etale cohomology から代数多様体を作る
1 ：１３２人目の素数さん：
エタールコホモロジーの持つ、どういった性質を
群環に仮定すれば代数多様体が復元できるのでしょうか？
教えれ。
群環に仮定すれば代数多様体が復元できるのでしょうか？
教えれ。
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2 ：１３２人目の素数さん：2001/07/07(土) 10:32
終了。
3 ：１３２人目の素数さん：2001/07/07(土) 20:39
4 ：１３２人目の素数さん：2001/07/07(土) 23:48
むずい
5 ：もうだいじょうぶ：2001/07/12(木) 01:04
質問があります。
コノスレに来る人なら教えてくれると思うのですが。
小平邦彦と永田雅宜はともに代数幾何学の研究者だったのに
やっていることはふたりとも互いにおおきく異なります。
なぜですか？
コノスレに来る人なら教えてくれると思うのですが。
小平邦彦と永田雅宜はともに代数幾何学の研究者だったのに
やっていることはふたりとも互いにおおきく異なります。
なぜですか？
6 ：１３２人目の素数さん：2001/07/12(木) 02:53
7 ：１３２人目の素数さん：2001/07/12(木) 20:07
５です。
8 ：もうだいじょうぶ：2001/07/12(木) 20:13
５です。
これから代数幾何学を学ぼうと思うのですが、どちらをめざしていったらいいでしょうか？
あるいはそのほかの流儀もありますか？
じつは私は大学1年で中退して、現在フリーターなのですが、
読みたい論文があるのですがどこで入手したらよいですか？
J.P.セール『FAC』『GAGA』
グロタンディーク『東北』『EGA』
など
これから代数幾何学を学ぼうと思うのですが、どちらをめざしていったらいいでしょうか？
あるいはそのほかの流儀もありますか？
じつは私は大学1年で中退して、現在フリーターなのですが、
読みたい論文があるのですがどこで入手したらよいですか？
J.P.セール『FAC』『GAGA』
グロタンディーク『東北』『EGA』
など
9 ：１３２人目の素数さん：2001/07/12(木) 21:36
10 ：１３２人目の素数さん：2001/07/15(日) 20:47
では、代数多様体のZar site が同型なら、etale site は同型か？
11 ：１３２人目の素数さん：2001/08/04(土) 06:13
age
12 ：１３２人目の素数さん：2001/08/11(土) 17:44
グロタンディークがはじめたという所謂抽象代数幾何ですが、
アブストラクトナンセンスなどと当初は批判され、
古典代数幾何学などに比べて、きわめて抽象度が高いようですが。
圏とか層とかファンクターとかホもろジーの抽象度の高い言語を
駆使するのは、代数幾何学と数論周りだけのような気がするのですが、
実際にそれが具体的な問題解決に役立ったようですが、
なぜ、あんな高度な抽象度が必要だったのか？
みじかく雰囲気だけでも説明できる人いませんでしょうか？
アブストラクトナンセンスなどと当初は批判され、
古典代数幾何学などに比べて、きわめて抽象度が高いようですが。
圏とか層とかファンクターとかホもろジーの抽象度の高い言語を
駆使するのは、代数幾何学と数論周りだけのような気がするのですが、
実際にそれが具体的な問題解決に役立ったようですが、
なぜ、あんな高度な抽象度が必要だったのか？
みじかく雰囲気だけでも説明できる人いませんでしょうか？
13 ：１３２人目の素数さん：2001/08/11(土) 19:15
>圏とか層とかファンクターとかホもろジーの抽象度の高い言語を
>駆使するのは、代数幾何学と数論周りだけのような気がするのですが、
気のせいだ、心配するな
>駆使するのは、代数幾何学と数論周りだけのような気がするのですが、
気のせいだ、心配するな
14 ：12：2001/08/11(土) 19:22
＞＞１３
まってって（笑）
数学の中でも代数幾何学は一段と抽象度高いでしょ。
（他の分野はそれほどでもないか、または時期的に相当遅れてから。）
特にグロタンティークが急激に高めて、古典代数幾何の人々から
最初は敬遠されていたですよね。その理由を知っていたら教えて。
まってって（笑）
数学の中でも代数幾何学は一段と抽象度高いでしょ。
（他の分野はそれほどでもないか、または時期的に相当遅れてから。）
特にグロタンティークが急激に高めて、古典代数幾何の人々から
最初は敬遠されていたですよね。その理由を知っていたら教えて。
15 ：１３２人目の素数さん：2001/08/11(土) 23:30
>数学の中でも代数幾何学は一段と抽象度高いでしょ。
>（他の分野はそれほどでもないか、または時期的に相当遅れてから。）
気のせいだ、心配するな
>（他の分野はそれほどでもないか、または時期的に相当遅れてから。）
気のせいだ、心配するな
16 ：１３２人目の名無しさん：2001/08/12(日) 01:17
SKKが。。。ワカラン（´Д｀;）
Sheaves on Manifoldsが。。。ワカラン（´Д｀;）
Sheaves on Manifoldsが。。。ワカラン（´Д｀;）
