面白い問題おしえて〜な 二十問目

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/

>>1乙

あぼーん

あぼーん

ほんとだ

てきとーに自作を投げっぱなしにしてみる
(√(15)-√(247))/(√(57)+√(65))

>>6
それをどうしろと言うのかね？

　　　　　ｒ;;;;;ノヾ
　　　　　ﾋ =r=;'
　　　　 _ヽ二/_
　　/￣　　/~〉 ￣ヽ
　 /　ヽ o ＾~　o ﾉ l
　（　　ヽ o 　 o ﾉ　l
　 ヽ　 ﾉ　　　　ヽノ
　　 ヽﾉ　　　　　ヽ
　　　ﾉ､＿＿＿＿i
　　　　l　　 l　　l
　　　　l　　 l　　l
　　　　l　　 l　　l
　　　　l　　 l　　l
　　　 .（__⌒）_⌒）

集合Aは自然数の有限部分集合であって、n個の要素を持つ(n≧1)。
Aの部分集合うち、それに含まれる要素の総和が奇数となるものはいくつあるか？

奇数の要素のうちから奇数個選んで偶数の要素は好きに選べばいい。

Aの要素のうち奇数であるものの個数をmとする。
このとき、Aの要素のうち偶数であるものの個数は(n-m)。

m≧1のとき、m個の奇数から奇数個選ぶ場合の数は
mC1 + mC3 + mC5 + mC7 + ……
= (1/2){(mC0 + mC1 + mC2 + mC3 + ……) - (mC0 - mC1 + mC2 - mC3 + ……)}
= (1/2){(1+1)^m - (1-1)^m}
= 2^(m-1)
で、偶数(n-m)個の方の選び方が2^(n-m)通りあるから、掛けて 2^(n-1)。
ただしAが奇数をひとつも含まない場合は0。

Ｂ−｛ａ｝＜−＞Ｂ∪｛ａ｝。

>>9
なるほど！

>>10
> ＜−＞
この記号は何？

>>11
1対1対応だろう

(1/2)(2^m-0^m)(2^(n-m))=2^(n-1)-2^(n-m-1)0^m

m=0
2^(n-1)-2^(n-m-1)0^m=2^(n-1)-2^(n-1)0^0=0

あぼーん

Aが奇数aを含むとき、Aの部分集合全体を
「aを含まないもの全部」=X
「aを含むもの全部」=Y
と分類すると、XもYも2^(n-1)個の元からなる。

このとき、Xの元Bと、Yの元B∪{a}との対応は1対1で、
これら2^(n-1)個のどのペアも、どちらか片方のみが
要素の総和が奇数となっている。
ってことか。>>10

だろうね>>15

あぼーん

なるほど、なかなか面白いな

むむむ…

x を複素数とするとき、√(x - 1/x) + √(1 - 1/x) = x を解くと
複素数の問題だから、根号内条件は使えないので、分母の条件 x≠0 だけで解くと、
x = (1±√5)/2 が出るんだけど、実際に代入すると、一方は見たさないんよな。
さて、計算過程で何か見落としがあるのかな？

あぼーん

>>20
そりゃあるんだろね。

√(x-1/x)=±1.
√(1-1/x)=±(x-1).

>>23
落ち着け

>>20
x = (1-√5)/2
√(x-1/x) = 1
√(1-1/x) = -(1+√5)/2
で合うけど

>>25
>>　√(1-1/x) = -(1+√5)/2
おちつけ

>>20>>24>>26

√が表すのをどちらか一方に決めるのなら
そのことも解くときに使わなくちゃいけないってだけだろ

ＪＣにも分かるように教えろ！

わざわざ複素数って書いてるんだから、√は2価じゃないのか

複素数を扱う式の中で
√4 = ±2は許されたっけ？

複素数でも√aは1価じゃないの？

>>31
だと思うけどなあ

x = (1-√5)/2 とする
x は x^2 - x - 1 = 0の解のひとつなので
x^2 - x = 1

√(1 - 1 / x)
= √{(x^2 - x) / x^2}
= √(1 / x^2)
= 1 / |x| > 0 > -(1 + √5) / 2

じゃないの？
>>25

勝手に条件付け加えるならその条件も使わなきゃ関係ないものが入ってくることもあるさ

じゃあ、例えばxが実数とか何も書かれていなくて、次を解けって問題があったらどう解くのでしょうか？
√(x^2-1) + √(x-1) = x√(x)

何も書かれていないのは、書かなくても文脈／慣習から推測できるから省略しているだけだから
（方程式の「解」の概念を拡張しようと試みる場面は除く）

>>34
C.1147
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201212&t=mat&l=en

ひとりUNOが無限に終わらない順番パターンは存在するか？

数学の問題じゃないんだけど、この図形のトリック分かる？

http://kie.nu/KZx

斜辺が折れ線になっている(上では微妙にへこんでて下では微妙にふくらんでる)

あぼーん

緑と赤の直角三角形は斜線の傾きがそれぞれ
2/5と3/8。
目で見ると分からないけど傾きが違う

まさかこのスレにそれを出す奴がいるとは思わなかった。

△ＡＢＣにおいてＢＣの中点をＭ、ＢからＡＣに降ろした垂線の足をＨとする。
また、ＡＭとＢＨの交点をＰとする。ＡＭ＝８、ＢＭ＝４、ＢＰ・ＨＰ＝１２のとき
△ＡＢＣの面積として考えられるものをすべて求めよ。


知恵袋で見つけた

あぼーん

>>43
おもしろかった。

Mを中心とする半径4の円は、B,C,Hを通る。
この円が直線AMの延長から切り取る弦と、弦BHとに対し、
方羃の定理を適用すると、(4+PM)(4-PM)=12から
PM=2、AP=6となる。

次に線分AMとBHに対し、AP・PM = 12 = BP・PHが
成り立っていることから、方羃の定理の逆を適用すれば、
4点ABMHは同一円周上にあり、従って∠PMB=90°がわかる。

以上よりAM⊥BCなので、△ABCの面積は8*8/2=32。
他の可能性なんかあるのかな。

△ＡＢＣが鋭角三角形の場合はそれで正解だね
∠Ｃが鈍角三角形の場合も考えてみて

∠Ｃが鈍角三角形っておかしいなｗ
∠Ｃが鈍角のときだね

この問題とかどう？
http://www.imslow.kr/ghost/

>>48
開いてないが、URLでググったら、ブラクラらしい。

.krの時点で見る気起きねえ

定番ブラクラはNG済み

J国とC国の領土が海を隔てて存在している。
海上に両国の国境を引き、国境上のどの地点から見ても
両国の領土までの最短距離が等しくなるようにしたい。
このように国境を定めることは可能だろうか？

あぼーん

ある条件のもとで可能

あぼーん

境界線が連続ならば可能じゃないの

任意の実数x,yに対して f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2 を満たす関数f(x)がある。
(1)f(x)のうち、不連続関数となるものがあるかを示せ
(2)f(x)を連続関数と仮定した場合におけるf(x)を求めよ

定番の問題じゃねーか

コーシーとはちゃうで

>>34-36

√(x+1) = y　とおいて

　x = y^2 -1 = (y-1)(y+1),

0 = (右辺)^2 - (左辺)^2
　= x^3 - (x-1)(y+1)^2
　= {x(y-1)^2 - (x-1)}(y+1)^2
　= {(x-y)(y+1)}^2
　= {(y^2 -y-1)(y+1)}^2,

y = -1, φ.
　でもいいが

>>60　訂正、ｽﾏｿ

　y = -1, φ, -1/φ
しかし定義から y≧0 なので
　y = φ = (1+√5)/2,　黄金比

C.4508
a,b,c>0 のとき a^(3/4) + b^(3/4) + c^(3/4) > (a+b+c)^(3/4)　を示せ。(h=201301)

C.1157
aは実数とする。2次方程式
　xx + ax + (1 - 1/aa) = 0　(a≠0)
が重根をもつ条件は？　(h=201302)

B.4524
自然数上の関数ｇがすべての自然数nについて
　g(1) + g(2) + ･････ + g(n) = n･g(n)
を満たすとき、g(k) = g(1)　を示せ。(h=201303、改作)

>>62

C.4508
　a^(3/4) = a／a^(1/4) > a／(a+b+c)^(1/4),
循環的にたす。

C.1157
　判別式 = 0　から。

B.4524
　nについての数学的帰納法で。

twitter で見た問題。

長方形 ABCD と、辺 CD 上の点 P がある。但し、AB=20、PD=6 とする。
半直線 BP が、辺 AD を延長した直線と交わる点を Q とするとき、△PCQ の面積を求めよ。

ＣＰ・ＤＱ＝ＡＤ・ＤＰ。

最近知った面白い数学の問題。

xy平面上に原点を中心とした半径1の円周がある。
この円周上のあらゆる点を２つのグループA、Bのいずれかにグループ分けするとする。(A、Bはそれぞれ連続でなくても良い。)
さて、グループAの点全体を原点を中心に一定の角度θ回転させたものをA'とするとき、「A'がBと重ならない」かつ「A'とBを合わせた全体が元の円周と一致しない」を満たすようなグループ分け方法及びθの一例を具体的に示せ

むむ…
一見するとそんな方法はなさそうに思えてしまうな

ダメな例1：円周上の点をx軸からの角度で指定するとして、0°以上90°未満をA、90°以上180°未満をB、180°以上270°未満をA、270°以上360°未満をBとグループ分けして、
θを180°ととると、確かに「A'はBと重なっていない」が、「A'とBを合わせた全体が元の円周と一致してしまう」ので、題意満たさず。

ダメな例2：(1,0)、(0,1)、(-1,0)、(0，-1)をA、それ以外をBとし、θを90°ととった場合も例1同様題意満たさず。

B以外の円周上の点からB以外の円周上の点への写像(回転)であって、
単射でもなく、全射でもないような写像の例を示せってことか？
そんなのあるのかな？

αを無理数, P_n:=(cos(nαπ),sin(nαπ)) (n=1,2,...) として
A:={P_1,P_2,...}, B:=円周-A, θ:=απ とすれば A'={P_2,P_3,..}
A'⊆A, A'≠A で条件をみたす

>>70
なるほどこれならいけるな
俺は立体射影で有理数と無理数に対応する点を使って考えてたけどうまくいかなかった

>>70
A:={P_1,P_2,...}の最後の要素が、回転後Bと重なると思うんだけど

閉集合を2つの開集合に分けることを分けたと言って良いなら
任意の開集合に分けた時点で題意は満たしたことになる気がする

例えばA∈(0,π)、B∈(π,2π)、θ=0
0とπが露骨に未定義なのが気に入らないなら
適当に境界に収束する関数を取ってもいい

>>72
最後の要素とは
Aって円周上稠密になるんじゃないの？

>>73
未定義の点があっちゃ駄目だろ。

具体的に。

【問題】
p,q,rを実数, aを正の実数とするとき, 次の積分を工夫して計算せよ。

∫∫∫(px^2+qy^2+rz^2)dxdydz
但し, 積分領域はx^2+y^2+z^2≦a^2とする。

∫∫∫(px^2+qy^2+rz^2)dxdydz=p∫x^2∫∫dydzdx+q∫y^2∫∫dxdzdy+r∫z^2∫∫dxdydz
∫x^2∫∫dydzdx=π∫x^2(a^2-x^2)dx

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

アキレスと亀のような、
何一つ間違ってない過程から正しくない結論を導く話が好きだな

２ｃｈ流の誤変換はこの場合はアウトーッ、だな。
仮定

11^(13^(15^(17^(19^(...^(97^99)))...)の下二桁を求めよ

与えられた円の中心をコンパスのみで図示せよ

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>81
a=17^19^21^…^99とおく.
aは17の冪乗数で明らかに奇数だから,
15^a≡3 mod4
(∵(15^n)_{n=1,2,3,…}≡(3,1,3,1,3,1,…) mod4)

b=15^aとおくと,b≡3 mod4より,
13^b≡7 mod10
(∵(13^n)_{n=1,2,3,…}≡(3,9,7,1,3,9,7,1,…) mod10)

c=13^bとおくとc≡7 mod10より,c=10q+7とおける(q,r∈N)
d≡11^cとすると,
d=(10+1)^c
=Σ[i=0,c] C[c,i]10^c　(C[c,i]は二項係数)
≡C[c,0]10^0+C[c,1]10^1 mod100
≡1+10c
≡1+10(10q+7)
≡71

以上のことから
11^(13^(15^(17^(19^(...^(97^99)))...)
=d
≡71 mod100
となるため,下二桁は71である.

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>84
正解です

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

2000から2999までの整数のうち、
3乗したものを一の位から3桁ずつ区切って和をとったものが
元の数に等しいものを全て求めよ

…無いんじゃね？
それとも問題を読み違えたか…

x≠yのとき次の2つの等式が同値であることを証明せよ
(x-1)x^(n+1)=(y-1)y^(n+1)
xy(x+y-1)^n=(x-1)(y-1)(x+y)^n

無理。

n個ある箱にm個のボールが入っているとき、最初にボールを見つける回数の期待値を求めよ

問題が意味をなす時、箱を同時に開ければ良いので答えは1

1つづつしか開けることはできないとした場合

>>92が面白い問題になるような後出し条件を考えよ

それは超難問だな

ただし、箱には1つしかボールが入らないものとする

今からコインを１秒に１回投げるゲームをする。
表が１０００回連続、もしくは裏が１０００回連続で出た時にこのゲームを終了する。
Ｎを１０００以上の自然数とし、ゲーム開始からＮ秒後までにゲームが終了する、終了している確率をＸとする。

(1)Ｘが９９％を超える事は有り得るか？
(2)有り得るとしたらそれはＮがいくつの時か？
(3)ＮとＸの関係式を導いて下さい。

表の確率=1 ならＮ=1000

固有値の練習問題か

【問題】

円に内接する四角形ABCDがある．

△ABC, △BCD, △CDA, △DABの内心をそれぞれI, J, K, Lとする．

四角形IJKLは長方形であることを証明せよ．

ある私鉄会社の駅であるＡ駅は上りの一番ホーム、下りの２番ホーム、
そして支線に向かう３番ホームの３つのホームがある。だが支線用の
３番ホームは２番ホームとの共用で、支線から来た乗客が昇り路線
を利用するには反対側の１番ホームに行かねばならない。しかし３番ホーム
には階段しかないのだ。階段を上るのが嫌だという乗客がそのまま
２番ホームに来た列車に乗り込んで隣のＢ駅まで行ってそこでエスカレーター
に乗って上りの特急を使うという事は時間的な遅れ無しに可能だろうか？
因みにＡ駅では急行列車は停まるが特急は通過する。隣のＢ駅には特急が
停まる。

鉄オタはキチガイ、まで読んだ

西村京太郎に聞けば

うむ。実のところこの問題（１０２）には正解は無い。だが多少の推論を
行う事は可能だ。実際想定されたような乗換が可能だったとしよう。
そうであれば、上り特急に乗りたい乗客は全員そうするだろうという
事だ。だがそれは鉄道会社にとって望ましい事だろうか。

