〜〜数学の質問スレ Part.17 〜〜

因数分解って一通りしかないんですか？

>>148
sin72°は正５角形に，星形みたいに補助線引いてくと容易に
求まります．これは高校入試ですね．

あとは半角公式．

つまり必要なもの（能力・知識）は，
「高校受験＋半角の公式」．
計算だけごりごりの問題，覚えてるかどうかだけを問うような問題に比べれば，
小さな問題としてはこれは比較的良問だと思います．

>>167
多項式P(x)に少なくとも二通りの因数分解が与えられた場合を考える。
Y_1・Y_2・・・Y_m=Z_1・Z_2・・・Z_n
このとき多項式Y_kのうちひとつはすべてのZ_lに一致しない。
その多項式Y_kの解をx=aとする.両辺に代入するとx=aを解にもつZ_lはないので
左辺＝0,右辺≠0よって因数分解は一意的でなければならない。

sin18°の求め方
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi
を参照
辺ADの長さをｘとおくと、辺BD,BCもｘ。また、辺CDは２xsin18°となる
今、三角形ABCとBCDは相似なので
辺ABの長さはx/2sin18°
となる
一方、三角形ABCは二等辺三角形なので、
AB=AD+DC
よって
x/2sin18°＝x+2xsin18°
sin18°＝ｙとおけば、
4y^2＋２ｙ−１＝０

∴y=(-1+√5)/4 (-1≦y≦1)

sinの定義をしっていればこれでもいいと思う

>>148
続き
sin36°のほう

三角形BCDに着目すると、面積の表し方は２通りあり、
（xsin36°）×（ｘ）÷２＝（2xsin18°）×(sin72°）÷２
∴sin36°＝２sin18°×sin72°

sin72°＝cos18°で、今sin18°はわかっているので
代入して計算していけばよい

>>169
多項式の因数分解はふつう有理係数で考えると思うのですが・・

>>167
高木貞治「代数学講義」ｐ５１も参考に

>>172
なんとなく過ぎましたね。
複素数とかでもその積をとって有理係数のみからなる多項式になればいいと思ったので。
その場合、帰納法的になると思うのですが。
あんま考えないでへぼいのを書いてスマソ

>>167
f(x)=k(x-α)＾a(x-β)^b・・・(x-γ)^c---（１）
で表されるとする。
ここで、もし因数分解が一意でなければ
因数として(x-ω）^z（ω≠α、β、γ・・・）なるものがでるはずだが、
f(ω）≠０であるから、これは因数とならない。

また、指数が違うときであるが、違う指数をもつ項を（x-α）^(a+n)とおくと
k(x-α)＾a(x-β)^b・・・(x-γ)^c＝（x-α）^(a+n)×P(x)
となる。ここで、上式の両辺を(x-α)＾aで割ると
k(x-β)^b・・・(x-γ)^c=(x-α）^n×P(x)
x→αとすると、左辺≠０、右辺＝０なので矛盾


よって因数分解は一意に定まる■

>>175
>>172 のいうとおり、普通因数分解といえば有理数係数の多項式を
有理数係数の多項式の積で表す事を言うので、それでは証明にならない

>>175は高木貞治「代数学講義」ｐ５１からの引用ではないの？

>>155
別に絶対値つけても積だからバラバラにしていいんじゃないの？

>>177
そう

>>176
>>175
有理係数多項式ｆ(Ｘ)＝kＸｎ＋ａ(ｎ−１)Ｘ(ｎ−１)＋……＋ａ０（ａｎ≠０）
＝（１）
とおけばいいんじゃないの？これは本質的な間違いなんだろうか
長助教えてくれ・・・

>>178
A・B＝１→｜A｜・｜B｜＝１はいえるが
｜A｜・｜B｜＝１→A・B＝１はいえない。
A・B＝−１かもしれないし。

２＾m＋３＾m=７＾n

を満たす自然数m、nの組はないことを証明せよ。

助けてください

１１０さんレスどうもありがとうございます。
真面目な質問のつもりだったんですけどね…

>>180
がんばったら実数まではいけたようないけないような。実数→有理数は高校範囲では無理数の有理数上での共役がよく分からなくていけませんでした。
ある無理数を解に含めばその最少多項式を有理数上で必ず因数にふくみ必然的にその共役な解も含む事が証明できない。

注)ここに書いてる事はかなり間違ってるかも知れません。

>>182
3で割ったあまりからmの条件を求め
７で割った時のあまりの周期性から矛盾をつく

補題
モニック（最高次の係数＝１）で既約な有理係数多項式P(x), Q(x) が、
ある複素数α に対してP(α)=Q(α) ならば、P(x) =Q(x)である。

を、使えば次数に関する帰納法で、次が示されるはず。

定理
有理係数の多項式は、モニックな既約多項式の積×有理数、に順序を除いて
一意に表される。

＞3で割った余りからmの条件を求め

へたれなのでそれすらよく判らないです。ごめんなさいへたれで‥

2次方程式　4x^2+2(√3-1)x+k = 0 の2つの解がsinθ、cosθであるとき、kの値およびθの値を求めよ。


さっぱり分かりません。。お願いしますー！

>>187
>>185のやり方は知らないけど、左辺を因数分解すれば素因数に5が入るから瞬殺出来るぞ。

>>182
mod 3とmod 7で考えてみれ。

>>188
　めんどくさいから両辺４で割っとく。さらにめんどくさいからsin＝ｓ　cos＝ｃ

　x^2＋(√3-1)x/2＋k/4＝０　解と係数の関係から　ｓ＋ｃ＝1-√3・・・Ａ　ｓｃ＝k/4・・・Ｂ
　この連立を解く。Ａを２乗して　１＋２ｓｃ＝４−２√３　→　sc＝(3-2√3)/2＝k/4　よってｋ＝６−４√３
　元の式に代入して　x^2＋(√3−1)x/2＋(3-2√3)/2＝０　これを解いてθを求める？θの求め方は他にもっとｳﾏいやりかたがある気もするけど、求まるからＯＫってことで。

>>189
ｍ＝２のとき左辺＝１３
５で割れないと思うが。

>>187
両辺を三で割ったあまりは左辺の場合(３ー１)^mを３で割ったあまり、つまり(ー１)^m
右辺は(2・3+1)^nよって1^n=1
これらは等しいのでmは偶数となります。
つぎに2^mと3^mを７で割ったあまりをみると
2^m ｜2 4 1 2 4 1
3^m ｜3 2 6 4 5 1
の繰り返しになり個の和が７で割れる時は３番目の組合せだけですが、これは
mが奇数の時なので上とは矛盾する。よってこれらを満たすものはない。

>>191
うっわー。解と係数の関係かぁ。そんなのあったなぁ〜。
なるほど。そのやり方画期的ですねっ。ありがとうございました！解説よりだいぶ分かりやすかったです。

>>184
>>186
ttp://www.math.meiji.ac.jp/~tsushima/text/daisu2/daisu2.pdf
の定理４．３５かな？

>>181
｜A｜・｜B｜＝１→A・B＝１
みたいには書いてないじゃん。

≫193
なるほど！ちょっと時間かかりましたが今理解できました。
感謝してもしつくせません。ほんとにありがとうございました。

≫189
2^mは2のm乗ですよ。因数分解てどうやったんですか？

>>195
なんだけど・・・
結局有理数じゃない解をもつ既約多項式の解すべてがもう一通りでの因数分解に置いて一つの
既約多項式に入っている事を証明しなければならないわけで。
>>186の補題も多分同じ様な事をいっている。いや、言っててくれw

けどこれって30=2・3・5においてもう一通り分解できるとして2つの√2が別の因数に入るか
も知れないと抜かしてるのと同じ様なものか。おとなしく練炭買って来ます

>>196
⇔って→かつ←のことでしょ？

>>196
１９９の続き
もう一度１４０を見てください。

x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
どうやって解くんですか？

x^5+x^4+x^3+x^2+x+1を因数分解すると、
(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

＞＞１８８，１９１
θ求まった人いる？

>>203
k=-√3,θ=150°+360°n,300°+360°n(nは整数)

⇔は前後で同値ってこと

>>204
じゃ１９１が間違い？

>>206
s+c=1-√3じゃなくてs+c=(1-√3)/2

>>205
前後で同値ってどういう意味？
←かつ→とは違うの？

>>207
さんくす

簡単に言えば＝が成り立つってこと

>>210
⇔の意味をわかってないと思われ

いや、だから前後で同値って意味だって

間違って前スレのログ消しちゃったYO！
過去ログ倉庫行くまで何ヶ月掛かるんだろう・・

>>212
A・B＝１⇔｜A｜・｜B｜＝１
１４０氏はこれが正しいと？

うん

>>181
にそう書いてあるじゃん

あっ、ごめん勘違いした。
やっぱり同値性がが言えないね。
→の方だけね。

→は成立するけど、←は成立しない。
（反例）A=-1 B=1

というか、問題の答えは
（1）
（ｂ）を微分して
ｆ’（ｆ（ｘ））・ｆ’（ｘ）＝1
→｜ｆ’（ｆ（ｘ））｜・｜ｆ’（ｘ）｜＝1・・・（※）
（ｃ）より｜ｆ’（ｘ）｜≦1であるので（※）を満たすには
｜ｆ’（ｆ（ｘ））｜＝1かつ｜ｆ’（ｘ）｜＝1
すなわち｜ｆ’（ｘ）｜＝1
（2）の答えは
｜ｆ’（ｘ）｜＝1よりｆ（ｘ）＝±ｘ＋aとおける。
ｆ（2）＝0よりｆ（ｘ）＝±ｘ＋2
ここで（ｂ）よりｆ＾-1（ｘ）＝ｆ（ｘ）なので
求めるｆ（ｘ）はｆ（ｘ）＝−ｘ＋2

でいいのでしょうか？

因数分解のことだけど，細かいルールって曖昧なような気もする。。

たとえば、

x^2+4x+3だったら，(x+1)(x+3)が正解だけど
2x^2+8x+6だったら、2(x+1)(x+3)でも(2x+2)(x+3)でも(x+1)(2x+6)でも
正解だというのを聞いたことがある(by 2ch)。本当かどうかはわからないけど。。

「因数分解が一通り」ってのはどういうことなのかなあ・・・。
素因数分解の一意性ってのはあるけど・・。

それには、まず、因数分解の「厳密な定義」みたいなのを知らないといけないってことは
わかるんだけど。

>220
細かいことを気にするとハゲる。
2(x+1)(x+3)でも(2x+2)(x+3)でも(x+1)(2x+6)でも
本質的な違いはない。
まあ普通は、2(x+1)(x+3)だろうが。

∫1/(x^2-a^2)dx=???
これ解いてください。

>>220

>>186の定理に書いてある。

>>222
部分分数分解じゃね？

>>224
ｽﾏｿ　言葉で言われても解りません・・

∫1/(x^2-a^2)dx=1/2a∫(1/(x-a)-1/(x+a))dx=(log|x-a|-log|x+a|)/2a+C
=log|(x-a)/(x+a)|/2a+C (a>0)

解答にはこうなってるんですけど、なんで(a>0)という条件が付くのか解らないんです。
なんで？

>>226
a≠0なら問題ないと俺は思うが

>>227
a=0がいけないのは何故？

1/2a＝1/0
あぼーん

でも確かに(a>0)と書いてあるよ。

x^2=a^2のときも駄目だと思うんだけど、どう？

別の疑問が生まれた。

∫1/(x^2-a^2)dxの時点ではxの定義域はこの関数が成立する範囲(x^2=a^2)となっていて、特別定義域を記さないのに、

最後のlog|(x-a)/(x+a)|/2a+C (a>0) ではaに定義域が記されているのは何故ですか？
こっちでもこの関数が成立される範囲としてはいけないんですか？
わざわざ書かないと減点されるの？

訂正
はこの関数が成立する範囲(x^2≠a^2)

特別定義域てなに？ｽﾏｿ

>>234
特別、定義域を・・

別の言い方をすると、

とりわけ、定義域を・・

(a>0) は意味をなさないでしょ多分。aの絶対値が同じなら積分の値は同じなんだし。
本はいつも正しいわけじゃない。
って書いて俺が間違ってたらかなり痛いが

>>232
aの定義域ってなに？
>>236
a＜0 の間違いだろ

要するに a＞0 としても一般性を失わないって事だよ

∫f(x)g(x)dx って求められないんですか？

>>238
求められるやつと求められないやつがある。

>>239
例えば？

>>240
f(x)＝x ,g(x)＝x
なら求められる。
求められないやつは思いつかんが、求められんやつの方が多い

>>241
それは当たり前では？
f(x)g(x)のままで求める公式はないの？

求められんやつがある以上求める公式がないと思うのが普通だと思うが。

求められないって言っても高校範囲ででしょ？
どんな関数でも積分できると思うけど。

人類には不可能があるんです。
ハサミウチ使うやつは大体求められません。

>>244
定積分ならまだできるけど、それでもなぁ・・・・・・
積分可能でない関数もあるし。

不定積分のみで関数形を決定するのは不可能だね。当然か

>>244
不定積分の「存在」と「初等関数で表現可能」とを混同してる予感

>>226

a=0のとき
∫1/(x^2-a^2)dx
=∫(1/x^2)dx
=-1/x +Const.

ですよね．
解答のa>0って，場合分けのうちの一つなんじゃないですかね．

誰か次の問題の解法教えてください。

y＝log（1-X＾2） （0≦X≦1/2）
この曲線の長さを求めよ。
答えはlog3-1/2になるみたいなんだけど、よくわかりません。

>>250
公式を使うだけ。

よく考えたらわかりました。お手数かけてすいません。

y=x^2の0≦x≦1の曲線の線分を数３の範囲を使わずに求めるには
どうすればいいのですか？

曲線の線分ってなーに

ハッと目覚める確率ってどこ出版？

>>186はいい加減だった。証明してみたので、あとで
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045839046
に書いておきます。
>>195
少し見ただけだけど難しそう。。

複素数平面で線分の交点てどうやって出すのですか

Ｑ：IDにＡの出る確率はいくらでしょうか

文型数学の良問プラチカの問題なんですが「解答編」の98Pにあるんですが

2^n + 3^n＜10^10≦2^n+1 + 3^n+1
よって
3^n＜10^10＜2*3^n+1

で常用対数考えてnをだすんですけども
上の式から下の式に変わるのがどういうことなのか理解不能なのですが・・・
上の2^n+3^n＜・・・と下の3^n＜・・・・
じゃ10^10をいじってないのでｎの値が全然変わっちゃう気がするのですが・・
ご教授お願いします

>>259

3^n(=2^n-2^n+3^n)<2^n+3^n

2^(n+1)+3^(n+1)<{3^(n+1)+3^(n+1)=}2*3^(n+1)

>>260
ありがとうございます、盲点でした。
でも、
2^n + 3^n＜10^10≦2^(n+1)+3^(n+1)
のまま計算することはできないんですか？
nlog_{10}(2)+nlog_{10}(3)<10･････････
みたいなかんじで。
計算合わないので違うとは思うのですが違う理由がのみこめません
先生お願いします

>>261
まず、
>nlog_{10}(2)+nlog_{10}(3)<10･････････
の部分が間違ってるよ。
log(A+B)≠logA+logB　（底は省略）
だからね。で、
>2^n + 3^n＜10^10≦2^(n+1)+3^(n+1)
>のまま計算することはできないんですか？
に対する答えは、「問題で与えられた条件で計算できるならしてもいいし、
できないなら解答にあるような工夫が必要」って感じかな。問題はわからない
けど、おそらく計算できないでしょう。

あと、
2^n + 3^n＜10^10≦2^n+1 + 3^n+1
よって
3^n＜10^10＜2*3^n+1
は、上の不等式を緩めて下の不等式を作っているから、
「上の不等式ではｎは１つに定まるはずなのに、下の不等式からはｎが３つ
出てきた！」
といったことが起こるかもしれません。この問題はどうかわかりませんが、
元の不等式を緩めた不等式からｎを求めた場合は、元の不等式でも大丈夫か
確認するのが基本だと思います。

　家庭教師ﾀｿ！！

∫logx dx の結果だけじゃなく求め方も教えて下さい。

>>264
∫logx dx
=∫(x)'logx dx
=xlogx-∫x(logx)'dx
=xlogx-∫1 dx
=xlogx-x+C (Cは積分定数)

xy座標軸上の点A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)を頂点とする三角形の面積の公式を教えて下さい。
s=1/2〜ではじまるやつです

>266
O(0,0),A(x1,y1) B(x2,y2) の３点を頂点とする３角形を考える。
S=(1/2)OA*OB*sin∠AOB
これをx1,y1,x2,y2で表す。

で、これを平行移動。

(；´Д｀)ﾊｧﾊｧ ﾎﾞｯｷしますた
http://homepage3.nifty.com/coco-nut/

数学超初心者です。超初歩的質問なんですが、マジでわからないので教えてください。
自分の持ってる参考書に

sin(-120°)=-√3/2 ※マイナス二分のルート三です。

とあるんですが、なぜ-1/2ではないのでしょうか？
返答よろしくお願いします。

>>269
sin 60°=√3/2はわかってますか

y=sinAをsinAで微分すると、y'=1になりますよね？
つまり、dy=dsinAという微分方程式が出ますが
これは何を意味してるか分かる方いますか？

>>270
はい、それはわかりますけど・・・。

>>269
いろいろ考え方はありますが、式の処理だけで済ますなら
sin(-120°)=sin240°=sin(180°+60°）=-sin60°
などと考える。

>>269
90°以上の角の三角比の定義は理解してる？
単位円とか

>>271
それで微分方程式っつうのかは微妙なところですが，

「dy=dsinA」
⇔「yの微小変化の極限＝sinAの微小変化の極限」
⇔「yをちょっと増やすとsinAも同じぐらい増える」
⇔「yとsinAの変化率の極限１」
⇔「dy/dsinA=1」

