数学・物理・化学の極意

前スレ
いうおいおｒうぃじょｆと知的トークするスレ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996/

ルール：
sage進行を心がけよう。

数学・物理板の兵歓迎

ふざけんな馬鹿

乙です。

http://www.vipper.org/vip195414.pdf.html
前スレ>>970
のんびりやってたら先越されたｗ

乙です。

前スレ>>990
パソの前から離れてたのでヒントなしで自力で思いついたよww

こういうのできるとｳﾚｼｽwwww

>>4
pdfﾜﾛｽwwwwwいやグッジョブｗｗ

>>5
こういうの見ると嫉妬で殺したくなるｗｗ

高木の例がシンプルだということは
x=q/pのとき1/pとか1/qとか？

前スレ>>919
やっと解いてくれたぁ……

>>4
そこまで丁寧にやってくれるとはｗｗｗ
楽しんでもらえたかな？

一応想定してた回答：
漸化式を丁寧に立てる
a(n+1)=d(n)/2+b(n)/6・・�@
b(n+1)=a(n)/2+5c(n)/6・・�A
c(n+1)=5b(n)/6+d(n)/2・・�B
d(n+1)=a(n)/2+c(n)/6・・�C
�@＋�Bで(1)は瞬札
それで�@、�Aのc(n)d(n)を消去してa(n)+b(n)の漸化式が得られ（２）ができる
期待値は0*a(n)+1*b(n)+2*c(n)+3*d(n)=b(n)+d(n)+2{c(n)+d(n)}

こうすれば偶奇わけの必要はなくなる

>>10
サンクス。
どうもこの手の問題を偶奇抜きで表すのは苦手だ。

>>8
こんな問題をヒント抜きで出すのが悪い。
出典はなんだよ。

>>11
出典は思いつきｗ


適当に考えてたら5分ぐらいで解けちゃったから、余裕かと思って出してみた。

ちなみに、ヒントで出した
f(t) = (1+x(1)t)(1+x(2)t)…(1+x(n)t)
っていうのは

Σ x(k)^m と基本対称式の関係を表す公式を求めるときに使う関数で、
俺が答えを導くときに使ったのとは全然違ったりする。

俺の解答だと
S(1) = {f | f = Σx(i)^a、　1≦a≦n、　aは自然数 }
S(2) = {f | f = Σ[i≠j]x(i)^a x(j)^b、　2≦a+b≦n、　a,bは自然数 }
っていう集合S(k)を定義して、任意の自然数k( 1≦k≦n )に対して、f∈S(k)ならばfが定数であることを示し、
x(1),x(2),……,x(n)によって作られる基本対称式がxに依存しない定数であることを示す。

ほんでもって、tについての方程式
(t-x(1))(t-x(2))…(t-x(n)) = 0
を解けばOK。　瞬殺だと思ったんだがな

http://www.vipper.org/vip195437.pdf.html
ついでに前スレ913置いときますね

受験生相手には酷だぞ
俺も直感的には答え分かったけど厳密な証明はさすがに厳しいｗｗｗ

X^2+Y^2=3に有理点は存在しない事を示せ。

前スレ>>931
ｔを有理数として、ｔに収束する有理数列とか
rを無理数として、ｒに収束する有理数列とかを
実際に構成しといたほうがいいのでは？

とくにｒが無理数のとき、ｒに収束する有理数列の存在は
Qの稠密性だけを理由とするのは苦しいのでは？

たまには化学もどうぞ
α-アミノ酸からなるペプチドXがある
�@XはC,H,O,Nからなり分子量465で加水分解すると4種類のα-アミノ酸A,B,C,D
が生じた。またAとB、AとC、BとCの組み合わせのジペプチドも含まれていた
�AAは光学異性体を持たない
�BBは亜硝酸ナトリウムと塩酸を作用させると窒素を発生して乳酸に変化する
�CCは分子量165で濃硝酸を加えて加熱すると黄色〜橙色を呈する必須アミノ酸
　でメチル基を持たない
�DDと無水酢酸を反応させて生じたアミドE3.5*10^-2ｇを水２０ｇに溶かし
　フェノールフタレインを加え0.10mol/lの水酸化ナトリウムaqで滴定すると
　4.0ml要した。Ｄはアミノ基以外に無水酢酸と反応する基を持たない
�EＸのＮ末端はＤ
A,B,C,Dを決定してＸの配列として可能なものを全て挙げよ

A=グリシン　B=アラニン　C=フェニルアラニン　D=アスパラギン酸

配列：D-A-B-C-A D-A-C-B-A

忘れ去られている化学問

>>16
昔の都立？

pdfてどうやって作るんだ？
すばらしすぎる

>>20
TeXからつくれるよ。

前スレの�@がこなくなって数学板の兵の独壇場になってきたｗｗ
正直話についていくのがやっとだぞ
�@はどこだ

x≠0で常に不連続、x＝0で連続な（１変数）関数の例を一つ作れ。

の答えが

ｘが有理数でq/pのとき
1/pq
xが無理数のとき0

なのですか？

>>14
連続性って、そもそも孝行だと定義さえされてないのに、どうやって証明しろと

>>22
私が前スレの�@です。なんか丸投げみたいになってすいません。できるだけ
投下問の解答は書いていきますが2次対策に追われて今大変なんです。本当に
申し訳ありません。

>>24
高校の教科書でも定義されてない？
関数の連続性。

関数f(x)がx=aで連続であるとは
lim_[x→a]f(x)が存在し,f(a)と一致することである。

関数f(x)が区間(a,b)で連続であるとは
f(x)が(a,ｂ)内のすべての点で連続であることである。

まあこの磁気に�Aちゃんやってる奴の方がどうかしてるけどなWWW

>>15
つ>>17

>>25
別に○投げでも問題ないから気に線でええよ

>>26
＞lim_[x→a]f(x)が存在し

これは？

>>30
存在しないケースもあるでしょう？

f(x)=1/xでaが0のときとか。

>19 出展は忘れたけど、どっかの過去問

lim_[x→a]f(x)の定義は？ってことじゃないのかな
高校では
xが右から限りなくaに近づくときにf(x)がある値αに限りなく近づく場合、
lim_[x→a+0]f(x)=α
xが左から限りなくaに近づくときにf(x)がある値βに限りなく近づく場合、
lim_[x→a-0]f(x)=β
で、
lim_[x→a+0]f(x)=lim_[x→a-0]f(x)
ならばその値をlim_[x→a]f(x)とおく
とかそんなんだったはず。
（「限りなく」がちゃんと定義されてない）

本人認証しておきます
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996/489
>>18正解です。難問なはずなんだけどなあｗ
あと前スレでタイプミス多いよという指摘がありましたが全くその通りです。
他にもタイプミスして投下してる問題を発見しました。パソコン初めて半年
ぐらいなんでまだ操作に慣れていないんです。しかもそのタイプミスした問題
とはいうおいさん、いうおい様信者さん、3代目いうおいさんが答が一致した
例の問題です。わざわざ解答を書いていただいたのに本当に申し訳ありませんでした。

>>14
ε-δ論法だっけ？
友達と一緒に図書館で調べた記憶があるww

大学レベルの数学分からないから、出来れば入試レベルの問題出して
欲しいんだけどなあorz
ここは俺のスレじゃないからそういう要求する権利は無いけど。

未解決問題：

一辺の長さが1の正二十面体の体積を求めよ。

こういうのならまだいいけどなW

>>35
丸投げ野郎の私に問題を投下せよということですか？

>>35
>>17

>>37
>>29

>>36
一辺の長さが1の正二十面体の最も長い対角線の長さを求める問題を最近やったんですが
ぱっと見わかりません

>>36
ttp://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki23.html

そりゃさがせばどこかに解法くらいあるだろうけど。。

数列{an}がa(n+1)<1/2*an+1(n=1,2,‥)を満たしているときan≧2を満たすnが無数にあれば
極限値lim(n→∞)anが存在することを示しその極限値を求めよ
京大プレの問題です

>>41はひょっとして正20面体の問題答え？
もうすぐ解けそうだから絶対見ねえwww

あーなんか今日も三時頃まで粘りそうな予感

私はなかなか来れないと思うので数学板からの刺客の方々、引き続きこのスレを
盛り上げていってください

>>44
がんがれ

>>46 ありがとうございます
硬貨を4ｎ枚投げて表の出た回数を数える。表が出る確率も裏が出る確率も1/2とする。
(1)表を向く硬貨の合計枚数が奇数枚である確率を求めよ
(2)表を向く硬貨の合計枚数が4の倍数である確率を求めよ
京大プレの問題です

解けたぁぁぁ！！！！！
めっちゃ疲れた。

１つの頂点をAとおく。その周りの５つの頂点をBCDEFとする。
平面BCDEFと平行な五角形を平面πとする。

まず、正五角錐ABCDEFの高さhを求める。
正五角形の中心と頂点の距離をxとすると
h^2 = a^2 - x^2
xsin36°=2aだから
(h/a)^2 = 1 - 4/{4(10-2√5)/16}
=(5-√5)/10
ただしsin36°=√(10-2√5) /4を用いた。

次に平面πと平面BCDEFの距離h'を求める。
正二十面体を平面BCDEFを水平に、辺CDを手前にするように見ると
(h'/a)^2 = (√3/2)^2 - {x(1-cos36°)}^2
=3/4 - {(1-cos36°)2sin36°}^2
=3/4 - {(3-√5)^2/16}/{4(10-2√5)/16}
=(5 +√5)/10
ただしsin36°=√(10-2√5) /4とcos36°= (1+√5)4を用いた。

ここで正二十面体に外接接する球Oの半径をrとおけば
r = h + h'/2なので
(r/a)^2 = (5-√5)/10 + (5 +√5)/40 + √{(5+√5)(5-√5)/100}
=(5+√5)/8

Oと各面までの距離をlとおけば
(l/a)^2 = (r/a)^2 - 1/3 = (7+3√5)/24
=(14+2√45)/48

あー名前入れ忘れた。


（解答続き）
ゆえにl/a = √{(14+2√45)/48} = (3+√5)/4√3
よって正二十面体の体積Vについて
V/20a^3 = 1/3 * (3+√5)/4√3 * √3 /4
= (3+√5)/48
V = (3+√5)/48 * 20a^3 = 5(3+√5)a^3 / 12

∴V = 5(3+√5)a^3 / 12

ノートが４ページ正二十面体の絵と数式で埋まったwww
なんかうまいやり方あるんだろうけど、こんな風に
まともにやっても解けるってことでwww

xyz座標空間に円筒面x^2+y^2=1がある。A(1,0,0)B(-1,0,π)として動点Pは円筒面上の
y≧0の部分を最短距離でAからBまで動くものとする。Pからxy平面に下ろした垂線と
xy平面の交点をQとして三角形OPQの周及び内部が通過してできる立体の体積を求めよ

>>48-49 お疲れ様です
>>50も京大プレの問題です。なんか京大プレと東大オープンって異常に難易度高いなあ。

平面BCDEFと平行な五角形を平面πとする、って日本語が間違ったしw
適当に読み替えて下さい。。。

最初、一つの頂点に何故か辺が6つ集まると
勘違いしてて全然解けなかったww

途中で辺が6つ集まったら平面にしかならないことに
気づいてなんとか撃破って感じでした。

そいじゃお休みなさい。

>>51
遅くまでお疲れさまです。そいでは。

>16 誰も解いてねーな、、流石に簡単過ぎかwwじゃﾚﾍﾞﾙ上げて、
X^4+Y^4=Z^4を満たす自然数X,Y,Zは存在しない事を示せ。(ﾌｪﾙﾏｰの定理よりは無しで)←これノーﾋﾝﾄで出来たら数学科にいっても大丈夫というか本当に数学者になれる
高校の知識で解けます

>>54
自信ないけど。
まずX,Y,Zを互いに素としても一般性を失わない。
そうするとX,Yの片方が偶数でもう片方とZは奇数である。
この証明は容易なので省略する。
そこでYの方を偶数として考える。
等式を変形してX^4=(Z-Y)(Z+Y)(Z^2 + Y^2)
仮にZ-YがXの素因数αで割れたとすると(Z-Y=kαとする)
Z+Y=Z-Y+2Y=kα+ 2Y, Z^2 + Y^2=(ｋα)^2 + 2ZYだが
最初の過程よりY,Zともにαを因数として含まず、またXは奇数であるため、α≠2。
よってZ-Y以外は素因数αで割れないことが分かる。
Z+Yの場合も同様の議論が出来るので結局
Z-Y=α^4, Z+Y=β^4, Z^2 + Y^2 = γ^4と表されることになる。
ここでα、β、γは互いに素な奇数であり、αβγ=Xとなる。
上の最初の二つの式からZ=(α^4 + β^4)/2, Y=(β^4 - α^4)/2となり
また最後の式にこれを代入すると
Z^2 + Y^2=(α^8 + β^8)/2=γ^4、ここでα^4=n, β^4=m, γ^2=pとおいて変形すると
(n/p)^2 + (m/p)^2 =2となり、明らかにn/p < m/pでn/p, m/pはともに有理数となる。
>16の論法を使うと上の式はn/p=m/p=1の時以外は、ともに有理数となることはない。
n/p≠m/pだったから結局Z^2 + Y^2=γ^4と表すことが出来なくなる。
よって命題は証明された。

>>49
うまいやり方かどうかは分からないけど空間座標を設定しても解ける。
一頂点をA(1,0,0)
それに最も近い頂点の一つをB(x,0,√(1-x^2))と設定すると
残りのAに最も近い頂点はBを通り、x軸に垂直な平面上の
Bを通りx軸を中心とする円上を五等分する各点となる（Bも含む）。
そしてその円上にあるBに最も近い点をCとすると余弦定理より
BC^2=2(√(1-x^2))^2 - 2{(√(1-x^2))^2}cos2π/5
AB=BCとAB^2=(1-x)^2 + (√(1-x^2))^2からxが出る。
あとは一辺の長さがABの正三角形を底辺とし、残りの辺の長さが1の三角柱の体積を20倍すればいい。

>>43
漸化不等式（？）を変形すると
a(n+1) < (1/2)(an - 2) + 2
anが2以下ならa(n+1)は2未満となるからそれ以降の項はすべて2未満。
つまりan>2なるものが有限個になってしまう。
よって全てのnについてan>2。
漸化不等式を繰り返し用い、上の事実を使うと
2 < an < {(1/2)^(n-1)}(a1 - 2) + 2 → 2
よって挟み撃ちの原理よりan→2

>>56
×三角柱
○三角錐

>>47
(1)nの時に奇数枚となる確率をa(n)とすると
漸化式a(n+1)= (a(1))(1-a(n)) + (1-a(1))(a(n))が成立。
これを解くとan=1/2
よくよく考えたら自明な気もする。
(2)(1)とほぼ同じように考える。
1/4 - (1/8)(-1/4)^(n-1)

東大入試予想問題
y≧x^2、y≦x+2内に収めることができる円の半径の最大値を求めよ。

>>17
こんなんでどうでしょう？
http://www.vipper.org/vip195683.pdf.html

>>50
(π^2)/8かな。
いやにあっさりしてるけど。

>>58
（それはいつかの大数で見た気が・・・ｗ）

>>61
俺は9スレというところで発見したんだが

>>55
やっぱり駄目だ。
x^2 + y^2 =2をみたす有理点は無限に存在するわ。
考え直し。

ttp://jbbs.livedoor.jp/study/4125/

ここでこのスレが話題になってるぞ

>>18
A：光学異性体を持たないから HOOC-RCR-NH2の構造をしている。
B：乳酸の-OHを-NH2に戻して、CH3-CH(NH2)-COOH (アラニン/分子量89)
C：(4)からC6H5-CH2-CH(NH2)COOH (フェニルアラニン/分子量165)が一致する。
D：この分子量をMとするとアセチル化されたEの分子量はM+42、一塩基酸としてMを求めると45.5でアミノ酸としては
あり得ない。そこで分子中に2つの-COOHを持つ二塩基酸とすると中和滴定から、
2*3.5*10^(-2)/(M+42)=0.10*(4.0/1000)、M=133より、HOOC-CH2-CH(NH2)-COOH (アスパラギン酸)が考えられる。

A-B、A-C、B-C の組み合わせのジペプチドが含まれていた点と末端のNがDから、A,B,Cの内どれか1つはXに2分子含まれる
必要があるが、B,Cのどちらかが2分子含まれていたとすると、Aの分子量がアミノ酸としては小さすぎるため、
Aが2分子まれていたと仮定してみるとAの分子量をMとして、2*M+89+165+133-4*18=465、M=75で
AはNH2-CH2-COOH (グリシン) となり(2)の条件に一致。以上から、
A：NH2-CH2-COOH、B：CH3-CH(NH2)-COOH、C：C6H5-CH2-CH(NH2)COOH、D：HOOC-CH2-CH(NH2)-COOH
以上よりXの配列は、「A-B-C-A-D」「D-A-B-C-A」の2つ組合せが考えられる。

半径1の球面上に4点O,A,B,Cをとる。以下の問いに答えよ。
(1)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
(2)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑が(1)で求めた値となるときの|OA↑|の最大値を求めよ。

>>49
正解
一辺の長さは1な

ここって質問してもいいですかね？
｢不対電子対｣って何ですか？

袋の中に黒球1個赤球2個白球3個が入っている。袋の中から1個の球を無作為に
取り出し色を調べて袋に戻すと言う試行を繰り返し黒球が出た時点で試行を
終えるものとする。試行が終わるまでに取り出される赤球の個数の期待値を
求めよ。lim(n→∞)n*r^n=0(-1<r<1)を用いてもいい。

東大入試予想問題
赤道上に立っているＡ君は、高度hの上空に静止している気球の中のＢ君が静かに落とす、
質量ｍの小球を受け取ろうとしている。このとき、Ｂ君は、Ａ君の位置の鉛直線上から、
どの方角にどれだけ離れた上空で小球を手放せばよいか？
（但し、万有引力定数をＧ、地球の質量をＭ、赤道半径をＲ(>>h)、自転周期をＴとし、
大気中の空気抵抗は無視するものとする。また必要ならば、√(GM/R)>>2πR/Tと近似してもよい。）

東大入試予想問題
赤道上に立っているＡ君は、高度hの上空に静止している気球の中のＢ君が静かに落とす、
質量ｍの小球を受け取ろうとしている。このとき、Ｂ君は、Ａ君の位置の鉛直線上から、
どの方角にどれだけ離れた上空で小球を手放せばよいか？
（但し、万有引力定数をＧ、地球の質量をＭ、赤道半径をＲ(>>h)、自転周期をＴとし、
大気中の空気抵抗は無視するものとする。また必要ならば、2πR/T<<√(GM/R)と近似してもよい。）

>>58
3-(3√2)/2

>>16
m.nを互いに素としてX=m/nとおくと
Y^2=(√(3n^2 - m^2))/n
故に3n^2 - m^2=p^2なら存在する。
しかしn,mは互いに素だからpとも1以外の公約数を持たない。
3を持つ可能性もm=3m',p=3p'とすると
3n^2 - 9(m')^2=3(n^2 - 3(m')^2)=9(p')^2となるがnは3を約数に持たないので左辺は9の倍数とはならず不可。
あとはm=3k + x, p=3k' + yとおいて代入すればその和は3の倍数にはなり得ない事が分かる。
ただしx,yは0,1,2のいずれかで、同時に0になることはない。

>>68
天才いうおいじょ先生は夜11時以降に現れるからその時間に来て質問したら
やさしく教えてくれるよ。でもいうおいじょ先生は受験直前で忙しいから
むやみやたらに質問しまくるのはやめようね。

x^2+y^2 = a
がちょうど、三つの有理解(x,y)を持つような正の実数aを求めよ。

近似したら>>71の解が真上になっちまったorz

>>75
近似しすぎですね。ｗ

出題〜（ひろいもん）

以下では円板とは、円の内部と円周をあわせたものとする。
(1)平面上に２点Ｏ(1),Ｏ(2)をそれぞれ中心とする半径１の２つの円板がある。
これら２つの円板の円周は、異なる２点Ｐ、Ｑで交わっている。そのとき、
∠ＰＯ(1)Ｏ(2)=θ(0<θ<π/2)として、これら２つの円板の共通部分を求めよ。
(2)Ｏを原点とするxyz空間に、２点Ａ(√2,0,√2)、Ｂ(0,√2,√2)がある。
また、xy平面上に、Ｏを中心とする半径1の円板Ｄがある。
Ｄをxy平面に平行に保ったまま、その中心をＯからＡまで線分ＯＡ上で移動させたとき、
Ｄが通過してできる立体をＫ(1)とする。
同様に、ＤをＯからＢまで線分ＯＢ上で移動させたとき、Ｄが通過してできる立体をＫ(2)とする。
Ｋ(1)とＫ(2)の共通部分の体積を求めよ。

58と66は見た目以上に難しいな
南下うまくできない

>72 正解だけど、X^2+Y^2≡3 (4)は成立しないという事を考えれば>16はほぼ自明
>74 有り得ない

>>71
直感で水平方向に2πR^2/T*√(2h/GM)だけ離れた上空

>>80
不正解です。どんな方程式になりましたか？

gt^2/2=h
Rωt=2πR^2/T*√(2h/GM)
だと思ったが単純すぎたなｗｗｗ

>>69
赤球をn回取り出す確率は、
1/6�納k=0,∞]{n+kCn * (1/3)^n * (1/2)^k}
よって取り出す球の数の期待値は
1/6�納n=0,∞][n*�納k=0,∞]{n+kCn * (1/3)^n * (1/2)^k}]
=1 * 1C1 * 1/3 + 1 * 2C1 * 1/3 * 1/2 + 1 * 3C1 (1/3) * (1/2)^2 + …
+2 * 2C2 *(1/3)^2 + 2 * 3C2 * (1/3)^2 * (1/2) + 2 * 4C2 * (1/3)^2 * (1/2)^3 + …
+3 * 3C3 * (1/3)^3 + 3 * 4C3 * (1/3)^3 * (1/2) + 3 * 5C3 * (1/3)^3 * (1/2)^3 + …
…
ここからnCkの項を足し合わせていくと、……☆
nC1 * (1/3) * (1/2)^n-1 + 2 * nC2 * (1/3)^2 (1/2)^n-2 + … + nCn * (1/3)^n * (1/2)^0
=n/3 * (1/2 + 1/3)^n-1 = n/3 * (5/6)^n-1
だから
1/6�納n=0,∞][�納k=0,∞]{n+kCn * (1/3)^n * (1/2)^k}] =
1/6lim[k→∞][1/3�納n=0,k]{n * (5/6)^n-1}] = 1/6lim[k→∞]1/3 * 6 {1 + (5/6) + (5/6)^2 + … - k(5/6)^k}
= 12/6 = 2
∴2

こんな頭の悪い解きかたしかできなかったorz
☆のところの議論は本当は期待値が収束することを示さないと
出来ない思うんだけど、示せなかった。

>>78
>>58は俺も数時間考えてみたんですが、
処理の出来ないような式が出てにっちもさっちも行かなくなりました。
>>72さん方針教えて欲しい。

ここにいる奴は皆東大志望だっけ？俺だけかな？東工大は・・・院は東大行くんで宜しく、、京大かもしんないけどww

できなくなってるな
やバスｗｗW

>>83
ふと思ったけど白球の個数は赤球をｋ回取り出す確率に影響を与えないんだね

数時間ってｗｗｗｗｗ
数学しかやってないんだなｗｗｗｗ

>>66
(1)-1/2
(2)(√6)/2

どうやってやった？

>>88
ちょwwwﾋﾄﾞｽwww
考え始めるとやめらんなくなっちゃうだけですよwww
他教科もちょっとだけやってるw

>>84
正直、その問題は俺も自信がない。
ただ直感的に円の半径を大きくしつつ動かそうとしても動かせそうに無くなるのは
その円が放物線に二点で接するときか、もしくはx=1/2で放物線に接するときのどちらかになりそうだったから。
その二つの場合について具体的な最大値をだし、大きさを比較しただけ。
厳密な証明はしていないし、出来るかどうかも分からない。
そもそもあってるかどうかも分からないｗ

>>92
>>66の問題は？

>>82
地球の中心を基準にした慣性座標系では、Ａ君は等速円運動をしますが、
小球は楕円運動をします。従って、面積速度一定の法則から小球の角速度は、
地球の中心からの距離の二乗に反比例しますので、もし、地表に衝突しないのなら、
当然、小球は（地球に対する）公転周期が、地球の自転周期より小さくなります。
その辺を踏まえて、再挑戦してみてください。

>>66は一応ベクトルの始点を球の中心に直してやってみたけどうまく行かない

>>77って平凡に高校の範囲で解けるの？

>>90
>>66のことか？
だったら、まず原点をXとして各ベクトルをXO,XA,XB,XCに分解する。
XOは(1,0,0)として一般性を失わない。
あとはA(x1,y1,z1)、のこりも同様に設定して芳樹に代入し、式変形すると
-1/2 + (1/2)*{(x1+x2+x3-2)^2 + (y1+y2+y3)^2 + (z1+z2 +z3)^2}が出る。
左三項は点D(2,0,0)を考えると(1/2)*|XA+XB+XC-XD|^2だから
これが最小になるとき絶対値内が0になればよい。
例えば実際に
A(2/3,(√5)/3,0)
B(2/3,((√5)/3)*(-1/2),((√5)/3)*(√3/2))
C(2/3,((√5)/3)*(-1/2),((√5)/3)*(-√3/2))
と設定すれば条件を満たす。
(2)は説明が面倒だ。

1からnまでの数字の書かれたカードがある。その中から1枚を取り出し、奇数であればそれを得点に、偶数であれば2で割り切れなくなるまで割って、それを得点とする。このときの得点の期待値をf(n)とするとき、f(n)≧100となる最小のnを求めよ。

>>83正解ですし解答通りですよ。>>47の確率の問題も面白いと思うんで
解いてみてください。>>60不正解です。>>56の>>43正解です。>>57正解です。

馬鹿だ俺orz
座標設定すれば瞬札ジャンｗｗｗ

>>92
トンクスww

>>99
これで正解なんですかw
ずいぶん過酷な計算させる問題ですねw
本番だったら飛ばすかも。。。

>>47
(1)は半分(二項定理)
(2)は考え中ほに

>>100
座標なしでもOK
球の中心を始点としたO,A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれr,a,b,cとすると
OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑
=(1/2)|a+b+c-2r|^2-(1/2)|r|^2

>92 X=1/2で接する時だけ考えれば良いんじゃないの？

>>50
z=tで求める立体をきるとき切り口の面積S(t)=(π-t)/2(0≦t≦π)
よって求める体積は∫[t=0〜π](π-t)/2*dt=π^2/4

>>99
とりあえず>>50の答えの数値だけ教えてもらえないかな？

と思ったらいうおいが既に答えてたｗ

>>104
でも最大値を比較したら二点で接する時の方が大きかった。

うああ
浅はか過ぎたｗｗ
ベクトルでも確かに普通にいけるしｗｗW

47(2)は変な数になったほにｗｗｗ
[2^4n+2^(2n+1)*(-1)^n]/2^(4n+2)

ベクトル演算ちょっとおろそかになってたな・・・・
いい勉強になった

>>47は>>57のように漸化式で解く解法と>>102で指摘されてるように2項定理を
使う解法があります。とりあえず(1)を2項定理で解く解答を書いておきます。
4n枚の硬貨を投げてk枚が表を向く確率は4nCk(1/2)^k(1/2)^(4n-k)=4nCk(1/2)^4n
従って奇数枚が表を向く確率はp={4nC1+4nC3+‥+4nC(4n-1)}(1/2)4n
ここで(1+x)^4n=4nC0+4nC1x+‥+4nC4nx^4n)にx=1,-1を代入した式を辺ごと引いて
2^4n=2(4nC1+4nC3+‥+4nC4n-1)

47(2)は二項定理でやると複素数が絡んでめんどくかったほに
>>107
果して答えはあるのかどうかわからんほに。
領域ないに含まれてるかどうかの判定すら難しいし

>>47はと板と思ったら素手に書き込まれててorz
漸化式の方が早い気がする

47(2)は二項定理だと複素数が絡んでめんどくかったほに。

円と放物線の問題は答えがあるのか?

