☆無理数が無理数であることの証明☆

以前、哲学板かなんかにあったスレで、√２が無理数であることの有名な証明が話題になっていました。
――じゃあ√３はどうするのか？　√４７は？
と思ったので、「√３のときはどうやって証明するんですか？」と聞いたところ、
「√２の証明が出てるのに√３の証明を聞くなんて典型的なバカだな。
　√３を説明しても、√５……についても聞いてくるんだろうな（ﾜﾗ」
と罵倒されてしまいました。
しかし私は、√２の証明が普遍的で、無理数全体に無条件で適用できるとはどうしても思えません。
むしろ、√２の証明を聞いただけで無闇に満足し、その他の無理数へ同様の疑問を抱かず、
√２の証明だけで全てが言い尽くされていると錯覚している方がアホだと思います。
まあこんなことはどうでもいいです。
無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。

＞1
無理数全体をズバッと証明するような議論

それを発見したら相当有名になると思うよ

でも、なんらかの統一的な方法はあるんでしょ？
それとも、任意の無理数に対して、「この無理数は未証明です。」なんてこともあるの？

πが無理数であることの証明も知りたいDEATH

え？
無理数って有理数ではない実数のことではだめなの？
つまり、整数分の整数の形にならない（分母が０は除く）ものを
無理数と呼ぶということでだめなの？

√２が有理数で無いとの証明は
「有理数ではない実数が存在する。」
ことの証明に過ぎないのでは？

素因数分解を使って√２の無理性を証明したんだと思うけど、
まったく同じ論法でできるよ。
それと、πが無理数って言うのは、大学教養レベルの知識が要る。
あと、無理数かどうかわかんない数なんていくらでもあるよ。
ζ（２ｎ）（ｎ≧２か３か）とか。

>>1
平方数でない整数の平方根に関しては同様の証明ができるぞ。

>>6

そうなんですか。たとえば√１０だったらどんな感じになるんですか？

>>5
こまかいつっこみだけどわかってないのはζ（奇数）の方だよ。
ζ（２ｎ）=(-1)^(n-1)2^(2n-1)π^(2n)B_(2n)/(2n)!(n≧1)は無理数。

√１０＝ｎ／ｍ　とする（ｎ、ｍは互いに素）
１０＝ｎ^２／ｍ^２
１０＊ｍ^２＝ｎ^２
左辺は５（素数）で割り切れるから、右辺も割り切れる。
だから、ｎは５で割り切れる。
だからｎ^２は５^２で割り切れる。
だから左辺の１０＊ｍ^２も５^２で割り切れる
左辺＝５＊２＊ｍ^２
だからｍ^２が５で割り切れる
つまり、ｍが５で割り切れる
つまり、ｍとｎは５で割り切れる
互いに素、と矛盾

√２.１は無理数ですか？
√０．９９９９９９９９９９・・・・・・・・ はどうなりますか？

不毛な議論になりそうなのですが、
上は√２１０／１０とすれば証明できそう。
下は不毛なスレに任せましょうか？

では。

>>5。恐らく>>1は因数分解を用いた証明でなくて、偶数、奇数に
分けて既約性の矛盾より得る証明方法のことを言っているのだと
思う。「因数分解の方法」を用いれば納得するんじゃないかな？
時間があれば書いてあげてください（私は今試験中真っ只中で
…ゴメンナサイ）
>>1「数について」著デデキント（岩波文庫）pp22に一応ちがう
証明もあります。でもちょっと難しいかも…この本を理解できれ
ば一応無理数について哲学版で得たのとちがう納得が出来ると思
う。数学では無理数とは？というのに神秘性をもたせたりせず、
（>>4いわく）キチンと定義してます。無理数とは有理数でない
実数です。実数は？このほんで定義してます。（でもこの定義
自体の欠陥については私は詳しくないので…）

>>11。>>9に書いてありました…ごめん。

>>5 >>9 >>11　ほか

みなさんありがとうございます！
なんとなくわかってきました。

>>11
＞左辺は５（素数）で割り切れるから、右辺も割り切れる。
＞だから、ｎは５で割り切れる。
これは、ｎ＾２が５の倍数だったら、少なくとも因数に５がないとおかしいから、
じゃあｎが５を因数に持たなきゃだめだよね。ということですよね。
でも「ｎ＾２＝１５のときのｎは？」とか考えてみると、なんだか違和感があります。
この違和感も仮定の背理を予感させるものなんですか？
ちょっとわからなくなってきました。

>>11
面白そうな本ですね。ありがとうございます。

デテキントを読む気力があれば、
解析概論を読むのもいいと思いますよ。
デテキントの切断はかなり詳しく書かれていたとおもいます。

ついに証明された

(√2)+0.0…01=√(2+0.0…01)

lim ―――
ζ→0

０．１０１１０１１１０１１１１０１１１１１０・・・・
と小数点以下i個（i<0)の１と０を繰り返すような
実数のことも無理数だったかな？

>>17
有限小数と循環小数以外は無理数だと思うけど、
０．１０１１０１１１０１１１１０１１１１１０・・・・
って超越数？

なんとなく、無理数であることや超越数であることが
証明できない無理数が無限に存在しそうな予感。
合理的な根拠は無いけどさ。

よく考えたら、証明どころか問うことすらできない数が無限に存在するよな。
表現できない数が無限に存在するんだから。
表現できる数の中ではどうか問題にするには、
まず「表現」の意味を明確にしないといけない…

無理数の証明って有理数or代数的数と仮定した背理法しか見たことないけど、
直接無理数と証明する方法はないの？

↑　あなたの問題意識を数学的に定式化すると、直観主義の実数論では
無理数は存在するのか、ということになるね。どうなんだろう？
基礎論の人、解説お願いします。

平方数でない全てのｎについて

√ｎ

が無理数だと証明することは可能か

>21
無理数の定義は、有理数でない実数だから。

>23
素因数分解の一意性があるから可能

>>23
もっと一般的に
k√(m/n) mとnは互いに素　かつmとnはk乗数でない
が無理数であることの証明が√2の場合の証明を拡張する
ことで簡単にできると思います。

>>26
たぶん、>>23のような質問をする人には
特定数の証明を一般に拡張するなんて事は
想像の埒外だろうから説明しても無駄。

けっきょく√2が無理数という証明がちゃんと理解できてないから
√3は？√5は？っていう質問をするんでしょう？

それって
√２の証明を聞いただけで無闇に満足し、その他の無理数へ同様の疑問を抱かず、
√２の証明だけで全てが言い尽くされていると錯覚している
以前の話じゃん。

サッカー・Ｊ１リーグの神戸は７日、元日本代表ＦＷ岡野雅行（２９）が期限付きで浦和から神戸に移籍したことを発表した。契約期間は来年１月末まで。背番号は「２９」。９日から神戸の練習に参加する。

哲学崩れってバカばっか

>>27身障視ね

無理数の話なのか√に限った話なのか
まずはそれを言ってくれ＞1

連分数の話がないな。あれはマジ感動するぞ。互除法だけ知ってれば理解できる
から本探して読んでみ

Springerの和訳で数論入門ってやつがでてるぞ

こないだ初めて気がついたんだけどさ。
√２が無理数であることの証明って、一般的に素因数分解と背理法じゃない？
>>26みたいなやつね。

ところがさ、素因数分解を使わないで、根の中の数が平方数じゃないって
だけを根拠に、対偶を示すだけの証明をするだけの証明法があるらしいのよ。

たぶん、それを「背理法による、無理数であることの証明」と勘違いしている
人が多いんじゃないかな？

>>23の質問なんてまさにそうだし、>>6で答えてる奴なんて
その証明しか知らない典型的な答えだと思う。

で、なにがびっくりしたって、以下のようなことをHPで書いてる人がいる。
この人って有名なの？デムパ系？

ttp://www.ngm.ed.ynu.ac.jp/negami/dai3nori/hosoku/hosoku22.html

ちょっとしんじらんないんだが．．．
だれか知ってる人がいたら教えて。

なお、このページにある証明と同様の証明が載ってる教科書ってほんとにあるの？
自分の教科書と、読んだことある参考書には無くて、最近はじめて知ったんだけど。

>このページにある証明と同様の証明が載ってる教科書ってほんとにあるの
ごく普通の証明だと思うが。

>>34
そのページ見てみました。
√n については一理あるような気もしますが
これについてはどうなんでしょう？

e が無理数であることの証明：
e＝有理数＝m/n (m,n∈Z) とすると
0＜n!(e-0!-1!-2!-・・・-n!)＝整数＝1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+・・・
＜1/(n+1)+1/(n+1)^2+・・・＝1/n
⇒矛盾

n!(e-0!-1!-2!-・・・-n!) → n!(e-1/0!-1/1!-1/2!-・・・-1/n!)

かっこつけてh落としやらないでね。
手間がかかるだけだから。

＞３６
eの無理性の証明の何を問題にしてんの？
対偶による証明があるかって話？

代数的数で有理数でないものの無理性を問うのはさすがにあほらしいと思うが

連分数ネタものばしたいところだな

>>36
これが一体なにの対偶なんだ？ということね。
たしかに，なにかの対偶だというにはムリがあるね。

>>36
短く書けてるね。
なんかの対偶の形にすると長くなるだろうね。

>>34-41
というか，そんなちょっとした感想みたいなことを，
仰々しくHPで主張するところがデムパということか。

√２が有理数でないことも，
ピタゴラス教団の時代には，
大発見というか大スキャンダルだったんだ。
思想史的意味としてはフェルマー予想よりはるかに大きい。

>４３　アオリ

√２が有理数でないことが初めて発見されたときは
やはり背理法しかないでしょう。
「√n　が有理数ならnは有理数の平方」
なんてしゃれたことが言えるのはずっと後のことのはず。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/sci/1001861572/

>>45
ｎ＝（√ｎ）＾２なんだから「√ｎが有理数ならｎは有理数の平方」は当たり前。

俺にはむりっすぅ

>>45
キミは何故ピタゴラス達がこの事実を極秘事項にしたのか
わかっていない。

>>34

ああ、この人は、別にトンデモでもなんでもないですよ。

まあ、２を素因数分解したときに、共通因数が２つ出てこない
（すなわち平方数でない）という証明は、彼にとって重要で
なかったということなんでしょうかね。でも、実際には、
対偶の証明と、２が平方数でないという証明があって、
結果として２の平方根が（自然数でない）有理数であると
仮定から矛盾を導いたのであるから、背理法ですね。
多分、ウッカリミスでしょう。

