrの公式の作り方が書いてあるんだって。

連続で申し訳ないが、>>57を前提においたうえで、

・1から10までの自然数の順列a1,a2,…,a10は全部で10!通りあるが、このうち次の条件
a1<a4<a7<a10,a2>a5>a8,a3<a6<a9
を全て満たすものは何通りあるか。
<俺の答え>
10C4×6C3×3C3=4200(通り)
で答えは合ってるんだが、この本の推奨解答では、
<解答>
10!通りの順列のうちに、題意に適するものは、4!・3!・3!通りにつき1つであるから、
10!÷(4!・3!・3!)=4200(通り)

4!・3!・3!通りにつき1つ
がどういう思考の経路で出てくるのか、教えて欲しいです。お願いします。

>>65
a1・a4・a7・a10 に当てはめる数がたとえば2,3,4,7だった場合、
全く制約がなければ当てはめ方は4!通りあるが、
条件に叶うのは1通りだけ。言い方を変えれば、全く制約のない10!通りの
当てはめ方のうち、a1・a4・a7・a10に関する条件をパスできるのは
その1/4! だけ。 a2〜a8、a3〜a9についても同様の条件を課していくと
さらにその1/3! 倍の 1/3! 倍になるから示された式が成立。

それこそnCrっていう公式を作った時に使った考え方。
適当に10個の数字並び替える。
4,3,3の数字の塊それぞれの中で
自由な並び方は4!,3!,3!通りある。
実際にはそのうちの一通りのならしか許されないから
自由に並べた場合:指定の並べ方＝4!,3!,3!:1=10!:求めたい並べ方
4,3,3の数字の塊がそれぞれ独立だからこの扱いが出来る。
立式の考え方はあなたの立式と同じ。

質問です。お願いします。

正の実数aに対してf(t)=(t-1)^2-aとする。x≧kを満たすすべての実数xに対して不等式
∫[x→k]f(t)dt≧0
が成立するkの値の範囲をaで表せ。

xの３次関数としてaの条件を求めようとしたのですがよく分かりませんでした。
お願いします。

任意の非負整数nに対して、和がnとなる２つの非負整数の組を(k,l)とする時、
Σ f(k,l)
k+l=n
というのは、どのような和になるのでしょうか？

すいません
∫[k→x]f(t)dt
です。

>>63
B=ｔA　（ｔは実数） の t が「任意」か｢ある｣かはっきりしないね

>>71
B=実数倍のAの形で書ける
だと思います

>>66
>>67
ありがとうございました。
いまいちこの考え方に慣れないけど、使いこなせれば便利そうなので、頑張りたいと思います。

>>73
どちからと言えば、順列も組み合わせもなく画一的に考察できる手法のため
確率や場合の数の問題として入試に出てくる問題の殆どをこっちの考え方で解く事の方が多いとは思います。

>>59 後出しのゴミクズはいつまで俺にたてついてくるんだ
俺が問題を出すといえば逃走するチキン野郎のくせにｗｗ
お前は俺の足元にも及ばないんだよ　せめてJMO予選でAランク取ってから文句言えや
お前に解けて俺に解けない問題はひとつもない

f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている
�@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0
�Af'''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
難しすぎて>>59が涙目逃走するのは目に見えているがｗｗ

受験板の質問スレで場違いな書き込み止めてくれないかな。

解答を読んでよくわからないというか、自分の理解であっているのか自信がないので質問させてください。

標問IAの問題です
【6-1】 (x＋y)/z = (y＋2z)/x = (z−x)/y　のとき、この式の値を求めよ。

<解答>
(x＋y)/z = (y＋2z)/x = (z−x)/y = k　とおくと
　x＋y = kz ・・・�@
　y＋2z = kx ・・・�A
　z - x = ky ・・・�B
�@＋�Bより
　y＋z = k(y＋z)
よって、(y＋z)(k - 1) = 0
したがって、 y＋z = 0　または　k = 1
　y＋z = 0 のとき
　z = -y　であり、�@、�Aに代入して
　x = -(k＋1)y , -y = kx
よって、 x = (k＋1)kx
x≠0より　(k＋1)k = 1
よって、k^2＋k - 1 = 0
したがって、k = (-1±√5)/2
　また、k = 1のとき�@、�Aより
　x＋y = z , y＋2z = x
これらを満たす0でないx、y、zが存在する。（たとえば、x = 3, y = -1, z = 2）

以上より、k = 1, k = (-1±√5)/2 ・・・答

となっているのですが、途中に　ｘ≠0より　とありますが、これは与えられた式がｘ、ｙ、ｚが分母の分数だからｘ、ｙ、ｚのそれぞれは0でないということによるものなのでしょうか。
それから、最後にk=1のときについて検討していますが、これは必ずしも必要なことなんですか。

>　ｘ≠0より　とありますが、これは与えられた式がｘ、ｙ、ｚが分母の分数だから

yes


>、最後にk=1のときについて検討していますが、これは必ずしも必要なことなんですか。

きわめてyes

>>63お願いします

放物線y=x^2+3上にあり、定点A(0,a)に最も近い点Pの座標を求めよ
また、aをa>3を満たす定数とした時、A(0,a)を中心とし、
領域y≧x^2+3に含まれる円のうち、半径が最大となる円の半径rを求めよ

前半はaが7/2を境に変わると思うのですが、根拠のある論証ができません
どなたかよろしくお願いします

スペシウム法線

　　　　　　 　/ＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＮ＼
　　（ ･∀･)∩　ウンコビ━━━━━━━━━━━━━━━━━ム 　>　　　（・∀・ ）ﾅﾆｵｰ
　　　 　 ⊃ 　ＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＮ／

しばしばロルの定理とともに実際の解答で使ってもいいのか？と議論されるバウムクーヘン積分についてですが、
そもそも何故使っていいのかという疑問が湧くんでしょうか。
どこにも論拠に漏れがないように見えるのですが・・・

近似ならってないから

んなこといったら何もできない
ε-δから解答書かなならん

{4-cos^2(x)}^2をxについて微分する
という問題について質問です

{-2cos(x)}{-sin(x)}というのが答えなのですが、
{-sin(x)}の部分の｢-｣がなぜでてくるのか分かりません

どなたか解説をお願いします

>>86の訂正です

問題の式の後に出てくる方の｢^2｣はいらないです

申し訳ございません

>>86-87
合成関数の微分を良く復習しとくように。
慣れない内はf(x)と置いてしっかり計算しましょう。

cosx=f(x)とすると
4-cos^2x=4-{f(x)}^2
∴[4-{f(x)}^2]'=-2f(x)・f'(x)=-2cosx・(cosx)'=-2cosx(-sinx)=2sinxcox=sin2x

鉄緑会東大数学問題集 資料･問題篇/解答篇 1980-2009〔30年分〕
って書店に置いてなくね？
中の解答は良質なのかな？

>>84
積分て近似じゃねーの？ｗ

>>83
ロルの定理使っていいかどうかの議論は聞いたこと無いけどな
ロルの定理がダメならその拡張である平均値の定理も使えないことになるし、そもそもロルの定理なんて使うことあるか？

エスパー準２級の俺としては、どう考えても「ロピタルの定理」
と勘違いしているといしか思えない。

0≦θ≦πにおいて
ｆ(θ)＝sin(θ＋π／3)

ｆ(θ)＝0を満たすθの値は？という問題なんですが
どのように考えればいいのか解説お願いしますを

>>93
1.グラフを書いてみて考える方法
2.x=(θ＋π／3)とおいて考える方法
ただし、0≦θ≦πよりπ／3≦x≦π＋π／3

どっちも結局は同じ事だけど、取っ掛かりは好きな方を選ぶんだ。

f(x)=1/(1-x)するときｆ（ｆ（ｘ））を求めｆ（ｆ（ｘ））とy=bx+aが共有点をもたないとき
点（a,b)の存在範囲を図示せよという問題なんですがわかりません

どなたか解説お願いします。

>>95
f(f(x))ぐらいは求めたのか？

カウンタ変数に使われるkやiは何かの頭文字ですか。

>>94
方針ありがとうございます！ですが、
問題の意味がよくわからないんです。

普通のsinが0になるのは0とπになるのは
わかるんですが、、

答案や質問はＦＡＸで送ればいいじゃん

スレチだったらすいません


微積で数�Vの微積やるなら数�Uの微積はやらなくていいって事にはなりませんかね？

|a|＝1をみたす複素数aについて
|{a^n}+{a^(-n)}|＞1となる自然数nが存在することを示せ

ただし|x+yi|＝√(x^2+y^2)、(cosT+isinT)^m＝cosmT+isinmTを使用してもよい


という問題で|2cosnT|＞1としましたが、nが存在することとはどういうことでしょうか？

お願いします。

ん？文字通りだけど。
Tを場合分けしたらいいのでは？

>>100
ならん

いや数2の微積なんかやらんでいいだろ

2問失礼します

[1]
（ｘ-1）^2+（ｙ-2）^2≦1及びｘ+ｙ≦1を満たす領域により
直線y=txが切り取られる線分の長さを最大にするtを求めよ

[2]
A＝（[a-x,b-y],[c-y,d-x]）（a,b,c,d,x,yは実数）があり、
A^n=Oを満たす実数x,yと自然数nが存在する
a,b,c,dが10以下の自然数のときa,b,c,dの組の数を求めよ


[1]で、線分を文字で表そうとしましたがうまくいきませんでした
[2]のa,b,c,dの条件を求めたいのですが、どうすればいいでしょうか
また、求めた後の過程も教えて下さい

>>105
[1]
（ｘ-1）^2+（ｙ-2）^2≦1及びｘ+ｙ≦1を満たす領域は存在しないんじゃないか？
点(1,2)と直線x+y-1=0との距離は√2で円の半径より大きいんだが

>>106
ご指摘ありがとうございます
タイプミスです、すみません
正しくは（ｘ-1）^2+（ｙ-1）^2≦1でした

∫[0→1]x√(1-x^4) dx
が分かりません
どなかたお願いします

>>108
x^2=sinθ
と置換する

>109
できました！
ありがとうございます！

>>105
[1]
x+y=1 上の点を(rcosθ, rsinθ) とすると
r(cosθ + sinθ)=1
円周上の点を(pcosθ, psinθ) とすると
p^2-2p(cosθ + sinθ)+1=0
cosθ + sinθ を消去して
r=2p/(p^2+1) より
p-r=(-p^3+p)/(p^2+1) (p<1)
微分して，最小にするpを求めると
p=√(-2+√5),
r^2=(-1+√5)/2=(t^2+1)/(t+1)^2 より
t={(1+√5)±√2(1+√5)}/2

最後は，tanθを求めても良いのですが，
どちらにしても計算が面倒です。

>>105
[2]
A^n ＝ O ⇒ A^2 ＝ O
後は CH (HC) 方程式

>>91
>>92のおっしゃる通りロピタルです。
勘違いです。どうもすみません。

3ｘ+4ｙ＝1
9ｘ+12ｙ＝3

これの連立一次方程式を解いてください

ax+by=e
cx+dy=f

それともう一問
これの連立一次方程式を解いてくださいm(_　_)m
＊a,b,c,d,e,fは定数

>>115 ad-bc≠0のとき、x=(de-bf)/(ad-bc),y=(-ce+af)/(ad-bc)
ad-bc=0のとき、�@a/c=b/d=e/fのとき解は無数�Aa/c=b/d≠e/fのとき解なし
座標上の2直線を想像するといい。
どのような連立方程式が解を持つかという問題は線形代数で詳しく習うことになる。

>>111-112
ありがとうございます！
わかりやすくて助かりました。

−1<1/(2x)<1⇔x<-1/2 or 1/2<x

この変形の過程を教えてください。

>>118
2つの不等式にばらし、それぞれ計算する。
その際、xの正負で場合分け。
そのあとで連立させる。

>>119
でけた！
ありがとう！！

nを自然数とする
白球がn個、赤球が3個、青球が1個が袋の中に入っている
無作為に1個の球を取り出し、色を確認するという試行を繰り返す
ただし、取り出した球は元に戻さない
青球が出たら試行をやめ、そこまでに赤球がk個取り出される確率をP_n（k）（k=1,2,3）とする
このとき、P_3（3）およびP_n（k）を求めよ

全くわかんないです
できれば詳しく教えて下さい

>>121
全くわからないならその問題をやっちゃダメだ。

>>121
これエグイわ、山梨医とかか？
たぶん答えはn,kにかかわらず1/4になると思うんだけど
シグマでやったら詰まるし、1回目に取り出した玉で場合分けしても漸化式は作れそうで作れない
赤玉の個数も変数化して3変数でやっと漸化式が作れるけど、やってられない計算量

答えが1/4でいいなら
赤玉と青玉を仕切りにみたてて並びかえた場合と同じになるって考えるといいんじゃない？

試行をやめずに全部取り出す場合を考えればいいだけだよ。

>>125
あっ

・・・

>>121
答えは>>123,>>124にあるとおり、おそらくP_n(k)=1/4でしょう。
○:白球 ▲: 赤球 ■:青球　とします。
>>124のとおり、試行を止めずにすべて球を取り出すことを考えます。
P_3(3)なら、○▲○▲○▲■などがOKなパターンですね。
白球を抜いて考えると、k=3なら▲▲▲■、k=2なら▲▲■▲のように、赤と青の並びは1通りしかありません。
ここに白を入れることを考えます。▲▲▲■の球の両端と間の5箇所に、重複を許してn個の白を入れればよいので、場合の数は重複組み合わせのH(5,n)です。
従って、P_n(k)の場合を満たす並べ方は(赤と青の並べ方)×(白の並べ方)=1×H(5,n)=C(n+4,n)=C(n+4,4)です。
一方、すべての球の並べ方は(n+4)!/(n!3!1!)なので、
P_n(k) = C(n+4,4)/(n+4)!/(n!3!1!) = 1/4となります。

白を入れる場合を考える必要はないのでは？

箱の中に１２本のくじが入っている。このうち当たりくじは６本で、
Ａ賞が２本、Ｂ賞が４本、残りの６本ははずれである。当たりくじには
Ａ賞には６点、Ｂ賞には３点が与えられている。
はずれの場合は０点である。この箱からくじを１本ずつ続けて３回引く。
引いたくじはもとには戻さないものとする。
得られる合計得点の期待値を求めよ。

解）
Ｃ(12,3)通りの３本の組み合わせのうちに得点がｋ点となるものが
f(k)通りあるとすると求める期待値は

k×f(k)/C(12,3)の和である(k=0,3,6,9,12,15)
いま、１２本の各くじについて、そのくじが３本のうちに
含まれているのはC(12,3)通りのうちにC(11,2)通りあるから
C(12,3)通りについての得点の総和は

（6＋6＋3＋3＋3＋3）×C(11,2)=12・11・10

よって期待値は6

質問です。
いま、１２本の各くじについて、そのくじが３本のうちに
含まれているのはC(12,3)通りのうちにC(11,2)通りあるから
C(12,3)通りについての得点の総和は

（6＋6＋3＋3＋3＋3）×C(11,2）

の部分がよく分かりません。
お願いします。

>>129
くじを全て区別して1番〜12番まであるとする。
引いた3本のうちに1番が含まれる組み合わせは、残りの11本から2本選ぶ組み合わせだからC(11,2)通り。
これは全ての組み合わせC(12,3)の中に1番のくじが何回現れるかということと同じ。
また、他の何番のくじについても同じなので、C(12,3)通りの組み合わせの得点の総計は、
6*C(11,2)+6*C(11,2)+3*C(11,2)+3*C(11,2)+3*C(11,2)+3*C(11,2)+0*C(11,2)+0*C(11,2)+……+0*C(11,2)となる。
0*C(11,2)以下は0なので省略して、C(11,2)でくくると、その式になる。

>>130
分かりました。
ありがとうございます。

>>128
言われてみると確かにそうです(^^;
赤球と青球の並べ方は4通り、このうち条件を満たすのは1通りしかないので、
P_n(k)=1/4であっさり片付いてしまいますね。
ご指摘ありがとうございます。

規制されていたので今さらになってしまいますが
>>15
γはaの関数なのでsin(α+γ)=±1からすぐには最大・最小と言えなそうですが
どうでしょう？

>>116
c=0 なども考える必要があるのでかなり面倒ですね。

>>81
どなたかお願いします

>>134
とりあえず前半だけ。
Pのx座標をtとすると、y座標はt^2+3です。
AP^2 = (t - 0)^2 + (t^2+3 - a)^2 = (t^2 - (a - 7/2))^2 + (a - 13/4)
と計算できるので、二次関数の最大・最小問題です。
若干ややこしいのはt^2があるところですね。
[1] t^2 = a - 7/2となる場合、つまりa >= 7/2の場合はt = ±√(a- 7/2)のときに最小となるのは問題ないと思います。
[2] a < 7/2の場合には、例えばT=t^2とし、
T>=0の範囲で(T- (a - 7/2))^2 + (a - 13/4)が最小になる点を考えましょう。
グラフを書けば明らかなように、T=0のときに最小になります。
ちなみに、このときのAP^2の最小値は(3-a)^2となりますが、これはつまり、Pは二次関数の頂点になるということですね。

10進法表示のｎ桁の正の整数で、隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数をAnとする
またこのうちで、一の位の数字が0である数の個数をBnとするとき、lim[n→∞]Bn/Anを求めよ

お願いします

>>135
ありがとうございます！

>>136 問題なのはBnだけ。

Bnの条件を満たす数は、nが十分に大きいとして、
・最上位のすぐ下2ケタが、上から0・非0 で並ぶとき、
　その非0の桁(下からn-2番目の桁) から一位までがB[_n-2]の条件を満たしていればいい。この場合、
　0を挟んでの最上位には任意の非0の数字が置けるので、そのパターンになるのが9*B[_n-2]個
・最上位のすぐ下の桁が非0であるとき、
　その非0の桁(下からn-1番目の桁)から一位までがB[_n-1]の条件を満たしていればいい。この場合、
　最上位には下からn-1番目の桁とは違う非0の数字を置けばよいので、そのパターンになるのが
　8*B[_n-1]個
(これらですべてのパターンを尽くしている)

したがってBn=8*B[_n-1]+9*B[_n-2] という漸化式が導ける。B1=0、B2=9
(2ケタなら10、20、…90の9つがB2の条件を満たす)から、この初期値で
この3項間漸化式を解けばいい。特性方程式は整数解が出るからあとは簡単なはず。

出典を教えてくれるとうれしい。

２問よろしくお願いします。

１

a,b,cはa＜b＜c,a＋b＋c＝0を満たす実数とする。

このとき不等式1/2≦(a^2＋b^2＋c^2)/{(c−a)^2}＜2/3が成り立つことを証明せよ。


２

a,b,cは正の実数で、a^2＋b^2＝c^2を満たす。次の問いに答えよ。

(1)a^3＋b^3＜c^3であることを証明せよ。

(2)a＾1/3＋b^1/3とc^1/3の大小を比較せよ。

（a＾1/3　はaの三分の一乗を表す。b^1/3、c^1/3も同様。）

よろしくお願いします。

f(x)=((x^2-x)/(x^3-3x+1))^2とする。
∫[-100,-10]f(x)dx∫＋[1/101,1/11]f(x)dx∫＋[101/100,11/10]f(x)dxは有理数になることを示せ
よろしくお願いします

>>139
１
2(a^2+b^2+c^2)-(a-c)^2=(a+c)^2+2b^2≧0(等号はa=-1、b=0、c=1など)より左辺は示された
2(a-c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=-2(2^a2+5ac+2c^2)・・・�@ (a+b+c=0よりbを消去)
A=a/c、B=b/cとおくと、c>0(背理法で簡単に示せる)でなので、条件よりA<B<1、A+B+1=0
B=-1-AをA<B<1に入れて-2<A<-1/2・・・�A
�Aの範囲で2A^2+5A+2<0
よって、�@=-2(2^a2+5ac+2c^2)=-2c^2(2A^2+5A+2)>0であるから右辺も示された

２
A=a/c、B=b/cとおくと与式をc^2で割ることよりA^2+B^2=1
つまり、0<A<1、0<B<1なのでf(x)=A^x+B^xは単調減少、f(2)=1
(1)f(3)<f(2)=1、両辺にc^3をかけてa^3+b^3<c^3
(2)f(1/3)>f(2)=1、両辺にc^1/3をかけてa^1/3+b^1/3>c^1/3

>>136
B[n+1] に出てくる数は10の位が0以外，1の位は0なので
1の位以外は A[n] のうち B[n] 以外の数となり，B[n+1]=A[n]-B[n] です。
両辺を A[n]=9^n で割って漸化式を解き，極限 1/10 が得られます。
感覚的に 1/10 ですよね。

>>138 も同じ結果になります。

底面√3高さ√3の円柱に水が入っている
この円柱を底面の円周上の1点を中心とし、
平面に対し、π/3傾けた時、平面から水面までの距離は（4√3+9）/8であった
平面と水面が平行であるとき、水面の面積を求めよ

円柱を斜めに切断したときの断面を考えましたが平面が邪魔でよくわからないです
どう攻めればよいか、よろしくお願いします

>>142
A[n+1] で割った方が自然ですね。

>>141ありがとうございました！

>>140訂正
∫[-100,-10]f(x)dx+∫[1/101,1/11]f(x)dx+∫[101/100,11/10]f(x)dxでした。

x^3-3x+1=0
の解で1より大きいものは、ただ1つであることを示せ

どなたかお願いします

ｘｙｚ空間において、原点と点（1，1，1）を通る直線をLとする
不等式0≦ｙ≦ｘ（1-ｘ）があらわすｘｙ平面内の領域をDとする
Lを軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ

>>143
底面の半径が√3なのでしょうか、底面積が√3なのでしょうか。
あと、「平面」というのは元々円柱が置いてあった平面のことでよいのですよね。

>>147
f(x) = x^3 - 3x + 1とおくと、f'(x) = 3(x+1)(x-1)となる。
f(x)はx=-1で極大、x=1で極小となる3次関数であるので、
y=f(x)のグラフを描くと、x>1となる解は一つしかない。

もしくは、x>1ならばf'(x) = 3(x+1)(x-1)>0であり、f(1)=-1であるので、
f(x)はx>1で狭義単調増加。f(1)<0であるから、x>1でf(x)=0の解は一つしかない。
割と基本問題だと思いますが、これでどうでしょうか。

>>149
レスありがとうございます！
すみません、底面の直径です
元々円柱が置いてあった平面ってことでおｋです

（1）（x+1）^40をx^3で割ったときの余りを求めよ。
（2）x^40を（x-1）^3で割ったときの余りを求めよ。

難易度低いとは思いますがお願いします！

>>151
(1)二項展開のx^2以下

(2)(1)の答のxをx-1で置きかえたもの

>>151
(1)二項定理を使うと
(x+1)^40=(40C0)x^40+(40C1)x^39+…+(40C39)x+40C40となって、
3次以上の項はx^3で割り切れるので、余りは(40C38)x^2+(40C39)x+40C40
(2)x-1=yとおいてみる

