０の０乗が定義できない訳がない

0^0（０の０乗）が定義できないと考えてる人がいる。

簡単な所では
　0^0 = 0/0
だという思い込み。

あるいは
　0^n = 0 (n>0)
だから
　0^0 = 0
という間違った証明。

「指数法則に反しないこと」を条件にすれば
　0^0 = 1
と定義することだけが許される。
０の０乗の定義は、それを納得するかどうかだけなんだけどね。

>>1
くそすれを消費してからにしろ
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1300000000/

>>2
それは 0^0 が何になるのか、という話題だったので。
ここでは、定義できるかどうかだけに内容を限定します。

あのスレでやりゃ十分


終了

全ての変数の０乗は１と決まっている。あ＾０＝１、い＾０＝１だ。

　0^0 = 0/0
という考えは、指数法則を使って
　0^0 = 0^(1-1) = 0^1 * 0^-1 = 0/0
という所から来ている。でもそれは、0^-1 が存在するならの話。

２つ目の証明の方は
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
から来ているが、これから数学的帰納法によって証明されるのは
　0^n = 0 (n>0)
ということであって
　0^0 = 0
と考えるのは間違い。

このスレッドは天才チンパンジー「アイちゃん」が
言語訓練のために立てたものです。

アイと研究員とのやり取りに利用するスレッドなので、
関係者以外は書きこまないで下さい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　京都大学霊長類研究所

０＾０
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1300000000/

0の0乗って結局いくつなの？
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1329986098/

0^0だけで３つもスレいらないから

>>5
０乗は１だと証明できると思っている人もいるようだが、
実際には、これに書かれたように「０乗は１と決める」が正しい。

指数法則の成立を仮定すると
　a^(0+1) = a^0 * a^1
から
　a^0 = a/a = 1 (a≠0)
となるが、これで証明されたのは、０乗が定義可能なことと値が１であることだ。

でも実は、もう一つの指数法則である
　a^(m*n) = (a^m)^n
を併用すれば
　a^0 = (a^0)^-1
から
　a^0 = 1
というのは導ける。この場合には a≠0 という制限は付かない。

>>8
では、このスレッドを早く終わらせることに協力してください。
そうすれば、あなたの不満も解消できます。

　　　∧ ∧　　 　　∧ ∧　　 　∧ ∧
　　 (´・ω∧ ∧　 (　 ∧ ∧　 (　 ∧ ∧ 　　　　　 　／
　 c（＿　(　　∧ ∧__(　　∧ ∧__(´･ω∧ ∧
　　　 　c（＿(　 ∧ ∧＿(　　∧ ∧＿_(　 .∧ ∧ 　　知らんがなぁ〜！
　　　　　　 c（_(´･ω･｀)c（＿(　 　,,) c（＿(　 　,,)
　　　　　　　　c（＿__ﾉ　　　c（＿__ﾉ　　 .c（＿__ﾉ 　　＼　

（しらんがなー)^0=1

もー言い尽くされて、耳にタコできたり苔生えたり…
可除でない特異点まで定義域を延長することに魅力を感じない人と、
定義したっていいじゃんと思う人がいるだけの話。
定義すれば二項定理や巾級数の表記にちょっと便利ではあるが、
指数法則の適用範囲が広がるわけでもないし、
式の表記だけの問題っぽい。
哲以外の人には、どっちでもいい些事。

正の整数nについてn!はnの倍数だから0!は0の倍数で0のはず。一方n!=n*(n-1)!となるべきだから0!=1のはず。よって、0!は定義できない
と考えるなら0^0は定義できないと考えるのも合理的だよ

>>13
0^0 の定義に魅力を感じない人と便利だと思う人がいる。
そのどちらも正しいですよね。
だから、このスレッドの表題は「０の０乗は何か」ではないのです。

定義域内でのテイラー展開が可能な事を条件とするなら
　x^y (y≠0)
とすることが必要。

有理数乗から実数乗に拡張する時
　x^y = lim[m→x,n→y]m^n
という定義を使いたければ
　0^y (y>0)
という条件を付けるべき。

他の値に定義はできないからと
　a^0 = 1
としてしまうのも一つの考え。

私は、そのどれが良いかという話はしていない。

ちなみに、二項定理はべき乗の定義と考えることもできるので
　(1+x)^y = Σ[k=0,y]C(y,k)x^k
に対し x=-1,y=0 としてやっても、０の０乗は定義できる。

0!など存在しない。（0.5)!もない。

>>14
nが負の整数でもn!は存在するの？
それを説明できないようじゃ、その命題は使い物にならないね。

それは君の信念にすぎない

>>18
何を信念と言ってるのか知らないが、もっと数学的に話してよ。
だから「苔が生えてる」とか言われるんだと思うね。

>>19
絵に描いたようなブーメラン乙

符号関数は、不連続だからと言って
　sgn(0) = 0
という定義に疑問を持つ人は少ないだろう。

べき乗にも不連続性はあるが、これを理由に「定義できない」と思ってる人は、
これと符号関数との違いを説明できないだろうな。

自分の考えを数学の言葉として話せなければ、結論が出る訳がない。
それがこの問題が解決しない理由であって、不連続だからではない。
単に能力の問題だ。

背理法被害者の会 > 空写像の認識：0^0=1系
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html

0^0=不定派は0を零元ではなく
誤った身に付け方をした解析学認識による先入観と慣習から
無限小と捉えてしまっているが故の観念を持つ｡

>>22
そのリンク先は、何故 0^0=1 となったのか理解していない。
証明しなければならないのは
　(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y) = 1
ということなのだが、集合論での説明ではこれは出てこない。
残念ながら、無限小と捉えるかどうかの問題ではない。

え

>>15は、よく解っている人と思われ、
>>1と同一人物だとは信じがたい。

問題のありかを正しく理解した上で、
0^0を定義したいかどうかを、あくまで主観的に
語り合うのであれば、それは数学好きの酒の肴には
魅力的で、こころゆくまで語らったらいい。
しかし、そこに、「定義できない」とか
「=1であることが証明できる」とか言い出す
人外の低能が参加するようであれば、話は別となる。

>>0のアンフェアな点は、
「定義できない」派の主観性を指摘しながら、
「0^0=1」の主観性には触れていないことにある。

指数法則に矛盾しないだけなら、
0^0は1でも0でもかまわない。
0^0=1の利点は、>>13にも書いたように
x^0が定数関数1になるこてに尽きる。
クヌースなど有名な0^0=1論者の論点もそこにある。
しかし、そのためには、x＜0でもx^0=1とせねば
一貫しない。もはや、指数法則との関係もなくなる。
式の表記の都合だけで、そのような拡張をするのが
美しいかどうかということ。

私の主観的な意見は、x＞0,y∈実数でのx^yを
解析接続によってx,y∈複素数まで延長するのが
美しい…というもの。その法則では、
x=y=0はx^yの定義域には含まれない。
無論「解析接続による」というのは、主観に過ぎない。
賛同者の多い主観だとは思うが。

０＾０＝１でないといってる人は見たことあるが
（−１）＾０＝１でないといっている人ははじめて見た。

まあ彼の脳内はトリップしまくりなのね

>>25
同一人物なのは、私が保証します。

「=1であることが証明できる」かどうかは、何を仮定するかに依ります。
数学は、仮定とする命題から別の命題を証明することですからね。
仮定が異なれば、結果も異なるのは当然だから、結果だけを言い合ってても合意できないのは無理は無い。

一般的なべき乗の定義から 0^0 が定義できないことは証明可能な事実です。
そこに連続性を条件に加えると、0^0 では不連続であるから「定義できない」気がしますが、
べき乗を解析的な関数と仮定するなら「=1であることが証明できる」と言えなくもありません。

>>26
x=0,y≠0もx^yの定義域には含まれない。

>>26
解析接続を使う場合は、元の領域に依らず関数は決まるから、たとえば
　(1+x)^y (x=0,y=0)
から始めても良い。これは既に示した通り、二項定理で表される。
二項定理で計算したら 0^0=1 となるが、この結果には賛同するのだろうか？
もちろん 0^y は定義域でないと言うのは自由なのだが。

>>29
いいえ。それは間違い。
局所解析的な関数と仮定する⇔解析接続する
なので、その場合は、>>25に書いたように
「0^0 は定義できない」という結論になる。

関数は解析的であるべき…という思想は
主観に過ぎないので、それを否定して、
組み合わせ論的な関数の中から式の表記に便利なもの
を選ぼう…という思想であれば、
x^0=1を優先して0^0=1を選ぶこともできる。

単に、私はそれが嫌いで、
解析性を優先したい…というだけのこと。

>>32
局所解析的な関数と仮定する⇒その関数で計算すると 0^0=1
という話なので、解析性を犠牲にした訳ではない。
ただし、0^y では解析的とはならないので、そこを定義域とすることには疑問が残るのだけれど。

>>32
解析性を優先して0^1を定義しないわけね。

べき乗に対し、解析性を優先するという話と定義域に関連があるかのような流れになっているが、両者は無関係である。

２変数関数としての x^y は、x≠0 という条件の下でテイラー展開が可能であり、べき級数によって表される。
これを解析性があるとか解析関数だと言っている。
べき級数には収束半径R_x,R_yが存在し、たとえば x=a で展開を行った場合は
　R_x = a
　R_y = ∞
である。x=0 という場所はある種の特異点だから、収束はそこまでとなる。

また、このべき級数は、x=0, y≧0 という条件下で収束する。
これを 0^y で表すなら
　0^y = lim[x→+0]x^y (y≧0)
が成立し、この関数は
　0^y = 0 (y>0)
　0^y = 1 (y=0)
と表される。

解析関数の要件として定義域内での展開が可能であることを条件とするなら、0^y は定義域から外れる。
x^yが収束することを条件とするなら、0^y あるいは 0^0 は定義域に含まれる。
どちらを選ぶかは、必要とする性質の問題であり、解析性を優先するかどうかではない。
それに、組み合わせ論的な考えで選ぼうと、便利なものを選ぼうと、0^0=1 となるので、優先するも何も無い訳だ。

0^0=1 は、それなりに便利で、醜いという点以外に文句は無い。
しかし、この定義を推す人の中には
>>36
＞ それに、組み合わせ論的な考えで選ぼうと、便利なものを選ぼうと、0^0=1 となるので、優先するも何も無い訳だ。
のように、必然的に 0^0=1 になると思っている人が多く、
そもそも「定義する」とは何事かを見失っているとしか言えない。
すなおに「私は 0^0=1 が好きだから、そう定義する」というのなら、
「私はそれが好きじゃないが、それはそれでいいかもね。」と答えるだけだが。
定義することは数学の基本なので、これは
巾乗の定義に限った話ではない。

>>36
　解析関数としてx^yを定義する⇒0^0を計算すると1になる
という話（これは証明が可能な事実）をしてるだけなのに、それが 0^0=1 を定義したという話になっている。

私はべき乗を解析関数と思うなら、0^0=1 と定義するのが自然だとは思うが
>>35
で示したことは、定義ではなく、証明だ。

>>23
お前も解析病か？
何なんだその勝手な設定は？
なに勝手に｢証明しなければならないのは｣とか息巻いてるんだ？
見ろ、>>24も呆れてる

>>37
何だ、極限持ち出して証明した気になっているとか
もう既にそこまで症状が悪化してたか

0は極限じゃないぞ

>>39
πは極限？

べき乗 x^y に対して、極限値
　lim[x→0,y→0]x^y
は決まらない。もっと言えば、定数c>0 に対して
　lim[x→+0]lim[y→log c/log x]x^y = c
であるから、極限値は任意の正の実数とすることができる。
これを根拠に 0^0 は定義できないという意見が出ることもあるので、反論しておこう。

実は、極限値を自由に変えられる関数は、簡単に作れる。
たとえば、正弦波を表す関数
　sin(x)
と、矩形波を表す関数
　sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...
を、変数yにより組み合わせて
　f(x,y) = sin(x) + y sin(3x)/3 + y^2 sin(5x)/5 + ...
という関数を作る。

この関数も、極限値
　lim[x→0,y→1]f(x,y)
は決まらないし、x,yに関連性をもたせると
　lim[x→+0]lim[y→1-cx]f(x,y) = (1/2)arctan(2/c)
のように、ある程度自由にできる。

だからと言って
　f(0,1) = 0
となることは、すぐに分かると思う。
このように、関数に連続性が無くても値は決まることがある。
考えてみれば当たり前だが。

>>6
では
　0^0 = 0/0
という考えが指数法則から来ていると書いたが、もっと酷いのになると
　0^1 = 0^0 * 0
というべき乗の定義から得られる式の両辺を 0 で割っていることがある。

１つ目の間違いは、0 で割ってはいけないという、初歩的なミス。
２つ目の間違いは、「定義できない」という証明には成り得ないこと。

上の式を 0^0 を x で表して書くと（左右逆にして）
　0x = 0
となる。もちろん、この式だけでは x は求められないのであるが、0^0 を定義することは
　x = 1
という条件を加えることだから、連立方程式と考えることができる。
これには解が存在するから、「定義できる」と証明されてしまうのだ。

どちらの間違いも、中学生が習う内容も知らないということだが、
そんな単純なことにも、引っかかる人はいるものだ。

そもそも0^0は存在するのか？
存在するなら　　１
存在しないなら　０

存在するようにする方法が存在する

>>43
「存在するのか」を「計算できるのか」に置き換えれば、イエスだろう。

べき乗は、４つの式によって定義されている。
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
(3) a^0 = 1 (a≠0)
(4) a^-n = 1/a^n (a≠0)
でもこれは、式が多くて煩雑だ。

集合論によれば、写像の数として定義できる。ただし、これには拡張性というものがない。
それ以外にも、二項定理を使う定義もある。
あるいは、テイラー展開によって関数x^y を作れば、そこから４つの式すべてを導くことができる。
そして、重要なことは、どの方法でも 0^0=1 と計算できてしまうことだろう。

現在のべき乗の定義にしたって、(3)において a≠0 という条件を付ける理由は何もない。
べき乗のことを「指数法則を使うことで計算を便利にする規則」と考えれば
　0^0 = 1
という解が導けるから、これも一種の計算と言えるだろう。

>>45
なぜ(3)で(a≠0)とわざわざ条件付けてるの？

>>46
標準的なべき乗の定義には付いている。
でも、なぜ？と聞かれても答えられないだろう。（多分、誰も）

(3)式の右辺は単位元だ。
よって、(3)は a^0 が単位元だということを表している。
同様に、(4)は a^-n が a^n の逆元だということを表している。
０には逆元は存在しないから、(4)で０を除外するのは理解できる。
でも、単位元が存在しないということは無いから、(3)で０を除外するのは不可解だ。

昔からそうだった、としか言えない。

そもそも０て何なの意味のある数なのか便宜上の記号なのか？

>>23
> そのリンク先は、何故 0^0=1 となったのか理解していない｡
> 証明しなければならないのは
> 　(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y) = 1
> ということなのだが、集合論での説明ではこれは出てこない｡

リンク先に説明が出てきてるじゃん
何を頓珍漢な事を言ってるんだい？
あと、何でいちいち極限表記するんだい？
0/0と違って極限式で語る必要は無いのに

a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)...{a=0のとき(a^1)≠0}分母に０が来てはならない。
ゆえに
=a/a
=1

じゃダメか？

>>49
集合論の話だね、で詰んじゃってるから。

「極限値が存在しないね。だから定義できないんだ。」と考えてる人が多いのに、
そこをスルーしてどう説得しようと言うの？

基本は集合論でも良いんだけど、なぜ極限値が存在しないのかを説明できなければならない。
あるいは、少なくとも「0^n=0 だから 0^0=0」という考えの間違いを指摘できなければならない。

そもそも、この問題は、０には単位元が２通りあるから、どちらも選べないという話なんだが、
自然数全体で考えれば、単位元は当然１となる。
だから、0^n の振る舞いだけでは 0^0 が定義できないが、a^n の振る舞いで考えれば 0^0=1 は必ず出てくる。
そんなことにも、リンク先は気付いてる風に見えない。

>>50
べき乗の定義では
　a^1 = a
となってるからね。
　a=0 のとき (a^1)≠0
では、べき乗とはまるで違う関数になってしまう。

e^ax=1+ax
arctan{e^(ax)-1}/a=arctanx
(1/2i)log[a-i+i*e^(ax)]/[a+i-i*e^(ax)]=(1/2i)log[a+i*ax]/[a-i*ax]=arctanx
arctan(ax)+arctan(ay/a)=arctan(a(x+y))
1+a^2=(1+ai)*(1-ai)=e^(a^2)=e^(ai)*e^(-ai)
1/(1-axi)=√(1+axi)/(1-axi)
√(1+axi)/(1-axi)*√(1+ayi)/(1-ayi)=√(1+a(x+y)i)/(1-a(x+y)i)
1/(1-axi)*1/(1-ayi)=√(1+a(x+y)i)/(1-a(x+y)i)
1/(1-axi)*1/(1-ayi)*・・・*1/(1-azi)=√(1+a(x+y・・・+z)i)/(1-a(x+y+・・・+z)i)
1/(1-1/2)*1/(1-1/3)*1/(1-1/4)*・・・*1/(1-1/n)=√(1+(1/2+1/3+1/4+・・・+1/n))/(1-(1/2+1/3+1/4+・・・+1/n))

a^2=0
a=0^1/2
1/a=1/0^(1/2)
e^(x/a)=1+(x/a)
e^(ax)*e^(x/a)=(1+ax)*(1+(x/a))=1+(a+1/a)x+x^2
e^x^2=1+x^2+1/2!*x^4+1/3!*x^6+・・・・
(a+1/a)x=e^(x^2)-(1+x^2)

1/a=(e^(x^2)-(1+x^2))/x-a
1/0=((e^(x^2)-(1+x^2))/x-a)^2

>>51
何をとっぱずれた事を言ってるんだ？
存在しないのは
(1/∞)^(1/∞)
であって
0^0
は1だよ

２つの違いが分からないの？

>>56
存在するかしないかを言えば
　lim[x→0,y→0]x^y
は存在しない。
　(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y) = 0^0
は存在する。
　(1/∞)^(1/∞)
という表記では、どちらの意味か分からない。

べき乗では
　lim[x→0]lim[y→0]x^y ≠ lim[y→0]lim[x→0]x^y
となるから、順序を指定しない最初の式の値は決められない。
でも、極限値を先に求めてから計算しなさいと指示された２番目の式なら、値は決められる（存在する）。

別の例で説明すれば
　lim[x→0]sgn(x)
は存在しないが
　sgn(lim[x→0]x) = 0
となる。
どこに極限値の記号を使っているかを明示しなければ、話が噛み合う筈もなかったね。

そして、整数の０と実数の０は違う概念だから、
整数の０で証明したとしても、実数の０でも同じとは言えない。

>>57
lim[x→0,y→0]x^y
はなぜ存在しないのですか？

０を空集合と考えると
０の０乗は集合論的には
空集合から空集合への写像の集合となり、
従ってその要素は空集合と空集合の直積集合の
部分集合で、グラフの条件を満たすものであり
よって空集合がそうである
空集合はいかなる集合に対してもその部分集合であることを
思い出そう
このことから０の０乗は空集合のみを要素として持つ集合
すなわち１である

>>58
存在しない理由を説明する前に、記号の意味を説明しておく。
　lim[x→0,y→0]x^y = C
という式が正しいかどうかは
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (0<|x-0|<δ∧0<|y-0|<δ ⇒ |x^y-C|<ε)
という論理式によって決定される。この式は、上の式の定義だと思って良い。

これが真だと証明するには
　0<|x-0|<δ∧0<|y-0|<δ
を満たすすべての x,y について
　|x^y-C|<ε
が正しいと言えなければならないが、その中で
　x = y > 0
という条件が成立している組を考えると
　lim[x→+0]x^x = lim[x→+0]e^(x log x) = lim[x→+0]e^(-x) = 1
だから、C=1 でなければならない。また
　x = y^(1/y) > 0
という条件が成立している組では
　lim[y→+0]y^(1/y)^y = lim[y→+0]y = 0
だから、今度は C=0 でなければならない。
この二つが同時に成立することはないから、論理式は偽となり、最初に示した極限値は存在しない。

>>59
集合論でどんなに正しくても、それは x,y∈N という条件下での
　lim[x→0,y→0]x^y = 1
という証明でしかない。x,y∈R の場合には
　lim[x→0,y→0]x^y = 1
の証明はできない。（つまり、間違っている）
私たちが普段使っているべき乗とは、下の式だ。

ただし、本来の意味での 0^0 とは x,y∈R での
　(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y) = 1
なので、これが成立すると考えても、何ら問題はない。

lim[x→0,y→1]x^y = 0
も成り立たないから0^1=0は正しくないということでいいのか？

＞集合論でどんなに正しくても、それは x,y∈N という条件下での
＞　lim[x→0,y→0]x^y = 1
＞という証明でしかない。

lim[x→0,y→0]x^y = 1じゃなくて0^0=1

>>62
成り立たないと思ってるなら、どうぞその証明を示してください。

>>61
>集合論でどんなに正しくても、

これは集合論（で証明されていること）は一切使わないという宣言か？
それとも自分に都合のいいことは使うけど都合の悪いことは拒否するというダブスタ宣言か？

０＾０
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1300000000/225
225 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/03/11(火) 11:59:59.77
ｆ（ｔ）＝ｅ＾（−ｔ＋（２ｔ＾２）ｉ）。
ｇ（ｔ）＝１−（１／ｔ）ｉ。
ｆ（ｔ）＾ｇ（ｔ）＝ｅ＾（ｔ＋（１＋２ｔ＾２）ｉ）。
ｔ−＞＋∞のとき。
ｌｉｍ（ｆ（ｔ））＾ｌｉｍ（ｇ（ｔ））＝０＾１。
ｌｉｍ（ｆ（ｔ）＾ｇ（ｔ））＝∞。



