数学の問題を出し合うスレ

　

`∧＿∧
(´･ω･)
( つ旦O
と＿)_)

二次関数f(x)=2xx−ax＋a−1(aは定数)がある。

(1)Oを原点とする座標平面上に、点A(2,0)をとる。放物線y=f(x)が線分OA（両端を含む）と一点のみを共有するようなaの範囲を求めてね。

（配点　一問１００点×１　部分点式採点法はしない）

三角形ABCにおいて、acosB=bcosA が成り立つとき、三角形ABCは
どのような三角形でっちゅ？

>>3 a＞7,-7≧a

>>5 a=4±2√2 もでした。

各一列の二乗の和が等しい3×3魔法陣を1〜9を使い一つ書け。

>7
もちろん1〜9の全ての数を使うこと。

>>4
にとうへんさんかっけい

■数学の苦手分野克服スレ□
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1121913212/l50

こちらもヨロシク！

>>7
ある？

たまにはこんな標準問題も

【問】半径ｒの円を底面とする高さｈの円錐に
内接する直方体の体積の最大値を求めよ。

>>12
斜円錐のときがむつかしそうだね

>>13
普通の円錐でよろしく〜

hr^2/12 かな？

最初の二次関数といい、答えたのに正解レスがこないorz

>>15
いや、ちょい違うかな〜。
ヒント：微分

すまん、俺の出題ミスだ…orz
内接する円柱の間違いでした…

パラメータは〇〇でとれ

>>18 orz直方体だとあってる？

>>20
直方体の方がたぶん難問だなｗ計算してみる。
円錐に内接する円柱の問題は
我ながら結構お気にいりの問題ｗ

標準レベル問題

x,y,z,ωを正の数とする。任意の自然数nに対して
{(ｘ＋ｙ)^n＋(ｚ＋ω)^n}^(1/n)＝(ｘ^n＋z^n)^(1/n)＋(y^n＋ω^n)^(1/n)
が成り立つための、x,y,z,ωに関する必要十分条件を求めよ

直方体の問題やったら、
底面が正方形で最大なことを説明したらすぐ解ける。

>>23
微分して増減表までいったが正方形にならんかったorz
やり直してみるか。

ｎ≧３のとき
Ｘ^ｎ＋Ｙ^ｎ＝Ｚ^ｎ
となるＸ　Ｙ　Ｚがないことを証明せよ
ただしＸ　Ｙ　Ｚは０以外とする





解けたらなんでもしてやる

√6の√6乗の整数部分の数字を求めよ
必要ならばlog(10)2=0.301、log(10)3=0.4771を用いてもよい

>>25
Ｘ=３、Ｙ=４、Ｚ=５、n=２
あった

>>25
中には知ってる人いるから
なんでもしてやる発言はやめときなよorz

まぁ初見で解けたらワイルズを超越するわな

>>27
あっミスったn≧３じゃん
ってかこれフェルマーの最終定理だろ

おれふぇるまーの小定理なら昔できた

>>26

１４？ログ使ってないから間違いかもしれんが

>>23 あってるかおしえてｗ

あｉＤ変わってる。俺はさっきの直方体にかんして答えた椰子です

>>31
どうやったの？

>>24微分習ってないから使わなかったけどｗ三次関数の最大求めたｗ微分は�A学期からだｗ

>>34
１４で合ってた？合ってなかったら
恥ずかしくてとても解法なんて載せられんｗ

いや俺もわからん。ってかlogどう使うんだ。ダミーか

log6を分解してつかうんだろうな。
でも単純に√6の√6乗＝αとして
左辺＝(√6)/2×log6でこれの整数部分なら
出すことは容易だけど、右辺がlogαでやっかい…
俺はふつうに√6＝６の1/2乗というのを使って
どんどん変形させていきました。

>>22
与式を(＊)とおく
(�@)(＊)が任意の自然数ｎで成り立つようにする
　　特にｎ=２の時成り立つことから
{(x＋y)^2＋(z＋ω)^2}^(1/2)＝(x^2＋z^2)^(1/2)＋(y^2＋ω^2)^(1/2)
両辺を２乗して整理すると
x^2ω^2−2xyzω＋y^2z^2＝０
⇔(xω−yz)^2＝０
∴xω−yz＝０
(�A)xω−yz＝０ならば(＊)が成り立つようにする
　　xω−yz＝０⇔xω＝yz
　　　　　　　⇔x/y＝z/ω＝αとおく
　　x＝yα、z＝ωαと表され、これを(＊)に代入すると
(＊)の左辺＝{(αy＋y)^n＋(αω＋ω)^n}^(1/n)
＝{(α＋1)^ny^n＋(α＋1)^nω^n}^(1/n)
＝(α＋1)(y^n＋ω^n)^(1/n)
(＊)の右辺＝(α^ny^n＋α^nω^n)^(1/n)＋(y^n＋ω^n)^(1/n)
　　　　　＝(α＋1)(y^n＋ω^n)^(1/n)
左辺＝右辺なので、この時成り立つ

(�@)(�A)より(＊)が成り立つための必要十分条件はxω−yz＝０である

>>25
偽。
x=1,y=2,z=9^(1/3),n=3

>>25
ﾌﾟｷﾞｬ━━━m9(^Д^)━━━!!!!!!!!!!!!!!

フェルマーの最終定理には確かXYZはそれぞれ整数だという条件があったと思ったんだけど

>>39
正解

ではまた標準レベル問題
ｎ個の正の数α1、α2、･･･αnがある。ただしn≧２とする。
Ａ＝α1＋α2＋･･･αn、Ｂ＝1/α1＋1/α2＋･･･1/αn
とおくとき、Ａ、Ｂのうち少なくとも一方はnよりも小さくないことを証明せよ。

半径1の半円がある。
この半円に含まれる楕円の面積の最大値を求めよ。

いちいち"標準レベル"とか書く辺りがなんかあれだなｗｗｗｗ

>>45
入試では極めて標準レベルだと思うが･･･

>>43
河合の大学受験科の問題そのままやん。その前に出したやつも。

問題

xy平面上の点(a,b)は、aとbがともに有理数の時有理点と呼ばれる。xy平面に
おいて、３つの頂点がすべて有理数である正三角形は存在しないことを示せ。
ただし、必要ならば√３が無理数であることを証明なしに用いて良い。

>>47
なんだ。オリジナルじゃないのかよ。

>>48
異なる二つの有理点を任意に取りそれぞれA,Bとして、
↑AB=(x,y)を行列使って±60度回転させて証明終了

ここで一丁簡単なやつを・・・

男子４人、女子２人の合計６人を１列に並べるとき、
女子２人が両端に来る確率を求めよ

もう一個

男子４人、女子２人の合計６人を１列に並べるとき、
女子２人が隣り合う並べ方は何通りあるか

男子４人、女子２人の合計６人が乱交するとき、
何通りの組み合わせが考えられるか。

>51->52
中学生か

>53
小学生か

>11
アリマスヨ

力試しにどうぞ(偏差値55レベル)

関数y=x^2(x≧0)上を動く点Ｐがあり
点Ｐにおけるy=x^2の法線と
点Ｐ以外のy=x^2との交点を点Ｑとする。
このとき点Ｑのｘ座標のとりうる最大値を求めよ

n=0,1,2,3,･････のとき
f(x)=x^n (x∈(−∞,∞))
は任意の点ｃで連続である。

この証明をお願いします。

答える奴最近少なくなってきてるね

>57両端から極限

三角形が鋭角である確率は？

なかなか良いオリジナル問題なんだがな〜
答える方が少ないのはちょい残念orz
まぁ偏差値60以上の人はとけるだろうから
やらなくてもいいんだけどねｗ

鋭角三角形！？そんなの確率で出せるん？

>>59
x座標が-a-1/2aまで求めたけど最大値が解らない件orz

>60
仲間よ…orz
おれも-t-1/2tまで出たがわからん
というかここまではだれでもできるけどこっからが難しいんだろうな…

理系範囲か？

その形を見たらアレでしょ！
a＞0で、a+1/aみたいな形になったら！？

>62
いやそれ考えたさ…絶対値での最小値出たさ…

-t-1/2t=-(t+1/2t)
t+1/2t≧2√(t×1/2t)=2√(1/2)=√２
よって‐√２

>64
いや…求めるのは最大値ですよ…

では、
ｍ、ｎは自然数でｍ＜ｎをみたすものとする。ｍ^n＋1，ｎ^m＋1がともに
10の倍数となるｍ、ｎを１組与えよ。

t+1/2t≧√２より
‐(t+1/2t)≦‐√２
これでいかが？

>66
m=10 n=20
あぁごめんなさい

見まちがえた…んなわけねぇじゃん…orz

>67
いや、プラスもありえるはずなわけで…

やりかたを詳しく教えてください。

>67
条件見逃してましたorz
ごめんなさいごめんなさいぃ……

素数が永遠に続くことを示せ

m=9、n=9か

>73
それ知ってる
簡単な数学の〜とかいう本だっけ？
あれはなるほど、って思った

10000に最も近い素数を求めよ

>74
m＜n
それなら３と３もいけちゃう

>>73
２以上の整数ｘについて、
閉区間(開区間)[x,2x]には少なくとも１つの素数が含まれるということが知られている。

ああしまったorz
じゃあ９と１９か。

>76
8191？

>79
解説お願いします…

cos5θ＝f(cosθ)をみたす多項式f(x)を求めよ

去年のおれ＜ｘ＜来年のおれのとき
ｘをみたす悩みを答えなさい

73
背理法でやらせていただきます

素数が有限個と仮定
その全ての素数の積に１を足した数をＸとする
Ｘはどの素数で割っても割り切れない
Ｘを割れるのは最大の素数より大きな素数かＸ自身が素数
仮定に反する
以下略

これは高校の範囲？

その全ての素数の積に１を足した数をＸとする
Ｘはどの素数で割っても割り切れない

これマジ？何の定理？？

>78
素数が無限には続かないと仮定する。
最大の素数をＮとする。
するとＮ＋１は１〜Ｎのどの数も約数に持たない。よってＮ＋１は素因数分解できないのでＮ＋１は素数となり、仮定に反する。
背理法により題意は示された。

たとえばa,b,cについてabc+1はa,b,cのどれでも割れないのは自明

>>81
実験的だからあまり好きな答えじゃないな…
とりあえずm^nとn^mの一桁目が９かつ
mとnが奇数だからそこから実験してみた。
３のｎ乗の一桁目は３→９→７→１の周期。
７のｎ乗の一桁目は７→９→３→１の周期
９のｎ乗の一桁目は９→１→９→１の周期
ここでｎが奇数のときに一桁目が９とわかる。
同様に、(一桁目だけ知りたいので)１９のｎ乗
においても同じことが言えると推測できる。

ごめん、>86はミスってるわ。>84が正しい。

>85
考えればわかること。

>>85
定理でもなんでもない。普通に考えたらそうだ。
有限個と言ってるんだぞ。zまでしかないとして、
abc…z＋１ これが割り切れるか？

>88
なるほど……

88みたいな才能がおれには無い

>>87
あー、理解した

>92
元気出せ。たいていはないさ。

…orz

>>88
そう正解。
これは96年度京大後期第２問

>76
答えは…？
8191？

>>92
いや、数学偏差値自体はそこまで高くないんですよ

ちなみに当方は名大理志望の再受験生ですｗ

これが実験というやつか、、、
文系の俺ははじめてみた

俺が解けるのは>>52くらいしかないorz
1/3

問題投下
a､bが互いに素な自然数であるとき、
aX＋bY=１となる整数X､Yが存在することを証明せよ。

これは解けませんでした…ムズいよ…

>>100
ぶっちゃけ知らなきゃ解けない問題の気がｗ
俺も忘れましたｗ確か合同式を使うと良いらしい。
合同式を使わないとヤバい解答だった覚えがある。
この問題、予備校講師に聞いたんだけど
その講師できなかったよｗ