どうみても二重投稿です。
本当にありがとうございましたほに

曲率円とかそういう話になると文系には手が負えないほに

>>106 >>50の答えはΠ^2/6です。平面z=a(0≦a≦Π)で求める立体を切ったときの
面積がΠ/2-a+a^2/2Πになります。途中極方程式などを使うことにより面積は求まります。

肩身が狭いほに。

かにほに久しぶり

>>116
パイは「π」こう書きませう。

>107 そうなんだ、、よくわからん。｡俺の理屈だとX=1/2で接する時が最大なんだが。。まぁいいか

うわｗｗ
また間違えたｗｗｗ確か似そうだ

久しぶりほに。
文一首席に勝つために修行をして
まぁセンターは例によってミスって早稲田法は小論文免除にならなかったが
英語と数学と国語は勝負できるようになったほに

>>50は(π^2)/6じゃないか？

>>122
将来は官僚？でも、最近人気無くなりつつあるね。なんでだろ。

>>116
それって予備校が出してる答えなんだよね？
俺は角度がθのとき微少角dθで囲まれる体積部分が
(1/2)*θ*1*1*(1/2)*dθとして0からπまで積分したんだけど。
どこがおかしいんだろ。

>>122
かにほには東大法学部の先輩、大川隆法を見習って
新興宗教かにほに教を作って世界征服するという設定ほに。
中の人は法曹界に進むつもりほに

>>125
三角錐だから1/3
または三角形の重心は回転軸から1/3

>>112
領域内には確実に含まれている。

>>120
俺も理屈ではそうかと思ったんだけど。
計算間違いかもしれない。
てか、120は実際に計算する気ないか？

>>120
放物線にx=1/2で接して
y=x+2も接させると円が放物線の外にはみ出ると思う

こんなんでどうでしょ
P(cosθ,sinθ,θ)
Q(cosθ,sinθ,0)
O(0,0,0)
でθを0からπまで動かしたときの三角形の通る体積を求めればよい。
今、0からθまで動かしたときの体積をV(θ)とおく。
(1/3)2sin(�刄ﾆ/2)cos(�刄ﾆ/2)θ<V(θ+�刄ﾆ)-V(θ)<(1/3)2tan(�刄ﾆ/2)(θ+�刄ﾆ)
で、各辺�刄ﾆで割ると、
{(1/3)2sin(�刄ﾆ/2)cos(�刄ﾆ/2)θ}/�刄ﾆ→θ/3（�刄ﾆ→0）
{(1/3)2tan(�刄ﾆ/2)(θ+�刄ﾆ)}/�刄ﾆ→θ/3（�刄ﾆ→0）
よってはさみうちでV'(θ)=θ/3
V(θ)=θ^2/6+C
V(0)=0よりC=0
よってV(π)=π^2/6

>>119すいません
(1)1から18k(kは自然数)までの自然数の中から任意に1つ取り出すとき6でも9でも
　割り切れない確率を求めよ
(2)1からm(mは自然数)までの自然数の中から任意に1つを取り出すとき6でも9でも
　割り切れない確率をPmとするときlim(m→∞)Pmを求めよ

どなたか>>77解いていただけませんか

やっぱ気になったから面倒臭いが計算してみた>58なんだが、、9√2/16だと。二点で接するときは3/2-√2じゃね?

>>77
(1)2θ-sin2θ
(2)8√2/3

ごめんあげちった

>>134
(2)普通にできました？
すんません、阿呆が一匹紛れ込んでると思わずに教えてください。

>>133
点(-1/16, 3/16)と点(t, t^2)の距離を調べるとt=1/2は極大になった。
やっぱはみ出るよ。

>>130
ごめん、1/3倍する理由がよく分からない。

>>127
ごめん、ますます分からない。
三角錐はどこに出てくるんだ？
どうもイメージがつかめないな。
今日はもう寝よ。

>>136
たぶんどっかで痴漢積分が入るほに
z=tで切ると、t√2=2cosθだから〜とかで

>>50
むかついたからリベンジ
z=tできったときの面積S(t)はS(t)=(π-t)/2-∫[0〜π-t]1/2*(t/(k+t))^2dk=π/2-t+t^2/2π
よって∫[0〜π]S(t)=π^2/6

答で照るけど

>>138
V(θ+�刄ﾆ)-V(θ)をそれよりちょっと大きな三角錐とちょっと小さな三角錐で挟んだ感じです。
図を描くと分かりやすいんですが、めんどいのでパスｗ

>>136
ｚ＝ｔで切る所まではわかると思うけど、
あとはｔと（1）と同じようにとったθの関係から置換積分すればできるよ

>>130別解として紹介されていました。ΔV=1/3θΔθの微小な四角錘を寄せ集めた
ものと考え∫(0,π)1/3θdθ=π^2/6という考え方もできます。

>>138
ごめん、O-PQQ'P'だから四角錐だった
(P', Q')は微小角だけ動いたときのP, Q

点(x,y)に対し、点(t,t^2)との最小の距離と、
直線までの距離の小さいほうが点(x,y)を中心とする円の半径と考えれば解けるかもほに？

眠いからおかしい事を言ってるかもしれないから
その時はスルーするほに

>>143
それよくある手法なんだけど「微小な」ってのが直感的で分かりにくいんですよねｗ
ちゃんと挟んで評価しないとほんとにうまくいってるのか不安で
（まあ一緒のことなんだけど）

>>138
ごめん、同じく素で三角錐と四角錐書き間違えたｗｗｗ

>>137
本当だ。
ようするにこの点で半径を大きくしていくと接線に接する前に放物線に接しちゃうわけね。

>>131
(1)1から18k(kは自然数)までの自然数の中で
6の倍数は3k個9の倍数は2k個18の倍数はk個
よって6でも9でも割れないものの数は
18k-3k-2k+k = 14k（個）
求める確率は14k/18k = 7/9
(2)
mまでの自然数の中で6でも9でも割れないものの数nは
[m/18]*14 =< n < {[m/18]+1}*14
よって
(m/18-1)*14 < n < (m/18 + 1)*14
両辺をmで割って
7/9 - 14/m < Pm <7/9 + 14/m
∴はさみうちの定理からlim(m→∞)Pm = 7/9


>>50はπ^2/6 って出てたんだけど自信なかったw

丁寧にやったらものすごいことになったから放物線と直線の最大距離を考えて
9√2/16だと思うけどやっぱ違うのか

冷静になってみると四次関数の極小値なんか出ません
合掌ほに

>>141
分かったような分からんような・・・
また明日考えてみる。
解説ありがとう。

>137 本当だなww意地悪問題みたいだな、これ

>>148正解です
(2)18以上の任意の自然数mに対し18ｋ≦m＜18(k+1)を満たす自然数ｋが存在し
1〜mの内6でも9でも割り切れない自然数の個数をAmとすると14ｋ≦Am≦14(k+1)
Pm=Am/mだから14k/18(k+1)<Pm≦14(k+1)/18k

>>58
俺当時そのスレいたぞ。たしか出題者は大学への数学のガッコンか宿題とか言ってなかったか?
たしかそのスレでWRITTENとかいう後に慶医合格した奴ただ一人が解いてた記憶がある。

http://study.milkcafe.net/test/read.cgi/rikei/1124032692/l50

>>98
は解けないの？面倒臭いだけ？

>58 9√2/16だな・・・・X=1/2で接してはみ出ない。。こんな簡単な問題を難しく考えてこんな遅くまでやってしまった、寝よ

と思ったらはみ出るよ。。。駄目だ降参だな、他の奴頼む

xy平面上に中心と半径を変化させて動く円Cがある。正の実数tに対してCの中心は
(t+1,0)で半径はr/√(t+1)(r>0)である。点A(2,1)が常に円Cの外部にあるような正
の定数rの値の範囲を求めよ

>>69 >>83
n回目が赤球であるときに1、それ以外（n-1回目までに試行が終了しているか、継続していて赤以外）のとき0を取る確率変数をX_nとする。

E(X_n)=Pr(X_n=1)=(2/6)*(5/6)^(n-1)

試行終了までの赤球の個数の期待値
=E(Σ[n=1 to ∞](X_n))=Σ[n=1 to ∞](E(X_n))
=Σ[n=1 to ∞](1/3)*(5/6)^(n-1)
=2

>>98
g(n)=n (nが奇数のとき）、nを2で割り切れるまで割った自然数 (nが偶数のとき）とし、
h(m)=Σ[k=2^m to 2^(m+1)-1]g(k)
とおくと、
h(m+1)=h(m)+3*2^(2m)
から、h(m)、Σh(m)を出して…とやってくのかな？

後はめんどいから略。

>>160
ほーこういう解法もあるのか。勉強になりました。

底面が中心O半径1の円で高さが1の直円錐の頂点をAとしBを底面の円周上の点とする。
そして線分OB上のOP=x(0≦x≦1)を満たす点Pを通りABに垂直な平面にる円錐の断面を
Dxとする
(1)Dxの面積を求めよ
(2)円錐をD0で切った時Bを含む側の体積を求めよ

>>163
abc空間座標設定を行う。O(0,1/√2,1/√2),A(0,0,0),B(0,0,√2)と設定する。
すると円錐の内部および周の座標X(a,b,c)は(↑AO・↑AX)/|↑AO||↑AX|≧cosπ/4
整理して2bc≧a^2 Pのc座標は(1+x)/√2よりDxはb≧a^2/{√2(1+x)}かつ-√(1-x^2)≦a≦√(1-x^2)
よってDx=(2√(1-x^2))^3/6√2(1+x)=2√2{(1-x)√(1-x^2)}/3
体積は同様に考えて∫[0〜1/√2]Dkdk=π/6-2/9
π/3-(π/6-2/9)=π/6+2/9

訂正
abc空間座標設定を行う。O(0,1/√2,1/√2),A(0,0,0),B(0,0,√2)と設定する。
すると円錐の内部および周の座標X(a,b,c)は(↑AO・↑AX)/|↑AO||↑AX|≧cosπ/4
整理して2bc≧a^2 Pのc座標は(1+x)/√2よりDxはb≧a^2/{√2(1+x)}かつ-√(1-x^2)≦a≦√(1-x^2)
よってDx=(2√(1-x^2))^3/6√2(1+x)=2√2{(1-x)√(1-x^2)}/3・・・（１）（答）
体積は同様に考えて∫[0〜1/√2]Dkdk=π/6-2/9 ・・・（２）（答）

>>159
超易問だけど一応

円の方程式は(x-t-1)^2+y^2=r^2/(t+1) ここでt＞0より条件は
(2-t-1)^2+1^2≧r^2/(t+1) 分母をはらって整理してt^3-t^2+2≧r^2
f(t)=t^3-t^2+2と置いて f'(t)=t(3t-2)よりt=2/3で極小値50/27を取る。
よって条件は0＜r＜5√6/9

>>163の類似問題作ったことあるからさらしとくもう何人か解いてるけど
二次試験直前問題演習第二弾　難易度：標準
xyz空間において点A(1,0,0)を通りベクトル↑u=(-√3/2,0,1/2)と平行な
直線ℓがある。点Pは以下の条件を満たすとする。
　条件：線分APと直線ℓのなす角がπ/6以下である。
　　　　点Pのx座標は1より小さい。
この条件を満たす点P全体の集合Vをz軸を軸として回転させるとき、
Vが常に通過する部分の体積を求めよ。

aを2以上の自然数とし次のように数列{an}を定める。
a1=a,a(n+1)=an+bn(n=1,2,‥)ただしbnはanの約数のうちan以外で最大のものとする
(1)a=3m(mは正の奇数)のとき{an}の一般項anをmを用いて表せ
(2)aが2以上のどんな自然数であっても「N以上の全ての自然数nに対してa(n+3)=3an」
となる自然数Nが存在することを証明せよ

nを1≦n≦9を満たす自然数とする。この時次の問いに答えよ
(1)√2-1>2log3/e(logの底は以下全て2とする、e=2.71‥は自然対数の底)を示せ
(2)√nとlognの差が最大となるnの値と2番目に大きくなるnの値を求めよ。
　　ただし2つの実数aとbの差とは｜a-b｜のことをいう。
(3)√nの小数部分とlognの小数部分の差が最大となるnの値を求めよ。

2log(3/e) or (2log3)/e ????

>>170 2log(3/e)です。すいません。
>>165-166ともに正解です。>>163は厚みがdxでなくdx/√2とするとこがポイントですね。

>168(2)
結局a_N=3m(m:奇数)となるNが存在する事を言えばよく、さらにこの時a_(N-1)=2m,b_(N-1)=mとなる(証明略)ので、このようなNを見付ければよく
実際ord_2(a)=2^Nとするとa_N=2*(奇数)となる。a:奇数の時はa_2:偶数となり上の議論に帰着される

十分に大きい三角形ABCがある。このABCの周上を二点P,QがPQ=2を満たしたまま、一周するとき、
PQの中点Rが成す軌跡と、三角形ABCの周によって囲まれる領域の面積を求めよ。

ただし、三角ABCは十分に大きく、
中点Rの軌跡は交わらないものとする。

連続する、いくつかの自然数の和を1024にしなさい。

二次試験直前問題演習第十三弾　難易度：標準
f(x)=a(0)/2+�納n=1〜∞]{a(n)cos(nπx/L)+b(n)sin(nπx/L)}としてa(n),b(n)を決定せよ。
必要ならば
∫[-L〜L]cos(mπx/L)dx=2L(m=0)or 0(m=1,2,3…)
∫[-L〜L]sin(mπx/L)dx=0(m=0,1,2,…)
∫[-L〜L]sin(mπx/L)cos(nπx/L)dx=0
∫[-L〜L]cos(mπx/L)cos(nπx/L)dx=L(m=n)or0(m≠n)
∫[-L〜L]sin(mπx/L)sin(nπx/L)dx=L(m=n)or0(m≠n)
を用いてもよい。
そして1/L*∫[-L〜L]{f(x)}^2dx=a(0)^2/2+�納n=1〜∞]{a(n)^2+b(n)^2}/2を示せ。

この板に来る理数か理物の大学・院生にとっては常識問題

Fourier

>174 無理

>>177
いや・・・それを証明してほしいって言うのが趣旨だったんだけど。
んじゃ、問題を少し変えよう。

ある数が連続する自然数の和で表現できるとき、その数は2のべき乗でないことを示せ。
また、ある数が2のべき乗でないとき、その数は連続する自然数の和で表せることを示せ。

>175 やらせたい事は何となくわかるんだけど、∫Σ=Σ∫って一般的に保証されてないからその辺も言わないといけないし、そもそも、右の級数は収束するの？俺も詳しくは知らないけど

ttp://image.blog.livedoor.jp/czax/imgs/2/0/207cc439.jpg
レベルが違う・・・・

>>180
∫Σ=Σ∫って一般的に保証されてない
そんな話は聞いたことない。

>>181
つ　無限級数

>>178
奇数を因数に持てば、その数の分だけの同値項を持つ自然数の級数に書けるから、
あとは、数値を移項すれば、その数値を階段状に並べられ、連続する自然数の和ができる。
k個の連続する自然数に対して、kが奇数ならば、上記の逆の手順で、それらの和は、
必ず奇数kを因数にもつ。kが偶数ならば、k/2組の連続する二つの自然数の和（これは奇数）
に書けるから、やはり、奇数を因数にもつ。

>>183
因数ってのは積を構成するモノなんだけど。

同値項ってなに？

>>181
保証されるかどうかとあなたが聞いたことがあるかどうかに
なんの関係が？

>178 (1/2)*n*(2a+n-1)=2^m⇒n,(2a+n-1)は2のべき・・矛盾
S=2^n*奇数=(1/2)*2^(n+1)*(2a+2^n-1)となる自然数aは必ず存在すると思ったけど、整数になる可能性もあるなww

例えば、
5*m=m+m+m+m+m=(m-2)+(m-1)+m+(m+1)+(m+2)
だから、
「奇数を因数にもつ」→「連続和で表せる」
例えば、
(m-2)+(m-1)+m+(m+1)+(m+2)=5*m
(m-2)+(m-1)+m+(m+1)+(m+2)+(m+3)=(6/2)*{m+(m+1)}≡1,(mod 2)
だから、
「奇数を因数にもつ」←「連続和で表せる」

マンドクサ・・・

>>187
先生、そのロジックで
11*4みたいなのはどうやるんでしょう？
4 + 4 + … + 4
= (4 - 5) + (4-4) + … + (4+5)
でよろしいのでしょうか？


あぁ、後基本的なこと書き忘れた
>>178
連続する二つ以上の自然数ね。 二つ以上って入れておかないと、
8=8とかやられちゃうｗ

>>189
おお！

>>190
何が「おお！」なの？

だいぶ見ないうちに雰囲気変わったなおまえら・・・。
元凶が消えたからか。

>186のaが整数になる場合は1/2*奇数*(2a+奇数-1)で考えればいいなw

＞>178 (1/2)*n*(2a+n-1)=2^m⇒n,(2a+n-1)は2のべき・・矛盾

これの意味説明ｷﾎﾞﾝ

xyz空間で点A(-1, 0, 0)とxy平面上の単位円x^2+y^2=1上の動点Pがある。
点Qを直線PQがxy平面に垂直かつ三角形APQの面積が1となるようにz>0の領域にとる。
点Pをy≧0で点(1, 0, 0)から点(0, 1, 0)まで動かすとき、三角形APQが通過する部分の体積を求めよ。

11*4=(5+6)*4=(2+3+4+5)+(6+7+8+9)
3*10=10+10+10=9+10+11
どっちか数値の大きい方でやれんじゃね？
定量化すんのマンドクセ。

>194 n:2のべき⇒(2a+n-1):奇数

>>197
んじゃ、
＞ (1/2)*n*(2a+n-1)=2^m

ここはどういう意味なの？

もっと言うと、根本の
(1/2)*n*(2a+n-1)
これは何なのさ。

>198 公差1の等差数列を考えてる、、、学校の定期並だな、、もっと難しいやつだして

初公aで公差1でn公の和を考えてる

>>199
連続する八つの自然数の積が、ある自然数の平方数となるものを（あれば）求めよ。
無ければ、それを証明せよ。

>>200
ふーん。。。。。。。。。。ちゃんと最初からそう言えよ。
出題者は穴探しが仕事みたいなもんなんだから、説明不足があったら突っ込むに決まってんだろ。

ま、そうすると、>>186は正解か。>>183も正解っぽいな……

>>199
あんま、難しいの出してもなぁ。前スレで簡単だと思って出したのが、全くといてもらえなくて
挙句、ヒントがねーから解けないんだとまで言われてしまったので……


f(t)を連続な関数とする。
このとき、点A(t)=(t,0)、　B(t) = (f(t),1)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。

この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。

>202 すまんな、、携帯からだから全部書くのはかなり面倒なもんで。。一応わかる形で書いたつもりなんだけど

>>203
f(t)=(1-√2)t

>203 fは負の値もとっていいなら、いくらでも面積小さくならない？

>>205　正解

>>206
ならんよ。

問題の意味とり違えた、、[0,1]×[0,1]の中の面積じゃないのね。。

>>173
三角形ABCの面積をSとすると
求める面積はS

>>173
π/2

>>173
間違えた
πか

n=a_0+a_1*p+a_2*p^2+・・・+a_k*p^k(p:素数,0≦a_i≦p-1)と表す時、この表し方は一意的である事を示し、S_n=Σa_iとすると、
ord_p(n!)=(n-S_n)/(p-1)となる事を示せ。

いうおい様は東大前期数学平均で何完くらいいきますか？

東大予想
Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)X^n/n+Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)Y^n/n=Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)(X+Y+XY)^n/n
となる事を示せ。

mを正の整数とする。m^3+3(m^2)+2m+6はある整数の3乗である。mを求めよ。

AB=1,BC=2の長方形ABCDがある。BCの中点をMとする。動点P,Qは点A,点Mを同時に
出発しPは辺AB上をAからBまで、Qは辺BC上をMからCまでどちらも同じ一定の速さで進むものとする。
この時線分PQの通過する領域の面積を求めよ

数年前兄弟で出た、リーマン積分の両問だから今年出るかも世。

>>215

5

綿鬼が始まった

fn(x)=1/(1+x^n)とするLim(n→∞)∫fn(x)dxを求めよ。

簡単杉か？

ごめん積分区間0→1

>>218　ブーｗ
リーマン積分は数年前の大数の古川昭夫の講義が最高に良かったな‥

>>215
m^3 < m^3+3(m^2)+2m+6 < (m+2)^3 より
m^3+3(m^2)+2m+6が整数の三乗となる時は
m^3+3(m^2)+2m+6 = (m+1)^3
よってm=5　じゃないの？

ちなみに昔某スレで全く同じ問題出された上にさんざんヒント出してもらって出した解答が↓

m^3 + 3m^2 + 2m + 6 = k^3と置く。
m^3 + 3m^2 + 2m + 6 = (m+1)^3 +5-m　なので、
m＞6に対して、k^3 ＜ (m+1)^3　 また、明らかにm^3 < k^3なので
m＞6 に対し m < k < m+1 よってm>6に対し整数となるkはない。
また、m^3 + 3m^2 + 2m + 6 = (m+3)(m^2 +2)で
m+3とm^2 +2の偶奇は異なるので
k^3 は偶数。これより(m+3)(m^2 +2)は8の倍数。
m^2 +2 は8の倍数になりえないのでm+3が8の倍数。
これらから、m=5である。
確かにm=5とするとk=6となって適している。
よってm=5

>>220>>221
1かな？

nが奇数のとき
1+1/(x-2)^n < fn(x) < 1
nが偶数のとき
1-1/(x-2)^n < fn(x) < 1
だから、はさみうちで答えは、
1

自信なし！

標準状態においてプロピレンに水素を付加する時124kJ/molが発熱する。
またプロパンの燃焼熱2220kJ/mol,CO2,H2O(液)の生成熱は397kJ/mol,286kJ/mol
である時C=Cの結合エネルギーを求めなさい

HClを水でどんどん薄めて10^-8mol/lの塩酸水溶液を作った。［H+］を求めよ。

>>226
塩酸が非常に希薄だから水の電離によるH^+が無視できなくなる。
H2O ⇔ H^+ + OH^- ；[H^+][OH^-]=Kw=10^(-14) として、平衡時の[H^+]=x(M) とすると、
x{x-10^(-8)}=Kw、x^2-10^(-8)x-Kw=0、x={10^(-8)+√(10^(-16)+4Kw)}/2≒1.1*10^(-7) M


1Mの(NH4)HS溶液のpHを求めよ。ただし NH3のKb=1.8*10^(-5)、H2SのK1=10^(-7), K2=10^(-14) とする。

>>216
条件よりP(0,1-t) Q(1+t,0)(0≦t≦1)とおく。PQの方程式はy=-{(1-t)x/(1+t)}+1-t
変形してf(t)=t^2+(y-x)t+x+y-1=0 これが0≦t≦1の範囲に解を持たなければならないので
（�@）y＞xのときf(0)*f(1)=(x+y-1)y≦0 PQは0≦y≦1 0≦x≦2の範囲にあるのでy≦1-x
（�A）y≦xのときf(1)=y≧0 よりD=(x-2)^2+(y-2)^2-2xy-4≧0
全体を(3/2,-1/2)平行移動させ、π/4だけ反時計回りに回転させれば（�@）、（�A）は
新しい座標系を(a,b)としてb≦a^2/2√2 かつb≦0かつb≧a-1/√2かつb≧-a-1/√2となる。
よって求める面積は(1/√2)^2*1/2+∫[0〜√2]{a^2/2√2-a+1/√2}da=1/4+1/3=7/12・・・答

>>225追加：H-H436kJ/mol,C(黒鉛)の昇華熱718kJ/mol,C-H416kJ/mol
>>227正解>>228正解　Bを原点A(0,1)C(2,0)D(2,1)に座標設定すると直線PQの式
はy=(t-1)/(t+1)x-t+1。0≦t≦1における直線PQの通貨範囲のうち四角形ABCD
の内部(周を含む)にある部分が線分PQの通過する領域になる。
xを固定し右辺をf(t)とおくとf(t)={1-2/(t+1)}x-t+1
0≦x≦1/2の時0≦f(t)≦1-x,1/2≦x≦2の時min{1-x,0}≦f(t)≦x-2√2*x+2
>>223正解　m^3<m^3+3*m^2+2m+6<(m+2)^3よりm^3+3*m^2+2m+6=(m+1)^3よりm=5
うまく評価すればこのようにあっさり解けてしまいます。

>>227
H2Sの第二電離定数は第一電離定数に比べて非常に小さいので考慮しなくてよい。
水溶液中のNH3の濃度をx,H2Sの濃度をyと置けば平衡が成り立っているので[H+](1-y)/y=10^(-7)
[OH-](1-x)/x=1.8×10^(-5) 溶液の中性条件によりx-[H+]=y-[OH-] 濃度を考えればx,yは[H+],[OH-]
に比べて大きいと考えられるのでx=y よって(1-x)/x=√180よってpH=-log[H+]=8.13

自信ない　無隋orz

C=C(kJ/mol)+C-C(kJ/mol)≠C≡C(kJ/mol)?????

撤回↑忘れて

>>215
C=C,C-C 結合のエネルギーをそれぞれx,y (kj)とすると、
C3H6+H2=C3H8+124kj ‥(1)、C3H6=3C(g)+6H-(x+y+2496) ‥(2)、C3H8=3C(g)+8H-(2y+3328) ‥(3)
C3H8+5O2=3CO2+4H2O(l)+2220、C(s)+O2=CO2+397、H2+(1/2)O2=H2O(l)+286 から、
3C(s)+4H2=C3H8+115kj　⇔　3C(g)+4H2=C3H8+2269kj‥(4)、
(2)(3)から、C3H8-C3H6=2H+x-y-832、H2=2H-436から、C3H6+H2=C3H8-x+y+396、(1)からx=y+272
(3)(4)から、3C(g)+4(2H-436)=3C(g)+8H-(2y+3328)+2269　⇔　y=342.5kj、x=342.5+272=614.5kj (C=C)

>>230
OK、pH≒7+(pK1-pKb)/2=8.13

>>215
C=C をx C-Cをyと置いて方程式を立てる。そしたらx=615,y=343と出る。
よって615(kJ/mol)

ばかな勘違いしてた
しかも共鳴安定化するから>>231はなり多端罠

うえWもう解かれてるorz
>>234
出典は？

＞定量分析化学入門

ついに理化からの刺客まで来たかｗｗｗ
模範解答よろ

初濃度0.1(M)のNaHCO3水溶液のpHを求めよ。K1=4.6*10^(-7), K2=4.4*10^(-11) で。

睡眠時間削ってた揺り返しが来たwww
４時まで昼寝とかヒドスww

>>167
解けない。。。模範解答教えていただけますか

>>240
楕円球じゃね？長軸は√3、短軸は4/3かな？わかんね。

化学は数学と違って掲示板に書いてあっても何やってるかわかりやすくていいな

>>240
楕円球じゃないな。ちょっと端が欠けてる感じだな。
直円錐と楕円球の一部との和みたいな。わかんね。

>>215
別海
m^3 + 3m^2 + 2m + 6 = k^3と置く。
m(m+1)(m+2)+6=k^3…�@
m(m+1)(m+2)は連続三連数の積より3!=6の倍数.
したがって�@は6(M+1)=k^3 （Mは性の整数）
k=2,3,(M+1)は明らかに不適
ゆえにk=6,よってm=5.

