***有限矩形量子井戸中の電子***

これって、解析解ってあるの？

_____ ______
| |
V| m->o |
|_______|
W

解析解なかったら簡単なシュレーディンガー方程式の数値解法
を教えて。

なんか、アスキーアートが壊れてる、

要するに、

{p^2/2m+V(x)}φ(x)=Enφ(x),
V(x)=0 (x<0, a<x), -V (0<=x<=a)

の解ね！

ある

というか、いろんな意味で
おまえそれじゃだめだぞ

>>3

教えてください。
参考文献だけでも。(日本語の本は多分図書館にないので、洋書なら
教えてください。）

こういうのを問題のまるなげといって
この板では一番けしからんことなんだよ

くっそー、やっぱり、2chの英知を結集してもこの
難問は解けないのか。

板たたた。

ちょっと頑張ってみたけど意外と難しいな。

この問題は、高度な特殊関数の知識が必要です。

解析解ありそうな気がするけど、おそらく特殊関数が入り込むだろうな。

はいはい単独質問スレは削除よろしく

こんなの量子力学の本にあるじゃんよ

この解析解を本から探し出せないなら、物理やめたほうがいい。

>>14
釣られちゃだめっつうのw
あんたもお人よしだな

お前ら適当に言ってるが本当は誰も分からねぇんだろ？
俺はしょうがないから、市販の数式解析ソフトに放り込んでゴリゴリ、
数値計算してるが、解析解がどうしてもみつからねぇーんだよ。
俺の指導教官も見つけらんねー。
なんとか、してくれよ。
俺はもう、これは解析的に解けない問題だと思い始めている。

>>1
未だにポテンシャルの形が分からん。
>>1のアスキーアートを作り直してくれ。

>>7
アスキーアートがうまく行かないから、>>2に方程式を書いておいたのですが。

＿＿＿　　　　　＿＿＿
　　↑｜　　　｜
　　ｗ｜　０ｍ｜
　　↓｜＿＿＿｜
　　　←　a　→

ちょっとうまく行った。

{p^2/2m+V(x)}φ(x)=Enφ(x),
V(x)=0 (x<0, a<x), -V (0<=x<=a)

つまり、量子井戸の問題で、井戸の深さが無限大じゃなくて有限の場合と言う事です。

>>1
V(x)=0の領域とV(x)=-Vの領域で別々に解け。これさえ解けないなら物理やめたほうがよい。
それぞれの領域で一般解が出たら、x=0,a,-∞,+∞の境界条件を考えて積分定数を決めれ。

どの量子力学の本にも最初のほうに井戸ポテンシャルと一緒に出てなかったか？
簡単な表示は出来ないが一応解析的に出せたような。

>>1は、>>20の言うようにφ(x)３つ決めてからエネルギー固有値を求めるのに
苦労しているのでは？確か、解析的には途中までしか解けないんじゃなかったかな。
絶対どこかに載っていた。調べてみなよ。

>>1
解法はだいたい>>20に出てるけど、
必要な関数って exp を組み合わせるだけよ...
特殊関数なんてな〜んもいらん。

>俺の指導教官も見つけらんねー。

物理学科じゃないのね...
もし、物理科ならその大学をさっさとやめて、他に移った方が君の為だと思う。
これマジレスね。

問題自体は学部３年の演習レベルです。

>>20, 21, 22, 23
こんなのにマジレスしたら思うツボじゃん。

>>23まぁそうおっしゃらなくても…。
きっと教官ﾃｷﾄｰなこと言ったんじゃないかな…と信じたい。

波動関数、及びその微分係数は連続を使えば良し。

後者は証明しる！

ネタなのか！？まぁいいや、よく読んだら英語の参考文献おしえてって
ことのようなのでGreinerにも載ってるぞってだけ…報告。

ポテンシャルがx<-2a:無限大、-2a<x<-a:0、-a<x<0:V、
x>0:0である時、-2a<x<-aのポテンシャル井戸に束縛されている
質量mの粒子の寿命を評価せよ。という問題がわかりません。
教えてください。

