＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part84＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。 

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　マルチポストの指摘はURLつきで。 
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。 
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで 
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など） 
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。 
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。 
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。 
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　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。 
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、 
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数学記号の書き方 
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前スレ 
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part83＊＊＊ 
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1222609695/ 

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　　 　 　 　 　 　 /'",i" ﾞ;、 ｌ'ｉi,''く　　　　　.ヽ　　　　変な勘違いしないでよね！
　　　　　　　　　/ ...│　 ﾞl,　 ｌﾞﾞt, ''ii_　　　　:.!
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自然数n=1,2,3...に対して、(2-√3)^nという数を考える。
これらの数はいずれもそれぞれ適当な自然数mが存在して√m-√(m-1)という表示をもつことを示せ。
お願いします。

>>3
マルチやめれ

255 ：１３２人目の素数さん：2008/11/15(土) 21:06:22
自然数n=1,2,3...に対して、(2-√3)^nという数を考える。
これらの数はいずれもそれぞれ適当な自然数mが存在して√m-√(m-1)という表示をもつことを示せ。
お願いします。

【lim】高校生のための数学の質問スレPART206【∫】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1226530457/255

http://imepita.jp/20081117/130300
図のような等脚台形ABCDはAB=4,AD=2,∠DAB=60゜をみたしている。
ABを3:1に内分する点をE,DEとACの交点をFとするとき…

DC=ADになる理由を教えてください。

>>5
点C、Dから辺ABへ垂線を下ろしてみ

DからABに垂線

6x^3−15x^2＋10x−2
を割り算してください
なぜその割り算の解法を使ったのかも教えてください

>>8
理解度によって返答は変わるから１２を割り算してみてください。

>>6-7
ありがとうございます。
すいませんがわかりません。

>>10
できた直角三角形の辺の比を考えてみ

>>9
ありがとうございます
12＝2＾2×３
ですか？


あとAB＝CD＝2、BC＝1、AD＝3、∠Ａ＝60゜、∠Ｃ＝120゜
がなぜ等脚台形になるのかわかりません
理由をわかりやすく教えて下さい

>>12
「君はx^2-1を割り算してください」と言われたら何も不思議に思わずに「(x-1)(x+1)です」って答えるのか？
割り算とは、何だ？因数分解とは何だ？

>>3 東工の後期だから調べろ

>>3
(2-√3)^n=a-b√3, a^2-3b^2=1とすると
(2-√3)(a-b√3)=(2a+3b)-(a+2b)√3
(2a+3b)^2-3(a+2b)^2=a^2-3b^2=1

R={0, √3; √3, 0}とするとR^2=3Eなのでa+b√3⇔aE+bRとすればこの対応は和と積を保つ
|2E-R|=1より|(2E-R)^n|=1すなわち(2-√3)^n=a+b√3と置いたときa^2-3b^2=1

sin75ﾟの求め方を教えてくださいm(_ _)m

あっ思い出しました
スレ汚し本当にすみません(;_;)

>>11
わかりました。
点D,Cを辺ABに下ろした垂線に交わる点をH,H'とすると三角形の性質よりAH=1,HB=1
なのでHH'=2
よってDC=2
この考えで宜しいでしょうか?

aは与えられた実数で、0＜a≦1を満たす。xyz空間内に一辺の長さ2aの
正三角形△PQRを考える。辺PQはxy平面上にあり、△PQRを含む
平面はxy平面と垂直で、さらに点Rのz座標は正であるとする。

(1)辺PQがxy平面の単位円内部(周も含む)を自由に動くとき、
△PQR(内部を含む)が動いて出来る立体の体積Vを求めよ。
(2)aが0＜a≦1を動くときVの最大値を求めよ。

(1)で既に積分する範囲が今一つ解りません…orz
宜しければどなたか是非教えて下さいm(__)m

>>20
ちょっと想像力働かせれば分かるけど、プリンだろ
底面が単位円で上面が半径1-a、高さa*tan60ﾟのプリンの体積

>>21
上面の円の半径は√(1-a^2)です

>>21、>>22
ありがとうございます＞＜
解決できました!!

双曲線xy=1と曲線y=ax(1-x)^(2n)とは、その共有点の一つにおいて
共通の接線をもつ。ただしnは自然数である。
(1)aの値を求めよ
(2)曲線y=ax(1-x)^(2n)とx軸とで囲まれた部分の面積をS(n)とするとき、
lim【n→∞】S(n)を求めよ。ただしlim【n→∞】(1+1/n)^n=eを用いてよい。

恥ずかしながら、指数の処理がよく解らないので(1)から解けません。
どなたか段階的に書いていただけると助かります＞＜
お手数でなければ(2)もよろしくお願いいたします。

>>24
答え持ってるの？
すんげ〜自信ないけど(1)は
a=(n+1)^{2(n+1)}/4^n
とかなったｗｗ
汚いから多分違うなorz

>>24
やっぱ>>25は嘘ｗ
(1).(n+1)^{2(n+1)}/n^(2n)
で
(2).e^2/4
だな

前スレで
Σ[k=0,2n](-1)^kC[4n,2k]=(-4)^n (n=1,2,･･…)を示せ
を質問したものですが、二項定理を使うのは分かったんですが(1+i)^4nを展開した後にどうやって右辺に持っていくか分かりません

おねがいします

1+i = (√2){(1/√2)+i*(1/√2)}

>>27
(1+i)^4＝？

>>25、>>26
ありがとうございます!!
宜しければ>>24の解答の手順を具体的に教えて頂けないでしょうか？

>>30
長くなっちゃいそｗ
　
y=1/x〜�@
y=ax(1-x)^(2n)〜�A
だからy消去して
ax^2(1-x)^(2n)=1
⇔x^2(1-x)^(2n)=1/a〜�B
f(x)=x^2(1-x)^(2n)
とおいてxで微分
f'(x)=2x{1-(1+n)}(1-x)^(2n-1)〜�C
�Aはx=0,1を解に持って且つx=1でx軸に接する
�@�Aは第一象限で接するより他ない
するとその接点のx座標は必然的に0＜x＜1の範囲に限られる
よって�Cからx=1/(n+1)が接点のx座標
増減表を0＜x＜1で書くと,x=1/(n+1)で極大且つ最大
�Bにx=1/(n+1)代入すれば最大値は
y=n^(2n)/(n+1)^{2(n+1)}
y=f(x)のグラスかいてみて(0＜x＜1で),y=1/aと1点で交わる所探すと最大値がそれに当たる
よって
1/a=n^(2n)/(n+1)^{2(n+1)}
従って
a=(n+1)^{2(n+1)}/n^(2n)

>>31続き
　
S(n)=a∫[0→1]x(1-x)^(2n)dx
t=1-xとおくと,dt=-dx,x:0→1,t:1→0
よって
S(n)=a∫[0→1](1-t)t^(2n)dt
=…
=a{1/(2n+1)-1/(2n+2)}
=a/2(2n+1)(n+1)
=(n+1)^(2n+2)/2(2n+1)(n+1)n^(2n)
=(n+1)/2(2n+1)×{(1+1/n)^n}2
よって
lim[n→∞]S(n)=e^2/4
ってなかんじでやったよ

ずっとやってますが全然わかりません。お願いします。
Nを３以上の整数とする。条件
１、X+Y+Z=N
２、X≦Y+Z
３、Y≦Z+X
４、Z≦X+Y
を満たす正の整数の組(X、Y、Z)の個数を求めよ。
すいませんがお願いします。

>>33
ハズレてたらごめんねｗ
　
Nが奇数の時:(N-1)(N+1)/8
Nが偶数の時:N(N+2)/8
(N∈Z,3≦N)

あ〜
やっぱ確かめてみたら違ってそうだわorz

>>34
N=6のとき違うね
答えはさっぱりわからんけどｗ

本当にありがとうございます。
答え載せなくてすいません。偶数の時は(N-2)(N+8)/8です、でもたぶん考え方は合ってますよね。
どのような計算、考え方をされたのでしょうか？

>>31、>>32
無事解決できました。
わざわざご丁寧な説明どうもありがとうございました!!

>>37
34に正の条件追加で合う。
http://kamaitachi.info/make/up2/src/Jfile12020.jpg

10sin2θ+25-20cos^θをもっと簡単にしたいので教えてください。
出来れば過程もお願いします。

もう1度式を見直してね

>>40
cos^θ（"cos"のθ乗??） は(cosθ)^2 の下記間違いだとエスパー。
「簡単」にはならんが、最大値最小値を考えたいなら合成に持ち込む。

2(cosθ)＾2-1 = cos2θ だから -20(cosθ)^2 = -10cos2θ-10
これを代入すると
与式= 10sin2θ-10cos2θ+15
=10（ｓｉｎ2θ-cos2θ）+15

--ここは合成公式を覚えていない場合。2θ=αとして
sinα-cosα=1*sinα-1*cosα　、√(1^2+1^2)=√2だから
=√2*(（1/√2）sinα-（1/√2）cosα）
　cosβ=1/√2、sinβ=1/√2となるβはπ/4だから
=√2（sinαcos（π/4)-cosαsin(π/4))
 加法定理の逆から
=√2sin（α-(π/4））
--ここまでの考え方を適用すると、元の式は

=（10√2）sin(2θ-（π/4））+15

>>22
そうでした。

>>43
あと考えてみると側面は円すいの一部じゃありませんね
正三角形を上下に
▽
△
の形にして回転させると側面が鼓の側面と同じ構成になってますのでできるのは双曲面の一部であり
高さzの断面の円の半径は√(1-a^2+(a-z/√3)^2)になりました

a(x＋１)^(n＋1)＋b(x＋1)^n＝ax^(n＋1)＋｛a(n＋1)＋b｝x^n
にどうしてなるのかわかりません。
どなたか教えてください！

>>45
なりません

>>42
エスパーの通りです。
ご親切にどうもありがとうございました。

log3x-6logx3+1≦0
は底を3に合わせるのとxに合わせるのとではどちらがいいのでしょうか。
あと0＜x＜1、1＜xに分けて解いても答えのx≦1/27、1＜x≦9にならないのですがどこが間違ってるのでしょうか。

>>48 底は定数にしたほうが見通しがいい。

あなたがどう解いたかを示してないのに、どう間違ってるか指摘できるのは
本物のエスパーだけ。「どう間違ったか」知りたいなら自分の解答導出過程を
すべて晒して。

(1)f(x)=x^3-ax^2が、0<x<1で極値を持たないための実数aに関する条件を求めよ。
(2)f(x)=1/3x^3-a^2x-1(a>0)の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。

>>50
(1)逆に0<x<1で極値を持たないための実数aに関する条件は0<a/2<1
(2) 極大値と極小値の差は3a/4
初心者なら式計算から求めるといい。極大値、極小値を与えるx座標をα、βとすると
f(α)-f(β)だが、差は定積分でも表せる。f(x)を微分すると3(x-α)(x-β)で、これをβ→αで積分する。

>>51
ありがとうございます。

xyz空間内の動点Pを考える。Pはz≦0の部分は最大秒速aメートルで、
z＞0の部分では最大秒速1メートルで動けるものとする。
Pがはじめに原点にある時、その一秒後までにPが到達しうる範囲の
体積を求めよ。ただしa＞1とする。


色々考えてみたものの、根本的な発想が浮かびません。
どなたか解く方法とその手順を是非教えて下さいm(__)m

>>53
(2π/3)*(a^3+a+1/a)
になったがどうなのだろう。

あ、間違えた
(2a^4+a^2+1)π/(3a)

>>53
半径1の半球、半径aの半球、上の半球に接する面を側面とする円錐台（半球と重なる部分あり）、かなあ……。
数IIIやってないからかはわからないけど、そこからの計算が……。

e^xのグラフがどんなのだったか教えて頂きたいです
y=0のときが重い出せなくて・・・

>>53
再度計算して
{ (a^2-1)^{3/2}/(3a) + 2a^3/3 + 2/3 }πに落ちついた。
答えがあってたら、一応解説書いてみる。
一応a=1のときは一致するので、間違ってはなさそうだが念のため

>>54 >>55 >>56
ありがとうございます!!
答えは手元に無いので正解は不明なのですが…
具体的にどのように解かれたか教えて頂けないでしょうか？

次のように定義される数列｛a_n｝について次の問いに答えよ。

a_1=1/2
a_n+1=1/2-a_n

(1)a_nを順次計算してa_nを表すnの式を推定せよ。
(2) (1)の推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。

どなたかこの２問の回答をお願いします。

>>59
できあがる立体は原点を通り、xy平面に垂直な平面に対して合同であるからzx平面で切断したときの切断面をz軸まわりについて回転させればよい

(i) z≦0のとき
Pは等速直線運動するのでOから0≦t≦1でOP≦atだけ進む.
t=1のとき、P=1なのでx^2+z^2≦1

(ii) z≧0のとき
Pがx=atまで進み、方向を変え、z>0のP'にいたるときP'の進める範囲は
(x-at)^2+z^2≦(1-t)^2
この円をC、B(at,0)とする.
ここで点A(a,0)から円Cへ補助線の接線を引き、接点をDとすると∠ABD=1/aで一定ゆえ、tの間に動くCはすべて相似.
したがってz≧0でPが動ける範囲を0≦t≦1について注意すると、
0≦|x|≦1/aのときx^2+z^2≦1
1/a≦|x|≦aのときz≦-x/√(a^2-1)+a/√(a^2-1).

(i),(ii)をz軸まわりに回転させて得られる立体の体積が>>58

5行目訂正
(i) z≦0のとき
Pは等速直線運動するのでOから0≦t≦1でOP≦atだけ進む.

>t=1のとき、OP=aなのでx^2+z^2≦a^2

訂正箇所がまだあった。

できあがる立体は原点を通り、xy平面に垂直な平面に対して合同であるからzx平面で切断したときの切断面をz軸まわりについて回転させればよい

(i) z≦0のとき
Pは等速直線運動するのでOから0≦t≦1でOP≦atだけ進む.

> t=1のとき、OP=aなのでx^2+z^2≦a^2

(ii) z≧0のとき
Pがx=atまで進み、方向を変え、z>0のP'にいたるときP'の進める範囲は
(x-at)^2+z^2≦(1-t)^2
この円をC、B(at,0)とする.

> ここで点A(a,0)から円Cへ補助線の接線を引き、接点をDとするとcos(∠ABD)=1/aで一定ゆえ、tの間に動くCはすべて相似.

したがってz≧0でPが動ける範囲を0≦t≦1について注意すると、
0≦|x|≦1/aのときx^2+z^2≦1
1/a≦|x|≦aのときz≦-x/√(a^2-1)+a/√(a^2-1).

(i),(ii)をz軸まわりに回転させて得られる立体の体積が>>58

等差数列と等比数列にも現れる数を、小さい方から順に並べた数列の求める方法を教えてください

>>61>>62>>63
ご丁寧にどうもありがとうございました＞＜
本当に助かります！

>>64
意味が分からん。

問題文そのまんまかけ

>>57
y=0にはならない。漸近するだけ。

>>60
(1)順次計算すると1/2, 0, 1/2, 0, ...
どうすれば一つの式にできるか。
nが偶数のとき1/4+1/4、
奇数のとき1/4-1/4
と考える。

(2)n=2kのときとn=2k-1のときで別々に考えると良いかも。

間違えた。
「nが奇数のとき1/4+1/4、偶数のとき1/4-1/4」
ですね。

a＞0,t＞0に対して定積分S(a,t)=∫【0→a】|e^(-x)-1/t| dxを考える。

(1)aを固定したとき、tの関数S(a,t)の最小値m(a)を求めよ。
(2)lim【a→0】m(a)/a^2を求めよ。

(1)でaを固定したとき、というのが良く解りません。
どなたか解く手順を教えて下さい!!
お手数でなければ(2)も宜しくお願いいたします。

>>70
aを固定ってのは、aを定数として考えるっていうだけのこと。
だから問題文も「”tの関数”S(a,t)」と書いてある。
この問題では、(2)でa→0の極限値を求めさせるためだけに
aという文字が存在してるようなものなので、そんなに深く考える必要はないよ。

方針としては、0≦x≦aにおけるy=e^(-x)とy=1/tの上下関係で場合分けして
絶対値記号を外して積分すると、それぞれのtの場合に対してS(a,t)が求められるので、
あとはこの関数の増減を調べる。
ちなみに答えはt=e^(a/2)のとき、m(a)=(e^(-a))-(2e^(-a/2))+1
(2)はm(a)/a^2=((e^(-a/2)-1)/a)^2となるからeの定義で極限値を求める。

>>71
つまらないことに気をとらわれてました…
非常に分かりやすい説明をして頂き、ありがとうございました!!

次の式を証明せよ。a、b、c、dは正の整数とする

a^2＋b^2＋c^2＋d^2≧4√abcd

数�T・Ａの範囲です。宜しくお願いします。

>>73
相加相乗を2回使う。
2個ずつに使ってみ。

>>74
ありがとうございます!

一辺がａの正八面体の体積Ｖa

>>76
正八面体 体積
でぐぐれば出てこんか？

>>76
一辺が√2×ａの立方体を考えればOK

f(x)=e^(-2x)sin^2xとする。
lim【M→+∞】∫【0→M】f(x)dxを求めよ。

積分してみましたが、極限の取り方が分かりません。
どなたか具体的に手順を示して頂けないでしょうか？
宜しくお願いいたします。

>>79
1/8　？

1辺の長さが1の正n角形Aと、それに合同な正n角形A'があり、互いの中心が一致するように
置かれている。ただし正n角形の中心とはその外接円の中心を意味するものとする。
AとA'の共通部分の図形をBとするときBの周の長さの最小値を求めよ
という問題で解答が

Aを中心をのまわりに角θだけ回転させる
Aの隣り合わ3頂点をA_1、A_2、A_3としてA_1、A_2
に対応するA'の頂点をそれぞれA_1'、A_2'とする。
『このときOA_2=OA_2'=2 ∠OA_2B_2=∠OA_2_B2'=(n-2)π/2n』
『』の部分が分かりません、なぜそうなるのでしょうか？
教えてください。宜しくお願いします

>>81
Oとは？

{u(x)}^(x^2/2)の微分の仕方を教えて下さい。
宜しくお願いします

>>82
すいません。
中心Oのことです。

テスト

>>79
sin^2(x)=(1-cos(2x))/2を用いて
fを積分するとe^(-2M)cos(2M)やe^(-2M)sin(2M)がでてくる。これらについては
0≦｜e^(-2M)cos(2M)|≦e^(-2M)→0（M→∞）（e^(-2M)sin2Mも同様）
を利用する。答えは1/8になりそうだ。

>>80、>>86
ありがとうございました!!
解決出来ました!!

★2009年度　第3回河合塾入試難易予想ボーダー偏差値　(11月14日更新)
※3教科A方式、一般個別入試　★文系学部のみ神学除く。
※学科・専攻を平均し、小数第二位を四捨五入とし、慶應経済・商はA、B方式の平均とする。
http://www.keinet.ne.jp/doc/dnj/09/rank/rank03.html

�@慶應義塾 69.8(文67.5　法72.5　経済71.3　商67.5　総政70.0　環情70.0)
�A早稲田大 66.6(文67.5　法70.0　政経70.0　商70.0　教育64.4　社学67.5　文構65.0　人科63.8　ｽﾎﾟ科62.5　国教65.0)
�B国際基督 65.0(教養65.0)
�C上智大学 63.3(文61.3　法65.0　経済63.8　外63.3　総文63.1)
�D明治大学 61.3(文61.7　法62.5　政経61.7　商62.5　経営60.8　情ｺﾐ60.0　国日60.0)
�E立教大学 61.2(文60.0　法61.7　経済62.5　営63.8　社会62.5　異ｺﾐ65.0　観光58.8　ｺﾐ福57.5　心理58.8)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
�F同志社大 59.8(文59.5　法61.3　経済60.0　商60.0　社会59.5　政策60.0　文情52.5　ｽﾎﾟ60.0　心理65.0)
�G青山学院 59.7(文58.1　法57.5　経済57.5　営60.0　国政63.3　総文62.5　教育58.8)
�H学習院大 59.4(文56.8　法61.3　経済60.0)
�I中央大学 59.0(文54.0　法64.2　経済56.9　商58.8　総政61.3)
�J立命館大 58.5(文58.8　法60.0　経済57.5　営56.3　産社57.5　国関62.5　政策57.5　映像57.5)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
�K法政大学 57.7(文57.9　法60.8　経済57.5　営58.3　社会57.5　国文57.5　人環55.0　ｷｬﾘｱ57.5　現福52.5　GIS62.5　ｽﾎﾟ57.5)
�L関西大学 56.8(文57.5　法57.5　経済57.5　商57.5　社会56.9　外語57.5　政策57.5　総合52.5)
�M関西学院 56.7(文57.3　法57.5　経済57.5　商57.5　社会57.5　人福56.7　総政52.5　教育56.7)

駿台全国の問題らしいのですが、お願いします。

自然数xに対し、f(x)=0
xが1または素数のとき、
・x+2が合成数ならばf(x)=1
・x+2,x+2^2,・・・,x+2^nが素数、x+2^(n+1)が合成数となるような自然数nが存在すれば、f(x)=n+1

と定める。このときf(2009)=(ア)、またx=(イ)のとき、f(x)は最大値(ウ)をとる。
ただし、合成数とは、1でも素数でもない自然数のことである。

2009は倍数判定法から7の倍数であることがわかるからf(2009)=0
イとウがわかりません。お願いします。

すみません書き直し １行目

自然数xに対し、f(x)をxが合成数のときf(x)=0
xが1または素数のとき、
・x+2が合成数ならばf(x)=1
・x+2,x+2^2,・・・,x+2^nが素数、x+2^(n+1)が合成数となるような自然数nが存在すれば、f(x)=n+1

と定める。このときf(2009)=(ア)、またx=(イ)のとき、f(x)は最大値(ウ)をとる。
ただし、合成数とは、1でも素数でもない自然数のことである。

2009は倍数判定法から7の倍数であることがわかるからf(2009)=0
イとウがわかりません。お願いします。

イ＝3、ウ＝5？

ネタばれじゃねーだろーな？

>>90
★xがx≡1(mod3)なる素数のとき
x+2＞3かつx+2≡1+2≡0(mod3) なのでf(x)=1
★xが3で割って2余る素数のとき
x+4＞3かつx+4≡2+4≡0(mod3) なのでf(x)≦2
★x=1のとき
1+2=3, 1+4=5, 1+8=9 なので f(1)=3
★x=3のとき
3+2=5, 3+4=7, 3+8=11, 3+16=19, 3+32=35 なのでf(3)=5

以上より
イ=3
ウ=5

うわ、被った。
しかもネタバレだったとしたら最悪や。

駿台全国はすでに終わってますよ。６月、１０月なんで
回答ありがとうございます。

mod3ってどういう経緯で思いつかれたのでしょうか？
実験ですか？

>>96
実験。

数学�U 不等式の証明
A>0,B>0のとき、不等式(B/2A)+(2A/B)≧2を証明しなさい

相加平均　相乗平均の公式は機械的に覚えたんですが、
なぜこの関係を使うのか理由がわかりません。
誰か教えて下さいorz

何時も思うけど…
・mod3ってどういう経緯で思いつかれたのでしょうか？
・なぜこの関係を使うのか理由がわかりません。
こういう質問ってホント間抜けだわ。
ちゃんと自分で考えてから質問してる？って思うよ。

悪気はないけど、その名前でびしっと言われても、
顔にウンコ付けて「ちゃんとしろ！」と言われてるような脱力感を感じてしまう。

>>99
数学とは解き方だと思っている人が多いということでしょう

初めて利用しますが・・・2つほどお願いします

x､y､zとt>0が等式x^2+y^2+z^2+1=t^2を満たしながら動く時
（x/2+y/4+z/4-t）^2がとる値の最小値と、その時のtの値を求めよ

ans.t=(2√10)/5のとき最小値5/8

これは直前に（１）として空間ベクトルの問題があるのでx､y､zをベクトル成分のようにすれば
いいかとも考えたのですが、解答にはつながりませんでした

すべての実数xに対して
(a^2-1)x^3+(-a+b+1)x^2+(ab-b-4)x+4a-3b+4>0
が成り立つような整数の組（a,b）をすべて求めよ

ans.(a、b)=(1、1)、(-1、-2)、(-1、-1)

これは単独で出てきており、全ての実数xに対してなのでx^3とxの項の係数が0
x^2と定数の項が0より大ならと思ったのですがa^2-1=0とab-b-4=0がかみ合わずに
解答できませんでした

宜しくお願いします

>>102
マルチはやめてね。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1226530457/403