あぼーん

経由した駅を正しく申告しなけりゃ無賃乗車だ

数学というより算数って感じのパズルっぽい問題だけど解説が意味不明なので知恵を貸してください

【正方形３個からなる図形（図1）を組み合わせて長方形を作る。
このとき作られた長方形を図1の図形を二個組み合わせた長方形（図2）で分割しうる場合と分割し得ない場合がある。
たとえば図1の図形を組みあわせて図3のような長方形を作れば、この長方形は図2の図形で分割する事ができる。
それでは図1の図形を組み合わせて作ることのできる長方形で、かつ図2の図形では分割し得ないのはどれか。】

図1は↓のようなＬ字　図2は↓のＬを2個組み合わせた縦3*横2の長方形　図3は図2を縦に2個横に2個並べた6*4の長方形
□
□□

選択肢
1　縦3*横4の長方形
2　縦5*横6の長方形
3　縦4*横9の長方形
4　縦5*横9の長方形
5　縦5*横10の長方形

分かりますか？

5は3の倍数で無いから問題外
1,2,3は図2で分割できることがすぐ分かる
答えがあるなら4しかない

実際4は図1で作れる

解説も同じことをいっていて
3の倍数であり6の倍数でないのは4っていってます
でもその考えだと例えば3*3の9マスの正方形も3の倍数であり6の倍数でないですよね
この正方形Ｌ字の図形3つで組み合わせることなんてできなくないですか？

>>110
解説は少し端折ってるんだと思うよ。
>>109さんの言うように、1、2、3、5は除外される。
4は、6の倍数ではないので「図2の図形では分割し得ない」を満たし、
かつ、3の倍数なので図1の図形を組み合わせて作ることのできる」の“候補”だってだけ。
実際作れるかどうかは確認が必要で>>109さんはちゃんと言及している。

できるものを探すというよりできないものを省くという考え方をしてるんですね
ありがとうございました

出来るものを全て探してるんだろ

0〜9までの10個の数字を4つ選ぶとき（重複あり）特定の数字4桁に一致する確率は
1/10*1/10*1/10*1/10で1/10000ですよね？
数字の順番は気にせず特定の4桁の4つの数字と一致する確率というのはどう考えればいいんでしょうか
コンビネーション使おうと思ったんですが重複ありだと10Ｃ4とはいかず
ひとつ数字選んで箱に戻してまたひとつ選んでって考えだと
（10Ｃ1）＾4で特定の4桁と順番まで一致する確率と同じになってしまいます

>>114
例えば1111に一致する確率と1234に一致する確率は等しくない

なるほど
では順番は関係なく数字だけ一緒な確率はｘ/10000
特定の数字が4つともバラバラならｘ＝4!
2つ同じで2つバラバラならｘ＝4!/2!
3つ同じで1つだけ違うならx=4!/3!
4つとも一緒ならx=1

であってますか？

このスレが最適かな？
自分で作ったわけでは無いけど、法則性あるらしい・・・。
おれには無理だorz


Q. XとYを求めよ。
■27
5490 25090 19600 39200 44690
7410 33810 26400 52800 60210

■26
6200 28800 22600 45200 51400
6300 28300 22000 44000 50300

■25
6000 27800 21800 43600 49600
6200 28600 22400 44800 51000

■26
6500 X ？ ？ ？
6000 Y ？ ？ ？

オカルト板に「エスパー検定」ってスレは無いの？
ここは、数学板だよ？

規則性なし、かな？

http://i.imgur.com/JTRWCgk.jpg

16/5

8/3

3の倍数と3が付く数字に☆マークを付けていく。
無限に☆マークを付けていった時☆マーク率は何％に近づくか？

100

Π（パイ）を無限に表記したとき、同じ数字が１まんこ並ぶ事はあるか？ないか？
そしてそれを証明せよ。

無理

証明不可能であることを証明せよ

問題文くらいまともに書け

証明不可能であることを証明できないことなら証明できる

>>124
桁が増えるほど3を含む割合が高くなっていくだろうことは分かるけど、
それを示す方法が分からん

p>1-(9/10)^n

上の右辺は先頭を固定したn+1桁の数で先頭以外に3を含まない数の割合
n+1桁の数で3を含まない数の割合pはそれより大きい

AB=6、BC=5、CA=4の△ABCがある。
∠Aの二等分線とBCの交点をD、
∠Bの二等分線とCAの交点をEとし、
CからADに下ろした垂線の足をF、
CからBEに下ろした垂線の足をGとおくとき、FGの長さを求めよ。

再録かよ

>>133

第二余弦定理より、
　cos(∠A) = 9/16,
　cos(∠B) = 3/4,
　cos(∠C) = 1/8,
∴ ∠C = 2∠B,


AE : EC = AB : BC = 6 : 5,
AC=4 より、 AE=24/11, EC=20/11.

BD : CD = AB : AC = 6 : 4,
BC=5 より、BD=3, CD=2.

AF : FD = 5 : 1,
より AF=(5/6)AD, FD=(1/6)AD.
AD=3√2.

BG : GE = 11 : 1,
より BG=(11/12)BE, GE=(1/12)*BE.
BE=(12/11)*5√(7/8).

一方、CF=√(7/2), CG=5/√8,

よって、FG=3/2.

>>135
中学生の問題です

それが何か？

6点(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)を考え
点(0,1)から点(2,0)まで移動する最短経路を考える。
n=1以下のように表記する。
□□
n=2の場合は以下であり、点(0,2)から点(3,0)までを考慮する。
□□
□□□
n=3を同様に以下とするとき、最短経路の数Pnを求めよ。
□□
□□□
□□□□

┌┬┐　　　こういうことだろうか
└┴┘
┌┬┐
├┼┼┐
└┴┴┘
┌┬┐
├┼┼┐
├┼┼┼┐
└┴┴┴┘

そう

カタラン

C[n+2]-C[n+1]　かな

nのときの図に対して、n+1個の横マスを下段に追加した図がn+1のときの図、ということ？

nのときの図に対して、n+2個の横マスを下段に追加した図がn+1のときの図

n+2か。最初が2個だった

>>142でいいんじゃないの

1,2,3,4,5に続く数
（漢数字酉）

>>136
中学の知識で解いてほしいのか？
いやだね、教えてやらねーＹＯ！

じゃん

三角形の秘密はね♪

ガイシンナイシンスイシンジュウシンボウシンシンシン、ヘイヘイヘイッ♪

>>120、>>133

ＤＱＮにも分かる解法を教えてください

DQNに教えたって無駄

120は相似比と1:√2くらいで解けるけど133を中学生チックに解くのは俺にはできん

AB//FG

任意の四角形において
対辺の積の和は必ず対角線の積以上になるってやつ
AB×CD + AD×BC ≧ AC×BD
中学のときに習ったけど何で未だにこうなるかわからん

テメ〜ら、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>156
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/ptolemaios.htm

>>155
やっと分かった
CF、CGを延長してABと交わる点をH、Iとすると、
△BCGと△BHGが合同だから△BCHはBC=BHの二等辺三角形
同様に△ACIもAC=AIの二等辺三角形
BH=BC=5だからAH=1、
AI=AC=4、AH=1だからHI=3
F、Gはそれぞれ二等辺三角形の底辺の中点で、△CHIでHIとFGが平行、中点連結定理でFG=HI/2=3/2

>>159
神と呼ばせてください

あぼーん

水槽の中に魚が200匹います。そのうち99％がグッピーです。ここからグッピーのみを取り出して、グッピーの、魚全体に対する割合を98％にしたいと思います。何匹取り出せば良いでしょうか。
ちなみにマイクロソフトの入社問題です。

100?

やっぴー　グッピー　うれピーな

面白いのか？

あぼーん

マイクロソフトのこと時々マイケルソフトって読んじゃう

>>162
普通に計算すれば答えは簡単だけど、即答出来る人材かどうかを知りたいんだろうね、マイクロソフト側としては
マイクロソフトの入社試験では金貨１００枚を分けあう問題が秀逸だった

あぼーん

>>168
並みいる秀才たちを困惑させた「マイクロソフトの入社試験問題」集　−　全２０問
http://ameblo.jp/zero-123-456-789/entry-11118132469.html

５０組の夫婦のいる村の男全員が不貞をしています、という問題、解答見たけどさっぱり理解出来ん
誰か解説してくれ

長方形のケーキがあります、という問題には別解を思いついた

数学じゃなくてなぞなぞみたいなものだな
つか面白くない

マイクロソフトだったっけ


An=n^(n-1)^(n-2)^(n-3)^....^2^1

Anを、nから１までの数を下から累乗で積み重ねた数とする。
A1=1 A2=2^1 A3=3^2^1
A97は、97^96^95^94^93^......^2^1で、巨大数となる。

このとき、(A97-A1)(A97-A2)(A97-A3)....(A97-A98)(A97-A99)
はいくつになるか。

>>172
何故 (A97-A97) は書かないのか
ソフトウェア業界の体質を象徴しているのか？

>>170
不貞の夫が一人だけなら、その妻は必ず気付く。
なぜなら、自分の夫以外の49人の夫は不貞をしていないことが
分かっているはずなので、候補は自分の夫のみになるから。
だから、1日目に誰も殺されないということは、
不貞の夫は一人でないことを示す。

N日目には、不貞の夫がN人ちょうどであれば、その妻にはわかる。
他の不貞の夫はN-1人しかいないが、N-1日目までの推論で
不貞の夫がN-1人以下であることはない(N人以上いる)から。

N=50日目に、不貞の夫が全部で50人いて、
自分の夫も不貞をしていることが分かる。

>>174
でも実際には、少なくとも自分の夫以外の49人が不貞してて、
他の妻から見ても48人以上不貞してる事は分かる事は
1日目の段階で明らかだよな？

そんな、不貞の夫が1人しかいないという
明らかに偽の仮定をしないといけないのか？

仮定から夫全員不貞してるじゃん

推論の順番が逆だよな。

前提条件として全ての妻は49人の確定した不貞男と
1人の不確定な不貞男(自分の夫)がいることを知っている。
従って、妻達の興味の対象は他の妻が確定した不貞男を
48人と思っているか、49人と思っているかである。
これについて、女王の発言は何の情報も与えない。
故に、何もおきない。

不貞男が1人しかいないと考える妻がいないことは明らかであり、
同様にN<48日目までの推論についての議論は無意味。

もし仮に妻達が何らかの方法で夫の不貞を察知できるなら
初日から全員不貞を知ってて法を無視している状態のはずだから、
即日皆殺しだな。

もしかして、
「妻たちは村中の夫全員が不貞を働いているのを知っているが、自分の夫の
不貞をについては分からない」
というバカ妻揃いという想定？

>>175
逆からたどっていけばいいんじゃないか？

議論を分かりやすくするために５０人の妻の中から１人を選んで（仮に妻１と名づける）妻１の視点から考えることにする。
妻１には自分の夫以外の４９人が不貞夫であることは分かっているので、そこから
自分以外の妻には少なくとも４８人の不貞夫が見えていることが分かる。
そこで妻１は、議論を分かりやすくするために自分以外の４９人の妻の中から１人を選んで（仮に妻２と名づける）
常に妻２の視点から考えることにしよう、と考えるだろう。そこで妻１は次のように考える。
妻２には自分の夫を除いて少なくとも４８人が不貞夫であることは分かっているので、そこから
不貞夫を持つ４８人の妻には少なくとも４７人の不貞夫が見えていることが分かる。
そこで妻２は、議論を分かりやすくするために不貞夫を持つ４８人の妻の中から１人を選んで（仮に妻３と名づける）
常に妻３の視点から考えることにしよう、と考えるだろう。そこで妻２は次のように考える、と妻１は考える。
妻３には自分の夫を除いて少なくとも４７人が不貞夫であることは分かっているので、そこから
不貞夫を持つ４７人の妻には少なくとも４６人の不貞夫が見えていることが分かる。
そこで妻３は、議論を分かりやすくするために不貞夫を持つ４７人の妻の中から１人を選んで（仮に妻４と名づける）
常に妻４の視点から考えることにしよう、と考えるだろう。そこで妻３は次のように考える、と妻２は考える、と妻１は考える。
……

頭が痛くなってきたのでここら辺でやめておく

【>>170の完璧な解法】
俺からすれば、５０人全員が不貞夫であることは分かっているので
そこからその５０人の妻には自身の夫を除く４９人の不貞夫が見えていることが
俺には分かる。（その中の１人を妻１と名付ける）
妻１からすれば、自分の夫を除く４９人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその４９人の妻には自身の夫を除く４８人の不貞夫が見えていることが
妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その中の１人を妻２と名付ける）
妻２からすれば、自分の夫を除く４８人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその４８人の妻には自身の夫を除く４７人の不貞夫が見えていることが
妻２には分かる、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その中の１人を妻３と名付ける）
……
妻４９からすれば、自分の夫を除く１人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその１人の妻には自身の夫を除く０人の不貞夫が見えていることが
妻４９には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その１人を妻５０と名付ける）
妻５０からすれば、自分の夫を除く０人が不貞夫であることは分かっているので
そこから自分の夫が不貞夫でなければこの村には不貞夫はいないということが
妻５０には分かる、ということが妻４９には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
【以下につづく】

【>>180のつづき】
ところが、少なくとも一人の不貞夫がいることが判明してしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻５０は自分の夫が不貞夫であることが分かるので１日目に処刑するはずだろうことが
妻４９には分かる、ということが妻４８には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
ところが、誰も処刑されることなく２日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻４９は自分の夫が不貞夫であることが分かるので２日目に処刑するはずだろうことが
妻４８には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
……
ところが、誰も処刑されることなく４９日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻２は自分の夫が不貞夫であることが分かるので４９日目に処刑するはずだろうことが
妻１には分かる、ということが俺には分かる。
ところが、誰も処刑されることなく５０日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻１は自分の夫が不貞夫であることが分かるので５０日目に処刑するはずだろうことが
俺には分かる。
【証明終わり】

1日目2日目……ってのはおかしい気がするけどなあ。
1日目に何も起きない段階で推論は完成して2日目に全員殺害になるんじゃないか？

実際に５０日経たないと矛盾してることは分からないよ

女王の発言前後で状況が変わったことといえば、以下ぐらいしかないよな。

●発言前
・夫は、「自分の妻と他の夫が、村に不貞夫がいるかどうか知っているか」を知らない
●発言後
・夫は、「自分の妻と他の夫が、村に不貞夫がいることを知っている」ことを知った


女王が発言した内容は村の夫・妻は全員知ってるから、
「周知した」ということしか意味がない。

>>170の50組の夫婦の質問文は
「女王が発言しました。どうなるでしょう」
だから、リンク先の解説が誤りで
「何も起こらない」がMS的正解かもしれないな。

今となっては良く知られてるクイズの一種だから、ググれば色々と解説出てくると思うよ
wikipediaの共有知識なんかも要参照

「全員が知っている」、「全員が知っている、ということを知っている」、「全員が知ってる、ということを知っている、ということを知っている」･･･
という情報(知識)はそれぞれ別物であることがポイント
ただし >>170のリンク先の問題文では条件が足らないから、解説のような推論は成り立たない
(>>170の解説･答えを不自然･非現実的に感じるのは、勝手に不自然･非現実的な条件を仮定してるから)