>>28
単位時間当たりのトンネル確率を計算してください。

質問スレじゃねえっての。放置しろボケ。

パリティー（雑誌じゃない）の御利益の説明によく出てくるね。

円筒穴だったらランダウの本に出てた記憶あり。

いやー、何回か果敢にアタックしたけど、すげー難しいぞー。
どうやって、境界条件によって、exp(-Ax)の減衰項をたたき出すんだよー。
束縛状態ではexp(-Ax)が解に出てこなければいけないのは分かるんだけど。
むずい・・・・。

>>33
あなたの教官に聞いてください。

つうか、こんな演習問題解くのに何日かかってんだ？

うわっ！ まだ悩んでたのか。
いいかげん質問スレに行け。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1025840212/l50
>676 にヒント書いてやったからよー。

>>34
いや、だから、教官もわかんないんだって。
だから、数式解析ソフトで無理やり数値計算でゴリゴリといてるよ。
でも、数値計算だと今いち、深い考察までいけないんだよね。
ちなみに、物性理論系です。
半導体量子井戸構造にはまった電子の挙動を調べたいわけよ。
前回のPhys.Revの論文はしょうがないから数値計算の値を使ったけどさー。

いまさらですが、「矩形」ってどう読むんですか？

>>37
くけい

>>36
これが10分くらいで解けなかったら院試で落されると思うが...

だいたい、数値計算で解く方がよっぽど面倒だぞ。

>>36
こんな3年の演習問題が解けない大学教官って何者？？？
ネタだろうけど。

>>1
一体、この問題の解法の何処が分からんのか謎なんだけど。

φ(0)=φ(a)=0とは出来ないんだけど、だったら、どんな、境界条件を
かせばいいんだ？大体、量子井戸の中の関数の形をexp(ikx)で仮定して
良いものかどうか？

>>33
majiresu
はっきり言って減衰項を叩き出す方が簡単。
解はk,a,bを一般に複素数として、aexp(kx)+bexp(-kx)となる。
エネルギーはk=\sqrt(-2em)/hを満たすからkは実数or純虚数
波動関数に求められている条件は、規格化できること、
即ち自乗可積分でなければいけない。もしkが純虚数なら、
[a,∞]もしくは[-∞,0]で積分すると発散するだろう？
だからkは実数(即ちE<0)。さらに、発散してはいけないから、、、

e→Eのことね

>42
微分方程式からやりなおしたほうがいいよ。
まぢで。

>>36
その教官、をっさん以下だな(w
とりあえず、シッフでも嫁

>>42
補足すると、±∞でφ=0になることがここでの境界条件を考えればいい。

ん？ そもそもこれ一次元？
それとも三次元？

>>48
1次元です。
完全に1次元の量子井戸です。
ただ、井戸の深さが無限大ではなく有限と言うだけの話です。

>>1
君は一体、リアルで何回生なの？
問題からすると、２回生か３回生？

量子井戸でPhys.Rev.に論文書いたとか、
教官も解けないとかいうと、
かえって回答は得られないと思うのだが...

こんな基本問題すら解けない物性理論系なんて本当に実在すんのかヲイ！？
ウソだろヲイ？ウソだと言って下さいよヲイ！

>>42
境界条件わかんないのにどーやって数式解析ソフトで解けたんだよ。

>>51
　禿同。
　しかしこれほんとにネタじゃないのか？ネタだとしたらウザイだけだし、
ネタじゃないとしたら「お前適正なし」の烙印押されてるな。

>>53ネタだとしても目的がわからん、これで本人楽しいのか？

もし仮に（あり得ないとは思うが）
>>1が大学の学生なら大学設置基準の大幅な見直しが必要なほど
重大な事態だぞこれは。

分数が出来ない大学生。
１次元単純矩形ポテンシャル問題も出来ない物理学徒。

か。 確かに深刻だな。

無駄な時間を過ごした。とりあえず>>1は氏ね。

ま、難問だと思ってたら簡単だと指摘されて逆上しちゃったんだろうな。
ここで素直に指摘に従って量子力学の本を丁寧に読み直せばよかったんだろうけど、
>>16>>36のような、解ってる人から見たらﾀﾁﾄﾞｺﾛにばれちゃうハッタリをかまし
ちゃって後に引けなくなったと

正直に言えよ。教官にも聞いてはいないし、数値計算もしちゃいないし、
ましてや半導体量子井戸構造にはまった電子の挙動を調べる気なんて
サラサラないってことをさ>>1

