リー群

群論の表現と、代数の関係がいまいち理解できません。
ジョージアイで勉強してるんですけど、代数（交換関係）自体が表現なんですか？
３章のＳＵ（２）のところで詰まってしまってます。
教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

ジョージアイは読んだ事無いんだけど、表現と代数の関係？
そりゃ関係はあるだろうけど。
規約表現のこと？SU(2)だったら一直線のウェイト図が書いてあって
SU(3)なら三角形とか六角形とかでかい三角形とかになってるあたり？

群と表現　吉川圭二　岩波書店　でも見たら？
連続群とその表現　島　和久　岩波書店
ジョージアイは読んでないけど、数学的には
群から　GL(n)　への準同型写像を考えるのが表現だよね？

交換関係自体が表現・・？
もしかして随伴表現のこと言ってる？
わからないときはほかの本も参考にするといいよ。

> 代数（交換関係）自体が表現なんですか？

う〜む、言いたいことが分かるような分からないような…。
もうちょっと、詳しく言ってもらえますか？

普通、代数が先にあって、その表現が何種類もあるって
考えるけど。SU(2) だったら、交換関係は一意だけど、
スピン0,1,2,...っていうように（スピノルも含めると半
奇数も）表現は無限にあるとかね。もっとエレガントに言
うと３さんみたいなことになる。

研究室に来たらジョージアイがあった。
どこだどこだと読んでいるうちに３章が終わってしまった。
もうちょっと詳しく書いたほうがいいかもしれない。

SU(2)のgeneratorの交換関係が書いてあってそれが(3.1)式。
「我々は代数(3.1)の表現を二つの異なる方法で分析・・」
とかあるんだけど、この部分・・か？

あぼーん

＞６さん
その辺りが特に言ってる意味が判らない所です。

＞ａｌｌ
一応「群と物理」（パリティ物理学コース）を参考書に一緒に使っているのですが、やっぱりすっきりと分からないです。
う〜ん・・・。
もう少し、分からない所を絞りますね。
少々お待ちください。

俺もジョージ愛の本を図書館で借りてきた。
物理数学特論の参考書なんだけど・・・

やっぱりよくわからん。もっとわかりやすい本ないかな

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

もうわかってしまったのか？

何となく言いたいこと判るような気がする．交換関係を行列で「表現」する
とおもっといて良いんじゃない？ SU(2) でじっくり考えると良いと思う．
J3,J+-のスピン l での表現はどの量子力学の教科書に書いてある．
ｌが大きいとすかすかの行列だよ．判るよね．

上は物理屋程度のおおらかさで．本当は群の表現であり，りー代数だけ
じゃないからglobal な情報も群の元を行列表現するから持っている．
ただ多くの場合コンパクト群の有限次元ユニタリー表現考えている
からあまり悩む必要なし．compact だと群がほぼユニーク (Zn 以外は)
だから．SU(2) と SO(3) の違い
程度．

パリティ物理学コースの佐藤光著「群と物理」ってすっごい良い本！

素粒子論を専攻してる人にとっては馴染みやすいんじゃない？

ジョージアイもシンプルで読みやすいですね。

洋書またはレビューとしては

R.SLANSKY, GROUP THEORY FOR UNIFIED MODEL BUILDING, PHYSICS REPORTS 79,No.1(1981)

ROBERT N.CAHN, Semi-Simple Lie Algebras and Their Representations, Benjamin/Cummings

あたりがお薦め。

遅くなってしまって申し訳ないです。

まず、リー代数は生成子によって作られてますよね。
でも、生成子自体は群じゃないですよね。
じゃあ、例えばＳＵ（２）の所で使われている角運動量演算子は生成子ですよね。
ということは、角運動量演算子は群を成しているわけじゃないですよね？
たまたま生成子の満たすべきリー代数と、角運動量演算子が一致していたので、エクスポネンシャルの肩に乗せることによって群を作るのですか？
すると、一体群ってなんなんでしょうか？
群は対称性を表しているものだと認識していたのですが、角運動量演算子との関係などと如何様な関係があるのですか？
具体的に例を挙げて頂けると分かりやすいのですが、教科書の類は抽象的過ぎて分かりずらいです。
たぶん、先に進むうちに分かってくるとは思うんですが、この時点で理解しないで先に進むのも少々抵抗があるのです。
皆さん助けてください。
お願いしますです。

> 角運動量演算子は群を成しているわけじゃないですよね？

そのとおりです。リー代数という、代数です。
単位元も逆元もないので群ではないと。

> たまたま生成子の満たすべきリー代数と、角運動量演算
> 子が一致していたので、エクスポネンシャルの肩に乗せ
> ることによって群を作るのですか？

っていうより、やっぱり群が先にあって、その微小変化の
分がリー代数です。（数学的には逆もあり得るかもしれな
いけど、とりあえず物理ではそう）
例えば、回転の（正しくはSU(2)でなくてSO(3)ですが）の
演算子L_zは、z軸周りの微小回転を表します。
つまり、関数fにたいして、\delta f=iL_z f となります。
で、それを微小にちょっとずつ繰り返して、微少でない有
限角度だけ回すことと、指数関数の肩に乗っけることが一
致しているというわけです。
つまりG=exp[iaL_z]で、これは群の元です。（aは角度）
これをたとえばGfというように関数fに作用させれば、角度
aだけ回転した場合の関数が得られます。

一番簡単な例として、量子力学の回転（スピン1/2も含む）
を考えてみてはどうでしょうか？

訂正
\delta f=ieL_z f （eは微小角度）
でした。

幾何学　下　クネラー　シュプリンガー

をすすめます。６章に基本的なことから記述している。
数学の本できちんと物理的応用も書いてる

「ぐんのきほんもんだい」いまかんがえた
じっすう扱います。
A*1=1*A=A,
A*0=0*A=0.
（１：単位元、０：零元）
を用いて
-(-1)=+1
であることを示してちょーだい。

> 22

それ，Lie 群と関係ないじゃねーか

ぐんなの。ぐん。
だいすう閉じてるでしょ。
せいかい
A-A=0　単位元
のAを -1 にしてちょうだい。
ほれできた。

＞２４
乗法と加法が逆元に関してごっちゃまぜに。もう一度、群論、いちからやり直せ。

＞２５
おまえもな

＞ 22

は？？？
群には演算は1つしか定義されてないでしょ．
群と環をごっちゃにしてない？
それに

＞ -(-1)=+1

は(加法の)逆元の定義そのものじゃない．
ぜんぜん問題になってない．

＞ じっすう扱います。
＞ だいすう閉じてるでしょ。

意味不明．
いま，抽象的な群を扱ってるんだから，
「じっすう」とか関係ないでしょ．
あと「演算閉じてるでしょ」と言いたいみたいだけど，
どんな集合のどんな演算に対してか明確にしないと
閉じてるもクソもないでしょ．

