数学の問題を出し合うスレ

・数学の問題を出し合ってみんなで考えます
・問題は曖昧さが無いように書きましょう
・出題者は答えを知らなくてもおｋですがその場合は出題時に明記すること
・出題者は解説を求められたら解説してあげたほうがいいけど強制はしない
・誰も答えなくても泣かない
・高校程度の用語、内容なら説明不要で使っておｋ
・知らない言葉がでたら基本は自分で調べる
・それでも分からなければ出題者に質問
・やさしい出題者は答えてあげて
・できるだけ用語知らない人でも考えられるように問題は書いたほうがいいかも（大学以上の内容に関しては）
・同時に複数の問題が出てもおｋ

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長い産業で

とりあえず最初の問題

命題A、B、C、D、Eがあり１〜４の条件を満たしている
１．A→B
２．D→E
３．ｎA→ｎC　（※ｎAとはAでないということ）
４．B→ｎE
この時以下のどれが成り立つか。答えはひとつとは限らない
ア：A→E　　イ：D→A
ウ：C→ｎD　エ：どれも成り立たない

じゃ早速

１１１１１１　

計算しろ

難しいだろ？あ？解けるもんなら解いてみろよｗｗ

たかしくん、まなぶくん、はなこさんでケーキをわけることにしました。
どうやったらうまくわけられるでしょうか？
ただし、ナイフを持っているのははなこさんとします。

>>3
au

>>3
ウ?

>3 う

>>5
まなぶくんの心臓をナイフでとりだしてさんにんでわけます

>>7
正解です

一応解答
解答　ウのみ
解説
Cを仮定すると３の対偶よりC→A
１よりA→B
４よりB→ｎE
２の対偶よりｎE→ｎD
従ってC→ｎD
ほかは成り立たない

3　イとウ

\int[-\infty,\infty]\exp (-x^{2}) dx = ?

x^3 + y^3 + z^3 = 100
上式を満たす整数の組（x,y,z）を一組求めよ。

>>9
いいでしょう。

問題どんどん出してこ

自然数には大小関係における最大値が存在しないことを示せ
ただし和と積は定義されているものとする

>>15
こういう問題に詳しくないんだけど、

最大の整数をpとする。
p<p+1
よって矛盾

とかじゃだめなの？

>>16
それでおｋです

３＋３とかも出来る？

>>13
x=7,y=-6,z=-3か？難しい

>>15
自然数と和が定義されている時点で何も言うことはないと思うんだ

はええな。>>13の組見つけられんかった

e＾iπ + 1 = 0を証明せよ

>>19
OK

別解として、x=190 y=-139 z=-161など。

lim(n→∞)2^n/n

>>23
何？プログラムの問題だったの？

>>22
e^iθ=cosθ+isinθからだな

おいらより
e^iθ=cosθ+isinθ
θ=πとすると
e^iπ=cosπ+isinπ=-1
∴e^iπ+1=0

マジレスしちゃダメな問題だったかな　有名だもんな

>>20
自然数の定義とか和の定義とかやると大変だからちょっとそこら辺はすいません

高さ10cmパラソルチョコ(=円錐型をしたチョコのこと)を兄弟２人で分ける。
上から7cmのところで切った場合、上と下ではどちらが得か。

kは整数であり3次方程式 x^3-13x+k=0　は3つの異なる整数解をもつ
kとこれらの整数解を求めよ

>>25
手計算で簡単に分かるのが>>19の解
>>23の別解はただのおまけ

>>31
ちなみにその２組以外にも解は存在します？

>>26
答えになってないお

オイラー示せって問題なんじゃね？

e^z,cos z, sin z を冪級数で定義して（ｒｙをやるとか

>24
もんだいまちがえてねえ？

オイラーの公式の証明は厳密にやったこと無いから分からんな〜
マクローリン展開で直感的にはやったけども

>>22 >>26のテイラー展開

R：実数全体の集合、A（⊆R）：空でない集合とし
Aが次の条件を満たしているとする
１：a,b∈A　→　a+b∈A
２：a∈A,r∈R　→　ar∈A

この時A＝Rであるための必要十分条件は何か
証明は暇なら

X≠aX
証明せよ

>>35
あってるよ

>>24
2^(1/2)じゃなかったか？

＜問題＞
加法定理を証明せよ

>>29
Vb/Vt=(1000-(7^3))/(7^3)=1.9154519>1
より下の方が得　（b:bottom, t:tip）

>>29
底面の半径をrとする

全体：π・r^2 * 10 * 1/3　＝　10/3 ・ π・r^2
その半分：500/300 ・ π・r^2

上：π・（7r/10）^2 * 7 * 1/3　＝　343/300　・ π・r^2

上の立体の体積が、全体の立体の体積の半分に満たないため、下のほうが得

>>41
違う

>>30
K=12,解は1,3,-4

>>43
正解

>>24
どう考えても正の無限大に発散
証明いるの？

>>24

2^n/n＝(1＋1)^n/n≧n(n−1)/n＝n−1→∞だから∞が答え

>>45
そうか
似た様な問題で答えが2^(1/2)になる問題あった気が…
何だったっけな

>40
発散するんだが

>>32
すいません、わかりません。

二つの実数の積が０ならばそのいずれかが０であることを示せ

nは自然数とする
f(x)=x^2・(54n-x)/864n^2　(注：54=2・3^3、864=2^5・3^3)のとき
36n+1この整数[f(0)]、[f(1)]、・・・、[f(36n)]のうち、相異なるものの個数はいくつか

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)…(x-y)(x-z)
を展開せよ。

54
0

>>24の答え
二項定理より
(1+1)^n=1+1/2n(n-1)･1^2
よって 2^n>n(n-1)/2
ゆえに 2^n/n>(n-1)/2
lim(n→∞)(n-1)/2=∞より
(与式)=∞

>>38の解答
1∈Aであること
証明は簡単なので略

>>53
難しそうだな

>>38
1かつ2

>>46
合ってるがkとxyzの組はもう一つある

>>56訂正
二項定理より
(1+1)^n=1+{n(n-1)･1^2}/2
よって 2^n>n(n-1)/2
ゆえに 2^n/n>(n-1)/2
lim(n→∞)(n-1)/2=∞より
(与式)=∞

>>54
0

>>55>>61の意味が漸くわかった

一辺の長さが1の正八角形の周または頂点を3点P,Q,Rが動くとき、△PQRの最大値はいくらか

｛１，２，３，４，｝、｛５，６，７，８，｝という二つの集合を考える。また１、２などを左側の集合を構成する元という
この二つの集合の元の個数のおおさを比べる為に
１　?　５
２　?　６
３　?　７
４　?　８
という対応を考えると個数は同じであることが分かる
これを踏まえて自然数と偶数それぞれの元の個数が等しいことを示せ　

>>54
aが0で無いとするとa^(-1)が存在し
b=a^(-1)･a･b=a^(-1)･0=0よりb=0。逆も然り

ていうか良く考えなくても>>24発散だよな
馬鹿か俺。逝ってくる

>>64 nと2nが対応

>>65,66
正解です

>>65は>>52

lim(n→∞)　n/{1・3・5・・・・(2n-1)}^(1/n)

a^2 + ab + b^2 = 13
を満たす整数a,bの組を求めよ。

>>30>>46>>59の問題がこれに帰着することはわかったが、
解き方がわからない…。

>>70
3と1

>>70
１、３

>>71>>72
>>46の解にある「3と1」「1と-4」「3と-4」以外の残り3つを探しているんです…。

-3、4
4、-3

>>30
整数解をa,b,cとする。
x^3-13x+k = (x-a）(x-b）（x-c） = x^3 + -（a+b+c）x^2 + （ab+bc+ca）x + abc

係数比較より
-(a+b+c） = 0　　�@
ab+bc+ca = -13　　�A
abc = k

�@、�Aより、
a^2 + ab + b^2 = 13

さて。

数直線において異なる二つの実数の間には必ず実数があることを示せ

>>76
異なる二つの実数をa,bとし、a<bとする。

a+1/2bをcとする。
実数は和・乗について閉じているため、cは実数である。
a<c<b

1,3
1-4
3,-4
4,-3
4,-1
-1,-3

>>70
a^2 + ab + b^2 = 13
(a+1/2b)^2+3/4b^2=13
(a+1/2b)^2=13-3/4b^2≧0

直径10kmの隕石が衝突したとき発生する津波の高さ

>>69
e^2/2か？

>>80
マジレスすると32兆km

>>73
±100で検索してみたらけど
(-4 , 1 )
(-4 , 3 )
(-3 ,-1 )
(-3 , 4 )
(-1 ,-3 )
(-1 , 4 )
( 1 ,-4 )
( 1 , 3 )
( 3 ,-4 )
( 3 , 1 )
( 4 ,-3 )
( 4 ,-1 )
しか見つからんかった

ある男女共学のクラスにおいて
男子は男子内で身長を比べることが出来、女子も女子内で身長を比べることが出来ます
しかし男女では身長は比べられません
男子内で一番身長が高い奴をA
女子内で一番身長が高い奴をBとします
このとき
男女間で身長が比べられるならA、Bどちらか一方がクラスで最も身長が高いということをしめせ
ただし同着もありとする

lim(n→∞)n2^n/3^n

(a+b)^2の展開式を利用して相加相乗平均の関係を示せ

>>78>>83
正負を変えるだけでよかったのかｗ
解けたけど>>79についてもうちょっと考えます。

>>77
正解です

身長１７０ｃｍ　頭頂部の面積７０ｃｍ2の人間が
音速を超えた場合、衝撃派の強さを予想せよ

>>87いや普通に解の公式にぶち込んで√内が整数のときのみ考えるだけだろ。

>>81
なんか違ってねえか？

>>85
n*(2/3)^n　だよね？
普通にロピタルで0になった

極方程式r=1+cosθ(0=<θ=<π)で表わされる曲線Lを求めよ

京大で出たらしいです

>>42
次式が成立するものとする。
i^2 = -1
e^(i * z) = cos(z) + i * sin(z)
e^(i * (a + b)) = e^(i * a) * e^(i * b)

前提より次式が導かれる。
e^(i * (a + b)) = cos(a + b) + i * sin(a + b)
e^(i * a) * e^(i * b) = (cos(a) + i * sin(a)) * (cos(b) + i * sin(b))
　= cos(a) * cos(b) + i * cos(a) * sin(b) + i * sin(a) * cos(b) + i * sin(a) * i * sin(b)
　= cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) + i * (sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b))

よって
cos(a + b) + i * sin(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) + i * (sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b))
これの実部を取れば
cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)
虚部を取れば
sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)

証明になってるか知らんが。

π〉3,05の証明

i^iが実数であることを示せ

>>89
マジレスすると大阪が消し飛ぶ

円の面積を求めろ

>>94
循環論法じゃないかな

>>96
オイラーより
i=cos(π/2)+isin(π/2)=e^{i*(π/2)}
∴i^i=e^{i*(π/2)}^i=e^(-π/2)∈R

>>96
i^i = (cos(π/2) + i * sin(π/2))^i = (e^(i * π / 2)) ^ i = e^(-π / 2)
よって実数解が存在する。 (実際には多価だが面倒くさいので省略)

>>100 せいかい
>>95 半径1の円に正十二角形を内接させてその周の長さと円周を比べる
正六角形では精度不足

>>101 同じく正解

>>99
thx

>>85
∞

>>90
そうでした…。

>>102
正解

>>107 ちなみにπ > (sqrt(2 - sqrt(3)) * 12) / 2 = 3.10582854

a1x＋a2x^2＋…＋anx^nがx→∞である有限な値に収束するならば、a1＝…＝an＝0であることを示せ

>>30
俺予備校生だけどこれ先週解いたわｗｗどっかの過去問か？
その時はk分離してグラフ書いてちょっと説明して解いたけど
なんかカッコイイ解き方あんのかな

佐藤、鈴木、田中は、複数の科目からなる試験をうけた。
3人の受験した科目は同じである。

どの科目に対しても、a点をとったのがひとり、b点をとったのがひとり、c点をとったのがひとりであった。
なお、a,b,cは異なる正の整数とする。

全科目の合計点は、佐藤：20点。鈴木：10点。田中：9点であった。

なお、数学の試験で1番だったのは鈴木であることが分かっている。
英語の試験で2番だったのは誰か。

>>110
それが一番だよ
定数関数との交点調べるのが一番楽

2と3を除いて素数は全て6n±1(nは自然数)の形で表されることを示せ

>>110
ちょっと前の一橋の問題
そのやり方もあるけど俺は解と係数の関係と>>79使うやり方習ったよ

>>92正解

だれか69解いてみてくれねえかな

>>113
全ての自然数は6n,6n±1,6n±2,6n+3のいずれかであり6n,,6n±2,6n+3は6の倍数,2の倍数,3の倍数であるから…

>>12
計算するの面倒だから、確かπか-πかπ/2か-π/2のどれかだったはず

>>69
2/e?

