【数学】難問奇問と天才奇人数学者　〜ポアンカレ予想の解決〜

昨年の12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」に、2006年の科学的成果トップ10が
発表され、その第1位に数学上の難問だった「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。…… と、
書いてる筆者も、実は「ポアンカレ予想」がどんなものなのか、いまいちピンときていない。
いや、ネット上はもちろん、一般向けの参考書まで買ってきて読んだんだけど、これがもう
全くイメージもろくにつかめないのだった。2006年の科学ニュース第1位だっていうのに。

　なんでも、ポアンカレ予想というのは「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相で
ある」という予想らしい。なんのことだかわかりますか？　わたしには全然わかりません。

　わたしにもなんとなく想像できそうな、もうちょっと直感的な言い方だと「どんな掛け方を
された輪ゴムも無理なくはずせるような、手の上に乗る1つの物体は、滑らかに球に変形
できるはずである」ってことらしい。

　つまり、ドーナツみたいに真ん中に穴が開いてて、どうしたって球には変形しないような
物体は、輪ゴムのかけ方によっては、ハサミかなんかで輪ゴムのどこかを切断しないと
外せなくなっちゃいますよ、ってこと。

　まあ、これならなんとなく、わかったような気になりますわな。え、ダメですか？　ちょっと
ドーナツとテニスボールとひもを持ってきて、試してみてくださいよ。逆に、なんとなくイメージ
できた人は「なんで、そんな当たり前のことを仰々しく言わねばならんの？」と思うかもしれない。

　ところが、これって、直感的には「確かにそうだよね」とは思えるけど、数式を使って数学
的に証明しようとすると、とたんにものすごく難しくなっちゃうのだ。ま、だから「そうなるはず
だけど、証明できてません」という意味で「予想」って言うわけですよ。
　1904年にこの「予想」をするだけして、しちめんどくさい証明を後世の人に託しちゃったのが、
フランスの数学者アンリ・ポアンカレ（1854-1912）なんで、これを「ポアンカレ予想」と称するわけ。

　このポアンカレ予想を解いたのが、グリゴリー・ペレルマンというロシアの数学者なんだけど、
この人が実に変わった人なのだ。

　1966年生まれで現在40歳。1982年に国際数学オリンピックにおいて全問満点で金メダルを
獲得。サンクトペテルブルク大学で博士号を取得。ニューヨーク州立大学ストニーブルック校、
カリフォルニア大学バークレー校で研究をしたのち、ロシアに帰国、ステクロフ数学研究所に
所属。その間、ポアンカレ予想の証明だけじゃなくて、さまざまな数学的業績を上げるも、
なんと2005年12月に退職届を提出し、それ以降同研究所に現れていないというのであるよ。

　だいたい、この人がポアンカレ予想の解決を宣言したのは2003年のことなんだけど、それも
査読つきの論文誌に投稿したとかじゃなくて、プレプリント（要は、正式な論文じゃないリポート
みたいもの？）をさっさと発表して、本人はそれっきり。

　2006年になってようやく他の人たちによる検証によって「どうやら正しいらしい」とされたことで、
数学の権威ある賞であるフィールズ賞が、ペレルマンに授与されたものの、本人は「自分の
証明が正しければ賞は必要ない」とこれを辞退。

　さらに、このポアンカレ予想は、「ミレニアム懸賞問題（Millennium Problems）」の1つとして
100万ドルの賞金がかけられてるんだけど、それにもまったく興味を示してないんだとか。
それどころか、現在は故郷で母親と、わずかな貯金と母親の年金を頼りに細々と生活している
とかで、消息は不明なんだとか。

　変人天才数学者というと、ポアンカレ自身にもいろいろ逸話があるし、最近では『ビューティフル・
マインド』なんて小説や映画にもなったジョン・ナッシュという人もいたりしたけど、この
ペレルマン氏ほど才能と奇行にあふれた一代の天才もなかなか他にいないような気もする。

　ちなみに、先にあげたミレニアム懸賞問題というのは、アメリカのクレイ数学研究所（Cray
Mathematics Institute）が2000年に発表したもので、現在未解決となっている数学上の難問7つに、
それぞれ100万ドルの賞金をかけたというもの。

