不完全性定理

ゲーデルによって
おまいらの不完全性は既に証明されているわけだが・・・
この事実を、ちゃんと理解できているのか？

関連スレ

【ゲーデル】@哲学板
http://academy.2ch.net/philo/kako/1024/10249/1024981591.html

ゲーデルの不完全性定理
http://mentai.2ch.net/philo/kako/1014/10140/1014017182.html

ゲーテルの不完全性定理★★
http://mentai.2ch.net/philo/kako/997/997602720.html

数学や物理学にくらべて哲学は簡単か？
http://mentai.2ch.net/philo/kako/999/999798385.html

分析的言明とゲーデルの不完全性定理
http://mentai.2ch.net/philo/kako/981/981628780.html

>>1
cos(1/2)xを
x=0の周りでテイラー展開せよ。
バカだからたぶん出禁だろうな

>>1
おまえがバカ。
なんでこーゆー低レベルなレスが付くかな〜

大学教養レベルの
数学的素養のないやつが
数学基礎論を語るな。

1は�dでも

>>4
やってみろ?

>>5
> 大学教養レベルの
> 数学的素養のないやつ

漏れは理系ですよ。

> 数学基礎論を語るな。

哲板で数学基礎論を語るつもりはありませんよ。

>>7
面倒なので、嫌ですよ。

どのように面倒なのか
言ってみろ。

は？すべてにおいて面倒なんだよ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。

ちなみに、大学教養レベルの数学と数学基礎論につい
ての深い理解のある香具師の目には、君等のカキコは
愚問として映っているはずだ。君等（ちょっと数学を
かじったDQN文系？）は無知を晒してるだけだよ。

もう漏れに食い付こうとするのは止めれ。

なお、ここで不完全性定理を語るにあたっては、それについての
数学的に厳密な理解は必要としない。哲板でそれを求めるのは酷
だし、それは哲板で語るべき内容ではないからだ。哲板らしく、
哲学的な観点から、ダイナミックに頼む。

そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。
そんなのは、cos,合成関数の微分と整級数展開の公式を
知ってれば、君等のようなバカでも解けるだろ。

不完全性の意味を教えてくれ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／⌒〜Y⌒"""ヘ　　　ﾍ∨ ∨
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／⌒／　　　へ　　　　＼|＼
　　　　　　　　　　　 ／　　　　　　　　　　　/　 /　　 /( ∧　　）　ﾍ　ﾍ 　　　　　 　>1
　　　　　　　　　　 く　　　　　　　　　　　／/　（　/| | V　)ﾉ（　(　（　　ﾍ＼　　 教　 て
　　　　┘／＾|　　　 ＼　　　　　　　　 （　　|　|ﾍ|　ﾚ　　＿　ﾍ|ﾍ　)　＿ﾍ 　　　 　 め
　　　　/|　　 .|　　　　　　　　　　　　　　|　　）） )/⌒""〜⌒""　　 iii＼　　　　え　 ｜
　　　　 .|　　α　　＿　　　　　　　　　　ﾍ　ﾚﾚ　　"⌒""ﾍ〜⌒"　　||||＞　　　て　 ｜
　　　　　　　　　 ＿∠＿　　　　　　　ｲ　|　　|　 /⌒ｿi　　 |/⌒ﾍ　　＜　　　　や　
　　　　　＿　　　　 (＿　　　　　　　　) ﾍ　　|　‖ （） ||　　|| （） ||　 ＿＼　　　ん　に
　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　 (　 )　ﾍ |i,ﾍゝ=彳　 入ゝ=彳,i|＼　　　　ね 　は
　　　 ／ー　　　　　　　　　　　　　　　（　／　　"""/　 　ー""""　　　＞　　　｜
　　　　　 ＿）　　 ｜　　　　　　　　　 ﾍ（||ii　　　 ii|||iiii＿/iii)ノヘ|||iiiii＜　　　 !!!!!　
　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　 ( ﾍ|||||iiii∠;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;　 　　 ﾌ　　
　　　　/////　　　ﾍ＿／　　　　　　　) ﾍ|||""ﾍ===二二二===７ﾌ　/　ﾑ／∧　∧　∧
　　　 /////　　　　　　　　　　　　　　(　 | ii　 | |ＬＬ|＿|＿ＬＬＬ//　|　 　 ）（　∨|　∨)
　　　・・・・・　　　　　　　　　　　　　　　 )　)| || | |||||||||||||||||||||||| |　|　 　（　ﾍ |　ﾍ ) (
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　| | /|　.| |||/⌒／⌒ヘ | |　|　 iiiiﾍ　( |　（ | /
　　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　/　(|.|　| |　　　　　　　| |　|　 iii　 ) | ﾍ　）(　)
　　　　　　　　　　　 （　　　　　　　　　　(　/..|　 | |＿＿＿＿_/ |　|　 iii　 ( ）（　// /
　　　　　　　　　　　　＼　　　　　　　　 )　）..|　　|ﾍＬ|＿|＿Ｌ/ / /　 ,,,,--（/Vﾍ）(／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/　(　.|ﾍ ＼＿ﾍ |＿/ /　／