０＾１＝（０＾３）／（０＾２）＝０／０。

>>65
アホか
極限との整合性という全く別の観点から定義を試みているだけの話だろう

>>63
そういうことで良いです。

>>65
集合論で得られる式は、二項定理でも得られるようなものです。
無視しても何ら不都合のない内容です。

>>69
冪の定義より前に二項定理があるっていうの？

>>66
f(t)とg(t)の極限値は０と１になりますし、計算も正しそうです。
ですが、使っている指数法則が成立するという保証がありません。

　e^1 = e^(1+2nΠi) (n∈Z)
ですから
　e^i = e^(2nΠ+i) (n∈Z)
となってしまい、これも n→∞ なら発散してしまいますね。

つまり、複素数乗は考え方によっては皆発散してしまう。
それを防ぐには、主値にするなどの工夫が必要です。

では、f(t)を主値に直してみましょう。
すると虚数部は 0≦θ<2Π の範囲で表現することになり
　lim[t→∞]-t + θ/t = -∞
から
　lim[t→∞](f(t)^g(t)) = 0
となるのです。

もちろん、これが絶対的に正しいのではありません。
複素数乗を定義できるようにする必要性からこうなってるに過ぎません。
ただし、0^1=0 が正しくないというのであれば、
今までの指数関数の結果と矛盾することなく複素数乗を定義した上で、
そこに指数法則が成立することを証明し、
それを使って計算を行うことが求められるのではないでしょうか？

>>70
自然数乗に限れば同じものです。
その上で 0^0 が求められるのですから、二項定理はべき乗の自然な拡張であると言えます。

>>71
lim[s->+0](1-si)^(1/2)=-1
は指数法則なんか使わず主値を使ってるので
1^(1/2)=1は正しくないということでいいのか？

e^((a+1/a)x)=(1+ax)*(1+(x/a))=1+x^2+(a+1/a)x
e^((a+1/a)x)=1+((a+1/a)x)+((a+1/a)x)^2/2!+((a+1/a)x)^3/3!+((a+1/a)x)^4/4!+・・・
e^((a+1/a)x)=1+(a+1/a)x/(0!1!)+x^2+(a+1/a)x^3/(1!2!)+x^4/(2!)^2+(a+1/a)x^5/(2!3!)+x^6/(3!)^2+(a+1/a)x^7/(3!4!)+・・・
e^((a+1/a)x)={1+x^2/(1!)^2+x^4/(2!)^2+x^6/(3!)^2+・・・}+(a+1/a){x/(0!1!)+x^3/(1!2!)+x^5/(2!3!)+x^7/(3!4!)+・・・}
{1+x^2/(1!)^2+x^4/(2!)^2+x^6/(3!)^2+・・・} : {x/(0!1!)+x^3/(1!2!)+x^5/(2!3!)+x^7/(3!4!)+・・・} = 1+x^2 : x
{1+1/(1!)^2+1/(2!)^2+1/(3!)^2+・・・+1/(k!)^2+・・・}　: {1/(0!1!)+1/(1!2!)+1/(2!3!)+1/(3!4!)+・・・} = 2 : 1

>>73
べき乗が多価関数というだけでは？

多価関数では、「この時の値はAだ。よって、Bではない」ということは言えない。
「1^(1/2)=1 は正しくない」と言いたければ、それが何かに反していることを示してください。

{1+x^2/(1!)^2+x^4/(2!)^2+x^6/(3!)^2+・・・} : {x/(0!1!)+x^3/(1!2!)+x^5/(2!3!)+x^7/(3!4!)+・・・} = 1+x^2 : x
{1+1/(1!)^2+1/(2!)^2+1/(3!)^2+・・・+1/(k!)^2+・・・}　: {1/(0!1!)+1/(1!2!)+1/(2!3!)+1/(3!4!)+・・・} = 2 : 1
{1-1/(1!)^2+1/(2!)^2-1/(3!)^2+・・・+（-1)^k/(k!)^2+・・・} : i*{1/(0!1!)-/(1!2!)+1/(2!3!)-/(3!4!)+・・・+(-1)^k/(k!k+1!)+・・・} = 0 : i
{1+a^2/(1!)^2+a^4/(2!)^2+a^6/(3!)^2+・・・} : {a/(0!1!)+a^3/(1!2!)+a^5/(2!3!)+a^7/(3!4!)+・・・} = 1+a^2 : a

lim[x→1,y→1/2]x^yと1^(1/2)は無関係だし
lim[x→0,y→0]x^yと0^0は無関係

>>77
そうなると、√２などの無理数乗がみんな未定義になるな〜。
lim を使わないと表せないからね。

>>78
lim[s->+0](1-si)^(√２)=lim[s->+0](1+si)^(√２)が成り立たないから
1^(√２)が未定義になるな

指数関数x^yは、多価関数であり
　x^y = exp(log(x)y) = exp((Log(x)+2nΠi)y)　(n∈Z)
として定義されている。Log(x)は対数関数の主値を表す。
　1^(1/2) = lim[x→1,y→1/2]x^y = exp(nΠi)　(n∈Z)
となり、1 と -1 の両方が答となる。
これを 1 か -1 のどちらかだとか、未定義と考えるのは誤りである。

正の実数を底とする場合は、通常は一価関数として扱い
　x^y = exp(Log(x)y)
として定義されている。
　1^(1/2) = lim[x→1,y→1/2]x^y = exp(0) = 1
となり、1 が答となる。1 と -1 の両方だとか、未定義と答えるのは誤りである。

複素数を底とした時に一価関数と考えるのは、無知から来る思い込みだろう。

つまり>>71は無知。

>>81
71は合ってますよ。
誤りがないことは同意するしかないのでは？

(2k+1)+(2k+2)×(2k+3)＝素数

「無関係」の立場では、
何の無理数乗もすべて１
としてもいいんじゃない？

>>67
極限の整合性を言う割には超準解析には何でいかない？
超準解析で整理しきった超実数式から標準部分関数を取れば後は集合論の話だ｡
0^0=#φ^#φ=1

「南無妙法蓮華経」と
「超準解析」は
禁止にしたほうがいい。
意味解って使ってる奴を
まず見かけない。

１／ｘの積分でｌｏｇ（ｘ）を定義。
ｌｏｇ（ｘ）の逆函数でｅｘｐ（ｘ）を定義。
ｅｘｐ（ｌｏｇ（ｘ）ｙ）でｘ＾ｙを定義。
ｌｉｍ＿｛ｘ−＞０｝（ｘ＾ｙ）で０＾ｙを定義。

極限を取る、とは超準解析において、標準部分関数を取る、という事
{lim[x→0,y→0](x^y)}つまりst(ε^ε)
(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y)つまり{st(ε)}^{st(ε)}
st(ε^ε)=st(不定)=不定
{st(ε)}^{st(ε)}=0^0

0^0=#φ^#φ=1
実数において0は#φに他ならない

>>87
x^yをテイラー展開すれば、0^yの定義は要らない。
つまり、x^yの定義に、既に含まれている。

log(1+x)=-Σ[n=1,∞](-x)^n/n
exp(x)=Σ[n=0,∞]x^n/n!
(1+x)^y=exp(log(1+x)y)
=Σ[m=0,∞](-yΣ[n=1,∞](-x)^n/n)^m/m!
=1+yx+...

(lim[x→0] x^0)は存在するのですか？

>>88
　{st(ε)}^{st(ε)}=1
が言えれば良いんだけど、その時の x^y の定義には何を使うつもりだい？

>>90
べき乗の定義から
　x^0 = 1 (x≠0)
と決められている。
　lim[x→0] x^0
という極限値は、x=0 で何になるかと無関係だから 1 と証明される。

>>92
とうことは
（lim[x→0] x^0）=1
という記述は有効ですか？

>>93
証明されてる事実だから、有効。

ちなみに y=0 なら
　x^y = exp(log(x)y) = exp(0) = 1
だから、対数関数が多価関数であっても、これだけは 1 となる。

>>94
lim[x→0,y→0](x^y)と記述している場合は
xが0に近づく速度とｙが0に近づく速度を
加味しなければいけない。速度の違いによって
x^yの値が異なるという事でいいですか？

値が異なるというより、
ひとつの値に決まらない
ので「極限は収束しない」。

>>95
速度の違いというと
　y = Ax (Aは定数)
というのを思い描いてしまうのだが、この場合は
　lim[x→0]x^(Ax) = 1
となる。
さらに言うと
　x = y^A (Aは定数)
という場合も
　lim[y→0](y^A)^y = lim[y→0]exp(log(y)Ay) = lim[y→0]exp(-Ay) = 1
となって、これも同様だ。
これ以上に速度の違いがなければ、x^y が 1 以外になることはない。

でも、数学には上には上があるから、そういう速度の違いであれば x^y の値が変わってくる。

のびたのー

>>97
xとｙが同時刻に０に達するかｙがｘより先に０に達するような速度の場合は
x^yが1になるがｘがｙより先に０に達するような速度の場合はx^yが0になる。
ということでいいですか？

直感的には、その感想でも悪くはないが、
叙情的な表現を並べても、正確な理解には繋がらない
と思う。

部分列が→1以外になる例としては、
x=exp(-t),y=a/t,t→+∞とか。

意外と早く１００に到達したな。

>>99
極限値という概念は、ある値を避けて、その近くでどうなるかだから、
「０に達する」という表現は正しくありません。
時間の概念とは無関係です。
どんな場合に x^y が 0 になるかは、実際に計算しなければ分かりません。

近くという概念は、たとえば
　x : y = 1 : 2
なら、x の方が 0 との距離が半分なので近いとも言えるし、
　x = y^2
なら、y が半分になる間に x は 1/4 になるから x の方が速いとも言える。
でも、この時、y が 0.1 から 0.05 に変化したとして、x は 0.01 から 0.0025 に変化してるから、
差を考えると y は -0.05 に対し、x は -0.0075 の違いしかない。
このように、「近づく速度の違い」と言っても、意味は非常に曖昧です。

一般的な使い方で言えば
　lim[x→0]f(x)/g(x) = 0
となる場合に、f(x) は g(x) よりも早く０に近づくと言うかな。

べき乗において
　lim[x→0]f(x)^g(x) = 0
となる条件は
　lim[x→0]f'(x)/f(x) * g(x)^2/g'(x) = ∞
になると思います。

>>91
st(ε)=0

>>101
観察者気取り？
楽しそうだね

楽しいというより、似たスレッドを作った責任から、
１００は超えたいと考えていた。

>>91
は指摘を間違えた。

無限小は
　ε≒0　(≒は「無限に近い」の代わり）
なので
　st(ε^ε) = 1
を証明する必要がある。

いや、違うでしょ。
st(ε)=0のときst(ε↑ε)=1は成立するけれど、
本当に示さねばならないのは
st(ε)=st(μ)=0のときst(ε↑μ)=1かどうかで、
こっちは成立しない。

こんなの、超準で書いても標準で書いても
書き方の違いだけで、内容は一緒だから。
前にも書いたが、「チョージュンカイセキ」とか
「ナンミョーホーレン」とか御題目はやめて、
ちょっとは考えてみようよ。

>>100

その場合はｘは指数関数的に減少するがｙは1次関数的にしか減少しな
い。圧倒的にｘの方が０に近づく速度が速い。と言えないだろうか？

>>107
> st(ε)=st(μ)=0のときst(ε↑μ)=1かどうかで、
も良いんだけど、証明が必要なのはこちらです。

> こっちは成立しない。
とは、何か理由があるんですか？

y=x ⇒ lim[x→0](x^y)=1
y=log{x}(e) ⇒ lim[x→0](x^y)=e
yはxと独立 ⇒ (lim[x→0]x)^(lim[y→0]y)=1
yはxと独立 ⇒ lim[x→0, y→0](x^y)は不定

μ=ε ⇒ ε^μ=1
μ=log{ε}(e) ⇒ ε^μ=e
μはεと独立 ⇒ {st(ε)}^{st(μ)}=1
μはεと独立 ⇒ st(ε^μ)は不定

極限が個別に掛かっているのか
極限が一緒に掛かっているのか
それだけの違いで結果が変わる事は
高校数学�Vの極限の単元の基本事項
同様に
標準部分関数が個別に掛かっているのか
標準部分関数が一緒に掛かっているのか
それだけの違いで結果が変わる事は
標準部分関数の基本事項

>>110
> μはεと独立 ⇒ st(ε^μ)は不定
が何故不定なのかと質問してるんだけど。これが
> yはxと独立 ⇒ lim[x→0, y→0](x^y)は不定
のことだと思うのか？
では
　st(sgn(ε)) = 0
は
　lim[x→0]sgn(x) = 0
のことだから、どちらも成立しないのか？

st(ε) = 0 とは、任意の正実数 r に対して |ε| < r となるはずだぞ。
ε は 0 を意味するコーシー列を表すのではなかったのか？
その符号が 0 でないなら、それはもう 0 ではないぞ。

>>102
べき乗において
　lim[x→0]f(x)^g(x) = 0
となる条件は
　lim[x→0]f'(x)/f(x) * g(x)^2/g'(x) = ∞
になると思います。

についてその根拠を示していただけませんか？

>>113
ロピタルの定理を使った結果です。

　f(x)^g(x) = exp{log(f(x))/g(x)^-1} = exp(-∞ / ∞)
{}内の分子分母を微分して
　f'(x)/f(x) * -g(x)^2/g'(x)
となり、それが -∞ となるならば
　lim[x→0]f'(x)/f(x) * g(x)^2/g'(x) = ∞
としたんだけど。久しぶりなので、ちょっと自信ない。

　x = exp(-t), y = 1/t
だと
　lim[t→+∞]-exp(-t)/exp(-t) * -t^2/t^2 = 1
となり、この場合は 1/e になる…程度の確認はした。

http://ai.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1324180992/723
　　↑　↑　↑　　↑　↑　↑

112

何を阿呆なことを…
st(sgn(ε))=0 じゃない。st(sgn(ε)) は収束しない。

標準部分が等しい超実数の間にも、大小関係はある。
st(α)=st(β) のとき、
α＞β, α=β, α＜β のどれもがありえる。
st(α)=1 のとき、
α＞1, α=1, α＜1 のどれだかは決まらないし、
st(ε)=0 のとき、
ε＞0, ε=0, ε＜0 のどれだかは決まらない。

st(ε)=0 の条件下に、sgn(ε) の値は
+1, 0, -1 のどの場合もあることになる。
よって、st(sgn(ε)) の値も
+1, 0, -1 がどれもありえて、ひとつに決まらない。
そのことを、lim[x→0] sgn(x) は収束しない
と呼ぶのだった。

>>6
において
　0^n = 0 (n>0)
から
　0^0 = 0
と考えるのが間違いだとは言ったが、正しい考え方は示してなかったので書いてみよう。

因数定理により
　0^n = 0
ということは、(1-y/n)が因子であることを示す。よって
　0^y = f(y)(1-y/1)(1-y/2)... = f(y)Π[n=1,∞](1-y/n)
だと分かる。f(y)は任意の関数である。
　g(y) = Π[n=1,∞](1-y/n)
で表しておく。

ここで、f(y)を有限の関数だと仮定する。
g(y)を計算してみると
　g(y) = 0 (y>0)
　g(y) = 1 (y=0)
　g(y) = ∞ (y<0)
となることが分かる。するとf(0)の値以外は無視できるから、f(0)をAで表し
　0^y = Ag(y)
となる。これより
　0^0 = A
であるから、0^0=0 とは決められない（そういう推論は正しくない）ことが分かるだろう。

ちなみに、0^0=0 としたいのなら、A=0 より A=y とする方が良い。

>>116
lim[x→0]x = 0 とは
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈R (0<|x|<δ ⇒ |x|<ε)
が成立すること。符号は
　sgn(lim[x→0]x) = 0
と定義されている。

超実数が
　st(α) = 0
なら
　∀ε>0 (|α| < ε)
が保証されている。これはαを使えば、３行目の論理式が成立することを示す。
この論理式は０であることを示すものだから
　sgn(α) = 0
でなければならない。

>>112
もしや
lim[x→±0]{sgn(x)}
と
sgn(lim[x→±0]x)
は同じにならない事が分かってないのか？
前者は±1、後者は0になる事が分からんのか？

>>119
それが分かってるから、わざわざ訂正してあげてるのに。
　st(α) = 0 ⇒ sgn(α) = 0
と同じ意味なのは
　sgn(lim[x→0]x) = 0
だ。

st{sgn(ε)}=1
sgn{st(ε)}=0
定義より至極真当天然自明

>>121
はいはい、定義が示せたら検討しても良いよ。

> α＞β, α=β, α＜β のどれもがありえる。
ということを定義から示してね。

横レスだが・・・
写像 f：R → R に対して、その自然延長 f^* ：R^* → R^* の定義を
振り返っておこう。

ここでは、超積によって超実数体を構成する。すなわち、Nを自然数全体の集合とし、
FをN上の単項でない超フィルターとする。R^N の上の同値関係 〜 を、
x＝(x_1, x_2, x_3, …)∈R^N, y＝(y_1, y_2, y_3, …)∈R^N に対して

x 〜 y ⇔ { n∈N｜x_n＝y_n } ∈ F

として定義する。そして、R^*：＝ (R^N)/〜 として超実数体 R^* を定義する。
x∈R^N に対して、xの 〜 による同値類を、ここでは C(x) と書くことにする。

さて、写像 f：R→R を任意に取る。超実数 α∈R^* に対して、
α＝C(x) なる x＝(x_1, x_2, x_3, …)∈R^N を任意に取り、

f^*(α)：＝ C((f(x_1), f(x_2), f(x_3), …))

と定義する。この定義は well-defined である。すなわち、
この定義式の右辺は、α＝C(x)なる x の取り方によらず
一意的に決まることが言える。こうして f^*：R^* → R^* が定義される。

以後、sgn：R → R の自然延長を sgn^*：R^* → R^* と書く。
x_n＝1/n (n＝1,2,3,…) で定義される x∈R^N に対して、
α＝C(x)∈R^* と置くと、st(α)＝0 が成り立つことが分かる。一方で、

sgn^*(α)＝C((sgn(x_1), sgn(x_2), sgn(x_3), …))＝C((1,1,1,…))

であるから、st(sgn^*(α))＝1 が成り立つ。特に、st(sgn^*(α))＝0 は成り立たない。
今度は y_n＝−1/n (n＝1,2,3,…) で定義される y∈R^N に対して、
β＝C(y) と置くと、st(β)＝0 が成り立つことが分かる。一方で、

sgn^*(β)＝C((sgn(y_1), sgn(y_2), sgn(y_3), …))＝C((−1,−1,−1,…))

であるから、st(sgn^*(β))＝−1 が成り立つ。特に、st(sgn^*(β))＝0 は成り立たない。


以上より、st(γ)＝0 であっても必ずしも st(sgn^*(γ))＝0 とは限らず、
st(sgn^*(γ))＝1 あるいは st(sgn^*(γ))＝−1 となる場合がある。

>>123
そのように定義された超実数体の元に大小関係はあるの？
> st(α)=st(β) のとき、
> α＞β, α=β, α＜β
のどれかに必ずなるのか？

>>120 >>122
おい>>116
俺は112に話かけているんだぞ

再び>>112
>>102が言ってくれた事と俺が>>111で言った事が分からんのか？
yはxと独立 ⇒ (lim[x→0]x)^(lim[y→0]y)=1
yはxと独立 ⇒ lim[x→0, y→0](x^y)は不定
周りの言っている事が分かるなら結果の自明性も分かる筈だぞ

>>125
超準解析を語ろうとする者が、
なぜ超積からの定義方法を知らないのだ。
問題外だぞ。

超積からの定義でも、当然ながら大小関係が入る。
α＝C(x)∈R^*, β＝C(y)∈R^* に対して、

α≦β ⇔ { n∈N｜x_n≦y_n }∈F

として超実数体の元の間に大小関係が入る。
Fが超フィルターであることが重要。

これで実際に大小関係が入ることを確かめるのは
簡単な演習問題だから、あとは君がやれｗ

yはxと独立 ⇒ (lim[x→0]x)^(lim[y→0]y)=1の単純代入形極限式
yはxと独立 ⇒ lim[x→0, y→0](x^y)は∞^0型不定形

lim[x→0, y→0](x^y)
=lim[x→0, y→0]{(1/x)^(-y)}]
=lim[x→0, y→0][{(1/x)^y}^(-1)]
=(∞^0)^(-1)

>>127
それで
　(1/2,1/3,1/4,...) と (1,-1/2,1/3,...)
の間に大小関係が入ると言うつもりか？
超フィルターが重要だそうだから、それで解決してくれ。

(・_・)

>>129
まさかの「フィルター」すら知らないという始末。
よくそれで超実数体を持ち出す気になったな。

いい加減にしろよ大バカ野郎。↓を読んだら もう消えろ。


以下、>127の "≦" が全順序であることを証明する。
超フィルターの性質はググれ。そこまでは書いてやらん。

まずは>127の定義が well-defined であることを言わなければならない。
ここからは、x,y∈R^N に対して、(x≦y)⊂N を以下のように定義する。

(x≦y)：＝ { n∈N｜x_n≦y_n }.

