数学基礎論・数理論理学　その14

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その13
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/

なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。

１乙

でかしたぞ、１よ

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書き込まないと言いながらどうせすぐに現れるんだろう、STSのやつは。

>>6
これまでの経緯から想像するとその通りだろうね。
だからこそ>>1はよくやったと思う。スルーするしか対処法ないからね。
もっともコテを替えられたらどうしようもないんだけど。

スルーしてたんだがあからさまに自演してるしな
本当に手に負えないよ

前スレで名無しで書き込んでた奴いるのか？

なんか雰囲気が文keiっぽいな。

前スレ875でTTTに晒し上げ食らってた……しかも古いやつ。
俺はTTTじゃないからね。

>>8
まさか前スレの自分以外の書き込みは全部TTTの書き込みだと思って叩いてたとか？
そこまでいくとちょっと極端だよ

TTTは自分のスレに対してもレスしていたから、そのことじゃね？

そんな事言ってる間にSTSより面白いこと書けよ

数学者は「存在する」という言葉で何を表現してるんですか。

「ある性質を持つものが存在する」は「その性質が矛盾しない」と同義です。

ω＜κ＜2^ωとなるような基数κは存在しますか？

>>14
色んな意味づけができるので、一つの意味だけを取り上げるとかえって実情と掛け離れる。

>>15
同義である場合もそうでない場合もある。

>>16
基数ってなんすか

基数とは順序数αであって、αよりも小さな順序数とは一対一対応が存在しないようなもののことです

アレフゼロとかのこと？

アレフ0は基数の一例ですね
アレフの活字が無いのが惜しいのだが

意味わからん(^^;;

これって大学何年レベルなの？

自分はまだコンパクト集合くらいまでしかやってないからな＿|￣|○

微積も線形代数も使わないマニアックな分野なので
一年生の時から或る意味大学院レベルの勉強ができるのであります

集合論を深くやらない大学って多いんだろうか？
集合論を扱った本なら大抵基数は載ってると思うんだが

等濃度の定義はやるけど基数の定義はやらないよ
同値関係なんだから似たようなものじゃん、と思うかもしれないけどさに非ず。

厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限
みたいな同値関係だと、さすがに海のものとも山のものとも分からない代表元を
選んで来ちゃう厄(x)を導入して大丈夫なのか不安に思うでしょ？

こういう厄介な関数が存在しても矛盾はしないわけだが、それを言うのは学部の知識じゃ無理

（要はNBG + Global Choiceがあれば良い。
でもこれの整合性を示すには、強制法を使わないと証明が大変な
NBGのZFからの相対無矛盾性と、
任意のproper class C と V は一対一対応するという定理が要るはず）

>>26
厄(･)は何を意味してるの？

厄（・）:V→Vは無定義術語で、
条件（厄）：「厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限」
を満たすクラス関数とします。
つまり（厄）を満たすもの、というのが定義です。
等濃な集合の同値類を取るのと同じ操作をした訳です。

ロジック関係やったことない人だと>不安に思うでしょ？
って別に不安に思わない気がしてきた（汗

ところで北田均先生が「数理解析学概論」という本を新しく出したのが
生協に売ってたんだけど、立ち読みした範囲だと
不完全性と集合論に関する間違いは発見できなかった。
最近は新井先生の教科書みたいな本
（ただしこの本は、テクニカルな間違い・ミスプリがかなり多いので
新しく買うときは第3刷を買いましょう）も出て
理解しやすいようになったから或る程度ご理解されたのかなあ。

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348832025/102

こんな話があるがこのスレ的にはどうなの？

ユニバースの話じゃなくてそれ以前のIVの定理1.10が
（abc予想と）Uniform Serre Open Image予想なるものを仮定すると
成り立っていないようだって言われてるんじゃなかったっけ？

＞その前までの数論的な部分については指摘されていない。
これは明らかに間違いです。

たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
前スレのあれは、望月先生の権威がどうとかに関係なく
こんなのは誰が見たって揚げ足取りですよね、って話ですよｗ

>たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
>もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
>これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
お前やっぱかなーりズレてるわ
どういうお花畑脳だとこう解釈できるんだよｗ

>>32
お花畑ってことは自分にとっておめでたい解釈ってことですよね？
>>32さんがおかしいと指摘しているその解釈が仮に正しかったとすると
どうして31の自説(>>31の最後の2行)を補強することになるのか
理解できてるってことですか？
もしそうなら教えて下さい。

アスペの考えることを理解しようなんて時間の無駄
その時間で噂の望月論文でもお経のように唱えてた方がまし

>>33
「超難問を解いた論文・著者にケチをつけているように見られておまいらバカね」って言いたいんじゃないの？
これを権威を借りようとしていると言わずして何というのか
得てしてこういうことは本人が一番気づけないんだな

いや望月先生みたいなマトモな研究者の論文が
初歩的な勘違いしてる可能性が限りなく低いのは、数学のリテラシーがあれば誰でも分かるから

>>36
おっしゃることはその通りだがそれがいまの話とどんな関係が？

宇宙際の論文は俺も見てみたが基礎論の部分で間違いというのは
ZFCGがZFCの保存拡大になっているというところじゃないの？
ZFCGは前スレのZFC+Uのことだから、ロジシャンなら誰にでも分かる明らかに間違い。
この間違いが他の部分に本質的な打撃を与えたりしないとは思うけど
もっちーが基礎論の部分に関して初歩的な勘違いしているのは否定しようのない事実。

つーかZFC+UとZFCは同じ言語なんだから保存拡大って正しい正しくない以前に型エラーじゃん。
初歩的もいいとこでほんとにそんなバカなことが書いてあるのかよと
ダウンロードしたまんま開いてなかった論文を見てみたよ。確かに書いてある。
というかこれって前スレ830が引用した箇所のすぐ近くなんだけど
前スレ830=>>31はこんな初歩的な間違いにも気づかずに
得意になって「望月先生は〜」なんて引用してたんか？アホだろ。

ありゃ本当だ……失礼しました。
「(†)はZFCから独立である」みたいな問題記述だったら
ロジックの専門家でもやっちゃうことがあるし、その否定が正しい訳でもないんですが
conservative extentionって書いちゃったら（ZFCが矛盾していない限り）偽ですね。

ネットで手に入りやすい参考資料
・　http://math.stanford.edu/~feferman/papers/BernaysLecture3.pdf　の特にスライド8あたり（同名の論文あり）
・　http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf　（もっと詳しい）

mathoverflowの
"Set theory for category theory beginners"ってトピックみたら
ShulmanさんとかHamkinsさんとかが普通に答えててﾜﾛﾀ

話はちょっと逸れますけど私、代数幾何の教科書で有名なR. ハーツホーンが
「不完全性」の定義について吉永良正と同じように酷い勘違いしてるのも見たことあるんですよね…
自然に読者を誤解させるような用語法を使ってるロジシャンも酷いと言えば相当に酷いのですが。

Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

望月先生もハーツホーンも「初歩的」なミスをしているのは
たぶん、普通の数学者は統語論と意味論の区別ができないからだと思います。
小平邦彦先生もこの区別が分かっていなかったフシがあります。

代数幾何学者がZFCなどの集合論について何かしら書いたものを読むときには
そもそも、Grothendieck学派の人達自身がZFCからはみ出した
Grothendieck宇宙の公理がどこで必要になるのかちゃんと分かってたのかどうかとか、
そのレベルで疑問符付きでやらないとダメなのかもしれません。

もっちーの威を借る論法は破綻かよｗ

噂の望月論文、問題の保存拡大とか書いてある後のところ読むと
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
みたいなこと書いてあるけど、こりゃ集合論者も真っ青だなｗ

集合論がどういう研究なのか全く分かってないで書いてるね。
なんか「数学では答えは一つだけど現実社会でははそうじゃない」
って言われたときのあの脱力感。

最先端の研究者は使えそうなものは何でも使うからね。
きちんと身につけてから使おうとしたら勉強だけで終わってしまう。

他のスレ（VIPとかニュー速系も含めて）では望月先生マンセーのノリなのに
ここだけは望月先生をdisるスレになってるね！

こんな話題性のある論文でZFCやZFCGを取り上げてくれているんだから
本当なら歓迎したいし個人的な本音としてはディスりたくなんかないさ。
しかしロジックの部分の内容が余りに的外れで擁護のしようが(ry

俺の2chの書き込みが破綻したのは、まあどうでもいいんだが
もっちーの論文の信頼性が微妙に破綻しかけてることのほうがまずい

もっちーはDrakeを一応持ってるみたいだから、巨大基数とは何か、
みたいなことは或る程度知ってると思う

たぶん代数幾何学者は集合論には興味を持って勉強しようとするだろうけど、
一階述語論理についてきちんと勉強しようという気にはならないんだと思う（数学者的には、そらそうだわな）

集合論の言語は< =, ∈>であって保存拡大かどうかは
言語を意識的にfixして考えないといけない、とか
公理的な集合論を勉強するときはコンパクト性定理とかL-S定理とか
完全性定理と不完全性定理を知っていることは
基礎知識として仮定されていることが多い、とかそういうところで躓くんだと思う

俺は数覚を頼りに色んな道具を使うから、下々の者はあとで合理化してくれ、って感じかな

>>48
そういうところで躓いてたとしてもDrakeの本をさらっとでも見たら
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
なんて誤解はしないんじゃないか？
絶対性がどうとか、モデルに相対化させる記法とかさんざん出てくるんだから。

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やっぱりなんだかんだ言っても集合論は論理学なんだよね

「ZFCGがZFCの保存拡大」って間違った主張をしているのは
ABC予想をZFCGで証明した後その主張からZFCの定理であると言うため？
だとするとかなり致命的なんじゃないの？

なんかinteruniversalっていうネーミング自体
本当に大丈夫なのか心配になってくるよね

>>53
abc予想はその前の節で証明されていることになっているはず

>>55
だとすると何故必要もないのに、自分がよく知らない世界に立ち入って
怪しい理解に基づいた主張をするんだろう？

同じ言語上の二つの理論に対して保存拡大と言うなんて
（しかも原文だと conservative extensionality になってる）
どう贔屓目に見ても保存拡大の概念を理解していないし
一階述語論理の言語とか理論とかを分かっているとは思えない

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もしかして>>41の
「相応に豊富な任意の公理系」って二階算術のことで、モデルってのは
二階算術としての標準解釈（Henkin解釈ではなく）だったりするのかな
まさかね

訂正
×二階算術として
○二階述語論理として

>>41
＞Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
＞>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
＞>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
＞>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
＞>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

前半の完全と後半の完全は別の意味で使っているから正しいのでは？

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Speciesの理論のところが論理的に間違ってなければ
ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね

Speciesの理論がどういった役割をするのかが重要で
保存的拡大の部分は枝葉末節。

>>61
そら無理ってもんだろ

>>64
それでどういう役割を果たすんだい？

>>41
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

吉永の誤解とは違うね。
吉永は完全性を決定可能性と同義だと誤解していたからね。

ハーツホーンが、例えば自然数論を二階論理上の理論と考えているなら
上記の文章がマチガッテルとはいえないな。
二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない。
そしてそれは、ゲーデルの不完全性定理から証明される。

はいはい、君はそうやって超好意的な解釈持ち出して
「偉い人はやっぱり偉い」って言い続けていればいいよ

>>63
＞ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
誰かそんなこと言ってたか？
ロジックに関して初歩的な勘違いをしているね、という話しか出てないはずだが

>>61と>>67は別人？
僅か1時間50分の間に同じ文章の解釈（間違いではない根拠）が
劇的に変わっているんだが同一人物ではあり得ない、よな？

別人です。
私はハーツホーンは２つの完全性の違いをきちんと理解している可能性もあるんじゃないと主張しています。
たとえば翻訳者が２種類の完全性を同一のものと勘違いして意訳してしまったという状況もありえます。

Google booksで原文見つかった。
原著のpp.70, 71。ちょっと広めに引用するけどfinally以降が相当する部分。

While we are discussing axiom systems, there are a few more concepts we should mention.
An axiom system is consistent if it will never lead to a contradiction.　That is to say, if it is not
possible to prove from the axioms a statement A and slso to prove its negation not A.
（中略）
Unfortunately, however, the logician Kurt Godel has proved that for any reasonably
rich set of axioms, it will be impossible to prove the consistency of that system.
So we will have to settle for something less, which is relative consistency.
(中略)
Another question about a system of axioms is whether it is categorical. This means, does
it describe a unique mathematical object? OR in other words, is there a unique model
(up to isomorphism) for the system of axioms?
（中略）
Finally, one can ask whether the axiom system is complete, which means, can every
statement that is true in every model of the axiom system be proved as a consequence of the axioms?
Again, Godel has shown that any axiomatic system of reasonable richness cannot be complete.
For a fuller discussion of these questions, see Chapter 51 of Kline(1972) on the foundations of mathematics.

これだけ近い箇所で同じ単語completeを別の意味で使っているとは通常考えられないよね？
その直前か直後で「同じ単語を別の意味で使っています」と断り書きがあれば別だが、
>>61はそういう断り書きを示すことはできないんだよな？
あとはハーツホーンは正しく理解していたが誤ってという可能性だが
これはもう本人の責任であって「間違ってる」と言われても仕方がない話。

そもそもKline(1972)ってのはおそらく数学史の本なので、
ハーツホーンはcompleteを含め論理学については何も知らないと思う。

ゲーデル数化が可能な最弱の理論って知られていますか？

その理論で再帰的可算な理論のコード化が出来るという意味なら
なかなかRobinsonのQとかRとかは良い感じに弱いよ

RobinsonのQとやらが最弱かどうかはわからないんですか？

その前に、「ある理論においてゲーデル数化が可能である」ということを、なんとなくではなしに厳密に定義しなきゃ

そうなんだよね。そしてそれが大変。

ゲーデル数化は或る意味で多様体の局所座標みたいなものだから
きちんと定義して性質をまとめるのは有意義なんじゃないかな、
とは思うんだが、そういう研究はあまり見たことないな。

知られている中で最弱の〜〜だったらある程度文献を調べるだけで良いんだけどね。

あと強いとか弱いもちゃんと定義して
その定義に則って最弱なものの存在も示さないとな

強い弱いはペアノ算術を含む〜〜とかいうときの「含む」で良いんじゃないの。
つまり理論やモデルの解釈関係で良いはず。
こういうinterpretabilityについてはそれなりに研究されてるんじゃないのかな。

論理式は有限種類の文字の文字列だと見做せるから
文字列 s のコードを G(s) としたときにゲーデル数化ができるというのは
チューリングマシンを用いて s から G(s) が計算でき、
また G(s) から s も計算できる、という定義で良いか。
異なるゲーデル数化同士の関係には再帰理論がそのまま応用できる。

なんかダメな気がしてきた
82は無しで

>>81
Hajek-Pudlak に書いてあったと思うけど
Robinson's Q とか Buss' S^2_i とか弱い体系は
全部 mutually intepretable になるはず。
だからその定義だとその辺の体系はすべて最弱。

ゲーデル数化というよりも第二不完全性が成り立つ最弱理論は何かという方がわかりやすいですね。
数年前にQより弱いR'_0で第一の方が証明されたというPDFを読んで浮かんだ疑問でした。

>>85
一般の理論Tにたして、何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるのか、
という本質的に全く同じ問題が残るわけだが

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。


例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

要はゲーデル数みたいなものを考える、というだけなら
0または1に当たるものとsuccessor Sがあれば良い
そのゲーデル数の性質がどれだけ証明できるか、ということなんだよね

第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと

それなんてコンセンサス？
RobinsonのQとか帰納法が全くないにもかかわらず
第二不完全性定理が証明できるわけだが。
何個か前のスレでもこの話題出てなかった？

>>81が指摘しているように
解釈可能関係で同値なものは第二不完全性の観点からは区別する必要はない。
そして>>84が指摘しているように
帰納法が全く入っていない体系(Qなど)と帰納法のある体系がこの意味で同値になることがある。
つまり

***帰納法の有無は第二不完全性に影響しない***

わけなのだけれど、ということは>>88のいう
＞第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
＞帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
はどんな素人間のコンセンサスかよ、という話になる。

