バナッハ・タルスキーの定理

バナッハ・タルスキーの定理

大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。

実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。
物理学をやられておられる方の目にはどう映るのでしょうか。

バナナ・メコスジーの定理

３といえばサンダーバード

定理がありえないってあふぉでつか？

バラバラにする前の２つの球の体積は異なってるんだよね。それが、バラバラにして組み合わせると、同じ球になるということは、どこかの過程で体積が保存されないはずですよね？なぜそんなことが起こるのでしょう？

現実の物理的な分割では、各部分の体積が明確に定義できるような分割しかありえないから、
この種の数学的な病理が物理にまで波及することはない。
物理的な球体と、数学的な球体の区別がつかない人間は物理側にも数学側にもいないと思う。

>明らかに有りえない
トンデモがよく使う「論理的」な用語ですな。

ヴァギッナ・メコスジーの生理

>>5
バナッハ樽好きーにおける分割片の少なくとも１つはルベーグ可測ではない。
そんな分割方法が高々有限個の原子の集まりである現実の物体に対しては
不可能なだけ

それよりデデキントの切断の方が意味わかんねーよ、俺は

私はこの定理に全く精通してないのだが、これは球を線分に置き換えても成り立つのかね？

物理と関係ある数学もある一方、関係ない数学もあり、
この定理は後者、って解釈はだめでしょうか？

>>11
球を線分に置き換えたら成り立たない。

ものが大きくなるということは2通りある。
1）分子の数が増える
2）分子間の距離が遠くなる（スカスカになる）

この定理はどちらの方法で大きくなっているんでしょうか？

>>14
分子自体が大きくなっているんだと思います。
実際は分子や原子を自由に分割することは不可能でしょうけど。

>>6と>>9を見れば概要の説明は済むかと。

じゃあ特移点とかの数学概念使うなよ

>>14
どっちでもない
>>6に書いてあるように数学的な球が対象であって、
分子からできた物理的な球を対象としたものではないので
>>14の場合分けに意味はない

>>16
「じゃあ」はこの場合、前に述べた事柄を理由・根拠として次に述べる事柄が
導かれることを示す接続詞だと思うが、何がどうなってその事柄が導かれたのか
さっぱりだ

ぐぐったら>>1と一字一句同じ文面が２年以上前の日付でヒットして欝

>>18
バナッハタルスキーの定理を使わないなら特異点も使うな。
特異点を使うならバナッハタルスキーも使え。
そういうことだ。

>バナッハタルスキーも使え。

どうやって使えと言うのだ。
バナッハ・タルスキの定理でおこなわれている分割というのが
どのようなものか知らないだろ？

「球体を二つの部分に分割せよ。
ただし、その一つは球体の中心からの距離が有理数となる部分で、
もう一つは球体の中心からの距離が無理数となる部分である」
……なんてのさえ生ぬるく思えるような、きっつい分割の仕方を要求されるんだぞ。

＞＞17
＞数学的な球が対象であって、
＞分子からできた物理的な球を対象としたものではないので

ということはこの世は離散的な構造をしているということか？
じゃあ連続的な数学は使うなよ？
つまり実数は使うな。自然数しか使うな。
実を言うとおれもこの世は離散的な構造をしていると思う。
しかし数学では離散数学以外は連続的な考えをしていることがほとんどだ。
連続的な思想で作られた数学、
離散的な思想で作られたこの宇宙、
もう言わなくてもわかるな？
数学で宇宙は記述はできない。
連続で離散は記述できない。
そういうことだ。
物理学者が誰も言わないから俺が言う。
数学で宇宙は記述できない。
と。

近似という概念を知らないアホは数学を使うなよ？ｗｗｗ

>>20
「なら」の前後が繋がっていないぞ
>>22
「ということは」の前後がt(ry

>>22
全く見当外れ。
定理の証明には実数の集合が使われるし、
実数が連続だからこそ成り立つ。

数学的な球は連続球。
分子からできた物理的な球は有限個の分子からなる離散球。
ここまで言えばもうわかるな？
連続で離散は記述できない。
数学の世界では物が大きくなれるが
現実の世界では物は大きくなれない。
ようするにこの定理はバグなんだよ。
もちろん、数学的に証明されているという点においてはこの定理は真だ。
だがこの宇宙からみれば論理エラーだ。
何故、このような論理エラーが発生したのか。
それはこの世は離散なのに連続で記述しようとしたからにほかならない。