　1つは今回どうやら解決したみたいだけど、残り6つはまだまだ解かれてないみたいだから、
我こそはと思われた方はぜひ挑戦してみては
http://www.itmedia.co.jp/anchordesk/articles/0702/09/news029.html

関連スレ
【話題】サイエンス誌選定’06年科学ニュース１位は「ポアンカレ予想」解決、「残念なニュース」に黄教授など
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1166749180/

どこが変人なんだ？

普通だよな

うん　「ポアンカレ予想の解決」の一点を除けば　ごく普通にいるぞ

↓以下、ボンカレー禁止

今頃この記事か

ビアンカを嫁さんにする

堺三保氏読みやすい文章でした。

S^3とS^2を勘違いしてるな

ボクサーと数学者ってなぜか変人が多い気がする。

>>11
数学者は先天性
ボクサーは後天性

奇人変人ならキャベンディッシュが頂点だな。

ククレカレーのほうが好きで〜す

＞ドーナツみたいに真ん中に穴が開いてて、どうしたって球には変形しないような
＞物体は、輪ゴムのかけ方によっては、ハサミかなんかで輪ゴムのどこかを切断しないと
＞外せなくなっちゃいますよ

かけられたからには必ず外せる気が…

なんという馬鹿が書いた記事・・・

『【世の中】の【現象】は全て【数式】に置き換えることができる。』という
【真理の探究】が【数学】です。m(__)m

P.S
身近な【数学】は【Program】。

セラミドケアって言ってみ？














































黙れ

　数年前「アッ子にお任せ」てＴＶ番組のコナーだったと思うが。
　懸賞金付数学の超難問の紹介されてて。
　珍奇な（具体的に説明しずらいが、水さしみたいな物でその水口がグルリと
周り本体に戻った形・・・やっぱ無理だ、）形の３次元の表面面積（体積？）
をもとめなさいて問題だった。
　でゲストの数学の先生がこの問題の難問さとヒントを説明（皆チンプンカンプン
そりゃそうだ。）し先生が「因みにこの問題の４次元での答はでてます。」と言った
のは鮮明に覚えてる。（俺の聞き間違い？）
　前触れが長くてスマン。数学究めた人に質問なのですが。
　数学の世界では「４次元」は在りなの？
　長年の疑問を解いてください。お願いします。

>19

数学なんてまったく究めてないけど、

>　珍奇な（具体的に説明しずらいが、水さしみたいな物でその水口がグルリと
>周り本体に戻った形・・・やっぱ無理だ、）形の３次元の表面面積（体積？）
>をもとめなさいて問題だった。

クラインの壷のことかな。

>数学の世界では「４次元」は在りなの？

数学では論理的な整合性が取れてれば4次元でもｎ次元（ｎ＞＝5）でもOK。
小数点付きで表されるような次元もある（フラクタル次元）。

一般の人が４次元って？というときは、３次元ユークリッド空間（普通の
直交座標と距離で構築される空間）を現実の空間とイメージして、そこに
さらに次元を追加するなんて？と考えるからよく分からなくなる。あくま
でも｢数学的な論理的整合性｣の中で構築される空間。

