1=0.99999999999999999999999999

そんなものドンブリ勘定でいいです♪

ダメ、ダメ、ダメ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

>>669
激しくﾜﾗﾀ
x=0.99999……からx=0.99999……を導いたのか？（ｗ

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>>669
実際、その部分（引き算の曖昧さ）がこの証明の泣き所。
その証明は使うべきではないね。

>>676
ぶぶぶぶぶ
この証明？その証明？baka？
じゃあ、正しい証明は
x=0.99999……
∴x=0.99999999……
てな感じか？（藁

めくら

冬休みで御座います

�狽燻ﾊ像も使わずにあくまで0.9999…などという表記で
済ませようとするところに男らしさを感じる。良く言えばね

>実数の0.999……が1でないと主張するならただの電波。
>実数以外の代数系で「(0.999……と表現され得るもの)≠1」となる
>ようなのはいくらでも存在するが、もちろんそんなことは
>「実数0.999……は1と等しい」の反論にはなりゃしない。
>つーか、そういう意味での反論であればそもそも「0.999……は1でない」
>という表現にはならないはず。
>(0.999……=1？という質問自体は舞台となる代数系を明示しなければ
>全く無意味なのだが、質問者のレベルを考慮すればこれが実数を舞台と
>したものであることは暗黙の仮定としてよかろう)

と書いてありますが、
＞実数以外の代数系で「(0.999……と表現され得るもの)≠1」となるようなの
って例えばどんなのありますかね…
ぱっと思いつく限りでは実数体Rの超冪*Rしか思いつかなかったです

ttp://www.inpaku.go.jp/kanagawa/qa/a00120.html

インパクどうよ？

682のコピペ
> 1/3は0.3333333…となりますが、両辺に３をかけると1=0.9999999…ということに
>なりますが、どういうことなのでしょうか？
>
>(回答)
>正確には、1/3＝0.3333333…　ではありません。
>つまり、左辺と右辺はイコールにはならないということです。
>0.3333333…　は、「限りなく、1/3に近づく」ということで、正式に表記するには、
>循環小数（小数点以下のある場所から、ある数字の列が繰り返し限りなく続く少数。
>0.3の上に、・ を付ける）で表記しなければばらないのです。
>…は、単にもっと続くという、省略した表記です。
>ですから、これにかけ算をすることはできません。
>
>1/3＝0.3333333…　を書きかえると、実は、
>　1/3＝0.3333333　＋　α　　　
>です。　この場合、αは、小数点以下７桁以下の余りを　３　で割ったものです。
>したがって、この式の両辺に　３　をかけると、
>　１＝0.9999999 ＋ ３α ＝ １
>となり、矛盾はなくなります。
>回答者：岩崎洋光、カネコノボル、ＳＨＯＴＡ
だそうです。

矛盾って何でしょうね。

>>669 の意味が
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1009102965/l50
の337にあるぞ！本人かどうかわからないが。

ゲーデルの第1不完全性定理の一例。

>>685
しかし、まあひねたコメントだね。ただ第1不完全性定理じゃ
誤解が多いんじゃないでしょうか。

0.33333333は1/3に限りなく近づくってだけでイコールじゃないんじゃないの？
１＝0.999999999999なんて無意味じゃないの？

そうなの？
１＝0.999999っていうのは中高生に数学教える為の
面白い話？

>>687
　あなたに悪意はないけど、とりあえず
　0.33333333　とか　0.999999999999
　とかのあとに“・・・”を付けといた方がいいと思いますが
　揚げ足を取って申し訳ない

ものすごいアホな質問ですまないけど、
0.999…にガウス記号をつけたら１になるの？それとも０？

>>689
一瞬、総和とんのかとｵﾓﾀ
床ね、床。

>>689
いいねぇ。「ガウス記号をつける」って表現もいいね。
[　]を関数だと思うと普通の話しになっちゃうけど、
「ガウス記号をつける」だと文字列についての形式的変換
と受け止めることにできるから０の可能性も出てくるね。
689座布団１枚！

