昼下がりの数学スレ

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1以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします
高校レベルでも大学レベルでもお好きな問題をどうぞ

硬貨を投げて数直線上を原点から正の向きに進む 表が出れば1進み、裏が出れば2進むものとする
このとき、ちょうど点nに到達する確率Pnを求めよ ただしnは自然数(0は含まない)とする
2以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:43:07.20 ID:CFwwfHmh0
スクリプトにすら相手にされなくてワロタ
3以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:47:02.52 ID:R5tWHDr90
待て今解いてやる
4以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:47:34.21 ID:CFwwfHmh0
人きたー どんどん出題してNE
5以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:49:11.24 ID:W8owuLE20
P1=1/2 P2=1/2 Pn=0(n≧3)
6以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:51:32.28 ID:CFwwfHmh0
試行は十分な回数(点nもしくは点nより遠いところに到達するまで)繰り返すものとしてます当然ながら
7以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:52:25.36 ID:juHOL/la0
こういうのって答え合わなくても、解法考えるの楽しいよね
8以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 15:54:32.49 ID:CFwwfHmh0
>>7
  `¨ − 、     __      _,. -‐' ¨´
      | `Tーて_,_` `ー<^ヽ
      |  !      `ヽ   ヽ ヽ
      r /      ヽ  ヽ  _Lj
 、    /´ \     \ \_j/ヽ
  ` ー   ヽイ⌒r-、ヽ ヽ__j´   `¨´
           ̄ー┴'^´
9以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:00:35.39 ID:R5tWHDr90
a=(1+√5)/4,b=(1-√5)/4として
P(n)={a^(n+1)-b^(n+1)}/(a-b)かな

解法は漸化式P(n+2)=(1/2)*P(n+1)+(1/4)*P(n)を解く
10以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:01:35.05 ID:W8owuLE20
P1=1/2
P2=3/4
Pn=(1/2)( P(n-1) + P(n-2) ) (n≧3)
11以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:06:17.67 ID:CFwwfHmh0
>>9
うーん残念

>>10
立式はおk
12以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:09:54.57 ID:CFwwfHmh0
誰か問題出してよー><
13以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:12:21.06 ID:+AnmG/FI0
kを正の定数とする。xyz空間において、
・x≦k,y≦k,z≦k
・3辺の長さがx,y,zであるような三角形が存在する。
という条件を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。
14以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:22:29.15 ID:CFwwfHmh0
15以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:23:20.43 ID:R5tWHDr90
>>11
あ、めっちゃあほな計算してたww
2/3{1-(-1/2)^(n+1)}だろ
16以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:24:57.42 ID:CFwwfHmh0
>>15
正解!

>>13やってるお><
17以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:33:15.58 ID:Rzo6YR8N0
(1)3^n=k^3+1をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ
(2)3^n=k^2-40をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ
18以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:35:00.98 ID:rc1p3Gnm0
立方体の形をした豆腐を
包丁で同じ体積の立体に3分割せよ

ただし定規などの測る器具は使用不可
19以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:35:40.83 ID:+AnmG/FI0
1から30までの自然数から一つを無作為に選ぶという試行を繰り返し行う。
いずれかの数が2回選ばれた時点で終了とする。何回目で終了する確率が最も高いか求めよ。
20以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:39:06.52 ID:CFwwfHmh0
(2/3)*k^3かな? やべぇすんごい時間かかっちゃった・・・
21以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:41:41.02 ID:+AnmG/FI0
>>20
残念
22以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:53:21.39 ID:CFwwfHmh0
難しい><
23以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:58:33.05 ID:CFwwfHmh0
>>19
{(n-1)/900}×(29/30)^(n-2)?
24以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 16:59:21.27 ID:CFwwfHmh0
あー馬鹿馬鹿馬鹿問題文ちゃんと読めボケ >>23スルーで スマソ
25以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:01:00.54 ID:+AnmG/FI0
3^n=(k+1)(k^2-k+1)
より、k+1=3^m,k^2-k+1=3^l(m,lは0以上の整数)と表せる
k=3^m-1を第2式に代入して、
3^(2m)-2*3^m+1-3^m+1+1=3^l
3^(2m)-3^(m+1)+3=3^l
l=0だとmod3で合わないのでl≧1
3^(2m-1)-3^m+1=3^(l-1)