>>100
これも背理法かな。a＝st,b＝utと仮定して、式をみたすｘ、ｙが存在しない
ことを示す。

99
正解
解き方は腐るほどあるから省略

>101
合同式…？それはいらんと思う。
まず方針立てるのがキツいわ。立てりゃ簡単なんだけどな。

>102
それは不完全ですな。
だからといってaX＋bY=１が存在するとは限らない。

>102
>76の答えを…

102
逆（裏だったかな）の背理法とか頭こんがらがるけど
多分おかしいとは思う

n=0,1,2,3,･････のとき
f(x)=x^n (x∈(−∞,∞))
は任意の点ｃで連続である。

この証明をお願いします。


f(c+h)-f(c)=(c+h)^n-c^n=nＣ1c^(n-1)+･････+nＣnh^n

まではわかるんですけど、その後をお願いします。

aＸ＋bＹ＝t(sＸ＋uＹ)＝1
ここでｔは２以上の整数であるが、その時sＸ＋uＹは整数にならない。
このため不適である。

問題
x、y平面上に点A(cosθ_1、sinθ_1)、点B(cosθ_2、sinθ_2)
があり線分ABの中点を点Cとする。
A、Bが条件-θ≦θ_1、θ_2≦θをみたしながら動くとき点Cの存在範囲を
もとめよ。
ただし、θは0≦θ≦πをみたす定数とする。

問題：s=2パイｒｈ[ｒ］

108
ε,δは使って良いんですか？
おれも最近独学で読んだばっかだけど

>>109
続き
次にa＝3,b＝2とする。このときＸ＝1,Ｙ＝-1とすれば題意をみたす。
いかが？

連続関数の合成関数は連続関数ってのは108に入るのかなぁ


スレ違いになってきたので以下普通に戻ります

>>100
結局互いに素でなかった時、みたすものがないとまず証明。
次に実例を１つ出して証明を終える。

110
「_」ってどういう意味ですか？房ですまんが

>109
すいません、方針がわかりません…

多分下についてるaとかbとか1とか2とかmaxとか…

>115
互いに素な全てのa､bで、ってことです。説明不足ですみません。

だからｔが２以上の公約数、ｓ、uが互いに素であるとする。
この時ｔ(sＸ＋uＹ)は整数。しかし１なんだよ。
ここで矛盾が生じるということ。

ε,δは使わないんです。
書いた式を変形させていくってヒントがあるんですよ。

f(c+h)-f(c)=(c+h)^n-c^n=nＣ1c^(n-1)h+･････+nＣnh^n

この後は、
|h|＜１とすれば、|h^r|≦|h|(r≧１であるから)

|nＣ1c^(n-1)h+･････+nＣnh^n|≦ nＣ1|c|^(n-1)|h|+･････+nＣn|h|^n≦

この先が分からないです。

>115
実例を１つ出すことでは全てで成り立つ証明にならないんでは？

121
f(c+h)-f(c)→０（h→０）が証明すること
０≦|nＣ1c^(n-1)h+･････+nＣnh^n|
nＣ1|c|^(n-1)|h|+･････+nＣn|h|^n≦０（∵定数×h、h→０）
だからすでに解けてんじゃないの？

≦０にならないから、もう１つ式がほしいようです。

全部hの項だろう？
強いて言うなら
≦nＣ1|c|^(n-1)|h|+nＣ2|c|^(n-2)|h|+・・・+nＣn|h|
＝|h|{nＣ1|c|^(n-1)+nＣ2|c|^(n-2)+・・・+nＣn}→０

これじゃだめ？

その後の式って
≦nＣ1|c|^(n-1)|h|+nＣ2|c|^(n-2)|h|+・・・+nＣn|h| ≦|ｈ|((|c|+1)-1)
って書いてあるんですけど、これってなりますか？？

>>100
b>a>1とする。

あるbより小さい整数x[i](>1)がbと互いの素であるとすると
nx[i]<b<(n+1)x[i] なる整数nがひとつ存在する。
ここでx[i+1]を x[i+1]=(n+1)x[i]-b
で定義すると、x[i+1]>0,x[i+1]<x[i],x[i+1]とbは互いに素
を満たす整数x[i+1]が一意に定まる。
x[i+1]はx[i]とbの整数倍の和で書ける。

初項a=x[1]≧2として上記の操作を繰り返すことにより、
数列x[j]を帰納的に定義すると、
この数列の各項はbと互いの素な正の整数であり、aとbの整数倍の和で書ける。
単調減少性により、ある有限の整数mが存在してx[m]=1となる。

ここでx[m]はaとbの整数倍同士の和で書けたので、
x[m]=aX+bY=1なる整数X,Yが存在する。

あとは適当に穴を埋めれば出来ると思う。

n人が1回じゃんけんして愛子になる確率

x^n+y^n=z^n
を満たすnが３以上の整数は存在しないことを証明せよ。

だんだん疲れてきた。。
123の時点で
nＣ1|c|^(n-1)|h|+･････+nＣn|h|^nで０に収束するやろ？
nＣ1|c|^(n-1)|h|→０
nＣ2|c|^(n-2)|h|^2→０
・
・
・
nＣn|h|^n→０

ノアさんのは理解できました。
でも、教科書にはnＣ1|c|^(n-1)|h|+nＣ2|c|^(n-2)|h|+・・・+nＣn|h| ≦|ｈ|((|c|+1)-1)
が成り立つって書いてあって、それは教科書のミスだって思うんですけど・・・。

128
自信は無いが(1/3)^(n-1)
129
志村・谷山予想よりその系である・・・

131
実際そういう式変形の類は苦手だから他の人にパス

>>132
数字が妥当かどうかくらい確認しよう．

128
グーチョキパーがあった
普通にとくとややこしいなぁぁ
誰か綺麗に解いて

>127
……高校生？すごい解き方だな…それはまったく思いつきそうにないな…
用意してた答えは、aX=b(-Y)＋１と表すことができることを示す、というものです。

具体的には、
a、2a、3a、…、baをbで割った余りは０以上b-1以下。
ia、ja(1≦i＜j≦b)をbで割った余りが一致するとすると、ja-ia=(j-i)aはbの倍数
１≦j-i≦b-１より、これはaとbが互いに素に矛盾
1≦i＜j≦bのときia、jaをbで割った余りは異なる
従ってa、2a、3a、…、baをbで割った余りは０、１、２、…、b-１の全てを取る
よってbで割って商が-Y、余りが１となるaXは存在する
そのときaXはaX=b(-Y)＋１と表せる
証明完了。

>>129
またか。模範解答を書いてくれるかな？
解答が知りたいんだ。頼んだよＯＴＬ
出題するからには解答知ってるんでしょ？

じゃんけんは余事象でできそ
ねみぃ…

１−３×（２ｎー２）／３ｎ
余事象ごり押し

>137
おれも知りたい


何文字ぐらいになることやら

>>129
とりあえず問題に不備があるんだけどなｗ
フェルマーの最終定理の証明希望。
どっかのサイトのコピペなしでお願いしますｗ
さすがに無理かｗ

＞じゃんけん

{n^3-3(n-1)(1/3)^n}/n^3

なんか複雑になったorz

>>136
そっちのほうがスマートですね。
なんか合同式を使う方法もあるらしいし
いくつか解答はありそうだね。

なんかわけわからんことしてるｗｗ

{3^n-3(n-1)(1/3)^n}/3^n
で。

俺もw
１−３×（２＾ｎー２）／３＾ｎ

俺も自信があるがチョイ違うな>>144
どっちが正解なんだろう

>>144
書き込む前に，n=2,3あたりで確かめてみよう．

相加平均相乗平均を幾何的に証明せよ(二数の場合)

>141
xyzについて条件なしだな…

xyz空間内で(2,-1,3),(3,-1,-1),(0,-3,1)を通る円の中心の座標を求めよ。

俺は一次関数しかわからねえんだよ！！！！！

俺おもいっきり確率まちがってるな○｜￣｜＿

>>149
(1/2,0,1/2)

今度こそ合っててくれ

>>151
残念。。
どうやってやりましたか？

中心から3点までの距離が等しい。としてやりますた(´･ω･`)

>>153
それだと出ないでしょう。
式が二つで文字三つだし。

>149
円なの？球ではないの？

>>155
円です。

3点で球は決まらないでしょう。

中心をO，3点をA，B，Cとして
OA＝OB
OB＝OC
OC＝OA
の3式はダメ？

>>158
その三つが同時に成り立つことは
最初の二つが同時に成り立つことと同値ですよ。

「全ての5より大きい整数は3個の素数の和で表される。」
これを証明しなさい。もしくは反例をあげなさい。

６

１は素数だったかな

>>159
そうですね。。。
てことは答えが出たのは俺が計算ミスしたから？

>>162
1は素数ではありません。
>>163
おそらく。

ゴールドバッハかなんかの予想か

ちょっとした話題

１はトリビアル(トリビア？)な約数という
名前がついていたな。つまりは無駄な約数。
そもそも素数の定義はなんだ？
１とその数以外に約数をもたない数でいいのか？

>>163
その条件に
点Oは平面ABC：-4x+5y-c+16=0上の点
を足したらどうなる？

>>164
珍しい人発見

>166
その通り。

>>168
うそこけ。初代だろーが！ｗ

>>167
まあそれで一意にきまるわけですけどね。。

>>170
これはあくまでもHNですよ、落ち着いてください

>>172
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!

>>167を用いて
z成分 23/28 がでてきた
また計算ミスかなorz

>>174
おｋですよ。
まあぼくの想定答案では>>158の三式はつかいませんが。

>>175
ﾖｶｯﾀヽ(´ー`)ノ

その方法はベクトル使いますか？

X^2+Y^2+Z^2+aX+bY+cZ=0にABCの座標代入してa,b,cを決めて,そのあと外積でも使ってABC平面に垂直なベクトル求めれば正斜影ベクトルで求まるのでは?

>>176
ベクトルは使いますよ。

外積とかﾜｶﾝﾈ
sinだったかな…

いや内積とは別物ね。
スカラーじゃなくてベクトルだし
外積と正射影は便利だから知っといた方が良さげ

てか。
>>167のcって何だ俺orz

3点を順にA B C とすると
AB＝BCの二等辺三角形。
ACの中点をMとして円の中心OはBM上にある。

あとはベクトルで解きますた

>177
ベクトル解析じゃね？

>147
三平方の定理

半径１の円に内接する正Ｎ角形の対角線の積がは何になるか？

>>173
おひさしぶりであります！
っていうか>>170はジオンダイクソ氏かな？w

>>181
要するにOっていう点は、辺ABの中点をD,辺BCの中点をEとおくと,
Dを通り辺ABに垂直な平面と,
Eを通り辺BCに垂直な平面と,
平面ABCの
交点なわけですよね。

空間内の平面の方程式をご存知の方なら、その3つの平面をx,y,zの1次方程式に
なおせばよいし,
平面の方程式をご存じないからなら
AO↑=sAB↑+tAC↑と
DO↑・AB↑=0と
EO↑・BC↑=0
から得られます。

>>186
最後の3つの式から求めるには、AOベクトルの成分をsとtで表して
あとの2つの内積の式に代入して求めればいいんですか？

>>187
そうです。
O(x,y,z)とすれば,第1式から,x,y,zがsとtで表されるので
第2式と第3式はsとtだけの(1次)方程式になりましょう。

あー、なるほど
理解しますた

(25/14,-45/28,23/28)

どうですか？

>>189
はい。おｋです。

A,Bは二次の正方行列でA^2=B^2,AB=Oをみたすとする.
このときBA=Oであることを示せ.