面白く脚色したつもりだろうが、つまらない上に曖昧さだけを表面化させた感じ
結果としてただのとんち、もしくは条件逆算問題

あぼーん

最初の段階で、全妻が「全妻が×夫は48人以上であることを知っている」ことを知っている。
従って、×夫が48人以下ならその妻は自分の夫が×夫であることがわかるので殺害するはずだが殺害されない。
すると2日目の朝には、全妻が「全妻が×夫は49人以上であることを知った」ことを知ることになる。
従って、×夫が49人以下ならその妻は自分の夫が×夫であることがわかるので殺害するはずだが殺害されない。
すると3日目の朝には全妻が×夫は50人いることを知ることになり、全妻が夫を殺害する。

女王がやってくるまえに全夫は殺害されているはず。

>>189
＞５０組の夫婦のいる村の男全員が不貞をしています。
この文はこの問題の読者に対してであって、村の人がこのことを知っているわけではない。

村の人が分かっていることは
＞女はみな、自分の夫以外の男が不貞をすれば即座にわかります。でも自分の夫が不貞をしてもわかりません。
＞村の掟では不貞をはたらいた夫の妻は、夫を即日殺さなければなりません。
という２点だけ

>>190
全妻には他の妻の夫が全員×夫だとわかっているのだから、
どの妻も「他の妻全員が少なくとも48人×夫がいることを知っている」と知ることになるだろ。

>>190
> この文はこの問題の読者に対してであって、村の人がこのことを知っているわけではない。
当たり前だろ。知ってたら1日目で終わるわｗ

>>191
事実Ａ：「全妻には自分の夫以外の49人の×夫が見えている」

>>189の１行目は事実Ａから導かれるが２行目では事実Ａに反する仮定をしてるな

同じように見えても>>174は事実Ａを使ってなくて一般のＮに関する数学的帰納法を使っている

>>193
>>174はいきなり事実に反する仮定をしてるじゃんか。

> 不貞の夫が一人だけなら
この仮定は事実に反しないのか？

>>194-195
そうじゃなくて、本題の５０人っていうのをＮ人に一般化して問題を解いてるんだよ

解けてねえって話だよ

えっ、具体的な数値を一般化して解くのは数学ではよくある解法だと思うけど…
それとも>>174の証明は間違ってるってこと？

>>174が正しかったら>>189も正しくね？
なんで、>>189に対しては事実に反する仮定をしているからダメって言って、
>>174には言わないんだ？
>>174の仮定は事実に反してるだろ？

>>199
>>189は１行目では事実Ａに基づいた仮定をしていて、２行目では事実Ａに反する仮定をしてる
つまり、１行目と２行目とで相反する仮定を使ってる。それなのに１行目の結論を２行目に適応してるから矛盾なんだよ

>>200
>>174もそうだよ。

>>201
>>189の２行目がどうして従うのか分からないんだが、解説して

>>201
>>174のどことどこが相反する仮定を使ってるの？

女王の台詞が悪い気がする。

「夫が不貞を働いたと思う人は挙手してください」
と言う質問を繰り返したときに、何回目で不貞が
露呈するかという問題なら素直に理解できる。

>>204
そうか？
その方式でも、本質的なところは変わってないように思うが

問題：無理数の無理数乗で有理数となるものが存在することを示せ」
※高校数学の範囲で証明できます

>>206
分からない問題はここに書いてね360
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1316096657/418

p=log(q)

個人的にはウィキの「共有意識」の説明が分かりやすい
島民１０人のうち、３人の目が青で７人の目が緑の場合、
７人には青い目の人が３人見えるが、３人には２人しか見えない

事実に反する仮定って意味があるの？
「不貞夫が一人」は偽なんだから、「不貞夫が一人ならその妻は気づかない」も真になってしまわないの？

Wikiの説明もそうだけど、本当に共有されているのは
「不貞夫が1人以上存在すること」ではなくて、
「お互いが不貞夫を何人いるはずだと思っているか」という
推論のステップであって、推論の同期をとることが本質的。

「不貞夫が1人以上存在する」という発言で、
全員の推論段階がN=1に同期すると言いたいのだろうが、
他人の思考が同期したことを確信できる情報量が無いと
自然な解釈とは思えないな。

共通意識って、今月中に抜き打ちテストをやるっていう話に似てるね
抜き打ちだから、生徒が全く予期出来ないタイミングでやらなければならない
となると３１日の実施は無理、何故なら３０日が過ぎた時点で３１日の実施が予期出来てしまうから
となると３０日の実施も無理、何故なら２９日が・・・・・・・・・　結局テストを実施出来る日は存在しないという話

共通意識もテストの話も、理屈は分かるんだが釈然としないものが残るね、なにかがおかしい気がする
ああいう連鎖って本当に存在するのかなぁ

>>212　訂正

共通意識　→　共有意識

共有知識
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E6%9C%89%E7%9F%A5%E8%AD%98

青い目の人が最低でも一人はいるというアナウンスは、青い目の人が４人以上いるケースでは必要ないと思う
むしろ必要なのは共通のゲーム開始時間

>>210
仮定してるのは「不貞夫が一人」じゃないぞ
あくまでも仮定の大枠は「自分の夫は不貞でない(不貞夫は自分の夫以外の49人)」だ


>>212
>>186でも書いたけど共有知識の仮定って不自然で非現実的な仮定だから
その結果が不自然･非現実的に見えてしまっても当たり前
推論がちゃんと行われる為には
「全員頭がいい(演繹的に推論できる)」「全員頭がいいと知っている」「そのこと自体を知っている」「そのこと自体を(ry」･･･
という仮定などが必要だが、現実世界ではそんな知識はまず知り得ない

>>214
「最低でも１人いる」というアナウンスは必要だよ
島の掟を「明日○月×日から施行する」などという設定にすれば、共通のゲーム開始時間を作れるが
アナウンスがなければ、元の問題の時と同じような推論はできない(仮定の矛盾を示せない)

>>212
連鎖って厄介な問題だよね、人間の頭脳では捉えられないようになってるのかも
カントのアンチノミーに追加していいのかもしれん

２つの封筒問題スレ 4
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1319861681/
上のスレでも一時期連鎖が話題になってた
「二つの封筒を用意して、片方にはもう片方の二倍の金額を入れる、最小値は１円、
片方を開封した被験者にもう片方の金額がバレてはいけない」という問題
ここでも連鎖によって困ったことが起きる
１５円３０円のペアが無理なのは言うまでもない、もし被験者が１５円を開封したらもう片方が３０円だとバレてしまう
となると３０円６０円も無理、すでに１５円３０円があり得ないと分かってるんだから、
被験者が３０円を開封した時点でもう片方が６０円だとバレてしまう
となると６０円１２０円も無理・・・・・・・・・・

共有意識も、抜き打ちテストも、二つの封筒も、全て連鎖が絡んでる

現実の世界なら
「相手も知っているかもしない」
「相手に自分の考えが読まれてるかもしれない」
ぐらいのことを考えるのがやっと
不確かなことしか解らない
たからこそ相手の裏をかいたりもできるが、裏の裏をかかれる可能性もある

永久に亀の後ろを走り続けてればいいと思うよ

128×128のチェス盤からマス目を1個除いたものはL字牌で敷き詰められることを証明せよ

3×2

あぼーん

3×2、5×9
2×2、5×5

ベタかな。
(アナログ)時計で、夜の０時０分から、翌日の０時０分までに、長針と短針が重なるのは何回か？ただし０時０分は除くものとする。

0<x<1440
6x-x/2=360n ∴x=720n/11
n=1〜21

↓これって、オマイラが歌ってるんだよな？
http://www.youtube.com/watch?v=yxOiP5SxocY&sns=em

太郎くんと花子ちゃんが商店街で買い物に行ったとする。
二人が帰りに廃校舎に遊びに行き二時間後に帰宅。
およそ三ヶ月後に花子ちゃんが吐き気をもようしたと仮定した場合
この問題の登場人物が三人になっている確率は？

体K上の多項式 f(X) = X^3-3X-1 ∈ K[X] は、
K内に少なくとも1根を持つものとする。
このとき、fの重複度を込めた3つの根は
全てKに含まれることを示せ。

>>228
ちょいとズルいかもしれんが

まず複素数で考えてみると、
X=2Yとおけば、f(X)=8Y^3-6Y-1
f(X)=0⇔4Y^3-3Y=1/2
Y=cos20ﾟ,cos140ﾟ,cos260ﾟはこれを満たす。(3倍角の公式　cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ　より)
よって、f(X)の根は　2cos20ﾟ,2cos140ﾟ,2cos260ﾟ。
ここで、α=2cos20ﾟとおくと、
2cos140ﾟ=-2cos40ﾟ=-2(2(cos20ﾟ)^2-1)=-α^2+2
と書ける。

これを踏まえ、一般の体で考える。
f(X)のK内における根の一つをαとすると、
f(X)=(X-α)(X^2+αX+α^2-3)　と因数分解できる。
g(X)=X^2+αX+α^2-3　とおく。g(X)がK内に一つ根を持てば、残り一つもKに含まれる。
g(-α^2+2)
=(-α^2+2)^2+α(-α^2+2)+α^2-3
=α^4-4α^2+4-α^3+2α+α^2-3
=α^4-α^3-3α^2+2α+1
=(α^3-3α-1)(α-1)
=0
より、-α^2+2はg(X)の根。
したがって、f(X)の根は全てKに含まれる。□

なるほどー

正八面体の一つの面を床に置いた時、真上から見たらこの図形はどう見えるか。[出典・Ｔ大]

正六角形

>232
もう少し詳しく。

ちなみにＴ大は駒場にある大学ね。

床と平行な正三角形とその辺それぞれにくっついた斜めの二等辺三角形
とでも言えばいいのか

http://gascon.cocolog-nifty.com/photos/uncategorized/2009/08/22/c147_02.png

>234
まあ…。

正六角形の中に六芒星があるように見える、とかそんな感じか。実際には作図させる問題みたいだが。

馬鹿はその存在が無駄なんや。そやし馬鹿は居なくてもエエのやナ。

ケケケ狢

>>236
>>235を見る気はないのか？

馬鹿板は無駄。

狢

6点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)
平面x+y+z=-1を床とする。この平面上にない3点から床に下ろした垂線の足は
(1,0,0)→(1/3,-2/3,-2/3)
(0,1,0)→(-2/3,1/3,-2/3)
(0,0,1)→(-2/3,-2/3,1/3)
∴6点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3)により囲まれる図形

あぼーん

３ｙ＋２= ２ｙ＋３　　

それぞれ移項して、３ｙ-３=２ｙ-２

３(ｙ-1) =２(ｙ-1)

両辺 (ｙ-1) で割って 、３=２

あれっ、 ３=２に

あぼーん

三人の女性が3000円のゲームを買うことにした。

三人が1000円ずつ出し合い3000円を店員に渡したところ、奥に入った店員は主人から「少し古いので500円まけてやりな。」といわれた。

ところがこの店員は「500円では半端だ。三人なので300円まけたことにして、200円は俺がもらっておこう。」と考え、女性に300円返した。

仲良し三人組は100円ずつ分け合った。

三人は最初1000円ずつ出したがあとで100円返してもらったので、結局各人900円出したことになる。

支払った三人の900円の合計と店員のポケットに入れた200円を合計すると2900円になる。

100円はどこに消えたんだろうか？

あぼーん

意味不明な計算してるだけだ。あまりにも今さらだし。

あぼーん

2500(ゲームの代金)+200(俺の取り分)=3000(初めの支払い)-300(まけた代金)

あぼーん

>>242
0で割るなし

>>242
計算の過程でどこかに偶然ゼロが含まれてしまうこともあるから注意しなくてはいけない、
という警告としての価値があるね、その書き込み
なかなか面白い

>238
文字化けしてて見れなかった。手書き画像をアップしてあるとか？

>>252
http://blog-imgs-43.fc2.com/s/e/i/seishinnyc/c147_02.png

数列
４，６，７，９，10，11，12，14，□，・・・
数学好きならすぐ分かるかな、有名だし

つまらん

数学好きだけどさっぱりわからんし聞いたことも見たこともない

フィボナッチ数を除いた自然数列

>>257正解！

フィボナッチ数を除いた自然数列は、項番nの初等関数として表すことは出来るか?

F[k]={(1+√5)^k/√5}　({m}：mに最も近い整数)　を使って
nまでに何個フィボナッチ数が存在するかを求めて…みたいな？
うーん、しかしこれでは初等関数にはならないなぁ

あぼーん

>253
ごめん、やっぱり文字化けしてる。
この携帯ダメだぁ〜。７年前に買ったやつだし。

>>235も>>253も文字化けなど見えん、図しかないぞ

>>262
PCで見ようぜ…

>264
パソコンはネットに繋がっていない。

>>220
2^n×2^nのチェス盤について考える
(i)n=1のとき、
L字牌1つで埋まる

(ii)n=kのとき成り立つと仮定する

n=k+1のとき、
2^(k+1)×2^(k+1)=4×2^k×2^kより、
2^k×2^kのチェス盤を四方に並べたものとして考える

ここで、2^(k+1)×2^(k+1)のチェス盤の中央(2^k×2^kのチェス盤の角が互いに接し合う場所)にL字牌を置くと、L字牌が重なっている2^k×2^kのチェス盤は1マス除かれた状態のため、仮定からL字牌で敷き詰められる
また、L字牌が重なっていない2^k×2^kのチェス盤から1マス抜けば、仮定からL字牌で敷き詰められる
(i),(ii)から数学的帰納法より成り立つ
したがってn=7のときの
128×128のチェス盤でも成り立つ

aを定数として、次の不等式を解け。
ax−2＜a^2･x^2−4＜ax＋2
[法政大]

>>220>>266
立方体でも類似のことが云えるな。

>>267
(3/2)^2＜(ax-1/2)^2＜(5/2)^2

つまらん。

計算ドリル問題のどこが面白いやら

a=b
a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b
b+b=b
2b=b
2=1

なんかこれ思い出したわｗｗｗｗｗ

０で割るやつがあるか

そんな大人ぶらなくたって・・・

数的処理もここでいいのかな

8F建ての建物に設置されているエレベーターがいFから上昇して8Fに到着するまでの間に
A〜Eの５人がそれぞれ乗り降りをした
５人が次のように述べているとき1〜5の中で確実にいえるのはどれか
なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この２人は乗り合わせたことにはならない

