高校生にテンソルを教えるスレ

その例えで言えば、普通は英語学習するとき最初にアルファベットから覚えるだろ
テンソルも、それから幾度となく比較に出されたベクトルも、最初は「数を並べたもの」から入るべきってことだな

俺ならりんごはｱﾎﾟｰ、牛乳はﾐｩｸから教えるな

ですから何度も言ってるようにテンソルとは立体行列のことです。
それ以上でもそれ以下でもありません。「テンソル＝立体行列」が本質。

>>829
じゃあ相対論の本に時々出てくる「〜はテンソルじゃない」という記述の意味を説明してくれ。
それとも>>814が苦しむのは別にかまわないとでも？

立体行列
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246851207/16
16 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/07/19(日) 01:48:12

1.26　立方行列式
　行列式の理論および応用のだいたいは以上ですんだ。最後に立方
行列式(cubic determinant, kubische Determinante)のことにつ
き一言を加える。
　行列式の概念を得られた人が誰でもただちに思い浮かべることは、
n^2 個の a_ik の代りに n^3 個の a_ijk (i,j,k=1,2,････,n) を立方体に
配列して、行列式の概念を拡張できないか という疑問である。
　この考はヴァンデルモンドにまで遡ることができるが、特に 1861
年にド・ガスパリ (De Gasparis) が論じて以来、多くの学者の研究
があり、さらに n^p 個の元素を考えてp次元の行列式まで拡張された。
　しかしその理論は複雑で、とうてい普通の行列式のような簡潔
さを得られないばかりでなく、今までにそれらの概念を応用すべき
なんらの実際問題にも出会わないのである。故にここにはその記述
をやめ、ただこのような拡張がすでに考えられているということだ
けを報告して、この第１章を結ぶことにする。
(出典)
　藤原松三郎 著 「行列及び行列式」改訂版、岩波全書40, p.85 (1961)

立方行列式はいらない。立方行列は要る。

>>827
高校生が最初に習うベクトルは数ベクトルなんだから、全くその通りなのでわ。

>>827は妥当だが>>829はおかしいね

何度言えばわかるのですか！テンソルは立体行列なんです！
上にも完璧な説明があるじゃないですか！！

> 上にも完璧な説明があるじゃないですか！！
すぐ上を見ると

>>827は妥当だが>>829はおかしいね

と書いてあるが

テンソルの直感的イメージ　それは立体行列

直観が理解の妨げになることはよくあること

誰もが一度は通る道。
獅子は我が子を千尋の谷に突き落とし、そこから這い上がってきたものだけを（略

>>839
這い上がってきたものだけが得られる直感、それが立体行列ですね。

這い上がって来れなかったものが抱く幻想、の間違いでしょ

>>837
空欄を埋めよ：直感を論理に優先させるのは○○○○の特徴

ょぅι゛ょ

「テンソルは立体行列」と主張している奴へ。

逆に問うが、おまえさんのいう「立体行列」ってのは何だね？
物理的な意味もなく、数学的な演算が定義されているわけでもない、
単に数を立方体に並べたもの、などというアホな答えだったりしないよな？
もし万一そんな答えしかできないんだったら、過去ログを全部読んで出直すべきだ。

いやいや、ちゃんと考えてます、というのならば、>>820と>>830に答えてほしい。
それができないのなら「立体行列」という言葉だけ振りかざしても何の意味もないよ。

それとも「立体行列」ってのは釣りかね？
ならば>>820>>830に対する答えがないのも仕方がないかもしれないが…。

立体行列って大人気なんだな。

>>844
ageてるやつはともかく、真面目に書いてる奴は>>834の認識だろ
>>820については>>824にちゃんと回答があるが

>>846
すまん、>>844だが、じつは>>824は自分なんだわ。
自分としては、とにかく立体行列君に何か言ってやらないと気が済まなかったので
「おまえは>>820に対して>>824以上の解答をちゃんと考えているのか？」
というつもりで書いた（もともと>>824は略解に過ぎないのだし）。
たぶん考えてないだろうけどさ。
（万一、考えてるのなら、単位行列の立方体版はどうなるのか説明して糒）