言語能力に問題あるんじゃないの．

だいたい，いま Lie 群を問題にしてるのに，
なんで，群のごく自明な性質の話がでてくるのよ．

＞ 22

ああ，それから，群，可微分多様体，Lie 群の定義を
きちんと言ってみて．
答えないなら，知らないものとみなすけど．

おまえってほんっっっっっっと馬鹿だな！？
これ以上無様さらす前に消えろ！
ひょっとして厨房？
おとなの話してんだから消えな！

もちろん＞２７，２８　な！

＞２８
微分可能多様体まで出てくるんだ！？
群？
結合則、単位元、逆元がありゃいいんでしょう？
そんでなに？
知識ひけらかしたいわけ？
おれは物知りだぞーって！？
あはははははははははは！
おもしれーーーー！ばかからかうと！

ばいびー

２２から話が変な展開になってきたな

＞ 29, 30, 31

あんた誰？ 22？
まあ，どうでもいいけど．


＞ 結合則、単位元、逆元がありゃいいんでしょう？

これじゃ，ぜんぜん答えになってけど．

＞ 知識ひけらかしたいわけ？
＞ おれは物知りだぞーって！？

そんなこと思ってないよ．
定義を知ったいるところで
物知りでもなんでもないから．

むしろひけらかしたいのは 22 のほうじゃないの？

それでかんじんの Lie 群の定義は？

とりあえず，きちんと定義したものについて
話さなきゃ，議論にならないじゃん．

訂正

誤）これじゃ，ぜんぜん答えになってけど．

正） これじゃ，ぜんぜん答えになってないけど．

22みたいなドキュンは無視しましょう。

なんか、話がすごい方に行ってしまいましたね。
・・・Ｌｉｅ群の定義まだ良く分かってません。
出来れば教えていただけると嬉しいのですが・・・。

つまり角運動量演算子が群の元じゃなくて
生成子になってるのが納得いかないわけ？

＞３８さん
そうです。
他の部分でも、納得いかない部分がありますけど、とりあえずはそこです。

それは「群と物理」の1.4を読んでもわからんわけ？

＞ ・・・Ｌｉｅ群の定義まだ良く分かってません。
＞ 出来れば教えていただけると嬉しいのですが・・・。

22 が質問に答えてくれないので，
質問した責任上，書いておくことにします．

Lie 群についてはぼくも，
ちゃんと勉強したことはありませんが，
定義くらいは述べることができます．

群と可微分多様体は知っているものとします．
# 必要があれば書きます．
それから，簡単のために関数の C^\infty 級を
「滑らかな」と言うことにします．

G を群であり，かつ，滑らかな多様体とする．
G の乗法と逆元の演算から定まる写像

　G × G → G [ (a, b) → a b ]

　G → G [ a → a^(-1)]

が滑らかなとき，G は Lie 群であるという．

GL(n, R), SL(n, R), O(n), SO(n), SU(n) などの行列群は，
自然に Lie 群になる．

他にもっとおもしろい例があったらぜひ教えてください．

Lie 群 G が与えられたとき，
その上のベクトル場の全体を考えることによって，
それに対応する Lie 代数（Lie 環）g(G) が定まり，
Lie 群の構造の多くのものが，
この Lie 代数によって決まってしまうそうです．

一般の「滑らかな多様体」に，
このような著しい性質（Lie 群と Lie 代数の対応のような）
はありませんが，
大ざっぱに気持ちを言うと，Lie 群の場合，
微分構造にコンパチブルな群の構造が入っていることにより，
大幅に構造が制限されてシンプルになるということでしょうか．

＞微分構造にコンパチブルな群の構造

が、言いたい事が良くわからないですね。
リー群は対応するリー代数を調べる事でかなりの情報が得られる。
その辺が一般の可微分多様体と異なる点だね。
単連結ならば、例えば原点でのリー代数の基底が決まれば、
それの指数写像からリー群全体を決定できる。
群と物理　パリティシリーズ　でも読んでね。＞All

「コンパチブル」と言ったのは，
ここでは，「乗法と逆元の写像が滑らかだ」ということを指しています．
“well-defined”などと同様に，一般的な言葉ではありませんが，
便利なのでつい使ってしまいます．

逆に Lie 群が物理にどう応用されるのでしょうか？
とても，興味深いです．

簡単な事例をわかりやすく教えていただけないでしょうか．

数学屋さんか．物理では対称性が大事なことが結構あるの．
たとえばゲージ理論．クォークがなぜ ３ 個あってグルオン
が 8 個あるか，とか表現論まで知らないと使えないけどね．
ついでに，なぜクォーク 3 つでバリオン (trivial rep.)
ができるか．

特殊相対論も無限次元の表現論からむよね．ベクトルの次元，
質量のない場合の little group とその表現 − 例えばなぜ
光子は偏光 ２個しかないか，とか．

途中から話が飛んでいったが１はいまどうしてるんだろう。
まぁ連休だし遊んでるか。今日は暇だなぁ。(涙
>>44
例えば・・粒子ってスピン持ってたりしますよね。
スピン1/2の粒子はスピンのｚ軸の成分は1/2,-1/2を取るうる。
スピン1の粒子はスピンのｚ軸の成分は1,0,-1を取るうる。
これらはスピンのｚ軸成分の演算子Szの固有値だと思ってくらはい。
スピンのｚ軸の成分が1であるというのはSzを作用させると固有値1がでる。
演算子を何に作用させた時の固有値かというと波動関数です。
これにどう群論がからむかというと。

これらのスピン演算子Sz,Sy,SzはSU(2)の代数を満たす。
SU(2)の代数から通常の議論を進めるとこれらにはそれぞれ
○−○と○−○−○の規約表現が対応する。（これウェイト図っす）
横軸は（SU(2)の代数を満たす生成子の一つをj3とすれば）j3の固有値。
ここでいうj3がSzに対応する。
そしてスピンのｚ軸成分が飛び飛びの整数値をとるのは
SU(2)のルートベクトルが長さ１であることに対応する。
この辺は表現論（って何？）になるのか？

例えばスピン1/2の粒子とスピン1/2の粒子の合成を
考えると、その波動関数の組み方によってスピン1の状態とスピン0の
状態ができる。量子力学の教科書とかにはこれは必ず書いてあると思うけど、
これは２×２→１＋３の規約表現への分解になる。
この辺も群論知ってると多分ラクチン。かどうかは知らん。

かなりいいかげんな書き方してるしおかしいかもしれんなー。
>>45 で書かれているやつとかスピノルって何じゃ？とか群論が顔を出す
場面は多いです。やっぱゲージ理論がいいかも。