(x≧y), (x＝y) なども同様に定義する。
さて、>127 の定義が well-defined であることを言うには、
a,b,x,y∈R^N に対して

a〜x かつ b〜y かつ (a≦b)∈F ならば (x≦y)∈F

が成り立つことを示せばよい。まず、a〜x の定義により(a＝x)∈F である。
同様に、(b＝y)∈F である。これと(a≦b)∈F 及びFがフィルターであることから、
(a＝x)∩(b＝y)∩(a≦b)∈F となる。(a＝x)∩(b＝y)∩(a≦b)⊂(x≦y) に注意して、
再びFがフィルターであることから(x≦y)∈F となる。
以上より、>127 の定義は well-defined である。

次は、>127 の "≦" が半順序であることを示す。

(1) α≦α
(2) α≦βかつβ≦α ⇒ α＝β
(3) α≦βかつβ≦γ ⇒ α≦γ

を示せばよい。
(1)：α＝C(x) なるx∈R^Nを何でもいいから1つ取る。
明らかに (x≦x)＝N であるが、FはフィルターであるからN∈Fである。
すなわち、(x≦x)∈F である。よって、α≦αである。
(2)：α＝C(x), β＝C(y) なる x,y∈R^N を取る。
α≦βかつβ≦αにより、(x≦y)∈F かつ (y≦x)∈F となる。
よって(x≦y)∩(y≦x)∈Fとなる。(x≦y)∩(y≦x)⊂(x＝y) に注意して、
(x＝y)∈Fとなる。すなわち、x〜yとなる。よってC(x)＝C(y)となるので、α＝βとなる。
(3)：α＝C(x), β＝C(y), γ＝C(z) なる x,y,z∈R^N を取る。
α≦βかつβ≦γにより、(x≦y)∈F かつ (y≦z)∈F となる。
よって(x≦y)∩(y≦z)∈Fとなる。(x≦y)∩(y≦z)⊂(x≦z) に注意して、
(x≦z)∈F となる。よってα≦γとなる。

次は、>127 の "≦" が全順序であることを示す。
>>129の大バカ野郎が最も知りたい部分だろう。

α,β∈R^* を任意に取る。「α≦βまたはβ≦α」が成り立つことを示せばよい。
まず、α＝C(x), β＝C(y)なるx,y∈R^Nを取る。もし(x≦y)∈Fならば、α≦βである。
それ以外の場合は、――言い換えれば、(x≦y)∈Fが成り立たない場合は、
Fが超フィルターであることから、N−(x≦y)∈F が成り立つ(これが大切)。
N−(x≦y)＝(y＜x)であるから、(y＜x)∈F ということである。
(y＜x)⊂(y≦x) に注意して、(y≦x)∈F となる。すなわち、β≦αとなる。
以上より、>127 の "≦" は全順序である。

さて、一般に半順序集合(X, ≦)とα,β∈Xに対して、

α＜β ⇔ α≦β かつ α≠β

としてX上の二項関係 "＜" が定義される。
特に、(X,≦)が全順序集合のときは、任意のα,β∈Xに対して
「α＜βまたはα＝βまたはβ＜α」が成り立つ。以下でこのことを示す。
α＝βのときは、それでよい。以下ではα≠βとしてよい。
(X,≦)は全順序集合だから、α≦βまたはβ≦αが成り立つ。
α≦βのときは、α≠βを思い出して「α≦βかつα≠β」ということだから、
α＜βが成り立つ。β≦αのときは、α≠βを思い出して「β≦αかつα≠β」
ということだから、β＜αが成り立つ。以上より、確かに
「α＜βまたはα＝βまたはβ＜α」が成り立つ。

既に示したように、(R^*,≦)は全順序集合だから、任意のα,β∈R^*に対して
「α＜βまたはα＝βまたはβ＜α」が成り立つ。■

>>131
今さら気づいたか
こいつは極限の基本さえ押さえてない高校生
或いは俄仕込みの学部生だろ
>>112で気づけ、x=0とx→0の意味を一緒くたにする大バカ野郎だぞ

>>122 >>125
テメエ、人にやらせといて何を偉そうにしてやがる
お客様のつもりかよ？随分とまた高慢ちきな屑野郎だな

>>131
今さら気づいたか
こいつは極限の基本さえ押さえてない高校生
或いは俄仕込みの学部生だろ
>>112で気づけ、x=0とx→0の意味を一緒くたにする大バカ野郎だぞ

>>122 >>125
テメエ、人にやらせといて何を偉そうにしてやがる
お客様のつもりかよ？随分とまた高慢ちきな屑野郎だな

sgn{lim[x→+0]x}=1
sgn(0)=0
sgn{lim[x→-0]x}=-1

関数f(x)を

x=0 のときは f(0) = 0
x=0でないときは 定義しない と定めた時、

f(lim[x→0]x) は どうなりますか？
定義できますか？それとも定義できませんか？

すまない。勘違いだったようだ。
少し気を悪くさせたようだな。

話を
>>88
にまで戻すのが妥当だろうか。

> 0^0=#φ^#φ=1
> 実数において0は#φに他ならない
と言った所で、実数を変域とする二変数関数に拡張する手段がないのが問題だ。

>>137
関数f(x)を

x>0 のときは f(x) = 0
と定めた時

f(0) はどうなりますか？
1 と定義できますか？

…として欲しい所だ。

なお、質問の答を示すと、
定義できるかできないかと聞くのはとても変だ。
　f(lim[x→0]x) = f(0) = 0
だから、これは既に定義されている。

>>117
横道に逸れてみる。

　f(y) = Π[n=1,∞](1-y/n)
と表すと
　(1-y)f(y) = f(y)
となる。a>0 として
　(1-ay)f(y) = f(y)
にもなる。

では逆に、減らしたらどうだろうか。
　Π[n=2,∞](1-y/n) = f(y)
などとなる。

140
古い和書には、その lim の値が計算できないような、
ちょっと違うεδが書いてある場合がある。
そのへんの事情は、これも古い本だが、
「εδに泣く」に詳しく書いてあった。

ずっと前だが
　lim[y→0]0^y = 0
がこうなる理由を考えたことがある。

べき乗の定義だけでは、計算できっこない。
指数法則を使うと
　0^1 → 0^0.5 → 0^0.25 → ...
と 0 に近づけることができる。
でも、定義する前に法則が成り立つと決め付けるのは逆だろ？

他の方法は
　0^y = lim[x→0]x^y
しかない。
　x^y = exp(log(x)y)
と定義されているので、この方法なら、指数法則を使う必要がない。

ならば、いっその事
　0^y = exp(log(0)y)
と定義した方が、分かりやすい。

>>143
log0は定義できるの？



と釣られてみる。

>>144
log0 は定義できません。
正確に言えば
　log(1+x) = -Σ[n=1,∞](-x)^n/n
だから、log0は収束しない。

でも、逆関数だから
　exp(log(0)) = 0
と考えたい。
　log(x)→-∞ (x→0)
　exp(x)→0 (x→-∞)
だから、log(x)の値を知ろうとしなければ、問題ない。

あ、logおじさんだ

アダ名、愛称、敬称？
それとも、二つ名？

>>145
>exp(log(0)) = 0
定義できない関数log0でも
の逆関数は存在しますか？

>>148
「定義できない」とは微妙な表現であり、数式としてならいつでも存在します。
そして、合成関数も同様に、数式として存在します。
その数式を使って計算すれば、0 は 0 でしょ。
その際、log の結果はどうなりましたか？と聞かれても答えられませんが。

逆関数という意味は、対数関数を表す数式を元に戻す数式が指数関数だという意味です。

>>149
0^0=exp{log(0)0}=e^0=1
でもいいですか？

>>150
それも当然含まれますね。

定義することに意味があるかどうかというのは哲学の領域になるからな

0の階乗を1と定めるのも、
階乗の初歩的な定義からすれば意味がないことだし
n≠0のnの0乗を1と定めるのも、
累乗の初歩的な定義からすれば意味がないこと。

無論、初歩的な定義では意味がないことでも
今ではどちらも正しいものとして扱われているし
定義されたものではなく、当然のものとなっている。

0の0乗を定義する必要性のある分野が拓かれて
それが数学全体において大きなウェイトを占めるようになり、
さらにより深い理論によって、定義ではなく当然のものとして
扱える体系が確立すれば、0の0乗も自明の値に落ち着く時代も来るだろう。

哲学て！(半笑)
どう定義したいかは、趣味の問題だろ。
醜い定義は、普及しないことが多いよ。

だから、どう定義したいかというんじゃなくて、
「定義することに意味がないから、定義するな」
「定義することには意味があるから、定義させろ」

とかいうのは数学じゃないだろって言ってんの。

定義するなと言われたからと言って、定義したい連中が
いるのは確かだろうし（それがただの数オタだとしても）

そんなので揉めるのは哲学というか、もう宗教（）みたいな
争いになるからよそでやれっての。

定義したい奴は、ぐだぐだ並べてないで
その定義を語ればいい。そしてその定義によって得になる
何かがあるのならそれもこっそりと隅に書き添えておけば完璧だ。
反対したい奴はその定義での問題点に言及すればよか

>>151
x=y^(-2)
x^y=(y^(-2))^y=y^-2y
とした場合
lim(y→0)
はどうなりますか？

集合論的には0^0を1と定義する理由はある、
Σa_n x^n のn=0 , x=0 の時のようにある場合は便利、
複素関数論的には0^0=1と定義して良いことが何もない、混乱するだけ。

↑他に何かあったっけ？

二項定理は0^0=1としないと一般に成り立たない。
x^nの導関数をnx^(n-1)とするには0^0=1でなければいけない。

st(-ε)=0=st(+ε) but -ε<0<+ε

>>157
Σa_n x^n 同様、x^0=1としておいて、x=0をあとから代入するケース
だな。

0を代入することを許容する不定のものxに対してx^0=1と約束する、
という話と 最初から 0^0=1 と定義するという話にギャップがあるのが
不快感の理由か。

>>82
複素数を底とした時に一価関数と考えるのは、無知から来る思い込みだろう。

>>156
>複素関数論的には0^0=1と定義して良いことが何もない、混乱するだけ。

?

不快かね？
私は、解析優先の嗜好で、
定義しないほうがいい派
だけど、巾級数の書き方が
ほんの少しスマートになる
という点には魅力は感じる。

空集合上の写像の話は
真に不快で、
そんなん場合分けしとけ！
と思う。

空集合上の写像の話のほうが自然だと思うがなー
正直、巾級数のほうは場合分けして問題ない。
1+Σa_n x^n と書いてる、注意深い本もある。

a^bを 写像と巾の両方の意味で使うのは、あまり
好ましくないのでは、と思っている。

たとえば、空集合の写像として0^0=1は当然として、i^4=1 を
意味づける、集合論的に簡単な説明があるんだろうか？

そうかなあ？
感じ方は、人それぞれだけれど…

私が写像の個数の方の話を不快に感じるのは、
クロネッカーが嫌いだからかも知れない。
神与え給うた「数」は、複素数だと思う。
いやまじで。

好き嫌いはそれぞれだけど、違和感とか不快感を感じる人が多ければ
普及はしないでしょう。適当に便利なものを選んで使えば良いと思うんだが。

>>164
ｎ変数の冪級数とかやれないね。

>>162
それはお前が
lim[x→0]x
と
0
を混同しているだけ

>>169
同じ。

0^0=1 派
不定元の冪の表記は単なる形式的な記号だと思ってる
0^0=0 に合うような例は犠牲にすればいい

>>168
多重指数の定義の時に明確に書いておけば困らないね^^

＞0^0=0 に合うような例は犠牲にすればいい

例って？

y=lim_{a->-inf}ax.

y=inf. (x<0)
y=0. (x=0)
y=-inf. (x>0)

z=exp(y).

z=inf. (x<0)
z=1. (x=0)
z=0. (x>0)

>>152
定義するかどうかは、知識の問題だと思う。

ガンマ関数を知る人は
　Γ(1) = 0! = 1
であることに疑問を持たないと思うがな。

同様に、二項定理を知る人は
　(1-1)^0 = Σ[k=0,∞]C(0,k)(-1)^k = 1
と考えるのは当然の筈なんだが、私には疑問を持つ方が分からない。

>>160
定義ではなく 0^0=1 は計算問題だろ。

>>156
> 複素関数論的には0^0=1と定義して良いことが何もない、混乱するだけ。
複素関数論的には0^0=1と定義しないと混乱するだけ、とは思わないの？

定義するかどうかは、知識の問題だと思う。

ガンマ関数を知る人は
　Γ(1) = 0! = 1
であることに疑問を持たないと思うがな。

同様に、指数法則を知るものは
0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 （不定）
と考えるのは当然の筈なんだが、私には疑問を持つ方が分からない。

>>157
二項定理が成り立つかどうかじゃなく、二項定理がべき乗の定義なんだよ。
指数関数が
　e^x = Σ[k=0,∞]x^k/k!
という意味でな。

>>88の意味どころか
>>158は愚か>>136の意味さえ分かってない癖に
解析での拡張性やら連続性やらにばかり捕らわれるあまり
0とlim[x→0]xを混同して語るバカがいる！
場合分けとか言ってるバカまでいる！
0とεを混同して語るバカがいる！
つまり、0と無限小を混同しているバカだ！

と言うかlim[x→0]xすら、存在しない(絶対値は存在するが)！
存在するのは複素数域だけで言っても(lim[x→0∠θ]x)&amp;(0≦θ<2π)だ！

こら2ch！勝手に
amp;
入れんな!!

ああ、そうか。
これってlog(0)をどう定義するかって話だよね。
　log(1+X)=Σ[n=1,∞](-1)^{n-1}X^n/n (|X|<1)
でX=-1と無理やりおいちゃう。そうすると
　log(0)=-Σ[n=1,∞]1/n=-∞
ってなる。発散しちゃった。
これはζ(1)だね。でもζ(s)はs=1で極を持ったよね。

>>178
とすると、個別に
　0^0 = 1
と定義した場合でも、その本（あるいはその人）は
　0/0 = 1
としてることになる訳だな。
私なら、それに疑問を持つがね。

>>180
lim[x→0]x=0

以上

>>182
　log(0)=-Σ[n=1,∞]1/n
と置いたんなら、それをまた指数関数の定義に入れるべし。

3Dグラフで見てもlim[x→+0,y→+0]x^yは１に漸近しているのだが。

>>155
　y^-2y = exp(log(y)*-2/y^-1) = exp(1/y * 2y^2) = exp(2y)
により
　lim[y→0]y^-y = 1

２が抜けてる。まっいいか。

>>183
不定だから、「ある条件」のもとで「良い極限」をとると
0^0 = 1 なり、0/0 = 1 になる。その「ある条件」しか
考えない人には、0^0 = 1、0/0 = 1 が自然に見える。

だから、そう定義してしまっても「ある条件」を満たしてる
状況から一歩も出ない、外の世界は知ったことじゃないって
話なら、何も問題ないんです。

違う世界もあるよ、という人と、俺はこの世界だけで生きるんだ、
他は知らない、という人がかみ合うわけがない。

>>178
同様に、指数法則を知るものは
0^1=0^(2-1) = 0^2/0^1 = 0/0 （不定）
と考えるのは当然の筈なんだが、私には疑問を持つ方が分からない。

0≦c<1.

lim[x→0]|x|=0,

lim[x→0]c^{1/|x|}=0,

lim[x→0](c^{1/|x|})^|x|=c.

>>187
やっぱり対数関数の逆関数をとってその対数関数を微分しないといけないんだ
な。

素朴な疑問として、二項定理を使って
　2^0.5
をまともに計算できるんだろうな？

2^{1/2}=(1+1)^{1/2}=\sum_{n}\binom{1/2}{n}.

>>190
> 0^1=0^(2-1) = 0^2/0^1 = 0/0 （不定）
だと、0^1=0^2=0 をすでに使ってる。

>>194
その式で 0^0 を計算すれば済むと私は思う。
何故それに疑問を持つんだ？

(1+(-1))^0=\sum_{n}(-1)^n\binom{0}{n}=\binom00=1.

>>191
　x^y = exp(log(x)y)
で計算すれば、x^y=1 と分かるのにね。
極限値を使うのは、計算できないという思い込み。

(1+x)^y = exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k

0^1が不定なのと同様に0^aは全て不定。これでFA
べき級数は、全ての項 x^n でx=0の時に不定になるんだ。

x=0 なら x^n はただ 0 になるだけ。とツッコんでおこう。

>>170 >>184
飽く迄も全く同じだと言うんだな？
となると、お前のその主張は
　　lim[x→-0]x=lim[x→0]x=lim[x→+0]x
　⇔lim[x→-0](1/x)=lim[x→0]1/x=lim[x→+0](1/x)
　⇔-∞=不能=+∞
と言ってる事になるが、良いんだな？
　　st(-ε)=st(0)=st(+ε)
　⇔st{1/(-ε)}=st(1/0)=st{1/(+ε)}
　⇔-∞=不能=+∞
と言ってる事になるが、良いんだな？

>>195
なら
0^1=0^(3-2)=0^3/0^2=0/0
にすればよい。0^1だけが定義されない。

>>203
　0^3/0^2=0/0
の証明には
　0^2 = 0^3 = 0
の証明が先に必要。

>>202
一行目は0=0=0
直後の同値は成り立たない

lim[x→-0]x^xは不定
lim[x→+0]x^xは1

202

流石に、それは強引。

0=lim[x→0]x は、否定しようが無かろう。
これが成り立たないような lim の定義を
思いついてみたところで、そんなものは
lim として機能しない。

数学は自由だというのは、
無軌道だということではない。

その lim 1/x の話は、
lim[x→a]f(x)=b から lim[x→a]g(f(x))=g(b) が
言えるのは、g(y) が y=b で連続な場合だけ
だということを無視しているし、

st(ε) のほうの話は、
st(α)=st(β)=c から st(f(α))st(f(β)) が
言えるのは、f(x) が x=c で連続な場合だけ
ということを無視している。

>>204
0^2と0^3が0となれば0^1は定義されないことがわかった

lim[x→+0,y→+0]x^yは1
lim[x→+0,y→-0]x^yは不定
lim[x→-0,y→+0]x^yは不定
lim[x→-0,y→-0]x^yは不定

>>208
0^1=0
⇒0^2=0^3=0
⇒0^1=不定

>>210
0^1=0 という仮定から 0^1=不定 を証明してしまったら、
その証明に使った指数法則が間違いだという結論になるでしょう。

それとも、あなたの頭の中が自己矛盾で一杯なのかな？

>>206
　lim[x→-0]x^x = lim[x→+0](-x)^(-x) = lim[x→+0]exp(-(Log(x)+(2n+1)πi)x)
　= lim[x→+0]exp(-Log(x)x) = lim[x→+0]1/x^x = 1

>>209
４つとも、すべて不定です。

lim[x→+0]0^x＝1
0<x → 0^x=0
と書けますか。

私は不貞です。

私は住所不定無職です

STAPあるもん！本当に見たもん！

>>214
0<x ⇒ 0^x=0 ⇒ lim[x→+0]0^x=0

「5は5^1と等しい」は当たり前の記述

しかし、任意の不定元を用いて、恒等的意味で
「xはx^1と等しい」は当たり前の記述としてはいけないのか？

冪という関数は、あくまで、何らかの級数展開で定義され、
そのため、x=x^1を満たさなくなる場合があっても、
「仕方ない」という立場なのか、「満たす必要がある」という立場なのか
この辺の周辺警備方法、宗教観の違い、．．．が論争の原因

あるいは、「論争が起こる土壌がそこにある」という事を認める者とか、
「そもそも論争など起こるような状況に無い」という立場の者の論争でもある

むしろ不定元Xに対して
X^0, X^1, X^2, ...
という多項式環（または冪級数環）の基底があって
X^0=1
X^1=X
と同一視してると思うのだが

>>211
つまり0^0=0/0だから不定と言っている人の脳内は矛盾で一杯

>>219
べき乗は
　a^1 = a
　a^(n+1) = a^n * a
という２つの式で定義されている。
これだけで自然数乗は求められるが、これと一致する多項式（べき級数）を求めてみると、
たった一つに決定され、この実数で定義された関数は指数関数と呼ばれている。

元々は「xはx^1と等しい」という前提から決めたことなので、これに反することはない。
ただし、0^x には x<0 という定義できない部分があるので、それを理解できない人が
指数法則を根拠に 0 と 0^1 が等しくないなどという言うことはある。

>>211
「0^0=0^1/0^1=0/0だから0^0=1としては駄目」とはいえなくなるわけだな

0^0=0^(1-1)は成り立つが0^1/0^1は成立しないようだぞ。

　0^0 = 0^(1-1)
は成り立つ。百歩譲って
　0^(1-1) = 0^1 * 0^-1
が成り立つとしよう。
でも、ここから
　0^-1 = 1/0^1
というのは、指数法則すら使っていない思い込みでしかない。

0^0=0^1/0^1とか持ち出す奴が使ってるのはa^(b-c)=a^b/a^cだろ。

e^(0log0)=0^0
e^(0log0)=1+(0log0)+(0log0)^2/2!+(0log0)^3/3!+・・・
0^0=1
e^(0log0)=1+(log1)+(log1)^2/2!+(log1)^3/3!+・・・=0^0=1
a^2=0
e^(aloga)=1+aloga=1+(aloga)+(aloga)^2/2!+(aloga)^3/3!+・・・=a^a
0^([0^(1/2)]/2)=1+aloga
0^([0^(1/2)]/2)=a^a
0^a=(1+aloga)^a
0^0=(1+aloga)^0=1

>>226
それは指数法則ではない。
　a^0 = 1
　a^0 = a^-c * a^c
から
　a^-c = 1/a^c
となり
　a^(b-c) = a^b * a^-c = a^b/a^c
という風にして求めた式だ。
０除算となる a=0 ではもちろん使えない。

0=1
⇒0^0=1

>>221
あのなぁ、実数値も超実数値も同じみたいに考えてなきゃ
到底できないレス>>121が相手なんだぞ
｢同じ｣という言葉一つ気を付けなきゃいけないのに
乱暴に｢同じ｣で一括りにする事を許させるなよ

つまり零環では0^0=1が成り立つってわけか

a^(b-c)a^c=a^((b-c)+c)=a^b.
a^c≠0.

a^(b-c)=a^b/a^c.

a=0.
c=0.
0^(b-0)=0^b/0^0.
0^b=0^b/0^0.

>>232
だから指数法則使うときはa>0って言ってんだろうが！

(-2)^2*(-2)^3=(-2)^(2+3).

-1=(-1)^1=(-1)^{1/2+1/2}=(-1)^{1/2}*(-1)^{1/2}=i*(-i)=1

log(a)=log(a).

a^(b+c)=exp(log(a)(b+c))=exp(log(a)b+log(a)c)=exp(log(a)b)exp(log(a)c)=(a^b)(a^c).

