四元数の数理物理への応用

四元数は解析力学のハミルトニアンHで有名なあのハミルトンが
発明した超複素数です。四元数教の開祖ハミルトンは、四元数の
研究により、時間と空間の究極の理解に達すると信じていたよう
です。

四元数の数理とその物理への応用を語ってください。

ほたて

天体力学。俺が学部の頃とった天体力学の講義は先生の趣味で四元数天体力学
だったよ。

ホタテ

この人に聞くとよい。
ttp://blog.livedoor.jp/taro314159265/archives/51073837.html

駄スレ
藤原正彦よめ

>>1
ベクトルで完全に表記できるので不要。
むしろベクトルの方が応用が利いて有用。

八元数と十六元数は結合則も成り立たないし、行列にも書けない。
なんとかしてくれ。

>>7
しかしうまく使うと複素数は平面幾何で有用だが

>1
私もハミルトン四元数と物理への応用には興味を持っています。
３つの虚数は空間に、１つの実数は時間に対応させるのが適当でしょう。
Ｉ^2＝Ｊ^2＝Ｋ^2＝−１と書くからおかしな数に見えますが、掛け算には
共役数を使うと定義しまえば、-Ｉ＝Ｉ*、-Ｊ＝Ｊ*、-Ｋ＝Ｋ*で表した時、
Ｉ*Ｉ＝Ｊ*Ｊ＝Ｋ*Ｋ＝１で、２乗したものが１となり、問題なくなります。
もう１つ、Ｉ、Ｊ、Ｋはそのままベクトル演算に使えることです。

参考文献：

天体力学講義 (単行本) 　堀 源一郎 (著) 　東京大学出版会 (1988/09)

超複素数入門―多元環へのアプローチ　I.L. Kantor (著), A.S. Solodovnikov (著)　
森北出版 (1999/09)

3D‐CGプログラマーのためのクォータニオン入門―「ベクトル」「行列」「テンソル」
「スピノール」との関係が分かる! 金谷 一朗 (著) 　工学社 工学社 (2004/01)

3D‐CGプログラマーのための実践クォータニオン―「スケーリング」「平行移動」
「回転」…のプログラミングが分かる!　金谷 一朗 (著) 　工学社 (2004/04)

高階複素数論　菊池 定衛門 (著)　恒星社厚生閣 (1990/10)

ベクトル・複素数・クォータニオン
ttp://www-sens.sys.es.osaka-u.ac.jp/users/kanaya/Documents/VCQ/kanaya-handai-quaternion.pdf

空間回転の記述が正確かつ機械的に出来ることから、現代では物理学者より
３Ｄ関連のＣＧプログラマが愛用しているようですね。

ジンバルロックが防げるからね

を

文献追加：

2次形式 (単行本) 田坂 隆士 (著) 岩波書店 (2002/9/25)
　四元数とクリフォード多元環（代数）が扱われている。

>>10
今、ＩＪ＝Ｋ、ＪＫ＝Ｉ、ＫＩ＝Ｊの右手系とは逆の左手系の四元数を考える。
すると、Ｉ*Ｊ＝Ｋ、Ｊ*Ｋ＝Ｉ、Ｋ*Ｉ＝Ｊ

パウリのスピン行列は　σ1σ2＝iσ3、σ2σ3＝iσ1、σ3σ1＝iσ2 より
iσ1・iσ2＝-iσ3、iσ2・iσ3＝-iσ1、iσ3・iσ1＝-iσ2
iσ1＝Ｉ、iσ2＝Ｊ、iσ3＝Ｋ　と置くと　Ｉ*Ｊ＝Ｋ、Ｊ*Ｋ＝Ｉ、Ｋ*Ｉ＝Ｊ
に一致する、Ｅ＝１を加えると、これは左手系のハミルトン４元数と一致する。

age

複素数で二次元の回転が書けるんだったら、四元数で三次元の回転書けたりしない？

四元数 オイラー角でぐぐれ

>>18
もちろん出来るよ。回転群にいい感じでパラメータが入るのでコングラで愛用されている。

>>19,20
ありがとう！おもしろい！

ハミルトン四元数は「斜体」をなす。つまり加減乗除が可能で、乗除の交換
法則が成り立たない。「体」をなすものとしては最大の次元だ。

あげ

>>11
定衛門の高階複素数論はただのトンデモ本なわけだがw

最近コンウェイの本の訳が出版されている。

四元数と八元数　培風館　ISBN4-563-00369-7

思いっきり幾何的な応用の話をしているよ

ほたて。

>>24 最初の方だけ見るとトンデモではない事書いていように見えるよ、ただ
フルヴィッツの定理を「実数体上の」と言う限定詞がついているのを誤解して
「有理数体上」と思って適当な拡大体持ってきて論難してりうところなんぞ、
独学でよくぞ有理数体の代数拡大なんて概念に達したもんだ、と感心した。
まあその先にはとんでもないものがあるのでしょうが...。

