★東大入試作問者になったつもりのスレ 第二十一問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/

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今の国会を見てみろや。無能や低脳だけでどうやって国益を保って国家
を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ！

そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。

描

>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ！！！！！！！！！
>

>うるせえ！！！！
>こちとら人間が嫌いなんだよ！！！
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ！！
>たわけが！！！
>

極限
lim(n→∞){Σ(k=1,n)1/(n_C_k)}^n
を求めよ

問題
0≦x≦nかつ0≦y≦n(ただしnは1以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。

ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。

このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。

・5×5のビンゴの最大リーチ数っていくつよ？http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342264881/から着想。
・東大の昔の後期試験っぽく。

出題ミス・訂正

1≦x≦nかつ1≦y≦n(ただしnは2以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。

ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。

このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。

今の国会を見てみろや。無能や低脳だけでどうやって国益を保って国家
を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ！

そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。

描

>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ！！！！！！！！！
>

>うるせえ！！！！
>こちとら人間が嫌いなんだよ！！！
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ！！
>たわけが！！！
>

>>8
たぶんx=-yじゃなくて、x+y=n+1だねこれ

★★★学歴格差：無意味
★★★学力格差：尊重しろ
★★★能力格差：最大限利用せよ。
東大や京大にだって馬鹿は沢山居てるんだヨ。

学力格差と能力格差を認める理想社会を実現しろや。要するに：
★★★『馬鹿は無意味なので不必要だから、従って無能は静かにせよ。』★★★
っちゅうこっちゃ。低脳が騒ぐのはワシが許さんのや。

ちゃんと読め。

描

>>5

　Ｃ[n,n] = 1,
　Ｃ[n,1] = Ｃ[n,n-1] = n,
　Ｃ[n,2] = Ｃ[n,n-2] = n(n-1)/2,
　Ｃ[n,k] ≧ Ｃ[n,3] = n(n-1)(n-2)/3!　(3≦k≦n-3)
よって
　1 + 2/n ≦ Σ(k=1,n) 1/Ｃ[n,k] ≦ 1 + 2/n + 10/{n(n-1)},
よって
　lim(n→∞) (1 + 2/n)^n = e^2,

(1) x＞-2について、
3e^x＞log(3x+6)を証明せよ


(2)a＞0,b＞-2において
ae^b＞log(ab+2a)を証明せよ

>>13

(1)　3e^x = e^{ln(3) + x} ≧ {1+ln(3)} + x,
　　ln(3x+6) = ln(3) + ln(x+2) ≦ {1+ln(3)} + x,

(2)　a･e^b = e^{ln(a) + b} ≧ {1+ln(a)} + b,
　　ln{a(b+2)} = ln(a) + ln(b+2) ≦ {1+ln(a)} + b,

　e^y ≧ 1 + y,
　ln(1+y) ≦ y,

>>13-14 （蛇足）

　y = a･e^x
は映進(*)
　x ' = y - 2,
　y ' = x + 2ln(a),
により
　y = ln{a(x+2)}
に移り、これは映進(*)
　x ' = y - 2ln(a),
　y ' = x + 2,
により
　y = a･e^x
に戻る。

*) 映進は、直線 y = x + {1+ln(a)} に関する鏡映と、平行移動（d,d）を続けたもの。
　x ' = y - {1+ln(a)} + d,
　y ' = x + {1+ln(a)} + d,

eを自然対数の底とする
120/45<e<120/44を示しなさい

>>16
マクローリンで････

　e^(-1) = Σ[k=0,∞) (-1)^k / k!
　　　　 = 1 -1 +(1/2! -1/3!) +(1/4! -1/5!) + (1/6! -1/7!) + ････
　　　　 = 44/120 + (1/6! - 1/7!) + (1/8! - 1/9!) + ････
　　　　 > 44/120,

　e^(-1) = 44/120 + 1/6! -(1/7! - 1/8!) - ････
　　　　 < 44/120 + 1/720
　　　　 = (44 + 1/6)/120

>>16
マクローリンで････

　e = Σ[k=0,∞) 1/k!
　　> Σ[k=0,3] 1/k!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6
　　= 8/3,

　e = 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) 1/k!
　　< 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) (1/6)(1/4)^(k-3)
　　= 5/2 + (1/6)(4/3)
　　= 5/2 + 2/9
　　= 2 + 13/18
　　< 2 + 8/11
　　= 30/11,

∵　18*8 - 11*13 = 1 > 0,

＜問題＞

nを正の整数とする。

xy座標平面上にて、0≦x≦n かつ 0≦y≦nを満たす領域を、領域Ｄとする。

１辺の長さが正の整数であり、
全頂点が領域に属する格子点であるような正方形の集合をＳと呼ぶ。

集合Ｓに属する正方形の中から、当確率で２つの正方形を選び、
その２つの正方形が重なる領域の面積の期待値を、f(n)とする。

問１：f(5)を求めよ。

問２：f(7)を求めよ。

タイプミスった・・・。

全頂点が領域に属する格子点で・・・・

ではなくて、

全頂点が領域Ｄに属する格子点で・・・・

＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃

すみません、はるか昔、東大生と学コンマンやってたものですが、
今日、Google Docs(Google Drive)でスプレッドシートで遊んでたら、いつのまにか
数学の問題を作ってました。
↓これ
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdF9uRzRjVXZ1TTJwRGcxdUdfUExIWWc

（だれでも閲覧＆編集できます。
参考になるかならないのかわかんないマス目が、あります。

１０人分くらい、マス目つきシートをコピーしてますので、暇だったら適当にいじってもいいです。

問題つくってからマス目つくったのではなくてその逆でして、
きっと問題解いてて気づくと思いますが、
Google Docs のスプレッドシート、まじ役にたたないです。。。むかつくかもしれませんＷ

やっぱりエクセルのほうがずっと便利だわ。。。

アンカーまちがえた。

https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdFpoUzZleXVWRGRoYmozSExFLUg1YXc

こっちでした。。。すまそ。。。

>>20
のアンカーみちゃったひとはヒントみちゃったかも。。。
もうアクセスできないようにしたけど。。。

「等確率で2つ」っていうのは同じものでもいいの？
試しに f(2) を計算したら同じものを許容するかどうかで答えが違ったが

あ、同じものでもいいです。説明不足すみません。

ある数列 {a_n} は、全ての項の値が実数であり、

a_1, a_2, a_3, ....... , a_2010, a_2011, a_2012 なる、２０１２個の項により成り立っている。

そして、これら２０１２個の項の値は、いずれも p または q と一致する。
（ただし p, q は p≦q なる変数）

a_(n+1) = (a_n)^3 -3×a_n (n = 1, 2, 3, ..... , 2010, 2011 )が成立するとき、

変数 p, q, 数列 {a_n} について、全種類求めよ

>>25

・p=q のとき
　p = p^3 - 3p,
　p = -2, 0, 2
　a_n = p,

・p<q のとき
　(p,q) = (-1,2)
　a_1 = p,
　a_n = q,　(n>1)

　(p,q) = (-2,1)
　a_1 = q,
　a_n = p,　(n>1)

>>25
y ＝ x^3 - 3x　と　y ＝ ±x　との交点などに着目
　　　・ 0，0，0，…，0　（ p ＝ q ＝ 0 ）
　　　・ 2，2，2，…，2　（ p ＝ q ＝ 2 ）
　　　・ -2，-2，-2，…，-2　（ p ＝ q ＝ -2 ）
　　　・ -1，2，2，…，2　（ p ＝ -1，q ＝ 2 ）
　　　・ -√3，0，0，…，0　（ p ＝ -√3，q ＝ 0 ）
　　　・ ±√2，干√2，±√2，干√2，…，干√2　（複号同順，p ＝ -√2，q ＝ √2 ）

>>27
ついでに･････
　　　・ 1，-2，-2，…，-2　（ p = -2，q = 1 ）
　　　・ √3，0，0，…，0　（ p = 0, q = √3 ）

>>26-28

まだ、他にもあるよ。途中のやりかたを全部見てないけど、
きっと解いてるとき、論理的ではないかしょがあるんだと思う。

あと、もし最終的な答えがあってたとしても、論理的欠陥で減点される人が多そう。

だれかが、正しい最終的な答えを得たら、途中の論理も含めた回答をアップします。
（ここだとおさまりきれないし、a_(n+1) とか見づらいから、手書きのをスキャンしてうｐな予定）

p = 2cosθ などとおいたほうがよかったか

>>26 の続き

　f(x) = x^3 -3x　とおくと、f の不動点は -2, 0, 2 の3個

・p<q のとき
　p,q,q,･･･,q,　
　　f(p)=f(q)=q より、qは不動点
　　(p, q) = (-1, 2)　(-√3, 0)
　q,p,p,･･･,p,　
　　f(p)=f(q)=p より、pは不動点
　　(p, q) = (-2, 1)　(0, √3)

　p,q,p,q,･･･
　q,p,q,p,･･･
　f(p)=q, f(q)=p,
[1]　0 = f(p)-f(q) +p-q = (p-q)(pp+pq+qq-2),
　　仮定により p-q <0 だから,　pp+pq+qq-2 = 0,　･･･(1)

[2]　0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-2),
　　p+q=0 または pp-pq+qq-2 = 0,　･･･(2)
　　p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2)
　　pp-pq+qq-2=0 の場合は pq=0, だが不適解。 　

>>25
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3300915.jpg
完全な答案は今作っている
需要があるならそのうちうｐする

>>32
あー、一瞬正解かと思った。１３種類ってのはあってる。

是非うｐ希望。

というのも、その間違えかたからして、
自分と違う解き方をしてるような気がするので。

自分の解き方だと、その計算ミス（？）にはすぐ気づくはず。

（っていうか、ただの書き間違い？）

>>32

いま気づいた。

間違ってる数列は、そもそも、
２０１２個の項の中に、３種類の相異なる値が存在しちゃってる。

アンカーをミスった。

>>34 を書き込んだのは、問題だした自分です。

>>25
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369634.pdf&key=math
cos36°などの求め方の解説を付け足す予定だが
とりあえずうｐして出題者様の意見を聞いてみたい
いつもは GeoGebra や wolframalpha で検算するがそれもまだしていない

>>25 誤植訂正
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369636.pdf&key=math

>>37
えと、正解だと思います。

けど、すみません、
そもそも、Cosやグラフを使う解き方を想定してなかったので、
あーそういう考え方もあるのかと思いました。

ですが、やはり、Cosが出てくると、Cos36°みたいなものが出てきますよね・・・。

自分の想定した解き方では、途中で道をはずれると、
９次の方程式に出くわすことになるのと近いのかな？

===

あと、(ii)では、a_1≠a_2＝a_3 を考えてますが、
(i)では、なぜか「ある番号k」で、a_(k+1) = a_k としてますよね。

これ、「a_2 = a_1」を考えれば、いいんではないでしょうか？

グラフの呪縛？

というか、言ってしまうと、この問題、を言い換えてしまうと、
「２０１２個の項に出現する値は、１種類または２種類である」です。

>>38
(i) であのような論証をしたのは 「 p ， q が不規則に現れたりしたら…」 という不安を払拭するためでもあります
まぁ今回は思いついた解法をそのまんまタイプしたのでよりよい解法の吟味は不十分ですが…
>>25 を見てすぐに浮かんだのは多くの問題集で取り上げられている早大の97年の問題です
その早大の問題はグラフ，三角関数の活用する解法がよく知られています
そういうなじみのある解法で解いてみた，ということです

あ、スキャナこわれたかも・・・
mathematicaみたいなの持ってない・・・。

でも、当初の解き方を、もうちょっと縮めた解き方を思いついた・・・かも。

しばしお待ちを。

2周期解は　y = x^3 - 3x ， x = y^3 - 3y　の交点に着目すればすぐに見えたかも
これを連立すれば9次方程式になりますね

>>37

>>25 に書いた質問では、念の為に、
「数列のすべての項が実数である」ということを書いたのですが、

>>37 さんがうｐしてた問題文には、
そのこと書いてなかったですよね。

そんとき、虚数の可能性について触れなくても、大学入試的には構わないもんなんでしょうか？
まあ、ま、p<q のときは虚数なわけないですが。

そんな私は、高校数学に「複素平面」が含まれた時代のおっさんですが。

あと、p,qは変数ではなくて定数ですよね・・・失礼。
＝＝＝
って、実は文学部出身なので、的外れなこといってたらご指摘ください。

>>31 の訂正

[2]　0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-４),
　　p+q=0 または pp-pq+qq-４ = 0,　･･･(2)

　　p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2)　→　２種類。

　　pp-pq+qq-4=0 の場合は (1)と連立して pq=-1,
　　　(p+q)^2 = 1,　p+q = ±1,
　　　(p-q)^2 = 5,　q-p = √5,
　　　(p,q) = ((1-√5)/2, (1+√5)/2) または ((-1-√5)/2, (-1+√5)/2)
これは [1] [2] だけでなく元の f(p)=q, f(q)=p も満たしている。
　　　→　各２種類、計４種類。


　９次多項式を分解するのは御勘弁。。。

複素数では大小は考えないので条件が不等式で与えられていれば
必然的に実数となるので >>37 ではその説明は省きました
俺の作る解答例だとスペース的に余裕がないことが多いので
なるべく表現が短くなるように問題文に手を入れることがあります
「実数の」と書いてあったほうが丁寧ですし
あと3文字入れるくらいのスペースはありましたが…

>>41 >>43

9次多項式を分解すれば、
　f(f(x)) - x = f(f(x))-f(x) + f(x)-x = g(f(x)) - g(x) = {f(x)-x)}h(x,f(x)) = g(x)h(x,f(x))
ここに
　g(x) = f(x) - x = x(x+2)(x-2),
　{g(y)-g(x)}/(y-x) = h(x,y) = xx + xy + yy -4,
　h(x､f(x)) = (xx-2)(xx-x-1)(xx+x-1),

sin(cos(sin(π)))とcos(sin(cos(π)))の大小関係を調べよ。

sin(cos(sin(π)))=sin(cos(0))=sin(1)
cos(sin(cos(π)))=cos(sin(-1))=cos(-sin(1))=cos(sin(1))
sin(π/4)<sin(1)<sin(π/2)であり、
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x>0だから
cos(sin(cos(π)))>sin(cos(sin(π)))

訂正
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x<0だから
cos(sin(cos(π)))<sin(cos(sin(π)))

a,bを実数とし、
点P(a,b)、点Q(a+b,ab)として定める。
座標平面上の楕円:ｘ^2/４+ｙ^2/３=１の内部及び周上を点Pが、点Qも内部及び周上を動くように動く。
このとき、線分PQの最大値を求めよ。

日本語下手糞だな

＜第一問＞
関数ｆ(x)=ｘ^π-π^ｘ(0＜ｘ＜π)とし、ｆ(x)の最大値をＭと定める。
ただし、πは円周率3.1415...とする。

(1).方程式ｆ(x)=０はただ一つの解を持つことを示せ。

(2).(1)の解をｘ=αとする。α＜ｘ＜πの範囲でＭの値をとるｘが存在することを示せ。

(3).Ｍ＞1/2を示せ。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

＜第二問＞
ａ+ｂ+ｃ≦10を満たす自然数(ａ,ｂ,ｃ)のうちに、ａが偶数のものがｍ通り、ａが奇数のものがｎ通りあるとすると、ｍ≦ｎであることを示せ。

＜第三問＞
平面による切り口がすべて円であるような有限な立体は球であることを証明せよ。

>>51 (1)

　g(x) = (1/x)log(x) - (1/π)logπ　とおくと　f(x)=0　⇔　g(x)=0,
∴　g(x) について調べる。

　g '(x) = {1-log(x)}/x^2,

　g '(x) < 0　(x>e) と g(π) = 0 から、g(e) > 0,
　g '(x) > 0　(0<x<e) と g(1)<0<g(e) から、中間値の定理より
　g(α) = 0　(1<α<e)
を満たすαがただ１つ存在、　α = 2.38217908799302

LambertのＷ函数を使えば
　α = -(π/logπ) Ｗ(-(logπ)/π),
とも表せる。

この方毎問答えてるすごい

>>53

　母函数は G(x) = x + x^2 + x^3 + ･････ = x/(1-x),
　G(x)^3 の x^s の係数が a+b+c=s の場合の数に対応する。

　m-n は G(-x)G(x)^2 の x^s の係数の和（3≦s≦10）
　 G(-x)G(x)^2 = -x^3 (1+x)/(1-x^2)^2
　　　　　　　 = -x^3 (1+x)(1+2x^2 +3x^4 +4x^6 +････)
　なので、係数の和は負。
∴　m-n < 0.

母関数キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！

毎度ながらボカン数は凄いな

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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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　問題
直径5の円の周上および内部からなる領域をDとする.
D内にどの2点の距離も2以上になるような9点を配置することは不可能であることを示せ.