行列むずかしいぽ

>>189もなんだかてこずりすぎたな

大学生範囲で２題

【１】lim(n→∞)1/n＝０を証明せよ。
(数学科１年範囲)

【２】
自然対数ｅ＞２．７を示せ。
(理系大学生１年範囲)

εとアルキメデスの公理を使う

>>194
正解！解答は合ってるだろうからいいや。
これはもちろんオリジナルじゃないけど
この証明はシンプルだけどすばらしいよね。

正ｎ角形と各頂点から放射状に伸ばした線とで区分けされ、方向の固定された図を　
　『ｎ角地図』と呼ぶことにする。ｎ角地図を異なる４色で塗り分ける場合について　
　以下の各問いに答えよ。ただし、同じ色を何回使ってもよいが、隣り合う領域とは　
　異なる色でなければならない。　　　　　　（注：図は略図とします。ねこぱぱ）　


　　　　　　　三角地図　　｜　　　　四角地図　　＼　／　　
　　　　　　　　　　　　　△　　　　　　　　　　　□　　　
　　　　　　　　　　　　／　＼　　　　　　　　　／　＼　　


　（１）三角地図を塗り分ける場合の数（塗り方の総数）を求めよ。
　（２）四角地図を塗り分ける場合の数を求めよ。
　（３）五角地図を塗り分ける場合の数を求めよ。
　（４）ｎ角地図（ｎ＞３）を塗り分ける場合の数を求めよ。

＼　／　　｜
　□　　　△
／　＼　／　＼

こんな図で勘弁して。麻布大の問題です。

>>194-195
デデキントカットと自然数の整列性から
というべきでは？

200

>>196
24通り 72通り 120通り

4{2^n+2(-1)^n}通り

>>199
イプシロン論法とアルキメデスでＯＫですよ〜
いちお数学科の教授に聞いた答えだから
これで合っていると思います

ちなみに【２】は高校範囲にするなら

(１)e^x＞1+x+x^2/2!…x^n/n!を証明しなさい
(２)ｅ＞２．７を示せ

>>202
えとですね。
>>193のlim(n→∞)1/n＝０という命題そのものが
アルキメデスの原理の言い換えのようなものです。
ε-Nをつかうってのは表現の方法に過ぎません。
つまり>>193の【１】は「アルキメデスの原理を証明せよ｣
って問題だともとれるわけです。
そのこたえに「アルキメデスの原理からおｋ｣ってのはまずいでしょ
ってことです。
アルキメデスの原理は
自然数の整列性と実数の連続性公理(と背理法)から導かれます。

自然数の整列性：「自然数全体の集合の空でない部分集合は、必ず最小の元を持つ」
実数の連続性公理：「上に有界な増加数列は収束する」
(実数の連続性公理はいくつもの同値な形がありますが、【１】を示すのに必要な形にしておきました。」

□□□□□


□□□□□ 　※ □は席


このような席の配置で、8人が座るとき、AとBが隣り合う確率。

>203
できれば高校範囲超えないでほしい…

>205
>>193の問題は厳密に証明しようとするならば大学範囲なので
それに合わせて言ったのでは？確かに板違いだけどな（ｗ

aは0<a<πをみたす定数とする。π＝0,1,2,…に対しnπ<x<(n＋1)πの範囲に
sin(x＋a)＝xsinxをみたすxがただ一つ存在するので、このxの値をxnとする。
(1) 極限値lim(n→∞)(xn−nπ)を求めよ。
(2) 極限値lim(n→∞)n(xn−nπ)

>>207
訂正 π＝0,1,2…→n＝0,1,2… です

集合A,B,Cの間に，
A∩C=B∩C
A∪C=B∪C
なる関係が成り立っているという．このとき，A=Bであることを示せ．

人間が永遠に生きることはないことを証明せよ

>>161

6=2+2+2　だから反例にならないんじゃ？

異なる3つの素数という条件はないよね

>>211
ありゃだれかもいってたように、ゴールドバッハ予想(に簡単に帰着できる命題)
ですよ。未解決。

オリジナルの問題で簡単すぎずに大学に入試で出そうな問題を
提示するのは糞難しいんですが

>>213
そうですね、本当にそう思います

>>213
難しいからこそやりがいがあるんじゃないか

x,y,zを正の実数とし,xyz≧1を満たすとき

(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2)+(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2)+(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5)≧0

を証明せよ

過疎だから問題でも。出題ミスはないはずだが
あったら指摘してください。

(誘導ナシ：偏差値55〜60、アリ：50)
【問】
log(tan(1000乗根√e))と1/1000との
大小を比較せよ。

誘導は10行ぐらい下に










(１)x＞0のとき、tanx＞xを証明せよ

おっと誘導で出題ミス。0＜x＜1にしといてくれ

>>217
0<t<1の範囲でf(t)=tan(t)-tを考える。
f'(t)=(1-cos(t))(1+cos(t))/(cos(t))^2となりf(t)は単調増加。
従って0<t<1の範囲ではtan(t)>t

t=e^xとおくと（定義域は0<t<1よりx<e）
tan(e^x)>e^x
両辺正より対数をとって
log{tan(e^x)}>log(e^x)
即ち
log{tan(e^x)}>x
が成立する。

ここでx=1/1000は定義域に含まれるので
log{tan(e^(1/1000))}>1/1000

すばらしい！ＯＫですね。

暇人なので問題きぼんぬ

オリジナル問題じゃなくていいなら
問題集から抜粋できますが？

じゃあそれでおねがいしまつ。
ちなみに理系→大学文系→りーまん→にーと
の経歴でつ

俺は理系→○大１年→休学→再受験(実質２浪)

ｎ桁の自然数のうち、ある自然数の２乗
となっているものの個数をａnとおく。
(１)ａ4を求めよ
(２)lim【ｎ→∞】(log(10底)ａn)/ｎを求めよ。
出典：2002名大オープン模試理系数学第１問

１ばんは68かなぁ？
２ばんは1/2かなぁ？

>>221
最近の問題で未解答なものは，
>>207-208，>>209，>>216
かな．

>>225
お！いいね！俺がこれやったときは
(２)が面白いな〜と思ったな。

対数きらいなので(2)の過程があいまいでつ。
未解答はむずかしくてわかりません・・
このくらいのれべるで問題があるとうれしいでつ。

>>221
>>191もどぞ。

191もむずかしいぽ
現役のみんなはすごいのぅ

一辺がaの立方体ABCDEFGをAG(AG=√3a)を軸として回転させる。
AGに垂直な平面αに対してAGは常に垂直をたもちながら、半径4aの円の周上を回る。
完全に動いたとき、立方体の通過した領域の体積を求めよ。

東大レベル。

いちおうもう１題

lim(ｎ→∞)(3nＣn/2nＣn)の1/n乗
これなかなか良問だと思った。

出典：理系数学難問５１(東京工業大)

224の問２はハサミウチだな
10^1/2＜4 を使う。
10^n/2(1−10^-1/2)＜an＜3/4×10^n/2 でいいはず。

y~2=x~3+xz~4は0でない整数による解をもたない事を示せ

とうこうだいは9/(4e)っぽくなた。
とうだいはやりかたあたまがまわらにゃい・

>>232
答えは16/27だなｗ
有名問題か

>>236
分母分子逆ｗ

すまんｗ

232はどうするの？
対数とる→こんびねーしょん書き下し
→対数の積を和に直してシグマをインテグラルにおきかえ
としたんだけど。。

>>229
こんばんは。どこかで活動してるんですか？
>>239
どうするんでしょうね。解放はいろいろ考えられそうかも

2~l3~m5~n（l､m､nは自然数）を連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか

>>239
方針は合ってますよ〜
とりあえず区分求積まで持ち込んでください。
そうすれば大丈夫だと思います

みなさま、たくさん問題ありがとお。
明日はやいのでもう寝ます。
また今度かまってやって下さい。

x＝(cosx)^3
y＝(sinx)^3
であるとき
(d^2・y)/(d・x^2)　の値を求めて下さい。

1−1/2＋1/3−1/4＋1/5−…＝？

>>240
こんばんは。†９−ｍａｎ記念数学研究所†の管理人をやっておりますよ。
いまでも。

>>246
じゃあ>>234を

>>246
まだやってましたか。アドレスわかりませんが頑張ってください

しかし大学教授ってこういう面白い問題を色々思いつくよなー
感心するわ。

スーパーレベル理系数学(熊本:８月はじめ、福岡:中旬、小倉:中旬)
定松勝幸･高橋俊介

代ゼミ最強数学講師定松と九州代ゼミ若手実力派高橋の送る最強にして至高の数学講座。
一見本科の講座のような名前だが完全なオリジナル講座。最高レベルの問題、目から鱗の講義が待つ！
とりあえず東大京大東工大等受験者、数学ｦﾀｸならば遠征してまで受ける価値はある。

テキストページ数約11、まえがきあとがき一切無しの超硬派テキストもそれだけ授業の質で勝負するということか。

檄！受からずんばあらず！

>>247
「じゃあ」ってどういう意味ですかw

解答してみましたが、どこかでヘンなことしてるかも。
間違い指摘よろしくおねがいしますｍ（＿　＿）ｍ
http://jp.msnusers.com/mnd-k/%E3%83%89%E3%82%AD%E3%83%A5%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88/%E5%87%BA%E3%81%97%E5%90%88%E3%81%86%E3%82%B9%E3%83%AC.pdf

これ出典なんですか？

今夜のウォーミングアップ(偏差値Lv55ぐらい？)

０＜ｘ＜πにおいて
(sinx)^x＜x^(sinx)を示せ。

たぶん出題ミスはないと思います…
いちおうＤＢのオリジナルですのでどうぞ。
といっても典型問題！？

別にｘ＞０だけでもよかったか…orz

>>253
(sin(3π/2))^(3π/2)=(-1)^(3π/2)
って実数かどうか分からないっていうか高校の範囲外では？

>>253
IDがスリーナイン

やっぱ０＜ｘ＜πのままの方がよかったかｗ

>>251
携帯見れないぽ
出典はとある数論の入門書です
無限降下法の応用

>>257
では、テキスト版で。。
5レスに渡る答案ですが、間違い指摘よろしくお願いします。ｍ（＿　＿）ｍ

「x,y,zの方程式y^2=x^3+xz^4が整数解を持つとすれば,x,y,zのうち少なくとも一つは0
であることを示せ」
だと解釈します.

解答
x=0が解だとするとy=0,zは任意の整数が解となるのでx≠0とする.
xが平方因子を持たないときは
y^2=x^3+xz^4
⇔(y^2/x)=x^2+z^4
で,x,zともに整数であるならy^2/xも整数でなければならず,
そのためにはyはxの倍数でなければならない.

y=kx+i,0≦i≦x-1,kは整数,iは整数とかけるなら
y^2=k^2x^2+2kix+i^2となり,xは平方因子を持たないのでi^2がxの倍数になることは
ないからである.
したがって整数aを用いてy=axとかける.
このとき
y^2=x^3+xz^4
⇔a^2x^2=x^3+xz^4
⇔a^2=x+(z^4/x).
xは平方因子をもたないので四乗因子ももたず,zはxの倍数でなければならない.
よって整数bを用いてz=bxとかける.
このとき
a^2=x+(z^4/x)
⇔(a^2/x)=1+b^4x^2.
xは平方因子をもたないので整数cを用いてa=cxとかける.

このとき
a^2/x=1+b^4x^2
⇔c^2=(1/x)+b^4x.
文字はすべて整数なのでx=1かx=-1でなければならない.
y^2=x(x^2+z^4)でx^2+z^4>0であるのでx=1でなければならない.
このとき
y^2=x^3+xz^4
⇔y^2=1+z^4
となるが異なるふたつの平方数の差は3以上であるのでこれはない.
xが整数e,fを用いてx=e^2fとかけるとき(fは平方因子を持たないとする)は
y^2=x^3+xz^4
⇔y^2/e^2=x^2f+z^4f
だからyは整数y_1を用いてy=ey_1とかけ
(y_1)^2/f=x^2+z^4.
よってy_1は整数y_2を用いてy_1=fy_2とかけ
(y_2)^2f=x^2+z^4.

xはfの倍数なのでzは整数z_1を用いてz=fz_1とかけ
(y_2)^2f=x^2+(z_1)^4f^4
⇔(y_2)^2/f=e^4+(z_1)^4f^2.
よってy_2は整数y_3を用いてy_2=fy_3とかけ
(y_3)^2=(e^4/f)+(z_1)^4f.
したがってeは整数e_1を用いてe=e_1fとかけx=e_1^2f^3.
このときx>0であるのでf>0.
同じ操作で,整数e_2,e_3,…を用いて
x=(e_2)^2f^5=(e_3)^2f^7=…=(e_n)^2f^(2n+1)=…
が得られる.
f>1だとすればe^2>e_1^2>…でxは有限なのでこれはおかしい.
よってf=1,x=e^2となり
(y_1)^2=e^4+z^4.