A「私は乗った階から3つ上の階で降りた」
B「私は4Fで降りた。Aと同じ階で乗ったが、降りた階は異なる階だった」
C「私はAが降りた階で乗り、乗った階から２つ上の階で降りた」
D「私は乗った階から2つ上の階で降りた。私は誰とも乗り合わせなかった」
E「私は既に下の階から乗っていたAと乗り合わせCと一緒に降りた」

1　Aは6Fで降りた
2　Bは2Fで乗った
3　Cは7Fで降りた
4　Dは6Fで乗った
5　Eは4Fで乗った

よろしくお願いします

＞いF

1Fのミスです
階と変換するのがめんどくてF使ってますが原文は全部階で統一してあります

難しいな
どこがどう面白いのかさっぱりわからん

(A) Ai + 3 = Ao
(B) Bo = 4, Bi <= 3, Bi = Ai, Ao ≠ Bo
(C) Ci = Ao, Co = Ci + 2
(D) Do = Di + 2, Di >= Ao,Bo,Co,Eo
(E) Ei > Ai, Eo = Co

(C)までの条件で
Ai 1 2 3
Ao 4 5 6
Bi 1 2 3
Bo 4
Ci 4 5 6
Co 6 7 8
となるが、(D)の条件でCi=Ao=4となり矛盾。

1.
D.
2.
D.
3.
A,B.
4.
A,(E).
5.
A,E.
6.
C,E.
7.
C,E.
8.

なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この２人は乗り合わせたことにはならない

ちなみに答え1です
アプローチの仕方教えてください

>>275
Bの証言から、Aは4Fで降りていない。
上とAとCの証言から、「Aが2F→5F、Cが5F→7F」または「Aが3F→6F、Cが6F→8F」。
上とDの証言から、「Aが3F→6F、Bが3F→4F、Cが6F→8F、Dが1F→3F」で確定。
上とEの証言から、「Eが4F、5F→8F」。乗った階は確定しない。
よって、1○ 2× 3× 4× 5×。

>>283はちょっとだけ端折ってるけど、Aの証言から順に愚直に吟味するだけの問題じゃねえか。

Aの証言からAは1→4、2→5、3→6、4→7、5→8のいずれか。
以下、>>283と同様。

スケジュール表を埋めるだけの作業だしな

>>283-284
なるほど、解説きくとけっこうすんなりいくもんですね
ありがとうございます

(D)は、Di >= Ao,Bo,Co,Eo
ともとれるが、Do <= Ai,Bi,Ci,Ei
にもなるのか．．．

数学史上、一旦確立した定理が覆っちゃったことってありますか？

「確立」とは？

確立＝学会が認定
学会すら無かった時代は対象外で

近代では無いんじゃないか？
未確定なものは未確定として予想扱いにしてただろう。
誰かが言ったから採用なんてのはアリストテレスとかの時代じゃね？

学会は認定なんかしないだろ
個々人が認めるだけさ

宇宙定数・・・は物理か。

クイックソートの最初の論文には誤りが有ったけど、
30年間、誤りが正されなかったんだっけ。

数学基礎論の分野で何か無いかな

公理が定理になることはある

そんなのあったっけ？
ぱっと思いつかんのだが

>>297
例えばヒルベルトの幾何学基礎論にある定理の一つ「1直線上に任意の4点が与えられたとき、これらの点をA,B,C,Dで表し、A#B#CかつA#C#DかつB#C#Dとすることが常に可能である(ただし、点Xが点Y,Zの間にある関係をY#X#Zで表す)」
というのは元々公理だったけど後に他の順序公理から導けることがわかったから定理になった

>>267
　>>269 の続き...

　3/2 < |ax - 1/2| < 5/2,
∴　-5/2 < ax -1/2 < -3/2　または　3/2 < ax -1/2 < 5/2,
∴　-2 < ax < -1　または　2 < ax < 3,

・a>0 のとき
　-2/a < x <-1/a　または　2/a < x < 3/a,

・a<0 のとき
　3/a < x < 2/a　または　-1/a < x < -2/a,

・a=0 のとき
　解なし。

関数f(x)は、次の条件�@、�Aを満たしている。
�@f'(0)＝a
�Aすべての実数x、yに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)

(1)f'(x)を求めよ。
(2)f(x)＝f(1)xを示せ。
[大阪市大]

1/17 = 0.058823529411....なのだが
588^2 + 2353^2 = 5882353 が成り立つことを計算せずに
1/17から説明しなさい。

>>301
　1/17 なので、

　n = 6*(10^2 -2) = 588 とおくと、
　2353 = 4n+1,
　17n = (10^2 +2)(10^2 -2) = 10^4 -4,
　5882353 = (10^4 +4)n +1
　　　　　= (10^4 -4)n +8n +1
　　　　　= (17n)n +8n +1
　　　　　= n^2 + (4n+1)^2,

これは面白い。
出典はどこ？

2＾29　は9桁の数で、各桁の数字がすべて異なる。
0〜9のうち、この数の桁に現れない数字を、2＾29を直接書き下す以外の方法で決定せよ。

(2＾29の各桁の数字の和)=2^29≡(2^3)^9*4≡-4≡5 mod9
一方0+1+2+3+…+9=45≡0 mod9
∴現れない数字は4

>>303
588^2+2352^2を計算しなさいという問題があり、成立の理由を調べたら17=4^2+1との関係がわかった。

すばらしい炯眼

f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1
g(x)f(x+2)-f(x)g(x+2)=1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
a*g(x)=g(x-2)+g(x+2)

1. a≠2のとき
x^2-ax+1=0の2解をα、βとすると
f(x+2)-αf(x)=β{f(x)-αf(x-2)}
h(x)=f(x+2)-αf(x)とおくと
h(x)=βh(x-2)
h(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x、C4,C5は定数 …�@
f(x+2)-βf(x)=α{f(x)-βf(x-2)}
k(x)=f(x+2)-βf(x)とおくと
k(x)=αk(x-2)
k(x)=C6(√α)^x+C7(-√α)^x、C6,C7は定数 …�A
�@,�Aから
(β-α)f(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x-C6(√α)^x-C7(-√α)^x
f(x)=C0(√α)^x+C1(-√α)^x+C2(√β)^x+C3(-√β)^x、C0,C1,C2,C3は定数

2. a=2のとき
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=Cとすると
f(x)=C/2*x+C0+C1(-1)^x、C0,C1は定数

>>308
> よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。

なぜ？

a=2のとき、を以下に訂正
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=C4+C5(-1)^x、C4,C5は定数とすると
f(x)-f(x-2)=C4+C5(-1)^(x-2)=f(x+2)-f(x)
ここで
f(x)=C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x、C1,C3は定数
とすると
f(x+2)-f(x)=C4/2*(x+2)+C1+(C5/2*(x+2)+C3)(-1)^(x+2)-(C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x)
=C4+C5(-1)^x
となるので、C0=C4/2, C2=C5/2として
f(x)=C0*x+C1+(C2*x+C3)(-1)^x

>>309
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)かつa*g(x)=g(x-2)+g(x+2) ⇒ f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
は自明。逆は知らない。

逆が問題なわけだが

f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))=bとすると
g(x)=b/(f(x-2)+f(x+2))
g(x-2)=b/(f(x-4)+f(x))
g(x+2)=b/(f(x)+f(x+4))
f(x)*(b/(f(x-4)+f(x))+b/(f(x)+f(x+4)))=b
f(x)*(f(x)+f(x+4)+f(x-4)+f(x))=(f(x-4)+f(x))(f(x)+f(x+4))
f(x)(f(x+4)+2f(x)+f(x-4))=f(x)^2+(f(x+4)+f(x-4))f(x)+f(x+4)f(x-4)
f(x)^2=f(x+4)f(x-4)

a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
f(x+4)=a*f(x+2)-f(x)
f(x-4)=a*f(x-2)-f(x)
f(x+4)f(x-4)=(a*f(x+2)-f(x))(a*f(x-2)-f(x))
=f(x)^2+a*(f(x+2)+f(x-2))*f(x)+a^2*f(x+2)*f(x-2)
となりa=0？

>>313
b→b(x)だった.…

三角形の内部にあるn個の点によって、この三角形は2n+1個の領域に三角形分割されることを証明せよ

え？

またポエマーかよ。
今回はどんだけ後出しするのやら。

普通に帰納法使うかすれば解けるんじゃね？
どこが面白い問題なんだか

2回くらい後出しが必要かｗ

多分、最初の三角形の頂点も含めて、どの3点も一直線上にはないものとする、
くらいは、出てくるかな

エスパーしたところによれば、それは要らないと出た

>>321
それ俺が昼ごろ書こうとしたが考えなおしたら不要だと気づいてやめた文言じゃないか

a,b(≧2)を互いに素な整数とする。
整数m,n(≧0)がm+n=ab-a-bを満たすとき、
mとnのどちらか一方のみが
ax+by（x,yは非負整数）
という形で表せることを示せ。

m,nの≧0という条件は不要だった

アナログで最強のソートはどれか考えたい。

トランプのようなカードに
1000以下の数字が一様平均ランダム＆重複ありで書かれている。
全部で100枚程度ある。
数字の小さい順にソートするとき、
平均計算量が一番少なくなるのはどのアルゴリズムか？
道具はなくて広い部屋に裸で閉じ込められたみたいなシュールな状況を想像してほしい

あ、床は自由に使ってよしで

数字は1〜1000の自然数を想定
動きまわるのも、分類が多すぎるのも、作業効率かえって低くなりそうなんで

(1)１の桁だけでまず分類する
(2)分類し終わったら1の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(3)同じように上のカードから１0の桁だけで分類する
(4)同じように分類し終わったら10の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(5)同じように100の桁だけで分類
(6)同じように100の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(7)1000だけ補正作業

ただし分担作業する場合は他の人もこの方法について理解している必要がある

……(6)だけ9が下〜0が上でよかった

人手でやるならバケットソート系列が良いだろう
経過が分かり易いしミスったときも挿入し易い
100枚程度なら手の届く範囲で並べられるから
メモリコストも気にしなくて良い

例えば>>328の方法を上の桁からやればいい

>>328
上限が1000なら、壁から数字mm離して置いていけば、
1mのソート済みカード列が出来るな。

プログラム的にもそれが最速だろうな

右手にソート前、左手にソート済みを持ってバブルソートじゃない？
床に比べてメモリアクセス効率がいいぞ

1mm単位で調整なんて俺にはそんな手早くできないが

4面体の4つの面にそれぞれ0,1,2,3の数字が書かれてあり、
投げた時にそれぞれの面が下を向く確率は1/6,1/3,1/3,1/6とする。
このとき、下を向いた面に書かれている数を「出目」と呼ぶことにすると、
出目を2で割った余りが0,1になる確率はそれぞれ1/2であり、
出目を3で割った余りが0,1,2になる確率はそれぞれ1/3である。
この4面体は、出目を2および3で割った余りがそれぞれ等確率となる、
面の数が最小のサイコロである。

さて、今度は出目を2,3,5で割った余りがそれぞれ等確率となるものを作りたい。
ただし、出目となる数は整数であれば何でもよい。
また、それぞれの面が下を向く確率の比は自由に調整できるものとする。
面の数は最小でいくつだろううか。

7面ではできない…と思うが…どうか

8面でできた、1から順に
1/30, 1/10, 1/6, 1/5, 1/5, 1/6, 1/10, 1/30

>>337
１〜８でもできたのか……

>>324

背理法による。
mもnも ax+by (x≧0, y≧0) の形で表わせたと仮定する。
m+nもそうだから、
　ab-a-b = ax+by　(0≦x<b-1, 0≦y<a-1)
　ab = a(x+1) + b(y+1),
(a,b)=1 より
　x+1 ≡ 0　(mod b)、y+1 ≡ 0　(mod a)
　x+1 = kb、y+1 = La (k≧1, L≧1).
　ab = ab(k+L),
ab(≠0) で割って、
　1 = k+L ≧ 2,　　(矛盾)
∴　m, n の一方は ax+by の形では表わせない。

>>316

nについての帰納法による。

(1) n=1 ならば明らかに成立する。

(2) n-1 については命題が成り立つ、と仮定する。

・n番目の点Pnがいずれかの△の内部にあるとき
　　→　その△がPnにより３つの△に分割される。

・n番目の点Pnがいずれかの辺上にあるとき
　　→　その辺を共有する２つの△が、Pnにより４つの△に分割される。

・n番目の点が頂点と重なるとき
　　→　命題を「n個の相異なる点により････」と解するならば、この場合は生じない。

よってnについても成立する。

nは正整数である。n×nのマス目があって、それぞれのマスに1,2…,n^2の数字が一つずつ記されている。
このとき、どのような数字の記し方についても、次の性質をもつ隣接したマスが存在することを示せ。
「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」

>>339
m,nの一方がax+byの形で表せることの証明が必要なのでは

>>335
8面でできることは連立方程式を解けば>>337のように出るんだろうけど、
7面で出来ないことの証明って簡単に出来るの？

７面で１／５，１／５，１／５，１／５，１／５となるのは
１／５，１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ＋ｃまたは
１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ，ｃ＋ｄ。
１／５，１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ＋ｃのとき
１／３＜１／５＋１／５なので１／３，１／３，１／３はできない。
１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ，ｃ＋ｄのとき
１／３，１／３，１／３にするには
１／５，１／５，１／５，２／１５＋１／１５，２／１５＋１／１５で
１／２，１／２はできない。

（１２，１２，１２，８，７，５，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，９，８，４，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，９，７，５，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，８，７，５，４，１）／６０。
（１２，１２，９，８，７，５，４，３）／６０。
（６，６，６，４，４，２，１，１）／３０。
（６，６，６，４，３，３，１，１）／３０。
（６，６，６，４，３，２，２，１）／３０。
（６，６，５，５，４，２，１，１）／３０。
（６，６，５，５，３，３，１，１）／３０。
（６，６，５，４，４，２，２，１）／３０。
（６，６，５，４，３，３，２，１）／３０。
（６，６，４，４，３，３，２，２）／３０。

>>341
147
582
936

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nを正整数とする。
任意の2n-1個の整数があったとき、その中から和がnの倍数になるn個の整数が取りだせることを示せ。

>>341
×「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」
○「隣接したマスの記されている数同士の差はn以上」
ではないか？

test

>>348

数学の部屋　→　『割り切れる？Ｐart7』
　山梨県　Footmark さんからの問題です。高校生以上向き。
三重県からの解答を掲載。

test

4次元正多面体をカウントしる

数学の挑戦！！！
「エンジニアなら、三分以内に解ける；建築家なら、三時間；医者なら、六時間；
会計士なら、三ヶ月； 弁護士なら、解けないかもしれない」という仮説があります。
皆さんはどのくらいの時間がかかりますか?
https://twitter.com/baiduime/status/373445009929805824/

問題の画像
http://pbs.twimg.com/media/BS6-QgTCIAA1pr-.jpg:large?.jpg

↑

なぁ、お前らは正解分かる？何分で解いた？

>>354
右から二列目の縦列だけに注目すれば答えは簡単だけど、
他の列は無視していいんだろうか？

答えは任意の数、少なくとも91と答える奴はアホ

>>354　の問題の画像

［２ ３ ４ 15 12］
［３ ４ ５ 28 20］
［４ ５ ６ 45 30］
［５ ６ ７ 66 42］
［６ ７ ８ ？ 56］


　m-1, m, m+1, Ｃ[2m,2]=m(2m-1), m(m+1)