　　　　　 　,;i|||||||||||||||||||||||||||||||ii;､　　　　　　　　　＿／
　　　　　／||||||||||||||||||||||||||||||||||||||ii;､　　　　　 　　＼
　　／￣￣＼||||||||||||||||||||||||||||||||||||ii;ﾞヽ,　　　　　　／
'"￣ヽ　　　　　ヽ!!||||||||||||||||　　||||||||||!!"ﾍ　　　　 ＜　アータマからっぽのほうがー
ヽ　　　　　　　　　 ﾞ!!!||||||||||||　　|||||||!!　　 iヽ──　/
|||ｌ　　　　　　　　　 　　ﾞﾞヽ､ｌｌ,,‐''''""　　　　 | ヽ|||||||||ゆーめつめこめるー
|||ｌ　　　　　＿＿＿＿　　　ﾞｌ　　　＿＿　　　＼|||||||||　　
||!'　　　 ／ヽ､　　　　 oﾞ＞┴＜"o　　 /＼　　 |'"￣|
＼　　／　　|ミﾐヽ──‐'"ﾉ≡- ﾞ'──''彡| |､　|　　 |
　 ￣|　　　　|ミミミ／"￣ ､,,／|ｌ￣"'''ヽ彡|| |､/　　 /　
　ヽ､ｌ|　　　　|ミミミ|　 |､────ﾌヽ |彡ｌ| |/　　／＿
　 ＼/|ｌ　　　 |ミミミ|　＼_/￣￣ﾌ_/　 |彡|ｌ/　　　￣／
　　＼　ﾉ　　 ｌ|ミミミ|　　＼二二､_/　 |彡|　　　　　　ﾌ　　
　　　￣＼　　ｌ|ミミミ|　　　￣￣￣　　|ﾒ/　　　　　　 ＼
　　　　|　＼　ヽ＼ミヽ　　　￣￣"'　　|/　　　　　　　　/
　　　 /　　＼ヽ､ヽﾞ''''ヽ､＿＿＿＿_／/　　　　　　　／＿
　　／　　ヽ　ﾞヽ─､──────'/|　　　　　　　　￣／
. ／　　　　　　　ﾞ＼　＼　　　　 /　/ ＼＿＿　　
　　　───'''"￣￣￣ﾞﾞヽ､__,,/,-'''"￣　　　ﾞ''─

http://life.fam.cx/a007/

黄門様が帰ってきたぞ!

>>13
理論の任意の式Ａについて、Ａあるいは¬Ａが証明可能で
あるとき、その理論は完全であると言われます。それが成
立しないとき、その理論は不完全であると言われます。こ
れが元々の意味。

それとも、1で用いられている不完全性の意味について訊い
ているのかな？なら答えはこうなります。

1には特に定まった具体的な意味はありません。スレ立ての
都合上のものです。

>>14
はいはい、何を教えてもらえるはずだったのか分かりません
が、別に教えてもらわなくてもいいですよ。

落ちてるコインを探しつつ、エロ本を貪り読む

>>15
そうですね。

みてね〜♪
http://www2.free-city.net/home/kojiro/page003.html

データ誤魔化して元データもってないというのが新しいトレンドだぞ！

cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2/2n!

上の式の間違いを指摘せよ。

>>23cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。

cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。
cos(1/2)x＝Σ[1→∞](-1)^n/(2^2n)･x^2n/2n!
だからx^2の部分が間違ってる。


ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　
　∧_∧　　　 　　∧_∧ 　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼ ＼　 　└＼ ＼　　 └＼ ＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ
ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　
　∧_∧　　　 　　∧_∧ 　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼ ＼　 　└＼ ＼　　 └＼ ＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ

数学の偏差値が代ゼミで30なんですけども、赤チャやっても意味無いですよね？
だけど先生が言うんですよ、「俺は赤チャを薦めるぞ」って
もうｱﾌｫかとﾊﾞｶかと俺は偏差値30なんだと、あんなもんわからないと、
だから先生に言ってやったんです。「買ってみたんですけど全然わかりません」
そしたら先生が「ｱﾌｫか！あの程度もわからないのか、じゃ黒大数やれよ」
それで僕は先生のいうとおり黒大数を買ったのです。
「すいません、黒大数も全然わからなかったんですけど・・・」
「はぁ？お前はどうしたいわけ？俺を困らせたいのか？それ以前にお前はたぶんで物を語るな！！だからお前は彼女に振られるんだよ！！」
それでついに僕は切れたんです
「ってかテメー俺は糞バカだって知ってるだろ！！偏差値３０、わかる？３０だよ３０！
数学の偏差値３０って言ったら哲学科のレベルだぞ！哲学科レベルの奴があんなもんできるわけねーだろ！！」
その後に少し沈黙があって、
「・・・そんな言葉口にしちゃいけない、やつらはいくら頑張っても数学は出来るようにならないんだ、お前はまだ可能性があるけどな」
「先生すいません。つい」
「いいんだ。ただしこれからは“哲学科”と“数学”の関係を口にしてはいけない、これは差別用語だからなわかったか？」
「はい」

結局誰も
cos(1/2)xを
x=0の周りでテイラー展開せよ。
という問いに答えることはできなかったという歴然たる事実が
哲学板につどいしものたちの数学音痴ぶりをいやがうえでもあぶりだして
つらくてつらくてしょうがない気分でいっぱいだということで
みんなの認識が一致しているということでいいですね＞ALL

>>28
じゃあお前はできるんだな？
そのときに使う定理の名前を1つあげてみろ。

数学音痴の>>1は
逃走しました

>>28

アホｗ

ちなみに、大学教養レベルの数学と数学基礎論につい
ての深い理解のある香具師(=>>1)の目には、君等のカキコは
愚問として映っているはずだ
ちなみに、大学教養レベルの数学と数学基礎論につい
ての深い理解のある香具師(=>>1)の目には、君等のカキコは
愚問として映っているはずだ
ちなみに、大学教養レベルの数学と数学基礎論につい
ての深い理解のある香具師(=>>1)の目には、君等のカキコは
愚問として映っているはずだ
ちなみに、大学教養レベルの数学と数学基礎論につい
ての深い理解のある香具師(=>>1)の目には、君等のカキコは
愚問として映っているはずだ


ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　
　∧_∧　　　 　　∧_∧ 　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼ ＼　 　└＼ ＼　　 └＼ ＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ
ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　
　∧_∧　　　 　　∧_∧ 　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼ ＼　 　└＼ ＼　　 └＼ ＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ

>>11=="哲学板で基礎論ネタをやるときは数学的にいい加減でいい"
でファイナルアンサー？

いつからこんな板になった？

>>33
いや、あくまでも「厳密な理解は必要としない」というこ
とで。議論していく中で、その理解が少しずつでも深まっ
ていくなら、それは素晴らしいことだ。

一方で、ガチガチになって基礎論（ネタ）を取っ付き難く
閉鎖的なものにしてしまうのは、非常に困る。

哲学的に面白いことが何よりも重要。というのが個人的な
考え。

不完全性定理の哲学的意味って何なんですか？

哲学DQNの漏れには直ぐには分からんし、そこが知りたい
ところ、あるいは考えたいところ。

不完全性定理の哲学的な意味について、他の人はどう考え
る？

論理は形式系ではない
（すいません、数学板の受け売りです）

>>36　
　　例えば、幾何学の体系の不確定性だよ。
　ある形式的な閉じた体系の中では、ある完全には証明され得ない命題が必ず存在する。
　んだよ。

>>38
その命題はどのように導かれたものなのですか。

論理なるものを理想化したものがNKだとかNJだとかの形式的
体系なのであり、それは論理そのものではない、という主張
なのかな。物理学の描き出す世界は理想化されたものであり、
それは現実そのものではない、みたいな。でもそれだと、不
完全性定理以前の問題だしなぁ・・・