>>239
炭酸水素ナトリウムの酸としての能力は(HCO3^-)→(CO3^2-)+(H^+) K2=4.4×10^(-11)
加水分解反応は(HCO3^3-)+H2O→H2CO3+OH- K=Kw/K1=10^(-8)/4.6＞K2より溶液は塩基性
に傾く。よって適当な近似を用いて[OH-]=10^(-4)/√4.6 ∴pH=9.67

>>240
お前ならできる。
頑張れ

>>245
間違い。それほど単純ではないよ。

>>244　東大卒きもニートスレの方ですね。別解ありがとうございます。
　　　　また書き込みしていただけるとうれしいです。
MnO2の純度を求めるためMnO21.74gに12mol/l濃塩酸を20ml加え加熱、発生した
Cl2を1mol/lKI100ml中に通じ遊離したI2を1mol/lNa2S2O3で滴定したところ
36.8ml要した時MnO2の重量％を求めよ

リベンジ
物質量収支より存在するイオン種を考えて[H2CO3]+[HCO-]+[CO3^2-]=0.1
中性条件[Na+]+[H+]=2[CO3^2-]+[HCO3^-]+[OH-] [OH-],[H+]の量は[Na+]に比べ
多くないので無視　[Na+]=0.1=2[CO3^2-]+[HCO3^-]=[H2CO3]+[HCO-]+[CO3^2-]
∴[H2CO3]=[CO3^2-] K1*K2=[H+]^2[CO3^2-]/[H2CO3]=[H+]^2 ∴pH=8.32

軽く考えすぎたｗｗｗ
難問じゃねえかｗｗｗｗ

正解です。初濃度が極端に薄くなければ、pH≒(pK1+pK2)/2　だす。

誰か>>203解説してください！！

>>248
92％

>>251
>>203は有名題。
直線y=1上の2点P,Qと原点O, 点A(1, 0)について
線分OPと線分AQの交点をRとするとき
OP/OR=AQ/AR=√2のとき△OAR+△PQRは最小となる。

資料中に含まれるMnO2をx(g)とすると、
MnO2=x/86.9(mol)≦1.74/86.9=0.02、HCl=12*(20/1000)=0.24mol、MnO2+4HCl → MnCl2+Cl2↑+2H2O から、
発生したCl2はx/86.9(mol)。また KI=0.1molで、Cl2+2KI → 2KCl+I2 からx/86.9(mol)のI2が遊離する。
I2 + 2Na2S2O3 → 2NaI + Na2S4O6 の反応から、2x/86.9=1*(36.8/1000)、x=1.60g、1.60*100/1.74=92%

>>251
f(t)を連続な関数とする。
このとき、点A(t)=(t,0)、　B(t) = (f(t),1)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。

この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。

---
ヒント

二つの線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わるときと、
そうでない時とで場合わけを行う。

点Pが曲線 x^2 + (y/2)^2 = 1上を動き、
点Qが半直線 y=0 (x≧1) をPQ=aを満たしながら動く。

aを4以上の定数とするとき、PQの中点Rが描く軌跡によって囲まれる領域の面積を求めよ。

>>256めっちゃテキトーに問いたから自信ないけどπa^2/4か？

>251 砂時計の面積が最小となるような上底と下底の比はどうなるか考えればいい、つまり面積の関数つくってその極小をとるような比を求めればいい。。☆×3位の問題

>212 >214解ける奴いないの？

>>256
πかな？

>>256
P(cosθ,2sinθ)(0≦θ≦2π) Q(q,0) (q≧1)とおく。PQ=aより(q-cosθ)^2+4(sinθ)^2=a^2
⇔q=cosθ+√(a^2-4(sinθ)^2) R((cosθ+q)/2,sinθ)=(x,y)よりx={√(a^2-4y^2)}/2±√(1-y^2)
これより-1≦y≦1 (x+)={√(a^2-4y^2)}/2+√(1-y^2) (x-)={√(a^2-4y^2)}/2−√(1-y^2)と置けば
求める面積は∫[-1〜1]{(x+)-(x-)}dy=∫[-1〜1]2√(1-y^2)dy=π

うはww
しっかりミスってる
スレ汚しごめんお

>>233>>252>>254正解です！

>>167
一応数字は出たんだけど計算がものすごかったので自信ﾅｽ。。。

Vが常に通過する領域をDとする。
PはV内部の点であるからAP↑・u↑/|AP↑||u↑| ≧ cos π/6
ここでP(x,y,z)とおけば、
-(x-1)√3 /2 + z/2 = √3 /2 √{(x-1)^2 + y^2 +z^2}
両辺を二乗しても同値であるから二乗して整理すると
-2√3(x-1)z ≧ 3y^2 + 2z^2
Vをz = tで切断した断面を考えると、
x ≦ -√3y^2 /2t - √3 t/3 + 1
（t=0のときはx軸のx≦1の部分である）

よってVが常に通過するのは点(0,0,t)と放物線x = -√3y^2 /2t - √3 t/3 + 1
との最小の距離をrとおけば点(0,0,t)を中心とした半径rの円である。

x^2 + y^2 = (-√3y^2 /2t - √3 t/3 + 1)^2 + y^2
y^2 = Y (≧0)とおき整理すると
x^2 + y^2 = 3/4t^2 {Y + 2/3 (2t^2 -√3 t)}^2 -t^2 +2√3 /3 t
より0 < t < √3 /2のときr^2 = -t^2 + 2√3 /3 t
√3 /2 ≦ t ≦ √3のときr^2 = t^2 /3 + 2√3 /3 t +1

故に求める体積V(V)について
V(V)/π = ∫[0,√3 /2](-t^2 + 2√3 /3 t)dt + ∫[√3 /2,√3](t^2 /3 + 2√3 /3 t +1)dt
=√3 /8 + √3 /24 = √3 /6

∴求める体積はπ√3 /6

ですかorz？

おわ、タイプミス発見。
×　√3 /2 ≦ t ≦ √3のときr^2 = t^2 /3 + 2√3 /3 t +1
○　√3 /2 ≦ t ≦ √3のときr^2 = t^2 /3 - 2√3 /3 t +1

×　V(V)/π = ∫[0,√3 /2](-t^2 + 2√3 /3 t)dt + ∫[√3 /2,√3](t^2 /3 + 2√3 /3 t +1)dt
○　V(V)/π = ∫[0,√3 /2](-t^2 + 2√3 /3 t)dt + ∫[√3 /2,√3](t^2 /3 - 2√3 /3 t +1)dt

>>264-265
正解
まあ式処理とかちょっと難しいかも名

>>266
あ、正解だったんですかww
ベクトル、センター問題以外で計算するの初めてだったんで、
ちょっと驚き（笑
式が複雑とは言え、平方完成でまごつくようじゃ
まだまだですよね……
精進します。

そいではおやすみなさい。

環境汚染の原因となる色々な窒素酸化物の混合物の組成式NOxをノックスという
�@コックを開けて25℃,1atmNO 100ml(容器A)に25℃,1atmO2 50ml(容器B)を送入する
　2NO+O2→2NO2は100%進行する時Aの体積は標準状態で何mlか
　容器A,Bともに可変容器でAとBは細い管で連結しているものとする。
�AしかしNO2の一部はN2O4となって平衡に達する。標準状態で平行定数K=8.75
とするとAは何mlになるか
�B次にコックを閉じてピストンを押し込み加圧する時増加する気体は何か
�C�Aの状態に戻し容器Bの代わりにある体積のNOの入った容器Cを連結し
　コックを開けてNOをAに送入する。この時NOはNO2と反応してN2O3になる
　K=PN2O3/PNO*PNO2=0.48の時何種類の気体が共存するか
�Dこの時PNO2=0.19atm,全圧=1atmである時ノックスの組成式中のｘを決定せよ

大昔の東大の問題です。「窒素ノックス」でぐぐったら用語説明しているサイトに
行けます(たいしたこと書いてませんが‥)

いうおい様信者さんの数学力は驚異的ですね。後期は理�T数学選択出願ですか？
仮に不得意科目があって前期落ちても後期で受かりそうな気がします。

あまりこんな事は言いたくないが、仮に不得意教科があるなら脚きりの可能性がある。
あ、でも後期で使われるのは数理英だけか。
なら大丈夫なのかな。

いうおい様は英語はどうなんですか？たとえば

When I was on vacation,someone broke () my garage and stole the bike.で()に入る前置詞とか分かりますか？

物理でバネ定数Ｋのバネに速さＶの質量Ｍでバネをおしたあとの速さってどう求めるのですか？

運動量保存
バネにぶつかるならはねかえり係数１になる。
エネルギー保存
バネは自然長から縮み、また自然長のときに物体は離れる。
好きな方でどうぞ

↑
前者は巨視的な、後者は微視的な考え方ね。
当然だがバネは理想的なものと扱う。

ただばねが自然長からどのくらい縮んだとかは、書いてないのですが…

自然長（速度ぶつかる前）＝｛縮む（速度０）＝｝自然長（速度ぶつかった後）
最初と最後でやると。
あの説明はエネルギーがほかにうつらない（摩擦などに）のを言いたかっただけ。

わかりました！ありがとうございます。

これから慶應受けてくる。。ミスらん様にしよう

自然数nに対して次の不等式が成り立つことを示せ
(2n+1)√n≦3Σ(k=1〜n)√k≦(2n+1)√(n+1)

頂点がA(0,0,12)底面がx^+y^2≦48,z=0の円錐K1とx軸を軸とする半径6の直円柱K2がある
K1とK2の各側面の交線をCとする
�@K2上の点(0,6cosθ、6sinθ)を通りx軸に平行な直線がCと2交点を持つ時
　交点間の距離を求めよ
�A円柱の側面のうちCで囲まれた部分の面積を求めよ

点P(1,1)を通る直線ｌが楕円2x^2+3y^2=1と交わる点をA,Bとし2/PQ=1/PA+1/PB
を満たす線分AB上の点をQとする。ｌの傾きを変化させた時点Qの満たす軌跡の
方程式を求めよ

0と1を有限個並べたものを語ということにするC1=1,C2=10,Cn=Cn*C(n-1)*C(n-2)
とするとき語Cnにおいて0の個数An,1の個数Bnとしてlim(n→∞)An/Bnを求めよ

>>283 訂正：Cn=Cn*C(n-1)*C(n-2) →Cn=C(n-2)C(n-1)C(n-2)(n≧3)
例えばC3=1101となる

AB=1,AC=√2,AD=√5,BC=√3,BD=√6,CD=3である三角錐ABCDが△BCDを底面として
机の上に置かれている。辺CDを軸として頂点Aが机につくまで回転させる時三角錐
が通過する部分の体積を求めよ

>>283-284
条件より漸化式A(n+2)=A(n+1)+2A(n) B(n+2)=B(n+1)+2B(n)(n≧1) A(1)=0 A(2)=1
B(1)=1 B(2)=1 これよりA(n)={2^(n-1)-(-1)^(n-1)}/3 B(n)={2^n-(-1)^n}/3
A(n)/B(n)=1/2*{(1-(-1/2)^(n-1))/(1-(-1/2)^n)} よりlim[n→∞]A(n)/B(n)=1/2

�@RbClがNaCl型結晶からCsCl型結晶に変化する時結晶密度は何倍になるか(阪大)
�A35Clと37Clが3:1で存在する時PCl3の分子中、存在確率最大分子は存在確率最小分子
　の何倍か(京府医)
�BSO22mol,O21molを一定体積一定温度の下で反応させた所1atmから0.8atmになり
　平衡に達した。圧平衡定数Kpを求めよ(阪大)

とりあえず(3)で体積をV(L)とすると、1*V=(2+1)RT、V=3RT(L)、2SO2+O2 ⇔ 2SO3 から、SO2がx(mol)反応して
平衡に達したとすると、(2-x)+1-(x/2)+x=3-(x/2)=0.8*3、x=1.2mol
pSO2=(2-1.2)/3、pO2=(1-0.6)/3、pSO3=1.2/3より、Kp=pSO2^2/(pSO2^2*pO2)=27/1.6=17

xy平面上では速さ1, z≠0の領域では速さa(0<a<1)で動く点Pがある。
xyz空間でこの点が原点を出発して一秒以内に到達可能な領域の体積を求めよ。

>>281
三角錐の方程式はx^2+y^2≦(12-z)^2/3 (z≧0)・・・�@
円柱はy^2+z^2=36 y=6cosθ,z=6sinθ・・・�A
(0≦θ≦π)として�@、�Aを整理すれば
-8√3cos(θ/2-π/12)cos(θ/2-5π/12)≦x≦8√3cos(θ/2-π/12)cos(θ/2-5π/12)
これよりK2上の点(0,6cosθ、6sinθ)を通りx軸に平行な直線とCとの2交点間の距離
は16√3cos(θ/2-π/12)cos(θ/2-5π/12)・・・（１）
従って円柱上でCの囲む面積は0≦t≦6πとして∫[0〜6π]16√3cos{(t-π)/12}cos{(t-5π)/12}dt
=24√3(4+π)・・・（２）
>>285
CDと垂直な平面でこの四面体をきったときの切り口は常に直角二等辺三角形となる。
(∵A、Bを含むCDに垂直な平面を考えればcos∠ACD=(9+2-5)/6√2=1/√2より∠ACD=π/4
よってAからCDに下ろした垂線の長さは√2cos(π/4)=1 cos∠BAC=(1+2-3)/2√2=0
cos∠BAD=(1+5-6)/2√5=0よりBA⊥△ADC)
以上を踏まえて切り口の直角二等辺三角形が通過する面積は一辺の長さがLのとき、
(3π/4+1/2)L^2 よって相似比を考えて∫[0〜1](3π/4+1/2)(1-t)^2dt+∫[0〜2](3π/4+1/2)(1-t/2)^2dt
=3π/4+1/2・・・答

>>289
対称性を考えてx,y,z≧0の部分のみを考える。xy平面でt秒間動いていたとすれば
Pの動きうる領域は(x-t)^2+z^2≦a^2(1-t)^2(0≦t≦1)⇔f(t)=(1-a^2)t^2+2(a^2-x)t+x^2+z^2-a^2≦0
これが0≦t≦1の範囲内に収まらなくてはならないので、その条件はf(1)=(x-1)^2+z^2≧0を考えて
（�@）x＜a^2のとき、f(0)=x^2+z^2-a^2＜0
（�A）x≧a^2のとき、D/4=a^2(x-1)^2-(1-a^2)z^2≧0⇔{a(x-1)-z√(1-a^2)}{a(x-1)+z√(1-a^2)}≧0
以上よりPは（�@）、（�A）を満たす領域を動く。
よって求める体積は2π{∫[a√(1-a^2)〜a](a^2-z^2)dz+∫[0〜a√(1-a^2)]({√(1-a^2)}/a*z+1)^2dz}
={4a^3+2a(1-a^2)^(3/2)}π/3

>>280
はどうしても2n√n＜3�納k=1〜n]√k＜2(n+1)√(n+1)-2になる
何が違うのか

俺からの出題

0＜a＜1/4のときxy平面でy^2≦x^2(1-x^2)-aの表す領域をy軸周りに一回転してできる
立体の体積を求めよ。


イー反スレでスルーされた問題

>>292
とりあえず帰納法を使えば普通に証明できる。
そんなことで悩んでるんじゃなさそうだけど。

ああ、でも右の等号が成り立つことはないな。
正確には
(2n+1)√n≦3Σ(k=1〜n)√k＜(2n+1)√(n+1)とすべきだろう。

それにいうおいの不等式自体は別におかしくない。
きちんと成り立つよ。

>>268
�@は91.7ml
�A以降は�Aが二次方程式の解がきれいにもとまらないからパス
�Dの方針だけ言うと�Aで2NO2⇔N2O4の圧平衡定数を求めてPNO2が分かってるから
そこからPN2O4がわかってKから他の奴の分圧の比が分かるから全圧から分圧が出せる。

全圧＝１atmだから分圧＝モル比

>>293
(π^2)(1+4a)/4

E判スレの奴らは私大の受験で忙しいんだろう。

V=2π∫[y=0〜√(1-4a)/2] √{(1-4a)-4y^2} dy = π(1-4a)∫[θ=0〜π/2] cos^2(θ) dθ

横1、縦2、高さ3の直方体ABCD-EFGHがあり直線AGを含む平面で
この直方体を切断するとき、切り口の平行四辺形の面積の最小値を求めよ

>212>214

>>212
nを二通りで表せたとする。
片方から片方を引く。
0はpの倍数だからp^0の係数は一致。
次に式をpで割ると同様の論法でp^1の係数も一致。
繰り返せば全ての係数が一致することが分かる。
後半はordとp(n!)の意味が分からないので、補足よろしく。

数学板からの出張はご苦労だけど受験範囲外出すときはちゃんと考えようね
じゃナイトただのオナニーになるよ

>302 前半OK
ord_pっていうのは、p^kで割れる最大の数kを表してる。。
例
ord_3(54)=3,ord_5(100)=2など

>303 俺も受験生なんだがww

>>300
xyz座標空間上でA(0,0,0)B(2,0,0)C(2,3,0)D(0,3,0)E(0,0,1)F(2,0,1)G(2,3,1)H(0,3,1)
と設定する。
（�@）直線AGを含む平面とこの直方体の交点の一つがBC上にあるときそれを(2,t,0)とおく(0≦t≦3)
求める面積をSと置いてS=√{5(t-12/5)^2+56/5} 最小値2(√70)/5
（�A）直線AGを含む平面とこの直方体の交点の一つがFB上にあるときそれを(2,0,t)とおく(0≦t≦1)
求める面積S=√{13(t-4/13)^2+504/13} 最小値√(504/13)
（�B）直線AGを含む平面とこの直方体の交点の一つがED上にあるときそれを(t,0,1)とおく(0≦t≦2)
求める面積S=√{10(t-1/5)^2+63/5} 最小値√(63/5)
（�@）〜（�B）より最小値は2(√70)/5

>>298-299
正解　出典は昔の東大の問題
　　　

ｘ軸上を動く点Ｐとｙ軸上を動く点Ｑがその距離aを一定に保ちながら動くとき、
線分ＰＱの通過する領域Ｄの周長Ｌを求めよ。

>>304
わかるんだけねー、これ説明とタイプが凄くしんどいわ。
概要説明すると
最高p^iで割り切れる数がn!から1まで何個現れるかを数えて
それをi倍したものをi=1からkについて足し合わせたものが答えになるんだけど、
i=1から順に割り切れる最大次数にこだわらず、とにかくp^iで割り切れる数を全て数えていくと
i+1の次数に関してはその前の次数で数えたものでp^(i+1)で割り切れるものと重複し
次数の差は1になるのでi+1倍しなくてもよくなる。
よって求めるものは
a_1 + a_2*(p) + a_3*(p^2) + ・・・
　　 + a_2 　　 + a_3*(p) + ・・・
　　　　　　　　　 + a_3 +・・・
・・・・・・・・・・・・・・・
= �倍a_i*�納t=1~i]p^(t-1)} = �蚤_i*(p^i - 1)/(p-1) = 求める式となる。
という感じでやる。

>>305
その問題が範囲外かどうかはともかく
最低限一般受験生が知らないような定義には説明を加えるべきだって事かと思う。

でもこの問題って別に素数である必要性ないんじゃないの？

>>214
これ、X=Y=-1のときは発散するんじゃないの？
しかもこの場合だと仮に
lim[k→∞] |Σ[n=1〜k](-1)^(n+1)X^n/n+Σ[n=1〜k](-1)^(n+1)Y^n/n - Σ[n=1〜k](-1)^(n+1)(X+Y+XY)^n/n |
としても成立しないと思うけど。

しばらく勉強してたら又かｗｗｗ
>>307
対称性により第一象限のみを考えて線分PQの方程式をx/acosθ+y/asinθ=1(0≦θ≦π/2)
f(θ)=x/acosθ+y/asinθ=1と置いてこれが0≦θ≦π/2で解を持たなければならない。　
f'(θ)={x(sinθ)^3-y(cosθ)^3}/a(cosθsinθ)^2より　tanθ=(y/x)^(1/3)のとき極小値を取るので
x^(2/3)+y^(2/3)≦a^(2/3)が求める領域Dである。これより全長LはL=4∫[0〜3π/2]{(dx/dΦ)^2+(dy/dΦ)^2}dΦ=6a

>>312
解法はさっぱり理解できんが、答えは正解。

>311 収束、発散別にして、形式的に成立する

>>314
Y=X=-1の時
Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)X^n/n+Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)Y^n/n
=Σ[n=1〜∞]-1/n+Σ[n=1〜∞]-1/n
=2*Σ[n=1〜∞]-1/n
一方
Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)(X+Y+XY)^n/n
=Σ[n=1〜∞](-1)^(n+1)(-1-1+1)^n/n
=Σ[n=1〜∞]-1/n
だから両方0に収束しない限りは形式的にも成立しないと思うけど。
あと>>308は正解？

>>315
問題見てないけど、それは両方とも-∞に見えた漏れ。

>308は正解。>315 何を言いたいかよくわかんないけど発散する級数同士足して収束する場合もある

いうおいさん激しく頭よいですね

いうおい様は英語は苦手？

四角形ABCDの面積をSとすると
AB・CD＋BC・DA≧2Sを証明せよ。
また等号が成立するときの四角形ABCDはどのよな形状か？

f(t)を連続な関数とする。
このとき、点A(t)=(t,0)、　B(t) = (f(t),1＋{f(t)}^2)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。

この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。

xy平面上に円(x-a)^2＋(y-a)^2=r^2 (0<r<a)がある。
長さLの線分をこの円に接しさせながら接点が円周上を一周するように動かす。
このときその線分の両端が常にx≧0かつy≧0の領域に
存在するような動かし方が可能であるようなa,r,Lの条件を求めよ。

AB=AC=1, ∠BAC=θの二等辺三角形ABCの内部に次の条件を全て満たすように2円C1,C2をとる。

条件
C1は辺ABに接してC2は辺BCに接する。
C1とC2は互いに外接している。
C1とC2の半径は等しくrである。

このときθを0<θ<πで変化させるときのrの最大値を求めよ。

xyz空間内でx^2＋y^2＋z^2≦3かつx≧1かつy≧1を満たす点(x, y, z)全体の集合による立体の体積を求めよ。

これ全部解けというのかｗｗｗｗ

そういえばこれ解かれてないね。単なる計算だから？？？
式処理弱いんで挑戦してみる。

>>282
Q(X,Y)とおく。直線ABの式をy = a(x-1) +1とおく。2x^2 + 3x^2 = 1と連立させて整理すると
(3a^2 + 2)x^2 + (6a - 6a^2)x + 3a^2 -6a +2 = 0……�@この2解をα,βとおくと、
2/PQ = 1/PA + 1/PB⇔2/(1+a^2)(1-X) = 1/(1+a^2)(1-α) + 1/(1+a^2)(1-β)
ゆえに1-X /2 = 1-(α+β) + αβ /2-(α+β)
解と係数の関係からα+β,αβをaの式で表し、整理すると
X = 1 - 2/(3a+2)これをABの式に代入してY = -2a/(3a+2) + 1
aを消去してY = -2/3 * X - 2/3(1-X) - 1/3
ここで、�@の方程式が実数解を持つことより(6-√6)/10≦X≦(6+√6)/10だから
Qは曲線
y = -2/3 * x - 2/3(1-x) - 1/3の(6-√6)/10≦x≦(6+√6)/10の部分を動く。

あれ、どっか計算ミスってるっぽいな……
ちょっと検算してきます。

>>325
手伝いますよ(笑

>>291>>312
この包絡線がらみの解法。わかんね。

xy(x＋y-1)=x^2＋y^2を満たす整数x,yの組は(x, y)=(0, 0)のみであることを証明せよ。

X = 1 - 4/(3a+2)こうか。
でY = -4a/(3a+2) + 1

より求める曲線はy = -2/3 x + 1
直線になるのか。

>>290 >>281不正解>>285正解
>>292は解決しましたか？
>>288正解　　>>326うまい解法があります

ちがうしorz
y = -2/3 + 1/3

>>270
センター数学英語ともにだめぽで465/500しかとれてなかったんで
後期は出願変更しましたorz

>>330不正解　極を使った方が簡単に解けます

>>332正解　
>>280の正解がまだ出ていないのですがいうおい様信者様は解けますか？

y = -2/3 * x + 1/3ですよねw
xが抜けて意味不明になってたw

>>334
今やってみてるんだけど左側の評価がスパっといきません。
ちょっと考えてみます。

>>281
がどうしても24√3(4+π)になる件
答はどうなるの？計算間違い指摘よろ

>>336答は�@4√3｜1-2sinθ｜�A144-16√3*πです
>>282ｌ上の点は(1+tcosθ,1+sinθ)と表せる。A,B,Qに対してt=a,b,qとおくと
2/-q=1/-a+1/-bすなはちq=2ab/(a+b) ∴ab/(a+b)=-2/(2cosθ+3sinθ)
よってQの座標は(1-(4cosθ/2cosθ+3sinθ),1-(4sinθ/2cosθ+3sinθ))

やっぱこっちでやりましょうｗ


環境汚染の原因となる色々な窒素酸化物の混合物の組成式NOxをノックスという
�@コックを開けて25℃,1atmNO 100ml(容器A)に25℃,1atmO2 50ml(容器B)を送入する
　2NO+O2→2NO2は100%進行する時Aの体積は標準状態で何mlか
　容器A,Bともに可変容器でAとBは細い管で連結しているものとする。
�AしかしNO2の一部はN2O4となって平衡に達する。標準状態で平行定数K=8.75
とするとAは何mlになるか
�B次にコックを閉じてピストンを押し込み加圧する時増加する気体は何か
�C�Aの状態に戻し容器Bの代わりにある体積のNOの入った容器Cを連結し
　コックを開けてNOをAに送入する。この時NOはNO2と反応してN2O3になる
　K=PN2O3/PNO*PNO2=0.48の時何種類の気体が共存するか
�Dこの時PNO2=0.19atm,全圧=1atmである時ノックスの組成式中のｘを決定せよ

横槍ごめん。
>>280
帰納法で示す。
n=1のとき、3=3*1<3√2でなりたつ。
n=iで成立したとすると、n=i+1の時
3Σ(k=1〜i+1)√k≧(2i+1)√i + 3√(i+1)
(2i+1)√i + 3√(i+1) - (2i+3)√(i+1)=(2i+1)√i - 2i√(i+1)
左辺のプラスの項の二乗とマイナスの項の二乗の大きさを比較すると
(4i^2 + 4i +1)i - 4i^2(i+1)=i>0より(2i+1)√i - 2i√(i+1)>0
よって左の不等式はn=i+1のときも成り立つ。
右の不等式も同様に
3Σ(k=1〜i+1)√k≦(2i+1)√(i+1) + 3√(i+1)
(2i+3)√(i+2) - {(2i+1)√(i+1) + 3√(i+1)}=(2i+3)√(i+2) - (2i+4)√(i+1)
正の項の二乗と負の項の二乗を比較すると
(4i^2 + 12i + 9)(i + 2) - (4i^2 + 16i + 16)(i + 1)=i + 2>0より右の不等式もn=i+1の時成立。
よって任意の自然数nについて成立する。