露骨な一発芸丸出しネタは試験にならん

>>61
引き出し論法で終了

>>63
どうやって？

>>64
失せろカス！

>>25 の問題ですが、いそがしくて・・・概略でゆるして

p=qのとき

a_1 = a_2 が必要。逆にこのとき漸化式により、p=qが成立
a_1 = a_2 と漸化式をといて、答えが出る。

p≠qのとき、
a_1=a_2と仮定すると前述の議論を考慮すると、p=qとなってしまい矛盾。
よってa_1≠a_2が必要。
すると、a_3=a_2またはa_3 = a_1

(i)a_3 = a_1 のとき、(i)と同じように、(a_1≠)a_2 = a_3 = ,...., a_2012 = 0,2,-2
よって漸化式ゆえ、 0（と２と−２）=a_1^3 -3a_1 これを解けばいいが、
そのなかに、a_1 = a_2 となり矛盾して不適となるものがあるので注意。

※ (a_2 = ) 2 = (a_1)^3 -3(a_1) でa_1を求めたら、
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) を計算する必要はない。
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) ⇔ 2 = (-(a_1) )^3 = -3((-a_1)) なので、(-a_1)の値が自動的にでる。

(ii)a_3 = a_1 のとき

α=a_1, β=a_2 とおくと、a_3=a_1 = β。
a_1が決まるとa_2も一意に決まる。
a_2が決まるとa_3も一意に決まる。(つづく）

>>66 のつづき

でもa_3 = a_1 なので、
結局、a_1 = a_3 = ..... =a_2011 = α
a_2 = a_4 = ....a_2012 = β（α≠β）

なので、a_1 = a_3 かつ 漸化式を満たすα、β（α≠β）を求めれば数列が求まる。

漸化式でn=1のときを考えて、β=α^3 -3α････････････�@
n=2のときを考えて、α＝β^3 -3α・・・・・・・・・・・・・・・・・�A

�@ー�Aより、(α-β)（α^2+αβ+β^2-2)=0 だがα≠βゆえα^2+αβ+β^2-2＝０
�@＋�Aより、(α＋β)（α^2-αβ+β^2-4)=0
つまりα＋β＝０・・・�B または α^2-αβ+β^2-4＝�C
結局「�Aかつ�B」または「�Aかつ�C」（α≠β）をとけばOK。
あとは
●対称性を利用する
●「�Bを�Aに代入したり、�A-�Cを計算したり」 が無難？
===============================================================
答えは、（簡単にかいちゃいますが）
＜全部同じパターン＞
0,0,0,......................................,0
±2, ±2, ±2, ............................, ±2,（複合同順）
＜a_1≠a_2 = .... =a_2012のパターン＞
±√3,0,0,0,............................, 0
±1,干2,干2,干2,....,干2（複合同順）
＜交互なパターン＞
±√2, 干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2 （複合同順）
干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2,±√2 （複合同順）
(√5±1)/2, (-√5±1)/2, ..............以下、交代に出てくる
(-√5干1)/2, (√5干1)/2, ..............以下、交代に出てくる
・・・・書き方はしょってすみません。

おーはげしく誤字ってるが、くみとってくらさい

同一平面上に、３点A、B、Cがあり、線分AB、BC、CAのながさはそれぞれ1, p, q である。
線分ACの長さをmとするとき、ｍの取りうる値を、p,q,によって表せ

typo

３点A、B、C
ではなくて、
「相異なる３点A、B、C」

pは素数、k,Nは正の整数とする。
以下の条件をみたすようなNをp, kを用いて求めよ。

条件：「(p^k) ! は p^Nで割り切れるが、p^(N+1)では割り切れない」

---
大学の数学やってれば簡単？

>>53 の問題を>>57さんがといてますが、
これ、高校数学の範囲でとけますか？

とけるのであれば、解き方教えてください。

>>71

　{1,2,3,･･･,n} のうち、p^m で割り切れるものは [n/(p^m)] 個。

　N = Σ(m=1,n) [n/(p^m)],

ここで n=p^k

あれ、おれが間違ってるのかな？？？

おれがといたら[　]の中身は分数じゃないんだけどなあ・・・

>>72
組み合わせは31通りしかないから
時間掛けてゴリゴリ数えれば一応解ける

とりあえず31通り書き出して、それぞれ↓のどのパターンに当てはまるか見て、偶数･奇数の個数を加算していく
1)三つの数字が異なるパターン
　 a)偶数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→6通り、ａが奇数→0通り(これは存在しないけど一応)
　 b)偶数×2、奇数×1　 　 　 　 ａが偶数→4通り、ａが奇数→2通り
　 c)偶数×1、奇数×2　 　 　 　 ａが偶数→2通り、ａが奇数→4通り
　 d)奇数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→0通り、ａが奇数→6通り
2)同じ数字が二つあるパターン
　 a)偶数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→3通り、ａが奇数→0通り
　 b)偶数×2、奇数×1　 　 　 　 ａが偶数→2通り、ａが奇数→1通り
　 c)偶数×1、奇数×2　 　 　 　 ａが偶数→1通り、ａが奇数→2通り
　 d)奇数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→0通り、ａが奇数→3通り
3)三つ同じ数字のパターン
　 a)偶数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→1通り、ａが奇数→0通り
　 b)奇数×3　 　 　 　 　 　 　 　 ａが偶数→0通り、ａが奇数→1通り

>>61

　直径5の円と中心を共有する、直径 0.99 の円を曳く。
　内側には1個しかない。
　外側では中心から見た角度差が45ﾟより大きいことを示す。

>>73

あれ、文字が多くてこんがらがってるけど、表現が違うだけであってる？

答えはN = p~(k-1) + p^(k-2) + p^(k-3) + .... + p~1 + p~0 = (p^k -1)/(p-1)なんだけど・・・。

日本語がなんかへん。

↓こういうこと？

同一平面上に、直径５の円Aと直径0.99の円Bが存在し、
この２つの円は中心が一致する。この中心を点Ｏとする。ｌ
点M、Nが、円Aの周上の任意の点を動くとき、∠MON ＞ 45ﾟを示せ。

でもそうすると、円Bの直径0より大きくて、5より小さければ、
おんなじことだね、で、示せない。

>>75

ありがとうございます。

連続する素数の２倍は素数の２倍にならないことを示せ。

間違えました。

ただしくは、

「連続する素数の和は素数の２倍にならないことを示せ。」です

2012^2012 と 2013^2011 はどちらが大きいか？

ってこの問題みたことあるきがする。

凸四角形ABCDにて、
AC=1、０＜∠ACB = ∠ACD ＜Π/2、∠BAD=Π/2 である。
三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ。

>>76 >>78

点M,Nは円Aと円Bの中間にある点とする。
OM=m, ON=n, ∠MON = θ とおく。
0.99 ≦ m,n ≦ 2.5

第二余弦定理から
　4 ≦ MN^2 = m^2 + n^2 -2mn･cosθ
　cosθ ≦ (m^2 + n^2 -4)/(2mn) ≦ 17/25 = 0.68
　θ ≧ arccos(17/25) = 47.156357ﾟ

>>61　訂正 ｽﾏｿ

　半径 0.99の円を曳く。（直径 1.98）

>>83

　(k+1)^2 = k(k+2) + 1 > k(k+2),
これをk乗して k=1〜n で掛ける。
　(n+1)^(n+1) > (n+2)^n,

本問では n=2011 　

x,yについての方程式
sinπxsinπy=1/2
の有理数解を全て求めよ。

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>>85

〔補題〕
0.9 ≦ m, n ≦ 2.5　のとき
　(m^2 +n^2 -4)/(2mn) ≦ 0.68

(略証)
　2mn*{0.68 - (左辺)} = 0.68*(2mn) - (m^2 +n^2 -4)
　　= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(0.9-m) + (2.5-n)(n-0.9)
　　≧ 0

>>91　訂正

　　= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(m-0.9) + (2.5-n)(n-0.9)

>>88
x,yは周期2をもつので、[0,2] で考えれば十分。

sin(πx)= sin(πy) = 1/√2,
　(x,y) = (1/4, 1/4) (1/4, 3/4) (3/4, 1/4) (3/4, 3/4)
sin(πx)= sin(πy) = -1/√2,
　(x,y) = (5/4, 5/4) (5/4, 7/4) (7/4, 5/4) (7/4, 7/4)
sin(πx) = 1, sin(πy) = 1/2
　(x,y) = (1/2, 1/6) (1/2, 5/6)
sin(πx) = 1/2, sin(πy) = 1
　(x,y) = (1/6, 1/2) (5/6, 1/2)
sin(πx) = -1, sin(πy) = -1/2
　(x,y) = (3/2, 7/6) (3/2, 11/6)
sin(πx) = -1/2, sin(πy) = -1
　(x,y) = (7/6, 3/2) (11/6, 3/2)

他にあるかも。。。

>>82

背理法で。素数の2倍になったと仮定すると最初の素数の間に別の素数があるので「連続する素数」であることに反する。

1は合同数でないことを証明せよ

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>>88

sin(πx)sin(πy) = (1/2){cos(π(x-y)) - cos(π(x+y))},

cos(π(x-y)) = 1,　cos(π(x+y)) = 0,
　(x,y) = (1/4, 1/4)　(3/4, 3/4)　(5/4, 5/4)　(7/4, 7/4)

cos(π(x-y)) = 0,　cos(π(x+y)) = -1,
　　(x,y) = (3/4, 1/4)　(1/4, 3/4)　(7/4, 5/4)　(5/4, 7/4)

cos(π(x-y)) = 1/2,　cos(π(x+y)) = -1/2,
　　(x,y) = (1/2, 1/6)　(1/2, 5/6)　(1/6, 1/2)　(5/6, 1/2)

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中級問題　
x＾3＋y＾3+z＾3＝k x y z　を満たす正の解　x、y、z　が存在する為の実数　k　の必要十分条件を求めよ。

上級問題
x＾3＋y＾3+z＾3＝k x y z　を満たす相異なる正の解　x、y、z　が存在する為の実数　k　の必要十分条件を求めよ。

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>>94

出題者ではないですが
「最初の素数の間に別の素数がある」ってどういう意味？

連続する素数の間に素数があることになる、ということ

え、それって証明になってないのでは？

Q：
連続する素数の和は素数の２倍にならないことを示せ。

A：
背理法で。素数の2倍になったと仮定すると
連続する素数の間に素数があることになる
ので「連続する素数」であることに反する。

あれ？？？

素数を小さい順に並べてp_1、p_2、・・・、p_i、p_(i+1)・・・とする。
今p_i＋p_(i+1)=2p（p：素数)なら　p_i＜p＜p_(i+1)
ということだよ。

>>101

問題文：「連続する素数の和は素数の２倍にならないことを示せ。」
　　　　　　　　　~~~~　　　^^^^
”最初の素数”とは、最初にある「連続する素数」のことですた。
”別の素数”とは、それ以外の素数のことですた。

分かりづらくてスマソ

>>99
中級　k≧3
上級　k>3

例えば　(x,y,z) = (x, αx, βx)
　α(k) = {(k-1 -√[(k-3)(k+1)] )/2}^(1/3),
　β(k) = {(k-1 +√[(k-3)(k+1)] )/2}^(1/3),
　αβ = 1,

なるほど。どうもです。

>>84 の問題、レスないけど難しすぎ？

>>84
正弦定理で BC，CD を求めて面積を立式
答えは 1/4

加法定理の問題として、下記の式をその下の既知の式から導く。
cos(π/60) =(1/16)*((√6+√2)√(10+2√5)+(√6-√2)(√5-1))
既知として、使える導出済みの式。
cos(2π/5) =(1/4)*(√5-1)
sin(2π/5) =(1/4)*(10+2√5)
cos(π/5) =(1/4)*(√5+1)
sin(π/5) =(1/4)*(10-2√5)
cos(π/10) =(1/4)*(10+2√5)
sin(π/10) =(1/4)*(√5-1)
cos(π/20) =(1/4)*(8+2√(10+2√5))
sin(π/20) =(1/4)*(8-2√(10+2√5))

おーおーみごと

>>110
下記式を追加する。下記式を導く。参照式は>>110と同じ。
sin(π/60) =(1/16)*((√6+√2)(√5-1)-(√6-√2)√(10+2√5))

>>111

還暦おーおー!!

って文枝師匠？

>>110に一部誤りあり。下記式の導出を願う。
cos(π/60) =(1/16)*((√6+√2)√(10+2√5)+(√6-√2)(√5-1))
sin(π/60) =(1/16)*((√6+√2)√(10+2√5)+(√6-√2)(√5-1))
既知として、使える導出済みの式。
1の５乗根を代数学的に解いた解と複素空間上でオイラーの公式により解いたものを比較して出る式
cos(2π/5) =(1/4)*(√5-1) , sin(2π/5) =(1/4)* √(10+2√5)
cos(4π/5) =(1/4)*(-√5-1) , sin(4π/5) =(1/4)* √(10-2√5)
cos(6π/5) =(1/4)*(-√5-1) , sin(6π/5) =-(1/4)* √(10-2√5)
cos(8π/5) =(1/4)*(√5-1) , sin(8π/5) =-(1/4)* √(10+2√5)
cos(2π/5)とsin(2π/5)に加法定理を適用して得られる式
cos(π/5) =(1/4)*(√5+1) , sin(π/5) =(1/4)* √(10-2√5)
cos(π/10) =(1/4)* √ (10+2√5) , sin(π/10) =(1/4)*(√5-1)
cos(π/20) =(1/4)* √(8+2√(10+2√5)) , sin(π/20) =(1/4)* √(8-2√(10+2√5))

>>106
答えより導出部分が知りたいです

>>106ではないが、中級問題は相加相乗平均から、
上級は有名な因数分解の式を用いて、
(左辺)-(右辺)=x^3+y^3+z^3-kxyz=x^3+y^3+z^3-3xyz+(-k+3)xyz
=(1/2)(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)+(3-k)xyz
から言えるんじゃないか

>>115
カルダノです。

>>116
必要条件に関してはそうだけど、
十分性に関してがこの問題の本質だと思われ。

>>117
高校範囲ではどうでしょう？

>>118
十分性は>>106で終わっている。

カルダノといっても後半の一部分。
やることは2次方程式の解と係数の関係をつかうだけ。

>>113

ヤングおー!おー!

の司会は仁鶴と三枝ですた。川村龍一さんも････

>>119

α+β=t とおくと t の3次方程式 t^3−3t＋1−k＝0 が |t|＞2 なる実数解を少なくとも１つ
持つことを言えば良いだけで，これはほぼ自明．
3次方程式を解く必要はないのでは？

>>121
違う問題をみているようだね。

>>121

その通り。
　α^3 = A,
　β^3 = B,
とおくと、
　A+B = k-1,
　AB = 1,
これらは u^2 -(k-1)u +1 = 0, の根。
k≧3 のとき　D = (k-1)^2 -4 ≧ 0 だから実根をもつ。
あとは立方根をとるだけ。

>>121、123ともに気にかけていないようだけど
x,y,zいずれも正にとれることを強調しておけよ。

>>121は糞だろ。

糞なのは、おｌまいの頭だろｗ

>>73 の式は、任意の素数pと自然数nについて成り立つ。

>>113
ザ・パンダのギャグで....

パンダの好きな食べ物は？

　笹の葉
　パン
　はんだ

>>128
うせろ、ゴミ蟲！

　問題
上下左右の区別がある５×５に並んだ２５個のマス目がある。
次の条件を満たすように２０枚のコインをマス目に置く方法は何通りか。
ただし、１つのマス目には最大１つのコインしか置けないものとする。

条件. 縦横斜めのどの方向にも５つのコインが連続しない

5!

ごめん5!だとナナメ潰せないね

辺の長さが1の正n角形の面積を、nを用いて表せ。

外接円の半径をR、中心から正n角形の辺までの距離をd、面積をSとすると
R*sin(π/n)=1/2 R*cos(π/n)=d
∴d=tan(π/n)/2
S=1*d/2*n=n*tan(π/n)/4

訂正
∴d=cot(π/n)/2
S=1*d/2*n=n*cot(π/n)/4

>>110>>114
事故レス。解けた。
π/60=(π/10)-(π/12)
sin(π/12)=sin((π/3)-(π/4))=sin(π/3 )cos(π/4) - sin(π/4 )cos(π/3)= ( √6-√2)/4
cos(π/12)=cos((π/3)-(π/4))= cos(π/3) cos(π/4) + sin(π/3 ) sin(π/4 ) =( √6+√2)/4
sin(π/60)=sin((π/10)-(π/12))=[( √6+√2) ( √5-1)- ( √6-√2) √(10+2√5)]/16
cos(π/60)=cos((π/10)-(π/12))=[( √6+√2) √(10+2√5)+( √6-√2)( √5-1)]/16

>>130
88通りかなあ？ど真ん中に置かない場合4!通りでど真ん中に置く場合4*4*4通りだと思った。

>>133
n/4tan(π/n)

>>130
88じゃない気がする。56通りかな

52通りになった

48通りだな

ど真ん中に置かない場合4!通りで、ど真ん中に置く場合も24通り。

類題
ｎ×ｎのマス目に n(n-1) 個のコインを置く。


３×３のときは２，
４×４のときは１０，
らしい...

なぜ、この板の連中は東大にこだわるのかわからん。

数学なら京大だろっ　!


　

ヒント：スレタイ(笑)

実数 a,b,c が |c|≦1, |a+b+c|≦1, |b^2-4ac|≦4|a| を満たしているとき,
a および b の値の存在する範囲を求めよ.

ヒント：夏休み(笑)

ヒント：解けない奴の突っ込み（笑）

>>130
「縦横に揃わない」を満たすのが5!=120通り
「縦横に揃わず、右斜めに揃う」「縦横に揃わず、左斜めに揃う」のそれぞれ44通り
「縦横に揃わず、右斜め左斜め両方が揃う」のが16通り
答えは120-2*44+16=48通り

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1194267591

この問題、正解というものはないんだろうけど創造的で面白いかも

面白そうだけど、スレタイにはあんまり合わない気がする

1^5=1

一期一会

x軸との交点が連続する正の整数 であり、y=e^(-x)と接している上に凸の放物線全てと、y=e^(-x),y軸で囲まれる領域の面積を求めよ

　あ？

　
　またお前たちか！　２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

nは自然数とする。
三角形ABC　　AB=AC=n　 BC=x
三角形DEF　　DE=DF=n　　EF=y　　　
三角形GHI　　 GH=GI=n　　HI=z

上のような3つの三角形を用いて、三辺がBC、EF、HIとなるもう一つの三角
形をつくる。このとき、x,y,z が全て整数となる三角形はいくつあるか

x,y,zは1≦x,y,z≦2n-1なる整数
三角不等式|x-y|<z<x+yを満たすx,y,zの組みを数えればいい
x<y,x=y,x>yで場合わけしてΣすれば数えられるな

>>151
理系の特に男子は専門分野を諦めてまで東大ブランドに縋り付く受験生なんてほとんどいないよ。
だから京大工≒東大理�T≧早慶理工≒東工１類＞理科大工＞東大理�Uで合ってる。

x+y+z=x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3≦0
のとき、
x^5+y^5+z^5の最大値を求めよ

0.

>>159
不正解です
xyzは複素数です

マジですか？

マジです

>>158ですよね。
x,y,zが複素数でそれらの5乗の和の最大値とはどんな数なんですか？

>>163
そうです

ヒントは解と係数の関係

158=160=162=164を晒し上げ！

>>158
(3 - 2√2)/3

>>164
大きな勘違いをしているようだ。

根本的な点でな

複素数x,y,zは

x＋y＋z＝x^2＋y^2＋z^2＝x^3＋y^3＋z^3≦0 … (1)

を満たすとする。a＝x＋y＋z, b＝xy＋yz＋zx, c＝xyz とおけば、a,b,cは複素数である。
実は、(1)の仮定のもとで、a,b,cは全て実数になる。実際、仮定からaは実数かつa≦0である。次に、

(x＋y＋z)^2＝(x^2＋y^2＋z^2)＋2(xy＋yz＋zx)

だから、a^2＝a＋2b となり、よってb＝(a^2−a)/2 となるので、
aが実数であることからbも実数である。さらに、

(x^3＋y^3＋z^3)−3xyz＝(x＋y＋z){ (x^2＋y^2＋z^2)−(xy＋yz＋xz) }

だから、a−3c＝a(a−b) となり、c＝{a−a(a−b)}/3 となるので、
a,bが実数であることからcも実数である。

さて、x^5＋y^5＋z^5 はx,y,zの実数係数の対称式だから、対称式の基本定理から、
ある実数係数多項式 f(X,Y,Z)∈R[X,Y,Z] が存在して、x^5＋y^5＋z^5 ＝ f(a,b,c) が成り立つ。
(1)の仮定のもとでa,b,cは実数だったから、(x^5＋y^5＋z^5) も実数となる。
特に、(x^5＋y^5＋z^5)の最大値・最小値を考えることは可能である。

ちゃんと問題として成立してるな。

最初から実数と言えばよかろうなのだ

「東大より欧米大」秋入学の海外学生、３割辞退

http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20121003-00000973-yom-soci

>>169
> 複素数x,y,zは
>
>≦0 … (1)
馬鹿馬鹿しい。

条件はx+y+z=•••≦0
だけで十分だと思ってました
x+y+zは実数と書かなくてはいけないのでしょうか？

>>165
>>167
>>168

>>173
書いてしまうと面白さが半減するし
過去には出題者が複素数を想定していたちょっと意地悪な問題も出題されている
（『伝説の良問100』に出ている学習院の問題）

>>175
なるほど
ありがとうございます
でも今後問題を出すときは条件に矛盾が無いようにしっかりチェックします

複素数x,y,zは次の3つの条件を満たすとする。

・x＋y＋z＝x^2＋y^2＋z^2＝x^3＋y^3＋z^3.
・x＋y＋z は実数.
・x＋y＋z≦0.

