圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 4

圏論全般のスレ 復活

■前スレ
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html

あぼーん

　　　　　　 __,.-─────‐-.__
　　　　_,-´　　　　　　　　　　 　 ｀-、
　　 ／　 　 　 　　　　　　　 　 　 　 ＼
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i　　　　ヽ＼,.ィ´ .ﾆﾆェ‐､//　　　　　　　　ili;ﾞllllllllllllllllllllllllllllll!ﾞ
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.!　　　　| l 　ノ､　＿_!!,.､　| l　　見るな！/　＾　　　　　　 ﾞllll
..!、　　　ﾍﾍ. 　 ヽニﾆｿ　 ././　　　　　　 /　　c　　 ＾　　　 ﾞll,,;illli;
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おい、圏論のスレ4つもあるじゃねーか
どういうことだ

一方、集合で検索したら2つだけ

かなりの部分がサンクコストとして沈んでしまった。またゼロからやり直す。

あぼーん

中山の補題勉強中

米田でなくて？

あぼーん

ほげ

馬鹿なんでいいです。知っている人がいたら教えてください。
＊米田の補題は有名ですが、一体なににつかうものかわかりません。一体何に使うものですか？
＊積、和の図式も有名ですが、なんであの図式で積とか和が定義されていることになっているのですか。
　順序の保存性が重要なのではないかと思うのですが、明快に書かれている本に出会えません。
　明快に書かれた本を知りませんか。

ネットに転がってる圏論の本のpdfを拾ってyonedaでファイル内検索してみれば、どう使われているかわかる。

例えば
http://math.mit.edu/~dspivak/teaching/sp13/CT4S.pdfには

Yoneda’s lemma makes the calculation quite trivial.
　と書いてある

あぼーん

>>14
よくわかんないんですけど、
Yoneda’s lemma makes the calculation quite trivial.
ということですと、the calculation でtheがついているわけでなにか特定の計算方法を指示している
わけですよね。
この文言におけるthe calculationは何を意味しているんですか？

ていうか、「〜はトリビアル（自明だ、簡単だ）」という言い回しは概ね話を
はぐらかすときにつかうものですが、それははぐらかしている文脈ではないのですか？

>>17
>>14のリンク読めよ

あぼーん

>>8のボケは酷すぎる

sage

もう手加減はしない。全力で行く。

来い

いやったね！見てろコノヤロー！

だめだこりゃ

日本の数学を生業とする人の行動パターンが仕事できない人のパターンにオーバラップする。
言動として、就職したくない、芸術家指向を強調する、社会とは一線を画していなくてはならない
ということを強調する、批評家気質、都合が悪い事を指摘されると黙り込む。
数学者になりたいのではなくて就職したくないんじゃないか。

「難しい理論」というベールを剥がしてしまえば、単なるいわゆる就職したくない系の人の集まり。
これからきっといろんな人が声をかけてきてくれるようになるよ！
よかったね孤独な数学者じゃなくなるよ！
そういうキモい系の形容詞でお茶を濁すのはもうできないよ！

まだまだだけれども社会的に役割のある仕事を作るって名誉あることだね。

傍観されたまま終るのか。
これだけやってなんで誰もはっきり認めてくれないんだ。
中途半端は地獄だ。

　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

あぼーん

あぼーん

ちょっとトポスで買い物してくる

>これだけやってなんで誰もはっきり認めてくれないんだ。

>>29みたいに本人は何かやっている気でいても
周りから見るとトリビアルなことしかやってないことが丸分かりってことあるよね

灘高校生にも理解できる圏論（震え声）

あぼーん

逆に幾何学が得意な灘だから
圏論を飲みこめるのかなと思った

>>29
もう数学止めろよ
まぁ、そもそも数学やっているのかどうか知らんがw

こんな馬鹿板にカキコしてる奴は生きてる資格がナイ。

狢

系：狢は生きてる資格がない

>>40
そんな事は知ってるがな。そやから『こそ』、この馬鹿板で低脳どもに
対する嫌がらせを行って、ほんで馬鹿撲滅運動を推進してんのやろが。
この馬鹿板は徹底的に傷め付けて潰したるさかいナ。

ケケケ狢

>>40
ワシはやナ、『馬鹿を傷め付けるんが趣味』なんや。そやから今後もこの
馬鹿板で存分に作業をさせて貰うさかいナ。馬鹿虐めはタノシ。

コココ狢

すごい腹立ったが時間経って冷静になったら確かに言われてみればそうかも。
よくよく考えたら別に大した事してないし。直接的に役に立つ事してないし。

ただまあ、よくわからないと思うけど、研究研究っていって過去の遺産食いつぶしてたら
そのうちどうにもならなくなるよ。
産業に貢献しますってポーズだけ取って違う事やってたらそのうち信用なくすぜ。
ニーズ拾いに行こうと思えば拾えるんだから拾える体制を業界団体としてまず作ればいいのに。

高次圏論なんてごてごてした大変な物やってる人達を見るとね
TQFTへの応用とかもやってるようなんだけどさ
TQFTはTQFTでも80年代かそれ以前の物理学しか反映されてないTQFTしか扱ってないのがｼｮﾎﾞｽ

>>43はそもそも日本語能力・文章力を何とかした方がいい
自分では何か言った気になって悦に入っているんだろうけど
舌足らず過ぎて他人には全く伝わらない悪文の典型

こういうことだけ書いてもどうせ
お前の読解力ガー、とか返されるんだろうからもう一言付け加えておくと
そんな文章だと公募書類にしても資金獲得の書類にしても審査員は理解できないと思うよ

それでも俺以外の全ての人間の読解力ガー、とか言い張るつもりならまぁどうでもいいが

>>45
どう返答すればいいのかわからないけれども、
世の中いろんな人がいていろんな価値観をもっているんだな。それはまず当たり前。

価値観が似通っていれば話は通じるし、全然違っていればほとんど通じない。
興味がない話題ならばその話題は通じない。

聞くのだけれど、>>45にとって自分と違う分野の人がどういうことを考えているだろうか
という事というのは全然興味がないのではないだろうか？
他人に興味が無いのではないか？

改めて書いてみたらわかったよ。君たち自分と違う人の考える事に興味ないよね。

例えば、
１　建前と本音を区別できない
２　自分と違う人の思考プロセスを辿るという経験がない（つまり他の人の考えを辿れない）
３　怒らせることを何もしていないと思っているのに突然激怒されるという経験が何度もある
４　何か大きな出来事があると「突然起きた」と感じる事が多い
に結構いくつかマッチしない？

>>48
こういう箇条書きで何か判定しようとする奴は間違いなくインチキ野郎

では、この箇条書きで何を判定しようとしているのか逆算してみるとか。
一体俺はこの箇条書きで何を判定しようとしている？

歴史に比して、層すごい薄くない？
いままでのツケがどこにかかってくるか、とか考えている人いるの？

n-category なんてのもあるよな。

俺、ケンカになるぐらい真剣な奴と仕事したい。人間的魅力がない。
尊敬できない人とは仕事できない。役にも立たないならそんなのに時間使う気しない。
普通誰でもそうなると思う。自分の事にしか関心ないやつとかそんなのなりたくないわ。

なぜ自分の事にしか関心ないように見えるか関心ないか？

同じ話を繰り返し繰り返し念仏のように話しているのを見ると、そうでもしないと自分の精神を安定
させられないとしか見えない。うっかり他人に関与しちゃうと精神崩壊するリスクを抱えるから
必然的に他人の話を聞かないように必死に努力することになる。

アイデンティティを研究の大きさに求めているのが原因だと思った。俺は思うが、ニーズ自体は
増えているから普通に既知の情報提供という形態でビジネスが成立するのではないかと思った。

証明行為と動くプログラムの作成が同等であるというテーゼから何か神秘的な命題を得ようと
しているけれども、そもそもとして動くプログラムを作成するという人はここ数十年で
むちゃくちゃ人口増加しているわけだよ。

野球やってる人とサッカーやってる人だと競技内容が違いすぎるから競技について話が成立
するかといわれれば興味関心が湧くかという点からしてうまくいくかわからないけれど、
野球とソフトボールだったら競技内容が似ているから競技について話しが成立する可能性が高い。

プログラム作る人というのはここ数十年で出てきた職業で歴史浅いし、業種として
まだまだ改善余地あると思うんだ。

>>54 に対する回答が>>55 な。

>>45
最初はアホかと思ったが、確かに良く考えると大学の人にとっては大事かもしれん。
資金獲得の書類ということだが、文科省の政策動向とかチェックしてんの？
そういうの獲得するにあたっては大事だと思うぜ。日本学術会議の方はざっくりしてて
影響力あんのかよくわかんないけど。

政策動向と違う資金獲得だから工夫するんじゃないか？
同じだったら政策要求そのまま書いときゃいいだろ

>>58は大学の人と違うん？

大きな基本計画とかはざっくりしてるじゃん。それに沿うようにしときゃいいじゃん。
http://www.mext.go.jp/a_menu/kagaku/kihon/main5_a4.htm
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/science/detail/__icsFiles/afieldfile/2011/08/22/1293746_01_1.pdf
同じだったらこれそのまんま書くのか？

政策動向っていうのは明文化されてねーけど多分今後はそういう方向性でいくんじゃねーかって動向の
ことだよ。数学だったら数学イノベーションの審議会の内容だと思う。
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/gijyutu/gijyutu17/002/giji_list/index.htm
一応圏論って言葉がちらっと最後頃に一回だけ出てくるのは第５回。

>>60
ちがうちがう

せっかくオカルト風味抜くために頑張ってたのに、それ無に帰させるのはほんとやめてくれ。
どんだけ苦労してると思ってんだ？騒ぐだけ騒いで片付けないとかほんと中学生かよ。

まともにちゃんと一から説明して質疑応答も答えてる人がいるっていうのに、
それに乗っかって適当なことつぶやいてんじゃねーよ。

>せっかくオカルト風味抜くために頑張ってたのに
>まともにちゃんと一から説明して質疑応答も答えてる人がいるっていうのに、

どれのことを言っているのかマジで訊きたいw

そもそもどうして圏論は電波を引きつけやすいのか考えたほうがいいんじゃないのか
原因がわからなきゃ解決もできないだろ
個人的にはあの図が悪いと思う
便利だけど、神秘的に見える原因でもある　捨てる気はないけど

>>64
オカルト風味
さも重要で深淵なことで自分はそれを理解しているように主張するくせに、詳細をつめようと思うと
なんやかんやと理由をつけてはぐらかす人が醸し出す風味。

ちゃんと答えようとしてる方
http://nineties.github.io/category-seminar/#/

>>65
図式は確かに電波が湧く根本原因だと俺も思う。結局図式は証明にはならないし、本当に整理というだけだと思う。
あれって要するに民法とかの試験対策本に出てくる図式（例えば、不動産の物権変動の対抗とか）と意味一緒だと思う。
少なくとも自分はそう理解してるし、そういう意味ならああいう積図式とか書く意味わかる。
論理、論理と言う気持ちも何となくわかる、論理っていうか法理を詰めてるんだと思う。

もうなんやかんやと言ってしまうと、圏論の哲学とか言ってるけど、圏論の哲学というなら
マックレーンの主義主張の機能的形式主義（functional formalism）を抑えていないのはおかしいよ。
機能的形式主義の教典は
http://www.amazon.co.jp/dp/4627018304
だよ。哲学、哲学言うくせに文献読んでないのいみわからんし。

ていうか、機能的形式主義わかんないなら、圏論やっても意味わからんと思う。

形式主義が一番冷静な哲学方法な感じはするね

あと、プログラミングの方のモナドは圏論やってもわからんと思う。
少なくとも俺は圏論の方向からはあんまりわかってないし。

プログラミングの方向からのメリットは
Semantic Lego
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.2885
読めばいいし。ただし、SICPの４章読んでないと最初のモノリシック言語がどうたらとか
なんでそんなところこだわるのかわからないと思う（今はメタサーキュラーはあんま関係ない）。
解説しておくとSICPの４章でSchemeでPlanner作ったり、しょぼいScheme作って機能拡張させたり
するんだけど、いちいち機能拡張するごとに前の節でせっかく書いたコードをいちいち崩して
書き換えないといけないという苦行に出会う。そういう書き換えて動かなくなるリスクを
避けて機能拡張できないかなーというのを実現するのがモナド。
IOをうまく処理できるのは機能分割がうまくいってるからトリッキーな実装が作れましたよというだけだと思う。

>>70
ちゃんと読んだ？「機能的」の部分が重要だよ。あと、哲学なんて電波っぽい言葉づかいは
やめた方がいいと思う。考え方で別にいいし。

数学は数え方でいいの？

調べ方かな

東京に住んでてアカポス狙ってる人は東工大と京大どっちがいいかな？

筑波

わざわざひねくれなくても東大でいいんでね？

まともにやるなら情報はあげるよ。

まともな人からなる、まともに受け答えができる業界にしていくぞ。
そもそも質問に対して受け答えもできないような状況だったのがおかしすぎた。
会話も成立しないし、役にも立たない上に、なにやってんのかわからない業界なんて
他からみたら危ない集団でしかないんだぞ。

プレステ、ジプシー？

表示的意味論は例えば11桁表示の電卓で
1 ÷ 3
を打つと0.3333333333
と計算結果は11桁で区切られる。けど1÷3の意味としては1/3という数がその計算結果とは別である。
というような素朴な考えを詰めたもの（だと理解している）。

操作的意味論はあんまり良く知らないけど、Excelのマクロで操作を記録したらVBAに翻訳される
そのVBAの表現がそのExcel操作の操作的意味だというような意味づけだと理解してる。

公理的意味論もあんまり良く知らないが、表示的意味論、操作的意味論とは毛色が違って
手続きの意味というのはその入出力の仕様だというような意味だと思う。
構造化プログラミング（の手続きの連続分解）と相性がよくて、その構成からgoto文が最初から排除される。
というより、そもそもgoto文有害論を理論付けるために出てきたんじゃなかったかな？
ジャクソン流構造化プログラミング（JSP）とも相性よかったと思う。
なにげにソフトウェア工学的に一番身になるのは公理的意味論だと思う。

意味論系は多分に記号論とか言語哲学の範疇に入るんでそっち系の本読んでおくといいと思う。
ただ、ろくでもない電波系が多いので本選びはかなり慎重にした方がいい。
中二病を患ってるって雰囲気のやつのは絶対避けた方がいい。

中二病を患ってる雰囲気ってなんですか

本の装丁にやたら力入れていたり（デザインのコストをかけてるって感じのやつ）、
著者紹介の写真のポーズをやたらカッコつけていたり、紹介文やあとがきが痛い感じのやつ。
あと内容を読んでいると肝心な話を飛ばしたり、ダジャレつかってくるやつ。

あとなんか驚愕のハードルがやたら低い奴（なんでもかんでも驚くべきことに〜とかつける感じのやつ）

判断基準としては、現実に著者が隣にいたらというのを想像してみて、それが中２っぽかったらそのとおりだと
判断していいと思う。

驚愕してるってことは、突然驚くべき結論がでてきたと思ってるってことで、
それは話のつながりよくわかってないって自白しているようなもんだっつーねん。

だから驚いてて詳細説明してないってことはそのことについて理解してないと判断していい。
少なくともその同じ著者の他の本読んでもぐだぐだくだらねーこというだけで
その驚くべき事へのヒントは絶対出てこない。

なんか自分に酔ってるって感じのやつはダメ。
あと声だけ大きいけど実質こいつなにもして無いじゃんってやつとか。なにかやったらやったで
的外れの後始末めんどくせえことやるだろうなって感じの雰囲気がする人が書く本。

>>87
具体例教えて

解釈変わるんで、具体例は挙げられないわ。だから判断基準出したわけだし、それで
自分で判断もできないということだったらさすがにそれは知らん。

>>89
匿名掲示板なので君の基準が狂人の妄想だったり誰かのコピペだったりするかも知れない

>>87
>あと声だけ大きいけど実質こいつなにもして無いじゃんってやつとか。

昨今の数学のプレプリントのことかと思ったw

３９

このご時世、どんなにカスな内容でも数出さなきゃなんないから仕方ないよねぇ

>>12
要するにこういうことと考えればいいでしょう。
まず、米田の補題は、どんな圏が与えられても、それをそのまま集合の圏として（もとの圏の対象を集合に、射を集合間の写像に）翻訳することができる、ということですね。
だから、この補題により、もとの圏のままではやりにくいいろんな具体的計算も、既によく知っている集合と写像の計算として行えることになる。

そもそも、圏が局所的に小さく（locall smallで）ないと米田の補題は使えんよ。
Setsに解釈したところで何があるわけでもなし。

とりあえず、これ
http://www.princeton.edu/~hhalvors/teaching/phi536_s2011/maclane1971.pdf
によれば米田の補題は完備化に関係あるそうだ。だけど言ってる意味がわからないので
教えてくださいというのが趣旨だよ。

なお、そもそも米田の補題はホモロジー代数の定理で
http://www.amazon.co.jp/dp/4320019466
これに載ってる米田信夫氏による定理が米田の補題だと思われる。

あと、米田の補題、米田の補題と念仏のように言われるが、もともとはグロタンディークの
表現可能関手の理論で重要な役割を果たすから重要ってことになってたはずだ。

>>94
勉強中の身ですが、米田の補題ってそんなに簡単なことなのですか？
他の先生方もこれって正しい説明なのですか

>>97
わかっとらんので何ともいえないけど、グロタンディークの表現可能関手の理論が
なぜ重要か？と米田の補題はほぼ同じようだ。なので、米田、米田言ってないで
まずホモロジー代数からコツコツやるべきだと思うわ。

>>98
そりゃ無理や。いまや圏論はそんな数学屋だけのものではないから。

>>99
本気で言ってないか？そもそも用途不明なんだぞ？
前々から疑問なんだが、圏論を一体なんに使うの？
使う用途がプログラミングでふわふわーとしたエッセンスだけでいいということだったら
構造化プログラミングで充分だと思うぞ。

身も蓋もない事を言えば、プログラミングについては、圏論なんかやるより
まともなところでソフトウェア工学を学んだ方が１００倍いいよ。当たり前だけど。
ジャクソンの本とか読んだ方が身になるんじゃないかと思う。ただ日本はおかしな数理病が
流行っててまともにソフトウェア工学学べるところがわかりづらいみたいだけど。

>>97
>米田の補題ってそんなに簡単なことなのですか？
“こんなに簡単なこと”と思えたなら見通しが得られたということですね。
>http://www.princeton.edu/~hhalvors/teaching/phi536_s2011/maclane1971.pdf
こういう説明では，補題の気持ちは分からないと思います。

>>100 >>101
同じ人でしょうか？突然ソフトウェア工学に飛躍しているのがおもしろいですね。この人は勘がよい人かもしれません。
>ただ日本はおかしな数理病が流行っててまともにソフトウェア工学学べるところがわかりづらいみたいだけど。
ソフトウェア工学はよく知りませんが、最近の風評では、業界内でもおそまつなものだと自認されているようです。
むしろこれまでは数理化志向がほとんどなかったのはないでしょうか？

大昔言われてたらしい理論物理業界のグルッペンペストみたいなもんなんですかね

>>103
＞ソフトウェア工学はよく知りませんが、最近の風評では、業界内でもおそまつなものだと自認
逆に同工学を勉強したくなりました、なにか概論とかありませんか？

