【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART176【cos】
数列 1,2,3,1・・・,n において
（１）異なる２項ずつの積の和を求めよ。（東北大）
まず、問題の意味がわからないのですが、
1*2 + 2*3 + ・・・ といった感じでしょうか？
解答は
求める和を Ｓ１とすると
（1+2+3+・・+n）^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ・・・+ n^2 + 2*S1
これからＳ１を求めてますが、上の式の意味がわかりません。
どなたかよろしくお願い致します
（１）異なる２項ずつの積の和を求めよ。（東北大）
まず、問題の意味がわからないのですが、
1*2 + 2*3 + ・・・ といった感じでしょうか？
解答は
求める和を Ｓ１とすると
（1+2+3+・・+n）^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ・・・+ n^2 + 2*S1
これからＳ１を求めてますが、上の式の意味がわかりません。
どなたかよろしくお願い致します
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557 ：１３２人目の素数さん：2008/04/19(土) 11:00:46
>>554
上２桁をx、下2桁をyとすると、
(x+y)^2=100x+y xについて整理すると
x^2+(2y-100)x+y^2-y=0
これが整数解を持つためには判別式が平方数になる必要がある
判別式D/4=(y-50)^2-y^2+y=-99y+2500
-99y+2500=z^2とすると
2500-z^2=99y
(50+z)(50-z)=99y
11は素数で右辺は11の倍数だから50+zまたは50-zは11の倍数
0≦z≦50と合わせて考えると
50+z=55 or 66 or 77 or 88 or 99または
50-z=0 or 11 or 22 or 33 or 44
これで10通りまで絞り込んだ。後は試す方が速いだろ。
上２桁をx、下2桁をyとすると、
(x+y)^2=100x+y xについて整理すると
x^2+(2y-100)x+y^2-y=0
これが整数解を持つためには判別式が平方数になる必要がある
判別式D/4=(y-50)^2-y^2+y=-99y+2500
-99y+2500=z^2とすると
2500-z^2=99y
(50+z)(50-z)=99y
11は素数で右辺は11の倍数だから50+zまたは50-zは11の倍数
0≦z≦50と合わせて考えると
50+z=55 or 66 or 77 or 88 or 99または
50-z=0 or 11 or 22 or 33 or 44
これで10通りまで絞り込んだ。後は試す方が速いだろ。
558 ：１３２人目の素数さん：2008/04/19(土) 11:22:30
>>556
1〜ｎの整数から異なる2個を選ぶ組み合わせのすべて（C[n,2]個ある）について、
その組み合わせとして取った数の積を作り、その結果全てを足した和は？ ということ。
すると、
(1+2+…n)*(1+2+…n) を分配法則で展開することを考えると、
・前のカッコと後ろのカッコで同じ数を選んだときの積の和
→1^2+2^2+…n^2
・前のカッコと後ろのカッコで違う数を選んだときの積の和
たとえば1*2 は1→2と2→1 で2回出てくる。
全ての「異なる2数の組み合わせの積」が2回ずつ出て、その和を求めることに
なるから、これが求める和の2倍。
よって、Ｓ1について書かれた式が成立する。
1〜ｎの整数から異なる2個を選ぶ組み合わせのすべて（C[n,2]個ある）について、
その組み合わせとして取った数の積を作り、その結果全てを足した和は？ ということ。
すると、
(1+2+…n)*(1+2+…n) を分配法則で展開することを考えると、
・前のカッコと後ろのカッコで同じ数を選んだときの積の和
→1^2+2^2+…n^2
・前のカッコと後ろのカッコで違う数を選んだときの積の和
たとえば1*2 は1→2と2→1 で2回出てくる。
全ての「異なる2数の組み合わせの積」が2回ずつ出て、その和を求めることに
なるから、これが求める和の2倍。
よって、Ｓ1について書かれた式が成立する。