1=1^1=1^(1/2+1/2)=1^(1/2)*1^(1/2)=1*(-1)=-1

(>>80)

>>235 >>237
何がしたいんだ？
同じ数値を別の枝で考え、それを掛けたら別の答になりました、ってこと？

　x^2-x-2 = 0
の答は x=-1 または x=2。
ここから
　x^2 = -1 * 2 = -2
と考えるようなもんだね。

対数での枝というのは、どの答を選ぶかということだから、それを混ぜちゃ駄目。

>>232
a^c で割ってるから
　a^(b-c)=a^b/a^c
が指数法則でないのは変わらん。

後半の
　0^b=0^b/0^0
は、0^0=1 だと言いたいのかな？

>>230訂正と追加
× >>121　〇 >>112＋>>125＋>>129

極限に対しても超準解析に対しても
教えてくれてる人に対しても
高を括り舐めて掛かってやがる

0^0はデルタ関数

その時点でそう思ったから、発言したまで。
ここは教えてもらう場ではなく、意見を述べる場だろ。
勘違いがあるのなら、その明確化を優先するし、
黙っていられる方が私は困る。
それとも、噛み合わない話をずっと続けたかったのか？

0^0はアルファ関数

しかし何だって揃いも揃って
[x→0, y→0]&amp;[x^y]
だの
ε^μ
だのの話をしてるんだよ？何を勝手に
極限による二変数関数の値域の拡張性だの
二変数関数の特異点での連続性確保だの
解析学に対する精神衛生的な願望を語ってるんだよ？
スレの題意は｢定数0^定数0の値域｣じゃねーか
何で極限だの超実数だのと一緒くたにしてんだよ

0^0はブラボー関数

>定数0^定数0の値域
つれたぞ

値域じゃねーや単体の値だ

8年前だったら｢解析厨の都合勝手な拡大解釈であり濫造｣
って言ってやれば一言で落着だったんだが

>>246
お前が世の解析的都合解釈に釣られて洗脳されてるんだろうが

Xを集合、F⊂2^XをXの部分集合の族とします。
Fが次の条件を満たすときX上のフィルターといいます。
1. FはXを含むが、空集合は含まない
2. A,B∈F⇒A∩B∈F
3. A∈F,A⊂B⊂X⇒B∈F

X上の極大なフィルターを超フィルターといいます。
↓以下、超積の定義。

>>248
定数に値域があるのか？それが書いてある本教えて

0^0 はべき級数で表されたべき乗の自然な定義域。
もちろん、定義域も値域も単体ではない。

>>242
勉強不足を正当化
勉強不足の立場で｢定義を示してごらん？｣
その他、勉強不足での吐き捨て口調での回答
無礼を詫びる意思も出して来ない

どの面下げて書き込み続けてる気なんだか

>>250
この期に及んで何で俺の訂正>>247を無視して
他人>>248に吹っ掛けてんだテメェは

で、>>251、お前はお前で
｢の値｣を無視して人の考えを改竄か

>>253
わけわからん、さすが馬鹿

ページ検索

単体　定義域　and検索　初出>>251
単体　値域　and検索　初出>>251

>>247ですぐに訂正されて｢単体の値｣に差し替えられた後にも関わらず

勉強不足を開き直った後は人の意見の改竄かよ？

>>257
お前が>>248に向けた質問は俺>>247を無視しない限り意味をなさない。
ではなぜお前は>>247を飛び越えてまでして>>248を詰ったのか

それはお前が挙げ足どりからの煽り蔑みが好きな
性根の腐った荒らしだからだ

そうでもなければ、わざわざ俺>>247を飛び越えてまでして詰るなんていう
不自然な真似をしてまで、人を馬鹿にしたりしないからな

>>252
一応 >>138 で謝罪したんだけどね。
あまりに批判が少ないので、不思議ではあったけど。

ただし、私に謙虚さを求めているなら、それは間違い。
定義にまで戻るという判断も妥当だっただろう。

> 定数0^定数0

不定じゃないの？

>>255
単純に質問だが、「値域」「単体」「単体の値」でどう意味が違ってくるのか説明してくれ。

あ"

>>258
なぜそう思う？

>>257
基本を押さえ間違ってる状態で定義に戻ると曲解を招く

>>262
「基本を押さえ間違ってる」ということに、どうやって気付く？

馬鹿は自分が馬鹿だど気付けないので無理

>>264
じゃあ、気付いた私は違うな。

変数>>259のレスの関数、俺の値域とは

｢単体の値｣まで単語扱いにされて困った
だから人のレスを読み間違えるんだな

高3の極限の単元を履修して何年が経つ？

何だ、月曜だというのに随分レスが進んでる
と思ったら、案の定荒れまくってるな。
土日が落ち着いた雰囲気だったので、
かき回したい意図があったのかも知れない。
何にせよ、馬鹿二匹の相手をした人(人達?)乙。

その馬鹿二匹の内の１人が、本当に頑張ってた２人の内の１人だぞ
殆どが>>139と>>163みたいに思いを語る奴や不定形の例をあげる奴ばかり

結局、活躍してたのは１人しかいなかったという情けない話

私は、その 163 だが、
この話題は「思いを語る」ことが正解で、
何かを証明してしまってる奴は
仮定を置くことに自覚の無い馬鹿だ
ということを、繰り返し説明してきた。
=1 にせよ、定義不能にせよ、その結論を
導くためには、証明の起点となる巾乗の定義が必要で、
それを定義した時点で既に 0↑0 の値は
主観的に折り込み済みなのだ
ということを理解せずに、客観性を装って
何かを演繹してしまっている者には、
そもそも問題のありかが見えていない。
意見の違いは、演繹の部分にある訳じゃないのだ。

問題のありかは巾乗の定義に0^0がないことだ。
そしてそれに疑問を持たないことだ。

0↑0 に定義が無いとする立場と
0↑0=1 だとする立場があって、
両者は別々のモノを「巾乗」と呼んでいる訳だが、
どちらかの立場が正しいことを証明できると
思い込んでいる奴が多数居て、話を混乱させている。
証明をするためには前提となる仮定が必要で、
どの仮定を採用するかの主観的な選択で
結論は決まっているというのに。

単に不定形の例を挙げたり、
指数法則を誤用して循環論にすることで、
何かを証明したと気になっている
論外たちは別にしても。

>>270 >>271 >>272
べき乗の定義を示せ。
ただし x^y の定義域は実数または複素数とする。

http://mathworld.wolfram.com/ExponentLaws.html

x^m/x^n=x^(m-n)

http://www.math.com/tables/algebra/exponents.htm

x^(a-b)=x^a/x^b

The definition0^0 is sometimes used to simplify formulas, but it should be kept in mind that this equality is a definition and not a fundamental mathematical truth (Knuth 1992; Knuth 1997, p. 56).

>>274
　(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2
とかもそうだね。

こういうのは、公式って言うんだよ。
何らかの前提から証明されたもの。

指数法則は全然別。
あれは、指数関数を定義する式の一つだから。
だから、「この記号の組み合わせは指数関数を表します」としておけば、
　x^(a+b) = x^a * x^b
は無条件で使える。でも
　x^(a-b) = x^a/x^b
は違う。証明が必要なもの。

その証明を知らない人は、条件を付けずに使っちゃうんだな。
あなたのように。

>>274
テメェ本当に何様のつもりだ？
みんなテメェに金もらってる家庭教師か？

レス番狂った
>>274じゃなくて>>273な

0^0=0/0だから不定という主張はさすがに恥ずかしいよな。もちろんあらたにそう定義するのと引き換えに0^xを不定というのなら同意を得られるかは別としてありのうちではあるけどね。
y=x^2のグラフは原点を除くとかになるなw

>>277
狂ってるのはレス番だけじゃなさそう。

>>280
悪口じゃないよ。言葉の順番のことだからね。

馬鹿にしてるわけじゃないよ、からかってるだけだよ

べき乗の定義を教えてください。
前の方にあったような気もするが。

べき乗の定義というか、指数関数 e^x の定義は合意できると思うのだけれど
　x^y = exp(log(x)y)
を否定するから話が噛み合わなくなる。ここから
　0^y = exp(log(0)y)
と計算すりゃ簡単だろうに。

今更定義が必要だとか、それが主観的だとか、どこを見て言ってるんだろうね。

>>94
と言う事ですね。

指数関数
　exp(x) = Σ[k=0,∞]x^k/k!
対数関数
　log(1+x) = -Σ[k=1,∞](-x)^k/k
べき乗
　(1+x)^y = exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
　0^y = exp(log(0)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
　0^0 = exp(log(0)0) = exp(0) = 1

……どの段階で許容出来ないんだろうね。
それについての意見表明がさっぱり無い気がする。

>>286
>　exp(x) = Σ[k=0,∞]x^k/k!
>　0^0 = exp(log(0)0) = exp(0) = 1
循環してるような

オイラーの解はないのか？

log(0)って何ですか？
logの冪級数の定義に0放り込んだら収束するんですか？

>>287
　exp(x) = 1 + Σ[k=1,∞]x^k/k!
と書けば良いですか？

>>289
log(0)は収束しません。
でも、log(0)に相当する式を指数関数に代入すると項が打ち消し合って収束します。

exp(log(0)y) は分かりやすくするため書いたもので、実際には右辺の式あるいはべき乗の式によって計算します。

291 のようなゴマカシが許容できない。
log(0)0=0 は成り立たないので、
0 の巾乗を定義したければ、別の方法が必要。
嘘が解りやすい訳はない。

>>292
それはべき乗が Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k なのも嘘だということですか？
以降は、単なる変数への代入と計算ですので。

x↑y は、x=0 で正則には拡張できないので、
x でのマクローリン展開は、法螺でしかない。

>>274
http://mathworld.wolfram.com/ Exponent Laws .html

学会への賄賂が足りないのかな？

>>294
x=1,y=0 でのテイラー展開をした筈なんだけど、マクローリン展開というのは何故？
それに、x^y と同じ値になる以上、それを法螺というのはどうだろう？
定義域に x=0 を含めるかどうかの判断ならあり得るけどね。

「収束半径」をググった後、
高木概論でも読んで、
暫く座禅を組んでから
出直せ。

>>281
何だって？
勉強不足の立場で横柄な態度をとり
からかい口調で定義をせびる事を
正当化しつつ
更には定義長文を提示してくれた人間に対しても
横柄な態度を謝らない
その上、未だ以て人をからかう事をやめぬ横暴ぶり

そういう横暴な行為をとり続けるなら相応のケジメを付けなきゃな
何も俺達はテメェに金を貰って指導させて｢頂いている｣家庭教師じゃねぇんだ
ケジメとして人をからかって愉悦に浸る人間である事を自ら示す意味で
｢腐れ外道｣という固定ハンドルにするか
さもなくば屑野郎と呼ばれる事に甘んじろよ

できねぇならチンピラみたいな真似してんじゃねぇよ

ま、ケジメ付ける気なんかサラサラねぇ野郎だからこそ
上から目線でふんぞり返った態度で
人に教え｢させてやっている立場｣を取り続けられるんだろうけどな
飽く迄も｢願う｣のではなく｢｣

0を底に持つ対数関数…一体全体、何をしたいんだコイツは？

>>297
お前、独学なの？んで、歳いくつよ？

logx=(log0)+(1/0)*x+(-1)*(1/0^2)*x^2/2!+2!*(1/0^3)*x^3/3!+(-3!)*(1/0^4)*x^4/4!+・・・
logx=(log0)+(1/0)*x-(1/0)*x^2/2+(1/0)*x^3/3-(1/0)*x^4/4+(1/0)*x^5/5・・・
log0=[(log0)+(1/0)*0-(1/0)*0^2/2+(1/0)*0^3/3-(1/0)*0^4/4+(1/0)*0^5/5・・・]
(1/0)^0=1
1=1^(1/0)*0
1/0=t
(1/0)
logx=[log(1/t)+t*x-t*x^2/2+t*x^3/3-t*x^4/4+t*x^5/5・・・]
log1=[log(1/t)+t*(1-1/2+1/3-1/4+1/5・・・)]
log(t)^(1/t)=(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9・・・・]
f(x)=x/(x-1)
0^0=e^(1-1+1/2-1/3+1/4・・・・)

>>298
テイラー展開した式は収束半径の内側でしか有効でないとか思ってるわけ？

>>299
反論できないと口が悪くなる人、いるよね。
間違いを指摘されない限り、発言は続くよ。

>>300
log(0)0 は0を底だという記述と読めるわけか。
それはスミマセンでした。
ln(0)*0 という意味です。

で、log(0)×0 は定義できたの？

>>250 > 定数に値域があるのか？

定数にも不定に限り存在する。例えば
0≦|0/0|≦∞

定(常)数、不(確)定
両数学用語に含まれる定の字のニュアンスの違いに注意

不定定数=未知数≠変

中身のない奴は自分で解り易く説明しないでやたらと本を進めるもんだ。

>>305
べき乗の部分は途中を略して
　(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
　0^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
　0^0 = 1
で良いのだから、定義できなくても構いません。

0の0乗は0です。それ以外ありえません。

>>306
> 0≦|0/0|≦∞
これ間違い。0/0は定義されていない。不定という意味じゃない。

>>309
それを証明するのは、不可能ですね。

305
一行めから二行めが導ける根拠が無い。

>>312
x=-1 を代入しただけですけど。
その次は y=0 を代入しただけ。

x=-1 を代入していい理由は？

>>304-305
独り善がりもいい加減にしてくれ

http://mathmathmath.dotera.net/
に示される記法に従う場合
p=log{a}(x)
指数はp、aは底、xは真数

独り善がり君は>>303-304だよ
巻き込まれた>>305ｶﾜｲｿｽ

>>310
> > 0≦|0/0|≦∞
>
> これ間違い。0/0は定義されていない。不定という意味じゃない｡

0/0=不定　1/0=不能

不定定数=未知数≠変数

305 だけど、× を使ったから絡まれたんだろね。

そこは、どうでもいいけど。

それより、305 にも 314 にも返事がないなあ。

>>315
その後の式を見ればy*log(x)ということは容易に理解できる。

>>314
変数に代入していい値とは、それが定義域に含まれることだろう。
関数は入力から出力を求める規則のことだから、
自然な定義域は、出力を求めることができる範囲と考えるべき。
x=-1 を代入しても出力が得られるなら、代入していいと言える。

そのネタで、まだ引っ張る？

>>315
> に示される記法に従う場合
そうだね。

あ、返事が来てた。
302
で、x=-1 を代入したら、
右辺はどうなったの？

>>303
反論されなきゃ暴挙を続けるってか

飽く迄も｢願う｣のではなく｢課す｣根性
飽く迄も｢謙る｣のではなく｢奢る｣根性

自分の間違い常赦不免で他人が正すが筋とする(参考:間違い;ページ検索)
他人の間違い大過重責で自らの咎めを自由とする(参考:発言は続くよ;ページ検索)

お前に庇を貸したら母屋まで取られそうだ

なんだかまた
>>308
の収束性がウヤムヤにされそうな予感。

>>317
> 0/0=不定　1/0=不能
よくある間違い。

「不定」＝定まっていない
「定数」＝定まった数
という言葉の使い方もよく分からない。
「任意定数」という言い方なら使うけどね。

煽り合ってる人たち、いい加減にしてくれ
モラルもへったくりもない

>>246 侮蔑嘲笑
>>303 傲岸不遜
>>319 開き直り
>>324 過剰問責

>>324
中身の無い反論、もう止めない？

>>325
収束性は、確認済み。信用してください。

>>327
バカだな
x^yの対数をとったらlog(x^y)=y*log(x)だろが。

>>327
319は私じゃない。（少なくとも私より）善意の第三者だろう。

>>326
ダウト
連立方程式より、不定方程式と不能方程式
から不定、不能を学べ

>>332
あなたは答案に「0/0」とか「1/0」とか書くんだ。

方程式の解とは、変数に解を代入することで等式などの条件が成立するものをいう。

　0x = 2
の解は x=1/0 ではない。
それを変数に代入しても等式は成立しない。

　0x = 0
　2x = 1
の解は x=0/0 ではない。
１つ目の式から x=0/0 とし、それを２つ目に代入して
　0/0 = 1
などとすることはできない。

方程式によっては、解が存在しなかったり（＝不能）、どんな値でも解になったり（＝不定）するが、
それを 1/0 や 0/0 という記号の組み合わせで表すことはしない。

また独自論

>>286
指数関数
　exp(x) = Σ[k=0,∞]x^k/k!
対数関数
　log(1+x) = -Σ[k=1,∞](-x)^k/k
べき乗
　(1+x)^y = exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
　0^y = exp(log(0)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
　0^0 = exp(log(0)0) = exp(0) = 1

いまさら聞くのも何ですけど・・・
でのC(y,k)というのは何ですか？

>>336
二項係数
高校などではyCkとかく
C(y,k)=y(y-1)…(y-k+1)/k!

>>337

exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k

を中間を省略しないで教えてください。

二行めの式で一般二項係数を定義したとすると、
x=-1 は代入できないから、
三行めを示したければ、別の根拠が必要になる。
ずっと、それを尋ね続けているんだが。

>>338
exp(log(1+x)y)
= Σ[n=0,∞](y^n/n!){Σ[m=1,∞](-1)^{m-1}x^m/m}^n
= Σ[k,l≧0]t(k,l)x^ky^l　(t(k,l)はある二重数列)　…(1)

y:正整数
C(y,k)=(y)_k/k!=Σ[l=0,∞](-1)^{k+l}s(k,l)y^l　(s(k,l)は第1種スターリング数)

exp(log(1+x)y)
= {exp(log(1+x))}^y
= (1+x)^y
= Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k　(二項定理)
= Σ[k,l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)x^ky^l　…(2)

∴　A(k,l)=(-1)^{k+l}s(k,l)　…(3)

(1+x)^y
= Σ[k,l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)x^ky^l　(∵(2))
= Σ[k,l≧0]A(k,l)x^ky^l　(∵(3))
= exp(log(1+x)y)　(∵(1))

>>339
> 二行めの式で一般二項係数を定義したとすると、
> x=-1 は代入できないから、

ある式に x=-1 を代入できない理由は
・発散するなどして計算できない
・定義域に含まれない
があると思うが、どちらか？それとも他の理由？

>>340
表記のブレ。t(k,l) は A(k,l) じゃないかな。

> y:正整数
となってる理由は分からない。

logx=(log0)+(1/0)*x-(1/0)*x^2/2+(1/0)*x^3/3-(1/0)*x^4/4+(1/0)*x^5/5・・・
log1=(log0)+(1/0)*1-(1/0)*1/2+(1/0)*1/3-(1/0)*1/4+(1/0)*1/5・・・
(log0)=-(1/0)*1+(1/0)*1/2-(1/0)*1/3+(1/0)*1/4-(1/0)*1/5・・・
0*(log0)=-1+1/2-1/3+1/4-1/5+1/6・・・
e^log(0^0)=e^(-1+1/2-1/3+1/4-1/5+1/6・・・)
0^0=e^(-1+1/2-1/3+1/4-1/5+1/6・・・)=e^(Σ(-1)^k/k)

>>342>>340
ご指摘の通りt(k,l)=A(k,l)で読み替えてください。

それと、
　(y)_k
　　:=y(y-1)…(y-k+1)
　　=Σ[l=0,∞](-1)^{k+l}s(k,l)y^l
の間違いでした。以下、1/k!を補ってください。

(2)の部分も次のように訂正。

y:実数
= (1+x)^y
= Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k　(二項定理)
= Σ[k,l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)x^ky^l　…(2)’
一方
exp(log(1+x)y) = {exp(log(1+x))}^y = (1+x)^y　…(2)''

(1)は形式的な展開
(2)',(2)''は収束も考慮した展開(|x|<1)、yは実数で考えます。
(1),(2)',(2)''の一致から展開係数の一致を、
これから>>340の下4行の等号を言ったつもりでしたが、
うまくいってない気がしてきました。

昨日提示したものに、定義域を明記してみた。

指数関数
　exp(x) = 1 + Σ[k=1,∞]x^k/k!
対数関数
　log(1+x) = -Σ[k=1,∞](-x)^k/k　(|x|<1)
べき乗
　(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k　(|x|<1)
x=-1 を代入
　0^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k　(x=-1,y≧0)
y=0 を代入
　0^0 = 1　(x=-1,y=0)

３つ目の式（べき乗）までは合意できたと考える。
４つ目の式（0^y）には、否定的な意見もあった。

理由は x=-1 を代入できない（筈）ということだったが、
これは定義域を拡げるかどうかの問題に過ぎないと思う。
べき乗の式で 0^y, 0^0 が計算できるにも関わらず、それに反する値は定義できないから。

y=0を代入するのが目的ならべき乗の式は
有限和Σ[k=0,y]でいいんじゃないの？

>>347
そう、そのとおり。
y を自然数だけに制限するのであれば、
Σ は有限和でいいし、収束域の問題も生じないから
後で x=-1 を代入することもできる。
ただし、そうやって定義した「巾乗」は
指数に自然数だけしか許されていないから、
指数の範囲を拡張するときに
このスレの話題が蒸し返されることになる。
問題を先送りするだけだ。

>>346
自分で定義域は ｜x｜＜1 と書いた直後に
x=-1 を代入するのは、いくらなんでも
破綻しているだろう。
定義域を拡張するかどうかの問題だというのなら、
どうやって拡張すれば x=-1 が代入可能になるのかを
説明しなければ、数学にならない。
単に「拡張する」と宣言だけしてみても、
右辺の級数が収束するようになる訳じゃない。

>>333-334
>>332は連立方程式の不定、不能から
用語の意味を再確認しろって言ってるんじゃない？

>>347
定義域を実数あるいは複素数とすることは、
今までの指数関数の定義域をすべて含むということ。
そうして初めて定義の拡張と言えるのでは？

>>348
定義域が |x|<1 となるのは、y に制限を加えてないから。
|x|≦1 ∧ y≧0 であれば、間違いなく収束します。

>>349
「0/0」「1/0」は数学用語に該当しない。

巾乗の定義を y≧0 にしたのでは、指数関数として
不便かと思う。x＞0 のほうが、マシではないか？

>>353
リーマン面を考えれば任意の複素数yに対して「うまく」定義できる
あるいはもっと拡張してp進整数(自然数を無限桁に延ばしたようなもの)に対しても(条件付きで)定義できる

>>353
定義域は
　|x|<1∧-∞<y<∞
　x=-1∧y≧0
という少し変わった範囲となります。
また、x>1 へは解析接続により拡張できます。
今までより小さくはありません。

>>352
そうやってまた浅はかな物言いをして己の無知を晒すのか

1/0=∞
0/0=I

通例とは異なり、一点コンパクト化した任意の複素無限大として扱う∞
並びに
決定不能元(indeterminate)I
この二つの要素を複素数平面に付加した位相こそリーマン球面であり
れっきとした幾何学の一つだ