17 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 03:50
有限体あるいは代数体上のアーベル多様体のTate予想は？
18 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 16:22
>>12
なぜあんなに高度な抽象性が必要なのか？ということなのですが、
それならばあなたが小学校以来習ってきた整数とそのかけ算は抽象的
ではありませんか？
何を抽象的と捉えるかは、その思考パターンにその人が慣れているか
どうかにもよると思うのですが、ともあれ、ある問題を考える際に
背後に隠れているある構造を考えるとすっきり説明がつくということが
理論の発展であると思うので、その意味で「何故？」という問いかけは
あまり意味がないように思います。
なお、カテゴリー論やホモロジー論は、代数的位相幾何学でもフルに
活用されます。
なぜあんなに高度な抽象性が必要なのか？ということなのですが、
それならばあなたが小学校以来習ってきた整数とそのかけ算は抽象的
ではありませんか？
何を抽象的と捉えるかは、その思考パターンにその人が慣れているか
どうかにもよると思うのですが、ともあれ、ある問題を考える際に
背後に隠れているある構造を考えるとすっきり説明がつくということが
理論の発展であると思うので、その意味で「何故？」という問いかけは
あまり意味がないように思います。
なお、カテゴリー論やホモロジー論は、代数的位相幾何学でもフルに
活用されます。
19 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 16:28
＞抽象度が高い
なに、単に幾何学として考えるための方便だよ。
それをペダンディックに表現したら、バカが
高尚なことと勘違いしただけ。
ちなみにここでいうバカは「ものを知らない」という意味ではなく、
「知性はテストで測定可能で偏差値として表現される」とアタマ
から信じる奴のことである。別名、受験バカ、学歴バカともいう。
なに、単に幾何学として考えるための方便だよ。
それをペダンディックに表現したら、バカが
高尚なことと勘違いしただけ。
ちなみにここでいうバカは「ものを知らない」という意味ではなく、
「知性はテストで測定可能で偏差値として表現される」とアタマ
から信じる奴のことである。別名、受験バカ、学歴バカともいう。
20 ：１２：2001/08/12(日) 16:58
>>18, >>19 ご返事ありがとうございます。
うーん、１８さんの答えではちょっと納得いきません。
まあ、いいたいことはわかりますが、私はあのへんの分野を深く
勉強した人に、少し専門的な言葉を使ってもいいので、雰囲気を
聞きたいのです。
台数幾何学というのはそれ自体、広い分野なので、一部だけ
異常に抽象度が高い、というと、あれもこれも、、、といいますが、
結局、ひろく言っても代数学とその周辺（幾何学に入る）ぐらいで、
たとえば、微分方程式やら確率論やらをやるのにカテゴリー論は
必要ありません。（使っている人がいたとしても、本流とは
いえないでしょう。）代数だって、カテゴリー論つかわなくたって
できる高度な分野はいっぱいあるでしょう。有限群論の分類とか。
そういう意味では、１９さんの
＞なに、単に幾何学として考えるための方便だよ。
というのは、ほーっと思いました。もうすこし詳しくいえませんで
しょうか？
ちなみに私は、抽象度の高さは、高尚かどうかとは関係ないと
とらえています。むしろ無意味な抽象性、一般化は嫌いなほうなので。
うーん、１８さんの答えではちょっと納得いきません。
まあ、いいたいことはわかりますが、私はあのへんの分野を深く
勉強した人に、少し専門的な言葉を使ってもいいので、雰囲気を
聞きたいのです。
台数幾何学というのはそれ自体、広い分野なので、一部だけ
異常に抽象度が高い、というと、あれもこれも、、、といいますが、
結局、ひろく言っても代数学とその周辺（幾何学に入る）ぐらいで、
たとえば、微分方程式やら確率論やらをやるのにカテゴリー論は
必要ありません。（使っている人がいたとしても、本流とは
いえないでしょう。）代数だって、カテゴリー論つかわなくたって
できる高度な分野はいっぱいあるでしょう。有限群論の分類とか。
そういう意味では、１９さんの
＞なに、単に幾何学として考えるための方便だよ。
というのは、ほーっと思いました。もうすこし詳しくいえませんで
しょうか？
ちなみに私は、抽象度の高さは、高尚かどうかとは関係ないと
とらえています。むしろ無意味な抽象性、一般化は嫌いなほうなので。
21 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 17:04
22 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 17:13
23 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 17:22
24 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 17:54
>>23
ごもっともです。
ある本によれば、グロ短ティークは、台数幾何学を高度に抽象化
