この世で一番スゴイ素数は

３だよな！

２だと思う。偶数だもん。

何でも2は最もoddな素数なんだそうな。

>>3
ざぶとんいちまいっ！

ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝにも程がある

９７は１００以下の最大の素数。

＞６
死ね。

sage

2でしょう。一番かっこいい！

2だけが 2^n-1 で表せない異端児。

10の言ってる事も相当スゴイね。

他の素数は2^n-1 なのか？？？？
11は素数じゃないのか。。。。。。

２ｎ−１？＋でもいいじゃｎ。

すべての奇数は素数である。

65537

１０００以下の素数 2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457
461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569
571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761 769
773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881
883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997

おれが素数になれば、だれもかなわねーんだよ、ゴラァ！

prime

すべての偶数は二つの素数の和であらわされるらしんだけど、
素数は奇数なんだからあたりまえじゃん！　って思ったのってオレだけ？

素数＼{2} ⊂ 奇数

2つの奇数の和＝偶数
しかし
偶数が2つの素数の和
で表される事は自明じゃない

やっぱ２でしょ

５以上の素数は６＊Ｘ ＋−１ってのみたことあるけど
全部はあてはまんないらしい

>>23
当てはまるでしょう？
つーか
6N+3は3で割り切れるし
6N+2, 6N+4
は偶数だから
素数ならば
6N+1か6N+5
の形しかないでしょ

>>23
ごめん、必要十分条件ってことで言ってたのかな
それなら6*4+1=25が素数じゃないからその時点でだめだよね

＞２４，２５
そうですね
えーっと、
（３以上の）全ての素数は６Ｎ＋−１であり、
しかし６Ｎ＋−１には非素数が含まれる
ってことで間違いないでしょうか？

数のエリート階級制
すべての整数⊃２除く奇数⊃素数

6N+1か6N+5 中の非素数ってのは、既出の素数で分解できるってことか？

６Ｎ＋５
但し、Ｎは５の倍数でない。

Ｎ＝Ｍ−１とおくと
６Ｎ＋１＝６Ｍ−５
但し、Ｍは５の倍数でない

これでどうよ？

>>28
アホ

合成数が既出の素数で分解できるのは定義より自明

1÷9=0.111111...
0.9999....÷9=0.1111...
となるから1=0.999...
↑これがもっともエレガントだと思う

>>31
スレちがい
それに、
ものわかりが悪いようですが
ちゃんと1/3についてのスレッド全部読んでますか？
0.999・・・
という表現がwell-defineされていないのに
除算を行うのはやめてください

>>31
っつーかネタだったのかな
ごめんちゃい

1211121

３０＜
あほ
そんなこたあしっちょる
そんな自明性ならに概念はいらん

２９＜
流石ー！

>>29
ﾊｧ?

>>34
それよりも
1111111111111111111 や
11111111111111111111111
の方がすごいと思う

>>35
「『6N+1か6N+5 中の非素数』ってのは、既出の素数で分解できるってことか？」

と限定した理由はなんかあんの？（ﾜﾗ

最弱は79

>39
23からの文脈じゃー！
つまり「素数（のみ）」をあらわせる式ってのがあるのか、ないのかってこと
がききたいんじゃないの？

>>41
そんなものがあったら、「現在知られている最大の素数は…」何て記事が出るはずはないだろ。
でも横軸に数をとって縦軸に素数の数を取ったようなヒストグラムは見てみたいな。
どこかにリンクない？

