∬数学の質問スレpart12∬

前スレより転載
数学の問題に関する質問はこちらでどうぞ。

質問をする時の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書くこと。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書くこと。（例：1A2Bまで）

数式を書くときは、できるだけ誤解のない書き方をしてください。
例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすいです。
数学記号の書き方は↓などを参考に。
http://members.tripod.co.jp/mathmathmath/

前スレは>>2-5あたりにあります。

難問

1*!*!*!*!*!*!*!*!*!*!=?

３

前スレ

Part1
http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
Part2
http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
Part3
http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
Part4
http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
Part5
http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
Part6
http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
Part7
http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
Part8
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/
Part9
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/
Part10
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/
part11
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/

おっつ。

>>1＝>>4
おつ。

>>トゥリビア
足跡残してたの気づいてなかった・・・

>>1
ＢＪ様
前スレではお世話になりました。

前スレ９６２の答えを一応かいときます。
S=(1^2)/(2^1) + (2^2)/(2^2) + (3^2)/(2^3) + ･･･ + (n^2)/(2^n)
で、SーS/2を２回使えば、
S＝｛6(2^n-1)-4n-n^2}/2^n・・・（答え）　となる。

>>8いえいえ

>>9ちなみに、２回目のほうは、Σk/2^kにたいしてです。
もっと簡単な方法はないのかな？

>>11
たいして手間変わらないかもしれませんが
(k^2)/(2^k)＝{a(k+1)^2+b(k+1)+c}/{2^(k+1)}−(ak^2+bk+c)/{2^(k)}
となるa,b,cを求めて足し合わせるという方法もあります。
（Σ{f(k+1)−f(k)}＝f(n+1)−f(1)を利用)

F(r)=Σ[0≦k≦n]r^k
　↓rで微分
F'(r)=Σ[1≦k≦n]k・r^(k-1)
　↓r倍
rF'(r)=Σ[1≦k≦n]k・r^k
　↓rで微分
F'(r)+rF''(r)=Σ[1≦k≦n](k^2)r^(k-1)
　↓r倍
rF'(r)+(r^2)F''(r)=Σ[1≦k≦n](k^2)r^k

r=1/2よりF(r),F'(r),F''(r)を計算

81 名前：大学への名無しさん 投稿日：03/02/22 18:38 ID:TZFOR1Sp
マスターオブ整数ってどうですか？

82 名前：８１ 投稿日：03/02/22 18:41 ID:TZFOR1Sp
一対一や新数演の整数分野極めるのと、マスターオブ整数で頑張るのはどっちがいいですか？
というかマスターオブ整数のレベルは一対一と新数演と比べてどうですか？

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045642386/81-82

a,b,cが１でない正の数であるとき、
log_{a}(b)*log_{b}(c)*log_{c}(a)+log_{b}(a)*log_{c}(b)*log_{a}(c)
を求めよ。

同じ底で式を揃えれば解けるのでしょうか？

>>15
うん。

答えは２だね。

質問です。
ベクトルA↑,B↑,C↑について
A↑×(B↑+C↑)=A↑×B↑＋A↑×C↑
を示せ。
何すか？これ？？？？
意味分かんないです。誰か教えて〜〜。
やばい・・・この時期でベクトル分かんないなんて・・・・・

>>17
　A↑×B↑　とかって書くと外積だと思われるから、A↑・B↑って書きます。それ、内積だよね。

　あまりに当たり前すぎて困るんだけど、普通に成分で計算したら良いと思う。
【略証】A↑＝(a1,a2)　B↑(b1,b2)・・・と置く。内積の定義から、A↑・(B↑＋C↑)＝(a1,a2)・(b1+c1,b2+c2)＝a1(b1+c1)＋a2(b2+c2)

　

　新すれおめっとー

つか普通に外積くさい

　あれ？外積でも成り立っちゃう？まぁ、外積でも成分でやろう。

>>18
それ僕もやりました。でも解答と違います。なんでだろう、、、、
・じゃなくて×に問題はなってます。

その前に外積って何？？？？
みんな、高校でやってたの？？？？
俺知らないんだけど・・・・

何の問題？

↑１７です

いや、出展は何？ってことっす。

解答だと
l〜〜ｌ
l〜〜ｌ
と言う意味わかんないのが使われてる。
ちなみに上と下の段のlはつながってますので、、、

絶対値＋中身省略っぽいな。外せき決定っぽい

>>12,>>13レスthanksです。
>>17 外積でもなりたちます。

なんかもう国立２次解くの辞めようかな。分かるのは分かるんだけど意味分かんない
のも多々ある。基本問題解きまくって勘を取り戻さないと、、、、

その外せきって何ですか・・・・・
うちの高校では習ってないんですけど・・・・・

外積って３次元にしかないの？

>>31
外積ってのは（ｒｙ

>>30
ベクトル記号省略。
A=(x1,y1,z1) B=(x2,y2,z2)のとき
A×B=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)
ちなみに|A×B|=|A||B|sinθ　(θはAとBのなす角)
(A×B)・A=0, (A×B)・B=0

外積とは、２つのベクトルa↑=(a1,a2,a3)、b↑=(b1,b2,b3)で定義されるもので、
ｃ↑=a↑×b↑＝（a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)　と定義される。
また、c↑⊥a↑、b↑となる。
ところで>>30さん、この前のiのi乗の答えはなんだったんですか？

外積については、新物理入門ｐ１９８に詳しく書かれています。

>>34
i^i=e^(ilogi)=e^(i(π/2+2nπ)i)
=e^(-π/2-2nπ)となるそうです。ｎは任意の整数

e^(θi)=cosθ＋isinθとなり
これがiになるθを求めるとπ/2+2nπとなるので
i=e^(π/2+2nπ)iとなり
よって
i^i=e^(π/2+2nπ)i^2
=e^(-π/2-2nπ)
になります。３６は雑すぎてすいませんでした。

>>36ちゃんと前スレの訂正みといてくれた？
806 ：BJ ：03/02/21 10:07 ID:eDrXjHFR
>>771 訂正。z=e^(π/2+2nπ）はz=e^{-(π/2+2nπ}。i^2を忘れてた。
また、i=e^(π/2+2nπ）は、i=e^i(π/2+2nπ）。

ついでに、もとの解答は
771 ：BJ ：03/02/21 02:47 ID:eDrXjHFR
>>754 こっちのほうはあっている自身がありません、、、。
z=i^iとする。両式に自然対数を底とすると、
Lｎｚ＝iLniとなる。すると、e^(Lnz)=z=e^(iLni)となる。
ここでオイラーの公式より、e^(iy)=cosy+isiny なので、
y=π/2+2πn（ｎは整数）とおくと、i=e^(π/2+2nπ）となるので、
Lni=i(π/2+2nπ) よって、
z=e^(π/2+2nπ）すなわち実数（！）となるので、
arg(z)=nπ（ｎは整数）・・・（答え）　となる。


結局、角度はあってたの？

で、17って定性的に説明はつかないの？

>>38
素直にθ=π/2+2nπでいいと言われましたが・・・・

e^(iy)=cos_y+isin_y　より両辺i乗して
e(-y)=(cos_y+isin_y)^i
ここでy=(π/2)+2nπ とすると
e^{-(π/2)-2nπ}=i^i よってi^iは実数・・・
>>40は本当にarg_i^i の答え？

>>40 i^iは実数なわけだから、それじゃおかしくない？その答えはだれがいってたの？

いや、友達に・・・・・
月曜日しっかり数学の先生に聞いてきます・・・・
42さんは賢そうだけど同じ受験生ですか？？？

>>43それは秘密さ、、、。
そうそう、これも前スレだけど、積分のほうも答えといたから
∫x^2/(x^4+1)^2dx :∫の範囲−∞〜∞　
[解]
今、z^2/(1+z^4)^2は極として、e^(±πi/4),e^(±3πi/4)をとる。
一般に、∫ｆ（ｚ）ｄｚ（−∞〜＋∞）＝２πiΣResｆ（ｚ）・・・（１）
となるので、この右辺を求めたい。
するとResf(z)=limd/dz[z^2/{(z-e^(3πi/4))(z-e^(-3πi/4))(ｚ-e^(-πi/4))] (z→e^(πi/4)
z=e^(πi/4)
これを計算すると、√2(1-i)/32となる。
同様にして、Resf(z)(z=e^(3πi/4)のほうは、−√2(1+i)/32　となる。
よって、（１）の右辺は２πi×（−√2i/16)=√2π/8・・・（答え）　となる。

前スレの９２４参照。あと、その友達の思考過程をしりたい、、、。

>>44
いまいちよく分からないけどご教授ありがとうございます。
あと友達はいい人なんで、、、、以下省略

>>44のとき方は、留数定理という、高校範囲外のとき方をつかっている。
ちなみに、∫１/2cosz dz のほうも、留数定理を使ってとける。
この大学の先生は、複素解析が専門なんだろう。
留数定理については、高木貞治の「解析概論」ていう日本で１番有名
な本にもちょっとのっている。まあ、参考までに。

答えのプリントをなくしました・・・

xy平面上に,y=x^2+ax+2a,y=-x^2+ax+a^2+1で表される2つの曲線がある。
2曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ。

交点の座標を求めるまでは自信があるのですが、積分の計算になると、
どうも変な結果になってしまいます・・・
ちなみに、選択は1A2Bです。
よろしくお願いします。

ある線に関して対称な線を求める問題の解法を教えてください。ニューアクションα
でやってるんですが､線に関して対称な点ならわかるしイメージもつくんですが、
線だと方針もイメージも湧きません・・・

>>48
まず交点を求めて，対称となる直線のなす角をθ(0＜θ＜π/2)とおき，
tanθ=|(m1-m2)/(1+m1*m2)| (0＜θ＜π/2)の公式を使うとよさげです。

2つの対称点を求めて，その2点を結ぶ直線として求めてもいいかと思われ。
（マーク式の場合）

>>44
あれこれ置換積分を繰り返すと，確かにそれらしい答({(√2)/8}π)は出たけど，
それが正しい方法かはわからんですた。
y軸に対称な関数なので，対称性を利用するような変換をしたら，面倒ながらも
出ますたが・・。

こんな問題を出す大学てどこなんじゃろ（´･ω･`）多分，この問題に関しては
部分点稼ぎ勝負かも。

>>49
ありがとうございます。
／｜＼
�@�A�B
で�Aに関して�@と対象な線�Bにおいて

�Bの傾きｍ�B＝|(m�@+m�A)/(1-m�@*m�A)|
と傾き＝tanだから加法定理が使えるってことですよね？
けどそうすると絶対値いらないような・・・見当違いでしょうか。

>>36
i^i に至っては完全に逸脱しているような気が・・
虚数の虚数乗て，高校ではやらないし・・。問題文に注釈がついて
それに従って解くというパターンなんでしょうか？

まさか，大学(院)入試とか入社試験じゃないよね・・と聞いてみるﾃｽﾄ。(；´Д｀)

それでやってるのは直線l：y=x/2+2に関して直線y=-xと対称な
直線を求めよって問題なんですが・・・

>>51
その公式は，
2直線のなす角度θを鋭角(0＜θ＜π/2)としているので，絶対値は必要ですＹＯ．

直角に交わらない２直線のなす角度には，鋭角と鈍角が生じますが，
あくまでも鋭角のほうを使っているという意味での絶対値です。

わかりにくければ，角度を細かく設定して，タンジェントの加法定理で解いてもいいかも。（そのほうが理解度は増すかも）
慣れてくれば，さっきの公式で。

勘違いでしたか。ちょっとイメージわかないので申し訳ないですがこけこっこさんの方法で
上の問題やってみて頂けないでしょうか・・・？

行列使え。
(x,y)を直線y=tan(θ/2)xに関して対象移動すると

(cosθ sinθ)(x)
(sinθ -cosθ)(y)

に移る。原点を通る直線でなくてもアファイン変換（平行移動と回転移動を組み合わせた変換）
を使えば大丈夫。


以上大学生のオナニーでした。

>>56
？？？

>>55
y=(1/2)x+2 と y=-x　のなす角をθ(0°＜θ＜90°)とすると，
tanθ=|{(1/2)+1}/{1-(1/2)}|=3

したがって，求める直線の傾きをmとすると，
3=|{(1/2)-m}/{1+(1/2)m| かつ m≠-1 ⇔ m=-7

y=(1/2)x+2 とy=-xの交点は(-4/3，4/3) であるから，
求める直線の方程式は
y-(4/3)=-7{x+(4/3)} ⇔ y=-7x-8・・・答

>>56
神ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!!!!!

>>58
神ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!!!!!ありがとう！

>>57回転行列は知らないのか？

証明・・・傾いてる（tだけ）直線を（−t)回転させる行列をA、（t)回転させる
行列をBとおく。このとき
A=(cost sint)(x)
(-sint cost)(y)

B=(cost -sint)(x)
(sint cost)(y)
となり、まず（ｘ、ｙ）にAを作用させ、直線をｘ軸に移す。A(x,y)=(X、Y ）
とおくと、これにｘ軸と対称な点の座標は（X,-Y)となる。
これにさらにBを作用させれば、もとの図形となり、対称点の座標は
B(X,-Y)
＝(cos2t sin2t)(x)
(-sin2t cos2t)(y)
となる■

回転行列や直線に関する対称移動の行列、それから微分方程式は旧過程。

>>62
これって一次変換の分野と似てませんか？
ﾔﾌ奥でｹﾞﾄした『代数・幾何』の教科書に出てるやつ・・。
ちなみに，『代数・幾何』とは，(数１＋数２＋数Ｂ＋数Ｃ)/4
という奇妙な教科書です(*´д｀*)。ところがどっこい。この奇妙な教科書
（昔の教科書）は塾のﾃｷｽﾄ並に「数学的な各分野ごとに」整理され，理解しやすかった・・。
友だちにもコ○ーしてあげたら，好評だったという罠。
昔の教科書は偉大だったと，ﾏｼﾞで感動したものですた。駄文ゴメンなさい。

>>64
一次変換そのものです。

>>64
つか現行の１，２，３，Ａ，Ｂ，Ｃという分け方が奇妙な罠

さっきのですけどm≠-1はどこからきたんでしょうか？

>>67
もとの直線と被ると思われ

>>66
たしかにそう思える・・。『代数・幾何』『基礎解析』てのがｶｺ（･∀･）ｲｲ!
どうしても旧課程の教科書が見たくて，古書店とﾔﾌで手に入れてしまったのが恥ずかしいんですが。
>>67
元の直線（ｙ=-ｘ)と別の直線を求めるためですＹＯ．
元の直線（ｍ=-1）も，その式を満たすのは当たり前なので，あらかじめ
ｍ≠-1としておけば，答案的にもすっきりするという罠。

ああそっか。吊って来ます・・

平面上の点(x,y)を原点のまわりにθだけ回転させる行列Ａを
(a b)
(c d)
とおくと
点(1,0)は(cosθ,sinθ)にうつるので
a=cosθ,c=sinθ

点(0,1)は(-sinθ,cosθ)にうつるので
b=-sinθ,d=cosθ

以上から
Ａ＝
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
になります

でも、現行課程の僕達には、つよ〜い見方があるよん。
複素数平面に置き換えれば、回転行列と同じことができる。というか、回転行列は複素数平面由来だったかと。
それか、三角形を使って、小学生か中学生みたいに解いてみたり…
とはいえ、私はここの住人よりは明らかにへたれなので、この辺で逝きます…

ロピタルの定理を証明なしで断りなしでﾊﾞﾊﾞﾝと試験で使えないかしら

ﾃﾞﾝﾂｰの問題みてたら t→∞　t/(e^t)　が0に収束することを…ってｱﾌｫらしくて…

代数・幾何がだいすきか（大好きか）？
なんて寒いジョークを飛ばしてた担任を思い出した。

>>62訂正。一番最後の行列は、sinのマイナスは不要で、cosのほうにマイナスがつきます。
　

追加。つまり、>>56の形が正しい。

a,b,cを実数とする。
a > b > c > a
を証明せよ。

おはようございます。物理について質問です。
λ=850nm,λ=851nmの２つの赤外線の干渉を固定点で観測しているものとする。この
干渉は通常の人間の知覚によっては観測されない。その理由を述べよ。
これを誰か教えてください。
解答には
ν1-ν2=c/λ1-c/λ2=3×10^8×(1/850×10^-9-1/851×10^-9)
=300GHz・・・・以下省略となっていますTT
誰か物理得意な人教えて。範囲はIBの光の干渉だと思います。

>>78
いくつか突っ込みたいんだが
１．括弧をもっとつかわないとわけわからん．10^-9-1とかどこで区切るかわからんやろ？
２．その解答の，具体的にどこがわからん？全部教えてって言われてもその解答通りやし
３．ここは数学の質問スレだが（笑）

>>78
物理質問スレ
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045918193/
【理系】[生物化学物理地学]質問スレ【science】
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1043582823/

>>79
解答通りってどういうこと？？？計算だけで理由を述べてないですけど・・・・
それは１０の−９乗です。

>>81
いや，解答持ってるんでしょ？
何を教えればいいのかわからん

後，10^-9-1ってのは例を挙げただけで．
他にも括弧を使わないと意味のとれない場所が多数ある

ああ，省略ってのは，解答が省略されてるのか
書き込む際に省略したのかと思ってた．激しくすまそ

人間の耳は確か20Hz〜20000Hzくらいしか知覚できなかったような気がする．
だから300GHzも知覚できない．
数字は自信ないので調べてくれ

>>83
光を耳で知覚する動物はレアだと思うよ。

可視光線の波長は400〜800THzらしい。

300GHz…ってのは、音波の「うなり」に相当する数字か。

3×10^8 / 3×10^11 = 1×10^(-3) (単位m)
だから、1×10^(-3) ＞ 8.5×10^(-10)
つまり、850nmの光線が赤外線なら、その波長3mmの光線も明らかに見えない。

x,y,zは互いに異なる3つの数で,
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)が成り立つものとする。このとき,上の等式の各辺に共通の値を求めよ。

という問題なんですが,
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)=kと置いて,計算するとk=±1となるらしいです。
日本語の問題なのですが,問題文の「上の等式の各辺に共通の値を求めよ」という部分の意味は,
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)=±1となるような異なる3つの数x,y,zが存在する。という意味なのでしょうか？

あと,できたら実際に成り立たせることが出来るx,y,zの組も教えていただけると嬉しいです。

>>87
マルチすんなこら

掘りかえしてしみませんが

y=(1/2)x+2 とy=-xの交点は(-4/3，4/3) であるから，
求める直線の方程式は
y-(4/3)=-7{x+(4/3)} ⇔ y=-7x-8・・・答

↑である直線がある点を通る、っていうなら
4/3=-7(-4/3-X)+Y

じゃないんですか？

>>89
どの問題かも分からないし、その最後の式の意図もよく分からないけど・・・
＞y-(4/3)=-7{x+(4/3)}
＞4/3=-7(-4/3-X)+Y

変形したら同じ式になるよ

a(1)=a(2)=1,a(n+2)+a(n+1)+a(n)=0,n:自然数
a(n)を求めよ。
特性方程式の解がない！お手上げだＹＯ！

>>91
a(3n)=-2,a(3n+1)=a(3n+2)=1ではないだろうか。

>>92
ホントだ。
やられたっ！
まさに、盲点！解き方の暗記に走る者への天罰ッ・・・！

ともかく、ありがとう。

>>93
特性方程式の解は虚数でも良いんだよ。

>>94
虚数って何？
いや、やっぱいいや。あとで調べとく。

>>87 与式＝k とおくと
xy+1=ky・・・（１）
yz+1=kz・・・（２）
zx+1=kx・・・（３）
となる。（１）より、y=1/(k-x)・・・（４）,（３）より、x=1/(k-z)・・・（５）となる。この２つの式より、
y=(k-z)/{(k(k-z)-1}となる。これを、（２）に代入し、計算すると、
０＝（1-k^2)(z^2-kz+1)となる。ここで
（i)ｋ^2=1とすると、一般解は、（４）、（５）にkを代入したものよなる（つまり、ｘの値によって無数ある。
たとえば、（１/2,2,-1)
(ii)z^2-kz+1=0とすると、x=y=z=k±√(k^2-4)/2となり、題意に適さない。（たとえば、ｋ＝２で、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１）
以上より、もとめるｋは±１・・・(答え）　となる。

なるべくageてくれ。あと>>47だけど、
２交点のx座標をA,Bとすると、解と係数の関係より、
A+B=0,AB=ー(a-1)^2/2なので、（B-A)^2=2(a-1)^2
一方、求める面積は（B-A)^3/3(６分の１公式を使った）
なので、これは{2(a-1)^2}^(3/2)/3・・・（答え）となる。
急いでやったから間違ってるかも。

点(1,0)を通りf(x)=x^2+5/4に接する直線の方程式を求めよ
っていうので
f(x)の点を(p,p^2+5/4)みたいな解き方で解けないんです
どうしたらよいでしょうか？

>>98
傾きをkとして
y=k(x-1)
これと放物線が接するようなkを求めるとか。

「x=pにおける接線が(1,0)を通る」でも出来るようにしたほうが良いと思うよ。

>>99
それはどうしたらいいんですか？

>>98微分。もしくは、
求める直線の傾きをｐとすると、接線の式は、
y=p(x-1)となり、これが放物線に接することから、重解条件より、ｐ＝１、−５
となる。

>>101
y=x^2+5/4
y=k(x-1)
これが接するから
x^2+5/4=k(x-1)が重解をもつ
あと判別式で。

>>102
じゅうかい条件って何ですか？
マジでわかりませぬ･ﾟ･(つД｀)･ﾟ･

>>103
わかりました
教えてくれた方々どうもありがとう

>>104 判別式が０になること。教科書にかいてあるはず。

インテグラル下がa,上がa+1で｛-x（x-a）（x-a-1）｝dxの簡単な解き方
ってないですか？あったら教えて下さい。

>>106
どうも

sin(a+b)(c+d)というと｛sin(a+b)｝(c+d)とsin｛(a+b)(c+d)｝のどちらの扱いになりますか？

>>107
x(x-a)(x-a-1)=(x-a+a)(x-a)(x-a-1)=(x-a)^2(x-a-1)+a(x-a){(x-a)-1}
=(x-a)^3+(a-1)(x-a)^2-a(x-a)
よって、∫x(x-a)(x-a-1)dx=∫[(x-a)^3+(a-1)(x-a)^2-a(x-a)]dx
=-(2a+1)/12・・・（答え）となる。（ただし、積分区間はa〜a+1)

>>109 右。左は普通(c+d)sin(a+b)とかく。

>>107
x-a=t　とでも置換すれ

>107
次の式は暗記して損はない：
∫[x=a,b](x-a)(x-b)dx=-(b-a)^3 /6
∫[x=a,c](x-a)(x-b)(x-c)dx=(c-a)^3 (2b-a-c)/12

>112
名前「88」はミス

>>112
a<b<cでいいのかな？

>>96
＞（i)ｋ^2=1とすると、一般解は、（４）、（５）にkを代入したものよなる（つまり、ｘの値によって無数ある。
＞たとえば、（１/2,2,-1)
あぁなるほど。kの値が±1の時は、異なるx,y,zの組は無数にあるのですね。
思いっきりk=1の時のx,y,zの組み合わせと、k=-1の時のx,y,zの組み合わせの
2種類の組み合わせしかないと思ってました。
そこでなんですが、数学板でも質問したところ、BJさんが出したように、x,y,zの組み合わせが(1/2,2,-1)という答えがかえってきたのですが、
解き方は連立方程式で解く。とおっしゃっていました。しかしなんど自分でやっても最後は結局0=0となってしまい、なんでだろうと思っていました。
つまりx,y,zの組は無数だから、値は決まってこないのですね。疑問解決です。ありがとうございました。
↑上の考え方正しいでしょうか？
あと
＞、（４）、（５）にkを代入したものよなる（つまり、ｘの値によって無数ある。
ここよくわからないです・・・。すいません。