>>113
2と3以外の任意の素数は6n＋k(n≧1，0≦k≦5)とかける。
k＝0なら6でわりきれ、k＝2なら2でわりきれ、k＝3なら3でわりきれ、k＝4なら2でわりきれるからkは1か5。k＝5なら6(n＋1)−1とかける。

>>114
一橋ってったら文系だよな
ならグラフ書けないだろうからそうするしかないな…
なかなかむずそうだ

A,Bを実数とする。A=BならばA^2=B^2 であることを証明せよ
またその逆は真であるか？真であるなら証明し、偽であるなら反例をあげよ

>>119
実を言うと自作なんで完全な正解はまだ知らない

ただ作った解答とは違う

ある集合においてそのどんな部分集合も大小関係において最小値をもつならばそれはいい感じとする
自然数はいい感じか
またいい感じでない集合の例をあげよ

>>117 正解

>>118
\sqrt \pi
だよ

>>121
３次関数までなら指導要領的に大丈夫

>>124
いいかんじです！

いいかんじゃない例:整数

>>124
いい感じふいたｗｗｗｗｗｗ
自然数は整列集合だもんな
いい感じでないのは整数全体

>>122
A＝Bとする
両辺にAをかけて
A・A＝A・B
すなわち
A＾２＝A・B
仮定よりA＝BからA・B＝B・B＝B＾２
よってA＾２＝B＾２

逆は成り立たない
反例
（ー１）＾２＝１＾２であるが１＝−１でない

>>128-129
正解ですｗ

>>124
自然数の集合には最小値（0か1）があるので、その部分集合にも必ず最小値がある。それらは「いい感じ」の集合
「いい感じ」でない集合の例は正の実数の集合。それには最小値がないので、その部分集合のうち少なくとも一つは「いい感じ」ではない

>>128−129
あれ、ちょい待ち。整数はいい感じじゃね

>>130
正解

3より大きい素数の2乗は、6で割ると1余る数である。これを証明せよ

>>133
整数全体の部分集合として整数全体をとってこようじゃないか

嘘です
整数はいい感じじゃないですわすいません勘違い

>>134
先程の問題から素数は6n±1であるから二乗すると…

>>134
>>113より、素数の2乗は
（6ｎ+1）^2 ＝ 6（6n^2 + 2n）+1　または
（6ｎ-1）^2 ＝ 6（6n^2 - 2n）+1　

nが自然数であることから、（6n^2 ± 2n）も自然数
wwwww

>>132
正解です

>>134
何レスか前の問題より2と3以外の素数は6n±1とかけ、2乗すると36n^2＋1±12nとなるから1あまる

>>111
　　　数学　　英語　　国語
佐藤　4　　　　8　　　　8
鈴木　8　　　　1　　　　1
田中　1　　　　4　　　　4

(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+n)=2^n・1・3・5・(2n-1)
を示せ

>>138,>>140
正解


「整数の"どんな"部分集合も最小値を持つ」というのは偽だな。負の整数の集合は最小値を持たないから
「整数の"ある"部分集合が最小値を持つ」というのはもちろん真。たとえば自然数の集合は整数の部分集合だから

>>142
n＝1ですでに成り立たない

コインの表裏を当てる賭けを3回行う。

　・賭け金の決定 → コインを投げる → 当たれば賭け金と同額の収入／外せば賭け金の没収。
　・これを3回繰り返す。
　・最初の持ち金は24,000とする。

あなたは、この3回の賭けのうち、「2回はあたり、1回ははずれる」ことが予言されている。
この予言は外れない。

この条件のもとで、できるだけ安全にもうけるには、1回目の掛け金はいくらにするのがよいか。
なお、「安全にもうける」とは、最悪のケースにおける最終持ち金ができるだけ高くなるような掛け方のことである。
　

　
　
>>141
OK。おつ
国語とは限らないがｗ

>>145追記
各回の賭け金は、0≦x≦現在持ち金 の範囲とする。

>>142
Π[i=1,...,n](n+i) = 2^n*(2n-1)!!
ってこと？

12000円かな？
1〜3回目のどれがハズレでも最低24000円は儲けられる

>>145
最悪のケースは1回目にあたって、2回目に全額かけてはずれる場合(最終金額0円)だから
1回目の掛け金に依存しなくないか？

>>145
それぞれ賭ける金額をｘ、ｙ、ｚとして期待値とって的な？

>>149
外れが1〜3回目のどこに来ても必ず一定金額M以上は儲けられる必勝パターンの1回目の掛け金を求めろってことじゃない？

>>151
なるほど

>>151
フォローありがとうございます。それでOKです。
表現がへたくそですいません。

>>148
正解です。

次の定積分の値を求めよ
∫[0-1]√(x^2+1)dx

問題解いてるのって受験生か？　それとも大学生？

2以上の自然数ｍ、ｎがある。
ｍ≦ｎとする。

ｍとｎの答えを知ってるＸがｍとｎの積を書いたカードＰをＡに、
ｍとｎの和を書いたカードＳをＢに渡した。
ＡとＢはカードの意味(和、積)は知っているが、
お互いのカードの数値は知らない。

以下はＡとＢの会話である。

Ａ：和が分からない。
Ｂ：その事は知っていたよ。
Ａ：まだ和が分からない。
Ｂ：和は14未満の数だよ。
Ａ：ありがとう、答えが分かった。
Ｂ：おめでとう、私も答えが分かったよ。

mの答とnの答え

R：実数全体の集合、A（⊆R）：空でない集合
Aは>>38の１，２を満たし下の３も満たすとする
３：Aを含みAよりも大きく、かつRよりは小さい集合は存在しない

この時Aは４を満たすことを示せ

４：a、b∈R、ab∈A →　a∈A　または　b∈A

>>38
これって、0でない実数aがAの元ならば、任意の実数xに対してx=a×(x/a)∈Aだから、
0でない元が一つでもあればok、でいいの？

だとするとAは0のみを含む集合かR自身だから、>>158の3を満たすようなAはRだけで、
すると4は自明に成り立つけど。

実数でやっちゃったからちょっと問題おかしくなったかな
ちょい待ってね

>>158-159
たしかしたかし

>>158
その通りですね。実数だとそれが必要十分ですねｗ
実数全体じゃなくて逆元が存在するか分からない集合でやるべきでした

ただそうするといろいろ定義しないといけないんで面倒だからこれ無しでお願いします
ネタはイデアル、極大イデアル、素イデアルです

変態みたいな言葉使わないで

流れを保つためにまぁ駄問だけど出題

幼女が100人います
この幼女をこれから5人の性犯罪者たちに分け与えることになりました
一体何通りの分け与え方があるでしょうか
※1人の幼女も分け与えてもらえないなんてなるとロリコンさんは発狂してしまうので
5人各々最低1人は幼女をもらえることとします

25ま での 自 然数をすべてかけると,末 尾には 0が い く つ 並びますか

解き方も

おまわりさんこっちです

>>165
６こ

すまん>>164に付け足し↓
100人の幼女は区別しないこととします　
「どんな」幼女を、ではなく「何人の」幼女を犯せるのかということです

>>167
解き方おせーて

５，１０、１５、２０、２５から素因数５が一個ずつ取れる
２５からはもう一個取れる
合計６個
２は５よりいっぱいだからおｋ

>>170
あり

(2x-1)^2-4(2x-1)-12

因数分解しろって書かれてるんだが、俺では無理。答えと問題間違ってる？

>>164
計算めんどくさそう
4598126通り？

中学生の宿題丸投げスレになりましたとさ

>>156解けた人いない？

>>173
受験だや。答えが間違ってる可能性あるだろ？

>>172
ちょっと違うねー　オーダーはあってるけど
計算は簡単だよ

>>171
（２ｘー１）＝Aとでも置いてみたら幸せになれるよ

「だや」ってどこの田舎だよまじでｗｗｗｗｗｗｗ
(2x-7)(2x+1)だよ　解き方はあえて教えないｗ

>>176
>>168を読んでなかった

95_C_4 でいい？

惜しい
なんで95?

>>53
これやってみたんだけど、16n個以上27n-1個以下ってことしか分からん(それも合ってるか微妙)

>>84
A≦BかB≦Aが成り立つ。
A≦Bだとする。
任意の女子Fに対してF≦B
また任意の男子Mに対してM≦AだからA≦BよりM≦B
よって任意の生徒Sに対してS≦B
すなわちBはクラス内で一番背が高い。
B≦Aの場合も同様。

>>109
an≠0とする。
lim x^n/(a1x+…+anx^n) = 1/an だから、
a1x+…+anx^nがもし有限の値cに収束するならば、
lim x^n = (lim x^n/(a1x+…+anx^n))×(lim (a1x+…+anx^n) = c/an < ∞
これはx^n→∞に矛盾。
よってa1x+…+anx^nが有限の値に収束するならばan=0
以下同様。

>>142
数学的帰納法

>>156
多分5と6だと思う。

>>177-178
ありがとございま
天才じゃないすか
置換使うんですか

>>180
5人を先に分けて残った95人

>>181
>>84の問題正解です

5人先に分けたのなら残りの95人から貰わなくてもいい性犯罪者が出てくるよね？
そうなるとコンビネーションは当てはまらないと思うよ

>>185
その辺を考慮しての
95_C_4
なんだけどな〜
違うのか・・・

100-5=95ってことだよね
仮に幼女が6人だった場合でその寸法でやってみると6-5=1となってCが定義できないよ
本質的には100人でも6人でも変わらないのに

>>187
やっぱり紙とか何かしらに書かないとだめだな・・・
99_C_4 だな

>>156を解いたやり方
まずa=mn, b=m+nとして、
m,nは2以上だからbは4以上13以下。

最初のAの発言よりaは素数×素数ではない(m,nは1でないのだからaが素数自体になることはなし)
Bはそれを「知って」いたのだから、bは素数+素数の形には書けない。
この時点でbは11に限られる。
11=2+9=3+8=4+7=5+6だから、aは18か24か28か30。
次にBが「知って」いたということが分かってもAが答えが分からないということは、
aの積への分解のうちその和が素数+素数で書けないものは2つ以上ある。
参考てして14以上の数では14,15,16は素数+素数で書けて17は書けないことを使って上の4つのaの候補を虱潰ししていくと、
a=30=2×15=3×10=5×6に対しては、2+15=17と5+6=11の二つの和が素数+素数で書けない。

よってa=30,b=11,m=5,n=6
以上は必要条件だけど、これで実際にA,Bの思考プロセスを追うとちゃんと答えが分かるので、必要十分。

>>188
正解〜　おめ

>>190
大分頭がパニック起こしてた
お付き合いありがとう

いやいや　こっちも問題設定甘くてあらぬ誤解を招いてしまいすまなかった

>>156>>189
2以上って条件を見落として泥沼に入ってた…悔しい。

任意な合同な長方形ABCDとA'B'C'D'において
以下の条件を満たした上で任意の形で二つの長方形を重ねる

条件:辺ABと辺A'B'が交わる・辺BCと辺B'C'が交わる'・辺CDと辺C'Dが交わる'・辺ADと辺A'D'が交わる

このとき、辺ABと辺A'Bの交点を点E、辺BCと辺B'C'の交点を点F、辺CDと辺C'D'の交点を点G、辺ADと辺A'D'の交点を点Hとする
直線EGと直線FHの交点を点Iとし、点Iを中心に長方形A'B'C'D'を回転させると長方形ABCDに重なることを証明せよ


この問題中学の数学の知識だけで証明できるらしいんだけど、俺未だに分からないんだよね・・・

>>189
すげえ。俺なんか変なことしてた
よく出来てるな〜

ごめん訂正
条件の所　辺ABと辺A'Bの交点を点E→辺ABと辺A'B'の交点を点E

2枚のカードがあり、それらにはそれぞれ正の整数aと2aが書かれている
A君とB君とでとあるギャンブルを行うためにこのカードのどちらか一方をAに、もう一方をBに渡した
そのギャンブルとは、相手の持っているカードに書かれた数だけの金を自分が相手に支払うというものだ

A,Bは自分に渡されたカードに書かれた数を見ることができ、尚且つ
一方のカードの数の2倍がもう一方のカードの数に等しいということを知っている
（ただしA,Bのどちらにa,2aのカードが渡されたのかは知らない）
また、両者の合意があればカードをオープンして金の支払いを行う前に1度だけカードを交換することができる

さて、この時A,Bはカードを交換するべきか否か（もちろん、両者ともに金はたくさんあった方が良いと考えている≡金が欲しい）


文章分かりにくかったらゴメン　この間数学スレで見かけた面白い問題　意味わかんなかったら言ってね

>>197
それ、普通の確率論では解けないよ。
aの取りうる値が無限個あるから。
ただ、もらったカードが奇数の時は、確実に自分のカードはa。交換すべき。

>>194
安心しろ。俺も無理そうだ

ちょっと文章の補足
○ 「カードをオープンして金の支払いを行う」前に
× カードをオープンしてから→カードを交換
つまりカードを交換し終えるまでは相手のカードの数は分からないってことね

あぁそうだった整数じゃダメじゃん　実数だったな

>>197訂正
× 正の整数
○ 正の実数

>>198
前半2行どういうこと？

>>194
周りのはみ出た三角形がそれぞれ合同だからって話なのかね〜

約数を全て足すと195となり、約数の逆数を全て足すと、65/24となる整数は？

>>201
カードに記入した人が、無限個ある実数から、何を選ぶかは等しい確率なの？
→もしそうだとしたら、その確率pを無限個足しあわせた結果が1になることはありえないよね？
→もしそうじゃないとしたら、問題文中に何の説明もないから条件足りなくない？