>>339正解です。これからもお願いします。
この問題は先入観でつい積分で評価するしかないと思い込んでしまいがちな問題ですね
ちなみに積分評価で解く場合は台形の短冊で評価しなければ解けません
いつも通り長方形の短冊で評価すると評価が甘くて証明できません

>>329
[証明]
(y-1)x^2+y(y-1)x-y^2=0・・・ア
y=1 とすると，アの左辺=-1 となり不適．よって，y≠1 であるから，
アをxに関する2次方程式として考え，その判別式をDとおくと，
x={-y(y-1)±√D}/{2(y-1)} ⇔ √D=±(2x+y)(y-1) ⇒ D={(2x+y)(y-1)}^2
であるから，Dは平方数である．
D=y^2(y-1)(y+3)≧0 ⇒ y≦-3，y=0，2≦y (∵ y≠1．)であることを考えて，
yの取りうる値を調べる．

[1] y≦-5 のとき
　　(y^2+y-3)^2＜D＜(y^2+y-2)^2 が成り立つので，Dは平方数とならない．
　　よって，この場合，アを満たす整数x，yは存在しない．

[2] y=-4 のとき
　　D=4^2*5 であるから，Dは平方数とならない．
　 よって，この場合，アを満たす整数x，yは存在しない．

[3] y=-3 のとき
　　ア ⇔ x=3/2 となるので不適．

[4] y=0 のとき
　　ア ⇔ x=0 となり，条件に適する．

[5] 2≦y のとき
　 (y^2+y-2)^2＜D＜(y^2+y-1)^2 が成り立つので，Dは平方数とならない．
　 よって，この場合，アを満たす整数x，yは存在しない．

以上より，アを満たす整数x，yは(x，y)=(0，0)のみである．
[証明終]

>>341
もっと、エレガンツにやれ。ｗ

x+y=-1のとき、与式を満足するｘ、ｙは存在しない。
xy(x＋y-1)=x^2＋y^2=(x＋y+1)^2-2xy-2(x+y+1)+1 ⇔
xy=(x+y+1)-2+1/(x+y+1)
よって、ｘ、ｙが共に整数値を取るための必要条件は、
x+y=0,-2 ⇒ (x,y)=(0,0),(-1+√5,-1-√5),(-1-√5,-1+√5)
x=y=0のとき、与式は満たされるので、題意は示された？

エレガントかどうか分からないが。
xy(x＋y-1)=x^2＋y^2が(0,0)以外に整数解を持つなら((0,n),(m,0)はありえない）
両辺xyで割り切れる⇔x^2=kxy, y^2=k'xy(k,k'は整数）・・・(*)
⇔x=ky, y=k'x⇔|x|=|y|⇔|x*x(x＋y-1)|=2x^2⇔|x+y-1|=2
x=-yは不可なのでx=y⇔|2x-1|=2
偶奇の比較により不可、よってx=y=0以外解を持たない。
(*)補足
仮にx^2≠kxyならy^2≠k'xyでないといけない。
更にx/y + y/xが整数でなくてはいけないがx,yの最大公約数をkとして
x=kq,y=kpと表すとx/y + y/x=p/q + q/p=(p^2/q + q)/p
よってこの場合p=q=1でないといけないが、これは初めの仮定と矛盾する。

>>342
『数学セミナー』(日本評論社)の「エレガントな解答を求む」コーナーの愛読者ですか？ｗ

a>1の時方程式2x*e^ax=e^ax-e^-axは正の解をただ1つ持つことを示し
a→∞の時の正の解の値を求めよ

Σ(K=1-n)ak=(an+1/4)^2,最初の100項の内1つは負で他は正の時a100を求めよ
名大の過去問をアレンジして東大レベルにしました

最初，xyで両辺を割り，>>343とほぼ同じように考えたんだけど，
答案的に面倒だからパターソに当てはめてしまった・・。
左辺がxy(x+y-1)となっているのはx+y-1で両辺を割りなさいという
出題者のメッセージだったのか・・。xyで割ろうと考えてx+y-1で
割ろうと考えなかった自分がいました。

>>346
面白い問題ですねこれ。

a100 = 195/4（a1〜a99の中に負の項があるとき）
a100 = -197/4（ないとき）

かな。
帰納法で、初めてanが負になるときのnをkとすると
an = (2n-1)/4　(1≦n≦k-1)
an = -(2n-3)/4 (n=k)
an = (2n-5)/4 (100≧n≧k+1)となることを示して解いたんだけど、
anが等差数列（途中の一部を除いて）になるってのが何故なのかを本質的に
見抜いた答案じゃないので模範解答が楽しみです。

>>320
辺AB=a BC=b CD=c DA=d　∠BAD=β　∠DCB=αとおく。(0＜α＜π,0＜β＜π)余弦定理により
BD^2=a^2+d^2-2adcosα=b^2+c^2-2bccosβ・・・�@
面積Sは2S=adsinβ+bcsinα・・・�A
�@をa,b,c,dが一定としてαで微分すればdβ/dα=bcsinα/adsinβ・・・�B
�Aをαで微分してd(2S)/dα=bcsin(α+β)/sinβ(∵�B)α、βの範囲を考えればα+β=πのとき2Sは極大値を取る。
これは四角形ABCDが同一円周上にある場合その面積が最大となることを示している。
この場合ABCDの面積はACとBDのなす角度をθとすれば2S=AC・BDsinθとなるがAC、BD、θは互いに独立に動くことができ、
AC、BDの最大値はABCDの外接円の直径となり、2Sの最大値はθ=π/2のときである。
これはABCDが正方形であることを示している。よってそのときの面積をS0,a=b=c=d=rとすれば
2S0=2r^2=ac+bd≧2Sが成り立つ。

>>349
上底1、下底3、高さ2の等脚台形でAB・CD＋BC・DA=2S

>>322
線分の両端をA,Bとして接点をTとする。このときAT=tL BT=(1-t)L(0≦t≦1)とすれば
Aの動く領域は(x-a)^2+(y-a)^2=r^2+L^2t^2
Bの動く領域は(x-a)^2+(y-a)^2=r^2+L^2(1-t)^2
条件を満たすには0≦t≦1でr^2+L^2(1-t)^2≦a^2かつr^2+L^2t^2≦a^2を満たすtが存在しなければならない。
f(t)=L^2(1-t)^2+r^2-a^2 g(t)=L^2t^2+r^2-a^2としてグラフの形状を考えればf(t)とg(t)の交点のy座標が0以下
となればよいことが分かる。よって交点のx座標はtなので条件は1/4+(r^2-a^2)/L^2≦0⇔L≦2√(a^2-r^2)

>>345
両辺をe^ax≠0で割って移項し
2x + 1/e^2ax -1 = 0……�@
右辺をf(x)と置いてxについて微分すると
f'(x) = 2(1 - a/e^2ax)
増減表よりf(x)はx = (log a)/2aのとき極小（a>1より(log a)/2a > 0）
f(0) = 0だからf(x)は正の解を１つだけもつ。
�@を変形して
2x = 1 + 1/e^2ax
a→∞のとき、唯一つの正の解xは1/e^2ax→0より
x→1/2

>>323
対称性により0＜θ＜πのみを考えても一般性は失わない。二つの円がACかBCで接する場合を考える。
（�@）ACで接するとき、A(0,0),B(cosθ,sinθ)C(1,0)と設定してBCで点と距離の公式を用いてr=1/2{(1+sin(θ/2))/sinθ+1}
これはsin(θ/2)=(√5-1)/2のときrは最大値r=4√2/{(√5+1)^(3/2)+8√2}を取る
（�A）BCで接するとき、図形で考えればr=sin(θ/2)cos(θ/2)/{sin(θ/2)+cos(θ/2)+1}
t=sin(θ/2)+cos(θ/2)=tとおけばr=(t-1)/2 1≦t≦√2より最大値はr=(√2-1)/2
以上よりrの最大値は4√2/{(√5+1)^(3/2)+8√2}

どれもいまいち議論が甘いかもしれないから自信ないorz

349また考え直す

東大予想入試問題
滑らかな床の上に、半径Ｒの半球形状をした滑らかな表面を持つ質量ｍの台を置き、
その頂点に質量ｍの小球を静かに乗せたところ、小球は台の上を滑り落ち始めて、
台は小球に押されて床を滑り出した。このとき、小球が台から離れる位置の高さを求めよ。
（但し、重力加速度の大きさをｇとする。）

>>349の訂正
辺AB=a BC=b CD=c DA=d　∠BAD=β　∠DCB=αとおく。(0＜α＜π,0＜β＜π)余弦定理により
BD^2=a^2+d^2-2adcosα=b^2+c^2-2bccosβ・・・�@
面積Sは2S=adsinβ+bcsinα・・・�A
�@をa,b,c,dが一定としてαで微分すればdβ/dα=bcsinα/adsinβ・・・�B
�Aをαで微分してd(2S)/dα=bcsin(α+β)/sinβ(∵�B)α、βの範囲を考えればα+β=πのとき2Sは極大値を取る。
これは四角形ABCDが同一円周上にある場合その面積が最大となることを示している。
これより2S=sinα(ad+bc)⇔4S^2=(sinα)^2(ad+bc)^2 BD^2=a^2+d^2-2adcosα=b^2+c^2+2bccosαよりcosα=(a^2+d^2-b^2-c^2)/2(ad+bc)
4S^2=(ad+bc)^2-(a^2+d^2-c^2-b^2)^2/4 これより(ac+bd)^2-4S^2=(a^2-b^2)(c^2-d^2)+{(a^2-b^2)-(c^2-d^2)}^2/4=(a^2+c^2-b^2-d^2)^2/4≧0
より2S≦ac+bdが示された。

東大予想入試問題
絶対屈折率cの媒質１とc/a(0<a<1)の媒質２がある平面で接している。
今、光源Ｏを二つの媒質の境界付近の媒質１側に置く。
時刻t=0で光源を出た光が、時刻t=1までに到達できる媒質２の領域をＤとすると、
Ｄの体積を求めよ。
（但し、真空中の光の速さをcとし、光源と媒質２との距離は、cに比べて無視できるほど小さいものとする。）

○投げ君はパソコンを複数台持っているようだね

>>358の訂正

東大予想入試問題
絶対屈折率cの媒質１とc/a(0<a<1)の媒質２がある平面で接している。
今、光源Ｏを二つの媒質の境界付近の媒質１側に置く。
時刻t=0で光源を出た光が、時刻t=1までに到達できる媒質２の領域をＤとすると、
Ｄの体積を求めよ。
（但し、真空中の光の速さをcとし、光源と媒質２との距離は、aに比べて無視できるほど小さいものとする。）

>>359
誰のこと？

>>356
鉛直上方向にy,水平右向きにxの座標を取る。小球の半球に対する相対速度のx成分
をu,鉛直成分をv,静止系における半球の速度をVとおくと
運動量保存則によりm(u+V)+mV=0・・・�@
力学的エネルギー保存則によりm{(u+V)^2+v^2}/2+mV^2/2+mgRcosθ=mgR・・・�A
束縛条件によりutanθ=v・・・�B
�@�A�Bよりu^2=4gR(1-cosθ)/(1+2(tanθ)^2)・・・�C
半球の運動方程式は垂直抗力の大きさをNとしてm*dV/dt=-Nsinθであり、小球が離れる瞬間は
N=0となるので半球と一緒に運動している系から見た場合に働く慣性力は0となる。
よって離れる瞬間のθをαとすればmgcosα=m(u^2+v^2)/R⇔cosα=(u^2+v^2)/Rg=u^2/Rg(cosα)^2
これに�Cを代入して整理すると(cosα)^3-6cosα+4=0⇔(cosα-2){(cosα)^2+2cosα-2}=0
0≦α≦π/2よりcosα=√3-1 よって小球が離れる高さは(√3-1)R・・・答

>>357
志村ー！　形状！

>>362
正解です。
>>360は解けないの？もし、そうなら深刻だ。
と言うのも、あなたは、この問題を最近解いてるから。
知っててスルーしてるなら無問題。

>>364
知っててスルーに決まってる　
屈折率が光速ってのもなんかおかしい気もするが

0.1MのH3PO4をNaOHで滴定する過程におけるそれぞれのpHを書き込みなさい。
ただし、pK1=2.15, pK2=7.20, pK3=12.4 とする。
┌ 滴定前：
├─ 中間点：
├ 第1当量点：
├─ 中間点：
├ 第2当量点：
├─ 中間点：
└ 第3当量点：

溶解って何ですか？「溶媒に取り囲まれること」であってますか？
そうだとして、NaClは水に溶けるのにどうしてAgClは水に溶けないのでしょうか？
これら二つの物質はイオン結晶なので、水の中では電離しますよね。
どちらの場合も電離したイオンそれぞれはクーロン力によって水和するような気がします。

AgClは水に溶ける(AgClの溶解度積＞0)。その溶ける量が小さいだけ。

三角形ABCがある。
ABを一辺とする正方形ABDE、ACを一辺とする正方形ACFG、BCを一辺とする正方形BCHIを
△ABCの外側に置く。

四角形DBJIが平行四辺形になるように、点Jをおき、
四角形CFKHが平行四辺形になるように、点Kをおく。

このとき、△AJKの形状を答えよ。

Σ[k=1,2006] tan(k)*tan(k+1)
を求めよ。

>>348正解です
Σ(k=1-n+1)ak=(a(n+1)+1/4)^2‥�@Σ(k=1-n)ak=(an+1/4)^2‥�A
�@-�Aよりa(n+1)=(a(n+1)+1/4)^2-(an+1/4)^2⇔(a(n+1)+an)(a(n+1)-an-1/2)=0
⇔a(n+1)=-anora(n+1)an+1/2 ただ1つの負の項をakとすると2≦k≦100
k=2の時a2=-a1=-1/4,a3=1/4,a100=1/4+1/2*97195/4
3≦k≦99の時a(k-1)={2(k-1)-1}/4,ak=-a(k-1)∴a(k+1)=-ak=a(k-1)
a100=(2*98-1)/4=195/4
k=100の時1≦n≦98の時a(n+1)=an+1/2が成り立ちn=99の時a(n+1)=-anが成り立つ
　　　　∴a100=-a99=-(2*99-1/4)=-197/4

>>352正解です
2x*e^ax=e^ax-e^-ax‥�@x>0の時�@⇔a=-log(1-2x)/2x(文字定数の分離)
右辺をf(x)とするとy=f(x)は0<x<1/2でf`(x)>0でx→1/2の時f(x)→∞
正の解をm(a)とおくとグラフより明らかに1<a1<a2ならばm(a1)<m(a2)
であるからlim(a→∞)m(a)=1/2となる

>>370
ごめん、間違った。
これなし

>>359パソコン1台しか持ってませんよ。問題投下して下さる人が増えているだけです。
0<x<2πにおいてxの方程式sin(nx)=1/(1+x) (nは自然数)の解をx1,x2,‥,xNとする時
lim(n→∞)1/nΣ(k=1-N)sin(nxk)の値を求めよ

そうか

>>320はトレミー一発でFA?

>>324
解けた人いますか？
なんか楕円積分をさらに複雑にしたような、わけわかめな関数が出るんだけどw

>>374
寝る前に解くか

f(x)=1/(1+x)は(0＜x＜2π)ではf(x)＜1 g(x)=sin(nx)は x=2iπ〜(2i+1)πでは
0≦g(x)≦1よりf(x)とg(x)はx=2iπ〜(2i+1)πでは二つ解を持つ。これよりi=1-nとして
2(i-1)π/n＜x(2i-1)＜(2i-1)π/n・・・�@
2(i-1)π/n＜x(2i)＜(2i-1)π/n・・・�A
sin(nxk)=1/(1+xk)より�納k=1-n]sin(nxk)=�納k=1-n]1/(1+xk)・・・�B
�@、�Aより2/{1+(2i-1)π/n}＜1/(1+xi)＜2/{1+2(i-1)π/n}
�Bより2/n*�納i=1-n]1/{1+2(i-1)π/n}＜1/n*�納i=1-n]1/(1+xi)＜2/n*�納i=1-n]1/{1+(2i-1)π/n}
両辺n→∞を取れば挟み撃ちの原理により求める値は左辺=右辺=2∫[0〜2]1/(1+2πx)*dx=2/π*log(1+2π)・・・答

眠いから計算ミスってるかも

>>377
正攻法じゃ厳しい。
x^2＋y^2＋z^2≦3の右辺が3だから解ける。

>>351
r→0でのL(max)やr→aでのL(max)を考えると答えがおかしいと気付ける。

>>324
作図したら一発だな。こんな感じか？

V=2*◑-◔
●=■+6*◑-12*◔

>>380
r→0 で2a r→aで0
別におかしく内し

ミスってるな
f(x)=1/(1+x)は(0＜x＜2π)ではf(x)＜1 g(x)=sin(nx)は x=2iπ〜(2i+1)πでは
0≦g(x)≦1よりf(x)とg(x)はx=2iπ〜(2i+1)πでは二つ解を持つ。これよりi=1-nとして
2(i-1)π/n＜x(2i-1)＜(2i-1)π/n・・・�@
2(i-1)π/n＜x(2i)＜(2i-1)π/n・・・�A
sin(nxk)=1/(1+xk)より�納k=1-2n]sin(nxk)=�納k=1-2n]1/(1+xk)・・・�B
�@、�Aより2/{1+(2i-1)π/n}＜1/(1+xi)＜2/{1+2(i-1)π/n}
�Bより2/n*�納i=1-n]1/{1+2(i-1)π/n}＜1/n*�納i=1-n]1/(1+xi)＜2/n*�納i=1-n]1/{1+(2i-1)π/n}
両辺n→∞を取れば挟み撃ちの原理により求める値は左辺=右辺=2∫[0〜1]1/(1+2πx)*dx=1/π*log(1+2π)・・・答

あと>>351は俺の解釈の仕方が間違っているとすればおかしいかも
又考え直す

再訂正
f(x)=1/(1+x)は(0＜x＜2π)では0＜f(x)＜1 g(x)=sin(nx)は x=2iπ/n〜(2i+1)π/nでは
0≦g(x)≦1よりf(x)とg(x)はx=2iπ/n〜(2i+1)π/nでは二つ解を持つ。これよりi=1〜nとして
2(i-1)π/n＜x(2i-1)＜(2i-1)π/n・・・�@
2(i-1)π/n＜x(2i)＜(2i-1)π/n・・・�A
sin(nxk)=1/(1+xk)より�納k=1-2n]sin(nxk)=�納k=1-2n]1/(1+xk)・・・�B
�@、�Aより2/{1+(2i-1)π/n}＜1/(1+xi)＜2/{1+2(i-1)π/n}
�Bより2/n*�納i=1-n]1/{1+2(i-1)π/n}＜1/n*�納i=1-n]1/(1+xi)＜2/n*�納i=1-n]1/{1+(2i-1)π/n}
両辺n→∞を取れば挟み撃ちの原理により求める値は左辺=右辺=2∫[0〜1]1/(1+2πx)*dx=1/π*log(1+2π)・・・答

>>382
tを変えながら線分を動かせばL(max)はもっと大きくとれる

>>369はAJ＝AKの直角二等辺三角形。

東大入試予想問題
内径Ｒの滑らかな内面を持つ質量Ｍの球殻を、Ｒに比べて十分長く、
極めて軽い板台の中央に取り付けて、表面の粗い床の上の置く。
今、質量ｍの小球を球殻内面の最下点から、板台に沿って水平に打ち出したところ、
小球は静止したままの球殻内で、周期的に円運動をし始めた。
このとき、球殻の質量Ｍの満たすべき必要十分条件を求めよ。
（但し、床の静止摩擦係数は無限大に近似できるものとする。）

【備考】
勘のいい人は、察しがついていると思いますが、板台は水平に滑ることはありませんが、
床に固定されているわけではないので、○○する可能性はあります。

それだと球殻は絶対静止しないと思うが？板の上は滑らかなのか胴かも
わからないし

M→∞なら静止するか

nを2以上の自然数とし、cを0以上の実数とする。
実数でない複素数 z がz^n + cz + 1 = 0を満たすとき、
| z^n | ≧ 1/√(n-1)
を示せ。

>>388
極めて軽い板台の中央に取り付けて
ってあるので球殻と板は一体と考えて良いのでは。。。

固定しているというイミか

>>387の修正

東大入試予想問題
内径Ｒの滑らかな内面を持つ質量Ｍの球殻を、Ｒに比べて十分長く、
極めて軽い板台の中央に取り付けて固定し、表面の粗い床の上の置く。
今、質量ｍの小球を球殻内面の最下点から、板台に沿って水平に打ち出したところ、
小球は静止したままの球殻内で、周期的に円運動をし始めた。
このとき、球殻の質量Ｍの満たすべき必要十分条件を求めよ。
（但し、床の静止摩擦係数は無限大に近似できるものとする。）

球殻と板台は一体と考えてください。

>>393
鉛直上向きを正としてx軸を、水平右向きを正としてy軸を取る。
ここで台に固定された球殻は浮き上がらないと仮定する。
小球の初速をv、運動中の速さをV、小球が球殻から受ける垂直抗力をN、
台が床から受ける垂直抗力をN'、台が床から受ける摩擦力をRとおく
小球の運動方程式：mv^2/R=N-mgcosθ・・・�@
エネルギー保存則：mv^2/2=mV^2/2+mgR(1-cosθ)・・・�A
球殻の運動方程式；0=R-Nsinθ・・・�B
　　　　　　　　　0=N'-Ncosθ-Mg・・・�C
�@�AよりN=mv^2/R+mg(3cosθ-2) 小球は円運動を行うのでN(min)=mv^2/R-5mg≧0
よってv≧√(5gR)・・・�D
さらに�CよりN'=3mg(cosθ)^2+(mv^2/R-2mg)cosθ+Mg 条件よりN'は0≦θ≦2πで常に0以上
でなければ浮き上がってしまう。よって浮き上がらないための条件は�DよりN'(min)=Mg-3mg/4≧0
∴M≧3m/4が求める条件である。

△ABCの周、内部に含まれる点の集合をSとする。全単射写像 f：S→Sは次の条件を満たすとする。
任意の二点A,B∈Sに対し、d(A,B) ≦ d(f(A),f(B))　ただし、d(A,B)は二点AB間の距離をあらわす。

このとき、
任意の二点A,B∈Sに対し、d(A,B) = d(f(A),f(B))
を示せ。

訂正
鉛直上向きを正としてx軸を、水平右向きを正としてy軸を取る。
ここで台に固定された球殻は浮き上がらないと仮定する。
小球の初速をv、運動中の速さをV、小球が球殻から受ける垂直抗力をN、
台が床から受ける垂直抗力をN'、台が床から受ける摩擦力をRとおく
小球の運動方程式：mV^2/R=N-mgcosθ・・・�@
エネルギー保存則：mv^2/2=mV^2/2+mgR(1-cosθ)・・・�A
球殻の運動方程式；0=R-Nsinθ・・・�B
　　　　　　　　　0=N'-Ncosθ-Mg・・・�C
�@�AよりN=mv^2/R+mg(3cosθ-2) 小球は円運動を行うのでN(min)=mv^2/R-5mg≧0
よってv≧√(5gR)・・・�D
さらに�CよりN'=3mg(cosθ)^2+(mv^2/R-2mg)cosθ+Mg 条件よりN'は0≦θ≦2πで常に0以上
でなければ浮き上がってしまう。よって浮き上がらないための条件は�DよりN'(min)=Mg-3mg/4≧0
∴M≧3m/4が求める条件である。

>>394
おみごと！これが瞬殺できるなら、物理は怖いものなしです。

>>397
問題アップしてくれるのはありがたいんだけどもうちょっと題意をつかみやすい
ような問題文にしてくれないと。

>>398
すみません。

まあ物理は数学とかとちがって図がないと字だけじゃ題意をつかみにくいけどね

集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}から要素数6の部分集合を14個取り出す。
これらの部分集合をS(1),S(2),S(3),……,S(14)とし、MをS(i)∩(j) (i≠j)の要素数の最大値とする。
このとき、Mの最小値を求めよ。

ところでここで問題投下しまくってる人は楽しんでやってるの？

>>393
台の転倒は考えなくていいのか。
最下点で打ち出した小球がどうやったら円運動に到達できるかもよく分からん。

>>403
板は球殻の半径に比べて十分大きいと書いてあるから転倒は考慮しなかった

>>404
それだけじゃ厳しくない？
板の重心より高い位置で円運動してるかもしれんから

>>402
うん。　駄目なのか？

板だから十分平べったいってことか、スマン

まあ考察してたらきりがない

でも円運動にはなれないよな？

非等速円運動だしW

ご迷惑をおかけしてすみません。
絵が書けないのが、歯がゆい。

すげー勘違いしてたｗ
台に半球殻取り付けて半球殻の内側を水平に円運動するのかと思ってた。

図うｐすればいいじゃねーの

>>366
いろんな考察してたらわけわかんなくなってきたから自信ない
┌ 滴定前：1.63
├─ 中間点：2.15
├ 第1当量点：4.10
├─ 中間点：7.20
├ 第2当量点：10.1
├─ 中間点：12.4
└ 第3当量点：12.7

分からん

スマソ、正確には「0.1MのH3PO4を0.1MのNaOHで滴定する過程」だった、

物理だから数学的なことあんまり考慮せずにやったけど>>393は初速度
によって条件が変わってくるな再訂正
訂正
鉛直上向きを正としてx軸を、水平右向きを正としてy軸を取る。
ここで台に固定された球殻は浮き上がらないと仮定する。
小球の初速をv、運動中の速さをV、小球が球殻から受ける垂直抗力をN、
台が床から受ける垂直抗力をN'、台が床から受ける摩擦力をRとおく
小球の運動方程式：mV^2/R=N-mgcosθ・・・�@
エネルギー保存則：mv^2/2=mV^2/2+mgR(1-cosθ)・・・�A
球殻の運動方程式；0=R-Nsinθ・・・�B
　　　　　　　　　0=N'-Ncosθ-Mg・・・�C
�@�AよりN=mv^2/R+mg(3cosθ-2) 小球は円運動を行うのでN(min)=mv^2/R-5mg≧0
よってv≧√(5gR)・・・�D
さらに�CよりN'=3mg(cosθ)^2+(mv^2/R-2mg)cosθ+Mg 条件よりN'は0≦θ≦2πで常に0以上
でなければ浮き上がってしまう。よって浮き上がらないための条件は�Dより
（�@）√(5gR)≦v≦2√(2gR)のとき条件はN'(min)=Mg-3mg/4≧0 ∴M≧3m/4
（�A）2√(2gR)＜vのとき　N'(min)=5mg-mv^2/R+Mg≧0 ∴M≧mv^2/gR-5m

>>384正解
f(x)=1/(1+x)とおくとsin(nxk)=f(xk)でありf(x)が減少関数であるから
f(0)>f(x1)>f(x2)>f(2π/n)
f(2π/n)>f(x3)>f(x4)>f(4π/n)
：
f{2(n-1)π/n}>f(x2n-1)>f(x2n)>f(2nπ/n)
∴2Σ(k=1-n)f{2(k-1)π/n}>Σ(k=1-2n)sin(nxk)>2Σ(k=1-n)f(2kπ/n)
以下区分求積使うと解ける