エラーはおまいだ>>26

>>26
デルタ関数使えば連続関数で離散を扱えるんだが。

関数の連続性と実数の連続性は、同じ連続性という言葉を使っていても実は意味が違うんだよな。
実数の連続性というのは、実際には実数の完備性のことを指している。
コーシー列は収束するというやつだ。
まあ、いずれにせよ、人類は微積分を捨てろと言っているに等しい>>26とかには無縁な話だ。

今の物理学というのは物質の最小単位は有限個ということになっているのでしょうか？
それともそこはまだわかっていないのでしょうか？
物質が離散か連続かはまだ物理学においてはまだわかっていないのでしょうか？

離散と連続に本質的な違いはない。どちらか一方ということもない。

あえて言うなら離散だろうけど、実質連続だからこういう場合はどう答えりゃいいんだ

離散と連続の混在だな

>>33
どちらかは決定できないと帰結できるわけだな。
なるほど・・・

物質の最小単位が大きさを持ったものなのか、大きさを持たない点なのか、
これは重大なテーマですよ
それによって離散か連続かが決まります。
言うまでも無いことですが、「点であり、かつ点でない」
とやったらダメですよ。
科学において「ＡかつnotＡ」は一番やってはいけない論理です。
つまり連続かつ離散などということはありえないということです。

>>35
連続でも離散でもない他の何かなんじゃね？

光や電子が、波でも粒子でもなく量子として扱われてるみたいにさ。

＞連続でも離散でもない他の何か

そんなもの数学にあったっけ？
物理であつかう数というのは連続でも離散でもない数なのか？

オペレータだな

物理上の概念は全て、たとえそれがいかに先験的なものに見えるにせよ、
人間の精神が創造したものにすぎぬ、とEinstein　は言った。
時間や空間、距離という概念も同じ。

ひとつ言える事は、この定理に使われる仮定は、物理的実在の記述
には全く満足なものではないということだ。

「数学と物理の違いとは、一言で言ってマスターベーションとセックスの違いだ」、
とは、ファインマンとゲルマンが互いに「これは俺が最初に言ったのだ」
と譲らなかった言葉だという。

この定理は、典型的なマスターベーションだ。

論理的に誤りである、とは言えない。その前提となる仮定が、現実の物質と
しては宇宙のどこにも存在しないもの（物理から見たら意味の無い絵空事）
を取り扱わせているだけ。

>>40
>「数学と物理の違いとは、一言で言ってマスターベーションとセックスの違いだ」
ソースきぼん

どうでもいいけど物理やってるやつは早くこの定理使って飯を増やせよ。
アフリカの難民に食わせてやれよ。

>この定理は、典型的なマスターベーションだ。

この定理が数学の世界で歓迎されているとでも思っているのか？
「バナッハ・タルスキのパラドックス」なんて呼び方もされたりするのだが、
それは何故か考えてみろよ。

この定理って切った球そのままくっつけるの？
それともなんか変換とか変形とかさせてからくっつけるの？

回転・平行移動のみ

最近の素粒子論も充分マスt

自然数と有理数の数が同じっていうのと似たようなもんか？

>>47 それよりは「選択公理を使う」という意味で高級だが、基本的には
似たようなこと。ご免、プロの皆様、集合論殆ど知らないで書いてます！
（選択公理関係は呪文のようにして覚えて、用いているだけ）

球をK1、K2、、と有限個に分割と書いてあるが、具体的なK1の形はどんなものなの？全くイメージできないんだが。

イメージできるような形ではない。
というか、証明に選択公理使ってるから、その分割の構成法は証明からは出てこないと思う

>>49
なにせルベーグ可測でないからな。
イメージできないということがイメージできる程度

さっぱりわからん。
濃度の薄いコピーに分割するようなものなのだろうか。

生意気にもまたレス。>>52 それは違う。無限の場合、「濃度」（それ自体数学用語になってる
が）等しい、無限個の「コピー」作れる。ポイントは論理的に作れるだけで、実際は（恐らく）
人類が永遠に具体的には作れないような球の分割を行う事によって定理は証明される。
　恐らくをかっこつきにしたのは当方の知識が浅いせい。ちなみに0から1までの実数を大小では
無く、一個づつ順番に並べる事を想像してください。非可算なのに一個づつとはこれいかに、
と思わず。選択公理によればこれは可能。