>>39
それは「不完全性定理の哲学的意味」とはあまり関係ないよ
うな気がします。

>>40
　　　関係ある。大有りだよ。逆説めくが、ある哲学者は、完全な明証性を体系化出来ると
　　本気で信じ続けてきたからだよ。問題はとても単純で簡単だよ。

>>39
幾何学の体系って算術より強かったっけ？
算術より強くないと不完全性定理はあてはまらないでしょ。

算術？ふざけないで混じれ酢しろよ・

>>43
算術に言及しないで不完全性定理の内容は述べられないんだが・・・

>>44
　　　じゃあ、算術の無いよう延べレ。

>>42
　　＞幾何学の体系って算術より強かったっけ？
　　　意味不明だが？

>>45
後者関数が単射であること
0が、そして0だけが最小の数であること
足し算の定義
掛け算の定義

じゃあ次は45が不完全性定理の無いよう延べレ。

>>46
もうちょっと勉強してから出直しなさい。
「体系Aが体系Bより強い」とは
Bで証明できることがすべて
Aでも証明できることをいいます。

>>41
なるほど。その手の話なら何となく分かります。時代背景に
相対的な問題というやつですね。

ちなみに不完全性定理とは、自然数論を含み無矛盾かつ実効
的な体系に対して、>>18で述べたような完全性が成立しない、
つまり決定不能命題の存在を主張するものですよね。>>42が
訊きたいのは、幾何学の体系が、それらの条件をどのように
満たしているのか？ということの具体的詳細なんじゃないか
な。漏れもそのあたりが分かりません。

# ゲーデルのそれは「無矛盾」ではなく、「ω無矛盾」だろ、
# みたいな突っ込みはなしということで。

あと気が付いたんですが、>>39にある「不確定性」とはなん
ですか？

>>49
> >>42が
> 訊きたいのは、幾何学の体系が、それらの条件をどのように
> 満たしているのか？ということの具体的詳細なんじゃないか
> な。

そゆことです

>>38
でも、形式化しないと誰も相手にしてくれません（笑 数学者の理想としての理念と、
数学者社会の現実とは違います（笑

Fazzy logic が logic の専門家の間で評判が悪かったのはなぜだか考えてみよう！

>>42
「長さ」を扱うなら算術を含んでしまうと思われ。

不完全性定理を知っててペアノ算術を知らないとはこれいかに

>>40
たぶんそのような意味あい（形式的体系のみが考えうるすべての論理ではない）でないかと
ただ、これは
「形式的体系＝論理＝不完全＝限界あり
モデル＝超越的＝人間の思考力は論理の限界を越える」
みたいな？ことを言う人（Stormﾅﾝﾄｶ）への反論の一部として
書かれたのかも知れないんですが、正確な状況はよくわかりません

携帯でｼｺｼｺ書いてるうちに
レスがどんどん進んでいく…

　いや、ゲーデルは「完全性」という外延を自ら定義して、その中で無矛盾性の決定不能を
説いてるに過ぎないぜ。

寝よっ。

>55
おおっ、なんか哲学っぽい！

>56
（ﾟДﾟ）

>>54
携帯で>>53を打ち込むとは強者ですね・・・

>>55
第二不完全性定理の内容ですね。で、細かいことは放置して更に言えば、
そこには「無矛盾性という概念を形式化する」という過程があるんですが、
その仕方はマターク必然的・絶対的なものではないんですね。
つまり、彼は、勝手に設定した世界の上で語っているに過ぎない。
しかしそれは、あらゆる学問について言えることだと思うんですね・・・
哲学も結局はそうなのでは？だとすれば、哲学が色々と言っていることに
ついても、そのようなものに過ぎない、と言えますよね。
玉大さんの言っていることそれ自体だって、そうなのでは？

説明するのに〜性とか〜的とかを多用する人は頭が悪いってお母さんが言ってました。

いいからとっとと失せろ>>59

勝手に設定したというと言い過ぎで、ラッセル・ホワイトヘッドの
『プリンピキア』を参照していると言ってみる。

また、哲学はなんとかに過ぎないという方がゲーデルなんかより
よっぽど大風呂敷でそれが楽しいと言ってみる。

>>60
何か発言するときに「いいから」とか「どうでもいいんだけど」とか
つける人は頭が悪いんだとゲーテが書いてました。

不完全性定理の哲学的意味を知りたければ
野矢茂樹さんの「論理学」の最後のほうの
ページを参照するとよい。
しかし、嵐に耐えてよくがんばった。感動した。

＞不完全性定理の哲学的意味

結局、論理学と数学はまったく異なると言うこと。

>>58　そう。だから、ゲーデルは正しいということになる。

我々の語り得ることは全て、
我々が勝手に定義した世界の上での話に過ぎないのであるならば、
我々が最も信頼していたであろう世界の上で、
その不完全性を示したゲーデルはやはり偉大である。

彼以上に我々の不完全性を見せ付けてくれた人物が、
他にいるのであろうか。

我々の不完全性とかおまいらの不完全性（>>1）とかってどういうことですか？

（ﾟДﾟ）(･∀･)ﾌｶﾝｾﾞｰﾝ

我々の○○は不完全であるということである。
○○には適当なものを補って読む。

数学は形式的体系によっては説明し尽くせない。
この「説明し尽くせなさ」こそが、不完全性の一般形である。
ゲンツェンの証明を考慮しても、ゲーデルは我々の最も信頼していた
説明法において、数学に対するその不完全性を示したと言える。