>>418
どっちにしてもM≧3m/4か関係なかった

それに（�@）のとこのN(min)はMg-m(v^2-2gR)^2/12gR^2になるし　

座標空間にx軸,y軸,z軸のそれぞれに平行な軸を持ちどの2つも共通部分を持たない
半径1の円柱が3つある。ある平面αをこの3つの円柱に交わらせる時円柱によって切り取られる
平面α上の3つの部分の面積の和の最小値を求めよ

Σ(k=1-n)xk=a(n≧2,aは正の定数)xk(k=1-n)>0の時Σ(k=1-n)xk*logxkの最小値を求めよ

n(n≧2)個のサイコロを投げた時最大の目が出ているサイコロの個数の期待値を求めよ

ｎ個の中のどの(n-1)個のベクトルの和の大きさも残り1個のベクトルの大きさ
に等しいｎ(n≧3)個の空間ベクトルak(k=1-n)についてΣ(k=1-n)↑ak=↑0を示せ

>>420
平面αの法線ベクトルを(a,b,c)とする。(a^2+b^2+c^2=1) 円柱の面積はそれぞれ
πであり、αがx軸と平行な軸を持つ円柱を切り取る面積sはベクトル(1,0,0)とベクトル(a,b,c)のなす角をθ(1)とすれば
cosθ(1)=(a,b,c)・(1,0,0)/1*1=a(∵a^2+b^2+c^2=1)よってscos(θ(1))=π s=π/a
y軸、ｚ軸に平行な軸を持つ円柱についても同様にしてそれぞれのαによって切り取られる面積はπ/b π/cとなる。
よって求める面積はS=π(1/a+1/b+1/c) 相加相乗平均によりa^2+b^2+c^2=1≧3(abc)^(2/3)⇔(abc)^(1/3)≦1/√3
これよりπ(1/a+1/b+1/c)≧3/(abc)^(1/3)=3√3
よってSの最小値は3√3

6本の棒で作った正四面体ABCDの各辺を無作為に白か黒で塗る時Aから出発して
白く塗られた辺だけを通って到達できる頂点(A自身を除く)の個数の期待値を求めよ

>>424最後πが抜けていますがタイプミスですね。正解です。それにしても異常な速さですね。

楕円x^2/a^2+y^2/(1-a^2)=1(0<a<1)の直線ｌへの正射影の長さがaの値によらず
常に一定であるという。そのような直線ｌで原点を通るものを全て求めよ

頂点Oに集まる3辺OA,OB,OCが互いに60°の角をなす三角錐O−ABCがある。
�@OA=a,OB=b,OC=cとして三角錐O-ABCの体積Vをa,b,cで表せ
�Aa,b,cがV=√6/4を満たしながら変化する時三角錐O-ABCの側面積の最小値を求めよ

芝浦レベルの問題ですでにチンプンカンプンだからな・・・書かれてる意味がわかんねｗｗｗ

>>425
☆P0+P1+P2+P3=1なので各々ついてまとめる
P0について
Aから各頂点への道が閉ざされている条件は
A-B,A-C,A-Dの部分が黒
残りの辺についてはどちらでもよいので
2^3*(1/2)^6=1/8
P1について
Ａから特定の点I(B,C,D)のみに辿りつくときなのでBとして一般性を失わない。
AからBへの道がのみが開放されている条件は
A-Bの部分のみが白
C-Dはどちらでもよい
残りの辺はすべて黒くなくてはいけない
P1/3=2*(1/2)^6=(1/2)^5∴P1=3*(1/2)^5=3/32
P2について
Aから(B,C),(C,D)あるいは(D,B)に辿りつくときである。
(B,C)への道が開放されている条件は
A-B,A-C,B-Cのうち少なくとも2辺が白
Dから各頂点へつながる辺は黒くなくてはならない
A−B,A−C,B−Cのうち少なくとも2辺が白になる確率は
1-{(1/2)^3+3*(1/2)^3}=4/8=1/2
∴P2/3=(1/2)^3*(1/2)=1/16∴P2=6/32
P3について
☆よりP0+P1+P2+P3=1なのでP3=1-P0-P1-P2=1-(1/8)-(5/32)-(3/16)=21/32
よって期待値は
P0*0+P1*1+P2*2+P3*3=(3/32)+(24/32)+(63/32)=45/16

>>428
a≧b≧cとすると
(1)求める立体の体積は一辺がaの正四面体をb/a*c/a倍したものなので
一辺aの正四面体の体積はsqrt(2)a^3/12なので
V=sqrt(2)abc/12
(2)sqrt(2)abc/12=V=sqrt(6)/4⇔abc=3sqrt(3)
立体の側面積
=(ab+bc+ca)sqrt(3)/4
≧(3/4)*(abc)^(3/2)=(3/4)*(27)^(3/2)
>>427
y=±xと出ましたが自信なし

>>430
P3に計算ﾐｽ発覚
P3=19/32だから期待値は
(3/32)+(12/32)+(57/32)=9/4かな

>54に挑戦する天才はいないかな？はっきり言って数オリよりも遥かに難しいから、出来たら自信持てると思うんだけど

n=4の場合に真に驚くべき証明を私は得たのだが、それを書く には、2chの余白は狭すぎる

n厨さん書き込みありがとうございます。今後ともよろしくお願いします。
>>432正解です。正四面体でなく碁盤の目のように線分を組み合わせて「無限の水路網」を作り
各線分が確率pで独立に開閉する時開いた線分(水路)だけを通って無限遠方まで行けるかという問題は
｢percolation｣と呼ばれており専門の数学者や物理学者によって興味深い研究が進められています
>>431最後｢≧(3/4)*(abc)^(3/2)=(3/4)*(27)^(3/2)｣を｢≧(3√3/4)*(abc)^(3/2)=9√3/4｣に直せば正解です

>>54
ちょっとだけ考えたけど、X<Y<Zとしてよく、X,Yのうち片方が奇でもう片方が偶、Zが奇。
(X^2+Y^2+Z^2)(X^2+Y^2-Z^2)＝2(XY)^2と変形すれば、自明なのを除いて2通り(4通り)調べれば出来そうな気がするけど。

n房いるなｗ負けていられんWとりあえず瞬札できる奴から
>>422
1≦k≦6として出る目の最大がkである確率は{(k以下が出る場合の数)-(k-1以下が出る場合の数)}/6^n
より求める期待値は�納k=1〜6]k*{k^n-(k-1)^n}/6^n={1-2^n-3^n-4^n-5^n+6^(n+1)}/6^n・・・答
>>423
↑p=�納k=1〜n]↑a(k)として仮定より|↑a(i)|=|↑p-↑a(i)|⇔|↑p|^2-2↑p・↑a(i) (i=1〜n)・・・＊
＊において全てのiについて足し合わせてn|↑p|^2-2↑p・↑p=(n-2)|↑p|^2=0 ∴↑p=0 (∵n≧3)
よって題意は示された。
>>427
接点(p,q)における楕円x^2/a^2+y^2/(1-a^2)=1の接線はq≠0としてy=-(1-a^2)p/a^2q*x+(1-a^2)/q・・・＊
y=mxにおけるこの楕円の正射影を考える。それは接線の傾きが-1/mとy=mxの二交点の長さによって
達成される。＊より-1/m=-(1-a^2)p/a^2q・・・�@
(p,q)はこの楕円を通るのでp^2/a^2+q^2/(1-a^2)=1・・・�A
�@�Aよりp,qを消去すればその２接線はy=-x/m±√{a^2+m^2(1-a^2)}/|m|・・・�B
�Bより求める正射影の長さLは相似を考えて√(m^2+1)：|m|=√{a^2(m^2-1)+m^2}/|m|：L/2
よってL=2√[{a^2(1-m^2)+m^2}/(1+m^2)] これがaの値によらないためには1-m^2=0⇔m=±1が必要十分である。
よって求める直線はy=±x・・・答

>>437
>>422は問題よく読んでないんじゃね？

>>421は下にとつの関数の性質を利用して{f(x1)+f(x2)+・・・＋f(xn)}/n≧f((x1+x2+・・・+xn)/n)・・・＊
f(x)=xlogxとすれば　f''(x)=1/x x＜0は定義されないからx＞0ではf''(x)＞0で下にとつ。よって＊が使えて
最小値はalog(a/n) (等号成立条件はa1=a2=・・・=an=a/n)・・・答

＊の証明は数学的帰納法で軽くできる。
でも結構厳密にやったら長くなるから又夜に示すことにするよ

>>438
本とだｗｗ又やり直すわ

>>436はボツだなw
>>395はコンパクトとか使わないと無理な気がするけど。

>436 すまんが最初からわからん、、間違ってると思うが

数学科のオナニー問は受験終わってから名

>443 大学入ったら数学課いくが、前も言ったが俺も受験生だってww昨日も早稲田受けてきたしなww

サイコロをn個振ったとき、n/2個のサイコロの目が最大となるような確率を求めよ、ただしnは偶数とする。

ある時点(0年目)で同じ容量の2つの空の樽A,Bに新味噌を一杯に入れ以後1年経つごとに
以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除きAの味噌の半分をBに移す。さらにAにはその年の新味噌
を一杯にし両樽ともよくかき混ぜる
以下では新味噌は0年物としｘ年物の味噌が1年経過したものを(x+1)年物とする
またｘ年物とｙ年物を同量ずつ混ぜた味噌は(x+y)/2年物と呼ぶことにする
ｎ年後に上記の操作を行った直後のA,Bの味噌の量をそれぞれan年物,bn年物と表す。
an,bnを求めよ

>>446
慶應かよ！

>>422
ある1つのサイコロがn個中最大である確率は
(1/6){(1/6)^(n-1)+(2/6)^(n-1)+・・・+(6/6)^(n-1)}なので
求める期待値は(n/6^n)(1+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)

間違えた
求める期待値は(n/6^n)(1+2^(n-1)+3^(n-1)+4^(n-1)+5^(n-1)+6^(n-1))

>>445
(C[n, n/2]/6^n)(1+2^(n/2)+2^(n/2)+3^(n/2)+4^(n/2)+5^(n/2))

>>446
漸化式は仮定により
a(n+1)=a(n)/2+1/2・・・�@
b(n+1)=a(n)/2+b(n)/2+1・・・�A
a(1)=1/2 b(1)=1より
a(n)=1-(1/2)^n・・・答
b(n)=3-(n+3)(1/2)^n・・・答

1枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を繰り返し、表が3回連続ででたら終了とする。
終了までにコインを投げる回数の期待値を求めよ。

しょうがない……

>>395　改造
正三角形ABCの周、内部に含まれる点の集合をSとする。全単射写像 f：S→Sは次の条件を満たすとする。
任意の二点A,B∈Sに対し、d(A,B) ≦ d(f(A),f(B))　ただし、d(A,B)は二点AB間の距離をあらわす。

このとき、
任意の二点A,B∈Sに対し、d(A,B) = d(f(A),f(B))
を示せ。

初トライ
>>452
(n-1)n(n+1)/48　,ただしnは2≦nを満たす整数

東大入試予想問題
質量ｍのピンポン球を、地表から射角θ(>0)で打ち出すと同時に、その地点から最高速度Ｖの車がまっすぐに後を追う。
打ち出す速さにかかわらず、車がピンポン球より早く落下点に到達することは可能か？
もし、そうなら、そのときのＶが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（但し、重力加速度の大きさをｇとし、大気中の空気抵抗力は、小球の速度ベクトルの-k倍（kは定数）に等しいものとする。）

【備考】
実際は、大気には厚さがあり、高度が上がれば空気抵抗も弱くなるので、
理論的には、題意を満たす車は存在しません。ｗ
つーか、初速が限界を超えたら、ピンポン球は圧壊しそう。ｗ
まあ、その辺はファジーによろしく。

>>455の訂正

東大入試予想問題
質量ｍのピンポン球を、地表から射角θ(>0)で打ち出すと同時に、その地点から最高速度Ｖの車がまっすぐに後を追う。
打ち出す速さにかかわらず、車がピンポン球より早く落下点に到達することは可能か？
もし、そうなら、そのときのＶが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（但し、重力加速度の大きさをｇとし、大気中の空気抵抗力は、ピンポン球の速度ベクトルの-k倍（kは定数）に等しいものとする。）

東大理系数学予想問題

xの時間一階微分をy
xの時間二階微分をzとし、微分方程式.
z+x+f（y）=0
の解をx(t)(t≧0)とする。ここで
f(x)=1(x＞0)
f(x)=-1(x＜0)
と定義されておりf(0)は-1から1までの任意の値を取り得る。
x(t)を求めよ。ただしx(0)=4 y(0)=0 である。

>>454は問題文ちゃんと読んでなかったのでミス

>>448惜しい！正解はn/6^n{1+2^(n-1)+3^(n-1)+4^(n-1)+5^(n-1)+6^(n-1)}です
最大の目が出ているサイコロの個数がk個となる確率はnCk{1+2^(n-k)+3^(n-k)+4^(n-k)+5^(n-k)+6^(n-k)}/6^nです

http://multianq.uic.to/mesganq.cgi?room=risuu

>>457
nを負でない整数とすると
2nπ< t < 2(n+1)πのとき x = 3cos t + 1
2(n+1) < t < 2nπのとき x = 5cos t - 1

となった

↑追加
t = 2ｎπのとき x = 0

>>439の＊の証明：

まずf(x)がある区間Iにおいて下にとつならばy=f(x)上の二点A,Bを結ぶ線分がy=f(x)
のA,Bの間の部分の上方にあることを示す。
a∈I,b∈I,a＜bを満たすa,bをとり、A(a,f(a)),B(b,f(b))とする。線分ABの方程式は
y={f(b)-f(a)}(x-a)/(b-a)+f(a)であり、新たにg(x)をg(x)={f(b)-f(a)}(x-a)/(b-a)+f(a)+f(x)
と定義する。このときg(a)=g(b)=0 g'(x)={f(b)-f(a)}/(b-a)-f'(x)
平均値の定理により0=g'(α)={f(b)-f(a)}/(b-a)-f'(α) (a＜α＜b)となるαが存在する。
これよりg'(x)=f'(α)-f'(x)とすることができてf(x)は下にとつなのでf'(x)は増加関数である(f''(x)＞0)
よってg(x)はx=αで極大値をとり、区間Iではg(x)≧0⇔{f(b)-f(a)}(x-a)/(b-a)+f(a)≧f(x)・・・*
であることが示された。これより区間Iの点を(ta+(1-t)b,tf(a)+(1-t)f(b)) (0≦t≦1)と表せば*より
f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)がいえる。以上よりf(x)がある区間I[a,b]において
下にとつならば(0≦t≦1) f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)が成立する。・・・�@

ここで＊を�@を用いて数学的帰納法で示す。
n=1のときは自明でn≧2において、示す。
（�@）n=2のとき、�@でt=1/2とすればf((x_1+x_2)/2)≦{f(x_1)+f(x_2)}/2より＊は成立する。・・・�A
（�A）n=kのとき、＊が成立すると仮定する。つまりf((x_1+x_2+・・・+x_k)/k)≦{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+・・・+f(x_k)}/k・・・�B
　　　　�Bで両辺にkをかけてさらにf(x_k+1)を足してk+1で割れば�Bはβ=(x_1+x_2+・・・+x_k)/kと置いて
　　　　kf(β)/(k+1)+f(x_k+1)/(k+1)≦{f(x_1)+f(x_2)+・・・+f(x_k+1)}/(k+1)・・・�C
　　　　�Cの左辺にt=k/(k+1)として�@を適用すればf((kβ+x_k+1)/(k+1))=f((x_1+x_2+・・・+x_k+1)/(k+1))≦kf(β)/(k+1)+f(x_k+1)/(k+1)
これよりf((x_1+x_2+・・・+x_k+1)/(k+1))≦{f(x_1)+f(x_2)+・・・+f(x_k+1)}/(k+1)が示せたがこれはn=k+1においても＊が成立していることを示している。
（�@）、（�A）より＊が示された。

ちなみに上にとつの関数の場合は{f(x1)+f(x2)+・・・＋f(xn)}/n≦f((x1+x2+・・・+xn)/n)
になるけどf(x)=logxはf''(x)=-1/x^2＜0だから上にとつの関数になる
従ってf(x)=logxとすれば有名な相加相乗平均が導かれるな

>>456
ピンポン玉を打ち出す地点を(0,0)として水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸を取る。
ピンポン玉の位置を↑r(t)=(x,y)、速度を↑v(t)=(v(x),v(y))として、
x軸方向の運動方程式：m*dv(x)/dt=-kv(x)・・・�@
y軸方向の運動方程式：m*dv(y)/dt=-kv(y)-mg・・・�A
�@において変数分離してdv(x)/v(x)=-kdt/m⇔logv(x)=-kt/m+C1
↑r(0)=(0,0)、↑v(0)=(vcosθ,vsinθ)よりv(x)=vcosθ*exp(-kt/m),x=mvcosθ(1-exp(-kt/m))/k・・・�B
y成分についてもまったく同様にしてv(y)=-mg/k+(vsinθ+mg/k)exp(-kt/m),
y=-mgt/k+(mvsinθ+m^2g/k)(1-exp(-kt/m))・・・�C
ピンポン玉が落下する時刻をt=Tとすればピンポン玉の落下地点は�Cより
0=-mgT/k+(mvsinθ+m^2g/k)(1-exp(-kT/m))・・・�D
x=mvcosθ(1-exp(-kT/m))/k・・・�E
自動車がピンポン玉より早く落下地点に到達するにはVT＞mvcosθ(1-exp(-kT/m))/k・・・*
を満たさなければならない。�D�EによりTを消去して*はV＞mgvcosθ/(vk^2sinθ+mgk)=f(v)と変形できて
これがvの値にかかわらず成立するためにはV＞f(v)maxとならなくてはいけない。
f(v)max=mg/k^2tanθより求める条件はV＞mg/k^2tanθ・・・答

>>324はゴミ過ぎて誰もやってないな
略解：
求める積分は∫[0〜π/4]{θsin2θ-(1-cos4θ)/4}dθ=1/4-π/16・・・答

物理板にこんな書き込みがｗ
422 ：物理板住民 ：2006/02/18(土) 03:26:46 ID:???
ずいぶん長く続いているようですが
物理板で続ける意味があるのかな？

受験生の皆さんに知っておいて欲しいのですが、
このスレに書いてあるような「問題」は、
物理の世界では問題とは呼びません

１つ問題を出しておきますので、
いうおいさんとやらも是非やってみてください。
答え方を見れば彼がどの程度物理ができるか
すぐ分かりますので
まぁ受験生は忙しいでしょうから、ゆっくりやってくださいな。

問題
「ペットボトルロケット」というものがあるのをご存知の事だろう
（知らないならまず調べてくれ）
ペットボトルロケットには普通、“適量”の水を入れる。
遠くに飛ばすためには、この水は、少なすぎても、多すぎてもいけない。
さて、ペットボトルロケットをもっとも遠くに飛ばすためには
どのような設定にするのが一番良いだろうか。
中に入れる水の量に重点を置いて議論してもらいたい。

議論のレベルは任せる。
流体力学は知らないだろうが、別に使わなくても
議論はできるので、自分のできる範囲でもっとも良い
設定を考えてくれ。モノの大きさだの、質量だの、
そんなものは自分で設定して良いものです。

面白い議論を期待します

>>465
ちょっと計算がちがうような・・・。
単位の検算やってみてください。

>>465
訂正：

ピンポン玉を打ち出す地点を(0,0)として水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸を取る。
ピンポン玉の位置を↑r(t)=(x,y)、速度を↑v(t)=(v(x),v(y))として、
x軸方向の運動方程式：m*dv(x)/dt=-kv(x)・・・�@
y軸方向の運動方程式：m*dv(y)/dt=-kv(y)-mg・・・�A
�@において変数分離してdv(x)/v(x)=-kdt/m⇔logv(x)=-kt/m+C1
↑r(0)=(0,0)、↑v(0)=(vcosθ,vsinθ)よりv(x)=vcosθ*exp(-kt/m),x=mvcosθ(1-exp(-kt/m))/k・・・�B
y成分についてもまったく同様にしてv(y)=-mg/k+(vsinθ+mg/k)exp(-kt/m),
y=-mgt/k+(mvsinθ/k+m^2g/k^2)(1-exp(-kt/m))・・・�C
ピンポン玉が落下する時刻をt=Tとすればピンポン玉の落下地点は�Cより
0=-mgT/k+(mvsinθ/k+m^2g/k^2)(1-exp(-kT/m))・・・�D
x=mvcosθ(1-exp(-kT/m))/k・・・�E
自動車がピンポン玉より早く落下地点に到達するにはVT＞mvcosθ(1-exp(-kT/m))/k・・・*
を満たさなければならない。�D�EによりTを消去して*はV＞mgvcosθ/(vksinθ+mg)=f(v)と変形できて
これがvの値にかかわらず成立するためにはV＞f(v)maxとならなくてはならない。
f(v)max=mg/k^2tanθより求める条件はV＞mg/ktanθ・・・答

よく見たら速度の次元がおかしかったな

>>469
f(v)max=mg/k^2tanθ・・・×
f(v)max=mg/ktanθ・・・○

>>470
おみごと！もう、物理は勉強しないで英語とかやった方がいいですね。

>>466
大分考えたけど解けなかったorz

そんなにあっさりした積分にならなかったんだけど、
y = t で切断したときの断面積を積分するんですよね？

>>472
作図できたら、一発でわかります。
キューブ（正六面体）の８頂点が球面上に位置するので。

>>467って
内部の空気圧の変化と水量変化に関する関数をもとめて
外圧とペットボトルの内圧が等しくなる時刻に
水量が０になるような量って感じかな？

>>466
ゴミくず以下だー！？Σ(￣ロ￣lll)

>>473
えーと、こんな感じでしょうか
↓
>>324
一辺が２の立方体を球に内接させると、球は次の3種類の形の立体に分けられる。
�@立方体
�A立方体の真上の部分（だけ）の形の立体
�B体積を求める部分の形の立体
で、�@が一つ、�Aが六つ、�Bが十二個。それぞれの体積をV1,V2,V3とする。

ここでV1 + 2*V2 = π∫[-1,1](3-x^2)dx = 16π/3
V1 = 8よりV2 = 8π/3 - 8
V1 + 6*V2 +12*V3 = 4πr^3/3 = 4√3πであるから
12*V3 = 4√3π - 6*8(π/3 - 1) -8 = 4√3π - 8(2π-5)

∴V3 = √3π/3 - 2(2π-5)/3

これって有名問題なんですか？
それとも普通に思いつくもんなの？orz

どっちにしろだめだ俺orz

466 ：いうおい(理�T上位２００６)おｒうぃじょｆ ◆eJYTdojSNQ ：2006/02/18(土) 14:58:27 ID:utq0Z8ia0
>>324はゴミ過ぎて誰もやってないな
略解：
求める積分は∫[0〜π/4]{θsin2θ-(1-cos4θ)/4}dθ=1/4-π/16・・・答

削除

タイプミスではなく計算を（しかも二重に）間違った。詰めが甘い。詰め以外も甘いけどw

>>476訂正
ここでV1 + 4*V2 = π∫[-1,1](3-x^2)dx = 16π/3
V1 = 8よりV2 = 4π/3 - 2
V1 + 6*V2 +12*V3 = 4πr^3/3 = 4√3πであるから
8 + 8π - 12 + 12V3 = 4√3π
12*V3 = 4√3π - 8π + 12 - 8 = 4√3π - 8π + 4

∴V3 = √3π/3 - (2π-1)/3

543 ：京医首席 ◆lzyXMqND5A ：2006/02/18(土) 18:19:51 ID:v3DcWxbSO
sgn関数を使ったオリジナルだしぃW


544 ：京医首席 ◆lzyXMqND5A ：2006/02/18(土) 18:21:31 ID:v3DcWxbSO
いうおえ信者の作った解答カスリもしてなくてﾜﾛﾀ

立方体の各面を赤、青、黄のいずれかで塗る。
回転して重なるものは同一とみなすとき、塗り方はいくつあるか。
使わない色があっても良いとする。

f(k)(1≦k≦n)を任意の自然数としてf(1)、f(2)、・・・、f(n)は全て異なるものとする。このときΣ[k=1〜n](f(k))^2/(1+k^2)≦n-8/5を示せ。

↑示すべき不等式の等号イランな、ゴメン。

↑しかも不等式の向き逆orz

>>482
1色のみを使うとき、3通り
2色使うとき、塗る面の数の組み合わせは�@(3,3),�A(4,2),�B(5,1)のいずれか。
�@3C2 * 3 = 9　�A3P2 * 3 = 18　�B3P2 * 1 = 6より33通り
3色全てを使うとき塗る面の数の組み合わせは�@(4,1,1),�A(3,2,1),�B(2,2,2)のいずれか。
�@3P1 * 2 = 6　�A3! * (1 + 2) = 18　�B1 + 3 = 4より28通り

以上より求める場合の数は64通り


>>480
カスリもしてないのかw題意取り違えたかも。

>>484
題意がつかめん。

>>483
f(k)が明確じゃないから無理

つまりf(1)、f(2)、、f(3)・・・f(n)は1からnまでの互いに異なったランダムの自然数ってことだお。ちなみに某大学の過去問。誘導ついてＣ***だったから誘導つかないとＤ*****くらいかも、でもこのスレの住人なら(ry。

そうだ！肝心な1≦f(k)≦nを忘れてた、すまん！

2色使うとき間違ってるし。
�@6通り　�A12通り

結局合計は55通りか

>>482
51か？やべ１５分もかかっちまったＯＴＺ

>>488
整数問題に帰着させて考えるんじゃね？
今電車だから試してみれないけど

もう一問！

全てのx,yについて
lsinx-sinyl≦klx-ylが成り立つようなkの最大値を求めよ。

>>483
左辺がどういうときに最小になるかを考えればあとは計算のみ(要テクニック)ｼﾞｬﾏｲｶ？

あとさっきの示すべき不等式は

Σ[k=1〜n](f(k)^2)/(k^2+1)>n-8/5です。

>>494
最小値なら平均値の定理から1って出る気がするけど
最大値ってあるのか？

f(k)(1≦k≦n)を任意の自然数としてf(1)、f(2)、・・・、f(n)は全て異なるものとする。このとき
Σ[k=1〜n](f(k))^2/(1+k^2) > n-8/5
を示せ。

Σ[k=1〜n](f(k))^2/(1+k^2) > Σ[k=1〜n]{k^2/(1+k^2)}=n-Σ[k=1〜n]{1/(1+k^2)}

Σ[k=1〜n]{1/(1+k^2)} < π/2 < 8/5

計算いらん。暗記問題。

>>494
最大値じゃなくて最小値ですた、こんな俺に問題を出す資格はありませんね、帰りまつ。ﾉｼ

16
54
58
70
169
214
225
226
281
287
321
324
358
366
390
395
401
452
457
482
483
494
とりあえず、適当に未解決の問題を書いてみた。

>>484についてはヒントになりそうな問題が数学板に出ていたな。
http://makimo.to/2ch/science4_math/1116/1116752400.html
の535を参照