(ii)z^2-kz+1=0とすると、x=y=z=k±√(k^2-4)/2となり、題意に適さない。（たとえば、ｋ＝２で、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１）
以上より、もとめるｋは±１・・・(答え）　となる。
あとここなんですが、確かにkにどんな値を入れてもx,y,zは同じになり、題意に適さないのはわかるのですが、なぜそうなるのでしょうか？
教えてください。それから(i)の場合はなぜ題意に適すのかも教えていただけると嬉しいです。

あとこの問題考えててふとわからなかったのですが、
kは自然数で、(k^2-4)がある自然数の2乗になるような最小のkの値を求めるときってどうするのでしょう？＾＾；
簡単そうで考えたら意外と難しかったです。自分が未熟なだけですが＾＾；

>>115
＞kは自然数で、(k^2-4)がある自然数の2乗になるような最小のk
ないような気がするんだが

>>116
あ、確かにそうでした＾＾；
ある数の平方した数とある数の平方した数の差が4になるような2組はないですね（汗

>>115 例えば、ｋ＝１を（４）、（５）に代入してみると、
ｙ＝１/(1-x),z=(x-1)/xとなるので、適当にx(これは無数にある）を代入すれば、
ｙ、ｚはそれに対応した数となる（具体的にｘ＝３，４，５・・・でしらべてみてください）。
（ii)が問題に適さないのは、問題文に「ｘ、ｙ、ｚは互いに相異」とかいてあるから。

>>38 をさらに訂正。答えは２ｎπ（ｎは整数）。
i^iは、正の実数だから。

>>118
レスありがとうございます。
あ、それから
1:なんでx,y,zの組は無数になるのでしょうか？

あと
＞あとここなんですが、確かにkにどんな値を入れてもx,y,zは同じになり、題意に適さないのはわかるのですが、なぜそうなるのでしょうか？
ここの意味は
2:なぜどんなkを入れてもx,y,zは同じになるのか？
ということです。説明不足すみません（；；

何度もすみません。

>>120xが無数にある（ｘは実数）から、それに１対１に対応するｙ、ｚも無数にある。
（ii)は計算すると、
x=y=z=k±√(k^2-4)/2となるはずです。
k±√(k^2-4)/2がわかりにくければ、これをｔとでもおいてやれば
ｘ＝ｙ＝ｚ＝ｔなのでｘ＝ｙ＝ｚは当然でしょう。

>>121
レス毎度ありがとです。
う〜ん、そういうことではなくて
もっと抽象的になぜそういうふうに無数になったり同じになったりするのかなぁ
と思ったしだいであります。文章下手ですいません。さっきから自分でもいろいろ考えるのですが、、、。
どうもわかりません...。変な質問すいません。

>114
イメージとしては、そう考えるのがわかりやすいが、
式としては大小の順序は問わない。
もちろん等しくてもよい

>>112が良いのなら、
∫[a〜b](x-a)^m(x-b)^ndx=m!n!(-1)^n(b-a)^(m+n+1)/(m+n+1)!
って使ってもOK？

>>124
そんなん２、３分で示せるから
おれなら安全に、証明してから使う

教えていただいた方々どうも有り難うございました。

>>124
良いわけ無いだろ！常識で考えれば？

不定積分∫log[1+x^2]dx
ってどうやんの？？？

>>128
部分積分法やってから、部分分数に分離して、tan痴漢かな？

部分積分

>>129
？？部分積分？？F（x）＝１　Gヽ（x）＝log〜で？？

>>128
∫log(1+x^2)dx
={xlog(1+x^2)}-∫{(2x^2)/(1+x^2)}dx
={xlog(1+x^2)}-2∫[{1-{1/(1+x^2)}]dx
あとはtan置換で

>>131
困ったときは部分積分
ログを消す方針でやれば、上手くいくことが多いでつ。

でも arctan 使うから、不定積分は入試の範囲外ですな。

ってtanの逆関数が必要になるんですか

これって不定積分だと優しい方？？
ちなみに電機大のＡ日程（理工）ででてきた。

>>136
定積分だと優しい問題。
不定積分だと出題側のちゃめっけ。

(((バウムクーヘン積分))
http://www.milkcafe.net/cgi-bin/readres.cgi?bo=rikei&vi=1044792415&rm=100

換気ていうのは時間がかかる

>139
おっと誤爆。

>112
はセンター試験対策としては覚えておくべき

>>139
防水スプレーは外で使わないとね！

ひさしぶりなんで問題置いてくね。
y=x^2 の 0≦x≦1 における長さは？？
ってさっきの不定積分にちょこっとやり方にてるけど・・

>>142
(長さ)=∫√{1+(dy/dx)^2}dx [0〜1]
　 　=∫√(1+4x^2)dx [0〜1]
　 　=-(1/8)∫{t+(2/t)+(1/t^3)}dt [1〜(√5-2)]
　 　 =・・・めんど

まったくわかりません、場合の数です

n種類の記号から、繰り返し用いることを許してm個とって左から順に横一列に並べる。
・同じ記号が１ヶ所だけで２つ並ぶ以外は、隣り合う記号が全て異なるような並べ方は何通りあるか？
n、mを用いて表せ、ただしn≧3、m≧4でn、mは自然数とする。

○○と2つ並ぶのを固定して
（C[(n-1),1]）^m×n通りかな〜と思ったのですがもう全然考えれません。

上の（C[(n-1),1]）^m×n通りは間違えで
（C[(n-1),1]）^(m-2)×n通り

たぶんどっちも間違っていそうですが

(m-1)×n×(n-1)^(m-2)かな？
最初のm-1は，同じ記号が並ぶ場所はどこかを選ぶ
次のnが，２個並んでる記号はどの記号か
ラストの(n-1)^(m-2)は，その他の並べ方

隣り合わない場合　n・(n-1)^(m-1)
一つだけ隣り合う場合　n・1・(n-1)^(m-2)=が(n-1)通り

よって求める場合の数 2n(n-1)^(m-1)　かな

とりあえずn=3,m=4の時に36通りになって
数え上げたのと同じ結果になった

∫sin(x^2)dx
どーやん？

>>147　2行目訂正。(m-1)通り。
結果は　2(m-1)(n-1)^(m-2)

>>149
ぶぶんぶんぶんせきぶん

[x･sin(x)^2]−∫x･2xcos(x^2)dx
もー1回積分して、sin(x^2)に戻すのか？

余剰定理って何ですか？

P(x)=Q(x)(x-A)+Bとか、こんな形のﾔｼだっけか？＞１５３

>>146さん
(m-1)を忘れていましたね。
でも>>147さんのとどっちが合っているのかわかりません

>>147さんできれば少し詳しくお願いできますか？
>>146さんの答えでも３６にはなるのですが

>>152
何度も何度もやれば�狽ﾅかけるんじゃない？

>>156
学歴板で聞いてきたら
何でも、ﾌｰﾘｴ積分とかいうのを使わないとﾀﾞﾒといわれた
ついでに、不貞積分が存在しないらしい

洋服にたくさんついている花はなーんだ

>>158
ばとぅん

>>144
m個の順列のうち，同じ文字が2つ続けて並ぶ場所の決め方は，m-1通り．
次に，2つ続けて並ぶ場所にどの文字が入るかで，n通り．
残りのm-2個の部分は，隣り合う記号が全て異なるように決めておけばよいから，(n-1)^(m-2)通り．
よって，(m-1)*n*{(n-1)^(m-2)}通り・・・答

関数f(x)=x^2-6x+a(a≦x≦a+4)の最小値・最大値をaの関数で表して、
それぞれg(a),G(a)で表し、g(a),G(a)の最小値をそれぞれ求める、という問題なんですが、
g(a)の最小を求めるときに、a＜1,-1≦a＜3,3≦aに場合分けするのはわかるんですが、
どの場合の値を最小値にしていいかわかりません。
解答を見ると、「常に増加」とそうでないもので分けているようなんですが、
ｻｯﾊﾟﾘです。お願いします。

文系の自分には未知の世界

>>157フレネル(Fresnel)積分の間違いじゃない？
これも複素解析の１種で
∫cos(x^2)dx=∫sin(x^2)dx=√π/（2√2）(積分区間は、０〜∞）
となる。
>>161頭が朦朧としてるのであってるかわからないけど、
a<-1,-1<a<1,1<a<3,3<a（＜の下の＝は略）で場合わけして、
g(a)・・・順にa^2+3a-8,a-9,a-9,a^2-5a
G(a)・・・順にa^2-5a,a^2-5a,a^2+3a-8,a^2+3a-8
となり、g,Gおのおの、横軸a,縦軸g(a),G(a)をとってグラフをかくと、
最小値はg(-3/2)=-41/4,G(1)=-4・・・（答え）となる。
ほかの人にもきいてみて。

>>122う〜ん・・・。これ以上はちょっとなあ、、、。
まあ、自分でいろいろためしてみて。
１例として下にかいとくよ
（与式）＝k とおくと、３式をすべてたして、
(x+1/x)+(y+1/y)+(z+1/z)=3k
f(t)=t+1/tとおくと、グラフがかける。（t=x,y,zの時の縦軸の値を考えよ）

>>162 こわがらないで・・・
明日は夜８時頃くるよ。

おはようさんさん。
もうちょとで試験かぁ・・。ｼﾞｵ・大ｵ・ﾄｩﾘ氏の合格祈願age

>>163
BJﾀﾝすごすぎ・・。

>>142
なんかむちゃくちゃ汚い数字が出てきたんですが・・
∫[0,1]√(1+4x^2)dxを計算せよってことですよね。
今思ったんだけど，曲線の長さを計算できる関数って限定されますよね？
1番めんどくさい部類に入る奴ってどういう関数でしょうか・・。
やっぱｻｲｸﾛｲﾄﾞとかｱｽﾃﾛｲﾄﾞとかそれ系のやつでしょうか？

>>164
むしろ、サイクロイドとかは長さを求めやすい関数だと思うけど。

>>143の二行目から三行目の変形が分からない。
どう、置換してるの？

∫[0,1]√(1+4x^2)dxは部分積分でいけるとおもた。計算してないけどナー。

>>164
(・∀・)

3次関数y=f(x)上に、合計N個(Nは2<N<2001を満たす自然数)の格子点が存在した。
Nとして考えられる値を全て求めよ。

方針が立たないんです・・・誰か教えてください・・・

>>165
x=(1/2){(1/t)-t}

>>167
3次関数は変曲点で対称

>>166
部分積分でやるなら定石は∫{√(1+4x^2)}^(-1)dxを計算してからだな

無限級数なんですが

1+(1+x^2)(e^-x)+･･･+(1+x^2)^n(e^-nx)+･･･
のときx>0で収束を示せ
又、上での級数の和をf(x)とすると、g(x)=x(e)^x・f(x)のx>0における最大値、最小値を調べよ

まず極限でlim Snをすると思うのですがSn=Σ(1+x^2)^n(e^-nx)をどう扱えばいいかわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

>>171
初項１、公比(1+x^2)e^(-x)の等比数列と考える。後は関数の問題。

>>172
あ！そうか。
なるほどわかりました。ご協力感謝します

「13日の金曜日」が発生する確率は？

BJ氏は大学生ですか？

変曲点と格子点・・・？
変曲点が
格子点ならNが奇数
格子点でないならNが偶数
ぐらいはわかりますが、、、

ただいま。いま、かえってきたばかりだから、>>143だけこたえとくね。最善の方法じゃないかもしれないけど、、、。
２ｘ＝tantとおいて計算し、１/(cost)^3、今度はsint=yとおいて置換すると、
yの有理関数となって、がしがし計算すると答えは、
√5/2+{log(2+√5)}/4・・・（答え）　となる。

数Ｂ[条件つき確率]の問題です
１０本のくじの中に３本のあたりくじが入っている。このくじから１本ずつ
順に、引いたくじはもとに戻さずに２本を引いたら、２本の中にあたりくじが
あることが分かりました。このとき、一本目のくじがあたりくじである確率を求めよ

答えは9/16って書いてありますが解法が分かりません。
どうかよろしくお願いします。

大学から請求した問題に答えがなかったのでココで質問してもいいですか？

>>178 条件つき確率とは、全事象、つまり考えられる場合全ての量が、ある
条件がつくことによって、せばまることをいいます。ちなみに、確率の問題においては、確率（でやすさ）に重み
をくわえるため、全てのものを区別します。
今、当たりくじを○、はずれくじを×とおくと、
○×、×○、○○、××のパターンがかんがえられる。
おのおの、３×７、７×３、３×２、７×６　通りの場合がある（すべてのくじを区別している）。
いま、あたりくじがある、という情報（条件）がついたので、全事象は、９０から２１＋２１＋６＝４８にせばまる
（なぜなら、○があるのは、この４８通り以外ありえないから）。
この４８通りのうち、１回目に○があるのは、○×、○○　の計２７通りなので、
求める確率は、２７/４８＝９/１６・・・（答え）となる。
>>179 あてる保障はないけど、どうぞ。

少なくとも片方はあたりである場合の数は
10*9-7*6=48通り
このうち１があたりである場合の数は
7*3+6=27
よって求める確立は27/48=9/16

あ、とっくに答えられてﾝじゃん・・

>>180,181
ありがとうございました
非常に詳しくお教えいただき感謝に堪えません

Fランク大ですけど、よろしくお願いします
問題文が長いのでうｐしますた。
ttp://www.geocities.co.jp/AnimeComic-Pastel/8018/math.html

>>184 自分の所ならhを消すな（爆
明日東大だけど解いてみてまつ

>>184
あってる自信はありませんが、とけました（問題文がわかりにくかった）。
（１）5C2=10・・・（答え）
（２）（以下、（３）まで、
　　
×｜A|B|C|D|E
ーーーーーーーーー
A|
B|
C|
D|
E|
のような、（本当はマスみたいになってる）表をかくとよい。）
このとき、全勝ち数が１０であることに注意する（升目の数は全部で２０だから）。
すると、イは、４＋３＋２＋１＋０＝１０となり、実際にA4,B3,C2,D1,E0は可能。
よってイは正しい。
ロは、A以外の４人のうち誰かが３勝すると、もうますめには、３勝できるひとは
いなくなる。よって不適。
ハは、もし他の４人が同率だとすると、勝ち数は(10-4)/4＝1.5となり不適。
二は、４＋２＋２＋１＋１＝１０で可能。実際、A4,B2,C2,D1,E1など。

したがって、答えは、イとロ
（３）イ・・・５人の勝ち数を全て足しても１０にならず、不適。
ロ・・・３＋３＋３＋１＋０＝１０で可能。実際、A3,B1,C0,D3,E3など。
ハ・・・３＋２＋２＋２＋１＝１０で可能。実際、A3,B1,C2,D2,E3など。
二・・・どの勝ち数」の組み合わせでも足したら１０にならない。よって不適。
以上より、答えは、ロ、ハ

>>185
ナイスツッコミ！ｗ
直リンはやっぱいけないかなと思ったので消してみました

>>186
問題文はそのままなんですけどね〜・・・
そのマス書いたんですけど、どうも自信なくて
文系で数学の単位落としそうになった漏れには難問と言っても過言では・・・

（４）1位あたり何試合することになるか←１位あたりってどういうこと？ここでは、１人あたりとする。
Aはパートナーとして４通りの選び方がある。そして対戦相手の選び方は、おのおの3C2=3の選び方がある。
よって、４×３＝１２・・・(答え）
（５）Aが全勝するということは、パートナーのB,C,D,Eはそれぞれ３勝ずつしていることになる。
さて、Aが関与しない試合は３試合あって、それは（B,C)VS(D,E),(B,D)VS(C,E),(B,E)VS(C,D)である。
イ・・・残り３試合なので、どんなに多くとも６勝。よって不適。
ロ・・・残り３試合全て勝てば、１２、６，４，４，４となり可能。
ハ・・・３は奇数であるから、不可能。
二・・・Aのパートナーのときの３勝は４人とももっている。よって可能。
以上より、答えはロ、二

>>BJ ◆tLGj6yfJqI
ありがとうございます！
(4)はタイプミスでした。「一人あたり」で計算してください。

う〜ん、すごい・・・
白チャート見ても頭の中が「？？？」だった漏れには神としか思えない
また質問しに来てもいいですか？

>>190 どうぞ。この解答があってるかどうか、、。>>185さん、どうですか？

解けました。貼り付けますね　時間かかってすみません
解答群があるからマークだとは思いますが　一応記述っぽく書きました

問1
5C2=10
　(3)


問2
10試合だから全員の勝数の合計は10
うち4がAが獲得してるから残6を4人に振り分ける
・全員残り3試合
・各試合勝者・敗者が出るので 0勝、3勝が2人以上現れることは無い
ということを考慮して
B,C,D,Eの勝ち数を(B,C,D,E)とすれば
対象性より0≦B≦C≦D≦E≦3として
(0,1,2,3)　(0,2,2,2)　(1,1,1,3)　(1,1,2,2)の四通りが考えられる
これより導かれるのは
(イ)、(ニ)

（なお、ここの場合を考えなくても条件だけで(ロ)、(ハ)は削れる）

問3
問2と同様に、B,C,D,Eの勝ち数を(B,C,D,E)で表しB≦C≦D≦Eとすれば
0≦B≦C≦D≦E≦3、B+C+D+E=7
0勝が2人以上現れることはない
以上より
(B,C,D,E) = (0,1,3,3)　(0,2,2,3)　(1,1,2,3)　(1,2,2,2)　の四通りが考えられる。
これより導かれるのは
(ロ)、(ハ)


問4
例えばAについて着目すると
Bと組み、C,D,Eのうちの2人で組まれたペアと対戦する
以下、C,D,Eの各人と組んだ場合も同様、残り3人のうちのペアと対戦をする

A自信が組むパートナーの選び方は4通り
その各場合についての相手の選び方は3C2=3通り

よって 4*3=12試合 (3)

問5
i)まずAに関わる12試合について考える。
同じパートナーで3試合するから、Aが全勝した場合、他の4人は全員3勝はしている。
12試合の各回でのべ24人勝者になる。　この24をA〜Eの5人に振り分ける。
Aは全勝するから 12勝。 Aに関わる12試合中での残る四人の勝ち数を(B,C,D,E)として考える。
3≦B≦C≦D≦E、B+C+D+E=12
これを満たすのはB=C=D=E=3

ii)次にAに関わらない試合について考える。
B,C,D,Eのうちペアを組む組み方は
(BC vs DE) (BD vs CE) (BE vs CD)の三通りで三試合。
この3回での勝者ののべ数は6人、これをB,C,D,Eに振り分け、(B',C',D',E')とする。
0≦B'≦C'≦D'≦E'≦3、B'+C'+D'+E'=6
これは問2と同様
(0,1,2,3)　(0,2,2,2)　(1,1,1,3)　(1,1,2,2)の四通りが考えられる

B+B'、C+C'、D+D'、E+E'がB〜Eの勝ち数となるから
i)　ii) より、A,B,C,D,Eの勝ち数　(A,B,C,D,E)　は
(12,3,4,5,6) (12,3,5,5,5) (12,4,4,4,6) (12,4,4,5,5)　の四通り。
これより導かれるのは
(ロ)、(ニ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(；ﾟ∀ﾟ)=3 ﾑｯﾊｰ

終了age　（笑）日付かわらなくてよかった　IDが保存される（ ´∀｀）

ぅぅ　問2の最後の「ここの場合を」は「個々の場合を」だす
ちゃんと変換してくれIME・ﾟ・(つД｀)・ﾟ・

問4もA自信→A自身…　だめだ自分　もう見返さんとこｗ

もう>>190さんいないかなー( ´･ω･`)
時間かかりすぎですね　ｽﾏｿ

>>199
今、必死になってノートに書いてましたｗ
文系なんで誤字は脳内補完されるので気にせんといてくださいｗ

ヾ(´▽｀*)ゝあーい♪　頑張ってください

つけたし
200ｹﾞﾄおめ

B≦C≦D≦E　としたけど、
(A,B,C,D,E)を並べた時の綺麗さからすると B≧C≧D≧Eとしたほうが
(5)なんかは若干よかったかもしれません。　まぁマークなら関係ないっすけどね（笑）

常駐頑張ってたけど耐え切れず就寝します
頑張ってください(=ﾟωﾟ)ﾉ~~

>>187　１８６で二が正しいとかいておきながら・・・。
すまん、吊ってくる、、、。

A,B,C,Dの４人がいて、それぞれの名前が書いた４つの球が１つの箱に入っている。
４人がプレゼントを持ち寄り、箱から１人１個ずつ球を取り出し、取り出した球に
書いてある名前の人から、プレゼントをもらうことにする。
このとき、誰も自分自身からプレゼントをもらわない確率を求めよ。

というような問題が今日の二次に出ました。
誰かこの答えを教えていただけないでしょうか。お願いします。

それぞれの球の配分は4!通り
このうちA,B,C,Dの誰か一人だけが自分からプレゼントをもらう場合の数は
3!*4通り
二人だけが自分からプレゼントをもらう場合の数は
2!*C[4,2]
3人が〜
４通り
全員が〜
1通り
よって求める確率は1-((3!*4+2!*C[4,2]+4+1)/4!)
かな？

あ、ごめんちがうわ

誰か一人だけ〜
ここから順に
3*4
C[4,2]
0
1通り
だな
数え上げて力技でいったけど
もっといいやりかたあるだろうな

>>208
ﾐｽった
3*4→2*4
もうだめぽ・・

＞２０９
すいません、答えの確率はいくらなのでしょうか？

3/8かな？

　π＞3.05　を示せ。（出典：２００３年東京大学理系）

　別解がいっぱいありそうな予感。円周率の定義＝「円周/直径」
　真っ先に思いつくのは、多角形の周長と結びつけることだが・・・　何角形で近似可能か分かりづらいなぁ。
　一般のｎ角形で、二等辺三角形をｎ個作って、「ｎ角形の周長の一般式」を求めるか。

　とぅりびあﾀｿとかどーやったんだろー。

>>212
試験どうですた？ハラハラどきどき

π＞3.05を始めてみたとき，びっくりした・・。
僕ならn=8か12あたりでやると思う。それくらいしか思いつかないもん。
あと，円周率の定義っていうより、半径1の円周の長さは2πなので・・・みたいに
書くと思いまつ。

僕の予想は，√の開平算あたりかな？と思っていたけどπだった・・。
πとくればeなのかな。今度はe関係かな。大ｵ氏はここまで読んでいたのかもしれない。

>>213
　微妙なんだよ、それが。受かったとは思うけど、不安はぬぐえない　　程度の出来。

　あ、６角形でやるとチョウド周長が６になるのか。んじゃあ８くらいがチョウド良さそうだ　って見当はつけれるね。
　代ゼミ評価では「やや難」になってたけど、そこまで難しくないのでわ・・・？

>>こけここ
　今年の問題で何か面白い問題無い？

>>214
神。某ｽﾚ見て合格してると思いますた。
来年は理3再受（ｒｙ　(￣ー￣) なんてことはしないで（･∀･）ｲｲ!医師になってねん。

試験ｵﾂｶﾚさま．

>>215
ＹＯｾﾞﾐｻｲﾄを見たけど，けっこう普通系のものしかないでつよね・・。πﾈﾀはともかく。。
東大で1番難しいのは空間図形だと思いﾏｽﾀ。個人的に。あとは時間との勝負系の問題で・・。