しらんけど多分、トンデモというより、
単に間違っている、というだけなんじゃないの。
基本的な方向性が間違っているのでない限り。

Grassmanの「広延論」とかは書き方はかなりトンデモっぽいらしい。
今では外積代数として物理屋でも知っている人の方が多いほどメジャーになってるけど。

田邊一郎氏のHPというのがある。
４元数（と同等のもの）を使って
見事に特殊相対論と電磁気を記述している。
一般相対論への可能性もあるようだ。
まあ、一度はチェックしてみるとよいだろう。

http://user.shikoku.ne.jp./ichirota/sp-home1.HTM

四元数をsu(2)のリー環だと思えば、
四元数と同等のものによる説明は標準的説明だろ。

始めまして、ダダダです。

皆さんに、聞きたいことがあります。いいですか？

人は死んだらどうなるとお考えですか？
僕はどうしても知りたいです。
どんな、ことでもいいんで教えてください。
お願いします。
今日は、時間がないんで失礼します。
また、明日うかがいます。
ご協力お願いします。

>32
スレ違いだから別のところに行きな。ていうか
自分で死んでみて確かめてみればいいんじゃないの？
その結果何か判ったら書き込んでね。

未来や過去から通信してきた奴がおらんように、彼岸から連絡してきた奴はおらん罠

あげ。

>>28
スピノルで書いて何かいいことあるの？
ツイスターみたいなもの？

>>36　見る限り、あまりいいことなさそう。だって良く知られた事実を組み合わせた
だけのようだから。

四元数って面白そうage

ハミルトン萌え

八元数もお忘れなく

十六元数も

ジンバルロックって何？

http://fox.hokkai.net/~waka-cmn/vote/tvote.cgi

アトポス死ね
If it cancels easily, do before you went police.
It is a place with sufficient coldhearted.
There is also no piece of tenderness truly.

ハート
クローバー
ダイヤ
スペード
一元数はユラギ

>>28はもっと評価されてもいい。

六十九元数のメコスジ物理への応用

４元数なんて複雑な物良く考えるよ。わしは虚数だけでいいがな。
２項関係の発展だからな。

hatashitehontounisoukana?

CG、人工衛星の計算では実用的で、
相対論、電磁気は>>28で出てるが、
量子力学への応用はどうなるんだろ？？

28のは
x=x^μσ_μとして、ローレンツ変換が、x'=axa~ (a∈SL(2,C))
で与えられるという有名な話だよね？
4vectorをspinorの足で表示するという。

28は4×4行列でやってるから、ただ高次元の表現で
やってることになるのかね。

パウリ行列とかディラック行列は？

αiαj＋αjαi＝２δij
をみたす、４つのディラック行列の組は、
四元数 1,-1,i,-i,j,-j,k,-kを使った、
２×２行列で、1920組あった。

夢幻子の間違いだろ。

とりあえず２嬢して１になるのが、４４組。
それら４つの組み合わせ374万8096種類の組み合わせをすべて計算した。
例えば、
┌ ┐
│0 1│
│1 0│
└ ┘
┌ ┐
│0 i│
│-i 0│
└ ┘
┌ ┐
│0 j│
│-j 0│
└ ┘
┌ ┐
│0 k│
│-k 0│
└ ┘

>>55
連続変換したらいくらでも出来るぞ。

クリフォード代数の既約表現ぐらい勉強しろ
いつの時代の話してんだよ

四元数が行列でできる。だから意味ないと考えるのは知性の衰退。
量子力学のシミュ考えるなら、計算量減らす研究に意味はある。
実際、高速性を要求されるCGでは、そいういう意味で四元数を使ってるわけで。
>>56
連続量は処理速度落ちるのでアウト。

四元数は行列表現出来るからまあいいんだよ。
八元や十六元が使えそうだけどうまく書き下せないので混乱のもと。

三十二元数はどうなの？

>>59
いや、よくないと思う。だって、クォンタムとクォータニオンだよ。関係が深くないわけ無い。

・・・こんなこと書くとまたポエムと言われそうなので、計算。

四元数の指数関数について、あまり触れられていないので、ちょっと考えてみた。
なにはともあれ、exp()の計算が必要だからな。
その結果、四元数Qのexp(Q)について、興味深いことがわかった。

i,j,kがLie環su(2)の表現だからな。
指数にのせればLie群SU(2)の表現が得られるだけだ。

math/0105155 おもろい。

SU(2)になるだけやん。何も新しい発見ではない。

>>62
>Lie群SU(2)
Sp(1)