３次元でもっとも単純な形は球であるって問題だっけ？

解けたニュースでスレ立った時に6行くらいで説明してくれた人がいたけど、
あれが分かり易かった。覚えてはいないけど。

>>22
結局わかってないんじゃんw


俺もだけど

>>20
体積ならすぐ求まるけどな。
水に浸ければいい。

実は俺の親父

数学オリンピックで満点とれる人
がいることに驚いたよ

ハイパー「ニート」現る

そいつとラマヌジャンどっちが凄い？

＞1982年に国際数学オリンピックにおいて全問満点で金メダルを獲得

これはすごい

>>28
ラマヌジャンも天才だが証明とは無縁の人だからなんとも言えない。

化け物はいるもんだなあ。
統計力学使ってこの問題解くなんて
誰が発案できたんだ…

>>31　位相幾何に統計力学を利用？？

この手の表面がどうたらって、渦巻きみたいなのを
表面にいくつも描いて証明するみたいだけど
渦の方向に関して弄繰り回したのかどうか？

輪ゴムを伸ばしたり縮めたりするように、
球の表面に円を描いて、その円を球面上で伸ばしたり縮めたりする
ただし円は球面から出てはいけない。ボールの表面に輪ゴムを貼り付けた図を想像する
そうすると、球面上に張り付けたまま円を小さくしていくことにより、円を一点に潰せる
だけど、ドーナツ面（ドーナツの表面）だと潰せない円が存在する
例えば、ドーナツの穴の周りをぐるっと一周する円は、ドーナツの表面上でどう動かしても一点に潰せない
つまり、「潰せない円」の個数を見ることにより、球面とドーナツ面を数学的に区別できる

球面とドーナツ面ならその違いは「見れば分かる」かもしれないけど、4次元や5次元の図形になると、
「見る」ことができないので、こういう数学的な手法で図形を区別するしかない

平面のように無限に広がっている図形は考えにくいので無視して、球面やドーナツ面のように限りのある図形だけ考えることにする
ポアンカレ予想は、4次元や5次元でも、こうした限りのある図形で、潰せない円が無い図形は、球（4次元球や5次元球）の表面しかない、
という予想。のはず

>>33
かなり分かりやすかった。

なるほど。分かりやすいな。
物理的には超弦理論なんかを考えるときに使えそうだな。

物体表面上にひかれた閉曲線で表面を二つに分けることが出来ないものが
どれだけあるかという風にも解釈出来るね。

>>19
物理学の世界でも、「１１次元」などの理論が唱えられている。

昔インド人がやってるカレー屋に入って、
カレー注文したらスプーンがついてこなかったんだよ。
「あ、本格的な店なんだ」とか思って手で食ってて、
半分くらい食ったときにインド人の店員が奥から
すげー申し訳なさそうな顔してスプーン持ってきた

物理厨には数学など理解できない。

ペロニスキーの非球面球形定理の解決につながると考えれば大きな進歩。

端を地球上に固定したロープを持って宇宙に出発
→一直線に進む
→地球に戻ってくる
→ロープを引っ張る
→ロープ突っかかる
→宇宙はトーラス

高３だがここまで分かる。
ますます興味がわいてきた

>>41
で、大学はどこ受かったの？

>>15
ところが変な結び目でキューッと引っぱっちゃうと、
輪ゴムがほどけなくてダメなんだよなぁ…

ウェークスが宇宙は１２面体空間だとか言ってけどな。

このグレゴリさんって、
賞をもらったら持ち上げられて人前に出なきゃならんのがウザイし、
名誉や金目当ての疚しい人が集まって来るからイヤダ
とかいって、今はお母さんとヒッキー生活してるんだっけ？

>>33
このレスだけでもこのスレ開いた甲斐があった

分からないし、分かりたくもないし、分かったからどうなるんだ
というのが正直な感想

>>38
俺には面白かった。

>>47
お前昔
「微分・積分わからなくても将来使わねーからいいじゃねーか！」
とか教師に怒鳴ったことあるだろ

ポアンカレーは確か夏目漱石が紹介していたな。
一つ偶然があれば、世界は全て偶然になるとか何とか

まあ、公的な発表をすると色々な責任が生まれてしまうからね
反論者たちと不毛な議論をうんざりするほどやらなければならない

こういう人にロボットとかつくらせるとすごいものをつくるんだろうか

>>1はずいぶん誤解しているな。次元がひとつ違うぞ。

誰だ、この記事書いたバカは
文章きめぇ

>>33
わかりやすい解説ありがとう。
こういう超難問を小学生でもわかるように噛み砕いて説明できる能力が
ある人って本当に凄いと思う。

>>39
ウィッテンも？

>>39
　
そう言って物理の世界に首を突っ込んだ高名な数学者がいたらしいけど、
結局、物理的にはどうでも良い細部にばかり拘って大した業績を残せず
に終わったらしいねｗ
　
やはり、完全に抽象的な世界を扱うのと、自然界という実体をもったもの
を扱って、その中から真実を引っ張り出してくるのは別な才能だと思うよ。
　
ま、歴史的にはガウスとか両方に長けた人もいることは認めるけど。