超越数って代数的に解にならない数なんでしょ？

πやeはどうして超越数だって言い切れるの？
他にはどんなものがあるんですか？

俺はてっきり、ある命題とその対偶命題が同値である、ことの
証明を背理法を使ってやるのだと思っていた。
つまり、ある命題を対偶で証明するのは背理法の特別な場合かと思ってた。
でもそうじゃないのかな？

>>51
＞他にはどんなものがあるんですか？
以下、歴史のべんきょ

リュウビル数= 0.11000100000000000000000100・・・00100・・・00100・・・
ｎ番目の1は，n!桁に現れる．
(この手の超越数は無数にあるようです)

18世紀中ごろ オイラーはπが代数的無理数でないと示唆．しかし証明はできず．
19世紀中ごろ リュウビルが超越数の存在を証明
19世紀末 リンデマンがπが超越数であることを証明
　　(　↑ この証明はオレには難しすぎる上，量的にもここに書き切れない)

>51
>他にはどんなものがあるんですか？

簡単なネタを一つ

π＋eかπeの少なくとも一方は超越数


両方代数的数だと
k^2-(π+e)ｋ＋πe=0
の解πとeも代数的数になる故、矛盾

>>54
気づかなかった! というか、そう考えたことがなかった。

>>53 >>54

へぇ・・面白いですね。ありがとうございます。
超越数とかの話って整数論が絡んでそうで、難しい印象が
あったので敬遠していました。
何か本を読んでみたいと思います。

他にネタがあったらまたお願いします。

どんな本がオススメでしょうか？

>超越数とかの話って整数論が絡んでそうで難しい印象があったので敬遠していました。
というより、いい代数構造をもっていない（みつからない？）から難しいんで、
整数論のほうが簡単というか、一般的手法があるが、無理数、超越数がらみは
個別に考えるしかない。

>どんな本がオススメでしょうか？
塩川「無理数と超越数」森北出版

>>46の「物理定数」の類は有理数？無理数？超越数？

>>58
物理定数と超越数の関係には興味ない

＞56-57
いや、やはり
A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press
だろう。

>>58
物理定数は測定値だからどこまでも有限精度。
そんな議論は無意味。

物理板で、
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/sci/1001861572/l50
アボガドロ数は(ある定義の元での分子の「個数」だから)『整数』だ、という議論があって、
ある意味ではそうなんだが、測定して見つける「量」について整数だ無理数だなどと
言い合っていることに、強く違和感を感じた。
(オレはそこに口出ししなかったが)

上の「587」というなまえはマチガイでした

１辺が１ｍの正方形の対角線は約１，４１４ｍだが、これも測定値か。

>>64
ちゃんと抽象化された正方形の対角線は測定せずとも約1.414だ。
直近のコメントを読めよ。
なんかのネタ？

>>61
もし究極の理論ができれば
陽子の質量/電子の質量
がπとかeの何らかの関数として表せるというような可能性はあるわな。

っていうか、πって超越数じゃないじゃん。

１
∫４／（１＋ｘ＾２）ｄｘ　＝　π　だよ
０

>>57
さんきゅーです。

学校の図書館をあたってみます。ありがとうございました。

>>67 ？

>>66
ザブトン１まい！

１辺１ｍの正方形のやつ！

>>67
フィールズ賞獲得まちがいなしですね。そして特別奨待生として今井塾へ…

>>67
大ボケ賞

>>67って、本当に凄いと思う。
たった１行でπが超越数じゃないことを証明するなんて。

反論があるならしてみろ！

>>74
禿同。
こんな事が理解できない数学板の奴らは全員イタイと思う。

>>74,75
　つまらないネタはやめてくれ。

>>76
説明できないからって、誤魔化すな。お馬鹿さん。

>>74
>反論があるならしてみろ！
３行使ってるよ

>>67,>>74
超越数の定義を教えて下さい。

>>79
おいおい、お前が知らないからって人に訊くなよ（ｗ

>>80
じゃあ俺知ってるけど教えてください。

>>81
何で？知ってるならいちいち訊くなよ（ｗ

実は80さんから解答をいかに早く聞き出せるか競争してるんです（ｗ

皆んな笑ってるけど、67が書いている超越数の代わりにどういう概念
だとそれが正しくなるか答えられるか？67は「定義」を知らないだけ
だ。これヒント。

>>67
積分してπがでてくるの？
すげぇ・・・
俺、工房だけど初めて知った。

工房は、すれっからしが暇つぶしするためにあるような
２ちゃんの数学板なんか見るより
真剣に数学やったほうがいいと思う。

ここの連中って、頭よさそうに見せててるだけで
実際に優秀な人いないしね

いても、こんなネタスレには書き込まないだろ。

おい、なんで積分で求められたら超越数じゃあないんだ？
おれにはさっぱりわからんぞ！（ｗ

>>79
超越数とは代数的数でないような実数。
代数的数とは整数係数の多項式の根であるような数。

>>90
>>67は多項式と分数関数しか使ってないよ。

積分使ってる。
積分は極限だからね。
どんな実数でも有理数列の極限になってる。

ついでに>>67は級数になおせるね：
1-1/3+1/5-1/7+1/9+・・・＝π/4

>>92
>>93はどう考えるの？

∫[0,1]1/(1+x^2)dx＝Σ[n=0,∞] ∫[0,1](-1)^n x^(2n) dx
＝-1/3+1/5-1/7+1/9+・・・

>>95
んなことはわかってる。
なんで、>>93の様に級数になるのに、超越数じゃないの？

>>96
別に、「級数は代数的数」なんて定理、ありませんが？

>>97
定理はなくても、代数的数でない、とは言い切れるの？

>98
当然のことながら無限級数で表しているからといって有理数の可能性もあるので
それはなんとも言えない。

1/3=0.3+0.03+0.003+…
π=3+0.1+0.04+0.001+…

したがって超越数かどうかということと無限級数で表現してあるということは全く無関係

>>99
では、πは超越数ではないということでよろしいですね。

>>100
は？
無関係なのだから、その理由ではπは超越数でないとも言えない。

>>101
何でお前はそんなにケンカごしなの？
ﾈﾀﾆﾏｼﾞﾚｽｶｺﾜﾙｲ

ﾌﾟｯ

>>1
無理っす。

>>102
は？
ケンカごしに見える？

>>104
うん。（はぁと
とっても必死だね♪

イタイ１０４がいるスレ（ｗ

寧ろ１０５，１０６のほうが必死に
見えますけど。

１０４＝１０７
（・∀・）ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ

http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1516-4.htm
http://www.kindaikagaku.co.jp/bookdata/ISBN4-7649-1035-7.htm

>>100のような、数学の論理のイロハも分かっていないような奴がいるから、
話がいつもややこしくなる。

>>105
とっても必死だね♪

すごいすごい、πは代数的数だね、じゃあ先生に報告して褒めてもらいなさい。
そのあとお母さんに言って病院に連れて行ってもらうといいよ。

>>1
既出かもしれないけど。√nについてそれが無理数であるとき，
それを証明することなら，一般的にできると思います。
nを素因数分解したとき，ある素数pについて，nがp^(2k-1)を因数に
もつとする。(注)
ここで，√nは，方程式x^2-n=0 ・・・�@ の解である。
�@ が有理数解を持つならば,それは整数であり，かつnの約数である。
しかし，nのどんな約数も，�@の解にはなりえないから，�@は
有理数解を持たない。よって，�@の解は無理数である。
(注) の部分は，正確にいうと，次のような意味で使っています。
nはp^(2k-1)で割り切れるが，p^(2k)で割り切れないような，自然数k
が存在する。

６７はネタとしては秀逸だね。
n
∫１／ｘｄｘ　＝ logn
１
も代数的数になるわけか

>>109
円の数学て，普通のひとは
お金のことと勘違いしそう。

>>114の式によってlognは代数的数である。

>115
相対性理論の邦書が出たときにムッツリな若者達が勘違いして
買いに走ったという話もある（マジレス

>>116は>>114に書いてあることを繰り返してるだけのアホ

lognは代数的数である。

＞１１９　あおるねえ

そうそう、６７を多変数化すると、たとえば

１１
∫∫１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ　＝ \zeta(2)=π＾２/６
００

だし、いわゆるBeukers積分とかSelberg積分を使えば
多重ゼータ値は全部代数的になっちゃうなあ
（広義積分は反則かな？てか、ここに反則も何もないか）

∬_{0≦x,y≦1} 1/(1-xy)dxdy ＝ π^2/6

か。しゃれたこと知ってたね。ちょっと
苦労したけどなんとかできたよ。正しいみたい。
integrand を等比級数に展開すると＝ζ(2) がでるね。

そうそう。
応用すればゼータだけでなくディリクレ級数もでるよ
（全部じゃないけど）

もうのびないね
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　終了　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ゼータ関数って何？
Beukers積分とかSelberg積分とかって？？

素人には難しすぎてレスがつけられん・・・
解説きぼーん

ゼータ関数って何？
Beukers積分とかSelberg積分とかって？？

素人には難しすぎてレスつけられん・・・
解説きぼーん

だぶった・・・
ｽﾏｿ。

Beukers,Selbergはともかく、ゼータ関数ぐらいは自分で勉強しましょう．

http://users.forthnet.gr/ath/kimon/Riemann/Riemann.htm

これ、アフォらしくておもろいのでage

任意の実数を与えて、それが超越数であるかどうかを判定する
一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。

>>131
２ｃｈで軽軽しくやる内容じゃないな。出来たら面白いけど。

ところで、カントールの対角線論法で出てくる、有理数と１対１対応しない実数ていうのはやっぱ無理数のこと表してるんだよね？
う〜ん、どうもアレがいまいち納得できない・・・・

>>131-132
「任意の実数を与えて」
ってところに無理がある気が．．．
判定する対象は、「ある定義で規定される実数」なので、
厳密に言おうとすると
「値が一つの実数として確定するような任意の数の定義の仕方について
その値が超越数であるかどうかを判定する
一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。」
ってな話になって、
「数の定義の仕方のバリエーション」の範囲なんてものに
想いをはせないといけなくなってしまう．．．。

