なぜ0！は1になるの？

ちょっとプログラミングをやってて気づいたんですが
0!＝1となるのはなぜなんでしょうか？

学校ではビックリマークの前の数字を起点としてひとつづつ減らした数を1まで並べていく。
それを全部掛けた数が階乗なんだと教えられましたが？

べんりだからそう定義した

f(n)n! とする

f(n) = n*f(n-1) が
n=1でも成り立った方が何かと便利でしょ
端っこの例外を n=0のときだけかんがえればいいから。

あ、終わっちゃった。

Γ（１）＝１だから。

>>5
正確な言い方じゃないな。
「（n）=n! (n=1,2,3...)
n!のをn=0にまで拡張したときに、
0!=「(0)=1
に無理やりあわせた、というのが本当。

>>6 よりも >>5 のほうが正確だと思うが

「って何？

>>7
「（n）=n!を「（n）=(n-1)!に、0!=「(0)=1を0!=「(1)=1に
修正すれば>>6の方が正確。>>5は演算の拡張のお作法を
身につけてない可能性がある。

つーか、漏れのつかってた数学の教科書にはちゃんと説明が書いてあったぞ

Γのつもりと思われ>>8

0!は現実現象で言ったらどんなもんでしょう？

n人の並べ方＝nＰn=n!

3人の並べ方＝6通り
2人の並べ方＝2通り
1人の並べ方＝1通り
0人の並べ方＝1通り　←なんだか違和感

Γの読み方を知らないとか…（ｗ

工房相手にΓを持ち出す時点でネタだと気づいてくれよ(涙)

”そんな変な記号使うの　ガマン　してマンガ　でも　読みなさい”
で
読み方予想できたかな？

>>16
マガン？？

>>13
方眼紙にプロットして、適当に補間してみては？

君ら本当にΓ関数知ってるの？
Γ関数は積分で定義するんじゃなかったっけ？
Γ(s)=∫[x=0,∞]x^(s-1)×e^(-x)ds
私の記憶ではこうだったと思うんだけど。
sは任意の実数だよ。

>>19
自然数における階乗の自然な拡張としてΓ関数を導出してよ。
ついでに自然というのが「凸性を保つ唯一の関数である」という様な条件であることを明示してみせて。
で、ガンマ関数でΓ（０）＝１であり、自然数では０！＝１であるとするのが妥当であろうという事を示してよ。

例えば、nCr=n!/r!(n-r)!ですがここでr=nとおくと
左辺はn個のものからn個選ぶ組み合わせの数でこれは1です。
一方、右辺は1/0!となるので0!=1とするのが自然だと思います。

Γ関数はいいけど
>>6の「は何だったの？

>>22

（A）ガンマ風関数
（B）なんちゃってガンマ関数
（C)マンガ関数
（D)６は糞

どれ？

>>19
なんか似ているけどよく見るとめちゃくちゃだな。
数学科だったらやばいよ。

5はネタだと自分で書いてるのに。
ちなみに、Γ(n+1)=n!でΓ関数に0は入れられない。

21の説明が綺麗で好きです。

>>19はネタだろ？（ﾜﾗ

やべえ、記憶があやふやだ
Γ(x)=∫[x=0,∞]t^(x-1)×e^(-ｔ)dt
であってるっけ？

>>28
書き込む前にちょっと計算してみりゃ
あってるかどうか分かると思うが…
完全に暗記してないと再現できないのはアホ
数学科には向いてないね

ベータ関数は
Ｂ(x,y)＝∫[x=0,1]t^(x-1)×(1-t)^(y-1)dt
であってるっけ？

>>21
ってn!/(n-k)!ってところを
n・(n-1)・・・・・(n-k+1)
になおせばけっきょく言ってる事は
>>3
と同じじゃないの？

>>28,30 あってる。

積分範囲がﾍﾝだ

4!=4*3*2*1
3!=3*2*1
2!=2*1
1!=1
とくると当然0!は掛け算において、何もかけるものがない状態である、
と考えるのが自然だろう。とすると乗法単位元１だとみなすのが
自然だ。

これに似た状況で、Aを集合としてWをAの部分集合族としよう。
このとき、Wの元全ての交わりを考えることができるが、もし
Wが空集合のときWの元全ての交わりはAだとみなすことになっている。
これはインターセクションの単位元が全体であるためだ。

