数学の質問スレ　その３

数学の質問スレ。
わからない問題などがあったらここで聞いてくれ。
良い参考書とか勉強の仕方とかは別のスレがあるんでそっちで聞くべし。

前スレ
http://school.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1020087580/l50

2

>>1
おつかれ〜

＞＞２
サンクス、ア　ロット。

↑は＞＞１の間違い。(鬱

＞代蝉津田沼

サンキュ

あー　やべ　重複しちゃったｗ

こっちが本スレでふぁいなるあんさー？

Final Ans.
ちなみに、前スレ１０００取っちゃったのは俺です。。

直線(4ａ−3）ｙ＝（3ａ−1）ｘ−1　がある。この直線が第2象限を通らないための
範囲を求めよという問題で、
ａ≠3/4のときの条件が３ａ−１/４ａ−１＞０と−１/４ａ−３≦０となっているんですが、
なんで３ａ−１/４ａ−１＞０になるんですか？３ａ−１/４ａ−１≧３/４とおもうんですが？
教えて下さい。ちなみに３/４は原点と定点との直線の傾きです。

>>10
だって傾きがマイナスの時必ず直線は第二象限を通るんだよ。
逆に言えば正ならば通らない場合も出てくる。そのときｙ切片はマイナスである。
と言ってるのだと思う。図に書けばわかると思うが。どうでしょう？

レスありがとうございます。
＞だって傾きがマイナスの時必ず直線は第二象限を通るんだよ。
逆に言えば正ならば通らない場合も出てくる。そのときｙ切片はマイナスである

それは理解出来るんですけど、じゃあなんで３ａ−１/４ａ−１≧３/４ではいけないんですか？

傾きとＹ切片の条件かと思われ。

直線の傾きが正かつＹ切片が負。

>>10
(3a-1)/(4a-1)とかって書いたほうがいいと思うよ。
始め意味が分からんかった。

>>12
その３／４はどこから出てきたんだろうか？
君の考えをもう少し書いて欲しいのだが

あ　そか原点と定点の・・・ッテ書いてあるもんねｺﾞﾒｿ
しばしお待ちを

この直線は原点なんか通らないだろ。
3/4ってどこから出てくんの？
どうして、そうなったかを書かないと、いくら説明したって理解できないんじゃないの？

>>18
定点を通る直線が　ｙ切片＜０　を通ると考えると傾きが３／４以上になると彼は考えたようだよ。
傾きが３／４以上になればより縦方向の直線に近くなるわけだから切片はマイナス方向に動くってことでしょたぶん

＞前スレの９５８よ
２００÷４０÷２０＝０．２５か？
これならゼロ消せないか？

>>12
んで君の答えは解答と違ってたのかな？
単に解き方が別方向からってことなら君の考えも間違ってはいないと思う
ただ今計算したんだけどその計算だとａが消えちゃってできなくない？

age

｜ｘ｜+2｜y｜=2のグラフを図持すると、
ひし形になるらしいのですが、具体的にどのように考えて行って
そのようなグラフができると考えられるのでしょうか?

とある問題の解答の一部なんですが。

sinθ/cosθ ＋ cosθ/sinθ

=sin^2θ＋cos^2θ/sinθcosθ

となっていたのですが、上段の式にどうやったら下の式になるのかがわかりません。
ちなみに　/　は分数を表しています。
見にくくてすいません。

>>24
つうぶんって知ってる？

>>25
ということは、sinθcosθをかけた…ということですか？

分数の分子分母に同じ数をかけても
値は変わらないって分りますか？

今からBをはじめるのは無謀だろうか？
数１A2もまだままならないのだが。。。
やはり諦めるべきなのでしょうか？

>>28　直角三角形OABの中の内接円をもとめる式に
　2r=AB+OB-OA　とかある？講師に聞こうと思ったが､もう会えん｡

ん？……わかりません。。。
あ！分かったかも！？

ということは、
左の式には　分子分母ともにsinθを。
右の式には　分子分母ともにcosθをかけた…ってことですか？

ＤＱＮですいません…

>>30　1/2　+　　1/3 =??
　　　　

>>30
言いたい事は分るけど
sinθ/cosθ ＋ cosθ/sinθ
これだけで1つの式なんだよ。

５／６…ですよね。

あぁ分かりました！
どうもありがとうございました<(_ _)>

>>29
おまえ結構いい大学志望じゃなかったか？
内接円の中心＝内心　だから、△ABCの内心をI, 内接円の半径をr,
△ABCの面積をSとして、
△IAB＝rAB, △IBC＝rBC, △ICA＝rCA
S＝△ABC＝△IAB＋△IBC＋△ICA＝rAB＋rBC＋rCA＝r(AB＋BC＋CA)

>>34やり直し。
内接円の中心＝内心　だから、△ABCの内心をI, 内接円の半径をr,
△ABCの面積をSとして、
△IAB＝(1/2)rAB, △IBC＝(1/2)rBC, △ICA＝(1/2)rCA
S＝△ABC＝△IAB＋△IBC＋△ICA＝(1/2)rAB＋(1/2)rBC＋(1/2)rCA＝(r/2)(AB＋BC＋CA)
∴AB＋BC＋CA＝2S/r

>>29
2r=AB+OB-OAって事はOB=OAである二等辺三角形の時
2r=ABになるけどひとつの辺と内接円の直径が等しいと
∠A=∠B=90°になるから成り立たないんじゃないの？

≦23 おねがいします。

>>37
図書けば分かる。場合分けしなさい。

（・∀・）ｲｲ!!

Ｘ＝０の時とＹ＝０の時で考えたらひし形だって見当つくでしょ。

>>21
遅くなってスイマセン。
＞ただ今計算したんだけどその計算だとａが消えちゃってできなくない？

そうなんです。ａが消えてしまうんです。
この直線はａの値に関係なく定点（４/５，３/５）をとおりますよね。
そして原点と定点を結んだ傾きは３/４。定点は必ず通るわけだから、傾きが３/４以上になれば
ｙ切片は必ず負になり、第二象限は通らないと考えたわけです。
説明不足でスイマセンでした。

>>40
図書いたらわかりました。
ありがとうございます。

稀に見る良スレ

ヘロンの公式の証明ってどうやればいいんですか？

>>41
計算できないんじゃしょうがないよねｗ
センスはいいのかも知れないけどそう言う問題もあるから
多角的に考えることが大事かと。。。

>>41
ａの値に関係なくってことはａについての恒等式ってことになりますよね？
そうすると４Ｙ−３Ｘ＝０かつ−３Ｙ＋Ｘ＋１＝０になりますよ？

>>44
ttp://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/heron.htm

>>46
それを解いて定点の座標をだしますよね？

>>48
はい

>>49
以下41のようのに考えたわけなんですけど、なにがいけないんでしょ？

>>50
すべてのａについて成り立つんじゃないから恒等式は使えないんじゃないんですか？

>>51
つまり、ａ≠３/４と場合分けした時点で恒等式は成り立たず、定点もないと
いうことですか？

>>52
だからさ、ａ≠３/４という条件があるわけなんで恒等式の考え方はできないでしょ？

>>53
そういうことだったんですか。わかりました。ありがとうございます。
（1）が定点を求めよという問題だったので、勘違いしてました。

連続する４つの自然数の積は２４で割り切れることを示せ。
という問題で

n(n+1)(n+2)(n+3)
＝n^4+6n^3++11n^2+6n
を使った解き方のこの続きをおしえてください。

>>55
あと、別解で
連続する４つの自然数の中には、２の倍数が２つあり、そのうち１つは
４の倍数である。また３の倍数も少なくとも１つある。
つまり　２×４×３＝２４　　　←ここがよくわからないんですが・・・

>>34-36 スマン､ちと問題そのまま転写する(大げさかもしれませんが・・）｡【解答】も｡
｢座標平面において原点をＯ､座標が(6､0）,(6,8)である点をそれぞれＡ､Ｂとする。
　このとき､三角形ＯＡＢの外接円､内接円の方程式を求めよ。｣
【解答】
｢△ＯＡＢは∠Ａ＝90ﾟの直角三角形であるから、外接円の中心は斜辺ＯＢの中点(3,4)
,半径は 1/2OB=5.(←こうゆう定理ってあった?常識？)
よって､外接円の方程式は
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
また内接円の半径をｒとすると
2r = OA + AB -OB (←例のやつです)
　 = 6 + 8 -10
= 4
よりr=2
中心は図より(割愛)　(6-r,r) すなわち(4,2)よって内接円の方程式は
(x-4)^2 + (y-2)^2 =4

ＤＱＮですいませむ・・・。
あと､よかったら三角関数の和→積･積→和　の公式の要領のいい覚え方あったら､教えてくれたら嬉しいです｡

失礼､」は最期の ...+(y-2)^2=4 ｣までって具合です｡

>>57
1/2OB=5･･･１　2r=OA+AB-OB･･･２
両方とも直角三角形だから使える公式ですね。

１は直角三角形の外接円の直径の長さと
斜辺の長さが等しい事から明らかですよね？

２は図を書いて内接円の中心から各辺に向かって垂直な線と
三つの角へ線をひいて合同な三角形を作れば
分ると思います。

lim　＝1-cosx／x^2×cosx
x→0

のやり方が分かりません。
どなたかお願いします。

>>60
式をもっと明確に書いてください。

(1-cosx)／(x^2)×cosx
(1-cosx)／(x^2×cosx)
1-(cosx)／(x^2)×cosx
1-(cosx)／(x^2×cosx)
どれ？

ちなみにコスの極限０は１

これ
(1-cosx)／(x^2×cosx)

つーか
(sinx/x)^2がどうして1になるのかが分からない。

【定理】
limαとlimβが同じ条件で収束するとき､limαβ=limαlimβ

lim(sinx/x)=1だからlim(sinx/x)^2=lim(sinx/x)lim(sinx/x)=1*1=1　(x→0
x→0

＞lim(sinx/x)=1だから
＞x→0

だからなんでそうなのかがわからない。
教科書に書いてあるからとかそういう意味じゃなくて。

>>64
近似値の定理って知ってますか？
ｈが0に限りなく近い時
ｆ(a+ｈ)≒ｆ(a)+ｈｆ´(a)
ってやつなんですけど、これを使うと
lim　sin(0+X)≒sin(0)+Xsin´(0)
x→0
これを計算すると
lim　sin(0+X)≒Xcos(0)=X
x→0
つまり
lim　sin(X)／X≒１
x→0

>>66
　　　　　　証 　明 　読 　め

ぶっちゃけ、
(sinx)/x→1(x→0)が成り立つように
弧度法（ラジアン）というものを定めた、
と思ってしまってもよいぐらい。

>>55-56
おねがいします・・・。

５５はかくの面倒だけど帰納法とかでなんとかならないか？
>>56
連続した4つの自然数のなかには、
2の倍数が2つ必ずあり、4個連続してるわけだから1つは４の倍数
４の倍数でもあるものを4a、2の倍数で４の倍数ではない方を2bとおく
また3の倍数も必ず一つまたは２つ含まれている、その一つを3cとおく
残りをdとする
と連続した４つの自然数の積は4a×2b×3c×d=24abcd

あ、abcdはそれぞれ自然数

>>55
解答には何とかいてあるんですか。

計算でしっくりさせるには3及び4の剰余形利用がいいかもしれないね。

自然数全体は 3k−2, 3k−1, 3k (kは自然数) のどれかに属し、
また、4k−3, 4k−2, 4k−1, 4k (kは自然数) のどれかに属するから、
nのそれぞれの値において、
n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝3l (lは自然数)
また、n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝8m (mは自然数)
よって、n(n＋1)(n＋2)(n＋3) は24の倍数である。

＊合同式を使うと答案はすっきりすると思うが・・・

>>24
鮮やかだ。

>>66　以下のものは便利だから余裕があれば覚えておくといい。
別解1. ロピタルの定理を使う場合
ロピタルの定理の概要
f(a)=0, g(a)=0のとき、
lim f(x)/g(x)=lim [{f(x)-f(a)}/(x-a)]/[{g(x)-g(a)}/(x-a)]
x→a x→a
=lim f'(x)/g'(x)　　　：　ロピタルの定理
x→a
要するに極限の問題で普通にアプローチさせたら0/0になってしまう場合、
分母と分子をそれぞれ微分してやればいい。
これを使うと、
lim sinx/x=lim (sinx)'/x'=lim cosx/1=1/1=1
x→0 x→0 x→0

別解2. マクローリン展開を使う場合
マクローリン展開の概要(おいしい部分だけ説明)
f(x)をn回微分したものをfn(x)、xのn乗をx^n、nの階乗をn!とおくと、
∞
f(x)=Σ[{fn(0)/n!}x^n]　　：　マクローリン展開
n=0
高校生レベルの関数ならたいていマクローリン展開が適用できる。
これを使うと、
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-(1/7!)x^7+ ……
∴ sinx/x=1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-(1/7!)x^6+ ……
∴ lim sinx/x=lim{1-(1/3!)x^2+(1/5!)x^4-(1/7!)x^6+ ……}
x→0 x→0
=1

>>76は極限のアプローチの部分がずれてしまった。ｽﾏｿ

>>59 　ありがとう｡　もうこのまま覚えておきますわ｡

<<66
三角形の面積で求めてる奴あるだろ？
それ読めばいいじゃん。

>>76はどこかの大学の理学部か工学部の一年生だな。
そろそろロピタルの定理が終わってる頃だろ。

>>71-72
あ！ほんとだ！恥ずかし・・・ありがとうございます

>>73
解答は>>56で、>>55のほうはn(n+1)(n+2)(n+3)を使うやり方もある
とだけしか書いてないんですよ（＾＾；

>>74
剰余形利用（’’；）？

＞自然数全体は 3k−2, 3k−1, 3k (kは自然数) のどれかに属し、
＞また、4k−3, 4k−2, 4k−1, 4k (kは自然数) のどれかに属するから
これが剰余形利用の定義ですか？ＤＱＮですいません

この前の駿台全国模試の問題

lim(n→∞) {2^n-1*tan(a/2^n)*tan(b/2^n)} / {tan(a/2^n) + tan(b/2^n)}
を求めよ

に対し

[解]
θ≒0のとき、tanθ≒θであることに注意して、nが十分大きいとき、

　　{2^n-1 * tan(a/2^n) * tan(b/2^n)} / {tan(a/2^n) + tan(b/2^n)}
　　≒{2^n-1 * a/2^n * b/2^n} / a/2^n + b/2^n}
　　＝ab/2(a+b)

よって，n→∞のとき、

　　lim(n→∞) {2^n-1*tan(a/2^n)*tan(b/2^n)} / {tan(a/2^n) + tan(b/2^n)}
　　＝ab/2(a+b)

と書いたところ一点ももらえなかったのですが(数値はあってます)
一体何処が良くない解答なのでしょうか？

厳密性がない

複素数平面上において､同一直線上に無い3点A,B,Cにα,β,γを対応させる。
△ABCの内心をPとする時、Pに対応する複素数をα,β,γで表せ。

解けません｡複素数としてとらえた方がいいのか､他の方法があるのか…｡
考え方と解答キボン

>>84
内心は，角の二等分線の交点だお

>>76
循環論法のおそれがあるので
むやみに使ったり薦めたりするのはやめましょう。

f(x)=sin(x)のときf'(0)を求めよ。

これを微分の定義通りに求めれば
f'(0)=Lim[x→0]sinx/xです。

(sinx) '=cosxを使ってもよければLim[x→0]sinx/x=f'(0)=cos0=1でおしまいです。
(sinx) '=cosxが使えなければこの話をロピタル、マクローリンに適用することはできません。

線型代数の線型ってどういう意味？
線型性とか、線型微分方程式とか、んー・・・

数�Uの指数関数のやつで

logcb
logab=-----
5 logca

ってあるけど、このcってのはどっからくるの！？
だれか教えてくださいm(_ _)m

間違えました。

　　　logcb
logab=-----
　　　logca

自分の好きな数

ｃは０と１以外の正数なら何でもその式を満たす
からどこからといわれても・・

>>90
ありが�d！！

>>84
複素数平面上において､同一直線上に無い3点A,B,Cにα,β,γを対応させる。
△ABCの内心をPとする時、Pに対応する複素数をα,β,γで表せ。

複素平面上の△ABCの頂点 A, B, C, 内心I を、A(α), B(β), C(γ), I(δ) と定める。
Iから辺ABに下した垂線の方程式は、Z＝δ＋k(β−α)i (kは実数) と表されるから、
(Z−δ)/(β−α)i＝k⇔{(Z−δ)/(β−α)i}'＝(Z−δ)/(β−α)i
⇔(δ'−Z')/(β'−α')i＝(Z−δ)/(β−α)i
⇔(δ'−Z')(β−α)＝(Z−δ)(β'−α') ...(*)
同様にしてIから辺BC, CAに下した垂線の方程式は・・・(**), (***)
これらから、Z, Z'を消去するとδをα, β, γで表せる筈だｗ

>>87
簡単に言うと、y=ax+bって関係になってたらいいんじゃなかったかな…
オームの法則とか線形だよ。

みんな頭いいな・・・。

>>89
底の変換公式。以上。

>>96
文盲ﾊｹｰﾝ

>>89
y=log{a}b　とおくと
a^y = b よって両辺に底ｃの対数にとると
log{c}(a^y) = log{c]b
ylog{c]a = log{c]b
よってy = (log{c]b)/(log{c}a) = log{a}b

＞８７
線形っていうのはインプットに対してアウトプットが一意に定まるもんだとおもい
ます。

一応100っと…

age

>>99
そうじゃなくって、
X,Yが解ならaX+bYも解になるやつを線形といいます(a,bは定数)
例えばXが(x,y)という２成分のものだとして、
dy/dx=x　の解の１つをX=(s,t)とすると、aX=(as,at)もその方程式の解になる
（d(at)/dx = a×dt/dx = as ∵dt/dx = s）
からこれは線形（だろう）。（ほんとはすべてのaX+bYが解になることを証明する）
(dy/dx)^2 = xについて同様にやると(d(at)/dx)^2 = a^2(dt/dx)^2 = a^2 s ≠as
となるから、(dy/dx)^2 = xは線形ではない。
というような感じ。あくまでも「感じ」です・・・
なんで線形代数が重要かっていうと、線形の方程式は解が得やすいから
（非線形は特殊なのしか解けない）っていうのが第一で、あと、
線形の範囲での議論でも物理などで妥当な解が得られることが多いからだと思います。
いいかげんでｽﾏｿ

>>102
ﾏｼﾞで？そうだったのか…

>X,Yが解ならaX+bYも解になるやつを線形といいます

線形だから、X,Yが解ならaX+bYも解になるんじゃなくて？
線形なら、重ねあわせから、上のようになると思ってました。
こうなるやつが線形って言うのか…

>>103
マジ。

Ｖ：線形空間
Ｗ、Ｘ；２つのＶの部分空間
Ｗ+Ｘ＝｛Ｗ+Ｘ｜ｗ∈Ｗ、ｘ∈Ｘ｝
この部分空間の和がＶの部分空間になることってどうやって示すの？

>>105
ここで質問するな！

>>105
線形空間・部分空間の定義を勉強せい！
定義からそのまんまです。（ちょっとだけ計算すればいい）

>>105
ＷがＶの部分空間である必要十分条件
・Ｗが空集合でない。
・x,y∈Ｗ　⇒　x+y∈Ｗ
・x∈Ｗ　⇒ ax ∈ Ｗ
だよね。

もちろんＷはＶの部分集合ね。

age

積分の定義ってなんですか？
奇関数を積分すると０になるって事は面積ではないんですよね？

>>111
x>0の面積とx<0の面積の差だと思ったらどう？
もちろん定義ではないけど。

>>111
一応「符号付きの面積」だからね。
下にある部分の面積は−になる。

>111
奇関数を積分すると０になるのか。

積分区間によるなｗ

>>115
そうしょうもないことで噛み付くなよ。そんなのわかってるだろうよ。

あは

>>117
そんなことより、証明すれば？

そういわれると、やりにくい・・・ｗ
SSSってｗ突然パワーアップするなよｗ
って雑談になりそうだから、やめw

>>119
パワーアップしてみました。（ｗ　こんなのA級でもできないのか。。。

>66
ラジアンというのは、
数直線を単位円周にそって巻き付けて作った分度器で計る角度なのだ。
半径１の円周は2πだから、平角はπだし、直角はπ/2になるわけだ。
このように角度を測ることは、極めて自然だし普遍的だ。
（通常360等分したものを用いるのは、地球の暦にあわせたから）

A(1,0)、P(cosθ,sinθ)、O(0,0)とする。
単位円において、ラジアンで計った∠POA＝θがゼロに近い値をとる場合、
三角形POAと扇型POAの面積は、ほぼ等しくなる。
（半径が１だから、弧長PA＝1×θ＝θなわけだけど、これこそが弧度法だね）
だから、θ≒0（θ＞0）なら、
1/2×1×1×sinθ≒1/2×1×θ
sinθ≒θ
ちなみに、tanθ≒sinθ≒θ（θ≒0）
（θ＜0の証明は教科書に譲る）

この考え方は、小学校で円の面積を、
「円周の長さ×半径÷2」と教えるのと同じことだよ。

>99
“線型”というのは、和と実数倍について閉じているということだよ。

たし算してからうつすのと、うつしてからたしたのとが同じ。
実数倍してからうつすのと、うつしてから実数倍するのとが同じ。

補足：期待値とかも線形性を持つﾖﾈ。「和の期待値は、期待値の和」

パラメーターというのの意味がよくわからないのですが・・・・

>124
　例えばｘとｙが単位円上を動くとして、時々刻々と点が円上を移動するよね。そんな場合、「時間ｔがﾊﾟﾗﾒｰﾀｰ」って言いまつ。
　ｘ＝f(t)、y＝y(t)とかって書きます。時間がﾊﾟﾗﾒｰﾀｰになることが多いけど、角度とかもなる。教科書見てみ。

>124
“パラメーター”と“parameter”を辞書でひいてみたか？

>125
タクロウ君は説明が曖昧だね。
「xとｙが単位円上を動く」と｢(x,y)が単位円上を動く」とでは意味が違う。
それから、キミの説明のパラメーターは「媒介変数」のことにしか触れていない。
いわゆる「文字定数」もパラメーター。
（方程式ｘ＋a＝0の“a”はパラメーター）

例えば、「身長、体重、年齢」もパラメーター。
124の質問は、ありがちだけど、漠然としていてこたえにくい。

受験生諸君！この問題を解答して見なさい。
ある大学の入試問題（正解が出たら教えてあげる）

問題：（線形計画法）
　あるレストランでは、ハンバーグを１個作るのに牛肉３００ｇ、玉ねぎ
１００ｇを使う。また、オムレツを１個作るのに牛肉２００ｇ、玉ねぎ２００
ｇを使っている。
　冷蔵庫の中には牛肉が６ｋｇ、玉ねぎが４ｋｇある。ハンバーグ１個で
８円、オムレツ１個で７円の利益があるとき、ハンバーグとオムレツを
それぞれ何個作れば、利益が最大となるか？

解法の手順：
�@　ハンバーグの個数をｘ、オムレツの個数をｙとして表による問題の
　　整理をおこなう。
�A　変数間の関係を式で表す。（非負条件も忘れずに）
�B　グラフを描いて、実行可能領域を示す。
�C　目的関数を作り、ｘとｙをそれぞれ何個作れば利益が最大になるか
　　求める

>>127
ハンバーグ10個・オムレツ15個で185円の利益

>>127
中学入試書いてどうする！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>128
正解！というか俺もそうなった。