って言えばわかりやすいでしょうか．

http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

>>269ここに書いてきた。

>>270
>>273
>>274
>>276
皆さんありがとうございました！やっとわかりました！わたし凄いマヌケな勘違いしてました（ｗ

cot sec cosec log って何て読むんでしたっけ？

０２年　
７月中旬　　ぱてれん初参上で同時にスレを立てる。孤高奮人に殺伐・フーミンなどといった当時の有力コテと激闘を繰り広げる。
同月下旬　　ぱてれん軍団結成　初期メンバーに富田派・あいでん・いいめえる・ゆななど
　　　　　軍団総出でフーミン・殺伐・ヒデキ・淡路の鉄道少年らと交戦。
８月　　　　軍団の勢力の勢いすさまじく、この時期には受験板最強の軍団となる。
　　　　　スズキノさんを特攻隊長、富田派を副団長に任命する。また、このときに浪人塾との長い交戦が始まる、
９月　　　　フーミンの留学を機にフーミン一派の勢力が衰え、殺伐軍団参入・鉄道少年の和解・棟梁フーミンの軍団参入によって、フーミン一派壊滅さす。
１０〜１２月　着実に勢力を伸ばす。反抗勢力との激戦の連続。
１２月　　　あいでん・１０００１００がぱてれんと交戦。ぱてれんが追い込まれる。
１月〜６月　ぱてれん長期休養。　３月に一時期復活した折、レスボスが軍団に参入。彼女のすさまじい行動力が光る。軍団一最も信頼され忠義心に厚い団員である。
　　　　　ぱてれん軍団が浪人塾を壊滅させる歴史的快挙を成し遂げる。　　
６月　　　　ぱてれん本格復帰。如月さんを軍団に獲得。彼女の優しさや愛情に対して軍団の活動を超えた私的な感情が芽生える。
現在　　　　ぱてれん軍団総勢７８名

264みたいな問題って教科書にのってるぐらい単純な問題だろ。
わざわざ聞くことでもないよな。269もだけど。

【問題】
青球１個，赤球３個，白球４個がある。いま円の中心と円周を
７等分した点に黒丸があり、そこにこれらの球を一個ずつ置く。
ただし、回転または線対称で互いに移動しあうものは同じ置き方
とする。

１)青球が中心にある置き方は何通りか？
２)赤球が中心にある置き方は何通りか？

>>280
それもわざわざ書くことでもないよな

>>281
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1057134682/178

教えてください。

5a_(n+5)+3a_(n+4)+5a_(n+3)+3a_(n+2)=5a_(n+1)+3a_nを満たしているという。

このとき、a_nをa1,a2,a3,a4,a5を
用いて表せ。

age

(0.36)^n≦0.01 （nは整数）

一応数�VＣまで分かります。
おながいします。

スレ違いですが、DQNにも非常に良く解かる
Ａ＆�Tの参考書を誰か紹介してください

>>287
sirotya-to

理解しやすい数学

＞＞２８６
log10をりょうへんとる

いや、マジメにたのんます

>>286
log_{10}(2) log_{10}(3)の値は与えられてるんですか？
nlog_{10}(2)+nlog_{10}(3)-n≦-1 までしかでない。。。

この変形がわかりません。
----
〜略

f(logx)=xlogx

logx=uとおく
x=e^u

∴f(u)=ue^u　☆
これより
f(x)=xe^x　★

略〜
-------------

☆から★への変形がわかりません。
x=e^uと自分で定義しているのに、
☆から★への変形の時は x=u になっていると思うんです。

>>293
x=e^uのxとf(x)=xe^xのxは別物でuをただxで置き換えただけでは？

>>294

∴f(u)=ue^u　☆
これより
f(x)=xe^x　★

答案に上だけを書いているのなら
uをただxで置き換えただけというのはわかるんですが・・・

>>292
与えられてないけど、別に適当に代入してください。
むしろそこまでの計算過程を教えて。

>>295
x=e^uなんだから、f(x)を作るには全てのuをe^uで置き換えればいい。
f(x)=e^u・e^(e^u)=xe^x

log_{10}を両辺にかけ、あとは36を素因数分解して展開するだけです
実際計算するとn≦-5かな？　違ってたらｺﾞﾒﾝﾅｻｲ

独立変数にｘを用いるという慣習に従っているだけ ＞ 295

>>298
n≧4.5077のようです。

>>299
違うよ

あ、符号逆だった(ＴＴ

>>284なんですが
私の力では
a_(n+4)+a_(n+2)-a_n={a_(4)+a_(2)-a_(1)}(-3/5)^n-1 までしかできませんでした。

>>302
a_(n+5)+a_(n+3)-a_(n+1)=(-3/5)^n{a_(5)+a_(3)+a_(1)}
だと思う。

>>303
a_(n+5)+a_(n+3)-a_(n+1)=(-3/5)^n{a_(5)+a_(3)-a_(1)}

なんかくれ

ax+bx=1・・・�@
cx+dx=1・・・�A
(a-c)x+(b-d)y=0・・・�@-�A
となって原点をかならず通るようになるんですけど、これは何を表してるか解る人いますか？
�@と�Aをy=の形にするとx=0のとき必ずしもy=0とは限らないし・・・

>306
ax+by=1・・・�@
cx+dy=1・・・�A
(a-c)x+(b-d)y=0・・・�@-�A

直線�@ と�Aの交点は
直線�@-�A上に存在する
ということを表しています。

>>307
なんでそうなるの？

おーーーい

�Aをy=の形にしてから�@に代入すると点が出てくるのに、
なんで直線なんですか？

>309
だ・か・ら
その点は、直線�@-�A 上に存在する、ということ。

>>310
な・ん・で？

この形はこうなるって覚えてるの？
なんか具体的な考え方を語ってください

>311
一般化して考えると、
曲線F(x,y)=0とG(x,y)=0が点Ａで交わるとする。
s,tを０でない定数とすると
曲線　sF(x,y) + tG(x,y)=0
は点Ａをとおる。

なぜならば、
A=(u,v)とおくと、F(u,v)=G(u,v)=0なので、
sF(u,v) + tG(u,v)=0　となる。
よって、点Ａは曲線　sF(x,y) + tG(x,y)=0上に存在する。

この考え方は、２つの円の２つの交点をとおる直線の方程式を求めるときに
円の方程式の両辺をそれぞれ引き算して
x^2とy^2を消去すると求めるべき直線の方程式がでてくるのの
バックにある考え方。

>>312
補足。
s,tは定数じゃなくて、x,yの関数でもO.K.です。

曲線　sF(x,y) + tG(x,y)=0
は点Ａをとおる全ての曲線です(たしか)。
(そのようなs,tが存在します)。





もしかしたら「全て」じゃないかも。

でも受験なら全てとおもってて大丈夫かと。

>>284
ただの3項間漸化式として解けます(多少面倒くさいですが)。

b_n=5a_(n+1)+3a_nとすれば、
b_(n+2)+b_(n+1)=b_n
というフィボナッチ数列の漸化式もどきが出てきます。
後は特性方程式を使って(フィボナッチとおんなじ感じで√5とか出てきて面倒ですが…)
b_nを求めて、b_nを戻せばただのa_nの二項間漸化式になります。後はわかりますね？
計算過程は省略しますが、答えはx^2+x-1=0の解をα,β(α>β)としてA(n)=α^n-β^nとすると

a_n=(1/8)[{A(n-1)(5a_4+3a_3)+A(n-2)(5a_2+3a_1)}/(√5)]+{(-3/5)^(n-1)}[a_1+(1/8)[{A(n-1)(5a_4+3a_3)+A(n-2)(5a_2+3a_1)}/(√5)]]

とかになりました。恐ろしく検算が面倒くさいのでn=1,2のときしか確認してないため答え自体は違ってるかもしれません。

>>312
s,tは同時に0でなければよい
>>314
全ての曲線を表す訳がぬゎい
円に限定すれば別だが

>>316
s=H(x,y)/F(x,y),t=0

とすれば
好きな関数,H(x,y)=0が出来ると思いますが・・・
(x、yに多少制限がつくのはいたしかたがないとして)

０Ｆ（ｘ，ｙ）＋０Ｇ（ｘ，ｙ）＝０は任意の点を通る。

ｘ＝０とｙ＝０は（０，０）を通る。
ｘ＋１＝（（ｘ＋１）／ｘ）ｘ＋０ｙなので
ｘ＋１＝０は（０，０）を通る。

>>317
交点をHが通るのかと小一時間・・・

>>319
あ、ホンとだ。
「全て」
じゃないか・・・

「全て」だと決め付けてそれを示すのに浅はかすぎる例をあげてしまいましたな(鬱)

スマソ

>>314
むしろ、ほとんどの曲線がその形では表せない気が。。

そういやそんな気もしてきた・・・

受験中はラフに使ってたからなぁ。

『１〜２０００までの整数で、約数を奇数個持つ整数は何個あるか？
　ただし、１の約数は１とする。』

>>323
「1〜2000」までの間に素数は何個あるか？って問題が出たら「解けません」って言うよな？

素数以外でも約数を奇数個持つ整数はいくらでもある

約数が奇数個＝平方数でいいの？

自分自身も含めるのか。>>326は忘れて

>>325
そんな事は言われなくても分かってますよ。
要はこの問題は「解けないよ」という事を言ってる訳であります。

１って約数に入るんだっけ？

>>324
解けませんというかﾏﾝﾄﾞｸｾだな。

>>326
あってるよ。

>>323
√2000=20√5を考えて
だから、1^2、2^2、3^2・・・44^2の44個。

>> 326　「約数が奇数個＝平方数」
これって入試では証明なしに使ってもいいの？

証明簡単だからいいんじゃない？

>>331
ありがとう

>>332
ちょっとした説明くらいはした方がいいのでは

法線影とは難でしょうか？

数学の事実とかってどの程度まで証明無しで使っていいか解らない。
明らかに定理とされているものは高校範囲しか駄目だとおもうけど、例えば>>332のようなちょっとしたこととかは、どういう感じで判断すればいいんですか？
法線影＝|yy'| となることとかも微妙なんですけど。

そこらへんは臨機応変，問題が要求している範囲でいいんじゃないでしょうか．
（定理を使うと一瞬で終わってしまう場合などは定理の説明もする，みたいに自己判断）
大学みたいに1/n→0 (as n→∞)　を証明，なんてことはないでしょうし…．

f(x)=x^4-4x^3+2ax^2が極大値を持たないのは、aがどんな範囲のときか。

解りません・・

739 ：大学への名無しさん ：03/07/04 03:39 ID:AaCasKC3
対称式はｙ＝ｘに関して対称になるを証明してください

744 ：大学への名無しさん ：03/07/04 13:10 ID:BqgbbX8r
>>739なんの逆関数だ？
意味が通じない

745 ：７３９ ：03/07/05 03:00 ID:aSkf/51Y
対称式と逆関数の違いって何？これって数３・Ｃの範囲？
まだ数３Ｃはやってません

漏れが証明して欲しかったのは

y=x^2 と x=y^2　は y=xに関して対称っていうようなやつです。

1/n→0 (as n→∞) は公理じゃないの？

>>340
アルキメデスの公理かなにかを使って証明するんじゃなかったかな？
すれ違い＆勘違いかもでスマソ。大学受験では普通に既成事実の極限として使っていいよ

>338
f'(x)=0となるxの前後でf'(x)の符号が正→負になるとき、極大値がある。

・任意のxに対して、x^2 -3x + a > 0 となるとき、
　（略）
・任意のxに対して、x^2 -3x + a >=0 で、等号成立もあるとき、
　（略）
・x^2 -3x + a <0 が解α＜ｘ＜βをもつとき、
　α＜3/2＜βなので
　α＜０＜β　のとき、　（略）
　０＝α＜β　のとき、　（略）
　０＜α＜β　のとき、　（略）

>339
つまり、
グラフF(x,y)=0とF(y,x)=0は
直線y=xに関して対称となることを示す、と。

相異なる二点Ａ＝(a1,a2)、Ｂ=(b1,b2)が直線y=xに関して対称になるための条件は、、、、
線分ＡＢの垂直二等分線が直線y=xであることなので、、
(a1+b1)/2=(a2+b2)/2
(b2-b1)/(a2-a1)=-1
となること。Ａ＝Ｂの場合も条件にいれると
　a1+b1=a2+b2
　b2-b1=a1-a2
となることである。

次を示す：
グラフF(x,y)=0上の任意の点Ａに対し、
グラフF(y,x)=0上の点Ｂをうまくとると、
直線y=xに関してＡとＢは対称である、とできる。

F(a1,a2)=0かつb2=a1かつb1=a2としたとき、点(a1,a2),(b1,b2)が直線y=xに関して対称となる条件は、、
a1+b1=b1+a1　　ＯＫ
a1-b2=a1-a2　　ＯＫ
なので、点(a1,a2),(b1,b2)は直線y=xに関して対称である。
点(a1,a2)はグラフF(x,y)=0上の点、点(b1,b2)はグラフF(y,x)=0上の点である。

同様にして、
グラフF(y,x)=0上の任意の点Ａに対し、
グラフF(x,y)=0上の点Ｂをうまくとると、
直線y=xに関してＡとＢは対称である、とできる。
もいえる。

R^2上の任意の点(a，b)を直線x=yに対して対称に移した点を(c，d)とすると、

中点が直線上にある条件より　(a+c)/2=(b+d)/2 ・・・(1)
２点を結ぶ線分の傾きが-1なので　(a-c)=-(b-d) ・・・(2)
(1)(2)より、c=b，d=a

よって、f(x，y)=0を直線x=yに対称に移したグラフはf(y，x)=0であるから、
y=x^2 をそのように移したグラフは x=y^2 である。

>>343
なんで略すんですか？
答えだしてよ！

1/n→0 も 2^n→∞ も 1/(2^n)→0も (as n→∞)
アルキメデスの公理 n→∞　(as n→∞) と同値。

アルキメデスの原理は連続の公理（上に有界は実数の集合は上限を持つ）
を用いて証明できる。

逆にアルキメデスの原理と「コーシー列は収束する」を公理として
連続の公理を証明することも出来る。

どれを実数体の構成条件とするかは自由。

>>346
自分で考えろ。この問題は典型問題だぞ。

>>346
めんどくさいからだよ。
お前アフォのくせに偉そうだな

落とし穴があるのが解らないのか？

□受験板にそぐわないテーマなのは承知の上ですので受験数学にいそしむ受験生の方は無視して結構です□

>>347
アルキメデスの公理でも原理で尾なくて定理．しかもアルキメデスの原理は浮力の話．

実数a、b、x、yが条件x^2+y^2=1、(a-2)^2+(b-2√3)^2=1を満たすとき、ax+byの最大値、最小値を求めよ。

おね

>>352
(a,b)と(x,y)の内積を考えてみれ

>>352は予備校が好む問題ですね。
僕が受験生のときはその問題の考え方すらわかりませんでした。変なことをかんがえるんだな〜と

＞352
ベクトルの内積で考えるほうがよい。発想としては。

ax＋by＝k　とおいてもいい。

こーしー・しゅわるつの不等式をつかってもいい（内戚の解放と実質的に同じだけど）

>>356
それもあるね。でも、上級テクだから・・・

対象の定義って
ある操作を施してもなんちゃらってやつでしょ
天才数学者は高解いた
方程式3専念の歴史とかいうほんにのってた

そう言えばアルキメデスって自分の原理を証明したっけ？

>>351
嘘つくでない

円の中心をＣとし、円周上の２定点をＡ,Ｂとする。
三角形ＡＢＣの面積が最大となるのは∠Ｃが直角となる直角二等辺三角形である。

ってのは自明ですか?そうでないなら証明の仕方を教えてください。

自明かどうか知らんが円の半径をrとすると
△ABC＝(1/2)r^2sin∠C
よってsin∠Cが最大になる時△ABCも最大になる。
つまり∠C＝９０°

(-b+c)a^2+(b^2-c^2)a+bc(c-b)が、どういうプロセスで
=-(b-c){a^2-(b+c)a+bc}になるのか分かりません。教えて下さい。

↑(b-c)で括っただけ

>>363
(b+c)(b-c)=
これやってみ

X＋Y＋Z＝9のとき、X^2＋Y^2＋Z^2の最小値を求めよ。

という問題なんですがどうしてもわかりません。教えてください。お願いします。

数列{a_n}について，次の式が成り立っている
a_1=1
a_n+1=(4-a_n)/(3-a_n)
このとき，a_nの一般項を求めよ

これって帰納法使わないと解けませんか？

s/a_n\+1/a_(n+1)/

>>351
あのステートメントを原理または公理とするのか、定理とするのかは
なにを基礎公理として実数体を構成するかによって異なるから、
どっちでもいいんだよ。

ただし、あれが何の前提もなしに成立すると考えているなら、それは
間違ってます。実際、適当な順序体というだけではあのステートメントが
成立しないものも作ることが可能です。

>>366
X＋Y＋Z＝9は平面。
X^2＋Y^2＋Z^2＝k^2は球面。(k≧0だけ考えれば十分)
X＋Y＋Z＝9かつX^2＋Y^2＋Z^2＝k^2を考えるとkが実数で存在するためには
kが平面X＋Y＋Z＝9と原点の距離よりおおきい。
｜-9｜/√３≦k
よって3√3

>>366
君は高１かな（空間図形はむりだね）
単純な式変形だけで行こう

条件等式からｚを消去するとｘとｙの２変数の関数になる
それを1文字ずつ平方完成だ

z=9-x-yより，
x^2+y^2+z^2
=x^2+y^2+(9-x-y)^2
=2x^2-(18-2y)x+(2y^2-18y+81)
=2{x-(9-y)/2}^2+(3/2)y^2-9y+(81/2)
=2{x-(9-y)/2}^2+(3/2)(y-3)^2+27

>>367
b[n]=1/(a[n]-2)とおく
（与式の両辺から２を引いた後，両辺の逆数をとってみて）

>>357
　補足：a[n+1]とa[n]をどっちもｘとして解けばｘ＝２．これを両辺から引くと綺麗にできる。

　a[n+1]−２＝(a[n]-2)/(3-a[n])　a[n]−２＝b[n]とすれば　b[n+1]＝b[n]/(b[n]+1)　これはもうお馴染みで、逆数取ればＯＫ
　ただ、答案のまとめやすさから言っても労力から言っても、帰納法のが楽だと思う。１　3/2　5/3　7/4　・・・　(2n-1)/n　かな。
　↑みたいに式変形じゃなきゃ解けない問題は今のとこ見たこと無い。前科式ブームの頃は出たかもだけど。

>>372-373
レスありがとう

複素数の低レベルな質問なんですが、
cos(-45n)°+isin(-45n)°はcos(45n)°-isin(45n)°と変換できますよね？
これに限らずθにnがかかってても三角関数の変換公式は全部そのまま使えますか？

>>375
　質問の意味がよく分からないんだけど・・・。

＞θにnがかかってても
　いや、-45n＝θと見てしまえば当然。別にθは４５じゃなきゃいけないわけじゃない。ｎが掛かってもっつーか（　）の中全部がθ。

　だから問題でcos(−nθ)とあっても、-nθを１つに見れば当然　cos(-nθ)＝cos(nθ)