実数の非可算性は対角線論法でなくてもできる．
カントールの最初の証明は対角線論法ではない．

>>135
興味津々。対角線論法でない証明、知りたいですね。

カントールの証明は見てませんが，だいたい
これと似たようなものではないかと想像します。
以下は，だいぶ前に私が他スレに書き込んだものです。

＞
ずっと以前に考えたんですが，
実数の連続性の公理（切断の公理）
を使って非可算性の証明ができます。
具体的には，実数の可算集合Ｓがもし密ならば
(i.e. a<b a,b∈S ならば ∃c∈S a<c<b とすると)
Ｓの切断で上組の最小値も下組の最大値も
存在しないものが作れるということです。

i.e.
S⊂Ｒ は可算集合だから１列に並べることができます。
トランプのカードのように重ねられていると思ってください
あと2つの箱ＡとＢ，それとA,B２つの状態をとるスイッチＦ
があると考えてください。
まずはじめにＳから２枚とり小さい方をＡに大きい方をＢにいれ
スイッチＦをＡとしておきます。
以下Ｓから一枚づつ取り出し(これをxとする），次の操作をします。
1)x<max A ならば x を箱Ａに入れる
2)x>min B ならば x を箱Ｂに入れる
3)max A<x<min B で F が 状態Ａ ならば x を箱Ａに入れ F を 状態Ｂにする
4)max A<x<min B で F が 状態Ｂ ならば x を箱Ｂに入れ F を 状態Ａにする

Ｓが密だとの仮定から 3) と 4) のケースは交互に限りない回数おきるはずです。
Ｓは可算集合ですからＳの要素はいずれ取り出されて箱Ａまたは箱Ｂに入れられます。
箱Ａに入るものと箱Ｂに入るものの集合をそれぞれあらためて
Ａ，Ｂと呼ぶことにすると，(A,B)はＳの切断で，
その作り方から，Ａの最大値もＢの最小値も存在しません。

>>137
わからん・・・

とりあえずどの条件を使ってどの命題を示したのか明確にしてほしい・・・

というか、公理を考え直す証明で切断の公理を使ったら意味がないような気も･･･

>>137とろいやっちゃなー
可算で密な部分集合は切断の公理を満たさない
だからＲの全体は非可算だと
いっとるんじゃないかー

>>133
とは限らん。
「f:N→R を任意に与えたとき
Im(f) に含まれない x∈R を
選び出すことができる。」
という証明だから，
fの与え方によってできるxは
違ってくる。

>>140
「f:N→R を任意に与えたとき
Im(f) に含まれない x∈R を
選び出すことができる。」

そういえば>>137もそういう風に
ちゃんと書けるね。
inf B または sup A をとれば
それが Im f に含まれないという
ことだから。
Im f が密でない場合は
隙間をとるのはもっと簡単と
いうことで・・・

＞任意の実数を与えて、それが超越数であるかどうかを判定する
＞一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。

任意の実数ｘの与え方として、非常に一般的に二進展開の無限列で
与えることにしよう。

アルゴリズムというものはその言葉の定義からは、
（回数の上限などが事前には決まっていなくても良いが）
いつか有限回の操作手順で停止するものでなければならない。

ところが、任意の実数の小数の二進展開を一桁ずつ入力するもの
ときめると、有限回の入力操作により得られる有限小数桁
だけからでは判断が完結しないことは明らかである。

有限桁数までの入力で無理数と有理数を区別する、あるいは
超越数と代数的数を区別するアルゴリズムは存在しない。

実数を指定するのにその小数展開を１桁ずつ指定していくやりかたでは
有限回では指定しきれないので、実数をアルゴリズムに対して入力
するのには、別の方法によらなければならない。それは、一般的には
何らかの記号の有限列の形をとるであろう。（関係式とか、実数の
任意の近似値を求めていけるような無限回の反復を許すようなプログラム
に等価なものを、有限種類の記号を有限個並べたものとして）。
すると、そのような記号の有限列で指定が書けるような実数の全体は、
可算でなければならない。
もしも、仮に実数の超越性の成否を判定できるアルゴリズムが存在したと
しても、そのアルゴリズムに入力することができる実数の集合は、可算
であり、（可能無限ではない実無限の立場でならカントールの証明を
信用するならば）有限種類の記号の有限列では指定できない実数が
無数に存在することになる。
よって、記号の有限列で指定されるとは限らないようなクラスの
「任意の実数」の超越性を判定するアルゴリズムは存在しない。

任意の論理命題Mを考えて、命題Mが真ならｌｏｇ２を、
偽なら１を与える関数をＦ（Ｍ）とするとき、Ｍを
定めた場合に、Ｆ（Ｍ）の値は実数であるが、その値が
log２なのか１なのかを与えるようなアルゴリズムは
存在しない。（一般の命題の真偽を与えるアルゴリズムは存在しない）
よって、実数ｘをF(M)により与えるなら、その超越性は決定不能である。

オイラーガンマは超越性も無理性も未解決。
ζ(3)は無理性はいえたけど超越性は未解決
今はこんな状況だったよね

…高校生の時、友人に
「これ、アメリカの大学の入試問題。解ける？」
とζ(3)を具体的に求める問題出された。

んで一週間悩んでも解けない事言ったら、
「あ、あれは嘘。未解決問題だよ。すぐに気付けよ」
って言われた…鬱

>>90

茶々だけど
多項式の根→多項式の零点 じゃないの

多項式の根 root of polynomial

よく使うよ

>>149
それ間違い。

無理ですぅ
ピュー さみぃー

ζ(3)が超越数かどうかは難しそうだが、たとえばQ上二次の代数的数
ではないことを示せだったらどうだろか？

>152
\zeta(3,3)の話になりますね．
あるいは1/\zeta(3)の有理近似だけど、後者はどうにかなるかなあ･･･．
ちょっとまじめに計算してきます．

age

http://members.jcom.home.ne.jp/milky-club2/j082_2.rm

http://www.hh.iij4u.or.jp/~s-miku/mo-101_s2.rm

age

√５って証明できるっしょ？厨房でも。

abc

√２＋√３＋√５＋√７。

無理数が無理数である所以

（＾＾）

√3が有理数と仮定して、X＾3−1＝０の根が無かったって証明でいいんじゃないの？

はぁ？！

181 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/01/21 19:37
√3が有理数と仮定して、X＾3−1＝０の根が無かったって証明でいいんじゃないの？

(log n) ^ (log m) が無理数にならないためのｎとmの条件は？
但しn,mは０ではない自然数とする。

ほしゅったらあげろ！

>>1

１４３，１４４、１４５っていったい何をいっているのか、チンプンカンプンで
わからないんですけど、何か意味のあることを述べているのでしょうか？

>>188
意味があるでしょ。まともな議論だよ。
あと、
>「√２の証明が出てるのに√３の証明を聞くなんて典型的なバカだな。
>　√３を説明しても、√５……についても聞いてくるんだろうな（ﾜﾗ」
という意見はまったく正当。1がアホなだけ。
それと、こんなスレ下げてね。

>>143-145とは逆の方向から攻めたらどうなるんだろう？
つまり、超越数でないことを示すためには、
��(n=0→k)a_n*x^n = 0
を満たす整数の組(a_0,a_1,...,a_n)を求めれば良い。
こういった整数の組は加算なので、加算の演算で検証可能である。

というのはだめなの？

もっとも、終了判定ができない、という意味で判定アルゴリズムとは
なりえない、ということになるのかな。

昔これに似たスレがあってｵﾚも書き込んだなぁ、と思ったら
おんなじヤツじゃん．
こんな古いのよく上げてきたな！

>>190
LLTとかいったかな、そのアルゴリズムは前から知られていて、
最近かなり注目されているのだ。

かなり長期的にメンテしてた椰子がいるようだね

>>193
そうなの？ふと思いつきで書いてみたんだけど、
なんか嬉しい

ただ、加算→可算だったね。ちと鬱。

>>19以降ID制が消滅したんですね。

有理数が無理数であることを証明してみて。

途中1年くらいマジレスせずに保守してただけだったとは…迂闊。少しはネタ振ればよかった

Σ1/(2^n+3^n)が無理数である事は証明されてないのかなー？まぁいいや

>>200
総和とってみれば？

（＾＾）

ある無限の演算を含む式（極限式）を数値的に計算すると、
どうやら明示的な式（閉じた式）で書かれた値になることが
ほぼ１００％確実だとしても、それが（永遠に）証明できないという
ことがありえるのだろうか？

まずは、正しそうだが長年証明されてない式の例をみたい。
ﾗﾏﾇｼﾞｬﾝあたりにご登場願うか・・・

たしか、初等関数の範囲（絶対値などを含む）で、
任意に与えられた数式の値が０であるかどうかを
決定できるアルゴリズムは存在しないという
ことが証明されていたはず。

アルゴリズムでは何が許されているかを
書いてもらわないと困るのですよ。

>>206
誰が困るのですか？

無理数の例を歴史とおく。
歴史は理数ではない
ゆえに無理数は無理数である。
以上証明終わり□

「理数でないもの」は「無理数」でなく「非理数」だよ。
もう少し国語をお勉強しようね、ﾎﾞｸ。

「不理数」でもいいような。

「〜がない」＝「無〜」
「〜でない」＝「非〜」または「不〜」
ってのはわかるんだが…

単純な「√２＋√３＋√５」みたいな、３つ足された時の
無理数である証明ができそうでできない。
誰か教えてちょうだい。

※ 既出のようだが、その時もちゃんと答えたﾔﾂがいないヨ。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

>>211
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/alg_int.html

http://www-user.interq.or.jp/infox/info.htm#naoton
このページなんてどうよ？

よし。この213と214でこのスレもしめくくりだな。
ふっ・・・。一年半か・・・。

円周率が無理数である事の証明が載ってるページ無かったっけ？

log(2)が無理数であることの証明とかってどうやってするんでしょ？
マジレスキボンヌ。

>>217
log(2) = 1.

底はeとか10とかでおながいします。

log_10(2)=n/mなら2^m=10^n

ln2の方は塩川「無理数と超越数」森北出版を読むべし

thx.