>>1より部分的に引用：
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html

>>99
いや、そりゃ言われたら気付くけど、やってるうちはわからんもんなんですよ。
xが3ってのに気付けばmod 3ってのが思い浮かぶだろうけど。
コテは所詮あれな人なんだな・・・

>>104
>>99さんのおっしゃるとおりだと思うから、その意味するところをよく噛み締めてみて。

↑ごめん、>>99じゃなくて>>101さんね。

まともな連れやダチ、環境に囲まれて生きてたらいくらネットの片隅とはいえそんなコテハンにしねーよな。てかできねーよ
ぞっとするわ、多少の憐れみも誘うがな

ベクトル→bが単位ベクトルのとき
2･→b=1になるのは何故でしょうか?
お願いします。

>>108
･←？
内積？

>>99
君ももう少しちゃんと考えるべきだと思うけどな。
そのような質問に的確に答えれるかどうかで考えの浅さが知れる。
めんどくさかっただけなのかもしれんが。

合成数やら約数やらの言葉から倍数でせめる発想が思い浮かび、式の形から２の倍数でないような場合を考えればいいとわかる。
で、次に密につまった３の倍数でやってみるとビンゴなわけだ。

後者が間抜けなのは同意するが

>>104
えー、受験板的に申しますってえと
学生を募集している大学の立場からすれば
言われなきゃ気づかないような受験生はいらない、と

思考力も学習経験も不足しているくせに
｢やってるうちはわからんもん｣なんていう
言い訳だけは一人前の自己正当化小僧はいらない、と

そういう受験生でも合格できるような大学は、所詮その程度だ、と

仮にも予備校の模試であれば
どちらのタイプの大学を想定して問題作成をするかは自明、と

結論として、君は受験生として能力も不足なら姿勢も真摯でない、と
まあ、再来年のセンターでは頑張ろうね、と

突飛に見える解説をされて「えっどうやってこんなの思い付くの！？」といった衝撃を
「解法暗記だと思ってろくに考えない人が多いのですよね」と撥ね退けるのは理解し難い。
この臭いコテは何か勘違いしてる。

>>110
いや、あたしも「合成数やら〜ビンゴなわけだ。」みたいな陳腐な解説は直ぐに書けるわけよ。
だからこそ>>96みたいな質問って難しいんだよね。貴方みたいな解説を捏造すればいいのか、
それとも足の爪を切ってたらふと思いついた、って正直に言っていいのか。
ここで回答してる人なら分ってもらえると思うけど、ある程度数学勉強してりゃ、
定石に裏打ちされた発想が自然に出来るようになるわけじゃん？
それをさ、1から手取り足取り教えてください、秘訣を教えてくださいみたいな質問(>>96とか)には、
ある種の甘えを感じるわけよ。なんつーか、お前それ位知っとけよ、と。
>>93を読んで、「あ〜なるほど、こうすれば良かったのか」って言ってくれるのが普通で、
「何でmod3で考えるのかまで教えてくれ」っていうのはちょっと甘え過ぎなんじゃない？ってこと。
>>98の人もそんな感じ。なんか言いたいことが上手くまとまらん。

回答してくれるのはありがたいが…

その糞コテやキモイＡＡ張るのはかんべんしてくんろ

>>113
なるほど、言いたいことは分かったし同感。
何でもかんでも形式的に覚え当てはめようとしてるように見えたわけか。
質問者が実際にそうであるかどうかを見極めるのは難しいところだな。
しかし、学習の初歩の段階にあるのならそういった疑問を持つのも尤もなことで、
それを上級者が冷たくあしらってしまうのは指導するに相応しくない態度だと思うのだが、どう思う？
自分だって昔はそういったことに釈然としなかったことだってあったんじゃないのか。

>>111
＞思考力も学習経験も不足しているくせに
たしかにそうです。

＞言われなきゃ気づかないような受験生はいらない
引き合いに出してすまないが>>102の上の問題見てあんた何が思い浮かびますか？
(i) 球と平面の距離
(ii) 内積((x,y,z)・(1/2,1/4,1/4))
(iii)t式からダイレクトに代入して3変数関数として求める方法

(i)でできましたが、球と平面の距離なんかは初学者は思い浮かぶでしょうか。できたら質問掲示板なんかには来ませんね。
yとzが対称だからこれをうまく利用して解く方法もあります。

>>113
何か関数で表せて、最小値を得られたのかと思ったんですよ。
実験的な問題ってのはある種の法則性をいくつか書き出さないと気づかないものなんですよね。
この場合xという不明な自然数だったので、xをどう実験したらいいのかわかりませんでした。

>>112
質問掲示板なので回答してみる
x/2+y/4+z/4-t=kとおきこの平面をαとおく.
球x^2+y^2+z^2+1=t^2とαとの距離が球の半径以下であればよい.
(i) t=1のときx^2+y^2+z^2=0⇔x=y=z=0だから（x/2+y/4+z/4-t）^2=1

(ii) t≠1のとき原点とαとの距離関係が4|t+|k||/√6≦(t^2-1)より|t+k|≦√(6(t^2-1))/4.
よりk≦-t+√(6(t^2-1))/4.右辺f(t)とおき微分してf'(t)=(√6t-4√(t^2-1))/(4√(t^2-1))
分子≧0⇔(√6t-4√(t^2-1))≧0⇔t≦√(8/5),t>0よりt=√(8/5)のとき極大でf(√(8/5))=-√10/4
f(t)のグラフを描くと-1<t≦√(8/5)で単調増加、√(8/5)<tで単調減少であることがわかる.
したがって(x/2+y/4+z/4-t)^2=k^2よりk^2は正だから、f(t)のグラフをx軸に折り返して最小値は-f(√8/5)=√10/4よりk^2≧5/8,t=√(8/5)

単元がベクトル?とのことですが、ベクトルで成分表示とありますね。
おそらく(1/2,1/4,1/4)が一定なのでこれを使えばうまくできると思いますが、俺はわかりませんので、他の方がいらっしゃったらお願いします。

部分分数分解についての質問です。
1/s^2*(s^2+4s+8)
を部分分数分解するとどうなるでしょうか？

>>118
マルチ

>>119
???

>>102下
a^2≠1のとき左辺は3次関数なので少なくとも一つ解をもつので正から負あるいは負から正になるので不適ゆえa=±1
a=1のとき
左辺=f(x)=bx^2-4x-3b+8
b=0のときf(x)=-4x+8よりx=2のときこの値の前後でf(x)は正から負に変わるので不適
b≠0として判別式から解を持たない条件、D/4=(3b-2)(b-2)<0⇔2/3<b<2、bは整数だからb=1∴ (a,b)=(1,1)

a=-1のとき
g(x)=(b+2)x^2-2(b+2)x-3b
b=-2のときg(x)=6>0で常に正
b≠-2のときg(x)が解を持たない条件は判別式よりD/4=2(b+2)(2b+1)<0⇔-2<b<-1/2ゆえb=-1 ∴(a,b)=(-1,-2),(-1,-1)
以上をまとめあげてあなたの答の通りになります。

マルチに回答するってどうなの？

>>122
マルチが何か分かってないか、ただの馬鹿ｗ

マルチなの？
てかあんたらみたいに色んな掲示板見てないんで、ここだけの情報だけだとわからんだろ。携帯さん

数学板か。たしかにあるけど、時間差でくるとは思わなかった。
ID:R5vrvDgVOこいつはただ煽りたいだけだろうけど。

>>124-125
はいはい、言い訳ねｗ
>>1ちゃんと読みなよ

>>126
>>102の下にすぐあって気付かなかった。悪かったよ。

回答してもマルチに回答すれば、煽られるんだな。
ボランティアといえ回答者の人ほんとお疲れ様です。

計算で行き詰まってしまいました…
(2t-t^2)^3/2をtで積分するとどうなるのでしょうか？
教えてください。

展開して積分すると良いでしょう

{√(2t-t^2)}(2t-t^2)の積分みたいにですか？
Ｘ＝2t-t^2 と置換して積分しようとしたんですが、このやり方じゃできなくて…
どうすればよいのでしょうか？

なぜ置換するのですか？

ああ分かりました(2t-t^2)^(3/2)の積分ですね
平方完成して置換します

あるいはu=√((2-t)/t)と置換します

すいません…できないです。

このぐらいやれないと自分が困ると思うのはおれだけだろうか

→OA=(2,4),→OB=(-2,4),→OP=α→OA+β→OB(α+2β=1)と表される点Pを求めよ

→OP=α→OA+2β(→OB/2)
だからPは(2,4),(-1,2)を通る直線上を通る

上に書いた事についてですが、α+2β=1に重ねて考えているのはわかりますが→OP=1というわけではないのに成り立つ理由がわからないので教えてください。

大文字は位置ベクトル
pA+qBの(A, Bは一時独立、p+q=1)の線形結合表される位置ベクトルは直線AB上、という基本。

これ普通のベクトル方程式だべ？
大体↑OP=1ってなんだ？

>>128
そもそも、お前如きが回答するのが間違い

バカな質問者であるだけならまだしも
クソコテとはいえ、それなりに適切な回答をした
回答者に対して逆煽りを入れて挙句逆切れ

そういうバカが｢俺にも解ける｣とwktkして回答したら
マルチの指摘済みだった、というオチ
マルチに回答する奴は煽られて当然なのに開き直る

まあ、こういう質問系スレでの経験則として
｢低レベルの質問をする奴は人間的にも低レベル｣
というものがあるが、まさにその実例だな

すまぬ、大学生なんだが聞いてもいいかな
高校の範囲の初歩な問題って友達に聞けないんだ…。

∫1/( x^2 + x + 1) dx

これどうやって解くんだっけ？

x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4
だから、x+1/2=(√3/2)tanθとおく。

∴(2/√3)Arctan{2(x+1/2)/√3}+C(Cは〜)

>>142
あ、これ高校の範囲じゃなかったのかー。板違いｽﾏｿ。
x+1/2を置換か。

よくわかったよありがとう。

xyz座標上に(0,0,1)を中心とする半径1の球がある。
球のz≦1の部分をＭとして、Ｍをx軸を中心に1回転したとき、
その体積を求めなさい。


何となく方針は立つのですが、
積分する式を数回考え治して計算しても合いません。

どなたか積分する式をお教え願います。

>>129
√(2t-t^2)=√(1-(t-1)^2)より
|t-1|≦1となりますのでt-1=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)と置換できます
このとき√(1-sin^2θ)=√(cos^2θ)=|cosθ|ですが
-π/2≦θ≦π/2としましたので|cosθ|=cosθとして積分を遂行できます

u=√((2-t)/t)とするとu^2=(2-t)/tよりt=2/(u^2+1)
√(2t-t^2)=√(t^2・(2-t)/t)=√(t^2)√((2-t)/t)=|t|√((2-t)/t)=2u/(u^2+1)として積分を遂行できます

ただこれは定積分の問題でなければ逆三角関数が登場しますので高校数学の範囲外となります

>>144
x=aにおける断面を考えるとz=1中心半径√(1-a^2)の円の下半分となりますので
(a,0,0)からの最遠点は(a,√(1-a^2),1)最近点は(a,0,1-√(1-a^2))
即ち回転体の断面は半径√(2-a^2), 1-√(1-a^2)の2円に挟まれた部分ということになります

>>146
>z=1中心
(a,0,1)中心

>>140
お前如きってどういう意味かわかんねぇ。
質問で回答できる問題があってちょっと答えてやろうという、人たちがやっているんでしょ。
コテには感謝してるよ。でもあんたはただ煽りを入れてるだけじゃないか。
マルチに答えてしまったのは仕方ないが。

ﾏﾙﾁﾏﾙﾁって鬼の首とったみたいに書いてる奴はｳｻﾞｲ。
ﾏﾙﾁしてるのを公言して､ｱﾝｶｰすればいいだろ。
ﾈｯﾄﾆｭｰｽ全盛時代でもﾏﾙﾁﾎﾟｽﾄは嫌われたが、ｸﾛｽﾎﾟｽﾄは大丈夫だった。
元来何故ﾏﾙﾁが嫌われたかは、無駄なﾄﾗﾌｨｯｸの増大が原因。
今の時代は無問題。

積分の範囲で式の変形が分からないので質問させていただきます

y^2+2xy+2x^2-1=0
これをyについて解くと
y=-x±√(1-x^2)

何が起こったのか・・・何でこうなるのかが分かりません

ｙについて解の公式適用

あああああ
こんなことに気がつかなかったとは。。。

ありがとうございました

じゃあマルチ止めろとか、マルチには原則として一切回答しない、っていうルールはテンプレから外そうよ

>>149
お前の半角のがウザいｗ

マルチだと、どれかで解決したら他のスレで回答したレスが見られもしないで
終わる場合がある。聞いといて答えたら、もういいよ、なんて失礼だろ。
移る前に移動しますって書くべき。

>>146
ありがとうございました。
半径の最大最小を間違えていました。

>>155
ﾏﾙﾁでも礼儀正しい奴はいるし､ﾏﾙﾁでなくても礼儀知らずは数多くいる。
別問題。

もう面倒臭いからマルチ禁止ってことで
回答する人からしたら他のとこで同じこときいてるの見ると「うわっなんだよこのやろう！」みたいな気持ちにはなる

>>138
ありがとうございました。

f(x)=x^2-2mx+m+6　とする。

(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
　　定数mの値の範囲は？≦m≦？である。

(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
　　定数mの値の範囲は？<m<？である。

途中式もお願いします。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/242

こうそくの〜マルチ〜くそしつもん〜

>>160
ID:aFpskUsF0が教えてくれるってさ
で、俺たちはマルチに回答するバカを煽って楽しめる、と

>>163
バカそうだなお前

>>160
(1)-2≦m≦3?
(2)-6<m<3?

数学って受験で学校でならった以上の知識つかっちゃだめなのでしょうか？
合同式とか包絡線とか

包絡線は偏微分ですから大方の採点者は否とするでしょう
合同式は定義してやればいいという考えもあるようですがどうでしょうか

ひとつの角度が10度の正多角形は？
よろしくおねがいします

合同式普通に使ってる参考書結構あるよね

>>167
ほうらくせんは学校でやったよ。
「tを変数として、与式をtで微分すれば…」とか
上手く処理したら、減点くらわずにいけるんじゃね？

>>168です
ひとつの角度が10度の正多角形は正何角形ですか？

回答してくれた方々、ありがとうございます。
定義付けや説明の仕方によるってことですね。そこのところ練習してみます。
ありがとうございました。

>>171
n角形の内角の和は180(n-2)度
正多角形はすべての内角が等しいから、
ひとつの内角が10度なら
180(n-2)=10n
nは自然数だから……

>>173
>>171は簡単すぎる上にマルチだから回答しなかったんだが・・・・
いや回答するなとは言わないがな

>>165

ありがとうございます。
途中式もできればお願いします。

チンコスコスチン
コスコスチンチン

>>174
そうなのか、すまん

ｎ≧２のとき、ａｎ＝ｎ･２^ｎｰ1が求まる。
よって、ａｎ＝(等差数列)×(等比数列)の積の形をしていると説明文に書いているのですが、この意味が全く分かりません。
与式が等差数列と等比数列の積の形になってるように見え無いので理解が出来無いのですが、どういう事なんでしょうか？

>>178
a[n]=nは等差数列
a[n]=2^(n-1)は等比数列
が分からんか？

>>179
どういう解釈でそういう風になるんですか？

>>179両方a使って書いたらダメじゃんｗ

b[n]=n、これは等差数列
c[n]=2^(n-1)、これは等比数列

与えられているa[n]=b[n]*c[n]と書けて、
すなわち等差数列と等比数列の積の形。

大学受験と関係ないんですが・・・

雑誌「Newton」を読んでいたら

e^iπ+1=0という式が載っていましたが、証明できません。

教えてください。

>>182
「オイラーの公式」でググレカス、とだけ言っておく

>>182
普通に
マクローリン展開
→式整理
→x=iπに置き換る
で出来るｗ

>>184
通常マクローリン展開は実数で定義される。
その式に虚数を代入しては無意味。

＞182
式をそのままググって見るんだ。

>>182
証明できなくていい。
ほぼ定義だから。

>ほぼ定義だから。
え？

>>185
をぉ〜
誰かツッコミ入れてくると思ってたよｗ
この式が定義なのは知ってから形式的に導いただけなんだけどｗ
まぁでも純虚数入れても導けるからオイラーのこの定義は汎用性あんだよｗ

某有名私大の某数学教授の著書の中で
「この式を見て数学を志したという人が多いらしい」などと言っていた
哲房でも、よく話題になる3種の神器

1=0.999…
虚数i
オイラー
（実はこの3つは密接に関連している…）

A(x1,y1),H(x2,y2),nｰ>=(a,b)とする

nｰ>//HAｰ>から、
nｰ>･HAｰ>=±|nｰ>||HAｰ>|

に、どうやって式変形するのかわかりません
教えて下さい

ああ、ベクトルのことねｗ平行ってことは、二つのベクトルのなす角は0°または180°。つまりcos0°=1、cos180°=-1を代入しただけで、難しいことはしてないよ

今年の第一回東大実戦の数学(文科)の第３問
ｘｙ平面上に原点Ｏを中心とする半径１の円Ｃ1と、
点Ａ(３，０)を中心とする半径１の円Ｃ2がある。
Ｃ1の周上にある２点Ｐ1，Ｐ2がＰ1Ｐ2＝√２を満たしながら動き、
Ｃ2の周上にある２点Ｑ1，Ｑ2がＱ1Ｑ2＝２を満たしながら動くとき、
Ｌ＝(Ｐ1Ｑ1)^2 + (Ｐ1Ｑ2)^2 + (Ｐ2Ｑ1)^2 + (Ｐ2Ｑ2)^2
の最大値と最小値を求めよ。

この問題について質問です
解説に
『∠Ｐ1ＯＰ2＝90ﾟであるから、ＬがＰ1，Ｐ2に関して対称であることに注意すると
　Ｐ1(cosα，sin(α+90ﾟ))
　Ｐ2(cos(α+90ﾟ)，sin(α+90ﾟ))
　とおける』
と書いてあります
ここで、Ｐ1がαの位置にあるとしたときに、Ｐ2がα+90ﾟの位置にあるか、α-90ﾟの位置にあるかはわからないですよね？
解説の『ＬがＰ1，Ｐ2に関して対称であることに注意すると』という説明は
どっちにしろ結果は同じだ(というか、Ｐ1とＰ2をどっちがどっちと決定づける必要はない？)からα+90ﾟとして大丈夫ってニュアンスを含んでいるんですかね？

説明下手ですみません
表記に間違いがあったらすみません
解答お願いします

>>192
なる程！
ありがとうです〜
ベクトルむじ〜

>>193
α+90°で特に問題ないが。Lに関してP_1,P_2は対称ってのはいれかえられるからでしょ。

別解として、一般に三角形ABCがあり、BCの中点をMとすればAB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)・・・☆が成立するから、これを使ったら割とサクサク解ける。
少し書くと、P1P2、Q1Q2の中点をそれぞれM,Nとすれば、P_2M、Q_1Nはそれぞれ一定だから、三角形P1Q1Q2、P2Q1Q2にそれぞれ☆を適用

>>195
L=(√2)^2+2^2+4MN^2ですか

>>195
> α+90°で特に問題ないが。Lに関してP_1,P_2は対称ってのはいれかえられるからでしょ。

それを聞きたかったんですよ
『Ｐ1(cosα，sin(α+90ﾟ))
　Ｐ2(cos(α+90ﾟ)，sin(α+90ﾟ))』
↑このように表す(α±90ﾟではなく、α+90ﾟと表す)ことは
『ＬがＰ1，Ｐ2に関して対称であることに注意すると』
という説明によって可能になるんですよね？
と聞きたかったんです

> 別解として、一般に三角形ABCがあり、BCの中点をMとすればAB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)・・・☆が成立するから、これを使ったら割とサクサク解ける。
> 少し書くと、P1P2、Q1Q2の中点をそれぞれM,Nとすれば、P_2M、Q_1Nはそれぞれ一定だから、三角形P1Q1Q2、P2Q1Q2にそれぞれ☆を適用

あ、わざわざありがとうございます

実数と定数は違うのですか？
虚数以外が実数なのではないでしょうか？問題にある「実数の定数」というのは単に「実数」ではいけないのでしょうか？

たとえば、「xは実数である」と言っても、定数とは限らない
変数だってあるでしょ
xが実数の変数である場合はどう表現するの？

>>198
全然違うから、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0
をまず読んでおいで。

↑文中にもあるとおり、変数とは違うことを言う場合は付けるんだと思う。

xの整式f(x)を(x+1)^2でわったときの余りが、3x-4であるときx+1で割ったときの余りが何故f(-1)=-7になるのでしょうか?

1次式で割るので余りをpとしてf(x)=P(x)*(x+1)+pと表せ、ここでx=-1とするとp=f(-1)
x-aで整式f(x)を割ったときの余りはf(a)。これを剰余の定理という。教科書に載ってるレベルじゃないかな。

>>201
f(x)＝P(x)・(x+1)^2＋3x−4＝P(x)・(x+1)^2＋3(x+1)−7＝(x+1)・｛P(x)・(x+1)＋3｝−7

>>201
一般化して
f(x)
=Q(x)(x-p)^2+ax+b
とおくと、
f(x)
=Q(x)(x-p)^2+a(x-p)+ap+b
={Q(x)(x-p)+a}(x-p)+ap+b
よって、f(x)を(x-p)で割った余りがap+bであることがわかる。
ここで、ap+b=f(p)

この問題ではp=-1, a=3, b=-4。

>>202-204
わかりました。
どうもありがとうございます。

xy平面で原点を中心とする半径2の円をA、点(3,0)を中心とする
半径1の円をBとする。
BがAの周上を反時計周りに滑らず転がって元の位置にに戻るとき、
初めに(2,0)にあったB上の点Pの描く曲線をCとする。

(1)C上の点でx座標が最大となる点の座標を求めよ
(2)曲線Cの長さを求めよ


(1)から分かりません…
慣れてない分野なので、どなたかよろしくお願いいたします。

最初にあったPの位置をP0、円Aと円Bの接点をR、円Bの中心をDとすると、弧RPの長さは弧P0Rに等しい
∠P0OR=θとすれば弧RP0=2θ=弧RDP=∠RDPまたB上の点PはP0を始点として、Aから見てBが2θ回転しているので、Aの回転分を合わせて3θ回転しているので
P(x,y)=(3cosθ,3sinθ)+(cos(π+3θ),sin(π+3θ))=(3cosθ-cos3θ,3sinθ-sin3θ)

>>207
ありがとうございます!
愚問かもしれませんが、(2)は公式を用いる
だけでよいのでしょうか？

e^logA=Aとなるらしいんですがどうしてこうなるのでしょうか？

>>209
ならないよｗ
e^(lnA)=A
ならなるけど

>>209
定義に沿って変形したらそうなるから
上の言うように、底が10なら違うけど

底はeです
定義に沿って変形とはどう意味でしょうか？

>>212
底がeならlogAじゃなくてlnAって表記しないと紛らわしいし、ダメじゃないか？
とりま両辺で底がeの対数とればいい

>>213
すみませんでした
e^xにx=lnAを代入したらAになるということは暗記したほうが良いですかね？

>>214
logの定義を読み返してくると良い

>>215
質問の仕方が悪かったかもしれませんが
問題を解いていて解説の式の中にe^lnAがでてきてその次の式にe^lnAのところが
Aになってたので214のような質問をしたのですが・・・

>>216
暗記といえばそうかも知れんが、
定義から言えば当たり前なんだから、それを分かった上で憶えようってことじゃね

>>213はミスったなｗ
　
y=e^(lnA)
とおいて両辺を底がeの対数とる
lny=ln{e^(lnA)}
　 =(lnA)・(lne)
　 =lnA
対数とれば
y=A
となるから
e^(lnA)=A

今有如図、只云、鉤若干、青方若干、問甲円径。
答曰、依左術得甲円径。
術曰、置鉤乗青方、開平方、乗鉤、開平方、名子、以減鉤、余自之、加子、開平方、
以減鉤、余得甲円径、合間。

こんにちは。

nは、正の整数とする。x＾（n＋1）をx＾2−xー１で割ったあまりをanx＋bとおく。

数列an、bn、n＝１，２，３、・・・は

an＋1＝an＋bn

bn＋1＝an

をみたすことを示せ。　　　　　東京大学　2002年

自分はn＝１，２，３，４、と代入して、an、bnがでて答えが出せると思ったけど、できませんでした。
回答を教えてください。

年度がわかっているのなら、赤本、青本なり調べてみてはいかが？

関数f(x)の第二次導関数は常に正とし、関数y=f(x)のグラフG上の点
P(t,f(t))における接線とx軸とのなす角をθ(t)とする。
ただしθ(t)は-π/2＜θ＜π/2で接線の傾きが正,負,0に従って
正,負,0の値を取るものとする。また、点PにおけるGの法線上に
Pから距離1の点Q(α(t),β(t))をGの下側にとる。