　後、これくらいは公式とゆーか、自分で導けた方が良い。単位円書いて。

某スレに掲載した問題で>>366の類題なので書いてみます。
>>370さんの使った、点と平面の公式を用いる問題を追加しました。
>>371さんの方法は(1)に相当します。２次関数ですが微分を知っているならば
使ったほうが楽かと思われます。高１ならば諦めて平方完成しましょう。

　x+2y+3z=6…�@のとき、
k=xx+yy+zz…�Aの最小値を次の４通りで求めよ

(1)xを消去して、zを固定してyを変数と見て最小値を求め、その最小値について
zを変数と見て、kの最小値を求めよ。

(2)A=(x,y,z),B=(1,2,3)として、(A・B)^2と(|A||B|)^2の大小関係に着目して
kの最小値を求めよ

(3)�@はxyz空間で平面、�Aは原点中心の半径√kの球を表すので、
原点から�@に下ろした垂線の長さの２乗が求める最小値である。
平面は考えにくいので、x,y,z軸との交点
A(6,0,0),B(0,3,0),C(0,0,2)を考える。

i)ベクトルCAとCBの両方に垂直なベクトルを１つ求めよ
ii)原点から�@に下ろした垂線の足の座標を求めよ
iii)kの最小値を求めよ

(4)点(p,q,r)と平面ax+by+cz+d=0の距離の公式
l = |ap+bq+cr+d|／√(pp+qq+rr)　を用いて解け。
（点と直線の距離を１パラメーター増やしたものです）

＞l = |ap+bq+cr+d|／√(pp+qq+rr)　を用いて解け。
本人分かってると思うが・・・・ﾌﾟｯ

>>377
√(pp+qq+rr)　→　√(aa+bb+cc)　に訂正

法線ベクトルを知ってればすぐ出せるね

微分の拡張って出来ないかな？
sinxの第n次導関数がsin(x+nπ/2)となるのをnが有理数でもいいことにして

y=ax^2+bx+cのグラフをx軸に関して対象移動しさらにそれをx軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動したところy=2x^2のグラフが得られた、このとき
a=@@ b=@ c=@

である。

この問題の解説キボンヌ

>>382
　センターにしろ私大の小問集合にしろ超がつく頻出！

【お約束】ｙ＝f(x)を、ｘ軸方向にａ、ｙ軸方向にｂ動かした関数は　ｙ−ｂ＝f(x-a)で表される。

　第一操作：ｘ軸に対して対称移動させれば、全体にマイナス符号がつく。ｙ＝ax^2+bx+c　→　y=−(ax^2+bx+c)
　第二操作：ｘ軸方向にー１する＝f(x+1)。ｙ＝−{a(x+1)^2+b(x+1)+c)}
　第三操作：ｙ軸方向に３動かす＝ｙ−３．ｙ−３＝−{a(x+1)^2+b(x+1)+c)}
　第四操作：これが2x^2に等しい。ｙ＝−{a(x+1)^2+b(x+1)+c)}＋３＝2x^2

　これを係数比較すれば答えになる。

※注：でもこの場合は、逆にｙ＝2x^2を移動させたほうが早い。
　第一操作’：ｙ軸方向に“−３”平行移動させる。
　第二操作’：ｘ軸方向に“＋１”平行移動させる。
　第三操作’：ｘ軸に関して対称移動させる。
　第四操作’：これがｙ＝ax^2+bx+cに等しい。

　何故２番目のほうが簡単だろうと見抜けたかと言うと、ａとかｂとかが少なくて移動させやすいから。
　これ系の問題はマジ多いから解けるよーにしとこーね。

y=f(x)とすれば、
「x軸に関して対象移動しさらにそれをx軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動した」
関数は
-y-3=f(x+1)で表される。

>>383-384
ありがとう。
理解した。

>>381
フーリエ変換

>>386
フーリエ変換ってこれのことなの？

e^(x-1/2x^2）の微分って、(1-x)e^(x-1/2x^2）で合ってますか？

括弧のなかもっと分かりやすく書いてよ。
(x-1/2x^2）じゃ分からん。

()の中は、Xマイナス、2分の１かけるXの２乗、です。
すんません、これでどうでしょう？

それならあってるよ。

f(x)の概形を書けって言われたら、どう書けばいいんですか？
適当にグラフだけかいたら×ですか？

>>391
合ってないし

須磨疎、合ってる

>>392
概形を書けとだけ言われてるなら別にそれでも構わないと思うけど、
普通出題されるのは増減・凹凸くらい調べないと書けない関数じゃないのかな?
増減表を書けば無難かと思います。

追加。
あと漸近線は必須だと思う。(存在すれば、ね。)

>>391
ありがとでした。

lim(n→∞){(１＋ｘ)^(-1/2)−(１−ａｘ)}／ｘ^2
が極限をもつようにａを定め、極限を求めよ。

→分母が０にとぶから分子０も０になるようにすればいいのですよね？
でもここからｘの処理に困っております。どうすればいいですか？

↑問題あってる?

>>398　ｎ→∞もクソも、ｎなんて文字が出てきてない気が・・・。

　400ｹﾞﾄ！

ｎはいずこへ？ｗ

すみませんｎをｘにしてください

分子にダランベールを使うといってみるテスト

Ｆ（ｘ、ｙ）＝０ってどういうことですか？言葉で表現すると。
あと、
Ａ＝Ｂの場合も条件にいれると
　a1+b1=a2+b2
　b2-b1=a1-a2
となることである。

がよくわかりません。

後半は理解できないので前半(1行目)だけ
y=の形になってない関数という意味。
(y=の形で表された関数を陽関数という)

で、質問のF(x,y)=0っていうのは
例えば
F(x,y)=x+xy+1=0
などの形で表現されているっていうこと
(この形で表されている関数を陰関数という)

高校生で陰関数の形は円や楕円の方程式なんかがそうだよ。

>>373
帰納法から数列の一般項を求めることはよくあるパターンだけど，
いつも疑問に思うことが1つあるんです。
それは「数列{a(n)}の一般項はただ1つに確定される．」という一見当たり前に見える
ことの証明です。ひょっとして「　」の部分は数列の定義に含まれるのかもしれないけど。。
なんていうか，「因数分解は一通りに定まる」とか「素因数分解は一意である」みたいな感じの
証明というか。

例えば，「漸化式：〜で定義される数列{a(n)}がある．」とか「〜で定まる数列{a(n)}がある．」
という出題文に関しては，始めから数列{a(n)}の一般項は一意に確定するということが暗に示唆されて
いるんですが，問題によっては，そういう書き方してないのもあるし。

というのも，与えられた関係式(≠漸化式)からだけでは，数列が一意に定まらないパターンがあるからです。
例えば，「数列{a(n)}はa(1)=1，a(n+1)*{a(n)-1}=0 を満たしている」・・・★ とかそういうパターンです．

「漸化式」「定義される」「定まる」などの言葉が入っている問題では，数列{a(n)}の一般項は
ただ1つに確定されるってことが問題文に示されているとして納得できるんだけど，
そうじゃない問題文ってのも結構見かけるので・・。
そういう問題に対して，帰納法から数列の一般項を求めるのってなんか気分悪いというか。
極端な例ですが，★を満たす数列は無限に存在するけど，その中のたった一つだけを予想して，
それを証明し，それを唯一の答にしてしまう危険性です。

模試や入試問題では，そういうところをしっかり誤解がないように，問題文に明示されているけど，
たまーに，問題集で曖昧な文章を見ることがあったりするから・・・。
といっても，そういう問題に当たったとしても，
目をつぶって解く(というか，出題者が期待している流れと答を書く)だけですが・・・(´Д｀;)

>>406
一般項が一つに定まらない数列なんて考える意味があるのかな？
あまりないような・・・それ自体あまり見ない気が。

>>406
＞それは「数列{a(n)}の一般項はただ1つに確定される．」という一見当たり前に見えること

当たり前ではない。君の云っている事は正しい。実に気分が悪い。

>>408
みっけたｗ

>>406
すごい時間におきてるな・・・

（・Д・）んもーみっかった

こいつら揃ってなにやってるんだか。

ﾓｳﾈﾖｰﾖ

ﾏﾀﾞﾈﾅｰｲﾖ

有界な単調数列は必ず収束すると書いてあるけど

>>406 そういえば、過去スレの問題で、

pは実数、m,n>=1で
すべてのm,nについて
(m-n)a[m+n]=(m+pn)a[m]-(n+pm)a[n]
を満たす実数列a[n]をもとめよ

の答えが、a[n]=n 以外に在るとか無いとかで揉めてたっけ・・

>>413大学生はいいな

>>406
意味不明。
a_n=sin(nπ)
とa_n=-sin(nπ)を考えているようなもんだろ

>>416
>>406が長くて全部読んでなかったスマソ

>>406
まああれだ、大学の数学ではそういうことを凄く神経質にやるから
受験なんて適当にやり過ごしてくれ。

たとえば
「pは実数、m,n>=1で
　すべてのm,nについて
　(m-n)a[m+n]=(m+pn)a[m]-(n+pm)a[n]」
だったら
具体的にa[1]、a[2]、a[3]・・・・を求めて一般項を推測するけどさ、
もしこの一般項が一通りに定まらないとしたら、最初の数項は（実際に求めることで）
確定してるから、ある自然数ｍが存在して
a[n]＝ｂ[n]（ｎ≦ｍ）
a[n]≠ｂ[n]（ｎ＞ｍ）
となる数列ｂ[n]が存在することになるけど、どんなｎに対してもa[n]＝ｂ[n]が
成り立つということを保証するのが数学的帰納法じゃない？

>>419
言ってることがよく分からんけど、その漸化式を実際に解くとどうなるの？

ってかそもそもは>>406が一意的に次の項が決まらないような漸化式を出してヘリクツこねてるのがいけないんでしょう？
その前に出てた漸化式は普通に次の項が一意的に決まるわけだし。

0^0はタブーですか？全く別の問題で二項定理を使って1^nと0^(n-k)で考えるという解法思い付いたんだけど0^0が一項入ってくるから。答えは(1+0)^n=1となって正解だけど論理性があるかどうか…

よく考えると途中に出てくる項全部0掛けてるから0になるばすなんだけど1になったってことは0^0=1？

平面上の二点(5,0)および(3,6)から、直線Lに下ろした垂線の長さが等しいとき、
直線Lの方程式を求めよ。ただしLは原点を通るものとする。

LをaX+bY=0とおいて点と直線の公式で解くのはわかるんですが、
｜5a|=|3a+6b|からどうして解くんでしょうか？

直線LがAとBの中点を通るものと、直線ABに平行なもの　という風に捉えて出すのはだめなのかな

>>422
０＾０＝１。

Y=asinθ+bcosθ　は、θ=60°のときに最大値をとり、最小値は-6である。定数a,bの値を求めよ。

解説見てもｻﾊﾟｰﾘ分かりませんでした（´Д｀　）よろしくお願いします。

∫[0,1](x^2-|x|+2)dx　を求めなさい。

∫[-a,a]x^2ndx=2∫[0,a]x^2ndx
∫[-a,a]x^2n-1dx=0
を使って解くらしいのですが、僕が解いた所答えは14/3になりました。
ところが、解答を見た所答えは11/3ということでした。
怪しいのは|x|の処理ですが、奇関数なので0になると思うのですが。
どなたか正しい解き方を教えてください。

>>426
こらこら。

>>428
問題文は[0,1]でなくて[1,1]でないかい？

>>427
Y＝F（θ）とおく
F（θ）を合成すると
F（θ）＝√（a^2+b^2）sin(α＋θ)となる。
α＋θ＝90°のときF（θ）は最大値を取る。一方θ＝60°のときF（θ）は最大値をとるので、
α＝30°となる。んで、最小値をとるのはα＋θ＝270°のときで、α＝30°より、θ＝240°のとき
F（θ）は最小となる。一方α＋θが270°のときsin(α＋θ)は−1なので、a^2+b^2=36…�@である。
また、元のF（θ）＝asinθ+ｂcosθにθ＝240を代入すると、
F（240°）＝√3a/2+b/2＝6…�A
�@に�A代入すればよい、多分…
多分解が二つずつでてくるとおもうけど,がんばれ

11/3じゃなくて　11/6じゃない？

最小値が-6だから　√（a^2+b^2）sin(α＋θ)の最大値は6
よってαは30°となりcosα=a/6よりa=3√3 sinα=b/6よりb=3　じゃないかな

>>422
>>426
>>429
ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/xtothex1/node2.html
ttp://www.math.toronto.edu/mathnet/plain/questionCorner/powerof0.html

>>434
英語ムリ。
極限をロピタルの定理を用いずに、って大学1年のレベルじゃないよね・・・

だれか>>404をお願いします。

>>405サンクス。

それと
陽関数と陰関数というのは、ほとんど同じだけど、
考え方が陽関数はｘの値が決まるとｙの値も決まる。
陰関数は左辺のｘ、ｙを変化させて右辺と等しくする。でいいのかな？

>>434
ｘ（ｔ）＝ｅｘｐ（−ｔ−２ｔ＾２・ｉ）
ｙ（ｔ）＝１＋（１／ｔ）ｉ
とすると
ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ−＞＋∞｝ｘ（ｔ）＝０
ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ−＞＋∞｝ｙ（ｔ）＝１
　ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ−＞＋∞｝ｘ（ｔ）＾ｙ（ｔ）
＝ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ−＞＋∞｝ｅｘｐ（ｔ−（１＋２ｔ＾２）ｉ）
＝∞
だから０＾１＝∞。

404は何言ってるのかよくわからない。

0^0＝１は決まり。そう定義しただけ。

■pを素数とする。xに関する二次方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解をもつのは、p=2の時に限ることを示せ。

よろしくおねがいいたします。
整数解の条件なんて、初めて見た。。
類題も募集中です。
どうにもできない。。

すみません。問題文間違ってました。
正しくは
∫[-1,1](x^2-|x|+2)dx　を求めなさい。
でした。お詫びして訂正します。

てｓｔ

>>425
ありがとうございます。確かに答えは二通りあるんですけど、
勝手に中点とか決めたらLが原点を通らなくなるからそれは駄目みたいです。
一応｜5a|=|3a+6b|の式を勝手にいじくりまわしたら答えは合ってたんですけど、
ちゃんと出したいんで誰か>>424お願いします

>>441
|x|は偶関数

>436
>438

>344　を書き直す。
相異なる二点Ａ＝(a1,a2)、Ｂ=(b1,b2)が直線y=xに関して対称になるための条件は、、、、
線分ＡＢの垂直二等分線が直線y=xであることなので、、
(a1+b1)/2=(a2+b2)/2
(b2-b1)/(a2-a1)=-1
となること。すなわち
　a1+b1=a2+b2
　b2-b1=a1-a2
　a2≠a1
となることである。
また、Ａ＝Ｂが直線y=xに関して対称となる条件は、この直線上にあることなので
a1=b1=a2=b2 である。これは
　a1+b1=a2+b2
　b2-b1=a1-a2
を満たす。

つまり、ＡとＢが相異なるor一致するに関わらず、ＡとＢが対称になる条件は
　a1+b1=a2+b2
　b2-b1=a1-a2
である。

>>441
そうですね。|x|は偶関数でした。
となると、どういう風に計算をすればいいのでしょうか。
どうも絶対値記号は苦手で・・・。|

すみません。>>446は>444に対してのレスでした。

>>443
|5a|=|3a+6b|
⇔5a=±(3a+6b)
じゃ駄目？

偶関数+偶関数=偶関数となるのは分かるかな?
f(x)が偶関数のとき、
∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dx
となることを利用しよう。

449は446へのレスね。

>>447
|x|に限らず偶関数はy軸に対称でしょ？だから積分範囲が[-a,a]なら[-a,0]の積分と[0,a]の積分が等しくなる。
(x^2-|x|+2)は偶関数だから
∫[-1,1](x^2-|x|+2)dx=2∫[0,1](x^2-|x|+2)dx=2∫[0,1](x^2-x+2)dxになる

>>446追加
それから、絶対値のはずし方だけど、
絶対値の中が正のときはそのまま、
負のときはマイナスを付ければいいんだよね。
f(x)が偶関数のとき、
∫[-a,a]f(x)dx=2∫[0,a]f(x)dxを利用すれば、
積分区間は0≦x≦1になるから、このとき|x|=xと書き換えられるよね。

>>449-452
ありがとうございました。

>>440

なかなか難しい　TT

こういう素数みたいなやっかいなものが入る時は大変ですねー　しかも整数。

解
因数分解をして
(px+5)(P-x)=2p
2pより、px+5 p-xが考えられるのは4通りしかない。
1 2p
2p 1
2 p
p 2

である。
上から1-4とする。
1番 p-x=1をxについて解く（pが素数だからpで解かないとおかしくなる。）そうするとpは2しかならない。
2番 同じようにとくとp^2-3p+5=0 これは整数解をもちそうにないのでだめ。
3番 同じようにとくとp^2=3となりみたさないのでだめ。
4番 2番と同じくだめ。
よって1番だけなので　p=2である。

計算は適当にやったので違うかもしれない。。。　違ってたらごめんなさい

訂正、pが素数だからxで解かなくとおかしくなる　です

>>440
ｘが整数になるのは解と係数の関係の分子より（藁）、

分子＝p^2-5±√D　

のDが二乗の形になればよい。
D＝p^4＋2p^2＋25＝n^2(nは整数とする）
平方完成させて
D＝(p^2+1)^2＋24＝n^2
24＝n^2-(p^2+1)^2
24＝(n+p^2+1)(n-p^2-1)…�@
ここで24＝2^3×3である。(n+p^2+1)と(n-p^2-1)の偶奇は一致し、更に（n+p^2+1)-(n-p^2-1)＝2p^2+2≧4だから
以上より
�@の右辺＝12×2になるので、(n+p^2+1)＝12、(n-p^2-1)＝2　となり、これらを連立させると、
p^2=4 となり　p=±2となる。
これを与式に代入して成り立つ事を確認して終了。

下から5行目の「だから」って何か変だな。
あと、一番下の行の確認作業は忘れたらいかんよ。

すまん、一番上の「解と係数」っての間違い、正しくは「解の公式より」

｜Ａ｜＝０⇔Ａは固有値を持つ

を示せ。

こんな子が・・・いいの？
http://csx.jp/~aqua-girls/

んーずっと考えてるのですが、誰かご教授ください。

えーと類題もほしい、とのことなので、某S台予備校のｱﾁｰﾌﾞﾃｽﾄから同じ問題をパクってきました。
答えはかくのがめんどいので自分で答え合わせお願いしますm(__)m

素数x y　と整数zが

x^2-xy+y^2=z^2をみたしている。

1 z+x-y z-x+y はともに正の整数である事を証明せよ
2 x=y=z　であることを証明せよ　

>>459
絶対値ってなに？固有値って事は行列？
でもそれなら←って成り立たなくないか？

絶対値は行列式のことか?