いや、別に人類にとって新発見かは知らないがｗ
個人的に面白かったってことｗ

とりあえず、exp(Q)が三次元の回転になるのを確認できた。
xyz軸まわりの回転角が四元数の虚数部３つに対応するわけだ。

あと、exp(Q)を微分して、シュレーディンガー方程式とか作ってみた。
これは簡単だったが、クラインとディラックは、係数がどうしても合わないか、
ムリにあわせると、時間がベクトルになって出てくる。わけわからん。
ここで、ディラックの式の係数を出すのに、
プログラム組んでついでに出てきたのが
>>55

昔から、いろいろやられてるけどね。最近だと、
math-ph/0702095
quant-ph/0407158
他にもあまた目にするけど、ぱっとしないね。

そうだな

四元数量子力学の構築がうまく行ったので、この方法を拡張して、八元数量子力学に進みたいと思います。

zzz

非結合の壁は非可換の壁よりも遥かに高いよ。
頑張ってね。

Diracがなんかやってたな。

ホントか？

やってた

>>71
指数に乗せるんだから、掛け算は使わないでいいと思うよ。
純虚八元数のexp()への分解からの積と、７次元回転斜交群だけ考えればいいハズ。
それだけで、＜ψ†｜ψ＞に乗るんじゃないか？∇も７次元に拡張。
問題は、規格直交関数系をどう定義しようかというところかなぁ。
フーリエ級数を単純に７乗すればいいというわけではなさそうだが・・・
なんにせよ、八元数ヒルベルト空間のノルム１に規格化した群は定義できるんだから、
そいつの、いわば超複素超単位円なるものを計算させりゃいい。
パソコン万歳・・・だな

8元数一個ならなんとかなる(群はG2だったはず)だけど、
8元数の n x n 行列を定義するのは激烈に難しいよ。
もしそんなことができたら SO, SU, Sp 以外にもうひとつ無限系列の群が出来る

まあ自分で考える前に Baez の
http://arxiv.org/abs/math.RA/0105155
とか読め。

G2

>>76
>SO, SU, Sp 以外にもうひとつ無限系列の群が出来る

ネーミングなら思いついた。

oo(7) octoψ

いや、コンパクトリー群は分類されてて、みっつの無限系列に、
G2, F4, E6, E7, E8 で打ち止めだから。名前考えても仕方ないよ

四元数体より、有限体の物理への応用ってない？

>>79
八元数の行列は考えなくていいかもしれない。まだわからないよ。
というのは、実は四元数のディラック方程式の係数は、
α＝
┌ 　 ┐
│0 1│
│1 0│
└ 　 ┘
β＝
┌ 　 ┐
│1 0│
│0 -1│
└ 　 ┘
と言う風に実数行列ででてきたから。
http://home.pcisys.net/~bestwork.1/QRW/QuaternionQuantumMechanics.htm
ここでも同じようになってる。
導き方はここのとはちょっと違うが、いずれにしても、四元数を使えばパウリ行列は綺麗に消えてなくなった。
だから、パウリ行列を四元数に置き換えるということはやらなくてもよくなった。
そして、ディラックの波動関数は４成分から２成分に、より簡潔にまとまったのである！
これこそ対生成の式だ！と思ったね。

つーか、物理量出すときはGrassmann積じゃなく内積でいんだろ？
超複素数でも内積が定義できるからな。

>>78
ボンドか？

もしかしたら、八元数量子力学構築の不可能性が、
空間が３次元であることの証明になっているのかもしれない。
面白いなぁ

一般的に考えられているQuaternion Quantum Mechanicsでは、
時空の四元ベクトルに無理矢理四元数に押し込んでいるような気がする。

しかし、四元数をすなおに波動関数の三次元合成の別表現と考えるだけなら、様子が変わる。

まず、エネルギーが三次元ベクトルで出てくる。

はじめ数式が示す意味をどう解釈したものかと思ったが、
考えてみれば当たり前の話で、対象を三次元空間のどの軸で観測するかによって、
エネルギーは３つに分けて考え、合成することができるのである。高校物理でもやってるようなことだ。
今まで考えてきたエネルギー量は、その絶対値だとすれば問題ない。