えっ、マジ？
第一不完全性定理のメタ証明を理論Tの中で形式化するためには
Tが数学的帰納法の公理を持ってないといけないんじゃないの？？

たしか「数学基礎論講義」の第二不完全性定理の証明のところで
第一と違ってΣ1式について帰納法を仮定していることに注意すること、
とかそういうこと書いてたような

このスレのその10で、
ゲーデル数化には最低でもｘ＾log(ｙ)程度の演算が必要とあったんだけど、これの情報元が不明。
またゲーデル数化の可能なIΣ1＋Ω1がQで解釈可能なのでQは第二が成り立つとあったんだけど、これの情報元も不明。
それから弱い限定算術の体系（S^i_2とか）は、自分の無矛盾性の証明どころか、
自分よりも弱い体系の無矛盾性も証明できないので、どれが弱い理論なのかよくわからないのでは？
いったい何が正しいのか分からないから、できれば情報元を提示してほしい。

ロジシャン一般向けの教科書だと大抵第一と第二で違う条件を仮定して証明していることが多くて、
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
の18ページ脚注も
>実際には、PA ほど強力な証明能力は必要ではなく、高々Σ1 論理式に関する
>帰納法が使用できれば十分である。（
となってるので第二は帰納法が無ければ証明出来ない、と認識してる人が多いんだと思う。

ただHajek & Pudlakの最後あたりとか、Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
（Handbook of Proof Theoryの第二章）とかだとQに対して第二不完全性が証明してある。
限定算術について本格的に勉強したことある人はQでもOKということを知ってるんだと思う。
en.wikipedia.orgのQの記事にも、Qを含む理論に対して第二が証明できるよと
ちゃんと書いてあって文献も示してある。さすが英語版。

ただ>>90さんの言うように或る弱い算術の理論の中で
別の算術の理論を解釈するというやり方だとちょっと反則な感じがしないでもない。

超準解析では、0はstandard、nがstandardならn+1はstandard、しかしnonstandardな自然数が存在する。
ネルソンのように超準解析を経由して帰納法に疑いを持つのは理解できる。

Hajek & Pudlakの最後あたり
http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421934

Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookII/ChapterII.pdf

en.wikipedia.orgのQの記事
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic

>>68
何拗ねてんのｗ

私は代数幾何とか知らんから
ハーツホーンが偉いかどうか
なんて知らんよｗ

だいたい二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない
というのは常識であって知らない奴はモグリ

数学やっててハーツホーン？誰それ？って感じだったらそっちの方が怪しがられるぞ
東大でも京大でも数学科学部生に「ハーツホーン読んだことある？」って言ったら普通通じる
物理学科でも通じる人のが多いかも

ハーツホーン？
あんたがいて、ぼくがいた。

森

可証性述語のLoebの性質ってQでも証明できるの？

S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
QでS^1_2を解釈して第二を示している（ように見える）。

>>102
>S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
「とかいう」は余計だってのｗ
限定算術で一番有名かつ重要なのがS^1_2だ

やってることは、うまい論理式C(x)を見つけてくると
Qの中で{x|C(x)}がS^1_2のモデルになる。
つまりこのクラスに相対化した帰納法はQで証明できる。
ZFCやZFC-InfはPAを含むから第二不完全性が成立つ、
と言った時の「含む」は
ZFC-Infの中で{x|Ord(x)∧x<ω}がPAのモデルになる
という意味だったのと同じこと。
前者は反則で後者はOKとするような条件は聞いたことがない。

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

このコピペ初見から数年以上たってるけど
いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな

反則と言うと語弊があるが、ZF^-のなかでより強い集合論である
ZFC+V=Lのモデルを作って議論したりするのと同じ話だと考えると
地の文のなかで何かを示すのとちょっとやってることが違う気がする
集合論のなかで自然数論を標準的に解釈する場合はあまり気にはならないんだけどね。
（勿論、その集合論の算術的命題についての健全性とか、気にすべきことが無い訳ではない）

この場合でもモデルの存在と無矛盾性が同値とかいうときの無矛盾性に含まれる
可証性述語だと考えて良いのだろうか、とか
無矛盾性が体系の無矛盾性をちゃんと保証しているだろうかとか、
そういう点でもちょっと考慮すべき点が増える。
Craigの補題（補間定理ではなくてφ∧φ∧……∧φを考えるやつ）とかの方が
余程「それってありかよ！？」という感じなので大した問題じゃないけどね。

それにしてもうまいやり方があるもんだね

して、一般の理論Tに対して、
何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるんだね？

>>106 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 20:20:18.30
＞ このコピペ初見から数年以上たってるけど
＞ いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな

数年単にではなくて、数千年単位で見なければナランと想われ　(-。-)y

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

御大は偉大なり。御大は偉大なり。御大は偉大なり。・・・・

>>107
「ZFCはPAを含む」と言ったあとすぐに「ZFはV=Lを含まない」と言うと
「これだけ近い箇所で同じ単語『含む』を別の意味で使っているとは通常考えられないよね？
その直前か直後で『同じ単語を別の意味で使っています』と断り書きがあれば別だが」
なんて批判されるので気をつけないとな

今日は決定性公理の日らしいので決定性公理について語ろう！

決定性公理はQと矛盾するの？

独立だよ。

独立性はどのように証明しますか？

ＡＣ
http://a0.twimg.com/profile_images/2705624117/1897dc2f1b0beced94f7f0737f26ab28_normal.png

Con(ZF+AC) -> Con(ZF+notAD)
Con(ZF+AC) & Con(ZF+notAC)
Con(ZF) -> Con(Q)
Con(Q+AC) & Con(Q+notAC)

>>115
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech%2C+T.+J.+%282003%29.+Set+Theory+%28The+3rd+millennium+ed.%29.pdf/205671048/Jech%2C%20T.%20J.%20%282003%29.%20Set%20Theory%20%28The%203rd%20millennium%20ed.%29.pdf
の14章で選択公理が独立なこと、33章で選択公理から決定性公理の否定が証明されることを示す。
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Kunen%2C+K.+%281980%29.+Set+Theory.pdf/205671054/Kunen%2C%20K.%20%281980%29.%20Set%20Theory.pdf
の4章演習問題にZF-InfとPAの無矛盾等価性がのってる。

私的メモ
http://www.madore.org/~david/math/ordtrees.pdf
http://www.cs.tau.ac.il/%7Enachumd/papers/HydraRevisited.pdf

thx

論理学で
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
とあったのですが
写像f:(0,1)^2→Rをf(x,y):=x[y] (但し,[]はガウスの記号)
と定義すると
∀x∈(0,1)に対して,f(x,0.1)=f(x,0.2)=0ですが
0.1≠0.2なので「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」どおりになっていないと思うのですが、、
私の例は何処がおかしいのでしょうか?

>>121
書名プリーズ

すみません。
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
は置換公理の一部(十分条件)でした。
どうもおさわがせしました。

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>>123
納得しているけど、あなたの書き込みを見る限り論理学の基本ができていない。

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>>125
指摘は具体的に

できない理由があるんだ、察してやれ

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みなさん論理学のテキストとかって購入してます？
私は結構WEBに落ちてるんでipodなんかで読みますね。

実はペアの算術のげー出る数かのFullga以下のmendelsonにのってる
http://page.mi.fu-berlin.de/raut/logic3/announce.pdf

そりゃペアノ算術はすごく強いから（とかいうと普通の数学者は卒倒するよなあｗ）

PAより弱い理論の次数がΠ^0_1クラスの基底になるかは興味深いが...

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>132
なにその歪んだ選民意識

いや、どっちかというと
限定算術の研究とかすごい辺境の地なんじゃないかと

http://www.cs.toronto.edu/~sacook/homepage/book/main.ps
今限定算術って言ったら計算量とか再起理論つながり

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今って何十年前から今なんだよ

今世紀くらい

すみません。ちょっと質問させてください。

置換の公理だけは"図式"を用いてしか定義できないのでしょうか?

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QがCon(Q)を証明できないことはシェファードソンらによって直接的に証明された。
これは可動条件が証明されないということを示す。
次にウィルキーらがIΣ0＋expまでQを拡張してさえ、Con(Q)が証明できないことを示した。

>>141
クラスという言葉を用いて良いなら有限個の公理に纏めることは可能。
集合についての言及だけしか使えないなら、ZFの公理を
有限個に置き換えることは不可能であることが分かっています。
ZFの公理で無限個あるのは置換公理（または分出公理）だけですから
公理図式という形で定義するしかない、ということになろうかと思います。

集合論の普通の教科書には大抵載っています。
「集合と位相」の教科書じゃないので注意すること。

置換公理って言ってる人に最後は蛇足だったな

私的メモ

証明論的順序数
http://wwwmath.uni-muenster.de/logik/Lehrveranstaltungen/04ss/LoSem/text.pdf

ランダムネス
http://www-2.dc.uba.ar/materias/azar/bibliografia/Downey2010AlgorithmicRandomness.pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.141.3982&rep=rep1&type=pdf

>145
どうも有難うございます。

とにかく数学に関する本はここにすべてある。
http://en.bookfi.org/
ウェブ上でもダウンロードも可能。
洋書は高いから欧米のストゥーデントはみんなここか図書館で勉強してるんだ。

私的メモ

計算量クラスが大量に載ってる
http://www.cs.princeton.edu/theory/index.php/Compbook/Draft#model

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　このスレ馬と鹿と豚さんばかりね。
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私的メモ
nonclassical logic
http://emilkirkegaard.dk/en/wp-content/uploads/An-Introduction-to-Non-Classical-Logic-From-If-to-Is.pdf

私的メモ
nonclassical logic part2
http://www.fenrong.net/events/msj2.pdf
http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/dg/P.pdf
(700 page over

document download page
http://citeseerx.ist.psu.edu/index

私的メモ
lamda　culc
ページ数ぱない
http://www.cs.ru.nl/~henk/book.pdf

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「可動条件」って言葉このスレで初めて見たんだけど
どの本で使ってる用語法？

工学の本ではよく出てくるな。

工学の本ではLoebの条件のことを「可動条件」と呼ぶのか？

あぁそれ俺の意訳

我流用語を断りなしに使うのはトンデモの特徴って誰かが言ってたな
（このスレだったと記憶している）

可導性条件というのがよく使われるが
一発で変換できないので可動条件と言ってるだけだよ。

田中教授の数学基礎論講義って本読んだことある方いますか？
とりあえずこの本で勉強していきたいと思ってるのですが・・・

>>162
何を勉強したいかによると思います。
現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
そして、どのようにつながっているかということから考えると、著者
（田中一之教授）の考え方は狭すぎると思います。
書いてあることはきちっとしていると思います、多くは本人でないから
かもしれませんが。

＞多くは本人でない
あなたもそんなゴーストライターの一人？

不完全性定理の解説書としては良いかもしれないけど、
論理学の初学者が独習できるだろうか。
MENDELSONの本のように、ここの定理の証明過程をきちっと書いた本を読むべきだろう。

>>164
田中さんは著者ではなく編著。
つまり元請。実際の執筆は下請けの鹿島・角田・菊池3名。

>>161
それを「我流用語を断りなしに使う」というんだろ

誤変換を敢えて放置したものを我流用語とは普通呼ばないと思うが…ｗ

>>168
読む人の手間はお構いなし、なのは良くない

>>162です，レス下さった方々ありがとうございます

まだペーペーですが敢えていうなら逆数学やりたいなと思ってます
まずはゲーデル，ゲンツェンによる三大定理（？）をしっかり勉強してからですね

ありがとうございました

>>170
最近では構成的逆数学というのもあるみたいだよ
ま焦らずしっかり勉強するのがいいと思うよ

>>163
>現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
>そして、どのようにつながっているか

横レスですがこの辺りの事情について
非専門家でもわかるような文献を挙げてくれると有り難く思います

>>172
割とよい本です。

確かさを求めて―数学の基礎についての哲学論考
M. ジャキント
http://www.amazon.co.jp/dp/4563003700

>>173
数学全体のなかで？

>>169
誤変換を放置したせいで読むひとの手間が多いのを我流用語というのか？

誤変換を放置したせいで誤変換前の単語が想像できなくなれば我流用語でしょうね

>>120
>>143
×可動条件
○可導性条件

「可動条件」が「可導性条件」の誤変換なら読みは同じってことだよな？
「可動」は「かどうせい」と読むのか？それとも「可導性」の「性」は黙字？

何故そこまで食らいつくのかわからん
誤変換と脱字が同時に起こっている、と認めさせることがそれほど重要なのか？

重要

誤変換などではなく意図的な我流用語だと認めさせたいのではないだろうか

訂正
×>>120
○>>102

>>102だけなら単なる誤変換
しかし>>140でまた独自の用語を使用
>>161で意味不明の釈明

今世紀 は独自の用語なのか？ 言いがかりのように見うけられるが

>>184
間違えた
>>140ではなくて>>143だった
人を批判してる場合じゃないな

(A●B)●C=A●(B●C)
(●は排他的論理和xor)

の証明方法を教えて下さい

AとBの排他的論理和は(A∨B)∧¬(A∧B) と書き直すことができる。

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>>187
だからそれを使って証明をしろということなんですが

「証明」の意味がはっきりしないが、どのみち命題論理の式なら機械的に証明できるでしょ

真偽表を使ってやったら簡単

>>189
できたところまでを書いてみろ。 わからない所がどこなのかが逆にわからん。

>>186
Ａ●ＢをＡ＋Ｂ（mod2）に読み替える

>189
>190の通りだな。どのレベルが必要なのかはっきりしなきゃ答えようが無いわ。
単なる確認なら真偽表で十分。

ふちの先生を尊敬します

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F先生ねえ…日本の集合論者といえば一番に名前が上がる人だし
日本集合論の権威と言ってもいいかもね。
数学者は権威を嫌うけど。

かきこみがぱったり途絶えてしまっているがここの常連さんたちは規制にでも遭ったのか？

つまり全ては○○○の自演だったんだよ！

スレを盛り上げようと定期的にネタを投下する奴がいるんだが
同じネタの使いまわしで段々飽きてきたのさ。

凄まじい。既成政党を打破とか言ってるけどお前のとこが一番独善的
共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい

無党派さん[] 投稿日：2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&k=2012120300800

維新　比例名簿の登載順位は次の通り。
（丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前＝前職、元＝元職、新＝新人。敬称略）
　【北海道＝４人】(1)重複候補３人　(4)米長知得（新）
　【東北＝１１人】(1)小熊慎司（新）＝福島４区　(2)重複候補２人　(4)重複候補８人
　【北関東＝１８人】(1)上野宏史（新）＝群馬１区　(2)石関貴史（前）＝同２区　(3)重複候補１４人　(17)植竹哲也（新）(18)仲田大介（新）
　【南関東＝２０人】(1)小沢鋭仁（前）＝山梨１区　(2)松田学（新）　(3)重複候補１６人　(19)田中甲（元）　(20)横田光弘（新）
　【東京＝２２人】(1)石原慎太郎（元）　(2)今村洋史（新）　(3)山田宏（元）＝東京１９区　(4)重複候補１８人　〔２２〕上村昭徳（新）
　【北信越＝１０人】(1)中田宏（元）　(2)重複候補８人　(10)堀居哲郎（新）
　【東海＝１４人】(1)藤井孝男（元）　(2)今井雅人（前）＝岐阜４区　(3)重複候補１１人　(14)近藤浩（元）
　【近畿＝４０人】(1)東国原英夫（新）　(2)西村真悟（元）　(3)重複候補８人　(11)三宅博（新）　(12)重複候補２８人　〔４０〕喜多義典（新）
　【中国＝８人】(1)重複候補６人　(7)藤井昇（新）　(8)谷本彰良（新）
　【四国＝７人】(1)重複候補４人　(2)重複候補２人　(7)大内淳司（新）
　【九州＝１９人】(1)松野頼久（前）＝熊本１区　(2)重複候補１７人　(19)黒仁田典之（新）

マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな

話もどるけどさ
結局、可導性条件って証明できるものなの？なんかどの教科書見てもちゃんと書いてないんだけど

D1とD2についてはちゃんと書いてると思うけど
あと新井敏康の数学基礎論にはかなりきちんと書いてあるとか聞いたような
それからD3についてはSmorynskiとかBoolosの本とかが参考文献に挙げられてる本が多いはず

>>202
shoenfiledの本にのってる
ウェブだと
http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/godelmoeder.pdf

お二人方さんきゅー
紹介してくれた本見てみます

前原昭二「数学基礎論入門」を読んでいるのですが、以下の練習問題が解けません。

�@　∃y∀x( F(x) → x=y)
�A　∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

問題は、�@と�Aが同値であることを示せ、です。
�A→�@はわかるのですが、逆がわかりません。

どなたかヒントでもいただけたら・・・

きっちりとした証明は公理と推論規則の選び方に依存するので概略だけ

∀x( F(x) → x=y) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=y と F(x) が出てきて、従って x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=y) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

回答ありがとうございます。

１行目から２行目の変形がよくわかりません。もう少し説明お願いします。

ごめん間違えた

∀x( F(x) → x=z) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
x=z と y=z から x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

>F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
>F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
>x=z と y=z から x=y が出てくる。

その下の論理式との対応がよくわかりません・・・

望月先生の論文のちょっと上で出てた箇所は直してありますね
speciesの定義以降は見てないですが

>>211
その箇所は自分の能力を越えると認めているね

Barry CooperのComputability Theoryの二版って
2011年に出ることになっているようですが、
amazonでも他のサイトでも見つかりません
どうせ買うなら二版が良いんですが何時出るんでしょうか？

やっとわかりました。ありがとうございます。

kindle頼んだから今度からいつでもどこでもlogicの論文読める！まだカスだが頑張るぜ！

universe, metacategory　のあたりの話題はこのスレでは
スルーされますか？

metacategoryって要は公理論的な圏論のことでしょ？
どこに意義があるの？

あ　どうも216です
217様　レスありがとうございます
意義というほどのおおげさなものは・・・
２１６の萌えストライクゾーンが公理論と圏論とにまたがっておりまして
・・・これだと書き込みの理由にはならんのでしょうが
「なら圏論スレへ」
「あちらは痛すぎますので」
つうことです　年明け早々ご迷惑をおかけしております　

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証明論的意味論ってなんぞ

>>589
詳しい説明を頼みますがな。ちゃんとカキコして下さいまし〜ん。

ケケケ狢

>589 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/20(水) 15:29:26.89
> >>587
> >何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。
>
> 持ち上げるような学校ではないと思うが
> 入るのにほとんど頑張る必要が無い大学の学科なのだし
> 俺の知人の阪大基礎工あがりのカスは
> ただの性犯罪者だ
>

>>223 名前：狢 ◆yEy4lYsULH68 様へ
なんか年月日やレス番号が混乱してませんか・・・５８９はどこのスレ
でしょう前スレはDAT落ちしてますし2013/02/20(水) 15:29:26.89
にはこのスレは誰も書き込んでいないと思うのですが？

>>224
まあそういう事もアルでしょう。私は唯単にこのコピペを馬鹿板焼却の
材料として利用しているだけです。近々、また別のものに入れ替えます
ので、今暫くお待ち下さい。

狢

>>225
はい諒解いたしました次回バージョンを期待します（〜〜）

そうですか、なるほど。

狢

>595 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/20(水) 20:56:54.96
> >>590
> 好みの女性を見るとムラムラして
> 触りまくることで有名なやつだったな
> 名字は増田って奴だがしらんか？
>
> 増田は痴漢以外にも飲尿療法にも凝ってるそうで
> よく紙コップにおしっこして
> その場で飲んで、その日の体調について語ってた。
> 気持ち悪かった。
>

猫さんのことですか？
飲尿療法の話は初見です
まあ２chの数学関連板は猫さんのおかげで
いくらかは質が高くなった面もありますしねえ
AA過投のパターンよりは評価しますよ
で狢さんは他のコテハンつかったりするんでしょうか？
（うっかり見当違いな対応すると笑われそうなのでvvvvvv）

見え見えの一人芝居もお終いにしてはどうだろうか？

>>229さんへ
早朝（深夜？）からご苦労様です
しばらく書き込んでくれるひとがいなくてどうしたのか
と思ってました　狢（貉？）さん≒猫さんらしいのですが
それは私２１６人目の素数とは別人28号です
文体でたぶん読み取れると思いますが

それはそうとこのスレの常連さん達どこへいってるんですか？
私待ちくたびれて「数学の哲学」板で遊んでました
みんな帰ってきてくれないかなあ
こうなったらスレタイスレさん（TTTさん？）でもおkなんでwww
貉さんvsTTTさんvs非因果的ブラックボックスさん
とかいうバトルロイヤル読んでみたいよー（〜〜）/♭

東大出版から出た「記号論理学入門」ってどうなん？

・数理論理学（ロジック）とは？

　「ZFC ＋ 可測基数の存在」……（M）
は無矛盾である、と言うと必ず突っ込みが入り、
Mは無矛盾ではない、と言っても当然突っ込まれ、
Mが無矛盾であることが証明できる、と言っても必ず突っ込まれ
Mが無矛盾であることは証明できない、と言っても必ず突っ込まれる、

そんな微妙な命題を扱うギザギザハートな分野です

>>232
微妙な命題なんかどこの分野にもあるわい

よくわかんねえな…

>>233
２〜３分野での例を出してもらえないだろうか。

物理学でも美学でも数学の他の分野でも予想はされるけど、
証明も実証もされないものは腐るほどあるだろ。

それらは微妙な命題なせいで証明も実証もされないのか？

腐るほどあるなら、２〜３でいいので実例を出してもらえないか？

>>231
清水義夫の？
哲学出身の人だから説明がていねいでわかりやすいよ

未解決問題で探れば？
意識のハードプロブレム始め、問題がそもそも何なのか、
定義から難しい問題がいくらでも世の中には転がっている。
基礎論の物なんか初歩的にすぎない。
お前は物を知らなすぎ。知識も探索力もない、馬鹿すぎ。

つまりなにもあげられないんですね

>>240は煽るだけで何の生産性も生み出さない屑

昨日行われた書泉のイベントの足立恒雄の講演会に行った人いませんか？
もしいたら様子を教えてください。ちょっと行けなかったもので。

>>233
で、結局具体的にはなにも知らないものを
いくらでもあるなんて言っちゃったの？

>>243
悔しいのか

質問されたら煽られたと逆切れして人格否定を始める。
だれが悔しいのかはよく考えてみるといい。

白本でテストでカットがでるとか背理法がでるとかいう問題の問題自体間違ってるけど。
問題の訂正のしかたがわかるやついる？？
結構間違い多いけどここだけはどう考えてもどこが間違ってるのかわからないんだよな。

>>243は憶測で「なにも知らない」と勝手に決めつけ、それを前提にして質問をしているので無意味である

>>247
>>243がそのように感じるかどうかはさておき>>237も先んじてそれを決めつけているとでも？
あまりにものらりくらりと逃げ続けてまともな返答をしないから煽りが入ったのではないか？

横だが、オレでも「いくらでもある」と言っちゃうだろうな
具体的に探そうとすると凄く大変だろうが
ないと思ってる奴がいるとは思えんから、大変だと分かってて具体例を要求したんだろ？

誰一人具体例を挙げられないものがほんとうにいくらでもあるのか？
あったとしても、あまり研究されていないところにひっそりとってくらいじゃないの？

ていうかさ、
>>239
＞未解決問題で探れば？
＞意識のハードプロブレム始め、
ちゃんと具体例挙げてんじゃん、検索ワードも教えてくれてるし
これで逃げ続けてるとか、いちゃもんとしか思えないんだけど

>251
それ命題ちゃう

で、肝心の>>232の（M）はどう捉らえればいいの？

ただし可測基数の定義の標準は今後このスレで管理するものとする　　（M＋）
でおk？

俺は237じゃないけど、

>>239
可測基数の存在は、別に未解決じゃないよ。
将来的にどう解決されるということもない。
ただ、真でも偽でもないし独立だと言い切ることもできず、
（実際には矛盾していると思ってるまともな学者はいないけど）
論理的には矛盾している可能性が残る、それだけ。

あと哲学の命題を持ってきてもっと微妙だとか言われても……
数学の中でどういう分野か、というつもりだったのに
永田町の政治力学はもっと繊細精妙かつダイナミックだ、みたいなズレた話されても困る

「論理学をつくる」でいわゆるcutting
Γ|=A　かつ　A，Δ|=B　ならば　Γ，Δ|=B
を証明するときに（p７０）、
AがΓ、Δ、Bのいずれにも含まれていない原子式を含んでいる場合、
Γ、Δ、Bが含んでいる原子式への真理値割り当てVを考えても
そのVがAの原子式に真理値を割り当てるとはかぎらないという理由で、
Aの原子式への真理値を補ったVプラス、を考えるのだけれど、
新しい論理式に出会うたびにVを拡大するのはめんどいのでは？
はじめから人工言語Lに備わる”すべての”原子式への真理値割り当てVを考えてはだめなのか？

最近,クラスなるものを知りました。

集合全体の集まりは典型的な(非集合な)クラスの例かと思ってましたら,これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
それでなるべくシンプルな非集合なクラスの例をお教え下さい。

あぼーん

＞これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
真のクラスproper classはクラスですよ。
クラスであって特に集合ではないものをproper classと呼びます。
ですからV:=（集合全体の集まり）はクラスの例です。

ただ、もっと根本的なproper classの例としては
R = {x; x ∈x} = (自分自身に属さないような集合全ての集まり)
があります。

ご回答誠に有難うございます。

metaclassの中にはproper classと集合の2種類しかないのですね。metaclassから上はもう無くて,
proper classとして典型的な例が集合全体の集まり(宇宙)とラッセルパラドクス(クラス抽象体)が先ず挙げれるのですね。そのほかにもproper classは色々とあるらしい。

単にclassと言ったらproper classの可能性もあるのですね。

class(proper class,集合)の要素は常に集合なのですよね? 集合以外の要素を含むclass(これはもはやproper classでしょうが)ってどんなのがあるのでしょうか?
もし簡単な例があれば是非お教え下さい。

宇宙って圏論とかにでてくるけどさー。
集合論の本で宇宙が詳しくのってるやつ教えてくりくり

あぼーん

>261

公理的集合論「田中尚夫」のp52です。

　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

あぼーん

>>263
変わったタイトルと著者名だなw

数学板なのに>>260とか>>263にはIDが表示されてるのは何故なの？

公理的集合論は絶版なようなので
復刊　公理的集合論には宇宙は乗ってますか？

すいません。

「∀x∈Aに対してf(x)∈B」という命題はもしA=φの場合は偽なのでしょうか? それとも真なのでしょうか?
"∀x∈A"そのものが偽だから「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真かなぁと思ったりしてるのですが。。

どなたかお教え下さい。

>>269
「対して」を論理記号で書いたらすぐにわかる

ええっ? すいません。"対して"は論理記号でどのようにかけるのでしょうか?

「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか?
A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。
従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか?

∀x∈A(P(x))は∀x(x∈A⇒P(x))の略記だからA=φのときは自動的に真

濃度がアレフ1の集合の具体例って何かあるんでしょうか
(「具体例」の意味が曖昧ですみませんが
「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで)

有理数全体の集合Qの部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体について順序同型なもの同士を同一視したもの｡

>>267
IDにmathが出るまで馬鹿乙
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1309073689/

>>274
ありがとうございます
ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか

からかわれてることに気付きなさい

証明論的意味論ってなんですか？

自明だよねえ

あげ

>>273
可算順序数全部の集合(まんまや)

現在、田中一之『ゲーデルに挑む』などを読んで不完全性定理の勉強をしております。
そこで質問なのですが、体系Pの記号列をゲーデル数化すれば、
体系Pの論理式や証明は全て1つの自然数に対応するのに、それにも関わらず
自然数から自然数への関数(再帰的関数)に対応する、体系Pの述語とは何なのでしょうか？
ここのところが分からず、再帰的関数の例や表現定理がすんなり入ってきません。

「体系P」で何を指してるのか良く分からない

あと「対応」でどういう対応を指しているのかも不明瞭
特に再帰的関数に述語が対応すると述べている後ろの方の「対応」

>>282
3〜4行目が何を言いたいのか全然分からない。

282です。言葉足らずで申し訳ありません。
体系Ｐというのは、ゲーデルが不完全性定理の原論文で用いているもので、
おおよそペアノの公理と1階述語論理を合わせてできる形式体系です。
（ほかに、内包公理や外苑性公理がある）

ゲーデルは、体系Ｐの原子記号に自然数を割り当て、その後素数のベキ乗を用いて
体系Ｐの有限列（論理式）、体系Ｐの有限列の有限列（証明図）に自然数を割り当てます。

すると、そのあとに、ゲーデルは、「原子記号や原子記号の列の間の関係Ｒが与えられると、
これにたいして、自然数の間の関係Ｒ’がとれる」と述べています。
（Ｒは原子記号を変数に、Ｒ’は自然数を変数にもつ）
この部分の意味がわかりません。
一体、この関係Ｒとは具体的にどのようなものなのかがわからないのです。

まだまだうまく言えてない部分があると思いますが、どうぞよろしくお願いいたします

285です。訂正です。
関係Rの変数は原子記号ではなく、原子記号または原子記号の有限列でした。

たとえば○○という式は△△という式のxにaを代入したものである、というのは２つの記号列の関係だよね。
またある式の列がある式の証明になっている、というのは「記号列の列」と「記号列」との関係になっている。

まだまだ例は挙げられると思うけど、布団の中で書いているのでここまで。

英語版なので多少言葉使いが変わってるかもしれませんが、

ゲーデルはまずすべての論理式に自然数が割り当てられることを説明しました。
それは、体系Ｐで使われる記号に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って論理式に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って証明過程を数列と考え証明されるすべての論理式に自然数を割り当てました。
これで体系Ｐから出てくる論理式すべてに自然数が割り当てられました。

次にゲーデルは公理とか変数とか論理式という
人が考えている概念を自然数を変数にもつ述語でつくれないかと考えています。
例えばＲ(Ａ)で「論理式Ａは公理である」というようなものです。
しかし論理式Ａは記号列であって自然数を変数にもつ述語に代入できません。
そこで、先ほどの論理式と自然数の割り当てをΦとおくと、
論理式Ａとそれに割り当てられた自然数ｎについてΦ(Ａ)＝ｎと書けます。

このとき以下の２つが同値になるようにしようといっているんです。

１）Ｒ’(x_1，…，x_n)　が自然数x_1，…，x_nについて成り立つ
２）x_1＝Φ(Ａ_1)　のとき、Ｒ(Ａ_1，…，Ａ_n)　が論理式Ａ_1，…，Ａ_nについて成り立つ

で最終的に「証明可能」なんかも述語として定義していくのです。
（実際にはその定義の前に原始再帰の説明が張り込んでいます。
ゲーデル論文で１、・・・４６（くらい）まで
列挙されているものがＲ’となります。）

とはいえオントロジーや記述論理など
件のRやAを直接扱う機構は存在しています、

287さんと288さん、回答ありがとうございます。

ということは、287さんが挙げた例の「代入したものである」、「証明になっている」や、
288さんが挙げた例の「論理式である」以外にも、
形式体系Pの、記号列と記号列の関係であればいいのでしょうか？

例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？

288さんの解説の部分におけるゲーデル論文で、少し分からない点があります。
288さんは最後に、「ゲーデル論文で列挙されているのが関係R´」と述べられています。
ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？

関係を関数と思うこともできるけど、わざわざそう思う必要はない
「xとyを7で割った余りは等しい」とか「x+5はyより大きい」をxとyの関数と思っているの？

内包公理や外延性公理があるのに一階なのかよ、というのはおいといて、
その部分は多分記号列とそのゲーデル数を同一視することで、
記号列の性質を自然数の性質と同一視しよう、と言ってるんじゃないの

>>290
>例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
>「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？