した。当時の数学者は、アブストラクトナンセンスといって敬遠し、
その複雑な形式の奥にひそむ、本質・直感を捕らえられなかった。
彼の講義を聞いていた広中氏は、その本質を掴み、得意点解消の
問題を解決したと。
特異店解消の問題とか、台数多様対の分類とか、そういった問題
は具象的に定義できるものですが、それらを解決するのに、
高度な抽象化がひつようだったと。一般論的にいえば、１８でも
答えになっているのですが。
カテゴリー論や穂もろジー論もそうですが、果敢環論だって
かなり抽象的ですよね。家庭条件がやたらついてきて。なんの
ためにこんなことやっているのか、なんか重箱の隅をほじくる
細かすぎる問題をやっているのではないかと、心配になって
くるんです。これらが総動員して、具体的な問題解決につながれば
スカッとするんでしょうが。
勉強につかれているんでしょうか、わたし。
ごもっともです。
ある本によれば、グロ短ティークは、台数幾何学を高度に抽象化
した。当時の数学者は、アブストラクトナンセンスといって敬遠し、
その複雑な形式の奥にひそむ、本質・直感を捕らえられなかった。
彼の講義を聞いていた広中氏は、その本質を掴み、得意点解消の
問題を解決したと。
特異店解消の問題とか、台数多様対の分類とか、そういった問題
は具象的に定義できるものですが、それらを解決するのに、
高度な抽象化がひつようだったと。一般論的にいえば、１８でも
答えになっているのですが。
カテゴリー論や穂もろジー論もそうですが、果敢環論だって
かなり抽象的ですよね。家庭条件がやたらついてきて。なんの
ためにこんなことやっているのか、なんか重箱の隅をほじくる
細かすぎる問題をやっているのではないかと、心配になって
くるんです。これらが総動員して、具体的な問題解決につながれば
スカッとするんでしょうが。
勉強につかれているんでしょうか、わたし。
25 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 18:43
疲れてｳﾄｩになるのはいいけど、かてごりとかほもろじに八つ当たり
しないでね。
しないでね。
26 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 18:45
してない。おおわくをつかみたいだけ。
27 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 19:10
正誤表
グロ短ティーク→グロタンディク
台数幾何学→代数幾何学
得意点解消→特異点解消
特異店解消→特異点解消
台数多様対→代数多様体
穂もろジー論→ホモロジー論
ところで、広中の特異点解消って
今流行りのグレブナー基底の計算だ
って知ってた（笑）
グロ短ティーク→グロタンディク
台数幾何学→代数幾何学
得意点解消→特異点解消
特異店解消→特異点解消
台数多様対→代数多様体
穂もろジー論→ホモロジー論
ところで、広中の特異点解消って
今流行りのグレブナー基底の計算だ
って知ってた（笑）
28 ：１３２人目の素数さん：2001/08/12(日) 22:03
果敢環論→可換環論
家庭条件→仮定条件
こいつの誤変換って何かウザイ
家庭条件→仮定条件
こいつの誤変換って何かウザイ
29 ：１３２人目の素数さん：2001/08/13(月) 11:45
30 ：１３２人目の素数さん：01/10/17 15:54
ここはなんてとこでしょう
31 ：１３２人目の素数さん：01/10/18 13:22
1の群環ってなんでしゅか
えたーる・コホモロジーは群環なんですか
えたーる・コホモロジーは群環なんですか
32 ：１３２人目の素数さん：01/10/18 22:24
33 ：１３２人目の素数さん：01/10/18 22:41
あ、でも俺、知らなかった（Ｗ
広中の特異点解消＝グレブナー基底の計算
勉強になったよ。グラシャス ムーチョ。
広中の特異点解消＝グレブナー基底の計算
勉強になったよ。グラシャス ムーチョ。
35 ：１３２人目の素数さん：01/10/19 00:15
きっとネタなんだろうな。群環って何を指してるのか知らないけどさ
有限体上定義された代数多様体からエタールコホモロジーを計算する
事はできるけれど、
エタールコホモロジーのデータだけでは弱すぎて代数多様体を復元しません。
有限体上定義された代数多様体からエタールコホモロジーを計算する
事はできるけれど、
エタールコホモロジーのデータだけでは弱すぎて代数多様体を復元しません。
36 ：１３２人目の素数さん：01/10/19 00:39
grothendieck位相くらいの強いデータでないと、ね。
37 ：１３２人目の素数さん ：01/10/19 01:01
エタール位相というか，その上の層全体を考えれば，元の代数多様体が
復元できる，というのがエタール・ディセント定理． SGA1．
もっとも簡単な層についてのコホモロジーの情報だけから，元の多様体が
ほとんど復元できるというのが，グロタンディークの標準予想．
復元できる，というのがエタール・ディセント定理． SGA1．
もっとも簡単な層についてのコホモロジーの情報だけから，元の多様体が
ほとんど復元できるというのが，グロタンディークの標準予想．
38 ：31：01/10/19 18:25
>>35
群環ってネタ?