>>127
問題の見かけがしょぼすぎて（スマソ)やる気も出ないんですけど。。

>>131
まあ、そう言うなよ。復習だと思ってやってみ。５分で終わる。

>>132
かわりにもっと面白い問題を出してくれ。

平面上に９個の点があり、どの３点も同一直線上になく、またそれらは、
それぞれ４個、３個、２個の２組の３組に分かれていて、ｺﾄなる組のみ
すべて線分でむすばれている、このとき
(１)　任意に２つの点を結ぶとき、それらが上記の線分で結ばれている確率をもとめよ

13／18？
引っかけですか？

>>135
正解でしゅ

>>133
定規とコンパスのみを使用して、任意の角を三等分してください。

>>137
確かに面白そうな問題だ。やってみる。

１から１００までの１００個の整数の積１００！が１０*ｋ(ｋは整数)で割り切れる
とする。そのようなｋの最大値をもとめよ

>>139
k=100!/10

>>140
ハァ？

>>141
ハァ？じゃねえだろうがよ。

おまえの問題の書き方がまずいんじゃないのか？
１０のＫ乗ってことか？１００を１０で割った商ということか？

>>141
面倒だから書かなかったが、
　１００！は１０で割り切れるだろ。１００！は１０を掛けてるんだから。
　すなわち、１０を除いて１から１００まで掛けたすうってこと。

うんごめん

>>137
定規にはメモリがありますか？

こっちやった、、、
10^k

>>142
＊を乗数だと思う馬鹿はお前だけだよ　ﾌﾟｸｽ

>>145
たとえメモリがあったとしても、正確じゃない。定規によってメモリが違うから。
数学で三等分っていったら普通にできる最高の精度でしなければいけないから。

>>146
k=10で無いの？

>>149
ちがうＹＯ！

>>150
お前、答がわかってるのに一体何を聞きたいの？

返事くれよ。なるべく早く！

>>151
もう１回問題よんでみ

>>153
おまえ確信犯か。ムカツク！

>>154
整数ａがたとえば,10^3=2^3*5で割り切れる為の条件は、
ａを素因数分解するとき、素因数２、５をともに３つ以上
もつことです

訂正
＞2^3*5

2^3*5^3

>>155
括弧入れろよ、ボケ！それに、解き方も答もわかるんなら書き込みするな。

>>157
別に試しただけですが、、、何か？

24

早とちりしただけじゃ、クソ｢ンガンガ｣。ここは質問する場所。

任意の角を３等分する問題がわかりません。

25

>>160
明日、学校の先生に訊いてみ。

>>162
大学の先生に聞くんですか。。恥ずかしい。。。

>>163
大学生なのに三等分の問題を知らないの？

>>163
有名問題だしな。普通知ってるもんでは？

＞SSS級生

おう、俺も悪かった

>>164
知らないなぁ。あんまり数学得意でなかったし、むら　があったからなぁ。

>>167
明日、教授に訊いてみてくれ。
あなたの人生が変わるかもしれない。

>>168
数学科の教授にか？うーん、どうしよう。。

>>169
是非、訊け。評価されるかもよ。

>>170
恥じかくだけ。おまけに数学科とは関係が無いので。

今積分やってるんだけど、
置換積分法∫f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C
って覚えるべきですか？
使える状況が限られてるから、
普通の積分の仕方を使ったほうがいいとも聞いたんですが。

>>172
∫(ax+b)^n=1/a(n+1)・(ax+b)^(n+1)+C は覚えておくと役に立つと思う。
ただこれも {(ax+b)^(n+1)}´=a(n+1)(ax+b)^n から簡単に分かるから
敢えて覚える必要もないんだけどね。

数列などで何番目などを数えたりする、いわば植木算が苦手ですが何か？

>>173さんありがとうございます。
その式はまだ習ってないんですが、出てきたら覚える事にします。
そいで、置換積分法は覚えない事にします。

176

空間内に３点　A(2,3,1) B(3,-1,2) C(1,5,4)を頂点とする三角形ABCがある。
頂点Aから直線BCにおろした垂線の足Hの座標を求めよ。
　
下に自分の誤答を書くんですが、どこが間違っているのかがわかりません。
おしえてください。
『誤答』
Hは直線BC上にある点だから
AH＝(1-t)AB＋tAC　・・・(*)
また　BC・AH＝0　　・・・(**)
(AH、BC、AB、ACはベクトルで、BC・AHは内積。)
H(x,y,z)と置き、それぞれの式に値を代入して計算したのですが
答が合いません。計算ﾐｽではないと思うのですが。

出来ることなら即レスもらいたい・・・

合ってるんじゃないかな？
それより(*)なんかは、BD＝ｔBCとした方が計算速くない？

>>179
解答の方はBH＝ｔBCのやり方でやってました。
でもどうしても答が合いません。計算間違えなのかも・・

t=6/11
H=(21/11,25/11,34/11)
BH=tBCとAH＝(1-t)AB＋tACは等価だから解法的には全く一緒。
参考書の答えが間違ってる時もあるので注意です。ちゅーか寝ますです。

計算間違いでした。みなさんありがとう

座標平面上で円x^2+(y-b)^2-c^2（c＞０)と放物線
y＝ax^2がただ１つの共有点を持つための条件を求めよ。

この範囲苦手な物で…わかりません。どうぞよろしく
お願いします。共有点ってことは判別式ですかね？(汗)

>>183
円と放物線はy軸に関して対称です。
例えばx_0≠0でP_1(x_0，y_0)を共有点に持つとき
P_2(-x_0，y_0)も2式を満たすのでこれも共有点になります。
つまり唯一の共有点のx座標は0であることが必要です。
放物線はx=0のときy=0なので共有点になりうるのは原点だけです。
円も原点を通ることからb^2=c^2です。
続きは図を書いてがんばってみてください。
（例えばab≧，ab＜0で場合分け）

てーか図も場合分けも必要なかった。
続きは判別式だけでよさそう。

>>184=185さん
ありがとうございます！！
早速その方法でやってみますね〜。

１８３です。
先程のを解いたんですけど、わからない箇所があるので、また
質問させて頂きます(スミマセン)。
答えはｃ＝±ｂ、２ａｂ≦１なんですよ。
で、ｃ＝±ｂの方はわかったのですが、もう１つが…。
１点で接するから判別式Ｄ＝０で解いて、それで私の答えは
２ａｂ＝１となってしまったんです。
やはりやり方が間違っているのでしょうが、何故不等号が
出て来るのかがわかりません。
ほんと、アホですみません…。

>>183
-c^2のところは=c^2なんじゃないの？

ギャー！本当だ！ごめんなさい、正しくは
x^2+(y-b)^2=c^2でした。本当にごめんなさい。
でも私はこの正しい方の式で解いてるので、やはり
わからない所はわからないままです…。

>>189
やっぱり。。変わったパターンだなぁと思ってたんだが。
一応解いてみるよ。

>>187
x^2+(y-b)^2=c^2
y=ax^2
c^2=b^2
↓
x^2+(ax^2-b)^2=b^2
⇔x^2(ax^2+・・・)=0
これがx=0の4重解を持つ、または、
(ax^2+・・・)が実数解を持たなければいいのです。

ｃ＝±ｂは原点で交点を持つ条件でこれだけだとａの値によって４つの交点が存在する場合もでてくる。
だから普通に考えれば不等号になるんじゃないの？

てーか判別式を使えばいいような書き方をした私が悪かったのです。

>>191
その説明じゃ難しいんじゃない？
y=ax^2よりx^2=y/a
円の方程式に代入して
y/a+(y-b)^2=c^2
y^2+(1/a-2b)y+b^2-c^2=0
判別式D=0より
(1/a-2b)^2-4(b^2-c^2)=0
両辺にa^2をかけて
1-2ab+4a^2c^2=0
b^2=c^2より
1-4ab+4b^2=0
(1-2ab)^2=0
もう分かるよね・・・。

もう少し書くと、
求めるものは四次式の実数解がx=0だけになる条件です。
x^2=Xと置いてXの二次式と見た場合、
判別式=0とは、Xが重解すなわちxが4重解を持つ条件です。

例えばXの二次式がX=0，1という解を持てばx=0，±1ですが
X=0，-1という解を持てばxの実数解はx=0だけです。
Xの二次式は必ずX=0を解に持つので
もう一つの解が0以下であればいいわけです。
これで不等号がでてきます。

＞判別式=0とは、Xが重解すなわちxが4重解を持つ条件です。

これちょっと変でした。
本問ではX=0を解に持つことがわかっているので4重解になります。

質問。数３です。
コーシーの平均値の定理って本番で使っていいんだっけ？これ使えればロピタルって５行ほどの証明つけてやれば堂々と使えるのだが…

>>194
187と同じ罠にかかっているように見えます。

今a=0は題意を満たす。
a≠0のとき、
y^2+(1/a-2b)y+b^2-c^2=0 から
y^2+(1/a-2b)y=0を得る。

定数項がないので解は簡単に求まって
y=0，-(1/a-2b)

仮にこのy=-(1/a-2b)が0でなかったとしても
そのyに対応するxが虚数解になれば題意を満たしてしまいます。

参考書のことなんですが
１つの分野が完璧に理解できてから次に進むのと
とりあえず一通り終わったら次に進んで、ある程度まで進んだら
復習するのと
どんな勉強方がいいでしょうか？

183=187です。お返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
やっとわかりました〜！そして解けました。テストで出されたら
ここまで考えなければいけないんですよね。もっと勉強
しなければ…。
(　´∀｀)さん、１９４さん、こんな私に丁寧なレス
付けて下さって本当にありがとうございました！

「虚数」と言ったら、指すのは"7i"とか"-9965i"とかみたいな
所謂「純虚数」で、"3+6i"みたいなのは指さないんですか？

あと、0は虚数に含めてはいけないんでしょうか？
複素数平面で虚軸上にあるので。

>>201
3＋6iは虚数といえるだろう。例えば…虚数解とかは準虚数になるとは限らないだろ？こんな説明しかできない。スマソ

>201
　ｦﾚも定義は知らないけど、同値なものとして、ｚが純虚数なら「ｚ＝−z~」が成り立つ。
　虚数はｉを含むﾔｼ全部。４９＋４８ｉも虚数。０はもちろん実数です。

>201
以前他の板で０は純虚数だ、という議論があって賛同者が何人もいた。
純虚数は実部が０の複素数だと。
で、結論。昔はそう。（今でもそう考えたほうがよさそうな場合もあるが）
今風は、虚数軸上にあっても０は実数。

さらに、「古い人」は虚数と純虚数の区別が無いみたい。
若い人でもそういう人がいたらゴメン

円　x^2+y^2+2ax-ay-5+5a=0は実数aがどんな値をとっても
定点＿＿＿を通る。また、この円が円x^2+y^2=1に接する時の
ａの値は２つあって＿＿であり、この求めた２つのａに対する
円の中心間の距離は＿＿となる。ここに２つの円が接するとは、
共有点において同一の接線をもつときをいう。　　(東京理科大)

最初からどうにもサッパリお手上げです(涙)。
何故ａが変わるのに絶対変わらない定点を通るなんてことが
有り得るのかもわかりません。
どうぞよろしくお願いします。

>>>205
どんな値をとっても定点を通る。つまりａについての恒等式なんですね。
x^2+y^2-5+(2x-y+5)a=0
x^2+y^2-5=0かつ2x-y+5=O
これを連立させると
x^2+(2x+5)^2-5=0
(X+2)^2=0
X=-2
よって求める定点は(-2,1)

早速のレスありがとうございます！なるほど、恒等式なんですね。
でもこれは図とかで表せないんですかね？全然どんな図になるか
想像できないんですけど…。
では、早速自分でもう一度考えてみます！

>205
　例えばy＝axだってaによらず定点(0,0)を通るﾍﾞ？「aによらない→aについて整理」が定石。
　暗算だけど、(x､y)＝(-2,1)ｶﾅ？それ以降はさすがに計算しなきゃ無理ぽ。半径と中心をaで表して、２中心の距離で等式作れば解けるﾊｽﾞ。
　あるいは一番目の問題の答えを利用して図形的に考えるか。

>207　ですた。間違え。

図で表せないんじゃなくてこの円は中心と半径の長さを変えて動く訳なんですが、必ず通る点があるんですね。

円：(x+a)^2+(y-a/2)^2=5a^2/4+5-5aと円：x^2+y^2=1の中心間の距離＝２つの円の半径の和
で解けると思います。

暇なんでおいらも解いてみた・・・。
が、２番目の奴、何故か虚数に。何故じゃぁ！
円の中心は(-a,a/2)でいいんだよな？
ダ、ダメぽ…。

>>212
ただの計算間違いでわ？
内側で接するか、外側で接するかでaの値が２つでてくると思うが

>>211
それだとaは1つしか出てこないよ。円が内接する場合も考えなきゃ。
円：(x+a)^2+(y-a/2)^2=5a^2/4+5-5aと円：x^2+y^2=1の中心間の距離＝２つの円の半径の和
と、
円：(x+a)^2+(y-a/2)^2=5a^2/4+5-5aと円：x^2+y^2=1の中心間の距離＝２つの円の半径の差
でaが2つが求まると思われ。

僕も円の質問なのですが、よろしくお願いします・・・。

半径が等しい２つの円
　　x^2+y^2+8x-10y-44=0　…１
　　x^2+y^2+2ax+2by+c=0 …２
は２点 Ａ(p,-1)，Ｂ(q,3)で交わり、これら２つの円の中心
を通る直線の方程式はx+2y-6=0である。a,b,c,p,qの値を求めよ。

(類　東大)

とりあえず、交点を求める式に二つの式を放り込んでＡ、Ｂの座標
を代入してみますた。が、ごちゃごちゃしてわからなくなってしまって…。
１の式の半径＝２の式の半径というのもやってみましたが、どう
使えばいいかわからず…。

円苦手ﾀﾞｰﾖ　誰か他の人頼む

>>215
中心を結ぶ直線と、交点を結ぶ直線は直交するから
Ａ､Ｂを結ぶ直線の傾きは２、よってq-p=2
１式にＡ､Ｂを代入するとp､qが決まる
２式の円の中心の座標を出して、それがx+2y-6=0を満たすことから
a,bのどちらかを消去
さらにＡ､Ｂを２式に代入し、連立方程式を解くと全部求まるんじゃないかな
間違ってたらゴメン

>>215
a=-6, b=0, c=26, p=3, q=5
で当ってる？正解だったら解答を書こう。

いや、計算ミスったっぽい。ちょっと待て。

>215
　代入する前に上の式から下の式引くべきでわ？直線が一発で出るべ？

>>220
ケアレスだべ

正　　これら２つの円の中心を通る直線の方程式はx+2y-6=0である
誤　　２つの交点Ａ，Ｂを通る直線の方程式はx+2y-6=0である

>>215
a=-12, b=-3, c=68, p=3, q=5
これでどうだ。

いや、嘘。

>>215
a=-12, b=3, c=68, p=3, q=5
が正解だな。やっと計算ミスをクリアした。

点A,Bが円1を通ることからp,qはまず簡単に求まる。
後は図を書かずに理解するのは難しいから図を書きながら読んで。
円2の中心を点C、点Aと点Bの中点を点Dとすると、
△ACDは直角三角形で、円2の半径は円1の半径と同じだから√85、
A(3,-1),D(4,1)より辺ADの長さは√5になるから、
辺CDの長さは√(85-5)=4√5
また、点Dから-y軸方向に引いた線と点Cから-x方向に引いた線との
交点を点Eとすると、線分DCの傾きは-1/2だから△CDEは3辺の比が
1:2:√5になる。辺CDの長さは分かっているから辺CE、辺DEの長さは
簡単に求まる。
点Cのx座標は、-a=(点Dのx座標+辺CEの長さ)、点Cのy座標は、
-b=(点Dのy座標-辺DEの長さ)だから、これにより円2の中心の座標が
(-a,-b)=(12,-3)と求まる。
円1の半径と円2の半径が等しいことから、c=a^2+b^2-85となり、
a,bを代入することによりcが求まる。

亀レスすみません。２１５で質問した者です。
皆さんありがとうございます。こんなにご丁寧にレスを
頂けるとは…。
はい、答えは確かにa=-12, b=3, c=68, p=3, q=5です。
もう一度自分でやってみます。ありがとうございました！

ここ一週間ぐらい数学しかやってないんですが
どこにどんな公式を使うのか、とか
どこにどの式を代入すればいいのか、とか
イマイチ分からないんです
２次関数からやっています
始めるのが遅いのがいけないのですが
なにかアドバイスください

支離滅裂なレスですみません

>>226
臨機応変。ケースバイケース。マジで。

>>226
とりあえず基礎的な問題をたくさん解くのがいいと思う。
それから分からない問題を他人から教えてもらうときは、
その問題を解ける人は解くまでにどのようなことを考えているのかも
教えてもらうといいよ。聞いてみると結構面白いしためになる。

>>226
公式を使うと言う概念をすてる。数学の問題の幾何学的な特徴を
数式に直したり、数式から幾何学的な特徴で問題を単純化すれば
大体簡単になる。公式を使うのではなく。問題で設定された状況下
で何が言えるのかを理解していく。文系なら公式暗記型の勉強法で
も入試だけならなんとかお茶を濁せるかも知れない。理系なら、
公式暗記は無意味。無意味と言うより、意味をきちんと理解していれば
暗記では無く、自然と身に付くはず

>226
　前の人も色々言ってくれてるみたいだけど、やっぱ「ここはこれを使うしかない！」ってのはｹｯｺ限られてる。ﾝｰ、限られてるものと言えば、例えば絶対値記号は２乗すると扱いやすいことが多い　とか。（もちろん２乗したら解けなくなる場合もある）
　三角形の面積公式にしても、少なくとも・・・３つは知ってるだろうから、場合によって使い分ける。あるいは使いやすそうな形に強引に持っていく(座標設定などが好例。1/2|ad-bc|が使えるﾈ)

　まぁ、ここらへんは演習量だとｦﾚは思うけどね。頭良い人なら勘で分かるのｶﾓ・・・。

基本的な質問なんですけどいいですか？
eのlog２乗てなんで２になるんですか？

>>231
a^b=c⇔log{a}(c)=bなので
X=e^(log2)とすると
X=e^(log2)⇔log{e}(X)=log2
よってX=2

>>231
気分的には，+3-3とか*3/3しても値が変わらないみたいに
e^xしてlogとっても値は変わらない

皆さんありがとうございます
今はひたすら問題解いて、それからまた考えます
また悩んだらアドバイスお願いします

http://school.2ch.net/test/read.cgi/campus/1026650046/l50
ここの１の問題がわからないんですけど・・・

>235
　問題の意味が分からんかった・・・。「しかし次の人が2000円出すと店員はすぐに大人1枚ですねと
いいました」はじめの人に言ったの？次の人？

>>236
次の人だと思います

横レスすまそ。
来年から数学の編成が変わるって本当ですか？複素数が無くなる、
微分方程式が復活するとか？

>>235
１人目：2000円札を出した
２人目：1000円札を２枚出した

これだと子供２枚かもしれんって書いてあるな
鬱

前の人がお釣りを受け取らなかった。

　ﾜｶﾗﾝＹＯ−！

１０００円×１枚
５００円×２枚
で確定

答え見ながら問題解くのって意味ありますか？
全然わからないんで

>>243　OK、要は解法があたまに入ればいいから。
でもあまりにも毎回わからなかったら、すこしやさしい問題集に戻ったほうがいいかも。

>231
くれぐれも言っておく。
232のようになってはいけない。

eを底とする対数をlog(x)と表記するとき、
e^log2＝2
となるのは、
(√3)^2=3
と同じくらい当り前のことなのだ。

問
はじめて対数を習う人に、log2とは何か説明せよ。

こたえは高校教科書にある。

いまだに分数がわからんのですが

　 　2
　 ｘ　　　　 　1
─── = ─── + x - 1
　x + 1　　 x + 1

どゆこと？

>>246
x^2÷(x+1)を実行して、商が出てきて、余りは分子に残る。
試しに通分しる。

>246
x^2=(x+1)(x-1)+1

37÷5=7…2
37=5×7＋2
37/5＝2/5+7

わかったか、ボケナス。

>>246
中学生でもできる問題ではないか。
中学のときに数学の勉強をサボってたな。
ということは>>247の説明も>>248の説明も理解できてない恐れあり。
中学1年生に教えるつもりで説明する必要がありそうだ。

>>249
この程度の問題が分かるぐらいで、なに偉そうにしてんだよ（藁

【･Д･】

あたり前のことに疑問を見出せる人は新しいものを生み出せる･･かもしれない。

>252
しかし、数学においては、再発見にすぎないことが多い。

>>245

正確に説明しておくと、
eのx乗をexp(x)と書く（高校では習わないので入試では書かない方が良い）。

このとき、expはxに対してexpと言う演算を施すのである。log(x)はlogと言う
演算をｘに施す。ここでexpとlogは逆変換の関係にあるので
exp*log=I（恒等変換：何もしない事)
と同値である。つまり
exp(log(x))=x
となる。

自然数Ｎの直積集合Ｎ×Ｎ＝｛（ａ,b）｜a,bはＮの要素｝を考える。
この集合の２つの元（a,b）、（c,d）に対して、
（a,b）〜（c,d）　　ad＝bc　が必要十分条件を満たす
と定義する。
（１）〜が同値関係であることを示せ。
（２）（1,1）と同値となるような（a,b）はどのような元か。aとbに関する条件を求めよ。
（３）（2,3）と同値になるような（a,b）を２つ挙げよ。

>>254じゃあ、log(exp(x))=?

ｽﾞﾌﾞﾘx.

>>256忘れてた

ここはlogも合成関数もならてない人の溜まり場ですか？

そうらしいですね

>>255

(1) (イ) ab=ba なので、(a,b) 〜 (a,b)
(ロ) (a,b) 〜 (c,d) とすると
　　　　 ad=bc ⇒ cb=da ⇒ (c,d) 〜 (a,b)
(ハ) (a,b) 〜 (c,d), (c,d) 〜 (e,f) とすると
ad=bc, cf=de ⇒ adf=bcf, bcf=bde ⇒ adf=bde
両辺をdでわると、af=be なので、
　　　　 (a,b) 〜 (e,f)
　　(イ)〜(ハ)より、〜は同値関係になる。
(2) (a,b) 〜 (1,1) とすると、定義から、a*1=b*1 ⇒　a=b
(3) (2,3), (4,6)

数学板も良いけどこっちのほうが自分に合ってるかな・・・

因数定理で質問です。
P(x)をx-5で割ると20余り、x^2+2x-41で割ると-7x+67余る。
P(x)を(x-5)(x^2+2x-41)で割った余りを求めよ。

で、P(x)=(x-5)(x^2+2x-41)Q(x)+R(x)
とした時、なんでR(x)をx^2+2x-41で割ると余りが-7x+67になるのかが
わかりません。なんでP(X)を割った時と同じ余りになるんですか？
教えてくだせー。

数学かきこむことなんてなかなかないんで
表記が間違ってるかもしれないんですけど・・。
そこんとこ大目に見てください。

>>263
P(x)-R(x)=(x-5)(x^2+2x-41)Q(x)なわけだ。
右辺は(x^2+2x-41)で割り切れるから
左辺も(x^2+2x-41)で割り切れなきゃおかしい。

もし余りが同じにならないとすると
左辺が(x^2+2x-41)で割り切れなくなってしまう。

あーーーーなーるーほーど！！
わかりました。なんで気づかなかったんだろ。
ありがとです。

>>257-260
ﾌﾟｯ、２πin忘れてるよ(ｹﾞﾗ

>>267
といって果物の名前と間違える奴発見。

わらたｗ

最大・最小を出す時の場合分けの＝のつける箇所ってどっちでもいいんですか？
DQNな質問ですまそです

http://go.iclub.to/ddiooc/
　　　　　
　　　　　i/j/ez/対応です

お役立ちリンク集
必ず役立ちます

　サイト管理者お役立ち集
　　　　1日4000ＨＩＴ以上
↓
http://kado7.ug.to/wowo/
　　　　　　
　　　　　i/j/ez/対応
　　　　
　　　コギャルとＨ出来るサイトはここ
ヌキヌキ部屋へ直行便

　　　　　　　　　↓
　　 http://kado7.ug.to/wowo/-a.htm
　　　　
　　　　　　　i/j/ez/対応

中学レベルの数学もわからないところあるかも、というレベルで大学入試の勉強を始める場合、
どんな本を買ったらいいんですか？
無理かもしれないけど、ﾏｼﾞﾚｽでおねがいしたいです。

教科書

>>272
中学の教科書と、中学生用の問題集。
なるべく自力で解けそうな、分かりやすいの。

>>270
問題にもよるけど
まぁ君の聞いてる問題はたぶんどっちでもいい

そして名前消すの忘れた・・・(;´Д｀)

tは0≦t≦π/2を満たし、2点P.Qは曲線y=cosｘ上の点で、
P(t.cost)、Q(t-π/2、cos(t-π/2))である。
[t-(π/2)です]
原点をOとすると、△OPQは鋭角三角形になることがあるか?