このとき、x^5＋y^5＋z^5 は実数になることを示し、x^5＋y^5＋z^5 の最大値を求めよ。


こう書けば問題ない。

>>158

>>169 に習って x,y,z の基本対称式を
　x+y+z = a,
　xy+yz+zx = b,
　xyz = c,
とおく。ベキ和公式は
　x^5 + y^5 + z^5 = a^5 -5(a^3)b +5a(b^2) +5(a^2 -b)c,

ところで (1) より
　a = a^2 -2b = a^3 -3ab +3c ≦ 0,　･･･ (1)'
∴　b = a(a-1)/2!,　c = a(a-1)(a-2)/3!,
　x^5 + y^5 + z^5 = (a^5 -5a^4 +5a^3 +5a^2)/6 = f(a),
　f '(a) = 5a(a-2)(a^2 -2a-1)/6,
a≦0 での最大値は
　f(1-√2) = (3-2√2)/3,　　>>166
かな？

>>177
参考にします
>>166
見逃してました
>>178
正解です

>>164　

　x+y+z = a,
　xy+yz+zx = b,
　xyz = c,
ゆえ、 x,y,z は実３次方程式
　t^3 -at^2 +bt -c = 0,
の根である。
3t-a = T　とおくと、
　T^3 +3(3b-a^2)T -(2a^3 -9ab +27c) = 0,

たとえば、ｆが最大となる点では
　t^3 +(√2 - 1)t^2 +(1 - 1/√2)t +(√2)/6 = 0,
　T^3 + 3(1/√2)T +(4+√2) = 0,
実根 X は
　X = -(2 +1/√2 -a)^(1/3) -(2 +1/√2 +a)^(1/3),
　a = (3/2)√(2+√2) = 2.77163859753386
実根xは
　x = {1 -√2 -(2 +1/√2 -a)^(1/3) -(2 +1/√2 +a)^(1/3)}／3
　　= -0.592002024668285
　y = (1-√2 -x)/2 + b･ｉ
　z = (1-√2 -x)/2 - b･ｉ
（bは実数、yとzは共役複素数）

casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させるスレ - 158〜159

>>180 の訂正、ｽﾏｿ

実根T=X は
　X = -(2 +1/√2 -A)^(1/3) -(2 +1/√2 +A)^(1/3),
　A = (3/2)√(2+√2) = 2.77163859753386
実根t=xは
　x = {1 -√2 -(2 +1/√2 -A)^(1/3) -(2 +1/√2 +A)^(1/3)}／3
　　= -0.592002024668285
また複素根は
　y = (1-√2 -x)/2 + B･ｉ
　z = (1-√2 -x)/2 - B･ｉ
（Bは実数、yとzは共役複素数）

>>180-181

　x = {1 -√2 +(-2 -1/√2 +A)^(1/3) -(2 +1/√2 +A)^(1/3)}／3,

　x{(1/4)(1 -√2 -x)^2 + B^2} = xyz = c = a(a-1)(a-2)/3! = -(√2)/6,

　B = √{c/x - (1/4)(1-√2 -x)^2}
　　= 0.624693656221627

n を正の整数，r を正の実数とする．
1/a1 + 1/a2 + ．．．＋1/an ＜ r を満たしながら，正の整数 a1，a2，．．．，an が
動くとき，1/a1 + 1/a2 + ．．．＋1/an は最大値を持つことを示せ．

良問すぐる！！！！！！！！！！！！

えっ？

おっ？

1/a1 + 1/a2 + ．．．＋1/an は最大値=r

馬鹿だな　無理数にはならんよ

まだ誰も解けないのかい？
簡単だろ？

自明

>>183
最大値を持たないとすると、b[m,i] を正整数、
x[m] = 1/b[m,1] + 1/b[m,2] + … + 1/b[m,n]
として、狭義単調増加な列 x[1], x[2], … が存在するはず

この列から
b[j[1],1] ≦ b[j[2],1] ≦ b[j[3],1] ≦ …
となる部分列 x[j[1]], x[j[2]], … を取り出せる

同様に x[j[1]], x[j[2]], … から
b[j'[1],2] ≦ b[j'[2],2] ≦ b[j'[3],2] ≦ …
となる部分列 x[j'[1]], x[j'[2]], … を取り出せる

この操作を繰り返せば 1≦s≦n である各 s について
b[k[1],s] ≦ b[k[2],s] ≦ b[k[3],s] ≦ …　　(1)
となる列 x[k[1]], x[k[2]], … が x[1], x[2], … の部分列として取り出せる

(1) から x[k[1]], x[k[2]], … は広義単調減少だが、
これは x[1], x[2], … が狭義単調増加であることに反する

帰納法で一発では？

その帰納法プリーズ

微分可能な連続関数f(x)について、
f(1)+f(2)+f(3)+•••+f(x)=S(x)とする
lim(x→∞)S'(x)=1のとき、
lim(x→∞)f(x)を求めよ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
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　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

0？

ごめんlim(x→∞)S(x)=1に見えた

　　　　 卅川川彡ﾐ;"::' 　 ノ　 　 　 　 　 　 　: : : :::ﾐ汗圭圭形`,
.　　　　淋从川川ｼ::　　　　 　 　 　 　 　 . . : : : : ::::ｼﾐ圭圭圭f)
　　　　 州川川ソ::　 　 　 　 　 　 　 　. . . : : : : : : :::ﾐ圭王圭彡
.　　　　 汪州ｽ;:: : _ ,, . .. 　 　 　 　..,, _,,,..,,_.: : :::::::;:;:（ｼ圭圭圭ﾐ
　　　 　 {州;ｿ::: :"'=ﾆ三''=;:;:: :　　::':"三＝=`;: :;;;:::::::ﾐ圭圭圭彳
　　 　 　 ;'"ﾑ::;::, ------- ､.:::.　..::::::'　""　: : :::::;;;::::::::ｿ圭圭从
.　　　　　!）;il`Y　 ‐=ﾆｴﾆ7,..ﾄ=-､!"二ﾆ,二..._`､: : :::;;:}/ﾐ''"_ ､^
.　 　 　 　》,!::: !　　 ￣￣" ｼ/　 !ﾄ,`､`='=ﾆ"..:-ﾄ=''彡;ﾐｼ,ｲ./
.　　　　　　i:::.. ` 、_______,,.ノ　　: :ﾍ、 ヾ　・　: :./. .: :::;;;Y .ﾉ/
.　　　　　　|:::::...　　　 ／(_,, 　 ::..　､`ｰ-----.'. . : : ::;;::::!,イ
　　　　　　 !::: : . .　 /:.　　~`-‐"`-'　ヾ　　　　. . : :::;::::::|ノ
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　　　　　　　　ﾍ:::. . 　;ヽ､　"'''"　／.ﾌ:.　　　 . . ; ::::::::/　ﾄ ､ ` ,
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　　　　　　　く　　 　　 `ｰ ;;__ -'':::::''':_:;- '　　　　　/　　　　　<　　　　　 ＼
　　　　　　　　>　　　　|　　　 ￣￣　　　　　　　／　　　　　　 ＼　　　　　 ヽ

>>194
>f(1)+f(2)+f(3)+•••+f(x)=S(x)とする
x は整数？実数？

こんな曖昧な問題が入試に出る訳無い

>>199
すいません
S(x)は微分可能な関数で表すことが出来るということにしてください

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 やっぱり只の糞キチガイ
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　ネコも大して変わらない　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

描

>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>

>>200
ちゃんとやれー

描

>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>

微分可能で変曲しない単調な関数f(x),P(x)があり、
任意の自然数nについて
f(1)•f(2)•f(3)•••f(n)=P(n)を満たし、
lim(x→∞){P(x)/P'(x)}=2が成り立つとき、lim(x→∞)f(x)を求めよ

描

>192 名前：１３２人目の素数さん ：2012/10/23(火) 11:55:56.36
> >>187
> その運営と予算獲得に『すら』関心を示さずに
> 女性の股間にだけ関心を持った猫先生は
> 『研究のアクティビティ』とは無縁だったね。
> 『女性のティクビ』は好きだったんだろうけど。
>

　問題
５０枚の硬貨が一直線に全て表を向いた状態で置かれている.
全ての硬貨を取り除くまで以下の操作を続けることは可能か.

(操作)表を向いた硬貨を１枚選び取り除く.その際,取り除く硬貨に隣接する硬貨を裏返す.

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 やっぱり只の糞キチガイ
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極限
lim(x→∞)[∫(x→x+1)sin{1/(t+1)}/sin(1/t)dt]^x
を求めよ

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>>209

平均値の定理（積分形）より 　
　∫(x→x+1) sin{1/(t+1)}／sin(1/t) dt = sin{1/(T+1)}／sin(1/T),
　x<T<x+1,
を満たすTが存在する。

　sin(1/T) = 1/T - 1/(6T^3) + O(1/T^5),
より
　sin{1/(T+1)}／sin(1/T) = 1 - 1/T + 1/(T^2) -2/(3T^3) + 1/(6T^4) - ･････

　Lim(x→∞) (1 - 1/T)^x = Lim(x→∞) (1 - 1/x)^x = 1/e.

>>211
正解です

f(f(x))=sin(x)
を満たす関数f(x)を一つ挙げよ

...

>>213
挙げますた。

f(x) = x -(1/12)x^3 -(1/160)x^5 -(53/40320)x^7 -(23/71680)x^9 -(92713/1277337600)x^11 -(9.046E-6)x^13 -･････

g(x) = f(-x) = -f(x),

〔類題〕
　f(x)f(x)/x = sin(x),
を満たす関数f(x)を一つ下げよ

>>216
下げますた。

　f(x) = x -(1/12)x^3 +(1/1440)x^5 -(1/24192)x^7 -(67/29030400)x^9 -(1/5677056)x^11 -(64397/4649508864000)x^13 -(113249/100429391462400)x^15 -(3679787/39023992111104000)x^17 -(810304169/100609855353520128000)x^19 -･････

　g(x) = f(-x) = -f(x),

直線l[1]：y=x/2、直線l[2]：y=-x/2において、
点Pを直線l[1]上を動く点
点Qを直線l[2]上を動く点とし、
点Pを通り直線l[2]に平行な直線と、点Qを通り直線l[1]に平行な直線の交点をRとする。
原点をOとして、図形OPQRを一定の面積S（＞0）になるように点P,Qを動かす。
このとき、点Rの軌跡を求めよ。

>>218
P(p,-p/2), Q(q,-q/2) とおくと R(p+q, (p-q)/2) と求まる
平行四辺形OPRQの面積=|pq|=S なので x=p+q, y=(p-q)/2 とおくと
|(x^2-2y^2)/4|=S (こたえ)

縦2倍に伸ばして45度回転するまでもないかな

y=e^xと直線y=ex,y軸
で囲まれた図形をy=exを軸にして回転させた立体の体積を求めよ

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。馬鹿蕎麦が思いっきり晒す低脳。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

y=sinx (0≦x≦π)
とx軸で囲まれる図形を
原点を通る直線を軸として回転させた立体の体積の最小値を求めよ

私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ 。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。

等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。

2変数関数
　f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) (ただし，(x, y)≠(0, 0))
の最小値を求めよ．

1/f
=(x^2+y^2)/xy
=x/y+y/x≧2
f≦1/2

ああ最小値か
なら-1/2

>>525
数学者になりたかったら：
１．『犯罪に手を染めない事』：★★★重要な追加事項★★★
２．もし出来たら論文でも書きましょうネ。♪

どや、コレでエエのんかァ！　お返事してや〜

ケケケ狢

>525 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/02(日) 15:30:43.08
> >>524
> 犯罪に手を染めない事も付け加えとけ、前科者｡
>

>>225
ここまでの馬鹿はなかなか居ないな

>>228
そんなことは無い。この馬鹿板には馬鹿と低脳しか居てへん。そやから
ワシが焼いてるんや。馬鹿は無駄やさかいナ。

狢

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みんな
どんどん
問題作れ！

xy座標平面上にて、
「1 ≦x ≦ 6 かつ 1 ≦ y ≦ 6」なる領域をDとおく。

また、１から６までの数字が書いてあるサイコロがある。

サイコロを２回振り、
１回目にサイコロが出した目をx座標、
２回目にサイコロが出した目をy座標とする点を点Pとおく。

点Pを定めた同様の手順をもう２回行い、それぞれ、点Q、点Rとおく。

三角形PQRの面積Sの期待値はいくつか。
※ただし、３点のうち、２点または３点の座標が一致するときは、面積の値を０として考えること。

連投失礼★
**************************************************************
点Aが中心であり半径がa なる円Cと、一片の長さがbである正三角形PQRがある
（ただし、a ＞ 0, b＞0）

また、点Pは円Cの周上に位置する。
このとき、三角形AQRの面積Sの取りうる値の範囲を、
a,b を使って求めよ

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≠

　２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
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ある円に内接する正n角形の一辺の長さをL(n)とする
lim(n→∞){L(n+1)/L(n)}^nを求めよ

>>238

テメ〜、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　２０代の、無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

近頃登場時刻が不安定だな

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
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xy平面上において、直線
x-(sinθ)y-cosθ=0 （-π/2≦θ≦π/2）
が通過しうる領域を図示せよ。

エライ古典的でんなあ

これ自作なんだが、楽勝かと思ったらθに範囲をつけたせいで
想像以上にてこずり、ああ東大あたりで出そうだな、と思った次第。

>>242
α、βは実数で、α^2+β^2=1、β≧0をみたすものとする。
このとき、直線x-αy-β=0が掃く領域を図示せよ
として、αを消去してβの2次方程式の解の条件として捉えるのが
工夫はないけど紛れのない解答例か。

>>242
東大受験生なら包絡線の求め方くらい知ってるんじゃないの？
パラメータについての2次式になるから包絡線は簡単に求まる
もちろん答案にするときはこの知識は知らないふりをしてまとめる

11^(13^(15^17))の下二桁を求めよ

71.

>>248
せいかい

ワシかてそう願ってるがな。

ケケケ狢

>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>

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東大京大の入試数学の華は、やはり一行問題だろ。

お勧めは？

>>253
tan1°は無理数か。

無理数の無理数乗は無理数か。

いずれも、京大入試問題。

>>254
　一行解答？

上）tan(1ﾟ) が有理数と仮定すると、tanの加法公式により tan(30ﾟ)=1/√3 も有理数. (矛盾)

下）log(2) = p/q, q>p>0 と仮定すると 2 = 10^(p/q), 2^(q-p) = 5^p (矛盾)、よって log(2)は無理数、(√2)^(2/log(2)) =10.

コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>

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定積分
∫[1/√3 , √3] 1/{x(1+x^4)} dx
の値を求めよ。

東大よりは京大寄りかな…

１０００００
以上の数字で
小さな素数を三つ見つけろ

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>>259
100000〜110000の素数は
　100003
　100019
　100043
　100049
　100057
　100069

>>258

　1/{x(1+x^4)} = 1/x - (x^3)/(1+x^4),
または
　x=1/t とおいて　dx/{x(1+x^4)} = - dt/(1+t^4),

隕石落下の確率は軽度によらず一定か？
考察せよ

んなわけ無い
常識レベル

ああ経度なら関係ない
緯度ならある

そもそも「空気の圧力変化の伝播」それが音の正体だ。
「衝撃波が音速を超えてしまう理由をのべよ。」

圧力が高いから

半径1の円に内接する正n角形の面積をSnとする。
(1)α=lim[n→∞]Snを求めよ。
(2)lim[n→∞](n^k)(Sn-α)が0以外の数に収束するような実数kの値を求めよ。またそのときの極限値を求めよ。

(1)
π
(2)
k=-2
-3/(2π^3)

>>270
どんな人なんだ君は

答えが微妙に逆数っぽく違う

てす

>>247
これってどうやるの

11^(13^(15^17))の下二桁を求めよ

11^10≡1 mod 100より
13^(15^17)を10で割った余りを求める
以下10を法として、
13^(15^17)
≡3^(15^17)
また、3^4=81≡1より、
15^17を4で割った余りを求める
4を法として
15^17
≡3^17
=(3^16)×3
={(3^2)^8}×3
=(9^8)×3
≡(1^8)×3
=3

したがって余り3より、
15^17=4n+3と表せられる
以下、法を10に戻して
3^(15^17)
=3^(4n+3)
={(3^4)^n}×3^3
≡(1^n)×27
=7
したがって
13^(15^17)=10m+7と表せられる
100を法として
11^(13^(15^17))
=11^(10m+7)
={(11^10)^m}×11^7
≡(1^m)×71
=71
よって下二桁は71

>>276
あざやかっすねーありがとうございます

半径が1の円に内接する正24角形に内接する円の半径を求めよ。

cos(π/24)

nは自然数とし、2^nは100桁の数で、2^(n-1)は99桁の数である。
ただし、log[10]2=0.3010としてよい。
(1)nの値を求めよ。
(2)2^nの一の位の数字を求めよ。
(3)2^nの十の位の数字を求めよ。

329
2
3

>>281
⭕
⭕
❌

3問目は1

⭕

ａ,ｂをａ＜ｂを満たす正の数として
半径がａの円C1,半径がｂの円C2を考える。
円C1と円C2は異なる2点で交わり、その共通部分の面積は1である。

(1)ｂ=√(1-ａ^2)のとき、ａが満たす関係式を求めよ。
(2) ａ≦ｒ≦√(1-ａ^2)を満たす実数rが存在するようなａの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、(1)のaの最小値を求めよ。

>>279
cos(π/24)の値を求める問題？
cos(π/24) が無理数であることを証明する問題？

>>280
kが2以上の自然数のとき
2^(k+20)≡2^k mod 100
が(2),(3)のポイントかな
となるのがポイントかな？

>>285
削除します。

>>286
>>278の答え

以下の問いに答えよ。
(1)赤、黄、青のボールが2個ずつ計6個ある。これらを同じ色のボールが隣り合わないように並べる方法は何通りあるか。
(2)赤、黄、青のボールが3個ずつ計9個ある。これらを同じ色のボールが隣り合わないように並べる方法は何通りあるか。

初歩的な失題だな
白チャートで勉強しろ

解かずにそう思っちゃうところが
「惜しい」人だよなぁ〜。

ぷ

どちらで解釈しても白チャートレベルの問題じゃん

ぷｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>289
30
174

中学生レベルｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>286

cos(π/12) = (√6 + √2)/4 = 0.965925826･･･

cos(π/24) = √{[4+√6 +√2]/8} = 0.99144486･･･

x^x=2を満たす実数xは無理数であることを証明せよ

背理法で4行ぐらいで終わり

4行ぐらいなら書いてみたらどう？
それほどの手間でもないでしょうに。

xは自然数ではないのは明らかなのでとりあえずx>0として
互いの素の自然数用いてx=m/nと表せる
x^m=2^n
矛盾

矛盾はどこに

整数ではない有理数xが代数的整数になってるから矛盾だろ
説明をすっとばしてるだけの話で

無理数の整数乗が整数になる場合も当然あるが

>>304
はいそうですね

座標平面上の2点
Ａ(1,3) Ｂ(4,0)に対してＢＰ-ＡＰ＞2を満たす点Pの存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