ちょっと話題がそれるけれども、
「haskell で書いたクイックソート、あれは全然クイックソートじゃない！」議論があって、
たしかに haskell で書くとソーティングアルゴリズムのある種の特徴である in-place 性が失われてしまう（別に quick sort じゃなくてもなんでもそうだが）わけですが、
実装に必要なある種のドロドロベタベタな部分を切り捨てないと先に進めない場合もあるのかもしれません＞ソフトウェア工学

圏論？なにそれおいしいの？

>>103
いやそれはどうだか分からない。
事後ならそのようにクールに評価できるが、圏論の場合は、いまがただ中なので、
流行り病なのか本物なのかがよく分からない。
しかも圏論自体がなかなか分かりにくいと来ている。

★マインドコントロールの手法★

・沢山の人が偏った意見を一貫して支持する
　偏った意見でも、集団の中でその意見が信じられていれば、自分の考え方は間違っているのか、等と思わせる手法

・不利な質問をさせなくしたり、不利な質問には答えない、スルーする
　誰にも質問や反論をさせないことにより、誰もが皆、疑いなど無いんだと信じ込ませる手法


↑マスコミや、カルトのネット工作員がやっていること

TVなどが、偏った思想や考え方に染まっているフリや常識が通じないフリをする人間をよく出演させるのは、
カルトよりキチガイに見える人たちを作ることで批判の矛先をカルトから逸らすことが目的。

リアルでもネットでも、左翼のフリをしている連中は主張に理がないことをわかっているのでまともに議論をしようとしないからすぐにわかる。

権勢症候群

圏論って昔流行ったと思ってたが、今がただ中なのか

　
ソフトウェア工学＝圏論　なんじゃないのか？

Hask圏が圏論だと思われると…その…困る///

>>110
どういう発想？ダイクストラとかジャクソン、デマルコは圏論使ってんのか？

>>110
> ソフトウェア工学＝圏論　なんじゃないのか？

お前がソフトウェア工学どころかソフトウェアに関してすら何も知らんことは良くわかったよ

圏論やるよりJSP、JSDとかやれよ。全部絶版だけど

プログラマーで圏論、圏論言ってる奴はまずこれ読むべき。
http://www.amazon.co.jp/dp/4320023684

その本は表題のエピソードだけ書店で確認して満足した覚えがある

>>113
ソフトウェアというのは突き詰めれば機械内部の状態変化だろ？
その状態変化の列を射の結合と考えれば圏の構造そのものだろ？

半群でいいじゃん

群の語の問題とかオートマトンの話であってソフトウェア工学ではない。
それでどうやって大規模システムの開発するんだよ。

ソフトウェア工学じゃなくて計算機科学ならよかったかもね
でもそれならラムダ計算でいいじゃんってことに

>>117
> >>113
> ソフトウェアというのは突き詰めれば機械内部の状態変化だろ？
> その状態変化の列を射の結合と考えれば圏の構造そのものだろ？

そんな調子で実用ソフトウェアとなる何万行、何十万行の規模のプログラムが作れるとでも思ってるのか？
能天気にもほどがあるぞｗ
ソフトウェア工学は工学、つまりは実用製品としてのソフトウェアを作るための知識体系だよ。
圏論がソフトウェア工学に役立つと言いたいならば、MS Wordの全ての機能を可換図の形で特徴付けてくれよ。
「このダイアグラムを可換にする矢印はユニークに存在して、これがMS Wordである」ということを主張している可換図をなｗ

計算機科学なんてどうでもいい。変なことばっかしてるイメージしかない。
まともに技術としてソフトウェア工学を詰めて行った方がいい。

そうそう。使えない技術なんて意味ない。

>計算機科学なんてどうでもいい。変なことばっかしてるイメージしかない。
ほんとにそうだな。語の問題、オートマトン、圏論...
圏論が幻想であることはいつ頃確定するかな

天才に任せとけ

なるほどね！

ええ

なにそれ。

特に内容あるわけでは無しか。

抽象と幻想の区別がつかん奴がいるな

これが思想というものだ。
http://www.youtube.com/watch?v=iUsYtG6IM4w

定評のある入門書とかないの
英語でもいいけど

CWM

あれはダメ本だよ。読んで役に立つというところがコンマ圏の所ぐらいしか無い。
最初一生懸命読んでいたけど途中でこれはダメだ、と思って思い切ってゴミの日に捨てた。
和書で一番だったら岩井斉良のホモロジー代数入門。その後に大熊の圏論
洋書だったらPareigisのCategories and FunctorsかMitchell のtheory of category

とりあえず、Mitchell読んでみマックレーンの本がクソだということがよくわかる。
http://ja.scribd.com/doc/14006200/Barry-Mitchell-Theory-of-Categories
なんかマックレーン、グロタンディークを意識しすぎてか７０年頃から迷走してんだよ。

論理系だからホモロジー代数関係ないとか言う奴いるけど、そもそもその論理系の道具立てはほとんど
アーベル圏の理論から出てきてるからやらんとわからんはずだ。

>>130
勘の悪い奴だな
抽象を幻想と言ってるんじゃない
その抽象に意味があるというのが幻想だろうと言ってるんだよ
形式の法則がそうだったように

抽象も形式も意味付けは任意

>>138
抽象も形式も意義があるかどうかはその意味付けで決まる
全く任意なら単なる記号遊び

全く任意な意味付けの一つに有用なのがあれば有意義
未だ見つかってなくても何時か見つかれば有意義
任意でなければ将来の可能性も無い

>>140
1行目はまあ賛成
2行目は、何時かみつかる場合は、実際には当初から明らかにそのしるしがある（それを多数が気づくかどうかは別として）
何時かみつかることはあり得るよねだけなら、絶対みつかることはない
3行目は無内容

計算機科学の場合はまだ見つかっていないのかな？

金にならない話をしても意味ないよ。これからは特に。
観念的なものに対して顧客がいるのであれば、そういうのもありだと思う。
でも、これって技術だし、技術として評価してもらう方向を捨てるのは、
なんていうんだろう、何したいんだかよくわからないわ。
最良なのは解釈がどうたらとか考慮しないで、こういう手順でやったら誰でも
こういう結果が得られますってパッケージングしたものを提供すること。

当たり前の話だけど、紙を切るためにはさみが必要ですという場面で、
はさみをつかうという行為になにか信念とかイデオロギー的転向を意味するなんて
だれも使いたがらない。所詮道具なんだし、道具として使えるように調整してなんぼ。

基礎研究系でなんで芸術やら信仰やら哲学やらどうでもいい話をしても（いままで）許されてきたのは、
その成果でペイされる額が（２０世紀初頭の）実績から馬鹿でかいと見込まれていたからだ。
花形部門とみなされていたから、いくらかの変な言動があっても追求できなかっただけで、
別にその信仰がすばらしいと一般に認識されていたわけではない。単に何も言われなかっただけ。

結局、ビジネスや仕事にしないと意味ない。自動車産業とかも工場を海外やらに移転して
現地の人に近いものにしたわけで、そういう現実的メリットがないとどこまでいっても対岸の火事。

ていうか、この業界本当におかしいわ。いままでどうやって回してたの？
そもそもどうやって回すかという概念無かったんじゃないか。それで学生取るなよ。

数学業界も理論物理業界も所詮「〜業界」というくくりの一つの業界にすぎないんだから、
マーケット飛んだら維持できなくなるんだぜ。マーケットの消費者はバカだからとか思ってたら
それは思い違いだぜ。詳細分からなくてもそれはだいたいどういうことかって分かる人は世の中腐る程いる。

本当にゆでガエル理論どおりにやったら茹で上がっちゃったね。
誰かしらどうやって業界が回ってるのか理解している人がいて、途中で防いでくると思ってたんだけど
いなかった。

独り言はチラシの裏へどうぞ

思い違いしていたのが痛かった。本当にそういうことしか言えなかったんだね。気づくのが遅かったよ。

本当に本当の本音が >>150 みたいな意見だったんだ。本当にそれしか言えない。それしかわからない。
んなもん無理だよ。

ありえない。

俺の落胆っぷりがわかるか？わかんねーだろうな。本当に誰もわかっていなかったとは思わなかったぜ。

せめて別スレで語れよ

>>143 ... >>149
これ圏論についてのコメント？
そんならさらにいろいろ言ってくれ

>>154
オレ結構わかるよ多分

勉強はじめたところです。
圏論って、たかだか直積の定義がなぜあのように大がかりなのでしょうか？
それから、圏論って、述語論理や集合論に依存してますよね？アンチ集合論でもあるらしいのにそれでよいのでしょうか？
このスレにはレベル低すぎの質問ですがよろしくお願いします。

違う見方というのは常に有益
特に複雑な物が簡単に、簡単なものが複雑になる関係は見過ごしやすい認識が浮き彫りにされる
述語論理に依存しない数学は無い
圏論は集合論には依存しない、依存して見えるなら圏を集合と見てるから

>>158
集合というものを素朴に「モノの集まり」と捉えてるんじゃない？
そうではなくて、集合論の公理によって、集合に対してどのような操作が許されるか（和集合やベキ集合を考えたり）を定めて初めて集合と言える
極端な話、何の操作もしないのなら、その集まりを集合と見なす必要も意味もない

述語論理も圏論内部に作れる
それから述語論理じゃなくて様相論理ベースの集合論もある
圏論的論理学ってのもある
ＮＦという型付集合論のモデルとして圏論を構成することもできる
述語論理は唯一無二の論理学の展開方法ではない
さまざまな述語論理に対応する型付ラムダ計算が常に存在する
あまり特定の形式体系を絶対視する必要はないと思う

>>161
5行目と7行目は不要

バカばっか。一体何したいんだか全く分からないし自分でも分かってないだろ。
念仏のように圏論は集合論の代わりになるだとか言ってるけど、一体どこで聞いたの？
俺未だに見たこと無いよ。それにそんなどうでもいいことなんでそこまでこだわるの？
>>150
積や和について大きく勘違いしているのはあれは対象についてのものじゃなくて射についてのものだ。
ある対象を定めてその下方対象か上方対象からなる圏を定めてその中に半順序関係をさだめる。
その半順序が最小上界なり最大下界を持たせるようにしたものが積や和だ。

みなさん回答ありがとうございます。

>>159
>違う見方というのは常に有益
>特に複雑な物が簡単に、簡単なものが複雑になる関係は見過ごしやすい認識が浮き彫りにされる
圏論でのその例としてはどんなものがありますか？
>圏論は集合論には依存しない、依存して見えるなら圏を集合と見てるから
述語論理の意味論が通常集合論に基づくので、圏論が述語論理に依存しているなら
集合論にも依存しているという意味でした。

>>160
>集合というものを素朴に「モノの集まり」と捉えてるんじゃない？
それはありません。公理的集合論も一応分かっているつもりです。

>>161
>述語論理も圏論内部に作れる
これはどういうことなのかよく理解できていないのですが、
わたしが圏論が述語論理に依存していると言ったのは、圏論における
概念を述語論理なしに記述することは不可能だろうという意味でした。
そうですよね？逆に述語論理を圏論で記述することができるものでしょうか？
もしそれができたとして、圏論自身以外のだれにどんなメリットがあるので
しょうか？それに、それができたとしても、もともと圏論が述語論理に依存
しているのだとすれば，単に循環しているだけということにはならないので
しょうか？

>それから述語論理じゃなくて様相論理ベースの集合論もある
命題論理/述語論理の区別と古典論理/非古典論理としての様相論理の区別は別種のもので
様相論理にも様相命題論理と様相述語論理がある
相対立するものじゃないからこの記述はナンセンス

>述語論理も圏論内部に作れる
というのも、単に意味論を展開できるということを言ってるだけな気がする

まあ>>156の述語論理と圏論とどっちがえらい、みたいな言い方もアレなんだが

もういいわー

ちなみに形式的な論理を数学の基礎におくってのが
もうすでに流儀にすぎない
整数とか幾何とか組み合わせ扱ってるとそう思う

もともと形式主義ってのは才能のない人間が補うために作ったもの

>>165
では述語論理と圏論とはどういう関係だと思えばよいですか？

論理主義者が論理ベースで数学を構築しようとした
一方数学者は代数、つまり圏を基盤に数学を作ろうとした
理由は簡単
論理学ベースでは人間の理解できない
無意味な記号列も大量発生してしまうから
だから数学を自然に抽象化して得られる圏論が基礎におかれた
初等トポスとかはまた別の話

1行目は分かります。
2行目は本当なのですか？ブルバキは集合論を基盤に数学を再構築しようとしましたが。
それに今の圏論の用途は、計算機科学などの、むしろ数学構築以外の場面の方が多いようですが？
4-5行目は、「人間の理解できない無意味な記号列」とは何のことですか？見当がつきません。
6行目も分かりません。
という具合で、私にはどれも難しい話です。

>2行目は本当なのですか？ブルバキは集合論を基盤に数学を再構築しようとしましたが。

ブルバキの話ではないです
古くはマックレーンの無定義用語として圏から集合を導出する話、
最近では高次元のホモトピー理論の圏で数学を拡張しようとする研究の話です

>それに今の圏論の用途は、計算機科学などの、むしろ数学構築以外の場面の方が多いようですが？

数学においては当たり前のように使われるので話題にあがらなくなっているだけ

>4-5行目は、「人間の理解できない無意味な記号列」とは何のことですか？見当がつきません。

例えばＺＦＣから証明される論理式です
数学命題はすべて論理式に書き直せますが
論理式の中には人の理解できるような数学命題に書き直せないものが多くあります
というか基数や順序数など直感的には理解不能な性質をもったものや
どうしても状況が想像できないような論理式ばかりです

>初等トポスとかはまた別の話

圏論内部で述語論理の体系をつくろうという話です
作ろうと思えば作れますが、自明な結果しかでてきません

>論理式の中には人の理解できるような数学命題に書き直せないものが多く
単に数学的な命題のほとんどはナンセンスな命題だというだけ。
たとえば藤原正彦が挙げている例で
「各桁の3乗を足すと元に戻るような1より大きい数字は
何桁であろうと153,370,371,407の他に無い」というような定理とかが割とそれに近い。

>基数や順序数など直感的には理解不能な性質をもったもの
その人の慣れが足りないだけじゃないですか？
圏論はabstract nonsenseだ、というのが単に慣れが足りないのと同じ。

>単に数学的な命題のほとんどはナンセンスな命題だというだけ。
>たとえば藤原正彦が挙げている例で
>「各桁の3乗を足すと元に戻るような1より大きい数字は
>何桁であろうと153,370,371,407の他に無い」というような定理とかが割とそれに近い。

そういうことではなく、
普通の数学で使うような集合よりももっと大きな集合論のための集合がほとんどだからです
例えば正則公理は集合論研究で便宜的に追加されたもので、通常の数学を展開するうえでは不要など
藤原の定理は、もしかしたら将来的にその定理の成立する背景が明らかになる可能性がある

>その人の慣れが足りないだけじゃないですか？
圏論とはまったく違う文脈で導入されている
ＺＦＣの整合性を保つために、または強制法を利用しやすくするためなど
今では数学の基礎付けとはあまり関係ないところで集合論や論理が研究されるようになった

順序数や基数はCantorがFourier展開の研究をしているときに導入したもので、
ZFが考えだされるよりもだいぶ前の話だし、強制法が発明されるよりずっと大昔

>正則公理は集合論研究で便宜的に追加されたもので、通常の数学を展開するうえでは不要
どういう公理を仮定するか、じゃなくて
どういう対象を研究するか、と考えると寧ろ逆。
ZFCのうち正則性の成り立つ集合だけ集めて来ると、ZFC + 正則性公理のモデルになる。
正則性の成り立たない病的集合は、普通の数学を展開する上で要らないし、
公理の有無は無矛盾性の強さ（モデルを作る表現力）に影響しないので、
とりあえず成り立つ範囲で研究しましょう、ということ。

だから今の世の中、正則性が成り立たない集合も重要な研究対象だ、なんていうのは
数学者じゃなくて論理学者とか計算機科学者。

一般の場合は難しいからネーター性やコンパクト性を仮定するようなものか

集合論は要素一元論で、圏論は作用一元論。
互いに相補的（双対）ということはないのでしょうか？
そしてそれぞれ無理に一元論であることによる不自由があるということはないのでしょうか？
たとえば先に質問した圏論での直積の定義についてもそれを感じるのですが。
勿論、一元論のもつ一種の鋭さというのはあるだろうとは思うのですが。

どっちを出発点にしても良い物で、片方を出発点にしたら一元論なんて言うのか？

レッテル貼り思考をするタイプなんでしょう

レッテル貼りというレッテル

>>180
そうじゃないかもしれない。
断定はしていない。

>>178
>どっちを出発点にしても良い物で
ということは、互いに相補的（双対）、というのは間違っていないということでしょうか？
>片方を出発点にしたら一元論なんて言うのか？
出発点つまり元を一つにしているという意味で一元論と呼んだと理解していただけますか

>>179
>レッテル貼り思考をするタイプなんでしょう
レッテルというか極力短い名前を付けながら話そうとはしています。

で、一番いい入門書は何なの？
和書、洋書問わず。

位相幾何学で自然に身に付くのがよろしい
使えるようになってからまくれんを読むと楽しい

>>182
第三のアプローチがあるかもしれないので相補的とは言い切れない

一元的というのに何か過剰な思い入れでもないと一元論かどうか拘る必要は無いと思う。

集合論は要素だけで成り立たないから要素一元論ではない
圏論は作用とは何の事か分からないから作用一元論が何だか分からない
射一元論なら意味が分かるが、それは圏論の記述方法の一つ

>>186
そうですか。要素対作用、点対矢で凡そ伝わると思ったのですが、難しいものですね。
>射一元論なら意味が分かるが、それは圏論の記述方法の一つ
ここもよく分からなかったのですが、射は圏論の記述方法の単なる一つなのですか？
射と並ぶ他の記述方法としてはどんなものを想定しているのでしょうか？
そもそも、「射一元論」では、既に圏論が分かっている人にしか伝わらないですね？

一般的な代数や解析の人が「集合として同型」と言ったら
単に全単射があることを言っているだけだけど、
集合論の人が「集合として同型」と言っている場合には
<A, ∈>と<B, ∈>の構造が同型であることを言っている場合も多いです

つまり専門分野としての集合論はただの点として見ている訳じゃなくて
その木構造を考察している。また集合それ自体よりも
集合論の公理系のユニヴァースを相手にすることが多い

>>187
もともと分かっている人にしか意味のない話だろ

わかってない人から質問。
集合は圏論上に定義できそうな気が
(オボロゲに)するのだけれど、
射は集合論上に定義できるの？

ただの結合代数さ

>>190
関数じゃないの？

射は写像でも関数でもない

米田のレンマ

射は合成演算f◦gが定義されて結合律(f◦g)◦h＝f◦(g◦h)が成り立つモノ
単位射f◦1＝f, 1'◦f＝f追加

射を集合論上に結合代数として定義するとき、
演算 ％ の定義域は、どうなるんでしょう？
それは、集合でいいんでしょうか？

集合の圏への忠実な関手を持たない圏がある。

http://amathew.wordpress.com/2012/01/26/homotopy-is-not-concrete/

演算 ％ て何？

Setsの圏で言う写像の合成

Thanks.