ん？よくわからない
実数のaの値が何であれそれはAとBのギャンブルには関係ないよね？
とにかく2人は1円1銭でもお金が欲しいわけ

a:Const. ってすればいいの？

>>197
もし自分の持ったカードの数字がxだった場合、相手の数字は2xまたはx/2で、どちらも確率は1/2

交換した場合
1/2の確率で2xもらえ、1/2の確率でx払うから、期待値はx/2

交換しない場合
1/2の確率でxもらえ、1/2の確率で2x払うから、期待値は-x/2

なんか解いててすげぇ不思議な感じなんだけど、これであってる？

あ、結論書き忘れてた。
交換したほうがよい

>>206
＞もし自分の持ったカードの数字がxだった場合、
＞相手の数字は2xまたはx/2で、どちらも確率は1/2
これがおかしい。

「巨人が優勝する確率は、優勝するかしないかの1/2」と言っているくらいおかしい。

そういう意味で、>>204に
「カードに記入した人が、無限個ある実数から、何を選ぶかは等しい確率なの？」
と書いたんだけど、出題者からは明確な答えはなかった。

>>64を踏まえた上で
自然数と整数の元の個数が等しいことを示せ
また自然数全体と｛整数同士の格子点全体の集合｝の元の個数が等しいことをしめせ
どちらもどんな感じで対応を与えるかだけでおｋ

>>206
おー正解そんな感じ
期待値としては交換した方が良いってことになるんだけど実際AとBは全く同じ立場に
置かれているわけだから交換によって両者が得をすることになるってのはすごい変な感じなんだよね

>>210
＞＞両者が得をする
それが既に矛盾だから計算するまでもなく、どっちも同じが答えだろ

>>208
ごめんマジでわからない
A,Bそれぞれからしたら相手のカードが2a,a/2である確率は1/2でしょ明らか

>カードに記入した人が ってどういう意味？
んじゃあもうメンドイから2枚のカードにはそれぞれ10000円と20000円が書かれていて
A,B両者は相手のカードに書かれている金額が自分のカードのそれの2倍もしくは1/2倍ってのを知ってる
って設定にしたらどうよ

>>209
格子点（m,n）について、m+n＝pとする

p＝0、p＝1、p＝2、p＝3…のそれぞれについて、
（m,n）＝（0,p）、（1,p-1）・・・（p,0）の順に格子点を並べる。

1＝（0，0）
2＝（0，1）
3＝（1，0）
4＝（0，2）
・・・
15＝（4，0）
16＝（0，5）
・・・

>>197>>206
これって、互いに相手のカードに書かれた金額を相手に払うんだったら、
たとえば自分が2x、相手がxだったら自分は2x-x=xだけ得して相手はx/2だけ損することになるから、
206の計算はおかしくない？

>>211
もちろんそういう考え方もある
ただ期待値的には>>206の通り交換した方が良いってことになる
実際これ交換した方がいいのかしないほうがいいのかまだ決着ついてないらしいよ数学者の間でも

>>213
ｐがマイナスの時は？
格子点で言うと例えば（−１，ー１）とかが対応されて無くない？

>>212
＞A,Bそれぞれからしたら相手のカードが2a,a/2である確率は1/2でしょ明らか
明らかではない。
Aに「10000」のカードが配られたとき、A視点でBのカードが「5000」なのか「20000」なのかは1/2の確率ではない。

起こる確率が「同様に確からしい」2つの事象のうち、片方が起こる確率を1/2という。
「5000」が書かれている、という事象と、「20000」が書かれている、という事象は、「同様に確からしい」わけではない。

通常の意味での確率論は、確率の総和が1になる有限個の事象の集合についてしか考えない。
そもそも確率を定義できないこの問題には、期待値を論じることはできない。

＞実際これ交換した方がいいのかしないほうがいいのかまだ決着ついてないらしいよ数学者の間でも
そんなことはない。

>>215
>>206は相手の数字が2xまたはx/2って書いてあるのに
二人に渡されたカードがxと2xの場合しか計算しないだろ

なんか難しい話になってきていてちんぷんかんぷんだが、
とりあえず>>214の指摘で自分が計算ミスしていることだけは分かった。

交換した場合
1/2の確率で差し引きx得をし、1/2の確率で差し引きx/2損するから、期待値はx/4

交換しない場合
1/2の確率で差し引きx/2得をし、1/2の確率で差し引きx損するから、期待値は-x/4

でした。

>>214
あぁホントだ1/2が抜けてるかな
でもまぁ期待値の正負は間違ってないから本質的には正解と同じ

>>217
俺が見たスレの過去ログ↓見てみて
http://mimizun.com/log/2ch/news4vip/1296821135/
一応ここの問題と同じ設定にしてみたつもりだったんだけど
このスレの問題でも期待値は定義できない？　だったら君の意見は初耳だわ

最初にxのカードど2xのカードがあったとする　

交換しない場合　
2x×0.5−2x×0.5＝0　

交換した場合　
同様に0　

だろ。なんかおまえら間違えてないか？

>>216
これは失敬
m、nの絶対値の合計pに対して、対応する格子点をm軸から時計回りに拾っていくとかで修正できるけど、
言葉で説明するの面倒臭いな…。

>>221
そのログの82とか、数学板の
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
を読むといいよ。
専門的にならないように、「この問題が確率で解けない理由」はもう説明したと思うけど。

確率いみわかんねぇ　勉強しなおそう

>>223
おぉ本家スレがあったのか後で見てみるわ
それと>>221ログの>>82は下で論破されて自ら間違い認めてるよｗ

>>223
正解です。
一つ目のの問題は行ったり来たりの対応
二つ目はぐるぐるした対応でいけますね

数学が苦手すぎる、数学ってどういう勉強したらいいんだ？

受験数学なら暗記ですたい
学問としてなら忍耐ですたい

>>227
・「なぜそう処理するのか」を考えてください。
・言葉や記号の定義を忘れないように、自分で例を作って練習してください。
大学以上はしらない。

まぁ、受験のための道具としてなら暗記でもいいかもね
おれはそれを「数学ができる」とはいわないけど。

何こいつすんげぇエラそうｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

大きい方を2x、小さい方をxとすると、最初にどっちを貰うかは1/2
期待値は
　　　　　　　　　　↓最初に大　　　↓最初に小
交換する場合　 (1/2)(2x-x)　+　(1/2)(x-2x)　=　0
交換しない場合 (1/2)(x-2x)　+　(1/2)(2x-x)　=　0
どっちも同じ

>>228,229
なるほど！
暗記は苦手というか納得しないと
モヤモヤするタイプだから「なぜこうなるのか」を意識しようと思う！

えっ
受験において点数がよかったら「できる」でしょう

実数から実数への連続な関数全体の集合をXとする
またすべての実数を恒等的に同じ実数に移す関数を１とする
関数の和、積は移った先の実数同士の和と積で定める
A（⊆X）；空でない集合とし、>>38の１，２を満たしているとする
この時
Aが１を元としてもつための必要十分条件はなにか
またA＝Xとなるための必要十分条件はなにか
証明不要

多分今度は問題ないはず

早速問題があった
１という関数はすべての実数を１という実数に移す関数です

以上、厨房工房の数学の宿題手伝ってスレ。









以下、厨房工房の数学の宿題手伝ってスレ。

>>227
逐一「理解しよう」と意識しながら進めると違うのかも知れん。
物理とかにもあてはまることだけど、例えば「公式を覚える」勉強をするんじゃなくて、
「イザとなれば公式をその場で導き出せる」勉強をするといいんじゃないのかなーと思う。

まぁ具体的にどうやればいいのかと聞かれると分からんが・・・

x,y,zを、x+y+z=0,x^2-x-1=yzを満たす実数としたとき、
x^3+y^3+z^3の最大値と最小値を求めよ

公式の意味が分からない奴、覚えてない奴
公式は使えるけどうろ覚えだし意味もわかってない奴
公式は覚えてないけど意味がわかるからいつでも作れる奴
公式の意味は分かるし自然に覚えちゃったからそのまま使う奴

今までのレスでカード交換の損得を考える2つのモデルがでたわけだが…　

1.大きい数を2x，小さい数をxとおく方法。交換しようがしまいが期待値は0となる。
※問題点は、観測者が配られたカードを見たという条件を考慮していない点

2.配られたカードをxとし、相手のカードを2xまたはx/2とする方法　
※この場合、観測者が最初にあったカードを知らない前提なので、すべての実数に対する期待値を求める必要があり、不可能

くだらん問題でも。
3桁の数を2回反復した数（197197、774774、28028など）は必ず7で割り切れるか。

あと古典。

1から10までの自然数を2つのグループに分けて、
その積が等しくなることはあるか。

ねる。

>>240
1の方で見たって自分が相手より大きいか小さいかわからないのは変わらないだろ

242
7が素数かつ1〜10の約数じゃあないので積は等しくなりません　おやすみ

エラそうｗｗとか言われた人間におやすみって言われると涙が出てくるじゃないか。素数素数。

あぁお前はエラそうだ　いくら数学ができようとも平気で229みたいなことドヤ顔で言っちゃう子とは一緒にいたくないもんでね
君が寝てくれるのが嬉しくてたまらなかったからつい返事してしまったよ　それじゃあおやすみ

ドヤッ

俺>>221のスレの82だけど、最終的な俺の結論は103参照

>>238
-3≦x^3+y^3+z^3≦6

>>249
正解です

>>234の解答
１∈Aであるための必要十分条件
どんな実数も０には移さない関数がAに存在すること
どの実数も０には移さない関数ｆが存在するとする
この時
1/fという関数をｆの写した実数の値の逆数を対応させる関数として定められ、1/f∈Xであることが示せる
条件２より
１＝f×（f/1）∈A
逆は関数１自体が絶対に０には移さないので明らか

A=Xであるための必要十分条件は１∈Aであること
証明は条件２より明らか
逆はもっと明らか

>>241
割り切れる

何か上手く説明が出来ないので思いっきりはしょると、

1001
2002
3003
4004
5005
6006

が全部割り切れるから。
もっと簡単な方法ある？

うーん結局2封筒問題への答えは
>Aに「10000」のカードが配られたとき、A視点でBのカードが「5000」なのか「20000」なのかは1/2の確率ではない。

>起こる確率が「同様に確からしい」2つの事象のうち、片方が起こる確率を1/2という。
>「5000」が書かれている、という事象と、「20000」が書かれている、という事象は、「同様に確からしい」わけではない。

>通常の意味での確率論は、確率の総和が1になる有限個の事象の集合についてしか考えない。
>そもそも確率を定義できないこの問題には、期待値を論じることはできない。
これでいいのか？
A視点からするとBのカードが5000円の確率+20000円の確率=1なんじゃない？

２人でジョーカーを抜いた52枚のトランプを使って神経衰弱をする
プレイヤーは、めくられたカードのマークと数字とその位置を完全に記憶できる
伏せられたカードｎ枚、既知のカードｋ枚のときのプレイヤーの最善手(勝率が最も高くなる手)はどうなるか
ただし互いに最善手を取り続けるものとする

その6桁の数を
　100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
と表すと
　1001(100a+10b+c)
とまとめられる。ここで1001は7で割り切れるので、その数も7で割れる

あ、もっと簡単な方法あった

三桁の数字をa(100≦a≦999)とすると、題意の数は
1001aとおける。
1001は7で割り切れるから、題意の数は全て7で割り切れる。

>>254
何を答えればいいんだ？
最善手はどういうアルゴリズムかってこと？

K≦6のときは相手に新しいのめくらせる（自分は既知のしかめくらん）みたいな？
でもそれじゃあゲーム進まないよね

７の倍数はたしか３桁だと
100a+10b+cが７の倍数であるとは
ab-2cが７の倍数である　とかあったっけ
証明はしたこと無い

そうそう3桁くぎりで引き算を繰り返すんだよ
証明は簡単よ

>>194ってどうすんだろう

>>257
神経衰弱の戦略は
・未知のカードを１枚もめくらない手(事実上パス)
・未知のカードを１枚と相手にカードの情報を与えないために既知のカードを１枚めくる手
・未知のカードを２枚めくる手

の３つがあって
事実上パスが最善手なら、決着が着かない＝最善手ではないから矛盾し
最善手ではない

よって後者２つのうちどちらかが最善手となる
この２つの最善手はある条件により入れ替わる
そのある条件【Ａのときは未知のカードを１枚めくり、そうでないときは２枚めくるというような】を求めよ

2封筒問題が気になってヤバイ　ググってみたけど万人が納得するような答え/回答ってやっぱないっぽいじゃんウソツキ
どーなんだろうな

なるほど　携帯でこの文章売ってんのかすげーな

グリフォンさんちーっす

確率は確か解釈によって答え複数（？）あるような問題あるね
例えば
単位円状に棒をおとす。この時棒が円に内接する正三角形の一辺よりも長い確率を求めよ　とか

自分は落とした棒と円の交点に接線を引き、またそこを頂点にもつ正三角形を考えると
棒と接線のなす角が60度〜120度の間なら一辺より長くなるから1/3って答えだしたけど
解釈によっては1/2になったりする

>>238
y、zが罠だったのか

単位円上に棒を落として棒の長さはどうやって決まったん？

確率で思い出した、ずーっと前にvipで見た確率の問題。
2〜3スレにわたって議論してた気がする。


ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

答えが１／４ってのは納得出来ない！
１０／４９だろ！！

日本人総数120000000人と仮定したとして
誰かと誰かがサシでじゃんけんする
負けた人は退場
(残った人数は60000000人になる)
勝った人と勝った人がまたじゃんけんする

最後の一人になるのは何回目？

これ知ってたから解いたうちに入らないけど
未知のカードを引いてn-kが偶数ならもう一枚未知
奇数なら既知をひく
ですな

>>266
確率が1/2になっちゃう解答
半径１の単位円に棒を落とす
その時円の中心から棒に垂線を下ろす。その垂線の距離が1/2以下なら一辺より長くなる
よって確率は1/2