選択公理が間違っているに一票

>>54
公理だから正しいとか間違いとかの問題ではない。
まぁ、言いたいことはわかるが。

つまり、選択公理を採用しなければ、かようなへんてこな結論は出てこないのさ。

>>56
それくらい気楽でいいと思う。

ちなみに数学板から引用

487 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2007/11/27(火) 07:57:45
数理論理学的に言えば、バナッハ・タルスキーの定理が正しいとか正しくないとか言うのはナンセンス。
バナッハ・タルスキーの定理が証明可能になるような公理系もあるし、不可能になるような公理系もある。
ZFCでは証明可能でZFでは証明不可能というだけのこと。
滅茶苦茶な公理系を使えばどんな定理だって証明可能になるわけで、それが正しいとか正しくないとか関係ないし。
要は選択公理を仮定するのとしないのとどちらが良いかという話。
ZFは、バナッハ・タルスキーの定理だけでなく次のようなことも証明できない不便な公理系だから、ふつうはZFCを使う。
*整列可能定理(∀A:集合 ∃≦:順序 s.t. (A,≦):整列集合)
*代数閉包の存在(∀K:体 ∃L⊃K:代数閉体)
*ツォルンの補題(∀(A,≦):帰納的順序集合 ∃a∈A:極大元)
など

実は選択公理は、数の集合を有理数から実数に拡張するところで使われている。
だから選択公理をなくすと解析学が崩壊するかもしれない（（（（ ；ﾟДﾟ）））ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

>>1は有限分割とか書いてるけど、無限分割の間違いだよな。

積分定数とかも、バナッハ・タルスキーの定理の影響？


それは、いいとして、バナッハ・タルスキーの定理を運動量保存則に適応すると

運動量は保存されるので、分割しても総和はかわらない。

したがって、無限分割はできない。
したがって、最小単位が存在する。

運動量＝(質量)x(速度) ＝ (エネルギー)x(距離)/(時間)なので

運動量の最小単位が存在するためには、

エネルギーの最小単位、距離の最小単位、時間の最大値が存在する。

っちゅう事かいな？

じゃぁ、時間を全部使い切ってしまった後の宇宙ってどうなるのん？

>>59
ポエムはポエム板へ

>>59
違うよ。全然違うよ。
有限個に分割で合ってるよ。
定理を成り立たせるためには、
最低でも5つの適当な部分に分割する必要があるらしいんだけど、
それでも高々5つでいいんだよ。無限じゃなくていいんだよ。

どこから５という数字が来るんだ？

(((゜д゜;)))

全く相像できないんだが。

選択公理が間違ってるとか言い出したらトポロジーとかに関わってる全て（＝現代数学）が崩壊するぞｗ
つまり相対論はま（ｒｙ
むしろ量子論か

公理なんざ信仰の問題だ。物理とはな〜〜んも、関係あらへん。

すまぬ。今更だけど>>58で書いたことは嘘かもしれない。
Λを添字の集合とする集合族｛A_λ｝が与えられたとき、
∀λ∈Λ（A_λ≠φ）⇒ΠA_λ≠φ
というのが選択公理だけど、ここで、Λが自然数の集合Ｎ、
任意のλに対してA_λが有理数の集合Ｑ、となるケースは
単なる写像ｆ：Ｎ→Ｑを考えれば良いだけだから
選択公理を使うまでもないような気がする。

>>65 俺も素人なんで指摘しなかったが変に思ってた。物理板でプロ以外が色々言っても
意味ないと思うが教科書のコラムに選択公理の代わりに「実数上の全ての部分集合はルベーグ
可測である」って公理を採用出来る、ってあったので、すると実数は選択公理と独立に構成
されないといけないから。

>>41
物理屋だったら誰でも知っているとても有名な話だが、例えば　ピーター・ウォイト
　松浦俊輔訳　青土社「ストリング理論は科学か」（ Not even wrong という有名な
サイトをやっている人）の２４５ページ。ファインマンのことも数ページ後にある。

この本は、いろいろな意味でお勧め。　解説はプロによるもので、きちんとしている。
ちなみに　Ｍ理論のＭとはマスターベーションのＭであるというマゲージョの
言葉も引用されている。

「リーマン幾何学」は知ってますよね？
19世紀後半に、ユークリッド幾何学の第五公準を回避するという
極めて演繹的･論理的な操作だけで生まれた、新しい幾何学です。
ちなみにリーマンは数学者です。

これが、20世紀初頭のあの大発見、アインシュタインの相対性理論に
応用されることになります。「天体の運行」など、帰納的な分野である
「天文学」に当てはめる理論に、なぜか「演繹」で導いただけの
「形而上学」でしかない筈の、「リーマン幾何学」が、4次元空間を
表す理論として援用できたのです。