(1)θ(t)は常に増加する事を示せ。
(2)α(t),β(t)を求めよ。
(3)tがaからbまで(a＜b)変化するとき、点P,Qが描く曲線の長さを
それぞれL1,L2とする。L2-L1をθ(a)とθ(b)を用いて表せ。


曲線の長さが出題されるか微妙だとは思うのですが、
そことは関係なく(1)から既に良く分かりませんorz
どなたか段階的に(3)まで教えて頂けないでしょうか？＞＜

>>220
x^(n+1)=xx^n=x(Q(x)(x^2-x-1)+a[n]x+b[n])=xQ(x)(x^2-x-1)+a[n]x^2+b[n]x=(xQ(x)+a[n])(x^2-x-1)+a[n]x+a[n]+b[n]x=(xQ(x)+a[n])(x^2-x-1)+(a[n]+b[n])x+a[n]

>>222
平行な直線のなす角は存在しませんからこの問題文はいかがなものでしょうか

tanθ(t)=接線の傾き=f'(t)
f''(t)>0よりt<s⇒f'(t)<f'(s)⇒tanθ(t)<tanθ(s)⇒θ(t)<θ(s)

三角関数の定義より
(α(t), β（t))-(t, f(t))=(sinθ（t), -cosθ(t))=(tanθ（t)/√(1+tan^2θ(t)), -1/√(1+tan^2θ(t))=(f'(t)/√(1+f'(t)^2), -1/√(1+f'(t)^2))

d(L2-L1)=dθ(t)よりL2-L1=∫[A→B]d(L2-L1)=∫[A→B]dθ(t)=θ(b)-θ(a)

>>213
自然対数は底を省略できるんだよ。
そんな事も知らないのか？
lnA なんて表記は日本の数学の本では少数派だ。

>>218
こんな間抜けな回答を書く教師が多い。
>>215 の言う通りで計算する必要はない。

教えてください
(8~x)-a*｛(4~x)-1｝+b｛(2~x)-1｝-1=0 …(※)について
この方程式が0または負である異なる三個の実数解をもつときaとbが満たす条件を求めよ

という問いなのですが2~x=tとおき
t=1 またはt~2-(a-1)*t-a+b+1=0 …�@となりました、�@の解をα、βとして、
2~x=1よりx=0が(※)の解であることに留意し
(※)が0または負の異なる三個の実数解をもつ⇔0<α<1、0<β<1、かつα≠β⇔tの二次方程式�@が0<t<1の範囲に異なる２つの実数解をもつ

とのことですが
なぜ0<α<1、0<β<1なのでしょうか?
また0<α<1、0<β<1ならば0<t<2ではないのでしょうか？

よろしくお願いいたします

>>224
ご丁寧な説明をして頂きどうもありがとうございました!!
非常に助かりました＞＜

出典が不明なのですが、質問させて下さい。
曲線
C1=y^2=26-19{e^x+e^(-x)}+7={e^2x+e^(-2x)}-={e^3x+e^(-3x)}
C2=y^2=4(x^2-2x^3)が与えられている。(x≧0)

(1)C2上の点Pにおける接線がx軸と平行となるときPの座標を定めよ
(2)t==（{e^x+e^(-x)}/2）-1とおく。点(x，y)がC1上にあるときy^2を
tの式で表せ
(3)C1とx軸との交点のx座標をαとする。{e^α+e^(-α)}/2の値をすべて求めよ
(4)C1で囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ

曲線の概形がつかめず(1)から手がつけられません。
誰か(4)まで是非手を貸して下さい!！

点と直線の距離dの証明について、

ax+by+c=0をlとする。
P(x0,y0)とし、Pからｌに下ろした垂線の足をH(x1,x2)とおく。
PH=√{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}
であるから、X=x1-x0、Y=y1-y0とおく。
PH⊥ｌより、
b(x1-x0)-a(y1-y0)=0・・・

とあったのですが、この最後の式はどういう意味ですか？
基本的なことかもしれませんがどなたかお願いします。

>>228
そもそもC1が意味不明なんだが。

>>229
内積でしょ。PHベクトルとlの方向ベクトル

>>225
「自然対数は底を省略できる」は高校までじゃないの？
大学行ったらlnにすると思うんだけど
普通logと書いたら常用対数を表すよ

>>226
t=2^x( > 0 ) はxの増加関数なのでx≦0のときのtがとる値域はt≦2^0=1 i.e. 0<t≦1
今、α、βについてはx=0とするわけにはいかないので0<t<1
今回の問題はt^2-(a-1)*t-a+b+1=0が0<t<1に異なる2階を持つa, bの条件を求めよ、というのと同値。

>>213
知ったかぶりは回答するな。3年ぐらいロムってろ。

>>232
そんな事はないよ。
日本語で書かれた本で ln という表記の本を教えて欲しいくらいだ。
工学書はどうか知らないが、数学の専門書ではほとんど見ない。
大学で使う解析の入門書も log 表記ばっかりだよ。

しかもここは受験版。

>>234
知ったか乙ｗｗｗ
底がeの時でもlog何て書いてんのはゆとり世代の高校までだからｗ

>>233

ありがとうございます
0または負である解を求めるので、xを-∞に近づけたときにt=2^x のグラフは常に正であり、x=0にすでに一つ解があるので 0<t<1に２つあるはずという考え方で良いのでしょうか？

ID が変わるまで待って必死だなw

>>236
そうだよ。グラフになれるといいね。相手が複雑なものになってもグラフで考えられると強い。
これは関数y=2^xの定義域x<0のときにyが0<y<1をとる、と言ってるのと同じだ。

>>237
俺に言ってんだろうがIDなんざ気にもしてね〜ぞｗ
てかこの時期に君みたいにそんな頻繁に2ch見てないんだよ・・ｗ

>>232-235
マジレスすればlnを併用するのは、常用対数と自然対数、両方を使う
工学系の文化だと思う。数学プロパーや理論科学屋だと、常用対数は
ほとんど使わないのでlog一本やり。

>>238

ありがとうございました
お手数おかけして申し訳ありませんでした

>>234>>240
そうなのか・・・・
ごめん、知ったかだった

>>240
持ってるのには全てlnで表記されてんだがな・・・
確かに常用対数使わないからlogに統一ってのも正しいかもしれないｗ
つか受験レベルじゃどっちで書いても○来るんだろうからここで言い争ってても無意味だなｗ
つまらん事話題に出してすまんかった・・

なんだＦラン工学部だったのか。
悪いことしたな。

>>244
俺工学部じゃないんだｗ
悪い事したな

円x~2 ＋ y~2=r~2と放物線y=-x~2 ＋kとの共有点の個数が2である この条件を満たす点(r、k)の範囲を求めよ
与えられた式より
y~2 - y ＋ k - r~2=0 …(☆)をだしましてこの解をA、Bとしました
x~2=k-A、k-B
としまして(x、y)=(±√k-A、A)、(±√k-B、B)まではあっているようなのですが、(☆)⇔kより小さい解とkより大きい解を１つずつもつ、またはkより小さい二重解をもつ

と答えに書いてあるのですが、どのように考えたらこのようなことが思いつくのでしょうか？

お願いします

>>246
図を描いたら、いや描かなくても原点中心の円と上に凸でy軸対称な放物線だぜ？
円の下の方で2ヵ所と交わるか、放物線が円を包む感じで接するだろうことは想像付くだろ。

>>246
y=-x~2 ＋k≦kなのにyの2解はkより大きいものと小さいものなの？

関数f(x)は微分可能で、f'(x)は連続とし、f(x)は関係式
f(x)+∫【0→x】f(t)dt=sinx を満たしているとする。
(1)f(x)とf'(x)との間に成立する関係式を求めよ。
(2)d/dx{(e^x)f(x)}を指数関数と三角関数で表せ。
(3)∫【0→x】(e^t)(sint+cost)dt=∫【0→x】(e^t)(sint-cost)dt+(e^x)(sinx+cosx)-1 を示せ。
(4)∫【0→x】(e^t)costdtを求めよ。
(5)f(x)を求めよ。


(2)から分かりませんorz
どなたか(5)まで順を追って教えて頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します!!

下凸放物線と円の交点は、論理だてて説明しづらい。凸同じな曲線二つの論議は図形使って説明できねーもんなー

>>250

xの４次方程式が分かりやすいけどな。
めんどくさいけど‥

>>246
x^2=-y+kと置き換えた場合-y+k<=>0における交点個数の吟味が必要です
y=-x^2+kと置き換えた場合実数解xの個数がそのまま交点個数となります
x^2+(-x^2+k)^2=r^2
f(x)=x^4+(1-2k)x^2+k^2-r^2=0
f'(x)=4x^3+2(1-2k)x=4x(x^2+1/2-k)=0
1/2-k≧0のときf'(x)=0となるのはx=0のときのみで
y=f(x)のグラフの形状は下に凸となりますので
f(x)=0に2実数解がある⇔f(0)=k^2-r^2<0⇔-r<k<r
1/2-k<0のときf'(x)=0となるのはx=0, ±√(k-1/2)
y=f(x)のグラフの形状はx=±√(k-1/2)で極小x=0で極大となり
f(x)=0に2実数解がある⇔f(±√(k-1/2))=-(k-1/2)^2+k^2-r^2=k-1/4-r^2=0またはf(0)=k^2-r^2<0⇔k=r^2+1/4, k<-r, k>r
以上より
r>1/2の場合は-r<k≦1/2, r<k
r=1/2の場合は-1/2<k
0<r<1/2の場合は-r<k<r, k=r^2+1/4, 1/2<k

>>247

>>246
円の下の方で2ヵ所と交わるか、放物線が円を包み二点で接するという感じはわかりました。下の方で二カ所と交わればy座標が等しいのでkより小さい二重解をもつ、と思ったのですが、kより小さい解とkより大きい解を１つずつもつ というのがわかりません

>>248

yの2解はkより大きいものと小さいものを１つずつもつ、またはkより小さい二重解をもつ、と書いてあります

>>252
>k<-r, k>r
>以上より
>r>1/2の場合は-r<k≦1/2, r<k
>r=1/2の場合は-1/2<k
>0<r<1/2の場合は-r<k<r, k=r^2+1/4, 1/2<k
-r<k<r
以上より
r>1/2の場合は-r<k<r, k=r^2+1/4
r=1/2の場合は-1/2<k≦1/2
0<r<1/2の場合は-r<k<r

>>255
>r=1/2の場合は-1/2<k≦1/2
>0<r<1/2の場合は-r<k<r
0<r≦1/2の場合は-r<k<r

>>252

>>246
＞ 1/2-k≧0のときf'(x)=0となるのはx=0のときのみで y=f(x)のグラフの形状は下に凸となるのがわかりません
1/2-k<0のときを考え1/2-k>0は考えないで良いのでしょうか？

f(x)=0に2実数解があるというのはx軸に接するということだと思いまして、f(0)が<0ならば極大値をこえるために二点で交わるということでしょうか？

お願いいたします

>>257
x<0でf'(x)<0, x>0でf'(x)>0となるからです

1/2-k>0は下で考えています

f(0)<0の考察はその通りです

>>258

ありがとうございました
解答に「x~2=k-y かつy~2-y+k-r~2=0の実数解が二組」⇔y~2-y+k-r~2=0 がkより小さい解とkより大きい解を１つずつもつ またはkより小さい二重解をもつ

となっているのですが、これは何をあらわしているのでしょうか？

どなたか>>249お願い出来ないでしょうか？m(__)m

>>259
>これは何をあらわしているのでしょうか？

>>252
>x^2=-y+kと置き換えた場合-y+k<=>0における交点個数の吟味が必要です
と書きましたような交点数の吟味を行っています
-y+k<0の場合x^2=-y+kを満たす実数xは存在しません
-y+k=0の場合x^2=-y+kを満たす実数xはx=0の1つです
-y+k>0の場合x^2=-y+kを満たす実数xは2つ存在します
yの2次方程式の解のそれぞれについて上記の考察を元に交点個数を吟味します

>>261
-y+k<0の場合及び-y+k=0の場合には共有点をもたないために不適であるから -y+k>0のとき時に実数解が2つ存在する
ということはわかりました

ここからkより小さい解とkより大きい解を１つずつもつ または kより小さい二重解をもつ
ということにどうしてもつながりません

(2)d/dx{(e^x)f(x)} = {e^(x)}'f(x) + e^(x)f'(x)
= e^(x){f(x)+f'(x)}

(3)部分積分
(4)(3)より
(5)(1)ｰ(4)

>>262
>-y+k<0の場合及び-y+k=0の場合には共有点をもたないために不適であるから
-y+k<0の場合はxは存在しませんが-y+k=0の場合は存在します
個数を数え上げることが大切です

>>264

-y+k=0の場合に重解ですよね？kより大きい・小さいはどのようにわかるのでしょうか。x=±√k-yであればkより大きいか小さいかがわからないと思うのですが…申し訳ありませんがお願いいたします

x^2 = k-y > 0 ⇔ x：実数解 ２個
x^2 = k-y = 0 ⇔ x：実数解 １個（x=0：重解）
x^2 = k-y < 0 ⇔ x：実数解 ０個

x の個数を2個にしたいから
「k-y1 > 0 かつ k-y2 < 0」 または 「「k-y1 > ０ かつ k-y2 > 0 かつ y1=y2」
すなわち
「y1<k, y2>k」または「y1=y2<k」

>>266
「k-y1> 0 かつ k-y2 > 0」ではダメなのでしょうか？ また 「k-y1 > ０ かつ k-y2 > 0 かつ y1=y2」この扱いがわかりませんでした 申し訳ありません

「k-y1> 0 かつ k-y2 > 0」(y1 ≠y2）
だと, k-y1 ≠ k-y2 だから
　x = ±√(k-y1), ±√(k-y2)
の四個の解になる

したがって y1 = y2（重解）の条件が必要

やっと理解できました
本当に本当にありがとうございました

yokohamaの8文字を一列に並べるとき
(１)oとaが必ず偶数番号にあるものは何通りあるか。
(２)y,k,h,mがこの順にあるものは何通りか。

という問題です。
全く、どうしていいのか分かりません。
明日、テストなんで、だれか教えてください。
よろしくお願いしますorz

>>270
マルチすんな

>>270
数学板行け。もう答えた奴いるから。

赤チャートの例題15なんですが解説見てもわからないので質問します。
問題
次の式を因数分解せよ。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
答 最初の行だけ
(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
なぜ(b+c)がこんなにたくさんでてきたのかわかりません
対称式をどういうふうに使っているんでしょうか？

>>273
対称を崩して、aについて降べきの順に整理しているだけ。

対称性を維持して処理するなら、X=a+b+cとすると
与式=(X-c)(X-a)(X-b) +abc
これを展開してみるといい。X^3=X^2(a+b+c)であることに注意。

>>218

おまえさ、　
「lny=lnA」から「y=A」を導いてるが、
これ、
証明すべき結論を使ってるだろ？
　　　　　　

>>275
そんな堅くならなくても・・・・
別に証明するわけじゃないんだし、定義を忘れてどうしてもわからない、って人のための説明だと思えばそれでいいじゃない

>>274
カッコが足りないか。X^3=(X^2)*(a+b+c)ね。混乱させちゃったらスマソ>>273

>>276
そおそおｗ
そんなんちゃんと証明する問題なんか出ないだろうから形式的に説明して納得出来ればいい
加法定理を回転行列使って説明すんのと粗同じ(こっちはちゃんと証明出来なきゃマズいがｗ)
まぁ納得出来るだけで証明には程遠いけど・・・

>>275
やり方はﾍﾞｽﾄとは言えないが、別に結論を使ってる訳ではない。
>>276
定義を忘れるのは致命的だろ。

対数関数は指数関数の逆関数で定義したから
y＝e^x ⇔ x＝log y より
y＝e^（log y） となるだけの事。

>>276>>279
すまん。定義を使っているな。　　

しかし、定義からこれを導くくらいなら直接結論を導いたほうが早いよな。　

定義を使ってる、というのがいまいちよく分からないな。調べようとしてる式が定義そのものだからなあ。

>>281
lny=lnA
⇒　lny=lnA　かつ　y=e^x⇔x=logy　
⇒ lny=lnA　かつ　y=e^logy⇔logy=logy かつ A=e^logy⇔lny=lnA
⇒　y=e^logy　かつ　A=e^logy
⇒　y=A

という具合に、lny=lnA⇒y=Aを示すのに定義p=e^q⇔q=logpを使ってる、という意味。　　　

>>282
なるほど、全く分からない。

>>283
三行目第二項は二行目第二項のｘにlogyを、　
三行目第三項は二行目第二項のｙにA、ｘにlogyを代入したもの。　　　　
　
表記がごっちゃになってるが。　

>>284
何をしてるのかよく分からなくてね、悪いね。
単調性からlogx=logy⇔x=y(0<x, 0<y)は疑いようもないし、
指数関数は0より大きいことからe^logx=xとlog(e^logx)=logxは同値であるし。

>>285
それはそうだが、そもそもが定義に沿った変形によって示せという注文だろ？
つまり定義のみによって、関数の性質は使わずに示す話だと。
だから>>218のやり方をこのように解釈した次第。　

>>277
わかりました！ありがとうございます

>>286
なんかよく分からんが分かった。

>>279 の y=e^x⇔x=logy を曲解してる悪寒。

y=e^x ⇒ x=logy だから、y=e^x の x に logy を代入したら
y＝e^（log y） となると言う意味。

y=e^x⇔x=logy でほぼ証明は終わってるということ。

>>273
>(a+b)(b+c)(c+a)+abc
3次の対称式なので(a+b+c)^3, (a+b+c)(ab+bc+ca), abcの1次結合で表せます
a^3はないので(a+b+c)^3は現れずa^2bの係数は1でabcの係数は3なので
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
です

学校配布の問題集で
n^2が5の倍数ならば、nは5の倍数である。
ということを証明するのに解答では対偶のnが5の倍数でないならn^2が5の倍数でないというのを
nを5k+1,5k+2・・・とおいていって4通りに証明をしなければならないのですが合同式を使ってよいのなら

対偶をとって合同式は全てmod5とする。
n≡1のとき　n^2≡1
n≡2のとき　n^2≡4
n≡3のとき　n^2≡4
n≡4のとき　n^2≡1
よって対偶を示し、元の命題も真である。

としたら合っているでしょうか？

早商2005年度の
１から１０００００までの全ての整数を十進法で順に書いていくと数字７を全部で何回書くことになるか
という問題の赤本の解答が、10^4*5の50000通りなんですけど、間違ってませんか？
例えば７７７７７とか、かぶってカウントしてると思うんですけど……

>>292
0でも100000でも7は書かない。また0と言う数字は7ではないから、問題は
「00000から99999まで各桁の数を必ず書くようにして、7が何回書かれるか」
と考えていい。
1の位に7を書くのは全体の数字の個数10万の1/10。したがって1の位に
7を1万回書く。10の位も100の位も同じ。だから1万*5桁分=5万回。

元の解答で問題なし。

「7を書く数字がいくつあるか」ではないことに注意されたし。

>>293
＞ 「7を書く数字がいくつあるか」ではないことに注意されたし。
すいません、
7を書く数字がいくつあるか？と7が何回書かれるか？の違いが理解できないです。

例えば0〜100までで7のつく数字は19個しかないですよね。しかしその方法でいくとまた赤本の方法でも20個になる。
どうして77をダブルカウントしていいのでしょうか？

77をダブルカウント、で題意と合ってる。777ならトリプルカウント。
全部書き出したときに７を何回書くのかという問題。

>>293 「7を書く"数"がいくつあるか」ではない の方が適切な表現だった。

指摘の通り、0〜99までの間で「7のつく数（あるいは、最低1回7という数"字"を
書く必要がある数」は指摘どおり19個。

しかし、77を書くためには、7という数”字”は2回書く必要があるのだ。当然ながら。

>>295>>296
ああ〜なるほど。そういう事ですか。丁寧にありがとうございます。

いや、俺バカですねｗ

>>291
その2つの解法は本質的に全く同じもの。

>>298
それはそうなんですが記述的にああいう書き方でいいんですかね？
合同式を使ったことがあまりないので書き方に不安があって質問させてもらったんですが・・・

>>299
問題なし。「以下の合同式は全て法を5とする」とか「n≡1→n^2≡1(mod 5)」とか。

>>300
ありがとうございます。
テストに出たら使ってみます。

学校の先生が使っていいと言ってるかどうかが心配なんだが…

http://www3.uploda.org/uporg1817282.gif

すいませんがまったく解法が思い浮かばないので最初からお願いします。
n=3の場合などで実験すると比較的簡単に出るそうですが良くわかりません。
�TA�UBの範囲でお願いします。

a＞b＞0、c＞d＞0のとき
ac+bd＞ad+bc
最後は展開すればいいかと

>>302
教えてもらってすらないんですが・・・
まあおもしろそうなんで一回使ってみて反応見てみますｗ

サイコロを投げる試行を繰り返し、4以上の目が出るか、または投げた回数が5回に達したらそこで試行を中止することにする。3回目で終了し1の目が出ている確率を求めよ

という問題で、解答が｛(3~2-2~2)*5+3~2｝/6~3
なのですが、分子にある*5と+3~2いうのは何をあらわしているのでしょうか？

303ですが
解答には0が入ることもあり、解答は
(34) 6 (35) 3 (36) 2 (37) 0 (38) 6 (39) 2 (40) 3
(41) 1 (42) 3 (43) 0 (44) - (45) 1 (46) 0

だそうです。

307ですが
式で書いたほうがよいでしょうか？
それなら式で書きます。
よろしくお願いします。

>>306
*5なの？ｗ
*3だと思ったが・・・
条件付き確率は面倒だなｗ

>>303
シュヴァルツの不等式を使うと
(Σkx_k)^2≦(Σk^2)(Σx_k^2)=(Σk^2)^2
Σkx_k≦Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6
となるがx_k=kのとき等号成立しこれが最大値
x_k+y_k=n+1と置くと(y_1, y_2, …, y_n)も(1, 2, …, n)の順列
Σkx_k+Σky_k=Σk(x_k+y_k)=Σk(n+1)=n(n+1)^2/2
Σky_kが最大値の時Σkx_kは最小値なので
最小値はn(n+1)^2/2-n(n+1)(2n+1)/6
Σ(x_k-k)^2=Σx_k^2-2Σkx_k+Σk^2=2Σk^2-2Σkx_kの最大値はn(n+1)(2n+1)/3-n(n+1)^2+n(n+1)(2n+1)/3

>>306
>3回目で終了し1の目が出ている
1の目が出ているというのは1回目もしくは2回目が1の目であるということですね？また3回目で終了したとき1の目が出ている確率ではなくて3回目で終了しかつ1の目が出ている確率ですね？
3回目で終了し1の目が出ているのは
3回目で終了する確率から
3回目で終了し1の目が出ない確率を引いて
1/2・1/2・1/2-1/3・1/3・1/2=5/72ではないでしょうか

>>289
曲解ってなにが？　

数研出発の体系数件４、５、６の教科書を27日で正確に叩き込みたい
１日12時間使える
無茶だろうか

>>312
曲解の意味が分かってないで使ってるだけだろうから気にしないでいいよ。

>>314
気になるな。教えてくれよ。　

>>315
いや俺もよく分からない

>>306
「3回目で試行が終わる」
= {1,2,3}*{1,2,3}*{4,5,6}
= 27 通り

(3^2-2^2)*5+3^2
= 34 通り > 27

ありえない

>>307は
(x[k]-x)^2=x[k]^2-k*x[k]+k^2の両辺をそれぞれ辺ごと1からnまで足すと
�婆*x[k]が��(x[k]-k)^2の減少関数と分かるから、最大となるのは容易にx[k]-k=0のときと分かるのだが、
これだと最小はよく分からない。

>>316
曲解してないつもりなんだが、おかしかった？　　　
　

>>319
いやおかしくないよ。君はおかしくないよ。

>>320
？
>>286宛じゃないのか？　

>>321
ん？んあ？

>>322
いやだから、>>286が曲解してるといってるわけだろ？

n=5 と解釈して問題を解いていました
正確には
サイコロを投げるという試行を繰り返して4以上の目が出るか、または投げた回数がnに達したらそこで試行を中止することにする。試行が中止されるまでに出た目の中で最小の目が1となる確率をnを用いて表せ。