四角形ABCDがあり、角A＝60°、角B＝角D＝105°である。
このとき(DA+AD)/(BC+CD)の値を求めよ。

おんねがいします。

>>148おねがいします

>>140,>>146お願いします　問題再掲
f(x)=((x^2-x)/(x^3-3x+1))^2とする。
∫[-100,-10]f(x)dx+∫[1/101,1/11]f(x)dx+∫[101/100,11/10]f(x)dxは有理数になることを示せ

>>151
>>152
解決しました。ありがとうございました！

>>143
円柱が十分長いとすると，水面は
x^2/4+y^2=3/4 なので
面積=2∫[√3/2→√3]√(3-x^2)/4dx


>>148
ベクトル(1, 1, 1)に垂直な平面x+y+z=k を考え
x軸との交点をP，放物線との交点をQ
直線Lとの交点をRとすると
P(k, 0, 0), Q(1-√(1-k), √(1-k)-1+k, 0), R(k/3, k/3, k/3)
体積=π∫[0→1](RP^2-RQ^2)dk

y=f(x)は次の式を満たす。y''+y(e^x)=0 f(x)は有界であることを示せ。
(有界とは任意のxに対してf(x)<a,f(x)>bとなるa,bが存在することである)
お願いします

2次正方行列Aが A^3 = E を満たすとき A=E または A^2+A+E=O

これを成分計算で示すのは難しいでしょうか。

>>160
4文字の3次式出てきちゃうよ

>>158
ありがとうございます
なぜ面積がそのように立式できるのか教えて下さい
円柱が十分長いとして考えたから、余分な部分を引く必要がある気がします

>>149
ありがとうございます
微分は考えたのですが、IIの方程式の分野の問題だったので迷ってました

>>162
1辺が√3の正方形ABCDで，頂点Aで床面に接しているとする。辺DAが底面。
辺CD上に点P，辺BC上に点Qを取ると，辺PQが水面で床に平行。
水面は，容器の底面（円）をPQ方向に2倍に伸ばしたものだから
QP方向をx軸方向とすると，長軸の長さが2√3，短軸の長さが√3の楕円
x^2/4+y^2=3/4
の一部となる。（点Pが楕円の頂点。）
PQ=√3/2 なので点P(√3, 0)，点Q(√3/2, 0)
したがって，面積は与式となる。

>>164
ありがとうございます
点P,CがそれぞれCD上、BC上にあるのは
（Aから水面までの距離）＞（平面からBまでの距離）だからでしょうか？
あと、脳がないので、楕円の一部だということは分ったのですが、
>水面は，容器の底面（円）をPQ方向に2倍に伸ばしたものだから
というのと、PQ=√3/2というのがいまいちわかんないです
僕の図がおかしいのでしょうか

>>165
（Aから水面までの距離）＞（平面からDまでの距離）からです。
平面から点Dまでの距離= 3/2
（4√3+9）/8=1.99>3/2 より水面はDより上にある。

辺ABの延長と辺PQの延長との交点をRとし，点Pから辺ABに下ろした垂線の足をHとすると，
直角三角形PHRで，PH=DA=√3，PR=2√3(＝長軸の長さ)
一般に，円:x^2+y^2=r^2 をx軸方向に2倍延ばすと，x^2/4+y^2=r^2 の楕円となる。

床から点Bまでの距離は√3/2 だから，点Bから水面までの距離が9/8
BQ=3√3/4，QC=√3/4 よって PQ=√3/2。
(三角定規の三角形の利用)

平方完成のところの計算で
-b^2/4a+c　が　-b^2-4ac/4aになる計算がありますが
なぜｃを通分して-4ac/4aになるのでしょうか？
通分するのは4aなので、cを通分したら4ac/4aだと思いますが＾＾；
だれかおしえてください

>>167
-b^2-4ac/4aと書いているのは、-{(b^2-4ac)/4a}なんじゃないの？
　　b^2-4ac
- ――――
　　　4a
なのでは？

>>168
そうです
分かりづらくてすみません
そして-4acが何故−符号なのかが知りたいです

>>166
しつこくてごめんなさい。
わかりやすくてよく理解できました！ありがとうございます。

>>169
分数の前にある「-」は分数全体にかかるから。

二次曲線について、質問があります。チャートCのところで

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 の式で、標準形に直す時の説明の中で、

1、b=0 のとき平行移動
2、b=0でない時、ｂ＾２−４ac=0 でない時（楕円、双曲線）・・・・
3、b=0でない時、ｂ＾２−４ac=0　の時（放物線）・・・・・


ｂ＾２−４ac=0　であるか、そうでないかで、（楕円、双曲線）と（放物線）に何故なるのかがわかりません。

よろしくお願いします。

>>171
理解しました
ありがとうございます

nを自然数とする
（1）直線y=nxと放物線y=x^2で囲まれる領域（境界含む）に含まれる格子点の個数をnで表せ。
（2）直線y=nxと放物線y=x^2/2で囲まれる領域（境界含む）に含まれる格子点の個数をnで表せ。


お願いします！

>>172
ちょっと自信がないので、間違っていたらどなたか修正をお願いします。
b^2-4ac=0なら、b=±2√(ac)ですよね。
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f
= ax^2 ±2√(ac) xy + cy^2 + dx + ey + f
= (√ax±√cy)^2 + dx + ey + f = 0
Y = √ax±√cy, X = dx + eyとおくと、
(Y, X) = (√a, ±√c, d, e)(x, y) (行列による1次変換)
より、(x,y)は(Y,X)に1次変換で変換できる。
従ってax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0はY^2 + X + f = 0と変形でき、
XY平面上において、これは放物線となる。
b^2-4ac>0もしくはb^2-4ac<0のときも、巧く変形していけば一次変換で双曲線or楕円に変形できるのではないかと思いますが…。

>>174
格子点を数える問題には定石はないと思います。地道に数えるしかないでしょう。
(1)の場合、y=nxとy=x^2の交点は(n,n^2)ですので、x=0,...,nまでの格子点を数えれば良いですよね。
x=k(0≦k≦n)のとき、(k, k^2)から(k, nk)とこの間にある格子点の数を数えれば良いですが、幸いにして(k, k^2)と(k, nk)はいずれも格子点です。
Σ[k=0,...,n] (nk - k^2 + 1)を求めればよい、と分かるかと思いますが、どうでしょうか。
(2)は交点が格子点でないので少しややこしくなりますが、本質は同じです。

英語で数学をやり直したいのですが、ネットでアメリカの高校数学のテキストを検索すると、下記の教科書にたどりつきました。


Algebra 1
http://www.amazon.co.jp/Algebra-Grade-Mcdougal-Littell-School/dp/0618594027/ref=wl_it_dp_o_npd?ie=UTF8&coliid=I2JINLLEGELU4H&colid=37D8O7OBVSMR4

Algebra 2
http://www.amazon.co.jp/Algebra-Grades-9-12-Mcdougal-Littell/dp/0618595414/ref=wl_it_dp_o_npd?ie=UTF8&coliid=I33NTQEN9OHBZJ&colid=37D8O7OBVSMR4

Geometry
http://www.amazon.co.jp/Geometry-Grades-9-12-Mcdougal-Littell/dp/0618595406/ref=wl_it_dp_o_npd?ie=UTF8&coliid=I34UKR529VGE6V&colid=37D8O7OBVSMR4


これらは日本の高校数学�T/A〜�V/Cとほぼ同じ内容をカバーすると考えてよいですか？

>>177　
そもそも挙げられた中にはcalculus=微積分学の教科書が含まれてないんじゃ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Advanced_Placement_Calculus
↑から見ると、"AP Calculus BC" はIIICを超えてる感じなんで、
"AB"対応のテキストを探せば、解析系の話題は数IIIに近いところまでできるかと。
ただし、数B範囲はまた別。

「高校での微積分学の実情」についてはこんな会話があるところも見つけた。
http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=3575216

#どっちかといえば「勉強の仕方」スレか数学板で聞いたほうがいいんじゃなかろうか。

AP Calculus AB　と数Bをカバーする英語のテキストを教えてください…

日本の大学の一般受験が目的なら、覚悟決めて日本の本使ったほうがいいと思うし、
最終的にはそれを必要とせざるを得ない、と思う。

米アマゾンで
http://www.amazon.com/dp/0375427201
( Cracking the AP Calculus AB & BC Exams)
という本があって、中身もけっこうたくさん見られるんだけど、章末の練習問題は
見た範囲では直接的な計算練習の問題しかないんだよね。基礎定理を組み合わせて
パズル的な設定の問題を解く日本の大学入試には、これだけでは対応できない。

あと、MITの公開講座
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/
も見てみた（Single Variable Calculus Fall 2006は微積学習の用に足りると思う）。で、
別の科目で、日本の高校流と記号の使い方が違う場合があることに気付いた（たとえば
Aの補集合、日本ではAの上にアッパースコアを引くけど、MITのレジュメではAの肩に
小さくCを書いている）。こういう違いを自力で乗り越えられますか?　下手すりゃ
言葉の壁以上に大きいよ。

なお、　>英語で数学をやり直したい　としか書いてないけど、日本の大学の一般入試に
関係なく単に数学をやり直したいなら、日本の高校課程にこだわらず、アメリカの
（あるいはその他英語圏の）テキストなり講座なりでやることは可能だと思う。

（�T）0≦tのとき、0≦∫[0→t]（ty-sinty）dy/（1+y^2）≦t-sintを示せ。

（�U）平面上に、1辺の長さが２の正三角形OAB、円周C：x^2+y^2=1がある。
a,bは同時には0でない実数をし、OP=aOA,OQ=bOB（OP,OA,OQ,OBはベクトルです）を満たす２点P,Qをとる。
直線PQが円周Cに接するとき、OP*OQ（ベクトルです）の範囲を求めよ。

（�V）大小2つのさいころを投げ、出た目をそれそれa,bとする。
また、x,yはx^2+y^2<m^2------�@　x+y>n------�A　を満たす。
（1）�@�Aをともに満たす実数x,yの組（x,y）の存在する確率を求めよ。
（2）�@�Aをともに満たす整数x,yの組（x,y）の存在する確率を求めよ。

（�T）は、面積を考えるのでしょうか？もしくは、素直に計算ですか？
いずれにしてもわからないのでお願いします。
（�U）は、PQがCに接するためのa,bの条件を求めようと思いましたが断念。
やりかたが違いますか？
（�V）の（1）は連立して2次方程式にするとこまでしかできなかったです。この先はどうすればいいですか。
（2）は格子点の数を求めるという方針であっていますか？

沢山ありますが、1問でもいいので教えてくれると嬉しいです。宜しくお願いします。

よろしくお願いします！

x^2+y^2≦1の表す領域をDとする。点（x, y）がこの領域を動く。
（1）s=x+y、t=xyとするとき、点（s, t）全体の集合が表す領域を求めてst平面上に図示せよ。

（2）a≧0に対して、（a-x）（a-y）の最小値をaを用いて表せ。
（3）三枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出た硬貨の枚数をbとする。（b-x）（b-y）の最小値をMとするとき、Mの期待値を求めよ。

初歩的な話でごめんなさい

積分方程式で
定積分を＝Kで置くのはわかります
では次になぜF(X)をF(T)に置き換えて定積分=Kの式に代入出来るのでしょうか…

>>183
具体的な問題を書け

やさ理　例題７についての質問です。

整数係数のｎ次の整式ｆ（ｘ）について

（2）ある自然数ｋ（＞１）に対して、ｋ個の整数ｆ（１）、ｆ（２）・・・、ｆ（ｋ）が
いずれもｋで割り切れなければ、方程式ｆ（ｘ）＝０は有理数の解を持たない。

（別解）で有理数解は（１）より整数解であるからそれをα（整数）とすると、因数定理
により　ｆ（ｘ）＝（ｘ−α）ｇ（ｘ）　（ｇ（ｘ）：整数係数のｎ−１次式）と表せる。

よってｆ（１）＝（１−α）ｇ（１）、ｆ（２）＝（２−α）ｇ（２）、・・・・、ｆ（ｋ）＝（ｋ−α）ｇ（ｋ）
ここで、ｇ（�@）（�@＝１、２、・・・・、ｋ）は整数であり、１−α、２−α、・・・・・、ｋ−α
は連続するｋ個の整数であるから、ｆ（１）、ｆ（２）、・・・・、ｆ（ｋ）の中にｋで割り切れるものが
ある。この待遇により題意は成り立つ。

＞　よってｆ（１）＝（１−α）ｇ（１）、ｆ（２）＝（２−α）ｇ（２）、・・・・、ｆ（ｋ）＝（ｋ−α）ｇ（ｋ）
＞　ここで、ｇ（�@）（�@＝１、２、・・・・、ｋ）は整数であり、１−α、２−α、・・・・・、ｋ−α
＞　は連続するｋ個の整数であるから、ｆ（１）、ｆ（２）、・・・・、ｆ（ｋ）の中にｋで割り切れるものが
＞　ある。

これがどうしても分りません。　よろしくお願いします。

>>180

ありがとう。数学は全宇宙共通じゃないんだ…ちょっとびっくりです…

証明問題です。よろしくお願いします。

正の実数a,b,cについて

a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

が成り立つことを証明せよ


という問題がわかりません。どなたかよろしくお願いします！

>>186
数学自体は世界共通ですが、数学を語る人の国や分野の違いによって表現に違いが出るので、そこに注意する必要はありますね。
邦書でも質も選択肢も広いですし、私も>>180と同じく、特別な理由がない限りは邦書を選ぶ方が無難だと思います。

>>186
解決しました。簡単過ぎる質問でした。

>>185
の間違いでした。

http://mup.vip2ch.com/dl?f=24409
(2)をお願いします
答えは
(1/4)×n(n^3+n+2)
だそうです

>>181
（�T）はsin(ty)だと思うのですが式は正しいですか？
またはtの範囲がπまでのようになっていませんか？

（�V）はaとbがmとnになったのでしょうか？

（�U）はA(2，0)，B(1，√3)，接点をT(cosθ，sinθ)として接線
　(cosθ)x+(sinθ)y=1
とOA，OBとの交点を求め内積を求めると解けます。2/3から2までとなります。

>>191の画像見にくいので問題文書きます

図のような正方形が与えられている。正方形の頂点をn種類の色を使って塗る塗り方を考える。ただし、平面上の回転で移り合う塗り方は同じものとみなす。また、同じ色を重複して使ってもよいし使わない色があってもよいとする。
(2)
n≧4のとき、異なる塗り方の総数をnの関数として表せ。

>>192
ご指摘通り、�Tではsin（ty）です。すみません。tの範囲ははt≧0だけです。
�Vはミスです…。正しくは、x^2+y^2<a^2------�@　x+y>b------�A　でした。
�U解けました！ありがとうございます！！

連レスすみません。

>>192
（�V）の（1）は、2次方程式の判別式≧0で解いたら2/3となりましたがあってますか？
（2）は格子点でやろうとしてもどうも詰まってしまします…。
すみませんが、（�U）でのPQがCに接するときのa,bの条件を出すにはどうすればいいでしょうか？

誰か>>182お願いできませんか…？

厚かましくてすみません

進研は答案や質問をＦＡＸすれば直接教えてくれるから
便利だね

>>195
（�V）はまだ考えていないのでわかりません。
（�U）は点と直線の距離が半径の1になる…ではどうでしょうか？

ずっと（�T）を考えていますが，t=4πくらいで成立しない気がします。

>>198
ありがとうございます！
非常に申し訳ないですが、積分区間が0→1でした…
本当にすみません。

>>199
そうですよね…。
ソフトでグラフを描いていたので成立しないと思ってました。

解けたらまた書きます。

>>200
ずっと0→ｔだと思ってて、おかしいと思いました。
すみませんでした。ありがとうございます！

xy平面上に,曲線C:y=cosxがあり,
C上の動点Pはlxl≦πを満たしながら動くものとする.
このとき,PにおけるCの接線と減点Oとの距離の最大値,最小値を求めよ.

原点から直線までの距離の公式使ってみましたが
変数pがありパニック状態です

>>182
こんな問題をやらされているなら(1)は基本だろうから略す．
(2)は「求値式=k」とおけば，この式はst平面上での直線を表す．
これが(1)の領域と共有点を持つときについて，
t切片が最小になるときに着目すればよい．
傾きaがある値より小さいときは(1)の領域の境界の下側の放物線と接するときに，
aが大きいときは境界の2つの放物線の交点を通るときに最小となる．
(2)ができれば(3)はできるだろ

>>201
左側の不等号は示せますよね？
右側はty-sin(ty)は単調増加なので0≦y≦1での最大値はt-sin t
よって(ty-sin(ty))/(1+y^2)≦(t-sin t)/(1+y^2)となり，これを積分し
(t-sin t)×π/4 < t-sin t

>>203
言いたい事はわかるけど、(1)出来る奴は2も3も出来るだろ（笑）

y=(x^2−2x)^2+4(x^2−2x)+10の最大、最小がよくわからないです

すいませんy=(x^2−2x)^2+4(x^2−2x)^2+10でした>>206

>>182
(1)が出来ないなら、逆像法でぐぐって解説してるhpを読み込む
後は逆手流でぐぐって解説してるHPもついでに読む。

逆像法と逆手流は同じ事を指してるけど後者は受験業界でのスラングなんで、答案とかで使わないように。

>>182(1)は初心者にはなかなか納得させづらいもんだいではある。
普通の参考書に出ているやり方と本質的に差はないが、
　　s=x+y， t=xy
をx、yについて解いて、条件式に代入する、という流儀もある。
解く過程で軌跡の限界が「(√の中身)≧0」と初心者にもわかりやすい形で出てくる。

>>207
訂正した問題のほうが間違ってない？
x^2-2x=t と置き換えてtの2次関数と見る問題だと思うけど…

>>209
どうやらそのようです。
tの二次関数でした。すみません。

>>181
（�V）の考え方です。連立したり格子点の個数を求める必要はありません。
(1)
x^2+y^2=a^2と原点の距離はa，x+y=bと原点の距離はb/√2
よって b/√2 < a より b < (√2)a を満たすaとbの組を求めればよい。
(さいころの36マスの表を書き，b≦aは全部成り立つので残りを考える)
確率は2/3

(2)
bの偶奇により原点から一番近い領域内の格子点が変わるので，(1)の結果から
地道に数えるのが速そうです((1)のうち成り立たない場合を消す)。
確率は19/36

なお，原点から一番近い領域内の格子点は
bが奇数のとき，((b+1)/2，(b+1)/2)
bが偶数のとき，((b/2)+1，b/2)または(b/2，(b/2)+1)
になります。

センター問題集です

p,qを実数とするとき
不等式x^2-173px+91q<0
の解は
x<□,1<xである

全くわかりません

>>212
□って数字１個？
それとも整式？

>>212
明らかに問題がおかしいだろ
例えば、x=2のとき4-346p+91qはなんで負なの？
p,qの条件が実数だけならx<1と言い切れないから

下凸でマイナス区間求めるなら1＜ｘ＜□じゃないの？
>x<□,1<xである
この書き方になってる意味が分からん
どの問題集よ？

>>214
明らかになんかの条件が足らんよな

x^2の係数の書き忘れ？

>>212
気になるので説明してくれ

センター形式なら
この問題の前にp、qが限定されるような小問がついてるはず。
一部だけ抜粋する>>212はテンプレ無視するクズ。

不等式x^2-173px+91q>0
です。すいません。
x<□,1<x
□は1つです。
お願いします

>>220
問題全部書けってんだろうが

もうなんと言うか、数学がどうのってより前に、小学生レベルの国語の問題だよね

文字を文字としてしか見ておらず、意味は一切考えようとしない
それゆえ文を読んでも状況が全くピンと来ていない
この姿勢でいる限り一生高校数学の壁を超えれないだろう

>>220
センターの問題であることが確実なら、>>220の情報だけでも答えが出るかもしれない
答えは0じゃね？

>>204
ありがとうございます！出来ました！！！

>>211
すっきりしました。ありがとうございます！
（2）で、成り立たない場合を消すにはやっぱり一つ一つ代入するしかないんですか？

>>202は自己解決しました

>>225
(1)の結果のうちa-b≧2なら(b+1，0)が格子点なので
以下の表の？だけグラフを描いて考える…ということです。
　.１ ２ ３ ４ ５ ６ (横がa，縦がb)
１？？○○○○
２×？？○○○
３××？？○○
４××？？？○
５×××？？？
６××××？？
b=1から考え，bを固定してaを大きくしていけば，それほど
大変ではないと思います。成立したらその右も成立するので。

計算の場合>>211 の最後のことから格子点と半径を比べ，
・bが奇数のとき，((b+1)/2)^2 ×2=(1/2)×(b+1)^2 < a^2 に代入し
　例えばb=1なら 2 < a^2 になるので，a≧2で成立…と求めていきます。
・bが偶数のとき，((b/2)+1)^2 + (b/2)^2 < a^2 に代入し
　例えばb=2なら 2^2+1^2=5 < a^2 になるので，a≧3で成立…とします。

偶奇を分けて考えるというのが思いつかなければ地道に考えた方がよさそうです。

どうしてもわからないので質問させてください

lim[t→+0]∫[0→t]sinxdx/（t^2+x^2）

はどうすれば解けますか？>>181の（�T）を使うのでしょうか…？

>>227
分子は sin x ですか？
(sin t ではなく)

>>226
モヤモヤがすっかり晴れました、ありがとうございます。
こんなにわかりやすく説明していただいて、本当に感謝です。
bを偶奇に分けて考えるというのには感動しました！
数学は大の苦手ですが、大好きなので頑張ります。

>>228
はい、sinxです！

>>229
偶奇に分けるのはグラフを描いてみて(本当はソフトに描かせて)気付きました。
最初に思いついた解答が書き込む直前に間違っていたと気付き，
検討した結果発見したので，試験だったら書けなかったと思います。

>>230
なるほど！>>181 の（�T）を使います。
分子が sin x だと計算できませんが，xなら解けます。
よって 分子を x- sin x として，分母を t^2 でくくり，y=x/t と置換してから
>>181 の（�T）を使います。
(log2)/2 になると思います。わからなかったら詳しく書きます。

すいません。真面目に悩んでいるので、教えてください。
問題　x^a=a^x (aは０でも１でもないとする）を満たすｘの最大値を求めよ。

１．問題自体が間違っているのか？
２．どうやって解くのか？

お願いします。

>>187
　　(左辺)-(右辺)=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)　…(*)
と整理できる(注)．
対称性より，　a≧b≧c　と仮定しても一般性を失わない.
このとき，(*)の
　　 (第1項)+(第2項) = (a-b)(a^2-ca-b^2+bc)
　　= (a-b){(a+b)(a-b)-c(a-b)} = (a-b)^2(a+b-c)≧0,
　　 (第3項)≧0
なので，　(*)≧0　となり，示せた．