群環ってネタ?
39 ：35：01/10/19 19:46
>>38
俺に聞くなよ。。。。>>1を最大限好意的に解釈すれば、
定数層の全エタールコホモロジー群＋環構造から元の代数多様体は復元できるか
位なんじゃないの？群環ったってR[G]とかじゃないでしょ。いくら何でも。
で、それなら出来ないよというのが>>35でした主張のつもり。
俺に聞くなよ。。。。>>1を最大限好意的に解釈すれば、
定数層の全エタールコホモロジー群＋環構造から元の代数多様体は復元できるか
位なんじゃないの？群環ったってR[G]とかじゃないでしょ。いくら何でも。
で、それなら出来ないよというのが>>35でした主張のつもり。
40 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 16:32
ふむふむ
これでやっと1が少し理解できるってわけか
これでやっと1が少し理解できるってわけか
41 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 17:12
俺>>1じゃないし代数幾何は独習した程度なんでむづいことはなんも
わからんけど>>1のいいたいのはXをK上定義されたschemeでFを
scheme/K上で定義されたadditive functorとするときF(X)には
G_K(=Gal(K^/K),K^はKの代数的閉体)構造がはいる
ってやつじゃないの？
わからんけど>>1のいいたいのはXをK上定義されたschemeでFを
scheme/K上で定義されたadditive functorとするときF(X)には
G_K(=Gal(K^/K),K^はKの代数的閉体)構造がはいる
ってやつじゃないの？
42 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 18:15
>>41
それはフロベニウス作用を考えろということか〜？
それはフロベニウス作用を考えろということか〜？
43 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 18:38
>>41-42
すまヌ。>>41のF(X)はXをKの代数閉体まで係数拡大してえられる
スキームX^(とかくことにする)のまちがい。
各σ∈Gal(K^/K)にたいしスキームの射_*:X^→X^が誘導されるでしょ。
最初>>1よんだときこれのことかなとおもた。これって純粋な代数多様体論
とかではあんまりでてこないけど数論幾何ではよくでてくるんじゃなかったっけ？
自信なさげ。
すまヌ。>>41のF(X)はXをKの代数閉体まで係数拡大してえられる
スキームX^(とかくことにする)のまちがい。
各σ∈Gal(K^/K)にたいしスキームの射_*:X^→X^が誘導されるでしょ。
最初>>1よんだときこれのことかなとおもた。これって純粋な代数多様体論
とかではあんまりでてこないけど数論幾何ではよくでてくるんじゃなかったっけ？
自信なさげ。
44 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 18:40
>>43
スキームの射_*:X^→X^はスキームの射σ_*:X^→X^のまちがい。
スキームの射_*:X^→X^はスキームの射σ_*:X^→X^のまちがい。
45 ：42：01/10/22 19:12
46 ：42：01/10/22 19:14
む。記法が違った。KはF_qの代数閉包ね。
47 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 19:16
>>45
べつに係数体は有限体とはかぎらないんじゃないですか？
べつに係数体は有限体とはかぎらないんじゃないですか？
48 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 19:28
エタールコホモロジーとか言ってんだから基本的に有限体またはその拡大上の話だと思ったが、違うのか？
49 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 19:43
>>48
あ、いや、オレも専門外なのでよくはわからんのですが手元にある資料
(っても岩波数学辞典だけど)にある定義ならべつに係数体は有限体上の
代数拡大である必要はないように思うんですがどうなんでしょう？
やっぱそう仮定しないとまずいんですか？
もちろん応用上は有限体上とか一変数代数関数体上しかでてこん
のかもしれんけど。
あ、いや、オレも専門外なのでよくはわからんのですが手元にある資料
(っても岩波数学辞典だけど)にある定義ならべつに係数体は有限体上の