もちろんリーマンは天体の運行を観察しデータ的に帰納して、
リーマン幾何学を作ったわけではありません。
あくまで純粋に演繹的な論理操作によって作られたのです。

つまり、この事例から、
「人間による現象の知覚からの帰納だけで、物理法則が
発見されてきた」とする主張は、完全に破壊されたことになります。


ここまではいいかね物理ドカタ君？ｗ

リーマンは球面を眺めながら、帰納的に彼の幾何学を発見したのだ。

> 「リーマン幾何学」は知ってますよね？

お前以外の奴は大体知ってると思うぞ。

> 19世紀後半に、ユークリッド幾何学の第五公準を回避するという
> 極めて演繹的･論理的な操作だけで生まれた、新しい幾何学です。

これは「リーマンの非ユークリッド幾何 (楕円幾何)」であって、いわゆる「リーマン幾何学」ではない。

>天体の運行を観察しデータ的に帰納して、
相対論知らないだろ？

リーマン幾何学が形而上学？ｗｗｗ
リーマン幾何学の研究者にそんなこと言ったら激怒するぞｗ

>>68は数学も物理も理解できないいつもの鉄屑か

>>68
偉そうなこというまえに Riemann の Habilitationsschrift
「幾何学におけるある仮説について」
を読んでこい、彼がどうやって高次元の空間を思いついたか書いて有るから。

楕円幾何とリーマン幾何を混同してる時点で、数学についても物理についても
啓蒙書をかじったレベルでしかないのは明白だな。

確かに相対論の啓蒙書にはよく「歪んだ空間の幾何学」の例として球面が出てくるし、
本来あんまり関係ない非ユークリッド幾何の解説にえらくページ割いてたりするものな。

>>68
＞ 「人間による現象の知覚からの帰納だけで、物理法則が
＞ 発見されてきた」とする主張は、完全に破壊されたことになります。

そもそもお前の出してきたリーマン幾何学は数学理論であって物理法則じゃない訳だが。

あえてここで68の弁護「的」なもの。数学板も覗いているが、国語辞典なんかの
「リーマン幾何」の説明ではいわゆる、数物系でのリーマン幾何と定数の正曲率を
持つ射影平面の幾何学がごっちゃになっているらしい。で、68もごっちゃにしたのでは
なかろうか？されはともかく俺の読んだ本（情報量少なくてごめん、白い薄い本で
「古典幾何学」って本だったと思う。ユークリッドから初めてすぐに射影幾何に入って
そのあと色々展開する本）では後者の意味での「リーマン幾何」は未だ公理化されてない
ってあったけど（負曲率の方はOK）、それ本当？数学板で聞くべきことだが、とりあえず
ここで聞いてみる。

なに？　この必死クン wwww

>>1にあるような、「明らかにありえない」というのは数学的実体と物理量の世界を混同してるよな
そもそも、バナッハ・タルスキ以前に虚数の便利さなどは受け入れているのに…

いや、虚数の構成とバナッハタルスキの構成にはかなり開きが有るだろ、
なんといっても選択公理だし。

いや、「そんなこと物理的に無理」という人にたいしての言葉だよ。

「物理的に無理」と「虚数」がどうつながるのかさっぱり

>>81
スレの上の方では、数学上の話に物理量をつけて理解しようとしてるだろ？

>>82
やっぱどうつながるのかわからん
複素数の物理量は物理的に無理とでも言いたいの？

普通に無理だろう。複素数使うのはたまたま便利な道具としてだけ。

複素数の物理量は平気で出てくるよ。

観測量なら実数のみという主張もありうるけど、複素数だって
単なる２つの実数の組（にある代数構造を持たせたもの）ってだけ。
これが観測量でないなら、実数３つ組のベクトルとか、さらに
観測不能量だね。

物理量は実数か、の話題はこっちでやれ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091419894/l50

>>85
でもそれは複素空間で使うと便利ってだけだろ？
観測量と観測量の関係が複素関数だと我々には簡単に表わされるわけで、
数学的実在＝物理的実在という話ではないよ

>>87
おまいのいう「実在」が何を指してるか不明

a,bという実数の物理量が実在しているとした場合に
a+ibという複素数の物理量は物理的実在でないというなら、
vx,vy,vzという実数の物理量に対してv↑=(vx,vy,vz)という
ベクトルも物理的実在ではないと主張するのかと。どちらも
複数の実数の物理量を組み合わせただけで、その代数構造が
違うだけ。