そうです。

私が読む限りは、単に論理式Aと論理式Bの間の関係を表す述語を考えるときに、
論理式のまま扱えないからそのゲーデル数を論理式と思って使いましょう
といっている程度の話だと思います。

>ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
>自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？

関数と述語は違います。１から４６は述語を作っています。
関数は単なる値でしかないので、succ(0)みたいな数値と変わらないです。
succ(0)＞0のように「真偽が決まる」ようになったものが述語です。

291さん、292さん、293さん回答ありがとうございます。
関係Rについて、ずいぶん理解が進んだと思います！
ですが、今まで、関数、関係、述語などを混同していました。
基礎からもう少し考えてみようと思います。
またよろしくお願いいたします。
(すぐまた質問してしまうかも・・・)

294です。
田中一之『ゲーデルに挑む』での再帰的関数のところに関する質問です。
ゲーデル論文において、1から46の関数を列挙するとき、
例えば13番目では、「Neg(x)は、xの《否定》」とあります。
※ただし、《》はメタ数学的概念の算術的表現です。(本書p57より)


これは、「関数Neg()に自然数xを代入してできる関数値Neg(x)は、
自然数xに対応する形式体系Pの記号列Aの否定¬Aに対応する自然数」
との解釈でよいのでしょうか？

なにぶん下手な文章ですが、お時間あれば回答お願いいたします。

それで良いと思います

296さん回答ありがとうございます。
はじめは、見知らぬ用語がたくさん出てきて困惑したのですが、
このスレのおかげで少しずつ理解が進んできたように思います。
また、よろしくお願いいたします。

述語論理の完全性定理の証明を追っているのですがどうもわからないことが
あります。
というのは、∃x.P(x)が現れると、∃x.P(x)→P(c/x)　を追加して．．．
というのはいつも出てくるのですが、∀x.P(x)の場合の考慮があまり表面に
出てこないのはなぜなのでしょうか？
特に、∀x∃y.P(x,y)　のような場合にどうするんだろうというのが気になる
のですが。
どなたか教えていただけないでしょうか？

∀x∃y.P(x,y)は¬∃x.¬∃y.P(x,y)と同じだから後者を考えれば良い

>>299
後者を考えれば良い、とはどういうことなのですか？後者とは？

>>300
AはBと同じだから後者を考えれば良い、と言ったとする
後者とはBのこと
Bを考えれば良いと言っている

>>301
¬∃x.¬∃y.P(x,y) を考えれば良いということなのですね？
それが分からないという質問だったのですが。どう考えればよいのでしょうか？
∃y...をどう考えればよいかは分かるのですが、¬∃x...をどう考えればよいのか分かりません。
∃yと¬∃xは、随分違いますよね

専門家じゃないんであくまで俺の理解の範囲で、なんだが・・・

完全性定理（モデル存在定理）を示すためにΓを拡大してるわけで
最終的にモデルを構築することが目的

∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a)

途中で送信してもうた

∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になるような対象 a が必要

Γ∪{∃xψ(x)} が無矛盾っていうのは、単に、「Γと∃xψ(x)を仮定して矛盾がみちびかれることは無いよ」って意味だから
これだけでは、構造を入れたときに ∃xψ(x) が真になる保証はない

なので、実際に ψ(a) になる,っていう文をいれとかなきゃならない、ってことなんじゃないかな

∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う

>>304
コメントありがとうございます。

>∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になる
ような対象 a が必要

これは了解

>∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う

対象は無いということはなくて、少なくともさっき∃xψ(x)のところで入れた
aはあるわけですよね。すると、∀xφ(x)が出てきたときには、φ(a)とすると
いうような考慮が必要だと思うのです。
ただ対象が有限のうちはこのようにやっていけばよいでしょうが，
∀x∃yφ(x,y)のようなのが現れたときは、対象が一気に無限になることもあり
得るでしょうが、そのときはどう考えるのでしょうか？
とにかくそういうふうに、∃のときより∀の時の方が難しそうなのですが、
∀の時のことがあまり説明されていないのがよく理解できないのです。
どこか考え違いしているのでしょうが

∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
（つまり P = 対象領域とする）だけじゃなかったっけ

>>306
>∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
>単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
そういってしまえばそうなのですが、それが∀x∃y.Q(x,y)の形のときには
悩ましくないですか？任意の要素xのそれぞれに対して、Q(x,y)となるyを
作らないといけなくなって、そうやって作ったy達すべてに対して，また
Q(y,z)となるzを作って．．．というふうにずっと続きませんか

それを1,2,3,・・・・・・と任意の自然数回繰り返したものを集めると
それが閉じているということが証明の一つのポイントだったような

Γの極大無矛盾な拡大をΓ+として、(¬(A ∈ B) を A /∈ B と書く)

　｛∃xφ(x) ∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が真｝ すなわち ｛∃xφ(x) /∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が偽｝・・・☆
が成り立つように構造が入っている、とすると

∀xφ(x)∈Γ+　⇔　¬∀xφ(x) /∈ Γ+　(Γ+は極大無矛盾)
　　　　　　　　　　⇔∃x¬φ(x) /∈ Γ+　(書き直しただけ)
　　　　　　　　　　⇔∃x¬φ(x)は偽 　（☆）
　　　　　　　　　　⇔¬∃x¬φ(x)は真
　　　　　　　　　　⇔∀xφ(x)は真　　　(書き直しただけ)

なので、☆が成り立つ理論を作ってうまく構造を入れてやれば
∀が頭に付く文についてもＯＫになるので
∃が頭に付く文だけ付け加えることを考えればいいんじゃないのかな

うーん、もっとちゃんと勉強しないとダメだな俺

∀x∃y.Q(x,y) に関してだけど

Q(y,z)って何？引数の順序には意味があるんだから位置変えちゃだめでしょ
任意の 閉項a に対して ∃ｙQ(a, y) がなりたって、
ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい

既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ

>>310

もちろん引数の順序を変えているのではないです。
∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？

>ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい
>既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ

だからそうは思えないんです

>>311
＞∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？


意味不明

>>312
あれ？伝わりませんか？
Q(a,b) とすれば、このbも、∀x∃y.Q(x,y) における∀xのカバー範囲に入るので、
先のaと同様にQ(b,c)としなければいけなくなり、そうすると、その次は、
cについても同様に．．．という意味だったのですが

なんか迷走してるね具体例考えるといいよ

たぶん疑問に思ってるのは
言語が定数記号aしか持たないとき、
∀x∃y.Q(x,y)　に対してxにaを代入したとき
∃y.Q(a,y)　となるので、これが成り立つような定数を新たに言語に投入して
∃y.Q(a,b)　としてみた
そしてあたらしく言語に投入したbを
∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた
∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばいという主張だと思う
これはモデル側では一階述語論理のタブロー法の決定不能性の原因になる
でも構文論ではまったく問題ない
なぜなら∀x∃y.Q(x,y)という形の命題があった場合は
q(x)=y　という論理的同値な関数をつくることができるので、
新しくqを投入した言語が保存拡大となり問題なくなる
結局∃ではじまる命題だけ考えればよい

なぜ∃の考慮が必要なのかというと、
例えば言語に定数記号がaとbしかなかった場合、
考察対象の理論から証明もその否定も証明できない命題Aがあるとする
このとき　(x=a∧A)∨(x=b∧¬A)　を　B(x)　とおく
すると　B(a)∨B(b)　が証明可能になる（恒真命題になってる）
よって
∃xB(x)∨∃xB(x)
∃xB(x)
といった証明ができる
けれども　B(a)、B(b)　などは証明できない
そうすると定義上∃xB(x)は真にならない
よって証明できるが真にはならない、つまり完全性が満たせない

>>314
コメントありがとうございます。

>たぶん疑問に思ってるのは
そのとおりです。

コメントを読んで少し分かってきました。
でもまだわからないことも多いです。

>でも構文論ではまったく問題ない
ここは正確な表現ではないんでしょう？ここはモデルを作ろうとして
いる所ですから

>結局∃ではじまる命題だけ考えればよい
これは随分飛躍しているように感じます

>q(x)=y　という論理的同値な関数
これはスコーレム関数のことですね
ここの処理こそキモではないかと感じます

>なぜ∃の考慮が必要なのかというと
∃の考慮が必要な理由はすぐわかります。ここの説明は複雑すぎませんか？

結局、やっぱり、∀については結構考慮しないといけないのですよね。
なぜふつう、TTTさんのコメントのようなことを書いていないのでしょうか？

>そしてあたらしく言語に投入したbを
>∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた
>∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばい

いや、それは、投入すればいいだけの話じゃないの？
というか、そういう風に順々に拡大していってるはずだけど

ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設
運営会社責任者は虚偽説明
商業施設トリアス久山　外資ファンドを取り巻く失望と疑念
http://www.data-max.co.jp/2013/10/07/post_16455_dm1504_2.html

>>298
∀x.P(x)の場合は、述語論理の公理に

∀x.P(x)　→　P(a)

があるから改めて何かする必要はない。

>>318
答えになっとらんと思うぞ

いやいや >>318 の答が正確かつ簡潔だと思います。
欲しい性質は
（１）　∃x.A(x)がΓの要素ならば、あるaに対してA(a)がΓの要素。
（２）　∀x.B(x)がΓの要素ならば、どんなbに対してもB(b)がΓの要素。
の二つで、（１）は自動的には成り立たないから定数をじゃんじゃん無限個追加するんです。
（２）は述語論理の公理から自動的に成り立つ（Γが極大無矛盾なら）ということ。

ついでに言うと、ヘンキン定数を用いたこの証明は理解するのが難しい
ということでしょうね。
定数を増やさない証明手法の方が優れているかと。

背景について

19世紀末に、イギリスの電気技師ヘビサイドはある特定の微分方程式を他公式方程式に変換してとく非常に実用的な計算方法を発見した。
しかし彼の方法は理論的厳密さにかけていたので当初はあまり評価されなかった。
その後ブロムヴィッチによりヘビサイドの方法は18-19世紀初頭にてすでにオイラーやラプラスにより発見されていた積分変換およびその逆変換による解法と結び付けられ、数学的に厳密に定式化された。
現在では彼らが定義した積分変換はラプラス変換と呼ばれ、電気工学、機械工学、制御工学など工学の広範で広く活用されている。

工学の真髄は数学的に思考にやどるってやってて思うね
逆に数学科の方々は数学をどう思ってるんですか

非公式方程式??
多項式方程式○
失礼

いや駄目だと思う。
B(x)=∃y.C(x,y)として∀x∃y.C(x,y) の場合を考える。
（２）を適用すると、
∀x∃y.C(x,y)がΓの要素ならば、どんなxに対しても∃y.C(x,y)がΓの要素
となる。
これに対して（１）を適用すると、
どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素
となるよね。
しかしこの「どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素となる」
なんていう表現は駄目だよね。dがxに依存するというのが見えにくいよね

>>324
変数と定数をごっちゃにしてないか？

>>325
「どんなb」というのも変なのでxにしておいた。
とにかく、∀x.B(x) なんていうんじゃなく、∀x∃y.C(x,y) の場合にどうするかを
具体的に示してやらないといけないんじゃないか？
∀の場合は簡単という答の中になんでスコーレム関数のことが出てこないの？

>>326
完全性定理の証明にヘンキン定数じゃなくてスコーレム関数を使うの？

馬鹿板撲滅の実行にノッペラ蕎麦じゃなくてテイノウ菌愚が出るの？

ケケケ狸

馬鹿板崩壊の救済にフクメン出前じゃなくてノータリン禁愚で決まり？

コココ狸

<><301
消えろ！！低能！！

狸

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>>327
両方使う

サヨカ。馬鹿蕎麦も低脳菌愚も、両方必要なのか。なるほど。

ケケケ狸

君らそもそも数学できるのか？

できたらこんなもんやってないだろ

そういう事やわナ。

狸

>>332
その両方使う証明方法が載っている文献を教えてくれませんか。
（ヘンキン定数しか使わない証明およびヘンキン定数すら使わない証明しか知らないので）

「1づつ引いていけばいずれ0に到達すること」というのをペアノの公理系に付け加えれば
ωなどを含まない標準的自然数の集合が定義できるんじゃないかと思うのですが、
これってどこか間違ってますか？教えてください。

それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます

あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで
直接的に論理式で表現しないといけないですが、
実際やってみると案外難しいのが分かると思います。

>>339
コメントありがとうございます。
>それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます
私が言ってるのは、逆方向の帰納法ですね
>超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
そう言いたいのですが
>実際やってみると案外難しい
再帰的に定義すれば簡単に定義できると思うのですが、
しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、多分不完全性定理を含む
多くのことが崩壊するでしょうから、どこがどう間違っているのか分らないの
です。再帰的定義のところが間違いなのでしょうか

書いてみなされ

Prolog風に書くとすれば、
Nat(x) :- x=0.
Nat(x) :- x=y+1, Nat(y).

自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
これは案外不自由なもので、まずこれを知らないと、
そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。

ここでやらないといけないのは与えられた数から1ずつ引いていくプログラムじゃなくて
「"いずれ"0に到達できる」ということを表現した形式的な論理式です。
342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
「有限回の操作後いずれ0になる」の意味なんて明らかだ、というのは
「標準的自然数」の定義なんて明らかだ、誰でも知ってるから敢えて書く必要ない、
というのと似たようなことです。

＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
仰るとおりです。「案外難しい」というか、実際やってみるとできません。
不完全性定理周りでは「明らかに」できそうなことが実はできないことがわかる、
というようなことは良くあります。だから不完全性定理の証明では、
自明臭いことを延々と実際に書いて確かめたりします。

数学基礎論の勉強を始めたいのですが、どういう本がオススメですか？

今復刊されてる「数学基礎論講義」はかなり良いよ

>>343
>自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
一応分っているつもりです。
>そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。
まずは、あの0,1,2,3,...のことだという理解でよいのではないですか？
>342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
と書いた方がよかったかもしれません。
<==>ですから、これでωはNatの集合から排除できると思います。
そしてこの式は、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思うのですが。
「"いずれ"0に到達できる」ということをメタレベルで表現しているのではありませんが、その必要はないですよね？
>＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
>仰るとおりです。
上のように少し補正しましたが、どこで間違っているのかまだ分かりません。

>>345
ありがとうございます

Natって自然数じゃなくて整数なんだ

>>348 ?