>>68 >>69 なるほど

>>36
真理は決定可能ではない
真理は帰納的に公理化可能ではない
真理は定義不可能ですらない

まとめ
真理は分かりにくい

− Peter B. Andrews 『数理論理学とタイプ理論』 pp.276-277 より抜粋

>>64
じゃあ、完全性が成り立つ積を持たない和のみもつ自然数の理論は
おまえは論理というのだな？

精液を女にかけろ

>>72
漏れは64じゃないんだけど、それってプレスバーガー算術ってやつ？

「われわれは、このように形式的に記述された数学的理論以前に、
その数学的理論の直観的あるいは内容的な理解が存在していたこと
を忘れてはならない」（98頁）
「内容的な数学的理論は形式体系の中で完全には表現し得ないとい
うこと、言い換えれば、形式的体系による数学的理論の記述には或
る種の限界がある、ということで、これは、ゲーデルの不完全性定
理からの重要な結論の一つである。」（105頁）

ー 前原昭二『数学基礎論入門』朝倉書店

　　　　　　　　 mﾄﾞﾋﾟｭｯ
　　　　　　　 C|.| /⌒⌒⌒ヽ／~￣￣￣￣ヽ
　　　　　 /⌒ヽ⌒ヽ＿__　 　|　　∴ヽ　　３　 ） うふうふうふっ

野矢茂樹「論理学」演習問題のアリスとの問答より(論理学は門外漢）
1）自己言及文がすべてパラドキシカルというわけではないんだ。
実際、｢私は証明できない」が真だとしても、それはつまりその
公理系では証明できない真理があるということで、その公理系の
不完全さを意味はするけれども、決して矛盾というわけでは
ない｣　うーん…たとえば自然数論の公理系ではリーマン予想
(オリジナルのやつ)や保型形式や虚2次体を使わないと証明できないものなどは
「私は証明できない」にあたるってことかな？

「(第二不完全性定理についてお話)
メタ数学にパラドックスの嫌疑がかけられているならば
まさにそういう問題が生じるだろうね。でも、自然数論程度の
道具立てに制限されたメタ数学ってのは、ずいぶん禁欲的なもので
これならばまず(ラッセルの背理のような）問題は起こらないだろう、
と考えられたものなんだ。そこで、そのメタ数学は信頼した上で
さて公理系Nが無矛盾にうまく作られている
ことをメタ数学で証明しようとしたら、なんとできない。
ゲーデルはこのことを示したんだ。これはむしろ驚くべき結果で
けっして当たり前のことではないよね」

たぶん、この第二不完全性定理のお話は、
ヒルベルトが構想したような形式主義に
基づいた無矛盾な公理系(形式主義⊂有限の立場に基づいたメタ数学)
の確立構想は
いきなり
　ﾌﾕ−!!　　　　　　　　ｲﾄｻｰﾝ!!
　, , ,糸　　　　　　　　　冬、、、　　　　　　　　


　　　　　,,糸　　　　　冬、、


　　　　　　　　　終　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　【完】
ってことかな？

ごめん、日本語が変になった。

稲が欲しいところだな

ペンローズなんかはスレ違いですか？

>>81
かなり関係あると思う

>>80
？？？

林晋氏による素人宣言
http://godel.m78.com/manifesto.htm

>>83
稲というのは、このあたりの問題に詳しいコテハンだ

>>77
>>78
そのとおり!!
ただ、＞ヒルベルトが構想したような形式主義に
基づいた無矛盾な公理系ってのを
形式主義の手法により、公理系の矛盾チェックが可能であり、
それによって無矛盾な公理系を確立することが可能である。
とするとより厳密だね。

訂正
>公理系の矛盾チェック→公理系の無矛盾証明

373 名前：１３２人目の素数さん ：03/07/21 21:47
　　　つーか数オタって、20世紀論理学が分からないから代数幾何とかに
　　　逃げた人が大半だよね。
　　　だから、導来圏とか基礎論紛いの事を言って、「偉くなった」気に
　　　なっているんだよね。

>>88
ちゃちゃ入れないで。
んで、この形式主義の手法の1段階の内容である
｢有限の立場でのメタ数学」を自然数論の公理系N
の式で表現出来ることに気づいたわけだ。
そんで、「公理系Nは無矛盾である」っていう
メタ数学の内容を公理系Nで表現し、そして、
それを公理系Nにおいて証明しようとしても、それが出来ない!!!
ことを証明したんだよ。

tyatya pu

知ってる香具師、他スレで紹介されてた
　飯田隆「不完全性定理はなぜ意外だったのか」
　『科学基礎論研究』，第20巻，1992年
の内容を大雑把に教えてくれ。
このスレで語られているような内容と理解しておいても良いですか？

>>91
読んだけど内容忘れちゃったよ。コピーがどっかにあった記憶があるが、、、

　まってくれ。ここまでで、何か問題があるかい？ゲーデルの論理の枠組みの中では
は、少なくとも反証など最初からできない構造なんだ。こういった構造は、他にもある
と認めることができるかどうかなんだよ。

＞ゲーデルの論理の枠組みの中では
＞は、少なくとも反証など最初からできない構造なんだ。

これ意味不明。
何が反証できないと言うことですか？
ゲーデルの出した結論（定理そのもの）が
ゲーデルの論理の枠組みの中では反証できないと言うことですか？

玉大と僕は
別物です。反証が出来ない構造（公理系の矛盾チェック）
ではなく、公理系Nの無矛盾証明が有限の立場のメタ数学
では出来ないことを示したんだよ!!