>>499
最小値と最大値の書き間違いなんて気にしないで下さいww
問題投下大歓迎ですよww

>>497
最小値は０だろう。サインカーブの接線の傾きの絶対値は０から１の間で変動する。
要は、サインカーブが傾き１を超える直線とは１点でしか共有しないってこと言えばいいんじゃね？

>>498
最後の行てどういう計算ですか？後学のためにご教授願います

>>502
うわ！勘違いスマソ。

早稲田の理工に行きたいのですが、数学は１・Ａの白チャやり終わったて今２・Ｂの白チャ半分やったのですが、化学はチャートやっているのですが、何したらいいでしょうか？物理は何も手をつけてません

>>503
∫[x=0,∞]{1/(1+x^2)}=π/2
これは説明しない。ググれ。

>>498
あとは数学的帰納法で示せばいいと思うよ

そしてルール読まないやからが湧いているようだね

>>507
忘れてた。（つい、書き込み見てほしくて・・・）
すみません。

>>496
はむしろ不等式はすぐ予想付くけどそれを示す方がメインイベントだろうな

概略だけ言うと
n=2を示した後は（q＞pでq^2/(p^2+1)+p^2/(q^2+1)とp^2/(1+p^2)+q^2/(1+q^2)の比較）
n=jで成立すると仮定したあと�納k=1〜i+1]f(k)^2/(k^2+1)でf(i+1)^2/((i+1)^2+1)とf(j)=i+1の
f(j)^2/(j^2+1)でn=2で示した方法を用いて�納k=1〜i]f(k)^2/(k^2+1)+(i+1)^2/((i+1)^2+1)の形
に持っていくことができて後はn=jの仮定を用いればn=j+1のときに成立することがいえるな

少なくとも暗記問題ではないな

>>491
(2,2,2)のときが違う
>>492
違う

低レベルな質問ですいませんけど(^^ゞ

ペプチドの構造決定で、
「次の(a)〜(f)のいくつかから構成されている」の中にＳを含むものがあったんです
そんで「元素分析の結果、炭素64.7%水素7.99%酸素17.25%」って書いてたんすけど、残りの％の中にＳの可能性は入れないんですか？
解答はＮ10.06%として話を進めてました

レベル低い問題解いてるなｗ

>>513
問題全部書いたほうがいいんじゃない？
そこにヒントあるかも知んないし

Sは質量大きいから当たり前のこととして省いたのかもしれないけど

>>512
三色それぞれの面が隣り合う場合を数えていませんでした。
これが2通りあるので、合計57通りですねorz

訂正版
1色のみを使うとき、3通り
2色使うとき、塗る面の数の組み合わせは�@(3,3),�A(4,2),�B(5,1)のいずれか。
�@のとき6通り　�Aのとき12通り　�Bのとき6通りで24通り
3色全てを使うとき塗る面の数の組み合わせは�@(4,1,1),�A(3,2,1),�B(2,2,2)のいずれか。
�@のとき�@のとき6通り　�Aのとき18通り　�Bのとき6通りで30通り

以上より求める場合の数は57通り


悔しい。。。

>>514
そう言わないで助けてくれ!!頭良いやつ多いからここで聞くのが早いと思って

>>515
(a)〜(f)のうちいくつかから構成されたﾍﾟﾌﾟﾁﾄﾞＸがある。Ｘはｷｻﾝﾄﾌﾟﾛﾃｲﾝ反応を示したがﾋﾞｳﾚｯﾄ反応は示さず、元素分析は>>513。やや略

ちなみにaｸﾞﾘｼﾝ bｱﾗﾆﾝ c？ dﾒﾁｵﾆﾝ eﾌｪﾆﾙｱﾗﾆﾝ f？

?はなに？

見たこともないやつ
(c)はR-がｲｿﾌﾟﾛﾋﾟﾙ基で、(f)はﾍﾞﾝｾﾞﾝ環とNとかいろいろついてる

ってことは構造式は問題に出てるって事？

うん

そのCやつは炭素数７？

あっｲｿﾌﾟﾛﾋﾟﾙじゃないかも…読めねー!!(笑)
cは炭素数6で
CH3-CH2-CH‐CHCOOH
| |
CH3 NH2

ちゃんとなってるかな…

ねえsageて

1 名前：いうおい(理�T上位２００６)おｒうぃじょｆ ◆eJYTdojSNQ [sage] 投稿日：2006/02/10(金) 23:07:42 ID:joX/G8il0
前スレ
いうおいおｒうぃじょｆと知的トークするスレ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996/

ルール：
sage進行を心がけよう。

>>524
あっ、悪い!!

そんならビウレット反応しめさないからジペプチドで
キサンとプロテイン反応しめすからベンゼンはある
で、元素分析から炭素と酸素は５：１
結合すると酸素は３だから炭素は１５(カルボシキル其以外酸素無いから)
フェニルアラニンは炭素９でそれが６だと１５でぴったり

もしメチオニンだと硫黄は酸素の倍の質量持ってるから
硫黄だけで元素分析で１０％超える
で窒素が無いからだめ

わかんなかったらすまん
もう寝る

なるほどね…、その議論を頭の中でやって解答では省略してたのか…。
助かった!!こんな低レベルな質問に答えてくれてさんきゅう!!それじゃ、場違いは退散(^^ゞ

xyz空間内でx軸を軸とする半径1の直円柱と直線x=y-1=0を軸とする半径1の直円柱の共通部分の体積をVとする。
V＜3を示せ。

>>268の解答
�@100ml�A58.4ml�BN2O4�C4�D成分気体の分圧をNO2 0.19atm,N2O4 aatm,NO batm,
N2O3 catmとすると0.19+a+b+c=1,a/(0.19)^2=8.75,c/0.19b=0.48
N/O=1.356/2.219 x=1.6

あぶねっ落ちるとこだった

>>498
京都の過去問

問題がないと誰も書き込まないようなので1日3題ずつ投下します。

先頭車両から順に1からｎまで番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧2とする。
各車両を赤色、青色、黄色のいずれか１色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。

次のサイトの問題を全て答えよｗ
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

上のが1−1です。

1−2
箱のなかにｎ個(ｎ≧3)の球があり、連続したｎ個の整数a,a＋1、・・・・・a＋ｎ−1がそれぞれの球に1個ずつ記されている。以下では、ｎの値は知らされているが、aの値は知らされていないものとする。
(1)
この箱から無造作に1個の球を取り出し、記されている整数を調べる。ただし取り出した球は箱に戻さない。これを繰り返してＸ回目に初めてaの値がわかるものとする。
Ｘの期待値E(Ｘ)を求めよ。
(2)
この箱から無造作に1個の球を取り出し、記されている整数を調べて箱に戻すことをｋ回繰り返す。この操作によりaの値がわかる確率を求めよ。

1−3
ｎを２以上の自然数とする。x(1)≧x(2)≧・・・≧x(n)およびy(1)≧y(2)≧・・・≧y(n)を満足する数列x(1)、x(2)、・・・x(n)およびy(1)、y(2)、・・・y(n)が与えられている。
y(1)、y(2)、・・・y(n)を並び替えて得られるどのような数列ｚ(1)、ｚ(2)・・・ｚ(n)に対しても

Σ[k=1,n]{x(j)−y(j)}＾2≦Σ[k=1,n]{x(j)−ｚ(j)}＾2

が成り立つことを証明せよ。

>>534
2n^2-4n+5 ?

>>534
ゴミ問だけど一応

赤色で始まる塗り方をA(n)、青色で始まる塗り方をB(n)、黄色で始まる塗り方をC(n)通り
として漸化式を立てれば規則によりn≧1として
A(n+1)=A(n)+B(n)+C(n)・・・�@
B(n+1)=A(n)・・・�A
C(n+1)=A(n)・・・�B
�@�A�BよりA(n+2)=A(n+1)+2A(n)
A(1)=B(1)=C(1)=1 A(2)=3 B(2)=C(2)=1より
A(n)={2^(n+1)-(-1)^(n+1)}/3 B(n)=C(n)={2^n-(-1)^n}/3
求める場合の数はA(n)+B(n)+C(n)={2^(n+2)-(-1)^(n+2)}/3・・・答
これはn=1のときも成り立つ。

>>539
傲慢な性格だねぇ……そのくせ、自分が解けない問題は数学科のオナニー問か。
>>534だってスレの事考えて出題してくれてるのに、無視するならともかく、ゴミ呼ばわりかよ。

京大の2005年だな

その数学科のオナニー問を投下しても解いてもらえないすねるマンですか？W

X^4+Y^4=Z^4を満たす自然数X,Y,Zは存在しない事を示せ。(ﾌｪﾙﾏｰの定理よりは無しで)←これノーﾋﾝﾄで出来たら数学科にいっても大丈夫というか本当に数学者になれる
高校の知識で解けます




すう折より格段に難しいらしい解けたら数学者になれるとか言う問題をやるのと入試に出るくらいのレベルの問題
やるのとどっちが入試に役たつと思いますか？W

>>543
そうじゃなくて、そう思うなら書き込まなければ良いだろ。
わざわざ、書き込まれた問題に対して失礼に当たるようなことを書くという行為に対して
俺は文句を言っているわけ。


その程度のことも分からん？

>>539の書き込みにしろ

赤色で始まる塗り方をA(n)、青色で始まる塗り方をB(n)、黄色で始まる塗り方をC(n)通り
として漸化式を立てれば規則によりn≧1として
A(n+1)=A(n)+B(n)+C(n)・・・�@
B(n+1)=A(n)・・・�A
C(n+1)=A(n)・・・�B
�@�A�BよりA(n+2)=A(n+1)+2A(n)
A(1)=B(1)=C(1)=1 A(2)=3 B(2)=C(2)=1より
A(n)={2^(n+1)-(-1)^(n+1)}/3 B(n)=C(n)={2^n-(-1)^n}/3
求める場合の数はA(n)+B(n)+C(n)={2^(n+2)-(-1)^(n+2)}/3・・・答
これはn=1のときも成り立つ。


って書けば、OKじゃねーかよ。どうして最初の一文を加えたの？
理由説明してみ？

モラルの話なんてどうでもいいんじゃない？
どうせｽﾚ主は>>1なんだし。

同意

ちなみにいうおいは簡単な問題をいつもゴミ問って言ってる

マジになるなよ。洒落スレじゃん。ｗ
いやなら、書き込まなきゃいいじゃん。
罵倒しようがスルー使用が勝手。
このスレのルールはたったひとつ。

スレ汚し避けるためこのレスに全てをかけよう。



















２ｃｈにモラルも糞もありません。
戦わなきゃ現実と＝理�V首席２００６がよい例です。

>>1-549
(　´,_ゝ｀)ﾌﾟｯ

　　　　　　　　　　　　 ,|　　　.ノ　　　,,丶　　　,!　　　.|
　　　　　　　　　　　　/　　　.|　　　 .″l　　　 ,/｀　　　l″
　　　　 　 　 　 　 　 |　　　 丶　＿　　　　.,!　　　　　ヽ
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　　　　　　　　　　　　 ″'．　　　　　,ト ｀i、　 ｀i、　　　 .、″
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　　　　　　　　　　　　　`　 .,-''ヽ"｀　　　　ヽ,,,、　　 !
　　　　　 　 　 　 　 　 、,、‐'″l‐、　　　　　 .丿 : ':、
　　　　 　 　 　 　 　 、/ヽヽ‐ヽ、;,,,,,,,,,-.ッ:''｀　　.,"-、
　　　 　 　 　 　 　 ,r"ツぃ丶　 ｀｀｀｀｀｀　　　..／　 ｀i、
　　　　　　　　　　,.イ:、ヽ／ー｀-、-ヽヽヽ、−´　　　 .l″｀-、
　　　　　　　　 _,,l″-:ヽ,;、、　　　　　　　　　　　　 、、丶　 ″i、,,、
　　　　　　　 ,<_ l_ヽ冫｀'｀-、;,,,、、、、.............,,,,、.-｀": 　　　│ ｀i、
　　　　　 、、::|、、、ヽ,、、.　　　　｀｀｀: : : ｀｀｀　　　　　　、.、'｀　　.|丶、
　　　　　.l","ヽ、,"、,"'、ぃ、、,、、、、.、、、.、、、_、.,,．ヽ´　　　　l″　 ″).._
　　　 ,、':″l:、、｀:ヽ、｀:、　 : ｀"｀｀｀¬――'''"｀″＾｀　　　　　: ..、丶　 .l″ ｀ヽ
　　　,i´.、ヽ".、".、"'ヽヽ;,:、........、　　 　 　 　 　 、、...,,,、−‘｀　　 、‐　　 |″″:‐,
　 ,.-l,i´.、".`ヽ,,,.".｀　　　｀″″'"｀'-ー"｀｀"｀｀r-ー｀'":　　　　　 _.‐′　　丿　 ,!
　j".、'ヽ,".、".、"`''｀ー、._、、、　　　　　　　　　 　、._,、..-‐:'''′　　 .、,:"　　丿
　″l,"`"`''ヽヽ"`"｀　 ｀｀｀″'''"ヽ∠、、、、ぃ-｀''''": ｀　　　　　　、._.／｀　 ._/｀
　 ｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ーi、、、: : 　　　　　　　　　　　　　　　　　 、.,-‐'｀　　 、／｀
　　 ｀`ヽン'`"｀　 : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾　　　　,、‐'"｀
　　　　　 `"'″―-、,,,,..、、　　　　　　　　　　　　　　　 　: ..,、ー'"'｀
　　　　　　　　　　　: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""

理�Uワロスｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>550-551
ラーメン屋でバイトしろよ

>>534
a_n：条件を満たす塗り方の数
r_n：条件を満たし最後尾が赤の数
o_n：条件を満たし最後尾が赤以外の数
a_n = o_n + r_n;
r_(n+1) = a_n;
o_(n+1) = 2*r_n;
∴o_(n+1) = 2*a_(n-1);
∴a_(n+1) = a_n+2*a_(n-1);
メンドイので以下略
a_n=(1/3)*(2＾(n+2)-(-1)＾(ｎ-2))

このスレ的には簡単すぎるわねｗ

ちょ・・・>543俺の出した問題wwwn厨って奴が出来るみたいだけど、そいつ解いてくんねぇーかなww
後俺も東光志望の受験生だからな、何度も言うようだがww

ひんと１　X^4+Y^4=Z^2を満たす自然数X,Y,Zは存在しない事を示せばいい
ひんと２　ピタゴラス方程式
ひんと３　無限降下法

問題
m,nを互いに素な自然数とし、片方は偶数とするとき、
2(m^3n−mn^3)が平方数になるようなものは存在するか？

砂時計とその中の砂に入ってる砂について、形大きさの情報のうち必要なものを適当な文字で置いて
砂時計の砂が下に落ちきるまでにかかる時間を推測せよ


>>544
ここはいうおいスレである以上いうおいが言うことのほうが正しい

>556 ナイスヒントw俺が知ってるのは楕円曲線って奴にもちこんで無限降下法だけど

>>559
それは高度すぎて出来る奴おまいくらいだよｗｗｗ

>>559
二次体用いる解法もある。どのみち降下法使うけど。

>560 いや解法をただ知ってるだけだからww無限降下法なんて発想が俺にはありませんがなww

>>543
ピタゴラス数を一般表示して平方数になる組が無いことを示せば終わる

珍しく過去問解いたりしてたww
なんか荒れてるww

簡単という噂の2002年数学1時間半で5完したところで集中力が切れて投げたorz
本番2時間半とか集中力持たない。。。

>>563
前やったとき、ピタゴラス数の一般解求めるとこまでは行ったんだけど、
平方数の組にならないのを示す方法がどうも思い浮かばなかったんだよなあ。
無限降下法とかで示せるんですか？

>>557
2(m^3n−mn^3) = 2mn(m+n)(m-n) = k^2とおくと
右辺は正だからm>n……�@
左辺はmで割り切れるからｋはmで割り切れる
よってk = mk'とかけるので代入して、
2n(m+n)(m-n) = mk'^2
右辺はmで割り切れるので左辺もmで割り切れる
m,nは互いに素であるからm = 2(∵m=1とすると�@を満たす自然数nが無いから)
よってn=1
このとき2(m^3n−mn^3) = 12となり平方数ではないから、
2(m^3n−mn^3)が平方数となるようなm,nは存在しない。


なんか回りくどくなっちゃいました。

ほいっ

正なる数a(1)、・・・、a(n)に対し、その総和をS、全ての積をPとする。
このとき、次の不等式を示せ。
　Σ[k=1,n]1/(S-a(k)) < (S/P)^{1/(n-1)}

>>566
相加相乗ねたおつぅW

以前のいうおいに戻ったwww

>>567
解答はだいぶ違うみたい

>>566
a1 = 1、a2 = 2としてみると
1/1 + 1/2 < 3/2が成り立たない気がするんですが……

ありゃ、「a(1)、・・・、a(n)（n≧3）」が抜けてました

だいぶレベルが上がってきたな
ヒントを元に>>543かんがえてみようかな
>>566でもいいけど

フェルマーの定理の混乱に乗じて不定方程式の問題を出題

y^2=x^3-16x+16の整数解の個数を求めよ
x^2-11y^2=7の整数解は存在するか調べよ(判定だけで良い)
x^3+xz^4-y^2=0 は(x,y,z)=(0,0,0)以外の整数解を持たないことを示せ

>>573
ちょwww最初の楕円曲線wwww

>>574
2,3番目も(難しいかどうか)考えてみて

ここに出すってことは初等的な解答があるんだろうけど、
わざわざ、確立された理論があるのに初等的に考えるって
意味あるのかね？

眠れない。生活リズム完全に狂ってるな。
勉強やる気も出ないんで以前挫折したこれ再チャレンジしてみた。

>>543
X^4 + Y^4 = Z^4⇔(X^2)^2 +(Y^2)^2 = (Z^2)^2よりピタゴラス数の一般解から
m,nをm>nである自然数として、X^2 = m-n Y^2 = 2mn Z^2 = m+nと表せる。
m,nの最大公約数をdとしm = m'd n= n'dとおけば
(Y/d)^2 = 2m'n'ここで右辺はm'n'の倍数だから左辺は(m'n')^2の倍数
よってm'n' = 1,2であるがm>nよりm'=2,n'=1
すなわちX^2 = d、Z^2 = 3d
∴X^2 = 3Z^2であるがこれを満たす自然数X,Zは存在しない。

∴示された

最初に解いたときなんで気づかなかったんだろう。謎。

ぐあ。
Z^2 = 3X^2
です。

俺の答案必ずどっかにタイプミスがあるなw

12^2=2*(8*9) but 12^2 is not divsible by (8*9)^2

>>576
より初等的な方法で解けることに意味がある

答案見直してて吹いたwwwピタゴラス数間違ってるしww

やり直す。
なんでこんなアホなんだかorz

問題
m,n(m>n)を互いに素な連続しない二つの自然数とし、片方は偶数とするとき、
m^2-n^2が平方数になるようなものは存在するか？

>>543というか

>>54
X^4 + Y^4 = Z^4⇔(X^2)^2 +(Y^2)^2 = (Z^2)^2よりピタゴラス数の一般解から
m,nをm>nである自然数として、X^2 = m^2-n^2 Y^2 = 2mn Z^2 = m^2+n^2と表せる。
m,nの最大公約数をdとしm = m'd n= n'dとおけば
(Y/d)^2 = 2m'n'ここで右辺はm'n'の倍数だから左辺は(m'n')^2の倍数
よってm' * n' = 1 or 2であるがm>nよりm'=2,n'=1
X^2 = 3d^2 Z^2 = 5d^2すなわち5X^2 = 3Z^2であるが、
これを満たす自然数X,Zは存在しない

∴示された

ちげーし
(Y/d)^2 = 2m'n'ここで右辺はm'n'の倍数だから左辺は(m'n')^2の倍数
こんなの成り立たないorz

12^2=2*(8*9) but 12^2 is not divsible by (8*9)^2
じゃん。

いうおい様にまかせる。

>>582
m = 17,n = 8とすると
m,nは互いに素で連続しない2つの自然数で、片方が偶数である、
m^2 - n^2 = 289 - 64 = 225 = 15^2でm^2 - n^2は平方数であるから
確かに存在する。

ひょっとして誘導の設問だったりするんですか？

>>585
すみません。勘違いしてました。

>>537が分からん

直角三角形の3辺の長さの和が1である時、斜辺の長さの取りうる値の範囲を求めよ

半径1の円周上の2点A,Bに対し、弦ABの長さをa、弦ABと劣弧ABに囲まれた部分の面積をSとする。
lim[a→0]S/a^3を求めよ。

ｘの多項式で表される関数y=f(x)がy=x*dy/dx+1/4(dy/dx)^2を満たす時y=f(x)の存在する範囲を求めよ

取り敢えず>>557を解けば>>54は解決だよ。

と思ったら更にヒントが(ry

>>566
a(1)〜a(n) (n≧3)は全て正数なので相加相乗平均より
S-a(k)≧(n-1)P^(1/(n-1))/a(k)^(1/(n-1))
⇔1/{S-a(k)}≦a(k)^(1/(n-1))/(n-1)P^(1/(n-1))がk=1〜nで成立する。
よって、�納k=1〜n]1/{S-a(k)}≦�納k=1〜n]a(k)^(1/(n-1))/(n-1)P^(1/(n-1))
y=x^(1/(n-1))を考えれば、y''=(2-n)/(n-1)^2*x^{(3-2n)/(n-1)} n≧3よりy''＜0
よって�納k=1〜n]a(k)^(1/(n-1))≦(S/n)^(1/(n-1)){>>463と同様な証明方法で
f''(x)＜0を満たす関数f(x)は{f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn)}/n≦f((x1+x2+・・・+xn)/n)
を満たすことが導かれる。}ここで1/n^(1/(n-1))とn-1の大小を比較する。
対数をとれば-(logn)/(n-1)＜log(n-1)(∵n≧3)が分かるので、
1/n^(1/(n-1))＜n-1⇔(S/n)^(1/(n-1))＜(n-1)S^(1/(n-1))これより
�納k=1〜n]a(k)^(1/(n-1))＜(n-1)S^(1/(n-1))⇔{�納k=1〜n]a(k)^(1/(n-1))}/(n-1)P^(1/(n-1))＜(S/P)^(1/(n-1))
以上より�納k=1〜n]1/{S-a(k)}＜(S/P)^(1/(n-1))が示された。

相加相乗は使ったけどなんかぱっとしないな

正の数a,bに対して
(a^b)+(b^a)＞1を証明せよ。

取り合えず固唾けられるものから固唾家テイクか

>>588
直角をはさむ2辺の長さをa,b斜辺の長さをcとするとa,b,c>0 a+b+c=1 a^2+b^2=c^2
この条件を満たす正の数a,bが存在するような正の数cの範囲を求めればいい
ab平面で考えて√2-1≦c<1/2だろ？Ｗ

>>589
S=(a-sina)/2
sina=a-a^3/3!+(a^5以上の項)
S={a^3/3!-(a^5以上の項)}/2
よってS/a^3={1/3!-(a^2以上の項)}/2
よってlim[a→0]=1/12

マクローリン展開以外思いつかなかったｗｗｗ

a^b+b^a>0^b+b^0>0^0+0^0=1

>>594
a(a＞0)を固定してx＞0でf(x)=a^x+x^aとして
f'(x)=a^x(loga)+ax^(a-1)＞0(x＞0,a＞0)よりf(x)は単調増加関数
よってf(x)＞f(0)=1という感じかな

>>598>>599
おまいらｗｗｗ

フェルマー問題は又しばらくしたら考える

まだ未解決問題も結構あるし

勉強落ち

平面上に赤い点がn個、青い点がn個ある。
この時、赤い点と青い点を線分で結んでいく事を考える。
その際に各点からちょうど1つの線分が出ているように出来る事を証明せよ。

平面上にn個の点がある。このn個の中からどんな2個の点を選んでも、
その2つの点を結んだ直線上に別の点があるという。
この時、n個の点は全部同じ直線の上にある事を証明せよ。

602よりは難しい問題よ。

>>602
赤1赤2青1青2
がこの順に一直線上に並んでいるとき、
赤2青1
赤1青2
この結び方でも
赤1青1
赤2青2
この結び方でも
赤2から線分2本出ません？

半径aの円Ｔの中心軸ｌと角π/3をなして交わる直線mの周りにＴを回転させる時
常にＴの内部に含まれるような点の全体が作る立体Ｖの体積を求めよ。ただし
Ｔの高さは十分大きいとする。

>>594
b^a+a^b=2e^(bloga)+e^(alogb)
≧2e^{(bloga+alogb)/2} (凸不等式)
≧2e^(aloga)=2a^a

(x^x)'=(1+logx)x^xよりx=1/eのときx^x(x>0)は最小
よってb^a+a^b≧2(1/e)^(1/e)>1(∵2<e<3)

>>597
あれ？なんか俺のと結果が違う。。。

OからABに下ろした垂線の足をM、∠MOA = θとおくと、
a = 2sinθ、S = θ - sinθcosθ
よってlim[a→0]S/a^3 = lim[θ→0](θ-sinθcosθ)/8sin^3 θ
= lim[θ→0](θ-sin2θ/2)/8sin^3θ
ロピタルの定理より
(与式) = lim[θ→0](1-cos2θ)/16sin^2θcosθ
= lim[θ→0](1-cos2θ)/8(1-cos2θ)cosθ = lim[θ→0]1/8cosθ

∴与式 = 1/8

まともに計算できなかったのでロピタルで逃げww

あ、いうおい様弦と弧を読み違えてるみたいだ……

>>604
あ、ごめん。3つの点が同一直線上に存在する事は無いって条件忘れてた

本とだ

方程式を解け。 x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))


解答とは違うけど、地道に力技でもなんとかなんのかな

その記号使うやつはN厨だな

それって誰さん？

>>54
できたー　ヒントありでも結構きついなこれ

x^4+y^4=z^2を満たす自然数が存在すると仮定する。・・・＊
するとx^2=2mn・・・�@　y^2=m^2-n^2・・・�A　z=m^2+n^2・・・�B(m＞n)
ただしm,nは互いに素な自然数でm,nのどちらか一方は偶数、もう一方は奇数。
�Aでmを偶数、nを奇数とすればy^2は奇数となるのでyは奇数。ところでm^2は
mが偶数なのでm^2≡0(mod4){以下全て4を法とする。}であるが、�Aでy^2≡1,n^2≡1
よりm^2≡2となり矛盾する。よってmは奇数でnが偶数である。それに加えて�@より
m=s^2 n=2t^2とかける・・・�C　�Aよりy=u^2-v^2 n=2uv m=u^2+v^2 と書ける。
uv=t^2 よりu=p^2 v=q^2と書けるのでm=p^4+q^4=s^2(∵�C)。ところでz=m^2+n^2=s^4+n^2＞s
よりこれで(x,y,z)よりも小さい自然数の組(p,q,s)が作られたことになるが、今まで
の操作を繰り返すことでこの組はいくらでも小さく取れることになるので矛盾する。
よって＊は成立せず、x^4+y^4=z^2を満たす自然数(x,y,z)は存在しない。
ここでz=α^2と置けばフェルマーの最終定理のn=4の場合が証明される。

数学科のオナニー問ができたW

>>598
>>599
>>606

不正解

>>607
式合ってるよ。計算が違う

(与式) = lim[θ→0](1-cos2θ)/16sin^2θcosθ←ここが16じゃなくて24

>>603のヒント
対偶
点と直線の距離

>>614
無限降下法って高校の範囲じゃないしそれじゃ不十分じゃなかったっけ

>614 正解だと思うけど、出来れば無限降下を知らない奴に自力で見つけ出してって無理かww・・・とりあえず整数問題でやった事ないような解法だと思うから面白くない？因みに何度も言うようだけど数学課志望の受験生だからな、誤解しないでくれww