お前ら、本当に分かってのか？
数値計算で解いたのは俺の教官だって。
大規模なシミュレーションの結果の解釈が簡単な量子井戸構造でできるってのが
ポイントだって。
でもって、ファーストは俺だ。（PRB)
しかし、次の論文では量子井戸構造のアナロジーをもっと深めたいわけよ。
だから、こうやって、恥を偲んでお前らみたいなあほーな２ちゃんねらーに
聞いてんだろ？

まあ、確かに、ろくに微分方程式の本も読まずに、自分の手で解こうとして
簡単に解けないから、お前らに聞いて、あっさり終わらせようとした俺も悪いよ。

しかし、だなー。
お前ら本当に分かってんのかと、問いたい。問い詰めたい。小一時間ほど問い詰めたいよ。
俺は来年、博士だし、もう、PR4通もファーストで書いてるんよ。
物性理論系だぞ。ごぅらぁ。

大体、微分方程式の解析解なんてそう簡単に出せるわけないだろ。
ここで、分かってるごくごく一部の奴も、たまたま、同じ問題を載ってる
本を見つけたってだけの話だろ。
全く…

>>1が何を言いたいのか分かりました。
この問題、エネルギー固有値は解析的には求まりません。
このトピック自体はシッフだろーがメシアだろーがどんな量子力学の教科書にも
載っていますが、エネルギー固有値Eはこの連立方程式の解で与えられますよ
ーとしか書いていない。その連立方程式は数値的に解くしか無理やと思います。
束縛状態の個数だって井戸の深さによって変わってくるし・・・
まあ一次元問題だと最低一個は存在するけど。






と混じれ酢してみるテスト

>>60いやだからそう言ったじゃん私が、でもそれ以前の問題だったみたいなわけよ。
ちゃんと全部読もうね。

>>59偶然、というかほとんど総ての本に載っているという罠。
あしからず。

>>1
教官が数値計算したのはエネルギー固有値なんだよね？
そして今悩んでるのは減衰項がどうして出てくるか、ということであって、
無限遠方で波動関数がゼロになるという境界条件から出てくるぞーという回答
では納得できないのだね？
確認のため。

>>62
>>42（＝1）のレス見てみ。
こいつ微分方程式の一般的な解法すら知らないんだよ。

そうか、じゃあ井戸の中心を座標原点としてパリティ偶の場合と奇の場合
に分けて考えろと言っても>>1はわかんねえわけだな。
そんな基本に戻って懇切丁寧に教えてくれる２ちゃんねらーは皆無に等しい
と思われ。甘えるな>>1よ。

１.常識的な判断
だいたい>>58が指摘しているが、>>1は何処かの物理学科の２年か３年。
演習問題の答が早く欲しいが為に、
取り敢えず難問だと騒ぎ立てて、誰かが答えてくれると期待した。
一応、量子井戸とかPhys.Revとか言葉は知っている。単なる教えて厨房。

２.もし>>1がＭ２だった場合
殆んど有り得ない場合ではあるが、もしそうなら事態は極めて深刻。
「分数の出来ない大学生」どころの騒ぎではない。
以下のような場合が考えられる。
　　a. >>1が院試を不正な手段を用いて突破した。
　　b.>>1の大学・研究室が大学院の合格通知を送る相手を間違った。
　　c. >>1の研究室の院生は>>1のみ。超マイナー大学で、彼しか研究室に来なかった。
　　d. >>1が指導教官の弱み（不倫とかセクハラ）を握っている。これならPR4本も納得。
いずれにせよ、日本の物性理論が極めて深刻な癌を抱えている事を意味する。

日本の物理学の発展に悪い影響を与えない為にも、
上に挙げた「１.常識的な判断」である事を願ってやまない。

>>59
http://csx.jp/~imakov/quantum/well1.html
http://www.phy.saitama-u.ac.jp/~yosinaga/2001kougi2.pdf

＞俺は来年、博士だし
軌道修正は早ければ早いほど良い。
あんたの一連の発言見てる限り適正は数学的にゼロ。

>36
> 半導体量子井戸構造にはまった電子の挙動を調べたいわけよ。

ということなら、T.Ando辺りが20年程前にやった仕事が沢山あるけど。
1980年代前半に、Ando, Fowler, SternがReview of Modern Phisycsに
書いてるはずだから、参考にするといいよ。日本語でも超格子の本が
あったと思ったけど(培風館だったかな？)。