>>398
問題写し間違ってると思うんだけど・・・。

x>>1 のとき (1+x)^(-1/2) < x だから、
{(１＋ｘ)^(-1/2)−(１−ａｘ)}／ｘ^2 < {x−(１−ａｘ)}／ｘ^2 ＝ {(a+1)x−１}／ｘ^2
＝ (a+1)/x - 1/x^2
よって、任意の定数aに対し、極限値は０

・・・・。

>>459
固有値はいつも存在する
実の固有値なら別だが

>>462
zはただの整数ですか？
自然数では？

>>465
>>398に「分母が０に飛ぶ」とあるので
本当はx→0なんでしょうね。

ToT失礼しました　zは正の整数です。

>>468
あー、なるほど。
それじゃ1/2だね。

>>470
すみません、どーやってやったのですか？

>>471
ルートがからむときの定石の一つ。
有理化のようなことをする。

いま与式の分子＝{(１＋ｘ)^(-1/2)−(１−ａｘ)}の形なので
これのルートを外すために
与式の分母分子に{(１＋ｘ)^(-1/2)＋(１−ａｘ)}を掛ける。

ttp://ww3.enjoy.ne.jp/~miya-n/math/index.html

ここの問題どうよ？
レベル１はフツーにできるが、レベル２以上は見ただけでやる気がしない

>>472
ありがとうございます。ちょっとやってみます。

>>472
そこまでは僕もやってみたのですが、その後がわかりません。
教えてください。

>>474=398
抜けてました

>>472
それでできるかな・・・
x>0 のとき、1 - (1/2)・x + (3/8)・x^2 - x^3 ≦ (1+x)^(-1/2) ≦ 1 - (1/2)・x + (3/8)・x^2
だから、
lim(n→0) {1 - (1/2)・x + (3/8)・x^2 - x^3−(１−ａｘ)}／ｘ^2 ≦
lim(n→0) {(１＋ｘ)^(-1/2)−(１−ａｘ)}／ｘ^2 ≦
lim(n→0) {1 - (1/2)・x + (3/8)・x^2 −(１−ａｘ)}／ｘ^2

∴lim(n→0) {(1/2 - a) + (3/8)・x - x^2}／ｘ ≦
lim(n→0) {(１＋ｘ)^(-1/2)−(１−ａｘ)}／ｘ^2 ≦
lim(n→0) {(1/2 - a) + (3/8)・x}／ｘ

よってa=1/2のとき極限値3/8

>>477
できますよ。普通に。

ごめん、ｎ→0じゃなくてｘ→0ね。

>>478
どうやったのか教えてください

>>473
レベル３一個目やったら解けましたよ。
レベル３で東大前期レベルかと・・・

>>480
通分すると、
分子はxの3次式で定数項が消えます。
分母にはx^2や√(1+x)などが現れますが
x→0のとき0になる項はx^2だけです。

そこで通分した式の分母分子をx^2で割ります。
すると分母はx→0のとき2になります。
分子は{x・f(a)+g(a)+h(a)/x}のような形になるので
元の式が極限値を持つにはh(a)=0が必要になります。

■平面上の放物線A:y=x^2,B:y=-(x-a)^2+bは異なる二点P(x1,y1)Q(x2,y2)(x1>x2)で交わるとする。
(1)x1-x2=2が成り立つとき、bをaで表せ。
(2)x1-x2=2を満たしながら、a,bが変化する時、直線PQの通過する領域を求め、図示せよ。
(3)|PQ|=2を満たしながら、a,bが変化する時線分PQの中点のy座標の最小値を求める。
======================================================================
(1)b=1+(a^2/2)でした。
（2）以降、うまくできません。
今日中に何とかしたいです。
力を貸してください。

>>483
(1)b=(a^2/2)+2
(2)y≦x^2 +1
(3)3/4

>>484
解き方が知りたいです。

へー

交代式、対称式の因数分解なんだけど、青チャートの練習２１の（３）で

(b+c){a^2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)

という個所でつまづきました。どうすれば、下の式になるのでしょう？

二次試験の科目が数学だけで、しかも数学�Vだけなんですけど、夏休みからやり始めて数�Vだけを受験までにマスターですますか？
なにかイイ参考書があれば教えて下さい！

>>408
>>418
まあ、気にしすぎると禿げるのでやめときます・・(´Д｀;)

aを正の定数とします。平面上の二点A(a,0),B(-a,0)に対し、
AP*BP=a^2を満たす点Pの描く軌跡をC
とします。
（1）Cの方程式を求める。
（2）C上の点Pのx座標とy座標のとりうる値の範囲を求める。
↓
（1）は、√（（a-x）^2＋y^2）√（（x-a）^2＋y^2）＝a^2を計算するだけだと思うのですが、
計算が下手で、普通に計算してしまい、しかも、
6a^2x^2-4a^3x-4ax^3+2x^2y^2-4axy^2+2a^2y^2+x^4+y^4=0
となってわけがわからなくなりました。

助けてください。
よろしくおねがいいたします。

うまい計算の仕方なども、教えていただけたらありがたいです。

積分って何よ？

>>488
学校とかで一通りお話を聞いた後であれば，大学への数学の「１対１対応の演習」の数3Cをやってはいかがでしょう．大数というと難しいイメージがありますが「１対１対応」は簡単で重要な基本問題を網羅した良問題集です．
授業で話を聞いたこともないようであれば，無難なところでチャートなどおすすめします．

>>485
(1)
AとBを連立して，
x^2+(x-a)^2-b=0 ⇔ 2x^2-2ax+a^2-b=0・・・ア
アの2解がx1,x2なので，解と係数の関係で
x1+x2=a，x1*x2=(a^2-b)/2．
いま，x1-x2=2 なので，
(x1-x2)^2=4
⇔ (x1+x2)^2-4*x1*x2=4
⇔ a^2-2(a^2-b)=4
⇔ -a^2+2b=4
∴b=2+(1/2)a^2・・・答

(2)
放物線A，Bが異なる2点で交わるように変化するとき，
P，Qを通る曲線の方程式は，s，tが同時に0でない実数として
s(y-x^2)+t{y+(x-a)^2-b}=0・・・イ とおける．いま，s=1，t=1とすれば
イは直線の方程式となるので，これが直線PQの方程式に他ならない．
よって，直線PQ：2ax-2y-a^2+b=0・・・ウ
いま，x1-x2=2 であるから，(1)の結果より，b=2+(1/2)a^2．
これをウに代入すれば，結局，PQ：2ax-2y-(1/2)a^2+2=0・・・ウ
ウ ⇔ a^2-(4x)a+4y-4=0・・・エ であるから，これをaに関する2次方程式と見て
aについての実数条件より，エの判別式≧0．
∴ (2x)^2-(4y-4)≧0 ⇔ y≦x^2+1・・・答

>>485
(3)
|PQ|^2=(x1-x2)^2+{(x1)^2-(x2)^2}^2
={(x1-x2)^2}{1+(x1+x2)^2}
=(-a^2+2b)(1+a^2)
であるから，|PQ|=2 ⇔ (-a^2+2b)(1+a^2)=4・・・オ
このとき，線分PQの中点をM(p，q)とおくと，
q={(x1)^2+(x2)^2}/2={(x1+x2)^2-2*x1*x2}/2=b/2．
よって，b=2q であるから，これをオに代入して，
qについて解けば，q=(t/4)+{1/(t+1)} (ただし，t=a^2(≧0)．)

ここで，
a={(t+1)/4}+{1/(t+1)}-(1/4)≧2{√(1/4)}-(1/4)=3/4
(∵相加相乗平均．等号は(t+1)^2=4，すなわち，t=1のとき成立．)
であるから，求める最小値は3/4・・・答

寝ます・・

>>494
乙かれ。

>>436
そんなに難しく考えないで
表し方が違うだけと思っておけばいいよ。
y=x(陽関数)
y-x=0(陰関数)
なにを独立変数とみるか、従属変数とみるかによっても
違ってくるし。

あと「Ａ＝Ｂ」以下の文は何を言ってるかわかりません。
あれでは答えてあげたくても答えられません。

>>487
展開してaについて整理しただけですが何か？

>>490
(a-x)^2=(x-a)^2
じゃないのかと小一時間（ry

すみません 超基本問題なのでここにいる人たちには簡単すぎるでしょうが
f（x）=ax×x-2（a-5）x+3a-15
（1）全ての実数xに対してf（x）＞0のときのaの範囲を求めよ
（2）全ての実数xに対してf（x）＞0のときのaの範囲を求めよ
最初のx×xはxの2乗という意味です

全ての実数xに対してf（x）＞0という事はa=0でもa<0でもないでしょ？
つまりa>0でこの時y=f(x)はしたに凸な二次関数だからf(x)＝０が解を持たなければ良い。
つまりax×x-2（a-5）x+3a-15=0の判別式が負になる範囲。

（2）予想

全ての実数xに対してf（x）＜0のときのaの範囲を求めよ

これは代ゼミの夏期の定松先生のテキストの第一問なんですがｾﾝﾀｰ型なので答えの欄は（1）がa＞ア、（2）がa＞イウ／エになってるんですけどこれにあった答えが出せなくて‥

＜sup＞x^2＜/sup＞

>>501
問題の条件を満たしているグラフ書いてみた？

>>490
成分表示で泥沼化するのも無理はない・・通りで幾何的アプローチ
もうまくいかないわけだ。試行錯誤の結果局座標表示に行き着いた。
（Ｃがｘ軸、ｙ軸に対称であること、（０、０）（√２ａ、０）
　を通ること、閉曲線を成す事から予測）

以下、グラフがｘ軸、ｙ軸に関して対称であることから、第一象限内で扱う。
原点を極、OPを動径とし、動径とｘ軸のなす角がθ（反時計回りを正とする）
となるように極座標をとる。
OP=r(≧0)とおくと、AP=√(r^2+a^2-2arcosθ),BP=√(r^2+a^2+2arcosθ)
AP・BP=a^2より、
√(r^2+a^2-2arcosθ)(r^2+a^2+2arcosθ)=a^2
両辺を二乗して、
(r^2+a^2-2arcosθ)(r^2+a^2+2arcosθ)=a^4
(r^2+a^2)^2-(2arcosθ)^2=a^4
r^4+2a^2r^2+a^4-4a^2r^2cos^2θ=a^4
r^4+2a^2r^2-4a^2r^2cos^2θ=0
両辺をr^2で割って、
r^2+2a^2-4a^2cos^2θ=0
r^2=2a^2(2cos^2θ-1)
r^2=2a^2cos2θ
これがＣの極座標表示であるが、r^2≧0より、
cos2θ≧0
これとＰが第一象限内のみを動くことを考慮して、
0≦θ≦π/4
以上より求めるグラフは
r^2=2a^2cos2θ(0≦θ≦π/4)
をｘ軸、ｙ軸に関して対称に折り返したものである 　(終)
次に、ｘ、ｙのとりうる値の範囲を求める
x=rcosθ,y=rsinθ
x^2
=r^2cos^2θ
=2a^2cos2θcos^2θ
=2a^2cos2θ(1+cos2θ)/2
=a^2cos2θ(1+cos2θ)
あとはこのcos2θに関する二次関数の最大値を、0≦θ≦π/4
に注意して求めるだけ。ｙに関しても同様

フェルマーの最終定理証明したあと
色々忙しくて２ちゃんできなかったよ。

あの論文は長かったね。乙〜

x²

受験生活板に来てくれや♪

雑談や馴れ合いも全部含めて〜♪

http://jbbs.shitaraba.com/movie/2490/
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 Ｖ　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　♪　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ∧＿∧()) ♪　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　♪　 　　（´∀｀ ξ）　　　　　　　　　　　　
　　 　 　 　 　 　 ＿＿＿＿○＿＿＿ξつヾ＿＿＿＿ 　　　
　　 　 　 　 　 ／δ⊆・⊇ 。／†：：† ／δ⊆・⊇ 。 .／|　　　　
　　　　　　　　|￣￣￣￣￣|￣￣￣|￣￣￣￣￣|　 | 　　　
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　　　　　　　　|愛媛みかん|￣￣￣|愛媛みかん.|／

家庭教師で理系の子教えてるんだけど、これって数�Vの範囲かな？

lim_[n→∞]｛(√n)-(√n-1)｝＝0
を示せ

って問題なんだけど、文系なんで高校では習わなかった。
どう解くのか教えてください。

>>510
分母(ここでは１)と分子
(√n)＋(√n-1)を掛けて

>>510
分母分子に（√ｎ）＋（√ｎ−１）をかけてみる

>>510
すうさんだね。
分子の有理化しましょう。
分母分子に　(√n)+(√n-1)　を掛けるとできます。

>>511 >>512

結婚おめでとう。

>>510
文型なのになんで数学�Vの内容やるようなとこおしえてるの？
下手なウソつかなくていいよ。

>>511-513
ｹｺｰﾝｗ
1/(√n)+(√n-1)になったんだけどいいのかな？
まぁ方針がわかったんでＯＫです。ありがとう。

ちなみに俺は英語専門だったんだけど、数学もやってみてってことになってどれどれって見たら
見覚えﾅｲ問題が出てきたのでｷﾞﾓﾝになって聞いてみたのでつ
っていうかここで嘘つく意味がわからんｗ

>>516
あっそ。

>>517
うんｗ

(a+b)^3+c^3

={(a+b)+c}{(a+b)^2-(a+b)c+c^2}

どう展開すれば、下の式になるのでしょうか？ちなみに、

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

です。2時間考えても分かりませんでした。ご教授願います。

>>519
x^３＋ｙ^３＝(ｘ＋ｙ)(ｘ＾２−ｘｙ＋ｙ＾２)

>>520
問題文見間違えた。すまぬ

やっぱあってる。

一般に
ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝(ｘ＋ｙ)｛ｘ^(n-1)−x^(n-2)・ｙ＋・・・−x・ｙ^(n-2)＋ｙ^(n-1)｝

>>523
馬鹿はトリップ付けるな

ごめん言い過ぎた。

因数分解ネタで悪いのだが
ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＋４ａｂｃｄ
これはＭａｔｈｅｍａｔｉｃａで因数分解させても不可能とでた。
なんかできそーなかんじもするのだが。

>>524
ん？なんか間違ってる？

>>526
ｎは奇数じゃないと

>>526
nが偶数のとき成り立たない

忘れてた。鬱だ氏脳。

ｎが無限大に収束すれば1/nが０に収束するのはなんでだろう？
分母が限りなく大きくなるからっていうのは曖昧すぎだよね？

>>530
アルキメデスの原理

>>530
ａ(ｎ)＝１／ｎとおくとａ(ｎ)は単調減少で０＜ａ(ｎ)≦１であるから有界。
ゆえにｌｉｍ(ｎ→∞)１／ｎ＝αが存在する。０≦α≦１／ｎ(n＝１,２,・・・)
α＞０とするとアルキメデスの公理によってあるｎ'が存在し１＜ｎ'α。これは矛盾
よってα＝０

>>531
原理は流体では？

◆CG03kSBtf2 ：さんくす

>>533
確かに誤解がないよう公理の方が良いかもね。

>>533
物理と数学で同じ言葉だが違う意味のものはいくらでもあるだろ。
つまらん人間だな。

>>536
はぁ？聞こえませんが。

>>525
mathematicaでやって無理なら無理じゃないかな？
できそうな雰囲気も感じられないのだけど

>>538
おっ長助氏。こんな時間に・・・

でもなんでできないのだろう？んーー

>>539
むしろ何でできると思ったかを知りたい。
↓なら出来るんだけどねー
a^4＋b^4＋c^4＋d^4−2(a^2b^2＋a^2c^2＋a^2d^2＋b^2c^2＋b^2d^2＋c^2d^2)＋8abcd

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)を覚えようと思わずに。

公式というよりもy=-xを突っ込めばx^3+y^3=0だからy+xで因数分解できるはず。

同様の方法でx^3-y^3とかx^9+y^9とかx^(2n+1)+y^(2n+1)の因数分解とかもできるはず。

ａ^2＋ｂ^2−2ａｂ　や　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−3ａｂｃ　からのアナロジーだろうね　＞　540

因数分解というほど、形がすごく綺麗にはならないと思うけど、
分解できるような・・・面倒クサそうなのでやってない。他にやることがあるので

◆楕円C:(x^2/3)+y^2=1上の点PにおけるCの法線（Lとする）が、
P以外でCと交わる点をQとする。
点PがC上を時計回りに(0,1)から(√3,0)まで動くとすると、
QはC上でどのように動くか。
========================================================================
まず、楕円の法線を、楕円の接線（公式）から変形して、
（Pを（x{0},y{0}）として）
L:（x{0}^2+9y{0}^2/3x{0}^2）x^2−12（y{0}^2/x{0}）x＋4y{0}^2=0としましたが、
ここから計算が煩雑でどうすることもできません。
一度 みなさんがどのように考えて変形してるのか知りたいです。

ご教授願います。
ここにいますので、レスください。
おねがいいたします。

>>544
楕円上の点を(√3cosθ,sinθ)と置くとよろし。

>>544
その方針を尊重するとして、

＞L:（中略）としましたが、

まずこの計算がおかしいのでは？
"法線L"という直線の式を出したはずなのにx^2が残ってるのは変。

>>546さん
ありがとうございます。
>>545さんのやり方でもやってみたのですが、それ以前に法線の式が違いました。
今やり直してますが。。。

青チャスレの方に質問を書いたのですが
どなたかよろしくお願いします。

>>546
鋭い！
ディメンションがずれてるからね。

数学の問題を解く時でもディメンションチェックは重要！

アドバイスした手前、自分も一応解いた。
cosθ＝c と書くけど、

x=(√3c(3-4c^2))/(9-8c^2)