>>220
Baker, Transcendental Number Theoryのほうが良書だと思うんだが。

>>222
そうか。今度読んでみる

ほしゅったらageろ！

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

最初の方にπの無理数性は大学初年級と書いてあって，それはそうなんだけど，
今年阪大で出題されているのね。５月号の大数の７６ページに出ている。そこの
コメントによると入試初登場なんて書いてあるね。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

20

1

>>222
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/english-books/052139791X/contents/ref=cm_toc_more/250-3922434-9246647

安いね

n/mと置くんだ！！！

>>232

よかったね。

何のことかは知らんけど・・・
嬉しそう

ttp://pi314.at/math/irrational.html

13

15

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

以前ルート２の無理数性の証明を直接法で示したという話を
ちらっときいたことがあるのですが、それについて何か知っておられる
方はおられませんか？非常に難解な証明らしいのですが・・・
なんでも、その人（証明した人）はどうしても背理法による証明が
納得できなかったらしく、直接法によって示したらしいのですが。
もちろん、無理数の定義を「実数で有理数でないもの」とする限りは
直接法の証明は不可能なのでその定義を同値な何かに変えたのだと思いますが、
なにせ情報が全くないもので。

　eってテーラー展開すると項が無限に続くから代数的数じゃなくなって超越数　
って言えないの？

0.2+0.02+0.002+0.0002+・・・・

∴2/9は超越数

The root of 9x-2 is 2/9. Therefore, 2/9 is algebraic on Q.

>>241
ウザイ。

>>238
その証明した人って数学者ですか?
素人でしたらどこかしらトンデモ臭が……

>どうしても背理法による証明が納得できなかったらしく、

特にこのあたりとか。

連分数を使った証明じゃ238の要望には応えられないだろうか。
結構簡単だけど。

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つまり>>1は学校が教える試験的数学を記憶で覚えているタイプでしょう。
本当に数学が得意（？）な人は論理的思考能力があるので>>1のようなバカな考えをわざわざ質問したりしません。
よって>>1は数学をする価値無し。

今は>>1も考えを改めてるんじゃないかな。時間も経ったし

>>238
ttp://arp.anu.edu.au/ftp/techreports/1996/TR-ARP-02-96.ps.gz
の reference に
[13] Slaney, J. K., The square root of 2 is irrational (and no funny business).
Typescript, 1982.
というのがあるようです。

1

√xが無理数であることの証明

仮に有理数だとして
√x=n/m
(n,mは互いに素)

ｲﾏｲを殺せ

>>252
殺人命令　通報しますた
保守

πが無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.
e が無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.
γが無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.

以上お願いします.

馬鹿の壁とは言わないが。

平方根を連分数展開すると連分数の前の数が循環すると
いうのがすでに証明されています。
無限に循環する連分数が何か整数の比にはなりません。
これでお終いなのでは。

1
sqrt(2)=1+--------------------
1
2+ -------------
1
2 + ------
1
2+----

>>256

2chでは２つ以上半角スペースを開けると表示されないから今後注意しなよ。

循環しない無限小数であることを示す。

>>254
一番下のは無理数だってわかってないだろ

>>257
どうすればいいの。ただ気をつけろでは「頭上注意」と
同じで困ってしまう。教授お願いします。

空白注意

全角空白使用

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

二年八十二日十七時間三十四分。

【参考書】でつ.
堀場芳数: ｢無理数の不思議｣ 講談社ﾌﾞﾙｰﾊﾞｯｸｽ B-978 (1993) 第3章

>254
真ん中のは無理数だと分かっているyo.
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ･･････

いま e=p/q (p,q∈N) と仮定すると、
q!･e ＝ q!+q!/1!+q!/2!+･･････+q!/q! ＋ 1/(q+1)+1/[(q+1)(q+2)]+･･････
= n ＋ {1/(q+1)}[1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+･････]
< n ＋ {1/(q+1)}[1+1/(q+1)+1/(q+1)^2+･･･]
= n ＋ 1/q. (n∈N)
∴ n < q!･e < n + 1/q.
∴ q!･e は 整数でない. これは仮定に矛盾する. (終)

実数の可算な基底が取れるという定理があるそうですが、
それだと、実数全体が可算集合になってしまいませんか？

「基底」ってのは位相の基底のことをいってるのか？
可算な基底が取れても位相空間の濃度が可算とは限らないよ。
よく考えてみ。

なんでも、Bが可算個の実数の基底の集合として、それに含まれる
基底をB_1、B_2などと書くと、有理数の係数C_1、C_2、などを使って
任意の実数xが
x＝C_1 B_1 + 。。。。+ C_N B_N
と有限個の基底の有理数係数の線形和で書けるというんです。
いったいどうやって証明するのかわかりませんが。

>>269
何かの間違いだろう。それじゃ実数の全体が可算集合になってしまう。

>>269
「基底」ってベクトル空間の基底のことね。
Q（有理数体） 上のベクトル空間としての R （実数体）の次元（基底の濃度）は、
「連続体の濃度」だよ（普通の数学では）。
基礎論関係の話か？ 選択公理を仮定せずに云々とかいう。

「自然数nについて、n が平方数でない⇒ √n は無理数」の証明
なんかきちんとした証明が見当たんなかったから、書いておくね。

対偶を示す。 √n が有理数 p/q (p と q は互いに素な自然数）だとする。
p^2 = n * q^2 となる。よって p^2 ≡ 0 (mod q)。
p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。
q≠1 とすると、これはp と qが互いに素であることに矛盾するから q = 1。
よって√n = p。両辺を自乗すると n = p^2 となりnは平方数。QED

＞ p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。

ハイ、不合格。

>>273
何が不合格？

>>273
>p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。

これは、p と q が互いに素だから Z/qZ の中で p は単元であり、
p^2 ≡ 0 (mod q) の両辺に p の逆元を掛けると p ≡ 0 (mod q)
になるってことだが。

何か問題ある？

高校生でもわかるように合同式を使わないで証明を書き直してみました。

「自然数nについて、n が平方数でない⇒ √n は無理数」の証明
対偶を示す。√n が有理数 p/q (p と q は互いに素な自然数）だとする。
p^2 = n * q^2 ・・・(*)
となる。今、q≠1 とすると、(*) の両辺を素因数分解したとき右辺に q
の素因数が現れ、左辺にもその素因数が現れることになるが、
これはp と q が互いに素であることに反する。よってq=1。
よって√n = p。両辺を自乗するとn = p^2 となり、nは平方数。QED

ちなみに、同じ方法で
「自然数nについて、n がr乗数でない⇒ n のr 乗根は無理数」
が示せる。

いや、
＞(*) の両辺を素因数分解したとき右辺に q
＞の素因数が現れ、左辺にもその素因数が現れることになるが、

この部分が重要なのだ。
ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない。

>>277
>ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない。

「自明なことではない」ってのは、どういうレベルの話？ 素因数分解の一意性を認めれば
自明って言っていいと思うんだが。

>>277
中学校・高校の教科書では、√2が無理数であることの証明で
「p^2 = 2 * q^2 より、p は偶数であり・・・」
って推論を大抵自明のものとして行ってると思うんだが、>>277は
これも「自明なことではない」っていうの?

>>278
むしろ素因数分解の一意性の証明に
｢pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m｣
という定理を使うわけだが。

>>280
確かに普通はそうだね。で、>>277は結局何がいいたいんだ？
277≠280だよね？

>>280
そういや、その定理の証明ってどうやるんだっけ？

>>282
結局、｢pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m｣ という「定理」が「自明」じゃないから、
「ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない」
とあなたは言ってるわけ？

スマンがちょっとバカバカしくなってきた。なんでもいいからまともな初等整数論の
本読んでね。

>>283
通りすがりに覗いたスレで、ふとした疑問を持っただけなのだが・・・？
その言われようはどうなんだか。俺を誰かと間違えていないか？

>>284
スマソ。>>277なのかと思った。ごめんなさい。

(*)｢pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m｣ の証明は、普通は次のようになるかな。

1. まず、「Nの整列性」から「除法の原理」を導く
2. 次に、「除法の原理」から（Euclidの互除法を使って）、「a、bが互いに素なら
ax + by = 1 となる整数x, y が存在する」を示す。
3. これから(*)を示す。

>>283
分かった上で>>272が分かってるかどうか確かめているわけだが。

と思ったら、>>285が先に証明（のアイデア）を書き込んでるし。

>>287
で、結局アンタは何が言いたいんだ？

対偶証明。

「無理数でないものは無理数でない。」
これは当たり前である。
よって，
「無理数は無理数である。」
//証明終

だめ？

√nの時は連分数を用いたやり方もあるが、
その場合は全てのnについて一気に証明するのが簡単には出来ないのが難点だ

>>288
いや、>>273が言いたいことは｢(p, q)=1でq|p^2ならばq|pであること
（もっと一般に、Zの既約元が素元になること）の証明がない｣
ってことだろうと思ったので代わりに指摘したわけで。
（高校生にもわかる証明ってあったけどこの証明って高校で習ったっけ？）

まあ>>285を読む限り、そのあたりの事は分かってるみたいだが。

>>291
なんかエラそうなやつだな。そんなことはわかってるんだよ。

なんで「nが平方数でない⇒√nが無理数」を示すときに、
「素因数分解の一意性」をいちいち自然数の公理から示
さなきゃないけないんだ？

そんなこといちいち指摘してたら、どんな議論も公理まで遡らなきゃ
なくなるじゃないか。

おそらくあなたは最近代数的整数論の初歩をかじったかなんかで
UFD でない環があることを妙に気にしてるだけだろ？
整数環で素因数分解の一意性を「自明」とするのは別に普通の
ことだと思うんだが。

ヘンなつっこみが入るような気がしたんであらかじめ書いておく。

>整数環で素因数分解の一意性を「自明」とするのは

「有理整数環」で〜ってことね。

657

14

250

3

p|mnならばp|mあるいはp|nとなることの証明

pがmで割り切れるとき
明らか

pがmで割り切れないとき

自然数の集合SをS={kは自然数|mkがpで割り切れる}
mnとmpはpで割り切れるので、nとpはSの要素である。
Sの元のうち最小のものをhとする。
mはpで割り切れるので、h＞1である。
nをhで割り、商をq、余りをrとする。
n=h*q+r(0≦r＜h)

pをhで割り、商をq'、余りをr'とする。
p=h*(q')+r'(0≦r'＜h)

nがhで割り切れないと仮定すると
m*r=m(n-h*q)=m*n-(m*h)*q=p(a-b*q)
だからrはpの要素となるがr＜hだから、hの最小性に反する。
よってnはhで割り切れる。…(1)

pがhで割り切れないと仮定すると
p*(r')=m{p-h*(q')}=mpn-(m*h)*(q')=p{m-b*(q')}
だからr'はpの要素となるがr'＜hだから、hの最小性に反する。
よってpはhで割り切れる。…(2)
(2)よりhの値の候補はpと1の二つだけである(pは素数だから)。
h＞1だからh=pである。