>>306
>>1

白チャートレベルの問題出すな

πを円周率3.14...とし以下の問いに答えよ。
(1)π^πの十の位の数を求めよ。
(2)(π^π)^πの十の位の数を求めよ。

3
6

まぁ、答えだけなら誰でも解けますわな。

間違ってますけどね

>>306

軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y-4)/√2,
　v = (y-x+1)/√2,
とおくと、
　AP^2 = (x-1)^2 + (y-3)^2 = u^2 + (v - 3/√2)^2,
　BP^2 = (x-4)^2 + (y-0)^2 = u^2 + (v + 3/√2)^2,
題意より、
　v^2 - (2/7)u^2 = 1,
　v ≧ 1,
　点Aを含み、双曲線を境界とする領域

>>312
ほう？

>>303
牛刀w

に見えるのか

＜第一問＞
a,b,cの3種類の文字を左から順にn個並べて文字列を作る。
ただしbの次にはcを並べてはならず、cの次にはbを並べてはならない。
このような文字列は全部で何通り作れるか求めよ。

>>316-317
ニート・無職の、ごくつぶしのクソガキども！

　抹殺するから、覚悟しとけ！！！！！！！！

{(1+√2)^(n+1)+(1-√2)^(n+1)}/2

正解。

tを2013^2012＜t＜2012^2013を満たす実数とし、
関数f(t)=t^2013+2012^tを考える。
また、f(t)の導関数をf'(t)とする。
(1)f'(t)を求めよ。
(2)f(t)の最大値を与えるtがただ一つ自分の心の中にあることを示せ。

>>321
df/dt=2013t^(2012)+(log2012)2012^t
>0より
fは単調増加
2013^2012＜t＜2012^2013より、最大値はなし


【問題】
a、bを、a<bを満たす正の実数、πを円周率とする

(1)楕円:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1の体積がπabとなることを、積分計算を用いて示せ

(2)底面の半径がa、高さが2√(b^2-a^2)である円柱を用いて、(1)と同様の結果が得られることを示せ

(3)数列a[n]=(81/10)・{1-(2/3)^n}とする
楕円:[x^2/{(43/2)-a[n]}^2]+[y^2/{(81/10)+a[n]}^2]=1の面積をS[n]とするとき、
S[n]を最大にする正の整数nとそのときのS[n]の最大値を求めよ

すいません。(1)の体積→面積です

【第二問】
3次関数y=x^3+ax^2+bx+cのグラフをGとする。以下の問いに答えよ。

(1)直線mx+ny=0に関する、点(X,Y)に対称な点の座標を求めよ。ただし、m,nは共には0でないとする。
(2)Gは原点を通るどんな直線に関しても線対称でないことを示せ。

x→±∞でf(x)→±∞だから明らか

>>324

(1)
n=0のとき、(-X、Y)
n≠0のとき、
x座標が{1/(m^2+n^2)}・{(n^2-m^2)X-2mnY}
y座標が{1/(m^2+n^2)}・{-2mnX+(m^2-n^2)Y}
である点

(2)
点(X、Y)をG上の点として、(1)の答えの点のX座標をGに代入したとき、その値がy座標にならないことを示せばよい

計算だるい

それだと(2)は完璧に0点だなｗ

【第三問】
四面体Kの6本の辺の長さの積をL,体積をVとする。
L/(V^2)のとりうる最小値を求めよ。

大数の宿題レベル程度はやる気がしない

直方体の10本の辺の長さの和をL,体積をVとする。
L,Vが共に直方体が存在するように動くときV/(L^2)のとりうる値の範囲を求めよ。

【着想】大数

積分値∫[0,a](t^3)√(1+t^2)dtを求めよ。

>>331

(1/15)・{2+(3a^2-2)(1+a^2)^(3/2)}

＊問題＊

任意の△ABCは次の性質Aを満たすことを示せ。

『A:△ABCの外接円の弧AC上の点Dから△ABCの3辺、またはその延長に垂線を引き、その交点をP,Q,Rとしたとき、3点P,Q,Rは一直線上にある。』

線分ABを直径とする円Oを考える。
円Oの半径をrとし、円外に点Kをとり
AK=a,BK=bとする。
a+b=m,a*b=nとするとき
m^2＞4r^2+2nを示せ。

>>330
直方体の辺は12本だろ
つか分子が長さの3次元分母が2次元だといくらでも大きくも小さくもなるだろ

>>335
Cutでお願いします(=ﾟωﾟ)ﾉ

>>334
余弦定理

学校の宿題かよ

>>337
こうやって簡単な問題に答えて
スルーしていく問題こそが本当の問題なんですよ・・・。
そんな1分くらいで解けるような問題なんぞ出す意味が無いですから。
>>333へ。

キモ

キモくしてるんですよ・・・。
2ch初心者ですか？・・・。
あぁ...お願いしますよぉ。

>>340

ニートの、ごくつぶしのクソガキ！

　抹殺するから、覚悟しとけ！！！！！！！！

>>341
通報しました

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／j
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／__/　‘，
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／／　 ヽ　 ', 、
　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 /／　　　　‘　 　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　/ｲ　　　　　　 ', l　 ’　　　　　…わかった　この話はやめよう
　　　　　　　　　　　　　　　iヘﾍ,　　　　　　 l |　　’
　　　　　　　　　　　　　　　| ｎﾍﾍ　_　 　 　 | |　　 l　　　　ハイ！！　やめやめ
　　　　　　　　　　　　　　　| l_| | |　ゝ￣`ヽ | |〈￣ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　ゝｿﾉﾉ 　 `ー‐'　l !　¨/
　　　　　　　　　　　 ｎ/7./7　∧　　　 　 　 j/　/　　　　　iヽiヽｎ
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　 　 　 　 　 　 　 | '"￣￣iﾉ .l::::::::::::::::::::::∧　　　　　　 |　ゝ　　　 ',
　　　　　 , 一 ｒ‐‐l　　　γ　/、::::::::::::::::::::::::〉ー=　___　 ﾍ　 ヽ　　　}
　　　　／ o　 |!:::::}　　　　 / o` ー ､::::::::::::i　o　,':::::::{`ヽ ﾍ　 　 　ﾉ
　　　/ o　 　 ﾉ:::::∧　　　/ヽ　　o　 ヽ::::::::|　o　i::::::::ヽ、　/　　　/
　　 /　　　 ノ::::::/　　　 /::::::::ヽ　　o 　ヽ:::|　o　{::::::::::::::Υ　　　/

半径が1の円に内接する△ABCを考える。
∠ABC=θ,∠BCA=φとしθ+φ=π/3を満たすように動く。ただし角度には弧度法を用いる。
(1)辺ABの長さのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)△ABCの面積が最大となるとき、3辺の長さの和,AB+BC+CAを求めよ。

∠A=2π/3ってことだから簡単すぎるぞ

答えと過程書けますか？

707 ：１３２人目の素数さん：2008/03/01(土) 11:46:21
深さMの十分に湿ったマンコに長さL(≦M)の勃起したチンコを全部挿入するとき、以下の問いに答えよ。
ただし、マンコは深さxの点において1 - | 1 - 2x/M |の締め付けをチンコに与え、チンコは根元からの距離yの点において y/L の感度を有するものとし、チンコが各点において得る時間毎快感を(締め付け)*(感度)*(挿入速度)と定義する。
(1) 挿入速度を可変とし、時刻に対する挿入速度の関数をテクニック関数と定義する。
挿入開始から終了までに勃起したチンコが得る快感の総量はテクニック関数に依存しないことを示し、その値を求めよ。
(2) 長さLの勃起したチンコに最適なマンコの深さを求めよ。

全く手付かずで困ってます…というか(1)は本当なんですか？

708 ：１３２人目の素数さん：2008/03/01(土) 11:48:30
本当

709 ：１３２人目の素数さん：2008/03/01(土) 11:56:33
多分途中で後戻りしないという条件が必要ですよね…

>>346
中学生でも解けるレベルだぞ

>>348
ならば教えてください

どなたか>>347の問題の答案を書いて下さい
5年前の誰かの書き込みのコピペです

>>348
お願いします

>>333
シムソン線か
昔高校の入試で出たわ

>>352
え、まじか

>>353
ああ
>>333の問題でPがBC上、QがCA上、RがAB上とする
1)BDが直径になるときPはC、RはAに一致するから自明
2)Dが1)の場合よりもC寄りの場合
四角形BPDR、AQRD、CPDQはいずれも円に内接
(∵∠DRB=∠DPB=∠DRA=∠DQA=∠DQC=∠DPC=90゜)
従って
∠PDR=180゜-∠PBR=∠CDA
∠QRD=∠QAD(=∠CAD)
∠QPD=∠QCD(=∠ACD)
以上より∠PDR+∠QRD+∠QPD=180゜
∠RQP=180゜

3)DがA寄りのときも同様

>>344
お願いします！

コンパス買ってこいよ

>>354では∠A∠Cともに鋭角の場合にかぎるんだな
どちらかが直角または鈍角では>>354の場合分けなくなるだけでほぼ同じ

>>344
∠ABC = θ, ∠BCA = φ, ∠CAB = ψ とする。
θ + φ + ψ = π, θ + φ = π/3 より、ψ = 2π/3.
CA = t, AB = h, BC = s とする。正弦定理より、
t/sin(θ) = h/sin(φ) = s/sin(ψ) = 2.
だから、h = [______]. ここで、φの上限は、φ = [______] だから、h の上限は [______]. また、下限は [______].
したがって、[______] < h < [______]. 同様に、[______] < t < [______].
また、s = 2sin(ψ) = [______] である。
三角形の面積が最大になるのは、点A と弦 BC の距離が [_____] となるときで、
このとき、θ = [______], φ = [______] だから、t + h + s = [______].

正弦定理なんて持ち出すまでもないよ

【問題】
a、bを、a<bを満たす正の実数、πを円周率とする

(1)楕円:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1の面積がπabとなることを、積分計算を用いて示せ

(2)底面の半径がa、高さが2√(b^2-a^2)である円柱を用いて、(1)と同様の結果が得られることを示せ

(3)数列a[n]=(81/10)・{1-(2/3)^n}とする
楕円:[x^2/{(43/2)-a[n]}^2]+[y^2/{(81/10)+a[n]}^2]=1の面積をS[n]とするとき、
S[n]を最大にする正の整数nとそのときのS[n]の最大値を求めよ

>(2)底面の半径がa、高さが2√(b^2-a^2)である円柱を用いて、(1)と同様の結果が得られることを示せ

題意不明確。何をしろと言っているのか分からん。

2^α+3^α=1を満たす実数αが唯一つ存在して、それが無理数であることを示せ。

f(α)=2^α+3^α-1は単調増加,f(-1)=-1,f(0)=1から-1<α<0に1つ実数解を持つ
α=p/q、p<0<q、p,qは整数とすると1+(2/3)^(q-p)=2^(q-p)より矛盾

√pを素数とし、
x≠0を満たすxに対して関数
f(x)=p^xを考える。
このとき、√f(x)は無理数の値のみをとることは不可能であることを示せ。

>>364
√f(1)=√pは素数すなわち有理数(終)

√p=2
x=1

>>365-365
正解です。
数学が苦手な人にこういうのを出すと解けませんよね。
きっと問題文で難易を決めつけてるのが原因だと思うんですよね。
頭をつかってこそ、だと思うんですけどね。

>>365は”クソ問題出すな帰れカス”ってメッセージだったんだが伝わらなかったか

>>368
前から思ってたんだけど、
ここで解かれる問題ってのはどうせすぐに答えでるようなやつばかりじゃん。
本当に30分かけてやっとみたいな問題はスルーされるし、
過程書かずに答えだけ書いて終わりだろ？

意味無いだろ。
全く。ってメッセージだったんだが伝わらなかったか。

ここは問題を解くスレじゃないから
>>1を読んでね

うpだけしても意味ないよな
このスレの存在意義が全くない。

　オマエたちは、定職に就くのが先決だろがああああああああ！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ごくつぶしの、クソガキどもがあああああああ！！！！！！！！！！！！！！

>>363
＞1+(2/3)^(q-p)=2^(q-p)
何これ

>>363
p/q乗とp-q乗を取り違えてないか

3^q*2^p+2^q*3^p=6^q
1+2^(q-p)*3^(p-q)=2^(q-p)
1+(2/3)^(q-p)=2^(q-p)

2^(p/q)+3^(p/q)=1はそんな風にはならんぞ

n,mが互いに素な整数でかつnは1でない自然数であるとする
a_1,a_2,…a_nが有理数であるならば
Σ[k=1,n]a_k*2^(mk/n)=0⇔a_k=0　(k=1,2,…,n)を示せ

>>362
なんで俺がhttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1345614534/l50に書いた問題がこんなところに…
これは自作なんだが、自力では大学の知識を使って証明するのがやっとだった。
高校までの知識で証明できたなら是非伺いたい。

>>378
それが教えを請う者の態度かね？ ん？

>>362
まさか私めの拙作をこのような素晴らしいスレに載せて頂けるなんて、至極光栄に思います。
恥ずかしながら、未熟な私の力では大学数学の知識を用いた証明が限界でごさいました。
もし高校範囲での証明を見つけられたのであれば、どうか未熟な私にその叡智の一片を拝見することをお許しください。

２＾（ｍ／ｎ）＋３＾（ｍ／ｎ）＝１（ｎは正の整数，ｍは整数，（ｍ，ｎ）＝１）とすると
２＾（ｍ／ｎ）はｘ＾ｎ−２＾ｍ，（１−ｘ）＾ｎ−３＾ｍの根。
ｆ（ｘ）をｘ＾ｎ−２＾ｍ，（１−ｘ）＾ｎ−３＾ｍの最大公約数，ｆ（ｘ）の次数をｈとすると
ｆ（ｘ）の根の積の絶対値２＾（ｈｍ／ｎ）は有理数。

>>363
>>375

　p=-26, q=33 とすると q-p=59,
　2 = 1 + 1 > 1 + (2/3)^59 = 2^59 より矛盾...

>>362
a=((2^α+2^(-α))/2)^2, b=((2^α-2^(-α))/2)^2
c=((3^α+3^(-α))/2)^2, d=((3^α-3^(-α))/2)^2
とすると
a^2-b^2=1, c^2-d^2=1
a+b+c+d=1, a-b-c+d=2(ad-bc)

訂正
a=(2^α+2^(-α))/2, b=(2^α-2^(-α))/2
c=(3^α+3^(-α))/2, d=(3^α-3^(-α))/2

>>381
　
　m=-26, n=33 とすると (m,n)=1,

nを2以上の自然数とし
A=n^3-(1/n^2)の値を考える。

(1)n=2,3,4のそれぞれのときAの値を求めよ。
(2)lim[m→∞]m^c{n^3-(1/n^2)}が0以外の値に収束するような実数cは存在するか。
(3)lim[m→∞]（lim[n→∞]m^c{n^3-(1/n^2)}）が0以外の値に収束するような実数cは存在するか。

これって解けますか？VIPのスレにありました。

>>383
何で毎回出鱈目書くん

>>386
頭悪い奴が無理して問題つくるな

>>388
と解けない馬鹿が嘆く

>>387
363は計算ミス

>>389
(2)する
(3)不定

>>386
(2)c=0
(3)あるわけないだろ

あぼーん

(1)a,x_k,y_kを実数とする　次の等式を示せ
�納k=1〜n](a・x_k+y_k)^2=a^2�納k=1〜n](x_k)^2+�納k=1〜n]x_k・y_k+�納k=1〜n](y_k)^2

(2)x_k,y_kを実数とする　次の不等式を示せ
(�納k=1〜n]x_k・y_k)^2≦{�納k=1〜n](x_k)^2}{�納k=1〜n](y_k)^2}

ミス
×�納k=1〜n](a・x_k+y_k)^2=a^2�納k=1〜n](x_k)^2+�納k=1〜n]x_k・y_k+�納k=1〜n](y_k)^2

○�納k=1〜n](a・x_k+y_k)^2=a^2�納k=1〜n](x_k)^2+2a�納k=1〜n]x_k・y_k+�納k=1〜n](y_k)^2

>>394
>>395
そんなもの出して恥ずかしくないの？

>>383
a-b-c+d=2(ad-bc)を以下に訂正
c+d=(a+b)^(log(3)/log(2))

>>396
なにがどう恥ずかしいのか
(1)はいらないかも知れないが

>>394-395 一応答えてやるよ
(1)自明
(2)
(1)の左辺≧0よりΣ[k=1,n](x_k)^2≠0のとき、右辺をaの2次関数とみたら判別式≦0

Σ[k=1,n](x_k)^2=0のときx_k=0 (k=1,2…3)より自明

1辺の長さが1の正四面体がある。
正四面体を構成する2つの正三角形の重心を通る直線を軸として正四面体を回転させたとき、通過する領域の体積を求めよ。

>>394ってクソみたいな問題出した揚句>>369みたいな捨て台詞吐くんだろ

出題の頭悪さからいって文系か高卒だろ

>>400
こういう問題好きだな〜 2009の大問3みたいなね。
東大は京大よりもこういう目に見える問題が多いような気がするんだけど気のせいかな。

自分の出した問題に自分でレスｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>399
うんおれも(1)の誘導が入ったら簡単だから無くても良いと思った

.>>400
14π/81

文系が一人で頭の悪い問題を出し続けるだけのスレになりましたとさ

nが2以上のとき，lim[R→∞]∫[0,R]dx/(1+x^n)を求めよ．

AB=AC=√3/2=√3/2, BC=1の三角形ABCの
辺AB, AB上にAD=AE=√3/2となる点D, Eをとって
直線DEを軸に三角形ABCを1回転させてできる立体と同じ

時間経ったら出題者が解答載せるべき

>>407
π/(n*sin(π/n))

>>408
>辺AB, AB上にAD=AE=√3/2となる点D, Eをとって
辺AB,AC上にAD=AE=√3/6となる点D,Eをとって
かな?