別に省略されてません(笑

古典力学での応用はないのかな？
コワレフスカヤのコマとか関係あるらしいけど。

＞ゲージ理論

ファイバーバンドル（主束）の理論だね。

　

可解系は全て背後に群論があるよね．無限次元の場合が多いから
ちょっと趣旨からはずれるかもしれないけど．

全く群論をやったことが無い人間は一体何から入っていったら
理解できるようになりますか？

行列と変換群　岩波　でも読もう。

>>52
ありがとうございます。
来月早速買って読みます。
＃今月は貧乏なので買えません(T-T)

リー群た表現論関連は物理学者の書いた数学書が多い。
　行列と変換群　岩波キーポイント
　群と表現　岩波理工系に基礎数学
　群と物理　丸善パリティ物理学

など。数学者はわかりやすい本が書けないのかな？

ちょうど良いスレ見つけたんで、上げさせてもらいます。
群と物理　丸善パリティ物理学
を買ってみました。
ルートが何なのか理解しがたいです。
そもそもアジョイント表現の状態って、何の状態なんですか？
う〜・・・簡単なところで詰まってる気がしてならないが、考えるとわかんないところがわかんなくなっていく・・・。

＞そもそもアジョイント表現の状態って、何の状態なんですか？
アジョイント表現空間の状態ですがな

＞５６
う〜ん、イメージしにくいっす。
状態と言っても、ウェイトの違いだけな気がします。
しかも、ウェイトっていうものが、抽象的な気がするのは私だけでしょうか？
よくワカラナイ量が多いっす。

＞状態と言っても、ウェイトの違いだけな気がします。
意味不明だよ。
＞しかも、ウェイトっていうものが、抽象的な気がするのは私だけでしょうか？
これも意味不明

量子力学はやったことある？
角運動量とかやったことあるならちょっと先に進んでみてSU(2)の
ところでも見てみ。ルートは昇降演算子（って言ったよな）
に対応してウェイトのそれぞれはスピンの（例えば）Z軸成分。
いろんなウェイト図が考えられるがそれはさまざまなスピンに
対応する。

　

群と物理　丸善パリティ物理学
は初心者の俺には難しすぎる。
さっぱりしすぎてる。

行列と変換群　岩波キーポイント

が一番簡単でわかりやすいのでは？
最初に読むべき本でしょう。

>62
お前にとっては、な。

素粒子論以外でリー群が応用されてる分野って、たとえば
どんなのがありますか？

>63
キミは何かお勧めがありますか？

行列と変換群　岩波キーポイント

はどう思いますか？

リー群の応用範囲は極めて広いよ。

オレの知っているところでは、

・量子情報
　ここではSU(n)群論が密度演算子の記述に極めて有用です。
・量子光学
　ビームスプリッターはSU(2)、パラメ増幅によるスクイズド光発生は
　SU(1,1)群で記述される。

ＣＧのプログラミングなんかでもクォータニオン使ったりするよね。

＞が一番簡単でわかりやすいのでは？

Hクネラー　『幾何学　下』シュプリンガー
もオススメ。

＞クォータニオン使ったりするよね。

マジっすか？文献紹介プリーズ

＞６６，６７
なるほど。

手元にある物理・数学用語辞典と見比べながら、頭のなかでいろいろ
考えてみましたが、うーん奥がふかいですねー。

具体的な応用例があると、数学も楽しいものに思えてきますね。
ありがとうございました。

最近でたシュプリンガーの
AppliedMath.シリーズに
リー群やクータニオンのCGへの応用が書いてある。

良いスレなんであげ

>70
クータニオンって四元数のことでしょ。なんでわざわざカタカナで呼ぶの？

>>72
日本語の文献が少ないからじゃないか？
っていうか、「クータニオン」じゃなくて「クォータニオン」だろ？>70

細かい指摘あんがと。
メシ食いながら書いたんでね。そうそう日本語の文献ってある？
四元数のＣＧへの応用書いてる。

質問です。
ＳＵ（２）は２次行列ですよね。
でもＳＵ（２）のリー代数でhighest　weightが１とか２とか、
これは表現空間では３次、５次行列ですよね。
これを群の表現に持っていったらやっぱり３次、５次行列に
なっちゃって。
これは表現だからいいのですか？
ん、なんか分かったような気がする。

>>75はもう少し日本語を磨いた方が良いと思うが、それはともかくsu(2)の有限次元表現は
必ずSU(2)の表現になる。なんとなれば、Pauli行列を(の任意１つA)をとってきて形式的冪
級数exp(tA)を考えてみろ。SU(2)の元を定めるはずだ。
群Gの表現Vとは、群の準同形\rho G \rightarrow GL(V) = Aut(V)のことだから群の表現に
対応してして確かに(2n + 1) \times (2n + 1)行列の中にSU(2)を埋め込むことはできるぞ。

>75
> これは表現だからいいのですか？

そうです。
確かSU(2)の２×２表現は「定義表現」とか呼んでたと思う。

>76
前から気になっていたのですが
「なんとなれば」って別の言葉でなんと言うのでしょう？

ありがとうございます。
日本語が変なのは群についてあんまりわかってないから。
ついでにもう一つ質問です。
SU(2)のリー代数の表現のsubalgebraの固有状態がスピン状態などを表わしている
ってのはなんとなく分かったのですが、
じゃあ、もともとのSU(2)の２というのは物理的に何を表しているのですか？
分からないです。日本語も変です。

>SU(2)のリー代数の表現のsubalgebraの固有状態
su(2)の元Hの表現V_mにおける固有状態(ベクトル)
SU(2)はSO(3)の２重被覆になっている。そして、su(2)のスピン整数
の表現はSO(3)の表現に持ち上がる。
特に、両者のLie代数は一致し通常su(2)はSO(3)の作用の量子化だと
思うことになっているはずだ。(この板で聞くと言う事は物理なんだろ
うから。。。)
この立場では、量子化して始めて(とは逝ってもSO(3)のレベルで表現
なんて考えんが)half-spin表現が出てくるので物理ではspinが半整数
値で書かれるのだと思っているが、本当の所は知らん。
＃2の物理的意味というのがいまいち良く分からんが、聞きたかったの
はこういうことか？

それも勉強になりますが、ちょっと違います。
もともとの一次変換としてのリー群は物理的にいったい
何を変換してるのか？
SU(2)だったらリー代数の表現がＮ次元（Ｎ個の物理状態）でも
SU(2)そのものはやっぱり２×２のspecial　unitary　変換のはず。
そしたらこのSU(2)はいったい何を変換してるのか？
special　unitary　だから何かの保存を表してる様な気がするんですけど。
でも物理状態はＮ個なんで、う〜ん。
というところです。

>>82
対応する古典変換群はSU(2)ではなくてSO(3)で、su(2)のPauli行列
はx,y,z方向の角運動量の生成演算子だということが言いたいのだが、
どうしてもSU(2)のSO(3)を経由しない作用が欲しいのか？