もしv↑もベクトル空間で使うと便利ってだけで物理的実在では
ないと主張するならおまいの主張としては首尾一貫しているけど、
賛成はしないな

つかこの定理に対して物理学会は何ていう声明をだしているのかが気になる。
公式見解では何て言っているの？

>>88

>vx,vy,vzという実数の物理量に対してv↑=(vx,vy,vz)という

「距離」とか「位置」の表現を直行座標系のベクトルつかうのも、ただの約束でしょ。
それを使わないと表現できないわけではない。

>複数の実数の物理量を組み合わせただけで、その代数構造が違うだけ。

物理量(観測量の基本単位)は実数だって自分で認めてるじゃん。

>>89
関係ないからノータッチでしょ

いや、関係ないってのは言い過ぎか
でもこの定理は実際にある物体を切ったりなんだりしてるわけじゃないし

>>90
実数は物理をするには細かすぎるだろう、常考
有理数はいいとして、それを完備化しないといけないんだぜ？
実験結果はけっして無限桁数の精度はないんだから、
物理量が実数だという時点で抽象化、理想化だよね。
有理数から実数へ行くステップと、実数から虚数へいくステップと比較すると
実数から虚数へいくところのほうがよほど簡単。

>>90
>「距離」とか「位置」の表現を直行座標系のベクトルつかうのも、ただの約束でしょ。
別に直交座標だと指定したわけじゃないが、それはサテオキ、
速度ベクトルも便利なだけで物理的実在じゃない、というご主張ですか。だ
そういうことならおまいの立場は理解した。賛同はしないが

>物理量(観測量の基本単位)は実数だって自分で認めてるじゃん。
だから何ですか？　実数の物理量を組にしただけで何で物理的実在
じゃなくなるんですかと聞いてるのに、実数じゃんかと言われても
何の返答にも反論にもなってないんだけど

>>90
それから、説明のために実数の物理量a,bに限定して
a+ibという量を取り上げただけで、物理量は全て
実数だなんて主張はこっちはしてないからね。

>>94
>物理的実在
おまいどこのカルトよ。
実在なんて、認識不可能なの。

>>96
そういうことは物理的実在云々と言い出したほう(>>87)に言ってくれ。
漏れもそれが何を指してるかわからんので問いただしている(>>88)。

>>97

>>87だけど、べつに大した意味を含んで使った言葉ではないよ。

「物理的」っていうのは、現実世界を観測して裏付けられるという程度で使った。
それに対して「数学的」っていうのはそうじゃないのはわかるでしょ。

ベクトルを使おうが使うまいが、定式化の便利さが違うだけで、世界の観測結果は変わらんでしょ。

>>98
>「物理的」っていうのは、現実世界を観測して裏付けられるという程度で使った。
じゃぁその言い回しを使っていうと・・・

現実世界を観測して裏付けられた量（つまり物理量aとb）が２つ組になっただけ
(ベクトル(a,b)とか複素数a+ibのこと)、もはやそれは数学的量である（すなわち
現実世界を観測して裏付けられた量ではない）、という主張にたいしてクレーム
付けてるんですが。

>ベクトルを使おうが使うまいが、定式化の便利さが違うだけで、世界の観測結果は変わらんでしょ
変わらんからこそ一方は、物理的で一方は数学的という区別が生じるのはなぜ、という質問なんだけど

>>99はあなたのスタンスがベクトルは複素数と同様に物理量ではないという
立場だとして、の質問でしたが、逆にもしベクトル(a,b)なら物理的量だ、という
立場なら、ベクトルと同様に２つの物理量の組でしかない複素数a+ibが
物理的でないと主張するのはなぜなのかと。

横レスだが2次元実ベクトル空間にJ^2=-Iなる写像加えたものと複素数（体）は数学的に
別の概念だよ。

完全に同じ概念だなんて一言も言ってない

区別できません。

>>102 適当に単位を定めたとき、複素数体、あるいは複素数体を係数体とする
ベクトル空間に値を取る物理量がなけりゃ、「複素数の物理量がある」という言明は
意味を持たないだろう。

量子力学の波動関数だけは本来的に複素数の量だと思う。
ただし物理量と言えるかどうかは微妙。

>>104
つ インピーダンス、屈折率、光学ポテンシャル...