3次関数f(x)=x^3-pxはx=aにおいて極大値bをとるとする。
点P(a,b)を原点を中心に正の向きに90°回転した点をQとする。
曲線y=f(x)が点Qを通るようなpの値を求めよ。

>>401
ごめんなそう怒るなよ
基本的な大学でやることでもあるし加法定理もでたことあるし別に出せる難易度だと思ったんだ
誘導がなかったらよかったかな

(1)aを正の実数とするとき、
lim(n→∞)a^n/n!=0
が成り立つことを証明せよ


(2)a(n)={π^(n+1)/n!}∫(0→1) x^n(1-x)^n sinπx dxとおくとき、
a(n)={(4n-2)/π}a(n-1)-a(n-2)
が成り立つことを証明せよ


(3)πは無理数であることを証明せよ

>>414
(1)定型的なので省略。n≧N＞aなるNを考えてどうたらこうたら
(2)部分積分でごり押ししたらいけたけどめんどくせー
なんか楽な方法あるんでしょうか？
(3)π=q/p（p,qは自然数）と仮定し、
b(n)=q^(n+1)a(n)について考える
b(n)=(（qπ）^n+1)/n!∫(0→1) x^n(1-x)^n sinπx dxで、
0≦∫(0→1) x^n(1-x)^n sinπx dx≦∫(0→1) sinπx dxおよび(1)より
b(n)→0（n→∞)

(2)で得られた式にq^(n+1)をかけてπ=q/pを代入すると、
b(n)=p(4n-2)・b(n-1)-q^2・b(n-2)で、a(0)=2, a(1)=4p/qよりb(n)は常に自然数
これはb(n)→0と矛盾する

東大ってもっとこう 簡単な問題も多くないか？

関数f(x)=x^2-pxに対して点A(t,t^2-pt),点B(k,k^2-pk)を考える。
ここでt,p,kは正の定数とする。
点Aにおける法線と点Bにおける法線をそれぞれl1,l2とする。
l1,l2の交点の存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

一辺の長さが1の正三角形ABCがある。
ABを軸として正三角形を回転させたときに通過する領域をV1,
BCを軸として正三角形を回転させたときに通過する領域をV2,
CAを軸として正三角形を回転させたときに通過する領域をV3とする。
V1,V2,V3の共通部分の体積を求めよ。

>>418
出題しといてなんだけどこれ高校生とけないね、

>>417
これ、pも動かすの？

一辺の長さが1の正方形ABCDがある。
ABを軸として正方形を回転させたときに通過する領域をV1,
BCを軸として正方形を回転させたときに通過する領域をV2,
CDを軸として正方形を回転させたときに通過する領域をV3,
DAを軸として正方形を回転させたときに通過する領域をV4とする。
V1,V2,V3,V4の共通部分の体積を求めよ。

極限

lim(n→∞){Σ(k=0,n)(n_C_k)^2}^(1/n)
を求めよ

（（２＾ｎ／（ｎ＋１））＾２）＾（１／ｎ）＝４／（ｎ＋１）＾（２／ｎ）−＞４。
（（ｎ＋１）（２＾ｎ）＾２）＾（１／ｎ）＝４（ｎ＋１）＾（１／ｎ）−＞４。

>>420
pは固定です

【必死に考えた】

1辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点P,Qをとる。(ただし、端点を含む)
AP=x,AQ=yとし
いま、線分PQは正三角形ABCの面積を2等分している。
また線分PQの長さをLとする。
以下の問いに答えよ。

(1)Lをx,yを用いてあらわせ。
(2)Lのとりうる値の範囲を求めよ。

>>1-425
　　　　　＿人人人人人人人人人人人人人人人＿
　　　　　＞　　　　　わりとどうでもいい　　　　　 ＜
　　　　　￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^^Ｙ^￣
　　　　　　　　　　　　　　　ヘ(^o^)ヘ　
　　　　　　　　　　　　　　　　　 |∧　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　/

>>425
(1)余弦定理より√(x^2+y^2-xy)
(2)△APQ=xy△ABC=△ABC/2
よってxy=1/2となりx≠0,y≠0 y=1/2xと表せ、
0<x≦1 、 0<y=1/2x≦1 であるから
1/2≦x≦1
x+y=Kとおくと
K=x+1/2x
dK/dx=1-1/2x^2=(x√2+1)(x√2-1)/2x^2
1/2≦x≦1で増減を考えてKのとりうる値の範囲は√2≦K≦3/2
L^2=(x+y)^2-3xy
=K^2-3/2
1/2≦L^2≦3/4
よって√2/2≦L≦√3/2

＞＞４２７

　３０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああ！！！！！！！！！！！！！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>422
明らかに｛Σ[k=0,n]C(n,k)｝^2>Σ[k=0,n]｛C(n,k)｝^2

またコーシーシュワルツ
｛Σ[k=0,n]C(n,k)｝^2<n*Σ[k=0,n]｛C(n,k)｝^2
以上より
(1/n)*｛Σ[k=0,n]C(n,k)｝^2<Σ[k=0,n]｛C(n,k)｝^2<｛Σ[k=0,n]C(n，k)｝

つまり
(1/n)(2^n)^2<Σ[k=0,n]｛C(n，k)｝<(2^n)^2


求める極限は4

>>427
正解

多分できるかな

3次関数f(x)および2次関数g(x)を
f(x)=x^3,g(x)=ax^2+bx+c
とし、y=f(x)とy=g(x)のグラフが点(1/2,1/8)で共通の接線をもつとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1)b,cをaを用いて表せ。
(2)f(x)-g(x)の0≦x≦1における最小値をaを用いて表せ。

>>152

この問題の条件をx軸との交点が連続する非負整数に変えてみたものの答えが

1 - e^{ (3-√5)/2 } / {　(-12+6√5)(e-1)　}

になったけど合ってる？

p≧q≧r≧0を満たす任意の実数p,q,rに対して、
常にap+bq+cr≧0が成り立つようなa,b,cの条件を求めよ

答えはメール欄

p>q>r>0を満たす任意の実数p,q,rに対して、
常にap+bq+cr>0が成り立つようなa,b,cの条件を求めよ

【第一問】


p,qを正の定数とする。
p^q＜q^pを満たす(p,q)の存在範囲をpq平面に図示せよ。

0<p<q<e

>>436
追加でe<q<p

じゃっかんの記述解答を

>>436
>>437
オマエを徹底的に叩くさかい、覚悟せえやナ。

狢

f(x)=logx/xとおく。
p^q<q^p ⇔ lop/p<logq/q であるのでf(x)が単調増加の時はp<q,単調減少の時はq<pとなればよい。
f(x)は0<x<eで単調増加、e<xで単調減少するので0<p<q<e,e<q<p

>>440
はい。

【第二問】

3次関数f(x)および2次関数g(x)を
f(x)=x^3,g(x)=ax^2+bx+c
とし、y=f(x)とy=g(x)のグラフが点(1/2,1/8)で共通の接線をもつとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1)b,cをaを用いて表せ。
(2)f(x)-g(x)の0≦x≦1における最小値をaを用いて表せ。

>>442
(1)
f'(x)=3x^2, g'(x)=2ax+b
まず, y=g(x)のグラフが点(1/2,1/8)を通ることから, a/4+b/2+c=1/8 ・・・�@
また共通の接線を持つ条件から, f'(1/2)=g'(1/2) ・・・�A
したがって, a+b=3/4 ・・・�B
�@, �Bから b=3/4-a, c=a/4-1/4

(2)
(1)より, h(x):=f(x)-g(x)=x^3-ax^2+(a-3/4)x-a/4+1/4
h'(x)=3x^2-2ax+(a-3/4)であるが, �Aよりh'(1/2)=0
これよりh'(x)=3(x-1/2){x-(2a/3-1/2)}となる。
h'(x)=0となるのはx=1/2,2a/3-1/2のとき。
以下場合を分けて考える。

コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>

>>442
g(x)は二次関数だからa≠0に注意する。
a':=2a/3-1/2とおく。また, h(x)の定義よりh(1/2)=0である。

(ア) a'<0のとき(⇔a<0または0<a<3/4)
x=1/2で最小値0

(イ) 0≦a'<1/2のとき(⇔3/4≦a<3/2)
最小値の候補はh(0)=-a/4+1/4とh(1/2)=0であるが,
a<1⇒0<-a/4+1/4
1≦a⇒-a/4+1/4≦0
となるので,
　(イ甲) 3/4≦a<1のとき, x=1/2で最小値0
　(イ乙) 1≦a<3/2のとき, x=0で最小値-a/4+1/4

(ウ) 1/2≦a'<1のとき(⇔3/2≦a<9/4)
最小値の候補はh(0)=-a/4+1/4とh(a')=・・・

(エ) 1≦a'のとき（⇔9/4≦a）
最小値の候補はh(0)=-a/4+1/4とh(1)=-a/4+1/2
よってx=0で最小値-a/4+1/4

>>440
これじゃだめでしょ。

aを1より大きい定数とし
(a^100の1の位の数)=α,
(a^100の10の位の数)=βと定める。
以下の問いに答えよ。

(1)a=2のときαを求めよ。
(2)α=7であるaを1つ求めよ。
(3)αβ=1となるaを1つ求めよ。

コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？

ケケケ狢

>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>

>>435
これってできるのか？
grapes塚湾限りできない気がする

>>440をみなさいかっこわら

【第三問】

aを1より大きい定数とし
(a^100の1の位の数)=α,
(a^100の10の位の数)=βと定める。
以下の問いに答えよ。

(1)a=2のときαを求めよ。
(2)α=7であるaを1つ求めよ。
(3)αβ=1となるaの中で3桁であるものの最小のaを1つ求めよ。

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>450
>440は不完全。
p,qが同時にlog(x)/xの単調領域にあるときしか考慮していない。

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>435
log(y)/y=log(x)/xのグラフさえ書ければ
領域の性質から具体的な点を調べるだけでわかるけど

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>435
y^x=x^yのグラフをコンピュータなしで書こうとしたけど、直線y=xと、漸近線がx=1とy=1であり(e,e)を通る曲線、ぐらいにしか絞れなかった

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>453
ま、q>1のとき、log(q)/q=log(r)/r　q≠r　となるrがユニークに存在するのでそれをr=r(q)と書くとき、
(p,q)は
q≦1のとき、p<q
1＜q≦e　のとき、　p＜q　または　p＞r(q)
q＞e　　　のとき、　p＜r(q)　または　p>q

しかし、この　r(q)　は　qの初等的な関数としては求められないからね。

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>451
aは何？整数？
実数だったら根号つかえば終わるしそこんとこはっきり

>>461
すみません整数(=自然数)でした。

a^100=0,1,25,76.

>>451
馬鹿

>>913
ソイツの馬鹿息子は痴漢行為で逮捕され、ほんで大学を懲戒解雇になった自慢
の息子なんやろ。親子揃って馬鹿丸出しや。世間の笑い者として有名やろが。

ケケケ狢

>913 ：名無しさん：2013/03/20(水) 15:56:28 ID:???
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%97%E7%94%B0%E8%8A%B3%E9%9B%84
>
> 芳雄のwiki
>

>>451
(2)これ満たすａあるか？

>>466
>>463

>>463 の略証

･aが偶数のとき
　a^100 ≡ 0　(mod 16)
･aが奇数のとき
　a^25　= 1+2b,
　a^50　= (a^25)^2 = (1+2b)^2 = 1+4b(1+b) = 1+8c,
　a^100 = (a^50)^2 = (1+8c)^2 = 1+16c(1+4c) = 1+16d,

･aが5の倍数のとき
　a^100 ≡ 0　(mod 125)
･aが5の倍数でないとき、フェルマーの小定理から
　a^4 = 1+5e,
　a^100 = (a^4)^25 = (1+5e)^25 = 1 + 125e + 7500ee + ･･･ = 1+125f,

以上により、
　a^100 ≡ 000, 001, 625, 376 (mod 1000)

>>468 の改良

以上により、
　a^100 ≡ 000, 001, 625, 1376 (mod 2000)

a(1)=0,a(n+1)=√{2+a(n)}のとき、
lim(n→∞)4^n{2-a(n)}を求めよ

>>470

　a(n+1)／2 = √{[1 + a(n)/2]/2},
ゆえ
　a(n)/2 = cos(θ_n)
とおくと、
　θ_(n+1) = (1/2)θ_n = (1/2^n)θ_1,
　θ_n = π/(2^n),
ゆえ
　π^2.　（答）

f_1(x)=(1+1/x)^x,
lim(x→∞)f_n(x)=α_n,
f_n+1(x)=x{α_n-f_n(x)}　

のとき、
lim(n→∞)α_nを求めよ

sin(x)を定義に従って微分せよ。ただしxは実数とする。

問題の内容はともかく、東大ともあろうところがそんな曖昧な問題文にしないだろ。

sin(x)'=lim[h→0](sin(x+h)-sin(x))/h
=lim[h→0](sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h))/h
=cos(x) ∵lim[h→0]sin(h)/h=1

訂正、簡単過ぎ
=lim[h→0](sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x))/h
=lim[h→0](sin(x)(cos(h)-1)+cos(x)sin(h))/h
=cos(x) ∵lim[h→0]sin(h)/h=1

あぼーん

>475､476
おそらく正しいかと。

>>472
α_2でさえ分からんな

これは簡単か。
x^2013+x^(ｰ2013)を定義に従って微分せよ。^は指数を表す。

>>473

sin(x)' = lim[h→0] {sin(x+h)−sin(x-h)}/(2h)
　= cos(x) lim[h→0] sin(h)/h
　= cos(x).
∵ lim[h→0] sin(h)/h = 1

変わった導関数の定義だなｗ

どっちから極限をとってもいいのがおいしいところだし、数値計算でも基本的には中心差分をとるのが正しい態度だと思うよ。

計算の仕方でなくて定義

f'(x) = lim_{h→0} {f(x+h) - f(x)}/h = lim_{h→0} {f(x) - f(x-h)}/h (定義)
→　f'(x) = lim_{h→0} {f(x+h) - f(x-h)}/2h,
とか付け加えれば定義から計算したことにはなるんじゃないかとかふと。

lim_{h→0} {f(x+h) - f(x-h)}/2h が存在しても lim_{h→0} {f(x+h) - f(x)}/h は
存在しないことがあるので、f '(x) の定義として

f '(x) = lim_{h→0} {f(x+h) - f(x-h)}/2h

を採用することは出来ない。

>473には「定義に基づいて」とあるので、
>481の方針でちゃんと書くなら>485が正解。

あぼーん

∠ACB=π/2、∠ABC=θ、BC=1をみたす△ABCがある
∠ABCの二等分線がACと交わる点をP[1]として、△P[1]BCの面積をS[1]
∠P[1]BCの二等分線がACと交わる点をP[2]として、△P[2]BCの面積をS[2]
…………
∠P[n-1]BCの二等分線がACと交わる点をP[n]として、△P[n]BCの面積をS[n]
…………
とするとき、
lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/2^k)S[k] を求めよ

lim[n→∞]Σ[k=1,n]tan(θ/2^(k+1))/2^(k+1)

f(x)、g(x)をxの関数とすると、
積の微分公式(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)が成立する事を証明せよ。'はxでの微分を表す。

f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))

教科書に出ている定理の証明はわざわざここに書かなくても
どうせなら他では見れないオリジナルな問題をお願いしたい

教科書の公式復習問題は飽きた

x^3-x^2-x-1=0の解をa,b,cとする。nを自然数として

(a^n-b^n)/(a-b)+(b^n-c^n)/(b-c)+(c^n-a^n)/(c-a)は整数であることを示せ

A[n]:=(a^n-b^n)/(a-b)+（ｒｙ とする
数列 {a^n}, {b^n}, [c^n} (n=0,1,2,...) はいずれも漸化式 X[n+3]=X[n+2]+X[n+1]+X[n] (n=0,1,2,...)
を満たすので、数列 {A[n]} (n=0,1,2,...) もこれを満たす
A[0]=0, A[1]=3, A[2]=2(a+b+c)=2 といずれも整数なので、帰納法から A[n] (n=0,1,2,...) は整数

>>495
ﾋﾞｭｰﾘﾌｫｰ

それじゃあ次
S(n)=(1/n)Σ[k=1,n]sin((πk)/(2n))とする
(1)lim[n→∞]S(n)を求めよ

(2)(1)で求めた極限値をαとして
lim[n→∞]n(α-S(n))を求めよ

>492-493
ごめん。数年前に東大で出た加法定理の証明問題がインパクトあり過ぎて。

>491
nice.

2n個の整数があり、それらをn個ずつの2つにわけるとき、
どう分けても各組の数の和の差はnより小さいものとする
このとき、これら2n個の数の中に相等しいものが少なくとも(n+1)個あることを示せ

>>498
2n個の整数をa[i](i=1,2,…,2n)としてa[i]≦a[i+1]とすると
もし異なるものがn個以上存在するとすれば
a[1]+n≦a[2n]となるが
このとき
(Σ[k=1,n]a[k])+n≦Σ[k=1,n]a[n+k]となり
各組の和の差がn以上となってしまうため
仮定は偽であり
異なるものはn個未満しか存在しない
したがって相等しいものが少なくともn+1個存在する

改行変かもしれんが許して☆〜（ゝ。∂）

ｍ>ｎを自然数、√ｍ、√ｎを無理数とする。この時、√ｍ＝√ｎ＋αとなる有理数αが存在しないことを証明せよ。

あぼーん

無理数の差なんだから無理数だろ

偶数の素数は２のみであることを証明せよ

>>503
2以外の偶数は2の倍数

>>500
αが有理数なら α+(m-n)/α=√m も有理数、矛盾

2で割り忘れたｗ

オマンコにチンポを加えると、どうして子供ができるか。
数学的に証明しなさい。

すっげえおもろいわ、天才だな

f(n)=[n/[√n]]とする
(1)f(n)>f(n+1)となるためのnについての必要十分条件を求めよ
(2)f(n)>f(n+1)かつn≦kを満たすnの個数をS(k)とする
このときlim[k→∞]f(k)/S(k)を求めよ

(1)は見たことあると思う、少し簡単かもしれんが

あぼーん

a，b は実数の定数とする．
xy平面上の点（x，y）がある凸多角形 P の周上および内部を動くとき，
1次式 ax+by の値は P のある頂点で最大または最小となることを示せ．

>>509
　　[ * ] はいわゆるガウス記号
　　n は自然数（正の整数）
と解釈する

(1) n = m^2 - 1 （ m は 2 以上の整数） と表せること
(2) 1

m^2 ≦ n ＜ (m+1)^2　を満たす整数 m が存在することなどを活かして立式する

>>512
(1)の証明をできればもう少し詳しく

>>513
n = 3 までは具体的に調べる
n ≧ 4 のとき
　　m^2 ≦ n ＜ (m+1)^2　　……☆
をみたす2以上の整数 m が各 n ごとに1つずつ存在する
☆において　[√n] = m　であり
　　・ f(n) は広義単調増加　（ n/[√n] は狭義単調増加）
　　・ m ≦ n/[√n] ≦ m+2
　　　（特に，右の不等式の等号は n = (m+1)^2 - 1 のときに限り成立）
となることが確認できて >>512 の結論を得る

>>514
ﾋﾞｭｰﾘﾌｫｰ
問題文に不備があったのはすまん（^人^）

>>514
できれば>>496も解いてほしいです

東大の入試問題は簡単すぎる。
せめて数学オリンピック大会に出題される問題くらいのレベルは欲しい。

実変数実数値関数ｆが次の条件を満たすとする。
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）
この時、ｆは連続と言えるだろうか。
言えるのなら証明を、言えないのなら反例を出せ。

>>517
入試は別に数ｵﾀを喜ばすためにやるものじゃない。

>>518
つまらないんだよ

>>517
数学板でこんなことをいうのもあれだが
大学入試は数学専攻以外の人も受けるからねぇ
必要以上に難しくしないで適度なレベルの問題もあったほうがいいよ
数オリは別にスレもあることだし