(注)
　(左辺) = a(a^2+bc)+b(b^2+ca)+c(c^2+ab),
　(右辺) = a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)
と変形しておくと気付きやすいかも．

>>232
x>0，a>0 は前提としていいんだよな？
両辺の自然対数をとって変数をかためて
　　y = (log x)/x
のグラフを利用する問題だと思われる（数3の微分法が必要になる）．

　0<a<1，a=e　のとき，解は　x=a　のみなので，a が答えになる．

　1<a<e，e<a　のとき，解は2つある(一方は a)．
だからこの2解のうちの大きいほうが答えになる．
e<a のときは a が大きいほうの解になるので問題ない．
が，1<a<e ときの a 以外の解は，特別な場合を除いて具体的には求められないだろう．

条件が足りない気がする．

>>234 ありがとうございます。これだけでは条件不足ですよね。問題の不備
ということでかたずけます。

4を相異なる単位分数の和で表せ
お願いします

>>236
>1

>>237 どういうことですか？テンプレは読みましたよ
・マルチではないと思いますが
・方針は全く立ちません
・数学3cまで履修済みです
・問題に不備はないと思います

f(x)=x^x について
y=f(x)の接線で原点を通るものは1本しかないことを示し、
その接線の方程式を求めよ
必要であれば、lim[x→+0]xlogx=0を用いよ

(1)でlogf(x)の導関数･･･logx+1
(2)でf(x)の最小値 (e^-1)^(e^-1)
までは求めました

>>238
大学入試問題としては不備があるだろ
　　単位分数という用語の説明なし
　　1/1 を単位分数と見ていいのかどうかの説明なし
　　誘導なし
　　試行錯誤でやらせるには４という数は大きすぎる（と個人的に思う）
１未満の正の有理数についてはググれば解法アルゴリズムがすぐに見つかる
おそらくそういう誘導問題がついていたのではないか

>>239
定石どおり
　　接点の x 座標を t とおいて接線を立式する
でいけると思うが…

その接線が(0，0)を通るとして式を立て，t>0 に注意して整理すれば
結局のところ方程式
　　g(t) := ln(t) + 1 - (1/t) = 0
の実数解の個数に帰着される．
(注)「:=」は「左辺を右辺でおく」を含意した等号

>>231
ありがとうございます。
積分の部分だけを計算したら
（1/t）∫[0→1]（ty-sinty）dy/（1+y^2）となりましたが、
勝手に分子をx-sinxとしてもいいのでしょうか？
あと、答えが0になったので、よければ詳しく教えて下さい。
お手数ですが、よろしくお願いします。

>>242
すみません，そこは言葉が足りませんでした。
　(x - sin x)/(t^2+x^2)
の定積分が0に収束すれば
　(sin x) /(t^2+x^2)
の定積分の極限と
　x /(t^2+x^2)
の定積分の極限は一致。こちらは計算できるので解けるということです。
この説明で足りると思います。

>>241
できました
ありがとうございます

>>243
いえいえ、ありがとうございます。
こちらの理解力がなかったので…。すみません。
(x - sin x)/(t^2+x^2)の定積分が0に収束というのはどのようにわかりますか？

>>245
そこはできたのではないですか？
>>181 の（�T）の不等式で示します。

>>246
できました！ありがとうございます！

>>247
数学が大の苦手で，これだけわかれば立派だと思いますが
目標が高いのかもしれませんね。
(受験生だと思うので)受験，がんばってください。

>>181 の
>（2）は格子点の数を求めるという方針であっていますか？
のような問題で問われていないようなことまで求めようとするのは
注意しましょう。もちろん検討することは大事ですが，試験では
難しく改題することになってしまうので。

>>248
ありがとうございます！受験頑張ります！
…ほんとですね！問題で問われていないことを求めようとしてました。
いらないことを考えてしまうので解ききるのに時間がかかるので、
問題をしっかり読むことが必要ですね。気をつけます。
ところで、極限求まった！と思ってたらもとまってなかったです。
x=t*tanθと置換して積分したら、-log（√2/2）となったのですが、
これの極限ってどういうことなのでしょうか？もしかして積分の値が違いますか？
何度も何度もすみません。

>>249
logの中身は2^(-1/2)なので
　-log（√2/2）=(log 2)/2
だから合ってます。
三角関数の不定積分のときも同様ですが，見た目は違うけど同じ式
ということはよくあるので注意しましょう。

定積分を計算するとき，不定積分が
　(1/2)log(t^2 + x^2)
となるので
x=tのとき
　(1/2)log(t^2 + t^2)=(1/2)log(2t^2)
x=0のとき
　(1/2)log(t^2)
よって
　(1/2){log(2t^2) - log(t^2)}=(1/2)log{(2t^2)/t^2}=(log 2)/2
と計算したのでルートは出てきませんでした。log の外の 1/2 を
中に入れたのでしょうか？もしそうなら遠回りです。

>>250
すみませんが、
(1/2)log(t^2 + x^2)はなぜ1/2がかかっているのでしょうか？
定積分の対数をとったのですか？どうすれば1/2が出てきますか？
ほんとすみません…。

座標平面上で、原点Oを端点とする半直線上に2点P,QがありOP･OQ=2を満たしている
P(x,y) Q(X,Y)とする時、x,yをX,Yを用いて表せ

という問題なのですが、これだと(OPの長さ)･(OQの長さ)=2ですよね
問題文からして、xとyをそれぞれ個別に求めるのだと思うのですが、
OP･OQのOPとOQはそれぞれベクトルでないと求められないような気がするんですが･･

>>251
x/(t^2 + x^2) の不定積分だからです。
2x/(t^2 + x^2) の不定積分だったら log(t^2 + x^2) だからです。
慣れてなければ u = t^2 + x^2 として置換積分してください。

>>249 の
>これの極限ってどういうことなのでしょうか？
に答えていませんでした。
-log（√2/2） の t→+0 での極限はもちろん -log（√2/2） です。
tが含まれていないからです。

>>252
(x^2+y^2)(X^2+Y^2)=4
と
y/x = Y/X より y = x(Y/X)
から求められると思います。
(x≠0 を断る必要がありますが)

>>254
･･･
P,Qが同一直線上というのを完全に見落としてました
精進します
ありがとうございます

>>255
反転の問題みたいですね。
がんばってください。

>>252
ベクトルの長さを変更する定石が身についていれば容易い
矢印が面倒なので全角の点の名前で位置ベクトルを表すことにすると
　　Ｐ=(OP/OQ)Ｑ=((OP・OQ)/OQ^2)Ｑ

>>257
すまん全角半角の区別がしにくいみたいだ
察してくれ

>>253
あ、logの積分のど忘れしてただけでした。すみません…。
基本の方も見直す必要がありそうです。
今回もご丁寧に説明して下さり、ありがとうございました！

>>259
どういたしまして。
基本的な積分の計算はパターンを見抜いてすぐに計算できるように
しておきたいですね。

http://beebee2see.appspot.com/i/azuYqJuFBQw.jpg
なぜ四角くかこった部分がそうなるかわかりません...
教えてくださいませんか？

>>261
w^2+w+1=0
より、-w^2=w+1

>>262
すっきりしました！
ありがとうございます！

xに関する方程式
x^3ー(2aー1)x^2ー2(aー1)x+2=0が異なる3つの実数解をもつような値の範囲を求めよ。

という問題なんですが
(x+1)(x^2ー2ax+2)と因数分解でき、解の一つが
x=-1 ということまでわかりました。

しかしあと2つの解がどうやって求めればいいか分かりません。

解答をみると
xに-1を代入した式より
a≠-3/2...�@
a^2-2>0...�A
となっており�@の方はわかりますが
�Aの方が何故そうなるか分かりません。
どなたかお願いします

>>264
方程式 x^2ー2ax+2 = 0 の 判別式 > 0 より

模範解答とはいっても，句読点の打ち方とかレイアウトとかに無頓着なものが多い
解答を見るときは「どこで文章が切れるか」を意識したほうがよい
ある程度規模の大きな問題なら，段落ごとに要旨をまとめておくと復習に便利

>>265
ありがとうございます！ 気づかなかったです！

>>191
コンビネーションを C(n,k) のように表すと，求める塗り方の総数は
　　1・C(n,1) + 4・C(n,2) + 9・C(n,3) + 6・C(n,4)．

>>181
乙会の問題じゃねぇか笑 自分で考えなさい、坊ちゃん。
こうゆうのがあるからランキング意味なくなっちゃうのねー

バイトの丸写し添削に高い金だすアホはいるの？

>>270
バイトというよりは内職だな
Ｓゼミはコピペ用の雛形があってPCで添削していくらしい
乙会は採点基準はあったけど添削例がつくことはほとんどなかった
（つまり、採点者の裁量に委ねられている）今はどうか知らんけど
しかも答案の書き方をろくに知らない糞ガキ共が多いから
コメントを書くスペースが全然なく、何を書けばよいか毎回非常に悩む
報酬は出来高制で1枚辺りの単価がべらぼうに安い
苦労する割には報われない仕事であった
感想欄とか何も書かずに提出する生徒も多いけど、書いたほうがいいよ
採点者も人間だからね
悲壮感が漂っていれば、より親身になって添削する気になるから

スタンダード数学演習�T�UＡＢ受験編の５３ページの問題の点Qの軌跡についての質問です。
問題：http://i.imgur.com/3PDUR.jpg
自分で書いた図：http://i.imgur.com/eWfG0.jpg
解答の[点Qは直線STと直線OPの交点]というヒントをみて答えは出たのですが、なぜ点Qが交点になるのか分からないので、教えていただきたいです。
また、解答を書く際に、「点Qは直線STと直線OPの交点である」とだけ書いて進めても良いのでしょうか？
それとも、なぜそうなるのかも示す必要がありますか？
どなたかよろしくお願いします。

>>272
弦の垂直2等分線が中心を通ることなどは証明を要求されない限り常識扱いでよい
答案はそれでよいが、こういう基本事項を証明できるようにしておくことは数学力養成に役立つであろう

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>>273
教えていただきありがとうございます。
弦の垂直二等分線でググったところ中１で習ったことらしいので、いわゆる自明のことなんですね…
もっと基礎力つけるようにします。
本当にありがとうございました!!

>>275
ってか、たぶん小学生で習う垂線の描き方を考えれば当然のことのような……

二点(-1,-2),(4,3)を通る二次関数y=ax2+bx+cのグラフとx軸との交点をA,Bとする。ABの長さが5のときのa,b,cのあたいの求め方を
教えて下さいませんか？
宿題でこの問題だけどうしても解けないんです。計算過程も詳しくあると助かります。どなたかお願いします。

>>277
未知数が a ，b ，c の３個なので，式が３本あれば解けることはおｋ？
与えられた２点の座標を与式に代入すれば，とりあえず２本できる．
もう１本だが，A ，B は 与式のグラフと x 軸との交点だから
　　AB = (方程式 ax^2+bx+c = 0 の２解の差)
となる．これを立式すれば３本目ができる．
計算過程を詳述するのは君のためを思ってやめておく．
頑張りたまえ

>>278
迅速な返レスありがとうございます。
なんとか解けそうです。

A、B、Cにりんご３個、みかん４個、メロン１０個を分配する
方法の場合の数は何通りか
答えでは、３個のりんごを３人で分ける方法は
三個の○とニ個の仕切りを入れる方法に等しく
（左からA、B、Cとする）
5C2通り。
みかん、メロンについても同様に求めかけていたのですが、
りんご３個、みかん４個、メロン１０個と仕切り２個の並べ方と考えて、
19!/3!*4!*10!*2! とすると答えとあいませんでした。
どこが間違っているのでしょうか。

>>280
その考え方だと、Aにはメロンだけとかってのは数えてないことになるだろ。

あっ、ごめん。全然違うことを言っていた。

>>280
「りんごみかん仕切り……」と「みかんりんご仕切り……」は（……の部分は両者とも全く同じ）同じ分配の仕方なのに
別々に数えることになるから。

>>283
理解できました。
ありがとうございました。

Ｄ１：
(1,1,0)(1,-1,0)(-1,1,0)(-1,-1,0)
(1,1,1)(1,-1,1)(-1,1,1)(-1,-1,1)
を結んでできる直方体
Ｄ２：
2xy-z^2+1≧0

Ｄ１、Ｄ２の共通体積は？

積分軸をどうすればいいのかすら見当がつかない
一応z=tとかx+y=tは試してみたけど

x=t か y=t でいいじゃん。そしたら D2の境界は放物線だし。

9C3 と9P3の違いを詳しく教えて下さいませんか？

>>287
教科書に書いてあるだろ

1が書かれたカードが二枚、２が書かれたカードが二枚、３が書かれたカードが二枚、4が書かれたカードが二枚、合計８枚ある。そのうち三枚並べて三桁の整数を作る。

問)同じ数字が現れない整数は、全部で何通りあるか？

最初僕は4C3だと思っていました。
しかし解答をみてみると4P3でした。
4C3では、どうして駄目なんでしょうか？

座標空間に，4点O(0，0，0)，A(t，0，0)(t＞0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)を頂点とする四面体があり，球Pがこれに内接している。
Pの体積をOABCの体積で割った最大値を求めよ。

という問題で，自分は，vol(P)/vol(OABC)をtで表した後，それをtで微分して，最大となるようなtの値を求めたのですが，
図形的にt＝1であることは直ちに分かるそうです。どう考えればよいのでしょうか？

>>289
123と321は同じ整数だと思うの？

http://beebee2see.appspot.com/i/azuY5cuHBQw.jpg

この解答の上から三行目の3n(n+1)になる理由がわかりません、、どなたかお助け願います、、

>>292
分配法則
その式変形の理由も分かってないよね？

>>292
単に中括弧をはずしただけだが…
見やすいように A = n(n+1) とおいてみると
　　… = A{(n+2)+3} = A(n+2)+3A = …

一見自分が納得できない計算を納得できるまで考えみる・やり直すことが重要
その過程が数学力を養う

>>290
イメージ的に底面が正三角形のきれいな四面体に球が入る時一番つまってそうだけどこれは直ちにじゃないよな…

上智の2006年のｘｙ平面内の…って問題の解等解説教えてください。

>>296
とりあえず >>1 をよく読め
次に問題を全部書き込め
最大限譲歩して、問題が見れるリンクを貼れ
で、自分がどこまで考えたかも書け
それができないなら、ここには来ないほうがよい

296です
すみませんでした

問題は
xy平面内の3つの集合
Ａ={(x,y)/x^2+y^2-2y-1<0}
Ｂ={(x,y)/y+x^2-1≦0}
Ｃ={(x,y)/y-ax-a=0}

を考える。Ａ∩Ｂ∩Ｃ≠φであるのは実数ａが□<ａ<□を満たすときである。

という問題で□に入る数字を答える問題です。

{(x,y)/x^2+y^2-2y-1<0}
の途中の/は分数ではなくただの縦棒です。

よろしくお願いいたします。

何度もすみません。

自分では何から手をつければいいか全くわからなかったので1から丁寧に説明していただけると嬉しいです。

>>298
縦線は，俺のPCでは shift+\ で出る．
他にも，罫線で表現するなど，いろいろある．
さて本題に入ろう．
集合の記法に不慣れなら，本問は縦線の右側だけを見るのでも差し支えない．
A かつ B の表す領域（これを D とする）は図示できるか？
これができないなら，数2の参考書で「図形と方程式」の単元を復習しろ．
次に，C の式は　y = a(x+1)　と整理できる．この式は
　　傾き a で点 (-1, 0) （この点を P とする）を通る直線（ L とする）
を表している．つまり，本問は
　　直線 L と領域 D が共有点をもつような a の条件
を求めれる問題である．
おそらくは，L が D の境界線と接するときの値が絡んでくるのだろう．

それでは頑張りたまえ

注： A の不等式は等号を含んでいないので，点 P は領域 D には含まれない．念のため

>>295
やっぱりそうですよね・・・

>>301
「最大値が存在するとしたらそれはｔ=1の時であろうと予想する」とかではなくて、
「図形から明らかにｔ=1の時最大」とかって書いてあるの？

>>301
球の大きさを固定して、四面体OABCが球に外接するようにA、B、Cをそれぞれx軸上、y軸上、z軸上で動かした場合に
四面体の表面積が最小になるのはOA=OB=OCの時だと考えるのと同じことだと思うけど、
でも、やっぱり予想でしかないような気がする。

Aを2次の正方行列とし、零行列をO、単位行列をEで表すとき
(1)Aが逆行列をもち、A+A^-1=2Eを満たすとき、A-Eは逆行列をもたないことを示せ
(2)Aが逆行列をもち、(A^2)+(A^2)^-1=2E、A^2≠Eを満たすとき、
A-E、A+Eのいずれか一方のみが逆行列をもつことを示せ

(1)は成分をa,b,c,dとおくことで一応できたのですが、成分をおかないならどう解けば良いですか
(2)は(1)を利用するんだと思いますが、どうすれば良いか分かりません
よろしくお願いします

>>304

(1)
A^{-1}存在よりA≠0であり、両辺にAをかけてA^{2}+E=2A すなわち(A-E)^{2}=0…(a)
もし(A-E)^{-1}が存在するならA-E≠0であり、(a)に(A-E)^{-1}をかけるとA-E=0となるが、
これはA-E≠0と矛盾するので、(A-E)^{-1}は存在しない。

(2)
(1)と同様の計算で
A^{-1}存在し、A+A^{-1}=-2Eならば(A+E)^{-1}存在せず…(1)'
がいえる。

A^{2}+A^{-2}=2Eの両辺にA^{2}をかけて整理して、(A^{2}-E)^{2}=0
ここで、A+E=B、A-E=Cとおくと、(BC)^{2}=B^{2}C^{2}=0…(b)

まず、B^{-1}、C^{-1}の少なくとも一方が存在する…(*)ことを示す。
Aを成分でおいて、A^{-1}存在よりad-bc≠0
さらにB^{-1}、C^{-1}がともに存在しないとすると、
(a+1)(d+1)-bc=0、(a-1)(d-1)-bc=0
これを連立してa+d=0、ad-bc=-1(ad-bc≠0はOK)
するとAについてC-HよりA^{2}-E=0となるが、これはA^{2}≠Eと矛盾。よって(*)がいえる。

このもとでB^{-1}が存在するときは、(b)よりC^{2}=(A-E)^{2}=A^{2}-2A+E=0
A^{-1}存在よりA-2E+A^{-1}=0となるが、このとき(1)よりC^{-1}=(A-E)^{-1}は存在しない。
同様にしてC^{-1}が存在するときは、(1)'よりB^{-1}=(A+E)^{-1}は存在しない。

>>305
(1) は (a) の両辺に2回 (A-E)^(-1) をかけるほうがよくない？

また，(2) は (1) で A を A^2 と置き換えることにより
　　A^2-E = (A+E)(A-E) = BC （>>305 の置き換えを用いた）
に逆行列が存在しないことが言える．
B ，C 共に逆行列を持つなら，A^2-E も逆行列を持つことになって矛盾するので
>>305 の (*) が言える．

もうひとつ注意．(A^2)^(-1) ，(A^(-1))^2 のことを断らずに
　　A^(-2)
とは書かないほうがよいと思う．
　　A^(-1)
の指数 -1 は 「 A の -1 乗」ではなく，
どちらかと言えば逆関数などの「逆」を表しているので．

白球3個と黒球2個がはいっている袋から、1球を取り出し、
色を確かめて戻す。
この試行を4回繰り返し行う。
4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。
このとき1回目に取り出した球が白球である確率を求めよ

お願いします．

(手抜きして?)普通に解くと次のようになります。
(前半と後半は実は無関係なので、)文章の前半は無視すると、
取り出した4個の玉のうち3個は白球、1個は黒球なので、求める確率は3/4。

律儀に条件付き確率で解くと次のようになります。
A: 4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出した
B: 1回目に取り出した球が白球
とします。

P(B, A) = (3/5) * C(3,2) * (3/5)^2 * (2/5)^1 = (2 * 3^4)/(5^4)
P(A) = C(4,3) * (3/5)^3 * (2/5)^1 = (8 * 3^3)/(5^4)
P(B|A) = P(B, A) / P(A)
= ((2 * 3^4)/(5^4)) / ((8 * 3^3)/(5^4))
= (2 * 3^4) / (8 * 3^3) = 3/4

どうでしょうか。解き方としてはどちらでもよいので、好きな方でどうぞ。

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>>307
-1 乗か逆かってのは「どちらかと言えば」じゃなく両方あるでしょ？

>>305-307
遅くなってすいません。今帰宅しましたので今から考えてみます。
ありがとうございました。

>>309
迅速なご返答、ありがとうございます．お手すきの
際にいつくか質問をお答え戴けると幸いです．

�@実は無関係、という判断は、どのような条件があると
その判断を下せるのでしょうか．
�Aベイズの定理を使うのとは、上の回答とは
違うのですか？
�Bなぜ、この問題が『条件付きの確率』だと、判断
出来たのですか？
どのような判断基準で、条件付確率だと判断すればいいの
でしょうか？
�Cなぜ、以下のような立式では、
だめなのでしょうか？
（東大受験を目指す学生でも3人に2人は
間違えていました．）
3C1×(3/5)^3×(2/5)

>>311
行列の累乗だが，教科書では次のように書いてある．
　　正方行列 A を n 個掛け合わせた積を
　　A^n と表し，A の n 乗という．
この表現から，n は自然数に限定される．
逆行列を A^(-1) と表すのは，「そうすることで指数法則と類似の処理ができるから」
という表現上の工夫であって，「 A の -1 乗」という認識ではないはずだ，
というのが俺の見解．
問題集の解答で A^0 = E としていることはよくあるが，
その際はきちんと断りを入れているはずである．

>>308
白3回黒1回出るような取り出し方は
　　・○○○● ： 3*3*3*2 = 54通り
　　・○○●○ ： 54通り
　　・○●○○ ： 54通り
　　・●○○○ ： 54通り
の　計 54*4 通り．
本問はこれを全事象としたときの（条件付き）確率を求める問題である．
1回目が白となる取り出し方は 54*3 通りあるので，
求める確率は　3/4．

>>313
　　�C 3C1×(3/5)^3×(2/5)
は，全事象を 5^3 通りとして，
　　1回目に白，2回目以降 2回白 1回黒
が出る確率を求めたものである．分母（全事象）のとり方が違っている．
条件付き確率は現行カリキュラムでは未履修の人も多いから
特有の表現に慣れていないのであろう．

>>314
Aが何らかの条件を満たす場合(具体的な条件は忘れた)、
実数xに対して A^x という行列が定義できて、
実数x,y に対してA^{x＋y}＝A^xA^y が成り立つことが知られている。

