リー群

>>177
>>180が的確に答えてるね。
まず、Lie環の[,]積には逆元(割算)がないので、>>159の２.でいう乗法に関して群をなさない。
さらに、[,]積は可換ではないから可換環でもない。
もっというと、[,]積は結合則を満たさないから、結合環でもない。

ところで、Lie代数が頻繁にLie環と呼ばれるのは何でなんでしょう？
スカラー倍と元の乗法の双方の構造は代数にあるけど、
デフォルトではスカラー倍は環の定義には入ってないし。
＃ あんまり言い過ぎるとシ光人なんだが…

>随伴表現が分かってもなんで随伴かわかんない。

ヒント
自己同形、正規部分群、一般線型群。

＞１９３　工房さん　教えて下さい

gがSU(3)の場合、ｇからgへの準同型写像（f(gi)f(gj)=f(gigj))となれば、自己同型
ですね、Aｄ（Fi)Fj=ifijkFk,Fi=λa/2で　Ad(Fi)は随伴表現ですね、で、正規部分群と一般線形群
との関係は何でしょうか？

＞１６７　SU(2)/Z2の場合　dim(SU(2)/Z2)=dim(SU(2))-dim(Z2)=3-1=2 よって
dim(SO(3))=2次元　　変ですか？

パリテイ物理コースの群と物理で、AD(SU(2)/Z2)がSO(3)の忠実な表現であることを
用いて、SO(3)の既約表現を求めている部分で、J3を狩る短部分代数として、計算すると
EXP(i�杯iD(Ji))=exp(it1AD(J＋）＋it2ad(J−）＋it3ad(J3)）)
を計算する必要があるのに、EXPの前２項が消えるのは何故ですか？

>>196 dim(Z2)=0 です。

Zn={exp(2miπ/n)} ,群の次元N*N-1でN=1、つまりU(1)に相当するのですね

>>199 違う。dim(U(1))=1。
Z1 であれば Z1=SU(1) なので N*N-1=0 としても間違いではない。

Z2であれば、Z2=exp(imπ）でｍは定数だから０次元、　U(1)はexp(iα）で　パラメータαが１次元
という理解でOK?

>45
ゲージ理論でクォークがなぜ ３ 個あってグルオンが 8 個あるか，とかは・・・・、
ラグランジアンにSU(3)対称性を要求すると、基本表現で３次元、随伴表現で８次元の
固有ベクトルでしか対称性のあるラグランジアンが作れないからという説明は正しい説明
でしょうか？

グルオンGij（i,j=1〜3)で、３×３＊＝８＋１で８個のグル音はよい
ですが、１のｼﾝｸﾞレットは、何のボソンに対応するのですか？、それによく使われる
R,G,Bの表現で、色を変える組み合わせは、６通りで変えないのは３通りあると思い
ますが、３×３＝６＋３＊に対応しているのですか

[q,p]=ih ,dx/dt=[x,H] 等の量市力学の基本的な式とLie環で定義される
交換律とは、どっかで深くつながってるんですか、教えて下さい

>204
解析力学勉強したろ？
ポアソン括弧しらんの？

>>205
何が言いたいのか分からん。もっと具体的な主張キボ〜ン！

>>204 んん？
交換関係 [p,q]=ih って自明なリー代数 R^2 を中心拡大しただけのモノで、
それ自身、リー代数なんですけど…。
もっとも、その結果として自明でない表現は無限次元表現になってしまったわけだが…。
あと、角運動量代数 [Lx,Ly]=iLz はリー代数su(2)と同型だよね。ってことでこっちもリー代数。

よって、つながっているていうよりリー代数そのもの。
それとも、内部対称性の代数との関連を聞きたいのかな？

自明＝trivial 自明でない＝non trivial ですか、自明なリー台数って　1次元
の台数という理解でいいのかな？それと、台数の定義って、演算が定義されていて、
閉じているという理解でいいのかな？

>塗装工　　時間推進の演算子exp(-iHt)は、時間推進軍で、ハミルトン演算子Hは、
リー台数で、その表現D(H)や、随伴表現AD(H)に対応するものがある？？

最初の人は、
系の対称性とＬｉｅ群とＬｉｅ代数の
関係を知りたかったんじゃあないの？
Lorentz群やPoincare群の表現とDirac場の
話でもするとよかったんじゃない？？

＞１７１　”随伴表現は、群の中心Ｚを除いて群の忠実な表現”と説明されている
本があるけど、SU(2)/Z2とSO(3)が同型であるとは、g,-gのうち、gをとれば（-g）
を除けば、１対１対応になるということでよいのかな？