>>33
ほんとだ。[x= -> [t=。

積分による定義はRe(s) > 0ってところを誰も指摘してないってのが痛いな。

ごめん。かなりあほな事を書いてた・・・。
sで積分するようじゃ終わってる。

4!=4*3*2*1

　↓1/4倍

3!=3*2*1

　↓1/3倍

2!=2*1

　↓1/2倍

1!=1

　↓1/1倍

0!=1

↓1/0倍=∞倍

(-1)!=∞

厨！

厨厨厨>>38

2!=2*1

　↓1/2倍

1!=1

　↓1/1倍

0!=1

↓1/0倍=z倍

(-1)!=z

>>41
＞↓1/0倍=z倍
＞(-1)!=z

ｚ案は数学板のNGワードですので
このスレッドは終了します。

===================================================================完了

z案のときは、z案否定派も提案者並にドキュソだったもんな。

２人の並べ方＝２通り
１人の並べ方＝１通り
０人の並べ方＝「誰も居ない」の１通り

(ﾟДﾟ)

０！が壱になるのは定義なはずです、確かね。
じゃないと他の法則が成り立たなくなるからね。。

z案ってどういうのだったの？
教えて！！

ｚ案否定派は、ﾄﾞｷｭｿだったかも知れないが
ｚ案発案者は、電波だったぞ（ｗ

ｚ案発案者だけど何かある？

発案者は大学入ったばかりだろ。高校までの直観的な数学教育を
考えれば、物理的には0（ないし無限小）に対応する量を、
数学的な意味での0と混同してしまうのは無理もない。
オーダーに着目していたあたり、あいつは決して馬鹿じゃない。
まあ、「新しい数学」と大声で主張するのはどうかと思ったけどねえ。
z案スレも、誰かの「誤差論みたいでいいんじゃないの？」
という書き込みを流してしまわなければ良スレになったと思う
けどねえ。
しかし、誰も「〜」記号を使うときにzの何次の項まで同一視の
対象にするかという指定をしないと「〜」記号が無意味になる、
という指摘をしてなかったのはひどかったな。

>>49
＞誰も「〜」記号を使うときにzの何次の項まで同一視の
＞対象にするかという指定をしないと「〜」記号が無意味になる、

いや、それは結構クリティカルな問題になってたと思うよ
確かa=bの時にa-bは何だ？って話があって、ｚ案では
それも０にはならないっていう説明だった
つまりｚに関するテイラー級数はちゃんと求めてはいけなかったと記憶してる

まあ、議論がずいぶん混乱してたからねえ。
z案自体も変遷してたし。

しかも、積極的に「〜」記号を改良しようと言う動きも事実上無かった気がする。

nＰk=n!/(n-k)!、nＰn=n!より、n!/0!=n!
よって0!=1

結局z案ってどんなのだったの？

>>52
っていうか、彼は「〜」ではなく「=」の方を使いたがってたし
実際〜は使わなかった

>55
ｚ案の１は性格的にも問題があったんだよね

電波にはなんでもありっすよ
ｚ案発案者にとって＝は等しいんだけど等しくないことも有り得るんだから（ｗ

>>56
つーか、煽りにマジギレしてたな。

最初の頃は、１を助けてｚ案を使えそうな方向へ導いてやろうという善良な人もいたけど
途中で１にもう少し勉強してからにしてくれと匙を投げてたような気が…

ｚ案の人まだいるのかなぁ

電波を召還するのはﾔﾒﾚ

>>56
つうか、1の最大の問題点は性格。数学的能力はよくいる電波よりは
だいぶんましだったが、社会的能力に重大な欠陥があった。

２ちゃん歴が浅かっただけだと思われ。

ｚ案っていつ頃のスレ？

ｍｋｕｎも優しく育てれば、z案のようになるかも（・∀・）

>>64
多分１年くらい前

>>65
じゃぁもうすこし泳がせて見ますか？
大一坊主とどちらが先にｚ案のレベルの電波に到達するのか楽しみね

>>63
2ch歴云々とは別に等しくないものを「=」ですと言いつづけたのはやはりイタイ

そもそも2ｃｈっていつ頃から存在するんだ？

３、４年ぐらい前。

>>70
前身のあめぞうはそのくらいからあったかもしれないが2chは
だいたい二年前だろ。

あと２,３ヶ月で２周年だろ

２ちゃんねるが出来たのは1999年5月30日

この間、バスジャック一周年だよね（ｗ

をいをい、電波はないだろ。
まあ、なんか変なことを私が言っているなら非難されるのも仕方ないが、
そんな発言ありましたかねえ。（あったというなら指摘してくださいね。）
それともz案の1みたいに学校をしょっちゅうさぼっていることが
電波疑惑の原因か？

そういえば
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988661658&st=85&to=85&nofirst=true
なんかは痛いミスだったな。