そもそも0/0を不定、1/0を不能とするのは
リーマン球面が知られるずっと前からの話なんだが

>>356
連立方程式をすべてリーマン球面で考えられては困る。
それに、いつの間に幾何学になってるんだ？

>>345
(2)'は
x=0 y=0を代入したら0になるのでは？
しかし(1+x)yは１になる。

>>163
解析性を尊ぶならばこそ0^0だろう？
解析で語られる｢0｣はしばしば
｢0と同じ単子(モナド)に属す任意の超実数｣
つまり｢無限小超実数｣を
標準化の過程を経て初めて0となっている場合がある

(0の単子に属す一方の超実数)^(0の単子に属す他方の超実数)
これは不定になる。でも(0そのもの)^(0そのもの)は1だろう

>>358
s(0,0)=1なので、k=l=0のとして定数項は1が出てきます。

exp(log(1+x))=(1+x)
自体は形式巾級数の形式的微分というものを導入すれば
見通しよく示せるので、これを使えばそもそもの

(1+x)^y = exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k

もおそらく…

>>357
数式のも連立方程式のも結局は不定、不能の意味が本題だぞ
幾何学だって数学だぞ

幾何学の字に気を取られてまた話の本題、数座標としてのリーマン球面に集中できてないし

>>358
(1+x)y は(1+x)^yの間違いです。

>>358
総和の範囲は k,l≧0 だから k=l=0 で x^k, y^l は共に１になる。
その前の係数も１だから、結果は１だ。

>>361
話の始まり（本題）は >>306 の
> 0≦|0/0|≦∞
だった筈だが。
1/0=∞ で定義された∞に符号はあるのか？

>>363
それならば一点の曇りもなく完璧な証明だと思う。
0^0=1に確信がもてる。

>>364
複素無限大の話は頓珍漢>>326 >>333-334 >>352の横槍に対してだぞ
君が話のタイミングの前後が分からん性格で｢嘘だ、納得いかない｣と言う人間なら
∞を|∞|に差し替えてやるから∞の絶対値ととって読み直せ
普通に話のタイミングの前後が分かる性格なら普通に通例の∞として読み直せ

やめろ、負けろww
値域を値に訂正した俺の立場がねぇじゃねーかwww

正しいか正しくないかの話が
勝つ負けるの話で決まってたまるか

>>366
>>306 が間違いだと認めたんですね。
でも、その訂正すら間違うとは。

　0≦|0/0|≦|∞|
だとして、それはどんな代数系で成り立つのかな？
∞と|∞|がどういう関係なのか、説明して貰えませんか？

また、通例の∞では、リーマン球面は出てこない筈。
もっと一貫した説明はできないの？

>>369
何でまた話を錯誤してるんだ？
何で話の前後を整理して読み直さない？
君は人をからかってる積もりが
実は統合失調症ですってんじゃないだろうな？

先ず、>>306と>>352を錯誤して読む事をやめろ

それとも？本当に人をからかっていて
わざと>>306での話と>>352での話を錯誤した読み方してるのか？

素で錯誤して読んでるのか
悪意を持って錯誤読みしてるのか
どっちなのか分からん人だな
リーマン球面上で語る前の話と
リーマン球面上での話とを
こうも見事に錯誤して読むとは思わなんだ

うーむ
どうやったら>>306での話と>>352での話を
錯誤した読み方をさせない説明にできるかな

素にしろ悪意にしろ、面倒な人だな

数学では、一つでも間違いが含まれてたら、意味を成さない。
それ位分かっているだろう。

錯誤されたくなければ、正しく言い直せ。
前と後で別の話ならば、２つを分離しろ。

正しい主張があるのなら、それを繰り返せば済むこと。
相手に読み直させるよりずっとましだ。

私が口出す前に、言いたいことが有ったのだろう？
どっちの人か区別できないが、言いたいことを言ってみたらどうだ。
それが正しいかどうかで、すべて決まるんじゃないのか？
我々がやってるのは、性格分析ではなく、数学の話だ。

代数学における 0 で除する事は出来ない。というのと
無限遠点を仮定して 1/0=∞ が可能とする。のとは混同しては
ならないと思うが？

もちろん体の加法・乗法の公理を満たすようなものとして
∞が集合の元として定まるとすると

　1/0=∞　⇒　1=∞・0=0

ということになって体の公理1≠0に反する

「∞」と考えると解釈しやすいだけであって
複素数体Cの一点コンパクトにおける∞は単なる記号に過ぎない
そこを混同してはいけない

仮定が偽でした
スルーしてください

>>373
本題に関係するのは、代数学か無限遠点か？
混同することを批判するより、無関係な話は引っ込めてくれ。

今までの説明の中では、同じ関数を２通りの形式で記述しているので、その関係を示しておく。

>>346 では
　0^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
>>117 では
　0^y = Π[n=1,∞](1-y/n)
という風に、総和と総乗という別々の形式で表しているが
　(1-y)(1-y/2) = 1-y+y(y-1)/2!
　(1-y)(1-y/2)(1-y/3) = 1-y+y(y-1)/2!-y(y-1)(y-2)/3!
から分かるように、両者の間には一般に
　Π[k=1,n](1-y/k) = Σ[k=0,n]C(y,k)(-1)^k
という関係がある。

つまり、今回示した関数は、間違いなく
　0^n = 0　(nは正の整数)
という条件を満たすものだ。

(x^n)^(1/n)=x --> 0/0=x (|x|<1)
(1/n)^0=1 --> 0/0=1(x^-n)^(-1/n)=x --> 0/0=x (|x|>1)
((±n)^-n)^(-1/n)=±n --> 0/0=±∞

>>378
> (x^n)^(1/n)=x
> (1/n)^0=1
> (x^-n)^(-1/n)=x
> ((±n)^-n)^(-1/n)=±n
はそれぞれ正しいな。（n≠0 とする。多分 n→∞ としたいのだろうし）
ただし、簡単のため、多価関数と見なす必要がないようにするためには、
x>0 とし ±n は止めた方がいいぞ。

本題に入ると、それらから 0/0 になぜ繋がるのか、まったく不明だ。
それを主張するなら、証明を試みた方が良い。

数学できそうなお前らに質問なんだけどさ
あるデータをいじっていたら
00fc0101(16515329)ていう数字がでてきたんだが、どうやら左の数字をどうにかすると
かっこ内の数字になるらしいんだがその求め方がわからない。
計算方法などあったら教えてくれ。

知恵遅れ

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

>>380
「0xfc0101 in decimal」でググレカス

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

>>377
0^y = Π[n=1,∞](1-y/n) は0^y = f(y)Π[n=1,∞](1-y/n)
ではありませんか？
>>117
より

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

|1/0|=∞
0/0 is indeterminate.

>>379
今更だが0/0は0^0の書き間違いだったorz

>>385
間違ってはいない。
>>117
では、総乗の形式で書けると言ってるのであり、f(0)=A=0^0=1 であるからf(y)は不要。

何より、>>377 では両方の式が本質的に同じ（因数分解か展開で他方が得られる）だと言っている。

>>388
そうだとしても
　lim[n→∞](x^n)^(1/n) ≠ 0^0
だということは、>>346 で示したべき乗の定義
　(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k　(|x|<1)
から証明できる事柄であり、両者を別ものとすることが可能である。
よって、>>378 は証明不可能だ。

>>390
そのべき乗の定義って二項展開の一般化だよね
　(1+x)^n = Σ[k=0,n]C(n,k)x^k
これはもともと式を展開したときにx^kの項がC(n,k)個になるからであって
n=0のときはこの証明は成立しないよ

>>391
整数n>1に対しては確かに成り立つから
その式でもって一般の実数に対する二項級数を定義するのでは？
もちろん|x|<1という条件はつくけど

>>387
> |1/0|=∞
と考えるには、まず 1/0 が存在することを示す必要があると思うが
　1/0 × 0
はいくらになるのか？
どんな数も 0 を掛けると 0 になるから 1/0 × 0 = 0 ？
1/0 は 0 の逆数を意味するから 1/0 × 0 = 1 ？

> 0/0 is indeterminate.
値が未知の変数のようなものだと
　x = 2
などと値を決めることができるが
　0/0 = 2
と決めちゃったら、後で矛盾が出るよね。
よって、両者は別の概念だと思う。

>>392
うん、だからその二項級数でx=-1,y=0を代入することはそもそもできないと思うんだけど

>>391
>>390 で言ってることは、今回示したべき乗の定義が正しいかどうかの議論とは無関係に
　lim[n→∞](x^n)^(1/n) ≠ 0^0
となるように 0^0 を決めることができるという意味なんだ。
両者が違ってても良いのなら、等号が成り立つと証明することは不可能だろう？

>>378 で使っている矢印は、数学的に言えば、証明が可能なことを意味する。
それを否定するには、反例が一つでも存在することを示せば十分だ。

>>389

0^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^kから
0^0=1であり。・・・(1)

0^y = f(y)Π[n=1,∞](1-y/n)のとき
f(0)=Aと置き
Π[n=1,∞](1-y/n) が Y=0 のとき 1 になるから
0^0=A となり不定となる。

あくまでも (1) を前提として A=1 が成立するのであって　
(1) がなければ A=1 は成立しない
のではありませんか？

>>396
> 0^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^kから
ここで既に破綻していると思う
なぜx=-1を代入しているのか
yについては何を仮定してるのだろう

>>392
一般の二項級数という定義は、元々あるものだ。
それがべき乗と一致することも、昔から証明されている。もちろん |x|<1 の条件で。

>>346 は、それをべき乗の定義として考えようということに過ぎない。
n が整数で成り立つから、一般の実数に拡げる、という考えではない。
両者には別々の証明が存在する。

>>398
なるほど。そうすると>>346は
　Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
で同時にx=-1,y=0としたもの
　Σ[k=0,∞]C(0,k)(-1)^k=1
を0^0に相当するものとして考えたいというわけですね　

>>394
　Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
という式に x=-1,y=0 を代入することは可能だ。y≧0 なら収束することも証明されている。
x=-1,y=0 を代入した場合の値を 0^0 と考えるかどうかは意見が割れるだろうけれど、
代入できることは、実際に計算してみれば
　Σ[k=0,∞]C(0,k)(-1)^k
の各項が k=0 で 1、k>0 で 0 ということから数学的に証明されている。
あるいは k=0 の値に納得いかないというのなら、指数関数を
　exp(x) = 1 + Σ[k=1,∞]x^k/k!
としたように
　(1+x)^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k　(|x|<1)
とすることも可能だ。

>>396
>>377 では証明を省略しているが
　Π[k=1,n](1-y/k) = Σ[k=0,n]C(y,k)(-1)^k
は、0^0 の値とは無関係に、数学的帰納法で証明できることなんだ。

>>377 で n=2 と n=3 の例を比べれば分かるけど、分配法則により
　(1-y)(1-y/2)(1-y/3) = (1-y)(1-y/2) - y/3 (1-y)(1-y/2)
という風に、左辺で n が増えると右辺の項も増える。
そして、増えた項はこの例では
　-y/3 (y-1)(y-2)/2! = -y(y-1)(y-2)/3!
だということ。

>>397
>>377 では
　Π[k=1,n](1-y/k) = Σ[k=0,n]C(y,k)(-1)^k
が恒等式だと示したいために、敢えて定義域を省略している。
これは無限級数ではないから、y に制限はない。
　0^y = Π[k=1,∞](1-y/k) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
の時は無限級数だから、定義域は y≧0 である。

「なぜx=-1を代入しているのか」は >>346 に対する疑問だと思うが、
べき乗の定義式の両辺に x=-1 を代入することで 0^y を定義したのだ。
ただし、y>0 なら右辺は 0 であり、0^y=0 にも異論はないだろうから、影響を受けるのは 0^0 だけだ。

>>399
その通りです。

>>346 で言ってることは、0^0 の値を x^y という関数の自然な拡張として考えるならば
　0^0 = 1
とする以外の選択肢は存在しない、ということ。

ただし、それは x^y の定義域が拡張できると示しただけであって、
それを受け入れるかどうかは、別の問題でしょうね。
このスレッドが「０の０乗が定義できない訳がない」となっていて、
「0の0乗って結局いくつなの？」と異なるのは、そういう理由です。

x,yに実数は代入出来るし x^y にx=0,y=0 を代入すれば　0^0 と表現
出来るのは当然で　0^0=1 と定義したら「０の０乗は１です」ということだ
と考える。

0=εorμor#φ
∴ 0^0=(εorμor#φ)^(ε^μ^#φ)
ε^ε=1　ε^μ=indeterminate　ε^#φ=1
μ^ε=indeterminate　μ^μ=1　μ^#φ=1
#φ^ε=indeterminate　#φ^μ=indeterminate　#φ^#φ=1

(INT|0|)^(INT|0|)=#φ^#φ=1

>>404
> x,yに実数は代入出来るし
その証明が一番難しかったです。
その枠組ができれば、「０の０乗は１です」は単なる代入です。

重要なのは x^y を一つの式で表すことであって、
0^0=1 と定義することではありません。

>>405
> 0=εorμor#φ
0=0 であって 0≠ε、0≠μ だそうですよ。
ε<μ,ε=μ,ε>μ の３通りがあるのだとすれば、
その両辺と常に等号で結ぶのは不可能ですね。

0 の絶対値とか、整数化は無意味じゃないかな。
絶対値は
　a≧0 ⇒ |a| = a
　a<0 ⇒ |a| = -a
ですが、a=0 なら a≧0 が必ず成立しますし、仮に -a だと考えても-0=0 ですからね。

INT が意味を持つためには、0 が整数でないと言わないといけませんね。

>>400
＞y≧0 なら収束することも証明されている。
>>378がその反例になってるのでは？

x_n = a^n-1 (0<a<1), y_n = 1/nとおけば
十分大きなnに対して|x_n|<1,かつ0<y_nであって
Σ[k=0,∞]C(y_n,k)x_n^k = (1+x_n)^y_n = a
lim[n→∞]Σ[k=0,∞]C(y_n,k)x_n^k = a

>>408
単に
　lim[n→∞]f(1/n) ≠ f(0)
という性質を持つことを示しているに過ぎない。
符号関数ですら
　lim[n→∞]sgn(1/n) ≠ sgn(0)
ですね。
矩形波も
　lim[n→∞]sq(1/n) ≠ sq(0)
ですね。ここで
　sq(t) = 4/π Σ[k=1,∞]sin((2k-1)2πft)/(2k-1)
としておきます。(wikiより)

一般に、フーリエ級数により不連続な周期関数も表すことができ、
不連続点では
　f(a) = (lim[x→a+0]f(x) + lim[x→a-0]f(x))/2
となることが知られています。
f(a) が収束するかどうかと連続性は別の問題です。

(1-√(1-x))/√x
x→0 x→1はおなじ1になる
(4x-3+3(1-x)√(1-x))/(4x^(5/2)×√(1-x)^3)
16x^2-24x+9=9-27x+27x^2-9x^3
9x^3-11x^2+3x=0
9x^2-11x+3
(11-√13)/18

>>410
> (1-√(1-x))/√x
から、x→0 はロピタルの定理により、x→1 は単純計算で
> x→0 x→1はおなじ1になる
ここから先は分からないが
> (4x-3+3(1-x)√(1-x))/(4x^(5/2)×√(1-x)^3)
「分子＝０」として有理化
(4x-3)^2 = (3(1-x)√(1-x))^2
> 16x^2-24x+9=9-27x+27x^2-9x^3
移項して
> 9x^3-11x^2+3x=0
因数分解して
> x(9x^2-11x+3)=0
解の公式により
> x=0 または x=(11±√13)/18
＋側の解は「分子＝０」に反するから
> x=0 または x=(11-√13)/18

結局、３行目の意味は分からなかった。

１になるわけないじゃん。

>>412
根拠の無い自信ですか？

>>413
> (1-√(1-x))/√x
から、x→0 はロピタルの定理により、

どうやるの？

>>414
失礼！

　(√x)' = 1/(2*√x)
より
　(1-√(1-x))' = 1/(2*√(1-x))
よって、ロピタルの定理より
　lim[x→+0](1-√(1-x))/√x = lim[x→+0](2*√x)/(2*√(1-x))
になり、これは 0/2 となるから、答は 0 だった。
x→-0 では √x は虚数になるが、0/i = 0 だから良かろう。

>>407
ε≠μ ε≠#φ μ≠#0
ε∈0 μ∈0 #φ∈0

我々は0や∞が関わる計算に注意を払わなければならない

[x→0]x=0
lim[x→0]x=0

前者超準解析表現　ε≠0
後者超準解析表現　st(ε)=0

>>416
仮に
> ε∈0 μ∈0 #φ∈0
としましょう。

1/ε は存在しますか？

0 の定義は
　x × 0 = 0 × x = 0
がすべての元に対して成立することですが、それは成立しますか？

t = √x,
f(t) = √(1-tt)
と置けば、
簡単な微分に帰着される。

前者？

>>418
無限小超実数と無限大超実数。しばしば
無限小超実数はε、無限大超実数はωとしたりする

なぜ
超準解析 - Wikipedia
さえ読まないんだ？

x→0⇒lim[s→x]s=0かつx≠0
極限値としての0と元来の0の違いはニュアンスの違いのみならず

>>418
[a→0]xa=[a→0]ax≠[a→0]a
[a→0]xa=[a→0]≠0
lim[a→0]=lim[b→0]=lim[a→0]a=0

xε=εx≠ε
xε=εx≠0
st(xε)=st(εx)=st(ε)=0

>>421
超準解析は読んでますよ。
その上で、私には理解できない問題点を示したつもり。

1/ε が存在し
　1/ε × ε = 1 or 有限超実数
となるならば、εは 0 としての条件を満たさなくなり、それが
　ε∈0
であることが理解できないのだ。

それじゃ、数の体をなしてないよ。

ε∈0 とか変な書き方をするから、あらぬ妄想が生じる。
ε∈Monad(0) であっても、ε≠0 なら 1/ε は存在し、
ε=0 なら 1/ε は存在し ないというだけの話だ。

>>425
話がおかしくなったのは
>>405 で 0=εorμor#φ とか
>>416 で ε∈0 μ∈0 #φ∈0 とか
書いたのが原因です。

> ε∈Monad(0)
ということなら了承できるし、この場合εは 0 としての性質を満たしていない。つまり
　ε∈0
でないことになる。

多分、この話は
　0^0 = 1
を否定するために
　ε,μ∈0 ⇒ ε^μ≠1
という例を示したかったんだと思うけれど、そのためには
　ε∈0
が証明できなければならない。

だから、ε∈0 って何者だよ。

st(ε)=st(μ)=0 の条件下に
st(ε↑μ)=1 だとは限らない
ことは、ポエムで誤魔化さずとも
普通に証明できるだろ。

>>427
st(ε↑μ)=1 だとは限らない
確かに。しかしst(ε)↑st(μ)=1だと思う。

>>427
このスレでの話題は
　0^0 = 1
で
　ε≠０、μ≠０
なんだから
> st(ε)=st(μ)=0 の条件下に
> st(ε↑μ)=1 だとは限らない
は当たり前だろ。何の関係があるの？

やっと全員が反応してくれたよ
そんなに難しい事かよ

>>427
7年前の解析厨向け
零ならぬ無限小を認めない奴だったが故に
その癖して零極限ごとに違いを文系的に哲学してた奴だった
εもμも認めない癖して
独自基準で0を、飽く迄も変数として扱う？主義の奴がいた

>>429
だったらテメェそれこそ
(INT|0|)^(INT|0|)=#φ^#φ=1
で満足しろや、いい加減にしろ
>>61を書いたのテメェだろうが
解析上連続性に過剰愛を注いでんじゃねーよ
いいだろうが
y=0^x　x>0⇒y=0 x=0⇒y=1 x<0⇒|y|=∞
で。極限を用いた解析を行う上での連続性を重んじるにしろ無限小超実数に代替で事足りてるじゃねーか
朝令暮改かましといて高飛車質問してんじゃねーよ

解析性重視学会連続性死守で集合論敬遠な派閥に属してるわけでも無いだろ

>>429とかは分かり易いのに>>430が糞文系過ぎて意味が解らん

>>426 >>429
>>109も>>125も書いたのお前だろ

当たり前じゃない事を一番言ってるのも
話を一番おかしくしてるのも
お前だって事を棚に上げて
何を調子こいて言ってやがんだか

>>430
まだ理解できないの？
0^0=1 と決めることに意味は無い。
重要なのは、べき乗の定義を決めることだ。

集合論で 0^0=1 とするのは何も間違っちゃいない。
でも、算数にしか使えない定義は役立たずだ。
超実数とか持ちだしておいて、結果がそれか？

>>432
その４つは同じだが、>>431 は異なる。

ところで、数学で反論出来なくなって、こんなことを言うのか？
無駄な評価はいらん。

>>433
べき乗の定義て。べき乗とは何か？ということなのかそれとも
べき乗の一般式のことなのか？

>>435
べき乗を定義するときに、
単に場合分けして、x=y=0 のときは x↑y=1 としたのか、
何か別の定義をして、そこから 0↑0=1 を導いたのか？
ってことでしょ。
結局、どう定義するのが自然か という感情論にしかならないけど。

ここまで見た議論では、0↑0=1 を導く元の定義はどうにも不自然で、
場合分けで 0↑0=1 と決めるほうが話がスッキリしている印象。

>>436
場合分けというのも何だか非論理的で短絡的な気がするんだが。

>>435
別に何でも良い。
性質でも、一般式でも。
定義は一つとは限らない。

でも、今回示した一般式は、確実に入るよね。
　(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
であることを認めてしまったら、あとは定義域を拡げるかどうかの二択しか存在しないと思う。

>>436
なぜ、場合分けだけを好む？
なぜ、印象で選ぶ？
どちらも正しいとすれば良い。

その両者が満足する方法が
　0^0 = 1
とすることだ。

>>438
何回言わせるんだ
「定義域を広げればいい」っていうのは魔法の言葉じゃないんだぞ
誰もが認めるような証明をつけなければ単なる妄想だ

>>438
その説明は、巧妙といえば巧妙なんだけれど…
二変数関数を巾展開するときに、なんで
二変数巾級数でなく x だけの巾級数にするのか？

そのことによって x=0 と y=0 を代入する順番を
制御して、lim[x→0]lim[y→0]x↑y を
lim[y→0]lim[x→0]x↑y より優先することを
恣意でなく必然と見せかけようとしている訳で。
そういう誤魔化しが、どうも好きになれない。