>618 無限降下法自体十分高校の理解範囲内では？

nの2の冪の指数が2ずつ下がることを言って、
n＝2s^2(sは奇数)のとき、解を持たないことを示さないといけない。

昔９スレで少し話題になってたな、無限降下法

参考書に普通に載ってることじゃん･･･････

>>619
それより、ピタゴラス数の一般表示を導き出す方が難。今は皆知識として知ってるけど。

無限降下法の問題なんて大学入試でも普通に出るよ
例　xy平面において各頂点が格子点である正五角形は存在しないことを示せ

>624 まぁね、だから俺が知ってる模範解答はy^2=X^3-Xが(0,0)と(±1,0)しか有利点を持たないって事を示すって方法だな。。

√2が無理数であることの証明も無限晃下方でいける品W

言っとくけど結構回答は略してあるよ
厳密にやると大変だからな

じゃあピタゴラス数の一般表示を導くのを次の課題にするかW

いうおいじょって後期数学選択or物理選択？Ｗ
あと今年のＷ大の問題ですが解けないんで解いてください
サイコロ4回振って出た目を順にx,y,w,zとする時(x-y)(y-w)(w-z)(z-x)=0となる確率は？

？実は意外と楽に示せる？

書くのめんどくせえｗｗｗ明日西よ

y=zかそうでないかで場合分けするだけ瞬殺でないの？

前者の場合の数6*5*5通り
後者の場合の数6*5P2*4通り
よって求める確率は(6*5*5+6*5P2*4)/6^4=(25+80)/216

∴35/72

訂正

の余事象の確率で
37/72

>>いうおい様信者＠携帯様
解いていただきありがとうございました

何この頭の良さそうな集団？
同じ人間なのか？

634の答え本当に合ってるの？？

実数x,y,zがx+y+z=πを満たして動く時、点P(cosx,cosy,cosz)の描く曲線で囲まれる立体の体積を求めよ

[tan(3^100)]を求めよ

無理

Ａn+1＝(1/Ａn)-1

α+β+γ+δ=π、α>0、β>0、γ>0、δ>0のとき、sinαsinβsinγsinδの最大値を求めよ。

>>642
一瞬京大の過去問かと思ったがよく見ればγがあるなｗ

>>637
考え方としては余事象が、w,x,y,z,w（←zのとなりにもwを持ってくる）
の隣り合う二つは全て異なるだからそれを利用する。
yの決め方がx = zのとき5通りでx ≠ zのとき4通りってのを見抜くだけ。

答え見てないから計算あってるかどうかはわからないけど。

4つだろうが5つだろうが変わりないな

ついでに解決待ち問題一覧にしておきます。
ご利用ください。

＞16 ＞58 ＞70 ＞169 ＞214
＞281 ＞287 ＞321 ＞366 ＞390
＞395 ＞401 ＞452 ＞453 ＞457
＞529 ＞536 ＞537 ＞594 ＞602
＞603 ＞625 ＞629 ＞638 ＞639
＞642

アンカー数の制限があるみたいで、>>を使うとエラーが起きたw
＞でも2chブラウザで見ればアンカーになるから問題ないよね。

>>642
log(sinx)=f(x)で
とつ関数の性質利用して瞬札かな？>>463

>>287の(1)は (3√3)/4かな。

>>646
good job!いうおい様信者は頭脳明晰な上に上品で気の利く素晴らしい人ですね。

いうおいさんはじめまして。東大志望者でない高3男です。
よろしくお願いしますね。
いうおい氏と知的トークするスレの問題で，
「y≦x+2,y≧x^2を満たす領域に半径rの円がある。rの最大値を求めよ。」
っていう問題があったんですが，これってどうやって解くんでしょうか？
今ひとつすっきりしないのでよければ教えてください。
大抵の場合，放物線と円の問題って，ｙ=ax^2，y=k っていう左右対称
パターンですが，本問題の場合，左右非対称ですよね。このパターンについては
習熟してないので，よければ時間の空いたときなどにお願い致します。
お互い忙しい時期ですが・・。

僕が最初考えたのは，求める円の中心は，
領域 y≦x+2，y≧x^2 の「重心位置」なのかなと思ったんだけど，
イマイチ確証がないんです（´Д｀;）。

21 名前：ロイド・アーヴィング ◆eJYTdojSNQ 投稿日：2004/02/27(金) 13:39
おっ！こんなとこにテイルズスレがある！！
でも・・・これって・・・かなりマズくないか？誰もいねーじゃん・・・。
・・・もったいないからさ、とりあえずレスつけとくぜ。


22 名前：ロイド・アーヴィング ◆eJYTdojSNQ 投稿日：2004/02/27(金) 13:56
上げ忘れてた・・・。
いうおいのトリップに注目ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>642
相加相乗でいい希ｶﾞｽ

>>650
やり方は２通り。
y=x+2,y=-x+2
の２直線に接する円と、放物線が接する条件を求めるか、
y=x^2
に接する円と、直線が接する条件を求めるか。
r=(3-√2)/2
のとき、最大となる。計算力オンリー。何の感動も得られません。ｗ

>>642
条件より
各sinの値はすべて正
よって相加相乗平均の関係より

sinα＋sinβ＋sinγ＋sinδ≧4(sinαsinβsinγsinδ)^(1/4)

等号成立はα＋β＋γ＋δ＝πより
各sin＝sin(π/4)のとき
よって求める最大値は1/√2

ﾐｽあったら指摘よろ

とりあえず一問撃破（かな？）です。

>>16
X^2 + Y^2 = 3においてX = n/m Y = q/p（ただしm,nは互いに素な整数p,qも同様）
であるような有理点(X,Y)が存在したとする。
代入し、両辺の分母を払ってn^2p^2 + m^2q^2 = 3m^2p^2
m^2q^2 = (3m^2 -n^2)p^2ここでp,qは互いに素だからm^2/q^2は整数。
n^2p^2 = (3p^2 - q^2)m^2ここでm,nは互いに素だからp^2/m^2は整数。
よってm^2 = q^2であるから、

n^2 + q^2 = 3m^2となるここで両辺を4で割った余りを考える。
任意の整数について、（整数）^2≡0,1である……☆
m≡0,2のとき右辺≡0であるが、m,nは互いに素であるからn≡±1
つまりn^2≡1となりq^2≡3でなければならないが、☆よりこのような整数qは存在しない。
m≡±1のとき右辺≡3である。ところが☆より左辺≡0,1,2にしかならないから、
このようなm,mは存在しない。

∴X^2 + Y^2 = 3に有理点が存在しないことが証明された。

>>655
等号が成り立つとき右辺が最大とは限らないから、
等号が成り立たたなくて、かつ右辺が等号が成り立つときよりも大きくなる
って可能性を無視してる。

>>16は不定方程式の知識が何も無い状態だと示すのつらいけど、
フェルマーの最終定理のn=4の時の証明やった後だと簡単に思えますねw

訂正
×p,qは互いに素だからm^2/q^2は整数。
○p,qは互いに素だからm^2/p^2は整数。
×よってm^2 = q^2であるから
○よってm^2 = p^2であるから

×等号が成り立つとき右辺が
○等号が成り立つとき左辺が

>>657
相加相乗にそういう状況ありましたっけ？

問題ないと思うよ
全部正数なら必ず成り立つ式だし

あ　でもsinα=sinβ⇔α=βじゃ内もんな

>>670
ｻﾝｸｽです

問題ないか
撤回

安価ﾐｽorz
>>661
α＋β＋γ＋δ＝πかつsinα＝sinβ＝sinγ＝sinδを満たすα,β,γ,δはπ/4以外にない
ことを厳密に証明要ですか？

>>663
ですよね焦りました

>>664
明らかに0＜α,β,γ,Δ＜πだからsinα=sinβ⇔α=β　or　α+β=π　だが後者の場合γ+Δ=0になってγ,Δ＞0だから題意に会わない
だからこの場合はα=β

>>660
sinα＋sinβ＋sinγ＋sinδがα=β=γ=δ＝π/4のとき最大って保証がない
結果としてはあっているが


凸関数の性質よりsin((α＋β＋γ＋δ)/4)≧(sinα＋sinβ＋sinγ＋sinδ)/4を用いて
sinα＋sinβ＋sinγ＋sinδが最大であることを示す

答案にするなら666のコメントは必要だな

>>655の議論は

「区間[a,b]でf(x)≧g(x)が常に成り立ち、
x=c (a≦c≦b)のとき等号は成立する。
このときg(x)はx=cのとき最大である」

こういうありがちな誤解に基づいている。

いうおいでも勘違いすることあるんだな。。。
>>647って言ってる時点で本番では間違ってなかっただろうが

確か似そうだｗｗ
スマン　頭犯し方

(相加平均)≧(相乗平均)
の式は、
等号が成立するとき(相乗平均)は最大
が成り立たないということでFA？

>>669
f(x)=定数の場合は成り立つよな

>>672
最大になる場合と最大にならない場合の両方がある、だな。

例えばx+y=1(x,y正)のときのx^2yの最大値を求めよという問題で

(間違い)
2文字の相加相乗より2√x^2y≦x^2+y
等号成立はx=y=1/2のとき
だからx=y=1/2のときx^2yは最大値1/8をとる

(正しい)
3文字の相加相乗より3{(x/2)^2y}^(1/3)≦x/2+x/2+y=x+y=1
等号成立はx=2/3、y=1/3のとき
だからx=2/3、y=1/3のときx^2yは最大値4/27をとる

>>673
669はx=cのときf(x)が最大という条件さえ加えれば真だから
f(x)が定数のときは当然x=cでもf(x)は最大だから成り立つな。

いうおい乙

解きやすいところから

>>287
�@Rb+のイオン半径をr、質量をm、Cl-のイオン半径をR、質量をMとおいて、
それぞれの構造について単位格子を考えると、
NaCl型　格子定数a = 2(r+R)　質量4(m+M)　密度d
CsCl型　格子定数A = 2(r+R)/√3　質量(m+M)　密度D
よってD/d = 4(m+M)/a^3 / (m+M)/A^3 = (1/3√3)/4 = 3√3/4
∴3√3/4倍

�APCl3分子は正四面体構造をしているため、考えられる分子はそれぞれ
35Clを0,1,2,3,4個含む、5つである。
35Clをn個含む確率をP(n)とおけば、P(n) = (4Cn * 3^n)/4^4
P(0) = 1/4^4 P(1) = 4*3/4^4 P(2) = 6*3^2/4^4 P(3) = 4*3^3/4^4 P(4) = 1*3^4/4^4
よって最大になるのはn=3のとき、最小になるのはn=0のときなので、
求める値はP(3)/P(0) = 4*3^3 = 108
∴108

�B2SO2 + O2 = 2SO3の平衡に達する。このときのSO3の物質量をn molとおけば、
SO2は2-n mol O2は1-n/2 molよって総物質量は3-n/2 mol
体積温度が一定だから圧力は分子の数に比例
よって3 * 0.8 = 2.4 = 3-n/2ゆえにn=1.2
よってSO2は0.8 mol O2は0.4 mol SO3は1.2 molであるからそれぞれの分圧は
pSO2 = 0.8 * 1/3 pO2 = 0.8 * 1/6 pSO3 = 0.8 * 1/2
ゆえにKp = (0.8 * 1/2)^2 / {(0.8 * 1/3 )^2 * (0.8 * 1/6)}
=(9 * 6)/(0.8 * 4) = 27/1.6 ≒17
∴Kp≒17

タイプがきついw

ID:soYu2lNBO
説明が分かりにくかったですね、すみません。

みんな説明うまいなあ。

意味わかんないしorz

訂正
�APCl3分子はP原子を頂点とする正三角錐構造をしているため、考えられる分子はそれぞれ
35Clを0,1,2,3個含む、4つである。
35Clをn個含む確率をP(n)とおけば、P(n) = (3Cn * 3^n)/4^3
P(0) = 1/4^3 P(1) = 3*3/4^3 P(2) = 3*3^2/4^3 P(3) = 1*3^3/4^3
よって最大になるのはn=3,2のとき、最小になるのはn=0のときなので、
求める値はP(3)/P(0) = 3^3 = 27
∴27

俺の脳内ではリンの酸化数は+�Wを取るようですww

いうおい様信者普通に今年東大受かるだろｗ

ってかいうおい様信者って工3じゃないの？

>>680
高三ですよ

だよな。普通に離散受かるんでない？志望は理�T？

理�Tです。今年は落ちると思う。
過去問合格最低点に達したことないし

>>654
ありがとうございます。

>>683
受かると思いますＹＯ

いや、英国がよほどできない(全島で偏差値40)とか以外は受かると思うがな。知り合いに数110理110英10国10(センター英語140くらい)で切り抜けた奴が板。

>>684
あ、９−ｍａｎの掲示板の方ですよね。こんばんは。

>>685
ﾜﾛﾁwwww
そんなに数学理科出来るのになんで英国出来ないんでしょうねw

俺はまさに全島で偏差値40って感じです。
河合の全統で偏差値合計50で英語は39www

ﾐﾘw

>>686
よろしくおながいします。
英語より物理の方がはるかに難しいと思うんですが・・。

>>674
亀レスですが�dｸｽです

１から２００までの整数が１つずつ記入された２００枚のカードの入った
箱がある。この箱から１枚のカードを無造作に抜き出してそれに書かれた
数が奇数であればその数を得点とし、偶数の場合は奇数になるまで２で割
って得られる奇数を得点とする。たとえば、抜き出したカードの数が２８
であれば、これを２で２回割って得られる７が得点となる。１枚のカード
を抜き出したときの得点の期待値を求めよ。

・・・解説見たけどﾜｹﾜｶﾝﾈｗ　σ(ﾟ∀ﾟ ∬ｵﾚ駄目だー

3331/50

>>598
>>599
これってなんでだめなの？

>>691
勘違いしてた

>>594は簡単そうで正解者なしか

>>594
a≦bとしても一般性を失わない。b≧1のとき不等式は明らかに成り立つので、
0<a≦b<1のとき示せばよい。

このとき、a^b > aかつb^a ≧ a^aが成り立つから
(a^b)+(b^a) > a + a^aここで、f(a) = a + a^aまたg(a) = a^aとおくと
f'(a) = 1 + (1 + loga)a^aであり、g'(a) = (1 + loga)a^aである。
ここでf'(A) = 0、g'(B) = 0とするとグラフの形状よりA>Bが成り立つ。
すなわちA > 1/e よってf(a) > f(A) = A + g(A) > 1/e + g(A)
ここでg(a)の最小値が(1/e)^(1/e)であることに注意すると、
1/e + g(A) > 1/e + (1/e)^(1/e) ≒ 1.06008

よって0<a≦b<1のとき(a^b)+(b^a) > 1である

∴題意は示された。

>>694
a=1のときb→0で(a^b)+(b^a)→1だからおかしくないか？

>>690
不正解

ここでf'(A) = 0、g'(B) = 0とするとグラフの形状よりA>Bが成り立つ。

ここか。A<Bだな。

>>689
6667/100　?

>>698
残念ながら
不正解です

3336/50 ?

>>700訂正
1668/25 ？

>>700
正解です

どう解きました？？＾＾；

失礼
>>701が正解です

>>689
1668/25でました
あー先越されたorz

解けたと思ったらすでに解答が出てたorz

つーか、電卓無いとキツいだろ？ｗ

ところでこの問題はどこで出題されたもの？

だねｗ がりがり計算するだけだｗ

n,m,i,jを自然数とする。(2n-1)*2^iに対して2n-1が得点になる。

�@2^8>200より、1から200までの数字は2を7個までしか素因数に持たないから、
i=0,1,……,7のいずれかを用いて1から200までの数字を(2n-1)2^iの形に表すことができる。

�Ai>jのとき、(2n-1)2^i = (2m-1)2^j とすれば、(2n-1)2^{(i-j)} = 2m-1
より左辺偶数、右辺奇数で矛盾。よって、このときいかなるm,nに対しても
(2n-1)2^i ≠ (2m-1)2^j

以上2点より、求める期待値Eは、
(1/200)Σ{i=0}{7}Σ{(2n-1)2^i≦200} (2n-1)
=(1/200)(1^2+2^2+3^2+6^2+13^2+25^2+50^2+100^2)
=1668/25

>>708わかりやすい解答どうもありがとうございました＾＾
出展は東北大学カコモンです

ってかsinαsinβsinγの問題、なんで凸性利用して上から押さえないとダメなんだっけ？相加相乗だけで事足りる気が…誰か教えてエロい人。

理系にはエロがっぱが多い

ここにいる奴もみんなエロがっぱ!!みんなエロや!!てか質問のやつ分かるけどちょっと時間くれる？

なのはさんがお空をお散歩中、北東100mのところに
なのはさんと同じ高度で真南に秒速100mで飛行中のヴィータちゃんを見つけました。
なのはさんはヴィータちゃんをディバインバスターで狙撃しようと思いました。
ヴィータちゃんがなのはさんの攻撃に気づかないとき、
攻撃を命中させるために最低限必要なディバインバスターの弾速を求めなさい。

オーラロードがっ　開かれたぁ♪

>>713
なのはを原点に、南がy軸の正の方向に、東がx軸の正の方向になるよう座標をとる。
ディバインバスターの弾速をv、速度ベクトルとx軸のなす角をθ（≧-π/4）とし、発射された瞬間をt=0とする。

このとき時刻tにおいてヴィータの座標は(50√2 , -50√2 + 100t)
ディバインバスターの座標は(vcosθt , vsinθt)
ディバインバスターがヴィータに命中する時刻をt1とおくと
50√2 = vcosθt1……�@-50√2 + 100t1 = vsinθt1……�A
�@、�Aからt1を消去して
v/100 = 1/(sinθ+cosθ) = 1/√2sin(θ+π/4)
0≦sinθ≦1より、右辺が最小になるのはsin(θ+π/4) = 1すなわち
θ = π/4のときで、このときv/100　= 1/√2
よって求める最小値はv = 50√2 ≒ 86.6

∴ディバインバスターをヴィータに命中させるために必要な弾速は、86.6 m/s

あ、ちょっと角度の範囲に関する部分がおかしいな。結果は合ってるけど。
0≦sinθ≦1よりってのをv > 0よりに訂正。

……不意打ちするなのはって卑怯じゃないか？www

>>716
無重力じゃないよ。

いうおい(理１上位)さんって現役なの？

>>717
問題文が重力加速度を与えてなかったんで、てっきり無視するのかと思いました。
でも、重力あったらこれを解析的に解くのって不可能になりませんか……？

重力加速度をgとする。鉛直上向きにz軸をとる。ディバインバスターの速度のz方向成分をvzとおけば、
vz*t1 = gt^2/2よりvz = √2g(sinθ+cosθ)/cosθ
よってディバインバスターの速度Vはθを用いて
V^2 = v^2 + vz^2 = 10000/(sinθ+cosθ)^2 +g^2(sinθ+cosθ)^2/8cos^2θ
この極値は計算不能だと思います。。。

tanθ = tとおくと、
sin2θ = 2t/(1+t^2) cos2θ = (1-t^2)/(1+t^2)と書けるので
V^2 = 10000(1+t^2)/(1+t^2+4t) + g^2/(3-t^2)
となりますがこれが極値とるtを与える方程式は4次以上になってしまいます。


うまいやり方があるのかな……

俺もそう思う。初期条件で重力加速度の因子を消去できて、因数分解できなきゃ無理と思う。

710 前に説明してあるとおもうが草加相乗の式で統合が成立するとき相乗の部分が最大をとるとは限らない不等式事態は常に成立するけどな どっちか一方が定数じゃないと最大最小の議論はできない

２度目の挑戦

>>594
a≦bとしても一般性を失わない。b≧1のとき不等式は明らかに成り立つので、
0<a≦b<1のとき不等式が成り立つことを示せばよい。

�@b≧1/eのときa^b + b^a > a + 1 + (logb)*a　（∵b^aの凸性）
ここでlogb≧-1よりa + (logb)a ≧0、ゆえにa^b + b^a >1が成り立つ。

�Ab<1/eのとき不等式の左辺をaについての関数と考え、
f(a) = a^b + b^aとおくと、f'(a) = ba^(b-1) + (logb)b^a
この式にa=bを代入するとf'(b) = (1+logb)b^b < 0（∵b<1/e）……☆
f''(a) = b(b-1)a^(b-2) + (logb)^2b^aとなるが、この関数は、
b(b-1)<0かつa^(b-2)は単調増加、(logb)^2b^aは単調減少より、単調減少である。
よってf'(a)の増減表を考えることにより、
方程式f'(a) = 0は0<a<bにおいて解を3つ以上持つことはない……★
☆、★より結局f'(a) = 0は0<a<bにおいて解を1つだけ持つことが分かる。
さらに、f(0) = 1 、f(b) = b^b + b^b > 2 * (1/e)^(1/e) > 0より、
0<a<bにおいてf(a)>1である。

以上より任意の正の数a,bに対して不等式
a^b + b^a > 1が成り立つことが証明された。


……結局、�Aのときはf(a)に0<a<bで谷が出来ないってことを示している訳ですが、
かなり入り組んでて分かりにくい。

ちょっと待って……違うしw
a^(b-2)は単調増加じゃないよ。

かなり力作の証明なのにこんな間違いしてて凹むorz
考え直す。

1≦X≦Y≦Z,X+Y+Z=nとなる自然数の組(X,Y,Z)は何通りあるかをnの式で表せ。

>>724
これは整数問題にあらず。組み合わせの問題。
「ｎ個のボールを３つの箱に端から少ない順に入れる入れ方は？
　ただし、空の箱は作らないのと、隣の箱と同数になるのは可。」

>725 そうだな。組み合わせの問題

>>携帯いうおい
そっか、思い出したTHX！

nを2以上の自然数とし、cを0以上の実数とする。
実数でない複素数 z がz^n + cz + 1 = 0を満たすとき、
| z^n | ≧ 1/√(n-1)
を示せ。

これの出題者いない？
解と係数いくら駆使してもできないんだがOTL≡3

>>728
いるよ。
せっかく、実数でない複素数っていう条件つけてるんだから、
積極的に活用しなよ。

極形式にしてみるとかさぁ

毛がn本の人間はハゲである…(＊)
これがすべての自然数nにおいて成り立つことを
数学的帰納法を用いて証明する。

[�T]毛が１本のとき
毛が１本の人間は明らかにハゲとみなせる。よって(＊)は成り立つ。

[�U]毛がｋ本（ｋ＝1,2,3,・・・）のとき(＊)が成り立つ、すなわち、
毛がｋ本の人間がハゲであると仮定すると、
毛がｋ＋１本のとき、ｋ本の人間はハゲだから、ハゲに１本毛が生えたところで
ハゲはハゲである。よって、毛がｋ＋１本のときも(＊)は成り立つ。

[�T][�U]より、全ての自然数nにおいて
毛がn本の人間がハゲであることが証明された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終了）

>>728
それ俺も気になってる問題だ。

どこの問題だこれ

範囲外だけどなｗ

新家庭で複素数って範囲ﾃﾞｨｽｶ（´Д｀;）?
いえ、煽りじゃなくてマジレスです
もし範囲だったらﾔﾊﾞｽ

>>733
サンクスw
一瞬死の危険を感じますた

ｎを正の整数とする。
10進法で表したn!について1の位から10^(m-1)の位までの数字が
すべて0で10^mの位の数字が0でないとき、関数f(n)の値をmとする。

lim［n→∞］f(10^n)/10^n　を求めよ。

>>736
ttp://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1140442494/l50

m9（ ´,_‥｀）ﾌﾟｯ

>>730
http://www.rakuten.ne.jp/gold/svenson/column/12.html
より、「n>150000のとき(＊)は成り立たない」

「毛が1本の人間はハゲである」及び
「毛がk本の人間がハゲのとき毛がk+1本の人間もハゲである」
をk=1,2,……,150000にそれぞれ適用すると、
「n=150001のとき(＊)は成り立つ」を得る。∴不合理。

>>728
その命題はnが小さいときにしか成り立たない。

nを2以上の自然数とし、cを0以上の実数とする。
実数でない複素数 z がz^n + cz + 1 = 0を満たすとき、
| z^n | ≧ 1/√(n-1)
が成り立つ最大のnを求めよ。

>>739
んなこたない。範囲外みたいだが、答えだけ書いておく。

z = r(cos(θ) + isin(θ)) 　sinθ≠0
とすると、
z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
cz = cr( cos(θ) + isin(θ) )

従って、
r^n cos(nθ) + crcos(θ) + 1 = 0
r^n sin(nθ) + crsin(θ) = 0
が成立するため、
r^n sin((n-1)θ) = r^n { sin(nθ)cos(θ) - cos(nθ)sin(θ) } = sinθ
r^n = (sin(θ))/(sin((n-1)θ))

また、
| sin((k+1)θ) | = | sin(kθ)cos(θ) + cos(kθ)sin(θ) | ≦ | sin(kθ)cos(θ) | + | cos(kθ)sin(θ) |
≦ | sin(kθ)| + |sin(θ) |　　　---[A]
が成り立つため、
|sin(nθ)| ≦ n|sin(θ)|　　が1以上の自然数nについて成立する。

以上より
| z^n | = |r^n| ≧ 1/(n-1)
| z | ≧ ・・・・・・・


とここまで書いて、出題ミスだったことに気づいた。
スマン

>>740
うぐw
1/(n-1)なら証明出来きてた

>>728の出典は恐らく95年ルーマニア数オリ。
極形式は旧課程。

118:大学への名無しさん :2006/02/23(木) 21:11:55 ID:tqbgK6AlO [age]
ｷﾐ達に直前復習問題をさしあげよう
�@中性子の存在意義は何か
�A電子殻では電子がＫＬＭ…の順ではいるがその理由は
�B1mol/lの塩化ﾅﾄﾘｳﾑ水溶液を調整するとき、まずﾋﾞｰｶｰに塩化ﾅﾄﾘｳﾑを1ﾓﾙ入れて水を適量いれる。その後、ﾒｽﾌﾗｽｺに入れて…省略
この過程でなぜ直接ﾒｽﾌﾗｽｺ内で塩化ﾅﾄﾘｳﾑを溶かさないのか
�CHCl(液)+NaOH(液)の中和熱とHNO3(液)+NaOH(液)の中和熱はほぼ同じであるがHCl(液)とNH3(液)の中和熱は違う。これはなぜか
�DNaCl(固)の水への溶解は吸熱反応でNaOH(固)の水への溶解熱は発熱反応であるがこの違いは何に起因するものか
�E中和滴定のときなどで酸の標準溶液を作る際、一般に塩酸や硫酸を作らない。これはなぜか
�Fﾎﾞﾙﾀ電池の分極の原因３つ
�Gｷﾐは前期日程合格するか





もちろんオレは答えは言わない
なぜかって？わからない人に不安にさせるためさ
でもいわなくても受験生だったらわかるだろ

>>743
７は不適切な設問だよ
分極という概念自体怪しいし

なんで解と係数にこだわったのかイミフOTL≡3
複素数得意のはずが・・・

>>740
c>0を忘れてる

突然だが整数問題出たときのポイントをまとめてくれ

俺はまず合同式でｱﾌﾟﾛｰﾁする

合同式って…なんだっけ（´Д｀;）前日ﾔﾊﾞｽ

ＩＤがＬ

じゃあ皆は東大頑張れよ。俺は東工いってきますわ

ヘロンって覚ゆるべき?