受験終わって申し訳ないんですが最後のお願いが・・。(；´Д｀)
大昔のﾐﾙｸｶﾌｪだったか2ｃｈだったかはわからないけど，解けない問題があるんです。。
数学的帰納法を使う問題なんですけど・・。

数列{a(n)}を次のように定める．
a(1)=3，a(2)=5，a(3)=7
{a(n-3)}*{a(n)}={a(n-1)}^2-{a(n-2)}^2 (n≧4)
このとき，任意の自然数に対して，|a(n)|＜14/√3 であることを示せ．

この問題です。帰納法を使っても出来ないんです(´；ω；`)
おながいします。

>>217
　暇なので頑張るだけ頑張ってみますが。

　ﾗｰﾒﾝ喰い終わったら考えよう。見た感じ普通の問題だが・・・　こけここﾀｿが出来ないんなら怖問でしょーね。

　無理。（投

絶対値を含む不等式の証明で

|a|≧a
|a|≧-a

の２つあるのがよく分かりません。
どうやって使い分けてるんですか？

a_4 = 8
これって14/√3 ギリギリなのね

できんなぁ・・・また今日１日潰れそう(;´Д｀)

>>>222
具体的に問題書いてみて？

>>222
よう意味がわからんが、絶対値を外すときに
何故　|a|=a,-a　の両方があるのかってことか？
a>0なら|a|=a, a<0なら|a|=-a 。
絶対値の定義より明らか。

|x-2|>2x
の解は
x<2/3
ですよね？

これを理快する高校数学のやり方でやると、(上の式はこの本に載っている問題とは不等号の向きが逆です)
|x-2|>2x・・・与式
-2x>x-2>2x・・・(1)
2/3>x<-2・・・(2)
ここで(1)から
-2x>2x
0>4x　すなわち　0>x・・・(3)
(3)より(2)のうち解は
x<-2.のみとなる

だけど、グラフを書くとあきらかにx<2/3が解だし、さらに(2)から
x<-2.かつx<2/3なので（・・・(4)）普通に考えても解はあきらかにx<2/3です...。

なぜこのように解がずれることがおこるのでしょうか？
ちなみに与式から(1)への変形はあってると思います...。上のやり方のどこが間違ってるのでしょうか？
ちなみにこれが
|x-2|<2xだと(理快するに載ってるほう。上の不等号だけが逆になった式については、この本では触れてない)グラフや
(4)のやり方で出したものとぴったり解が一致するのですが...。

上の続きですが、理快する高校数学にも載っている
|x-2|<2xの解き方です...。上と同じ要領で解いていると思うのですが...。
|x-2|<2x・・・与式
-2x<x-2<2x・・・(1)
2/3<x>-2・・・(2)
ここで(1)から
-2x<2x
0<4x　すなわち　0<x・・・(3)
(3)より(2)のうち解は
x>2/3.のみとなる

これはグラフを書いた場合の解(x>2/3)とも一致しますし、(2)から
x>-2.かつx>2/3なので解はx>2/3のようにこれとも一致します。
なのに>>224の上のやり方ではずれる...。なんででしょうか？

>>225
＞与式から(1)への変形はあってると思います
まずいぞ。
真ん中は置いといて左式と右式を見てみろ。
x<0が前提になってる。
(2)の式も書き方がまずいな。採点者には伝わらないだろう。
普通に解答するなら、絶対値の中身が正か負かで場合わけだな。

(ア)x-2<0⇔x<2　の場合
x-2<0　より　|x-2|=2-x
よって　x<2　かつ　2-x>2x　を満たすxの範囲を求める。
これより　x<2/3
(イ)x-2>0⇔x>2　の場合
x-2>0　より　|x-2|=x-2
よって　x>2　かつ　x-2<2x　を満たすxの範囲を求める。
これより　x>2
(ア)(イ)より求める範囲は x<2/3 2<x

かな？

(イ)をまちがえた。
3行目　x-2<2xはx-2>2xの間違い。ごめん。
で、(イ)は解なし。
結局x<2/3か

たとえば、|x|<1 と |x|>1 なんてもんを考えてやるといい。
前者を -1<x<1 とはしても後者を -1>x>1 とはしないだろう。
後者は正しくは x<-1, 1<x となる。

>>227
レスありがとうございます。確かに227さんのように場合分けのやり方が一般的ですよね。
自分もそれでやってるのですが、本に載ってることをもうちょっと拡張してみたくてやってみたんですが、このように行き詰まってしまいました＾＾；

う〜ん、ということは、やはり
|x-2|>2x・・・与式
-2x>x-2>2x・・・(1)
この変形が間違っているのですね？...
x<0が前提となるとなぜまずいのでしょうか？絶対値の定義を度外視しているから？
ところで、上の変形はまずいのに、下の場合はなぜうまくいくのでしょうか？
|x-2|<2x
-2x<x-2<2x
まぁこれは本に載っているのですが、、、。不等号が逆になっただけで、狂いが生じる、、、。
なぜこういうことがおこるのでしょうかね？

>>225
再掲になるけど，絶対値の不等式についてｶｷｺしたことがあるのでｺﾋﾟﾍﾟしときます。
以下，そのときの文章。↓

絶対値って，指導する先生によって，微妙に教え方が違うみたいです。
たとえば，|x-1|=-1という方程式を考えます。
これを「ありえない」と解釈する先生もいれば，「解は空集合」と解釈する
先生もいます。で，後者の考え方を使えば，たとえば，
不等式：|x-a|＜c (a，c∈R) という解は，cが0であってもマイナスであっても
|x-a|＜c ⇔ -c＜x-a＜c・・・★ と変形できます。
c≦0のときは，★ ⇔ x=φ(空集合) となるので，矛盾しないという罠。

不等式や方程式を解くということは，その式が満たす集合を求めることと同値なので，
空集合を認めたほうが応用が利くと思います。

つまり，さきほどの不等式は，
|x-2|＜2x ⇔ -2x＜x-2＜2x ⇔ -2x＜x-2かつx-2＜2x ⇔ x＞2/3・・・答
としても，数学的にはOKです。
ただし！！指導する先生によって，空集合を認めないような人だと
×にされることが多いので，素直に高校生っぽく絶対値の中身の正負
で場合わけしてあげてみてください。先生も喜ぶと思います。

>>231　レスありがとうです
>>229　あ〜なんとなくわかりました。
かなり小学生レベルな質問かも知れませんが、
x<-1,1<x
を組み合わせて
-1>x>1なんて考え方はおかしいでしょうか？
同じことではないのですか？
それから上でご指摘いただいた
a<b>c,という表記やa>b<cという表記は小学校の時に左右(aとc)の大小がわからないから駄目。と教わったのですが
絶対値では左右の大小はたいした問題ではないと思うのですが、、、。
なんかおかしなこと聞いてたらすいません（汗

>>233
『x＜-1，1＜x』という集合と『-1＞x＞1』という集合は全く違います．
後者の方は，
-1＞x＞1 ⇔ -1＞x かつ x＞1 ⇔ x＜-1 かつ x＞1 ⇔ x=φ(空集合)
となります。

>>233　追記
と，ここまでｶｷｺしてきましたが，一番大事なことは>>227さんのｶｷｺした
「採点者に伝わるのか？」という点です。この点を考えるだけでも，
グラフを用いた解法や，絶対値の正負による場合わけの解法のほうが有利だと
いえるので，ｽﾀﾝﾀﾞｰﾄﾞな解法を受け入れてみてはどうでしょうか。
入試においては平凡な（ｽﾀﾝﾀﾞｰﾄﾞな)解法がベストだと思いまつ。

xって集合じゃなくて要素だから
x＝φ（空集合）とかやっちゃいけないのではとか思ってみる。
いや、分かりやすくするためにそうやってるんだと思うんですが…
気にしないでください。自分も良く分かってません。

>>235さん。レスどうもです。
＞　『x＜-1，1＜x』という集合と『-1＞x＞1』という集合は全く違います．
＞　後者の方は，
＞　-1＞x＞1 ⇔ -1＞x かつ x＞1 ⇔ x＜-1 かつ x＞1 ⇔ x=φ(空集合)
＞　となります。　　　　　　　　　　　　　　　↑こいつをひっくり返すと、上の1<xになると考えてる自分は駄目ですかね？(´･ω･`)

x>1と1<xは違うってやつですか？いや、しかし上のように　-1>xをx<-1となってるから大丈夫なんじゃんないですか？
また質問すいません（汗

それから、解法ですが、場合分けやグラフは自分もよく使います。ただこれは解法とは別にどういう意味なのかなぁ？と思ったしだいです。

上のずれてました（滝汗
↑はx<-1を指してますが、その右にある　x>1を指したつもりです。間違いすいません

『x＞1』と『1＜x』は全く同じ集合ですＹＯ．
同様にして，『-1＞x』と『x＜-1』も全く同じ集合です。
ここまでは225さんは正しいですＹＯ．

ただし、ここからが違います。
-1＞x＞1 という集合は，『x＜-1』と『1＜x』を同時に満たしている集合を表わしています。
でも『x＜-1』と『1＜x』を同時に満たすxってないですよね？
つまりこのような実数xは存在しないということなので，
-1＞x＞1が表わす集合は空集合だということです。

追記しておくと
『x＜-1，1＜x』っていうのは正確に言うと『x＜-1 または 1＜x』ってことです。
つまり，xは-1より小さいか，1より大きいってことです。
だからx=-2でもいいしx=3でもOKですよね。

これに対して，『-1＜x＜1』というのは正確に書くと，『-1＜x かつ x＜1』ということです。
つまりxは-1より大きくなければならなく，かつ，1よりも小さくなければﾀﾞﾒというのを表わしています。

したがって，繰り返しになりますが，-1＞x＞1 という集合は
-1＞x＞1 ⇔ -1＞x かつ x＞1 ⇔ x＜-1 かつ 1＜x
となります。「-1より小さくて，かつ，1より大きい」なんていう実数xは
存在しないので，，-1＞x＞1 という集合は空集合を表わしているのです。

はみだしけずり論法とかいうのを一対一の積分で載ってたんです
一応書いてあることは理解できたのですが、あれは答えを確かめる以外に
使用する方法はないですか？

>>233
ついでに『a＜b＞c』という表記や『a＞b＜c』という表記はOKだと思います。
先ほどと同じように
『a＜b＞c』⇔『a＜b かつ b＞c』
『a＞b＜c』⇔『a＞b かつ b＜c』
となります。これが，空集合となるのか，普通の集合になるかはa，b，cの値に
よるというだけの違いです。

>>218これは昔の大学への数学で出題された宿題の問題だよ。

>>244
ｶﾞ━━ΣΣ(ﾟДﾟ;)━━ﾝ
そうだったの？？じゃあ僕が解けるわけない罠(；´Д｀)
出典がわかっただけでも良かったでつ。ありが�dです。

>>245 ちなみに２０００年１２月号。その号で、俺の名がガッコンと、宿題
の両方に載った。あのころはよかったなあ・・・。

>234
-1＞x＞1 ⇔ -1＞x かつ x＞1 ⇔ x＜-1 かつ x＞1 ⇔ x=φ(空集合)

というのは、xの流通範囲を理解していない書き方だと思うが。
φ(空集合) を使うのであれば、
{x|-1＞x＞1}＝{x| -1＞x かつ x＞1}＝{x| x＜-1 かつ x＞1}=φ
とでもしたほうがいいと思う。

ﾎﾟｶｰﾝﾎﾟｶｰﾝ・・・
激易化で、６完だと思ったのに、そうは問屋がおろさないぽ。

>>248 あなたひょっとして大数のモニターやってたひと？

>>249
違いまつ。

>>250そっか。知り合いのモニターと性格が似てたから、てっきり・・・。

>>251
だって、今年現役な受験生でつもん。
性格似てるって・・・漏れと似てたら相当変な香具師だよｗ

>>252 まあ、これ以上某モニターのことをいうのはよすよ。彼の正体と、俺
の身元が特定されてしまう（笑）。

あの、男か２人、女が４人いるとき、
女が２人並ぶ場合の数ってどうやってもとめたらいいのでしょか。
おながいしまつ。

定期アゲ

2^16get

すいません嘘つきました。

要は女二人を男か壁で囲めばいいだけでしょ？

>>254
日本語意味不明
できれば問題文ちゃんと書いてください

所で、条件つき確立で「余事象」ってなんですか？

>>260
条件付き確率に行く前に、普通の確率のところで出てきているはず
簡単にいったら「それ以外」ってことだ
さいころふって奇数が出る事象をＡとすると、
偶数が出るのがＡの余事象で、Ａバー（Ａの上に横棒）と表す

>>261
＿
Ａ　　←これ？
さんくす

>>262
うん。それ

>>256
warota

＞こけこっこさん
さんくすですよー(*´ω`*)
やっと意味がわかりましたぽ。あふぉでごめんなさい。
今日数学の先生にも聞いたのですが、
a<b>cとかa>b<cとかはなぜ駄目かっていうことなんですが、小学校ではa,cの大小がわからないから駄目。と教わりました。
しかし、表記すること自体が間違っていたのですね(；ω；)
a<b>cの場合はa<bかつa>c・・・(1)かつa<c・・・(2)と言う意味らしく、(1)と(2)があきらかに矛盾なのでいけないのですね(;ﾟДﾟ)
a>b<cもまたしかりということですか。本当にありがとでした(´･ω･`)

＞a<b>c
関連質問なんですが
ですがこの不等式が示す意味を重複なくこまかく書き直すと
a<bかつa<cかつa>cかつb>c
これで全部ですかね？

>>226
a<b, b>c だけ

>>266
a＜bかつb＞cだと思われ・・。

関係ないけど岡大の問題をやってみますた。
＜問1＞
(1)a=(r+3s-t)/6，b=(r+s)/2，c=(2r-6s+t)/6
(2)f(x)=t*{x(x+1)(x+2)/6}+s*{x(x-1)(x+2)/2}-t*{x(x-1)(x+1)/6}
となって，x(x+1)(x+2)，(x-1)x(x+1)は6の倍数，x(x-1)は2の倍数だから・・(以下略
とやりますた。
＜問2＞
(1)n回出会う。　(2)n=4L+1 (L=1,2,3・・・)
(3)A(cosθ，sinθ) としてθの範囲は
π/8≦θ≦π/6，3π/8≦θ≦π/2，5π/8≦θ≦5π/6，7π/8≦θ≦9π/8，
7π/6≦θ≦13π/8，11π/6≦θ≦15π/8 となったんですが・・。
＜問3＞
(1)F((1+i)α-iβ)，H((1+i)β-iγ)，J((1+i)γ-iα)
(2)P(p)，Q(q)，R(r) とおく．P，Q，Rは，それぞれ線分BF，CH，AJの中点であるから，
　　p=(β+f)/2={(1+i)α+(1-i)β}/2
　　q=(γ+h)/2={(1+i)β+(1-i)γ}/2
　　r=(α+j)/2={(1+i)γ+(1-i)α}/2
　　よって，|q-α|=(1/2)*|(1+i)β+(1-i)γ-2α|

　　　　　　|r-p|=(1/2)*|{(1+i)γ+(1-i)α}-{(1+i)α+(1-i)β}|
　　　　　　　　 =(1/2)*|-(1-i)β+(1+i)γ-2iα|
=(1/2)*|i|*|(1+i)β+(1-i)γ-2α|
　　　　　　　　 =(1/2)*|(1+i)β+(1-i)γ-2α|
　　であるから，|AQ↑|=|PR↑|．
　　また，(r-p)/(q-p)=i であるから，arg{(r-p)/(q-p)}=90°
　　∴AQ↑⊥PR↑．

となりますた。

>>265
a＜b＞c と表記することは正しいですＹＯ．
この表現自体に矛盾はありません。
たとえば，1＜3＞2 としてみればOKでしょ？

要するに，『a＜b＞c ⇔ a＜bかつb＞c』・・・★
ということです。この不等式が「成立する」のか「成立しない」のかは
a，b，cの値によるということだけです。
★のように同値変形できることは知ってますか？
ここら辺は必要条件・十分条件のところを良く見ると理解できると思います。
あと，「かつ」と「または」の違いなどをよく調べてみてはどうでしょうか？

>>267,>>268
ｶﾞ━━━━━━━━(ﾟДﾟ;)━━━━━━━━ﾝ!
てことは数学先生が言ってたことは違う？ってことですよね(´･ω･`)
てことはa<b>cの表記がいけない理由はやっぱa,cの大小がわからないから？？
けどこれって絶対値とあんま関係ないような・・・

>>270
普通しないってだけでは？

>>269
誤爆スマソ。けど小学校でやってはいけない習ったんですが...俺だけ？
数学の先生も駄目ていってましたし(´･ω･`)

>>265
＞a<b>cの場合はa<bかつa>c・・・(1)かつa<c・・・(2)と言う意味らしく、(1)と(2)があきらかに矛盾なのでいけないのですね(;ﾟДﾟ)

これ，数学の先生がﾏｼﾞﾚｽで言った事だとしたら，その先生かなり疲れていたのかも。(；´Д｀)

>>270
その通り。絶対値とは別段関係無い。
＞a<b>cの表記がいけない理由はやっぱa,cの大小がわからないから？？
いけないんじゃないんだって。
一般的じゃないからわかりにくいだけ。
あと、入試で使うとコイツわかってかいてんのか？って思われて危険かも知れないってだけ。
受験のために数学教えてる先生ならそう教えるのも正解じゃないか？腑に落ちないが。

漏れはa,c<bって書くなあ

結局、普通はそう書かないってだけでしょ。
「a<2-√2，2+√2<a」を「a<2-√2，a>2+√2」と書かないのと同じで。

>>272
a＜b＞c という不等式を使う身近な例として数列の最大値の問題があります。
たとえば，前ｽﾚで出た問題にこういうのがあるんですが・・。

(1) n人をA，Bの2組に分ける．ただし，A，Bの各組に男性も女性も少なくとも1人は入るものとする．
　　いま，n人のうちk人は女性，n-k人は男性であるとして，このような分け方の数をn，kで表わせ．
　　ただし，n≧4，2≦k≦n-2 とする．
(2) (1)において，分け方の数が最大となるようなkと，そのときの分け方の数を求めよ．

この(2)の解答をするときに，
f(1)＜f(2)＜・・・＜f(m-1)＜f(m)=f(m+1)＞f(m+2)＞・・・
のような表記方法を良くとりますよ。

不躾を承知で先生に突っ込むと、1+1=2>0 の意味するところは
1+1=2かつ1+1=0かつ1+1>0かつ2>0か。

>>277
そういえば、その時はそう書くな。
>>275のはあんまりよくないと思う。
厳密にやるなら、「，」も使わず、「かつ」「または」を使った方がいいね。

勝俣は

>>280
不覚にもﾜﾗﾀ

>>270
？？？
>>273
すいません。実は先生が言ってたのはちょっと違うことかもしれません、詳細はこうです、、、。
昨日質問させていただいた、
-1>xかつx>1ってのを先生に
なんで-1>x>1ってしたら駄目なんですか？って聞いたら
両端見ろ。-1>1なわけないだろ　といわれたので不等式は両端どうしを組み合わせてもいいのかなと解釈して、
だからa<b>cやa>b<cは並んでるのはそれぞれ逆向きの不等号だから{(例えばaのすぐ隣の不等号で考えてa<cでもあり,bの右隣の不等号と考えてa>cでもあると考えて)←実際この考え方がおかしいんですよね(´･ω･`)}
矛盾してるのかなぁと考えたわけです(´･ω･`)

表現しづらいんですが、xの範囲が両方から限定されて一定の範囲に決まる時に>>という並べ方や<<という並べ方ができるってやつですよね。
xがある範囲を除いてその両方へ無限に続いていくことを式で示す場合には>>こうやったり<<こういうふうにひとまとめに並べられないってやつですか。。。(´･ω･`)

途方もなくあほですね漏れ(´･ω･`)

>>274　やっぱ関係ないですよね(´･ω･`)小学校の恐怖
>>276　普通はそのように書くのですかぁ。覚えときます。根拠とかあるのですかね(´Д｀;)？
>>278　なるほど！確かにそうですね(;ﾟДﾟ)先生に行ってみます

>>282
先生が言ってるのは、xが空集合になってｲｸﾅｲって話だから、
高校数学の立場で見れば、式自体が矛盾をはらむことになる
a<b>c
とは、若干違う話だと思われ。

>>282
>>276は、根拠というかなんというか。
そう書くと数直線にそのままポンっと置けるから見てて気持ち良い、と。

もちろんx<0と0>xは同じものだが区別して書くことにするとニュアンスが変わってくるな。

>>283をもうちょっとわかりやすく書くと、

(ア)-1>x>1
(イ)a>b>c
(ウ)d>e<f　　を考える。

(ア)⇔-1>xかつx>1
(イ)⇔a>bかつb>c
(ウ)⇔d>eかつe<f

「これらを満たすx,a,b,c,d,e,fが存在するとすると」、
「結果的に」(ア)は-1>1、(イ)はa>cと書けるが、(ウ)ではdとfの大小を言う事が出来ない、と。

かなり話ぶっ飛ばしてしまいました。すいません。結局自分が質問したかったのは
|x|<A⇔-A<x<A　ですよね。
こういう定理があるなら|x|>Aこっちは-A>x>Aでもいいんじゃないかな。と短絡的に考えちまったのですが
なんか、その、、、。なんで　絶対値<〜　こっち向きの時だけすぐ変形できて　絶対値>〜　こっちの時はすぐ変形できないのかな？
と思いました。ぶっちゃけあるのでしょうか？
なかったとしたらなんでこうゆうことが起こるのでしょう(´･ω･`)自分は絶対値の性質というか定義に問題があるのではないかと思うのですが...。
絶対値はなんでも正になる　っていう、、、。ここらへんお願いします。

>>283　やっぱちょっと話しが飛んでました(´･ω･`)結局a<b>cとかa>b<cとかは　変　な書き方だけどありうる場合もあるってことですね
>>284　あぁ確かに書きやすいかも。ニュアンスですか、、、。難しい(´･ω･`)

「-1>x>1」-�@という式が意味することは、
「xは、-1>x>1を満たすものである」だから、
「-1>1」-�A、つまり「-1>1という式は正しい」とは意味が違う
�Aは偽であるが�@には真偽の概念はない

だから�Aとは書けないが�@とは書ける

>>286
君これ滅茶苦茶だよ・・・
|x|>A⇔x<-A,A<x
ってのは、絶対値の定義からの帰結・・・

>>286の
＞ぶっちゃけあるのでしょうか？
ってのは
|x|>A　のときでも|x|<Aの時みたいに一発変形みたいなことは可能なのでしょうか？
ってつもりでした
説明不足ごめんなさい

>>289
そろそろ教科書を読む時間じゃないかと。

>>289
絶対値＝数直線上で、原点からの距離
と捉えれば、分からないかな？

BJ ◆tLGj6yfJqI って東大生？

BJ ◆tLGj6yfJqI って何学科？

>>290
tyu-bo-なので教科書ないです（；´Д｀）
>>287,>>288
あ、なんとなくわかったっぽいです。誤爆の予感もあるが...。
|x|>A　を　x<-A,A<x　と変形することは可能なのですね。
そしてそれを多少変な書き方ではあるけど、まとめて
-A>x>A　とすることも可能なのですね。
けどここから　-A>A　とやるのがまずいということなんですね。