よろしくおねがいします。

>>277
　存在証明だから、１つでも題意を満たすｔがあれば良いんだﾖﾈ？

解】t＝π/6を代入すればP(π/6、√3/2)、Q(-π/6、√3/2)であることと、三角形OPQはｸﾞﾗﾌの対象性により明らかに二等辺三角形であることにより、∠POQが鋭角であれば△OPQが鋭角三角形であることが言える。
　　ここで、∠POQ＝θと置けば、内積の定義により（OP→をp、OQ→をq、OPの長さOQの長さをそれぞれOP、OQとあらわすことにして）cosθ＝p･q/OP･OQ。これを具体的に計算してcosθ＝(27-π^2)/(27+π^2)＞0
　　よって、題意を満たすtは存在する。【終

　27−π^2＞0を使ってるから、あんまし正確な論証になってないｶﾓ。でもまぁ、常識として使って良いﾝｼﾞｬﾅｲｶと。t＝π/6を代入することを思いついた理由は、野生の感覚で鋭角になりそうな気がしたから。ｸﾞﾗﾌ書きゃ何となく分かると思う。

>>278
せっかく解いていただいたのですが、
解答は『鋭角△はない』です

>>279
ｵﾓﾛｲ!!

>>279
　ｺﾞﾒｿﾅｻｲ・・・解きなおします。。。っつか、Qの座標が違いますた。

　ﾖｼｬ、解けた。ｺﾞﾒｿﾅｻｲね。。。

解】∠POQ＝θと置く。内積の定義によりcosθ＝p･q/OP･OQであるが、OP、OQは共に長さであるから正で、p･qの値の正負を調べれば良い。
　　p･q＝t(t−π/2)＋cost×cos(t-π/2)＝1/2sint＋t^2−π/2･t＝f(t)と置いて微分すると、導関数f'(t)＝cos2t＋2t−π/2で、t＝π/4で極大値。f(π/4)＜0であるから、題意を満たすtは無い。【終


　これで・・・。

　ﾐｽ。f(t)のとこ、1/2sint＋・・・　ではなく、1/2sin2t＋・・・　です。

>>283
　必　　死　　だ　　な　　（藁














　以上、自作自演ですた　（・∀・）

>>278
>三角形OPQはｸﾞﾗﾌの対象性により明らかに
>二等辺三角形であることにより
これおもろい。

>>285
　いや、ﾎﾝﾄのﾎﾝﾄに素ですた。

今から自分で再考してみたいと思います。
ジオソさん、どうもありがとう。

　亜""""亜sfjかゑRじゃ医が亜wあがじ：あ

　ﾐｽりまくりｼﾞｬ！！！もうｲｯﾍﾟﾝ解答書き直す！！

解】】∠POQ＝θと置く。内積の定義によりcosθ＝p･q/OP･OQであるが、OP、OQは共に長さであるから正で、p･qの値の正負を調べれば良い。
　　p･q＝t(t−π/2)＋cost×cos(t-π/2)＝−1/2sin2t＋t^2−π/2･t＝f(ｔ)と置く。導関数f'(θ)＝−cos2t＋2t−π/2はｔ＝π/4で極小値。f(0)、f(π/2)が共に０であるから、θがπ/2を越えることは無い。【終

　N儀ら:jgなkrlmがsmd:か:gfwぁS

　ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ。今日は厄日。

>>275 センクス

age

数学のセンターはどのぐらいの問題ですか？
2定点Ａ（−５，０）、Ｂ(３,０)に対して，AP：BP＝３:１となる点Pの軌跡を求めよ
なんて問題が出るぐらいのレベルですか？

>>291
それより簡単なのも難しいのもある．要は幅広く．
けどマークシート形式だから質が違う．
実際にセンター過去問買ってみるのがいいかと．

ただし，ここ２，３年やや難しめになってきているので注意．

>>291
密かに遥か昔の東大過去問のリメイクだったりする。
君が考えてるレベルからは程遠いのは確か。

けど
>>291 レベルは軌跡の一番基本の問題だから
さすがにそこまで簡単ではないわな

早稲田政経の数学で満点とるのとセンター数学で満点とるのでは後者がキツイ。
センターが簡単だというのは理系の実力者か勘違いDQNかどちらか。

まぁセンターははっきり言って時間が短いのが最大の敵だったり
特にIIＢは量がかなり多い．あれを60分はかなり鬼ってる

>>296
そんなこと無い、練習すれば９０以上取れる｡俺８８だった｡

>>297
実際時間足りない人がやっったら多いから鬼って言っただけ．
そりゃ取れる奴は満点とるよ．

>>298
一問出来なかったからな

あ，IDがIDだ
以上保全sageでした．

点（２，２）を通る直線y＝ｍ（ｘ−２）＋２とｘ＾２＋ｙ＾２＝２が共有点を持つ
ようなｍの値の範囲を求めよ。
これはセンターレベルにはいってるでしょ？

>>301
センターは誘導形式になっているのがほとんどなので
前半を解くのは簡単だが最後まで行くのは難しい．
だから，センターレベルに入ってるかどうか聞かれても・・・答えようがない

☆二次関数f(x)=Aｘ＾2+Bｘ+Cとｘ≧aにおいて定義された関数g(ｘ)があり、
次の条件(>>1)(>>2)を満たしている。ただし、a>1/4とする。
(>>1)g(ｘ)≧0.g(a)=0、g(2a)=√a
(>>2)f(g(ｘ))=ｘ.f′(a)=2a
この時、次の問いに答えよ。
(1)f(x)、g(ｘ)をaを用いて表せ。
(2)∫［a〜2］g(ｘ)dｘ=√6/2の時の、aの値

よろしくおねがいします。

f(g(a))=aよりf(0) = C = a
f(g(2a))=2aよりf(√a)=Aa+B√a+a=2a
f'(a) = 2Aa + B = 2a

Ａ＝１、Ｂ＝０でＣが求まらね〜

>>305
aは「変数でなく定数」．３とか５とかと同じ．
だから，>>304の３つの式は恒等式ではないよ．
問題は「(x)、g(ｘ)をaを用いて表せ」だべ．１式よりC=aと求まってる．
後は下の２つからA,Bを求める．もっかい言うがaは「定数」

81x^3y^3+3の因数分解がわかりません。
だれか教えて〜

３でくくると3(27y^3+1)であとはa^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2)
を利用

４ステップとか解けない問題あるときどうすればいいんでしょうか・・・
ここ使うのもいいのですがここだけだとなんというか・・・
迷惑というか

公式違うかも
にしてもこれをとけないのは本当にスーパードキュソかを思われｗ

>>309
イチイチ、書くようなことか？

>>309
解ける人の方が少ないという現実のレベルを知らないスーパードキュソはお前と言ってみるテスト

2a^3b+128b^4の因数分解も数十分悩んでも解けない僕はお終いですか；

>>312
大丈夫だよ。わかればすぐにできるようになるし。

>>312
３乗とかでてこないもっと簡単な因数分解からはじめたほうがいいかも

因数分解は，まず第一に「共通因数でくくる」これだよ．
この場合2bが共通因数だべ

あと，おしまいってことはないだろ．解けん奴たっぷりいるはず．

とりあえず81x^3y^3+3は何とか解けました！
もう一つの方もやってみます！

>>312
２乗のやつは結構できるんですけど、３乗になるとこんがらがって・・・；；；

>>315
がんばんな。

312みたいなやつっているんだな。いや共通因数でくくりゃｱ終いじゃねえか。

解けました！
こんな単純な問題でつまづいてるってダメですよね；；

みなさんありがとうございました！ご迷惑をおかけしました。

>>317
世の中には整式の計算（同類項をまとめるとか）のところで
既にちんぷんかんぷんって高校生がたくさんいることをしらんのか

>>318
おめでと！またきんしゃい

いやいや、同じ文字なら文字、公約数なら公約数なりを見つけてくくるってだけでは･･･？

今日から数Aの教科書を始めたので・・；
ってか、宅浪なんです；；；；

共通因子をくくり出せるって自明なことでもないよね。

>>321
整式の計算ができない→a+b+2a-3bとかの計算がわからんって意味だよ
世の中こんな高校生もたっぷりいます．マジで．

√Ａ＾2＝ｌＡｌを証明してください。

>>325
正と負で場合分けしろ

ものすごく初歩的な問題なんですが
x+y=1とき　　x^2+y^2の最小値を求めよって問題はわかるんですが
その時点で参考書と解き方が違うんです。そして
x^2+y^2=1のとき　x+yの最大or最小値を求めよになるとわかりません
解説を見てもよくわからないんですが・・・・

センターの「１」と「１Ａ」の「１」の部分って難易度ちゃうの？

>>327
X^2＋Y^2＝k (k＞0) ...(1) とおくと(1)は円の方程式だろ？
で、X＋Y＝1 ...(2) は直線の方程式だ。
円(1)の中心点 (0, 0) と直線(2)の距離≦円(1)半径＝√k
の範囲の中でkが最大となる (X, Y)、最小となる (X, Y) を求めればいい。

>>329追加：
ああ分からないのは簡単な方か。要領は同じ。

X^2＋Y^2＝1 ...(1) とおくと(1)は円の方程式だろ？
で、X＋Y＝k ...(2) は直線の方程式だ。
円(1)の中心点 (0, 0) と直線(2)の距離≦円(1)半径＝1
の範囲の中でkが最大となる (X, Y)、最小となる (X, Y) を求めればいい。

なるほど！ありがとうございました

>>328
では、Ａってなんですか？

お願いします
∠Aが直角の3角形ABCの外側に各辺を一辺とする正方形ABDE,ACFG,BCHKをつくり
正方形ABDEの対角線の交点をP,ACFGの対角線の交点をQ,BCHKの対角線の交点をRとし
PからKC、QからBHに垂線を下ろしそれぞれの足をX,Yとすれば
PX=QYかつPX⊥QY,QR=PCかつQR⊥PC,PR=QBかつPR⊥OBを示せ。

ちなみに中3が作った問題らしいです

>>333
　中３が作ったﾜｹ無いですﾈ・・・。有名事実でつ。確か大数の「１対１対応の演習：図形編」にも全く同じ問題が。解答はﾒﾝﾄﾞｲので略。

>>334
ムズめですか？Cあたり？

うわ〜ん

ジオン・ダイクンさん
ちなみにその問題のレベル覚えておりますか・・・？

黄チャの�UＢの方で質問です。

211ページの308問の、（1）なんですけど
答えを見ると
「ｘ＝ａは�@の重解であるから」
とありますが、どこがどうして重解なのかｻｯﾊﾟﾘﾝｺです。
ってか、x=aが、なぜそうなるのかもﾜｶﾘﾏｾﾝ。

誰か教えてくださいぃぃ(;´Д｀)激しく切望。

>>338
黄チャねーよ。だからわかんねー

問題書いちゃいます(*´-｀)

曲線Ｃ：ｙ＝ｘ＾3−ｔｘ　上の点Ｐ（ａ、a^3−ｔａ）　（ａ＞０）における接線がＣと交わる点を
Ｑとする。

（1）　点Ｑのｘ座標をａを持ちいて表せ。


です。この回答の途中で重解が出てくるんですけど、
その重解がどっからわかるのかも何もかもｻﾊﾟｰﾘです。
教えてくださいﾏｾﾏｾ(;´Д｀)　因みに福岡大だそうです。

>>340
曲線Cの方程式をy＝f(x)，接線をLとし，その方程式を：y＝g(x)と置くと，
f(x)−g(x)＝0はxについての3次方程式になる．
そして，この3次方程式の実数解をα，β，γと置くと，
この3実数解は，CとLとの共有点のx座標に等しくなるのは大丈夫？
“LがCの接線であることを考えると”3実数解α，β，γのうち，2つは重解であると言える．
つまり，α＝(接点のx座標)，β＝(接点のx座標)，γ＝(点Qのx座標)となる．
αとβとγはどれがどれでもいいけど．

>>341
ありがとうございますﾀ*･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜(ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡. .｡.:*･゜ﾟ･*!!!!!
今から頑張って頭の回線をフルに使って考えてみます。
またわからなかったら教えてください。

(3x^4-2x^3+x-1)÷(2-3x+x^2)
これ、何回やっても解けないんですが、解る人居ますか？

>>343
普通に筆算で解けたよ．
他の問題は解けるの？整式の割り算．
解ける問題一問書いてくれるとうれしい

あ，割り切れないで余り出るよ，これは

>>343
3x^2+7x+15 余り 32x-31 では？
何が分からないの？

>>344
他のは解けます・・
(x^3+4x-2)÷(2x+4)とか・・・

>>346
うん，その問題と全く同じやり方でできるよ・・・
答えが合わないの？答えどうなる？書いてみそ

答えが3x^2+7x+27になって合わなくなるんです・・・鬱。

>>348
商に3x^2をたてたときに出てくる「6x」
「0 - 6x」=「-6x」だべ．これを引き算せずにそのまま6xをおろしてるな

>>349
6xじゃなくて6x^2でした

違うか．
とにかく「6+21=27」じゃなくて「-6-(-21)=15」
たぶんこのへん

連カキコスマソm(_ _)m

あぁぁっ！？な、、なるほど・・
解けました・・・ﾄﾞｷｭｿな事に付き合っていただいてホントありがとうございます！！（感涙）

>>352
勉強熱心ですなぁ．がんばれ

「sinθsin(θ+120ﾟ)をsin2θ,cos2θで表せ。」
という問題がどうしても分かりません。解答は√3/4 sin2θ+1/4cos2θ-1/4と
なっているのですが、どうしてそうなるのか全然理解できません。
誰か助けて下さい。お願いします。

>>354
積和を使えばできそうだけど。

３直線Ｘ−Ｙ+１＝０、Ｘ+Ｙ−３＝０、Ｘ+２Ｙ+１＝０の外接円の方程式は？？
教えてください

sinθsin(θ+120ﾟ)=-1/2sin^2θ + √3/2sinθcosθ
でsinθcosθ=sin2θ・・・�@
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ sin^2θ+cos^2θ=1
だからsin^2θ=(1-cos2θ)/2・・・�A
�@、�Aを代入しておわり

>>356
外接円の中心は，
その三直線の三交点から距離が等しい点．
３つ交点求めて，そこから等距離にある点を求めればいい．

いける？

＞358
計算がしんどくなりませんか？

>>359
しんどく無いと思うけど
実際やってみ

三直線の三交点から距離が等しい点
とは？

外接円の中心て銃身？

外接円の中心を求める時って垂直にとうぶんせん使うよね？

>>361
三交点をＡＢＣ，求める点をＰ(x,y)とすると
ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ
日本語をそのまま数式にする．後は連立方程式を解く．これ常道

２つの交点の中心からじゃなくて？

実際に三角形と外接円書いてミソ
ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰ＝円の半径になってるっしょ？

外心と重心は違うよ

Ｘ−Ｙ+１＝０・・・�@
Ｘ+Ｙ−３＝０・・・�A
Ｘ+２Ｙ+１＝０・・・�B
とおく、
ここで、�@と�Aは直交する、、（以下省略

>>367
確かにそうなわけだが

>>367
納得という意味ですか？

図形的に
�Bと�@、�A交点は（−１、０）、（７、−４）であるからその中点は、、、以下省略

>>368です。

>>370
俺は質問者じゃないし別にいいんだけど、
もっと一般的にやったほうが教育的じゃない？

Ｘ−Ｙ+１＝０・・・�@
Ｘ+Ｙ−３＝０・・・�A
Ｘ+２Ｙ+１＝０・・・�B
とおく、
ここで、�@と�Aは直交するから、
３直線の交点が成す三角形は直角三角形である。
このとき他の交点を結ぶ線分は直経であるから
外心（外接円の中心）は他の二つの交点の中点
�Bと�@、�A交点は
（−１、０）
（７、−４）
であるからその中点、すなわち外心は
（７/２、−２）である。//

計算が…

>>371
図を描いて明らかに、直角三角形であるから
自然な解法だと思います。

この類問題はなにか図形的な意味が含まれることがほとんどを締めています。

たしかに、一般的な解法を知った上で理解する話ではありました。

ボケた。（４、−２）である。

>>357
ありがとうございました。

(3，−2)じゃなくて……？
計算ミスしてたらすいません。

>>377
ファイナルアンサー？



正解

>>354さんちょっと待つべし。
問題、外心じゃなくて外接円の方程式じゃん。

　もう見てないと思うけど．
　まず，
　　　　�@：x−y＋1＝0　⇔　y＝x＋1，
　　　　�A：x＋y−3＝0　⇔　y＝−x＋3，
　　　　�B：x＋2y＋1＝0　⇔　y＝−(1／2)x−1／2
の3つの直線の交点の座標を求める．
　すると，
　　　　�@と�Aとの交点A：(1，2)，
　　　　�Aと�Bとの交点B：(7，−4)，
　　　　�Bと�@との交点C：(−1，0)
となる．
　ここで，2点A，Cを通る円周
　　　　�C：x^2＋(y−1)^2＝2　⇔　x^2＋y^2−2y−1＝0
を考える．
　すると，
　　　　�D：(�Cの第2式の左辺)−k(�@の第1式の左辺)＝0　(k∈R)
　　　　⇔　x^2＋y^2−2y−1−k(x−y＋1)＝0
となり，
　　　　定数kの値を実数の範囲で自由に動かすことにより，
　　　　2点A，Cを通るどんな円周の方程式をも表わすことができる
ことになる．
　以下，�Dがkについての1次方程式であることを利用する．
　そこで，△ABCの外接円が�Dで表わされる円周であることを考える．
　つまり，�Dで表わされる円周のうち，点B(7，−4)を通るものが△ABCの外接円であるので，
　　　　x＝7，y＝−4
を�Dに代入すると，
　　　　7^2＋(−4)^2−2・(−4)−1−k{7−(−4)＋1}＝0　⇔　k＝6
となることより，まさに，
　　　　k＝6のときに�Dは△ABCの外接円の方程式となる
ことになる．
　従って，k＝6を�Dに代入して，
　　　　x^2＋y^2−2y−1−6(x−y＋1)＝0　⇔　(x−3)^2＋(y＋2)^2＝20
となることより，△ABCの外接円の方程式は，
　　　　(x−3)^2＋(y＋2)^2＝20　……(答え)
である．

>>380では円束の考え方を使いますた

>>380
>　　　　�D：(�Cの第2式の左辺)−k(�@の第1式の左辺)＝0　(k∈R)
>　　　　⇔　x^2＋y^2−2y−1−k(x−y＋1)＝0
>となり，

「となり」を「とすると」に訂正

>>380
かなり知的な解き方だ。数学得意であるが、これを始めてみて感動した。
滅多にないヌケを埋めてくれた貴方に感謝します。

まぁ、
中心（３，−２）と（７、−４）から半径の二乗が２０で、（以下省略

とするのが早いと思うが。

http://www2.diary.ne.jp/user/154154/

>>380

> 定数kの値を実数の範囲で自由に動かすことにより，
> 2点A，Cを通るどんな円周の方程式をも表わすことができる

なんでなの？

>380
xy平面上の３点の座標が与えられた時、
その３点を通る円周の方程式を導くのは、
教科書の例題レベルなんだけどね。

束（ソク）の考えを使うほどの問題じゃない。
だいたい、そんなものは知らなくても全然問題ないし、
使っている受験生だって、わけもわからず用いているというのが大多数。
めでたく大学に受かってから家庭教師をしたときに、
ちゃんと説明できるやつがどのくらいいることか？

x^2+y^2+ax+by+c=0
とおけば、未知数が３個、条件が３個で、解ける。
３元連立方程式のレベルは中学２〜３年。

まあ結局は、上のx^2+y^2+ax+by+c が張るベクトル空間の次元勘定なんだろうけれど。
この問題で、束を持ち出すのは鶏に牛刀だろうね。
>>385 に答えられる受験生ってここにいるのかな？

えっと双曲線に関しての質問なんですけど、
「1対1対応の演習」という問題集で、
『漸近線がy=2x、y=-2xであるような双曲線の方程式は、
(2x-y)(2x+y)=c(c=constant)と表せるので、』
という記述があるのですが、何故上記のような形で表せるのですか？

age

c/((2x-y)(2x+y))=1
y≠2x,-2x

>>388
漸近線がy=2x、y=-2xであるような双曲線の方程式は
(x^2/a^2)-(y^2/4a^2)=1
分母を払って因数分解すれば
(2x-y)(2x+y)=4a^2
4a^2をcとおけばよい。
ただしc>0。

>>390-391
あーなるほど。そういうことなんですね。
ご説明どうもありがとうございました！

>>356
　　　　�@と�Aとの交点A：(1，2)，
　　　　�Aと�Bとの交点B：(7，−4)，
　　　　�Bと�@との交点C：(−1，0)
ACの垂直２等分線はy=-x+1
ABの垂直２等分線はy=x-5
この２直線の交点は(3,-2)だから円の方程式は(x-3)^2+(y+2)^2=r^2
(-1,0)を通るからr^2 = 4^2 + 2^2 = 20
よって円の方程式は(x-3)^2+(y+2)^2=20

受験板なんだから高校の範囲外の事はなるべく使わないようにしようよ。

>393
高校の範囲外は使わないというより、
よりシンプルに解くと高校の範囲内に治まってしまう。

近所のコンビニに行くのなら、クルマよりも自転車か徒歩で十分だし、
そのほうが早くて事故も少ない。

>>394
ﾛﾋﾟﾀﾙの定理のときは違うと思。
その他もｲﾊﾟｰｲあるんでない。

xyz空間に、原点Oを中心とする半径1の球面Sがある
S上の点P(a,b,c)におけるSの接平面πとx,y,z軸との交点を
それぞれA,B,Cとするとき、三角形ABCの面積の最小値を求めよ
ただし、abc=1ではない

>>396
エラそうだな、死ね。

age

>>397
>>396にかわいそうだろ！あやまれ！

>>399=>>396?