その後もHEMT(High Electron Mobility Transistor)や量子井戸レーザーに
関連して、理論・実験を問わずこの手の論文は沢山ある。PRBはもちろん、
IEEE関連でもいろいろ文献は見つかると思う。

>>67
純粋に疑問なのですが、ここで問題になっている１次元の量子井戸で
モデル化されるような系が実際に存在するのでしょうか？
２次元なら想像できるんだけど。(もちろん３次元もね)

計算機

>68

>67で挙げたHEMTや量子井戸レーザーが実例です。
x,y方向は自由電子、z方向に量子井戸構造として扱うので、
変数分離してからの話ですが。

>>70
x,y方向は束縛されないんですか。
ところでレーザーの進行方向は？(不勉強なもので)

懲りずにうそぶく>>59ｲﾀすぎ

>71
電界効果トランジスタとして利用する場合、束縛しません。

レーザーの進行方向は、井戸に平行な方向です。具体的には、
googleで"quantum well laser"をキーワードにイメージ検索を
すると分かりやすい絵がいくつか見つかります。

私自身、この分野から離れて久しいので、この辺りが限界です
かね…今はレーザー(≠量子井戸レーザー)を使う側なので。

矩形1次元量子井戸
V(x)=-V (|x|=<a), 0 (|x|>a)

1.|x|>a, E<0の場合
シュレーディンガー方程式
-h_^2/2m d^2/dx^2 ψ(x)=Eψ(x)

ψ(x)=exp(λ1x) とおく。
λ1=±√2m(-E)/h_=±k1
∴ψ1(x)=C1exp(k1x)+C2exp(-k1x) (x<-a)
ψ2(x)=C3exp(k1x)+C4exp(-k1x) (x>a)

2.|x|=<a, E<0の場合
シュレーディンガー方程式
(-h_^2/2m d^2/dx^2 - V) ψ(x)=Eψ(x)

ψ(x)=exp(λ1x) とおく。
λ1=±i√2m(E+V)/h_=±ik2
∴ψ3(x)=C5exp(ik2x)+C6exp(-ik2x)

3.境界条件
i) lim[x→∞]ψ(x)で発散しないためには。
C2=C3=0
ii) x=-a
ψ1(-a)=ψ3(-a), ψ'1(-a)=ψ'2(-a)
∴C1exp(-k1a)=C5exp(-ik2a)+C6exp(ik2a)
C1k1exp(-k1a)=ik2(C5exp(-ik2a)-C6exp(ik2a))
iii)x=a
ψ2(a)=ψ3(a), ψ'2(a)=ψ'2(a)
∴C5exp(ik2a)+C6exp(-ik2a)=C4exp(-k1a)
ik(C5exp(ik2a)-C6exp(-ik2a))=-C4k1exp(-k1a)

以上より、C1,C4,C5,C6が意味のある解ををもつためには次の行列式が0である必要がある。
|exp(-k1a) 0 -exp(-ik2a) -exp(ik2a)||C1|
|k1exp(-k1a) 0 -ik2exp(-ik2a) ik2exp(ik2a)||C4|=0
|0 exp(-k1a) -exp(-ik2a) -exp(ik2a)||C5|
|0 -k1exp(-k1a) -ik2exp(ik2a) ikexp(-ik2a)||C6|

∴4iexp(-ik1a)(k2cos(k2a)+k1sin(k2a))(k2sin(k2a)-k1cos(k2a))=0
∴tan(k2a)=-k2/k1 or k1/k2
∴tan(√2m(E+V)/h_ a)=-√((E+V)/(-E)) or √(-E/(E+V))

以上より、固有値、波動関数が粒子の質量、井戸の深さ、幅をパラメータとして
求められる事が分かる。

皆さん､お騒がせしました。
しかし、指導凶姦はシュレーディンガー方程式と井戸の形のポテンシャルを
数式解析ソフトにぶち込んだだけでソフトが勝手にゴリゴリ数値計算してくれる
ような事を言っていました。
手で解いても結局、最後の方程式を数値解析で解かなければいけないみたいですね。
しかし、ずっと、見通しがよくなりました。