何でわざわざ余分なのがつけてあるのだろうか。
OEISでも91の他はなかった。六角数がわかったくらい。

「問題未定義、少数の強法則。」
と唱えるのに、数秒。
何秒かかるかは、滑舌しだい。

>>351

２ｎ−１個の整数の中に、余りが同じものがｎ個以上あれば、そこからｎ個を取り出すと和はｎの倍数なので、命題は成立する。
よって、以下では、余りが同じものはｎ−１個以下とする。

ｎの因数についての帰納法による。

(1) ｎが素数のとき
２ｎ−１個の整数をｎで割った余りの順に並べ、x_1, x_2, ..., x_(2n-1) とする。

同じ余りがｎ個以上並ばないため、
　j-i ≧ n-1 ⇒　x_j - x_i はｎで割リ切れない。

ここで、i=1,2,････,n-1 に対して
　y_i = x_(n+i)- x_i ≠ 0　(mod n)
つまり、「非合同ペア」がｎ−１組できる。
　{x_1、x_(n+1)}
　{x_2、x_(n+2)}
　　････････
{x_(n-1)、x_(2n-1)}
各ペアから一方を選ぶやり方は
　{y_1、y_2、･････、y_(n-1)}
の部分集合（φも含める）と対応しており 2^(n-1) とおりある。

>>351

〔補題〕1≦k≦n-1 とする。
　{y_1、y_2、･････、y_k} の部分集合（φも含める）について、要素の和をｎで割ったときの余りを求めると、
(k+1) 種類以上ある。

(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは φおよび{y_1} の２種があり、成立つ。
k-1 について成立つと仮定する。
　{y_1､ ････、y_(k-1)} の部分集合について、要素の和をnで割った余りを求め、
　その集合を S_(k-1) とする。つまり、余りは #S_(k-1) 種類ある。
　#S_(k-1) = n ならば命題は成立する。
　#S_(k-1) < n ならば、上記の部分集合に y_k を加えたものを考える。
　nで割った余りは同数｛#S_(k-1) 種類｝だが、
　Sum{S_(k-1)~} = Sum{S_(k-1)} + y_k･#S_(k-1),
　y_k ≠ 0　(mod n)、 #S_(k-1) ≠ 0　(mod n)、nは素数だから、
　y_k･#S_(k-1) ≠ 0　　(mod n)
　S_(k-1) と S_(k-1)~ は要素の数は同じだが、内容は異なる。
∴　S_(k-1)~ には S_(k-1) にない要素がある。
　S_k = S_(k-1) ∪ S_(k-1)~ ⊃ S_(k-1),
　#S_k ≧ #S_(k-1) + 1,　　　　　（略証終）

>>351

∴　{y_1、y_2、･････、y_(n-1)} の部分集合（φも含める）について、
　要素の和をnで割った余りを求めると、ｎ種類すべてを含む。

　とくに -(x_1 + ･････ + x_n) と同じ余りのものを含む。
∴　和がｎの倍数であるようなｎ個組の整数を取り出せる。

以上から、ｎが素数のとき、命題は成立する。

(2)　ｎが合成数のとき。

ｎの素因数の一つをｐとし、ｎ＝ｐｍとする。

　素数の場合と同様にして、ｎ−１個の整数の中から、和がｐの倍数であるようなｐ個組の整数を除去する。
これは２ｍ−１回繰り返すことができる。
その結果、和がｐの倍数であるようなｐ個組が２ｍ−１組できる。｛最後にp-1個が残るが｝

これらｐ個組の和をｐで割った値を {z_1, z_2, ..., z_(2m-1)} とおく。
帰納法の仮定により、これら２ｍ−１個の整数から、和がｍの倍数であるようなｍ個を取り出せる。

よって、和がｐｍの倍数であるような、ｐｍ個を取り出すことも可能。

　　（三重県　鳥居さんからの解答）

>>351

（蛇足）
２ｎ−２個の整数の中からｎ個を取り出してその和をｎの倍数とすることは、一般には不可能である。
〔例〕{a,････,a, a+1,････,a+1} (各n-1個）

任意の項数nの実数列には、単調増加または単調非増加な項数ceiling(√n)の部分数列があることを示せ。
ここで、ceiling(x)はx以上の整数の中で最小のものである。

整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数Ｎ∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^n-1 への分割の総数に等しいことを示せ。

例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}

>>365 訂正 （２行目２個目の 2^n-1 → 2^(n-1) ）

整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数Ｎ∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^(n-1) への分割の総数に等しいことを示せ。

例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}

>>335
一般にn_1,…n_mをどの2数も互いに素な2以上の自然数としたとき
これらの数について条件を満たすN=n_1+…+n_m-m+1面のサイコロを構成出来て
そのサイコロで出目がiとなる確率P(i)(0≦i≦N-1)は
P(i)=♯{(i_1,…,i_m)|0≦i_j≦n_j-1,i_1+…+i_m=i}/Π[k=1,m]n_k
で与えられることはわかった。
これが最小で一意だと思うが、それはうまく示せなかった。

高校数学の質問スレPART356
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1378637354/283

283 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2013/09/13(金) 07:57:15.03
凸八角形Kがある。Kの頂点のうち適当な3点を結んで三角形を作ると
その面積はKの面積の ( ア )分の1以上にできる。

アに当てはまる最小の自然数はいくらか。

これはどのように考えればいいのでしょうか。
こんな問題初めてです。分野さえ分かりません。

正八角形で1,3,6番目の頂点を結んだ場合を考えて、3 ( > 8-4√2 ) だろうか
なお間違っている可能性がかなりある。眠いし

>>368以下と解釈。
任意の凸八角形Kに対して、Kの頂点のうち3点を結んで作られる三角形のうち
その面積が最大となるものは、少なくともKの面積の ( ア )分の1以上である。

>>369の例で3は可能。
八角形の頂点を一つ飛ばしで選んだ四角形と、
この四角形に外接し、かつ、八角形を内包する四角形との
入れ子で上限を見積もってみたけど、4は無理そうな感じだな。

正八角形なら3は可能ってだけじゃないの？
4を考えてる意味もわからん。

最大の三角形をＡＢＣとする。
Ａを通りＢＣに平行な直線とＢを通りＡＣに平行な直線とＣを通りＡＢに平行な直線で
できる三角形をＤＥＦとすると
Ｋ＜ＤＥＦ＝４ＡＢＣ。

日能研の問題から応用問題。
半径の和が自然数Nであり、それぞれ自然数の半径a,b,cを持ち、
互いに重ならない３つの円を考える。
(１) N=20のとき、３つの円の面積の和の最小値と最大値を求めよ。
(２) ３つの円の面積の和の最大・最小をNを用いて表現せよ。
　　 なお、導出過程も記述せよ。

まあ、宮廷の大学入試レベルだな。

どこが面白いのかさっぱりわからん

書くのがかなりめんどい。というか俺はあきらめた。
受験生が「これなら分かるぞ」と思って解きはじめるが、
ごちゃごちゃしてきて投げてしまうパターン

計算だけでやろうとするとゴチャゴチャするが
論理でやるとスッキリできる

「論理でやる」とは？

>>373
「自然数a,b,cがあり、a+b+c=Nとする。N=20の時、a^2+b^2+c^2の最大値と最小値を求めよ」
という問題と、本質的にどこが異なる？
なぜ、円が出てきて、互いに重ならないとかが出てくる？
問題に、記載されていない条件がなにか、抜けているのでは？

>>378
Nの3に対する剰余で最大最小値が変わる
実数ならa=b=cで最大だが、自然数という制限が付いているからN=20の時には実現できない

すまん。何か勘違いしてた。
>>373とは別人です。
小学生向きの文章をそのまま改変したとか？

>>380
その通りです。日能研の文章をそのまま改変しただけ。
問題が面白くないor冗長なのはご愛嬌ってことで。
そういえば、日能研の文章には追加で、
最小となるa,b,cの組み合わせは何通りあるか、という問題もあったな。
どちらも、ガチャガチャ数え上げる計算しかできない小学生
にとっては、少し酷い問題だなと思ってしまった。

日能研の問題は数値をNに一般化すると、宮廷入試以上のレベルになる
ものが多い、という一例。
今回の回答の本質は>>379だね。最小は基本a=b=cだがNが3で
割り切れない場合の処理と、最大値の証明が大変。
正解は直感的に分かる人が多いが、それが正解だと示すのが面倒くさいので
後回しにされる問題だと思う。

問題文が冗長はともかく、問題が面白くないのはご愛嬌とかスレタイ見ろよとしか言えないんだが。

>>373

　a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)|a-b|^2,
より、a+b が一定ならば、|a-b| の大きい方が大きい。

（最小）
もし a-b≧2 ならば、
　(a-1)^2 + (b+1)^2 = (a^2 + b^2) -2(a-b-1)
　　　　　　　　　　≦ (a^2 +b^2) -2,
となるので、(a,b) は最小ではない。
∴　|a-b|≦1
同様にして　|b-c|≦1、|c-a|≦1.
　{a,b,c} = {q, q+1}　
ただし、N = 3q + r,　(0≦r<3)
　q が 3-r 個、q+1 が r 個.
　aa + bb + cc = （3-r)qq + r(q+1)^2
　　　= 3qq +r(2q+1)
　　　= ((3q+r)^2 -rr +3r)/3
　　　= (NN + r(3-r))/3,

（最大）
　{a,b,c} = {1,1,N-2} のとき
　aa + bb + cc = (N-2)^2 + 2,

>>373

つまり

　最小値：　π[ (NN+2)/3 ],

　最大値：　π((N-2)^2 + 2),

一見問題が面白いと思えなくても解き方が面白いなら許せるが、これはどうだろうか。

問題、解法、結果、全てがつまらんな
問題のための問題としか思えん

ａ（ｂ）≧ａ（ｂ＋１）（１≦ｂ＜Ｎ）＝＞ａ（ｂ）≦Ｎ−ｂ。

Ｊ＝�煤i２＾（ａ（ｂ）））。

>>386

ttp://modernfart.jp/2010/06/7564/

凹型五等辺五角形は無限個存在する。

一つの凹型五等辺五角形をある次元の空間上の一点で表すとして、
ちかい形同士は近くに置いて、
できるだけ形の対称性が点列配置の対称性に対応するとすると
それら全ての集合は何次元のどんな形になるか？
(数学の問題としては記述が不正確だけどそこは許して)

辺の長さを１に固定すると、自由度は隣り合う角度で二次元
最後の点を半径１の円の２交点のうちどちらにとるかで２通り
２つの正方形平面から最後の点まで辺が届かない、辺同士が交差、凸型、の
３領域を除くことになりそう

有名だけど

次のようなゲームを考える
プレイヤーと司会者がおり、プレイヤーの前には３つのドアがあり、その奥には当たりが１つ、ハズレが２つ用意されている。
プレイヤーがドアを１つ選択する（この時点では開けない）。
司会者は正解のドアを把握しており（これについてプレイヤーは承知している）、
残された２つのうちハズレのドアを１つ開ける（２つともハズレの場合はランダム）。
司会者は「今なら選択を変更して構いませんよ？」とプレイヤーに問いかける。
さて、このときプレイヤーは最初の選択を変更するべきか、否か。

ドアを選択した時点で、当たりであってもハズレであっても
変更するかしないかで等確率1/2で当たりハズレがあるので
選択を変更してもしなくても当たる確率は同じ。

正解のドアを把握している司会者がハズレを1つ教えることがポイント

>>392
ちょっと俺と賭けをしないか？

0から999の整数を、三次元格子点(x,y,z)と次のルールで対応付ける
xは100の位の数字、yは10の位の数字、zは1の位の数字

問題：
0から999までの整数から三つの素数を選び、それに対応する三つの三次元格子点を結ぶと
正三角形を成したという。そのような3素数の選び方のうち、もっとも大きな正三角形を
成す組み合わせは何か？

ふむ…

次の数列の□に当てはまる数はなんですか？
６　１６　３２　３４　□

881,991

>>398 すべての正答を見つけただろうということは判る

>>395

辺の長さって
　{113, 131, 311} なら 2√2
　{337, 373, 733} なら 4√2
　{199, 919, 991} なら 8√2
てな具合？

そうですよ

>>391
モンティ・ホール問題ね
さすがに有名すぎ

Σ[n=1〜∞](n+m-1)Pm・(1-r)^n=m!/2r^m
を示せ
但しm∈N r∈Rで0<r<1

>>403

与式を Q_m とおく。母関数は
　Σ[m=0,∞) Q_m/m!･s^m
　= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) P[n+m-1,m]/m! (1-r)^(n-1)･s^m
　= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) C[n+m-1,m] (1-r)^(n-1)･s^m
　= Σ[n '=0,∞) Σ[m=0,n '] C[n ',m] (1-r)^n '-m･s^m
　= Σ[n '=0,∞) (1-r+s)^n '
　= 1/(r-s)
　= (1/r)/{1-(s/r)}
　= (1/r)Σ[m=0,∞) (s/r)^m,

∴　Q_m = m!/r^(m+1),

次の条件を満たす閉集合X[1],X[2],...と数列a[1],a[2],...は存在するか？
・各iについてa[i]は自然数でありX[i]はR^2内の正a[i]角形である
・ある有界集合Yがあって各iについてX[i]⊂Yとなる
・各iについてa[i+1]<2*a[i]
・各iについてX[i]⊂X[i+1]

閉集合X[1],X[2],...は閉集合列X[1],X[2],...のこととして、さっぱりわからん
どこら辺がどう面白いのかが

a[i+1]=a[i], X[i]=X[i+1] でいいだろ

3つの皿に、それぞれいくつかの豆が入っている。
これらに対し、以下の1つの操作だけが許されている。

操作: 2つの皿を選びA,Bとする。
　　　AからBに、きっかりBの個数分だけ豆を移す。

　　i.e. A,Bの豆をa個,b個(a≧b)としたとき、
　　　AからBにb個の豆を移して a-b個, 2b個とする。

3つの皿の初期状態がどのような個数であっても、
この操作を上手く繰り返すことにより、いずれかの皿を
空にすることができることを示せ。

質問させてもらいます。

試行回数をｎ、的中率をｐ、回収率をｋ％とすると、
真の回収率＝ｋ × (p ± ２×平方根((１−ｐ)×ｐ／ｎ) )／ｐ

※１と２の真の回収率はそれぞれいくつになるのでしょうか？

※１　試行回数４８５　　　的中率５．８％　　　　　回収率１８１．３％

※２　　　　　４８５　　　　　　１１．５％　　　　　　　１２３．９％

>>405 >>406
たとえば…
a[i]=2^i+1、半径１の円をC[0]として、任意の自然数iについて
C[i-1]に外接する正a[i]角形を周とする領域をX[i]、X[i]に外接する円をC[i]とすると、
C[i]の半径r[i]は，r[i]=Π{k=1,i}cos(π/(2^k+1))と表せる。
これでi→∞としてr[i]が有限値に収束するなら、これがその例になる。
r[i]は対数を取るとlog(cos(π/(2^i+1)))のΣとなるので、それを適当に評価すればいい。
面倒なので以下略