間違ってたらまたご指摘お願いします。

>>294
違う。
まとめた時点で、-A>xかつx<Aとなる。
しかし、本当の意味は-A>xまたはx<A

>>294
変形というか、わざわざ書き直さなくてもそう見えるようにしよう
そして、まだわかってねぇのかこの（ｒｙ

x<-A,A<x　は　x<-A「または」A<x
-A>x>A　は　x<-A「かつ」A<x

そもそも-A>Aは駄目な式じゃない
「Aは負数である」ということを表しているだけ

>>295
なるふぉろ（；´Д｀）
てことは|x|>Aの時にはすぐに　-A>xまたはx<A　とできるのですか。
けど、それをひとつのにすると意味が違うと。

理快する高校数学って本で
-A<x<A　から　-A<A・(1)　てしてたんですが、(1)は確かに式的にはあってるけど、
>>287さんのいうとおり、こういうことをするのはいけないってことなんですよね(´･ω･`)

a<b<cの表記の意味するところは、
a<b かつ b<c　の略記です。
実数の不等号「<」以外でも同様。
例えば、△ABC∽△DEF∽△GHI　とは
△ABC∽△DEF　かつ△DEF∽△GHIの略記。
これが数学地方の方言。

>>298
今日はもう疲れたろ。一日眠って明日紙とペンでも持って読み返しな。

>>298
前半
|x|>Aの時にはすぐに　-A>xまたはx<Aとできる
ちょっと違って、|x|>Aは
（x>=0かつx>A）または（x<0かつ-x<A）を意味します。

後半
どのような文脈で使われたのか分からないとコメントできかねます。。

>>301
こらこら。それはやばいぞ。全然違う。
Aに具体的な数字入れて試してみな。

>>298
ちょっときつい言い方かもしれないけど、
もう少し数学的に理解するよう勤めたほうがいいかと。
なんだか必死に暗記してるように見えるけど、
絶対値の意味とか、式の並列が何を意味するのかとかは、
覚えるんじゃなく理解すべきでは？

>>301
あ、（x<0かつ-x<A）が（x<0かつ-x>A）の間違いなのか。それならよし。
しかし-A>xまたはx<Aで十分だと思うんだが・・・

ごめん向きが違ってたね。。

（x>=0かつx>A）または（x<0かつ-x>A）

>>304
まあそうなんですが、彼が絶対値の定義をちゃんと理解して言っているのか
不安になったので・・・

>>303
今まで必死でいろんな式の意味考えてたつもりなんですが
暗記に従事してるように見えたらすいません。当方の力不足です。

>>301
後半の部分ですが本では
|x-2|<2x　という問題を下のようにして解いていました。
-2x<x-2<2x・・・(1)
x>2/3,x>-2・・・(2)
ここで(1)から
-2x<2x
0<4x　すなわち　0<x・・・(3)
(3)より(2)のうち解は
x>2/3のみとなる

それで聞きたかったことは
＞ここで(1)から
＞-2x<2x
この部分なのですが>>287さんが言うようにこのような変形は駄目なのですよね？という質問です

>>307
あえて質問させていただきます。
なぜ「あなたは」だめだと思うのですか？

>>307
定義を覚えるにしても、より考えやすいようにかみ砕いて覚えるべし
さっきも言ったとおり、絶対値＝数直線上で原点からの距離って具合にね。

>>184の問題の類題として、今年の京大の第６問があります。
興味のあるひとは、下のリンクよりどうぞ。結構おもしろかったですよ。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/kyoto/zenki/index.html

だなあ、漏れも少し寝ぼけてるから結構無責任に書いてるし、
数学は他人の言うことを鵜呑みにする学問じゃない。

漏れが287で書いたことから
＞ここで(1)から
＞-2x<2x
この部分なのですが>>287さんが言うようにこのような変形は駄目なのですよね？

となるのは自分の頭で考えてない証拠だよ

>>306
絶対値の定義をどんなふうに言葉にするかで解釈は変わってくるが。
x>0で|x|=x, x<0で|x|=-x と解釈すれば303のようにするのもわかるが、
|x|=(原点からxまでのｷｮﾘ)　とかなんとか解釈すれば304のようにできるだろ。

http://tmp.2ch.net/test/read.cgi/joke/1046356714/l50
このスレにいる人たち馬鹿ですよね？数学得意な人教えてあげてくださいよ。

>>308
あぅ、わかんないです(´･ω･`)
もしかしたらできるくさい気がしてきたんですが。
なんか自分>>287さんの言ってること誤解してるかも(´･ω･`)

>>313ああ、この問題早稲田の文学部の問題だよ。答えは１０/４９が正解。
「はっとめざめる確率」ｐ２０９に全く同じ問題がのってるよ。

みなさんの言うとおり確かにあんま考えてるつもりで考えてなかったんだと思います。
質問された時　あ〜考えてなかったなぁ　って感じでどきーりしました。
今日はもう寝ますです。遅くまでありがとでした

>>316
|?|<xって時点で、xは正なんだよ？
それを１からってやってるその本は、間違ってないけど分かり難いような気もした。

>>315
早稲田の文学部だったか。でもこんなの誰が考えても明らかなのに
４分の１だって言う香具師がいるんだよ。なんでだろう？

しかし、知らない間にスレがうまってんな。なんで？
>>318おそらく条件付確率と確率（わけるのも変だが）の理解がたらないのでは？

>> |?|<xって時点で、xは正

まじっすか！

ＢＪさんは東大生なの？学部教えててＺふせとへ！！

>>320
|?|は正or０だもの。距離なんだからｱﾀﾘﾏｴ

昔の某大学の入試問題で

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

解答は1/4らしいのですが10/49ではないでしょうか？

>>321おちつこう。で、なんだって？

>>312
なるほど、そういうことか。ごめんよ。

>>323,>>315参照

>>326
あ、すいませんでしたm(_ _)m

>>292=>>293=>>321

>>318
＞誰が考えても明らか
2chには小学生だっています。
小学生と言えば、掛け算が分からなかったりする人もいます。方程式も習いません。
ならこの問題が分からなくても何の不自然もないでしょう。

>>329
お、おちけつ！

>>330
うーんごめん。
でも、分からない人を馬鹿扱いするのは嫌いなんですよ。

だまって京大の過去門でも解いてみます。６番がおすすめらしいし。

Ｎチームが総当り戦をしてなんたらって奴？
漏れもやってみようかな。第一番の不甲斐なさに腰砕けして二番いこうは解いてない。

BJ氏よ。これはという問題は？

>>332
5と6だけやればﾖｼなセット。
漏れは５完１半ですた。

>>333来るのはや！う〜ん、まだ今年度のは東大京大しかといてないからなあ・・・。
俺は基本的に解いた問題はすぐ忘れるんで（笑）、みつけたらのせますよ。

>>335
名古屋の４ｂｵﾓｼﾛｲで

>>332たしかに・・・。１番は風呂にはいりながら暗算でとけるほどのものだった・・・。

オタにとって慶応理工数学は難しくないか？

はじめまして。数学を中学レベルからやり直したいんです。
中学校１年の頃から、私立文系３科目入試を目指して、数学を全くやってきませんでした。（もちろん留年しない程度にはやりました、でも忘れてますｗ）
そして高校２年からは、数学の授業すらありませんでした。
科目は、数I・II・Ａ・Ｂです。どーいう参考書がいいか、教えて下さい、お願いしますっ・・・・
数学ってどうやって勉強するものなのか、全く分かりません。

・・・なんじゃこりゃ〜

>>335
東大京大は簡単なのしかなかったね。阪大の４番は面白いかも。

>>337
漏れもﾋﾞｸｰﾘしました。しかも、去年の１番を簡単にしただけという・・・

>>338
去年まで３年間は難しかった。
今年は普通。

ああ、名大の選択問題ね！俺も見てハア？とか思ったわ。
これって零点か満点かって採点なのかな。解いた奴いるんか？

>>341ほんとだ。代ゼニいわく「難」らしい。といてみるか・・・。

>>343
難しいといっても京大数学と比べると易しいだろ？

ってか、京大理系の１番って数２までで解ける？

>>346
２０００年は京大の方が異常に難しかったけれども、それ以降京大の方が簡単。
理系の１番は数１で解けまつ。

>>345
誘導なしだと難かもね。

>>346今年の京大１番は数２までで十分（というより、基本的な指数対数法則をしってれば
いいだけ）。難易度は、大数的にいえばA**かな？

>>347
あ、logやらないか・・・ﾎﾟｶｰﾝ。
いや、でも、一般項をlogのままほっとけば１で逝けるなｗ

忙しそうなので後で聞こー

>>351とりあえず教科書を読むこと。

ヨゼみの３行目のｎってどこからでてきたん？
やはり、文系にはきついぜよ

>>353
アレはパターン。
というか、去年の理系数学で全く同じ変形を使う問題があった。

でも、an/an-1 * an-1/an-2 *・・・を考えても出来ます。

でた

an/an-1 * an-1/an-2 *・・・ってどんな問題で使うんだったっけ？

>>356
あんな問題。

分数の
an/an-1＝n-1/n+1って形が出たときだよな？

(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+....+(1/n-1/(n+1))
の掛け算バージョン。

>>358
もうちょっと一般化すると、
an/an-1=(n-p)/(n-q)の時。
更に広げても良いけど、流石にあんまり意味が無くなるので。

もう寝る・・・。

京大４番がわからねー(;´Д｀)
まだ解答見てないけど。簡単？

あ、ヒントは無しでお願い

理系の方です

>>362
分かってる人なら。

>>362簡単。よくある問題。じゃ、おやすみ。

さて。
何で４番分からなかったか、１時間前の俺に激しく問いつめたい。小一時間問いつめたい。
お前問題読み違えてたんじゃないのか、と。

寝ます・・・

>>339
まず中学校の数学から始めよう。
別に馬鹿にしてるのではないよ。
特に図形。

青チャートＡの例題７６（２）
三角形の３辺の長さが小さい順に等比数列をなすとき、その公比ｒの満たすべき条件をもとめよ。

最も小さい辺の長さをａとすると、３辺の長さはそれぞれａ、ａｒ、ａｒ＾２とかける。ただしａ＞0
２辺の和は第３辺より大きいので　ａ＋ａｒ＞ａｒ＾２　　ａ＞０よりａで両辺を割ると
１＋ｒ＞ｒ＾２　この不等式を解くと（１−５＾１／２）１／２＜ｒ＜（１＋５＾１／２）１／２となる。
問題文に『３辺の長さが小さい順に』とあるのでこの三角形は正三角形ではない。
ａ＜ａｒ、ａ＜ａｒ＾２となる必要があるので公比は１より大きい。
よって求める条件は１＜ｒ＜（１＋５＾１／２）１／２　になると思ったのですが、
青チャートの解答は１≦ｒ＜（１＋５＾１／２）１／２　と書いていました。
その理由がよくわからないので教えてください。

>>368
文字通り、「小さい順に」を広義に捉えただけだと思われ。

>>368
『３辺の長さが小さい順に』の解釈が微妙。
ぶっちゃけ、問題文が悪い。
「三辺の長さが異なる三角形〜〜」にするべきだと思う。

確かにaはbより小さいって言ったら、a≦bではなく、a＜bだけど。

多分、どっちでも×はされないと思われ。

＞大数ｵﾀさん
＞370さん
ありがとうございました。

>>371
さっきは確率の問題ありがと。おもしろかったよ。

r=1を許容するのなら正三角形になって
「３辺の長さが小さい順に」という前提に反する。

例の信州大学目指している高2の人元気かな。
俺は�VＣを勉強しといた方がよいと思ったが。

高１の三角比のところなのですが、よろしくお願いします。

学校で配られた教科書補助用のプリント。
「θは鋭角で，sinθcosθ=1のとき，sinθ+cosθの値を求めよ」
「(sinθ+cosθ)^2 =3から，sinθ+cosθ=√3」
とすれば解けるのは分かるのですが、かけて１、たして√3になるような
三角比なんて存在するのでしょうか？
はじめに、「θは鋭角で」というからには、きちんとそういった三角比が
あるのかとも思うのですが、どうしても見つけられないです。

>>376
確かにないねぇ・・・うん。

>>376
本当にあるかどうか確かめてみればいい
sinθ+cosθ=√3,sinθcosθ=1だから、解と係数の関係より
sinθ,cosθはtに関する二次方程式

t^2-(sinθ+cosθ)t+sinθcosθ=t^2-√3t+1=0

の二つの解に相当する。
ここで判別式Ｄ＝３−４＝−１＜０
よってこの方程式を満たす実数tは存在せず、すなわちsinθ,cosθも存在しない（汗

そもそもsinθcosθ=1っていう条件の時点で存在しないんですよ。なぜなら
-1≦sinθ≦1,-1≦cosθ≦1だから、条件を満たすのは
(sinθ,cosθ)=(1,1),(-1,-1)
であって単位円を書いてみればこれをみたすθが存在しないことがすぐわかります。
ようするに答えは「存在しない」

でもたいていの場合存在して、上のような方法でθをもとめられますよ。
勉強がむばってください。

ココの方は確率の分野はどのようにして勉強されました？
確率だけはどうしても苦手(＆勉強する気になれない）でして･･･

>>376
それはきっと三角比ではなくて論理の問題だ。この問題は
　命題「θは鋭角で，sinθcosθ=1のとき，sinθ+cosθ=k」
が真であるためのkの必要十分条件を求めよ、ということ。
　θが鋭角　かつ　sinθcosθ=1
という前提条件は偽であるからkは任意の複素数値となる。


もちろんこれはメチャクチャな話だからですから、鵜呑みにしないでね。
でも一応論理はやっておいたほうがよいとおもうよ。一年生なら特に…。

＞sinθ+cosθ=√3

合成すると
sin{θ+(π/4)}=√(3/2)>1

・・・・

>>376
というかsinθcosθ=1の時点であり得ないだろ。
|sinθ|≦1、|cosθ|≦1 で等号は同時に成り立たないし。

>>379
確率の基本は場合の数だね。
あれは独特の考え方があったりするから、まずは問題演習でそれに慣れること。
あとは、余事象とかをうまく利用できるようになることかな。
勘違いしやすい分野だから、間違えた問題はどこが違っていたのかよく吟味すること。

>>380
矛盾からは何でも導けるという話ですね

ふと思った。
矛盾からは何でも導けるわけだから・・・
>>376 はどんな値でも取り得ることになるのか

>>380 の様に必要十分条件を考えれば別だけど

>>379東京出版からでている、「はっとめざめる確率」（安田亨）を薦める。

>>385
激しく同意。
昨日のスレの馬鹿やりとりしてる香具師も、あの本を読めとｗ

>>386
昨日のスレって何？
トランプのやつのことか？

それはそうと、あれから立ち直ったみたいだね。

うーむ。あの問題がマジでわからない香具師は何読んでもきついような
気がする。

>>388
あれって10/49でいいんですよね？
なんか、不安になってきた。

>>389
10/49じゃないと思う香具師は、
外でスクワット１０００回やって戻ってくるべきなぐらい10/49だから安心汁！！

>>390
ああ、良かった。
もっと問題を単純化して考えれば簡単だよね。
学歴板に書いてきたけど。

>>386:大数ｵﾀ
さっきも言ったけど
分からない人を馬鹿呼ばわるするのはやめろって・・・。
イジメと同じだって言ったろ？

漏れはずっとあっちで10/49を主張し続けたが
ドナとかいう電波に付き合ってられなくなった

>>392
そうでつね。配慮がたらなんだ (´･ω･`)

というか、馬鹿やりとりってのは、ﾙｰﾌﾟ議論の事なんだけどね。

>>393
釣り氏じゃないのか？

学歴板行ったの半年ぶりくらいだ。

>395
一回もいってねぇやｗ
.....そろそろ別板復帰したいっす…

>>395
漏れも、初めて逝きますた。
なじめそうにない悪寒。

>>396
オレはここと数学板以外ほとんど行かないけど。

>>397
なじまないほうがいい。釣り師が多いような気がする。大学１年生が
よく釣られてるイメージが・・・

>>399
漏れも、なじまない方がいいと思いますた。
ああ、受かってると良いなぁ・・・

数学だけしか頼れる者がなくて不安過ぎ。

>>400
数学できる人ってたいてい物理も得意なのにね。

俺も受かったら他板行きたいな〜。

>398
数学スレは行きますね。
人生ネタは面白かったっす。
最近下火ですが。
あとはマ板とかム板とかun...板とか…

>>400
実は、数学得意になったのが半年前くらいだからね。
物理まで得意になる暇が無かったという罠。

>>402
漏れ、ｷﾝﾀﾏﾈﾀ好きｗ
１の分析にﾜﾛﾀ。

数学記号の読み方を教えてください。

y=x/[x]は、ワイ・イコール・エックス・オーバー・ガウスエックスと読むんでしょうか？
lim[x→0]f(x)は、リム・エックス・ヤジルシ・ゼロ・エフエックスと読むんでしょうか？
Σ[k=1,n]a(n)は、シグマ・ケー・イコール・イチ・カラ・エヌ・エーエヌと読むんでしょうか？

>>400
数学それだけできればオレレベルから見たら神。

>>402
人生ネタ？わからん・・・某大学のスレと各分野のスレくらいしか見てないんだ。

>>404
一番下は、a(k)の間違いじゃないのかと（ｒｙ

というか、伝われば何でも良い気もｗ

>>404気にせぬ方が吉

limはリミットって言うような。
[x→0]とか[k=1,n]はいちいち言わないことが多いと思う。
あと、大学ではlogをログと略さずロガリズムと言う人が多いらしい。

>>406
確かにエーケーだたw
>>407
確かにそうかもしれませんね。
まだ厨房なので授業でセンセがどう読むのか聞いたことがありません。
厨学のセンセに月曜日に聞いてみます。

>403
数学板あんまり読みこんでないんですけどね
あそこは面白いネタ多いですね
山口人生先生のスレでふ
http://science.2ch.net/test/r.i/math/1042857294/i
去年あたりのが一番おもろかったっす

>>409
チューボなのか。
最近、凄い厨房が多くて困るなｗ

logを10gと読むと、将来数学者になれるかもよｗ

>>408
limはlimitの略だたんですか。厨房なので知りませんでした。勉強。
logってロガリズムって読むんですか。なんかエチぽい。

>>410
これオススメ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043393891/l50

厨房だろうと天皇陛下だろうと知らないものは知らない
調べろ

という名言をどこかでみたことあるな。

>>412の思考回路
ロガリズム＝よがり＋オルガズム

実際は、みんなけっこう適当によんでると思う。

logって底書いてないとき
eなのか10なのかわからん。

>>416
数学ではe。化学では10だとおもっとくと、高校の内は転けない。
大学に入ると、そもそも記号が違う罠。

>413
まったく関係無い質問に数学的記述をするスレの出張版みたいな感じだね

>>416
一般的には数学では自然対数(底がe)、化学では常用対数(底が10)を使う。
ただ、数学でも、桁数に関する問題の場合は常用対数を使うことがある。
紛らわしい場合は、きちんと書くべき。

>>415
単に、ロガリズム≒ロリズム　という思考でした。
ところで、「≒」ってなんて読むんですか？
f(x)≡g(x)の「≡」もお願いします。

lnですよね。
実は大学生です。

一辺の長さが1の正方形に内接する正三角形があり、
この正三角形の頂点の１つは正方形の頂点の１つと一致している。
この正三角形の一辺の長さと面積を求めよ。

>>422
まずは、図を書こう。
角度が15,75,90の直角三角形ができるので、x*cos15°＝1を解けばよい。
中学生なら、もう一つの直角三角形（直角二等辺三角形）を利用して三平方の定理から式を二つ作って解くという方法もある。

>>422
(-1+√3)/2 かな？

-1+√3　だた。

>420
nearly equal だったかな

>>420
下は漏れの場合、恒等的に等しいとか読んでる。

>>426
ありがと。ニアリー・イコールですか。なんかカコイイ。勉強。友達に教えてあげよ。
>>427
なるほど。英語ではなんて読むんですか？

読み方（日）http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/suusiki/suusiki.htm

連発ですみませんがまたお願いします。

↑ABは、ベクトル・エー・ビーとエー・ビー・ベクトルのどっちですか？

>>429
ぅおおおお！　ありがとございます。

英語のも見たことあるんだけどどこにあるか行方不明。
ちょっと時間割いて自分でググッてくれ

>>425
正三角形の一辺は√2(√3 - 1)＝√6 - √2 にならない？
面積は、この流れだと、正方形から三つの三角形の面積を引く方が楽かな？
答えは2√3 - 3

>>433
スマセン。
直角２等辺三角形の等辺の長さを求めてました。
√2をかけなきゃだめだた。厨房でスマセン。

422です。ありがとうございますた。

大数ｵﾀ ◆A83HFe2piY君、学歴板でやってた３囚人（サーベロニの問題）の答え
は君のいうとおり、２/３だ。同様に確からしい、てのは難しいなあ。俺は相当
頭がこんがらがったよ。

>>436
やっぱり・・・
相当ﾋﾞｸｰﾘしました。

昨日、三角比のこと聞いた者です(sinθ+cosθの話)。
だいたい考えていたような回答だったので、安心しました。
ありがとうございました。

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
-------------------------------------------------------

上のほうで出ている学歴板のスレってどこなんだろう。

ちなみに>>439の書き込みは全く違うところでﾊｹｰﾝした。

というのはウソで、確率において「神は順序を交換できる」ものらすぃ。

52枚からダイア3枚除いた49枚（うち10枚のダイア）から1枚のダイアを引く確率。

その罵倒スレURLｷﾎﾞﾝﾇ

>>439
それ、確か漏れが昨日青チャでやったヤツだ

答えだけでいいなら
10/49

>439-442
勘違いかもしれませんが同一人物なら
もう少しおちついて話をしてください
話題が二つ入り乱れている気がします。

神が確率の順をいじった訳ではなく
カードを見て確認してしまった時点で
確率を求める際の条件が付与され結果1/4でなくなるわけです。
つまり三枚避けておいても未確認ならば依然1/4のままです。
数Bの条件付き確率というアレです。

ｷﾀ━━━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━━━!!!!
http://tmp.2ch.net/test/read.cgi/joke/1046356714/207

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046361820/
http://gamble.2ch.net/test/read.cgi/pachi/1046354735/

香具師等は同様に確からしいかどうか、検証しているのかと・・・

１５本のくじのなかに当たりくじが２本ある。まず、Aが５本まで順に
引き、ｋ本目（１≦ｋ≦５）に初めて当たったら、引くのをやめて、残ったくじ
から、５−ｋ本の空くじを取り除く。５本とも当たらないときも引くのをやめる。
・・・（今回の質問とは関係ないので以下略。）

という問題で、解答はAの当たる確率を１−Ｐ［１３.５］／Ｐ［１５.５］＝４／７
となっているんですが、
１、Ｐ［15.5］だと当たり２個の場合も含んでしまう（実際１つ１つ計算して確認済）
２、この式だと全部はずれの場合を除いただけで、当たり２個の場合や
　　○××××のような場合がのこってしまう。
３、しかし適する場合をすべて地道に計算していくと確かに４／７になる。
これらのことがわかりません。教えてください。。。

>>448
当たり２個や○××××が残っても問題なっしんぐ。

逆に取り除いてしまうとどうなるか？
○
×○
××○
×××○
××××○
の「５通り」しか残らない。
この５通りは同様に確からしくない。

む？
まずい。説明が下手だ・・・

下手とかそういう問題じゃあないな。言ってることめちゃめちゃだ
他の人にパスっ

>>448

辺り１本目が出た時点で引くのを止めなかった場合の事を考えてください。
５本並べ立てます。それから、ｱﾀﾘが始めに出た以降を隠します。
つまり
××○×○
などと並べて、４つ目以降は無かったものとするとして考えるのです。

>>452
補足。
つまり、Aが当たるか否かは、○が出るかどうか（個数は関係ない）に左右されるわけ。
ならば、取りあえず５回まで選ぶことが出来るのだから、
５回分引いてやってから、ｱﾀﾘが出た後の何回かを、戻してやれば良いんです。