ドキュンの川流れというのもあったな…

数学板乱れるときｚ案現る

オイをば忘れちゃいかんぜ

>>68
等しくないものに=を使うとだめなのか？
和が無限大に発散する時にa+…=∞と書いちゃいかんのか。(ｗ

リミットについては特殊な習慣と言うことで。

ところで、普通 n^0=1だと思うのですが、
0^0 も1ですか？教えてください。

＞８２
０＾０は計算できません。

告白します。
ｚ案野郎を率先して煽ってたのは私です。
あのときの煽りのテクニックを今ではゼミでも生かすことができ、
実りあるものであったとおもいます。

あっそ

>>83
0^0 は１と定義されていたと思ったけど。すなわち、
f(x) = 0^x は x=0 で１、x≠0で０。

はあ？

>>86
0^0は不定形だよ！

>>86
ドコで定義されてたの？脳内？電波？宇宙の意思？

宇宙の意志に６０００モナー

0^0=2.5です。
したがって>>86のレスは間違いです。空論です。電波です。

俺的には 0^0 は　100 です
86も91も誤りです。

0^0は定義しない。敢えて定義するなら普通は0^0は86。

腹が立ってきた。話がつうじん。
2.5だといってるだろうが！これ、て・い・ぎ！！こ・う・り！！腹立つ

0^0　は　眼鏡 これ定説

で　１の疑問は解決してるはずだな。
なんで　０の０乗の話になったんだ

>>96
ログを読め類題だ（ｗ

ちと、明日あたり「月刊 大学への数学2001年4月号」の
P2〜P3あたりを本屋で立ち読みしてみてくれ。
そこに、0^0=1であるという記載がある。
俺はたまたま受験生に質問されてそれを読んでたんで
ああいうふうに書いたんだけど、「それは間違いだ！」
といわれると確かにそういう気もしてくるな(苦笑)。

はぁ？
0^0=z
だよ

0/0の場合と違って、0^0は0^0=1と定義しても何の不都合もないだろ。
別に指数法則が崩れたりするわけじゃないんだから。
それどころか、指数法則を満たすように0^0を定義するとすれば
0^0=1が唯一の拡張なんだから、0^0=1と定義するのはきわめて自然だよ。

0^xがx=0一点だけで１なのが自然に感じるならそれでもいいけど。

>>101
つうか、0^xはx<0では定義できないだろ。

＞0/0の場合と違って、0^0は0^0=1と定義しても何の不都合もないだろ。

ホンキですか。。。。。？

電波が多いな

ところで、0^0 って一体どういう文脈で使われるのだろうか？
0! などは nCn なんかでどうしても出てくるから自然に 1 にしようとなるが、
0^0 がどうしても出てくるようなシチュエーションってあるのかな？

電波というのは君のようなのを言う。 >>104

>>105
どういうこと？
現実的な問題についての場合？

そそ。例えば、0! なら nCn = n!/n!・0! でどうしても 0!=1 としたくなるよね？
これと同様に、どうしても 0^0 = 1? と定めたくなるような場合があるのかってこと。

こうして大一坊主はまた一歩また一歩と電波街道を歩むのであった
「早くｚ案に追いつくぞぉ〜〜」

しかしやっぱり 0^0 = 1 とするのが妥当だと思う。

>>110
ねたはいらねえよ。ボケ。

>>103
どういう不都合が？
(a^x)*(a^y)=a^(x+y)　(y≧0)
(a^x)^y=a^(x*y)
(a^x)*(b^x)=(a*b)^x
とも、a=x=0のとき成立するし、そもそも2変数関数 f(x,y)=x^y
(x>0のときyは任意、x=0のときy≧0、x<0では定義しない）を考えれば
f はどうやっても不連続なんだから不定形のことは気にしなくていい。
たとえば、
lim[x→+0] { e^( -1/x ) } ^ x = e^(-1)　（0^0型の不定形）
だけど、これと0^0=1と定義することとは全く矛盾しない。
不定形のときでも0^0の定義が整合性を持つことを
期待するのは欲張り。解析のことは念頭にない。
代数的な整合性があれば十分だろう。
>>109
をいをい。漏れはz案のまずさぐらい分かってるぞ。
実際高1のときdx,dyなどの演算を定義しようとして挫折した経験が
あるからな。もちろん誤差論をふまえての話。

