数学の教科書にのってない便利な公式！！

立体座標とか

>>208
それは普通に数3の教科書に載ってるだろ。
だって数2の教科書で、
点（a,b)を通り、傾きmの直線の方程式は
　　　y-b=m(x-a)
ってのが重要公式として載ってるし。
だから、関数y=f(x)がx=aで微分可能なとき、
y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))における接線の方程式は
っていったら、この点における接線の傾きがf'(a)になるから、
上の式に代入して、
　　　y-f(a)=f'(a)(x-a)
ってなるじゃん。

>>225,226
立体座標だね。
つまり、数式で立体座標を表現できる。
例えば、角運動量Lを位置ベクトルr、運動量pで表すとすると
L=r×p

行列の基本変形って教科書に載ってたっけ？

C=A×B分解すると
Cx=AyBz-AxBy
Cy=AzBx-AxBx
Cx=AxBy-AyBx

座標、A(Ax,Ay,Az)、B,Cも同様。

外積は法線ベクトルを求めるときに便利。

例えば、
a=(1,2,3) b=(4,5,6)を含む平面αを求めよ。（アルファベットはベクトルで）
てのがあったら普通は、
　a,bとの内積が０のベクトルｎを計算するけど、外積を使うと、
ｎ＝(-3,6,-3)、とかんたんに求められる。

（α：-3x+6y-3z-3=0)

修正
C=A×B分解すると
Cx=AyBz-AzBy
Cy=AzBx-AxBz
Cz=AxBy-AyBx

座標、A(Ax,Ay,Az)、B,Cも同様

>>226
今後利用してみます

お詫び
>>230は間違えです。>>232をみてね。
231は232をみれば計算できます。

s=(a,b,c) t=(d,e,f)だったら
　ｓ×ｔ＝(bf-ce,cd-af,ae-bd)
です。

>>235は>>231での外積の求め方。

>>231
>（α：-3x+6y-3z-3=0)

そのように平面αが一意に決まるのはなぜですか？
平面αの法線ベクトルならわかりますが。

>>237
平面の表し方はわかる？法線ベクトル n=(a,b,c) を用いて
　　　　α：ax+by+cz+d=0
ってなって、平面上のベクトルを一つ代入すればｄがもとまる。

>>238
マジボケの予感？

>平面上のベクトルを一つ代入すればｄがもとまる。

>>231の問題の場合、その一つのベクトルとは具体的にどのベクトルですか？

>>239
231だったらn=(-3,6,-3)だからnに垂直な平面は
　　α：-3x+6y-3z+d=0
であり、さらにa,bを含むので(x,y,z)にa=(1,2,3)またはb=(4,5,6)を代入
　　d=０
だから、
　　α：-3x+6y-3z=0⇔α：x-2y+z=0
(n,a,bはベクトル)

要は外積したどちらかのベクトル。
これで良い？

定理の証明はおろか、正確なステイトメントすら知らずに、
公式を振りまわすのはどうかな？

ここにいる人のほとんどは｢数学の教科書にのってない便利な公式｣
を追い求める前に、もう一度教科書をやり直した方が良さそうですね。

お詫び>>231はdが違ってました。正しくは>>240です。ごめんなさい

>>241
たしかに。
普段使っている公式の証明は何気にできなかったりもする。

>>243
逆にいうと、公式の導出さえ覚えておけばなんとかなる場合もあり。三角関数とか。

>>244
たとえばどんな問題？

外出かもしれんが
ロピタルの定理
lim
x→a f(x)/g(x)
= lim
x→a f'(x)/g'(x)

うちの教員いわく
受験で使うと無条件ではねられるらしい。

>>245
半角・倍角とかね。

>>246　状況によるでしょうね。

lim sin(x)/x as x→0 を求める問題で、ロピタルを使うのは、
論理的に破綻しているので完全に×
lim x/e^x as x→∞を求める問題で使ったら
問題の趣旨を理解していないので大幅な減点。
問題の途中でy=x/e^x のグラフを描くときに使うのは○

という感じではないかな。

>>240
>>242

マジボケの確信。(´･ω･｀)
>>241はたぶん>>231や>>240に向けたものだと思いますよ。

あなたが>>240（>>231）で求めたものは
3つの点、A(1,2,3)、B(4,5,6)、O(0,0,0)を通る平面αです。

>さらにa,bを含むので(x,y,z)にa=(1,2,3)またはb=(4,5,6)を代入
>　　d=０

((1,2,3)×(4,5,6))・(1,2,3)=0は当り前です。
((1,2,3)×(4,5,6))・(4,5,6)=0も当り前です。

外積を持ち出すのなら
点A(1,2,3)、B(4,5,6)ではなく、
ベクトルOA=(1,2,3)、OB=(4,5,6)からです。

仮にもう一つの点がO(0,0,0)ではなくC(0,0,1)だった場合には、
外積(1,2,3)×(4,5,6)は平面の式を出すのに何の意味も持ちません。
CA×CB=(1,2,2)×(4,5,5)が平面の法線ベクトルになります。