197 で、どうやら、圏論上に構成された
集合論(らしきもの)上に圏論は構成できない
ことが示されたような気がします。そうですか？
では、本物の集合論上ではどうなんでしょう？
射を写像として実装し得るのか
どうかが気になっています。

>197 で、どうやら、圏論上に構成された
>集合論(らしきもの)上に圏論は構成できない
>ことが示されたような気がします。
それは、集合にはおさまらない巨大な対象を含む圏は集合に写せないといってるだけだろ。
ふつうは写せるんだよ。

巨大かどうかなんて分かるもんかね？

集合か集合でない（固有クラス）かは分かるじゃない

201 です。
気になっているのは、集合の圏が
集合論と等価なのかどうかです。

どういう意味の等価？

自動定理証明とは偽装したイデアル論である。

線型代数の線型部分空間と環論の部分環は別物。扱うべきは環の部分環の中でも特に環のモジュール。
つまり、線型代数であれば線型空間のモジュールは線型部分空間と一致するが環論では部分環とは一致しない。
一致する部分環が環のモジュール。

まだ整理しきれてないな。

多分ゼロ対象が偽（false）でゼロ射が充足不可能命題の推論のはずだ。
エルブラン領域（普遍集合）はコンマ圏をつかってその部分集合がそれぞれエルブラン解釈になるとか
そんな感じになるはず。圏論的論理とやらは第一階述語論理しか扱えないんじゃないか？

結局、自動定理証明はグレブナー基底を使って計算するSINGULARと同じなんじゃないか？

グロタンディークがルベーグ積分を自分で一回作ったらしい、というのはアーベル圏に対する超絶なヒントだ。

>>212
それを言った教師が適当なことを言っただけの可能性が高い

狢

>983 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/13(水) 08:42:04.42
> >>982
> >他人からのメッセージは全部無視するんや
>
> でもレス付けて思いっきり反応してるよな。
>
> >ワシは他だ単にこの馬鹿板を焼却する作業をしてるだけや。
>
> 何年もかけて何かしてると主張しているが
> 結局、焼却とは何のことだったのか・・・・
> 毎日痴漢から帰ってきて2chを楽しく読むこと＝焼却？
>
>

>>213
好奇心があれば普通にやるんじゃない？

>>215
図形を４角形のモザイクで覆うところまでは行くだろうが、補集合を覆うところまで行き着くかどうか

束論に精通してたってことを言いたいだけだぜ。

束論の非自明な知識なんてどっちでも使わんだろ

非自明な知識を使わないかどうかはまだ分からないし、
使わないならむしろ非自明な知識をアーベル圏に輸入するぜ。

推測に過ぎないが、どうもそれは既にされていて、それをしたのがLawvereなんじゃないかと思う。

バーコフと共著が結構あるマックレーンは当然のことながらグロタンディークも実質輸入している。
ただ、あからさまにやったのはどうもLawvereのようで未だにLawvere論文読めないがそれはどうも束論が
弱いからだと思ってる。

いや、マックレーンはあんまやってないわ。本質的に導入したのはグロタンディークで
発展させていろいろ圏上で束論やってる（ように推測しているのが）Lawvereだ。

L^2空間の元は集合関数の同値類だったなそういや。ゼロ元はゼロ関数（ルベーグ測度０）の同値類か。
集合論はそもそもフーリエ級数展開可能な関数のクラスを定義するために導入されたということを忘れ過ぎだと思う。

いくらなんでもグロタンディークからさぼり過ぎだ。そりゃ山隠れるわ。

これは推測だが、実質いま圏論の高度な話題的な扱いを受けているものというのは
圏論的に解釈した束論だと思う。圏論な圏論としているのは多分、圏・関手・自然変換の定義と
コンマ圏、アーベル圏、層・スキームぐらいなんじゃないだろうか。あとは全部束論から翻訳して事足りるし
その方がよくわかる？ことになると思う。

導来圏って代数幾何以外で使うことってあるの？

まったく知らない。

そもそも導来圏って一体なんに使うの？

無限大圏

良く知らないが、導来関手のドメインとしてふさわしい圏として定義されたんじゃないの？

要は圏の骨格（skeltal）取ったみたいに、なんかの同値類とった圏なんじゃないの？
よくしらねーけど、定義に幾何やら代数の概念を直接使ってたと思うから、転用するんだったら
その定義をもっと普遍代数のように汎用的に定義しなおさないとダメじゃない？

コホモロジーが重要であり大抵はその計算に
追われるものだが、コホモロジーを取る前の
複体そのものに重要な情報が含まれている
事が分かってきた。佐藤幹夫氏のD加群や
グロタンディークのセール双対性の拡張を
考える過程で生まれた事は良く知られている。
ベルディエの学位論文ではその自然な枠組みとして
三角圏が登場する。
しかし導来圏ではマッピング・コーンが一意的とは
ならず改良の余地がある。
そのためにDG圏や∞圏が出てきた。

そんな風にやってるから、誰にも何やってんだかわからなくなってるんだって。
つまり文化として論点の絞り出しがすごい苦手な業界なのだと思う。
そこが論理的思考が大事だとか、私たちのように論理的思考をすべきと言ってるから周りが混乱している。
逆に言えば改善すればそれだけ学習コストが劇的に下がると思う。

具体的なものから離れた数学ということか？

いや、全然まったく関係ない。

なんか言ってることが病的だから興味があっても誰も関与したがらない、
聞こうと思っても話が散逸してるから学習コストが高くて使いづらいって言ってんの。

一つの技術であるべきなのに、思想の変更もセットじゃないとダメだとか言い出すから嫌がられる。

とにかく学習コストがやたら高いから変な人しか集まらなかった、というのを別のマイルドな表現で
表していただけなんだって。コスト下げれば相対的に変な人の度合いが下がるんだって。

まあ一種の宗教だからな

これからの時代は難問を解いても
意味が無いと、ある教授が言ってたけど

なぜ、日本の数学は衰退したのか？

来々軒のスープ・メンマに準同型なものは進来軒の他に存在しますか？

>>239
狭い領域に閉じ篭って蛸ツボ化しちゃった人間、目先の誰も読まない論文数稼ぎだけが目的の人間が
が数学者の大半を占めるようになったからでしょ
世界に視野を広げれば理論物理に限らず様々な応用分野の中へ数学が浸透し
またそういう応用から刺激を受けて新しい数学の芽がどんどん出ているのに
日本の数学は「応用数学など下等なもの、応用を切り捨てた純粋数学のみが本当の上等な数学」って時代遅れの偏見のままで
新しい数学の芽などほとんどなく閉塞状況のままで重箱の隅をつつくような話ばかり

そんなつまらない状況には誰も興味を持たないよ
日本で数学が衰退してきたのは当然すぎるほど当然

なるほど。同意しますね。

狸

>>241
東大京大のスタッフを見たら検討外れな批判だとわかる

>>243
いや、「むしろ逆」とでも言うか、東大京大以外でこそ、その>>241の
批判は的を得てるのではないかと。ソレも『かなりの程度』に。

狸

>>243
もし仮に『中央にはその意識が無かった』としても、中央の顔色を伺う
地方組織は『派閥の地方支部』になってしまい、その結果として起こる
のは派閥同士の小競り合いとか、でもとにかくマズいのは、その：
★★★『目先しか考えず、誰も読まない論文数だけを稼ぐのが目的化してる』★★★
という事でしょうね。

だから地方のヤクザが、中央への上納金の金額を多くして、そして中央
から特権を与えて欲しくて顔色を窺ってるのと、良く似てますよ。

狸

この話は英語にまでなってますよ：
http://en.wikipedia.org/wiki/Sankin-k%C5%8Dtai
ちょっと笑えませんわね。

狸

ほんで外様とか植民地とかね。この国ではどうしてそんな意識になってし
まうんですかね。

狸

仲間が欲しいからといって他人をdisるな

何いまごろ言ってんだよ！五〜六年前からことあるごとに言ってたろ。
最初は確かに仲間欲しかったけど、あんまりにもなんつーかね。
２〜３年前からはエクスキューズ的な警告の意味合いだよ。ちゃんと並行して注意喚起してたぞって。

>>241の言ってる様々な応用分野の中へ浸透した数学というのは
要は計数工学みたいな分野指すのかもしれないけど、
正直なところ、その種の応用数学といわゆる現代数学は相当別種の分野。

18世紀の数学は「蛸壷化」して居なかった訳でもない。
後者はそもそも世間の「役に立つ」ことを目指していないから
241みたいなものを言われても困る。形而上学なんてやっても金にならない、
みたいな批判と同工異曲の批判に聞こえる。

蛸壺がどうとかは知らないけど、応用考えるなら学習コスト下げるのが第一だよ。

学習コスト１００時間の分野と学習コスト５０時間の分野があったら、そのまんまだけど
コスト５０時間の分野の方が応用出やすい。理解しがたい趣味よりもサッカー観戦とかのほうが
すぐわかって交流しやすいのと同じ。

大雑把に投資に対して収益あればそれで万々歳であって、収益出る見込みが全然なければどんだけ高尚でも切られる。
そもそも今時、誰々にしかできない技術なんて、替えが効かなくてメンテナンス性も悪いから避けられるんだよ。
ただ、そもそも技術じゃないと言われる気がするんだけど、そしたら一体何を研究してんの？って言われるぜ。

論文アクセスして内容を解するというだけのことにやたらコストかかるから、誰も使わんというだけで
もっとソフトウェア工学的に、内容に関知しなくても結果だけは正確に使えるとか、そうじゃなくても
現実的なコストでその成果を一般的に使えるとかそういうパッケージングしないとすごい使いにくい。
論文じゃないけど本屋で本読んでもぶっちゃけ一体何やってんのかわからない本が多すぎると思う。

>論文じゃないけど本屋で本読んでもぶっちゃけ一体何やってんのかわからない本が多すぎると思う
論文はもっとひどい。売れなくてよいので。
書いてる本人も何やってるか本当は分ってないんじゃないかな

数学はもはやオカルト。
人間には理解できない

>>243は東大京大を錦の御旗にしたら何でも正当化できると思ってるんだろうな
そんなのに騙される権威主義馬鹿は今どきそんなに居ないってことを
未だに知らない馬鹿なんだろうw

まぁその意味で貴重だから、この板でどんどん自分の意見を、生き恥と共に晒して頂きたいw

圏論スレって結構情報系の人もきてるみたいだね
1冊くらい情報系向けの圏論本ほしいところだね
数学の予備知識なくても直感でいけるやつ
横内プログラム意味論が出てたけど形式的すぎるし
オートマトンとかのレベルまで落とさないとまた絶版になっちゃうだろう

ていうかこの国、生活するには色々と便利なんだけど、
なんていうかエネルギーが全く感じられないんだよな。
目が死んでいるというか。学問だけに限らないけど。

>>241
この意見は実に耳痛いが反論もできない。
たまに基礎科学は大事だ！とか言って
ノーベル賞が出て大騒ぎになっても数ヶ月もすれば
その効果は薄れ元気がなくなる。
トップ層が薄くなってるんじゃないだろうか？

>>258
ほしいね。書ける人いないような気がするが。いる？

情報科学系の人は言っちゃ悪いが一体何をしたいのか本当にわからん。
ソフトウェア工学的に確かにモナドは疎結合を実現する手法として意味があるし本当は主にそういう方向性から
研究するべきなんだけど、それ以外はそれほど勉強する必然性が無い。Applicativeファンクタ？が大事とか全然違うところ行ってるし。

定理自動証明という話もあるが、あれは圏論から行くのは確実に迷う道で、あれは直接数理論理学から行くべき話だ。

だから、直感がどうたらというよりも、そもそもなんで情報科学系の人たちは圏論必要なの？どういうニーズがあるの？

俺の思うに多分、情報科学系の人たちが本当に必要としているのは束論。圏論はそもそも必要として無い。

ほしーならやればいいじゃん
何がわかりやすいかわからんしね
とにかく形式体系ほしいんだろ使いやすい
どんどん輸出してやれって
コンマ圏とかカン拡張なんて数学じゃ役に立たね０−よ＾＾；
ｆｋｊｄｓｇふぃうｄｓｇ

>>262
> 情報科学系の人は言っちゃ悪いが一体何をしたいのか本当にわからん。
> ソフトウェア工学的に確かにモナドは疎結合を実現する手法として意味があるし本当は主にそういう方向性から
> 研究するべきなんだけど、それ以外はそれほど勉強する必然性が無い。Applicativeファンクタ？が大事とか全然違うところ行ってるし。

情報系での圏論なんて一種のファッションでしょ。
Haskellでモナド、モナドって騒いでる連中なんてその典型。

情報系で圏論を本当に活用していると言えるのは表示的意味論のためのDomain Theory （Scott理論など）だけど
Domain Theoryは既にあまりにも普通の数学数学してしまっていて、もはや情報系というよりも一風変わった数学という方が実態に近い。
あとはファッションでなく圏論を活用していると言える情報系の話題だとCategorical Type Theoryなんてのもあるけど
あれも情報系というよりも完全に数理論理学の一部だしね。
あとはかなり昔にオートマトン理論を圏論で整理してたのもあるけど、あれは力学系での圏論の活用の真似事みたいなものとしか思えなかった。

結局そういうことではある。応用もそもそも研究するにあたっても必要な基礎的な話が
なぜか分からないが日本では一切出版されていない。もしくは絶版になってる。
だから、目につく限り何が何の話かわからず混乱に陥っているから日本語で出版されてないやつとかは
出して行かない路頭に迷うぞ。

>>266
ファッションであることはそのとおりなのだが、厄介なことにモナド自体はソフトウェア工学的にかなり
重要というか特異な手法なんで、あれをソフトウェア工学の手法として研究しないというのはかなりもったいない。
Scott理論は個人的に応用が作れそうだからもったいない。

他はあんまり知らないな。
アイレンバーグがオートマトンに興味があったようだぐらいしか知らない。
http://www.amazon.co.jp/dp/0122340019

ともかく、圏論勉強する以前に基礎的な概念がなぜか日本では一切整備されていないということは覚えておいて損は無い。

>>257
日本の数学界の話を東大京大を重視せずには語れないだろう。

>>260
実際の数学者と接したことのない人間の思弁的空想にすぎないと思うが。

３Dプリンターで自分の考えた商品を作って
それのコピーを売って商売する時代が到来する。
そうなるとホームビジネスが成立し体の不自由な
人でも仕事が持てる。
まあ、数学書を３Dプリンターで作っても意味ないが。

>>268
>モナド自体はソフトウェア工学的にかなり重要というか特異な手法なんで、
このように控え目だが自信もって言われるとそうかなと思ってしまうのだが
本当は納得していない自分がいるｗ
エンドユーザであるプログラマにはどんな有り難さがある？ いろんな例
を見ても使えるまで大変だし使ってもそれほど大したことはないという印象
だいたいHaskellだろうと何だろうといまのプログラミング言語を多少いじっ
てもなんも変わらないんじゃない？あなた理論家らしいけどどう？

大したことないどころか
カテゴリー思考はむしろ有害
こまわりきかない大型車

>そんな風にやってるから、誰にも何やってんだかわからなくなってるんだって。
>とにかく学習コストがやたら高いから変な人しか集まらなかった
>現実的なコストでその成果を一般的に使えるとかそういうパッケージングしないとすごい使いにくい。
>定理自動証明という話もあるが、あれは圏論から行くのは確実に迷う道で、あれは直接数理論理学から行くべき話だ。
>情報科学系の人は言っちゃ悪いが一体何をしたいのか本当にわからん。
>それ以外はそれほど勉強する必然性が無い。

この辺り特に言い得てるな

理論計算機ってすごい衒学趣味なんだよ
みんなだまされるなよ

あぼーん

>>271
思弁的空想て何？

狸

あげ

あぼーん

命題論理の形式系の確実性の高い習得方法が多分わかった！

>現実的なコストでその成果を一般的に使えるとかそういうパッケージングしないと
元々変なものだったら学習コストを小さくできるわけないんだが、その可能性ない？

>>282
面白そうだから、もうちょっと言ってみて
ただ、命題論理なら習得法なんてものも必要ないだろとは思うんだが

そのまま形式系をプログラムとして実装してみる、というのをカッチリやればいいと思う。
でも、全然興味ないだろ。

カンとのカテゴリー論の方がいいよ。

カン拡張ってあれ一体なんなの？何言ってるのかまったくわからないんだけど。
米田の補題の方はだいたい何の話か分かってきたぞ。ただアーベル圏を前提にしないと絶対分からない話だね。

>米田の補題の方はだいたい何の話か分かってきたぞ。ただアーベル圏を前提にしないと絶対分からない
アーベル圏は知らないけど米田の補題はほぼ自明のことだと理解していたつもり
つだったが、分っていなかったのかな？それがどう使えるのかは今でも分かっていないのだが。

何に使えるかわかってなかったらそりゃ普通わかってないって言うぜ。
そういう状態なのに自明とかいってると周りが混乱するよ。一体何が自明なんだ？

アーベル圏わかってなくても米田の補題わかるのかもしれないけど、論理なんちゃらだったら
ラムダ計算の簡約？か何か表現するときに使うんでしょ多分。しらないんで間違ってるなら教えてほしいんだけど。
そこらへんどういう風に使うのかわからないとどう考えても意味ないし。

>>289
成立することは自明だけど、どう使えるのかわからないというのは結構あるぜ
小学生にとって鳩の巣原理なんかは、初めはそう見えるだろ。
あなたにとって米田の補題は自明ではないんだね？

>>290
ふつう米田の補題の証明にアーベル圏のことはでてこないよね

群で考えたら、米田の補題の、１の行く先を決めたら全部の行き先が決まる感覚が理解出来た。

>１の行く先を決めたら全部の行き先が決まる
そんなとこが肝なのではないと思うけど？

米田のレンマはその一般化だと言えるのかもしれない。

>１の行く先を決めたら
ここは「1」でなくても他の何でもよいし

>>295
群ならそうだけど半群だと違うからそう書いてみた。

鳩の巣原理にあるような米田のレンマのうまい使い方の例を教えてほしいな
鳩の巣のような分りやすい例キボン

>>295-296
1の行く先じゃなかったら米田の補題の適用にならないだろ。

>>298
米田の補題にとって「1」であることは全然本質的ではない。もう一度証明を読みなおして、
1を他のものに代えても影響がないことを確かめてみな

米田の補題といっているが元々はグロタンディークがアーベル圏上で表現可能関手の理論を展開するときに
特に断りもなしに使ってた定理が始まりだ。そのあと、マックレーンが一番やりたかったところをそっくりそのまま
取られたんで複雑な感情があったのかわからないがなぜか米田の補題として紹介した。
だから文献によっては米田の補題という名前を使わずに導入しているのもあるし、そういう文献の方が内容的に良い。

よくわかってねーが、そもそも表現可能関手の理論から出てきたので表現可能性の定理全般に関係する、ようだ。
群論だったらそのケーリーの定理：任意の抽象群に対して同型な変換群が必ず存在する。
環論だったらイデアル
束論だったらバーコフの表現定理とストーンの表現定理（多分）

米田の補題の言明はhom集合がクラスじゃなくて集合である圏 C と集合値関手 F について
Nat(hom(A,-),F) ≅ F(A)
が成り立つというもので、φ ∈ Nat(hom(A,-),F) の具体的表示が
f ∈ hom(A,B) のとき φ(f) = F(f)a （ただし、a ∈ F(A)）
にならなければならないとなる。1 ∈ hom(A,A) のとき φ(1) = F(1)a = a
だから1の像に対して自然変換が一意的にきまるから1の像は本質的。