となって何かいまいち。
>>544で
>どのように考えて
って書いてるけど、問題に

>時計回りに(0,1)から(√3,0)まで動く

って書いてあるから回転の向きは逆だけど媒介変数表示で
考えるのが自然かな、と。

高１です。
どうぞよろしくお願い致します。

数学苦手で、たぶん定番問題ですが、ちょっと行き詰りましたので、
アドバイスお願い致します。
「正式f(x)をx-1で割ると余りは5であり、x^2+x+1で割ると余りは3x-4
である。f(x)をx^3-1で割ったときの余りを求めよ」

どうぞよろしくお願い致します。

>551
整式f(x)をx-1で割ると余りは5　なので
　f(x)=Q(x)(x-1)+5
x^2+x+1で割ると余りは3x-4　なので
　f(x)=R(x)(x^2+x+1) + 3x-4

f(x)＝S(x)(x^3-1)+T(x)とおく。T(x)=ax^2+bx+cは高々２次の整式。
ω^2+ω+1=(x-ω)(x-ω^2)=0とおくと
f(1)=T(1)=5
f(ω)=T(ω)=3ω-4
f(ω^2)=T(ω^2)=3ω^2-4
未知数３つ、式３つで解ける。

ありがとう！！！
ちょっと今から頑張ってみます！

f(x)=(x^3-1)Q(x) + a(x^2+x+1) + 3x-4

１．「一階述語論理式ＡがトートロジーならばＡは一階述語古典論理で証明できる」
２．「一階述語論理式Ａ一階述語古典論理で証明できるならばＡはトートロジーである」
３．「一階述語古典論理に基づく形式体系が算術を含むならば、
　肯定も否定も証明が不可能な論理式がその体系の中に存在する」
４．「階述語古典論理に基づく形式体系が算術を含むならば、
　その形式体系の証明をその形式的体系の中で遂行することは不可能である」
５．「一階述語古典論理に基づく形式体系が算術を含むならば、
　その形式的体系の無矛盾性の証明をその形式的体系の中で遂行することは不可能である」

１から５の定理の名前を教えて下さい、お願いします。

ゲーテルだっけ？

ああ物理の神のフェンリルさん！！
フェンリルさんはなんでも知ってるんですね。
お願いします、五個の定理の名前を教えて下さい。

ゲーデルっしょ

第一不完全性定理ＡとかＢとか第二不完全性定理ＡとかＢとかどれがどれなのか
わからないんです。助けてください！！

１　完全性　２　健全性　３　第一不完全性　５　第二不完全性
４は知らない

560さんありがとう！！！

自信無いから確認してよ

>>544
解読完了。

まぎらわしいので接点P(a,b)と変数を変える。
公式から接線は(a/3)x+by=1なので、
法線はb(x-a)-(a/3)(y-b)=0　⇔　ay=3bx-2ab

ay=3bx-2ab
(x^2/3)+y^2=1
この２式からyを消去すると>>544で君が出したかったはずのxの2次式になる。

この連立方程式の一つの根は明らかに(x,y)=(a,b)なので
もう一つの根は、例えば解と係数の関係からでも出すことができて
x=(12ab^2-3a)/(a^2+27b^2)=(9a-4a^3)/(27-8a^2)　(∵(a^2/3)+b^2=1)

結局Pの座標が(a,b)のとき、Qのx座標=f(a)=(9a-4a^3)/(27-8a^2)になる。
あとはaが0から√3まで動くときのf(a)のふるまいを調べておしまい。
Qは楕円上の(0,-1)から始動して、少し第四象限にはみ出てから戻って(-√3,0)に移る。

お、ID全部大文字だ。

おしえて　　tanA+tanB=ktanαtanβ(kは定数）の
形に表せないことを示せ。（和積になおせない）

>>565
imifume-

但し、α、βはＡ，Ｂの１次関数とする
とかにするといいかもね。
１次関数じゃなくてもっと範囲を広げるとムズくなりそう。

５６７さんのでいいです。そっちを証明してください。

>>568
もとの問題を正確に教えてよ

５６５でしゅ。

αとβに何か制限がついてないと５６５は偽だと思うけど。

やさしい理系数学の8番の問題の解答についてなんですが、
解答冊子P5の下から6行目で
b+c≧(a+1)+(a+1)＞2a+1　
と書いてあるのですが、なぜ　b+c≧(a+1)+(a+1)　なのか解りません。
(a+1)がわざと二つの括弧で書いてあるのでbとcの事だと思うのですが、

条件　1≦a<b<c （a,b,cは自然数）

なのでa+1≦b ではあるけれど、a+1＜c　ではないのでは？と思うのです。
そうするとb+c＞(a+1)+(a+1)となり、右辺の＞2a+1は不要になります。
その場合も答えは同じになるんですが明らかに解答とは違うので質問させていただきます。

持っていない方でも大丈夫だと思うのでよろしくお願いいたします。

a+1≦b,, b<c から　a+1<c は正しい。
b+c>(a+1)+(a+1)=2a+2>2a+1 も正しい。
目的が　b+c>2a+1 を示す事なら　b+c≧(a+1)+(a+1)＞2a+1　で十分

>573
≧は＞も含まれるという事で厳密的には違っていてもこの場合は良いということなんですね。
でもこの問題の上記の部分は範囲を絞るのが目的なのでこの解答あまり良くない気が・・。
とにかく納得してすっきりしました。どうも有り難うございました。

a>0,t>0に対して、定積分S(a,t)=∫[0〜a]|e^(-x)-(1/t)|dxを考える。
（1）aを固定した時、tの関数S（a,t）の最小値m（a）
（2）lim〔a→0〕m(a)/(a^2)をもとめる。
===========================================================
(1)e^(-a)-1
(2)∞
となりました。
激しく間違ってる気がします。
どなたか助けてください。

>>575
具体的に確かめてはないけど、こういう極限値を求める問題では
∞となることはめったにないから、間違ってる可能性が大いにあるだろう。

ヒントだけ　e^(-a/2)=1/t つまり、t=e^(a/2) で最小になる。

e^(-x)と(1/x)が交点もつかどうか（上下いれかわるか）を
みたのですが、もたなかったのですが。。。

>>578
勘違いか。　1/t はｘで変化しないよ
y=e^(-x) と　y=1/t (←水平な直線）

積分区間logtを境にして、絶対値の正負がかわるから分けるんですよね?
Sを計算したら、-2log(logt)-(2/t)+logt+1+e^(-a)となったのですが。。。

>>580
logt で分けるのはいいけど、その式は違うよ。

http://yuki.to/math2/prybbs.html

このボード使える。ｘのn乗は xⁿ で表示させられる。

>>582
紹介ども

くだらない質問で悪いんですがa≠0はどう読めばいいんですか？教えてください。お願いいたします。

30個の正の整数x1,x2,x3,x4,x5,・・・x29,x30が
x1≦x2≦x3≦x4≦x5≦・・・≦x29≦x30、x30＝3を満たすとする。
このような数の並び（x1,x2,x3,x4,x5,・・・x29,x30）は何通りあるか。


イマイチわかりません

>>584
え〜のっとぜろ

>>585
496通り

>>587
違うよー

465かｗ

xyz空間内における
0<=z<=log(-x^2-y^2+3),-x^2-y^2+3>0
で定まる立体は、どの座標軸のまわりの回転体か?

どう考えればいいですか?

>>588=>>585ね

２，３，５の数をひとつずつ書いたカードが一枚ずつ計3枚ある。
この袋から1枚のカードを取りだし書かれていた数を記録して元に戻すという試行を4回繰り返し4回の数の積をＸとする。
１、Ｘ＝２４のかくりつは？
２、Ｘが１２の倍数になる確立は？



やり方教えてください

>>589
正解！解説が載ってないんで教えて下さい

>>593
重複組み合わせだよ。
結局ｘ１〜ｘ２９までの２９個のうち、いくつを１、いくつを２、いくつを３にするかだから

>>585

x30=3でかつx1〜x30は正の整数なので，xは１，２，３が並んでます．
1,1,1,・・・・・1,2,3　かもしれないし
3,3,・・・・・・,3,3,3かもしれないけど，
登場人物は1,2,3　登場順序は1→2→3　1,2は登場するかは不明

というのが問題の設定です．

３が登場することは分かってるので，３の数で場合分けします．

３の数がkこのときの1,2の並べ方を考え，kが1か30までΣします．

>>590
x,y,z のなかでｚだけ違う扱いだからｚ軸。そう思って眺めると見えてこない？

えっと、僕の考え方は、
xy平面のみで考えると、-x^2-y^2+3>0より、双曲線の原点含むほうが範囲。
そして、x^2,y^2だから、四象限の対象位置でzは同じ高さまでいく。。。
と考えたのですが、どうして回転体になるのですか?

>>597
x^2+y^2≦3-e^z
x=rcosθ, y=rsinθとおいてみるのもいいかな

>>590

z軸まわりの回転体なら，(x,y)=(a,b)の時のz座標と(x,y)=(-a,c)の時のz座標が等しい．
y軸まわりの・・・
x軸まわりの・・・

をもとに考えるととりあえず候補は絞れますよね．cは自分で探すこと．候補が１個になればラッキー．

>>586 ありがとうございます

ちなみに進研模試の問題です

誤爆スマン

>>592
12や２４を素因数分解して、どのカードが何回出ればいいかをまず考える。
何回目に出るかを考えるのもわすれないようにね。

>>601
数Ｚの？

>>597
双曲線じゃない、円。

グリーングリーンでぐぐったら
エロゲばっかり出てきた

-1≦sin2θ≦1 で、sin2θを２乗すると0≦(sin2θ)^2≦1 　
になるらしいんだけど、理由ってわかる！？

真剣に考えてみてください
http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Euro/1878/

>>607
y=x^2　のグラフを書いてみるといい。
-1≦x≦1 のとき、　0≦ｙ≦1 になるでしょう、
x=sin2θとすればいい。

(sin2x)^2=|sin2x|^2

-1<=sin2x<=0, 0<=sin2x<=1
0<=|sin2x|<=1

>>607
(sin2θ, cos2θ) は単位円上にあるんで、sin2θ の絶対値は最大1でしょ。

0<=θ<=360のとき、-2{(cosx)^2}sinx-5(cosx)^2+3sinx+3>=0をみたすxの値の範囲を求めよ。

↑sinxでまとめると、３次式がでてきちゃって、意味不明になりますた。
どなたか教えてください。
ちなみにこれは塾の宿題でつ。

>>612
三次式くらい解けるでしょ

>>612
できた３次式を因数分解しなはれ

３次式、解けなかったんです。。。
sinx=sとおくと、
三次式は2s^3+5s^2+s-2>=0となるんですが・・・ヤパーリわかりません。

s=-1とか代入してみれ

>>616はいいやつ。

！
・・・すいませんありがとうございます。
いい方ですね、ほんとに。

あ、ＩＤに2ch入ってた（喜

三角形ABCにおいてBC=a,CA=bとする。
a*cos∠A=b*cos∠B
が成立するのはどんな三角形のときか？
という問題です。
(a+b)(a-b)(cos∠A+sin∠B)(cos∠A-sin∠B)=0までは出せたんですが、
そこから先がわかりません。この式自体も自信があろません。

>>620
ＡＢ=cとでもおいてcos∠A、cos∠Bをa,b,cで表した方がよさそう

文字が４つで最高次が３次の連立方程式が
なっかなか解けません。
式の変形する時にコツとかありますか？

ちなみに、具体的に言うと乙会の7-1MBのIV(2)のことです。
点A,B,Cの座標を(a,a^3-a),(b,b^3-b),(c,c^3-c)とおいて
重心のY座標を利用して{(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)}/3=6として
あとは(1)で出した接線の方程式にa,b,cをあてはめました。
この時点でもっとスマートな方法があるような気もするんですけどね…。

>>620
着眼点→☆積の形☆

両辺を2乗→a,bにおいて正弦定理→sin^2A-sin^2Bで因数分解

すみません。
質問しておいて自己解決してしまいました。（多分
a,b,cなんて三つも文字使わなくていいんですね。（多分
t（←接点のX座標）とpだけで表せますね。（多分
…多分ばっかりだ＿|￣|○
こんなことに2時間近く費やしてたのか＿|￣|○
あとは添削待ちまつ＿|￣|○

でも、文字が四つなら、式も四つあれば
最高次が何次だろうと解けるはず
…ってことでよかったですよね？

>>623
>両辺を２乗→a,bにおいて正弦定理
ここまでは同じです。
その後どうすればsin^2A-sin^2Bで因数分解できるのでしょう？

a,b,c,dが絶対値1以下の実数のとき、以下の式を証明せよ。

a+b<1+ab
a+b+c+d<3+abcd

どのように相加相乗平均を使えばいいんですか？教えてください。

>>626
(a-1)(b-1)>0
a+b+c+d<1+ab+1+cd<2+(1+abcd)

xyz空間でA（0,3/2,3/2）とB（0,0,3）と原点0でできる△0ABを考えて、
これをABの周りに回転した時の回転体体積は?

どう考えればよいのでしょうか

>>628
図を書いてみてごらん．
特にyz平面での図を．そうするとある種の引っかけ問題だって気づきます．
回転だからって積分とは限らない．

>>629さん
二つの円錐の掛け算。ってのが一番無難なのでしょうか?

訂正、
足し算ですね。

教えてください

複素数平面上に二点Ａ（α）、Ｂ（−１）がある。α＝ａ＋ｂiとし、ｌαl＝２
argα＝θ である。ただし０゜＜θ＜90゜とする。
（１）cosθ 、sinθをａ,ｂであらわせ。
（２）点Ｂを中心に点Ａをθ回転した点をＣ（γ）とする。γが純虚数となるとき
　　　ａ,ｂの値を求めろ
（３）（２）のとき直線ＡＢと虚軸との交点をＤとし３点Ｂ，Ｃ，Ｄを通る円周上の点を
　　　Ｐ（ｐ）とする。ＣＰ：ＤＰ＝２：１となるとき複素数ｐを求めよ。ただし、ｐの実部は負で
　　　あるとする。

>>632
ﾏﾙﾁ

こういう答えかたの人もいるのですが・・・
(1) cosθ=a/|α|=a/√(a^2+b^2) 、sinθ=b/|α|=b/√(a^2+b^2)
(2) γ=(a+bi-(-1)) exp(iθ) + (-1) = ((a+1)+bi) (cosθ+isinθ) + (-1)
　　　= ( 1+(a+1)cosθ -　bsinθ)　+ i ( bcosθ + (a+1)sinθ )
　　　= ( 1+(a+1)a/√(a^2+b^2) -　b^2/√(a^2+b^2))　+ i ( ab/√(a^2+b^2) + (a+1)b/√(a^2+b^2) )
　　　= ( 1+((a+1)a-b^2)/√(a^2+b^2) )　+ i ( (2a+1)b/√(a^2+b^2) )
となりますので、Re{γ}=0 となるようなa,bを決めてください。
(3) はそれができてから。


57 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/07/11 20:15
>>47　（・３・）工エェー
（１）α＝ａ＋ｂｉ＝２（ｃｏｓ θ＋ｉｓｉｎθ）　⇔　ｃｏｓθ＝ａ／２，ｓｉｎθ＝ｂ／２

（２）γ＝（−１）（ｃｏｓ θ＋ｉｓｉｎθ）が純虚数　⇔　ｃｏｓ θ＝０
　だが、０°＜θ＜９０°の範囲ではｃｏｓ θ＝０とならないので、解はない。

（３）（２）は不能だからやはり解はない。

>>634
(2)はa=√3,b=1だよね。

170 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/07/11 23:12
>>120　（・３・）工エェー
（１）α＝ａ＋ｂｉ＝２（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）　⇔　ｃｏｓθ＝ａ／２，ｓｉｎθ＝ｂ／２

（２）
γ＝（α＋１）（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）−１＝｛２（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）＋１｝（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）−１
　＝２（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）＾２＋（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）−１
　＝｛２ｃｏｓ＾２（θ）−２ｓｉｎ＾２（θ）＋ｃｏｓθ−１｝＋ｉｓｉｎθ（４ｃｏｓθ＋１）
　＝（４ｃｏｓθ−３）（ｃｏｓθ＋１）＋ｉｓｉｎθ（４ｃｏｓθ＋１）
γが純虚数であるから、
　（４ｃｏｓθ−３）（ｃｏｓθ＋１）＝０ 　⇔　ｃｏｓθ＝３／４，−１
だが、０°＜θ＜９０°だから、ｃｏｓθ＝３／４。
　∴ａ＝２ｃｏｓθ＝３／２
　　ｂ＝２ｓｉｎθ＝２√｛１−（３／４）＾２｝＝√７／２

>>635
なんで？
>>636は間違いだと思う？

>>625
a*cosA=b*cosB
２乗すると
a^2(1-sin2^A)=b^2(1-sin^2B)・・・☆
a^2=4R^2*sin^2A,b^2=4R^2*sin^2B・・・★
★を☆に代入して、4Rでわると、
sin^2A(1-sin^2A)=sin^2B(1-sin^2B)
sinA=α、sinB=βとおくと、

α＾２（１−α＾２）＝β＾２（１−β＾２）
α＾２−α＾４＝β＾２−β＾４
移行すると、

Ｐ＝α＾４−β＾４＋β＾２ーα＾２

ここで、α＾４ーβ＾４＝（α＾２）＾２−（β＾２）＾２
　　　　＝（α＾２＋β＾２）（α＾２−β＾２）＝（−α＾２ーβ＾２）（β＾２−α＾２）

よって、Ｐ＝（−α＾２ーβ＾２＋１）（β＾２−α＾２）

>>637
あ、間違えた。けいさんしなおしまふ。

次の問題がわかりません．教えてください．

「問題」
D，E，Fの有限個の文字列がある．次の二つのルールで0，1の数字に置換する．

(ルール1) Dを1，Eを0，Fを101に置換
(ルール2) Dを0，Eを101，Fを1に置換

どんな文字列に対しても，上の二つのルールで置換した数字の列は一致しない事を示せ．

>>640は大学への数学の今月号のしゅくだいの問題ですので
答えないようにしてください

>>637
a=3,b=√５i

上のは間違いと指摘するのはちょっと（＾＾；）だけど、
これが正しいと証明するのは簡単だとおもふ。

計算力ないよぉ〜（＞＿＜）
a=3/2,b=√7/2

>>638
ぼくの導いた式と本質的に何も変わってないような気がするんですが。
あと、この式からどんな三角形だといえるのでしょうか。それが問題なので
教えてください。a=bがその１つだというとはすぐわかったのですが、他に
どんな場合があるんでしょうか。

ソノラの声あんま萌えない･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･
お釜の声きもい･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

