☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆
53 ：14：
>>48
解答読んだのですが、何か違うような・・・。
第3問 数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。
―――――――――（書いてあった解答）―――――――――
問３
a[n]
=lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
=lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
=e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の２回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx
=lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
=lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
=lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
=0
なので
0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e
――――――――（ここ迄）――――――――――――
問題と思われる点。
f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は成り立たない。
g(x)=f(x)-e+e^(x^2)=e^(x^2)-exとおく。微分して、
g'(x)=2x・e^(x^2)-e
g''(x)={4x^2+2}e^(x^2)>0
よって、g'(x)は単調増加。
g'(0)=-e<0、g'(1)=2e-e=e>0
よって、あるα(0<α<1)が存在して、
g'(x)<0 (x<α)
g'(α)=2α・e^{α^2}-e=0 ―――①
g'(x)>0 (α<x)
ここで、g'(1/{√2})=(√2)・e^{1/2}-e=(√e)・{(√2)-(√e)}<0
（なぜならば、2<eより√2-√e<0）
よって、1/{√2}<α ―――②
g(α)=e^{α^2}-eα=e/(2α)-eα （①より）
=e(1-2・α^2)/(2α)<0 （②より）
従って、g(x)は最小値g(α)<0 (0<α<1)である。
解答読んだのですが、何か違うような・・・。
第3問 数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。
―――――――――（書いてあった解答）―――――――――
問３
a[n]
=lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
=lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
=e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の２回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx
=lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
=lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
=lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
=0
なので
0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e
――――――――（ここ迄）――――――――――――
問題と思われる点。
f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は成り立たない。
g(x)=f(x)-e+e^(x^2)=e^(x^2)-exとおく。微分して、
g'(x)=2x・e^(x^2)-e
g''(x)={4x^2+2}e^(x^2)>0
よって、g'(x)は単調増加。
g'(0)=-e<0、g'(1)=2e-e=e>0
よって、あるα(0<α<1)が存在して、
g'(x)<0 (x<α)
g'(α)=2α・e^{α^2}-e=0 ―――①
g'(x)>0 (α<x)
ここで、g'(1/{√2})=(√2)・e^{1/2}-e=(√e)・{(√2)-(√e)}<0
（なぜならば、2<eより√2-√e<0）
よって、1/{√2}<α ―――②
g(α)=e^{α^2}-eα=e/(2α)-eα （①より）
=e(1-2・α^2)/(2α)<0 （②より）
従って、g(x)は最小値g(α)<0 (0<α<1)である。
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>>14=53
すまん。まさかこんな問題を間違えているとは思わなかったので、読まずに紹介してしまった。
正しくはこうやる。部分積分で、
n∫x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}x^(n+1)・e^(x^2)-{2n/(n+1)}∫x^(n+2)・e^(x^2)dx
と変形する。
n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}・(e^2)-{2n/(n+1)}∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx
となる。問題は最後の積分の評価。
0≦x≦1 では、0≦x^(n+2)・e^(x^2)≦x^(n+2)・(e^2) なので、これを積分し、
n→∞ とすれば、lim∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx=0 がいえて問題解決。
すまん。まさかこんな問題を間違えているとは思わなかったので、読まずに紹介してしまった。
正しくはこうやる。部分積分で、
n∫x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}x^(n+1)・e^(x^2)-{2n/(n+1)}∫x^(n+2)・e^(x^2)dx
と変形する。
n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}・(e^2)-{2n/(n+1)}∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx
となる。問題は最後の積分の評価。
0≦x≦1 では、0≦x^(n+2)・e^(x^2)≦x^(n+2)・(e^2) なので、これを積分し、
n→∞ とすれば、lim∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx=0 がいえて問題解決。
55 ：１３２人目の素数さん：2001/05/14(月) 00:37
56 ：１３２人目の素数さん：2001/05/14(月) 03:22
>>48の紹介先のように不等式で挟むなら・・・
f(t)＝e^t-｛(e-1)t^2+1｝≧0 (0≦t≦1)
これをを2回微分などで示し t＝x^2 と変換して
e^(x^2)-｛(e-1)x^4+1｝≧0 (0≦x≦1) を得る。
0＜(e-1)x^4+1≦e^(x^2)≦e (0≦x≦1) より
｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝≦x^n・e^(x^2)≦ex^n (0≦x≦1)
n∫[0,1]｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝dx≦a[n]≦en∫[0,1]x^ndx
両端がeに収束するので（略
f(t)＝e^t-｛(e-1)t^2+1｝≧0 (0≦t≦1)
これをを2回微分などで示し t＝x^2 と変換して
e^(x^2)-｛(e-1)x^4+1｝≧0 (0≦x≦1) を得る。
0＜(e-1)x^4+1≦e^(x^2)≦e (0≦x≦1) より
｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝≦x^n・e^(x^2)≦ex^n (0≦x≦1)
n∫[0,1]｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝dx≦a[n]≦en∫[0,1]x^ndx
両端がeに収束するので（略