だから、公理系Nが無矛盾にうまく作られている
ことを証明しようとしたら、それはできない。
だから、ラッセルのパラドックスのような事態を
予知して公理系を作ることはできないってわけ。
（公理系の矛盾チェックうんぬんではない）

＞野矢茂樹「論理学」演習問題のアリスとの問答より(論理学は門外漢）
＞1）自己言及文がすべてパラドキシカルというわけではないんだ。
＞実際、｢私は証明できない」が真だとしても、それはつまりその
＞公理系では証明できない真理があるということで、その公理系の
＞不完全さを意味はするけれども、決して矛盾というわけでは
＞ない｣　うーん…たとえば自然数論の公理系ではリーマン予想
＞(オリジナルのやつ)や保型形式や虚2次体を使わないと証明できないものなどは
＞「私は証明できない」にあたるってことかな？

そういうことではなくて，単純に「自分自身は証明できない」という内容を
意味するような式が自然数論の内部で定義できるというだけの話．
だからそういった式が実際に存在するけれど，そのことはこの理論が矛盾している
ということではなくて，単純に証明できないけれど真である（もっとも偽にもできるんだけどね）
文が存在するということであるに過ぎない．つまり不完全ではあるけれど矛盾しているという
わけではないということ．

＞「(第二不完全性定理についてお話)
＞メタ数学にパラドックスの嫌疑がかけられているならば
＞まさにそういう問題が生じるだろうね。でも、自然数論程度の
＞道具立てに制限されたメタ数学ってのは、ずいぶん禁欲的なもので
＞これならばまず(ラッセルの背理のような）問題は起こらないだろう、
＞と考えられたものなんだ。そこで、そのメタ数学は信頼した上で
＞さて公理系Nが無矛盾にうまく作られている
＞ことをメタ数学で証明しようとしたら、なんとできない。
＞ゲーデルはこのことを示したんだ。これはむしろ驚くべき結果で
＞けっして当たり前のことではないよね」

なんか違う感じがするけどな．う〜ん．よくわからん．

＞「自分自身は証明できない」って言う内容を
　意味するような式を自然数論の内部で定義できるというだけの話
そうなんですか。随分禁欲的なんですね。
ぼくはてっきり「私は証明できない」が真だとしても
その公理系では証明できない事項があるという野矢氏の文章から

一見自然数論の公理系の枠内で書かれてはいるが（Fermat予想やペル不等式のように）
自然数論の枠組みで証明することは不可能なもの
(順序関係を定義できない虚数を証明内に使うもの）
の例が頭に浮かんだんです。

>>98
禁欲的というか・・・
ゲーデルの証明自体が「自分自身は証明することはできない」という内容の
式（いわゆるゲーデル文）を構成するという作業なんです．最後の方でこの
式が証明も反証もできないということがどのように示されるのかのアウトラ
インが書いてあるだけで，その部分はちゃんと証明してない．
　その後の研究でその証明自体はオメガ無矛盾性を仮定しないといけないとか
いろいろわかったりで・・・
　まあとにかく「一見自然数論の公理系の枠内で書かれてはいるが（Fermat予想やペル不等式のように）
自然数論の枠組みで証明することは不可能なもの」では全然ないですね

ちなみにペル方程式も
Fermat予想も閉じた式です。

>>100
自由変項を含む含まないということは何の関係もないです．

>>99
そうですか…
なるほど…
>>100の書き込みは気にしないで。

なーんだ。
ただのゲーデル文の構成だけか…
危うくトンでもになるところだったよ。

ゲーデルの原論文の邦訳なら「ゲーデルの世界」とかいう本に
ありますよ。

>>99のような解説が必要な人はむしろナーゲル＆ニューマンが良いかと。

ところでラッセルパラドックスとゲーデルの証明に共通するのは
対角線というメカニズムなんだけど、不動点定理がポジティブに
働く計算機のような系を哲学屋があまり論じないのは割と不思議。
超数学だと対角線はパラドックスの源泉の趣が強いけれど、
機械として実現された形式的システムでは対角線が自己記述の基本構造に
なっているというのはとても面白いことだと思うんだが。

ラッセルパラドックスに
対角線使わないんじゃ…
そんな証明あるの？
集合論的証明しかみた事ないです。

タイカクセンって、平行線定義の事？

野矢たんの本に対角線論法を使った証明あたーよね？

　　　　|（・∀・）|ｱｸｾｽ規制| - |::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/
　　　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣|ヾヾ`ヽ､,〃r '"''iｰ''"￣￣￣￣｀ヽ、
　　　　| 書きこめませんよ 　 |　　　　　　　　/　削除人　　　　　i
　　　　|　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　| 　だけが使える　 |
　　　　|　 　 （￣ー￣）ﾆﾔﾘ.　 |.｀`'ｰ､　　 ,.-‐'|　 特別呪文　　　 |
　　　　|　　　　　　　　　　　　　| -─-｀! i´ -─ヽ、　　　　　　　　/
　　　　|＿＿＿＿＿＿＿＿＿|　　　　! l　　　　/／i'ー;───'"
　　　　|　2chに不当な　　　　 |　　　<, ,ゝ　　　'ﾞ　./ノ/
　　　　|　書き込みをしたもの.|　ｰ､ --- ､.,__,　　/ﾞi"／￣￣＼
　　　　|　すべてを 　 　 　 　　|　 　 ￣￣ ＿__／　/外法には |
　　　　|　2chから追い出す 　.|ヽ　 ￣￣/　　　＼_| 外法を… |
　　　 └───‐;: -‐-､,──┘ ヽ､,＿V　　　　　　＼＿＿__／
　　　 ,. -‐ '''''''"´　　　 :::｀ヽ、　　　　　〈　　あいにくだが　　 ￣＼
　　 /::::⌒ -‐　　　　.......:::　　＼　　　 |　l　 出ていってもらおう　　|
　 ,./::::::　　　　─-- =､_.　　　　i　　　'　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿lヽ

>>109
野矢風証明やりましょうか？

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､>（●）　　（●）<|::::｀::-､オッス！オラ２７歳無職童貞！
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ 将来がやべえ状態だってのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ

　　　　　＿＿＿　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　 ／　　　　 ＼　　　 　　　　　　　　　　　　　
　　 / 」└ ﾉ≡ﾍ　.＼　　 　　　　　　　　　　　　
　　|　┐「　 ・　・　　 | 　 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
　　|　　　　 ）●（　　|　　　／
　　＼　　 　 〆　 　ﾉ 　 ＜　　楽しそうだねえ君達　僕の名前まで使って
　　　 ＼＿＿＿_／ 　　　 ＼
　　　　　　　　　　　　 　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､>（●）　　（●）<|::::｀::-､オッス！オラ２７歳無職童貞！
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ 将来がやべえ状態だってのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　不完全性定理だなんてなんだかすっげえワクワクしてきたぞ