>>300
それを言うと米田も米田の補題を断りなく使っている。
元々がグロタンディークとは言えないだろう。

ちなみに、今言われている米田の補題はマックレーンが整備したやつ。
復刊した中山のホモロジー代数に載ってるやつが多分元々の米田信夫が証明した補題。

米田の補題って表現論と関係あるの？

知らない。調べてみればいいんじゃない？

調べたんだけどね。結局よくわからなかった。

アーベル圏とホモロジー代数はわかってんの？

当たり前だけど土台の圏をどう解釈すれば良いかわかってないと分からないと思うぜ。

>>301
>1 ∈ hom(A,A) のとき φ(1) = F(1)a = a
φ(1) = F(1)a　はおかしいな？

��

一般に数学における「表現」ていうのがどういうことなのかよく分かってないんだが，
「あるものをそれと等価なより具体的なものに翻訳して，そこでいろいろ好きに操作したい」
っていう気分のもの？米田の場合は，その具体的なものというのが集合？

>>301
c ∈ hom(A,A) のときは、φ(c) = F(c)a ...
となるだけの話で、1の像に限って自然変換が一意的にきまるのではないから、
特に1が本質的なのではないよ。記法の便のために選ばれているだけだよ

c ∈ hom(A,A) で c ≠ 1 の場合か？
c = c・1 で c・1 に対応して F(c)・a となるってことだぜ。

これはどういうことかというと、任意の元 c ∈ hom(A,A) は c = c・1 といつでも分解できるけれど、
同じように F(A) の元 φ(c) ∈ F(A) もいつでも φ(c) = x・a に分解できるから、a の部分が変われば
自然変換も異なる自然変換になる。
φ,ψ ∈ Nat(hom(A,-),F) で φ ≠ ψ のとき、任意の c ∈ hom(A,A) に対して、φ(c) は φ(c) = x・a
と分解できる a が存在するからといって、同じ a で ψ(c) を ψ(c) = y・a と分解できんだろ。

つまり 1A は hom(A,B) の元を一意的に分解できるけれども、その自然変換の像としての
F(B) は自然変換の1A の像 φ(1A) で 1A と同じように一意的に分解できる。その分解可能な元と
自然変換は一対一対応しているというのが米田の補題じゃないか。

イデアルで言えば、単位的可換環 R に対して a ∈ R によって生成される主イデアルを (a) とする。
φ : R → (a) 、φ(r) = r・a とすれば、これは(a) への全射群準同型写像で、a = φ(1) が成り立つ。
しかも a は全射群準同型写像 φ の決定項だというのと同じ。

間違えた。

>>313
>c = c・1 でc・1 に対応して F(c)・a となるってことだぜ。
このように分解するはじめのところからついていけなかった。
もう一度ゆっくりやってみてくれんか？
おれは米田の補題をよく理解したいだけなんだが

見たところ、あの不完全性定理と同じかそれ以上に米田の補題の理解者は少ないんかな。
確かにどちらも、今流通している教科書の証明は追うのが難しいかもしれないな

圏の対象 A を固定するとき、任意の対象 B への射の集合 hom(A,B) の任意の元 f ∈ hom(A,B)
はドメインが A で固定なので、f = f・1A に分解可能。

φ ∈ Nat(hom(A,-),F) のとき圏の任意の対象 B について φB:hom(A,B) → F(B) と書くとするとき、
φB( hom(A,B) ) ⊆ F(B) である φB( hom(A,B) ) の任意の元 φB(f) ∈ φB( hom(A,B) ) は φA(1A) で分解可能。
すなわち、φB(f) = F(f)・φA(1A) とできる。

なので、φ は f・1A に F(f)・φA(1A) を対応させている。

そもそも二階述語論理が何なのか書いてあるやつが無い。なんか悦に至るだけの変なやつが多すぎる。

「なので」じゃなくて「結果として」だな。

×　菌愚は低脳である。「なので」馬鹿板でカキコする。
○　菌愚は阿呆である。『結果として』馬鹿板が賑わう。

ケケケ狸

>>319
なんでわざわざ　f = f・1A と分解して議論してるの？

>そもそも二階述語論理が何なのか書いてあるやつが無い。
これはどういう意味？ここでどういう関係があるの？

1の像が米田の補題で本質的かそうでないか、という話だったんじゃないのか？

第二階述語論理がどうこうというのは米田の補題と全然関係ない>>318で不完全性定理がどうたらと言っていたからだ。

haskellのライブラリに米田の補題の対応物があるのだがこれをみると
右カン拡張において、片方の関手を恒等関手とみなせば
米田の型と一致するのだが、そういう対応はあるのだろうか

そもそも、物理でも数学でも数式いじるだけならそれらしいものが何でも出てくる。
良く知らないけどあんなの胡散臭いしまともに相手しないで自分で組み立てた方がいいぜ。

Haskellで圏論の勉強とか思ってるなら、間違った知識と直感が増えるだけで
やればやるほどダメになって行くから止めた方がいいよ。

そもそも米田の補題やらカン拡張とか一体何のためにやりたいのかわからん。勉強するなら普通に圏論勉強しないとわからんぞ。
ところで、しらないから教えてほしいんだが、カン拡張って一体なに？

haskell,自然変換は直感的に理解できていいと思うんだけど
ダメなのかなぁ
例えばMaybe Bool -> [Bool]やInt -> [Int]
Int -> Set Intは自然変換。後半2個は片方が恒等関手

型って結構信頼できると思うのだけど
newtype Yoneda f a = Yoneda (forall r. (a -> r) -> f r)
newtype Ran g h a = Ran { runRan :: forall b. (a -> g b) -> h b }
data Lan g h a = forall b. Lan (g b -> a) (h b)
これらの型は継続モナドの型ととても似ている
捕捉：Lanのところは存在型といって
forallで存在量化するためのhaskellのトリック

kan拡張はwikipediaをどうぞ

カン拡張はマクレーン本以外で見たことないな

Haskellとかプログラムで圏論勉強しないほうがいいと思う
最終的につまる（例、自分
>>327みたいな初歩まではいいかもしればいけど結局圏論って
コンピュータのために作られてるわけじゃないからね

とりあえず、みんな、マクレーンのは持ってるんだよね？
俺は持ってるよ、まだ５ページくらいしか読んでないけど

捨てた。結局あれだけ読んでもわかりようがない。あれだけ読んで内容わかりましたとかあり得ない。

全然知らないけど単語だけ知ってますって人だけ増やしてるだけ。

線型代数の自然な同型を理解しているという前提で勧めるなら、
絶版だが、http://www.amazon.co.jp/dp/478190162X と、
http://www.amazon.co.jp/dp/4837504574 で勉強する方がいい。
ただし、積と和でつまるはずだから、束論も合わせて勉強しておいた方が良い。

プログラミングのモナドだけ理解したいんだったら、
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.2885 が基本
訳せばいいんだろうけど１〜２ページだけで放置してるからだれかやって。

確かにマクレーン本だけやっても無意味
本に書いてある定義を丸暗記して
よくわからないままに論理を追うだけになる
しばらくして全部忘れてどうでもよくなってすべて無駄になる

わかりそうもない本を読んでもわからない。あの本で意味があるのはコンマ圏と前圏ぐらい。

「マクレーン本だけやっても無意味」というか、
圏論だけやっても無意味と言った方が正しいのではないか

そんなのいちいち言わないとわからないのとかどうかと思う。こういうのは結局ペイするかどうかだって。
会社があって、研究開発部門があったら研究開発部門として実績出さないと存続が疑問視されていくのはそれこそ自明。
〜だけやればいいというのは、なんかペイするでっかい事業があってその中でルーチンワークが確定している場合だけ。
そもそも、研究業務でルーチンワークが確立してるとかおかしいんだからその時点で疑問もつべき。

やけに束論を推してる人がいるね

老婆心から言うけど335はよそのスレと誤爆してない？

富士フィルムとか完全に化粧品にシフトしちゃったんだから、時代も進んでそういうことも
あるかもなって普通に思われると思うんだよな。絶対そういうのやる方が面白いし。

ヨネックスも桐製の下駄→木製の漁業用浮き→バドミントンラケットのグリップ→スポーツ用具メーカーだもんな

　
http://rfi.a.la9.jp/sateweb/scurl/znsc.html
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
　http://www.karilun-yao.com/room/24127
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
　　http://rfi.a.la9.jp/hn203/k203/k.png
　　http://rfi.a.la9.jp/hn203/k203/k203_1.png
　　http://rfi.a.la9.jp/hn203/k203/k203_2.png
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　
弊社としましても今後メールでのやり取りを差し控えたく、浪速建設様
と同行の上でお会いさせていただきたい所存です。
http://rfi.a.la9.jp/hn203/set/Avatar_set/Avatar_set.html

こうなったのは337の責任だからねっ

なんつーか、一つの意見としてそういうのあるねってだけで、別に前にならえをする必要ないんだぜ。
当たり前だけれども。
なんかポリシーあってやってるわけなんだから、そのポリシーを通すんだったらそれで全然問題ない。
なんでそんなに前にならえをしようとするのかちょっとよくわからない。
そこまで全然想定してなかったんだけど、ポリシーあるんでしょ...？なんでそんなショック受けてる感があるの。

話が成立しないキチガイマジこわい

いろいろありすぎて、何の話をしようとしているのかわからないし、誰も言い出さないから
きっかけも何も無いじゃん。

そこまで大して難しくないことを、定義とか出典とか隠していたから難しくしてた、ということを
立証していたのだから、言っちゃ悪いが中身の無いインパクトだけの話の振りなんて無視して当然。

日本語でおk

他人にわからないように意図的に難しく表現して、これは難解だって言ってるようなやつからなる業界は
そりゃ一般に理解されないし理解する必要性も無いだろう、と思っていた。

にほn(ry。思っていた？じゃあ今はどう思うの

もしかしたら、意図的に隠しているわけじゃないんじゃないか。まあ認めないだろうけど
そのまんまなんじゃないか、と。

君は素直だな。君の日本語は主語をきちんと足せば少しまともになるが
まだ少しおかしい
もしかしたら、(圏論は定義などを)意図的に隠しているわけじゃないんじゃないか。
まあ(あなたはその事実を)認めないだろうけど
そのまんまなんじゃないか、と。
けれど省略よりももっと大きい問題がある
前後の文脈を無視した話をふっかけるから話が成立しないと言われるのだよ

圏論は定義は隠してないが、具体的な対象を用いずにどこまで数学が出来るか
ということをやっている節がある
なんというか外延的に数学をやるということだ
例えばSetにある全射、単射を、具体的な対象を用いずに射の関係だけで定義できる
(エピック/モニック)
これはSetに限ればエピック=全射などは同値になる

外延的というのは対象をそのまま扱うことだと思うのだけど

連続写像だと集合としての全射と圏としての「全射」がズレる現象を一般化して考察した文章はありますか？

「定義」概念の基本はどの数学本でも最初だろ

マジで日本語おかしいぞ

>>352
位相空間Xの部分集合Yに相対位相を入れる。包含写像Y→XがepiだったらYはXで稠密と言えるかな？
分離条件がいるような気がする。

>>352
どの圏で考えるかにより異なる。

位相空間と連続写像の圏ではepiと連続全射は一致する。混沌位相をいれた{0, 1}を使って示す。

Hausdorff空間と連続写像の圏ではepiと像がcodで密な連続写像が一致するらしい。
しかし証明が分からない。(Francis BORCEUXのHandobook of Categorical Algebra 1の
p.29の証明は間違っていると思う。)

>>356 typo修正
Handobook → Handbook

>>350
>具体的な対象を用いずにどこまで数学が出来るかということをやっている節がある
「要素を用いずにどこまで集合論を書きかえられるか」をやっていると言ってもいい？
それだけなら1ページで終わるが。

米田のレンマがその応用も含めてよく分かる解説ってどこかにある？

なにがグロタンディークが特別な研究者であるのにしているのですか。

何が、佐藤幹夫が特別な研究者であるのにしているのですか。

にほんごでおｋ

数学に関わる研究の領域で、なにが、グロタンディークを特別な研究者にしているのですか。

数学に関わる研究の領域で、何が、佐藤幹夫を特別な研究者にしているのですか。

>>362　博士号を大学から与えられているからでしょうか。

Age

Age

Age

Age

不見除阿呆痴呆包茎犬！

Age

圏論て役に立つか？

Age

Ahe

米田のレンマに詳しい本ある？

詳しいってか圏論やってる人間からすれば常識レベルなんだが…

バカのカテゴリーって本はどうでしょうか？

進研ゼミ圏論講座はどうですか？

じゃあ進研ゼミ遠アーベル幾何講座はどうですか？

米田のレンマ知ってても内容を理解してる人は少ないんじゃない？

そのとおり

だから、米田のレンマがその応用も含めてよく分かる解説ってどこかにある？

鮮人は糞でも食えば

圏論は未修です。
洋書なんですが、ラングのalgebraで圏論を勉強出来ますか？

>>382
他のにしたら？

>未修です
圏論には似合わん言い方かな？

圏論てメタ数学だよね？

違う

メタ圏論てあるの？

群論の場合はメタ数学だのメタ群論だのと誰も言おうとしないのに
圏論の場合はちょっと言いたくなるのはどうしてかな？

変な幻想を抱いてるんだろうなぁ

数学は幻想から始まるのだよ

まあそうだな

群と比べて圏では逆元が必ずしも存在しないというだけの違いだな。
それだけの違いがなぜそういう幻想につながるんだ？

逆元の存在する圏を考えたらどうなるの？

位数9の半群は位数2014以下の群の総数よりも多い。これ豆な。

要するに、逆元の存在する圏は圏の中でも極めて稀な存在ということ？

それは群になるだけのことだろ

圏の定義から結合則を取り除くとどうなるの？

無茶苦茶扱い難くなる

>>393
それでは、おもしろく（特殊に）はなるがSetsの抽象化としては条件が厳し過ぎる
>>397
それでは、Setsの抽象化としては条件が緩過ぎる

ということではないの？

選択公理と空でない任意の濃度の集合に群構造が定義できることは同値

Setsの抽象化って何ですか？　Setsは特殊な圏ですか？

>>400
集合と群は結局同じってことなの？

はあ？

ワロタwwww

>>401　そりゃそうだ

米田の補題に詳しい本ありますか？

>>392 >>396
それは全然違う。圏はモノイドとは違うんだから。
たとえば単位元だって圏では複数個あるわけだし。

随伴というのがどうもよく分からんのだが、だれか教えてくれんかな
逆でもなく双対でもなく・・・

随伴作用素みたいなもの？

随伴作用素は随伴の一例かもしれんが、それだけでは随伴とはなにかはわからんね

普遍射による定義
counit-unit随伴による定義
hom集合の随伴
この３つの定義が同値であることを確認して
例として自由群で確認しておくこと

>>411
定義を確認しても、随伴の意味（なぜそう定義するのか）はわからんだろう

そうやって親しんでいるうちにその心がわかる
そういうもんと違う？

圏論みたいな抽象の権化に惹かれるオマエラをちょっと尊敬しちゃうわ

>>413
その「心」をざっくばらんに語ってくれんか
代数系における自由関手と忘却関手の関係は分るんだが、その関係の
どこが特別なんだ？　自由と忘却の関係は随伴のすべてなのか？

>>415
随伴関手の最も顕著な性質は何かね？

２つの圏の間の最も自然な関手の対

うーん、この質問に答えられないようだとちょっと辛いか

随伴関手の最も顕著な性質

随伴には同値な３つの定義があるけれども、
そのうちのどれか一つだけがより本質的
であるということですか？

違う！もうよい、答えを言う
”極限の保存”
老婆心ながら人にモノを聞くときはもうちょっと
調べてからにしたほうがええんちゃうか？

マックレーン読んで出直して来いゆうことですね

ルードヴィッヒ・ミーゼスの
Human Actionという大著を読んでいるが
1940年に書かれた作品だが、今こそ
読まれるべき書物だと感じた。

>>420
>”極限の保存”
答えてくれたのに申し訳ないが、難しいことを難しく言い換えてくれた
としか感じん。調べてもそういう答えしかないんで聞いているんだが。
それに”極限の保存”は一つの関手の性質であって、随伴という２つの関手の
間の関係ではない。
もうちょっと噛み砕いてくれんか

>>417
それは自由生成と忘却の関係については当たっているが、
他の随伴についても言えるのか？

>>423
君にとって３つの定義のうち最も直感的に随伴の心を表わしてると思うのはどれ？

心が分かっていないんで、心を表しているかどうか分らんのだが、
強いて言えば一番分りやすいのは普遍射かな。
unitのは一番わからん

>>426
そうだね。では随伴の心とは「問題を解く」ことであると
言ったららどう思う？

>>427
例えばWikiの解説には「問題の解」というキーワードが入っていて、
その解説はそこそこ分るんだが、
”随伴の心とは「問題を解く」ことである”というのは、よく分からん。
是非もう少しヒントをくれないか

もうわかってるんちゃうかな？
最も効率的に解くか最も複雑に解くかとうことやね
君はすでに理解しておる

”随伴の心とは「問題を解く」ことである”について、もう少し教えてくれないか
「問題を解く」というのが大変気に入ったので。

たとえば、群と集合の間の自由関手と忘却関手の場合は、何の問題を解いているのだろうか？
また、連立方程式とその解の間の随伴関係ってあるの？

>最も効率的に解くか最も複雑に解くか
「効率的に」や「複雑に」というのがよくわからない。
「必要最低限に」とか「最も一般的に」というような意味なら分かるが

例としては非単位環から環を作成せよという問題を考えるのがわかりやすよ

与えられた集合から自由群を作りなさいでもいいが

いや違う、与えられた集合から群を作りなさいか

その場合の自由生成関手が、「与えられた集合から群を作りなさい」という
問題の解ということ？

ところで、（本題とは関係ないが）非単位環から環を生成するとき「非単位的環 R に対して、R×Zを選び・・・」
とやるようだけど、R×Zなんてやらずに、単に、Rに1を追加して・・・じゃ駄目なのかな？

そうだ、もっとも効率的な解

いいよ

>そうだ、もっとも効率的な解
「最も一般的な（余計な条件を仮定していない）解」といってもいい？

>いいよ
これは、単に、Rに1を追加して・・・でよいという意味？

忘却の方は、「与えられた群に対応する集合を求めなさい」という問題への解なの？

ガロア結合（単調写像の組 f:A→B、g:B→A で、f(a)≦b ⇔ a≦g(b) となるもの）の場合は、
fやgは何の問題を解いていることになるの？

忘却は
群を拡大して自由群を作るときに一番よい自由群を得るには何を生成集合にすればいいですか？
でいいんじゃないかな。
一番よい自由群はたぶん、無駄な元がないもので一番でかい自由群でいい気がする。

>群を拡大して自由群を作るときに一番よい自由群を得るには何を生成集合にすればいいですか？
ちょっと意味がわからん
結局その解は、「その群の台集合」というtrivialなものになるんだよね？

なんかの問題の解として書きたいときは、片方の関手を固定したときにそれの随伴になる関手はどういう問題の最適解かって
いう形になるはずだから、忘却関手のときは、自由群を生成する関手Fを固定して、群から集合を作る問題になるはず。
というわけで、「一番よい自由群を生成する集合」を求める問題になると思うんだけど、真面目に考えてないから間違ってるかも。

ふーん、いずれにせよ、そんなふうに考えるのか

ということは、FとGが随伴というのは、
F:C->D c∈Cに対して最もXなd∈D
G:D->C d∈Dに対して最もYなc∈C
ということか？

そうだとした場合、XとYは互いにどんな関係になるの？
なぜ「最も」に関心をもつの？（当たり前のことか？）
「問題と解」という捉え方もちょっと狭い感じになるな？

「最も」<==> 一意　だからか？

最適化の話はたんに一部の例について成り立つことを書いて直観を与えてるだけで、定義でもなんでもないから、
一般の随伴よりは狭い範囲にしか使えないと思うよ。

>>442
君は抽象的な数学に向いてないんじゃないかな。土方に徹したほうがいいと思う

『Sketches of an Elephant』読んだ人いますか？　

圏論って、代数/線形代数/位相・集合論その他の知識が前提
あるいは知識が無いと深い理解が得られないように思うのですが
それぞれどのレベルまで行けば充分な知識と言えるでしょうか？
代数なら○○の定理が理解できるようになればOKといった感じで教えてください。

「代数なら○○の定理が理解できるようになればOKといった感じで教えてください。」
とか言ってるようでは全く話にならないことだけは確か

数学知らなくてもHaskellわかれば案外いけるんとちゃう？

>>446
ぐぐれば書評があるよ

>>444
心じゃなくて単なる例だったのか、やっぱり。
例でも心を端的に表す例というのがあり得るが、最適化の例はどうなんだろな？
でもここまでサンクス

>>445
あんたは単なる学習者だろな
いろんなのがいるな

>>447
知ってれば実例が得られるというだけ

Haskellわかっても案外いけない

むしろ圏論先にやったほうが数学全般理解しやすくなるんちゃう？

またそんなｗ ほんとか

グロタンじゃないけど、余計な知識がかえって邪魔になるとか

>>454
ベクトル空間で有限次元しかイメージできなかったら有害だもんな。

圏論関係ないじゃん

>>454じゃなくて>>456だった

有限次元ベクトル空間の理論はそれはそれで便利だから
何も知らんよりは良いけどね

>>460
文脈が読めてない。
グロタンディークがEGAの序文で邪魔になると言ったものは、普通の意味では有用なものである。

しばらく随伴についての議論が続いていましたが、Awodey本に次のような
文章がありました。これはどういう意味なのでしょうか？
Every adjunction describes, in a syntax invariant way, a notion of
an algebra for an abstract equational theory.