無限級数の和＝a/(1-r)を使えばいいんでは？
0.99999999…＝0.9+0.09+0.009+…
これは初項a＝0.9，公比r＝0.1の無限級数の和だから
0.99999999…＝0.9/(1-0.1)＝1

>>692
0.9999･･･を無限級数で定義するということだよね。
あたらしく定義する時は、
その定義によって既存の数学に矛盾は出ないことを示さないといけない。
どうやって示しますか？

>>693
さあ、それは高校範囲外だからわかりません（笑

>>693
新しく定義するといわれると、既存の定義を伺いたく思います。
どういう定義ですか？

>>693
ちゃんと0.99999999…＝1になるんだから既存の数学に矛盾は出ない、
じゃ駄目なの？

ていうか、それ、今さら定義するという問題なの？
はなから、「0.9+0.09+0.009+…＝1？」という意味の質問をされてるんだ
と思ってた。

そう言われてみると、「0.99999999…＝1？」と質問する人が何を念頭に
置いて「0.99999999…」と書いているのかよくわからなくなってきた…。

>>695　>>696
0.999999･･･などという「･･･」を用いた表記は数学では定義されてないと思うので、
0.99999･･･＝１？という質問は、
「0.9999･･･＝１と言うためには、0.9999･･･をどう定義したら良い？」
という質問になると思います。
その解答として、
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…（正確には無限級数の表記で）と定義すればいい」
を挙げるなら、その定義が本当に矛盾を起こさない安全なものかを示さないといけない。

「0.999･･･は１より小さい数を表すはずだ」と思っている人にとっては、
つまり、「0.999･･･＜１」は数学的に正しいと信じている人には、
＝１になるような上の定義は矛盾を起こしているから納得できない。

「0.999･･･≦１」が数学的に正しいと信じている人には、
上の定義はとりあえず今のところは矛盾が見当たらないけど、
さて、この定義を認めてもいいものかどうか・・・という感じ。

0.999･･･が数学的には意味なし（ただの記号）だと思っている人にとっては、
0.9999･･･＝１とA＝１は同じように映るだろうから、
矛盾は無いし、どうでもいい話なのでしょう。

0.99999･･･＝１？と質問する人は、その多くが、
「0.999･･･は１より小さい数を表すはずだ」
と思っているらしく、したがって、＝１になるような定義を紹介しても、
納得しないのは当然と言えば当然なのです。

訂正：
×「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…（正確には無限級数の表記で）と定義すればいい」
○「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）と定義すればいい」


0.9+0.09+0.009+･･･といくら足しつづけても、
極限をとらない限り１にはならないので。

>>697
つまり、君の立場だと、
「0.99999…＝1だ」「いや違う」という言い争いは実は無意味なのね。
だって、「0.99999…」という記号で、両陣営が違うものを指してるん
でしょ。片方の陣営は「0.99999…＝1」が成り立つような何かを指して
るけど、もう一方は「0.99999…＜1」になるような何かを指してる。
連続の概念をそう定義したから、とかじゃなく、1と等しくなるように
「0.99999…」そのものずばりを定義してるから「0.99999…＝1」になる、
というだけの話なわけね。
まあそういう立場もアリかなあ。

僕としては、「0.99999…」が数学的に厳密に何を指すかは「0.99999…
＝1」問題とは独立に決まって、そこから「0.99999…＝1」が導かれる、
だから「0.99999…＜1」説は間違い、というのがしっくりくるけどね。

ちなみに、√２は、
ｘ^2＝２を満たすｘ（＞０）ですが、
その値は、
１≦ｘ≦２
１．４≦ｘ≦１．５
１．４１≦ｘ≦１．４２
と無限に繰り返した時の不等式の左辺と右辺の極限として定義されます。

同様に、0.9999･･･も、
0.9≦0.9999･･･≦１
0.99≦0.9999･･･≦１
0.999≦0.9999･･･≦１
と繰り返した時の左辺と右辺の極限で定義するのが普通かなと思うけど、
この定義が数学に矛盾を起こすかどうかは俺には示せません。
誰か示せる人がいたらよろしく。