＞＞８３
SO(3)とかSU(2)とかというより、
表現としての次元数と群そのものとしての次元数が
ごっちゃごっちゃになってて。
リー代数の物理的役割は何となく分かってきたんだけど
リー群の物理的役割が全然分かってないです。
リー群は有限変換で、あー、テンソル演算ででてくるやつか。
そこはよくて、分からないのは
群の表現が何次元であろうとリー群は大きく言ってGL(n,C)つまり
n×ｎの一次変換全体。
このｎ（SO(3)だったら'3'、SU(2)だったら'2'）は物理の中でなんの
意味を持っているのか、もしくは何の意味も持たないのか。
スピンはsu(2)、回転はSO(3)、クォークはSU(3)を使うとうまく表せた
ってだけなのか？
そりゃ絶対にありえないし、書いてるうちに分かってきました。
変換させる成分（座標）に相当してて、
Ｘ、Ｙ、Ｚだったら３次元で変換行列は３×３のはず。
物理状態がｘｙｚ成分で表されてるならその３×３行列を作用
すればいいんだけど、例えばＬ個のウェイトがある時は物理状態は
Ｌ個の成分で表されてて、その表し方が便利だから群や生成子の
表現をＬ×Ｌで表してるんですね。
分かったような気がします。
ありがとうございました。

Ｎ次元（自由度）の系はSU(N)代数で記述されます。
Ｎ次元（自由度）の系をSU(2)で記述できるのは、２次元（自由度）系
がN/2個によって構成されている場合に限ります。

みんなむちゃくちゃなこと言ってる気がするんだが。

ちゃんと本読んだほうがいい。

Dynkin diagramとかYang tablouのこと教えてチョーヨンピル

>>86
良くいる煽りヲタ。
相手をバカにするが、何の根拠も示せない。

Lie環の定義
�@双線形
�A歪対称
�BJacobi律
をみたすもの。

大人の線形代数だね。
もち１８禁（学部新入生は見ちゃだめ！）

既約分解のとき対称性とかトレースが０とかで分類しますよね。
でもなぜそれだけで既約だといえるのですか？
対称な空間にまだ部分空間が残っていたりする可能性はないのですか？

分かる人おしえてくれ〜。

だれも教えてくれなかったが自力で理解したぜ。
要は既約分解とはテンソルの階数を出来るだけ下げることで、
下げるために変換性を変えない不変テンソルが必要であり、
それが完全反対称テンソルとδしかないってことだね。
このうち添え字を減らすことの出来るものは完全反対称テンソル
のみで、これは完全反対称な添え字にしか効果がないからだ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミ￣ノ＼　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⌒＼ノ＼
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　／""""""フ"ヾ
　　　　　　　　　　　　　 　　　　//　　　 　／　　　＼
　　　　　　　　　　　　　 　　　 /ﾉ　　　　 (　　　　　 ゞ
　　　　　　　　　　　　　 　　　 |＼　　／ υ＼　　　　ﾐ 　リー
　　　　　　　　　　　　　　　　　|◎　　◎　　　） ヘ 　ミ
　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　　　　　　　|/δ） ｿ
　　　　　　　　　　　　　　　 彡 ▼　ミ　υ　 　　 ／/
　　　　　____________　　　　　　I ┴―　　　　　　　Ｖ,,,,
　　　　 ＼〜〜 ／　　　　　　＼￣　　 　　　　／　 ＼
　　　　　　＼ ／___　　　　　　　＼_,,,,,　　　／　　 ／三＼
　　 　　　( つ(__/　＼　　　　　／|　|　　／　　 ／　　　三＼
　　　　　　(__ﾌ|　　　　＼　　 /ﾐ 　|　|／　　／　　　　　　 Ξ＼
　　　 　 ⊂―||―、　　　|　/＠　　V　　 ／　 ＠

age age age age age age

Daniel Bump;Automorphic Forms and Representaitions
あたり読んだら疑問は解消されると思うよ。
簡単な本だから、ささっと一度通しちゃおうよ。

age

＞９６
出版社はどこですか？

...

>>99
おっさん、幼稚なことはやめろ。

重要スレage

「群と物理」「群と表現」「物理学におけるリー代数」は全て買ったんですけど、テンソルとかヤング図のところがどうしても分かりません。
v^i_j=(v^i_j-δ^i_jv^k_k/3)+δ^i_jv^k_k/3
と分けて、前項は８、後項は１に属するとか言ってるじゃないですか。何なんですかあれは？どうして一目見ただけでそんな事が分かるんでしょうか。
「確かに・・・となっている。」といった感じの説明を一文も記さずに流しています。佐藤光も吉川圭二もジョージアイも。まるで三人で示し合わせているようです。
あとトレースが0じゃなきゃいけないってのも謎。0じゃなかったらそのテンソルが既約じゃない表現に属することになるからダメなんですと。わかりません。
まだあります・・・っていうか「ﾅﾝﾀﾗの変換性を持つ」っていう慣用表現（俺にはそう見える）が突然、門外漢に対して使われ始めるのが許せません。ナニがド〜なっていたらソレはそういう「変換性をもっている」って言うんですか。
もうこれで３日経った。この長いトンネルから抜け出すのは何時になるのだろうか。

>>102
その気持ちを吉野屋コピペであらわそうぜ！

あのコピペって結構詳しくないと面白くできないんじゃないか？窪療護の統計であったけど。
っていうか誰か教えてください。

教えてくれるまでここを動かないよ！

ageee

常時age
物理学におけるリー代数

91,93辺りのことではだめなのかな。ちょっとまちがってるけど。
俺が書いたんだけど。
あれから４ヶ月、いまはかなりすっきりしてるよ。
２階の反対性テンソルって独立量は？
完全反対性テンソルかければその情報落とさずに階数を減らせるでしょう。
しかも変換性もかわらない。
そんな感じで他もいろいろ。

「変換性を変えない」ってのがいやはやなんとも意味が分からないんですが。4ヶ月も経たないと理解できんのか・・・。

なにが問題になってるのかようわからんな。
質問があれば内容と参照すべきページを書いたほうが
具体的な解答が来る確率が高まると思うが・・

有限体に関する説明が書かれたホームページってありますか？

「群と物理」P.140より
「v_i=ε_{ijk}v^{jk}は３^*の変換性をもつ」
「v^i_j=(v^i_j-δ^i_jv^k_k/3)+δ^i_jv^k_k/3 と分けると、第１項はトレースが０で、ＳＵ（３）の変換に対して８次元の規約表現の表現テンソルである。こうして直積３Ｘ３^*の規約表現への分解ができた」