l≧2だとmod3で合わないのでl=1
このとき2m-1=mからm=1
しだかって、k=2,n=2のみ
26以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:01:26.45 ID:/yTuEo0V0
空間内に二つの直線
l_1(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
l_2(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある。ただしs,tは媒介変数とする
l_1,l_2上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分PQの長さの最小値を求めよ
27以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:03:05.02 ID:+AnmG/FI0
>>25>>17(1)です
28以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:03:18.61 ID:sOdaUIjdO
tan1゚は無理数か
29以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:03:45.77 ID:R5tWHDr90
亀だが>>13は(1/2)*k^3かい
30以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:08:16.21 ID:+AnmG/FI0
>>29
正解!
31 忍法帖【Lv=17,xxxPT】 :2012/04/14(土) 17:09:13.19 ID:y2U6l7Sy0
n次元超立方体(x1〜xn軸まで存在する)を
xi=xj(i,jは互いに異なり1≦i,j≦nを満たす)のすべての超平面で切るといくつにわかれるか


3次元立方体(x1,x2,x3軸が存在)
x1=x2,x2=x3,x3=x1で切ると6つに分かれる

自作だからわかりにくいかも
32以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:12:52.25 ID:CFwwfHmh0
>>19
30回もしくは31回目?
33以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:13:13.59 ID:sOdaUIjdO
sin1の値を小数点以下第3位まで決定せよ(小数点以下第4位の値を四捨五入するのではなく切り捨てる
例えば、πなら3.141であって、3.142ではない)
34以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:13:21.88 ID:DbMbruW60
>>20
16777215
4097
10464

>>24,29
1527
561
9055
35以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:19:45.93 ID:+AnmG/FI0
>>32
残念
31回って一度もかぶらずに30回選ぶってことだから確率はかなり低いはずだぞ
36以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:21:27.70 ID:+032jJEw0
>>33
マクローリンで解いちゃ反則カナ、カナ
37以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:21:45.33 ID:AkxY3/LG0
>>33
sinxをマクローリン展開してx=1を代入
0.841
38以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:21:59.20 ID:CFwwfHmh0
>>26
√14?
39以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:22:46.93 ID:CFwwfHmh0
>>35
あぁその通りだったなそういえば 俺ダメ杉ワロタ
40以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:24:03.39 ID:/yTuEo0V0
>>38
違う
41以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:24:37.96 ID:sOdaUIjdO
>>36 いいよ
>>37 正解
42以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:30:31.75 ID:Ni32X3oK0
sinxのは1ラジアンでいいのか?
43以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:33:16.77 ID:CFwwfHmh0
>>26
√6か 筆算ミスってた
44以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:35:44.23 ID:/yTuEo0V0
>>43
正解
45以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:41:03.37 ID:CFwwfHmh0
Σ[n=0,∞]{1/√(n+1)}x^nの収束域を求めよ
46以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 17:43:44.22 ID:/yTuEo0V0
lim[n→∞](1/n)*(2nPn)^(1/n)を求めよ
47 忍法帖【Lv=40,xxxPT】 :2012/04/14(土) 17:44:57.34 ID:ajVRAtJs0
12次元空間において半径rの球の体積を求めなさい
48以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:00:14.69 ID:CFwwfHmh0
>>19はn回目に題意が満たされる確率をPnとすると
Pn={(n-1)/30}×{(29/30)^(n-2)}×{1-((n-2)/30)×(29/30)^(n-3)}
になるのかなぁ
49以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:03:17.24 ID:+AnmG/FI0
たまに見るけど>>34にある「16777215」は2^24-1で、「4097」は2^12+1だよな
50以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:10:41.46 ID:+AnmG/FI0
>>48
んー
式の意図がよくわからんが、n-1回目まではどの二つもかぶっちゃいけないってのは大丈夫?
51以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:13:31.76 ID:R3ES4hRO0
>>45
-1<=x<1
52以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:15:53.20 ID:CFwwfHmh0
>>50
あ、>>48でPnが最大になるn計算したら2になったんで間違ってますなスマソ・・・

考え方としては1〜30までの自然数のうちのある1つの数がn回目試行でに2回目の選択をうける確率を求めてみて、
それが>>23の{(n-1)/900}×(29/30)^(n-2)になったの ここからが捗らない
53以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:16:38.91 ID:CFwwfHmh0
>>51
正解
54以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:21:21.78 ID:+AnmG/FI0
>>52
なるほど。やっぱそれだと先に他の数が2回選ばれる可能性を除けない気がする
「n-1回目までバラバラ」、「n回目でそれまでに出た数が出る」という感じで…
55以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:21:26.76 ID:Rzo6YR8N0
p[n]/p[n-1]≧1⇔p[n]≧p[n-1]
56以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:22:44.35 ID:CFwwfHmh0
あーやっぱりそんな感じでダメだったのね・・・ ちょっと考え直してみまする
57以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:32:10.60 ID:CFwwfHmh0
ほす
58以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:35:06.39 ID:Rzo6YR8N0
k+1回目に終わる確率は
(30/30)(29/30)…(31-k/30)・(k/30)じゃないの
59以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:38:23.13 ID:+AnmG/FI0
pを素数とする。p進数で表記したとき、1000!の末尾には0がいくつ並ぶか。p進数で答えよ。
ただし、この『1000』はp進数で書かれているとする。
60以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:39:44.45 ID:B4BHWkEV0
偽フェルマーの最終定理

(1)3以上の整数nについて
x^n+y^n=n^n を満たす自然数組(x,y)は存在しない事を証明せよ

(2)√x+√y=√z を満たす素数組(x,y,z)は存在しない事を証明せよ

(3)x^x+y^y=z^zを満たす自然数組(x,y,z)は存在しない事を証明せよ
61以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:39:59.82 ID:UIpZL4Pb0
a>b>cである実数a,b,cが次の等式をみたす.
a(b+c-3)=b^3 +c^3 -3
b(c+a-3)=c^3 +a^3 -3
c(a+b-3)=a^3 +b^3 -3

(1)a^3 +b^3 +c^3 -3abcを因数分解せよ.

(2)a,b,cは3次方程式
x^3 -x^2 +(a+b+c-3)x -(a^3 +b^3 +c^3 -3)=0
の解であることを示せ.

(3)a,b,cを求めよ.
62以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:45:45.34 ID:Rzo6YR8N0
p^2+p+1
63以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:45:52.17 ID:B4BHWkEV0
>>60 (1)訂正
n^x+n^y=n^z だった
64以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:46:56.60 ID:CFwwfHmh0
>>19
(n-1)×30!/{(31-n)!×30^n}かね
65以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:47:42.18 ID:CFwwfHmh0
あーまた問題良く読んでない 最大のnだった
66以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:51:02.75 ID:B4BHWkEV0
x>-2,a>0において
ae^x>log(2a+ax)
を証明せよ
67以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:56:20.39 ID:Rzo6YR8N0
√2,1,-1
68以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:56:34.12 ID:CFwwfHmh0
6もしくは7回目?
69以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:56:37.10 ID:+AnmG/FI0
>>62
>>59だとしたらほぼ正解だけど「p進数で答えよ」なので…
あと、>>17(1)って>>25ってあってる?
(2)のヒントもほしい
70以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:57:37.16 ID:Rzo6YR8N0
√2,1,-√2だ
71以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 18:58:44.27 ID:UIpZL4Pb0
>>70
正解
72以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:02:33.84 ID:+AnmG/FI0
>>68
正解!おつかれ!

ちなみに最初は30をnにして問題作ったんだけど、これだと答え方がややこしい
73以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:03:14.83 ID:CFwwfHmh0
おっしゃありがとうスッキリしたわ!ww 達成感パネェwwwww
74以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:03:56.59 ID:Rzo6YR8N0
101

>>69
(1)正
(2)nの偶奇
75以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:04:36.74 ID:Rzo6YR8N0
111だ
76以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:06:19.23 ID:B4BHWkEV0
△ABCにおいて、辺AC上の点DをAD=BDとなるように取る。AB=AC,BC=4,CD=3のとき、ABの長さを求めよ
77以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:11:12.71 ID:+AnmG/FI0
>>74
ありがとう
正って正解ってことでいいんだよな…?

>>75
正解!

pを奇素数とする。p^2進数で表記したとき、1000!の末尾には0がいくつ並ぶか。
答えをp^2進数で書いたときの桁数と各桁の数を求めよ。
ただし、この『1000』はp^2進数で書かれているとする。
78以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:14:54.96 ID:sOdaUIjdO
S=1−1+1−1+1−1……
はいくつか
79以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:15:53.88 ID:UIpZL4Pb0
xy平面上の領域
D={(x,y)| 1≦|x|+|y|≦2}
を原点周りに角θだけ回転してできる図形をEとし,D∩Eの面積をS(θ)とする.
ただし、0<θ<π/2 とする.
S(θ)の最小値を求めよ.
80以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:17:00.06 ID:Rzo6YR8N0
>>60
(1)は
x≦y≦n-1と仮定して
2(n-1)^n≦n^nを示す方向か
81 忍法帖【Lv=40,xxxPT】 :2012/04/14(土) 19:18:16.60 ID:qP58oP5y0
>>79
東工大乙
黒チャート乙
82以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:19:05.29 ID:B4BHWkEV0
>>80
そうです
(2)以外は不等式を使う
83以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:22:36.00 ID:Rzo6YR8N0
(2)は
√nが整数はnが平方数を用いて両辺2乗とか
84以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:23:30.81 ID:B4BHWkEV0
>>83
そんな感じ
これは簡単だったか
85以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:28:30.92 ID:Rzo6YR8N0
(3)は
x≦y,y+1≦zで
2y^y≦(y+1)^(y+1)を示す方向
86以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:28:32.71 ID:smXrKWFpI
なんとぼくは仲間になりたそうにそちらを見ている!
あ?Google先生呼ぶぞコラ
さようならお仕事
87以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:31:23.60 ID:/yTuEo0V0
自然数nに対してI_n=∫[0,1]x^2|sin(nπx)|dxとおく
極限値lim[n→∞]I_nを求めよ
88以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:32:00.24 ID:B4BHWkEV0
>>85
対数取って示すのが楽かも
89以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:36:16.65 ID:Rzo6YR8N0
(y+1)^(y+1)=(y+1)(y+1)^y≧2(y+1)^y>2y^y
90以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:37:50.88 ID:CFwwfHmh0
1から10までの自然数を1つずつ書いた10枚のカードが数の小さい順に並べてある
この中から任意の2枚のカードを抜きだし、その場所を入れ替えるという操作を考える
この操作をn回行った時、1枚目のカードの数が1である確率を求めよ
91以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:37:55.29 ID:smXrKWFpI
>>30,47
こら!たかし!いつまでゲームやってるの!

>>70,72
スクリプトにだってわからない事ぐらいある…!
さあ君も早く二次元の世界へおいでよ
92以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:38:08.99 ID:B4BHWkEV0
>>89
ああもっと簡単にできるのか
93以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:49:45.38 ID:Rzo6YR8N0
>>90
p[n+1]=(36/45)p[n]+(1/45)(1-p[n]),p[0]=1を解く
94以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:50:54.08 ID:R3ES4hRO0
平面上の円板
D={(x,y)| x^2+y^2<=1}
と円周
S^1=∂D={(x,y)| x^2+y^2=1}
に対して、連続写像
f:D→S^1
で、fのS^1への制限が恒等写像となるものが存在するか?
95以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:51:42.65 ID:CFwwfHmh0
>>93
正解
96以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:55:54.11 ID:+AnmG/FI0
>>17(2)
nが偶数ならa=3^(n/2)として、k^2-a^2=40より因数分解して
(k-a,k+a)=(1,40)(2,20)(4,10)(5,8)
これより(k,a)=(11,9)(7,3)
すなわち(k,n)=(11,4)(7,2)

nが奇数の場合が分からん…なさそうな気がするけど…
97以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 19:59:49.12 ID:Rzo6YR8N0
両辺のmod4
98以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 20:05:35.46 ID:+AnmG/FI0
>>97
やられた…
mod9でしか考えてなかったわ

mod4では、3の奇数乗は3
一方、平方数はmod4では0か1だから、右辺は0か1
よってnが奇数のものは存在しないので、
(n,k)=(11,4)(7,2)のみ
99以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 20:08:17.48 ID:Rzo6YR8N0
お疲れ
100以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2012/04/14(土) 20:08:21.89 ID:DbMbruW60
>>45
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