3数y_1,e^2,z^2はピタゴラス数となるから
整数m,nを用いて{e^2,z^2}={m^2-n^2,2mn}とかけるが2mnが平方数なら
整数pを用いてmn=2p^2となるので
{m,n}={2,p^2}か{2p,p}.
後者であるとするとm^2-n^2=3p^2か-3p^2でこれが平方数となることはないので
前者のときのm^2-n^2=4-p^4かp^4-4にかぎる.
整数qをもちいてp^4=4+q^2とかけたとするとλ,νを整数としてλ^2-ν^2,2λνの
どちらかが平方数とならねばならないが,二つの平方数の差が4となることはなく,
2λνが平方数となるのはq=3のときにかぎるので,これはありえない.
4=p^4+q^2とかけたとするとq^2=4-p^4>0となってしまうのでこれもありえない.
結局y_1,e^2,z^2がピタゴラス数となることはありえない.
したがってfがいかなる自然数であっても$x=e^2f$とはかけない.■

>>252の出題訂正。

０＜ｘ＜πにおいて
x^(sinx)と(sinx)^xの大小を比較せよ。

やっぱこれもだめだ…くそ、出題者の負けだ。
０＜ｘ＜ｅならできそう。何度もすいません…

>>263
昨日と同じ問題ぢゃん（・∀・）

普通の問題よりこういう系の方が楽しいかなとｗ
作問側からすると微分積分が一番作りやすいｗ
ちょい他ジャンルにも挑戦してみますね

p,qをp＞qを満たす互いに素な自然数とし、q/pの小数点以下第n位の数をf(p,q,n)と表す。
ある自然数iがf(p,q,n)=f(p,q,n+i)を満たすとき、このようなiの最小値mに対して
�納k=1,m]f(p,q,k)/10^k=aq/b(p+a)を満たす自然数a,bが存在することを示せ。

なんか変ですみません。いちおうオリジナルです。

じゃあ俺も高２標準レベルを１つ。

xy平面上に円Ｃ：x^2+y^2=1があり
スクリーンＤ：x^2+y^2=4(x≦0)がある。
光源Ｐが(2、0)にあり、スクリーンＤに
円Ｃの影を写すとき、影の長さを求めよ。

全統模試の(２)ぐらいのレベルだろうから
さほど難しくないと思います。

高二の俺が挑戦
Pを通る円Cの接線二つ引いて、接点と原点Oを結ぶと1:2:√3の直角三角形が二つ出来るので、
∠P=60°
よって、影の端二つをP,Qとすると、∠POQ=120°
即ち弧PQ=4*π*(1/3)=4/3π

おぉ！それでできたんか！すばらしいｗ
接線の式を出した俺の負けだな…orz
だからつい高２範囲かと思ったんだが
高校入試としても大丈夫そうですね。

じゃあ、逆に高二の俺から多分高二レベルの出題。
x^2+y^2+z^2=4のとき、a=x+2y+3zの取りうる範囲を求めよ。

>>271
現行過程だと、これ座標幾何でやっていいの？

座標幾何でやっていいかどうかは兎も角、範囲内のものだけを使って解けますよん

>>273
えーっと。
平面x+2y+3z=aと点(0,0,0)の距離は|a|/√14で
この平面上の点が球面x^2+y^2+z^2=4にのっかってるためには
|a|/√14≦2
ってのは、想定答案のなかにアリですか？ナシですか？

正解です。想定してたのはベクトル使う方ですけどね。
↑p=(x,y,z),↑q=(1,2,3),↑pと↑qのなす角の大きさをθとすると、
a=↑p･↑q=|↑p||↑q|cosθ=2*√14*cosθ(∵|↑p|^2=4)
-1≦cosθ≦1より同じ答え

z≧0とか付けないとちと骨無いですか。

平面と距離の公式か
ハイレベルだな

>>275
それを念頭において、シュワルツの不等式を前面に押し出したのが
模範解答かなあ。

a^2=(1x+2y+3z)^2≦(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)=14・4

っての。

０‐３‐８‐１５‐□‐２４‐３５

間違えた



１‐(−１)‐(−１)‐１‐５‐１９‐□‐４１

規則性があるますが、□には何が入るか

>>277
「とりうる値を求めよ」って時にはシュワルツは使えない気がする。
範囲は出るがその間のすべての値を取りうるってことが確かめられないから。
「最大値、最小値を求めよ」だったら等号成立条件を述べれば出せる。

実数係数のxの二次式において、ある連続する３整数各々に対して
この二次式が整数になるとき、この二次式は任意の整数xに対し
整数となることを証明しる。

2 2
（a -2ab＋b )-a＋b　　教えてください

>>279
29

>>280
やっぱり、

(1,2,3)と(x,y,z)のなす角をΘとして
a^2=(1x+2y+3z)^2=(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)cos^2Θ
≦(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)=14・4

としなきゃいかんってわけですか。
内積の連続性は非自明で、cosの連続性は自明と。
まあ、高校だとそうかも。

シュワルツの不等式だけじゃあ，内積に言及したことにはならんでしょう．

>>285
x,yをベクトルとして<x,y>をそれらの内積としたとき
|<x,y>|≦|x|*|y|
ってのがシュワルツの不等式だというのは、
(現在の)高校では、馴染みのないことなんですか。

美しき旧帝国大学

◎◎上場企業の役員・管理職数ランキング 国公立大◎◎

1 東大 5966 ←旧帝　　　　　　　26 岡山大 445　　　　　　　　51 徳島大 239
2 京大 4071 ←旧帝　　　　　　　27 富山大 440　　　　　　　　52 岩手大 232
3 阪大 2539 ←旧帝　　　　　　　28 樽商大 398　　　　　　　　53 電通大 231
4 東北 2220 ←旧帝　　　　　　　29 九工大 362　　　　　　　　54 姫工大 217
5 神戸 2102　　　　　　　　　　　　30 鹿児大 354　　　　　　　　55 北九大 203
6 九大 2094 ←旧帝　　　　　　　31 長崎大 353　　　　　　　　56 大分大 201
7 一橋 2043　　　　　　　　　　　　32 茨城大 346　　　　　　　　57 東水大 167
8 名大 1597 ←旧帝　　　　　　　33 山形大 342　　　　　　　　58 佐賀大 154
9 北大 1499 ←旧帝　　　　　　　34 東外大 333 　 　　　　　　59 秋田大 146
10 東工大 1140　　　　　　　　　 35 岐阜大 332　　　　　　　　60 三重大 142
11 阪市大 964　　　　　　　　　　36 滋賀大 320　　　　　　　　61 名市大 126
12 横国大 939　　　　　　　　　　37 和歌大 318　　　　　　　　62 鳥取大 123
13 阪府大 782　　　　　　　　　　38 京繊大 318　　　　　　　　63 宇都大 116
14 名工大 774　　　　　　　　　　39 山梨大 316　　　　　　　　64 宮崎大 116
15 金沢大 691　　　　　　　　　　40 群馬大 289　　　　　　　　65 弘前大 102
16 広島大 661　　　　　　　　　　41 香川大 278　　　　　　　　66 高知大
17 山口大 530　　　　　　　　　　42 農工大 275　　　　　　　　67 島根大
18 静岡大 526　　　　　　　　　　43 福島大 271　　　　　　　　68 琉球大
19 千葉大 526　　　　　　　　　　44 愛媛大 270
20 熊本大 505　　　　　　　　　　45 大外大 270
21 信州大 483　　　　　　　　　　46 埼玉大 258
22 神商大 475　　　　　　　　　　47 筑波大 253
23 都立大 467　　　　　　　　　　48 福井大 252
24 新潟大 458　　　　　　　　　　49 高経大 241
25 横市大 453　　　　　　　　　　50 室工大 240

>>281
それの三次式版が97年の名大に。

>>286
＞＞(現在の)高校では、馴染みのないことなんですか。
うむ。
それに不勉強な人が増えましたからね

>>286
勿論．

>267の変更です。。
p,qをp＞qを満たす互いに素な自然数とし、q/pの小数点以下第n位の数をf(p,q,n)と表す。
ある自然数iがf(p,q,n)=f(p,q,n+i)を満たすとき、このようなiの最小値mに対して
10^mをpで割った余りは１であることを示せ。
これでよいはず。

>>291
p=2,q=1,n=2ならm=1でこのとき10^mをpで割った余りは0ですね。
こういう解釈をしちゃいかん問題？

体の上の多項式環の上の射影加群はすべて自由加群であることを証明せよ。

>>292
一応n=1,2,3・・・・・でf(p,q,n)=f(p,q,n+i)を満たすと考えてください。。

>>291
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1116155526/l50

ある実数αは以下の条件を満たす。
　　　いかなる整数係数の多項式F(x)に対しても、αはF(α)=0を満たさない。
このとき、αは無理数であることを示せ。

>>296
たいぐうをとったら明らかっぽいと思ったのですが
如何でしょうか。

>>297
そうですね。p,qを互いに素な整数としqが0でないとすれば
F(p/q)=0となる整数係数の多項式F(x)はいくらでもありますからね。
F(x)=qx-pとか。

296氏は「整数係数の多項式F(x)に対して、実数αがF(α)=0をみたすなら
αは有理数であることを示せ」

ってのを出題したかったのでは？

>>298
F(x)=x^2-2とかどーすんねん？

>>299
ああ、まちがえた。
「F(x)が整数係数の多項式ならF(x)の最大次の係数をa、定数項をbとしたとき
aの約数分のbの約数の形以外の有理数αはF(α)=0をみたさない」だ。

体の上の多項式環の上の射影加群はすべて自由加群であることを証明せよ。

>>301　いるんだよ。そういう奴

どういう意味や？

他擦れで出した問題。一人怪しいのが解けた。

z^(2n+1)＝1、z≠1のとき、
Σ(k=1〜n)z^k/(1＋z^(2k))
を求めよ。

サイコロでｍ回目に１が出る確率は1/6である
よってサイコロを6回投げたとき1が出る確率は1/6 * 6 =1
よって6回投げれば少なくとも1回は1が出る
この解答の間違いを指摘し正答を述べよ

他スレで見かけたのをアレンジ。

一辺の長さが６の正三角形ABCがある。BCの中点をDとする。
辺AB上に点Mを、辺BD上に点Nを取ったところ、
（三角形AMNの面積）：（三角形ABCの面積）＝５：１８、
AM×AN＝10√７になったという。このとき、AM,ANの長さを求めよ

304
(-1)^n かな、

>>307
どうやったの？

答えだけなら実験すりゃわかるけどさ･･･

>>304
与式=I(n)
I(2m-1)=-m
I(2m)=m

と思いきや

n=7,z=e^(2πi/5)のとき
I(n)=n/2=3.5だったりしてわけわからん

>>306
∠MAN=θとする。
△ABC=9√3と△AMN:△ABC=5:18から△AMN=5√3/2
AM×AN＝10√7から△AMN=（1/2)*10√７*sinθ
（1/2)*10√7*sinθ=5√3/2からsinθ=√3/2√7
cosθ=√19/2√7
∠NAD=30°-θだが
cos(30°-θ)=(√3/2)*(√19/2√7)-(1/2)(√3/2√7)=(√57-√3）/4√7
AD=3√3から
AN=3√3/（（√57-√3）/4√7）=2√7(√19+1）/3=（2√133+2√7）/3
AM=10√7/（2√7(√19+1）/3）=5（√19-1）/6=（5√19-5）/6

>>311
答えはそんなに汚くはならないはず。
おそらく５行目のcosθ＝√19/2√7から狂ったと思う。
やり方自体は多分それが一番早い。

ちなみにこの問題、高校生の知識を使わなくても解けるように作ってある。
加法定理と三角形の面積の公式1/2・AM・AN・sin∠MANを使わないでも解けるよ。

点(２．１)からｙ＝ｘ＾２−３ｘ＋４へ引いた2本の接線と
この放物線が囲む部分の面積を答えよ。

点(2,1)を通るから、接線の傾きをmとすると、y=mx-2m+1、
放物線との接点は、x^2-(3+m)x+2m+3=0、(判別式)=(m+1)(m-3)=0、m=-1,x=1、m=x=3より、
S=∫[1〜2](x-1)^2 dx + ∫[2〜3](x-3)^2 dx=2/3

正解！

こんなんでもいいですか？

三平方の定理を
(i)ベクトルを用いて証明せよ
(ii)三角比を用いて証明せよ

自分で出来た事は出来たが、なんとなく自信が無いorz

>>316
というか三角関数の定義を考えたら
(i)(ii)両方とも循環論法でアウトくさくね？

>317
そうですか。。
スレ汚しｽﾏｿ　orz

なかなか面白いオリジナルができたからカキコ
難易度は名大ＯＰ模試を参考した部分もあるから
名大の中でのやや易しめの問題かと思う。

√ｍの整数部分をｆ(ｍ)とする。
(１)ｆ(ｍ)＝ｎとなるｍの個数を求めよ
(２)Σ(ｍ＝１→k^2)をｋを用いて表せ
(３)lim(n→∞)｛Σ【m＝1→n^2】(√m)｝/n^3

>>319
2番の�狽ﾌ中身はいったい？

ああしまったｗ中身はｆ(ｍ)ですorz

>>317
ベクトルの方は循環論法にはならないと思う。

>>319
明後日名大オープンうけるんで解いてみました。

1.n^2≦m≦(n+1)^2-1なるmの個数だから2n+1個

2.前問の結果より
求める和=k+Σ(ｍ＝１→k-1)m(2m+1)
=k(4k^2-3k+5)/6

3.自然数mについて
f(m)≦√m≦f(m)+1
シグマして極限をとるとはさみうちの原理で2/3

あ、最後の不等式n^3で割るので。

誰か３15を。。

>>323
おぉ！いいね！
ちなみに俺自身も名大ＯＰ受けるのでよろしくｗ

>>325
正解！?