>>268失礼
単位円に落とした棒の円上に乗ってる部分の長さってことです
はみ出てる部分の長さは無視ですね

それ覚えてるわ俺もｗｗｗｗｗｗ
結局1/4でよかったんだっけ？

1/4になっちゃう解答はたしか面積比のでしたね
結局どれが正しいのでしょうか・・・

>>267
罠もなにもｘｙが存在する範囲さだめて
(x+ｙ+ｚ)^3-3（x+y）（y+z）（z+x）=x＾3+ｙ＾3+ｚ＾3
やって一瞬でしょう

>>262
難しい、複雑すぎる
既に一組ペアがでてるとかでも変わってくるし、条件分岐が激しすぎる

どうかんがえても10/49ですな

あぁっと>>273は>>269宛てだ紛らわしくてごみん　なにはともあれ確率の問題はメンドイんだなｗｗ

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから51枚抜き出したところ、
ダイアは12枚、ハート、クロバ、すぺｄはそれぞれ13枚であった
「このとき」、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

こういう風に改変するとやっぱ10/49か　ダメだな俺

積分とか楽しいね

2つの曲線 y=x^3-x^2-12x-1、y=-x^3+2x^2+aがある1点で接するとき、
定数aの値、接する座標を求めよ

>>271
それググったら上の方に出てきたやつだけど
a[1],a[2]のペアしか考えられてないし最善ではないよ
ただ何も考えずに未知のカードを２枚めくるよりははるかに期待値が高いよってやつ

>>269
直感的にいえば、もし最初に引いたカードがダイヤなら
51枚の中でダイヤだけ一枚少ないのだから、更に引くときはダイヤは出にくいはず
にもかかわらずダイヤが出てきたってことは、最初に引いたカードはダイヤじゃない確率が高い
つまり、最初に引いたカードがダイヤである確率は他より低い(平等以下、1/4以下)はずだ！ってことだね

問題よくみてなかったわ
昔読んだ本で乗ってただけのやつ

∫[0→1]√（1-x^2）dxを求めよ

>>262
それ既知のカードを相手（もしくは自分）が忘れてた場合考慮してなくね？

てか全部覚えるとか不可能だし

>>285
それじゃ円で楽しくない
不定にして逆にしたら楽しいｘ＾2-1

>>286
いやそこは数学的認めないと

さて神経衰弱ときますか

>>281
a=11
接点（-2.11）

ところで>>53は誰も解いてないから暇な人はチャレンジしてみてくれ

>>53
前にといた記憶が
どっかの問題だった気がする

>>53の[]はガウス記号ってことでいいの？

>>290
T大
何冊かで見たから、結構有名だと思う

>>291
そう

あ、なんでもない問題読み間違ってた

>>286
既知のカードを忘れる
を考慮すると解けないよ
ゲーム理論的に考えて

極端なことを言えば互いに記憶力が０だった場合別に戦略とかいらないし、相手の記憶力が０なら未知のカードを２枚引くのが圧倒的に有利

条件が複雑すぎて俺も解けてない
アルゴリズム化もできそうでできない

[n=1~∞]Σ1/n^2の値を求めよ

座標空間において4点(0､0､0)(x､0､0)(0､y､0)(0､0､z)（但し、x>0､y>0､z>0）を
頂点とする4面体の体積が1であるとき、表面積の最小値を求めよ。

>>53ちょっとよく分からないですね
というか分からん問題がいっぱいあるわー、みんなすげえな

>>269
四回やって一回当たる　
的な概念はもってると大学入るとつまづくよ

二次方程式 25x^2-35x+4k=0 の2つの解がそれぞれsinθ, cosθで表されるとき、
2つの解を求めよ

>>269は最初の2行以外は問題文としてあってもなくても答えは同じってことでいいよね？
最初にダイヤを引いていることによって残りの51枚の中からダイヤ3枚を引く確率は低くはなるけれども
それは最初に引く1枚には関係しないってことだよね

>>269
9/2

>>301は>>296だった
しかも適当にやったから多分あってないわ

普通に条件付き極値として解いた？
斜面の面積が複雑な形になって偏微分する気にならない

解と係数でやってた

たぶんっていうか9/2＞1の時点で確実にアウトだとおもう

ほらお前ら寝るな寝たら月曜日がきちまうぞ

表面積は
(1/2){(xy+yz+zx)+√(x^2・y^2+y^2・z^2+z^2・x^2)}
ここまではいいよな

あれ案外すっきりした形になるのか
ヘロンから上手く整理できなかったわ307なら偏微分しても循環性やらで割と簡単に解けるかも

この時間帯となると進みも悪いかな

>>300
計算はしてないけど、10/49であってると思うよ
大学入試問題としてはどうかと思うけどね
というのも事後確率は今じゃ数Cの統計と確率ぐらいにしかのってない

tan1ﾟtan2ﾟ+tan2ﾟtan3ﾟ+･･･+tan88ﾟtan89ﾟ
をtan1ﾟを使って簡単に表せ

a,b,c>0でa^2+b^2-ab=c^2を満たすとき
(a-c)(b-c)≦0を示せ

nを自然数とする
n^4+4^nが素数となるのはn=1に限ることを示せ

連立方程式
x+log{x+√(x^2+1)}=y
y+log{y+√(y^2+1)}=z
z+log{z+√(z^2+1)}=x
を解け

>>307
相加相乗平均使えばいいんじゃね？

xy+yz+zx≧3(xyyzzx)^1/3=3・6^2/3

(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2≧3{(xy)^2(yz)^2(zx)^2}^1/3=3・6^4/3

等号成立はどっちもx=y=z=6^1/3

これで出せば1/2(3+√3)・6^2/3

>>310
二つ目の問題

a-c<=0 かつ　b-c>=0
または　a-c>=0 かつ　b-c<=0 になることを示す

a-c<=0の時
c^2+b^2-bc>=a^2+b^2-ab=c^2より
b^2-bc>=0
b(b-c)>=0
ここでb>0なので
b-c>=0

a-c>=0の時も同様にしてb-c<=0が示せる
等号成立はa=c or b=c

合成数同士の和は合成数になるか？

あ、ならんしつまらんから>>313無し

神経衰弱は
ワンペアそろったらもう一回自分のターンなのか
それとも相手のターンになってしまうのか
二枚一組ならすぐ解けるのになー

>>310の３つめが解けそうで解けなくてモヤモヤする
簡単な帰納法だと思ったんだが

>>316
同じく　帰納法でやったら挫折した　
合同式とか使うのかな…

>>317今日中には解きたいな
さて出かけるか

一個だけ問題　答えは知らない
整数１５を８個の自然数の和として表す
この時８個の自然数の部分集合であり、その和が１０になるような集合が必ず存在する

この命題は真か偽か

>>318

これって
{1,1,1,1,1,1,1,8}
とかはダメなん？

>>319
ごめん、和が10になってない・・・

楕円曲線Ｅのエル関数Ｌ（Ｅ，S）をS=１の周りでテイラー展開すると、次のように書けたとする。

Ｌ（Ｅ，S）=（係数）×（S-1）＾r＋（（S-1）の（r＋1）乗以上の項（無限に続く））

このとき、rは、この楕円曲線上で、X成分、y成分ともに有理数である点（と無限遠点Ｏ）全体のなす有限生成アーベル群のランクとなることを証明せよ

>>318
ちょっと問題文が理解し難かったが、
自然数8個の集合を全体集合Uとし、その総和は15を満たす。
この時Uの部分集合の総和が10になる部分集合が必ず存在する(若しくは存在しない)ことを示せ。

>>322
ごめん。理解しました。
眠くて頭おかしくなってるぽ。

詳しくありがとう

まだ解かれてない問題ってどれ？

>>322
普通「集合」と言った場合、同じ元は一つと見なすから、
「8個の自然数の組」とか言ったほうがいいと思う

>>312
それ必要十分じゃなくね

お前ら日本語でしゃべってくれよ

女（Girl)が悪（Evil）であることを証明する公式を書いてみろ

俺が食べたパンの数−おれがしこった数は？

>>328
翻訳したコピペより原文のほうが面白いよ

http://blog.politicalnonsense.com/images/posts/Proof_that_Girls_are_Evil.jpg

>>328 空気読めよ翻訳したら叩こうと思ったのに..

>>318
逆に言えば、部分集合で和が5になるものがあれば良い。
8個のうち、少なくとも1つは1になる。
8個のうち、最大のものをhとする。
範囲は2≦h≦8となる。

h=nのとき(nはhの範囲を満たす)、集合の中に少なくとも1が(n-1)個存在する。
hと1だけで作れる数は、h+k(0≦k≦h-1)となる。
つまりh≦h+k≦2h-1で、
h+k=10のとき、その部分で和が10になるので成立。
h+k=5のとき、余事象(?)で和が10になるため成立。

h=8のとき、8≦h+k≦15よりh+k=10が取れるため成立
h=7のとき、7≦h+k≦13より同上
h=6のとき、6≦h+k≦11より同上
h=5のとき、5≦h+k≦9よりh+k=5が取れるため成立
h=4のとき、4≦h+k≦7より同上
h=3のとき、3≦h+k≦5より同上
h=2のとき、2≦h+k≦3となり、hと1だけでは成立しないが、この時集合は{1,2,2,2,2,2,2,2}の1通りになり成立する。

以上より存在することが示された。


回りくどすぎワロタｗｗｗ

>>310
二問目

いま、c^2=(a+b)^2-3ab及び相加相乗平均の関係(a+b)/2=√(ab)より、c^2≧ab、a,b,c>0より、等号成立はa=b=cの時。
このとき、a,b,c>0より、c≧√(ab)、
また、(a-c)≦{a-√(ab)}=√a(√a-√b)、(b-c)≦{b-√(ab)}=√b(√b-√a)より、(a-c)と(b-c)が同符号になることは、a=b=cの時以外にあり得ない。
よって(a-c)(b-c)≦{a-√(ab)}{b-√(ab)}=√(ab)(√a-√b)(√b-√a)≦0

でいいかな？

小学校高学年ですでに算数が分からなくなってた俺に
このスレで書いてることは全て理解不能

>>333
なるほどなー
ただ相加相乗のところ、=じゃなくて≧だよな？

>>335
間違えた;;ごめん

もうひとつ思い付いた。
これさ、c^2=…の式ってさ、長さがa,b,cで、返aと返bに挟まれた角が60ﾟの三角形の余弦定理の式だよな？
てことは、a又はbのどっちかは必ずc以上になり、残りもう一方はc以下になると思うんだが…。
画像うpの仕方がわからんから図を使った証明を載せられないが、↑以外の2角の片方が90ﾟ以上の時はその角の対辺が一番長くなり、90ﾟ以下の時でも、残りの2角のうち大きい方は60ﾟ以上になるから、その角の対辺が一番長くなる。どっちにしても残った一辺はc以下になる。
ゆえに、(a-c)または(b-c)のどっちかは正でどっちかは負になるから証明できるんじゃないか？

>>310の3つめ
nの1の位が5以外のときは合成数になることは分かった
n=15のときの素因数が見つからない。100までの素数では割りきれなかった。

>>310
みっつめ

n=kのとき、k^4+4^k=xとする。n=k+1のとき、(k+1)^4+(k+1)^4=x+4k^3+6k^2+4k+1+3･4^k
4k^3+6k^2+4k+3･4^kは偶数なので、(k+1)^4+(k+1)^4が奇数となるのは、xが偶数のとき、すなわちkが偶数の時。したがって、nが偶数の時n^4+4^nは偶数になり、nが奇数の時n^4+4^nは奇数になる。

ここからは勘だが、ざっと計算したところ、nが奇数の時のn^4+4^nは5の倍数になる希ガス。
どなたか証明よろ。

>>338途中ミス
n=k+1のとき、
×(k+1)^4+(k+1)^4
○(k+1)^4+4^(k+1)

a^b = b^a
このときのbをaの式であらわせ。

>>340
b=log a

>>338-339
nの1の位が1,3,7,9のときは、n=10m+k (k=1,3,7,9)として実際に1の位を計算して、5の倍数になることが分かる
1の位が5のときは、そうならない
例えばn=5のときは1649(=17*97)
n=15のときは1073792449

>>338
5^4+4^5=625+1024
だよ．５の倍数じゃない

バスケ部の部員A,Bが35Km離れた甲地点と乙地点をそれぞれランニングで１往復した。
Aは甲地点から、Bは乙地点から同時に出発する予定だったが、B はAより遅れて出発した。このため、AとBが最初に出会った地点は、同時に出発した時に最初に出会う予定の地点から3.25ｋｍ離れていた。
また、最初に出会ってから1時間40分後に、最初に出会った地点から11.5Km離れた地点で再び出会った。AとBは、それぞれ一定の速さで走っており、Aの方がBより速いものとする。なお、それぞれ途中式も書くこと。
（1）AとBの速さの合計は？（毎時 ｋｍ）
（2）AとBが予定通り同時に出発したとすると、最初に出会うのは出発してから何分後になるか？（ 分後）
（3）AとBの速さは、それぞれ毎時何ｋｍか？ A（毎時 ｋｍ） B（毎時 ｋｍ）

高校入試レベル

>>342、>>343
あれま、ごめんお。
結構いい感じだと思ったんだがなぁ…

ある立体に、直交する三方向から光を当てた時にできた影が
三つとも一辺が１の正方形だった。この立体の体積を求めよ
ただしこの立体に凹みは無いものとする

>>346
最大とか最小とか条件は無いの？

>>346
1ちゃうのん？

立方体じゃない方で

1/6

1〜2nまでの自然数から無作為に3つの自然数を選ぶとき、その3つの数が等差数列をなす確率を求めよ。ただし、n≧2とする。

cos(α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβを証明せよ

>>351

{2×(n−1)＋2×(n−2)＋…＋2×2＋2×1}/2nC3

>>352
cos(α+(-β))
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ

まぁこういう回答を期待してたんじゃないだろうが、何故マイナスなのかと考えたらこうなった

>>346
正八面体(√2/3)、あるいは立方体の隣り合わない三頂点付近を適当に削ったもの
他にも色々ありそう

次の積分を求めよ

∬D(x^2+y^2)dxdy

D={x,y∈Ｒ^2|x^2+y^2≦1}

>>351
A=�納k=1〜n-1]{2n-2k}=n(n-1)
N=2nCn
こたえ
A/N=n(n-1)(n!)^2/(2n!)