いやむしろ、エネルギーというパラメータを、三次元で考えない方が、おかしい。とさえ思えてくる。

そしてこの流れからして当然、時間も三次元で考えなければいけないという結論が出てくる。

つまり、時空は６次元。四元数は直接あてはまるものではないかもしれない。

十六元数も面白いよ

三十二元数の方がもっと面白い。

六十四元数の方がらさに面白い。

八元数の掛け算メモ
public static Octonion operator *(Octonion a, Octonion b)
{
return new Octonion
(
a.i0 * b.i0 - a.i1 * b.i1 - a.i2 * b.i2 - a.i3 * b.i3 - a.i4 * b.i4 - a.i5 * b.i5 - a.i6 * b.i6 - a.i7 * b.i7,
a.i0 * b.i1 + a.i1 * b.i0 + a.i2 * b.i4 + a.i3 * b.i7 - a.i4 * b.i2 + a.i5 * b.i6 - a.i6 * b.i5 - a.i7 * b.i3,
a.i0 * b.i2 - a.i1 * b.i4 + a.i2 * b.i0 + a.i3 * b.i5 + a.i4 * b.i1 - a.i5 * b.i3 + a.i6 * b.i7 - a.i7 * b.i6,
a.i0 * b.i3 - a.i1 * b.i7 - a.i2 * b.i5 + a.i3 * b.i0 + a.i4 * b.i6 + a.i5 * b.i2 - a.i6 * b.i4 + a.i7 * b.i1,
a.i0 * b.i4 + a.i1 * b.i2 - a.i2 * b.i1 - a.i3 * b.i6 + a.i4 * b.i0 + a.i5 * b.i7 + a.i6 * b.i3 - a.i7 * b.i5,
a.i0 * b.i5 - a.i1 * b.i6 + a.i2 * b.i3 - a.i3 * b.i2 - a.i4 * b.i7 + a.i5 * b.i0 + a.i6 * b.i1 + a.i7 * b.i4,
a.i0 * b.i6 + a.i1 * b.i5 - a.i2 * b.i7 + a.i3 * b.i4 - a.i4 * b.i3 - a.i5 * b.i1 + a.i6 * b.i0 + a.i7 * b.i2,
a.i0 * b.i7 + a.i1 * b.i3 + a.i2 * b.i6 - a.i3 * b.i1 + a.i4 * b.i5 - a.i5 * b.i4 - a.i6 * b.i2 + a.i7 * b.i0
);
}

四元数波動関数の時間微分を考える。
>>85で触れたように、時間要素が３成分からなるとして、
最小時間を表す直交する四元数が３っつでて来る。
それらの積をとると、ijk=-1（実数）という四元数の性質から、
元の四元数に戻る。

アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
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アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね

アトポス君は見張ってるのかね？
話が面白くなって来ると水を差す。

こんな本が出るようだ。
堀源一郎というと、
四元数で天体力学をreformulationした本を
出した人ではなかったかと……。

93　追記

　近刊のありか、忘れてました。おばかさんですね。

　　ttp://www.hanmoto.com/bd/isbn978-4-87525-243-6.html

　です。

次に、四元数波動関数の空間微分を考えるが、
あらためて、ここで使用する四元数波動関数の表現について書いておく。

一般的な四元数のExponentialの定義だが、虚数部のない四元数だとゼロで除算、エラー。
実際の使用では、exp()と三角関数のマクローリン展開から別々に出てくる、
exp(iθ1) = cos(θ1) + i sin(θ1)
exp(jθ2) = cos(θ2) + j sin(θ2)
exp(kθ3) = cos(θ3) + k sin(θ3)
を使った方がよさそうなのでそうする。これらをかけ合わせて、以下のように展開される。
ψ＝exp(iθ1)exp(jθ2)exp(kθ3)
＝cos(θ1)cos(θ2)cos(θ3) - sin(θ1)sin(θ2)sin(θ3)
+ i { sin(θ1)cos(θ2)cos(θ3) + cos(θ1)sin(θ2)sin(θ3) }
+ j { cos(θ1)sin(θ2)cos(θ3) - sin(θ1)cos(θ2)sin(θ3) }
+ k { sin(θ1)sin(θ2)cos(θ3) + cos(θ1)cos(θ2)sin(θ3) }
四元数の回転の意味を考えれば当然だが、どんなθを代入しても必ず||ψ||=1になる。