それだけ読んでもさっぱりわからん

MONADS AND ALGEBRAというChapterの冒頭に有るのですが、その文章の直前には
こういう文章がありました。
The adjoint functor theorem was seen to imply that the category of
algebras for an equational theory T always has a free T-algebra
functor, left adjoint to the forgetful functor into Sets.

George Stigler

なんかおもろい話ないの
圏論関連ならなんでもいいから

まずは自分がさがしてくることだね

例えば、「すべての概念はカン拡張である」by Kan
だけれども、そもそも『すべて』とは何か、とかね

自然変換を超簡単に説明してみろください

表現変換

ある種の写だよ

ある種の答えだな

関手から関手への変換が自然変換ですが、
自然変換から自然変換への変換には名前があるんですか？

>>473
そもそも、自然変換から自然変換への変換が定義できるのかと

マクレーンに書いてあったと思うけど

targetが2圏とかってこと？

>>450
ぐぐってamazon.comの書評を読んでいたら、絶版で入手がむずかしかったJohnstoneのTopos TheoryがDoverから再版されていたことを知り注文した。

>>469
多相関数でいいんじゃ？

Haskell用語？

マクレーンむずいってこぼす椰子が多いけどそんなむずいの？

>>480
CWMのことだと思うが、簡潔に書こうとして内容が不正確で足りない
部分もあるが、よく理解している話なら分かる。

構成が良くない部分もあるし、新版には誤植が沢山あった。内容が大杉
で消化不良になる。具体例が少ないので分かっている人にしか理解が
できない。参考文献として持っていてところどころ読むのには良い。
分からなければ他の文献を読む。

新しい版で誤植は訂正されてますか？

圏論のまともな入門書なんてあるの？

洋書で良ければいくらでもあるよ
CWMは入門書じゃない感じ

入門書には米田の補題も載ってないようなのがあって驚く

米田の補題はだいたいどれにもあるが、その意味が分かるように書いてあるのは皆無。
みんなほんとに分ってるのかな？

>>486
どの本を読めばその本質がわかる？

米田さんに聞けば分かるだろ

ちょっとイタコさん呼んでくる

>>487
なぜかどれも説明が固くて込み入っている。
書いている当人がよく分かっていないからではないかと思っている。
本当はもっと簡単に説明できることなのにね

Dover からでてるbasic algebra に圏論のってるけど、あれじゃ足りないの？

それだと2巻で60ページぐらいしか圏論に触れてないね

米田さん生きてる？

Obituary
Professor Nobuo Yoneda (28 March 1930–22 April 1996)
ttp://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167642396881159
ページ左上の　download pdfをクリック

どうも　米田さん計算機科学者だったんですね

Tom Leinsterが米田の補題についてノートを書いていたなと思って
検索していたら
http://www.amazon.co.jp/dp/1107044243
が今年出版されるみたい

Leinsterのノートは以下(上の本の元ネタあり)
http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/categories/index.html
http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/ct/
http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/msci/

元ネタダウンロードしますた　トポスへの言及もありますね

マックレーン「圏論の基礎」p183によれば、
圏Alg_τはモナドからの構築が可能である。
すごいなモナド。モナドの効用、恐るべし！

マックレーン「圏論の基礎」p208によれば、
Alg_τからSetへの忘却関手によって得られるモナドT
により、比較関手K:Alg_τ→Set^Tは同型となります。
代数はモナドTによるT-代数になるということです。

マックレーン「圏論の基礎」p243〜によれば、
群ΠのコホモロジーはΠ-Modにおけるコモナド
および適当な双対鎖複体によって与えられる。
詳細が、Mac Lane「Homology」Springer 1963
にもあるらしい。今から半世紀も前・・・？

2つの圏の間には、随伴関手が必ず1組だけあるの?
同じ圏の間の随伴関手って恒等関手だけ?

よく分かってないのだが，少なくとも始対象も終対象ももたない圏と圏1の
間には随伴関手はないと思うが
後はもっとよく知っている人が教えてくれるだろう

>2つの圏の間には、随伴関手が必ず1組だけあるの?
いや、1組もない場合もあれば、2組以上ある場合もある
>同じ圏の間の随伴関手って恒等関手だけ?
そんなことはない。例えば、自然数圏（全順序圏）の間では、
恒等関手は勿論随伴関手だが、その他にも、無数のガロア接続が、
随伴組として考えられる。

柏原正樹さんの講演
http://www.youtube.com/watch?v=JWVvC8yEvP4

>503
しかし、随伴組の一方に対して片方は一意的だ。

>>501
今，AwodeyのCategory Theoryの米田のレンマとadjointあたりを読んでいる
者です．まだ，深い部分は分かりませんが，随伴関手は二つの圏だけで一意に
決まるものじゃなくて，二つの圏と片方の関手が決まれば，（存在するなら）
逆向きの関手が一意に決まるという類のものだと思います．
つまり，C, D が圏，FがF:C->D の関手のとき，Fと右（左）随伴な関手が
存在するなら一意に決まると．

私もですが，数学を専門にやっていない人（例えば，計算機屋さん）は
随伴関手の例がピンとこないので，回り道かもしれませんが，知っている例を
増やすのに，一番簡単なガロア接続あたりで，しばらく遊んでみるのも
一興かと．計算機屋さんで一階述語論理がおよそ分かるなら，
William Lawvere: The Galois connection between syntax and semantics
http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/Galois.pdf
が結構面白いです（ただし，順序集合はかなり特殊な圏なので，あとで，
やっぱり，Free Construction とかその他の関手の随伴を見る必要はあると
思いますが，やはり，身近な例が増えるのは頼もしい）．

私自身は，awodeyは，ずっと６，７割の理解で進んでいるので，そろそろ
破綻して最初から読み直しのような気がしますが．

>>506
ついでに．
youtubeでcategory theoryと検索したら
Category Theory Foundations, Lecture 1
という米国の講義らしい映像が出てきて，えらく横幅の広い見○しい
講師が説明しているなと思ったら，Category Theoryの著者の
Awodey先生でした．

フリーであんな良い教材を公開してもらっているのに，youtubeを見て
心の中で「○タ」と思って済みませんでした．しかし，あの講義は
ちょっと進み方が早すぎじゃないかと思います．

>>506 >>501
やっと、圏論について自分と同じような進度の人が現れてうれしいですｗ
（私の場合は、Awodeyを１、２割の理解で進んでいるので同じとは言えませんが）
この後も是非ここに出没ｗしてほしいと思います。

さっそく少し質問させてください。
>数学を専門にやっていない人（例えば，計算機屋さん）は
圏論は計算機科学にとって有効であるという感触はあなたには既にありますか？
私にはそんな感触は今の所全くないのですが。

>今，AwodeyのCategory Theoryの米田のレンマとadjointあたりを読んでいる
米田のレンマはどう理解されましたか？

>>508

> 圏論は計算機科学にとって有効であるという感触はあなたには既にありますか？
> 私にはそんな感触は今の所全くないのですが。

計算機科学もいろいろありますからね．例えば，
　A taste of category theory for computer scientists
　by Benjamin C. Pierce. Carnegie Mellon University
　（pdf は上記のタイトルと著者でぐぐってください）
の43ページからCase Studiesという章で計算機への応用が
少し書かれています．また，少し古いですが，Arbibの
　Arrows, Structures, and Functors
にはオートマトンの圏を考えて，その最小構成を見つける問題が
説明されています．こちらはpdfでは公開されていないと思いますが
別の人（日本人が日本語で）解説したものをPDFで公開していたように
思います（オートマトン 圏論 epi mono 順序機械の最小実現
くらいでぐぐってみてください）．

私も，そんなに明確に有効であるという実感はありませんが，「手段として
使えたらいいな」くらいの気持ちで勉強しています．たぶん，あれですよ．あれ．
きっと，あなたがこれから力強く応用を切り開いていって，ゆるぎない有用性を
確立していくんですよ．うん，頑張ってください．

> 米田のレンマはどう理解されましたか？

だれかも書いていましたが，今のところ，抽象的な一般の圏を
集合の圏の中に埋め込む手段というのが１つの使い道かなと思います．
集合は一般の圏と違って，要素を考えることができて，集合間の
等式を，要素の一致で調べることができるので楽なんじゃないかと
思います．それ以上のことは分かりませんです．

明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。

太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。

>>509
レスポンスありがとうございます。

圏論の有効性、米田のレンマについてもほぼ今の私の理解と同じでした。
よかった？ｗ

Pirceの書く計算機への応用はそんなにたいしたものではないようですね？

その他、ガロア接続と自由ー忘却随伴との関係，随伴の重要性などに
ついても、そのうちあなたのご理解を聞かせてください。

>>511
> その他、ガロア接続と自由ー忘却随伴との関係，随伴の重要性などに
> ついても、そのうちあなたのご理解を聞かせてください。

いえいえ，あなたのご理解をお聞かせください．
私も独学で寂しいので．

随伴とは逆(の一般化、pseudo-inverse、準逆)のことだというのは
どのくらい意味のある言い換えなのでしょうか？
逆は勿論いろんな所に現れるでしょうが、準逆がどうして「あらゆるところ
に現れる」のでしょうか？
随伴（準逆）があることと極限の保存とはどう関係するのでしょうか？
そもそも極限が保存されるというのはどんな意味があるのですか？
>The Galois connection between syntax and semantics
Lawvereの言うsyntaxとsemanticsの随伴性って、こんなに紙面を使わなくても
自明だと思うし、それほど深い意義があるとは思えないのですが、
どんなものでしょうか？

>>513
>>The Galois connection between syntax and semantics
> Lawvereの言うsyntaxとsemanticsの随伴性って、こんなに紙面を使わなくても
> 自明だと思うし、それほど深い意義があるとは思えないのですが、
> どんなものでしょうか？

ここは私（>>506）に言っていると思うので答えておきますね．あと，
もう，Lawvereの解説は読まれたということですね．ただ，あれだけの
紙面と言われても，33ページのうち，2/3は初心者への基礎を親切に
述べているだけなので正味10ページ弱かと思います．

内容については，確かに，満たすべき公理が増えれば，それを満足するモデルは
減るという関係を言っている訳ですから，当たり前といえば当たり前ですが，私は
　・Syntax(公理系)とSemantics(モデル)の関係が，その他のrelationを
　　使ったGalois接続と同じ原理で説明されたのは新鮮だった
　・Galois接続の双方向の写像を合成すると閉包作用素とカーネル作用素が
　　でき，公理系に対して閉包作用素を作用させることでもとの公理系から
　　導かれる閉じた理論ができること，その他雑多なことを統一的な原理で
　　捉えることができるようになった
ことは有益だったと思います．「深い意義」があったかというと，深さの
捉え方は人それぞれなので，私にとってはある程度意義はあったという
ことです．

>>514
こんなに早く答えをいただきありがとうございます。
おっしゃることは分りました。そうだと思います。
ただ私は、圏論には或る種の期待をもっています。
一方、syntaxとsemanticsの間の関係についてもいろいろ考えることが
あると思っています。
そういう観点で見ると、今回のLawvereのようにsyntaxとsemanticsの間の
関係を半順序関係だけを基に見ていても余り面白い知見は得られないのでは
ないか?　圏論ってそういうものなの?　と思ったのでした。

>>515
> そういう観点で見ると、今回のLawvereのようにsyntaxとsemanticsの間の
> 関係を半順序関係だけを基に見ていても余り面白い知見は得られないのでは
> ないか?　圏論ってそういうものなの?　と思ったのでした。

あれは圏論一般の随伴というよりはガロア接続の応用と言ったほうが
良いと思います．オブジェクト間の矢が高々１つというのはかなり
特殊なので．で，私がこれを上げたのは，圏論一般に言えることなんですが
習得の容易さは，その人にとって生き生きとした例を多く持っていることに
寄るので，随伴の例の特殊な例ではあるけど，各自のストックに加えておくと
良いよということです．Free monoid とかの他に．

また，Lawvereのは主にsyntaxとsemanticsの見方だけでしたが，関係（relation）から
ガロア接続を作るテクニックは Formal Concept Analysis なんかに使われていて
圏論からは離れるかもしれませんが，計算機応用を持っている分野なので，見聞を
広めるには良いですよ．

>>516
>その人にとって生き生きとした例を多く持っていること
はい。その大切さはよく分かるつもりです。
ただ、随伴をはじめとする圏論における概念には、たくさんの例を見ないと
なかなかその意味が感じ取れないものが多いのが、逆に不思議でもあります。
なぜなのでしょうね?　例を使わなくてもその意味を説明することは
できないのでしょうか?

>あれは圏論一般の随伴というよりはガロア接続の応用と言ったほうが
>良いと思います．
ということは、Lawvereにとって、あれ（syntaxとsemanticsの随伴性)自体は
やっぱり、特別主張したい知見ではなく、単に練習問題の題材だったということ
でしょうか?

>>518
> ということは、Lawvereにとって、あれ（syntaxとsemanticsの随伴性)自体は

え？　あの文献は圏論の随伴関手のことを言っているのではなく，ガロア接続の
ことを言っているのではないのですか？　広くは認識されていなけど，syntaxと
semanticsの関係はガロア接続になっているよという啓蒙のためのドキュメントでは．

>>518
もしかしたら前のほうの書き込みで勘違いさせたかもしれない．
Galois connection (Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
の最後のほうの記述(Syntax and semantics)からたどると，
>>519 のように読めるの．

>>513
前半部分に突っ込むと泥沼になりそうな気がするので，
> 逆は勿論いろんな所に現れるでしょうが、準逆がどうして「あらゆるところ
> に現れる」のでしょうか？
ここだけ．「逆」がinverseがあるという意味だったら，同型射があるという
意味だから，現れるのは極めて稀になります．しかも，同型は人間にとっては，
要素の名前を置き換えたくらいの違いしかないもの同士ですから，よっぽど
見え方が違って，でも，実は同型だったというときくらいしか有り難味は
ないわけです．したがって，同型ほど同じではないけど，片一方の圏の議論を
もう片一方の圏に持ち込めるくらいのカプリングを探すということでしょう．
そのカプリングもいろいろあるでしょうが，随伴で定義されるカプリングを
考えてみると世の中にあるいろいろなカプリングが現れてくるよと「掴み」を
書いておいて，あとは「読め」ということなのかと思います．私はまだあまり
読んでないので，これから「読む」ということです．たぶん，読まずに議論しても
空回りなだけかと思いますので．ではでは．

>>521
>見え方が違って，でも，実は同型だったというときくらいしか有り難味は
>ないわけです．したがって，同型ほど同じではないけど，片一方の圏の議論を
>もう片一方の圏に持ち込めるくらいのカプリングを探すということでしょう．
これは、やはり、と納得です。

>>513
随伴の中でも特にreflection(忘却関手の左手随伴)を考えるといいんじゃないでしょうか。
これは弱い概念から強い概念への普遍的な射を与えることになります。
たとえば群の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴(unit)は、集合XからXを生成系とする自由群への自然な写像です。
あと、sheafificationもreflectionの例です。

>>523
コメントありがとうございます。
>随伴の中でも特にreflection(忘却関手の左手随伴)を考えるといい
これは513のどの部分に対するコメントなのでしょうか?それとも「全部」に対する?
要するに、例を見てみよということでしょうか？
>群の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴(unit)は、集合XからXを生成系とする自由群への自然な写像です。
それも知っているつもりなのですが。（sheafificationは知りませんでしたが）

517にも書いたように、随伴をはじめとする圏論における概念には、
たくさんの例を見ないと（見ても）その意味が感じ取れないものが多いのが、
不思議でもあります。なぜなのでしょうか?　
例を使わなくてもその意味を説明することはできないのでしょうか?

>>523
>群の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴(unit)は、集合XからXを生成系とする自由群への自然な写像です。
「随伴＝２つの圏の間の最も自然な関手の対」という定義なら、
まさに自然でハッピーなのですが、そうでもないですよね？

随伴は二つの関手の間の関係なので、二つの圏の間に自然に随伴が現れるとは言いにくいですね。
ただ、ある圏とその部分圏なら上で言ったようにreflection/coreflectionという自然な随伴が考えられますが。
随伴行列の意味が一見よく分からないのと同じで、意味を説明するのは難しいです。
ある関手が左随伴/右随伴を持てば良い性質を持つこととか、随伴の例は無数にあること位しか言えないです。
ところで随伴行列の意味は何か考えておられるのでしょうか。私はこれも同じくらい意味を与えるのは難しいと思います。

>>526
>随伴は二つの関手の間の関係なので、二つの圏の間に自然に随伴が現れるとは言いにくいですね。
そうですよね。でも、自由対忘却の場合は、「二つの圏の間に自然に随伴が現れる」ケースかな
と思うので、他の場合もなんとか頑張れないものかなという未練はありますねｗ
>随伴行列の意味が一見よく分からないのと同じで、意味を説明するのは難しいです。
随伴行列の場合は、(A*)* = A という「準逆（逆の一般化）」として
説明することはできませんか？ 無理筋でしょうか？ｗ

>>526
>随伴は二つの関手の間の関係なので、二つの圏の間に自然に随伴が現れるとは言いにくいですね。
随伴は二つの関手の間の関係ですが、その関手達は二つの圏に依存するので、
二つの圏の間から自然に随伴が現れる、というのもあながち無理なことではないのでは
ないでしょうか??

>>526
>ただ、ある圏とその部分圏なら上で言ったようにreflection/coreflectionという自然な随伴が考えられますが。
ここ教えてください。
集合の圏は群の圏の部分圏ではありませんね？
ということは、部分圏でなくても自然な随伴があり得るということですね?