整数には0もあるし前者もある。

>>346
Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
ということしか言っていませんから、
これでは順序型としてω＋Z・Q
みたいな、ωの後にZと順序同型のブロックがずっと続くような構造を排除できていませんし、
実際超準モデルは順序集合としてはそういう構造になります。
http://www.math.uchicago.edu/~kach/mathematics/slides1may2004.pdf

>>351
>Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
>ということしか言っていませんから、
いいえ、それに加えて、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思いますが。
というのは、お分りと思いますが、上記の中の「yもNatである」の部分に対しても
Nat(y) <==> y=0 ∨∃z.(y=z+1 ∧ Nat(z))
が適用されて、さらにそのうちの「zもNatである」の部分に対しても・・・
となりますから。
ですから、0に到達しないωはここのNatには入らないと思うのです。
(ご紹介のスライドは後で勉強してみます）

整数に対して
Int(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Int(y))
をみたすIntという性質を考えても、
整数に対して1を引き続けるといずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、
というような結論はでないから、少なくともペアノ算術の他の公理を使うこと無しに
Natの定義だけで352みたいな結論は出て来ない。

あと、超準モデルは
{0、1, 2, 3, …… 　…… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
みたいな構造をしていて整列集合じゃないから、
全ての標準自然数より大きいような最小の元 ω は存在しない

ωの後にZと順序同型のブロックが続くというのは、
{ω}のあとにブロックが続くという意味じゃなくて
{0、1, 2, 3, …… }（最大元はない）の後に続くという意味だからね

>>353
後半部は分るのですが、
>いずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、というような結論はでないから
がまだ分りません。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
をちょっとベタに展開してみますと、例えば
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
Nat(-1) <==> Nat(-2) <==> Nat(-3) <==> 永遠に続く
Nat(w) <==> Nat(w-1) <==> Nat(w-2) <==> 永遠に続く
となります。
ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
真としてもよいし、偽としてもよいのですが、真にするとしても
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
でいう真とは明らかに区別できます。
なので、標準的自然数を定義することはできるのではないかと相変わらず思うのです。

負数について考える必要はないと思いますが、みなさん「整数．．．」とおっしゃるので
入れておきました

カルケドン定数つき単項述語論理なら定義できたと思う
S除去で→を削って食って手法

>>356
へー。なにか読めるものありますか？

整数どころか複素数でも成り立つのに。

ギュープラタンのホロノミー原理とか中間次数開裂問題とかが有名
まぁギュルタンとかソロベイとかが今はやってると思う
まとまった本はないのでQ理論とか入子算術体系PL2_ωをあたるといいと思う

デタラメを書いてるかも知れない、と思わせる文体。

実数の理論内部では自然数は定義できないとかの話をふと思い出した。

＞ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
そうです。

＞明らかに区別できます。
>>343で述べたように、その「明らか」が実は明らかどころか間違っています。

「意味論semantics」と「構文論syntax」の違い、とか
メタ理論と対象の理論（地の理論）の違いとか、そういう話は聞いたことありますか？
標準的自然数の定義はメタ理論的には可能と言ってよいですが、
対象理論のなかではできないのです。

＞しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、
＞多分不完全性定理を含む多くのことが崩壊するでしょう
これは正しいのですが、こっちの「定義」は対象理論の中での定義でなければなりません。
つまりペアノ算術の論理式で定義するという意味です。この意味での定義は不可能です。

というか
＞真としてもよいし、偽としてもよいのですが
ってどういうことよ
真か偽かは好き勝手に選ぶようなものじゃないよ

x^2-y^2=s　ｓが素数の時(√s<x<(s+1)/2)の範囲において第一象限で格子点を通らない
(x+iy)^2=s-2ixy
{ √[x^2+y^2]*e^(i*arctan(y/x)) }^2 = √[s^2+4(xy)^2]*e^(i*-arctan(2xy/s))
√[x^2+y^2]=√[s^2+4(xy)^2] x^2-y^2=s
e^(i*2*arctan(y/x))=e^(i*-arctan(2xy/s))
2*arctan(y/x)=2Aπ+φ
-arctan(2xy/s)=2Bπ+φ
2*arctan(y/x)+arctan(2xy/s)=(A+B)π　　　　
Sに整数を代入し上記の指揮を満たす整数ｘと整数ｙが(√s<x<(s+1)/2)と(0<y<(s-1)/2)に存在しない時Ｓは素数

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧,,∧
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r(　　　´ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .／　　　 ? >　 　,／　　　 ∧,,∧
　　　数学人だあーーーーっ ? ＞　　　〜'oー､_)　? r(　 　ｎ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .＞　　　　　　　　　 ? 　`/　　?_
　　　逃げろーーーーーーっ！ .＞　　　　　 　　　　　〜'し -一┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .＞　　　　　　　　　　 　　　 　　　∧,,∧
／∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨＼　　　　　　　　　　　　　　 　　(　´・ω)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　〜､/　 っっ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　? ∧,,∧ 　　　└ー-､ぅ
　　　 　? 　　　　　　　　　　　　 ? ? ? 　? ? 〉､´・ω・))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧　,,∧　　　　　 >　＼/´
　　　　　　　 ?__ｎ　　　 　　　　(´・ω・｀)　 ? 〜'?-一┘
? ? 　　∧,,　∧ﾉ ? ? 　　　　c' 　　っ
　　　　c('・ω・｀)っ　　　　　 〜(_,'ーo'

わっ　でも逃げずにやってきましたｗ

>>362
標準的自然数を定義できると主張したいのでなく
私の論法のどこが間違いかを知りたかったのです。
私のあの定義は対象レベルの定義のつもりです。
（そもそも対象とメタの区別というのも分かりにくいですね）

>>363
真とも偽とも決まらないと言えばよかったでしょうか
例えば、a = (a => 真) の場合なら、aは真と決まりますが、
a = (a ∧ 真) の場合は、aの真偽は決まりませんね

>366
「充足する」という意味？

普通は、N(x)である、という性質を定義するのに
N(y)という性質を使ったら定義にならないよね。
大抵well-definedにならないのだけど、帰納的定義の場合は
特別にそういうことができる。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
ではマトモな定義になっていないということ。

特別に？　マトモな？

たとえば
Ｇが群であるとは、
「乗法・で閉じたGの任意の部分集合 H が群になっていること」
と定義したりしたら、これ自体は正しい命題ではあるけど全然定義になってないでしょ。
〜〜は群である、ということ自体を定義の中で使ってるから。

帰納的定義というのはその種の特殊なことをやっている。
>>340で「逆向きの帰納法」と言ってるけどそんなものはない。
整列集合とか整礎的半順序では
大きくなる方向と小さくなる方向は本質的に非対称で、
帰納法は逆向きには成立しない。

>>370
言ってる気持ちは勿論よく分かってます。自己定義は定義にならないとか。
だけど、Natの定義はそうではないですし、マトモでないとしても、
どうマトモでないかがわからないというのが今の場面なので

Natの定義がそうでないというあなたの脳内感覚を数学にしてみて

見ればわかるでしょ？
左辺はNat(x)で右辺はNat(y)
群の例の場合は，左辺も右辺もまったく同じ「群」

ちょっと間違ったけど、群の例は、
Nay(x) = Nat(x) や Nat(x) = Nat(x-1)　のようなもの

＞どうマトモでないかがわからない
帰納的定義がwell-definedであるというのは
自明じゃなくてちゃんと証明しないといけない命題。
Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
この証明はやってみると全然できない。
実は理論が無矛盾である限り決して証明できないのだが、
これは不完全性定理などから分かることで、
矛盾してしまう以上できない、という説明しかないんじゃないかな。

{x: not x ∈ x} はなぜ集合でないか、が根本的には
ラッセルの逆理が生じて矛盾するから、としか説明できないのと同じ。
クラスみたいに大きなモノの集まりは累積的集合になれない、
とかいうのは後付けの理屈でしか無い。

>>373
見てわかるのは君の脳内でだけだから数学にして

>>375
それで、私のNatの定義がどうマトモでないかへの答えは、
ここのどこに書かれていますか？
マトモかどうかは分らないというのが答えなのでしょうか？

それから
>Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
>この証明はやってみると全然できない。
まさかそんなことないでしょ？

＞Natの定義がどうマトモでないか
これから定義するべきNat自身を使って
Natを定義しているところ。

整礎関係に対する帰納的定義の場合は、これがきちんと唯一のものを定めているということの
証明が、集合論の教科書にちゃんと書いてあります。
ペアノ算術の場合の、帰納的な関数や述語の定義ができるということの証明は
一階算術の表現能力があまりないのでβ関数とか中国剰余定理とかを
使ってかなりテクニカルな証明をします。たぶんあなたは読んだことないと思います。

>>373
xが群であることをGrp(x)と書くことにすると
>>370に書いたのは
Grp(x) :⇔ ∀y⊆x Grp(y)
ですよ。
「左辺はGrp(x)、右辺はGrp(y)だからちゃんと定義になってます。
見れば分かるでしょ？」とか言われても、
「はぁ？意味不明……」と思いませんか。
Nat(x)の場合との違いが私には分かりません。

それから、私は「逆向きの帰納法」が何を意味するのか分からなくて
私にとっては明らかでも何でもないから
まずあなたが、それが何なのか説明して下さい。
与えられた数から1ずつ引き続けるプログラムなんか
出されても何の説明にもなってません。

>>366で対象レベルの定義と言ってるし、
不完全性定理と矛盾するのが分からないとも言っているんだから、
一階算術のなかで定義しないといけないんだよ。

仮にwell-definedである保証がないことに眼をつぶって
算術にNatという無定義述語と
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加えても、
超準モデル
{0、1, 2, 3, …… 　…… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
のうち、最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。

>>354で言っている「明らかに区別できます。」はメタレベルでの話で、
メタで区別できても対象レベルのなかで論理式で区別できないと意味が無い。
でもそういう区別をできる論理式は決して作れない。

>>378
>＞Natの定義がどうマトモでないか
>これから定義するべきNat自身を使って
>Natを定義しているところ。
ということは、帰納的定義はマトモでないと言っているのですね。
しかしこれは、その直後で
>整礎関係に対する帰納的定義の場合は、
というように、帰納的定義は認めているようなのと矛盾するのではないですか？
唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分りますが、
Nat自身を使ってNatを定義すること自体はOKですよね。

>>379
>最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
>wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。
それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？

二階の論理でも使うの？

モデルに言及する時点でメタになるということかな？

メタなんていうより二階って言った方が明確だろ

＞唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分ります
今の場合はほぼそういうことなのでそういう風に解釈してくれれば良い。

＞それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？
二階算術ならその方法なら良いよ。そして不完全性とも矛盾しない。
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))　だとその内容を表現できてない。
Natがモデル全部の中の変な部分集合になってる可能性が残る。

一階の算術であれば、そういうことは表現できない。

最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。

>>385
ようやく少し話が合ってきた感じかな
途中「Nを使ってNを定義することはできない」なんてナイーブなことを言う人が
出てきたので困ったと思ったのですが。
>最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
なんでも出発はそれくらいの一次近似から始まるんじゃないですか

いやナイーブなのはあれで定義になってると思って
>>373みたいな意味不明なこと書いてるアンタですがな

こっちが、定義になってないけど
「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加える」 という意味に好意的に解釈してるのに
ナイーブな奴には分からん高等な定義をしてるんだぜ、みたいなのやめれ

＞「Nを使ってNを定義することはできない」
定義にならない、とかマトモじゃない、というのは「定義することは出来ない」ではなくて
「定義が指すものが存在して唯一に決まる保証が無い」ということ。最初からそう言っている。

当人以外はわかって見てあげているからまあええんじゃね

「私以上にナイーブな」という意味でしたｗ
>「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
>という公理を加える」 という意味
ここはもともとそういう意味で言いましたよ。そしてナイーブな定義のつもりでした。
それに高等なことは好きじゃないんですｗ
>最初からそう言っている。
そうでしたか。そうは聞こえなかったものですから。あるいは他の人だったかもしれません。

しかし、ちょっとアレな人でも頑張って長く話せば数学の会話は成立するもんだね

数学なんてやってないでしょ・・・

まあ確かに
でも標準モデルは定義できるのか定義できないのかどっちなんだって
算術の超準モデルのこと勉強したら気にはなるよね

M→_p N_1,　M→_ηp N_2 ⇒N_1→_ηp L ,N_2→_p L を満たすLが存在することを証明してください。
ちなみに→_ηpと→_pのチャーチ・ロッサー性は満たすことを仮定してよいです。
お願いします。

（S_λ）_CLを計算してから
（S_λ）_CL x
を計算したいんですけど、
計算が複雑すぎて途中でわからなくなります。
計算したことのある人ありますか？
できたら計算お願いします。
あるいは他の方法でできたよというひともお願いします。

何大学の何先生の何という教科書を使った何という名前の講義のレポート問題か、
ちゃんと明らかにした方が答を教えてもらえると思うよ。

>>393は自力で解けました。

>>394は解けません、
計算機とかないですか？

>>395
エスパーうざいよ。
全部外れだしｗｗｗ

S_λと書いたら当然それだけで意味は通じるものと思ってるんだよね

>>394
λxλyλz.xz(yz) を標準的な方法でＳとＫだけのコンビネーターに変換して，
その後ろに x を付けてリダクションせよ，ということかな？
複雑にはなるけれども単なる計算問題なので、
定義を理解して括弧の付き方に注意して慎重に進めればできると思いますが。

言うのとやるのは大違いなんだよな。
パーサー書くしかないのか・・・
ああ、メンドクセ・・

例えばΓにaが含まれればΓトaとΓトa/ Γトaxという規則があるとします。
このときaがトに含まれているときΓトa/Γ,bトaを証明しなさいと言う問題があったとするじゃないですか。
するとΓトa/Γトax/Γトaxx/・・・
と永遠に続くだけで証明できませんよね。
むしろΓ,bにaが含まれているから始めの規則によってΓ,bトaが成り立つじゃないですか。
でも/を使わずに導いたのに/をつかってΓトa/Γ,bトaとして良い理由がわかりません。

何言ってんだ。藪から棒に。

質問なんですけど・・・

>>401
ごめんな。トは|-のことか？1行目の後半意味わからん。aがトに含まれている、も意味分からん

aがトに含まれているは　aがΓに含まれてるの間違いで
Γトa/ Γトaxのいみは
Γトa
＿＿＿＿＿
Γトax

の横書きです。

axって？

aのあとにxを続けたものです。

左卜全

やめてケレ、やめてケレ

定義がわからないのでまったくの想像ですが、もしかして
証明しなさい、と言われていることは
「Γ|-a から Γ,b |-a を規則で導け」
　ではなくて
「Γ|-a が成り立つならば Γ,b |-a も成り立つことを示せ」
なのでしょうか？？

いずれにしても、問題を出した >>401 さんがちゃんと定義を書いてくれないと
誰も正確には答えられないと思います。

シークェント計算か何かのことを言っており、
(1) Γが式の集合で a∈Γ であるなら Γ|-a、
(2) Γ|-a であるならば Γ|-a, x
が成り立っているときに　Γ|-a であるなら Γ,b |- a
であることを示したいのなら(1)のみを使って示せば良い。
シークェント計算でシークェントの間にある横線は、
それを使って示すとか使わないで示すという話じゃなくて
(2)の「であるならば」の略記に近いものだと思う。

あと他の人も言ってるけど教科書などに書かれていることを
そのままきちんと人に伝えることができるようになった方がいいと思う。
>>401だとかなりエスパーして推測しないと意味が分からない。

糞論

ゴミ・ジャップ

トンスル飲んで消えろ

揚げ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t

SKの定理を演繹定理なしで演繹してとくのはテクニックとかありますか？

α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ

来年は国債を空売りし大暴落の年。
大戦争へと突入

演繹定理の証明は良く分析すると
式変形を実際に書き出せるようになってるから
援用すれば良いんじゃないかと思うけどね

ShoenfieldのMathematical LogicのP23の問題なのでが

k項真理関数Hが真理関数H_1,..,H_kによって定義可能であるのはHが定義
H(a_1,...,a_n)=・・・
を持つ時である。ただし右辺はH_1..,H_k、a_1...,a_nとカンマ、括弧で作られる。

Hd,nはHd,n(a_1,...,a_n)=T iff 少なくとも一つのiに対しa_i =Tによって定義されそしてHc,nを

Hc,n(a_1,...,a_n) =T iff すべてのiに対してa_i=T

とおくことによって定義される真理関数としよう。
すべての真理関数がH¬とHd,nとHc,nによって定義可能であることを示せ。
(H¬(T)=F、H¬(F)=T)

初歩的な問題ですがわかる方おりましたらよろしくお願いします。
意味はわかるのですが、どう書けばいいのか表記法の点でわからないのです。

Shoenfieldって内容は割と良いけど表記法が割と古いよね
KleeneとかChurchと現代の本の間くらいの雰囲気
Monkはもう少しだけ現代に近いのかな

>>422
「命題論理のどんな論理式も，
　¬, ∧, ∨
の三つの論理記号だけで表現できる」
という事実があります。

（１）この事実の証明を何らかの教科書で勉強する。
（２）その証明をShoenfieldの表記法に直す。
で完了です。

>>423
ついでに、あの体系が独特．
ヒルベルト流の一種と言えるが．

公理の数を少なくするか推論規則を少なくするか、
大抵はどっちかだけどShoenfieldはちょうど間みたいな感じだよね

まあ演繹定理証明して完全性定理示したら後はどの体系でも大差ないが

（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）
がどうしても解けません。
どうやってやるのか教えてください。

自己解決しました。

とおもったら解決してませんでした。

やっぱり自己解決しました。

とおもったら解決してませんでした。

いや解決しました。
むしろこんなに簡単なのに
３時間以上考えても解けなかったのが不思議なくらいです。

やっぱり解決してませんでした。

>>431,433は偽者です。
完全に解決しました。

やっぱり解決してませんでした。
お願いします。

├_HM の定義を明示してくれないと答えようがありません。

勉強を始めたばかりの人は自分の読んでいる本の記述が絶対に見えるかもしれませんが、
論理学の業界では本によってテクニカルタームの定義が異なることが多いんです。

(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→b)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