「群と表現」P.172より
「実際v^i_j=(v^i_j-δ^i_jv^k_k/3)+δ^i_jv^k_k/3 と分解すると第１項は表現[1,1]=８に、またv^k_kは恒等表現[0,0]=１に属する。」

常時愛P.70には上の２冊とほぼ同じ感じの文があり（３人が示し合わせているという確信を俺に抱かせている）、あまつさえ
「おまけとしてもうひとつ３Ｘ８を考えよう。３をv^i、８をu^j_kと記す。積v^iu^j_kは次の三つの量で書ける。：まず
　 　 　 　(v^iu^j_k + v^ju^i_k -δ^i_kv^lu^j_l/4 - δ^j_kv^lu^i_l)
これは[2,1]である。そして６^*の
　 　 　 　ε_{lmn}v^mu^n_k + ε_{kmn}v^mu^n_l
さらに３の
　 　 　 　v^lu^j_l
したがって３Ｘ８＝１５＋６^*＋３」
などとのたまっています。信じられません。常時愛は読者に理解してもらおうという意識があるんでしょうか。ここまで来ると有害図書ですよコレは。
もしかしたら彼らもよく分かっていないのかも知れません。だとしたら尚更、ここで皆さんの正しい知識によってこの３馬鹿トリオと俺を啓蒙してやる必要があると思いますので教えてください。

>>112
単にあなたの理解力が足りないってことでしょう（ｗ

行間を読む能力のない奴は物理から去れ！

だから俺に行間に何が書いてあるのか教えてくださいと言っているんです。

俺に対する解説以外は書き込むなよ。113の馬鹿野郎だけでなくこのスレッドを見ている全ての人間に言っておく。

燃えよドラゴン

リー群ってブルース・リーのリーなんですか？行間の読めない馬鹿な僕に教えてください。>>113

行間が読めないくせに有害図書なんて言うんじゃねぇ！

ジョージ愛はコンパクトにまとまってて非常に良い本です。
ついでに、佐藤光さんの軍と物理も良書です。具体例が豊富で
わかりやすい。

で、佐藤光さんの本のp138から読み返してみたがわかりやすく書いてるじゃないか！
要は既約表現の直積表現で既約なものは対称テンソルとか反対称テンソルとか
トレースレステンソルとかだからそれらをわざわざ構成したってだけの話でしょ。
これらのテンソルは群の変換のもとでやはりそれら自身へ移されるから
(例えば、対称テンソルが群の変換のもとで反対称テンソルに変換されることはない)
そういったものの集まりに分解するってのが既約分解なわけでそれを
具体例を示してやってるわけでしょ。

ちなみに、上付きと下付き添え字で作られるテンソルの場合、トレースレス
成分は群の変換のもとでトレースレステンソルに移されて、そうでないものは
そうでないものに移されるから、そういった分解が可能でv^i_jなら
トレースレス成分はi=jになったときだけ消えるようにするにはクロネッカー
のデルタが使えそうなことは容易に思いつきます。そういう風にして
構成したのが(5.53)式でしょ。

添え字が増えればより複雑になって上付き添え字同士では対称で下付き添え字とは
トレースレスな表現とかいろいろな組み合わせの既約表現に分解できるわけです。

要は群の変換の下で不変なテンソルδ_ijやε_ijkを使って表現してやれば
既約表現になることが見た目ですぐに確かめられるってわけ。

って、親切にも講釈ぶっちゃいましたが、要は物理の教科書読むには
それなりに想像力を働かせながら読まないとダメってことでしょ。
なんでここでこんなこと書いてるんだろうって常に自問自答しながら
書き手の意図を汲まないと。

「有害図書」って響きはタナカミツトを思い出させるなぁ・・
なんか、有害図書リストとかつくってたよね

>>118
の説明に追加すると、
群の次元、表現の次元、
ＳＵ（３）群とＳＵ（３）リー代数の定義、
それらと行列表示で書いたときの自由度との
対応を考えればわかるんじゃない？わかりにくいか。
群と物理の３章と４章あたりを読んでください。

テンソルって基底の変換と同じように変換する足を持った量なのね。
つまり変換性が重要なわけ。
足を持っていないものはスカラーといってずっと変わらない。
んで、既約分解ってのはそれらを一階のテンソルに持っていきたい。
でも勝手に添え字を消したり適当なベクトルと縮約とって階数を落としても
もちろんそれには何の意味がないわけ。ちゃんと情報を落とさずに添え字を
へらさなきゃだめ。もちろん変換性も変わっちゃいけない。
変換性を変えない不変テンソルとして完全反対性テンソル、計量テンソル、
それとトレースとるやつ（δ）こんぐらいかな、これらで縮約しても変換性は
かわらない。たぶん。
完全反対性テンソルは対称テンソルを０にしちゃうし、反対性テンソルに
トレースをとってもしょうがないし。
ここは難しいよ。確かにみんな示し合わせてるよ。

カシミアを作って既約分解するってのはどうよ？
あれって群の変換の下で不変なんでしょ？

>>118結構親切なんだな。ありがとうございます。
テンソルの変換性とか、既約表現に属するテンソルはﾄﾚｰｽﾚｽで上下の添字に関して対称だというのは分かりました。「素粒子物理学の基礎�U」っていう本の巻末の付録を昨日図書館で読んだんだけど、それが分かりやすかった。
でもまだ不明瞭なところがあって、εをかけてるじゃないですか。なんでわざわざ階数を上げるんですか？下付きの添字を上付きにして、よーし反対称化したぞーとか言ってるの。もう見てらんない。下付きのままだって対称なんだからいいじゃないですか。
あとヤング図。任意の行の要素の置換に対して対称だとか言ってますが、８の表現テンソル
u^{ijl}=ε^{ijk}(v^l_k - δ^l_kv^n_n/3)
に
_＿ _＿
｜i｜|l｜
~￣ ~￣
_＿
｜j｜
~￣
を対応させてますけど、これってiとlが対称になってない気がするのですが。

ずれた。

そのu^{ijl}を使って

( u^{ijl} ＋ u^{ijl} ) / ２

とでも対称化しとかにゃダメだね

( u^{ijl} ＋ u^{lji} ) / ２

です（＾＾；

ああそういうことですか。そういう端折りが俺はダメなんだよ！

ところでＳＵ（３）以上って素粒子論者以外は使うんですか。以前のレスで量子情報に使うとかあったけど、他にはないんですか。

批判的精神で読んでるのは良いことです。わからんかったらスタッフに
突っ込み入れましょう。（＾＾

頭空っぽな馬鹿厨房は教科書にミスプリがあっても気付きませんからね（ｗ
そういうの、学生時代によくいました。単位取れりゃそれで良いっていう奴。
はっきり言ってうざい。消えろ！