>>57
やってみないとわからないということか。
やらせてみたい・・

おそらくガウスでも数オリで満点とれるかわからないだろうし、
ガウスと同じくらいかそれ付近もしくはそれ以上の頭脳を持っているかもしれない。

>>57
大した業績って、物理厨から見てだろ？

この記事は学問を冒涜している。書いた奴は二度と科学の記事を書くな。

遠い未来ではそんな問題が受験で出るのだろうか…

金だけは貰っとけばいいのにい

簡単に言えば各次元のホモピー球面はその次元の球面と同相ということだろう。

( ﾟДﾟ)yー┛~~

こういうのとける人間が真面目に空想をはじめるとどうなるんだろうか…

まさにニートの鏡だな

>>33
スマンが、四次元や五次元の『球』というのがどんなもんだかよくわからん。

まー　成果をネットで公開
最高の評価を得るが「みんなが羨望する賞」を辞退
ひきこもってキノコを採取している、てーとこがスゲエよなw
またいつかなにかを発見して、一世を風靡するのかもしれない。

だれも読まないようなどうでもよい論文を連発して、
引退するまえから忘れられてる人がほとんどなのになーw

>>65
ソビエトSF文学がそれなのでは。

一応数学科だから言ってる事はなんとなく分かるな。

>>67
それは一部の天才的幾何学者以外、ほとんど誰にも分からないのでは
４次元の球＝「x^2+y^2+z^2+w^2 ≦ 1 を満たす実数の組(x,y,z,w)全体」、と言う以外説明が思いつかない
逆に、こういった想像しにくいものでも直観に頼らず数学的な道具立てで厳密に調べられる、というのが数学のいいところなわけで

>>71
おお、サンキュー頭よさそうな式だ（←俺の頭じゃこの感想が限界）。

えーと、そうすると、4次元の真球はx=y=z=wと考えてx^2≦1/4で-1/2≦x≦1/2か。
うむ。全然わからん。
その辺って、どんな分野を勉強すればいいんだ？
良かったらキーワード教えて卓袱台。

>>33
あなたみたいな人が記事を書いて欲しいものだ

X^2 ≦1/4　なら、X≦1/2ではないか？

ん？ああそうか、マイナス側も考えないといけなかったな。ｽﾏｿ

4次元の真球を想像してみたけど、
あんまり面白みの無い形だった(´･ω･｀)つ●

5次元の真球はぐにゃぐにゃしてて想像できない(´･ω･｀)

>>38
鼻からカレーうどん噴いた！

>>32
トポロジー方面から攻めてた人は全員泣いちゃう結果なのれす。

アンドレイ・サハロフもすごいけどな。
ロシア人は伊達にアメリカと冷戦でタメで戦ってないな。

スウガクガウス

僕のたまたまは多分6次元だと思う。
ちなみに輪ゴムをはめてみたが、たまたまとチン毛に絡まって解けない。

俺のたまたまは3次元の球ではないことが今回明らかにされた。

代数位相
代数解析
代数幾何
解析的幾何学
位相解析（←関数解析学）
解析的数論
代数的数論
数論幾何

↑組み合わせの順番変えてるだけじゃねーか！
ちょっとは違う単語も取り入れろ！わかりづらいです＞＜

>>78
統計力学をどう使ったんだ？
てか、物理学を使って数学の証明とかできるの？

リッチ風呂

age

ピタゴラ・スイッチ

>>72
よし、俺が無い頭絞って4次元球を説明してみよう。

この世界は(実質的には)3次元空間だから、
どうあがいても4次元以上のものの全容を認識することは不可能。
でも、断片を認識することは可能。

手始めに、2次元の人にとっての3次元球を想像してみる。
2次元の人が平らな紙の中にいるとして、
3次元球がその紙を面直に通り抜けていくとすると、
最初に点が現れて、円がどんどん大きくなって、また縮んでいって、消える
という様子が見える。
2次元の人にとっては不思議な物体かもしれないが、
3次元の人にとっては当たり前。

次に、3次元の人にとっての4次元球を考えてみる。
最初に点が現れて、球がどんどん大きくなって、また縮んでいって、消える
という様子が見える。
3次元である自分らにとっては不思議な物体かもしれないが、
4次元の人にとっては当たり前。

次に、4次元の人にとっての5次元球を・・・・・・

「平面上の閉じた曲線は、平面を内と外に分ける」って定理もえらく証明が大変なんだよな。
力業の美しくない証明らしいが。

>>87
つまり、目の前でシャボン玉が突然現れて、大きくなって縮んで
消えた…その様子を時間軸方向に並べるとフットボール(=球)のようなものか?