>>529
すみません、reflectionは部分圏の埋め込み関手の左随伴のことなので自由群の場合は例になってませんでした。
自由群は単に忘却関手の左随伴です。
どちらにしても、2つの圏の間の自然な関手(構造・条件を弱める関手)が与えられているので、
その随伴として自然な逆向きの関手が現れると言えます。

>>530
わかりました。ありがとうございます。
「2つの圏の間の自然な関手」、「自然な逆向きの関手」が今の私には
興味深いです。

>>531
圏論って当たり前のことを持って回って言ってるだけなので
君みたいにあまり真面目に考え詰めないほのがいいよ

私も真面目な初心者なのですが（笑）
圏論と論理学はどういう関係なのでしょうか
圏論と集合論はどういう関係なのでしょうか
圏論は、論理学や集合論ではできないどういうことができるのでしょうか？
是非教えて下さい。参考文献でもよいです

>>532
>圏論って当たり前のことを持って回って言ってるだけ

その辺を理解せずに(してないから)圏論に魅力を感じてる素人って多いんだよな
まあ院でも、高次圏論とかについては似たようなことが起きてはいるが

その当たり前のことを圏論の学者
（Mac LaneとかAwodeyとかLawvereとか）はどうして重大なことのように言うの？
どうしてGrothendieck以後の代数幾何学者や位相幾何学者は
「持って回った」圏論をハードに使ったりするの？

圏論の定理の証明能力が高いからじゃないかと思うんだが。

>>533
どっちかというと圏論と論理学は関連分野と言う感じで、
圏的論理categorical logicという分野もあるし、純粋な圏論が論理学の一分野みたいにみなされたりもする

圏論は当たり前のことしか言ってないというのはその通りだけど、
圏論的視点はとても重要だと思う。
記号代数学が数学的に新しいことを含んでなくても重要なのと同じ。

>>535 >>536

>圏論の定理の証明能力が高いからじゃないかと思うんだが。
>圏論的視点はとても重要だと思う。

そこの所をもう少し明示的に説明してもらえませんか？
証明能力の高さとは？
圏論のどこが証明能力の高さを生むのか？
圏論的視点とは？

>圏論と論理学は関連分野と言う感じで、

論理学ではできないどんなことが圏論ではできるのですか？
やりかたの違いだけなら圏論はいらないとも言えるので

>記号代数学が数学的に新しいことを含んでなくても重要なのと同じ。

記号代数学の効果は分りやすいですが

>>537
＞圏論的視点とは？
たとえば元々加群に対して展開されたホモロジー代数を
アーベル圏についての理論と見なすこととか。
これによって理論の適用範囲が広がる。

>>537の「論理学」というのが何を表してるのか分からん
記号論理学？

関連分野だ、というだけで似た分野だとか似た問題を扱うということは何も言っていない
やり方の違いも何も圏はモノイドや半順序（poset）の一般化みたいなもので、
記号論理とは全然別物。
「論理学では扱えないどんなことを微分積分では扱えるの？」
と同じで、寧ろ同じことを違うやり方でやっていると考えることの方が難しい

>>539
>圏はモノイドや半順序（poset）の一般化みたいなもので
これは、初心者から見ても、あまりにマニアックな捉え方に見えます。
ほんとにそうなら使い道はほとんどなさそうです。
先に名前が出ていたLawvereなども同じ捉え方なのでしょうか？

>>538
なるほど。
そういう圏論の効果的用例集？のようなものはどこかにありますか？
随伴にしても、随伴の例はあっても、随伴を使ってどんなことができるか
について書いたものはあまり見かけません。

重要だ重要だという割には、大きく応用されてるのは
プログラミング言語の意味論と
代数位相幾何（やその影響を受けた代数幾何）くらいだよね、実際。

「使い道はほとんど無い」は言い過ぎだけど。

あ、ホモロジー代数忘れてた。
まあ代数位相幾何の隣にあるくらいの分野だけど。

ジェネラルナンセンスによってブルバキを死に追いやったんじゃよ

プログラミング言語の意味論への用途ならオレも少し分かるが、
そんなのだけなら使い道が無いと言うのに等し

当たり前に見えるものをきちんと調べてみたら結構面白かった、ってのが圏論だと思ってた。

>>546
それならよいとオレも思う。
結構多くはそれを期待していたと思う。
しかし実態はそうじゃないだろ？

圏論の計算機科学への応用の可能性については、関西の研究所でかなり大きな
実験が行われた筈だが、その総括は？

先生がた！　質問があります．Ч(・_・)

データベースの EquiJoin は Sets の Pullback で表現できると
思うのですが，等号でなく一般の関係のJoin は Pullback の類，
あるいは何らかの極限，余極限で表現できるのでしょうか？

詳しく言うと，Setsで，f:A->C, g:B->C があったとき
　　EqJoin((A, f), (B, g)) = {(a, b)⊆A×B | f(a) = g(b)}
は，f:A->C, g:B->C のPullback と同型だと思いますが，
　　LessEqJoin((A, f), (B, g)) = {(a, b)⊆A×B | f(a) <= g(b)}
は，Sets あるいは，それに構造を入れた何らかの圏の中の概念で
表せるでしょうか？　さらにもっと一般に R をC上の２項関係と
したとき，
　　Join((A, f), (B, g), R) = {(a, b)⊆A×B | f(a) R g(b)}
は圏の何らかの概念で表されるでしょうか？　これらの構成物は，
EquiJoinの拡張で，EquiJoinがPullbackで表現できるので，
Pullbackに近い概念で表されてくれると嬉しいのですが．

計算機屋さんとしては，もし，これが表現できるなら，「えっ，
Joinが圏で表されるの？　案外．圏も役に立つんじゃないの」と
いう気持ちになるので．よろしくお願いします．

>>549
追伸．

ここでは簡単のために f:A->C, g:B->Cとしましたが，
一般的には Ta⊆A×C, Tb⊆B×Cでの２つのテーブルを
対象にするので，関数でなく関係を扱いますが，とりあえず，
単純化して質問しました．

＞ f:A->C, g:B->C のPullback と同型だと思いますが

まずここがおかしくないかな？

Cが1点しかない集合のときは、pullbackはもっととても小さな集合になるはず
このとき {(a, b)⊆A×B | f(a) = g(b)} は直積と同じだから大きすぎる。

>>551
そこは間違ってないと思う．

例の，直積とイコライザがあれば極限があるという定理から，
f:A->C, g:B->Cの図式の極限たるプルバックは，πA, πBをA×Bから
それぞれA, Bへの射影として，f・πA : A×B->C と g・πB : A×B->C の
イコライザになり，イコライザは二つの関数が一致する最大領域なので
この場合，直積A×Bと一致するはず．

>>551

EquiJoin が pullback になるというのは僕が勝手に考えたことでなくて
wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_%28category_theory%29
で見た記憶があったんだけど，今，見たら
　　See also
　　　　Equijoin in relational algebra.
としか書いてなかった．データベースの曖昧に見える概念と圏論の
厳密な定義を同様に扱うのを嫌ったのか，あるいは，僕の単なる勘違いか．
でも，現在の wikipedia のSetsの説明から，EquiJoinと関連があるではあります．

>>553 の続き

で，= から <= や一般の関係に拡張するとき感じる困難は主に２つ
あります（関連しているようにも思えますが）．

（１）f(a)=g(b) はA, Bそれぞれ，f と g を個別に計算すれば，
　　　あとは，=はpullbackの定義の中に予め組み込まれているから
　　　よいのに対して，f(a)<=g(b) は，A×Bの中の関係なので，
　　　A, B 別々には計算できない．それでAとBから出発する射の
　　　pullback で表しにくい．
（２）圏Setsに関係 <= や R の概念が入っていないので，それらを
　　　表現するための工夫が必要になる．関数で模擬するか，あるいは，
　　　Setsに順序や関係などの構造を加えた圏を考えて議論するか．
ということで，やり方がわかるか，あるいは，できないのか，ご存知の方が
いらっしゃったら教えてください（「できない」は「pullback-likeなもので
表現」という問いが曖昧なので，なにか適当な設定が必要とは思いますが）．

よろしくお願いします．

>>553
> でも，現在の wikipedia のSetsの説明から，EquiJoinと関連があるではあります．
おお！　日本語になってなかった．

-> EquiJoinと関連がありそうではあります．

>>549
もう少し考えたことを書いておきますね．表現したい集合
　D = LessEqJoin((A, f), (B, g)) = {(a, b)⊆A×B | f(a) <= g(b)}
は，
　φ : A×B -> {false, true}
　　　where φ = λ(a, b).(a <= b)　　　　ラムだ計算の記法
と定義すると，{true} のφの逆像になるので，
　　φ : A×B -> {false, true}
　　　　と
　　inclusion : {true} -> {false, true}
のプルバックにはなっていると思うのですが，これではAとBは最初から
A×Bとして組み合わされており，別々のものを組み合わせてジョインを
作るという仕掛けが説明されておらず，面白くないので，組合せの仕掛けが
分かるような構成の仕方はないかなと思っております．

>>549
>計算機屋さんとしては，もし，これが表現できるなら，「えっ，
>Joinが圏で表されるの？　案外．圏も役に立つんじゃないの」と
>いう気持ちになるので．
そんなことはないｗ
圏論の内部で、圏論ぽい計算が少しできるようになって、
それで何が見えてくると思うかい？

圏論オワタナ

圏論死んだ

圏論が難しく見える所は、すごい所なんじゃなくて、あほらしいほどレベルが低い所なんだよん
ジョインｗプルバックｗ

そういや昔、圏とderi cat、ってアメリカ人いたよな

>>560
よく言われることだし僕もたまにそういう言い方していたけど
なかなか伝わりにくいね．

普段の記号や言葉使いで埋もれてしまいがちな
操作を明確にすることで形式化し，形式化することで
色々な構造の関係を見やすくする，みたいな説明はどうかなぁと
最近は考えてる．

>>562
>操作を明確にすることで形式化し，形式化することで
>色々な構造の関係を見やすくする
そうなってる具体例があるかい？

>>563
例えば層とか．圏の言葉を使わないと， 前層の定義って
「A⊆Bとなる開集合A,Bに対して写像 \pi_A^B があって…」
みたいになんとなくすっきりしない．圏の言葉を使えば
位相空間Xの開集合を射とし，開集合たちの包含関係を射とする圏
（この場合には Hom(A,B)が単元集合になる）からの，別の圏たとえば
AbelだとかRngだとかへの関手として簡単にまとめられる．
類似の数学的な対象との比較や類推もしやすくなる．

俺も実を言うと圏論の良さがわからないほうなんだけどさ。
圏論を使って、数学上の新しい発見などあり得るわけがない、って感じで。

でもまあ、理論物理学で言えば、古典力学に対するハミルトンヤコビの理論みたいな位置付けになるかもしれないよね。
古典力学を、ラグランジュ、ハミルトンたちが解析力学にまで抽象化しておいたお陰で、
いざ量子力学が登場しなければならない局面になって、すんなりと解析力学の形式を使って定式化できた、みたいな。

だから、そのうち、有り難く思える時が来るかもしれない。

具体的な圏の例が豊富なのはどの本だろう。哲学への応用例があればもっといいんだけど

>>566
なんといっても CWM, つまり
■Categories for Working Mathematician
は例が豊富．ただしCWMは最低でも可換環論や群論や位相空間論を，数学科の二年生ぐらいまでの
レベルまで学んでいないと読めるところが少なくて厳しい．

コンピュータサイエンス向けに Benjamin C. Pierce が
■Basic Category Theory for Computer Scientists
を書いている．ただし程度は低い．CS向けと断っているが要するにD.Scottによる
ラムダ計算のモデルを圏論的に理解するためのショートコースという意味合いが強い．

圏論と論理の関係を説明した本として Robert Goldblatt
■Topoi : the categorial analysis of logic
が知られている．500ｐ超というボリュームの割に内容は深くない．
なぜこんなことを考えるのかみたいな話をくだくだ書いてある箇所もあり
各所の証明がキビキビしていないなど色々だらしないが例はそこそこ豊富．

清水さんの本は読んでない（読めなかった）ので挙げない．正直何言ってるのか
わからんかった．

MacLane & Moerdijk のSGL つまり
■Sheaves on Geometry and Logic
は理論を展開する上でトポスの色々なモデルを扱ってるので論理との関連で
圏に興味を持ってる人には向いてるかもしれないがMacLaneの哲学的な
指向にも関わらずスタイルはかなり技術的．

圏の例ならごろごろ転がってるが、圏論の有効な適用例はほとんどない。
哲学への応用例など皆無じゃないの？
そういえば、つまらんシリトリの例をもちだす輩もいたが、ありゃだめやろｗ

哲学への応用ってのは相手に分からんことを言って誤摩化すだけでしょ

>>566
哲学の応用例って、たとえばどんなことを期待してる？

>>568
圏論以外の、たとえば集合論とか群論とかの哲学への応用例はあるの?
どんなのがあるの？

哲学は下位の学問から方法を借りることはできない、とヘーゲルは言っている。

>>571
>圏論以外の、たとえば集合論とか群論とか
これらは同じクラスのものなのね？どういうクラス？

クラスとは何？
どうして同じクラスと思った？
そして哲学への数学の応用例は？

だって比べているんだから同じクラスのものでしょ

はっｗ

なにがはっｗだｗ

>>568
哲学への有用な応用なら皆無だけど数学的には，位相をめぐる混乱した
状況を整備するのに大変役に立った．

元々距離空間から「連続性の議論」を論じるための抽象化として得られた
位相空間が，そのような幾何的直観とかけ離れた代数幾何学における
Zariski位相などのような変な表れ方をすることがあり，まるで秩序の世界
に無秩序の象徴が雪崩れ込んでくるような悪夢だったのが，圏論の言葉で
整備することにより　

　代数　位相　論理

の明瞭な架け橋を論じられるようになった．この結果，幾つかの「人工的な位相」は
最近の教科書では綺麗な形で整理され，より理解しやすくなっている．

>>567
ありがとございます。清水さんの本だけ持っていたｗ
そのへんざっとみたうえで検討します。
>>570
なにをやっている人か知らんけど森田真生の「哲学者のための圏論入門」なんていうpdfを拾ったものでｗ

数学科二年生レベルの可換環論って何

>>580
アティヤ-マクドナルド

森田真生のは圏論の専門家にメールでかなり厳しいダメ出しを食らったらしいことを（脚注にこっそりと）追記しつつ未だに公開し続ける神経が太いと思った

まあ公開すること自体は別にいいんだけど「入門」といまだ銘打つことにご本人は呵責を感じないのだろうかって意味ね

>>580
■堀田良之　代数入門―群と加群
の前半で可換環とか加群とかの基礎を学べば十分です．
手元にあったのでこの本の名を挙げましたが理工系の
代数の授業で使われる2-3年生向けの本ならどれも
あまり変わらないかも．


アティア＆マクドナルド　は理想的ですがどっちかというと代数幾何を
勉強するための本で，内容はそれなりに高度というか代数幾何の
本を眺めながらでないとモチベが持たないでしょう．

>>582 >>583
オレは森田さんの「入門」を評価するね。というかありがたい講義だと思ってる。
専門家という人の指摘も、入門者にとっては何の意味もないと思うよ。細かい話だろう。
そんなに言うなら「専門家」がよい入門書を早く書いてくれよ。だれも書けないと思うが。

>>585
大体同意するが、専門家でない人が書く入門書はいわゆる「門前書」になってしまいがちである。
突っ込んで勉強するときの助けにはならない。

>>585
純粋な圏の話ならCWMの他にも前述した　Pierce の本や Awody の本もある．

森田さんを批判した丸山さんは，数セミの「圏論の歩き方」をオーガナイズした
一人らしいし，彼なりに数学的に健全な圏論の普及に努力してるとは思う．

圏論の哲学的な応用だけど，まあMacLaneが哲学かぶれなんで範疇論から
カテゴリーと名づけたけど，Toposまで行けばまさに高階タイプ理論との
自然な結びつきがあり，まさに「全てについての全ての性質」を，述べるための
舞台として圏論に注目するというのはアリだとは思う．

しかしながら，圏だとかトポスだとかがすでに数学とは何か？理論とは何か？
ということを熟考した先達の思考の結晶であり，「出来上がった哲学」だとも言える．

一体世の中の哲学者の野望というのは，既存の哲学ではええいこれが足りない
ここが論じ足りない我こそはその先鞭をつけたものなりと言いたいというものであり
そうでないならば哲学者ではなく解説者だ．

そういう意味で，圏論やトポスが持つ哲学的な像というのは，ある意味終ってるし，
頑張って勉強しても「解説者」止まりかもしれないぜとだけ警告しておく．

解説者でない哲学者っているの？

ほとんどの哲学者は解説すら出来ない
なぜなら、自分が何をしゃべってるのか理解できないからだ

>>589
圏論専門家がドンピシャそれだな

>>586
>突っ込んで勉強するときの助けにはならない。
いまの圏論はそれ以前の、「勉強すべきかどうか（勉強したらどうなるのか）」が
分からない（誰も言えない）状況だと思うのだが。

>>587
>彼なりに数学的に健全な圏論の普及に努力してるとは思う．
そのつもりだろうが、もっと頑張らんといかんな
>Toposまで行けば
Toposからがスタート
>しかしながら，圏だとかトポスだとかがすでに数学とは何か？理論とは何か？
>ということを熟考した先達の思考の結晶であり，「出来上がった哲学」だとも言える．
もしそうなら、ここもっと詳しく。
俺には、「無哲学で全く出来上がっていない試論」に見えているので。
>一体世の中の哲学者の野望というのは，既存の哲学ではええいこれが足りない
>ここが論じ足りない我こそはその先鞭をつけたものなりと言いたいというものであり
ここは同意。そういう哲学者を待望するが、しかし今そんな哲学者いる？
いたら教えてほしい

>>591
> いまの圏論はそれ以前の、「勉強すべきかどうか（勉強したらどうなるのか）」が
> 分からない（誰も言えない）状況だと思うのだが。

そうそう。
みんな、まずそれを知りたいんだよね。

向井フーリエ変換とか勉強すれば有用性がわかるのかな。
本末転倒のような気もするが。

>向井フーリエ変換
なにを突然？

宇宙際フーリエ変換ってなかった？

>>594
導来圏という圏論の概念を使った数学の有用な理論らしい。

宇宙際メリン変換だっけか？

>>591
哲学と言っても色々だけど，圏論の中の哲学なんてものがあるとしたら
フレーゲだとか Principia Mathematica の著者の一人のラッセルなんかが
論じたようなものが近い．

あまり数学者は話題にしないが圏論の名前が範疇論にあやかって付けられている
ことから，「何かを分類する」ことについての問題意識があることはわかると思う．

フレーゲに話を戻すと，解析学を展開するにあたって実数のような厄介なものを
どうやったらうまく，つまり論争好きな哲学者の厳しい審査に耐えられるほどの
厳密性を持って論じられるか？ということが問題になったわけです．
「です」とか言い切ってしまいますが私は分析哲学なんかの専門家じゃないし
その辺は我流の偏った理解だろうから適当に割り引いて読んでください．

論証による数学の模範例としては長い間ユークリッド幾何学が知られていましたが
ガウス，ボヤイ，サッケーリとかいろんな人が調べて「誰をも納得させる」とは
言いがたい箇所が見つかってきたという時代背景もあったと思います．