６Ｎ＋５（６Ｎ−１）
６Ｎ−５（６Ｎ＋５）
但、Ｎは５の倍数でない
＝素数
これでよいのかーー！？

>>43
６ってのが出鱈目なんだよ。２だったら「２Ｎ＋１、ただしこれこれは除く…に素数は必ず含まれる」ってなるだろ。

＞４２
どっかにあったのみたよ
なんかガス状になってて、色つけてあったんで
夕焼けのきれいな雲って感じだったな

４５の名前まちがえた
＞４２
＞そんなものがあったら、
「現在知られている最大の素数は…」何て記事が出るはずはないだろ
　だね

７以上の素数

６Ｎ＋５
６Ｍ−５
ＮとＭは５の倍数でない。
Ｍ＞２
Ｎ＞１

>>47
７以上の素数は全て以下の条件を満たす。ただし以下の条件を満たす数が全て素数という訳ではない。

ｘＮ＋−１
現在知られている最大のｘは・・・
ってことか
うう不毛だ・・

>>49
書き間違いか？それとも双子の素数の話を逝っているの？

双子素数に挟まれたｘ

＞６ってのが出鱈目なんだよ。
ま　そうだけど
じゃ
最も多くの「双子の素数」を＜両手に花＞で侍（はべ）らせる６の様な因数
ってのは？

無意味な質問じゃった・・
無視してくれ

(▼へ▼X) オラオラ　勇気あったら、ここをクリックせーや！

http://www.utm.edu/research/primes/
凸(▼▼X)ばきゅ-ん

>>52
ハーレムですなあ。

123と123456789は３で割り切れる。
12345は５で割り切れる。
1234567は素数なのか？

あと、12345678901とか12345678901234567とかは？

誰か計算してくれー！

　どうも。
56>誰か計算してくれー！
　計算してみました。ただ、超でっち上げプログラムの結果なので、検算はお任せします。
12=2^2×3
123=3×41
1234=2×617
12345=3×5×823
123456=2^6×3×643
1234567=127×9721
12345678=2×3^2×47×14593
123456789=3^2×3607×3803
1234567890=2×3^2×5×3607×3803
12345678901=857×14405693
123456789012=2^2×3×10288065751
1234567890123=3×3541×116216501
12345678901234=2×7×73×12079920647
123456789012345=3×5×283×3851×7552031
1234567890123456=2^6×3×7^2×301319×435503
12345678901234567=7×1763668414462081
123456789012345678=2×3^3×21491747×106377431
1234567890123456789=3^2×101×3541×3607×3803×27961
12345678901234567890=2×3^2×5×101×3541×3607×3803×27961

というわけで素数ではないですね。確かこの形の素数はかなり大きな数であるというのを何かで読んだ覚えがあります。

ああ、先を越されている。しかしかなり大きな数まで計算してみたので、
一応見てみてくれ。偶数は省略している。

123=3*41
12345=3*5*823
1234567=127*9721
123456789=3^2*3607*3803
12345678901=857*14405693
1234567890123=3*3541*116216501
123456789012345=3*5*283*3851*7552031
12345678901234567=7*1763668414462081
1234567890123456789=3*3*101*3541*3607*3803*27961
123456789012345678901=11*5471*10000799*205126079
12345678901234567890123=3*560113*7347135846537257
1234567890123456789012345=3*5*31*41*443*863*13241*12792129877
123456789012345678901234567･･･挫折（※）
12345678901234567890123456789=3^3*7*13*31*37*211*241*2161*3607*3803*2906161
※73859で割り切れたが、その後2億5000万までの範囲に因数はなかった。

俺の粗末なマシンとプログラムではこれが限界だ。

　どうも。
>>58
おお、すごい。僕のへなちょこプログラムだと、ここまでは無理かも。
9のあとに0がなければ1234567891なんて素数ですよね。
0があってもなくても、素数の可能性があるのは最後の桁が1か7の場合だけなのはすぐわかるけど、後は何か規則性とかないですかね。

＞1234567891
スゴイ

mathematicaとかでFactorIntegerとかしたらすぐのような気がする、、、

>>61
>mathematicaとかでFactorIntegerとかしたらすぐのような気がする、、、

　じゃ、やってみて何かわかったら教えてくれませんか。
僕のぼろいパソコンとへなちょこプログラムでは、あと
1234567891234567891234567891が素数だと確かめるのがやっとでした。

>　じゃ、やってみて何かわかったら教えてくれませんか。
>僕のぼろいパソコンとへなちょこプログラムでは、あと
>1234567891234567891234567891が素数だと確かめるのがやっとでした。

すげーぞ。
その先は？(笑)
よくいる「mathematica自慢」な奴にやって欲しいね。
有名どころだと
11,111,1111,11111,…の系列などもあるね。

　どうも。
>>63
>有名どころだと
>11,111,1111,11111,…の系列などもあるね。

　レピュニット数(1が並んだ数)の素因数分解は、123456789…よりは利用価値があるからたくさん計算されてるのでしょうね。
僕のプログラムでは19個と23個1が続くものは確認出来ましたが、そこから後はちょっと(笑)。
ま、時間をかければ出来るはずですが、待てるのはせいぜい2,3時間ですからね。
次はとても無理(317個ですって)。

＞次はとても無理(317個ですって)。

やれ。
期待してあげ。

期待してあげ！

1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567 is prime

>>67
　それは僕の持っている本にも載っています。レピュニット数で素数になるものが317桁の次が1031桁だというのも載っていました。
何か求めるうまい方法があるのでしょうか。それとも力ずく？