>>396
問題おかしくないか？
軸と平行になるときはどうすんの？

平行の時は面積→∞として外すんじゃない？

まぁたぶんそうだとお思ふ。
言ってみただけﾅﾘ。
ところで解けそう？

>>396は間違え
abc=0ではないの間違え

おい！早く>>396の問題誰か解いてくれよ！！

>>405
あ、イけそう。

んなの正三角形のときだろ

4/√3

1/(2abc)の最小値だ。たぶん･･･｡

理解しやすい数学I+Aの50ページ73（1）の問題なんですが

次の二重根号を外して簡単にせよ
　＿＿＿＿＿
√　　　　　＿
　　29-3√80

これはどう解けばいいんでしょうか？

1対1・1A の数と式の章の演習題18の
場合分けについて質問なんですが、なぜ
a＞2で2≦a＜Yのケースは存在しないのですか？

>>410
29-3√80=29-2√180=(20+9)-2√(20*9)

∴√(29-3√80)=√20-√9=2√5-3・・・答

>>396できた！

今数3の写像というとこをやっているんですが概念も分からないし問題もよく解けません。ここは何時間かけても理解すべきとこなんでしょうか？

>>396
平面π:ax+by+cz+d=0…(1)
としたとき、πと球が接する条件は
|d|/√(a^2+b^2+c^2)=1(中心からの距離が1)だから
|d|=√(a^2+b^2+c^2)…(2)
ここで、A点、B点、C点の座標はそれぞれ(1)より
A=(-d/a,0,0),B=(0,-d/b,0),C=(0,0,-d/c)
となる。この3点がつくる三角形の面積Sは、とりあえず座標を
+(0,0,d/c)だけ平行移動させて
A'=(-d/a,0,d/c),B'=(0,-d/b,d/c),C'=(0,0,0)
としてやれば
S=|(-d/a,0,d/c)×(0,-d/b,d/c)|/2=|(d^2/cb,d^2/ac,d^2/ab|/2
=√(d^4/a^2b^2+d^4/b^2c^2+d^4/a^2c^2)/2
面倒なのでSを2乗して整理
S^2=d^4(a^2+b^2+c^2)/4a^2b^2c^2
(2)よりd=√a^2+b^2+c^2だから
S^2=(a^2+b^2+c^2)^3/4a^2b^2c^2
が最小となるa,b,cを見つければいい。この形は明らかに
(a^2+b^2+c^2)/3≧√(abc)｛√は3乗根｝
の相加相乗平均が使えるから
(a^2+b^2+c^2)^3≧27a^2b^2c^2
よって、a=b=cのときに(a^2+b^2+c^2)=27a^2b^2c^2で最小になるから
S^2=27a^2b^2c^2/4a^2b^2c^2=27/4
よってa=b=cのときにSmin=3√3/2
で最小となる。■

すまん、修正
(a^2+b^2+c^2)/3≧√(abc)　×
(a^2+b^2+c^2)/3≧√(a^2b^2c^2)　○

>>415
まだやってたんかい。
a^2+b^2+c^2=1だよ。球上の点やから。

あとそれで正解だと思ふ。

ｘｙ平面上において、原点から（ｎ，ｎ）までの経路のとおり数を
数える。ただし、ｙ≦ｘをみたす点のみをとおっていく場合を考える。

このときに、ｙ＝ｘ＋１に関して原点を対称移動した点（−１、１）
から（ｎ，ｎ）までの道順を、原点から（ｎ，ｎ）までの道順から
ひけばよいそうだけど、なぜ？よくわかりません。

1000人に知り合いがいるかどうかきく。一人は同じ答えをするひとが
いることをしめせ

不思議な方ね

またボロが出た。
a=b=cのとき　×
a^2=b^2=c^2のとき　○
つまり、πは8つ存在するってことね。

４１９にこたえてください

>>419
　カタラン数とかいう有名問題じゃなかった？こーゆー頭使うの苦手だから答えられないｹﾄﾞ・・・。

だれかしりませんか

あたまつかえっつううの

考えたけどわからなかったのですよコラ

>>419
格子点移動の最短経路とは書いてないが、そういうことでいい？

最短経路です

>>419
　僕の持ってる本に答えあるけど・・・upしようか？手打ちで。

>>415答え一緒になった．

　以下，特に指定がない限り，ABなどはベクトルを表わす．
　x軸，y軸，z軸についての対象性，及びabc≠0を考慮すると，
　　　　　P∈{(x，y，z)｜0＜x，0＜y，0＜z}　……�@
としても一般性は失われない．
　まず，A(p，0，0)，B(0，q，0)，C(0，0，r)と置くと，A∈πにより，
　　　　　OP⊥AP　⇔　OP・AP＝0　⇔　(a，b，c)・(a−p，b，c)＝0　⇔　a^2＋b^2＋c^2−ap＝0　……�A
となり，
　　　　　P∈S　⇔　a^2＋b^2＋c^2＝1　……�B
により，
　　　　　�A　⇔　1−ap＝0　⇔　p＝1／a
となり，点B，点Cについても同様のことが言えるので，
　　　　　p＝1／a，q＝1／b，r＝1／c　……�C
となる．
　次に，I＝△ABCとすると，
　　　　　I＝(1／2)√((|AB||AC|)^2−(AB・AC)^2)
であるが，
　　　　　|AB|^2＝p^2＋q^2，|AC|^2＝p^2＋q^2，AB・AC＝(−p，q，0)・(−p，0，r)＝p^2
と�B，�Cにより，
　　　　　|AB|^2|AC|^2−(AB・AC)^2＝(p^2＋q^2)(p^2＋r^2)−(p^2)^2＝(pq)^2＋(qr)^2＋(rp)^2
　　　　＝1／(ab)^2＋1／(bc)^2＋1／(ca)^2＝(a^2＋b^2＋c^2)／(abc)^2＝1／(abc)^2
となるので，
　　　　　I＝(1／2)√(1／(abc)^2)＝1／(2abc)
である．

　また，点(1，1，1)をQとし，2ベクトルOPとOQとのなす角をθと置くと，
　　　　　a＋b＋c＝(a，b，c)・(1，1，1)＝OP・OQ＝|OP||OQ|cosθ＝1・√3cosθ＝√3cosθ
となる．
　ここで，�@，点Qの位置を考えると，
　　　　　0≦θ＜90°……�D
ということは明らかである．
　�@より0＜a，0＜b，0＜cなので，相加平均と相乗平均との関係により，
　　　　　I＝1／(2abc)≧(1／2)(3／(a＋b＋c))^3＝(1／2)(3／(√3cosθ))^3＝3√3／(2cosθ)
　　　　　　　　　　　≧3√3／2
となる．
　さて，I≧3√3／(2cosθ)の等号成立条件は，
　　　　　a＝b＝c　……�E
であり，3√3／(2cosθ)≧3√3／2の等号成立条件は，�Dを考えると，
　　　　　θ＝0°……�F
であるが，点Pが線分OQ上にあるとき，�Eと�Fとは同時に成立することより，
　　　　　�Eと�Fとを同時に満たすような点Pは�@の範囲に存在する
こととなる．
　以上より，
　　　　　△ABCmin＝3√3／2　……(答え)
である．

>>431
対称性でした．

おながいします＞うぷ

>>420が気になる。

>>434
　今君がくれた問題そのものが、カタラン数Cnと言うものだそうです。以下、僕の本に書いてあることをそのまま抜粋します。（大数別冊：マスターオブ場合の数・東京出版）

　カタラン数を道順の個数に対応させて数えるとき、次のような考え方がある。
【手順１】原点からＮ(n,n)まで逝く最短経路の数は、条件を全く無視すると2n_Ｃ_n通りある。
【手順２】原点からＮまで逝く最短経路のうち、L≡
ｙ＝ｘ+1上を通るもの(条件に反するもの)を数える（★）。★の１つについて、最初にLと交わった点以降はLについて折り返した道順(★★)を考えると、これは、原点からＮ’(n-1、n+1)までの道順と対応する。
　逆に原点からＮ’に至る全ての道順は、必ずL上の点を通るので、はじめてLに交わった点以降をLについて折り返すと、★が１つできる。よって★の数は原点からＮ’に逝く道順の数に等しく(１対１に対応し)、2n_Ｃ_n通り。
【手順３】よって、全体から★の数を引くことにより、求めるカタラン数は2n_Ｃ_n　−　2n_Ｃ_n+1　＝　2n_Ｃ_n/n+1

　
　ﾀｲﾌﾟしながら読んでたけど、ｻﾊﾟｰﾘ僕は分かりませんですた。

>>420って同じ答えの定義によって答え変わるんじゃ。
知っている人物がすべて同じ(もしくは誰も知らない)
ことを同一の答えとすると成り立たないきが。

>>436
これをタイプした君はスゴイ

【手順２】の一番最後ﾀｲﾌﾟﾐｽです。2n_Ｃ_nじゃなくて、2n_Ｃ_n+1　だね。。。

わしもサパーリわかりませんですた。だれかわかりやすく
説明してくれませんか

1回n＝5辺りで考えたらどうかなぁ。

>>420だけど、言い換えると
答え方の総数が999以下であることを示せってことやな。

>>440
　受験生歴１年５ヶ月のｦﾚが言う。やらなくてよし。

>>442
　これも有名問題ｶﾅ・・・？ディリクレ理論の応用のような気がしますです。鳩ノ巣原理って奴ね。

>>444
俺も同じこと思うた。引き出し論法とか言い方ｲﾊﾟｰｲあるよな。

奇数個の国に隣接する国に個数は偶数であることを証明して

>>445
　まぁ、痴呆国立脂肪のｦﾚは解ける必要無いので逃げさせて頂きます・・・。

>>446
　１分ほど考えましたが、解けません。受験生ならやり過ぎのような気がしないでもない・・・。灯台後期洗顔なら話は別だが。。。

1000人に知り合いが何人いるかきく。同じ答えをする人が
ひとりはいることをしめせ

国境の個数と国の個数が１：２になってるからだそうです。
でもよくわかりません。その対応関係が重複してみえるんで

>>420
>>435
知り合いとはお互いに相手のことを知っていることとする。
Ａ（０）さんからＡ（９９９）さんまでの１０００人の集団がいるとき、
各人の知り合い人数は０人から１０００人までの１００１通り考えられるが
Ａ（０）さんの知り合い人数＝０、かつ、Ａ（９９９）さんの知り合い人数＝１０００これはありえない。
よって知り合い人数が全て異なるとすれば
Ａ（ｋ）さんの知り合い人数＝ｋ人、または、
Ａ（ｋ）さんの知り合い人数＝（ｋ＋１）人のどちらかである。
・・・
こういう話？

>>446
>>449
もうちょっと問題詳しく……自分に解けるか解らないが。

>>436
この考え方は最初にLと交わったあとからNにつくまでの道の数と
N´につくまでの道の数が等しいからLを通ってNにつくまでの道の数は
N´までの道の数に等しいって事ではないでしょうか。

>>451
失敗。

各人の知り合い人数は０人から９９９人までの１０００通り考えられるが
Ａ（０）さんの知り合い人数＝０、かつ、Ａ（９９９）さんの知り合い人数＝９９９これはありえない。
あれ？これで証明終わってしまった？

>>453
　いや、ｦﾚに聞かれても・・・。僕場合の数とか苦手なの。ならば何が得意なのだと問われれば、どれも不得意だと答えざるを得ないのが大いに不本意だ！！！！

>>449
知り合いは自分以外だから999人以下。すなわち総数が999通りしかない。
しかし人は1000人いる。
よって少なくとも一組が同一。
ｹｰｷが999子しかないのに1000人で分けれるかってことか。

総数ってのは答える人数の総数。

>>456
　言われてみたら確かに単純なディリクレ理論で終わりﾀﾞﾈ。。。

あっ間違えた、激鬱･･･｡

>>459
　合ってるのでわ・・・？

>>460
知り合い０人もありうるから総数は１０００通りです。
知り合い０人と知り合い９９９人が同時成立しないので否定できます。

>>460
いや、0人加えると1000人やから問題が間違いやと思ふ。

　ｱﾗ・・・？「知り合い」って言葉の意味が分からんぞ・・・

>>461
あぁ、そういうことね。

「私はこの中に知り合いが１人もいません。」って答えられるのは１人だけﾀﾞﾖﾈ？？？

知り合いって互いに知ってることってことか。
知り合いの定義かいといてくれよな。

誰も知り合いがいない人と、自分以外は全て知り合いな人が両立しないってことです。

でも逆に例えば「私はあの人(Ａさん)と知り合いです。」って答えたら、Ａさんは「私はあの人(←の人)と知り合いです。」ってことになって・・・。

　この問題興味深いので立ち止まってみるﾃｽﾄ。

ん？3人で考えてみると簡単に分かると思われ。

二人やと俺こいる知ってるでってﾔｼとお前なんか知らんわってﾔｼ
がｹﾝｶしちゃう。
一人加えるととめるｼﾄができるから良し

あ、秋山の実況中継に全く同じ問題があった・・・罠。

aはﾊﾟｽﾞﾙ好きか何かやな。全部有名問題。

>415
平面の方程式の出し方がヘタ。
法線ベクトルが(a,b,c)で、点(a,b,c)を通るんだから
a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0
∴ax+by+cz=1 (なぜならa^2+b^2+c^2=1）

x,y,z軸切片はＡ(1/a,0,0),Ｂ(0,1/b,0),Ｃ(0,0,1/c)
二つのベクトルが張る三角形の面積は受験生なら知っているはず。

難しいことを知っているくせに、基本的な動作は出来ない。
今一な受験生にありがちだな。

>>415->>432
正解！！東京大学物語に載っていた問題です

学習相談ならば中央高等学院　頼むぞ！

文系で数学で関学受けたいのですが何かいい参考書ないですか？

>>477
当学院にお任せください
http://www1.neweb.ne.jp/wa/chuo/syoukai.htm　頼むぞ！

>>474
俺はもう受験生ではないという罠。
まぁ、今一な受験生であったのは事実で、それだから今一な大学にしか
いってないんだけど（ｗ

>>388
ごめん訂正。

漸近線がy=2x、y=-2xであるような双曲線の方程式は
(x^2/a^2)-(y^2/4a^2)=±1 (a>0)
分母を払って因数分解すれば
(2x-y)(2x+y)=±4a^2
4a^2をcとおけばよい。
ただしc≠0。

さらに訂正

漸近線がy=2x、y=-2xであるような双曲線の方程式は
(x^2/a^2)-(y^2/4a^2)=±1 (a>0)
分母を払って因数分解すれば
(2x-y)(2x+y)=±4a^2
±4a^2をcとおけばよい。
ただしc≠0。

回線切って首つって氏んでくる

>>475
京大の文系だと1番辺りで出そう。

>>481
てゆうかね。
>>390のようになぜ漸近するかを答えないとさ。

なぜ双曲線(x^2/a^2)-(y^2/4a^2)=±1 (a>0)には漸近線が存在して、
それはy=2x、y=-2xなの？ってことにもなるさね。

誰か教えて下さい。

{x^2-2(a-1)}÷x+1
の式で、答えが-(2a-1)xとなるのが分かりません。

>>484
の修正
答えじゃなくて、余りですね。

答えはいくらになるの？

あまりにＸがつくわけない

>>487
そうだよね、xを消す計算するんだから・・

次数が１つ下がるに決まってんじゃん。

{x^2-2(a-1)}÷x+1
↑この計算するとx-1 余り-2a+3になったのは漏れだけ？

すんません。いらない所だと思って式を修正していました。
正しい式は

{x^2-2(2a-1)x-(2a-1)}÷(x+1)

という式です。
これを割り算計算したときの計算がよく分からないんです。
商はx-(2a-1)なんですが・・・　　　　　　　　　　　　問題元、和田式センター１A

何が分からんのか分からん。マジで。

商がx-4aになった漏れはﾄﾞｷｭｿですか？

>>491
整式の割り算を筆算でとく方法は知ってる？
aみたいな文字が入ってなければ解ける？

>>493
普通そうなる。ってか暗算でだいたいおかしいって気づくだろ。

>>385
kによらずその式が円を表す方程式で、必ずA,Cを通るから。

とかいう説明でいいのか？
まぁ、Kを±∞とかに持っていくと直線となるが。

あ、ｽﾏｿ、紙に書いて計算したらx-4a+1になったぽ

すみません、４８４式自体間違いでした・・。

x^2-2(2a-1)x-(2a-1)を(X+1)で割るとき
まず、Xをかけるじゃないですか。
そうすると
　　X
x+1)x^2-2(2a-1)x-(2a-1)
　　X^2 +x
　　￣￣￣￣￣￣
となって、
-(2a-1)x-(2a-1)になるわけですけど
このときの計算、
x^2-2(a-1)-x^2+x
が分かりません。
x^2-x^2＝0、ですけど
-2(a-1)-x＝-(2a-1)x
というのがサッパリなんです。

はぁ？？時間の無駄だな。

>>498
ちょっとタブ慣れてないから字が汚いけど、この式みてね＾＾；
間違ってるかもしれんけど・・・
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/werewolf/01.gif

ちゃんと出るかどうか分からないけど
こういう式なら分かるのですけど・・。

1) 3x +2 2) 4x -2
-------------- --------------
x+1 ) 3x^2 +5x +3 2x-1) 8x^2 -8x -5
3x^2 +3x 8x^2 -4x
-------------- --------------
2x +3 -4x -5
2x +2 -4x +4
-------------- --------------
1 -9

ぐあ、申し訳ないです・・。
正しくは、

x^2-2(2a-1)x-(2a-1)を(X+1)・・・・×
x^2-2(a-1)x-(2a-1)を(X+1)・・・・ ○

>>500
UPまでしてくれたのに申し訳ないです・・。
これの式を解説してくれると嬉しいです・・。

中３並みの頭だなｗ

>>502
ゴメン、一応聞いとくけど、整式の除法の問題・・・だよね？なんか自信なくなってきた・・・・

>>503
勉強のブランクありましたから・・・。
中学のも忘れていますし、下手すれば小学生の内容だって忘れています。
こんな子供相手にでも教えてくれると嬉しいです。

これで合ってると思う。
急いでやったから微妙ｗ
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/werewolf/01.gif

>>504
おそらくそうだと思います。
グーぐる検索してみましたけど
このような式に関する問題式は無かったです・・。

あ、リンク間違えた、こっちね
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/werewolf/02.gif

>>506
すみません。問題式を書き間違えて、

x^2-2(2a-1)x-(2a-1)を(X+1)・・・・×
x^2-2(a-1)x-(2a-1)を(X+1)・・・・ ○

最初の()が(2a-1)ではなく、(a-1)なんです。

こんな事をいうのも失礼かもしれないけど、センターの問題とかよりも、
教科書をしっかりしたほうがいいよ。基礎は大事だし・・・

ゴルァ！！実数って０も含むじゃねーか。２ｃｈで嘘教えられたｗ

aってのは定数．数字と同じ．
5x-x=4x この4は5-1で出てくるだろ？
なら-2(2a-1)x-x は-2(2a-1)-1を計算すればいい

>>511
実数は有理数も無理数もあるからねぇ・・・
教科書ちゃんと見たほうが・・・・

>>508
(;´Д`)ありがとう御座います−−−−−−−−−−−−−−−−−−!!
ｱ-なるほど、展開の仕方がよく分かってなかったです。
それに和田式より、あなたの方が分かりやすいです。

センターは誘導問題だから間違えてても気づくといってみるテスト。
聞くけど、まさか理系じゃないよね？

>>513
最もらしいこといわれたもんでつい騙された。
実際に存在しないから実数じゃないよだってｗ

484は、、いま何年？

>>516
はは、０は状態にして数にあらず。みたいな事よく言うからね〜。
まあ一度間違えれば二度と間違えないでしょ〜。

>>510
いえいえ、肝に銘じておきます。
今日この問題で１日使ってしまいました。

>>515
文系ですが、この頭の記憶のあいまいさでは理系に転向したとしても
何年かかるか・・。
>>517
実をいうと、高校何年とか、そのような生やさしいものではなく
高校を１年で中退して、しばらく引きこもっていて、
最近大検をとって大学目指している　２３歳　です。
中学、小学の問題も忘れていますから、恥ずかしい限りです。

>>520
なるほど〜。でも、大検取れたんならスゴイじゃないですか。
２３歳ならまだ十分に若いし、今からだと国立も大丈夫でしょ。

>>520
ふーん。文系ならまだ大丈夫かな。。。大学によるけど。。。

>>521
ありがとう御座います。
教師志望なのでそのへんの国立大学目指しています。自分が勉強がダメな人間なので
もし、これで出来るようになって教師になれたら出来ない子に教えてあげたいと。
今は当分聞く身なんですけどね。
>>522
興味として数学教師というのも考えていました。
でも１Aいまやっていて２Bなどに入ることは難しいですよね・・。

>>523
それだけしっかりした目標があるんなら、ただひたすらに頑張って下さい。
まあ、一浪の自分が言えるセリフじゃありませんがｗ

誰かこれの考え方を教えてください。

n桁の自然数のうち、ある数の平方となっているものの集合をEnとする。
Enの元で、その最高位の数が1であるものの個数をAnとすると、
『Anは、│√(2×10^n-1)-√(10^n-1)-An│≦1を満たすので』
というように解答がなっているのですが、どうしてAnがこれを満たすのかがわかりません。

どなたかよろしくお願いしマス。

age

xy≧１　ｙ≧１
px＋ｙ　ｐ＞０　の最小値ｆｐとする。
ｆｐ求め、ｑ＝ｆｐのグラフ書けという問題がわかりません。

age

>>527
xy≧1かつy≧1で示される領域をDとする。
また，y=1/xの(1，1)における接線の傾きは，y'=-1/x^2　より，-1である。
px+y=kとおくと，y=-px+kであり，傾きが-p(＜0)，切片がkの直線である。
この直線L：y=-px+kが領域Dと共有点を持つ条件を考えればよい。

(1)0＜p≦1のとき
直線Lが，(1，1)を通過するとき，kは最大になるので，
f(p)=p+1

(2)1≦pのとき
直線Lがy=1/xの0＜x≦1で接するとき，kは最小となるので，
1/x=-px+k
px^2-kx+1=0の判別式=0より，2√p≦k
等号が成り立つのはx=y=k/2p=1/√pのとき。

以上から，
0＜p≦1のときf(p)=p+1　(x=1，y=1)
1≦pのときf(p)=2√p　(x=1/√p，y=1/√p)

>>529訂正：：

(1)0＜p≦1のとき
直線Lが，(1，1)を通過するとき，kは最小になるので，　←訂正・・。

他は大丈夫だと思いますが・・。。

>>525
Anに数えられる数を｛ａ(1)、ａ(2)、･･･ａ(An)｝とおくと
√ａ(ｘ+1)-√ａ(ｘ)=1なのでａ(An)-ａ(1)=An-1･･･<１>

√ａ(An)<=√(2×10^n-1)<√ａ(An)+1･･･<２>
√ａ(1)-1<√(10^n-1)<=√ａ(1)･･･<３>

<１><２><３>より
√ａ(An)-√ａ(1)<=√(2×10^n-1)-√(10^n-1)<√ａ(An)+1-√ａ(1)+1
An-1<=√(2×10^n-1)-√(10^n-1)<An+1
よって│√(2×10^n-1)-√(10^n-1)-An│≦1

>>529
ｐの場合分けはどうしてそんなふうになるんですか？

間違えました
2行目
×ａ(An)-ａ(1)=An-1
○√ａ(An)-√ａ(1)=An-1

（1）
2x^2-xy-3y^2+5x-5y+k　がx,yについての1次式の積になるように、定数ｋの値を定めよ。
（2）
x^4-4x^3+ax^2-12x+bが完全平方式となるように、定数a,bの値を定めよ。
（3）
ｘ＞2　ｙ＞2　ｚ＞2のとき　ｘｙｚ＞ｘ＋ｙ＋ｚを証明せよ