複素数って言うから何か受け付けにくいけど
２×２の行列って言ったら受け入れやすくない？

量子力学では複素数が本質的な意味を持つ。

行列は実数じゃないから観測可能量じゃない。

実数が観測可能というのが納得いかない。
無限桁なんてけっして測定出来ないでしょ？
有理数で良くない？

有理数1/3も無限桁ですが。ただし10進法で。

ごめんなさい、じゃあ精度の問題にします。
実数って非可算無限個あるでしょ。
どうせ測定回数って可算無限でもじゅうぶんなぐらいなんだから、
実数つかうのはやりすぎ。そんなものが物理的実在のはずがないよ。
有理数ならたかだか可算だから許せる。

というか無限に精度があるというのが実数は良くない気がする。
誤差なしの実数が物理的実在だとなんでこのスレの人が認めてるのかわからん。

>>106 全然複素数であることが本質じゃないんだけど。数学で言う所の
「複素数値」でなけりゃならない「観測量」があるのか？ってこと。
>>112 それはそうなんだけど、そこまでいくと難し過ぎて俺には答えられない。

自己レス。言いたかった事は、電磁気の基本方程式は実数関数の方程式
（しかも別に複素数値の関数の方程式を実数の形にばらしたものではない）
ので、それより派生する複素数値関数概念は人工的なものだ、ってこと。
光学ポテンシャルは少なくとも俺のような、４年でちょっと齧っただけの
素人の目には一番人工的に見える。

>>112
実数がないと微積分が成り立たない。
実数というのは近似の極限なわけ。
これがないとπも√2も存在しないことになる。
それだと不便。
実数は物理的実在ではない。
それは真の直線が物理的実在ではないのと同様。

>>112
連続性を仮定しないと不便だから使ってるだけ。
そもそも数学のも「便利だから」という理由。
「有理数は物理的実在」という主張は意味不明すぎてコメントできない。

例えばディラック場（スピノール場）は、「古典的対応物」はグラスマン数で
あって、実数どころか複素数ですらもない。　知っているとは思うが、二乗した
らゼロになるような数だ。　電子の場が、だぜ。

ＦＰゴーストは、観測可能ではないからやや病的な例だが、ゴースト数演算子
は反エルミート（純虚数）であるにもかかわらず実数固有値を持つ。状態空間が
不定計量を持つためだ。　このようなゴーストは場の量子論ではＳ行列のユニタ
リー性を保つには必要なことは常識に属する。

物理ではこのように不可思議としか言いようのないものが多く出てくるが、
しかし観測可能な物理量は全て実数固有値を持つことは確かである。
ここらへんを誤解した議論は意味がないわけで、一般的に言って
物理屋は数学の何たるかをある程度わかるが、数学屋に物理のことを話さ
せたら大抵トンチンカンなことになる、というのは傾向として見られるのは
確かだとしか言いようがない。

Reply:>>6 物体の体積の明確な定義を教えてください。

>>117
同意

なに？この必死シッタカ。

>>120 ？？　>>117は普通の物理学者的反応をしてると思うが？その中でも
色々限定して話すのもまた面白し、ってことでないのか？あと、>>117関係で
言えば本スレの話題と異なっていずれも数学的合理化すらされていない話題、
だとは思う。不定計量の無限次元空間論くらいは数学的合理化がされているの
かしらん。俺が知ってるのは有限次元からの類推が成立する程度の話なもんで。

>>116
>連続性を仮定しないと不便だから使ってるだけ。

連続性を仮定するとすべてがうまくいく。
これは実数が実在するからと考えるほうが自然。
実在といっても物理的に存在するという意味ではないが。
人間の存在とは独立に存在している。
人間が観念的に作り上げた人工物ではないという意味。
ほとんどの数学者は心のなかでは実数の実在を信じているだろう。

>>117
>ここらへんを誤解した議論は意味がないわけで、一般的に言って
>物理屋は数学の何たるかをある程度わかるが、数学屋に物理のことを話さ
>せたら大抵トンチンカンなことになる、というのは傾向として見られるのは
>確かだとしか言いようがない。

基礎科学と応用科学の違いみたいなもん。
分子生物学者は医学のことなんぞほとんど知らない。
要するに専門の違い。

117だが
理論には、有理数でない実数も測定可能な物理量に普通に出てくるぞ。
例えば、水素原子のエネルギー準位に円周率が出てくるとかが大変簡単な
例だ。　その公式の中の他のファクターは「実験的にしか決められない、
有理数の」（電荷とか、プランク定数とか）ものであっても、エネルギ
ー準位は無理数になる。
円周率なんぞは、日常的に出て来すぎて（プランク定数を２パイで割って
エイチバーとか呼ぶところからしてそうだが）普段から意識することはない
わけだが。