「定数項のdだけが間違っていた」どころではありません。

京大の教官曰く，
「うちらは何が範囲内で何が範囲外なのかなんて把握しちゃぁいない。
数学的に正しければ何使おうと正解だ。」と。

数学的に正しければ

京大は今年の後期試験で
文系では範囲外の問題（積分を使って体積を求めさせる）を
堂々と出したところだからねえ。

バームクーヘン積分法。

区間[a,b]で、y=f(x)のグラフとx軸とではさまれた部分を、
y軸の周りに回転させた回転体の体積は、
　　　　
　　　　2π ∫[a,b] x f(x) dx

で与えられる。は証明なしでいきなり使っていいの？

！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>253
いきなり使うのはまずいと思うが、
以下のような説明を加えれば大丈夫。
253の問題において求めるべき体積Vは、ab区間における微小体積△Vの重ね合わせ。
△V=2πx･f(x)・△x

V=∫[a,b]△V
=2π ∫[a,b] x f(x) dx
以下略

age

( ･ω･)ﾉ――――@" ｸﾙｸﾙ

( ･ω･)ﾉ@ ﾊﾟｼｯ

加法定理の証明ってどうやったっけ?

単位円使ってやるんじゃなかったっけ＞加法定理

>>255
微小体積△V という概念はあくまでも近似なので、多少は減点を食らうかもしれませんね。
区間[a,x] にかかわる部分の体積をV(x) とおいて、V(x+h)-V(x) の不等式評価を経て、
dV/dx=2πxf(x) を示し、求める体積=V(b)=∫2πxf(x)dx としたほうが、無難ではないでしょうか？

>>260
△Vの概念と作図（底辺2Πx、高さf(x)、厚み△x）で減点なかったよ。
ただし、君の方がよりよいし、数学的。

シュワルツの不等式は？

積分versionのやつは、
f(x)、g(x)がともに閉区間[a,b]で連続であるとき
　　∫f(x)²dx ∫g(x)²dx≧{∫f(x) g(x) dx｝²　　（積分区間は[a,b]）
ただし、等号成立は、[a,b]で恒等的にf(x)=0 or g(x)=0 or f(x)=k g(x)　（kは実数定数）
であるとき。

多項式versionでは
　　(a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)²
　　(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≧(ax+by+cz)²
ただし等号成立はそれぞれ a:b=x:y　a:b:c=x:y:z　のとき。

これは不等式の証明で使ってもいいの？

いい。

>>248

> lim sin(x)/x as x→0 を求める問題で、ロピタルを使うのは、
> 論理的に破綻している

これって、どーゆーことなの？

>>264
sinの極限を求めるのにロピタルの定理を使おう。
　↓
ロピタル定理を使う条件を調べねばならない。
　↓
条件にsinの極限が既に含まれている。

論点先取の矛盾に陥るので却下。

>　ロピタル定理を使う条件を調べねばならない。
>　　↓
>　条件にsinの極限が既に含まれている。

条件に使うのはlim sinx/x じゃなくてlim sinx だから別に良いんじゃないの？

F(x)=sinx
導関数の定義から
lim[x→0]sinx/x=F'(0)

F'(x)=cosxを許すとき、ロピるまでもなくlim[x→0]sinx/x=cos0=1
F'(x)=cosxを許さないとき、ロピれない

>>266
lim sinxの極限を求めるのに、高校の範囲では、lim sinx/xの極限を使うはずですが。

jaatukaunayo

第一余弦定理
c=cosA*b+cosB*a

今宵、超超、重大な発見を発表いたします。
数学に関して詳しい人は見てね！
疑問、批判、受け付けます。
レベルは高校の数学を丁寧に学習していた人なら理解可能だと思います。
内容は、四則演算、指数、根号に関する発見です。
ＷＯＲＤ形式でダウンロードされます。安心してね。

http://www.geocities.co.jp/Bookend-Christie/1729/discovery.doc

あまりにも大きい衝撃的な発見。
これからどう進めていけばよいのか・・・。
わかる人教えて下さい。

3Cで習う公式とかで2Bや1Aを解くことは出来ない？
わかりにくいので例あげると、センター1AでBの
α+β=-b/a , αβ=c/a を使って数と式の問題解くときとか。

sin＋cosをＴとおかずにそのまま数三の三角関数の微分
をつかってとく。

>>272
　今年のｾﾝﾀｰ�TＡで、割り算の問題が↓のﾃｸﾆｯｸ使えば一発で解ける。
「P(x)が(x-α)^2で割り切れる　⇔　P(α)＝０　かつ　P'(α)＝０」

　たまにはこんなんもあるけどﾈ、実際出題者は気ぃ使ってないんだろうか。理系が有利にならないように　とかって。

計算を省略する公式
∫[x=a,x=c](x-a)(x-b)(x-c)dx = (c-a)^3 * (2b-a-c)/12