命題：円周率 π が 3.05 より大きいことを証明せよ

【証明】
　√2 < 1.415 ・・・ (a)　　　　3.05^2 = 9.3025 ・・・ (b)

　半径 r の円 C に内接する正八角形 S の一辺の長さを x とすると
　余弦定理より
　　　　　x^2 = r^2 + r^2 - 2・r・r・cos ( π / 4 ) = ( 2 - √2 ) r^2 ・・・ �@

　また 円 C の円周の長さ 2πr は 正八角形 S の周の長さ 8x より長いことは自明
　だから
　　　　　2πr > 8x
　つまり
　　　　　π＾2 > { 16 ( x^2 ) } / r^2 ・・・ �A

　よって �@�A と (a)(b) より
　　　　　π＾2 > { 16 ( x^2 ) } / r^2 = { 16 ( 2 - √2 ) r^2 } / r^2
　　　　　= 16 ( 2 - √2 ) > 16 ( 2 - 1.415 ) = 9.36 > 9.3025 = 3.05^2
　
　　　　　　　従って
　　　　　　　　　　　π＾2 > 3.05＾2
　　　　　　　ゆえに
　　　　　　　　　　　π > 3.05

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴円周率 π は 3.05 より大きい

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D

友人にメールで出題されたんですが、証明はこれでOKでしょうか？
誰か添削お願いいたします。

○が出たかどうかで分けるってことですか。
わかった！気もしてきたが、
いつ、このようにやっていいのか、怖さも感じる。何かなぁ
ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

>>454
問題ないと思います

>>確率の人
確率の問題を解くに当たって重要なのは、
考えやすいように事象を再構成してやることでつ。
一定のルールを決めてやることで、
題意と同じ試行が実現できる場合、そっちを考えると徳だったりね。
もちろん、同様に確らしい必要はあるけど。

>>灯台６番
円周率の定義を明確にしないと、場合によってはトートロジーになる悪感が。

>>456
○が一つ目に出て終わる確率は2/15というふうに計算したんでしょう
これは「一つ目に引くくじが15本のうちのどれであるかは同様に確からしい」
と考えています

対して○××○×というチャートの解法のようにする場合は、
「最初の5本のくじの並べ方がP[15,2]通りのどれであるかは同様に確からしい」
と考えています

神田うの氏ね

基本問題なんだが、よくわかんないので…

第n項が次の式であらわされている数列の極限を調べよ

・sinNπ
・cosNπ
・tanNπ

なっとくのいくように解説してください。

周期関数だから収束しない

折角なので、収束する問題を
lim 　Isinπ(9n^2　+2n　+1)^(1/2)I
n→∞

>>461
漏れもそう思ったんだが、
sinは０に収束
cosは振動
tanは０に収束
らしい。
なんでか教えてほしい。

sin(nx)とかだよね？
sinが収束してcosが収束しないなんて・・・なんか勘違いしてるのかな。

Nが整数　なら　常に　sinNπ=0　tanNπ=0　だからです。

>>464
πだよ。xじゃなくて。

あ、そうかπか。>>465の通りだね。ゴメン。

>>458規則か、なんか確率の境地やね。
　　　問題当たって感覚つかんで三松。
　　　関係ないけど、漏れの学校にもヲタがいたなぁ。高１からやってやんの。
　　　漏れはちょっとやってみたが、まじめにやって解答見て
　　　平凡なやり方とか書いてあって鬱になった（ｗ
>>459なんかすごそうなこと書いてあるのがわかるが、詳説を紀ボンヌ。
　　　

はっ。
N項目ってことは、nは整数なんだな…。

ありがとうございました。

>>468
要するに、１５本のくじから５本引いて、その順に並べる場合、
どのくじが引かれる確率も同様に確からしい
⇔引いたくじの並びは、どのような並びも同様に確からしい
と言えるんです。コレは、感覚的に分かると思うし、入試ではそれでｵｯｹｰな筈でつ。

ここで、まず確認しておくと、同様に確からしい場合、
該当する事象/全事象
が確率だよね。
今、「５本のくじを引いて並べた場合の数」を全事象に取ります。
全事象はP[15,5]だよね。
このうち、Aがｱﾀﾘといえるのは、5本のくじの内に、ｱﾀﾘくじが入ってる場合です。
ｺﾚは、その余事象である「全部外れクジ」の事象P[13,5]を、全事象から引いてやった分になります。
よって、青チャの解答のようになります。

なお、こうやって５本クジを並べた後で、
【当たりくじ以降の部分を取り去ってやること】を考えると、
1本目のｱﾀﾘが出た瞬間、引くのを止めたのと同じになります。

要するに、【】のようなルール一つで、題意とは別の操作を題意と同じ操作に読み替えられるんですね。
こういう風に、ちょっと別の試行を考えてやると言うことは、
確率の場合、常套手段だったりするので、問題に当たって慣れてみてください。

>>462
(√3)/2？

>>471
正解。

解答うpきぼんぬ

>>472
よっしゃ。

私立医大が小問で出してきそうな極限かな？

lim(n→∞)[√(9n^2+2n+1)]＝3n+1/3という訳か・・・

整数問題的アプローチは何だろう？

>>476
類題。nは自然数とする。
n^2+n+1は平方数にならない事を示せ。

ｺﾚと同じような感じで、周りから引っ張ってくる訳でつ。

n^2<n^2+n+1<(n+1)^2だからかな。>>462が全然分からんよ

>>478
じゃ、9n^2+2n+1に一番近い平方数を考えてみると？
sinkπの場合、kの小数部分だけが問題になってくることに注意。

おい、今年の各大学入試の数学の総括やろうぜ。

まずは南から、九州大学。なかなか練ってある問題が出たようです。

>>479
√((3n+1/3)^2+8/9) - (3n+1/3)→0
またsin(k+r)π=sinrπだから
与式=sin(1/3)πって感じ？

>>480
京大理系の総括やろうか？

１は昨年の１を焼き直したに過ぎず、殆どの受験生が出来たであろう
。２３も標準的な問題である。４は、典型的な因数定理の問題である
が、やや取り組みにくい受験生も居たかも知れない。５はアプローチ
のし難い難問で、解けなくとも仕方ない。加えて、場合分けを見落と
しやすく、多くの受験生が部分点止まりであったと思われる。６も思
考力が要求される問題で、正解にたどり着くのはなかなか難しい。全
体として例年に比べて簡単なセットであったが、それでも問題毎に難
易度の差が大きいため、本番では６割とれればまずまずか？

を、絶対値が抜けた。

>>482
正解。

安易に「周期関数は収束しない」って思い込んでた。
周期性があるからこそ収束することもあるのか・・・

収束するという言葉の意味はε-δの話を知ればよく分かるよ

東大
１B***
2B***
3C***
4B**
5C**
6B**

京大
1A**
2B**
3A**
4B**
5C**
6C****
ぐらいかなあ。かなり個人的な意見。

>>458
では、証明の最初に「円周率とは円周に対する直径の比率である」って示しておけばOKでつか？

>>462
y=(9x^2　+2x　+1)^(1/2)　のグラフにおけるx→∞に関連する漸近線導き出せば終わりじゃないの？

区間　0≦x≦aに於けるf(x)=x^2-4x+5の最大値と最小値とその時のxの値を
次の各場合ついて求めよ。

(1) 　0＜a≦2　（2）　2＜a＜4　（3）　a = 4 (4)　a>4

（1）についてやってみたのですが、与式は、f(x)=(x-2)^2+1 と
平方完成できるのは分かりますし、グラフを書くことも出来ます。
そして、最大最小をだしてみたところ、答えと食い違います。

x= 0の時　最大5　なのですが、x=2の時　最小　-1ではないのですか？

最小は　x=aの時だそうですが、何故だかよく分かりません

>>490
円周率をそう定義しちゃうと、余弦定理とか円関数は使えなくなるかも。
どこまで厳密に付けてるか分からないけど。

>>漸近線
そうとも言う。
漏れは整数的なアプローチの方が好きだけど、優劣はないよ。多分。

だってｘの範囲が

>>491
もう一度よく考えてみー

>>491
おまいのかんがえでは、無条件で、「x=a=2」ってやっちまってんだよ。

>>491
グラフを書いてよく考えて見れ。
a≦2というのは、aは２以下の或る値であると言うこと。
x=2で最小となるのは、a=2の時だけ。

>>492
πの具体的な値を求めるのだからπの定義から導かれる定理は
使っていいと思うのだけど

今友達に>>454の証明送りつけたら、「灯台の問題よく解けたな」って言われました。
これ、東大の問題だったの？マジなら今年は果報定理の証明ばりに簡単なのが出たことになりまつな。

>>498しらなかったのか・・・。

>>497
そうなのかなぁ。ようわからん。
そこら辺は専門家に聞いた方が良いかも (´･ω･`)

加法定理よりずっと簡単だと思う

いや、トートロジーになるのはどこかでπ＝3.14・・・であるという事実を
利用した場合だけ指摘されるものだろうということです。

加法定理も円関数もそういう事実を使わないでしょう

>>501
禿げ同。
東大史上最も簡単な問題が今年出題されたことになりそう。

史上？よういいきったナア

東大史上最も簡単な問題は
去年の１番でつ
y=2√3(x-cosθ)^2+sinθ
y=-2√3(x+cosθ)^2-sinθ
が異なる2点で交わるθの範囲を求めよ

>>505
これをチマチマ計算で出す香具師はその時点で東大不合格決定だな。（藁

(1)
y=2√3(x-cosθ)^2+sinθ
y=-2√3(x+cosθ)^2-sinθ
が異なる2点で交わるθの範囲を求めよ

(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
を証明せよ。

(3)
円周率は3.05より大きい事を示せ。



こうやってみたら東大って楽勝そうなんだがな。（藁

y=2√3(x-cosθ)^2+sinθ・・・1
y=-2√3(x+cosθ)^2-sinθ・・・2

2より
y=-2√3(x-cosθ)^2-sinθ・・・2´
1は下に凸の頂点の座標が（cosθ・sinθ）のグラフ
2´は上に凸の頂点の座標が（cosθ・-sinθ）のグラフ
よって、1、2´が異なる二点で交わるθの範囲は
sinθ＜-sinθのとき、
よって180＜θ＜360

こんな感じですか？

・・・。

よくしられた問題だけど、これとける？
∫１/{1+(tanx)^√2}dx (0〜π/2)は？

>>508
受からんな・・・

>>510
√２乗？

連立させて判別式を用いて解くのかな？

>>512そう。tanxのルート２乗

507の（１）は2式を連立させて1つの式にまとめて判別式Ｄを用いて解くのかな？
（２）は沢山証明方法があるみたいだけど。

>>515そう。本番、この問題で、変に巧妙な方法でとこうとして、失敗した
受験生がかなりいたらしい。素直が１番。

すみません、
間違い指摘をお願いします

だって１と２’が交わっても
１と２が交わるとは言えないじゃん

>>507
(1)
2式を連立させてyを消去→判別式＞0

(2)
yx平面上で
正方向に角度α、正方向に角度βをとって三角関数の式をたてる・・・1
正方向に角度α、負方向に角度βをとって三角関数の式をたてる・・・2
1、2を連立してまとめて終り。
※オイラーの公式を含む複素数の回転は用いる事は証明の循環となりダメ

(3)
単位円とそれに内接する多角形を考えて、
「円の面積＞多角形の面積」「円周＞多角形の周長」のどっちか使う。

一辺の長さがaの正十二面体の頂点の１つを紫色に塗る。
この紫色の頂点からの距離がaの頂点３つを白色に塗る。
白色の頂点からの距離がaの頂点のうち、
紫色でないものを全て青色に塗る。
青色の頂点からの距離がaの頂点のうち、
まだ色の塗られていないものを全て緑色に塗る。
緑色の頂点からの距離がaの頂点のうち、
まだ色の塗られていないものを全て橙色に塗る。
最後に、残った頂点を全て黄色に塗る。
この正十二面体の頂点から頂点へ点Xが移動する。
いま、点Xが紫色の頂点を出発し、
１秒たつごとにaだけ離れた頂点に
それぞれ１/３の確率で移動するものとし、
紫色の頂点を出発してからt秒後に、
点Xが紫、白、青、緑、橙、黄の色の頂点にいる確率を、
それぞれPｔ、Ｗｔ、Ｂｔ、Ｇｔ、Ｏｔ、Ｙｔとする。
(１)Ｐ2を求めよ
(２)Ｗ3、Ｇ３を求めよ
(３)Ｏ5、Ｂ5を求めよ

けど東大レベルの受験生が>507の１番みたいな問題が出ると逆に焦るかもなｗ

>>520
樹形図を立体的に考えればいい。
ま、正12面体の形が思い浮かばない香具師はあぼーんだがな。

>>522
立体図形アトピーです。
殺生なこと言わんといてください。

漏れが試験製作者だったらこういうの一題出すな。
「本学の入試問題として適切な問題を一題考案しなさい」

さあ解いてくれ皆さん。

これが正十二面体だ。
ttp://www5d.biglobe.ne.jp/~MY55029/Forms/Platonic/Dodecahedron/004_00.gif

あとはノートにでもこの形の立体樹形図をかけ。
わかりにくかったら題意の色を各頂点に塗れ。
こういう問題は式で求めようとするより、図を書いてやったほうがいい。
(1)、(2)は1つずつ数えていっても解ける。
そこから関連性を見出して(3)を解くべし、以上。

-sinθとsin（-θ）を勘違いしてますた

下に凸のグラフで吊って来ます

>>525
すっげ。
ＨＮはダテじゃないっすね。
これからシコシコ数えてきます！！

>>524
1=0.999999…
上記の式が正しいと思うものは0を、間違っていると思うものは1をマークしなさい。
但し、「…」は限りなく続くことを意味する。

0

>>529
やるな。ｗ

つーか、小数展開なんて、どんな解析の本にも載ってるでしょ。

0<x<1でありｎが自然数であるとき、
次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
(1-x)^k≧1-nx
↑(1-x)のｋ乗
まったくわからんです。

>>528
あてずっぽうで1/2で正解するような問題はふさわしくない。
０点

>>528
おいおい、本当に偏差値１００超えたのか？（ｗ

>>532
Kの範囲は？

>>535
ごめんなさい。KとN間違えました。

>>524
1=0.999999…
上記の式が正しいと思うものは0を、間違っていると思うものは1をマークしなさい。
また、この等式が成り立つ（立たない）理由も書け。（英語の自由英作文みてえ）

乱数表を用いて平面上に３つの格子点を選んだとき、
その３点を結んで出来る３角形が鋭角三角形となる確率を求めよ。

ただし、ここでは乱数表から任意に４桁を選び、
それを２桁２桁の座標と見なすことにより、格子点を選ぶ。


解けるかな？適当に考えただけで、まだ解いてない。

理由もなにも収束の定義そのものだし‥‥‥

>>536
(1-x)^n≧1-nxを仮定
(1-x)^(n+1)≧(1-nx)(1-x)=1-(n+1)x+nx^2≧1-(n+1)x

十倍した式から元の式を引くと・・ってやり方中学校の時に習ったような。
駄目かな。

ある放物線は３直線
y＝x
y＝−2x＋4
y＝5
に接する。この放物線を決定せよ。

>>542
具体的に解いてはないけど、
放物線の軸がy軸対象とかいう制限がないと無数になりそう。

>>543
y軸対象→y軸に平行
なんと言う初歩的なミスだ俺・・・

これは２次関数が答えで一通りに決まりますよ。

>>540その式のいみを説明していただけると本当に幸いなのですが無理でしょうか？

>>546
どこがわからないですか・・・？

>>547
(1-nx)(1-x)=1-(n+1)x+nx^2≧1-(n+1)x
↑この式

だってそう仮定したから・・・

(1-x)^(n+1) = (1-x)^n・(1-x) ≧ (1-nx)・(1-x)

ここか？分からなかったのは

>>550
ああそういうことか。不等式だから引き算でやるのかと思ってた。
両辺に同じものをかけてもいいってわけだ。

>>545
斜めの放物線とかが無数にある気がするが、
ほんとにひとつに決まる？

>>551
普通は引き算でやるんじゃない？

>>552
最小、最大が決まらなきゃどっちに凸かわからないんじゃない？

>>537
0
∵0.999･･･=0.9+0.09+0.009+･･･=lim[n→∞]0.9{1-(0.1)^n}/(1-0.1)=1

>>555
激しく循環論法の予感

>>541>>555
正解。

んじゃ>>528の要望でちゃんとした問題を。

f(x)=x^2 において 区間 0<=x=<1 における y=f(x) の弧長を求めよ。

方針たてるだけじゃなく、実際計算して答えまで出してくれると嬉しい。
ま、積分の基礎がありゃ余裕だけど、出来るかな？

>>556
σ(^^)σ

>>558
どういう意味？

>>557
142でおれが出したじゃん。しかも177で答えられてるし。
ちなみに俺の考えた解答は、誰かが言ってたけど
∫{1/√(1+4x^2)}dx を使うやり方かな。

√{1+4(x^2)}=t+2xの置換でもいいかな

>>537
0.99999･････＝Aとおくと
　10A＝9.9999････
-)　 A＝0.9999････
　 9A＝9
　　 A＝1
よって0.999999･･･＝1となるので
０

ってなんだかおれ中学生みたいなとき方ダナ。。。

>>562
たぶんlim[n→∞](激しく)^n くらいｶﾞｲｼｭﾂだけど
それじゃあたぶん△
下手したら０点

>>558
ごめん、勘違いですた。。

0.99999･････ の定義からやらないと駄目だ罠

あ、でも、
>>555 が循環論法だって話ははじめて聞いた。
解説きぼん

漏れが混乱してたのは、そもそも0.99999・・・・という書き方は
どのように定義されているのかということ。

>>566
それは漏れの勘違いです。ごめん

>>557
数学偏差値１００越えってどの模試だよ？
全統模試じゃ８５前後が最高だし、、、、、東大模試か？

まぁなんにしろ
俺はそれだけ数学ができるぞと。
おまいらの頂点に立つものだと主張したいだけ
というのは良く分かった。

>>542
y＝x y＝−2x＋4 y＝5
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
判別式より
(d+e)^2-4(a+b+c)f=0
(4b-8c+d-2e)^2-4(a-2b+4c)(16c+4e+f)=0
(5b+d)^2-4a(25c+5e+f)=0
放物線なので
b^2-4ac=0

方程式が4つなので決まらない

メーラターデの定理は記述模試と大東亜帝国以下の大学入試でしか使えないから気をつけろよ!!

東大プレは偏差値100ごえ可能

東大プレは偏差値100ごえ可能

>>571
「方程式が4つなので決まらない」は間違い
文字が実数なら式一つでも決まる

例 a^2+b^2+c^2+d^2=0

いつかの東大ＯＰでは満点の人は偏差値108だったナア。

>>576
その人がこのスレに来ているようです。

イクッ！揚げるf(x)

>>528
とりあえず、東大なのにマークかよっ！　とつっこんでおく。

>>524
そして、優秀な問題は来年使うと・・・

xy平面上に、４点(1,√3)(1,-√3)(-1,√3)(-1,-√3)を頂点とする長方形Sがある。
原点を通り、x軸と成す角がθである直線をlとするとき、
Sをlのまわりに回転させてできる立体の体積Vをθで表せ。

>579
自分で解いてみようと思ったけど、めんどくさー。
角度使うかと思って、√3にしたけど、意味なかったかも。

誰かエレガントに解いてくれ。

>>579
lはxy平面上？

最近コテハンで回答する香具師がへったよな
超寂しーい

>>581
あー書き忘れた。ごめん。
正直、あんまり良い問題じゃないかもしれない。

派生問題
x軸と成す角が30°である直線をmとするとき（mはxy平面上とは限らない）
Sをlのまわりに回転させてできる立体の体積Vの値域を求めよ。

>>582
トゥリビアとかQEDとか？

>>583の問題の二行目のlはmの間違い。Sは>>579の長方形ね。
自分で解いてないから、問題として成り立ってるのかどうか分からないんだけど、あしからず。

無限級数の問題なんですが、
Σ_[k=1,∞]1/｛√(2k-1)+√(2k+1)} (k)
の収束、発散を調べろって言う問題です。

まず有理化をして、
Σ_[k=1,∞]{√(2k+1)-√(2k-1)}/2
になりました。このあと、どうすればいいのでしょうか？

>>585
Σ_[k=1,∞]{√(2k+1)-√(2k-1)}/2 = lim[n→∞]Σ_[k=1,n]{√(2k+1)-√(2k-1)}/2
= lim[n→∞]{√(2n+1) - 1}/2 = +∞に発散

>>586
なるほど。
こんなに簡単な形に持っていけるのか…。
どうもありがとうございました。

>>587
途中の項が全部消えるからね。
一般にΣ_[k=1,n]{f(k+1)-f(k)} = f(n+1)-f(1)
が成り立ち、Σがらみの問題はほとんどこれが基本にある。
>>585で有理化するのもこの形にもっていくため。

行列の問題なんですが、

「この行列の逆行列を掃き出し法で求めろ。」
5 , a ,-2
-6 , 2 , 3
2 ,-1 ,-1

右に単位行列を書いて、求めるっていうことはわかるんですが、
aの消去方法がわかりません…。
どなたか御願いします。

あともう一つ。
次の連立１次方程式が、解をもつように、pの値を定めよ。
3x-2y=p
-6x+4y=p^2

行列の単元に入っていたんですが、行列を無視して、２つの方程式が同じになるようにするだけでいいんですよね？

>>589
その問題の場合は、それでいい。

>>589
ごめん、漏れも消せない
余因子行列でやったら
１　a+2　3a+4
０　−１　−３
２　2a+5　6a+10

もうひとつのほうはそれで０Ｋ

>>589
じゃさ、そのaを、aじゃなくて例えば「３」だったとして計算してみよう。
ただし、その「３」を用いた計算は計算しないこと。
（例：３＋２→「５」とせずに「３＋２」で止めておく）
その後、その３を全て消しゴムで消して、aに書き換えよう。
これでＯＫ

∫　log(t+1) / (t+1) dt = 1/2 {log(t+1)}^2　の解き方を教えてくれる人は神

>>593
そのまんまじゃん

>>592
本当にそれで解けるの？
>>593
そのままじゃん

なんでそのまんまなんだ・・・。
ってか参考書にもそのまんま公式化されてるし（鬱）

>>596
そのまんまなんだが……
無理やり頑張れば……
部分積分を1回して
残ってるインテグラルを左辺へ移項すれば……

痴漢すればいいだろー

log(t+1)=aとでも置け

>>593
それで神なら世の中には神があふれるぞ・・・

log(t+1)=aとおくと
1/t+1dt=da
∫ada
=1/2a^2
=(log(t+1))^2

1/2が抜けました（鬱

>>591
答えは、
1, a+2, 3a+4
0, -1, -3
2, 2a+5, 6a+10
で合っています。

余因子行列！？なんですかそれ？

>>603

行列の各成分a(ij)について、その成分が含まれるi行・j列をのぞいてできる
行列（小行列という）の行列式の値×(-1)＾(i+j)＝a~(ij)を転置して並べてできる行列のことです
この場合は、余因子行列のたとえば1行2列の成分は、

a　　−２
−１　−１　　　←もとの行列から2行と1列にある成分をのぞいたもの

の行列式の値×(-1)^(1+2)だからa+2となります。

余因子行列にもとの行列の行列式の値(この場合は１)の逆数をかけると
それが求める逆行列になります。

問題２

Σ{(k^2+1)k!} (k=1〜k=n)を求めよ。

>>604そんな名前だったんだ。名前なんて知らずにつかってたよ・・・。

>>605
n!n(n+1)かな？

>>607
(n+1)!nか。

>>608どうやってといた？

{(k^2+1)k!}=[(k+1){(k+1)!}-k*(k!)]-{(k+1)!-k!}

>>609
まったくうまくない。
n=4くらいまで求めて推定、そっから帰納法。

a(n+1)-a(n)というパターンに帰着できんかなーと思い
{(k^2+1)k!}={(k+1)^2-2k}k!=[(k+1)*{(k+1)!}-k*(k!)]-k*(k!)

k*(k!)={(k+1)-1}*k=(k+1)!-(k!)