>117
大変勉強になりますた。
最近の2ｃｈスレで傑出したレスだ。

>>124 。>>112はおよそ物理とは関係しそうに無い実数が殆どである事を
言っているのだと思う。その方面の啓蒙書とか見るとそれこそ単位区間でルベーグ測度1
の集合で、その中のどの元も物理には無縁そうなのがあったありするから。

>>112
結局、数学を使うのは現実世界を近似して定式化したいだけなんだよね。
だから近似のための計量数が基本な訳で、有理数はそのサブセットに過ぎないでしょ

数学の構造とこの宇宙の構造は違っているとオレは読んでいる。
確かに今までは物理学において「近似」として数学を使えてきた。
しかし、とうとう、この定理のように「現実」に反する定理が出現してきた。
たとえばマクローリン展開を見てみな。
確かにｘ＝0の近辺では曲線の曲がり具合がほぼ一致してるよね。
でもｘ軸の右端、左端を見てみな。
両曲線は全然離れちゃってるから。
それと同じ。
人類は物理学は数学と相性がいいと思っていた。
数学で宇宙を記述できると思っていた。
しかし、時がたつにつれ、とうとう、数学と現実が乖離してきた。
この定理のように。
マクローリン展開のように。
人類はいずれ選択を迫られるであろう。
物理学において数学を捨てるのか否かの選択を。

マクローリン展開はべつに大域的な一致を目的としていないわけだが。

テーラー展開ならどお？

どっちも同じだろ。展開中心の近傍を論じるのが目的なんだから、
遠く離れた場所でどうなろうが知ったこっちゃない。

>「現実」に反する定理が出現してきた
単に定理を成り立たせるような対応物が現実世界にないだけでしょ

完全に厚さのない二次元世界は現実世界に対応物を用意できないが
平面幾何学に関するあらゆる定理は現実に反する定理なのか？

反するとまではいかんでも、厳密には正しくないわな。

物理的に正しいってなんだろう？

数学的に正しいとは何かという話では？

数学的には適当に矛盾しないように公理系を決めてそこから導ければ、
その公理系では正しいんでないの？

でも物理的には何が正しいの？
観測結果に矛盾しない理論が正しい？
理論に矛盾しない観測結果が正しい？

>観測結果に矛盾しない理論が正しい？
>理論に矛盾しない観測結果が正しい？
んなもん前者に決まってるだろう。

>>137
>観測結果に矛盾しない理論が正しい？
つまり、俺様は神様であるは正しい。

複素数が存在しないという人にとっては行列も存在しないのかねえ

行列のできるラーメン店が存在すれば行列の存在は証明できる。
複素数のできるラーメン店が存在すれば複素数の存在は証明できる。

「数学的な正しさ」は体系を作って、完全性・健全性を確かめる必要があるが、
「物理的な正しさ」は、現実の世界を観測・予測できればそれでいい。

>>139
複素数も行列も、あったら便利だけど無くても世界を記述できるよ。

グラスマン数は無理かな。

>>141
実数も自然数も、あったら便利だけど無くても世界を記述できるな。

そりゃさすがに無理だろ。

集合論的整数とか実数つかって、
{{},{} {}{} }}
とかやればいいのでは？
それだと実質実数つかってることになるけど。

数なんて観念だ。実在とはなーーんも関係ない。

現実の世界は離散と連続の混合だからな。
単純にバナッハ・タルスキーの定理は成立しない。

>>141
>複素数も行列も、あったら便利だけど無くても世界を記述できるよ。

複素数も行列も無しでどうやって量子力学を記述する？

>>148 おこっちゃ嫌よ。ハイゼンベルグがそうしたようにすればよいのではないか？

ハイゼンベルクちゃんが行列知らなかったの有名だよね。

複素数も行列もただの飾りです。偉い人には(ry

成分で書いてたことに相当するだけで、
本質的に行列でしょうに。

単に一連の演算規則と表記方法に名前を付けただけ＞行列・複素数

成分分析の結果です。

行列の解析結果

　行列の68%は記憶で出来ています
　行列の23%は赤い何かで出来ています
　行列の7%はマイナスイオンで出来ています
　行列の2%は濃硫酸で出来ています

複素数の解析結果

　複素数の94%は欲望で出来ています
　複素数の2%はアルコールで出来ています
　複素数の2%はマイナスイオンで出来ています
　複素数の2%は成功の鍵で出来ています

偉い人の解析結果

　偉い人の69%は元気玉で出来ています
　偉い人の14%は祝福で出来ています
　偉い人の9%は気の迷いで出来ています
　偉い人の6%は言葉で出来ています
　偉い人の2%は成功の鍵で出来ています