3回めで終わる確率が｛(3~2-2~2)/6~2｝*3/6 で
4回め…と同様に表し、n回めが｛(3~(n-1)-2~(n-1)*5+3~(n-1)｝/6~n
となっています

この分子の*5と3~n-1 は何を意味するかわからずにききました

よろしくお願いいたします

解答は2回め〜n回めまで足しあわせ、1/4*｛1-(1/3~n)｝となっています

>>324
n>kとしk回で終了し1の目が出ている確率は
k回で終了する確率から
k回で終了し1の目が出ていない確率を引いて
(1/2)^k-(1/3)^(k-1)・1/2
n回で終了し1の目が出ている確率は
n回で終了する確率から
n回で終了し1の目が出ていない確率を引いて
(1/2)^(n-1)-(1/3)^(n-1)・5/6

関数の解の配置の問題で、例えば二つの異なる正の解を持つ条件は
�@D>0,f(0)>0,軸>0
�AD>0,α+β>0,αβ>0
の二通りの出し方があると思うんですが、これはどう使い分ければいいのでしょうか？
�Aの方が万能な気がするのですがどうでしょう

失礼します、これらは多分加法定理を使った証明問題だと思うので、質問させてください。
1)「各相電圧の瞬時値：Va,Vb,Vcは実効電圧をE[V]とすると
va=√(2)・E・sin(ωt)・・・(1)
vb=√(2)・E・sin(ωt-2π/3)・・・(2)
vc=√(2)・E・sin(ωt-4π3)・・・(3)
2)各線管電圧の瞬時値：Va,Vb,Vc,は下記の如く示されることを実証せよ。
Va=va-vb=√(3)（√(2)・E）sin(ωt＋π/6)・・・(4)
Vb=vb-vc=√(3)（√(2)・E）sin(ωt−π/2)・・・(5)
Vc=vc-va=√(3)（√(2)・E）sin(ωt＋5π/6)・・・(6)
で、解答欄が
�@Va=va-vb=
�AVb=vb-vc=
�BVc=vc-va=
となってました。
�@なんかは、sin(α−β)＝（略）の公式が使えると思うんですが、sin(ωt)はどうやって
数字にすればいいんでしょうか？
長文失礼しました。

あっと、書き忘れていたんですが、できれば解き方を教えてくれませんか？
ちょっとしたヒントでも良いので・・・

>>327
積⇔和 の公式

va-vb
=√(2)・E・sin(ωt)-√(2)・E・sin(ωt-2π/3)
= (√2)E･sin(ωt)-sin(ωt-2π/3)}
= (√2)E･2cos{(1/2){(ωt)+(ωt-2π/3)}}sin{(1/2){(ωt)-(ωt-2π/3)}}
= (√2)E･2cos(ωt-π/3)sin(π/3)
= (√2)E･(√3)cos(ωt-π/3)
= (√2)E･(√3)sin(ωt+π/6)

α = ωt, β = ωt-2π/3 として和積

>>330
おお〜！！
ありがとうございます！！
何だか、3日も悩んでいたのが馬鹿らしくなってきます（泣笑）
(√2)E･sin(ωt)-sin(ωt-2π/3)}は
(√2)E･sin(ωt)-{sin(ωt-2π/3)}
でいいんでしょうか？できれば、他の2問も教えてくれませんか？

(２ｎ−１){２(ｎ^2−２ｎ＋２)＋２ｎ^2}／２＝２(２ｎ−１)(ｎ^2−ｎ＋１)
これは等差数列の和の公式に代入した計算式なのですが、途中の式が分からないので答えにたどり着けません
誰か途中の式を教えて下さい

お願いします

try yourself

(√2)E･sin(ωt)-sin(ωt-2π/3)}は
(√2)E･{sin(ωt)-sin(ωt-2π/3)}は
でいいんんですか？

というか、和積の公式って何ですか？
初めて耳にしました。

誰か頭の良い人>>332をお願いします

>>335 YES
>>336 それなりに使うよ。

>>338
そうなんですか？

2と3を教えてくれませんか？
ずっと参考書を見ながら考えていたんですが、やっぱりちょっと解き方が分からないので
本当にすいません

>>332 あほかいな、と言うくらい単純だぞ。
(2n-1){2*(n^2-2n+2) +2*n^2} /2
=(2n-1){(n^2-2n+2) +n^2} ←中カッコの中をそれぞれ2で割った。
=(2n-1){2n^2-2n+2} ←小カッコを展開
=2(2n-1){n^2-n+1}　←中カッコの中から共通因数2をくくりだした。

全部 sin - sin で、>>330 の角度をおきかるだけで同じになります。

え？どういうことですか？
数字を変えるだけで答えになるって事ですか？
ってことは2はえ〜っと、・・・どうなるんですか？

>>342 YES, but try it yourself

どれをどう変えたら委員ですか？

vaはωtだけですが、vbでは−2π/3もついてるし・・・


お願いします〜・・・

これだけ回答貰ってるんだから、
自分の手を動かそうや。
ﾈﾀかと思えてくる。

和積を知らなかったら、ただただ加法定理で計算して、最後に sin に合成（加法定理の逆）をする。
とにかく TRY IT

いえ、ちゃんと手も頭も使っているんですが、解けないんです・・・
ネタでは無いので、信じてください

sinに合成ってどうやるんですか？

参考書で三角関数の復習したいんだけど
例えばチャート式数学2の三角関数だけを復習すると数学1の三角関数で穴が出る？

どういう風に数字を入れ替えればいいんでしょうか？

何回も何回もすいません。

>>349
数I は三角「比」で、図形的な側面が主。これは数IIでは表だって
出てこないから、IIの範囲だけだと穴はあく。たとえば三角形の
形状決定とか。

ただ、基本的な定義や計算周りを数IIで先に済ませてから
数Iに戻って図形的応用を埋める、というコースはあっていいと思う。
加法定理を済ませてから数I・Aに戻れば、取れる解法の幅は
より広くなるし。

ずっと考えているんですけど、全然分かりません・・・

助けてください、お願いします！

2はvb-vc
=√(2)・E・sin(ωt-2π/3)-√(2)・E・sin(ωt-4π/3)
= (√2)E･sin{(ωt-2π/3)-sin(ωt-4π/3)}
のあとにどういう公式をどう使えばいいのでしょうか？

うぜー>>353
どういう「公式を使うか」というのがそもそもダメだあよ。
対称性や規則性を「見つけろ」。

δ=ωt-(2π/3) といったんおいて vb-vcをδを使って書き直してみた上で、
va-vbの式と見比べてみれ。δを使って変形できたら最後にδをおき戻せ。

また、sin（ωt）=sin(ωt-2π)=sin（ωt-6π/3) であることを考えれば
vc-vaも同様に処理できる。

座標空間に４点A(1,1,0),B(1,3,1),C(2,1,1),D(-1,1,7)がある。さらに、3点A,B,Cを含む平面をHとし、Dを通り直線ABに平行な直線をLとする。

(1)直線AB上の点Eは、ベクトルAB･ベクトルEC=0を満たす。このとき、Eの座標を求めよ。

(2)点Dから平面Hに引いた垂線と平面Hの交点をFとする。ベクトルAF=sベクトルAB+tベクトルACを満たす実数s,tの値を求めよ。

(3)動点PはL上を動き、動点Qは三角形ABCの周上を動く。線分PQの長さが最小となるとき、P,Qの座標を求めよ。


お願いします

√(2)・E・[sin(ωt)*3/2 + cos(ωt)*√(3)/2]はなんで
√(2)・E・[√(3)・sin(ωt+π/6]になるんですか？
cos(ωt)や3/2や√(3)/2はどうやって消したんですか？

2が(√2)・E・[-cos(ωt)×(√3)/2＋cos(ωt)×(√3)/2]になったんですけど、
ここからどう計算すればいいんでしょうか？
もし計算間違いだったら、正しい式を教えてくれませんか？

教科書にある公式ぐらい全部試してみてから質問してください

[-cos(ωt)×(√3)/2＋cos(ωt)×(√3)/2]
この計算は結果的に0になるんでしょうか？

何が正しくて誤りか自分でつみあげてこないと、いくらやっても
「あってますか？」
「あってますか？」
って一生聞きまくリングだぞ

デモ分からないんです・・・

計算が間違ってるんでしょうか？

これだけ説明して本当に分からないのなら、そのまま分からなくていいと思うぞ。

いや、説明してもうたんのは�@だけで、�Aはヒントを元に自分で考えたものですから

喧嘩うるのだけは上手なんだよなあ

>>355
(3)に関してはFを通りABに平行な直線上にPから下ろした垂線の足Gを取るとGQが最小となるGおよびQを考えるとそれに対するPが求めるものであるとわかる
計算してはいないが△ABCにおいてQはCであろう

�Bは解けたんですが、�Aだけがどうしても解けないんです。

(1)と(2)は条件を式で表すだけです

http://xtp0001.s3.x-beat.com/cgi-bin/up/source/Sonata_26347.jpg

なぜ立体Dは�Bのように表されるのでしょうか？
よろしくお願いします。

Kとその内部がx^2+y^2≦zで表せるのはOK?
それとz≦yの共有部分だから

>>369
>Kとその内部がx^2+y^2≦zで表せるのはOK?
そこがいまいちスパッとと分からないんです・・・

x、yをそれぞれ固定して、その一点から垂直にzが存在していて、その最大値がyになる。
次にx、yの固定を外すと立体Dになる・・・
ということだとぼんやりとは分かるのですが、直感的にとらえきれないんです・・・

yz平面での断面からイメージしてみ

行列A=(abbc)の表す点の移動をfとし、fによる点Pの像をf(P)とする。平面上の任意の点Pに対して、原点Oとf(P)の距離がOとPの距離の5倍になっている。ただし、a,b,cは実数であり、b≠0とする。
(1)a^2+b^2とa+cの値をそれぞれ求めよ。
(2)円x^2+y^2=1を動く点Pに対して、点Q,RをQ=f(P),R=f(Q)で定める。3点P,Q,Rが三角形を作るようなPに対して、三角形PQRの面積の最大値を求めよ。
※行列A=(abbc)は(左上,右上,左下,右下)です

お願いします

Ａ＝999…99（81桁すべて9 ）とする。Ａの2乗の数字の和を求めよ。

お願いします。

整式P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x-5で、x+2で割ったときの余り

が-4であるP(x)を(x-1)~2(x+2)で割ったときの余りを求める問題で、

余りが二次式になるのはわかるんですが、二次式は二次式でもなぜa(x-1)^2+4X-5を置いたり

ax^2+bx+cをa(x-1)^2+b'x+c'と変形したものを置いたり

a(x-1)^2+(2a+b)x+(-a+c)と変形したものを置いたりするのでしょうか

>>373
A(n)=10^n-1 とする。
(A(n))^2 = 10^（2n) - 2*10^n +1
--ここで実験
n=1のとき 100-20+1=81
n=2のとき 10000-200+1=9801
n=3のとき 1000000-2000+1=998001
--
10＾（2n) -2*10^n = 10＾ｎ*（10＾ｎ-2）=9…980…0
全体で2ｎ桁、0がｎ桁あるはずだから9の桁数はｎ-1桁、8が1桁。
(10＾ｎ-1）^2 はこれに1を足したもの。

では（A(81)）^2はどう表されるか。

>>366
おはようございます
お願いします
あと�Aだけなんですが、どうしても解けないんです。
(√2)・E・[-cos(ωt)×(√3)/2＋cos(ωt)×(√3)/2]まで計算したんですけど、ここからの進め方が分かりません。
もしかして、計算間違いをしたのでしょうか？

加法定理でしこしこ

vb-vc
= √(2)・E・sin(ωt-2π/3) - √(2)・E・sin(ωt-4π/3)
= (√2)E{sin(ωt-2π/3) - sin(ωt-4π/3)}
= (√2)E{{sin(ωt)･(-1/2)-cos(ωt)･(√3/2)} - {sin(ωt)･(-1/2)-cos(ωt)･(-√3/2)}}
= (√3)(√2)E{-cos(ωt)}
= (√3)(√2)E･sin(ωt-π/2)

>>372
|f((1 0))| = |(a b)| = 5
|f((0 1))| = |(b c)| = 5
|f(s(1 0)+t(0 1))|^2 = s^2|(a b)|^2 + 2st(a b)･(b c) + t^2|(b c)|^2 = 25(s^2+t^2)

>>377
ありがとうございます！！！
他の皆さんも、手助けしていただいて本当にありがとうございました

>>373
二乗の数字の和とは各桁の和？例えば
9^2=81→9
99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801→9*2
999^2=(1000-1)^2=1000000-2000+1=998000+1→9*3
1のあとに0がn-1個続く数は10^nである。
((10^n)-1)^2=10^2n-2*10^n+1=99……99800……00+1→9*n
(99……99800……00はn-1個の9とn個の0が8を挟んだ数)

n=81のときは9*81=729

>>374
たとえばx=2をx^2-2x+1に代入するのと(x-2)^2+2(x-2)-1に代入するのとでは後者の方が都合がよい。

２００８年センター数学２Ｂの第１問の最後の
f(x)の正の周期のうち最小のものってどういうことですか？

>>382 たとえばy=sin（ｘ）は最小周期2πだけど、4πや6πが周期ともいえる。
それ以上小さくできない周期として何が考えられるかと言うこと。

>>381
あれは問題がよくなかった．
周期の定義には広義と狭義があって，正で最小のものは後者(基本周期)．
高校では周期という場合は通常後者を指す．
入試問題では周囲の定義を問題文に入れるのがデフォルトだと思う．

周期の使い方で基本周期のことを周期と呼ぶ人たちもいるから、
誤解を生まないように敢えて「周期のうちで最小のもの」と明確にしてる。何も問題はない。

０＜Ｘ１＜１、０＜Ｘ２＜２、・・・・、０＜Ｘｎ＜ｎのとき、
Ｘ１・Ｘ２・Ｘ３・・・・・Ｘｎ＋Ｃｎ≧ｎ！（Ｘ１/１＋Ｘ２/２＋・・・・Ｘｎ/ｎ）
が成り立つ定数Ｃｎの最小値を求めよ。ただしｎ＝１、２、３、・・・

>>385
だから現場で混乱が生まれたんだよ。
分かってないね。
後、｢正で｣最小のものだね。

>>386
y_k=x_k/kとすると0<y_k<1, y_1…y_n+c_n/n!≧y_1+…+y_n
c_n/n!≧y_1+…+y_n-y_1…y_n
y_1+…+y_n-y_1…y_n
=y_n(1-y_1…y_{n-1})+y_1+…+y_{n-1}
=1-(1-y_n)(1-y_1…y_{n-1})+y_1+…+y_{n-1}-y_1…y_{n-1}
=2-(1-y_n)(1-y_1…y_{n-1})-(1-y_{n-1})(1-y_1…y_{n-2})+y_1+…+y_{n-2}-y_1…y_{n-2}
……
=n-1-(1-y_n)(1-y_1…y_{n-1})-…-(1-y_2)(1-y_1)+y_1-y_1
<n-1
うまくy_1, …, y_nを選ぶといくらでもn-1に近い値にできるのでc_n/n!≧n-1よりc_nの最小値は(n-1)n!

>>388
>うまくy_1, …, y_nを選ぶといくらでもn-1に近い値にできるのでc_n/n!≧n-1よりc_nの最小値は(n-1)n!
c_n/n!≧n-1-(1-y_n)(1-y_1…y_{n-1})-…-(1-y_2)(1-y_1)であり右辺はy_1, …, y_nの連続関数であるから
c_n/n!≧lim[y_k→1]{n-1-(1-y_n)(1-y_1…y_{n-1})-…-(1-y_2)(1-y_1)}=n-1でなくてはならない
c_n/n!≧n-1は必要かつ十分な条件であるからc_nの最小値は(n-1)n!

>>387
ああそうだ、正で最小のものだ。だからこそ混乱が生まれないと思うけど何かあったの？

m,nを自然数とする。
(1)次の極限値を求めよ
a[n]=lim【t→0】sin(nt)/sint、b[n]=lim【t→π】sin(nt)/sint
(2)関数h[n](x)(0≦x≦2π)をh[n](x)=
・sin(nx)/sinx (x≠0,π,2π)
・a[n] (x=0,2π)
・b[n] (x=π) で定義する。
また関数f[n](x)=1/2∫【0→x】h[n](t)dt とする。
n≧3のとき、f[n](x)={sin(n-1)x/(n-1)}+f[n-2](x)を示せ。
(3)nが奇数のとき、f[n](x)を求めよ。
(4)nが奇数のとき、J[m,n]=(1/π)∫【0→2π】{f[n](t)-t/2}sin(mt)dt を求めよ。

(2)から混乱して解けないです…
宜しければどなたか教えて頂けないでしょうか？
お手数でなければ(3)以降もよろしくお願いいたしますm(__)m

>>391
(2)
x=0, π, 2πにおける値は連続性を与えるためのものですので
f'[n](x)=1/2∫[0, x]sin(nt)/sin t dt
として考えて構いません
f[n](x)
=1/2∫[0, x](sin((n-1)t+t)/sin t dt
=1/2∫[0, x](sin(n-1)tcos t/sin t+cos(n-1)t)dt
=1/2[sin(n-1)t/(n-1)][0, x]+1/2∫[0, x]sin(n-1)tcos t/sin t dt
=1/2sin(n-1)x/(n-1)+1/2∫[0, x]sin(n-1)tcos t/sin t dt
f[n-2](x)
=1/2∫[0, x](sin((n-1)t-t)/sin t dt
=1/2∫[0, x](sin(n-1)tcos t/sin t-cos(n-1)t)dt
=-1/2[sin(n-1)t/(n-1)][0, x]+1/2∫[0, x]sin(n-1)tcos t/sin t dt
=-1/2sin(n-1)x/(n-1)+1/2∫[0, x]sin(n-1)tcos t/sin t dt
f[n](x)-f[n-2](x)=sin(n-1)x/(n-1)

(3)
f[1](x)=x/2より
f[n](x)=x/2+sin2x/2+sin4x/4+…+sin(n-1)x/(n-1)

(4)
J[m, n]=1/π{∫[0, 2π]sin2tsin(mt)/2dt+∫[0, 2π]sin4tsin(mt)/4dt+…+∫[0, 2π]sin(n-1)tsin(mt)/(n-1)dt}
ここで∫[0, 2π]sin(nt)sin(mt)dt=0 (n≠m), π (n=m)を使うと
J[m, n]=0 (m≠2, 4, …, n-1), 1 (m=2, 4, …, n-1)

>>392
ご丁寧にありがとうございます!!
大変分かりやすいご説明、非常に助かりました＞＜

>ん？んあ？
じゃねーよ低脳

>>392
>J[m, n]=0 (m≠2, 4, …, n-1), 1 (m=2, 4, …, n-1)
J[m, n]=0 (m≠2, 4, …, n-1), 1/m (m=2, 4, …, n-1)

>>392
意味分からない御託ばかり並べてんじゃねえぞ

x^3＋（5a＋2）x^2＋（10a＋1）x＋2
を因数分解するときにどういう発想をすればいいですか？

x^6+1　の因数分解なのですが、青チャートの解答では
(x^2+1)(x^4-x^2+1)とあるのですが、x^4-x^2の部分がまだ因数分解出来るので、正解は
(x^2+1){(x^2+x)(x^2-x)+1}ではないんでしょうか？
お願い致します。

a が相殺されるような x の値を考える

A=x^4+(a^2-a-1)x^2+(-a^2+b)x+b^3
B=x^2-x-a
AをBで割った商をQ,余りをRとすると
Q=x^2+x+a^□
R=(a+b)x+a^□+b^□
穴埋め問題なのですが式の割り算が苦手なものでさっぱりわかりません；

もう1個すいません。

aを定数とし、xの2次関数
y=x^2-2(a+2)x+a^2-a+1のグラフをGとする。
Gとy軸の交点のy座標をYとし、Yの値が最小になるのは
a=□/□の時で、最小値は□/□である。

後にも続いていますがここまでわかれば後は解の公式から解く問題だったのでわかると思うのですが･･･
勉強しないとまずいorz

>>400
普通に割れ

>>401
y軸って要するにx=0じゃん

>>397
次数の一番小さなaの多項式にしてみる方針もあります

>>398
x^4-x^2+1=x^4+2x^x+1-3x^2=(x^2+1)^2-(√3x)^2=(x^2+√3x+1)(x^2-√3x+1)

d/dx×dy/dx=d^2y/dx^2

これどうして成り立つんですか？

>>405
定義

>>404
レスありがとうございます。
＞x^4+2x^x

x^xがよくわからないのですが、タイプミスですか？

>>407
そうです

http://xtp0001.s3.x-beat.com/cgi-bin/up/source/Sonata_26369.jpg

赤の下線を引いた部分なのですが、なぜこのようにおけるのでしょうか？
与えられた関数f(x)のxには、1より大きい数、-1より小さい数を代入しても良いと思うのですが・・・

>>405
計算も出来なくなったのか？ｗｗ

Oを原点とする座標平面上の曲線y=x^2上の2点A,Bに対し、↑OA・↑OB=t とおく。
t=2のとき↑OP=↑OA+↑OB となる点Pの軌跡を求め、図示せよ。

という問題で、略解には、
A(a,a^2),B(b,b^2)とおき、ab=1,ab-2 と導き、
ab=-2のとき、y=x^2+4
ab=1のとき、y=x^2-2(x≦2,2≦x)
と書いてあったのですが、二番目のx≦2,2≦x がよくわかりません。
自分の出した解答ではx≦√2,√2≦x になったのですが…。

>>409
-1＜x＜1 なる解がn個あるんで，それらが全ての解となる．
(n次方程式は重複も含めて丁度n個の解を持つ)

訂正

× n
○ n-1

自己解決しました。

>>412
ありがとうございます。

最初はxは1より大きい数、-1より小さい数が解になる可能性もあるんですよね？
ただ、とりあえずx = cosθ と置換して（もちろん(1)のヒントによって）、解いたら解が n - 1 個でてきた。
f(x)は n - 1 次なので、とりあえず出した解が、なんとすべての解だった、ということでしょうか？

a＞0に対しI[0](a)=∫【0→a】√(1+x)dx,I[n](a)=∫【0→a】(x^n)√(1+x)dx (n=1,2…)とおく。
(1)lim【a→∞】a^(-3/2)I[0](a)を求めよ。
(2)漸化式I[n](a)={2/(3+2n)}a^n(1+a)^(3/2)-{2n/(3+2n)}I[n-1](a)を示せ｡
(3)自然数nに対しlim【a→∞】a^{-(3/2)+n)}I[n](a)を求めよ。

(2)の途中から混乱して解けなくなりましたorz
どなたかお手数でなければ(3)まで教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

X^2/√(X^2＋A)の積分お願い

>>415
そういうことだね。
チェビチェフの多項式は結構有名。

>>417

X^2/√(X^2＋A)＝｛√(X^2＋A)｝’・X

ｎを自然数として、テイ積分∫（ｎ−１）π→ｎπ　(e＾-x)｜sinｘ｜ｄｘ
を求めよ。お願いします！

>>419

１．∫（ｎ−１）π→ｎπ　(e＾-x)｜sinｘ｜ｄｘ ＝｜∫（ｎ−１）π→ｎπ　(e＾-x) sinｘ ｄｘ ｜
２．積分区間が 0→π となるように置換
３．部分積分で不定積分 ∫(e＾-x) sinｘ ｄｘ を求める

１．２．３．は順不同。

>>416

どこまでできたか書いて貰わないと全部計算するのは面倒くさい。
こういうのは部分積分が定番。
多分

(1+x)^(3/2)＝x√(1+x)＋√(1+x)

がキモ。

>>416
∫[0, a]x^n√(1+x)dx
=∫[0, a]x^n(1+x)/√(1+x)dx
=∫[0, a]x^n(1+x)(2√(1+x))'dx
=[x^n(1+x)2√(1+x)][0, a]-∫[0, a](nx^(n-1)+(n+1)x^n)2√(1+x)dx
(2n+3)∫[0, a]x^n√(1+x)dx=2a^n(1+a)^(3/2)-2n∫[0, a]x^(n-1)√(1+x)dx

>a^{-(3/2)+n)}I[n](a)
a^(-(n+3/2))In](a)ですね？
a^(-(n+3/2))In](a)=2/(2n+3)(1+1/a)^(3/2)-2n/(2n+3)a^(-(n-1+3/2))I[n-1](a)/a→2/(2n+3)(1+0)^(3/2)-0=2/(2n+3)

せっかく丸投げ厨に考えさそうとしたのになぁ。

>>422
a^(-(n-1+3/2))I[n-1](a)/a→0 になる根拠を書いておかないと減点されるよ。

(1)ベクトルです
|a|=2 |b|=3　|a-b|=4　の時|a-tb|の値が最小となるtの値を求めよ。

(2)アルファベットC,U,L,T,U,R,Eが１文字ずつ書かれた7枚のカードがある。
これらの中から5枚取り出して1列に並べる方法は全部で何通りあるか。


(3)f(x)が等式　f(x)=x^2+∫0から3f(t)dt を満たす時
y=f(x)と直線ｙ=k(x-1)で囲まれる面積Sが最小となる時の値を求めよ。

答え
(1)t=-1/6 (2)1320通り (3)k=2

とある大学の入試問題です。一応自分で解けたのですが答えがあってるか不安なので
どなたか分かる方答えのみでいいですので教えてください。

>>421、>>422、>>423
お手数をおかけして申し訳ありませんでした。
今後は解らない箇所を明確にして質問させて頂きますm(__)m
>>421さんご指摘ありがとうございます。
>>422さんもご丁寧にありがとうございました!!