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､>（●）　　（●）<|::::｀有限の立場のメタ数学だったら自然数論で表現できる！
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ 将来がやべえ状態だってのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　不完全性定理だなんてなんだかすっげえワクワクしてきたぞ

　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､>（●）　　（●）<|::::｀有限の立場のメタ数学だったら自然数論で表現できる！
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ 将来がやべえ状態だってのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　ロジカル・ハイになっちまったぜ。

カイガトウジョウスル！　　　

　　　　　＿＿＿＿
　　　／　　　　　　　＼
　　(　　　　　　　　　　 ）　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　＼　　　∧　∧　　|　　／
　　　|　　　　・　 ・　　|　＜　　・・・・・俺がそんな小難しい話
　　　| 　○　　| ｜○　|　　＼ 　　するわけないだろ
　　　|　　　　　凵　　｜
　　　|　　　　ー　　　｜
　　　|＿＿＿＿＿＿|

カイガトウジョウシタ！　　　　　　　

>>111 やってミレ。

禿同

対角線論法そのものの説明からやった方がいいですか？
ラッセルのパラドクスを対角線論法で証明する所からの方がいいですか？

対角線論法からおながいします。

文字列の重複していない本を無限冊集めた図書館があるとします。
ある本は「あああああ・・・・・・」でしたり、
またある本は「いい天気でした」だけでしたり、
スペースも文字としまして、全部スペースの本、白紙の本もあります。
つまり、この図書館には存在する本、全てがある事になります。

この様な図書館は、実は不可能です。
不可能である事の証明に、対角線論法を使います。
続きます。

次の様な本を作ってみます。
図書館の端から一冊目の本の一文字目とは別の文字を本の一文字目に書きます。
続いて、二冊目の本の二文字目とは別の文字を本の二冊目に書きます。
続いて三冊目の本の三文字目とは別の・・・・・。
と書いていきますと、どの本とも最低一文字は違う本ができる事になります。
よって、>>125の様な図書館は存在しません。
以上の本の作り方が「対角線論法」なのですが、これを数列にします。
続きます。

便宜上数字は0と1だけ使います。
文字列をデジタルに変換したと思えばいいかもしれません。
一冊目・0101010101・・・・・
二冊目・0010010011・・・・・
三冊目・1011011010・・・・・
以下無限に重複無く、延々と冊数が増えていきます。
今度の本の作り方は、
Ｎ冊目のＮ番目の数字が0ならば1に、1ならば0に換えます。
つまり、一冊目の一番目は0ですから1に、
二冊目の二番目も0ですから1に・・・という風に換わっていきます。
こうして作った本もまた、どれとも重複しない本になります。

ここで何処を換えていったのかに注目しますと、
対角線の部分を換えていった事に気づかれると思います。
よってこの様な方法を対角線論法と言うそうです。
長文スマソ。

わかりましたでしょうか。。。。

「無限論の教室」と「ゲーデルの哲学」が読める
講談社現代新書をよろしくだね。
読み返してみよう。

前から思ってたんだけどさ・・・
なんで「不完全性定理」と「不確定性原理」って混同視されるんだろう？
文字からして違ってるのに・・・
文系の香具師ってのは文字も読めないんかなぁ？

わかりました！
ではラッセルのパラドックスの
対角線論法による証明をお願いします。

１２３じゃないですが、
カントールの実数の話だと
それぞれの本の文字列は無限にあるという設定になる。
（そんな本はあり得ないとか考えるとわけわからなくなる。
この地球上に存在する全て本の文字列をひとつにつなぎあわせても
それは有限の文字の列にしかならない。それはともかく）
数列の方はそれぞれ無限個の数字が並んでいるとする。
並び方のパターンは、１つの位につき二通り（０か１）あって
それが無限個並んでいるから、いわば２の無限乗になる。
２＾n（n→∞）
（１文字なら２＾１＝２
　２文字なら２＾２＝４
　３文字なら２＾３＝８
　……
　その極限が２＾n（n→∞）　）

>>123-127
まあそうなんだけど、この手の文脈で対角線というのはもうちょっと抽象的に、
形式 F(a,b) に対して diag_F(a) := F(a,a) で定義される diag_F のことだよ。

例えば F(a,b) := (a∈b) とするとき、F(a,b) は a,b に関する命題だから、
diag_F(x) = (x∈x) は集合 x に関する命題。diag_F によって内包が
指示される集合 D := {x; diag_F(x)} が存在するので、D の補集合 D^ が存在する。
よって diag_F(D^) ⇔ D^∈{x; diag_F(x)} ⇔ D^∈D ⇔ ¬D^∈D^ ⇔ ¬diag_F(D^)
これは矛盾。これがいわゆるラッセルパラドックス。

でもラッセルパラドックスの「証明」なんてものはないよ。

一方、対角線論法というのは対角線を用いて全射が存在しないことを示す
背理法のこと。

集合というものについて、少し考えます。
集合とは、何かの集まりだと考えて下さい。
例えば、偶数の集合とは、偶数の集まりです。
そして、集合を作っている対象を、その集合の「要素」と言います。
偶数の集合の要素は、2とか4とか8とかになります。
続きます

確かに１３２が言うように本の例が適切かどうか疑問だけど，要点はつかみやすいよね．
ようはカントールの対角線論法は自然数と実数が一対一に対応しないということの論証．
まず0から1までの区間を考える．この区間は数直線と同じ濃度であることはまあ証明できる．
だから実数の大きさを考えるときは0から1までの区間を考えればよい．そこでその区間の点が
自然数と一対一に対応できたと仮定しよう．すると次のような表ができるだろう：

1:0.000000000・・・・・
2:0.101010101・・・・・
3:0.010010011・・・・・
4:0.101101101・・・・・
・・・・・

すると123が説明したような仕方でこの表のどれとも異なっている実数を
0から1までの区間に常に見つけることができる．ところで仮定から，その
実数はある自然数に対応づけられているはずだ．その自然数をnとしよう．
しかし今見出された実数はn番目の場所で最初にnに対応づけられている実数と
異なっているのであるから，nには二つの異なった実数が対応づけられること
になる．しかしこれは最初の仮定と矛盾する．