ここまで来ると、「単なる表現上の工夫」以上の構造が備わっていると思うべきであり、
「 Aの−1乗 」という認識も捨てたものではないと言える。

>>316
それは行列の指数関数ではないですか？

308です。
以下の説明はちょっと自信がないので、もし違っていたらどなたかフォローをお願いします。

>>309
(1) 正直なところ、私も条件付き確率で解いてみた後で、
「あれ、これ普通に解いてもいいんじゃないの？」と思って気づいたのですけど(^^;

> 4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。
ここまでで、球を取り出す試行を行って、その結果までが確定してしまっていますよね。
確かに試行は確率的なものなのですが、結果が確定してしまえば、もうそれ以前の試行については考えなくてよいと思います。

> このとき1回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
ここでは、すでに確定している「4回中3回は白球、1回は黒球」という結果を前提として、
「では最初に白球を取り出した確率は？」と訊いているわけですよね。
そうすると、最初に黒を引く確率は1/4ですので、1-(1/4)=3/4として求めるのでも、
白球3個と黒球1個を並べると場合の数は4通り、そのうち最初に白球がくるのは3通り、として求めるのでもいいですが、いずれにせよ簡単に求められます。

(2) Bayesの定理は、P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)というものですよね。
P(A),P(B)はいいとしても、P(A|B)を求めるのはややこしいと思います。
(ここのあたりもあまり自信がないですorz)
とりあえず、P(A|B) = P(A,B)/P(B)ですから、Bayesの定理を使っても条件付き確率の定義に基づいた解き方と同じ答えが出るはず、です(^^;

>>318の続きです。
(3)
> 4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。
という前提条件(事前事象)の下で、
> このとき1回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
という事象の確率を求めるわけですから、条件付き確率、というのでは納得していただけませんかね(汗)。

(4) C(3,1) * (2/5) * (3/5)^3はP(B,A)の値ですよね。
もちろんP(B,A)(=P(A,B))というのは「AかつB」という事象の確率ですが、
「AかつB」と「Aという条件下でB」というのでは何が違うの、
ということだと思います。
「AかつB」という事象の場合は、試行を行っている側は取り出した球について何の情報も持っておらず、
「4回中3回白」で「最初は白」という確率を求めたいわけです。
一方、「Aという条件下でB」という事象の場合は、
試行を行った側は実際にまずAという試行を行ってしまいます。
で、実際にやってみると4回中3回は白だったわけです。
このとき、最初が白である確率というのを考えます。
例えば「4回中白は0回」という場合と「4回中白が4回」という場合では、
最初が白である確率は明らかに違ってくると思います。前者なら確率は0、後者なら1ですよね。

何の情報も得ていない段階で「aさんとb君が付き合っている」という確率を考えるよりは、
「aさんがb君にチョコレートをあげた」という情報を得た上でその確率を考える方が、
より付き合っている確率が高くなりますよね。
前者の事象は「[aさんとb君が付き合っている]かつ[aさんがb君にチョコレートをあげた]」ですが、
後者の事象は「[aさんがb君にチョコレートをあげた]とき[aさんとb君が付き合っている]」です。

私自身もあまりちゃんと理解できていないのでまずい説明があるかもしれませんが、
こんなところでどうでしょうか。納得できないところがあれば、また質問していただければ。

>>318
> > 4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。
> ここまでで、球を取り出す試行を行って、その結果までが確定してしまっていますよね。
4回のうち3回白で1回黒というのは確定しているけど、そのことだけで3/4としてはダメ。
白が出る確率が何回目でも同じであるということを言う必要がある。
極端な話、
「1回目は黒玉だけが入っている袋から玉と取り出し、2〜4回目は白玉だけが入っている袋から玉を取り出す。
4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。
このとき1回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。」
という問題でも、4回のうち3回白で1回黒というのは確定しているけど求める確率は3/4ではなく0。

>>320
フォローありがとうございます。
> 白が出る確率が何回目でも同じであるということを言う必要がある。
確かに仰る通りです。見落としていました。…確率って難しいですね(^^;

解決済みのようだが、カルノー図での説明を考えてみた。図が崩れていたらどっかにコピペして等幅フォントで見てちょ。

事象A:4回の試行のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出す
事象B:1回目に白玉を取り出す

| A | A^c |
_____|_________|_________|
| | |
B | (1) | (2) |
_____|_________|_________|
| | |
B^c | (3) | (4) |
_____|_________|_________|

A^cは「Aの補集合」を表す。(1)は「事象AかつB」を表す。(1)+(3)が事象Aを表す。
A=(AかつB)+(AかつB^c)=(1)+(3)だな。もちろん全事象Uは(1)+(2)+(3)+(4)。

事象Aの起こる確率P(A)を「全事象Uに対する、事象Aの占める割合」のこととみる。図の(1)〜(4)を用いれば
P(A)=n(A)/n(U)={n(AかつB)+n(AかつB^c)}/n(U)={(1)+(3)}/{(1)+(2)+(3)+(4)}

AのもとでBの起こる(条件付き)確率P_A(B)とは、P_A(B)={P(AかつB)}/{P(A)}より
「事象Aの起こる確率に対する、事象AかつBの起こる確率の占める割合」のこととみる。すると
P_A(B)={n(AかつB)/n(U)}/{n(A)/n(U)}={n(AかつB)}/{n(A)}={(1)}/{(1)+(3)}
つまり「事象Aに対する、事象AかつBの占める割合」と言い換えられる。
全事象を((1)+(3)である)Aと(みな)して、それに対する(1)の事象AかつBの占める割合を考えることになる。

本問では>>308「4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。」とあるので、
(1)+(3)を全事象とし、これに対する「1回目に取り出した球が白球である」(1)の占める割合が求めるものとなる。

うぇ、やっぱり図が死んでる。今度は大丈夫かな？

　 | A | A^c |
　_____|_________|_________|
　 | | |
　 B | (1) | (2) |
　_____|_________|_________|
　 | | |
　 B^c | (3) | (4) |
　_____|_________|_________|

だめだ。リソースの無駄遣いごめん。寝る。

aは定数で、正の実数とする。連立方程式
x^2-5ax+6a^2＜0
|x-6|＜2
が解をもつためのaの条件を求めよ。という問題なんですが

それぞれ2a＜x＜3aと4＜x＜8とやって数直線で解くと思ったんですが
整数値が○個あるだとか条件がないと答えが無数にある気がするんですがどうなんでしょうか？

他にもx^2-5ax+6a^2を二次関数と見て解くのかな？と思いつつわからなくて

どう考えれば良いんでしょうか？

>>325
数直線で普通に解けば良いですよ。
ただ、aがちょっとややこしい位置に入っているので、「解をもたない場合」を考える方が楽な気がします。
連立不等式が解をもたないのは、3a≦4 or 8≦2a、つまりa≦4/3 or 4≦aの場合なので、
それ以外の場合を考えれば良く、4/3 < a < 4、ということでどうでしょう。

すみません。
原発問題が気になって、勉強が手に付きません。
はやく盗電をつぶしてください。

余事象を考えなくても普通に解けますね。単純に、2a<8 and 3a>4より4/3 < a < 4です。
aが動くと2a<x<3aの範囲がどう動くかを考え、
4<x<8と重なるようにするにはどうすればよいかを考えれば良いです。

空間内に、２つの直線
L1 : (x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
L2 : (x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある。ただしs,tは媒介変数である。

(1)L2上の点A(-1,1,-2)からL1へ下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。

って問題で、最後にAH･L1=0を使うとき
答えだとそのL1がL1=(1,1,-1)になってるんだけど、どういうこと？
ちなみに文系プラチカの140問目

>>329 方向ベクトルだから。

>>326
範囲だから無数にあるハズがないですね。
解をもたない場合でも
普通に4＜2a＜8と2＜3a＜8の連立でできますね。
なんかa=○○の形にしようとしてたかもしれません。ありがとうございます。

>>330
？

>>332
(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)の意味がわかっていないのでは？

>>333
だと思う、悪いけど説明頼む

>>317
おお、それでも定義できるようだ。
行列Bと実数tに対して e^{tB} が定義できるから、A＝e^B と置けば、
Aも行列であり、A^t＝e^{tB}によって「A^t」が定義できる。
このとき、実数x,y に対してA^{x＋y}＝A^xA^y が成り立つ。

従って、一般に行列Aが「 A＝e^B 」なる行列Bを持つとき、
実数xに対してA^xが定義できることになる。

だんだん思い出してきたが、俺が知っている方法は
ジョルダン標準形を使う方法のようだ。
一般に、行列Aに対してAの固有値が全て正なら、
Aのジョルダン標準形を使って A^x が定義できるはず。

まあ、スレチだからこのくらいにしておこう＾＾

>>334 空間の直線上のある一点をベクトルbとおく。この直線と平行な、ある
ベクトル（方向ベクトル）をベクトルaとおけば、その直線上の任意の点xはax+bと表せる。

x=at+b だった。

>>1
> ・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320106378/264

>>336
サンクス

>>315
明快な解説を有難うございます．なるほど、
情報を得ると全事象が縮むのですね！
>>318
結果が確定してしまえば、もうそれ以前の試行については考えなくてよい
という表現が分かりやすかったです．ありがとうございます．
>>319
なるほど、結果からも原因に影響を及ぼすという
ことですね。
>>323
カルノー図で、一塁の疑問なく理解できました！
ありがとうございました．

>>340
> 結果が確定してしまえば、もうそれ以前の試行については考えなくてよい
> という表現が分かりやすかったです．ありがとうございます．
いや、考えなきゃダメだよ。その問題の場合は、考えない場合と同じってだけ。
>>320を読んでね。

>>335
定義だけならどうにでもできる。
指数法則が成り立つように定義しようとすると限定されるだけ。

>>341
結果が確定した後の全事象も同様に確からしい、
かを確認すべきだ、という理解でよろしいですか？

>>343
要するに条件付き確率だってことだよ。
4回取り出したとき
・○○○●
・○○●○
・○●○○
・●○○○
となる確率がそれぞれP1〜P4だとすると、
「白3個黒1個だったときに1個目が黒玉である確率」はP4/(P1+P2+P3+P4)。
元の問題ではP1=P2=P3=P4だから、P4/(P1+P2+P3+P4)=1/4になるが、
例えばもしP4だけやたら大きかったら、「白3個黒1個だったときに1個目が黒玉である確率」は1/4より大きいだろう？

蛇足だが、P1=P2=P3=P4ならP4/(P1+P2+P3+P4)=1/4となるので、
例えば「何色の玉がそれぞれ何個入っているのかわからない袋から1個取り出して色を確認して戻すことを4回行う」
という場合でも、「白3個黒1個だったときに1個目が黒玉である確率」は1/4。
P1=P2=P3=P4であることさえわかれば、P1〜P4の具体的数値はわからなくてもいい。
もっと言えば、P1:P2:P3:P4がわかるのであれば、「白3個黒1個だったときに1個目が黒玉である確率」は求まる。

1個目が白玉である確率で説明すると説明したいことに関して無駄にややこしいだけなので黒玉である確率で説明した。

(P1+P2+P3)/(P1+P2+P3+P4)となるだけで、たいしてややこしくなかったｗ

|x+1|+|x-1|=4
という式のとき
答えの場合分けが
i) x<-1のとき
ii) -1≦x≦1のとき
iii) 1<xのとき
の3つがでてきているんですが
公式では
|A|=�@ A (A≧0)
�A -A (A<0)
となっています。
なぜ場合分けが違うのかわかりません。どなたかよろしくお願いします。

>>347
場合わけと公式が違うという意味です！

>>347
公式通りに分けたものをまとめるとその3つになるってだけ。
無理に考えるなら、もう一つ
iv)x＜-1かつ1＜x
があるが、これを満たす実数xは存在しない。

同じにする必要がないから

>>347
|A|= A(A≧0), -A (A<0)というのは、公式というよりは絶対値の定義そのものです。
|x+1|+|x-1|=4という方程式には、|x+1|と|x-1|の二つの絶対値が出てきますよね。
絶対値は(基本的には)外すことが定石なので、上の定義によって場合分けして考えます。
|x+1|については、x+1≧0(つまりx≧-1)のときと、x+1<0(つまりx<-1)のとき。
|x-1|については、x-1≧0(つまりx≧1)のときと、x-1<0(つまりx<1)のとき。
このすべてのパターンについて考えなければならないので、
[1] x≧-1かつx≧1、つまりx≧1のとき。
[2] x≧-1かつx<1、つまり-1≦x<1のとき。
[3] x<-1かつx≧1のとき(-1より小さく1以上の数はないので、この場合は実際にはありえません)。
[4] x<-1かつx<1、つまりx<-1のとき。
という4パターン(実際にはありえない[3]を除けば3パターン)を考える必要があります。
…という説明でどうでしょうか。

>>349
>>351
お二人がたありがとうございます！
理解できました！

>>347
　　y = |x+1|+|x-1|
のグラフ（折れ線になる）をもとに考えるのも手である
グラフの描き方
　　0) 方眼を薄く描いておく
　　1) 各絶対値の中身が 0 となるような点が折れ線の節になる
　　2) いちばん右の枝は　「絶対値の中身がオール正」であるから
　　　　絶対値記号を単に（ ）にした式になる
　　3) いちばん左の枝は　「絶対値の中身がオール負」
　　　　これは 2) を -1 倍すればよい
　　4) 折れ線の中間部は 1) の点を結べばよい

>>344
かなり分かりやすかったです．ありがとうございます．
これを機に条件付確率をもっと勉強しようとしておりますが、
モンティホール問題と、３囚人問題をベイズの定理を
用いて、数式で処理、説明しようとして、手が止まりました．

又お手すきの際にご指導戴けるでしょうか？

>>354
いやです

整数a,b,cに対して、a<b<c<50であり、a,b,cの最大公約数は1であるとする。
3辺の長さがa,b,cである直角三角形でb-a>=2かつc-b>=2となるa,b,cを2組求めよ

これってどうやればいいんでしょう？
虱潰しにやってたら時間全然足りなくて。

>>356
普通の高校生が誘導なしでできるのか？
　　a^2+b^2 = c^2 …（＊）を満たす自然数の組をピタゴラス数という．
その見つけ方であるが，たとえば恒等式
　　(p-q)^2+4pq = (p+q)^2
に着目して，これが（＊）の形になるように p ，q の値を決めればよい．
4pq が平方数になるのだから，p ，q の形はかなり限定される．

ピタゴラス数についての詳細は『やさしい理系数学』などに出ている．

>>357
京大の過去問に似たようなのあったな

わからない問題は
△ABCの外接円とACを直径とする円の共通部分の面積は？という問題なんですが図を書くのが下手なせいかどうすれば良いかわかりません。

前問の答えや問題文でわかっている条件はAB=2√6、BC=2+2√3、CA=4、∠B=45、∠C=60° △ABCの外接円の半径2√2、外接円のBを含まない弧ACの長さ√2πです。

(m^2-1)^2 + (2m)^2 = (m^2+1)^2

>>359
扇型をどうたらこうたらするんじゃないの？

>>359

「図を書くのが下手」だから「どうすれば良いかわかりません」っていう因果関係が意味不明。
そんなんで試験場でどうする？
長さの比較ぐらいは出来るんだろうから、まずは黙って書け。不都合が出たら書き直せ。何回でも書き直せ。
そうしなきゃいつまでたっても上手く書けるようになぞならん。
この問題はそれらしい図が書ければほぼ終了だよ。修行が足りねぇよ。

とりあえず円を書くのは後回し。
三角形の三辺の長さがあやしすぎる、と感じられないか？
BCが底辺(水平)になるように△ABCを書く。
そのとき、BC=BH+HC=2√3+2となるようHを定め、Hから鉛直上方にBHと同じ長さをとってAを定める。
要するに△ABCは直角二等辺三角形△BHAと30、60、90の直角三角形△ACHを合わせたもの(要確認)。

ACを直径とする円については、∠AHCが直角よりHを通過する。
さらに△ABCの外接円の中心Oを考えると、弦ACの円周角∠Bに対する中心角∠AOCが直角になるので、
OもまたACを直径とする円周上(弧ACのちょうど中点)にある。

従って両円の共通部分の面積は
ACを直径とする円の半円分+{扇形OCA(1/4円)-直角二等辺三角形OCA}=4(π-1)

1.区別のつかない三個の袋には、RRR、RWそしてWWの玉がそれぞれ入っている。
ただし、Rは赤玉、Wは白玉を意味する。今、一個の袋を選んでその中から玉
を一個取り出したところ、Rであった。
残りの玉がＲである確率を求めてください。
2.区別のつかない八個の袋は、RRが入った６袋の他に、
RWそしてWWの玉がそれぞれ入っている。ただし、Rは赤玉、Wは
白玉を意味する。
今、一個の袋を選んでその中から玉を一個取り出したところ、Rであった。
残りの玉がＲである確率を求めてください。

これはどうなる？

>>363
1．RR、RWそしてWWってことでいい？ 2/3
2．6/13

円周率を３として計算した半径１の円の周および面積は、それぞれ半径１の円に内接する正n角形の周の値および半径１の円に内接する正m角形の面積の値と一致する。
nとmの値を求めよ。

これやってたんですけど、極限求めるときみたいに補助線ひいてθとおいてやってみたんですがだめでした。

>>364
2の解法は？

1は1/3らしい。

>>365
n=6、m=12ってだけじゃないの？

>>366
単なる条件付き確率。
なんか勘違いしてるかなあ？

>>367
それってどうやって求めるんですか？
円に内接する多角形の一辺の長さの求め方が分かりません。

>>368
いや、単に周が6だから六角形ならピッタリってだけ。

面積のほうは、半径１の円に内接する正m角形を円の中心と頂点を結んでm等分すると、
それぞれの三角形の面積*mが全体の面積だから、底辺（=1）*高さ÷2×mが3なので、高さ=6/mとなる。
高さはそれぞれの三角形の頂角をθとするとsinθなので、sinθが6/mという数値にならなきゃいけないので、
とりあえず思いつくのがm=12で、それでちょうどぴったりってだけ。

最後の思いつくところはm=12かな？と思いつくんじゃなくて、まずsinθ=1/2かな？と思いつくのが先だった、自分の場合。

>>367
RRRがミソ？

>>371
RRR、RW、WWで正しいなら3/4じゃないか？

数C、式と曲線の問題です
＜問＞
楕円x^2+2y^2=1と放物線4y=2x^2+aが異なる4点で交わるための
定数aの値の範囲を求めよ

x^2+2y^2=1、4y=2x^2+aからxを消去すると
4y^2+4y-(a+2)=0…�@
x^2=1-2y^2≧0から -1/√2≧y≧1/√2
与えられた楕円と放物線はy軸に関して対称であるから、
2つの曲線が異なる4点で交わるための条件は、�@が
-1/√2＞y＞1/√2で異なる2つの実数解をもつことである。
〜中略(判別式D＞0、-1/√2＞軸＞1/√2、f(-1/√2)＞0、f(1/√2)＞0の計算)〜
共通範囲を求めて-3＜a＜-2√2

-1/√2≧y≧1/√2の=を省いて-1/√2＞y＞1/√2になっている理由がわかりません

>>373
例えばy=1/√2が解だったらどういうことになるかを見てみればわかるんじゃないかな？

>>373
図描いたら分かると思うけど、
�@の解yに対してxは2つ存在するよね。
yとxは1:2で対応しているから、yが異なる2解⇔xが異なる4解をもつ。
ただ、y=±1/√2の時はyの値に対してxは1つしか存在しない。
つまりこの時はyとxは1:1に対応している。
y=±1/√2の範囲も含めると、yが異なる2解⇔xが異なる2か3か4解をもつ。
となってしまう。

>>374
x=0でxの値が1つになってしまうんですね…解決しました
ありがとうございました

>>375
理解できました。詳しくありがとうございました。

>>363
問題文が曖昧であるように感じる．これで正確なのか？
2．のほうはこれでもなんとか通じるが，1．のほうは RRR の袋があるので
もっと意味が限定されるような書き方にするべきだ
「今選んだ袋の中にまだ幾つか R が残っている」ってことなのか
「今選んだ袋の中に残っているのは R 1個だけである」ってことなのか

2．のほうは別に何の変哲もない条件付き確率の問題．
とりあえず全ての玉に番号を付けておく．
最初に取り出した玉が R であるので，全事象は
　　R1R2，R2R1，R3R4，R4R3，…，R11R12，R12R11，R13W
の13通り（左側が最初に取り出した玉を表す）．
このうち，残りが R なのは12通りなので，確率は
　　12/13 ．

>>363はそこら中にマルチした上に逆ギレしてるよ。
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1318573136/363
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318976057/706

ＥＬＦ・・・超低周波
ＲＦ・・・(高周波)搬送波
ＵＨＦ・・・(極超短波)
ＲＭＣＴ・・・専門技術士
ＶＨＦ・・・超短波
ＥＭ兵器・・・電磁兵器
精神を変化させる力・・・サイコアクティブ効果
肉体を変化させる力・・・バイオアクティブ効果 拉致問題以降起こった集団ストーカーによる追い込み自殺の数既に十七万人超え！

>>378
有難うございました。
理解しました

nを性の整数、logを自然対数とする。
次の不等式を証明せよ。
1/n+1<log(n+1)-logn<1/n
<解答>
y=1/xはx>0において単調減少であり、自然数nに対し
n<x<n+1 ⇔1/n+1<1/x<1/n …�@
xについて、nからn+1まで積分して
1/n+1<�甜n,n+1] 1/x dx<1/n …�A
ここで
�甜n,n+1] 1/x dx=log(n+1)-logn
したがって、正の整数nに対して
1/n+1<log(n+1)-logn<1/nは成り立つ。

これの�@から�Aへの変形が良く分からないのですが、教えてください。

>>382
一応、積分の記号は�唐ﾅはなく∫です。
iPhoneだと前者しか変換で出てこないという話も聞きますが…。

1/(n+1)<1/x<1/nの各辺を[n,n+1]でxについて積分しています。
∫[n,n+1] (1/(n+1)) dx < ∫[n,n+1] (1/x) dx < ∫[n,n+1] (1/n) dx
最左辺と最右辺の被積分関数はいずれもxに依らないので、∫[n,n+1] (1/(n+1)) dx = 1/(n+1), ∫[n,n+1] (1/n) dx = 1/nとなります。
…これでどうでしょうか。

>>383
ありがとうごさいます
単純な積分だったんですね、見た目が変わってなかったから気付きませんでした

すいませんがスレが終わってしまったので
1/6(2a+1/2a)^3をどうやったら4/3(a+1/4a)^3にできますか？

>>385
括弧を多用して、どこからどこまでが分子、分母なのかをはっきりさせてくれないか？

>>385
わかりづらいですね、申し訳ない。
1/6{(2a)+(1/2a)}^3を4/3{(a)+(1/4a)}^3です。
括弧内は整数、分数みたいな感じです。(2a+1)/2ではないです。

>>387
{(2a)+(1/2a)} から無理やり 2 をくくり出すとどうなる？

3枚の硬貨を同時に投げて、表が出た枚数だけ点数が貰える。
得点の期待値は?