>>644
うぅ。（；´д｀ ）
（−α＾２ーβ＾２＋１）→sin^2A+sin^2B=1（？？？）
あれ？？これって、どっかで見たことありませぇんか？
sin^2A+cos^2A=1だから、[sin^2B=cos^2A]

[sin^2B=cos^2A]
だから、、sinB=±cosA

でも、これが何を表してるのかちむさんにはわかりません。
そこで少し考えてみた。
(i)sinB=cosAの時、
B=30°の時、A=60°、B=60°の時、A=30°、
えっと、じゃ、B=70°の時は…sin70°なんて求められないし…
でも、sin(90°±θ)=cosθだよね。だから、sin70°=cos20°
こうして演繹的に考えていくと、どうも∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°⇒∠Ｃは直角だよね。
実際、∠Ａ＝９０°ー∠Ｂ
両辺の正弦を取ってみると、sin∠B＝sin∠(90°-A)=cosAだしね。
でも、一つ言い忘れたけど、∠Ａ＝120°のとき、∠Ｂ＝-30°になり
0°<∠B<180°に反するよね。



だから、「sinB=-cosA」の時はこうやって演繹的に解いてみることを進めめまふ。
まぁ、実際数学はパターン暗記じゃなしですしね。

>>632
途中で数値間違えて解くきうせました（汗）
(3)はちむさんは数�Uの円の公式＆軌跡を利用する解法をお勧めしまふが、
数Ｂの円のぺく�d方程式および、数Ｂの複素数平面の
|z-α|=rの両辺を２乗して、zに数値を２つ代入しても求められると
おもいまふ。

>>646
ちむさんありがとう。
やっぱそこからがややこしいんですよね。

>>632
(3) C(√7i), D(√7i/5), CP:DP=2:1, ∠CPD=∠CBD=θ、角の向きに注意して
(z-√7i)/(z-√7i/5)=2(cosθ+isinθ)=α　を解けば良い

>>630
だからちゃんと図を書いて，図形的に考察してごらん．
OABを回す前に，OABそのものを．
もっと簡単だって分かるよ．

Ｏ，Ａ，Ｂは全部x座標が０だから、yz平面上に書ける、
ということに気付いてないのかもね。
斜めから見てるとわかりにくいかも。

>>651
>>629でそう書いたんだがね．たしかに３次元座標で図かくと難しくかんがえてまうね．

ちむﾀｿ､ ダウン。じゃけん！

>>653
あちゃー、やってもうた

何だ？ここはｱﾌｫの巣窟になったのか？
やっぱ、去年みたいに優秀なコテがいないとな・・・

とりあえず、「ちむ」とかいうやつは答えられないならレスすんな。
黙って見てろ。

>>620でsinで表して正弦定理使ってもRが消えないから、基本的に意味はない。
余弦定理使って整理すると
(a^2-b^2)(c^2-(a^2+b^2))=0
だから二等辺か直角。

>>632は>>636で良し。
(3)はγ=√7iでD(δ)とするとδ=√7i/5だから
ごりごり計算すればどうにでもなる。>>649でも良し。

こけｋっこでもいいからさ、戻ってこいよ。誰か。

>>655
いいじゃないの。出来る範囲で答えてあげればさ。

いや、ちゃんと最後まで答えられないんだったら混乱をもたらす元だと思うが。

手がかりになればいいんじゃないの？
いつも出来る奴がいるとは限らないんだしさ。
それにヒントしか出さないのもありだと思うし。

いや、答えられますよ（汗）
Rは消えますよ〜。実際消したしねぇん。
一応、三角関数は東大プレのとかも解けるしね。
sinA=-cosBを満たす∠Ａ、∠Ｂがないことも知ってるけど
あえて考えて欲しいからあぁかいたのですが…

>>653
ちむさんは知りません（ＴーＴ）

東大プレ解けたのは去年（１１月ごろ）、クラスメイトに問題見せてもらって
現代文の時間に内職させてもらって解いたでふ。

そういえば、今日東大プレだ。。。。

>>659
辺の関係にもって行くのが基本だね。
質問者が加法定理を使いこなせれば角でもいいんだけど。

>>661
(ノ*゜▽゜*)＜そうなのか〜。知りませんでしたぁ。次からは辺で。。。


でも、余弦定理使うとややこしくなりそうだから使わなかったけどねん。
でも、実際６４６の解法も結構速いですよぉん。２分ぐらいかなぁ〜。
かかった時間。

>>649
の言う通り解いたんだけど

p=7(〆-5)i/5(〆-1)
となって〆＝２を何故か代入して、

p=-21i/5
になったんだけど…？
違うんだろうな

今から、複素数の（３）を円の方程式の
代入法x^2+ax+y^2+by+c=0で解いて見ますぅ。
複素数平面は実はX-Y平面と同じでふ。

>>632
(1)
α=2(cosθ+isinθ) であるから，cosθ=a/2，sinθ=b/2・・・答

(2)
B'(0)，A'(2cosθ+1+2isinθ)　とする．
点A'を点B'のまわりにθ回転した点を表わす複素数は，(2cosθ+1+2isinθ)(cosθ+isinθ)．
この点を-1平行移動すればγになるので，γ=(2cosθ+1+2isinθ)(cosθ+isinθ)-1．
これが純虚数になるので，cosθ(2cosθ+1)-2(sinθ)^2-1=0 ⇔ (cosθ+1)(4cosθ-3)=0
0＜θ＜90°より，cosθ=3/4 となるので，sinθ=√{1-(3/4)^2}=(√7)/4．
∴ a=3/2，b=(√7)/2・・・答

(3)
P(z)とおく．(2)より，γ=(√7)i．
D(z1)とすると，tを実数として，z1=-1+t(a+bi+1) とおける．
とおける．いま，z1は純虚数になるから，t=1/(a+1)．
よって，z1={b/(a+1)}i={(√7)/5}i．
ここで，P'(0)，D'({(√7)/5}i-z)，C'((√7)i-z) とおく．
点D'を点P'のまわりにθ回転して得られる点を表わす複素数の2倍が
点C'を表わす複素数になるから，
〔{(√7)/5}i-z〕*(cosθ+isinθ)*2=(√7)i-z
⇔〔z-{(√7)/5}i〕〔(3/2)+{(√7)/2}i〕=z-(√7)i
⇔ z=-7/5・・・答

>>657
そう、それがいいたかった。
>>635の答えなんかθ=30°になるから、図示すればγが虚軸上に
ないことくらいわかるだろうにさ。
>>660
俺の言い方が悪かった。
お前が灯台プレ解けるのとかどうでもいい。
解答の吟味も出来ないやつは先に自分の勉強方法見直せや。

そもそも問題自体があってるのだろうか
理系板や数学板の大学(院)生集団に聞いても(3)は誰もできなかったんだぞ！
問題がおかしいから？


学校で過去問やらされるので、去年と一昨年の複素数平面見たんだけど
(3)は２０〜３０行以上あるしたいていは解答欄に図形は欲しいな

。・°°・(>_<)・°°・。 ウエーン













☆ミヾ（＝＾＿＾＝）ノ彡☆

逝ってよし

ゴメンなさい↓

P(z)ってなに？なんで使わなきゃいけないの？

ＰはＰ(p)じゃないの？

ちなみに(1)があるんだから(2)は、
2γ＝(a+bi+1)(a+bi)-2=.... とやって欲しいのかと思いますた

>>671
ｺﾞﾒﾝ。pに直しておいてください。

こけっこーはＲＯＭってたんだろうかｗ

こけこっこ
無双３買ったあたりで居なくなったと思ったら
復活したのか！

>>675
そのときは廃人になっていますた・・・

っていうか，前に出た問題で，どうしても分からない問題があるので，教えてください。
ﾎﾝﾄに答がでるのかどうか知りたいんです。。。当時カキコがあった問題を少しだけ書き直し
ました。

曲線C：y=logx (1≦x≦5) 上に2点P，Qを，|PQ↑|=L となるようにとる．
このとき，線分PQと曲線Cとで囲まれる部分の面積をSとし，Sの最小値をLで表わせ．
ただし，Lは 1＜L＜3 を満たす実数の定数である．

余裕があるときでいいので，だれかおながいします。。。
この問題，本当に解けるのかなあと少し疑問なんですが・・・。

とにかく誰か６４０の答え書いてやれよ可哀想じゃん

>>677
その次のレスに書くなって書いてあるじゃん。
これ今月号の大学への数学の宿題じゃん？
んなもん解答晒して揉め事になったらやじゃん？
っつーか、完璧に解ける奴もほとんどいないとおもわれめ。

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　　　 ／　　　　 ＼　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　　 ∧　∧　＼　　／
　　|　　　　 ・　・　　 |　＜ 受験生活板で雑談しようぜ
　　|　　　　 ）●（　　|　　|http://jbbs.shitaraba.com/movie/2490/
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　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣

>>679
shitaraba？？？？
ﾎﾟｶｰﾝ

条件を満たす文字列のうち最小の文字数で条件を満たす文字列Rを考える。
二つのパターンを見比べると左端はFD、右端はDFである。
左端のFDルール１では４個、ルール２では２個である。
右端がDFであることを考えると右端の前にはルール２が二個多くなければならない。
一文字で出来る差は２または０なので、ルール１とルール２で数字の個数が等しくなる位置がある。
Rは二パターンですべて等しいのではじめから上で述べた位置までも等しく。Rより少なくとも
２個文字が少ない条件を満たす文字列が存在する。これはRの定義に矛盾する。
よってそのような条件を満たす文字列はない。

>>681
ﾎﾟｶｰﾝ

>>682
えっ？もしや間違ってる？

>>683
いや、空気嫁ということだろう

学コン解くといろいろ揉めるから

>>684
進研(しかもマルチ)は解いてもいいのかと

>>685
いや、個人的には学コン解くのもありだとは思う。

批判する人たちに聞いてくれ

質問した人は，レスで解決したらその旨報告してくれるとうれしいな．
別にお礼言ってくれっていってるんじゃなくて，解決したかどうか普通に
心配だから．レスした責任もあるし．

>>687
そんなものいらない
スレが汚れるだけ

俺としては>>687に禿同なわけだが

する奴は言われなくてもする。
しない奴は何言ってもしない。

sin(2θ+60ﾟ)を、Asin2θ+Bcos2θ

の形で表せ。　　　　　

おねがいします

>>691
sin2Acos60+cos2Asin60=1/2sin2A+3^1/2 / 2cos2A

>>691
そんな教科書の問題、先生か友達に聞けよ・・・


いないのか？

煽りとかってんじゃなくてさ、マジで。

>>629
ありがとうございました。　

>>693
いや、これ某模試の（２）なんですが、この答えで
友達と言い合いになったんで、一応確認したまでです。
勿論、こんな簡単な問題が解けないわけじゃないです・・・・

問題解いててわからない時何分くらい悩んで答え見ますか？

５〜１０分。
面白そうorもうちょいで分かりそうなら20〜30分

>>695
５２５６００分。

ぷ、偏差値70以上なのに大した事ないね

>>695
全統、進研らへんは５分。
それ以上のレベルなら１０分くらいかなぁ

700もらた！

lim_[x→0] (2^x-1)/x

お願いします。

>>701
lim_[x→0] (2^x-1)/x
=lim_[x→0] (2^x-2^0)/(x-0)なので・・・

(2^x-1)/x=(2^x-2^0)/(x-0)だから
f(x)=2^xとおくと、問題の式はf'(0)と書ける。

tesuto

2=e^log2 だから、 2^x=(e^log2)^x=e^(xlog2)
t=xlog2 とおけば、x→0 のとき、t→0 で、
lim_[x→0] (2^x-1)/x=lim_[x→0] (e^(xlog2)-1)/x
=lim_[x→0] (log2)(e^(xlog2)-1)/(xlog2)
=lim_[t→0](log2)(e^t-1)/t
=(log2)・1=log2

>>702-703
>>705
わかりました。ありがとうございます。

今高１で、模試でどうしても解けなかった問題です・・・。
このスレだと凄く低レベルな質問ですがよろしくお願いします。

問：長さ３ａセンチの針金がある。これを２つに切り、
長い方の針金を折り曲げて１辺の長さがｘセンチの正三角形を
作り、短い方の針金を折り曲げて正六角形を作る。
（１）ｘの範囲をａを用いて表せ
（２）ａ＝２√５で正三角形と正六角形の面積の和が
２５√３／８平方センチの時の、ｘの値。
（３）正三角形と正六角形の面積が等しいとき、
長い方の針金の長さは、短い方の針金の長さの何倍？


問：ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋５のグラフがｘ軸方向に１、
ｙ軸方向にｋだけ平行移動すると、関数ｙ＝（ｘ）のグラフは
（１．２）を通る。
（３）０≦ｘ≦ａ　（ａ）における関数ｆ（ｘ）の最小値を
ｍとする。ａが次の（�T）（�U）の範囲にある時、
それぞれｍを求めよ。
（�T）０＜ａ＜３
（�U）３≦ａ

（４）ａ≦ｘ≦ａ＋１における関数ｆ（ｘ）の最大値をＭとするときの
Ｍの値は？

a^5+b^5を基本対象式で表すと･･･なんだっけ？計算つまった。

>>707
２問とも図を描いて考えれば解けるよ
正三角形の一辺はxだし、正六角形の一辺は(3a-3x)/6
正三角形の面積は、角度が60度というのを使えば底辺と高さが出せるよ。
正六角形も(ケーキのように)6等分すると正三角形6個だよ

下の問は
平方完成してグラフを描こう
それから、単調増加、単調減少、頂点があるかどうかをみる。
あと、kって使わないのだろうか…

>>707
(1)長い針金は3xであり。これが長い方なので3a/2<3x<3a
よってa/2<x<a
(2)√5<x<2√5
正三角形は(√3)(x^2)/4
正六角形の周囲は6√5-3xよって一辺は√5−x/2
だから{(3√3)(√5−x/2)^2}/2これらの和を25√3/8とひとしいとおいて解くと
x＝7√5 /5、√5
√5<x<2√5だから7√5 /5
(3)正三角形の周をy、正６角形の周をzとすると(√3)y^2 /36 ＝(√3)z^2 /24
よってy^2 / z^2 ＝3/2 ⇒ y/z＝√6／2

>>708
p=x+y，q=xyとおくとき
a^5+b^5=p^5-5p^3q+3pq^2

a^5+b^5=(a+b)^5-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)
=(a+b)^2-5ab(a+b){(a+b)^2-3ab}-10(ab)^2(a+b)
=....

訂正
a^5+b^5=p^5-5p^3q+5pq^2

∫(x-5)/(x^2-4x+3) dx
よろしくお願いします。

>>714
部分分分分数分分解

>>774
部分分数分解をやればよい。

横割ってどう言うもの？

問題の途中解答がないうん子教科書を学校でやってるのですが｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
途中経過おしえて…

y=sin^2xcos^3x


馬鹿ですいません。

ありがとうございます

>>718
問題は？

>>720
微分してください｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

できればy=cos^2 3xも…

積の微分

>>718
合成関数の微分って習った？

普通の数字での場合はわかるんですが、sinとかだとちょっと…

>>718
y=cos^2 （3x）　で　3x = t　トデモオクト、
y = cos^2 t これを、cos t　= u とでもおけば、
dy/dx = u^2 * d/du = du/dt * dt/dx (これが合成関数の微分。)
dy/dx = 2u * du/dt * dt/dx　　・・・（１） でしょ？　(*は×のことね。)
ここでさ、
du/dt = u' = ( cos t)' = -sin t = -sin (3x)
dt/dx = t' = (3x)' = 3
なんだから、（１）にぶちこんで、
y' = 2 cos3x (-sin3x) 3
= -6sin3xcos3x
= -3sin6x　(２倍角の公式ね)
答え間違ってたらゴメン。でも考え方は間違っていないから。
　 d 　 d　du　dt
-- = -- -- -- 分数みたいにできるんよ。
　dx 　 du　dt　dx
ちなみに、答えは、わざわざ文字で置かないで、適当にさっさか計算すりゃいい。
なれたらね。頑張ってな。できれば、教科書でもわかんなければ、
何か実況中継みたいな馬鹿でも読める奴で勉強したほうがいいかもね。
まぁ、やる気次第です。

さんくす｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡ 感謝感激です(TдT)

sin^2xcos^3x=(1-cos^2x)cos^3x=cos^3x-cos^5x
これをｘで微分すると、
3cos^2x(cosx)'-5cos^4x(cosx)'=sinx(5cos^4x-3cos^2x)
OK?