んで{(k^2+1)k!}=
[(k+1)*{(k+1)!}-k*(k!)]-{(k+1)!-(k!)}

>>610 ん？k=2でなりたたなくない？
>>611　よく予想できたね。ちなみに、帰納法を使わないでも、きれいにとけるよ。

>>610
俺もそんな形にもっていこうとはしたんだけど……
どうやったらそんな変形思い付くの？
やっぱ慣れ？

これは Σ(k・k!) (k=1→n) の変種でわりと有名

(k^2+1)k!=k(k+1)!-(k-1)k!

>>610　おお、よくきずきましたね。では、Σk*(k!) (k=1〜ｋ=n)は？
>>611 よく予想できたね。ちなみに、この問題は別解もいくつかあるよ。

>>613はおれのかんちがい。

いちおうk=2のときも成り立ったよ
左辺=10,右辺=10

それで和は
(n+1)*{(n+1)!}-{(n+1)!}=n*{(n+1)!}ですか

>>619すんません

Σk*(k!)=Σ[{(k+1)-1}*(k!)]=Σ{(k+1)!-k!}=(n+1)!-1かな

>>617
>>612で答えられているんだが。
き　　ず　　いてなかったか。

調子にのって第３問を用意中。誰か第１問の積分とけたひといる？

Abelの級数変形ですな。

>>623問題どこよ

>>622自分がかきこんでいる間にかきこまれたのはよめないよ。ある程度
のタイムラグは許してくれ。

>>625
>>510

>>510

１/{1+(tanx)^√2}

t=π/2-xとおくと　dx=-dt

∫１/{1+(tanx)^(1/2)}dx(0〜π/2)= ∫１/{1+(cott)^(1/2)}dt(0〜π/2)

√sinx=a,√cosx=bとおくと

１/{1+(tanx)^(1/2)}=b/(a+b)
１/{1+(cotx)^(1/2)}=a/(a+b)であるから

∫１/{1+(tanx)^(1/2)}dx(0〜π/2)+∫１/{1+(cott)^(1/2)}dt(0〜π/2)
=∫{(a+b)/(a+b)}dx(0〜π/2)
=π/2

よって求める積分はその1/2であるπ/4

１/{1+(tanx)^√2}

t=π/2-xとおくと　dx=-dt

∫１/{1+(tanx)^(1/2)}dx(0〜π/2)= ∫１/{1+(cott)^(1/2)}dt(0〜π/2)

√sinx=a,√cosx=bとおくと

１/{1+(tanx)^(1/2)}=b/(a+b)
１/{1+(cotx)^(1/2)}=a/(a+b)であるから

∫１/{1+(tanx)^(1/2)}dx(0〜π/2)+∫１/{1+(cott)^(1/2)}dt(0〜π/2)
=∫{(a+b)/(a+b)}dx(0〜π/2)
=π/2

よって求める積分はその1/2であるπ/4

うごっ二重投稿ごめん

>>630
問題よくみて

tanxの1/2乗だからあれでいいのとちがうかなー

>>632
1/2乗でなく√2乗だが、まぁそこを書き換えれば問題なし。

| |
|mmmmmmmmmmm●mmmmmmmmmmm|
| |
←　　　L　→
上図のように、質量Mの物体が、２本の自然長Lのばねにつながれている。
この物体を、静止状態のばねの向きと垂直な方向（つまり、上方向↑）に１cmずらし
たのち、手をはなすと、周期２秒の運動を行った。では、２cmずらしたときの
周期はいくらであるか？ここで、重力、空気抵抗、摩擦は無視し、L>>1とする。

高校の物理を履修していればとけます。

ずれてる・・・。しかも>>1って・・・。

2病

>>629途中はまだみてないけど、答えあってるよ。ちなみに、図形的にもとけます（（π/4,1/2)に
関してこの関数のグラフは・・・）。

　　　　 　人__人__人__人__人__人__人__人__人__人__人
　　　　Σ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 て
　　　　Σ　　びっくりするほどユートピア！　　　　　　 　て人__人_
　　　　Σ　　　　　　　　　びっくりするほどユートピア！　　　　　　て
　　　　　⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 て
　　　　　　　　　　　　 Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒

　＿_＿＿＿＿＿　　DQN
　|＿＿　　　　　　 ヽ(´Д｀；）ﾉ
　|＼＿〃´￣￣ ヽ..ヘ(　　 )ミ DQN
　|　|＼,.-〜´￣￣　　 ω　>　（Д｀； ）ﾉ
　＼|∫＼　　 _,. - ､_,. - ､ ＼　(　　ﾍ)
　　 ＼ 　 ＼＿＿＿＿＿＿ _＼<ω＿＿
　　　　＼ 　||￣￣￣￣￣￣￣ |
　 　　　　＼||＿＿＿＿＿＿＿ |

垂直方向に違うばね定数のばねを付けたようなもんだから
周期は振幅に影響しない
たしか、ばね定数と質量で決まる

だから>>636のように２秒ですか

>>637
これおもしろいね。はじめて見た。

>>636,>>639　違います。実際に運動方程式を使わないととけません。
２病って２ch病のことかと素でおもった・・・。

なるほど∫1/（1+(tanx)^t）dx(0〜2/π)の値はtに関係ない値なのかあ・・・

a>0,b>0 かつ nが2以上の整数であるとき、
(n-1)a^n+b^n≧na^(n-1)b （等号成立はa=bのときのみ）
を証明せよ。
これどうといてみて？ってか、難易度どれくらいかな

>>643
マルチポストｲｸﾅｲ。

＜n=2のとき＞
（左辺）-（右辺）=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2≧0（等号成立はa=bのときのみ）
となり成立している。
＜n=k(k≧1)のとき＞
(k-1)a^k+b^k≧ka^(k-1)b −�@ が成立しているとする。
�@の両辺にaをかけると、(k-1)a^(k+1)+b^k*a≧ka^k*b −�A
�Aの両辺にa^(k+1)を加えると、ka^(k+1)+b^k*a≧ka^k*b+a^(k+1) −�B
�Bの両辺からb^k*aをひき、b^(k+1)を加えると、
ka^(k+1)+b^k*a≧ka^k*b+a^(k+1)（等号成立はa=bのときのみ）
ka^k*b+a^(k+1)-(k+1)a^k*b=-a^k*b+a^(k+1)-b^k*a+b^(k+1)
=a^k(a-b)+b^k(b-a)=(a^k-b^k)(a-b)
a>0,b>0より、a^k-b^kとa-bの符合は一致するので、(a^k-b^k)(a-b)>≧0
また、等号成立はa=bのときのみ。

【別解１】
aを変数x(x>0)で置き換えて考える。
f(x)=(n-1)x^n-nbx^(n-1)+b^nとおく。
f '(x)=n(n-1)x^(n-1)-n(n-1)bx^(n-2)=n(n-1)(x-b)x^(n-2)
f '(x)=0より、f(x)はx=bで極小値f(b)=0をとる。
f(0)=b^n>0 （∵b>0)
よって、f(x)≧0（等号成立はx=bのときのみ）
すなわち、f(a)≧0（等号成立はa=bのときのみ）

【別解２】
n個の正数についての相加相乗平均の関係より、
x[1]+x[2]+･･･+x[n]≧n[n]√(x[1]*x[2]*･･･*x[n]) −�@
�@において、x[1]=x[2]=･･･=x[n-1]=a^n, x[n]=b^nを代入し
(n-1)a^n+b^n≧na^(n-1)b（等号成立はa=bのときのみ）

別解１、２は抜きにして、これってこんなに回りくどいことしなきゃ無理なのか？

ちょっと風呂はいってきます。それにしても、このスレのレベルは相当
高いね・・・。

>>644
だって、ちゃんとした答えが返ってこなかったんだもん

問い

f(x)がn次関数であるとする。
ある問いにおいて、y＝f(x)に接する接線が(n＋1)本与えられている時、f(x)が決定できることを示せ。ただし、どの二本の接線も一致せず、傾きは異なるとし、n＝2.3.…とする。

カコイイ設問だね

>>648
高校の範囲で出来る？

>>641
数学スレに相応しく、物理より数学の力の方が必要な悪寒

積分が要りそうなのでギブ

>>650
さぁ？ルジャンドル変換そのものの証明だがｗ

>>641
数学スレに相応しく物理より数学の力の方が必要そうな悪寒

積分が要りそうなのでギブ

ごめん

>>653実は高度な数学もいらない（これはヒントになってしまうな・・・）。

>>634
振幅をa、ばね定数をk1とk2として
周期T=2π√【M/(k1+k2)[1-1/√{1+(a/L)^2]】
a=1のときL>>1よりT→∞。
a=2になろうがT→∞な気がするが・・・
・・・まぁいいや。T=2としよう。
で、代入してシコシコ計算するとk1+k2=Mπ^2/[1-√1/{1+(1/L)^2}]
これまたさっきの周期の式に代入すると
√[1-√1/{1+(x/L)^2}]=f(x) として
T=2√[{1-f(1)}/{1-f(2)}] 秒。
っつーかこれ疑う余地もなく∞だし。なにこれ

>>634
振幅をa、ばね定数をk1とk2として
周期T=2π√【M/(k1+k2)[1-1/√{1+(a/L)^2]】
a=1のときL>>1よりT→∞。
a=2になろうがT→∞な気がするが・・・
・・・まぁいいや。T=2としよう。
で、代入してシコシコ計算するとk1+k2=Mπ^2/[1-√1/{1+(1/L)^2}]
これまたさっきの周期の式に代入すると
√[1-√1/{1+(x/L)^2}]=f(x) として
T=2√[{1-f(1)}/{1-f(2)}] 秒。
っつーかこれ疑う余地もなく2だし。なにこれ

>>655
うん、受験にも役立つねｗ

すまんすまん、２つのばね定数はおなじね。ちなみに、この運動は単振動じゃないよ。

重力も無視って、どういうこと？ｗ

>>659
いい問題見れて感謝。

>>660ようするに、水平な机の上で実験した、ということ。ばねの復元力だけ考えよ、ということ。
>>661どうも

>>648
f'(x)は(n-1)次関数であり、傾きの異なる接線が(n+1)本与えられているとき、
その接線の方程式をy[k]=b[k]x+c[k]、
その接点のx座標をx[k] (K=0,1,・・・,n)とすると
f'(x[k])=b[k] であり、
また、x[k]f'(x[k])=c[k] である。

これより x[k]=c[k]/b[k] (b[k]≠0)
また、y[k]=f(x[k])=f{c[k]/b[k]}　であり、
ここに、y[k],b[k],c[k]は既知であるから、この(n+1)個の方程式に含まれる未知の値は
f(x)の(n+1)個の係数のみである。よってf(x)の係数は全て一通りに決定され、f(x)が定まる。
b[k]=0となるkが存在した場合も、情報の数は変化しないので、f(x)は一通りに定まる。

なんか掴み所のない解答しかできんかった・・・

>>659
Ma=F=2ka[1-1/√{1+(1/L)^2}]≒0 になる気がするんだが？

>>648
接線がk本あるとする。すると、

接線k本⇔接点k本

が言える（証明略）。

y=f(x)は今、n次多項式であることがわかっているので、
y=Σ（n=0 to n)a_n・x^n
より、f(x)の式を決定することは、係数a_nを決定することと同値であるから（証明わからん）
通る点が(n+1)本あればa_nが全てさだまる。

とかじゃないかな？全然数学的じゃないけど・・

通る点は、n-(0-1)から求めてみたんだけど。

>>663さん、被ってごめん。
それと、まだ書ききれてないことが多いです

素数ってマイナスないよな？？
それと自然数って１以上だよな？

>>668
素数でマイナスは一度も聞いたことない。入試なら確実にOKでしょう。
自然数はそうだよ。ゼロはそんなに自然でもない

ってことは素数は２からだな。

>>664この問題は近似しすぎると０になってしまいますが、うまく近似すると（入試レベル）
ｘの３次の項がでてくるはずです。

素数は１からなのか、２からなのかが積年の疑問。

入試では２からしか聞いてこないだろ？

BJ ◆tLGj6yfJqI は妄想が禿しいご様子だ。
なんだよ近似しすぎるって。

>>674つまり、ｘがあまりに小さいからといって、３次の項まで無視してしまうと、
Md^2x/(dt^2)=0になってしまう、ということ。
誰も手がつけられないようだね。そんなに難しいものではないんだけど・・・。

朝まで解答待ってくらさい

１秒ですか？

すいません。高３なんですけど来週あるバス会社の就職試験受ける事に
なりました。その際、数学のテストがあり、「係数」が出るそうです。
自分は文系コースなので数学がチンプンカンプンで何をやればよいか
全く分かりません。お恥ずかしい事ですが、「係数」について誰か
教えて下さい。お願いします。

・・・・ﾊｧ？

レスがあったからBJ氏かとｵﾓﾀよ

>>678
「係数」なんて分野は数学にはありませんよ。。

線形代数の聞き間違いじゃ？

わからない誰かおせーて。
10^n は 200!＝200×199×・・・×2×1 を割りきる。
このようなnの最大値を求めよ

すいません。「係数計算」の事でした。
こんな事も分からない自分はキングオブアフォです。

>>682
どっかでその問題とにた問題見た記憶があるが忘れた

>>683
係数計算？なんじゃそりゃ

センターレベルってかいてありました。

>>677正解！どうやってやった？

>>682 10=5*2 だから　10^n=5^n*2^n
200!において、２の倍数は５の倍数より多いので、５の倍数が何個あるかについて考えればよい。

方針はこんなかな？

２００！＝５^?*(〜）で、？を求める。

ってか、これセンターレベルじゃないだろ

センターレベル以下だろ

BJの愛液をペロペロ舐めたい ﾊｧﾊｧ

答え４９らしいのですが

これって、ほんまにセンター以下か？

答えだけなら１０秒ででる

ここにいるやつってすごいな

http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/7661/2ch1.htm
の２１７からみてください。東大生でもとけんらしい

旧帝８割って、地底は無理と思うな。
一回でも類似を解いてたら、方針ついたと思うけど、見たことないし無理だな俺は。

>>696
４９

制限時間１０分は多すぎだな

700

BJのﾀﾝが愛液ペロペロさせてくれないから寝ようっと

BJ = ミス東大

>>682
ガウス記号
[x]=xを超えない最大の整数

n=Σ[1≦k＜∞][200/(5^k)]=[40]+[8]+[1.6]=49

>>684
昔の東工大にそんな感じのやつがあったような

>>686
あーごめん、今起きたっす

近似して出てくる運動方程式は

Mx''(t)=-kx(t)^3/L^2・・・�@

で、ここでx(t)=Af(ωt) と振幅A倍と周期1/ωとなったとき、

Aω^2・Md^2f(ωt)/d(ωt)^2 = -kf(ωt)^3/L^2・A^3
　　　　　~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
波線部分は�@より等しいから、振幅が２倍になるとωも２倍、
つまり周期は1/2になる。

よって、答えは2/2＝１秒。

訂正。

Mf''(t)=-kf(t)^3/L^2・・・�@

で、ここでf(t)→Af(ωt) と振幅A倍と周期1/ωとなったとき、

Aω^2・Md^2f(ωt)/d(ωt)^2 = -kf(ωt)^3/L^2・A^3
　　　　~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
です。

∫e^(-x^2)dx=√π/2 ∫の範囲０から∞　であることを示せ。
これを教えてください。証明問題です。

>>707
Γ関数を使えばまんま出てくるけど使ったら高校の範囲超えるなあ・・・

>>707
大学１年生の重積分の項目を習ってください
誘導なしに、その単体だけで高校生には無理っす
激しくスレ違いよ

>>707
すっこんでて

I=∫[0,∞]e^(-x^2)dx=∫[0,∞]{e^(-x^2/n)}^ndx
x=√nt とおくと、I=√n∫[0,∞]{e^(-t^2)}^ndt
ｎが大きくなった時、積分の中身が、
xの大きい所で効かなくなって来るのがわかる。
1-t^2<e^(-t^2)<1/(1+t^2) を使ってみると、
∫[0,1]{1-t^2}^ndt<I<∫[0,∞]dt/(1+t^2)^n
あとは両辺を計算してね。

どう考えても重積分使ったほうがいいね・・・ｗ

大学の範囲だから、気にしないでいいと思うけど。>>707

名前間違えた、スマソ

>>713
誘導されたら解けても良い。

あー、でも∫[0,∞] 自体がダメか。

>>713
実はその問題兄貴からもらった大学の教養で使う微積の教科書の問題。
俺、微積好きだから解いてたら楽しくなってｗ(受験終わって暇なんで)
でその問題は教科書の説明みても分かんないんですよ。とほほ・・・
今、微分方程式の簡単なの解けるようになりました。微分方程式ってスゴイですね！

>>715
そうだね。出題は苦手だから、誰か頼んだ！

>>717
重積分？それとも>>711見たいなやリ方？

>>719
重積分使ってるよ。と言うか教科書には広義積分って書いてある。よく分かんない。

広義積分は定義域が閉集合でなかったり、無限になってたりした時にも、
閉集合での積分の極限として定義しようということ。
あとは２重積分の変数変換の公式を理解できれば大丈夫だと思う。

>>705 うーん、なるほど。こっちのほうが楽か。俺は運動方程式の両辺に
vをかけて、エネルギー保存則を導きだし、ｖ＝dx/dt から　dt=(〜)dx として、
周期と振幅が反比例することを示したよ（ちなみに、∫1/√1-x^4dx(x=0〜x=1)≒1.31)。

>>722
>>655 は　>>705 の事を言っているのかと思ったよｗ
俺もT=と計算してしまったんだけど・・・

∫[0,∞]e^(-x^2)dx
は z=e^(-x^2) をz軸を中心に回転させて体積で挟み込めばｵｹ

I=∫[0,∞]e^(-x^2)dxとおき、
I^2=∫[0,∞]e^(-x^2)dx・∫[0,∞]e^(-x^2)dx
=∬[0,∞]e^-(x^2+y^2)dxdy

x=rcosθ,y=rsinθと置換して、
与式
＝∫[0,2π]dθ∫[0,∞]re^(-r^2)dr
＝（計算略）
＝π/4

∴I=√π/2

この問題はどの問題集にも出てる。
わからなかったらもっとじっくり重積分やれ。

問題４　　

2^x+5^x=3^x+4^x

をみたす実数ｘを全て求めよ。

（高校の範囲でできます）

＞BJ ◆tLGj6yfJqI
初心者が質問しにくい雰囲気を作ってること自覚してる？
過去ログ読んでないんだろうけど、出題は自粛の方向で。やりたきゃスレ立ててどうぞ。

>>727
んなこと言いなさんな

x=0,1は明らかだな

定期的にこういうことやる奴が現れるがそもそもスレ違い
最近はまともな固定が来ないから抑止されなくて困る
「数学出題スレ」でも立てとけ

そもそもBJって元は名無しだったんだけど
「BJさんってすごいっすね」とか言われて調子に乗って
「トリップつけました〜」とか言ってたＤＱＮだからな。

っていうか数学板のさくらスレがあるし。気楽にいこうぜ。

すいません。質問があります。
ｙ＝ｘ＾2−[X]＾2+2（-2＝＜X＜２）…�@　がある。
ｙ＝ｋｘ−１が�@と交わるｋの範囲を求めよ。
という問題です。
グラフは書けるのですがどのように式を連立させたらいいかがわかりません。
どうやればいいのでしょうか？

グラフ書けるならグラフで処理すればヨろし。

グラフかけるんだったら視覚的に処理できるよ。

>>733
ガウス記号だよな？xとXは同じものでいいのか？
グラフは書けるってことだから、各区間での放物線の式は出てるわけだろ？
だったら、それぞれのxの範囲についてyを消去して二次方程式を解くと、
解がkを含む形で出てくるから、その解がさっきのxの範囲に乗るようにkの範囲を決めてやればいい。
こうやると場合分けが4つ出てくるのか。

めんどうだから、グラフを書いたらあとはグラフを眺めて、直線が�@と交わるようにkを決めてやってもいいんじゃないかな。

具体的には、-2≦x<-1, -1≦x<0, 0≦x<1, 1≦x<2
の各部分と交わる条件を出せばいい。

結局グラフから求めた方が楽そうだね

一工夫するなら、 y=x^2+[x]^2+2+1 と　y=kx でやるのが良いだろうね。

失礼。　y=x^2-[x]^2+2+1 と　y=kx ね。グラフでやる時傾きが見やすい。

>>740
俺は放物線固定する方が好きだな。
値域と定義域がどうのこうのやればグラフなくてもいいし。

まぁ個人的な好き嫌い、と。どっちでもいいさ

>>741
色々試して自分に合う方法をみつけてほしいよね。

よろしくお願いします。

空間内に３つのベクトルｐ↑＝（cosA,sinA,0）、ｑ↑＝（sinA,−cosA,t）
ｒ↑＝（sinA,cosA,0）がある。ただし、A,tは実数とする。ベクトルｐ↑、ｑ↑に
垂直であり０↑でないベクトルをｓ↑とする。ベクトルｒ↑とｓ↑のなす角を
Bとして、cosBを求めよ。

※以下、自力で解いたところまで。各ベクトルの「↑」は省略

ｓ＝（ｘ、ｙ、ｚ）とおく。

ｐ⊥ｓより、ｐ・ｓ＝０　　∴ ｘcosA ＋ ｙsinA ＝０　・・・�@
ｑ⊥ｓより、ｑ・ｓ＝０　　∴ ｘsinA ＋ ｙcosA ＝０　・・・�A

�@^2＋�A^2を考えて、　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＋ （ｔｚ）^2 ＋ ｚｔ（ｘｙ・cosAsinA）＝０

２はｒとｓになってるね。
xcosA+ysinA=0, xsinA-ycosA+tz=0 は、x,y,z について見れば
普通の１次の連立方程式でしょ。x,y について解いてごらん。

�Aを訂正。

ｘsinA − ｙcosA ＋ ｔｚ＝０

全然違うじゃん…　　　。・゜・(ノД｀)・゜・。

なんかしらんがたたかれとるな。まあいいや。もう３月だし、そろそろ忙しくなる
からこの辺で書き込みもおわりにしとくか。置き土産に問題４の解答を書いとく。

5^x-4^x=3^x-2^x　と変形し、関数f(t)=t^x　において[2,3],[4,5]において平均値の定理を使えばよい。
よって答えはx=0,1

>>743
sの候補を p×q=s ととって、
cosB=r・s/|r||s|
とかどう？

>>746
お疲れ。凸性だね。
>>747
±を忘れないでね。

ｘcosA ＋ ｙsinA ＝０　・・・�@
ｘsinA - ｙcosA ＋tz＝０　・・・�A

�@より、x：y＝sinA：-cosA　または ｘ＝0，ｙ＝0

x：y＝sinA：-cosA　のとき、
s↑の長さの任意性よりs↑＝(sinA，-cosA，z)とできる
�Aより、１＋tz＝0　∴z＝-1/t
これよりs↑＝(sinA，-cosA，-1/t)
lｔl＝１，lsl＝√１＋1/t^2 より、
cosB＝ｒ・s/lrl・lsl＝(cosA^2−sinA^2)/√１＋1/t^2