>>389
答えだけなら5秒で出る　3/2
定義に従ってちゃんと答案を作っても3分で片付けたい問題である

>>389
表が出た枚数をXとします。
P(X = 0) = C(3,0) (1/2)^0 (1/2)^3 = 1/8
P(X = 1) = C(3,1) (1/2)^1 (1/2)^2 = 3/8
P(X = 2) = C(3,2) (1/2)^2 (1/2)^1 = 3/8
P(X = 3) = C(3,3) (1/2)^3 (1/2)^0 = 1/8
期待値はE[X] = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) + 3 P(X = 3) = 5/4です。
期待値の定義に基づいて計算するだけの基本中の基本のような問題なので、
教科書をじっくり読み直されることをお勧めします。

最後の計算で間違っていましたorz 3/2です(--;

>>389
ちなみに，5秒で解くには数Cで学ぶ「和の期待値」の公式を利用する．
　　・「3枚同時に投げる」は「1枚の硬貨を3回投げる」と読み換えてよい
　　・1枚だけ投げるときは，表の枚数の期待値は 1/2
　　・和の期待値の公式により，求める期待値は
　　　　　1/2 + 1/2 +1/2 ＝ 3/2

>>388
とりあえずその式は2(a+1/4a)になります

>>394
これが { } の中身であることはいいよな？
で，指数法則　(xy)^c = (x^c) * (y^c)　は大丈夫か？
この式で　x = 2 ，y = ( a + 1/(4a)) ，c = 3　としてみると…

>>395
うわあああ！シンプルに感動しました。ありがとうございます。
無理に三乗からどうやって出すの？って考えてたので･･
中でくくり出すの心がけます！

１から５までの番号が記入されているカードが一枚ずつ用意されている。
これらのカードから１枚取りだしては元に戻す操作を3回行い、引いたカードの番号を順にa_1、a_2、a_3とし、
OA＝a_1,OB＝a_2,∠BOA＝(a_3π)/6によって△OABを作る。このとき次の問いに答えよ。
(1)△OABが正三角形になる確率p_1を求めよ。
(2)△OABが直角三角形になる確率p_2を求めよ。
(3)△OABが英各三角形になる確率p_3を求めよ。

解答(1)1/25　(2)29/125　(3)18/125

(2)までは分かったのですが、(3)の解き方がわかりません。教えてください！

すみません(3)、鋭角三角形です

>>397
鈍角三角形になる条件を考えます。
1つの角が鈍角なら鈍角三角形だと決まるからです。
■∠Oが鈍角になる場合
　∠BOA>π/2 になるときなので 5×5×2=50通り
■∠Aが鈍角になる場合
　cos∠OAB<0 になるときなので余弦定理の分子より OA^2+AB^2-OB^2 <0
　余弦定理より AB^2=OA^2+OB^2-2OA・OB・cos∠BOA
　これを上の式に代入し OA^2+OA^2+OB^2-2OA・OB・cos∠BOA -OB^2<0
　辺の長さは正なのでこれを整理し OA-OB・cos∠BOA<0
　よって OA/OB<cos∠BOA となればよい。
　cos∠BOA>0 のときだけ考えればよいので a_3が1と2のときだけです。
　あとは表に書くなりして調べ，a_3=1のとき10通り，a_3=2のとき4通り。計14通り。
■∠Bが鈍角になる場合
　同様に14通り

■直角三角形になる場合
　(2)より29通り

以上より 125-(50+14+14+29)=18 より確率は18/125

∠Aが直角になる場合 OA/OB=cos∠BOA なので
∠Aが鈍角になるのはこれよりも OAが短い or OBが長い なので
　OA/OB<cos∠BOA
となりますね。

π�甜0,1]1/{sin(π/4)(1+x)}dxはどう計算したらいいのですか？
sinπ/4を定数とみていいのかな？

>>401
まず∫と�唐ﾍ異なる用途で使用するので注意（�唐ﾍ大学の数学で使う）
iPhone で「インテグラル」を変換すると�唐ｪ出てくるらしいが
「せきぶん」「きごう」なども試して欲しい

で，本問だが， sin の中に 1+x が入っているわけじゃないんだよな？
なら sinπ/4 を定数と見ておｋ
わかりにくければ 1+x = t と置換してもよいが
この程度のものは置換なしでもできるようにしておきたい

エスパー準2級の俺からすると、積分区間から察するに
sin{(π/4)(1+x)}　の意味だろうな。

>>403
それなら置換したほうがミスしにくいな

>>402-403

�唐ﾍ違う記号なのですね、失礼しました
たしかに「せきぶん」ででました∫

わかりにくい書き方ですみませんsinの中に1+xは入ってます

では　∫dx/(sin x) 帰着される。
これは有名積分で、特殊な置換をする方法と、
分母分子に　sin x　をかける方法等がある。
チャートとかにある筈だから調べてみたらいいでせう。

a>0とする。原点を通り、放物線C:x^2+3ax+a^2に接する２直線をl, mとする。
（1）lとmのなす角をθ（0≦θ≦π/2）とするとき、θを最大にするaの値を求めよ。
（2）（1）で求めたaの値に対して、Cとl, mとで囲まれた図形の面積を求めよ。


お願いします！

>>407
>放物線C:x^2+3ax+a^2
これは 放物線 C: y = x^2+3ax+a^2 のまちがいだろうね。

Cの、x=t における接線の方程式は y=(2t + 3at)(x-t) + t^2 + 3at + a^2 と表される。
これが原点(0,0) を通るときの t の値を求めれば、l と mが求められる。
ｌとx軸のナス角をα、mとx軸のナス角をβとすれば θ=α-β。
tanαはlの傾き、tanβはmの傾き。θを調べたければ tan(α-β)を調べればよいから・・・

接線の方程式、タンジェントの加法定理

すまんタイポ。

>>408の
誤 > Cの、x=t における接線の方程式は y=(2t + 3at)(x-t) + t^2 + 3at + a^2
性 > Cの、x=t における接線の方程式は y=(2t + 3a)(x-t) + t^2 + 3at + a^2

>>408
ありがとうございます
すみません確かにy=が抜けてました。


tan（α‐β）=4a/1+5a^2となったのですが、この次がよくわからないので教えて欲しいです！

>>411
カッコ付けような。 4a/(1+5a^2) とね。

君が文系なら 逆数とって 相加相乗平均の関係を使える形に。
理系なら、工夫せずに微分してもよいし。
　

微分or分子分母をaで割り分母に相加相乗

生徒14人から2人ずつの組をn組(n=1,2,3,･･･,7)
作る方法の総数をSnとするとき、Snを求めよ

応援下さい mixi テクノロジー・電波・超音波被害コミュニティー参加の らい

a,bが、a>0,b>0,a+b=4を満たして変化する時
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2
の最小値を求めよ

展開してab=xとして微分、もしくは式の形から相加相乗だとは思うのですがうまくいきません
どなたかお願いします

>>416
なかなか考えにくい問題だ。

与式 = (a^2 + b^2)(1 + 1/(ab) ) + 4 になるのはいいよね。

ここで 相加相乗平均の関係から
a+b≧2√(ab) より ab ≦4 (等号成立a=bのとき) ・・・ (1) を得ておく。

この後は
(解法1)
このとき a^2 + b^2 ≧ 8 (等号成立a=bのとき) ・・・(2) が成り立つことに気づこう。
特に(1)(2)は同時に等号成立がいえることから、 (a^2 + b^2)(1 + 1/(ab) ) の最小値は(ry

(解法2)
x=abとすると 0＜x≦4 。
(a^2 + b^2)(1 + 1/(ab) ) = (16 -2x )( 1+1/x^2 ) =f(x) とおいて微分すると、f'(x)は0<x≦4で負であることが
分かる。よってf(x)はx=4で最小(ry

>>414
とりあえず組に区別が付くように A組，B組，…と名前を付けておき，
A組から順にそこに入る2人を決めていく
で，最後に組の区別をなくす（という表現をすることが多い）
いきなり14人で考えないで，6人くらいから試行錯誤でやってみれば納得いくのでは
類題も参考書に必ず出ている

>与式 = (a^2 + b^2)(1 + 1/(ab) ) + 4 になるのはいいよね。

なんねえよハゲ

お願いします！

平面上に三角形ABCがあり、動点Pが、|→AP|^2=→AP･→AB を満たしている。

（1）Pはどのような図形を描くか
（2）三角形ABCが一辺の長さが2の正三角形であるとき、→AP･→ACの最大値と最小値を求めよ。


ベクトルの書き方がわかりにくかったらごめんなさい…

>>420
(1) 移項してから「因数分解」すれば，図形的意味が読み取れる式が出てくる．
2定点となす角一定（実は90°）から，P が描く図形は…
(2) はどうしようかなぁ
(1) で位置関係はわかったが，そこからはすぐに結論が見えない
座標設定でゴリゴリ計算するかな

>>420
(2) は，辺 AB の中点（ O とする）を位置ベクトルの始点にとって考えるのがうまい
これなら OP↑ の大きさが一定になるから扱いやすくなる

>>421
ありがとうございます！

しかし、（1）の因数分解をどのようにしたら図形的意味が読み取れるのかわかりません…

低レベルですみません！

>>423
◎　AP↑ − AB↑ ＝ BP↑　などはおｋ？
◎　「内積 ＝ 0 」から「なす角90°」はおｋ？
◎　「2定点となす角一定」から円周角がイメージできる？

>>424
あ、つまり円のベクトル方程式になって、Pを中心、|AP|=|BP|を半径とした円になるってことですか？

>>425
円になるのは確かだが，ちょっと違うぞ
図を描いて確認してみろ
答えをいうのは簡単だが，何とか自分で探り当てて欲しいので
もう少し粘ってみろ

>>426

優しさに感激です…！

えーと、PはABを直径とする円の周上の点を動くってことですか？

>>427
おお，いいぞ，それだ
ちゃんと納得できたか？
で次だ
>>420 でいったように，円の中心を位置ベクトルの始点にとる
終点の小文字で位置ベクトルを表すことにして，
与式を展開する．
p 以外はどれも確定しているから…

>>428

P（x.y）A（1.0）B（-1.0）C（0.-3）とおくと、AP･AC=-x+1+√3yとなり、これをkとおく 点と直線…を使って、距離d=半径=1となるようなkの値は3と-1になるので
最大値3最小値-1…となりましたがどうでしょう？？

あ、C（0.√3）とおく でした…

>>429
よく頑張った　それでいいぞ
ちなみに俺はこうする（矢印は省略）
　　AP・AC ＝ ( p − a )・( c − a ) ＝ (中略)
　　　　　　＝ p・AC − a・c ＋ |a|^2
p と AC が同じ向きで最大，逆向きで最小．

>>431

あぁ良かった〜
…面倒を見てくださりありがとうございました！

そんな解き方もあるんですね！参考になります。

ではまた質問することになったときはよろしくお願いします！

>>419

すまん

与式 = (a^2 + b^2)(1 + 1/(ab)^2 ) + 4

だった

>>417 の（解法2）をちゃんと見れば「単なる書き忘れ」であることはすぐにわかるんだけどね
これくらいは読む側でも修正できないと
大学のテキストはミスプリのあるほうがむしろ普通だし

>>418
例えば6人を3組に分けると
(6C2･4C2･2C2)/3!ですよね？
そう考えると14人をn組に分けるとき
{14C2･12C2･･･14ｰ2(nｰ1)C2}/n!になりますよね
この先が分からないです

>>435
そこまではおｋ
あとは，コンビネーションを具体的に分数で書き下して整理すればうまくいかないか？
残っている人数にも着目すれば，階乗で表現できるはず

>>435
それのn=1から7までを足すってことだよ。
>>436さんが言っているのはそのときの計算を工夫しようねってこと。
もちろん、工夫なしでゴリゴリやってもいいけど、計算の手間が増えるほど計算間違いのリスクが増えるから。

あれ？ ごめん。総数の意味を思い違いしたかも知れない。
スルーして。

>>437
ちょっと待て
>>414 の問題文なら，n を1から7まで足す必要はないんじゃないか？

>>439
うむ。すまん。間違えた。

3-√6と2-√2はどちらが大きい数か教えてください！

(3 - √6) - (2 - √2) = 1 + √2 - √6 = 1 + √2(1 - √3))です。
1.4 < √2 < 1.5、1.7 < √3 < 1.8なので、
(3 - √6) - (2 - √2) < 1 + 1.5(1 - 1.7) = 1 - 1.05 = -0.05 < 0より、3 - √6 < 2 - √2です。
ぱっと見て直感で大小が分かるときもありますが、分からなければ差をとって比較するのが一番基本的な方法です。
ちなみに、実際の値は3-√6 ≒ 0.55、2 - √2 ≒ 0.58です。

私も差を取りにいったのですが√2で括るのは思いつきませんでした
ありがとうございました

>>441
自分がやったのはこんな方法。

25 > 24
5 > 2√6
5-2√6 > 0
7-2√6 > 2
-1+√6 > √2
1-√6 < -√2
3-√6 < 2-√2

もちろん、いきなり 25 > 24を思いついたわけではなく、逆にたどるようにして見つけただけ。

>>441
この手の問題は，覚えている近似値を使っていいのかどうか悩むことがある．
使ってはいけないなら，たとえば次のようにすることのできる．
　　　（ 3 − √6 ）−（ 2 − √2 ）＝ 1 ＋ √2 − √6
なので，1 ＋ √2　と　√6　の大小がわかればよい．
この2数はともに正なので，2乗して比べる．
　　　（ 1 ＋ √2 ）^2　＝　3＋ 2√2　＝　3＋ √8　＜　3＋ √9　＝　6　＝（√6）^2．

>>417
ありがとうございます！
無事解けました

>>418>>436>>437>>439
できました！
皆様ありがとうございました！

>>404>>406

∫dx/(sinx)の積分は置換しますよね？
1+x=tと置換すると2重？置換になってわかりづらくなってしまいした

1+x=tと置換しないでやってみると

π∫[0,1]dx/{sin(π/4)(1+x)}
=π∫[0,1]{sin(π/4)(1+x)}/{sin^2(π/4)(1+x)}dx
=π∫[0,1]{sin(π/4)(1+x)}/{1-cos^2(π/4)(1+4)}dx

cos(π/4)(1+x)=tとすると
dt=-π/4sin(π/4)(1+x)dx

ゆえに
与式=π∫[1/√2,0](-4/π)/(1-t^2)dt
=4∫[1/√2,0]dt/(t^2-1)
=4∫[1/√2,0]1/2{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=2[1/√2,0][log｜t-1｜-log｜t+1｜]
=2[1/√2,0][log｜(t-1)/(t+1)｜]
=2log{-1-(2√2-3)}
=2log(2-2√2)

となったのですがどこかおかしなところはありますか？

>>448
最後，t に値を代入するときの計算でミスしている
　　　ln(x)│_[x=a → x=b] ＝ ln(b) −ln(a) ≠ ln(b-a)

>>449
なるほど、たしかに間違ってました

2[1/√2,0][log｜(t-1)/(t+1)｜]
=(2log-1)-{2log-(1-√2)^2}
=2log{1/(3-2√2)}

これでいいですか？

>>450
それで多分大丈夫だろう
本問は，分母を有理化するとか，指数を log の前に出すとかすれば，いろいろな表現があり得る
解答を見るときは注意しよう

>>451
解答は4log(√2+1)でした
-4log(1-√2)にはなるのですが、どう変形したら上式のようになりますか？

>>452
log の外にある -1 を中に入れて肩に乗っける

>>453
4log(-√2-1)になりませんか？

「〜のとき点Pは双曲線上を動くことを示し、その双曲線の方程式を求めよ。」

というような問題なんですが、これは双曲線全体の方程式を求めておけば良いという認識でいいですか？
「y>0の部分」というような範囲を書く必要はないように読み取れるのですが、模範解答では手間をかけて求めていて疑問に思いました

>>453
そりゃ明らかにおかしいだろ　真数が負になったら困る

表現の仕方が悪かったか
　　　-4log(1-√2) ＝ 4log{(1-√2)^(-1)} ＝ …
ってことね

>>455
なんとも微妙な問題文だな…
「方程式を求めよ」という問題では，限界の考察はなくても許容されるというのが通例である
が，

＞＞〜のとき点Pは双曲線上を動くことを示し

という文章は「軌跡を求めよ」といっているようにもとれる
どうするべきかは状況によって異なるので何ともいえない
試験時間に余裕があるようなら，或いはつまらないことで減点されるのが不安なら
ちゃんと限界についても言及すればいいだろう

>>456
すみません
4log{(1-√2)^(-1)}
=4log{1/(1-√2)}
=4log{(1+√2)/(1-√2)(1+√2)}
=4log(1+√2)/(-1)

になってしまいます...

よく見たら >>452 の式が微妙におかしいな
正しくは　-4log(√2-1)　では？

>>459
>>450をやり直すと
2[1/√2,0][log｜(t-1)/(t+1)｜]
=(2log-1)-{2log-(1-√2)^2}
=2log｜{1/(1-√2)^2}｜
=-4log｜(1-√2)｜

絶対値わすれていたかもしれません...

＞＞　=(2log-1)-{2log-(1-√2)^2}

この行も真数には絶対値記号を付けておけよ
あとはなんとか修正できるだろ

経験をつめば，途中の計算で先を見通した処理ができるようになるだろう

>>461
長時間つきあっていただきありがとうございました！
ただの∫dx/sinxにこんなに時間がかかってしまうとはorz

「合成関数の微分」と、「置換微分」は同じ意味ですか。

r(x)を真にするxが存在するということを記号r(x)´で表すことにすると
〔p(x)またはq(x)〕´であることと、p(x)´またはq(x)´であることは同値である

r(x)はxの関数なのかと思いましたが、それが真になるとはどういうことなのか、想像ができません
お願いします!

>>464
「r(x)を真にするxが存在する」というのは「∃x, r(x)」などと表すことが多いです(他にもいろいろ表し方はあります)。
また、「すべてのxでr(x)が真になる」は「∀x, r(x)」のような感じです。参考まで。

で、ここのr(x)は関数というよりは命題です。
例えば「r(x): x^2 > 0」というのはxに関する命題で、x=0のとき以外は真になりますよね。
また、「p(x): xは素数」もxに関する命題で、p(2)は真ですがp(4)は偽ですよね。
とはいえ、感覚としては関数のようなものだと思っても別に問題ないので、理解しやすい形で理解してもらえればよいと思います。

>>465
理解できました
ありがとうございます！

>>465
おいおい、r(x)は命題ではなくて条件(命題関数)でしょ？
命題関数だけでは真偽は定まらないじゃん。

>>467
すみません、ご指摘いただいて初めて命題関数という言葉を知りましたorz
確かにr(x)のままでは真偽が明確に定まるわけではない(命題とは言えない)ですし、
命題というより命題関数といった方が的確で分かり易いですね。ありがとうございます。

>>463
「置換微分」とは耳慣れない言葉だな
複雑な合成関数を微分するときに，見やすくなるように一旦置き換えることはある
しかし，余程複雑でない限り，いちいち置き換えなどしなくても済むように
練習をつむべきだろう

合成関数の微分公式
　　　｛ f（ g（x））｝’ ＝ f’（ g（x））＊ g’（x）
であるが，
　　　「箱 f の中に g（x）が入っている」関数を微分すると，
　　　　　　「箱の微分（中身はそのまま）」＊「中身の微分」
となる，と理解しておこう
複雑に入れ子になっていても，やることは同じである
　　　｛ f（ g（ h（x）））｝’ ＝ f’（ g（ h（x）））＊ ｛ g（ h（x））｝’
　　　　　　＝ f’（ g（ h（x）））＊ ｛ g’（ h（x））＊ h’（x）｝
内箱 g は一旦開けずに公式を適用して，後から内箱にも公式を適用する
慣れてくれば「次々と中身の微分をかける」という感覚でできるようになる
というか，そういうレベルに達するまで練習するべき
個人的には，合成関数の微分が数�Vのひとつの山場だと思っている
ここをしっかりやっておけば，積分でも有利になる

1/√x^2-2の不定積分を教えてください

分母はずっとルートです

答えはlog形式らしいです

>>470
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1321003113/355

はじめからわかるって一般まで網羅されてますか？センターだけかな

>>469
どうもありがとうございました。

>>427
学研の表紙にはじめちゃんの絵が描いてあるやつか？
教科書＋αからセンターまでだな
初級者が概要をざっと確認する目的には向いているかも

>>474
安価ミスった
>>472 で

>>474
そうなんですか。ありがとう！

実数 x_1,x_2,……x_n に対して次の不等式
　Σ[k=1,n]|x_k| ≧ |Σ[k=1,n]x_k|
が成り立つわけですが、これの等号成立条件は
　任意の k(1≦k≦n) に対して　x_k≧0
または
　任意の k(1≦k≦n) に対して　x_k≦0
で合っていますか？

↑n=1の場合は必ず成り立ちますね…n≧2の話です

ミスった　別にn=1でもいいですね

>>477
それで大丈夫だろう
帰納法で示すことができる

ある問題の解答の中で自明として使っていたので気になって質問しました
絶対値は一見単純で奥深いですね
ありがとうございました

�@lim[x→∞]｛log[2]（4x^2+1）/2-log[2]（4x+1）｝

�Alim[x→0]（1-cos3x/x^2）

�Bf（x）=√x+√x/（2√x+1）+√x/（2√x+1）^2+……+√x/（2√x+1）^n+…　がある
関数y=f（x）のグラフをかけ

�C辺の長さ1の正方形A[1]B[1]C[1]D[1]がある
各辺の中点を頂点とする正方形を順に作っていくとき、
無数の正方形A[1]B[1]C[1]D[1]、A[2]B[2]C[2]D[2]、A[3]B[3]C[3]D[3]、…について,
それらの面積の総和Sを求めよ

�@は、lim[x→∞]√（4x^2+1）/（4x+1）＝∞になったのですが、違いますか？
�Aはsinにすればいい気がしますが、できなかったのです。三倍角使いますよね？
�Bはさっぱりなので、できれば詳しく説明いただければと思います
�CはS=lim[n→∞]（1/2）^（n-1）=2となりましたが、違ったら解説お願いします

どれも基本的ですが、宜しくお願いします

>>482
これは何の問題ですか？

> �@lim[x→∞]｛log[2]（4x^2+1）/2-log[2]（4x+1）｝
log[2]{（4x^2+1）/2} ということですか？

> �Alim[x→0]（1-cos3x/x^2）
確認ですが，こちらは {（1-cos3x)/x^2} ですよね。

>>483
lim[x→∞]log[2][｛（4x^2+1）/2｝-log[2]（4x+1）]です
わかりづらくてすみません
�Aはそれでおｋです、ごめんなさい

>>484
log の中に log があるんですか

>>484
すみません，途中で書き込んじゃいました。
log の中に log があるんですか？
あと，[]はガウス記号と思われるので「ガウス記号ではありません」と断った方がいいです。

模試やZ会の問題などだったら嫌なので何の問題か教えてください。

f(-x)を微分すると-f'(-x)になるのは何故ですか?