>>696 から　>>808にかけて立体的に数を並べたものがテンソルの直感的理解として
相応しいか議論されてる。で結論としては

テンソルの直感的理解、それは立体配列！！

数を並べただけではベクトルにもテンソルにもならない。それは単なる行列。

量子力学の基礎でspin 1/2系なんかやる時に、Hilbert空間としてC^2とるけど、
その元はただ数を並べただけだからベクトルにはならないんですね

二粒子系にしたときに、対称or反対称のテンソル積とるけど、
そうやって構成した元もテンソルじゃないんですね

先ほど改めて>>696-以降を読み返してみたが、なんで>>848のような結論になるのか謎だ。

>>846
> 真面目に書いてる奴は>>834の認識だろ
こちらに賛成。
べつに数を並べた表現を否定しているわけじゃないが、
>>849も書いているように、ただ数を並べるだけではダメで、
「テンソル」の名にふさわしい物理的意味を与えるなり数学的に演算を定めるなりしてはじめてテンソルと呼べるものになる。
>>850は物理的な背景を特定しているし
それで演算も特定されるだろうから、そこが了解済みならテンソルと称してもおかしくないだろう。
（「Hlbert空間として…」と言っているくらいだからその元はベクトルに決まっている）

さっき気づいたんだが
>>848
> テンソルの直感的理解、それは立体配列！！
今までとは言い方が微妙に違う
>>819>>825>>829>>835>>837>>840
> テンソルとは立体行列のことです
> テンソルは立体行列　間違いない
> テンソルの直感的イメージ、それは立体行列
> 何度言えばわかるのですか！テンソルは立体行列なんです！

別人だろうか
それとも>>847に対する防御反応だろうか
掛け算も単位行列も関係ない！と開き直った、みたいな

>>851
C^2持ってきただけで（＝数二つ並べただけで）、自然にHilbert空間の構造入るでしょ
それをC^2の元は（自然に構造入れるまでは）ベクトルじゃないとかいうのは、ほとんどナンセンスに近い主張だと思うけど

C^2に内積なんか定義されてませんが、一体どうやってヒルベルト空間の構造が自然に入るのでしょうか？

>>854
ベクトル空間Cについて、Cの絶対値をベクトル空間のノルムとみなすのが自然で、そのノルムを導くHermite内積も自然に定義できる
それをC^2に自然に拡張するだけだけど？

内積の定義が自然かどうかなんて問題じゃないんですけど？

自然に定義されるものを「定義されていないから云々」と問題にするのはナンセンスだって言ってるんですけど？

ですけど？

内積の定義は色々ある。どの内積が“自然”かなんて恣意的なものにすぎない。

まあそりゃそうだが、そうは言っても「自然な」という形容は数学で一般に使われてるだろ
どういう意味で自然かを規定するのは直観でしかないが

なんか論点がずれてる…。

C^2に自然な和とスカラー倍と内積が入り得ることは仮に認めるとしてもだ
論点はC^2じゃなくて「立体行列」の掛け算はどうなってるんだ？ということ
説明不要なほど自明というわけじゃないでしょう？
（和とスカラー倍は自然に入るとしてもいいが、掛け算はどうなの、という問い）

しかも自分が知りたいのは答えそのものじゃなく、
立体行列君がどう思っているかなんだ。
奴が単なるアホなのか、それとも何らかの考えがあって言っているのかを知りたい。

まずもってキレイに定義できるのか？
行列なら a_{ij} = b_{ik}*c_{kj} でいいけど、立体行列を考えたらこれを拡張しようと思っても足が浮くからある種特殊なルールを置かねばならんと思うが。

>>857
必ずしもナンセンスとは限らないんじゃないでしょうか。
C^2に見えるデータは、じつはベクトルじゃなくて平面上の線分の表現かもしれません。
もしこのデータの加法に「線分をつなぐ」という意味を持たせたいと考えたら、
「自然な」定義とは異なるものを採用することになるでしょう。

いくつかの実数を並べたデータがあったとして、それがベクトルと思うのは早計で、
何らかの物理的理由により通常の足し算が適用できない可能性もあります。
それは緯度と経度かもしれないし、最高気温と最低気温かもしれません。
今日の最高気温と明日の最高気温を足しても普通は無意味ではないでしょうか？

もちろん>>853のおっしゃることも分かりますけれど、
数ベクトルでさえこのとおりケチをつけようと思えばつけられるわけですから、
ましてテンソルの場合、定義の一部として演算を明示的に示せという主張は
むしろ道理にかなっているように思われます。