>>112の6行目の「a=x=0」は「a=0でもx=0でも」の間違い。
あと、指数法則関係で、0^x(x<0)は定義しないから
そこら辺は適当に解釈してくれ。

また電波が発生してるな…。 >>111

0^0=1なら
z^0=(1/0)^0=1^0/0^0=1/1=1

やった〜、z^0が定義できたぁ。

112の補足
例えば、a<0のとき、aの累乗は整数乗しか定義されてないけど、
（ここでは虚数の話はしないことにする）
これは解析的に言えばある意味汚いよね。
指数関数がうまく拡張されていないわけだから。
でも、代数的には、a^(-n)=1/(a^n) と定義することで
指数法則がきちんと成立しているわけだから、
a^(-n)=1/(a^n) という定義は整合的であるといえる。
0^0の話も同じこと。

>>102
全然答えになっとらんぞ。
x=0の時xはx<0を満たしてるのか？

「→Γ

0^x=0
x^0=1
こいつらが干渉してるんやな
どっちが強い？

>>102
0^|x|はどうよ。

>>119
彼にはまだ極限の概念は難しいのかもしれませんね。（ｗ

いきなりスレ違いな質問で失礼しました。
ここを読んでいて0!の証明の仕方を探ろうといろいろ式を
いじっていたら0^0というのが間に入ってきて
どうなるんだこれ？と思いつい書いてしまいました。（経過はもうわかりません）
0^x (x<0)ってないんですね。知らなかったです。本当に素人ですね私。
そう考えると0^0だけ特別な数値を持ってもあまり不思議じゃないのかもしれませんね。

>>108
実際にどんなものか想像できないので思考の沼に陥っています・・・

ところで手もとのExcelで計算すると0^0はエラー(#NUM)になりました。
VBだと0^0=1になりました。
謎のＭＳ

>>117
＞　0^xがx=0一点だけで１なのが自然に感じるならそれでもいいけど。
に対して、
x>0なら0^x=0, x=0なら0^x=1, x<0なら0^xは未定義
とするのは決して不自然ではない、と答えたつもりなのだが。
>>119
f(x,y)=x^y が(x,y)=(0,0) のところでは2変数関数として不連続
なんだから、 lim[x→0, y→0] x^y が存在しないのは決して不思議じゃない。

補足
「不連続なんだから」というのは f(0,0)

おっと。
補足
「不連続なんだから」というのは f(0,0) をどう定義しても
f(x,y) が不連続になる、という意味。（どうも表現力が足りないなあ）
除去不能な特異点って言うんだっけ？（よく覚えてないが）

>>122
たとえば、0^(-1/2) というのは１を０の平方根（すなわち０）で一回割るってことだろ？
だから x < 0 で定義されない。そんだけの話だ。

>>115
z^0=(1/0)^0=1^0/0^0=1/0=z
これがzの定義です

新たな電波が暴走しはじめたか･･･

0^0=1でいいじゃん。
数学者ヴァカ？

>>130
支持者じゃなくて本人ﾀﾞﾛ？（ﾜﾗ

今井塾では０＾０は未定義です。
０＾０は計算が出来ません。こんなものを未定義といいます。
整数が使ってある掛け算や指数の計算式の答えを求めるには、整数の
掛け算や指数の定義を使わねば出ません。
こんな当たり前のことはどこにありますか？ これが分からん者をバカと言います。

１×０＾０ の意味を考えてみよう。
これは１に０を０回かけるということである。
１に０を０回かけた（すなわち０をかけない）値は当然１である。
よって１×０＾０＝１が成立し、０＾０＝１が成り立つ。

>０回かけた（すなわち０をかけない）
このへんがｲﾀｲね

ちなみに、不定なのは０＾０じゃなくて０／０ね。

>>134 どうｲﾀｲのか説明してみてよ。できるものならね(藁

＞これは１に０を０回かけるということである。

痛いとすれば>>134の部分じゃなくてここだろうな。

[1] １×０＾０ の意味を考えてみよう。
[2] これは１に０を０回かけるということである。
[3] １に０を０回かけた（すなわち０をかけない）値は当然１である。
[4] よって１×０＾０＝１が成立し、０＾０＝１が成り立つ。

[1]→[2]
why?

[3]１に０を０回かけた→（すなわち０をかけない）
why?

