數學木曾論・數理邏輯學　その9

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド　その8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1309406249/

●命題論理
命題論理記号：¬,∧,∨,→,⊥(〜でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c...　※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき¬a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(¬a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (¬b→¬a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー：　|＝ ¬a→(a→b),　|＝ ¬¬a→a
演繹定理：T∪{a} |― b　⇔　T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡¬a∨b,¬a∨¬b≡¬(a∧b),⊥≡¬(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{¬a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a　⇔　|― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの命題がトートロジー⇒Tの命題はトートロジー。

圏論的モデル理論を誰も知らないの？

皆殺しの数學

>>3
教えて

圏論的モデル理論って何？
たとえばラムダ計算とかの圏論的モデルの話？

線形論理とかのモデルがGirard圏になるとかの話だろう。
あとLawvereの1階述語論理の圏論モデルとかいろいろある。

ネルソンのペアノ算術の話面白そうだね。
ネットを見てるうちにゲーデルの不完全性定理の新たな証明を知ったのも収穫。

タオにあんたアホ？って言われて終了したんじゃない

Taoは矛盾を証明する手法が
余りにテクニカルすぎて
自分では証明を追いきれないが、
望み薄なのではないだろうか？
と考えているのではないだろうか？

ttp://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-October/015832.html
と思ったら論破されてた。

79才？

メタマス・数理論理学　その9
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317607711/

いくらなんでもメタマスは時代錯誤じゃろう
スレ乱立しすぎ＞＜；

こんなスレタイだと新しい人が来れないぞ
Ctrl+Fで引っ掛からないのはやはり問題だと思う

ロジック用語でググればヒットするだろうし
関連スレのテンプレに張り付ければオッケーじゃん？

素直に旧字体化するのかと思ったら誤字化しやがった

>>16
素直に旧字体化するとどーなんお？

>>1
こいつわざわざスレ立て依頼したのかよ

スレ立て代行依頼所in数学板
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1299248337/342

「邏輯」は「論理」の旧字体ではありません。「ロジック」の音訳というべきもの。

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　同じ内容の重複スレが乱立しています。
　こちらのスレもスレタイが違ってもテンプレは同じであり、重複スレと考えられます。
　スレタイ変更に関しては十分な議論がされているとは言えず、引き続き議論を継続させる必要があります。
　
　↓こちらへ誘導のほどよろしくお願いします。
　
　数学基礎論・数理論理学　その9
　http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
　
　
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　http://info.2ch.net/guide/adv.html#saku_guide
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