>>487
合成関数の微分で、d f(g(x)) / dx = (df/dg) (dg/dx)です。
g(x)=-xとしてこの公式を用いると、d f(-x) / dx = f(-x) (-1) = -f(-x)となります。
この公式の証明は教科書には�凅などが出てくる若干怪しげなものが載っていると思いますが、実際にあの証明の通りですので、
合成関数を微分するときは外から中へ(あるいは中から外へ)順に微分していく、と考えておけばよいです。

>>488
ありがとうございます。

>>482
質問に答えるのはいいのですが，他の人に迷惑が掛かるのはまずいと思って
います。模試の場合は特に。
�@式が不明なのでわかりません。
�Acos x の場合が教科書などに出ているはずです。3倍角は使いません。
�B教科書などで無限等比級数の収束条件を調べてください。場合分けがあります。
�C面積の和でなく，一般項の極限を求めてませんか？
これで何とかがんばってください。

Dh(p,q) = 2∫(p(x)^(1/2) - q(x)^(1/2))^2 dx
をxで微分する方法を教えてください

>>491
右辺は
　　　 2∫[t=定数 → t=x](p(t)^(1/2) - q(t)^(1/2))^2 dt
と見なしてもいいのか？
与式の表現は高校生向きでないと思うが…

実数x,yが
x^2+4xy+5y^2=1
を満たす時、2x+3yの最大値、最小値、それらを与えるx,yを求めよ

>>493
求値式 ＝ k とおいて，条件式に代入（ x or y を消去）し，実数解条件を考える

>>494
できました！
ありがとうございました！

らぐらんじゅ

>>492
F欄理系ですぅ。合成関数の微分の仕方わすれて自信がないんで、
ヘリンジャー距離の微分の仕方教えてくだちゃい（maximaの使い方はわからん）

ニューアクションβをお持ちの方への御質問です。
1Aの例題125の∠BAM＜∠CAMがなぜ何の説明もなしに
証明されて事になっているのでしょうか？

>>498
三角形の重心の証明問題ですか？

>>498
同じ問題だと信じて書くと…
欄外に補足がちょっと書いてありますが，証明にはもう少し書いた方が
いいと思います。
∠BACの角の二等分線と辺BCの交点をM'とするとAB>ACよりBM'>M'C
よってM'はMよりCに近いので∠BAM<∠CAMが成り立ちます。
細かく書くと ∠BAM<∠BAM'=∠CAM'<∠CAM です。

xの３次方程式x^3-3x+k=0が異なる３つの実数解α、β、γ（α<β<γ）をもつ
（1）kの値の範囲を求めよ。
（2）|α|+|β|+|γ|のとり得る値の範囲を求めよ。

（1）は -2<k<2となりましたがあっているでしょうか？
合っていれば（2）を教えて下さい！

>>501
(1) はそれでよい
(2) は，y ＝ x^3 − 3x と y ＝ k のグラフから，
α，β，γ の符号や範囲が特定できることに注意する（ k の符号で場合分けが必要だが）
α＋β＋γ は解と係数の関係で値が確定することにも着目

>>502

ありがとうございます

α，β，γ の符号や範囲が特定できることに注意する（ k の符号で場合分けが必要だが）
→k≦0のときはα<-1、-1<β≦0、1<γ
k＞0のときはα<-1、0<β<1、1<γ
の範囲になるということでしょうか？


また解と係数の関係で値を確定させる方法がわかりません…

>>503
>>502 の
＞＞ y ＝ k のグラフから
は　y ＝ -k　に訂正

y ＝ x^3 − 3x のグラフを座標軸との交点や極値と等しくなるときの座標なども
調べて描けば，解の範囲はもっと限定できる
（3次関数のグラフのもつ対称性は頭に入れておくとよい）

3次方程式の解と係数の関係は知らない？
教科書には出てないかもしれないが，参考書には出ている
一応作り方を言っておくと…
　　�@方程式 ax^3+bx^2+cx+d ＝ 0 の3解をα，β，γとする
　　�A左辺を，解を用いて因数分解
　　�B得られた式を展開して，与式と係数比較

これによって，本問も α＋β＋γ の値はすぐわかる
|α|+|β|+|γ| の絶対値記号をはずした式から
無理やり α＋β＋γ を作ってやると…

>>500
その問題です。
ご丁寧に教えて頂いてありがとうございました。
凄い助かりました。

>>490
すみません、状況が悪く、お礼が遅れてしまいました。
�@と�Cは自力でなんとかできました。ありがとうございます！
�Aや�Bは、仰るとおり、教科書に描いてありました！
基本的なことでとてもすみませんでした。
でも助かりました！ありがとうございます！
これは学校で渡されたプリントの問題です。
レスが非常に遅れてすみません。ありがとうございます！

無期限受験､東大理三か京阪名医か医科歯科へ23
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1321529913/

誰かこいつ説教してよ

>>505
質問された部分しか考えていなかったのですが，この問題って補助線AMを
引いたのだから p184の2(2) を使えば ∠AMB>∠AMC がすぐに示せます。
(またはこの本ではあとから出てきますが余弦定理で示せます)
重心の性質の練習問題だから，こんなふうになっているのかもしれません。

受験勉強として取り組んでいるのだとしたら，この解法より数学Bのベクトルを
使った方がずっと簡単です。補助線AMも重心の性質も不要です。
数学Aの範囲で収まる証明は当たり前なことの証明が難しい場合がありますが，
受験では他の単元の知識で解決できる問題ばかりですので，このへんの証明は
理解できれば十分だと思います(性質はもちろん重要です)。

>>506
高2でこのあたりを勉強中なのでしょうか。
基本的なことですがいい問題ですよ。
授業のペースが速そうですががんばってください。

厚さがそれぞれ1cmの白、黒の円盤と、厚さがそれぞれ2cmの赤、青、黄の円盤があり、これら5種類の円盤の半径は等しい。これらを積み重ねて円柱を作る。円柱の高さがncmになるような積み重ね方の総数をanとする。
（1）an+2をan+1とanを用いて表せ。
（2）bn=an+1+anとおくとき、bn+1をbnを用いて表せ。
（3）anをnを用いて表せ。


お願いします

>>509
a1，a2，a3は求められますか？

(1)は漸化式の基本問題ですね。
まずは漸化式とは何か、というところから復習した方がいいです。
(2),(3)は数列/漸化式の標準的な問題です。
ちょっとややこしいところはありますが、問題演習をやる前に教科書をじっくり読み直した方がいいと思います。
とりあえず(1)のみ解説させていただきました。
(2),(3)は教科書や問題集を片手に解読してもらえれば良いかと思います。

(1) n(cm)の円柱とn+1(cm)の円柱があるとき、n+2(cm)の円柱をどう作れば良いかを考えます。
[1] n+1(cm)の円柱には厚さ1cmの円盤(白か黒)を重ねれば良いので、こちらからは2a_{n+1}通り。
[2] n(cm)の円柱からn+2(cm)の円柱を直接作るには、厚さ2cmの円盤を重ねれば良いので、こちらからは3a_n通り。ここに厚さ1cmの円盤を2つ重ねた場合は[1]で既に考えているので、ここでは数える必要はありません。
[1], [2]より、漸化式はa_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_nとなります。

(2) a_{n+2} + a_{n+1} = 3(a_{n+1} + a_n)と変形できるので、b_{n+1} = 3b_n

(3) b_nは等比数列で、b_1 = a_2 + a_1 = (3 + 2^2) + 2 = 9なので、b_n = 3^{n+1}となる。
a_{n+1} + a_n = 3^{n+1}の両辺を3^{n+1}で割って(いわゆる定石です)、(a_{n+1} / 3^{n+1}) + (1/3) (a_n /3^n) = 1。
c_n = a_n /3^nとおくと、c_{n+1} = (-1/3)c_n + 1。
c_{n+1} - 3/4 = (-1/3)(c_n - 3/4)と変形できるので(これも定石です)、d_n = c_n - 3/4とおくと、d_{n+1} = (-1/3)d_n。
d_1 = c_1 - 3/4 = a_1 / 3 - 3/4 = -1/12であるので、d_n = 1 / (4(-3)^n)。
c_n = 1 / (4(-3)^n) + 3/4であるので、
a_n = 3^n c_n = 1 / (4(-1)^n) + 3^{n+1} / 4でしょうか。
定石と書いたものは必ず参考書に例題が載っているので、そちらを参照してください。

>>511
> (3) b_nは等比数列で、b_1 = a_2 + a_1 = (3 + 2^2) + 2 = 9なので、b_n = 3^{n+1}となる。
a_2=5，a_1=2ではないでしょうか？

>>511
> d_1 = c_1 - 3/4 = a_1 / 3 - 3/4 = -1/12であるので、d_n = 1 / (4(-3)^n)。
ここでは a_1=2 で計算していますね。
ケチつけるみたいですみません。

>>512-513
いえいえ、レスありがとうございます。
1cmの円柱を作るには、白、黒の2通りなのでa_1 = 2、
2cmの円柱を作るには、白2個、黒2個、白+黒、黒+白、赤、青、黄の7通りなのでa_2 = 7、で合っていると思うのですがどうでしょう。
問題文には明記されていませんが、それぞれの円盤は無数にあると思われます。
私が問題を勘違いしているだけなのかもしれませんが…。

>>514
大変失礼しました。
a_1は見間違え(2^2のことだと思ってました)，a_2は白白と黒黒を忘れていました。

lim_[x→3] 1/(x-3)^2

物凄く単純な問題だと思うのですが何故これが∞になるのか分かりません。
分母が0の時∞になるのでしょうか？

球の表面積・体積の公式の証明がなかなか見つかりません。
ご教授お願いします

>>517
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm
これがよくあるやつじゃないの？

たくさんありますがよろしくお願いします。

１．
a,bをa≠−bをみたす任意の実数の組とし、直線l:ax＋by−2(a＋b)＝0に原点Ｏから下ろした垂線の足をＰとする。次の問いに答えよ。
（１）直線lはa,bの値に関わらず定点を通る。定点の座標を求めよ。
（２）点Ｐの軌跡を求めよ。
（３）Ｏを端とする半直線ＯＰ上に点Ｑがあり、ＯＰ・ＯＱ＝１を満たすとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

２．
直角双曲線xy＝1と定点Ａ(a,1/a)がある。曲線上にＡと異なる２つの動点Ｐ,ＱをＡＰ⊥ＡＱとなるようにとる。次の問いに答えよ。
（１）直線ＰＱの傾きが一定であることを示し、その傾きを求めよ。
（２）線分ＰＱの中点はある直線上を動く。その直線の方程式を求めよ。
（３）３点Ａ,Ｐ,Ｑを通る円は、Ａ以外にもう１つの定点を通ることを示し、その点の座標を求めよ。

３．
tが0＜t≦1/2を動くとき、tとともに変化する放物線y＝1/2{t＋x(2−x)/t}が通る点(x,y)全体の集合を図示せよ。

> ・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。

>>519
３．の方針のみ述べる
ここで述べたことが何を言っているのかピンと来ないようなら，まだこの問題を解く時期ではない
もう少し力をつけてから改めて挑戦しよう

与式を整理して，これを 「 t についての2次方程式」 と見る．
この方程式が　0 ＜ t ≦ 1/2　において少なくともひとつ実数解をもつ条件として
（ x ，y ）の存在範囲が求まる．
いわゆる「解の配置」に帰着されるが，区間に中途半端に等号がついているのでかなり面倒

或いは，各 x ごとに y を t の関数と見る（1文字固定法，ファクシミリの原理）．
分数関数になるので，これもラクではなさそう

>>516
お願いします
分母が0のときに∞ということでいいのでしょうか

分母が正のほうから0に近づく(x→+0)なら∞
負のほうから近づく(x→-0)なら-∞

x→3のとき、(x-3)^2は常に正の値をとりながら0に近づく

前半は単純に1/xで考えたときの話ね

>>519よろしくお願いします

k,x.yは正の整数とする。三角形の三辺の長さが
k/x k/y 1/xyで、周の長さが25/16である。
k.x.yを求めよ。

という問題について質問です。

自分は
三辺を足して周が k(x+y)+1/xy=25/16
よってk(x+y)=24 xy=16になる。

k.x.yは正の整数のため、
(k,x+y)=(12,2) (8,3) (6,4) (4,6) (3,8) (2,12) (1,24)・・・�@
のどれかであり、同様にxyは
(x,y)=(1,16) (2,8) (4,4) (8,2) (16,1)になる。・・・�A
�Aより
x+y=17 10 8のどれかとなる。
このうち�@を満たすものはx+y=8しかなく
よってx=y=4となり、�@よりk=3となる。
よって答えはk=3 x=y=4

という解答を作ったのですが友人や先生にどうかと聞いてみたところ
これは減点を喰らうのでは?と言われ、また、一橋15ヵ年の解答も
私の解答と異なるものでした。
さて、質問内容ですが、この解答の減点該当箇所の指摘をお願いしたいです。
どこが減点されるのかと先生に聞いてもよく分からない回答をされました。

>>526
＞＞ 三辺を足して周が k(x+y)+1/xy=25/16
は誤解を招く表現だ　括弧を多用して誤解が生じないようにしたまえ
　　　（ k/x ）＋（ k/y ）＋（ 1/（xy）） ＝ 25/16
のはじめの2項を通分して整理すれば
　　　｛k（ x + y ） + 1 ｝/（ xy ） ＝ 25/16
を得るが，ここから直ちに
　　　k（ x + y ） ＝ 24 ，　xy ＝ 16
とは言えないことに注意しよう

　例　　　X/Y ＝ 1/2　のとき，　X ＝ 1 ，Y ＝ 2　か？

>>526
約分以外にも，解が三角形の成立条件を満たすことも書くべきでしょう。

平面上の定点A(a,b) (a>0, b>0)　を通る負の傾きの直線と x 軸, y 軸のつくる三角形について、
（１）この三角形の直角をはさむ２辺の長さの和の最小値を求めよ
（２）この三角形の面積の最小値を求めよ

この問題の解答では傾きを　-m (m>0)　とおいて　y-b=-m(x-a)　という直線の方程式を最初の段階で出しているのですが
点A(a,b)を通り、負の傾き-mの直線の方程式が　y-b=m(x-a)　になる理由がよくわかりません
どういう過程でこの直線の方程式は導かれたのでしょうか

>>529
＞＞ 点A(a,b)を通り、負の傾き-mの直線の方程式が　y-b=m(x-a)　になる理由がよくわかりません

y-b=-m(x-a)　の打ち間違い？　そのように解釈して説明する
傾きと通る点から直線を立式することは基本中の基本なのでよく確認しておきたい

直線の傾きを2通りに表現して式を作る．
一方はもちろん　-m　だ．
他方は，直線上の2点　（ x ，y ），（ a ，b ）で傾きを立式して
　　　（ y − b ）/（ x − a ）．
これらが等しいので
　　　（ y − b ）/（ x − a ） ＝ -m ．
分母を払えば
　　　y − b ＝ -m（ x − a ）
を得る．

実際には，最後の式をいきなり立式する

>>527-528
ありがとうございます。
なるほど、確かにXが4でYが2でも1/2ですし
僕の答え方だとこの点で減点喰らいますね。
x=y=4 k=3を三辺に当てはめて三角形成立の式にひっかける。
この2点が減点ポイント、ご指摘ありがとうございます。

約分のところでどうやったら減点を防げるのか今のところイマイチ思いつきません。
やはりこの解き方は偶然の産物ということなのでしょうか?

>>531
自然数mを用いて
　m(k(x+y)+1)=25…(1)
　mxy=16…(2)
として(1)よりm=1，5なので(2)よりm=5は満たさないからm=1のみ
ならよさそう。

>>532
ああ!!さっきのX=4 Y=2を具体例として見てみれば
その式を立てるまでに至るか!!これは失念だった・・・

重ね重ね申し訳ありません。これでゆっくり眠れそうです。
ありがとうございます。

実数a,bはb>a>0を満たすとする
このとき不等式
(a+1)^b>(b+1)^aを証明せよ

ちなみにこれは問2で、問1では{log(x+1)}/xの導関数を求めました

>>530
すみません打ち間違えてました
つまり一般に、傾きmで点（a,b)を通る直線の方程式を求めるときの
y-b=m(x-a)　の公式に代入すればよかった　ということでしょうか

>>535
そういうことです

>>519
２．の方針
（１）（２）は，点 P ， Q の x 座標をそれぞれ p ，q とおいて立式すれば容易に解決する．
（３）は，少しひらめきがいるが，前の設問がヒントになっていると考えれば発想できそう
（実は，（２）の直線の法線ベクトルが　（ a ，1/a ）　となっている）

>>534
両辺の自然対数をとって a ，b をそれぞれ左辺，右辺に固めてしまえば
問1の関数が活かせる

「変数を固める」は重要な定石
問1がなくても発想できるようにしておきたい

行列の問題の途中で

A^2=(a+d)A
∴ A^n=(a+d)^(n-1)A

という変形があるのですが、文学的説明で構いませんのでどうしてこう変形できるか説明していただけませんか？
直感的に理解しづらくて

>>538
A^2=(a+d)A の両辺にAをかけてみよ。で，右辺にできるA^2 を (a+d)A におきかえよ。

>>538
文学的説明とな

>>538
第1式は
　　　A に A をかけることは，A を （ a+d ）倍することと同じこと
を意味している
第2式は，左辺は A に A を（ n-1 ）回かけたものを表すので，右辺のようになる

或いは，他の方が既に説明されているが，
　　　A^n ＝ (A^2)*(A^(n-2)) ＝ ((a+d)A)*(A^(n-2)) ＝ (a+d)A^(n-1)
　　　　　＝ (a+d)(A^2)*(A^(n-3)) ＝ …
と，次数を下げていくという解釈でもよい

>>537
すいません、まだ分からないです
辺々対数をとってから(左辺)-(右辺)を変形して
ab{log(a+1)/a - log(b+1)/b} と、問1を利用できそうな形にして
{}内が常に正であることの証明だというのまでは分かりました
が、ここから先が見えません
(導関数)=0を解こうにも、その解の存在する範囲も数も分からなくて・・

>>542
(a+1)^b>(b+1)^aで自然対数取って
blog(a+1)>alog(b+1)
⇔log(a+1)/a>log(b+1)/b
を示したら良いだけ

>>542
「差をとる」というよりは，関数と見たほうがよい
f(x) ＝ (log(x+1))/x　で x に a ，b を代入すれば，
証明すべき不等式を整理して出てくるパーツが出てくるので

導関数の符号変化は直ちにはわからないはず
符号に関わるところを取り出して，さらに微分していくのが手筋

結論からひとつずつ戻る感覚でいるとよい。

y={log(x+1)}/x　はx>0で単調減少
↑
{log(a+1)}/a>{log(b+1)}/b　　（b>a>0のとき）
↑
blog(a+1)>alog(b+1)　　（b>a>0のとき）
↑
log(a+1)^b>log(b+1)^a　　（b>a>0のとき）
↑
(a+1)^b>(b+1)^a　　（b>a>0のとき）

>>532
それじゃダメだよー。

Y/X ＝ 25/16 のとき、X＝16m, Y＝25m と表すことは出来るが、
mX ＝ 16, mY＝ 25 と表すことは出来ない。同様に、今回の問題では

(k(x+y)+1) = 25m, xy = 16m

としか表せない。

>>543>>544 できましたああ！
ありがとうございます！

>>547
ミスです
>>543>>544>>545

>>546
すみません。恥ずかしいミスです。
これって三角形の成立条件を先に使うと x=y が出るようですね。
この方針で解けたようですがもう少し検討してみます。
質問された方，見てるのかな？

>>526
というわけで，これでどうでしょうか。
三角形の成立条件より
　|k/x - k/y| < 1/xy < k/x + k/y
　k|x-y| < 1 < k(x+y)
k，x，yは正の整数より x=y のときのみ三角形の三辺になる。
三辺の和は (2kx+1)/x^2 = 25/16 より自然数mを用いて
　2kx+1=25m…(1)，x^2=16m…(2)
と表せるが，(2)よりmは平方数なので自然数nを用いて m=n^2，x=4n と表せる。
これを(1)に代入し，8kn+1=25n^2，これをkについて解き，
　k=(25n^2-1)/(8n)=3n+{(n+1)(n-1)/(8n)}
ここで (n+1)(n-1)/(8n) を★とおくと，kは自然数なので★は整数。
　(n+1)(n-1) は連続した奇数でnは偶数
　(n+1)(n-1) は連続した偶数でnは奇数
のどちらかだが，上の場合は★は整数にならず，下の場合はn=1のときのみ★が整数になる。
よって x=y=4，k=3 が得られる。

>>550
2kx+1 と x^2 は互いに素だから、

2kx+1=25m…(1)，x^2=16m…(2)

この時点でm＝1だと分かる。
なぜ互いに素かと言うと、もし互いに素でないなら、両方を割り切る
素数pが存在する。特にpはx^2を割り切るから、pはxを割り切る。
よって、2kx+1はpで割ると1余る。しかし、pは2kx+1を割り切るから矛盾する。


＞上の場合は★は整数にならず，下の場合はn=1のときのみ★が整数になる。
m＝1だから、その議論は必要ないのだが、仮にその議論をするにしても、
下の場合にn＝1のみが整数になることは自明ではない。根拠を詳しく書いた方がよい。
俺なら次のようにする。

(n^2−1)/(8n) が整数ならば、(n^2−1)≡0 (mod 8n)である。両辺に8を掛けて
8n^2−8≡0 (mod 8n) … (3)
である。また、8n^2≡8n*n≡0*n≡0 (mod 8n)である。これと(3)から8≡0 (mod 8n)である。
これは、8nが8を割り切ることを意味する。これが可能な自然数nはn＝1しかない。

(この議論では、nが偶数か奇数かの場合分けは必要ない。)

>>551
ご指摘ありがとうございます。
(n^2-1)/(8n)が整数なら8倍しても整数だから
(n^2-1)/n=n-(1/n)が整数。よってn=1。
でもいいでしょうか？

>>552
＞(n^2-1)/n=n-(1/n)が整数。よってn=1。

しまった(＾o＾)
modよりも、そっちの方がずっと良いです。

>>553
modを意識しないと8倍というのは思いつかなそうです。

(n+1)(n-1)/(8n)…★において
>　(n+1)(n-1) は連続した偶数でnは奇数
から★が整数になるのはn=1…が明らかでないのは
　24*22/(8*3) みたいなことが起こりえない
ということが明らかではない，ということですね。

x(25x-32k)=16.

n(25n-8k)=1.