そこで、質問です。
１．なぜ、井戸の端のところで一回微分まで等しいとできるのでしょうか？
滑らかにつながらなくてもいいような気がします。
２．井戸の外の連続状態のシュレーディンガー方程式はどうやって解けばいいのでしょうか？
３．tan(k2a)=-k2/k1 or k1/k2から、この井戸はどんなに浅く、どんなに薄くても必ず一つは
束縛状態があるような気がするのですがこれは正しいのでしょうか？

>>66
そのサイト役に立ちました。

>>76
シュレーディンガー方程式を井戸の端を含む微小区間で積分してみ

>>76
１.は>>77に書いてあるとおりなので省略
２.は解き方は全く同じ。±∞での境界条件が違うだけ。非束縛状態なら無限遠まで行きうるからね
３.は正しい

そこで質問です。キミは本当に物性理論の院生ですか？

なんでそんな基本的なことを知らないの？

>>76
ねえねえ、そんなの普通は学部のうちに勉強するでしょ？
なんでそんなこと今頃人に聞いてるの？
ずばりそのものを忘れてても自分で理屈を考えればわかるでしょ？

>>78

ちょっと、今から、家に篭って論文を完成させます。
また、しばらくしたら現れます。
えー、物性理論の院生です。
来年、博士号ゲットします。
しかし、私はすでに国際会議に2回招待されてるし、ここに来て
煽っている方たちよりかなり業績があるような気がします。
ちなみに受験勉強は出来なかったので学部は某私大です。
しかし、理論物理やってて思うのは東大生とかはこういう問題は
すらっと解けるんですけど、東大->東大院の90%の学生は間違いなく
私より、研究できません。
なぜなら、こういう問題は今回の場合、
「複雑なシミュレーション結果が簡単なモデルで説明がつく」
と、思いつけるかどうかが大切であって、
その簡単なモデルを一時間で解くか一週間で解くか人に聞いて解くかは
全くどうでもいいことだからです。

ちなみに、半導体へテロ構造ではありません。
そういった研究はすでに大量にやられているので旨みがありません。
まあ、半導体のなんかの研究してるんですが。

ううーん、よくわからないけど、この問題をやっと解けて完成する論文ってどんなのなんだろ？？
いや、純粋に、煽ってる訳じゃないです。

>>82

いや、メインはシミュレーションです。
これから、解析的なモデルとくらべるところです。
ちなみに、これから家に篭って書く論文はこれとは別ので、
Invitedされた会議の論文です。締め切りがあるんで。

>>81
おまえ、愛知県の大学の工学の野郎のような感じか？
氏ね。

>>84
初めて大鳥居がいいこと言った！

>1はもう見てないかもしれないが。

「複雑なシミュレーションをしなくても、簡単なモデルで説明がつく」
と、思いつけるかどうかがよっぽど大切だし、
その簡単なモデルがすぐに解けないようなら、そのモデルとのアナロジーも
思いつかないものだよ。

まぁ、宿題が解けて嬉しいんだろうけど。

こんなやつに学位与える大学院なんて存在していいのだろうか...(ﾟдﾟ)ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

>>85も>>1も怖いよー

ｳｴｰﾝ

井戸型ポテンシャルに一ヶ月か・・・。
調和振動子なら一年かかるなこりゃ。
ま、”Invitedされた”会議がんばってくれ（ｗ

>>1
まあ、論文ばんがれ。

>>1
頑張ってください。
こんな簡単な問題を２ちゃんで質問する人（しかも理解に１か月）がどれだけ
の業績を挙げることができるのか大変楽しみです。いや、マジで。
>>59は理解している人に対して失礼ですよ。それは分かってますね？

>>1さんは学部は物理学科じゃなかったりして…。

>>91
分かっていないから書けるのでは…

教科書に載ってる問題は教科書見ずに解こうとするとどれも
すげー難問だよ。
誰が水素原子のシュレーディンガー方程式教科書なしで解ける？
ただし、1は図書館に行くことを怠ったただのばか者。
ちょっと厚い量子力学の本ならこの問題は大体載っている。

>>94
教科書のやり方を見る前に自力で解いた記憶は無い、に一票。

>94
水素原子の問題といっしょにしないでくれ…。
井戸型だよ、井戸型。
波動関数の形なんざ見ただけでわかるだろ。

>>96
はげどう。研究者なら形を想像するのは造作もないはず。

age

>>1の宿題が解けたので終了?

そうか、>>1の宿題が解けたから、【厨丼】なのか。