代数拡大である必要はないように思うんですがどうなんでしょう？
やっぱそう仮定しないとまずいんですか？
もちろん応用上は有限体上とか一変数代数関数体上しかでてこん
のかもしれんけど。
50 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 20:03
>>49
まずくはないよ。でも、比較定理とかあるから例えば複素数体上なら普通は通常のコホモロジーと同型になる。
つまり、エタールコホモロジーを考える必然性が薄いの。(作り方から明らかなようにこっちでも作用はあるでしょ)
しかも、係数体の自己同型というのは結構難しくて２変数以上の関数体の自己同型群は代数群でなくその部分群が帰納的でもなくなることがあるのね。
だから、一般的にそれを使って何かをしようっていう話はあまり聞かない。
それに係数体が最初から閉なら何も追加の情報を与えないでしょ。
このコンテクスト(代数多様体を回復)の中で語るのなら、なんらかの制限が必要ではないかな。
まずくはないよ。でも、比較定理とかあるから例えば複素数体上なら普通は通常のコホモロジーと同型になる。
つまり、エタールコホモロジーを考える必然性が薄いの。(作り方から明らかなようにこっちでも作用はあるでしょ)
しかも、係数体の自己同型というのは結構難しくて２変数以上の関数体の自己同型群は代数群でなくその部分群が帰納的でもなくなることがあるのね。
だから、一般的にそれを使って何かをしようっていう話はあまり聞かない。
それに係数体が最初から閉なら何も追加の情報を与えないでしょ。
このコンテクスト(代数多様体を回復)の中で語るのなら、なんらかの制限が必要ではないかな。
51 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 20:27
>>50
ふむふむ、なるほど、まづいんじゃなくて意味なさげってことですね。
でも代数多様体に係数体の自己同型を作用させるって話はよくきくけど
最近よくみるのはたとえばQ上の楕円曲線EにたいしてE(Q^)とか
limE(Z/p^eZ)とかをGal(Q^/Q)加群とみなすとかいう話。
(ガロア表現とかいうんだったっけ？)
もちろんそのなかで重要なのはFrobenius共役類の像らしいけど。
まあ、この作用をかんがえても>>1がいうような回復はむづかしいのだろうけど。
ふむふむ、なるほど、まづいんじゃなくて意味なさげってことですね。
でも代数多様体に係数体の自己同型を作用させるって話はよくきくけど
最近よくみるのはたとえばQ上の楕円曲線EにたいしてE(Q^)とか
limE(Z/p^eZ)とかをGal(Q^/Q)加群とみなすとかいう話。
(ガロア表現とかいうんだったっけ？)
もちろんそのなかで重要なのはFrobenius共役類の像らしいけど。
まあ、この作用をかんがえても>>1がいうような回復はむづかしいのだろうけど。
52 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 09:39
>>51
俺だって本職じゃないけどさ。それって特殊例だとおもうよ。
テート加群ってのは拡大体のデータからアーベル多様体を作るって話から来てるんだと思うよ。つまり、\C^n
内で割ってコンパクトになるような格子を考えても、一般にはアーベル多様体にならないでしょ。アーベル
多様体になる条件ってのは格子を座標で書いてベクトルと思ったときに適当な条件を満たすことなんだけど、
そこで適当な条件を満たす有理数体の拡大体の基底を使って格子を定義するとアーベル多様体ができるよね。
そうすると、アーベル多様体の中で等分点全体を考えて\C^nへの持ち上げを考えると拡大体の有理数体上の
自己同型がアーベル多様体の持ち上げの等分点の逆像に作用するようにできるでしょ。ならさ、もし拡大が
ガロアならガロア群の作用が格子を保つようにとれればガロア群がアーベル多様体の等分点の集合の自己同型
になるわけさ。で、こうするととっても拡大体の情報と密接に関連した多様体ができるでしょ。こういう考察
を有限体に落としていろいろ見るってのは当然問題でそういった事に対応する一般的な枠組みがテート加群だと
考えると、どうか？
俺だって本職じゃないけどさ。それって特殊例だとおもうよ。
テート加群ってのは拡大体のデータからアーベル多様体を作るって話から来てるんだと思うよ。つまり、\C^n
内で割ってコンパクトになるような格子を考えても、一般にはアーベル多様体にならないでしょ。アーベル
多様体になる条件ってのは格子を座標で書いてベクトルと思ったときに適当な条件を満たすことなんだけど、
そこで適当な条件を満たす有理数体の拡大体の基底を使って格子を定義するとアーベル多様体ができるよね。