ここの住人には簡単すぎるかもしれませんが、解法教えてください。

age

俺って、住人じゃないのか〜
ﾖｶｯﾀ

>>534

(3)
　まず，
　　　　　A＝3{xyz−(x＋y＋z)}
と置く．
　すると，
　　　　　A＝3{xyz−(x＋y＋z)}＝(xyz−3x)＋(xyz−3y)＋(xyz−3z)＝x(yz−3)＋y(zx−3)＋z(xy−3)
となる．
　また，
　　　　　y＞2，z＞2　⇒　yz＞4　⇒　yz−3＞0
であることと，x＞2により，
　　　　　x(yz−3)＞0
である．
　同様に，
　　　　　y(zx−3)＞0，z(xy−3)＞0
であるので，
　　　　　A＝x(yz−3)＋y(zx−3)＋z(xy−3)＞0
となる．
　従って，
　　　　　A＝3{xyz−(x＋y＋z)}＞0　⇔　xyz＞x＋y＋z　……(これが証明さるべきことであった)
となる．

>>534
(2)(x^2+cx+√d)^2とおく

>>537　ありがとうございます。ところで、
ｘｙ＞ｘ＋ｙが証明されている場合、これを使った証明の仕方はありますでしょうか？
　
それから、引き続き>>534　の（1）（2）もお願いします

間違えました
(2)(x^2+cx+√b)^2とおく

すみません。アフォなので理解できません・・・
>>540

>>539

(3)
　まず，
　　　　　p＞2，q＞2　⇒　pq＞p＋q　……(*)
が成り立つ（敢えてx，yでなくp，qで書かせていただきました）．
　ここで，
　　　　　x＞2，y＞2　⇒　xy＞4　⇒　xy＞2
により，(*)を用いて，
　　　　　xy＞2，z＞2　⇒　xy・z＞xy＋z　……�@
となる．
　また，(*)を用いて，
　　　　　x＞2，y＞2　⇒　xy＞x＋y　⇔　xy＋z＞x＋y＋z　……�A
となる．
　以上の�@，�Aにより，
　　　　xyz＞x＋y＋z　……(これが証明さるべきことであった)
となる．

あげ

(2)
・4次式だから平方式は2次式
・4次の係数は平方式の2次の係数の2乗
・定数は2次の定数の2乗

>>542 ありがとうございます。感動しますた

>>540はcじゃなくてa？

また間違えた
3つ目
×定数は2次の定数の2乗
○定数は平方式の定数の2乗

あ、わかりました！ありがとうございます>>544

>>546
いや違う。

>>534
(2)は「完全平方式」と出てきた時点で「多項定理」が使える．
↓では順序よくかいたが，一挙に多項定理で展開して，
a，b，p，qの4元連立方程式を立ててもよい．

(2)
　まず，
　　　　　x^4−4x^3＋ax^2−12x＋b　……�@
を完全平方式にすると，
　　　　　(x^2＋px＋q)^2　(p∈R，q∈R)　……�A
という形になることは明らかである．
　�Aを展開したときのx^3の係数は，多項定理により，
　　　　　p・2！／(1！・1！・0！)＝2p
である．
　ところで，�@と�Aは一致するので，x^3の係数に注目して，
　　　　　2p＝−4　⇔　p＝−2
となる．
　同様に，�Aを展開したときのxの係数は，
　　　　　−2・q・2！／(1！・1！・0！)＝−4q
であり，�@のxの係数と比較して，
　　　　　−4q＝−12　⇔　q＝3
である．
　よって，
　　　　　�A：(x^2−2x＋3)^2
である．
　更に，�Aを展開したときのx^2の係数は，
　　　　　3・2！／(1！・0！・1！)＋(−2)^2・2！／(0！・2！・0！)＝6＋4＝10
であり，�@のx^2の係数と比較して，
　　　　　a＝10
である．
　また，�Aを展開したときの定数項の値は，
　　　　　3^2・2！／(0！・0！・2！)＝9
であり，�@の定数項の値と比較して，
　　　　　b＝9
である．
　以上により，
　　　　　a＝10，b＝9　……(答え)
である．

をを・・・ありがとうございます。>>550

（2）（3）は理解できたので引き続き、
（1）
2x^2-xy-3y^2+5x-5y+k　がx,yについての1次式の積になるように、定数ｋの値を定めよ。
をお願いします。
それから（2）で、
2＞ｘ　2＞ｙ　のとき　ｘｙ＞ｘ＋ｙの証明の仕方もお願いします

>>551
たぶん(3)で「x＞2，y＞2のとき，xy＞x＋yを示せ(☆)」と言いたいんだと思うけど，
>>537と同じようなやり方でできるから，考えてみるべし．
と言うか問題的には，(☆)から>>537を推測するんだと思うが．

（3）別解
ｘ、ｙ、ｚの中で1番大きい物をｔと置くと
x+ｙ+z<=3t　　xyz>=4ｔ
よってｘｙｚ＞ｘ＋ｙ＋ｚ

一応自分で

ｘ＞2、ｙ＞2より
ｘ−2＞0　ｙ−2＞0
よって　（ｘ−2）（ｙ−2）＞0
　　　　ｘｙ−2ｘ−2ｙ＋4＞
　　　　ｘｙーｘ−ｙ＞ｘ＋ｙ−4・・�@
また、　ｘ＞2　ｙ＞2より
ｘ＋ｙ＞4だから
ｘ＋ｙ−4＞0・・�A
�@�Aより　ｘｙーｘ−ｙ＞0
よって　ｘｙ＞ｘ＋ｙ　終わり

できたけどなんかたまたまって感じがして・・・

>>553
なるほど！　スマートですね．

>>554
合ってますよ．
ちなみに，>>537と同じやり方だと，2{xy−(x＋y)}＝x(y−2)＋y(x−2)　(：略証)というような感じで．
>>553と同じやり方だと，x＋y≦2t，2t＜xy　(：略証)というような感じで．

なんで　xyz>=4ｔ 　になるかわからない・・・
それから
>>534　の（）も誰かm(._.)m オネガイ

>>556
ごめん=なしだった。

>>556
　横槍。「ｙ、ｚを最小限の２だとしても」ってﾒｯｾｰｼﾞで、ｘｙｚ≧４ｔ＝２・２・ｔ

>>551
(1)
2x^2-xy-3y^2+5x-5y+k=f(x)とおくと，
f(x)=2x^2-(y-5)x-3y^2-5y+k　となる。

f(x)=0の判別式をD(y)とおくと，
D(y)=(y-5)^2-8(-3y^2-5y+k)=25y^2+30y+25-8k　であり，

与式=2〔x-{(y-5)+√D(y)}/4〕〔x-{(y-5)-√D(y)}/4〕となる。
したがって，
D(y)が平方式となればよいので，
D(y)=0の判別式D'がD'=0を満たすことから，D'/4=15^2-25(25-8k)=0⇔k=2
ゆえに，k=2・・・答

(2)
x＞2，y＞2
⇔x-2＞0，y-2＞0
⇔(x-2)+(y-2)＞0かつ(x-2)(y-2)＞0
⇔x+y＞4・・・ア　かつ　xy-2(x+y)+4＞0・・・イ

イより
xy-(x+y)＞(x+y)-4
また，アを考えて，xy-(x+y)＞0⇔xy＞x+y

>>556
>2x^2-xy-3y^2+5x-5y+k　がx,yについての1次式の積になるように、定数ｋの値を定めよ。

「x，yについての1次式」って，係数が整数とかいう条件ないのかな……？

>>559
なるほど！

>>559
(1)なんかあやしい。

(3)
>>553と基本的には一緒だが
x+y+z>xyzにおいて
(x+y+z)/xyz=1/xy+1/xz+1/yz
xy>4より
(x+y+z)/xyz<1/4+1/4+1/4=3/4<1
∴
xyz>x+y+z

>>529
直線の傾き-pを考えます。
また，(1，1)におけるy=1/xの接線の傾きはy'=-1/x^2より，-1です。
したがって，-pと-1の大小で場合わけします。

傾き-pが-1以下のとき(すなわちp≧1のとき)
kの値が最小になるのは，y=1/xと直線y=-px+kが接するときで，
そのときの接点は(1/√p，1/√p)となります。

傾き-pが-1以上のとき(0＜p≦1のとき)

kの値が最小となるのは，直線が(1，1)を通過するときです。

534の(1)
与式は2(ｘ+ａｙ+ｂ)(ｘ+ｃｙ+ｄ)とおける
これを展開すると
2｛ｘ^2+(ｃ+ａ)ｘｙ+(ｂ+ｄ)ｘ+(ａｂ+ｂｃ)ｙ+ｂｄ｝
これを与式に対応させると、
ｃ+ａ=-1／2　ｂ+ｄ=5／2　ａｂ+ｂｃ=-5／2　ｂｄ=ｋ／2
これを解くとｋ=2

>>562
なかなか良い解法だと思いますよ。

>>565
未知数がa，b，c，d，kの5つで式が4つってことは，
何か条件があって絞ったのでしょうか・・？
僕はこの問題を「有理係数のx，yについての1次式の積」という
ふうに解釈してしまっていました。。(ふつう，こういう問題は有理係数って
書いてあることが多いので・・)
もし，無理係数のx，ｙについての1次式の積でもいいのならば，
答はどうなるんでしょう・・？

あ、ほんとだ。

>>567
>>559を見て有理係数でよかったんだと思ってしまいますた。

>>567
ごめんａｃ=−3／2を忘れてた。

夏休み中に�UＢを征服したいんですが,可能でしょうか？
ちなみに早稲田志望、センター利用考えてます.

>>567
2(ｘ+ａｙ+ｂ)(ｘ+ｃｙ+ｄ)を
(√2ｘ+√2ａｙ+√2ｂ)(√2ｘ+√2ｃｙ+√2ｄ)とすると
無理係数のx，ｙについての1次式の積になる

>>571
今あなたがどれくらいのレベルにいるのかによる
後，あなたのやる気具合にもよる

>>573　模試で�TＡ・�UＢは５割くらいしか取れてないです．

>>550です
みなさん、ありがとうございます。解決できました。
高1なのですが、あの問題で悩んでいるのはやばいですかね・・・
国立医学部にいきたいんですが・・・
これからがんばります

>>534
前に、「スレッドを立てるまでも無い質問はここへ」スレへも書き込んでたろ？
親切に解答が書き込まれてたぜ？
ちゃんとレスはチェックしような。

>>531
ありがとうございます。
ようやく理解できました！

sage

複素数a,b,c,dがこの順で正方形の頂点になるための条件を求めよ。

ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3を満たす
自然数x,y,zは存在しないことを証明しなさい。

X+Y+Z=15
XYZ=101

Xは０以上実数
Yは1以上の実数
Zは3以上の実数

これを満たす実数XYZをすべて求めよ。

あのスレの１が頼りないばかりに（藁

素数は無限に存在する事を示せ。

>>579
重心を原点に移動させて考えれ

>>580

http://www.google.com/search?q=%83t%83F%83%8B%83%7D%81%5B%81%40%8D%C5%8FI%92%E8%97%9D%81%40%96%B3%8C%C0%8D%7E%89%BA%96%40&ie=Shift_JIS&hl=ja&lr=

>>579
図かいて辺の長さと角度から式たてるだけ。
積を利用して。

>>583
それまでの素数の積＋１が存在するとか？

>>587
背理法を使う。

>>579
d-a=±i(b-a) （AB⊥AD,AB=AD）　・・・　�@
(b-a)+(d-a)=c-a （平行四辺形）
　⇒b+d=c+a　・・・　�A
の2つ。
※�@はRe((d-a)/(b-a))=0でも可。

>>581
X+Y+Z=15という平面と、XYZ=101という曲面との交点なので、解は無数にあるような気がするが。
X≧0,Y≧1,Z≧3を使って一意に決まるとも思えないし。

>>583
587&588の丁寧な説明が元スレにありました。

>※�@はRe((d-a)/(b-a))=0でも可。
ごめんなさい。大嘘つきました。

直線y-b=m(x-a).....�@と放物線y=x^2.....�Aがある
点(a,b)からこの放物線�Aに接線が２本引けて、それらが直交するときbの値を求めよ

という問題の途中がわかりません

（解）
�@と�Aを連立した式　x^2-mx＋am-b=0　・・・�B
�Bは重解を持つので
D=(-m^2)-4(am-b)=m^2-4am＋4b=0・・・�C
(a.b)から放物線�Aに接線が２本引けることから、mの二次方程式�Cは、異なる実数解c,dを持つ
解と係数の関係より　c×d=4b
（次が解りません…）
2直線が直交することから　c×d=-1

なんでcとdが接線の傾きになってるかが解りません、どなたか親切なかたお願いします

あれま　名無しさんでカキコしようと思ったのに
まーいーか　どうせ実際頭悪いし

>>591
�@式は「点(a,b)から放物線�Aに引いた接線」を表す式ですよね。
mはその傾きを表す変数だから、mの条件式�Cを解いて得られる解(mの値)c,dは、接線の傾きを表す値では。

証明問題で、「ある数が３の倍数になるのは
各位の数字の和が３の倍数になるとき」っていうのは
この命題自体の証明をせずに使ってもいいんですか？
それと、この命題がなんで成り立つかをよければ証明
してくれませんか？

>>594
問題文に注があるんじゃないか？

>>594
有名だから使ってもいいのでは？
証明は、例えば３桁の数abcの場合
100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c)
という感じ。n桁でも同様。

>>595
なかった場合は使うなと。
なぜこれが言えるかは分かりませんか？

帰納法

>>597
>>596でわからないか？

X＝10^n(a_n)+10^n-1(a_n-1)+....+10a_1+a_0　であるとする。

(a_n)+(a_n-1)+...+(a_1)+(a_0)=3k とすれば、

X＝９M＋３ｋ　よって　Xは３で割り切れる。

>>597です>>596さんありがとう。書き込むときはなかったもんで・・・m(__)m
>>600
ありがとうです。とても分かり易いです。

>>597
うちの学校の先生は使っていいって言ってた

どんな自然数kをとったとしても、k^4未満のkの倍数のうち、
１０進数で表示したときに、多くとも４種類の数字しか現れない数
(例：121235353とか)
が存在する事を示せ。

判ったら神だからドイツ行くと良いよ。

芋ですな

２円 ｘ^2+ｙ^2+Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝０とｘ^2+ｙ^2+Ｄｘ+Ｅｙ+Ｆ＝０
についてｘ^2+ｙ^2+Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ+ｋ（ｘ^2+ｙ^2+Ｄｘ+Ｅｙ+Ｆ）＝０
が成り立つとき、これが２交点を通る直線をあらわすときｋ＝−１らしいんですけど
何でですか？ｘ^2とｙ^2の係数が１だからだとしたら、係数が１以外だったらどうなるんでしょうか？

>>605
k=-1の時のみx^2、y^2が消える（係数が0になる）ので。
k=-1以外では、2円の交点×2を通る円の方程式。
教科書にも載ってると思われ。

>>603
わかりません。どうやるの？

＞６０５
＞ｋ＝−１らしいんですけど何でですか？
考えればわかる

＞係数が１以外だったらどうなるんでしょうか？
２円ではなく２楕円だったりするとどうなるかということか？

あれ、円って全部２ｘ^2とかにならないで必ずｘ^2とｙ^2になるんでしたっけ・・・？

楕円

やさしい理系数学50(河合出版)を使っている方…
2ページの6行目あたりがわからないのですが…。
どこから(-2a+b)x-a+cが出てくるんですか？

お願いします。

>>610
全部書くように。

整式f(x)を(x+1)^2で割ったときの余りは2x+3,また(x-1)^2で割った余りは3x-2であるという。
f(x)を(x+1)^2(x-1)で割ったときのあまりを求めよ。

これを除法の原理を使って解いてみてください。

68×
610○
でした。
失礼。

>>612
といたぞ

>>614
おめでとう。

1

>>612
−x^2＋2？

ax^2+bx+cを
(x+1)^2で割っただけだと思ふ。

f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c

と置いたとき後ろのax^2+bx+cの部分を
(x+1)^2で割って
ax^2+bx+c=(x+1)^2q(x)+dx+e
の形に変形すれば
f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
　　=(x+1)^2(x-1)Q(x)+(x-1)^2q(x)+dx+e
とかける。
(x+1)^2の部分をくくると
=(x+1)^2(x-1)Q(x)+(x+1)^2q(x)+dx+e
=(x+1)^2{(x-1)Q(x)+q(x)}+dx+e

この式をf(x)=(x+1)^2Q[1](x)+2x+3
と比較すると{}の部分がQ[1](x)でdx+eの部分が2x+3になる。
だからd=2かつe=3
でdx+eというのは
ax^2+bx+cを(x+1)^2で割ったときの余りだから
実際に割り算してみれば
(-2a+b)x-a+cがでてくるはず。

分かりにくい説明だなあ。

>>610
　スマソ．
　↓こう解いたらその式でてこなかった．
　未知数を3個設定するのがイヤだったので，1個に抑えてみました．


　整式f(x)を(x＋1)^2で割ったときの剰余が2x＋3であるので，g(x)を整式として，
　　　　　f(x)＝(x＋1)^2・g(x)＋2x＋3　……(1)
と置ける．
　また，f(x)を(x−1)^2で割ったときの剰余が3x−2であるので，h(x)を整式として，
　　　　　f(x)＝(x−1)^2・h(x)＋3x−2　……(2)
と置ける．
　(2)にx＝1を代入すると，
　　　　　f(1)＝1　……(3)
である．
　一方，g(x)はxについての多項式であるので，a_0，a_1，a_2，…，a_nを定数として，
　　　　　g(x)＝�納k＝0，n]a_n・(x−1)^k
と置ける．……(*)
　これによって(1)を書き換えると，
　　　　　f(x)＝(x＋1)^2・�納k＝0，n]a_n・(x−1)^k＋2x＋3
　　　　　　　＝(x＋1)^2・(�納k＝1，n]a_n・(x−1)^k＋a_0)＋2x＋3
　　　　　　　＝(x＋1)^2・�納k＝1，n]a_n・(x−1)^k＋a_0・(x＋1)^2＋2x＋3
　　　　　　　＝(x＋1)^2・(x−1)・�納k＝1，n]a_n・(x−1)^(k−1)＋a_0・(x＋1)^2＋2x＋3
となる．
　ここで，k(x)＝�納k＝1，n]a_n・(x−1)^(k−1)と置くと，
　　　　　f(x)＝(x＋1)^2・(x−1)・k(x)＋a_0・(x＋1)^2＋2x＋3　……(4)
となる．
　よって，
　　　　　f(1)＝(1＋1)^2・(1−1)・k(1)＋a_0・(1＋1)^2＋2・1＋3＝4・a_0＋5
であるが，これと(3)により，
　　　　　f(1)＝4・a_0＋5＝1　⇔　a_0＝−1
となる．
　従って，
　　　　　(4)　⇔　f(x)＝(x＋1)^2・(x−1)・k(x)−(x＋1)^2＋2x＋3
　　　　　　　　⇔　f(x)＝(x＋1)^2・(x−1)・k(x)−x^2＋2
である．
　f(x)を(x＋1)^2・(x−1)で割ったときの剰余が，高々2次式であることを考えると，これより，
　　　　　(f(x)を(x＋1)^2・(x−1)で割ったときの剰余)＝−x^2＋2　……(答え)
である．

(*)について．
　　xについての任意の多項式を，x−1についての多項式に書き換えられる．
　　例えば，x^2＋x＋1なら，x−1＝t⇔x＝t＋1と置き，これを元の式に代入し，
　　　　　　(t＋1)^2＋(t＋1)＋1＝t^2＋3t＋3＝(x−1)^2＋3(x−1)＋3
　となる．

f(X)＝(X＋1)^2(X−1)Q(X)＋a(X＋1)^2＋2X＋3 ...(*) じゃダメなんか？

>>622
普通、つーか俺もそうした

>>622
いいと思う．
俺の解答は上から一挙に書いたし答え見直してないからもっと短い書き方がありましたね．
スマソ．

>>622
俺数学離れて久しいので勘が鈍りまくってるんだが，
何でそうやって置いていいんだっけ？

ｵﾚﾎﾞｹﾀ（ ﾟдﾟ）・・・

>>625
>>622のf(x)を(x+1)でわってみれ

>>626
サンクス．
f(x)を(x＋1)^2で割った商(X−1)Q(X)＋aはどんな整式でも表わし得る整式となってるのね．

くだらない質問ですが、、

私は図形の証明問題が苦手なのですが、大学受験ではどのぐらいの割合を占めてるんですか？
いまから中学ぐらいまでさかのぼって鍛えたほうが安心して受験に望めるのでしょうか？

どなたかお返事くださいおねがいします

>>613-627
わかりました。
有難う御座いました。

三角関数の加法定理、積和の公式の暗記方法を教えてください。

>>628
1)三角形の合同、比例、中点連結定理
1)重心、内心、外心、垂心の性質
2)円周角の定理、接弦定理、方べきの定理、円に内接する四角形の対角の和
・・・などについて理解していることは必要。
だがそれらが解法に必要な問題を解く都度理解すればいいと思う。

z^5=1　を解け。

>>630
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ...(1)
sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ ...(2)
cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαcosβ ...(3)
cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαcosβ ...(4)
ここまでは腕力で暗記！

＊循環論法になるので証明にはならないが忘れたら複素数で導出するのがよい。
eX.
Z1＝cosα＋isinα, Z2＝cosβ＋isinβ とすると、
Z1Z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
＝(cosαcosβ−sinαsinβ)＋i(sinαcosβ＋cosαsinβ) ...(*)
また、Arg(Z1Z2)＝α＋β であるから、
Z1Z2＝cos(α＋β)＋isin(α＋β) ...(**)
(*), (**)より、
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ...(1)
cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ ...(2)
(1), (2)において、β＝−β とおくと、
sin(α−β)＝sinαcos(−β)＋cosαsin(−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ ...(3)
cos(α−β)＝cosαcos(−β)−sinαsin(−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ...(4)

んで積和は(1)〜(4)を必要に応じて辺々加減すれば出て来るから暗記の必要なし！

n個の数x1,x2,...,xnの最大値をmax(x1,x2,...,xn)で表す。
例えばmax(1,2)=2,max(3,1,3)=3である。
同様にmin(x1,x2,....,xn)はx1,x2,....,xnの最小値を表す。

１：maxを使って|a|を表す式を示してください。
２：maxを使ってmin(a,b)を表す式を示してください。
３：絶対値記号を使ってmax(a,b)を表す式を示してください。
４：max,minを使って、a,b,cの３数を大きい順に並べた場合、真中にくる値を表す式を示してください。
（例えば、3数が7,2,3であれば3が、1,1,2であれば1が求める式の値になる）

ただし、式には各問いごとに指定されたmax,min,絶対値記号のほか、
四則演算記号（単項マイナス：−aを含む）やカッコ類、1,2のような定数だけを使ってよい。

１：max(a,-a)
２：-max(-a,-b)
３：(a+b+|a-b|)/2
４：a+b+c-max(a,b,c)-min(a,b,c)

Ｎは3以上の整数とする。
1〜Nまでの整数のうち一つを無造作に取り出すことを一回の試行とする。
この試行を単独にm回繰り返し、取り出された数のうち最大のものをH最小の物をLとするLが２になる確率を求めよ
って問題なんですけど、まず2を取り出す回数をK回として、N-2個からm-k回取り出す（1≦K≦m-1)
として、
(1／N)のK乗×(N-2／N)のm-K乗を
K＝1→m-1までΣしたら間違えなんですけど、
何がいけないんでしょう？(;_;)
ちなみに解答は
｛(N-1)のm乗−(N-2)のN乗｝／Nのm乗です