よって(1)よりnはpで割り切れる。

pは素数とする。
p|mnならばp|mあるいはp|nとなることの証明

pがmで割り切れるとき
明らか

pがmで割り切れないとき
自然数の集合SをS={kは自然数|mkがpで割り切れる}
mnとmpはpで割り切れるので、nとpはSの要素である。
Sの元のうち最小のものをhとする。
mはpで割り切れないので、h＞1である。
nをhで割り、商をq、余りをrとする。
n=h*q+r(0≦r＜h)
pをhで割り、商をq'、余りをr'とする。
p=h*(q')+r'(0≦r'＜h)
nがhで割り切れないと仮定すると
m*r=m(n-h*q)=m*n-(m*h)*q=p(a-b*q)
だからrはpの要素となるがr＜hだから、hの最小性に反する。
よってnはhで割り切れる。…(1)

pがhで割り切れないと仮定すると
p*(r')=m{p-h*(q')}=mp-(m*h)*(q')=p{m-b*(q')}
だからr'はpの要素となるがr'＜hだから、hの最小性に反する。
よってpはhで割り切れる。…(2)
(2)よりhの値の候補はpと1の二つだけである(pは素数だから)。
h＞1だからh=pである。
よって(1)よりnはpで割り切れる。

よって、mあるいはnがpで割り切れる。

有限長の記号で記述指定された数が無理数か有理数かを一般的に判定する
アルゴリズムは存在しない。これにより、一般的な手順で任意の数の有理性、
無理性を証明ができる望みは0である。

>>300
(　･∀･)つ〃∩ ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ ソースは？

>>300
数を指定する言語の強さによると思うのだが。

>>300
ソース教えて。このスレで証明してくれるならそれでも
いいけど。

というか、1はもう少し日本語と数学(超越数のお話なんか)の
勉強をしてこい、でファイナルアンサーな気が…………

任意の論理命題Mを考えて、命題Mが真ならｌｏｇ２を、
偽なら１を与える関数をＦ（Ｍ）とするとき、Ｍを
定めた場合に、Ｆ（Ｍ）の値は実数であるが、その値が
log２なのか１なのかを与えるようなアルゴリズムは
存在しない。（一般の命題の真偽を与えるアルゴリズムは存在しない）
よって、実数ｘをF(M)により与えるなら、その有理性は決定不能である。

この例を観ても、有限長の記号で記述指定された数の有理性の
判定を与えるアルゴリズムはあり得ないことが分かる。

よって、判定ができるアルゴリズをあたえ得る為には、
単に有限長の記号で記述指定されたというようなあまりにも
一般のクラスではなくて、もっと限定的なクラスでなければダメだ。
つまり、問題をもっと限定して、その問題の範囲なら決定
できるとかできないとかいうことを調べることになる。
例えば、整数係数多項式の零点として定義指定された数が、
有理数でありえるかどうか、であれば判定がアルゴリズム的に可能
であることは自明だろう?

なるほどね。でも「有限長の記号で記述指定」というのは
もう少しexplicitに厳密に書いた方が良くないですか？
リシャール/ベリーのパラドックスのような状況を回避する
ためにも。
一応オイラーやファイゲンバウムのような、原理的にいくらでも
近似計算が出来るような実数についてはどうなんだろう。

有限状態オ-トマトンが生成する記号列はそれが無限列である場合、
循環小数(つまり有理数)に対応するか、あるいは超越数になるかの
いずれかである。(定理の人名忘れたがたぶん大体20年以内の定理)

すなわち、有限状態オ-トマトンの出して来る実数の小数展開列は
代数的無理数にならない。

数列A(n)がnの整数係数の有理関数で書かれているときに、
A(n)のnが自然数に渡る無限和Sの収束判定、およびその有理性判定は
可能である。

初等関数と絶対値、整数の組み合わさった定数の式が0であるかどうかの
判定は、アルゴリズム的には決定不能である。

>308
よって，0であるかどうかの判定が出来ない四則演算と初等的関数，
絶対値などを有限回適用した演算による値をSとするときに，

任意の無理数(非可算の濃度の可能性がある)xにSを乗じた値に
1を加えたものをAとするとき，
Aの値が1であるのか，(確率1で)1でない無理数1+xS となるのか
はアルゴリズムによって判定することが出来ない．

なんだか、狂人がでたらめ書いているな。

135

533

1+xS

無理数の問題は，とても難しいのだ．一筋縄ではいかない．
何か画期的な理論の進展が無ければ，得られる成果はまったく
個別の孤立した議論の集積にしかならないであろう．偉大な理論
の登場が待ち望まれる次第である．初等的な数式によって定義
されるような大方の実数の無理数性が導かれる日が来るのであろうか?

>>スレタイ
定理 無理数は無理数である。
証明 無理数である。 ∵無理数だから QED

はい、終わり。
削除依頼して来い >>1

ま、スレタイに限って言えばそうだな(藁

対偶を取れば、有理数ならば有理数である。

解析的整数論のスレなんか立てたらもう少し
面白くなると思うけどね。でもどれだけの香具師が
興味を持つか。

というか数学板って数論マンセーする香具師が多い割に、ちょっと
深い話になったらとたんにレスくれる人が減るんだよな。数論以外の話題だったら
深い話でもレスつくのにね。

>>数学板って数論マンセーする香具師が多い
>>数論以外の話題だったら深い話でもレスつく
そうか？

どっちも同意できないなｗ

>>1
「√２が無理数である」っていうのは、つまるところ
「√２が有理数であると矛盾する」ってことだから
どうしたって背理法にならざるを得ない。

こういう背理法は自然だが、逆に
「ある数は有理数でないと矛盾するから有理数だ」
というような背理法は、論理的にもっともだとしても
なんか気分が悪い。

>>1
ところで√２の証明を、√３や√５の証明に転用するのは簡単。
しかし、eやπが無理数であることの証明には使えない。
オイラーの定数γに至っては未だに無理数だという証明すらない。

＞無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
そんなものは今のところない。
ただ、有理数だけでは閉じていないというためには
√２の例だけで十分。

最近は（といっても数十年前から）
x_1,…,x_nが代数的数ならf(x_1,…,x_n)は無理数である
式の結果は出てきているけどね。

ところで論理の専門家に言わせれば√2の無理性の証明は
背理法ではないそうな。
Aだとすると矛盾するからAでない、は背理法ではないが
Aでないとすると矛盾するからAだ、は背理法らしい。
詳しいことは論理、基礎論スレで。

345

誰か双子素数の無限和が無理数である事を証明してくれ

573

「くだらんスレ(29桁略)」にありますた

> 1/{10^(1!)} + 1/{10^(2!)} + 1/{10^(3!)} + 1/{10^(4!)} + … が超越数であることの証明を教えて下さい！

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1082854806/7,991

注) 1/{10^1} + 1/{10^2} + 1/{10^3} + 1/{10^4} + … は有理数です。。。

>328
「くだらんスレ(30桁略)」
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085828413/4-5

>326
> sci.mathの最近のある投稿によるとフランスの数学者
> (Michel Balazard of the University of Bordeaux)が
> 証明の致命的な誤りを見つけたらしい。
> page 35のlemma 8だそうだ。

双子素数
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/126

分かスレ１７１にあったYo

618 ：jet ：04/06/16 21:03
『Ｍが平方数でない⇒√Ｍが無理数であることを証明する』という問題です。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086953552/618

ある任意に与えられた実数が有理数ではないことを示すことは
一般には無理であることが証明できる。

>>57
佐藤大八郎の微分代数的数の理論がある。
p進数体に於ける超越数論もある。

＞無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
それは無理という物で数。

＞無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
自明
前提に無理数とあるから無理数。

a, b を a, b ≧ 2なる整数とする時、 Σa^(-b^n) [n = 1 〜 ∞ ] が
無理数であることは極めて初等的に証明出来る。
更にこれは超越数であることも証明されている。

750

a

その、佐藤大八郎「微分代数的数の理論」って何処の本屋から出ていますか?
また「p進体に於ける超越数論」は何の本にでているのでしょうか?

教えて下さいませ。

348

>>314
＞佐藤大八郎「微分代数的数の理論」は論文
＞p進体に於ける超越数論
これは成書になったかもしれない。

ではその佐藤大八郎論文はどうやったら入手できるのでしょうか?
大学の博士論文だったら、普通には売ってませんよね。

p進体に於ける超越数論、もうちの 図書館では見つかりませんでした。

>>344
論文名ははっきり覚えていない。
佐藤大八郎
は、カナダのサスカチェワン大学
ここで調べたら?

538

当たり前だろ。

>>1
それは無理です。

「無理数は無理数であるは」トートロジー

n が素数のとき、√nが無理数であることを背理法によって証明する。

p, qを互いに素な整数として、√n=p/q で表されると仮定する。
両辺を自乗すると、
　n = p^2/q^2
　n*q^2 = p^2
よって p^2 は n の倍数なので、p も n の倍数である（∵nは素数）。
　p = n'*p'
とすると、
　n * q^2 = n^2 * p'^2
　q^2 = n * p'^2
よって、q^2 は n の倍数なので、q も n の倍数である（∵nは素数）。
pもqも共にnで割り切れることになるので、これは p と q が互いに素であるという仮定に反する。
よって n が自乗数でない整数のとき、√nは無理数である。（Ｑ．Ｅ．Ｄ．）


ここまでは良いのですが、
√2+√3 とか√6 とかが無理数であること、一般化すれば、
「素数の平方根と有理数の四則演算で表される数は、一般には有理数にならない」
ことを示すことは出来るのでしょうか。

>>350
まったく同様に、 n が平方数でなければ
√n は無理数。

ところで後半だが、 Q 上一次独立という概念はご存知かな。

179

>>326
無限和なら無限に発散でしょ？
逆数？

>>306
秋山？一松？

667

>>350
それは出来ない。
√2 - √2 = 0.