数学で問題になるのは「全ての〜」だとか「〜という性質のものが存在して」のような
一種超越的な言明が，多くの場合必要で，ギリシャ時代の論理のような命題論理
ではなく命題が「変数となって動く場合」をどう論じるかとか，そのような強力な
論理体系は一体どのようにして正当性を保証されるかといったことがフレーゲだとか
ラッセルの問題意識だったと思います．「問題である」というほどに厄介な理由は，
カントールがやったような無制限な外延の方法は直ちに矛盾するからです．

続きます

>>598
続きです．

その後，ご存知のようにゲーデルが現れ，このような「論理体系を厳密に作れば
全ての数学を疑義なく論じられる」という信念自体に疑問が投げかけられるように
なりました．この辺のショックについては面倒だし，僕もなんか書くとボロがでそう
なんでやめておきます．

それはさておき，後になってみると矛盾が生じないようにするためのラッセルの工夫
なんかが面白く，後のツェルメロによる集合の階層なんかもこれの影響なんでしょうが，
「すべて」を段階的に，階層的に作っていくわけです．そして，全称（全ての〜）だとかの
話を一個前までの階層についてだけ述べるようにすると矛盾が生じなくなるとか
そんなことを一所懸命やろうとしてました．

数学が矛盾するかどうかさておいて，あとから眺めてみると「全ての概念」のようなものを
どのように扱うか，または「全ての概念」はどのように互いに関連し秩序付けられているか
という信念の表明だともみなせますね，これは．

そのように考えると，ラッセルのタイプ理論なんかは「論理主義的に範疇論を再構築しようとした」
とみなせるわけです．他の人がそうみなしてるかどうかは知りませんが．

現在はラッセルのタイプ理論そのものはゴミ箱で腐っており，もっとモダンなものが扱われていますが
Curry-Howard-Lambek による高階タイプ理論と計算と証明の関係を考えれば，「概念は計算である」
という哲学を導き出すことすら可能でしょう．

さて，朝ごはんたべて出かけるのでこれで．

ちょっとかじっただけの人の文章だね

>>598 >>599
レスありがとう。
一応全部読ませてもらったけど、そうだね…
>哲学と言っても色々だけど，圏論の中の哲学なんてものがあるとしたら
>フレーゲだとか Principia Mathematica の著者の一人のラッセルなんかが
>論じたようなものが近い．
論理や集合論にはそういう哲学がはっきりあって、その動機や意図はよく分かる。
いっぽう圏論の場合はそういう哲学はないんじゃないかな？
あるとしても論理の哲学とは相当違うようだ（逆に違わないと存在理由もないだろうし）

圏論とFregeやRusselとの関連を強調するのはちょっと不適切じゃないかと思うけど。

論理学の説明としては正しいし、Mac Laneが論理学の研究者として
キャリアをスタートしたのも事実だけど、
圏論の哲学は（特に位相幾何関連の分野で）役に立てば良い、
というような感じでもっとpragmaticな感じだと思う。

Bourbakiの構造主義からHilbert的な基礎付け主義を
無矛盾性や存在保証のようなことについてはアウトソーシングして
構造そのものだけに焦点を定めたような感じ。
Hilbertの幾何学基礎論とかは構造主義の嚆矢と言えないこともないから
そこらへんちょっと複雑だけどね。

cf. 「圏論と構造主義」
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/51910/1/002_FUKAYAMA.pdf

まさか圏論の哲学は構造主義だと言うんじゃないだろな？
圏論推進者達どうなのよ

>>601

＞論理や集合論にはそういう哲学がはっきりあって、その動機や意図はよく分かる。
＞いっぽう圏論の場合はそういう哲学はないんじゃないかな？

ここがちょっとわからないです．僕は趣味で数学をやっていて哲学の方はパトナムと
かじり読みした程度でよくわからないのだけど，集合論や数学の基礎づけに哲学者
が関心を持つ理由というのは，それ自体の興味深さというよりは，「ある論述の体系
が数学全体をその上で展開できる程に豊かである」という事を言いたいからなのではないですか？

集合論という目鼻もない混沌とした理論に対して，ツェルメロが漠然と提案したモデルは
その後明確に切りだされて累積的階層モデルとしてテクニカルにも重要になりましたが，
「集合論宇宙の段階的創造」としてのこのモデルは何より「集合論は信じて良さそうなものだ」
と思わせる役割があったと思います．つまり「内的宇宙すべて」が集合論の上に載りそうか
どうかという話であり，（内的）宇宙図，宇宙論だと思うわけです．僕が「集合論の哲学」といったときに
思い浮かべているのは，そういう人間のあらゆる理性的思考がその上にモデル化，シミュレートできるような
内的宇宙の構造を述べるというものであり，その意味では圏論，とくに「全ての圏からなる圏」
などの扱いが漠然と示唆する「無限に入れ子になった宇宙」のようなものが圏論の背景にある
哲学なのだと思います．

集合論的な哲学が，集合論の実際の展開を通じて発展していったのと同様に，
圏論の哲学というのも，テクニカルな面に刺激されながら，現在成長発展していってるのだと思います．

特に，トポスと高階型理論の関係を考えると，遠回りしつつも圏論は型理論を含むかのように
発展していっていると思います．

（続く）

>>604
（続き）

自分の理解では，ラッセルのタイプ理論がゴミ箱で腐るようになったのは「還元」が難しいからです．
異なる名をもつタイプを同一視するというのは整合性がなければならず，結局圏論ではこれを
図式で扱っているのだと思います．

図式の可換性は，二つの異なる経路を通じて得られた対象が「実は同じ」であることを，他の対象と
整合するように定めているもので，このような「周囲への影響」まで考慮されているところがラッセルと
違うところです．

ある対象を得るために2回以上の操作が必要になる場合，たとえば操作F,Gを最初に「合成してから」Xに適用して
(F○G) X
を考えるか，「最初にGを適用してしまってから」Fを適用して
　　　F ( G X)
を考えるかは，F○G　の定義によっては自明ではありませんし，この両者が一致する場合には広い意味で結合法則
が成り立つと言えます．実のところ，複雑に組み上げられた複合概念の塔たちが一致するかどうかというのも
適切な圏を用意して論じればほとんどが「結合法則の有無」に還元でき，その意味で，結合法則が成り立つかどうか
つまり（圏論的な意味での）モノイドであることが重要になります．

このようにして，複雑な概念の分解や「異なる名前を持つが一致する概念」をモノイドの議論に還元して，
Mac Lane は「範疇論」を現代に蘇らせ，同時にラッセルが付き当たった壁も超えたと思うわけです．

>>603
私の理解では，構造主義というのはブルバキズムが変質して生じたヒルコであり，
独自の生命を持たず，哲学として扱うに値しません．

>>602
Awody が哲学に興味持ってることは知りませんでした．ありがとうございます．

趣味で数学やってる勘違いしたおっさんてすぐ基礎論とか圏論にいくけど数学できてないからねあんた
工学系で和算とかの本書いてるやつと似てる

Awodey か．ずっと間違って覚えてた．

いやAwodey哲学科の教授だし

この圏論スレ。
「学問・文系」の「哲学」板に
まるまる移籍するべきだな。

数学板が平和になる。

トポスと高階型理論の関係を考えれば確かに圏論は
一種の範疇論をモダナイズしたものだとみなせて，
立派な哲学だと思うけどMac Lane は何度か大騒ぎして
数学者からdisられて懲りてると思うし，数学を離れて
思弁的になって自滅したラッセルなんかを見て，数学という
大地から理論を切り離さないようにするために機能的形式主義
みたいな事を言ってるんだと思うんですよ．

コスモロジーが哲学だとみなせるなら，そういう意味では
トポスと言うのは内的コスモロジーとして「すでに哲学だ」と思うわけ．

その辺を，過去の哲学者の発言をネッチリ調べながら
誰も読まない大学紀要にだらだら書くのが「哲学を本格的に学んだ人」
なんでしょうけど僕はそういうのに興味はないです．
そういうのを読んだり書いたりして自分が賢くなったような気になっても
変なくすりやって喜んでるのと同じくらい価値がないからです．

>>612
後半の「自分は凡百とは違う」みたいなのは要らない。

あと、「もし○○ならば、…」で…の部分で大それた事をいうレトリックは、保険をかけてる感じでいじましい。

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

>>612
>誰も読まない大学紀要にだらだら書くのが「哲学を本格的に学んだ人」
>なんでしょうけど僕はそういうのに興味はないです．
ここだけはまったく同感！
その前はあなたも同じくだらだらと哲学をって感じ

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

「圏論と構造主義」はいろいろ分からん所があった。
１．Awodeyによれば、圏論は構文不変とのことだが、そういう圏論自体
一つの構文をもってるんじゃないの？
２．自然数の定義のしかたをを圏論的定義と集合論的定義で比べてるんだが、
２つは、それこそ構造的には同じだよねう。分かりやすさはもちろん
集合論の方が分かりやすいし。
３．Awodeyの言うほど圏論のあの図式はたいしたものかね？

へんなのが湧いてきた

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

＞数学を離れて思弁的になって自滅
どういうこと？
ラッセルはもとから、ホイッタカーとかラムゼイとかのような
テクニカルな意味での数学者より哲学者に近い人だと思ってたんだけど違うの？

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

>>620
哲学者であったラッセルが数学を扱ったのは，既存の数学
全てがその上に載るほどの強度をもった論理体系をつくろうという
野心の表れだったと認識しています．したがって，彼の体系による
数学の十分な展開が失敗した時点で哲学としても立脚点を失います．
（数学を全く無視したとしても彼の論理体系は面白いという弁護を
することも出来るでしょうが，取り合いません）．

ラッセルが失敗したのは大きく分けて二つの点においてだと思います．

１．循環的な定義による矛盾を回避するためにあまりにも込み入った分岐型が
出現し，それらは，もし数学者が行うような解析学において適用された場合
に，「自然な言語」としては不適切なほど込み入っており，数学的な自然に合わせるために
還元の公理，つまり異なる型を同一視する規則を入れなければならなかった．
結局のところ込み入りすぎていて実用に耐えないので数学の基礎付として失敗だし
還元の公理の哲学的意味など論じたくてもない．

２．定義可能でないような集合，まあラッセルは集合とは言わなかったと思うけど
そのようなものを認めるかどうかにおいてラッセルのとった拒絶の態度はそれによって
生み出される数学そのものを障害児にしてしまいかねなかった．数学についての
まともな見識を持たない人が数学の基礎づけをしたなどと豪語してはいけません．

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

なんか圏論と全然関係ない気がするけど。

＞圏論の中の哲学なんてものがあるとしたら
＞フレーゲだとかラッセルなんかが論じたようなものが近い．
全然近くない。意味不明。

＞圏論の名前が範疇論にあやかって付けられていることから，
＞「何かを分類する」ことについての問題意識があることはわかる
カテゴリーという言葉だけでこんな議論するのはただのこじつけ。
同じことがBaireのカテゴリー定理の「カテゴリー」でも言えるわけ？

＞その辺は我流の偏った理解だろうから適当に割り引いて読んでください．
割り引いたら圏論に関係ある部分がほとんど残らないんだが。

あと、なんかラッセルが言ってもいないし思ってもいないことを
勝手に想像だけで憶測して、その億見に反論して、それを基に叩いて、
すごく不当な評価をしていると思う。
圏論に関係ない箇所で、滅茶苦茶な
偏った評価をしていると思う部分があるので他スレに
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1320576310/390

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

このところ圏論の哲学についての議論があったようだが
（M田、M山、ラッセル、マックレーン、アウディ、ヘルマン、構造主義などなど）、
勿論これで全てじゃないんだろうが、すぐ出てくるものとしては結局
この程度なんだねｗｗｗ　
哲学なんて難しいこと言わなくていいから、だれか言ってた
> 「勉強すべきかどうか（勉強したらどうなるのか）」
くらいに答えられないの？

圏論なんて用語の体系に過ぎないわけで、
圏論そのものに固有の価値があるわけではない。

> > 「勉強すべきかどうか（勉強したらどうなるのか）
必要なら勉強すればいいし、
必要でなくても興味があるなら勉強すればいい。
勉強したらどうなるのかは、その人によるから他人が答えることは出来ない。

こんなことを他人に訪ねるようでは人として全然駄目だよ。

>>627
そんな答えしかできない（問いの意味がわからない）のでは
まさに「人として全然駄目」かなｗｗｗ
全部トートロジーの答えじゃないか。
例えば、
>圏論なんて用語の体系に過ぎないわけで
これはほんとにそうかい？
その体系になにか意図はないのかい？
なんて…過ぎない、といえば、まあなんでもそうじゃないかい？

なんかあんたは、圏論を象徴してるようだなｗ

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

>>628
空疎な問いには空疎な回答が適切です。

もうええわ

>>631
「数学って勉強する価値あるんですか？」

>>627 >>632
全然読めてないな、キミらは。
> > 「勉強すべきかどうか（勉強したらどうなるのか）
というのは、平たい表現で哲学をきかれてるんだよ

哲学なんてないよ

基礎論とか圏論ってどうしてこうクズ哲臭くなるんだ？

それ以外の数学は哲学的批判の的になることが稀だからね

哲学みたいな言ったもん勝ち学問のことなんて相手にする必要ないよ

狸

>論理性が欠如していようがなんだろうが、芳雄は『後世に語り継がれる秀逸な結果』を残しただろうが
>なのに何が科学者の敵だ
>芳雄は過程はどうであれ結果を残した、お前は科学者をなめるんじゃない
>お前は芳雄を妨害して芳雄の研究成果に悪い影響を与えている、お前こそ研究者の敵だろうが
>今からでもいいから素直になって芳雄に謝ってこい、それぐらいはできるだろうが
>

圏論では某ぺぎおが酷いよね

>>635
逆に考えるんだ、それ以外の大部分の分野では
哲学者が一切五月蠅い口を出してこないから幸せだと

>>624
>＞圏論の中の哲学なんてものがあるとしたら
>＞フレーゲだとかラッセルなんかが論じたようなものが近い．
>全然近くない。意味不明。
>
>＞圏論の名前が範疇論にあやかって付けられていることから，
>＞「何かを分類する」ことについての問題意識があることはわかる
>カテゴリーという言葉だけでこんな議論するのはただのこじつけ。
>同じことがBaireのカテゴリー定理の「カテゴリー」でも言えるわけ？

範疇論というカビ臭い哲学があって，諸概念の関係や成り立ちを考えるものがあるんですよ．
英語で言うと Category ね．そう，「圏論」の Category と同じというか，マクレーンは
これを意識して彼が創始した理論に Category と名づけたわけなんですよ．

日本語では哲学の方のカテゴリーは範疇論と訳すことになっていて，数学の方では
哲学と混乱しないようにというのと「二文字だと派生語が作りにくい」ことから
一文字で「圏」と名づけたわけ．圏というのは四方を囲まれた領域，みたいな意味の漢字だから
漠然とした集まりを意味するのに好都合だったわけね．

ついでに言うとさ，英語の方のカテゴリーも，色々な意味で使われていて，範疇論のような
概念や分類自体の成り立ちを論じるというよりあっさりと「分類」みたいな意味でも使われるわけ．
ベールのカテゴリー論は，位相空間の開集合を，その声質に応じて二種類に分けて見る
みたいな話で，それ以上のものじゃない．勿論ベールのカテゴリーは位相空間の性質を反映しているので
トポスなんかを考えたときには合流してくるけど，圏論のように全ての数学の諸概念の
関係を扱うような壮大なことを目的としたわけじゃない．

哲学を馬鹿にするのもいいけど揚げ足取る前に30秒でいいから僕の発言の「範疇論」を君が調べて
くれていたらこんな面倒なことを書かずに済むんですけどね．
お互いちゃんと勉強しようぜ！

妄想乙

同型を除いて一意的であることを「範疇性」「categoricity」と言いますね

哲学は全然バカにしてない。
「哲学の方はパトナムと　かじり読みした程度でよくわからない」くらいで
ラッセルの書いた文章を一切読まずに、
解説書を読んだだけで勝手な想像をして批判をしている
>>622の方がよほど哲学を馬鹿にしていると、個人的には思う。

圏論と全然関係ない話は他所のより適切なスレでやってくれ
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1320576310/391

じゃあ一生ラッセルを読んで暮らしてればいいじゃない．数学はおろか
哲学すら知らないひとに丁寧に教えてあげてるのに食って掛かる，
もうね，付き合いきれません．教えてあげる気をなくしました．

句点に「．」を使ってくれてるのはありがたい。読みとばすのに好適だ。

>>644
最初から荒らし失せろと言われてることに気付こうなｗｗ

圏論スレで人に「教える」のは圏論に関係のある話にしてくれ
アリストテレスの範疇論について長々と「教え」られても困る
しかも
　圏論はフレーゲやラッセルと関係深い
　　→何で？
　→アリストテレスの範疇論はこれこれこういうものだ、
とか言われても何の説明にもなってない。
もしかしたらフレーゲは範疇論について研究した人だというのが
>>640のなかでは暗黙の常識になってるのかもしれないけど
普通の分析哲学ではそれは一般的な見解でも何でもない。

米田のレンマと構造主義はどう関係するの？
随伴と構造主義はどう関係するの？

単に構造の一例というだけじゃないの

米田のレンマも？
他にどんな構造の例がある？

三角圏を一言で言うと？

だれか言って

どんな概念も一言でまとめられるという仮定がそもそも間違い

修業が足りん

シオタラン

圏そのものが構造なんだよ

だから何？

アホか

いつも荒さむのう、このスレは。何が原因かのう？

>>657
こいつのせい

「三角圏を一言で言うと？」という質問で感じることだけど、
学部学生・大学院生の人たちは、整数論・代数幾何・可換環論・多様体論などを
ある程度勉強する前に、いきなり、三角圏とかの勉強を始めないほうがよい気がする。
そういう具体的モデルを知っていれば、三角圏の定義はすぐ飲み込めるけど、
基礎知識なして圏論を始めても、暗中模索するだけ。
河田先生の本でも、加群のホモロジーの後に圏のホモロジーが書いてあるでしょ。

>>655
へーへーへー

https://www.cmu.edu/news/stories/archives/2014/april/april28_awodeygrant.html

>>661
物理的対応物が学部程度の物理学で教えられちゃう状況とかになっちゃったりして。

>>661
コホモロジーをとる直前で寸止めしてコホモロジーの情報を保持してそうな技術論的対象から物理的実現象へ、ってアノマリーと指数定理の関係と同じだし指数も弱い意味でグロタンディーク構成?理論導来圏そのモノだし。

コホモロジーをとる直前で寸止めしてコホモロジーの情報を保持してそうな技術論的対象から物理的実現象へ、ってアノマリーと指数定理の関係と同じだし指数も弱い意味でグロタンディーク構成Ｋ理論導来圏そのモノだし。

コホモロジーをとる直前で寸止めしてコホモロジーの情報を保持してそうな技術論的対象から物理的実現象へ、ってアノマリーと指数定理の関係と同じだし指数も弱い意味でグロタンディーク構成Ｋ理論導来圏そのモノだし。

大事なことだから二度言ったの？

コホモロジーをとる直前で寸止めしてコホモロジーの情報を保持してそうな技術論的対象から物理的実現象へ、ってアノマリーと指数定理の関係と同じだし指数も弱い意味でグロタンディーク構成Ｋ理論導来圏そのモノだし。

コホモロジーをとる直前で寸止めしてコホモロジーの情報を保持してそうな技術論的対象から物理的実現象へ、ってアノマリーと指数定理の関係と同じだし指数も弱い意味でグロタンディーク構成Ｋ理論導来圏そのモノだし。