そうすると、アーベル多様体の中で等分点全体を考えて\C^nへの持ち上げを考えると拡大体の有理数体上の
自己同型がアーベル多様体の持ち上げの等分点の逆像に作用するようにできるでしょ。ならさ、もし拡大が
ガロアならガロア群の作用が格子を保つようにとれればガロア群がアーベル多様体の等分点の集合の自己同型
になるわけさ。で、こうするととっても拡大体の情報と密接に関連した多様体ができるでしょ。こういう考察
を有限体に落としていろいろ見るってのは当然問題でそういった事に対応する一般的な枠組みがテート加群だと
考えると、どうか？
53 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 13:26
おめえハスラーだな
54 ：52：01/10/24 21:02
55 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 22:11
>>54
どうも。なんかレスもらったのでなんか書いてみます。
はっきりいって代数幾何の教科書なんてまだちょびっとしかよんで
ないのでよくわかんないです。あれから少しかんがえてみたんですが
すくなくとも>>1のいうことは０次元、/Qではただしいんですね。つまり
X,Yが代数的Ｑスキームで０次元のときH^*(X_et,R)=H^*(Y_et,R)
(ただしRは定数層とみる。)ならばXとYは同型である。
斎藤先生の教科書によるともっと一般に有限エタールQスキームのなす圏と
有限G集合のなす圏は圏同値である。だそうです。もちろん定数層の
ホモロジーの情報だけではたぶんだめなんでしょうけど。でもやっぱり数論幾何の人は
係数体のガロア群をスキームに作用させることは重要な考察なんじゃないで
しょうか？(といっても数論幾何って楕円曲線論とWeil予想のさわりしか
おしえてもらったことないからこまかいことわからんけど。)
あとガロア表現の主役はたしかにl進ガロア表現(＝Tate module)や法lガロア表現
みたいですね。でもその場合もあくまで作用してるのはG_Qであって
フェルマー予想で大活躍したらしい法３ガロア表現でもG_{F_3}が
作用しているわけではなく作用するのはあくまでG_Qのような気がします。
どうも。なんかレスもらったのでなんか書いてみます。
はっきりいって代数幾何の教科書なんてまだちょびっとしかよんで
ないのでよくわかんないです。あれから少しかんがえてみたんですが
すくなくとも>>1のいうことは０次元、/Qではただしいんですね。つまり
X,Yが代数的Ｑスキームで０次元のときH^*(X_et,R)=H^*(Y_et,R)
(ただしRは定数層とみる。)ならばXとYは同型である。
斎藤先生の教科書によるともっと一般に有限エタールQスキームのなす圏と
有限G集合のなす圏は圏同値である。だそうです。もちろん定数層の
ホモロジーの情報だけではたぶんだめなんでしょうけど。でもやっぱり数論幾何の人は
係数体のガロア群をスキームに作用させることは重要な考察なんじゃないで
しょうか？(といっても数論幾何って楕円曲線論とWeil予想のさわりしか
おしえてもらったことないからこまかいことわからんけど。)
あとガロア表現の主役はたしかにl進ガロア表現(＝Tate module)や法lガロア表現
みたいですね。でもその場合もあくまで作用してるのはG_Qであって
フェルマー予想で大活躍したらしい法３ガロア表現でもG_{F_3}が
作用しているわけではなく作用するのはあくまでG_Qのような気がします。
56 ：１３２人目の素数さん：01/10/26 04:52
まあ、素人談義ということで、嘘ついても恨みっこ無しなのだけれど、
なんでいつもsageるの？レスがついてるかどうか確認するのに骨が折れるよ。
０次元、/Qでもfinite /Qとは限らないよ。既にCはダメでしょ。
>有限エタールQスキームのなす圏と有限G集合のなす圏は圏同値である。
ちょっと待って。Gってきっと基礎体の絶対ガロア群だと思うけどその圏同値って
エタールコホモロジーの対応で行き来できる事とは直接関係ないんじゃない？
エタールコホモロジーの定義ってl-進定数層のメンバーのエタール位相での大域切断の
射影極限を\otimes Q_lしたものでしょ。基本的に点の数位しか回復できないと思うんだけど。
ガロア群が自然に作用するような「数論的な」代数多様体およびその上の層を
構成する事は数論幾何では非常に重要な考察だというのはその通りなのだけれど、
数論的な多様体って大抵等質空間を割ってみたり(志村多様体とかね)群だったり
(アーベル多様体ね)するものなんだよね。だから、数論幾何の人たちはガロア群の
表現を構成するためにガロア群、拡大のデータからそれに応じた多様体を構成しているので