ｘ＝0，ｙ＝0　のとき(ｔ＝0のとき)、cosB＝0

ミスしてたら鬱だ

±忘れてた・・・

cosB＝±ｒ・s/lrl・lsl＝±(cosA^2−sinA^2)/√１＋1/t^2

>>749
実は、今年の某国立大学の入試問題なんです（便宜上、記号は変えましたが）。
自分はその後、ｓの大きさ（ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＋ｚ^2 ）を持ち出して
ぐちゃぐちゃやったんですけど…

こ　た　え　は　い　っ　し　よ　だ


でも、cosB＝０ってことは、０度だよね。
だったら、わざわざcosBの値を出せってことにはならない予感がして不安だったのです。

>>751
９０度！

>>751
図を描いたほうがいい

http://huhai-web.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box2/moshi0216.jpg

↑は予備校のテキストにあったの問題なのですが解答ないのでどなたか添削してもらえません？
ちなみに１文字固定って分野なんだけどそのとき方がわからん

>>754
d log(logx)/dx　＝　1/xlogx でつがそれを直せばOK

>>754
字が汚い　晒すならもっと綺麗に書け

よってパス

＞＞７５６
これでもかなり丁寧に書いたつもりなんじゃ

>>754
　平均値の定理が本筋のような気もするけど・・・。

【別証】f(q)＝左辺ー右辺＝q/e−log(logq)−p/e＋log(logp)と置く。
　ｐとｑはﾊﾞﾗﾊﾞﾗに動くから、取り敢えず↑をｑの関数と見て最小値を出す。ここで、その最小値はｐの関数になるはず。
　んで、その最小値を更に最小とするようなｐを求めて、結果として最小の最小が０より大きいことを言えばよい。
　f’(q)＝1/e−1/q*logq　これが０となるのは　qlogq＝e　すなわちq＝eのとき。（q＝eに限ることを厳密に証明する必要は無いと思う）
　んで、ｑ＝ｅのとき、f(e)＝１−p/e＋log(logp)　これが「f(q)の最小値」。

　更にこれをｐの関数と見て、敢えてg(p)とでも置く。g(p)＝１−p/e＋log(logp)
　g’(p)＝−1/e＋1/p*logp　これが０となるのはｐ＝ｅのとき。g(e)＝０

　あ・・・少し順番間違えた・・・。問題に「e≦p＜q」ってあるから、最初にｐの関数と見たほうが良いね。まぁ、だいたい分かってもらえたかと・・・。
　「ﾊﾞﾗﾊﾞﾗに動く複数の変数は、どっちかを定数と見て、もう片方を変数と見て微分していけば、最小値が出ますよ」ということ。

>>755
どうもです。よかったよかった

>>758
なるほど納得したっす　サンクス

>>758
予選決勝法とも言うね

　分かりづらいからもっと正確に書こう・・・。

【別証・改】f(p)＝左辺ー右辺＝−p/e＋log(logp)＋q/e−log(logq)と置く。
　ｑは定数・ｐは変数と見てf’(p)＝-1/e＋1/p*logp　これが０となるのはｐ＝eのとき。次にｑを変数と見てf(e)＝q/e−log(logq)−１＝g(q)と置く。
　g’(q)＝1/e−1/q*logq　これが０となるのはｑ＝ｅのときだが、ｑ＞ｅではg(q)は単調増加なので、g(q)＞0　引いては　f(p)＞０である。【ｑｅｄ】

>>752-753
ぁっ、そうだった。
合ってて嬉しかったから、頭脳があぼーんしてた…。

>>754
名古屋大の問題だよねこれ。
大数は平均値の定理で解いていたはずです。
別解が>>758さんのでした。

120　 誰か答えてください　 2002/11/14(Thu) 03:14

命題ｐ
と
命題ｑの否定
が同値である時
命題ｐとｑの関係は?

--------------------------------------------------------------------------------

121　 名無しさん＠日々是決戦　 2002/11/14(Thu) 10:35

ｐ＋ｑ＝ｒ
--------------------------------------------------------------------------------

122　 名無しさん＠日々是決戦　 2002/11/16(Sat) 22:30

ｐ('д`)ｑ

排反

>>765
茶化すようで悪いが、>>122に禿しくﾜﾗﾀ

風呂はいってました
そうです名古屋の問題なんですけど、テキストに答えがのっかってなかったんすよ
だから困ってました」

＞＞７６２
わざわざ丁寧にありがとうございます
おかげでわかりますた！！！

問い１

n→∞のとき、
1/(n＋1)＋1/(n＋2)＋1/(n＋3)＋1/(n＋4)＋…1/2n→(ア)である。
(ア)をもとめなさい。


問い２

不等式
log1＋log2＋log3＋…＋logn＜(n＋1/2)log(n＋1)−n
を示せ。ただし、nは自然数とする。

>>765
ﾊｹﾞﾜﾗ

>>770
古文今日うせ気泡

↑
訳：区分求積法

２番はちょっとヒントがいるかもね。

あー２番は
長方形の角じゃなくて辺の真ん中を通るようにやってってって

＞ｼﾞｵｿ
ｐ＝eのときってf(e)最大値じゃないの？

それにｑ＝eという値はとれない

なんか不活性化してるから変だと思って前の書き込み見たら、あふぉなこと書いてる奴がいてＢＪさんとかが来なくなったからか・・
戻ってきてくださいよ〜面白かったッスよ。文句言う奴は放置しとけばいいからさ〜

質問と出題を勘違いしてもらっては困る。
文句と煽りと忠告も然り。

いや、そんな厳密にルール決めて運営させていくようなもんでもない。
初心者が質問しにくい雰囲気なんてあるか？質問者は過去ログも見ずにぽっと書いてくだけだろ？

今年の名古屋大の問題です。
（1）
平行四辺形ABCDにおいて、AB=CD=a, BC=AD=b, BD=c, AC=d とする。このとき、
a^2+b^2=(c^2+d^2)/2 を示せ。
(2)
3つの正数 a,b,c (0<a≦b≦c)が a^2+b^2>c^2 を満たすとき、各面の三角形の長さを a,b,c とする四面体が作れることを証明せよ。

（1）は中線定理まんまなんですが、（2）が予備校の解答みても理解不能なんです。ご指導お願いします。

>>781
その理解不能な箇所を書けばよい。

名大もなんだかなあ・・・
これ何年か前の京大の問題の焼き直しじゃん・・・

>>781
三角形ABCは鈍角三角形である
よって題意の四面体を作ることができる

って書いたらまずいんだよな？
折れには説明できん・・・

>>781
分からないときは無理矢理解く。受験の必須テク。
・・・と、俺は思う

実際に辺の長さがa,b,c,の正四面体を座標空間上に作って、
出て来るであろう√の中身が、その条件の時、正であることを言えればいいんじゃない？

三辺がa,b,cの二つの三角形を辺ｃで貼り合わせてみな。
aどうし、bどうしが向き合うようにすれば平行四辺形になるでしょ。
で、cの所で２つに折る。折っていくと三角形の先端が近づいていくでしょ。
（イメージしにくければ紙を切ってやってみてください）
で、まったく折らない時の先端どうしの距離は、(1)から、
√(2a^2+2b^2-c^2) なんだけど、
条件 a^2+b^2>c^2 から、これはcより大きくなる。
重なるまで折れば、鋭角三角形だから、先端どうしの距離は
cより小さくなる。折る角度で距離が連続的に変わる事を考えると、
どこかで丁度cに等しく出来る、ということ。

>>786
イメージはできてたんだけどね。そう日本語で説明できる自信がなかったのよ。

>>786
おーなるほど。理解できました。河合塾の解答では、

ｃから直線BDに引いた垂線と、点Aを通りBDに平行な直線との好転をC'とするとき、（等脚台形ABDC'を考えれば）AC'<BD。つまりAC'<c。

とあるんですが、これが

>>重なるまで折れば、鋭角三角形だから、先端どうしの距離はcより小さくなる

ここに相当するわけですね。

解答みるまでに自分で3時間ほど考えてみたんですが、全くの方針違いでした。ありがとうございました。

>>782,783,784さんもありがとうございました!

>>785
自分で考えたときはその方針で、四面体の高さ(Hとおく）をだして、問題の条件下でH>0を示そうとしたんですが、そのHが求められなくて・・・。

>>788
今年受験中なら、もう他をやったほうがいいと思うけど？まだならいいけど。

>>789
高2です。心配してくれて、どもっす。

>>790
いえ。受験中なら念には念押しをしておいたほうがいいと思って。
まだ考えてないけど、結構難しそうだね。

すいません、質問があります。
1つの焦点に向かって進む光線が双曲線に当たって反射すると
すべて他の焦点に集まることを証明せよ。
という問題ですが、
焦点をF､F'、光線が双曲線に当たる点をP
Pにおける接線とx軸との交点をQとおくと
∠FPQ＝∠F'PQを示せばよいということまでは分かりましたが
そこからどうしたらいいのか全く分かりません。
ご指導よろしくお願いします。

>>792
一つの焦点を通る直線をl、その直線と双曲線との（必要な）交点をAとおくと、
Aにおける法線に対してlと対称な直線がもう一つの焦点を通ることを示せばよい。

むかし東大入試の論点ともなったけど
lim(x→∞)logx/x=0って自明として断りなしに使っていいんか？

>>794
微妙だね

数列
1・n+2(n-1)+3(n-2)+………+(n-2)3+(n-1)2+n・1
と
a1=3 an+1=3nan
の解き方が分かりません。
どなたかご指導お願いします。

Σk(n-k+1)
an=3^n
解き方は教科書にのってるかと

>>796
1つめは和を求めるのかな、それだったらΣk(n+1-k)使えばすぐにでる。
2つめはｎ！で割れば解けると思う。

>797,798
ありがとうございます。
やってみます。

８００ｽﾞｻ━━━━⊂(ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡━━━━!!

>>796
一般項ａｎと普通の文字ｎの区別がつきにくいよ。
せめてＡｎとでも書いてくれ。

>>796
a[n+1]=3n*a[n]の両辺をn!で割り、a[n]/(n-1)!=b[n] (n≧2)とおくと
b[n+1]=3*b[n]
よって　b[n]=b[2]*3^(n-2)=3^n
∴a[n]=(n-1)!*3^n

あ、別にn≧2とかしなくてもよかった。

三行目。
b[n]=b[1]*3^(n-1)=3^n
のほうが印象良いね。

便宜上0!=1としておけばそれでもよい。

>>804
便宜上というかむしろ定義

それは便宜的に定義したってことだよ。

ﾌｰﾝなﾖｶ-ﾝ

a[n]/(n-1)!=b[n]
これでb[1]を出そうとするとb[1]=0になっちゃうんです…？

>>808
a[1] = 3
0! = 1
3/1 = 3

後念のため言っておくが、3/0 = 0 だとか思ってないよな？な？な？

あっ…






>809
ありがとうございました。

>>794
「lim(x→∞)logx/x=0は証明なしに用いてもよい」と付記された問題をたまに見る
だから普通は示しておいたほうが無難だと思われ

logxについての有名事実というか知っておくべき事実は
logx≦x-1　（点(1.0)における接線からわかる）
logx<√x　この２つ（いづれも微分で証明可）

0<logx<√xを示してから両辺をxで割って
0<(logx/x)<1/(√x)
はさみうちで極限値は0

曲線の概形を書けとか、曲線の増減・変曲などを調べよというときに
logx/xが出てくることがあるね

（上以外にも証明の仕方はあるけど）
スラスラと導けるようになっておいたほうがよさげ

マセマ見てたら合同式っていうのが載ってたんですけど、
これ使って証明しても減点されたりしないんですか？

mod とかなんたらってやつでつ。

modどんどん使えば

>>812
　別に新しい知識じゃなく、単なる記号を導入しただけだから、使っても構わないと思う。
　気味悪いなら解答用紙には「aをbで割った余りがcであるとき、a≡c（mod.b）と書くことにする」
　とｺﾄﾜﾘを入れておけば万全。いらないと思うけどね。

>>813
>>814

どうもありがとうございます。

lim 　　1−cos x
　　　　--------
x→0 　　　x^2

これの極限値ってどうやって求めたらいいんでしょう？

>>816
　sin・cos・tanの極限は、limsinx/x＝１を使うしか無い！！
　1-cosからsinを作ることを考えて・・・　与式＝lim(x→0)(1-cos)(1+cos)/x^2(1+cos)＝lim(x→0)sin^2/x^2(1+cos)＝lim1/(1+cos)＝1/2

　ちなみに、ｘが０に十分近いとき、1-cosx≒x^2/2　と近似できるのはちょっと有名な話。

>>ジオソ・ダイクソ＠宅浪さん
どもありがとう御座いました。
limsinx/x＝１を使って自分でなんとか上記解答までたどり着けました

>>817
わかりやすいようにと思って書いたならお節介だけど、
＞lim(x→0)sin^2/x^2(1+cos)＝lim1/(1+cos)＝1/2
これは
lim(x→0)sin^2/x^2(1+cos)＝1/2
こう書かないと神経質な採点者には減点食らうかもよ。

Ｑ．Ｅ．Ｄ．って大学生？

>820
ミステリおたくじゃないの？

>>ジオソ・ダイクソ＠宅浪氏
細かい話ですが
>「aをbで割った余りがcであるとき、a≡c（mod.b）と書くことにする」
だと12≡26（mod.7）の「余り」が26になって7以上は気持ち悪いので
a-c が b で割り切れるときとすると正確ですね。

>>820
>Ｑ．Ｅ．Ｄ．って大学生？
ラテン語の省略形で quod erat demonstradum の頭文字をとった物です。
英語訳は which was to be proved で、これは皆さんにお任せしましょう。

>>822
Q.E.Dって名前のコテハンの話をしてんだよ

関数の極限がぜんぜんわかりません。

lim_[x→+0]1/x(1-x)f(x)
これの極限の求め方を教えてください。

>>824
分子と分母がわかりにくい
それとf(x)がようわからん

lim_[x→+0]1/{x(1-x)}
です。御願いします。

1/{x(1-x)}=(1/x)+{1/(1-x)}→∞　（x→+0）

>>827
xが限りなく0に近づくから…という訳ですか？

f(x)=1/(x^2-4) (x→2-0)
この場合どうやって考えますか？
数値を順番に代入していって、グラフを書いて解くしかありませんか？

f(x)=1/(x^2-4) (x→2-0)
→-∞

面倒だからこう書く
1/(-0)→-∞
1/0→+∞

>>830
それは解答の余白か脳内でね

数学に自信のある香具師やってみな。
http://jp.mathnori.com/

>>829
考え方を・・・
御願いします。

xを2より小さい側から近づけるから(x^2)-4はマイナスだわな
で、(x^2)-4は負の性質を持ちながら限りなく小さくなる
分子が小さくなるから全体ではとんでもなく大きくなる

>>833
x^2-4　 (x→2)
→0
じゃん？

それで今ｘが2より小さいほうから2に近づいてきてるわけだから
x^2-4はマイナスの値を取りながら増加してる

>>答えてくださった皆様

ありがとうございました。
考え方がわかるようになってきました。
自分で数値を代入してグラフを書いて…とか面倒くさいことはしないんですね…。

またよろしく御願いします。

誤爆

やわ

>>822
１２を７で割った余りは５だよ

微分のところなんですが
教科書だと"xの整式や分数式などで表される関数については、aが関数の定義域に
属するとき、次のことが成り立つ。
lim_[x→a]f(x)=f(a)"となってて参考書では、
"lim_[x→a]f(x)=Aにおいては、xのaへの近づき方としてxノットイコールaという制限のもとでの
あらゆる近づき方を考えるのですが、f(x)の値の方はAに常に一致することがあってもよいし、また、
つねにAと一致して変動しないことがあっても差支えありません。
たとえば、f(x)≡C(定数)ならlim_[x→a]f(x)=Cは任意のaに対して正しいのです。"
教科書も参考書も似たようなこと言ってると思うのですが、なにをいいたいのかよくわかりません。
特に参考書の"f(x)の値の方はAに常に一致することがあってもよいし、また、
つねにAと一致して変動しないことがあっても差支えありません。"この部分とか"f(x)≡C"の部分がわかりません。(なんで合同記号？)
日本語の問題なのですが、おねがいします。

x=1-t^2
y=1-t-t^2+t^3
で現される曲線Cについてなんですが｡
ｔ -1→-1/3→0→1
ｘ 0 8/9 1 0
ｙ 0 32/27 1 0

のように変化するんですけど、これの面積は
∫[-1,1]ｙdt/dxdx なんですけど、
これをｘで積分した形でちゃんと書くと
∫[0,1]ｙdx−∫[1,0]ｙdx　なんでしょうか？それとも
∫[0,1]ｙdx−∫[0,1]ｙdx　なんでしょうか？

意味分かりますか？ようするにへこみの部分を引くときに
０→１なのか？１→０なのか？ということです。
わかんないかなぁ

教科書の言いたいことは、
xの整式や分数式などで表される関数で、aが関数の定義域に属するなら、
f(x)はx=aで連続なのでlim_[x→a]f(x)=f(a)が成立する

参考書のほうは、
「f(x)の値の方はAに常に一致することがあってもよいし、また、
つねにAと一致して変動しないことがあっても差支えありません。」
というのは多分lim_[x→a]f(x)=Aならx≠aのときf(x)≠Aと思い込んでしまう人が
いるからわざわざ書いてるように見える

f(x)≡Cはf(x)はCという値をとる定数関数であるということを意味しています

>>840
まったく同じ事を言っているし、教科書の方を読めば十分。
参考書はスペースを埋めるためにわざと長くわかりにくく書いてるようにしか見えない。

＞Aに常に一致することがあってもよい
f(x)=Aとなるxがx=a以外のどこかに（どこにでも）存在してよい
＞つねにAと一致して変動しないことがあっても
全てのxについてf(x)=Aであっても（f(x)が定数であっても）

という意味。f(x)≡Cは、恒等的に等しいということ。つまりf(x)が定数であるという事。

>>839はﾈﾀ

∫[-1,1]ｙdt/dxdx
じゃなくて
∫[-1,1]ｙdt・dx/dt
だろう。

>>841
積分範囲がtについて[-1_0]と[0_1]であることを考えれば容易

>>844
(dt/dx)dx のつもりでしょう。

上の続きといえば続きなのですが教科書では上の説明に続いて、こんなことをいっています
"関数f(x)がx=aのとき定義されていなくても、極限値lim_[x→a]f(x)は存在することがある。
例えば、関数f(x)=(x^2+2x)/xの極限値lim_[x→0]f(x)について考えてみよう。この関数はx=0のとき定義されていないが、
xノットイコール0のときf(x)=x+2である。したがって
x→0のときf(x)→2すなわち
lim_[x→0](x^2+2x)/x=lim_[x→0](x+2)=2であることがわかる。"

ここが一番意味不明です"関数f(x)がx=aのとき定義されていなくても、極限値lim_[x→a]f(x)は存在することがある。"
たぶん>>840で書いたことがわかんないからこれもわかんないと思うのです。
な　に　を　い　い　た　い　ん　だ　？　教　科　書　よ　(´･ω･`)

>>847
単純な例で考えればいい。
例えばf(x)=1/x はx=0で定義されないだろう？
で、lim[x→±0]f(x)=±∞、と。極限値が存在しない例。

また例えば、f(x)=1/[x] （[x]はガウス記号）　は0≦x<1 で定義されないだろう？
でも、lim[x→-0]f(x)=-1、と。
f(x)がx=0で定義されないがlim[x→-0]f(x)が存在する例。

>>844　そこらへんはいいんです。
ただ、ｔが-1〜1に変化すると、ｘは０〜１に行ってまた１〜０にもどる
その部分の面積をちゃんと引いた式で書くときに
∫０→１なのか、∫１→０なのか？ということです

>>842,>>843レス(;ﾟДﾟ)ﾄﾞﾓｰ
レス読む前に>>847書き込んでました。死亡。
レスもとにもっかい考えてみます。
あと、f(x)≡Cは　f(x)=Cの場合はただ単にf(x)とCが等しいってことで
f(x)≡Cの場合はf(x)=5みたいな定数の関数ってことでええんでしょうか。

g(x)=sinx/xなんかそれだね
x=0のとき定義されてないけど、x→0の極限値は1

>>849
あ，オレ841でした。

lim_[x→a]f(x)＝A
という式はなにを表しているのかというと、

どんなε>0に対しても、δ>0が存在して、｜x-a｜<δとなるすべての
xに対し｜f(x)-δ｜<εとなる

です。だからf(a)が定義されている必要はありませんし、f(a)＝Aである必要もありません。

>>847
＞な　に　を　い　い　た　い　ん　だ　？　教　科　書　よ　(´･ω･`)
結局、その文のまんまとしか言いようがないな。
極端な話、こんなf(x)を考えるといい。
f(x)=0　(x≠0)
f(x)=1　(x=0)
というやつ。教科書の文に沿って書いていくと。

f(x)の極限値lim_[x→0]f(x)について考えてみよう。この関数はx=0のとき1であるが、
x≠0のときf(x)=0である。したがって
x→0のときf(x)→0すなわち
lim_[x→0]f(x)=lim_[x→0]0=0であることがわかる。

つまり、>>840の話もまとめて書くと、
f(a)とlim[x→a]f(x)の値は違っても良いし、どちらか（もしくは両方）が存在しなくても良い。
両方が存在し、かつ一致する場合、「f(x)はx=aにおいて連続である」という。

>>849
むしろ、媒介変数を使った積分の公式がなぜ成り立つのか考えるべき。

>>843
ネタじゃないんだが
aをbで割った余りがcであるとき、a≡c（mod.b）と書くことにするなら、
12≡26 (mod.7)はおかしい。
12≡5 (mod.7)にするべき。

a-cがbで割り切れるとするなら12≡26 (mod.7)になる。

>>822は言ってることが逆

>>849
それは媒介変数がどうのって以前の話だな
自分は何を求めたいのかグラフを眺めながら考えれ

>>856
おちついて>>822を読み直せ

>>858
すまん、よく読んでなかった

ごめん>>853訂正
「x≠aという条件の下で」が抜けています

>>854
＞x→0のときf(x)→0すなわち
x=0の時f(x)は1でx≠0の時f(x)は0て条件だったら
xが限りなく0に近づいていくとf(x)は限りなく1に近づくのでは？
と思ったのですが、
なんかミスってますかね(;´Д｀)

>>861
グラフかいてみな。x=0 にしない限りf(x)は0のままでしょ。

ミスというより根本的なところだな・・・

グラフを書いてみて、xを0に近づけてみても、ちっとも１に近づいていかないよね

・・・例が悪かったか？

わかりますた(;ﾟДﾟ)！！
xがいくら0に近づいてもx=0でないかぎりf(x)=0なので
f(x)は0のまんまということですね。

>>865
そうそう、そうでつ

教科書も>>854さんの例も
lim_[x→a]f(x)=f(a)でaがf(x)の
の定義域に属さない時、極限値とただの関数値はズレる。という例だったんですね。(´･ω･`)理解遅くてスマソです
それで、
f(x)が点x=aで連続⇔f(a)=lim_[x→a]f(x)
だから今の例から考えて
lim_[x→a]f(x)=f(a)でaがf(x)の定義域に属さないとf(a)≠lim_[x→a]f(x)となるので(←これって必ずですか？)
lim_[x→a]f(x)=f(a)でaがf(x)の定義域に属さないとということは、f(x)が点x=aで連続でない
とういうことですか？