合成関数の微分法、つまり{f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)を示せ。
但し、一般的な教科書の証明は厳密でないため無効とする。

高校のレベルちと超えるかも知れんね

t=g(x)として
f(t)-f(t0)=f'(t)(t-t)
両辺をx-x0で割ってt=g(x)を代入の後x→x0とすれば題意は示される。

こんな感じ？

t=g(x)とすると、
dy=f'(t)dt
dt=g'(x)dx
∴dy=f'(g(x))g'(x)

ごめ、訂正。
∴dy=f'(g(x))g'(x)dx

正解

なんか過疎ってきたね

(1)方巾の定理を証明しなさい。
(2)方巾の定理を使って三平方の定理を証明しなさい。

>>328
出題意図は奈辺に？
逆関数の導関数公式の導出のほうが、高校生には厳しいのでは？

13
Σ(41-3k)(38-3k)
k=1

途中式もお願いします。

だろ

>>335
Σ[k=1,13](41-3k)(38-3k)
=Σ[k=1,13](1/9){(44-3k)(41-3k)(38-3k)-(41-3k)(38-3k)(35-3k)}
=(1/9){Σ[k=1,13](44-3k)(41-3k)(38-3k)-Σ[k=1,13](41-3k)(38-3k)(35-3k)}
=(1/9){Σ[k=1,13](44-3k)(41-3k)(38-3k)-Σ[k=2,14](44-3k)(41-3k)(38-3k)}
=(1/9){(44-3)(41-3)(38-3)-(44-42)(41-42)(38-42)}
=(1/9)(41･38･35-2･4)
=(2/9)(41･19･35-4)
=(2/9)(779･35-4)
=(2/9)(3895･7-4)
=(2/9)(21000+5600+630+31)
=(2/9)(27261)
=(2)(3029)=6058.

なかなか面白いのができたので提示。
なんか問題文がシックリきませんが…

ある事象が起こる確率をｐとする。
今、ある事象が起こるまで何度も試行を続ける。
ある事象が起こったところで試行をやめる。
試行回数の上限をｎ回とするとき、
ある事象が起こるまでの試行回数の
期待値Ｅnを求めよ。
また、lim(ｎ→∞)Ｅnを求めることにより
試行回数の上限を決めない時の期待値が
Ｎとなるときの確率ｐを求めよ。
【配点40点・10点】

>>338
n回で事象が起こらなかったときは試行回数はゼロとする、
とかを付け加えた方がよい。

あ〜なるほどね！ありがとうございます！
その辺がどうもひっかかってたんだよね…

半径ｒの球の表面積を求めよ

x=r*cos(θ),y=r*sin(θ)とすると、
S=2π∫[0〜π]y√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2} dθ=4πr^2

>>338
k回目に初めてある事象が起こる確率をp(k)とすると
p(k)=pq^(k-1) (q=1-p)
となるから
E(n)=Σkp(k) (k:from 1 to n)
=pΣkq^(k-1)
=p(d/dq)(Σkq^k)
=p(d/dq)[{q-q^(n+1)}/(1-q)]
=p[{1-q^n+nq^(n+1)-nq^n}/(1-q)^2]
={1-(1+np)(1-p)^n}/p

また
lim(n→∞)E(n)=1/p (∵0≦p≦1)
であるから（証明略）
lim(n→∞)E(n)=N
を満たすpは
p=1/N
となりまちた。

あああ。途中式違ってた。

E(n)
=Σkp(k) (k:from 1 to n)
=pΣkq^(k-1)
=pΣ{(d/dq)(q^k)}
=p(d/dq)(Σq^k)
=p(d/dq)[{q-q^(n+1)}/(1-q)]

に訂正させてください。

>>342
適当に式作って公式使っただけ
満点は取れない

うむ

0≦x≦1、0≦y≦1/2
X＝x+y、Y＝x^2+y^2
を満たすとき
（X、Y）の描く軌跡を求めよ。

>>347
丸投げですか？

あっ根釜だ

悪問(たぶん)を考えたのでカキコ
解答は特に書かなくていいですｗ

小数0.a1a2a3…anがある。
ここで、anは１〜９まの自然数であり
１/10^nの位を示す数である。
上記の小数で、1/10^kの位から1/10^nの位
が循環するとき、その数を分数で示せ。

難問かもしれないけど悪問ｗとにかく面倒…

じーっ

急にすいません、誰か教えてください・・・。

三角形ABCにおいて、
sin＾2A+sin＾2B=sin＾2C 、cosA+5cosB+cosC=5
が成立しているものとする。辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、b、cで表したとき
a+c/bの値を求めよ。

よろしくお願いします。

金貨が十二枚ある。
一枚が偽物である。重さが軽いか重いかはわからない｡
天秤を三回つかって偽物を見抜くにはどうしたらいいか。

暇だったらといてみて。

27枚でも3回はかれば見抜けるんちゃう？
(27→9→3→1)

>>354
＞重さが軽いか重いかはわからない｡

>>353
それ中学の英語の定期テストで出された

保守

(1) 任意の正の実数xに対し、x-1≧logxを示せ。また等号が成り立つ条件を求めよ。
(2) 任意のn個の正の実数a_1,…,a_nと任意の正の実数bに対し、
(a_1+…+a_n)/b-n≧log(a_1*…*a_n)-nlogbを示せ。また等号が成り立つ条件を求めよ。
(3) (2)でb=(a_1+…+a_n)/nとおくことにより、
(a_1+…+a_n)/n≧(a_1*…*a_n)^(1/n)
を示せ。また等号が成り立つ条件を求めよ。

普通杉

普通すぎるか…。じゃあ、こんなのはどうだい？
考えただけで解いてないが、多分解けるだろ。

正八面体A-BCDE-Fを考える。
点Pは点Aから出発し、1分間で1辺を通って隣りあう4つの頂点のいずれかに移動する。
各頂点において、次にどの頂点に移動するかの確率はそれぞれ1/4とする。
(1)2分後、3分後、4分後に頂点Aにいる確率をそれぞれ求めよ。
(2)n分後に頂点Aにいる確率をp(n)、Aと隣り合う頂点B,C,D,Eのいずれかにいる確率をq(n)とする。
p(n)とq(n)に関する漸化式を導くことにより、p(n),q(n)を求めよ。
(3)Aを出発後、n分後に初めて頂点Aに戻ってくる確率を求めよ。
(4)Aに初めて戻るまでの時間の期待値を求めよ。

誰かこれ解いてくれ。

△OABにおいて辺OAを２：３に内分する点をP，辺OBを２：１に内分する点を
Qとする。線分AQと線分BPの交点をRとする時

ORベクトル＝（　　）OAベクトル＋（　　）OBベクトル

これを普通に考えたらt,1-tのやり方を使ってなら答えが合うんだけれど
チェバ・メネラウスの定理のみを使って解いたら自信あるのになぜか答えが違うんだ。

暇なやつ解いてみてくれ〜。

Ｏ(0,0)、Ａ(a,0)(a≠0) とし２ＡＰ＝ＯＰを満たす点Ｐの軌跡が、
直線３ｘ＋４ｙ＝２に接するときのaの値を求めよ。

途中経過も詳しく

>>362
P(x,y)とおくと
4(AP)^2=(OP)^2から
4((x-a)^2+y^2)=x^2+y^2
(x-4a/3)^2+y^2=4a^2/9…�@
�@の式を満たす(x,y)は全て4((x-a)^2+y^2)=x^2+y^2を満たすので
Pの軌跡は(4a/3,0)を中心として半径|2a/3|の円
これが３ｘ＋４ｙ＝２に接するとき
(4a/3,0)と3x+4y=2との距離が|2a/3|なので
|4a-2|/5=|2a/3|
4a-2=±10a/3
a=3,3/11

>>363
ありがとうございます

>>361
ヒント：いっそ斜交座標

>>360 (3)まで一応解いたけど(3)の計算爆発しないか？
まじ計算量やばかった…しんどかったし(3)の偶数の場合しか出してない…誰か挑戦してみ…
あ〜しんど

>>366
答えさらしとく。
(1)2分後:1/4、3分後:1/8、4分後:3/16
(2)p(n+1)=(1/4)q(n)、q(n+1)=-(1/2)q(n)+1、
p(n)=(1/12)(-1/2)^(n-2)+1/6 (n≧1)
(3)(1/(2√5)){((1+√5)/4)^(n-1)-((1-√5)/4)^(n-1)} (n≧1)
(4)6分

(3)も漸化式使えばそんなに爆発するほどの計算ではない。
(4)は(3)から計算してもいいが、そのまま期待値に関する漸化式を立てた方が簡単だな。

多分簡単と思われる問題。
n
Bn=��1/(2k-1)とする
k=1

数列(Bn-Klogn)が収束するよう定数Kの値を決めよ。そして、その時の極限値を求めよ。
n
但しlim(-logn+��1/ｋ）＝α（α＞0）となることを用いよ。
n→∞ k=1

記号ずれてるけど普通に解釈してください。。。

Ｋ=1/2　(1/2)α＋ln2　

次の場合の数を求めよ。
�@　n人を３つのグループにわける分け方
�A↑のグループの区別をなくした場合の分け方
�Bn個の玉（区別なし)を３つのグループにわける分け方
�C↑のグループの区別をなくした場合の分け方

これ全部とけたらかなりすごいと思う。

>>371
順に、
3^n
(3^(n-1)+1)/2
(n+2)(n+1)/2
((n+1)(n+2)+6[n/2]+4([n/3]-[(n-1)/3])+6)/12
で合ってる？

>>371
似たようなのが96年くらいの東大にあったような。

>>372
どのグループにも1人(1個）は入っているって考えるのが普通だろ
�@
n人が自由にグループを選ぶと3^nとおり、そこから2グループだけあるいは1グループだけになってしまう場合を除いて
3^n-3*2^n+3とおり
�A
�@を3！で割って
(3^n-3*2^n+3)/6とおり
�B
ｎ個の玉を並べてあるところに2箇所の境界線を入れると考えて
C(n-1,2)=(n-1)(n-2)/2とおり

�C
�Bのグループを考えたとき
1)nを6で割ると1または5あまるとき
3つのグループとも同じ個数→なし
2つのグループだけが同じ個数→3(n-1)/2とおり
全てのグループが異なる個数(n-1)(n-2)/2-3(n-1)/2=(n-1)(n-5)/2とおり
グループの区別をなくすと(n-1)/2+(n-1)(n-5)/12=(n-1)(n+1)/12とおり

2)nを6で割ると2または4あまるとき
3つのグループとも同じ個数→なし
2つのグループだけが同じ個数→3(n-2)/2とおり
全てのグループが異なる個数(n-1)(n-2)/2-3(n-2)/2=(n-2)(n-4)/2とおり
グループの区別をなくすと(n-2)/2+(n-2)(n-4)/12=(n-2)(n+2)/12とおり

3)nを6で割ると3あまるとき
3つのグループとも同じ個数→1とおり
2つのグループだけが同じ個数→3((n-1)/2-1)とおり
全てのグループが異なる個数(n-1)(n-2)/2-3(n-1)/2+2=(n-3)^2/2とおり
グループの区別をなくすと1+(n-1)/2-1+(n-3)^2/12=(n^2+3)/12とおり

4)nが6で割り切れる場合
3つのグループとも同じ個数→1とおり
2つのグループだけが同じ個数→3((n-2)/2-1)とおり
全てのグループが異なる個数(n-1)(n-2)/2-3(n-2)/2+2=(n^2+6n+12)/2とおり
グループの区別をなくすと1+(n-2)/2-1+(n^2+6n+12)/12=n^2/12とおり