演算を定義して論理的にどうこうという発想が皆無で
「なんとなく」でどうにかなると思ってる一般人は
マトモな数学屋と住んでる世界が違うので話が通じません。
仮に労力をかけて丁寧に解説できたとしても、また別の一般人が
涌いてきて、その解説を読まないまま(or読んでも理解できず)
教え役に回りたがるから、いつまでたってもこの手の話は終わらない。

つーわけで、ここで一般人に一々応対しても徒労に終わるだけなので、
どうせやるならもう少し気合を入れてちゃんとした数学的な解説を
載せたwebpageを作ってくれないかなー。(俺?俺はヒマがないのでパス(w

0^0や1/0や(-1)×(-1)については中高教師や勘違い一般人の
トホホな「証明」を載せたページは数多くあるのだけど、
大学数学をちゃんと学んだ人が数学的に丁寧に解説してるページって
意外と見つからないんだよね。

どう痛いんだい？ >>137

[1]→[2]は定義じゃないの？
２＊３＾ｎの計算は２にｎ回３をかけるということだろう？
あまりに自明だと思うんだけど、どこが自明でないんだ？
[3]はあまりにも自明で議論の余地はないと思うんだけど・・・。
確かに俺は素人だけど納得がいかんなぁ。

>２＊３＾ｎの計算は２にｎ回３をかけるということだろう？

nが自然数(1以上の整数)なら「3をn回掛ける」というのが
おおもとの累乗の定義。それ以外のxに関する3^xは
「都合がいいように天下りに定義」しただけよ。

>>141
つまり、x*y^0をxにyをかけないそのままの状態と
すでに定義されてるんでしょ？ それを利用してなにがマズイの？
もちろん、>>133なんてちゃんとした「証明」じゃないことは認めるけど、
0^0みたいな「都合のいい天下りな定義」にいちゃもんつける
人は、一体何が不満なのか分からん。

>>142
こいつぁダメだな

>>142
ﾄﾝﾃﾞﾓﾅｲ

>つまり、x*y^0をxにyをかけないそのままの状態と
>すでに定義されてるんでしょ？

されてない。

なんでy^0が定義されるより前にx*y^0が定義されるんだ?

そもそも、0^0=1じゃダメだって言う根拠は？
>>112, >>113, >>116 をふまえてちゃんと説明してくれ。

とりあえず「何々だから0^0は1である」は駄目。
「何々に都合がいいようにするため0^0を1と定義しよう」という
態度であれば一応問題はないが、未だ数学界の慣習にはなってないだろう。

0^0=1てのは何回か見かけたから、「慣習になっていない」
と言い切ることはできないと思う。でも確かに、0^0を定義することで
特別便利になる場面は思いつかないな。あえて言うなら
m個のものをn個重複を許して並べる方法はm^n通り
という公式が、m=n=0でも一応使える(nＰ0=1と同様の意味で）
ことぐらい。役に立つとはとうてい言えない。
でも、ある程度きれいに定義できるものは、定義されていた方が
何となく気分がいいけどね。

>>147
0^xがx=0一点だけで１なのが自然だと感じているらしいこと。

あと、除去可能な特異点と代数的な扱いを同一視してそうなとこ。
ついでに、無限小と０を全く区別してないとこ。

かな

>>149
きみはなんで発想が整数と極限だけなんだ？特に整数が多い。
概念が足りないのか頭が足りないのか。
君の知ってる数少ない公理系のみで矛盾が起こらないから正しいなんて判断は、
つつしんだほうがいいぞ。

級数展開f(x)=Σa(i)x^iを使う場面は割とあるんで、
「0^0=1と定義しておけば便利だな」と思うことは多い。
まあ分かってる人が数学的に問題ないようにやるなら構わんが、
ネット上でみかける一般人の議論はほとんど
>「何々だから0^0は1である」
のレベルだからな……。

だから電波だっていってんじゃん。。。
馬鹿さでいえば大一坊主は、ｚ案とたいして変わらないんだってば（ｗ

>>150
>0^xがx=0一点だけで１なのが自然だと感じているらしいこと。
前にも書いたけど、0^xはx>0で0、x=0で1、x<0で定義不能、で不自然？

>あと、除去可能な特異点と代数的な扱いを同一視してそうなとこ。
>ついでに、無限小と０を全く区別してないとこ。
だからあ、lim[x→+0] x^x=1 の話なんて全然してない。>>112を
読み直してくれ。あと>>124-126も。
指数法則が成り立つように累乗の定義を拡張して、
0^0を定義しようとすれば、自然な拡張は0^0=1だけだって言うこと。
これで指数法則は全部満足させることができている。
四則演算関連に悪影響を及ぼすこともない。

>>151
>きみはなんで発想が整数と極限だけなんだ？特に整数が多い。
極限を元に考えている訳じゃないし、もう代数的な話はしちゃったから
ついでに順列を引き合いに出しただけ。

>君の知ってる数少ない公理系のみで矛盾が起こらないから正しいなんて判断は、
>つつしんだほうがいいぞ。
四則演算と指数法則だけで不満ですか？
極限がらみはどうしたってきれいにならないんだから、そっちは
はじめから諦めているし。

