☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

>>40の類題？： 正四面体の隣り合う２面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、鉛筆使用禁止で制限時間３分）

>>53-56
すまソ。私が解答の作者。訂正ついでにかいせつ。
f(x)=2e-2exにすればOK。（e^{x^2}'のx=1での値計算まちがえた。）
じつは C[0,1] に適当な Norm をいれて（L_2 Norm でOK）
連続線形写像 φ:f→lim[n→∞] n∫[t=0,1]t^nf(t)dt をかんがえる。
この空間は {x^u} ではられているので φ(x^u) を計算すると

　φ(x^u)=lim[n→∞] n/(n+t+u)=1=δ(1)(x^u) (=δ(x-1)ともかく。)

なので φ=δ(1) であることがわかる。そこで以下のようにかんがえればOK。

　(1) 答えはδ(1)(e^{x^2})=e のはずだ。
　(2) φ(e-e^{x^2})=0 のはずだ。
　(3) e-e^{x^2}≦((一次式))なる((一次式))で x=1 のとき 0 になる l(x)
　　　をとれば φ(e-e^{x^2})≦φ(l)=0 となるはずだ。
　(4) あとは挟み撃ちでなんとかなるはずだ。

この問題は e^{x^2} が下に凸なので（凹なので） e-e^{x^2} が上に凸なので
x=1 で 0 になる一次式によって簡単におさえこめる。って〜のがPoint。