[訂正]
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→ｃ)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)略
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

難しくないですか？
みんなやってますか？

├_HM は →, ∨, ∧ だけの直観主義論理のようですね。
質問者は >>418 と同じ人かな？
>>421 の人が言っていることと同じですが、
まずは自然演繹で証明を書いて、
そこから「演繹定理の証明の分析」を使って
ヒルベルト流の証明を作るのが正解と思う。

直感主義じゃないんですけど・・・
とりあえず、答え分かったら書いておいてください。

直感（直観）主義じゃない、なら何なのでしょう？
あなたの読んでいる本ではこの論理のことを何と呼んでいるのでしょう？
├_HM の H は Heyting ?
M は？

M は Minimal logic の M かな？
つまり記号 ⊥ はあるけれどもこれに特別な意味
（「矛盾からは何でも出る」という ⊥→φ ）
を持たせない、というやつ．

相手する必要なし

>>441
なのこの態度は

>難しくないですか？
>みんなやってますか？

>>442
予想だけどヒルベルトミニマルではないのかな。
443の云うとおり爆発律が成り立つことを仮定して無いので
直感主義では無いですな。
まあこの問題の性質上パズル的要素が強いんで
IQが低い奴はいくらやっても解けないということですな。

本人登場

>>427の問題を解いてみたけど諦めた人いる？

a∨b→φ∨（ψ∧χ）
最後こんな形になりそうなんだけど
a,bが無いから解けないんですよね。

>>427
できたよ
45行あるけど見たい？

>>451
できてないのみえみえだから要らんわ（〜〜）

>>451
15行目と30行目を書いてくれたらあとは自力で行間を埋めます。

自己解決しました。
ヒントはメール欄です。

hmで二重否定使うなよw

いま出先だから後で貼るね

1　(A→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C))　(DE)
2　A→(A∨(B∧C))　(DI)
3　(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C))　MP,1,2
4　B→(A∨(B∧C))　†
5　(A∨B)→(A∨(B∧C))　MP,3,4
6　A∨B　‡
7　A∨(B∧C)　MP,5,6

あとは（†）と（‡）の証明

（‡）は簡単
1　(A∨B)∧(A∨C)　(Pres.)
2　(A∨B)∧(A∨C)→(A∨B)　(CE)
3　A∨B　MP,2,1

（†）からはいたちごっこ

1　(B→(A∨C)→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C)))　(Ax.S)
2　B→(A∨C)→(A∨(B∧C))　*
3　(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C)))　MP,1,2
4　B→(A∨C)　**
5　B→(A∨(B∧C))　MP,3,4

次に（*）と（**）を導出する

ってやってるけど、自分の出した課題が2chに乗ってたら授業妨害だよねｗ
同業者としての倫理観としてここまでで、質問は受け付けるよ

こういう問題で盛り上がっていると，論理学って単なる計算問題と思われそうで寂しい．

>>456
ありがとございます。
参考にします。

>>458
こういう計算がスラスラできる者通しの会話だと思うと発言に厚みが生じる。

アイデアはこれ→>>440なんだよね

計算問題だと思われるのはさすがに嫌だけど
こういうのを簡単に構成できるような人じゃないと
論理学に向いてないよね

どっちかというとこういうごちゃごちゃした計算は
寧ろ数学の他の分野には良くあるけどロジックには
少ないというイメージだけどな

あとこういう計算をすらすらできることとロジックの能力は
必ずしも関連しないと思う
前原昭二が講義するときも、この種の計算はノート見ながら板書してたらしいし

>>462
計算なんてつっかえつっかえでいいからね
それを板書でやられたらノートを取ってる側は困る

駄目なのは計算もせずに高いレベルの事をしようとする輩

いま新版Kunen読んでるけど、第一章が
ほとんど知ってることを長々と繰り返すからダルい

まあ、後で大事になるのを見越して
冪集合の公理と置換公理がどういう風に使われるのか
割と緻密に分析してたりもするから面白いけどね

一方でKoenigの補題とかはどの入門書にも載ってるから
証明省略されたりしてる

いきなりすごく下がっているけどなぜ？

共終数で挫折したね
それ以来集合論には触れていない

あれは使ってるうちに慣れてくしかないと思うよ

数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラミングが好きであるとともに、得意であることは含まれますか。

プログラマーに含まれる人が持っている特性は、数学者に含まれる人が持っている特性と違いがあるような気もします。
プログラマーが持っている雰囲気は、数学者が持っている雰囲気と違いがある気がします。
数学者は学者であるとします。すると、プログラマーは技術者であるとか、実験を補助、支援する職員という気もします。

数学基礎論・数理論理学を研究することの範囲に、記号の集まりを論理操作することが含まれるとの主観的な印象を持っています。

また、仮に特定の手段によって記号の集まりを論理操作に基づいた文で電子計算機に入力して実行していくことがプログラマーの仕事や作業だとしたら、
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラマーやプログラマーに近い人が持っている特性と似ていると思いました。
記号の集まりが並んでいいる、数学基礎論・数理論理学の本から受ける印象は、プログラマーが電子計算機に入力して実行する文から受ける印象と似ていると思いました。

他方、そのプログラマーでないと、その文を電子計算機に入力して実行し、それを実現できないことがあるとのエピソードも見聞します。
そうすると、プログラマーのプログラミングには、技術者や、実験を補助、支援する職員が持っている特性を超えた、学者の要素が存在する場合もある気がします。
プログラマーは学者であるのでしょうか。数学者は学者であるのでしょうか。

数学者もプログラミングをして電子計算機を利用することもあるそうです。ただ、そうだからといって、数学者はプログラマーであるとの文を記述してみましたが、
その文から受ける印象は、その文には誤りが含まれているとの印象です。

仕事の内容その他の職務に属する作業や行動の観点から見てみて、学者とプログラマーとは、違いがあると思います。
もっとも、両者は同じ部分もあると思います。

プログラマーに類似した特性を持っていない学者が、プログラマーに類似した特性を持っているが前者の学者が持っている特性を持っていない学者や、プログラマーを、
技術者や、実験を補助、支援する職員と、同じように取り扱うのは、どこか間違っていると思いました。

以下の本を読んだとき、わたしは、プログラマーの作業や仕事を具体的に実行できる者を、とても尊敬しました。
人は自分ができることだけを評価するものである。この文を読めば、誰もがそのとおりであると思うかもしれません。ただ、わたしは、本当にそう思いました。

アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本]　クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)

みなさまはどのように思いますか。

数学者とは、
たとえば以前に挙げられた（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）といった
具体的な計算が単に出来るだけではなくて，
このような計算を一段高い所から論じて
メタな立場での未知の性質を明らかにする人でしょう．

プログラマーの定義が，単にプログラムが書ける人だととすると
それは「単に計算が出来る人」と同じで学者とは言えないと思います．

なるほどでした。簡潔かつ明確で、平明かつ少しでも具体的な例を含む、品のある解答を示していただき、ありがとうございました。そのほかの皆さんの解答がありましたら、お教えください。

>>472
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本]　クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)は駄本としか思えません
世界を支配しているのは希望を持続し続けようと必死にもがいているあなたや私の七転八倒だと思いますよ
もし数理論理学なりプログラミングスキルなりがその七転八倒の戦場になっているにしても
戦場自身あるいは戦場の部分的あれこれが世界を支配したりはできません
たぶんね（〜〜）

age

下がってるね

>>440
ありがとうございます。
その方法でやったら簡単に解けました。
逆に矢印系の問題はその方法のほうが難しいことが分りました。
自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
横線の横に定理名を書いて省略するのってありですか？

今年モデル論やる授業ないかな

＞自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
推論規則の書き間違いかな？

完全性定理を、「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」のように
簡潔な表現で表すとどうなるか教えてください。

恒真な論理式全体の集合はRE。
（注意：REは Recursively Enumerable だが、CE (Computably Enumerable)と呼ぶ人も多い）

いやいやおかしいだろそれ

まず正確に言うと「一階述語論理の恒真な論理式のゲーデル数を集めた集合がRE」。

完全性定理が示しているのは次の二つの論理式集合が一致する、という事実。
　（１）恒真な論理式を全部集めた集合。
　（２）論理体系（自然演繹とかシーケント計算LKとか）で導出できる論理式を全部集めた集合。
このうち（１）はパッと見REではない（恒真の定義は「すべての解釈で真」なので）。
しかし（２）の条件は「それを結論とする証明図が存在する」なので、これはRE。

それだけでは「完全性定理」とは言えない

論理式全体の集合もREですから

>>484
はい、これだけでは完全性定理とは言えないですね。
「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」に匹敵する簡潔な表現を完全性定理に対して試みたものです。

>>485
論理式全体はREどころかRecursive（計算可能）です。
ここでのポイントは
「恒真な論理式【だけ】を全部集めた集合」はパッと見REでないのに、
「論理体系で導出できる論理式【だけ】を全部集めた集合」は明らかにREである、
という点です。

あと出しカッコ悪い

「一階述語論理（を表す記号）は完全（決定可能）」と言うことはできないのですか

判定するアルゴリズムは無い。

>> 488
たぶんここで使っている「完全（決定可能）」とは、
判定アルゴリズムがある、という意味の決定可能ではなく、
どんな閉論理式もそれ自身がその否定が証明できる、という意味の決定可能だと推測します。
しかしいずれも意味としても、
一階述語論理で恒真な（証明可能な）閉論理式全体は「決定可能」ではありません。

【訂正】
>>490
誤>> ...それ自身がその否定が証明できる、...
正>> ...それ自身かその否定が証明できる、...

なんでこの赤い丸で囲んだところのように定義するのか分かりません

http://i.imgur.com/yzhDwuv.jpg
P_nでn番目の素数です

>493
お前は質問を論理的に説明する方法を勉強しろ。
質問を理解するために必要な情報が全然足りない。

>>494
別にお前は答えなくていいよ

補足すると
ゲーデルの不完全性定理について

IsformSeq(x)は 「xは基本論理式から組み上げた論理式の列」
len(x)は「列xの長さ」
x・yは列xと列yを連結させた列

まあどうせこんなとこで聞いても答えは出ないだろうけど

論理式の構成列 n の最後の項が x とする
（無駄な項を省いて）構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる（理由は後述する）ことがわかるので
初めから len(n)≦len(x)^2 を満たす n を選んでおく

また、無駄を省いたことで、構成列 n には x の一部である論理式しか現れないとしてよい

n ＝ [P1]^m1×…×[Plen(n)]^mlen(n) ≦ [P1]^x×…×[Plen(n)]^x ≦ { [Plen(x)^2]^x }^len(x)^2 ＝ [Plen(x)^2]^xlen(x)^2



構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる理由：

構成列 n を元にして論理式 x を構成するツリーをつくる（ツリーの根に当たるのが x である）
このツリーには x の一部である論理式しか現れない
ツリーを遡るほど論理式は短くなるので、ツリーの高さは len(x) 以下
ツリーの葉（最も基本的な論理式）の個数も len(x) 以下
したがって、このツリーに現れる論理式の個数は len(x)×len(x) 以下である
逆にこのようなツリーを元にして x の構成列 n’がつくれる

>>497
ありがとなす！
あと申し訳ないんだけど、len(n)のn番目の要素をxとすると、その要素は一つだからlen(x)って1になると思うんだけど…
よくわからない

nは　　論理式が　　len(n)個並んだ列

xは　　記号が　　len(x)個並んだ（論理式と呼ばれるタイプの）列

喪毎ら、何を呆けたこと議論すてんだ。こんバカタレが。ｗ

http://www.age.ne.jp/x/eurms/ にある、エムシラ御大の本を読んでみろ、目から鱗だぞ。

はいはい。自分の巣にお帰り。

御大は、生きてるうちから、伝説の人。

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論のほうが、全面的に、正しいようだな。


例えば、【対偶律】は、従来は (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。


http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>503
おいおい（〜〜）

前原昭二 第2不完全性定理の内容的解釈
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/20/3/20_3_143/_pdf

上のpdfでは第2不完全性定理を例にとり、論理式の表す「内容」が真偽でも証明可能性でも捉えられないことを指摘しています。
すなわち…

（形式的体系が無矛盾という仮定の下で）
「xは1=2の証明のゲーデル数ではない」を形式化した論理式P(x)と、論理式x=xは、ともに恒等的に真な命題関数を表すが「内容」は異なる。

第2不完全性定理によると∀x(P(x)⇔x=x)は証明できない。
この事実を手掛かりに
　　A⇔Bが証明できるとき論理式AとBの「内容」を同一視する
と試みても、A⇔Bが証明できるかどうか（AとBが同じ「内容」かどうか）は形式的体系に依存することになり、不適切である。



第2不完全性定理は、「1=2は証明できない」という「内容」を表す論理式のうちの一つが証明できない、と主張するに過ぎない。
「内容」そのものが証明できないことを示すのが理想であり、そのためには、
原始帰納的述語を全称量化した「1=2は証明できない」という「内容」を、どんな種類の論理式と関連付けるべきかが課題である。
と、筆者は締めくくっています。

この問題の（部分的にでも）解決を試みた文献がもしありましたら、お教えください。

第二不完全性とか言わなくても
A→AとA→(A∧A)と[(A→B)→A]→Aはどれも真だけど意味が違う訳で。

Loebのderivability conditions（可導性条件、導出可能性条件）が
最初に文献に出て来たのがいつかは分からないけど、
少なくともHilbert Bernaysには既に出て来るし、
最近の教科書には大抵載っている。
ロッサーの可証性述語の「自分より小さなゲーデル数の証明と矛盾しない」、
みたいな余計な条件によってバイパスされて"無矛盾性"が出て来ないための条件だけど、
これで或る程度用は足りてるんじゃないかな。
前原先生はたぶんこれもあまり知らなかったんじゃないかな、と思う。

真偽値とかと違う意味での命題の内包的意味とは何か、というのは
数学よりも哲学よりの話になってくると思う。論理学の話であるのは確かだけど。

フェルマーの最終定理の証明はスキームの圏などを扱うから
その証明がZFCに収まらないかもしれない、とかいうのは
典型的なロジックに対する無知だよね。

ACを使うから云々みたいなのも当時見た

ここにいる人達は圏論的論理学はどう思ってんの？

>>506
回答ありがとうございます。
その三つの可導性条件を、「証明できる」という内容を表す論理式が持つべき条件、と見なせばいいわけですね。
かなりスッキリしました。

>>505
そんなに深く考えないでも、命題の真偽値とその意味内容とは別物だという事は
当たり前の事じゃないの?それらが同じだとすれば、命題には2種類の意味しか
ないという事になっちゃうと思うが?

まあ一見当然なんだけどそこを敢えて
命題の外延的意味、Bedeutung, meaningはその真理値だとみなした事が
Fregeの偉かった所だったりする。

まあそれ以後の言語哲学では命題の（内包的）意味Sinn, senseを理解するというのは
その命題がどういうときに正しくてどういうときに
間違っているかを理解することだ、とかそういうことも言われるけどね。
どっちかというと論理学と言うか言語哲学に近いか

>>509
圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
圏論の入門書に期待してる

まあAwodeyも持ってるんだけど読む時間が無い
いつかはSheaves in 〜読みたいなあ、とは思う

>>508
まあ、命題の「意味」と言ったら命題そのもの（内包的意味）の事であって、
真理値は文字通り、命題の「（真偽についての）値」に過ぎない、
というのが普通の言葉使いであることは、じいちゃんばあちゃんに聞けばわかる。
それを「（外延的）意味」と言ったりするから、余計な哲学的問題を作って
しまうのじゃないかね？
年俸20億円というのは、田中将大という人間そのものじゃなく、その属性値の
一つに過ぎないよね。

>>508じゃなく>>512だった

もう数学の話じゃないからこのレスまでにするけど、
「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的なsense（日本語では意義と訳す）は違うけど
述語論理の教科書に出て来る普通のTarski的な意味論を考えたら
その解釈は同じになる。意味論的に同じだということは、その意味は同じだと言っていることになる。

そもそも外延的意味と内包的意義では外延的な意味の方が数学的には扱いやすく、
Fregeがこういう区別を持ちこんで外延的意味の方を主に扱ったから
現代的な記号論理学が発達した訳で、その結果として数理論理学が発達した訳で、
外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。

>>516
オレもこれでやめるが
>外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
ちょっと誤解があると思う．オレが言ったのは
「外延的な意味」という言葉使いが不適切だ、という事だった。
それから、「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的にもほぼ同じsenseの
ようにも思う。少なくとも、「内閣総理大臣」と「安倍晋三」程の内包的意味の
違いはないね。

>圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
だれが書いてるの?