あぼーん

奇数の完全数は存在しないことを証明せよ

>>522
有名な未解決問題だとおもうんですが？

ここの人のやり取り見てると面白いｗ
優しいソルバーばっかりだよねｗ

すべての頂点が隣り合う凸多面体は四面体に限ることを証明せよ

あぼーん

>>496

積和公式
　sin(kα) = {cos((k-1/2)α) - cos((k+1/2)α)}/2sin(α/2),
を代入

次の関数を微分せよ。ただし、x､yは実数、^は指数を表すとする。
�@y={cos(x)}^cos(x)
�Ay={log(10が底)x}^log(10が底)x
�By=tan〔{tan(x)}^tan(x)〕^tan(x)

今までで一番つまらん問題だな

(f(x)^f(x))'=f(x)^f(x)f'(x)(log(f(x))+1)

>>527
想定してた解とは違うが上手い解法ですね！

それでは>>496に関連してもう一題
0≦x≦1で連続な関数f(x)はf(x),f'(x),f"(x)>0を満たす
このとき
lim[n→∞]n((1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)-∫f(x)dx[x=0→1])を求めよ

(log(f(f(x)^f(x))^f(x)))'=(f(f(x)^f(x))^f(x))'/f(f(x)^f(x))^f(x)
(log(f(f(x)^f(x)))'=(f(f(x)^f(x)))'/f(f(x)^f(x))
=f'(f(x)^f(x))f(x)^f(x)f'(x)(log(f(x))+1)/f(f(x)^f(x))
(f(f(x)^f(x))^f(x))'=f(f(x)^f(x))^f(x)(f(x)log(f(f(x)^f(x)))'
=f(f(x)^f(x))^f(x)(f'(x)log(f(f(x)^f(x))+f'(f(x)^f(x))f(x)^(f(x)+1)f'(x)(log(f(x))+1)/f(f(x)^f(x)))
=f(f(x)^f(x))^(f(x)-1)f'(x)(f(f(x)^f(x))log(f(f(x)^f(x))+f'(f(x)^f(x))f(x)^(f(x)+1)(log(f(x))+1))

長径と短径の積が１となる楕円族を考える。
これら楕円族の内接長方形で面積最大のものは円に内接する正方形であることを証明しろ。

東大で証明しろ。とは云わない。

楕円の内接長方形ならわかるが、楕円族の内接長方形ってなんだよ

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵！
お前たちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

あぼーん

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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ｘｙ平面上に格子をとる。
このときｘ軸、ｙ軸と平行にならない直線で格子点を通らないものが存在するのか否か。
理由をつけて示せ。

ごめん。まちがい

xが実数のとき、y=(8x+4)/(x^2ｰ2x+5)のとりうる値の範囲を求めよ。[東京理科大]

D≧0

ｘ＾2＋ｙ＾2＋ｚ＾2＝2ｘｙｚ
は有理数解を無数にもつことを証明せよ

x=y
z=1

実数x、y、zがx+y+z=2、xy+yz+zx=1を満たす。
�@zのとりうる値の範囲を求めよ。
�Axyzをzの式で表せ。
�Bxyzの最小値と、そのときのx、y、zの値を求めよ。[早稲田大]

にゅうしもんだいをはるすれっどじゃないんだよ

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>>543
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

題意により x,y,z は有理数なので、ある整数 L,m,n に対し
　x:y:z = L:m:n　
である。このとき、
　(x,y,z) = ((LL+mm+nn)/(2mn), (LL+mm+nn)/(2nL), (LL+mm+nn)/(2Lm))
は与式を満足する。

　ｷｬｽﾌｨｰ(casphy) - 高校数学(highmath) - 来年の東大入試を的中スレ - 174

>>479
α_2=e/2, α_3=11e/24,...

>>472マジでむずい
微妙に符号が嫌らしいが、α_3=-11e/24 でね？

>>472
g(x) = (1-x)^(-1/x) = Σ[n=1,∞] α_n x^(n-1)

α_n = Σ[k=1,n] b_k

g(x) = Σ[n=1,∞] Σ[k=1,n] b_k x^(n-1)
= Σ[k=1,∞] Σ[n=k,∞] b_k x^(n-1)
= Σ[k=1,∞] b^k x^(k-1)/(1-x)

Σ[k=1,∞] b^k z^(k-1) = g(x)(1-x) = (1-x)^(1-1/x)

lim[n→∞]α_n = Σ[k=1,∞] b_k
= lim[x→1] (1-x)^(1-1/x)
= 1

誰も解いてくれなさそうなので>>531に誘導をつけます
(k-1)/n≦x≦k/n (1≦k≦n) において
n(f(k/n)-f((k-1)/n))(x-k/n)+f(k/n)≧f(x)が成立することを示せ

>>541
　y '= -8(x+3)(x-2)／(xx-2x+5)^2 = 0 より x=-3, x=2 で極値をとる。

　y = (8x+4)／(xx-2x+5) = 4 - 4(x-2)^2／(x^2 -2x+5) ≦ 4,

　y = (8x+4)／(xx-2x+5) = (x+3)^2／(xx-2x+5) -1 ≧ -1,


>>545
　x+y+z = 2 ････ 平面
　xy+yz+zx = 1 ････ 二葉双曲面
その交線は　(1,1,0)　(1,0,1)　(0,1,1) の3点を通る円。
　(x - 2/3)^2 + (y - 2/3)^2 + (z - 2/3)^2 = 2/3,

(1)　0≦z≦4/3
(2)　z(1-z)^2, {x+y=2-z, xy=(1-z)^2}
(3)　0、上記の3点

〔類題〕

　f(x,y,z) = (xx + yy + zz -1) + 2xyz,
とおくとき、次を示せ。

(1)　f(x,y,z) = 0　⇒　f(1-2xx, 1-2yy, 1-2zz) = 0

(2)　A+B+C=π のとき、
　f(sin(A/2), sin(B/2), sin(C/2)) = 0,
　f(cos(A), cos(B), cos(C)) = 0,

(3) f(x,y,z) = 0 の有理数解(x,y,z) は無数にあるか？

>553
分数関数の微分でもできるが、それは理科大が時間を使わせるためのミスリードだと思われる。
xが実数なので判別式を使うことを考える、つまり、

ごめんなさい、続きは後で

今
(2y+8)^2 - 4y(5y-4) ≧ 0
∴ -1≦ y ≦4

一応式変形の詳細を記すと、
与式
⇔y(x^2ｰ2x+5)=8x+4
⇔yx^2+(ｰ2yｰ8)x+(5yｰ4)=0
この二次方程式の解が実数になるので、
(ｰ2yｰ8)^2ｰ4y(5yｰ4)≧0
⇔y^2+8y+16ｰ5y^2+4y≧0
⇔y^2ｰ3yｰ4≦0
∴ｰ1≦y≦4

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>>558
一応y=0のときを別立てで書いておこうよ。

その心は？

二次方程式じゃなくなるから

点数は3割減かな　>>558。5割の可能性も。

一本道で済む上に計算も大したことないと見積もれるから、俺なら導関数を計算

じゃあ俺は逆数にして考える

そんなもんかねぇ。

じゃあ少し訂正。
�@y≠0のとき
先程のやり方で。
�Ay=0のとき
xについての一次方程式となり、xは実数解を持つ。
�@�Aより、yの取り得る範囲は…である。
これで文句無いだろ。

この問題は、｢�TＡ�UＢ｣の問題集に載っていたので、

そのまま微分させるはずがないのだが、理科大のように、なまじ範囲に数�Vが入っていると、すぐ｢微分しなきゃ｣と考えてしまいがち。そこがこの出題者のあくどいところで、文系学部で出題されていたら、まず相加平均相乗平均や判別式、または二次関数に…とかって考えるはず。

>>566
そんなもんです。
文句の有り無しではなく、もとの答案での判別式とはなんですか？ということ。

y(x^2ｰ2x+5)=8x+4　への変形では、
xが実数なら、(x^2ｰ2x+5) ≠0 だから、
を入れればいいだけじゃないの？
y=0の時分類はいらないと思うんだけど

分母を払うだけの話ならな

＞⇔yx^2+(ｰ2yｰ8)x+(5yｰ4)=0
＞この二次方程式の解が実数になるので、
この部分の話しか
ごめんね

簡単すぎだが、>>558みたいな奴をふるい落とせる良い問題じゃんｗ

>572
言ってくれるな。
これでも(浪人時)全統記述では数学の偏差値は大体60弱だったんだがな。
まあ理科大理工はＣ判しか取れなかったけど。

言ってることのレベルが妙に低いと思ったが、納得

an∈R^3　(n=1,2,3・・・）とし、（ただし有限個）
Sはt1*a1+t2*a2+・・・・・・・・・・・tn*an (t1+t2+・・・・tn=1)
とあらわせれるR^3の点の集合とする。
任意のan（n=1,2,3,・・・）を全て含む凸集合にSは含まれることを示せ
ただし凸集合とはその任意の二点を結ぶ線分がその集合に含まれる物のことを言う

1行目と2行目でnの使い方がおかしいだろ

>>576

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正してから、９条を改正する。　そして、何条を改正するか？
１８条だ！　そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！

アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>575
t_i≧0なんて条件はいらないの？

>>578
忘れてた

>553
正解だと思われるが、｢高校数学の知識｣で解くと、
�@前の式をx=…の形にしてもう片方の式に代入。yについての二次方程式になるので、条件より、判別式≧0。解いて0≦z≦4/3。

�A後の式の両辺にzをかけると、x+yという項が出てくるので、前の式を代入すると、xyz=の形で表すことが出来る。xyz=z^3ｰ2z^2+z。
�B�Aで求めた式を微分し、増減表を書くと、z=0or1の時最小値を取る事が分かる。z=0の時、x=y=1。z=1の時、(x,y)=(1,0)or(0,1)。

>>553は「高校数学の知識」で解いてるじゃん

>582
二葉双曲面という概念や、特殊な式変形は、高校の数学では習わない。
おそらくは大学以降学んだ知識だろう。

３．１４１＜π＜３．１４２
であることを証明せよ

東大の過去問にあったね

評価めっちゃ厳しくね？
高校生が50分で解けるのかこれ？

大阪大学の挑戦枠の問題だよ。
合格者は一名だったらしい。

誘導ないのかな？

だからそういうスレじゃねーよアホ

>>589
そうだよね。反応した俺が悪かったすまん

球に内接する直方体で体積最大なのは立方体であることを証明せよ。

>>591

無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正してから、９条を改正する。　そして、何条を改正するか？
１８条だ！　そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！

アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>591

球の中心を(0,0,0)
直方体の頂点を (±a, ±b, ±c)
とする。
　aa + bb + cc = rr,　(rは球の半径)

　V = 8|abc|
　　≦ 8{(aa+bb+cc)/3}^(3/2)　　(*)
　　= 8(r/√3)^3

　等号成立は |a|=|b|=|c| = r/(√3) のとき。


注）A,B,C ≧ 0 のとき、
　(A+B+C)^3 - 27ABC = (A+B+C)(AA+BB+CC-AB-BC-CA) + 3A(B-C)^2 + 3B(C-A)^2 + 3C(A-B)^2 ≧ 0,
より
　(ABC)^(1/3) ≦ （A+B+C)/3,

神と呼ばせてもらうよ

>584の設問はどう解けば良いんですかね？
あの三角関数と階乗の入った多項式を使うしかないのかな。

0≦x≦1
(1-x^6)/(1+x^2)≦1/(1+x^2)≦(1+x^6)/(1+x^2)
0から2-√3で積分

素直な評価だけど、結構シビアだな

>596
その式や数値はどんな根拠で出てきたんですか？

>>595 >>598

　0≦x<π/2 とする。
　(1-x^８)/(1+x^2) ≦ 1/(1+x^2) ≦ (1+x^6)/(1+x^2),
　1 -x^2 +x^4 -x^6 ≦ 1/(1+x^2) ≦ 1 -x^2 +x^4,
各辺をxで積分して、
　x -(1/3)x^3 +(1/5)x^5 -(1/7)x^7 < arctan(x) < 1 -(1/3)x^3 +(1/5)x^5,
　arctan(2-√3) = (1/2)arctan(1/√3) = (1/4)arctan(√3) = π/12.

>599
すいません…。その解法の｢入り｣が何故そうでなければならないのかがさっぱり分かりません。
でも俺は某国公立大学(都内)に落ちるレベルなので俺のためにもう説明しなくて良いです。

別になんだっていいんだよ
近い値が出るものを色々探していく
入試じゃ先に不等式の証明がある誘導付きがほとんど

だれか自作問題出してちょんまげ

短径と長径をそれぞれa、bとする楕円を考える。ab=1と仮定する。
この時、この楕円上に有理点が無数に存在するのはa=b=1の場合のみであることを証明せよ。

>>603
そんなことなくね？

微妙な問題文だが、逆は成り立たないな

=>も成り立たないな、ダメだこりゃ

だれも>>531解いてくれないけど
こたえは(f(1)-f(0))/2ね

>601
今更ですが、どうもです。

>>338
ああ、そうですか。なるほど。ではその話をもっと詳しく解説して下さ
いまし。そういう話には興味がある人がとても多いと思うのでね。

ケケケ狢

>338 名前：１３２人目の素数さん ：2013/06/06(木) 14:21:11.83
> >>331
> でも、増田さんの場合、一日一回は痴漢しないと体調崩すじゃないですか
>

e^πとπ^eの差は1未満であることを示せ

>>11
私は『計画的な作業』としてこの焼き討ちを実行しています。だから貴
方達にはもはや逃れる術はないと考える方が無難だと思いますね。私は
この作業をもう何年も継続してやってますのでね。だから諦めて下さい
まし。この焼き討ちの作業も、もはや大した作業量という事でもありま
せん。だから片手間の作業として実行しています。但し私自身が忙しい
時も当然にありますから、だから常に迅速に妨害行為が出来ている訳で
もありません。ですが嫌がらせとしての効果が出る様になるべくこまめ
に作業をしています。なのでどうぞ苦しんで下さいまし。

この場所が『馬鹿の遊び場として機能している状態』が認められる限りは、
私はこの作業に関して手を抜くという考えは毛頭ありません。ですから執
拗に嫌がらせを続行します。どうかその様に理解して下さいませ。

狢

>11 名前：１３２人目の素数さん ：2013/06/06(木) 20:45:09.18
> 狢 ◆yEy4lYsULH68さん、あまりスレを荒らさないで貰えますか？
>

0≦x≦1において、y=xとy=x^3で囲まれる部分を、y=xを中心軸として回転させた時の体積を求めよ。

狢

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V=∫[0,1]πl(x)^2*√2dx
l(x)=|x-x^3|/√2

原点を中心とする単位円に内接する正多角形を考える。
このとき、すべての頂点が有理点になるような正多角形は存在しないことを証明せよ。
ただし正多角形は単位円にどのように内接させてもいいものとする。

正方形は

狢

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これって正方形以外に存在するの？

しない

狢

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a､bは実数でa^2+b^2=16、a^3+b^3=44を満たしている。
nを2以上の整数とするとき、a^n+b^nは4で割り切れる整数であることを数学的帰納法を用いて示せ。[東京大]

狢

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n=2,3のとき、a^n+b^nは4で割り切れる
n>=4のとき、a^n+b^n=(a^(n-1)+b^(n-1))(a+b)-ab(a^(n-2)+b^(n-2))からa^n+b^nは4で割り切れる

それじゃ0点だろうな

過去問を貼るスレじゃねえんだよ
>>1ぐらいちゃんと読め

狢

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(1*((1^1)^1))/(16^(1/(2^995)))が1より小さいことを実数を用いて証明せよ。
また、関係を関数で明示しても良い。(300点)

解けたら世界の頂点への扉をくれてやろう。理解できたら30000点満点問題も解けるはずだ。
理�Vに解析システムの開発を投げたが、その後の見解を聞いてない難問の一つのようである。

きもい

(1*((1^1)^1))=1
y=16^xとすると-∞<x<∞の範囲で、yは単調増加
1/(2^995)>0であるから、16^(1/(2^995))>16^0=1
よって、(1*((1^1)^1))/16^(1/(2^995))<1

狢

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>>624

a+b=s とおくと、題意より
　s^3 -48s +88 = (s-2){(s+1)^2 -45} = 0
　s = 2, -1±3√5.

s = 2 のとき
　a+b=2,　ab=-6,　{a,b} = {1±√7}

s = -1±3√5, のとき
　a+b = -1±3√5,　ab = 3(5干√5),
　{a,b} が実数とならず、題意を満たさない。

>>632
a+bとabを整数だと思い込んでました

フィボナッチ数列に３の倍数が無数に存在することを証明せよ

t(0)=0 ≡ 0 (mod 3)
t(1)=1 ≡ 1 (mod 3)
t(n+8)=21*t(n+1)+13*t(n)
n=0としてt(8)=21 ≡ 0 (mod 3)
n=1としてt(9)=34 ≡ 1 (mod 3)
n=8kのときa,bを0以上の整数として、t(8k)=3a、t(8k+1)=3b+1と仮定したときに
t(8(k+1))=21*t(8k+1)+13*t(8k)=21(3b+1)+13*3a ≡ 0 (mod 3)
となるから、n=8(k+1)のときにもt(n)は3で割り切れる。

また、n=8(k+1)+1のとき
t(n+9)=34*t(n+1)+21t(n)
t(8(k+1)+1)=34*t(8k+1)+21t(8k)=34*(3b+1)+21*3a ≡ 1 (mod 3)

634に関連して質問なんですが

　「フィボナッチ数列において、mの倍数は無数に存在する」
　
は任意の自然数mについて真でしょうか。

うん
mの倍数はm^2番目までに必ず存在して、F[k]|F[n]⇔k|n

x、yは実数とする。
a、b、c、dを正の定数とするとき、関数ax+by+cxy+d＝0の、0≦x≦1かつ0≦y≦1における最大値・最小値と、その時のx、yの値を求めよ。
なお、高校数学の知識以外での回答は0点とする。

くだらね

>>639
関数ax+by+cxy+d＝0

△なお、高校数学の知識以外での回答は0点とする。
○なお、私は高校数学の知識以外持ち合わせず理解できないので、それ以外での回答は0点とする。

>640･641
すまん、難問を作ったつもりが不備だらけになってて問題として機能してない。また探してくる…。

>642
大一の微積の成績優だったから、とか言いたい事あるが黙っとくわ。

全然黙ってねーじゃん

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 やっぱり只の糞キチガイ
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　ネコも大して変わらない　　　
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
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>>554

(3)　f(1, n,-n) = 0,　
　　f(-1, n, n) = 0,
　　nは整数。

最近だれも投下しないので一つ
(1)a,bを互いに素な自然数とし、1からb-1までの自然数の集合をAとする
Aの要素である数kに対してbkをaで割ったあまりをr[k]とする
このときB={r(k)｜k∈A}とすると
AとBは一致することを示せ
(2)(1)のa,bに対してax+by=1を満たす整数x,yが存在することを示せ
(3)n個の整数a[i](1≦i≦n)の最大公約数をdとすると
Σ[k=1,n]a[k]×x[k]=dを満たす整数x[k](1≦k≦n)が存在することを示せ