答えじゃなくて、どこが面白いのかわからんだけなのだが

Πが無理数であることの証明って出来ます？

πが有理数であると仮定すると超越数であることと矛盾

その各桁の数の立方の和に等しいような数が。ちょうど４個ある。
それらはいくつか。

古典的名著、コンスタンス・レイド『ゼロから無限へ』（芹沢正三訳、
講談社ブルーバックス、1971）より。

意味が取れない？？？？

そのような数はせいぜい4桁なので虱潰しで

>>414

1, 153, 370, 371, 407 （自然数を十進法で表わしたとき）

スレチかもしれないですがスレ立てできなかったので貼らせていただきます
数学の課題です、お願いいたします

次の(i)(ii)を満たすDnを求めよ
(i)lim 　Dn={(x,y)|x>0,y>0}
n→∞
(ii)lim ∬ (x-y)dxdy=2014
n→∞　Dn
ヒント
Dn{(x,y)|a <x<bn,c <y<dn}を予想して確かめる
　　　　　 n　　　 n
lim 　a =0=lim　c 　 lim 　 b =∞=lim 　d
n→∞　 n 　n→∞ n n→∞ 　n　 n→∞　n

>>418
マルチポストはしない
既に質問スレがあるので個別の問題でスレ立てはしない
質問スレのテンプレを見て式を書き直せ
ここでの質問は取り下げて質問スレで親切な人を待て

ろくに読みもしないで質問する奴って
よっぽど焦ってるんかな？

続き

(4) その各桁の数の４乗の和に等しいような自然数が、ちょうど４個ある。
　　それらはいくつか。

(5) その各桁の数の５乗の和に等しいような自然数が、ちょうど３個ある。
　　それらはいくつか。

(6) その各桁の数のｎ乗の和に等しいような自然数がある。（n＞5）
　　それはいくつか。

>>421

(4)　1, 1634, 8208, 9474

(5)　1, 4150, 4151

(6)　1　　(n>5 または n=2)

かな？

嘘問題。

０，１，４１５０，４１５１，５４７４８，９２７２７，９３０８４，１９４９７９。
０，１，５４８８３４。

０，１，１７４１７２５，４２１０８１８，９８００８１７，９９２６３１５，１４４５９９２９。
０，１，２４６７８０５０，２４６７８０５１，８８５９３４７７。
０，１，１４６５１１２０８，４７２３３５９７５，５３４４９４８３６，９１２９８５１５３。
０，１，４６７９３０７７７４。

4^10+6^10+7^10+9^10+3^10+0^10+7^10+7^10+7^10+4^10=4679307774

０，１，３２１６４０４９６５０，３２１６４０４９６５１，４００２８３９４２２５，４２６７８２９０６０３
，４４７０８６３５６７９，４９３８８５５０６０６，８２６９３９１６５７８，９４２０４５９１９１４。
０，１。
０，１，５６４２４０１４０１３８。
０，１，２８１１６４４０３３５９６７。
０，１。

nn+98=x(75-n)、あるいはnn+98が75-nで割り切れる時のnを求める解法

nn+98=-(75-n)(75+n)+5723

直角三角形があって、その周りの長さが60インチ、
斜辺へ下ろした垂線の長さが12インチあるとき、
それぞれの辺の長さは？

15, 20, 25

この極限を求めよ
http://i.imgur.com/uttZYqn.png

x^4-2x^3+x^2-2=0

>>432
2

…が含まれている数値をxと置いていいの？

丁寧にやる時は再帰的に与えるだろうけどここで気張ることもあるまい

…(√2+(√2+(√2+…
って外にも点々が続いてたら？

そんな式を考えた奴が出てきたらそいつに確かめればよい

漸化式でやろうとしたら
a(n+1)^2=2+a(n)で詰んだ
これ一般項出せるの？

そもそもその数、n重の根号無しには表せんだろう

一般項を知らなくても、初項を正の数とすれば2に収束することはわかる

a(n)=√(2+√(a(n-1))

丁寧に議論するなら
�@漸化式から、有界と単調を言う
�Aもし収束するならば、x^2=2+xを満たすxに収束する
ことを言えばよい

やっぱり挟み撃ちか

http://i.imgur.com/celz7Qf.jpg
なぜこうなる？

お前の書く式の順番が意味分からんその理由から説明しろww

>>445
左側のやり方で考えるなら、1/5が1より小さいことを考慮していないから間違えている。
右側のやり方についてはいったい何がわからんのかわからん。

>>439
a_n=2cos(Θ_n)　,Θ_(n+1)=(Θ_n)/2　

同じ式から左右で違う式展開をやって、
なぜ結果が異なるかっていう質問だったのか。

x軸上の点(a,0)を中心とする半径r(r＞0)の円が放物線y=x^2に接しているという。
aとrの関係を求む

>>450
(放物線の接線の方程式と円の中心との距離)=r を、といたらいけそうだね

１６（ａ＾２−ｒ＾２）＾３＋ａ＾４−２０ａ＾２ｒ＾２−８ｒ＾４−ｒ＾２＝０。

>>451
いやいや＾＾；

放物線y=x^2の(x,y)における接線は(0,-x^2)を通る

2^a - 3^b = 1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。

>>455
3^b≡1,3(mod 2^3)
よって(a,b)=(2,1)のみ

2^a - 3^b = -1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。

>>457
(log 3)/(log 2)の連分数展開より
(a,b)=(1,1),(3,2)以外に存在したとしても、人類の手には負えないものと思われる

タオは使わんでもなんとかなる

f(b)=3^b-1
f(b)=3*f(b-1)+2

今年の一橋大学の数学第１問には感心した。
解答をまだ見ていない人、楽しめること請け合いまっせ。

a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

こういう整数問題を第1問に出されたら結構焦りそう

d=a-b-8,e=b-c-8とする。
また、pをある奇素数とする。

d=2のとき
　e=2のとき
　　a,b=a-10,c=a-20は3で割った余りが異なる3つの数なので、
　　いずれか1つは3の倍数。
　　全て素数だから、この中で最小のc=3
　　このときb=13,a=23となって条件を満たす。

　e=pのとき
　　b-c=8+p(奇数)より、b,cの偶奇は異なる。
　　b>cかつcは素数なのでc=2
　　このとき　a=20+p, b=10+p
　　p≠3のとき、a,bのいずれか一方が6以上の3の倍数となるため不適。
　　よってp=3であり、a=23,b=13

d=pのとき
　a-b=8+p(奇数)より、a,bの偶奇は異なる。
　a>bかつbは素数なのでb=2
　このときc=-6-e<0となって不適。

答　(a,b,c)=(23,13,3),(23,13,2)

殆どの受験生は何が手がかりかも掴めずに途方に暮れただろうな。
理詰が好きな子は楽しんで解いたか。

こういう手探りで解いていく問題大好き

問題の発想はどこからだろ。
デザインとか符号理論？

これa-bとb-cでも問題成り立つな
8という数に特に意味はなさそうだ

>>439

・|a(1)| ≦ 2 のとき、
　a(n) = 2cos(α/(2^n)),
　ここに、cos(α/2) = a(1)/2,

・|a(1)| ≧ 2 のとき
　a(n) = 2cosh(β/(2^n)),　(n>1)
　ここに、cosh(β/2) = |a(1)|/2,

>>466
組の数を有限にするのには役にたっているかな。

>>468
全て求め切ったと分らせるのには役に立っている、と言うほうがいいか。

今年の東大の第四問がおもしろい
試験会場では解ききれなかったが、数�Vのかなり深い所を聞いてきている

第四問
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx)) 0<p<1,p<q
(3)f(c)=c,0<c<1となるcが存在することを示せ

良く練られた問題とは思うが、別に面白くも何ともない

>>470
y=f(x)とy=xの交点が0<x<1の範囲にあることを示せばいい
おもしろいのはどの部分？

それ単なる言い換えやん

だ、か、ら、おもしろいのはどこだ、と聞いている

最後のゆとり世代には、中間値定理が面白いのか。
来年は大変だな、気の毒に。

今年の東大は第四問以外がつまらなさすぎたから、かえって第四問が面白く感じた

今年の現役生は相当頭が悪い
中間値定理を知ってはいるが使える奴はほとんどいない
中高一貫の進学校でもこの現状

読み流していたが、中間値定理が出るということは、
これは理系の試験だ！
東大理系二次で、こんな問題が出る時代になったのか。
少子化というのは、恐ろしいな。

うるせえ！

お前らゆとり貶して優越感浸るの好きだな

で、どこがどう面白いの？

改めて考えると全然面白い問題じゃなかった
ゆとり脳でした
ごめんなさい

今年の2番の冒頭では
自然数（すなわち１以上の整数）
と記述してある。
おおっと思ったよ。「すなわち」だもんな。
0は自然数ですか、という連綿と続く遣り取りに業を煮やしたのかもしれない。
さて、これが「受験数学における自然数」の約束事に昇華するかどうか、興味深い。

数学パズルとして面白い問題ではないってだけで
中間値の定理を面白いと感じたなら良いことだ

ゆとりをなめんな

【サッカー/なでしこ】アルガルベカップ　日本、デンマークに１−０勝利！　岩渕の先制ゴールを守り今大会初白星[03/08]
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/mnewsplus/1394208166/120

120 名前：名無しさん＠恐縮です[] 投稿日：2014/03/08(土) 01:29:52.55 ID:ivRovwLWI
>>103

我が国については、国際的に最上位レベルにある子どもの学力と対照的に、大人の理解度は下位に位置しており、極めて特徴的である。
我が国では、（略）、関心の低い大人の影響で子どもの関心が低下する（平成18年版 科学技術白書）

ユトリ世代　　２位／２５カ国
大人　　　　　２２位／２５カ国

ttp://www.mext.go.jp/b_menu/hakusho/html/hpaa200601/001/002/0401/1-2-54.gif


ユトリは成人力調査でも高い学力を持っているとわかりました

いつまで「ゆとり」ネタに頼ってんだ？

「ゆとり」は、もう終わるが、
少子化は、益々悪化してゆく。
学校を減らさなければ、
教育水準の低下は止められない。

減らさず全部で少数精鋭やれば低下せんだろ

もっと問題を

次の極限を求めよ:
Σ(n=1~∞)√(n)*e^(-n)

極限？

ごめん
極限値といえばいいのかな?

Σ(n=1~∞)

ここの意味がよくわからんけど？

何度もごめんなさい
lim_[N→∞]Σ(n=1~N)√(n)*e^(-n) の値を求めて欲しい
ということです

つまり無限級数でしょ？

なんでそんな基本的な表記の事で突っかかってんのか、わからんわ

いや、こういう表記あんまり見ないからさ
何か特殊な意味とか有るのかなと思って

>>498
普通に見ますが

ただの無限級数を極限とか書くからさ

>>499
＞【掲示板での数学記号の書き方例】
＞http://mathmathmath.dotera.net/
＞●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
＞●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

少なくとも君の使った表記法を知らないからといって責められることではないね

どうでもいいことグダグダいってんなよ

なんでそんな基本的な表記の事で突っかかってんのか、わからんわ

"突っかかってんのか"、わからんわ

Z会の天才問題集より
http://i.imgur.com/WonIBRr.jpg

1.640205705728237058203865285315382948349514749938706030136522526234759357847017216022108728859728527 +
1.361230730112066360252141136119566081774341077796194978801633686001519877697193958458861004952824615 I

数学板なのに>>491や>>504にまともに答えられる人はいないの？

>>506
あなたはそれら両方の出題者？

表記の意味を尋ねても答えてくれないので
問題の解きようがありません

>>501を見る限り、意味を理解しながら嫌がらせしてるようにしか見えないけど

>>506
面白くないんじゃないの

>>509
結局、無限級数をあらわしてるってことでいいの？

491の出題者ですが、ただ無限級数の値を求めて欲しいということだけです

504の答えは[5/2-{187^(1/3)}/2]^(1/3)≒- 0.710877で合ってる？

アスペがうるさいスレ

間違えた

[5/2-{189^(1/3)}/2]^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)≒0.71751

>>504
もっと問題を出せよ！

>>515
ちがうよ

a=cos(2π/7),b=cos(4π/7),c=cos(8π/7),α=a^(1/3),β=b^(1/3),γ=c^(1/3),
s=α+β+γ,t=αβ+βγ+γα,x=s^(1/3)とおく

a+b+c=-1/2,ab+bc+ca=-1/2,abc=1/8
↓
s(ss-3t)=-2,2t(2tt-3s)=-5
↓
4xxx-30xx+75x+32=0
s=x^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)

間違えた


a=cos(2π/7),b=cos(4π/7),c=cos(8π/7),α=a^(1/3),β=b^(1/3),γ=c^(1/3),
s=α+β+γ,t=αβ+βγ+γα,x=s^3とおく

a+b+c=-1/2,ab+bc+ca=-1/2,abc=1/8
↓
s(ss-3t)=-2,2t(2tt-3s)=-5
↓
4xxx-30xx+75x+32=0
s=x^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)

流石にこれは酷いのではないか。
これを放置するのが、最近の管理方針か？

>>504
a=cos(2π/7), b=cos(4π/7), c=cos(8π/7)
a+b+c=-1/2
ab+bc+ca=-1/2
abc=1/8

放置で充分だろ

なんか問題でもあるのか？

放置以外に有効策があるなら列挙してくれ
話はそれからだろう

>>519 の補足

　s(ss-3t) +3u = a+b+c = -1/2,
　ttt -3stu +3uu = ab+bc+ca = -1/2,
　u = (abc)^(1/3) = 1/2,
より
　sssu - ttt = 1/4,
したがって
　sss = [5 - 3･7^(1/3)]/2,
　ttt = [4 - 3･7^(1/3)]/4,

xy平面上において
(k-1,0)と(k,0)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
(k-1,1)と(k,1)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
(k,0)と(k,1)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
を考える
各経路はそれぞれ1/2の確率で閉鎖される
このとき,(0,0)から出発して(0,1)へ行ける確率を求めよ

経路が閉鎖されたらジャンプして行けばいいので、求める確率は1

ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。

527がﾄﾞﾔ顔で俺ﾏｼﾞウケるレス返したわーと思っている確率なら1だろうな。

ポエムにマジレスされて涙目ｗｗｗｗｗ

lim_[N→∞]Σ(n=1~N)√(n)*e^(-n)
を求めよ

ぞれじゃフォーマット厨は満足しないぞ

>>531の値は求まるの?
∫[0,1]e^(-x^2)dxとかが出てきたんだけど

それぐらいできるだろ

>>534
e^(-x^2)の原始関数って初等関数で表せられないんでしょ？
それじゃ∫[0,1]e^(-x^2)dxの値は求まらないじゃん

そこで数値解析ですよ

求まる求まらないを語るときは、どの空間での話なのかをだな……

結局のところ>>531の答えは何なの？

ttp://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+sqrt%28n%29*e%5E%28-n%29%2C+n%3D1+to+infinity