間違えた
N=2nC3=2n(2n-1)(2n-2)/6やねん
こたえ
A/N=3/(4n-2)

>>358
正解です

>>356
x＝rcorΘ、y＝rsinΘとおく　

Dは極座標で0≦r≦1かつ0≦Θ≦2πの範囲　
また、ヤコビアンJ＝r

したがって、∫(0→2π)∫(0→1)r^3drdΘ＝π/2

>>352
単位円周上にA(cosα,sinα)B(cosβ,sinβ)をとる｡(α≧β)
AB^2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)
また余弦定理から
AB^2=2-2cos(α-β)
以上より
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

好きな3桁の数字を2回繰り返したら7で割り切れるのと
2桁の数字を3回繰り返しても7で割り切れるのって同じような理屈なの？

>>362
abcabc = abc * 1001 = abc * 7 * 143
ababab = ab * 10101 = ab * 7 * 1443

>>310
3つ目って変形すると
x=sinh(y-x)
y=sinh(z-y)
z=sinh(x-z)
になるわけか、だからどうだってわけなんだけど、
こっからうまく計算できないかなあ

>>362
例えば125なら125125が7で割り切れるってことだよね？
それは125125=125*1001となって1001÷7=143と1001が7で割り切れるから
同様に36なら363636は
363636=36*10101となって10101÷7=1443
つまり同じ理屈だな

>>310の4つめ
x>0とすると、x+√(x^2+1)>1よりlog(x+√(x^2+1))>0
よって、x<y
このとき、yも正の数となるので、同様にしてy<z
同様にしてz<x
よってx<xとなり矛盾

x<0とする
f(t)=t+√(t^2+1)とおくと、f(t)は単調増加(証明略。f'(t)>0から言える)
よって、0<f(x)<f(0)=1
よってlogf(x)<0
あとは上と同様にしてx>y>z>xとなり矛盾

x=0のとき、x=y=z=0となり、これは方程式を満たす
以上から、解はx=y=z=0のみ

>>295
π^2/6
証明はバーゼル問題でぐぐれば出てくるので略

以下は未解決
>>53
>>63
>>69
>>93
>>154
>>194(>>196)
>>203
>>299
>>310の1つめと3つめ

これらって高校レベルの数学なの？

>>154
√2/2+1/2*log(√2+1)

>>93
こんなのただの半円だろ

>>368
大学の数学で新しい用語や概念が出てくるが、
それはそれまで何となくやってきたことを全部数学的に改めて定義しなおしたり、
全体の見通しを良くしてるだけで、高校まででやれなかったことがやれるとかそういうことは少ない
要するに問題の意味さえわかれば解くことは可能ってことだ

>>299
3/5と4/5

追加

a_[n+1]={(n^3+1)/(n^3-1)}a_[n] (n≧2)、a_[1]=a_[2]=1
のとき、lim_[n→∞]a_[n]を求めよ

整数a,b,c,dが全てad-bcの倍数のとき|ad-bc|=1を示せ

x,y,z>0かつx+y+z=1のとき
{x^2/(y+z)}+{y^2/(z+x)}+{z^2/(x+y)}≧3/2を示せ

>>322訂正ありがとうございます
>>332
お疲れ様です。それでよさそうですね
>>310の三つ目
n=1の時は５なので素数
ｎ：偶数の時は明らかに１６で割り切れる
n：奇数の時は帰納法でいける

>>374
奇数ｋｗｓｋ
n=15のとき29153*36833になるのをエクセル使ってなんとか見付けたんだが、これがどう出てくるやら

|x|+|y|≦1かつ|y|+|z|≦1かつ|z|+|x|≦1で表される領域の体積を求めよ

これがやりたかったんだが上手く書けなかった
おまけ
x^2+y^2≦1かつy^2+z^2≦1かつz^2+x^2≦1で表される領域の体積を求めよ

http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1327079.bmp.html
幾何学
２つの小円の半径は等しい　大円と小円の半径の比を求めよ

失礼した
n：奇数のときはちょっと間違い発見
やり直す

問題投下　自分もまだ考え中だけど実験するとそうなる臭い

連続する自然数の和で表される１より大きい整数は素因数分解すると２以外の約数をもつ
なお、連続する個数は何個でも可とする

例
３＝１＋２
５＝２＋３
６＝１＋２＋３　　　など
ちなみに４は無理

対偶
2^n (n:自然数)　は連続する自然数の和では表すことが出来ない

>>203
求める数をn
約数をa[1],…,a[m]とする(a[1]<…<a[m])
このとき、a[1]a[m]=n、a[2]a[m-1]=n、…となる
よって、約数の逆数の総和にnをかけると、
n(1/a[1]+1/a[2]+…+1/a[m])=a[m]+a[m-1]+…+a[1]
となるから、
n*65/24=195
n=72
実際、1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=195となるから求める数は72

(xy)^2-x^2-y^2+4xy+1を因数分解せよ

次の方程式を満たす自然数解を全て求めよ
(1)xy+yz+zx=xyz
(2)x+y+z=xyz
(3)x+y+z=xy+yz+zx

>>378
a,…,bの和が2^nとすると
(a+b)(b-a+1)=2^(n+1)
(a+b)と(b-a+1)の偶奇は異なる

>>380
(1) (x, y, z) = (3, 3, 3), (2, 4, 4)の組み合わせがぱっと思い浮かんだけどよくわからない

http://www.camcolle.jp/mr/mrtodai2010/
ミスター東大コンテスト2010

http://www.camcolle.jp/mr/img/mrtodai2010/photo/1/1_23.jpg
生年月日1989年5月8日　教養学部理科1類2年 横関 宏樹

http://www.camcolle.jp/mr/img/mrtodai2010/photo/2/1_25.jpg
生年月日1991年7月29日　理科一類1年 桂 也真人

http://www.camcolle.jp/mr/img/mrtodai2010/photo/3/1_25.jpg
生年月日1990年9月28日　教養学部文科�T類２年 町元 宥達

http://www.camcolle.jp/mr/img/mrtodai2010/photo/4/1_29.jpg
生年月日1990年12月21日　理科一類2年 松田 仁樹

http://www.camcolle.jp/mr/img/mrtodai2010/photo/5/1_29.jpg
生年月日1989年5月22日　工学部建築学科3年 島田 潤

>>373 2個目
a=b=c=d=0が反例になっちゃうのでとりあえずそれは除外してそれ以外の場合。

ad-bc=kとおく。
k=0とすると倍数との条件よりa=b=c=d=0となってしまうがこれは除外したのだったのでk≠0
条件よりある整数A,B,C,Dがあって、a=Ak,b=Bk,c=Ck,d=Dk
このとき、ad-bc=(AD-BC)k^2 だから、(AD-BC)k^2=k
k≠0だから(AD-BC)k=1。
AD-BCもkも整数だから|k|=1

>>380
(2) (x, y, z) = (1, 2, 3)の組み合わせ

次の数列の一般項を求めよ
-3 , 2 , 19 , 52 , 105 , 182 , 287 ……

>>386
(2n^3 +6n^2 -17n)/3

>>380
(xy)^2-x^2-y^2+4xy+1
=(x^2-1)y^2+4xy-(x^2-1)
=((x+1)y-(x-1))((x-1)y+(x+1))

nを自然数、p=(2^n)-1、M=1+2+…+pとする。
pが素数ならば、Mは完全数であることを示せ。

完全数…自身を除く約数の総和が自身に等しくなるような自然数のこと

>>387
正解です

∫[-1~1](x^2)/(1+e^x)dx=
∫[0~π](xsinx)/{(3+(sinx)^2}dx=
∫[0~1]{log(1+x)}/(1+x^2)dx=

sinx+siny=1/5,cosx+cosy=1/2のとき,cos(x+y)の値を求めよ

三角形ABCにおいて
余弦定理
ｂ＾２＝ａ＾２＋ｃ＾２−２ａｃ ｃｏｓＢ
が成り立つことを証明せよ
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1327264.jpg

>>310
3つ目

偶数のときは明らかに合成数
奇数のときn=2m-1とし(mは自然数)、
n^4+4^n
=(n^2)^2+2(n^2)(2^(2m-1))+(2^n)^2-2(n^2)(2^(2m-1))
={(n^2)+(2^n)}^2-{n(2^m)}^2
={(n^2)+n(2^m)+(2^n)}{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}
ここで上の式の値が素数になるためには、一方が1で、もう一方が素数である必要がある。
n^4+4^n＞0より、
{(n^2)+n(2^m)+(2^n)}{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}＞0
{(n^2)+n(2^m)+(2^n)}＞0であるので、
{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}＞0
また{(n^2)+n(2^m)+(2^n)}＞{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}より、{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}=1のとき、n^4+4^nは素数になり得る。
{(n^2)-n(2^m)+(2^n)}=1を解き、n=1が得られる。
以上より、n^4+4^nはn=1の時のみ素数となる。

>>392
ちょっと漠然としすぎた気がするので補足情報
直角三角形以外の三角形でも三平方の定理が使いたくて考案されたのが余弦定理

二封筒問題・改
二つの封筒を使ってゲームをする
一つの封筒には1〜100からランダムに選ばれた数字の書かれている紙を
もう片方にはその倍の数字が書かれている紙を入れる
なお、この時点で選ばれた数字が何であるかプレイヤーは知らない
プレイヤーは任意の一つの封筒の中の数字を見ることができ、その後封筒を一つ選択する
最後に選んだ封筒の中にある数字がプレイヤーのポイントとなる
(1)得られるポイントの期待値を最大にする戦略は？
(2)(1)の戦略をとったときに得られるポイントの期待値は？

>>393
おー、なるほど
因数分解できたのか

これで確率が定義できない〜って事はないはず
(1)は奇数なら他方を選ぶとか101以上ならそれを貰う等の場合分けが必要です

>>392
・は掛けるの記号とする

a=b・cosC+c・cosB
b=c・cosA+a・cosC
c=a・cosB+b・cosA

それぞれ、-a, b, -c倍する

-a^2 = -ab・cosC-ac・cosB
b^2 = bc・cosA+ba・cocC
-c^2 = -ca・cosB-cb・cosA

各行、足して移行

b^2 = a^2+c^2-2ca・cosB

鳥インフルエンザが流行ってるし俺の考えたゲームでもしようぜ

1 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします 投稿日：2011/02/06(日) 17:53:55.91 ID:BRlKw3tD0
パンデミックゲーム

ルールは簡単。
最初にコンマ00を叩き出した方が最初の感染者となります。
最初の感染者が出たら次の感染コンマは「00と01」になります。
それ以降、感染コンマが順番に増えていき感染力を強めます。

1000に行くまでに99に到達しなかった場合プレイヤーの勝利
1000に行くまでに99に到達してしまった場合はウィルスの勝利となります

それではみなさん。最初の感染者がでるまで

平和なひと時をお過ごしください


昨日のスレだけど
これの勝つ確率が知りたいです

>>392
図が見えんけど…
点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする。
B≦90°のとき
b^2=AH^2+(c-BH)^2
=(asinB)^2+c^2-2accosB+(acosB)^2
=a^2+c^2-2accosB
B＞90°のときも上と同様にして…

3^2000の下位5桁を答えよ

余弦定理となるといろいろありそうだけど、a,bは頂点の１つを基準としたベクトル
(b-a,b-a)=(b,b-a)-(a,b-a)=(b,b)-(b,a)-(a,b)+(a,a)=(b,b)+(a,a)-2(a,b)
こんなんでもいいのかな

>>369
ok

高校当時の問題集から何問か出してやるよ

次の方程式の解を求めなさい。
（１）9^x -8・3^x -9 = 0

（２）log2x + log2(x + 2) = 3


答えの冊子は見当たらない

>>399
99到達レスの期待値が500ちょっとみたいだから
プレイヤー不利っぽい

>>404
答えがNot Foundってか

(1)3^x=aと置いて
a^2-8a-9=0
a=9、x=2

(2)真数条件x>2
式変形して、
log(2,x^2+2x)=3
x^2+2x-8=0
解なし。あれおかしいな…

>>69
対数をとって
logn-(1/n)Σ[k=1,n]log(2k-1)
ここで、
logn=(log(n^n))/n=(1/n)(Σ[k=1,n]log(k^k)/(k-1)^(k-1) (ただし、0^0=1とする)
と変形すると、
(1/n)Σ[k=1,n]log(k^k)/(2k-1)(k-1)^(k-1)
となる。
Σの中を変形して、
log(2k-1)(k^k)/(k-1)^(k-1)
=log((k-1)/(2k-1))(k/(k-1))^k
=log((k-1)/(2k-1))(1+1/(k-1))^k
→log(e/2)

a[n]→αのとき(1/n)Σ[k=1,n]a[k]→αである※から、求める極限は
e^log(e/2)=e/2


※俺が大学1年で使った教科書より

>>406
結構探したが見つからなかった・・・

次の計算をしなさい。

（１）(2x^2 + 4x - 6)/(x^2 - 2x -15)


（２）(-2xy^2 / ab ) * (a^4 b^2 / xy^2)

>>400
図は線分ABがｃで線分BCがａの鋭角三角形でしたビットマップｓｈｉｎｅ
この証明SIREN無印的な鬼畜さがあるかもしれない
>>392の模範的なやつを掲載

三角形ＡＢCにおいて、Ａから線分BCに垂線AHを下ろす
三平方の定理より
ｂ²＝AH²+CH²

AH、CHはそれぞれｃ sinＢ、ａ-c cosBと表せるため

ｂ²＝（ｃ sinＢ）²+（ａ-ｃ cosB）²
　 ＝ｃ²sin²Ｂ+ａ²-２ａｃ ｃｏｓＢ+（ｃ ｃｏｓＢ）²
　 ＝ｃ²（sin²Ｂ+ｃｏｓ²Ｂ）+ａ²-２ａｃ ｃｏｓＢ
　 ＝ｃ²+ａ²-２ａｃ ｃｏｓＢ

>>406
真数条件が違う

>>310の1

-89+1/(tan1°)^2

>>408
(1)
2(x-1)(x+3)/(x+3)(x-5)
=2(x-1)/(x-5)

(2)-2a^3b

そんなことより解なしはおかしいと思うの
何が間違ってるんだ教えてください

>>410
うわマジだｗｗｗケスｗｗｗｗ
やべ母国語でちゃったｗｗｗｗｗ

ケス_(スタートレック)
ケスはスタートレックシリーズにおける固有名詞。
ケス(Kes)は『新スタートレック』に登場するアルファ宇宙域にある惑星ケスプリット3号星の民族。プリット(Prytt)という民族と敵対関係にある。 ケス( ...