圏論（category theory ）なんて、トンだお笑い草だ。ｗ

>>519
どんなとこが?

>>513
詳細希望

>>520

material implication の上に構築された理論など「根無し草」ってことさ。

Goedelの、いわゆる“不完全性定理”とて同じ。ｗ

>material implication の上に構築された理論
もう少し詳しく。
それに、それが圏論の本質的特徴なのか？
そして不完全性定理が根なし草とも思わないんだが。

>>523
＞不完全性定理が根なし草とも思わないんだが

その“証明”の冒頭で、P&amp;(P⊃Q)⊃Q であるとして、B_Russell の material implication
を平然として使っている。

P&amp;(P⊃Q)⊃Q は、P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミスです。御免なさい。

こういう勘違いしてる奴って多いよなw

>>526

勘違いしてんのはおまえのほうだ。ｗｗｗｗ

どういう勘違いの話をしてるんだ？

material implication の paradox

不完全性定理の証明の中でP&(P⊃Q)⊃Qが使われていたら、どうまずいのだ？
そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。

>>530
＞そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。

おまえ、アホちゃうか？　(^o^)

例えば、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に
、P&amp;(P⊃Q)⊃Qが 使われている例があったらあげてみろ。

、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に、P&amp;(P⊃Q)⊃Qが 使われている例が
一つでもあったらあげてみろ。ｗ

>>531
大雑把にP&amp;(P⊃Q)⊃Q等と言っているけど、
PとQに何か条件を課さなくていいのかい？

P&(P⊃Q)⊃Qは形式的定理の　一般形（PとQに何も条件を課さない）としては　実質含意のパラドックス的状況を含むけど、
不完全性定理等の　具体的な定理　の証明のために、この形式的定理を　実際に使う場面では　実質含意のパラドックス的状況は含まない。
もちろん、メタレベルの証明でも含まない。
実際に数学の証明を行うときはPとQには必ず内容の関連があるのだから。

どうなん？ >531

P&amp;(P⊃Q)⊃Q は P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミス。 P⊃Q は 〜PvQ と同義とするのが
実質的内含(material implication) で、この解釈は、古代ギリシアの昔から論議を
呼んできた難問中の難問！

>古代ギリシアの昔から論議を
そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
つまり単なる哲学パズルなんだよな

それ数学の話じゃないから

>>537
>>538

バカモン！　＼(-o-)／

Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。

そして、それらの根っこには、material implication の困難が在るのだ。

>>539
>Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
って『基づいて』じゃねーだろ　どんなDQN向け入門書一冊で書き込みしてるんだよ（〜〜）

エムシラちゃんは隔離スレがあるんだからそちらだけで書くようにね

>>540

"On Formally Undecidable Propositions of of Principia Mathematica And Related Systems"
by Kurt Goedel

>>538
＞それ数学の話じゃないから

何ばボケちょるか（爆笑

メタ数学の話をしてんだぞ。

>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。

また、ハゲがなんか騒いでるな

https://twitter.com/Eukie_M_SHIRAIS

ゲーデルの不完全性定理に、実質含意の問題など関係ない

対角化補題の証明も知らん文系出身のハゲに
不完全性定理が理解できるわけないだろｗ

＞私は、学生時代、経済学や、マネジメント・サイエンス、電算機etcを専攻し、
＞物理を専攻したのではないのですが、物理は高校のときから得意でした。

P⊃Q ⇔ 〜PvQ
としてなんか問題あるんだっけ？

問題ないよ。
material implication が変だ、というのは
数学での言葉遣いと数学以外での言葉遣いを混同して混乱しているだけだよ。
自分勝手な言葉を創造することは自由だけど、他人には通じないよね。

>>547 etc,

コチ向かば
ソチが呆けてる
春の日だまり


詠み火と知らず　圖

"material implication" とは B_Russell の“造語”であって、古代ギリシアには概念は在ったが
ことばは無かった。(^o^)　

古代ギリシアでは、フィロンというメガラ派の学者が唱えて大論争となったことが
今に知られている。

誰だ？呼ぶなよ（〜〜）ってか御大ようこそ
ご本人っすね？やーちょっととくしたきぶん
今EudoxosとMelissusやってるんすけど
なんか推奨文献とかうpして戴けませんか？
勝手なリクですんません<(__)>

>>550

コチ向かば
ソチも呆けちょる
春の日だまり


詠み人知らず　圖

圓

辞書をＡから順に覚えるは愚の骨頂！

勝海舟は同じ辞書を２度までも直筆して覚えたのだ。
約１００年前の日本人にできたことが現代ないしは
未来の日本人にできないわけがあろうか！？！

おなじまま食って何処(toko)つがう！　
世界に冠たる★日本食★をだ！！！

ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi氏が自爆したようなこと
を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン並みの間抜けだよな（ｗ

M.Shiraishi氏は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
いたことによるものだ」として、議論を決着させている。

自爆どころか、２０世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Bertrand.html

>>551
圖 ？　圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
Gcc1εってことか？よーわからんzzz（〜〜）

>>555

悩む無かれ。万事、楽しむべし。

入力ミスしたっす。(^o^)

悩む勿れ。万事、楽しむべし。クイズを解くは楽し。

>>555 --->>557
＞圖 ？　圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
＞Gcc1εってことか？よーわからんzzz（〜〜）

ﾜﾛﾀYo

>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。 断じて違う！　Thus truly truly We tell YOU !

流れがよめんではないかShIt
誰かクイ圖とパ圖ルを混同してるだろ
日本語では別物だからな
それから　つがうどがいっでるしど（５５９）
ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな

ZFCで理論Tに対して普通の集合のモデルMが存在したら
CON(T)が言えるのに、Tに対して特定のクラスモデル（整礎集合WFとか構成的集合Lとか）が
存在してもCON(T)が言えないのはどうしてですか？
健全性定理の証明のどこに引っ掛かるのか分からず悩んでいます。

＞ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
＞あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな

"Kurt Goedel Collected Works" Volume I Oxford University Press

pp.144〜194

>>562
あ　すまねす
そりより５６１さの話おもしろそだがらながれそっじえもっでぐね（〜〜）

SeiSei_DouDou to Jitstu_Mei wo nanorei Kon Бакамон！

２１世紀を夢見れる人々は幸せである。新世紀は彼らのものである。

反対に、２０世紀に囚われているひとは惨めである。惨敗に次ぐ惨敗が待っている。

>>

三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

もう一度！

三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

>>561
「CON(T)が言える」ってどういうことなのかを
追求（定義？）する必要があるんじゃない？

ごめんなさい、教科書を先に読み進めたら
H(κ) |= Γであるとき、H(κ)が集合であることが言えたときと
言えない（クラスであることしか分かってない)ときに
CON(Γ)がどういう意味で帰結したと言えるのかに違いがある、
的な話がきちんと説明されてました。ほぼ>>561の答えそのものですね。

先に自分で疑問を持っていろいろ考えて調べたりしたのは無駄じゃなかったですけど。

そもそもCONがメタレベルの言明か、集合としてコードされた
論理式に対応する集合論内のオブジェクトなのか、違いがあるわけですね。

上の方で、RobinsonのQで第二不完全性定理が示せる、という
お話がありましたけど、Qより弱いRでも第二不完全性定理は示せますか？
ご存知の方教えてください。

昔>>1のテンプレを書いたものですけど、今思えば
>素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として
って専門外の人には分かりやすいしヒルベルトの心中に限って言えば
割と正しいかもしれませんが、実際は数学史的には偏った見方ですね。

「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
の方が良い気がしてきました。

http://www.shayashi.jp/HistoryOfFOM/papers/gendaishiso.html
>このとき、カントールにはパラドックスという意識はなく、 肯定的にうけとめ集合論最大の発見とさえ書いている。
Cantorは、内包公理が矛盾したとき、理論の破綻と考えるのではなく、
内包公理の否定が導けたと言っていて、実はかなり現代的な理解をしている訳です。
尤も与えられた公理と推論規則の集まりが矛盾した時に、どれを間違っているとみなすか、
という問題はありますし、Quineみたいに
「どれか一つを選ぶ基準なんて全く無いよ」と明言する論理学者も居ますが。
http://www.academia.edu/1703202/_　も参照。

http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-2.html
の「パラドックス史観」の話も参照。
確かに不完全性定理が否定的な残念でガッカリな結果とだけ思われるのに
繋がるとしたら大変困ったことです。ゲーデル自身もロジシャンも、
不完全性定理を最初に勉強した時は「こんな上手い良い定理が成り立つのか！」
と思った人が多いはずです。

>>564
おりがまつがっでだ　ふんどにすまね
>>561
自己解決されたようで よかった 今後の書き込みにも期待してます
>>571(1?)
thx テンプレへの言及がg.j. 先走りかもしれませんが次スレの『テンプレrel1.01』を
めぐってここで暫く討論してみればどうでしょうか鉄気味のほうへ脱線したらそれはそのときまた
改めて対処できると思います
>>570
できれば『強・弱』の５７０さんなりの理解をkwsk（〜〜）
質問に質問で返すのが お約束ですので

572 ：Mujina2：2014/03/02(日) 07:34:15.41
>>564

＞ おりがまつがっでだ　ふんどにすまね

おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに
気がついていないのか？

>>573
確かに（〜〜）
まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあ たぶん人格が破綻しかけてるんだ
笑って許してとは言わんが 生ぬるくスルーしてくんねーかな

公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？

算術の体系に矛盾が見つかったとして
2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う？
極端な話と、それと同じことだ

×　極端な話と、それと同じことだ
○　極端な話、それと同じことだ

基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?

ネット版のホストみたいなの発見。

イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。

誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。

基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。

>>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？

チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？

その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな

論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。

集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？

算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。

その変える先の公理が存在するかを問題にしている

公理が底をついてしまうこともあるのでは？

仮に矛盾しても、爆発(A∧¬A)→Bを認めなければ大した問題じゃない

もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね

そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用

矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない

公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う

＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？
いや、ないでしょｊｋ

中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。

尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。

論理的必然性が在るのだ。

>>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（〜〜）

CCCP；Союз Советских 以下省略。

ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ

コチ向かば

ソチが呆けちょる

春の日だまり


詠み人知らず　圖

さっさと半分売れよ北方領土

自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。

単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。

あえるって何？料理の方法的なアレですか？

>>596
名前欄に注意

ソユーズ

ж

>>595
>>596

きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？

一階か？ 　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。
以下、同様。



>>597

御免！　入力ミスしてた。ｗ　　ご指摘、ありがとう！

「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m


# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

>>595
>>596

きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？

一階か？ 　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。
その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。

# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。

>>601
＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。

その上の上の階が二階（second floor）。　以下、同様。

>>575
＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？

浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。

浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。

確率は？

統計をとってみなｗ

>>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。

>>607
どういうこと？

>>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から¬φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。

φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。

どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。

>>608
ナマの事実（有限の記号操作）
前提・仮定（公理や推論規則）
証明されたこと（定理）

結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。

>>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない？

哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。

>>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。

>>611
「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を
群論の公理が仮定されていない場所で使うのか？

別に「定理〜〜はこの世における絶対的真理だ」が
数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。

それに>>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。

真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には
「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて
ad hocだとは全然考えない

>>613
群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど
これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから
そもそもそれなしに群に関する主張はできない。

またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、
というのは無茶だと思う。

>>615
前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ？

真理だということは正しいということかと思う

数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り
なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」
「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ

そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。
その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。
何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。

>>607 ---- >>618

結局、M.Shiraishi氏（つーか、ＥＵＲＭＳ）の言う、”論階”の差に帰着するなぁ〜。

真実や事実は「０階の真理」。　論理学を除く諸科学の法則（真理）は「１階の真理」。

但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「２階の真理」。

論理法則は、すべて、「２階の真理」。

「３階の真理」もあっでよう！（ｗ

>>619
そういう分類自体を絶対視してね？
そういうのは受け入れ難いんだよ。

その時その時の議論に応じて前提条件を変える。
変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。

>>618
標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙

それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2……
と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど
あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ

>>610
ナマの事実（有限の記号操作）って何のこと？
wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの？

「証明」とは何か？　何であるべきか？？？

>>623
別に大した意味じゃない。
「式　1 + x の変数ｘに4を代入したものと、式　y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」
って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。

http://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/20131125_624993.html
頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいｗｗｗ

l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより〜〜」とか
入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなｗ

>>607
>>615
>>621

適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語（ad hoc）を、わざとらしく使って、
ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが！

これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。
先ず、実名とE-mail address を書け！

以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。

Follow US！

##　これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ！

隔離スレに帰れよw

>>625,610
そういうナマの事実と、　「前提・仮定（公理や推論規則）」および「証明されたこと（定理）」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ？

>>629
ん？数学を作る人間の直観のことでも言ってんの？
表に出てくるのはその３つだけで十分。

>>630
×表に出てくるのはその３つだけ
○その３つに帰着できる
な

こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン

現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ！みたいな

Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?

>>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。

>>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか？

？

エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。

間違っているのはどっち？

島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね

風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海

ad hoc を日本語にするの難しいわ〜

>>635
完全性定理の証明に（弱い形での）選択公理が必要になること、
可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。

完全性定理は集合論の定理です。

それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ

教えてください．
ゲーデルの不完全性定理などの場合は，その意義は一般にも理解し易い
（本当に理解できているかは別として）のですが，
ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は，なにを意味していると理解すればよいの
でしょうか？「形式体系というものは，．．．なものだ」という意味を
もっているに違いないと思うのですが．

>>635
言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。
我々が扱う具体的な理論（Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか）は
全部記号は整列可能ですよね？

何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら
数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。

>>642
慣習的なことを言ってるの？
関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。

>>644
ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「〜論の定理です」と言えばいいだけでしょ？

>>643
一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで！

ごめん>>640へのレスのつもりだった

完全性定理はill-posedか
　→意味が分からない
→選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする

という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、
というつもりのレスでした。

>>646
世の中とは全くつながりがないということ？
そんなこともないでしょ？

ええ…？
ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？

不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから

>>645
本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。
慣習は守らなきゃ。

甘納豆は甘い納豆ではないし、
焼きソバは蕎麦ではない。
わんこソバは犬ではない

>>649
>ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
もちろんそうです．
「世の中とのつながり」というと，少し通俗的な感じがして，違いますが，

>>650
>不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
誤解（解釈のし過ぎなど）が多いのは知っていますが，
定理をそのまま理解したり，その証明を追うだけで留めておけば
誤解は避けられるでしょうが，それでは，明らかにその意味を
理解したことにはならないわけで．
いろんな意味で一般化が必要ですよね．

いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。
　そうです。　違いますが。　
とか言われても意味が分からない。

　定理をそのまま理解したのでは、
　明らかにその意味を理解したことにはならない
と言うのも意味分からない。

653さん
定理をそのまま理解するというのは，定理が真であることが分ること，
その証明が追えてかつ自分で再現もできること，定理を適切に適用できること，
というようなことを指していました．
通常はこういう理解で満足するのでしょうが，考えてみると，こういう理解は，
いってみれば，無矛盾であればよしとする理解，機械でもできる理解，定理の
内部に閉じた理解，受動的な理解ではないかと思います．
そうではない理解，特に定理の外部との関係においての理解というものが
あり得て，むしろそういう理解をしたいと思っています．
これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには，何をいっているか
分ってもらいにくいと思いますが．