0↑0=1 によって x↑y を拡張する。
そう決めたもんね！ のほうが潔く
見通しもよい と思うのだ。
短絡的といえば短絡的だが、非論理的なんて
とんでもない。x↑y をどう定義したのか明確にせず、
いつのまにか 0↑0=1 が導かれている怪しげな
議論と違って、「決めたもんね」流には
論理的な間違いは無い。

>>440
定義域を拡げる時に、証明が存在する筈がないですよね。
解析関数については、「自然な定義域」が存在し、
x^y を解析関数と認めるなら、0^0 を定義域として認めたようなものだけど。
だから、定義域を拡げるのは、証明ではなく、認めることだ。

>>441
> 二変数関数を巾展開するときに、なんで
> 二変数巾級数でなく x だけの巾級数にするのか？
というのは、私も一度陥った間違いだね。
なぜなら >>340 で出てきているが
> C(y,k)=(y)_k/k!=Σ[l=0,∞](-1)^{k+l}s(k,l)y^l/k!　(s(k,l)は第1種スターリング数)
というのはべき級数だ。よって
　(1+x)^y = Σ[k,l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)/k! x^k y^l
と記述することもできる。

私が単に二項定理が好きというだけだ。

>>443
そこが間違い。
二変数巾級数を、そのように
巾級数の級数に変形するということは、
Σ[x→∞,y→∞] という二重級数を
Σ[x→∞]Σ[y→∞] という累次級数に変形した
ことになる。
前者が収束すれば、後者も収束して、値も同じだが、
後者が収束したからといって、前者が収束するとは
限らない。

巾乗の定義を、最初から累次級数で与えるのは
もちろん自由ではあるのだが、
なぜ二重の Σ を x と y で 非対称に扱いたいのか
については、それなりの説明が必要だろう。

そこで証明を試みたら、それこそ非論理的だ。
必要なのは、なぜそうしたいのかという
情緒的な説明である。

>>442
x↑y を解析関数と決めてしまえば、その結果として、
x=y=0 は「自然な定義域」には含まれないことなる。
解析関数は、定義域の各点で局所正則だが、
0↑0 の値を何に定めても x↑y は x=y=0 で正則には
ならないからだ。

0↑0 に値を与えたければ、少なくとも x=y=0 では
解析的でないと決めなくてはならない。

>>444
> Σ[x→∞,y→∞] という二重級数を
> Σ[x→∞]Σ[y→∞] という累次級数に変形した
なんてことをした憶えはないぞ。
ちゃんと計算したのか？
前者だろうと後者だろうと、収束するぞ。
どんな順番だって良い、発散すると思うなら、それを証明してみろ。

>>445
これはwikiに基づく知識であるが、「自然な定義域」は定義域の項目に書かれていること。
解析関数の定義域は、解析的な区域だけとも考えられるが、
テイラー展開によって得られる関数の「自然な定義域」には 0^0 が含まれる。

>>447
落ち着け。
定義域に解析的でない点がある関数は、
解析関数ではない。

>>446
あきれた。
収束を主張しておいて、証明せず、
収束しないと指摘されたら、相手に
発散を証明しろというのか。
どういう甘やかされ方をして育ったんだ。

いいだろう。書いてやるよ。
ケイタイからだと式書くのがメンドだから、
明日の夜今頃の時間な。

このスレで役に立ったことは
　・0^0=1 はKnuthが主張している
　・あるレスからググって、Knuthの原論文には
　　　Knuth以前に0^0=1と言って、結局負けた人がいる
　　　その歴史を踏まえて、Knuthは0^0=1という見方もあると言った
　・Knuthも「0^0=1とすると便利なこともある」程度しか言ってない

バカが必死で粘着してるスレを追うより、Knuthの本や論文を
読みましょう。

最初からつりに決まってるだろう

0^x=1
|x^0|=0(x>0)or1(x=0)or∞(x<0)

実数を変域とする二変数関数に拡張する手段が無い事は問題ではない
それが問題であるとする主義こそが問題だ

>>448
解析関数だという前提でべき級数を求めたら、その関数の「自然な定義域」には 0^0 が含まれていた、と言ってるだけ。
べき級数の求め方は決まっているから、これは必然である。
「自然な定義域」を含めると解析関数でないが、それを不自然と思うかどうかは、人それぞれだろう。

それによって、0^0 を定義域に含めるべきではない、という理屈は、私は有り得ると思う。
でも、この関数を無視して 0^0 を決めることはできないだろう。
何度か繰り返している気がするが、私がこのスレで言ってることは、そのことだけだ。

結果として解析関数であることが絶対条件かと言えば、そうではなかろう。
解析関数というのは、条件に合った関数を探すための手段の一つに過ぎないと考えている。

>>452
ミス。それとも、新たな主張？

>>450
負けた人…ね。
それが本当なら、ここに内容を開示してみたらどうだ。
「読みましょう」と言っといて、おまえは何も知らないのか？

0^0 が定義できないと思う人は
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
のような記法も使わないの？

>>450
というか、ドン・クヌース先生が言ってるのは、
先生の守備範囲である計算機周辺だと、形式上 0^0 って言えるのは
多項式とか冪級数での定数項 x^0≡1 で x=0 のときも同じ表記で通したい
っていうような場合くらいだし、
ほかの文脈でもそういうのがほとんどだから 0^0=1 と思っとけば便利だよね
というような趣旨だよ。

0^0=1派以外の数学屋でもこれに別に異論をはさまないという事実も、
特定の文脈に対する主張だからというのがわかってないと、わからないのかもしれない。

>>456
それは x^0 <-> 1, x^1 <-> x を同一視して係数環を多項式環の部分環と見る
というのが先にある話だから、0^0=1 の定義とは関係ない話なのだが。

>>458
アハハ。関係なくなんかないでしょ。
x = 0 を代入したら 0^0 が出てくるじゃん。

>>456
個別に 0^0=1 と定義することに反対してる人はいないと思うが。
それとも、そう定義すると矛盾が発生するとか考えてる訳？

>>457
クヌースがそこまでというのは、言えるかもしれない。

>>459
ちゃうちゃう、1をx^0と書いてる。1に0は代入されない。という話だから0^0は無関係。

>>459
＞x = 0 を代入したら 0^0 が出てくるじゃん。
それは詭弁
　Σ[n=0,∞]a_n x^n
は単に
　a_0+a_1 x+a_2 x^2+…
というべき級数を表す形式的な記号に過ぎない

>>459みたいな勘違い野郎が多かったからクヌースも飽きれて0^0=1と思っとけと言ったのだろうなあ……

だから、>>453 のように
解析的であることを要請したら
解析的でない関数が得られた
この拡張のしかたが自然だ…とか
支離滅裂なことを言ってないで、正直に、
多項式や巾級数を表記するのに便利だから
個別に 0↑0=1 を追加する…と言ってしまえば、
無理をして破綻した証明モドキを書いて
馬鹿扱いされる必要がなくなるよ
と言い続けている訳だ。
人間、正直が一番だ。

多項式のx^0は多項式としての1と同じって言う話から0^0=1と定義しなきゃとか言い出すやつって
多項式と多項式函数の区別すらつかないんだろうな

>>463
そんな定義は無い。

多項式の変数にある値を代入した結果と
多項式の表す関数には当然自然な結果があるべきで、
全然別物で形式的対象だから値は違ってても良いんだといいたいなら
そう決めるだけの理由が必要だと思う。

冪級数と多項式の関係についても同じで、
xの多項式の極限を取ったものがxの冪級数なんだから
或る項以降がつねに0になる場合など、表記法が両者の間で違ってきたら使いにくいことこの上ない。

そう定義しないといけない理由が証明できる訳じゃないけどね。

「自然な定義」というのも「無駄な場合分けが少ない便利な定義」も
基本的には似たような事だと思うけどなあ。

>>465
そもそも
　0^0 = 1
を追加するって言ってるけど、何に対して追加するのか分かってる？

>>466
完全には理解できないから半分は想像になるけど、
多項式では x^0 とは、x を掛けない定数項という意味だと言いたいのだろうな。

ただ、多項式では x^0=1 というのと 0^0=1 というのは、何も違わない。

わかってないなあ。
乗法的モノイドの元 x に対して
x^0 = 1
とすることと、局所体の元 x, y に対して
x^y = exp(log(x)y)
と定義した上で log(x) と y とを恣に動かすことで値を微調整できるというのは話が違ってて、上の議論をしてる人に下の議論を持ち出しても意味がないってだけ。

>>470
全然違うんだけど、単位元を持たない環を係数とする多項式環とか一般の代入とかを
勉強しないとわからないってことなのかなあ……

>>471
なら、まずはどちらの意味か区別が付くように記号を分けなきゃね。

>>472
単位元を持たない場合に x^0 がどう扱われるのか、興味あるな。

単位元でないのだから
　x^0 * x^1 ≠ x^1
とかになるのかな？

係数環に単位元が無いか、あってもx^0と同一視しない場合、
多項式環の単位元が係数環の単位元と一致しないだけであって
多項式環の単位元は変わらずx^0だぞ……

> 係数環に単位元が無いか、あってもx^0と同一視しない場合
はもちろん係数環は多項式環の部分環にはならない

地球上で観察される現象が、地球だからこその特有の現象なのか
どこでもそうなのかを知るために宇宙を研究する、みたいな話を思い出した

>>475
係数環に単位元がない場合、x^0 は多項式環としてどう表されるのだろう？
多項式とは
　Σ[k=0,n]a_k x^k
と表される筈で、普通なら a_0 = 1 として表せば良いのだろうが、それは出来そうにない。
でも、表せなかったら、x^0 が多項式環の単位元と言えるのだろうか？

>>478
教科書嫁

>>455
過去レスに書いてるよん。
わからないなら、あんたがそれまでの人だねｗｗ

>>471
で、乗法的モノイドの元 x に「パパ、x=0を代入しちゃうぞ〜」とか
言ってる素人がいるから、ブチ切れて小一時間ですよｗ

>>480
書いてないぞ。

>>479
でた。答えられない時のセリフ。

デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね

>>481
モノイドでも、加法が定義されてるなら
　x^y = exp(log(x)y)
の対象じゃないか。

>>470
多項式函数における代入ってのは、xの行き先を定めて
x^nたちの成すモノイドから係数環へのモノイド準同型を決めて
それを多項式環から係数環への環準同型に線型に拡張して
係数環の中での計算に持ち込むこと。

>>474
単位元を持たない環の場合も考えて、何と何が違うのか、
単位元のある場合に何がどう同一視されるのか
を理解してからもとの話を考えろってことを言ってるのに
単位元を持たないときのx^0が単位元かどうかとかってのは、
完全に話の腰を折るだけの無意味な詭弁になってる。

>>475>>478
> 多項式環の単位元は変わらずx^0だぞ……
多項式環の単位元は「もしあれば」変わらずx^0でなければならない、だ。
もちろんx^0は多項式環に入ってはいない。
係数環によるスカラー倍と同様にx^nたちの成すモノイドを
自然に作用させる「スカラー倍」は可能で、
その意味ならx^0は恒等作用。
多項式環をx^nの成すモノイド上の「群環」と見ても大して得るものは無かろう。

>>473
そうそう。下のexpとlogの組み合わせの方は単なる省略記法に過ぎないので利用を禁止しちゃうと簡単ですね。

>>485
expとlogは標数零の局所体でしか定義されていないし、どこで計算してるかによって値が全然違う。(2/3)^(5/7)をCで評価するかQ2でするかQ3でするか、、、ってどれも違うでしょ。

>>486
モノイド準同型とは
　f(x • y) = f(x) •' f(y)
　f(e) = e'
を満たすものだが、x^0 が単位元であった場合 f(x^0) は何になるんだろうか？

２番目の式が成り立たないことを考えても
　f(x^0 ・ y) = f(x^0) ・' f(y)
となり、左辺では単位元として、右辺では単位元でないとして作用するのは難しい気がする。

これも勘違いなら、訂正してくれ。

>>486
> 多項式環の単位元は「もしあれば」変わらずx^0でなければならない、だ。
一般の多項式環では、そうなんだろうけど、
一連のやり取りは x^0=1 という条件付きの場合だから、「もしあれば」では困るのでは？

なんで代数の話？
xのy乗 は、y に自然数を代入すれば
xの多項式を表すのに利用できるが、
それ自体は、多項式ではない。
>>473 が、いいこと言ってるな。

>>489
モノイド準同型を考えるなら、より一般に半群準同型f:R→Rも考えられ、それは
f(x・y)＝f(x)・ f(y)　x、y∈R
を満たす。仮に0^0∈Rが定義されたとして、
半群準同型を用い指数法則からf(0^0)を求めようとすると
f(0^0)＝f(0^0)・ f(0^0)
になるから、f(0^0)＝0、1の2つがあり得る。この議論はfを恒等写像id:R→Rとしても成り立つ。
id(0^0)＝0^0なのだから、0^0を定義しようとすると、あり得る定義として0^0＝0、0^0＝1の2つが考えられる。
そういう訳で0^0＝0と定義することも出来るから、0^0＝1は定義になっていない。
0^0＝1という定義は0^0∈Rが存在するとしたときの定義の1つに過ぎない。

>>492は>>489でなく？、>>1あて。
ここは、もはや誰が誰だか分からくなってるスレだな。

>>492
半群というから単位元がないのかと思えば、0^0 あるいは f(0^0) が単位元らしいな。

「指数法則から」という言い方は曖昧だから、そこはスルーしておく。

>>490
地球のことを知るために宇宙を知れという話なんだが？

>>489>>492
そもそもどこからどこへの準同型かわかってないのか、話がおかしいぞ。
X := {x^n | n=0,1,2,3...} とおいて係数環を R とすると
適当な a ∈ R に対して φ(x) = a を満たす半群準同型 φ_a: X -> R が一意に決まる
このとき代入と呼ばれる準同型 φ~_a : R[X] -> R ; Σ c_nx^n |-> Σ c_nφ_a(x)^n が得られる。
半群準同型よりも強くモノイド準同型と仮定する場合、φ_a(x^0) = 1_R とするということだが
任意の a に対して a^0 = 1_R とするなら a によらず特に矛盾は無いことになるな。

>>494
>>496
>>492の
>仮に0^0∈Rが定義されたとして、
が読めないか？
通常0のベキ乗に対して指数法則は仮定しないが、
仮に0^0∈Rが定義されたとして半群準同型を用いf(0^0)を求めようとするとき、
0^0・0^0＝0^0という或る種の指数法則モドキを仮定しないと、f(0^0・0^0)＝f(0^0)f(0^0)から先、
話が進まないから0^0・0^0＝0^0を仮定して0^0∈Rが取り得るRの点を求めたまでである。
その結果、Rを半群と見なして仮に0^0∈Rが定義されるとしたら0^0＝0、0^0＝1に限られる。
任意の半群準同型についていえることは、任意のモノイド準同型についてもいえる。
反対に、任意のモノイド準同型についていえるからといって、任意の半群準同型についていえるとは限らない。
Rを環と見なすと、Rは自然にモノイド扱いし従って半群扱いすることになる。

任意の代数系についてそれがモノイドならば半群、
反対にその代数系が半群だからといってモノイドとは限らない。
包含関係だと
モノイド全体の集合⊂半群全体の集合
だが、モノイド全体の集合≠半群全体の集合。

>>497
お前は未だx^0≡1と0^0=1は関係ないって指摘の意味が分かってないのかよ

>>498
何自明なことイッテンダ？
あと集合にならんから真クラスになおしとけよ

>>499
そもそも、x^0≡1の話はしていない。
0^0＝1の話だけである。

>>500
だからおまえはバカなんだっての
「xにaを代入する」とは準同型φ_aのこと。
φ_0を考えれば準同型性からx^0にx=0を代入するとはどういうことかというのがわかる。

準同型云々は x^0 から 0^0 を得ることに対する話。

それをお前は0^0をさらにモノイド準同型で写すとか完全にズレてんだよ

ということで>>481に戻る、と。

>>501
そもそものこのスレの問題は0^0＝1と定義出来るか否かだろ。>>496の
>このとき代入と呼ばれる準同型 φ~_a : R[X] -> R ; Σ c_nx^n |-> Σ c_nφ_a(x)^n が得られる。
って多項式環R[X]についての代入原理の話だろ。そういう前に半群準同型が考えられてというか別にそんなの考えなくとも、
0^0∈Rが定義されたとして0^0・0^0＝0^0さえ認めれば、0^0＝0か0^0＝1に限られることなんてすぐ分かる。
いっとくが、Rは実数体扱いしているからな。

わざわざアンカー付けてアンカー先と無関係のことをさんざんほざいておいてこの態度とか

>0^0・0^0＝0^0さえ認めれば
ここが鬼門

>>456-459あたりから、
x^0を1と同一視するかどうかとx^0にx=0を代入して0^0を決めることとは無関係という話を説明するために、
係数環に単位元が無い場合でもx^0にx=0が代入できるってのをやってる、
それだけのことなんだがなあ。

別の話をするなとは言わないが、わざわざ割り込んできて別の話だとか言われてもなあ。

>>503
だから全然関係ないところのモノイド準同型の話から、
勝手に0^0をモノイド準同型で写せる（つまり指数法則の一つに従う）前提の話に
なぜすり替わるんだ？

>>482
このスレを>>1-450まで全部読め。>>449まででもいいｗ
そこから俺=450はKnuthの原論文にたどり着けた、
お前は分らなかった。それだけだ。

俺同様にたどり着いて読んだ人間は>>450に嘘が書いてないと
わかる。それで十分だ。
アホのお前がわかろうがわかるまいが、どーでもいい

>>275
勝った

0^0のこの定義は、単に公式として扱われることもあるが、
忘れてはいけないのはこれは定義であるということであり、
また数学に根付く真実ではないことである。--クヌース

>>508-510
> 「Knuth以前に0^0=1と言って、結局負けた人がいる」
と言ってたから、どういう人がどういう理屈で負けたんだろうと楽しみに待ってたら、
そんな数学的な内容ではない、単なるクヌース個人の感想だったのね。残念！

>>511
はあ？　読んでないな、お前ｗｗｗ

論文にたどり着くキーワードがあるからググって元論文読めって言われたのに
> どういう理屈で負けたんだろうと楽しみに待ってた
ググりもせずに雛のように口パクパクさせて待ってたのかｗｗ
キーワードを教えてくれてるレスに向かって、なんというしょぼい捨て台詞ｗｗｗｗ

ググったら>>450は嘘ってあった。

誰かに教えて貰うのをただ待つだけの馬鹿って可哀想だのぉｗｗｗｗ

>>340
より
対数関数
　log(1+x) = Σ[k=1,∞]-(1/k)(-x)^k
log(x) = Σ[k=1,∞]-(1/k)(1-x)^k
べき乗
　(1+x)^y = exp(log(1+x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
x^y = exp(log(x)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(x-1)^k
　0^y = exp(log(0)y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k
　 0^0 = exp(log(0)0) = exp(0) = 1

で良いんじゃないですか。

「石川ってうんこするの？」コピペみたいに派閥を整理してくれ

>>513
重要な気しなかったし。

それでプゲラしたつもりになってるとか論外だろ

そんなに閑じゃねーし

わからないなら黙ってればいいのに

馬鹿はすれたてなきゃいいのに>>1

二変数に拡張する手段が無いのが問題なのか？
どういう変数なのかに関わらずに0^0の定義可否が問題なのか？
答えろ二枚舌野郎、コロコロ意見を改竄してんじゃねぇよ

0^0は申請特異点ではないのですか？

信成得意点が出ました！

俺には発言者が何人いるのかすら判然としないのに
区別してどれが誰か同定できてるらしい>>523はすごいな……

1

>>523
lim[x→0,y→0]x^y が存在しないことは事実であり、それが 0^0 を定義する場合の最大の問題。
でも、x^y の定義から lim[x→0]x^0 と lim[y→0]0^y が説明できれば、問題にならない。
そのためには、整数ではなく実数を定義域とした x^y の定義が必要。

整数だろうが実数だろうが0は0だろコノ大莫迦野郎
お前は自分で自覚しきれてないんだよ
0と同じモナドに属す0以外で任意の超実数と0とを
場面場面で混同してる事に

>>526
しっかりしてくれ
主だった人間は5人
俺、主、お前、お前と論戦してたしばしば煽り入れるゲス、煽り専門のゴミ

>>529
なんで間違ったことを自信満々でいえるんだろう

>>529
いくつかはなんとなくわかる（例えば>>1はageてるがageが全部>>1かはよくわからん）が、
具体的な番号は読み返してもあんまりわからないやｗ
俺は誰と論戦してたんだろうとか。

ていうか、俺ってどの発言してるかバレてるもんなんだな。
まあ別に不思議ではないことではあるか。

>>528
テメェが(韓国系中国人ばりの後付け
つまり俺達に0と無限小超実数の違いを教えられてからの後付けで)言い出した事だぞ
0と無限小超実数は違うんだろ？>>429さんよ？
lim[x→∞, y→∞](x^y)
と書いた時点でもうそれは0^0じゃなくてε^μだろうが
(lim[x→0]x)^(lim[y→0])が{st(ε)}^{st(μ)}に当たり
lim[x→0, y→0](x^y)がst(ε^μ)に当たる事を十分に理解していない

テメェは本当に分かった気になって直ぐに調子こくな
正に厚顔無恥だな

>>524
0^0 だけでなく、0^y 全体が特異点です。

0<y<1 では d(x^y)/dx が発散します。
1<y<2 では d^2(x^y)/dx^2 が発散します。
高階微分まで含めて発散しないのは、y が整数の時のみ。

>>532
> (lim[x→0]x)^(lim[y→0])が{st(ε)}^{st(μ)}に当たり
> lim[x→0, y→0](x^y)がst(ε^μ)に当たる
ことは理解済み。