＞１７４　自己回答だけど、基本表現Ｎと共役表現Ｎ＊の直積をとる時（随時）
に伴って現れる表現だから、随（時）伴表現という解釈は変？

>マヨラナ
それって、基本表現ならヒルベルト空間上で表現するということで「シュレジンガ−表示」
が対応してて、随伴表現ならオペレータ代数空間上での表現てこって「ハイゼンベルグ表示」
が対応してることになりそうなんだけど。
＃質問の意味を取り違えていたらすまそ。

>192 塗装工　では、りー環をりーベクトルと表現すると何がまずいですか？

>213 ”随伴表現ならオペレータ代数空間上での表現”て部分を
具体的に∧初心者向けに解説してください。

ところで、シュレヂンガ方程式を球面調和関数で解くと出てくる時期量子数
の部分exp(imφ）は、リー台数でいう、SO(3)とSU(2)/z2のz2に対応している
という理解は変？

変。なぜならmはz2に値をとらない。
mはL_3(カルタン部分代数)の固有値。

>>216 それは変

ｚ２に対応している部分て方程式の解のどれ？

巡回群と位相の関係って、Ｚ１がスカラーに
Ｚ２が位相がexp(+−iα）のすぴのるに、
Ｚ４が位相がexp(+−２iα）のテンソルに対応している
てことでよいのかな？　Ｚ３は何だ？？

>>219 なんの方程式？
>>220 いってることがめちゃめちゃです。

>>220
右の脳ばかり使わずに左の脳で理解しましょう（ｗ

>>214 ハナ
ベクトル空間（和、スカラ倍）に、積(2つの元から1つの元へののバイリニア写像)
を定義したものが代数。

>>215
りー群Gやそのりー代数gは、その積を使ってそのりー代数g自身に作用するね。
A -> g^(-1)Ag とか B -> c×[A,B] など。これを表現とみなしたモノが随伴表現。

例えば、 Ly -> i[Lx,Ly] = Lz なんてのは、LxはLyからLzへの線形写像を与えたので
Lxは表現の元と言える。
この場合、オペレーターはオペレーター空間上の表現(の元)って事になるね。

>>ハナ 後半部分
もう少し、言葉の意味や定義など基礎を固めないと、理解が進まないよ…

↑2行目の、gはリー群の元で、Aはリー代数の元ね。
↑1行目の、gは「げ〜」(ひげ文字)。

>224
それって線型リー群だけの話だよね？（随伴表現）

＞207塗装工　フーリエ変換F(ω）＝∫f(t)exp(-iωt)dtの積分の中にでてくるexp(-iωt）等は
無限次元のヒルベルト空間に作用するりー群の一種？,　ωはリー台数の一種？
対応する氷原は無限次元？

「群と物理」（パリティ物理学コース）より、説明のわかりやすい（証明等）本
があったら紹介して下さい

>>226
一般のりー群でもなりたつと思うけど… ＃必ず表現が存在するという意味で
もちろん、ここで表現と言ったら線形表現を指しますが。
あるいは、対称性の破れの低エネルギ理論なんかで出てくる
ヒドン・ローカル対称性の非線形表現などの事を指したかったのかな？

(割と)一般的な定義:
リー群とは、群かつ微分可能多様体で、群演算に関しても微分可能なもの。
このとき、リー群の上の接ベクトル場全体にはリー微分[,]が定義でき、
リー代数を構成するが、とくに左不変なもの全体は「リー群のリー代数」と呼ぶ。

>>227
Fωを振動数ωに対応する状態とすると、ある時刻では
Fω(t) = Fω(t=0) × exp(iωt)
となる。これは時間推進群(非コンパクトリー群Ｒ^1)の作用で、
表現空間{Fω}は無限次元。まあ、無限個のU(1)の直積なわけだが。

んでもって、フーリエ変換f(t)→Fωはこの群のハール測度による積分。
直接の関係はないけど、フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。

もっとよい群による解釈ってないかな？

フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。

＞２３０　”フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。”
教えてチョーよんピル。

＞216〜２２０　球面調和関数の解で、φ→φ＋２πとしたものも解になることがZ2に対応している
と理解すればいいのかな、二重連結？？

>>232
ノーマリゼーションを1/√(2π)としてフーリエ変換Ｆを2回連続して行なって下さい。
時間反転Ｔ：f(t)→f(-t)に対応している事が分かります。
つまり、Ｔ = Ｆ^2、Ｆ^4 = Ｔ^2 = １。

あげときます

こんなことより、おまんこ。

Lie群だけでスレがあるとは、よほど苦しんでる方が多いと見える。
漏れもくるしんだクチなのでage。

Lie代数をおろそかにしてたせいで、
sl(2,C)にけつまづき、SUSYにつぶされる。
で、就職したクチ。

ossan age

最近この方面の入門書が多く出版されてるよ

就職ですか・・・残念でした・・・

Lie群・Lie環
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/997388738/l50