・無理に分数の形にして矛盾を出す
・ルートの中は平方数であることを利用して矛盾を出す
・直線とか放物線とかの式にして格子点を数える
・2^n→二項定理
・aq+bp=1となる(a,b)の存在
・合同式

このぐらいしか思いつかないｗ

有効数字3桁の指数表示で表す問題。
(１)光の速さ毎秒２９．９８万ｋｍ　（ｍ／ｓ）
(２)地球の表面積５．１１億ｋｍ^2　（ｍ^2）
(３)地球の体積１．０８×１０^12ｋｍ^3　（ｍ^3）

有効数字2桁で表しなさい。
（１）水がいっぱいに満たされた風呂(幅８０ｃｍ、奥行き６０ｃｍ)に人が全身を沈めたら深さ１４ｃｍに相当する量の水があふれた。この人の質量は６４．５ｋｇであった。
�@身体の体積はあふれた水の体積と同じである。この人の体積を、ｍ^3の単位で求めなさい。
�A身体の平均密度（ｋｇ／ｍ^3）を求めなさい。

(２)空気の密度を求めなさい。０℃、１気圧の下で、体積２２．４リットルの空気は２８．８ｇの質量をもちます。この状態ｎおける空気の密度をｋｇ／ｍ^3の単位で表しなさい。ただし１リットル＝１０^3ｃｍ^3である。

途中式と答えを教えて下さい(>_<)

誰も書きこんでねぇな、、報告とかしないのか？俺は細かいとこ除けば全完だったぞ数学。。東工はめっちゃ易化だったぞ、東大はどうなの？

東大も京大も易化だ

何で東大受けなかったの？ｗ

>757 俺に聞いてんのか？受からないからに決まってんだろうがww

数学は得意っぽく見えるけど
他が駄目なのか？

数理はまぁまぁだが、英国が無理。
それ以外の主な理由といえば、東工大が好きってぐらいだろ。

>760 理科は普通、英語はちょい苦手、国語は・・・ｾﾝﾀｰ100きったからなwwで東大組はどうなの？いうおいとかいうおい信者とか

国語は２５−６
数学はおそらく四巻に反くらいで９０＋αくらい

来年の予行練習一日目ｵﾜﾀw

>名無しさん
数学、時間切れで（1）しか解けなかったのが二問、小問のミス一問判明で今んとこ三完三半で65くらいかな。国語は多分10点台。

英語高一ﾚｳﾞｪﾙw
物化は授業聞いてた単元（力学と理論化学）だけは取れる。

……ｾﾝﾀの話すると国英は足して9割は行ったんだけど、記述だと実力出るからつらいですねw


昨日四時まで眠れなかった。緊張とかじゃなくて多分体内時計が物故割れただけだがwww

それじゃ、みなさんの健闘を祈ります。

>762 余裕じゃんww上位合格出来そうだな
>763 国語10点は無いだろww数学も80位いってんじゃね？

じゃあ明日も皆頑張れよ、、寝るか

>>764-765
うむ

たまにはageてみるのもいいかもね

■■Ｎ Ａ Ｓ Ａ □□
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/future/1140802985/

か

このスレもうイラネえな

>>770
分店とは思い切ったね。

>>770
とりあえず一段落ですね。

折角レベル高い人たちが集まったのにスレ無くなったらもったいないな。。。
俺が来年の受験までこのスレ引き継ごうかなｗ

>>772
受かりそうなの？

信者とｋあコンプ大受けた奴とか同だったのか
まあ後期ある人もいるし少しは需要あるかも

>>773-774
前期、頼みの綱の数学、物理がだめだめでした。前期落ちてるので浪人確定。
判定通りって感じですww

……後期は半分ネタで宮廷医なのでw

>>775
50倍超えの大学ですか？ｗ

777、と

物理の論述問題対策のための参考書って何かありますか（´・ω・｀）？
できればレベル高めなのがいいんですが…

>>778
難系か道標でいいんじゃね？

前スレを立てた者です。私が受験した大学の数学の問題を投下しときます。
xyz座標空間において3点A(6,0,0)B(0,6,0)C(0,0,6)をとる。OA,OB,OCを辺に
持つ立方体をＫとし3点Ｃ,D(0,6,2)E(3,6,0)を通る平面をαとする。この時
Ｋの内部にある平面αの部分の面積を求めよ

>>780
95/2でOK？

「Ｋの内部にある平面αの部分」は一辺2√13の正方形から、その正方形の一つの角を削ったもの。
それは具体的には3点(6,3,0)(6,6,0)(3,6,0)を結んでできる直角二等辺三角形。

直角二等辺三角形の面積は9/2
従って求める面積は(2√13)^2-9/2=95/2

また、立方体の一辺の長さをaとすると、面積は95/72*a^2と出た。

>>780
(21/2)*√(17) ?

落ちそうなのでage
>>780は京都府立医大の問題だな

良スレ発見age

>>784
もう、打ち止めだけどね。ｗ

>>785
いうおい様信者が引き継いでくれるそうだよ

慶応で出題され完答した人がほぼ0人だった問題
円周上に1から16までの16個の数字を任意に並べる。連続して並べられた3個の数字の和を
3連続和と呼ぶことにする。この時3連続和の全ての和は�@である。ここでNを自然数
とし命題P「どのような並べ方であってもある3連続和はＮ以上となる」を考えた
もしＭを自然数とし命題Ｑ「ある並べ方において全ての3連続和はＭ未満となる」
を仮定すると3連続和の全ての和は�A×Ｍ未満となる。よってＭの最小値は�Bである。
以上の議論からＮが�C以下の時命題Ｐが成り立つことがわかる。

>>787
�@48�A3�B17�C16
自信なし。もうちょっと考察してみる。

�@＝16*3＝48
�A＝3
命題ＱのＭをＮと書き換えると、ＱはＰの否定命題となっている
ここでＱが真であると仮定すると
48＜3Ｎ　でなくてはならないので　16＜Ｎ
したがってＱ⇒16＜Ｎ
が導ける。これの対偶を取れば
Ｎ≦16⇒Ｐ

どう？

(1)
16(1+16)/2*3=406
�@406

(2)
�A16

(3)
16M＞406よりM>25+3/8
�B26
406=25*16+6
「三連続和」が全て26未満になる並べ方が解らんけど多分あるはず

(4)
�C25

かなり勘違い。�@＝406�A＝16。あとの展開はあってる・・・はず。

>>790
三連続和がすべて26未満になる並べ方が存在する必要はないのでは？
Ｑならば25+3/8＜Ｍ　
であっても、Ｍ＝26となりえるかどうかは分からないし。

そう
なんか見つからないんだけど
並べ方が存在しないときに
＞よってＭの【最小値】は�Bである。
という言葉遣いは少なくとも数学ではしないでしょ

だから三連続和が�Bになるような並べ方を実際に一つ作って見せて
�B以下にもならないことを示さないと解答にならない

試験を受けるときの解答欄には数字だけで良いんだろうけどね

失礼
>>790の「26未満」は「26以下」に、
>>793の「�B以下」は「�B以上」に読み替えて下さい。。

解答が完成してないのにtypo訂正するのはカッコ悪いけど
あまりにも間違えすぎなので。。

どうやら26にはならないみたいですね。。

「�A×Ｍ未満となる。」と「よって」の間に
いくらなんでも議論が入りすぎだろ。。(^_^#)

もし証明問題で、こんな議論を
「よって」の一言で済ませたら零点になるぞ、おいおい。。

俺も「最小値」という言葉の使い方にはかなり抵抗を感じる。
「よってＭの最小値は�B」ではなく「よってＭの最小値＞�B」とするべき。
たしかにこれでは問題として成立しない気が･･･

>>790
(1)
16(1+16)/2*3=406
�@406

(2)
�A16

(3)
16M＞406よりM>25+3/8
�B26
406=25*16+6
「三連続和」が全て26未満になる並べ方が解らんけど多分あるはず

(4)
�C25

16(1+16)/2*3=408
小学校からやり直せ！ｗ

あれ、計算間違ってたかｗ
>>790�Bは間違いっぽいです
こう答えんと文章が不自然なんだけどね

で、�Cも違ってくる

命題Ｐ「どのような並べ方であってもある3連続和はＮ以上となる」
命題Ｑ「ある並べ方において全ての3連続和はＭ未満となる」

この２命題に
Ｎ＝Ｍ
という条件を付けると、ＰかつＱの連言命題は必ず「偽」となり、
ＰまたはＱの選言命題は必ず「真」となる。
だから、直感では
�B−�C＝１
だろうな。

（ＭをＮと書き換えて）論理記号で書けば
Ｐ：　∀(Ａn)，∃n∈Ｎ ；An ＋ An+1 ＋ An+2≧Ｎ
Ｑ：　∃(Ａn)，∀n∈Ｎ ；An ＋ An+1 ＋ An+2＜Ｎ
となって、ＰがＱの否定命題であることがわかりやすい
（ただし数列(Ａn)は16項周期で、A1〜A16は自然数1〜16に一対一に対応する）

408＞16*25より三連続和がすべて25以下になることはない。
連続和の最大値＝26とすると
408＝16*26-8より少なくとも三連続和＝26が8個(*)

16個のうちの連続4整数について
◎○○●

◎＋○○＝26ならば
○○＋●≠26
隣り合った三連続和の二個に一個は26ではない
(*)とあわせて26と25が交互に現れる。
よって任意の二つおきの整数について
∴◎-●＝±１
ゆえに16整数は
16○○15○○14○○13○○12○○11
となるはずだが16+11>26となり連続和の最大値=26に矛盾
２７ならたぶんあるだろうから最大値の最小値は27

問題の答えはわからん

４が難しい

赤本で答え見てみたら�@408�A16�B28�C27みたいだよ

速度の物理量を表すのに　ｖ　が出てきたんですけど、その後　V　とか
いうやつも出てきました。記述において明確に区別するには小文字のｖを
筆記体にしなきゃいけないんでしょうか？まさしく　ｖ　って書きたいんですけど。

>>804
大文字のVの頭に線入れとくとか

1,15,10,2,11,12,4,9,13,5,7,14,6,3,16,8
これでオール２７以下かな。
ただ実際に作ってみないと、２７が最小値っていえないでしょ･･･

�@408�A16　したがって
Ｑ⇒26≦Ｍ
しかし>>801よりＭ＝26,27となることはない
また実際(1,15,10,2,11,12,4,9,13,5,7,14,6,3,16,8)
の三連続和は全て28未満なので�B＝28で
Ｑ⇔28≦Ｍ（必要十分）したがって
Ｎ≦27⇔Ｐ
�C＝27

これが解答だとしたら
>>795の言うように「よって」の部分に行間が入りすぎている気がする。

新数演やってるエロい人に聞きたいんですが、11・2みたいに関数の上下関係を評価する際、適当にやっていいもんなんか？

>>806
>>801の議論に作った実例を追加すればいいんじゃね？

この問題、（2）での評価が甘すぎるんだよなあ。

1=a_1としてそこから時計回りにa_2,……,a_16を定めると、3連続和のすべての和は
3Σ{i=1 to 16} a_i = 3 + 3Σ{i=2 to 16} a_i < 3(1+5M)
∴408<3(1+5M)
よって27<Mでなければならない（必要条件）。
よってすべての3連続和が28未満であるような並べ方が存在するならば（十分性が確認できれば）、Mの最小値は28である。
これに>>806を追加すれば正しい議論になる。

（いくらなんでも「〜16M未満である。よって〜」はひどいだろｗ）

今日のトリビアの「時速１００キロの車から１００キロのボールを投げたら・・」
って何キロになるかな？

>>811投げる方向による

a^2/(2ab^2-b^3+1)が正の整数となるような
正の整数の組(a,b)を全て求めよ

トリビア来ましたぜ

>>811
>>814
いまいちだったね

別に当たり前のことじゃん･････

>>811
同じ方向だったらほぼ200km

ご無沙汰してました。前期終わって少し気が緩んでる……
新しい人たちが来たようで、これからもこのスレを続けられそうでうれしいです。

解決。
>>594
a≦bとしても一般性を失わない。b≧1のとき不等式は明らかに成り立つので、
0<a≦b<1のとき不等式が成り立つことを示せばよい。

a≧1/eのときは>>722の�@から成り立つので省略。

a<1/eのときaを固定して、f(x) = a^x + x^aとおくと、
f'(x) = (a^x)log a + ax^(a-1) = -(a^x)log 1/a + ax^(a-1)

f'(x)の符号を調べるため、k(x) = log{(a^x)log 1/a}、l(x) = log{ax^(a-1)}とおく。
k(x) = xlog a + log(log 1/a)よりk(x)は直線。l(x)= log a + (a-1)logxよりl(x)は下に凸。……☆
f'(a) = (a^a)(1+log a) < 0であるからexp(l(a)) - exp(k(a)) < 0
すなわちl(a) < k(a)……�A
�@、�Aよりグラフを考えることで、a≦ x < 1でf'(x) < 0
よってf(x)はこの区間で単調減少である。
f(1) = a + 1 > 0よりa≦ x < 1でf(x) > 1が示された。

∴以上よりa^b + b^a > 1が成り立つ。

>>818
乙です

保守

二次試験直前問題演習第十四弾　難易度：標準〜やや難
一辺の長さが1の正方形Aがあり、各頂点には時計回りに1,2,3,4と番号がふってある。
2つの粒子P,Qがあり、これらの粒子は以下の規則に従ってAの頂点上を動く。
　
　規則�@　P,Qは毎秒1の速さでAの頂点上を動く。
　規則�A　粒子X（P,Q）が存在している頂点の番号が他方の粒子のそれより
　　　　　大きい場合、一秒後Xは確率1/2で消滅し、確率1/2でそれぞれ
　　　　　等確率で隣の頂点に移動するか、その場にとどまる。逆にXの
　　　　　存在している頂点の番号が他方の粒子のそれより小さい場合、
　　　　　一秒後Xは確率1/4で消滅し、確率3/4でそれぞれ等確率で隣の頂点に
　　　　　移動するか、その場にとどまる。
　規則�B　同時刻にP,Qが同じ頂点に存在した場合、確率1/2で一つの粒子に
　　　　　なり、確率1/2でP,Qともに消滅する。一つの粒子になった後は一秒
　　　　　後その粒子は確率1/2で消滅し、確率1/2で隣の頂点にそれぞれ等確率で移動する。

はじめPは1に、Qは3に存在しているとする。このとき、n秒後A上に一つの粒子が
存在している確率は（１）で二つとも消滅している確率は（２）である。そして、n秒後
経過した時点でA上に存在粒子の数の期待値は（３）である。

二次試験直前問題演習第十五弾　難易度：標準

一辺の長さが2の立方体Aの中心を通る平面をαとする。このとき、αのAによって切
り取られる部分Sを考える。

（１）Sが四角形であるとすればそれは平行四辺形であることを示せ。
（２）Sが（１）の状態であるとき、Sの面積の範囲を求めよ。

二次試験直前問題演習第十六弾　難易度：標準

ある自然数a,b,cがあり、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、m,nをm＞nでm,nは互
いに素であり、一方が偶数で他方が奇数であるような自然数として、a=m^2-n^2、b=2mn、
c=m^2+n^2と表せることを示せ。

二次試験直前問題演習第十七弾　難易度：標準

円周上から無作為に三点選ぶとき、それらの点で結ばれる三角形が鋭角三角形である確
率を求めよ

>>822
十七は黒大数で直角三角形のタイプであったな。
いうおいは受かってもアドバイザーで受験板にいてほしいな。

やはり知ってたか

１４，１５は作った
１６は有名事実
１７も意外と知ってる奴はいると思う

来るかどうかは知らんよ

無作為のとり方によって答変わるじゃん

買わんねえよ

>>822
>ある自然数a,b,cがあり、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、m,nをm＞nでm,nは互
>いに素であり、一方が偶数で他方が奇数であるような自然数として、a=m^2-n^2、b=2mn、
>c=m^2+n^2と表せることを示せ。

問題が変。
「互いに素な自然数a,b,cがあり・・・」
ならわかる。

二次試験直前問題演習第十六弾　難易度：標準

ある互いに素な自然数a,b,cがあり、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、m,nをm＞nでm,nは互
いに素であり、一方が偶数で他方が奇数であるような自然数として、a=m^2-n^2、b=2mn、
c=m^2+n^2と表せることを示せ。

>>826
無作為にそれぞれ独立して3点を取るのと
無作為に3点取るのじゃ大違いだぞ

具体例

いまさらピタゴラス数一般表示かいな
上のほうにあったやん

無作為に3点だと
要は3点のとり方が無作為であればいいわけで
一点固定して、そこから2本の弦を引く
一点固定して、そことは別に弦を一本引く
一点固定して、それと円の中心を通る直線に平行な弦を引く
等々
無作為になりうる方法はいくらでもある


独立して、点を取る行為3つならひとつしか考えられないが

同解釈したか知らんが普通無作為に三点選ぶのはそれぞれ独立して選ぶ選び方
以外にないが？

>>833
その普通のほうがおかしいだけじゃ?
”無作為”に関する議論は有名すぎるんだが

補足：独立して3点だと、それぞれの点の選び方の無作為性に注目してるだけ

じゃあその議論で次の問題やって

1〜nの番号が書かれたn枚のカードから無作為に三枚のカードを選ぶとき
カードの選び方は何通りあるか

>>834
ベルトラン・パラドックスのことを言ってるのだと思うが、「円周上から無作為に3点選ぶ」という表現なら、
円周上の一様分布にしたがって独立に3点選ぶ、という意味でいいと思うし、その意図でしかこういう表現はしないと思うよ。

カード取るのは現実的に考えられる方法は一通りしかないし
円周上の3つとるのは別だろ

無作為性に関するパラドックスなんだから、こういう表現しかないって思うこと自体、ベルトランパラドックス否定してることになるんだが･･･

まあ独立して3つってこと前提として問題作ってるならそういう風に解くわ。。。

べるなんとかとかしらねえよ
マニアックすぎるよk￥地味W

いうおいレベルなら常識と思ってたわ
さすがに無作為性とか聞いたことなけりゃ意識せんわな。すまん

>>838
ベルトランパラドックスは、「１本の弦を無作為に選ぶ」の無作為性の選択肢の一つに、「円周上から無作為に2点選ぶ」がある、って感じだけどな。
後者の表現は迷いようがないと思うよ。

>>842
いや、実際に行えない行為を無作為に行う場合、何を持って無作為とするかって議論が始まりだから
3点のも入る

そういやこれに関する入試問題少ないよな
2つくらい並べて確率の大小比べさせる問題あってもいいと思うんだが

>>841
参考書クロ大数しかやったことないからなW

>>843
2点は例としてあげただけでそれは分かってるが、無作為に三角形を選ぶ、としているわけではないでしょ？

例えば数直線上の線分[0,1]から無作為に3点選ぶ、だったら、[0,1]上の一様分布から独立に3つのサンプルを取る、という意味に取るでしょ？

これの「数直線上の線分[0,1]」が「円周上」に変わってるだけで、「円周上から無作為に3点選ぶ」は極力誤解を避けた表現になっているだろ？、ってこと。多分高校生には一様分布とかいう言葉は使えないからね。

この表現で>>832のような解釈をするのはちょっとヒネくれてるとしかいえないよ。

>>845
パラドクス云々は知らんけどそういうつもりで書いた

>>845
数直線上の３点とかまったく別のもん持ってこられても困るんだが
３点取るのは、三角形もしくは線分もしくは一点を取るのと同意なんだから、無作為のとり方を沿うと考えても何もおかしくないはずだが?

いうおいの題意に従うなら1/4かな？
円周上にn個の点とって極限確かめてもあってるし

ほっしゅほっしゅ

保守するならついでにageようぜ

>>847
まったく別のもんじゃないよ。
円周上に3点取ってから、円周を線分に変換したら線分上に3点取ることになるだろ。

[0,1]上の3点を無作為に選んだ、をまず円周上の3点を>>832のような方法で取ってその円周を線分に変換した、という風には普通は考えないだろ？

同意、と言ってるが内接三角形を取ることも、円周上に3点を取ることも、線分上に3点取って円周に変換することも、全部結果は同意なのはもちろん当たり前なんだよ。

結果にいたる選び取る過程の無作為性、一様性の選択がそれぞれの表現で解釈が迷う、というだけで。

それなのに、数直線上の3点を別物、とか言ってるってことは、数直線上に関する>>845の表現は普通は>>845のようなことだ、と解釈しているわけでしょ。
色々「無作為」な取り方は考えようと思えばいくらでもあるにも関わらず。

これと同じことで、高校レベルで>>822のような表現をすりゃ>>832のようなヒネくれた考え方はしないだろ？と言うこと。

>>848
成果易

結局>>780の答えは何になるんだろ？
流れと関係ない事書いて悪いが。

e>2.7を示せ。

彡ｿ彡ソ／...　　　　　　　　......
..=彡'::-r‐t:::ｧ､　　　　::　,r t::ｧ ､:..
〃　　　￣￣　　　　　　　￣￣
　　　　　　 　 　〉　　　〈　　　　　　　| 　　　おいしくなったよ
　　　　　　　　 i 　 　 　 i　　　　　　　　 　　
　　 　 　 　 ／ ゝ'＾ ‐'＾┘ヽ �W　　　 　　　
　ヽ 　　　 /　 ,　' ニﾆ丶､　丶　　/ l 　
　　i 　　　　ーくJ凵凵_j> >　　　:　/ 　
丶　　　　　　｀丶-−-- '´　　　 　/ 　

>>853
9/√2*3√17/√2*7/9=21√17/2

>>856
さんくす。

>>854をスタンダードに考えてみた。

exp(x)>�納k=0→4]x^k/k!を示せばOK。
右辺にx=1を代入すると、65/24>2.7

>>851
んな珍妙な変換勝手に施すな
位置関係崩れてるだろ
そんな自分かってな変換施して、自分が正しいと主張するなんておかしいぞ
円周上から無作為に3点取るのと、直線状から無作為に3点選ぶのはまったく別物です
そこんとこから認識おかしいだけ


あと京大の問題をゴミ問題っていう人間が出してるんだから、それくらいのことは前提として分かってるべきって思うだろ

東大後期直前演習
時刻t=0の時10cmだったゴムひもが毎秒10cmの割合で伸び続ける。地上では毎秒
1cmの速さで歩けるありがこの伸びているゴムひもの左端から右端に休まず歩き
続ける。t秒後のありの位置を求めよ。また右端に到達するのはいつごろか。
必要ならe^10=22026.46‥を用いよ

>>859
京大の問題　の部分に修飾語が足りませんな
02年以降の　とつけておく必要がありますぞ

>>860
L(t)=10t+10
dx/dt=1+x(t)/(t+1)
L(t)=x(t)のとき
t=e^10-1

自信ね。

>>862
合ってると思うよ
多分x=(t+1)log(t+1)だな

>>859
珍妙でもなんでもなく自然な変換だと思うが。
結局>>822の意味は、出題者によれば[0,2π)上の一様分布から独立に3点選び出すことなんだから。
閉曲線と直線の違いだけで、その上に3点を取る、ということは変わらない。

ベルトランのパラドックスは、原型は「単位円に弦を無作為に引いたとき、これが内接正三角形の１辺より長い確率は？」としている場合が多いと思う。

「円周上から2点を無作為に選ぶとき」としているバージョンもあるだろうけど、こちらだと円周という閉曲線に限定している感じがあるから、円周上の一様分布と捉えるのが一般的で、一様性の取り方で誤解を生む可能性は小さいから。
もちろんこれでもおっしゃるようにあいまいであることは決して否定はしないよ。

「弦を無作為に選ぶ」とすることで、どこに無作為性、一様性を求めるかのかがかなりあいまいになってるわけよ。

ほす

>>862
この微分方程式はどうやって解くんだ？

>>864
パラドックスの内容理解せずに”思う”とかで決めてるのか･･･
しかも、位置関係崩れてるって言ってるのに珍妙じゃないって言い張るし･･･


>結局>>822の意味は、出題者によれば[0,2π)上の一様分布から独立に3点選び出すことなんだから。
>閉曲線と直線の違いだけで、その上に3点を取る、ということは変わらない。

問題文が他の解釈も可能ってことを指摘してるのに、出題者の意図だからこうだろってのは意味不明
そうじゃないととる人もいるだろうから指摘したんだろ


「現実的に不可能な行為の確率を計算する際、確率モデルの立て方によって結果が変わる」
ベルトランパラドックスってこういう意味なんだよ?
無作為に3点としかかかないから、複数の確率モデルの作り方が考えられたってわけ

粘着はもういいよ

>>867
現実的に可能か不可能かは別に関係ないけどな。

現実的に可能か不可能かは別に関係ないけど、おおむね>>867に同意だなあ。
たしかに、確立モデルの立て方によって結果は変わってくる。

例えば「1,2,3,4……の一般項を求めよ」と言われて
a_n=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)f(n)+n
を持ってくる的な不自然さはあるけどｗ、
厳密さを求めるとあの問題文だけでは答えは一意には決まらない。

まあ、解答者が作問者の意図を読んでやるべきところなんだろうけどなｗ

試験だったら時間切れ０点W

糸冬了

合格発表まで暇だから久しぶりに来てみたら、よくわからん事話してんなwwこのｽﾚもそろそろ終わりか
そのまま大学1年の数物化に移行してもらいたい位だww

登校脂肪化？

>873 そうそう。なんでわかんだよwwそういや今日家庭教師の登録してきたぞ、合格してなくても出来るもんだなw

勘だ
後期ヨウの問題投下

半径1の球Oの中心をOとする。球A、球Bが以下の条件を満たしている。

条件：球Aは球Oに点Pで内接し、かつ球Bに外接している。球Bは点Qで球Oに内接し、かつ
球Aに外接している。∠POQ=θである。

このとき球Aと球Bの体積の和の最小値を求めよ。

答え：
0

>>875
COSθ＝Cとして
2π(1−C)(3−C−2√2−2C)/(1＋C)^2
ダメっぽいな…

(p^2+q^2)/r=pq/sが任意の自然数p、q、r、sで成り立つものとするとき、r+2sが平方数であることを示せ。

↑ただし、rとsは互いに素であるとする。を忘れてた。

>>878
『(p^2+q^2)/r=pq/sが成り立つ任意の自然数p、q、r、sに対して、r+2sが平方数であることを示せ。』
と解しておｋ？

pとqの最大公約数をR、p=RP、q=RQ(P,Q,R：自然数)
とすると
(p^2+q^2)/r=pq/s
⇔(P^2+Q^2)s=PQr
⇔(P^2+Q^2)/PQ=r/s
P^2+Q^2とPQ、rとsはそれぞれ互いに素だから
(P^2+Q^2)/PQとr/sはともに既約分数
∴P^2+Q^2=r、PQ=s
∴r+2s=(P+Q)^2
∴r+2sは平方数

>>880
だね、ｽﾏｿ。
>>881
せいかい。

東大入試予想問題
１、任意の自然数nにおいて、n(n+12)は平方数とならないことを示せ。

２、任意の自然数nにおいて、n(n+3)(n+4)(n+7)は平方数とならないことを示せ。
　　
３、任意の自然数nにおいて、n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)は平方数とならないことを示せ。


１，２は瞬殺すべき点取り問題。３は２の命題を利用できるかどうかが鍵。