>>89
全然違うと思う

87が言いたかったのは、
あらゆる次元において「球」は、１つ下の次元の人には影としてしか知覚できない
、ってことでは

点があらわれて、それが小さなわっかになって、大きくなって
また小さくなって、点となって消えていく過程には
必然的に時間軸を設定しないといけないんじゃないか？
これが2次元平面の中の人にとっての3次元体験ってのはなんかしっくりこない。

考えたら体験は絶対できないよな
2次元人にはそれが円だとすら認識できないわけだから
円と認識できるのは、その2次元影を作った3次元の人間
まさに「上からものを見る」だ

>>92
どうして「2次元人にはそれが円だとすら認識できない」の？
三次元人である俺らは普通に球を認識できますが？

>>93
予測はできるかも知れないけど、見えることはないんじゃ？
俺らが球を認識できるのは、目のレンズに映った円に陰影があるから

苦しい説明ですまん

紙に目をへばりつかせて、同じ紙の遠く離れた位置に描かれた円が円として認識できるかってのが
92のいってることに近いんじゃないかと思うんだけど　
そもそも三次元の中の人だって、目の前にある球のすべてを認識できるわけじゃないな　
つまり、球の(こちら側)しかみえてない　
球が透明だったらそもそも全体が見えないし、半透明でも側面部はただの輪郭になる

でも三次元の中の人が三次元のなかの物体を見る、ということを　
物体の有様をXYZ座標を使って表現し、認識できるってことに言い換えたら
二次元の中の人も二次元の中に描かれたものを認識できそうだな。

>>95
わかりやすい説明感謝。
フツ〜に後半の意味だと思ってた

そんなもん多方向から観測すればいいだろ？生物的な限界など全然問題にならない

>>83
関連スレにあったけどこんな感じらしいよ
リンク先は見れなくなってるけど
http://news21.2ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1149563054/77