>>727 マイウー。

∫ (x-5)/(x^2-4x+5) dx
すいません、これもお願いします。

cos^2(3x)=(1+cos6x)/2だから、これをｘで微分すると、
(-6sin6x)/2=-3sin6x
というようなやり方もある。

>>727
解答はsinxcos^2x(2-5sin^2x)ってなってるんですけど、どーですかね？
解答は間違い多いらしいですが｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

>>729
おいらドキュン県立大だからわっかりません。でもなんとかしてやりたいから答えキボンヌ。

すいません答えないんですよ

高校の範囲外だろｗ
∫(x-5)/(x^2-4x+5) dx =∫(x-2)/(x^2-4x+5) dx-∫3/(x^2-4x+5) dx
=(1/2)∫(x^2-4x+5)'/(x^2-4x+5) dx-∫3/{(x-2)^2+1}) dx
=(1/2)log(x^2-4x+5)-3arctan(x-2)+C

>>729
分母＝（x-2)^2+1
ここでx-2=tanθとおいてみて

>>733
部分分数分解できないよね。
微分形もないよね。
じゃあなんかそれ以外の計算で上の状態にするしかないのかね？
ごめんね。先生か他のネラーさんに聞いてちょ。寝る。お休み。

すいません、どうもです。
うちの教師ぬっころしたいです。月曜文句言います。

>>735
神！！！！やっぱおいらは駄目だ。勉強しなおして出直してきます。
お元気で。

>>737
定積分なら入ってる。
∫[0,π/4]ｄｘ/(1+x^2) は出来るべき。

>>731
積の微分でもやってみたが答えは同じだった。
解答か問題かどちらかが間違っている。

１、置換
２、部分
３、定石　（>>735 氏）
４、挟みうちんちん
他は？

sinx(5cos^4x-3cos^2x)
=sinxcos^2x(5cos^2x-3)
=sinxcos^2x(5-5sin^2x-3)
=sinxcos^2x(2-5sin^2x)
計算練習したまえｗ

∫[0,π/4]ｄｘ/(1+x^2)　は、x=tanθと置換して普通に解ける
∫ｄｘ/(1+x^2)も、同じように考えれば、
∫ｄｘ/(1+x^2)=∫dθ=θ+C　で、
定積分の場合は、最後に積分の上端と下端を入れるから問題無かったが、
不逞積分の場合は、普通もとの変数に戻す。
xに戻そうとすると、tanの逆関数が必要になるから高校の範囲に入っていない。
余力があれば知っておいてよいから、良い先生かもしれないよ。

∫[0,１]ｄｘ/(1+x^2)
うーボケてるな、[0,1] が置換で、[0,π/4]になる。
他に[0,√3]も良く出てくる

>>742
cosとsin読み違えてた。
指摘サンクス。
ここにティッシュ置いときますね。

　　_,,..i'"':,
　 |＼`､:　i'､
　 .＼＼`_',..-i
　　　.＼|_,..-┘

>>741
被積分関数を図示して、図形的に解く問題もかなり少ないけどある（Problem-solving through problems1.6.3など）
あとは、余計なものをたしたりして積分を簡単んするのもある（新数学演習１１・４など）

知らないと多分出来ないといえば、これ使う奴かな。
∫[0,π]xf(sinx）dx=(π/2)∫[0,π]f(sinx)dx

>>747
Pappus-Guldin？

　　　　　　　　　　山崎渉ワッショイ！！
　　　　　＼＼　 　山崎渉ワッショイ！！　／／
　+　　　+　＼＼　　山崎渉ワッショイ！！／+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+
.　　　+　　 ∧＿∧　　∧＿∧　 ∧＿∧　　+
　　　　　　（　 ＾＾ ∩　（ ＾＾ ∩） （　　＾＾ ）
　+　　（(　（つ　　　ノ（つ　　丿（つ　　つ　)）　　+
　　　　　　 ヽ　 （　ノ　（　ノ　　）　）　）
　　　　　　　（＿）し'　し（＿）　（＿）＿）

∫e^(-x^2)dx
わかりません。
よろしくお願いします。

書き忘れましたが、
積分区間は-∞〜＋∞です。

>>750
高校生か？

難しいけど、やる気のある人は
挑戦しなさいと言われました

ヒントだけでも良いので…
お願いします

>>753
挑戦的すぎるだろその先生

気になって
夜も寝られない…

>>755

そうなんですか?

>>754
1-x^2<e^(-x^2)<1/(1+x^2)
を使って何とかしてくださいｗ
∬使えば一発←大学教養の微積分の教科書に必ず載ってる。

金曜日に出されて
二日間考えたけどわからない

だれか〜

>>759
√π
だからもう来るな

>>750
一応言っておくと大学で習うガンマ関数
証明は高校の範囲では1+x≦e^xをうまく使って挟み撃ちだろうな。
その前に広義積分（積分範囲とか）のやり方は自明として。

π^1/2であってます？

あっ、合ってた
どーもです

>>761
自力で出来たら天才でしょう＞挟み撃ち

>>761
僕の勘違いかもしれないですが、
Γ関数とは別物では…

皆さんは大学生の方ですか?

>>765
Γ知ってるの？じゃあx^2=t と置換してごらん？

>>767
なるほどっ
2Γ(2)ってことですか？

>>768
ちょっと違うな。nが整数ならΓ(n)=(n-1)! でしょ。

あっ、4Γ(2)かな？

ｎが自然数なら、の間違い

全然違ってた…
Γ(1/2)ですか

>>772
OK。受験生にしてはよく勉強してるね。

>>773
ありがとうございました

>>774
ヒントね。このｎ乗するという発想が出れば天才かも。
∫[0,1](1-x^2)^ndx<∫[0,∞]e^(-nx^2)<∫[0,∞]dx/(1+x^2)^n

>>735
このあとが解りません。
tanθと置いてそのあとは？

-∫cos^2(sincos-3cos^2) dθ　（※sinとcosのθは省略）
ここから進めません。

>>776
ｄｘ　と　dθ　の関係をもう一度よく見て。

>>776
今一度計算しなおせ

わかりませｎ

∫{(tan-3)/(tan^2+1)}(1/cos^2)dθ=.....

tan-3　　　cos^2
------- ・ ----　dθ
tan^2+1　　　1

はあってる？

答えは何になるの？

>>734

>>734
こっちのほうが楽だなあ・・・
ｘ−２＝tanθとおいて、
与式＝∫（tanθ-3)dθ
として、∫tanθdθはt=sinθとおいて置換すれば
-log(１−t^2)となる
今、ｘとｔの関係は
1-t^2=1/{(x-2)^2+1}
だから、答えは
>>734と同じになる

tan-3　　　 １
------- ・ ----　dθ
tan^2+1　　cos^2

>>784
そうだな。
７３４は見た瞬間に答えがわかる人向けだｗ

ＢＪさんって現役時代は理�Vでもトップレベルだったでしょ？
てゆかトップ取ったことあるんじゃないですか？

普通 >>734 だろ

アークタンジェントなんて使わんし

734はｵﾏｴ大学生だろ、と思って書いたのよ、許してちょんまげ

誰か教えてください

y=h(x) が cos(h(x)+x)=h(x) をみたすとき
∫h(x)ｄｘ（積分範囲は-1≦x≦π/2）を求めよ。

>>791
log2

3/2になったけど

a1=1 ａ2=5 ａｎ+2=ａn+6 （ｎ＝１，２，３・・・）によって定まる
｜an｜がある。
（１）5,a6を求めよ
（２）mを自然数とするときa2m-1,a2mをそれぞれmを用いて表せ。
また５９５は数列｛an｝の第何項か
（３）Σk=1から2mまでのak＾2をmを用いて表せ

教えて下さい

>>792>>793
途中式もお願いします。

>>795
問題の出所は？

マルチするやつは
どうでもいいくらい簡単な問題を
出してくる
本当にバカなんだなと思った

>>796
高校のとき出された問題で解けなかったやつです。

>>798
鬼だな

>>793
間違えたかな・・・
cosx/(1+sinx)dx を 0〜π/2 で積分すればいいと思ったんだけど・・・

高校教師には案外鬼が多いですね。

>>794
ふと思いついたが、
ａｎ+2=ａn+6
の両辺を2乗してみよう。
んで番号をどんどんずらしていき、全て2乗したのを足すと、
みごと、定数×(Σk=1から2mまでのak＾2)　＝Σk=1から2mまでのak　＋　簡単な数列
ってならないか？
計算してないから詳しくはわからんが、方針はこれどどうかな？

>>802
これじゃだめみたいだね。
ａｎ+2　−　ａn　＝　6
を2乗して、番号をずらしていって・・・
ってやれば多分大丈夫かな。

∫x^2/(a^2-x^2)^1/2dx この問題がわからないです。教えてください。

つーか、偶数番めと奇数番目を別々に考えるだけでしょ。

>>803
表記変えれ。読みにくい
a_n+2にするとか、…

>>804
asinx=t

間違えた、x=asint

みんなぁ
１÷３×３
の答えについて激しく討論しない？
(´･ω･｀)

>>809
まぁ、あれだ。とりあえず、消えろ。

htp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045656871/l50

(´;ω;｀)

>811
泣くなw

>>791はどうなったの？

f(y)=cos(y+x)-y とおくと、f'(y)=-sin(y+x)-1≦0
しかもf'(y)=0 となるのは、y=-x+(2n+3/2)π(n: 整数)のみ
lim[y→∞]f(y)=-∞、lim[y→-∞]f(y)=∞ だから、
各xに対して、丁度一つのyがあってf(y)=0
つまり、h(x)は、全実数に対して定義されている。
もちろん、-1≦h(x)≦1でなくてはならない。
-1≦x≦π/2 とすると、
f(-x)=cos(-x+x)-(-x)=1+x≧0 だから、h(x)≧-x
また、f(π/2-x)=cos(π/2-x+x)-(π/2-x)=x-π/2≦0
よって、0≦h(x)+x≦π/2 で、h(x)+x=Arccos(h(x)) と書ける。
x=Arccos(y)-y より、
∫ydx=∫y(dx/dy)dy=∫y(-1/sin(Arccos(y))-1)dy
ここで、Arccos(y)=u とおくと、cosu=y で、
-∫y/sin(Arccos(y))dy=-∫(cosu/sinu)(-sinu)du
=sinu+C=sin(Arccos(y))+C=sin(x+y)+C
よって、∫ydx=sin(x+y)-(1/2)y^2+C
あとはh(-1)=1, h(π/2)=0 だから、
∫[-1,π/2]h(x)dx={sin(π/2-0)-0}-{sin(1-1)-1/2}=3/2

>>813
あってるか？

>>814
>　∫y(dx/dy)dy=∫y(-1/sin(Arccos(y))-1)dy
これは何で？

>>816
dx/dyを計算してみてくれ

>>816
ｽﾏｿよく分からん。なにをどう微分したんだ？

Arccosが嫌なら、
cos(x+y)=y をyで微分すると、
-sin(x+y)(dx/dy+1)=1
∴dx/dy+1=-1/sin(x+y)
∴dx/dy=-1-1/sin(x+y)

そうか、勘違いしてた。
cosx(１+sinx) じゃないと駄目じゃん。スマソ。

>>820
うまい考え方があるのか？

最後の行は　∫[-1,π/2]h(x)dx={sin(π/2+0)-0}-{sin(-1+1)-1/2}=3/2
と書くべきだったな

＞　∫ydx=sin(x+y)-(1/2)y^2+C
これって、微分したらｙにもどる？

>>791
3/2になりますた。

>>823
普通にやってもその式は導けるからOKかと。

cos(x+y)=y だから、
(sin(x+y)-y^2/2)'=cos(x+y)(1+y')-yy'=y(1+y')-yy'=y

>>824
どう解いた？

>>825
なるほど、理解しました。

>>826　ﾄﾞﾝ臭いけど。

cos{h(x)+x}=h(x)・・・ア
アに加法定理を使って，
cos(x+y)=y ⇔ cosycosx-sinysinx=y・・・イ

また，部分積分によって，

∫[-1,π/2](cosycosx)dx=[sinxcosy][-1,π/2]+∫[-1,π/2](sinxsiny*y')dx

∫[-1,π/2](sinysinx)dx=-[cosxsiny][-1,π/2]+∫[-1,π/2](cosxcosy*y')dx

となるので，イより，

∫[-1,π/2]ydx=[(sinxcosy)+(cosxsiny)][-1,π/2]+∫[-1,π/2]〔{(sinxsiny)-(cosxcosy)}y'〕dx
　　　　　　　=[sin(x+y)][-1,π/2]-∫[-1,π/2]〔{cos(x+y)}y'〕dx
　　　　　　　=[sin(x+y)][-1,π/2]-∫[-1,π/2](yy')dx
=[sin(x+y)][-1,π/2]-[(1/2)y^2][-1,π/2]
　　　　　　　=[{sin(x+y)}-(1/2)y^2][-1,π/2]・・・ウ

を得る．次に，h(-1)，h(π/2)を求める．
h(π/2)=a，h(-1)=b とおくと，アより，a+sina=0，b-cos(b-1)=0 となるので，
f(x)=x+sinx，g(x)=x-cos(x-1) とおく．
f'(x)=1+cosx≧0，g'(x)=1+sin(x-1)≧0 となるので，f(x)，g(x)は共に単調増加である．
また，lim[x→∞]f(x)=+∞，lim[x→-∞]f(x)=-∞，lim[x→∞]g(x)=+∞，lim[x→-∞]g(x)=-∞
であることも考えれば，f(x)=0，g(x)=0 となる実数xはただ1つである．
いま，f(0)=0，g(1)=0 となるから，結局，a=0，b=1．

これをウに代入すれば，
∫[-1,π/2]h(x)dx=〔sin{(π/2)+a}-(1/2)a^2〕-{sin(-1+b)-(1/2)b^2}
　　　　　　　　 =3/2・・・答

>>828
なるほど、そのほうがわかりやすいかもね。

図を描くと何をすればよいのかすぐわかるんだけどね

>>830
と、いいますと？

【問題】 |z|=|w|=√3を満たし、z,w,zwが複素数平面上で正三角形の頂点となっているものとする。このとき、この条件を満たすべきzをすべて求めよ。 お願いします。

あげ

>>832
z=3/2±(√3)i/2
他にもあるかも。眠くて頭が働かん

図を書けば、zw=k(z+w)/2 (k:0でない実数)　とわかる。
2/k=(z+w)/zw=1/z+1/w=z~/(zz~)+w~/(ww~)=z~/3+w~/3=(z+w)~/3
よってz+w=(6/k)~=6/k は実数で、w=z~ 、zw=zz~=|z|^2=3,
あとは、zw=3から、±30°の直線を引いてみる。

>>832
題意より
|z|=|w|=√3
|z-w|=|w-wz|=|z-wz|
⇔
z*z~=3　　　　　　　　(1)
w*w~=3　　　　　　　 (2)
z+z~=w+w~　　　　　 (3)
(3-z~)w+(3-z)w~=6　(4)

z~，w，w~を消去すると
z^4-3z^3+6z^2-9z+9=0
⇔(z^2+3)(z^2-3z+3)=0
⇔z=±(√3)i，{3±(√3)i}/2

(1)，(2)，(3)式からwz=3，w=z~がわかるので
そこから図形的にやれば4次式を解かなくてもすみます。

偏角だけ考えたほうが簡明だな。

>>834,835,836,837さん 本当にありがとうございました。 助かりました。

問題：区別のない３つのサイコロを振って目の数の和が８の倍数
　　　　となる場合は何通りあるか。

答え：(1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (4,6,6) (5,5,6)　の5通り

となってるのですが、なぜ(2,2,4) (2,3,3) が含まれた7通りに
ならないのか分かりません。

>>839
出題者があほだったから

>>840
答えが間違いということでしょうか？

ちなみにこれ文英堂の数1+Aサマリーの基本例題です。

>>841
明らかに、出題者の答えは間違っています。

答え間違ってます。
もうその参考書アフォかと。

まあ、本なんて間違いだらけなので良くある事です。
けどこれは ﾌﾟｯ

そうですか。ちょっとこの参考書やるの不安になってきました・・・
840さん、842さん、フェンリルさんお答えありがとうございました。

>>839の問題文がもしかしたら本と異なるかも・・
こんなの素で間違える人の気がしれませんね。

もちろん、>>846の「人」は著者のことですよ。誤解がないように・・

>>846
どう言う問題文ならそうなる？

>>848
ごめん、具体的には・・わからないです

ネタかと思って本屋で確認したけど、
本当に間違っていた。

>>850
乙

必要十分条件って
何が「必要」で何で「十分」なの？

>>852

http://hw001.gate01.com/aotsuka/DIC/douchi/d.html

いや、何で「必要」「十分」って言葉なの？

>>854
・・・自分の頭を使え

使ったけどいまいち言葉がピンとこないのよね〜〜〜

>>854
Aの必要条件はAになるために最低限必要な事でAを含み。十分条件はその条件を満たせば十分Aになる条件でAに含まれる。

∫1/(3+x^e) dx

210 １３２人目の素数さん 03/07/14 21:20
∫[1,∞] 1/(3+x^e) dx

よろしくお願いします

平面上に３つの円Ｃ_1、Ｃ_2、Ｃ_3があって、Ｃ_1とＣ_2は相異なる２点Ａ，Ｂで交わり、Ｃ_3はＣ_1およびＣ_2
と互いに直交している。

問　円Ｃ_3の中心は、２点Ａ，Ｂを通る直線上にあることを示せ。

自分の解答
幾何ですぐにとけましたが、一般にどうゆうふうにしてとけばいいのですか？
問題集には束の考えでとけます。とありました。束ってなんですか？

2^n $B!_#A(Bn$B!a(B2/n $B!](B 1/n$B!\(B1 $B$NOB#S(Bn $B$r5a$a$h!#(B

$B$*4j$$$7$^$9(B

>>860
明日考えてあげるけど
何の問題集に載ってた？
円の直交なんて普通は知らないよね
ぼくちんしってるけど

>>860
僕も，図かいて対称性から，その直線上にないとすべての交点が直交にならない，という説明だけでいいとおもうけど．

>>862
すみません但し書きがありました。
２つの円が直行しているとは、２つの円に共通点があって、各共通点におけるそれぞれの円
に対する接線がその共通点で直交しているときをいう。

>>854
すみません。対象性をつかった方法はどうやってやりました？
俺とちょっとちがうようだ。

>>854→863

x²
y³
z´
xµ

>>867

どうやって表示させたんだ！？

俺も知りたい！

&#１７８²
&#１７９³

>>867-868
なんだ？？

²

だからどうやって打つの？

＆#178

＆を半角で

IE使ってるの？

²

半角で「＆＃１７８」で　「²」
　　　「＆＃１７９」で「³」
か．なるほど！

上げ

e²

\e

±とかもあるのかな

すげ
°
¯
´
µ

∫x^3/2 / 1+x^1/2 dx お願いします。

トゥリビアさん行列苦手なんですけどなんかいい本ないですか？

x³/2

なるほど　　　

ϖ=ａ−ｂｉ

½√(6¾)¹

0<x<90とするとき、xの方程式sin3x=msin2x+nsinxが解を持つときの(m,n)とその時の解xを求めよ。

あたまがこんがらがった。

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

>>888
両辺を整理してできた式でcosx＝cであらわすと
f(c)=4c^2-2mc-n-1が0<c<1で解を持つ(m,n)で
c＝{m±√(m^2+4n+4)}/4
x=Arccos{m±√(m^2+4n+4)}/4
てなりました。何か明らかに間違ってんだろな

保守上げ

>>888
m, n は整数に1,000あやや

３あやや＝２みきてぃ

あってますか？

>>893
×＝
○≒

（a,m）を頂点として、（0,0）と（2a,0）を通る放物線を
頂点がy軸にくるように移動した放物線の式は、■である。

■→y=m(1-(x/a)^2)となっていましたが、
どのようにして出せばいいのかがわかりません。

正射影のベクトルの公式ってどういうふうに入試にでるんですか？
内積が出来ればいいのでは？

>>895
(a,m)が頂点よりy=k(x-a)^2+m・・・・(１)
とおける(kは定数)。
これが(0,0)を通るなら0=ka^2+m
よってk=-m/a^2・・・・(２)
(１)をx軸に平衡に移動し頂点がy軸上に来るためには-aだけ平衡移動すれば良いので
y=kx^2+m
これに(２)を代入すると
y=m(1-(x/a)^2)