>>633
禿サンクス！

>>632は質問しているのですか？

点A(0,0,1)から、3点O(0,0,0),P(2√2,0,0),Q(√2,√5,1)を通る平面に下ろした
垂線の足Hの座標を求めよ。

これの簡単な解き方をおながいします（´д｀；）

>>637
順番を考えてない

>>637
答えのＮ乗のとこってｍ乗じゃないの？

教えてください

x+y+zがx+y+z=1、x≧y≧zをみたしながら変化するときzをd(>0)大きくすると
x+2yは最大2d小さくなる

これはナゼなんでしょうか

zをd大きくするとx+yもd小さくしなければならない
xから引く分をa、yから引く分をbとする（a+b=d）
よってzをｄ大きくしたときx+2yはx-a+2y-2b=x+2y-(a+2b)となる
a+2bの最大値は2d（a=0,b=d）であるので
x+2yは最大2d小さくなる

↑タケルさんありがとうございました

>>640
ベクトルの垂直条件つかってみてはどうですか？

>>640

求める点をHとすると、OH=xOP+yOQとおける。
OH=(2√2x+√2y,√5y,y)
よってAH=(2√2x+√2y,√5y,y-1)
また
AH･OP=0より8x+4y=0
AH･OQ=0より4x+8y=1
よってx=-1/12,y=1/6
代入してH(0,√5/6,1/6)

>>640
平面OPQをπとすると，O，Pを通るのでπ：ay+bz=0とおける。
Qを通るので，√5a+b=0
よって，π：y-(√5)z=0
平面πの法線ベクトルは，(0，1，-√5)であるから，
OH↑=(0，0，1)+t(0，1，-√5)=(0，t，1-(√5)t)
とおける。
これをπの式に代入して，t-(√5){1-(√5)t}=0⇔t=(√5)/6

∴H(0，(√5)/6，1/6)・・・答

>>640
＜暗記事項＞
(1)
平面π：ax+by+cz+d=0　の法線ベクトル(平面に垂直なベクトル)は(a，b，c)である。
(単位ベクトルに直すと，{1/√(a^2+b^2+c^2)}(a，b，c)　)

(2)
平面πと点A(p，q，r)があるとき，平面πと点Aの距離は
|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)　で与えられる。
またこのときの平面π上の座標Hは，(p，q，r)+t(a，b，c)とおけるから
これを平面πの式に代入することでtが決まり，Hも求められる。

(3)
平面πに関して，点A(p，q，r)と点B(s，t，u)が反対側にある場合，
f(x，y，z)=ax+by+cz+dとして，
f(p，q，r)*f(s，t，u)＜0　が成り立つ。

覚えるのはこんなところかと・・。

>>637
別解
Ｌ＝２以上のとき
２〜ＮのＮ−１個の数字からｍ回数字を選ぶので
場合数は（Ｎ−１）のｍ乗
Ｌ＝３以上のとき
同様に（Ｎ−２）のｍ乗
Ｌ＝２のみのときは
（Ｌ＝２以上のときの場合の数）−（Ｌ＝３以上のときの場合の数）
で求められる。
数字は無造作に選ばれるので数字を選ぶ確率は平等で
ｍ回選ぶときの確率は１／Ｎのｍ乗である。
よって答えは｛Ｎ−１）のｍ乗（Ｎ−２）のｍ乗｝／Ｎのｍ乗

>>649
ここはﾚﾍﾞﾙ高いね｡俺の煽られる理由がわかった｡

平面π：２ｘ＋３ｙ＋４ｚ−１２＝０と点Ａ：（１，２，３）について。
πはｘ軸と点（　ア　）、ｙ軸と点（　イ　）、ｚ軸と点（　ウ　）でそれぞれ交わる。

πに垂直で長さが１の法線ベクトルは（　エ　）である。

Ａとπとの距離は（　オ　）である。

(問)N個(N≧2)の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れていく。
玉が2つ入った箱ができたら、そこでその手続きを中止する。
ちょうどk回目で玉が2つ入った箱ができる確率をP(N.k)とする。
(1)2≦k≦N+1の時、P(N.k)を求めよ。
(2)lim[N→∞](1/N)logP(2N.N+1)を区分求積法を用いて求めよ。

よろしくおねがいします。

>649
暗記事項なんかじゃない。

理由が説明できないやつには使う資格がない。

>>654
彼(？)は説明できるけど、説明しなかっただけだろ｡煽るなよ、良スレだから。

(3)
平面πに関して，点A(p，q，r)と点B(s，t，u)が反対側にある場合，
f(x，y，z)=ax+by+cz+dとして，
f(p，q，r)*f(s，t，u)＜0　が成り立つ。

これの証明ってどうやるのですか？

>>656　厳密な証明ではないけど。

例えばc≠0として、平面πは
z=-(ax+by+d)/c
で、平面πの上側（zの値の大きい方）の領域は
z>-(ax+by+d)/c　（c>0ならf(x,y,z)>0)
平面πの下側の領域は
z<-(ax+by+d)/c　(c>0ならf(x,y,z)<0)
で表されるから。xy平面での領域の考え方と一緒。

うーん。。。
分かったような、分からないような。。。

ｃ＞0の場合、
　ｆ（x,y,z）＞0なら平面πの上
　ｆ（x,y,z）＜0なら平面πの下
に来るから。
想像するのは大変なので、わからなければ2次元でまず考えてみると良いかも。
　ｆ（x,y）＝x+2y+3
とでもして、
　不等式　ｆ（x,y）＞0　が直線の上側の領域
　不等式　ｆ（x,y）＜0　が直線の下側の領域
を表すことを確認してみるとか。

平面Π：ax+by+cz+d=0に対してvec(V)=(a,b,c）は垂直である。
Π上の点K(α,β,γ)から点A,Bまでのベクトルをそれぞれvec(A),vec(B)とする
{vec(V)･vec(A)}{vec(V)･vec(B)}を考えた時
点AとBがΠに対し反対がわにあれば{vec(V)･vec(A)}{vec(V)･vec(B)}<0
となる。
α=0､β=0､γ=-d/cを代入すれば
f(p，q，r)*f(s，t，u)＜0となる

もっとｲｲ方法ありそう・・・

おそかったか・・・

>>661
確かにベクトルでやるのが一番一般的で良さそうですね。

　ｆ（x,y,z）<0とｆ（x,y,z）>0はxyz座標系での領域を表している。
　その境界が平面ｆ（x,y,z）=0であることは（多分）明らかなので、（以下略）
とかはダメ？

あぁｗなるほどｗ

うーん。。。
もう少し考えてみます。

>>654
証明は知らないけど，予備校で教わったので覚えました。
興味もないこともあって，質問しにも行きませんでした。

>>664
考えなくてもいいかと・・。入試じゃほとんど出ないと思うので。

>>652
y=z=0を代入すると，x=6　∴ア=(6，0，0)
x=z=0を代入すると，y=4　∴イ=(0，4，0)
x=y=0を代入すると，z=3　∴ウ=(0，0，3)

πの法線ベクトルは±(2，3，4)で表されるので，
単位ベクトルは，±{1/√(2^2+3^2+4^2)}(2，3，4)=±(1/√29)*(2，3，4)・・・エの答

Aとπの距離は，
|2*1+3*2+4*3-12|/√(2^2+3^2+4^2)=8/√29・・・オの答

>>665　でも考えてみました。

平面πに関して，点A(p，q，r)と点B(s，t，u)が反対側にある場合，
f(x，y，z)=ax+by+cz+dとして，
f(p，q，r)*f(s，t，u)＜0　が成り立つ。

という性質自体は、図を描けばほとんど明らかなわけです。
で、それを言葉で書けば>>657-662になるわけですが、
もう少し厳密な証明を付けてみます。

補題
0次または1次関数w=g(s) (0≦s≦1) について、
(1) g(0)*g(1)>0 ⇔ w=0 を満たすsは0個である。
(2) g(0)*g(1)<0 ⇔ w=0 を満たすsは1個である。
証明は簡単なので省略。

f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0が定める平面をπとする。
P=(p1,p2,p3), Q=(q1,q2,q3) がπ上に無いとき、
線分PQとπの共有点は0個または1個である。

定義
(1)　PQとπの交点が0個のとき、P,Qはπに関して同じ側にあるという。
(2)　PQとπの交点が1個のとき、P,Qはπに関して反対側にあるという。

定理
(1)　P,Qがπに関して同じ側にあるとき、f(P)*f(Q)>0
(2) P,Qがπに関して反対側にあるとき、f(P)*f(Q)<0
証明
線分PQをX(s)=(x1,x2,x3)=(1-s)(p1,p2,p3)+s(q1,q2,q3)　(0≦s≦1）
X(0)=P, X(1)=Q とおく。また、g(s)=f(X(s))=f(x1,x2,x3) によって
0次または1次関数w=g(s)を定める。
f(P)*f(Q)<0
⇔ g(0)*g(1)<0
補題から　　
⇔ あるαに対してw=0
⇔ f(X(α))=0
⇔ PQとπの共有点は1個
⇔ P,Qはπに関して反対側にある

>>667　>>668
証明ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
長助さんすごい・・。

>>653(1)だけ。。(自信はあんまりない)

箱を1個選ぶ確率は1/Nである。
k-1回目まで球が一個ずつ入り，k回目では今まで選んだk-1個の箱のうちの
1つを選んでしまったので，P(N.k)は，

P(N.k)={C(N,k-1)*(k-1)!*(1/N)^(k-1)}*{(k-1)/N}={(1/N)^k}*(k-1)*{N!/(N-k+1)!}・・・答

(説明)

(A)N個の箱のうち，k-1個の箱を選ぶ→C(N,k-1)通り。

(B)選んだk-1個の箱を，1回目からk-1回目まで1回ずつ引く場合の数は，(k-1)!通り。

(C)k-1回箱を選ぶので，箱を選ぶ確率は(1/N)^(k-1)である。(この確率が(A)*(B)通りある)

(D)k回目には，N個の箱のうち，今まで選んだk-1個の箱を選ぶので，その確率は，(k-1)/N

((A)と(B)はまとめて，パーミテーションPを使って，P(n,k-1)でもいいかも。
でもなぜかパーミテーションは苦手なので(；´Д｀)上のように分けました。)

違ってるかも・・

4人でトーナメントを行うとき、異なる組み合わせは3通りである。
8人の場合は何通りか？

解答が7*5*3*3*=315通りになってます。

おねがいします

>>670
いまいち説明が足らんような・・・

ああ、そういうことか。
まずペアを４組作るのに7*5*3
各ペアのトーナメントの配置が3通り
ってことだと思う。

説明不足ｽﾏｿ

後ろの3*3はわかるのですが最初の7*5は何かおしえてくれるとうれしいです。

出来たペアをそれぞれ１，２，３，４とすると
パターン１：（１２３４）（２１３４）（１２４３）（２１４３）とその反転
パターン２：（１３２４）（３１２４）（１３４２）（３１４２）とその反転
パターン３：（１４２３）（４１２３）（１４３２）（４１３２）とその反転
各パターンは同じ意味を持つ。
簡単に言うと、トーナメントの性質上、１回戦の対戦相手が一組決まれば、
その後の組み合わせは全て決定する。
１回戦の組み合わせの作り方は３通り。

回りくどい説明ですまそ。

解答、正しくは7*5*3*3じゃなくて
8C2*6C2*4C2*3だと思われ。

>>675
そりゃチガウダロ
aの対戦相手を決める→bcdefghの7通り→bだったとする
cの対戦相手を決める→defghの5通り→dだったとする
eの対戦相手を決める→fghの３通り→fだったとする
gの対戦相手はh
１回戦は7*5*3通り

２回戦は４人勝ち残ってるわけだから
組み合わせは４人のトーナメントより3通り

で7*5*3*3

>>676
675も676も正解だろ。
675の方が的を射てる感じはするが。

>>677
>>675計算しても答えいっしょにならんぞ

y=2sinx(1-2cosx)+cosx(4-3cosx)とする。

（1）t=sinx+2cosx とおいて y を　tであらわすと　 y=-----となる。
（2）yが最大になるときの cosxの値を求めよ。

一見ごく簡単そうなのですが、よう解けません。
どなたか、お知恵貸してください。

両辺二乗してみ

>>679
素直に
t^2 = 1 + 3(cosx)^2 + 4sinxcosx

y = 2sinx - 4sinccosx + 4cosx - 3(cosx)^2
= 2t - t^2 + 1

y=-t×t＋2ｔ＋1

>>679
よく見たらマルチだ
なぜ複数の場所で聞く？どっちも見てる人同じだって

>>670
グループ分けの問題だな。
異なる部屋に異なる人を振り分けると仮定し、その際に生じる順列を考慮すると、
[{(8Ｃ4*4Ｃ2)/2!}(4Ｃ2/2!)]/2!
＝(2*7*5)*(2*3)*(2*3)/(2!)^3＝7*5*3*3
しかし特定の1人に注目してグループ分け、ってのが本質的な解法だ。

>>679 (2) y= 2t - t^2 + 1 ＝−（ｔ−1)^2＋2

よって、t＝1、つまりsinx+2cosx＝1のとき、y最大。
ここで、cosx＝X　sinx＝Y　とおくと

　Y＋２X＝１　−�@
　Y^2＋X^2＝1　−�A

�@、�Aを連立させて解くと、X＝0，4/5

ゆえに、cosx＝0，4/5

間違えた。。。5/4だね。。。鬱

>>679この問題、数学板にもあったぞ

>>687
だから>>683でマルチだっていってんじゃん

>>688あぁ〜！マルチってそういう意味だったのかぁ。
知らなかったよ。ごめん。

>>687
ありがとうございました。（ﾍﾟｺﾘ

>>689
数学の質問スレで2chの知識が増える・・・
うん，一を聞いて十を知る．完璧だ．

>668
ヘタ。

ax+by+cz+d=0…★

↑この式は、「ベクトルの内積＝０」を展開整理したもの。
ベクトルの図形的意味を知っていれば、
「ベクトルの内積＝正（もしくは負）」がどんな意味を持つかわかる。
（こういう初歩を知らない受験生が多いのが現実なのだが）

■法線ベクトルがn=(a,b,c)、点A(p,q,r)を通る平面の方程式を求めてみる。

平面上の任意の点をX(x,y,z)とおく。
n･AX=0…☆(ベクトルの内積）

☆を成分表示してまとめれば★になる。

4人A,B,C,D出トーナメントを行うとき、異なる組み合わせは三通りである。
(1)、8人の場合は何通りか？
(2)、(1)で、8人に実力差があり、試合では常に実力上位のものがかつとする
3位のものが準優勝するくみあわせはなんとおりか？

解答(1)7*5*3*3=315
(2)5C3*3*3=90

１番よくわかりました。
２番もおながいします。

>>693
実力第3位の者が準優勝する⇔第1回戦のブロック分けにおいて、実力第3位の者が
属する大ブロックに実力第1位・第2位の者が含まれない
実力第3位の者が属する小ブロックに着目して、
{(6Ｃ1*5Ｃ2)*(4Ｃ2*2Ｃ2/2!)}/2!＝6*(5*2)*(2*3)/(2!)^2＝90

>>692
それは>>660が言っていることとほとんど同じでは？

>>667の
>という性質自体は、図を描けばほとんど明らかなわけです。
を見ると、ベクトルを使った証明は理解できるけど、>>668のような証明の
方が本人にとっては納得できる、ということだけのような気がするが・・・

http://www.geocities.co.jp/HiTeens-Panda/3439/

>>668 のような証明をしたのはf(x，y，z)=ax+by+cz+dという限定に不満があったからです。
たとえば、f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 としても、同じ命題が成り立つわけですし、
特に2変数のときは、直線以外のｆについてこの性質を使いたい事が時々あります。
f がどのような条件を満たせばこの命題が成り立つのか？その証明は？と考えたときに
>>692のような説明では納得できなかったわけです。

は虚数単位です。2次方程式(1+i)x^2+{(1+i)p-(1+3i)}x-(9+7i)p=0の1つの解が
実数となるように実数pの値を定め、そのときの方程式の解を求めたい。

(1)pの値のうち小さい方をp1、大きい方をp2とする。p1、p2を求めよ。

(2)p=p1のときの解を求めよ。

(3)p=p2のときの解を求めよ。

(問)N個(N≧2)の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れていく。
玉が2つ入った箱ができたら、そこでその手続きを中止する。
ちょうどk回目で玉が2つ入った箱ができる確率をP(N.k)とする。
(1)2≦k≦N+1の時、P(N.k)を求めよ。
(2)lim[N→∞](1/N)logP(2N.N+1)を区分求積法を用いて求めよ。

こけこっこさんにこたえていただいたのですが、

答えでは(1)は
P(N.k)={(N-1)(N-2)・・・(N-k+2)(k-1)}/(N＾[k-1])
(2)は-1+log2となっていました。

期待age

>>698
iについて整理すれば。

>>698
数学板で答えてくれてるじゃん
なんでこっちにも来た？

>>699
その答えは>>669の結果と一致している。多分。

(u+1)x + (u-1)y =2
を満たす実数uの存在する(x,y)の条件って何でしょうか…？

toriaezu
u=***
to
kakinaose

(x+y)u + (x-y-2) = 0
をx+y=0,x+y≠0で場合わけでしょうか？

(u+1)x + (u-1)y =2
⇔u(x+y)=-(x-y-2)

x+y≠0のとき，u=-(x-y-2)/(x+y)となり実数uは存在する。

x+y=0のとき，
0*u=-(x-y-2)・・・ア
となる。さらに
このとき，x-y-2=0であるなら，アは任意の実数uで成立する。
x-y-2≠0であるならば，アを満たす実数uは存在しない。

したがって，求める条件は
x+y≠0または(x，y)=(1，-1)・・・答

age

http://school.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1028288550/l50
の、これって正しいんですか？


124 ：大学への名無しさん ：02/08/03 16:31 ID:b4bGBq+V
じゃあ、関数Ｆ（ｘ，ｙ）＝０とＧ(ｘ、ｙ)＝０との交点を全て通る曲線の
全ての式は、
Ｆ(ｘ，ｙ)+ｋ*Ｇ(ｘ，ｙ）＝0
で表すことが出来るってのは？

できる

>>709
F,G と交点を通る曲線に何らかの条件が必要です。

>709
十分条件ではあるが、必要条件ではない。

その式だとＧ（ｘ、ｙ）＝０そのものは含まれないし、
F(x,y)+(G(x,y))^2=0なんてのは表現できないっしょ。

>関数f(x),g(x)の間に
>f(0)=0,g(0)=1,f'(x)=g(x),g'(x)=-f(x)
>の関係が成り立つとき（1）（2）を証明せよ。
>（1）{f(x)}^2+{g(x)}^2=1
>（2）f(x)は奇関数でg(x)は偶関数

という問題が数学板にあったが答えは明示されていなかった。どうやるんだ？（2）

解と係数の関係を使うのはどうゆう時ですか？
頭いい人教えてください

必要が生じたとき

どんな時必要ですか？

解と係数の関係を用いた問題を解かなければならないとき

>>715
　例えば２次(あるいは３次、場合によっては４次も)関数と直線とが出てくる問題で、実際に求めたいもの(面積とか)と、その交点の具体的な座標が無関係なときとか。
　αとβの基本対照式に持ち込めば、α+β、αβの２つの値が簡単に求まるから楽ちんとか。αやβが何か未知数入り(aとかtとか)のときに使うことが多い気ぃする。具体的に解求めるとめんどくさいから。

>>715
対称性を活かせそうな、また活かすしかない問題の時だ。

・・

age

>>714
(2)は強引に微分方程式を解く方法しかわからなかったです。
(合っているか定かではない)
(1)は証明すべき式を微分すると，すぐひらめきますよね・・。

(1)
f'(x)=g(x)・・・ア
g'(x)=-f(x)・・・イ

f(x)f'(x)+g(x)g'(x)を計算すると，アとイから
f(x)f'(x)+g(x)g'(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)=0・・・ウ
となる。
ウの両辺をxで積分すると，
(1/2){f(x)}^2+(1･2){g(x)}^2=C
⇔{f(x)}^2+{g(x)}^2=2C・・・エ
エにx=0を代入して，2C=1
ゆえに，{f(x)}^2+{g(x)}^2=1・・・答

>>714
(2)
y=f(x)とおくと，g(x)=y'であるから，
(y')^2+y^2=1
ゆえに，y'=√(1-y^2)　として，　←本当は±だけど(；´Д｀)
y'=dy/dxであるから
dy/dx=√(1-y)^2
dy/√(1-y^2)=dx
∫dy/√(1-y^2)=∫dx
arcsiny=x+C
よって，y=sin(x+C)　(Cは積分定数)
f(0)=0より，C=0
∴f(x)=sinx
また，g(x)=f'(x)=cosx　であるから，
f(x)は奇関数であり，g(x)は偶関数である。

こけこっこﾀﾝは何才？

>>724
よく解ってるね､一般教育レベルまで解ってるみたいだね｡
Arcsinって俺は忘れてるなぁ｡

>>725
中学生らしい｡

>>724訂正；；
2乗の位置を打ち間違えていた・・
5行目の式を

dy/dx=√(1-y^2)

と訂正しておきます。

>>725
もうじき高1・・

>>726
マジですか・・？うれ（　ﾟдﾟ)ｽｨ…
というのも，
「創造性がない，機械的，チャートに毒されている，
受験のために数学している，相手を考えてカキコしろＹＯ」
とか数○板で言われ続けてたので・・・

>>723-724
別解
(1) は微分して0になるから定数。
(2)x=0におけるn次導関数がすべて求まるのでマクローラン展開すればよい。

しかし高校の範囲ではどうやって解くのだろう？

>>714の問題に関連して
微分方程式：『f''(x)+f(x)=0，f(0)=0，f'(0)=1』を直接解きました。

f(x)=yとおくと，y''+y=0・・・ア
y'=uとおくと，
y''=du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(du/dy)*u
よって，ア⇔(du/dy)*u+y=0
この式から，
udu=-ydy
∫udu=-∫ydy
(1/2)u^2=-(1/2)y^2+C'　(C'は積分定数)
ゆえに，u^2+y^2=C
x=0のとき，y=f(0)=0，u=f'(0)=1であるから，C=1
よって，(y')^2+y^2=1

あとは，>>724と同じように解きました。。

y'=√(1-y^2)
dy/dx=√(1-y^2)
dy/√(1-y^2)=dx
∫dy/√(1-y^2)=∫dx
arcsiny=x+C
よって，y=sin(x+C)
f(0)=0より，C=0
∴f(x)=sinx

>>729
う〜ん、数学が好きな人は、｢美しい解き方｣を追求しているのかも｡
でも、論理的に正しければいいし、｢自然解法｣の方が僕は好き｡
実際､歴史上の人にはそういう自然解法を研究した人が居るよ｡
オイラー、ラグランジュなど｡
彼ら(数○の住人)は趣味の範囲でやってるからじゃない?