>>133
＞diag_F によって内包が指示される集合 D := {x; diag_F(x)} が存在するので、
＞D の補集合 D^ が存在する。

がよくわからない．なんで補集合が存在すると言えるんだ？

>>136
その指摘は正しい。すべての集合を集めたものを全体集合とした時の補集合であるから
補集合といういい方は適切ではなかった。

ただし、すべての集合を集めたものを集合とみなす場合にラッセルパラドックスが
起こるのだから、全体集合を指示すれば補集合と呼ぶことは正しい。
当時は何が集合で何が集合でないかは明らかではなかったのがこの話の本質ではある。

ちなみにゲーデルは集合というものを実在概念と考えていて、
集合の諸性質は発明されるのではなく科学上の発見と同じように
発見されるものだと考えていたそうだ。

>>133さんの様に論理学を用いた説明の方がいいでしょうか？
僕は論理学すらわからない無知ですが、
演算子を使わないでも、それなりに不完全性定理の一部を理解できたので、
その方法で説明を試みました。
この様な説明はナンセンスでしょうか。

ラッセルのパラドクスの「証明」はありませんね。
ご指摘ありがとうございます。

>>138
う〜ん，微妙だな．

＞当時は何が集合で何が集合でないかは明らかではなかったのがこの話の本質ではある

だけど現在でも「集合とは何か」ということが非常に明確だというわけではないと思うけどな．
むしろ僕が言いたかったのは全体集合とか補集合とか「指示する」という概念を使わなくても
ラッセルのパラドックスは出てくるじゃないかということなんだけどね．

>>139
要はプラトニズムということね．

>>141
どうなのだろう。
「自分で自分のひげを剃らない人すべてのひげを剃る床屋のひげは誰が剃るのか」
という有名な喩えも同じ概念を用いていると思うのだけど。概念の名前を出すか
出さないかの違いではないかなあ。

集合が何かが非常に明確というわけではないというのはまあそうかも知れない。
集合や算術のように十分に複雑な対象は、ある時点と比べてより明確になることは
あるだろうが、完璧に明確になったと断言できる日は来ないだろう。

>>140
ナンセンスではないと思う。人それぞれに分かりやすいやりかたがあるのだから。

ただし対角線論法の例として>>135のように実数を使うのはあまり分かりやすくはない。
なぜなら記数法には2進法でいえば 0.0111... = 0.1000... という曖昧性があって、
これを逃れるためにはひと工夫が必要。

>>143
ありがとうございます。
それでは、多少曖昧な説明になりますが、続きます。

野矢氏の「無限論の教室」から引用すれば
「まあ、このハードルは無理して飛ばなくてもかまいません、
全部バタバタ倒してっちゃってもいいくらいです」
でしょうか。

>>134の続きです。
色んな集合を考えていきますと、場合によっては、
ある集合の要素に自分自身が入っている場合も考えられます。
例えば「犬」という集合の要素は、ポチとかラッシーとかの個々の犬です。
この場合、「犬」という集合そのものは要素ではありません。

しかし、「犬ならざるもの」という集合を考えますと、その要素は、
猫とか本とかですし、「犬ならざるもの」という集合それ自体も、
犬では無いので、「犬ならざるもの」という集合の要素として、
自分自身も入っていなくてはいけません。

この様にして、自分自身を要素としてもたない集合（偶数とかです）と
自分自身を要素としてもつ集合（犬ならざるものとかです）とが、
区別されてある事になります。続きます。

そこでラッセルは、自分自身を要素としてもたない集合を集めて、
集合を作ろうとします。これを「ラッセル集合」と命名しましょう。
つまり
ラッセル集合＝自分自身を要素としてもたない集合の集合
です。続きます。

ある集合Ｘがラッセル集合の要素だとします。
この時、ある集合ＸはＸ自身の要素ではありません。
つまり
「Ｘ」は「ラッセル集合」の要素である＝「Ｘ」は「Ｘ」の要素でない
と、なります。

ここで「Ｘ」に「ラッセル集合」そのものを代入します。
すると、
「ラッセル集合」は「ラッセル集合」の要素である＝「ラッセル集合」は「ラッセル集合」の要素でない
となります。
同様に「Ｘ」がラッセル集合の要素でない、としても矛盾します。
以上がラッセルのパラドクスだそうです。

ラッセルのパラドクスが対角線論法だという所は、
起きてからさせて下さい。

>記数法には2進法でいえば 0.0111... = 0.1000... という曖昧性があって、
これを逃れるためにはひと工夫が必要。
実数の連続性を前提として、
有限小数は全部無限小数表示に直しておけばいい。

１２３の説明わかりやすい。
厳密性はあとで数記号でやればいいし。

もっと教えてホスイ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

集合を0と1の列で表現するやり方があります。
集合がある対象を要素にもつときに「1」で表し、
集合がある対象を要素にもたないときに「0」で表します。
例えば、「犬」という集合ですと、
ポチ1、ラッシー1、偶数0、素数0、などとなります。
そして、各対象を適当に並べて、
例えば、ラッシー、偶数、素数、ポチと並べたならば、
「犬」という集合で考えるならば、1001、という列で表現できます。
続きます。

>>149
それじゃ駄目

．０００００００００…
．０１１１１１１１１…
．１０１００１１１１…
．０１０１１１１１１…
．１０１１１１１１１…
．１０１００１１１１…
．０１１０００１１１…
．０１１０１１０１１…
　・
　・
　・

対角線の反転
．１００００００００… は表のどこにも出ないが、２番目の
．０１１１１１１１１… と等しい。
このような望まない事態がすべて排除できることを保証する必要がある。

あらゆる対象を適当に並べていきます。
>>152で言い忘れましたが、対象といいますと、
2とか4とかポチとかですし、集合も対象化されてしまいますから、
偶数とか犬とかも対象です。
ここで、例えば「犬」という集合を0と1の列で考えます、
並べていった対象の三番目に「犬」がくるとすれば、
>>145で書きました様に、
「犬」という集合は自分自身を要素としてもたないので0になります。
つまり、
??0???・・・・・となります。