>>555
なるほど。
下は気付かないといけなかったですね。

>>526 さん，見ていてほしいなあ。

>>519 はまだ見てますかね
１．の方針
（１）は，「 a ，b によらない」 ということから，恒等式の考え方が活かせる
（２）OP↑ ＝ （ X ， Y ）は直線 l の法線ベクトル n↑ と平行だから，
　　　OP↑ ＝ t*n↑
と表せる．これを直線の式に代入して，パラメータ t の値を決める．
あとは a ，b を消去して X ， Y だけの式を作ればよいが，
多少経験が必要だろう．和，差，2乗の和などを考えてみて欲しい．
（３）OQ↑ ＝ s*n↑　とおき，「 大きさの積 ＝ 1 」 の条件から
パラメータ s の値を決める．パラメータの符号は t と同じ．
あとは（2）と同様．
極方程式に着目するのもいいかもしれない．

背景に「反転」と呼ばれる変換がある．
気の利いた参考書なら，反転についても触れてあるだろう

>>557
答えなくていいよ

>>558
典型問題だし，他の人にとっても参考になると思ったんだが…

>>556
前日の526です。迷惑をかけて申し訳ないです。

皆さんすごいですね・・・
解いてるときmodとか全然思いつかなかったし
赤本の解説見て実地で思いつかなそうと思ったら
皆さんいとも簡単に類似系の解答はじきだしてくるし・・・

>>551さんの
2kx+1 と x^2 は互いに素だから、

2kx+1=25m…(1)，x^2=16m…(2)

この時点でm＝1だと分かる。
なぜ互いに素かと言うと、もし互いに素でないなら、両方を割り切る
素数pが存在する。特にpはx^2を割り切るから、pはxを割り切る。
よって、2kx+1はpで割ると1余る。しかし、pは2kx+1を割り切るから矛盾する。

を>>526の解答の途中にねじ込んで、解答のx=y=4 k=3を出した後に
三角形成立の式にひっかければ減点はないのかな・・・?

重ね重ね質問をします。申し訳ありません。
こういった与えられた条件（今回で言えば三角形の三辺という条件をxykが満たす）
というのは、先に>>550さんのように成立することを示してからじゃないとダメなのでしょうか?
つまり、僕がxykの数値を出した後に後付け的に代入して成立することを示したら
これは減点を喰らったり、採点や添削をする人から見るとキモチヨクないものか、という旨の質問です。
なんだかヘンテコな文章で申し訳ありませんが、回答してもらえると嬉しいです。

>>560
おお，見ていてよかった。
x=yを示さないとyを消去できないですよ。

最近の回答者はキモい奴ばっか

>>560
三角形の成立条件がないと
k=49，x=1569，y=32
も解になります。

f(x)=x^3-xをC1とする
tを実数としたとき、y=f(2t-x)をC2として
C1とC2が3点で交わるときのtのとりうる範囲を求めよ

C1とC2の方程式から出てくる3次方程式(*とする)を微分して、
出てきた2次式を解いて、(*)に代入→極大×極小<0か？
と思ったのですが2次式の解があまりにもエグすぎて断念しました
さすがに上の方法が解答とは思えませんのでどなたかお願いします

>>564
y=f(x) と y=f(2t-x) のグラフは x=t に関して対称なので
x=tが常に交点になるのを利用するとよさそうです。
-1/√3 < t < 1/√3 でしょうか？

>>565
図を書くと確かにその範囲だろう、とは分かりました
が、それをどう論証したらいいか分からないです

ろくぶんの公式つかえば計算らくですよ。

>>566
実は対称性は答案で触れておく必要はない
x ＝ t が解になるということがわかればよく，これは差の方程式に代入することで確認できる
（対称性に気付かないとこの解は見えないかもしれないが…）
あと2つの解が t 以外の異なる2つの実数となることを述べればおｋ

x ＝ t に関して対称なグラフは他の問題でもたまに見かける
いわゆる逆手流で導出できるので確認しておくとよいだろう

>>568
　　f(x) − f(2t-x) ＝ 0
を展開する前なら，解 x ＝ t はすぐに見えるか
連投失礼

大学受験を目指して、独学で数学を勉強したいと考えています。
私はまったくの初学者なので、学校の授業レベルから勉強できる参考書を探しているのですが、
何か良い本はありませんでしょうか。

ぜひ、ご意見をお聞かせください。m(_ _)mよろしくお願いします。

>>566
>>568-569 さんと一部重複します。
g(x)=f(x)-f(2t-x)とおくと，g(t)=f(t)-f(t)=0 よりg(x)は
x-t を因数に持ちます。
よって g(x)=(x-t)h(x) となり，xについての方程式 g(x)=0 が
異なる3つの実数解を持つこと，つまり，方程式 h(x)=0 が
x=t 以外の異なる2つの実数解を持つ条件を求めます。
h(x) は長いので省略しますが，具体的に求めてください。

y=f(x) と y=f(2t-x) のグラフが線対称になるのは答案に書
かなくていいです。一般の場合にはグラフが線対称でも交点を
持つとは限らないので(直線y=1とy=2など)いろいろ断るのが
面倒になるだけだからです。

線対称になるのがわかるのは，2t-x に見覚えがあり，xとの平均が
tになることを確かめたからです。線対称・点対称なグラフの式に
ついて(数1の)参考書に出ているかもしれません。関係式を覚える
必要はなく，導ければ十分です。

>>568>>569>>571
なるほど分かりました！
ありがとうごさいます

>>570
チャート式
黄か青

基礎中の基礎で申し訳ないんですが
ai+b=0においてa,bが実数のときa=b=0となるのはなぜですか？

a≠0と仮定する
a、bが実数だから、aiは虚数
虚数+実数は虚数となるので
ai+bは虚数となる。これはai+b=0に反する。
よってa=0

ai+b=0

ai=-b

(ai)^2=(-b)^2

-a^2=b^2

a^2+b^2=0

a=b=0

Aを２次の正方行列とする。A^2+A+E=Oが成立するとき、以下の問いに答えよ。
（１）A−Eは逆行列を持つことを示し、（A-E）^-1をAとEで表せ。
（２）すべての実数tに対して、A-tEは逆行列を持つことを示し、その逆行列をｔを用いて表せ。

１対１対応の演習　数Ｃの行列なのですが
解説をみてもよくわかりませんでした。

(A-E)^-1×Ｂ＝Ｅ
のＢを導けばよいとおもったのですがうまくできませんでしたm(_ _)m

x^2/4+y^2=1(x,yは実数)のとき、 x^2+xy+2y^2の最大値、最小値を求めよ

この問題がわからないです…。どなたか教えてください。

yについて解いて代入して微分して増減表

A^2+A+E=0を変形すると
(A-E)(-1/3A-2/3E)=Eとなる。

>>580
A^2+A+E=0から
どのような過程で
(A-E)(-1/3A-2/3E)=E
を導けば良いでしょうか

多項式と同じように割り算すればいい。
(x^2+x+1) ÷ (x-1)

A-Eが逆行列を持つのは
(A-E)B=E…�@となるBが存在する時
B=aA+bEとおいて�@に代入して展開
与えられた式との係数比較
するとa、bがわかる

>>583
BはAについて1次式と決めてしまっても良いのでしょうか？

二次式だったらA^2=-A-Eを使って字数下げられる

だから、はじめからBは1次式でいいの

>>578
条件式は楕円を表す．その楕円上の点は三角関数を用いてパラメータ表示できる．
これを求値式に代入，整理して最大最小を考える．
三角関数の公式をいろいろ使うことになりそう

よくわかりました！

ただだと>>583の方法でいくと
計算が合いません。

(A-E)(aA+bE)=E
aA^2+(b-a)A-(b+1)a=0

この方法もあっているような気がするんですけど
答えと違うってことは何か間違ってるんでしょうか。

a=1とするのではなくて全体をaで割ってみる

>>583
割ったら計算合いました
ありがとうございます。

ただなんでa=1じゃ駄目なんでしょうか。
初歩的ですいません

少しは自分で考えろよ

自分に甘かったです
自分で考えたら分かりました。
ありがとうございます

速度の問題の途中で
∫√(1+e^2x)dxという式が出てきたんですがこれは積分できますか？

>>592
e^(2x)です

できる

できました

全ての正の実数xについて以下の不等式が成り立つような正の実数aを求めよ
x^(√a)≦a^(√x)

という問題で、両辺の対数をとってから移項して
(loga)(√x)-(√a)logx≧0
左辺をf(x)とおいて微分して…とやっても答えが出なかったのですが、根本的に方法間違ってますかね？

>>596
移項する前の式で， x は左辺に， a は右辺に集めてしまうのがよい．
両辺はよく似た形になる．ここで出てきた x の式を f とおいてみよ

>>597わかりました！ありがとうございます。

xy平面上に円C：x^2+y^2=1とP（２、ａ）がある。ＰからＣに引いた2本の接線の
接点をＱ，Ｒとする。
（１）線分ＰＱ，ＰＲの長さを求めよ。
（２）直線ＱＲの方程式を求めよ。
（３）ａが正のすべての値をとってかわるとき、線分ＱＲの中点Ｍの軌跡を求めよ

お願いします!!

>>599
典型的な問題なので，参考書を数冊調べれば類題は見つかるはず
それなのに問題だけ書いて「お願いします」というのは印象が悪い
　　自分がどこまで考えたのか，参考書の記述のどの辺りがわからないのか
といったことも書き込むようにしてほしい

一応方針だけは述べておこう
(1)
　　「円の中心と主要点を線で結ぶ」という定石がある．
　　これにより直角三角形が見えるので，三平方の定理で解決する．
(2)
　　「極線」というよく知られた題材である．
　　接点の座標を文字でおき，公式で接線を立式する．
　　これが P を通るので代入する．
　　で，得られた式の「見方を工夫」する．
(3)
　　M は OP と QR の交点である．
　　2直線を連立して交点を求め（その座標を（ X ， Y ）とする），
　　a を消去して X ， Y の関係式を求めればよい．

はじめまして。高2男子です。
一つのさいころを三回続けて投げ、出た目を順にa,b,cとする。
a,b,cが全て等しい時得点6を与え、a,b,cのうち二つのみが等しい時得点3を与えるものとする。この時の得点の期待値を求めよ。
誰か教えてください。宜しくお願いします。

>>601
出目は全部で 6^3 ＝ 216 通りしかないので，１つ３秒で調べても１５分もあれば解決する
調べているうちにもう少しうまいやり方も見つかるだろう
まずはとにかく自分でできるところまでやってみろってことです

>>602
毎回そんなだと効率悪いから聞いてるんだろｗ

>>603
毎回こんな質問する方が効率悪いからああ言ってんだと思うぞ。

3点と6点ってのと、わざわざ出た順になんて言ってくれてるのがミソだろな。

全列挙が効率悪いなんていってると損するぞ
問題によっては，うまい手を考えている間に書き出したほうが早いこともある
>>601 も，1回目2回目の出目を縦横にとって，
3点取れるような3回目の出目が何通りあるかを表にしていけば
1分もあれば把握できる
P とか C とかは計算の工夫のために使うものであって
これが発想の最初に来るものではないと思う

>>606
その通り
予備校の先生とかも難しい問題は最初からコンパクトな解答を書いてるんじゃなくて
まず列挙して法則を見つけてからまとめていく
わからなかったら列挙して様子を見てみるのが基本

んだなあ。列挙しようとしたらどうなるかってのを考えるな、まず。
これで法則性に気づけなかったらその問題は後回しにするｗ

でも、この問題は>>605だろ。
要するに1が出たら3点ってのを2回やるのと同じなんじゃないか？

これでわかる数学１Aの問題集
平方根の問題で、答えが12−3√3で終わってるのがあるんだけど
なんでこれ以上計算しないの？

三角形ABCと↑AD=1/3↑AB+1/4↑ACで定まる点Dがある。Dを通る直線が、A以外の点において辺AB、辺ACと交わっている。この直線と辺ABの交点をP、辺ACとの交点をQとし、↑AP=p↑AB、↑AQ=q↑ACとおく。
（1）（4/p）+（3/q）を求めよ。（2）三角形APQの面積をSとおく。AB=4 BC=√17 CA=3のとき、Sの最大値と最小値を求めよ。
（1）からわからないので方針すら立っていない状況なのですがお願いします！

>>610
どう計算するというのか

3で括れるよ！

まず問題と解答を教えてくれ

>>611
(1) 「 直線 PQ 上にある 」 ⇔ 「 p↑ ，q↑ の係数の和が1 」
　　というのが最後の決め手になる．
　　この説明でピンと来ないなら，この問題を解くのはまだ早い
(2) 三角形のある1辺が k 倍になったら，面積も k 倍になるのはおｋ？
　　よって， S は p ，q の式で表せる．
　　(1) で p ，q の関係式が得られているから一方の文字は消去できるので，
　　S は1変数の関数になる．その増減を定義域に注意して調べればよい．
　　しかし，数�Vの微分法が必要になりそう

もんだいは
√3(4√3-√9)
こたえが
12−3√3

>>612
12は2√3だから、2√3-3√3=-√3
では？

>>615
ん？
えっ？

>>616
えっ？

>>615
宇宙が誕生して約140億年
新たな宇宙法則が生まれた瞬間である

すみません、どこがどう違うのかマジレスおねがいしますm()m

>>619
君は　12 ＝ 2√3　が正しい式だと思っているんだな？
ではこの式の両辺を2乗してみろ

>>620
144=12
なるほど、610さんは12を√12と勘違いしていたわけか

文系プラチカ例題106です。

(1)10から15までの自然数を連続した2個以上の自然数の和でそれぞれ表せ
はゴリ押しでできたのですが

(2)自然数nが2の累乗でなければ、つまりn=2^m*(2l+1)　(m,lは整数で,m≧0,l≧1)
と表されるならば、nは連続した２個以上の自然数の和として表されること示せ。

が解説を読んでも理解できません。解説は

(ア)2^m>lの時、連続した２個以上の自然数
2^m-l,2^m-l+1,…,2^m-1,2^m,2^m+1,2^m+2,…,2^m+l
の2l+1個の和は
2l+1/2*｛(2^m-l)+(2^m+l)｝=2^m(2l+1)
(イ)2^m≦l
l-2^m+1,l-2^m+2,…,l-1,l,l+1,l+2,…,l+2^m
の2*2^m個の和は
2*2^m/2*｛(l-2^m+1)+(l+2^m)｝=2^m(2l+1)

(ア),(イ)より題意は示された。

となっているのですが自分がわからないのは
・なぜ2^m>lの時と2^m≦lの時で場合分けするのか
・なぜ(ア)の時は2^m-lから始まっているのに(イ)の時はl-2^m+1
　と１を加えなければならないのか

以上2点です。数学2Bまでは履修済みです、お願いします。

>>622
１１って２の累乗じゃないけど、2^m*(2l+1)で表せなくないか

>>622
項が偶数個になるか奇数個になるかってのがかかわってくるが
レスで説明するのは面倒だ
以前作った解説プリントをうｐするので，気が向いたらそれを見てくれ
表現は多少違うが，同じ内容の問題である
http://ll.la/hJ=U
パス：r4t@h

>>623
m ＝ 0 とすれば，任意の奇数はその式で表せる

>>625
あーなるほどね。
ていうかこれは2個以上の連続した自然数の和→等差数列の和を使うっぽいって分かればいい問題だな。

>>624
遅い時間にも関わらず、すばやいレス&プリントうpありがとうございます。
>>626もおっしゃるように自分で初項、項数を設定して
自然数の和→等差数列の和と置くことが鍵で次に項数の奇偶で場合分けですね。

助かりました。

http://beebee2see.appspot.com/i/azuY9PKcBQw.jpg

478の(2)なんですが
何故√(8+1)+2√8・1=√8+√1に
なるのかわかりません

どなたかよろしくお願いします

>>628
途中の式変形をもう少し補っておく
ほんとはこういうのを自分で見つけ出す過程が計算力を強化するのであるが…
が，この本の解答は2重根号の外し方を理解していない者にとってはやや不親切とも思う

　　　　√｛（√8）^2 ＋ 2（√8）（√1） ＋ （√1）^2｝　　←外側の√の中身の順番を変えた（公式の形にするため）
　　　＝ √｛（√8 ＋ √1）^2｝　　 ←外側の√の中身を因数分解した
　　　＝ √8 ＋ √1　　　　←外側の√を外した

http://www.uproda.net/down/uproda400771.jpg

この問題意味不明です
助けてください・・・

>>630
パラメータを t にするのも -t にするのも本質的に差はない
普通は t にすることが多いということ
穴埋めの問題みたいだし，設問の都合でそういう設定になっているのでは
問題文を全部見てみないことには何とも言えない

http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org2310589.jpg
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org2310592.jpg

詳細です

>>632
「出題者の求めたポイント」に書いてある通り，
問題文の Q の座標からパラメータは -t とするしかないようだ
ごく普通の設定とは異なるパラメータ設定を要求するのは
考え方を制限する穴埋め問題では意地悪とも思うが，致し方あるまい

>>633
なるほど
丁寧な返答ありがとうございました(T^T)

>>632
もっとも，本問の場合，普通にパラメータを t としたら
t の係数が負になるものが多くなって煩わしいので，
「やっぱ -t にしよう」と思うことはあるかもしれない
ところで，この手の問題はこの模範解答のように解いてある本も多いが，
成分ごとに整理するのは実は損である
最終的にはパラメータ s ，t の値を求めなければならないので，
s ，t は散らばらないようにするのがよい
本問では
　　PQ↑ ＝ OQ↑ − OP↑ ＝ OB↑ − tBC↑ − sOA↑
とこれ以上は整理せず，この形で内積を計算するのがよい
と俺は思う（このあたりは個人の好みの問題でもある）

行列Aは
(10*-3)
(2 *3)　という二次正方行列である。

二乗するとAになる二次正方行列をすべて求めよ。

>>636
行列の表記の仕方は >>1 に出ている次のサイトを参照せよ
http://mathmathmath.dotera.net/
問題丸投げだし「成分計算すればぁ」で済ましてもよいが
それだと苦しいので方針は述べておこう

求める行列を X とする．
X^2 ＝ A　とケーリー・ハミルトンの式から，
　　　X ＝ pA ＋ qE　（ p ，q は定数）
とおくことができる．この式を2乗して，
　　　□A ＝ ○E
の形に整理する．で，□と○が満たすべき条件から p ，q の値が決まる．

誰か教えてください。微積分の問題です

模範解答で、∫1から0f(t)dt=0は∫0から1F(x)dx=0に
変形できると書いてるんですが、どのようにやったらこういう変形できますか？説明願います。

>>638
大文字の F に変わっているのは何か意味があるの？
もしそうなら，問題文を全部見てみないことには何も言えない

>>639
すみませんただの表記ミスです　大文字のFは小文字のfに訂正願います。

>>640
よく見ると >>638 は積分区間が逆になっているな
これも入力ミスか？
そのつもりで回答すると，単に積分変数を変更しただけだから
等しくなるのは当たり前
納得いかないなら
　　　∫[0→1] f（t） dt　：　ty 平面での面積
　　　∫[0→1] f（x） dx　：　xy 平面での面積
と考えればよいのでは

>>641
積分区間は正しい表記です。入力ミスじゃありません。

>>642
それなら，
　　　∫[1→0] f（t） dt ＝ -∫[0→1] f（x） dx
となる　理由は >>641 で述べたとおり

>>637
成分計算しました。
ありがとうございました。

>>643
なるほど、与式＝０だからマイナスが消されて∫[0→1]ｆ（ｘ）ｄｘ＝0となるわけですね

ありがとうございます！

>>632
こんなふうに問題文からパラメータの設定を問う問題は珍しいと思って
手持ちの本を調べたけど1つもありませんでした。
OQ↑=OB↑-tBC↑を与えると易しすぎるからこうしたのかもしれないけど
そこを問題にしてはいけないと思います。
数学的に正しくても点Qは辺BCを -t:(1+t) に内分する点というのは不自然ですし。

マークの文字がンまで行ってるのも初めて見ました。

http://i.imgur.com/978xA.jpg
今この問題やってるのですが、
ス、ソの部分が両方２５になってしまいます。
何度やってみてもそうなります。誰か解いてみてくれませんか？

>>647
ベクトルの単元に出ている教科書的な解法でもできるが
係数が分数になってミスしやすいので俺は嫌いだ
チェバ・メネラウスの定理でやるのがよいだろう
以前他所に別の考え方を書き込んだのでそれも紹介しておこう

http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1319029514/10-12

>>648
ありがとうございます。
活用したいと思います！

y=e^(-√x) (x≧0)のとき

x=u^2と置き換えることにより
定積分I=∫(y)dx (積分区間は2≧x≧0)
を求めるのですが

解答だとu≧0として計算されていますがなぜu≧0なのですか？

すいません、間違えてました


僕の考えとしては
x→2のときu→√2,-√2

x→0のときu→0

したがって積分区間は√2≧u≧0または0≧u≧-√2となり
√2≧u≧-√2となるのですが

>>650
√2≧u≧0か0≧u≧-√2のどちらか片方だけで2≧x≧0を網羅するから。
両方の区間で計算したら倍になる。

>>650
u=√xに置き換えたらいいよ

以前、原因の確率で詳しく説明して戴いた者です.
その節は、ありがとうございました.お陰で、満点で
合格致しました.