>>634
　F[0] = 0,
　F[4] = 3,
　F[n+4] = 3F[n+2] - F[n] ≡ - F[n],　(mod 3)
より
　3 = F[4] | F[4m]

今度はまとも。

xは0以外のすべての実数をとるものとする。
�@x＋(1/x)のとる値の範囲を求めよ。
�Ax^3−x^2＋x＋(1/x)−(1/x^2)＋(1/x^3)のとる値の範囲を求めよ。
※/より^のが計算優先順位は上として
［お茶の水女子大］

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

>>649
スレチ

>>610
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　h -(1/2)h^2 < log(1+h) < h,
に 1+h = π/e を入れて、
　(π/e) -1 -(1/2)(π/e -1)^2 < log(π/e) < (π/e) -1,
1をたしてe倍する。
　π - (1/2e)(π-e)^2 < e･logπ < π,
　π - (47/60)e^(-π) < e･logπ < π,　　(←補題)
真数をとると
　e^π･e^{-(47/60)e^(-π)} < π^e < e^π,
　e^π･{1 - (47/60)e^(-π)} < π^e < e^π,　{exp(-x)>1-x}
　e^π - (47/60) < π^e < e^π,


〔補題〕
　(1/2e)(π-e)^2 < (47/60)e^(-π),

(略証)
　π < 22/7,　(アルキメデス)
　e > 19/7,
　0 < π-e < 3/7,
は既知とする。また、
　e^π < 20+π < 20 + 22/7 = 162/7,
∴　(1/2e)(π-e)^2 < 9/266 < (47/60)(7/162) < (47/60)e^(-π),

casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる - 182〜184

最近過疎ですなあ
誰か問題出せや！(｀・ω・´)

極限
lim(n→∞)∫(0→π)|sin(nx) - sin(x)|dx
を求めよ

連立方程式

　x^2 + y^2 - z^2 - xy = 0
　x^2 - y^2 + z^2 + 2zx/7 = 0
　-x^2 + y^2 + z^2 -13yz/7 = 0

を解け。
　

>>655
２つを加え合わせる。入試には使えそうもないな。

ゆがんだ自己顕示欲といえる。中国側としては『日本国元首相』というブランドを利用して、
自分たちに都合のいい宣伝工作をしている。

>>656

コイツ、３０代の、無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキ！

　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正してから、９条を改正する。　そして、何条を改正するか？
１８条だ！　そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！

アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　死にゆく、クソガキどもに、大伴家持の詩を贈ってやろう！

海行かば　水浸く屍　山行かば　草むす屍　大君の　辺にこそ死なめ　かえりみはせじ！

a＋b＋c≠0、abc≠0を満たす実数a、b、cが
�@(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
を満たしている。このとき、任意の奇数nに対し
�A(1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝1/(a＋b＋c)^n
が成立することを示せ。

>>659 a+b=0 or a+c=0

>>659
これも早稲田かどっかの問題だな
過去問を紹介したいならここに書き込むんじゃなくて他所にスレ立てろよ

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
　(eππ)^(1/3) < 3 < (e+π+π)/3,
を示せ。ただし
　3 - 28/99 < e < 3 - 20/71,
　3 + 14/99 < π < 3 + 1/7,
は既知とする。

>>659

{(1/a) + (1/b) + (1/c) - 1/(a+b+c)}*abc(a+b+c)
　= (bc+ca+ab)(a+b+c) - abc
　= (a+b)(b+c)(c+a),　　　>>660

>>655

2つずつ加える。　　>>656
　x{2x -y +(2/7)z} = 0,
　y{-x +2y -(13/7)z} = 0,
　z{(2/7)x -(13/7)y +2z} = 0,


(x,y,z) = (3t,8t,7t)　　tは実数。

>>662
(e+π+π)/3 > ((3 - 28/99)+2(3 + 14/99))/3 = 3
eππ < (3 - 20/71)(3 + 1/7)^2 = 26 + 2958/3479 < 27
(eππ)^(1/3) < 3

原点を中心とする単位球には有理点が稠密に分布することを示せ

X:={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2=1}
f[1]:R^2->X-{(0,0.1)}, (s,t)|->(1/(s^2+t^2+1))*(2s,2t,s^2+t^2-1)
f[2]:R^2->X-{(0,0,-1)}, (s,t)|->(1/(s^2+t^2+1))*(2s,2t,1-s^2-t^2)
f[i] :homeo.
f[i](Q^2)⊆X∩Q^3, cl(Q^2)=R^2, cl(X∩Q^3)=X

１本の線分上から二点を無作為に選び、そこで切断してできる３本の線分で三角形ができた
このとき、この三角形が鋭角三角形となる確率を求めよ

>>668

題意の線分を区間 [0,1] とする。
題意の2点を x,y とすると、3辺の長さは min{x,y}、Max{x,y}-min{x,y}、1-Max{x,y}
x≦y としても一般性を失わない。(x≧y の場合も同様）
3辺の長さは {x, y-x, 1-y}
これが △不等式 を満たすから、
　x, (1-y) < 1/2 < x + (1-y),
すなわち
　0 < 1/2 - x < (1-y),
　0 < 1/2 - (1-y) < x,
xもyも一様分布でかつ相関が無いことから、
　(△をなす領域の面積) = (2辺が1/2の直角��) = 1/8,

一方、鋭角△となる確率は「三平方の定理」から
　(1-x)y < 1/2,
　{x+(1-y)}(1-x) < 1/2,　あるいは　y < (1+x) - 1/{2(1-x)},
　{x+(1-y)}y < 1/2,　あるいは　x < 1/(2y) - (1-y),
∴　(鋭角△をなす領域の面積) = (3/2)log(2) -1 〜 0.03972077

求める確率は 12･log(2) -8 = 0.317766167

>>659

n=3 のとき
　1/a + 1/b + 1/c -1/(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)/[abc(a+b+c)],
　(1/a)^3 + (1/b)^3 + (1/c)^3 - 1/(a+b+c)^3 = (a+b)(b+c)(c+a)F(a,b,c)/[abc(a+b+c)]^3,
辺ゞ割って
　(1/a)^3 + (1/b)^3 + (1/c)^3 - 1/(a+b+c)^3 = {1/a+1/b+1/c-1/(a+b+c)}F(a,b,c)/[abc(a+b+c)]^2,
ここに
　F(a,b,c) = (a^4)(b^2 -bc +c^2) +(b^4)(c^2 -ca+a^2) +(c^4)(a^2 -ab+b^2) +(ab+bc+ca){aa(b-c)^2 +bb(c-a)^2 +cc(a-b)^2} +7(abc)^2

解いている方ご苦労さまです。解答が書き切れません…。

>661
なんで早稲田の問題って分かるの？まさか主要大学の問題は一通りチェックしてるのか？

>>669
　1/π = 0.31831　に近いな


>>670 の 続き

F(a,b,c) = {(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 + (ab+bc+ca)[abc(a+b+c)] + (abc)^2 -3abc(a+b+c)^3
　　　　 = (a+b+c)^2{(ab+bc+ca)^2 -3[abc(a+b+c)]} + (ab+bc+ca)[abc(a+b+c)] + (abc)^2
　　　　 > 0

∵　(ab+bc+ca)^2 -3[abc(a+b+c)] = {aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2 + cc(a-b)^2}/2 ≧ 0,

xy座標平面上に楕円C：x^2/2 +y^2 ≦1　がある。
Cを(kπ)/n　だけ反時計回りに回転した図形をC_kとおく。(k=1,2,…n-1)

(1)C_1,C_2,…C_n-1　の共通部分の面積Snを求めよ。

(2)lim(n→∞) Sn　を求めよ。

↑
東大京大の入試で言うとCレベルぐらいだと思うんで解いてみて。

すまん、訂正。

xy座標平面上に楕円C：x^2/2 +y^2 ≦1　がある。
Cを(kπ)/n　だけ反時計回りに回転した図形をC_kとおく。(k=1,2,…n-1)

(1)C,C_1,C_2,…C_n-1　の共通部分の面積Snを求めよ。

(2)lim(n→∞) Sn　を求めよ。

S_n = (2√2) n arctan（(tan(π/(2n)))/√2）　→　π

(1)はnのeven/oddで変わらない？

>>677
変わらんのとちゃう？　n=2，3 しか見てないけど

90°向きを変えて極方程式に直して計算すれば
　　図形 OQD = ∫_［ 0 ，π/(2n) ］dθ/（ 2(cosθ)^2 + (sinθ)^2 ）
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org4320441.png

気のせいだった
軸対称な相方がいるからそりゃそうだ

ツール使わずに、単軸を含む弧の連なりであることから導いて欲しかったね。
よく調べてみたら、既に東大模試で出題されてみたいだわ。
では空間把握力を問う問題をもう一題。こちらも大数でCぐらいのレベル。

第　6　問

1辺が1の立方体:ABCD-EFGHがある。AB,EH,HGの中点をそれぞれL,M,Nとおく。
平面LMNに対してこの立方体を対象移動した立方体をA'B'C'D'-E'F'G'H'とする。

(1)ABCD-EFGHを平面LMNで切断したとき、Aを含む方の立体の体積を求めよ。

(2)2つの立方体の共通部分の体積を求めよ。

＞＞ツール使わずに、

ってどういう意味だよ
まぁ検算には使ったけどさ

まぁそう怒るな。
コンピュータを発想の手がかりに利用したのかと思っただけだよ。

問

半径１の球に内接する（四つの頂点すべてを球状に持つ）
正四面体の体積を求めよ。


東大の第一問目はシンプルなものが似合う。
簡単すぎるかな。

半径１の急に内接する四面体の体積の最大値を求めよ。
にしようかな。

空間内のある平面α上に点Aをとる。
Aを1つの頂点とする立方体Kで、次のようなものが存在することを示せ。
　・立方体Kの、A以外の7個の頂点と平面αとの距離は、順不同で 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 である。

>>683
(8√3)/27かな？
ミスってたらめんご

>>683
調べてみたら半径1の球に内接する正四面体の一辺を求める問題が北大で出てた
二つ目は予想はできると思うけど示すのはなかなか難しいと思います

>>684
不可能でね？

Aと隣り合う頂点のαとの距離が1,2,3に限られると勘違いしてた
1,2,4にとればいいのか

3回以内でサイコロを振り、最後に出た目の数×1万円をもらえるギャンブルの最適戦略を求めよ

サイコロを1回振ったときにもらえる期待値は7/2
2回目4以上の場合もらう、3以下では3回目のサイコロを振る。
1回目にサイコロを振った時点で、2回目以降の期待値は
(4+5+6)/6+(1+2+3+4+5+6)/6/2=17/4
となるので、目が1から4の場合は2回目を振る、5,6の場合はもらう。

>>689
早稲田の環境情報の問題じゃん

>>683 >>686

3点B,D,Eは球面と平面πの交線:円C上にあるとする。
点Aと平面πの距離を(A…π), Bから直線DEまでの距離を(B…DE)とする。
四面体ABDEの体積Vは、
　V = (1/3)(A…π)△BDE = (1/6)(A…π)(B…DE)DE,

さて、ここで点Bを円C上で動かす。
(B…DE)が最大になるのは、BD=BE （二等辺Δ）のとき。
同様にして6稜の長さがすべて等しいから、正４面体。


　(A…π) = 4/3,
　円Cの半径は (2√2)/3,
　(B…DE) = √2,
　DE = (2√6)/3,
∴　V = (8/27)√3　　　　　>>685

誰か>>680の問題わかる？

>>680
3/4

>>531 去年東大実戦出た.凸不等式やら接線やら使うと挟めて..あと和とって区分求積など経て答え出した記憶..
>>622 過去問解答用いて示す.
>>647 中国剰余定理つかって..?(3)全部dでわると左辺係数少なくとも2つ互いに素なものあって..(2)へ?.
>>654 面積考えて挟み和とって区分求積など経て8/π?. 面白かった.
>>680 その平面に全部射影,断面の6角形面積,あと積分で3/4???計算自信ナシ..

頭の体操
【問題】
平面上に凸四角形ABCDがある。ACとBDの交点をEとした時、A、Bを焦点としEを通る楕円とＣ、Dを焦点としEを通る楕円は互いに接することを示めせ。

接線は二等分線。

（ＡＦ＋ＢＦ）＋（ＣＦ＋ＤＦ）≧ＡＣ＋ＢＤ。

オリジナルの問題作ってる出題者からすると、解答者が問題の難易度や良し悪しなどの評価を一緒に書いてくれると励みになるなー。

三角形ABCの内心をlとする　三角形BCI CAI ABI の外心を D E Fとする
三角形ABCと三角形DEFの外心は一致することを示せ

>>700
初等幾何の定理か何か？

おい、俺昨日言わされとって人格変わっとんねん。
みごとその声の本物だけどねー現実ねーキチガイ。
やっぱりねー明日ねー遊べん。

あーらそんな事無いのよー。

人騒がせな人だなー。

理ぐらいてめぇで叶えてこい
正直、俺らの大女だもんさー

わからん、日本中のどっかの誰かー。
もういいよ。野蛮人。
あー何がパスだマジでむかついたー。
これねー誰もおらん所で言うのでれむじー。

あ、僕の1UPきのこが。
なんでねー俺がお前の疲れ取り？
えー自分で自分の首を絞めてる事に早く気づきましょう。

>>696
対角線の交点を原点とする

だれか問題出せや(｀・ω・´)

方程式
　tanx = tan(x+10°)*tan(x+20°)*tan(x+30°)
は、0°<x<60°の範囲に2つの解を持つことを示せ。

半径2の円Aと半径1の円Bが外側で接している
Aの周上に点P,Bの周上に点Qをおくとき、
線分PQの中点がとりうる領域を求積せよ

灯台の問題文で「求積せよ」という表現はまずありえない

>>707
スレ違い

は？

>>708

>>706
原点を中心に半径2の円の座標(a,b)、(3,0)を中心に半径1の円の座標(c,d)
a^2+b^2=4 (c-3)^2+d^2=1
中点の座標(x,y)
x=(a+c)/2 y=(b+d)/2
(2x-c)^2+(2y-d)^2=4 ∴2dy=2x^2-2cx+2y^2+3c-6
4y^2*(c-3)^2+(2x^2-2cx+2y^2+3c-6)^2-4y^2=0
(4x^2-12x+4y^2+9)c^2+(-8x^3+12x^2-8xy^2+24x-12y^2-36)c+4x^4+8x^2y^2-24x^2+4y^4+8y^2+36=0
cが実数より
D/4=(-4x^3+6x^2-4xy^2+12x-6y^2-18)^2-(4x^2-12x+4y^2+9)(4x^4+8x^2y^2-24x^2+4y^4+8y^2+36)>=0
∴((x-3/2)^2+y^2-(3/2)^2)((x-3/2)^2+y^2-(1/2)^2)<=0

p、qはp＞qを満たす定数で、2つの放物線
y＝(1/2)(x^2＋px＋q)…�@
y＝(1/2)(x^2＋qx＋p)…�A
は点(a、0)において交わり、交点における両放物線の接線は互いに直交する。

�T、aの値を求めよ。
�U、p、qの値を求めよ。

>>711
　P： (a,b) = (2cosθ, 2sinθ)
　Q： (c,d) = (3+cos(θ+δ), sin(θ+δ))
そこで、δを固定して考える。

　(x -(3/2), y) = (cosθ+(1/2)cos(θ+δ), sinθ+(1/2)sin(θ+δ))
　　　　　　　　= (R･cos(θ+��), R･sin(θ+��))
は半径Rの円周。
ここに、 R、�� はδで決まる定数。
　R^2 = (x - 3/2)^2 + y^2 = 5/4 + cosδ,
　tan�� = sinδ/(2+cosδ),

>>712
�T．
　(aa+pa+q)/2 = 0
　(aa+qa+p)/2 = 0
辺々引いて
　(p-q)(a-1) = 0
題意より p-q>0 だから　a-1 = 0,
�U.
上記より p+q = -a,
交点における
　(1) の傾き 1 + p/2a,
　(2) の傾き 1 + q/2a,
その積が -1 だから
　-1 = (1 + p/2a)(1 + q/2a)
　　　= 1 + (p+q)/(2a) + pq/4aa
　　　= 1/2 + pq/4aa
　pq = -6aa,
∴　p=2a, q=-3a,

>>700
DF⊥BP,∠FAB=∠FBA=C/2 ,∠DBC=∠DCB =A/2　等より
∠BDF=∠BAF＝C/2 で円周角の定理よりA,F,B,Dは同一円周上にある。

>>705

2つの解
　x = 5ﾟ
　x = 10ﾟ
をもつが何か？

他に解がないことは？

>>716
二つの解を持つことなら>>715でいいんじゃないかな？
二つしか持たないだったら違うのだろうけど

(1)任意の整数nに対して、正の整数mが存在して
n=Σ[k=1..m]±k となることを示せ。
例えば0=1+2-3,1=1,2=1-2+3

(2)任意の整数nに対して、正の整数mが存在して
n=Σ[k=1..m]±k^3 となることを示せ。

なお、(2)はn≦100のとき成立することを使ってよい。

±ってなんやねん

確率の問題
n≧ｍなる任意の自然数n,mについて
箱の中のｎ本のくじのうちｍ本が当たりで、ｎ人が順に１本ずつくじを引き戻さない。
当たる確率は全員同じであることを証明せよ。

>>719
すみません。機種依存文字でしたか？
+または-どちらかの記号。複号任意です。

すべての実数で定義された微分可能な実数値関数 f(x) が f(0) = 0 , f(１) = 1 を満たし、
さらに 0≦b−a＜d−cを満たす任意の実数a,b,c,d に対して f(b)-f(a) ＜f(d)-f(c)
を満たしている。
　f(x)の一般形を求めよ。
※「微分可能の条件」はなくても同じ結果になりますが、入試のレベルを超えるので付けました。

輪状に並んだ区別の付くｍ個のものにｎ種以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法の数

>>721
> +または-どちらかの記号。複号任意です。
「任意」は問題記述としては不真面目だね。
多分聞いているのはそういうことでなくて、
左辺のnに応じてk毎に＋−を適当に選べば
ということを問題文中に書いておけ、ということだろう。

>>724
すみません。おっしゃるとおり
「左辺のnに応じてk毎に＋−を適当に選べば 」ということです。
例でお分かりいただけると思ったのですが、不正確でした。

おい、あの東北暴言「書いたらその社はおしまい　おれは九州Ｂ型やけん
復興相でも東北の何市がどこにあるかわからん」や　福岡空港民有地暗黒利権でも
害を与え、地元福岡一区で民意の罰を受け衆議院選挙でついに落選大敗北したドラゴン怪童松本龍が
懲りずにまた空港土地利権を守ろうと擁護工作してやがるぞｗ　恥晒し龍に一言言ってやれよ