>>376
最後の2行訂正
全てのグループが異なる個数(n-1)(n-2)/2-3(n-2)/2+2=(n^2-6n+12)/2とおり
グループの区別をなくすと1+(n-2)/2-1+(n^2-6n+12)/12=n^2/12とおり

>>374
普通じゃない。

1辺の長さがxである正三角形ABCを考える。
�僖EFはDE=DF=1,EF=2/7を満たす三角形で、Dは線分BC上（両端を含まない、以下同様）に、Eは線分CA上に、Fは線分AB上に存在する。
xの取り得る値の範囲を求めよ。

出典:2005年 鉄緑会 第1回高2校内模試

>>378
“3つの部屋にｎ人を入れる”とか“3つの箱にｎ個の球を入れる”とかなら空のものがあってもおかしくないけど
”3つのグループに分ける”と言う問題で0人とか0個とかのグループがでたらそれは3つのグループに分けられてると言わないだろ。

言うよ。

10人を3つに分けるとする。
名前をつけるグループなら
A組 4人
B組 6人
C組 0人
でも許せる気がするけど、この区別をなくしたら3組とは言いにくいわな。

もちろん俺の感覚であって論理的でないし、違う捉え方をする人はたくさんいると思うんだけど、
そうであるがゆえに出題者が明記すべき。

>>379
∠EDFをパラメータに置いて色々やったけど巧くいかない
へるぷ。。

０人のグループを1グループとして数えるなら
０人のグループが無限個あると考えられグループは無限個あるやろ？

０人の部屋を１部屋として数えるなら
０人の部屋が無限個あると考えられ部屋は無限個あるやろ？

部屋はあらかじめ用意しとくもんだからね
グループは自在勝手に作れる

0+0+0+0+0+0+0+・・・・・＝0
だから０人のグループは1グループとも無限個グループともとれるじゃないか

部屋も作れるし作れるのは作らなきゃいけないなんて決まりはないし

平面には無限に点があるからといって
有限個の点を取って何かをしてはいけないなんてことはない

何を不毛な争いしてるんだ？

∫sinxの３乗/sinx+cosx dx=
範囲は０からパイまで

あるクラスでA班とB班の3つに班分けしました。


絶対ｵｶｼｲだろ

（問）A,B2人が、どちらか一方が勝つまで続けるジャンケンを行なう。
このときAが2回連続で勝利する確立は？
お暇な方は是非ケツを押さえてみてください。m(__)m
条件が足らなければ、付け足してもOKどす。

∩(　´Α｀)＜　先生、
「ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝ｚ＾ｎより、
ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎがｎ乗根出来れば成立する。
ｙ＾ｎ＝（ｘ＾ｙｎーｘ＾ｎ）ならｎ乗根できる。
ｙ＾ｎはｎ乗数なため（ｘ＾ｙｎ−ｘ＾ｎ）
もｎ乗根出来なければならない。
しかしｘ＾ｙｎーｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｙ−１）ｎー１（ｘ＾ｎ）より、
ｎ乗根不可能よって
ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝ｚ＾ｎ（ｎ＞＝３）は成立不可」
って意味わかりません

誰か教えてください、

あるクラスでA班とB班の2つに班分けしました。

教えてください

　ｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋｋ

０〜１までの中にある実数の個数と整数の個数どっちが多い？
まぁ三秒だろうがな

>>398
その書き方だと[0,1]に属する実数の個数と
[0,1]に属する整数の個数を比べてるように見えるよ。
だったら三秒だけど。

対角線論法を思い出すまでに三秒っていってるのか
対角線論法を思い付くまでに三秒っていってるのか
どっちなんだろう。

考える範囲が0以上1以下（未満？）と言っている予感

>>393
A,Bの2人が，どちらか一方が勝つまで続けるじゃんけんを繰り返し行う．
このとき，このじゃんけんにAが2回連続で勝つ確率を求めよ．

なら，1/4

>>379

すまん、>>379
55/49≦x≦10/7？　かなり苦労したが…


不完全ながらも解答：
△ＡＦＥが正三角形になるとき、xは最大になる。
このとき、ＡＦ＝2/7よりＦＢ＝x-(2/7)
また、対称性からＢＤ＝x/2
△ＦＢＤで余弦定理より　1^2=｛x-(2/7)｝^2+(x/2)^2-2×｛x-(2/7)｝×x/2×cos60°
これを解くとx=-6/7,10/7 x>0よりx=10/7

次に、FD（またはＥＤ）が正三角形ＡＢＣに含まれるとき、xは最小になる。
（ここではＦＤの場合を考える）
∠EFD=θとおくと、cosθ=1/7<1/2=cos∠EAFより、Ｆは確かにAB上にくる。
∠EAF+∠FEA=θだから、∠FEA=θ-60°
△AFEで正弦定理より　EF/sin60°=AF/sin(θ-60°)
ＥＦ＝2/7,AF=x-1.sin(θ-60°)=3√3/14（加法定理より）を代入して、
(2/7)/(√3/2)=(x-1)/(3√3/14)
これを解くとx=55/49

∴55/49≦x≦10/7…（答）

「△ＡＦＥが正三角形になるとき、xは最大」だとは思うんだけど、
数学的に示せって言われると示せない。だから不完全な解答。
後半も同じ。

またまたごめん
両端を含まないって問題に書いてあるから
55/49＜x≦10/7

>>403
やっと解いてくれる方が（ノ∀｀)

最大最小をとる場合を論証してないので普通に零点ですがＯＴＬ
答えは合ってます

∠EDFを2αと置くと巧くいきますので
結構難問だと思いますが是非挑戦してみてください

言われるとおり∠FDEを2αとして頑張ったよ、論証できた!

こんどこそ解：
∠FDE=2αとおくと、∠DEF=∠EFD=90°-α
四角形ABDEの内角の和を考えて、∠A+∠B+∠BDF+∠FDE+∠DEF+∠FEA=360°
⇔60°+60°+∠BDF+2α+(90°-α)+∠FEA=360°
⇔∠BDF=｛150°-(α+∠FEA)｝…（１）　となる。

△AFEと△FBDで正弦定理より、
(2/7)/sin60°=FA/sin∠FEA　かつ　1/sin60°=FB/sin∠BDF
（１）よりsin∠BDF=sin｛150°-(α+∠FEA)｝これを後者に代入しつつ整理すると
FA=4/7√3sin∠FEA かつ　FB=2/√3sin｛150°-(α+∠FEA)｝

続き。
ここで、FA+FB=xだから
x=2/√3｛(2/7)sin∠FEA+sin｛150°-(α+∠FEA)｝｝…(＊)
いま、sin｛150°-(α+∠FEA)｝
=sin150°cos(α+∠FEA)-cos150°sin(α+∠FEA)
=sin150°｛cosαcos∠FEA-sinαsin∠FEA｝-cos150°｛sinαcos∠FEA+cosαsin∠FEA｝
sinα=1/7,cosα=4√3/7を代入して整理すると
sin｛150°-(α+∠FEA)｝=11/14sin∠FEA+5√3/14cos∠FEA

これを（＊）に代入して
x=2/√3｛(2/7)sin∠FEA+(11/14)sin∠FEA+5√3/14cos∠FEA｝
=2/√3×(5√3/14)｛√3sin∠FEA+cos∠FEA｝
=(5/7)×2sin(∠FEA+30°)…（２）

ここで、∠FEAはＥＤがＡＣに含まれるときに最大になり、FDがABに含まれるときに最小になる（両端を含む場合。）
EDがACに含まれる時、∠FEA+∠DEF=180°だから、∠FEA=90°+α
FDがABに含まれる時、∠FEA+∠EAF=90°-αだから、∠FEA=30°-α
両端を含まないことを考慮して、30°-α＜∠FEA＜90°+α
∴60°-α＜∠FEA+30°＜120°+α

よって、sin(60°-α)=sin(120°+α）＜sin(∠FEA+30°)≦sin90°となるので
sin(60°-α)=sin60°cosα-cos60°sinα=11/14の結果と併せて
11/14＜sin(∠FEA+30°)≦1
(11/14)×(5/7)×2＜(5/7)×2sin(∠FEA+30°)≦(5/7)×2

（２）より55/49＜x≦10/7…（答）

疲れた…2αと置けば方針は明らかだけど、
なんせ加法定理のオンパレードなので、何回か計算ミスしてなかなか答えがでなかった…

この解なら大丈夫、だよな…？

直線y=x+kが放物線y=x^2によって切り取られる線分が3以下のときのkの範囲を求めよ。

これ解けない・・・誰か教えて

logの横の小さい数字ってどう表せばいいんでしょう？
質問したいんですが、書き方分からないんです

>>410
log(底)真数の形で通じるよ

>>411
ありがとう

ア）方程式　5log(3)3x^2-4(log(3)x)^2+1=0を解け

イ）不等式　2(log(3)x)^2-2＜log(1/3)x^3と解け

途中経過分かりやすくお願いします。

>>412
スマン遅くなった
いい忘れたが基本ここは自作問題スレなんだが。。質問スレは別にある
ア）5log(3)3x^2-4(log(3)x)^2+1=0
真数条件よりx>0
5(log(3)3++log(3)x^2)-4(log(3)x)^2+1=0
5(1+2log(3)x)-4(log(3)x)^2+1=0
log(3)x=tとおいて
5(1+2t)-4t^2+1=0
(2t-1)(t+3)=0
t=-1/2,3
log(3)x=-1/2,3からx=3^(-1/2),3^3→x=1/√3,27（真数条件満たす

イ）2(log(3)x)^2-2＜log(1/3)x^3
真数条件よりx>0
右辺=log(1/3)x^3=-log(3)x^3=-3log(3)x
log(3)x=tとおくともとの式は
2t^2-2<-3t
(2t-1)(t+2)<0
-2<t<1/2
-2<log(3)x<1/2となるので3^(-2)<x<3^(1/2)→1/3<x<√3（真数条件満たす

すみませんこれからは気をつけます。
どうもありがとう

ア）の最後3行
(2t-1)(t+3)=0
t=1/2,-3
log(3)x=1/2,-3からx=3^(1/2),3^(-3)→x=√3,1/27（真数条件満たす
じゃん、ボケてるな

m^n=n^m(0<n<m)を満たす自然数の組(m,n)を全て求めよ。

|x|/[1+|x|]+|y|/[1+|y|]≧|x+y|/[1+|x+y|を証明せよ。
これをＡやＢなどに置き換えて解く方法を教えて下さい。違う方法も募集します。

>>417
マルチポストの上にスレ違い

△ABCにおいて∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。
√n/AD=(1/AB)+(1/AC)を満たす自然数nが存在するとき、nと∠BACを求めよ。

aを正の実数として、f(x)=log(ax)、g(x)=(1/a)e^xを考える。
l,mはそれぞれ原点Oを通る直線であり、曲線y=f(x)と直線lとの接点をP、曲線y=g(x)と直線mとの接点をQとすると
△OPQは正三角形になっているという。このとき、aの値と△OPQの面積を求めよ。

この問題は、2004年度東大前期第1問（文理共通）を一応イメージして作りました。
とはいっても、原題よりはだいぶ簡単にしましたが。

>>420
全体はy=xについて対称だからy=e^x/aの原点を通る接線とQを通り傾き-1の直線のなす角が60度
になればよい。これはつまりmの傾きがtan75°=2+√3ということ。
Q(q,e^q/a)とおくとm:y-e^q/a=e^q/a(x-q)、(0,0)を通るから代入するとq=1を得る
よってmの傾きについてe/a=2+√3∴a=(2-√3)/e。△OPQ=√3/4*(√6+√2)^2=3+2√3

>>421
a=(2-√3)eじゃないですか？面積は合ってます。
やっぱ簡単すぎですよね。

>>422
ﾎﾝﾄだその通りっす
二つのグラフが合同だったので助かりましたね
ちなみに↓こうなると激しくなります

nを自然数の定数とし，xy平面上で次の2曲線C，C'を考える．
曲線C ：y=a(x^n)+b、曲線C'：y=b(logx)+ab
2曲線C，C'は点P(p，q)において接している。a＞0，b＞0 とする．
曲線C，曲線C'，x軸，y軸で囲まれる部分の面積をSとする．Sの最大値をnで表せ

http://homepage3.nifty.com/basaranihonshi/suugaku2.jpg

戦前の問題超むずい。東大なんか比じゃない。きみらもといてみろ

>>416
f(x)=logx/xのグラフを書けて、y=kと二つ以上共有点を
持つような場合を考えれば、極大値をとるxより絶対小さくないと
いけないから、ｎの値はすぐ絞れて
２，４だけになる。