>>58
123456789012345678901234567/73859 = 1671519909724551901613 は素数にょ。

ちなみに 12345678901234567890…12345678901234567 （567桁）は素数にょ。

>>68
1031桁のは現在知られているrepunit-primeの世界記録にょ。
"ほとんど確実な素数"（probable-prime）まで許せば49081桁、
86453桁が知られているにょ。

>>69
ありがとう･･･
プログラムを改良した上で、昨日からフル稼働で
130億までは調べたんだが、あと2日はかかりそうだった。
しかしどうやって調べたんだ？

>>71
ゴメン…実は自分では何もしていないにょ。

「因数分解くん」（勝手に命名）：

http://wims.unice.fr/~wims/wims.cgi?session=MNE1C6BC7F.1&lang=en&module=tool%2Falgebra%2Ffactor

（注）
効率と厳密さとの兼ね合いの為、とりあえず表示されるのは
"ほとんど確実な素数"（probable-prime）による因数分解にょ。
真の素因数分解を得たければ、probable-primeは青字で
表示されるから、そこをクリックするにょ。そうすることで
そのprobable-primeが真の素数であるかどうかを改めて
返してくれるにょ。

>>72
なるほど。
しかし「因数分解くん」早いなあ。
一瞬で答えを出しおってからに･･･。
すばらしいマシンとすばらしいプログラムを使ってるんだろうなあ。

結局世の中お金があって良いものが買えた奴の勝ちって事だね。

ところでさ、２ｃｈでチームつくって
GIMPSでメルセンヌ素数探すってのはダメか？
メイン
http://www.mersenne.org/prime.htm
賞金について
http://www.mersenne.org/prime.htm
プログラム
http://www.mersenne.org/freesoft.htm
ランキング
http://www.mersenne.org/top.htm

スマソ
賞金　http://www.mersenne.org/prize.htm
$100,000らしい

メルセンヌ素数か。
俺の環境じゃ
n=89
のときを調べるのに2年以上かかる計算だ。
素直に素因数分解する以外に方法はないものだろうか？
いいプログラムで、みんなで調べれば早くなるんだろうけど、
俺は
「余ったCPUパワーを医学のために」
に参加してるからパス。
こちらのほうが人類にとって有益だから･･･ｽﾏｿ

>>77
あの癌ソフト、トロイらしいですよ(;^_^A

そんな〜。
7000万時間だかかかるというのは
プログラムの問題なのか？

>>77
メルセンヌ素数の場合は、ルーカス（Lucas）テストという
非常に強力な判定法が存在するにょ（これがあるからこそ
既知最大素数の世界記録は常にメルセンヌ素数で
塗り替えられているんだにょ）。

ルーカステスト：

　L(1) = 4、L(k) = L(k-1)^2 - 2 とする。

　メルセンヌ数 2^p - 1（p：奇素数）が素数　⇔
　L(p-1) ≡ 0 (mod 2^p - 1) ．

L(n) は爆発的に大きくなるので、数列 {L(n)} は常に
mod 2^p - 1 で作っていくといいにょ。

2^7 - 1 = 127 が素数かどうかを判定するにょ。
L(1) = 4、L(2) = 14、L(3) = 67、L(4) = 42、L(5) = 111、
L(6) = 0 なので、127 は確かに素数にょ。

N=89だと、２＾89−１を
2*89*m＋１（m=1,2,3…）で単純に割っても
２年かからんような気が・・・

　どうも。
メルセンヌ素数の場合は、でじこさんのおっしゃるように良い方法が
検討されてますよね。他の有名な数に関してはどうなんでしょうか。
123…の様なものはないと思いますが(^_^;)、レピュニット数なんて
誰か考えていそうですが。

"primality test" かなんかで検索してみられよ。

1,1+2,1+2+3,1+2+3+4･･･の中に素数は3しかない模様。
証明できないかな？

>>84
1,1+2,1+2+3,1+2+3+4･･･はn(n+1)/2
より明らか

>>81
うっ、なぜ2*89*m+1（m=1,2,3･･･）でいいのかわからん
>>85
うっ、なぜ明らかなのかわからん

>>86
1 + 2 + … + n = n(n+1)/2　であり、n と n+1 とは
連続する２整数なので、どちらかは偶数。
それを 2k とおき、奇数の方を m とおこう。
すると　n(n+1)/2 = km ．

k、m ≧ 2 なら、つまり n ≧ 3 なら、
これは合成数になっているでしょ？

2*89*m+1 の方は分からんなぁ…。
「因数を持つとすればこの形であることが
必要」みたいな定理でもあんのかな？

2^N-1(N=素数)が素数で無い時、因数分解すると、
2*n*m+1(m=1,2,3…)の形になるってやつか。
どこかにあったけど思いだせん。スマソ

数学者の密室
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland.htm

>>87
どうもありがとう。
N番目の三角数は
{2*N+1-(-1)^N}/4と
{2*N+1-(-1)^(N-1)}/2
の積となることを見つけたんだが、
深く考えすぎでした･･･。