「十分に理解していない」とは、どの発言から感じられるんだ？

>>528
lim[x→0]x^0はｘがどんな値とっても1だろ？
問題はlim[y→0]0^yの時だ0近辺まではずーと0だけど
0になった瞬間に1になる。その瞬間が解析的に非常に
難しい。

>>535
解析的に難しいのは、実は
　lim[y→0]0^y = 0
の方だな。

>>449 で予告しながら実行してない奴がいるから、代わりに書くが
　(1+x)^y = Σ[k,l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)/k! x^k y^l (s(k,l)は第1種スターリング数)
が収束するかどうか怪しいのは y=0 の場合じゃなく y>0 の場合だ。
なのに、0^y=0 は信じて 0^0=1 を疑うというのは、順序が逆だろ？

上の式から 0^y=0 を導くには、加算の順序を
　(1+x)^y = Σ[k≧0]Σ[l≧0](-1)^{k+l}s(k,l)/k! y^l x^k = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
となるように変えなければならない。これにより
　0^y = lim[x→0]x^y
という関係が成立することになる。

「解析的に非常に難しい」との言葉は 0^y という１変数関数で考えた場合なのだろうが、
べき乗は x^y という２変数関数であることを忘れてはならない。
x=0 の条件では、テイラー展開が出来ず、すでに解析関数ではなくなっているのだ。

>>536
いっそのことyをxの関数で表してy=f(x)としてlim[x→0]x^f(x)と変形して
0^0を求めることは不可ですか。

>>537
ある関数では 1 で、ある関数では 0 で、という風になるだけ。

それに、せっかく極限値が色々あるという特長があるのに、なぜ嫌う？

>>538
二重級数とかがややこしすぎて何かスッキリ腑に落ちない。というのと
xとyとを関連付けて一般式にできたらスカットしそうだ。とか、よから
ぬことを考えてしまってね。ｗ

東大「数学科に進学することは人生の多くのものを諦めるということである。」
http://lole34.doorblog.jp/archives/38489605.html

まーたか

>>530
>>529が間違いを言っていると主張したにも関わらず
逆に君が独り孤立してしまったね｡
今、君はどんな気持ちなんだろう？

悔しいわけでもないなら、ここは一つ間違いを指摘して
正しい解釈を示して名誉挽回といこうじゃないか！
君の主張がスレの進行に全く反映されてないのが私も気掛かりなんだよ
私も文系の彼をよく思っていないんだ｡

文系の彼って
おいらのことか？

俺は5人が間違いなんじゃないかと思ったが……

点呼でも取るか？

>>542
間違いを指摘してやるから>>530が書いたレスを全て挙げてくれ。

>>545
ID出ない板で点呼言われても

いいじゃん別に

ﾉｼ

馬鹿はいます

１にょき

んー…納得いかないが
「お前」)ﾉｼ

指数法則が成り立つなら
　a^0 = a/a = e
で a^0 が単位元であることが確認できる。
指数法則が成り立たない 0 では、この計算ができない。

この場合にも
　a * a^-1 = e
という式を使えば、a = 0^0 を代入することで
　0^0 * (0^0)^-1 = 0^0 * 0^0 = 0^0 = e
となり、0^0=1 が求められる。

厨房もいます

>>552
> a = 0^0 を代入することで

0^0=0なら代入できないのでそうでない限りという但し書きを取れない

>>554
代入できないなら、0^0=0 が否定されるだけでは？

>>555
は？何がどういう理屈で否定するの？

>>552は0^0≠0のとき0^0=1って言ってるだけで、0^0=0の場合には何も言ってないんだから
0^0=0のときは何も影響を受けない。

指数の定義以前に 0 で割ってはいけないというルールがある。
つまり 0^(-1) というものを考えてはいけないと言うルール。
（　そういうものを考えるとa・0 = b・0 の両辺に0^(-1)を掛けて a = b になってしまう　）

>>555
「a^(-1) の a には 0^0 を代入できる」という仮定をしているからこそ 0^0 = 0 が否定されるんじゃないの？

>>557
何度でも言ってやろう、そういう仮定をしているという但し書きを省略することが許されない

代入できるかどうかはどちらの場合もあり得るのに、
勝手にできることにしたら
自動的にそうでない場合が起きないことを証明したことになるのか……
すごいな。えらいえらい。

>>557
0^(-1) って、0 で割ることなのか？

>>560
そのまえに何で代入できないなら、0^0=0 が否定されるのか答えろよ

運営乙

>>561
>>555 は聞いただけだから。
その答が何であれ、否定するつもりはないよ。

使い道があるかは別として、zがどんな複素数でも
0^z=0
というのは指数法則を満たす。

>>561
>>564 により、0^(-1) = 0 と考えることで
「代入できないなら」という前提が否定された。
これだと >>555 の命題は否定できないし、
「0^0=0 が否定される」理由も答えられなくなったかな。

>>546
お前、後出しジャンケン型だな
人から意見を引き出しといて後から適当な事を言い出す型
妥当でスマートな見解を導く為に人の意見を参考にする意図も隠し持つ
ズル賢いタイプ

>>553
厨房みたいな奴はいるがリアル厨房はいない、やはり5人だ
>>542みたいに高見の見物決め込んで
ロム基本でたまにチョッカイ出してくる奴は
｢主だった人間｣に入らないから除外

>>565
あほだな、お前が言ってることは単に0のときと1のときを場合分けしただけだって言われてんだぞ
その意味すら解ってない時点で本当にお前は論外も論外なんだ。

>>567
元の式に、場合分けは入っていないと思うが。
式を解く過程で場合分けするのは、ごく普通のこと。

べき乗の面倒臭さを示しておこう。（定義域などは省略）

自然数乗を計算するには
(1) x^1 = x
(2) x^(y+1) = x^y * x
を使う。

整数乗を計算するには
(3) x^0 = 1
(4) x^-y = 1/x^y
を使う。

有理数乗を計算するには
(5) z^m = x^n
という方程式を解いて、z = x^(n/m) とする。

実数乗を計算するには
(6) x^y = lim[b→y]x^b
を使う。

複素数乗を計算するには
(7) exp(x+iy) = exp(x)*(cos(y) + i sin(y))
を使う。

0^0 を定義することは、以上の式に
(8) 0^y = 0
(9) 0^0 = 1
を加えることだ。

これらすべてが
　(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
で済むのは、とても分かりやすいことだと思う。

>>569
(-1)^π を考えたりするときも、そのべき級数展開がわかりやすいですか？

そもそも0^0はそのべき級数の収束半径外だし、
定数項がC(y,0)っていうのも(1+0)^y=1が成り立つからであって0^0とは関係ない

>>571
あなたの書いてるその0^0ってなに？

>>572
べき級数Σ[k=0,∞]C(y,k)x^kでx=-1は収束半径|x|<1に入ってないってこと
さらにいうと、このべき級数が(1+x)^yに等しいっていうのも|x|<1の範囲での話だからね

>>558
俺>>555じゃないんだけど……
俺に言われても困る

>>559
誰に言ってるのか知らんけど、俺に言っているのだとしたら
片方を仮定するともう一方は同時には起きない、と言っているだけだよ。

「〜が否定される」という表現は559の言うとおり曖昧で
not 〜だと言っているのかnot 〜が証明できると言っているのか判然としない。
その点も突っ込もうとは思ったけど長くなるからやめた。

0^0:=1じゃだめなの？

0!=1
は認めよう。

だめじゃないよ。
そう決めても何の矛盾もないし、
巾級数の記法上少し便利だったりする。
その一方、0の0乗 を定義しないことにすると、
巾乗が定義域で連続になるというメリットがある。
どっちが好きかを選べばいい訳で、
要は人気投票の世界。
このスレがこんなに続いているのは、それを
「=1 であることが導けた」とか
「定義できないことが証明できた」とか
言い続けるお馬鹿さんが絶えないから。

要するに「0^0」に何らかの意味付けがしたいとおっしゃる。
「0^0」を個別に定義するのではなく、
何らかの関数の値として自然に導かれる値として定義したいとおっしゃる、そういうわけですね。
わかりました。

>>577
0^0=1 とするか定義しないことにするか、その２択だというのが私の言いたいことだから、
同意見だと言うことですね。

その上で、0^0 が式に使われていれば、0^0=1 と定義してると分かるし、
使っていなければ、定義してないと想像できる。
何ら断らずに、どちらも自由に選べる状況になれば良いですね。

↑普通はみなそうしてるのに、このアホは何をほざいてんだ

0^0=0としても矛盾は生じないんじゃない？

不都合が生じるだけ
もっとも、指数法則は適用できないからね

「0^0=0としても矛盾は生じない」状況ならあるから、2択は嘘だったな。

y≠0なら 0^y=0 とするから、0^yを一般に考えてる場合は
0^0=0としたほうが矛盾がない。

これしかないとか言い出すと矛盾が出るｗ

因みにちょっと話逸れるけど
「このように定義しても矛盾しない」の矛盾しないということを
実際に証明するのって実際は結構微妙で大変だよね

実数から複素数を定義するような段階なら特殊な
二次正方行列の一行目を見るだけで良いから簡単だけど、かなり特殊例だと思う

>>583
背理法分る？
Pと仮定して矛盾が生じるならnot Pが正しいんだよ。

>>570
569が(-1)^πを理解してるかどうかちょっと興味深いな。

>>573
収束半径は、収束するかどうかの目安でしかない。
収束半径と等しい場合には、別の判定法がある。

さらに言うと x=-1 で「このべき級数が(1+x)^yに等しい」のは、それを 0^y と定義したから。
等しいことの証明が必要であるかのように書かれてますが、その必要はありません。

>>580
普通は、0^0=1 と書いてないと 0^0 を 1 だと解釈してくれないよ。

>>586
それってx=-2の話ですよね
収束域の圏外ですよ、圏外

>>581
0^0=0 では、指数法則が使えなくなる。

1/0^0 は 0^0 と異なることになり
　1/0^0 = 0^-0 = 0^0
に反する。

指数法則が何か教えてください

>>586 >>589
解析接続って知ってる？
計算は面倒だけどね。

>>591
中学生？

>>592
(1+x)^y = Σ[k=0,∞]C(y,k)x^k
はどこまで解析接続できるのでしょうか？

>>594
0^y を除けば、制限はありません。
することは、log(1+x) を解析接続するのと同じだからね。

(1+x)^y = exp(log(1+x)y) でその式は計算してるから、log が計算できるなら x^y も計算可能。

>>590
でループと

>>586
570じゃないが。
(-1)^π
exolog{(-1)^π}=exp{π*log(-1)*1}=exp{-π*log1}
={explog1}^(-π)=1^(-π)=1
でいいですか？

>>587
じゃあ、その定義で0^-1は何になるの？

>>598
587じゃないが。
0^-1
explog((0)^-1)
=exp{(-1)*log(0)}=(exp{log(0)})^-1
={exp(Σ[k=1,∞]-(1/k)(-x)^k)}^-1
={exp((-1)*Σ[k=1,∞](1/k))}^-1 (xに0を代入)
=exp(Σ[k=1,∞](1/k)
=exp(0)
=1
じゃだめですか。

>599
(xに0を代入）を(xに-1を代入)に訂正

>>597
そうなる枝もあるし、
そうならない枝もある。
π乗に限らず -1 の無理数乗は、
適当な枝を選ぶと
絶対値が 1 の任意の複素数値をとる。

>>599
間違いの箇所が多すぎて、
どこを指摘したらよいか…

任意の

そう。
「絶対値が 1 の任意の」

「任意の」ということは
・取り得る値は可算個じゃなくて連続濃度
・たとえば -1 の√2乗の値がちょうど 1 になる枝もある
というふうに理解して良い訳だね？

>>603

>>597
　(-1)^π = exp(log(-1)π)
　= exp((πi+2nπi)π)
　= exp((1+2n)π^2 i)　(n∈Z)
じゃないだろうか。
これは、絶対値は 1 だけど、それ以上はどうとも言えない。

結局、0^0がどうしたこうしたって言いたがる人はlogがよく分からないんだね。

>>599
0^-1
=exp{(-1)*log(0)}
=exp{(-1)*Σ[k=1,∞]-(1/k)(-x)^k)}　(x=-1)
=exp(Σ[k=1,∞](1/k))
=exp(∞)
=∞

となる。

>>608
log(0)ってなんだよ

>>606
電卓で打ったら1と出た。ｗ

>>609
>>608の二行目は不要で、
>>340のべき級数展開の定義にx=y=-1としたと考えればいい

>>609
=lim[x→+0]exp{(-1)*log(x)}
なら良い？

>>346 を見直してみた。

指数関数
　exp(x) = 1 + Σ[k=1,∞]x^k/k!
対数関数
　log(1+x) = -Σ[k=1,∞](-x)^k/k　(|x|<1)
べき乗
　(1+x)^y = exp(log(1+x)*y) = 1 + Σ[k,l≧1](-1)^(k+l)s(k,l)/k! x^k y^l = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k　(|x|<1)
０のべき乗（log(0)が計算できないので、こう定義する）
　0^y = lim[x→+0]exp(log(x)*y) = Σ[k=0,∞]C(y,k)(-1)^k　(y≧0)
０の０乗（y=0 を代入する）
　0^0 = 1

C(y,k):一般二項係数、s(k,l):第一種スターリング数
定義域を拡げたければ、解析接続を使う。

なお、0^y の定義が無くても
　0^0 = 1 + Σ[k,l≧1](-1)^(k+l)s(k,l)/k! (-1)^k 0^l = 1
である。

>>613
それは話が逆で、0^0:=1と定義したら
(1+x)^y = 1+Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k がx=-1でも成り立ちますってだけのことだから

>>614
でも、0^0=0 としてたら、それも無理だね。
>>1 での
> 　0^0 = 1
> と定義することだけが許される。
が納得できれば良いんだよ。

>>615
lim[y→+0]0^y = 0

>>616
それ自体は正しいけど、0^y はどう定義するんだい？
もし >>613 で示したものなら、その極限値を証明した所で、無意味だね。

>>617
0^y := lim[x→+0]x^y = 0 (y>0)

>>618
y>0 としたことに、何か意味あるの？
辻褄合わせにしか見えなくて、>>613 の方が単純だから説得力があるんだよ。

>>619
0^0=1以外に定義することもできることを示しただけだよ
辻褄合わせ、単純かどうかはあなたの主観でしかないからね

だから、「定義しないほうがキレイ」に
主観で一票。最初から言ってるようにね。

>>620
納得するかどうかは主観的なものだから、それは構わない。
辻褄合わせをやって、それで「定義しないほうがキレイ」と言うのも構わない。
自分の意見を一票の価値なんだと思ってるなら、よく分かってるねと言ってあげたい。

>>622
その「辻褄合わせ」っていうのが既に主観なんだが

>>623
主観でないと言った憶えはないよ。「辻褄合わせ」ということも否定出来ないだろうがね。

それに、「…以外に定義することもできる」というのは
　tan(π/2) = 0
と定義することもできる、と言ってるのとほぼ同じ。
　tan(x) = sin(x)/cos(x)
と定義しておいて、それに反することも許すなら、何でもできるよね。
私はそういうのを「辻褄合わせ」と表現しただけ。

>>624
それで言ったら>>613も「辻褄合わせ」だよね
それなのに一方の主張にだけ「辻褄合わせ」というのは公平ではないね
そういう意味で主観だと言ったんだけど

>>622
辻褄合わせは、やっちゃいかん。
好き嫌いは、あくまで好き嫌いであって、
推論の結果を装うのは、品がない。
装ったことを自覚しないのは、知恵がない。

>>625
定義する時に辻褄が合ってるのは重要だろう。
それは単なる褒め言葉にしかならない。

>>616 と >>618 が辻褄合わせにしかなってないのは、
考え方に一貫性が無いってことなんだ。

定義は、単なる命名だから、
異なるものを同じ名前で呼ばない限り
辻褄はあっている。
計算するフリは、必要ない。

>>627
＞定義する時に辻褄が合ってるのは重要だろう。
>>624の言ってる「辻褄合わせ」はそういう意味ではないと思うが

>>628
>>624 のように tan を定義するのも有りってことだね。
でも、単なる命名に説得力は皆無。

そもそも、主観で自分の考えに一票入れるのは認めてるのに、
何を私に言いたいんだ？

そちらが何を言っても納得するつもりが無いのは分かっているし、
私が説得力の欠片もないものに納得する筈もない。
やり取りを続けようとする意味が分かんないんだが。
無駄だと分かってても続ける私のように、親切心からでもなかろうに。

説得力を持たせようという試みは、妄想の産物でしかないから、
正直になって、どの定義が好きかだけを語れ。
どの定義でなければならない なんて論証は無意味だ。
…と言っている。アタリマエの話なんだがな。難しい？

矛盾を引き起こすような定義は誰も採用しない
一方、同値な定義はしばしば特徴付けなどと呼ばれ
様々な視点からその概念を捉えることが可能となる

>>631
　0^0 = 1
でなければならない、というのが私の正直な気持ちだから、仕方ないよね。

数学では自由に定義ができるのは事実だが、tan の定義を変えるのは難しい。
それと今回の件を区別できないのであれば、「どの定義でなければならない」というのはあるんだ。

分数形式で書かれているものの極限値を求めるとき、単純に分母分子の極限値を求めると、
0/0や∞/∞の形になるものは不定形とよばれ、何らかの式変形を施して、
改めて評価を行う必要がある
0^∞型や∞^0型、そして、0^0型も同様で不定形に分類される
しかし、「0^0=1」と定義してしまうと、0^0型の極限値の扱いを誤る初学生が現れないか、心配である

力を込めて0^0=1と「定義」するよりも、「不定」として魍魎とする方が無難ではないかと私は思う
（私はこのスレ数度目の書き込みで、途中の議論には全く参加してない者です）

どのように定義すべき、しないべきかはともかくとして、
初学者の心配を理由にするのはどうかと思うな

>>634
>>613 にあるように
　0^0 = 1 + Σ[k,l≧1](-1)^(k+l)s(k,l)/k! (-1)^k 0^l = 1
と考えようということだから、0/0 のような分数は出てこない。

もともとは
　x^0 = 1
　0^0 * 0 = 0^1 = 0
という二つの条件から 0^0 が何かと答える問題だから
　0^0 = 1
で終わる話だと思っている。

むしろ
　lim[x,y→0]x^y ≠ 0^0
という例を示すことで、極限値への理解がより深まると思う。
人は誤りから、何かしら学ぶものである。

>>　x^0 = 1
>>　0^0 * 0 = 0^1 = 0
>>という二つの条件から 0^0 が何かと答える問題だから

それは違う。0^0には何らかの値がある、という前提での議論なら有りだが、
「0^0」なるものは何か。はたして値や意味を与えて良いものか、
このような議論をしているはずだ。

そのような得体の知れない物を、勝手に式の中に組み込み、その値があるとしたら、
これこれこのような式を満たさねばならない云々、．．．とするのは、
「不定」か「１」という議論では無く、「１」か「０」かあるいは別の値かという議論をしているにすぎない。
普通の算術法則に従うかどうかも不明な得体の知れない物を式に入れ、
算術法則を適用して変形したところで、得られる結果に、どのような価値があるのか？　ということだ

ある方法で眺めてみると、１に見え、方向を変えると０に見える。ちょっと細工をして
眺めてみると、任意の値になるという。しかし、それは「１」であるとするといろいろと都合がよい。
さて、そのような物をどう扱うか？
「１と定義してしまうのがよい」、「いやこのようなものにこそ不定という言葉がちょうど良い」
結局はこのようなスタンスの違いだろう。

>>637
> はたして値や意味を与えて良いものか、

そこはどっちでも良い。
0^0 と書いたら 1 と解釈されることが重要。私の要求は、それだけ。

> 普通の算術法則に従うかどうかも不明な得体の知れない物を式に入れ、

定義する場合に、普通の算術法則に従わないというのが有り得るんですか？
0^0=1 と定義して、２倍したら３になるとか、そういうことですか？
そんなことで、今までの理論は矛盾が起きないですか？

> 方向を変えると０に見える。

極限値は０になることがありますが、0^0 が０に見えることはありません。
当然、指数法則を無視して、任意の値になることもありません。

>「１と定義してしまうのがよい」、「いやこのようなものにこそ不定という言葉がちょうど良い」
> 結局はこのようなスタンスの違いだろう。

不定と思いたい人は、0^0 という記号を使わなければ良い。
１と定義したい人は、単に１を 0^0 と書けば良い。
対立しなくても、両立できるじゃない。
「0^0=1と定義する」だけが許されているのならね。

>>633
ほら、宗教と論理の区別がついていない。
それじゃ、数学にはならないんだなあ。

マクローリン展開ではA0x^0...でx^0はx=0で1でないと常数がでないんだが。

また始まった

>>639
1+1=2 を好き嫌いで考えるよりは良いと思う。
もし好き嫌いだと、好みを明らかにしておかないと、計算が始められないことになる。
1+1=2 でなければならないという人の間だと、そんな枕ことばは不要。
それに従いたくなければ、そう断った上で自由。数学だからね。

好き嫌いを伝え合っておかないと簡単な計算すらできないのは、
それこそ数学にならないんじゃないかな。

まあでも現実は数学も人間社会における活動のひとつに過ぎないからね。

>>642
そのために、慣習や標準がある。
歴史的には、0の0乗を定義しないのが、慣習。
=1 も悪くないが、断ってから使わないとね。

>>644
慣習や標準が個人に好き嫌いを答えさせて決まったりしない。
そうした方が良い。あるいは、そうでなければならない、と考えたからじゃないかな。
「どの定義が好きかだけを語れ」と言うけど、それで結論出ることある？
もしそれで決めたとしても、他人への好き嫌いの押し付けは良くないな。

「0の0乗を定義しないのが、慣習」というのは当たってるけど、
それを変えるとしたら、「こうでなければならない」という言い方は必要でしょ。
数学的に、そんな論証は無意味。でも、標準を決めるにおいては、意味がある。

