分からない問題はここに書いてね364

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/sci/1323604846/489
「(x, y)平面上の領域Ｒで定義された関数 f(x, y) の偏微分 fx(x, y), fy(x, y) がいたるところで存在して、少なくとも一方が有界なら f(x, y) は連続」の証明：
fx(x, y) が有界 | fx(x, y) | ≦ M とする。
fy が存在することから f(x, y) は y に対して連続であり、ε＞0 に対して
∃δ＞0 ∀y' [|y'−y|＜δ→|f(x, y')−f(x, y)|＜ε]　(1)
である。
次に fx が存在することから平均値の定理より x'＞x に対して
∃ξ [x＜ξ＜x' ∧ (f(x', y')−f(x, y'))/(x'−x)＝fx(ξ, y')]
であり、fx(x, y) は有界だから
| f(x', y')−f(x, y') | ≦ M|x'−x|
となり、x'＜x でも同様だから
∃δ'＞0 ∀x' [ |x'−x|＜δ'→|f(x', y')−f(x, y')|＜ε ]　(2)
となる。
(1),(2) より
∀x'∀y' [ |x'−x|＜δ'∧|y'−y|＜δ→|f(x', y')−f(x, y)|＜2ε ]
すなわち f(x, y) は連続。