その後、モンティホールの問題も自力で、証明、説明
出来ました.
本当に、ありがとうございました.
〔(2/3)×(1/2)〕/〔(1/3)×(1/2) +(2/3)×(1/2)〕

もっと言えば、時間軸で最初の事象は、無関係で、
司会者がはずれのドアを開けた状態は、３パターンあり、
その中で、変えてあたる場合は、2なので、2/3

10％の確率で起こる事象が8回以上起こる確率が90％を超えるのは何回試行した時か
という問題の考え方と回答を教えて頂けませんか

>>655
n 回試行して 7 回その事象が起こる確率は簡単に求まる
（反復試行の確率として公式化もされている）
同様にして，その事象が 6 回以下起こる場合の確率も求め，
これらの合計を 1 から引けば，
n 回試行して 8 回以上その事象が起こる確率が求まる
これが 9/10 より大きくなるような n の値を求めればよい

が，この方針では結構面倒だ
もっとうまいやり方があるなら俺のほうが聞きたい

nを変数に、二項定理で不等式を作ってみれば、

1-{Σ(k=0〜7)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k(}≧9/10

>>657
2項定理で簡単に計算できるのは，Σが　k ＝ 0　から　k ＝ n　の和であるとき

Σ(k=8〜n)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k)≦1/10

⇔
-Σ(k=8〜n)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k)≧-1/10

を辺辺たしてみれば

>>659
　　　Σ(k=8〜n)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k)
は余事象を考えずに直接題意の確率を立式した式だから
　　　Σ(k=8〜n)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k) ＞ 9/10　つまり
　　　−Σ(k=8〜n)nCk(1/10)^k(9/10)^(n-k) ＜ −9/10
となる
不等号の向きがそろっていないので，辺々足すのはまずいのでは

lim[n→無限] { ( 2n )! / n!n^n }

を求める問題です
おそらく答えは対数になるのかなという気はするのですが
解けませんでした。ご教授お願いします

対数になるのではなく、対数をとってみよ

log{(2n/n)(2n-1/n)…(n+1/n)}
で見えたでしょ？

さっきのはいい加減すぎた、うーん
上手い考えは…

八十回より多いのはすぐわかる
二項分布の正規近似じゃねーの

見えなかったかな？後は区分求積で。

正規近似かー。統計の手法までは考えなかったな
。試してみるか

x^2+2y^2+2z^2-2xy+2yz-2zx-5=0を満たす正の整数の組(x,y,z)をすべて求めよ。

なかなかいい因数分解ができません
よろしくお願いします

>>665
(-x+y+z)^2=(x-y-z)^2を利用してみましょう。
因数分解ではないです。

>>665
わかりにくかったかも。
(-x+y+z)^2 または (x-y-z)^2が含まれているのを見抜くということです。
(同じ式ですがわかりやすい方で)

y = log|tan x| を微分せよ。

誰か教えてください

>>668
合成関数の微分はわかりますか？

>>669
はい
分かります

>>670
記号は何でもいいのですが例えば
　u=tan x
とおいて合成関数の微分をすればいいです。

>>671
すると
y'=1/tan x cos^2 x
になりませんか？
正答は
y'=1/sin x cos x
となってるんですがどこがおかしいんでしょう？

>>672
y'=1/(tan x cos^2 x)
ってことですよね？
正答も
y'=1/(sin x cos x)
なので同じですよ。

>>673
たいへん参考になりました
ありがとうございました

>>667
できました ありがとうございます

・x-y平面上の原点Oにおはじきを１個置く。以後x軸の正の方向に+3ずつおはじき１個を置いていく。n番目のおはじきを置いた時のx座標をa[n]とする。次の問いに答えよ。

(1)a[3].a[4]を求めよ。
(2)a[n+1]をa[n]を使って表せ。
(3)a[n]を求めよ。

(2)が分からないのでつ
(3)は強引に(1)から数学的帰納法で分かったのですが・・(つд⊂)

A【n＋1】＝Ａｎ＋3

>>661
n ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … としてみれば急激に増加していくから，発散することが予想される．
これを示すには，対数をとって和の形にして
　　　a[n] が 0 に収束しない　⇒　無限級数 Σ_[n=1 → ∞] a[n] は発散する
を活用する．

>>664
与式の lim の中身が 1/n 乗されていれば，対数をとったときに 1/n が出てくるので
区分求積に持ち込めるが，本問はそうではない

a,b,cを整数とする
x^3+ax^2+bx+c=0
が有理数αを解にもつとき、αが整数であることを証明せよ

>>678
元の極限は発散するのは正しいが、その場合のa[n] は０に収束すると思うが。
こんな意味のない問題を出すとは思えないので、
これは問題の転記ミスだろうな。

>>679
α ＝ n/m　（ただし， m ， n は互いに素な整数で　m ＞ 0 ）
とおき，これを与式に代入・整理して　m ＝ 1　であることを示せばよい
どう整理するかは少し考えてみよ

なお，同様の手法で，整数係数の整方程式が有理数解をもつならば，それは
　　　±（定数項の約数）/（最高次係数の約数）
の形になることが示される
このことは覚えておくと因数分解の際に便利

>>680
　　　a[k] ＝ log（ 1 ＋ （ k/n ））
でうまくいくと思ったが，これだと2段階で考えることになってまずいのか
指摘どうもありがとう

>>661
>>678 を修正
短冊とかまぼこの面積を比較することにした
　　　　　log｛ （ 2n ）！ /（（ n ！ ） n^n ） ｝
　　　＝ ｛ Σ_[ k=1 → n ] log（ n ＋ k ） ｝ − n log（ n ）
　　　＞ ∫_[ n → 2n] log（ x ） dx − n log（ n ）
　　　＝ n（ log（ 4 ）− 1 ）
　　　→ ＋∞　（ n → ＋∞ ）

(2n)!/(n!n^n)>=(3/2)^(n/2)で発散で終わりだろうが。

>>678
マジでいってんのか？
n!と2n!の半分までが約分で消えて、
残りのn^nがΣ(k=1〜n)log(1+k/n)の形になるだろ？
だから極限をとって、
∫(0〜1)log(1+x)dxで計算して、2log2-1だよ。
どっか誤解してんぞ

>>684
まあ、それはそうなんだけどね。
別に　3/2　でなくてもいいしね。

>>685
誤解してるのは君の方だよ。

>>686
3/2が一番簡単だろ。

>>685
これが正解

見たことあると思ったら北海道大の後期だった
ただ最後にlogを取って 4/e に直す作業がある

1991年北大前期。
>>661 は { (2n)! / (n! n^n) }^(1/n)の「(1/n)乗」が落ちてる。

lim[n→∞](64-a)^n = 3
この時のaを求めよ

お願いします。

>>686
わざわざ3/2以外にする理由は何？

(64-a)/(1-64+a)=3
64-a=3a-189
4a=253
a=253/4

>>691

拘るね。逆に　3/2　じゃないといけない理由はない。
僕は書き込むときは不特定多数に向けて書いてる。
3/2　に拘ると問題の本質を見失う。

>>690
a じゃなくて a[n]　だろ。

>>681
どうもうまくいきません
できればあと少しヒントをお願いします

>>693
3/2で駄目な理由は何？

>>690
なんだ、Σの付け忘れか？
誤記が多いなぁ。

>>694
代入した式を
　　　分数 ＝ 整数
の形に整理
分数のほうは分母に m を1個だけ残すのがミソ

>>691
(2n)!/(n!n^n)>=(3/2)^(n/2)
を示すのに俺は結構苦労した
（ （ 1 ＋ 1/k ）^k ≦ 3　を利用したりしてどうにか示せた ）
簡単に示せるなら，ヒントがほしい

(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n)の前半は1以上後半は3/2以上

>>695
別に駄目とは言ってないだろ？

>>698
なるほど　明快だ

ｙｏｕ　１対１、6冊買っちゃなよ

>>697
返事遅れました
無事できました
ありがとうございます

確率の問題です。

１つのサイコロを続けて振るものとする。
何回目かに初めて１の目が出たら、連続して１の目が出る限り振り続け、１以外の目が出たら試行終了。
サイコロを降る回数は最大でa回（1≦a）で、この試行で１の目が丁度b回（0≦b≦a）出る確率をP（a,b）とする。
このとき、P（a,b）を求めよ。

具体的に数値代入して考えましたが、
最大回数であるa回目で終了されてしまう場合を考えてなかったです。
a回目で終了されるときってのはどのように考えればいいでしょうか。
宜しくお願いします。

（�T）１の目をb回出して終了する場合
１以外の目が｛a-（b+1）｝回出て、後は１の目がb回、最後に１以外の目が１回
（�U）１の目がb回出ず、a回で強制終了する場合
（i）１以外の目が（a-1）回出て、最後に１の目が1回
（ii）1以外の目がa回

これであっていますか？

>>704
k回目に初めて1が出る…とすればいいのではないでしょうか。
(強制終了の場合分けもアリで)

まず、a-2 回目まで1の目が1回も出ないときはa回振ることになる

そうではないとき、すなわち a-2 回目までに最低1回は1の目が出るときは、
k回目に初めて1の目が出たとすると、k+1回目から a-1回目までは全て1の目が出れば、
最終的にa回振ることになる。(1≦k≦a-2)

二次曲線の問題です

「点Ｐより放物線y=x^2に異なる二本の接線が引け、その接点をＱ、Ｒとする。
∠ＱＰＲ＝π/4であるような点Ｐの軌跡を図示せよ。」


Ｐの軌跡を求めたら双曲線になったのですが答えでは一葉しか図示されていませんでした。
解説なしで答えしか載ってない問題なのでどなたかお願いします

>>703
問題文、おかしくないかなあ？
「最大で」っていらないのでは？

>>708
確認しましたがいります。最大でa回です。

>>703
★ 1の目が1回も出ないとき (b=0)
　(5/6)^a
★ 1の目が1回は出るとき(b≠0)
　・a-b回連続で1以外の目が出て、その後b回連続で1が出るとき
　・k回連続で1以外の目が出て、その後b回連続で1の目が出て、その直後に1以外の目が出るとき(0≦k≦a-b-1)
　　(→Σで k=0 から k=a-b-1 の場合までを全て足す)

>>707
なす角の条件の式から軌跡のy座標は-1/4より小さいといえるからだと思います。

すまん、>>710の訂正
2番目の★は1≦b≦a-1のときで、
　★ b=a のとき
　　ひたすら1の目が出ればよい

レス追いつかなくてすみません。
考えて納得したらレス返します。
みなさんありがとうございます。

群数列の問題で、

1|1,3,5|1,3,5,7,5,3,1|1,3,5,7,5,3,1|1,・・・
これの第n群に含まれる項の総和をＳnとするときのSnを求めよ

答えはSn＝2n^2-2n+1です
どのようにとけばいいか教えてください

>>711
レスありがとうございます

なぜ角の条件からｙ<-1/4といえるのかでしょうか？

>>709
ということは、a回投げたら、1が出なくても1が出続けていても終了するってこと？

>>715
接点Q，Rのx座標をq，rとする(ただし，q<r)。
接線の方程式はそれぞれ
　y=2qx-q^2，y=2px-r^2　(交点Pの座標は((q+r)/2，qr))
これらとx軸の正の方向となす角をα，βとすると
α-β=π/4，tanα=2q，tanβ=2r
　tan(α-β)=(2q-2r)/(1+2q*2r)=1
よって
　qr=(2q-2r-1)/4 < -1/4　(q<rより)

>>714
おそらく群数列は1 | 1,3,1 | 1,3,5,3,1 | ...ですよね。
群数列は地道に解くしかないものですが、この問題は特に難しく考える必要はありません。
第n群は 1,3,...,(2n-3)までが二つずつと、2n-1が一つからなるので、
S_n = Σ[k=1,...,n-1] 2(2k-1) + (2n-1)
= 4Σ[k=1,...,n-1] k - Σ[k=1,...,n-1]2 + (2n-1)
= 4 (n-1)n/2 - 2(n-1) + (2n-1)
= 2n^2 -2n+1
として求められます。

>>717
丁寧にありがとうございます
解決しました

>>705
ありがとうございます。
そういう発想を即座にできるように鍛えます。

>>706>>710>>712
ありがとうございます。
Σで k=0 から k=a-b-1 の場合までを全て足すっていうのは
�納k=0→n-r-1]（5/6）^k　ですよね？
これに、（1/6）^rおよび5/6をかければいいのでしょうか。
確率は４つ出ますか？

>>716
そういうことです！

nとかrとかわけわかんなくなってきました…。ごめんなさい。

>�納k=0→n-r-1]（5/6）^k　ですよね？
>これに、（1/6）^rおよび5/6をかければいいのでしょうか。

この部分は、
�納k=0→a-b-1]（5/6）^k　ですよね？
これに、（1/6）^bおよび5/6をかければいいのでしょうか。
に訂正お願いします。すみません。

>>703は、
b=0　⇒　(5/6)^a

b≠0　⇒　{(5/6)^(a-b)}・(1/6)^b+5(1/6)^b・{1-(5/6)^(a-b)}
でいいの？

>>718
ありがとうございます！

質問しておきながら問題文間違えて本当にすみませんでした・・・

>>721
そうそう
b=0,a の極端な場合をのぞけば、1の目がb回出るのには2パターンあって、
＊ 最後のb回に連続して1の目が出たが、「回数制限に引っかかって」終了
＊ b回連続して1の目が出た箇所があったが、次に「1以外の目が出てしまい」終了

後者の場合は、はじめに1以外の目が出た回数が様々なので、
0≦k≦a-b-1 (0を含むことに注意) として、最後に各場合を足し合わせる

最後に前者と後者を足し合わせる

b=0,a の場合が b≠0,a の場合の式で説明できれば含めておこう

試行回数が一定でない問題は概して難しいから注意を払ってパターン分けをすることが必要

（1）
4次関数f（x）=x^4+ax^3+bx^2+cx+dは、
x=α（lαl<1）で極大値1/8、x=±β（0<β<1）で極小値-1/8をとる。
さらに、f（±1）=1/8である。α、β、f（ｘ）を求めよ。
（2）
x^4の係数が１でlxl≦1で、
不等式lg（x）l<1/8を満たす4次関数g（x）は存在しないことを示せ。

（1）はα＝０、β＝1/√2、f（x）=x^4-x^2+1/8となり、これは問題ないと思うのですが、
（2）が解けないです。背理法で解くのだとは思うのですが…。
（1）におけるx=-1,-β,α,β,1を使って-1/8<g（-1,-β,α,β,1）<1/8を作り、
これを満たすa,b,c,dは存在しないことを示したいのですがうまくいかないです。

どなたかおねがいします。

>>724
ありがとうございます！
場合分けは3つですよね？

>>725
もちろん（1）がヒントになっている
y ＝ f（ x ）　も　y ＝ g（ x ）　も，長方形領域
　　　-1 ≦ x ≦ 1 ，　-1/8 ≦ y ≦ 1/8
の内部に存在することに着目して，交点の個数についての矛盾を指摘すればよい

関連事項については「チェビシェフの多項式」で調べると幸せになれるかも

>>727
すみません、交点の個数というのは、どことどこの交点でしょうか。

>>728
まず，長方形領域と　y ＝ f（ x ）　のグラフを描いておく
で，｜ g（ x ） ｜ ＜ 1/8　を満たす4次関数 g（ x ） が存在すると仮定して
y ＝ g（ x ）　のグラフを描いてみる
すると，2つのグラフの交点は，この長方形領域内に少なくとも□個存在することになる（□を埋めよ）

>>729
ありがとうございます。
□=1になりましたが、違いますでしょうか。
またわからなくなったら質問します。

間違えました…□＝4でした。

>>730
残念ながら，1個では矛盾を指摘できない

ttp://apple.mokuren.ne.jp/loader_1/src/apple2255.jpg
ttp://apple.mokuren.ne.jp/loader_1/src/apple2256.jpg

(4)のグラフの書き方が分かりません・・・
どうやればいいのでしょうか？

>>733
同じ問題集の他の問題にパラメータ表示曲線の概形の捉え方は出ていないか？
一応説明すれば， x ， y をそれぞれ θ で微分して，
θにともなって増減がどうなるかを調べることにより，
点（ x ， y ）の動きが把握できる

>>734
もっとも，本問では，増減だけならいちいち微分しなくてもすぐわかるが…
（ cosθ などの変化の様子は基本なので）

>>734
これって微分して増減表を書いてグラフを求めるのですか？
だとしたらそのような解答になっていると思うのですが、実際は上記のような解答なんです。
なので、(3)までの内容からグラフを書けるのではないでしょうか？？

xy平面上に放物線C1:y=x^2/2と円C2:x^2+（y-3a）^2=8a^2がある

（1）C1とC2が異なる二点で接するためのaの値を求めよ。

（2）（1）のとき、C1とC2で囲まれた三日月形の面積を求めよ。


（1）はa=1/4と1/2となりましたが合ってるでしょうか？

合っていたら（2）をお願いします！

>>737
（1）一方は不適
（2）本問では中心角が有名角になるから面積も簡単に求まる

>>736
x^n + y^n = a^n (a > 0)でnが変化するとグラフがどうなるかを知っていれば描けますが，
(1)でθを消去しているので，x > 0，y > 0において(2)よりy'<0，下に凸はy''<0を示して
2点(0，1)と(1，0)が含まれないけど最初と最後になる。あとは対称式だから直線y=xに
関して対称に描けばいいと思います。

曲線Cの接線が2点(cosθ，0)と(0，sinθ)を通るので曲線Cは2点(0，1)と(1，0)を結ぶ
線分より下にある，という解説なんだと思います(変化させると〜下図のようになるの部分)。

共有点の座標はアステロイドの式を3乗してもいいのですが，点Rと点Pが一致するとき
なのでθ=π/4から求めるのがよさそうです。

xyz空間で、lxl+lyl≦lzlを満たす点のうち、
x軸との距離が1以下であるもの全体からなる立体の体積を求めよ

x軸との距離が1以下より、y^2+z^2≦1・・・・・ここから解けないです。
できれば問題の意図も教えてください！よろしくおねがいします！

>>740
まずは求積の基本に帰ろう
つまり、考える立体をどのような平面で切るか？ということ

>>740
題意の立体に含まれる点 （ x ， y ， z ） は
　　　｜x｜＋｜y｜≦｜z｜ ，　y^2 ＋ z^2 ≦ 1
の2式を満たす．
この2式に現れる文字について，出現回数が多いのは　z　である．
だから，　z を固定するように切る．
　　「出現回数が多いもの，次数が高いものを固定するように切る」
という原則は覚えておいてよい

球の一部として計算したらすぐおわる。

(1)で1/(x+1) < log(1+ 1/x) < 1/x
の証明、これはできました
(2)のy=1/xとy=log(1+ 1/x)および2直線x=1、x=a(a>1)
で囲まれた図形の面積が2log2 -1より小さいことを示せ
が分かりません

lim[n→∞]（5/4）^nと求めるにはどうすればいいですか？

と、じゃなくて、を、でした
すみません

自己解決しました

>>741
ありがとうございます！でもどの平面で切るのかがわからないです

>>742
「出現回数が多いもの，次数が高いものを固定するように切る」
というのは知らなかったです、ありがとうございます！
この問題の立体は、そもそもどんなものか、というのをイメージできないです
y軸を中心とする半径１の円柱の一部であるような気もしますが、
どこで切ればいいですか？y軸でしょうか？

>>743
気になります！もう少し詳しくお願いしたいです！

答えはπ/3ですか？

>>749
友達に出されたのでわかんないです、すみません
よければ教えて下さい！

>>749
僕もそうなりましたが球の一部の考え方はわかりません。

この問題、問題文読んで図形イメージして解答までに三十秒くらいでした。

簡単に言うと、半径１の球の体積の１/４になる。

>>752
すごいですね・・・
今からもっと考えてみます
ありがとうございます！！
そんなの気付けないので憧れます
頑張ります！

携帯からだと説明しにくいですが、

まず、最初の不等式で正四角錐が上下に無限に続く図形がイメージされて、さらに原点からの距離が１以下だから、その図形で半径１の球の内部の部分が求めたい体積の図形で、あとはわかりますかね。

>>754
せ、正四角錐…
わからなさすぎて頭がパンクしそうです
正四角錐って時点でわかんないですが
また考えてわからなかったら質問します
ありがとうございます！

>>751
どのように考えましたでしょうか？

>>754
x軸との距離が1以下というのはどう扱ってますか？
問題は>>740

>>756
>>742 さんと同じだと思いますが，x=tという平面で断面積を考えます。

この手の問題では出来上がった立体をイメージする必要はない
常人にはものすごく時間がかかるだろうし，
仮にイメージできてもそれが問題解決に役立つことは滅多にないからだ
（本問は数少ない例外のひとつ？）
　　　適当な平面での断面を捉える
ことこそがこの手の問題でのポイントになる

普通に積分で求積するなら，図形の対称性はすぐわかるから，
平面 z ＝ t （ 0 ≦ t ≦ 1 ） での切り口を捉えればよいだろう
｜x｜＋｜y｜≦ t が正方形領域になることは基本事項に属する
これと，z 座標が t のときに y 軸方向の幅がどうなるかを
円 y^2 ＋ z^2 ≦ 1 の図で確認して，平面 z ＝ t での切り口を把握する
t の値で場合分けが生じることに注意

あ、ごめんなさい。

原点からの距離と勘違いでした。

軸からの距離ですね。

ぺこ。

>>758
図形をイメージせずに解いたのでしょうか？

>>759
ありがとうございます
図形をイメージせずに解くのは慣れないですが、
時間がかかるばかりなのでイメージせず解くことに慣れるようにします
tで場合分けってのがわからないですね、しっくりこないです
図形イメージしないと場合分けが必要だってことはわからない気もするのですが・・・

>>761
もちろん断面図や真上とか真横から見た図は何枚か描くことになるだろう
立体は把握しにくいなら無理にイメージしないというだけ
z 座標が t のとき，円上で考えれば y の範囲がわかる（ t の式で表せる）
正方形領域のうち，この範囲内にある部分だけが有効になる
やってみれば， t の値で多少様子が違っていることが確認できるはず

>>761 の上
図のイメージはしますが，断面だけわかればいいですよ。
x，y，zを全て正とします。示されている領域もx軸からの距離が1以下の領域も
各軸に対して対称だからです。体積はあとで8倍します。
例: l-xl+lyl≦lzl も成立…つまり点(x，y，x)が領域内なら点(-x，y，x)も領域内にある。

x=tとしたのはx軸との距離が1以下ということで
＞x軸との距離が1以下より、y^2+z^2≦1・・・・・ここから解けないです。
までは同じで，yz平面を考え，↑これはtによらず半径1の円。
与えられた領域の式でxをtにして，t+y≦z と円との共通部分の面積をS(t)として0≦t≦1の
範囲で定積分して最後に8倍します。

センターの問題を解くと結構な割合で図形問題の最後の1,2問を間違えるのですがどうしたらいいでしょうか
間違え方としては発想の無さもありますが、まず根気が足りないことに原因があるようです
解説を読むと1ページ以上割いて1マスを埋めていることがあります
そういう問題のときはほぼ100%途中で諦めがちです
諦めるのも手でしょうか
センター目標点は全体で8割半以上数学は9割強欲しいところです

>>744
題意の領域の面積は定積分で求まる（ a の式になる）
これと　2log2 − 1　との差と 0 との大小を比べるのが素朴な方針だろう
差を a の関数と見て，微分法で処理

図形以外で満点近く取れるなら図形諦めても良いんじゃないかな
図形も取りたいなら最後まで答え出そうとする訓練したら良いじゃない
発想できないのはただ単に演習不足だと思うよ

>>762
断面もわからないのですが・・・
初歩的なこと聞いてごめんなさい
どうしてもわからないようだったらまた質問致します
ありがとうございます

>>763
ありがとうございます
わかりそうで、わからない・・・・・・
x=tで切るのがわかりやすくていいかもですね
しかし切りたくても断面がわからないです

理系数学プラチカ1A2Ｂの５の(1)Xがただ1つ存在するのは放物線yとX軸とがただ1つの共有天をもつことっていうのがわかりません

説明してくれませんか

>>768
このスレにいる人が全員プラチカを持っているわけではありません
テンプレをしっかり確認して、まずは問題を載せて下さい
脳天ぶちまくぞクソが