また、あらゆる対象を適当に並べていきます。
今度はラッセル集合を0と1の列で考えます。
先に、やり方を言いますと、
「犬」が三番目にきて、「犬」の0と1の列の三番目が0ならば、
ラッセル集合の三番目は1になります。つまり、0と1を反転させます。
何故かといいますと、繰り返しになりますが、
「犬」という集合は自分自身を要素としてもたないので三番目が0、
ですから、ラッセル集合の三番目が1という事は、

三番目にきた「犬」という集合を要素にもつ
　　　　　　　‖
自分自身を要素してもたない集合を、要素にもつ
という事です。

もう少し、ラッセル集合の0と1の列を考えます。
法則的に書きますと、
ある集合「Ｘ」が対象化されてＡ番目に並べられた時、
ある集合「Ｘ」の0と1の列のＡ番目を反転せよ。となります。
少し、やってみます。
仮に、一番目が「犬ならざるもの」
二番目が「偶数」
三番目が「犬」、四番目が・・・・・と並んでいるとします。
この並びですと、「犬ならざるもの」の0と1の列の一番目は1、
「偶数」の0と1の列の二番目は0、
「犬」の0と1の列の三番目は0になります。
よってラッセル集合の0と1の列は、011・・・・になります。
>>146のラッセル集合の定義からして、
「犬ならざるもの」「偶数」「犬」という、要素を
ラッセル集合がもつ、もたないを考えますと、
0と1の列のとおり011・・・、もたない、もつ、もつ、・・・・・
となります。

>>154-156
「あらゆる対象」のなかには個々の実数（あるいはすべての長さ）が
含まれるが実数に自然数で番号づけ出来ないことは別途示されるから
そのやりかたではラッセルパラドックスを提示できない。

むしろ床屋の例の方が適切。
「ａがｂのひげを剃る」の対角線「ｘがｘのひげを剃る」を考えるなら
人間は可付番な対象なので濃度に関する困難は起こらないし、
ラッセルパラドックスと本質的に同じ論理構造を示すことが出来る。

けれどもすべての集合に関係するパラドックスというためには
やはり「ａ∈ｂ」の対角線「ｘ∈ｘ」を考えなければならない。
すべての集合は可付番ではないので対角線という呼称はあくまで
暗喩であって、対象を列挙した表で対角線を図示できるわけではない。

ラッセル集合もまた、対象化されて並ぶわけですが、
>>156に書きました
Ａ番目に並べらた時、0と1の列のＡ番目を反転せよ
と、>>127に書きました
Ｎ冊目のＮ番目の数字を反転せよ
は、同じだという事がわかりますでしょうか。
つまり、ラッセル集合の0と1の列を作るとは、
対角線論法の手口と同じです。

>>158の最初に書きました様に、並ぶはずなのですが、
対角線論法の手口と同じならば、そうしてできた集合は、
どれとも重複しない事になります。
しかし、>>155で書きました様に、あらゆる対象を適当に並べたはずなので、
ラッセル集合の0と1の列は矛盾してしまいます。
むりやりラッセル集合を並べますと、
Ａ番目に並べられた、ラッセル集合の0と1の列を反転しようにも、
>>147で書きました様に、ラッセルのパラドクスとなります。
以上で終わりです。長文スマソ。。。

スマリヤンの訳本だと「対角化」て言葉が使われてるね

>>157
157さんのおっしゃるとおり、実数を自然数で番号づけできない事は、
>>159までの私が書きました、野矢氏の本にも掲載されておりました。
その本では、途中から座標平面を使っての説明でした。
原本そのままに書こうと思っていたのですが、
座標平面を文体で表す事により、とてもわかりずらくなってしまいました。
そこで、どうにか座標平面を使わずに説明しようとした結果、
いらぬ混乱と誤解を招きました。
でしゃばりすぎた事をお詫びします。

diagonalization の訳だからね

>>161
いやいや、一般の対角化は座標平面のように図示できるものではないよ。
例えば座標平面のすべての部分集合は座標平面とも対等ではないから。
すべての集合の集まりには任意に大きな濃度の集合が含まれている。
それらは表でも図でも書き表せない。

森毅，『無限集合』，数学ワンポイント双書 4，共立出版
竹内外史，『新装版 集合とはなにか』，ブルーバックス，講談社
Seymour Lipschutz，『集合論』，マグロウヒル大学演習，オーム社
志賀浩二，『集合への30講』，朝倉書店
レイモンド・スマリヤン，『無限のパラドックス』，白揚社
ダグラス・ホフスタッター，『ゲーデル・エッシャー・バッハ』，白揚社
ジョージ・ガモフ，『宇宙=1,2,3…無限大』，G・ガモフ・コレクション 3，白揚社
ルディ・ラッカー，『無限と心』，現代数学社
ルディ・ラッカー，『ホワイトライト』，ハヤカワSF文庫，早川書店
Georg Cantor，『カントル 超限集合論』，現代数学の系譜 8，共立出版

良スレsage

「この文は偽である」は真ですか？それとも偽ですか？

ﾑｼﾞｭｰﾝ

というわけでタルスキの定義不可能性定理と
ゲーデルの不完全性定理の関係について教
えて下さい。

>>168
簡単に説明するね．まずどちらも対象言語とメタ言語を本質的に区別するという点では同じだ．
だけどタルスキの真理述語とゲーデルの証明可能述語では次の点で重要な違いがある：つまり，
真理述語は問題とされている対象言語の述語ではありえない．もしそんなものがあるとその言
語は矛盾する．だからタルスキのは真理述語の定義不可能性と言われる．だけどゲーデルの証
明可能述語は，言語がある程度強くなるとその中でちゃんと定義できる．そして最終的にそれは
事実対象言語の適格な式として存在してるけれど，その言語が矛盾してるのでない限り証明する
ことも反証することもできない式だということが示される．

哲オタの数学アレルギーは凄まじいものがあるね

入試制度のせいだと思われ

私も不完全なのか…??

ゲーデルはほとんどの問題を解いてしまった。

>>173

pp

itasugi

なんかねたない？

私は??