これって"問題"になっているって言えるの？

n人が100点満点のテストをしたとき、平均点が50点となった
このとき、ある1人の生徒の偏差値が得点以上となる確率を求めよ。

（※点数は連続(実数)で、それぞれの生徒について、0〜100点まで得点を取る確率は一様とする）

ちょっと変えてみた。

4人が100点満点のテストをしたとき、平均点が50点となった
このとき、ある1人の生徒の偏差値が得点と等しくなる確率を求めよ。

（※点数はもちろん整数で、それぞれの生徒について、0〜100点まで得点を取る確率は一様とする）

面白くもなんともない上に酷い問題だな

>>531 >>539

0.7072407184868037907468779143806467104165083549257855 〜 √(1/2)

√(1/2)〜0.70710678118

n-n^2 が最大となるnの値を求めよ。

作成途中か？

>>546
n=0.5

>>546
もはや中学レベルの問題

>548
それどうやって解くんですか？

n-n^2=-n(n-1)より
0と1の中間に軸があることは自明

>>531

Σ[n=1, ∞) (√n)*e^(-n)
　〜∫[1/2, ∞) (√x)*exp(-x)dx
　= 0.7100910583 〜 √(1/2),

ax^2 + bx + c = 0 の解を求めよ

pを無理数とします。数列{a_n}をa_n=(p*nの小数部分)で定めます。
区間[0,1]に含まれる任意の区間[a,b]に対して、[a,b]∋a_nとなる自然数nが無限個存在することを示しなさい。

そんなの[0,1]×[0,1]でトーラス作って葉層構造を考えれば自明じゃん

自明ではないと思う
そこをきちんと表現して欲しかったんだけど

>>553
条件不足

√2+√3>π
を示せ

>>553
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

>>553
i)a!=0のとき→x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
ii)a=0, b!=0のとき→x=-c/b
iii)a=b=0, c!=0のとき→不能
iv)a=b=c=0のとき→不定

>>560
おっとb^2-4acの正負によっても場合分けが必要だった
まあ、めんどいからいいやｗ

>>553
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
x=(2c)/(-b±√(b^2-4ac))
の使える方

>>558
ttp://d.hatena.ne.jp/haruya12/20120314

こっちにもいろいろある
√２＋√３＞πの証明
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html

何かもっとパズルっぽい問題無いの？？？
1,1,5,8で10を作れみたいなやつとか

>>565
パズル
http://ikura.2ch.net/puzzle/

4つの4を使って149を作ってください
ただし使っていい記号は以下の通り
•四則演算(+-×÷)
•括弧()
•小数点 (例 .4=0.4)
•根号(√ )
•階乗( ! )
•指数( ^ )

どこがどう面白いのかさっぱり分からん

√（√（√（（√（４）／．４）＾（４！））））＋４！＝１４９。

a[n+1]=√{(1+a[n])/2}
b[n+1]=(1-a[n])b[n]
a[1]=0,b[1]=1

数列a[n],b[n]の一般項を求めよ

つまらん

a＞0、b＞0、c＞0、d＞0、abcd＝1のとき、(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＋(1/d)＋9/(a＋b＋c＋d)≧25/4 を証明せよ

>>572
分からない問題はここに書いてね388
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1391965739/872
高校数学の質問スレPART368
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1393860594/615
知恵袋
ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1185526616

数列a(n)は、以下の漸化式を満たす
a(n+3)=-a(n+2)+2a(n+1)+8a(n),
a(1)=a(2)=a(3)=1
このとき、a(n)のすべての項は平方数であることを証明せよ

x^2+3x+4=0の2解 α,β
a(n)=2^(n+1)/7-α^n/7-β^n/7

数列 b(n) を b(n+2)=b(n+1)-2b(n), b(1)=b(2)=1 とおくと、
すべての自然数 n で a(n)=(b(n))^2 となることを、帰納法で示せばいい。

>>554の出題者だがこの問題についてはすでにワイルの均等分布定理という定理があるらしい
これを知っている人からすれば私の問題は全く面白くなかったでしょう
本当に申し訳ない

>>572
これはググれば答えがヒットするが、かなりの難問

自演乙

>>572
ラグランジュ未定乗数法を使えば解けるが…
不等式の証明で解析を使うのはイケナイことだけど

逝けない女だと他人は言ふけれど、イイじゃないの、(略証)ならば。

>>574

xx-x+2=0 の2解
　γ = (1-ｉ√7)/2,
　δ = (1+ｉ√7)/2,
を使えば、
　b(n) = (δ^n - γ^n)/(i√7),
　２ = γδ,
　α = γγ,
　β = δδ,

>>576

　b[n] = 2^{(n-1)/2}･U_n(1/√8),
ここに U_n は第2種チェビシェフ多項式。
　sin(nθ) = (sinθ)U_n(cosθ),

nを正の整数とする。
3点(0,0)、(n√2,0)、(0,n√3)を頂点に持つ三角形の内部にある格子点の数をnで表せ。

([n√2]+2)([n√3]+2)/2

n=1でもう違った

(0,0)、(√2,0)、(√2,√3)、(0,√3)を4頂点にもつ長方形自体、
内部の格子点は(1,1)の1点だけだから、対角線に関して対称じゃないんだよね。
これ解けるんだろうか？

数論に出てくる名前のついているようなナントカ数の類が現れそうだな

√3+√2>√6

x>0, y>0
x√3+y√2<6n

訂正　x√3+y√2<n√6

>>584
近似式：{√(3/2)}n^2-{√(5/2)-0.008}n

次の漸化式：a_1=p,a_(n+1)=-1+([1/a_n]+1)*a_n
で表される数列{a_n}は0に収束することを示せ
ただしpは無理数である．また実数xに対して[x]でxの整数部分を表すものとする

-1+([1/(-1)]+1)(-1)=-1

ただしpは無理数である．

↑バカ

負の数だと成り立たない気がするような
もし間違ってたら馬鹿と罵ってもらってかまわん

p は -1 より大きい無理数とすれば成り立つようだ

593の出題者です
はじめp=√２で成立したから多分無理数ならなんでも大丈夫なんだろなって思っていたのでpが正の場合しか考えていませんでした
"ただしpは無理数である"→"ただしpは正の無理数である"と訂正します
>>598さんの言うように正よりもっと範囲を拡張できるのかもしれませんが，まだ私自身検討中です

極限lim(n→∞)tan{2^(1/n) nπ}を求めよ

tan(πlog2)

>>593,599
a_n > 1 のとき a_(n+1) = a_n - 1 だから
0 < a_n < 1 のときを考えればよい
x = 1/a_n とする
x の小数部分を {x} と書く ({x} = x - [x])
a_(n+1) = ([x] + 1)/x - 1 = (1 - {x})/x
1/a_(n+1) = x/(1 - {x}) = x + x{x}/(1 - {x})
x > 1, 0 < 1-{x} < 1 だから
1/a_(n+1) > x + {x} = [x] + 2{x}
1/a_(n+1) > [1/a_n] + 2{1/a_n}
つまり 1/a_(n+1) は 1/a_n より整数部分が大きいか、小数部分が2倍以上

1/a_n (n = 1,2,...) の小数部分は 0 になることはないので、
上から明らかに 1/a_n → ∞ (n→∞)

>>600
え？

突然ですが、平方根などの根の計算方法を発見しましたけど、どうしたらよいか分かりません。誰か教えて下さい。複雑な計算や難しい理論を必要とせず、微分積分も使いません。ネットで調べても同じものは無いようです。

近所の３流以下の大学数学教授にメール、という考えがちらついた

ポエムスレで発表すればいいよ

適当な学会に入って論文投稿すればー
金払えば入会できるぞ

近隣の中高教師の勉強会に相談してみては？
あなたの県名＋数学＋指導法＋研究会 でggr,

面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。

ってのが面白かった。

幅→0の長方形

>>610
？

細い長方形なら格子点沢山覆えるだろう

どんな形状であってもn+1個の格子点を含むように配置できる
と読むのであろう。

配置は平行移動だけ？　回転も含まないと無理？

ある点P,Qのx座標の差・y座標の差がいずれも整数であるとき、「PとQは同値である」ということにする。


問の平面図形をA、その面積をS(A)とする。
また、0 ≦ x < 1, 0 ≦ y < 1 に対して、
f(x,y) = [Aの内部にある点で、点 (x,y) と同値であるものの個数]
とする。
すると、S(A) =∫[0,1]∫[0,1] f(x,y) dxdy が成り立つ。

また、S(A) < n より、
f(x,y) ≧ n+1 を満たすような (x,y) が必ず存在する。
(「常にf(x,y) ≦ nが成り立つ」と仮定すると S(A) ≦ ∫[0,1]∫[0,1] n dxdy = n となり矛盾)

そのような (x,y) を一つ取り、点 (x,y) が原点にくるように図形を平行移動させると、
A内部には原点と同値な点 (すなわち格子点) がn+1個以上含まれることになる。

>>615
おお、定式化するとそういう風に証明するんでしょうね。

私が見た解説は、以下のようなものでした。
(1) 平面図形Aを、格子の升目の上に適当に置く。
(2) Aが含まれる1x1の升目を、バラバラに切り取る。
(3) 升目を全部重ねる。
(4) 升目の何処かの座標には、元Aの領域の重なりがn+1以上の箇所がある。
＿(そうでなければ、Aの面積がn以下になるため)
(5) その座標が格子点になるように、平行移動すれば良い。

コインを投げて表が出れば1点を加え、裏が出れば1点引く
ただし、0点の場合は引かない
初めの持ち点は0点とする
n回投げたとき、持ち点がk点となる確率を求めよ

答え
C[n,(n+k)/2](1/2)^n (n+kが偶数)
C[n,(n+k+1)/2](1/2)^n (n+kが奇数)

らしいんだが解き方分かる人いるかな

あと、単位円に内接する正n角形の頂点から3点選んでできる三角形の面積の期待値

>>617
そもそも誤答じゃね？(n,k)=(2,0)とかどうよ
>ただし、0点の場合は引かない

|sin(2πu/n)+sin(2πv/n)-sin{2π(u+v)/n}|/2 (0<u,v),(u+v<n)の期待値あたりか?めんどくさ

n=2,k=0だと表裏と裏裏で1/2
C[2,(2+0)/2](1/2)^2=1/2だが

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>619
すまん間違えた

数学的帰納法。

教科書傍用の下みたいな練習問題
Σ[m=1→n]｛Σ[l=1→m]（Σ[k=1→l]）｝
これを式の意味を解釈して簡単に計算できないかな

たとえばΣ[k=1→n](k-1)(n-k)は
(k-1)(n-k)は1〜nの整数の中から3個取り出す方法のうち
2番目に大きい数字がkとなるような取り出しかただから
Σ[k=1→n](k-1)(n-k)=C[n,3]

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test

　>>563

0<θ<π/2 のとき、マクローリン展開から
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　tanθ > θ + (1/3)θ^3,
辺々たすと
　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,

a_0=0, a_1=1, a_(n+2)=a_(n+1)+a_n （n=0,1,2,…）とする。
（１）lim(n→∞）a_n/a_(n-1)を求めよ。
（２）（１）で求めた値をzとする。z^x(xは整数）はxが十分に大きいとき、ほぼ整数となる
ことを示せ。

(1)(1+√5)/2
(2)b[n]=[z^n+1/2],z^n=b[n]+c[n]とする
このとき、-1/2≦c[n]<1/2…�@
また、z^(n+2)=z^(n+1)+z^n,
c[2]=(-3+√5)/2,c[3]=-2+√5

2≦nでc[n]/c[n+1]=-zを数学的帰納法で示す
まずn=2のとき成り立つ
n=kで成り立つとする
z^(k+2)=z^(k+1)+z^k=b[k+1]+b[k]+c[k+1]+c[k]
c[k+1]+c[k]についてc[k]とc[k+1]は異符号で�@より-1/2<c[k+1]+c[k]<1/2
よってc[k+2]=c[k+1]+c[k]
=(1-z)c[k+1]
c[k+1]/c[k+2]=1/(1-z)=-z
よってn=k+1で成り立つ

これらよりc[n]=c[2]/(-z)^(n-2)
となり示される

開き括弧'('と閉じ括弧')'のみからなる記号列
（ただし'('と')'が正しく対応付けられるもの）
があるとする。
この記号列のある部分に対し、
(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えを考える。
(X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし、
X,Y,Zはそれぞれ任意の記号列（長さ0でもよい）とする。
(XYZ)(XYZ)...(XYZ)は、(XYZ)を任意個（0個でもよい）並べたものである。
このような置き換えを無限に繰り返し行うことは不可能であることを示せ。

>>627　(2)
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^n　は、{1,3,4,7,11,18,...}という整数値を取り、
(1-√5)/2=-0.618...なので、{(1-√5)/2}^nは、nが大きくなるとどんどん小さくなる
ことより、題意は示される。

>>629
記号列を成す、全ての開き括弧“(”、及び、閉じ括弧“)”に対し、
次のルールで「深さ」という値プロパティを与えることとする
・“(”に対しては、「注目している記号より左側の全ての“(”の数」−「注目している記号より左側の全ての“)”の数」
・“)”に対しては、対応する“(”と同じ値

ところで、「置き換え」ルール：(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ) を適用すると、Y内部の「深さ」は置き換え前に比べ、１減る。
元々の記号列は有限個からなるものなので、「最大の深さ」が存在するため、無限に行うことはできない。

>>631
XとZの内部の深さは変わらないので、最大の深さは変わらない場合もある。
よってこれだけでは証明になっていないと思われるが。

>>632
なるほど、空振りなら、無限回可能ということですね

では、この修正ではどうでしょう。

一番最初に、(X(Y)Z)型の部分列全てに対して、({X}(Y){Z})と、仮想括弧{}を補ってしまいます。
そして、仮想括弧を通常の括弧と同一視した状態で、「深さ」を考えることにします。すると、
>>(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えで、X,Y,Z　の（修正版の）深さは、1ずつ減ることになります。

>>633
(A(B)C(D)E)という部分列があるとき、
({A}(B){C(D)E})
({A(B)C}(D){E})
という2通りの仮想括弧の付け方がある。
上の説明だと、この場合の考え方が分からない。