>>425
補足　極大はｘ＝e
よりｎ < e < m
n = 1,2　ｎ=2 m=4

2＋2=5の証明・・・

a=b=1とする。
a=bの両辺にaを足して　2a=a+b
両辺にaを掛けて　2a^2=a^2+ab
両辺から2b^2を引いて　2a^2-2b^2=a^2+ab-2b^2
両辺を因数分解して　2(a+b)(a-b)=(a+2b)(a-b)
両辺をa-bで割って　2(a+b)=a+2b
両辺を入れ替えて　a+2b=2(a+b)
両辺にaを足して　2a+2b=a+2(a+b)
両辺にa=1,b=1を代入して　2+2=1+2(1+1)
右辺を整理して　2+2=5

(ここではa^2はaの二乗ということです)

>>427
0で割ってるのがダメ。とマジレス

>>424
現代語訳ｷｳﾞｫﾝ

>>409
だいーぶ遅レスだが…
というか質問なら普通に質問スレにしる

y=x+k と y=x^2 がx=α,β (α<β)で交わるとすると
α, βは
x^2-x-k=0 の2解であるから、
α+β=1, αβ=-k
(β-α)^2 = (α+β)^2-4αβ
= 1+4k
∴ β-α = √(1+4k)

y=x+kはx軸に比べ45度傾いているから、
「切り取られる線分の長さが3以下」⇔「β-α≦√3」
であるから、
0≦√(1+4k)≦√3
より、
-1/4≦4≦1/2

>>424
この問題自体はそんなにむずくなくね？

>>425-426
正解ですが、n = 1,2に絞った後mが求まるとこをできれば詳しく。

>>427
divide by zero

>>431
・n=1 ... m^1 = 1^m より m = 1 m≠n に反す
・n=2 ... m^2 = 2^m m=4で確かに、満たす。
logx/xのグラフの形状よりより、満たすm,nの組は、1方が決まればもう一つ
も必ず一つに絞られる。
∴n,m = 2,4のみ

俺からも問題
f(n+1) = f(n)×cos(θ/2^n) (nは自然数)
f(1) = 1　ただし 0 < θ < π　とする。

lim f(n)
n→∞
　　　　　　　　の値を求めよ。
(代ゼミ　京大入試プレ　より出題)

3辺の長さがすべて素数である三角形の面積は、有理数にならないことを証明せよ。

基本的な問題かもしれませんが・・・

|X−1|＜|2X−3|−2　を解け。

x-1≧0　⇔　x≧1、2x-3≧0　⇔　x≧3/2 より、
x≧3/2で x-1＜2x-3-2、3/2＞x≧1で x-1＜-(2x-3)-2、x＜1で-(x-1)＜-(2x-3)-2
をそれぞれ解く。

>>434
sinθ/θ？
間違ってたら恥ずかしいから導きかた書くのはやめとく

sinの倍角使いまくるだけ

一般に、多面体の頂点、面、稜（面の辺）の数をそれぞれA,B,Cとすると、A+B=C+2が常に成り立つ。これをEulerの多面体定理という。
この事実を用いて、面積がmである正m角形と、面積がnである正n角形から成る任意の多面体の表面積は6の倍数であることを証明せよ。
ただし、m,nは自然数とする。

ｍ＝ｎ。

>>440
訂正。m,nは自然数→m,nは互いに異なる3以上の自然数

>>441
一秒ズレ？

>>416
夏に類題をこなしたからやってみた。
f(x)=x^(1/x) (x>0) のグラフを考える。
logf(x)=(1/x)logx
⇔f'(x)/f(x)=(1-logx)/x^2
f'(e)=0を踏まえて増減表とグラフを書く。
で、
f(m)=f(n)
⇔m^(1/m)=n^(1/n)
⇔m^n=n^m
つまり題意が求めてるのはf(m)=f(n)となるようなn<mの値を調べろってことだから
0<n<e<mという条件の下f(m)=f(n)の値をさがす。
n,mは自然数なので上の条件を満たすnはn=1,2のどちらか。
で結局f(2)=f(4)なので(n,m)=(2,4)のただ一組・・・（答）
合ってますか？？

age忘れたorz

>>433>>444
433氏遅れてｽﾏｿ。お二人とも正解です
みんなこの解法なんだな・・・文系だったらどう解くんだろ

>>434
わかんなかった。>>439に脱帽

xyz空間を考える。xz平面において曲線z=e^(-x^2)とx軸と2直線x=0、x=Rとで囲まれた部分を
z軸の周りに回転してできる立体をA_Rとおく。
(1)A_Rの体積をV_Rとおくとき、V=lim_[R→∞]V_Rを求めよ。
(2)aを正の実数とする。xz平面に平行な平面y=aでA_Rを切って得られる切り口の面積を
S_R(a)とし、S(a)=lim_[R→∞]S_R(a)とおく。S(a)/S(0)を求めよ。
(3)S(0)を求めるよ。
(4)lim_[R→∞]∫_[0,R]e^(-x)*x^(n-1)dxを求めよ。

範囲：数III
レベル：医学部とか向け
難易度：ちょっと難
目標時間：40分

(4)訂正
(4)lim_[R→∞]∫_[0,R]e^(-x)*x^(-1/2)dxを求めよ。

∫［0→π］e^x|sinnx|dxを求めよ
もしかしたら有名問題かもしれん

A E H R T を一度ずつ用いて出来る文字列を辞書式に並べる。
55番目の文字列は？

質問は質問スレで

heart 心臓

>>438-439
正解。

7+6=?

�L

∫これなんて読む？

>456
セクション

空間内に半径がa(a>0)である球がある。この球の内部に、半径の等しい8個の球をその表面積の総和が最大となるように入れる。
次にこれら8個の球のそれぞれの内部に、まったく同様にして8個ずつ半径の等しい球を入れる。このような操作を無限に繰り返す。

このとき、最初にあった球とその内部に含まれる球の体積の総和Vを求めよ。

[1]
(1)0<x<=eにおいて√(x/e)>=logxを示せ。
(2)自然数nに対してI_n=∫[1,e](logx)^ndxとおく。I_(n+1)をI_nで表せ。
(3)lim[n→∞]I_nとlim[n→∞]nI_nを求めよ。

[2]
(1)長さがx(0<x<l/2)の線分ABを平面状に固定し、同じ平面上に△ABCを周長lとなるようにとる。
このとき、頂点Cの存在範囲を求め、図示せよ。
(2)△ABCの面積の最大値を求めよ。

最近活気ないなこのスレ。

xyz空間に(cos^3θ，sin^3θ，1)で囲まれる図形K、(0≦θ≦2π)、光源Pが(0，0，2)に存在する
XY平面に映るKの影の面積を求めよ

XYZ空間に(0，0，0)、(tcost，tsint，0)、(tcost，tsint，t)、(0，0，t)で表される正方形が存在する
0≦t≦π のとき正方形が通過する部分の体積を求めよ

>>453
解答きぼんぬ

>>463
ああ、パコパコ消えてゆくやつか。

pを自然数として、数列a(n)=p^n+(-1)^(n-1)2^(4n-3) (n=1,2,3,・・・・・)を考える。
(1)p=19のとき、すべての自然数nに対してa(n)はある素数rで割り切れる。rの値を求めよ。
(2)すべての自然数nに対して、a(n)が(1)で求めたrで割り切れるときのpの値をすべて求めよ。

東工大の過去問のアレンジです。

>>465
(1)
a(1),a(2)に共通する約数は7のみであるので、全ての自然数nに対しa(n)が7の倍数であることを示せばよい
19≡-2(mod 7),2^4≡2(mod 7)より、
a(n)=19^n+(-1)^(n-1)・2^(4n-3)=19^n+(-1)^(n-1)・2・2^4(n-1)
　　≡(-2)^n+(-1)^(n-1)・2^n (mod 7)
　　=0

(2)
(1)より、p^n≡(-2)^n (mod 7)なる自然数pを求めればよい
pは自然数であるので、
p^n≡(-2)^n (mod 7)⇔p≡-2 (mod 7)
∴p=5,12,19,26,…

x軸上を動く点Ａがあり、最初は原点にある。硬貨を投げて表が出たら
正の方向に１だけ進み、裏が出たら負の方向に１だけ進む。
硬貨を６回投げたとき、点Ａが初めて原点に戻る確率を求めよ。

>>467
1回目で正の方向に進んだ場合を考える
2〜5回で原点に戻ってはならないので、
1〜2回目は表、5〜6は裏でなければならない。
よって、題意を満たすのは(4回目,5回目)=(表,裏),(裏,表)の2通り
1回目で負に進んだ場合も同様に2通り
全ての事象は2^6=64通りであるので、求める確率は4/64=1/16

>>468
はやっ！そして正解！
とおもたけど、途中が変だ。
(4回目,5回目)ではなくて（3回目,4回目）だよ。

しまったorz
入試なら何点原点されるんだろ。

出題もしてみるか。
数オリに申し込んだらmath OLYMPIANが届いたからそこから一問。

黒板に1つ正整数が書いてあるとき、次の2つの操作が許されている。
(1)黒板の正整数を消して、その正整数より1大きい正整数を書く
(2)黒板の正整数を消して、その正整数の2倍の正整数を書く
いま、黒板に1と書いてある。
黒板に書かれている数値を2004にするのには最低何回の操作が必要か。

2004 = 11111010100　（2進）

よって
「(2)+(1)」*5 「(2)+(2)+(1)」*2 (2)*2
で2004となり、（とりあえず）18回？

最小性どうしよう・・・

>>471
惜しい。最初に1が書いてあるので「(2)+(1)」は4回でいい。
よって16回
この操作に無駄がないことは自明として良いらしく、解答もそこで止まってる。

やべっ1がならんでるんで数えまちがったかよｗｗｗ

んで、解答も2進なの？なんとなく割る引くをやってたら2進が
便利だと思ったんだが。

解答も二進法。
2倍の扱いは二進法が楽って事かなぁ
マスターオブ整数でも(割り算だけど)同じ様な解法があったし。

ありがとう。その手の問題集は持ってないので、なんか面白いのがあったら
また貼り付けて下さい。

>>466
大正解。

y=5x+7とする
このとき7をx、yを用いてあらわせ。

ネットで見つけたものです。※sqrt(x) = √x

次の方程式を解け。
　　x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))

>>464
全く分からないから教えて。

>>480
f(n+1)/f(n)=cosθ/2^n
f(2)/f(1)*........*f(n)/f(n-1)=f(n)/f(1)=cos(θ/2)*......*cos(θ/2^n-1)
f(1)=1よりf(n)=cos(θ/2)*.....*cos(θ/2^n-1)
両辺にsin(θ/2^n-1)を×とsinの倍角の公式よりsin(θ/2^n-1)f(n)=sinθ/2^(n-1)
f(n)=sinθ/[2^(n-1)sin(θ/2^n-1)] h=θ/2^(n-1)とおけばn→∞　h→0
lim(h→0)f(n)=sinθ/θ*h/sinh=sinθ/θ
でいいのか？

0<a<1/4とする
(1)xの方程式cosx=cos(ax)の2π≦x≦4πにおける解を求めよ。
(2)2π≦x≦4πにおいて、2つの不等式cosx≦y,y≦cos(ax)を同時に満たすxy平面の領域をDaとする
Daの面積S(a)を求めよ。

プリン形の台形の底面積を求めよ.