>>152
そういえば確かに級数展開は便利になるな。ありがとう。

>ネット上でみかける一般人の議論はほとんど
>>「何々だから0^0は1である」
>のレベルだからな……。
そういう人は多いけど、僕がやっているのはあくまでも
0^0をきれいに定義しよう、ということ。この定義の限界、たとえば
lim[x→+0] { e^( -1/x ) } ^ x = e^(-1)　（0^0型の不定形）
なんかは踏まえている。
この「限界」と言うところ、突っ込まれそうだから予防線を張っておく。
0^0=1と定義すると、極限の正確な知識を持たない人が
lim[x→+0] { e^( -1/x ) } ^ x = 1
と思いこんでしまうおそれがある。
その点が不都合と言えば不都合だが、152の言ってくれたように
分かっていて使うなら問題はない。

>>154
＞前にも書いたけど、0^xはx>0で0、x=0で1、x<0で定義不能、で不自然？
はい、不自然

>>155
僕はx=0で1というのがいかにも「境目」っぽくて好きだけど。
まあ、こんな趣味の話をしていてもしょうがないけどね。
Ａ：「○○面白いぞ。ハマった。」
Ｂ：「俺的には駄作。おれは××派。」
というのと同じだから。
ここが原因で数学の他の部分まで汚くなっちゃうわけじゃないし。

つーか限定しすぎなところでてきとーな定義をして自然ゆーなっつーの

今井塾では０＾０は未定義です。
０＾０は計算が出来ません。こんなものを未定義といいます。
整数が使ってある掛け算や指数の計算式の答えを求めるには、整数の
掛け算や指数の定義を使わねば出ません。
こんな当たり前のことはどこにありますか？ これが分からん者をバカと言います。

０＾０　必要に応じて使い分ければいいだけのこと

>>157
＞つーか限定しすぎなところでてきとーな定義をして自然ゆーなっつーの
自然にならないところって？
＞＞前にも書いたけど、0^xはx>0で0、x=0で1、x<0で定義不能、で不自然？
＞はい、不自然
とか154で書いた極限の問題以外で、目に付くところは？
上に挙げられている点だけで0^0=1を不自然というなら、
負の数の累乗は整数乗だけ定義されている（虚数は考えないことにする）
ことだって不自然、と言わなくてはならない。

>>159　大賛成。

大一坊主は今井やミルクやシライシに似てる

>>162
激しく同意

>>162
ｚ案も入れておいてやってくれ
あいつ寂しがりやだから（ﾜﾗ

0^0=1 ですごく自然だと思うんだけどなぁ。
じゃあ、大数に載ってた0^0=1というＦ川Ａ夫の記述はウソ？
つまり、Ｆ川Ａ夫はドキュソということですか？

0^0を定義すること自体に文句つける奴はただのアホだろ。
大一坊主の書いてることは電波でもなんでもないぞ。
今井やz案のような破綻した理論と同一視してる時点で厨房決定。

まあ165はわかってないっぽいが……

こういうのはたいてい批判者の方が低レベルだからな。

>>166
大一坊主発見！

なんでこう次から次へと電波がでてくるのかなぁ
ｚ案のいた時期も去年の今ごろだっけ？

関数f(x,y)=x^y(x,y∈R,x>0)の(0,0)における連続性が前提にあるなら
f(0,0)は定義不能だが、連続性が保たれないことを承知の上なら
その場その場でf(0,0)をどう定義しようが勝手でしょう。
「f(0,0)は必然的に1になる」と言ってるのならイタイが、
そういう話じゃないんでしょ?
「連続性が保たれないから」という理由だけで
x^yの定義域を拡張することに反発してる人は
「順序体としての構造が保たれないから」という理由だけで
「代数拡大C/Rを考えるのはナンセンス」と言ったりするのかな?
演算や数学的概念が拡張されるときには拡張前に持っていたいくつかの
性質が犠牲にされるのはごく普通のことだよ。

>>171
ようやく理解者が出てきた。どうせ連続性は保ちようがないんだから
指数法則さえ満たせれば拡張としては文句ないよね。
それに0^0=1と定義することは時々行われているから、
但し書きをつけた上なら0^0=1としても誤解を招く心配はない。
整級数の表記も簡単になるし。
そもそも何で「指数法則から0^0=1が示される」な連中や
「lim[x→+0] x^x=1だから0^0=1」な連中と一緒にされなきゃ
ならないんだ？数学板にz案という過去があるから、際どい話題に
みんな神経過敏になってるからか？
でもその話題になる前から>>67あたりで電波説がささやかれてたしな。
いずれにしても、そろそろ名誉回復かな？