>>867
(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

aが関数fの定義域に属さないときはそもそもx=aで連続か連続でないという話はできない

aがf(x)の定義域に属さないときf(a)は存在しない

【問題】
全く同じで区別のつかないｈ個の球を、区別のつくｋ個の箱に入れるとき
空箱の生じないような入れ方の総数を求めよ。ただしｈ≧ｋとする。

解答：最初にｋ個の箱に球を一つずつ入れておき、残った（ｈ−ｋ）個を振り分ける。
まず一つの球が選択できる箱はｋ通りあり、（ｈ−ｋ）個の球すべてにそれぞれｋ通りの
選択があるからｋ＾(h−ｋ)通り（答）

↑は何でダメなのでしょうか？？

球の区別がつかないから

>>868　(´･ω･`)ﾔﾊﾟｰﾘ・・・
本にこんなことがかいてありますた
「x=aにおける関数値f(a)と、x=aにおける極限値lim_[x→a]f(x)とは異なった概念です。
したがって、一方は存在するが他方は存在しない場合(上の例とかのやつですね)や、両方とも存在
するが両者の値がくい違う場合((;ﾟДﾟ)？？？)などがあります。
もっとも数学�Uで扱う3次関数、4次関数などでは、f(a)とlim_[x→a]f(x)はともに存在して一致します。」

(;ﾟДﾟ)？？？のトコなんですが、両方とも存在するが両者の値がくい違うっていう具体例教えてもらえると嬉しいです。それからx=aにおける極限値lim_[x→a]f(x)ってとこが謎です｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡
x=aなら　aが限りなくaに近づく　？　ってなんじゃーヽ(`Д´)ﾉ

>>871
上の方で例があがってたけど・・・。

f(x) = 1 (x=0)
f(x) = 0 (x≠0)
って言う関数を考えると、f(0)=1 、lim[x->0]f(x)=0。

んで，後半。
「x=a」ではなく、「x=aにおける極限値」。
f(a)を日本語で言うと、「x=aにおけるf(x)の値」
lim[x->a]f(x)を日本語で言うと、「x=aにおけるf(x)の極限値」と言う。
これは、なんでとかじゃなくて、日本語の問題。

>>871
x=aにおける極限値という書き方はおかしいので無視してください

正しくは、xがaに限りなく近づくときの極限値です

たとえば>>854の関数では、f(0)=1　、lim_[x→0]f(x)＝0なので食い違います

>>872,>>872
＞(;ﾟДﾟ)？？？のトコ
あ、そうですね。気付かなかった(´Д｀;)

それから極限値やつは873さんの　無視する　の方向でいいのでしょうか？
872さんのはどうなのだろう・・・。(´･ω･`)

それから他方は存在するがもう片方は存在しない場合は
f(x)=(x^2+2x)/x　の極限値はx=0の時定義されてないので
x=0はありえない。
続いてx≠0の時はf(x)=x+2　よってlim_[x→0]f(x)=2
の場合なんかがそうですよね。

>>874表記ミス吊ってきます
f(x)=(x^2+2x)/x　の関数を考えるとx=0の時定義されてないので
f(0)なんてのはありえない。
続いてx≠0の時はf(x)=x+2　よってlim_[x→0]f(x)=2
の場合なんかがそうですよね。

他スレにあったんですが
>　豆粒ほどの球を有限個に分割して再度組み合せると太陽の大きさの球が作れる
これって本当ですか？

>>876
バナッハ・タルスキーの定理というものです
選択公理を認めるとこの定理が成立します

でも、作れるけど、具体的な構成方法は存在しません

＞パピゴン
こっちでやってくれ

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/l50

∫{0→∞｝dxsin(x^2)=?

2nπ<x^2<(2n+1)π で+∞
(2n-1)π<x^2<2nπ で-∞
x^2=nπ で0

>バナッハ・タルスキーの定理
先生！逆理だと思います。
そんなおいしい定理が世に出まわっていたら（以下自粛

>>877
体積はどうなるんだ？
分割して足しても体積は一緒なんてしょっちゅう使うけど間違いなのか？？

>>882
連続公理を認める限り定理として導かれます

>>883
分割したものが通常の意味での体積が定義できない図形(非可測集合)なんです

水が蒸発するようなもんだろ

単位円周上で角θを顕す動径を図示し、またsinθ、cosθ、tanθの値を求めよ
（1）
θ=π/4

（2）
θ=(16/3)π

予備校のテキストなんで答えが載ってないんですが
解法と非常に恥ずかしいのですが
チャートでのページ数を教えていただけないでしょうか？

>>886
解法とかの問題じゃない
わからなけりゃ教科書読め
ﾁｬｰﾄで見るほどのものでもない

(1)sin=cos=sqrt(1/2), tan=1
(2)sin=-sqrt(3)/2, cos=-1/2, tan=sqrt3

中退組みのDQNですんで教科書持ってないんで・・・
すんまそん。

とりあえず、
http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuu.html
↑
見て、頑張る。これは相当初歩だから真面目にやったほうがいいよ

ホントにありがとございます、がんがります

図示しろってことは
例えば(1)はhttp://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sskansuu45.gifを
書けばいいのでしょうか？

>>891
まあ、そんな感じでいいと思うよ。

どもありがとう御座います。

いつも思うんだが、教科書って買えないのか？

>>894
結構大きい書店なら、手に入ると思うけど・・・
普通の書店ならまず手に入らないと思われ

僕は教科書の代わりに白チャートでやってるんですがやっぱ大分違うんですか？

>>896
いや多分、十分だと思うけど、時々参考書によっては加法定理とかの証明が省かれて
いる時があるからね・・・教科書ならそういうことは無いのだが・・・
でも、白チャートなら詳しく載ってるからいいね。

数研に発注とか不可？

白ﾁｬｰﾄ開いたことないけど代わりになるもんじゃないと思う。思う。

数研に発注か・・・よくわからんのでなんとも言えんのだが、まあ無くても支障は無いと思うけどな。

動点Ｐ(5,10t)とＱ(-10t,-10t^2)を通る直線をｌとする。
（１）ｌの方程式は
　　(2t^2+2t)x+(-2t-1)y+10t^2=0

（２）ｔが実数値をとって変化するとき、ｌの存在する領域は
　　x^2+(y+5)^2=25
　　の周および外部である。ただし点（コサ，シス）は除く。

（３）ｌのうちのただ１つだけが通る点の中で、ｘ座標がもっとも大きいものは
　　　（セ，ソタ）である。

コサシスセソタが分かりません。いちおう出した答えは
（コサ，シス）＝（−５，−５）
（セ，ソタ）＝（５，−５）
なんですが、ちゃんと説明出来ません。
とくに（コサ，シス）がわかりません。

>>900
(2)は、(1)で出した方程式をxについて解いてやればいい。
多分x≠-5が出てくるはず。

(3)は、「lのうちただ１つだけが通る」って文の意味を考えれば容易。

試験前で本当に、本当にﾔﾊﾞｲので助けてください（汗
解こうと30分は頑張ったのですがﾀﾞﾒでした
複素数平面の問題です

（１）
複素数ｚが虚軸上を動いている時、

複素数　ｗ＝（ｚ＋１）/（ｚ−２）　で表される　点ｗの軌跡を求めよ


（２）
複素数ｚが　｜ｚ｜＝２　を満たしている時　次の式で表される複素数wの軌跡を求めよ

ｗ＝ｚ＋　４/ｚ　　　

>>902
どこまで考えたかくらい書いてくれないと、３０分考えたって言っても信じられないよ。

まず(1)。zが虚軸上⇔z=-z~（z~はzの共役な複素数）
よって、元の式をz=〜の形に変形して、z=-z~に放り込む。

(2)
これは教科書に載ってるだろう。
式をz=〜に変形して、|z|=2に放り込む。

>>902
ごめん、(2)、そう単純じゃなかったな。

|z|=2だから、z=2(cosθ+isinθ)ろおいてみる。
こっからwを計算してあげると・・・

>>903
ﾚｽありがとうございます。

30分くらい数学ではわからなくてもあっという間にたってしまうと思うのですが、
頭の良い方は違うようで羨ましい限りです。

（１）は

Z＝　（２ｗ＋１）/（ｗ−１）　　　（ｗ≠１）

ここからわかりません。
ｚ＝−ｚ~　にする方法がわからないです

（２）
ｚ＝x+yi　として、

｜x+yi｜＝２　　∴x^2 ＋ｙ^2 ＝４

∴ｗ＝２ｘ？

結局わけがわかりません。

>>905
（１）
複素数ｚが虚軸上を動いている時、

よりｚ+ｚ~=0


ｚが虚数のときｚ+ｚ~=0は基本事項だよ

>>905
z=-z~ にするのではなく、
z=-z~ に代入するの。

z=(2w+1)/(w-1) なんだから、z~=(2w~+1)/(w~-1)

(2)
>>904読んだ？（汗

lim(n→∞)Ｘn、
lim(n→∞)Ｙn、
が存在する時は、
lim(n→∞)(Ｘn＋Ｙn)も存在するのでしょうか？

>>908
当然存在する

age

　　　　　|　 /_ノ| | 　 /|　 |　|　　 ||　ヽ、 | |､　| ﾄ､ . ||　 　 |､___ノl　|ヽ､.レ |
　　　 　 | /|　　| |　 /j|　 |　 |　　 |ヽ　 V | |ヽ!| |　ヽ||　 　 |　 　 |　| 　 |　 |
　　　 　 |/ |　　| ト/　|　_|___, ヽ　 |　ヽ`‐┼|‐┼ト--||､ヽ、|　 　 |　|　　|　 |
　　　 　 |　|　 ‖|　　 ||　|　 ヽ ヽ　ヽ　l　 |‐|--ﾄ､l_　||　　､|　 　 ﾚ' |フ‐|　 |
　　　　　|　|　 |l　|. 　 ||L.|二、　 ヽ　!　| 'T '〒;;;:ぃ=､|_　　||　　r|　.| ,ｨ |-ﾍ| |
　　 　 　 !. |.　||ヽヽ　 | 「|ヽ:;;:_! 　ヽ |　|　|　 .!　''`'1 ||　　ハ　//　 |ん | 　.ﾄ|
　　 　 　 ﾄ､|　| ! ヽヽヽ! | |⊥.ﾉ　　ヽ!　l/　　`ー‐十/|　 ,'　ﾚ' / 　 |7 / 　 | |
　　　　　 ',　ヽ| |　ﾄ､ヽ||ヽl|　　 .::ﾉ　　 (j　　　　　 } || |　/　　/　　/ ,ｲ　　 | |
　　　　　　', l　| |　| |ヽ||　`i　　く　　 　 　 　 　 　 Yl| | /　　/　 ,ｨしi |　　 | |
　　　　　　 ',|ヽ!　/| | |`i|　iヽ、 　　 ､＿　　　　　　j| //　　/ ／/||　j|　　 | |
　　　　　　　', U　| | | / |　|　| ヽ､　　､_ ｀　　　　　///　　/ / /| |ﾍ/|　　/ j
　　　　　　　 ',　　| | |ﾊ　|　|　|. | | ヽ､　　　　 ,.　'´/l/　　// /| | |　l| |　/ /|
　　　　　　　　',　 |　! |||　|　|　| | |　| | `ー l| ||　 / j　　,ｨ' /　l| | | /| |_/./j||!
　　　　　　　　∧ |　 ! |ﾊ. |　|　| |/ ///川//ﾚ|　//|　// /　| ヾ|/､　|　,ｨ'/l ||
　　　　　　　 /∧|　　! V ! |　　 ‖ // _,. -'⌒　// レ/ /　（j　 //　 |// j | ||
　　　　　　　//　ヽ.　 ! V !ヽヽ、| |‐''´r''´　 　 //　 /./　 　 　 ,'　,　 |/ /ｰ-､
　　　　　　 //　　∧　 ! Vヽヽ ` | |__ノ　　　　//　//　　 　 　 / /　/　/|-─
　　　　 　 //　／/∧　 !'､ ヽヽ　| |`''- ､　　 〃 //　 ＿__,.- / /　/　/ |
　　 　 　 //／　//　∧　ヽ l､ヽ　| |　 　 ｀ヽ/ 〃　／　　　 / /　/　/|. |
　　　　 //　　 //　〃ﾄｲヽヽ| ヽヽ| |　　　　/./-　'′　 　 〃/　/　 l　| |
　　　 //　　 //　 // U　 ヽﾒ　|ヽl|｀ヽ　　//　　　　　　 ///　./　 /!　| |
　 ／ /　　／　　//　　　　/　 |　 ||　 　 〃　　　　　 ／//　 /　 / |　 | |

>>911
(;´Д｀)ﾊｧﾊｧ

曲線Ｃ：f(x)=x~3+ax上の点P{t,f(t)}における接線mが点Pと異なる点Qで交わるとする。接線mと曲線Ｃで囲まれる面積の値を求めよ。
という問題なんですけど点Ｑは三次関数の性質上すぐにQ{-2t,f(-2t)}ってわかるんですけど、解答を見ると面積＝{t-(-2t)}~4/12しか書いてありませんでした。面積の出し方に公式があるんですか？

数列の漸化式で、
(Ｘn)^2＋(Ｙn)^2＝｛(Ｘn-1)^2＋(Ｙn-1)^2)｝^2
がなぜ
(Ｘn)^2＋(Ｙn)^2＝｛(Ｘ1)^2＋(Ｙ1)^2)｝^2^(n-1)
と変形できるのでしょうか？
誰かお願いします！

>>914
(Ｘn)^2＋(Ｙn)^2=(Ｚｎ)

と置いてみましょう。

>>915
う…わかりません…。。。
最後の
｝^2^(n-1)
にどうしても結びつかないんです。。。

>>903
まぁ、平凡な解き方だが。
(1)
bを実数としてz=biと置けるので、与式に代入。
w=(bi+1)/(bi-2)
=(b^2-2+3bi)/(b^2+4)
よって、wは複素平面状でx=(b^2-2)/(b^2+4), y=3b/(b^2+4) 上を動く。
b=2tanθとおいて　x=(1-3cos2θ)/4, y=(3sin2θ)/4
θを消去して　(x-1/4)^2+y^2=(3/4)^2
ごめんめんどかった。どっかミスしてるかも

(2)
|z|=2より|z|^2=4 また、|z|=z*z~
これよりz*z~=4⇔4/z=z~　（∵z≠0）
よってw=z+z~=2x （但しz=x+yiとした）
|z|=2より-2≦x≦2
したがってwは実軸上で区間[-2,2]を動く。

>>916
Z(n)=Z(n-1)^2=Z(n-2)^(2^2)=Z(n-3)^(2^3)=...=Z(1)^(n-1)
となります（順々に項を繰り下げ）
ポイントは、Z(k)^(m)の、k+mがnになるところ。

訂正：
Z(n)=Z(n-1)^2=Z(n-2)^(2^2)=Z(n-3)^(2^3)=...=Z(1)^(n-1)
→Z(n)=Z(n-1)^2=Z(n-2)^(2^2)=Z(n-3)^(2^3)=...=Z(1)^(2(n-1))

補足：
Z(1)^2^(n-1)=Z(1)^(2(n-1))

>>916
>>915に従うと、
z[n]=(z[n-1])^2だろ？
ってことはこれを繰り返し用いて
z[n]=(z[n-1])^2=(z[n-2])^4・・・(z[n-k])^(k^2)・・・(z[1])^{2^(n-1)}

>>919の指数の書き方、おかしいかも。
どうもテキストだとこんがらがって。

>>920
(z[n-k])^(k^2)は(z[n-k])^(2^k)の間違い。
ｽﾏｿ。

>>921
禿同（ﾜﾗ

>>915
>>918
>>919
>>920
>>921
>>922
詳しくありがとうごさいました！本当によくわかりました！！

>>923
理解してもらえたようで何よりです。

y=sin(x^3)
y=1/(cosx)
をそれぞれ微分したいのですが
どのように解けばいいのでしょうか？

y'=(x^2)cos(x^3)
y'=(sinx)(cosx)^(-2)

上はx^3をXとでも置いて微分してごらん。
下もcosx=Xとでも置いて微分すると出るよ。

すまん、
上の香具師の訂正。

y'=3(x^2)cos(x^3)

だな。ソマソ。ｍ（_　_）ｍ

(1)はわかりました。どもです。
(2)ですがcosx=Xとおいて
sinx(X^-2)となるのでしょうか？
上記式でもアタマこんがらがってきたんですけど（汗

>>928
1/xってのはx^(-1)だから、
(1/x)' = {x^(-1)}' = -x^(-2)

{1/(cosx)}' = -(cosx)^(-2)・(cosx)'

>>929さん
とてもわかりやすいです。ただヒトツひっかかるのは
{1/(cosx)}' = -(cosx)^(-2)・(cosx)'
の-(cosx)^(-2)は
y＝cosx　y'＝−sinxの公式を使って
(sinx)^(-2)にしてはだめなのでしょうか？

>>930
あかんよ
sin(x^3)の時だって、
{sin(x^3)}' = cos(x^3)・(x^3)' だったっしょ？

そうでした。
非常によくわかりました。ホント感謝してます。
こんな時間にまでお付き合い頂き本当にありがとう御座いました。

次の極限値を求めよ
lim_[x→2](x^3-10x+12)/(x^2-4)

これわかりません。(;´Д｀)ﾊｧﾊｧ
とりあえずx=±2の時は定義されてないから
因数分解でもまたーりして約分しようと思たんですが・・・(´･ω･`)
あと、分子/分母で割り切れるかなとも思ってやってみたのですがこれまたあぼん
平方完成もいろいろ考えてみたのですが・・・
おながいします

>>933
x^3-10x+12=(x-2)(x^2+2x-6)
x^2-4=(x-2)(x+2)
よってlim_[x→2](x^3-10x+12)/(x^2-4)=lim_[x→2](x^2+2x-6)/(x+2)=1/2

共通因数出ますよー。

>>934
ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(｡ 　)━(A｡ )━(｡A｡)━━!!!!
x-2をだせたんか｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡
ありがとですた。

追加でごめそなんでつが

球の半径rが変化する時,この球の体積Vのr=3における変化率を求めよ.
と
立方体の1辺の長さLが変化する時,この立方体の体積Vと表面積Sの,L=2における変化率を求めよ.
て問題の日本語の意味がわかりません｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡

>>935
日本語の意味、ですか。
関数があるとき、その関数の一次導関数は変化率を表します（って、この方が分かりづらいか……）
だから、上のは体積を半径の関数としてV(r)=(4/3)*PI*r^3(PI=円周率）と表されるから、
両辺を微分しr=3を代入すれば出ます。
下のも同じように、V(L)=L^3、S(L)=6L^2を両辺Lで微分し、L=2を代入すれば出ます。

分からなかったら質問に乗りますよー。思いっきり暇だしｗ

>>936
高速レスどもですー(;ﾟДﾟ)
やぱーり微分でせうか・・・
ありがとですた。




教科書の問題もできん漏れ(´･ω･`)吊ってきます

>>937
数IIIは定型的な問題が多いので、慣れることが大事ですよー。

逆に型にはまらない問題が多い確率とかは、まめにやっておきましょう。

｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡
前前から聞きたかったことなんですが
f(x)=x^2　だと
f(x+h)=(x+h)^2
て計算するじゃないですか。
f(x)=x+5　だと
f(x+h)=x+5+h　　？？？？
なんかこれの計算方法がよくわからないです｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡
だから上の問題も
V(r)=(4/3)πr^3
V'(r)=lim_[h→0]{V(r+h)-V(r)}/h
とまでは来るのですがV(r+h)の計算わかんなくてあぼそ(´･ω･`)
もうだめぽです
f(x)=x^4-2x-√5　とかすごい時でも、みなさんは
この式のf(x+h)計算できるんですよね・・・おせーてください

>>939
関数の意味は、砕いて書くと、
f(x)は「xを与えたとき、値を返すもの」っていう感じです。
xは具体的な数値でも”別の変数でも良い訳です。
例えばf(x)=x^2+1という関数があったとき、左辺のxと右辺のxは同じ値を取りますね？
x=2ならf(2)=2^2+1。では、x=x+5だとすると、
f(x+5)=(x+5)^2+1、となります（xに代入する値は、x自身でも良い。変数の文字が何であるかは、ここでは意味を持ちません）

一番下のf(x)=x^4-2x-√5の場合だと、x=x+hを代入して、
f(x+h)=(x+h)^4-2(x+h)-√5となります。あとは展開・整理するだけ。

説明が分かりづらいかもｗ

補足：
f(x+h)=x+5+hは、右辺の項の順番を変えただけです。

ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(｡ 　)━(A｡ )━(｡A｡)━━!!!!かもｗ
f(x)=x+5　だと
f(x+h)=x+5+h
これは正確には
f(x+h)=(x+h)+5　と書けば誤解がないのですね｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡

てことは上のV(r)=(4/3)πr^3って式のV(r+h)は
V(r+h)=(4/3)π(r+h)^3
となるのですね(;ﾟДﾟ)しゃぁ！
レスどもです

ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(｡ 　)━(A｡ )━(｡A｡)━━!!!!
解けますた｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡ぅぅぅ。感動でつ。
V(r)=(4/3)πr^3
V'(r)=lim_[h→0]{V(r+h)-V(r)}/h
=lim_[h→0]{(4/3)π(r+h)^3-(4/3)πr^3}/h
=lim_[h→0]{(4/3)π(r^3+3r^2h+3rh^2+h^3)-(4/3)πr^3}/h}/h
=lim_[h→0]{4πr^2h+4πrh^2+(4/3)πrh^3}/h
=lim_[h→0]4πr^2+4πrh+(4/3)πh^2
=4πr^2
すなわち表面積！
無駄に解答載せてすみませそでつ｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡嬉しかったので

＞=lim_[h→0]{(4/3)π(r^3+3r^2h+3rh^2+h^3)-(4/3)πr^3}/h}/h
ここ誤爆でした。ごめんなさい
最後の　}/h　てのが余計です｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡

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ヽ　　'iハ　／/　　　　　　l　　　　　　／/　ノ /ﾝﾞ| | /　　|ヾ　　i　　|　l　 i
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　||　 ||　l` |lヽヾ,.＞`,':;- ､.,,,_,.. ;‐',"　 {,ヽ〃|i/ /, || | ||　　　|　　 |　　　|　|　　 ＼
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>>943
おめでとう、役に立てたようでｗ

自分はセンターの数学はかなり出来るんですが
２次（私大、国立）になるとあんまりいい点いか無いんです。
いい参考書教えてください。

東大数学はこんな問題が出たんだがどうよ？
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/tokyo/zenki/ri_sugaku/mon6.html

>>948
激しく激しく激しく激しくｶﾞｲｼｭﾂ

質問いいですか？
去年の一橋大学後期の問題なんですけど。
問題１とその解答を見てもらいたいんですが。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho02/hitotsubashi/koki/index.html

解答の（ロ）で、なんで　lαl>1　になるのかがわかりません。
解説できる方がいらっしゃったら、よろしくお願いします。

>>935ですが>>934さんは共通因数x-2をどのようにして見つけたのでしょうか？
漏れは　分母が(x-2)(x+2)とできるから(x-2)か(x+2)のどちらかを分子からもくくりだせるはずだ
と考えて両方試したらx-2の時にできたんかなぁ。と考えてるのですが、実際どないでしょうか？

あとlim_[x→0]｛(x-1)^3+1｝/x(x-1)の極限値って-2ですよね？教科書だから答えない｡･ﾟ･(ﾉД｀)･ﾟ･｡
それから
lim_[x→-2]5(x+1)^3の極限値の答えは-5ですよね？教科書こわい(´･ω･`)