実数の10進表示（無限小数）というのの、ひとつのやり方は692のように
無限等比級数として定義するものです。もう一つのやり方は0...9の無限
列に辞書式順序を入れたのち、ｘｙｚ999...とｘｙ（ｚ+１）000...（ただし
ｚは0...8）　を同一視するというようにして実数を定義するものです。
後者は足し算、掛け算を定義しなくて順序構造だけで定義できます。もちろん、
どちらにしても　1＝1.000...＝0.999...　です。また、もちろん
上記の同一視をする前は等しくありません。あと、等しくないという
ので筋のよいのはNonstandardAnalysis(無限小解析）で解釈する筋
でしょう。
まあ楽しく考えるのがよいのでしょう、691＝私。

楽しく考えてねえで俺に分かるように説明しろや！ヴォケ

>>701で終わってる気もしますが、せっかくですし…

>>700さん
その定義以前に「…」という記法に他の定義がない限り、矛盾は起こらない
でしょう。そのように定義された「…」を含むある文Aとその否定とが万一
証明されたとしたら、定義を用いて「…」を使わずにAと同じ命題を表現した
文A’とその否定も証明されます。従って、数学に元から矛盾がない限り、
その定義で矛盾は起こりません。
さすがに、「…」を一様に定義せずに
「0.999･･･＝3×(0.333･･･)」
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
「0.333･･･＝0.3+0.03+0.003+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
などと定義すれば矛盾は出ますが。

>>701さん
僕の
>だから「0.99999…＜1」説は間違い
は、もちろん、連続の概念も実数の概念も標準通りなら、という前提つきの
話です。>>701に全面的に賛同です。

すみません、>>703のは
「0.999･･･＝3×(0.333･･･)」
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
「0.333･･･≠0.3+0.03+0.003+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
の間違いです。

もいっこすみません、
>そのように定義された「…」
は
>0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）
を念頭に置いてました。この定義自体は矛盾していないので。
仮に「0.999＝0.9999･･･＝１」のような、それ自体が矛盾している定義だと
当然矛盾が起こります。

図解せよ

>>699
俺としても、0.999･･･が独立にうまく（気分良く）定義されて、
それを使って＝１を導く（というかきっと定義から自明だろうけど）のが
いいんだけど、どうも、高校数学までしかやってない人と議論を始めると、
「何を前提としているのか」から整理しなくちゃ
いつまでたってもこの手のスレッドが立ちつづけると思う。

ある証明が提示されて、それで納得する人としない人では、
戦っている土俵が違うと言うことでしょ？
その違いを互いに認識しておかないと、最後は水掛け論になっちゃう。
いかに相手をこっちの土俵に引きずり込むかが勝負だと思う。
どんな説明をしたら＜１派を＝１派に洗脳できるかという。

人間の頭の中では数学的事実より先入観のほうが勝ることがあって、
先入観を持った相手を納得させるのはかなり難しいけど。

>>703
＞その定義以前に「…」という記法に他の定義がない限り、矛盾は起こらないでしょう。

そのとおりだと思うし、数学でも、黒板で説明する時とかはめんどくさいので「･･･」を良く使うと思います。
ただ、それは「･･･」の記法の意味を全ての人が同じ意味に変換してくれる場合に限ると思う。
こと0.999･･･＝１の話題に関しては、「･･･」の解釈そのものが問題になっていると思うわけです。
＞0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）
というような解釈ならば＝１は自明だけど、
それで納得いかないのはその解釈自体に疑問を持っているからなので、
そういう人がいたら「･･･」の複数の解釈が互いにぶつかってしまいます。

・・・なんだか良く分からなくなってきたなぁ。

>>707
なるほど。確かに、＜1派と話をしてると、連続やら実数のとらえ方からして
食い違ってますもんね。

>そういう人がいたら「･･･」の複数の解釈が互いにぶつかってしまいます。
それを数学の矛盾と言えるかどうかは別として、確かに>>703では、皆に
とって一様な、厳密な定義のことを考えてました。皆が定義をまちまちに
使ってたら対立は起きるでしょうね。