●　//anago.2ch.net/test/read.cgi/bizplus/1374328838/

はいはい早稲田＞からみのトップ○京大＞外人好きのペンマーク

引く人は前の結果を知らないから。QED

>>720
簡単すぎたみたいですね。

>>720
こうゆう問題が入試に出たら予備校が袋だたきにしそう

>>730
どうして？

>>731
採点どうするの？って話になる

微妙に高校範囲外だからじゃね？

>>730
素直に順列で考えるといいが、
数学的帰納法とか漸化式とかでやろうとすると、けっこうめんどうかもよ。
京大だとありえるが、東大ではないと思う。

△ABCについて、ABcosA=BCcosB=CAcosCをみたすとき
△ABCはどのような形をしているか。

>>728
これでは、不正解ですね。

n本クジの並べ方からわかる

AとBがいる
Aは何をやるにおいてもBより勝っている

こんな状況でゲームをしよう
もちろん2人で戦うわけだ
でもBはやる気が起きないだろう
なぜなら、元から自分が負けるのを知っているからだ

ここでCという人をいれて、3人でゲームをしよう
Cはあるゲームを思いついた
それは「じゃんけん」だ
3人でじゃんけんをしようと言い出した
だが、忘れてはいけない
必ずAはBに勝つということだ
しかし、3人でやるとどうだろう
AはBに勝てても、Cに負けることがある
A→グー B→チョキ C→パー
こんな状態だ
でもこれは、「あいこ」として処理することにする
すなわち、3人の手の状態が重要視されて個々の勝負は別となる
まぁ、これは普通のじゃんけんと同ルールである
それゆえ、勝者が2人になることもあるわけだ

では質問する
じゃんけんを3回行なう
Cが3回連続で勝つ確率を求めよ

>>738
細かい条件が不明だが
Ｃが勝つ⇔Ａと同じ手を出す　なので
Cが3回連続で勝つ確率は、(1/3)^3=1/27

なかなかいい問題ができないので、典型問題を。

定数0＜a＜1について
ｙ＝ａ^xとその逆関数ｙ＝log[a]ｘのグラフの共有点の個数はいくつあるか
aの値によって分類せよ。

安田の問題か

>>735
予想がつく
条件が対称だから正三角形が解の１つ。
cosなので直角三角形ではない。
二等辺と仮定するとcosが等しいので正三角形になってしまう。

解き方は辺だけの関係に直すとよい。

(nの約数の和)/(nの約数の個数) = n/2となるすべての正整数nを求めよ。

>>743 約数の値の平均がちょうど真ん中とは面白い

６。

数列a[n+1]=a[n]/n + n/a[n]，a[1]=1のとき
n≧4にたいして
[(a[n])^2]=nを示せ（ただし[]はガウス記号）

>>745
正解です。（論証がめんどうですが）

ｎの約数が５個以上あるとき
ｎの約数の大きい方から５個の和は
ｎ＋ｎ／２＋ｎ／３＋ｎ／４＋ｎ／５以下。

数直線上の約数のところに重りを置いたら、ちょうど重心がn/2になるわけだ。
n/2で釣り合わなくて、左に傾きそう。

>>745
略解をお願いできませんか？

>>750

・約数が5個以上あるとき、
　大きい方から5個の平均 ≦ (137/300)n < n/2,　不成立　>>748

・約数が4個のとき
　n=pq,　(p,qは素数)
　題意より、(1+p)(1+q)/4 = pq/2,
　(p-1)(q-1)=2,
　{p,q} = {2,3}
　n = pq = 6.

・約数が3個のとき
　n=pp,
　(1+p+pp)/3 = pp/2,
　(p-1)^2 = 3,　　(矛盾)

・約数が2個のとき
　n=p,
　(1+p)/2 > p/2 = n/2,　(不成立)

>>746

　a[n]^2 = n + b[n],　
とおく。
与式を２乗してこれを代入すると、
　b[n+1] = 1 - b[n] + (n+b[n])／n^2 + b[n]^2／(n+b[n]),
　b[1] = 0,
となる。あとは
　1/2 < b[n] < 1,
を示せばよい。

>>751
ありがとうございます。
なるほど、スマートな解法ですね。

>>752
1/2 < b[n] < 1 を示すのが難しそうだ。

数列a[n]を次のように定める。(n=1,2,3...)
a[n]=2^(a[n-1])+3^(a[n-2])+4^(a[n-3])+...+n^(a[1])かつa[1]=1
このとき、この数列の一般項として考えられるものの一つを求めよ。

任意の自然数nについて
(1/n)^n +(2/n)^n +…+(n/n)^n ＜ 2
が成り立つことを示せ。

ガウス記号
実数 ａ に対して、ｋ≦ａ＜ｋ+1 を満たす整数 ｋ を、[ａ] で表す。
ｎ を正の整数とし、F(ｘ)＝ｘ(ｘ+３ｎ)/(９ｎ) とおく。
６ｎ+１個の整数 [F(0)]、[F(1)]、[F(2)]、･･･、[F(６ｎ)] のうち
相異なるものの個数を ｎ を用いて表せ。

>>756

〔類題〕
m>0､任意の自然数nについて
　(1/n)^m + (2/n)^m + ･･･ + ((n-1)/n)^m < n/(m+1),
を示せ。

>>758
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....


二項定理により
　(k+1)^(m+1) - k^(m+1) > Ｃ[m+1,1]･k^m = (m+1)k^m,
　(k/n)^m < {n/(m+1)}{((k+1)/n)^(m+1) - (k/n)^(m+1)},
k=0 〜 n-1 でたすと
　(左辺) < n/(m+1),

>>758
より一般的で強い命題ですね。

>>759
x^mの区分求積でもできますか？

>>759
　m≧1　と訂正。

>>761
y=x^m （m≧1）は下に凸なので、接線は曲線より下にある。
x=k/n で接線を曳いて、幅±1/2nの部分を考えれば
　(k/n)^m < n∫[(k-1/2)/n, (k+1/2)/n] (x^m)dx,
k=1 〜 n-1 でたすと、
　(中辺) < n∫[1/2n, (n-1/2)/n] (x^m)dx
　　　　 < n∫[0,1] (x^m)dx
　　　　 = n/(m+1),

>>759
帰納法でもできますか？
　>>756　は帰納法で簡単にできそうですが

>>755
a[n]=2^a[n-1]だけでも2^2^2^2^2^...という数が出てくるが、問題の趣旨は？

一つ求めよって辺り、ルアーでね？

間違えました。

【問題】
f(x)=x^2+4n*cos(x)+1-4n(n=1,2,3,・・・)とする。

(1) 各nに対して
f(x)=0 ∧ 0<x<π/2
を満たす実数xがただ1つ存在することを示せ。

(2) (1)の条件を満たすxをx(n)とするとき、lim[n→∞]x(n)=0であることを示せ。

a,b,cが、1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) を満たす0でない実数であるとき
1/(a^5) + 1/(b^5) + 1/(c^5) ≧ 1/(a+b+c)^5 となることを示せ。

>>768 等式の証明になる

>>769
そのとおりです。
わざと不等式にしたのですが（ネタバレ！）

平面上の格子を考える。
原点を一つの頂点とする格子三角形で、内部に格子点を含まないものを考える。
格子三角形の原点を一つの端点とする辺の原点とは異なる端点をa、bとおく。
この時、平面上のすべての格子点は、ｍ、ｎなる整数が存在して、ｍa＋nbとあらわされることを証明せよ。

>>771
(a,b)=1を示して典型問題やね

>>771
a,bはベクトルですか？

エスパーできるが確かに表現が雑だな

>>771

△の頂点以外（内部、辺上）には格子点がないとする。
この△と合同な△で平面を敷き詰めよう。
各頂点を６個の△が共有するから、各△は1/2個の頂点を所有する。
　△ = 1/2.
　ａ = (a1, a2)
　ｂ = (b1, b2)
とおくと、
　|a1･b2 - a2･b1| = 2△ = 1,
　a1･b2 - a2･b1 = ±1,
よって
　b1･ａ - a1･ｂ = (0, ±1)
　b2･ａ - a2･ｂ = (±1, 0)
から分かる。

（３次元の）結晶学では primitive cell とか云うらしい....

>>775

０、ａ、ａ＋ｂ、ｂからなる平行四辺形を primitive cell と云う...

>>768

>>659-663 を参照。

(例)　n=3 のとき

　(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3 - 1/s^3)／(1/a + 1/b + 1/c - 1/s) = F(a,b,c)/(su)^2,
ここに
　F(a,b,c) = (s^2)(t^2 -3su) + stu + u^2 ≧ 0,
　s = a+b+c,
　t = ab+bc+ca,
　u = abc.

>>735

　BC ≧ AB、AC としてもよい。
　∠A ≧ ∠B,
∴　cos(∠A) ≦ cos(∠B),
題意により
　AB ≧ BC,
∴　AB = BC　(2等辺△)
　∠A = ∠C,
題意により
　cos(∠A) = cos(∠B)
∴　∠A = ∠B,

関数f(x,y,z)=2^x+2^(-y)+2^zを考える。
このとき、f(x,y,z)は最大値を持つことを示せ。ただし、そのときの最大値は求める必要はない。

狂牛病でも患うとるのかい？

>>779
最大値はない

kを定数とする。
y=sin(x)とy=k*cos(x)のグラフ及び直線x=0と直線x=2pi で囲まれる部分の面積を求めよ。

しょぼすぎ

【問題】


f(x)=x^2+4n*cos(x)+1-4n(n=1,2,3,・・・)とする。

(1) 各nに対して
f(x)=0 ∧ 0<x<π/2
を満たす実数xがただ1つ存在することを示せ。

(2) (1)の条件を満たすxをx(n)とするとき、lim[n→∞]x(n)=0であることを示せ。

>>784
(1) 増減を調べると単調減少となるので、中間値の定理を使う
(2) y=f(x)のグラフでは扱いにくいので、1/4n=(1-cos(x))/(1+x^2) として
y=(1-cos(x))/(1+x^2)のグラフとy=1/4nのグラフとの交点ではどうだろうか。
y=(1-cos(x))/(1+x^2)のグラフは原点を通るので明らか？

>>784 (2)

　1 - (1/2!)x^2 < cos(x) < 1 -(1/2!)x^2 + (1/4!)x^4,
を使えば
　1 - (2n-1)x^2 < f(x) < 1 - (2n-1)x^2 + (n/6)x^4,
f(x(n)) = 0 から
　1/(2n-1) < x(n)^2 < 2/{(2n-1) + √[(2n-1)^2 - (2/3)n]},
ここで n→0 とする。

>>786

　1／(2n-1) < x(n)^2 < 2／{(2n-1) + (2n-1) -（1 - 1/√3)}
　　　　　　　　　　 = 1／{(2n-1) - (1 - 1/√3)/2}
ここで n→∞ とする。

>>1 に書いてある
＞＞理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
＞＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
って「問題を作ってうｐする」ってことじゃないのか？
>>784 は防衛医大の問題で数年前の新数演やチョイスに出ていた（最新版は未確認）
過去問の保管（補完）のつもりなら受験板にそれ用のスレを立てたほうがふさわしくないか？

図形の問題

平面上の半径1の円周上に2つの定点A,Bがある。点Pが円周上を動くとき
三角形ABPの垂心の軌跡をC1,重心の軌跡をC2とする。
C1とC2が共有点を1つだけ持つとき、ABの長さを求めよ。

√3

>>789
半径１の円の中心OとABの距離=kとするとPH=2k(定数)なのでC1は円
またOGHは一直線に並ぶ(オイラー線)のでC2も円
またO､C1の中心､C2の中心も一直線に並ぶので△PABが正三角形の時C1とC2はOで接する

てｓｔ

xを素数として、x^2+x+41の値が素数でないような、最小のxを求めよ。

オイラーだっけ

>>793
xが整数なら40だが、xが素数なら41か

>>795
【訂正】xが整数なら40だが→xが正の整数なら40だが
整数なら存在しない。負でない整数なら0。

41は合成数かい

>>795
はい

>>777 は↓の解答か

【類題768】
a,b,c が、1/a + 1/b + 1/c ≧ 1/(a+b+c) を満たす0でない実数であるとき
　1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) ≧ 1/(a+b+c)^3,
を示せ。

第6問とかで有りそうな問題を一つ。

【問題】
xy平面上の半径１の円：x^2+y^2=1
を底面とする高さ1の直円錐面C（内部は含まない)を考える。
A(0,0,1)とし、平面L：z=x/2　でCを切断したとき
Aを含む方の表面積(切断面は含まない)を求めよ。

↑すまん、訂正。

xy平面上の半径１の円：x^2+y^2=1
を底面とする高さ1の直円錐面C（内部は含まない)を考える。
A(0,0,1)とし、平面L：z=(x-1)/2　でCを切断したとき
Aを含む方の表面積(切断面は含まない)を求めよ。

次25

ごめん、平面L：z=(x+1)/2

新数学演習で、一番唸らされた問題ってどれ？

巣に帰れカス

すべての有理数上で定義された実数値関数 f(x) が f(0) = 0 , f(1) = k(k＞0）を満たし、
さらに 0≦b−a＜d−cを満たす任意の有理数a,b,c,d に対して f(b)-f(a) ＜f(d)-f(c)
を満たしている。
　f(x)の一般形を求めよ。

つまんね

半径1の円周を二等分し、片方に点P,もう片方に点Qをおくとき、
線分PQの中点がとりうる領域の面積を求めよ

>>807
S=4∫[0..π/2]{(1/2)(cosθ)^2}dθ を計算すれば良いですか？　

>>807
・円内の任意の点は、それぞれただ一つの弦の中点となる
・二等分した円の片側のいずれかに含まれる弦の中点がとる得る領域の面積をＡとする
・求める面積＝円の面積−Ａ

>>807

円の中心をＯとする。
Ｐ,Ｑの中点をＸとすると、ＯＸ⊥ＰＱ
∵　半径 ⊥ 弦


逆に、円の内部の点Ｘ（≠Ｏ）に対し、
ＯＸと直交する直線と円周の交点をＰ、Ｑとおけば、
ＸはＰ、Ｑの中点。

Ｏを極とする極座標で考える。
点Ｘ(r, θ) とすると、
　Ｐ(1, θ-arccos(r))
　Ｑ(1, θ+arccos(r))
θを固定すると、ＰとＱが反対側に含まれる条件は
　r < |cosθ|,
これは ○○ 形の内側であり、その面積は、2*(π/4) = π/2,

pを素数、n,rを正の整数とする
n!がpで割り切れる最大回数をf(n)とするとき
(1)f(p^r)を求めよ。
(2)n＜p^rのとき　f(n)/n＜f(p^r)/(p^r) であることを示せ。

※(1)はよくある問題です。(2)もかも知れませんが？？

>>811

(1)
　p^r で割り切れるもの ････ 1個
　p^(r-1) で割り切れるもの ････ p個
　･････
　p で割り切れるもの ････ p^(r-1)個
以上をたす。延べ回数は
　f(p^r) = (p^r - 1)/(p-1)

(2)
　f(n) = Σ(e=1,r) [ n/(p^e) ]
　ここに、[ ] はガウス括弧。
　あとは任せた。

>>812
少し簡単すぎでしたか？
(3)(n+1)!がm^n(m,nは自然数であり、m＞1)で割り切れるような(m.n)を全て求めよ。
を加えるとどうでしょうか？

【問題】
xy平面上の半径１の円：x^2+y^2=1
を底面とする高さ1の直円錐面C（内部は含まない)を考える。
A(0,0,1)とし、平面L：z=(x+1)/2　でCを切断したとき
Aを含む方の表面積(切断面は含まない)を求めよ。

円錐の切断の表面積とかよくあるやつじゃん

また問題に不備があるよ
頭イカれてんのか

>>813

　(m, n) = (2, (2^N)-1)
　Nは自然数

>>817

(2^N)! = 2^{(2^N)-1}・Π(e=1,N) {(2^e)-1}!!

∵　(2^e)!／{2^(e-1)}! = 2^{2^(e-1)}・{(2^e)-1}!!

2√2π/3√3

次の命題の真偽を調べ、真なら証明し、偽なら反例を示せ。
（命題）p、qは有理数、q＞０、√qは無理数、p+√q＞０とする。
　　　　p^2＜qのとき√(p+√q)は、有理数係数の3次方程式の解となることはない。

キモい

>>820
「3次方程式」だと面倒なので「２次方程式」にしておきます。

真:
r:=√(p+√q), a,b,c∈Q, c≠0, f(x):=c(xx+ax+b), g(x):=xx-ax+b
f(r)g(r)=c([bb-pp+q]+{-aa+2b+2p}rr)
[],{}∈Q, []≠0, rr∈R-Q, f(r)g(r)≠0, f(r)≠0

p+√q>0 は要らないんでね？

f(r)g(r)の方法は、思いついていませんでした。これだとスマートですね。
では、「3次方程式」の場合はどうでしょう。
>p+√q>0 は要らないんでね？
ですね、単に虚数が出てくる場合を除きたかったからです。

x＋y＝２０１４を満たし，実数x,yは動く。

f(ｎ)＝a^n＋b^n＋cn＋dnとする。

a,b,c,dはxまたはｙであるときf(ｎ)の最小値をnを用いて表せ。

出来の悪い自動翻訳みたいな問題文だな

任意の正整数m,nについて
|x1|+|x2|+..+|xm|≦n　を満たす整数の組(x1,x2,...,xm)の個数と
|x1|+|x2|+..+|xn|≦m　を満たす整数の組(x1,x2,...,xn)の個数は、
等しいことを示せ。

実際に場合の数を書き出せばいい

>>827
|x1|+|x2|+..+|xm|≦n…(*)
|x1|,|x2|,|x3|…|xm|のうち0となるものが(m-k)個ある場合を考える。
ただし0≦k≦m
|x1|,|x2|,|x3|…|xm|のうち、0でないものを順に
a1,a2,a3..akとする。このとき、
(a1-1)+(a2-1)+(a3-1)+…+(ak-1)+b=n-k
となる整数b≧0がただ1つ存在する。
ゆえにこれを満たす(a1,a2,a3…ak)の個数は(a1,a2,a3…ak,b)の個数に等しく
(n-k)H(k+1)=(n-k+k)Ck=nCk

このような(a1,a2,a3…ak)に対して(x1,x2,x3…xm)は
0となるものの取り方でmC(m-k)=mCk通り
0でないものに対しては正負どちらの値もとるから2^k通り
の重複がある。
したがって(x1,x2,x3...xm)はnCk*mCk*2^k個

よって(*)を満たす(x1,x2,x3...xm)の個数は
Σ[k=0,m]nCk*mCk*2^k
=Σ[k=0,min{m,n}]nCk*mCk*2^k

これはmとnを入れ替えても等しいため題意は示された。(証明終)

nCk
k>nとなる二項係数って入試では使わないほうがいいかな
説明かなり面倒になるけど

>>830
いいんじゃね〜かな

任意の正の有理数ｑに対して,ある自然数ｎがとれて
q=a[1]+a[2]/2!+a[3]/3!+...+a[i]/i!...+a[n]/n!(ただし各a[i]は0≦a[i]<iを満たす整数。)

の形に一意に表せることを示せ。

１から１００までそれぞれ２枚ずつ書かれたカードが２００まいある。
次の操作にしたがって，カードの数字を書き換える。

操作；　１枚ひいて偶数であれば二分の一倍する。
　　　　１枚引いて奇数であれば１足して，二分の一倍する。

この操作を三回繰り返すとき，この２００枚のカードの合計の期待値Eを求めよ。