θ1〜3に運動量の３成分と、XYZ座標の積をあてはめて、空間微分する。

∇≡（i ∂/∂x, j ∂/∂y, k ∂/∂z）
∇ψ = (i p1, j p2, k p3) ψ

ところで、ノルム１に規格化された四元数を R 倍すると、半径 R の４次元超球の表現が与えられる。
ベクトル (i p1, j p2, k p3) の成分は、それぞれ４次元表現での四元数を回転させる量であり、
これは、４次元超球上にある３次元超表面での移動を意味する。

つまり、我々の空間のXYZ座標は、４次元超球の径の回転角にあたると考えると、
空間微分して出てきた運動量をうまく解釈できるということ。
これと、地球上のある地点が、緯度と経度の角度２量で表現されるのと似ているのは面白い。

通常の３倍

http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html
ここ、ビデオとかグッズとかあって面白す

六拾九元数の目子筋物理への応用

＜＜　四元数量子力学ロードマップ　＞＞
パウリ行列とグラスマン数の四元数への統廃合。
四次元極座標表示が四元数で簡単に表記できることから、３次元空間の４次元超球表面への拡張。
四元数でローレンツ変換が出来る事から、一般相対論の再構築。
クォークの閉じ込めを素粒子の持つ基底パラメータが四元数の波動であることより証明。
四元数ヒルベルト空間の角度が四元数であることから、コンパクト化の困難を解消。
M理論を四元数で３次元の立方体振動へ拡張。
ＣＰ対称性の破れを四元数から難なく計算。
八元数によりサハロフの鏡像宇宙論を再提案。

十六元数も使ってください。

最近、数学的道具で物理に革新的インパクトを与えた話は聞いたこと無いな
逆ばっかだろ。
数学者が物理学で貢献できることが少ないのは、物理にとって数学は道具だから
必要なら道具すら作ってしまう物理学者にはかなわない。

荒削りのものを綺麗に正確に仕上げるのがせいぜいだな。

四元数のLnから三つの角度を算出。Expの逆算ね。
４次元を３次元にマップした超正距方位図法ができる。それで、CG作成、検証。
その空間中の物体の速度も四元数。掛け算すると、移動。のように見える。
重力相互作用させた趣味レーションの結果、自発的に円盤状の渦が発生。不思議だ。
OpenGLで組んだが、見たい奴は、・・・まあいないか。うｐマンドクセ('A`)
次、Biquaternion空間を計算予定。光速度限定を勘定するとどうなるんだろ？面白いなぁ

>>11
なんという良レス。�d。

>>102の動画うｐしました。よかったらみてやってください。
http://mocat.s341.xrea.com/

>>101
数学と物理学を天秤で量ってどっちが えらい みたいな・・・
最近というわけではないが、
整数論は暗号技術で情報工学にインパクトを与えたといえる。
そのほかフラクタルがデータ圧縮技術に。
使い道が無いと思われてきた数学の分野が非物理的な世界での道具になりえた。
現実という壁による制約が無いので応用可能な数学の範囲はかなり広くなる。
これまで工学にとって物理学は道具だったけど一足飛びに数学が道具になった。
物理学では数学は思考（脳という仮想世界）の道具だが、
仮想世界であるはずのネット・情報機器内では数学が現実の道具として
機能していたりして、立場が逆になっている。

てすと

４元数は、相対論でよんだことあるよ。

それは4元表示じゃないの？

卓球の変な女？

>>108
　テンソル表現を、４元数で書き直すことができるので、相対性理論を４元数で
書きなおしたものだったよ。

ハミルトンはほんとは、相対性理論を知っていたんだぜ。

六十九元数のメコスジ物理への応用

複素数、四元数、八元数、十六元数、三十二元数、六十四元数、百二十八元数、二百五十六元数……
右に行くにつれて使えなくなっていくものリストを作ってくれ
詳しく知りたい

>>113
有限の時間内に書き記す事が出来ないが頑張ってくれ

てｓｔ

http://gimpo.2ch.net/test/read.cgi/psy/1244181500/923

どなたかこの解説をお願いします。意味不明なんですが。

Levi-civita

>>113
量子ゲートに応用できそうだな、それ。
君は量子情報の新たな一ページを開いたのだ

複素解析みたいに４元数解析考えて複素解析みたいに面白い性質出てきたりしないのかな？
そういう研究って無いの？

　　　柳　下　浩　紀

数理物理学

積が回転運動になる不思議な数学
ttp://www015.upp.so-net.ne.jp/notgeld/quaternion.html
ttp://fumiononaka.com/TechNotes/Flash/FN0905001.html
ttp://marupeke296.com/DXG_No10_Quaternion.html
ttp://www.microsoft.com/japan/msdn/academic/Articles/DirectX/01/

メコス次元数の生理膣理への応用