871

無理数論を講究したいですといったら、ジーゲルのような偉才ならいざ知らず、
君には無理だと言われて笑われたが、それは正しかった。

√２って　１．４１４２・・と続くけど第ｎ桁目の数字を決定する
アルゴリズムって存在しないの？

ごめん、自分のレス眺めて思ったんだが存在するわけないよね・・。

>>359
何言ってんだ。
nを入力として√2の第n桁目を計算するアルゴリズムは存在するよ。

＞３６０
ごめん、多分言葉が足りなかった。
nを入力として√2の第n桁目を計算する「算出アルゴリズム」ではなく、
ｎの関数として第n桁目を決定する式、という意味でいいますた。

進法による。
√2進法ならすぐにでも求まるであろう。

＞３６２
では√2進法での７の表記はどう表すんですか？

>>361
それは「式」の定義による。
if x=a then f(x) else g(x)のようなものも
xに対して何らかの値を計算する「式」と見なせるわけだし。
逆に式を算術式だけに限れば√や定積分などの式は使えない。

>>361
＞ｎの関数として小数第 n 桁目を決定する式
超簡単

[10^n * √2] - 10*[10^(n-1) * √2]

√２を式の中に使っちゃだめだろとあえてまじれす。

>>351
ｎが自乗数でない整数の場合は出来ました。
Q上一次独立については分かりません。

>>355
そういう場合を考えて、「一般には」と書いたのですが・・・

>>361
f(n)を√２のｎ桁目の数とすると、

floor(x) = xを超えない最大の整数
f(n) = floor(10*((10^n)*√2-floor((10^n)*√2)))

かぶったorz

以下の３つの漸化式を考える。

h(0) = m
f(0) = n-m^2
g(0) = 2m

h(k+1) = [5*(-g(k)+√(g(k)^2+4*f(k)))]
f(k+1) = 100*f(k)-(10*g(k)+h(k+1))*h(k+1)
g(k+1) = 10*g(k)+2*h(k+1)

このとき、h(k) は小数点以下 k 桁目の数である。

>>364
＞逆に式を算術式だけに限れば√や定積分などの式は使えない
勿論、無理数のロジックを解明する為にやるのですから、最初から
無理数になる式を含んだら意味がないです。

>>370
とりあえず何で式の定義の話をしたかというと
ある程度強い表現力を持つ式を使える場合（関数型プログラミング言語等）、
算出アルゴリズムと式の間に違いがなくなってしまうから。
だから
＞nを入力として√2の第n桁目を計算する「算出アルゴリズム」ではなく、
＞ｎの関数として第n桁目を決定する式、という意味でいいますた。
という区別をしても意味がない。

>>371
まぁ近似値を求める、という意味では確かに自分の言った区別は
意味ないです。ただしアルゴリズムでも式でもいいですが、
そうした手法はｎ→ｎ＋１→（ｎ＋１）＋１→・・・という
一つ前の値を知らなければ計算出来ないわけでしょう。
それは数学的には余り意味が無いと思いますよ。

>>372
どういうこと？
第n桁の数字を求めるのに第n-1桁まで全部計算していようがいまいが
計算が有限ステップで止まるならそれはアルゴリズムと言えるんだよ。
何か勝手に条件を課してるみたいだけどそれならそうと書いてくれないと議論にならん。
数学的に意味がないというのもよくわからんし（多分これも君の中だけの話だろう）

>>373
＞第n-1桁まで全部計算していようがいまいが 。
いや、そこが重要な部分なんです。少なくとも自分にはね。
しつこくｎ桁目の計算に拘るなら有限ではなく「単一の」ステップで
答えを出す方法を教えてくれませんか？

>>374
さすがに1ステップじゃ無理だろ。まあ言いたいことはわかるけどね。
俺もnの値から第n桁を「直接」求めるような計算方法は知らない。
で、俺としては計算方法より何故君が
＞第n-1桁まで全部計算していようがいまいが 。
が重要だと思うのかに興味があるわけだが…。

>>375
そこなんですよ。名前の３５８から見てもらえればいいんですが、
自分としてはそういう方法は存在しないと直観したんです。
何故なら無限に存在する整数を１０個のグループに組み分けする
論理的な方法があったとします。しかし例えそれが一度うまく行ったとしても
今度は１０個のグループの並び順もまた無限に存在するという難題に
ぶつかります。ならばいったいそれら無限の組み分けのシステムが
たったひとつの数字によって支配され得るのか、と考えたときに
それは多分無理だろう、という風に思ったから。まぁ証明なんて
高度な事は出来ませんがね。

（自乗数でない）整数の平方根の n 桁目を１ステップで求めることが出来るなら、
互いに素な２つの整数 p, q の割り算 p/q （q は 2, 5 以外の素因数を含む）をしたときに、
p/q の小数点以下 n 桁目を１ステップで求めることも可能なはず。
しかし、割り算を計算することなしに求めることは不可能。
平方根についても同様だと思われる。

>>377
割り算の場合は一度計算してしまえば、再びやる必要は無いですよね。
無理数の場合はいくらでも大きな要求がある。ただ、割り算の方も
桁数が巨大になって一度計算するのに１００万年かかるんじゃ困るけど。（藁）

>>376>>378
独自の用語が多くて何が言いたいのかわかりにくいんだけど
少なくとも自然数nに√2のn桁目の数字を対応させる写像は（Churchの提唱における意味で）計算可能だよ。
今割り算の例が出てきてふと思ったんだけど、（自然数同士の）割り算の場合は
フェルマーの小定理のような綺麗な関係式を応用することが出来る。
では無理数の場合にも同じようなものがないか、ということを考えてるのかな？

>>379
そうですか、計算可能でしたか。因みにChurchの・・て何の事ですか？
フェルマーの低利も知りません。でもその写像の対応と√３の同じ
対応とは共通性のある写像なんですかね。

掛け算を知らない人は、数列2, 4, 6, 8, ...の一般項を１ステップで求めることはできない。

>>381
n桁同士の整数の掛け算に要する計算量は高々O(n*log(n))である。
掛け算を知らなくても、2進法の足し算とシフト演算さえ知っていれば、
p*q を計算するのに p+p+p+・・・(q回)・・・+p+p+p を計算する必要は無い。

指数演算が実装されていない（仮想の）処理系で 3^255 を計算するのに、
掛け算を 254 回も必要としないことは明白。

>>382
なるほど。じゃ>>358の問題は加減乗除を知っているとき
√2のn桁目がO(n)より小さい計算量で求められるかの問題になるのか。

俺にはわかんね。できそうだけど。

√m の ｎ桁目を√を使わずに求める式がある。

x_0 = m
x_(k+1) = (1/2)(x_k+m/x_k)
f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(p+n)])]

ちょっとインチキだけどｗ

>>384
それだと有理数が扱える必要があるな。
あとx_(m+n)で精度は足りてるのか？4nくらいはあったほうが良さそうだが。
（細かい部分が変なのはおいといて。まあやりたいことはわかる）

>>385
m=2 の場合でさえ、2回の演算(x_(2+n))で十分。
m が大きい場合は O(log(m))で十分だから、x_(m+n) はむしろ過剰気味。
ちなみに、n が大きくなると、桁数は指数関数的（倍々）に増えるので問題なし。
もっとも、無限に大きい有理数を扱う必要があるけどｗ

ちなみに、
＞f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(p+n)])]
は
f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(m+n)])]
の間違い。

>>386
ほんとだ。有効桁数O(n)だと勘違いしてたよ…。
誤差ε_kを|x_k-√m|とすると、ある程度大きなnを取れば
ε_(n+l)≒ε_n^(2^l)/(2√m)^(2^l-1)
だから、確かに有効桁数は指数関数的に増えるね。
あと無限に大きい有理数と言っても、このアルゴリズムでは有理数を10進表示で扱う必要ないから
実際には整数のペアが扱えればいいんじゃないかな。

ａ（０）＝１０＾ｎ。

三年。

↓ここ見れば大体のことがのってるよ
http://www1.odn.ne.jp/setsuna/za_insect.html

>>387
＞誤差ε_kを|x_k-√m|とすると、ある程度大きなnを取れば
＞ε_(n+l)≒ε_n^(2^l)/(2√m)^(2^l-1)
＞だから、確かに有効桁数は指数関数的に増えるね。
誤差評価は、x=√m+ε_n とした時の近似式ですね。
ε_(n+1)
= (1/2)((√m+ε_n)+m/(√m+ε_n)) - √m
= (1/2)(√m+ε_n+(√m)*(1+ε_n/√m)^(-1)) - √m
≒(1/2)(√m+ε_n+(√m)*(1-ε_n/√m+ε_n^2/m)) - √m
=(1/2)(√m+ε_n+√m-ε_n+ε_n^2/√m)) - √m
=√m+ε_n^2/(2*√m) - √m
=ε_n^2/(2*√m)
なので、確かにそういう式になりそうです。

＞あと無限に大きい有理数と言っても、このアルゴリズムでは有理数を10進表示で扱う必要ないから
＞実際には整数のペアが扱えればいいんじゃないかな。
ただ、分母と分子の整数の桁数は非常に大きく取る必要があります。
1億桁目を求めるためには分母と分子が1億桁程度必要になりそうです。

