■ちょっとした物理の質問はここに書いてね153■

物理でなく数学の質問なのですが

次の定理で


定理１　(x, y) - 平面上の領域Ｒで定義された関数 f(x, y) の遍微分
fx(x, y), fy(x, y) がいたるところで存在して、少なくとも一方が有界なら
ば f(x, y) は連続である。

証明　fx(x, y) が有界であるとする。すなわち、| fx(x, y) | ≦ M (M ： 定数)、
点(a, b) ∈ Ｒ で f(x, y) が連続であることを示すために、小さい数 �凅, �凉 をと
ると

　 　　　 f(a+�凅, b+�凉) - f(a, b)
　　　 = f(a+�凅, b+�凉) - f(a, b+�凉) + f(a, b+�凉) - f(a, b)
　　　= fx(a, b+�凉)�凅 + ε1�凅　+　fy(a, b)�凉 + ε2�凉

と書ける（ここで、�凅→0 のとき ε1→0　;　�凉→0 のとき ε2→0)。仮定によ
って | fx(x, y) | ≦ M だから

　式1　| f(a+�凅, b+�凉) - f(a, b) | ≦ | M +ε1 | | �凉 | + | fy(a, b) + ε2 | | �凉 |

で、これは �凅→0、�凉→0 のとき 0 に近づく。fx(x, y) の代りに fy(x, y)
有界な場合も同様。