わたしは結構ずうずうしい人間ですからおかしなところがあれば即突っ込み
入れてましたね。

＃　誤爆も多かったが（藁

そんな風に食い下がってやってくしかないんじゃない？

高階の群なんてそもそも素粒子論や数学以外で聞いたことないね

素粒子屋のモデルビルディングの道具になってるぐらいじゃないかなぁ

田中洸人の掲示板にあったよ。「有害図書ブラックリスト」だって。なんで「有害図書」と「ブラックリスト」をつなげるんだ。意味がかぶってるじゃねーか。「有害図書リスト」でいいのに。「無茶苦茶ひどいです」っていうフレーズを連発してるのも謎だった。
なんか取り巻きまでいるみたいで、半ば冗談のつもりでやってたのが退くに退けなくなってしまって開き直っているという感じもある。
それにしても田中洸人って字デカいよな。字をデカくすれば説得力が出るとでも思ってるんでしょうか。

３つの質問。

群SU(2,C)の群環sl(2,C)を無限次元化したsl^(2,C)は
なんでローラン級数をsl(2,C)にテンソル積したやつと
中心とdegreeオペレータとの直和なんですか？

degreeオペレータはsl(2,C)にテンソル積したローラン級数を
微分するからdegreeがわかると思ってよいのですか？

fusionって結局のClebsh-Gordan分解のことなのかな？

知らん！

誰かわかる人？

>>123
既約表現が対称とは限んないんじゃない。
間違ってたらごめん。

>131
直接質問には答えられないけど
岩波数学の展開　無限次元リー群
あたりが参考になるかも。

>>134
おまえ、ヤング図の定義知ってて言ってるの？アホは逝っていいよ。

まあまあそうカッカしなさんな。

>>136
だからそれは反対性なのを対称化したからだろ！
対称が既約の概念じゃないよ、対称と反対性を分けることが
一番重要なとこでしょ。
あっほ。

＞135
岩波数学の展開　無限次元リー環
は読んだけど数学屋さんの本みたくて厳しい！
物理屋にもわかりやすいのないかな？

ところで著者の脇本実は九大工学部の教授だけど、
この女も知ってるんだろうね。

九大工学部の女子がネットでヌード
http://kaba.2ch.net/test/read.cgi?bbs=news2&key=999324714
九大工学部女子がネットでヌード 　パート２
http://kaba.2ch.net/test/read.cgi?bbs=news2&key=999787822
九大工学部女子がネットでヌード パート３
http://kaba.2ch.net/test/read.cgi?bbs=news2&key=1000049246

> だからそれは反対性なのを対称化したからだろ！
意味不明。なんで反対称なのが対称に出来るんでしょうか？(藁)
そもそもそんなことしてません。iとjについて反対称に組んでるだけ。
iとlについては対称化してませんから既約分解としては片手落ち。

そもそも、ヤング図による方法では、iとjについて反対称に組んだ３^*表現と
lのみの３表現のテンソル積の既約分解ですから、iとlを対称化に組んだものと
反対称に組んだものの２種類に分解するわけで、きちんと対称化しなくて
どうするんでしょうか？(笑)

そういう理解不完全でわかった気分になってる馬鹿が多いから突っ込まれても
きちんと応えられないんだよね。あんたみたいなのは教科書にミスプリがあっても
気付かないでそのまま暗記しちゃうタイプだろうね。(藁)

物理はやらんほうがいいよ。

>140
おお、確かに反対称なのを対称化ってのはへんだ。
でも反対称な二つの添え字に関しての独立成分を一つの足に縮約して
また残ってる足で対称に組んだものと反対称に組んだものとにわけて
それを続けるんでしょ。
これはいいんだよね？
まちがってるのかな？
まあいいとして、俺が言いたかったのはそもそも既約分解って１階の
テンソルに持っていくことだから、何を持って対称とかいってるのかが
ちゃんとわかってるのかなと思って。
ん？おれは間違ってるのかな。

> いたかったのはそもそも既約分解って１階のテンソルに持っていくことだから、
逝って良いよ（ｗ

ええー？
直積を直和の形に持っていくんだからそれって一回のテンソルのいろんな
次元の直和にもっていくってことじゃないの？

なんだよDQNばっかでこれじゃあVirasoro algebra聞けねえじゃん！

>>144
君のような頭の悪い人は会話の内容すら理解できないようだから聞いたって無理だよ（ｗ

直積ってテンソル積のことと思われ。

Kronecker product

クロガッネーひろし

あげ

>>145
すごく馬鹿！（ｗｗ
Verma moduleあげ

これは、解ったら面白い話なのか？

「酸」と関係ないのになぜ「酸素」？ 　　　
http://nara.cool.ne.jp/mituto

不思議だよね。数学で連続群論、離散群論は
別に物理とくに量子力学への応用を意識して
作ったわけでもないのに、なぜかそれがちょうど
ぴったりとはまる場所があった。
ワイルとかが群論と量子力学の関係を深く解説
した紹介本を書いて、みんな群論、群論という
ようになり、本の色ともあいまってGruppen　Pest
うんぬん、日本でも山内博士が。。。。という
笑い話がつくられたように、なぜかまるで
物理の為に数学がお膳立てしてくれていた
みたいに思える。

でも最近はやりの数学はリー群ではないのでは？
超弦での代数幾何とか非可換幾何。

ヤフーオークションで、凄い人気商品、発見！！！

コピーガードキャンセラー↓
http://page2.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/b18032656

注目のオークションに適用される事、
間違いないですね。

私も買いました。

皆も買いましょう。

Over Year Thread 認定　ペタ

環と体はどう違う？

体であれば環であるが、環であっても体であるとは限らない。

>>158 体とは
１. 可換環で、
２. ゼロ元以外の元が、可換環の乗法に関して群をなすもの
と定義しても、通常の定義と同じ。

SU(N)のヤング図の味余韻戸表現がN＊N−１になる計算方法を教えて下さい。
（N-1)!＊ｎH２かなと思ったり？あってますか？

味余韻戸表現の日本語訳は随伴表現ですが、随伴という言葉のイメージが
よくわからないので、解説してください、初心者レベルで

SO(3)とSU(2)/Z2が同型であるとは、D(SO(3))は、D(SU(2))からD(Z2)を除いたものが
等しいということであってますか？

>>160
質問の意味がよくわかんないけど、
「SU(N)の味余韻戸表現がN＊N−１になるヤング図を使った計算方法を教えて下さい。」
ということ？
>>162
D(...) ってなんだろ？

Dは表現の意味です。SU(2)の表現からZ2の表現を除いたものが、SO(3)の表現に一致すれば、同型であるということのつもりで書いてます　　　　　　　　　

対称のものの数と反対称のものの数を掛け合わせるとN*N-1になる、計算過程を教えて欲しいということです、
つまり、N個のものから２個とる組み合わせとか、重複を許してとる組み合わせとかを掛けたりするといいのかなと？

