昼下がりの数学スレ

高校レベルでも大学レベルでもお好きな問題をどうぞ

硬貨を投げて数直線上を原点から正の向きに進む　表が出れば1進み、裏が出れば2進むものとする
このとき、ちょうど点nに到達する確率Pnを求めよ　ただしnは自然数（0は含まない）とする

スクリプトにすら相手にされなくてワロタ

待て今解いてやる

人きたー　どんどん出題してＮＥ

P1=1/2 P2=1/2 Pn=0(n≧3)

試行は十分な回数（点nもしくは点nより遠いところに到達するまで）繰り返すものとしてます当然ながら

こういうのって答え合わなくても、解法考えるの楽しいよね

>>7
　 ｀¨ −　､　　　　　＿_　　　　　 _,. -‐' ¨´
　　　　　　| ｀Tｰて＿,＿｀　`ー<^ヽ
　　　　　　|　 !　　　　　　｀ヽ　　 ヽ ヽ
　　　　　 r　/　　　　　　ヽ　 ヽ　　_Lj
　､　　　 /´ ＼　　　　 ＼　＼_j／ヽ
　　｀ ー　　　ヽｲ⌒r-､ヽ ヽ__j´　　　｀¨´
　　　　　　　　　 ￣ー┴'^´

a=(1+√5)/4,b=(1-√5)/4として
P(n)={a^(n+1)-b^(n+1)}/(a-b)かな

解法は漸化式P(n+2)=(1/2)*P(n+1)+(1/4)*P(n)を解く

P1=1/2
P2=3/4
Pn=(1/2)( P(n-1) + P(n-2) ) (n≧3)

>>9
うーん残念

>>10
立式はおｋ

誰か問題出してよー＞＜

kを正の定数とする。xyz空間において、
・x≦k,y≦k,z≦k
・３辺の長さがx,y,zであるような三角形が存在する。
という条件を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。

ほ

>>11
あ、めっちゃあほな計算してたｗｗ
2/3{1-(-1/2)^(n+1)}だろ

>>15
正解！

今>>13やってるお＞＜

(1)3^n=k^3＋1をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ
(2)3^n=k^2-40をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ

立方体の形をした豆腐を
包丁で同じ体積の立体に３分割せよ

ただし定規などの測る器具は使用不可

1から30までの自然数から一つを無作為に選ぶという試行を繰り返し行う。
いずれかの数が２回選ばれた時点で終了とする。何回目で終了する確率が最も高いか求めよ。

(2/3)*k^3かな？　やべぇすんごい時間かかっちゃった・・・

>>20
残念

難しい＞＜

>>19
{(n-1)/900}×(29/30)^(n-2)？

あー馬鹿馬鹿馬鹿問題文ちゃんと読めボケ >>23スルーで　スマソ

3^n=(k+1)(k^2-k+1)
より、k+1=3^m,k^2-k+1=3^l(m,lは0以上の整数)と表せる
k=3^m-1を第2式に代入して、
3^(2m)-2*3^m+1-3^m+1+1=3^l
3^(2m)-3^(m+1)+3=3^l
l=0だとmod3で合わないのでl≧1
3^(2m-1)-3^m+1=3^(l-1)

l≧2だとmod3で合わないのでl=1
このとき2m-1=mからm=1
しだかって、k=2,n=2のみ

空間内に二つの直線
l_1(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
l_2(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある。ただしs,tは媒介変数とする
l_1,l_2上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分PQの長さの最小値を求めよ

>>25は>>17(1)です

tan1ﾟは無理数か

亀だが>>13は(1/2)*k^3かい

>>29
正解！

n次元超立方体(x1〜xn軸まで存在する)を
xi=xj(i,jは互いに異なり1≦i,j≦nを満たす)のすべての超平面で切るといくつにわかれるか

例
３次元立方体(x1,x2,x3軸が存在)
x1=x2,x2=x3,x3=x1で切ると６つに分かれる

自作だからわかりにくいかも

>>19
30回もしくは31回目？

sin1の値を小数点以下第3位まで決定せよ（小数点以下第4位の値を四捨五入するのではなく切り捨てる
例えば、πなら3.141であって、3.142ではない）

>>20
16777215
4097
10464

>>24,29
1527
561
9055

>>32
残念
31回って一度もかぶらずに30回選ぶってことだから確率はかなり低いはずだぞ

>>33
マクローリンで解いちゃ反則カナ、カナ

>>33
sinxをマクローリン展開してx=1を代入
0.841

>>26
√14？

>>35
あぁその通りだったなそういえば　俺ダメ杉ワロタ

>>38
違う

>>36 いいよ
>>37 正解

sinxのは1ラジアンでいいのか？

>>26
√6か　筆算ミスってた

>>43
正解

Σ[n=0,∞]{1/√(n+1)}x^nの収束域を求めよ

lim[n→∞](1/n)*(2nPn)^(1/n)を求めよ

12次元空間において半径rの球の体積を求めなさい

>>19はn回目に題意が満たされる確率をPnとすると
Pn={(n-1)/30}×{(29/30)^(n-2)}×{1-((n-2)/30)×(29/30)^(n-3)}
になるのかなぁ

たまに見るけど>>34にある「16777215」は2^24-1で、「4097」は2^12+1だよな

>>48
んー
式の意図がよくわからんが、n-1回目まではどの二つもかぶっちゃいけないってのは大丈夫？

>>45
-1<=x<1

>>50
あ、>>48でPnが最大になるn計算したら2になったんで間違ってますなスマソ・・・

考え方としては1〜30までの自然数のうちのある1つの数がn回目試行でに2回目の選択をうける確率を求めてみて、
それが>>23の{(n-1)/900}×(29/30)^(n-2)になったの　ここからが捗らない

>>51
正解

>>52
なるほど。やっぱそれだと先に他の数が２回選ばれる可能性を除けない気がする
「n-1回目までバラバラ」、「n回目でそれまでに出た数が出る」という感じで…

p[n]/p[n-1]≧1⇔p[n]≧p[n-1]

あーやっぱりそんな感じでダメだったのね・・・　ちょっと考え直してみまする

ほす

k+1回目に終わる確率は
(30/30)(29/30)…(31-k/30)･(k/30)じゃないの

pを素数とする。p進数で表記したとき、1000!の末尾には0がいくつ並ぶか。p進数で答えよ。
ただし、この『1000』はp進数で書かれているとする。

偽フェルマーの最終定理

(1)3以上の整数nについて
x^n+y^n=n^n を満たす自然数組(x,y)は存在しない事を証明せよ

(2)√x+√y=√z を満たす素数組(x,y,z)は存在しない事を証明せよ

(3)x^x+y^y=z^zを満たす自然数組(x,y,z)は存在しない事を証明せよ

a>b>cである実数a,b,cが次の等式をみたす.
a(b+c-3)=b^3 +c^3 -3
b(c+a-3)=c^3 +a^3 -3
c(a+b-3)=a^3 +b^3 -3

(1)a^3 +b^3 +c^3 -3abcを因数分解せよ.

(2)a,b,cは3次方程式
x^3 -x^2 +(a+b+c-3)x -(a^3 +b^3 +c^3 -3)=0
の解であることを示せ.

(3)a,b,cを求めよ.

p^2+p+1

>>60 (1)訂正
n^x+n^y=n^z だった

>>19
(n-1)×30!/{(31-n)!×30^n}かね

あーまた問題良く読んでない　最大のnだった

x＞-2,a＞0において
ae^x＞log(2a+ax)
を証明せよ

√2,1,-1

6もしくは7回目？

>>62
>>59だとしたらほぼ正解だけど「p進数で答えよ」なので…
あと、>>17(1)って>>25ってあってる？
(2)のヒントもほしい

√2,1,-√2だ

>>70
正解

>>68
正解！おつかれ！

ちなみに最初は30をnにして問題作ったんだけど、これだと答え方がややこしい

おっしゃありがとうスッキリしたわ！ｗｗ　達成感パネェｗｗｗｗｗ

101

>>69
(1)正
(2)nの偶奇

111だ

△ABCにおいて、辺AC上の点DをAD=BDとなるように取る。AB=AC,BC=4,CD=3のとき、ABの長さを求めよ

>>74
ありがとう
正って正解ってことでいいんだよな…？

>>75
正解！

pを奇素数とする。p^2進数で表記したとき、1000!の末尾には0がいくつ並ぶか。
答えをp^2進数で書いたときの桁数と各桁の数を求めよ。
ただし、この『1000』はp^2進数で書かれているとする。

Ｓ＝1−1＋1−1＋1−1……
はいくつか

xy平面上の領域
D={(x,y)| 1≦|x|+|y|≦2}
を原点周りに角θだけ回転してできる図形をEとし,D∩Eの面積をS(θ)とする.
ただし、0＜θ＜π/2 とする.
S(θ)の最小値を求めよ.

>>60
(1)は
x≦y≦n-1と仮定して
2(n-1)^n≦n^nを示す方向か

>>79
東工大乙
黒チャート乙

>>80
そうです
(2)以外は不等式を使う

(2)は
√nが整数はnが平方数を用いて両辺2乗とか

>>83
そんな感じ
これは簡単だったか

(3)は
x≦y,y+1≦zで
2y^y≦(y+1)^(y+1)を示す方向

なんとぼくは仲間になりたそうにそちらを見ている！
あ？Google先生呼ぶぞコラ
さようならお仕事

自然数nに対してI_n=∫[0,1]x^2|sin(nπx)|dxとおく
極限値lim[n→∞]I_nを求めよ

>>85
対数取って示すのが楽かも

(y+1)^(y+1)=(y+1)(y+1)^y≧2(y+1)^y>2y^y

1から10までの自然数を1つずつ書いた10枚のカードが数の小さい順に並べてある
この中から任意の2枚のカードを抜きだし、その場所を入れ替えるという操作を考える
この操作をn回行った時、1枚目のカードの数が1である確率を求めよ

>>30,47
こら！たかし！いつまでゲームやってるの！

>>70,72
スクリプトにだってわからない事ぐらいある…！
さあ君も早く二次元の世界へおいでよ

>>89
ああもっと簡単にできるのか

>>90
p[n+1]=(36/45)p[n]+(1/45)(1-p[n]),p[0]=1を解く

平面上の円板
D={(x,y)| x^2+y^2<=1}
と円周
S^1=∂D={(x,y)| x^2+y^2=1}
に対して、連続写像
f:D→S^1
で、fのS^1への制限が恒等写像となるものが存在するか？

>>93
正解

>>17(2)
nが偶数ならa=3^(n/2)として、k^2-a^2=40より因数分解して
(k-a,k+a)=(1,40)(2,20)(4,10)(5,8)
これより(k,a)=(11,9)(7,3)
すなわち(k,n)=(11,4)(7,2)

nが奇数の場合が分からん…なさそうな気がするけど…

両辺のmod4

>>97
やられた…
mod9でしか考えてなかったわ

mod4では、3の奇数乗は3
一方、平方数はmod4では0か1だから、右辺は0か1
よってnが奇数のものは存在しないので、
(n,k)=(11,4)(7,2)のみ

お疲れ

>>45
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