>>418
ありがとうございます
天才や

√(X^2＋A)の積分は、どうやったらできるか教えてください

>>424
(1)
a・a=4, b・b=9, a・a-2a・b+b・b=16
a・b=-3/2
a・a-2ta・b+t^2b・b=4+3t+9t^2
t=-1/6のとき
(2)
5!+5C4・5!+5C3・5!/2=1320
(3)
a=∫[0, 3]f(t)dtと置くとf(t)=x^2+aよりa=∫[0, 3](t^2+a)dt=9+3a
よってa=-9/2
x^2-9/2=k(x-1)の2解をx=p, qとすると
求める面積が最小となるのは|p-q|=√(k^2-4(k-9/2))=√(k^2-4k+18)が最小となるとき
k=2

>>427
t=x+√(x^2+A)と置くのも1つの手です
(t-x)^2=x^2+A
t^2-2tx=A
x=(t^2-A)/(2t)として置換積分できます

>>427
例えば√(x^2+1)のときはx=(exp(θ)-exp(-θ))/2とおくのが定石。

http://www.rupan.net/uploader/download/1228259434.jpg

代ゼミ模試の数学です。
カメラの都合上見にくくなってしまいました。
画像内で？が付してあるところがわからない箇所です。
これが何の意味を持つのか、どういう経緯でこう導出したのかが良くわかりません。
解説よろしくお願いします。

>>431
n=6のとき(6-4)!=2でnで割れないのでn≧8とする
nの素因数が2種類以上ある場合はn=xy, 2≦x<y≦n/2と表せる
n-4-n/2=(n-8)/2≧0よりn-4≧n/2>y>xなので1, 2, …, n-4の中にxとyが含まれるため(n-4)!はn=xyで割り切れる
nの素因数が1種類であるがそのべきが3以上の場合も同様
よってn=p^2の場合で考える
p=3のときn=9であり(9-4)!=5!は9で割り切れない
p≧5とするとn-4=p^2-4≧p^2-p=p(p-1)≧4pなので1, 2, …, n-4の中にp, 2p, 3p, 4pが含まれるため(n-4)!はn=p^2で割り切れる
よってn=6, 9

>>432
>n-4≧n/2>y>x
n-4≧n/2≧y>x

>>432
ご丁寧にありがとうございます！

ということは、ｎ−４≧ｎ/２は
少なくともｎを最小の素数2で割った数以上の値をn-4が持っていなければ題意が成立しない
だからとｎ−４≧ｎ/２であると考えて良いんでしょうか?

もうひとつ、n-４≧3ｎ/2というのは何故こうなったんでしょうか？
理解力なくてすみません。

整数n(n≧0)に対しS[n]=∫【1→e】(logx)^ndxとおく。
(1)x(logx)^nの導関数を求めることで、S[n]=e-nS[n-1](n≧1)を示せ。
(2)初項a[1]=0、漸化式a[n]=1-na[n-1](n≧2)を満たす数列{a[n]}を用いて
S[n]=a[n]e+{(-1)^(n+1)}n!となることを数学的帰納法で示せ｡
(3)数列{a[n]}が
{a[n]*(-1)^n}/n!=Σ【k=2→n】{(-1)^k}/k! (n≧2)
を満たすことを示せ。
(4)lim【n→∞】S[n]/n!=0を示し、それを用いて
e^(-1)=Σ【n=2→∞】(-1)^n/n!が成り立つことを示せ｡

(3)で与式をどう変形していいのか解らなくなりました。左辺から変形しようと考えたのですが上手くいきませんorz
どなたか是非教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

昔見た大学受験の数学のホームページで、分野別にたくさんの難問を集めたpdfが置いてあったところがあったのですが、アドレス知ってる方いませんか？

>>435
a[n]=1-na[n-1] から単に
{a[n]*(-1)^n}/n!={a[n-1]*(-1)^(n-1)}/(n-1)!＋(-1)^n/n!
として階差数列の和をとってるだけでは？

>>434
次の部分がアイデアの源泉です
>>432
>1, 2, …, n-4の中にxとyが含まれるため(n-4)!はn=xyで割り切れる
どういう条件があれば1≦x<y≦n-4になるかを考えました
n≧8で素因数を2種以上持つか素因数は1種でべきが3以上であればそうなるとわかりn=6またはn=p^2は含まれないので別途考察しました

お願いします。

ａを正の定数とする。
点Ｏを原点とする座標平面において、中心がＯで半径が2の円をＣとし、
θ≧0を満たす実数θに対して、角π/2−θ/3の動径とＣとの交点をＱとする。
ここで、動径はＯを中心とし、その始線はｘ軸の正の部分とする。
θが 0≦θ≦3π/6ａ＋2 の範囲で動くとき、
円Ｃにおいて点Ｑの軌跡を弧とする扇形の面積を求めよ。

>>374をどなたかお願いします…

>>374
未知数の数をなるべく少なくしたい為。

P(x) = (x-1)^2 Q1(x) + 4x-5 の Q1(x) に
Q1(x) = (x+2) Q2(x) + a を代入すると

P(x) = (x-1)^2 (x+2) Q2(x) + a(x-1)^2 + 4X-5

>>439
何が分からんの。
ただの扇形面積計算にしか見えない。

>>435です。
>>437さんありがとうございます!!

>>435の(4)の前半なのですが、
S[n]=a[n]e+{(-1)^(n+1)}n
をn!で割るとa[n]e/n!が出てきて、それと(3)の{a[n]*(-1)^n}/n!と結び付けたかったのですが、
上手くいきません…orz
どなたか教えてくださいm(__)m

問題・解答
http://xtp0001.s3.x-beat.com/cgi-bin/up/source/Sonata_26376.jpg
答案
http://xtp0001.s3.x-beat.com/cgi-bin/up/source/Sonata_26378.jpg

(2)について質問させてください。
答案のように考えてみたのですが、最後の不等式からΣを挟んで計算していっても、証明したい式が出てきません。
どこかで間違えているでしょうか？それとも、このやり方（面積を考えるのに使った式）ではできないのでしょうか？

>>444
全部見てないが、
＞面積を比較して
の次の行の時点で既に間違い。不等号逆。

積分でお前のやりたいように面積として扱えるのは正のときだけ。
だからわざわざ解説では−logxにしてある。
面積に−を付けたものだと分かってるならお前のやり方でもいいが、
それを分からずに突っ走るとお前のようなミスをする。

>>444
初めの式しか見てないがlog(k/n)≦0だよ。k≦n

>>445
面積が正になるように、「面積を比較して」の直後の不等式の∫の中にマイナスをつけたのですが、間違っていますか？

>>446
ですので、y軸負の部分で面積比較しています。

あーーーなるほど！！
インテグラルではなくて、左右の式がマイナスになるんですね・・・

>>438
解説ありがとうございます！
答えまでの明確な目的はわかりました！
割り切るための素因数・整数があるかどうかを探そう、とするまではよいのですが、
その後の何故ｎ−４≧ｎ/２なのか？n-４≧3ｎ/2なのか？ってのは、
要は>>438さんの「n-4の中にxとyが含まれる」事の前提として、
（n-4）!の最大値である（n-4）が（x＜）yの最大値であるn/2より大きいという条件の下の
n-4-n/2≧0から出てきたって事でいいんでしょうか？

となると、次の(ｲ)n-４≧3ｎ/2っていうのはなんなんでしょうか・・・？
答えとしては>>432ですんなり納得できるのですが、
解答に書いてある以上その意味もわかっておきたいのですが,,,

>>443

0 ＜∫【1→e】(logx)^ndx ＜ ∫【1→e】1^ndx ＝ (e-1)

で自明でないの？

>>449
数学の素晴らしいところはいろいろな考え方ができるところとその中の１つで真と分かれば真は真であるというところです
真理に至る道程に目を見張るようなものがあれば別解にも意味はありますがそれほど違いがないようであれば別解を書いた人の意図をわざわざ読み解く意義はありません

4^(x+1)-2^(x+4)+5a+6=0
が異なる2つの正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
について、2^xをtと置換した後からどうすればいいのかわかりません。
教えて下さい。

センター数学2Bが全く時間が足りないんですが、過去問やったらスピードあがりますかね？
模試で記述は偏差値60後半いくのですが、マークでは時間が足りなくて50点台です

すみません
↑スレチでした

>>454
別に構わないと思うけど・・・

>>453
オレも似たような状況だわ（といってもマーク7割は行くが）
まず解く順番とか変えてみたら？
オレはいつも、指数対数・三角関数　→　数列　→　ベクトル　→　微積分　の順で解いてる。微積分は計算が大変だから。

あと、考えなきゃ解けない問題は全部後回しにして、簡単な問題だけ先に解いてしまうとかね。
たとえば微積で「接線の方程式を求めよ」は解くけど「囲まれた面積を求めよ」は後回しにするとか。
そのあたり自分で探りつつね。

できないやつが何アドバイスしてんだよ

>>452
2^x=t とおくと、x＞0のときt＞1
t＞1となるtの値に対して対応する正の数xは1つ

背理法で少なくとも１つが偶数を証明せよ
の問題で
両方奇数にして矛盾を導いたらどうして他は成り立つとわかるのですか？
それだけが成り立たないかもしれないだけではないのですか？

>>458
その手の問題は、少なくとも1つが偶数であれば命題が成り立つことを示せ、といっているわけではないからね。
命題が成り立つなら少なくとも1つは偶数でなければならないことを証明せよ、ってこと。
他が成り立つかどうかは関係ない。だからそれ(両方奇数)だけが成り立たないことを示せばOK。
実際、全て奇数と仮定して矛盾がおこるけど、少なくとも1つが偶数であっても成り立たない命題はある。
例．x^n+y^n=z^n(nは3以上の整数)を満たす自然数x,y,zのうち少なくとも一つは偶数であることを示せ。

相加相乗平均について質問です。

（ｂ／sinθ）^２
＋（ａ／cosθ）^２

の最小値なんですが、０＜θ＜π／２
の時、相加相乗はどうしてつかえないかご教授ください。

相加相乗は0より大きければ使える。s/cosθ> 0, b/sinθ> 0であれば使える

どうして相加・相乗平均が使えると思うのか。

って2乗がついてるから0以上なのでそんなこと考える必要ないじゃないか。
×相加相乗は0より大きければ→○相加相乗は0以上なら

>>460
相加平均・相乗平均の間の定理というのは（書きやすいように分母を移すが）
α>0、β>0の時に常に α+β≧2√(αβ)が成り立ち、
　等号が成り立つのはα=βのときに限られる、
というだけのもの。

ここから、たとえばαβ(積)の値がつねに一定ならα+βは2√(αβ）まで
小さくなることができるので、その値を最小値とすることができる。
が、α、βがたとえば自由に値を取り、αβの値が変動するときにまで、
「α+βの最小値がα=βのときの2α(=2β）である」なんてことは言えない。

書かれた問題に即して言えば、（a>0、b>0であるというのは書き漏らしとしても）
書かれた式の値≧2ab/sinθcosθ は0<θ<π/2で常に成立するが、
b/sinθ=a/cosθとなるθが最小値を与えるということを、相加平均相乗平均の
定理は主張していない。

質問者が相加相乗にしてA/sin2θの形にもっていって議論しようとしてるのだと思ったが、そうでもないらしい

数Iなんですが、「次の方程式を解け」
|x+4|=5x
という問題の解説の一番最初で
「5x≧0であるからx≧0」と出てくるのですが、
なぜこの場合真っ先に5x≧0とわかるんでしょうか？
xがもし-2などの負数だったら成り立たないと思うのですが。

>>466
0≦|x+4| (絶対値の定義より)
|x+4|=5x
よって0≦5x

>>467
そうか！ありがとうございます。

たくさんの方にご教授いただき、ありがとうございます。

ａ＞０、ｂ＞０（定数）、θは変数、を書きもれしてしまいすいません。

『相加相乗は、左辺か右辺が必ず定数にならないと使えない。』

勉強になりました。

出どころは、やさ理の９１です。

>相加相乗は、左辺か右辺が必ず定数にならないと使えない。
誰だこんなおかしな嘘を吹き込んだのは
相加平均≧相乗平均の証明仮定で分かる通りそんな制限かかってないぞ。
等号の成立議論を何か勘違いしてるとか、そんなとこか？

>>469
×相加相乗は、左辺か右辺が必ず定数にならないと使えない。
○相加平均≧相乗平均の関係式は、右辺（左辺）が定数にならないときには
　等号成立条件をもって最小値（最大値）を決める働きは持たず、またこのとき、
　この種の証明を直ちに導くことはできない。

最大値･最小値以外の一般的な不等式の証明だってあるのだから >>469の『』では
安直かつ軽率に一般化しすぎ。せめて「最大値最小値のときは」くらい
付けておくべきだった。

すいません
数学受験に使わないのですが学校の試験があって次の問題全くわかんないんですがお願いします…

n
Σ(2kｰ3)二乗
k=1



n
Σ2kｰ1
k=1

上　展開すべし
下　�伯�式か等差数列の和

ありがとうございます(;_;)

２点A（0、8）、B（0、9）を結ぶ線分をゴールとして、直線y＝x上を移動している選手の位置をP（x、x）、（x＞0）とする。この選手から見えるゴールの角度∠APBをθとする時、tanθをxで表せ。


（問題集の解答）
直線PA、PBがx軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β（π/2＜α＜（3π）/2、π/2＜β＜（3π）/2）
とする。θ＝α−βより、〜（以下、正接の加法定理）


なんですが、α、βの取りうる値の範囲は、0＜α＜π/2、0＜β＜π/2で、θもθ＝β−αだと思うんですが、何故、解答のようになるのか教えて下さい。

>>475
＞直線PA、PBがx軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β
って書いてあるじゃない。
図描け。

>>476書きました。α＜βなので、解答のようになりません。

>>477
それは図が間違ってるか図に対する君の理解が間違ってるのかのどっちかだ。

>>478俺の頭だと、こうなってしまいます 涙

[email protected]

間違えた

http://imepita.jp/20081205/531880

>>480
http://kamaitachi.info/make/up2/src/Jfile12160.jpg

聞きたいんですが、数学I、A、IIでオススメの参考書ってありますか？因みに、目標は京都産業経済学部です

>>482
そのランクを狙うなら「白チャート」を完璧にすれば充分。

白チャートの存在意義は、ない

x,yは実数で
x^2+3y^2-2xy=3を満たすとき
x^2+y^2の最大値を求めよ

お願いします

>>485
x^2+3y^2-2xy=3とx^2+y^2=kを絵に描いてみなさい。

数Cを使わず解きたいんです
それに書いたところで解決しないと思います

>>487
x−y＝(√3)cosθ、y＝{√(3/2)}sinθ
x^2＋y^2
＝{(x−y)＋y}^2＋y^2
＝(x−y)^2＋2y(x−y)＋2y^2
＝3＋3√2sinθcosθ
＝3＋(3/√2)sin2θ

>>488
ありがとうございます

他の解法もあったらお願いします

間違いを指摘下さったかた、ありがとうございました。

理解できました。

x^3-3x^2+ax+b=0の解が相なる異なるα,β,γでこの順に等比数列である。a,bを求めよ

という問題なんですが
まず解と係数の関係から
α+β+γ=3
αβ,βγ,γα=a
αβγ=-b

等比数列なので
β^2=αγ

で上の式から
3β=a
β^3=-b

x^3-3x^2+ax+b=0に代入して
x^3-3x^2+3βx-β^3=0

これから何をすればいいのかわかりません。

>>490
x＝kcosθ、y＝ksinθ,x^2+y^2=k^2

x^2+3y^2-2xy=k^2[sinθ^2+3cosθ^2-2sinθcosθ]=3
→min[sinθ^2+3cosθ^2-2sinθcosθ]でmax k^2

sinθ^2+3cosθ^2-2sinθcosθ
={2+(cosθ^2-sinθ^2)}-sin2θ
=2+cos2θ-sin2θ
=2-√2sin(2θ-π/2)

min[sinθ^2+3cosθ^2-2sinθcosθ]=2-√2
max k^2=3/(2-√2)=3(2+√2)/2
>>488て最初の置換式はどう考えてるの？

>>488 じゃないが、
条件式を変形して (x-y)^2+2y^2=3より
x-y と (√2)y の2乗和が常に3

なるほど。

>>492
条件不足だと思うが

>>492
一意に求まらなくね？
要するに、公比をrとして (β/r) + β +βr =3 ということしか言ってないわけだから
β(r^2+ｒ+1)/ｒ=3

たとえばr=2とすると （ｒ＾2+ｒ+1)/2=7/2だから
(7/2）β=3 よりβ=6/7
（このとき3/7 + 6/7 +12/7 =21/7=3で題意を満たす）
あとはa=3β、b=-β＾3でa,bを出して終了。

任意のｒ≠1,0,-1 について対応するβを計算することで、問題の3次方程式を満たす
a,bがいくらでも作れるような。

一意に、あるいは有限個数に解を限定したければ、a,bが整数とか正整数とか
いった条件が必要だと思う。

>>496
>>497
本日やったテストの問題だったのですが薄ら覚えで書いてすいませんでした。
条件を読み落としたのかもしれません。

∫f(x)が既知なら、∫x･f(x)はすぐわかりますか？

分かるわけがない

>>483
なるほど。
ありがとうございます

∫(xe^x)dx=xe^x-e^xになるらしい
なぜ？
部分積分を試みたけど、失敗した

>>502
部分積分でおｋ

>>503
教科書見たら部分積分間違えてたわ
この時期に部分積分ダメとか終わってるな
とりあえずありがとう

整数n(n≧0)に対しS[n]=∫【1→e】(logx)^ndxとおく。
(1)x(logx)^nの導関数を求めることで、S[n]=e-nS[n-1](n≧1)を示せ。
(2)初項a[1]=0、漸化式a[n]=1-na[n-1](n≧2)を満たす数列{a[n]}を用いて
S[n]=a[n]e+{(-1)^(n+1)}n!となることを数学的帰納法で示せ｡
(3)数列{a[n]}が
{a[n]*(-1)^n}/n!=Σ【k=2→n】{(-1)^k}/k! (n≧2)
を満たすことを示せ。
(4)lim【n→∞】S[n]/n!=0を示し、それを用いて
e^(-1)=Σ【n=2→∞】(-1)^n/n!が成り立つことを示せ｡

(3)で階差数列にしようと考えたのですが、上手く変形できませんorz
(4)も(3)で与えられた式を変形しようとしたのですが、良く解らなくなりました。
どなたか是非教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

>>505
とりあえず(3)は
a[n]＝1−na[n-1]
⇔{a[n]*(-1)^n}/n!＝{(-1)^n}/n! ＋ {a[n-1]*(-1)^(n-1)}/(n-1)!
＝{(-1)^n}/n! ＋ {(-1)^(n-1)}/(n-1)! ＋ {a[n-2]*(-1)^(n-2)}/(n-2)!
……
＝右辺

ある人が自転車でＡ地からＢ地、Ｃ地を通ってｄ地まで行った。
Ａ地からＢ地、Ｃ地からＤ地は一般道路でＢちからＣ地は高速道路である。
Ａ地からＢ地は高速道路での平均速度の２５％減の速さで走り、Ｃ地から
Ｄ地は高速度道路での平均速度の半分の速さで走った。
途中で食事と休憩を１時間１５分取ったので、全体で４時間１５分かかった。
Ａ地からＤ地間は174�qで、Ｃ地からＤ地間の距離はＡ地からＢ地間の距離の1,５倍である。
Ａ地からＢ地間の距離をＸ�qＢ地からＣ地間の距離をＹ�qＡ地からＢ地の平均速度を
毎時６０kmとするとき次の問いに答えよ。
（１）A地からD地間の距離をX、Yを用いた式で表せ。
（２）A地からD地までにかかった時間は何時間か。X、Yを用いた式で表せ。
（３）X,Yの値を求めよ。

>>507
(3)36、84

スレの趣旨から多少ずれるかもしれないですが、数�Vと物理�Tはどちらが独学しやすいでしょうか？

どの程度必要としているのか知らんが物理�T

>>510
教科書レベルでおｋです。自分は文系ですが、理系の学問も教養として身に付けておきたいので。
物理ですか。ありがとうございます。
物理は馴染みの薄い記号や公式が多く取っ付きにくそうですが、数�Vはそれ以上に難しいのですね＾＾；

いやでも、数３のほうが範囲狭いと思うぞ
ってか文系のどの学部学科に行くのかしらないけど、経済とかなら数３多用するだろうし
物理は考え方がちょっと独特で、理解するには結構難しいと思うんだけど

でもやってて面白いのは物理だろうな
数学は結局紙の上でしか議論できないけど、物理は現実と結びついてるし

あと>>507はマルチ

>>505
何回質問してるんだ？

赤チャート�T例題43
x^2+2x*2/(-3x+5)+2(2/-3x+5)^2=5の計算が
x^2-4x+3=0とかいてあるんですが
分数の２乗のところがどうやっても整数にならないんです。
そこの所を詳しく教えてください。

それで意図が伝わってると思ってる>>515

質問です！
座標空間に４点A(1,1,0),B(1,3,1),C(2,1,1),D(-1,1,7)がある。さらに、3点A,B,Cを含む平面をHとし、Dを通り直線ABに平行な直線をLとする。

(1)直線AB上の点Eは、ベクトルAB･ベクトルEC=0を満たす。このとき、Eの座標を求めよ。

(2)点Dから平面Hに引いた垂線と平面Hの交点をFとする。ベクトルAF=sベクトルAB+tベクトルACを満たす実数s,tの値を求めよ。

(3)動点PはL上を動き、動点Qは三角形ABCの周上を動く。線分PQの長さが最小となるとき、P,Qの座標を求めよ。


長いですがこれの解答方針とかしめしてくれたらうれしいです！
おねがいします！

>>516
赤チャート�T例題43
x^2+2x*(2)/(-3x+5)+2{(2)/(-3x+5)}^2=5の計算が
x^2-4x+3=0とかいてあるんですが
分数の２乗のところがどうやっても整数にならないんです。
そこの所を詳しく教えてください。
これでいいんでしょうか？

>>517
(１)
直線ABのベクトル方程式は立てられるよね？で、Eは直線AB上にあるから、Eの位置ベクトルは(パラメータを含む形で)求められる。
あとは内積＝０の式をEの位置ベクトルが代入できるように変形して代入。
これでできない？

>>518
君ね・・・・
問題文を全部書いて欲しいわけですよ、OK？

>>520
すいません
次の連立方程式を解け。
3x+2y=5
x^2+2xy+2y^2=5

>>521 続き
解答
方程式を順に�@,�Aとする。
�@から　y=(2)/(-3x+5)・・・・�@´
�@´を�Aに代入すると　x^2+2x*(2)/(-3x+5)+2{(2)/(-3x+5)}^2=5
展開して整理すると　x^2-4x+3=0　これを解くとx=1,3

>>522　続き
�@´から　x=1のときy=1
x=3のときy=-2
x=1,y=1
x=3,y=-2

>>518の、3行目の式は解答に書いてあった式じゃないんじゃないの？
それかなんか飛ばしてない？
3行目から4行目はかなり飛躍してる

4行目のx^2-4x+3=0は、問題文の２つめの式にy=-2を代入した式だね
で、解いたらx=1,3が出てきてx=3は確かに解になってるから、間違ってはいなさそうだ

普通>>518の3行目から4行目まで一気に変形できるわけがない
解答の画像をうｐしてもらえると指摘しやすいが・・・・

>>524
デジカメで撮ったので汚いですが
http://www3.vipper.org/vip1018321.jpg.html

>>523
OK、やっとわかった
なんで何回やっても合わないのかと思ったら、
なんで君分母と分子逆にしてんの？(気づかなかった俺もダメだが)

>>526
ああああすいません書き込みのルールよくわかんなくて
分母と分子逆にしてるのは書き込みミスです

>>527
書き方参考ページがなくなってるから正確なルールがわからないにしても、だ
その辺常識的に考えてわかれよ
さっきの30分間を返してくれと言いたいほど腹が立ってるよ（まぁ４０％は気づかなかった自分に対しての怒りだがね）
というわけでもう寝る、他の回答者にお願いしなさい

間違ってもマルチはするなよ、誰にも解答もらえなくなるからな。これは君のためを思って言ってる。

>>505です。
>>506さんありがとうございます。
>>514 前回聞いてからすぐに聞き直せなかったので、改めて書かせて頂きました。申し訳ありません。

どなたか>>505の(4)をお願い出来ないでしょうか？
よろしくお願い致します。

>これは君のためを思って言ってる。
気持ち悪さ全開だな

−1＜x＜3の範囲でx^2−4ax＋2a＋6＞0がつねに成り立つようなaの範囲を求めよ
場合分けして・・・
−1/2＜a＜2/3…�@
−7/6≦a≦−1/2 またはa＝3/2…�A
�@,�Aより求めるaの値は,−7/6≦a≦3/2

となるのですが、�@,�Aからどうして上記のようになるのかがよく分かりません
なぜ−1/2ではなく−7/6が取り得る値の最小になるのか　等々
不明点が多くあります、説明してくださるとありがたいです

また、数直線で取り得る値の範囲を考えた場合、
�@＞と≧が重なった場合は含むのでしょうか？それとも含まないのでしょうか？
�Aｋ＞1、K＜1という２つの範囲が出た場合これらはどうするのか
　k＝1の場合も吟味する必要性があるのかどうか・・・

三角合成のところでsinの合成はできるのですが、cosでの合成ができません。
sin合成を生かしたやり方はありますか？

cos x = sin (π/2-x)

>>532
�@両者の関係が『かつ』なら含まない、『または』なら含む

�AK≠1

>>531
f[x]＝x^2−4ax＋2a＋6＝(x−2a)^2−4a^2＋2a＋6

−1＜x＜3の範囲でf[x]＞0がつねに成り立つための必要十分条件は

−1＜2a＜3 かつ f[2a]＞0　…(1)
または
2a≦−1 かつ f[−1]≧0　…(2)
または
2a≧3 かつ f[3]≧0　…(3)

(1)⇔�@
『(2)または(3)』⇔�A

求める条件は
『(1)または(2)または(3)』⇔『�@または�A』

a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c)
この不等式を証明せよ、という問題なのですが、
どうしてもうまく式を変形して証明することができません。
よろしくお願いします。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1228228248/523

>>535 >>536
ありがとうございます
かつ、またはの解釈が足りませんでした
ようやくすんなりと理解できました

もう一つ質問がありまして・・・
f[x]＝x^2−2kx＋1−k…�@
�@が正の解を少なくとも一つもつ。
ここで、�@の解の判別式をDとおくと
（1）�@の解がともに正
D/4≧0
軸:ｋ＞0 ∴−1＋√5/2≦k＜1
f[0]＞0
（2）�@の解が正と負の解をもつ
　　　f[0]＜0　　　∴k＞1
（3）�@が0を解にもつときf[x]＝0によりk＝1で
　　　このとき�@は、x^2−2x＝0より解は0と2
（1）〜（3）よりk≧−1＋√5/2
となるのですが
●質問1　>>535の�AK≠1に（1）,（2）だけであれば本来なるが
　　　（3）の吟味（k＝1もOK）も絡んでくるので、結局k＞1,k＜1がつなげられる形となり、k≧−1＋√5/2になるということでしょうか？

●質問2 （1）〜（3）より＝この問題の場合（1）または（2）または（3）より　と同意でしょうか？
以上お願いします。

>>539
いいよ。

ちなみにこの問題限定だけど、
y＝f(x)は定点(-1/2,5/4)を通る。
よって、f(x)＝0が実数解を持ち、y＝f(x)の軸がx＞-1/4であればよい。
D/4≧0⇔k≧(1/2)(−1＋√5) or k≦(1/2)(−1−√5)と軸x＝k＞-1/4
より、k≧(1/2)(−1＋√5) でも。

>>540
いいよ。というのは質問が｢合っている｣ということですか？

その定点及び軸の条件求め方が分からないのですが、教えていただけますでしょうか？
数学が苦手なもので、申し訳ありません

>>541
そう、あってるという意味です。

あとさっきの下の解答ちょっと間違ってるっぽいので忘れてください。
ごめんなさい。

>>539
>>541

(1)２解がともに正
(2)１解が正、他解が負
(3)１解が0、他解が正
『少なくとも１解が正』⇔『(1)または(2)または(3)』


f[x]＝x^2−2kx＋1−k＝x^2−k(2x−1)＋1

f[−1/2]＝5/4
これはkの値によらない

>>543の変形間違いスマソ

f[x]＝x^2−k(2x＋1)＋1

541です

542さん
当たっていて良かった……
定点の考え方間違ってるのでしょうか？


543さん
なるほど
何度もわかりやすい説明、感謝します


そういうことですか
でもその場合X＝1/2じゃないでしょうか

軸−1/4はどういう過程で導かれたのでしょうか？

2点A、Bがあり、
A、Bを直径とする円の方程式と直線ABとを連立させてできる方程式は2点A、Bを通る円と考えていいんですか？

変形間違いでしたか
私の上の1/2も無しでお願いします

>>505の(4)をどなたか教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。

センターで統計とコンピュータを回答しようと思うのですが、
統計とコンピュータが使えない大学ってあるのでしょうか？

まずおまえの死亡校はどこだ？

本当に初歩的な質問ですみません。
3≦4
これは真ですよね？

真なり

T(n)=T(n-1)+(n-1), T(1)=0のときこの再帰の式を解け。
という問題ですが教えて下さい。

>>552
迅速にありがとうございました。

>>553
再帰の式って？用語がわからない

暗算ではn(n-1)/2

>>549
大抵のとこで使えると思うよ
それとは別になんたらかんたらとかいうのが、
工業高だとかなんだとかでないと駄目だとは書いてあるとこはあるけど
コンピュータは数学Bだからね

再帰って関数内に自分自身を投入することだと思います（フィボナッチみたいなやつ）
>>556
答えはそうみたいなんですが、どうやったらそうなるんですか？

階差数列
T(n)-T(n-1)=n-1
2〜nの和
n=1での妥当性

帰納的定義は再帰的定義の一種

http://xtp0001.s3.x-beat.com/cgi-bin/up/source/Sonata_26414.jpg

左ページの�Aみないな、２点で接する場合なんてあり得るのですか？
接点のx座標をα、βとした場合、(x-α)^2・(x-β)^2の項が出てくるのではないでしょうか・・・？

接点で重解が出てくるのは、直線の場合だけでしたっけ？
根本的なことが分からなくなりました・・・

>>560
いやお前さんが正しいよ。
実際そういうことになってたら、右ページの図2に表したとき、x軸に2回接することになる。

ただ、「こういう可能性もあるかも」と考えることは重要だと思う。
まぁ3次とかだからいいけどもっと高次のものを考えたときのためにおさえておく、という認識で。

>>561
ありがとうございました！！
基本的なことでつまずくと（それも夜に）、不安で孤独で・・・

整関数であれば接すれば差の関数が(x-a)^2でで割れるよ

位置ベクトルと普通のベクトルの違いを教えて下さい
あと、ベクトルの問題は位置ベクトルを使うか普通のベクトルを使うか見極めなければいけないんですよね
たとえば三角形ABCがあったとします
とある問題では回答では位置ベクトルをつかってOA＝(a)などして解いてあります
一方ではAB=(ｂ)、AC=(c)として解いてあります
この違いが全く分かりません。誰か教えて下さい

整関数ってたまに見るけど，通常専門書では別の意味で使う．
多項式関数とかいって欲しいな．

>>564
の追加ですが
基本的に平面ベクトルは2つの平行でなく、お互い大きさが0でないベクトルで表せるんですよね
例えば三角形ABCにおいて
普通のベクトルならAB＝(b)、AC＝(c)、AA＝(0)で実質すべてのベクトルを2つで表すことになります
なのに位置ベクトルはOA＝(a)、OB＝(b)、OC＝(c)でわざわざ3つのベクトルで表すことになります
なんで位置ベクトルはわざわざ3つで平面を表そうとしてるんですか？

pを素数とする
a[0]=p, a[n]=8a[n-1]-7で定義された数列のうち
初項以外に素数を含まない例を4つあげよ

教えてください
y=2x^2 -1 (-1≦x≦1)とy=a(x-1)の接点がx=a/4 なのですがどのように求めるべきでしょうか？お願いします

もともとx=sin2θです

>>568
普通に微分して傾き比較で大丈夫なんじゃん？ｗ

>>570

ありがとうございます
判別式でxを求めて接するから√の中身が0かと思ってました(笑

重複組合せの問題で質問があるんですが、

問:a，b，c，dを自然数(正の整数)とする。このとき、a＋b＋c＋d＝10を満たす解は何通りあるか。

という問題なんですけど、解答では

a＋b＋c＋d＝10より
(a−1)＋(b−1)＋(c−1)＋(d−1)＝6

ここでa−1＝Ａ、b−1＝Ｂ、c−1＝Ｃ、d−1＝Ｄとすると、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝6

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは0以上の整数であるから、4Ｈ6＝9Ｃ6＝84(通り)

となってるんですが、a＋b＋c＋d＝10ならそのまま

4Ｈ10＝13Ｃ10

を計算してはダメなんでしょうか。計算してみましたが値が全然違ったので…

なんで上記のような計算過程で答えを出すのかがさっぱりです…
どなたか教えてくれれば幸いです。
長文失礼しました。

>>572
だって自然数っていってるやないの
そのやり方だと
1+0+3+6=10
とか
0+0+0+10=10
とか含むよｗ
0は自然数じゃない

>>573
答えて頂いてありがとうございます。

あぁそうか!!!!
自分が説明を全然読んでないのがよくわかりました。

次からは気を付けます。

>>572
(10-1)C(4-1)=9C3=84

わっしょい

すみません
チャート使ってるんですが、例題と分野ごとに最後にある演習問題とのレベルが違い過ぎるきがするんですが。
チャートって普通、演習問題と総合演習問題ってやるもんですか？
高２です。

>>577 例題だけでいいよ ってか全部してたら終わらないよ

x^2-3x-4<0 -�@　x^2+(a-5)x+4-a<0 -�A
(1)a≠3の時、�Aを満たす実数xがすべて�@をみたすようなaの値の範囲
(2)�@、�Aを同時に満たす整数xがちょうど一個となるようなaの値の範囲
解法をお願いします
ちなみに
(1)の答えは0≦a＜3または3＜a≦5
(2)の答えは0≦a<2または4<a　です

>>565
単項式関数と多項式関数をまとめて整関数関数だけど、殆ど受験で生まれた言葉だから受験においては
遠慮なく使って全然構わないと思うよ

>>579
まずは両式を普通に解いてからだ。

>>580
え、違うでしょ
整関数の定義って大学で始めて習うもんですよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E9%96%A2%E6%95%B0

この右上の図ですね？
http://www.kaimeikan.co.jp/video/DVD069.html

>>546
どなたかお願いします…

>>582
高等学校学習指導要領の改訂だか自由化だか忘れたが、一昔前に
そういった用語がどんどん生まれ、その中で整関数も生まれた、とか月刊大数で2年ぐらい前に読んだ。
写像とか今は高校でやらないから、関数の定義自体それはやらなくて当然のこと。

数学の参考書・問題集は、
チャート式が難易度別に色別になっているのは有名ですが、

（問題集）
・旺文社精講シリーズ
（参考書）
・旺文社　演習
・学研マイベスト
・文英堂これでわかる
・文英堂理解しやすい

などは、チャート式で換算するとそれぞれ、どれくらいの色の難易度なんですか？

>>584
ただの2次方程式であり、何らかの図形を表すものではない。
2次関数じゃないよ。

>>584
その２つを連立させるってことは、共有点の座標を求めてるわけでしょ？
ってことは出てくるのはその２点であって、円ではないよ

二つのﾍﾞｸﾄﾙ(a,b,c)と(d,e,f)が平行のときのa〜fの関係はどうなりますか？

>>589
a:b:c=d:e:fあるいはa:d=b:e=c:f

Aさんは「年利9％、毎回2万円ずつの返済」という条件で120万円の借金をした。
（途中式、説明含む）問に答えよ。

（1）3ヵ月後の借金残高はいくらか
（2）Nヵ月後の借金残高をNの式で表せ
（3）返済終了までに何ヶ月かかるか

どなたかお願いいたします。

>>591
>「年利9％、毎回2万円ずつの返済」
「毎月」？

>>591 条件が足らない。
・一般に返済額は利息分を先に充当し、残りを元本返済に充てると思うが
　それでいいのか。違うならば詳細が必要。
・年利9％を月利0.75％と解釈していいのか。違うなら↓で触れた利息が
　掛かるタイミングが大きく問題を左右する。
・利息と返済のタイミングは？　単利の月利0.75％で計算するとして、
　1ヶ月目の返済2万は 120万*（1.0075）に対して利息優先で行われるのか、
　それとも初回は利息が発生せず（つまり実質118万円借りた形で）、
　2ヶ月目から利息を含めた返済が始まるのか。

数学板で聞いてる以上、「金融上の常識」では済ませられない。厳密に
問題が解ける条件を整えるのは質問者の責任だよ。
（数検で過去こうした返済の問題が出たことはあったけど、解釈に
ブレが出ないような定義がちゃんと問題文で行われてた）

と、数学板じゃなくて受験板数学スレか。でも、だったらなおさら、
受験生に、解釈にブレが生じうる問題を出すわけにはいかないよね。

>>591です
問題はそれしか書いてません。
これは解くには不十分な問題でしょうか？

>>593
厳密な数学でも 「混乱の恐れがない限り云々」 というのはよくあるスタンス。
受験版で詰まらん揚げ足取るなよ、大人気ない。

>>596
揚げ足じゃなく無理だよ。「借金を分割返済するとき、普通は、返済額は先に利息分を
埋めて、その残りが元本返済に充てられる」等の慣例を、（商業科ではない）大学受験生に
前提の知識として要求するのが当然だと思うか？　実際、年利しか提示されてないときに
毎月返済するのをどう解釈するか、>>592で疑問が出てるじゃないか。
もしこれと違った規定が行われるならなおさら書かれる必要がある。また、自分自身が
金借りたときの経験からも、初回利息分は天引きされて、手元に来たのは残りの金だけだったぞ。

>>591
ということで、少なくとも「受験生への出題としては」不備がある問題だと思う。ただし、
妥当そうな仮定を重ねて解くことは可能。前述どおり年利9%を月利0.75%と考え、これをrとする。
120万をaとし、以下記述は1万円単位。利息は実際に借りている期間が経過した時点でかかり、
つまり丸1ヶ月が経過したときに1ヶ月分の利息が発生し、同時にその回の2万を返済する、とする。

1ヶ月目の元利合計は ar　返済額が 2 だから残額はar-2
2ヶ月目の元利合計は (ar-2)r = ar^2-2r 返済額が2だから 残額は ar^2-2r-2 = ar^2-2(1+r)
3ヶ月目の元利合計は (ar^2-2r-2)r = ar^3-2r^2-2r = ar^3-2(r^2+r) 残額は ar^3-2(r^2+r+1)
残額の2（）の部分が等比数列の和になることに着目すればいい。

関数f(x)が等式f(x)=x^2−x∫[0→1](t)dt＋2∫[1→x]f'(t)dtを満たすとき、次の問いに答えよ。


(1)f(x)は2次関数であることを示せ。

(2)f(x)を求めよ。

[06佐賀大]

※f'(t)はf(t)の微分です

今高二なのですが、この問題がわからないので誰かお願いいたします。

>>598
マルチ

>>587>>588
ですよねー
解答にはあのまんま書かれてたんでつい…
本来はどう表すべきなんですか？

(円）+l(直線)=0 のことかな
A,Bを通る円で ok

ほんと？

>>601
それは連立とはいわんだろ。
まぁ>>546か、持ってる参考書が間違ってるのかも知れんが、意図はそういうことなんだろうな。

小学生みたいな質問でスミマセンが
５ｎ／５は約分してｎに出来ないのでしょうか？
また５ｎ／ｎは約分して５に出来ないのでしょうか？

ｎの３乗プラス１が３で割り切れる時、３で割り切れる数を全て求めよ ヒント ３ｋ＋１、３ｋ−１
これ解いてください

NO THANK YOU

それと
５ｎ／３ｎ〓２ｎで合ってますか？

3 つの正数 x, y, z, が x + y + z = 1 をみたすとき, 不等式
(2 + 1/x)(2 + 1/y)(2 + 1/z) ≧ 125
が成り立つことを示せ.

教えてください.

>>599みたいに「マルチ」しか書かない奴はどんだけ暇なんだとｗ

この問題もお願いします.

二次正方行列 A, B が
　A + AB + B = O
　A^2 + 2AB + B^2 = O
を満たしている. このとき, AB = O であることを示せ.

>>608 log(2+1/x) に凸不等式
>>610 A^4 = B^4 = O を示し、さらに A^2 = B^2 = O を示す。

ありがとうございました

>>598
∫f'(t)dt=f(t)より
f(x)=x^2-ax+2(f(x)-f(1))
f(x)=-x^2+ax+2f(1)
f(1)=-1+a+2f(1)
f(1)=1-a
f(x)=-x^2+ax+2(1-a)
a=∫[0,1](-t^2+at+2(1-a))dt=[-t^3/3+at^2/2+2(1-a)t][0,1]=-1/3+a/2+2(1-a)
5/2a=5/3
a=2/3

>>612 「A,B 可換を示したあと」を追加してくださいな

>>612
葦見てた？

>>608の問題、絶対見たことあるんだが、出典が思い出せん。
今色々と問題集漁ってみてるんだが…。

葦？とはなんぞですか？
まずいもんにレスつけたかな

立て続けにすみません.
これもお願いします.

二次正方行列 A, B が
　A^2 - 2AB + B^2 = O
を満たしている. このとき A と B は可換であることを示せ.

葦わかったかも。ある程度知ってたからできる問題ではあります。
ってーことは、どっか出し合いっこ由来９歳

t>0とする
y＝1-x^2とy＝1･x^2/t^6+ax+bが点(t,1-t^2)で共通の接線をもつ.
とかいてある問題で、考え方という欄に、

二つの放物線は点(t,1-t^2)で共通の接線をもつ

⇔二次方程式1-x^2＝1･x^2/t^6+ax+bがx＝tを重解にもつ

⇔1･x^2/t^6+ax+b-(1-x^2)＝(1･x^2/t^6+1)(x-t)^2
と因数分解できると書いてあるんですが因数分解できる理由がわかりません…
大まかでもいいのでどなたか教えてください…

NO THANK YOU

>>620 表記がよくわからんよ。 y = (x^2/t^6) + ax + b （２次式）？ （or 分数関数？）

てかルベグ積分までとはいわないが、リーマンぐらいまでは勉強したほうが
結構いいと思う。線形は、写像とばして固有値くらいまで

誤爆か？

0以上の実数x,y,zが、x^2+y^2+z^2=1をみたしながら変化するとき、(1-x)(1-y)(1-z)の最大値を求めよ。

ヒントだけでもいいので、お願いします。

>>625
相加相乗平均　

時間かけたら出来るけど60分じゃ足らないセンター数�UＢ
どうやって勉強すれば良いんだ

【一つ一つの内角が１０度の多角形は存在するか】

ということに関して、「存在しない」と証明できるでしょうか？

>>628
（n角形の内角の和）/n=10

>>627
天下の『大学への数学』の東京出版からでている
マニュアルという本があってだな

>>622
遅れてすみません！
tの6乗分のxの2乗＋ax＋bのことです…

二項定理の問題で
p*p-1Ｃk-1=k*pＣk が成り立つ事を証明せよ。

p*p-1Ｃk-1=p*(p-1)!/(k-1)!{(p-1)-(k-1)}!
ここまでは解るのですが、この式が何故
=p!/(k-1)!(p-k)!

となるのかが分かりません
凄く初歩的な部分ですがどうかご教授お願いします

それだと >>620 は （2次式）=（4次式） みたいになってるね。単なるミスタイプ？

1-x^2 = (1/t^6)x^2+ax+b が x=t を重解を持つ
⇔ (1 + 1/t^6)x^2 + ax + b-1 = 0 が x=t を重解を持つ
⇔ (1 + 1/t^6)x^2 + ax + b-1 = (1 + 1/t^6)(x-t)^2 = 0

最後の所は、x=t を重解にもつから (x-t)^2 を因数にもち、x の２次の係数が一致するため
(1 + 1/t^6) が必要ということ。

>>632
分子
（p-1)! = (p-1)*(p-2)*…*1
これにpを掛けたら何になる？

分母
（k-1)!はそのまま。

(p-1)-(k-1)を計算したら何になる?

>>634
アーッ!なるほど
わかりました
分子に単純にpに何か代入してみればわかりやすかったですね

a1=-1/4
a(n+1)=an+n*(3^n-1)
のとき、数列{an}の一般項を求めよ

これの解説をお願いしますorz
階差数列ですよね?どうしても答えが合いません

>>636 一応確認するが、最後のカッコの中は(3＾ｎ)-1 でいいのね?
3^(n-1)ってことは無いね?

>>637
すみません、3^(n-1)です
わかりずらくてごめんなさいorz

>>636
答えが合わないってんならお前の答えと途中式を晒せ

>>638
a[n]= { (1/2)n - 3/4 } * 3^(n-1) 
 = { (3~（ｎ-1）) * (2n-3) } /4
でおけ? (n=1,2,3 では確認したつもりだが）

>>638
漸化式の両辺を3^(n+1)で割り、a[n]/3^n=b[n]とおき
b[n]の2項間漸化式�@においてnをn+1とすると、b[n+2]とb[n+1]の2項間の関係式�Aが得られ
�Aと�@を片々引いて得られた3項間漸化式においてb[n+1]-b[n]=c[n]とおくと
よく見かける線形2項間漸化式に帰着

…てな感じで合ってる？

こういうのは階差より「左辺にn+1の式、右辺にｎの式を作って等しくなるための
係数を決める」と考えたほうが早いことがあって、今回もそれでやってみる。

a[n+1] - (p(n+1)+q) *3^n = a[n] - (pn+q) *3^(n-1) 
と書くと、「ｎに関わる対応するところ」が、左辺では右辺の+1になってる。
(元の式で3^(n-1)にｎが掛かっているので、これをｎの一次式に置き換えてみた。
この場合はこれでうまくいくのだが、一般論としてはちょっとした慣れと試行錯誤が要る。）

3＾n = 3*3^(n-1) であることから、a[n+1]だけ左辺に残すと、右辺は
3^(n-1) { 3(p(n+1)+q) -(pn+q) }
=3^(n-1) { 2pn + (3p+2q) }
元の式と見比べてこれがnに対して恒等的にｎに等しいのだから、
2p=1、3p+2q=0 これより p=1/2、q=-3/4
（後は長く書いてるが、実質ここで終わってる。>>641が一般的な手法だと思うが、
　このとき方から見ると遠回りに感じられるでしょ?）

これらのp,qの値について(解けているが見易さのためp.qのままで書く）
a[n+1] - (p(n+1)+q) *3^n = a[n] - (pn+q) *3^(n-1) 
がどんなｎでも成り立つというのだから、右辺でn=1のときを考えると
-1/4 - ( (1/2)*1 -3/4 )*3^0 = -1/4 + 1/4 =0
つまりどんなｎ≧2でも、前述のp,qに対して
 a[n] - (pn+q) *3^(n-1) =0 なのだから a[n]= (pn+q) *3^(n-1)

n=1のときもこの式は成立。
あくまで階差でやりたい、なぜ合わないか知りたいというなら>>639が正論。

方向ベクトルって縦書きしても大丈夫？

ベクトルの表記は縦書きの列ベクトルというのもちゃんとあるんだよ。
紙面の都合で横に書く行ベクトルっていうのが多いかもしれないが。

>>643
大丈夫
縦書きは計算ミス減らせるってメリットがあるしなｗ

>>633
ほんとだ…
すみません、ミスです！

最後のとこですが、x＝tを重解にもつとなぜ(x-t)^2を因数にもつことになるんですか…？

次の真偽を述べよ
nの二乗が偶数⇒nは偶数

nの二乗＝2kとすると
n＝±√2k

k＝1のとき
n＝√2
≒1.4142…
これは２の倍数ではない
よって偽

解答は真で反例を使ってました。
何故このようにしてはいけないのでしょうか？
本当に馬鹿ですみません。お願いします。

>>645
教科書読む。
2次方程式が重解もつのに (x-1)(x-2) みたになっていいわけねえっぺよ

>>647
「nは整数」とかどっかに書いてないか？
n^2=2のときはnが整数にならないので考慮対象外

>>647はnは整数って条件がありました。
すみませんでした。

>>649
ご指摘の通りです。
すみませんでした。

>解答は真で反例を使ってました。
対偶か？

背理法だと思われ

>>647
真の命題に反例なんぞ無い

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1をみたしながら動くとき、
方程式x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0の解のとる値の範囲を求めよ。

この問題で解答はs,tを対象式として捉えて逆像法（逆手流）で解くという解法で、
内容も理解できました。

しかし私は、初見時に、
与式・・・(*)
s^2+t^2=1より、s=cosθ、t=sinθとおくと、s、tは単位円上の点で、かつ第一象限上の点である。
よって(*)を解くと、
x^2=cosθ+sinθ±2√(sinθcosθ)
⇔x=±√｛sinθ+cosθ±√(sinθcosθ)｝
⇔x=±(√sinθ±√cosθ)
⇔x=|√sinθ|+|√cosθ|・・・(1)
O≦θ≦π/2より、xの範囲は
-2^(3/4)≦x≦2^(3/4)・・・(解)

と解いて、答えは一致していました。

しかし、(1)から(解)に至るまでに直感では理解できるものの、記述としては論理の飛躍が見受けられます。
この論理の飛躍の溝を埋めるにはどのような記述をしたらいいのでしょうか？
色々と考えたのですが、わからなかったです・・・

文系なので数�Vを習っていないため、ルートや三角関数の微積はできないので、数�T〜Bまでの範囲で答えてもらえるとありがたいです。
ちなみに東大の過去問です。

(1)がそもそも間違えてるし、
訂正した後も(1)から(解)に至る部分がこの問題の主要部分だから
論理の飛躍どころではないと思う。

(1)間違ってるね
(1)の前まではまぁ間違ってはいない

>>652-654
反例じゃなくて対偶でした。
すみませんでした。

対偶って背理法か？

>>655
x=±√cosθ±√sinθ（複号順不同）
p=±√cosθ
q=±√sinθ
p^4+q^4=1
x=p+q, y=p-qとすると
x^4+6x^2y^2+y^4=8
y^2=-3x^2±√(8x^4+8)≧0より複号の-は不適で
√(8x^2+8)≧3x^2
8x^4+8≧9x^4
8≧x^4
-2^(3/4)≦x≦2^(3/4)

>>658
>p^4+q^4=1
(p, q)が|p|, |q|≦1の正方形内にあるx,y軸・原点対称な閉曲線であることを認めて貰えるなら
(p+q)^4≦(1^2+1^2)^2(p^2+q^2)^2≦(1^2+1^2)^3(p^4+q^4)=8
-2^(3/4)≦p+q≦2^(3/4)　（等号成立はp=q=±2^(-1/4)のとき）
とした上でp+qは連続であるから連結な曲線上では最大値と最小値の間の値をすべて取ると言ってもいいかもしれません

>>661
>x,y軸
p, q軸

「三角形ABPで、直線ABに平行で三角形ABPの面積を２等分する直線と
線分BPの交点をTとすると　BP=√2TP　となるから〜〜」
という解説があったんですが、どうしてBP=√2TPになるのでしょうか？

面積比；辺長の２乗比

>>663
その直線のAPとの交点をSとすると△ABP∽△STP で、
面積比2:1が相似比の2乗になってるから。

>>661
＞p+qは連続
２変数関数としての意味なら範囲外

0.3805(x-3)≦0.375x-1<0.3815(x-3)の計算が
0.3805(x-3)≦0.375x-1からx≦25+(8)/(11)・・・�@
0.375x-1<0.3815(x-3)から22+(3)/(13)・・・�A
となるんですがどういう風に計算すればいいんでしょうか？

>>664-665
ありがとうございました。

ｔａｎA-1/tanA=2
A=n/m*π

このｎとｍはいくつになりますか？

>>669
普通に方程式を解けばすぐわかるだろう。

X/е^XのX→0って何になりますか？

>>671
工ｴｴｪｪ(´ﾟдﾟ｀)ｪｪｴｴ工

>>671
「(e^x)/x のx→0の極限が（有限の)値を持てば」、考えている極限の値はその逆数。
「」内が分からないなら、eの導入のところを最初から勉強しなおし。

０か…

>>673
すまん、寝ぼけてた。e^x→1、x→0だからそのまんま自明か orz

>>669
tan^2A-2tanA-1=0
tan2A=2tanA/(1-tan^2A)=-1
2A=3/4π, 7/4π
A=3/8π, 7/8π

sinA/cosA-cosA/sinA=2
sin^2A-2sinAcosA-cos^2A=0
-sin2A-cos2A=0
√2sin(2A+π/4)=0
2A+π/4=π, 2π
A=3/8π, 7/8π

次の和を求めよ

2 　　 2 2 2
----- + ----- + ------ + ・・・・+ -----
1･2 2･4 3･5　　　　　　　n(n+2)

なんで-1/n+1がでてくんの？

どなたか教えてください。
半径１の円に内接する四角形ABCDにおいて，AB=√３，∠ADC＝７５°，∠BCD＝120°であるものとする。
（１）∠ADB,∠DAB,∠DACの大きさを求めよ。
（２）線分CD，ACの長さをもとめよ。

という問題ですが，（１）は正弦定理等を使ってでるのですが、（２）は自分は△ACDにおいて余弦定理の公式
にあてはめたら答えがAC＝（√6±√2）/2と二つになってしまいました。しかし回答は頂点Dから線分ACに垂線を引き、
交点をHとし、AC＝AH＋HC＝ADcos45°＋DCcos60°として答えをだすのでひとつに決まります。自分はどこで間違ってる
のでしょうか？よろしくお願いします。

>676
tan2A が存在するかどうかわからないのに、いきなり書くのは ?

>>678
おそらくAD,DC,角DACから出しているんだと思うけど、
それだけでは三角形がひとつに決まらない。
三角形BCDも同じ条件を満たすからね。

>>677
最初の項は2/(1*3)の誤りだと思っておく

(与式)
=(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+…(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))
ここで、1/3〜1/nはすべて相殺するので
=1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)
=3/2-1/(n+1)-1/(n+2)

誤りじゃないなら定数部分は4/3

>>678
なるほど〜！気づきませんでした。どうもありがとうございました！！

アには＜、＝、＞のいずれかが入り、イには数字。

a,bを実数の定数とする
（a-2b)x＋5a-b＞0
となるxの値の範囲がx＜１であるとき、
a-2bア0かつb=イaが成り立つ。

すごく簡単な問題だと思うのですが教えてください。。

>>679
Aがπ/4であるとき不適と先に書けばいんじゃね？

>>684
π/4→π/4の整数倍

>>683
a-2b＝0のとき、5a-b＞0となり不適
a-2b＞0のとき、x＞-(5a-b)/(a-2b)となり不適
a-2b＜0のとき、x＜-(5a-b)/(a-2b)
よって、-(5a-b)/(a-2b)＝1
∴b＝2a

ア＜
イ2

なるほど・・・、あてはめていけばいいんですね・・・
こんな質問に時間割いてくださってありがとうございました＾＾

xy平面上において、点(3,1)で直行している２直線L、L'があり、行列(11,12,21,22成分の順に2,p,0,-1)で表される１次変換fはLをL'に移す。このとき、pの値を求めよ。

という問題なんですが、方向ベクトルは方向ベクトルへ移るということを違う参考書で学習したことがあったので、L、L'の方向ベクトルをそれぞれ(1,m)、(m,-1)とおいて、１次変換の公式に代入して求めたところ、答えはp=1,-1と２つ存在するのにp=1しかでてきませんでした‥‥
どうして２つ答えが出てこないのか教えて下さい。
方向ベクトルは方向ベクトルへ移るというのは特殊な場合のみ可能な手法なのでしょうか？

>>688
そんな手法聞いた事ねｗ
　
つかそんな事しなくてもL上の(3,1)を移動させた時L'上にあんだからL'の方向ベクトルはp使って求まるし、逆にp使ってLの方向ベクトルもでるから
内積=0
でpは2つ値出るだろ

>>688
↑dが方向ベクトルなら-↑dも方向ベクトル

>689さん
志田晶の〜面白いほどという参考書でかかれてました。
自分は初め、質問のスレに書いた通りに解いて、さらに689さんのおっしゃられた解法でも解いてみたら後者の解法では２通りなのに前者では１通りだったのでわけがわからなくなってしまったんです。

>690さん
すみません自分程度の理解力ではよくわからないので、詳しくお願いしてもよろしいでしょうか？
すみません。

(2 p)
(0 -1)
でいいの？

>>688 >>689じゃないが。　
方向ベクトルをv↑、ある定点の位置ベクトルをa↑、動点の位置ベクトルをp↑と
すると、直線の方程式は p↑=ｔｖ↑+a↑ (tは実数）
これを行列Aで1次変換すると、移動後の動点の軌跡は
t(Av↑）+(Aa↑)になって、方向ベクトル(Av↑）、
通過する定点の位置ベクトル(Aa↑)になる。方向ベクトルが方向ベクトルに移る、
というのは確かに成立することになる。

ただ、>>688の方針だと
>L、L'の方向ベクトルをそれぞれ(1,m)、(m,-1)とおいて
・ｙ軸に平行な直線が表されていないから、これは別に検討する必要がある
・移動後の方向ベクトルはもとの方向ベクトルと直交することは確かだが、
　|Ａｖ↑|＝|v↑|とは限らないのだから、書くとすれば(km,-k)としなければならない。
（k≠0、さもないと定点）

さらにこの方針は、必要条件でしかない。この問題の場合、新しい直線L'も(3,1)を
通る必要があり、「方向ベクトルの直交」はこのことをまったく保証しない。

要するに、この問題に適用しようとしても帰って遠回りで面倒がいろいろ出てくると思う。

2^nを5で割った余りをAnとする。
Anの一般項を求め、7^nを5で割った余りはAnで表せることを示しなさい。

数列が周期性に変化するのは分かるんですが、どう表わしたらいいのか分かりません、お願いします。

>>695
＞数列が周期性に変化するのは分かる
そういう感覚をそのまま答案にしたいなら、数学的帰納法

A(4k-3)=2,A(4k-2)=4,A(4k-1)=3,A(4k)=1と推定できる
A(4k+1)
=16×A(4k-3)
=16×(5a+2)
=5×(16a+6)+2
みたいな感じで

定石としては16=15+1として二項定理を使うとか……

間違えた
2^(4k+1)
=16×2^(4k-3)
=16×(5a+2)
=5×(16a+6)+2

>>693さん
そうです。わかりにくくてすみません。

>>694さん
本当にありがとうございます。
ご説明がとても丁寧で大変わかりやすかったので自分が何を見落としているか非常によく理解できました。
貴重な時間を割いて答えていただき、本当にありがとうございました。

>>690さん
理解出来ました。そうすると２つ出てきますね。
でも694さんがおっしゃられたように、私の解法で得られる答えは必要条件でしかないことと、各軸に平行な直線の１次変換による場合が式自体の意味に内在されていないので、さらに残りの場合を調べなければいけないのであまり良い解法ではないですよね。
答えていただきありがとうございました。

地底工学部志望の現役です。
センターは170コンスタントに越えれるようになったんですが、2次は部分点かき集めて4~5割しか取れません。
どんな勉強が一番効果的でしょうか。

因数分解の問題ですが、よろしくお願いします
x^6+s^3-6x

702です
すみません、写し間違えました
正しくは
x^5+s^3-6x
です

>>703
s って何？

>>704
分からないです
とにかく、「因数分解しなさい」ってだけで他にはなにも書いてないです。

>>701
数学の勉強の仕方 Part122
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1226972828/

>>705
sがxの表記ミスなら、有理係数、無理係数、複素係数と
いろいろ設問にバリエーションがつけられるんだがな

駿台センタープレの数学�TＡの第１問[２]についての質問です

整数の集合Ａ、Ｂ、Ｃを
Ａ＝{3k|kは整数}
Ｂ＝{3k+1|kは整数}
Ｃ＝{3k+2|kは整数}
とする。

｢n^3−１が９の倍数である｣ことは｢nがＢの要素である｣ための

�@必要十分条件である
�A必要条件であるが、十分条件でない
�B十分条件であるが、必要条件である
�C必要条件でも十分条件でもない



これの答えが�@なのですが、納得がいかないんです
nが整数であるとかの前提がないので、例えばnが10の三乗根なら
｢n^3−１が９の倍数である｣ことは満たしますけど
｢nがＢの要素である｣ことは満たさないので
�Aが答えだと思うんですが

10の三乗根は、どうやっても「整数の集合B」の要素にはなれないわけだが。

>>709
だから�Aではないのかと

すみません、言い方が悪かったです

｢n^3−１が９の倍数である｣をｐ
｢nがＢの要素である｣をｑ
としたときに

ｑ→ｐが成り立つのはわかるんですが
ｐ→ｑは成り立たないですよね？
と言いたかったんです

ｐ→ｑとはつまり
ｐを満たすnはｑを満たす
ということですよね？
では
ｐを満たすnの中でも、10の三乗根や19の三乗根などは、ｑは満たさないので
ｐ→ｑは成り立たないですよね？

わかったよ、ｎの範囲について整数（または自然数）であるという宣言が
無いことが問題だといいたいわけね。

確かに、問題が書かれたとおりであるならば、瑕疵がある問題だとも言えると思う。

ただし、「大学受験においての”実際的な”対応」としては、このように
数の範囲として何を考えているか、明記されていなければ（この条件は大事）

「整数の集合Bの要素になりうる文字ｎ」について考えている段階で、
ｎについてもBと同様、整数と言う範囲で考えた答えのほうが"安全"だと思うよ。

あと、問題の瑕疵だと言い切るためには、あなたが問題に関わる部分を忠実に
写しているという保証も必要。大問1が独立した小問[1]と[2]になっているなら
[2]の頭からの全文を確認したい。

三角関数の問題なんですが
sin10゜＋sin50゜
＝2sin30゜cos20゜
＝cos20゜

というのが問題(セ追.04)の途中式にあったのですが
２段目へは和から積を導く公式ですぐ出たのですが
どういう風にしたらcos20゜になるのか分かりません。

どなたか解説お願いします

sin30ﾟ=1/2

>>714
ぁ・・・。
深く考えすぎてました＾＾;
お恥ずかしい。。

ありがとうございました

数列{an}は初項a_1=2で、第３項a_3=-1/2である。

Sn=�農[ｋ=1、ｎ](−１)^(k-1)a_k (n=1,2,3,......)

とするとき、数列{Sn}は等比数列となった。

問１　Snをｎの式で表せ。

問２　数列　{a_n}の第n項a_nは？

質問です。どなたか教えてください、お願いします。

>>716
(2−a[2])^2＝2*{2−a[2]−(1/2)}＝3−2a[2]
⇔a[2]^2−2a[2]＋1＝0
⇔a[2]＝1

>>716
S_nの式は、要するにS_n=a_1 - a_2 + a_3 -+ … +(-1)^(n-1)*a_n
ということだから、a_2=αとすると
S_1 = 2　　S_2 = 2-α　　S_3 = 2-α+(-1/2) = 3/2 -α
これが等比数列になるってんだから、等比中項の性質から
αの2次方程式ができる。　αが求まれば初項S_1と公比が求まるから
等比数列S_nをnの式で表すのはかんたん。

この結果を
S_n -S_[n-1]=(-1)^(n-1)*a_n に代入して整理すればa_nが出る。

>>718
ありがとうございます。
Snは求められました。
最後の行のSn-S_n-1=.....のところがわからないんですよね？

>>712
> ただし、「大学受験においての”実際的な”対応」としては、このように
> 数の範囲として何を考えているか、明記されていなければ（この条件は大事）
>
> 「整数の集合Bの要素になりうる文字ｎ」について考えている段階で、
> ｎについてもBと同様、整数と言う範囲で考えた答えのほうが"安全"だと思うよ。

確かに僕もそうは思ったのですが
仮に解説にそんなことが書かれていたなら納得できないんですよね

> あと、問題の瑕疵だと言い切るためには、あなたが問題に関わる部分を忠実に
> 写しているという保証も必要。大問1が独立した小問[1]と[2]になっているなら
> [2]の頭からの全文を確認したい。

わかりました
のちほど全文を載せます

>>719
「ですよね。」ではなく「ですよね？」なので逆にこちらに>>719の意図が
わからないのだが、書いた式の意味がわからないということ？ ならば、
S_nの定義式から、S_[n-1]に何を足すとS_nが作れるかを考えてみればいい。

>>708
屁理屈だな。
厳密な数学でも｢混乱の恐れがない限り｣という暗黙の了解事項はある。

例えば、何の断りがなくても
ｘ＾2＋１＝0　は複素数の範囲で解いて
ｘ＾2＋１＜0　は実数の範囲で解く。

枝葉に噛み付いても益はない。噛み付くなら幹に噛み付けよ。

>>708の問題(第１問[2])を省略せず書きます
断言しますが第１問[1]は[2]とは全く関係ですから、[2]だけ書きます

整数の集合Ａ、Ｂ、Ｃを
Ａ＝{3k|kは整数}
Ｂ＝{3k+1|kは整数}
Ｃ＝{3k+2|kは整数}
とする。
(1) 次の[ソ],[タ]に当てはまるものを下の(0)〜�Aより選べ。
nがＡの要素であるとき、n^2−1は[ソ]の要素である。
nがＢの要素であるとき、n^2−1は[タ]の要素である。
(0)Ａ　�@Ｂ　�AＣ

(2) 次の[チ],[ツ]に当てはまるものを下の(0)〜�Bより選べ。
｢n^2−１がＡの倍数である｣ことは｢nがＢの要素である｣ための[チ]。
｢n^3−１が９の倍数である｣ことは｢nがＢの要素である｣ための[ツ]。
(0)必要十分条件である
�@必要条件であるが、十分条件でない
�A十分条件であるが、必要条件である
�B必要条件でも十分条件でもない

(0)←これはゼロにマルの記号のかわりです
答えは順に２、０、１、０

>>722
> 厳密な数学でも｢混乱の恐れがない限り｣という暗黙の了解事項はある。
>
> 例えば、何の断りがなくても
> ｘ＾2＋１＝0　は複素数の範囲で解いて
> ｘ＾2＋１＜0　は実数の範囲で解く。

その暗黙の了解はわかりますけど、下の場合は『実数ｘ』とかの前提はほぼ間違いなくあると思いますよ

> 枝葉に噛み付いても益はない。噛み付くなら幹に噛み付けよ。

よくわからないんで比喩は勘弁してください…

>>712だが、書かれたので全部であれば>>712前半と意見は変わらない。
まあ、本試験ならちゃんとnの範囲については規定されるはずだ。何たって
受験者側の人生がかかってるんだから、不必要なところで迷わせはしないはず。

あと一応確認だが、「第1問」という見出しから、「[1」]が始まるまでの間にも
文字全体やｎにかかわる情報は、まったく何も書かれてないわけだね?　当然ながら、

問題1
　ある記述
[1]
 問題
[2]
 ([1]とはまったく関係ない）問題 

という構成だったら、「ある記述」は[1]、[2]の両方に適用されるわけだが。

>>725
> まあ、本試験ならちゃんとnの範囲については規定されるはずだ。何たって
> 受験者側の人生がかかってるんだから、不必要なところで迷わせはしないはず。

そうですね
僕も一つ前の書き込みのあと頭を冷やしてちょっと考えたんですが、本番ではありえないですよね
こんなことで時間を無駄にしてる場合ではないですよね
馬鹿でした

> あと一応確認だが、「第1問」という見出しから、「[1」]が始まるまでの間にも
> 文字全体やｎにかかわる情報は、まったく何も書かれてないわけだね?　当然ながら、
>
> 問題1
> 　ある記述
> [1]
> 問題
> [2]
> ([1]とはまったく関係ない）問題
>
> という構成だったら、「ある記述」は[1]、[2]の両方に適用されるわけだが。

それは大丈夫です
『第１問』と[1]の間には(配点20)しかないです
[1]にもkやnやＡ、Ｂ、Ｃについての記述はありません

勝手に駿台のミスって思い込むことにします
スレ汚してすみませんでした

>>708
駿台予備校に出題ミスを指摘すると喜ばれると思います

>>727
なぜ？

リミットn無限大x/nΣcos(xi/n) i＝1〜nってどうやって置換してとくんですか？

>>729
その式は何？

まぁ区分求積かなにかと考えるのが妥当だろうけど、それ以上は解析不能

区分きゅうせきです

（式が）解析不能と上で言ったはずだが

すみません
数学の課題で問題がでたのですがどう解いたらいいかわかりません＞＜
下記の問題をできるだけ詳しく説明していただけると幸いです

（Q１）
あみだくじで別々のところを選んだ2人が、同じところにあたるということは絶対にないといえますか。
※計算過程や考え方を筋道を立てて、論理的に丁寧に記すること。

なにも横線がないあみだくじ：1〜ｎ番の人が対応するa[1]〜a[n] に当選する仕組み

いまここに横線を1本引くと、どこか一つの対応関係が入れ替わる。
i≠jかつ1≦i,j≦ｎで、i番の人がa[j]に、ｊ番の人がa[i]に当選する。

ここで{b[n]}を、k≠i,j のとき b[k]=a[k]、b[i]=a[j]、b[j]=a[i]として定義すると
「元のあみだくじに、i,jをむすぶ横線を1本付け加えたもの」の当選状況は
「1〜ｎ番の人が対応するb[1]〜b[n] に当選する仕組み」となり、これは
結局もとの状況と同じであり、元の人は一人ずつ別々の対象にダブリ無く当選する。

横線を引くごとに同じように考えていけば、結局、有限個の横線を引いても
状況に変わりは無いので、「別のところを選べば必ず別のところに当たる」ことは
保証されているといえる。

大学の線形代数で行列使った証明もできそうだ（定式化はまだなんとかできそうだが、
どう証明するかはすーーっかり忘れたけど）

>>734
反対から戻れるから

>>736
???

>>734
写像f:S→S (S:有限集合) において 単射⇔全射 が成立することを使ってみては。

>>737
多分、逆を辿れる→結果が2つになるのは変って言いたいんだろう。

対称群だー（板違い

>>738
その通り

なぜ結果が２つになるのが変なのか、を証明する問題なんだと思ってたけど

>>741
同じく。

>>741
あみだくじでは進む道の選択をすることは出来ません

3以上9999以下の奇数aでa（a-1)が10000で割り切れるものをすべて求めよ。

>>744
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/05/t01-22a/8.html
ttp://www.densu.jp/tokyo/05tokyossol.pdf の4番
ttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2005/05t1ab04.htm
ttp://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&year=2005&num=4

この問題を親切な方教えてください＞＜

点Oを中心とする半径1の円に内接する等脚台形ABCDがあり、AD//BC,
∠ABC＝∠BCD＝π/3であり,Oは等脚台形の内部にある。∠OBC＝θとするとき,
(1)等脚台形ABCDの面積Sをθを用いて表せ
(2)Sの最大値とそのときのθの値を求めよ

みなさんにとっては簡単な問題かと思いますがどうかお願いします

>>746
(1)まず、辺BAとCDを上に伸ばしてその交点をEとする。
台形の面積は
(三角形EADの面積)-(三角形EBCの面積)で、三角形EADとEBCは正三角形。
正三角形の面積は一辺の長さをpとしてp^2×√3/4
EADの一辺の長さはAD,EBCの一辺の長さはBC
よって、台形の面積は(BC^2-AD^2)×√3/4
ADは三角形OADに着目して2cos∠OAD
BCも同様に出せる。∠OADは四角形の内角の和とかを使って出してください。
あとは因数分解して和積の公式を使う。
(2)sinの2倍角でも使っておけばあとはできるでしょう。
ただ、「Oは等脚台形の内部にある」とあるのでθの変域に注意してください。

長々とすみませんでした。極力計算を減らしたつもりですが、、、

すみません。
>>747の3行目は(EBCの面積)-(EADの面積)でした。

>>746
対称性については容赦なく使うことにして
∠BOC=2φ[1], ∠BOA=φ[2], ∠AOD=2φ[3]とおく。
△OBCでθ+φ[1]=π/2
△OAB or △OCDでφ[2]+2((π/3)-θ)=π
円の中心でφ[1]+φ[2]+φ3=π
よってφ[1]=(π/2)-θ, φ[2]=(π/3)+2θ. φ[3]=(π/6)-θ
S=△OAD+2△OAB+△OBC=(1*1/2)*(sin(2φ[3])+2sin(φ2)+sin(2φ[1]))
　=(1/2)(sin((π/3)-2θ)+2sin((π/3)+2θ)+sin(π-2θ))　…… (*)
　=(1/2)(sin((π/3)-2θ)+2sin((π/3)+2θ)+sin(2θ))
　=(1/2)((sin((π/3)-2θ)+sin((π/3)+2θ))+sin(2θ)+sin((π/3)+2θ))
　=(1/2)(√3cos(2θ)+sin(2θ))+sin((π/3)+2θ))
　=(1/2)(2sin(2θ+(π/3))+sin((π/3)+2θ))
　=(3/2)sin(2θ+(π/3))
φ[k](k=1,2,3)の存在条件より0<θ<π/6
よって2θ+(π/3)=π/2 i.e. θ=π/12のときSは最大値3/2をとる
--
(*)では位相に注目すると((π/3)-2θ)+2((π/3)+2θ)+(π-2θ)=2πであるから
どうにか簡単に済ませそうな感じがするのだが。

>>746
ACとBDの交点をE
AC/sin(π/3)=2・1
AC=√3
∠OCA=π/6
∠AEB=2∠EBC=2(θ+π/6)
2S=√3・√3・sin2(θ+π/6)
（∵AC=A'E, DB=EB'として△A'B'E=S)
2(θ+π/6)=π/2
θ=π/12
S=3/2

>>750
>∠AEB=2∠EBC=2(θ+π/6)
∠AEB=2∠ACB=2(θ+π/6)

>>745
有難うございました。感謝

>>747~>>750
親切な解答をどうもありがとうございました。
ほんとに感謝してます

媒介変数Θを用いて表された曲線
ｘ＝Θ−ｓｉｎΘ
ｙ＝１−ｃｏｓΘ
(０≦Θ≦２π)
およびｘ軸で囲まれた図形をｘ軸の回りに１回転させてできる回転体の体積を求めよ

この問題の解放と答えをお願いします

円Ｃ(x-2)+y^2 直線l y=kxについて
(1)円Ｃと直線lが異なる２点Ａ、Ｂで交わるとき、kのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) (1)のとき、線分ＡＢの中点Ｐが描く軌跡を求めよ。
この問題の(2)の答えは、 円(x-1)+y^2=1の1<x≦2 となっているんですが、どうして1<x≦2となるのかわかりません。
どなたか教えてもらえませんか？

本当に初歩的な問題で申し訳ない

＿
AB
↑こういう表記の仕方ってどういう意味？
円の問題で見るんだけど、ど忘れしてしまって…

>>755
Cの式がおかしい
答えから考えると
(x-2)^2+y^2=2か？

A(a,b), B(c,d), P(p,q)とする。
y=kxをこの式に代入して整理すると
(k^2+1)x^2-4x+2=0
解と係数の関係から、
a+c=4/(k^2+1)
Pのx座標は(a+c)/2だから、
p=2/(k^2+1)
kの範囲は(1)でわかってるから、
これによってpの範囲がわかる。

>>756
線分AB。円ならば弦ABと言っても同じこと。

>>754
x=θ-sinθは増加関数でθ:0→2πで0→2π
∫[0,2π]πy^2dx=∫[0,2π]πy^2(dx/dθ)dθ
これならθで積分できる

lを3以上の1桁の奇数とし、m,nを自然数とする。mとnに関する2つの条件p,qを次のように定める。

p:mとnはともにlの倍数である。
q:m+n,mnはともにlの倍数である。

このとき、条件pが条件qであるための必要十分条件となるようなlの値は何個か？

という問題です。

原始的にいろいろ試してみて、答えはl=3,5,7の3個だと思うのですが、理由がわかりません。

わかりやすく教えて下さい。
おねがいします。

p→qが成立するのは明らかだから、
q→pがどんなときに成立するか考えればいい。

もしｌが素数だったら、mnがｌの倍数であるためにはどちらか一方（mとして
一般性を失わない）がｌの倍数であることが必要。これでさらにm+nも
ｌの倍数であるのだから、nもｌの倍数となり、q→pが言える。

一方、ｌが合成数であれば上の議論は成り立たない場合が生ずる。
「3以上の1桁の奇数で合成数」は9だけだが、9=3^2 かつ　9=3+6　かつ
6もまた3の倍数。

したがってm=6、n=3という組み合わせ（また、一般に一方が3*（3α+2）、
もう一方が3*（3β+1）の組み合わせ）では、m+n=9　（または9（α+β+1））、
mn=18 （または9（3α+1）（3β+2））となり、m,nのいずれも9の倍数では
ないが、m+nとmnを9の倍数にすることができるようになる。

<<757
すいません(>_<) 式が間違ってました。 (x-2)^2+y^2=2でした。
教えていただいたのに申し訳ないんですが、まだよく分かりません(;_;)
(1)でkの範囲は -1<k<1と出ました。 解答には、0≦k^2<1 ゆえに 1<x≦2 と書かれているんですが、どうやって0≦k^2<1が出てきたのか、そしてなぜそこから1<x≦2になるのかわかりません(ノ_・。)

ハイレベル理系数学の例題29
s={1,2,3,4}
でsからsの上の1対1の写象ｆはいくつあるかと言う問題でなんですが、
そもそも1対1の写象の意味が分かりません
誰か教えてください

>>762
たとえば、y=x^2で、
定義域が-1<x<1なら、
値域は0≦y<1になるでしょ？それと同じ。

Pのx座標は
2/(k^2+1)で、
1≦k^2+1<2だから、
2/2<2/(k^2+1)≦2/1
よって、Pのx座標pの範囲は
1<p≦2

数列の問題です
ａ1＝２
ａ2＝３
ａn+2−ａn＝４

このときの、ａ40は？

初歩的な質問だと思いますがお願いします＞＜

>>765
a_[奇数] 系列と a_[偶数] 系列は切り離して考えて大丈夫。

{b_m}={a_[2m]} として数列{b_m} を考えると
（つまり、a_[偶数]だけ取り出して別の数列{b_m}を作る。
　添え字の数はa_nのときの半分になる）

{b_m}は初項が3（a_2）、公差が4の等差数列。
その第20項がa_40。

>>763
i≠j ⇒ f(i)≠f(j)
が1対1

>>763ですが
その解説もお願いします
特にわからない点は
fを４行二列する必要性がわかりません

>>766

ありがとうございます

公差をｄとして、
ａn＝ａ1＋(n−１)ｄ
に数を代入してｄをだして
a40を求めようとしたのですが
どうしてそれだと出来ないんですか？

>>768
4行2列というのが何のことか分かりませんが
f(1), f(2), f(3), f(4)は互いに異なるので1, 2, 3, 4の順列ということになり4!=24通りです

>>769
{a[n]}は等差数列ではありませんからその公式に当てはめられません

>>771
ありがとうございました！

>>763ですが、>>770さんへ
1,2,3,4の順列になると書いてあるのですが、
s={1,2,3,4}がfによって
s={1,3,2,4}、
s={4,3,2,1}にもなりうると言うことですか?

sは集合ですから要素の順序に依りません
fによって変わるのは対応です

何度もすみません

>>763ですが、
f(1)、f(2)、f(3)、f(4)つまり1234の順列になるのは、どうしてですか?

>>775
何が「f(1)、f(2)、f(3)、f(4)つまり1234の順列」になるかどうかを聞いているのですか？

すみません。説明不足でした。
言いたいのはsの要素がfによって変えられた時に、その要素が
[f(1)、f(2)、f(3)、f(4)]という並び順が関係するものなのになるのか?
そもそも'sからsの上へ'とはsの要素がfにより独立にsの要素になると言うことですか?

訂正します
>>775
何が「f(1)、f(2)、f(3)、f(4)つまり1234の順列」になる理由を聞いているのですか？

>>778
そうです

>>777
fはsからsへの対応であって
1が対応するのがf(1)
2が対応するのがf(2)
3が対応するのがf(3)
4が対応するのがf(4)です
1対1という条件がない場合f(1), f(2), f(3), f(4)として考えられるものはそれぞれ1, 2, 3, 4の4通りありますが
この問題の趣旨は1対1であるfを数え上げることですからf(1), f(2), f(3), f(4)は互いに異なります
すなわちf(1), f(2), f(3), f(4)が1, 2, 3, 4の順列になる場合を数え上げることになりその個数は4!=24です

>>779
あなたの質問の趣旨が分かりませんでした
>>778は私の質問です
「f(1)、f(2)、f(3)、f(4)つまり1234の順列になるのは、どうしてですか?」
には「なる」の主語がありません
「何が順列になる理由」を聞いているのかが分からなければ答えることが出来ません

f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4と定義されるfは条件に合致しています
f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2, f(4)=4と定義されるfも条件に合致しています
f(1)=4, f(2)=3, f(3)=2, f(4)=1と定義されるfも条件に合致しています
このようなfを数え上げることになります

集合AからBへの写像f:A→BとはAの要素aそれぞれに対してBの要素f(a)を決めることです
実数xに対して実数f(x)=x^2と決めることでR（実数の全体）からRへの写像を1つ決めたことになります

>>782
理解できました。本当にありがとうです
さらに問題があるのですが、
[２](１)のうち条件
f×f=fになるものはいくつあるか?

[解]sの要素がfにより1234がfにより1234になればいいから１つ

[３]同様にf×fが恒等写象となるものはいくつか?
[４]同じくf×f×fが恒等写象になるものはいくつか?
とあるのですが、3、4はfを何回かかけることで、本のｆに戻ることを証明すればいいですよね?

>>784
[2]
f×fとは合成写像のことですか？記号が違うように思います
任意のi=1, 2, 3, 4に対しf(f(i))=f(i)が成立すればよいのですが
(1)の条件即ち1対1であるfについて考えているので
任意のj=1, 2, 3, 4に対しf(i)=jであるiがただ1つ存在しています
よって任意のj=1, 2, 3, 4に対しf(j)=jであることになります
[3]
任意のi=1, 2, 3, 4に対しf(f(i))=iが成立することが条件ですのでf(i)=jとするとf(j)=iとなります
i=jの場合もあればi≠jの場合もありますので
i≠jでf(i)=j, f(j)=iとなるペアが0組1組2組に分けて考えますと
0組の場合すべてのf(i)=iで1個
1組の場合i, jの選び方が4C2=6通り
2組の場合i, jのペア2組の選び方が(4C2)/2=3通り
合計10通りです
[4]
f(f(f(i)))=iですのでf(i)=j, f(j)=kと置くとf(k)=iが条件です
このうち2つが等しければもう1つも等しいのでi=j=kでなければi, j, kはすべて異なります
i, j, kの3つ組は0組または1組ですので
0組の場合すべてのf(i)=iで1個
1組の場合(4C3)・2=8通り
合計9通りです

>>785
>このうち2つが等しければ
i, j, kのうち2つが等しければ

長さが30cmの針金を２つに切り、一方で円を、もう一方で正方形を作る。
円と正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればよいか。


途中で躓いてしまいました…
誰か解法お願いします…

>>787
マルチ？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1229380800/673

>>788
ですね
オレがせっかく穴埋めの回答まで作ったのに無視か

途中でつまずいた ＝ 何もやってません

>>764
2/(k^2+1)で、
1≦k^2+1<2だから、
とありますが、1≦k^2+1<2、はどうやったらでてくるのでしょうか？
馬鹿すぎてすいません(;_;)

>>791
0≦k^2<1の全部に1を足す。

3x^6 + 5x^5 - 6x^4 + 6x^3 - 7x^2 + 7x -1
を　x^2 + 2x -2 で割ったときの商と余りを求めよ。（セソター試験）


お願いします。

>>793
わってみれば〜？　（埼玉県春日部市：幼稚園児Nさんの意見）

#この問題なら、実際それが手っ取り早いと思うぞ

>>792
ありがとうございます！やっと理解できました。親切に教えてくれてありがとうo(^▽^)o

（→a・→b/｜→b｜^2）・→b≠→a　なのはなんでですか

>>796
a↑とb↑が同じ向きなら成立するから、つねに不等号が成り立つと書くと
それも間違い。（180°違う場合はこの場合同じ向きとみなす）


で、（）の中は実数のスカラー。ベクトルを実数倍しても向きは変わらないから、
a↑とb↑が同じ向きでない（平行でない）場合には成り立ちようがない。

>>797
→a・｜→b｜^2/｜→ｂ｜^2＝→aとはならないのですか

>>796
左辺が何を表しているかわかっていますか？
またベクトルでは割り算はできませんよ
→b/｜→b｜＝１とかにはなりません

左辺は→aの→bへの正射影ベクトルといいます
→bに垂直に光を当てたときにできる→aの影です
→a＝→OAと→b＝OBの始点をそろえて、わかりやすいようになす角を90度未満でとってください
Aから直線OBに下ろした垂線の足をHとするとHについて
直線OB上⇔→OH＝k→b
AH⊥OBより→AH・→OB＝(→OHー→OA)・→b＝０
これからk＝（→a・→b/｜→b｜^2）が得られ
→OH＝左辺となります

>>799
｜→ｂ｜^2/｜→ｂ｜^2＝１にはなりませんか。

>>800
当然のごとく成り立つが、それが成り立ったところで何が言える？

じゃあ（→a・→b/｜→b｜^2）・→b＝→a・｜→b｜^2/｜→ｂ｜^2＝→aってなりませんか

>>802
お前根本的に間違ってるな
>>797と>>799をちゃんと嫁

ざわざわ・・・

無い積（スカラー）とベクトルの区別できてらんぞこやつ

>>802
ならない。
(a↑･b↑)･c↑と書くと誤解を生むので下の様に書き直す
(a↑･b↑)*c↑
ここで・は内積。c↑というベクトルをk倍するとk*c↑となるが、
この場合a↑･b↑という内積がこのkにあたる。内積はスカラーだ。
君のように勝手に括弧を外しては式の意味が変わる。

>>800
それはＯＫ
|→b|は”大きさ”なので”ベクトル”ではなくただの”数”
数字同士なら割り算はできます
ただし→bは”大きさ”と”向き”を表していて
（”数”の計算である）割り算に”向き”を含めることがおかしいので
→b/|→b|や|→b|/→bのような割り算はできません

さらに勘違いしているようですが
→a・→bで一つの数"内積"です
→a・→b＝|→a||→b|cosθですので
(→a・→b)・（というかここの・は意味がない）→bは
→a・|→b|^2ではありません

大変な勘違いをしていたようです。どうもお騒がせしました

すみません。
−１／５の小数部分て０．２なんですか？それとも−０．２ですか？
もし、マイナスもいれるなら−６／５の小数部分も−０．２なんですか？
教えて下さい。

x=n+a(xは実数, nは整数, 0≦a< 1)
のnが整数部分、aが小数部分。
-1/5=-0.2=-1+0.8

ありがとうございます！！
理解できました！！！

>>793お願い
解答と合いません!

>811
解いたものを書くか、うｐしてくれ。それと、>793「セそター試験」ってふざけてると思われるよ。

>>812
http://www3.plala.or.jp/DocKKTT/page106.html

記述問題でトレミーの定理とかロピタルの定理とかチェバとか使っていいの？

記述問題でトレミーの定理とかロピタルの定理とかチェバとか使っていいの？やっぱ教科書にないやつはダメなのかな
マークではいつも使うけど

>>815
名前を出しただけで証明しないのでは減点間違いなし
だが名前を出さなくても使える場合もあるだろ？
こうすれば条件を満たします、と明示しておけば
あくまで天から降ってきた答えだと言い切れば

>>813
0 で割るってひでえ表現
整式はいつまでも「数」としないで、「操作」と考える

>>815
ロピタルは不可
トレミーは微妙
チェバは問題無い

プトレマイオスは普通に使えるしｗ

炉ぴたるが便利な場面ってのがよくわからん
炉ぴたる一回は一次の微小量を減じるだけで、殆ど一回微分系しかないでしょ

>>815
トレミーの証明は、ちょっとした参考書なら
練習問題かなんかで出題されてないか？

チェバは現行の学習指導要領で復活した、と考えられているし
受験を視野に入れた教科書なら普通に扱っている

ロピタルに関しては、使わなくても解ける設問しか出題されないし
ヘタに使われないよう、小問で誘導されるケースも多い
それでも、無理やり使うような背伸び君に関しては
｢ウチの大学にゃいらねえ｣と見なされて減点されても文句は言えねえ

>>813
思ったのだけど
そのサイトの解答間違ってね？
検算がてら直接ツールにぶっこんでみたけど
その解答にある √3 にはならないんだが…

間違ってるね。だれか教えてやっとけー

確率の問題で。

袋の中に赤球が3個、白球がn-3個(ｎ≧4)入っている。
この袋の中から球を一つずつ取り出していき、赤球を全て取り出したら終了とする。
k回目に終了するときの確率を求め、その期待値を求めよ。
なお、取り出した球は袋には戻さないとする。

k-1回目まで求めてk回目を〜っていう風にやったんですが上手く行きません、宜しくお願いします。

k 回目で終わるのは、k-1 回中赤は2個で、k回目は 赤(k≧3)

これだと同じことの繰り返しかな 例えば k=4 だったら
　　　C(3,2)･1 / C(n,3)

分母に注意です。

>>824
Σk・((n-3)C(k-3)/nCk-(n-3)C(k-4)/nC(k-1))
=Σ3・((k(k-1)(k-2))/(n(n-1)(n-2))
=Σ(3/4)(((k+1)k(k-1)(k-2)-k(k-1)(k-2)(k-3))/(n(n-1)(n-2))
=(3/4)((n+1)n(n-1)(n-2))/(n(n-1)(n-2))
=(3/4)(n+1)

-1÷3の余りって-1ですか？

>>828
2

OAベクトル＝aベクトル　ＯＢベクトル＝bベクトル
｜aベクトル｜＝｜bベクトル｜＝１　
aベクトル・bベクトル=k のとき
線分ＯＡの垂直二等分線の方程式を媒介変数tとaベクトル,bベクトル,k
を用いて表せ

「答案」
垂直二等分線上の点Ｐについて、ＯＰベクトル＝pベクトルとする
ＢからＯＡへの垂線をＢＨとし、∠ＡＯＢ＝θとすると
k＝aベクトル・bベクトル＝１＊１cosθ＝cosθ
｜aベクトル｜＝１であるから　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←ここから不明　　　　　　
　　　　　ＯＨベクトル＝（cosθ）aベクトル＝ｋ＊aベクトル

よろしくお願いします

>>830
OAの中点をMとすると、
MP↑はHB↑に平行だから、
MP↑=tHB↑と表せる。
また、OP↑=OM↑+MP↑

問．すべての自然数nについて2^n≧5n-7が成り立つこと証明せよ

教科書にありそうな感じの数学的帰納法の問題っぽいんですけど、基本どおりやってもなんかうまく行きません。

n=1のときは成り立つ
n=kのとき成り立つとすると2^k≧5k-7・・・(1)
両辺を２倍して2^(k+1)≧10k-14
次に10k-14≧5(k+1)-7・・・(2)を示し(1)、(2)よりn=k+1のときも成り立つ

という普通の流れでやっていくと、(2)が示せません。というより成り立ちません。k=2のときとか。
よろしくお願いします。

>>832
n=1, 2, 3については個別に示す
2, 4, 8
-2, 3, 8
n=k (k≧3)について成立しているとすると
2^(k+1)=2・2^k≧2(5k-7)=5(k+1)-7+5(k-3)+3≧5(k+1)-7より
n=k+1についても成立する

2^(k+1)=2^k+2^k≧8+5k-7≧5(k+1)-7
でもよいですか

>>833
nが1、2のときと3以上で分けて考えるのがコツなんですね。
確かに、>>832の（２）式は、k≧3なら成り立つ。

ありがとうございました。

三次方程式の組立除法で、右上の数字の出し方を教えて下さい。
2a^3 -a^2 -8a -4=0
の時はどうして２になるのでしょうか
　　　　　　　コレです
　　　　　　　　　↓
２−１−８　４　┃２
　　４　６−４　┗━
━━━━━━━━━━
２　３−２　０

>>835
左辺が0になるようなaを探す
その候補は　±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)

>>836
わかりやすく書いてくれてありがとうございました

y^2+a^2x^2=(x-1)^2(a:実数)において、この方程式が双曲線になる条件を求めよ。
で答えは0<|a|<1なのですが、
どこでａ≠０に気づくのか教えて下さい。
たまたま代入したらダメだった以外でお願いします。

平方完成すればいいだけ。
ａ≠０ より | a |≠1 に気付く方が先。

！！！すごくわかりました！！
ありがとうございます。

高校１年ですが…
ｙ＝Ｘ^2−４Ｘ＋５(0≦Ｘ≦ａ)について。
最小値、最大値を求めよ。ですが…
平方完成してから場合分けしますよね？
ですがなんで最大値を求める時に、ａ＝４、0＜ａ＜４、４＜ａに場合分け出来るんですか？
Ｘは消えたんですか？

>>841
頂点のx座標が2であることと、変域の左端が0なことから4が出てきます

a^3+b^3=p^3
これを満たす自然数a,b、素数pは存在しないことを示せ。という問題を教えていただけますか？

因数分解で場合わけしたけれど後半がうまく示せない。。。
(a+b,a^2-ab+b^2)=(p^2,p),(p^3,1) の二つがわかりません。。。

>>842もう少し詳しくお願いできませんか？わかりません…
後、ａ／２＜２、ａ≧ａ／２では出来ないのですか？

>>843
a=bはないので（その場合p=2でa^3+b^3=8となることはない）
a<bならa^2+b(b-a)≧a+bなのでa+b=p, a^2-ab+b^2=p^2しかありえません
このときp^2=a^2-a(p-a)+(p-a)^2=3a^2-3ap+p^2より3a(a-p)=0となりa=pで不適

>>844
下に書いてあるのは解説？

一度図を書いてみて。
変域の左端がx=0でそのときy=5だよね？
このy=5より大きく(小さく)なる変わり目がx=4の点なんだよ。
だからそこで場合分けをする。

>>845
トンクス。
こういうしょうもない問題でこけると焦るな(;^_^A

>>824
n個中p個ある場合に1個目の出る平均をE(n, p)とすると
2個目は平均2E(n, p)3個目は平均3E(n, p)…p個目は平均pE(n, p)そして対称性を考慮するとnから逆に数えてp個目は平均E(n, p)であるはずだからn+1-E(n, p)=pE(n, p)よりE(n, p)=(n+1)/(p+1)
よって求める値は(n+1)p/(p+1)

初歩的な質問ですまんが
駿台の青い表紙でセンター予想問題８回分ってやつの一番最初の問題の第1問[1]で、
解説の左下の方でいきなりｍが出てこれる理由がわかりません
あと同問でなんで2ｎ＋じゃなくて2ｎ±なのかわかりません
もし持ってる方がいたら教えてください

青いの2種類あると思うけど
ここは問題から書くかアップしないと解答はもらいにくいよ

>>846 遅くなりすみません。何となくですが分かった気がします…
もっと問題に慣れるように頑張ります

a、bはともに有理数である
これの否定は何かって問題なんですが、
否定ってなんですか。逆裏対偶ってのは知ってるんですが

>>852
命題Aに対して「Aでない」が否定です
「a, bともに有理数である」の否定は「a, b何れかは有理数でない」です

>>821
医学科再受験生が答えは出ているし、論理的にもおかしくないのに
大減点されていたりするのはそういうわけか。

ａ、ｂを正の定数とする関数f(θ)＝asinθcosθ＋b(sinθ−cosθ)−1 について以下の問に答えよ。ただし 0≦θ≦π とする。

�@ｔ＝sinθ−cosθ として、関数 f(θ) をａ、ｂ、ｔ を用いて表せ。

�Af(θ)＝0 となるような点(ａ,ｂ)全体からなる領域を座標平面上に図示せよ。


�@はできましたが、�Aにおいてはｔの範囲だけ求めて行き詰まりました。



ケータイからすみません……。

すいません。�Aの問題は


f(θ)＝0 となるθが存在するような〜


です。

f を t の2次方程式と見て、t がその範囲に解を持つようにしてあげる。

ロピタルなんて大学教養数学でも必要ねーよ
んなもん受験数学程度で振りかざそうとする奴は余程の数学的素養のないもの、論外

命題「大学教養数学で必要ない定理ならば、それを受験数学で振りかざすのは余程教養がなく論外である」
この命題の真偽を判定せよ