□□　はｎH２＝N(N+1)/2 で　□□□・・□（ｍ個）は、ｎHｍ通りですね、

□□　　　縦（N−１個）は、どういう計算（組み合わせの計算）？
□
：
□
　　　という質問です。　　　

>>164
「表現」というのは、群から行列への写像のことを言うんだけど、「除く」っていうのはなんでしょう？
群の「次元」であれば dim(G/H)=dim(G)-dim(H) だよ。
>>165
SU(N) は N*N の Special Unitary 行列の群だということを知ってる？知ってたら行列の成分数から条件の個数を引けばいいんだけど。そういう説明じゃだめなのかな。

SU(2)の元ｇ、Z2の元ｇ'=exp(imπ）（ｍ＝０，１）ならば
SO(3)の元ｈは、ｈ＝ｇ・ｇ’（ｍ＝０）　ｍ＝１のは除かれる
正しい？

>>166
そういえば、ヤング図を使った計算法があったな。もう忘れた。だれか頼む。

＞＞１６７　独立なパラメータの数はそれでいいけど、随伴表現の次元の数は
の計算はそれでいいの？

>>168
SU(2) の元を g と書いたとき、対応する SO(3)=SU(2)/Z2 の元は h={g,-g} だよ。
つまり SO(3) の元は SU(2) の二つの元の集合になる。
`なんとか/Z2' というのは、集合「なんとか」の元で「プラスのものとマイナスのものを組にして一つの元だと思う」
という操作を意味しているのであって、「除く」のではないよ。

>>170
随伴表現は、その次元が群の次元と一致するという性質を持っているから。

基本表現、随伴表現、直積表現→規約表現への分解、・・随伴の意味が
よく分からない、表言論の中で随伴表現は何故頻出するのか？　随伴？
この言葉の意味にひっかかるんだけど、

>>173
僕の場合、随伴表現が分かってもなんで随伴かわかんない。
あんまり名前にこだわらないほうがいいかもよ。
けど分かったら教えてくれ。

SU(2）の随伴表現、 AD(Ji)Jj=iεijkJk,
基本表現　D(g)Ji＝？？？　？？はどういう式が入るの？

>>175
D(g)Ji の意味が不明です。D(g)D(Ji) のこと？

>158,159LIe環は、Lie環であって、Lie体でないことを簡単な例で教えてください

どんな表現でも随伴表現と同様に「D(g)Ji＝？？？」と書けると思っているのならそれは間違い。随伴表現だけがそのように表すことができて、それが随伴表現が重要な理由。

D(G)（行列）×Ji（ベクトルの基底）＝基底ベクトルの１次結合のつもりで書いたのだけれど
変ですか？

158 でも 159 でもないが、
>>177
体であるためには割り算（J1/J2 とか）を定義する必要があるけど、
Lie 環の定義に割り算は入っていないから。

ではD(g)D(ji)ならば　　=D(gJi)=??

>>179
D(G) が行列なのはいいけど、
それが作用する空間は Ji によって張られる
ベクトル空間（３次元）ではなくて２次元の空間です。
（SU(2) の基本表現でいいんだよな。）
作用するベクトル空間は表現によって違っていて、
それがたまたまJiの張る空間になるのが随伴表現です。
>>181
D(g) も D(Ji) も 2x2 の行列なのでそれらを掛け算すればよいのでは。

SU(3)なら(u,d,s)に作用するのが基本表現、メそんに作用するのが随伴表現
で正しい？

ユニタリー群であってLie群でないもの、またはその逆の例を教えて下さい

>>183
○です。

>>183
正確には singlet もあるから 8+1 かな。

ユニタリー群って U(N) のことか？

SU(N)

リー群の本見たことないの？SO とか Sp とか。

あるラグランジアンをSU(3)で変換したとき、シングレットの部分は、粒子を生成も消滅もしない
項（定数項、相互作用なし）に対応するんですね？

>>190

んん？ ある対称性が系の対称性である限り、そのラグランジアン自体が
シングレット表現になっているという事はＯＫかな？
もう少し、具体的な項を示してもらえると答えられるんだけど…

>>177
>>180が的確に答えてるね。
まず、Lie環の[,]積には逆元(割算)がないので、>>159の２.でいう乗法に関して群をなさない。
さらに、[,]積は可換ではないから可換環でもない。
もっというと、[,]積は結合則を満たさないから、結合環でもない。

ところで、Lie代数が頻繁にLie環と呼ばれるのは何でなんでしょう？
スカラー倍と元の乗法の双方の構造は代数にあるけど、
デフォルトではスカラー倍は環の定義には入ってないし。
＃ あんまり言い過ぎるとシ光人なんだが…

>随伴表現が分かってもなんで随伴かわかんない。

ヒント
自己同形、正規部分群、一般線型群。

＞１９３　工房さん　教えて下さい

gがSU(3)の場合、ｇからgへの準同型写像（f(gi)f(gj)=f(gigj))となれば、自己同型
ですね、Aｄ（Fi)Fj=ifijkFk,Fi=λa/2で　Ad(Fi)は随伴表現ですね、で、正規部分群と一般線形群
との関係は何でしょうか？

＞１６７　SU(2)/Z2の場合　dim(SU(2)/Z2)=dim(SU(2))-dim(Z2)=3-1=2 よって
dim(SO(3))=2次元　　変ですか？

パリテイ物理コースの群と物理で、AD(SU(2)/Z2)がSO(3)の忠実な表現であることを
用いて、SO(3)の既約表現を求めている部分で、J3を狩る短部分代数として、計算すると
EXP(i�杯iD(Ji))=exp(it1AD(J＋）＋it2ad(J−）＋it3ad(J3)）)
を計算する必要があるのに、EXPの前２項が消えるのは何故ですか？

>>196 dim(Z2)=0 です。

Zn={exp(2miπ/n)} ,群の次元N*N-1でN=1、つまりU(1)に相当するのですね

>>199 違う。dim(U(1))=1。
Z1 であれば Z1=SU(1) なので N*N-1=0 としても間違いではない。

Z2であれば、Z2=exp(imπ）でｍは定数だから０次元、　U(1)はexp(iα）で　パラメータαが１次元
という理解でOK?