>>732
なる(ﾟДﾟ)ほど。ありが�dございます。

理工系って気が狂うくらい計算やら実験やらしなきゃならないって良く聞きますけど，(理科大、電通大？とか・・)
やっぱり本当に狂ってしまう人が出てくるのでしょうか？
代数スレ見ていてそんなことを感じています。

>>733
実験は辛いね｡僕のところは、実験で狂う人はあまり見かけないな｡
大概の奴は､実験のレポートをサボるから｡
俺はサボらないからちょっと狂いかけてるけど､何とか持ちこたえてる｡
うちは考察が非常に難しいね｡教授の趣味のレベル｡こんな感じかな｡

>>714　の（2）は積分では解けない？

>>733
でも、こけこっこﾀﾝの実力なら、理工系に行っても
このまま順調に行ってあんまり苦労しない、と思うよ｡
要は､好きか嫌いかで大きく左右されるんじゃないかな｡
俺もそうだけど､大体気が狂うって言ってる人たちは才能が無いのかも｡

直線Ａ：(k-1)x-2(k-3)y-4(k+1)はｋの値によらず
定点を通る事を示せ。また、この直線が(2,8)(10,6)(6,12)
を３頂点とする３角形と共有点をもつためのｋの条件を
求めよ。(１対１　数�U例題１)

定点の問題はわかりました。
で、後半なんですけど、何故ｋ＝３、ｋ≠３(ｋ＞３、ｋ＜３)で
場合わけするのかがわかりません。
あと、「ｋ≠３のときは、Ａの傾きについて
k-1/2(k-3)≧2 or k-1/2(k-3)≦-1」になるのかもわからないです…。
何故、条件は-1≦傾き≦2ではないのですかね？
アホな質問でごめんなさい。よろしくお願い致します。

あれ-1/4≦傾き≦1じゃないの？？

あげるよぃ

とことん今野先生スレッド【復旧版】
http://www.milkcafe.net/cgi-bin/readres.cgi?bo=yozemi&vi=1026041773
でちょっと盛り上がってる「定性的アプローチ」ってのはどうなのよ？

>737
「直線の傾き」を用いるつもりだからでしょ。

ちゃんと図を描いて考えてるか？
傾きが動くと、定点を中心に直線は回るんだよ。

わかりました。こんなことも気付かなかったとは…
お恥ずかしい。
７４１さんありがとうございました。

す、すみません。また>>737なのですが、
やはり何故k=3, K≠3で場合わけし、尚且つ
k＞３、ｋ＜３でまた場合わけするのかがわかりません…。
一応図を描いているのですが、ｋを考えるときに
どう図を見ればいいかわからなくて…。
よろしくお願いします。

>743
k-1/2(k-3)≧2……★

おそらく、これらの不等式の両辺に(k-3)をかけ算するつもりなんだろ？
K-3＞0なら★の不等号の向きは変わらない。
k-3＜0なら向きが逆になる。

ここは図を見るところではなく、分数の不等式だ。
キミは、教科書の復習からはじめたほうがいいみたいだね。
ドリブルとパスが満足に出来ないのに、いきなり試合をしても楽しめないよ。

>743
言忘れたけど、k-3=0の時は、(k-3)で両辺を割ることは出来ない。
つまり、(k-3)は分母になりえない。

ありがとうございます。こんなこと気付かなかった
なんて…本当にドリブルもパスも出来てないですね、全部
抜け落ちてるみたい。
教科書の復習ですか…と言っても
うちの学校教科書使ってないので(オリジナルetc)どうした
ものか。ってスレ違いですね。
どうもありがとうございました。

x＾3-3x＾2+5x-6
を因数分解せよという問題なのですが
回答を見ると (x-2)(x＾2-x+3) になっているんですよね。

ただ、そこへ行くまでの道のりが回答には載っていないので
悩んでいるんですが、これはどうやって因数分解してるんでしょうか？
何か特殊な公式でもあるんでしょうか・・　お願いします。

>>747
　組み立て除法知ってる（・∀・）？

>>748
どういうものですか!?
教えてもらってもいいでしょうか…。

>>749
　カキコでやり方を説明するのはちょっとややこしいんで、教科書か参考書見てくらはい（´д｀；）。。。
数Bの「複素数と方程式」っていうところです。

>>749
組み立て除法知らなくても因数定理と割り算が分かってればできるはず。

>>747
剰余定理って知ってる？？それ知ってれば一発なんだけど

>>751
　確かに（´д｀；）。。。そっちのが先でしたね。。。

>>750-753
ありがとうございます！
今、黄チャを最初から順番にやっていて総合演習？で突然でてきて
答えひとっとびだったので…。

でも、先に進めばわかるようになるんですね。じゃ、今はとりあえず
放っておいてやっていこうかと思います。丁寧にありがとうございました。

>>754
因数定理ぐらい今から知っといたほうがいい。
先送りしないですぐ調べろ

>>755
命令口調、止めれ!

>>756
オマエモナ―、と、やれやれ

Xの二乗ってどう書くんですか？

>>758
>>747

758じゃないけど、なんかxの累乗を普通に記述できるようなの無かったっけ？

>>759サンクスです。では質問を・・・
３次関数ｙ＝ｘ＾3-3ａｘ＾2+ｂｘ+ｃ（ａ，ｂ，ｃは定数）
のグラフについて、次の問いに答えよ。なお、この関数は
直線ｙ＝2ｘ-1と点（2、3）で接しており、
ｂ＝12ａ-10　ｃ＝-12ａ+15である。
さらに、直線ｙ＝2ｘ+3とも接するように、ａ，ｂ，ｃの値を求めよ。
お願いします．全然わかりません・・・。

>直線ｙ＝2ｘ-1と点（2、3）で接しており、
だけでも当面処理すれば？
ある点で接する≡その点を共有点に持つ∧その点での傾きが等しい
だからその辺をどうにかすると幸せ。

>>761
f(x)=x^3-3ax^2+bx+c　とおくと
f'(x)=3x^2-6ax+b

y=f(x)が(2，3)を通ることより，f(2)=3・・・ア
x=2における傾きが2であるから，f'(2)=2・・・イ
また，y=f(x)と直線：y=2x+3の接点のx座標をx=tとおくと，
f(t)=2t+3・・・ウ
f'(t)=2・・・エ
が成り立つ。

あとは，ア，イ，ウ，エの4つの方程式から
a，b，c，tの値を求めましょう。


まず，アとウの式を見てみましょう。ウにt=0を代入してみると，f(0)=3となります。
よって，3次方程式：f(x)=3の3解うち2解はx=0，2であるとわかります。
この3次方程式は実数係数であり，2解が実数であるので，残り1解も実数です。
したがって，残りの1解をkを実数として，x=kとおくと，
f(x)-3=x(x-2)(x-k)⇔f(x)=x(x-2)(x-k)+3　とおくことができます。
あとは，この式とイ(すなわち，f'(2)=2)よりkの値を求めてしまいましょう。
最後に展開してa，b，cの値を出しましょう。

>747
なぜ(x-2）でくくれるのか？　
x=2を代入すると0になるが、どうやってこれを見つけるか？

というのが重要だ。
整数係数の多項式の因数分解は、基本中の基本だから、
これが出来ないと、お話にならない。

ax^3+bx^2+cx+d　(a,b,c,dは整数。a≠0）

これを“因数分解しろ”と問われたら、
「(dの約数)/(aの約数)」のなかから、xに代入して0になるやつを探せ。
必ず見つかる。（見つからないときは問題が悪い）
aが1なら、dの約数から探せ。
例の問題なら、6の約数だから、±1、±2、±3、±6のどれかが当りのはずだ。
理由は、教科書もしくは教科書併用問題集に証明問題が載っているはずだから、
自分で調べろ。

この例ではx=2が当りだから、(x-2)でくくれる。（因数定理）

さいころの目の数を競うゲームをしている。
出た目が不満ならば2回まで振りなおしが可能である。
（つまり、トータルで最高3回まで投げられる。）
2回目､3回目を振るべきか、否か、の判断はどのように
するのが、もっとも有利であるか？
また、その場合、出る目の期待値はどれほどか？

よろしくおねがいします。

２直線ｙ＝−ｘ−２,ｙ＝２ｘ−８とｘ軸との交点をそれぞれＡ,Ｂ,
この２直線の交点をＣとする。２次関数ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフが３点
Ａ,Ｂ,Ｃを通るとき,ｆ（ｘ）を求めよ．


２次関数ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの頂点は,ｙ＝−ｘ２乗＋４ｘ−９のグラフの頂点に
一致している．また,ｆ（ｘ）の０≦ｘ≦５における最大値は１３である．
このとき,ｆ（ｘ）を求めよ．


２次関数ｙ＝ｘ２乗＋ｘｋ−ｋ−ｓの最小値がー１１となるような定数ｋの値
をすべて求めよ．


教えてください。

age

>>767
�@通る３点求めて代入。
　�A平方完成して頂点求めて最大値の条件を用いる。
　�B同じく平方完成して、Ｋの２次式を出して
　　さらにその式を平方完成して求めましょう。

サンクス。予備校講師は神

>>770
　私のスレにもできれば情報提供してくださいね。
私も数学苦手でしたが、なんとかセンターは９割、
２次は１完でしたが、英語と社会で転がり込みましたから。

>>771
どのスレですか？

>>772
偏差値４０からの大学受験指導レポート

　です。真面目なスレなので。荒れてはいますが。
ところで問題解けました？

>>767
Ａ、Ｂ、Ｃ求められない？
それもとめてｙ＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃに代入して
３つの連立方程式立てて、ａ、ｂ、ｃを求めればいいだけ。

ｙ＝−ｘ２乗＋４ｘ−９を平方完成すると
ｙ＝−（ｘ−２）^2−５になる。頂点は（２、−５）である。
そうすると下に凸で無ければならない（上に凸ならば最大値１３はとれない。）
０≦ｘ≦５で２から遠いほうが最大値、つまり求めるｆ（ｘ）は
（５、１３）を通る。ｙ＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃに（２、−５）、（５，１３）を
代入してとけ。

このグラフは下に凸ですから、最小値は頂点で取る。
平方完成してｙ＝（ｘ＋（ｋ／2））^2−ｋ^2/４ーｋ−ｓで
頂点（ｋ／2、−ｋ^2/４ーｋ−ｓ）です。
最小値だから−ｋ^2/４ーｋ−ｓ＝−１１となり、コレをとけ。

>>770
高１か。そのような問題なら青チャートを解くのが良いと思われ。
レベルが高くなったら大学への数学関係をやってみたら？
それについては種類がたくさんあって説明するの面倒くさいから
数学参考書スレに行けばわかる。

訂正

二つ目の最後は（２、−５）は頂点だから
ｙ＝ａ（ｘ−２）＾2−５に（５，１３）を代入して。

でけた・・・。

>>777
　よかったですね。
鉄則orチャートを用いるといいでしょう。

>>774-778
どうもありがとうございました。

>>775
ありがとうございます。さっきはごめんなさい。

数学板曰く（2）は
F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=g(x)-g(-x)
として{F(x)}^2+{G(x)}^2=0を示すらしい。
確かにできるがこの発想はどこから出てきたのだ？

>>780
（2）ってどの（2）？

どなたか、765おながいします。
私の答えは期待値14/3ですが、正しいでしょうか？

>>782
俺もそうなった。

>>765
すみませんが、もう少し分かりやすく説明してくれませんか？

>765
↑この問題を読んで「解けた」とかぬかしているやつは、アホ。
ルールが曖昧で意味がわからない。
例えば、１回目が“４”で、２回目３回目が“3”だとしたら、
一番大きな目“４”は採用できるのかできないのか？

こいつらの書いた証明は読みたくない。

>>785
うーん、確かに曖昧か。
・3回の試行のうち、1番大きい数字を採用できる。
・続けて投げるのは現状よりも大きい得点となる確率が0.5以上の時
と勝手に解釈してやってみた。

>>786
絶対違う
というかこれ何を競うの？

>>787
できるだけ大きい数字を出したいってことじゃないか？
ていうか>>765早く出て来い。

>>788
だったら1番大きい数字を採用できるわけないじゃん。

＞・3回の試行のうち、1番大きい数字を採用できる。

ヌルすぎ。もしそうなら戦略も何もない。
３回全部振る。これ最強。
ただし６が出たらそこでやめてもよい。

（１）
２回目に挑む場合は１回目のサイの目は無効。
２回目に挑むのは１回目がいくつ以下のときがよいか？

（２）
３回目に挑む場合は２回目のサイの目は無効。
３回目に挑むのは２回目がいくつ以下のときがよいか？

（３）
（１）（２）のような方針のときサイの目の期待値はいくらか？

４以上が出たら、そこでストップじゃないか？

>>785
基本的な日本語も理解できないのか？

>>790
（１）３以下

>>790
そうですね、ごめんなさい。
問題解くときは最後に出た数字を使っておきながら、あんな事書いてしまいました。

>>791
1回目が4だったら、2・3回目に5or6が出る確率は5割以上。

>>794

＞1回目が4だったら、2・3回目に5or6が出る確率は5割以上。

もう来なくていいよ。

http://school.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1028720155/l50

>792
オマエの書いた証明を添削してやったのはオレだよ。（w
まともな日本語で書けねえなら０点からさらに減点するぞ。

>>795
２回目もしくは３回目に5or6が出る確率は
1-4/6*4/6=5/9
で５割以上じゃない？

>>795
2回目に5or6が出る確率は 1/3
2回目に4以下が出て3回目に5or6が出る確率は 2/3×1/3
よって、1回目に4が出たとしても続けて投げることによって得点が上がる
確率は
　(1/3)+(2/9)=5/9

>>798
ごめん、かぶった。ども。

>>798-799
確率的にはそれで良いかもしれないが、では２回目に５または６が出たときにどうするかという部分が抜けている。
５または６が出ても、３回目を振るのですか？
この問題は、期待値を計算するのが良いのではないかな。
サイコロを一回振って出る目の期待値は3.5であるから
一回目に4以上が出たらストップ。
3以下だった場合も樹形図でも何でも書いて、期待値を出さないことには話にならないと思うが。

>>797
添削された記憶はないが。

>>801
確かにそういう考え方もあるかもしれないけど、それだと、振る回数が1000回
まで許されていたとしても、4が出た時点でストップしてしまわないですか？

>>802
確かにそういう考え方もあるかもしれないけど、それだと、振る回数が1000回
まで許されていたとしても、６が出た時点でもストップしないで振り続けることになりませんか？

>>803
何度もすみません。
6が出た段階で、その後6より大きい数字が出る確率は0なので、その時点で
ストップすると思いますが・・・

>>798-799
１回目に４が出てもまだ振れるとしても（すみません、確率を計算してません）、
たとえば、４、１、と出た場合３回目は振れませんが、
その場合は４、１、５と出る場合も含んでますよね？
それはまずいのでは・・・？

どういう場合にストップのかはっきりしてくれ・・

ストップのか⇒ストップするのか

あ、ごめん。なるほど。
問題読み違えてた。
（1）１回目→２回目の条件
（2）２回目→３回目の条件
っていうように、分かれてたわけね。
３回目を振る条件で、１回目の数字は関係ないわけだ。

すいません。いままでの撤回。異論は無いっす。

>>804
何言ってるかわかってる？
あなたの書いた確率は、「６が出ても振る」のを前提にしてるのですよ。

初心者救済スレのはずなんだが・・・何時から数学板出張所になったんだ？
ヲタな知識系整数問題を受験板でやったり空気読めないやつが多いな。ふ

>801
詰まらんやつだな。マジレスすんな。

オレはこれでも基本的な日本語は人並みにできるし、
中高生、大学受験生の採点も添削もやったし、模範解答も作ったし、
10年以上それなりに名の知れた予備校で数学を教えた。

問題文に不備があるのに気がつかないようなトンマが書いた証明は、
読むのもおぞましいんだぞ。
おまえ、読まされたことがあるか？

あ、でも１回目、２回目の数字を
３回目を振る判断の基準に入れるなら
自論を推すけどね。

>>811
で、何が言いたんですか？
それならば、受験生を納得させるように説明し、解説をすべきでしょう。
それが面倒であるならば、はじめから首を突っ込んでこなければよろしい。

>>809
いや、してないと思いますけど・・・

>>805
４、１と出た時点で点数は１なので、3回目は振ります。
ただ、４、４と出た時には3回目は振らないので、この場合を確率の
計算に入れるのは間違いでした。

>>811
問題文に不備があったので、自分で勝手に問題設定して解いたつ
もりだったんですが。

>>814
あぁ、ごめん。>>798だったよ。すまない。

>813
言いたいことは、
「問題文の不備に気がつかないようなやつは、実力が知れている。
おそらく日本語の能力にも問題があり、論理的な証明など出来そうもない」
ということだ。

回答不能な問題の解説は出来ない。

>>816
では、どこに不備があるか指摘していただけませんか？

さいころの目の数を競うゲームをしている。
出た目が不満ならば2回まで振りなおしが可能である。
（つまり、トータルで最高3回まで投げられる。）
2回目､3回目を振るべきか、否か、の判断はどのように
するのが、もっとも有利であるか？
また、その場合、出る目の期待値はどれほどか？

>>814
「現状」ってそういう意味なんですか。
できるだけ大きい数字を出したいという主旨だったので、
それまで出た数字で一番大きい数字のことだと思っていたのですが・・・。

>>817
「期待値でやらなければいけない」というのがやっと理解できた。
次に進むかどうかの基準を>>786の2番目のように自分で勝手に決めては
いけないと。
ｽﾏｿ。ｲｯﾃｸﾙ｡

>>817
あげ足取りレベルでは>>785の他にもあるね。
さいころの目をどう競うのか？
出た目が低い方を勝ちにしてもいいのか？

>>820
そういうことですか。
サイコロは正方形か否かとか、そういうのも含まれるのですね。

自分が解釈してしまったのは、
＊正方形のサイコロ（どの目が出る確率も1/6）
＊大きい数字を出す。

ということでした。

>>821
立方体（号泣）

>>822
申し訳ない。

重箱の隅を突付くﾔｼ多いな

さいころの問題，思ったんだが
単純に「さいの目があがる確率」を求めていいの？

例えば，
「相手も３回振るわけだから５くらいは出してくるだろう
ってことは４なら負ける可能性は高い
つまり，５以上はねらわないと」

とか．

それに，ＡとＢが何回もこの勝負したとして
たとえＡの方がＢよりも出した目の合計が高くても，Ｂの方が勝った回数が多いかもしれないでしょ？
つまり，たとえ期待値が下がろうとも無理して６をねらった方が勝率は高いかもしれない．

「期待値最大＝もっともいい戦法」は必ずしもなりたたないだろうってこと．

ちとわかりにくい部分を訂正
相手も３回振るわけだから→相手も３回振るチャンスがあるわけだから

パソコンから離れている間に、皆さん、議論なさってくださって
ありがとうございます。問題を正確に書くと
「さいころを一回、または二回、または三回投げ、最後に出た目の数を
得点とするゲームを考える。一回投げて出た目を見た上で、二回目を投げるか
どうか決め、同様に、二回目の目を見て、三回目を投げるかどうか決める。
さいころは、最大三回までしか投げられない。二回目、三回目を投げるか
どうかの決定は、どのようにするのが有利であるか？」
これに対する解答は
「一回目に5以上の目が出たら二回目以後をやめる。
　一回目4以下の目が出たら、二回目を投げて
　その目が4以上ならば3回目をやめる。
　その目が3以下ならば3回目も投げる。」
です。
それで、わたしの質問は、「こういう戦略を採用した場合の
目の期待値はいくらになるか？」でありました。

私の答えは

(5+6)*1/6 + (4+5+6)*4/6*1/6
+ (1+2+3+4+5+6)*4/6*1/2*1/6
=14/3

なのですが、これで正しいでしょうか？
（前半の戦略は模範解答、後半の期待値は私の答えです。）

>>783
これとは別のやり方で14/3という数字になったんですか？

それにしても亀レス、申し訳ございませんでした。

よくよく調べてみると正解は17/4でした。
考えてみると納得しました。
　
お騒がせしました。

なんだこりゃ

・・あれから考えてみると17/4でもないような・・（混迷

ちなみに、期待値のほうの解答はありません・・（迷走

>>765
「一回目に5以上の目が出たら二回目以後をやめる。
　一回目4以下の目が出たら、二回目を投げて
　その目が4以上ならば3回目をやめる。
　その目が3以下ならば3回目も投げる。」
この理由を教えてほしい。

数学DQNの者です。いくつか質問させて下さい。

数II・Bをゼロからやります。
学校では習いません。もちろん教科書も持っていません。
シグマの「理解しやすい」を使おうと思っているのですが，教科書も買うべきでしょうか？

「鋭角」には，０°も含まれるのでしょうか？

ある単元の基本が終わったら，すぐその応用に移るべきでしょうか？
それとも，すべての分野の基本が一通り終わってから，応用問題の演習に入るべきでしょうか？

>>833
　「理解しやすい」に公式とか定理の証明が載っているんだったら、教科書はいらないんじゃない？
あと、ガッコで習わないってどういう事だろ。。。一応、高2スレも紹介しておきます（↓）。ここの人たちは
かなりレベルが高い（除：マシェリ）ので、(・∀・)ｲｲ!アドバイスがもらえるかも。。。

貼り忘れました(´Д｀；)。

http://school.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1026554133/l50

>>834
早速のお答えどうもありがとうございます。
書店で時間をかけて立ち読みしてみたいと思います。

＞ガッコで習わないってどういう事だろ。。。
　普通科じゃないんです。数学はI・Aで終わり。授業は週2時間（w

>>832
持ってられたら理解しやすいの�TAｐ231例題171を参照なさってください。

>>827
俺の試算では14／3になったが，違うかもしれない．

【問題】
　骰子を1回，または2回，または3回投げ，最後に出た目の数を得点とするゲームを考える．
　1回投げて出た目を見た上で，2回目を投げるかどうか決め，
同様に，2回目の目を見て，3回目を投げるかどうか決める．
　骰子は、最大3回までしか投げられない．2回目，3回目を投げるかどうかの決定は，
どのようにするのが有利であるか．

【よく解らんが解答を書いてみた】
　まず，
　　　　　1回目にm以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目にm＋1以上の目が出たとき，2回目を投げない
　　　　　(ただし，m＝6のときは，2回目は必ず投げる)；
　　　　　2回目にn以下の目が出たとき，3回目を投げ，
　　　　　2回目にn＋1以上の目が出たとき，3回目を投げない
　　　　　(ただし，n＝6のときは，3回目は必ず投げる)
という戦略を立て，この戦略の場合の期待値E(m，n)が最大となるように，m，nを定める．
　ただし，以下において，
　　　　　m，nの取りうる値は，それぞれ1以上6以下の整数である　……(*)
ことに注意する．
　また，この戦略を採る場合は，ゲームを何千回，何万回としなければ意味がない．
　つまり，この期待値を用いた戦略は高々数回のゲームでは威力を発揮しない．
　さて，この戦略のうちで，1回目でゲームを終えた場合の得点の期待値は，
　　　　　{(m＋1)＋…＋6}・1／6
　　　　＝�納k＝m＋1，6]k／6
　　　　＝(�納k＝1，6]k−�納k＝1，m]k)／6
　　　　＝{42−m(m＋1)}／12
となる．
　これは，m＝6のとき，値が0となるので，m＝6のときも成りたつとしてよい．
　また，この戦略のうちで，2回目でゲームを終えた場合の得点の期待値は，
　　　　　2回目を投げるには，1回目で1からmまでのm個の目のうちのいずれかを出さねばならない
ことに注意して，
　　　　　{(n＋1)＋…＋6}・m／6・1／6
　　　　＝�納k＝n＋1，6]km／36
　　　　＝(�納k＝1，6]k−�納k＝1，m]k)m／36
　　　　＝{42−n(n＋1)}m／72
となる．
　これは，n＝6のとき，値が0となるので，n＝6のときも成りたつとしてよい．

　更に，この戦略のうちで，3回目でゲームを終えた場合の得点の期待値は，同様に，
　　　　　(1＋…＋6)・m／6・n／6・1／6
　　　　＝�納k＝1，6]kmn／216
　　　　＝7mn／72
となる．
　以上の3個の値の総和がE(m，n)なので，
　　　　　E(m，n)
　　　　＝{42−m(m＋1)}／12＋{42−n(n＋1)}m／72＋7mn／72
　　　　＝−m(n−3)^2／72−m^2／12＋5m／8＋7／2
である．
　これをnについての2次関数と見ると，(*)を考慮して，
　　　　　E(m，n)max
　　　　＝E(m，3)
　　　　＝−m^2／12＋5m／8＋7／2
　　　　＝−(m−15／4)^2／12＋15^2／(4^2・12)＋7／2
　　　　＝−(m−3.75)^2／12＋15^2／(4^2・12)＋7／2
である．
　これは，(*)を満たす任意のmについて成りたつ．
　また，これをmについての2次関数と見ると，(*)を考慮して，
　　　　　E(m，3)max
　　　　＝E(4，3)
　　　　＝14／3
である．
　従って，
　　　　E(m，n)max＝E(4，3)＝14／3
である．
　以上により，採るべき戦略は，
　　　　1回目に4以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　1回目に5以上の目が出たとき，2回目を投げない；
　　　　2回目に3以下の目が出たとき，3回目を投げ，
　　　　2回目に4以上の目が出たとき，3回目を投げない　……(答え)
となる．

>さて，この戦略のうちで，1回目でゲームを終えた場合の得点の期待値は，

かなりズサンな表現だから厳密には間違いだよな……
まあいいか．
「さて，この戦略のうちで，1回目でゲームを終えた場合を考えると，」あたりで逃げるか．

>>833
私見ですが、0度は鋭角にはならないような。
0・180→直線
0より大きく90より小さい→鋭角
90→直角
90より大きく180より小さい→鈍角
だと思いますが。

基本と応用の違いはよくわからないですが、一通り単元を終えてから「応用」に入ったほうがいいんじゃないすか？
複合系多いから。三角関数と積分法とか。複素数平面をベクトル的に解くとか。
ということでがんがれ。

>>837
うーん、持ってない。ﾚｽthanx

>>838-840
(・∀・)ｽﾊﾞﾗｼｲ!!