ついでに言うと、>>80の
≡　mod
がわからん。
≡は合同･･･？
modは余り･･･？
くだらんスレに書くような内容かな。

>>90
a≡b (mod n)
は合同式と言い
定義は
n｜(b-a)
です。つまり、法nに対する余りが同じ整数を等しく
捉えて議論をする為の記号です

例えば
7≡2 (mod 5)
2001≡1 (mod 10)
「合同式」を検索すればそこそこの理論展開は解説されている
ページがあると思います

合同式
http://homepage2.nifty.com/tmama/first/02.html

>>91
ありがとうございます
>>92
ありがとうございません

>>88
2^p - 1　（p：奇素数）が因数 d を持つとすると、
2^p - 1 ≡ 0 (mod d)　即ち　2^p ≡ 1 (mod d) ．
これより、（群 Z/dZ の中での） 2 の位数は p の約数にょ。
今 p は素数なので、結局 2 の位数は p にょ。

一方、フェルマーの小定理より、　2^(d-1) ≡ 1 (mod d)　にょ。
従って d-1 は p の倍数にょ。
また、d は奇数 2^p - 1 の因数だから、奇数にょ。
従って d-1 は 2 の倍数でもあるにょ。
今 p は奇素数より、p と 2 とは互いに素であるから、
d-1 = 2kp　と書けるにょ。　∴　d = 2kp + 1 ．

いってることは正しいが口調がいや〜！
もう、お願いだからキャラ変えて下さい！
長年のポリシーを壊すのは嫌だろうけど、読みにくい！
不快になったらごめんなさい。でもほんとにやなの・・・。

にょ

にょ→ニダにするか？

>>97
ネタ分からない。ハングル？

これからは語尾を改めて「にゅ」にするにゅ。
他からの要請とあらば致し方ないにゅ。
ということでヨロシクにゅ。

な〜んて。

スミマセン。そういう指摘が出るのは時間の問題だと
覚悟しつつ使っていたのですが…。

別に長年のポリシーでも何でもありません。
このハンドルで書き始めて１週間も経っていないし…。
だからこのハンドルにも未練はないです。

まあ、2ch での投稿頻度は相当低いので、
滅多に目になさることもないかと存じます。

もし目になさることがあれば…
事故だと思ってお諦め下さい（笑）。

というわけで、大目に見てにょ。

数学的に正しいことを言っているが口調が変なでじこと、
トンデモ数学を撒き散らすが口調はいたって普通な今井、
あなたならどちらを選ぶ？（藁

> 口調はいたって普通な今井
今井の口調はオジソ臭い

>>101
だって、オジソだもん。

数学的に正しいことを言っているが口調が変なでじこと、
トンデモ数学を撒き散らすが口調はいたってオジソな今井、
あなたならどちらを選ぶ？（藁

両者を足して、良い方を選べ（5点）

nannka yakuni tatuno?

最弱は７

だって・・・だってあからさまに素数じゃん！
割れなさすぎじゃんこいつ！
取っ掛かりがないよ全然！

ところで
”任意の素数ａに対して　ａ＜ｂ＜２ａ　の素数ｂが少なくとも１つ存在する”
のでしょうか。
いまのところ”たぶんあるんじゃないかな”程度なので
明らかな証明or反例キボンヌ

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/bolton.8.1.96.html
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/bertrand
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/bertrand.pdf

「任意の素数ａに対して」どころか、任意の自然数 n >1 に対して
証明済みにょ。ベルトランが予想し、チェビシェフが証明したにょ。

108:定理のstatement及び具体的な証明
109:定理のstatementのみ

問:108で既に説明されている事柄を
108のレスの直後にわざわざ繰り返して書く109の意図を解説せよ。

107さんの引用先が全部英文だったからにょ。

ちなみに（もっと悪いことに）自身はチェビシェフのも
エルデシュのもフォローしてないにょ…。

ついでに、何故かpdfファイルを開くと「Bertrand's postulate」という
タイトルが表示されたっきり、何も読めないにょ（タイトル以降は
真っ白…。もちろんAcrobat は入っているにょ）。なんで？