>45
ゲージ理論でクォークがなぜ ３ 個あってグルオンが 8 個あるか，とかは・・・・、
ラグランジアンにSU(3)対称性を要求すると、基本表現で３次元、随伴表現で８次元の
固有ベクトルでしか対称性のあるラグランジアンが作れないからという説明は正しい説明
でしょうか？

グルオンGij（i,j=1〜3)で、３×３＊＝８＋１で８個のグル音はよい
ですが、１のｼﾝｸﾞレットは、何のボソンに対応するのですか？、それによく使われる
R,G,Bの表現で、色を変える組み合わせは、６通りで変えないのは３通りあると思い
ますが、３×３＝６＋３＊に対応しているのですか

[q,p]=ih ,dx/dt=[x,H] 等の量市力学の基本的な式とLie環で定義される
交換律とは、どっかで深くつながってるんですか、教えて下さい

>204
解析力学勉強したろ？
ポアソン括弧しらんの？

>>205
何が言いたいのか分からん。もっと具体的な主張キボ〜ン！

>>204 んん？
交換関係 [p,q]=ih って自明なリー代数 R^2 を中心拡大しただけのモノで、
それ自身、リー代数なんですけど…。
もっとも、その結果として自明でない表現は無限次元表現になってしまったわけだが…。
あと、角運動量代数 [Lx,Ly]=iLz はリー代数su(2)と同型だよね。ってことでこっちもリー代数。

よって、つながっているていうよりリー代数そのもの。
それとも、内部対称性の代数との関連を聞きたいのかな？

自明＝trivial 自明でない＝non trivial ですか、自明なリー台数って　1次元
の台数という理解でいいのかな？それと、台数の定義って、演算が定義されていて、
閉じているという理解でいいのかな？

>塗装工　　時間推進の演算子exp(-iHt)は、時間推進軍で、ハミルトン演算子Hは、
リー台数で、その表現D(H)や、随伴表現AD(H)に対応するものがある？？

最初の人は、
系の対称性とＬｉｅ群とＬｉｅ代数の
関係を知りたかったんじゃあないの？
Lorentz群やPoincare群の表現とDirac場の
話でもするとよかったんじゃない？？

＞１７１　”随伴表現は、群の中心Ｚを除いて群の忠実な表現”と説明されている
本があるけど、SU(2)/Z2とSO(3)が同型であるとは、g,-gのうち、gをとれば（-g）
を除けば、１対１対応になるということでよいのかな？

＞１７４　自己回答だけど、基本表現Ｎと共役表現Ｎ＊の直積をとる時（随時）
に伴って現れる表現だから、随（時）伴表現という解釈は変？

>マヨラナ
それって、基本表現ならヒルベルト空間上で表現するということで「シュレジンガ−表示」
が対応してて、随伴表現ならオペレータ代数空間上での表現てこって「ハイゼンベルグ表示」
が対応してることになりそうなんだけど。
＃質問の意味を取り違えていたらすまそ。

>192 塗装工　では、りー環をりーベクトルと表現すると何がまずいですか？

>213 ”随伴表現ならオペレータ代数空間上での表現”て部分を
具体的に∧初心者向けに解説してください。

ところで、シュレヂンガ方程式を球面調和関数で解くと出てくる時期量子数
の部分exp(imφ）は、リー台数でいう、SO(3)とSU(2)/z2のz2に対応している
という理解は変？

変。なぜならmはz2に値をとらない。
mはL_3(カルタン部分代数)の固有値。

>>216 それは変

ｚ２に対応している部分て方程式の解のどれ？

巡回群と位相の関係って、Ｚ１がスカラーに
Ｚ２が位相がexp(+−iα）のすぴのるに、
Ｚ４が位相がexp(+−２iα）のテンソルに対応している
てことでよいのかな？　Ｚ３は何だ？？

>>219 なんの方程式？
>>220 いってることがめちゃめちゃです。

>>220
右の脳ばかり使わずに左の脳で理解しましょう（ｗ

>>214 ハナ
ベクトル空間（和、スカラ倍）に、積(2つの元から1つの元へののバイリニア写像)
を定義したものが代数。

>>215
りー群Gやそのりー代数gは、その積を使ってそのりー代数g自身に作用するね。
A -> g^(-1)Ag とか B -> c×[A,B] など。これを表現とみなしたモノが随伴表現。

例えば、 Ly -> i[Lx,Ly] = Lz なんてのは、LxはLyからLzへの線形写像を与えたので
Lxは表現の元と言える。
この場合、オペレーターはオペレーター空間上の表現(の元)って事になるね。

>>ハナ 後半部分
もう少し、言葉の意味や定義など基礎を固めないと、理解が進まないよ…

↑2行目の、gはリー群の元で、Aはリー代数の元ね。
↑1行目の、gは「げ〜」(ひげ文字)。

>224
それって線型リー群だけの話だよね？（随伴表現）

＞207塗装工　フーリエ変換F(ω）＝∫f(t)exp(-iωt)dtの積分の中にでてくるexp(-iωt）等は
無限次元のヒルベルト空間に作用するりー群の一種？,　ωはリー台数の一種？
対応する氷原は無限次元？

「群と物理」（パリティ物理学コース）より、説明のわかりやすい（証明等）本
があったら紹介して下さい

>>226
一般のりー群でもなりたつと思うけど… ＃必ず表現が存在するという意味で
もちろん、ここで表現と言ったら線形表現を指しますが。
あるいは、対称性の破れの低エネルギ理論なんかで出てくる
ヒドン・ローカル対称性の非線形表現などの事を指したかったのかな？

(割と)一般的な定義:
リー群とは、群かつ微分可能多様体で、群演算に関しても微分可能なもの。
このとき、リー群の上の接ベクトル場全体にはリー微分[,]が定義でき、
リー代数を構成するが、とくに左不変なもの全体は「リー群のリー代数」と呼ぶ。

>>227
Fωを振動数ωに対応する状態とすると、ある時刻では
Fω(t) = Fω(t=0) × exp(iωt)
となる。これは時間推進群(非コンパクトリー群Ｒ^1)の作用で、
表現空間{Fω}は無限次元。まあ、無限個のU(1)の直積なわけだが。

んでもって、フーリエ変換f(t)→Fωはこの群のハール測度による積分。
直接の関係はないけど、フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。

もっとよい群による解釈ってないかな？

フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。

＞２３０　”フーリエ変換という操作は離散群Ｚ^4の元になってるね。”
教えてチョーよんピル。

＞216〜２２０　球面調和関数の解で、φ→φ＋２πとしたものも解になることがZ2に対応している
と理解すればいいのかな、二重連結？？

>>232
ノーマリゼーションを1/√(2π)としてフーリエ変換Ｆを2回連続して行なって下さい。
時間反転Ｔ：f(t)→f(-t)に対応している事が分かります。
つまり、Ｔ = Ｆ^2、Ｆ^4 = Ｔ^2 = １。

あげときます

こんなことより、おまんこ。

Lie群だけでスレがあるとは、よほど苦しんでる方が多いと見える。
漏れもくるしんだクチなのでage。

Lie代数をおろそかにしてたせいで、
sl(2,C)にけつまづき、SUSYにつぶされる。
で、就職したクチ。

ossan age

最近この方面の入門書が多く出版されてるよ

就職ですか・・・残念でした・・・

Lie群・Lie環
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/997388738/l50