場合によって0^0=1と定義する、と言うか
0^0に当たる点を1とおくのはかまわんが、
一般的な定義のような言い方をするのはやめてくれ。

批判者は単なる煽りだろ。
自分が思考停止してるのを棚に上げて他人を
電波にしたがってるだけ。

うんうん、わかっている奴は当たり前だと思ってレスしないから、
思考停止が、同じ意見の奴ばかりだと思って、図に乗る。

#他の問題のとき、自分がそうならない様に気をつけよっと

>>175
当たり前だと思ってレスしないようなおとなしい人は
あまりいないと思うけど、もし当たり前だと思っていたら、
自分の反対意見に対してここぞとばかりつっこみまくると思うけど。

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ふう、一安心。
>>173
今度から気をつけるよ。
そもそも、今まで0^0=1は一般的な定義だと思っていて、
ここでもめて初めて、それが結構マイナーな定義だと分かった。
今までの習慣と、電波疑惑でかっとなったせいで、
一般的な定義のような書き方をしてしまった。
今後は0^0という表記を用いるときは「ここでは0^0=1と約束する」
と必ず明記する。

>>178
>そもそも、今まで0^0=1は一般的な定義だと思っていて、

電波じゃねぇか。

>>179
そう定義している本を見たことがあって、その定義がマイナーな定義
だなどどは思いも寄らなかったから、一般的なのだろうと思っていた。
それだけのこと。
昔は、記号は本ごとに大きく違うものだ、なんて知らなかったからね。
それに、>>98にあるように、有名な雑誌で0^0=1としているくらいだから、
そこまでひどくマイナーな定義でもないだろう。

x^x→0(x→0）

α=a^(logα/log a)

log a → -∞　(a→0)

x=a
y=logα/log a

ｘ→0(a→0)
ｙ→0(a→0)

ｘ＾ｙ=α→α(a→0)

>>180
有名な雑誌って言って「大学への数学」を出すんだから笑えるよな。
雑誌とかいうから、学会誌かと思ったぜ。でもその雑誌でどういう
コンテキストで0^0の話が出たのかわからないので判断できません。
仮に同じ雑誌の別記事に0^0=0と定義する話が出ていても全然おか
しくはない。

それにしても早くお受験数学から足洗えよな。足洗ったら
> 昔は、記号は本ごとに大きく違うものだ、なんて知らなかったからね。
なんて寝言は言わなくなるから。

で、本題だがいくら代数だけで考えても、解析的にx^x (x→0）も考えられ
るのだから、それとも整合性を取っておかないと一般的な定義としては
ダメでしょう。一般的の意味から考えて。
一度　f(x,y)=x^yでx,yを別の速さで0に近づけたときのf(x,y)の挙動を
考えてみてみろ。勿論x,y共に複素数として考える。

ごめんなさい
x^x→0（x→0）とか書いたけど
ホントにそうなるか不安になってきた。

>で、本題だがいくら代数だけで考えても、解析的にx^x (x→0）も考えられ
>るのだから、それとも整合性を取っておかないと一般的な定義としては
>ダメでしょう。一般的の意味から考えて。

はあ……。「整合性」って何だよ?
仮に0^0=1という定義が普及したとすれば0^yがy=0で不連続になり、
またどういう定義が普及してもx^yは(0,0)で不連続になるというだけのことだろ。
拡張後に連続関数にならなければ関数の定義域を拡張してはならないという
妙な思いこみはどうにかならんか?

>一度　f(x,y)=x^yでx,yを別の速さで0に近づけたときのf(x,y)の挙動を
>考えてみてみろ。勿論x,y共に複素数として考える。

そういうことはとっくに承知の上の議論だってば。
君、大一坊主の主張内容や>>171の書きこみを全然理解してないだろ。

>>184
xが実数なら、x＾x→１だよ。
一般の複素数の場合は、知らん。でも、多分これも
１になるんじゃないかな。責任はとらんが（笑）。

>>185
駄目押しみたいな書き込みすんなよ（笑）。
確かに、171で尽きてんだけど。
で、未定義のまんまだと、どういう問題があるワケ？＞大一坊主

> 一度　f(x,y)=x^yでx,yを別の速さで0に近づけたときのf(x,y)の挙動を
> 考えてみてみろ。勿論x,y共に複素数として考える。

「f(x,y)=x^yの(0,0)における連続性」のように既に散々言及されているのに
またあらためてこんなことを書いてくるとは。煽らーのレベルが知れる。
(x^yが複素変数では多価だと認識してるかどうかも怪しいが、これはまた別問題)