>>633
そもそも、例えば((()))に仮想括弧を付けて({(}(){)})とすると
括弧の対応関係がクロスした状態になってしまう。
これはマズいのでは。

グラフ木と対応させればいいんじゃないかな

((()))(()())()なら
●
┃
●●●
┃┣┛
●●　 ●
┣┻━┛
●
みたいな

なるほど、確かにその通りです。では、素直にいきます。これではどうでしょう。

記号列を食べる関数を考えます。
その関数は、>>631の方法の深さを全ての括弧についてチェックし、

深さ0の括弧のペアの数は、○個
深さ1の括弧のペアの数は、△個
...
と言うように、深さと、その括弧の数を返します。

そして、この返り値は、次の方法で比較可能で、
最大の深さの大小、同じなら、その深さの数の大小、
同じなら、次の深さの大小、同じならその深さの数の大小、．．．
で判断します。
この関数を使えば、置き換え前と、置き換え後を比べると、必ず小さくなっていきます。

>>635
仮想括弧は、「置き換え」に対応させて考えていたものなので、
そのようなクロスは、題意から除かれています。

>>635
失礼、よく読むと、そのようなクロスは、題意から除かれて「いない」んですね。

>>637
X=Y=空列,Z="()"として
(()())→(())(())(())
という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。

>>638
ちょっとよく分からない。
((()))は置き換えの対象になる記号列だと思うんだけど。
X,Y,Zで表される記号列は、必ずしもその内部だけで
括弧の整合性が取れている必要は無い。

>>639
そういうこと。

>>640
「深さ」の他に、「並列度」とでも言うべき値も考えると、どうだろうか？
直接の「親」に当たる括弧の中に、自分と同じ「深さ」をもつ括弧がいくつかあるか、
それを「並列度」とします。
家系図なんかに例えると、「深さ」は「世代」に、「並列度」は「兄弟の数」に相当します。

>> X=Y=空列,Z="()"として
>> (()())→(())(())(())
>> という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。
深さ2,並列度2の括弧が二つあったものが、置き換え後は、
深さ2,並列度1の括弧が三つ（or任意個）と数えることになります。

次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）

ｘ^2＋ｙ^2＝1

ｘ^2＋ｙ^2＝4

ｙ＝±ｘ　(−4≦ｘ≦−3,3≦ｘ≦4）

ｙ＝0　（−4≦ｘ≦−3,3≦ｘ≦4）

ｘ＝0

この類か
https://www.wolframalpha.com/input/?i=graph+hatune+miku+curve

>>642
((())())→((()))((()))
深さ3並列度1が1個→深さ3並列度1が2個

っつうかグラフ木から順序数に対応付けすればいいだけじゃん
そうすれば置き換えによって順序数は必ず減少するんだから

具体的に

>>629
なかなかいい問題やねｗ 出典が知りたいｗ

>>636のような木構造で考えると、「置き換え」による操作は以下の通り
・根と一致しない部分木を1つ指定する。ただし、部分木は2以上の高さを持つものとする
　(X(Y)Z)
・部分木に属する任意の頂点を1つ消去し、頂点の子以下の部分木をもとの頂点の親に接続する
　(X(Y)Z) --> (XYZ)
・変形した部分木を任意個複製する
　(XYZ) --> (XYZ)...(XYZ)

あとは木の複雑度を数に対応付けて、それらが単調減少することを示せばおｋ
数列 a_n の一般項を （外側から n 番目の括弧の組の数） で （その内側にある括弧の組の数）を割った値
とすれば、変形によりある p, q （p＜q）について a_p が増えて a_q が減るので収束が示せる


注意すべきは、>>635のように X, Y, Z が外側と同じレベル以下の括弧を含む場合で
この場合は無限に増殖できることが示せる

例えば (())(()) で、X="", Y="", Z=")(()" とおくと
　(())(()) --> ()(()) が任意個
となって、1操作につき3個以上増やせば操作が無限に行える

具体的に

> 数列 a_n の一般項を （外側から n 番目の括弧の組の数） で （その内側にある括弧の組の数）を割った値
の部分は、分母を （その内側にある（n+1）番目の括弧の組の数） としても同じ結果になる

>>642の言葉を借りれば、全体について「並列度」を「子供の数の平均」と定義し直して0世代目から並べるイメージ

複雑度が上昇しないことは示せても、最終的に ()()...() の形に収束することは示せないので
厳密な証明には別のアプローチが必要になりそう

あと、具体例を無理に想像するとアッカーマン関数のように急激に増加するのでおすすめしない

>629
> (X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし

仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
従ってこの操作で生成される(XYZ)内の括弧の組は(X(Y)Z)より一つ少なく、
かつ、(XYZ)をいくつ繋げても(XYZ)をまたぐ括弧の組は生まれない。
ゆえに(XYZ)の繰り返し回数が有限ならばこの操作は有限回で収束する。

具体的に書かないのは反論させないためか。

((()))=(X(Y)Z)
X=(
Y=
Z=)

>>648=>>650です

>>651
> 仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
「X,Y,Zにまたがる」を「X,Y,Zとその外側にまたがる」
と言いかえれば成り立ちますね。

確かに、外側同士が「対応する括弧」ですから
選んだ部分列の内側に低レベルの括弧は存在しないといえます。

何度かトライ(631,633,637,642)しましたが、結局、

記号列を食べるある関数F[]を用意し、それが、
F[A(X(Y)Z)B] ＝ F[A(XYZ)B]　＋　α
F[A(XYZ)(XYZ)...(XYZ)B]　＝　F[A(XYZ)B]　＋β
　ただし、常に、α＞β≧０　　（「任意個」のβが積み重なっても、αより小さい）
を満たせばよいということですよね。

そのようなF[]が存在するのは確かっぽいけど、具体的な中身は、当初の予想とは異なり面倒そうです。

具体的に書こうとしないからはっきりしないが
(()()())()()
->
(()())(()())(()())()()
が反例じゃないか。

>>656は確かに、>>648と>>650の反例になってますね
（単純に平均値を取っただけでは、ゴミを巻き込むことで
評価関数が 3/3 --> 6/5 と増えてしまう）

出題者の>>655さんは解決に近づいているようなので
本職の数学者の降臨を待ちつつ様子見

出題者は>>629だが

>>648
一応自作なので出典は無し。
同じような問題はどこかにあるかも。

>>657
>>655は出題者ではないよ。

これは「ヒドラゲーム」と同じ類の問題だな
下のリンク先にグラフ木と順序数との対応付けの方法が載ってる

http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/
http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%92%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A0

>>465
> 面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
> n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。
>
> ってのが面白かった。

ブリクフェルトの定理。有界がいる。

四角形の４辺と２本の対角線の長さが全て奇数であるものは存在しないことを証明せよ。

四角形の頂点をそれぞれabcdとしたとき、の辺の長さab, bcと対角線の長さacには
ab^2 + bc^2 = ac^2の関係があり　ab,ｂｃを奇数とすると、ab^2、bc^2はそれぞれ
奇数であるから、ac^2は偶数なっちゃうよ。
acを奇数とするとac^2は奇数だから。ab,bc,acがすべて奇数であるこたーないってこと？

長方形でない四角形もあるだろ

1/4の確率で当たりが出ると言われているクジがあります
100人がそれぞれ100回挑戦したところ、確率以上の頻度で当たりを引けたのは10人だけでした

実際の当たりが出る確率はどのくらいだと推定できますか？

情報はこれだけで実際の10000回の試行の具体的な結果は入手できないものとします

出来ます。

最尤法でいい？

しかもなんだか正規分布で近似したい気分だけどいい？

好きな検定を選べ

age

>>4
>4 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/21(木) 19:27:24.63
> とりあえず, vector analysis から修得しようか.
>

狸

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∫[1、∞] x^(-x) = Σ[n=1 to ∞] n^(-n) を証明せよ。


( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

自然数aに対し[a]をaの桁数とする。
つまり[100]＝3
[[10の1000乗]]＝[1001]＝4

ここで非常に大きい自然数aに関して考える。
aに[]を幾重にも重ねた結果はじめて1になった時、[]を重ねた数を{a}とする。
つまり
{10の10乗}＝2　　　　　[[10の10乗]]＝1より
{10の1000乗}＝3　　　　[[[10の1000乗]]]＝1より

では{グラハム数}の値は？

>>673
その中括弧には意味があるのかね、少尉！

だいぶ大雑把に見積もると、「桁数を取る」ってlogを一回かけるようなもんだから
[a↑↑b] ≒ a↑↑(b-1)
{a↑↑b} ≒ b
(ただし↑↑はテトレーション)
くらいか。この程度だとグラハム数にかけても大して小さくならなそうだな

グラハム数って宇宙の全ての物質をインクに変えても表記出来ないんですよね。
では宇宙の全ての物質をインクに変えたらどのぐらいの値が表記できるのでしょうか？
またそれはグラハム数に比べどのくらい小さい値なのかを教えてください。

宇宙全体の素粒子の数〜10^80
つまり、そろばんを二つ並べれば表現できる

円の内部に点Ｐをとり、円をＰを通る４本の直線（45°で交わる）で８つの領域に分ける。
１個おきに選んで２組に分けるとき、どちらも面積の和が等しいことを示せ。

>>678
妄想も大概にせいよ

コインを今からｎ（100以上の自然数）回投げる。
その時、表が出た回数が0.6ｎを超える、もしくは裏が出た回数が0.6ｎを超える確率ｆ（n)を求めよ。

Σ[k=[0.6n]+1,n]C[n,k](1/2)^n

1 だろ。
必ずどっちかは、0.6 n を超える。

これはひどい

それしかないんか

>>682
？？？？？

すみません>>681の数式がわからない高校生なのですが、
nが100の場合と1000の場合のそれぞれのf(n)の数値を教えて下さい

表と裏が0.5n回ずつ出るケースでは、表裏どちらも0.6nを超えてない。
>>682は大間違い。

>>681 訂正
Σ[k=ceil(0.6n),n]C[n,k](1/2)^n

円周率が超越数である事を示せ

ググって読め

πが超越数でないと仮定する。
しかしこれは「Wikipedia 超越数」に書いてあることに矛盾する。
従ってπは超越数である。

＿人人人人人＿
＞　証明終了　＜
￣Y^Y^Y^Y^Y￣

>>691
個人的にフィールズ賞をあげたい

フールズ賞

自然数ｎについて、2から数えてn個目の素数をf(n)とする。
例：f(3)=5
ここで、lim n→∞　ｆ（n+1)-f(n)を求め、証明せよ。

仮に問題を解く知識がなかったとしても、文章からポエムなことがすぐわかるね

すべてはまぼろし

運営乙

差が7000万以下の素数のペアなら無限に存在する事が証明されたそうだから
素数定理と合わせて答えが得られる

(´･∀･`)ﾍｰ

>>697
ま、まじで！？
それって凄いことだよね

>>694
>>697により、liminf_[n→∞](f(n＋1)−f(n))≦7000万
一方で、
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture
により、limsup[n→∞](f(n＋1)−f(n))/(log f(n))＝＋∞
特に limsup[n→∞](f(n＋1)−f(n))＝＋∞

以上より、lim_[n→∞](f(n＋1)−f(n)) は存在しない

おみごと

「sup」の読み方って「スープ」でいいの？

死ね

What can't Japanese do?
Who can do something?
Who should die?
Why should someone die?

>>702
上付きならsuperscript, 上限ならsupremumだからいいんじゃない

>>704
数学板だからってその英語力はないだろう

>>706
間違っていないと思うけれども

知りたい事があります。
f(1)=1
f(2)=2の2乗
f(3)=3の3の3乗乗
f(4)=4の4の4の4乗乗乗

こういう関数って書き方あるんですか？

http://i.imgur.com/UUqpdzA.png

>>708
クヌースの矢印 でぐぐれ

ビットマップ描きにしては上手いじゃん

5000年ごとぴったりの周期で噴火する火山が50個ある。
これから一番速く噴火する火山はあと何年で噴火する？
各火山の噴火タイミングと観測者のいる時刻は全て独立と仮定する。

Σ[k=1,5000]k*(4999/5000)^(k-1)*Σ[i=1,5000]C[5000,i](1/5000)^i*(4999/5000)^(5000-i)

Σ[k=1,5000]k*(4999/5000)^(50(k-1))*Σ[i=1,50]C[50,i](1/5000)^i*(4999/5000)^(50-i)

すごい。なんかちょっと意味分かんないけど、すごいありがとうございます

夏の夜の
太鼓囃子か
本降りの
トタン屋根打つ
けたたましさよ

お願いします。
10000円を5％と6％の定期にあずけて受け取った利息が575円
この場合10000円をどのような割合で預けたかわかりますか？
お願いします。

マルチうざい

重さ1の球を三角錐状に3n+1段積んだとき、最下段の中心の球にかかる重さはいくらか。

抜いても問題ないから0

>>720
想定外の回答だったので条件を加える。
各々の球は、その下段にある3つの球に均等に力を及ぼす。
求めるものは、上の3つの球から加わる力の合力とする。

上に3つ球がない場合もある

>>722
n=0の場合を例外として除けば、最下段の中心の球には必ず3個の球が上に接してる。

逆三角錐？

中心に位置する球のみではなく一般的な場合を考えてしまった

数列a(n)を以下で定める。

a(0)=0
a(1)=1
a(n+1)は、次の2条件を満たす最小の自然数とする。
・ a(n)より大
・ {0,1,,,n}からどのようにi,j(i<j)を選んでも、
　a(i),a(j),a(n+1)は等差数列にはならない。


[1] a(2),a(4),a(8)はいくつか。
[2] a(1000)はいくつか。

1000=2^3*(1+2^2*(1+2*(1+2*(1+2*(1+2*(1+0))))))

>>726
a[2]=3, a[4]=9, a[8]=27
a[1000]=29484

a(2)〜a(n-1)の値を出すことなしにa(n)を直接求めるにはどうすればいい？

https://www.toshin.com/sp/concours/
積分区間に∞が出てくるから、高校の範囲を超えてない？

('A` ) ﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ｷﾞｬ‐ｯ
　 くく　へﾍﾉ

高偏差値の生徒を集めたコースでは、
生徒が退屈して勉強を投げ出さないように、
たまに受験の出題範囲を越える問題も必要。
過保護な気もするが、サービス業だからね。

nHrを重複組合せの数とするとき、Σ[k=0 to r] nHk を簡単にせよ。

３以上の自然数nに対し、[n]をn-n未満の最大の素数と定める。
lim n→∞　[n]は発散か収縮か？そしてそれを証明せよ。

>>733
収束
何故ならn-nは0だから

n-（n未満の最大の素数）です！

構文解釈はエスパー4級くらいだな
どこがどう面白いのかはエスパー不能

[奇素数+1]=1
[奇素数+2]=2
[奇素数+3]=3or1
[奇素数+4]=4or2
...
素数は無限にあり、このような増加と１への急落を無限に繰り返すので、収縮も収束もしない。発散。

>>732
(1+r)/n((n+r)C(r+1))

>>737
双子素数予想は、解かれたんだっけ？

大川研究室っていう数ヲタの問題サイトって、どっかに移転したの？

Σ[k=0 to n] (-1)^k {Σ[m=0 to k] C[2n+1, 2m+1]・C[n-m, n-k] } (sinθ)^{2k+1} を簡単にせよ。
ただし、C[n, r] は二項係数を表す。