>>481
ありが�d！

問）左の数値をX,右の数値をYとするとき,YをXの式で表してください。
注)例えば、X=209の時,Y=10です　X=1000の時,Y=31です
0〜 99 0
100〜 200 5〜10　※Y=Int(X÷20)
200〜 239 10
240〜 279 11
280〜 319 12
320〜 359 13
360〜 399 14
400〜 479 20
480〜 559 21
560〜 639 22
640〜 719 23
720〜 799 24
800〜 959 30
960〜1119 31
1120〜1279 32
1280〜1439 33
1440〜1599 34
1600〜1919 40
1920〜2239 41
2240〜2559 42
2560〜2879 43
2880〜3199 44
3200〜3839 50
…

>>474
何年生？

どういう意図の質問でありますか？

>>462
解答希望

∫[0.π](t^2/2)tdt
= π^3/8

でいいのかな。

π^4/8　の間違い

>>487
いや
単純にすごいなーっていう羨望と俺より年下なのかなーとおもって

>>491
数学オリンピックに出るような人だったら、鼻クソほじくりながらやるんじゃないかな？

解答は木曜か金曜の夜
（配点：２５点×４）

【１】四角形ＡＢＣＤは正方形である。対角線ＡＣ上の点Ｐと、２辺ＣＤ、
　　　ＤＡ上の点Ｑ、Ｒで長方形ＤＲＰＱを作るとき、２直線ＱＲ、ＢＰ
　　　のなす角は何度か

【２】円：（ｘ＋１）~2＋（ｙ−１）~2＝２上を動く動点Ｐがある。
　　　点Ａ（３，３）に対して、ベクトルＯＡ・ベクトルＯＰの
　　　とりうる値の範囲を求めよ

【３】四面体ＯＡＢＣにおいて、線分ＯＡの中点をＫ、線分ＯＢを
　　　１：３に内分する点をＬ、△ＡＢＣの重心をＧとする。
　　　平面ＫＬＧと直線ＡＣとの好転は、線分ＡＣを（ア）：（イ）に
　　　内分する点であり、平面ＫＬＧと直線ＢＣとの交点は、線分ＢＣを
　　　（ウ）：（エ）に内分する点である。（ア）〜（エ）に数字を入れよ

【４】実数ｘ、ｙが連立不等式：（ｘ−１）~2＋（ｙ−１）~2≦１、
　　　（ｘ−３）~2＋（ｙ−３）~2≦９を満たすとき、ｘ~2＋ｙ~2の
　　　最大値、最小値を求めよ

文系でも解ける問題にしました

暇あったら途中式もね

>>489
どういう風に切ってるんですか？それ

>>493
(1)
PQのABとの交点をE,PRとCBとの交点をFとすると�儕QR≡�儕FE(二辺挟角)
EF,BPが長方形の対角線であることを考え、求める角=90°

(2)
OAは定まったベクトルであるので、↑OA・↑OPは↑OPのOA方向の正射影ベクトルの符号付長さに因る
直線OAが与えられた円に接することから、二つのベクトルの為す角が45°のとき符号付長さ最大、135°のとき最小(図略)
両場合とも正射影ベクトルの長さが円の半径と等しいので、
-√2|↑OA|≦↑OA・↑OP≦√2|↑OA|
即ち-6≦↑OA・↑OP≦6

(3)
Oを原点とし、A(4,0,0),B(0,4,0),C(0,0,4)とするxyz座標をとる
このときK(2,0,0),L(0,1,0),G(1,1,1)である
↑LG×↑LK=(1,2,-1)であるので、平面KLG：x+2y-z=2
また、直線AC：x+z=4,y=0
以上2式から、交点の座標は(3,0,1)
即ち(ア):(イ)=1:3
直線BC：y+z=4,x=0であるので、これと平面KLGの式より、
交点の座標は(0,2.2)
即ち(ウ):(エ)=1:1

(4)
円C：x^2+y^2=r^2とする
円：(x-1)^2+(y-1)^2=1が円Cに内接するときrは最大である
このときr=1+√2であり、r^2=3+2√2
円：(x-3)^2+(y-3)^2=9が円Cに外接するときrは最小である
このときr=3√2-3であり、r^2=27-18√2
即ち27-18√2≦x^2+y^2≦3+2√2

>>496
∫[0.π](t^2/2)tdt
= π^4/8

ね。アホみたいな計算間違いです・・・

xｚ平面をz軸周りにぐるっと半周させるような感じで積分です。

つーか、正解かどうかもまだワカンネ

>>492
えーマジで？
いや俺も一回だけIMOの問題で数論関係の問6が解けた事があるんだけど
>>474みたくすっきり解けないかなあと思ってさ　いやあんま真剣に考えてなかったけどさ　っていうか5分も考えてなかったけど解けないだろうなと思うんだよねこーいう問題
やっぱ時間かければこういう人ならIMOの問3問6は解けるんだろうなとか思ったりする

ま、君は２次予選突破もおぼつかないだろうなｗ

半径aの円Ｏの周上に動点Pと定点AがあるAにおける接線上にAQ=APであるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがAに限りなく近づくとき、PQ/弧AP^2の極限値を求めよ

コピペ厨がこんなところまで出張ですかい

>>502
＞AQ=APであるような点Q
のAPって線分の長さ？弧長？

>>502
4ステップおつｗ

まさか解けなかったのか？教科書レベルだぞ

線分です

今日の課題なんすよ

じゃあさっき解いて良問と思ったやつ。

{a[n]}、{b[n]}はそれぞれ公比p、qの等比数列(p、qは共に正)で、
a[7]＝16、a[13]＝4、b[7]＝√2/4(4分のルート2)、b[13]＝1
であるとき、a[n]≦b[n]となる最小のnを求めよ。

じゃあ簡単な積分の問題。

XYZ空間上にA(2,0,4)B(5,2,0)C(5,-2,0)がある。
この三角形ABCをZ軸を中心として回転させたときの、
この3角形が通過した空間の体積を求めなさい。

>>507
a[16]=b[17]=2であり、a[n]は単調減少、b[n]は単調増加であることから、
a[16]≧b[16],a[17]≦b[17]
よって題意を満たすnの値は17

良問というか、公比が大小比較において複雑なだけで値が簡単になる所を探せば普通だな
それより>>493の解答希望。どっかミスしてる気がしてならね。

p>0、q>0より全てのnについてa[n]>0 b[n]>0
今c[n] = b[n]/a[n] とおくと、c[n]は公比 q/p の等比数列で
　　a[n]≦b[n] ⇔ c[n]≧1

　　c[7] = √2/64 <1、 c[13] = 1/4 <1　
　　(q/p)^6 = c[13]/c[7] = 2√2 = 2^(3/2)
であり、q/p > 0より
　　q/p = {2^(3/2)}^(1/6) = 2^(1/4) >1

よって
　　 c[n+1] > c[n] かつ　c[21] = (q/p)^8 * c[13] = 1
であるから、a[n]≦b[n]となる最小のnは 21　　

しもた　(q/p)^6 = 8√2　だった・・・

>>509
対数使ってやったらスマートにいったから良問と言ったのです。
複雑でもなんでもないですよ

>>512
ん、>>509よりスマートになるの？
解説ｷﾎﾞﾝ

ついでに出題して寝。
実数a,bがa+b=17をみたすとき、2^a+4^bの最小値を求めよ

>488
π^4/128

長軸の長さ2a、短軸のながさ2bの楕円がx軸(x＞0)、y軸(y＞0)に
接するように転がるとき、楕円の中心が動く奇跡を求めよ

t=π/2の正方形を回転させるだけで
(1/4)*π*(π/2)^2*(π/2)=π^4/32
は内科？

y=1/x上に点P(x＞0)、A(1,0)、B(−1,0)が存在する
AP＋BPの最小値を求めて下さい

わり、0≦t≦π/2で求めたわ

>>513
xy=2^17、x>0,y>0 で y+x^2 の最小値でも求める？
もうちょっと楽にならんかな

518は>516ね
でもまあ正方形は比例してでかくなるからt=0とt=πの平均面積をZ軸回転させた体積に等しくなるのは直観的にわかるしね
眠いから寝る

>>518
>>498
俺のあってるの？

>>513
2^2b+(2^16)/(2^b)+(2^16)/(2^b)で相加相乗平均
>>515
楕円積分？
>>517
楕円(x/a)^2 + (y^2)/(a^2 -1)=1 (a>1)と双曲線y=1/xが共有点を持つ
⇔2a≧√[2+2(√17)]

平面上の閉じた曲線Ｃは平面をＣの内と外の２つの部分に分けることを証明せよ。

信州大教授乙

で、あるか。

>521
あってる
>522
楕円積分って？
後半はあってる

ネットで拾ったものです。

正なる数a(1)、・・・、a(n)に対し、その総和をS、全ての積をPとする。
このとき、次の不等式を示せ。
　Σ[k=1,n]1/(S-a(k)) < (S/P)^{1/(n-1)}

うち忘れ　「a(1)、・・・、a(n)（n≧3）」です

>>522
正解

円周率が3.05以上であることを証明せよ

100000000を2進法になおしなさい

正弦定理を証明せよ

教科書嫁

>515
誰もしねーか
x^2+y^2=a^2+b^2、b≦x≦a

A(1、0)B(0、1)をとり線分OB(両端をのぞく)上に定点Cをとる
さらに点Cを通る傾きm(m＞0)の直線lとx=1との交点Pとおく
またlを折り目として三角形BCPをxy平面と垂直になるように折り曲げたときの点Bの位置をB'とし|AB'|=Lとする
�@A、B'からlにおろした垂線の足をA'、B"とするとき|A'B"|をmであらわせ
�Amがm＞0をみたしながら変化し、Lが最小となるとき|AP|を|AC|であらわせ
京大模試より

|1-m|/√(m^2+1)
1+√(AC^2-1)

突然ですが・・・
次の漸化式を求めてください。

In＝∫cos^n x dx　

質問は質問スレで

>>537
それは漸化式ではない。

>539
はぁ？

>>540
>>537の式から
I_n=cos^(n-1)xsin x+(n-1)(I_(n-2)-I_n)
という漸化式を作ることはできるが、
>>537の式そのものは漸化式ではない。

＞５３９、５４１
教科書に載ってる通りです。
問題に不備はありません。

うーむ。釣りだと判断しよう。

>536
�@〇�A×

漸化式とは？　で検索したところ

隣同士の関係により数列の性質を表す式を，漸化式という

とのこと。。

(2)√(1+AC^2)に訂正…

>546
残念、|AP|=|AC|
原題はこれを証明せよだった

>>541
問題にInと表示されていることで漸化式と判断したが。
わかりきった形でないと漸化式とは呼ばないのだろうか？

２８と自然数ａとの最大公約数は７で、最小公倍数は１９６である。ａを求めよ。

誰かコレ教えて。
a.b.cを実数とするとき、不等式　a2乗＋b2乗＋c2乗≧ab＋bc＋caを証明しなさい。

f(x)=asinxcosx+b,g(x)=ksinx+1
f(π/2)=g(0),f'(π/3)=-1。y=f(x)とy=g(x)は(t,f(t))(0<t<π/2)
(1)a,bを求めよ
(2)kをtを用いて表せ
(3)0≦x≦π、y=(x)とy=g(x)で囲まれる部分のうち0≦x≦tの部分の面積をS
t≦x≦πの部分の面積をT。T=4Sとなるkの値を求めよ

F1(1,0),F2(-1,0)が焦点のC:x^2/a^2+y^2=1(a>0)。
l:y=2x+k(k>0)はPでCと接する
(1)aを求めよ。
(2)kとPの座標を求めよ
(3)F2の接線lに関する対称点をF3とする。F3の座標を求めよ。F1,F3,Pが同一直線上にあることを示せ。

こいや

>550
両辺２倍で整理

>551
１題目問題あってる？
２題目
a=√2 k=3 p(−4/3,1/3) F3(24/5,2/5)
傾きPF3=PF2、F1P≠F2Pより同一直線上にない

A、Bを任意の実数とする
P(cosA,cos2A)、Q(cosB,cos2B)とするとき↑OR=↑OP+↑OQで定められる点Rの存在範囲を求めよ
難しくはないけど良問と思う

見た感じ逆手式かな？

-2≦x≦2 x^2-2≦y?

>553
最後勘違い、連レスｽﾏｿ

ｆ（ｘ）＝２ｘ＾３＋（６ａ−３）ｘ＾２＋ｂｘ 　f’（1 ）＝０ におけるｋ≦ｘ≦ｋ＋２分の３の時の最大値を求めよ。
友達は場合分けが５つだったり８つだったり・・・。
とりあえず解いて。

質問は質問スレで

>556
部分点ですね、領域は綺麗にでます

ああf(±1)≧0、を忘れてるね。暗算だとやっぱりダメだな。

あと2x^2±4x+2≧y か・・・


やっぱり逆手式だったか・・・

a,bを自然数とする。ただしbは平方数を因数に持たない。
あるaに対して、(a+√b)^n(n=1,2,3,・・・・)の整数部分がすべて奇数となるようにbをとるとき
そのようなbはいくつあるか。その個数をaを用いて表せ。

>562の訂正。「ただしbは平方数を因数に持たない。 」→「ただしbは平方数ではない。」

>>562
無理。