で>>182は大丈夫なの？１＝２？

>>183
>有名な雑誌って言って「大学への数学」を出すんだから笑えるよな。
>雑誌とかいうから、学会誌かと思ったぜ。
確かにここは数学板だからな。
ひっじょーに不適切な表現ではある。
まあ、許してくれよ。

>それにしても早くお受験数学から足洗えよな。足洗ったら
>> 昔は、記号は本ごとに大きく違うものだ、なんて知らなかったからね。
>なんて寝言は言わなくなるから。
足を洗っているから「昔は」なんだが。
こんなことを言われるのは「大学への数学」を引き合いに出した
自分に原因があるけどね。

>>186
定義しておけば級数の表記なんかで微妙に便利だけど、
未定義でもそれほど困ることはないのは事実。
でも、今議論していたのは、「0^0=1と定義すると不都合が生じるか」
という点。
>>82,>>86-89のやりとりに答えるつもりだった。

>>188
>>182の式はあっている。でも、
> ｘ→0(a→0)
> ｙ→0(a→0)
> ｘ＾ｙ=α→α(a→0)
であることと、0^0=1と定めることは矛盾しない。
このあたりは、「多変数関数の連続性」について習ったら
理解できるよ。理工系ならたいてい大学1年で習うはず。

ああ、ちなみに>>98≠大一坊主。
「0^0=1を見たことがある」と言ったけど、大数じゃない。
もっと昔の話で、いつどこで見たのかも覚えてない。
そのころは「そんなもんか」とだけ思っていて、
別に印象に残らなかったから。

ところで不便でも構わないのなら0^0=2でもいいのか？

ダメとは言わないぞ。ただし指数法則だの何だのをことごとく
修正しなくちゃならないけど。

底が0の時は指数法則の適用外のケースだから修正する必要は無い
と思う。

>>191
さすがに 0＾0 = 2 ≠ 4 = (0^0)^2 でだめじゃないの？

>>193
指数法則の適用外って？0^0=1とすれば指数法則は破れないんじゃ？
もちろん0^(-1)とかはなしだけど。
>>194
そういうことを防ぐために、0^0=2のときは指数法則を修正しなきゃ
ならないというわけ。

0＾1 * 0＾0 = 0^1 = 0
アウトです

>>196
アウトです

>>194 >>196
どうして駄目なの？
>>195
底が0の時は初めから指数法則から除外されてるから修正する
必要はないんじゃない？
0^0=1とした場合は、崩れないんじゃなくて自然に拡張できるって
ことでしょ。

自然かどうかはちょっと…

やっぱ気持ち悪い

ここら辺は個人の趣味だね。

Why does 0! = 1 ?

Usually n factorial is defined in the following way:

n! = 1*2*3*...*n

But this definition does not give a value for 0 factorial, so a natural question is: what is the value here of 0! ?

A first way to see that 0! = 1 is by working backward. We know that:

1! = 1
2! = 1!*2
2! = 2
3! = 2!*3
3! = 6
4! = 3!*4
4! = 24


We can turn this around:

4! = 24
3! = 4!/4
3! = 6
2! = 3!/3
2! = 2
1! = 2!/2
1! = 1
0! = 1!/1
0! = 1


In this way a reasonable value for 0! can be found.

How can we fit 0! = 1 into a definition for n! ? Let's rewrite the usual definition with recurrence:

1! = 1
n! = n*(n-1)! for n > 1


Now it is simple to change the definition to include 0! :

0! = 1
n! = n*(n-1)! for n > 0


Why is it important to compute 0! ?

An important application of factorials is the computation of number combinations:

n!
C(n,k) = --------
k!(n-k)!


C(n,k) is the number of combinations you can make of k objects out of a given set of n objects. We see that
C(n,0) and C(n,n) should be equal to 1, but they require that 0! be used.

n!
C(n,0) = C(n,n) = ----
n!0!


So 0! = 1 neatly fits what we expect C(n,0) and C(n,n) to be.

Can factorials also be computed for non-integer numbers? Yes, there is a famous function, the gamma
function G(z), which extends factorials to real and even complex numbers. The definition of this function,
however, is not simple:

inf.
G(z) = INT x^(z-1) e^(-x) dx
0


Note that the extension of n! by G(z) is not what you might think: when n is a natural number, then
G(n) = (n-1)!

The gamma function is undefined for zero and negative integers, from which we can conclude that factorials
of negative integers do not exist.

ガンマ。