> ケス(Kes)は『新スタートレック』に登場するアルファ宇宙域にある惑星ケスプリット3号星の民族。

>> 惑星ケスプリット3号星の民族。
>> 惑星ケスプリット3号星の民族。
>> 惑星ケスプリット3号星の民族。

宇宙でもそんなに数学が進んでる訳ではないのか

10^2011を143で割った時の余りを求めなさい　（ヒントはメル欄）

3×4の正方形のマスに数字を書き込み
縦から足しても横から足しても和が一定になることは可能か

(y^3)^4/(-4)^6=y^6

>>417

http://viploader.net/ippan/src/vlippan185418.jpg

っていうかこのスレ
ただの問題垂れ流しスレになってる

1から10までの数字を2つのグループに分ける。
それぞれのグループの積が等しくなることはあるか。

例えば1〜10までを

『1,2,3,4,8,10』
と
『5,6,7,9』

のように2つのグループにわけるなど。

星の光が1等級上がると光がなんとかかんとか倍になるってのが対数でわかるって聞いたときは感動した。

確か地震のマグニチュードもそんなんだったキガス

>>419
縦の和4 横の和3になってる

3×4の正方形のマスに数字を書き込み
縦から足しても横から足しても和が0でない一定の値にすることは可能か

>>421
有り得ない。因数に7を持つ数が一つしかないため

>>423
じゃあ121でいいじゃん
条件足りなくね？

今のナシ

>>419
それをやるなら全部０にしないと駄目だろ

数学かどうかは分からんが、弟に貸した本に書かれてた暗号

115　　110
77　　　86
74　　　64
51　　　88
51　　　67
39　　　101

では問題です。

9人をA B Cの3組に分ける組み合わせは何通りか？

9人を3組に分ける組み合わせは何通りか？


この2つの答えが変わるのがわからなかった高校時代。
今でもわかりません

>>416
10^3≡-1(mod143)だから142

>>421
7で割ると片方のみ割り切れ、もう片方は割り切れないので不可

>>428
一定値=nなら
3n=4n=Sよってn=0

>>401
3^2000=9^1000=(10-1)^1000
これを展開すると、下5桁に関わる項は
1000C4*10^4-1000C3*10^3+1000C2*10^2-1000C1*10+1
のみ
さらに、実際に計算してみると1000C4は10の倍数、1000C3は100の倍数なので下5桁に関わらない
残りの下5桁を計算して、
50000-10000+1=40001

>>428
それもうちょっと問題文長くなかった？

>>432
ごめん忘れた。うろ覚えで書いた。

なんかグループがABCとあると組み合わせは完全に分かれるんだけど
3つの組ってだけだとごにゃごにゃってなるんだよな

>>430>>423

>>428
人同士は当然区別し、0人組は認めないとすると
3^9-3*2^9+3*1^9とその1/6

地球の赤道上にとても長いリボンを1周巻いたとする
このリボンを1か所で切断し1メートル長さを足すと地表からどれだけ浮くか？
ただし地球は真球で地表の凹凸は無視できるものとする
円周率3.14でお願い

数学の問題としては欠陥があるかもしれないけど、そのへんは勘弁

>>433
＞ABCとあると組み合わせは完全に分かれるんだけど
＞3つの組ってだけだとごにゃごにゃってなるんだよな

いや、そこはミソじゃない気が

>>435
地球の半径をr(m)、浮かしたときの地球の中心からの距離をl(m)とする。
2πr+1=2πl
l=r+1/2π
よって1/2π(m)浮く。
結構浮くんだな

>>429　合同式を使えてるのに何故答えが違うｗｗｗｗｗ二項定理でも解けるんだけどね

>>437
すまんπ=3.14で計算しろって書いてあったか
大体0.15923(m)

しっかし、これって元の大きさなんて全くの飾りなんだな

C[60,10]C[40,40]
+C[60,11]C[40,39]
+C[60,12]C[40,38]
+･･･
+C[60,50]C[40,0]
=C[n,r]
を満たす自然数(n,r)の組を一つ求めよ

>>416

10^3≡−1(mod143)　
10^2010＝(10^3)^670≡1(mod143)…(1)

10≡−133(mod3)…(2)

(1)、(2)から10^2011≡−133≡10(mod143)

よってあまりは10

>>423
不可能
各行、列の和をkとし、すべてのマスに書かれてる和をSとする
列に注目すると、全部で4列あるのでS=4k
業に注目すると、全部で3行あるのでS=3k
4k=3kとなるのはk=0のみ

>>395誰か解いて欲しいな

>>439
そう、地球でも月でもサッカーボールでも結果は同じ
だから地球の周囲の長さを書いてない（ちなみに約4万km)

約16cmと思うと結構浮くよね
最初に解いた時は絶対間違ってると思った

>>441
訂正

10≡−133(mod3)→10≡−133(mod143)

>>444
地球の半径が大体6560kmだったと記憶してるから2πrで4万ちょいだな

>>443
俺もあんまり分からんが風呂に浸かりながら考えてくる

>>381
はええｗ
なるほど、たしかに。しかし、俺の頑張りは一体何だったのか・・・

ちなみに逆も成り立ちそうなんだよねこれ

>>446
てか北極点から赤道の長さを1/1000万にした長さを1メートルにしたらしいよ

>>447
素因数分解して2^n成分をp,それ以外をqとでもおくと
(a+b)(b-a+1)/2=pq
2p>qのときa=p-(q-1)/2,b=p+(q-1)/2
2p<qのときa=(q+1)/2-p,b=p+(q-1)/2
a,bはいずれの場合も整数

>>395は

(1)見た数字が奇数ならもう一方を、偶数ならばその封筒を選ぶ

(2)数字の選ばれ方が1/100
見る封筒の選び方が1/2 前提で

選ばれた数字をn、二倍の数を2nとすると

nが奇数の時、必ず2nを選ぶので　ポイントは
2,6,10,14,…198

nが偶数のとき、見た封筒を選ぶので　ポイントは
nの封筒を見た場合　2,4,6,8,…100
2nの封筒を見た場合　4,8,12,16,…200

よって期待値は
(2+6+10+14+…+198)/100 +(2+4+6+8+…+100)/200 +(4+8+12+16+…+200)/200 = 62.75

かな？
計算自信ない…

計算ミスってた
88.25か

>>395
(1)
�@見た数字が奇数のとき
もう一方の封筒の数字は2倍体
2倍体の方の期待値は101なので、見た数が奇数ならば必ず封筒を変えるのが良い。
�A見た数字が100以下の偶数のとき
偶数での期待値が253/3
84＜253/3＜85より、見た数字が84以下ならばもう一つの封筒を選んだ方が良い

分からない。
�Aは「1倍体の封筒を見たとき」の前提がついてしまってる気がする

数列{2^n/n！}の極限

>>395
1〜100、2〜200の200枚のカードの中に2〜100の偶数カードは2枚ずつ有り、他の数字は全て1枚

よって奇数なら交換、102〜200の偶数ならそのまま
2〜100のカードは交換すれば半々の確率で半分または倍になる→交換すべき

>>453
累乗と階乗では階乗のほうがはるかに速く増大する。分母が階乗だから極限値は0

>>455　それをちゃんと示せってことじゃないの

>>255
正解　もう1つ　

e＜3の証明

>>456
まあ本当はそうなんだけどね　示すのはかなり簡単だから正解にしとくよ

ちょっと考え方を変えてみる

�A見た数字が100以下の偶数のとき
見た偶数2nを見たとする。
その数よりも大きい数が存在するのは、
1倍体の方に100-2n通り
2倍体の方に100-n通り
その和は200-3n通り
これを全通りの数である200で割り、(200-3n)/200＞1/2が成立するとき、別の封筒を選べば良い
3n＜100　n≦32
よって32以下の偶数をみたとき、別の封筒を選べば良い。

あれ？小さすぎね？

示すのは超簡単じゃない

（2/3）以降を全部2/3と考えれば収束して終わり

>>395の(1)は要するに二倍の封筒を選べばいい
封筒に入ってる数字の組み合わせは(奇小、偶大)(偶小、偶大)のどっちかで
1〜100までに偶数と奇数は同じ個数あるから、どっちの組み合わせになるかは同様に確からしい(つまり1/2)
最初に偶数を選んだときに、その偶数が大きい方の数である確率は
(偶大を引く確率)/(偶数を引く確率)={(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)}/{(1/2)(1/2)+(1/2)}=2/3
つまり、最初に偶数を選んだときに、それは大きい方の数である可能性が高いから変えない方がいい
よって戦略としては、最初に選んだのが偶数なら変えない、奇数なら変える

整数係数３次方程式が重解を持つとき、その重解は有理数であることを証明せよ。

>>453
2/n＜2^n/n!＜(2/n)^n
ではさみうちかと思ったけど右辺が微妙だな

>>460
それでおk　


それの発展問題　
a^n/n!→0の証明

2＾ｎ/ｎ!<（1/2）*1*（2/3）＾ｎ-2
正確にやりゃこうだな

>>>452,454
100以下の偶数を見た=その数字は1/2の確率でnであり1/2の確率で2nである
もう一方の数字も1/2の確率でnであり1/2の確率で2nであるので、交換しようがしまいが、高いポイントを引く確率は変わらない

じゃない？

>>457
e=1+1/1!+1/2!+1/3+!+1/4!+... < 1+1+(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+... < 2+1

>>461
それマジで言ってるの？
もし2を見ても変えないってことだよ？
それ以外の2以下を引く確率は2/199なんだよ？

じゃあツッコミだけ

>>450
(2)nが奇数かどうかはプレイヤーには解らないので
見た数字が奇数の時、という分類でないと多分ダメです

>>452
見た数字の倍か半分かのどちらかなので
全体の期待値を出してもあまり意味ないです

>>461
102以上の偶数なら偶大が確定するので
その分は別にした方がよりよい戦略でしょう
ちなみに2/3なら期待値は変わらないので交換してもしなくてもよい、となります

>>467
早すぎワロタ　正解れす

∫√(x^2-1)dx

>>469
えっ…おっ？
完全に問題勘違いしてた…
>>461も突っ掛かってごめん

てっきり1~100の数字がランダムに入った封筒と、
前者の封筒とは関係ない独立した2~200の偶数がランダムに入った封筒があるもんだと思ってた…

>>468
見た数字が2のとき、もう一方が1である確率は1/2
もう一方が4である確率も1/2
それ以外の数は出ないでしょ？

>>469
奇数なら交換、偶数ならそのままの戦略で
例えば、封筒の数字が3と6だったとしたら、3を見ようが6を見ようが、必ず6の方を選ぶわけだ

逆に封筒の数字が2と4なら見た数がどちらであろうが、それぞれ選ぶ確率は1/2

だから見た数じゃなくて、中の数字のパターンで場合分けしたんだけど

>>472
そういうことか
その場合なら100以下の偶数だと区別がつかないから
1/2で1-100から、1/2で2-200から再抽選だと考えて
交換時の期待値は(101/2+101)/2=75.75、これがボーダーだな

>>473
ＯＫはあく、間違ってないわ
(1)が違う

いまさらだけど、>>376の上は1/2

>>462 ３次の係数で割ったF(x)=x^3+r_2x^2+r_1x+r_0(r_0,1,2は有理数)を考える
重根αとおくとこれはF(x)の停留店になることから
3α^2+2r_2α+r_1=0
これと元のF(α)=0をいろいろ整理すると
α=(r_0.r_1,r_2の有理式)が得られ、有理数であることが示される

>>474
残りの偶数群は無関係なんだから、期待値を出すならn/2と2nの平均値でしょ

>>471

1/2(x√(x^2−1)−log｜x＋√(x^2−1)｜)

>>474
>>459はどうなる？
最後は間違えてて実際は
64以下の〜だが

>>477
ほぼ○
「いろいろ整理する」のところはユークリッドの互除法など
ただし、ユークリッドの互除法を使う場合は３重解の場合とそうでない場合に分けなければならない。
あとは、解と係数の関係からもできる。