数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし

>集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
いやいや独立性の定理なら，その定理の内部に閉じない理解でよいのです．
>しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
そういう期待はまったくないんです．だから「世の中とのつながり」というと，
だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが．

当然具体例はあるのだろう。
「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」
みたいな。
なんかあげてみてよ。

「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、
じゃあどういう意味だったのかが不明

あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。

その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
と言い出すと得てして中途半端なことになる。

不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても
できないのかな？ということでした．

>>659
そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。

>>658
>あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
>というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
>ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
>その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
>と言い出すと得てして中途半端なことになる。
通常の意味で定理が理解できるとかできないとか（どうもそれが相当
難しいと思っているようですが），そういう話をしているのじゃないんですよ．

>>659
あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく

悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。

こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。

「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると
思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で
不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。
それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。

単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
というだけじゃないのかな。それを
「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。

>>663
>悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
>「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
そうなのですか？そうなら残念です．
>こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
そういえば，不完全性定理は，独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが，
「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね？
>それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
たとえばどんな意味でしょうか？（それはまさに定理外部の意味だと思うのですが）
>単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
>というだけじゃないのかな。それを
通常のレーヴェンハイムの定理の表現では，むしろ一般の人は興味をもちにくい
と思います．

下は本題でないし，こういう場では結構起きがちな口論？なので
敢えていちいち気にしないことにしているのですが，
>「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
「内部に閉じている人」はたしかに（結構沢山）存在していて
そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね．
>定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
>なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
「高度な」とは一言も言っていないです．高度か低級かなんてことには
関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんです．
だけど，外部もありますよ，と言ってるだけです．

単に自分好みの解釈を求めているだけだから。
待ってるのに来てくれないから。

＞高度か低級かなんてことには関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんで

>>654の
「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？

>>666
>「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
何なの？ってどういう質問ですか？
まさかここでも，「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味（批難の意味）に
とらえているのではないでしょうね？そうではないんですよ．

避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
君には難しすぎて理解不能かも知れないが…

>>668
>避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
>君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
ここにも現れているように，
結局，あなたは，「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の
内部的な人なんでしょうね．
先にも言いましたが，こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね

数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける
意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。

「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから
機械でもできる受動的な理解に留まっていて
こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、
普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ？ということになる。

なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が
「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、
自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの？

小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには
その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。
>>643で書いてある独立命題についても、
重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
>>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので
それじゃ満足しないだろうけどね。

>>670
最初の３つのパラグラフはもともと同意です．
それに，これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない．
どちらにしても，私にとっては本題ではないです．こんなことはどうでもよいです．

>或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある
「ことがある」ではなく，ほぼつねにそうでしょうね．
ただし，「証明をきちんと理解する」が，証明を（写経するように）追うことで
できるのでは必ずしもない（私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた）とは
思います．

> >>643で書いてある独立命題についても、
>重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
>このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
これは貴重なコメントです．ちょっと考えてみます．
「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」？

>それじゃ満足しないだろうけどね
そんなことないですよ．

これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ

理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。

「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。

「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。
○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。
それすら示してくれないのは残念だね。

言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが，
お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
それに，独立性命題についてなど，まだ見えない部分もありますので．

なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．

>>675
独立性命題の説明じゃなくて、
＞不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
＞一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
これら↑について例示してほしいのだけど

＞お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから？ｗ

> なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
>「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．

曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。
自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから
始めるのが良いでしょう。

>>675
適切な場所ではない、だって？
自分が質問するのは構わないが、同じ主題で自分が答えるのは適切でない、と？

>>676
>これら↑について例示してほしいのだけど
そんなに興味がおありなら，yes/noくらいでなら答えられます．

>>678
なにも変ではないと思いますが．
私が質問しているときも，答えられる範囲で答えてくれることを
期待しているだけです．

ほら，つまらない口論の場になってるでしょ

完全に喧嘩腰
もういいわ

>>679
いや、非常に興味があるし、もしかしたら自分の見識を広められるのかもしれないので、
yes/noくらいでとおっしゃらずに

ぜ　ひ　教　え　て　く　だ　さ　い！

結局、口論がしたかっただけなのかもな、この人は。

とんだアルゼンチン野郎だ！

目標：数学基礎論の諸定理に隠された意義を明らかにする

方法：基礎論・論理学スレでヒアリング

成果：数学の内部に閉じこもった者たちの無理解に阻まれ、当初の目的は達成できず。

評価：設定した目標は達成できなかったが、つまらない口論を避けるためにはやむを得なかった。
　　　　部外者を排除しようとする数学者の動機の存在を確認できた。

こういう人は、他人から理解されないとその分だけ自身の正しさを確信していくから、この結果に満足してると思うよ。

おのれのつまらないプライドを守るためには、
おのれの殻に閉じ込もり、
「おれを理解しない奴らが馬鹿」というおまじないを唱え続けるのが
ベストです。

矮小なプライドを守る代償として人生を失うことになりますが。

プライドなのか飯の種なのか。

例示が無いのは持ち駒を潰されることを避けるためだろう。

その程度じゃ飯を食ってけんよ

オカズってことじゃないの？

村上陽一郎とかそういう人だっけ？

せこい人間だったな
しょーもない

なんでここで村上陽一郎が出て来るのか分からん

南部陽一郎

ゴールドストン

質問です。
数理論理学で修士号を取るためには、専門の数理論理学以外の数学の基礎知識はどこまで必要ですか？

「数理論理学修士」（正確には「修士（数理論理学）」かな？）というものは、
現在の日本ではたぶん存在しない。
あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（理学）」とか、
工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（工学）」とか、
文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（文学）」とか、
、、、他同様。
数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。

>>696
馬鹿かこいつ
微分幾何学修士も群論修士もないわ

しかも質問には答えてねえし

>>695はたぶんこいつ
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1395942865/

一番最後で答えてると思うが

>>695
修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは：
（１）大学院入試に合格する学力。
（２）大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。
だと思いますが。

学費を払う経済力は？

>>701
このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな

Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか？

メタ数学って結局数学なの？数学じゃないの?

数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、
「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って
その性質を調べるようなことを良くします。
その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、
研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。
つまりメタ数学は普通の数学です。

>>706
調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの？

推論規則は同じだよね？
公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと？

それは場合によって違う。

証明論とかは普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると
どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。

いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、
メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。

「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね

流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。
ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。

>>708
よくわかりました。

「○○を仮定すると〜」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは
一体何の議論？って感じで馴染めない。

あーでも証明論はよくわからないな。
実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。

>>711
実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの？
原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。
7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。

前原昭二『記号論理入門 新装版』は入門として良い本ですか？

>>711
wikipediaに”不変条件”って項がある。
そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める？

>>714
こういうのは一番わからないな。
有効か無効かで答えれば「無効」。

>>715
算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。
あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。

と言ったら満足するの？

あんたが何を主張してるのか意味不明だな。
証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら
MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。
証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか！？
というのであれば誰も文句はない。

>>717
安価つけろや

誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。

発端の>>711がそもそも不明確なレスだからなあ
とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど

wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの？
実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。

論理学も数学もあまり知らない
一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない？

スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも
似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから
典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。
良く知らんけど。

出題します。

「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。
このとき、次の２つの命題は互いに否定命題であるか？

Ｐ「Twitterばっかやってたら落ちる。」
Ｑ「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」

馬鹿は落ちる

>>722
MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。
本格的な証明論の内容はよく知らんけどｗ

そもそも何のつもりMUパズルなんか持ちだしたのかわからん。
持ちだした本人には何らかの意図があったはずなんだが。

>>726
>>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない？

>>727
何の例なんだ？
数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。

証明論の例だろ

>>729
証明論について根本的な誤解をしてるようだね。
入門書でも読めばいいんじゃねーの。

>>730
俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。
証明図のdegreeとかrankとか。
どう根本的な誤解なんだよ？

このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし
厳密にいえば不変量でもないけど、
subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。

逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。

ただ証明論についてあまり詳しくないから
「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。

>>732
> subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
> 単調に増加していくということだから
cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで
cut除去プロセスの停止性を保証するのでは？？

根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>>730

結局は算術、そして結局は帰納法。
そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

>>730の意図はわからないけど。
発端の>>711と>>715と合わせて全体の意図がよくわからない。

>>735
> そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。

Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、
扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると
ブール代数として同型になるというのは
当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん

どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う

非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。
数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか？
たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。
数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか？

数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、

修士なみ
学士なみ
学部教養なみ
学部入試なみ

これのどれくらいにあたるかおしえてください。

扱っている内容によるし分野による。

たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より
計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。

数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って
厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない
（のかどうか知りませんが）というような感じに近いと思います。

証明論も非古典も数学使うよ
計算機の側がそれらを道具として使うだけで
どっちも学部程度の数学知らないと研究できない
（見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど

学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、

応用数学だけどね

基本的には数理論理も数学なので
他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う

まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから
良い研究と言う訳でもないとは思うけど

一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。
微積分、関数論、線型代数、集合、位相。
これくらいは常識レベルとしてください。

数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば
実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、
また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。

上記以外については研究動機やテーマによりますので
指導教官に相談してください。

実数論って微積分の一部じゃないの

>>744 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか？

ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな

>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

なら師事する先生に尋ねるしかないな

研究に向いてないと思う
数学基礎論・数理論理学やるのに
学部程度の数学やりたくないとか話にならないから
哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから

式遊びでもやってろ。

>>750
>数学基礎論・数理論理学やるのに
>学部程度の数学やりたくないとか話にならないから

なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。

こんなところで油売ってないで
さっさと本丸にとりかかってください。

その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか？

ゆとりなんだろう（笑）

＞>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。
「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。

数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、
博士号まで息が持たない。

お前には無理だよ。

>>756
それは
数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。
多分>>752の認識は違うんだろう。

なんで>>752が経済史を例に出すのか分からんけど
数理論理というのがあくまで数学の一分野であって
16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる？

数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ

それどころか一種の応用数学。
数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。

必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、
勉強する範囲を限定するのはムリだろ。

特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。

必要になったらその都度勉強します
というスタンスの人は>>738みたいなことを書かないもんな

>>752
> なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
> たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
> それと同じようなこと。

全然違う。
今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい（裏を返せば数学っぽくない）呼び方をしてるが
世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は
論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も
代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。
それらの道具を適用する対象が違うだけ。

だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。
時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された
数理論理学には残ってないんだよ。

日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。
海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。

大したロジックだね

「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか？
教養課程の科目名みたいだとは思うけど

>>762
素人ファンはどうすりゃいいんだよ？

おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね
適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、
逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない

昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう
マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ
今ではまともな訳語に直ってるけどね

完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない

完備性定理ぐらいにして欲しいよね。

＞海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
Kunenがつい最近出してたけど……

岩波文庫の「不完全性定理」って今、
書店で手に入れることできますか？

絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ

だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし
取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ
おとなしく amazon で買ったほうがいい

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普通の数学での主張を述語論理での主張に書き換える場合
　pのときqとなる
に対応するのは
　p |- q
　|- p→q
の何れが適当なのでしょう？

普通に数学を使うときに使う論理は自然演繹に最も近いから
どっちもでも良いんじゃないの。
そういう使い分け自体を意識しないと思う。

ご回答ありがとうございます．
ヒルベルト流のシステム上で表す場合も
どちらでも良いのでしょうか？

束縛変数を適当に選んでおけば同値な条件だから、気にするほどのことではない

> 束縛変数を適当に選んで
とはどういったことでしょう？

公理なら |- p→q
定理なら p |- q
じゃないの？

>>773
> 　pのときqとなる

この命題全体を証明したいならば
> 　|- p→q

pを前提としてqを証明したいなら
> 　p |- q

再帰的可算な理論の全てを解釈できるような再帰的理論ってありますか？

解釈できる、とは、どういう意味ですか？

>>770-771の岩波文庫が丸善にあったので買ってみた。
第6章にこうある。

また、多くの数学者は、彼らの「社会基盤」である共通言語としての集合論に、認識論的な安全性などは求めていない。
集合論が数学の本質とも考えていない。多くの数学者は、集合論を数学を記述しやすい言語、つまり、道具と考えており、
数学の本質はそれ以外にあると思っている。集合論は、いわば価値に対する貨幣である。
それが「表現」する価値にあたる「真の数学」は、どこか別のところにある。これが多くの数学者のメンタリティーであり、
そのことは、第二次世界大戦に公理的集合論を数学の基礎の実質標準とすることに貢献したフランスの数学者集団
ブルバキの見解に、見事に表れている。
ブルバキは、公理的集合論を数学の基礎としながらも、
「もし、未来にそれが破綻しても数学は必ずや新しい表現を見つけるだろう」という信念が、数学者を落ち着いた
気持ちで仕事に専念させるのだと書いたのである。

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体の理論を含む体系において∀x(inv(x)=inv(x)⊃¬(x=0))は証明可能ですか？

RCFは完全だそうですが，加法単位元の定項記号0，逆元の関数記号^{-1}に対して，0^{-1}=0は証明可能ですか？

RCFは環論の言語L_ringで書かれた公理系で
x≠0→∃y. x・y = 1 などの公理を満たすもの、
というふうにモデル論の教科書には書いてあるよ。
785が参照した本ではどうなってる？

お返事遅れてすみません．
わたしが見た本にも関数記号^{-1}を使ったものはありませんでした．
つまり，これ使って公理を∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1
と書くのはまずいということですか？

そのように書いても理論にはなるけど、
そう書いたら0＾(-1)の値については公理系で一切言及されず、
どう決めてもどうでも良い、ということになる。

本質的には一つに定まるはずのモデルが、0の逆元を
便宜上どう決めるかだけの為の不定性のために
互いに同型でないいろんな構造が出来たりしてしまうので、
モデル理論的には相当都合が悪いと思う。
普通の代数学として考えても気持ち悪いし。

∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 に加えて
例えば0^{-1}=0も公理とすれば完全性は保たれますね．

完全性ってどういう意味での完全性？

任意の閉論理式またはその否定が証明可能という方です．

イラストレーターで収入が少ないからと30代後半で漫画家になろうとする、ひきこもりのバカ発見。
足立区に住んでいるそうだ
http://inumenken.blog.jp/archives/6609090.html

数学や論理学は絶対的な確実さを持ってるよね
ただ科学は帰納をその基礎に置いてる
それを自覚する頭のいい人間なら
その観点で断定的な話はあまりしないだろうね

自然科学
→実験データの結果

社会科学
→客観的な事実の集合

論理学
→論理的な整合性

数学
→論理的な証明による実証

バカ
→論拠なしの妄想？

学のなさってこういうところで出るよね
論外って言葉を知らないらしい

数や図形や論理の概念は、「合理的」、
つまり生物の生き残りのために有利な道具になるからこそ生じて
発展してきたんじゃないの？それを正しいと言って良いんだろうか
数学や論理学の真理はなぜ正しいのかと言うと、
それを正しいと規約するからとしか言えないんじゃないか

あと自然科学と社会科学を793のように風に区別するのは変だと思う

社会科学を客観的な事実の集合と思っているのなら、認識を改めるべき。
アンケート調査なんて文面の解釈に幅があるし、国勢調査でもない限り、必ず調査対象に漏れがある。
さらに、これらの不備の大元には人間の心理的・文化的・世相的・etc...な曖昧で捉えどころのないファクターが絡んでおり、
確率的に予測することすら不可能ときてる。

>>795
実証的学問としての社会科学を舐めてはいけない。
一つ一つは僅かな手掛かりを膨大に積み重ねて事実を確定していく作業はそんなにあやふやなものではない。

それってつまり一つ一つは客観的ではないってことでは

憲法解釈を変更して集団的自衛権の行使を容認する

>>797
数理パズルの大部分は客観的ではないことになるな

なんでそうなる

社会科学だから

Nik WeaverのForcing for mathematicians面白そうだね
forcingの理論についてはどれくらいself-containedなんだろう？読んだ人居る？

神戸大学のサマースクールで強制法の講座があるみたいだね。
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/kisoron-summerschool-14.html

強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね