＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part77＊＊＊

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。

質問をする際の注意

★★★必ず最後まで読んでください★★★

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1) 1/2aは (1/2)a あるいは 1/(2a) ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
　(例2) 数列の場合も、anよりも a(n) 、a[n]、a_n などと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/


前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part76＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1203099881/

丸美屋

>>1乙。

この板って保守必要だっけ…… スレが落ちてもつまらないので、保守代わりに
質問じゃないが出題で。

問題：
t>0とする。
(1) 3辺の長さが1+t^2、1-t^2、2t となる三角形は直角三角形であることを示せ。
(2)(1)の三角形の、長さ1+t^2、1-t^2 の2辺で挟まれた頂点をA、直角になる
　頂点をC、もう一つの鋭角の頂点をB、角Aの2等分線とBCの交点をDとする。
　この図を使って、0度より大、45度未満の角に対しての正弦・余弦の
　2倍角の定理を証明せよ。

↑スマソ、0<t<1とする。に訂正。

この図を使うということは線分の長さをいろいろ計算しろということですね
∠A=2θの2等分線ということでBD:DC=BA:AC=(1+t^2):(1-t^2)よりDC=t(1-t^2)よって三平方の定理よりAD=(1-t^2)√(1+t^2)
するとsinθ=DC/AD=t/√(1+t^2), cosθ=AC/AD=1/√(1+t^2), sin2θ=BC/BA=2t/(1+t^2), cos2θ=AC/BA=(1-t^2)/(1+t^2)
よってsin2θ=2(t/√(1+t^2))(1/√(1+t^2))=2sinθcosθ, cos2θ=(1/√(1+t^2))^2-(t/√(1+t^2))^2=cos^2θ-sin^2θ
こうでしょうか

>>5
企画に乗ってくれてありがとうございます。

それで正解ですが、実はもっとショートカットできます。
DC=t(1-t^2) まではその通りですけど、ここで t がこの図の中で
どんな意味を持つか考えると、ADの長さを介さずに一気にいけます。

数III等では定番の形なんで知ってる人にはバレバレですが、
図形的な意味を考えてみようということで。

t=tanθですよね
すると三角関数をtan(θ/2)で表す式と同じものがこの図から得られるのでそこからは定義通りに辺の長さの比で求めるのではなく三角関数の式変形で
sinθ=2t/(1+t^2)=2tanθ/(1+tan^2θ)=2(sinθ/cosθ)/(1+(sinθ/cosθ)^2)=2sinθcosθ
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)=(1-tan^2θ)/(1+tan^2θ)=(1-(sinθ/cosθ)^2)/(1+(sinθ/cosθ)^2)=cos^2θ-sin^2θ
とするわけですか？
（1/cos^2θ=1+tan^2θを公式的に使えば最後の式変形はもう少し楽にもなりましょうね）

>>7
>sinθ=
>cosθ=
sin2θ=
cos2θ=

>>7 想定してたのはその線です。

>三角関数をtan(θ/2)で表す式と同じものがこの図から得られるので
とありますが、一般にtan(δ/2)=tのとき、sinδ=2t/(1+t^2)、
cosδ=(1-t^2)/(1+t^2) となる関係は、普通はこれらの式の右辺が
天下りに与えられて、それをδ/2=θとして倍角公式を使い、左辺に
導くものだと思います。

ここでは、0<θ<45°に限定して、逆に図形から倍角公式を出してみよう、
という意図だったわけです。なお、t=tanθはDC/ACとしてやはり図形的に
出てきます。7さん以外で読んでる方のために、念のため。

最後のご指摘をもう一歩だけ進めて、
1/(cosθ)^2 = 1+(tanθ)^2 → 1/(1+(tanθ)^2) = (cosθ)^2 までやっておけば
とくにsin2θのほうはサクサクと答えが出るかなと。

スレも生き残ってるようです。お付き合いありがとうございました。

質問させてください。

mを6以下の正の整数とする。
{x^2-(2/x)}^m←�@とおく
の展開式で0でない定数項が出てくるようなmの値をすべて求めよ。
また、{x^2-(2/x)+1}^6の展開式の定数項を求めよ。

という問題なのですが、解答を見ると
�@の展開式の一般項はmＣr(-2)^r*{x^(2m-2r)}/x^r
1≦m≦6、0≦r≦mであるから、
2m-2r=rを満たすm、rの組は(3.2)(6.4)←ここの行の意味が分かりません。
特に2m-2r=rがどういう意味なのか？教えていただけますでしょうか。

>>10
>mＣr(-2)^r*{x^(2m-2r)}/x^r
mＣr(-2)^r*{x^(2m-2r)}/x^r=mＣr(-2)^r*{x^(2m-3r)}
2m-3r=0となるのは(m,r)=(3,2),(6,4)でどうでしょうか

>>10
>また、{x^2-(2/x)+1}^6の展開式の定数項を求めよ。
A=x^2-(2/x)と置くと{x^2-(2/x)+1}^6=(A+1)^6=A^6+6A^5+15A^4+20A^3+15A^2+6A+1ですので
A^mから定数項が出るのがm=0, 3, 6の場合のみであってその時の定数項がそれぞれ1, 3C2(-2)^2=12, 6C4(-2)^4=240であることから
求める定数項の値は1・1+20・12+1・240=481です

多項定理を使うと
(x^2-2/x+1)^6=Σ[i+j+k=6,i,j,k≧0](6!/(i!j!k!))x^(2i)(-2/x)^j1^k=Σ[i,j,k≧0, i+j+k=6](6!/(i!j!k!))(-2)^jx^(2i-j)
となりますので、i,j,k≧0, i+j+k=6で2i-j=0となるのは(i,j,k)=(0,0,6), (1,2,3),(2,4,0)の3通りということから
求める定数項が6!/(0!0!6!)(-2)^0+6!/(1!2!3!)(-2)^2+6!/(2!4!0!)(-2)^4=1+240+240=481となります

統計学の勉強をしたいと思うのですが何か良い参考書などはありますか？

エロ本

統計「学」だったら大学の前期/教養課程向けの教科書探す。

あるいは「完全独習 統計学入門」（ダイヤモンド社）
「マンガでわかる統計学」（オーム社）等の実用的入門書とか。

受験板なんで、数B(特にセンター)を統計で受験したいという意味かも
しれんが、だったら適当な本は知らない。どっちにせよ、ここは
問題への質問スレなんで、適当なスレに移動して。

統計学なんでもスレッド7

348 ：１３２人目の素数さん：2008/01/25(金) 06:14:45
マンガでわかる統計学って入門書としてはどうよ？

349 ：１３２人目の素数さん：2008/01/25(金) 08:33:27
最近本スレで著者乙宣伝が出ているようだったがここも浸食か

>348 漫画にページをとられるぶん説明が減っている
ただし細かい計算ばかりの本よりはよいという意見もどこかにあった

基本の説明に重点おいた本がベストだろうけど
２ｃｈにはそこまで見極める読者が少ないのかそういう視点の評は見つからない

一方基本中心の本については高校の教科書もけっこう書いてある
（というかみな勉強してこないので大学で学び直さないといけない）
のでそれとの比較が必要


350 ：１３２人目の素数さん：2008/01/25(金) 12:46:03
>349
絵ではずいぶん楽しませてもらった。
個人的に高橋信とトレンドプロのものはいい。
ただ、肝心の統計の中身はいかほど理解できたか心許ないｗ

351 ：１３２人目の素数さん：2008/01/25(金) 14:09:12
マンガでわかるシリーズは
学び終えてもう分かっている人が
ニヤニヤ・ゲラゲラしながら読む"漫画"

これから学ぶ人にとっては
かえって本質が理解できずに読み終えてしまう・・・

無難に高校の教科書が良い


また『もえたん』にも同様なことが言える
もう既にその英単語の意味を理解している人が
萌え萌えしながら読む本

まだその英単語を覚えていない人には
無駄なイメージだけが先行し意味を理解せずに終わる


352 ：１３２人目の素数さん：2008/01/25(金) 20:24:41
>351
激しく同意

ベクトルの分野で質問です

円Oに内接する三角形ABCがあり、AB=4,AC=6、∠BAC=60°とするとき、次の問いに答えよ。

(１)内積AB↑･AO↑と、AC↑・AO↑を求めよ
(２)AO↑＝xAB↑+yAC↑となるような実数x,yを求めよ。
答ｘ＝1/6,y=4/9
(１)は出来たのですが、(２)は出来ませんでした。方針が一つも立たない状況です。
解説お願いします。

質問させてください。


2次方程式の解の問題で、

ax^2 + bx + c = 0　の
『解 α,β が違符号』の時は、
αβ<0 〜　ac<0, b^2-4ac>0, 〜α,βは実数解。
と繋がり、
αβ<0 という条件だけでα,βは実数解。になっていると解るんですが、

『α<2,β>2 』の場合、、α-2<0,β-2>0　〜
(α-2)(β-2)<0 ,　と来て ここからどうやって
この条件だけで「α,βは実数解。」に繋がるのかが解らず悩んでいます。

グラフで考えると「α,βは実数解」だと解るのですが・・・
違符号の時の「b^2-4ac>0」みたいなものも 今度はありませんし
一体どうやったら、
(α-2)(β-2)<0　から「α,βは実数解」に繋がるのでしょうか。？

>>18
(1)の結果に代入してxとyの連立方程式をつくる

>>19
α-2、β-2は上のやつで実数、でいい?

>>20連立からいけました。ありがとうございました。
すいませんが、さっきのともう１問、ベクトルでつまっている問題があります・・。

OA=1OB=2AB=2、OBの中点をMとし、OからABに降ろした垂線とAMとの交点をPとする。
このとき以下の問いに答えよ。
(１)OA↑＝a↑OB↑=b↑とするとき、
a↑・b↑を求めよ。
(２)OP↑をa↑、b↑を用いてあらわせ。答7/9a↑+1/9b↑
(１)はできたのですが、(２)ができなかったです。

(２)はOP↑をAP↑を使ってあらわせることはできたのですが・・いまいちわかりませんでした。

>>21
点PはAM上にある、これを使って OP↑をa↑とb↑で
OP↑⊥AB↑

ありがとうございました・・延長線のことを考えて内積０へ持っていく発想ができなかったです。。

１＋ｘ／１＋２ｘ≧０
∴（ｘ＋１）（２ｘ＋１）≧０かつｘ≠−１／２
という変形はいわゆる定跡ですか？

知ってればすぐに変形できるだろうけど、
知らなくても丁寧に場合わけすれば同じ結果になるし、
それにさほど手間は掛からないと思うが。

>>25
ありがとうございます
一応丁寧に場合分けして確かめてみてから、変形してみます。

丁寧に、と言っても、分母の2ｘ+1≠0は明らかなので、
2x+1>0の場合 、分子のｘ+1≧0
2ｘ+1<0の場合 、分子のｘ+1≦0

の2通りだけだけどね。これをまとめれば、24の2次不等式の形になるけれど、
その2次不等式を解くときは、結局上の形に戻す。だから、
積≧0かつ分母≠0 という形を（「定石」を使わない場合に）わざわざ経由する
必要はない、はずです。

質問させていただきます。
ラグランジュの補間式という式に出会ったのですが、どうやってこの式が出てきたのでしょうか？参考書には証明がなくて困っています。どなたか教えていただけませんか？
それとｎ次関数はｎ＋１個の項で決定されるのでｎ＋１個の異なる点がわかれば決定されると考えていいのでしょうか？

>>28
高校の範囲の多少の逸脱は許すけどラグランジュの補完多項式は完全大学専門課程の話。
ほかで聞きなさい

基本的なことなんだろうと思いますが、三角関数にπが入ってくると途端に解らなくなります。

「π＜θ＜3/2πとする」ってどういうことでしょ？解答は第三象限云々。2π＝360度と考えればいいの？

>>30
それでOK。ひょっとして数IIを古い教材でやったか、学校の
レベル不足のための自習してるかといったところなのかな?

現行課程では、弧度法（πを使った角度表記）は、数IIで
ほぼ必修扱いになっていて、センターでもこの表記です。
数III内容の数学理論では、この表記でないと間に合わなくなります。

0度〜330度の30度刻みと、45度・135度・225度・315度について、
弧度法表記と角度表記を裏表に書いた単語カードでも作れば
すぐに対応は頭に入ると思うよ。

>>31
レスサンクス。そそ、今21だから旧課程なんだよね。πを角度で使うんだ。

そっか、30度刻みや45度刻みなら2π＝360から暗算で出せるね。それさえ出来れば弧度表ってやつは覚えなくてよい？

例えば23/6πとかは4π−1/6π、つまり−30度(330度)で桶？

そっだよ〜

>>32　あとは弧度法の定義と、これに関わる、扇形関係の計量に関する公式は
一応押さえておくべきかと。たとえば中心角θを弧度法で表記すると、
弧長 l = rθ　
　（↑実は逆に、扇形から ｌ/rの大きさをθとして定義したのが弧度法による角度）
面積S = (1/2)r＾2θ （= (1/2）ｌｒ ）とかになる。

あと余計かもしれないけど、数I・A・Bの中での単元配当の入れ替わり・改廃等も
あるから、できればどっかでちゃんとした新旧課程の比較表を入手することを
お勧めします。とりあえず
http://passnavi.evidus.com/tokushu/new/01.html
が見つかったのでURL載せておきます。

>>34
桶ゞ
解らなかったやつ全部出来た。

丁寧なレスほんまにありがと。

-2.9の整数部分はなんで-3なんですか-2じゃないんですか？

2.9の整数部分は２なのはわかるのですが・・

それしたら、0.1も-0.1も整数部分は0になるよ

(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)+(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
シネガイオマス

(X^3)^(4k＋3)＋1 はなぜｘ^3＋1で割りきれるのでしょうか？

a^2-3ab+b-9　これを因数分解するにはどうすればいいんですか？

あまりにも莫迦なことなのですが、質問させてください。
繁分数式
ってどう読むんですか？（今は、しげるぶんすうと書いて変換しました…）

本質の研究を１からやろうと思って始めたんだけど、�Tの数と式のところで十進法やらp進法やらがでてきた。これって受験に必要か？
やっとけカスと言うならやっとく。

>>38
丹念に展開汁
>>39
y^(4k+3)+1がy+1で割り切れるから
>>40
次数の低いbについて整理汁
>>41
「はんぶんすうしき」
>>42
やっといて損はないと思うが

>>43
じゃあやっとく。

>>43
ありがとうございます。答えを出すことができました。

>>43そこがわかんないんです。y^(4k+3)+1がy+1で割り切れるのはどうやってすぐわかったのでしょうか？何度もすいません

>>46
因数定理

>>38
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)+(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

[第1群と第3群、 第2群と第4群はふたつの（）が共通してるので、これを先にをまとめる]

=(a+b+c)(-a+b+c){(a-b+c)+(a+b-c)}+(a-b+c)(a+b-c){(a+b+c)-(-a+b+c)}
=2a(a+b+c)(-a+b+c)+2a(a-b+c)(a+b-c)

[-a+b+c=(b+c)-a , a-b+c=a-(b-c)であることを考えて]

=2a{(b+c)^2-a^2 + a^2-(b+c)^2}
=0

ちょ、最後で間違えたw

=2a{(b+c)^2-a^2 + a^2-(b-c)^2}
=2a*4bc = 8abc

>>47 あぁ。わかりました。ありがとうございました!!

>>43
どうもありがとうございます。

本質の研究２Ｂの158ページ例題57
x+y-2=0...�@ x-2y+2=0...�A
の交点AとB(2,3)を通る直線の方程式を求めよ。

連立方程式を解いてAの座標を求めてやる解法はわかるのですが、
交点Aの座標を求めずに解いています。有名なものですが、
なぜx+y-2+k(x-2y+2)=0...�Bとするのかがわかりません。
公式的な感じで覚えてしまうほうが良いのでしょうか?

黄色チャート64ページ77の(3)

二次方程式x^2-x＋8=0の2つの解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。
α^4-15β

解答では　α^4-15β=(α-8)^2-15β=α^2-16α＋64-15βとして解いていっているのですが
どうしてα^4が(α-8)^2　つまりα^2が（α-8）となっているのかわかりません。

よろしくお願いします

覚えておく方が良いけど、なぜかは理解しておこう。

(3)は(1),(2)の交点のx,yを代入するとkが幾つであっても成立する。
つまり(3)は交点を通る直線群となっている。
kの値を調整すればすべての傾きが生成できるから、他に交点を通る直線は無い。
だから、交点を求めなくても問題は解ける。

>>53
最初の方程式を見てみろ。移項すれば明らか。

私大文系の数学が難い！という大学学部を知ってる方教えてください(^o^)／ ちなみに慶應商が第一です(^O^)

>>55　ありがとうございます！

思うに参考書の何ページとかって
その参考書を持っていない人は答えにくいかと思うのだが・・・

画像うｐしたほうが回答しやすいのだがな

>>54
なんとかわかることは出来ました。定着させます。ありがとうございました。

sin1/xやxsin1/xのグラフはどうやって書くんですか？

�VＣを独学でやるんだけど青チャートと赤チャートはどっちが質がいいと思います？

単純に書き方という話なら、まず、1/xが頂点を取るxをいくつかチェックする。
x軸と交わる部分も正確にしたければ、1/xがπ/2,π,3π/2,π,2πとなるよう
逆数をチェックして、その点をつなぐように1〜-1の範囲で書いていく。

xsin1/xの場合は、さらに、y=xと、y=-xの直線を仮に書いておいて、
頂点がそこに来るようにグラフを書いていく。

む、難しいすね…
今のではよく分かりませんでした…

まず、グラフの概形は分かっているのか？
sin1/x のみに限定して話すと、当然最大1最小-1になる。
そこまではOK?

はい|sin1/x|≦１てことですよね。そこまでは大丈夫です。

じゃあ、具体的に1や-1を取るポイントを考える。

sinx の場合は、x=π/2,3π/2,5π/2・・・・の時に取るわけだから、
sin1/xの時は、1/xが上記の値の時になる。
ついでに、π,2π,3π・・・の時は0になる。
そうなる時のxをグラフ上にチェックする。
手書きなんだから完璧でなくてもいいから。

>>42
p進法は重要だと思いますが、志望校の数学の難易度次第ですね。

2つの円　x^2+y^2+4x-2y-4=0 x^2+y^2+x-8y-13=0
の共通弦の長さを求めよ。

この問題の解き方お願いします

あ、x≒0付近で無限に-1~1の間で振動の形になります。

>>68
円の方程式を互いに引けば直線の式になる。これが2つの交点を通る式。
これをどちらかの円と連立して交点を求めて2点間の距離。

>>69
そう。
0付近は波が細かすぎてかけないから手書きならそれっぽくすればOK
0になる所と頂点さえ正しくつかめていれば問題ない。

xsin1/xの場合は、
今頂点に当たる部分が、y=xと、y=-xの直線の上にくるって事。
これをはみ出さないように波を書いていく。
気をつけるのは、「頂点に当たる」といっている部分は、
本当のグラフの頂点でなく、2つの直線に接する所って事と、
マイナス側では、上下が逆になること。

>>70
なるほど、わかりました。自分で書いてみます^^
ありがとうございましたm__m

3点　O(0,0)、A(x、y) ,B(x'、y')を頂点とする△OABの面積Sは、
S=1/2｜xy'-x'y｜で与えられることを証明せよ。という問題で、

しょっぱな、直線OBは方程式y'x-x'y=0…�@であらわされる。とあるのですが、
この�@式は直線OBの方程式y=y'/x'*xを変形して導いたのでしょうか？
それともこういう一発で�@のように書けるものなのでしょうか？

>>72
そう。変形して書いたもの。どっちでもいいような気がするけど変形した方が便利。x'が0の場合分けをしなくてすむから。

すいません、
×…A(x、y)
○…A(a、b)
にしてください。

>>73
行き違いすんません。
ありがとうございます！

>>72
内積を使えば一発で出る、切片形とかだと分母にaとかきて気分が悪い上に変形が要る
直線状の点へのベクトル(x, y)がベクトル(a, b)に平行
(x, y)//(a, b)だから(x, y)は(a, b)に垂直なベクトル(b, -a)に対して垂直
(x, y)･(b, -a)=0 ∴bx-ay=0
勿論(y, -x)･(a, b)としてもいい。

421 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/03/24(月) 13:46:28
2つの円　x^2+y^2+4x-2y-4=0 x^2+y^2+x-8y-13=0
の共通弦の長さを求めよ。

この問題の解き方お願いします。

俺がレスしてやったというのに、お前……

>>76
内積とは高度な技をつかいますね、beautiful!

>>76,77
「法線ベクトル」の一言でも済むけどな。が、丁寧な説明は悪いことじゃない。

ただ、ベクトル既習が前提だったら、>>72のSが

1/2√（|OA↑|^2|OB↑|^2 - （OA↑・OB↑)^2）
=1/2|OA↑|・|OB↑|√（1-(cos∠AOB)^2)
=1/2|OA↑|・|OB↑|sin∠AOB

って手筋もある。この問題から離れるが、1行目の式は展開した形と異なり、
空間でも使えるという重要なポイントがあるね。

こういう手筋ではないということは、逆にベクトル使わずに説明したほうが
いいのかもしれない、ともちょっと思った。

因数分解しろという問題なのですが

「x^2-xy-2y^2+2x+5y-3」

これが

＝(x-2y+3)(x+y-1)

となる事が理解できません…

どうしても

(-x-y+1)(-x+2y-3)

となってしまいます。

何が悪いのか指摘とやり方を教えて下さい〜
宜しくお願いします。

>>79
両方の括弧を-1でくくれば、答えと同じになる。

1*1=(-1)*(-1)

>>80

確かにそうなんですが、答えを見た後で気付いたので、これでは結局同じ問題が出ても不正解のまま提出してしまいます。

何故-でくくらねばならないのか、私の答えでは何故いけないのか、当然答えと違うのだからという事なのですが、いまいち分からなくて悩んでいます。

>>82
そうだねぇ
正しいかどうかわからんけど、俺の考えを書かせてもらうと
ｘの項から問題文が始まってるから、解答もｘの項から解答書いてるわけだよね
だから、そのｘの項に−1っていう係数がついてるのが嫌だから
それをはずしてきれいな形に整理するために両方の括弧を−1でくくってるんじゃないかな
俺はそういう感じで解答作ってるわ

別に間違ってない
(-x+……)*(-x-……)っていう書き方より
(x-……)*(x+……)という書き方の方が綺麗なのは分かるでしょ

cos2x=1-2*sin^2*x
なんでこうなるの

>>85
cos(2x)=1-2(sinx)^2にはなるけどそうはならんのじゃね？

合同式を不定方程式で応用したいんですが、メドが立ちません･･･
どなたか具体例で示していただけるとありがたいです。

>>86
^

>>88
最後の*xが意味不明なのだが

>>89
確かに。さっきは文脈から読み取って*を無視してしまっていた

>>83>>84

なんと!

そういう事でしたか、確かに-が付いてるのは違和感がありますが…

それで不正解だとしたら、微妙な気持ちです…

そして、答えと私の解答の、括弧でくくってる中身の式が逆ですからこれも減点なんでしょうか？

質問させてください。

サイコロをn回なげるとき、偶数が連続して出ることはない確率をp(n)とすると、
答えによると、p(n+2)＝p(n+1)/2+p(n)/4
となるらしいのですが、どのように考えればいいでしょうか。
よろしくお願いします。

>>91
そんなバカな話あるわけないだろ。交換法則とか結合法則ぐらい知ってるだろう
a+b=b+a, a*b=b*a
もし解答が(x+1)(x+2)となってる問題に対して(x+2)(x+1)と答えたら間違いなのか？
>>91
初めの1回が偶数か奇数かで場合分け。

サイコロは>>92だった

>>91
(-x-y+1)(-x+2y-3) がどのような扱いを受けるかは、
試験の性質による。
模試や入試で、これが減点材料になることはあまり考えられない。
決して間違いではないから。

定期試験では、減点の対象となる可能性はかなり有る。
文字式の扱いを勉強しているあたりで、上記のような答案を見れば
先生としては、あまり理解できていないと考えるだろうから、
「裁量」として減点をすることはありえる。

>>93
その場合分けはなんとなく思い付いたんですけど、そこからが…

>>96
p回投げるとき
1回目が奇数(確率 1/2)のとき 残りのn-1回が偶数であればよい (1/2)*p(n-1)
1回目が偶数(1/2)のとき 2回目は奇数である必要があり……
これらは背反だからなんとかかんとか

>>97
なるほど。解決しました。
ありがとうございました。

空間図形の問題です。


OA=OB=OC=√(35), AB=6, CA=4√2, ∠BAC=46°の四面体OABCがある。

（１）三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
（２）四面体OABCの外接球の体積を求めよ。

（２）がわかりません。。どなたか教えてください。よろしく頼みます・・・。

・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
数学板の2つのスレにマルチした次は、受験板か……

三角形ABCがあり、点Pを頂点A上に置く。
コインを投げて、表が出れば半時計周りに点Pを頂点Cに移動し、
裏が出れば時計回りに点Pを頂点Bに移動する試行を考える。
コインをn回投げて点Pを動かした時に、点Pが頂点A上にある
確率の極限を求めよ。

という問題の漸化式の立て方について教えていただけますでしょうか？

f(x)=x^2+ax+bが∫(0~1)xf(x)dx=∫(0~1)x^2f(x)dxを満たすとき、

(2)二次方程式x^2+ax+b=0は相異なる実数解をもち、そのうち少なくとも1つは０と１のあいだにあることを示せ。

教えてください＞＜

>>102
(1)はどうした？ｗ

大抵は誘導になっているのだが・・・

>>103
(1)∫(0~1)f(x)dxを求めよ

です。

すみません教えてください
このスレで「0~1」という記述があったのですが、どういう意味なんでしょうか

想像力の欠如

積分範囲だとおも

あ〜ダメだ　異なる実数解をもつことを示すことまでしか出来ない〜

お願いします。

「n!がn!=(2^p)x(3^q)x(5^r)....と素因数分解できるとき、
n!の右端の0の個数Zはmin(p,r)であるが、」　　　　　　　　・・・・・・・・(ア)

明らかにp≧rであるから、Z=rとなる。

右端の0の個数とは、300なら2個
1000なら3個などと考える。

(ア)の部分はどう考えたらいいのでしょうか？
証明してもらえると助かります。

>>109
少しは具体的にに手を動かしてみろ。
300=3*10^2=3(2^2)(5^2)
1000=1*10^3=(2^3)(5^3)
から何か分からないか？

>>102
f(x)=0の実数解が(0,1)に無いとすると、[0,1]でf(x)≧0かf(x)≦0の何れかが成立する。
★f(x)≧0の時
[0,1]でx-x^2≧0なので[0,1]で(x-x^2)f(x)≧0
すると∫[0,1](x-x^2)f(x)dx＞0
これは∫[0,1](x-x^2)f(x)dx=0に反する。
★f(x)≦0のとき
f(x)≧0の時と全く同様故省略。
従って"f(x)=0の実数解が(0,1)に無い"は否定され、"f(x)=0の実数解の少なくとも一つは(0,1)に存在する"が結論付けられる。

因みに相異なる実数解を持つことも、これから導かれる。

>>101
問題文が変かな？問題文を読む限り、n≧1でPが頂点Aにある確率は0な気がする。
勘違いしてたらごめん。

>>109
10=2*5だから、素因数分解したときに何個2と5のセットがあるかで後ろにつく0の個数がわかる。
セット数は個数の少ないほうに合わせられるからmin(p,r)とかっこいい書き方をするならあらわせるね。


例題
N=1*2*・・・*49*50は0が右端に何個つきますか？

答え
2の倍数が25個、4の倍数が12個、8の倍数が6個、16の倍数が3個、32の倍数が1個
含まれるから、素因数分解したときに2は47個含まれる。
5の倍数が10個、25の倍数が2個含まれるから、5は12個
よって0はmin(47,12)=12個右端につく

>>111
なるほどぉ―…

>>101 3点あるんだから3組の漸化式を立てればよい。

以下ネタバレ。

n回目に点A,B,Cにある確率をそれぞれa_n、b_n、c_n とすると

a_0=1 , a_(n+1) = (1/2)b_n + (1/2)c_n
b_0=1 , b_(n+1) = (1/2)c_n + (1/2)a_n
c_0=1 , c_(n+1) = (1/2)a_n + (1/2)b_n
a_(ｎ+1)+b_(n+1)+c_(n+1) = a_n + b_n + c_n = … = a_0 + b_0 + c_0 =1
より、第1式は
a_(n+1)=1/2(1-a_n) と変形できる。

実は、「Aに来るためにはその前回にA以外のどちらかにいて、
その時1/2の確率でAに戻る」と見抜ければいきなりこの式に
到達することも可能。相性のあう方針でどーぞ。

↑b_0=0、c_0=0 に訂正。 行をコピペしたとき直すの忘れた。

>>117
有難うございます。

修正
>>115
有難うございます。

>>110 >>113

よくわかりました。どうもありがとう。

>>115
多分そういう在りがちな問題だとはおもうんだけど、
問題文を読む限り>>112になるのでは？

だって、常にBかCにいるんだから。

>>112　>>120
たぶんこのような問題文だと思う。

三角形ABCがあり、点Pを頂点A上に置く。
コインを投げて、表が出れば半時計周りに点Pを三角形ABCの頂点に動かし、
裏が出れば時計回りに点Pを三角形ABCの頂点に動かす試行を考える。
コインをn回投げて点Pを動かした時に、点Pが頂点A上にある
確率の極限を求めよ。


これ一橋の2次試験問題を理系用にアレンジしたんじゃない？
という問題の漸化式の立て方について教えていただけますでしょうか？

参考までに一橋の問題は

三角形ABCがあり、点Pを頂点A上に置く。
コインを投げて、表が出れば半時計周りに点Pを三角形ABCの頂点に動かし、
裏が出れば時計回りに点Pを三角形ABCの頂点に動かす試行を考える。
コインをn回投げて点Pを動かした時に、点Pが頂点A上にある
確率を求めよ。

>>121>>122
なるほど。博識の方が居て良かった。
ありがとう。

質問です。
関数Y=(X^3+1)^(1/2)の定義域を考えたいのですがX^3+1≧０だから負になってはいけないのでなんとなくX≧-1となるのはわかるのですが､どういう式変形でこうなるのか教えて下さい。
X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)とすればX+1≧0かつX^2-X+1≧０またはX+1≦0かつX^2-X+1≦0までは考えられました。後者の場合はなぜ成り立たないのでしょうか。

X^2-X+1={X-（1/2）}^2+（3/4）≧3/4


X^2-X+1≧3/4であり、X^2-X+1≦0をみたすXは実数の範囲では存在しない

X+1≧0かつX^2-X+1≧０またはX+1≦0かつX^2-X+1≦0
これ間違い

おそらくマイナス*マイナス＝プラスってのと勘違いしているのだろうな

∫[0,π/2](sint)^6dt=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)

の理由or掲載してある参考書とかあれば教えて下さい

I(n)=∫[0,π/2](sint)^(n)dt=∫[0,π/2](sint)^(n-1)　(-cost)' dt
とおいて部分積分をすると
I(n)={(n-1)/n} I(n-2)
という漸化式を得る

さんきゅ

>>125-127わかりました。ありがとうございました!
指摘された通りマイナス*マイナス＝プラスってのと勘違いしていました。

>>126-127 等号の処理には問題があるが、
(x+1)(x^2-x+1)>0 ⇔ ( x+1>0 かつ x^2-x+1>0 ) または (x+1<0 かつ x^2-x+1<0 )
はちゃんと成立するだろ。「または」の後ろを満たす実数xが存在しない、というだけで。

これが同値にならないというなら、
「実数の値をとる式A,B,に対して、
AB>0 ⇔ (A>0 かつ B>0) または (A<0 かつ B<0) 」
が、「AとBの式を実際に検討しないと審議の判定不能」になっちゃうよ。

指摘してるのがまさに等号の部分である、というならばこちらの誤読、申し訳ない。

2x^3+3x^2-1
=(x+2)(2x^2-x+2)-5

この行程をお願いします

自己解決しますた

レベルが低すぎてすまんがこの因数分解のやりかたを教えてください
(a+b)(b+c)(c+a)+abc

展開して例えばaについて整理してたすきがけ

>>135

暇だから答えてみる。

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

とりあえず展開。

=(ab+ac+b^2+bc)(c+a)+abc
=(abc+ac^2+b^2c+bc^2+ba^2+a^2c+ab^2+abc)+abc

最低次の文字について降べきの順にする。この問題の場合、aもbもcも２次だから
どの文字についてまとめてもいい。（ここではａについて行う）

=(b+c)a^2+(3bc+b^2+c^2)a+bc(b+c)

aについての２次多項式と見て、たすきがけをする。

={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}

中かっこ内で展開して整理。

=(a+b+c)(ab+bc+ca)

しゅーりょー

貼っとく
http://www9.atwiki.jp/daigakujuken_math/

グラフはサイクロイドだと思うのですが詰まってます。
お願いします

曲線x=a(Θ-sinΘ)、y=a(1-cosΘ) (0≦Θ≦2π、a＞0)
とx軸との間にある部分をx軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。

大文字で顔文字みたいになってるからθを使いなよ
dx/dθ>=0からθを動かしてxは常に増加
またθが0から2πまで動いたときyは0から大きくなって、
また0に戻ってくるところはyのθを動かすイメージですぐに分かる
(y^2)*dxをxの区間で行えばよく、それがα=<x=<βとすれば、
それに対応するθは、y=0となるθに注目し、xがθの非減少関数であるからθ=0, 2π
∫[θ=0, 2π](y^2)*dx=∫[θ=0, 2π](y^2)*(dx/dθ)*dθ

他の人がもっとうまく解説してくれるだろうな

なぜY=X+X/(X^2-1)のグラフの漸近線がY=Xだとわかるのでしょうか？

y=f(x)の漸近線をy=ax+bと置く

a=lim(x→±∞)f(x)/x
b=lim(x→±∞){f(x)-ax}

>>141
間違ってたらｽﾏｿ
多分、なぜ見ただけで解るのか？という質問だと思うのだが
XよりX^2の方が発散が速いからだと思う
数学な人ﾌｫﾛｰお願いします

ﾚｽ見てなかった、
142さんすみませんorz

質問です。


【問】

空間に座標
Ａ（4，0，0）
Ｂ（4/5，2，12/5）
Ｃ（0，0，3）
Ｄ（u，v，w）
がある。

４点全てが同一円周上にあるときのｕとｖの条件式を求めよ。



この問の前に、
AP↑＝ｓ(AB↑)＋ｔ(AC↑) で
実数s,tが存在するときの
ｗとｕの条件式を求める問があり、
ｗ＝3−(3/4)ｕと出ました。

４点が同一円周上にあるときの条件式の出し方がよくわかりません。

教えてください(´･ω･`)
よろしくお願いします。

お前ら・・・質問があったら先生に聞こうね(＾∀＾)

>>145
四点Ａ、Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上
⇔Ｄが三角形ＡＢＣの外接円上

なので、三角形ＡＢＣの外接円上の点の座標をベクトル使ってパラメタ表示して、
それイコール（u, v, 3−(3/4)ｕ）としてuとvをパラメタであらわして、
パラメタ消去すればいいお(´･ω･`)

空間内の円のパラメタ表示は知ってる？
空間内の中心が(a, b, c)半径rの円周上の点は、
その円が含まれる平面内の直行する二つの単位ベクトルxとｙを用いて、
パラメタθを用いて、
(a, b, c)+rcosθx+rsinθy
と表されるお(＾ω＾)

>>145
3点が確定しているから、円は確定する。
まずは中心を求める。中線の交点で求められる。
中心との距離から、半径もわかる。

中心からの距離が半径である球の式と、
ABCを含む平面の式を両方満たすのが、上記の円上の点。

それとw,uの条件を使えば解けるんじゃないかな。

あ、なんか >>147 の方がセンスええ・・

145です。

>>147さん
>>148さん

ありがとうございました(*´ω｀*)
２通りでやってみました。
解決しました。
空間の円のパラメタは知りませんでした。
覚えておきます(´･ω･`)

(AB↑)⊥(BC↑)を見つけて
円の中心と半径がすぐに出せて、
そこから147さんと148さんの方法でとけました(*´艸`)

ありがとうございました。
勉強になりました。

いろいろ弄ってて気づいた、あんまり汎用性のない方針で。

AC↑とBC↑の内積が0になるから(!)、△ABCはACが斜辺の直角三角形で
ACが外接円の直径を作る。
従ってAD↑とCD↑が直交すればおけ。

>>145
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/node5.html

xcosxって偶関数ですか？

偶関数×奇関数＝奇関数
指数と同じで、加法的に考えなきゃダメ。

大体、πcosπ<0、(-π)cos（-π)>0 だからy軸対称にはならないでしょ。

ん、じゃあ│x│cosxは偶関数ですよね…？

２(１＋Ｋ)Ｘ^2＋１−２Ｋ
このＸの二次式が重解を持つとき判別式をＤとすると？

>>155
それはおっけ。

>>156
それは2次式であって2次方程式ではないから、解なんて考えられない。

>>157
ああ間違えた
ベツスレで質問して途中まで分かったのですがもう一度問題出していいですか？

返事ないから大丈夫なはず

Ｘ^2＋Ｙ^2＝２、(Ｘ−１)^2＋(Ｙ＋１)^2＝１
の２つの交点を通る円が直線Ｙ＝Ｘと接するとき、その円をの中心と半径を求めよ

Ｋの値の出し方が分かりません

事故解決しました

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+……+1/n
が分かりません。
1〜ｎのΣ1/k という意味ですが見やすくするため、あえて書き出しました。誰か教えて下さい
/は分数ってことです

漸近線なのでlim(X→±∞){f(x)-(aX+b)}=0から来てるわけですね。>>142-144理解出来ました。ありがとうございました。

わたしはあなたがなにがわからないのかわかりません

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+……+1/nを求めよ が分かりません。
誰か分かる人いますか？

そんなもん求められんよ、誰も。
評価ならできるけど。

評価ってなんだか教えてもらえますか？

もしかして区分求積法ですか？

不等式で大小関係をあらわすこと
その数列の無限級数なら評価してはさみうちの原理で出せる

評価はおよその値の目処や、範囲とかの見当をつけること
��1/nの一般項は未解決問題だった気がする

あと、書き込みはひとつのレスにまとめること

すみません。レスありがとうございました。

>>164
問題としてでているとすれば、n→∞の極限のことか？
それなら∞に発散。

一般のnに対しては先のレスの通り。

＜問題＞
mが実数全体を動くとき，２直線mx-y=0…�@
x+my-m-2…�Aの交点Pはどんな図形を描くか。

＜解答＞
交点Pの座標を(x,y)とすると，x,yは�@,�Aを同時に満たす。
x≠0のとき　�@から
m=y/x �Aに代入して　x+y^2/x-y/x=0
ゆえに　x^2+y^2-2x-y=0…�B
x=0のとき　�@,�Aから　y=0,m=-2
よって，点(0,0)は�@,�Aの交点であり，�B上にある。
また，�Bでx=0とするとy=0,1 したがって，
�B上の点(0,1)は求める図形上の点ではない。

＜解＞
円　x^2+y^2-2x-y=0
ただし，点(0,1)を除く。

＞また，�Bでx=0とするとy=0,1 したがって，
＞�B上の点(0,1)は求める図形上の点ではない。

なぜ(0,1)が求める図形上の点でないのか分かりません。
教えてください。

x+my-m-2…�A
この式を正しく書き直すべし

>>173
x+my-m-2=0…�A
の間違いです。申し訳ありません。

x=0ではないときにx^2+y^2-2x-y=0
x=0のときに新しく計算し直すとP(0, 0)
よってPの軌跡はx=0ではないときx^2+y^2-2x-y=0と(0,0)
まとめるとx^2+y^2-2x-y=0((0, 1)は除く)
ということに。こう書けば分かってもらえるだろうか

方程式

x^4+4=0

解法・解答を教えてください

>>122
これと同じ問題で誘導を付けた問題が三重大（理系）で出題されていた。

>>175
解説ありがとうございます。
後は自分で考えれば理解できそうです。
ありがとうございました。

>>176
答は、ｘ=±√(2i)、±√(-２i)

t=ｘ^2とおき、t^2=-4からt=±2i
さらに
ｘ^2=±2i
より上の解答に

>>179
どうもありがとうございました。

>>179
それでもいいけど，(√2/2) ± (√2/2)i，−(√2/2) ± (√2/2)i って答えた方がなおいいんじゃないかな

1±i，−1±i の間違いだった
スマソ

正四面体の中心から各頂点へ直線を引いた場合
なす角がそれぞれ109.5°というのは、どうやって導けば良いのでしょうか

「lim (x^2 + ax + b)/(x^2 + x - 2) = -1
　x→1
が成り立つための a,b を求めよ。」
という問題の解答の中で、
「ｘ→１の時、分母→０なので、式の値が-1になるためには
分子→０が必要」とありました。

なんだかすごく直感的過ぎる説明で論理的に理解できません。
どういう意味でしょうか？

sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=2cos^2θ-1

sin3θ=sinθ(4cos^2θ-1)
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

のように、cosnθ,sinnθ(n=1,2,3,4・・・)を
Pn(x),Qn(x)を用いて
sinnθ=sinθPn(cosθ)
cosnθ=Qn(cosθ)

と表せることを証明せよ。
という問題文です。

答えをみると、「そのような多項式が存在することを示せばいい」と書いてあります。
解答では、n=2のときを示し
mを2以上の整数として、Pm(x),Qm(x)が存在すると仮定して
m＋1の値を加法定理で求めて、Pm＋1(x),Qm＋1(x)がxの多項式であることを示し
n=m＋1のときもいえる。として終わっています。

なぜPm＋1(x),Qm＋1(x)がxの多項式であるといえると、n=m＋1のときもいえて
答えとなるのでしょうか？

分母が0に収束する分数の極限について考えられるとき
分子の極限については

0に収束
0以外の定数に収束
発散

の3通りが考えられるけれども
下3つだと
(分子/分母)は0以外の定数に収束しえない

よって
(分子/分母)が0以外の定数に収束するためには
分子が0に収束することがひつよう

>>186
ありがとうございます。
その説明については理解できました。

ただ教科書や参考書では、収束するとか発散するとかの判断も、
ちゃんと数値を追ったわけでもないのに「収束・発散する（んじゃない？）」
といった直感的な理解を強いられている気がします。そこが気持ち悪いです。

大学だとε-δ論法で定式化するらしいですね。

>>183
中心と頂点を結ぶ２本の辺と四面体の一辺とからなる三角形に
余弦定理を適用して…

三角関数表でも見るしかないな。

黄色チャートP76の98

整式P（x）は（x+1）^2で割ると割り切れて、x-2で割ると1余る。
このP（x）を（x+1）^2（x-2）で割った余りを求めよ。

HINTには（x+1）^2（x-2）は（x+1）^2で割り切れるから、求める余りは、
0または（x+1）^2で割り切れる2次式である。
とあるのですが【0または（x+1）^2で割り切れる2次式である。】
の部分がわかりません。どうしてこうなるのでしょうか？
お願いします。

自己解決しました。馬鹿ですみません。

>>187
解答や>>186が言ってるのは，
収束するためには(分子)→0となることが「必要」，つまり(分子)→0となれば収束する「可能性がある」って言ってるわけであって，
(分子)→0となれば収束するって言ってるわけじゃないでしょう．

例えば，(分母)→0，(分子)→0で発散する例として，つぎのようなものが考えられますね．
lim[x→0]x/(x^2)

lim_[x→1] (x^2 + ax + b)=lim_[x→1]{(x^2 + ax + b)/(x^2 + x - 2)}*(x^2 + x - 2)
= -1*0=0

145です。

>>151さん
>>152さん

ありがとうございました(*´ω｀*)

>>151さん
(AD↑)⊥(CD↑)は思いつきませんでした(ﾟωﾟ;)
びっくりです。
こんな簡単に解けちゃう方法もあったんですね(*´艸`)
ありがとうございました。

>>152さん
トレミーの定理の等号の意味知りませんでした(^ω^;)
不等号がそうゆう意味なのも知りませんでした。
勉強になりました(*´艸`)
ありがとうございました。

>>188
ありがとうございました。

和→積の公式を証明するときに、単純に
Ａ＝Ａ＋Ｂ／２＋Ａ−Ｂ／２
Ｂ＝Ａ＋Ｂ／２−Ａ−Ｂ／２
ってして加法定理でばらすやり方だと減点ですか？

何が減点の要因になるのかが分かりません

>>195
問題なしjk

>>196>>197
ありがとうございます

>>176
1年の春〜夏にかけてはこんな感じで解くのが定番

x^4+4=0
x^4+4x^2+4-4x^2=0
(x^2+2)^2-4x^2=0
(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=0

いろいろな場所で聞きましたが華麗に無視されました
もうここが最後の砦です……

(6/7)^40*[(40)C(n+1)]/6^(n+1)-(40)C(n)/6^n}
これをどのように計算していけば
(6/7)^40*<40!/{[6^(n+1)](n+1)!(40-n)!}>(40-n-6n-6)
になるのでしょうか？

>>200
なぜ無視されるか。

１）最初の式の最後の括弧 } に対応する物が無い。式が確定しない。
２）両式の頭についている(6/7)^40* ってのが無駄に見える。
３）ある問題の途中のところを抜き出したように見える。
　（問題そのものと自分がどこまで考えたかをちゃんと書けば
　　有効なアドバイスがしやすい）

y=3sin2x+a(sinx+cosx)+1 (aは正の定数)
の最大値最小値？
どなたかご教授くださいm(_ _)m

すいません
>>185をお願いします

>>203
前提になるが、数学的帰納法はわかっている？
なんとなくでもかまわないから。

すいません自己解決しました

夜分恐れ入ります。

＜問題＞
次の２直線の交点の軌跡を求めよ。
x+t(y-3)=0……�@
tx-(y+3)=0……�A
ただし，t≧0

＜解答＞
t=0のとき　�@,�Aから　x=0,y--3
t＞0のとき　ｙ≠3であるから，�@より
t=x/(3-y)＞0　円x^2+y^2=9上の点については
3-y＞0←
から　x＞0
また，�Aより
t=(y+3)/xからも
x＞0←
以上からx＞0　よって，軌跡は
円x^2+y^2=9のx＞0の部分と点(0,-3)

矢印で記した所が何故そうなるのか分かりません。
どうか教えてください。

>t＞0のとき　ｙ≠3であるから
ここで既に分からなくなってしまったアホは俺だけでいい

×t=0のとき　�@,�Aから　x=0,y--3
○t=0のとき　�@,�Aから　x=0,y=-3
でした。申し訳ありません。

x^2+y^2=9、中心原点、半径3だからこの円上なら-3≦y≦3

よくわからん解答...

>>209
解説ありがとうございます。
しかし，
3-y>0
はy=3のときに、
y+3>0
はy=-3のときに成立しないのではないでしょうか。

実は、これは旧課程青チャート１＋Ａの練習１３０なのです。
この参考書は論理の飛躍が多くて付いていけません。

分数を避けて答案してみたら点(0, 3)を含んでしまってどこで間違えたんだか。
x^2+t*x*(y-3)=0( (1)*x )
　x^2+(y+3)*(y-3)=0 ( t*x=y+3 )
　x^2+y^2=3^2
0=<t
　0=<t*x^2
　0=<x*(y+3)
circle: x^2+y^2=9 (0=<x, -3=<y; x=<0, y=<-3)

>>210
上
> ｙ≠3であるから
下
> t＞0

>>210
>t＞0のとき　ｙ≠3であるから，�@より
って3じゃないことを断ってある
t=(y+3)/xは0以上でyが-3以上3以下
0<y+3ってどこから出てきたの

>>211
xをかけると同値性が崩れるとこかな

>>214
なるほどありがとう。
x^2は0以上だから両辺に掛けて問題ないと思ったのだが、
たしかに同値性は崩れてるんだよなあ……

>>212
上に関しては分かりました。しかし、下に関しては>>213が
指摘しているように、y+3>0となる理由が分かりません。
馬鹿でごめんなさい。

y+3>0と書くと下線がついてイコールを含むようになるのはわざとやってるのか……？
3<y+3なんて出てくるはずがないんだけども

>>216
「t＞0のとき」を考えているから

やっと状況が呑み込めた。一人置いてけぼりになっていたわけだ。
寝よう

図形的に考えて一発だと思うんだが。

x+t(y-3)=0 、ただしt>0は、図形的には、定点(0,3)を通り傾き-1/tの直線で、
(-∞<)-1/t<0
これと円x^2+y^2=9が交点を持ちうるのは、x>0の範囲。

もう一方の式は、図形的には定点(0,-3)を通り傾きtの直線で、
0<t（<∞） だから、やはり円との交点はx>0の範囲。

つか、傾きを評価すればこの両者は直交するから、同様に考察した
ｔの範囲と円周角の定理から、(0,3)と（0,-3)を直径の両端とする半円弧
（両端含まず）。　t=0のときに取る点である(0,3)を追加して完了。
というのでも多分この問題は満点が付くと思う。

>>218
元々-3≦y≦3であり、
y=-3とするとy+3=0となり、t=(y+3)/x=0となってt>0に反するのですね。
よく分かりました。ありがとうございました。

>>220
>同様に考察した
>ｔの範囲と円周角の定理から、(0,3)と（0,-3)を直径の両端とする半円弧
>（両端含まず）。
ここがよく分かりませんが、他は理解しました。中学校の数学を
理解していないと高校数学はできませんね。特に新課程では
平面図形が入っていますから。　

>>204
返事が遅れてすいません。
帰納法はわかってます。

すべての実数x y に対して、x^2-2(a-1)xy+y^2+(a-2)y+1≧0が成り立つような実数の定数aの値を求めよ
数�Tの範囲です。お願いします。

実数条件
つまり判別式

>>223
帰納法≠数学的帰納法
数学的帰納法が本当に分かっていればそんなことは疑問に思わないと思うけど

>>226
数学的帰納法って
n=1のとき成立して
n

すいません途中送信してしまいましたorz

>>226
数学的帰納法って
n=1のとき成立して
n=kのとき成立すると仮定して
n=k＋1のとき成立することを証明することですよね？

この問題（>>185）でもそれを適用するということなのでしょうか・・・？
それなら何故ｘの多項式であることを証明すればいいのですか？

正接の逆関数を１/tanxとおく。f(x)=6/tanxのときf'(1)を求めよ。

途中式でx⇔yではなく、y/6⇔xとするのはなぜですか？

質問の意味が分からん
>>1の6項目

>>230
問題文はこれですべてです。

（解答抜粋）
y=6/tanxとおくとy/6=1/tanx　∴x=tan(y/6)
この両辺を微分して〜〜〜

えっと僕の感覚では逆関数を求めるとはxとyを入れ替える（x⇔y）ことかと、考えていたんですが、
この答えの途中式でy/6⇔xとなっているのでいろんな方法があるのかと…

あまり詳しくないので教えていただけますか

まず
>正接の逆関数を１/tanxとおく

がありえねー。 逆数とってもこの場合逆関数にはならないんだから。

tan(^n)x のように書かれるときに、nが正の整数のときと-1の時では
意味は全く異なる。tan(^-1)xのような書かれ方をしている部分が
あったら、すべてarctan(x)　（アークタンジェントｘ）のように書いて
問題文を書き直してみて。

>>232
「正接の逆関数をtan^(-1)xとおく。f(x)=6tan^(-1)xのとき、f'(1)を求めよ。」

です。

ちなみにarctanはしりません…

>>233,234 書き方だけの問題で実質は同じもの。
こういう場所やワープロ等では^(-1)より書きやすいという利点がある。

z=arctan(x)とし、解答に従ってy=f(x)とするとy=6z

dy/dx=6・dz/dx
dx/dz =ｄ(tanｚ）/dz = 1/cos^2z = 1+tan^2z =1+x^2
よってdz/dx=1/(1+x^2)

よってf'(1)=6/(1+1^2) = 3
--------------------------
逆関数を考えているのはtan であり、 tanxと等しいのはｙでなくy/6
なんで、解答にはそう書いてあるんだと思う。が、逆関数を取る部分だけ
別に変数を立てたほうが、この場合は分かりやすそうなので、上記のように
ｚを入れてみた。

>>235
これはarctangentを知るともっとわかりやすくなるのでしょうか？

＞逆関数を考えているのはtan であり、 tanxと等しいのはｙでなくy/6
なんで、解答にはそう書いてあるんだと思う。

この部分で何となくわかったような気はしました。

今更すぎて恐縮だけど、>>135の別解を思いついたので書いてみる。いわゆる対称性(笑)に注目ってやつです。

<//別解>
a+b+c=kとおくと,
a+b=k-c,b+c=k-a,c+a=k-bだから，
（与式）=(k-c)(k-a)(k-b)+abc
　　　　={k^2-(a+b)+ab}(k-c)+abc
　　　　=k^3-(a+b+c)k^2-(ab+bc+ca)kc+abc-abc
　　　　=(a+b+c)(a+b+c) …（答）

逆関数そのものは、今は数Cでやるんだっけ?
（オッサンである自分の頃は、中学で導入だけは済ませたんだけど…）
もういちどしっかり、その導入のあたりを読み返したほうがいいかも。
xとy（独立変数と従属変数)を入れ替えたもの、ってだけの理解だと
ちょっと心もとない。

ある規則に基づいて、xからyへの対応が決まるとき、その規則が関数。

ここで、y=f(x)という関数が考えられて、しかもあるｙに対応するｘが一つしか
ない（ｘの定義域が限定されてそうなる場合も含めて）とき、
逆にｙからy=f(x)を満たすｘを決めるような関数が存在する。
この、ｙからｘへの対応を決める規則がｆの逆関数（f^(-1)）で、
x=f^(-1)(y)が成立する。

この逆関数のグラフを、改めてもとの関数と同じ座標平面に描くときには、
元の関数でｘとyを入れ替えてｙについて（解ければ）解く、ということが
求められるわけだけど、それはあくまで末節。「ｙからｘへの逆対応の規則」を
決めたもの、というのが逆関数の本質。

なお、arctan(x)の導関数が1/(1+x^2)、およびその逆操作で、
1/(1+x^2)の原始関数がarctan(x)+Cになるってのは、高校範囲を
ちょっと超えるけれど、記憶しておいたほうがいいかも。

>>238
詳しくありがとうございます。
なんか本質に迫ったような感じですね…
もう一度導入を見てみたいと思います。

逆関数については数�Vだったような気がします
arctangentも高校範囲じゃないのでいろいろググってみようと思います。

逆関数は数�Vの初めだ
y=f(x)の逆関数はx=f(y)でy=tan(x)の逆関数はx=tan(y)
これはy=arctan(x)と書ける(高校範囲外)
tan^(-1)(x)って書いてもtan(x)の逆関数の意味を表せるけど、
1/tan(x)と紛らわしいから自分はいつもarctan(x)って書いてる

tan^(-1)(x)と書くかarctan(x)と書くかは
表記上の問題だから気にしなくてもいいよ。

ただ受験上ではtan^(-1)(x)のほうがいいかも。
そこは問題の表記にあわせて。
arctanに関してもしかしたら知ってたら得になるのはかたちだけじゃないかな？

x=tan(y)の導関数を求める問題で
tan^(-1)(x)(=arctan(x))を微分して1/tan(x)の導関数を答えたアホな友人を思い出した

>>229
ﾁﾗｼの裏だと思ってｽﾙｰして下さい。
1/tanx (=cotx=ｺﾀﾝｼﾞｪﾝﾄx)

A＋B＝√2A

Ａは正の整数。ＢはＡの小数部分

この時、Ａの値を求めよ

この問題ってどうやるんですか??

B=0ですな

>>244
問題合ってる？
＞Ａは正の整数。ＢはＡの小数部分
整数なら少数部分は無いはずだけど。

Ａは正の数です


予測変換なのでミスりました
すいません

A=(2+√2)/2

>>244
A=a+Bとおける(aは正の整数)
代入して整理すると
B=(√2/2)*a≒(0.707…)*a
ここで、Bは小数だから、aが2以上だとダメ
∴a=1
　B=√2/2
　A=a+B=1+√2/2

ありがとうございます

>>228
正確には、ある事象が
n=1のとき成立して（これは仮定ではない）
n=kのとき成立すると仮定した時に、
n=k＋1でも成立することを示す事で、
全ての自然数nに対して成立する事(=題意)を証明する事。

この問題で証明したい事は、
(多項式か一般の関数かは不明だが) Pn(x),Qn(x)を用いて
sinnθ=sinθPn(cosθ)
cosnθ=Qn(cosθ)
であらわせる事がが全ての自然数nに対して成立する事。

一般の関数を持ち出すと当然成立してしまうので、
多項式である事を証明する問題であると思われる。
もし問題では多項式と断りが無くても多項式であることを示せば十分。

sin(mθ)=sinθPm(cosθ)
cos(mθ)=sinθPm(cosθ)
となる多項式Pm(x)、Qm(x)が存在すると仮定した時に、

sin{(m+1)θ}=sinθPm+1(cosθ)
cos{(m+1)θ}=Qm+1(cosθ)
となる多項式 Pm+1(x)、Qm+1(x) が存在する事を示す事で、
題意が証明される。

正直言って、どこがわかっていないのかが全然わからない。
この問題が簡単だとか、出来ないおまえがおかしいとか言う話でなく、
数学的帰納法がわかっているって事を信じると、
どこで詰まっているのかがまったく見えてこない。

>>251
レスありがとうございます。
じっくり問題を見てたら、複雑な式で頭が混乱していましたようで。

一般の関数を持ち出すと当然成立してしまうので、
多項式である事を証明する問題であると思われる。
もし問題では多項式と断りが無くても多項式であることを示せば十分。

↑が非常に納得できました。ありがとうございました

大数四月号、日日演3番なんですが、u+vをx､yで表してuv=-2とあわせて解と係数の関係として使い、二次方程式の実数解u､vの存在条件をx､yを含む判別式で表したものは何を意味するんですか？

u､vをx､yで表して条件式に代入、という方法(本解)は思いつけたのですが、上記の式が何を意味するのかよくわかりません。
つまるところよく分かってないってことかも知れません…

AB=6､BC=7､CA=5の△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCの交点をD、∠Bの二等分線と線分ADの交点をEとするとき、AE：EDを最も簡単な整数の比で表せ。
EDをどうやって出すんですか？

>>254
三角形のある角の二等分線が対辺をどう分けるのか、知ってる必要がある

BD:DC=AB:AC=6:5だから、BD=7*(6/11)=42/11
AE:ED=BA:BD=6:42/11=11:7

>>254
ベクトルと核の2等分線の定理を使ってできるでしょ。
AD↑=(5/11)AB↑+（6/11）AC↑
AE↑=(1-t)AB↑+tAC↑=sAD↑=(5s/11)AB↑+（6s/11）AC↑
連立方程式解いてsを決定。

二人のおかげで分かりました。
ベクトルはまだ習ってませんが次の問題も教えてください
　
　
△ABCにおいて、BC=5、CA=3、AB=7とする。∠Aおよびその外角の二等分線が直線BCと交わる点をそれぞれD、Eとするとき、線分DEの長さを求めよ。
図にかいてみたけど分かりませんでした
解説解答お願いします。

3辺の長さが3:5:7の三角形は、7の辺の対角が120°になるってのを
知らないと厳しいかな（ここが綺麗に出る、という発想がないと計算しようと
思わないから。余弦定理で確認して。）

BC=5かつBD;CD=7:3だから、CD=3/2.。
仮定と上述の理由により、∠ACD=120°∠ACE=60°、∠DAE=90°
（CAのCと逆側にF、EAのEと逆側にGを作ると、
∠DAG=（1/2）∠CAB+（1/2）∠BAE=(1/2)∠CAE=180°/2=90°）

△ACDに着目して余弦定理を使うと、
AD^2 =AC^2 +CD^2-2AC・AD・cos120°=9+9/4-2・3・3/2・(-1/2)
=9+9/4+ 9/2=63/4

ここでCE=x、DE=yとすると、
△DAEに着目して、三平方の定理より、
　AD^2 +y^2=(x+CD)^2　→63/4+y^2=（ｘ+3/2)^2
△ACEに着目して、余弦定理より、
　y^2=x^2+3^2-2・ｘ・3・cos60°→y^2^=x^2+9-3ｘ
下の式のy^2を上の式に代入するとｘの一次方程式ができる。

ってことでy=（3/4）√21に一応なったが、ポカこいてたらご指摘よろ。

>>257
がんばって解いたらマルチかよ……
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207139784/634

罵倒してやりたい。

>>258
答えは載ってますが21/4です
惜しいです

ついでにマルチ、ポカルの意味教えて下さい

>>257
つぅか、中学の幾何だよね…。
この辺りコンプレックスのある高校生ちらほらいるし、どうなんだろ…。
しかもマルチか。さよーなら。

だからマルチっつ何ですか？

>>262
数学板にも同じ質問投げてるでしょ？ URL書いたところに。

同じ掲示板システムではもちろん、ネット上の複数箇所に同時に同じ質問を
投げることは酷いマナー違反なの。一箇所で回答/解答がかえってきても、
それを他所に直ぐに反映させられないから、解決済みの問題で他の人を
煩わせる可能性が発生するから。要するに、非常に自分勝手な行為なのよ。

2chの学習質問系の板では、マルチポストは放置されるんで
（下手に答えると、答えた人まで他人に無駄な努力をさせることに加担することに
なるから）これ以上解答は続けません。

違ってたのは悔しいから自分では解くけど、答えはUpしませんから。
あしからず。

質問させてください。
∫[-π,π](sinx)^2dx=π
∫[-π,π](cos2x)^2dx=π
∫[-π,π]sinxcos2xdx=0
∫[-π,π]xsinxdx=2π
∫[-π,π]xcos2xdx=0 であるから、
I=∫[-π,π](asinx+bcos2x-x)^2dxの値は(a,b)=(0,0)
のとき最小となる。

これは、これでOKでしょうか。
よろしくおねがいします。

>>263
すませんでした。
マルチは二度としません。しかしあなた様が間違った答えでも途中までヒントになりました。
だから有り難うございました。

まぁ、マルチでも色んなタイプがいるわな。
自分なりにできるとこまで解いて質問したが回答がつかなかったり、
途中までしか理解できない場合とか。
そういう時に質問を書き換えて別のスレで質問するのをマルチと呼ぶのは無理だな。

質問スレに片っ端から同じものを投稿するのは論外。

>>265
謝罪してくれたことに対しては了解。スレに始めてポストするときには
必ず>>1や序盤のまとめ・テンプレを読むことが必要だよ、と助言しておく。
このスレにも、>>1には注意事項が書かれ、その筆頭にて「マルチポスト
禁止」が書かれてる。

解答については、ｙを出したのが間違いで、ｘでよかったのね。

>>266
今回の場合、解答に時間が掛かったんで、見切られた可能性も考えた。
でも、3分差で質問が書き込まれてるのよ＞数学板とここ

>>267
同じような失態は二度としません。本当にすいませんでした。

x^2+12x-80-20√5=0
これのxって求めれますか？
√のなかに√がきてダメでした

んなこたーない

ヒント：√(○＋２√○)=√○＋√○

全く無理
もう教えちゃってください

>>264
プログラムでやらせたら(a,b)=(0,0)だわ。合ってる

本当にわかりません
誰か分かる人いませんか〜
悩みまくってます

何でも頼るな教科書も読めんのか
そもそも春休みの宿題くらい自分でやれ

教科書に載ってないから聞いているんです
あと春休み課題じゃありません

lim[x→+0]1/(e^x-1)ってどうやってわかるんですか？こんな簡単なもんだいすいません。
でも1/0になっちゃうんです

>>273
ありがとうございました。
解答が今手元になく、計算に自信がなかったので助かりました。

(x-y)a^2+(y-x)b^2の答えが(x-y)(a+b)(a-b)になる意味がわからない。教えて下さい。どうみても数１の初期の問題ですが何故かわからない。教えて下さい。

>>278　……a=2のときのような気が……

>>279　y-x = -(x-y) に注意して、(x-y)をくくり出す。

>>280
僕はとんでもない大バカ野郎でした。ありがとうございました。

(x-y)a^2+(y-x)b^2
=(x-y)a^2-(x-y)b^2
=(x-y)(a^2-b^2)
=(x-y)(a+b)(a-b)

>>282
丁寧にありがとう、

>>269

これ分かる人いないんですよね

　　　　　　　　　　　／　| :.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.: /
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　　　　　　　／: ヽ ＼:�Y:/: : :|: : :/: : :/!: : : : : ;'　| ﾄ､:| : l:. :ﾊ:.:|
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　　　　　　　}: : : : :!: :ｌ : l: : : : |　,ヒてｹ　| :/:/ 　{k:::Y} �W: :! ′:ﾍ
　　　　　　　|: : : : :|: :| i l: : : : |/{い::::i}　 }／　　 Vヒｿ　V: :|/: : : ﾊ
　　　　　　　|: : : : :|: :|:行 : : : |　Vzﾋｿ　　　　　　　　　　} : |＼: : : |
　　 　 　 　 ﾊ : : : :}: :∧|:|: : : |　　｀゛　　　　　　　　 　 /: : :!: :�W: :|
　　　　　　/:/: : : /: :′ ｿ! : : |　　　　　　　　 ,　　　／:|: : :′:! ',: :| 　　　>>284
　　　　　　{:f: : : :爪:. : : :∧: : |＞　 _　　　￣　 ,.ィ: :fi:_:|:. :′: !　! :!　　 電卓やソフト、使っちゃったら
　　　　　　|ﾊ : : |/从_:_:_|[.ﾑ: :|-f:＞　￣二ニケ宀≦.､|:/¨￣　 ﾚ′　　　　ダメ？
　　　　　　　 V: :[　　　 , -'´ヽ!:.:.:.:.::::::::::; -┴ ､:::::.:.:.:.:.:.ハ
　　　　　　　　 ﾏﾑ　　/~´＼:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.∧ ::::::..ハ:.:.:.:.:./　 '
　　　　　　　　　�Y 　 i　　　 ヽ:.:.i.:.:.:.:.:.ﾏ :::::::::: ﾉ.:.:.:V 　　|
　　　　　　　　　　　　 |　　　　 �Y:.:.:.:.:.:.:.`ii:iT|:.:.:.:.:.:.l 　 　!
　　　　　　　　 　 　 　 !　　　 　 V:.:.:.:.:.:.:.:||:l:||:.:.:.:.:.:.| 　 　!
　　　　　　　　　　　　　l　　　　　 ﾏ:.:.:.:.:.〃ﾊ:ヽ:.:.:.:.:|＼　 ﾄ､
　　　　　　　　　　 　 　 !　　　 ／ }:.:.:.::〃/　 ＼＼:ﾄ 、｀ ｰ ）
　　　　　　　　　　　　　/ｌ-‐ '´ /　∨:〃/　　 　 ヽ:|　 ヽ　/

>>284
足して116、掛けて500になる有理数がないから、
多分もとの方程式が間違ってると思うんだけど。

本当にその方程式から問題が始まってるの？

>>277
e^x=exp(x)
y=exp(x)はxを+から0に近づけて行くと限りなく1に近づくが1よりは大きい
するとexp(x)-1はこの場合限りなく0に近づくが0より大きい
例えば、y=1/xではx=0とするわけにはゆかないが、x→+0とすることはできる

円O上に4つの点A､B､C､Dがある。弦ABと弦CDは点Eで交わり、AB=10、CD=12、AE=5√5、CE＞EDである。このとき、CEの長さを求めよ。
毎度おせわになって本当に助かります。
方べきの定理でその式がでるはずです。

>>288
でない・・・

逆に問うが、13421って素数？

素数なはずないWW

>>290
じゃあ素因数分解したらどうなるの？

>>288
方べきの使い方間違ってる

>>289
素数

>>292
うん、自分がやったら>>269の式にならない
とりあえずそれでも、計算を進めていったら 13421 が出てきて
"素数"だから、これ以上簡単にできない・・・

>>289
2 3 5 7
この数字で割れたら素数じゃない

>>294
？？？

>>295
素因数分解もどきのこと
３１とか２３とかは素数だろ？
一桁の素数で（２と３と５と７）で割れるか試して
どれでも割れなかったら素数。

>>296
またそんなあやしいことを。

正直素数なんてプッチ神父しか使わんと思うのだがね

質問主はどこへいった・・・

5963
この４桁は素数か？という問題に対して
一桁の素数で（２と３と５と７）で割れるか試して どれでも割れなかったから素数。

なんてやらんよな、まさかとは思うが。

>>300
上で挙げた３１の（つまり素数の二乗）二乗なんかムリだもんね。
あくまで「あやしい」やり方

>>301
>一桁の素数で（２と３と５と７）で割れるか試して
>どれでも割れなかったら素数。
言いたいことは分かるが、この書き方はあんまりじゃないか

なぞなぞ
１＋１＝３
２＋２＝６
３＋３＝０
４＋４＝９
５＋５＝２１
６＋６＝１３
７＋７＝７
８＋８＝９
９＋９＝１６
じゃあ１０＋１０＝？

＿＿　　　　 ＿＿　 ＿＿_　＿＿＿＿＿　　＿＿＿＿_　　　 　___　___　　 　___
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.　　〈::::::/::/:.:.:./:ﾚ':::::::::::::::∨､:.:|:.ﾄ:.∨:.:.|:./::|/::::ｊ:::::::ヽ:.:.:l:.:|:.:|
　　　＼l;;//!:.:.:/:::::::::::::::::::::::::|∨ﾉ:.lヽ〉.:.Y:::::::::::::::::::::::::|:.:.Ｎﾄ､!
　　　　 |:.（_|:.:/　　　　　　　 {）:.∨|:.;ｲ:.|:.|　　 　 　 　 |:/ﾄ:.|
　 　 　 |:.:.: ｒへ 　 (二二{　ノ:.:.:.:| |/^|:.|:.ﾄ､ (二二{　ノ:.:.} ﾘ　　　　AAずれちゃったし…
　 　 　 |:.:.: |:.:.:.:|＞ｒ　 ｒ＜|;;|:.:.:.:.|　　ヽﾄ:.:>ﾆｒ‐ｒ＜/ |:.:/
　 　 　 |:.:.:.:ﾄ:.:.:.|:::〈＿__7::::::::〉 :.:|　　ｒ<:::::::::〈＿Ｙ:::::￣ｽ
　　　　 |:.:.:.「|:.:.:|:::::ヽ　 |::::::/ |:.:.:|　　|　ヽ:::::::| 　|:::::::::/ |
　　　　 |:.:.:.| |:.:.:ﾄ､:::::ヽ !:::/〉│:.:|　　| ､　ヽ::::',　|::::::/ | |
　　　　 |:.:.:.| |:.:.:l　＼::リ:/ l ｲ|:.:.:|　　|　}　| ヽ::Ｖ:::::/　|│

素因数分解スクリプト

ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA022638/javascript/samples/sample6.html

あんまりでかいの入れると近似値を勝手に分解する。

おはようございます。
小問３つの答えが合っているか教えてください。
３つとも文章中に答えを織り混ぜてしまったので
多少見にくいかもしれませんが、よろしくお願いします。

�@
|x^2-2x-15|≦x+3
の解は4≦x≦6、x=-3


�A
三角形ABCにおいて5/sinA=7/sinB=8/sincがなりたっているときcosA=11/14。
三角形ABCの面積が30ルート3のとき
三角形ABCの外接円の半径は(7ルート3)/9、内接円の半径は3ルート3である。


�B
数列1、1、3、7、13、21、31、…の第n項a(n)(n=1、2、3…)を
nを用いて表すと、a(n)=n^2-5n+5。
また、この数列の初項から第n項までの和S=n(n-2)(n-4)*(1/3)

�@○
�Acosは○、半径は両方×
�B一般項○、和×

>>307　ルートは記号（√）使って書くこと。
1 はOK
2のｃｏｓＡはOK　そのあとはダメ。だいたい、7/9 < 3 なのだから、
外接円の半径が内接円の半径より小さいという時点で、少なくとも一方は×。
実はB=60°になるんで（余弦定理で確認できる）それ使って再検討。

3もダメ。n=2を代入すると、あなたの式では
2^2-10+5=-1 になって1にならない。一般項の検算は割りと簡単だから
手間を惜しまずにやるべし。和も同様。このとき、ｎ次の多項式になったら、
n+1個の自然数の値で（つまり、1〜ｎ+1で）成立すれば、
「n次の多項式である」という前提が正しい限り正解になるはず。

すまん。計算ミス。
�Bは一般項×

>>309のおっしゃるとおりです。

>>308 >>309
非常に迅速なお返事ありがとうございます。
なのに私の返信が非常に遅くなってすみません。
正誤どころかそれ以上のことをたくさん教えてくださってありがとうございました。
�Aの外接円の半径は(14√3)/3、内接円の半径は3√3.
�Bはa(n)=n^2-3n+3
初項から第n項までの和S=n(n^2-3n+5)*(1/3)

となりました。検算してみたところどうやらよさそうです。

307は間違いだらけでしたね。
本当にありがとうございました。

>>311 2 はまだ不正解だと思うよ…

3辺の長さが5,7,8だとすると、長さ7の辺の対角が60°だから、その時の面積は
(1/2)*5*8*sin60°=10√3
示された面積は30√3だというのだから面積比で3倍、従って辺の長さは
√3倍で、考えている三辺は5√3、7√3、8√3

従って外接円の半径をRとすると、
2R=7√3/sin60=7√3*(2/√3)=14　で、外接円の半径は7ちょうど
（あるいは、やはり60°の対辺が7√3であることから、円周角の定理により
　1辺7√3の正三角形に外接する円の半径を考えてもいい。
　頂点から外心=重心までの距離は1辺の長さの√3/2*(2/3) 倍で、
　(√3/2)*7√3*(2/3)=7　）

三辺の長さの合計が20√3になるから、内接円の半径はrとすると
(1/2)*r*(20√3) = 30√3　で、rは3ちょうど。

2Abs（x）+Abs(2x+3) = 7
<=> Abs(2x)+Abs(2x+3) = 7
<=> Abs(4x+3) = 7
<=> 16x^2+24x+9 = 49

ってやったんですが、これってまずいところありますか？
場合分けがものすごく苦手なので、どうしてもこう解きたくて…

<=> Abs(2x)+Abs(2x+3) = 7
<=> Abs(4x+3) = 7
ではない。例えば2*x=-1として
abs(-1)+abs(2)=3
abs(-1+2)=1
またabs(4*x+3)=7を解く際には二乗するより4*x+3=7 or -7
とした方が断然いいのは明らか

おっしゃるとおりですね。
具体的な数を入れて考えてみるべきでした。すみません。

謝らないでください……
y=2Abs（x）+Abs(2x+3)
のグラフを場合分けでもしてみて、とりあえず書いてみれば分かるけど、
これとy=7の交点を場合分けせずに求めるのは至難の技でしょう。
できたら教えて頂きたい。

>>316
お前が言う場合わけっていうのが何を指すのか分からんが、
少なくともグラフを書くぐらいなら場合わけせずとも書けるだろ。
グラフが書ければ交点ぐらいすぐ求まる。

至難の技ではなく、至難の業（どーでもいいが‥）なんて大げさ過ぎ。

雑誌「大学への数学」系でよく紹介される手法としては、
「1次関数が絶対値記号に入ったもの同士の和」は、条件が変わるｘの点を結んだ
折れ線になる、というもの。

y=|2x|+|2x+3| のグラフの場合、場合、ｘ→-∞でy=-4x-3、x→+∞でy=4x+3は自明、
条件が変わる点は、x=0でｙ=3、x=-3/2 でy=3、上記の形になるのはその外側。

これとy=7との交点を考えるから、結局水平になる部分の外側にだけ交点が存在、と
いうことになります。実質場合わけはしているわけですが、これならあまり
悩むことは無いのではないかと。ただし、穴埋め式試験では問題ないですが、
やや厳密性は欠きます。

>>318
なるほど・・・大数は読んだことすらないんですが、この解き方は面白いですね。
普通に解いてるより、なんだかわくわくしてきますｗ

ありがとうございました

>>317
無理。結局グラフを書くことは場合分けがあってのこと。
|x|=aならx=a, or-aで済むけど複数の絶対値の和になったら場合分けが出てくる
たとえ、二乗していって外しても同値性は危うい。そのくらい分かるだろ

数学�Uの不等式の証明の発展問題がやたら難しいんですが・・・
大学入試では不等式の証明って頻出度高いですか？

早稲田慶應の文系を数学で受けるですが狙い目の学部を知ってる方教えて下さい！！

宜しくお願いします。

∫dx/(sinx-1)
分母分子に sinx+1 を掛けて
∫(sinx+1)dx/-(cosx)^2
∫sinxdx/-(cosx)^2+∫dx/-(cosx)^2
∫dx/-(cosx)^2については-tanx+C
∫sinxdx/-(cosx)^2についてはcosx=t とおいて -sinxdx=dt
∫dt/t^2=-1/t+C -1/cosx+C

よって∫dx/(sinx-1)=-1/cosx-tanx+C

解答が手元にないので解りませんが、これでOKでしょうか。

微分して確かめてみろ。

微分して確かめたらいいのに
ざっと見て合ってそうだけど

数列｛an｝(n=1,2,…)が
a1=1,an+1=an/√2an^2+1(n=1,2,…)を満たすとき、
一般項を求めたいんですが、数学的帰納法を使って解くのはわかったんです。
ただ、n=k+1を代入した式が上手く条件式に書き換えられなくて…
どなたかお願いします。

>>320
それはお前には無理だってだけ
いくらでも方法はある

>>327
たとえば

いやありえないなやっぱり。
俺の言う場合分けが分かってないからこそそう言うんだろう
|x|=x(0<x), -x(x<0)なんだから場合分けがあって当然だ

すいません質問です。
x+y+z=0 , x^3+y^3+z^3=1 , x^4+y^4+z^4=2のとき、
x^2+y^2+z^2とx^5+y^5+z^5を求めよ。
って問題を見た記憶があるんですが解き方が分かりません。
どなたか教えて下さい

>>330
因数分解の公式x^3+y^3+z^3-3zyx=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) より、
1-3xyz=0 よってxyz=1/3

ここでxy+yz+zx=γとすると、x,y,zはｔの3次方程式ｔ＾3+γｔ-1/3=0の解

t^4=ｔ（ｔ＾3+γｔ-1/3)-γt^2+(1/3）ｔ の両辺にx,y,zを代入して足すと、
ｘ＾3+γｘ-1/3=0、x++z=0であるから
2=-γ(x^2+y^2+z^2)
x^2+y^2+z^2=δとして、2=-γδ
一方、(x+y+z)^2=δ+2γ=0だから、
これらより（δ≧0なので）δ=2、γ=-1

このことより、x､y､zはｔ＾3-ｔ-1/3=0 の解
これから同様に、ｘ＾5=（ｘ＾3-ｘ-1/3）(x^2+1）+（1/3）ｘ＾2+ｘ+1/3
等であるから、辺辺足し合わせることで、x^5+y^5+z^5の値を
ｘ＾2+ｙ＾2+ｚ＾2の値で表せる。

>>330
前半、解と係数の関係を使わないで解くなら、

x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)
=(x^2+y^2+z^2)^2-2{(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)}
=(x^2+y^2+z^2)^2-2(xy+yz+zx)^2

よってx^2+y^2+z^2=s, xy+yz+zx=tとすると2=s^2-2t^2
一方、
(x+y+z)^2=s+2t=0だから、s=-2t
よって2=4t^2-2t^2=2t^2 s≧0だからt≦0でt=-1、s=2

……ここまでだったら、こっちのほうが楽かな。ただこのあと
次数下げを思いつくのが大変かも。2乗和をこっちで解いて、
5乗和は次数下げってのが一番楽でしょうか。

>>312
三角形ABCにおいて5/sinA=7/sinB=8/sincがなりたっているとき
、という条件をそのまま使い続けていたので結果がおかしくなったようです。
何度も本当にありがとうございました。

>>329
|x|=max{x,-x}と考えればいちいちxの符号を調べなくとも良い

y=2|x|+|2x+3|のグラフなら
y=max{2x+2x+3,2x-2x-3,-2x+2x+3,-2x-2x-3}
=max{4x+3,-3,3,-4x-3}
=max{4x+3,3,-4x-3}
だから、y=4x+3,y=3,y=-4x-3のグラフの最も上にあるものを繋げばいい。

>>334
なるほど、それはうまい方法ですね
でも僕が場合分けと言ってたのは、そういった境界線も含めたものなのです
だけど勉強になりましたどうもありがとう

条件pが条件qのナニ条件？って問題なんですが

p : m が偶数
q : m^2 が偶数
答え：必要十分条件

これって他に条件なくても
m=sqrt(2)
の場合は考えないんですか？

mは自然数であるとかそんなこと書いてなかった？

問題の引用が不完全。「整数（または自然数）mについて」って書いてない?
あるいは「実数mについて」でもいい。

これらの対象が書いてなければ、問題自体が不完全とも言える。

xの二次方程式
x^2-4(sinθ+kcosθ)x+k^2+1=0
が0≦θ≦π/2をみたす任意のθに対して実数解をもつような、実数の定数kの範囲を求めよ

Ｄ/4≧0でいいかと思ってｂの部分を合成して
(sinα=k/√(1+k^2) cosα=1/√(1+k^2))
Ｄ/4=4(k^2+1)sin^2(θ+α)-(k^2+1)≧0
⇒4sin^2(θ+α)-1≧0
⇒{2sin(θ+α)+1}{2sin(θ+α)-1}≧0

としたんですが、ここから出来ません…そもそもここまでがあってるが疑問なんですけど…よろしくお願いします

代ゼミのクラス分けテストだったんですが
http://imepita.jp/20080409/031990
2にマークしました

解説が
p => q , q => p ともに成立するので
　必要十分条件 (3)

>>340
q⇒pを×にしてるけど
q⇒pの反例は思いつく？

ぶっちゃけ問題の方が糞だ。

>>336 の反例の指摘で正しい。
問題作成者は、mやらnは自然数(又は整数)と決め付けて
問題作っているんじゃないかな。

ただし、このテストの頭とかに､
「全ての問題でm,nは自然数とする」とか書いてあるという
落とし穴の可能性も一応否定できない。

>>339
そこまで出来てなぜ・・・・
2sin(θ+α)が1以上か、-1以下で式が成立するのだから、
それが、「0≦θ≦π/2をみたす任意のθ」に対して成立するようなαの範囲を考えて
その時のkの範囲を考えるだけじゃないか。

念のために言っておくと0≦θ≦2π じゃ無くて､0≦θ≦π/2なんだから､
sinθが-1〜1になるわけじゃないのよ。

>>339
-1<sinα<1、0<cosα だからαの範囲が-π/2<α<π/2。
θが「任意の値で元の方程式が解を持つ」のだから、
θ+αは（解を持つ、ということを一度棚上げすると） -π/2<θ+α<πで変化する。

一方、sin(θ+α)=sとすると、
(2s+1)(2s-1)≧0だから、s≦-1/2 または s≧1/2、これを満たす、上記のθ+αの
範囲はどうなるか。

いろいろレスありがとうございました。

配点が80点中5点もある問題なんで、一応
明日教材部に質問しに行ってみます。。

ありがとうございます
>>343
＞「0≦θ≦π/2をみたす任意のθ」に対して成立するようなαの範囲を考えて
その時のkの範囲を考えるだけじゃないか
すいません、そこがわからないんです
>>344
-π/2＜θ+α≦-π/6 π/6≦θ+α≦5π/6 となったんですが、そこからα、cosα(sinα)、kの求め方がわかりません

>>346
θが0からπ/2の間（両端含む）のどんな値でも、
θ+αが考えた範囲に入れるようなαの範囲を考える。

これはすなわち、θ=0の時とθ=π/2の時で、取り得るαの値に
重なりが出ればいい。
-π/2＜θ+α≦-π/6 だと、
θ=0で-π/2＜α≦-π/6 θ=π/2で-π<α≦-2π/3 で、両者に
重なりはない。したがって1つのαで任意のθに対応するのは無理。

π/6≦θ+α≦5π/6だと、
θ=0でπ/6≦α≦5π/6 θ=π/2で-π/3≦α≦π/3 で、
π/6≦α≦π/3 なら考えている範囲での任意のθに対して、
θ+αが条件を満たす。

ってことは、sinα=k/√(1+k^2) と cosα=1/√(1+k^2)) が
1/2≦k/√(1+k^2)≦√3/2 、 1/2≦1/√(1+k^2)≦√3/2
になるようにkを決めればいい。この場合sinのほうが条件が
厳しいんで、そっちで見ておけば大丈夫。

>>347
の通りです。

後言う事があるとすれば､
>>339 の段階で
tanα=kを使ったほうがわかりやすいんじゃないかな。
そうすれば最後は求めたαの範囲での値を考えるだけですむから。

後は､
--------------------------------------------------------------
-1<sinα<1、0<cosα だからαの範囲が-π/2<α<π/2。
θが「任意の値で元の方程式が解を持つ」のだから、
θ+αは（解を持つ、ということを一度棚上げすると） -π/2<θ+α<πで変化する。
--------------------------------------------------------------

を考えないで､-π/2＜θ+α≦-π/6 が -5π/6≦θ+α≦-π/6 になっても､
最後にkを考える所で､結局同じになると思うよ。
（考えないで良いと部分が正しいかどうか確認してないけど。）

>>347-348
わかりました｡ありがとうございます

直線y=mx+nをl(ｴﾙ)とする。
不等式y>mx+nの表す領域は直線lの上側の部分であり、不等式y<mx+nの表す領域は直線lの下側の部分である。
教科書の説明を読んでもいまいち分からないので教えて下さい。私文から国文に変えたので基礎なくてすいません

>>350
x=x_0を満たす (ｘが、適当にとったある特定値になる）点の集まりに
注目する。この点の集まりは、ｘ軸上のx_0,0)を通り、y軸に平行な
直線をなす。この直線の方程式も「x=x_0」。
(x_0で考えにくければ、2でも-√3でも、とにかく適当な値に
　暫定的にｘを固定してみましょう、ということ）。

この直線の上で、y座標がmx_0+ｎに等しくなる点は、もちろん、
この直線とy=mx_0+n の交点。これを(x_0,y_0)とする。
くどいようだが、y_0=mx_0+n。

直線x=x_0上で、この交点（x_0,y_0)よりも上の点は y>mx_0+n を満たす。
下なら、y<mx_0+n を満たす。

ということが、x_0 をどんな値にとっても言える。だから一般に、
ｘの値を変化させたとき、y>mx+nの表す点の集まりは、
座標平面で直線y=mx+nよりも上にある領域として表される、ということになる。

…ってのでどうよ。

y>mx+n
　yがmx+nより大きい
　y=mx+nと書いたときのyの上側の領域
　大雑把に y> だからyが大きい方、つまり上側

>>351さん
>>352さん
ありがとうございました

正の数ｘ、ｙがx^2+y^2=10を満たしているとき、ｘｙの最大値を求めよ。

地道に条件式を満たすｘ、ｙを見つけていくしかないんですか？
お願いします。

xy=kと置くと、これ双曲線なり。
x^2+y^2=10（半径√10の円）と交点を持つ範囲内で、kが最大になるときは、
グラフから、x=y=√5でk=5の時と判る。

(x,y)=(√10*cosθ,√10*sinθ)と置くと
xy=10sinθcosθ=5sin2θだから最大値は5、でもいいかな。
相加相乗とかもつかえそうだけんど、ぱっと思い付かん。

わかりました。
ありがとうございました。

特性方程式型はなぜαと置けば解けるのですか？

>>357
漸化式の話だと思うけど、特性方程式が何を目標にしている式かを考えよう。

2項間漸化式 a[n+1]=p・a[n]+qの場合、目標はa[n+1]-α=p（a[n]-α）となるｒを
見つけること。

この目標の式を展開・整理すると、a[n+1]=p・a[n]+α-pα となり、
任意のｎで成立するためには q=α-pα を解いてｒを求めればいいことになる。
ところがこの式は、α=pα+q と変形できる。

（てか、そもそもこの形で式を作っておいて、最初の漸化式から引けば、
　確かに　 a[n+1]-α=p（a[n]-α） になるのは当たり前）

この結果を先取りしたのが特性方程式。つまりあえて言えば「解けるように
作られているから解ける」ということになる。また、だから3項間漸化式の、
2次の特性方程式では、変形過程が異なるから、文字への置き方が
ぜんぜん異なることになる。

>>358
すごいっす
ありがとうございました

>>358
すごいっす
ありがとうございました

あ

3≦a＜b＜c≦11かつb-a≧2かつc-b≧2
を一つにまとめるとどうなりますか？

>>336
偶数、奇数とあったら整数の話。
実数√2 は偶数か？
分数(1/2) は偶数か？

高校までだと、変数は実数を表すことが多いが
そうとは限らない。

f(x)＝{(√2)+sinx}/{(√2)+cosx} (0≦x≦2π)
としたとき、f(x)が最大値、最小値をとるときのxを求めよ


答えは最大値をとるときx＝165ﾟ
　　　最小値をとるときx＝285ﾟです
解答では図形的に解いていましたが自分は微分して解こうとしました

↓以下自分の方針です
f'(x)＝[cosx{(√2)+cosx}+{(√2)+sinx}sinx]/{(√2)+cosx}^2
　　 ＝{√2(sinx+cosx)+1}/{(√2)+cosx}^2
　　 ＝2{sin(x+45ﾟ)+(1/2)}/{(√2)+cosx}^2
よってf'(x)＝0とするとx＝240ﾟ,300ﾟ
増減表は省略しますがこれをもとに増減表を書くと
最大値をとるときx＝240ﾟ
最小値をとるときx＝300ﾟとなりました

式の形からしても最大値をとるとき90ﾟ≦x≦180ﾟ
　　　　　　　　最小値をとるとき270ﾟ≦x≦360ﾟ
となるのは明らかですし自分の解答が間違ってるのははっきりわかるんですが計算過程のどこに誤りがあったのでしょうか
どなたかお願いします

cosαは微分したら-sinα

それ俺も微分してやったんだ
ちょっと面倒くさかった

>>362をお願いします

>>367=>>362
空間の領域を表す不等式を一つにまとめろって事か？
特別な場合を除けば、無理だ。

3≦a＜b＜c≦11かつb-a≧2かつc-b≧2
⇔3≦a≦b-2≦c-4≦7

>>363 みたいなやつが問題作ったからクソな問題ができたんだろうな。

Xを正の数とするとき、3X+4/Xの最小値を求めよ。
わかる方できたら解説お願いします

相加･相乗平均というのがあってな

>>369
ですよねー？
１対１で計算の途中でてきたんすけど

3≦a＜b＜c≦11かつb-a≧2かつc-b≧2⇔3≦a<b-1<c-2≦9

となってるんですがなぜでしょう？

>>373 a、b、cが整数値をとるなら、最初にそう書いておけ。

整数a,bが a≦b-2 だったら当然a<b-1ではないか。
（仮にb=6なら、左はa≦4、右はa<5,、aが整数ならこれらは同じ結果）

>>374
ああすいません。
あんましたことのない変形だったので頭がこんがらがりました

１〜１０までの数字が一つずつ記されたカードが箱の中に１枚ずつ、計１０枚ある。無造作に一枚とりだし、その数字を記録し、箱の中に戻すという操作をN回繰り返す。
このとき、記録した数字の最大値をＭ、最小値をｍとする

Ｍ=８かつｍ=２となる確率を求めよ

Ｍ=８とｍ=２の確率は求めました。それからわかりません。よろしくお願いします

N回引いたカードがすべて2以上8以下の確率から
すべて3以上7以下の確率を引く

>>377
それじゃダメでしょ

おっと、そうだ
すまない

直角三角形の３辺を
a-d,a,a+d (0<d<a)
とおけるのは何故なんでしょうか？

ごめんなさい
私が馬鹿でした気にしないでください

漸化式
ａ(n+1)=ａ(n)/2 +ｂ(n)/8
ｂ(n+1)=ａ(n)/2 +ｂ(n)*3/4 +ｃ(n)/2
Ｃ(n+1)=ｃ(n)/2 +ｂ(n)/8
ａ(1)=ｂ(1)=1/2 ｃ(1)=0
が成り立つ時、ａ(n)、ｂ(n)、ｃ(n)を求めよ

全然わかりません…よろしくお願いします

>>382
a[n]とc[n] が同じ係数で現れていることに着目して
a[n]+c[n]=d[n] とおき、
b[n+1]、b[n]、d[n+1]、d[n]を使って漸化式を作ってみれ。

>>365
すいません。まだどこが間違ってるのかわからないのです。

>>366
>>364のどこが間違ってます？

X^3+Y^3-2X^2Y=1を満たす整数XYの組を求めよ
この問題はどうすればできますか??

また3X^2+Y^2+5Z^2-2YZ-12=0を満たす整数XYZの組をすべて求めよ
この問題も同じやり方を使うんですか??
解説おねがいします｡

>>385
上、左辺をいんすーぶんかい。整数の積が1になるのは1*1か(-1)*(-1)。

下、（小文字で書く） 3x^2+(y-z)^2+4z^2=12 と変形できる。
左辺に出てくる項は全て整数の2乗だから非負の整数。
よって、|z|が2以上だと4z^2=16となりこれをみたす(x,y,z)は存在しない。
z=0のとき、z=1のとき、z=-1のとき、と考えて、同様に網を絞る。

>>364>>384
f'(x)=0の計算が違う。

>>386さん
ありがとうございます

>>387
実にお恥ずかしい限りです
こんなところを間違えていたのにようやく気づけました
回答ありがとうございました

>>339
河合塾のTH理系数学の問題かｗ

独学で�VＣやっててｌｉｍの事についてなんだけど
Х→１ってあるやつをХ＝Т＋１にして
Т＋１→１
Ｔ→０
ってしていいの？

いいですよ

ありがと―

あともう１つ質問なんだけど

ｓｉｎとｔａｎは
ｌｉｍ(θ→０)ｓｉｎθ／θ＝１
ｌｉｍ(θ→０)ｔａｎθ／θ＝１

なんだけど
ｌｉｍ(θ→０)ｃｏｓθ／θ
だったら どうなるの？

ｌｉｍ(θ→０＋０)ｃｏｓθ／θ＝＋∞
ｌｉｍ(θ→０−０)ｃｏｓθ／θ＝−∞
だから収束しない

収束するかしないかの公式なのか！

ありがとございました

質問です。

たとえば
　x=2y^2とy=x^2-3axが相異なる4つの点を共有している。
　4交点を通る円の中心をaを用いてあらわせ。
という問いがあった場合、
　円の中心を答えるだけでいいんですか？
　それとも
　相異なる4点で共有するための、aが満たすべき必要十分条件(＊)を求めた上で
　*のとき、円の中心は(×,×)
　*でないとき、題意を満たす円の中心は存在しない
と答えるべきなんですか？

　よろしくお願いします。

>>1
おっつー。
でも一ついいかな。
このスレタイはやめたほうがよかったんじゃないかな。
格好悪いから次からシンプルなのに変えてね。
デザイナーなので気になってしまって。

質問です。

放物線y=x^2−x−kがx軸と異なる二点A，Bで交わるとき、線分ABの長さが√10となる定数kの値を求めよ。

回答k=4/9

自力ではk>4/1という条件までしか辿りつけませんでした……。
お願いします。

すみません数字はk=9/4とk>1/4でした。

>>398
線分ABの長さは、x^2-x-k=0 の2つの解の差。
解2つをα、β （β>α）とすると、β-α>0で、
解と係数の関係から(β-α)^2がどう表せる?

√4+16/3の答えが何故2/3√21なのか納得いかない・・。すいません教えて下さい。

>>401
ちゃんと問題書け

ごめんなさい、間違えました。√(4+16/3)です。

問題っていわれたら普通答えもちゃんと書き直すだろ、ｊｋ

>>403

√28/3
=√84/9
=(1/3)√84
=(1/3)√4・21
=(2/3)√21

ほぅ！なるほぅど！ありがとうございました！カスが！

まさかカス呼ばわりされるとは思わなかった。

>>400
うおおありがとうございます！
二行目まではわかりましたが、三行目は(β-α)^2=10くらいしかわかりません、すみません。
kの扱いをどうしたらいいのでしょうか？

>>396
円の中心を答えるだけでいい。
問題文の要求していないことには答えない。

>>376
2〜8のカードしか出ない確率は7^n/10^n
3〜8のカードしか出ない確率は6^n/10^n
2〜7のカードしか出ない確率は6^n/10^n
3〜7のカードしか出ない確率は5^n/10^n
以上より、求める確率は
(7^n-2*6^n+5^n)/10^n

>>408
数Iしかやってなくて、解と係数の関係が未習だったら
（これ、現行課程の大欠陥だと思ってるが、それはさておき）

実際にαとβを解の公式を使って求めて、その差を取ると√10、という
方針のほうが分かりやすいかも。途中式がやや煩雑になるけど。

>>407 多分、さすが、の誤入力だと思う。気にしないほうがいい

>>396
ちゃんと解けてないけど（y座標が出ねー)、この問題については
「相異なる4点を共有」というのが前提されているから、
・a≦0でそもそも共有点が4つない場合……言及の必要なし
・4つの共有点が存在し、かつ実際に4点を通る円が描けない場合がある場合
　……もちろん、その場合については存在しないことを述べるべき

なんじゃないかね。ただし、問題文が、「…4つの点を共有し、この4点全てを
通る円が存在する」のように中心の存在まで保証されているのだったら、
描けない場合については言及しなくていい。

a^2-bc=b^2-cd=c^2-da=d^2-abならば
a=b=c=dまたはa+b+c+dを証明せよ

教えてください
おねがいします

>>410
ありがとうございました！
お陰で解けました、感謝です。

>>412
問題文ちゃんと書いて。

a.b.c.dを実数として
a^2-bc=b^2-cd=c^2-da=d^2-abならば
a=b=c=dまたはa+b+c+d=0を証明せよ

でした
すいません

次の式を因数分解せよ。
(x^2-1)(y^2-1)-4xy


教えてください
お願いします

国立大学の数学の入試問題の難易度表を作るｽﾚ
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1208003307/l50

>>415
わかんないわ。他の方お願いします。

>>416
(x^2-1)(y^2-1)-4xy
={(xy)^2}-(x^2)-(y^2)+1-4xy
=(x^2-1)(y^2)-4xy-(x^2)+1　←yについて整理
=(x+1)(x-1)y^2 -4xy -(x+1)(x-1)
={(x+1)y+(x-1)}{(x-1)y-(x+1)}

ポイントは一つの文字について整理すること。

>>418
すげぇー!!!
ありがとーございます!!!

>>411
ありがとうございました。
相異なる4点で共有しているというのは前提条件という扱いで解くということですね。

中心自体は束の考えで出ます。

理系数学って、

確率、数列、ベクトル、整数、数�V・Cが相当得意だったらかなり有利ですよね？

有利不利とか考えてる時点で…
ま、いいや
好きに妄想してな

どうせマーチレベルだろうしな

原点Ｏから出る半直線上の２点Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（Ｘ，Ｙ）が
ＯＰ・ＯＱ＝２を満たしている。

この場合のＯＰ・ＯＱ＝２は何を意味しているのですか？

OPの長さとOQの長さを掛けると常に2になってるってことです

>>424
素早い回答ありがとうございます。
理解しにくいですが，何とか理解しようと思います。

x.y.z.wを正の数とする
x^3+y^3=z^3+w^3=1のとき
xz^2+yw^2≦1を証明せよ

おねがいします

>>426
相加相乗平均より
(x^3+z^3+z^3)/3≧xz^2
(y^3+w^3+w^3)/3≧yw^2
辺々足して
1≧xz^2+yw^2

>>415
解ける事は一応解けるが、ここに書き込むのが億劫になるぐらいメンドイ。
華麗な解法があるのだろうが…。
出典は何？

>>423さん
すいません塾のプリントです

>>415
a^2-bc=b^2-cd=c^2-da=d^2-ab=kとおくと
a^2=k+bc
b^2=k+cd
c^2=k+da
d^2=k+ab
これらを足して
a^2+b^2+c^2+d^2=4k+(bc+cd+da+ab)
⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2=8k…�@
or(a+b+c+d)^2-3(ab+bc+cd+da)=4k
⇔(a+b+c+d)^2-3(a+c)(b+d)=4k…�A
ここまでは行けたけど…難しいわね…

n≧3を自然数とし単位円周上にn個の点をとりそれらを結んでn角形を作る。そのn個の内角の大きさをa1…anとしこれらがこの順に公差が正の等差数列である。このとき=135ﾟとすればnの取りうる値の範囲は【ア】≦n≦【イ】となる。この時n＝【イ】ならばan＝【ウ】である。
お願いします

(2/3)n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+nを細かく納得がいくように答えまでの道程を教えて下さい。

>>431
>このとき=135ﾟとすれば
肝心の情報が落ちてる。

>>432
あなたが書いたものは単なる式であって、それの「答え」ってのは存在しない。

その式を整理して、因数分解した形に変形する過程が見たいの?
それとも、a[n]=(2n-1)^2 のn項和がその形になるところからやるの?

>>431
何が135°？

>>432
その数式をどうしろと？

>>433>>434
すいません、因数分解です。
よろしくお願いします。

すいません…a1＝135ﾟです

>>432
(2/3)n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n
=n{(2/3)(n+1)(2n+1)-2+1}
=n{(2/3)(n+1)(2n+1)-1}
こんな感じねっ！

>>437
答えの
(1/6)n(2n-1)(n-1)となるまでをお願いしたいのですが、、

>>437 おお少女よ、この程度の問題でミスるとは情けない。
2つめの積、ｎだけ前にくくりだしたんだから｛｝の中に2（n+1)がこなきゃダメだろ。

改めて。
(2/3)n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n
=(1/3)n{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3)
=(1/3)n{4n^2+6n+2-6n-6+3}
=(1/3)n{4n^2-1
=(1/3)n(2n+1)(2n-1)

答えとして提示されているものと違うけど、これで正解のはず。
n^3の係数、もとの問題では(2/3)*2＝4/3 になるはずで、
上記の因数分解でもこうなるけれど、>>438では2/6になるから
書かれた「答え」は違ってる。

>>438
どうもありがとうございました。少女さんもどうもです。
答えが違うとは思いもしなかったです

>>438
(2/3)n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n
=n{(2/3)(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1}
=n{(2/3)(2n^2+3n+1)-2n-2+1}
=n{(2/3)(2n^2+3n+1)-2n-1}
=n{2(2n^2+3n+1)+3(-2n-1)}/3
=n(4n^2+6n+2-6n-3)/3
=n(4n^2-1)/3
=n(2n+1)(2n-1)/3
どうしても(1/6)n(2n-1)(n-1)=(1/6)(2n^3-3n^2+n)にならないのよね…

>>431
お願いします

>>415
スマートな解答は思いつけませんでしたが
a=b=c=d, a=-b=c=-d, (1±√2)a=b=-(1±√2)c=-d
の場合しかないようですね
同次方程式なので比を考えて３変数（B=b/a, C=c/a, D=d/a）にし
３変数の３つの２次方程式を強引に解きました
変数を減らすのと次数を減らすのを心がけて
C^2-1=0もしくはC^4+C^3+C^2+C+1=0を得ましたので
Cが実数であることより±1ここからB=D=±1およびB=-D=1±√2となりました

>>431,442
ｎ活計ができるとするとその内角の和は180(n-2)、
公差が0の時内角の和は135ｎ、公差の増分分だけ、実際の内角の和は
これよりも大きくなるから、 180(n-2)>135n これよりn>8 だから ｎ≧9

公差をdとすると内角の和は135n+(d/2)n(n-1)でこれは180(n-2)に等しい。
このとき、dについて解くとd=90(n-8）/{n(n-1)}
これはn≧9ならつねに正の値をとってしまうから最大値が求まらない…

ってことで、問題を引用した部分の前には何もない？
何か大きな見落としがあるかな…

>>431
頂点を中心と結んで出来るn個のニ等辺三角形の中心角以外の角をb[k]とすると公差をdとすればb[3]+b[2]=a[2]=a[1]+d=b[2}+b[1]+dよりb[3]=b[1]+dとなり同様にb[4]=b[2]+d, …となる
ここからもしn=2m：偶数であるとするとa[n]=b[1]+b[n]=b[1]+b[2]+(m-1)d=a[1]+(m-1)dとなりa[n]=a[1]+(n-1)d=a[1]+(2m-1)dに反するためn=2m+1：奇数である
このときb[n]=b[1]+mdでありa[n]=b[1]+b[n]=2b[1]+md, a[n]=a[1]+(n-1)d=b[1]+b[2]+2mdでもあるためb[1]=b[2]+md、以下b[3]=b[2]+(m+1)d,…,b[n]=b[2]+2mdとなる
n角形の内角の和は180(n-2)=360m-180であり
a[1]+…+a[n]=2(b[1]+…+b[n])=2((2m+1)b[2]+m(2m+1)d)=(2m+1)(135-md)+2m(2m+1)dより
90m-315=(2m^2+m)d>0となりm≧4
このときd=(90m-315)/(2m^2+m)
さてa[1]=b[2]+b[1]=135よりb[2]=(135-md)/2である
二等辺三角形の内角b[n]=b[2]+2md=(135+3md)/2<90でなくてはならないためmd=(90m-315)/(2m+1)<15よりm≦5
よってn=9,11, d=5/4, 27/11

>>445
>さてa[1]=b[2]+b[1]=135よりb[2]=(135-md)/2である
これは
>a[1]+…+a[n]=2(b[1]+…+b[n])=2((2m+1)b[2]+m(2m+1)d)=(2m+1)(135-md)+2m(2m+1)dより
の前に

>>415
a^2-bc=b^2-cd=c^2-da=d^2-ab
で
a^2-bcは
これは2次方程式bx^2+2ax+c=0の判別式をあらわす

同様にして
ax^2+2dx+b=0
bx^2+2ax+c=0
cx^2+2bx+d=0
dx^2+2cx+a=0
の各方程式を得る

各方程式を加えると次の恒等式が成り立つ
(a+b+c+d)x^2+2x(a+b+c+d)+(a+b+c+d)=0
任意のxに対してこの恒等式が成り立つためにはa+b+c+d=0

ｆ(θ)＝２sinθ-３cos^2θ＋１について
０≦θ＜２πの範囲における方程式ｆ(θ)＝−１の相異なる解は何個あるか。またそれらの解の総和を求めよ。
という問題でsinθ＝ｔとおくと、ｔ＝-1,1/3になります。答えに解は３個とあるのですが、sinθ＝1/3はどう計算すればよいのですか？

ｆ(a)＝８＾aとおく。ｆ(a)が１００桁の整数となるような整数aの値はアである。また、このときｆ(a)の、１の位の数字はイ、
１０＾９９の位の数字はウである。ただし、log[10]2=0.3010,log[10]3=0.4771とする。
という問題でア１１０、イ４は解けたのですが、ウがわかりません

>>447
判別式が等しい４つの２次方程式があるとして
それを加えるのはなぜ？
加えたものが恒等式となるのはなぜ？
a=b=c=dが出て来ないのはなぜ？

>>448
上だけだけど…
解の個数さえわかればいいから、具体的なθは分からなくても大丈夫っ！
それで、t=sinθは-1と1のとき1個、-1＜t＜1で2個解を持つから合計3個ってこと！

>>450
わかりました。
しかし、その後の解の総和を求めよ、はどう解けばよいのでしょうか？

>>449
寝る前にとりあえず思いつきで書いたんでｗ

>>448
>sinθ＝1/3はどう計算
計算とはθの値を求めるという意味ですね？（それは計算とはあまり言わないと思いますが）
ここはθを具体的に求めることはできませんがθの値が２つあることはグラフもしくは単位円を描いて説明できます

>１０＾９９の位の数字はウ
a・10^99≦8^110<(a+1)・10^99より
log(a)+99≦99.33<log(a+1)+99
log(a)≦0.33<log(a+1)
ここでlog(x)は単調増加関数でありlog2=0.3.10, log3=0.4771よりa=2

俺も昨日から>>415考えてる…
ムズイよな

>>451
>解の総和を求めよ
sinθ=1/3を満たすθ=π/2±αと表せるので総和を得られます

>>453
>log2=0.3.10
log2=0.3010

>>415ってベクトルの問題じゃないの？
内積使ってさ

>>457
どうやって解いた？

>>415
>>457の人が言うベクトルとかじゃなくてゴリおしだけど
a^2-bc=k・・・�@
b^2-cd=k・・・�A
c^2-da=k・・・�B
d^2-ab=k・・・�Cとおく。
�@よりa^2-k=bc 両辺を2乗して
a^4-2ka^2+k^2=b^2*c^2
=(k+cd)(k+da)　(∵�A、�B)
=k^2+(cd+da)k+d^2*ac
=k^2+(cd+da)k+(k+ab)*ac (∵�C)
=k^2+(ac+cd+da)k+a^2*bc
=k^2+(ac+cd+da)k+a^2*(a^2-k)　(∵�@)
⇔k(a+c)(a+d)=0
こんな感じで後はいけるんじゃない？

>>459
すげー

三角形の辺O,A,B上にそれぞれ点C,DをとりAD,BCとの交点Pをとする。また2点Q,Rを四角形OCQD四角形OARBがそれぞれ平行四辺形となるようにとる。この時P,Q,Rが一直線上にあることを示せ。
お願いします

ちゃんと書け

三角形の辺OA,OB上にそれぞれ点C,DをとりAD,BCとの交点Pをとする。また2点Q,Rを四角形OCQD四角形OARBがそれぞれ平行四辺形となるようにとる。この時P,Q,Rが一直線上にあることを示せ。
すいません…直したのでお願いします

>>463
ふつうにコツコツ解くだけだが…

↓の典型題を（メネラウスの定理を使わず、ベクトルで）解ける?
△OABのOAを1:2に内分する点をC,OBを3:1に内分する点をDとし、
ADとBCの交点をPとする。OP↑をOA↑とOB↑で表せ。

これができるなら、OA↑=a↑、OB↑=b↑として、
OC↑=t・a↑、OD↑=s・b↑と置いて、OP↑、OQ↑、OR↑を
a↑とb↑で表し、RQ↑とRP↑が平行であることを示せば完了。

できないならこの問題は（ベクトルを使って解くには）まだ早過ぎ。

>>463 続き。
ただ、OP↑はけっこう煩雑な式になるので、平行を示すのが
ちょっと面倒。ここは、

　Xa↑+Yb↑ と Za↑+Wb↑が平行
⇔X:Y=Z:W ⇔XW-YZ=0
を使うとちょっとだけ楽になるかも。

今月から「理系数学入試の核心」やり出しました。
よろしくお願いします。

その中で、
　x^2+(a-1)x+a+2=0
が、0≦x≦2の範囲には実数解をただ1つもつときのaの値の範囲を求めよ。
という問題、
　f(0)*f(2)≦0 (f(x)は、方程式の左辺)
では、いけないのでしょうか？

>>466
f(x)=x^2-2x=0⇔x(x-2)においてf(0)f(2)=0よね？
でもこれだと0≦x≦2に解を2つ持っちゃうから駄目なのよね…

>>466
この場合はその解法でおk。

ちなみに、その解法の欠点を言っておくと、両サイドがともに方程式の解となる場合がある。
（ここだと、0と2がともに方程式の解になること）
その可能性がないことを示してから、その解法を使う解答を作ればよい。

>>468
>>467の書き込み見て間違えたことに気づいた。スマソ。
確かに467+の言うとおりだめだな。

>>466
a=-(x^2-x+2)/(x+1)
a'=-1+4/(x+1)^2=0 ⇔ x=-3,1
0≦x≦2で増減表を書くと
0≦x<1/3で-2≦a<-4/3（単調増加）
1/3≦x<1で-4/3≦a<-1（単調増加）
x=1でa=-1
1<x≦2で-1>a≧-4/3（単調減少）
より0≦x≦2でaとxが１対１に対応するのは
-2≦a<-4/3およびa=-1

447のつづき
a^2-bcは
2次方程式cx^2+2ax+b=0の判別式でもあるから

cx^2+2ax+b=0
cx^2+2bx+d=0
より

2x(a-b)+(b-d)=0
任意のxに対して成り立つには
a=bかつb=d

他同様にしてa=b=c=dを得る

>>471
こんな馬鹿は久しぶりだ

解答ありがとうございます。
>>466のやり方でやると、a=-1がやっぱり出てきませんね。
もう少し、がんばってみます。

x^2+(a-1)x+a+2=0
a(x+1)=x^2+x-2
x=-1は解になりえないので
y=aと
y=f(x)=(x^2+x-2)/(x+1)
が[0, 2]で1共有点を持つaの範囲を調べればよい
本格的な微分問題に……

>>463
斜行座標系を使った場合でも直線が１次方程式で表せることを利用すると
(p,0), (0,1)を通る直線と(0,q), (1,0)を通る直線の交点は(p(1-q)/(1-pq), q(1-p)/(1-pq))
この点と(p,q), (1,1)は直線(1-q)(x-1)=(1-p)(y-1)上にある

数列a[n]がa[n+1]=√(a[n]+2)をみたすときlim[n→∞]a[n]を求めよ

感覚的に極限をαとするとα=√(α+2)からα=2であることはわかるんですが
数学的にどう求めたら良いかわかりません
よろしくお願いします

数学的帰納法で
a[n] < 2
a[n] < a[n+1]
（単調増加で上に誘拐）
が証明できれば、極限をαとおいてそのとおりにといてオッケー。

>>476
感覚を証明すればいい
a[n]>0として
|a[n+1]-α|=|√(a[n]+2)-√(α+2)|=|a[n]-α|/(√(a[n]+2)+√(α+2))<|a[n]-α|/(2√2)<|a[1]-α|/(2√2)^(n-1)
よりn→∞で|a[n]-α|→0

>>477
>単調増加で上に誘拐
実数の連続性は高校数学範囲外

>>476
問題文ってそれだけ？a[1]の値とかは？

(初項が-2以上なら全てのnでa_nが0以上)
y=sqrt(x+2)とy=xを図示すると視覚的に分かる。書いてみてちょっと考えたらいい。
数式でちゃんと証明するならa_n-2が0に収束することを示せばいい。
以下は初項が-2より大きいものとして話を進める。(-2だったらa_n=0の定数数列)
a[n+1]-2=sqrt(a[n]+2)-2=(a[n]-2)/(sqrt(a[n]+2)+2)<(1/2)(a[n]-2)
ゆえに
|a[n]-2|<(1/2)^(n-1)*(a[1]-2) → 0 (n → ∞)
このやり方、この流れは頻出。
a[n+1]-α<(k^n)*(a[n]-α) (|k|<1)
の形さえ示せれば解けたも同然。

>>477
>a[n] < 2
a[1]の条件がないのでa[n]>2かもしれない

>>479
大学への数学では「感覚的に明らかなので使ってもよいだろう」とか書いてあったりするんだよなこれが

大学では実数の連続性っていって習うけど
高校の範囲でも参考書の例題でちゃんとあるよ。

三角形の辺O,A,B上にそれぞれ点C,DをとりAD,BCとの交点Pをとする。また2点Q,Rを四角形OCQD四角形OARBがそれぞれ平行四辺形となるようにとる。この時P,Q,Rが一直線上にあることを示せ。
お願いします

その参考書は何というものですか
具体的な例題はどのようなものでしょうか

>>485間違えてました
方程式x^3-4x+a=0の解α,β,γがすべて実数となるような実数aの値の範囲を求めよ。またその時の|α|+|β|+|γ|の最大値と最小値を求めよ。
お願いします

>>485
>>463-465

>これができるなら、OA↑=a↑、OB↑=b↑として、
>OC↑=t・a↑、OD↑=s・b↑と置いて、OP↑、OQ↑、OR↑を
>a↑とb↑で表し、RQ↑とRP↑が平行であることを示せば完了。

>>487
f(x)=x^3-4xのグラフ（原点対称）を描いて
-16/√27≦a≦16/√27（等号では重解）
対称性より0≦a≦16/√27 (α≦β≦0<γ)の場合で考えて
|α|+|β|+|γ|=-α-β+γ=-(α+β+γ)+2γ=2γ（解と係数の関係）
2≦γ≦4/√3より最大値8/√3最小値4

質問です。
実数係数のｘの整式Ｐをｘ^2＋１で割ったときの余りをｒ(Ｐ)などと表すことにする。また複素数α＝ａ＋ｂi(ａ、ｂは実数、iは虚数単位)に対してＦα(ｘ)＝ａ＋ｂｘと定める。
複素数α≠１のとき
ｒ(Ｆα(ｘ)Ｆ(1/α)(ｘ))＝１を示せ。

という問題ですが
Ｆα(ｘ)Ｆ(1/α)(ｘ)＝(ａ＋ｂｘ)／(ａ＋ｂｘ)＝１だから題意は示された。
として問題ないのでしょうか？解答では他の問題の誘導である為に１／αを有理化してＦα(ｘ)Ｆ(1/α)(ｘ)＝{−ｂ^2(ｘ^2＋1)＋ａ^2＋ｂ^2}／(ａ^2・ｂ^2)として示していました。

>>490 問題設定が汲み取れていません。
F[1/α](x)は定義上ｘの1次式のはずですよね。
1/(a+bx） は分数式で、変じゃないですか。

具体的なα=3+2i について考えてみましょう。
Fα(x)=3+2x ですけど、
1/α=1/(3+2i) = (3-2i)/13 だから、
F[1/α](x)=(3/13)+2x でしょ。

つまり、Ｆ(1/α)(ｘ) =1/(a+bx) ではないわけ。

訂正
>F[1/α](x)=(3/13)+2x でしょ。
F[1/α](x)=(3/13)-（2/13)x ですね。
（上のほう直すのに気をとられて、ここを不完全なまま送っちゃいました）

>>447ぷぎゃー

この問題をどなたかお願いします
x,yについての連立方程式
sinx＋cosy＝a
cosx＋siny＝b
が実数解をもつための条件をa,bを用いて表せ
a＝b＝1の場合にこの方程式を解けというのは1対1に載ってたんですが…

>>477-484
解けました
ありがとうございました

>>494
ｙ=90°-ｚ とすると、与えられた式は
sinx+sinz=a
cosx+cosz=b
と書き換えられる。

図形的に考えると、
(a/2)^2+(b/2)^2≦1　でいいような気がする。

質問です。

aを0でない実数とするとき、二次不等式ａx^2−3ａ^2x＋2ａ^2≦0の解の集合をＡ、
x^2＋x−2≧0の集合をBとする。

(1)A∩Bが空集合となるようなａの値の範囲を求めよ。
　答え：0＜ａ＜9/2

(2)A∪Bが実数全体の集合となるようなaの値の範囲を求めよ。
　答え：ａ≦-2

(1)でBの値の範囲を求めるところまでしかできませんでした。
お願いします。

>>496
書き換えた後はどうすればいいんですか？
出来れば模範解答のように書いて欲しいです

バカですみません…

>>498
自分は、着想は図形的に得たんだけど、厳密な論証は面倒そうなので
数式で。得られた式を辺辺2乗して足すと、(sinx)^2+(cosx)^2=1などから
2+2cosxcosz+2sinxsinz=a^2+b^2
左辺は、加法定理からさらに2+2cos（x-z) と変形できる。
-1≦cos(x-z)≦1だから、
0≦2+2cos（x-z)≦4
よってこれと等しいa^2+b^2は、a^2+b^2≦4となることが必要
（2乗の和だから0以上であることは自明なので省略できる）

逆に、a^2+b^2≦4となる任意のa,bが与えられたとき、
この変形を逆にたどることで、元の式を満たすx,yを得ることができる。
従って、求める条件はa^2+b^2≦4

図形的に、というのは、(cosx,sinx) と (cosz,sinz) の中点の座標が
(a/2,b/2)になる（2点が重なった場合はその点を中点と見なす）、と
式を読んで、(a/2,b/2）がが単位円の内部または円周上にあれば、
その点を中点とする弦が作れる、と考えたことから。

？

>>499　ごめん、これだとちょっとザル証明かな…肝心の
「条件を満たすa,bを考えたとき、必ず元の方程式が解を持つ」ことが、
2乗して足したために、単純に「逆をたどる」わけにいかず、
必ずしも確実に言えなくなってるような気がしてきた。

この点については、当初の着想どおり図形的な作図として、解が
必ずあることを示したほうが良いかも。この手順としては、

点(a/2,b/2)をPとして、
Pが単位円の円周上にあるときは、その点のｘ座標がcosx=cosｚ、
ｙ座標がsinx=sizｚ。

Pが原点以外の単位円の円内にあるときは、
Pを通り、原点とP結ぶ直線と直交する直線を作図する。この直線と
単位円との交点の座標が(cosx,sinx),(cosz,sinz)を与える

Pが原点にあるときは、単位円の任意の直径の両端の座標が
(cosx,sinx),(cosz,sinz)を与える

この手順により、a^2+b^2≦4を満たす任意のa,bに対して、
方程式を満たす(cosx,sinx),(cosｙ,sinｙ)を得ることができる。

>>499
>>501
詳しくありがとうございましたm(_ _)m
図形的なアプローチは思いつきませんでした

nを正の整数とする。曲線y=log2x，直線x=2^n，およびx軸で囲まれた領域において整数x,yを座標とする点(x,y)はその境界線上に[ｱ]個内部に[ｲ]個ある。

nを正の整数とする。曲線y=log2x，直線x=2^n，およびx軸で囲まれた領域において整数x,yを座標とする点(x,y)はその境界線上に[ｱ]個内部に[ｲ]個ある。
お願いします

数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1/2】,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

a【n+1/2】って斬新だな

数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

間違えてました

>>507
お願いします

>>503 x=2^yでyが整数ならxも整数。まずはy軸に垂直な直線で固定。
>>507 単純だ。(1)では{b_n}の初項と項差を設定。(2){a_n}を{b_n}, {c_n}で表して同様に

おはようございます。

＜問題＞
次の不等式の表す領域を図示せよ。
（ｘ＾２−ｙ＾２）（２ｘ＋ｙ−１）＜０
＜解答＞
境界線ｘ＋ｙ＝０，ｘ−ｙ＝０，２ｘ＋ｙ−１＝０をかく。

これと，

｜ｘ｜−１＜ｙ＜−｜ｘ｜＋１
⇔｜ｘ−１｜＋１＜ｙ＜−｜ｘ−１｜＋３

となる理由が分かりません。どうか教えてください。

>>499
>図形的に、というのは、(cosx,sinx) と (cosz,sinz) の中点の座標が

見事ですね

>>510
まず確認したいのだが、あなたの問いは別々の2問?
それとも（多分違うと思うが）上の問題の解答の中に出てきた下の説明が分からないの?

>>503
log2xはlog(2x)でなくて底が2ということですね？
直線y=k上の格子点の数を数えて
外周上には(2^k,k)がn+1個(2^n,k)がn+1個(k,0)が2^n個あります（3点が2重に数えられています）
内部にはΣ[k=1,n-1](2^n-1-2^k)=(n-1)(2^n-1)-(2^n-2)個でしょうか

>>507
>b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2

正しい式ですか？
a[n]が1, 2, 2, 4, 2, 8, -2, 20…の時
b[n]は2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…となりますが

>>510
>となる理由が分かりません

そうはなりません
(0,0), (1,2)は
｜ｘ｜−１＜ｙ＜−｜ｘ｜＋１
｜ｘ−１｜＋１＜ｙ＜−｜ｘ−１｜＋３
の一方のみに含まれる点です

>>512
別々の２問です。

>>515
なぜ（０，０），（１，２）が出てくるのですか？

分かりにくい質問をしてしまって申し訳ありません。

>>503 >>515にかぶるけど。
　下はなんか転記ミスがありそうだなぁ。条件も省略されている
ような気がする。テンプレに「問題は省略せずに全部書いて」と
あるんだけれど。

上の式が成り立つx,yが存在するためには、|x|=α（α≧0）として、
α-1＜-α+1 が成立することが必要。これよりα<1で、
このときα-1<0、-α+1>0になるから、
上の式はα-1<y<-α+1 と同値になる。

このとき、下の式を評価すると、xが負でなければ0≦ｘ=α<1になって、
|x-1|+1=|α-1|+1=1-α+1=2-α
-|x-1|+3=-(1-α）+3=2+α となり、2-α<y<2+α は上と同じにならない。

ｘが負であれば -1<x=-α<0になって、
|x-1|+1=|-α-1|+1=1+α+1=2+α
-|x-1|+3=-(α+1）+3=2-α となり、2+α<y<2-αで、これを満たすｙは存在しない。

>>516
「同値になることを説明せよ」だから、問題が正しいならば、

勝手にとったｘ、ｙの組が一方の式を成り立たせたら、
必ずもう一方の式も成り立たなければならない。

逆に、一方だけの式を成り立たせる式が見つかったら、
元の問題は正しくない（いわゆる反例。対偶の考え方）。

その反例が1つ見つかっちゃったよ、という指摘なので、
「どう見つけたか」は関係ない。問題が変なことは>>517でも
詳細に述べたとおり。

で、>>503の上の問題。
要は3つの式の積が負になればいい。3ついっぺんに考えるのは大変なので、
(x+y)(x-y) の正負と、 2x+y-1 の正負を組み合わせて考えることにする。

2ｘ+ｙ-1<0 となるのは、境界の直線 2x+y-1=0 に対して左下の領域
（この直線が境界になることと、(0,0) が 2*0+0-1<0 になることから。
　万一これが直ぐに分からないようなら、領域の基本に帰って復習）
右上は2x+y-1が正になる領域。 これを図1とする。

つぎ、(x+y)(x-y) の正負。これは境界がx+y=0、x-y=0の2本の
直線で、（1,0)でテストすれば積が正。したがって、ｘ軸を含む
左右の領域ではこの積が正、y軸を含む上下の領域では負
（原点は除く。）これを図2とする。

で、頭の中で透明シートかトレーシングペーパーに図1と図2を写し、
重ねる。両方の図で正・負、または負・正の組み合わせのところが、
全体の積が負になるところ。具体的な配置としては、原点右に小さな
三角形ができ、これを6つの領域が取り囲む構図になるが、
周りの領域のうち、ｘ軸の負の部分を含むところから始めて
1つおきの3つ、およびこの小三角形が、全体の積が負になる領域。

>>515
反例を示していたのですね。分かりました。

>>517
｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜１⇔｜ｙ｜＜１−｜ｘ｜
⇔｜ｘ｜−１＜ｙ＜−｜ｘ｜＋１
⇔｜ｘ−１｜＋１＜ｙ＜−｜ｘ−１｜＋３
と解答には書いてありました。関係ないと思っていたので
省略してしまいました。申し訳ありませんでした。

>>520
>⇔｜ｘ−１｜＋１＜ｙ＜−｜ｘ−１｜＋３
は領域｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜１をｘ軸方向に１，ｙ軸方向に２だけ
平行移動した領域と書いてありました。

本当に申し訳ありませんでした。

>｜ｘ｜−１＜ｙ＜−｜ｘ｜＋１
>⇔｜ｘ−１｜＋１＜ｙ＜−｜ｘ−１｜＋３
>
>となる理由が分かりません。
については理解できました。

>＜問題＞
>次の不等式の表す領域を図示せよ。
>（ｘ＾２−ｙ＾２）（２ｘ＋ｙ−１）＜０
>＜解答＞
>境界線ｘ＋ｙ＝０，ｘ−ｙ＝０，２ｘ＋ｙ−１＝０をかく。
については，ｘ＾２＝ｙ＾２からｘ＝±ｙを導けるかどうかが
分かりません。

自分勝手な書き込みを続けて本当に申し訳ありませんが，
どうか教えてください。

>>522 一回x^2=y＾2を介する必要はないと思うけれど。
また、解答の中で不用意にx＾2=y^2と書くと不味いと思う。
（境界が表す式がこれになる、というのならいいけれど）

まず、
「(y-(ax-b))(y-(cx-d))<0 が成立しているとき、これを満たす領域は、
2直線y=ax-b (⇔y-(ax-b)=0) 、y=cx-d (⇔y-(cx-d)=0)を境界として
座標平面を4分割したときに、、交点を頂点として向かい合う
2組の領域のうちの1組になる」（ただし、2直線は平行でないものとする）

ということは了解していますか?
(なぜこうなるか、は>>519の、トレペに描いて重ねるたとえが
　そのまま使える）

これが分かっていれば、
ｘ＾2-ｙ＾2 < 0 ⇔(x-y)(x+y)<0
だから、x-y=0、x+y=0が表す直線が境界、ということが見えるはず。
ここから直線の式を変形して、それぞれy=x、y=-xになる。

>>523
>ｘ＾2-ｙ＾2 < 0 ⇔(x-y)(x+y)<0
これで全てを了解しました。ｘ＾２−ｙ＾２＝（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）
が鍵だったのですね。ありがとうございました。

センターで数1だけ使う者です。
マセマのはじはじと白チャート平行してやってるんですが
前者には相加相乗平均〜が出てきたのに後者には出てこない＼(^o^)／
網羅型参考書のチャートに載ってないってことはもしや数1の範囲から消えたんですかね？

>>525
消えろ

>>519
私の質問への解答だったのですね。ありがとうございました。

>>491分かりました。ありがとうございました

cosθ/(1-sｉｎθ)+1-sinθ/ｃｏｓθを簡単にせよ。

回答：2/cosθ


cosθ/(1-sｉｎθ)を(1+sinθ)/cosθにすることはできたのですが、
1-sinθ/ｃｏｓθがわかりません。お願いします。

>>529
cosθ/(1-sinθ)+(1-sinθ)/cosθ
=(1+sinθ)/cosθ+(1-sinθ)/cosθ
=(1+sinθ+1-sinθ)/cosθ
=2/cosθ

1-sinθ/ｃｏｓθはノータッチでよかったのですか！
ありがとうございました！

相加相乗平均、青チャートには載ってるよ。確か黄にも載ってるはず。
もちろん教科書にも載ってるから課程からは削除されてないけど、
センターで出るかどうかという話になるとかなり微妙じゃね？

0≦θ≦πとする。
sinθ+cosθ=1/5のとき、sinθcosθの値を求めよ。

という問題を解く時に、

(sinθ+cosθ)^2=sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2
これにsinθ+cosθ=1/5、sinθ^2+cosθ^2=1を代入して、
(1/5)^2=2sinθcosθ+1
⇔sinθcosθ=-12/25
という流れで解くのと、

sinθ+cosθ=1/5
両辺を平方して、
(sinθ+cosθ)^2=(1/5)^2
⇔sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2=1/25
sinθ^2+cosθ^2=1であるから、
2sinθcosθ+1=1/25
⇔sinθcosθ=-12/25
という流れで解くので、
どちらが好ましいとかありますか？
ちなみに、上が私が解いた方法で、
下が解説に載っていた方法です。

すいません、
sinθ^2、cosθ^2はそれぞれsin^2 θ、cos^2 θとかに脳内置換してお読み下さい。

>>533
どっちでも変わりあるまい

>>533 どっちが「好ましい」というのはないと思うけど、下のほうが、
より着想として一般性が高い流れであるようには思える。

上の場合、出発点にした (sinθ+cosθ)^2=…　というのは、ごく一般的な
変形に過ぎず、「思いつけたからこそ、そこから出発できた」形に
なっている。もちろん、この問題ではその発想は比較的簡単に出てくる
ものだし、そうした流れを思いつけたのなら、全然問題ない。減点
されやすい、とかいったことを懸念してるなら、それは心配無用。

これに対して、下のほうは、「まず与えられた、より限定性の高い式を
出発点にして、その結果に普遍的な関係を適用する」という流れ。で、
こっちの方が状況の特殊性が生きやすいと思う。より複雑な問題に
なった場合、与えられた式をこねくり回して着想を得る、という流れの
方が有利になることが多いように思えるのよ。

>>527 ついでで恐縮だが、アンカーをミスりまくってた。申し訳ない。

>>532
ＡＲＩＧＡＴＯＳＡＮ！

いやさ煽るわけじゃないんだ。たださ>>533みたいな質問を本気で聞いている>>533はこの先数学をやっていけるのだろうか？

>>514
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/3
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

すみません…直しましたのでよろしくお願いします

>>535-536
ありがとうございます。
数学の方法論上、何か違いがあるのかな？と思い質問してみました。
確かに、下の流れで考える癖をつけておいた方が応用性が高いかもしれませんね。
心掛けてみます。

>>539 あなたの書いた式のb[n]は、
a[n] + a[n+1]×(1/2) と等しいものに読めるんだが。
>>514の指摘もこれと同じ読み方をしている。
「正しい式ですか？」というのはそういうことで、
違うのなら、()を十分に使って正しい数式を書け、ということだよ。

>>1に貼られている、式や記号の書き方のお手本
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
は見ましたか?

＜問題＞
（Ａ）｜ｘ＾２−１｜＋｜ｙ−１｜≦１のとき，次の最大値，最小値を
求めよ。
（１）ｙ−ｘの最小値・最大値
（２）ｘ＾２＋ｙ＾２の最小値
＜解答＞
｜ｘ＾２−１｜＋｜ｙ−１｜≦１の表す領域を図示。
ｙ軸に対して対称であるから，（後略）

なぜ｜ｘ＾２−１｜＋｜ｙ−１｜≦１がｙ軸に対して対称であるのか
分かりません。教えて下さい。

あ

ａlogaＸ=Ｘの導き方を教えてくださいm(__)m

>>542 質問のしどころが違うような。直ぐ上で書かれた「領域を図示」ができて
いれば、y軸対称であることはすぐに見て取れるはず。また、図示してy軸
対称にならないなら、領域が正しく描けてない。この図示はできてるんでしょうか。

y≧1とy<1に場合分けして、yのほうだけ絶対値を外すのが手筋かと。

わかる人いませんか？

>>546
数式ちゃんとかいてくれ

次の不等式の「成り立たない」凡例をあげなさい
(1)x+y≧0
(2)x^2+y^2≧0
(3)x^3+y^3≧0
(4)x^4+y^4≧0

(1)はx=1,y=-5
(2)はx=1,y=5i
(3)はx=1,y=-5
と解けたのですが、(4)がわかりません。

x^4+y^4=x^2^2+y^2^2なので

実数ではないと思うのですが
虚数でも２乗すると負になり、さらに２乗すると正になるので
　　違うのかなと考えています

ヒントお願いします。

>>548
1+iを4乗してみな

>>545
やってみます。ありがとうございました。

>>549
ありがとうございます。
負になりました！

次の極限値を求めよ。
lim(n→∞){(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・・・+(2n)^2}/1^2+2^2+・・・・・・+n^2

解答を見ると、いきなり、分子={1^2+2^2+・・・・・・+(2n)^2-(1^2+2^2+・・・・・・+n^2)}
と変形されているのですが、何故このように変形出来るのでしょうか？

>>552　単純な引き算だよ。

1^2+2^2+・・・・・・+(2n)^2 は、
1^2+2^2+・・・+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+・・・+(2n)^2 でしょ?
それから前半を引いて、(n+1)^2から(2n)^2までの和が残った。

すみません、高校生じゃないのですがどなたか数学強い方に解いていただきたいです。


20L入るバケツがある。ここに0.03%濃度の塩化ベンザルコニウム液をつくりたい。
しかし市販されている塩化ベンザルコニウムはすでに10%にうすめられている。
そうすると20Lの水に対してどのくらいの塩化ベンザルコニウム(市販のもの)を入れたら0.03%濃度になるのか。


塩化ベンザルコニウムとかマニアックですみません。よろしくお願いしますm(__)m

>>550
やってみましたが……。駄目でした。＜解答＞では，

まずｘ≧０で考える。
０≦ｘ≦１のとき　１−ｘ＾２＋｜ｙ−１｜≦１から
｜ｙ−１｜≦ｘ＾２
ーｘ＾２≦ｙ−１≦ｘ＾２から　−ｘ＾２＋１≦ｙ≦ｘ＾２＋１
１＜ｘのとき　ｘ＾２−１＋｜ｙ−１｜≦１から
同様にして　ｘ＾２−１≦ｙ≦−ｘ＾２＋３
ｘ＜０の部分を合わせて，求める領域は図の斜線部分である。

と続くのですが……。

>>554
市販および希釈後の塩化ベンザルコニウム液の密度が分からない無理

>>553
わかりました！！ありがとうございます。
すっきりしました。

解答ではy軸対称であることを前提としてるのね。ただ、ｙ側に
絶対値が付いたグラフって考えにくいように思います。

自分がとった方針通り、yの値によって場合分けすると
（詳細な式変形は省略）
y≧1で y≦-|x^2-1|+2　、　y<1で y≧|x^2-1|

境界線の概形を考えると、y<1のほうが単純で、これは
y=x^2-1 のｘ軸から下の部分をx軸上に折り返したｗ型
（ｘ軸から下にははみ出さない）

ｙ≧1のほうは、y=-|x^2-1|をまず考える。これは上記の
グラフをそのまま上下反転した逆ｗ型。これに+2するから、
結果として(0,1)で折り返された放物線の頂点が頭を
付き合わせる形になる。

具体的にどこが入るか、だけれど、条件が変わる
直線y=1を引いて、
・y=1から上（y≧1)、かつ逆ｗ型のほうより下
・y=1から下(y<1)、かつw型より上

と考えると、バットマンのマークを単純化したような、
アニメ版デビルマンの翼のような、蝶ネクタイのような形の
領域ができる。

>>554 質量パーセントでなく、体積パーセントで考えていいとしても、
値が厳密でなければならないなら解けない。一般に水溶液と
水の間では体積の加法が成立しないから（食塩水200mlに
水200mlを混ぜても400mlの薄い食塩水にはならない。水溶液
ではないが、アルコールと水を混ぜると混合前より体積が減る。）

まあ、逆性石鹸を薄めるだけだから、そんなに厳密な値は必要じゃ
ないとは思うけど、体積が足せるとして無理に解くとしても、
・最初に水が20リットルあって、そこに10%溶液を入れる
・溶液に水を足して合計20リットルにする
のどっちかが曖昧。

>>558
＜解答＞にある通りの領域を導けました。
ありがとうございました！

>>556>>559

すみません、ありがとうございました。

数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】×(1/2),c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】×(1/3)
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

きちんと直したのでよろしくお願いします

直った・・・か？

>>562
小学校で、掛け算は足し算よりも優先して計算するから、
4+2*3 =10になる、ということを習ってませんか？

数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=｛a【n】＋a【n+1】｝×(1/2),c【n】=｛a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】｝×(1/3)
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

これでどうでしょうか

>>565 おけ。
(1) b[n+1]-b[n]={(a[n+2]+a[n+1])-(a[n+1]+a[n]))/2
=(a[n+2]-a[n])/2
左辺はb[n]が等差数列という条件により定数であるからd/2と置ける。
このとき、a[n+2]-a[n]=2d となり、a[n]の項を1項飛ばしで取って
差を取ると定数になることがいえるから、a[1],a[3],,,,a[2n-1]は等差数列である。

(2) c[n+1]-c[n] = （省略） = (a[n+3]-a[n])/3 =定数 だから、
{a[n}]の項を2項飛ばしで取って差を取るとやはり等差数列ができる。

こちらの公差をeとすると、(1)で定義したdとあわせて、
任意の自然数n≧1に対して、
a[n+2]-a[n]=d 、a[n+3]-a[n]=e である。

このとき、a[n+4]-a[n]=a[(n+2)+2]-a[n+2]+a[n+2]-a[n]=2dであるから、

a[n+1]-a[n]=(a[n+4]-a[n])-(a[n+4]-a[n+1])=2d-e
隣接2項の差がつねに定数になるから、a[n]は等差数列である。

>このとき、a[n+2]-a[n]=2d となり
dとなり、に訂正。

>>567
ありがとうございます

pを素数とする。n=1,2,3,･･･に対しp^nを分母にする既約分数で、0より大きく1より小さいものの総和S[n]をとする。
(1)S［1］,S［2］,S［3］を求めよ
(2)S［n］を求めよ

この問題もよくわからないので…よろしくお願いします

(1)くらい分かるだろ？

>>569
（1）はやってみようよ。
S[1]を言葉にしてみると「分母が素数p(p^1）の既約分数で、
0より大きく（つまり分子は１以上）
1より小さい（つまりp未満）のものの総和」だよね。
pは素数だから、1〜p-1の間にpと約分できるものはない。
分母が固定だから、S[1]は（分子の総和）/pでいい。

S[2]だと、分母がp^2、分子は1〜p^2-1 の間の数になるけれど、
今度は分子がp,2p,,,,(p-1)p だと約分できるから、これらは
総和から抜かなければならない。これを式でどう表すかが
第一関門。

これからさらにS[3]が作れれば、あとは処理を一般化すればいい。

（底面の）半径がaで十分長い円柱２つがある
２つの円柱を直交させた時にできる
体積を（積分を用いて）求めよ。

教えてくださいませ。

断面を考えなさい

ヒント
円柱の中心をx軸とy軸とする。
z軸に垂直な面(z=k)で切断したとき、共通部分の形はどうなるかね？

>十分長い円柱２つがある
>２つの円柱を直交させた時にできる
>体積を（積分を用いて）求めよ。


揚げ足を取るようで悪いが、この問題をそのまま読むと
円柱の長さが分からないと体積は出ない。

まぁたしかにな

形が想像できませんorz

円柱を縦に切ると切り口はどうなる？　　　　（答：長方形）
それを直交するように２つ重ねると？

全体の立体の形を想像するんじゃない
断面を考えろ

z=0で切った断面なら分かるだろ？

補足：大切なことを書き忘れた！

円柱を縦に切ると切り口はどうなる？　　　（答：【どこで切っても】長方形）

正方形？

y=(x^2)/2 と y=(n^2)/2 で囲まれる(境界線も含む)領域に含まれる格子点の数を求めよ

長方形から長方形の下の部分を引こうとしたんですが、奇数偶数とかで意味がわからなくなりました。よろしくお願いします。
出来れば答えまでの導き方も教えてください…

３つ直交させたときの共通部分の体積は16-8√2でしょうか

>>582
T[0]=T[1]=1
T[2m]=T[2m-1]+2m(4m-1)+2
T[2m+1]=T[2m]+2m(4m+1)
より
T[2m]=T[2m-2]+16m^2-16m+8=T[0]+Σ[k=1,m](16k^2-16k+8)
T[2m+1]=T[2m-1]+16m^2+2=T[1]+Σ[k=1,m](16k^2+2)
こんな感じでしょうか
吟味不十分ですので計算は確認して下さい

>２つの円柱を直交させた

理想良く十字路になればな

問題の解釈を広げれば、Ｔ字路だって直交ともいえるし
どの部分まで、めり込む（？）のかも不明だ
（円柱の長さが分からない）

また、空間だと、"ねじれ"の状態もあり得る
それもまた、どの部分まで、めり込む（？）のか・・・
まためり込む箇所がないときだと体積０だね・・・

>>583
数研通信の５１号に解説がある。「数研通信」で検索しろ（ｐｄｆファイル）。

正弦定理の変形の、
a:b:c=sinA:sin:sin
は、例えば角Aが90ﾟに近いほどsinAの値が大きくなるので、a+b+cに占めるaの割合が大きくなるってこともいえますか？
角Aが150ﾟのような90ﾟより大きい角になっていってもaの割合は大きくなっていくように思えるんですが
どうなんでしょうか？

あとa+b+c=180ﾟって関係でうまくどうにかなるのかもと思うんですがそこまで思考が届かないというか・・・
それとこんなことも考えられないのに難関大まで届くような学力がつきますか？
それともそんなことなんて考えずに公式にあてはめて計算した方がよいのでしょうか？

質問多い上に日本語でおけですみません。

>>587
>a+b+cに占めるaの割合が大きくなるってこともいえますか？
なんで？

>a+b+c=180ﾟ
A+B+C=180°じゃないのか？

A+B+C=180ﾟは大文字と小文字の変換ミスでした。

Aが90度のときsinAが１番大きくなるし、∠A,∠Bも小さくなるので相対的にb,cが小さくなるんじゃないかと

>>589
Aが90°から徐々に大きくなったときsinAの値は減少するが
sinBやsinCはsinAの減少の度合いよりも大きく減少することは
y=sinxのグラフからもわかると思うが

>>585
ひねくれすぎだろｗ
十分長いって書いてあるしからT字路は普通考えないし、
ねじれの位置にあるものを普通直交とは言わない

>>587,589
∠B・∠Cの両方をいっぺんに変えると収拾付かないから、
とりあえず∠B=∠Cの二等辺三角形で考えてみることにする。

たとえば原点中心、半径1の円を描いて、点Aを(1,0)に固定。
BとCをその左側にy軸対称に取れば、a(辺ＢＣ)はy軸に平行になる。

このとき、∠B=∠C=θとすると、0<θ<90° で b=c=2sinθ
∠A=180°-2θでa=2sin2θ=4sinθcosθ(この変形は数II）

a+b+c=4sinθ(cosθ+1)
a/(a+b+c)=cosθ/(cosθ+1) = 1-1/(cosθ+1）
θが90°未満で増加するときに、分数部分の分母は単調減少、
分数全体が単調増加、従って式の値は単調減少。
従って、底角が小さくなるほど、つまり頂角Aが大きくなるほど
割合a/(a+b+c)は大きくなる、で正しい。

二等辺三角形という制約を外すと数IIIまで必要なので、とりあえず
これで納得しといてほしいが、いいかな?

合同の三角形でつくられた正四面体ABCDの体積V(l)を求めよ。
AB=2l+1,BC=2l-1,CA=2l

直方体に埋め込んで解け

長方体に埋め込むのって普段使わないでいてテクニカルとしか思ってなかったが、
使えるようになると、これはかなり便利だな

>>594
こうゆう問題が出たら直方体に埋め込むように考えてみるといいんですか？

すいません質問させてください

不等式、Ｋ(X^2+X+1)>X+1 (ただし、Ｋ≠0)

この不等式を満たす実数Ｘが存在するように、実数Ｋの値の範囲を定めよ

よろしくお願いします

すいません>>597です

答えが、-1/3＜Ｋ（ただしＫ≠0）
になるのがわからないのです


ちなみにＫ＞0　または　-1/3＜Ｋ＜1
ここまでわかりました

>>598
そこまで出しておきながら・・・

>>598
数直線書いてみ

>>597です
0<K<1
になるのですが・・・

>>601
「または」と「かつ」を勘違いしているのではないか？

>>597です

「または」と「かつ」の違いは一応わかります

だけど答えがわからないです

>>603
じゃあもうちょっと考えてみれ

xyz空間においてxz平面上の0≦z≦2-x^2であらわされる図形をz軸の周りに回転して得られる不透明な立体をVとする。
Vの表面上z座標１のところに1つの点光源Pがある。

この問題で光の当たる部分ってz≧-2x+3（平面）

xy平面においてはx≧3/2でいいんですよね？

>>597です
Ｋ＞0；Ｋは０より大きい
または
-1/3＜Ｋ＜1；Ｋは-1/3より大きく1より小さい

すいません、わかりません

>>606
「または」ってことは和集合を考えればよかろ

>>606 背の高い彼氏が欲しいと思う女の子は多いが、高すぎるのは
嫌だ、という子もけっこういる。

Aちゃんは、身長175cm以上なら彼氏としておっけー。
Bちゃんは、身長168cm以上、188cm以下がいい、という。

Aちゃん「または」Bちゃんのどちらか一方の彼氏になれるのは
どんな身長の人?

あ、「一方」は余分だったかも。どっちの彼氏にもなれる
可能性のある身長ももちろん入れてOK。

>>608

うぜぇな

低脳マーチはすっこんでろ！！

レベル低すぎるんだよ、おめぇは

>>597です

皆さんありがとうございます

>>608さん
どちらかの彼氏なら168�p以上です

問題に置き換えたら
Ｋは、-1/3より大きければよいということですか?

>>611
そういうこと。「または」＝いずれか一方だけでも条件が満たされていればよい。

数直線書け、といわれたのも、この問題の場合
　　-1/3　　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
−--＋−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−…
　　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■…

で、＊か■「どっちか」がある部分なら範囲として成り立つ、ということが
一目瞭然に視覚化できるから。

元問題をしっかり読んでなかったけど、「ただしｋ≠0」は、これら
2条件より優先する最初の条件としておかれてるから、もちろん
考慮する必要がある。

あるいは、すべての条件を並べると
k≠0 かつ (-1/3<k<1 または k>0)
になり、k≠0 は、「または」を適用した -1/3<k と同時に成立して
いなければならない。だから答としては、-1/3<k(ただしｋ≠0）
ということになる。

もちろんこれを、-1/3<k<0、またはk>0 と答える形で
kを外しても構わない。

>>597です
>>612さん
めっちゃわかりやすいです
ありがとうございました

あの>>605を…

>>615
座標空間内の、回転体の接平面で区切られた一方の領域と、
ｘｙ平面（z=0）の共通部を求めりゃ良いんだから、z=0を代入した
その答で問題なさげ。

>>608
氏ね
なにが168だおｙあああん？あｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ；

>>616
ですよね？
じゃあ先生の板書が間違ってるみたいっす
ありがとうございました

>>605
あ、「z≧-2x+3（平面）」までは正しいと読んだんだけど、
>Vの表面上z座標１のところに1つの点光源Pがある。
で、光源の位置が(1,0,1) に確定してないなら話は違うよ。

確定しない場合、点光源が存在しうるのは円x^2+y^2=1、z=1 上で、
この座標を(cosθ,sinθ,1)とすると、ｘｙ平面上で光が当たるのは
3cosθx+3sinθy≧2 になる。

どなたか教えてください！！


次の式を因数分解せよ。
x(x＋1)(x＋2)(x＋3)−8

>>620
x(x+3)=x^2+3x
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2

前の二項は同じだから、文字Aに置き換えることにすると、
元の式はAでどう表せるか。

>>621
わかりました！！
教えていただきありがとうごさいました！！

>>619
あっすいません！
点光源P（１，０，１）とおいて計算してました
ありがとうございます

sin(x+h)−sinx＝2sin(h/2)cos(x＋h/2)

となってるのですが何故そうなるか分かりません。
どなたかお願いします

sin(a+b)−sin(a-b)＝2sin(b)bcos(a)

a=(x＋h/2)、b=(h/2)のとき
sin(x+h)−sinx＝2sin(h/2)cos(x＋h/2)

>>624
そういうのって右辺みて計算したくならないか？

例えばsin(A)+sin(B)ならのAとBを
A=((A+B)/2)+((A-B)/2)
B=((A+B)/2)-((A-B)/2)
と置いて加法定理を適用するようにすればいい
sin(A)-sin(B)でも同様

数I・A白チャートP257 の発展例題31(3)で

求める配置の総数は　4x8=32(通り)
とあるんですが、何故4をかけているのかが分かりません。
どなたか、よろしくお願いします。

つ　>>1

失礼しました。
1から8までの8個の整数から互いに異なる6個を選んで、
平面上の正六角形の各頂点に1個ずつ配置する時、
中心に関して点対称な位置にある2個の和の和がどれも9になる配置は何通りあるか。
平面状でこの正六角形をその中心の周りに回転させたとき移りあうような配置は同じとみなす。

私が考えたのは、
和が9となるのは(1，8)　(2，7)　(3，6)　(4，5)の4通り
この4通りから3通り選ぶ方法は４C1=4（通り）
このおのおのに対して、選んだ3組の円順列（3-1)！=2（通り）を考えて
（例えば、(1，8)　(2，7)　(3，6)を選び、(1，8)を固定して残りの2組を一列に並べる）
4x2=8（通り）と考えたのですが、回答は32（通り）でした。
どなたか、よろしくお願いします。

数�Uの小テストの問題です

a>2b>0のとき、2√b＞√(a+2b)-√(a-2b)　を証明せよ

ちなみに前の問題で√(a+b)＞√a-√b　は証明されています
どなたかお願いします。

三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢをｃ ＢＣをａ ＣＡをｂとする。
また、ｂ=４ ｃ=２ Ｂ=１２０ﾟ Ｃ=４５ﾟのとき、ａを求めよ。

この問題で第二余弦定理で解けなかったのですが、第一だと解けました。なぜ第二で解けないんですか？
解は-1+2√2です

>>631
3行目まではOKだけど、4行目が間違ってる。
こういう図形が絡んでくる問題は図を書きながら考えると良い。
ていうか以下の説明は読んでるだけだと頭痛くなるから、図形書きながら考えて。

(1,8)(2,7)(3,6)を選んで、正六角形を書いて上に1下に8を固定したときを考える。
�T　2⇒左上,7⇒右下,3⇒右上,6⇒左下
�U　2⇒左上,7⇒右下,3⇒左下,6⇒右上
�V　2⇒右下,7⇒左上,3⇒右上,6⇒左下
�W　2⇒右下,7⇒左上,3⇒左下,6⇒右上
今書いたのは“(1,8)⇒上と下(2,7)⇒左上と右下(3,6)⇒右上と左下”に入るときについて。
もちろん“(1,8)⇒上と下(2,7)⇒右上と左下(3,6)⇒左上と右下”っていうのもあるから、
合わせて8通り。
それにあなたが考えた“4通りから3通り選ぶ方法は4通り”をかけると4×8=32通りになる

図を書かないと伝わりにくいから、わからない箇所があったら聞いてください

>>632
a＞2b＞0と前問の結果より
√(a+2b)-√(a-2b)-2√b＜√(2a)-√(4b)＜0

よって2√b＞√(a+2b)-√(a-2b)

>>630
3つの組の選び方は4C3
　　　1
○　　　　●
□　　　　■
　　　8

(1,8)を固定→○に入るのは1,8以外の4つの数字で■はこれに対となるので自動的に決まる。
□に入るのは上記1、8、○、■を除いた2通り
なので全体で4C3*4*2=32

>>634, 636
ありがとうございました。感謝です。

京大志望ですが青チャートやらずに一対一で良いですか？

>>633
b/sinB≠c/sinC になってる。そんな三角形はありえない。
実際、与えられた条件から∠A=15°で、これを挟む2辺がb=4,c=2なら
三角形が決定されるけど、これで作図すると∠Cは45°よりずっと
小さな値になりそうなことが一見して分かる。

＜問題＞
３つの不等式ｙ≦−ｘ＾２＋９，ｙ≧０，ｘ＾９＋（ｙ＾２−９）≦ｔ＾２
（ただし，ｔは正とする）を満たすｘｙ平面上のの点で，
その座標がともに整数で表されているものが２１個となるための
ｔの値の範囲を求めよ。
＜解答＞
ｙ≦−ｘ＾２＋９，ｙ≧０を満たす格子点（座標がともに整数の点）
は図のようになる。（図は省略）
円ｘ＾９＋（ｙ＾２−９）≦ｔ＾２が点（０，３）を通るとき，
ちょうど２１個であり，ｔ＾２＝０＾２＋６＾２＝３６
点（１，３）を通るとき，２個増えてｔ＾２＝１＾２＋６＾２＝３７
よって３６≦ｔ＾２＜３７
から６≦ｔ＜√３７

解答の意味が分かりません。格子点を数えて行くしかないのでしょうか。

>>640
> ｘ＾９＋（ｙ＾２−９）≦ｔ＾２
円の方程式が盛大に間違ってるような。
前はx＾2だろうけど、yの方はこのまま（つまり、原点中心）で正しいの?

>>641
申し訳ありません。
ｘ＾２＋（ｙ−９）＾２≦９の間違いです。
書き込むときに見直したのですが……。

円の中に入る=中心から見て半径が示す距離の中に入る、
と読み替えた上で、効率よく混乱しないように数えるしかないかね…
自分だと、放物線の下に入る格子点だけ取り出して、こんな図を描くと思う。

　　　　　　　　ｙ　Δy^2　個数累計
　　 ●　　　 9　　0　　　1
　●●●　　8　　1　　　4
　●●●　　7　　4　　　7
　●●●　　6　　9　　　10
●●●●●　5　16　　 15
●●●●●　4　25　　 20
●●●●●　3　36　　 25
４ １ ０ １ ４←…Δx^2

（0,9）からの距離^2はΔｘ^2 +Δy^2 で出る。ｙ=5の段より下では、
|x|≦2 の範囲では、ｙが１増えたときのほうがｘが2まで増えるよりも
距離の変化量が大きいから、徐々に中心からの距離を広げていくと、
必ず上の段の格子点が全て領域に入ってから、次の段の格子点が
範囲に入り始める。

y=4の段までで累計20個の格子点が範囲内になるから、あと1個だけ、
次の（0,3)の点までが入り、その両隣が入らない範囲を考えればいい。

>>643
申し訳ありません。Δの意味が分かりません。
ググッたのですが……。Wikipediaにも
＞数学で、変数の前に付いて、その変数の（微小な）増分を表す。
としか書いていなくて……。

デルタ⇒Δ
微積やってないとわからんだろうなぁ・・・

ああ、「変化量」という意味です。

y=9とのyの差の二乗がΔy^2、というつもりで書きました。
嫌なら（y-9)^2 と読み替えてください。
x側も同じで、この場合ｘ^2と同じ。

>>635
なるほど
√a＝√(a+2b)、√b＝)√(a-2b)と考えるんですね

助かりました
ありがとうございます

>>646
分かりました。プリンタが壊れているのでコピー用紙に書き写しました。
これから部屋に籠もってじっくり考えます。

部屋に籠もってじっくり考えてきました。

＞ｙ=5の段より下では、
＞|x|≦2 の範囲では、ｙが１増えたときのほうがｘが2まで増えるよりも
＞距離の変化量が大きいから、徐々に中心からの距離を広げていくと、
＞必ず上の段の格子点が全て領域に入ってから、次の段の格子点が
＞範囲に入り始める。

は理解できませんでしたが，

＞y=4の段までで累計20個の格子点が範囲内になるから、あと1個だけ、
＞次の（0,3)の点までが入り、その両隣が入らない範囲を考えればいい。

は理解できました。この問題は，ここが理解できれば解けると思います。
ありがとうございます。

>>639
ということは問題のミスってことでしょうか？

余弦定理に第1も第2もあるか
ただ式変形しただけなのに第1第2と名づけるな

ｗ

＜問題＞
円（ｘ−ｔ）＾２＋（ｙーｔ）＾２＝２ｔ＾２＋６……�@
ｔはｔ≧０を満たしながら変化するものとする。
円�@が通りうる（ｘ，ｙ）全体の領域を図示せよ。
＜解答＞
�@から　２（ｘ＋ｙ）ｔ＝ｘ＾２＋ｙ＾２−６……�A
ｔ≧０を満たすｔが存在する条件を求める。
ｘ＋ｙ≠０のとき　（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２＋ｙ＾２−６）≧０……�B
ｘ＋ｙ＝０のとき　ｘ＾２＋ｙ＾２−６＝０……�B
�Bからｘ＋ｙ≧０，ｘ＾２＋ｙ＾２≧６
またはｘ＋ｙ＜０，ｘ＾２＋ｙ＾２≦６
�Cから（ｘ，ｙ）＝（√３，−√３），（ー√３，√３）
図の斜線部分（図は省略）

＞ｔ≧０を満たすｔが存在する条件を求める。
＞ｘ＋ｙ≠０のとき　（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２＋ｙ＾２−６）≧０……�B
＞ｘ＋ｙ＝０のとき　ｘ＾２＋ｙ＾２−６＝０……�B

となる理由が分かりません。誰か教えて下さい。

数学センターしか必要ない国立志望ですが黄色チャートはオーバーワークですか？
85%狙ってます
宜しくお願いします

場合分けが分からないのか処理が分からないのか書け

>>651
？どういう意味かはわからないんですが第一余弦定理、第二余弦定理ありますよ？

>>654
数学の勉強の仕方 Part113
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1207379407/l50

>>656
調べてみたらホントにそうだ
申し訳ない。それも数か月前に本屋で立ち読みしたやつじゃないか。ああ〜

分かっていただけて良かったです。これを機に完全に覚えちゃってくだされば幸いです。

数学出来る人って
公式丸暗記してるんですか？

オレは数学苦手なんだが
公式は丸暗記すべき？

>>660
ワシは数学ができるというわけではないが
丸暗記している公式は必要最小限にとどめてて
あとは定石が浮かぶようにはしている

やむを得ず丸暗記するしかない公式と
自分で作っていくうちに自然と覚えられる公式がある。

「公式は暗記」とひとまとめにせず、使い分けられるのがいいね。

>>660　>>657をご参照ください

ここの回答者は数学好きが多いわけだから
受験にあたって数学をうまく乗り切ろうという話なら
「勉強の仕方」スレのほうがよっぽど参考になると思う

>>655
レスが遅れました。

＞場合分けが分からないのか処理が分からないのか書け

なぜｘ＋ｙが０かそうでないかで場合分けして，
あの２つの式が導かれるかが分かりません。
つまり，場合分けも処理も分かりません。
馬鹿でごめんなさい。

>>664 >>653の答違ってませんか？ x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は
含まれないと思うんだけど。（問題と解答の出典を晒して欲しい>653）

場合分けを>>653と変えて、もう少し丁寧にやってみる。
t=0の時にこの円はx^2+y^2=6、この円周上は必ず含まれる、
と考えた上でt>0のときに含まれる範囲を考えればいい。

t>0では�Aの両辺を2ｔ>0で割っても符号は変わらないから、
　x+yとx^2+y^2-6の符号は（両方正、両方負、両方0のいずれかで）一致。このとき、
　x+y≠0ならば (x+y)(x^2+y^2-6)>0 　（非零で符号が一致するから積は正）
　x+y=0ならば x^2+y^2-6=0 →これは(√3、-√3）と(-√3、√3）の2点で、
　　t=0の場合に含まれる。

よって、求める領域は
・円周 x^2+y^2=6 上
・x+y>0 かつ x^2+y^2-6>0
・x+y<0 かつ x^2+y^2-6<0
を合わせたもので、これには最初に書いたように、
x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は含まれないように思う。

図を描いてみても、点(√3、-√3）と(-√3、√3）を必ず通るようにしながら
円の中心がy=x上を原点から右上にとって、半径を拡大していく円が通る
ところだから、この2点以外のy=-x上を変化する円が通過することはない、と
思うんだけど。

>>635 間違えてるよ。
>>632 前の問題で証明したのは、√(a-b)>√a-√b (a>b) ではないのか。

>>665

＞>>664 >>653の答違ってませんか？ x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は
＞含まれないと思うんだけど。（問題と解答の出典を晒して欲しい>653）

間違っていました。ｘ＋ｙ＞０，ｘ＾２＋ｙ＾２≧６でした。
出典は旧課程青チャート２＋Ｂ練習１５１です。

＞図を描いてみても、点(√3、-√3）と(-√3、√3）を必ず通るようにしながら
＞円の中心がy=x上を原点から右上にとって、半径を拡大していく円が通る
＞ところだから、この2点以外のy=-x上を変化する円が通過することはない、と
＞思うんだけど。

ここが少し分かり辛いです。申し訳ありません。

>>666
本当だ…やっぱり紙に書かないとだめだな…
実にお恥ずかしい

>>667 考えている円の中心をP(t,t）、原点をO、
また点A（√3、-√3) 、点B（-√3,√3）とする。

すると、円の半径^2=2t^2+6=AP=BPが常に成り立つ。
（いきなり距離を出してもいいし、△AOPが直角三角形になるから
AP^2=OA^2+OP^2と考えてもいい）

さて、直線y=-xを引き、線分ABをこれから取り除く。穴が開いている感じ。
座標平面を45°傾け、第一象限が上になる（y=ｘが垂直になる）ようにする。
ここに、「上」から半径が√6以上の円を載せる。すると、第3象限の
ほうに少しはみ出して「穴」の上に乗る（半径がちょうど√6のときは、
ABを直径とする状態で留まる、と考える）。

この状態の円の半径を、√6以上で任意に変える時、円周の点が
存在することがある座標平面上の範囲を考える……この問題は、
以上のようなイメージで捉えることができるわけ。

円の半径をどんどん大きくすれば（半径√6cmの穴に地球と同じ
半径の円を載せる、とか）、円が通りうる範囲の境界はどんどん
y=-xに近づくけれど、円なんだから決してこの直線の上には乗らない。
ということが感覚的にも見えるでしょ、と言いたかった。

>>669
私の理解力が足りないので，幾つか質問させて下さい。

＞「上」から
「上」とは何のことでしょうか？
＞第3象限の ほうに少しはみ出して
どういうことでしょうか？
＞「穴」の上に乗る
「穴」とは何のことでしょうか？
＞この状態の円の半径を、√6以上で任意に変える時、円周の点が
＞存在することがある座標平面上の範囲を考える……この問題は、
＞以上のようなイメージで捉えることができるわけ。
＞円の半径をどんどん大きくすれば（半径√6cmの穴に地球と同じ
＞半径の円を載せる、とか）、円が通りうる範囲の境界はどんどん
＞y=-xに近づくけれど、円なんだから決してこの直線の上には乗らない。
＞ということが感覚的にも見えるでしょ、と言いたかった。
何を言っているのか分かりません。

攻撃的に受け止められるかもしれませんが，本当は分からないまま
分かった振りをしてはいけないと思いますので，教えて下さい。

−6cos(−2/3π)って−1/2ですよね？

くだらない質問ですが、塾で写したノートの答えと違ったんで

cos(-2/3π)は-1/2だけど-6cos(-2/3π)は3だ

>>672
ありがとうございます
ホントにくだらない質問でした。

http://blog.m.livedoor.jp/theclergyman/index.cgi?sso=9cdbadeb090286323ce5278d1bced8d328db77fb
←

720の正の約数で、3の倍数となるものの総和は2232ですよね？
問題集で解が4536となっているのですが、どうやってもその数字にならない
解る方お願いします

√2が無理数であることの証明って
√3が無理数であることの証明と同じような過程を踏めばできますか？

>>675

素因数分解すると７２０＝２＾４×３＾２×５であるから
約数のうち３の倍数は

３×２＾０
３×２
３×２＾２
３×２＾３
３×２＾４
３×５×２
３×５×２＾２
３×５×２＾３
３×５×２＾４　　

３＾２の時も同様　　より

総和＝（３＋３＾２）（１＋２＾１＋２＾２＋２＾３＋２＾４）（１＋５）
　　＝１２×３１×６
　　＝２２３２

うん、あってるね。

>>676

背理法でいける。

ｘ＝ｐ／ｑとおいて

ｐ、ｑが偶数になってしまうことを導いて

矛盾を導く。

ちなみに他にもある。

>>678
ありがとうございます

やってみたらできました

>>677
やはりそうでしたか
詳しい解説もいただき、ありがとうございます！

>>670
画像掲示板を使えば済むことなんだが、一応確認。

書いたとおりの手順をなぞって図を描いてくれましたか？

「上」については
>座標平面を45°傾け、第一象限が上になる（y=ｘが垂直になる）ようにする。
>ここに、「上」から半径が√6以上の円を載せる。すると、第3象限の
ここで十分説明ができているつもりなんだけど。

どなたか教えてください！！

(a-3b-c+2)(a+2)+3bcを因数分解せよ

>>682
１文字について整理

>>683
ありがとうごさいました！

>>670
作図できたから見てみてください。
http://imepita.jp/20080420/620920

a,bを正の実数とする
(1)区間a<xにおける関数f(x)=x^4/(x-a)^3の増減を調べよ。
(2)区間a<xにおける関数g(x)=1/(x-a)^2-b/x^3のグラフと相違なる3点で交わる
x軸に平行な直線が存在するための必要十分条件を求めよ。

(1)はf´(x)=x^3(x-4a)/(x-a)^4というのはわかるのですがその後がわかりません。
(2)はまったくわかりません。
数学が苦手で本当にわかりません。
どなたかお願いします。

>>686
(1)導関数の分母の符号は常に正。ということは、導関数の符号は分子だけで決まる。
　あとは数IIで増減表書いて3次関数を処理したのと全く同じ。

(2)これも、着手は数IIと同レベル。
h(x)=x^3+ax^2+3x+4 のグラフと相異なる3点で交わる、ｘ軸に平行な直線が
存在するための条件は?　要はグラフの概形がどうなれば良いのか考えてみましょう。
これを処理していく上で(1)の結果が利用されることになる。

質問です。

大中小の3個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
3つの全てが異なる。

解答　5/9

余事象を使えばいいところまではわかりましたが、2つの目が同じになる確率が求められませんでした。
お願いします。

普通に全部異なるとやったほうが簡単じゃないか？

6*5*4/(6*6*6)=5/9

普通にやったほうがよかったのですね。
ありがとうございました！

y^4siny+y^5/cosy
を微分の定義通りに解きたいのですがどうすればいいのでしょうか？

答えは
y^3{4siny+ycosy+(y^2siny/cos^2y)+5y/cosy}です

お願いします
！

a＾5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
を因数分解せよ。

f_1(y)=(y^4)*sin(y)
f_2(y)=(y^5)/cos(y)

f(y)=f_1(y)+f_2(y)
lim_[Δt→0]{f_y+Δy)-f(y)}/{(t+Δt)-t}
で計算すればいいだけ

お願いします！

実数x,y,zが x+2y+3z=20 を満たしている。
x,y,zが全て正の数の時、zのとり得る値の範囲をもとめよ。また、zが整数であるときのとり得る値の最大値を求めよ。

>>692
(a+b)(a-b)^3(a^2+ab+b^2)

間違えた
(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)

>>692
f(a,b)=a＾5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
としてa=-b,a=bのときそれぞれf(-b,b)=0,f(b,b)=0だからf(a,b)を(a+b)(a-b)で割ればいい。そのあとまだf(a,b)=(a-b)(a+b)g(a,b)
としてg(a,b)=0となる(a,b)の組み合わせがあれば、それで再び割ればいいだけ

>>694
0<z<20/3
zが整数であるときとり得る値の最大値は6

>>695-697
わかりました！
ありがとうごさいました！

>>698
ありがとうございます!!

aを負の定数とする。関数f（x）=2x^3-3（a+1）x^2+6axの区間-2≦x≦2における最大値、最小値を求めよ。



これは黄チャートの226ページのPRACTICE298の問題です。
自分はaをまずa≦-2と-2<a<0の場合に分けてさらに-2<a<0の場合において、-2<a<-1と-1≦a<0と2つに場合分けしたのですが、
解答では-2<a<0において、-2<a<-1、a=-1、-1<a<0の3つに場合分けしてありました。
なぜa=-1のは別に分けてあるのですか？

>>694の続きなんですが、
z=5のとき　x=(ｱ),y=(ｲ),または x=(ｳ),y=(ｴ)である[(ｱ)＜(ｳ)とする]。
x+2y+3z=20 を満たすx,y,zの値の組は(ｵｶ)組あり、このうちx＞y＞zを満たすものは(ｷ)組である。

(xー3)^3-8=0でxの値を求める式です

よろしくお願いします。

>>703
8が2^3であることに気がつけば公式を利用して因数分解できるだろ

>>702
z=5のときx+2y=5だから(x.y)=(1.2)(3.1)ねっ！
x+2y=17→(x.y)=(1.8)(3.7)(5.6)(7.5)(9.4)(11.3)(13.2)(15.1)の8組
x+2y=14→(x.y)=(2.6)(4.5)(6.4)(8.3)(10.2)(12.1)の6組
x+2y=11→(x.y)=(1.5)(3.4)(5.3)(7.2)(9.1)の5組
x+2y=8→(x.y)=(2.3)(4.2)(6.1)の3組
x+2y=5→(x.y)=(1.2)(3.1)の2組
よって組み合わせは8+6+5+3+2=24通り
この中でx＞y＞zを満たす組み合わせは4+2=6通り
分かったかしら？

>>705
本当ありがとうございます!!
助かりました!

>>685
返信が遅れました。持病の頭痛が酷くなったもので……。
図は描いていたのですが，よく理解できなかったのです。
これならよく分かります。ありがとうございました。

質問です。
不等式ｘ^2−ｘ−11＞0を解くときに私はｘ^2−ｘ−11＝0の解を求めてグラフの概形からｘ＞α、ｘ＜βなどとして解いています。しかしこの不等式を
(ｘ−1／2)^2＞45／4⇔ｘ−1／2＞√±(45)／2
∴ｘ＞√±(45)／2＋1／2
となり片方の解しか出てきません。
変形のどこが間違っているのでしょうか？

x^2/a^2+y^2/b^2=1
(x.yは実数でa>0.b>0)のとき
x^2y^2/a^4y^2+b^4x^2の最大値を求めよ
お願いします

>>708
(ｘ−1／2)^2＞45／4⇔ｘ−1／2＞√±(45)／2
↑この⇔が成り立たない。
そもそも(実数の不等式を考えてるとき) √の中に-45なんて入れちゃいけない。

b≧0として、a^2≧b と同値なのは |a|>√b　
(両辺とも非負の数として評価、√(A^2)=|A| は高校数学の基本）

これはa<0 の範囲で -a>√b⇔ a<-√b
a≧0の範囲で a>√b
-√b<0 だから、 a<-√b または a>√b
で、2次方程式の解から導いた場合とちゃんと同じになる。

>>709
> x^2/a^2+y^2/b^2=1 　こっちは分かるけど

> x^2y^2/a^4y^2+b^4x^2の最大値を求めよ　この式が意味不明。

(x^2*y^2)/(a^4*y^2) + (b^4x^2) としか読めないけど、
だとしたら前の項は、なぜy^2で約してないのでしょうか。

>>710 ありがとうございます。概ね理解したのですが(ｘ−1／2)^2＞45／4→ｘ−1／2＞√±(45)／2
とするところで変形後の右辺において±√(45)／2と√±(45)／2の違いが分かりません。なぜ後者のような形になるのでしょうか？

>>712
おれは710ではないが

＞(ｘ−1／2)^2＞45／4→ｘ−1／2＞√±(45)／2
とするところ

本当に理解してるか？この時点で違うって言われてんじゃん。⇔が違うんじゃなくて変形自体がおかしいの
(ｘ−1／2)^2−45／4を因数分解してみろ。(もしくは=0で解の公式つかえ)どこにも√-45なんて出てこない

±√45と√±45の違いは教科書を理解するまでよみなおせ

>>712
>(ｘ−1／2)^2＞45／4→ｘ−1／2＞√±(45)／2 とするところで
そんな変形はしていません。この変形は>>710で否定しています。もう一度
書きますが、√（±45）のような表記をしてはいけないし、√記号の意味が
捉えられていません。

・非負の数に対してのみ√（数）は意味を持ちます。言い換えれば、ルート記号の
なかに負の数は入ってはいけません。これは中学でやったはず。

・二次方程式などを解く上では、√（-数）が出てきたら√(数)i に変形することで
正しい答が得られます。が、絶対値記号のない不等式に虚数が出てくることは
ありません（現行課程では数IIに行ってなければこの話は未習のはずです）

√（±45）という表記は↑これにことごとく反しており、意味を持たないものです
（これが不等式の途中式に書かれていれば、その小問を0点にされても
　おかしくないほどの、根本からの間違いです）

(x-1/2)^2>45/4 を正しく同値変形すれば、|x-1/2|>(√45)/2 で、
ここからの変形は段階を踏んで行う場合、>>710で示したように、
-x+1/2>(√45)/2 (x<1/2) または ｘ-1/2 >(√45)/2 (x≧1/2） と
場合わけを伴って行うことになります。

ＡでるためにはＢであることが必要十分である。このことを証明せよ。
ってＢ使ってＡを証明してもいいのかい？

十分性を証明する際には

>>716
つまり⇔を示さなきゃならんのか
さんく!

>>687
素早い返信ありがとうございます。
しかしまだ疑問があります。
なぜ分母の導関数の分母の符号は常に正とわかるのでしょうか？
あと、h(x)=x^3+ax^2+3x+4という式はどこから出てきたのでしょうか？
教えていただけると幸いです。

>>718
導関数の分母：
>(1)はf´(x)=x^3(x-4a)/(x-a)^4というのはわかるのですがその後がわかりません。
x<aなんだから分母は0にはならず（なったら困りますが）、
0でない数を2乗の2乗するんだから常に正ですよね。

h(x)：
言葉足らずでしたが、数II範囲で、基本的には同じ対応を行うべき例題を
出してみたわけです。まずはグラフの概形を把握して、そこから考えを
進める手順は、この例題と>>686に共通しています。これが出来ないん
だったら、まず数IIに戻ってグラフ関係の問題を復習したほうが、
数IIIに入る前に必要なんじゃないでしょうか。逆に、この例題が処理
できれば、>>686でも、数III範囲の式の形に惑わされず、どうすれば
いいかは見えてくるはずです。

ただ、さすがに,>>686の処理はもうちょっと複雑になり、その処理の過程で
(1)の結果を使いますよ、ということです。

2次不等式ax^2+bx+4<0の解がx<-1,2<xとなるような定数a,bの値を求めよ




ど〜しても分かりません・・よろしくお願いします

まず明らかにa<0が必要
次に
ax^2+bx+4=0の2解がx=-1, 2となればよく、これは2次の係数に注意して
a(x+1)(x-2)=0と書き表せるので、係数を比較して
-2a=4 ∴ a=-2, -a=b ∴ b=2

>>721
ありがとうございます！
すごく分かりやすかったです

>>719
わかりやすい解説ありがとうございます
しかし、何時間か考えていましたが（２）の微分がどうしてもわからないんですが・・・

y=sinx-cosx 範囲0.2π
の時の最大値と最小値の求め方を教えて下さい！！

y=(-1,1)・(cosx,sinx)　[・は内積]
より最大値は√2、最小値は-√2

>>724
グラフ描いて終了

>>725
ありがとうございます。でも、もらった答えと違うんですが…
先生はこの式を使えと
cosx+（√1-cos二乗x)=0
cosx=+-1/√2
この場合はどうなるのでしょうか？本当に数学に疎いので申し訳ないです
>>726
もし書き方を教えてもらえると助かります

>>727
先生のは微分を使うやり方だろ？
答えは同じ

>>728
ここまで頼んでおいて本当に申し訳ないんですが。
もし、もし、よろしければ、微分を使って本当に馬鹿でも分かる式を書いていただけないでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

>>723 途中までですけど。
以下、定義域はx<aとして論ずる。
g(x)=1/(x-a)^2-b/x^3
g'(x)=-2/(x-a)^3 + 3b/x^4 = {3b(x-a)^3-2x^4}/｛x^4(x-a)^3｝

こんどは分母がx<aで常に負。導関数の符号を調べるには分子だけ
見ればよい。また、g'(x)の分子=h(x)とし、方程式h(x)=0の解を考えれば、
g(x)が定義されないx=0以外では、g'(x)=0の解と一致する。

この方程式h(x)=0を変形して3b=2x^4/(x-a)^3 。この右辺は(1)で
調べたf(x)そのものである。従って、この方程式を、
y=3b と y=2x^4/(x-a)^3 のyを消去したものとして考えると、
解は2つのグラフ、y=3bと、y=f(x)、の交点のx座標として与えられる。
従って、グラフから考えて、g'(x)=0の解が存在するのは、b<0のときで、
やはりグラフから考えて、解はx<0の範囲に1つ、0<x<aの範囲に1つ
である。これを利用して、b<0のときのg(x)の増減表を作成する。
ただし、x→-0でg(x)→-∞、x→+0でg(x)→+∞であることに注意。

実際に増減表を書くと、2解をα<0<βとしたとき、、g(α)>g(β）
であるbの範囲を考えればいいのだけれど、ここで止まってしまいました。

>>713-714
遅くなってすいません。理解しました。最初の質問の中に間違って根号のなかに複号を入れてしまっていました。失礼しました平方根の定義は心得ています。
少し変わりますが
√(Ａ^2)＝｜Ａ｜ですがこの平方根の定義から
k>0のとき､方程式x^2＝kの解はx^2＝k⇔｜x｜＝√k
⇔±x＝√k⇔x＝±√k
というのが来ている。
と考えてるのですか？

質問です。

【問】
不等式
｛√(ｘ^2＋ｙ^2)−１｝^2＋ｚ^2≦１
を満たす点（ｘ,ｙ,ｚ）からなる立体Ｖがある。

平面ｚ＝ｔによるＶの切り口の面積Ｓ(ｔ)を求めなさい。



教えて下さい。
よろしくお願いします(´･ω･`)

｛√(ｘ^2＋ｙ^2)−１｝^2＋t^2=１
｛√(ｘ^2＋ｙ^2)−１｝^2=1-t^2
√(ｘ^2＋ｙ^2)=√(1-t^2)＋1
x^2+y^2=(1+√(1-t^2))^2
よって求める面積は半径1+√(1-t^2)の円である。

正の整数であってその整数の約数のうち４でわった余りが２でないようなものの総和が１０００であるものをすべて求めよ

やさ理の例題１の�Aの(２)で、Xで微分してなぜ(X-１)２乗Q３′(X)が出るんですか？

お願いします

>>734
>>1

どういうこと？

すいません書き方間違えてました。

問
(X+１)＾１０を(X-１)＾２で割ったときの余りを求めよ

お願いします

XYZ空間において、XZ平面上の0≦Z≦2-X^2で表される図形

ってどういう意味なのですか？

>>737
(x+1)^10={(x-1)+2}^10=Σ[k=0,10]C[10,k](x+1)^(10-k)・2^kだから
あまりはC[10,9](x+1)・2^9+C[10,10]2^10

XY平面上の
0≦y≦2-x^2であらわされる図形

ってどういう意味か分かる？

>>740
{(x,y)|0≦y≦2-x^2}
という意味。

>>733さん

732です。
ありがとうございました。
よくわかりました(*´ω｀*)

nを自然数とする。次の3つの不等式（1）,（2）,（3）をすべて満たす自然数の組（a,b,c,d）はいくつあるか。nを用いて表せ
（1）1≦a＜d≦n
（2）a≦b＜d
（3）a＜c≦d

わからないのでお願いします

>>733
元の図形は中身の詰まったトーラス（ドーナツ）断面は円環

>>733
奇素数べきの和が1000の約数になるのは
1+3, 1+3+3^2+3^3
1+7
1+19
1+199
1+499
で積は1000にできない
偶数の場合約数から2・奇素数べきの積を除くから
(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)+2=1000
(2^(a+1)-3)()…()=2・499
√499<23で2,3,5,7,11,13,17,19で割り切れないので499は素数
よって2^(a+1)-3=1でa=1
奇素数べきの和が2, 499となることはあり得ない
998となるのはp=997（√997<32で2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31で割り切れないので997は素数）
よって求める自然数は2・997=1994のみ

>>743
k=d-aとすると最初の条件式は1≦k, a≦n-1, a+k≦n
kを固定したときb,cはそれぞれk個aはn-k個から独立に選べるのでk^2(n-k)通り
よってΣ[k=1,n-1]k^2(n-k)=n^2(n-1)(n+1)/12

>>746
>最初の条件式は1≦k, a≦n-1, a+k≦n
1≦k≦n-1, 1≦a≦n-1, a+k≦nのつもり
単純変形では1≦a, 0＜k (1≦k), a+k≦nとなる

ａ,ｂを正の整数でａ＜ｂとする。ａとｂの間にあり１０を分母とするすべて既約分数(整数を除く)の和を求めよ。
って問題なんですが、数列を使い解いてもらいたいんですが…最初の式の起き方がわかりません。アホなゆとりで悪いです。

間違いを訂正これでどうだろう
>>745
>偶数の場合約数から2・奇素数べきの積を除くから
>(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)+2=1000
2自身も除かれなくてはいけないので
(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)=1000
(2^(a+1)-3)()…()=1000
2べき-3が1000の約数となるのはa=1, 2, 6の場合
a=1では奇素数べきの和の積は1000とならず
a=2では奇素数べきの和の積が200となるがこれは1+199のときのみ
（√199<15より2,3,5,7,11,13で割り切れないので199は素数）
a=6では奇素数べきの和の積が8となるがこれは1+7のときのみ
よって求める自然数は2^2・199=796および2^6・7=448

>>748
a=1, b=3程度で規約なk/10を書き出してみると展望が開けると思う

>>750やってみます。ありがとうございます

>>750わかりません…適当にkとした時の範囲は(10a+n)＜k＜(10k-n)…(nは実数)ってしたんですけど、和まではいきません。

>>750解けたぁ↑！！！！！！！ありがとうございます！！！

y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)の最大値を求めよ。

という問題があります。

この一つ前にやった全く同じ式で最小値を求める問題では
a＜0の場合、0≦a＜2の場合、2＜aの場合で分けたのですが、
これは定義域を愚直に場合わけする感じで説明にも納得がいきました。

しかし最大値の場合はなぜa＜0の場合、0≦a＜2の場合、
2＜aの場合でわけずにa＜1、1≦aで分けるんですかね。
グラフを書けばわかると書いてありますが、
確かに1で区切るとうまくいくようだが、なぜ？と全然納得がいきません。

>>746ありがとうございます

平面上に三角形ABCと点Pがあり、AP↑,BP↑,CP↑は
rAP↑＋sBP↑＋tCP↑＝0↑
を満たしているとする。ただしr,s,tは正の定数である。
（1）点Pは△ABCの内部にあることを示せ。
（2）△PAB,△PBC,△PCAの面積比をr,s,tを用いて表せ。

（2）がわからないのでお願いします

何度もすみません…

>>754
グラフを丁寧に、できるのなら頭の中でもいいので描写しながら考えて頂きたい
(x-a)^2+2の軸はx=aだが、このaが0と2の中点、つまりx=(0+2)/2=1に
一致したとき(a=1)、f(0)とf(2)は同じ値になる(2次関数は軸対称)。
ここからaを少し左右にずらしたときを考えれば、分かる？
ちなみにすぐに分かることだと思うけど、最大値はx=0, 2のどっちかでとるね。

(2)はPBC:PCA:PAB=r:s:tって結果覚えちゃってるな
始点をそろえてPがどんな点か、つまりどういった内分か、と調べ、
それぞれの三角形がABCの何分の一か調べたら解けるだろうけど

>>756
関係式を-1倍して、ｒPA↑+sBP↑+tCP↑=0↑

ｒPA↑=PA'↑、sPB↑=PB'↑,ｔPC↑=PC'↑とすると、
PA'↑+BP'↑+CP'↑=0↑書き換えられて、この式より点Pは△A'B'C'の重心。
重心の性質から、△PA'B'、△PB'C'△PC'A'の面積は等しい。
ここで、面積において、たとえば△PA'B=rs△PAB
(頂角∠APBが等しいから、三角形の面積=(1/2)*sin(2辺のなす角)*2辺の長さの積
の公式より、面積は「2辺が何倍ずつになったかの積」倍）
変形して△PAB=(1/rs)△PA'B

よって、求める面積比は
△PAB : △PBC : △PCA= (1/rs) : (1/st) : (1/tr) = t : r : s

△PA'B'=rs△PAB、△PAB=(1/rs)△PA'B' ね。
ダッシュの打ち忘れ。

cosπ/8の分け方がわかりません…どう分ければよろしいですか？？何度もすみません。

>>757
レスコピーして見ながらやってみます。サンクス！

>>761cosπ/8の値を求めよって問題なんですが。

>>751 cos（π/4) で半角定理を考えるんじゃダメなの?
答は二重根号つきで、この場合は外れない。

>>763
cos^2(π/8)
={cos(π/4)+1}/2
=(2+√2)/4
0<π/8<π/2だからcos(π/8)>0
∴cos(π/8)=√(2+√2)/2


適当にやったから合ってるか知らね

>>765ありがとうごさいますm(__)m

(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)-8*x^2*y^2*z^2
の因数分解が分かりません。教えてください。

本質の研究p88の　15番の(2)の
「√3は無理数であることを、背理法を用いて証明せよ」
という問題の解答に、
「√3が有理数であると仮定すると、√3=n/m（n,mは互いに素な自然数）と表される」
とあるんですが、有理数は、「n/m（n,mは整数）で表される」じゃないんですか？互いに素になる理由が分からないです。
ちなみにこ後は互いに素であることに反するので・・・　と矛盾を導くんでどっちでもいいわけじゃなさそうです。

それと、√3は正なのでn,mが自然数の場合n/mも正となるのは分かるんですが、n,mが両方負の場合は考えなくていいんですか？

>>768
ｍとｎが互いに素じゃなくても、結局は約分して分母も分子も互いに素な整数になるだろ
あとmとnがどっちも負だったら、結局は＋になるんだからやっぱりmnは互いに素な自然数
-3/-15=1/5
こういうことだ

仮定のうえでは「n/m（n,mは整数）で表される」ことが"可能"なんだよ
なのでそういった数を採用するわけ

>>767
ごり押ししてみた。
(x^2+y^2-z^2)(y^2+z^2-x^2)(z^2+x^2-y^2)

約分したら分母分子が互いに素な整数になることは分かるんですけど、それだったら「互いに素」って条件なしで
「自然数」だけでも良いってことにはならないんですか？

もちろん「整数」でも成り立つだろうけど
それだと背理法で証明できないでしょ

>>772
√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは互いに素な自然数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2
よって，ｎは２の倍数・・・(1)
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2
よって，ｍは2の倍数・・・(2)

(1)(2)は、m,nが互いに素という仮定に反するので、矛盾する。
ゆえに，√2は無理数

たぶん証明はこんな感じだと思うけど、
最後の「m,nが互いに素という仮定に反するので」ということを使うために、「互いに素」という条件をつけている。
あと、この証明法の場合、m,nは「自然数」じゃなくて「整数」という条件でも大丈夫。

>>774互いに素で表せるのは分かるんですけど、m,nが互いに素でなくても有理数を表せるのに勝手に互いに素だけに限定して、
そこを使って矛盾してるからどうこうするってのがいまいち納得できないんですけど、こんなもんだと思ってるだけでいいんですかね？
たくさん問題といてるうちになんとなくわかるようになりますか？
あと、例えばですけど、数学が難しいって聞いた京都大学の数学のテストのレベルまで持っていくときにこのことを理解していないとできないような
問題が出てきたりしますか？

>>775
すべての有理数は唯一の既約分数であらわせる

これが前提にある

>>775
じゃあ、あんまり有名じゃない証明を紹介。

√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは有限な整数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2・・・(1)
よって，ｎは2の倍数
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2・・・(2)
よって，ｍは2の倍数

(1)→(2)のような操作は、無限回繰り返すことができる。
すると、p,qは
p→∞、q→∞となり、これはp,qが有限な整数であることに矛盾する。
ゆえに，√2は無理数

>>777の訂正とちょっと加筆。

じゃあ、あんまり有名じゃない証明を紹介。

√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは有限な整数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2・・・(1)
よって，ｎは2の倍数
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2・・・(2)
よって，ｍは2の倍数

(1)→(2)→(1)･･･のような操作は、無限回繰り返すことができる。
すると、n,mは
n→∞、m→∞となり、これはn,mが有限な整数であることに矛盾する。
ゆえに，√2は無理数

>>776「有理数は、n/m（n,mは整数）で表される」という説明がよくつかわれていますが、
これにその前提が含まれているけどそこまで書いてないだけということですか？

>>778（m,nは有限な整数）てのが何故有限な整数ではいけないのかがよく分かりません。
無限ではいけないのですか？そこの矛盾を利用しているので>>774と同じように前提を自分で勝手に作ったというか、勝手に限定
してそこがおかしいといっているように思えるので納得できないというか・・・

なんだか自分が何を聞きたかったのかわからなくなってきた・・・

>>774の（m,nは互いに素な自然数）というのはもともとそういうもので、解くときに勝手に限定したわけではないんですよね？

質問です。
下に凸な二次関数f(x)＝０の二解をα,βとする。このとき任意の整数ｎに対してｆ(ｎ)≧０が成り立つ為には(α−β)^2≦１が必要である。
という記述があったのですが確かにα､βの間に整数kが存在するとｆ(k)＜０となってしまいますが､例えばα＝1/2､β＝4/3なら差は1未満だけどその間に整数１が存在するのでは？
と思ったのですが上の記述はどういう意味なのでしょうか？

>>779
俺も君の気持ちは分かるよ。(互いに素)ってつけるってだけで
証明の一役を担うなんてずるく数学的ではない感じがしてね。
でも、その前提は、「有理数ならその設定が可能」という前提に基づいてるので、
それを持ち出すことは問題ないんだよね。それでもあまり好きに慣れず、
俺は>>778氏が提示した「無限降下法」の方が気に入ってる。今回なら
m, nが条件を満たすならm/2, n/2も条件を満たすというのを繰り返すやり方。

>>779
√2が有理数であると仮定する。
√2が有理数ならば、√2=p/q　（p,qは互いに素な整数…(*)）　なる整数p,qが存在する。
一方√2=p/qならば、pもqも2の倍数である。…(**)
*と**は互いに矛盾する。

よって仮定があやまりであったことが示される。

こういう書き方をすれば分かるか？

>>730
x<aではなくてa<xなんですけど>>730さんの式は大丈夫ですかね？

あの、ちょっとわからないんで教えてください＞＜

（１）S=｛1/n | n∈N｝とおく
　　　　Sの上界があれば１つ書け。
　　　　Sの下界があれば１つ書け。
（２）S⊂Rとする。次を示せ（証明しなさい）
　　　　Sが有界である⇔あるM>0があり、S⊂｛x∈R | |x|≦M｝

（１）についてなのですが、上界、下界というのは上限、下限とは異なるのでしょうか？＠＠

調べてみたところ、上限は１、下限は０とありましたが、これの事を指すのでいいんでしょうか？

（２）については、どう書けばいいんでしょうか？＠＠　なるべく丁寧に教えていただけるとありがたいです＞＜

>>768
mとnが互いに素でなくてもn/mは有理数ではある。
ただ有理数は必ず互いに素なmとnを用いてn/mの形で表すことができる。

√2が有理数ならば必ず分母分子が互いに素な分数で表せるから、
そのときの分子をn、分母をmとおく。
しかしこのとき√2=n/mならnとmは互いに素でないことに矛盾するから、
√2は分母分子が互いに素な分数では表せない、
つまり有理数ではない。

連レススマソ

>>775
＞互いに素で表せるのは分かる
有理数なら分母分子が互いに素な分数で表せるはずなのに
√2はそういうので表せないから有理数ではない、ということ。

>>785
上界の中の最小のものが上限、
下界の中の最大のものが下限。

（２）　Sが有界であるとすると任意のSの元ｘに対してｘに無関係な
実数a、bがとれてa≦x≦b。b＜０ならM＝-a、0＜aならM=b,
a≦0≦bならM=Max{-a,b}とすればS⊂｛x∈R | |x|≦M｝.

S⊂｛x∈R | |x|≦M｝とすると任意のSの元xに対して、
xに無関係に-M≦x≦M。■

質問です。

半径5の円Oがある。円Oの外部にある点Pを通る直線がこの円と
2点A,Bで交わり、Pに近いほうの点をAとする。
また、円Oの中心をOとする。OP=10、AB=6のとき、PAの長さを求めよ。

解答　2

何をすればよいか全くわかりません。
お願いします。

>>789
普通に方べきの定理を使えばよかろ

>>790
方べきの定理ですか！　ありがとうございます。
しかしながら計算式が立てられません……

>>791
OPと円との2交点をPに近い側からC,DとすればPC=5,PD=15
あとは方べき

>>792
わかりました！
手取り足取りありがとうございました！