･･･妙な感じの話になってきました。数学そのものの話じゃないっぽい。
まあ楽しく。

>>689
sin って名前に気がつかなかった、座布団もう１枚！

<1派は「･･･」が無限級数の和だと認めても=1じゃないと主張しますからねぇ。

結構多いのが「無限に近づくが1じゃない」って奴。

数列の収束って今はどの課程でやるのでしょうね？

>>710
厳密な（と言われている）ものは大学の数学科の１年で初めてやるんじゃない？
話によると最近は極限を高校と同じく「限りなく近づく」方式で教えてるらしいね。
信じられないけど、ホントなの？

ところで、「無限に近づくが１じゃない」派って、
「･･･」のところをあいまいにしてると発生するよね。
f(n)=0.9+0.09+0.009+･･･（n回足す）としたら、
f(n)≠１だけど、
0.9999･･･の解釈を、
（１）0.9999･･･＝f(n)とするか
（２）0.9999･･･＝limf(n)（ｎ→∞）とするか
はっきりさせないと、いけないとおもうよ。
じゃないと、（１）に反論する人が溢れ出てくる。

「無限に近づくが１じゃない」派で（２）に反論する人は
（１）と（２）の違いがわからない人かな。
先入観で（１）がまずあって、（２）を見せられてそれはそれで認めるんだけど、
でも（１）が引っかかって、納得できないのだと思う。

結局答えはどうなのよ。

>>712
なんに対する答え？

ε-δ論法でしっかり教えてやれよ。
それで>>1派が分からない・納得いかないってんだったら、

牛鮭定食でも食ってなさいってこった。

そんなこと言われても俺は松屋ではカレーかキムチ牛丼しか食べない。

結局、数学的な定義はどっちが正しいのよ？

>>715
そりゃ(2)だろ。
(1)だと 0.9999,,, が有限小数になってしまう。

やふでは無限界の動作をすることなんて出来ないって言う
奴がいるが、その場合は最初っから0.999…なんて数存在しない事に気付いて欲しい…

>>711
> 厳密な（と言われている）ものは大学の数学科の１年で初めてやるんじゃない？
> 話によると最近は極限を高校と同じく「限りなく近づく」方式で教えてるらしいね。
> 信じられないけど、ホントなの？

最近の大学生の学力低下は激しいらしく、文系、理系問わず１０年前の講義は
できないとか。そん話を聞くと、高校と同じ方式・・・ってのもありそうに思
えてくる。実際は知らないが。

> 「無限に近づくが１じゃない」派で（２）に反論する人は
> （１）と（２）の違いがわからない人かな。
> 先入観で（１）がまずあって、（２）を見せられてそれはそれで認めるんだけど、
> でも（１）が引っかかって、納得できないのだと思う。

そういう人は（２）の内容自体が理解出来ていないことも考えられる。収束す
るってことは収束する先があって、その収束する先の値を収束値と呼ぶ・・・
ってこと自体を理解していない。

だから「無限に近づくが・・・じゃない」なんて言う。

あと<1派では「0.999･･･(無限桁)･･･9」っのても多いね。例の１０倍して引い
て９で割るに反論する人たち。

結局、「無限」についての理解が足りない・・・ってことか。でも、今の課程
ではしかたないことなのかな？

数学板削除依頼
　　120 ：. ：01/11/08 23:57 ID:ZWhB4Mbf

　　重複スレッド
　　http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/　1=0.9999999999999999999999999999・・・

で、
＞本スレが確認できませんでした。
と言われて、削除してもらえず…

お前は本当1=0.9999999だと主張したのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、1=0.9999999って言いたいだけちゃうんかと。
ここが本スレだといいたいだけちゃうんかと。
しかしこれを頼むと

　　http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/l50
　　1 ：１３２人目の素数さん ：2001/08/19(日) 23:58

の方が先で、このスレも重複ちゃうんかと言われる危険も伴う、諸刃の剣。素人にはお薦め出来ない。
まあお前ド素人は、今井のDQNネタにでも引っ掛かってなさいってこった。

はーい、引っ掛かってまーす。

ゲーデルの第2不完全性定理より
1≠0.999999999････
での数学を作ること。

証明自体不可能であるし、証明するよりも
そこを分岐点と考えて、新しい数学を作る方が賢明である。

ユークリッド幾何学から、非ユークリッド幾何学への進展と同じこと。