バナッハ・タルスキーの定理の解析結果

　バナッハ・タルスキーの定理の67%は覚悟で出来ています
　バナッハ・タルスキーの定理の19%は株で出来ています
　バナッハ・タルスキーの定理の8%は気の迷いで出来ています
　バナッハ・タルスキーの定理の6%はミスリルで出来ています

演算規則の解析結果

　演算規則の52%は汗と涙(化 合物)で出来ています
　演算規則の30%は雪の結晶で出来ています
　演算規則の9%はマイナスイオンで出来ています
　演算規則の7%は言葉で出来ています
　演算規則の2%は成功の鍵で出来ています

表記方法の解析結果

　表記方法の89%は食塩で出来ています
　表記方法の7%は濃硫酸で出来ています
　表記方法の4%はお菓子で出来ています

>>153
そんなの実数だってそうだろう。
有理数を完備化して実数作れるし。
整数から有理数作れるし。

で、グラスマン数はどうするの？
フェルミオン記述できないよ。

>>153 が回答している。

>>156
ん？ だから成分でコセコセ計算しているうちは物理量で
複素数で扱うともはや物理的でない、とかいうのは
意味のない主張だってことなだけど

>>156
「複素数・行列で扱う」というのはその時代の数学の要請であって
現実の物理世界はそれを要請していない。

行列をまだ見つけていない時代だったとしても、現象の記述・定式化は(複雑でも)可能なわけでしょ

>>158
ああそうですか。勘違いしました。

>>159
複素数は？無理でしょう。

単なる表記法の問題
見つける見つけないの問題じゃない

>>160
>複素数は？無理でしょう。

>>101参照
あなたの言ってるのはどっち？

ん？だから複素数体ですけど。

で、複素数体じゃないと記述できない物理現象って何なの？

いつの間に複素数体じゃないと記述できないもの限定になったんだ？

>>160,>>163の例を聞きたいだけ

>>164
そんなこと言ってないですよ。CとR^2は体同型にできますから、
できるに決まってますよ。

>>159で、「複素数・行列」と言っておきながら、最後の文では行列しか
あげてないので、それをつっこんだだけです。
ハイゼンベルグ方程式を複素数つかわずに書くのですかね？

○○じゃないと記述できないものがないと○○は物理的ではない、
と言い出したら、物理的と言ってよい対象は自然数だけってことに
なるぞ。まぁそういう立場も否定はしないけど

>>167
波動関数については、立場によって若干解釈が分かれると思うし、それは尊重するけど、
波動関数以外で、どうしても無いと記述できないものってある？

波動関数ではなく演算子の方ですね。波動関数もそうだけど。

それ以外？量子力学の演算子はあげたとして、
古典力学だとないかもしれませんね。

165→156の間違い。

>>167 複素数体CとR＾２はRー加群としては同型だけど、それ以上の違いがありますよ、
どうでもいいけど。

別に体として同型にできると言っただけですよ。
でも積を別に定義しないといけないのだからおかしかったですかね。
行列使って、
a+ib→aI+bJ=
[a -b]
[b a]
とすればCとRI+RJが可換体同型になる、と言えばいいのですかね。

４元数使えよ

各方程式を掛け算を一つしか含まない形に分割して
それを4つに分割すれば行列を含まない形に変形できる

>>173 粘着してスマヌが数学用語でいえばそのような同型は「自然じゃない」よ。
R＾２にJ＾２＝ー１になるJが与えられていても複素共役が与えられていないといけない。
Jと複素共役演算まで与えられていれば自然に同型。
前にも書いたけど大元の方程式が本質的に複素数を必要としない限り物理量は実数だ、
といって良いだろう。なお高階のテンソルは実数係数の量、という意味で実数と称している。
そして今の所量子力学の方程式そのものは複素数を本質的に使っているのは間違いないだろう。
「単なるR＾２表現に直せる」といっても、数学で言う所の「自然さ」で複素数係数の枠組み
に入れられるこら。（＜x、y＞と＜y、x＞が異なることは光学定理なんかでは本質的に効いて
くるのでJ＾２＝−１のみならず複素共役も理論の枠組みに自然に入っていることになる）

体としてではなく複素多様体として同型という話ですかね？
まあ>>164に対して、ただ書けることを言いたかっただけなので。

ゲージ場の交換とかでも複素解析の各種公式を満たした観測結果が出てるから
物理の世界は本質的に複素数的性質を持ってるんだろう

反粒子の存在なんかも複素数だとごく自然に出てきますね

べつに

沢尻？

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