>>895
問題が曖昧だな。a≠0っていう条件がなきゃ駄目だし、頂点がy軸にくるように移動した放物線の方程式は無数に存在する。
問題文はそれで全部？

>>898さん
a→定数。m→変数です。
京大の98前期の格子点の問題の最初ですが、
出だしがわからなくて。。。

>>899
x軸に平行に移動するって書いてない？書いてあるのなら、>>897さんの解答であってるよ。

>>899
ってかその問題解いた事ある。
もう一度普通に考え直したほうがいいぞ

点P(a.b.c)を通り、
ベクトルα=(a.b.c)と垂直な平面の方程式の求め方おしえてください。

２次方程式（ｋ＋１）ｘ2（２乗）＋４ｘ＋ｋ−１＝０の２つの解α、βが１≦α≦２
、１≦β≦２であるための定数ｋの値の範囲を求めよ。

答えは−√５≦ｋ≦−１１／５なんですけど、≦−１１／５に何でなるかわかりません。

>>903
おそらくどこかで（ｋ＋１）の値による場合分けを忘れている。

Ｆ（ｘ）＝（ｋ＋１）ｘ2（２乗）＋４ｘ＋ｋ−１
ｙ＝Ｆ（ｘ）が上に凸のとき
Ｆ（２）≦０　⇔　ｋ≦−１１／５

>>903
求める条件は、
Ｄ＞０
軸：１＜軸＜２
０≦f(1)、０≦f(2)

もっと簡単なやり方(包絡線を用いた考え方)もあるけど、
最初のうちはこれでいいんじゃないの？

>>904
お、おれも忘れてた（爆）

誰か数学の参考書・勉強法スレ立ててください・・

次の水溶液の〔H〕を求める。
ただし、酢酸のKa＝2*10^-5(mol/l)
アンモニアのKb＝2*10^-5(mol/l)
（1）0.1mol/lの酢酸10ml＋0.1mol/lの水酸化Na4ml
（2）0.1mol/lの酢酸10ml＋0.1mol/lの水酸化Na20ml
（3）0.1mol/lの酢酸10ml＋0.1mol/lの酢酸Na20ml
（4）（3）へ0.1mol/l塩酸1mlを加える。
（5）0.1mol/lのアンモニア20ml＋0.1mol/lの塩酸10ml

解答は、（1）3*10^-5（2）3*10^-13（3）10^-5（4）1.2*10^-5（5）5*10^-10
となっていました。

助けてください。
よろしくおねがいいたします。

S(x)=Σ(n^3/n!)x^n であるという。S(x)を具体的に表せ。
※ただし、Σはn=0〜∞

どうやるんだろ・・・

lim_[n→∞]（1−1/n)^n

y'とdy/dxは常に等しいの？

>>910
e^(-1)

>>912
計算過程は？

>>913
質問してるの？

>>910はeの定義を用いて出せる

よく知られたほうではなく、もう一つのです。

>>909
e^x=Σ[n=0,∞](x^n)/n!
を元にしてごちゃごちゃいじったら
S(x)=(x^3+3x^2+x)e^x
になった

S(x)のn階導関数をS(x)と書くことにすると
S^n(0)=k^3

最後の行を訂正
S^k(0)=k^3

>>908
なぜここに？(w まぁ暇だから。
スレ違いだから(1)だけね
K_a=[H][CH3COO]/[CH3COOH]より
[H]=K_a{[CH3COOH]/[CH3COO]}…(I)
よって
[CH3COO]=0.4*10^(-3)
[CH3COOH]=0.6*10^(-3)なので(I)に代入して
[H]=3*10^(-5)

◆　山崎渉板ができました！（＾＾）　◆

　　　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（ ＾＾　　） 　 これからも僕を応援してくださいね（＾＾）・・・っと。
　　　　 （　　＾＾ ）　/　　 ⌒i
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山崎渉板（＾＾）
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だ、誰か>>902に答えてください・・・

>>921
α=(a,b,c)
ならa(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0

関数f(х)の周期がTであるときの定義は？

任意のxに対し
f(x+T)=f(x)

>>923
関数f(x)の周期の定義かな？
任意のxで、f(x+S)=f(x)が成り立つ正数Sのうち最小のものを周期Tとする。

>>925
それって基本周期じゃねーの？正とはかぎんねーけど

ハイレべ理系数学の演習一の回答２について詳しく教えてください

>>927
もんだいうｐしれ

>>926
そういやそうだね。0は周期と云えるのかな？

凸関数の定義って何でしたっけ？

0≦t≦1⇒f((1-t)x+ty)≦(1-t)f(x)+tf(y)

>>931
さんくすこ

>>929
云いたきゃいえば？俺は0を周期とはしないけど

直線 " 6x+2y-15=0 " と、
直線 " 2ax+2by-a^2-b^2-5=0 "が等しいときに、定数a,bを求めたい
んですが、その際に各係数を=にしたら間違えました。
具体的には 6=2a , 2=2b , -a^2-b^2-5=-15　とです。

答えとしては、これは２直線が一致する条件として、
２直線を、ax+by+c=0,　Ax+By+C=0 として
a/A=b/B=c/Cとしなければならず、そのようにしてとくと、答えは
(a,b) = (3,1) (3/2,1/2)になります。

最初にいったやり方でやると、(3,1)は普通にでてくるのですが、何がおかしいの
でしょうか？

２直線を、ax+by+c=0,　Ax+By+C=0 として
a/A=b/B=c/Cとしなければならず、

これを、a/A=b/B=c/Cであればよい、と考えてみれ、
a=A かつ b=B かつ c=C、は条件として強過ぎるのさ。
だから、もう一つの解がはじかれてしまった。

＞トゥリビア
これ、おれのどこが間違ってるか教えて！
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058263612/97-107

>>936
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058263612/93-107
にしよう。ごめん

>>936
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058263612/87-107

だ、スマン。
トゥリビアたのむ。
他の人でもいいや。きちんと説明できる人なら。

フェン氏あらすなよ

xの整式Ｐ（ｘ）をｘ+1で割ると8あまり、ｘ^2-ｘ+3で割ると3ｘ+1あまると言う。P（ｘ）を（ｘ+1）（ｘ^2-ｘ+3）で割ったときのあまりを求めよ。
と言う問題で、青チャートには、P（ｘ）を（ｘ+1）（ｘ^2-ｘ+3）で割った余りはa(x^2)+bx+cとおけて、P（ｘ）をｘ^2-ｘ+3で割った余りが3ｘ+1
だから、a(x^2)+bx+cもｘ^2-ｘ+3で割ると、余りは3x+1である。とかいてあります。でも、そう言われても、なぜa(x^2)+bx+cもｘ^2-ｘ+3で
割ると、余りは3x+1となるのかがわかりません。
どなたか教えてください、お願いします。

>>922
ありがとうございます。

後ひとつ、
原点と点A(p.q.r)を通る直線の式を教えてください。

>>908です。
>>919 さんその節（>>919 ）ではお世話になりました。
のこりの部分、考えてみましたが、やはりわからないものが残ってしまいました。
↓
問い:次の水溶液の〔H〕を求める。
ただし、酢酸のKa＝2*10^-5(mol/l)
アンモニアのKb＝2*10^-5(mol/l)
（2）0.1mol/lの酢酸10ml＋0.1mol/lの水酸化Na20ml
（4）（3）へ0.1mol/l塩酸1mlを加える。
（5）0.1mol/lのアンモニア20ml＋0.1mol/lの塩酸10ml
解答は、（2）3*10^-13（4）1.2*10^-5（5）5*10^-10
となっていました。

助けてください。
よろしくおねがいいたします。

>>941
(x,y,z)=(0,0,0)+t(p,q,r)

すれ違いだが
(2)酢酸Na とNaOH
(4)酢酸と酢酸NaとNaCl
(5)塩化アンモニウムとアンモニア
と読みかえるとわかりよい。

>>944
ありがとうございます。
（2）ですが、弱塩基と強塩基だから、強塩基濃度だけ考えれば良い。
としましたが、答えがでませんでした。
（4）については、酢酸と酢酸Naについてのみ、（3）同様の考え方を
すればよいのですか?

>>940
P(x)=(x+1)(x^2-x+3)Q(x)+ax^2+bx+c (Q(x)はxの整式)・・・�@
とおけるのはokだね?

�@の両辺を(x^2-x+3)で割ることを考える。
(x+1)(x^2-x+3)Q(x)は(x^2-x+3)で割れるから、P(x)を(x^2-x+3)で割った余りは
(ax^2+bx+c)を(x^2-x+3)で割ったあまりに等しい。
従って、(ax^2+bx+c)を(x^2-x+3)で割った余りは(3x+1)である。

初項２、初項から第3項までの和が14である等比数列について公比も求めろ。
解答は2と−3なのですが、当方数学DQNなのでさっぱりです。
どなたか解説お願いします

>>947
公比をrとおくと、
「初項２、初項から第3項までの和が14」
⇔2+2r+2r^2=14
⇔r^2+r-6=0
⇔(r+3)(r-2)=0
⇔r=2 or -3

公比をｒとすると、
初項は２、第2項は２ｒ、第３項は２ｒ＾２だから、
２＋２ｒ＋２ｒ＾２＝１４
２ｒ＾２＋２ｒ＋２＝１４
ｒ＾２＋ｒ＋１＝７
ｒ＾２＋ｒ−６＝０
（ｒ−２）（ｒ＋３）＝０

公式を使ってもいいけど３項だからそのまま項をかいてみるのもいい。

思いきりかぶったｗ

>>948
訂正
公比をrとおくと、第二項は2r、第三項は2r^2　である。
初項から第3項までの和が14であるから、
2+2r+2r^2=14
⇔r^2+r-6=0
⇔(r+3)(r-2)=0
⇔r=2 or -3

>>948-951
解説ありがとうございます。
おかげで解くことができました。

y=f(x)=X^4+2X^3+aX^2
のグラフが異なる２点で接する直線を持つためのaが満たす条件はどのように考えればいいのでしょうか？
「接線の方程式をy=mx+nとおいて連立させた式が二重解を持つ」という方針で考えてもあまりうまくいきませんでした。
どなたか方針だけでもかまいませんので解説していただけないでしょうか？

>>953
それで解けないか？
二重解を二つ持つは(x-b)^2(x-c)^2と表せる。

>>954
x^4+2x^3+ax^2-mx-n=0と
(x-b)^2(x-c)^2=x^4-2(b+c)x^3+(c^2+4bc+b^2)x^2-2bc(b+c)x+(bc)^2=0
の係数を比較して
b+c=-1 　c^2+4bc+b^2=a 　2bc(b+c)=m 　(bc)^2=-n
が得られる所まではわかるのですが、aの条件からm,nの文字を消すにはどうすればいいのでしょうか？
答えはa<3/2らしいです。

>>955
m,nは任意なので放置。
だから問題もxの一次以下はない関数。

たぶん解決しました。
c=-1-bをc^2+4bc+b^2=aに代入してcの存在条件（判別式）として
考えればいいんですよね？

胸がｷｭﾝ²

実数a,b,cに対して
f(x)=x^3＋ax^2＋bx＋c
g(x)=f(f(x))
とする、このとき、g(x)-xはf(x)-xで割り切れることを示せ、
回答２
因数定理より
f(y)-f(x)=(y-x)Q(x,y)
（Q(x,y)はx,yの整式)
とあらわせる。………略

どういうことですかいまいちわかりません

>>959
f(y)-f(x)の値を考えるとx＝yの時ゼロでしょだからxーyで割れると云うこと。

>>960
ありがとうございます
なんとなくわかったきがします

理解しやすい　Ｐ．１７６の問３８
｛問題｝
lim_[x→1]x^2＋ax＋b/x^2＋4x−5＝−2/3が成り立つとき、a=？　ｂ＝？　である。

｛解答｝
ｘ→１のとき、x^2＋ax＋b→0より、1+a+b=0・・・�@
このとき x^2+ax+b=(x-1)(x-b)となるので、（以下、解説が続く）　　　　　　←ここわかりません！

なぜこうなるのでしょうか？aはどこに行っちゃたの？

１の式を代入してaを消去し、因数分解。

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))の解に含まれます。
したがって整式f(f(x))-xは因数定理によりf(x)-xで割り切れます

この説明がよくわからんのですが、もう少しかみくだいて
説明していただけないでしょうか・・・？お願いします。

訂正です

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。
したがって整式f(f(x))-xは因数定理によりf(x)-xで割り切れます

この説明がよくわからんのですが、もう少しかみくだいて
説明していただけないでしょうか・・・？お願いします。

a^2+b^2=1…�@

c^2 +d^2=1…�A

ac+bd=0…�B
�@�A�Bよりb,dを消去して
a^2+c^2をだすにはどうしたらいいでしょうか？

ベクトルなら楽なんだけどね・・・

>>966
b,d≠0
とかいう条件は無いの？

良スレ
代ゼミ出身の大学生があなたの質問に答えるスレ
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1057906972/l50

>>966
面倒臭がらず普通にやれば出るが。
d≠0のときb=ac/d
a^2+b^2=a^2+a^2*c^2/d^2=1
a^2*c^2=(1-a^2)d^2=(1-a^2)(1-c^2)
a^2+c^2=1
d=0のときはc=±1,a=0,b=±1なので，やっぱりa^2+c^2=1
（ってか，�@�A�Bなんて文字見ただけで萎えるんだが。）

>>965
これ以上かみ砕くのは難しいが，そもそも，この説明は間違い。
（結論が合ってるかどうかは知らんが。）
f(x)-xが(x-α)^2を因数に持つ場合，この説明だけでは，
f(f(x))-xがx-αを因数に持つことはわかるが，(x-α)^2を因数に持つという
ことの説明にはなっていない。

>971
待った
左に注があって厳密に言うとf(x)-x＝０がジュウカイをもつときは
因数定理より〜とは出来ないとかいてある。でも結果的にはOKとかよくわかんないことかいてあるな…
ちなみにこれ東京出版の数学ショートプログラムって本です。

というかそもそも、f(x)-x＝０のときf(f(x))-xがf(x)-xで割り切れるかが分からない（＞＜）

(x^3-2^3)=(x-2)^3


でしたっけ？？

>>965 >>972
そもそも，問題文はどんな感じ？

２＋２＝５スレからですが

2＋2＝4であることは明らかである。
そこで、5−4＝1より、4と1を比べる。
この時、基準を1.0･10^(-∞)とすると、4の方が1よりも遙かに大きい。
よって、この1を無視して良い。
4＝5すなわち2＋2＝5である。
∴2＋2＝5

これは４＝５であって２＋２＝５ではないと思うんですがどうですか？

>>974
ネタ？

>>946
ありがとうございました。そもそもP(x)を(x^2-x+3)で割るという事が何をすることなのかわかってませんでした。
P(x)=(x^2-x+3)Q(x)+3ｘ+1というのを思い浮かべて割ったつもりになってました。これはP(x)を(x^2-x+3)を因数にして表しただけで、
割ってないですもんね。とんでもない勘違いをしていました。おかげで助かりました、有難うございます。

>>973
いや，だから，>>965の説明では
「f(x)-x＝０がジュウカイをもつとき」は
f(x)-x＝０だからといってf(f(x))-xがf(x)-xで割り切れるかどうかは
わからんのだってばさ。
「結果的にはOK」の中身が書いてないんだったら，その本はひでーな。

＞975問題文は
ｘの４次方程式(x^2-a)^2-a=xが４つの実数解を持つようなaの範囲を求めよ
ただしジュウカイは２個、サンジュウカイは３個の解とみなす

>>977
マジッス。本気で解答お願いしますよ・・・。

>>981
自分で展開すれば間違ってることは一目瞭然だろ？

＞９７９
今別のページぱらぱらとめくってたら↓を発見

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。
f(x)が多項式ならf(f(x))-xはf(x)-xで割り切れます
（原文ママ）

(1/x-2)-(12/x^3-8)=x^2+2x+4-12/(x-2)(x^2+2x+4)


これがわからんでつ・・・・。

＞f(x)が多項式ならf(f(x))-xはf(x)-xで割り切れます
これは正しいから、例えばfを２次式として証明してみな。

あー１０００になりそうーーーー！！！！

>>980
なるほど。そういう問題で因数分解するためのアタリをつけるだけなら
問題なさそうだな。
しかし，この問題でf(f(x))などというヤヤコシイものを持ち出すのも
どうかと思うが．．．。
ちなみに，f(x)-x＝０が重解をもたないときという条件付きで
>>965の説明を読むなら，
f(x)-x=0の解をα，β，．．．とすると，
f(x)-x=a(x-α)(x-β)．．．と書け，
α，β，．．．はf(f(x))-x=0の解でもあるので，
f(f(x))-xは(x-α)，(x-β)，．．．を因数として持つ
よって，f(f(x))-xはf(x)-xで割り切れる
．．．ってお話。

やばい頭こんがらがってきた(><)
「f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。」
これさっきまで理解してた気がするんだけど、なんでこうなるのかが・・・
これがわかれば987は理解できるんだけど。。。
てか神レベルですね・・・

.>988
f(a)=aなら、f(f(a))=f(a)=a だから。

f(f(a))=f(a)=a これは
f(a)=aとf((fa))=aを満たすってことですよね？
もうﾀﾞﾒﾎﾟ・・・

(1/x-2)-(12/x^3-8)=x^2+2x+4-12/(x-2)(x^2+2x+4)


これがマジでわからんでつ。誰かマジで答えてチョ

>>991
おまえ学校の数学の授業についていけてる？

>>990
y=f(x) を　「関数fがxをｙに移す」と考えると、
a=f(a) というのは、「aはｆによって動かない」と解釈できる。
だから何回fを適用しても動かない訳で、
a=f(a)=f(f(a))=f(f(f(a)))=.....

>>990
どこまでが「仮定」で，どこからが「それから導かれたこと」なのかを
明確に区別しないから混乱するのだと思うぞ，この文を見る限りでは。

この場合は
仮定：xはf(x)=xを満たす
そこから導かれること：xはf(f(x))=xを満たす（∵f(f(x))=f(x)=x）

このことから
「f(x)=xを満たす数の集合」は「f(f(x))=xを満たす数の集合」に含まれる
ということが言える。

>>991
通分してるだけ

>>993、>>994
な、なんとなくですが、分かった気がしますが。。。
どうもシックリこない＞＜
>>993さんや>>994さんはこういうのスパっと理解できたんですか？

>>996
不動点、ってのは数学では大事な概念だから、馴染んでるといったほうが正しいかも

1000

10000

1000

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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。