>>862
普通に考えつく方法をとる限り、できないと思う。
だからこそ立体行列君に「君はどう考えてるんだ」と問いただしたいわけだが。

お前ら立体君に釣られすぎ。
単細胞だな。

>>863
論点が二つあって、一つは純粋に数学の話
自然に定義できるもの以外に定義をすることはもちろん可能だし、
そこに関してはまったく正しい
が、テンソルに関しては、テンソル積は少なくとも自然に定義されると主張して賛同を得られると思うんだが
三次元ベクトルの内積や外積に該当する概念は自然には定義されないし、
それに関しては明示的に示す必要があると思うけどね
（個人的には縮約までなら自然と言っていいと思うけど）

それで、もう一つ、数学を科学にどのように用いるかの話
例えば、氷点以上の温度は摂氏で表すことができて、
これはT>=0の空間だから、少なくとも内部で閉じている加法と乗法が自然に定義できる
が、摂氏を何かと掛けても意味ないことを論拠にして、「数を一つ持ってきても乗法は定義されない」なんていうのはナンセンスじゃない？
何かしらの物理量を表すのに数学的集合を持ってきたとき、その集合には色んな構造がくっついてくる
でも、その構造のうちどれが科学として意味のあるものかは、それは数学とは別途に考えるべきことでしょう

なんだ結局立体君は釣りだったのかｗｗ
何か信念があってマジで書いてるのかと思ったよ

>>866
どちらの論点についても、簡単に言えば
「大人どうしなら全くそのとおり、でも子供相手には違う対応が必要」
というのが私の意見です（大人というのはもちろん比喩的な意味で言っています）。

まず第1の数学的に何がどこまで自然に定義されるか云々ですが、
自然に定義される、という言い方が通用するのは
既に基礎ができている人のあいだに限った話であるように私には思われます。
全くの初心者は 2 + 3 = 23 とか (a,b)・(c,d) = (ac, bd) とかいう式を
それこそ「自然に」書くことがありますから。

言ってみれば、茶道の心得を問われたときに
「自然に振る舞えばいいのですよ」と答えるようなもので、
間違ってはいませんが、場合によっては不適切なアドバイスになるかもしれません。
そういう意味で、数学の初心者を相手にする場合、
「自然に定義されるものなど何一つない」
ということを一度は強調すべきではないかと思います。

>>866>>868
第2の論点ですが、
「数を単独で持ってきても演算は定義されない」というのはもちろん不正確な表現で、
「数を単独で持って来た場合、おまけとして『自然な演算』がくっついてくるが、
　それが、いま考えている問題において意味がある演算になるかどうかは別問題」
というのが正しい表現でしょう。
けれども、いつでもこんな長ったらしい表現をするのが良いこととも思えません。
また、何らかの特定の分野の著書において、
「自然な演算」が物理的に意味のある演算にならないことを著者が予見していて、
なおかつそこを見分ける「大人のセンス」を読者に期待できない場合、
演算はすべて自分で定義しない限り無効と見なす、という立場をとるのも、
それなりに筋のとおったやりかたなのではないかと私は思っています。
気持ちとしては Fortranの「implicit none」宣言に似ているかもしれません
（ただ、この宣言自体が明示的になされていないことがあって困るのですが…）。

>>740を引用
>3階テンソルが
>ルービックキューブみたいな形というのは
>直感的でわかりやすい
>素晴らしい説明だ
>
>厳密さに欠けるとか
>そんなことはどうでもいい
>わかりやすさが一番

やはりテンソルの直感的理解は立体配列！！！

>>870
もう飽きたから、別の手口を使え

>2つの行列
>A = (a_pq) (p=1,...,k, q=1,...,l), B = (b_rs) (r=1,...,m, s=1,...,n)
>に対して、
>C = A ⊗ B
>を
>C = (c_pqrs) = (a_pq b_rs)
>という四次元配列の形で表すことができて、
>各 c_pqrs を { (p,q,r,s) | p=1,...,k, q=1,...,l, r=1,...,m, s=1,...,n }
>上に配置する
>この格子点は R^4 の部分集合に自然に対応付けられて、
>その対応先は超立方体内の格子点でしょ？

やはりやはりテンソルの直感的理解は超立方体！！

もう秋田

>>873
いちいち反応するなよ。

>いいえ、違います。テンソルと配列とはなんら関係がないと思っ差し支えありません。
>成分の並べ方はどうでもよろしいのです。ほとんどすべての本で、２階のテンソルと
>行列との対応が書かれていて、それはそれでいいのですが、
>２階テンソルからの安直な類推によって高階テンソルを配列として
>理解しようとしてしまうなんとも不可思議な症状が多くの方に見られます。
>まったくのナンセンスです。

終了

黙って佐竹嫁　

終了