名前変換ミスッたにょ…。

pdfファイル、今度は化けて（ほとんどの文字が「・」に…）
表示されたにょ。どうもこっちの調子がおかしいみたいにょ…。

ISO西ヨーロッパ言語でやっと正しく表示されたにょ…。
それと111での「107さんの」は「108さんの」の誤記でした。

「110は手柄の横取りを恐れた108」に50万ペソ(ﾜﾗ

>>114

特に

＞108のレスの直後にわざわざ繰り返して書く

このくだりが・・・。

問:110が108でないならば、
特に害もない109のレスの直後にわざわざ書く110の意図を解説せよ。

そういやどっちも最後に無駄改行入れてるね。
俺は１３２万ルーブル。（藁

別にどっちでもいいけど…。

試しに「エルデシュ　チェビシェフ」や「エルデシュ　ベルトラン」等で
検索したけど、日本語サイトでは例の証明は引っ掛からないにょ…。
インターネットは英語の世界だと痛感するにょ。

素数の数は無限にあるって簡単に証明できるんだけど、
みんな知ってるかな？

>>118
知らない。教えて

素数列をa1,a2,・・・とする。
素数が有限なら最大の素数anが存在する。
ここでa1*a2*・・・*an+1を考える。
anまでのどの素数でも割り切れないからこれは
仮定した最大の素数より大きい素数。

これを利用すると素数の一般項が求まる。（嘘）

>>120
＞これを利用すると素数の一般項が求まる。（嘘）

求まんないの？

>>121
残念ながら・・・

>>1 この世で一番スゴイ素数はもちろん2です。
既出だったらスマソ。

１９

>>1

スゴイって、何が？

>>121
２×３＋１＝７、２×３×５＋１＝３１、２×３×５×７＋１＝２１１、２×３×５×７×１１＋１＝２３１１は素数だが、
２×３×５×７×１１×１３＋１＝３００３１＝５９×５０９は素数ではない。

双子素数は無限？有限？

無限でしょうな。

（N以下のすべての素数の積）＋1

>>127
三つ子素数有限は簡単に証明できるんだが･･･
双子素数無限は証明できるんですか?

Nを素数とし、三つ子素数をN,N+2,N+4とおく。
Nが3の倍数+1のとき、N+2は素数でない。
Nが3の倍数+2のとき、N+4は素数でない。
Nが3の倍数のとき、N=3以外は素数でない。
よって、三つ子素数は3,5,7以外に存在しない。

−１も素数に入れたいんだけど、駄目か？
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http://corn.2ch.net/test/read.cgi?bbs=entrance&key=989171670&ls=50

>>131
>−１も素数に入れたいんだけど、駄目か？

やってみたら？
こんなことやりたいってのは今井と似てるなぁ。。。

>>131
素因数分解の一意性が崩れるからやめておくのが無難。

０って素数だよね？

>>134

(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

（N以下のすべての素数の積）＋1
ってのはN以下のいずれの数でも
割る事が出来ないだけだと思われ。

>>136
この素数が、N以下の素数すべてと１だけでできていると考えると
やっぱりスゴイ。

>>137
(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

（N以下のすべての素数）＋1っていうのは、素数が無限に存在する
ことを証明するときに出てくる式なんだよ。

>>138
(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?
(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?
(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

荒れてきたな

くもりガラスの向こうは　風の街
問わず語りの心が　切ないね
枯れ葉一つの重さも　ない命
あなたを　失ってから

背中を　丸めながら
指のリング　抜き取ったね
俺に返すつもりならば　捨ててくれ

そうね　誕生石ならルビーなの
そんな　言葉が頭にうずまくよ
あれは　八月まばゆい陽の中で
誓った　愛の幻

孤独が好きな　俺さ
気にしないで　行っていいよ
気が変わらぬうちに　早く消えてくれ

くもりガラスの向こうは　風の街
さめた紅茶が残った　テーブルで
襟を合わせて　日暮れの人波に
紛れる　あなたを見てた

そして　二年の月日が流れ去り
街で　ベージュのコートを見かけると
指に　ルビーのリングを探すのさ
あなたを　失ってから

セブン・イレブン

いい気分♪

そういえば素数だね

>>146
（ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?
(ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

>>147
これがわかんないお前こそ (ﾟДﾟ) ﾊｧ?(ﾟДﾟ) ﾊｧ?

逝ってらっしゃい。

じゃ、サーティーワン。
そしてワンオーナイン。

何を話してるのかさっぱりわからない・・・鬱だ

132だろ

Go!Go!7188だろ。

オッチェ

素数の究極のイメージは幾何学にならないってことだ

age

>>130
＞双子素数無限は証明できるんですか?

証明できていません。やっかいなことに、双子素数の逆数の和が収束
することはしられています（証明済み）