その逆ではないのではないかということが言いたいんだ。
>作用するのはあくまでG_Q
mod l-表現は別にアーベル多様体がF_l上定義されてるって訳じゃないんじゃない？
なんでいつもsageるの？レスがついてるかどうか確認するのに骨が折れるよ。
０次元、/Qでもfinite /Qとは限らないよ。既にCはダメでしょ。
>有限エタールQスキームのなす圏と有限G集合のなす圏は圏同値である。
ちょっと待って。Gってきっと基礎体の絶対ガロア群だと思うけどその圏同値って
エタールコホモロジーの対応で行き来できる事とは直接関係ないんじゃない？
エタールコホモロジーの定義ってl-進定数層のメンバーのエタール位相での大域切断の
射影極限を\otimes Q_lしたものでしょ。基本的に点の数位しか回復できないと思うんだけど。
ガロア群が自然に作用するような「数論的な」代数多様体およびその上の層を
構成する事は数論幾何では非常に重要な考察だというのはその通りなのだけれど、
数論的な多様体って大抵等質空間を割ってみたり(志村多様体とかね)群だったり
(アーベル多様体ね)するものなんだよね。だから、数論幾何の人たちはガロア群の
表現を構成するためにガロア群、拡大のデータからそれに応じた多様体を構成しているので
その逆ではないのではないかということが言いたいんだ。
>作用するのはあくまでG_Q
mod l-表現は別にアーベル多様体がF_l上定義されてるって訳じゃないんじゃない？
57 ：１３２人目の素数さん：01/10/26 16:47
>>56
すいません。普段からさげてんので今日はさげないで書いてみます。
上で０次元でなりたつってやつは正規性を仮定してください。わすれてました。
定理 X,YがQ上の正規０次元代数多様体のときH^*(X_et,C)≡H^*(Y_et,C)
ならばXとYはQ-schemeとして同型
∵)X,Yがともに既約のときしめせば十分。(Krull-Schmidtの一意分解定理から)
このときQ上の既約多項式f(t)をとってX=specQ[t]/f(t)となる。{P_k}_{k=1}^dを
f(t)=0の解全体とする。X_etの0次元C係数homologyは簡単な計算からC^dとなり
ここへのGalois群G_Qの作用は点P_kの置換から誘導されるものと一致する。
その表現をρ_XとでもするととくにKerρ_X=G_L(X)。(ただしL(X)はfの分解体。)
同様にYの０次元homologyの表現をρ_YとするとKerρ_Y=G_L(Y)。
よってL(X)=L(Y)となりXとYはQ-schemeとして同型。
とやりました。んでなにがいいたいかというと上の計算でみてわかるとうり
H^0(X_et,C)とH^0(Y_et,C)はGalois群の作用を無視すると定義多項式の
次元さえひとしければひとしくなってしまうのでGalois群の作用をかんがえることは
とても大切だとおもうんです。かといってダイレクトにZariski siteのホモロジーを
計算してもXが既約のときH^0(X_zar,C)=CでGalois群の作用は自明になってしまうし
かといってCに係数拡大してから考えてもX↑Cを係数拡大したC-schemeとすると
今度はH^0(X↑C,C)=C^{Xの点の数}にはなりますがG_C=単位群なのでGalois作用も
へったくれもなくなってしまいます。そこで定義体のガロア群が自然に作用して
しかも有効にはたらくホモロジー論が展開できないか？という動機から
できたのがエタールコホモロジーの理論だと思うんです。その際には定義体の
標数が０でないことはべつに必要ないとおもいます。だからエタールコホモロジー
をかんがえる以上ガロア群は有限体上だろうという推論はなんかちがうんじゃ
ないかなって思ったんです。ちょっとしんどくなったのでとりあえずここまで
いかがでしょう？
すいません。普段からさげてんので今日はさげないで書いてみます。
上で０次元でなりたつってやつは正規性を仮定してください。わすれてました。
定理 X,YがQ上の正規０次元代数多様体のときH^*(X_et,C)≡H^*(Y_et,C)
ならばXとYはQ-schemeとして同型
∵)X,Yがともに既約のときしめせば十分。(Krull-Schmidtの一意分解定理から)
このときQ上の既約多項式f(t)をとってX=specQ[t]/f(t)となる。{P_k}_{k=1}^dを
f(t)=0の解全体とする。X_etの0次元C係数homologyは簡単な計算からC^dとなり
ここへのGalois群G_Qの作用は点P_kの置換から誘導されるものと一致する。
その表現をρ_XとでもするととくにKerρ_X=G_L(X)。(ただしL(X)はfの分解体。)