そのとおり。
必然を装って、好き嫌いを押し付けるのはよくない。
非常によくない。
だから、正直に好き嫌いを語れと言っているんだ。
最初から。

宗教になってるのかと思ったら、
政治活動になっていたのには、驚いた。

>>646
好き嫌いじゃなく、必然だって言ってるのに。

慣習や標準は、好き嫌いではない。
数学的な論証を経て、決められたものだ。
中立的考えで決めたからこそ、ルールとして許される。
好き嫌いでしかないのなら、押し付けは許されない。

x^y を表す式が存在するのだ。
x=0, y=0 を代入して計算するのは当然だろ。
　lim[y→+0]lim[x→+0]x^y
と考えれば別の値だと示した所で、それを 0^0 に等しいと考える理由になりはしない。

それとも >>41 で示した関数の定義域も (0,1) が除外されると主張するつもりかい？
ダブルスタンダードでは、好き嫌いにしか見えないぞ。

0も??も負の数も複素数もスキームもp進周期体も慣習ではなかったからね。慣習から外れるから受け入れることができない人を説得するのは多分無理だよ。

0も空集合も

>>648
それらは新たに定義することで
周知のように、数学において有機的で実りある発展を見せたわけだけど
0^0を定義することでどのような発展が期待できるだろう

>>650
やってみるまで分からない。

発展が期待もなにも前世紀の圏論由来の各種の概念構成を0^0=1では無いと言ってる人は受け入れられないんじゃないかな。

・0^0の値をどう決めてもx^yが(0,0)で連続にならないという共通理解がある
・N×N→NのときはYからXへの写像全体X^Yの基数で定義するのが自然
・C×C-{(0,0)}→Cのときは枝を適切に選べば定義できる
・上の2通りの定義で定義域がかぶっているところで矛盾がない
これだけ道具がそろっているのにこれ以上考えることはあるの？
枝の選び方の問題が残ったとしてもそれはもはや0^0とは関係ないし

0^0に於ける解析性付加類似
y=X^∞
の座標より解析的不定点X=1のその近傍のクローズアップ
y=lim[h→∞]{(1+x/h)^h}
(大文字Xと小文字xの違いに注意)
巾関数の極限yはX=1の近傍に於いてx>(1の近傍)とx<(1の近傍)との間を指数関数で接続されている

0^0を解析的に不定とする理念も同様の接続がなされている

超関数を用いて定義すればいい

そもそも原点を座標の一点として考えるのかどうかという問題だ。

(大文字Xと小文字xの違いに注意)
と書いて置きながら自分が誤記していた

巾関数の極限yはX=1の近傍に於いてx>(1の近傍)とx<(1の近傍)との間を指数関数で接続されている
↓訂正
巾関数の極限yはX=1の近傍に於いてX>(1の近傍)とX<(1の近傍)との間を指数関数で接続されている

>>653
>・C×C-{(0,0)}→Cのときは枝を適切に選べば定義できる

(C-{0})×C→C

座標系を1だけ平行移動すれば原点を1として計算できてそこでは連続している。

>>656 >>659
意味がよくわからん。

>>653
0^yの値をどう決めてもx^yの高階微分が有限にならない、が正確な表現だね。
でも、平気で 0^y=0 と見なして使ってるけどね。

そこは連続性で。

無の定義が不明、無とは何にも無いということじゃない。

０の定義は
　0 + a = a + 0 = 0　(a∈ある集合)
を満足するものだね。

0^0=1と決まっているならx^yをx=0で連続させよう。

トロピカルべき乗でも定義すればいい

>>665
何と連続させようと言ってるの？
x^0 は既に連続だし、0^y は y=0 以外は未定義だろ？
不連続な部分は無いと思うのだが。

>>667
ごめん(0,0)で連続させよう。ということ。

0^3は未定義なの？

>>668
(0,0)で連続させるためには、まずその周りが未定義でないことが必要だということ。

>>669
整数乗を実数乗と別に定義するなら、0^3=0 だね。
でも、とびとびじゃ、連続性とは無関係。

n=1,2,...に対してf(n):=0^nとおくと、f(n)=0 (n=1,2,...)
これを連続に補間すればよいのでは

0^(1/2)=0 以外に定義しようがないだろ。
二乗して0になる数は0。未定義でもなんでもない。

同様に正の有理数aなら0^a=0

>>673
それなのに何故0^0=1になるんだろう？という疑問だよ。

>>673
正の有理数に対し 0^a=0 とは、指数法則の結果だろう？
0^a で指数法則は成り立たないのでは？

x>0⇒0^x=0
x<0⇒|0^x|=∞

x=0⇒|0^x|=?

以下、aは実数で、a>0とする。xは複素数とする。

0^a=0として指数法則は成り立つし、x^a(x≠0)の定義とも
不整合はなく、x^aはx=0の近傍で多価だが、どの分枝を
とってもx=0の連続性まで成り立つね。

a>0 の場合、0^a=0とすることに疑問を持つのはお前さん>>675だけだなｗ

>>677
> 0^a=0として指数法則は成り立つ
指数法則に a>0 という制限を勝手に付けていいの？
ご都合主義って感じだね。
複素数に対してはどうなるの？

> x^a(x≠0)の定義とも不整合はなく
0^a が 0 以外に定義しようがないことについては、何の疑問もない。
でも、それと実際に定義域かどうかは別問題だ。

重箱の隅

集合論や代数学の文脈だと0^0は
空集合φからφへの関数の個数だからφのみで1個、つまり0^0=1とするのが自然。

解析学でもTaylor展開のような級数を考えたりする場合には
x^nにx=0、n=0を代入した値は1になったほうが便利だよね。

0^0の値が0とか他の値であることで便利なケースはほぼ無いと思う。

>>680
便利というよりも1以外に有り得ない。展開自体が不可能になる。

指数関数では、指数法則の成立が条件になるから、
0^y を定義域に含めることはできない。

もし、y>0 とか、部分的な指数法則が成立するようにしたいなら、
0^y の値は指数法則とは関係なく定義し、
その上で、y>0 という部分的な指数法則を証明するというのが正しい手順だね。

0^0を1とするか未定義とするかの選択というのが一般的だろうね。
解析的な議論でいちいち原点を除くとことわる面倒さと、様々な公式を0^0が現れないようにいちいち変数制限したり、ただし0^0=1とするという但し書きをいちいちつけるのが面倒と考えるか。

実数係数の形式的なべき級数の全体R[[X]]は
実数の可算直積R^Nに{a_n}・{b_n}:={c_n}, c_n:=Σ[l+m=n]a_l・b_m
という積を入れたものと同一視できることを使って
定数項の表示のあいまいさを解消することはできないでしょうか

ちなみに類似問題1^∞は
>>654 >>657の解析性を重んじる連続的接続により
1^∞=1　不定となるのは　(1の近傍)^∞
となる事が導き出される
解析性を重んじて不定となるのは
1を避け1の近傍を論ずるからである事が導き出される

適当な変換により0^0も
不定となる定義域と1となる点とに別れる事が導き出されよう

x^y=e(x>0,y>0)となる論理を教えてください。

>>684
そもそもべき級数のXは飾りにすぎん。
Xに何かを代入するとか言い出すときは、R[[X]]からどっかの環への
準同型を取った像を考えてるんで、「0^0の値」と直接は関係ない。

定数項の表示のあいまいさなんて、最初からないんだ。

>>687
形式べき級数に収束しない値を代入するのはどういう準同型を考えてることになるの？
そもそも形式べき級数が位相の入った係数体で定義されているとき、ある値で無限和が収束するかどうかを見るには値を代入する必要がない？

>>685
> 1^∞=1
だと結論を出してるようだけど、これはそう簡単に答は出ない。
１は何回掛けても１だと考えるなら１であり、
　1^∞ = exp(log(1)*∞) = exp(0*∞)
と考えれば、これは不定だ。

0^0 にも同じことが言える。
　0^0 = 1 + Σ[k=1,∞]C(0,k)(-1)^k = 1
であるが
　0^0 = exp(log(0)*0) = exp(-∞*0)
と考えれば、不定となる。

これは、どちらが正解ということではなく、どっちの定義を選ぶかという問題だ。

>>688
各部分和Σ[k=0,...,n]a[n]x^nに対してはRの元が定まるから
R[[X]]からR^ωへの準同型写像なら作れるんじゃない？
それならR^ωの上で収束の議論を行えばいい

>>690
ふーん。
R[[X]]だと
1 = (1 - X)(1 + X + X^2 + ...)
だけどX = 1のとき、あなたのは準同型になってるの？
こういう輩がいなければ、ずっと昔に0^0 = 1になってたんだろうな。

拡大環 R['未定義'] への準同型にすれば？

>>689
アンタの言う通りだわ
実数の連続性の本質を忘れて
φ^φ
にばかり気を取られていたよ

では、0^0を1に縛られない理由となる
実数の連続性について
『実数の連続性が、如何に0^0を1に定められぬ様に作用するか』について

実数の連続性？
関数の連続性だろ？

>>689

(-∞*0)は0ではないのですか。

>>693 >>695
実数の構成から考えると、積 c = a*b は
　c = lim[x→a]x * lim[y→b]y = lim[x→a,y→b]x*y
と定義されている。したがって
　a^b = exp(log(a)*b) = exp(lim[x→log(a),y→b]x*y)
となる。

ここで、整数において
　0^0 = 1
と定義していたと仮定する。これは、べき乗の定義と比べてみれば
　log(0)*0 = -∞*0 = 0
という積を考えていることになるため、整数を Z∪{∞,-∞} へと拡張し
　∞*0 = -∞*0 = 0
と定義しておく。定義域が整数ならば、これでも良い。

ところが、実数での積は最初の式で定義されているため、
実数を R∪{∞,-∞} へと拡張したとしても
　∞*0 → 不定
-∞*0 → 不定
である。よって、実数においても変わらずに
　0^0 = 1
だとは言えない。
これが集合論において 0^0=1 だと証明されても、無視しなければならない理由でもある。

(･∀･)

>>694
関数の連続性は実数の連続性ありき

>>696

実数だと lim[x→0]ｘ　は0の近傍ということですか？

>>698
そんなことはない。
写像の連続性は、どんな位相の上にも定義される。

>>696
複素数だと0^a=0(a>0)を無視するわけか。

>>701
複素数には大小関係はないから、a>0 は無視するしかないが、
ここは Re(a)>0 だと好意的に解釈しておこう。

簡単に言うと、複素数において
　x^y = exp(log(x)*y)　(x≠0)
と定義されているのだから、0^a は未定義だ。

便宜上あるいは慣習として
　0^a = 0　(a>0)
という関数は存在するが、それは整数あるいは実数を定義域とする別の関数だ。
この関数を複素数へと拡張する時に
　0^a = 0　(Re(a)>0)
と思うのは構わないが、できれば但し書きを付けた方が良い。

>>702

>0^a=0(a>0)
aが正の実数のとき0^a=0だろ

>ここは Re(a)>0 だと好意的に解釈しておこう。
Re(a),0は複素数じゃないのか

>>703
> aが正の実数のとき0^a=0だろ
と言われても、そう明記した定義は存在してないと思う。

> Re(a),0は複素数じゃないのか
実数に対しては > という記号が使えるが、複素数に対しては使えない。
Re(a) に対しては > が使えるから、これは実数だ。
0 は実数か複素数か見分ける手段はないけれど、同じ式なら同じと考えるべきだろうね。
よって
　0^a = 0　(a>0)
はどちらも実数。
　0^a = 0　(Re(a)>0)
はどちらも複素数。

「0^a=0(a>0)」＝「aが正の実数のとき0^a=0」


>よって
>　0^a = 0　(a>0)
>はどちらも実数。
>　0^a = 0　(Re(a)>0)
>はどちらも複素数。

どちらもってどれのこと？

>>705
> 「0^a=0(a>0)」＝「aが正の実数のとき0^a=0」
それを正しいと思う気持ちは分かるけど、x^y の定義とは相容れない。

> どちらもってどれのこと？

　0^a = 0　(a>0)
は、R×R→R という関数であり、0∈R、a∈R と考える。
　0^a = 0　(Re(a)>0)
は、C×C→C という関数であり、0∈C、a∈C と考える。

x^y はx≠0 で複素多価函数として
x=exp(y*log(x))
定義し、x=0のときは
　0^a=1(a=0)
　0^a=0 (a:実数、a>0)
　0^a=未定義（a 上二つ以外）
で、定義して何も「矛盾」はないだろ。

0^0での連続性が全くないだけだ、矛盾はないｗ

>>707
　lim[x→+0]x = 0
　lim[x→+0]log(x) = -∞

　0^0 = exp((lim[x→+0]log(x))*(lim[y→+0]y)) = exp(lim[x→+0,y→+0](log(x)*y))
となり、この答は明らかに不定だ。

定義域を分けてしまえば
　f(x) = sin(x)/x　(x≠0)
= 0　　　　 (x=0)
などと定義しても何の矛盾も生じないから、あなたの定義はそれに相当する。
場合分けの境界で同じ答になるなら使いやすいけど、違うなら一つの関数とする有用性はほとんどない。

>>708
はい、「一つの関数とする有用性」は全くありません。

0^0という「約束」とすることで
・集合論的に φ^φ=1であること
・冪級数、二項級数などの扱いが楽になること
の2点について、前者では「函数と離れて」自然な意味を持ち、
後者で「便利」さがあるだけです。
おそらく、本質的には上記2点以外に「意味」「便利」はないでしょう。

あなたが例に挙げた
sin(x)/x　(x≠0)
= 0　　　　 (x=0)
の場合なら、連続性から = 1 (x=0) と約束する方が「数学的に自然」で
しょうし、=0 (x=0) とする「矛盾のない約束」には、全く「意味」も
「便利」もないでしょうねｗ
同様に、 0!＝Γ(1)=1 という「約束」は、数学的な自然さを持ち得ますが
他の値に定めても、「意味」も「便利」もないでしょう。

0^0=1という「約束」は、あなたの例とも、0!とも全く異なる話で、
「数学的自然さは持たないが、時折便利な状況がある」
という、他にはない特異なケースだと思います。

>>707
何度も書いているように、
矛盾は無いし、何も悪くない。
ただ、美しくないだけだ。
気立てのよいブスのような定義。

>>710
気立てが良いかすらわからない「ブスのような定義」だと思います^^

>>709
今までの話とは反対に思えるかも知れませんが、聞いてください。
>>689 では「選ぶ」という表現をしました。
それは、べき乗の定義として標準では
　x^y = exp(log(x)*y)
が選ばれてるという意味です。

別の選択肢が
　(1+x)^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k
だということは何度も繰り返している通りです。
この式を選べば、場合分けの必要すらなくなります。

　0^0 = 1
とは「数学的自然さを持ち、便利な状況がある」
ごく普通の定義だと思います。

結局、私にとって分からないのは、
x=0 で未定義となる式を選ぶ一方で、x=0 を未定義にはしたくないと思う、
その矛盾した心ですかね。

0^a=0(a>0) を無視すべきではない。
ならば、それと相容れない定義を使うべきではない、とは思いませんか？

異なる選択肢があって、違う値が導けるなら
それは「数学的自然さ」と思う人が少ないと言うだけ。

自分はこの定義でやる、他の定義は知らん、というなら
「はい、あんたの好きにどうぞ」ってだけ。

＞x=0 で未定義となる式を選ぶ一方で、x=0 を未定義にはしたくないと思う、

関数としては、x=0 で未定義で何も困らんだろｗ
冪級数の表示での約束とは別の話だしさ。
あっちはあっち、こっちはこっち。

>>712
>(1+x)^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k
>を選べば、場合分けの必要すらなくなります。
x=-π、y=π のとき右辺を計算して見せて

>>714
> 関数としては、x=0 で未定義で何も困らんだろｗ
x^2 が x=0 で未定義では、困ると思うんだけどな。
　(x-2)^2 = 0
という方程式すら解けないよ。

a^0=1.
a^b=a^(b-1)a.

a^0=1.
a^1=a^0a=a.
a^2=a^1a=aa.
a^3=a^2a=aaa.
a^4=a^3a=aaaa.

その調子で行くと a^i は？

(1+x)^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k

x^k=(1+(x-1))^k= 1 + Σ[l=1,∞]C(k,l)(x-1)^l

(x-1)^l=(1+(x-2))^l= 1 + Σ[m=1,∞]C(l,m)(x-2)^m

(x-2)^m=

>>715
だから、名前を別にしちゃえばいい。
既に何人もが言ってることだけれど。

[1] x∈何らかの群, y∈整数 または
x∈何らかの半群, y∈自然数 で定義された x↑y。
[2] x,y∈複素数, x≠0 で定義された x↑y。

私は、[1]累乗 [2] 冪乗 がいいように思うが、
「冪乗」を [2] に取られるのはユルセナイ
という御仁が少なくないような気もする。

何か、[2] に素敵な名前はないかね。
「指数関数」では、今度は exp と衝突してしまうし。

ガウス冪

だいたいさ、
(1+x)^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x^k
この右辺値は|x|>1(y非負整数でない)のとき発散するよね
おそらく解析接続させるんだろうけど
解析接続って解析的な関数に対して行うものだよね
0^yを定義すると解析的じゃなくなっちゃうけど

>>719
パワー関数

(0+0i)^(0+0i)はいくらですか。

>>719
[2] は名前も記法も概念も無くしていいよって思う。exp(log(x)y) で十分では？
それとlogは多価関数というのもやめたほうが良くないかな。固定的なlogという記号を使うんだったら対数主値を固定せざる得ないんじゃない。

>>719
[3]x∈正の実数, y∈任意の実数 で定義された x↑y。
[4]x=0, y∈正の実数 で定義された x↑y。

稠密数冪
自然数冪、非負整数冪、整数冪
非零有理数冪、非負有理数冪、有理数冪

連続数冪
非零実数冪、非負実数冪、実数冪
非零複素数冪、複素数冪

よく考えたら冪級数から得る0^0=1って
まんま非負整数冪しばりだから
φ^φと同じになって然りだったんだな

[1] 累乗 [2] 冪 (冪乗ではなく)
でもいいような気がしてきたが…
しかし、[1] のほうに冪の字を残さないと、
「冪級数」や「冪展開」がマズイことになる。

その意味では、前述の [1] 冪乗 [2] 指数関数
も捨てがたい。exp との区別については、
log も log_10 も log_a もみんな「対数」だ！
と開き直ることもできそうだ。


ところで、「指数関数」というのも変な言葉だ。
指数を与える関数 Ind は、exp よりも log の仲間。
「指数関数」の語感には、
「認知症」や「学習症」に似た違和感がある。
そういや、「振幅関数」とかも意味不だったな。

>>727
log_{10}やlog_aもいらないでしょ。対数をlog 10で割ったもの、対数をlog aで割ったもの、に記号も名前もいらない。
対数の底って気持ち悪い。逆三角関数の底なんて決して使わないもの。ラジアンというのも気持ち悪い。1ラジアンじゃなくて単なる1だよ。それから1ビットというのも気持ち悪い。1 bit = log 2だよ。
慣習を蔑ろにしてすまない。

>>719
名前を別にしても解決は無理。
　√(x-2) = 0
が、解けないよ。

x-2=0
x=2

>>721
解析接続自体は 1+x≠0 という条件を付けた関数に対して行えば良い。
べき級数を解析接続しても、べき級数に変わりなく、
その関数に収束円上で収束するという特徴があるだけだ。

なお、x=1 を中心としたテイラー展開は
　x^y = (1+x')^y = 1 + Σ[k=1,∞]C(y,k)x'^k
であるが、x=a を中心としたテイラー展開は
　x^y = (a+x'')^y = a^y * (1+x''/a)^y
となるので、これが解析接続の結果である。

これを使うと a=1-π と置き
　(1-π+x)^y = (1-π)^y * (1+x/(1-π))^y
となるが、これに x=0, y=π を代入して
　(1-π)^π
だと答えても、>>714 の期待する答にはならないんだろうな。

>>730
　√(x-2) = 0
を解いてしまったら、それは
　x∈複素数, y∈有理数 で定義された x↑y。
の存在を示している。
これは[1]にも[2]にも該当しない。

Wikipediaでは冪乗の名は誤りで冪だという

普通に
冪関数 x^a
指数関数 a^x
でいい。と言うか既にそれが通例だ｡

([1]の0)=#0
#0∈([2]の0)≠#0
INT([2]の0)=([1]の0)

[1]:整冪こと整数冪
[2]:実冪こと実数冪

>>733
その話じゃない

>>731

一般冪

>>728
対数の底は、確かに気持ち悪い。
その感覚は真っ当だと思うが、
下品な話、便利なんだからしかたない。
log_10 や log_2 をイチイチ分数で書いたら
やってられない文脈は少なくない。
三角関数は要らない、exp で書け
というのも、かなり不便だ。

>>732
存在なんて示してない。

>>737
実の断面で値を見たいことは普遍的にあるので三角関数までやめろとは思わないけどね。

>>732
確かにね。

[1] は、x＞0, y∈有理数 へは自然に拡張できる。
わざわざ [2] とは分離したのだから、
正則性は気にせず x≧0, y∈有理数 へも拡げられる。
だから、それを [1'] とでもして、
√(x-2)=0 は解釈できる。

でも、√(x-i)=0 なんかは本気で困るよね。

>>733
一変数関数としては、当然、そう。
二変数関数としてどうするか
の話をしているんであって、
[1]と[2]の区別は、そこじゃない。

>>731 は、x の複素数平面上の円と
xy の実平面上の円を混同している
ような気がするけど、どうだろう？
多変数関数は、難しいよね。

x^2 という関数がなければ、２次方程式すら解けない。
この関数の定義域には、x=0 が含まれていて欲しい。

x^2 は x>0 において単調増加関数である。
x=0 で x^2=0 と定義するならば x≧0 において全単射となる。
この関数は逆写像を持つから、これを x^(1/2) で表す。
同様にして、自然数 n に対して x^n と x^(1/n) を定義する。

２つの関数の積を x^a * x^b = x^(a+b) と表す。a,b は正の有理数。
さらに x^y = lim[a→y]x^a によって、正の実数に対応した関数を定義する。
x^-y = 1/x^y と定義する。
x^-0 = 1/x^0 から x^0=1 と定義する。

この手順で出来る関数の定義域には x=0 が含まれる。

含まれないよ。
x=0, y=-1 を代入してみな。

0*i=0なのに0*∞=不定は疑問だ。