ttp://otdi1.jbbs.livedoor.jp/essayKI/bbs_plain?base=392&range=1
から一部抜粋
＞この論文のアイデア（もちろん細かい数学は私には現段階では理解できないが）は、非常に”物理的”であること
＞に驚いたのである。だから、私にはむしろ非常に理解しやすかったのである。むしろ数学者には理解しにくかった
＞のかも知れない。
＞
＞基本アイデアはこうである。
＞
＞「ポアンカレ予想」の主張は、３球面（これは４つの複素数x, y, z, wを使って|x|^2+|y|^2+|z|^2+|w|^2=1で
＞表される）が３次元多様体の中で一番単純なものである、ということである。だから、もし任意の３次元多様体
＞から出発してこれをどんどん変型していけば、結局はもっとも単純な３次元多様体である３球面に行き着くはず
＞である、というアイデアである。これを最初に考え出したのはリチャード・ハミルトンという人であるらしい。
＞
＞たとえば、２球面（円周）を考えてみよう。そして円周と同相のもっと複雑な図形があるとする。もしそれをゴム
＞で作ったと考えれば、ゴムを放せばゴムの張力によってどんどん変型して一番安定な形、すなわち円形に戻る。
＞これの３次元版を考えたと言うわけである。
＞
＞この時のゴムの張力によってどんどん図形が変型して行く様を数学的には『リッチフロー』といい、これを表す
＞方程式を『リッチフロー方程式』と呼ぶらしい。これは計量テンソルg_{ij}の時間微分が曲率Ｒに比例するという
＞方程式（dg_{ij}/dt = -2R_{ij})である。簡単に言えば、曲がっているところほど変型が早い、ということである。
＞ゴムの話で考えれば、なるほどそうである。
＞
＞さて、ここで物理のアイデアに話は飛ぶ。イリヤ・プリゴジン博士の有名な本『存在から発展へ』（みすず書房）
＞によれば、ある種の”フロー方程式”がある場合（これは例えば、ハミルトンフローやリュービルフローなど何でも
＞良いが）、リャプノフ関数というものを定義できれば、そのフローの行き着く先が安定かどうか必ず判定できると
＞いう話がある。物理のリュービルフローの場合のリャプノフ関数が、いわゆるエントロピーと呼ばれるものである。
＞
＞これが有名な『エントロピーは増大する』という言葉の数学的な意味であり、これを『熱力学の第二法則』と物理
＞では呼んでいる。自然界のエントロピーはかならずどんな場合でも増大する。そしてこれが自然界の『不可逆過程』
＞のルーツなのである、というのが我々物理学者の理解している世界観である。
＞
＞そこで、同様に『リッチフロー方程式』の場合にも一種の『リャプノフ関数』が定義できるのではないか。それに
＞よってこの『リッチフロー方程式』の行き着く先が安定であることが示せるのだ、というのが、ペレルマン博士の
＞アイデアのようである。
＞
＞そこで博士は『リッチフロー方程式』に対する一種のエントロピー関数（リャプノフ関数）を定義したのである。
＞つまり、これは図形の持つエントロピーである（もっともこの場合には、”複雑なものからもっとも単純なものに
＞行き着く”ということのために、”負”のエントロピーである）。そしてこの流れは一種の『不可逆過程』であり、
＞必ず最後にはもっとも安定な図形に行き着く。これこそ３球面である、というのが、どうやらペレルマン博士の証明
＞の意味であるようである。そう、私は理解したのである。

>>98
http://www.doblog.com/weblog/myblog/19256?TYPE=1&genreid=42320
ここに本文移行している模様

しかし検索していたら
http://www.janjan.jp/culture/0609/0609131131/1.php
＞ペレルマンはアメリカのハミルトンの２０年以上にわたる研究で残された最後の難関を克服して今回の成功にいたったのだが、他の研究者とハミルトン−ペレルマンとの違いは、彼等がポアンカレ予想を微分方程式の問題として扱ったことである。
＞しかし、ハミルトンより１０数年前、ポアンカレ予想を微分方程式の問題として最初に扱ったのは山辺英彦氏だった。だが山辺氏の早世によって、この試みは実ることなく、その後日本で、この方法を継承する人もなかった。


＞山辺英彦（1923-1960)は、この問題を（Poincare予想解決のために）肯定的に解決した（と思った）論文を書いたのですが、それが誤りであることが指摘されるも、派生する問題や概念とともに、微分幾何学および大域解析学の発展に貢献したのです。


フェルマーのときも日本人関係したし、頑張っているというか惜しい？というか。

『【世の中】の【現象】は全て【数式】に置き換えることができる。』という
【真理の探究】が【数学】です。m(__)m

P.S
身近な【数学】は【Program】。

つまり、『現実』 とよばれるソフトウェアの振る舞いから
『現実』 のプログラムを予想するのが 『数学』 なのね。

我々は（人の住む、この世界は）『自己解析する装置』 てことか。

『我思う、故に我有り』

考えてみれば、夜空も不思議だよな。
何となく球の内側を見てるような感覚がするし、
あの山は0.0…1秒前、月はン秒前、あの星は500年前、
あの星雲は100億年前、ビッグバン以来、点から始まって
時間軸に沿って大きくなってきた宇宙球の状態が同時に
見えるなんて

本質的にはリャプノフ関数なのか
物理使って解いたというほどのものでもないような…

>>102
そうそう　
八分半前の太陽パラドックスな　
複数の過去が現在同時に見えるという

将来大きな仕事のできる可能性のある優秀な数学者の卵は
２ちゃんなんか見てないで勉強しろよ。

>>1の記事書いた奴，駄目なオッサンだな。

いきなりＳ３って言われても普通分からんし，文調がウザイ

>>39
の書いた説明のほうが１００倍わかりやすいし、小学生でも理解できる