同様にYの０次元homologyの表現をρ_YとするとKerρ_Y=G_L(Y)。
よってL(X)=L(Y)となりXとYはQ-schemeとして同型。
とやりました。んでなにがいいたいかというと上の計算でみてわかるとうり
H^0(X_et,C)とH^0(Y_et,C)はGalois群の作用を無視すると定義多項式の
次元さえひとしければひとしくなってしまうのでGalois群の作用をかんがえることは
とても大切だとおもうんです。かといってダイレクトにZariski siteのホモロジーを
計算してもXが既約のときH^0(X_zar,C)=CでGalois群の作用は自明になってしまうし
かといってCに係数拡大してから考えてもX↑Cを係数拡大したC-schemeとすると
今度はH^0(X↑C,C)=C^{Xの点の数}にはなりますがG_C=単位群なのでGalois作用も
へったくれもなくなってしまいます。そこで定義体のガロア群が自然に作用して
しかも有効にはたらくホモロジー論が展開できないか？という動機から
できたのがエタールコホモロジーの理論だと思うんです。その際には定義体の
標数が０でないことはべつに必要ないとおもいます。だからエタールコホモロジー
をかんがえる以上ガロア群は有限体上だろうという推論はなんかちがうんじゃ
ないかなって思ったんです。ちょっとしんどくなったのでとりあえずここまで
いかがでしょう？
58 ：１３２人目の素数さん：01/11/02 13:06
こらハスラーども何日間さぼっとるんじゃ
59 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 03:13
>>56
>有限エタールQスキームのなす圏と有限G集合のなす圏は圏同値である。
Spec(A) が finite etale over Spec(Q) <->
A が Q の有限次分離拡大体の直積と同型
なのでこれって Galois 理論の基本定理の言い換えのような気がする。
>有限エタールQスキームのなす圏と有限G集合のなす圏は圏同値である。
Spec(A) が finite etale over Spec(Q) <->
A が Q の有限次分離拡大体の直積と同型
なのでこれって Galois 理論の基本定理の言い換えのような気がする。
60 ：１３２人目の素数さん：01/11/16 17:44
空白の期間にちゃんと考えてね，みんな．
61 ：１３２人目の素数さん：01/12/10 22:00
そういやまたグロたんでスレ立ったね
62 ：１３２人目の素数さん：01/12/18 19:22
63 ：１３２人目の素数さん：01/12/18 23:12
55=57はインチキ。
64 ：１３２人目の素数さん：01/12/19 10:12
ところで、クリスタルコホモロジー
というのは何のためにあるんですか。
エタールコホモロジーと
何か関係があるのでしょうか。
というのは何のためにあるんですか。
エタールコホモロジーと
何か関係があるのでしょうか。
>>62 そ
66 ：１３２人目の素数さん：01/12/24 01:56
age
67 ：１３２人目の素数さん：01/12/31 03:11
クリスタルコホモロジーとはなんですか？ age
68 ：１３２人目の素数さん：02/01/29 14:31
おしえておしえておしえておしえて
69 ：１３２人目の素数さん：02/03/30 00:36
70 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 06:57
マジレスをするために、それに必要な概念を理解するのに2週間かけるというのは、
どれくらいおろかな行為なのだろうか？
どれくらいおろかな行為なのだろうか？
71 ：１３２人目の素数さん：02/04/25 18:33
がんばれ
72 ：１３２人目の素数さん ：02/04/25 19:43
>>70
愚かな行為とは思わない。
愚かな行為とは思わない。
73 ：１３２人目の素数さん：02/05/07 23:18
etale cohomologyから代数多様体を回復できるなら
motivic cohomologyからモチーフを再現できるんですか。
motivic cohomologyからモチーフを再現できるんですか。
74 ：１３２人目の素数さん：02/05/08 17:40
>>70
勉強になるから少しもおろかじゃないと思うんだけど。
勉強になるから少しもおろかじゃないと思うんだけど。
75 ：１３２人目の素数さん：02/05/12 23:07
76 ：１３２人目の素数さん：
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