>>480
求めるのは「期待値が最大になる」手なので
「より大きくなる確率が高い」手とは必ずしも一致しないという事かと

解いておいてなんだけど、封筒問題は1回勝負なのか繰り返し続けるのか書いてないからなんとも言えなくない？

1回勝負なら、偶数見た時に交換してもしなくても高いポイントを選ぶ確率は変わらない

繰り返し続けるなら、
ある数2aを見たとき交換した場合の期待値は
2a/2 + 4a/2 =3a > 2aだから交換した方がいい

>>395のセットを使った2人ゲームを行うとして
(1)カードが奇数なら交換要求、102〜200なら交換拒否
(2)カードが2〜100の偶数であるとき
　(2-1)カードが52〜100であるとき
　　　　相手が偶大であるなら交換要求は絶対にしないので、交換を拒否して損する可能性を避けるべきである
　(2-2)カードが26〜50であるとき
　　　　相手が(2-1)であるなら交換要求は絶対にしないので、交換を拒否して損する可能性を避けるべきである
　以下同上、よって偶数のカードを交換すべきでない
　したがってカードの交換は絶対に起こらない

普通の2封筒問題と真逆の結果になるんだがこれで良いのん？

なに書いてんだ…
2a見て交換した期待値は
a/2 + 4a/2 = 5a/2 >2a

>>445正解です。やっぱり合同式知ってる人はそっち使うよね

lim[n→∞]sin{2π√(n^2+[n/3])}　はいくつか？

[ ]はガウス記号

ようやく>>53ができた

f'(x)=(36nx-x^2)/288n^2より、0≦x≦36nの範囲でf(x)は単調増加。
さらに、f'(x)=1を解くと、
x^2-36nx+288n^2=0
(x-12n)(x-24n)=0
x=12n,24n

f'(x)は上に凸の2次関数であるから、0≦x≦12nおよび24n≦x≦36nにおいては、f'(x)≦1
よってこの範囲では、xが1増えたときのf(x)の増加量は1以下。
したがって、[f(0)]から[f(12n)]までと、[f(24n)]から[f(36n)]までの整数は全てとる。
ここで、f(0)=0、f(12n)=7n、f(24n)=20n、f(36n)=27nである。

12n≦x≦24nにおいては、f'(x)≧1より、xが1増えたときのf(x)の増加量は1以上。
よって、[f(12n)],[f(12n+1)],…,[f(24n)]は全て異なる。

以上から、求める個数は
[f(0)]から[f(12n)]までで7n+1個
[f(12n+1)]から[f(24n-1)]までで12n-1個
[f(24n)]から[f(36n)]までで7n+1個
より、あわせて26n+1個である。

>>484
上限つきでかつ相互の了解がないと交換できない場合そうなる
できれば交換したいけど得する可能性は交換拒否されてしまって0だから交換できない、が正しい
実際やると抜き打ちテストのパラドックスと同じように交換成立する事もあるだろうけど

f(x)を、実数を係数にもつn次多項式とすると、f(α)＝0となる複素数は高々n個しかない事を示せ

問題になっていない問題
※以降、自然数に0は含めないものとします


問1
100人がいるパーティー会場で、司会者が次のように言った。
「お手元の紙に1つだけ自然数を書いてください。誰ともかぶりがない数字の中で、
一番小さい数字を書いたひとに豪華賞品があたります。」

あなたならなんと書くか？
（商品が貰える確率が高い数字はあるのか？それはなにか？）

問2
2人でゲームをする。
お互いに1つの自然数を紙に書き、同時に見せ合う。
・書いた数字が「小さい方」が1点を得る。
・ただし、差がちょうど1の場合は「大きい方」が2点を得る。
・また、差が0の場合はノーカウント。
このゲームを十分大きな回数繰り返す。

あなたならどんな規則で書く数字を決めるか？
（最適な戦略はなにか？）

>>488
俺>>53だけど正解だ、おめでとう

0≦x≦12n、24n≦x≦36n(f'(x)≦1)の範囲では、
該当する値域の整数に対して[f(x)]が全射になるから、
この範囲における[f(x)]の異なる整数の個数は、該当する値域の整数の個数に一致する

12n+1≦x≦24n-1(f'(x)>1)の範囲では
該当する値域の整数に対して[f(x)]が単射になるから、
この範囲における[f(x)]の異なる整数の個数は、該当する定義域の整数の個数に一致する

よって答えは、{f(12n)-f(0)+1}+{(24n-1)-(12n+1)+1}+{f(36n)-f(24n)+1}=26n+1

>>492
ちなみに出典は？

>>493
途中でどっかに書いたけど、T大

>>494
制限時間付きで高校生に解けってか。さすがにきついなー。

>>489
「無作為に実数を抽出する」事は不可能だから、与えられた数字の「倍数であり易さ」はある程度推測出来ると思うんだ
相手も同じ判断で動くのが分かっているなら>>197でも交換は成立しないんじゃないかと思うんだけど

>>491
最善手が有るなら最善手は無い、のでどこまで読むかで毎回違う結果になるんじゃないかと

>>495
この問題は変態すぎる
どうやったらこんな問題思いつくんだ

９８年東大だな

未解決
>>63
>>93(>>370に半円と書いてあるが多分違う)
>>194(>>196)
>>373の1つめと3つめ
>>376の2つめ
>>377
>>380の(3)(他のも未判定)
>>389
>>391全て
>>427
>>440
>>487
>>490

>>310の1つめは>>411に書いてあるけどどうやるんだろう

>>490
α1,α2,・・・・・,αkをf(x)=0の解とするとf(x)は
(x-α1)(x-α2)・・・(x-αk）で割り切れるのでｋ次以上
f(x)はｎ次なのでｎ≧k

>>376の上
|x|≦1/2,|y|≦1/2,|z|≦1/2の立方体はすっぽり入るので
>>476は間違い(1より大きい)

>>500
おkです

>>499
>>310の１は
tan1ﾟtan2ﾟ+tan2ﾟtan3ﾟ+･･･+tan(k-1)ﾟtankﾟ=-k+tankﾟ/tan1ﾟ になる

等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は[ア]組ある
それらのうち、xが2桁で最小である組は、（x,y）=（[イ], [ウ]）である

1+2+3+・・・・・+(n-1)+ｎ　をAとする場合

1+2+3+・・・・・+(n-1)+ｎ
2+4+6+・・・・・+2(n-1)+2ｎ
3+6+9+・・・・・+3(n-1)+3ｎ
〜〜
ｎ+2n+3n+・・・・・ｎ^2

これらの総和をAを使ってあらわせ！

>>376の上は31/3かな

x,yは自然数とする
x^2+2y,y^2+2xが共に平方数になることはあるか

各辺が素数で一つの角度が120ﾟの三角形の三辺の長さを求めよ

641=5･2^7+1=5^4+2^4である
2^32+1は641で割りきれることを示せ

>>505
A^2

ミスった
>>376の上は4かな

4よりは小さい

>>503
それがなぜ成り立つのか知りたいんだが…
帰納法かなんかでできそうだな

>>508

おま・・・お前が天才だ
おれがわからなかった問題を一瞬で解きやがって

>>512
要は先に縦に足せばいいんだよな

タンジェントの加法定理ぐらい気づこうぜ

>>507
1番上
x^2+2y,y^2+2xが共に平方数であるとする
x^2<x^2+2y<{x+(y/x)}^2
x^2+2yは平方数なのでy/x≧2
このとき
y^2<y^2+2x<{y+(x/y)}^2≦{y+(1/2)}^2
y^2と{y+(1/2)}^2の間に平方数は存在しないので矛盾
よって両方が平方数になることは無い

私は大変な計算により>>487の答えは√3/2になるという結論を得たが
その証明を書くには気力が足りない

>>516
おつかれ、正解だ
この数列が収束するイメージをつかめない

答えを常識が邪魔をするのは良くあること

>>507
2番目 (3,5,7)

おい答えてる天才たち大学名or最終学歴おしえれ

日をまたいでからはぜんぜん答えてないけど昨日は割かしこたえてました
某旧帝理系です　絶賛テスト期間中です　死にたいです

>>389
M=1+2+・・・+p
=p(p+1)/2=p2^(n-1)=2^(2n-2)-2^(n-1)
よって自身以外の約数は1,2,・・・,2^(n-1),p,2,p,・・・,2^(n-2)p
であるから、これらの和は
(1+2+・・・+2^(n-1))+p(1+2+・・・+2^(n-2))
=2^n-1 +p(2^(n-1)-1)
=2^n-1+(2^n-1)(2^(n-1)-1)
=2^(2n-2)-2^(n-1)=M
となりM自身に一致するのでMは完全数
なおM以外の約数を列挙するところでpが素数という仮定を用いた

>>377
左上の円が、その領域に入る最大の円であるものとして解く。

大きい円の半径をR、小さい円の半径をrとする。
大きい円の中心をO、左上の円の中心をPとすると、OP=R-2r
三角形の頂点を左からABCとすると、BC=2OP=2R-4r
三平方より、AB=4√(Rr-r^2)
三角形の面積と辺の長さ内接円の半径の関係から
4(R-2r)√(Rr-r^2)=r(2R+2R-4r+4√(Rr-r^2))/2
2(R-2r)√(Rr-r^2)=r(R-r+√(Rr-r^2))
(2R-5r)√(Rr-r^2)=r(R-r)
(4R^2-20Rr+25r^2)(Rr-r^2)=r^2(R-r)^2
両辺をr(R-r)で割って、
4R^2-20Rr+25r^2=r(R-r)
R/r=xとおくと
4x^2-21x+26=0
(x-2)(4x-13)=0
x=2とすると、OP=0となり不適
よって、x=13/4
したがって、求める答えは13:4

もっと簡単にできるんだろうな

641・2^28=(5・2^7)^4+2^32
641・2^28=（(5・2^7)^2+1）（(5・2^7)^2-1）+2^32+1
中略
641（2＾28-（（5・2＾7）+1）（5・2＾7）-1）=2＾32+1
わかりにくすぎワロタ

>>522
ちょっと書き間違えてるっぽいけど正解！

さらに、>>389のMは偶数となることを示せ。

>>93って何求めればいいの？
問題の意味がよくわからないんだけど
曲線なら式もうでてますし

数列{a[n]}を以下のように定める。
a[1]=1 , a[2]=√2
a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|

(1) lim[n→∞] a[n]を求めよ。
(2) lim[n→∞] Σ[k=1,n]a[n]を求めよ。

>>525
M=2^(2n-2)-2^(n-1)
だからこの計算があってりゃMは偶数ってことじゃないの？

>>527
循環するんだけど

>>528
それもそうか。すまん、深く考えて無かった。

ちなみに、以下は未解決問題
・>>389の形以外の完全数は存在するか。特に、奇数の完全数は存在するか。
・>>389の形の完全数は無限に存在するか。(2^n-1の形の素数が無限に存在することと同値)

>>529
循環はしない。ちゃんと収束するよ

ああ、ごめんガウス記号見てなかった

ガウス記号じゃないと思うぞｗｗｗｗ

ここは天才の集まりかｗｗ

>>532
ガウス記号じゃなくて絶対値だよ

２以上の自然数ｎについて。１/２^３＋１/３^３＋……＋１/ｎ^３＜１/４を示せ。

tan1°は有理数か

f(x)=2x^3-9x^2+12x-2とする
区間 a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値をあらわす関数g(a)を、aの値の範囲によって求めよ

0 5.828427502356
ガウスにしても循環するなぁと思ったら絶対値か。

∫[0→1] (x^3+1)^(-1) dxを求めよ

やっぱ東大ばっかりなのか？ココは

>>487
nを任意の自然数とし、n＝3p＋q(p，qは自然数でq＜3)とおく。　
√(n^2＋[n/3])−n＝p/(3p＋q＋√(9p^2＋q^2＋6pq＋p))→1/3だから、　
｜sin(2π√(n^2＋[n/3]))−sin(2π(n＋1/3)�T→0　　　　
よってlimsin(2π√(n^2＋[n/3])＝limsin(2π(n＋1/3)→√3/2

n＝3p＋qとおく発想がない
それともそのテの問題はこーいう解法があるのかしら

経験に裏打ちされるのが発想ですしおすし

>>507の2つめ
3辺をa,b,cとすると、余弦定理より
c^2=a^2+b^2+ab
ab=(a+b+c)(a+b-c)
a,bは素数であり、a+b+cはaにもbにも一致しないから、
a+b+c=ab、a+b-c=1となるしかない
c=a+b-1より2(a+b)-1=ab
(a-2)(b-2)=3
よって、(a,b)=(5,3) (逆も可)
このとき、c=7
したがって、求める長さは3,5,7のみ

aを0でない超実数とするとき|a|が無限大であることの必要十分条件は1/aが無限小である事である。
これを示せ。

>>440は
(1+x)^60(1+x)^40 =(1+x)^100
に気がつけばあっという間にできるな

>>538
f'(x)=6(x^2-3x+2)=6(x-2)(x-1)
f'(x)=0とすると、x=2,1
増減表書く力がないので省略。
(�T)a≦0の時
g(a)=f(a+1)=2a^3-3a^2+3
(�U)0≦a≦1の時
g(a)=f(1)=3
(�V)1≦a≦1+1/√6の時
g(a)=f(a)=6a^2-12a+5
(�W)1+1/√6≦aの時
g(a)=f(a+1)=2a^3-3a^2+3