次の第n項までの和を求めよ
1-3*2+5*2^2-7*2^3+9*2^4-11*2^5・・・・・

s_n=(-1+(1-6n)(-2)^n)/9

>>841
　丁寧なお答えありがとうございます。

＞一通り単元を終えてから「応用」に入ったほうがいいんじゃないすか？
＞複合系多いから。

　なるほど。
　では，まずは基本問題を一通りやりたいと思います。できるだけ速く。

>>838-840
ありがとうございます！
熟読玩味させていただきます

>>838
>1回目にm以下の目が出たとき，2回目を投げ，
>1回目にm＋1以上の目が出たとき，2回目を投げない
>　　　　　(ただし，m＝6のときは，2回目は必ず投げる)；
>2回目にn以下の目が出たとき，3回目を投げ，
>2回目にn＋1以上の目が出たとき，3回目を投げない
>　　　　　(ただし，n＝6のときは，3回目は必ず投げる)

ここで
>(ただし，m＝6のときは，2回目は必ず投げる)
>(ただし，n＝6のときは，3回目は必ず投げる)
この2行がわかりません。むしろ、「投げない」
ではないでしょうか？

>>844
解法キボンヌ

>>847

>>>838
>>1回目にm以下の目が出たとき，2回目を投げ，
>>1回目にm＋1以上の目が出たとき，2回目を投げない
>>(ただし，m＝6のときは，2回目は必ず投げる)

　では，簡単のためにmについてだけということにして，
　　　　「1回目にm以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目にm＋1以上の目が出たとき，2回目を投げない」
をSmと定義します(m＝1，…，6)．
　ここで，
　　　　S1，…，S6のうちもっとも良い戦略はどれか
が解答の方針になるわけですが，具体的にS1，…，S6を挙げてみます．
　すると，
　　　　S1：
　　　　　1回目に1以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目に2以上の目が出たとき，2回目を投げない；
　　　　S2：
　　　　　1回目に2以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目に3以上の目が出たとき，2回目を投げない；
　　　　…；
　　　　S5：
　　　　　1回目に5以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目に6以上の目が出たとき，2回目を投げない
となり，S6については，
　　　　S6：
　　　　　1回目に6以下の目が出たとき，2回目を投げ，
　　　　　1回目に7以上の目が出たとき，2回目を投げない
となりますが，「7以上の目が出たとき」というのはおかしいです．
　明らかに，
　　　　S6：
　　　　　1回目に6以下の目が出たとき，2回目を投げる
としてよく，更に，目は6以下しかありえないのだから，
　　　　S6：
　　　　　(1回目に出た目にかかわらず)2回目を投げる
ということになります．

というより問題は，「S6：(1回目に出た目にかかわらず)2回目を投げる」を，
Smという一般の形で書こうとしたために生じた無理なんですけど．
ぜんぜん大した無理でもないが．

数�Vの微分ででてくる、速度と近似値ってやんないでいいんですか？
学校の先生が
「あ〜、ここは入試であんまでないからやんなくていいや」
って言ってたんですけど

>>849
ご丁寧に本当にありがとうございました。
すっかり納得いたしますた。

河合出版のやさしい理系数学をお使いの方…
15ページの距離dで、絶対値の中が
a-2-2a+1=a+1
となっていますが、どうしてこのようなことができるのでしょうか。

勘違いしていました。もう良いです。

>>851
近似値はやっといたほうがいいと思う
不等式の証明とかの最終手段に使える

>851
出るとか出ないとかじゃなくて、、、
そんなたいそうなモンじゃないだろ。

パラパラと目をとおすだけでもやっといたほうがいい
と思われ。

age

入試で記述式の時、漸化式で特性方程式をつかってアルファとかを
出すところの式は、塾の先生がいうには、証明とかしなきゃいけないから、
特性方程式は計算用紙にチョコッと書いて、こんなのおもいつきましたーくらいの感じでアルファの値を入れた式から解答欄にかけばいいよ。
といわれたのですが、これでよいのでしょうか？いまいち不安です。ご解答お願いします。

>>858
漸化式の問題を何題かやれば、解答の書き方ぐらいわかるだろ？

>>858
　大学のｾﾝｾもそんくらい許すのでわ・・・。証明ﾒｯﾁｬ簡単だしさ。要するに「f(n+1)−q(n+1)＝f(n)-q(n)を満たす数式を探す」で一般解求めたら良いﾊｽﾞ。
　あんまし神経質にならなくて良い気ぃするけどなぁ。

>858
A(n)=p･A(n-1)+q

という型の漸化式のことなんだろうけど、
その塾の先生の説明はいただけないなあ。
ちゃんと特殊解とか一般解のことがわかっているんだろうか？

x=p･x+q
のことを特性方程式などと呼んでいるけれど、
なぜこんな方程式を立てるのか説明はあったか？

疑問に思わないか？
等しくないはずのA(n-1)とA(n)とを等しいとおくんだぜ。

河合出版のやさしい理系数学の例題18で
f(0)f(a)=(b+a)(b+a-a^3)<0
の式から、どうして存在範囲は斜線部分だと判断できるのですか？

どなたかお願いします。

age

おいｆ（ｘ）は何なんだよ？

(b+a)(b+a-a^3)<0をab平面に図示すると斜線部になる。
そういうこったろ？

曲線b=-aとb=a^3-aは書けるよな？
あとは…

８６１さん
えーと特性方程式については「大昔の人が考えてくれた方法」
だといわれました。たしかになんでそうなるのかわからないです。
後、特殊解と一般解というのがよくわからないのですが、
教えていただけませんでしょうか？

>>865
おお、わかりました。
有難う御座いました。

≫858さん
861ではありませんが…
A(n+1)=ｐA(n)＋ｑ　のような漸化式を考えたとき、この漸化式は等差・等
比の混合数列とでもいうことができます。この式が解きにくい理由は、ｑと
いう定数がくっついているからですよね。このような式を、非斉次といいま
す。非斉次の式は一般的に斉次化すればときやすくなります。そこで、
t=ｐt+ｑという特性方程式が登場するわけです。辺々引くと、
A(n＋1)-t=ｐ[A(n)-t]と、斉次の漸化式が出てきます。この式は、等差数列
の漸化式なので、一般項を求めるのは簡単です。このとき、等号が成り立つ
ようにA(n)とA(n+1)の両方をtとおくわけです。

>858
未知の数列A(n)が前科式A(n+1)=ｐA(n)＋ｑ　を満たしていると仮定しよう。
ただし、ｐ≠１とするｿﾞ。

このような数列は無数に存在することはわかるﾖﾅ。
この前科式を満たす数列を一つ求めてみよう。
方程式　t=ｐt+ｑ　の解をｔ＝αとすると、
A(n)＝α　 は前科式を満たす。

しかし、実際の問題ではA(1)等の値が具体的に与えられ、
その値はαとは異なる値であることが多い。

xy平面上の二直線　y=px+q　　、　y=x　のグラフを描いて考えてみよう。
このグラフから数列A(n)の値を図形座標を用いて帰納的に求める方法はわかるﾖﾅ。
で、二直線は点（α、α）で交わっているわけﾀﾞ。
交点は原点であったほうが分かりやすいので、
xy平面全体と比べて座標が（−α、−α）だけずれたＸＹ座標系を導入するｿﾞ。

すると、先の二直線は、ＸＹ座標系では、Ｙ＝ｐＸ、　Ｙ＝Ｘ　と表されるﾖﾅ。
交点は原点となるﾖﾅ。
こうして考えてみると、Ｙ＝ｐＸに対応する前科式は、等比数列を表しているﾖﾅ。

ということは、A(n)で考えるとフクザツな感じだったのが、
A(n)−α　で考えると、項比ｐの等比数列になる、ということがわかる。

この問題の一般解というのは、任意定数を１つ含む解のこと。
特殊解というのは、任意定数に何らかの値を代入して得られる解のこと。

前科式A(n+1)=ｐA(n)＋ｑの特殊解をB(n),C(n)とすると、
B(n)-C(n)は項比ｐの等比数列になる。

特に、C(n)＝α　とおくと、
B(n)-αは項比ｐの等比数列になる。
B(n)をA(n)と書き換えると、
A(n+1)−α=ｐ｛A(n)−α｝
が得られる。

age

複素数α=1/2(cosπ/3+isinπ/3)にたいし、複素数数列{Z(n)}(n=0,1,2…)
をZ(0)＝0、および漸化式Z(n+1)=Z(n)+α^2により定める。複素数平面にお
いてZ(n)の表す点をP(n)とおく。
(1)Z(2)、Z(5)を求めよ。また、Z(n)=X(n)+iY(n) (X,Y実数)とおいたとき、
　 lim[n→∞]X(n)、lim[n→∞]Y(n)を求めよ。
(2)線分P(n)P(n+1)の長さをL(n)とおいたとき、�納n=0→∞]L(n)を求めよ。
(3)△P(2n)P(2n+1)P(2n+2)の面積をS(n)とおいたとき、�納n=0→∞]S(n)を求めよ。
わけくちゃわかりません。だれか教えてください。よろしくお願いします。

>872
nを代入してけば(１)くらいできるだろ。少しは自分でやるように。

873>>ア、イしかわかりません

873>>Z(2)、Z(5)しかわかりません

age

>875
Z(5)まで計算したならZ(n)＝nα^2に気づくだろ。これを使えば残りも
全部解けると思う。確認はしてないが。

875>>
ふぉい、てきとーにいうなよ！！！！

>878
オレに言ってんの？

>869
869とは別人だがちょっと補足。

>このような数列は無数に存在する
これは、初項の取り方は自由ということ。

A(n+1)=pA(n)+q……★
という漸化式を満たす数列として、定数数列が存在する。
これは経験的にわかっている。（としか、オレには説明できない）
隣合う２項が等しいのだから、A(n+1)=A(n)=t　とおくわけだ。
t=α　が得られたら、数列{α,α,αα,……｝は★を満たすことがわかる。
例えば　A(n+1)=3A+2 という漸化式を満たす数列は、
{-1,-1,-1,-1……}だな。

869の言う通り、y=px+q と y=x のグラフを描くとわかりやすいのだが、
何しろ、ここではグラフが描けない。
まともな教師ならこのへんの説明は手を抜かないはずなんだけどね。

すいません。質問させてください。

x^2-xy-2y^2+ax-y+1が1次式の積に因数分解されるように定数aを定めよ。

って言う問題なんですけど
どうしたらいいのかさっぱりです。。
どなたか教えてくれませんか？

漸化式について親切にいろいろ教えてくださった皆さん。
どうもありがとうございました。

>881
与式＝x^2-(y-a)x-(2y-1)(y+1)
これが普通に因数分解できるためにはa=2

でいいと思う。

>>881
[超略解]
判別式の判別式=0
∴a=2，-5/2

>>883
-(2y-1)(y+1)=-(y-(1/2))(2y+2)とも書けるからもういっちょ

>884
正しい答えありがとう。寝ぼけてました。
>881
884が正しいよ。ごめんね。

なるほど！！
ありがとう皆さん。>>883さん>>884さん
ええ人やん。。

河合出版やさしい理系数学演習29
x,yについての方程式x＾2＋2mxy＋x＋y-2=0が1点で交わる2直線を表す。
(1)実数mの値を求めよ。

問題の意味すらわかりません。
なんで2次方程式が2直線を表すんですか？

いま数Iの二次関数をやっていますが、
グラフの最大最小の問題で、条件付の時に分けかたに困っています。
＞と≧の区別がよくわかりません(その値を含むかどうかというのはわかります(汗))。参考書の解答はだいたい、
a＞x≧bという風になっています。友達はそんなもんどっちでもいいといっていました。

>>889
例題書いて。
でないと状況がわからなすぎる…。

>>890
t≧x≧t＋１における関数f(x)=x＾２−２x＋４の最小値をm(t)を
求めよ。
という問題で、解答は
m(t)＝t＾２＋３　(t＜０)
　　　３　(０≦t＜１)
　　　　t＾２−２t＋４　(１≦t)
となっているんですが、最後のところの１≦tあたりがよくわかりません。

>>888

>>881の問題→>>884の解答とほぼ同じ

x＾2＋2mxy＋x＋y-2=0をxについて解くと
x=(-2my+√D)/2 or x=(-2my-√D)/2 (⇔ {x-(-2my+√D)/2}{x-(-2my-√D)/2}=0 )
この2つの方程式が共に直線を表す
⇔D=(yの一次式)^2
⇔Dの(yについての)判別式=0

>891を訂正します。
場合わけの時の≦や＜の使い方がよくわかりません。考え方を教えてください。
最初に＜の範囲を考えてから＝を計算して同値だったら≦を使うと確実なのは
わかるんですが、もっと簡単な方法はないんでしょうか？たとえば

t≦x≦t＋１における関数f(x)=x＾２−２x＋４の最小値をm(t)を
求めよ。
という問題で、解答は
m(t)＝t＾２＋３　(t＜０)
　　　３　(０≦t＜１)
　　　　t＾２−２t＋４　(１≦t)
となっているんですが、最後のところの１≦tあたりがよくわかりません

ｺﾞﾒ　xの一次の項の係数　勘違い
×(-2my±√D)
○(-(2my+1)±√D)　ね

>>891
ｸﾞﾗﾌかいてみろ。頂点が変域内に存在するかどうかで違うだろ。

>893
この問題に関しては、全部≦でもいいよ。

>>896
かぶってもいいんですか？

>>893
　連続関数だから、↑の例でいうと、ｔ＝１で連続になってて、＝は含めても含めなくても関係無いというか、どっちに含めてもいいし、どっちにも含めてもいい。
　試しにm(t)のｸﾞﾗﾌ書いてみ。＝の意味があんまし無いことに気づくﾊｽﾞ。

>897
かぶっても減点されないと思うけど。連続な関数だから
＝付けても大丈夫。

９００

レスがかぶった。

>>892
有難う御座います。
しかし、何故、2次方程式の解が1点で交わる2直線を表すんですか？

>>893
f(t)とf(t+1)のｸﾞﾗﾌを書いてみろ。同じ紙の上に。

>>902
(y-ax-b)(y-cx-d)=0
y=ax+b,y=cx+d
２直線になるだろ？

>>904
おお、わかりました。

しかしその後の
>>892
この2つの方程式が共に直線を表す
⇔D=(yの一次式)^2
⇔Dの(yについての)判別式=0

がわからないのですが…。

>>905
>>892は分かりにくい書き方だね。Ｄって判別式かと思ったぞ。

ルートの中身が平方数でなくてはいけないということ。
すなわち、（ｙ+a）^2の形でなくてはいけないということ。
判別式＝０　ならば　重解を持つっていうのはわかるよな？

>>906
どうして平方数でなければならないんですか？

すみません…、ばかで…。

>>907
√が外れないと、xかyの二次式になってしまい、直線にならないから。
例えば
x=y+√y なんてなったとする。
(x-y)^2=y
x^2-2xy+y^2-y=0 これは直線を表さないよな。

>>908
やっとわかりました。
本当に有難う御座いました。

ageageageageaeg

やさしい理系数学演習61
点(a,0)を通り,曲線y=x＾4-2x＾2+1に接する直線がx軸以外にただ一本だけ存在するようなaの値を全て求めよ。

解答だけではなくその考えにいたった根拠もお願いします。

>>911
y=x＾4-2x＾2+1=(x-1)^2(x+1)^2より曲線はx=±1でx軸に接する。
曲線の(t,t^4-2t^2+1)での接線はy=4t(t^2-1)(x-t)+(t^2-1)^2
これが(a,0)を通るとき (t^2-1)(-3t^2+4at-1)=0
題意を満たすには上の方程式がt=±1以外にただひとつ解を持てばよい。
よって-3t^2+4at-1=0が重解または解のひとつが1か-1である必要がある。
重解の時　a=±√3/2 (t=±1/√3)
t=1の時 a=1 (t=1,1/3)
t=-1の時 a=-1 (t=-1,-1/3)
故にa=±√3/2,±1である

>>913
ありがとうございます。
理解できました。

α^4 ＋ β^4を（α＋β）^4−〜の形に変形すると、どうなりますか？

>>915
計算してみれ。

（α＋β）^4 − 4αβ（α^2 ＋ 3/2αβ ＋ β^2）
と出たのですが、どうにもすっきりしない…。

解答には（α^2＋β^2）^2 −２α^2β^2と書かれているのですが、
このように暗記した方が得策でしょうか？

>917
質問がおかしいぞ。

>917
２乗や３乗の問題を先にやれ。
いきなり４乗から入るからダメなんだよ。

“教科書”に載ってるよ。
やれやれ。

はい、教科書から出直してきます…。

>>917
前者の式でもいい。
用はα＋βとαβが使える形になってればいいわけ。
どちらの式も暗記しないで使う時は今みたいに計算して導くべし。

>>921
両方の式を分解して、やっとどういう事か分かりました…。
ありがとうございます、これですっきりしました。

>922
ついでにパスカルの三角形(だっけ？)も知っとけ。

数学の勉強の仕方を教えてたもう

>>923
パスカルの三角形、なかなか興味深い話ですね
実戦で活かす事ができるかどうかは…

パスカルの三角形って、結局は２項定理に過ぎないし、
縦書きのかけ算を繰り返しているに過ぎない。

関数f(x)=x＾3+3ax＾2+3bx+4はx=αとx=βで極値をとり,2点(α,f(α)),(β,f(β))を通る直線l(エル)の傾きが-6であるとする。
(1)aとbの満たす関係式を求めよ。
(2)l(エル)が(0,2)を通る時a,bの値を求めよ。


(2)が全くわかりません。
どなたかお願いします。

>>927
　（１）を解いてないんだけど、「傾き−６で（０，２）を通る」と言えば、Ｌは一通りに定まるのでわ？
　すなわち、Ｌ：ｙ＝-6x＋2　でわ？？？これを用いればｿｯｺｰで求まる気ぃする。難しい問題じゃないと思うﾖ

>>928
直線Lはすぐにもとまるのですが…、a,bにうまくつなげられないんです…。

>>929
L：y=-6x+2 より
f(α)=-6α+2　,　f(β)=-6β+2　…�@

また、ｆ(x)の式にx=αとx=βと代入する。…�A
�@と�Aを比較すればαとβが求まるのではないでしょうか。

直線x-2y+6=0と円x^2+y^2-2x-6y=0でできあがる四つの領域を
(0.8)を含む領域をＡ　(0.4）を含む領域をＢ　(0.2)を含む領域をＣ　(0.-2)を含む領域をＤとする。
ただし、それぞれの領域は境界の点を含まないモノとする。
このとき直線x-3y+k=0が四つの領域A.B.C.DのうちＡとＤのみを通るためのkの範囲は？
また四つの領域全てを通るためのkの範囲を求めなさい。

ｺﾚ教えて欲しいんですけどぉ。俺のやり方だと答えと違ってしまう・・・
みなさんはどう解きますか？

>>931
その自分のやり方を書け

>>931
直線x-2y+6=0とx-3y+k=0の傾きを比べて後者の方が小さいのでＡとＤのみを通るkの最小値は円の上側で
接するときだから、代入して判別式=0として求まる。　k＞18かな？
四つの領域全てを通るkの最小値は直線x-2y+6=0との交点でx座標の小さいほう、最大値は直線x-2y+6=0
の交点でx座標の大きいほうだから計算すると8＜k＜54/5かな？

>>932
変に俺の解き方書くと先入観で解きづらくなると思って書かなかったのですが。んじゃ　そろそろ書きますね
えーっとまず二直線の関係を考えると傾きが同じではないので必ずどこかで交わりますよね？
つまりＡとＤは必ず通るはず。だから要はＢとＣの領域を通るか通らないかの問題だと思ったのです。
よって直線x-3y+k=0がＢとＣを通らない、つまり円内を通らないような直線ならいいかなと判断して
円の中心を使った点と線の距離からkをはじき出したんですが。
>>931
一つ目の問題は円の下の方でも通ると思われます。答えがｋ＜-2もあるので

しまった>>931じゃなくて>>933だ

>>934
そうだね。久しぶりに数学をやったんでうっかりしてた。

質問です、よろしくおながいします。

ベクトルの問題で、
→
Ａと同じ向きの単位ベクトルを求める時、
→ →
Aを ｜A｜で割ったもので求められると思うんですがこれが成り立つという証明はどうやればいいですか？


問：Aと同じ方向の単位ベクトル＝A／｜Ａ｜（Aの上の→ズレそうなんで省略）がなぜ成り立つかを証明せよ。

という問題です。公式として覚えちゃっていて理屈がわかんないんです。

>>937
与えられたベクトルはベクトルAの実数倍なので向きは同じー(1)
与えられたベクトルの大きさ=｜A／｜Ａ｜｜=｜A｜/｜｜A｜｜
ここで｜｜A｜｜=｜A｜だから与えられたベクトルの大きさは1になる。ー(2)
(1)、(2)より与えられたベクトルはベクトルAの単位ベクトルとなる。■
こんなんでいいのかな？

>>936
あ　答えどうもありがとです（遅
しかし俺の考えって何処が間違ってるんだろう・・・

>>939
考え方は間違ってないと思うので、点と直線との公式を覚え違いしていたのでは？

次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。
ただしA(a↑),B(b↑)とする。
　(p↑-b↑)*(p↑-2a↑+b↑)=0

解答は点Aを中心としたBを通る円ってことなんですけど、自分でただ展開したあとどうすればいいかわかりません。
よろしくお願いします。

すみません、別板で教えてもらって解決しました