323

227

708

334

997

��1/(2^n+3^n)は無理数？

私には無理。

780

��2^n/n!
が無理数である事の初等的証明求む

Σ2＾n/n! = e^2 は無理数。

Re:>401 そんなことでは分からぬ。
Re:>400
eが無理数であることの初等的証明はできる？([>36-37]参照。)これを応用すれば出来そうだけど。

��/(2^n*n!) なら、無理数になるよ

一桁づつあてはまる数を計算していくと
いつまでたっても終わる気配がないんだろうな。
だから多分無理数といえるんだが、証明とはいえん
かもしらん。

√２の証明だけは漏れも知っているが。

あぼーん

Re:>405 お前何考えてんだよ？

a_n を自然数とするとき、
�� 1/(a_n*n!) は無理数

>>407
a_n*n!が1,1,2,2,4,4,8,8,16,16,…ってなるようにすれば有理数になりませんか？

Re:>408 どうやって？a_nは自然数だ。

Re:>408 a_1=1,a_2=2,a_3=3,…、ｎ=1,2,3,…、という意味だからね。
任意の自然数じゃなくて、1,2,3,…という自然数の意味。

ごめんなさい。�蚤_n/n!と勘違いしちゃいました。408は取り消して下さい

Re:>410 お前何しに来た？

ｳｫｰ。糞してる間にレスが付いちゃってるよ。まさに408は糞レス。なんちて。

Re:>412 荒らすな。俺はちゃんと408に説明している。
お前は文句をつけて、荒らしてるだけじゃないか。

Re:>414 お前は何の説明をしてるんだよ？

Re:>415 数学の説明だ。お前はウンコの説明しか出来ないじゃないか。
いいかげんにしろ。

Re:>416 お前はとうとう痴呆が回ったか？これは前からか。もう寝ろ。

Re:>417 頼むから成りすましはやめてくれ。

Re:>418 なりすましをたくらんでいるのはお前ではなくて？

Re:>419 いいかげんにしろよ。おまえ、自分がどんな卑怯なことをしているかわかってるのか？

Re:>420 知らないな。私が何をしていると？

Re:>421 ここまで人のまねをしておいて、その言い草か？卑怯者。

Re:>422 卑怯者はおまえだろが。早く消えろよ。

Re:>423 いいかげんにしろよ。人の真似がそんなに楽しいか？

トリップの出た順から言えば、
1)LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
2)LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU
3)LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
だな。LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLwが偽者の可能性が高いが、
本物も偽者もどちらにしろ荒らしには違いない。
いいかげん変な遊びはやめろ。

ていうか、みんなKingのジサクジエンじゃねーの？
数学版最大の荒らしだよ。

Re:>424 私が誰の真似をしていると？
Re:>425 私が先だぞ。

Σ（１／（ｎ！（ｎ＋２）））＝１。

やはりKingのｼﾞｻｸｼﾞｴﾝか

Re:>429 お前に何が分かるというのか？

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

やはり無理か

Re:>429 私は私。誰の真似でもジサクジエンでもない。

Re:>433 じゃあ何で名前が私と同じでトリップも五文字まで同じなんだよ？

RE:>434 はあ？お前がまねしたからだろ？何を言ってるんだか。

Re:>435 2004/10/05 の私の名前を探してみろよ。それとお前の名前も探してみろよ。

何でこの偽者はこう粘着なんだ。

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
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　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

Re:>437 お前誰だよ？

475

馬鹿だなもう

背理法じゃないの？？

正直>>1のスレタイ文が理解できない。
√２ができるのなら√３もできるだろ

じゃあ、√4 もできるな。

確かに難しい

πが無理数であることをニーブンって人が初等的に証明したと、小平邦彦が書いてた。

>>446
その証明はあまりにも有名だ。
高校の範囲プラスライプニッツで理解できる。
しかし、どうしてそんな解法を思いついたか裏側が全く見えない。

要するに>>1は
「π+e」とか「π×e」とかにも使える無理数の判定法を教えて欲しい
と言ってる訳か？

>>448
それは未解決の大きな問題の一つ
π, e は Q 上代数独立か
という問題に繋がる。
リーマン予想と同程度（以上?）に難しい

いやそんなこと知ってるってｗ

あの背理法をつかえば√4も無理数
になりそうなんだけど・・・

互いに素である正整数a,bによって√(4)=a/bと表せたとしよう。
このとき、a^2=4b^2=(2b)^2が成立する。よってa=2b.

>>452
なるほど。

>>452
　　a=2bは互いに素である正整数a,bという
　前提に反するから√(4)は有理数ではなく
　無理数ってか？

Re:>454 a=2,b=1.

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　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
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>>455
この場合は1は素数扱いなのか？

>>457
???

Re:>457 整数a,bが互いに素であるとは、a,bの最大公約数が1になること。(他にa,bが0でないことも要る？)

Kingさん使ってください。

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a,bがともに素数である
と読み違えていたとか？

Kingさん使ってください。

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互いに素であるの一方が一なのはちょっと

環Rにおいて、a,bが互いに素であるとは、(a)+(b)がRになることだった。
この定義によると、Zの1,0も互いに素である。

Re:>463 それでもやはり互いに素。

Kingさん使ってください。

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>>464-465
誰だよお前

Re:>467 名無しがそんなことを訊いてどうするのだろう？

管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請　管理者不在スレッド削除要請
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（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）

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　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

>>464
条件(a),(b)≠Rがいるんじゃね？

全然いらないよ

>>468
何を生意気な。イカレタコテ使ってる奴がナニをいうか

Re:>471 a,bが単元であって困ることってある？

Re:を使う奴は荒らし

これ定説なり

Re:>475 お前は他の板に行くといいだろう。

Kingさん使ってください。

　　　　　　　　　　　　　|二二二二二二二二二二二二二
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>>476
そんなこと今日現れたお前に指図されることはありえない。

荒らしのお前が行け

King、早くしないとお前の存在は抹消される。

>>479
お前こそ早く氏ね

>>479
死ね氏ね

Kingの自演ウザイ

123

566

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,,..､-―-- .,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　,..-''"　　　　　　　 ｀ヽ
　　三|三　　　　　　　 　　　,. '"　　　　_,,... - __　　　　ヽ、　　　　　
　　イ `＜　　　　　　　　／　　　　,..=-‐''~￣_ ~'''- ､ 　 ヽ
　　￣　　　　　　　　　, ′　 　 ／,,..-'''"~￣:::￣~'''-ヽ,　 ヽ　　　　 _|＿
　　　∧　　　　　　　/　　　　,､'7:::,:'//:::,:´/∧::､:::゛,:::::ヽ、 ﾞ',　　　　 |＿　ヽ
　　 /　 ＼　　　　 /　　.......//,:///!',::////　 ',:::!!:::!i::::ヽ:, ...ﾞ,　　　 （j　　）
　　　　　　　　　　 l　........./n,V:;l;j］ﾄi､」ﾄ:{:{　　 }!}」j:,l!:}:::!l:ﾞ, ...〉
　　└┼┘　　　　゛, .......,';「rll:´kr_ﾃ'::「` |　ヽﾉ_｣Lﾒl::;;ll!l:l./　　　　 _ヽ＿∠
　　.|＿|＿|　　　　　゛､../ ﾊ l!::l| 「!-'lj　　　　r'::/`/ｲ,:ﾉﾉ |!'　　　　 ｌニl ｌ ｜
　　　_＿　　　　　　　 ,ｿ//:::|!:::l!　￣　　　　 '-" ,'::ｲ!..／'　　　　　 l─| l 亅
　　　 ／　　　　　　　/://::;;ﾊ::::ll＼　　　 _ '　 ,,::':::,!l:|
　　　´⌒)　　　　　ノ:ｲ/:/;/;;｀ヾ､_ ` 、　 _ .イ::く;;ﾉﾒ!、
　　　　-'　　　,. '"',ｲ;'::/;/;;;-'"(⌒ヽ ,,_!ヽ､;;;:!:::!::|　ﾍヽ
　　　　　 _,,-"／..'/:::/;;;-'"　 !_ヽ/´,,‐''_｀、`''-.,,:!　　ﾞ';ヽ、
　　　 .,-'":;; ',／,,',.-＜　　　　 ﾞ'〈　　'",-'┐　,,'"ｽ、　 ﾞ;:､､、
　 ,.-'"::;;／.'／',/^ヽ``､､　　　　 ﾞ,　 　 <ノ ノ' /　,ﾊ,　 ﾞ;:'; ヾ､
../"/:;;／ '‐'／,「｀ヽ､ `　､ =　__　 ﾞ､　 　'v'"／｀､'　'l　　',::',　ヾ､
l' /::;'"　 ,.:';:"/;;!　　　`.ー､~''ーﾆ.,ﾊ, 　　ﾊ'"　　 ヽ, ﾞ,　　!::;!　 ヾ!
　!:/　　/:/ /:/;ﾄ､　　　...ﾞ, |　　　_|　＼_,ﾉ::.＼= ､._ l ,!､　 l::;!　　ll
　!:!　 ,//' /::/::ﾊ ',..　　　ﾞ',l　,-',-ﾄ､　　`'ｰ-､ヽ, 7./l ﾄ`､, !ﾉ　 丿
　'､　//　/:/:,/_,,l ゛､..　　 ﾞ',. ヽ:Vヾ､､､_　 　 ~///,ﾉ l;;:',ヾ'
　　 /,'　,!::/!ll`i;;;｜ ヽ..　　 ヽ `/:　 ヽ ﾆﾆ‐=/ノr' ,' l;!l,:l 'ヾ;、
　　,!:!　 !::l'l:!l::!;;:::ﾊ　　 ヽ､. 　ｿ' :　　 ........,~7,　 ,l /　!;;!ll!!　ヾ;、

やめとけ馬鹿

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに独創的な人。それが必要条件よ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

339

885

130

821

474

確かに難しい

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　荒らしは

　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

小平邦彦が書いてた

小平邦彦が書いてた

小平邦彦が書いてた

小平邦彦が書いてた

843

小平邦彦が書いてた

807

386

rational number とは、「比になる数」、「比で表せる数」ということで、
整数の比として表せる数のことを意味した。
ir−rational number とは、「比にならない数」、「比で表せない数」という
ことである。
ところが、明治に翻訳するときに、「rational」を「理が通った」「合理的な」
という意味の側に（それもまったく無縁ではないが）取ったために、
有理数、無理数という訳がつけられて広まってしまった。

本当は、有比数、無比数あるいは非比数とすべきであったのだが。

さんざん既出

293

797

>>503
しかし、ピタゴラスの考え方から言って、
「有理」という言葉は自然に思える。

163

証明できないから無理数なのでは…？
証明の最後に、
よって証明できないので…とか似たようなのが出てきそう。てか出るだろ。

「悩みが何も無いことが悩みだ」
「しかしそれが悩みだとすると悩みがあることになる」
「悩みが無いという悩みは打ち消される」
「悩みが無くなる」
〜繰り返し〜

証明できないことを証明するのも証明なんだよ

>>511
無理数ですよ？扱えない数ですよ？
証明できないからこそ無理数じゃん。

そんなことよりも
誰か早くオイラー・マスケロニの定数が
無理数であるかそうでないか証明してください。

630

>>512
オレが書こうとしていたこと書いてるんじゃねーよべーた!