計算間違ってませんように勘違いしてませんように

>>542おもいっきりミスったｗｗ
1/3のところを1/6に直してくれ

a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

一ヶ所いみわからんことしてたｗ
(�V)1≦a≦1+1/√6の時
g(a)=f(a)=2a^3-9a^2+12a-2

示せって問題は打つのがめんどい

じゃあ基本

素数を書いてください

３

>>548　(>>551)
正解です

連続したいくつかの自然数の積が平方数となることはあるか？

>>556
連続した自然数の中に素数が含まれるなら、平方数ではない。
含まれている素数のうちの最大の素数をPとすると、積はP^2で割り切れないのは明らか。
よって平方数ではない。
素数が含まれていない場合の証明は難しすぎる。

じゃあシンプルに。

4人でジャンケンを一回だけします。

4人ともあいこ（同じ手）になる確立はいくつでしょうか。

(1)Σ[k=1~n]k･k!=
(2)Σ[k=0~n]C[2n,2k]=

8･4^nの1の位と最高位の数字が一致する自然数nを1つ求めよ
ただし、底を10として
log2=0.30102…
log3=0.47712…
log7=0.84509…
とする

>>373の三つ目x,y,zが1/3のとき1/2にならない？分母は二乗つくんかな

t=cosxsiny=sinx+cosy>0であるとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。

>>380
(1)両辺をxyzで割ると、1/x+1/y+1/z=1
x≦y≦zとしてよい。
x=1は不適
x=2のとき、(2,3,6),(2,4,4)を得る
x=3のとき、(3,3,3)を得る
x≧4とすると左辺が1未満になり不適
よって、(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)およびこれらの並べかえ

(2)両辺をxyzで割ると1/xy+1/yz+1/zx=1
x≦y≦zとしてよい
(1)より、(xy,xz,yz)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)
それぞれ解いて、
(x,y,z)=(1,2,3),解なし,解なし
よって、(1,2,3)およびこれの並べかえ

(3)変形して、0=x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)
右辺の各項は0以上だから、各項が0になるしかない。
自然数だから、x=y=z=1

まだあったのかこのスレ

>>407
69だけど高校生でもいけるアプローチがあるよ
答えはあってる

>>376　2つめ　
D＝{(x，y):x^2＋y^2≦1}とすると、　
体積＝∫∫D√(1−x^2)dxdy＝8∫(0→1)∫(0→√(1−x^2))√(1−x^2)dydx＝16/3

φ(a)＝∫[0，π]log(1−2acosx＋a^2)dxとおく。｜a｜≠1のとき、φ(a)を求めよ。

>>565
|a|<1で2πlog|a|, |a|>1で0

>>566
違います　でも｜a｜＞1の場合と｜a｜＜1の場合にわける点はいい線いってる　　　
問題追加　

(1)7^83を12で割ったときのあまりを求めよ

>>567
(1)7^2≡1(mod12)なので7

問.極限値lim[n→∞]n{log2-Σ[k=1→n]1/(n+k)}を求めよ

>>568
正解です

どうして>>568のような解法になるのか理解出来ない

>>567
途中で式変形ミスってた……。
|a|>1で2πlog|a|, |a|<1で0で合ってる？

友人に出されたんだけどさっぱりわからん

Ａ＋Ｂ＝１

Ａ＋Ｃ＝２

Ｂ＋Ａ＝？

Ａ＋Ａ＝４

Ｃ＋Ａ＝２

Ａ×Ａ＝２

Ｂ×Ｂ＝６

ヒントは
Ａ〜Ｃの規則性

１に属するもの

途中×の配列

スレチだったらすまそ

>>558
1-{(一人勝の確率)＋(二人勝の確率)＋(三人勝の確率)}
4Cn･3/3^4 (n=勝った人数)(n=1〜3)
これまたなつかしいものを

下記の問題ですが、
http://homepage2.nifty.com/lapislazuli_in_space/kakuritu.jpg

(1)の答を計算してみると下記のようになりました。
最大値が１のときの確率はn回とも１の場合であるから
(1/4)^n
最大値が２のときnCk{(1/4)^k}・(1/4)^(n-k)
最大値が３のときnCk{(1/4)^k}・(2/4)^(n-k)
最大値が4のときnCk{(1/4)^k}・(3/4)^(n-k)
P(Ak)はこれらの和であるから
P(Ak)=(1/4)^n +nCk{1+2^(n-k)+3^(n-k)}/4^n

Σ(k=1→n)を使って計算し、nで表そうとすると
nC1・r+nC2・r^2+・・・+nCn・r^nのような
式を計算しなければならないので、上記のまま
でいいと思うのですが、どうでしょうか？
(2)の極限ですが、

この期待値の意味はkの期待値だと思いますが、
nが大きいと最大値が４に近づき、kはn/4に近づきますので、
この分数の値は1/4に近くなると思いますが、

lim(n→∞){E(n)/n}={lim(n→∞)E(n)}/lim(n→∞)n}
={lim(n→∞)(n/4)}/lim(n→∞)n=lim(n→∞){(n/4)/n}=1/4
とやっていいものでしょうか？

>>572
Ａ×Ａ＝２より　Ａ＝√２
Ｂ×Ｂ＝６より　Ｂ＝√６
Ａ＋Ｂ＝√２＋√６≠１

よって解なし

>>571
正解れす

すまん、さっきのレスなかったことにしてくれ

問題ちゃんと読んでなかった

>>575
俺も答えでないと思うんだが答えはあるらしい
さっぱりわからん
Ａ＋ＢとＢ＋Ａが違うってなんだよ

次の条件を満たすn個（≧3)の実数a[1],a[2],・・・,a[n]の組をすべて求めよ
条件：各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはない

>>572
1

>>580
なんでか教えて頂ければ有り難いです

>>581
1行目見たら分かるじゃん
真面目に考えすぎ
A+B=B+A

ちなみに>>575は同値性崩れてるから間違い

放物線y=x^2を原点を中心に半時計周りに60ﾟ回転させたときのx軸、y軸との交点の座標をそれぞれ求めよ。

行列使わずに解けるんだって。

>>582

Ｂ×Ｂが6ってのがあるから

>>579
a(k)=r (k=1,2,3,...,n)
ただしrは任意の実数

帰納法でできる

>>585
>>572の「途中×の配列」って何ぞ？

>>587
それ聞いたんだけど

極論

わからないのですね？

って言われて教えてくれなかったｗｗｗ
土下座する勢いでもう一度聞くわ
メールだから時間かかるかも

なんてウゼエ友人だ

>>586
正解

>>584
放物線と2直線y=(1/√3)x、y=-(√3)xとの交点の原点からの距離が、それぞれ求めるy座標、x座標に対応してる

>>589
だよなｗｗ
わからないのが悔しいからってお前らに頼ってる俺は情けないorz

自称インテリ(笑)だからなんとか自分が解いたっぽくしたい

>>584
軸を原点を中心に時計回りに60度回転した2直線とy=x^2の交点を求め、原点からの距離を求めるでOK？
x軸の交点が(-2√3,0)
y軸の交点が(0,2/3)

>>579
S=a[1]+…+a[n]とおく、
条件より
a[1]≦(a[2]+…+a[n])/(n-1)
：
：
a[n]≦(a[1]+…+a[n-1])/(n-1)
辺々を加えて
S≦S
よって、上のn個の不等式は、全て等号が成り立たなければならない。
a[i]=(a[1]+…+a[i-1]+a[i+1]+…+a[n])/(n-1)
変形して、a[i]=S/n
よって、a[1]=…=a[n]
逆に、このとき常に条件を満たす。
したがって、a[1]=…=a[n]=r (rは任意の実数)

Ｘ^n + Ｙ^n = Ｚ^n

nが3以上のとき、これを満たす整数が存在しないことを示せ

ちなみに私は>>594に関する真に驚くべき証明をもっていないのでここには書けません

>>593
＞＞S≦S
＞＞よって、上のn個の不等式は、全て等号が成り立たなければならない。

ここの議論おかしくないか？

>>568
−∞

>>594
ワイルズさんの論文を参照

>>596
逆に、一つでも等号が成り立たないものがあれば足しても等号は成り立たない
(左辺の総和)<(等号が成り立たないものの右辺)+(その他の左辺)≦(右辺の総和)
対偶が示されたのでOK

>>599
等号が成り立つ必要あるか？
この書き方からわかるのは、条件を満たすなら
S≦Sとなって、これは常に真になるから矛盾なしってことだけだと思うんだが

(0,2/3)(-2√3,0)では？

>>597
ちがいまっする

2．66＜e＜2．73を示せ

いろんな解き方を期待

>>597　間違えた　

与式のe乗をとると　
(2/e^(Σ[k＝1→n]1/(n＋k)))^n　　
分母の対数をとると、　
Σ[k＝1→n]1/(n＋k)＝∫[0、1]1/(1＋x)dx＝log2　
よって分母→2　
したがってe乗した式→(2/2)^n＝1
よって極限値は0

>>600
「(左辺の総和)=(右辺の総和)」
が成り立つから、
「それぞれの不等式で(左辺)=(右辺)」
が成り立つ
という流れなんだが…
書き方が悪かったか。

>>572は100通り以上答え考えて出したからそんな簡単に答え教えたくないって言われた

>>604
違う、正の実数値に収束する

>>560
悪い

x,y,z>0かつx+y+z=1のとき
{x^2/(y+z)}+{y^2/(z+x)}+{z^2/(x+y)}≧1/2を示せ

にしてくれ

>>607
2(log2)^2

>>609
まだ間違ってる
有理数に収束する

>>605
不等式から直接そういう書き方をされると、俺的にはちょっとわかりずらかった
(左辺の総和)=S、(右辺の総和)=Sなので、(左辺の総和)=(右辺の総和)が成り立つ必要がある
一方、条件より(左辺の総和)≦(右辺の総和)が成り立ってるので、等号が成り立つためには各式で等号が成り立つこと必要がある
という風に別々に書いた方がわかりやすかったと思う

N個の自然数の集合N={a_1,a_2,....,a_N}を二つの集合S,N-Sに分けそれぞれの組の和が等しくなるようにできるかどうか
（例えば{a_1,a_2,a_3,a_4}={1,2,3,4}の場合{1,4}と{2,3}と分割すればできる）判定する方法を考えよ
ヒント：適当な漸化式を考える

>>611
そうだな。そんな感じで書くべきだった。
まあ、伝わって良かった。

>>610

うーん、別な方法で計算しても0になっちゃったし、正直お手上げです　

別な人にまかせるわ

今更だけど>>30。あまり良くない書き方かもしれんが

整数解をa,b,cとして
x^3-13x+k = (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+(-abc)
-(a+b+c) = 0 … �@
ab+bc+ca = -13 … �A
-abc = k … �B

�@より
(a+b+c) = 0
二乗して
(a+b+c)^2 = 0
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0
�Aを代入して
a^2+b^2+c^2+2(-13) = 0
a^2+b^2+c^2 = 26 …�C

�Cが成り立つa,b,cの値は
±1,±3,±4か±0,±1,±5

�@より、a,b,cの値は
1,3,-4 か -1,-3,4

それぞれ�Bに代入する

k = -12のとき、3つの整数解は 1,3,-4
k = 12のとき、3つの整数解は -1,-3,4

>>613
いや、まぁこっちも細かい所に突っ込みすぎたと思う
しっかり記述してきたもんだから、こっちもしっかり採点したくなってしまったんだ
ここは解答用紙じゃないから、適宜省かれても深くつっこむのは不適切だったかも知れん

無題とでもしておこうか


-大切なことは全て君が教えてくれた-

第5話 「真相」

2/14(月)
21時START
主演 戸田恵梨香
三浦春馬

>>617
どこの誤爆だよｗｗ

f(x)は5次関数で
f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=6,f(6)=7のとき
f(7)を求めよ

2^8+2^11+2^nが平方数になる自然数nを求めよ

1からnまでの自然数のうちの1つを除き
残るn-1個の自然数の平均を計算すると590/17になった
除いた数を求めよ

S[n]={a[n]+(1/a[n])}/2、a[n]>0
の一般項を求めよ

a[1]=1、a[n+1]=√(a[n]+2)
の一般項を求めよ

x^5≠0ゆえx≠0

訂正

f(x)は5次関数で
f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=6,f(6)=1のとき
f(7)を求めよ

にしてくれ

>>558の回答を掲載します

グーチョキパーの3つが4人分なので　3の4乗
↓
すべての手がバラバラになる場合＋すべてがアイコになる場合　の36通り
↓
すべての手がアイコになる場合（グーだけ　チョキだけ　パーだけ）の3通り
↓
36＋3通り/3の4乗

↓
答え　13/27　です。

http://beeimg.mydns.jp/i/azuY08G_Aww.jpg

>>621
自力でむりくり解いて5次の係数が-39/4155になってどっか間違ってるんだろうなと思いつつ力尽きた

>>623
8√2π/15

>>621
f(6)=126ってことにしておこうよ

誰か俺に高校数学教えてくれ

>>627
このスレだけでいろんなテクニック盗めると思うけど

（y^3）^4÷(y)^6=y^6

これはどう手をつけたらいいんだ

y^3=yyy
y^3^4=(yyy)^4=yyyyyyyyyyyy

y-6=yyyyyy

yyyyyyyyyyyy/yyyyyy=yyyyyy=y^6

じゃないですか。おれはいったい何を書いているんだ

π>3.1を証明せよ。

答え知らんし

>>630
俺とおんなじことしてるじゃないか

じゃあなにが問題なのか。それが問題か

問題はなにか。
↑これかWWWWWWWWWW

>>619
4つ目
a[n]=√{(2n-1)-√4n(n-1)}