大事なことだから二度言ったの？

あとモデル理論はかなりやばくて
数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど
この分類よりさらに細かく分類できる便利すぎるツール
なぜなら論理式（数学システム）からモデルを構成して
人工的数学対象を形成するっていうある種身もふたもないことしてるからね！

あとモデル理論はかなりやばくて
数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど
この分類よりさらに細かく分類できる便利すぎるツール
なぜなら論理式（数学システム）からモデルを構成して
人工的数学対象を形成するっていうある種身もふたもないことしてるからね！

導来圏ってDブレーンそのモノじゃなかったっけ？

> 数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど

環とか体が超難解な概念だ、と思ったことは一度もないな。

圏論は数学、ひいては自然科学の捉え方を根底から変えるなんていう話も昔あったけど
自然科学が数学を言語として採用するのはただ単にモデルとして正確だからってだけで
仮に数学の基礎が圏論に置き換わったとしてもそれが他の科学分野に与える影響は弱いだろうなあ

そもそも自然科学で数学使わない分野なんていくらでもあるぞ

>>676 >>677
何を言ってるの？
数学が他の科学分野に与える影響は甚大だから、
もしその数学の基礎が圏論に置き換わるということが起きるなら、
科学分野への影響ははかりしれない。
しかしそういうことは起こるわけがない。

>>678
数学の基礎が集合論になって科学が受けた影響なんて微々たるものだろう

既に得られた結果をまとめていって圏論という構造、器の定義まで
持っていったから、圏論で概要は語れるが詳細は分野ごとに中身を
詰めて行くしかない。というイメージを持ってる。
物理の標準理論のように基礎構造を圏論に入れ替えても中身に影響
あったら困るし。圏論で語るまでに得られた結果が覆るわけでもなし。
テナントのないビルのようなものだなー。

>>678
びっくりした
圏論信者（）って本気でこんなこと考えてるんだ

>>681
逆だろ。圈論を馬鹿にしてるだろ。
落ち着け。

>>680
そんなら圏論の存在意義はどこにあるの？

>>683
ある分野で何かがわかると他の分野での色々なことがわかる

>>680
標準理論の基礎構造ってなに？
中身にどんな影響があったの？

ふいんきで語ってるだけ

基礎論と圏論
微積も線形もろくにできない素人が好むという印象

素人が好むと言ったら数論がその筆頭だと思うけどね

>>684
例えば？

高齢素人→数論
プログラマー素人→基礎論、圏論

テレビゲーム→殺人

>>689
位相的K理論と代数的K理論。代数幾何と代数解析。

>>680
圏論で重要なのは、
寧ろ本質的でない部分は圏論の言葉で語ろうと思っても語れない、
というような事だと思ってる

>>687
強制法を使って関数解析の問題の独立性を示す、
というような事が最近は割と注目されてるけど、
こういう人も微積は碌に出来ないのかな？

>>693
成果を出せる研究者じゃなくて好事家の話をしてるのは明らかだから、君の突っ込みは間違い。
ヒルベルトやノイマンは勿論、ゲーデルやコーエンも解析を駆使した論文を書いてるんだから最近の例を持ち出す必要もない。

>>692
ほー壮大やなｗ
だが、これだけざっくりした話なら圏論使うまでもないんとちゃうの？

線形作用素の補間理論も定式化しようとすると圏論が出てくる。
初歩的な概念しか使わないが。

>>693
>寧ろ本質的でない部分は圏論の言葉で語ろうと思っても語れない
個別具体的で面白いところは本質的ではないという意味？

>>692
それって漠然としすぎでほとんど何も言ってないようなものだと思う。
そこに圏の性質と不可分なものなんてあるの？

>>693
>寧ろ本質的でない部分は圏論の言葉で語ろうと思っても語れない、
本質的な部分ってなに？

>強制法を使って関数解析の問題の独立性を示す、
>というような事が最近は割と注目されてるけど、

強制法のどこで微積を使うの？
関数解析だから微積やるとは限らない。

>>694の通り好事家は数学の基礎とか普遍的な原理みたいなものにひかれて基礎論圏論に興味持ちやすい

>>697
あなたが言ってるのは寧ろ
「圏論の言葉で語れないことは本質的ではない」
ということじゃない？

693で書いてるのはその逆。
数学を多少とも知っている人なら間違いなく何度も聞いたことがあると思うけど、
逆は必ずしも真ならずという言葉があるよね。

>>698
この場合は重要で数学的意義に満ちた部分、くらいの意味で適当に使ってる。

きちんと「本質」という言葉に付いて考えるなら、
「本質」という概念はもともとアリストテレス哲学に由来するらしい。
「本質」という概念は疑似概念に過ぎないんじゃないか、
というようなことをバートランド・ラッセルが著書に書いてたけど
哲学上の言葉としてはラッセルに同意する。

まあ今回はそういう意味じゃなくて、日常用語として大雑把に使ってるけどね。

＞関数解析だから微積やるとは限らない。
私は大学二年レベルの微分積分は全然出来ませんし
大学の定期試験受けたら落第するレベルですが、関数解析は得意です、
論文書けるレベルで深く理解しています、
みたいな人って現実に居ると思う？　私は今のこの世には居ないと思う。

高校レベルの指数関数の知識もない人が、
フーリエ解析はマスターしましたと言ったりするのに近いと思う。
物事の理解の順番として、ほぼあり得ない。

>>700
圏論で拾えるのって代数的な視点からのものばかりにみえるけど
そうするとリーマン幾何とかはゴミになるわけだろうか？

さすがにそのレベルの微積のことをいったわけではなく、
解析屋の考える関数解析と基礎論の人のいう関数解析ってどう考えても違うようにみえる
ところで何の独立性が示されたのだろうか？

圏論は数学的に大事なことのうち或る部分を見通し良く扱えるけど
大事なこと全てを扱えるわけではない。
それで良いんじゃないの？　他の分野と同じだよ。

>>701
葉層とか二次特性類とかぐらいのレベルになるとむしろ基礎論レベルにまで抽象論臭くなるけどね。

リーマン幾何ゴミとか相当言い切るなぁと思うが。

>>703
まぁ俺が指数定理連呼したがるのってリーマン幾何とか微分幾何分野と圏論というか一般コホモロジーのコホモロジー的数学分野の
合流地点で場の量子論ゲージ理論等数理物理との「接続」地点でもあるからだけどね。＞＞指数定理。

>>704
文章が下手すぎる

話を知らない人が知りもしないのに知った風に突っかかりにくいように文体を工夫してるんだな。とむしろ言って欲しいね。

>>706で、わざとではなく、本当に文章が下手なんだとハッキリした。

話の内容じゃなく表面上だけのことしかぐちゃぐちゃ言ってないで圏論について騙りたまえ。

ホントに指数定理とかリーマン幾何わかってたら
わざわざ圏論基礎論みたいなストイックなものやらないから
自分でもできることを地道にやろう、だから圏論やろうってことになった

ストイックってどういうこと？

圏論というかコホモロジーという考え方が現代数学の主役なんだな。
コホモロジー的数学を整理した分野の一つが圏論。

>>682
いや違うと思うが

>>711
Weibelによると、非構成的に存在を示すのがホモロジー代数の急所なんだよね。

圏論が、現代数学で分かっている概念を抽象化したものなのは認めるとしても、
この枠組の中でしか考えられなくなって、新しい数学はこの中からは出てこないんじゃないの。

圏論のみによる数学の基礎付けとか言ってる奴は
昔からMacLaneとかLawvereとか（？）ごく少ししか居ないから
気にしなくて良いと思うよ
大袈裟に言ってるのかと思えばどうもMacLaneは本気だったようだ、
とか言われてるくらいだからね

圏論はそういうことに適した理論ではない

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導来圏勉強したいんだけどお勧めテキスト教えて

エロファントーマニン

東大情報の圏論への思い入れが異様に強いようだが大丈夫なんかな今のような段階で？

非常に素人臭い感じはする。高校生かいな…と。
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（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）

>>717
続きは来々軒で

圏論の直積の定義を読むと、domainが同じ射の間にしかそれらの直積が定義できない
ように読めるのだが、それでOK？
だとすれば、それはどうして？
それから、そのとき出てくる射π１やπ２というのはどこで定義されてるの？given？

なに言ってんのかわかんない
普通は離散図式のlim[<-]で定義するだろうから、射影らしきものが何かは自ずと明らか

>>722
object A,B に対して「…(直積の条件)…」という条件を満たすobject が存在すればそれを
A,B の直積と呼び、AxBと書くわけだから、
objectと恒等射を同一視する立場でもないかぎり、直積は射の間で直接に定義されるようなもんじゃないんだが？
もちろん射影πの存在は「直積の条件」に入っている。

うる覚えのまま寝ぼけた質問をしてスマン。やりなおす。

直積の定義はふつう次のようだと思うのだが、この(1)だけでは
なぜダメなんだ？なんで(2)が必要なんだ？
これがAとBのmaxの定義のようなものなら(2)が必要だと思うが。
πが分かってないのかな？

[定義] 対象 A, B について、次の性質を満たす対象Xが存在するとき、
X を A とB の直積という。
(1) 射π1:X->A と射π2:X->B が存在する。
(2) 任意の 対象C, 射f:C->A, g:C->B について、f = π1 * h, g = π2 * h
となるようなh:C->X が一意に存在する。

これでもまだぼけてるかもしれんがよろしく頼むわ

>>725
A,Bどちらも空集合でなければ、任意の空集合でない集合Xが(1)の条件を満たしちゃう。
射π1(2)はXからA(B)の一点への定値写像。

>>726
たとえば集合圏で言うと、という説明ね？
>射π1(2)はXからA(B)の一点への定値写像
これはなんで？πがそうだというのはどこに書いてるの？

だめだこりゃ

>>727
存在を示せばいいから、一点への写像でも条件を満たしちゃうってこと。
π1(2)は全射という条件を課しても、A∪Bには、条件(1)を満たすようなπ1(2)が作れる(別に難しくない)。

>>725
（１）のような対象の中で「普遍性」をもつものが直積で、
「普遍性」の条件が（２）。

Setsだと、>>726の言うように（１）を満たすような集合と射のペアはいくらでもある中で
普通の直積と普通の射影だけが圏論での普遍性を持つ「直積」になる。（同型は同一視するのはお約束）
自分でも「maxの定義のようなものなら（２）が必要」と言っているように、
半順序関係を射と読み替えて得られる圏では、「直積」は下限になる。

直積の定義に出てくる「π」は、直積の定義の前に定義されているのでは
ないんだな。「π」というと定数みたいだが、そうじゃなくて、
「i」でも「j」でもよかったんだな？

形式的な対<x,y>もこの圏論的直積の一例だと思うのだが、その場合は
直積の定義に現れる射は何に対応するのかな？

ところで、「普遍性」や「極限」という用語はあまりよくないな。

πは慣用名。ProjectionのPなんだろう。

＞形式的な対<x,y>もこの圏論的直積の一例
対象x、yの形式的な対<x,y>なんてものが考えている圏の対象になりえるのかどうかわからないから
なんとも言えないな。

用語のことはマックレーンにでも言うように。

>>732
> 対象x、yの形式的な対<x,y>なんてものが考えている圏の対象になりえるのかどうか
こんな基本的なものが圏で表現できないの？

max(m,n)をなぜ
(1) max(m,n) <- m かつ max(m,n) <- n
(2) x <- m かつ x <- n なる任意のx について、max(m,n) -> x
などと回りくどく定義したがるんだ？
(*) m <- n ならば max(m,n)=m、n <- m ならば max(m,n)=n
でいいじゃないか

>>734
全順序が存在しなくてもMAXが存在することがあるから。
束論とか知らない？

極大元と最大元の違いも分からんような馬鹿は圏論なんて止めろ

>>733
その順序対の機能（の一部）をもつものが直積なんだよ。
「形式的な対<x,y>」が考えてる圏の対象中に存在するかどうかわからないし、
肝心の対<x,y>に関する射をどのようにするかへの言及がないので
「圏論的直積」と言えるかわからないなと言っただけ。

>>735
上限と最大の違いということかな。
直積は最大の方じゃないかい？

>>736
最大と極大の混同がこのあたりにあったか？

>>738
例を挙げる。
自然数を対象とし、AがBの倍数の時射A←Bが唯一つ存在するとすると、これは圏になる。
このときMAX(A,B)は常に存在し、その値はAとBの最小公倍数である。
定義を満たすことは自分で確認せよ。

>>739
そうだね。それは分かりやすい圏だ。
ただ、最小公倍数は通常の定義では「公倍数の中で最小のもの」だが、
圏論的定義では「公倍数の中で他のどの公倍数も割り切るもの」となる
のが微妙に気になるな。これはどういうことだ？ 前者の方が素直だと思うが

>>737
圏の定義の中に最初から、合成射の存在と同等の扱いで、
対象の対の存在を入れておけばもっとシンプルになるんじゃないか？
対が存在しない圏で有用なものはあるか？

>>740
私は>>734に書いてある思い違いを正しただけだ。

自然変換てムズイな。
どの２つの関手間でも、自然変換は存在しても唯一つ、はOK？

>>743
米田の補題を知ってたらそんなわけないことがわかる。

>>744
だってすべての対象xに対してF(x)->G(x)だろ？

>>745
F(x)からG(x)への射が一つだけとは限らない

>>746
そうか。
本質的に一つ、ではどうだ？

>>747
>>744


貴方は余計なことを考えないでテキストの記述を素直に読み込んでいった方がよい。

>>744
米田の補題は、Hom関手から集合値関手への自然変換は本質的に唯一つと
言ってるんじゃないの？

>>747
>>749
ゴメンだけど、「本質的に一つ」の意味がわからなかった。

>>750
米田の補題でいえば「自然変換τは要素τ(1)から完全に決定される」
二つ目以降も初期値が変わるだけで全体がごっそり違うのではないという感じのことだった。

>>750
ベクトル空間の線形写像は基底の行く先で決まるけれど線形写像が本質的に1つなんて言えない。

>>734
なぜ max の話になるんだ

>>735 >>739
∨ は sup と呼ばれることはあっても max とは呼ばれないだろ

>>753
用語の問題だけの話だね。私もそこまでは詳しくない。

max{x, y, z}と書いたら、これは最大元だから
xかyかzのどれかじゃないといけない。

どの元よりも大きいか等しいような元のなかでの
最小元を表すsupとは本質的に違う。

用語の定義だけの問題じゃないし、
こんなことも知らないなら順序がどうとか圏論スレで話するべきじゃない。

>>754
用語では無く概念の問題なのだが
supも知らないのか？

>>734でmaxと書いてあるんだから仕方がない。
彼の典拠したテキストを見てみないとなんとも言えない。

テキストうんぬんは関係無いね。
知らないと言うこと自体問題。
それは基礎知識がボロボロを意味する。

>>734への回答としては真っ当でしょう？
文句を付けられても困るなあ。

>>735の回答はただのトンデモで、普通は
「maxの定義なら(*)のようになるかもしれないが、
(1),(2)で定義しようとしているのはsupだ」とかでしょう

maxをsupに置き換えたら君のお気に召す回答になるんだね。
そうすればいいじゃないか。
別に本質的な話じゃない。

(1),(2)と(*)は違う概念の話をしてるんだから呼び方の問題ではない
あと念のため言っておくと俺は753,760だけだぞ

>>734は全順序集合の時しか念頭にないようだったので。
後の受け答えでもそのことが推し量れる。

よく見たら>>734 = >>738で、
>>738は最大と上限の区別がついてるじゃん。
>>738に最大じゃなくて上限だよって言えばよかったのに、
区別のついてない人が教える側にまわっちゃったのか。

だから、そっちのわかってなさではないって。

私の認識では定義なんか符号の約束事であって
max｛a,b｝がaまたはbであることを要請するかどうかはその場でその用語をどう定義するかの問題。
>>734で
(1) max(m,n) <- m かつ max(m,n) <- n
(2) x <- m かつ x <- n なる任意のx について、max(m,n) -> x
と定義してあるんだからmax(m,n)がmまたはnに等しい必要はない。

直積の使い道はわかるが直和の使い道がわからんのだが。あまりない？

>>766
きちんと分かってれば、>>734に対して>>735みたいなレスを返したって
(1) + (2) と (*) が違うものを定義しているということは
最大元と上限を混同している734は気付きようがない、
ということが分かるんだけどね。

明らかに定義に関して勘違いをしている人間に対して、その可能性を指摘もせずに
間違っていそうな定義に沿ってアドバイスをするとか「アスペ」以外のなにものでもない

からかい半分で遊びに付き合うという動機もあり得ると思うが
その可能性に気付かないとしたら、それこそ欠陥人間だろう

>>768
貴方がmaxは最大元を意味しなければならない、と考えるのがおかしい。
圏論のepiが集合の写像としての全射でないといけないか、というとそうではないのと同様。

また、maxには圏論の慣用的な術語ではないから、質問者の独特の用法と考えたほうが良い。

俺様用語なら、なおさらどう考えようが勝手じゃんｗｗｗｗｗ

I heard you like morphisms.
http://o.8ch.net/4dq.png

>>770
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

質問者の独自の概念に対して
こういう風に定義するよりこういう風に定義した方が良いとか
良くアドバイス出来たものだな

maxやsupに「独自の定義」って…

>>775
それはDQNの理解

７７７ゲット

>>772
このg*fをいちいち書く圏論屋のセンスがウザイ

可換とは限らない。

は？

リストのreverse関数は多相関数で自然変換。
行列式も自然変換。
なんか自然変換って分からないんだが、だれか教えてくれんかな

圏論は集合の元には言及しないのが特徴らしいが、それだと関数のあの多様性を
表現できないのだが、それでよいの？そのかわりに何かできるの？

最強は集合論です
さあ、マンセーしましょう！

>>782
圏論はもともと何でもできるなんてことは言ってない。
集合論を置き換えるとも言ってない。
いつも集合の要素に言及するのでなく適切な抽象レベルで議論できるのが特徴だ。
なお米田の補題は、圏論上の議論はすべて集合論の上でできると言っている

何でもできるというか、具体例から構造を抽出して整備したようなもの
だから、元となる中身を知らないと、意味不明なルールに埋もれて
何もわからなくなるだけだぞ。

>>784
基礎論の記述も圏論でやろうとしてたから、何でもできるはず

横から補足すると米田の補題の圏はSmallっていう元々がZFC相当の圏
一般の圏はNBGに相当する（クラスへの言及が必要
ただしマクレーン圏論（普通の圏論）は演算が不足しているためUniversal algebraで言及できない対象がある
もちろんその逆のものもある
だから最近は圏論の演算部分をOperadで拡張しようと試みられている
一方OperadはMulticategoryで一般化され、それもpolycategoryで一般化される
http://arxiv.org/pdf/math/0606735.pdf
これとは別の圏の拡張としてルーリが使う擬圏がある（Bookの巻末で定義されてるもの
純粋な包含関係でいったらルーリの高次圏が現時点で最も一般化された体系だと思うが（数学や計算機科学含めて）、
集合論者はもっと局所的なものに興味があるので、圏だと研究が難しい（圏で具体的な整数の問題が扱えないように
論理学もでかい体系が作りたいわけではないので基礎論VS圏論の対立はナンセンス

集合論でうまくいく手法を、集合論でとりあつかえないものにも使えないだろうか、という問題意識は圏論にとって常に重要である。