πが無理数なのは自明じゃん。
数直線に対する円を見てればすぐわかるじゃん。円は異次元の蓋なんだよ。

同一人物にみえるのは気のせいか？
「お前は俺か」というべきｗ　

age

446

663

r

age

>>1 Qの補集合で定義されてる。

四年。

造反有理！

5=√(25)

整数係数の方程式の解が整数か無理数になる定理を示せば
√ｎとか√ｎ+√ｍが無理数って簡単に示せる。
これの簡単な証明と、πとeが無理数、超越数である証明は
ハーディーとライトの数論入門（\4200)に載ってる

768

age

●「１０桁で終了」　円周率ついに割り切れる

　無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた。千葉電波大学の
研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに誤りがあったことを発見。
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って改めて計算し
なおしたところ、１０桁目で割り切れたという。１０桁目の最後の数字は
「０」だった。

　千葉電波大学の研究グループの発表によると、円周率計算に際し、改めて
既存の円周率計算プログラムを点検してみたところ、円周の誤差を修正する
数値に誤りがあることに気が付いた。この数値を正常値に直して計算しなお
してみたところ、円周率は１０桁で割り切れたという。

　同大の発表では円周率は「３．１５１６７３９８０」。３．１４１５・・
・と続く、従来考えられていた数値は全くの誤りで、早急に修正が必要だと
いう。また、これをうけて円周率暗記記録のギネス認定（５万４千桁）も取
り消される見通し。

http://www.f7.dion.ne.jp/%7Emoorend/news/2005020901.html

俺が俺であることを証明するには、どうすればいいのか。

俺でなければ俺でないことを示せばおｋ

707

320

754

無理が通れば、有理が引っ込む

♥

age

132

数学板って過疎だっけ？

>>1
スレタイより
「無理数が無理数であることの証明」

…「無理数は無理数である」は明らかじゃないか？

age足取り須磨祖

そういう揚げ足取りはとっくに既出なのだが

>>541
スレタイ読んで条件反射しちゃったニューフェイスなんでしょ。
気持ちは分かるからそっとしておいてやれ。

それにしても初出が(>>289を除いて)>>315ってのはすごいな。みんな優しいね。

age

πが無限小数化されて絶対に循環を始めないという保証はあるのですか

>544
循環するなら有理数

０００１０２０３０４０５０６０７０８０９０１００１１０１２０１３
０１４０１５０１６０１７０１８０１９０２００２１．。。。。。
０９５０９６０９７０９８０９９０１０００１０１０１０２．。。。。

答えはでないのですか？

5=√4+√9

0.1234567891011…が無理数ってこと証明してください

revelation:>>551 小数部分を無限等差数列と定義するのですか？

そのあとの計算がわからないんですよ
教えてください

revelation:>>553 lim[n→∞]nは無限大に発散するのですから、循環はしません。
1,2,3,4,5,…,n,…
計算と言われても私にはわかりません。

任意の自然数の桁数を表す式がないと難しいな。

410

324

187

king氏ね

talk:>>559 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

658

153

五年。

age

282

五年七十四日。

age

>>551はU数でない超越数

737

182

>>1
無理数であることがわかっているならば、
改めて証明を与える必要はないでしょ

>>572
彼は当時高校3年生だったが今では大学卒業して就職してる。
許してやってくれ。

泣いた

｡ﾟ(ﾟ´Д｀ﾟ)゜｡ｳｧｧｧﾝ

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>576
早野乙

人の脳を読む能力を悪用する奴とkingとにょにょを潰せ。

talk:>>578 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。

>>579
脳を読まれているのにどうやって潰す？

482

607

そんなの無理っ！

>>580
脳の中身を空にして，偶然に身を任せるのさ

さとのばけもの対策ですな

548

記号列により指定される実数で、任意の精度で値を決定できる
アルゴリズムが伴うものに対して、それが有理数であるか無理数
であるかが決定不能である、などというようなことがはたして
生じ得るだろうか？

>>587
そのアルゴリズムを記述するプログラム言語の強さによる。
全ての実数を表現出来るプログラム言語なら決定不能。

アルゴリズムとプログラム言語の強さにそんな関係があるのか？

＞任意の精度
のせいで決定不能になるんじゃ？

ある実数が無理数であると証明できるならば必ず構成的に証明できる

ζ(5),ζ(7),ζ(9),…

無理無理．

age

有理数に分解できない
整数をかけても整数にならない
パリテイーがおかしい

可算無限個の有理数に分解できマスタ。

六年。

242

記念書きこ

king

>>600 何がしたい

king

1 名前：ゲロ[] 投稿日：01/09/05(水) 23:31 ID:5Dayn1Vc

このスレは平成が終了するまで保守

>>602 何がしたい

>>1
この板IDあったんだな

>>1-605
お前らｗｗｗ
こんなところで脂売ってないで
さっさと論文書いて発表しろよｗｗｗ

146

無理ぽ

724

七年三時間。

480

　　　　　　　 ,.,,..::;;:::;;;::,.､,
　　　　　 ,:r'^　　　　　　 ｀ヽ
　　　　 /:: 　　　　　　　　　:::＼
　　　 ./::: ,,,-;;;;;;...,.....,...;;-;;;;...,.::::::i　　　　　ヽ人人人／
　　　 i;;/'|i<_O_ヽ二( ＜O`ﾞiヽ;::::!　　　　ノ　　き　　ゝ
　　　 l;′ヽ二／⌒ﾐ､二ﾆノ　ヽ::l　　　　ヽ　　 |　　　（
　　 _,,l;　　　 / ^` ^´ヾ､　　　　:::l､　　　丿　　ン　　　（_
　　i　│　　/ ,r――-､ i　　　 i"　）　￣ヽ　　ぐ　　　(＿
　　ゝ .l　　 l i.j"￣￣`jｌ l　　　lﾞ　;/　 　　）　　 |　　　（
　　 `''';　　 l |.l-='''''=‐/ 　　 ,r''''"　　　丿　　　　　　ゝ
　　　　ヽ　 ヽ,｀'-―-" /　 ,/l　　　　　　ヽ　　　　　　（
　　　　　ヽ　ゝ　 ￣　 / 　　.|　　　　 　　 ）　　 |　　　(
　　　　 ,r| ヽ､ヽ::,,;;:::　ﾞ,／　 l,,　　　　　丿　 　い　　　（
　　_,,,,/ ヽ, 　｀''-;;;;;;-'"　　 丿　　　　　l／⌒Y⌒Ｙ⌒ヽ
''"" /　　　ヽ　i:　　　;:　_／　 ヽｰ､、
　　 l　　　　 ＼　　　i／　　　　 l　 ｀'''
　　 l_,,,=--‐''"ﾞﾞ;r-<ﾞ,,,,,,,　　　 /
　　　　　　　　　|O　　　""ﾞ''''″

思考盗聴で私から1km以内に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

AAの縦書き文字でも反応できるのか、すげえな。

936

age

221

077

ほす

age

大昔、このスレを見たときはワラタが、今年の阪大後期にまさかの
「√３が無理数であることを証明せよ」が出題されていた！

まあ、大問の(1)なんだが、阪大もゆとりかｗ

既出だが、√ｎ(ただしｎは平方数でない自然数)が無理数であることを証明するのは、
多くの人間が始めに習う√2と同じ証明法でできる。しかし、円周率(π)やネイピア数(e)
は難しい。また、π＾π、e^e、e^πなどはまだ無理数かどうかわからない。

>>1
一応、次で一番最初に習うであろう方法で証明してみます。

nを平方数でない自然数とする。√nが有理数と仮定すると、
0でない互いに素な整数a,bによってa/b=√ｎ…�@と表せる。
等式�@はab≠0より、a=b√nと変形でき、この式の両辺を2乗すると
a^2=n・b^2となる。この等式はaとbが互いに素であることと矛盾する。
よって平方数でない自然数nに対し、√nは無理数であることがわかる。
(互いに素であるということは1以外に公約数をもたないということであり、
互いに素である整数を2乗したところで新しい因数が出てくるわけではないから。)
(証明終)


()内の証明は、それほど難しくない…かな？私は一応紙に書けといわれればできます。

いかがでしょうか>>1さん？極力難しい記号等は避けました。√2ができれば
少なくとも素数の平方根に関してはこれで証明できるでしょう。

√1+√2+‥‥+√n が有理数となるのは
n=1の場合に限られることを示せ。

>>624
その問題だと、
[1]n=2のとき、>>623より１＋√2は無理数であるのでNG
[2]n=kのときΣ[t=1,n]√tが無理数となると仮定する。
n=k+1のとき、Σ[t=1,k]√tは無理数であるため、互いに素な整数の除で表せない。
�@√(k+1)が有理数のとき、互いに素な2つの整数の除で表せないものと互いに素な2つの整数の除と和であるので
これを互いに素な2つの整数で表すことはできない。
�A√(k+1)が無理数のとき…と、>>623のやり方ではここで詰まる。


ただし、>>623のやり方で>>1の言ったことは全部満たせると思うよ。
無論、�Aの先はできるが、√2が無理数であることの証明で、
多くの人間が最初に習う証明法>>623の延長だけでは苦しいだろう。

ここは自分の知識を自慢する場ではない。>>1の立場で>>1の問題を解決してやればよい。
大人になり色々なことを教えてもらって、賢くなったつもりの人間がオナニーするスレではない。
そういう場が欲しければ自分でスレを立てるか、論文を学会で発表すればいいのでは？

>>625
と言うか、そもそも単発質問スレを立てるほうがルール違反だが。

>>626
単発質問スレを立ててはいけないというルールは数学板には無い。
ローカルルールを作るときにも議論したこと。

で、>>624はどうやるのよ

>>625
7年半も前の>>1に対して語りかけるのはキチガイにしか思えない。

のどもと過ぎれば熱さ忘れるってやつですね。

あのな、そもそもスレタイからしておかしい。

それが気になりだすと大半のスレタイにそわそわしてくる

887

634

150

八年。

621

927

878

363

どうもｘ茶です。中学生でもわかる√aが無理数の証明(手始めに√2)
√2が有理数だと仮定→これ以上約分できない分数 n/mとあらわせる(√2=n/m)

両辺を二乗して2=n^2/m^2

このようなことは起こり得ない→有理数だと仮定したことに誤り→証明終

で、その他はどうかと言いますと、
2=n^2/m^2の2を3とか5とかにさしかえればいいわけです。
ただし、4や49などの(ある数)^2は不可。
なぜなら、√64とかは無理数じゃないから。

>>641
＞ このようなことは起こり得ない

なにが起こりえないのかの説明が不足している

133